meetforever/GRPO_CL huggingface dataset:
user: 给定集合  
$$  
I=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{i} \in\{1,2, \cdots, 11\}\right\},  
$$  
$A$ 为 $I$ 的子集且满足：对任意的  
$$  
\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) 、\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}\right) \in A,  
$$  
均存在 $i 、 j(1 \leqslant i<j \leqslant 4)$ 使得  
$\left(x_{i}-x_{j}\right)\left(y_{i}-y_{j}\right)<0$.  
试确定 $|A|$ 的最大值，其中， $|A|$ 表示集合 $A$ 的元素个数.
Answer: 891
user: 记 $Q$ 为 $1,2, \cdots, 100$ 的若干个排列组成的集合，且满足对于任意的 $1 \leqslant a 、 b \leqslant 100$ ， $a \neq b$ ，至多存在一个 $\sigma \in Q$ ，使得在 $\sigma$ 中 $a$的下一个数恰为 $b$ 。求集合 $Q$ 的元素个数的最大值。
Answer: 100
user: 设 $n$ 是正整数， $a=[\sqrt{n}]$ （其中， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）.求同时  
满足下列条件的 $n$ 的最大值:  
(1) $n$ 不是完全平方数;  
(2) $a^{3} \mid n^{2}$.
Answer: 24
user: 求最大的正整数 $n$ ，使得存在 $n$ 个正整数 $x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}$, 满足:  
$$  
x_{1}+x_{1} x_{2}+\cdots+x_{1} x_{2} \cdots x_{n}=2021  
$$
Answer: 4
user: 对于正整数 $n$ ，定义 $S_{2}(n)$ 为 $n$ 在二进制表示下的各位数码之和（例如， $S_{2}(13)=$ $1+1+0+1=3)$ 。设 $T=\sum\limits_{k=1}^{2021}(-1)^{s_{2}(k)} k^{3}$ 。请确定 $T$ 除以 $2021$ 的余数.
Answer: 1980
user: $2021$ 个单位正方形排成一行，最左侧和最右侧的格均为黑色，其余 $2019$ 个格均为白色。随机选取两个相邻白格，并随机将其中一个白格染黑，重复此过程，直至无两个相邻白格为止。令 $E$ 是剩余白格数目的数学期望。求不超过 $E$ 的最大整数 $[E]$ 。
Answer: 743
user: 将正九边形的每条边和每条对角线都染成红色或蓝色之一，使得每个顶点引出的 $8$ 条线段中恰有 $4$ 条红色线段.  
求三边全是红色的三角形个数的最大值.
Answer: 10
user: 设数列 $x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=x_{n}-x_{n}^{3}(n=1,2, \cdots)$.试求正整数 $m$, 使得 $\frac{1}{m+1}<x_{2023} \leqslant \frac{1}{m}$.
Answer: 63
user: 设 $a 、 b$ 为正整数，$a^{2}+b^{2}$ 除以 $a+b$ 的商为 $q$, 余数为 $r$, 且 $q^{2}+r=2010$. 求 $a b$的值.
Answer: 1643
user: 已知 $p$ 为质数, $\sqrt{p}$ 的小数部分为 $x, \frac{1}{x}$ 的小数部分为 $\frac{\sqrt{p}-31}{75}$. 求所有满足条件的质数 $p$ 的值.
Answer: 2011
user: 求最小的质数 $p$, 满足 $(p, N)=1$,其中, $N$ 为所有满足以下条件的 $\left(a_{0}, a_{1}, \cdots\right.$, $a_{2012}$ ）的个数：
(1) $\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{2012}\right)$ 是 $0,1, \cdots, 2012$的一个排列;
(2) 对 2013 的任意一个正约数 $m$ 及所有的 $n(0 \leqslant n<n+m \leqslant 2012)$ 有
$m \mid\left(a_{n+m}-a_{n}\right)$.
Answer: 67
user: 设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足
$x_{1}=1, x_{n+1}=4 x_{n}+\left[\sqrt{11} x_{n}\right]$ 。
求 $x_{2012}$ 的个位数字.
Answer: 3
user: 已知正数 $a 、 b 、 c$ 满足 $a+b+c=13$. 则 $\frac{a^{2}+b^{3}+c^{4}+2019}{10 b+123 c+26}$ 的最小值为 $\qquad$.
Answer: 4
user: 设 $\boldsymbol{u}=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)$ 和 $\boldsymbol{v}=$ $\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)$ 是空间向量，满足 $u_{i} 、 v_{i}(i=1,2,3 )$ 均为整数，且
$0.9999<\cos \langle\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\rangle<1$.
记 $S=\left|u_{1}\right|+\left|u_{2}\right|+\left|u_{3}\right|+\left|v_{1}\right|+\left|v_{2}\right|+\left|v_{3}\right|$.求 $[\sqrt{S}]$ 的最小可能值，其中， $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数。
Answer: 4
user: 已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 2 ，且各项均为整数。若其所有项的和为 2016 ，则满足要求的数列有 $\qquad$个。
Answer: 34
user: 将两个相同的白球、三个相同的红球、四个相同的黑球全部放入三个不同的袋子中. 则没有空袋的放法数为 $\qquad$.
Answer: 723
user: 已知曲线 $(x-20)^{2}+(y-16)^{2}=r^{2}$ 与  $y=\sin x$  恰有一个公共点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$. 则  $\frac{1}{2} \sin 2 x_{0}-16 \cos x_{0}+x_{0}=  \quad.$
Answer: 20
user: 已知集合 $M=\{(a, b) \mid a \leqslant-1, b \leqslant m\}$ .若对任意 $(a, b) \in M$ ，恒有 $a \cdot 2^{b}-b-3 a \geqslant 0$ ，则实数 $m$ 的最大值为 $\qquad$.
Answer: 1
user: 已知抛物线 $\Gamma: y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 作一条直线 $l$ 与抛物线 $\Gamma$ 交于 $A 、 B$ 两点，分别过 $A 、 B$ 作抛物线 $\Gamma$ 的切线，与 $y$ 轴交于 $P 、 Q$ 两点. 求四边形 $A P Q B$ 面积的最小值.
Answer: 12
user: 设  $P(z)=z^{4}-(6 \mathrm{i}+6) z^{3}+24 \mathrm{i}z^{2}- (18 \mathrm{i}-18) z-13$.  
求 $P(z)=0$ 的四个根在复平面上对应的四个点所围成凸四边形的面积.
Answer: 2
user: 求等差数列 $\{4 n+1\}(1 \leqslant n \leqslant 200),\{6 m-3\}(1 \leqslant m \leqslant 200)$ 的公共项之和。
Answer: 27135
user: 已知整数 $a, b, c, d$ 满足 $a+b+c+d=6$ ，则 $a b+a c+a d+b c+b d+c d$ 的正整数取值个数为 $\qquad$.
Answer: 10
user: 若正方体 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}-B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ 的棱长为 1 ，则集合
$\left\{x \mid x=\overrightarrow{A_{1} B_{1}} \cdot \overrightarrow{A_{i} B_{j}}, i, j \in\{1,2,3,4\}\right\}$
中元素的个数为 $\qquad$.
Answer: 1
user: 设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个，现每次从袋子里取出一个球（取出某色球的概率均相同），确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止。记此时取出球的次数为 $\xi$ ，则 $\xi$的数学期望为 $\qquad$。
Answer: 12
user: 若正整数 $n$ 使得方程 $x^{3}+y^{3}=z^{n}$ 有正整数解 $(x, y, z)$ ，称 $n$ 为 "好数"。则不超过 2019 的 "好数"的个数是 $\qquad$.
Answer: 1346
user: 若正整数 $n$ 使得方程 $x^{3}+y^{3}=z^{n}$ 有正整数解 $(x, y, z)$, 则称 $n$ 为 "好数". 那么, 不超过 2019 的好数有 $\qquad$个.
Answer: 1346
user: 设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个. 现每次从袋子里取出一个球（取出某色球的概率均相同), 确定颜色后放回, 直到连续两次均取出红球时为止, 记此时取出球的次数为 $\xi$. 则 $\xi$ 的数学期望为 $\qquad$.
Answer: 12
user: 在一个 $3 \times 3$ 的方格表中, 若 9 个方格中每一个均被染成红、黄、蓝、紫四种颜色之一，任意两个有公共边的小方格的颜色均不相同，且该方格表中恰有 2 个小方格染蓝色，则符合条件的染色方法总数为 $\qquad$. (用具体数字作答)
Answer: 3816
user: 在 $3 \times 3$ 方格表中，若九个格中的每一个均被染成红、黄、蓝、紫四种颜色之一，任意两个有公共边的格的染色均不相同，且该方格表中恰有两个格染蓝色，则符合条件的染色方法种数为 $\qquad$ （用具体数字作答）。
Answer: 3816
user: 已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格单调递减, 对任意 $x \in(0,+\infty)$, 均有 $f(x) \cdot f\left(f(x)+\frac{2}{x}\right)=\frac{1}{3}$,记 $g(x)=f(x)+4 x^{2}, x \in(0,+\infty)$, 则函数 $g(x)$ 的最小值为 $\qquad$.
Answer: 3
user: 已知函数 $f:\{1,2, \cdots, 10\} \rightarrow\{1,2,3,4,5\}$, 且对一切 $k=1,2, \cdots, 9$, 有 $|f(k+1)-f(k)| \geqslant 3$ 。则符合条件的函数 $f$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 288
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{2 k+1}=\frac{a_{2 k}^{2}}{a_{2 k-1}}$ ，且 $a_{2 k+2}=2 a_{2 k+1}-a_{2 k}\left(k \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，则 $a_{2022}$的末两位数字为 $\qquad$.
Answer: 32
user: 已知函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上严 格单调递减，对任意的 $x \in(0,+\infty)$ ，均有  
$$  
f(x) f\left(f(x)+\frac{2}{x}\right)=\frac{1}{3}.  
$$  
记 $g(x)=f(x)+4 x^{2}(x \in(0,+\infty))$. 则函数 $g(x)$ 的最小值是 $\qquad$.
Answer: 3
user: 已知函数 $f:\{1,2, \cdots, 10\} \rightarrow\{1,2, \cdots, 5\}$ ，且对一切 $k=1,2, \cdots, 9$ ，有  
$|f(k+1)-f(k)| \geqslant 3$.  
则符合条件的函数 $f$ 的个数是 $\qquad$.
Answer: 288
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足:  
$$  
\begin{aligned}  
& a_{1}=1, a_{2}=2, a_{2 k+1}=\frac{a_{2 k}^{2}}{a_{2 k-1}} \\  
& a_{2 k+2}=2 a_{2 k+1}-a_{2 k}\left(k \in \mathbf{Z}_{+}\right)  
\end{aligned}  
$$  
则 $a_{2022}$ 的末两位数字是 $\qquad$.
Answer: 32
user: 在 $(-x y+2 x+3 y-6)^{6}$ 的展开式中, $x^{4} y^{3}$ 的系数为 $\qquad$. (用具体数字作答)
Answer: -21600
user: 设平面向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足: $|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=2, \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$. 点 $O, A, B$ 为平面上的三点, 满足 $\overrightarrow{O A}=$ $2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \overrightarrow{O B}=-3 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}$, 则 $\triangle A O B$ 的面积为 $\qquad$.
Answer: 7
user: 设集合 $I=\{0,1,2, \cdots, 22\}, A=\{(a, b, c, d) \mid a, b, c, d \in I, a+d \equiv 1(\bmod 23)$, 且 $a d-b c \equiv 0$ $(\bmod 23)\}$ ，则集合 $A$ 中元素的个数为 $\qquad$.
Answer: 552
user: 已知正整数数列 $a, b, c, d$ 严格递增, $d \leq 101$, 且 $101 \mid a+b+c+d$, 则这样的数组 $(a, b, c, d)$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 40425
user: 十边形内任意三条对角线都不会在其内部交于同一点，问这个十边形所有对角线可以把这个十边形划分为 $\qquad$个区域.
Answer: 246
user: $R(n)$ 表示正整数 $n$ 除以 $2,3,4,5,6,7,8,9,10$ 的余数之和, 则满足 $R(n)=R(n+1)$ 的两位数 $n$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 0
user: 集合 $U=\{1,2, \cdots, 366\}$ ，则 $U$ 的互不相交各元素之和为 $17$ 的倍数的二元子集最多有 $\qquad$个.
Answer: 179
user: 三个互不相等的正整数最大公约数是 $20$, 最小公倍数为 $20000$, 那么这样的不同的正整数组的个数为 $\qquad$.
Answer: 104
user: 集合 $U=\{1,2,3, \cdots, 10\}$ ，则 $U$ 的元素两两互素的三元子集个数为 $\qquad$.
Answer: 42
user: 已知 $x, y, z$ 均为正整数, 且 $\frac{x(y+1)}{x-1}, \frac{y(z+1)}{y-1}, \frac{z(x+1)}{z-1}$ 均为正整数, 则 $x y z$ 的最大值和最小值之和为 $\qquad$.
Answer: 701
user: 由 $\left[\frac{1^{2}}{2023}\right],\left[\frac{2^{2}}{2023}\right], \ldots,\left[\frac{2023^{2}}{2023}\right]$ 构成的集合元素个数为 $\qquad$.
Answer: 1518
user: 已知正整数 $x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{9}$ 且 $x_{1}+x_{2}+\cdots x_{9}=220$, 则在 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{5}$ 取得最大值的情况下, $x_{9}-x_{1}$ 的最大值为 $\qquad$.
Answer: 9
user: 在 $\triangle A B C$ 中, 若 $O$ 为形外一点, 满足 $\angle B O C=2 \angle B A C$, 线段 $O C$ 与线段 $A B$ 交于 $D$, 且 $O B=O C=3$, $O D=2$, 求 $B D \cdot A D$.
Answer: 5
user: 求 $\mathbf{R}$ 上方程 $x^{2}-13[x]+11=0$ 的解的个数.
Answer: 4
user: 求四元组 $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)$ 的个数, 使得 $a_{i} \in\{1,2,3\}$, 且 $10<a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}<20$.
Answer: 25
user: 用 $S(n)$ 表示正整数 $n$ 的数码和, 求满足 $S(n+1)$ 与 $S(n)$ 均为 $5$ 的倍数的 $n$ 的最小值.
Answer: 49999
user: 求 $\sum\limits_{i=1}^{2024}\left[\frac{19^{i}}{20}\right]$ 模 $7$ 的余数.
Answer: 1
user: 设 $f(x)=x^{2}-53 \mathrm{x}+196+\left|x^{2}-53 \mathrm{x}+196\right|$, 求 $f(0)+f(1)+f(2)+\ldots+f(50)$
Answer: 1052
user: 有多少个正整数 $a$ 满足：对任意正整数 $k$ ，存在正整数 $n$ ，使 $a n+2016$ 为某个正整数的 $k$ 次方？
Answer: 288
user: 某班 $50$ 名同学做游戏, 每人向其他一些同学发短信。若在 $A, B, C$ 三人中, $A$ 只向 $B$ 发过短信, $B$ 只向 $C$发过短信， $C$ 只向 $A$ 发过短信，则称 $A, B, C$ 构成一个 $3$ 循环。问 $50$ 人发短信，最多可以开成多少个 $3$ 循环?
Answer: 5200
user: 有 2018 名学生围成一圈. 称一个同学是优秀的，如果他的两边站着的人和自己性别都不同.求优秀的男生数与优秀的女生数的平方差的最大值.
Answer: 509040
user: 已知 $a_{k}$ 为 $\log _{2} k, \log _{3} k, \cdots, \log _{2018} k$ 中整数项的个数. 则 $\sum\limits_{k=1}^{2018} a_{k}=$
Answer: 4102
user: 已知 $f(x)=\frac{10}{x+1}-\frac{\sqrt{x}}{3}$. 则集合  
$M=\left\{n \in \mathbf{Z} \mid f\left(n^{2}-1\right) \geqslant 0\right\}$  
的元素个数为 $\qquad$.
Answer: 6
user: 一项 "过关游戏"规则规定：在第 $n$ 关要抛掷一颗骰子 $n$ 次，如果这 $n$ 次抛掷所出现的点数之和大于 $2^{n}$ ，则算过关。问：
（1）某人在这项游戏中最多能过几关?
（2）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有 $1,2,3,4,5,6$
点数的均匀正方体. 抛郑骰子落地静止后, 向上一面的点数为出现点数.)
Answer: 4
user: 满足 $\frac{1}{4}<\sin \frac{\pi}{n}<\frac{1}{3}$ 的所有正整数 $n$ 的和是 $\qquad$..
Answer: 33
user: 对于集合 $\{x \mid a \leqslant x \leqslant b\}$ ，我们把 $b-a$ 称为它的长度。设集合 $A=\{x \mid a \leqslant x \leqslant a+1981\}$, $B=\{x \mid b-1014 \leqslant x \leqslant b\}$ ，且 $A 、 B$ 都是集合 $U=\{x \mid 0 \leqslant x \leqslant 2012\}$ 的子集，则集合 $A \cap B$ 的长度的最小值是 $\qquad$.
Answer: 983
user: 满足 $\frac{1}{4}<\sin \frac{\pi}{n}<\frac{1}{3}$ 的所有正整数 $n$ 的和是 $\qquad$.
Answer: 33
user: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\sin A=10 \sin B \sin C, \cos A=10 \cos B \cos C$, 则 $\tan A$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 11
user: 若平面上有 100 条二次曲线, 则这些曲线可以把平面分成若干个连通区域, 则连通区域数量最大值为 $\qquad$.
Answer: 20101
user: 已知 $a 、 b 、 c$ 是三个不全相等的实数且满足 $a=a b+c 、 b=b c+a 、 c=c a+b$. 则 $a+b+c=$ $\qquad$.
Answer: 3
user: 设正整数 $n \leqslant 2021$ ，且 $n^{5}-5 n^{3}+4 n+7$ 是完全平方数。则可能的 $n$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 0
user: 设 $y_{n}=1 \overbrace{22 \cdots 2}^{n} 1$. 若 $10^{9}-1 \mid y_{n}$, 则 $n$ 的最小值为 $\qquad$.
Answer: 80
user: 设正整数 $m, n$ 均不大于 2021 ，且 $\frac{m}{n+1}<\sqrt{2}<\frac{m+1}{n}$. 则这样的数组 $(m, n)$ 个数为 $\qquad$.
Answer: 3449
user: 如果一个十位数 $F$ 的各位数字之和为 81 ，则称 $F$ 是一个 "小猿数". 则小猿数的个数为 $\qquad$.
Answer: 48619
user: 已知 $Y=\sum_{i=0}^{2021}\left[\frac{2^{i}}{7}\right]$, 则 $Y$ 的个位数字是 $\qquad$.
Answer: 5
user: 设 $a_{n}$ 是与 $\sqrt{\frac{n}{2}}$ 的差的绝对值最小的整数, $b_{n}$ 是与 $\sqrt{2 n}$ 的差的绝对值最小的整数. 记 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n},\left\{\frac{1}{b_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ 。则 $2 T_{100}-S_{100}$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 1
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2, a_{n+1}=2^{a_{n}}$ 。数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=5, b_{n+1}=5^{b_{n}}$. 若正整数 $m$ 满足 $b_{m}>a_{25}$ ，则 $m$ 的最小值为 $\qquad$ ．
Answer: 24
user: 方程 $x^{2}-2 x y+3 y^{2}-4 x+5=0$ 的整数解个数是 $\qquad$.
Answer: 2
user: 设正整数 $m, n \leqslant 2021$ ，并且 $\frac{m}{n+1}<\sqrt{2}<$ $\frac{m+1}{n}$, 则这样的数组 $(m, n)$ 的个数是 $\qquad$.
Answer: 3449
user: $100$ 条二次曲线最多把平面划分成多少个部分.
Answer: 20101
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2, a_{n+1}=2^{a_{n}}(n \in$ $\left.\mathbf{N}^{*}\right)$ ，其中数列 $\left\{b_{n}\right\}: b_{1}=5, b_{n+1}=5^{b_{n}}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，则满足 $b_{m}>a_{25}$ 的最小正整数 $m$ 的值是 $\qquad$.
Answer: 24
user: 设 $y_n=1\overbrace{22\cdots21}^n$ ，若 $\left(10^{9}-1\right) \mid y_{n}$ ，则正整数 $n$ 的最小值是 $\qquad$.
Answer: 80
user: 已知不全相等的三个实数 $a, b, c$, 满足 $a=a b+c, b=b c+a, c=c a+b$ ，则 $a+b+$ $c=$ $\qquad$.
Answer: 3
user: 设正整数 $n \leqslant 2021$ ，且 $n^{5}-5 n^{3}+4 n+7$是完全平方数，则可能的 $n$ 的个数是 $\qquad$.
Answer: 0
user: 如果一个十位数 $F$ 的各数位数字之和等于 81 ，则称 $F$ 为一个"好数"，则所有好数的个数为 $\qquad$.
Answer: 48619
user: 正整数 $Y=\sum_{i=0}^{2021}\left[\frac{2^{i}}{7}\right]$ 的个位数字是 $\qquad$.
Answer: 5
user: 设 $a_{n}$ 是与 $\sqrt{\frac{n}{2}}$ 的差最小的整数， $b_{n}$ 是与 $\sqrt{2 n}$ 的差最小的整数，记 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n},\left\{\frac{1}{b_{n}}\right\}$的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则 $2 T_{100}-S_{100}$ .
Answer: 1
user: 已知 $y, f, d$ 为正整数, $f(x)=(1+x)^{y}+(1+x)^{f}+(1+x)^{d}$. 其中 $x$ 的系数为 10, 则 $x^{2}$ 的系数的最大可能值与最小可能值之和为 $\qquad$.
Answer: 40
user: 已知 $2 n+1$ 与 $3 n+1$ 均为完全平方数且 $n$ 不超过 2022, 则正整数 $n$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 1
user: 已知六位数 $\overline{y_{1} y_{2} f_{3} f_{4} d_{5} d_{6}}$, 满足 $\frac{\overline{y_{1} y_{2} f_{3} f_{4} d_{5} d_{6}}}{\overline{f_{4} d_{5} d_{6}}}=\left(1+\overline{y_{1} y_{2} f_{3}}\right)^{2}$ ，则所有满足条件的六位数之和为 $\qquad$ ( $\overline{f_{4} d_{5} d_{6}}$ 不必为三位数)
Answer: 2065020
user: 已知数列 $\left\{a_{k}\right\}_{1 \leq k \leq 5}$ 各项均为正整数, 且 $\left|a_{k+1}-a_{k}\right| \leq 1,\left\{a_{k}\right\}$ 中存在一项为 $3$, 可能的数列的个数为 $\qquad$.
Answer: 211
user: 已知 $f(x)$ 是二次函数, $f(-2)=0$, 且 $2 x \leq f(x) \leq \frac{x^{2}+4}{2}$, 则 $f(10)=$ $\qquad$.
Answer: 36
user: 已知 $\sqrt{1-x^{2}}=4 x^{3}-3 x$, 则该方程所有实根个数与所有实根乘积的比值为 $\qquad$.
Answer: 12
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=12, a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(3+a_{n}+3 \sqrt{1+2 a_{n}}\right)$, 则 $a_{10}$ 最接近的整数为 $\qquad$.
Answer: 4
user: 已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的整数, 如 $[1.2]=1,[-1.2]=-2$. 已知 $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, 则 $\left[\alpha^{12}\right]=$ $\qquad$.
Answer: 321
user: 已知正整数 $y$ 不超过 $2022$ 且满足 $100$ 整除 $2^{y}+y$ ，则这样的 $y$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 20
user: 已知 $a b c=-1, \frac{a^{2}}{c}+\frac{b}{c^{2}}=1, a^{2} b+b^{2} c+c^{2} a=t$, 求 $a b^{5}+b c^{5}+c a^{5}$ 的值.
Answer: 3
user: 已知 $A \in\{-1,0,1\}, B \in\{2,3,4,5,6\}$, 映射 $f: A \rightarrow B$, 且满足 $x+f(x)+x f(x)$为奇数. 求 $f$ 的个数.
Answer: 50
user: 方程 $x+y+z=2010$ 满足 $x \leqslant y \leqslant z$ 的正整数解 $(x, y, z)$ 的个数是 $\qquad$.
Answer: 336675
user: 双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 的右半支与直线 $x=100$ 围成的区域内部（不含边界）整点 （纵横坐标均为整数的点）的个数是 $\qquad$.
Answer: 9800
user: 现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 $\qquad$. (用数字作答)
Answer: 15000
user: 已知 $a_{n}=\mathrm{C}_{200}^{n} \cdot(\sqrt[3]{6})^{200-n} \cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}(n=1,2, \cdots, 95)$, 则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中整数项的个数为 $\qquad$.
Answer: 15
user: 若 $\triangle A B C$ 的角 $A, C$ 满足 $5(\cos A+\cos C)+4(\cos A \cos C+1)=0$, 则 $\tan \frac{A}{2} \cdot \tan \frac{C}{2}=$ $\qquad$.
Answer: 3
user: 抛物线 $y^{2}=2 p\left(x-\frac{p}{2}\right)(p>0)$ 上动点 $A$ 到点 $B(3,0)$ 的距离的最小值记为 $d(p)$ ，满足 $d(p)=2$ 的所有实数 $p$ 的和为 $\qquad$.
Answer: 13
user: 对于任意集合 $S$ ，用 $|S|$ 表示集合 $S$ 中的元素个数，用 $n(S)$ 表示集合 $S$ 的子集个数。若 $A, B, C$ 是三个有限集, 且满足条件:

$(1)$ $|A|=|B|=2016$;

$(2)$ $n(A)+n(B)+n(C)=n(A \bigcup B \bigcup C)$.

则 $|A \bigcap B \cap C|$ 的最大值是 $\qquad$.
Answer: 2015
user: 对于任何集合 $S$ ，用 $|S|$ 表示集合 $S$中的元素个数，用 $n(S)$ 表示集合 $S$ 的子集个数。若 $A 、 B 、 C$ 为三个有限集，且满足
(1) $|A|=|B|=2016$;
(2) $n(A)+n(B)+n(C)=n(A \cup B \cup C)$ 。
则 $|A \cap B \cap C|$ 的最大值为 $\qquad$.
Answer: 2015
user: 设 $\alpha, \beta$ 为实数，若对任意的实数 $x, y, z$ ，有 $\alpha(x y+y z+z x) \leqslant M \leqslant \beta\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 恒成立，其中 $M=\sqrt{x^{2}+x y+y^{2}} \cdot \sqrt{y^{2}+y z+z^{2}}+\sqrt{y^{2}+y z+z^{2}} \cdot \sqrt{z^{2}+z x+x^{2}}+\sqrt{z^{2}+z x+x^{2}}$. $\sqrt{x^{2}+x y+y^{2}}$. 求 $\alpha$ 的最大值和 $\beta$ 的最小值.
Answer: 3
user: 设集合 $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}, A=\left\{(x, y, z) \mid x, y, z \in M\right.$ ，且 $\left.9 \mid\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)\right\}$ ，则集合 $A$ 中元素的个数是 $\qquad$.
Answer: 243
user: 设集合 $M=\{1,2, 3, 4,5,6,7,8,9,10\}$ ，
$A=\{(x, y, z) \mid x, y 、 z \in M$, 且 $\left.9 \mid\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)\right\}$ 。
则集合 $A$ 中元素的个数为 $\qquad$.
Answer: 243
user: 设集合 $I=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ ，若 $I$ 的非空子集 $A, B$ 满足 $A \cap B=\varnothing$ ，就称有序集合对 $(A, B)$ 为 $I$ 的"隔离集合对"，则集合 $I$ 的"隔离集合对"的个数为 $\qquad$. (用具体数字作答)
Answer: 6050
user: 已知圆 $O_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ 和 $O_{2}:(x-3)^{2}+y^{2}=5$ 在第一象限内的公共点为 $A$, 过点 $A$ 的直线分别交圆 $O_{1}, O_{2}$ 于 $C, D$ 两点 $(C, D$ 异于点 $A$ ), 且 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A D}$, 则直线 $C D$ 的斜率为 $\qquad$.
Answer: 5
user: 若存在实数 $a$ 及正整数 $n$ 使得 $f(x)=\cos 2 x-a \sin x$ 在 $(0, n \pi)$ 内恰有 $2022$ 个零点, 则满足条件的正整数 $n$ 的值有 $\qquad$个.
Answer: 5
user: 已知函数 $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, 若对任意实数 $x, y, z$, 都有  
$\frac{1}{3} f(x y)+\frac{1}{3} f(x z)-f(x) f(y z) \geqslant \frac{1}{9}$, 求 $\sum\limits_{i=1}^{100}[i f(i)]$ 。其中 $[x]$ 代表不超过 $x$ 的最大整数.
Answer: 1650
user: 已知函数 $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, 若对任意实数 $x 、 y 、 z$ 都有  
$\frac{1}{3} f(x y)+\frac{1}{3} f(x z)-f(x) f(y z) \geqslant \frac{1}{9},$
求 $\sum_{i=1}^{100}[i f(i)]$.其中, $[x]$表示不超过实数 x 的最大整数.
Answer: 1650
user: 已知 $\odot O_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ 和 $\odot O_{2}:(x-3)^{2}+$ $y^{2}=5$ 在第一象限内的公共点为 $A$, 过点 $A$ 的直线分别交 $\odot O_{1} 、 \odot O_{2}$ 于 $C 、 D$ 两点（ $C$ 、 $D$ 异于点 $A$ ), 且 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A D}$. 则直线 $C D$ 的斜率是
$\qquad$.
Answer: 5
user: 若实数 $x, y$ 满足 $4 x^{2}-4 x y+2 y^{2}=1$ ，则 $3 x^{2}+x y+y^{2}$ 的最大值与最小值的和为 $\qquad$.
Answer: 3
user: 设 $f(x)$ 是二次函数, 且 $2 x^{2}-4 x+3 \leqslant f(x) \leqslant 3 x^{2}-6 x+4, f(3)=11$, 则 $f(5)=$ $\qquad$.
Answer: 41
user: 已知抛物线 $\Omega: y=x^{2}$, 动线段 $A B$ 在直线 $y=\sqrt{3} x-3$ 上 ( $B$ 在 $A$ 右侧), 且 $|A B|=2 \sqrt{3}$. 过 $A$ 作 $\Omega$的切线, 取左边的切点为 $M$. 过 $B$ 作 $\Omega$ 的切线, 取右边的切点为 $N$. 当 $M N / / A B$ 时, 求点 $A$ 的横坐标.
Answer: 0
user: 由 $1,2, \cdots, 9$ 这九个正整数构成的所有圆排列中, 任意相邻两数之积均不超过 $60$ 的圆排列的个数为 $\qquad$.
Answer: 21600
user: $\min \{\max \{\sqrt{x},|x-6|\}\}=$ $\qquad$.
Answer: 2
user: 现有 $6$ 人会英语， $4$ 人会日语， $2$ 人都会（共 $12$ 人），从其中选出 $3$ 人做翻译，若要求两种语言都有人翻译，则符合条件的选法共 $\qquad$种。
Answer: 196
user: 设 $k$ 是正整数, 且对任何正整数 $n \geqslant 2$, 如下不等式都成立: $\left[\frac{n}{\sqrt{3}}\right]+1>\frac{n^{2}}{\sqrt{3 n^{2}-k}}$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。  
求 $k$ 的最大值。
Answer: 5
user: 求最小的正整数 $m$, 使得对任意整数 $A, B$, 存在多项式 $f(x)$, 满足 $f(-2)=$ $A, f(-3)=B$, 且 $f(x)$ 的各项系数都是不超过 $m$ 的非负整数.
Answer: 5
user: 已知复数 $z$ 的模为 1, 则 $|z-4|^{2}+|z+3 i|^{2}$ 的最小值为 $\qquad$.
Answer: 17
user: 设 $f(m)$ 是正整数 $m$ 的各位数字的乘积，求方程 $f(m)=m^{2}-10 m-36$ 的正整数解.
Answer: 13
user: 设圆 $O: x^{2}+y^{2}=5$ 与抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于点 $A\left(x_{0}, 2\right), A B$ 为圆 $O$ 的直径，过 $B$ 的直线与 $C$ 交于两不同点 $D, E$ ，则直线 $A D$ 与 $A E$ 的斜率之积为 $\qquad$.
Answer: 2
user: 设 $a_{i}(i=1,2,3,4)$ 均为实数, 若集合 $\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\}$ 的所有非空真子集的元素之和为 $28$, 则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=$ $\qquad$.
Answer: 8
user: 有长为 $2^{n}(n=0,1, \cdots, 1009)$ 的线段各三条, 则由这 $3030$ 条线段能构成不全等的三角形的个数为 $\qquad$ (用数字作答).
Answer: 510555
user: 若实数 $x, y$ 满足 $2^{x}+4 x+12=\log _{2}(y-1)^{3}+3 y+12=0$, 则 $x+y=$ $\qquad$.
Answer: -2
user: 已知下列结论成立:
任意给定复平面 $\mathbb{C}$ 上的多项式 $f(z)$ 和 $g(z)$ ，以及实数 $r>0$ 。若不等式
$$
|g(z)|<|f(z)|
$$
对所有满足 $|z|=r$ 的复数 $z$ 都成立，则 $f(z)$ 与 $g(z)+f(z)$ 在区域 $\{z \in \mathbb{C}||z|<r\}$ 中有相同的零点个数（此处计算零点的重数）。
根据上述结论求多项式 $z^{9}+3 z^{5}-8 z^{3}+2 z+1$ 在区域 $\{z \in \mathbb{C}|1<|z|<2\}$ 中的零点个数（此处计算零点的重数).
Answer: 6
user: 记如下关于实数变量 $x, y$ 的函数
$$
f(x, y)=\sqrt{4 y^{2}-12 y+10}+\sqrt{18 x^{2}-18 x+5}+\sqrt{18 x^{2}+4 y^{2}-12 x y+6 x-4 y+1}
$$
的最小值为 $a$. 求取整 $\left[8 a^{2}\right]$ 的值.
Answer: 80
user: 求使得不等式
$$
2 x^{4}+m x^{3}+(m+6) x^{2}+m x+2>0
$$
对所有实数 $x$ 恒成立的正整数 $m$ 的最大值.
Answer: 9
user: 记
$$
f_{n}(x)=x^{n+1}-2 x^{n}+3 x^{n-1}-2 x^{n-2}+3 x-3, \quad n \geq 4.
$$
若 $f_{n}(x)=0$ 的互不相同的实根个数记为 $a_{n}$. 求 $a_{4}, a_{5}, \cdots, a_{2021}$ 中的最大值.
Answer: 2
user: 已知 $A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3\end{array}\right]$, 且 $A^{10}=\left[\begin{array}{lll}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{array}\right]$. 求 $b_{22}$ 的值.
Answer: 524800
user: 记
$$
F(x)=16 \int_{\frac{\pi^{2}}{4}+\cos \left(3 x+\frac{\pi}{2}\right)}^{\frac{25 \pi^{2}}{4}+2 x^{2}} \sin \sqrt{t} d t
$$
$F^{\prime}(0)$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处的导数. 求取整 $\left[F^{\prime}(0)\right]$ 的值.
Answer: 48
user: 记
$$
a=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{1}{2}\left(2^{x}+3^{x}\right)\right]^{\frac{4}{x}}
$$
求取整 $[a]$ 的值.
Answer: 36
user: 记
$$
a=\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{120}{\sqrt{n^{2}+k n}}
$$
求取整 $[a]$ 的值.
Answer: 90
user: 实对称矩阵 $A=\left[\begin{array}{cccc}4 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 4\end{array}\right]$ 的四个特征值为 $\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3} \geq \lambda_{4}$.
记 $a=\left(\lambda_{1}\right)^{2}+\left(\lambda_{3}\right)^{2}+\left(\lambda_{4}\right)^{2}$. 求取整 $[a]$ 的值.
Answer: 67
user: 设 $t$ 是一个实数变量. 记矩阵
$$
\left[\begin{array}{cccc}
t^{2}+2 t+2 & 0 & 0 & t \\
0 & 2 t+1 & t & t \\
0 & t & 3 t+1 & t \\
t & t & t & 8 t+1
\end{array}\right]
$$
的行列式为 $f(t)$. 记 $a=f^{\prime}(0)$ 为 $f(t)$ 在 $t=0$ 处的导数. 求取整 $[a]$ 的值.
Answer: 28
user: 已知关于实数变量 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\
3 x_{1}+a x_{2}+4 x_{3}+3 x_{4}=0 \\
5 x_{1}+8 x_{2}+6 x_{3}+b x_{4}=0
\end{array}\right.
$$
的解空间的维数是 2. 这里 $a, b$ 是常数. 求取整 $[a+b]$ 的值.
Answer: 9
user: 已知二元函数
$f(x, y)$
$=\sqrt{4 y^{2}-12 y+10}+\sqrt{18 x^{2}-18 x+5}+\sqrt{18 x^{2}+4 y^{2}-12 x y+6 x-4 y+1}$
的最小值为 $a$ ，求 $\left[8 a^{2}\right]$ 的值.
Answer: 80
user: 已知 $\forall x \in R, f(x)=2 x^{4}+m x^{3}+(m+6) x^{2}+m x+2>0$, 求正整数 $m$ 的最大值.
Answer: 9
user: 已知矩阵
$$
\left[\begin{array}{cccc}
t^{2}+2 t+2 & 0 & 0 & t \\
0 & 2 t+1 & t & t \\
0 & t & 3 t+1 & t \\
t & t & t & 8 t+1
\end{array}\right]
$$
的行列式为 $F(t)$, 求 $F^{\prime}(0)$.
Answer: 28
user: 已知下列结论成立：在复平面上的多项式 $f(z), g(z)$ 和实数 $r>0$ ，若对 $|z|=r$ ，都有 $|g(z)|<|f(z)|$ ，则在 $\{z||z|<r\}$ 中， $f(z)$ 与 $f(z)+g(z)$ 的零点数相等 (计算重数)。现已知多项式 $z^{9}+2 z^{5}-8 z^{3}+3 z+1$, 求其在 $\{z|1<|z|<2\}$ 上的零点个数（计算重数）.
Answer: 6
user: 已知矩阵  
$$  
\left[\begin{array}{llll}  
4 & 1 & 1 & 1 \\  
1 & 4 & 1 & 1 \\  
1 & 1 & 4 & 1 \\  
1 & 1 & 1 & 4  
\end{array}\right]  
$$  
的特征值为 $\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3} \geq \lambda_{4}$, 求 $\lambda_{1}^{2}+\lambda_{3}^{2}+\lambda_{4}^{2}$.
Answer: 67
user: 已知 $f(x)=16 \int_{\frac{\pi^{2}}{4}+\cos \left(3 x+\frac{\pi}{2}\right)}^{\frac{25}{4} \pi^{2}+2 x^{2}} \sin \sqrt{t} \mathrm{~d} t$, 求 $f^{\prime}(0)$.
Answer: 48
user: 已知 $f_{n}(x)=x^{n+1}-2 x^{n}+3 x^{n-1}-2 x^{n-2}+3 x-3, n \in N^{*}, n \geq 4$. 记 $f_{n}(x)=0$ 的实根 个数为 $a_{n}$, 求 $\max \left\{a_{4}, a_{5}, a_{6}, \cdots, a_{2021}\right\}$ 。
Answer: 2
user: 已知线性方程组  
$$  
\left\{\begin{array}{l}  
a_{1}+2 a_{2}+a_{3}+a_{4}=0 \\  
3 a_{1}+a a_{2}+4 a_{3}+3 a_{4}=0 \\  
5 a_{1}+8 a_{2}+6 a_{3}+b a_{4}=0  
\end{array}\right.  
$$  
的解空间维数是 $2$, 求 $[a+b]$ 的值.
Answer: 9
user: 记 $F(x)=\int_{0}^{x}\left(1+\frac{x-t}{1!}+\frac{(x-t)^{2}}{1!}+\cdots+\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\right) e^{n t} d t \quad$ 当 $n=4$, 求 $\left.\frac{d^{4} F(x)}{d x^{4}}\right|_{x=0}$
Answer: 85
user: 考虑如下的递归序列 $\left(a_{n}\right)_{n \geq 0}, a_{0}=-1, \quad a_{1}=1, a_{n}=-6 a_{n-1}-a_{n-2}-8, n \geq 2$, 那么 $\left[a_{9}\right]=$ $\qquad$.
Answer: 9841
user: 考虑如下 $2021 \times 2021$ 的方阵 $M=\left(\begin{array}{cccccc}0 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2021 \\ 1 & 0 & 3 & 4 & \cdots & 2021 \\ 1 & 2 & 0 & 4 & \cdots & 2021 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & \cdots & 2021 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 2021 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2021\end{array}\right)$, 这里 $M$ 的行通过依次地将行向量 $(1,2,3, \cdots, 2020,2021)$ 的某个位置替换为 $0$ 得到. 则 $\left[\frac{1}{2020!} \operatorname{det} M\right]=$ $\qquad$.
Answer: 4082420
user: 已知实数 $x$ 和 $y$ 满足 $5 x^{2}+6 x y+5 y^{2}-8 x-8 y=-3$. 记 $x+y-x^{2}-y^{2}$ 的最大值为 $I$ ，则 $[100 I]=$ $\qquad$.
Answer: 37
user: 已知 $f(x)=e^{\sin x^{2}}$, 则 $\left[-f^{(8)}(0)\right]=$ $\qquad$.
Answer: 5040
user: 设 $A$ 是一个 $2 \times 2$ 的可逆矩阵, 且方阵中每个位置的元素在模 $3$ 同余系 $\mathrm{Z} / 3 Z$ 中取值。那么满足 $A^{50} \equiv I_{2}(\bmod 3)$ 方阵 $A$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 14
user: $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+(\cos t)^{2}} d t$, 则 $[10 I]=$ $\qquad$.
Answer: 11
user: 如果实数 $k$ 使得关于 $x, y, z$ 的线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}k x+y+2 z=1 \\ 3 x+k y+4 z=1 \\ -x+2 y+z=2\end{array}\right.$ 无解, 则称其是一个 "好实数". 设所有好实数之和为 $I$, 则 $[I]=$ $\qquad$.
Answer: 5
user: 令 $A=\left(\begin{array}{rrr}-\frac{2}{3} & 1 & 0 \\ -1 & \frac{4}{3} & 0 \\ 2 & -\frac{4}{3} & \frac{2}{3}\end{array}\right)$. 令 $M=A-A^{2}+A^{3}-A^{4}+\cdots+(-1)^{n-1} A^{n}+\cdots$, 则
$[2021 \operatorname{det} M]=$ $\qquad$.
Answer: 50
user: $I=\int_{1}^{9} \sqrt{(x-1)(9-x)} d t$, 则 $[I]=$ $\qquad$.
Answer: 25
user: 在模 $2520$ 的同余系里，满足方程 $a^{2} \equiv a(\bmod 2520)$ 的元素 $a$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 16
user: $I=\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{n}{(2 n-k)(2 n+k)}$, 则 $[100 I]=$ $\qquad$.
Answer: 27
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，首项与公差均为正数，且 $a_{2}, a_{5}, a_{9}$ 依次成等比数列，则使得 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}>100 a_{1}$ 的最小正整数 $k$ 的值是 $\qquad$.
Answer: 34
user: 已知 $y=f(x)+x^{3}$ 为偶函数, 且 $f(10)=15$, 则 $f(-10)$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 15
user: 已知 $y=f(x)+x^{3}$ 为偶函数, $f(10)=15$. 则 $f(-10)$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 0
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是一个等差数列, 首项与公差均为正数, 且 $a_{2}, a_{5}, a_{9}$ 依次成等比数列，则使得 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}>100 a_{1}$ 的最小正整数 $k$ 的值是 $\qquad$.
Answer: 34
user: 已知 $f(x), g(x)$ 均为定义在 $R$ 上的函数, $f(x)$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称, $g(x)$ 的图像关于点 $(1,-2)$ 中心对称, 且 $f(x)+g(x)=9^{x}+x^{3}+1$, 则 $f(2) g(2)$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 2016