meetforever/GRPO_CL huggingface dataset:
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为非负实数, 且满足：对任意整数 $n \geq 2$, 均有 $a_{n+1}=a_{n}-a_{n-1}+n$. 若 $a_{2} a_{2022}=1$, 求 $a_{1}$ 的最大可能值。原始答案为\frac{m}{n}格式，请给出m + n的值。
Answer: 6076
user: 给定整数 $n(n \geq 2)$. 对于一个 $2 n$ 元有序数组 $$ T=\left(a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, \cdots, a_{n}, b_{n}\right), $$ 若 $T$ 的每个分量均为 0 或 1 ，且对任意 $p, q(1 \leq p<q \leq n)$ ，均有 $\left(a_{p}, b_{p}, b_{q}\right) \neq(1,0,1)$ 且 $\left(a_{q}, b_{q}, a_{p}\right) \neq(1,0,0)$, 则称 $T$ 为 "有趣数组". 求有趣数组的个数。请提供当 n = 2 时的答案。
Answer: 12
user: 若正数 $a, b$ 满足 $\log _{2} a+\log _{4} b=8, \log _{4} a+\log _{8} b=2$, 则 $\log _{8} a+\log _{2} b$ 的值为。请给出原始答案中分子与分母绝对值之和的值。
Answer: 55
user: 设 $a$ 为实数. 若存在实数 $t$, 使得 $\frac{a-\mathrm{i}}{t-\mathrm{i}}+\mathrm{i}$ 为实数 ( $\mathrm{i}$为虚数单位), 则 $a$ 的取值范围是 $\qquad$. 求出4a的最大值。
Answer: -3
user: 设 $k, l, m$ 为实数, $m \neq 0$, 在平面直角坐标系中, 函数 $y=f(x)=k+\frac{m}{x-l}$的图像为曲线 $C_{1}$, 另一函数 $y=g(x)$ 的图像为曲线 $C_{2}$, 且满足 $C_{2}$ 与 $C_{1}$ 关于直线 $y=x$ 对称。若点 $(1,4),(2,3),(2,4)$ 都在曲线 $C_{1}$ 或 $C_{2}$ 上, 则 $f(k+l+m)$ 的值为整数，直接给出整数部分的值。
Answer: 1
user: 对于和为 1 的九个非负实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}$, 令
$$
\begin{aligned}
& S=\min \left\{a_{1}, a_{2}\right\}+2 \min \left\{a_{2}, a_{3}\right\}+\cdots+8 \min \left\{a_{8}, a_{9}\right\}+9 \min \left\{a_{9}, a_{1}\right\}, \\
& T=\max \left\{a_{1}, a_{2}\right\}+2 \max \left\{a_{2}, a_{3}\right\}+\cdots+8 \max \left\{a_{8}, a_{9}\right\}+9 \max \left\{a_{9}, a_{1}\right\},
\end{aligned}
$$
这里, $\min \{x, y\}$ 表示 $x, y$ 中的较小者, $\max \{x, y\}$ 表示 $x, y$ 中的较大者.
记 $S$ 的最大可能值为 $S_{0}$ . 当 $S=S_{0}$ 时, 求 $T$ 的所有可能值. 计算区间两端分子分母之和的值。
Answer: 76
user: 设函数 $f(x)=\frac{x^{2}+x+16}{x}(2 \leq x \leq a)$, 其中实数 $a>2$. 若 $f(x)$ 的值域为 $[9,11]$, 则 $a$ 的取值范围是一个区间$[p, q]$. 请给出$p + q$的值。
Answer: 12
user: 不等式 $\frac{20}{x-9}>\frac{22}{x-11}$ 的解集为 $\qquad$，标准答案格式为$(-\infty,a) \cup(b,c)$请给出解集的区间端点a+b+c和的值。
Answer: 9
user: 设正数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 满足: $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成公差为 $b_{1}$ 的等差数列, $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 成公比为 $a_{1}$ 的等比数列, 且 $a_{3}=b_{3}$. 求 $a_{3}$ 的最小值, 并确定当 $a_{3}$ 取到最小值时 $a_{2} b_{2}$ 的值。原始答案分别为$\frac{m\sqrt{n}}{k}$的形式，请给出m+n+k的和。
Answer: 40
user: 一枚不均匀的硬币，若随机抛掷它两次均得到正面的概率为 \frac{1}{2} ，则随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率的近似整数值是多少？
Answer: 0
user: 已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$, 且 $\operatorname{Re} \frac{z+1}{\bar{z}+1}=\frac{1}{3}$, 请给出 \operatorname{Re} \frac{Z}{\bar{z}} 的值为 -\frac{m}{n} 时的 m+n 的值。
Answer: 16
user: 若正四棱雉 $P-A B C D$ 的各条棱长均相等, $M$ 为棱 $A B$ 的中点, 则异面直线 $B P$ 与 $C M$ 所成的角的余弦值为 \qquad。已知原始答案为 \frac{\sqrt{m}}{n} 的格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 15
user: 在平面直角坐标系中, $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $\Gamma: \frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$ 的两个焦点, $\Gamma$ 上一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=1$. 求点 $P$ 到 $\Gamma$ 的两条渐近线的距离之和。原始答案为 $\frac{m \sqrt{2}}{n}$ 的格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 5
user: 给定正实数 $a, b, a<b$. 设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{2022} \in[a, b]$,求
$$
\frac{\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|x_{2}-x_{3}\right|+\cdots+\left|x_{2021}-x_{2022}\right|+\left|x_{2022}-x_{1}\right|}{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{2022}}
$$
的最大值. 题目原始答案为 \frac{m}{n} 形式，当a=b=1,请给出 m +n的值。
Answer: 2
user: 求出所有满足下面要求的不小于 1 的实数 $t$ ：对任意 $a, b \in[-1, t]$, 总存在 $c, d \in[-1, t]$, 使得 $(a+c)(b+d)=1$. 答案标准形式为\frac{a}{b},请给出满足条件的 $t$ 的区间两端点a+b之和。
Answer: 8
user: 方程 $\sin x=\cos 2 x$ 的最小的 20 个正实数解之和的原始答案是 $m \pi$ 的形式，请给出 $m$ 的值。
Answer: 130
user: 设 $a=1+10^{-4}$ . 在 $2023 \times 2023$ 的方格表的每个小方格中填入区间 $[1, a]$ 中的一个实数. 设第 $i$ 行的总和为 $x_{i}$ ，第 $i$ 列的总和为 $y_{i}$ ， $1 \leq i \leq 2023$. 求 \frac{y_{1} y_{2} \cdots y_{2023}}{x_{1} x_{2} \cdots x_{2023}} 的最大值。原始答案为\frac{m}{n}的形式，当a=1时请给出m+n的值。
Answer: 2
user: 将方程 $\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的所有正实数解从小到大依次记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots$ . 求 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{20}$ 的值。请给出答案的整数部分。
Answer: 205
user: 设 $m, n$ 是给定的整数， $m \geq n \geq 3$ 。求具有下述性质的最小正整数 $k$ ：若将 $1,2, \cdots, k$ 中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在 $m$ 个红色的数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}$ （允许相同），满足 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m-1}<x_{m}$ ，或者存在 $n$ 个蓝色的数 $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}$ （允许相同），满足 $y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n-1}<y_{n}$。请提供当 $m = 3, n = 3$ 时的答案。
Answer: 7
user: 设无穷等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比 $q$ 满足 $0<|q|<$ 1 。若 $\left\{a_n\right\}$ 的各项和等于 $\left\{a_n\right\}$ 各项的平方和，将公比 $q$ 表示为 $\frac{m}{n}$ 的形式（其中 $m, n$ 为整数且 $\operatorname{gcd}(m, n)=1$ ), 设 $a_2$ 的取值范围是两个区间，将这两个区间的端点分别表示为 $\frac{a_1}{b_1}$ （左区间左端点）、 $\frac{a_2}{b_2}$ （左区间右端点）、 $\frac{a_3}{b_3}$ （右区间左端点）、 $\frac{a_4}{b_4}$ （右区间右端点），且所有分数都是既约分数（分子分母只有公因数1）。请提供 $a_1+b_1+a_2+b_2+a_3+b_3+a_4+b_4$ 的值。
Answer: 8
user: 设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $\Omega$ 的焦点, 在 $\Omega$ 上取一点 $P$ (异于长轴端点), 记 $O$ 为 $\Delta P F_{1} F_{2}$ 的外心, 若 $\overrightarrow{P O} \cdot \overrightarrow{F_{1} F_{2}}=2 \overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}$, 则 $\Omega$ 的离心率的最小值为 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的形式，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 10
user: 在 \(\triangle A B C\) 中, 已知 \(\cos C=\frac{\sin A+\cos A}{2}=\frac{\sin B+\cos B}{2}\), 求 \(\cos C\) 的值。原始答案为 \(\frac{\sqrt{m}}{n}\) 的格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 11
user: 在平面直角坐标系中，将圆心在 $y$ 轴上，且与双曲线 $\Gamma: x^2-y^2=1$ 的两支各恰有一个公共点的圆称为 "好圆"。已知两个好圆外切于点 $P(2,0)$ ，存在常数 $\lambda=2$ 及 $x$ 轴上的定点 $A(0,0)$ ，满足若两个好圆外切于点 $P$ ，则它们的圆心距 $d=\lambda|P A|$ 。求 $\lambda$ 和 $A$ 的坐标绝对值之和。
Answer: 2
user: 设 $a, b$ 为实数, 若一元二次不等式 $x^{2}+b<a x$ 的解集为 $(1,5)$, 请计算一元二次不等式 $x^{2}-a>b x$ 的解集的区间端点和。
Answer: 5
user: 在椭圆 $\Omega$ 中 $F_{1}, F_{2}$ 为焦点, $A$ 为长轴的一个端点, $B$ 为短轴的一个端点, 若 $\angle F_{1} B F_{2}=\angle F_{1} A B$ ，则 $\Omega$ 的离心率为 \frac{\sqrt{m}-n}{k} 的形式，请给出 m + n + k 的值。
Answer: 6
user: 设无穷等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q$ 满足 $0<|q|<1$. 若 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项和等于 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项的平方和, 求 $a_{2}$ 的取值范围。请给出该范围端点和的整数值。
Answer: 1
user: 给定正整数 $a$. 求函数 $f(x)=\min \{\|x\|,\|a x\|\}$ 的最大值.（$\|x\|$ 表示实数 $x$ 到与它最近整数的距离： $\min \{s, t\}$ 表示实数 $s, t$ 中较小的数.）请提供当 $a = 3$ 时，最大值的形式为 \frac{m}{n}，请给出 m + n 的值。
Answer: 5
user: 方程 $\cos \frac{x}{4}=\cos x$ 的通解是\qquad, 在 $(0,24 \pi)$ 内不相同的解有 \qquad 个。请给出所有不相同解的数量。
Answer: 16
user: Consider the equation $\cos \frac{x}{4}=\cos x$. Determine the number of distinct solutions in the interval $(0,24 \pi)$. Please provide the number of distinct solutions as an integer.
Answer: 16
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 设 $A B$ 是抛物线 $y^{2}=4 x$ 的过点 $F(1,0)$ 的弦, $\triangle A O B$ 的外接圆交抛物线于点 $P$ (不同于点 $O, A, B)$. 若 $P F$ 平分 $\angle A P B$, 求 $|P F|$ 的所有可能值。原始答案为\sqrt{m}-n的格式，请给出m - n的值。
Answer: 4
user: 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的以 2 为周期的偶函数，在区间 $[0,1]$ 上严格递减，且满足 $f(\pi)=1, f(2 \pi)=2$ ，则不等式组 $\left\{\begin{array}{l}1 \leqslant x \leqslant 2, \\ 1 \leqslant f(x) \leqslant 2\end{array}\right.$ 的解集为。请提供解集区间左端点的两倍与右端点之和的值。
Answer: 4
user: 设复数 $z$ 满足 $|z|=1$ ，使得关于 $x$ 的方程 $z x^{2}+2 \bar{z} x+2=0$ 有实根，则这样的复数 $z$ 的和为以分数形式表示，请给出分子与分母的和。
Answer: -1
user: 设 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的外心, 若 $\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C}$, 则 $\sin \angle B A C$ 的值为 $\qquad$. 原始答案为\frac{\sqrt{m}}{n}的格式，请给出m + n的值。
Answer: 8
user: 已知定义在 $\mathbf{R}^{+}$上的函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\left|\log _{3} x-1\right|, & 0<x \leqslant 9, \\ 4-\sqrt{x}, & x>9.\end{array}\right.$ 设 $a, b, c$ 是三个互不相同的实数，满足 $f(a)=f(b)=f(c)$ ，求 $a b c$ 的取值范围。请给出区间的两个端点之和。
Answer: 225
user: 设 $\alpha, \beta$ 满足 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=-3, \tan \left(\beta-\frac{\pi}{6}\right)=5$, 则 $\tan (\alpha-\beta)$ 的值是一个分数 $\frac{m}{n}$，请给出 m + n 的值。
Answer: -3
user: $[2 \pi-6,4-\pi]$

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的以 2 为周期的偶函数, 在区间 $[1,2]$ 上严格递减, 且满足 $f(\pi)=1, f(2 \pi)=0$, 则不等式组 $\left\{\begin{array}{l}0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0 \leqslant f(x) \leqslant 1\end{array}\right.$ 的解集为. 请给出区间左端点与两倍右端点之和的值。
Answer: 2
user: 已知复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 满足 $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=1,\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}\right|=r$ ，其中 $r$ 是给定实数。求 $\frac{z_{1}}{z_{2}}+\frac{z_{2}}{z_{3}}+\frac{z_{3}}{z_{1}}$ 的实部，并请给出答案中m + n + k的值，其中原始答案为\frac{kr^{2}+m}{n}的形式。
Answer: 0
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 圆 $\Omega$ 与抛物线 $\Gamma: y^{2}=4 x$ 恰有一个公共点, 且圆 $\Omega$ 与 $x$轴相切于 $\Gamma$ 的焦点 $F$ 。已知原始答案为 \( \frac{4 \sqrt{3}}{9} \) 的格式，请给出 $m + n + k$ 的值。
Answer: 17
user: 称一个复数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 是"有趣的"，若 $\left|z_{1}\right|=1$ ，且对任意正整数 $n$ ，均有 $4 z_{n+1}^{2}+$ $2 z_{n} z_{n+1}+z_{n}^{2}=0$ 。求最大的常数 $C$ ，使得对一切有趣的数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 及任意正整数 $m$ ，均有 $\left|z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{m}\right| \geqslant C$ 。原始答案为\frac{\sqrt{m}}{n}的形式，请给出m + n的值。
Answer: 6
user: 若实数集合 $\{1,2,3, x\}$ 的最大元素和最小元素之差等于该集合的所有元素之和, 则 $x$的值为 \frac{m}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: -1
user: 在平面直角坐标系中，设$\vec{e}$是一个单位向量，向量$\vec{a}$满足$\vec{a} \cdot \vec{e}=2$，并且$|\vec{a}|^{2} \leqslant 5|\vec{a}+t \vec{e}|$对任意实数$t$成立。请提供$|\vec{a}|$的取值范围左端点的两倍与右端点之差。
Answer: 0
user: 对任意区间 $I$, 用 $M_{I}$ 表示函数 $y=\sin x$ 在 $I$ 上的最大值. 若正实数 $a$ 满足 $M_{[0, a]}= 2 M_{[a, 2 a]}$, 请提供所有情况中m+n的值的总和，其中原始答案的形式为\frac{m\pi}{n}。
Answer: 36
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $B C=a, C A=b, A B=c$. 若 $b$ 是 $a$ 与 $c$ 的等比中项, 且 $\sin A$ 是 $\sin (B-A)$ 与 $\sin C$ 的等差中项, 求 $\cos B$ 的值。原始答案为 \(\frac{\sqrt{m} - n}{k}\) 的格式，请给出 m + n + k 的值。
Answer: 8
user: 设三棱锥 $P-A B C$ 满足 $P A=P B=3, A B=B C=C A=2$, 则该三棱锥的体积的最大值为 \frac{m\sqrt{n}}{k} 的形式，请给出m + n + k的值。
Answer: 11
user: 在椭圆 $\Gamma$ 中, $F$ 为一个焦点, $A, B$ 为两个顶点. 若 $|F A|=3,|F B|=2$, 求 $|A B|$ 的所有可能值。请给出所有可能值的整数部分之和。
Answer: 11
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 圆 $\Omega$ 与抛物线 $\Gamma: y^{2}=4 x$ 恰有一个公共点, 且圆 $\Omega$ 与 $x$ 轴相切于 $\Gamma$ 的焦点 $F$ 。求圆 $\Omega$ 的半径。原始答案为\frac{m\sqrt{n}}{k}的格式，请给出m + n + k的值。
Answer: 16
user: 称一个复数数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 为"有趣的"，若 $\left|z_{1}\right|=1$ ，且对任意正整数 $n$ ，均有 $4 z_{n+1}^{2}+2 z_{n} z_{n+1}+z_{n}^{2}=0$ 。求最大的常数 $C$ ，使得对一切有趣的数列 $\left\{z_{n}\right\}$ 及正整数 $m$ ，均有 $\left|z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{m}\right| \geqslant C$ 。原始答案为\frac{\sqrt{m}}{n}的格式，请给出m + n的值。
Answer: 6
user: 若实数集合 $\{1,2,3, x\}$ 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则 $x$ 的值为。原始答案为 \frac{m}{n} 格式，请给出 m + n 的值。
Answer: -1
user: 对于任意闭区间 $I$ ，用 $M_{I}$ 表示函数 $y=\sin x$ 在 $I$ 上的最大值。若正数 $a$ 满足 $M_{[0, a]}=2 M_{[a, 2 a]}$ ，则 $a$ 的值为\frac{m\pi}{n}。请给出m + n的值。
Answer: 36
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $B C=a, C A=b, A B=c$. 若 $b$ 是 $a$ 与 $c$ 的等比中项, 且 $\sin A$是 $\sin (B-A)$ 与 $\sin C$ 的等差中项，求 $\cos B$ 的值。已知原始答案为\frac{\sqrt{m}-n}{p}，请给出m+n+p的值。
Answer: 8
user: 设三棱锥 $P-A B C$ 满足 $P A=P B=3, A B=B C=C A=2$ ，则该三棱锥体积的最大值为. 原始答案为\frac{m\sqrt{n}}{q}的形式，请给出m + n + q的值。
Answer: 11
user: 在椭圆 $\Gamma$ 中, $F$ 为一个焦点, $A, B$ 为两个顶点. 若 $|F A|=3,|F B|=2$,求 $|A B|$ 的所有可能值. 请提供所有可能值整数部分的和。
Answer: 12
user: 在在六条棱长分别为 $2,3,3,4,5,5$ 的所有四面体中, 最大体积是多少? 证明你的结论. 原始答案为\frac{m}{n} \sqrt{2}的形式，请给出m + n的值。
Answer: 11
user: 在六条棱长分别为 $2,3,3,4,5,5$ 的所有四面体中, 最大的体积是多少? 证明你的结论。原始答案的形式为 $\frac{m \sqrt{q}}{n}$，请给出 m + n+q 的值。
Answer: 13
user: 在粗圆 $\Gamma$ 中, $A$ 为长轴的一个端点, $B$ 为短轴的一个端点, $F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点, 若 $\overrightarrow{A F_{1}} \cdot \overrightarrow{A F_{2}}+\overrightarrow{B F_{1}} \cdot \overrightarrow{B F_{2}}=0$, 则 $\frac{|A B|}{\left|F_{1} F_{2}\right|}$ 的值为 \frac{\sqrt{m}}{n} 的格式，请给出m + n的值。
Answer: 4
user: 设 $a>0$, 函数 $f(x)=x+\frac{100}{x}$ 在区间 $(0, a]$ 上的最小值为 $m_{1}$, 在区间 $[a,+\infty)$ 上的最小值为 $m_{2}$, 若 $m_{1} m_{2}=2020$, 则 $a$ 的值为。请提供两个可能值的和。
Answer: 101
user: 正三棱雉 $P-A B C$ 的所有棱长均为 $1, L, M, N$ 分别为棱 $P A, P B, P C$ 的中点, 则该正三棱雉的外接球被平面 $L M N$ 所截的截面面积为 $rac{m\pi}{n}$ 的形式, 请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 4
user: 在椭圆中, $A$ 为长轴的一个端点, $B$ 为短轴的一个端点, $F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点. 若 $$ \overline{A F_{1}} \cdot \overline{A F_{2}}+\overrightarrow{B F_{1}} \cdot \overrightarrow{B F_{2}}=0, $$ 求 $\tan \angle A B F_{1} \cdot \tan \angle A B F_{2}$ 的值。原始答案为\frac{m}{n}的形式，请给出m + n的值。
Answer: 4
user: 设 $a, b$ 为不超过 12 的正整数，满足：存在常数 $C$ ，使得 $a^{n}+b^{n+9} \equiv C(\bmod 13)$ 对任意正整数 $n$ 成立. 求所有满足条件的有序数对 $(a, b)$. 请提供所有满足条件的数对中所有整数的和。
Answer: 54
user: 在平面直角坐标系中，椭圆 $\Gamma: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ ，点 $P$ 在椭圆 $\Gamma$ 内部，且在直线 $y=x$ 上移动.点 $K, L$ 在 $\Gamma$ 上，满足 $\overrightarrow{P K}, \overrightarrow{P L}$ 的方向分别为 $x$ 轴正方向与 $y$ 轴正方向，点 $Q$ 使得 $P K Q L$ 为矩形.是否存在平面上两点 $A, B$ ，使得当矩形 $P K Q L$ 变化时， $|Q A|-|Q B|$ 为非零常数？若存在，求出线段 $A B$ 的所有可能的长度，原始答案为 \frac{m\sqrt{n}}{n} 的格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 8
user: 已知集合 $A=\{1,5\}, B=\left\{x^{2}-3 x+1, x^{2}-4 x+5\right\}$ ，若集合 $A \cup B$ 的元素个数是 3 ，请给出所有可能的实数 $x$ 的和。
Answer: 4
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $\cos A, \sin A, \tan B$ 依次构成以 $\frac{3}{4}$ 为公比的等比数列。请给出 $\cot C$ 的值，其原始答案为 \frac{m}{n} 格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 43
user: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=(-1)^{n} n-a_{n}, n=1,2,3, \cdots$, 且 $a_{10}=a_{1}$, 则 $a_{n} a_{n+1}$ 的最大值是以\frac{m}{n}的形式给出，请给出m + n的值。
Answer: 37
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $a=B C, b=C A, c=A B$. 若 $a^{2}+b^{2}=6, \cos (A-B) \cos C=\frac{2}{3}$,求 $\triangle A B C$ 的外接圆半径。原始答案为 \frac{m\sqrt{n}}{p} 的形式，请给出 m + n + p 的值。
Answer: 23
user: 在椭圆 $\Gamma$ 中, $A$ 为长轴的一个端点, $B$ 为短轴的一个端点, $F_{1}, F_{2}$ 为两个焦点. 若 $\overrightarrow{A F_{1}} \cdot \overrightarrow{A F_{2}}+\overrightarrow{B F_{1}} \cdot \overrightarrow{B F_{2}}=0$, 则 $\frac{|A B|}{\left|F_{1} F_{2}\right|}$ 的值为 $\frac{m}{n}$ 的格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 4
user: 设 $a>0$, 函数 $f(x)=x+\frac{100}{x}$ 在区间 $(0, a]$ 上的最小值为 $m_{1}$, 在区间 $[a,+\infty)$上的最小值为 $m_{2}$ .若 $m_{1} m_{2}=2020$ ，则 $a$ 的值为何？请给出可能值之和。
Answer: 101
user: 正三棱锥 $P-A B C$ 的所有棱长都为 $1, L, M, N$ 分别为棱 $P A, P B, P C$ 的中点，则该三棱锥的外接球被平面 $L M N$ 所截的截面面积为。原始答案为 $\frac{\pi}{n}$ 格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 4
user: 设 $a, b \in \mathbf{R}$ .若关于 $z$ 的方程  
$$  
\left(z^{2}+a z+b\right)\left(z^{2}+a z+2 b\right)=0  
$$  
有 4 个互不相等的复数根 $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$, 且它们在复平面上对应的点恰是一个边长为 1 的正方形的四个顶点，求 $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\left|z_{3}\right|+\left|z_{4}\right|$ 的值。原始答案为\sqrt{m} + n\sqrt{p}的形式，请给出m + n + p的值。
Answer: 10
user: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n}=\frac{1}{4 a_{n-1}}+\frac{1}{n}(n \geq 2)$, 则 $a_{100}$ 的值为 \frac{m}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 301
user: 设正四棱锥 $P-A B C D$ 的底面边长与高相等, 点 $G$ 为侧面 $\triangle P B C$ 的重心,则直线 $A G$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正弦值的原始答案为 \(\frac{\sqrt{m}}{n}\) 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 57
user: 若等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}-a_{2}=3, a_{1}-a_{3}=2$, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 \qquad. 原始答案为\frac{m}{n}的格式，请给出m和n的和。
Answer: 2
user: 函数 $f(x)=2 \sin ^{2} x-\tan ^{2} x$ 的最大值为 $\qquad$。原始答案为 $m - n\sqrt{q}$ 的形式，请给出m+n+q的值。
Answer: 7
user: 复数 $z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{100}$ 满足: $z_{1}=3+2 \mathrm{i}, z_{n+1}=\overline{z_{n}} \cdot \mathrm{i}^{n}(n=1,2, \cdots, 99)$ （ i 为虚数单位), 请给出 $z_{99}+z_{100}$ 的实部与虚部之和的值。
Answer: 0
user: 已知 $\triangle A B C$ 满足 $A B=1, A C=2, \cos B+\sin C=1$, 求 $B C$ 边的长。原始答案为 \frac{m+n\sqrt{k}}{p} 的形式，请给出 m + n + k + p 的值。
Answer: 31
user: 设 $i=\sqrt{-1}$ 为虚数单位, 则 $i+2 i^{2}+3 i^{3}+\cdots+2013 i^{2013}$ 的实部与虚部的和为多少。
Answer: 2013
user: 已知正三棱锥 $P-A B C$ 的底面边长为 1, 高为 $\sqrt{2}$, 则其内切球半径是一个分数，形式为 \frac{m}{n}。请给出 m + n 的值。
Answer: 8
user: 定义在实数上的函数 $f(x)=\frac{\sin \pi x}{\sqrt{1+x+x^{2}}}$ 的最小值是原始答案为$-\frac{m\sqrt{n}}{q}$的形式，请给出m + n+q的值。
Answer: 8
user: 设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 为四个有理数, 使得: $\left\{a_{i} a_{j} \mid 1 \leq i<j \leq 4\right\}=\left\{-24,-2,-\frac{3}{2},-\frac{1}{8}, 1,3\right\}$, 求 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}$ 的值。原始答案是 \frac{m}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 13
user: 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(c, 0)$, 存在经过点 $F$的一条直线 $l$ 交粗圆于 $A, B$ 两点, 使得 $O A \perp O B$, 求该椭圆的离心率的取值范围。该取值范围两端点的和形如\frac{a\sqrt{b}+c}{d}。请求出a+b+c+d的值
Answer: 9
user: 设正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是单位正方形, 如果二面角 $A_{1}-B D-C_{1}$ 的大小为 \frac{\pi}{3}，则 $A A_{1}=$ 的原始答案是 \frac{\sqrt{m}}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 8
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $F_{1} 、 F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的左、右焦点. 设不经过焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆交于两个不同的点 $A 、 B$, 焦点 $F_{2}$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$. 如果直线 $A F_{1} 、 l 、 B F_{1}$ 的斜率依次成等差数列，已知 $d$ 的取值范围形如$(\sqrt{m},n)$，求$m+n$
Answer: 5
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(c, 0)$,若存在经过点 $F$ 的一条直线 $l$ 交椭圆于 $A, B$ 两点，使得 $O A \perp O B$. 求该椭圆的离心率 $e=\frac{c}{a}$ 的取值范围。该取值范围两端点的和形如\frac{a\sqrt{b}+c}{d}。请求出a+b+c+d的值
Answer: 9
user: 设正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是单位正方形, 如果二面角 $A_{1}-B D-C_{1}$ 的大小是 $\frac{\pi}{3}$, 则 $A A_{1}=$ ？原始答案是 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 的格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 8
user: 已知 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的奇函数, $f(1)=1$, 且对任意 $x<0$, 均有 $f\left(\frac{x}{x-1}\right)=x f(x)$. 求
$$
f(1) f\left(\frac{1}{100}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right) f\left(\frac{1}{99}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right) f\left(\frac{1}{98}\right)+\cdots+f\left(\frac{1}{50}\right) f\left(\frac{1}{51}\right)
$$
的值. The original answer is in the form of $\frac{2^{m}}{n!}$, please give the value of $m + n$.
Answer: 197
user: 设复数 $z, w$ 满足 $|z|=3,(z+\bar{w})(\bar{z}-w)=7+4 \mathrm{i}$, 其中 i 是虚数单位, $\bar{z}, \bar{w}$ 分别表示 $z, w$ 的共轭复数, 则 $(z+2 \bar{w})(\bar{z}-2 w)$ 的模的整数近似值为多少？
Answer: 8
user: 双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$, 左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$, 过点 $F_{2}$ 作一直线与双曲线 $C$ 的右半支交于点 $P, Q$, 使得 $\angle F_{1} P Q=90^{\circ}$, 则 $\triangle F_{1} P Q$ 的内切圆半径的原始答案为$\sqrt{m}+n$的形式，请给出$m+n$的值。
Answer: 6
user: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+2 \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}$. 求 $\sin C$ 的最大值。原始答案是 \frac{\sqrt{m}}{n} 的格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 10
user: 设实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2016}$ 满足 $9 a_{i}>11 a_{i+1}^{2}(i=1,2, \cdots, 2015)$. 求  \[  \left(a_{1}-a_{2}^{2}\right) \cdot\left(a_{2}-a_{3}^{2}\right) \cdots\left(a_{2015}-a_{2016}^{2}\right) \cdot\left(a_{2016}-a_{1}^{2}\right)  \]  的最大值。原始答案是$\frac{m}{4^{n}}$的形式，请给出m + n的值。
Answer: 2017
user: In the Cartesian coordinate plane $xOy$, circle $C_{1}: x^{2}+y^{2}-a=0$ is symmetric about the line $l$, resulting in circle $C_{2}: x^{2}+y^{2}+2x-2ay+3=0$. Find the equation of line $l$. Please provide the sum of the coefficients of the line equation.
Answer: 3
user: 已知正四棱锥 $V-A B C D$ 的高等于 $A B$ 长度的一半， $M$ 是侧棱 $V B$ 的中点， $N$ 是侧棱 $V D$ 上点，满足 $D N=2 V N$ ，则异面直线 $A M, B N$ 所成角的余弦值为原始答案是\(\frac{\sqrt{m}}{n}\)格式，请给出m+n的值。
Answer: 22
user: 设复数 $z, w$ 满足 $|z|=3,(z+\bar{w})(\bar{z}-w)=7+4 \mathrm{i}$, 其中 i 是虚数单位, $\bar{z}, \bar{w}$ 分别表示 $z, w$ 的共轭复数, 则 $(z+2 \bar{w})(\bar{z}-2 w)$ 的模为 \sqrt{m}，请给出m的值。
Answer: 65
user: 设 $P$ 为一圆锥的顶点, $A, B, C$ 是其底面圆周上的三点, 满足 $\angle A B C=90^{\circ}$, $M$ 为 $A P$ 的中点. 若 $A B=1, A C=2, A P=\sqrt{2}$, 则二面角 $M-B C-A$ 的大小为 \arctan \frac{m}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 5
user: 双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ 。过点 $F_{2}$ 作一直线与双曲线 $C$ 的右半支交于点 $P, Q$, 使得 $\angle F_{1} P Q=90^{\circ}$, 则 $\triangle F_{1} P Q$ 的内切圆半径是 \sqrt{m}+n$ 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 6
user: 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+2 \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}$. 求 $\sin C$ 的最大值。原始答案为 \frac{\sqrt{m}}{n} 的形式，请给出 m + n 的值。
Answer: 10
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-a=0$ 关于直线 $l$ 对称的圆为 $C_{2}: x^{2}+y^{2}+2 x-2 a y+3=0$, 请给出直线 $l$ 的方程中系数的和。
Answer: 3
user: 已知正四棱锥 $V-A B C D$ 的高等于 $A B$ 长度的一半， $M$ 是侧棱 $V B$ 的中点， $N$ 是侧棱 $V D$ 上的点，满足 $D N=2 V N$ ，则异面直线 $A M, B N$ 所成角的余弦值的原始答案是 $\frac{\sqrt{m}}{n}$ 格式，请给出 m + n 的值。
Answer: 22
user: 定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 对任意实数 $x$ 有 $f(x+3) \cdot f(x-4)=-1$, 又当 $0 \leqslant x<7$ 时, $f(x)=\log _{2}(9-x)$, 则 $f(-100)$ 的值为 \frac{m}{n}的格式，请给出m + n的值。
Answer: 1
user: 设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是非负实数, 满足 $x_{1}+x_{2}+x_{3}=1$, 求 $(x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3})(x_{1}+\frac{x_{2}}{3}+\frac{x_{3}}{5})$的最小值和最大值。最大值的答案形式为 \frac{m}{n}，请计算最小值+m+n的值
Answer: 15
user: 若实数 $x, y$ 满足 $x^{2}+2 \cos y=1$, 请给出 $x-\cos y$ 的取值范围端点和的平方的值。
Answer: 3
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 椭圆 $C$ 的方程为 \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{10}=1, F$ 为 $C$ 的上焦点, $A$为 $C$ 的右顶点, $P$ 是 $C$ 上位于第一象限内的动点, 则四边形 $O A P F$ 的面积的最大值为 \frac{m \sqrt{n}}{k} 的形式，请给出 m + n + k 的值。
Answer: 16
user: 正三棱锥 $P-A B C$ 中, $A B=1, A P=2$, 过 $A B$ 的平面 $\alpha$ 将其体积平分, 则棱 $P C$与平面 $\alpha$ 所成角的余弦值为。原始答案为 \frac{3\sqrt{5}}{10} 的格式，请给出 m + n + k 的值，其中答案格式为 \frac{m\sqrt{n}}{k}。
Answer: 18
user: 设两个严格递增的正整数数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足: $a_{10}=b_{10}<2017$ ，对任意正整数 $n$ ，有 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}, b_{n+1}=2 b_{n}$, 请给出 $a_{1}+b_{1}$ 的所有可能值的和。
Answer: 33
user: 设数列 \left\{a_{n}\right\} 定义为 a_{1}=1 ，\n\na_{n+1}= \begin{cases}a_{n}+n, & a_{n} \leqslant n, \\ a_{n}-n, & a_{n}>n,\end{cases}\n求满足 a_{r}<r \leqslant 3^{2017} 的正整数 r 的个数。\n\n原始答案为 \frac{3^{m}+k}{n} 格式，请给出 m + n+k 的值。
Answer: 0
user: 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数, 对任意实数 $x$ 有 $f(x+3) \cdot f(x-4)=-1$. 又当 $0 \leqslant x<7$ 时, $f(x)=\log _{2}(9-x)$, 请计算 $f(-100)$ 的值。原始答案是以 $\frac{m}{n}$ 的形式，请给出 $m + n$ 的值。
Answer: 1
user: 设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是非负实数，满足 $x_{1}+x_{2}+x_{3}=1$ ，求 $\left(x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}\right)\left(x_{1}+\frac{x_{2}}{3}+\frac{x_{3}}{5}\right)$的最小值和最大值。原始答案的最大值是以\frac{m}{n}的形式，请给出m+n+最小值的值。
Answer: 15
user: 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 粗圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{10}=1, F$ 为 $C$ 的上焦点, $A$ 为 $C$ 的右顶点, $P$ 是 $C$ 上位于第一象限内的动点, 则四边形 $O A P F$ 的面积的最大值为 \frac{m}{n}\sqrt{k} 的形式，请给出 m + n + k 的值。
Answer: 16
user: 正三棱锥 $P-A B C$ 中, $A B=1, A P=2$, 过 $A B$ 的平面 $\alpha$ 将其体积平分, 则棱 $P C$ 与平面 $\alpha$ 所成角的余弦值为 \frac{m\sqrt{k}}{n} 的形式，请给出 m + n + k 的值。
Answer: 18
user: 设两个严格递增的正整数数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足: $a_{10}=b_{10}<2017$, 对任意正整数 $n$ ，有 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}, b_{n+1}=2 b_{n}$ ，请给出 $a_{1}+b_{1}$ 的所有可能值的和。
Answer: 33
user: Determine all rational numbers $a$ for which the matrix
$$
\left(\begin{array}{cccc}
a & -a & -1 & 0 \\
a & -a & 0 & -1 \\
1 & 0 & a & -a \\
0 & 1 & a & -a
\end{array}\right)
$$
is the square of a matrix with all rational entries. Provide the integer value of $a$.
Answer: 0
user: 设 $Q$ 为有理数集, $Z$ 为整数集. 在坐标平面上，对正整数 $m$ ，定义点集  
$$  
A_{m}=\left\{(x, y) \mid x, y \in \mathbf{Q}, x y \neq 0, \frac{x y}{m} \in \mathbf{Z}\right\}.  
$$  
对线段 $M N$, 定义 $f_{m}(M N)$ 为线段 $M N$ 上属于集合 $A_{m}$ 的点的个数. 求最小的实数 $\lambda$,使得对坐标平面上的任意直线 $l$, 均存在与 $l$有关的实数 $\beta(l)$ ，满足：对直线 $l$ 上任意两点 $M 、 N$,均有  
$f_{2016}(M N) \leqslant \lambda f_{2015}(M N)+\beta(l)$.  
给出原始答案的形式为\frac{m}{n}，请提供m + n的值。
Answer: 2021
user: 给定正整数 $k$. 若整数集 $\mathbf{Z}$ 的子集序列 $I_{1} \supseteq I_{2} \supseteq \cdots \supseteq I_{k}$ 满足对 $i=1,2, \cdots, k, 168$ $\in I_{i}$ ，且对于任意的 $x 、 y \in I_{i}$ ，均有 $x-y \in I_{i}$ $\left(x 、 y\right.$ 可以相等），则称（ $\left.I_{1}, I_{2}, \cdots, I_{k}\right)$ 为 $\mathbf{Z}$ 上的一条 $k$ —链。问： $\mathbf{Z}$ 上共有多少条 $k$ —链？请说明理由，并给出结果值在k=5时的值。
Answer: 2016
user: 设复数 $z=(\omega+2)^{3}(\omega-3)^{2}$ 。求当 $\omega$取遍所有模长为 $1$ 的复数时， $z$ 的模长的最大值。原始答案形式为$a^{\frac{b}{c}}$求a+b+c的和。
Answer: 14
user: 给定整数 $n \geqslant 2$ 。设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 为任意实数. 求
$$  
2 \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left[x_{i} x_{j}\right]-(n-1) \sum_{i=1}^{n}\left[x_{i}^{2}\right]  
$$  
的最大值，其中， $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数。请给出当 n = 5 时的最大值。
Answer: 6
user: 求所有的正整数对 $(x, y)$ ，满足 $x^{y}=y^{x^{-y}}$ 。请给出所有满足条件的整数对中元素的和。
Answer: 24
user: 求方程组
$$\left\{\begin{array}{l}5\left(x+\frac{1}{x}\right)=12\left(y+\frac{1}{y}\right)=13\left(z+\frac{1}{z}\right) ,\\xy+yz+zx=1\end{array}\right.$$的所有实数解。请提供所有解中x, y, z的和。
Answer: 0
user: 求所有的正整数 $a$ ，使得对任意正整数 $n \geqslant 5$ ，均有 $\left(2^{n}-n^{2}\right) \mid\left(a^{n}-n^{d}\right)$. 请给出满足条件的所有正整数的和。
Answer: 6
user: 对数列 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}$ ，定义集合  $$  \begin{aligned}  & A=\left\{a_{i} \mid 1 \leqslant i \leqslant m\right\}, \\  & B=\left\{a_{i}+2 a_{j} \mid 1 \leqslant i 、 j \leqslant m, i \neq j\right\}.  \end{aligned}  $$  设 $n$ 为给定的大于 $2$ 的整数。对所有由正整数组成的严格递增的等差数列 $a_{1}, a_{2}$, $\cdots, a_{n}$ ，求集合 $A \triangle B$ 的元素个数的最小值，其中, $A \triangle B=(A \cup B) \backslash(A \cap B)$ 。请给出当 n = 3 和 n = 4 时，两个最小值的和。
Answer: 13
user: 定义 $n$ 元整数组的一次变换为
$$  
\begin{aligned}  
& \left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n-1}, a_{n}\right) \\  
& \rightarrow\left(a_{1}+a_{2}, a_{2}+a_{3}, \cdots, a_{n-1}+a_{n}, a_{n}+a_{1}\right)  
\end{aligned}  
$$  
求所有的正整数对 $(n, k)(n 、 k \geqslant 2)$ ，满足对任意的 $n$ 元整数数组 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$ ，在有限次变换后所得数组中每一个数均为 $k$ 的倍数。请提供满足条件的最小整数对的数字和。
Answer: 4
user: 给定整数 $m 、 n(2 \leqslant m<n,(m, n)=1)$ 。求最小的整数 $k$ ，满足对集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的任意 $m$ 元子集 $I$, 若 $\sum_{i \in I} i>k$, 则存在 $n$ 个实数 $a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \cdots \leqslant a_{n}$, 使得
$$  \frac{1}{m} \sum_{i \in I} a_{i}>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i}  $$  ，设m=2，n=3，求出k的值。
Answer: 3
user: The Imomi archipelago consists of $n \geqslant 2$ islands. Between each pair of distinct islands is a unique ferry line that runs in both directions, and each ferry line is operated by one of $k$ companies. It is known that if any one of the $k$ companies closes all its ferry lines, then it becomes impossible for a traveller, no matter where the traveller starts at, to visit all the islands exactly once (in particular, not returning to the island the traveller started at). Determine the maximal possible value of $k$ in terms of $n$. Please provide the value of $k$ when $n = 8$.
Answer: 3