meetforever/GRPO_CL huggingface dataset:
user: 若函数 $f(t)=t^{2}+2 t$ ，则点集 $\left\{(x, y) \left\lvert\,\left\{\begin{array}{l}f(x)+f(y) \leqslant 2 \\ f(x) \geqslant f(y)\end{array}\right\}\right.\right.$ 所构成图形的面积是 $k\pi$，求 $k$ 的值。
Answer: 2
user: 若把无理数 $(5+3 \sqrt{3})^{2018}$ 写成十进制小数，则其十分位、百分位、千分位上的数字之和为多少？
Answer: 27
user: 若 $a^{2}(b+c)=b^{2}(a+c)=1(a \neq b)$ ，则 $(a+b) c^{2}-a b c$ 的值为多少？
Answer: 2
user: 若 $x \in\left[-\frac{5 \pi}{12},-\frac{\pi}{3}\right]$, 则 $y=\tan \left(x+\frac{2 \pi}{3}\right)-\tan \left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的最大值是 $\frac{a}{b} \sqrt{c}$。求 $a+b+c$ 的值。
Answer: 20
user: 设三位数 $n=abc$，若以 $a, b, c$ 为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数 $n$ 有多少个？
Answer: 165
user: 顶点为 $P$ 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形， $A$ 是底面圆周上的点， $B$ 是底面圆内的点， $O$ 为底面圆圆心， $A B \perp O B$ ，垂足为 $B, O H \perp P B$ ，垂足为 $H$ ，且 $P A=4, C$ 为 $P A$ 的中点，求当三棱锥 $O-H P C$ 的体积最大时， $O B$ 的长。答案的形式为 \frac{k \sqrt{m}}{n}，请给出k + m + n的值。
Answer: 11
user: 已知 $M=\left\{(x, y) \mid x^{2}+2 y^{2}=3\right\}, N=\{(x, y) \mid y=m x+b\}$ 。若对于所有 $m \in \mathbf{R}$,均有 $M \bigcap N \neq \varnothing$ ，求 $b$ 的取值范围。答案的形式为\left[-\frac{\sqrt{k}}{m}, \frac{\sqrt{k}}{m}\right]，请给出k+m的值。
Answer: 8
user: 求不等式 $\sqrt{\log _{2} x-1}+\frac{1}{2} \log _{\frac{1}{2}} x^{3}+2>0$ 的解集。解集的形式为 [a, b)，请给出 a + b 的值。
Answer: 6
user: 如图，顶点为 $P$ 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，$A$ 是底面圆周上的点，$B$ 是底面圆内的点，$O$ 为底面圆的圆心，$AB \perp OB$，垂足为 $B$，$OH \perp PB$，垂足为 $H$，且 $PA=4$, $C$ 为 $PA$ 的中点。当三棱锥 $O-HPC$ 的体积最大时，求 $OB$ 的长度。原始答案的形式为\frac{k \sqrt{m}}{n}，请给出k + m + n的值。
Answer: 11
user: 记集合 $T=\{0,1,2,3,4,5,6\}, M=\left\{\left.\frac{a_{1}}{7}+\frac{a_{2}}{7^{2}}+\frac{a_{3}}{7^{3}}+\frac{a_{4}}{7^{4}} \right\rvert\, a_{i} \in T, i=1,2,3,4\right\}$ ，将 $M$ 中的元素按从大到小排列，求第 2005 个数。原始答案的形式为 \frac{b_1}{7}+\frac{b_2}{7^{2}}+\frac{b_3}{7^{3}}+\frac{b_4}{7^{4}}，请给出b_1 + b_2 + b_3 + b_4的值。
Answer: 6
user: 记集合 \(T=\{0,1,2,3,4,5,6\}, M=\left\{\left.\frac{a_{1}}{7}+\frac{a_{2}}{7^{2}}+\frac{a_{3}}{7^{3}}+\frac{a_{4}}{7^{4}} \right\rvert\, a_{i} \in T, i=1,2,3,4\right\}\)。将 \(M\) 中的元素按从大到小的顺序排列，求第 2005 个数。答案的形式为 \(\frac{k}{7}+\frac{m}{7^{2}}+\frac{n}{7^{3}}+\frac{p}{7^{4}}\)，请给出k+m+n+p的值。
Answer: 6
user: 使关于 $x$ 的不等式 $\sqrt{x-3}+\sqrt{6-x} \geqslant k$ 有解的实数 $k$ 的最大值是多少？请以$\sqrt{m}$的形式给出答案，并求出m的值。
Answer: 6
user: 数码 \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{2006}\) 中有奇数个 9 的 2007 位十进制数 \(\overline{2 a_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{2006}}\) 的个数是多少？答案的形式为\(\frac{a^{2006} - b^{2006}}{c}\)，其中c不能被2整除。请计算a+b+c的值。
Answer: 20
user: 已知集合 $A=\{x \mid 5 x-a \leqslant 0\}, B=\{x \mid 6 x-b>0\}, a, b \in \mathbf{N}$, 且 $A \bigcap B \cap \mathbf{N}=\{2,3,4\}$ ，求整数对 $(a, b)$ 的个数。
Answer: 30
user: 在直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1}-A B C$ 中, $\angle B A C=\frac{\pi}{2}, A B=A C=A A_{1}=1$. 已知 $G$与 $E$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ 和 $C C_{1}$ 的中点, $D$ 与 $F$ 分别为线段 $A C$ 和 $A B$ 上的动点 (不包括端点). 若 $G D \perp E F$ ，求线段 $D F$ 的长度的取值范围。答案的格式为 \left[\frac{\sqrt{m}}{n}, a\right)，请给出m+n+a的值。
Answer: 11
user: 在正四棱锥 $P-A B C D$ 中, $\angle A P C=60^{\circ}$, 求二面角 $A-P B-C$ 的平面角的余弦值。答案的形式为-\frac{k}{m}，其中k和m为正整数，并且该分数是最简分数。请计算k+m的值。
Answer: 8
user: 设实数 $a$ 使得不等式 $|2 x-a|+|3 x-2 a| \geqslant a^{2}$ 对任意实数 $x$ 恒成立，求满足条件的 $a$ 所组成的集合的区间端点。如果区间为 $[m, n] = \left[\frac{k}{l}, \frac{p}{q}\right]$，请给出k+l+p+q的值。
Answer: 6
user: 以 $\sqrt{2}$ 和 $1-\sqrt[3]{2}$ 为两个根的有理系数多项式的次数最低是____。
Answer: 5
user: 若复数 $z_{1}, z_{2}$ 分别满足 $\left|z_{1}-3 \mathrm{i}\right|=2,\left|z_{2}-8\right|=1$ ，则在复平面上所有由复数 $z_{1}-z_{2}$ 对应的点围成的面积是 $x \pi$。求 $x$ 的值。
Answer: 8
user: 已知 $x, y \in \mathbf{Z}$ ，若 $\left(x^{2}+x+1\right)^{2}+\left(y^{2}+y+1\right)^{2}$ 为完全平方数，则数对 $(x, y)$ 的对数是多少？
Answer: 0
user: 已知点 \(A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) 关于 \(y=k x\) 的对称点 \(A^{\prime}\) 落在圆 \((x-2)^{2}+y^{2}=1\) 上，求 \(k\) 的值。答案的形式为\(\frac{\sqrt{a}}{b}\)，请给出a+b的值。
Answer: 6
user: 从 6 名男员工和 4 名女员工中各抽取 2 人，组成羽毛球混合双比赛，一共有多少组合方式？
Answer: 180
user: 满足 $n^{3}+2 n^{2}+8 n-5=a^{3}$ 的自然数组 $(n, a)$ 的对数是 _______。
Answer: 2
user: $1 \times 1!+2 \times 2!+\cdots+672 \times 672!$ 被 $2019$ 除的余数是多少？
Answer: 2018
user: $n$ 是任意自然数，$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}$ 的个位数不可能是______。
Answer: 2
user: 已知 \(x, y, z>0\)，则 \(f(x, y, z)=\frac{x y z}{(4 x+1)(9 x+y)(4 y+z)(z+9)}\) 的最大值为多少？答案的形式为 \(\frac{k}{m^2}\)，请给出 \(k + m\) 的值。
Answer: 25
user: $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$ 的取值范围是 $(-2, y]$，其中$y$的原始答案是以\frac{k}{m}的形式给出，请计算k+m的值。
Answer: 17
user: 金字塔（正四棱锥）的底座为边长 \(200 \, \text{m}\) 的正方形。如果一个游客处于底面且距离底座中心 \(200 \, \text{m}\) 的圆周上，求游客可以同时看见金字塔两塔侧面的概率。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 4
user: 满足正整数 $y \leqslant 2022$ 且 $100 \mid 2^{y}+y$ 的 $y$ 的个数是多少？
Answer: 20
user: 满足 $A B=1, B C=2, C D=4, D A=3$ 的凸四边形 $A B C D$ 的内切圆半径的取值范围是 $(a, \frac{k \sqrt{m}}{n}]$。请找出 a, k, m, n 的值并计算 a + k + m + n。
Answer: 13
user: 内接于椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的菱形周长的最大值与最小值之和是多少？请用$\sqrt{13}$的倍数表示答案。答案的形式为$\frac{k}{m} \sqrt{13}$，请给出k+m的值。
Answer: 113
user: 设非负实数 $x, y$ 满足 $2 x+y=1$, 求 $x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 的最小值。答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 9
user: 已知 $A=\{-1,0,1\}, B=\{2,3,4,5,6\}$, 若由 $A$ 到 $B$ 的映射 $f: x \rightarrow y$ 满足 $x+f(x)+x f(x)$ 为奇数, 求映射 $f$ 的个数。
Answer: 50
user: 若 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in\{1,2,3,4\}, N\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)$ 为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 中不同数字的种类，如 $N(1,1,2,3)=3, N(1,2,2,1)=2$ ，则所有的 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 的排列 （共 $4^{4}=256$ 个）所得的 $N\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)$ 的平均值的答案是一个分数。请将其表示为\frac{k}{m}的形式，并给出k+m的值。
Answer: 239
user: 在四面体 $P A B C$ 中, 若 $\triangle A B C$ 是边长为 3 的正三角形, 且 $P A=3, P B=4$, $P C=5$ ，求该四面体的体积。答案的形式为\(\sqrt{k}\)，请给出k的值。
Answer: 11
user: 在 \(\triangle ABC\) 中，求 \(\sin A + \sin B \sin C\) 的最大值。答案的形式为 \(\frac{k + \sqrt{m}}{n}\)，请计算k + m + n的值。
Answer: 8
user: 不定方程 $x+2 y+3 z=100$ 的非负整数解的组数是多少？
Answer: 884
user: 已知 $\omega=\cos \frac{2 \pi}{5}+\operatorname{isin} \frac{2 \pi}{5}, f(x)=x^{2}+x+2$, 求 $f(\omega) f\left(\omega^{2}\right) f\left(\omega^{3}\right) f\left(\omega^{4}\right)$ 的值。
Answer: 11
user: 若 \(z, w \in \mathbf{C},|z+w|=1,\left|z^{2}+w^{2}\right|=4\)，则 \(|z w|\) 的最大值可以表示为\(\frac{k}{m}\)，请给出\(k+m\)的值。
Answer: 7
user: 已知 \(z, w \in \mathbf{C},|z+w|=1,\left|z^{2}+w^{2}\right|=4\)，求 \(|z w|\) 的最大值。原始答案的形式为 \(\frac{k}{m}\)，请给出\(k+m\)的值。
Answer: 7
user: 在四面体 $P A B C$ 中, $\triangle A B C$ 为等边三角形, 边长为 $3, P A=3, P B=4, P C=5$, 求四面体 $P A B C$ 的体积。答案的形式为\(\sqrt{x}\)，请给出x的值。
Answer: 11
user: 在 $\triangle A B C$ 中，求 $\sin A+\sin B \sin C$ 的最大值。答案的形式为\frac{k+\sqrt{n}}{m}，请给出k+m+n的值。
Answer: 8
user: 已知 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in\{1,2,3,4\}, N\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)$ 为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 中不同数字的种类, 如 $N(1,1,2,3)=3, N(1,2,2,1)=2$, 求所有的 256 个 $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)$ 的排列所得 $N\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)$ 的平均值。答案的形式为$\frac{k}{m}$，请给出$k+m$的值。
Answer: 239
user: 设复数 \(z, w\) 满足: \(|w+z|=1,\left|w^{2}+z^{2}\right|=4\)，求 \(|w z|\) 的最小值。答案应以 \(\frac{k}{m}\) 的形式给出，其中 \(\frac{k}{m}\) 为最简分数。请计算 \(k+m\) 的值。
Answer: 5
user: 设 $A, B, C$ 是三角形的三个内角，求 $\sin A+\sin B \sin C$ 的最大值。答案的形式为 \(\frac{k+\sqrt{n}}{m}\)，请给出k + n + m的值。
Answer: 8
user: 方程 $x+2 y+3 z=100$ 的非负整数解的个数是多少？
Answer: 884
user: 设 $\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}$ 是两个单位向量, $x, y$ 是实数. 若 $\left\langle\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}\right\rangle=\frac{\pi}{3},\left|x \vec{e}_{1}+y \vec{e}_{2}\right|=1$, 求 $x$ 的最大值。答案的形式为 \frac{k \sqrt{n}}{m}，请给出k+m+n的值。
Answer: 8
user: 已知三棱锥 $P-A B C$ 的底面是边长为 3 的正三角形, 且 $P A=3, P B=4, P C=5$, 求 $P-A B C$ 的体积。答案的形式为\sqrt{m}，请给出m的值。
Answer: 11
user: 设 $w=\cos \frac{2 \pi}{5}+\mathrm{i} \sin \frac{2 \pi}{5}, P(x)=x^{2}+x+2$, 求 $P(w) P\left(w^{2}\right) P\left(w^{3}\right) P\left(w^{4}\right)$ 的值。
Answer: 11
user: 已知集合 $M=\{-1,0,1\}, N=\{2,3,4,5,6\}$ 。设映射 $f: M \rightarrow N$ 满足：对任意的 $x \in M, x+f(x)+x f(x)$ 是奇数。求这样的映射 $f$ 的个数。
Answer: 50
user: 设整数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 满足 $1 \leqslant a_{k} \leqslant 24(k=1,2,3)$ ，且对任意整数 $x, 2 a_{1} x^{2}+3 a_{2} x+4 a_{3}$ 是 24 的倍数。求满足条件的有序数组 $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$ 的个数。
Answer: 24
user: 设 \(a_{k} \in\{1,2,3,4\}(k=1,2,3,4)\)，对于有序数组 \(\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)\)，记 \(N\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)\) 为 \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\) 中所包含的不同整数的个数，例如 \(N(1,1,2,2)=2, N(1,2,3,1)=3\)。当 \(\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)\) 取遍所有的 \(4^{4}\) 个有序数组时，求 \(N\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)\) 的平均值。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k + m的值。
Answer: 239
user: 设 $V=\{(x, y, z) \mid x+2 y+3 z \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0\}$, 求 $V$ 的体积。原始答案是一个最简分数形式 \frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 37
user: 在 Rt \(\triangle A B C\) 中, \(\angle A B C=\frac{\pi}{2}, A B=\sqrt{3}, B C=1, \frac{\overrightarrow{P A}}{|\overrightarrow{P A}|}+\frac{\overrightarrow{P B}}{|\overrightarrow{P B}|}+\frac{\overrightarrow{P C}}{|\overrightarrow{P C}|}=\mathbf{0}\)。若\(\angle A P B = x \pi\)，原始答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出\(k + m\)的值。
Answer: 5
user: 设复数 \(z\) 满足 \(|3z-7i|=3\)，求 \(\left|\frac{z^{2}-2z+2}{z-1+i}\right|\) 的最大值。答案的形式为 \(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 11
user: 已知集合 $A, B, C \subseteq\{1,2,3, \cdots, 2020\}$, 且 $A \subseteq B \subseteq C$, 求有序集合组 $(A, B, C)$ 的个数。答案的形式为x^y，请给出x+y的值。
Answer: 2024
user: 设多项式 \(f(x)\) 的各项系数都是非负实数，且 \(f(1)=f^{\prime}(1)=f^{\prime \prime}(1)=f^{\prime \prime \prime}(1)=1\)。已知原始答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k + m的值。求 \(f(x)\) 的常数项的最小值。
Answer: 4
user: 设 $A, B$ 分别是 $x$ 轴, $y$ 轴上的动点, 若以 $A B$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $2 x+y-4=0$ 相切，则圆 $C$ 面积的最小值为 $\pi \times x$。已知答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 9
user: 将号码分别为 \(1, 2, \cdots, 9\) 的九个小球放入一个袋中, 这些小球仅号码不同, 其余完全相同。甲从袋中摸出一个小球，其号码为 \(a\)，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为 \(b\)。求使得不等式 \(a-2b+10>0\) 成立的事件发生的概率。答案的形式为 \(\frac{k}{m}\)，请给出 \(k+m\) 的值。
Answer: 142
user: 设 $A=[-2,4), B=\left\{x \mid x^{2}-a x-4 \leq 0\right\}$ ，若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围。答案的形式为 $[b,c)$，请给出 $b+c$ 的值。
Answer: 3
user: 甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止。设甲在每局中获胜的概率为 \(\frac{2}{3}\)，乙在每局中获胜的概率为 \(\frac{1}{3}\)，且各局胜负相互独立。求比赛停止时已打局数 \(\xi\) 的期望 \(E \xi\)。答案形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 347
user: 函数 $f(x)=\frac{5-4 x+x^{2}}{2-x}$ 在 $(-\infty, 2)$ 上的最小值是多少？
Answer: 2
user: 已知函数 \(f(x)=x^{2}-2 t x+t\)，当 \(x \in[-1,1]\) 时，记 \(f(x)\) 的最小值为 \(m\)，求 \(m\) 的最大值。原始答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 5
user: 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足： $a_{1}=6, a_{n+1}=\left[\frac{5}{4} a_{n}+\frac{3}{4} \sqrt{a_{n}^{2}-2}\right], n \in \mathbf{N}^{*}$ ，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数， $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。求 $S_{2016}$ 的个位数字。
Answer: 1
user: 对任意正整数 $n$ 与 $k(k \leqslant n), f(n, k)$ 表示不超过 $\left[\frac{n}{k}\right]$ ，且与 $n$ 互质的正整数的个数，则求 $f(100,3)$ 的值。
Answer: 14
user: 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆和双曲线的公共焦点, $P$ 是它们的一个公共点, 且 $\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$。求该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值。原始答案的形式为\(\frac{k\sqrt{3}}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 3
user: 已知函数 \(f(x)=x^{2}-2 t x+t\)。当 \(x \in [-1,1]\) 时，记 \(f(x)\) 的最小值为 \(m\)。求 \(m\) 的最大值。原始答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出\(k+m\)的值。
Answer: 5
user: 对任意正整数 $n$ 与 $k(k \leqslant n), f(n, k)$ 表示不超过 $\left[\frac{n}{k}\right]$ （ $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数）且与 $n$ 互素的正整数的个数。求 $f(100,3)$ 的值。
Answer: 14
user: 在 $(x+y+z)^{8}$ 的展开式中，求所有形如 $x^{2} y^{a} z^{b}(a, b \in \mathbf{N})$ 的项的系数之和。
Answer: 1792
user: 已知 \(\alpha, \beta \in(0, \pi), \tan \alpha, \tan \beta\) 是方程 \(x^{2}+3 x+1=0\) 的两个根, 求 \(\cos (\alpha-\beta)\) 的值。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出\(k+m\)的值。
Answer: 5
user: 已知在 $\triangle A B C$ 中, $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{A B}$, 求 $\frac{|\overrightarrow{A C}|+|\overrightarrow{A B}|}{|\overrightarrow{B C}|}$ 的最大值。答案的形式为$\sqrt{k}$，请给出k的值。
Answer: 3
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}=(\sqrt{2}+1)^{n}-(\sqrt{2}-1)^{n}(n \in \mathbf{N})$ ，用 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，则 $\left[a_{2017}\right]$ 的个位数字是 ______。
Answer: 2
user: 在 \(\triangle A B C\) 中, \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{A B}\)。求 \(\frac{|\overrightarrow{A C}|+|\overrightarrow{A B}|}{|\overrightarrow{B C}|}\) 的最大值。答案的形式为\(\sqrt{m}\)，请给出m的值。
Answer: 3
user: 在 $(x+y+z)^{8}$ 的展开式中，所有形如 $x^{2} y^{a} z^{b}(a 、 b \in \mathbf{N})$ 的项的系数之和为多少？
Answer: 1792
user: 设 $F_{1} 、 F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，该椭圆上存在两点 $A 、 B$ ，使得 $\overrightarrow{F_{1} A}=3 \overrightarrow{F_{2} B}$. 求该椭圆的离心率的取值范围 $(m, n)$，其中 $0 < m < n < 1$。答案形式为 $(\frac{k}{l}, p)$，其中 $k$ 和 $l$ 互质且 $l$ 不能为零。请给出 $k + l + p$ 的值。
Answer: 4
user: 已知 $\alpha, \beta \in(0, \pi), \tan \alpha 、 \tan \beta$ 为方程 $x^{2}+3 x+1=0$ 的两个根。求 $\cos (\alpha-\beta)$ 的值。答案的形式为$\frac{k}{m}$，请给出$k+m$的值。
Answer: 5
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足
$a_{n}=(\sqrt{2}+1)^{n}-(\sqrt{2}-1)^{n}(n \in \mathbf{N})$.
记 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数.求 $\left[a_{2017}\right]$ 的个位数字。
Answer: 2
user: 设多项式 $f(x)=x^{12}-x^{6}+1$ 除以 $x^{2}+1$ 的商式为 $q(x)$ ，余式 $r(x)=a x+b$ ，其中 $a, b$ 为实数。求 $b$ 的值。
Answer: 3
user: 已知方程 $1+x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots-\frac{x^{2018}}{2018}=0$ 的所有实数根都在区间 $[a, b]$ 内（其中 $a, b \in \mathbf{Z}$,且 $a<b$ ), 求 $b-a$ 的最小值。
Answer: 3
user: 在正四棱锥 $P-A B C D$ 中, $M, N$ 分别为 $P A, P B$ 的中点, 若侧面与底面所成二面角的正切值为 $\sqrt{2}$ ，求异面直线 $D M$ 与 $A N$ 所成角的余弦值。答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: 7
user: 若向量 \(\boldsymbol{a}=(0,1), \boldsymbol{b}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right), \boldsymbol{c}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right), x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}+z \boldsymbol{c}=(1,1)\)，求 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}\) 的最小值。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 7
user: 若复数 \(z\) 满足 \(|z|<1\) 且 \(\left|\bar{z}+\frac{1}{z}\right|=\frac{5}{2}\)，求 \(|z|\) 的值。答案应为\(\frac{k}{m}\)的形式，请给出k+m的值。
Answer: 3
user: 若 $A B$ 为过抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点 $F$ 的弦, $O$ 为坐标原点, 且 $\angle O F A=135^{\circ}$, $C$ 为抛物线的准线与 $x$ 轴的交点, 求 $\angle A C B$ 的正切值。原始答案的形式为 $k \sqrt{m}$，请给出 k + m 的值。
Answer: 4
user: 已知向量 \(\vec{a}=(0,1), \vec{b}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right), \vec{c}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)\)，且 \(x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}=(1,1)\)，求 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}\) 的最小值。原始答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 7
user: 已知函数 $f(x)=x^{3}-x^{2}-2 x+1$ 的一条切线经过点 $(-1,1)$ 且点 $(-1,1)$ 不是切点，求这条切线的斜率。
Answer: -1
user: $A B$ 为过抛物线 $y^{2}=4 x$ 焦点 $F$ 的弦, $O$ 为坐标原点, 且 $\angle O F A=135^{\circ}, C$ 为抛物线准线与 $x$ 轴的交点，求 $\angle A C B$ 的正切值。答案的形式为 $k \sqrt{m}$，请给出 k + m 的值。
Answer: 4
user: 在正四棱雉 $P-ABCD$ 中，$M、N$ 分别为 $PA、PB$ 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为 $\sqrt{2}$。求异面直线 $DM$ 与 $AN$ 所成角的余弦值。答案的格式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 7
user: 若 $A+B=\frac{2 \pi}{3}$，求 $\cos ^{2} A+\cos ^{2} B$ 的最小值 $m$ 和最大值 $M$。请分别给出 $m$ 和 $M$ 的值。答案的形式为：最小值为\frac{m}{n}，最大值为\frac{p}{q}，请计算m+n+p+q的值。
Answer: 8
user: 若 $\triangle A B C$ 的三边长分别是 $2,3,4$, 其外心为 $O$, 求 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{B C}+$ $\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{C A}$ 的值。原始答案的形式为\frac{k}{m}，请给出k+m的值。
Answer: -27
user: 设 $\triangle A B C$ 的三边长分别为 $B C=a, C A=b, A B=c$. 若 $c=2, C=\frac{\pi}{3}$, 且 $\sin C+\sin (B-A)-2 \sin 2 A=0$, 求 $\triangle A B C$ 的周长。如果答案是 $x + y\sqrt{z}$，请给出 $x + y + z$ 的值。
Answer: 7
user: 在长方体 \(A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\) 中，\(A B=2, A D=A A_{1}=1\)，求点 \(A\) 到平面 \(A_{1} B D\) 的距离。答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 5
user: 从正15边形的顶点中选出3个连成钝角三角形，不同的选法有多少种？
Answer: 315
user: 若 \(x^{2}+y^{2} \leqslant 1\)，求 \(x^{2}+x y-y^{2}\) 的最大值和最小值，并将结果表示为一个区间 \([- \frac{\sqrt{m}}{n}, \frac{\sqrt{m}}{n}]\)，其中 \(m\) 和 \(n\) 为正整数。请给出 m 和 n 的和。
Answer: 7
user: 设复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $Z_{1}, Z_{2}, O$ 为坐标原点, 若 $\left|z_{1}\right|=1$, $5 z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-2 z_{1} z_{2}=0$, 求 $\triangle O Z_{1} Z_{2}$ 的面积。
Answer: 1
user: 求值: \(\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sum_{k=1}^{n} \arctan \frac{2}{k^{2}}\right)=(\quad)\pi\)。如果答案是\(\frac{k}{m}\pi\)，请填写\(k+m\)的值。
Answer: 7
user: 设实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{21}$ 满足 $0 \leqslant x_{i} \leqslant 1(1,2, \cdots, 21)$, 求 $\sum_{i=1}^{21} \sum_{k=1}^{21}\left|x_{i}-x_{k}\right|$ 的最大值。
Answer: 220
user: 在 $\triangle A B C$ 中, $A=90^{\circ}, A B=1, A C=\sqrt{3}$, 点 $P$ 满足 $\frac{\overrightarrow{P A}}{|\overrightarrow{P A}|}+\frac{\overrightarrow{P B}}{|\overrightarrow{P B}|}+\frac{\overrightarrow{P C}}{|\overrightarrow{P C}|}=\mathbf{0}$。如果答案是 $x^\circ$，求 $x$ 的值。
Answer: 120
user: 设实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{21}$ 满足 $0 \leq x_{i} \leq 1(1,2, \cdots, 21)$ ，求 $\sum_{i=1}^{21} \sum_{k=1}^{21}\left|x_{i}-x_{k}\right|$ 的最大值。
Answer: 220
user: 设复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $Z_{1}, Z_{2}$，$O$ 为坐标原点，若 $\left|z_{1}\right|=1,5 z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-2 z_{1} z_{2}=0$，则 $\triangle O Z_{1} Z_{2}$ 的面积为多少？
Answer: 1
user: 设复数 $z$ 满足 $|3 z-7 \mathrm{i}|=3$, 求 $\left|\frac{z^{2}-2 z+2}{z-1+\mathrm{i}}\right|$ 的最大值。答案的形式为 $\frac{k}{m}$，请给出 $k + m$ 的值。
Answer: 11
user: 已知数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_{n}=(-1)^{n} \cdot a_{n}+\frac{1}{2^{n}}+n-3\)，且实数 \(t\) 满足 \(\left(t-a_{n}\right)\left(t-a_{n+1}\right)<0\)，求 \(t\) 的取值范围。如果 \(t\) 的取值范围是 \((x, y)\)，请将其写成 \(x = -\frac{k}{m}\) 和 \(y = \frac{n}{p}\) 的形式，并求出 \(k+m+n+p\) 的值。
Answer: 22
user: 设 $A, B$ 分别是 $x$ 轴, $y$ 轴上的动点, 若以 $A B$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $2 x+y-4=0$ 相切, 则圆 $C$ 面积的最小值为 $\frac{k}{m}\pi$，请计算k+m的值。
Answer: 9
user: 设多项式 \(f(x)\) 的各项系数都是非负实数，且 \(f(1)=f^{\prime}(1)=f^{\prime \prime}(1)=f^{\prime \prime \prime}(1)=1\)。求 \(f(x)\) 的常数项的最小值。答案的格式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 4
user: 设 \(\alpha, \beta\) 为锐角, 且 \(\cos (\alpha+\beta)=\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}\), 求 \(\tan \alpha\) 的最大值。答案应为\(\frac{\sqrt{k}}{m}\)的形式，请给出k+m的值。
Answer: 6
user: 已知 $A, B, C$ 是集合 $\{1,2, \cdots, 2020\}$ 的子集，且满足 $A \subseteq B \subseteq C$ ，求这样的有序组 $(A, B, C)$ 的总数。答案的形式为 $x^y$，请给出x和y的和。
Answer: 2024
user: 设随机变量 \(X\) 的概率分布列为 \(P(x=k)=\frac{1}{2^{k}}(k=1,2,3, \cdots)\)，\(Y\) 表示 \(X\) 被 3 除的余数，求随机变量 \(Y\) 的数学期望 \(E Y\)。答案的形式为 \(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 15
user: 已知 $M=\left\{(x, y) \mid y \geqslant x^{2}\right\}, N=\left\{(x, y) \mid x^{2}+(y-a)^{2} \leqslant 1\right\}$. 求使 $M \cap N=N$ 成立的 $a$ 的最小值。原始答案的形式为\(\frac{k}{m}\)，请给出k+m的值。
Answer: 9
user: A sample consisting of five observations has an arithmetic mean of $10$ and a median of $12$. Find the smallest value that the range (largest observation minus smallest) can assume for such a sample.
Answer: 5
user: If $\lfloor x\rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x$, then find the value of \[\displaystyle\sum_{N=1}^{1024} \lfloor \log_{2}N\rfloor.\]
Answer: 8204
user: Square \(ABCD\) has side length \(2\). A semicircle with diameter \(\overline{AB}\) is constructed inside the square, and the tangent to the semicircle from \(C\) intersects side \(\overline{AD}\) at \(E\). The length of \(\overline{CE}\) can be expressed in the form \(\frac{k}{m}\), where \(\frac{k}{m}\) is a simplified fraction. Please find the value of \(k + m\).
Answer: 7
user: Let \(a\) and \(b\) be real numbers such that \(\sin a + \sin b = \frac{\sqrt{2}}{2}\) and \(\cos a + \cos b = \frac{\sqrt{6}}{2}\). Find the value of \(\sin(a+b)\). The original answer is in the form \(\frac{k\sqrt{n}}{m}\), please give the value of \(k + m + n\).
Answer: 6
user: In a softball league, after each team has played every other team 4 times, the total accumulated points are: Lions 22, Tigers 19, Mounties 14, and Royals 12. If each team received 3 points for a win, 1 point for a tie, and no points for a loss, find the number of games that ended in a tie.
Answer: 5
user: The base of a triangle is $80$, and one side of the base angle is $60^\circ$. The sum of the lengths of the other two sides is $90$. Find the length of the shortest side of the triangle.
Answer: 17
user: There exist positive integers $A$, $B$, and $C$, with no common factor greater than 1, such that:
\[A \log_{200} 5 + B \log_{200} 2 = C. \]
Find the value of $A + B + C$.
Answer: 6
user: Five friends sat in a movie theater in a row containing $5$ seats, numbered $1$ to $5$ from left to right. (The directions "left" and "right" are from the point of view of the people as they sit in the seats.) During the movie, Ada went to the lobby to get some popcorn. When she returned, she found that Bea had moved two seats to the right, Ceci had moved one seat to the left, and Dee and Edie had switched seats, leaving an end seat for Ada. In which seat had Ada been sitting before she got up?
Answer: 2
user: In this figure, \( \angle RFS = \angle FDR \), \( FD = 4 \) inches, \( DR = 6 \) inches, \( FR = 5 \) inches, \( FS = 7\frac{1}{2} \) inches. Find the length of \( RS \), in inches, as a decimal. Multiply your final answer by 100 and provide the result.
Answer: 625
user: Find the number of real solutions to the equation \( \frac{x}{100} = \sin x \).
Answer: 63
user: The six-digit number $20210A$ is prime for only one digit $A$. What is the value of $A$?
Answer: 9
user: How many non-empty subsets $S$ of $\{1, 2, 3, \ldots, 15\}$ have the following two properties?

1. No two consecutive integers belong to $S$.
2. If $S$ contains $k$ elements, then $S$ contains no number less than $k$.

Find the number of such subsets.
Answer: 405
user: Eight people are sitting around a circular table, each holding a fair coin. All eight people flip their coins and those who flip heads stand while those who flip tails remain seated. Find the probability that no two adjacent people will stand. The original answer is in \frac{k}{m} format, please give the value of k + m.
Answer: 303
user: Six distinct integers are picked at random from \(\{1,2,3,\ldots,10\}\). What is the probability that, among those selected, the second smallest is \(3\)? Express your answer in the form of \(\frac{k}{m}\), where the fraction is in simplest form, and find the value of \(k + m\).
Answer: 4
user: Triangle \( ABC \) has side lengths in arithmetic progression, and the smallest side has length \( 6 \). If the triangle has an angle of \( 120^\circ \), what is the area of \( ABC \)? The original answer is in the form of \( k\sqrt{m} \). Please provide the value of \( k + m \).
Answer: 18
user: Let the sequence \((a_n)\) be defined as \(a_1=\frac{1}{3}\) and \(a_{n+1}=\frac{a_n}{\sqrt{1+13a_n^2}}\) for every \(n\geq 1\). If \(a_k\) is the largest term of the sequence satisfying \(a_k < \frac{1}{50}\), find the value of \(k\).
Answer: 193
user: What is the number of terms with rational coefficients among the $1001$ terms of the expression $(x \sqrt[3]{2} + y \sqrt{3})^{1000}$?
Answer: 167
user: $ABCD$ is a square with a side of unit length. Points $E$ and $F$ are taken respectively on sides $AB$ and $AD$ such that $AE = AF$, and the quadrilateral $CDFE$ has maximum area. The original answer is in \frac{k}{m} format, please give the value of k + m.
Answer: 13
user: In the adjoining figure, $ABCD$ is a square, $ABE$ is an equilateral triangle, and point $E$ is outside square $ABCD$. What is the measure of $\measuredangle AED$ in degrees? If the answer is $x^\circ$, what is the value of $x$?
Answer: 15
user: For any complex number \(w = a + bi\), \(|w|\) is defined to be the real number \(\sqrt{a^2 + b^2}\). If \(w = \cos{40^\circ} + i\sin{40^\circ}\), find the value of 
\[ x = |w + 2w^2 + 3w^3 + \cdots + 9w^9|^{-1} \]
in the form \(\frac{k}{l}\sin{\phi^\circ}\), where \(k\), \(l\) are integers, and \(\phi\) is an angle in degrees. Please give the value of \(k + l + \phi\).
Answer: 31
user: In the figure, $ABCD$ is a $2 \times 2$ square, $E$ is the midpoint of $\overline{AD}$, and $F$ is on $\overline{BE}$. If $\overline{CF}$ is perpendicular to $\overline{BE}$, find the area of quadrilateral $CDEF$. The original answer is in \frac{k}{m} format, where k and m are coprime integers. Please give the value of k + m.
Answer: 16
user: The cost $C$ of sending a parcel post package weighing $P$ pounds, where $P$ is an integer, is $10$ cents for the first pound and $3$ cents for each additional pound. What is the formula for the cost $C$ in terms of $P$? The original answer is in the form $C = a + b(P - 1)$, please give the value of $a + b$.
Answer: 13
user: Find the number of distinct solutions of the equation $\big|x-|2x+1|\big| = 3$.
Answer: 2
user: Triangle $ABC$ is inscribed in a circle, and $\angle B = \angle C = 4\angle A$. If $B$ and $C$ are adjacent vertices of a regular polygon of $n$ sides inscribed in this circle, find the value of $n$.
Answer: 9
user: A circular piece of metal of maximum size is cut out of a square piece, and then a square piece of maximum size is cut out of the circular piece. Find the total amount of metal wasted as a fraction of the area of the original square. The original answer is in \(\frac{k}{m}\) format, please give the value of k + m.
Answer: 3