meetforever/GRPO_CL huggingface dataset:
user: 矩阵微分方程 \df{\dd }{\dd t}M(t)=B(t) 代表每个元素都满足微分方程 \df{\dd}{\dd t}M_{ij}(t)=B_{ij}(t). 考虑矩阵微分方程 \df{\dd}{\dd t}M(t)=AM(t)，其中矩阵 A 和初始矩阵 M(0) 分别为A=\begin{bmatrix}2&1&3\\ 1&3&2\\ 3&2&1\end{bmatrix},\quad M(0)=\begin{bmatrix} 3&2&1\\ 2&1&3\\ 1&3&2\end{bmatrix}.令 a=\ln|\det(M(2))|，求 [|a|].
Answer: 14
user: 设 A 是 5\times5 的方阵，A 的第一行是 (1,1,1,1,1)，第二行是 (1,-1,1,-1,1). 已知 \text{tr}(AA^T)=28，求 [\det A] 的最大可能值.
Answer: 72
user: 设 n=5，L_n(x)=\df{1}{n!}\cdot\df{\dd^n}{\dd x^n}(x^2-1)^n. 记 S=\displaystyle\int_{-1}^1|L_n(x)|^2\ \dd x，求 [S].
Answer: 186
user: 令 G 为三维空间中保持某个给定正方体的旋转构成的群. 设 G 的共轭类为 C_1, C_2, \cdots, C_n，满足 |C_1|\geq |C_2|\geq\cdots\geq|C_n|，求 |C_1|+|C_2|.
Answer: 14
user: 定义函数 A(x)=\ds{m=1}{\infty}\ds{n=0}{\infty}\df{m!n!}{(m+n+1)!}x^m，计算 [100A(\frac{2}{3})].
Answer: 109
user: 设方程(1+2+\cdots+k)-3(1+2+\cdots+t)=1的正整数解 (k,t) 按 k+t 从小到大排列为 (k_1,t_1), (k_2,t_2), \cdots. 求 k_6.
Answer: 3196
user: 记 S=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\tan x)^{101}\ \dd x，求 \left[\df{1}{3S}\right].
Answer: 67
user: 考虑 n\times n 的对称矩阵 M_n，每个矩阵元的取值为 0, \pm1, \pm2. 令 A_n 为 \text{tr}(M_n^6) 对所有这些矩阵的平均值，记 a=\displaystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}\df{A_n}{n^4}，求 [|a|].
Answer: 40
user: 已知数列 \{a_n\} 满足：a_1=1, a_2=2, a_{2k+1}=\df{a_{2k}^2}{a_{2k-1}}，且 a_{2k+2}=2a_{2k+1}-a_{2k}(k\in\bN_+). 则 a_{2022} 的末两位数字是__________.
Answer: 32
user: 已知函数 f:\{1,2,\cdots,10\}\rightarrow\{1,2,3,4,5\}，且对一切 k=1, 2, \cdots, 9，有 |f(k+1)-f(k)|\geq 3. 则符合条件的函数 f 的个数为__________.
Answer: 288
user: 已知函数 f(x) 在 (0,+\infty) 上严格单调递减，对任意 x\in(0,+\infty)，均有 f(x)f\left(f(x)+\df{2}{x}\right)=\df{1}{3}. 记 g(x)=f(x)+4x^2，则函数 g(x) 的最小值是__________.
Answer: 3
user: 求最大的整数 k\leq 2023，满足如下条件：当 A 将 \{1,2,\cdots,2023\} 中的任意 k 个数染红时，B 可将余下若干个数染蓝，使得红数之和等于蓝数之和.
Answer: 592
user: A5. Alice and Bob play a game on a board consisting of one row of 2022 consecutive squares. They take turns placing tiles that cover two adjacent squares, with Alice going first. By rule, a tile must not cover a square that is already covered by another tile. The game ends when no tile can be placed according to this rule. Alice's goal is to maximize the number of uncovered squares when the game ends; Bob's goal is to minimize it. What is the greatest number of uncovered squares that Alice can ensure at the end of the game, no matter how Bob plays?
Answer: 290
user: 设 f:\bN_+\setminus\{1\}\rightarrow\bN，满足对 2^k\leq x<2^{k+1} (x,k\in\bN_+,x\geq2)，有 f(x)=x-2^k. 称正整数 n 及 n 个正整数 a_1, a_2, \cdots, a_n 为"奇妙组合"，如果：(1) 3\leq n\leq 1003；(2) a_1+a_2+\cdots+a_n=1003. 求最小的实数 S，使得对任意的奇妙组合，均有f(a_1+a_2)+f(a_2+a_3)+\cdots+f(a_{n-1}+a_n)\leq S.
Answer: 996
user: 设 a=\underbrace{66\cdots6}_{10\text{个 }6},b=\underbrace{33\cdots3}_{6\text{个 }3}，则 a,b 的最大公约数为__________.
Answer: 33
user: 已知 S_n 为数列 \{a_n\} 的前 n 项和，且 S_n=\df{9}{8}a_n-\df{3}{8}\cdot 3^n+\df{3}{8}. 则使 \ds{i=1}{n}\df{S_i}{a_i}<2024 成立的最大正整数 n 的值为__________.
Answer: 1799
user: 设 f(x)=a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0，其中 a_i\in\{-1,1\}, i=0, 1, 2, \cdots, 6. 若 f(2)=-53，则 f(1)=__________.
Answer: -1
user: 若 x_1,x_2,\cdots,x_{100} 是 1,2,\cdots,100 的一个排列，则 S=|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+\cdots+|x_{99}-x_{100}|+|x_{100}-x_1| 的最大值为__________.
Answer: 5000
user: 给定凸 20 边形 P. 用 P 的 17 条在内部不相交的对角线将 P 分割成 18 个三角形，所得图形称为 P 的一个三角剖分图. 对 P 的任意一个三角剖分图 T，P 的 20 条边以及添加的 17 条对角线均称为 T 的边. T 的任意 10 条两两无公共端点的边的集合称为 T 的一个完美匹配. 当 T 取遍 P 的所有三角剖分图时，求 T 的完美匹配个数的最大值.
Answer: 89
user: 有 2018 名学生围成一圈. 称一个同学是优秀的，如果他两边站着的人和自己的性别都不同. 求优秀的男生数与优秀的女生数的平方差的最大值.
Answer: 509040
user: 设数列 \{a_n\} 满足 a_1=1, a_n=\df{1}{4a_{n-1}}+\df{1}{n} (n\geq2)，则 a_{100} 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 301
user: 正实数 x,y 满足如下条件：存在 a\in[0,x], b\in[0,y]，使得a^2+y^2=2,\quad b^2+x^2=1,\quad ax+by=1,则 x+y 的最大值为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 6
user: 在平面直角坐标系中，椭圆 \Gamma:\df{x^2}{2}+y^2=1 的左、右焦点分别为 F_1,F_2，P 是第一象限内 \Gamma 上一点，PF_1, PF_2 的延长分别交 \Gamma 于点 Q_1,Q_2. 设 r_1,r_2 分别为 \triangle PF_1Q_2, \triangle PF_2Q_1 的内切圆半径，求 r_1-r_2 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
user: 函数 f(x)=\sin^2x+\df{1}{2}(1-\cos x) 的最大值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 41
user: 甲、乙一同进行答题竞赛，甲先答. 甲每次答对的概率为 \df{1}{3}，乙每次答对的概率为 \df{1}{2}. 比赛规则为：每次一方答题，若答对则可继续答题，答错则由对方继续答题. 设第 n 次由甲答题的概率为 p_n，则 \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}p_n=__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 10
user: 已知 a_1,a_2,\cdots,a_{22}\in[1,2]，求\df{\ds{i=1}{22}a_ia_{i+1}}{\left(\ds{i=1}{22}a_i\right)^2}的最大值，其中 a_{23}=a_1.（王正供题）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 21
user: 将一枚骰子连续投掷五次，则事件"五次出现的点数既不全相同，也不两两互异，且从第二次起每一次的点数都不小于前一次的点数"的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 167
user: 设复数 z=\sqrt{\df{\pi}{e+\pi}}(1+i)+\sqrt{\df{e}{\pi+e}}(1-i)（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），则 z 的模为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 3
user: 若等差数列 \{a_n\} 及正整数 m(m\geq3) 满足：a_1=1,a_m=2，且\df{1}{a_1a_2}+\df{1}{a_2a_3}+\cdots+\df{1}{a_{m-1}a_m}=3,则 a_1+a_2+\cdots+a_m 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 23
user: 在某次数学竞赛小组交流活动中，四名男生与三名女生按随机次序围坐一圈，则三名女生两两不相邻的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 6
user: 求最大的实数 \lambda，使得对任意整数 n\geq3，以及任意实数 a_1,a_2,\cdots,a_n，均有\ds{k=1}{n}(a_k-b_k)^2\geq\lambda\ds{k=1}{n}(a_k-c_k)^2,其中 b_k=\df{a_k+a_{k+1}}{2}, c_k=\df{a_{k-1}+a_k+a_{k+1}}{3} (1\leq k\leq n)，a_0=a_n, a_{n+1}=a_1.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 25
user: 设实数 x,y,z\in[0,1]，记M=\min\{x-xy-xz+yz,y-yx-yz+xz,z-zx-zy+xy\},求 M 的最大可能值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
user: 设数列 \{a_n\} 满足：a_1=1011，且对任意正整数 n，均有 a_1+a_2+\cdots+a_n=n^2a_n, 则 a_{2021}=__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 2022
user: 一个骰子连续掷两次，得到的点数依次为 a 和 b，则使得关于 x 的三次方程 x^3-(3a+1)x^2+(3a+2b)x-2b=0 有三个互不相等的实数根的概率 P=__________.（用数字作答）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
user: 在四面体 ABCD 中，\triangle ADB 为等腰直角三角形，AD=1, \angle ADB=90^\circ, \angle BDC=\angle ADC=60^\circ. 则异面直线 AB 与 CD 的距离为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
user: 若复数 z 满足 \left|\df{z^2+1}{z+i}\right|+\left|\df{z^2+4i-3}{z-i+2}\right|=4，则 |z-1| 的最小值为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 3
user: 已知 \triangle OAB 的顶点坐标 O(0,0), A(4,4\sqrt{3}), B(8,0)，它的内切圆圆心为 I. 设圆 C 经过 A, B 两点，且与 \odot I 交于 P, Q 两点. 若分别过 P, Q 点所作两圆的切线垂直，则圆 C 的半径为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 9
user: 已知 x 是一个锐角，那么 \df{8}{\sin x}+\df{1}{\cos x} 的最小值是__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 10
user: 将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为 x,y,z，则事件"\text{C}_7^x<\text{C}_7^y<\text{C}_7^z"发生的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 28
user: 若平面上非零向量 \overrightarrow{\alpha},\overrightarrow{\beta},\overrightarrow{\gamma} 满足 \overrightarrow{\alpha}\bot\overrightarrow{\beta}，\overrightarrow{\beta}\cdot\overrightarrow{\gamma}=2|\overrightarrow{\alpha}|，\overrightarrow{\gamma}\cdot\overrightarrow{\alpha}=3|\overrightarrow{\beta}|，则 |\overrightarrow{\gamma}| 的最小值为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 5
user: 已知复数 z_1,z_2 满足 |\overline{z_1}|=3, |\overline{z_2}|=4, |z_1+z_2|=6，则 \df{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}+\df{z_1}{z_2}=__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 27
user: 从 1,2,\cdots,9 中任选 3 个数，它们两两互质的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 121
user: 求最大的实数 c，满足：对任意整数 n>1，均存在 \{1,2,\cdots,n\} 的子集 A，使得 |A|\geq cn，且对任意 x,y,z\in A（允许相同），均有 n 不整除 x+y-z.（吴茁供题）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
user: 求最大的实数 \lambda，使得不等式\ds{k=1}{n}x_k^3(x_k-x_{k-1})\geq\df{1}{4}+\df{\lambda}{n}对任意正整数 n 及任意实数 0=x_0\leq x_1\leq\cdots\leq x_n=1 均成立.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 11
user: 设函数 f(x)=|x\log_{2023}x|，实数 a<b<c 满足 f(a)=f(b)=f(c). 若 a, b, c 构成等比数列，则其公比为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 4
user: 在等比数列 \{a_n\} 中，a_9=13,a_{13}=1，则 \log_{a_1}13 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
user: 在 \triangle ABC 中，AB=6,BC=4，边 AC 上的中线长为 \sqrt{10}，则 \sin^6\df{A}{2}+\cos^6\df{A}{2} 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 467
user: 在平面直角坐标系中，点 A,B,C 在双曲线 xy=1 上，满足 \triangle ABC 为等腰直角三角形. 求 \triangle ABC 的面积的最小值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 6
user: 在 1,2,3,\cdots,10 中随机选出一个数 a，在 -1, -2, -3, \cdots, -10 中随机选出一个数 b，则 a^2+b 能被 3 整除的概率为________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 137
user: 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 \Omega 与抛物线 \Gamma:y^2=4x 恰有一个公共点，且圆 \Omega 与 x 轴相切于 \Gamma 的焦点 F. 求圆 \Omega 的半径.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 7
user: 求所有的实数 k，使得 a^3+b^3+c^3+d^3+1\geq k(a+b+c+d) 对任意 a,b,c,d\in [-1,+\infty) 都成立.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
user: 在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K=\{(x,y)\ |\ x,y=-1,0,1\}. 在 K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间的距离均不超过 2 的概率为________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
user: 一个不均匀的骰子，掷出 1,2,3,4,5,6 点的概率依次成等差数列. 独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别为 a,b. 若事件"a+b=7"发生的概率为 \df{1}{7}，则事件"a=b''发生的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 25
user: 求最小的实数 C>1，满足如下条件：对任意整数 n\geq 2 和满足 \df{1}{a_1}+\df{1}{a_2}+\cdots+\df{1}{a_n}=1 的非整正实数 a_1, a_2, \cdots, a_n，都可以找到正整数 b_i，使得 (1) 对 1\leq i\leq n，b_i=[a_i] 或 [a_i]+1；(2) 1<\df{1}{b_1}+\df{1}{b_2}+\cdots+\df{1}{b_n}\leq C.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
user: 求最小的常数 C，使得对任意正整数 n 和正实数 x_1, x_2, \cdots, x_n，均有\ds{1\leq i,j\leq n}{}\left\{\df{x_i}{x_j}\right\}\leq Cn^2,其中 \{x\} 表示实数 x 的小数部分.（清华大学 江城 供题）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 23
user: 过抛物线 E:y^2=2x 的焦点 F 作两条斜率之积为 -\df{1}{2} 的直线 l_1, l_2，其中 l_1 交 E 于 A, C 两点，l_2 交 E 于 B, D 两点. 则 |AC|+2|BD| 的最小值为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 16
user: 设 C 是单位圆周，z_1,z_2,\cdots,z_{240} 是 C 上的复数（可以相同），满足：(1) 对 C 上任意长为 \pi 的开弧 \Gamma，至多有 200 个 j 使得 z_j\in\Gamma；(2) 对 C 上任意长为 \df{\pi}{3} 的开弧 \gamma，至多有 120 个 j 使得 z_j\in\gamma.求 |z_1+z_2+\cdots+z_{240}| 的最大值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 123
user: \df{\cos^220^\circ+\cos^240^\circ+\cos^280^\circ}{\sin^420^\circ+\sin^440^\circ+\sin^480^\circ}  的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
user: 设 b,c 为实数，满足关于 x 的方程 f(x)^2+bf(x)+c=0 有 6 个互不相等的实数解，其中 f(x)=\left|x-\df{1}{x}\right|-\left|x+\df{1}{x}\right|+2，则 f(2025b)+f(c+2024) 的最小值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3035
user: 正实数 x,y,z 满足 x+2y^2+4x^2y^2z^2=8，则 \log_4x+\log_2y+\log_8z 的最大值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
user: 现有甲、乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为 \df{1}{3}，乙胜的概率为 \df{2}{3}. 规定谁先胜 3 局谁赢得胜利，则甲赢的概率为__________.（用最简分数表示答案）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 98
user: 设正数 a,b,c,x,y,z 满足 cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c. 求函数f(x,y,z)=\df{x^2}{1+x}+\df{y^2}{1+y}+\df{z^2}{1+z}的最小值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
user: 在平面直角坐标系 xOy 中，\Gamma_1 是以 (2,1) 为圆心的单位圆，\Gamma_2 是以 (10,11) 为圆心的单位圆. 过原点 O 作一条直线 l，使得 l 与 \Gamma_1,\Gamma_2 各有两个交点，将 \Gamma_1, \Gamma_2 共分成四段圆弧，且这四段圆弧中有两段等长. 所有满足条件的直线 l 的斜率之和为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 87
user: 将一个 n\times n 方格表的格染为黑白两种颜色之一. 一次操作是指选择某个正整数 t，并将一个 1\times t 或 t\times 1 矩形内方格的颜色反转（黑变白、白变黑）. 设 f(n) 为对所有可能的初始染色方式，将其变为全白的最小操作次数的最大值. 求 \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\df{f(n)}{n^2} 的值，或证明其不存在.（xibo）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
user: 过椭圆 \df{x^2}{4}+y^2=1 上点 P 作圆 x^2+y^2=1 的两条切线，切点弦所在直线与 x 轴、y 轴分别交于点 E, F. 则 \triangle EOF 面积的最小值是__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
user: 已知直三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 的底面为直角三角形，\angle ACB=90^\circ，AC=6，BC=CC_1=\sqrt{2}. P 是 BC_1 上一动点，则 CP+PA_1 的最小值是__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 7
user: 求最小常数 \lambda，使不等式xy(x^2+y^2)+yz(y^2+z^2)+zx(z^2+x^2)\leq \lambda(x+y+z)^4对所有非负实数 x,y,z 都成立.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
user: 在 \triangle ABC 中，a^2+2(b^2+c^2)=2\sqrt{2}，则 \triangle ABC 面积的最大值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
user: 在正四面体 P-ABC 中，点 E,F 分别在棱 PB, PC 上. 若 PE\neq PF，且 AE=AF=2, EF=\sqrt{3}，则四面体 P-AEF 的体积为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
user: 在平面直角坐标系 xOy 中，A 为椭圆 \df{x^2}{4}+y^2=1 上一点，M 为线段 OA 上的动点. 过 M 作直线与椭圆交于 P, Q 两点，若 \overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{MQ}，求四边形 OPAQ 面积的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
user: 设 x,y,z 是正实数，求2\sqrt{(x+y+z)\left(\df{1}{x}+\df{1}{y}+\df{1}{z}\right)}-\sqrt{\left(1+\df{x}{y}\right)\left(1+\df{y}{z}\right)}的最小值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 5
user: 设集合 T=\{(a,b,c)\ |\ a,b,c\in\bN_+,\text{且 }\ a,b,c\ \text{可 构 成 某 个 三 角 形 的 三 边 长 }\}. 则 \ds{(a,b,c)\in T}{}\df{2^a}{3^b\cdot 5^c} 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 38
user: 已知非负实数 a_i,b_i(1\leq i\leq 2024) 满足 \ds{i=1}{2024}a_i=\ds{i=1}{2024}b_i=1. 求\ds{i=1}{2024}a_ib_{i+1}b_{i+2}b_{i+3}a_{i+4}的最大值，其中下标按模 2024 理解.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 109
user: 已知点 A,F_1,F_2 分别为椭圆 \df{x^2}{4}+\df{y^2}{3}=1 的左顶点和左、右焦点. 过点 A 作斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 B，连接 BF_2 并延长交椭圆于点 C. 若 F_1C\bot AB，则 k^2 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 25
user: 初始时黑板上有六个向量(1,0,0),\ (-1,0,0),\ (0,1,0),\ (0,-1,0),\ (0,0,1),\ (0,0,-1).一次操作可以将黑板上的两个向量 v,w 换为 \df{1}{\sqrt{2}}(v+w), \df{1}{\sqrt{2}}(v-w). 求若干次操作后，黑板上所有向量之和的模的最大可能值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 5
user: 求最小的实数 c，使得对任意正整数 n 以及任意 n 个和为 0 的非零复数 z_1, z_2, \cdots, z_n，均存在下标 i\neq j，使得 |z_i^2+z_j^2|\leq c|z_iz_j|.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
user: 若锐角 A,B,C 满足 \sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2，则 \df{1}{\sin^2A\cos^4B}+\df{1}{\sin^2B\cos^4C}+\df{1}{\sin^2C\cos^4A} 的最小值是__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 83
user: 将 1,2,3,4,5,6 随机排成一行，记为 a, b, c, d, e, f，则 abc+def 是偶数的概率为________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
user: 设复数 z 满足 |z|=1，且使得关于 x 的方程 zx^2+2\bar{z}x+2=0 有实根. 则这样的 z 的和为________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: -1
user: 将一枚硬币和一个骰子同时投掷，硬币出现正面记为 2、出现反面记为 1. 此数与骰子的点数之积记为 x（例如硬币出现正面，骰子点数为 3，则 x=2\times3=6），那么 x 的数学期望是__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 25
user: 已知抛物线 y^2=2px(p>0) 与双曲线 y=-\df{1}{x} 相交于点 R，抛物线与双曲线的公切线分别与抛物线、双曲线相切于点 S,T. 求证：对于任意正实数 p，\triangle RST 的面积为与 p 无关的常数，并求该常数.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 31
user: 设等差数列 \{a_n\} 满足 a_{2021}=a_{20}+a_{21}=1，则 a_1 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5982
user: 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 \Gamma:y^2=2px(p>0) 的焦点为 F，过 \Gamma 上一点 P（异于 O）作 \Gamma 的切线，与 y 轴交于点 Q. 若 |FP|=2, |FQ|=1，则 \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} 的值为__________..原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
user: 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数 1, 2, 3, 4, 5, 6. 随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果互相独立），所得的点数依次为 a_1,a_2,a_3，则 |a_1-a_2|+|a_2-a_3|+|a_3-a_1|=6 的概率为__________..原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
user: 已知 x,y\in[0,+\infty)，且满足 x^3+y^3+6xy=8. 则 2x^2+y^2 的最小值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 11
user: 已知 x_1,x_2,\cdots,x_{50} 是实数，且 \ds{i=1}{50}\df{x_i}{k+i}=\df{2021}{2k+1} 对任意 k\in\{1,2,\cdots,50\} 成立. 求 \ds{i=1}{50}\df{x_i}{4042i+2021} 的值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 12751
user: 已知双曲线 \Gamma:\df{x^2}{3}-y^2=1，点 A_1(2,0),A_2(3,0). 过 A_1 的直线与双曲线交于点 B_1,  C_1，过 A_2 的直线与双曲线交于点 B_2, C_2，且 k_{B_1C_1}k_{B_2C_2}=\df{1}{2}. 分别以 B_1C_1, B_2C_2 为直径的圆交于点 X, Y，求原点到直线 XY 的最大距离.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 8
user: 设 \alpha,\beta\in[0,\frac{\pi}{3}]，则 \cos(\alpha+\beta)+2\cos(\alpha-\beta) 的最小值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
user: 已知实数 x,y 满足 x<y,|x|<3,|y|<3，且关于 t 的方程 (x^3-y^3)t^4+(3x+y)t^2+\df{1}{x-y}=0 有实根. 则点 (x,y) 构成的区域的面积为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 14
user: 设 a,b,c 为实数，5a-b-4c, 5b-c-4a, 5c-a-4b 均不为 0，则 \ds{cyc}{}\left(\df{a+b+4c}{5a-b-4c}\right)^2 的最小值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 75
user: 求最大的实数 c，使得对任意和为正整数的正实数 a,b，都有\{a^2\}+\{b^2\}\leq 2-\df{c}{(a+b)^2}.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
user: 在正六棱锥中，侧面与底面的夹角均为 \df{\pi}{3}，则其外接球与内切球的半径的比值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
user: 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C:y^2=4x 的焦点为 F，过 C 上一点 P（异于 O）作 C 的切线与 y 轴交于点 Q. 若点 Q 关于直线 PF 的对称点在 x 轴上，则 \triangle PQF 的面积为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 5
user: 盒子中有大小、形状完全相同的 3 个红球和 3 个白球. 现抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出几点就从盒子中取出几个球. 则取出的球中红球个数大于白球个数的概率为_________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 79
user: 已知双曲线 C:\df{x^2}{a^2}-\df{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0) 的离心率为 \df{\sqrt{17}}{3}，F 为右焦点，点 A,B 在右支上. 设 D 为 A 关于原点 O 的对称点，且 DF\bot AB. 若 \overrightarrow{AF}=\lambda\overrightarrow{FB}，则 \lambda=_________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
user: 某食品厂制作了 4 种不同的精美卡片，在该厂生产的每袋食品中都随机装入一张卡片. 规定：如果收集齐了 4 种不同的卡片，便可获得奖品. 小明一次性购买该种食品 6 袋，那么小明获奖的概率是__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 707
user: 设实数 a,b,c,d 满足 a^2+b^2+c^2+d^2=1. 求 (a-b)(b-c)(c-d)(d-a) 的最小值，并求达到最小值时所有的 (a,b,c,d).原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
user: 设整数 n\geq3. 设 a_1,a_2,\cdots,a_n 是非负实数，满足 \ds{i=1}{n}a_i=1. 求\left(\ds{i=1}{n}\max\{a_i,a_{i+1},a_{i+2}\}\right)\left(\ds{i=1}{n}\min\{a_i,a_{i+1},a_{i+2}\}\right)的最大值，其中下标按模 n 理解.（YNWA）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 17
user: 已知函数f(x)=\begin{cases} x,& \text{若 }\ x\ \text{为 无 理 数 };\\ \df{q+1}{p},&\text{若 }\ x=\df{q}{p},\text{其 中 }\ p,q\in\bN^\ast,\text{且 }\ p,q\ \text{互 质 },p>q.\end{cases}则函数 f(x) 在区间 \left(\df{8}{9},\df{9}{10}\right) 上的最大值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 37
user: 已知函数 f(x)=\cos^4x+\sin^4x+a\sin4x-b，且 f(x+\frac{\pi}{6}) 为奇函数. 若方程 f(x)+m=0 在 [0,\pi] 上有四个不同的实数解 x_1, x_2, x_3, x_4，则 f(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}) 的平方值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 13
user: 从面积为 1 的正 7 边形的 7 个顶点中随机选出 4 个不同的顶点，它们构成的四边形的面积大于 \df{1}{2} 的概率是__________.（王正供题）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
user: 已知 a>b>1，若 \log_ab+\log_ba=\df{5}{2}，则 \df{b}{a+4} 的最大值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
user: 设复数 x,y,z 满足：|x+2y+3z|=1. 求|x|^2+|y|^2+|z|^2+|x^2+y^2+z^2|的最小值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 8
user: 设 S 是边长为 1 的正六边形内及边上的点构成的集合. 求最小的实数 r，使得存在一种将 S 中的点三染色的方法，满足任意两个同色点之间的距离小于 r.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
user: 点 M,N 分别在 \triangle ABC 的边 AB,AC 上，且\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{AN}=y\overrightarrow{AC}.D 为线段 BC 的中点，G 为线段 MN 与 AD 的交点. 若 \overrightarrow{AG}=\df{3}{5}\overrightarrow{AD}，则 \df{1}{x^2}+\df{4}{y^2} 的最小值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 94
user: 从 1,2,3,\cdots,11 这 11 个正整数中任意抽取 3 个不同的正整数 a, b, c，则它们的积 abc 能被 4 整除的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 53
user: 求最大的实数 C，使得对任意整数 n\geq2，存在 x_1, x_2, \cdots, x_n\in[-1,1]，满足\prod_{1\leq i<j\leq n}{}(x_i-x_j)\geq C^{\frac{n(n-1)}{2}}.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
user: 已知函数 y=f(x) 的图像既关于点 (1,1) 中心对称，又关于直线 x+y=0 轴对称. 若 x\in(0,1) 时，f(x)=\log_2(x+1)，则 f(\log_210) 的值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 22
user: 若 \triangle ABC 的内角 A,B,C 满足 \sin A=\cos B=\tan C，求 \cos^3A+\cos^2A-\cos A 的值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
user: 若 A,B 为锐角且 \sin B\cdot\sin(A+B)=\sin A，则 \tan A 的最大值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
user: 一个盒中有 9 个正品和 3 个废品，每次取一个产品，取出后不再放回. 则在取出 2 个正品前已取出 3 个废品的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 56
user: 在长方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=AA_1=2, AD=2\sqrt{3}. M 为平面 BA_1C_1 内一点，则 \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC} 的最小值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: -9
user: 在四边形 ABCD 中，已知 \cos\angle BAD=\df{3}{4}，\angle BAC=\angle DAC，AD<AB，且 AB=5, AC=BD=\sqrt{14}. 若 \overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AD}（\lambda,\mu\in\bR），则 \lambda+\mu=__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 12
user: 已知离心率为 \df{\sqrt{6}}{2} 的双曲线 C:\df{x^2}{a^2}-\df{y^2}{b^2}=1 (a>0,b>0) 的左、右焦点分别为 F_1, F_2. P 为双曲线上一点，R, r 分别为 \triangle PF_1F_2 的外接圆、内切圆半径. 若 \angle F_1PF_2=60^\circ，则 \df{R}{r}=__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 6
user: 设实数 x,y,z 满足 x^2+y^2+z^2=1，求(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy)的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
user: 设 0<x,y<1，求 \df{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)} 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9
user: 直角三角形 DEF 的三个顶点分别在等边三角形 ABC 的边 AB, BC, CA 上，且 \angle DEF=90^\circ, \angle EDF=30^\circ. 求 \df{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle ABC}} 的最小值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 17
user: 给定整数 n\geq4. 设非负实数 a_1,a_2,\cdots,a_n 满足 a_1+a_2+\cdots+a_n=2. 求\df{a_1}{a_2^2+1}+\df{a_2}{a_3^2+1}+\cdots+\df{a_n}{a_1^2+1}的最小值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
user: 求具有下述性质的最小正数 c：对任意整数 n\geq4，以及集合 A\subseteq\{1,2,\cdots,n\}，若 |A|>cn，则存在函数 f:A\rightarrow\{-1,1\}，满足\left|\ds{a\in A}{}f(a)\cdot a\right|\leq1.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
user: 向量 \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} 满足 \overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}\neq\overrightarrow{0}，(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})=0. 则 \df{|\overrightarrow{c}|}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|} 的最大值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 3
user: 求最大的实数 k，使得对任意正实数 a,b，均有(a+b)(ab+1)(b+1)\geq kab^2.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 31
user: 求最小的实数 \lambda，使得对任意正实数 x_1,x_2,x_3,x_4，均存在 1, 2, 3, 4 的一个排列 \sigma，满足(x_{\sigma(1)}x_{\sigma(2)}-x_{\sigma(3)}x_{\sigma(4)})^2\leq\lambda\ds{1\leq i<j\leq 4}{}(x_i^2-x_j^2)^2.（Martin）原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
user: 从正六边形的顶点以及各边中点（共 12 个点）中随机选取三个不同的点，这三个点能形成等腰三角形的概率为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 133
user: 在坐标平面上，对正整数 m，定义点集A_m=\{(x,y)\ |\ x,y\in\bQ,xy\neq0,\df{xy}{m}\in\bZ\}.对线段 MN，定义 f_m(MN) 为线段 MN 上属于集合 A_m 的点的个数. 求最小的实数 \lambda，使得对坐标平面上的任意直线 l，均存在与 l 有关的实数 \beta(l)，满足：对直线 l 上任意两点 M,N，均有 f_{2016}(MN)\leq\lambda f_{2015}(MN)+\beta(l).原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 2021
user: 求最大的实数 c，使得对任意正整数 n 及任意满足 0=x_0<x_1<\cdots<x_n=1 的数列 \{x_n\}，都有 \ds{k=1}{n}x_k^2(x_k-x_{k-1})>c.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
user: 使得 \df{x+3}{x^2-2x+2} 为正整数的所有实数 x 的和为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 133
user: 已知数列 \{a_n\},\{b_n\} 满足：a_1=a_2=2019，b_1=b_2=2017，且对任意 n\geq2，均有 a_{n+1}=(a_{n-1}-1)(b_n+1)，b_{n+1}=a_nb_{n-1}-1. 求 \ds{n=1}{\infty}b_n\left(\df{1}{a_{n+1}}-\df{1}{a_{n+3}}\right) 的值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 8148685
user: 一个"面包圈"是指从 (a+2)\times(b+2) 矩形的中间去掉 a\times b 矩形后得到的由 2a+2b+4 个单位方格构成的环，其中 a,b 是任意正整数.考虑无限大的方格表. 对每个偶数 n\geq8，一个"n-阶面包店"是指由有限个方格构成的集合 S，满足对任意一个由 n 个方格构成的面包圈 B，存在与 B 全等（可平移和旋转）的面包圈，其方格都属于 S. 用 f(n) 表示 n-阶面包店中方格数的最小可能值.求实数 \alpha，使得对任意充分大的偶数 n，均有\df{1}{100}<\df{f(n)}{n^\alpha}<100.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 5
user: 已知四面体 S-ABC，A_1 为 \triangle SBC 的重心，G 在线段 AA_1  上，满足 \df{|AG|}{|GA_1|}=3. 连接 SG 交 \triangle ABC 所在的平面于点 M，则 \df{|A_1M|}{|AS|}=__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 4
user: 已知数列 \{a_n\} 满足 a_1=\df{1}{3}，a_{n+1}=\df{a_n}{2-(2n+1)(2n-5)a_n}, n=1, 2, \cdots，则 \ds{i=1}{2023}a_i=__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 6070
user: 设 a,b 是实数，方程 x^3-ax^2+bx-a=0 有三个正实根. 求 \df{2a^3-3ab+3a}{b+1} 的最小值.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 12
user: 将一个正方形分割成有限个白色和红色矩形，其边均与正方形的边平行. 在每个白色矩形内，写下它的宽与高的比值；在每个红色矩形内，写下它的高与宽的比值. 我们计算出所有矩形内写的数的总和 x. 如果两种颜色矩形的总面积相同，求 x 的最小可能值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 7
user: 设非零复数 a,b,c 满足 a|bc|+b|ca|+c|ab|=0，则 \df{|(a-b)(b-c)(c-a)|}{|abc|} 的最小值为__________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 6
user: 设 y^2=4x 的三条切线的斜率为 1,2,3，则三条切线围成的三角形的外接圆直径为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 8
user: 若平面向量 \overrightarrow{a}=(2^m,-1) 与 \overrightarrow{b}=(2^m-1,2^{m+1}) 垂直，其中 m 为实数，则 \overrightarrow{a} 的模为________.原始的答案是k\sqrt{m}+n的形式，请给出k + m + n的值。
Answer: 11
user: 设 a,b,c 均大于 1，满足 \begin{cases}\lg a+\log_bc=3\\ \lg b+\log_ac=4 \end{cases}. 求 \lg a\cdot\lg c 的最大值.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 19
user: 设 x\in[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]，则函数 f(x)=\sin^2x-2\sin x 的最大值为__________.原始的答案是\frac{m}{n}的形式，其中m、n是互质的。请给出最终m + n的值
Answer: 9