meetforever/GRPO_CL huggingface dataset:
user: 已知数列 \{a_n\} 的前 n 项和为 S_n，且 a_1=3, S_n=2a_n+\df{3}{2}((-1)^n-1). 若 \{a_n\} 中存在三项 a_1, a_p, a_q (p,q\in\bN_+,1<p<q) 成等差数列，则 q-p=__________.
Answer: 1
user: 已知 f:\bZ\rightarrow\bZ 为偶函数，且 f(1)=1, f(2017)\neq1. 若对任意整数 x, y，均有2f(x+y)-f(x)-f(y)\leq |f(x)-f(y)|,求 f(2018) 的所有可能值.
Answer: 1
user: 把与 143 互质的全体正整数按从小到大排列成一个数列，则该数列的第 2022 项为__________.
Answer: 2410
user: 设 X=\{1,2,\cdots,10\}，f:X\rightarrow X 的映射满足① f\circ f=I_X，其中 f\circ f 是复合映射，I_X 为 X 上的恒等映射；② |f(i)-i|\leq 2，对任意 i\in X.求映射 f 的数目.
Answer: 401
user: S 是集合 \{1,2,\cdots,2023\} 的子集，满足任意两个元素的平方和不是 9 的倍数，则 |S| 的最大值是__________.（这里 |S| 表示 S 的元素个数）
Answer: 1350
user: 已知函数 f(x)=\sin\omega x+\sin 2x，其中 \omega\in\bN_+, \omega\leq2023. 若 f(x)<2 恒成立，则满足题设的常数 \omega 的个数为__________.
Answer: 1770
user: 设实数 x,y 满足 \begin{cases} x^3-3x^2+2026x=2023\\ y^3+6y^2+2035y=-4053\end{cases}，则 x+y=__________.
Answer: -1
user: 使得 n^2+2023n 为平方数的正整数 n 的最小值是__________.
Answer: 425
user: 现有 11 位同学报名博物馆的志愿讲解活动，活动从上午 9 点开始到下午 5 点结束，每小时安排一场公益小讲堂，每场需要 1 位同学为参观的游客提供讲解服务. 为避免同学们劳累，馆方在排班时不会让同一人连续讲解 2 场，并且第一场与最后一场需要两位不同的同学负责. 则馆方共有__________种排班方式.
Answer: 100000010
user: 求最小的整数 n\geq3，使得在平面内任意无三点共线的 n 个点中，必有三个点是一个非等腰三角形的顶点.
Answer: 7
user: 设 a_1,a_2,\cdots,a_6;b_1,b_2,\cdots,b_6;c_1,c_2,\cdots,c_6 都是 1, 2, \cdots, 6 的排列. 求 \ds{i=1}{6}a_ib_ic_i 的最小值.
Answer: 162
user: 在一个 10\times10 的棋盘上有 k 个车. 棋盘上可以被某个车攻击的格称为危险的（包括车本身所在的格）. 如果任意去掉一个车后都至少有一个危险的格变为不危险，求 k 的最大可能值.
Answer: 16
user: 某国有 100 个城市，分别编号 1,2,\cdots,100. 在一些城市之间有道路相连，两个城市之间至多只有一条道路. 称有道路相连的两个城市是相邻的，一位外国游客计划来该国旅行 100 次. 对 1\leq i\leq 100，在第 i 次旅行中他从编号为 i 的城市开始，之后每天前往与当前所在城市相邻且编号最小的城市，如果该城市在本次旅行中已经游览过，则不再前往且本次旅行结束.已知 100 次旅行结束后，该旅客游览每个城市的次数恰好相同. 求该国道路个数的最大可能值.
Answer: 2500
user: 设复数 z=9+10i（i 为虚数单位），若正整数 n 满足 |z^n|\leq 2023，则 n 的最大值为__________.
Answer: 2
user: 若正实数 a,b 满足 a^{\lg b}=2,a^{\lg a}\cdot b^{\lg b}=5，则 (ab)^{\lg ab} 的值为__________.
Answer: 20
user: 平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 \Omega 与 x 轴、y 轴均相切，圆心在椭圆 \Gamma:\df{x^2}{a^2}+\df{y^2}{b^2}=1(a>b>0) 内，且 \Omega 与 \Gamma 有唯一的公共点 (8,9). 则 \Gamma 的焦距为__________.
Answer: 10
user: 设整数 n\geq2. A,B 两人在 n\times2021 的方格表内玩游戏. 初始时，A 将每格染上黑色或白色，B 在第一行的某格内放入一个棋子，并在最后一行指定一格作为目标. 接下来，A 重复 n-1 次如下操作：当棋子在白格中时，A 将棋子向下移动一格；当棋子在黑格中时，A 先将棋子向左或右移动一格，再向下移动一格. 求最小的 n，使得无论 B 如何选择，A 总能将棋子移到目标.
Answer: 2022
user: 设 a_1,a_2,\cdots,a_{2021} 是整数，满足对 n=1, 2, \cdots, 2016，均有 a_{n+5}+a_n>a_{n+2}+a_{n+3}. 求 a_1, a_2, \cdots, a_{2021} 中最大者与最小者之差的最小可能值.
Answer: 85008
user: 求所有的正整数 n，使得 3^n+n^2+2019 是一个完全平方数.
Answer: 4
user: 设 S=\{(i,j)\ |\ i,j=1,2,\cdots,100\} 是直角坐标平面上的 100\times100 个整点构成的集合. 将 S 中的每个点染为给定的四种颜色之一，求以 S 中四个颜色互不相同的点为顶点、且边平行于坐标轴的矩形个数的最大值.
Answer: 9375000
user: 设函数 f:\bN_+\rightarrow\bN_+，满足对任意正整数 s,t，均有 f(t^2f(s))=sf(t)^2. 求 f(1998) 的最小可能值.
Answer: 120
user: 设 \{x_k\}=(x_1,x_2,\cdots,x_n) 为有限项的实数数列. 称 \{x_k\} 为 N-数列，如果存在 1\leq i\leq j\leq n，使得 (x_1,x_2,\cdots,x_i) 严格递增且 (x_i,\cdots,x_j), (x_j,\cdots,x_n) 分别严格单调. 求最大的正整数 m，使得任何 1, 2, \cdots, 2023 的排列都有 m 项的 N-子列.注：数列 (x_1,x_2,\cdots,x_p) 的子列即形如 (x_{i_1},x_{i_2},\cdots,x_{i_q}) 的数列，其中下标 1\leq i_1<\cdots<i_q\leq p.（董子超供题）
Answer: 89
user: 设集合 X=\{1,2,\cdots,2001\}. 求最小的正整数 m，使得对 X 的任一 m 元子集 W，都存在 u,v\in W（u,v 可以相同），满足 u+v 是 2 的幂.
Answer: 999
user: "棍子"是指 1\times k 或 k\times 1 的矩形，其中 k 是任意正整数. 求最小的正整数 m，使得可以将 2022\times2022 的棋盘划分为 m 个不交的棍子，满足任意两个棍子都至多有一个单位长度的公共边.
Answer: 2042224
user: 求所有的正整数 n，使得存在 k 及大于 3 的整数 n_1, n_2, \cdots, n_k，满足n=n_1n_2\cdots n_k=2^{\frac{1}{2^k}(n_1-1)(n_2-1)\cdots(n_k-1)}-1.
Answer: 7
user: 某次考试有 5 道选择题，每题都有 4 个不同答案供选择. 每人每题恰选 1 个答案. 在 2000 份答卷中发现存在一个 n，使得任何 n 份答卷中都存在 4 份，其中每两份的答案都至多 3 题相同. 求 n 的最小可能值.
Answer: 25
user: 设 \overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3) 和 \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3) 是空间向量，满足 u_i, v_i (i=1,2,3) 均为整数，且 0.9999<\cos\langle\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\rangle<1. 记 S=|u_1|+|u_2|+|u_3|+|v_1|+|v_2|+|v_3|，求 [\sqrt{S}] 的最小可能值.
Answer: 4
user: 求最大的实数 C，使得不等式\left(\ds{k=1}{100}\df{1}{x_k}\right)\left(\ds{k=1}{100}(x_k^3+2x_k)\right)-\left(\ds{k=1}{100}\sqrt{x_k^2+1}\right)^2\geq C对任意两两不同的正整数 x_1, x_2, \cdots, x_{100} 成立.
Answer: 33340000
user: 设正整数 a,b 满足 a<b\leq100. 若存在正整数 k，使得 ab\mid a^k+b^k，则称数对 (a,b) 是"好的". 求所有好数对的个数.
Answer: 96
user: 在一个圆周上给定 8 个点 A_1,A_2,\cdots,A_8. 求最小的正整数 n，使得在以这 8 个点为顶点的任意 n 个三角形中，必存在两个有公共边.
Answer: 9
user: 设复数列 \{z_n\} 满足 |z_1|=1,|z_n+z_{n-1}|=n, n\geq2. 记 |z_{20}-z_{23}| 和 |z_{20}+z_{23}| 的最大值分别为 m 和 n，则 m-n 的值为__________.
Answer: 420
user: 对正整数 n，记集合 \{t\in\bZ\ | 存在唯一的实数 x 使得 x[x]=t<n^2+2n-1\} 中的元素个数为 f(n)，其中 [x] 表示不超过实数 x 的最大整数. 则 f(\frac{20}{2}-2)f(20+23) 的值为__________.
Answer: 114514
user: 设正整数 a_1,a_2,\cdots,a_{2006}（可以相同）使得 \df{a_1}{a_2}, \df{a_2}{a_3}, \cdots, \df{a_{2005}}{a_{2006}} 两两不相等. 问：a_1, a_2, \cdots, a_{2006} 中最少有多少个不同的数？
Answer: 46
user: 设 a,b>0，满足：关于 x 的方程 \sqrt{|x|}+\sqrt{|x+a|}=b 恰有三个不同的实数解 x_1, x_2, x_3，且 x_1<x_2<x_3=b，则 a+b 的值为__________.
Answer: 144
user: 对正整数 n 及实数 x(0\leq x<n)，定义f(n,x)=(1-\{x\})\cdot\text{C}_n^{[x]}+\{x\}\cdot\text{C}_n^{[x]+1},其中 [x] 表示不超过实数 x 的最大整数，\{x\}=x-[x]. 若整数 m,n\geq2 满足f\left(m,\df{1}{n}\right)+f\left(m,\df{2}{n}\right)+\cdots+f\left(m,\df{mn-1}{n}\right)=123,求 f\left(n,\df{1}{m}\right)+f\left(n,\df{2}{m}\right)+\cdots+f\left(n,\df{mn-1}{m}\right) 的值.
Answer: 74
user: 求满足下列条件的大于 5 的最小奇数 a：存在正整数 m_1, n_1, m_2, n_2，使得 a=m_1^2+n_1^2，a^2=m_2^2+n_2^2，且 m_1-n_1=m_2-n_2.
Answer: 261
user: 设 P_1,P_2,\cdots,P_{12} 是平面上的 12 个点（允许重合），其中任意两点之间的距离不超过 1. 求 \ds{1\leq i<j\leq 12}{}|P_iP_j|^2 的最大可能值.
Answer: 48
user: 平面上有 2022 个点，满足任意三点不共线. 每个点被染为红色或蓝色，使得每三个（不同的）红点构成的三角形都至少包含一个蓝点. 求红点个数的最大可能值.
Answer: 1012
user: 在一个 4\times3000 的方格表中，最多能将多少个格染黑，使得黑格不形成由四个格构成的多米诺？
Answer: 7000
user: 设集合 A=\{1,2\},B=\{3,4\}，X=\{mn\ |\ z=a+bi,其中 a\in A, b\in B, z 为实系数方程 x^2+mx+n=0 的根 \}. 则 X 中所有元素之和为__________.
Answer: -186
user: 已知数列 \{a_n\},\{b_n\} 满足 a_1=2, b_1=0, a_2=2,b_2=2，且对 n\geq3，有 a_n=a_{n-1}a_{n-2}-b_{n-1}b_{n-2}，b_n=a_{n-1}b_{n-2}+a_{n-2}b_{n-1}. 求 |a_{2022}| 的末两位数字.
Answer: 64
user: 设实数 x_1,x_2,\cdots,x_{2018} 满足 x_1+x_2+\cdots+x_{2018}=1007, 且 |x_{i+1}-x_i|\leq1, i=1, 2, \cdots, 2017. 求 x_2+x_4 的最大值.（赵斌供题）
Answer: 2014
user: 求所有的整数 n，使得 n^4+6n^3+11n^2+3n+31 是一个完全平方数.
Answer: 10
user: 将一个 99\times101 的方格表中若干个小方格涂黑，其余小方格涂白. 如果每个黑格至多和一个黑格相邻（有公边），最多能涂黑多少个小方格？
Answer: 5017
user: 设实数 a,b 满足：集合 A=\{x\in\bR\ |\ x^2-10x+a\leq0\} 与 B=\{x\in\bR\ |\ bx\leq b^3\} 的交集为 [4,9]，则 a+b 的值为__________.
Answer: 7
user: 设 f(x) 是定义域为 \bR、最小正周期为 5 的函数. 若函数 g(x)=f(2^x) 在区间 [0,5) 上的零点个数为 25，则 g(x) 在区间 [1,4) 上的零点个数为__________.
Answer: 11
user: 若三个正整数 a,b,c 的位数之和为 8，且组成 a,b,c 的 8 个数码能排列为 2, 0, 2, 4, 0, 9, 0, 8，则称 (a,b,c) 为"幸运数组"，例如 (9,8,202400) 是一个幸运数组. 满足 10<a<b<c 的幸运数组 (a,b,c) 的个数为__________.
Answer: 591
user: 设整数 N\geq2，1=d_1<d_2<\cdots<d_s=N 是 N 的所有正因数. 已知 (d_1,d_2)+(d_2,d_3)+\cdots+(d_{s-1},d_s)=N-2, 求 N 的所有可能值.
Answer: 3
user: 若干两两内部不交的直角边长为 1 的等腰直角三角形放在 100\times100 的方格纸中. 已知任意直角三角形的斜边均为某个单位格的对角线；每个单位格的边均为唯一直角三角形的直角边. 两条对角线均不为直角三角形的斜边的小方格称为"空格". 求空格个数的最大值.
Answer: 2450
user: 对一切映射 f:\{0,1,2,\cdots,99\}\rightarrow\{0,1,2,\cdots,99\}，求下式的最小可能值：S=\ds{x=0}{99}|f(f(x))-((x+1) \text{mod} 100)|.这里的记号 a \text{mod} 100 表示正整数 a 除以 100 所得的余数.（董子超、吴茁供题）
Answer: 1
user: 称集合 A 为无和的，是指：若 a,b\in A，则 a+b\not\in A. 设 A_1, A_2 是 U=\{1,2,\cdots,999\} 的两个无和子集，求 |A_1\cup A_2| 的最大可能值.（吴茁供题）
Answer: 800
user: 棋盘上有一只羚羊棋子，它可以从格 (x_1,y_1) 跳到格 (x_2,y_2)，当且仅当 \{|x_1-x_2|,|y_1-y_2|\}=\{3,4\}. 将 1\sim10^{12} 任意填在一个 10^6\times10^6 的方格表中，每个数恰填在一个格中. 用 D 表示形如 |a-b| 的数的集合，其中羚羊棋子能从 a,b 所在格中的一个跳到另一个. 求填数的方法数，使得 D 中恰有 4 个元素.
Answer: 8
user: 设 a_1<a_2<\cdots<a_{2024} 是正整数等差数列，b_1<b_2<\cdots<b_{2024} 是正整数等比数列. 求同时出现在两个数列中的整数个数的最大可能值.
Answer: 11
user: 对于坐标平面上的点 A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)，记 d(A,B)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|. 称无序点对 (A,B) 是"和谐的"，如果 1<d(A,B)\leq2. 求在平面上的 100 个点中，和谐的点对个数的最大值.
Answer: 3750
user: 若方程 \log_2\left(k\left(x-\df{1}{2}\right)\right)=2\log_2\left(x+\df{1}{2}\right) 仅有一个实根，则满足条件的 k 的最大值等于__________.
Answer: 4
user: 设 \triangle ABC 的三个内角分别为 A,B,C，假设(\sin A\cos B+\sin B\cos C+\sin C\cos A)^2的最大值为 \alpha. 将 \alpha 写成最简分数后，其分子分母之和为__________.
Answer: 43
user: 已知函数 f:\bR\rightarrow\bR，使得任取实数 x,y,z 都有f(xy)+f(xz)-2f(x)f(yz)\geq\df{1}{2},则 [1\cdot f(1)]+[2\cdot f(2)]+\cdots+[2022\cdot f(2022)]=__________.（其中 [x] 表示不大于 x 的最大整数）
Answer: 1022121
user: 有__________组整数 (m,n) 满足 m^2-11mn-8n^2=88.
Answer: 0
user: 已知 x,y,z 是 3 个大于等于 1 的实数，那么\left(\df{\sqrt{x^2(y-1)^2+y^2}}{xy}+\df{\sqrt{y^2(z-1)^2+z^2}}{yz}+\df{\sqrt{z^2(x-1)^2+x^2}}{xz}\right)^2的最小值写成最简分数后的分子分母之和是__________.
Answer: 11
user: 在 \triangle ABC 中，\angle A>90^\circ，\angle B=20^\circ，作 AD\bot AB 交 BC 于点 D. 已知 AB=1, CD=4，设 S 为 \triangle ABC 的面积，则 S^2 写成最简分数之后，分子分母之和为__________.
Answer: 7
user: 满足 x^4-x^3-2\sqrt{5}x^2-7x^2+\sqrt{5}x+3x+7\sqrt{5}+17=0 的所有正实数 x 的整数部分之和是__________.
Answer: 5
user: 方程 \df{1}{x^2}+\df{1}{y}+\df{1}{z}=\df{4}{3} 有__________组整数解.
Answer: 14
user: 设递推数列 \{x_n\} 满足：x_{n+1}=x_n^2-4x_n, n=1,2,\cdots. 如果对任意的首项 x_1\in\bR 且 x_1\neq0，数列中一定存在某项 x_k\geq b，则不超过 (2b-3)^2 的最大整数是__________.
Answer: 21
user: 对实数 x_1,x_2,\cdots,x_{19}，不超过f(x_1,x_2,\cdots,x_{19})=\ds{k_1=0}{1}\ \ds{k_2=0}{1}\cdots\ds{k_{19}=0}{1}|k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_{19}x_{19}-1|的最小值的最大整数为__________.
Answer: 92378
user: 有__________个不超过 2020 的正整数 k，满足对任意的正整数 n，均有3^{(k-1)n+1}\nmid\left(\df{(kn)!}{n!}\right)^2.
Answer: 7
user: 甲在平面上画了一个正 2021 边形，乙在每个顶点上标一个实数，满足相邻两个顶点的标数至多差 1. 对标数至多差 1 的不相邻的两个顶点，甲在它们之间连一条对角线. 用 d 表示甲连对角线的条数，求 d 的最小可能值.
Answer: 2018
user: 对正整数 n，记 g(n) 为 n 与 2015 的最大公约数. 求满足下列条件的有序三元数组 (a,b,c) 的个数：(1) a,b,c\in\{1,2,\cdots,2015\}；(2) g(a), g(b), g(c), g(a+b), g(b+c), g(c+a), g(a+b+c) 两两不同.
Answer: 138240
user: 有多少个不同的三边长为整数的直角三角形其面积值是周长值的 999 倍？（全等的两个三角形看作相同的）
Answer: 42
user: 求最大的正整数 n，使得存在正整数数列 a_1, a_2, \cdots, a_n，满足对2\leq k\leq n-1，有 a_{k+1}=\df{a_k^2+1}{a_{k-1}+1}-1.
Answer: 4
user: 求同时满足下列两个条件的多项式 f(x)=ax^3+bx 的个数：(1) a,b\in\{1,2,\cdots,2013\}；(2) f(1),f(2),\cdots,f(2013) 中任意两数之差都不是 2013 的倍数.
Answer: 7200
user: 设集合 A=\{2,3,4,\cdots,4050\}，集合 B=\{(a,b)\ |\ \log_ab+8\log_ba=6,a\in A,b\in A\}，则集合 B 的元素个数为__________.
Answer: 68
user: 设复数 z 满足 \df{4z-2}{2\overline{z}-1}+|z|^2=0，则 |z+1| 的值为__________.
Answer: 2
user: 平面上同时和三直线 y=\df{3}{4}x, y=-\df{4}{3}(x-5), y=0 相切的所有圆的半径的乘积为__________.
Answer: 36
user: 已知正整数 n 的所有正因数排列为：1=d_1<d_2<d_3<\cdots，则在 1, 2, 3, \cdots, 2024 中使得 d_{10}=88 的所有数之和为__________.
Answer: 2376
user: 实数 a,b,c 满足 ab+bc+ca=44，求 (a^2+4)(b^2+4)(c^2+4) 的最小值.
Answer: 6400
user: 若 3 个整数 a,b,c 满足 a^2+b^2+c^2+3<ab+3b+3c，则这样的有序整数组 (a,b,c) 共有__________组.
Answer: 14
user: 将正整数 1,2,\cdots,100 填入 10\times10 方格表中，每个小方格恰好填 1 个数，要求每行从左到右 10 个数依次递减，对 1\leq i\leq 10，记第 i 行的 10 个数之和为 S_i. 设 n\in\{1,2,\cdots,10\} 满足：存在一种填法，使得 S_1, S_2, \cdots, S_{10} 均大于第 n 列上的 10 个数之和，求 n 的最小值.
Answer: 5
user: 如果关于 x 的三次方程 x^3=ax+a+1 有满足 |x|<1000 的偶数根，求实数 a 的个数.
Answer: 999
user: 求最小的正整数 n，使得对于任意和为 2007 的正整数数列 a_1,a_2,\cdots,a_n，其中必有连续若干项之和等于 30.
Answer: 1018
user: 已知非负实数 a_1,a_2,\cdots,a_{2022} 满足对 i=1, 2, \cdots, 2022，均有(a_i+2a_{i+1})^2+a_i\geq38(a_{2023}=a_1).求 \ds{i=1}{2022}a_i 的最小值.
Answer: 4044
user: 设 V 是空间中 2019 个点构成的集合，其中任意四点不共面. 某些点之间连有线段，记 E 为这些线段构成的集合. 求最小的正整数 n，满足条件：若 E 至少有 n 个元素，则 E 一定含有 908 个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.
Answer: 2795
user: 求最小的正整数 m，使得对任意整数 A,B，存在多项式 f(x)，满足 f(-2)=A,f(-3)=B，且 f(x) 的各项系数都是不超过 m 的非负整数.
Answer: 5
user: 集合 \{0,1,2,\cdots,2012\} 中有多少个元素 k，使得 \text{C}_{2012}^k 是 2012 的倍数？
Answer: 1498
user: 对正整数 n，定义函数f(n)= \begin{cases} 0,&\text{当  }  n \text{ 是 平 方 数 },\\
  \left[\df{1}{\{\sqrt{n}\}}\right],&\text{当  }  n \text{ 不 是 平 方 数 }, \end{cases}其中 \{x\}=x-[x]. 求 \ds{k=1}{240}f(k) 的值.
Answer: 768
user: 求所有的正整数 n，使得存在正整数 a,b，满足 a^2+b+3 不能被任何质数的立方整除，且n=\df{ab+3b+8}{a^2+b+3}.
Answer: 2
user: 已知集合 A=\{1,2,\cdots,10\}. 定义函数 f:A\rightarrow A，满足：(1) 对任意 x,y\in A，若 x\leq y，则 f(x)\leq f(y)；(2) f(3)=4. 这样的函数 f 的个数为__________.
Answer: 17160
user: 已知复数 z 满足 |z|=1，则 f(z)=|z^5+\overline{z}^3+6z|-2|z^4+1| 的最小值为__________.
Answer: 3
user: 在边长为 1 的正六边形的六个顶点中随机取出三个顶点，则这三点中有两点的距离为 \sqrt{3} 的概率为__________.
Answer: 1
user: 设集合 S=\{1,2,\cdots,10\}，S 的子集 A 满足 A\cap\{1,2,3\}\neq\emptyset,A\cup\{4,5,6\}\neq S，这样的子集 A 的个数为__________.
Answer: 888
user: 一个"位置"是指直角坐标平面上的一个点 (x,y)，其中 x,y 都是不超过 20 的正整数.最初时，所有 400 个位置都是空的. 甲乙两人轮流摆放石子，由甲先进行. 每次轮到甲时，他在一个空的位置上摆上一个新的红色石子，要求任意两个红色石子所在位置之间的距离都不等于 \sqrt{5}. 每次轮到乙时，他在任意一个空的位置上摆上一个新的蓝色石子，蓝色石子所在位置与其它石子所在位置之间的距离可以是任意值. 如此这般进行下去直至某人无法再摆放石子.求最大的整数 k，使得无论乙如何摆放蓝色石子，甲总能保证至少摆放 k 个红色石子.
Answer: 100
user: 给定六个实数 x_1<x_2<x_3<x_4<x_5<x_6. 已知其中任意三个的和互不相同，记为 s_1<s_2<\cdots<s_{20}. 若 x_2+x_3+x_4=s_{11},x_2+x_3+x_6=s_{15}，且 x_1+x_2+x_6=s_m，求 m 的所有可能值.
Answer: 7
user: 对每个正整数 n，定义集合 P_n=\{n^k\ |\ k=0,1,2,\cdots\}. 对于正整数 a,b,c，若存在某个正整数 m，使得 a-1, ab-12, abc-2015 均属于集合 P_m，则称正整数组 (a,b,c) 为"幸运的". 求所有幸运的正整数组的个数.
Answer: 25
user: 在直径为 \sqrt{2}+1，高为 8 的圆柱形桶内装直径为 1 的球，最多可装__________个.
Answer: 36
user: 数列 \{a_n\} 为：1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 4, \cdots. 即先取 a_1=1，接着复制该项粘贴在后面作为 a_2，并添加后继数 2 作为 a_3，再复制所有项 1, 1, 2 并粘贴在后面作为 a_4, a_5, a_6，并添加后继数 3 作为 a_7, \cdots. 依次继续下去，则 a_{2021}=__________.
Answer: 1
user: 在 xy 平面中，横纵坐标均介于 1\sim2000 的整点称为好点. 对任意四点 A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3), D(x_4,y_4)，称折线 ABCD 为 Z 形折线，如果 (1) A, B, C, D 都是好点；(2) x_1<x_2, y_1=y_2；(3) x_2>x_3, y_2-x_2=y_3-x_3；(4) x_3<x_4, y_3=y_4. 求最小的正整数 n，使得存在 Z 形折线 Z_1, Z_2, \cdots, Z_n，满足任意好点 P 都在某个 Z_i 上.
Answer: 1333
user: 已知不等式 |ax^2+bx+a|\leq x 对 x\in[1,2] 恒成立，则 3a+b 的最大值为__________.
Answer: 3
user: 在数列 \left[\df{1^2}{2019}\right], \left[\df{2^2}{2019}\right], \cdots, \left[\df{2019^2}{2019}\right]  中，共有__________个互不相等的整数.
Answer: 1515
user: 在正方体的每个面上随机填入 1,2,\cdots,6 中的一个数字（各个面上的数字互不相同）. 再对八个顶点进行编号，使得每个顶点的编号数为其相邻三个面上的数字之积. 则八个顶点的编号数之和的最大值为__________.
Answer: 343
user: 设 S=\{1,2,\cdots,98\}. 求最小正整数 n，使得 S 的任一 n 元子集中都可以选出 10 个数，无论怎样将这 10 个数均分成两组，总有一组中存在一个数与另外 4 个数都互质，而另一组中总有一个数与另外 4 个数都不互质.
Answer: 50
user: 将一个空心的 2020\times2020\times2020 的正方体的六个面均分割成 2020\times2020 个单位小正方形. 一个实心的 1\times1\times2020 的长方体称为一块"积木"，在正方体内放入若干块积木，满足：(1) 每块积木的两个 1\times1 的面与正方体一组相对面上的两个单位正方形重合（放置一块积木有 3\times2020^2 种方式）；(2) 任两块积木没有公共的内点；(3) 每块积木的四个 1\times2020 的面要么与正方体的某个面有公共的内点，要么与另一块积木的某个 1\times2020 的面有公共的内点.求所放置积木块数的最小可能值.注：积木的内点指的是积木中不在面和棱上的点，面的内点指的是面中不在面的边界上的点.
Answer: 3030
user: 设 p 是奇质数，集合A=\{a\in\{1,2,\cdots,p-1\}\ |\ a\ \text{和 }\ 4-a\ \text{都 是 模 }\ p\ \text{的 二 次 非 剩 余 }\}.求 A 中所有元素之积模 p 的余数.
Answer: 2
user: 设 (a_1,b_1),(a_2,b_2),\cdots,(a_{100},b_{100}) 是不同的非负整数对. 用 N 表示满足 1\leq i<j\leq100 且 |a_ib_j-a_jb_i|=1 的数对 (i,j) 的个数. 求 N 的最大可能值.
Answer: 197
user: 设数列 \{a_n\} 满足：(1) a_1 是完全平方数；(2) 对任意正整数 n，a_{n+1} 是使 2^na_1+2^{n-1}a_2+\cdots+2a_n+a_{n+1} 为完全平方数的最小的正整数. 若存在正整数 s，使得 a_s=a_{s+1}=t，求 t 的最小可能值.（1a2b3c）
Answer: 31
user: 设 A 是平面内 6 个点组成的集合，记 n(A) 为经过 A 中至少 3 个点的单位圆的个数. 求 n(A) 的最大可能值.
Answer: 8
user: 设 P 是一个凸 2019 边形，任意三条对角线在形内不交于一点. 称 P 的对角线在形内的交点为"结点"，问：最多可以选取多少个结点，使得它们之间不存在一个圈？这里一个圈的任意两个相邻结点必须位于同一条对角线上，且在每条对角线上最多有一个圈上的两个结点.
Answer: 2035151
user: 设 p 是质数且 \df{28^p-1}{2p^2+2p+1} 是整数. 求 2p^2+2p+1 的正因数个数的所有可能值.
Answer: 2
user: 在一个 3\times3 的方格表中，若 9 个小方格中的每一个均被染成红、黄、蓝、紫四种颜色之一. 任意两个有公共边的小方格的染色均不相同，且该方格表中恰有 2 个小方格染蓝色，则符合条件的染色方法数种数为__________.（用具体数字作答）
Answer: 3816
user: 关于 x,y 的方程 x^2+y^2=2023 的整数解所构成的集合 \{x,y\} 的个数为__________.
Answer: 0
user: 若 z=\df{(3i-4)^2(i-\sqrt{7})^8}{(i-1)^{12}}，则 |z|=__________.
Answer: 1600
user: 设函数 f(x)=(x^2+ax+1)\ln x，过点 (1,0) 作其切线 y=g(x). 若对任意 x\geq 1，均有 f(x)\geq g(x)，则实数 a 的最小可能值为__________.
Answer: -2
user: 记集合 A=\{1,2,\cdots,2023\}，存在集合 B\subseteq A，且 B 中任意两个元素之和不是 5 的倍数；存在集合 C\subseteq B，且 C 中元素均为完全平方数. 则 |C| 的最大值为__________.
Answer: 19
user: 求最小的正整数 n，使得对至少两个奇质数 p，有\ds{k=1}{n}(-1)^{\nu_p(k!)}<0.
Answer: 229
user: 有 8 块不同的积木，每块积木的形状为方形或者圆形，颜色为红色或者黄色，印有城市名为南昌或者北京. 从 8 块不同的积木中按顺序任取 n 块积木（2\leq n\leq 8），D_n 表示后一次与前一次取出的积木在形状、颜色、城市名三个方面恰好有两个相同的所有不同取法总数，则 \displaystyle\max_{2\leq n\leq 8}D_n=__________.
Answer: 240
user: 求最小的正整数 k，使得对集合 S=\{1,2,\cdots,2012\} 的任意一个 k 元子集 A，都存在 S 的三个不同的元素 a,b,c，使得 a+b, b+c, c+a 均在 A 中.
Answer: 1008
user: 设 P 是正 2006 边形. 如果 P 的一条对角线的两端将 P 的边界分成两部分，每部分都包含 P 的奇数条边，那么称该对角线为"好边". 规定 P 的每条边均为好边. 问：在 P 的任意一个三角剖分中，最多有多少个有两条好边的等腰三角形？
Answer: 1003
user: 设多项式 f(x)=x^{2020}+\ds{i=0}{2019}c_ix^i，其中 c_i\in\{-1,0,1\}. 记 N 为 f(x) 的正整数根的个数（含重根）. 若 f(x) 无负整数根，求 N 的最大值.
Answer: 10
user: 设 a_1,a_2,\cdots,a_{17} 是 1, 2, \cdots, 17 的一个排列，且满足(a_1-a_2)(a_2-a_3)\cdots(a_{16}-a_{17})(a_{17}-a_1)=n^{17}.求正整数 n 的最大值.
Answer: 6
user: 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x^3-ax 有两条互相平行的切线. 若这两条切线的斜率均为 1，且两条切线之间的距离为 8，则实数 a 的值为__________.
Answer: 5
user: 十进制六位数 \overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6} 中，每个数码 a_i(1\leq i\leq 6) 都是奇数，且其中出现的数码 1 不允许相邻（例如，135131，577797 满足条件，而 311533 不满足条件），则这种六位数的个数是__________.
Answer: 13056
user: 求最小的整数 t>3，使得存在两个正整数 m,n，满足：m,n 都恰有 t 个正约数，且若将 m 的正约数从小到大排列为 c_1, c_2, \cdots, c_t（其中 c_1=1, c_t=m），将 n 的正约数从小到大排列为 d_1, d_2, \cdots, d_t（其中 d_1=1, d_t=n），则存在一个整数 2\leq r\leq t-2，使得(-1)^i(c_i-d_i)\begin{cases} >0,&i=2,\cdots,r,\\ <0,&i=r+1,\cdots,t.\end{cases}
Answer: 9
user: 某班有 47 个学生，所用教室有 6 排，每排有 8 个座位，用 (i,j) 表示位于第 i 排第 j 列的座位. 新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为 (i,j)，如果调整后的座位为 (m,n)，则称该生作了移动 [a,b]=[i-m,j-n]，并称 a+b 为该生的位置数. 所有学生的位置数之和记为 S，求 S 的最大值与最小值之差.
Answer: 24
user: 在桌子上放着一排空盒子 B_1,B_2,\cdots,B_{60} 以及无限供应的鹅卵石. 对正整数 n，甲乙两人进行如下的游戏.初始时甲取出 n 块鹅卵石并将它们任意分配到 60 个盒子中. 接下来的每个回合都由以下两步组成：(a) 乙选择一个整数 1\leq k\leq59，并将盒子分成两组：B_1, \cdots, B_k 和 B_{k+1},\cdots,B_{60}；(b) 甲选择其中一组，向其中的每个盒子中都放入一块鹅卵石，并从另外一组的每个盒子中取出一块鹅卵石.若在某个回合结束时，某个盒子中没有鹅卵石，则乙获胜. 求最小的 n，使得甲能够使乙永远不获胜.
Answer: 960
user: 设有理数 r=\df{p}{q}\in(0,1)，其中 p,q 为互质的正整数，且 pq 整除 3600. 这样的有理数 r 的个数为__________..
Answer: 112
user: 对实数 x，记 \{x\}=x-[x]. 令S=\int_0^{2024}\min\left(\left\{\df{x}{8}\right\},\left\{\df{x}{4}\right\}\right)\dd x,则 [S]=__________.
Answer: 759
user: 已知圆锥面 x^2+y^2=\df{z^2}{3}，记沿该圆锥面从 P(-\sqrt{3},3,6) 到 Q(\sqrt{3},0,3) 的曲线长度的最小值为 I，则 [10I]=__________.
Answer: 60
user: 令 A,B,C,D,E,F 是三阶实方阵，且\begin{pmatrix} I_3& A& C\\ &I_3& B\\ &&I_3\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} I_3& D& F\\ &I_3& E\\ &&I_3\end{pmatrix}.已知A=\begin{pmatrix} 2&&\\ &3&\\ &&4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 1&&2\\ &2&\\ 5&&1\end{pmatrix},且 C=A+B-I，则 [|\det F|]=__________.
Answer: 60
user: 令S=\ds{m=1}{\infty}\ds{n=1}{\infty}\df{m^2n}{2^m(n2^m+m2^n)},则 [100S]=__________.
Answer: 200
user: \displaystyle\prod_{k=1}^6(x^5-5x+k)=0 有__________个实根.
Answer: 13
user: 对矩阵 P，定义 e^P=I+\ds{m=1}{\infty}\df{1}{m!}P^m. 设 20 阶实矩阵 A 满足 e^A=I_{20}，且特征值的模长不超过 20，则这样的互不复相似的 A 有__________个.
Answer: 286
user: 对于有理数加群 (\bQ,+)，记所有分母不超过 10 有理数对应的象构成的集合是 A. 设包含 A 的最小群是 G，则 G 的阶为__________.
Answer: 2520
user: 设 V 是 10 维列向量构成的内积空间，其中对 v=(v_1,v_2,\cdots,v_{10})^T, w=(w_1,w_2,\cdots,w_{10})^T，v,w 的内积 \langle v,w\rangle=\ds{i=1}{10}v_iw_i.对 u\in V，定义 V 上的线性变换 P_u 如下：P_u:V\rightarrow V,\quad x\mapsto x-\df{2\langle x,u\rangle u}{\langle u,u\rangle}.给定 v,w\in V，满足0<\langle v,w\rangle<\sqrt{\langle v,v\rangle\langle w,w\rangle}.记 Q=P_v\circ P_w，则所有满足 P\circ Q=Q\circ P 的线性变换 P:V\rightarrow V 构成的线性空间的维数是__________.
Answer: 66
user: 设 5\times5 矩阵 A 的元素均取自 \{0,1,\cdots,14\}，满足 (\det A,15)=1 的矩阵 A 的个数记为 N，则 \nu_2(N)=__________.
Answer: 23
user: 给定 3\times3 整数元矩阵M=\begin{pmatrix} 11&11&20\\ 10&10&-8\\ -10&2&8\end{pmatrix},已知存在整数元矩阵 P,Q，满足 \det P, \det Q\in\{-1,1\}，且 PMQ 为对角矩阵，则 PMQ 的最大元素为__________.
Answer: 288
user: 令 I=\displaystyle\sqrt{\df{2}{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{x-10\cosh(2x)}\dd x，则 [|\ln I|]=__________.
Answer: 11
user: 已知椭球体 \df{x^2}{6}+\df{y^2}{9}+z^2\leq 1，记过 (0,0,1) 的平面与该椭球的截面积最大值为 I，则 \left[\df{100I^2}{\pi^2}\right]=__________.
Answer: 1152
user: 一次会议共有 24 名代表参加，每两名代表之间要么握手一次，要么不握手. 会议结束后发现，总共出现了 216 次握手，且对任意相互握过手的两名代表 P,Q，在剩下的 22 名代表中，恰与 P,Q 之一握过手的代表不超过 10 名. 一个"朋友圈"指的是会议中三名两两之间握过手的代表所构成的集合. 求这 24 名代表中朋友圈个数的最小值.
Answer: 864
user: 无锡市有 100 个景点，各景点每接待 1 名游客则景点在旅游局积 1 分. 现在共有 100 名游客在 100 天的旅游季内参观这些景点. 每天若干人出门参观互不相同的景点，且每名游客自行决定参观一个景点或休息不参观. 在旅游季结束时，旅游局发现任何一名游客未曾在不同的两天里参观同一个景点，且任何两名曾在同一天出门的游客均未曾参观过同一个景点. 求各景点该旅游季在旅游局获得的最大可能积分总和.（董子超供题）
Answer: 1000
user: 求最小的正整数 n，使得存在 n 个不同的正整数 s_1, s_2, \cdots, s_n，满足\left(1-\df{1}{s_1}\right)\left(1-\df{1}{s_2}\right)\cdots\left(1-\df{1}{s_n}\right)=\df{51}{2010}.
Answer: 39
user: 若存在正整数 a,b，使得 \df{k}{2023}(a+b)=[a,b]，则整数 k 的个数为__________.
Answer: 1011
user: 对一个立方体，T 为连接两个顶点的线段的集合. 则 T 中垂直线段对的个数减去平行线段对的个数等于__________.
Answer: 108
user: 某马戏团有 n 个小丑，他们每个人均用 12 种不同颜色中的至少 5 种装扮自己. 一天，马戏团经理要求任意两个小丑所用的颜色不能完全相同，并且每种颜色最多只能由 20 个小丑使用. 在满足经理要求的情况下，求 n 的最大值.
Answer: 48
user: 某次会议共有 30 人参加，已知每个人在其余人中至多有 5 个熟人，且任 5 人中存在两人不是熟人. 求最大的正整数 k，使得在满足上述条件的 30 人中总存在 k 个两两不是熟人.
Answer: 6
user: 设非负实数 a_1,a_2,\cdots,a_{100} 满足对任意 2\leq i\leq 99，有 \max\{a_{i-1}+a_i,a_i+a_{i+1}\}\geq i. 求 a_1+a_2+\cdots+a_{100} 的最小值.
Answer: 1683
user: 一个 100\times100 方格表的左上角小方格中有一只老鼠，右下角小方格中有一块奶酪. 老鼠希望移动到右下角小方格中吃奶酪，每次可以从一个小方格移动到相邻的小方格（两个小方格相邻指它们有公共边）. 现在在一些小方格的边上放置隔板，老鼠在移动时不能越过隔板. 称一种放置隔板的方式是"仁慈的"，如果放置隔板后老鼠仍能吃到奶酪. 求最小的正整数 n，使得对任意一种"仁慈的''放置 2023 个隔板的方式，老鼠都能通过不超过 n 次移动吃到奶酪.
Answer: 2220
user: 求最大的正整数 k，使得存在正整数 a，满足 2^{x_1}-1, 2^{x_2}-1, \cdots, 2^{x_k}-1 都是质数，其中数列 \{x_n\} 定义为： x_1=a，x_{n+1}=2x_n+1,n\geq1.
Answer: 2
user: 展览馆中有 2015 幅画在展出. 每位观众选择一对画，并将它们的名字写在同一张纸上. 一个艺术家从这张纸中选择一些画对，并评判每对中哪幅画更好. 之后助手按下述规则继续评判：在每一步中，如果对某个正整数 n，在画对 (A_1,A_2) 中 A_1 比 A_2 好，在画对 (A_2,A_3) 中 A_2 比 A_3 好，\cdots\cdots，在画对 (A_{n-1},A_n) 中 A_{n-1} 比 A_n 好，则助手可以在画对 (A_1,A_n) 中评判 A_1 比 A_n 好. 求最小的正整数 k，使得无论纸上写了哪些画对，艺术家都可以对其中的 k 对评判，使得助手能在有限步内对余下所有的画对评判.
Answer: 2014
user: 某国有 36 座城市和 5 家航空公司，任意两座城市之间恰由一家航空公司执行双向飞行的航班. 如果一家航空公司在城市 A, B 与 B, C 之间均执行航班，则称三元组 (A,B,C) 是"恰当连通的". 求最大的正整数 k，使得至少有 k 个三元组是恰当连通的.
Answer: 3780
user: 设实数 a,b,c,d 满足 b-d\geq5，实数 x_1,x_2,x_3,x_4 是多项式 P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d 的根，求 (x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1) 的最小值.
Answer: 16
user: 设集合 X=\{1,2,\cdots,100\}，函数 f:X\rightarrow X 满足(1) 对任意 x\in X，f(x)\neq x；(2) 对 X 的任意一个 40 元子集 A，A\cap f(A)\neq\emptyset；求最小的正整数 k，使得对任意满足上述条件的函数 f，都存在 X 的 k 元子集 B，使得 B\cup f(B)=X.
Answer: 69
user: 已知一个凸 2010 边形的任意三条对角线不在其内部交于一点. 考虑经过 2010 边形的每个顶点恰一次的闭折线，求该闭折线自交点的数目的最大值.注：闭折线是指由点 P_1,P_2,\cdots,P_n 及线段 P_1P_2, P_2P_3, \cdots,P_nP_1 构成的图形.
Answer: 2016031
user: 有 10 个互不相同的正实数，考虑它们两两的和与积（各 45 个）. 已知这些和中有 5 个相等，求最大的正整数 k，使得这些积中有 k 个相等.
Answer: 4
user: 若正实数 x,y 满足 x-2\sqrt{y}=\sqrt{2x-y}，则 x 的最大值为__________.
Answer: 10
user: 设 x_1,x_2,x_3,x_4 均是正整数，且 \{x_ix_jx_k\ |\ 1\leq i<j<k\leq 4\}=\{18,36,54\}. 则 x_1+x_2+x_3+x_4=__________.
Answer: 14
user: 已知四次多项式 x^4-25x^3+ax^2+61x-2024 的四个根中有两个根的乘积是 -253，则实数 a=__________.
Answer: -221
user: 设数列 \{x_n\} 满足 x_1=2001，x_{n+1}=x_n+y_n，其中 y_n 等于 x_n 的个位数，则 x_{2024}=__________.
Answer: 12108
user: 设 A 为数集 \{1,2,3,\cdots,2024\} 的 n 元子集，且 A 中的任意两个数既不互素又不存在整除关系. 求 n 的最大值.
Answer: 506
user: 用 [x] 表示不超过 x 的最大整数. 设数列 \{x_n\} 满足：x_1=1, x_{n+1}=4x_n+[\sqrt{11}x_n]. 求 x_{2024} 的个位数.
Answer: 3
user: 设 G=(V,E) 是一个 2019 阶简单图，已知：(1) G 中不含三角形，但是在任意两个不相邻顶点之间添一条边后均有三角形；(2) |E|\geq2019.求 |E| 的最小可能值.
Answer: 4033
user: 设 a,b 是实数，二次三项式 x^2+ax+b 与 x^2+bx+a 均有两个不同的实根，且它们的积恰有三个不同的实根. 求这三个不同的根的和的所有可能值.
Answer: 0
user: 一块 41\times41 的战场分成 1681 个单位正方形. 某个单位正方形内隐藏着一辆坦克. 一架轰炸机对战场进行轰炸，每次轰炸一个单位正方形. 若某次轰炸坦克所在正方形没有被炸到，则坦克保持在原地不动；若被炸到，则坦克要转移到与其相邻（有公共边）的单位正方形内. 摧毁坦克需要击中其两次，整个过程中轰炸机的飞行员完全不知道坦克的位置及是否被击中. 求可确保摧毁这辆坦克所需要的轰炸次数的最小值.
Answer: 2521
user: 求最大的正整数 E，使得存在一个有 60 个顶点、E 条边的简单图 G，并且可以将 G 的边红蓝二染色，满足没有长度是 3 或 5 的同色圈.
Answer: 1350
user: 从 1,2,\cdots,2024 中任取两个数 a,b(a\leq b)，则 3^a+7^b 的值中，个位数字为 8 的数有__________个.
Answer: 384307
user: 设多项式 f(x)=x^{2024}+\ds{i=0}{2023}c_ix^i，其中 c_i\in\{-1,0,1\}. 记 N 为 f(x) 的正整数根的个数（含重根）. 若 f(x) 无负整数根，N 的最大值是__________.
Answer: 10
user: 数列 \{a_n\} 定义如下：设 \df{(2n)!}{n!(n+2024)!} 写成既约分数后的分母为 A(n)，a_n 等于 2A(n) 的最大质因数，则 a_n 的最大值等于__________.
Answer: 4027
user: 已知集合 A=\{1,2,\cdots,6\}，映射 f:A\rightarrow A 为一一映射. 则满足对于任意的 x\in A，f^{(12)}(x)=x 的映射 f 的个数为__________.
Answer: 576
user: 将有 2023 个顶点的完全图的每条边染色，使得有公共点的任意两条边颜色不同. 定义每个点所连出的边的颜色为一个颜色集，求不同颜色集个数的最小值.
Answer: 3
user: 设数列 \{a_n\} 满足 a_1=8，且对任意正整数 n，均有a_{n+1}=\left(1+\df{3}{n}\right)a_n+\left(1-\df{3}{n}\right)\cdot 2^n,则 a_{2023} 除以 5 的余数是__________.（李纪琛供题）
Answer: 3
user: 在 3\times3 的方格表的每格内填上一个 1 到 9 之间的整数，且不同格内所填的数也不同，还需满足若两数 a,b 所在格相邻，则必有 (2a-3\log_2b)(2b-3\log_2a)\leq0. 则共有__________种不同的满足条件的填法.（旋转后能互相得到的填法视为不同的）（王正供题）
Answer: 288
user: 设 a_1,a_2,\cdots,a_{100} 是 1, 2, \cdots, 100 的排列. 求下式的最大可能值：S=\ds{i=1}{100}\min\{a_i,a_{i+1},a_{i+2},a_{i+3},a_{i+4}\},这里约定 a_{101}=a_1, a_{102}=a_2, a_{103}=a_3, a_{104}=a_4.（董子超、吴茁、徐子健供题）
Answer: 4660
user: 某学校在不同时段开设了三门选修课，要求每位学生至少选择其中一门，则 A, B, C 三位学生可能的选法有__________种.
Answer: 343
user: 考虑 \ln(1+x+x^2+x^3) 在 x=0 处的泰勒展开，设 x^{2024} 项的系数为 a. 求 [|a|^{-1}].
Answer: 674
user: 设 f(x)\in C^{\infty}(\bR)，满足 f''(x)=xf(x)，且 f(0)=18，f'(0)=3. 设 f(x) 的泰勒展开式为 \ds{n=0}{\infty}a_nx^n，求 \left[\df{a_9}{a_{10}}\right].
Answer: 21
user: 设 f(x)=\ds{n=0}{\infty}2^{-n}\cos nx，记 A=\int_0^{2\pi}|f(x)|^2\dd x，求 [10A].
Answer: 73
user: 设 S=\int_{-\infty}^{+\infty}\df{\dd x}{1+x^2+x^4}，求 [100S^2].
Answer: 328