meetforever/GRPO_CL huggingface dataset:
user: 设函数 $f_{0}(x)=|x|, f_{1}(x)=\left|f_{0}(x)-1\right|, f_{2}(x)=\left|f_{1}(x)-2\right|$ ，则函数 $f_{2}(x)$ 的图像与 $x$ 轴所围成图形中的封闭部分的面积是 $\qquad$.
Answer: 7
user: 已知集合 $U=\{0,1,2, \cdots, 2021\}, S \subseteq U$, 且 $S$ 中任意两项相加不是 5 的倍数, 求 $S$ 的元素个数最大值.
Answer: 810
user: 已知集合 $U=\{0,1,2, \cdots, 2021\}, S \subseteq U$, 且 S 中任意两项相加不是 5 的倍数, 求 S 的元素个数最大值.
Answer: 810
user: 若集合 $U=\{0,1,2, \cdots, 2021\}, S \subseteq U$ ，且
集合 S 中的任意两个元素之和均不是 5 的倍数，则集合 S 元素个数的最大值是 $\qquad$.
Answer: 1214
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}=\sqrt{\frac{2 n-1}{4 n^{2}+1}}$, 前 n 项和为 $S_{n}$, 求与 $S_{128}-S_{32}$ 最接近的整数.
Answer: 8
user: 设 $a, b, c$ 为方程 $x^{3}-3 x^{2}-2 x+1=0$ 的全部复根，则 $\left[\frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{b^{4}}+\frac{1}{c^{4}}\right]=$ $\qquad$.
Answer: 74
user: 一个 $10 \times 10$ 的数表在初始状态下每个格内均填有数字1，现在对数表进行如下操作：选择某一行或某一列，并将该行（列）中所有格子内的数变为其相反数。对于非负整数 N ，如果可经过有限次操作，使得最终数表中 -1 的个数恰为 N ，则称 N 是 "好的"，则好的 N 的个数为 $\qquad$.
Answer: 29
user: 令 $B=\left(\begin{array}{rr}2 & -\frac{1}{2} \\ 3 & -\frac{1}{2}\end{array}\right), x=\binom{1}{1}$. 记 $I=\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} x^{T} B^{i} x$, 其中其中 $B^{i}$ 表示 i个 B 相乘，则 $[I]=$ $\qquad$.
Answer: 6
user: A 是 10 阶实矩阵, 且 $A^{5}=O$, 则 $\operatorname{rank}(A)$ 的所有可能值之和为 $\qquad$.
Answer: 36
user: 记所有2阶实方阵构成的线性空间为 $M_{2}(\mathbb{R})$ ，已知 $A=\left(\begin{array}{cc}3 & 7 \\ 10 & 7\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\right)$ ，定义线性变换 $T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}), T(X)=A X B$ ，则线性边换 $\operatorname{trace}(T)=$ $\qquad$.
Answer: 70
user: 求六个元素的置换群 $S_{6}$ 中 6 阶元素的个数。
Answer: 240
user: 设取整 $\left[\frac{10^{2022}}{10^{100}-9}\right]$ 被 $10^{n}$ 整除, 则非负整数 n的最大可能值为 $\qquad$.
Answer: 22
user: 设 V 为 2022 维实线性空间, $f: V \rightarrow V$ 为线性变换。记 $W_{1}=\{x \in V \mid f(x)=$ $0\}, W_{2}=\{x \in V \mid \exists y \in V, x=f(y)\}$ ，则 $\left(\operatorname{dim} W_{1}\right) \cdot\left(\operatorname{dim} W_{2}\right)$ 的最大可能值为 $\qquad$,其中 $\operatorname{dim}$ 表示实线性空间的维数。
Answer: 1022121
user: 记 $\omega_{n}=\exp \left(\frac{2 \pi \sqrt{-1}}{n}\right)$ 。已知 n 阶傅里叶矩阵定义为  
$$  
\left[\begin{array}{ccccc}  
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\  
1 & \omega_{n} & \omega_{n}^{2} & \cdots & \omega_{n}^{n-1} \\  
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\  
1 & \omega_{n}^{n-1} & \omega_{n}^{(n-1) \cdot 2} & \cdots & \omega_{n}^{(n-1) \cdot(n-1)}  
\end{array}\right]  
$$  
若 A 为 2022 阶傅里叶矩阵，记其逆矩阵 $A^{-1}$ 中 $(338,2)$ 位置的元素的实部的绝对值为 I ，则 $[100000 I]=$ $\qquad$.
Answer: 24
user: 设 3 阶实对称矩阵 A 的三个特征值分别为 $-1,-1,2$, 且 $(1,1,-1)^{T}$ 是特征值 2所对应的特征向量。记 A中所有元素的平方之和为 I, 则 $[I]=$ $\qquad$.
Answer: 6
user: 设 V 为关于 x 的次数小于或等于 10 的实多项式构成的集合, 且 a为实数。定义 $V$ 到 V 的线性映射 F 为 $F(f)=\left(x^{2} f\right)^{\prime \prime}+f^{\prime}-a f$ 。记 I 为使得 F 不是满射的 a 的所有可能值之和，则 $[I]=$
Answer: 572
user: 对正整数 n, 考虑含有 n 阶元的有限非交换群, 记 $a_{n}$ 为这些群的阶的最小可能值.则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=\qquad.$
Answer: 26
user: 已知下列不等式 $\frac{e^{22 x}+e^{-22 x}}{2} \leq e^{c x^{2}}$ 对所有实数 x 均成立, 则 $[c]$ 的最小值为 $\qquad$.
Answer: 242
user: 设正实数 $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 使得对任意定义在 $[-\pi, \pi]$ 上的三次多项式 $f(x)$ 均有 $\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathbf{d} x=$ $c_{1} f(-\pi)+c_{2} f(0)+c_{3} f(\pi)$, 则 $\left[\frac{c_{2}+c_{3}}{c_{1}}\right]$ 的最大可能值为 $\qquad$.
Answer: 5
user: 设函数 $\varphi_{1}(x), \varphi_{2}(x)$ 并足 $\varphi_{i}^{\prime \prime}(x)-\ln (x+1) \varphi_{i}^{\prime}(x)+e^{x} \varphi_{i}(x)=0, i=1,2, x>-1$. 定义 $w(x)=\varphi_{1}^{\prime}(x) \varphi_{2}(x)-\varphi_{1}(x) \varphi_{2}^{\prime}(x)$. 若 $w(0)=1$, 则 $[w(2)]=$ $\qquad$.
Answer: 3
user: 已知欧拉常数 $\gamma=\lim\limits _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)$ 约等于 0.5772156649 。记 $I=\frac{100}{\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]\right) \mathrm{d} x}$, 则 $[I]=$ $\qquad$
Answer: 236
user: 设 $\ln \left(1+x+x^{2}+x^{3}\right)$ 的考克劳林展开式为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$, 则 $\left[\left|a_{2024}\right|^{-1}\right]=$ $\qquad$
Answer: 674
user: 设 V 是所有次数不超过 100 的实系数多项式构成的线性空间。令
$$
\begin{gathered}
V_{1}=\left\{f \in V \mid f^{(2 k-1)}(0)=0, k=1,2, \cdots, 50\right\}, \\
V_{2}=\left\{f \in V \mid f^{(k)}(-1)=f^{(k)}(1)=0, k=70,71, \cdots, 98\right\},
\end{gathered}
$$
则 $\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=$ $\qquad$
Answer: 86
user: 现有 20 盘红灯和 10 盛绿灯。初始时，所有灯都是亮着的。我们每次从所有亮着 的灯中等可能地随机婂灭一用，直到某一种颜色的灯全部被熄灭为止。用 a 表示停止后 仍旧亮着的灯的数目的期望值，则 $[10 a]=$ $\qquad$
Answer: 22
user: 在空间直角坐标系 $x y z$ 中，先以 z 轴为旋转轴旋转 $\frac{\pi}{3}$ ，再以 x 轴为旋转轴旋转 $\frac{\pi}{3}$ ，两次操作后等效于绕某一轴旋转，旋转角为 $\theta(\theta \in(0, \pi])$ ，则
$\left[\tan ^{2} \theta\right]=$ $\qquad$
Answer: 63
user: 对 $\mathbb{R}^{100}$ 中的点 $x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{100}\right)$ 和 $y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{100}\right)$ 定义函数 $f(x, y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{100}\left(x_{i}-y_{i}\right)^{2}}$. 当 $x \neq y$ 时，定义矩阵 $A_{x, y}=\left(a_{i j}\right)$ ，其中 $a_{i j}=$ $\frac{\partial}{\partial x_{i}} \frac{\partial}{\partial y_{j}} f(x, y)(i, j=1,2, \cdots, n)$. 则 $A_{x, y}$ 秩的最小可能值与最大可能值之和为 $\qquad$
Answer: 198
user: 我们称置换群 $S_{9}$ 中的两个元素 $\sigma_{1}, \sigma_{2}$ 是共轭的，如果存在 $S_{9}$ 中的元素 $\tau$使得 $\tau^{-1} \sigma_{1} \tau=\sigma_{2}$ 。设 $\sigma=(12345)$ (4567), 则 $S_{9}$ 中有 $\qquad$个元素与 $\sigma$ 共轭。
Answer: 15120
user: 记 $M_{100}(\mathbb{R})$ 为所有 100 阶实方阵的集合. 设 $S=\left\{A \in M_{100}(\mathbb{R}) \mid A^{4}+A^{2}=\right.$ $O\}$ ，则 S 中最多可以选出 $\qquad$个互不相似的矩阵. (我们称 $A, B \in M_{100}(\mathbb{R})$ 相似,当且仅当 存在可逆的 $P \in M_{100}(\mathbb{R})$ ，使得 $P^{-1} A P=B$ )
Answer: 1326
user: 记 $S=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{Z}^{4} \mid 0 \leq x, y, z, w \leq 18, x^{2}+y^{2} \equiv z^{2}+w^{2}(\bmod 19)\right\}$,则 S 中有 $\qquad$个元素。
Answer: 7201
user: 对正整数 $n \geq 2$ ，定义 $n-1$ 阶 $\lambda$ 矩阵
$$
M_{n}(\lambda)=\left(\begin{array}{ccccc}
3-\lambda & -\lambda & -\lambda & \cdots & -\lambda \\
-\lambda & 8-\lambda & -\lambda & \cdots & -\lambda \\
-\lambda & -\lambda & 15-\lambda & \cdots & -\lambda \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
-\lambda & -\lambda & -\lambda & \cdots & n^{2}-1-\lambda
\end{array}\right)
$$
记 $\lambda_{n}$ 为最大的使得 $\operatorname{det}\left(M_{n}(\lambda)\right)=0$ 的实数 $\lambda$. 记 $I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sup \lambda_{n}$, 则 $[100I]$ =
Answer: 133
user: $f(x)$ 是 $(0, \infty)$ 上非负的单调递减函数. 对于任意正实数 $t,\{x \in(0,+\infty)$ | $f(x)>t\}$ 为区间, 且长度为 $\frac{\mathrm{c}^{-1}}{\sqrt{t}}$. 记 $I=\int_{0}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x$, 则 $[10 I]=$
Answer: 17
user: $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n} \cos (n x)$, 记 $A=\int_{0}^{2 \pi} f^{2}(x) \mathrm{d} x$, 则 [10A] $=$
Answer: 73
user: 将方程 $(1+2+\cdots+k)-3(1+2+\cdots+t)=1$ 的全体正整数解 $(k, t)$ 按照从小到大的方式排列，得到序列 $\left\{\left(k_{n}, t_{n}\right)\right\}$ ，则 $k_{6}=$ $\qquad$。
Answer: 3196
user: $I=\int_{0}^{\pi / 4} \tan ^{101} x \mathrm{~d} x$ ，则 $\left[\frac{1}{3 I}\right]$
Answer: 67
user: $M_{n}=\{A \mid A$ 是 n 级实对称矩阵, 且元素取自 $0, \pm 1, \pm 2\}$, 记 $a_{n}$ 为所有 $\operatorname{trace}\left(A^{6}\right)(A \in$ $\left.M_{n}\right)$ 的平均值, $a=\lim _{k \rightarrow \infty} \sup _{n \geqslant k} \frac{a_{n}}{n^{4}}$, 则 $[a]=$ $\qquad$.
Answer: 40
user: 对一个复方阵, 定义 $\cos A=I+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} A^{2 n}$. 记矩阵 $\cos \left(\begin{array}{cc}-5 \pi & 3 \pi \\ -10 \pi & 6 \pi\end{array}\right)$ 的第二行第一列元素为 x ，则 $[|x|]=\qquad$.
Answer: 20
user: 设 $g(x)=\int_{x}^{\pi} \frac{(\sin t)^{5}}{t} \mathrm{~d} t$, 记 $S=\int_{0}^{\pi} g(x) \mathrm{d} x$, 则 $[100 S]=\qquad$.
Answer: 106
user: $n \times n$ 矩阵 $A_{n}$ 的主对角元素为 n ，其余元素为 1. 已知多项式 $f(x)$ 满足 $f\left(A_{n}\right)=O$ 对任意 $1 \leqslant n \leqslant 100$ 均成立, 则 $\operatorname{deg} f$ 的最小值为 $\qquad$.
Answer: 149
user: 矩阵  
$$  
\left(\begin{array}{cccccccc}  
10 & -9 & & & & & & -9 \\  
-9 & 10 & -9 & & & & & \\  
& -9 & 10 & -9 & & & & \\  
& & -9 & 10 & -9 & & & \\  
& & & -9 & 10 & -9 & & \\  
& & & & -9 & 10 & -9 & \\  
& & & & & -9 & 10 & -9 \\  
-9& & & & & & -9 & 10  
\end{array}\right)  
$$  
的特征值为 $\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2} \leqslant \cdots \leqslant \lambda_{8}$ ，则 $\left[\lambda_{6}\right]=\qquad.$
Answer: 22
user: 在透明的球袋中有 1 个黑球和 2 个白球。接下来从袋中摸球，每次摸出一个球，然后放回袋中，并继续往袋中再放入 2 个与摸出球同色的球. 记 $S_{n}$ 为前 n 次中摸出黑球的次数. 已知第 2 次摸出的球是黑球，记 $S_{100}$ 的期望为 E ，则 $[E]=\qquad$.
Answer: 60
user: 对矩阵 $M(t)$ ，定义其微分 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} M(t)=B(t)$ ，其中 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} M_{i j}(t)=B_{i j}(t)$. 矩阵微分方程  
$$  
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} M(t)=A M(t),  
$$  
其中  
$$  
A=\left(\begin{array}{lll}  
2 & 1 & 3 \\  
1 & 3 & 2 \\  
3 & 2 & 1  
\end{array}\right), \quad M(0)=\left(\begin{array}{lll}  
3 & 2 & 1 \\  
2 & 1 & 3 \\  
1 & 3 & 2  
\end{array}\right),  
$$  
令 $a=\ln |\operatorname{det} M(2)|$ ，则 $[|a|]=\qquad$.
Answer: 14
user: 5 级方阵 A 满足: 第一行元素均为 1, 第二行元素从左至右依次为 $1,-1,1,-1,1$,且 $\operatorname{trace}\left(A A^{\prime}\right)=28$. 记 $\operatorname{det} A$ 的最大值为 M, 则 $[M]=\qquad$.
Answer: 72
user: 对于一个实数 x, 令 $\{x\}=x-[x]$. 记 $S=\int_{0}^{2024} \min \left(\left\{\frac{x}{8}\right\},\left\{\frac{x}{4}\right\}\right) \mathrm{d} x$, 则 $[S]=$ $\qquad$.
Answer: 759
user: 给定 $3 \times 3$ 整数元矩阵  
$$  
M=\left(\begin{array}{ccc}  
11 & 11 & 20 \\  
10 & 10 & -8 \\  
-10 & 2 & 8  
\end{array}\right)  
$$  
，已知存在整数元矩阵 $P, Q$ ，满足 $\operatorname{det} P$ ， $\operatorname{det} Q \in\{-1,1\}$ ，且 $P M Q$ 为对角矩阵，则 $P M Q$最大元素的最大可能值为 $\qquad$.
Answer: 288
user: 已知椭球体 $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{9}+z^{2} \leqslant 1$, 记过 $(0,0,1)$ 的平面与该椭球的截面积最大值为 I,则 $\left[\frac{100 I^{2}}{\pi^{2}}\right]=$ $\qquad$
Answer: 1152
user: 已知圆锥面 $x^{2}+y^{2}=\frac{z^{2}}{3}$, 记沿该圆锥面从 $P(-\sqrt{3}, 3,6)$ 到 $Q(\sqrt{3}, 0,3)$ 的曲线长度的最小为值为 I, 则 $[10 I]=$ $\qquad$.
Answer: 60
user: $\prod\limits_{k=1}^{6}\left(x^{5}-5 x+k\right)=0$ 有 $\qquad$个实根。
Answer: 13
user: 有理数加群 $(\mathbb{Q},+)$ ，记所有分母不超过的 10 的有理数构成的子集为 $G$ ，其对应的陪集 $G \mathbb{Z}$ 记为 $\bar{G}$ ，则 $\mathbb{Q} / \mathbb{Z}$ 包含 $\bar{G}$ 的最小子群的阶为 $\qquad$.
Answer: 2520
user: 点集 $S=\left\{(x, y) \mid x \leq 5, y \leq 4, x, y \in \mathrm{~N}^{*}\right\}$, 则由 S 中的点可组成 $\qquad$个不同的三角形。
Answer: 1056
user: 已知复数 $|z|=1, z^{n}=z+\sqrt{2}$, 则 $n$ 的最小值为
Answer: 3
user: 在平面直角坐标系内, $M \in\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{200}+\frac{y^{2}}{8} \leq 1\right.\right\}, A(2,1)$, 若 $\Delta O M A$ 的面积不超过 3, 则满足条件的整点 $M$ 个数为 $\qquad$.
Answer: 65
user: 设 $n \in \mathbf{Z}_{+}$. 当 $n>100$ 时， $\sqrt{n^{2}+3 n+1}$的小数部分的前两位数为 $\qquad$.
Answer: 49
user: 定义: 区间 $\left[x_{1}, x_{2}\right]\left(x_{1}<x_{2}\right)$ 的长度为 $x_{2}-x_{1}$. 已知函数 $y=\left|\log _{\frac{1}{2}} x\right|$ 的定义域为 $[a, b]$, 值域为 $[0,2]$. 则区间 $[a, b]$ 长度的最大值与最小值的差为 $\qquad$。
Answer: 3
user: 设函数
$f(x)= \begin{cases}\frac{1}{p}, & x=\frac{q}{p} ; \\ 0, & x \neq \frac{q}{p},\end{cases}$
其中, $p 、 q$ 互质, 且 $p \geqslant 2$. 则满足 $x \in[0,1]$,且 $f(x)>\frac{1}{5}$ 的 $x$ 值的个数是 $\qquad$.
Answer: 5
user: 已知集合 $M=\{2,0,11\}$. 若 $A \varsubsetneqq M$, 且 $A$ 的元素中至少含有一个偶数, 则满足条件的集合 $A$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 5
user: 设 $M=1^{4}+2^{4}+\cdots+2013^{4}$. 则 $M$ 的个位数字为 $\qquad$.
Answer: 1
user: 若对任意的 $x \in\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$, 有
$\frac{x}{1+x-2 x^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}$,
则 $a_{3}+a_{4}=$ $\qquad$.
Answer: -2
user: 已知三个互不相等的整数 $x 、 y 、 z$ 之和介于 40 与 44 之间. 若 $x, y, z$ 依次构成公差为 $d$ 的等差数列， $x+y 、 y+z 、 z+x$ 依次构成公比为 $q$ 的等比数列, 则 $d q=$
#*
Answer: 42
user: 设正六边形 $A B C D E F$ 的边长为 1, 则 $(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C}) \cdot(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B E})=$ $\qquad$.
Answer: -3
user: 设函数 $f(x)=\sqrt{2 x^{2}+2 x+41}-\sqrt{2 x^{2}+4 x+4}(x \in \mathbf{R})$, 则 $f(x)$ 的最大值是
$\qquad$.
Answer: 5
user: 若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足
$$
a_{n}=\left[(2+\sqrt{3})^{2^{n}}\right]\left(n \in \mathbf{Z}_{+}\right),
$$
则 $a_{2020}$ 的末尾两位数字为 $\qquad$.
Answer: 53
user: 在平面直角坐标系中, $A(1,2), B(3,0)$, 点 $P$ 为圆 $(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=1$ 上任意一点，设 $\overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B}(\lambda, \mu \in \mathbf{R})$ ，则 $11 \lambda+9 \mu$ 的最小值是 $\qquad$.
Answer: 12
user: 已知实数 $x, y$ 满足
$3|x+1|+2|y-1| \leqslant 6$.
则 $2 x-3 y$ 的最大值是 $\qquad$.
Answer: 4
user: 集合的容量是指集合中元素的和。则满足条件 " $A \subseteq\{1,2, \cdots, 7\}$ ，且若 $a \in A$ 时，必有 $8-a \in A$ "的所有非空集合 $A$ 的容量的总和是 $\qquad$ (用具体数字作答)。
Answer: 224
user: 在 $(-x y+2 x+3 y-6)^{6}$ 的展开式中， $x^{4} y^{3}$的系数是 $\qquad$ （用具体数字作答）
Answer: -21600
user: 设集合 $I=\{0,1, \cdots, 22\}$, $A=\{(a, b, c, d) \mid a 、 b 、 c 、 d \in I, a+d \equiv 1(\bmod 23)$,
且 $a d-b c \equiv 0(\bmod 23)\}$.
则集合 $A$ 中元素的个数是 $\qquad$.
Answer: 552
user: 设平面向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 满足: $|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=2$, $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}. O 、 A 、 B$ 为平面上的三个点，满足: $\overrightarrow{O A}=$ $2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \overrightarrow{O B}=-3 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}$. 则 $\triangle A O B$ 的面积是
$\qquad$.
Answer: 7
user: 设 $x$ 为实数, 定义 $\lceil x\rceil$ 为不小于实数 $x$ 的最小整数 (如 $\rceil\rceil=4,\lceil-\pi\rceil=-3$ ). 则关于实数 $x$ 的方程
$\lceil 3 x+1\rceil=2 x-\frac{1}{2}$
的全部实根之和等于 $\qquad$.
Answer: -4
user: 已知函数
$f(x)=2\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)+m(\sin x+\cos x)^{4}$
在 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 有最大值 5. 求实数 $m$ 的值.
Answer: 1
user: 已知 $m>0$. 若函数
$$
f(x)=x+\sqrt{100-m x}
$$
的最大值为 $g(m)$, 求 $g(m)$ 的最小值.
Answer: 10
user: $\left(x^{2}+x-\frac{1}{x}\right)^{6}$ 的
展开式中的常数项是 $\qquad$ (用具体数字作答).
Answer: -5
user: 设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 满足 $S_{n}=\frac{\left(a_{n}+1\right)^{2}}{4}$ 。则 $S_{20}$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 0
user: 设 $n$ 是小于 100 的正整数, 且满足 $\frac{1}{3}\left(n^{2}-1\right)+\frac{1}{5} n$ 为整数. 则符合条件的所有正整数 $n$ 的和为 $\qquad$.
Answer: 635
user: 已知函数 $f(x)=\frac{3+x}{1+x}$. 记
$f(1)+f(2)+f(4)+\cdots+f(1024)=m$, $f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{1024}\right)=n$.
则 $m+n=$
Answer: 42
user: 设 $(1-2 x)^{7}=\sum_{k=0}^{7} a_{k} x^{k}$. 则
$2 a_{2}+3 a_{3}+4 a_{4}+5 a_{5}+6 a_{6}+7 a_{7}=$
Answer: 0
user: 对任意正整数 $n, Z(n)$ 是满足 $1+2+\cdots$ $+m$ 为 $n$ 的倍数的最小的正整数 $m$. 则满足 $Z(n)$ $=6$ 的全部正整数 $n$ 之和为 $\qquad$.
Answer: 28
user: 对任意正整数 $n$ ，定义函数 $\mu(n)$ ：
$\mu(1)=1$ ，
且当 $n=p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{t}^{\alpha_{t}} \geqslant 2$ 时,
$$
\mu(n)= \begin{cases}(-1)^{t}, & \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{t}=1 ; \\ 0, & \text { 否则, }\end{cases}
$$
其中， $t \geqslant 1, p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{t}$ 为不同的素数。
若记 $A=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}\right\}$ 为 12 的全部不同正因数的集合，则 $\sum_{i=1}^{k} \mu\left(x_{i}\right)=$ $\qquad$。
Answer: 0
user: 设 $x+\sin x \cdot \cos x-1=0$ ，
$2 \cos y-2 y+\pi+4=0$ 。
则 $\sin (2 x-y)$ 的值为 $\qquad$.
Answer: -1
user: 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=3, A D=4, P$为矩形 $A B C D$ 所在平面上一点，满足 $P A=2$ ， $P C=\sqrt{21}$. 则 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P D}=$ $\qquad$。
Answer: 0
user: 设集合 $I=\{1,2, \cdots, 8\}$ 。若 $I$ 的非空子集 $A 、 B$ 满足 $A \cap B=\varnothing$ ，则称有序集合对 $(A, B)$ 为 $I$ 的"隔离集合对"。那么，集合 $I$ 的隔离集合对的个数为 $\qquad$ （用具体数字作答)。
Answer: 6050
user: 设直线 $y=k x+b$ 与曲线 $y=x^{3}-x$ 有三个不同的交点 $A 、 B 、 C$, 且 $|A B|=|B C|=2$ 。则 $k$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 1
user: Let $P(x)=x^{2}-1$. How many distinct real solutions does the following equation have:
$$
\underbrace{P(P(\ldots(P}_{2004}(x)) \ldots))=0? \quad[20 \text { points }]
$$
Answer: 2005
user: There are $2 n$ students in a school $(n \in \mathbb{N}, n \geq 2)$. Each week $n$ students go on a trip. After several trips the following condition was fulfilled: every two students were together on at least one trip. What is the minimum number of trips needed for this to happen?
Answer: 6
user: We colour all the sides and diagonals of a regular polygon $P$ with 43 vertices either red or blue in such a way that every vertex is an endpoint of 20 red segments and 22 blue segments. A triangle formed by vertices of $P$ is called monochromatic if all of its sides have the same colour. Suppose that there are 2022 blue monochromatic triangles. How many red monochromatic triangles are there?
Answer: 859
user: 求满足下列关系式组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}=2 z^{2} \\
z<y \leq z+50
\end{array}\right.
$$
的正整数解组 $(x, y, z)$ 的个数.
Answer: 131
user: 对于集合 $\{x \mid a \leqslant x \leqslant b\}$ ，我们把 $b-a$ 称为它的长度。设集合 $A=\{x \mid a \leqslant x \leqslant$ $a+1981\}, B=\{x \mid b-1014 \leqslant x \leqslant b\}$ ，且 $A, B$ 都是集合 $U=\{x \mid 0 \leqslant x \leqslant 2012\}$的子集，则集合 $A \cap B$ 的长度的最小值是 $\qquad$ 。
Answer: 983
user: 设 $V$ 是空间中 2019 个点构成的集合，其中任意四点不共面。某些点之间连有线段，记 $E$ 为这些线段构成的集合。试求最小的正整数 $n$ ，满足条件：若 $E$ 至少有 $n$ 个元素，则 $E$ 一定含有 908 个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集。
Answer: 2795
user: 设整数 $n>4,(x+2 \sqrt{y}-1)^{n}$ 的展开式中 $x^{n-4}$ 与 $x y$ 两项的系数相等, 则 $n$的值为 $\qquad$.
Answer: 51
user: 给定凸 20 边形 $P$ 。用 $P$ 的 17 条在内部不相交的对角线将 $P$ 分割成 18 个三角形。所得图形称为 $P$ 的一个三角剖分图。对 $P$ 的任意一个三角剖分图 $T, P$ 的 20 条边以及添加的 17 条对角线均称为 $T$ 的边。 $T$ 的任意 10 条两两无公共端点的边的集合称为 $T$的一个完美匹配。当 $T$ 取遍 $P$ 的所有三角剖分图时, 求 $T$ 的完美匹配个数的最大值。
Answer: 89
user: $\frac{1}{1-\log _{2} 20}+\frac{1}{1-\log _{5} 50}$ 的值为 $\qquad$.
Answer: -1
user: 已知集合 $S=\{1,2,3, \cdots, N\}$ 的四个500元子集 $A_{1}, A_{2}$, $A_{3}, A_{4}$ 满足：对任意 $x, y \in S$ ，均存在某个 $i \in\{1,2,3,4\}$ ，使得 $x, y \in A_{i}$ 。求正整数 $N$ 的最大可能值。
Answer: 833
user: 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{100}$ 是非负整数，同时满足以下条件：
（1）存在正整数 $k \leq 100$ ，使得 $a_{1} \leq a_{2} \leq \cdots \leq a_{k}$ ，而当 $i>k$ 时 $a_{i}=0$ ；
（2） $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{100}=100$ ；
(3) $a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\cdots+100 a_{100}=2022$ 。
求 $a_{1}+2^{2} a_{2}+3^{2} a_{3}+\cdots+100^{2} a_{100}$ 的最小可能值.
Answer: 40940
user: 已知集合
$$
M=\{x, xy, \mathrm{l}g(xy)\}
$$

及
$$
N=\{0, |x|, y\},
$$
并且 $M=N$ ，那么$(x+\frac{1}{y})+(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})+(x^{3}+\frac{1}{y^{3}})+\ldots+(x^{2001}+\frac{1}{y^{2001}})$的值等于
$\qquad$ $\cdot$
Answer: -2
user: 已知集合 $M=\{x, y, \lg (x y)\}$ 及 $N=\{0,|x|, y\}$ ，并且 $M=N$ ，那么 $\left(x+\frac{1}{y}\right)+\left(x^{2}+\frac{1}{y^{2}}\right)+\left(x^{3}+\frac{1}{y^{3}}\right)+\cdots+\left(x^{2001}+\frac{1}{y^{2001}}\right)$ 的值等于 $\qquad$
Answer: -2
user: 设集合 $A=\{1,2, m\}$ ，其中 $m$ 为实数。令 $B=\left\{a^{2} \mid a \in A\right\}, C=A \cup B$ 。若 $C$ 的所有元素之和为 6, 则 $C$ 的所有元素之积为 $\qquad$.
Answer: -8
user: 有四所学校的学生参加一项数学竞赛，每所学校派出 3 名选手.组委会要抽选其中若干名选手做一项调研，要求任意两所学校被抽中的选手数之和至少为 1 、至多为 3 ，则不同的抽选方式数为 $\qquad$ （结果用数值表示）.
Answer: 837
user: 在 $5 \times 5$ 矩阵中, 每个元素都为 0 或 1, 且满足：五行的元素之和都相等,但五列的元素之和两两不等.这样的矩阵的个数为 $\qquad$ （答案用数值表示）.
Answer: 26400
user: 已知集合 $S=\{1,2,3, \cdots, N\}$ 的四个500元子集 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ 满足：对任意 $x, y \in S$ ，均存在某个 $i \in\{1,2,3,4\}$ ，使得 $x, y \in A_{i}$. 求正整数 $N$ 的最大可能值.
Answer: 833
user: 圆周上依次有 100 个点 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{100}$ （其中 $P_{100}$ 与 $P_{1}$ 相邻）. 现有 5 种颜色，要求 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{100}$ 中每个点染 5 种颜色之一，每种颜色至少染一个点. 若对任意这样的染色方式， $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{100}$ 中总存在 $t$ 个连续的点含有至少 3 种颜色，求 $t$ 的最小值.
Answer: 26
user: 若三个正整数 $a, b, c$ 的位数之和为 8, 且组成 $a, b, c$ 的 8 个数码能排列为 $2,0,2,4,0,9,0,8$ ，则称 $(a, b, c)$ 为 "幸运数组"，例如 $(9,8,202400)$ 是一个幸运数组. 满足 $10<a<b<c$ 的幸运数组 $(a, b, c)$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 591
user: 若三个正整数 $a, b, c$ 的位数之和为 8, 且组成 $a, b, c$ 的 8 个数码能排列为 $2,0,2,4,0,9,0,8$, 则称 $(a, b, c)$ 为 "幸运数组"，例如 $(9,8,202400)$ 是一个幸运数组. 满足 $10<a<b<100$ 的幸运数组 $(a, b, c)$ 的个数为 $\qquad$
Answer: 291
user: 设集合 $A=\{1,2, \cdots, 99\}, X, Y$ 均为 $A$ 的非空子集（允许 $X=Y$ ）。 $X$ 中的最大元与 $Y$ 中的最小元分别记为 $\max X, \min Y$ 。求满足 $\max X>\min Y$ 的有序集合对 $(X, Y)$ 的数目。
Answer: 24
user: 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}: a_{1}=7, \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=a_{n}+2, n=1,2,3, \cdots$ 。求满足 $a_{n}>4^{2018}$ 的最小正整数 $n$.
Answer: 12
user: 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 $a$ 的正三角形, 这样两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数 $\frac{m}{n}$ .那么, 积 $m \cdot n$ 是  $\qquad$ .
Answer: 6
user: 设 $a, b>0$, 满足关于 $x$ 的方程 $\sqrt{|x|}+\sqrt{|x+a|}=b$ 恰有三个不同的实数解 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$,且 $x_{1}<x_{2}<x_{3}=b$, 则 $a+b$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 144
user: 给定整数 $n \geqslant 3$, 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2 n}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{2 n}$ 是 $4 n$ 个非负实数, 满足  
$$  
a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2 n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{2 n}>0,  
$$  
且对任意 $i=1,2, \cdots, 2 n$, 有 $a_{i} a_{i+2} \geqslant b_{i}+b_{i+1}$ （这里 $a_{2 n+1}=a_{1}, a_{2 n+2}=a_{2}$, $b_{2 n+1}=b_{1}$ ), 求 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2 n}$ 的最小值.
Answer: 16
user: 给定凸 20 边形 $P$ .用 $P$ 的 17 条在内部不相交的对角线将 $P$ 分割成 18 个三角形.所得图形称为 $P$ 的一个三角剖分图.对 $P$ 的任意一个三角剖分图 $T, P$ 的 20 条边以及添加的 17 条对角线均称为 $T$ 的边. $T$ 的任意 10 条两两无公共端点的边的集合称为 $T$的一个完美匹配.当 $T$ 取遍 $P$ 的所有三角剖分图时, 求 $T$ 的完美匹配个数的最大值.
Answer: 89
user: 设 9 元集合 $A=\{a+b \mathrm{i} \mid a, b \in\{1,2,3\}\}$, i 是虚数单位. $\alpha=\left(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{9}\right)$ 是 $A$ 中所有元素的一个排列, 满足 $\left|z_{1}\right| \leqslant\left|z_{2}\right| \leqslant \cdots \leqslant\left|z_{9}\right|$, 则这样的排列 $\alpha$ 的个数为 $\qquad$.
Answer: 8
user: 设 $f(x)=x^{3}+3\left(x^{2}+x+\sin \pi x\right)$, 则 $f(1-\pi)+f(\pi-3)=\qquad$.
Answer: -2
user: 设正整数 $a, b, c$ 中任意两个数不互素，且 $a+b+c$ 为素数. 求 $a+b+c$ 的最小值.
Answer: 31
user: 小明同学任选一个各项均为非零整数的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，随后他列出 2020 个关于 $x$ 的一元二次方程:
$$
E_{i}: a_{i} x^{2}+a_{i+1} x+a_{i+2}=0(i=1,2, \cdots, 2020),
$$
再将上述每个方程的根都写在黑板上.求此时黑板上两两不同的实根的个数的最大可能值.
Answer: 6
user: 对正整数 $n$ 及实数 $x(0 \leqslant x<n)$, 定义  
$$  
f(n, x)=(1-\{x\}) \cdot C_{n}^{[x]}+\{x\} \cdot C_{n}^{[x]+1},  
$$  
其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数， $\{x\}=x-[x]$ .若整数 $m, n \geqslant 2$ 满足  
$$  
f\left(m, \frac{1}{n}\right)+f\left(m, \frac{2}{n}\right)+\cdots+f\left(m, \frac{m n-1}{n}\right)=123,  
$$  
求 $f\left(n, \frac{1}{m}\right)+f\left(n, \frac{2}{m}\right)+\cdots+f\left(n, \frac{m n-1}{m}\right)$ 的值.
Answer: 74
user: 设 $a, b>0$ ，满足：关于 $x$ 的方程 $\sqrt{|x|}+\sqrt{|x+a|}=b$ 恰有三个不同的实数解 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$, 且 $x_{1}<x_{2}<x_{3}=b$, 则 $a+b$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 144
user: 设 $A=\{1,2,3\}, B=\{2 x+y \mid x, y \in A, x<y\}, C=\{2 x+y \mid x, y \in A, x>y\}$ ，则 $B \cap C$ 的所有元素之和为 $\qquad$.
Answer: 12
user: 设正整数 $n$ 满足 $n \leq 2016$, 且 $\left\{\frac{n}{2}\right\}+\left\{\frac{n}{4}\right\}+\left\{\frac{n}{6}\right\}+\left\{\frac{n}{12}\right\}=3$. 这样的 $n$ 的个数为 $\qquad$. 这里 $\{x\}=x-[x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.
Answer: 168
user: 已知复数 $z$ 满足 $z^{2}+2 z=\bar{z} \neq z$ ($\bar{z}$ 表示 $z$ 的共轭复数) ，则 $z$ 的所有可能值的积为 $\qquad$.
Answer: 3
user: 已知 $f(x), g(x)$ 均为定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数, $f(x)$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称, $g(x)$ 的图像关于点 $(1,-2)$ 中心对称, 且 $f(x)+g(x)=9^{x}+x^{3}+1$, 则 $f(2) g(2)$ 的值为 $\qquad$.
Answer: 2016
user: 设正整数 $n$ 满足 $n \leqslant 2016$ ，且 $\left\{\frac{n}{2}\right\}+\left\{\frac{n}{4}\right\}+\left\{\frac{n}{6}\right\}+\left\{\frac{n}{12}\right\}=3$ . 这样的 $n$ 的个数为 $\qquad$. 这里 $\{x\}=x-[x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.
Answer: 168
user: 设整数数列 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{10}$ 满足 $a_{10}=3 a_{1}, a_{2}+a_{8}=2 a_{5}$, 且 $a_{i+1} \in\left\{1+a_{i}, 2+a_{i}\right\}, i=$ $1,2, \cdots, 9$, 则这样的数列的个数为 $\qquad$.
Answer: 80
user: 已知复数 z 的模为 1, 则 $|z-4|^{2}+|z+3 i|^{2}$ 的最小值为 $\qquad$.
Answer: 17
user: 设 $f(m)$ 是正整数 m 的各位数字的乘积，求方程 $f(m)=m^{2}-10 m-36$ 的正整数解.
Answer: 13
user: 设 $a_{i}(i=1,2,3,4)$ 均为实数, 若集合 $\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\}$ 的所有非空真子集的元素之和为 28, 则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=$ $\qquad$.
Answer: 8
user: 有长为 $2^{n}(n=0,1, \cdots, 1009)$ 的线段各三条, 则由这 3030 条线段能构成不全等的三角形的个数为 $\qquad$ (用数字作答).
Answer: 510555
user: 已知 $a_{1} 、 a_{2} 、 a_{3} 、 a_{4}$ 均为实数。若集合 $\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right\}$ 的所有非空真子集的元素之和为 28, 则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=$ $\qquad$.
Answer: 4
user: 已知 $\odot O: x^{2}+y^{2}=5$ 与抛物线 $C$ : $y^{2}=2 p x(p>0)$ 交于点 $A\left(x_{0}, 2\right), A B$ 为 $\odot O$ 的直径，过点 $B$ 的直线与抛物线 $C$ 交于两点 $D$ 、 $E$ 。则 $A D$ 与 $A E$ 的斜率之积为 $\qquad$.
Answer: 2
user: 若实数 $x 、 y$ 满足
$2^{x}+4 x+12=\log _{2}(y-1)^{3}+3 y+12=0$,则 $x+y=$ $\qquad$.
Answer: -2
user: 有长为 $2^{n}(n=0,1, \cdots, 1009)$ 的线段各三条，则由这 3030 条线段能构成不全等的三角形的个数为 $\qquad$ （用数字作答）。
Answer: 510555
user: 已知函数 $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, 若对任意实数 $x, y, z$, 都有
$\frac{1}{3} f(x y)+\frac{1}{3} f(x z)-f(x) f(y z) \geqslant \frac{1}{9}$, 求 $\sum_{i=1}^{100}[i f(i)]$.其中 [x] 代表不超过 x 的最大整数.
Answer: 1650
user: 若存在实数 $a$ 及正整数 $n$ 使得 $f(x)=\cos 2 x-a \sin x$ 在 $(0, n \pi)$ 内恰有 2022 个零点, 则满足条件的正整数 $n$ 的值有 $\qquad$个.
Answer: 5
user: 已知圆 $O_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ 和 $O_{2}:(x-3)^{2}+y^{2}=5$ 在第一象限内的公共点为 $A$, 过点 $A$ 的直线分别交圆 $O_{1}, O_{2}$ 于 $C, D$ 两点 $(C, D$ 异于点 $A$ ), 且 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A D}$, 则直线 $C D$ 的斜率为$\qquad$.
Answer: 5
user: 已知函数 $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, 若对任意实数 $x 、 y 、 z$ 都有  
$$\frac{1}{3} f(x y)+\frac{1}{3} f(x z)-f(x) f(y z) \geqslant \frac{1}{9},$$
求 $\sum\limits_{i=1}^{100}[i f(i)]$. 其中, $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数.
Answer: 1650
user: 已知 $\odot O_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ 和 $\odot O_{2}:(x-3)^{2}+$ $y^{2}=5$ 在第一象限内的公共点为 $A$, 过点 $A$ 的直线分别交 $\odot O_{1} 、 \odot O_{2}$ 于 $C 、 D$ 两点（ $C$ 、 $D$ 异于点 $A$ ), 且 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A D}$. 则直线 $C D$ 的斜率是 $\qquad$.
Answer: 5
user: 设 $f(x)$ 是二次函数, 且 $2 x^{2}-4 x+3 \leqslant f(x) \leqslant 3 x^{2}-6 x+4, f(3)=11$, 则 $f(5)=\qquad$.
Answer: 41
user: 由 $1,2, \cdots, 9$ 这九个正整数构成的所有圆排列中, 任意相邻两数之积均不超过 60 的圆排列的个数为 $\qquad$.
Answer: 21600