mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: case right
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
s✝ : Set F
t : β
b : F
s : Set F
a✝ : b ∉ s
hs : s.Finite
hrec :
  ∀ {X : Set E},
    X.Nonempty →
      IsCompact X →
        (∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X) →
          (∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y) →
            (∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y) →
              (∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y) →
                Convex ℝ X → s ⊆ Y → (∀ x ∈ X, ∃ y ∈ s, t < f x y) → ∃ y0 ∈ Y, ∀ x ∈ X, t < f x y0
X : Set E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
cX : Convex ℝ X
hsY : insert b s ⊆ Y
ht : ∀ x ∈ X, ∃ y ∈ insert b s, t < f x y
hb : b ∈ Y
X' : Set E := ⋯
X'_e : X' = ∅
⊢ ∀ x ∈ X, t < f x b

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case right
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
s✝ : Set F
t : β
b : F
s : Set F
a✝ : b ∉ s
hs : s.Finite
hrec :
  ∀ {X : Set E},
    X.Nonempty →
      IsCompact X →
        (∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X) →
          (∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y) →
            (∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y) →
              (∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y) →
                Convex ℝ X → s ⊆ Y → (∀ x ∈ X, ∃ y ∈ s, t < f x y) → ∃ y0 ∈ Y, ∀ x ∈ X, t < f x y0
X : Set E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
cX : Convex ℝ X
hsY : insert b s ⊆ Y
ht : ∀ x ∈ X, ∃ y ∈ insert b s, t < f x y
hb : b ∈ Y
X' : Set E := ⋯
X'_e : X' = ∅
⊢ ∀ x ∈ X, t < f x b
Module: Mathlib.Topology.UniformSpace.Ultra.Completion

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : UniformSpace X
inst✝¹ : UniformSpace Y
inst✝ : IsUltraUniformity X
x✝¹ : SetRel X X
x✝ : x✝¹ ∈ 𝓤 X ∧ x✝¹.IsSymm ∧ x✝¹.IsTrans
left✝ : x✝¹ ∈ 𝓤 X
hU : x✝¹.IsSymm
right✝ : x✝¹.IsTrans
⊢ SetRel.IsSymm ((CauchyFilter.gen ∘ id) x✝¹)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : UniformSpace X
inst✝¹ : UniformSpace Y
inst✝ : IsUltraUniformity X
x✝¹ : SetRel X X
x✝ : x✝¹ ∈ 𝓤 X ∧ x✝¹.IsSymm ∧ x✝¹.IsTrans
left✝ : x✝¹ ∈ 𝓤 X
hU : x✝¹.IsSymm
right✝ : x✝¹.IsTrans
⊢ (CauchyFilter.gen x✝¹).IsSymm
Module: Mathlib.Topology.UniformSpace.Ultra.Completion

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : UniformSpace X
inst✝¹ : UniformSpace Y
inst✝ : IsUltraUniformity X
x✝¹ : SetRel X X
x✝ : x✝¹ ∈ 𝓤 X ∧ x✝¹.IsSymm ∧ x✝¹.IsTrans
left✝¹ : x✝¹ ∈ 𝓤 X
left✝ : x✝¹.IsSymm
hU : x✝¹.IsTrans
⊢ SetRel.IsTrans ((CauchyFilter.gen ∘ id) x✝¹)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : UniformSpace X
inst✝¹ : UniformSpace Y
inst✝ : IsUltraUniformity X
x✝¹ : SetRel X X
x✝ : x✝¹ ∈ 𝓤 X ∧ x✝¹.IsSymm ∧ x✝¹.IsTrans
left✝¹ : x✝¹ ∈ 𝓤 X
left✝ : x✝¹.IsSymm
hU : x✝¹.IsTrans
⊢ (CauchyFilter.gen x✝¹).IsTrans
Module: Mathlib.Topology.UniformSpace.OfCompactT2

Goal state before:
pp: γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : CompactSpace γ
inst✝ : R1Space γ
⊢ ((𝓝ˢ (diagonal γ)).lift' fun s ↦ s ○ s) ≤ 𝓝ˢ (diagonal γ)

Tactic:
set 𝓝Δ := 𝓝ˢ (diagonal γ)

Goal state after:
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : CompactSpace γ
inst✝ : R1Space γ
𝓝Δ : Filter (γ × γ) := 𝓝ˢ (diagonal γ)
⊢ (𝓝Δ.lift' fun s ↦ s ○ s) ≤ 𝓝Δ
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: case right
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹⁶ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module ℝ E
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹¹ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module ℝ F
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ F
cY : Convex ℝ Y
ne_Y : Y.Nonempty
kY : IsCompact Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : OrderTopology β
γ : Type u_5
inst✝³ : CompleteLinearOrder γ
inst✝² : DenselyOrdered γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
ι : β ↪o γ
hι : Continuous ⇑ι
φ : E → F → γ := fun x y ↦ ι (f x y)
hφx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ φ x y) Y
hφx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ φ x y
hφy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ φ x y) X
hφy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ φ x y
a : E
ha : a ∈ X
b : F
hb : b ∈ Y
hab : IsSaddlePointOn X Y φ a b
x : E
hx : x ∈ X
y : F
hy : y ∈ Y
⊢ f a y ≤ f x b

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case right
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹⁶ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module ℝ E
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹¹ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module ℝ F
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ F
cY : Convex ℝ Y
ne_Y : Y.Nonempty
kY : IsCompact Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : OrderTopology β
γ : Type u_5
inst✝³ : CompleteLinearOrder γ
inst✝² : DenselyOrdered γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
ι : β ↪o γ
hι : Continuous ⇑ι
φ : E → F → γ := fun x y ↦ ι (f x y)
hφx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ φ x y) Y
hφx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ φ x y
hφy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ φ x y) X
hφy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ φ x y
a : E
ha : a ∈ X
b : F
hb : b ∈ Y
hab : IsSaddlePointOn X Y φ a b
x : E
hx : x ∈ X
y : F
hy : y ∈ Y
⊢ f a y ≤ f x b