mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.Nilpotent

Goal state before:
pp: S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
I : Ideal S
inst✝ : I.IsMaximal
n : ℕ
x : S
hx : x ∉ I
⊢ IsUnit ((mk (I ^ n)) x)

Tactic:
by
  by_cases! hn : n = 0
  · rw [pow_eq_top_iff.mpr (Or.inr hn)]
    exact isUnit_of_subsingleton _
  exact (isUnit_mk_pow_iff_notMem I hn).mpr hx

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
m : M
N : Submodule R M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], (f P) m ∈ localized₀ P.primeCompl (f P) N
I : Ideal R := comap (LinearMap.toSpanSingleton R M m) N
this : I = ⊤
⊢ m ∈ N

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
m : M
N : Submodule R M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], (f P) m ∈ localized₀ P.primeCompl (f P) N
I : Ideal R := comap (LinearMap.toSpanSingleton R M m) N
this : I = ⊤
⊢ m ∈ N
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrimary
hM : Disjoint ↑M ↑I
key : Disjoint ↑M ↑I.radical
a : R
b : ↥I
s : ↥M
h : (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) ↑(b, s).2 = (algebraMap R S) ↑(b, s).1
⊢ (algebraMap R S) (↑s * a) = (algebraMap R S) ↑b

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrimary
hM : Disjoint ↑M ↑I
key : Disjoint ↑M ↑I.radical
a : R
b : ↥I
s : ↥M
h : (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) ↑(b, s).2 = (algebraMap R S) ↑(b, s).1
⊢ (algebraMap R S) (a * ↑s) = (algebraMap R S) ↑b
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
N : Submodule R M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], localized₀ P.primeCompl (f P) N = ⊥
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
⊢ localized₀ P.primeCompl (f P) N = localized₀ P.primeCompl (f P) ⊥

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
N : Submodule R M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], localized₀ P.primeCompl (f P) N = ⊥
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
⊢ localized₀ P.primeCompl (f P) N = ⊥
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
N : Submodule R M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], localized₀ P.primeCompl (f P) N = ⊤
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
⊢ localized₀ P.primeCompl (f P) N = localized₀ P.primeCompl (f P) ⊤

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
N : Submodule R M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], localized₀ P.primeCompl (f P) N = ⊤
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
⊢ localized₀ P.primeCompl (f P) N = ⊤
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝⁵ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝⁴ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝³ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
M₁ₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_6
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (M₁ₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (M₁ₚ P)
f₁ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M₁ →ₗ[R] M₁ₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f₁ P)
g g' : M →ₗ[R] M₁
h :
  ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal],
    (IsLocalizedModule.map P.primeCompl (f P) (f₁ P)) g = (IsLocalizedModule.map P.primeCompl (f P) (f₁ P)) g'
x : M
P : Ideal R
x✝ : P.IsMaximal
⊢ (f₁ P) (g x) = (f₁ P) (g' x)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝⁵ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝⁴ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝³ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
M₁ₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_6
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (M₁ₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (M₁ₚ P)
f₁ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M₁ →ₗ[R] M₁ₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f₁ P)
g g' : M →ₗ[R] M₁
h :
  ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal],
    (IsLocalizedModule.map P.primeCompl (f P) (f₁ P)) g = (IsLocalizedModule.map P.primeCompl (f P) (f₁ P)) g'
x : M
P : Ideal R
x✝ : P.IsMaximal
⊢ (f₁ P) (g x) = (f₁ P) (g' x)
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
Rₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_4
inst✝⁷ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → CommSemiring (Rₚ P)
inst✝⁶ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Algebra R (Rₚ P)
inst✝⁵ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalization.AtPrime (Rₚ P) P
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝⁴ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝³ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module (Rₚ P) (Mₚ P)
inst✝¹ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsScalarTower R (Rₚ P) (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
N : Submodule R M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], localized' (Rₚ P) P.primeCompl (f P) N = ⊥
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
⊢ localized' (Rₚ P) P.primeCompl (f P) N = localized' (Rₚ P) P.primeCompl (f P) ⊥

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
Rₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_4
inst✝⁷ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → CommSemiring (Rₚ P)
inst✝⁶ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Algebra R (Rₚ P)
inst✝⁵ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalization.AtPrime (Rₚ P) P
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝⁴ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝³ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module (Rₚ P) (Mₚ P)
inst✝¹ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsScalarTower R (Rₚ P) (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
N : Submodule R M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], localized' (Rₚ P) P.primeCompl (f P) N = ⊥
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
⊢ localized' (Rₚ P) P.primeCompl (f P) N = ⊥
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
Rₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_4
inst✝⁷ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → CommSemiring (Rₚ P)
inst✝⁶ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Algebra R (Rₚ P)
inst✝⁵ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalization.AtPrime (Rₚ P) P
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝⁴ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝³ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module (Rₚ P) (Mₚ P)
inst✝¹ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsScalarTower R (Rₚ P) (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
N : Submodule R M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], localized' (Rₚ P) P.primeCompl (f P) N = ⊤
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
⊢ localized' (Rₚ P) P.primeCompl (f P) N = localized' (Rₚ P) P.primeCompl (f P) ⊤

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
Rₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_4
inst✝⁷ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → CommSemiring (Rₚ P)
inst✝⁶ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Algebra R (Rₚ P)
inst✝⁵ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalization.AtPrime (Rₚ P) P
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝⁴ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝³ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module (Rₚ P) (Mₚ P)
inst✝¹ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsScalarTower R (Rₚ P) (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
N : Submodule R M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], localized' (Rₚ P) P.primeCompl (f P) N = ⊤
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
⊢ localized' (Rₚ P) P.primeCompl (f P) N = ⊤
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
s : Set R
span_eq : span s = ⊤
Mₚ : ↑s → Type u_5
inst✝² : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Mₚ r)
inst✝¹ : (r : ↑s) → Module R (Mₚ r)
f : (r : ↑s) → M →ₗ[R] Mₚ r
inst✝ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (f r)
x y : M
h : ∀ (r : ↑s), (f r) x = (f r) y
this : eqIdeal R x y = ⊤
⊢ x = y

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
s : Set R
span_eq : span s = ⊤
Mₚ : ↑s → Type u_5
inst✝² : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Mₚ r)
inst✝¹ : (r : ↑s) → Module R (Mₚ r)
f : (r : ↑s) → M →ₗ[R] Mₚ r
inst✝ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (f r)
x y : M
h : ∀ (r : ↑s), (f r) x = (f r) y
this : eqIdeal R x y = ⊤
⊢ x = y
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
s : Set R
span_eq : span s = ⊤
Mₚ : ↑s → Type u_5
inst✝² : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Mₚ r)
inst✝¹ : (r : ↑s) → Module R (Mₚ r)
f : (r : ↑s) → M →ₗ[R] Mₚ r
inst✝ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (f r)
x : M
h : ∀ (r : ↑s), (f r) x = 0
⊢ ∀ (r : ↑s), (f r) x = (f r) 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
s : Set R
span_eq : span s = ⊤
Mₚ : ↑s → Type u_5
inst✝² : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Mₚ r)
inst✝¹ : (r : ↑s) → Module R (Mₚ r)
f : (r : ↑s) → M →ₗ[R] Mₚ r
inst✝ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (f r)
x : M
h : ∀ (r : ↑s), (f r) x = 0
⊢ ∀ (r : ↑s), (f r) x = 0
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
s : Set R
span_eq : Ideal.span s = ⊤
Mₚ : ↑s → Type u_5
inst✝² : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Mₚ r)
inst✝¹ : (r : ↑s) → Module R (Mₚ r)
f : (r : ↑s) → M →ₗ[R] Mₚ r
inst✝ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (f r)
m : M
N : Submodule R M
h : ∀ (r : ↑s), (f r) m ∈ localized₀ (Submonoid.powers ↑r) (f r) N
I : Ideal R := comap (LinearMap.toSpanSingleton R M m) N
this : I = ⊤
⊢ m ∈ N

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
s : Set R
span_eq : Ideal.span s = ⊤
Mₚ : ↑s → Type u_5
inst✝² : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Mₚ r)
inst✝¹ : (r : ↑s) → Module R (Mₚ r)
f : (r : ↑s) → M →ₗ[R] Mₚ r
inst✝ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (f r)
m : M
N : Submodule R M
h : ∀ (r : ↑s), (f r) m ∈ localized₀ (Submonoid.powers ↑r) (f r) N
I : Ideal R := comap (LinearMap.toSpanSingleton R M m) N
this : I = ⊤
⊢ m ∈ N
Module: Mathlib.RingTheory.PolynomialAlgebra

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
A : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A ⊗[R] R[X]
⊢ ∀ (x : A) (y : R[X]), invFun R A ((toFunAlgHom R A) (x ⊗ₜ[R] y)) = x ⊗ₜ[R] y

Tactic:
intro a p

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
A : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A ⊗[R] R[X]
a : A
p : R[X]
⊢ invFun R A ((toFunAlgHom R A) (a ⊗ₜ[R] p)) = a ⊗ₜ[R] p
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalization M S
I : Ideal S
inst✝ : I.IsPrime
J : Ideal R
H : J ≤ Ideal.under R I
hI : (Ideal.under R I).IsMaximal
r m : R
hm : m ∈ M
hM : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.comap (algebraMap R S) I)) m = 0
this : I = ⊤
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) (mk' S r ⟨m, hm⟩) = (Ideal.quotientMap I (algebraMap R S) H) 0

Tactic:
by simp [Ideal.Quotient.eq_zero_iff_mem, this]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Algebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : CommSemiring P
inst✝⁴ : CommSemiring Q
M : Submonoid R
T : Submonoid P
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization T Q
g : R →+* P
I : Ideal R
x : ↥M
a b : ↥(Ideal.map (algebraMap R S) I)
e :
  ((algebraMap R (Module.End R ↥(Ideal.map (algebraMap R S) I))) ↑x) a =
    ((algebraMap R (Module.End R ↥(Ideal.map (algebraMap R S) I))) ↑x) b
⊢ (fun x_1 ↦ (algebraMap R S) ↑x * x_1) ↑a = (fun x_1 ↦ (algebraMap R S) ↑x * x_1) ↑b

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : CommSemiring P
inst✝⁴ : CommSemiring Q
M : Submonoid R
T : Submonoid P
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization T Q
g : R →+* P
I : Ideal R
x : ↥M
a b : ↥(Ideal.map (algebraMap R S) I)
e :
  ((algebraMap R (Module.End R ↥(Ideal.map (algebraMap R S) I))) ↑x) a =
    ((algebraMap R (Module.End R ↥(Ideal.map (algebraMap R S) I))) ↑x) b
⊢ (algebraMap R S) ↑x * ↑a = (algebraMap R S) ↑x * ↑b
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsLocalization M S
R' : Type u_3
S' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R' S'
f : R →+* R'
hf : Function.Surjective ⇑f
g : S →+* S'
hg : Function.Surjective ⇑g
H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap R' S').comp f
H' : RingHom.ker g ≤ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker f)
y : R
hy : y ∈ ↑M
⊢ IsUnit ((algebraMap R' S') ↑⟨f y, ⋯⟩)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsLocalization M S
R' : Type u_3
S' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R' S'
f : R →+* R'
hf : Function.Surjective ⇑f
g : S →+* S'
hg : Function.Surjective ⇑g
H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap R' S').comp f
H' : RingHom.ker g ≤ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker f)
y : R
hy : y ∈ ↑M
⊢ IsUnit (((algebraMap R' S').comp f) y)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsLocalization M S
R' : Type u_3
S' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R' S'
f : R →+* R'
hf : Function.Surjective ⇑f
g : S →+* S'
hg : Function.Surjective ⇑g
H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap R' S').comp f
H' : RingHom.ker g ≤ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker f)
z : S
r : R
s : ↥M
e : z * (algebraMap R S) ↑(r, s).2 = (algebraMap R S) (r, s).1
⊢ g z * (algebraMap R' S') ↑(f r, ⟨f ↑s, ⋯⟩).2 = (algebraMap R' S') (f r, ⟨f ↑s, ⋯⟩).1

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsLocalization M S
R' : Type u_3
S' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R' S'
f : R →+* R'
hf : Function.Surjective ⇑f
g : S →+* S'
hg : Function.Surjective ⇑g
H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap R' S').comp f
H' : RingHom.ker g ≤ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker f)
z : S
r : R
s : ↥M
e : z * (algebraMap R S) ↑(r, s).2 = (algebraMap R S) (r, s).1
⊢ g z * ((algebraMap R' S').comp f) ↑s = ((algebraMap R' S').comp f) r
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsLocalization M S
R' : Type u_3
S' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R' S'
f : R →+* R'
hf : Function.Surjective ⇑f
g : S →+* S'
hg : Function.Surjective ⇑g
H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap R' S').comp f
H' : RingHom.ker g ≤ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker f)
x y : R
e : g (mk' S (x - y) 1) = 0
r : R
hr : r ∈ M
hr' : r * (x - y) ∈ RingHom.ker f
⊢ ↑⟨f r, ⋯⟩ * f x = ↑⟨f r, ⋯⟩ * f y

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsLocalization M S
R' : Type u_3
S' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R' S'
f : R →+* R'
hf : Function.Surjective ⇑f
g : S →+* S'
hg : Function.Surjective ⇑g
H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap R' S').comp f
H' : RingHom.ker g ≤ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker f)
x y : R
e : g (mk' S (x - y) 1) = 0
r : R
hr : r ∈ M
hr' : r * (x - y) ∈ RingHom.ker f
⊢ f r * f x = f r * f y
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.Localization

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower R S M
Mₚ : (P : Ideal S) → [P.IsMaximal] → Type u_4
inst✝⁴ : (P : Ideal S) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝³ : (P : Ideal S) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
inst✝² : (P : Ideal S) → [inst : P.IsMaximal] → Module S (Mₚ P)
inst✝¹ : ∀ (P : Ideal S) [inst : P.IsMaximal], IsScalarTower R S (Mₚ P)
f : (P : Ideal S) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[S] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal S) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule.AtPrime P (f P)
H :
  ∀ (P : Ideal S) [inst : P.IsMaximal] ⦃P_1 : Type u_1⦄ [inst_1 : AddCommMonoid P_1] [inst_2 : Module R P_1]
    (N : Submodule R P_1), Function.Injective ⇑(lTensor (Mₚ P) N.subtype)
x✝² : Type u_1
x✝¹ : AddCommMonoid x✝²
x✝ : Module R x✝²
N : Submodule R x✝²
P : Ideal S
hP : P.IsMaximal
⊢ Function.Injective
    ⇑((IsLocalizedModule.map P.primeCompl ((AlgebraTensorModule.rTensor R ↥N) (f P))
          ((AlgebraTensorModule.rTensor R x✝²) (f P)))
        ((AlgebraTensorModule.lTensor S M) N.subtype))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower R S M
Mₚ : (P : Ideal S) → [P.IsMaximal] → Type u_4
inst✝⁴ : (P : Ideal S) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝³ : (P : Ideal S) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
inst✝² : (P : Ideal S) → [inst : P.IsMaximal] → Module S (Mₚ P)
inst✝¹ : ∀ (P : Ideal S) [inst : P.IsMaximal], IsScalarTower R S (Mₚ P)
f : (P : Ideal S) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[S] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal S) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule.AtPrime P (f P)
H :
  ∀ (P : Ideal S) [inst : P.IsMaximal] ⦃P_1 : Type u_1⦄ [inst_1 : AddCommMonoid P_1] [inst_2 : Module R P_1]
    (N : Submodule R P_1), Function.Injective ⇑(lTensor (Mₚ P) N.subtype)
x✝² : Type u_1
x✝¹ : AddCommMonoid x✝²
x✝ : Module R x✝²
N : Submodule R x✝²
P : Ideal S
hP : P.IsMaximal
⊢ Function.Injective ⇑(lTensor (Mₚ P) N.subtype)
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.Localization

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower R S M
s : Set S
spn : Ideal.span s = ⊤
Mₛ : ↑s → Type u_5
inst✝⁴ : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Mₛ r)
inst✝³ : (r : ↑s) → Module R (Mₛ r)
inst✝² : (r : ↑s) → Module S (Mₛ r)
inst✝¹ : ∀ (r : ↑s), IsScalarTower R S (Mₛ r)
g : (r : ↑s) → M →ₗ[S] Mₛ r
inst✝ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (g r)
H :
  ∀ (r : ↑s) ⦃P : Type u_1⦄ [inst : AddCommMonoid P] [inst_1 : Module R P] (N : Submodule R P),
    Function.Injective ⇑(lTensor (Mₛ r) N.subtype)
x✝² : Type u_1
x✝¹ : AddCommMonoid x✝²
x✝ : Module R x✝²
N : Submodule R x✝²
r : ↑s
⊢ Function.Injective
    ⇑((IsLocalizedModule.map (Submonoid.powers ↑r) ((AlgebraTensorModule.rTensor R ↥N) (g r))
          ((AlgebraTensorModule.rTensor R x✝²) (g r)))
        ((AlgebraTensorModule.lTensor S M) N.subtype))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower R S M
s : Set S
spn : Ideal.span s = ⊤
Mₛ : ↑s → Type u_5
inst✝⁴ : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Mₛ r)
inst✝³ : (r : ↑s) → Module R (Mₛ r)
inst✝² : (r : ↑s) → Module S (Mₛ r)
inst✝¹ : ∀ (r : ↑s), IsScalarTower R S (Mₛ r)
g : (r : ↑s) → M →ₗ[S] Mₛ r
inst✝ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (g r)
H :
  ∀ (r : ↑s) ⦃P : Type u_1⦄ [inst : AddCommMonoid P] [inst_1 : Module R P] (N : Submodule R P),
    Function.Injective ⇑(lTensor (Mₛ r) N.subtype)
x✝² : Type u_1
x✝¹ : AddCommMonoid x✝²
x✝ : Module R x✝²
N : Submodule R x✝²
r : ↑s
⊢ Function.Injective ⇑(lTensor (Mₛ r) N.subtype)