mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Generator.Presheaf

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : HasCoproducts A
X : C
M : A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
f : freeYoneda X M ⟶ F
Y : Cᵒᵖ
φ : (yoneda.obj X).obj Y
⊢ Sigma.ι (fun i ↦ M) φ ≫
      ((fun g ↦ { app := fun Y ↦ Sigma.desc fun φ ↦ g ≫ F.map (Quiver.Hom.op φ), naturality := ⋯ })
            ((fun f ↦ Sigma.ι (fun i ↦ M) (𝟙 (unop (op X))) ≫ f.app (op X)) f)).app
        Y =
    Sigma.ι (fun i ↦ M) φ ≫ f.app Y

Tactic:
simpa using

Goal state after:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : HasCoproducts A
X : C
M : A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
f : freeYoneda X M ⟶ F
Y : Cᵒᵖ
φ : (yoneda.obj X).obj Y
⊢ Sigma.ι (fun i ↦ M) (𝟙 X) ≫ f.app (op X) ≫ F.map (Quiver.Hom.op φ) = Sigma.ι (fun i ↦ M) φ ≫ f.app Y
Module: Mathlib.CategoryTheory.Generator.Presheaf

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : HasCoproducts A
ι : Type w
S : ι → A
hS : (ObjectProperty.ofObj S).IsSeparating
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f g : F ⟶ G
h :
  ∀ (G_1 : Cᵒᵖ ⥤ A),
    ObjectProperty.ofObj
        (fun x ↦
          match x with
          | (X, i) => freeYoneda X (S i))
        G_1 →
      ∀ (h : G_1 ⟶ F), h ≫ f = h ≫ g
X : C
i : ι
α : S i ⟶ F.obj (op X)
⊢ freeYonedaHomEquiv.symm (α ≫ f.app (op X)) = freeYonedaHomEquiv.symm (α ≫ g.app (op X))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : HasCoproducts A
ι : Type w
S : ι → A
hS : (ObjectProperty.ofObj S).IsSeparating
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f g : F ⟶ G
h :
  ∀ (G_1 : Cᵒᵖ ⥤ A),
    ObjectProperty.ofObj
        (fun x ↦
          match x with
          | (X, i) => freeYoneda X (S i))
        G_1 →
      ∀ (h : G_1 ⟶ F), h ≫ f = h ≫ g
X : C
i : ι
α : S i ⟶ F.obj (op X)
⊢ freeYonedaHomEquiv.symm (α ≫ f.app (op X)) = freeYonedaHomEquiv.symm (α ≫ g.app (op X))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Generator.Sheaf

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : HasCoproducts A
inst✝ : HasWeakSheafify J A
ι : Type w
S : ι → A
hS : (ObjectProperty.ofObj S).IsSeparating
F G : Sheaf J A
f g : F ⟶ G
hfg :
  ∀ (G_1 : Sheaf J A),
    ObjectProperty.ofObj
        (fun x ↦
          match x with
          | (X, i) => freeYoneda J X (S i))
        G_1 →
      ∀ (h : G_1 ⟶ F), h ≫ f = h ≫ g
X : C
i : ι
a :
  (match (X, i) with
    | (X, i) => Presheaf.freeYoneda X (S i)) ⟶
    (sheafToPresheaf J A).obj F
⊢ ((sheafificationAdjunction J A).homEquiv
          (match (X, i) with
          | (X, i) => Presheaf.freeYoneda X (S i))
          G).symm
      (a ≫ (sheafToPresheaf J A).map f) =
    ((sheafificationAdjunction J A).homEquiv
          (match (X, i) with
          | (X, i) => Presheaf.freeYoneda X (S i))
          G).symm
      (a ≫ (sheafToPresheaf J A).map g)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : HasCoproducts A
inst✝ : HasWeakSheafify J A
ι : Type w
S : ι → A
hS : (ObjectProperty.ofObj S).IsSeparating
F G : Sheaf J A
f g : F ⟶ G
hfg :
  ∀ (G_1 : Sheaf J A),
    ObjectProperty.ofObj
        (fun x ↦
          match x with
          | (X, i) => freeYoneda J X (S i))
        G_1 →
      ∀ (h : G_1 ⟶ F), h ≫ f = h ≫ g
X : C
i : ι
a :
  (match (X, i) with
    | (X, i) => Presheaf.freeYoneda X (S i)) ⟶
    (sheafToPresheaf J A).obj F
⊢ ((sheafificationAdjunction J A).homEquiv (Presheaf.freeYoneda X (S i)) G).symm (a ≫ (sheafToPresheaf J A).map f) =
    ((sheafificationAdjunction J A).homEquiv (Presheaf.freeYoneda X (S i)) G).symm (a ≫ (sheafToPresheaf J A).map g)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.DenseSubsite.OneHypercoverDense

Goal state before:
pp: C₀ : Type u₀
C : Type u
inst✝³ : Category.{v₀, u₀} C₀
inst✝² : Category.{v, u} C
F : C₀ ⥤ C
J₀ : GrothendieckTopology C₀
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : IsDenseSubsite J₀ J F
data : (X : C) → F.OneHypercoverDenseData J₀ J X
G : Cᵒᵖ ⥤ A
hG₀ : Presheaf.IsSheaf J₀ (F.op ⋙ G)
hG : (X : C) → IsLimit ((data X).toOneHypercover.multifork G)
X : C
S : J.Cover X
s : Multifork (S.index G)
a : S.Arrow
i : (data a.Y).I₀
X₀ : C₀
b : X₀ ⟶ (data a.Y).X i
Y : C
j : (data X).I₀
c : F.obj X₀ ⟶ F.obj ((data X).X j)
fac₁ : c ≫ (data X).f j = F.map b ≫ (data a.Y).f i ≫ a.f
Y₀ : C₀
d : Y₀ ⟶ X₀
e : Y₀ ⟶ (data X).X j
fac₂ : F.map e = F.map d ≫ c
⊢ (↑S).arrows (F.map d ≫ F.map b ≫ (data a.Y).f i ≫ a.f)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
C₀ : Type u₀
C : Type u
inst✝³ : Category.{v₀, u₀} C₀
inst✝² : Category.{v, u} C
F : C₀ ⥤ C
J₀ : GrothendieckTopology C₀
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : IsDenseSubsite J₀ J F
data : (X : C) → F.OneHypercoverDenseData J₀ J X
G : Cᵒᵖ ⥤ A
hG₀ : Presheaf.IsSheaf J₀ (F.op ⋙ G)
hG : (X : C) → IsLimit ((data X).toOneHypercover.multifork G)
X : C
S : J.Cover X
s : Multifork (S.index G)
a : S.Arrow
i : (data a.Y).I₀
X₀ : C₀
b : X₀ ⟶ (data a.Y).X i
Y : C
j : (data X).I₀
c : F.obj X₀ ⟶ F.obj ((data X).X j)
fac₁ : c ≫ (data X).f j = F.map b ≫ (data a.Y).f i ≫ a.f
Y₀ : C₀
d : Y₀ ⟶ X₀
e : Y₀ ⟶ (data X).X j
fac₂ : F.map e = F.map d ≫ c
⊢ (↑S).arrows (F.map d ≫ F.map b ≫ (data a.Y).f i ≫ a.f)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.DenseSubsite.OneHypercoverDense

Goal state before:
pp: C₀ : Type u₀
C : Type u
inst✝³ : Category.{v₀, u₀} C₀
inst✝² : Category.{v, u} C
F : C₀ ⥤ C
J₀ : GrothendieckTopology C₀
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : IsDenseSubsite J₀ J F
data : (X : C) → F.OneHypercoverDenseData J₀ J X
G : Cᵒᵖ ⥤ A
hG₀ : Presheaf.IsSheaf J₀ (F.op ⋙ G)
hG : (X : C) → IsLimit ((data X).toOneHypercover.multifork G)
X : C
S : J.Cover X
s : Multifork (S.index G)
a : S.Arrow
i : (data a.Y).I₀
X₀ : C₀
b : X₀ ⟶ (data a.Y).X i
Y : C
j : (data X).I₀
c : F.obj X₀ ⟶ F.obj ((data X).X j)
fac₁ : c ≫ (data X).f j = F.map b ≫ (data a.Y).f i ≫ a.f
Y₀ : C₀
d : Y₀ ⟶ X₀
e : Y₀ ⟶ (data X).X j
fac₂ : F.map e = F.map d ≫ c
he : (↑S).arrows (F.map e ≫ (data X).f j)
⊢ s.ι { Y := F.obj Y₀, f := F.map e ≫ (data X).f j, hf := he } = s.ι a ≫ G.map (F.map d ≫ F.map b ≫ (data a.Y).f i).op

Tactic:
simpa using

Goal state after:
C₀ : Type u₀
C : Type u
inst✝³ : Category.{v₀, u₀} C₀
inst✝² : Category.{v, u} C
F : C₀ ⥤ C
J₀ : GrothendieckTopology C₀
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : IsDenseSubsite J₀ J F
data : (X : C) → F.OneHypercoverDenseData J₀ J X
G : Cᵒᵖ ⥤ A
hG₀ : Presheaf.IsSheaf J₀ (F.op ⋙ G)
hG : (X : C) → IsLimit ((data X).toOneHypercover.multifork G)
X : C
S : J.Cover X
s : Multifork (S.index G)
a : S.Arrow
i : (data a.Y).I₀
X₀ : C₀
b : X₀ ⟶ (data a.Y).X i
Y : C
j : (data X).I₀
c : F.obj X₀ ⟶ F.obj ((data X).X j)
fac₁ : c ≫ (data X).f j = F.map b ≫ (data a.Y).f i ≫ a.f
Y₀ : C₀
d : Y₀ ⟶ X₀
e : Y₀ ⟶ (data X).X j
fac₂ : F.map e = F.map d ≫ c
he : (↑S).arrows (F.map e ≫ (data X).f j)
⊢ s.ι { Y := F.obj Y₀, f := F.map e ≫ (data X).f j, hf := he } =
    s.ι a ≫ G.map ((data a.Y).f i).op ≫ G.map (F.map b).op ≫ G.map (F.map d).op
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.DenseSubsite.OneHypercoverDense

Goal state before:
pp: C₀ : Type u₀
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v₀, u₀} C₀
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : C₀ ⥤ C
J₀ : GrothendieckTopology C₀
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : IsDenseSubsite J₀ J F
data : (X : C) → F.OneHypercoverDenseData J₀ J X
inst✝ : HasLimitsOfSize.{w, w, v', u'} A
G₀ : Sheaf J₀ A
X : C
i₁ i₂ : (data X).I₀
Y₀ : C₀
p₁ : F.obj Y₀ ⟶ F.obj ((data X).X i₁)
p₂ : F.obj Y₀ ⟶ F.obj ((data X).X i₂)
fac : p₁ ≫ (data X).f i₁ = p₂ ≫ (data X).f i₂
W₀ : C₀
a : W₀ ⟶ Y₀
b₁ : W₀ ⟶ (data X).X i₁
h₁ : F.map b₁ = F.map a ≫ p₁
b₂ : W₀ ⟶ (data X).X i₂
h₂ : F.map b₂ = F.map a ≫ p₂
U₀ : C₀
c : U₀ ⟶ W₀
j : (data X).I₁ i₁ i₂
t : U₀ ⟶ (data X).Y j
fac₁ : c ≫ b₁ = t ≫ (data X).p₁ j
fac₂ : c ≫ b₂ = t ≫ (data X).p₂ j
⊢ presheafObjπ data G₀ X i₁ ≫ G₀.obj.map (c ≫ b₁).op = presheafObjπ data G₀ X i₂ ≫ G₀.obj.map (c ≫ b₂).op

Tactic:
simpa using

Goal state after:
C₀ : Type u₀
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v₀, u₀} C₀
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : C₀ ⥤ C
J₀ : GrothendieckTopology C₀
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : IsDenseSubsite J₀ J F
data : (X : C) → F.OneHypercoverDenseData J₀ J X
inst✝ : HasLimitsOfSize.{w, w, v', u'} A
G₀ : Sheaf J₀ A
X : C
i₁ i₂ : (data X).I₀
Y₀ : C₀
p₁ : F.obj Y₀ ⟶ F.obj ((data X).X i₁)
p₂ : F.obj Y₀ ⟶ F.obj ((data X).X i₂)
fac : p₁ ≫ (data X).f i₁ = p₂ ≫ (data X).f i₂
W₀ : C₀
a : W₀ ⟶ Y₀
b₁ : W₀ ⟶ (data X).X i₁
h₁ : F.map b₁ = F.map a ≫ p₁
b₂ : W₀ ⟶ (data X).X i₂
h₂ : F.map b₂ = F.map a ≫ p₂
U₀ : C₀
c : U₀ ⟶ W₀
j : (data X).I₁ i₁ i₂
t : U₀ ⟶ (data X).Y j
fac₁ : c ≫ b₁ = t ≫ (data X).p₁ j
fac₂ : c ≫ b₂ = t ≫ (data X).p₂ j
⊢ presheafObjπ data G₀ X i₁ ≫ G₀.obj.map ((data X).p₁ j).op ≫ G₀.obj.map t.op =
    presheafObjπ data G₀ X i₂ ≫ G₀.obj.map ((data X).p₂ j).op ≫ G₀.obj.map t.op
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.ZeroFamily

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : PreZeroHypercoverFamily C
h : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y) [IsIso f], P.property (PreZeroHypercover.singleton f)
S T : C
f : S ⟶ T
hf : IsIso f
⊢ Presieve.singleton f ∈ P.precoverage.coverings T

Tactic:
← PreZeroHypercover.presieve₀_singleton.{_, _, max u v}

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : PreZeroHypercoverFamily C
h : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y) [IsIso f], P.property (PreZeroHypercover.singleton f)
S T : C
f : S ⟶ T
hf : IsIso f
⊢ (PreZeroHypercover.singleton f).presieve₀ ∈ P.precoverage.coverings T
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.DenseSubsite.OneHypercoverDense

Goal state before:
pp: C₀ : Type u₀
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v₀, u₀} C₀
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : C₀ ⥤ C
J₀ : GrothendieckTopology C₀
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : IsDenseSubsite J₀ J F
data : (X : C) → F.OneHypercoverDenseData J₀ J X
inst✝ : HasLimitsOfSize.{w, w, v', u'} A
G₀ : Sheaf J₀ A
X : C
X₀ : C₀
f : F.obj X₀ ⟶ X
i : (data X).I₀
p : F.obj X₀ ⟶ F.obj ((data X).X i)
fac : p ≫ (data X).f i = f
⊢ restriction data G₀ f = presheafObjπ data G₀ X i ≫ IsDenseSubsite.mapPreimage J F G₀ p

Tactic:
simpa using

Goal state after:
C₀ : Type u₀
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v₀, u₀} C₀
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : C₀ ⥤ C
J₀ : GrothendieckTopology C₀
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : IsDenseSubsite J₀ J F
data : (X : C) → F.OneHypercoverDenseData J₀ J X
inst✝ : HasLimitsOfSize.{w, w, v', u'} A
G₀ : Sheaf J₀ A
X : C
X₀ : C₀
f : F.obj X₀ ⟶ X
i : (data X).I₀
p : F.obj X₀ ⟶ F.obj ((data X).X i)
fac : p ≫ (data X).f i = f
⊢ restriction data G₀ f = presheafObjπ data G₀ X i ≫ IsDenseSubsite.mapPreimage J F G₀ p
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.DenseSubsite.OneHypercoverDense

Goal state before:
pp: C₀ : Type u₀
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v₀, u₀} C₀
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : C₀ ⥤ C
J₀ : GrothendieckTopology C₀
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : IsDenseSubsite J₀ J F
data : (X : C) → F.OneHypercoverDenseData J₀ J X
inst✝ : HasLimitsOfSize.{w, w, v', u'} A
G₀ : Sheaf J₀ A
X : C
X₀ : C₀
f : F.obj X₀ ⟶ X
i : (data X).I₀
p : F.obj X₀ ⟶ F.obj ((data X).X i)
fac : p ≫ (data X).f i = f
⊢ p ≫ (data X).f i = F.map (𝟙 X₀) ≫ f

Tactic:
simpa using

Goal state after:
C₀ : Type u₀
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v₀, u₀} C₀
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : C₀ ⥤ C
J₀ : GrothendieckTopology C₀
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : IsDenseSubsite J₀ J F
data : (X : C) → F.OneHypercoverDenseData J₀ J X
inst✝ : HasLimitsOfSize.{w, w, v', u'} A
G₀ : Sheaf J₀ A
X : C
X₀ : C₀
f : F.obj X₀ ⟶ X
i : (data X).I₀
p : F.obj X₀ ⟶ F.obj ((data X).X i)
fac : p ≫ (data X).f i = f
⊢ p ≫ (data X).f i = f
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Sites.QuasiCompact

Goal state before:
pp: P : MorphismProperty Scheme
S : Scheme
R : Presieve S
⊢ R ∈ (propQCPrecoverage P).coverings S ↔ ∃ 𝒰, QuasiCompactCover 𝒰.toPreZeroHypercover ∧ R = 𝒰.presieve₀

Tactic:
by
  rw [Precoverage.mem_iff_exists_zeroHypercover]
  refine ⟨fun ⟨𝒰, h⟩ ↦ ⟨𝒰.weaken propQCPrecoverage_le_precoverage, ?_, h⟩,
    fun ⟨𝒰, _, h⟩ ↦ ⟨⟨𝒰.1, ⟨by simpa, 𝒰.mem₀⟩⟩, h⟩⟩
  rw [← Scheme.presieve₀_mem_qcPrecoverage_iff]
  exact 𝒰.mem₀.1

Goal state after:
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : SetLike σ A
inst✝² : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
inst✝ : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
O : Type u_2
commRing✝ : CommRing O
domain✝ : IsDomain O
valuationRing✝ : ValuationRing O
K : Type u_2
field✝ : Field K
algebra✝ : Algebra O K
isFractionRing✝ : IsFractionRing O K
i₁ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Proj 𝒜
i₂ : Spec (CommRingCat.of O) ⟶ Spec (CommRingCat.of ↥(𝒜 0))
w : CommSq i₁ (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap O K))) (toSpecZero 𝒜) i₂
x : Finset A
hx : Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) ↑x = ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
this : i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) ∈ ⊤
⊢ Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range Subtype.val) = ⊤

Tactic:
simpa using

Goal state after:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : SetLike σ A
inst✝² : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
inst✝ : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
O : Type u_2
commRing✝ : CommRing O
domain✝ : IsDomain O
valuationRing✝ : ValuationRing O
K : Type u_2
field✝ : Field K
algebra✝ : Algebra O K
isFractionRing✝ : IsFractionRing O K
i₁ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Proj 𝒜
i₂ : Spec (CommRingCat.of O) ⟶ Spec (CommRingCat.of ↥(𝒜 0))
w : CommSq i₁ (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap O K))) (toSpecZero 𝒜) i₂
x : Finset A
hx : Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) ↑x = ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
this : i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) ∈ ⊤
⊢ Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) ↑x = ⊤
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.DenseSubsite.OneHypercoverDense

Goal state before:
pp: C₀ : Type u₀
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v₀, u₀} C₀
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : C₀ ⥤ C
J₀ : GrothendieckTopology C₀
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : IsDenseSubsite J₀ J F
data : (X : C) → F.OneHypercoverDenseData J₀ J X
inst✝ : HasLimitsOfSize.{w, w, v', u'} A
G₀ : Sheaf J₀ A
X Y : C
X₀ : C₀
f : F.obj X₀ ⟶ X
g : X ⟶ Y
U₀ Y₀ : C₀
c : U₀ ⟶ Y₀
d : Y₀ ⟶ X₀
hd : Presieve.functorPullback F (Sieve.pullback f (data X).toPreOneHypercover.sieve₀).arrows d
hc :
  Presieve.functorPullback F
    (Sieve.pullback (Sieve.ofArrows.h hd ≫ (data X).f (Sieve.ofArrows.i hd) ≫ g)
        (data Y).toPreOneHypercover.sieve₀).arrows
    c
hc' :
  Sieve.ofArrows.h hc ≫ (data Y).f (Sieve.ofArrows.i hc) =
    F.map c ≫ Sieve.ofArrows.h hd ≫ (data X).f (Sieve.ofArrows.i hd) ≫ g
hd' : Sieve.ofArrows.h hd ≫ (data X).f (Sieve.ofArrows.i hd) = F.map d ≫ f
this : F.imageSieve (Sieve.ofArrows.h hc) ⊓ Sieve.pullback c (F.imageSieve (Sieve.ofArrows.h hd)) ∈ J₀ U₀
V₀ : C₀
a : V₀ ⟶ U₀
x₁ : V₀ ⟶ (data Y).X (Sieve.ofArrows.i hc)
fac₁ : F.map x₁ = F.map a ≫ Sieve.ofArrows.h hc
x₂ : V₀ ⟶ (data X).X (Sieve.ofArrows.i hd)
fac₂ : F.map x₂ = F.map (a ≫ c) ≫ Sieve.ofArrows.h hd
⊢ F.map a ≫ F.map c ≫ Sieve.ofArrows.h hd = F.map x₂

Tactic:
simpa using

Goal state after:
C₀ : Type u₀
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v₀, u₀} C₀
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : C₀ ⥤ C
J₀ : GrothendieckTopology C₀
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : IsDenseSubsite J₀ J F
data : (X : C) → F.OneHypercoverDenseData J₀ J X
inst✝ : HasLimitsOfSize.{w, w, v', u'} A
G₀ : Sheaf J₀ A
X Y : C
X₀ : C₀
f : F.obj X₀ ⟶ X
g : X ⟶ Y
U₀ Y₀ : C₀
c : U₀ ⟶ Y₀
d : Y₀ ⟶ X₀
hd : Presieve.functorPullback F (Sieve.pullback f (data X).toPreOneHypercover.sieve₀).arrows d
hc :
  Presieve.functorPullback F
    (Sieve.pullback (Sieve.ofArrows.h hd ≫ (data X).f (Sieve.ofArrows.i hd) ≫ g)
        (data Y).toPreOneHypercover.sieve₀).arrows
    c
hc' :
  Sieve.ofArrows.h hc ≫ (data Y).f (Sieve.ofArrows.i hc) =
    F.map c ≫ Sieve.ofArrows.h hd ≫ (data X).f (Sieve.ofArrows.i hd) ≫ g
hd' : Sieve.ofArrows.h hd ≫ (data X).f (Sieve.ofArrows.i hd) = F.map d ≫ f
this : F.imageSieve (Sieve.ofArrows.h hc) ⊓ Sieve.pullback c (F.imageSieve (Sieve.ofArrows.h hd)) ∈ J₀ U₀
V₀ : C₀
a : V₀ ⟶ U₀
x₁ : V₀ ⟶ (data Y).X (Sieve.ofArrows.i hc)
fac₁ : F.map x₁ = F.map a ≫ Sieve.ofArrows.h hc
x₂ : V₀ ⟶ (data X).X (Sieve.ofArrows.i hd)
fac₂ : F.map x₂ = F.map (a ≫ c) ≫ Sieve.ofArrows.h hd
⊢ F.map a ≫ F.map c ≫ Sieve.ofArrows.h hd = F.map x₂
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : SetLike σ A
inst✝² : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
inst✝ : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
O : Type u_2
commRing✝ : CommRing O
domain✝ : IsDomain O
valuationRing✝ : ValuationRing O
K : Type u_2
field✝ : Field K
algebra✝ : Algebra O K
isFractionRing✝ : IsFractionRing O K
i₁ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Proj 𝒜
i₂ : Spec (CommRingCat.of O) ⟶ Spec (CommRingCat.of ↥(𝒜 0))
w : CommSq i₁ (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap O K))) (toSpecZero 𝒜) i₂
x : Finset A
hx : Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) ↑x = ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
i : ↥x
hi : i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) ∈ basicOpen 𝒜 ↑i
this : Set.range ⇑i₁ ⊆ ↑(Hom.opensRange (awayι 𝒜 ↑i ⋯ ⋯))
φ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Spec (CommRingCat.of (Away 𝒜 ↑i)) := IsOpenImmersion.lift (awayι 𝒜 ↑i ⋯ ⋯) i₁ this
H :
  Spec.preimage i₂ ≫ CommRingCat.ofHom (algebraMap O K) =
    CommRingCat.ofHom (fromZeroRingHom 𝒜 (Submonoid.powers ↑i)) ≫ Spec.preimage φ
⊢ Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range Subtype.val) = ⊤

Tactic:
simpa using

Goal state after:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : SetLike σ A
inst✝² : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
inst✝ : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
O : Type u_2
commRing✝ : CommRing O
domain✝ : IsDomain O
valuationRing✝ : ValuationRing O
K : Type u_2
field✝ : Field K
algebra✝ : Algebra O K
isFractionRing✝ : IsFractionRing O K
i₁ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Proj 𝒜
i₂ : Spec (CommRingCat.of O) ⟶ Spec (CommRingCat.of ↥(𝒜 0))
w : CommSq i₁ (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap O K))) (toSpecZero 𝒜) i₂
x : Finset A
hx : Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) ↑x = ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
i : ↥x
hi : i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) ∈ basicOpen 𝒜 ↑i
this : Set.range ⇑i₁ ⊆ ↑(Hom.opensRange (awayι 𝒜 ↑i ⋯ ⋯))
φ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Spec (CommRingCat.of (Away 𝒜 ↑i)) := IsOpenImmersion.lift (awayι 𝒜 ↑i ⋯ ⋯) i₁ this
H :
  Spec.preimage i₂ ≫ CommRingCat.ofHom (algebraMap O K) =
    CommRingCat.ofHom (fromZeroRingHom 𝒜 (Submonoid.powers ↑i)) ≫ Spec.preimage φ
⊢ Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) ↑x = ⊤
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Sites.SheafQuasiCompact

Goal state before:
pp: case refine_1
P : MorphismProperty Scheme
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
F : Schemeᵒᵖ ⥤ Type u_1
inst✝ : IsZariskiLocalAtSource P
x✝ :
  Presieve.IsSheaf zariskiTopology F ∧
    ∀ {R S : CommRingCat} (f : R ⟶ S),
      P (Spec.map f) → Surjective (Spec.map f) → Presieve.IsSheafFor F (Presieve.singleton (Spec.map f))
hzar : Presieve.IsSheaf zariskiTopology F
hff :
  ∀ {R S : CommRingCat} (f : R ⟶ S),
    P (Spec.map f) → Surjective (Spec.map f) → Presieve.IsSheafFor F (Presieve.singleton (Spec.map f))
R : CommRingCat
𝒰 : Cover (propQCPrecoverage P) (Spec R)
left✝ : ∀ (i : 𝒰.I₀), IsAffine (𝒰.X i)
right✝ : Finite 𝒰.I₀
𝒰' : Cover (precoverage P) (Spec R) := 𝒰.forgetQc.sigma
this : IsAffine (𝒰.forgetQc.sigma.X default)
f : Spec Γ(𝒰.forgetQc.sigma.X default, ⊤) ⟶ Spec R :=
  (𝒰.forgetQc.sigma.X default).isoSpec.inv ≫ 𝒰.forgetQc.sigma.f default
φ : R ⟶ Γ(𝒰.forgetQc.sigma.X default, ⊤)
hφ : Spec.map φ = f
⊢ P (Spec.map φ)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_1
P : MorphismProperty Scheme
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
F : Schemeᵒᵖ ⥤ Type u_1
inst✝ : IsZariskiLocalAtSource P
x✝ :
  Presieve.IsSheaf zariskiTopology F ∧
    ∀ {R S : CommRingCat} (f : R ⟶ S),
      P (Spec.map f) → Surjective (Spec.map f) → Presieve.IsSheafFor F (Presieve.singleton (Spec.map f))
hzar : Presieve.IsSheaf zariskiTopology F
hff :
  ∀ {R S : CommRingCat} (f : R ⟶ S),
    P (Spec.map f) → Surjective (Spec.map f) → Presieve.IsSheafFor F (Presieve.singleton (Spec.map f))
R : CommRingCat
𝒰 : Cover (propQCPrecoverage P) (Spec R)
left✝ : ∀ (i : 𝒰.I₀), IsAffine (𝒰.X i)
right✝ : Finite 𝒰.I₀
𝒰' : Cover (precoverage P) (Spec R) := 𝒰.forgetQc.sigma
this : IsAffine (𝒰.forgetQc.sigma.X default)
f : Spec Γ(𝒰.forgetQc.sigma.X default, ⊤) ⟶ Spec R :=
  (𝒰.forgetQc.sigma.X default).isoSpec.inv ≫ 𝒰.forgetQc.sigma.f default
φ : R ⟶ Γ(𝒰.forgetQc.sigma.X default, ⊤)
hφ : Spec.map φ = f
⊢ P ((𝒰.forgetQc.sigma.X default).isoSpec.inv ≫ 𝒰.forgetQc.sigma.f default)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Abelian.CommSq

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
X₁ X₂ X₃ X₄ : C
t : X₁ ⟶ X₂
l : X₁ ⟶ X₃
r : X₂ ⟶ X₄
b : X₃ ⟶ X₄
sq : IsPullback t l r b
A₀ : C
z : A₀ ⟶ cokernel t
hz : z ≫ cokernel.map t b l r ⋯ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A₀
w✝ : Epi π₁
x₂ : A₁ ⟶ X₂
hx₂ : π₁ ≫ z = x₂ ≫ cokernel.π t
this : { X₁ := X₃, X₂ := X₄, X₃ := cokernel b, f := b, g := cokernel.π b, zero := ⋯ }.Exact
⊢ (x₂ ≫ r) ≫ { X₁ := X₃, X₂ := X₄, X₃ := cokernel b, f := b, g := cokernel.π b, zero := ⋯ }.g = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
X₁ X₂ X₃ X₄ : C
t : X₁ ⟶ X₂
l : X₁ ⟶ X₃
r : X₂ ⟶ X₄
b : X₃ ⟶ X₄
sq : IsPullback t l r b
A₀ : C
z : A₀ ⟶ cokernel t
hz : z ≫ cokernel.map t b l r ⋯ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A₀
w✝ : Epi π₁
x₂ : A₁ ⟶ X₂
hx₂ : π₁ ≫ z = x₂ ≫ cokernel.π t
this : { X₁ := X₃, X₂ := X₄, X₃ := cokernel b, f := b, g := cokernel.π b, zero := ⋯ }.Exact
⊢ x₂ ≫ r ≫ cokernel.π b = 0
Module: Mathlib.CategoryTheory.Abelian.CommSq

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
X₁ X₂ X₃ X₄ : C
t : X₁ ⟶ X₂
l : X₁ ⟶ X₃
r : X₂ ⟶ X₄
b : X₃ ⟶ X₄
sq : IsPushout t l r b
A₀ : C
z : A₀ ⟶ kernel b
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A₀
w✝ : Epi π₁
x₁ :
  A₁ ⟶
    { X₁ := X₁, X₂ := X₂ ⊞ X₃, X₃ := ⋯.cokernelCofork.pt, f := biprod.lift t (-l), g := Cofork.π ⋯.cokernelCofork,
        zero := ⋯ }.X₁
hx₁ :
  π₁ ≫ z ≫ kernel.ι b ≫ biprod.inr =
    x₁ ≫
      { X₁ := X₁, X₂ := X₂ ⊞ X₃, X₃ := ⋯.cokernelCofork.pt, f := biprod.lift t (-l), g := Cofork.π ⋯.cokernelCofork,
          zero := ⋯ }.f
⊢ x₁ ≫ t = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_1
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
X₁ X₂ X₃ X₄ : C
t : X₁ ⟶ X₂
l : X₁ ⟶ X₃
r : X₂ ⟶ X₄
b : X₃ ⟶ X₄
sq : IsPushout t l r b
A₀ : C
z : A₀ ⟶ kernel b
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A₀
w✝ : Epi π₁
x₁ :
  A₁ ⟶
    { X₁ := X₁, X₂ := X₂ ⊞ X₃, X₃ := ⋯.cokernelCofork.pt, f := biprod.lift t (-l), g := Cofork.π ⋯.cokernelCofork,
        zero := ⋯ }.X₁
hx₁ :
  π₁ ≫ z ≫ kernel.ι b ≫ biprod.inr =
    x₁ ≫
      { X₁ := X₁, X₂ := X₂ ⊞ X₃, X₃ := ⋯.cokernelCofork.pt, f := biprod.lift t (-l), g := Cofork.π ⋯.cokernelCofork,
          zero := ⋯ }.f
⊢ x₁ ≫ t = 0