mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
f₁ f₂ f₃ : α → E
g : α → F
l : Filter α
h₁ : (f₁ - f₂) =o[𝕜; l] g
h₂ : (f₂ - f₃) =o[𝕜; l] g
⊢ (f₁ - f₃) =o[𝕜; l] g

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
f₁ f₂ f₃ : α → E
g : α → F
l : Filter α
h₁ : (f₁ - f₂) =o[𝕜; l] g
h₂ : (f₂ - f₃) =o[𝕜; l] g
⊢ (f₁ - f₃) =o[𝕜; l] g
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
f₁ f₂ f₃ : α → E
g : α → F
l : Filter α
h₁ : (f₁ - f₂) =O[𝕜; l] g
h₂ : (f₂ - f₃) =O[𝕜; l] g
⊢ (f₁ - f₃) =O[𝕜; l] g

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
f₁ f₂ f₃ : α → E
g : α → F
l : Filter α
h₁ : (f₁ - f₂) =O[𝕜; l] g
h₂ : (f₂ - f₃) =O[𝕜; l] g
⊢ (f₁ - f₃) =O[𝕜; l] g
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
inst✝ : ContinuousNeg E
h : (-f) =O[𝕜; l] g
⊢ f =O[𝕜; l] g

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
inst✝ : ContinuousNeg E
h : (-f) =O[𝕜; l] g
⊢ f =O[𝕜; l] g
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
inst✝ : ContinuousNeg E
h : (-f) =o[𝕜; l] g
⊢ f =o[𝕜; l] g

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
inst✝ : ContinuousNeg E
h : (-f) =o[𝕜; l] g
⊢ f =o[𝕜; l] g
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
l : Filter α
g : α → F
inst✝ : ContinuousNeg E
f₁ f₂ : α → E
h : (f₁ - f₂) =o[𝕜; l] g
⊢ (f₂ - f₁) =o[𝕜; l] g

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
l : Filter α
g : α → F
inst✝ : ContinuousNeg E
f₁ f₂ : α → E
h : (f₁ - f₂) =o[𝕜; l] g
⊢ (f₂ - f₁) =o[𝕜; l] g
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
l : Filter α
g : α → F
inst✝ : ContinuousNeg E
f₁ f₂ : α → E
h : (f₁ - f₂) =O[𝕜; l] g
⊢ (f₂ - f₁) =O[𝕜; l] g

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
l : Filter α
g : α → F
inst✝ : ContinuousNeg E
f₁ f₂ : α → E
h : (f₁ - f₂) =O[𝕜; l] g
⊢ (f₂ - f₁) =O[𝕜; l] g
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
inst✝ : ContinuousNeg F
h : f =O[𝕜; l] g
⊢ g =O[𝕜; l] (-g)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
inst✝ : ContinuousNeg F
h : f =O[𝕜; l] g
⊢ g =O[𝕜; l] (-g)
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
inst✝ : ContinuousNeg F
h : f =O[𝕜; l] (-g)
⊢ f =O[𝕜; l] g

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
inst✝ : ContinuousNeg F
h : f =O[𝕜; l] (-g)
⊢ f =O[𝕜; l] g
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
inst✝ : ContinuousNeg F
h : f =o[𝕜; l] (-g)
⊢ f =o[𝕜; l] g

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
l : Filter α
f : α → E
g : α → F
inst✝ : ContinuousNeg F
h : f =o[𝕜; l] (-g)
⊢ f =o[𝕜; l] g
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Basic

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x : ℝ
H : DifferentiableWithinAt ℝ f (Ioi x) x
A : HasDerivWithinAt f (derivWithin f (Ioi x) x) (Ici x) x
B : HasDerivWithinAt f (derivWithin f (Ici x) x) (Ici x) x
⊢ derivWithin f (Ioi x) x = derivWithin f (Ici x) x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case pos
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x : ℝ
H : DifferentiableWithinAt ℝ f (Ioi x) x
A : HasDerivWithinAt f (derivWithin f (Ioi x) x) (Ici x) x
B : HasDerivWithinAt f (derivWithin f (Ici x) x) (Ici x) x
⊢ derivWithin f (Ioi x) x = derivWithin f (Ici x) x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : ContinuousAdd E
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : ContinuousAdd F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dlim : Tendsto d l (𝓝 0)
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
cdlim : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 v)
⊢ Tendsto (fun n ↦ x + d n) l (𝓝 x)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : ContinuousAdd E
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : ContinuousAdd F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dlim : Tendsto d l (𝓝 0)
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
cdlim : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 v)
⊢ Tendsto (fun n ↦ x + d n) l (𝓝 x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x₀ : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x₀
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
⊢ ‖f'‖ ≤ C

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x₀ : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x₀
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
⊢ ‖f'‖ ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : ContinuousAdd E
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : ContinuousAdd F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dlim : Tendsto d l (𝓝 0)
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
cdlim : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n ↦ x + d n) l (𝓝[s] x)
⊢ (fun n ↦ c n • (f (x + d n) - f x) - f' (c n • d n)) =o[𝕜; l] fun n ↦ c n • d n

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : ContinuousAdd E
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : ContinuousAdd F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dlim : Tendsto d l (𝓝 0)
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
cdlim : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n ↦ x + d n) l (𝓝[s] x)
⊢ (fun n ↦ c n • f (x + d n) - c n • f x - c n • f' (d n)) =o[𝕜; l] fun n ↦ c n • d n
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x₀ : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x₀
s : Set 𝕜
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
⊢ ‖f'‖ ≤ ↑C

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x₀ : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x₀
s : Set 𝕜
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
⊢ ‖f'‖ ≤ ↑C
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x₀ : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzWith C f
⊢ ‖f'‖ ≤ ↑C

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
f' : F
x₀ : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzWith C f
⊢ ‖f'‖ ≤ ↑C
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x₀ : 𝕜
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
⊢ ‖deriv f x₀‖ ≤ C

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x₀ : 𝕜
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
⊢ ‖fderiv 𝕜 f x₀‖ ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x₀ : 𝕜
s : Set 𝕜
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
⊢ ‖deriv f x₀‖ ≤ ↑C

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x₀ : 𝕜
s : Set 𝕜
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
⊢ ‖fderiv 𝕜 f x₀‖ ≤ ↑C
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x₀ : 𝕜
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzWith C f
⊢ ‖deriv f x₀‖ ≤ ↑C

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x₀ : 𝕜
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzWith C f
⊢ ‖fderiv 𝕜 f x₀‖ ≤ ↑C
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : ContinuousAdd E
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : ContinuousAdd F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dlim : Tendsto d l (𝓝 0)
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
cdlim : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n ↦ x + d n) l (𝓝[s] x)
this : Tendsto (fun n ↦ c n • (f (x + d n) - f x) - f' (c n • d n)) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n ↦ c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (f' v))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : ContinuousAdd E
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : ContinuousAdd F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
α : Type u_4
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
v : E
dlim : Tendsto d l (𝓝 0)
dtop : ∀ᶠ (n : α) in l, x + d n ∈ s
cdlim : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 v)
tendsto_arg : Tendsto (fun n ↦ x + d n) l (𝓝[s] x)
this : Tendsto (fun n ↦ c n • (f (x + d n) - f x) - f' (c n • d n)) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun n ↦ c n • (f (x + d n) - f x)) l (𝓝 (f' v))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : ContinuousAdd E
inst✝⁶ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : ContinuousAdd F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F
f : E → F
f' f₁' : E →L[𝕜] F
x : E
inst✝ : T2Space F
h₀ : HasFDerivAt f f' x
h₁ : HasFDerivAt f f₁' x
⊢ f' = f₁'

Tactic:
rw [HasFDerivAt, ← nhdsWithin_univ] at *

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : ContinuousAdd E
inst✝⁶ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : ContinuousAdd F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F
f : E → F
f' f₁' : E →L[𝕜] F
x : E
inst✝ : T2Space F
h₀ : HasFDerivAtFilter f f' (𝓝[univ] x ×ˢ pure x)
h₁ : HasFDerivAtFilter f f₁' (𝓝[univ] x ×ˢ pure x)
⊢ f' = f₁'
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
inst✝³ : ContinuousAdd E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousAdd F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_4
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto c l (Bornology.cobounded 𝕜)
⊢ Tendsto (fun n ↦ (c n)⁻¹ • v) l (𝓝 0)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
inst✝³ : ContinuousAdd E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousAdd F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_4
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto c l (Bornology.cobounded 𝕜)
⊢ Tendsto (fun n ↦ (c n)⁻¹ • v) l (𝓝 0)
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.TVS

Goal state before:
pp: case right
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
l : Filter α
g : α → F
ι : Type u_7
E : ι → Type u_8
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
f : (i : ι) → α → E i
h : ∀ (i : ι), f i =O[𝕜; l] g
this✝ :
  (𝓝 0).HasBasis (fun If ↦ If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, If.2 i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (If.2 i)) fun If ↦
    If.1.pi fun i ↦ id (If.2 i)
I : Set ι
U : (i : ι) → Set (E i)
hIf : I.Finite
hU : ∀ x ∈ I, U x ∈ 𝓝 0
Ub : ∀ x ∈ I, Balanced 𝕜 (U x)
this : ∀ i ∈ I, ∀ᶠ (V : Set F) in (𝓝 0).smallSets, ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (U i) (f i x) ≤ egauge 𝕜 V (g x)
V : Set F
hV₀ : V ∈ 𝓝 0
hV : ∀ i ∈ I, ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (U i) (f i x) ≤ egauge 𝕜 V (g x)
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, (egauge 𝕜 (I.pi fun i ↦ U i) fun i ↦ f i x) ≤ egauge 𝕜 V (g x)

Tactic:
refine (hIf.eventually_all.mpr hV).mono fun x hx ↦ ?_

Goal state after:
case right
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
l : Filter α
g : α → F
ι : Type u_7
E : ι → Type u_8
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
f : (i : ι) → α → E i
h : ∀ (i : ι), f i =O[𝕜; l] g
this✝ :
  (𝓝 0).HasBasis (fun If ↦ If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, If.2 i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (If.2 i)) fun If ↦
    If.1.pi fun i ↦ id (If.2 i)
I : Set ι
U : (i : ι) → Set (E i)
hIf : I.Finite
hU : ∀ x ∈ I, U x ∈ 𝓝 0
Ub : ∀ x ∈ I, Balanced 𝕜 (U x)
this : ∀ i ∈ I, ∀ᶠ (V : Set F) in (𝓝 0).smallSets, ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (U i) (f i x) ≤ egauge 𝕜 V (g x)
V : Set F
hV₀ : V ∈ 𝓝 0
hV : ∀ i ∈ I, ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (U i) (f i x) ≤ egauge 𝕜 V (g x)
x : α
hx : ∀ i ∈ I, egauge 𝕜 (U i) (f i x) ≤ egauge 𝕜 V (g x)
⊢ (egauge 𝕜 (I.pi fun i ↦ U i) fun i ↦ f i x) ≤ egauge 𝕜 V (g x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
L : Filter (E × E)
inst✝¹ : ContinuousAdd F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
hf : HasFDerivAtFilter f f' L
⊢ (fun p ↦ f p.1 - f p.2) =O[𝕜; L] fun p ↦ p.1 - p.2

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
L : Filter (E × E)
inst✝¹ : ContinuousAdd F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
hf : HasFDerivAtFilter f f' L
⊢ (fun p ↦ f p.1 - f p.2) =O[𝕜; L] fun p ↦ p.1 - p.2
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FormalMultilinearSeries

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝¹⁰ : Semiring 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : ContinuousAdd E
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : ContinuousAdd F
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ p.order = 0 ↔ p = 0 ∨ p 0 ≠ 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝¹⁰ : Semiring 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : ContinuousAdd E
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : ContinuousAdd F
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ (¬p 0 = 0 ∨ ∀ (x : ℕ), p x = 0) ↔ (∀ (x : ℕ), p x = 0) ∨ ¬p 0 = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
W : Type u_4
W' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
σ σ' : 𝕜 →+* 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : NormedAddCommGroup W'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 W'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
L : W →SL[σ] W'
R : V' →SL[σ'] V
f : V → W
z : V'
f' : V →L[𝕜] W
hf : (fun h ↦ f (R z + h) - f (R z) - f' h) =o[𝓝 0] fun h ↦ h
this✝ : RingHomIsometric σ'
this : ((fun h ↦ f (R z + h) - f (R z) - f' h) ∘ ⇑R) =o[𝓝 0] ((fun h ↦ h) ∘ ⇑R)
⊢ (fun h ↦ (⇑L ∘ f ∘ ⇑R) (z + h) - (⇑L ∘ f ∘ ⇑R) z - (L ∘SL f' ∘SL R) h) =o[𝓝 0] fun h ↦ h

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
W : Type u_4
W' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
σ σ' : 𝕜 →+* 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : NormedAddCommGroup W'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 W'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
L : W →SL[σ] W'
R : V' →SL[σ'] V
f : V → W
z : V'
f' : V →L[𝕜] W
hf : (fun h ↦ f (R z + h) - f (R z) - f' h) =o[𝓝 0] fun h ↦ h
this✝ : RingHomIsometric σ'
this : ((fun h ↦ f (R z + h) - f (R z) - f' h) ∘ ⇑R) =o[𝓝 0] ((fun h ↦ h) ∘ ⇑R)
⊢ (fun h ↦ L (f (R z + R h)) - L (f (R z)) - L (f' (R h))) =o[𝓝 0] fun h ↦ h
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
W : Type u_4
W' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
σ σ' : 𝕜 →+* 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : NormedAddCommGroup W'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 W'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
L : W →SL[σ] W'
R : V' →SL[σ'] V
f : V → W
z : V'
hf : DifferentiableAt 𝕜 f (R z)
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (⇑L ∘ f ∘ ⇑R) z

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
W : Type u_4
W' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
σ σ' : 𝕜 →+* 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : NormedAddCommGroup W'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 W'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
L : W →SL[σ] W'
R : V' →SL[σ'] V
f : V → W
z : V'
hf : DifferentiableAt 𝕜 f (R z)
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (⇑L ∘ f ∘ ⇑R) z