mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i ↦ ↥(A i)) fun i ↦ (A i).subtypeₗᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ι
hV_sum : IsInternal fun i ↦ A i
α : ι → Type u_7
inst✝ : (i : ι) → Fintype (α i)
v_family : (i : ι) → OrthonormalBasis (α i) 𝕜 ↥(A i)
⊢ Orthonormal 𝕜 ⇑(hV_sum.collectedBasis fun i ↦ (v_family i).toBasis)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i ↦ ↥(A i)) fun i ↦ (A i).subtypeₗᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ι
hV_sum : IsInternal fun i ↦ A i
α : ι → Type u_7
inst✝ : (i : ι) → Fintype (α i)
v_family : (i : ι) → OrthonormalBasis (α i) 𝕜 ↥(A i)
⊢ Orthonormal 𝕜 fun a ↦ ↑((v_family a.fst) a.snd)
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Additive

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀✝ : WithTop (Box ι)
I : Box ι
i : ι
inst✝ : Finite ι
f : Box ι → M
I₀ : WithTop (Box ι)
hf :
  ∀ (I : Box ι),
    ↑I ≤ I₀ →
      ∀ {i : ι} {x : ℝ},
        x ∈ Set.Ioo (I.lower i) (I.upper i) →
          Option.elim' 0 f (I.splitLower i x) + Option.elim' 0 f (I.splitUpper i x) = f I
⊢ ι →ᵇᵃ[I₀] M

Tactic:
refine ⟨f, ?_⟩

Goal state after:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀✝ : WithTop (Box ι)
I : Box ι
i : ι
inst✝ : Finite ι
f : Box ι → M
I₀ : WithTop (Box ι)
hf :
  ∀ (I : Box ι),
    ↑I ≤ I₀ →
      ∀ {i : ι} {x : ℝ},
        x ∈ Set.Ioo (I.lower i) (I.upper i) →
          Option.elim' 0 f (I.splitLower i x) + Option.elim' 0 f (I.splitUpper i x) = f I
⊢ ∀ (J : Box ι), ↑J ≤ I₀ → ∀ (π : Prepartition J), π.IsPartition → ∑ Ji ∈ π.boxes, f Ji = f J
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Filter

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
c : ℝ≥0
l : IntegrationParams
I : Box ι
hc : ⊤.distortion ≤ c
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hc' : ⊤.compl.distortion ≤ c
⊢ ∃ π, l.MemBaseSet I c r π ∧ π.IsPartition

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
c : ℝ≥0
l : IntegrationParams
I : Box ι
hc : ⊤.distortion ≤ c
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hc' : ⊤.compl.distortion ≤ c
⊢ ∃ π, l.MemBaseSet I c r π ∧ π.iUnion = ↑I
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Filter

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
l✝ l₁ l₂ : IntegrationParams
r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I✝
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
l : IntegrationParams
I : Box ι
⊢ (l.toFilterDistortion I I.distortion).NeBot

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
l✝ l₁ l₂ : IntegrationParams
r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I✝
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
l : IntegrationParams
I : Box ι
⊢ (l.toFilterDistortion I I.distortion).NeBot
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Additive

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀✝ : WithTop (Box ι)
I✝ : Box ι
i : ι
inst✝ : Finite ι
f : Box ι → M
I₀ : WithTop (Box ι)
hf : ∀ (I : Box ι), ↑I ≤ I₀ → ∀ (s : Finset (ι × ℝ)), ∑ J ∈ (splitMany I s).boxes, f J = f I
I : Box ι
hI : ↑I ≤ I₀
π : Prepartition I
hπ : π.IsPartition
⊢ ∑ Ji ∈ π.boxes, f Ji = f I

Tactic:
have Hle : ∀ J ∈ π, ↑J ≤ I₀ := fun J hJ => (WithTop.coe_le_coe.2 <| π.le_of_mem hJ).trans hI

Goal state after:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀✝ : WithTop (Box ι)
I✝ : Box ι
i : ι
inst✝ : Finite ι
f : Box ι → M
I₀ : WithTop (Box ι)
hf : ∀ (I : Box ι), ↑I ≤ I₀ → ∀ (s : Finset (ι × ℝ)), ∑ J ∈ (splitMany I s).boxes, f J = f I
I : Box ι
hI : ↑I ≤ I₀
π : Prepartition I
hπ : π.IsPartition
Hle : ∀ J ∈ π, ↑J ≤ I₀
⊢ ∑ Ji ∈ π.boxes, f Ji = f I
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Additive

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
I₀ : WithTop (Box ι)
I : Box ι
inst✝ : Finite ι
f : ι →ᵇᵃ[I₀] M
hI : ↑I ≤ I₀
π₁ π₂ : Prepartition I
h : π₁.iUnion = π₂.iUnion
⊢ ∑ J ∈ π₁.boxes, f J = ∑ J ∈ π₂.boxes, f J

Tactic:
rcases exists_splitMany_inf_eq_filter_of_finite {π₁, π₂} ((finite_singleton _).insert _) with
    ⟨s, hs⟩
  simp only [inf_splitMany] at hs
  rcases hs _ (Or.inl rfl), hs _ (Or.inr rfl) with ⟨h₁, h₂⟩; clear hs
  rw [h] at h₁
  calc
    ∑ J ∈ π₁.boxes, f J = ∑ J ∈ π₁.boxes, ∑ J' ∈ (splitMany J s).boxes, f J' :=
      Finset.sum_congr rfl fun J hJ => (f.sum_partition_boxes ?_ (isPartition_splitMany _ _)).symm
    _ = ∑ J ∈ (π₁.biUnion fun J => splitMany J s).boxes, f J := (sum_biUnion_boxes _ _ _).symm
    _ = ∑ J ∈ (π₂.biUnion fun J => splitMany J s).boxes, f J := by rw [h₁, h₂]
    _ = ∑ J ∈ π₂.boxes, ∑ J' ∈ (splitMany J s).boxes, f J' := sum_biUnion_boxes _ _ _
    _ = ∑ J ∈ π₂.boxes, f J :=
      Finset.sum_congr rfl fun J hJ => f.sum_partition_boxes ?_ (isPartition_splitMany _ _)
  exacts [(WithTop.coe_le_coe.2 <| π₁.le_of_mem hJ).trans hI,
    (WithTop.coe_le_coe.2 <| π₂.le_of_mem hJ).trans hI]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : finrank 𝕜 E = n
inst✝ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsInternal V
hV' : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i ↦ ↥(V i)) fun i ↦ (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
⊢ ↥{a | subordinateOrthonormalBasisIndex hn hV a hV' = i} ≃ Fin (finrank 𝕜 ↥(V i))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : finrank 𝕜 E = n
inst✝ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsInternal V
hV' : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i ↦ ↥(V i)) fun i ↦ (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
⊢ { a // subordinateOrthonormalBasisIndex hn hV a hV' = i } ≃ Fin (finrank 𝕜 ↥(V i))
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
E✝ : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝³ : Fintype ι
V : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 V
S : Submodule 𝕜 V
L✝ L : ↥S →ₗᵢ[𝕜] V
d : ℕ := finrank 𝕜 ↥Sᗮ
LS : Submodule 𝕜 V := L.range
E : ↥Sᗮ ≃ₗᵢ[𝕜] ↥LSᗮ
L3 : ↥Sᗮ →ₗᵢ[𝕜] V := LSᗮ.subtypeₗᵢ.comp E.toLinearIsometry
this✝ : CompleteSpace ↥S
this : CompleteSpace V
p1 : V →ₗ[𝕜] ↥S := ↑S.orthogonalProjectionOnto
p2 : V →ₗ[𝕜] ↥Sᗮ := ↑Sᗮ.orthogonalProjectionOnto
M : V →ₗ[𝕜] V := L.toLinearMap ∘ₗ p1 + L3.toLinearMap ∘ₗ p2
x : V
Mx_decomp : M x = L (p1 x) + L3 (p2 x)
Mx_orth : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
⊢ ‖L (p1 x) + L3 (p2 x)‖ * ‖L (p1 x) + L3 (p2 x)‖ =
    ‖S.orthogonalProjectionOnto x‖ * ‖S.orthogonalProjectionOnto x‖ +
      ‖Sᗮ.orthogonalProjectionOnto x‖ * ‖Sᗮ.orthogonalProjectionOnto x‖

Tactic:
rw [norm_add_sq_eq_norm_sq_add_norm_sq_of_inner_eq_zero (L (p1 x)) (L3 (p2 x)) Mx_orth]

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
E✝ : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝³ : Fintype ι
V : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 V
S : Submodule 𝕜 V
L✝ L : ↥S →ₗᵢ[𝕜] V
d : ℕ := finrank 𝕜 ↥Sᗮ
LS : Submodule 𝕜 V := L.range
E : ↥Sᗮ ≃ₗᵢ[𝕜] ↥LSᗮ
L3 : ↥Sᗮ →ₗᵢ[𝕜] V := LSᗮ.subtypeₗᵢ.comp E.toLinearIsometry
this✝ : CompleteSpace ↥S
this : CompleteSpace V
p1 : V →ₗ[𝕜] ↥S := ↑S.orthogonalProjectionOnto
p2 : V →ₗ[𝕜] ↥Sᗮ := ↑Sᗮ.orthogonalProjectionOnto
M : V →ₗ[𝕜] V := L.toLinearMap ∘ₗ p1 + L3.toLinearMap ∘ₗ p2
x : V
Mx_decomp : M x = L (p1 x) + L3 (p2 x)
Mx_orth : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
⊢ ‖L (p1 x)‖ * ‖L (p1 x)‖ + ‖L3 (p2 x)‖ * ‖L3 (p2 x)‖ =
    ‖S.orthogonalProjectionOnto x‖ * ‖S.orthogonalProjectionOnto x‖ +
      ‖Sᗮ.orthogonalProjectionOnto x‖ * ‖Sᗮ.orthogonalProjectionOnto x‖
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.UnitPartition

Goal state before:
pp: n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ℝ
a : ℤ
⊢ ↑a < x ↔ ↑a ≤ (↑⌈↑n * x⌉ - 1) / ↑n

Tactic:
by
  have h : 0 < (n : ℝ) := Nat.cast_pos.mpr <| n.pos_of_neZero
  rw [le_div_iff₀' h, le_sub_iff_add_le,
    show (n : ℝ) * a + 1 = (n * a + 1 : ℤ) by norm_cast,
    Int.cast_le, Int.add_one_le_iff, Int.lt_ceil, Int.cast_mul, Int.cast_natCast,
    mul_lt_mul_iff_right₀ h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability

Goal state before:
pp: ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ∞
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ∞
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ∞
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x ↦ r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun x ↦ π.tag x ∈ s).iUnion
J : Box ι
hJ : J ∈ π
hJs : π.tag J ∈ s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ ↑J
⊢ x ∈ closedBall (π.tag J) ↑(rs (π.tag J))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ∞
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ∞
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ∞
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x ↦ r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun x ↦ π.tag x ∈ s).iUnion
J : Box ι
hJ : J ∈ π
hJs : π.tag J ∈ s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ ↑J
⊢ x ∈ closedBall (π.tag J) ↑(rs (π.tag J))
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.GramSchmidtOrtho

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : WellFoundedLT ι
v : ι → E
i j : ι
hij : i < j
b : ι → E := gramSchmidt 𝕜 v
k : ι
hki' : k ∈ Iio i
⊢ k < i

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : WellFoundedLT ι
v : ι → E
i j : ι
hij : i < j
b : ι → E := gramSchmidt 𝕜 v
k : ι
hki' : k ∈ Iio i
⊢ k < i
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability

Goal state before:
pp: case hbc.refine_2
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ∞
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ∞
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ∞
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x ↦ r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun x ↦ π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ ↑I
hμt : μ t ≠ ∞
x : ι → ℝ
hxt : x ∉ t
hxs : x ∈ s
hxI : x ∈ ↑I
J : Box ι
hJπ : J ∈ π.toPrepartition
hxJ : x ∈ J
hxF : π.tag J ∉ s
⊢ x ∈ closedBall (π.tag J) ↑(rs' (π.tag J))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case hbc.refine_2
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ∞
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ∞
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ∞
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x ↦ r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun x ↦ π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ ↑I
hμt : μ t ≠ ∞
x : ι → ℝ
hxt : x ∉ t
hxs : x ∈ s
hxI : x ∈ ↑I
J : Box ι
hJπ : J ∈ π.toPrepartition
hxJ : x ∈ J
hxF : π.tag J ∉ s
⊢ x ∈ closedBall (π.tag J) ↑(rs' (π.tag J))
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.GramSchmidtOrtho

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : WellFoundedLT ι
f : ι → E
n : ι
h₀ : LinearIndependent 𝕜 (f ∘ Subtype.val)
h : gramSchmidt 𝕜 f n = 0
h₁ : f n ∈ span 𝕜 (f '' Set.Iio n)
⊢ (f ∘ Subtype.val) ⟨n, ⋯⟩ ∈ span 𝕜 (f '' Subtype.val '' Set.Iio ⟨n, ⋯⟩)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : WellFoundedLT ι
f : ι → E
n : ι
h₀ : LinearIndependent 𝕜 (f ∘ Subtype.val)
h : gramSchmidt 𝕜 f n = 0
h₁ : f n ∈ span 𝕜 (f '' Set.Iio n)
⊢ f n ∈ span 𝕜 (f '' Set.Iio n)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.GramSchmidtOrtho

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : WellFoundedLT ι
f : ι → E
n : ι
hn : (↑‖gramSchmidt 𝕜 f n‖)⁻¹ • gramSchmidt 𝕜 f n ≠ 0
⊢ gramSchmidt 𝕜 f n ≠ 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : WellFoundedLT ι
f : ι → E
n : ι
hn : (↑‖gramSchmidt 𝕜 f n‖)⁻¹ • gramSchmidt 𝕜 f n ≠ 0
⊢ ¬gramSchmidt 𝕜 f n = 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.GramSchmidtOrtho

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : WellFoundedLT ι
f : ι → E
⊢ span 𝕜 (Set.range (gramSchmidtNormed 𝕜 f)) = span 𝕜 (Set.range (gramSchmidt 𝕜 f))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : WellFoundedLT ι
f : ι → E
⊢ span 𝕜 (gramSchmidtNormed 𝕜 f '' Set.univ) = span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 f '' Set.univ)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.GramSchmidtOrtho

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : WellFoundedLT ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
hf : Pairwise fun i j ↦ ⟪f i, f j⟫_𝕜 = 0
i : ι
hi : f i ≠ 0
H : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = (↑‖f i‖)⁻¹ • f i
⊢ gramSchmidtNormed 𝕜 f i ≠ 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : WellFoundedLT ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
hf : Pairwise fun i j ↦ ⟪f i, f j⟫_𝕜 = 0
i : ι
hi : f i ≠ 0
H : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = (↑‖f i‖)⁻¹ • f i
⊢ ¬f i = 0
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability

Goal state before:
pp: ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
this : Fact (μ ↑I < ∞)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : ℕ → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict ↑I) (U n) < ↑(δ n) / ↑n
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x ↑(r x) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x ↦ r) c) π
x✝ : π.IsPartition
n : ℕ
⊢ ‖∑ J ∈ (π.filter fun x ↦ N (π.tag x) = n).boxes, μ.toBoxAdditive J • f ((π.filter fun x ↦ N (π.tag x) = n).tag J)‖ ≤
    ↑(δ n)

Tactic:
have : ∀ J ∈ π.filter fun J => N (π.tag J) = n,
      ‖μ.real ↑J • f (π.tag J)‖ ≤ μ.real J * n := fun J hJ ↦ by
    rw [TaggedPrepartition.mem_filter] at hJ
    rw [norm_smul, Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg measureReal_nonneg]
    gcongr
    exact hJ.2 ▸ Nat.le_ceil _

Goal state after:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
this✝ : Fact (μ ↑I < ∞)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : ℕ → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict ↑I) (U n) < ↑(δ n) / ↑n
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x ↑(r x) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x ↦ r) c) π
x✝ : π.IsPartition
n : ℕ
this : ∀ J ∈ π.filter fun J ↦ N (π.tag J) = n, ‖μ.real ↑J • f (π.tag J)‖ ≤ μ.real ↑J * ↑n
⊢ ‖∑ J ∈ (π.filter fun x ↦ N (π.tag x) = n).boxes, μ.toBoxAdditive J • f ((π.filter fun x ↦ N (π.tag x) = n).tag J)‖ ≤
    ↑(δ n)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.GramSchmidtOrtho

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : WellFoundedLT ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
i j : ι
hij : i < j
⊢ ((gramSchmidtOrthonormalBasis h f).repr (f i)).ofLp j = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : WellFoundedLT ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
i j : ι
hij : i < j
⊢ ⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) j, f i⟫_𝕜 = 0
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
J : Box ι
hJ : J ∈ π.boxes
J' : Box ι
hJ' : J' ∈ (πi J).boxes
⊢ (vol J') (f ((π.biUnionTagged πi).tag J')) = (vol J') (f ((πi J).tag J'))

Tactic:
π.tag_biUnionTagged hJ hJ'

Goal state after:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
J : Box ι
hJ : J ∈ π.boxes
J' : Box ι
hJ' : J' ∈ (πi J).boxes
⊢ (vol J') (f ((πi J).tag J')) = (vol J') (f ((πi J).tag J'))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Orientation

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0
h : LinearIndependent R ![x, AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1]
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R ≃ₗ[R] R := AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty.symm
H :
  ∀ (s : Finset (Fin (Nat.succ 0).succ)) (g : Fin (Nat.succ 0).succ → R),
    ∑ i ∈ s, g i • ![f x, 1] i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
⊢ False

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case h
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0
h : LinearIndependent R ![x, AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1]
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R ≃ₗ[R] R := AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty.symm
H :
  ∀ (s : Finset (Fin (Nat.succ 0).succ)) (g : Fin (Nat.succ 0).succ → R),
    ∑ i ∈ s, g i • ![f x, 1] i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability

Goal state before:
pp: ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
y : E
f g : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y
hfg : f =ᵐ[μ.restrict ↑I] g
hl : l.bRiemann = false
this : g - f =ᵐ[μ.restrict ↑I] 0
⊢ HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul y

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
y : E
f g : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y
hfg : f =ᵐ[μ.restrict ↑I] g
hl : l.bRiemann = false
this : g - f =ᵐ[μ.restrict ↑I] 0
⊢ HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul y