mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : #s = n + 1
hi' : AffineIndependent k fun x ↦ ↑x
hc' : #(Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
⊢ p₁ ∈ p '' ↑s

Tactic:
simpa using

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : #s = n + 1
hi' : AffineIndependent k fun x ↦ ↑x
hc' : #(Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
⊢ ∃ x ∈ s, p x = p₁
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
hn : Nonempty ι
⊢ AffineIndependent k p ↔ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) = n

Tactic:
obtain ⟨i₁⟩ := hn

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
i₁ : ι
⊢ AffineIndependent k p ↔ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) = n
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
f g : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
x✝ : ∃ y, y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
y : 𝕜
h : y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
hy : y = 0
x : H
⊢ ?m.170

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
f g : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
x✝ : ∃ y, y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
y : 𝕜
h : y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
hy : y = 0
x : H
⊢ ?m.170
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
f g : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
x✝¹ : ∃ y, y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
y : 𝕜
h : y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
hy : y ≠ 0
x✝ : H
⊢ ↑↑f x✝ = (y • ↑↑g) x✝

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
f g : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
x✝¹ : ∃ y, y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
y : 𝕜
h : y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
hy : y ≠ 0
x✝ : H
⊢ f x✝ = y • g x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
f g : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
x✝ : ∃ y, y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
y : 𝕜
h : y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
hy : y ≠ 0
hfg : ↑↑f = y • ↑↑g
x : H
⊢ ?m.267

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
f g : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
x✝ : ∃ y, y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
y : 𝕜
h : y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
hy : y ≠ 0
hfg : ↑↑f = y • ↑↑g
x : H
⊢ ?m.267
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
m n : ℕ
inst✝¹ : NeZero m
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
i : Fin (n + 1)
⊢ m = n

Tactic:
simpa using

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
m n : ℕ
inst✝¹ : NeZero m
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
i : Fin (n + 1)
⊢ m = n
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
f g : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
x✝ : ∃ y, y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
y : 𝕜
h : y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
hy : y ≠ 0
hfg : ↑↑f = y • ↑↑g
hgf : ↑↑g = star y • ↑↑f
this : ↑↑g = 0
x : H
⊢ ?m.437

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
f g : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
x✝ : ∃ y, y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
y : 𝕜
h : y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
hy : y ≠ 0
hfg : ↑↑f = y • ↑↑g
hgf : ↑↑g = star y • ↑↑f
this : ↑↑g = 0
x : H
⊢ ?m.437
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: case inr.inl
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
s : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hs' : s.Nonempty
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑∅)
⊢ #s ≤ #∅

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inr.inl
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
s : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hs' : s.Nonempty
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑∅)
⊢ s = ∅
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: case inr.inr
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty ↥s
this : Nonempty ↑↑t
direction_le : vectorSpan k (Set.range Subtype.val) ≤ vectorSpan k (Set.range Subtype.val)
finrank_le : Fintype.card ↥s ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1
⊢ #s ≤ #t

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inr.inr
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty ↥s
this : Nonempty ↑↑t
direction_le : vectorSpan k (Set.range Subtype.val) ≤ vectorSpan k (Set.range Subtype.val)
finrank_le : Fintype.card ↥s ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1
⊢ #s ≤ #t
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: case inl
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑∅ < affineSpan k ↑t
⊢ #∅ < #t

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inl
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑∅ < affineSpan k ↑t
⊢ t.Nonempty
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: case inr.inr
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty ↥s
this : Nonempty ↑↑t
dir_lt : vectorSpan k (Set.range Subtype.val) < vectorSpan k (Set.range Subtype.val)
finrank_lt : Fintype.card ↥s < finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1
⊢ #s < #t

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inr.inr
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : affineSpan k ↑s < affineSpan k ↑t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty ↥s
this : Nonempty ↑↑t
dir_lt : vectorSpan k (Set.range Subtype.val) < vectorSpan k (Set.range Subtype.val)
finrank_lt : Fintype.card ↥s < finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1
⊢ #s < #t
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
h : LinearIndependent k fun i ↦ s.points ↑i -ᵥ s.points 0
x✝ : { x // x ≠ 0 }
⊢ (-↑n)⁻¹ ≠ 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
h : LinearIndependent k fun i ↦ s.points ↑i -ᵥ s.points 0
x✝ : { x // x ≠ 0 }
⊢ ¬n = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: case inr.mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
⊢ (∃ v, ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₁) → ∃ p₀ v, ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀

Tactic:
exact fun h => ⟨p₁, h⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: case hr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
hmem1 : s.medial.points 0 ∈ affineSpan k (Set.range s.medial.points)
hmem2 : s.medial.points 0 ∈ affineSpan k (Set.range s.points)
this : Set.range s.medial.points -ᵥ Set.range s.medial.points = (-↑n)⁻¹ • (Set.range s.points -ᵥ Set.range s.points)
⊢ IsUnit (-↑n)⁻¹

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case hr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
hmem1 : s.medial.points 0 ∈ affineSpan k (Set.range s.medial.points)
hmem2 : s.medial.points 0 ∈ affineSpan k (Set.range s.points)
this : Set.range s.medial.points -ᵥ Set.range s.medial.points = (-↑n)⁻¹ • (Set.range s.points -ᵥ Set.range s.points)
⊢ ¬n = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
hx : x ∈ closedBall c f.rIn
⊢ ‖(fun x ↦ f.rIn⁻¹ • (x - c)) x‖ ≤ 1

Tactic:
simpa using

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
hx : x ∈ closedBall c f.rIn
⊢ ‖x - c‖ ≤ f.rIn
Module: Mathlib.MeasureTheory.Group.Integral

Goal state before:
pp: G : Type u_4
F : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
inst✝⁴ : PartialOrder G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : IsOrderedMonoid G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
c : G
f : G → F
hf : IntegrableOn f (Set.Ici c⁻¹) μ
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ f x⁻¹) (Set.Iic c) μ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
G : Type u_4
F : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
inst✝⁴ : PartialOrder G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : IsOrderedMonoid G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
c : G
f : G → F
hf : IntegrableOn f (Set.Ici c⁻¹) μ
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ f x⁻¹) (Set.Iic c) μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Group.Integral

Goal state before:
pp: G : Type u_4
F : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
inst✝⁴ : PartialOrder G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : IsOrderedMonoid G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
c : G
f : G → F
hf : IntegrableOn f (Set.Iic c⁻¹) μ
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ f x⁻¹) (Set.Ici c) μ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
G : Type u_4
F : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
inst✝⁴ : PartialOrder G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : IsOrderedMonoid G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
c : G
f : G → F
hf : IntegrableOn f (Set.Iic c⁻¹) μ
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ f x⁻¹) (Set.Ici c) μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Group.Integral

Goal state before:
pp: G : Type u_4
F : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
inst✝⁴ : PartialOrder G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : IsOrderedMonoid G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
c : G
f : G → F
hf : IntegrableOn f (Set.Ioi c⁻¹) μ
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ f x⁻¹) (Set.Iio c) μ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
G : Type u_4
F : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
inst✝⁴ : PartialOrder G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : IsOrderedMonoid G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
c : G
f : G → F
hf : IntegrableOn f (Set.Ioi c⁻¹) μ
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ f x⁻¹) (Set.Iio c) μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Group.Integral

Goal state before:
pp: G : Type u_4
F : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
inst✝⁴ : PartialOrder G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : IsOrderedMonoid G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
c : G
f : G → F
hf : IntegrableOn f (Set.Iio c⁻¹) μ
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ f x⁻¹) (Set.Ioi c) μ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
G : Type u_4
F : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
inst✝⁴ : PartialOrder G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : IsOrderedMonoid G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
c : G
f : G → F
hf : IntegrableOn f (Set.Iio c⁻¹) μ
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ f x⁻¹) (Set.Ioi c) μ
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ vectorSpan k (insert p₁ s) = vectorSpan k {p₁, p₂, p₃}

Tactic:
conv_rhs => rw [← direction_affineSpan, ← affineSpan_insert_affineSpan]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ vectorSpan k (insert p₁ s) = (affineSpan k (insert p₁ ↑line[k, p₂, p₃])).direction
Module: Mathlib.MeasureTheory.Group.Integral

Goal state before:
pp: G : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
g : G
⊢ ∫ (x : G), f (x * g⁻¹) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ

Tactic:
integral_mul_right_eq_self f g⁻¹

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ ENNReal.toReal 0
⊢ Summable fun x ↦ 1

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ ENNReal.toReal 0
⊢ Summable fun x ↦ 1
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ ∞.toReal
⊢ Summable fun x ↦ 1

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ ∞.toReal
⊢ Summable fun x ↦ 1
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ ∞.toReal
H : Summable fun x ↦ 1
⊢ BddAbove (Set.range fun i ↦ ‖f i‖)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ ∞.toReal
H : Summable fun x ↦ 1
⊢ BddAbove (Set.range fun i ↦ ‖f i‖)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hp : 0 < p.toReal
hp₁ : 0 < p
hp₂ : p < ∞
hf : Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ p.toReal
⊢ ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ ∑' (i : α), ‖f i‖ ^ p.toReal

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hp : 0 < p.toReal
hp₁ : 0 < p
hp₂ : p < ∞
hf : Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ p.toReal
⊢ ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ ∑' (i : α), ‖f i‖ ^ p.toReal
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
x : α → E
hx : Memℓp x 1
⊢ Summable fun a ↦ ‖x a‖

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_3
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
x : α → E
hx : Memℓp x 1
⊢ Summable fun a ↦ ‖x a‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ∞
⊢ BddAbove (Set.range fun i ↦ ‖(-f) i‖)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ∞
⊢ BddAbove (Set.range fun i ↦ ‖f i‖)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hp : 0 < p.toReal
⊢ Summable fun i ↦ ‖(-f) i‖ ^ p.toReal

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hp : 0 < p.toReal
⊢ Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ p.toReal
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p : ℝ≥0∞
f : (i : α) → E i
hp : 0 < p.toReal
hfq : Memℓp f 0
hpq : 0 ≤ p
i : α
hi : i ∉ ⋯.toFinset
⊢ f i = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p : ℝ≥0∞
f : (i : α) → E i
hp : 0 < p.toReal
hfq : Memℓp f 0
hpq : 0 ≤ p
i : α
hi : i ∉ ⋯.toFinset
⊢ f i = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case h
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
q : ℝ≥0∞
f : (i : α) → E i
hfq : Memℓp f q
hq : 0 < q.toReal
hpq : q ≤ ∞
A : ℝ
hA : A ∈ upperBounds (Set.range fun i ↦ ‖f i‖ ^ q.toReal)
i : α
this : 0 ≤ ‖f i‖ ^ q.toReal
⊢ (fun i ↦ ‖f i‖) i ≤ A ^ q.toReal⁻¹

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case h
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
q : ℝ≥0∞
f : (i : α) → E i
hfq : Memℓp f q
hq : 0 < q.toReal
hpq : q ≤ ∞
A : ℝ
hA : A ∈ upperBounds (Set.range fun i ↦ ‖f i‖ ^ q.toReal)
i : α
this : 0 ≤ ‖f i‖ ^ q.toReal
⊢ ‖f i‖ ≤ A ^ q.toReal⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p q : ℝ≥0∞
f : (i : α) → E i
hfq : Memℓp f q
hpq : q ≤ p
hq : 0 < q.toReal
left✝ : 0 < p.toReal
hpq' : q.toReal ≤ p.toReal
hf' : Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ q.toReal
⊢ {x | 1 ≤ ‖f x‖ ^ q.toReal}.Finite

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p q : ℝ≥0∞
f : (i : α) → E i
hfq : Memℓp f q
hpq : q ≤ p
hq : 0 < q.toReal
left✝ : 0 < p.toReal
hpq' : q.toReal ≤ p.toReal
hf' : Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ q.toReal
⊢ {x | 1 ≤ ‖f x‖ ^ q.toReal}.Finite
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
⊢ ‖0‖ = 0

pp: case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
⊢ ‖0‖ = 0

pp: case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
⊢ ‖0‖ = 0

Tactic:
· simp [lp.norm_eq_card_dsupport]

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
⊢ ‖0‖ = 0

case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
⊢ ‖0‖ = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
hp' : 1 / p.toReal ≠ 0
⊢ (∑' (i : α), ‖↑0 i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal) = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
hp' : 1 / p.toReal ≠ 0
⊢ 0 ^ p.toReal⁻¹ = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inl.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E ∞)
h✝ : Nonempty α
⊢ IsLUB (Set.range fun i ↦ ‖↑(-f) i‖) ‖f‖

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inr.inl.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E ∞)
h✝ : Nonempty α
⊢ IsLUB (Set.range fun i ↦ ‖↑f i‖) ‖f‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
hp : 0 < p.toReal
⊢ HasSum (fun i ↦ ‖↑(-f) i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
hp : 0 < p.toReal
⊢ HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E ∞)
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hCf : ∀ (i : α), ‖↑f i‖ ≤ C
h✝ : IsEmpty α
⊢ ‖f‖ ≤ C

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E ∞)
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hCf : ∀ (i : α), ‖↑f i‖ ≤ C
h✝ : IsEmpty α
⊢ 0 ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.SmoothSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
k : ℕ
IH : ↑k ≤ N → (iteratedFDeriv 𝕜 k fun y ↦ ∑' (n : α), f n y) = fun x ↦ ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x
hk : ↑(k + 1) ≤ N
h'k : ↑k < N
A : Summable fun n ↦ iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) 0
n : α
x : E
⊢ ‖fderiv 𝕜 (fun x ↦ iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x) x‖ ≤ v (k + 1) n

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
k : ℕ
IH : ↑k ≤ N → (iteratedFDeriv 𝕜 k fun y ↦ ∑' (n : α), f n y) = fun x ↦ ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x
hk : ↑(k + 1) ≤ N
h'k : ↑k < N
A : Summable fun n ↦ iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) 0
n : α
x : E
⊢ ‖fderiv 𝕜 (fun x ↦ iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x) x‖ ≤ v (k + 1) n