mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Field.Dense

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField L
inst✝⁴ : CompleteSpace L
inst✝³ : CharZero L
inst✝² : IsUltrametricDist L
inst✝¹ : Algebra K L
hi : DenseRange ⇑(algebraMap K L)
inst✝ : IsAlgClosed K
f : L[X]
fmon : f.Monic
firr : Irreducible f
fnatdeg0 : f.natDegree ≠ 0
F : Type u_2 := f.SplittingField
this✝ : NormedField F := spectralNorm.normedField L F
this : NormedAlgebra L F := spectralNorm.normedAlgebra L F
a : f.SplittingField := rootOfSplits ⋯ ⋯
fa0 : (aeval a) f = 0
S : Finset F := {x ∈ (f.rootSet F).toFinset | x ≠ a}
δ : ℝ := if hS : S.Nonempty then (Finset.image (fun x ↦ ‖a - x‖) S).min' ⋯ else 1
norm_sub_le : ∀ (a' : F), IsConjRoot L a a' → a ≠ a' → δ ≤ ‖a - a'‖
δpos : δ > 0
hε : (δ / max ‖a‖ 1) ^ f.natDegree / (↑f.natDegree + 1) > 0
g : K[X]
gmon : g.Monic
gdeg : f.natDegree = g.natDegree
gcoeff : ∀ (n : ℕ), ‖(map (algebraMap K L) g).coeff n - f.coeff n‖ < (δ / max ‖a‖ 1) ^ f.natDegree / (↑f.natDegree + 1)
b : f.SplittingField
hb : b ∈ (map (algebraMap K L) g).aroots f.SplittingField
hab : ‖a - b‖ < (δ / max ‖a‖ 1) ^ 1 * max ‖a‖ 1
⊢ ‖a - b‖ < δ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField L
inst✝⁴ : CompleteSpace L
inst✝³ : CharZero L
inst✝² : IsUltrametricDist L
inst✝¹ : Algebra K L
hi : DenseRange ⇑(algebraMap K L)
inst✝ : IsAlgClosed K
f : L[X]
fmon : f.Monic
firr : Irreducible f
fnatdeg0 : f.natDegree ≠ 0
F : Type u_2 := f.SplittingField
this✝ : NormedField F := spectralNorm.normedField L F
this : NormedAlgebra L F := spectralNorm.normedAlgebra L F
a : f.SplittingField := rootOfSplits ⋯ ⋯
fa0 : (aeval a) f = 0
S : Finset F := {x ∈ (f.rootSet F).toFinset | x ≠ a}
δ : ℝ := if hS : S.Nonempty then (Finset.image (fun x ↦ ‖a - x‖) S).min' ⋯ else 1
norm_sub_le : ∀ (a' : F), IsConjRoot L a a' → a ≠ a' → δ ≤ ‖a - a'‖
δpos : δ > 0
hε : (δ / max ‖a‖ 1) ^ f.natDegree / (↑f.natDegree + 1) > 0
g : K[X]
gmon : g.Monic
gdeg : f.natDegree = g.natDegree
gcoeff : ∀ (n : ℕ), ‖(map (algebraMap K L) g).coeff n - f.coeff n‖ < (δ / max ‖a‖ 1) ^ f.natDegree / (↑f.natDegree + 1)
b : f.SplittingField
hb : b ∈ (map (algebraMap K L) g).aroots f.SplittingField
hab : ‖a - b‖ < (δ / max ‖a‖ 1) ^ 1 * max ‖a‖ 1
⊢ ‖a - b‖ < δ
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SpectralNorm

Goal state before:
pp: K : Type u_2
inst✝³ : NormedField K
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : DecidableEq L
f : AlgebraNorm K L
hf_pm : IsPowMul ⇑f
hf_na : IsNonarchimedean ⇑f
hf1 : f 1 = 1
p : K[X]
s : Multiset L
hp : (mapAlg K L) p = (Multiset.map (fun a ↦ X - C a) s).prod
h_le : 0 ≤ ⨆ x, if x ∈ s then f x else 0
m : ℕ
hm : m < p.natDegree
h✝ : 0 < ↑p.natDegree - ↑m
hps : s.card = p.natDegree
hc : ‖p.coeff m‖ = f (((mapAlg K L) p).coeff m)
h : f ((-1) ^ (s.card - m) * s.esymm (s.card - m)) = f (s.esymm (s.card - m))
t : Multiset L
ht_card : t.card = s.card - m
hts : ∀ x ∈ t, x ∈ s
ht_ge : f (Multiset.map prod (powersetCard (s.card - m) s)).sum ≤ f t.prod
h_pr : f t.prod ≤ (Multiset.map (⇑f) t).prod
⊢ 0 < s.toFinset.card

Tactic:
by
          have hs0 : 0 < s.card := hps ▸ hm.pos
          obtain ⟨x, hx⟩ := card_pos_iff_exists_mem.mp hs0
          exact Finset.card_pos.mpr ⟨x, mem_toFinset.mpr hx⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Field.Dense

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField L
inst✝⁴ : CompleteSpace L
inst✝³ : CharZero L
inst✝² : IsUltrametricDist L
inst✝¹ : Algebra K L
hi : DenseRange ⇑(algebraMap K L)
inst✝ : IsAlgClosed K
f : L[X]
fmon : f.Monic
firr : Irreducible f
fnatdeg0 : f.natDegree ≠ 0
F : Type u_2 := f.SplittingField
this✝ : NormedField F := spectralNorm.normedField L F
this : NormedAlgebra L F := spectralNorm.normedAlgebra L F
a : f.SplittingField := rootOfSplits ⋯ ⋯
fa0 : (aeval a) f = 0
S : Finset F := {x ∈ (f.rootSet F).toFinset | x ≠ a}
δ : ℝ := if hS : S.Nonempty then (Finset.image (fun x ↦ ‖a - x‖) S).min' ⋯ else 1
norm_sub_le : ∀ (a' : F), IsConjRoot L a a' → a ≠ a' → δ ≤ ‖a - a'‖
δpos : δ > 0
hε : (δ / max ‖a‖ 1) ^ f.natDegree / (↑f.natDegree + 1) > 0
g : K[X]
gmon : g.Monic
gdeg : f.natDegree = g.natDegree
gcoeff : ∀ (n : ℕ), ‖(map (algebraMap K L) g).coeff n - f.coeff n‖ < (δ / max ‖a‖ 1) ^ f.natDegree / (↑f.natDegree + 1)
b : f.SplittingField
hab✝ :
  ‖a - b‖ < ((↑f.natDegree + 1) * ((δ / max ‖a‖ 1) ^ f.natDegree / (↑f.natDegree + 1))) ^ (↑f.natDegree)⁻¹ * max ‖a‖ 1
hab : ‖a - b‖ < δ
bbot : b ∈ ⊥
hb : ¬g = 0 ∧ (aeval b) (map (algebraMap K L) g) = 0
⊢ (map (algebraMap L F) (minpoly L a)).Splits

Tactic:
simpa using

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField L
inst✝⁴ : CompleteSpace L
inst✝³ : CharZero L
inst✝² : IsUltrametricDist L
inst✝¹ : Algebra K L
hi : DenseRange ⇑(algebraMap K L)
inst✝ : IsAlgClosed K
f : L[X]
fmon : f.Monic
firr : Irreducible f
fnatdeg0 : f.natDegree ≠ 0
F : Type u_2 := f.SplittingField
this✝ : NormedField F := spectralNorm.normedField L F
this : NormedAlgebra L F := spectralNorm.normedAlgebra L F
a : f.SplittingField := rootOfSplits ⋯ ⋯
fa0 : (aeval a) f = 0
S : Finset F := {x ∈ (f.rootSet F).toFinset | x ≠ a}
δ : ℝ := if hS : S.Nonempty then (Finset.image (fun x ↦ ‖a - x‖) S).min' ⋯ else 1
norm_sub_le : ∀ (a' : F), IsConjRoot L a a' → a ≠ a' → δ ≤ ‖a - a'‖
δpos : δ > 0
hε : (δ / max ‖a‖ 1) ^ f.natDegree / (↑f.natDegree + 1) > 0
g : K[X]
gmon : g.Monic
gdeg : f.natDegree = g.natDegree
gcoeff : ∀ (n : ℕ), ‖(map (algebraMap K L) g).coeff n - f.coeff n‖ < (δ / max ‖a‖ 1) ^ f.natDegree / (↑f.natDegree + 1)
b : f.SplittingField
hab✝ :
  ‖a - b‖ < ((↑f.natDegree + 1) * ((δ / max ‖a‖ 1) ^ f.natDegree / (↑f.natDegree + 1))) ^ (↑f.natDegree)⁻¹ * max ‖a‖ 1
hab : ‖a - b‖ < δ
bbot : b ∈ ⊥
hb : ¬g = 0 ∧ (aeval b) (map (algebraMap K L) g) = 0
⊢ (map (algebraMap L F) (minpoly L a)).Splits
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Field.Dense

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField L
inst✝⁴ : CompleteSpace L
inst✝³ : CharZero L
inst✝² : IsUltrametricDist L
inst✝¹ : Algebra K L
hi : DenseRange ⇑(algebraMap K L)
inst✝ : IsAlgClosed K
f : L[X]
fmon : f.Monic
firr : Irreducible f
fnatdeg0 : f.natDegree ≠ 0
F : Type u_2 := f.SplittingField
this✝ : NormedField F := spectralNorm.normedField L F
this : NormedAlgebra L F := spectralNorm.normedAlgebra L F
a : f.SplittingField := rootOfSplits ⋯ ⋯
fa0 : (aeval a) f = 0
S : Finset F := {x ∈ (f.rootSet F).toFinset | x ≠ a}
δ : ℝ := if hS : S.Nonempty then (Finset.image (fun x ↦ ‖a - x‖) S).min' ⋯ else 1
norm_sub_le : ∀ (a' : F), IsConjRoot L a a' → a ≠ a' → δ ≤ ‖a - a'‖
δpos : δ > 0
hε : (δ / max ‖a‖ 1) ^ f.natDegree / (↑f.natDegree + 1) > 0
g : K[X]
gmon : g.Monic
gdeg : f.natDegree = g.natDegree
gcoeff : ∀ (n : ℕ), ‖(map (algebraMap K L) g).coeff n - f.coeff n‖ < (δ / max ‖a‖ 1) ^ f.natDegree / (↑f.natDegree + 1)
b : f.SplittingField
hab✝ :
  ‖a - b‖ < ((↑f.natDegree + 1) * ((δ / max ‖a‖ 1) ^ f.natDegree / (↑f.natDegree + 1))) ^ (↑f.natDegree)⁻¹ * max ‖a‖ 1
hab : ‖a - b‖ < δ
bbot : b ∈ ⊥
hb : ¬g = 0 ∧ (aeval b) (map (algebraMap K L) g) = 0
masp : (map (algebraMap L F) (minpoly L a)).Splits
⊢ a ∈ ⊥

Tactic:
simpa using

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField L
inst✝⁴ : CompleteSpace L
inst✝³ : CharZero L
inst✝² : IsUltrametricDist L
inst✝¹ : Algebra K L
hi : DenseRange ⇑(algebraMap K L)
inst✝ : IsAlgClosed K
f : L[X]
fmon : f.Monic
firr : Irreducible f
fnatdeg0 : f.natDegree ≠ 0
F : Type u_2 := f.SplittingField
this✝ : NormedField F := spectralNorm.normedField L F
this : NormedAlgebra L F := spectralNorm.normedAlgebra L F
a : f.SplittingField := rootOfSplits ⋯ ⋯
fa0 : (aeval a) f = 0
S : Finset F := {x ∈ (f.rootSet F).toFinset | x ≠ a}
δ : ℝ := if hS : S.Nonempty then (Finset.image (fun x ↦ ‖a - x‖) S).min' ⋯ else 1
norm_sub_le : ∀ (a' : F), IsConjRoot L a a' → a ≠ a' → δ ≤ ‖a - a'‖
δpos : δ > 0
hε : (δ / max ‖a‖ 1) ^ f.natDegree / (↑f.natDegree + 1) > 0
g : K[X]
gmon : g.Monic
gdeg : f.natDegree = g.natDegree
gcoeff : ∀ (n : ℕ), ‖(map (algebraMap K L) g).coeff n - f.coeff n‖ < (δ / max ‖a‖ 1) ^ f.natDegree / (↑f.natDegree + 1)
b : f.SplittingField
hab✝ :
  ‖a - b‖ < ((↑f.natDegree + 1) * ((δ / max ‖a‖ 1) ^ f.natDegree / (↑f.natDegree + 1))) ^ (↑f.natDegree)⁻¹ * max ‖a‖ 1
hab : ‖a - b‖ < δ
bbot : b ∈ ⊥
hb : ¬g = 0 ∧ (aeval b) (map (algebraMap K L) g) = 0
masp : (map (algebraMap L F) (minpoly L a)).Splits
⊢ a ∈ ⊥
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Group.HomCompletion

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
x : G
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f.completion‖ * ‖x‖

Tactic:
simpa using

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
x : G
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖f.completion‖ * ‖x‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Group.HomCompletion

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
⊢ ∃ b ∈ ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range, ‖hatg - b‖ < ε

Tactic:
rcases exists_pos_mul_lt ε_pos (1 + C' * ‖f‖) with ⟨δ, δ_pos, hδ⟩

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
⊢ ∃ b ∈ ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range, ‖hatg - b‖ < ε
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SpectralNorm

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_2
inst✝³ : NormedField K
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : DecidableEq L
f : AlgebraNorm K L
hf_pm : IsPowMul ⇑f
hf_na : IsNonarchimedean ⇑f
hf1 : f 1 = 1
p : K[X]
s : Multiset L
hp : (mapAlg K L) p = (Multiset.map (fun a ↦ X - C a) s).prod
h_le : 0 ≤ ⨆ x, if x ∈ s then f x else 0
m : ℕ
hm : m < p.natDegree
h✝ : 0 < ↑p.natDegree - ↑m
hps : s.card = p.natDegree
hc : ‖p.coeff m‖ = f (((mapAlg K L) p).coeff m)
h : f ((-1) ^ (s.card - m) * s.esymm (s.card - m)) = f (s.esymm (s.card - m))
t : Multiset L
ht_card : t.card = s.card - m
hts : ∀ x ∈ t, x ∈ s
ht_ge : f (Multiset.map prod (powersetCard (s.card - m) s)).sum ≤ f t.prod
h_pr : f t.prod ≤ (Multiset.map (⇑f) t).prod
hs_ne : s ≠ 0
y : L
hyx : y ∈ s
hy_max : ∀ z ∈ s, f z ≤ f y
this : (Multiset.map (⇑f) t).prod ≤ f y ^ (p.natDegree - m)
h_bdd : BddAbove (Set.range fun x ↦ if x ∈ s then f x else 0)
⊢ (Multiset.map (⇑f) t).prod ≤ (⨆ x, if x ∈ s then f x else 0) ^ (p.natDegree - m)

Tactic:
exact le_trans this (pow_le_pow_left₀ (apply_nonneg _ _)
        (le_trans (by rw [if_pos hyx]) (le_ciSup h_bdd y)) _)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Group.HomCompletion

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
g : G
hg : ‖hatg - ↑g‖ < δ
g' : G
hgg' : f g' = f g
hfg : ‖g'‖ ≤ C' * ‖f g‖
mem_ker : g - g' ∈ f.ker
⊢ ‖f g‖ ≤ ‖f‖ * ‖hatg - ↑g‖

Tactic:
simpa using

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
g : G
hg : ‖hatg - ↑g‖ < δ
g' : G
hgg' : f g' = f g
hfg : ‖g'‖ ≤ C' * ‖f g‖
mem_ker : g - g' ∈ f.ker
⊢ ‖f g‖ ≤ ‖f‖ * ‖hatg - ↑g‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SpectralNorm

Goal state before:
pp: K : Type u_2
inst✝² : NormedField K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
y : L
hy : y ≠ 0
hy_alg : IsAlgebraic K y
⊢ 0 < spectralNorm K L y

Tactic:
apply lt_of_le_of_ne (spectralNorm_nonneg _)

Goal state after:
K : Type u_2
inst✝² : NormedField K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
y : L
hy : y ≠ 0
hy_alg : IsAlgebraic K y
⊢ 0 ≠ spectralNorm K L y
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Group.HomCompletion

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
g : G
hg : ‖hatg - ↑g‖ < δ
g' : G
hgg' : f g' = f g
hfg : ‖g'‖ ≤ C' * ‖f g‖
mem_ker : g - g' ∈ f.ker
this : ‖f g‖ ≤ ‖f‖ * δ
⊢ δ + C' * (‖f‖ * δ) < ε

Tactic:
simpa using

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
g : G
hg : ‖hatg - ↑g‖ < δ
g' : G
hgg' : f g' = f g
hfg : ‖g'‖ ≤ C' * ‖f g‖
mem_ker : g - g' ∈ f.ker
this : ‖f g‖ ≤ ‖f‖ * δ
⊢ δ + C' * (‖f‖ * δ) < ε
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Group.SemiNormedGrp.Kernels

Goal state before:
pp: V W : SemiNormedGrp
f g : V ⟶ W
v : { carrier := ↥(Hom.hom (f - g)).ker, str := AddSubgroup.seminormedAddCommGroup }.carrier
this : ↑v ∈ (Hom.hom (f - g)).ker
⊢ (Hom.hom (ofHom (NormedAddGroupHom.incl (Hom.hom (f - g)).ker) ≫ f)) v =
    (Hom.hom (ofHom (NormedAddGroupHom.incl (Hom.hom (f - g)).ker) ≫ g)) v

Tactic:
simpa using

Goal state after:
V W : SemiNormedGrp
f g : V ⟶ W
v : { carrier := ↥(Hom.hom (f - g)).ker, str := AddSubgroup.seminormedAddCommGroup }.carrier
this : ↑v ∈ (Hom.hom (f - g)).ker
⊢ (Hom.hom f) ↑v = (Hom.hom g) ↑v
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Group.SeparationQuotient

Goal state before:
pp: case mpr
M : Type u_1
inst✝ : SeminormedAddCommGroup M
h : ∀ (x : M), ‖x‖ = 0
x : M
⊢ normedMk x = 0 x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case mpr
M : Type u_1
inst✝ : SeminormedAddCommGroup M
h : ∀ (x : M), ‖x‖ = 0
x : M
⊢ ‖‖x‖‖ = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
hna : IsNonarchimedean ⇑μ
x y : R
hn : ∀ (n : ℕ), ∃ m < n + 1, μ ((x + y) ^ n) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ m) * μ (y ^ (n - m))) ^ (1 / ↑n)
mu : ℕ → ℕ := ⋯
nu : ℕ → ℕ := ⋯
hnu : nu = fun n ↦ n - mu n
hmu_le : ∀ (n : ℕ), mu n ≤ n
hmu_bdd : ∀ (n : ℕ), ↑(mu n) / ↑n ∈ Set.Icc 0 1
hs : Bornology.IsBounded (Set.Icc 0 1)
a : ℝ
a_in : a ∈ Set.Icc 0 1
ψ : ℕ → ℕ
hψ_mono : StrictMono ψ
hψ_lim : Tendsto ((fun n ↦ ↑(mu n) / ↑n) ∘ ψ) atTop (𝓝 a)
b : ℝ := ⋯
hb : b = 1 - a
hb_lim : Tendsto ((fun n ↦ ↑(nu n) / ↑n) ∘ ψ) atTop (𝓝 b)
b_in : b ∈ Set.Icc 0 1
hnu_le : ∀ (n : ℕ), nu n ≤ n
hx : limsup (fun n ↦ μ (x ^ mu (ψ n)) ^ (1 / ↑(ψ n))) atTop ≤ smoothingFun μ x ^ a
hy : limsup (fun n ↦ μ (y ^ nu (ψ n)) ^ (1 / ↑(ψ n))) atTop ≤ smoothingFun μ y ^ b
hxy :
  limsup (fun n ↦ μ (x ^ mu (ψ n)) ^ (1 / ↑(ψ n)) * μ (y ^ nu (ψ n)) ^ (1 / ↑(ψ n))) atTop ≤
    smoothingFun μ x ^ a * smoothingFun μ y ^ b
ε : ℝ
hε : ε > 0
h_mul : smoothingFun μ x ^ a * smoothingFun μ y ^ b + ε ≤ max (smoothingFun μ x) (smoothingFun μ y) + ε
N : ℕ+
hN :
  μ (x ^ mu (ψ ↑N)) ^ (1 / ↑(ψ ↑N)) * μ (y ^ nu (ψ ↑N)) ^ (1 / ↑(ψ ↑N)) <
    smoothingFun μ x ^ a * smoothingFun μ y ^ b + ε
⊢ μ ((x + y) ^ ↑⟨ψ ↑N, ⋯⟩) ^ (1 / ↑↑⟨ψ ↑N, ⋯⟩) ≤ μ (x ^ mu (ψ ↑N)) ^ (1 / ↑(ψ ↑N)) * μ (y ^ nu (ψ ↑N)) ^ (1 / ↑(ψ ↑N))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
hna : IsNonarchimedean ⇑μ
x y : R
hn : ∀ (n : ℕ), ∃ m < n + 1, μ ((x + y) ^ n) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ m) * μ (y ^ (n - m))) ^ (1 / ↑n)
mu : ℕ → ℕ := fun n ↦ _root_.mu μ hn n
nu : ℕ → ℕ := fun n ↦ n - mu n
hnu : nu = fun n ↦ n - mu n
hmu_le : ∀ (n : ℕ), mu n ≤ n
hmu_bdd : ∀ (n : ℕ), ↑(mu n) / ↑n ∈ Set.Icc 0 1
hs : Bornology.IsBounded (Set.Icc 0 1)
a : ℝ
a_in : a ∈ Set.Icc 0 1
ψ : ℕ → ℕ
hψ_mono : StrictMono ψ
hψ_lim : Tendsto ((fun n ↦ ↑(mu n) / ↑n) ∘ ψ) atTop (𝓝 a)
b : ℝ := 1 - a
hb : b = 1 - a
hb_lim : Tendsto ((fun n ↦ ↑(nu n) / ↑n) ∘ ψ) atTop (𝓝 b)
b_in : b ∈ Set.Icc 0 1
hnu_le : ∀ (n : ℕ), nu n ≤ n
hx : limsup (fun n ↦ μ (x ^ mu (ψ n)) ^ (1 / ↑(ψ n))) atTop ≤ smoothingFun μ x ^ a
hy : limsup (fun n ↦ μ (y ^ nu (ψ n)) ^ (1 / ↑(ψ n))) atTop ≤ smoothingFun μ y ^ b
hxy :
  limsup (fun n ↦ μ (x ^ mu (ψ n)) ^ (1 / ↑(ψ n)) * μ (y ^ nu (ψ n)) ^ (1 / ↑(ψ n))) atTop ≤
    smoothingFun μ x ^ a * smoothingFun μ y ^ b
ε : ℝ
hε : ε > 0
h_mul : smoothingFun μ x ^ a * smoothingFun μ y ^ b + ε ≤ max (smoothingFun μ x) (smoothingFun μ y) + ε
N : ℕ+
hN :
  μ (x ^ mu (ψ ↑N)) ^ (1 / ↑(ψ ↑N)) * μ (y ^ nu (ψ ↑N)) ^ (1 / ↑(ψ ↑N)) <
    smoothingFun μ x ^ a * smoothingFun μ y ^ b + ε
⊢ μ ((x + y) ^ ψ ↑N) ^ (↑(ψ ↑N))⁻¹ ≤ (μ (x ^ mu (ψ ↑N)) * μ (y ^ (ψ ↑N - mu (ψ ↑N)))) ^ (↑(ψ ↑N))⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Group.Tannery

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x ↦ f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝ : IsEmpty β
⊢ Tendsto (fun x ↦ ∑' (k : β), f x k) 𝓕 (𝓝 (∑' (k : β), g k))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x ↦ f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝ : IsEmpty β
⊢ Tendsto (fun x ↦ 0) 𝓕 (𝓝 0)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
hlim : Tendsto (fun n ↦ smoothingSeminormSeq μ x (m * n)) atTop (𝓝 (smoothingFun μ x))
h_eq : ∀ (n : ℕ), smoothingSeminormSeq μ x (m * n) ^ m = smoothingSeminormSeq μ (x ^ m) n
⊢ Tendsto (fun x_1 ↦ smoothingSeminormSeq μ x (m * x_1) ^ m) atTop (𝓝 (smoothingFun μ (x ^ m)))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
hlim : Tendsto (fun n ↦ smoothingSeminormSeq μ x (m * n)) atTop (𝓝 (smoothingFun μ x))
h_eq : ∀ (n : ℕ), smoothingSeminormSeq μ x (m * n) ^ m = smoothingSeminormSeq μ (x ^ m) n
⊢ Tendsto (fun x_1 ↦ smoothingSeminormSeq μ (x ^ m) x_1) atTop (𝓝 (smoothingFun μ (x ^ m)))
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Group.Tannery

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x ↦ f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝¹ : Nonempty β
h✝ : 𝓕.NeBot
h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k
h_sumg : Summable fun x ↦ ‖g x‖
n : α
h : ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
⊢ ∀ (i : β), ‖‖f n i‖‖ ≤ bound i

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x ↦ f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝¹ : Nonempty β
h✝ : 𝓕.NeBot
h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k
h_sumg : Summable fun x ↦ ‖g x‖
n : α
h : ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
⊢ ∀ (i : β), ‖f n i‖ ≤ bound i
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Group.Tannery

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x ↦ f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝¹ : Nonempty β
h✝ : 𝓕.NeBot
h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k
h_sumg : Summable fun x ↦ ‖g x‖
h_suma : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, Summable fun x ↦ ‖f n x‖
ε : ℝ
hε : ε > 0
S : ℝ
hS : HasSum bound S
T : Finset β
hT : dist (∑ b ∈ T, bound b) S < ε / 3
⊢ ∑' (k : ↑(↑T)ᶜ), bound ↑k = S - ∑ b ∈ T, bound b

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x ↦ f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝¹ : Nonempty β
h✝ : 𝓕.NeBot
h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k
h_sumg : Summable fun x ↦ ‖g x‖
h_suma : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, Summable fun x ↦ ‖f n x‖
ε : ℝ
hε : ε > 0
S : ℝ
hS : HasSum bound S
T : Finset β
hT : dist (∑ b ∈ T, bound b) S < ε / 3
⊢ ∑' (b : β), bound b = S
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Group.Tannery

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x ↦ f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound✝ : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝¹ : Nonempty β
h✝ : 𝓕.NeBot
h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k
h_sumg : Summable fun x ↦ ‖g x‖
h_suma✝ : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, Summable fun x ↦ ‖f n x‖
ε : ℝ
hε : ε > 0
S : ℝ
hS : HasSum bound S
T : Finset β
hT : dist (∑ b ∈ T, bound b) S < ε / 3
h1 : ∑' (k : ↑(↑T)ᶜ), bound ↑k < ε / 3
h2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in 𝓕, dist (∑ k ∈ T, f x k) (T.sum g) < ε
n : α
hn : dist (∑ k ∈ T, f n k) (T.sum g) < ε / 3
h_suma : Summable fun x ↦ ‖f n x‖
h_bound : ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
⊢ ‖∑ x ∈ T, (f n x - g x)‖ < ε / 3

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x ↦ f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound✝ : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝¹ : Nonempty β
h✝ : 𝓕.NeBot
h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k
h_sumg : Summable fun x ↦ ‖g x‖
h_suma✝ : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, Summable fun x ↦ ‖f n x‖
ε : ℝ
hε : ε > 0
S : ℝ
hS : HasSum bound S
T : Finset β
hT : dist (∑ b ∈ T, bound b) S < ε / 3
h1 : ∑' (k : ↑(↑T)ᶜ), bound ↑k < ε / 3
h2 : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in 𝓕, dist (∑ k ∈ T, f x k) (T.sum g) < ε
n : α
hn : dist (∑ k ∈ T, f n k) (T.sum g) < ε / 3
h_suma : Summable fun x ↦ ‖f n x‖
h_bound : ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
⊢ ‖∑ x ∈ T, f n x - ∑ x ∈ T, g x‖ < ε / 3
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SpectralNorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField K
L : Type v
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic K L
hu : IsUltrametricDist K
inst✝ : CompleteSpace K
x : L
⊢ spectralNorm K L (x - x) = 0

Tactic:
simp [sub_self, spectralNorm_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Ball.RadialEquiv

Goal state before:
pp: E✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedSpace ℝ E✝
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ↑{0}ᶜ
⊢ 0 < ‖↑x‖

Tactic:
simpa using

Goal state after:
E✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedSpace ℝ E✝
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ↑{0}ᶜ
⊢ ¬↑x = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Ball.RadialEquiv

Goal state before:
pp: E✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedSpace ℝ E✝
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 < r
x : E
hx : x ∈ {0}ᶜ
⊢ 0 < ‖x‖

Tactic:
simpa using

Goal state after:
E✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedSpace ℝ E✝
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 < r
x : E
hx : x ∈ {0}ᶜ
⊢ ¬x = 0