mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case mp
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center = s.radius
p' : P
hp's : p' ∈ s
hp'i : p' ∈ s.orthRadius p
h' : s.radius ^ 2 = s.radius ^ 2 + dist p' p ^ 2
⊢ p' = p

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case mp
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center = s.radius
p' : P
hp's : p' ∈ s
hp'i : p' ∈ s.orthRadius p
h' : s.radius ^ 2 = s.radius ^ 2 + dist p' p ^ 2
⊢ p' = p
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case mpr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p' : P
hp : dist p' s.center = s.radius
⊢ p' ∈ s ∧ p' ∈ s.orthRadius p'

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case mpr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p' : P
hp : dist p' s.center = s.radius
⊢ p' ∈ s
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: case neg.refine_2.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₂ : P
hp₂ : dist p₂ s.center ≤ s.radius
hp₁ : dist s.center s.center = s.radius
h : ¬s.center = p₂
hp₂' : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = ‖s.center -ᵥ s.center‖
⊢ p₂ = s.center

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case neg.refine_2.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₂ : P
hp₂ : dist p₂ s.center ≤ s.radius
hp₁ : dist s.center s.center = s.radius
h : ¬s.center = p₂
hp₂' : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = ‖s.center -ᵥ s.center‖
⊢ p₂ = s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : Metric.sphere s.center s.radius ∩ ↑(s.orthRadius p) = {q}
hq : q ∈ Metric.sphere s.center s.radius ∩ ↑(s.orthRadius p)
hr : 0 ≤ s.radius
h' : ∀ (q' : P), q' -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ∧ ‖q' -ᵥ p‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2 ↔ q' = q
hq' : q -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ∧ ‖q -ᵥ p‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2
⊢ (-(q -ᵥ p) +ᵥ p) -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ∧ ‖(-(q -ᵥ p) +ᵥ p) -ᵥ p‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2

Tactic:
simpa using

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : Metric.sphere s.center s.radius ∩ ↑(s.orthRadius p) = {q}
hq : q ∈ Metric.sphere s.center s.radius ∩ ↑(s.orthRadius p)
hr : 0 ≤ s.radius
h' : ∀ (q' : P), q' -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ∧ ‖q' -ᵥ p‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2 ↔ q' = q
hq' : q -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ∧ ‖q -ᵥ p‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2
⊢ q -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ∧ ‖q -ᵥ p‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ : P
s : Sphere P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
⊢ 0 < ⟪p₂ -ᵥ p₁, s.center -ᵥ p₁⟫

Tactic:
have hp₁' : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius := norm_vsub_center_eq_radius hp₁
  have hp₂' : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius := norm_vsub_center_eq_radius hp₂
  have hd : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ ^ 2 =
      ‖p₂ -ᵥ p₁‖ ^ 2 + 2 * ⟪p₂ -ᵥ p₁, p₁ -ᵥ s.center⟫ + ‖p₁ -ᵥ s.center‖ ^ 2 := by
    rw [← vsub_add_vsub_cancel p₂ p₁ s.center, norm_add_sq_real]
  rw [hp₂', hp₁', ← neg_vsub_eq_vsub_rev s.center p₁, inner_neg_right] at hd
  nlinarith [sq_pos_of_pos (norm_pos_iff.mpr (vsub_ne_zero.mpr hp₁p₂.symm))]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: case inr.refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
h : s.center ∈ line[ℝ, p₁, p₂]
⊢ dist s.center s.center ≤ s.radius

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inr.refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
h : s.center ∈ line[ℝ, p₁, p₂]
⊢ 0 ≤ s.radius
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case inl.inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
h : dist p s.center < s.radius
hp : p ≠ s.center
hb : ℝ ∙ (p -ᵥ s.center) = ⊤
hb' : ∀ (v : V), ∃ r, r • (p -ᵥ s.center) = v
hf : Module.finrank ℝ V = 1
⊢ Metric.sphere s.center s.radius ∩ ↑(s.orthRadius p) = ∅ ↔ Module.finrank ℝ V = 1 ∨ Subsingleton V

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inl.inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
h : dist p s.center < s.radius
hp : p ≠ s.center
hb : ℝ ∙ (p -ᵥ s.center) = ⊤
hb' : ∀ (v : V), ∃ r, r • (p -ᵥ s.center) = v
hf : Module.finrank ℝ V = 1
⊢ Metric.sphere s.center s.radius ∩ ↑(s.orthRadius p) = ∅
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : Nontrivial V
s : Sphere P
⊢ s.IsIntTangent s ↔ 0 ≤ s.radius

Tactic:
by
  simp_rw [IsIntTangent, isIntTangentAt_self_iff_mem]
  rw [← nonempty_iff]
  simp [Set.Nonempty]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ ∡ (touchpoint t {i₁} i₃) (t.points i₁) (excenter t {i₁}) = ∡ (excenter t {i₁}) (t.points i₁) (t.points i₃)

Tactic:
(t.touchpoint_singleton_sbtw h₁₂ h₁₃ h₂₃).symm.oangle_eq_right

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ ∡ (touchpoint t {i₁} i₃) (t.points i₁) (excenter t {i₁}) = ∡ (excenter t {i₁}) (t.points i₁) (touchpoint t {i₁} i₂)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
h : dist s.center s.center = s.radius
hs : Subsingleton P
⊢ s.radius = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
h : dist s.center s.center = s.radius
hs : Subsingleton P
⊢ s.radius = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center ≤ s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : V
hv : v ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
hv1 : ‖v‖ = 1
hr : 0 ≤ s.radius
hv0 : v ≠ 0
hf : Module.finrank ℝ ↥(ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ = 1
⊢ ⟨v, hv⟩ ≠ 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center ≤ s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : V
hv : v ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
hv1 : ‖v‖ = 1
hr : 0 ≤ s.radius
hv0 : v ≠ 0
hf : Module.finrank ℝ ↥(ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ = 1
⊢ ¬v = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center ≤ s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : V
hv : v ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
hv1 : ‖v‖ = 1
hr : 0 ≤ s.radius
hv0 : v ≠ 0
hf : ∀ (w : ↥(ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ), ∃ c, c • ⟨v, hv⟩ = w
w : V
hw : w ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
⊢ ∃ c, c • v = w

Tactic:
simpa using

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center ≤ s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : V
hv : v ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
hv1 : ‖v‖ = 1
hr : 0 ≤ s.radius
hv0 : v ≠ 0
hf : ∀ (w : ↥(ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ), ∃ c, c • ⟨v, hv⟩ = w
w : V
hw : w ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
⊢ ∃ c, c • v = w
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center ≤ s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : V
hv : v ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
hv1 : ‖v‖ = 1
hr : 0 ≤ s.radius
hv0 : v ≠ 0
hf : ∀ (w : ↥(ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ), ∃ c, c • ⟨v, hv⟩ = w
hvc : ∀ w ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ, ∃ c, c • v = w
hvp : 0 ≤ s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2
p' : P
h' : p' -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
c : ℝ
h : ‖c • v‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2
hc : c • v = p' -ᵥ p
⊢ c ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center ≤ s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : V
hv : v ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
hv1 : ‖v‖ = 1
hr : 0 ≤ s.radius
hv0 : v ≠ 0
hf : ∀ (w : ↥(ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ), ∃ c, c • ⟨v, hv⟩ = w
hvc : ∀ w ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ, ∃ c, c • v = w
hvp : 0 ≤ s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2
p' : P
h' : p' -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
c : ℝ
h : ‖c • v‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2
hc : c • v = p' -ᵥ p
⊢ c ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center < s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : ↥(s.orthRadius p).direction
hv0 : v ≠ 0
hv : ∀ (w : ↥(s.orthRadius p).direction), ∃ c, c • v = w
⊢ ↑v ≠ 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center < s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : ↥(s.orthRadius p).direction
hv0 : v ≠ 0
hv : ∀ (w : ↥(s.orthRadius p).direction), ∃ c, c • v = w
⊢ ¬v = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center < s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : ↥(s.orthRadius p).direction
hv : ∀ (w : ↥(s.orthRadius p).direction), ∃ c, c • v = w
hv0 : ↑v ≠ 0
⊢ ↑v ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center < s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : ↥(s.orthRadius p).direction
hv : ∀ (w : ↥(s.orthRadius p).direction), ∃ c, c • v = w
hv0 : ↑v ≠ 0
⊢ ↑v ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center < s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : ↥(s.orthRadius p).direction
hv : ∀ (w : ↥(s.orthRadius p).direction), ∃ c, c • v = w
hv0 : ↑v ≠ 0
⊢ ‖v‖ ≠ 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center < s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : ↥(s.orthRadius p).direction
hv : ∀ (w : ↥(s.orthRadius p).direction), ∃ c, c • v = w
hv0 : ↑v ≠ 0
⊢ ¬v = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
this :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    i ≠ 0 → ∑ j, ⟪s.points i -ᵥ s.points 0, (s.height j)⁻¹ ^ 2 • (s.points j -ᵥ s.altitudeFoot j)⟫ = 0
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0
⊢ ∑ i, (s.height i)⁻¹ ^ 2 • (s.points i -ᵥ s.altitudeFoot i) ∈ ↑(ℝ ∙ (s.points ↑⟨i, hi⟩ -ᵥ s.points 0))ᗮ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
this :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    i ≠ 0 → ∑ j, ⟪s.points i -ᵥ s.points 0, (s.height j)⁻¹ ^ 2 • (s.points j -ᵥ s.altitudeFoot j)⟫ = 0
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0
⊢ ∑ i_1, ⟪s.points i -ᵥ s.points 0, (s.height i_1)⁻¹ ^ 2 • (s.points i_1 -ᵥ s.altitudeFoot i_1)⟫ = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hr : s.radius ≠ 0
h : ∠ p₁ s.center p₂ = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ ?m.42) (p₂ -ᵥ ?m.42) = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hr : s.radius ≠ 0
h : ∠ p₁ s.center p₂ = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ ?m.42) (p₂ -ᵥ ?m.42) = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: case h
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
r : ℝ
hr : r • («o».rotation ↑(π / 2)) (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂ = s.center
⊢ midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case h
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
r : ℝ
hr : r • («o».rotation ↑(π / 2)) (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ midpoint ℝ p₁ p₂ = s.center
⊢ ¬p₂ = p₁
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
hm :
  ∀ {ι : Type u_3} [hne : Nonempty ι] [Finite ι] {p : ι → P},
    AffineIndependent ℝ p →
      ∀ (val : Fintype ι),
        Fintype.card ι = 0 →
          ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
i : ι
hi : ∀ (y : ι), y = i
this : Unique ι
cr : ℝ
hdist :
  {p default} ⊆ Metric.sphere { center := p default, radius := cr }.center { center := p default, radius := cr }.radius
⊢ 0 = cr

Tactic:
simpa using

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
hm :
  ∀ {ι : Type u_3} [hne : Nonempty ι] [Finite ι] {p : ι → P},
    AffineIndependent ℝ p →
      ∀ (val : Fintype ι),
        Fintype.card ι = 0 →
          ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
i : ι
hi : ∀ (y : ι), y = i
this : Unique ι
cr : ℝ
hdist :
  {p default} ⊆ Metric.sphere { center := p default, radius := cr }.center { center := p default, radius := cr }.radius
⊢ 0 = cr
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i : Fin (n + 1)
hf : s.excenter signs ∉ affineSpan ℝ (Set.range (s.face ⋯).points)
⊢ s.excenter signs ≠ s.points i

Tactic:
simpa using

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i : Fin (n + 1)
hf : s.excenter signs ∉ affineSpan ℝ (Set.range (s.face ⋯).points)
⊢ ¬s.excenter signs = s.points i
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: case h
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
⊢ midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case h
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
⊢ ¬p₂ = p₁
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0
h✝ : ↑(angle x y) = ↑(angle x (x + y) + angle y (x + y))
h : angle x y + 0 • (2 * π) = angle x (x + y) + angle y (x + y)
this✝ : -1 < 0
this : 0 < 1
⊢ angle x y = angle x (x + y) + angle y (x + y)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0
h✝ : ↑(angle x y) = ↑(angle x (x + y) + angle y (x + y))
h : angle x y + 0 • (2 * π) = angle x (x + y) + angle y (x + y)
this✝ : -1 < 0
this : 0 < 1
⊢ angle x y = angle x (x + y) + angle y (x + y)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ Real.sin (InnerProductGeometry.angle (p₃ -ᵥ p₁) (p₁ -ᵥ p₂)) =
    Real.sin (π - InnerProductGeometry.angle (p₃ -ᵥ p₁) (p₁ -ᵥ p₂))

Tactic:
Real.sin_pi_sub

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ Real.sin (InnerProductGeometry.angle (p₃ -ᵥ p₁) (p₁ -ᵥ p₂)) =
    Real.sin (InnerProductGeometry.angle (p₃ -ᵥ p₁) (p₁ -ᵥ p₂))
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i j : Fin (n + 1)
hij : {i} = {j}
⊢ i = j

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i j : Fin (n + 1)
hij : {i} = {j}
⊢ i = j
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c p : P
hb : a ≠ b
hc : a ≠ c
hp : Wbtw ℝ b p c
pb : p = b
⊢ ∠ b a p + ∠ p a c = ∠ b a c

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c p : P
hb : a ≠ b
hc : a ≠ c
hp : Wbtw ℝ b p c
pb : p = b
⊢ ∠ b a b = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c p : P
hb : a ≠ b
hc : a ≠ c
hp : Wbtw ℝ b p c
pb : ¬p = b
pc : p = c
⊢ ∠ b a p + ∠ p a c = ∠ b a c

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c p : P
hb : a ≠ b
hc : a ≠ c
hp : Wbtw ℝ b p c
pb : ¬p = b
pc : p = c
⊢ ∠ c a c = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
he : p₁ = p₄
⊢ Cospherical {p₄, p₂, p₃, p₄} ∨ Collinear ℝ {p₄, p₂, p₃, p₄}

Tactic:
Set.insert_eq_self.2
        (Set.mem_insert_of_mem _ (Set.mem_insert_of_mem _ (Set.mem_singleton _)))

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
he : p₁ = p₄
⊢ Cospherical {p₂, p₃, p₄} ∨ Collinear ℝ {p₂, p₃, p₄}
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ Disjoint (if i₁ ∈ univ then {i₁} else ∅) (if i₂ ∈ univ then {i₂} else ∅)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ i₁ ≠ i₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.TriangleInequality

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
hz : ‖z‖ = 1
H : π < angle x y + angle y z
⊢ angle x z ≤ angle x y + angle y z

Tactic:
linarith [angle_le_pi x z]

Goal state after: