mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.MeanInequalities

Goal state before:
pp: ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hpq : p.HolderConjugate q
⊢ ∑ i ∈ s, ?m.71 i ≤ (∑ i ∈ s, |f i| ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, |g i| ^ q) ^ (1 / q)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hpq : p.HolderConjugate q
⊢ ∑ i ∈ s, ?m.71 i ≤ (∑ i ∈ s, |f i| ^ p) ^ p⁻¹ * (∑ i ∈ s, |g i| ^ q) ^ q⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.MeanInequalities

Goal state before:
pp: ι : Type u
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hpq : p.HolderConjugate q
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
hg : ∀ (i : ι), 0 ≤ g i
hf_sum : Summable fun i ↦ f i ^ p
hg_sum : Summable fun i ↦ g i ^ q
⊢ (Summable fun i ↦ f i * g i) ∧
    ∑' (i : ι), f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hpq : p.HolderConjugate q
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
hg : ∀ (i : ι), 0 ≤ g i
hf_sum : Summable fun i ↦ f i ^ p
hg_sum : Summable fun i ↦ g i ^ q
⊢ (Summable fun i ↦ f i * g i) ∧ ∑' (i : ι), f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ p⁻¹ * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ q⁻¹
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
hf : MemLp f p μ
⊢ edist (MemLp.toLp f hf) 0 = eLpNorm f p μ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
hf : MemLp f p μ
⊢ edist (MemLp.toLp f hf) 0 = eLpNorm f p μ
Module: Mathlib.Analysis.MeanInequalities

Goal state before:
pp: ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.HolderConjugate q
H : (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = 0 ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q) = 0
⊢ (∀ i ∈ s, f i = 0) ∨ ∀ i ∈ s, g i = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.HolderConjugate q
H : (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = 0 ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q) = 0
⊢ (∀ i ∈ s, f i = 0) ∨ ∀ i ∈ s, g i = 0
Module: Mathlib.Analysis.MeanInequalities

Goal state before:
pp: ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.HolderConjugate q
H : (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q) ≠ 0
H' : ¬((∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = ∞ ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q) = ∞)
⊢ (∀ i ∈ s, f i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ∞

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.HolderConjugate q
H : (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q) ≠ 0
H' : ¬((∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = ∞ ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q) = ∞)
⊢ (∀ i ∈ s, ¬f i = ∞) ∧ ∀ i ∈ s, ¬g i = ∞
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜' E
inst✝¹ : IsBoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜' E
c : 𝕜
f : α →ₘ[μ] E
hf : f ∈ (Lp E p μ).carrier
⊢ c • f ∈ (Lp E p μ).carrier

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜' E
inst✝¹ : IsBoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜' E
c : 𝕜
f : α →ₘ[μ] E
hf : f ∈ (Lp E p μ).carrier
⊢ c • f ∈ Lp E p μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedRing 𝕜
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜'
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Module 𝕜' E
inst✝² : IsBoundedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : IsBoundedSMul 𝕜' E
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
r : 𝕜
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ ‖r • f‖ₑ ≤ ‖r‖ₑ * ‖f‖ₑ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedRing 𝕜
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜'
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Module 𝕜' E
inst✝² : IsBoundedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : IsBoundedSMul 𝕜' E
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
r : 𝕜
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ eLpNorm (r • ↑↑f) p μ ≤ ‖r‖ₑ * eLpNorm (↑↑f) p μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
ε : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
f : α → ε
hf : MemLp f p μ
q : ℝ≥0∞
q_top : ¬q = ∞
q_zero : q = 0
p_zero : ¬p = 0
⊢ eLpNorm (fun x ↦ ‖f x‖ₑ ^ 0) ∞ μ < ∞

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
ε : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
f : α → ε
hf : MemLp f p μ
q : ℝ≥0∞
q_top : ¬q = ∞
q_zero : q = 0
p_zero : ¬p = 0
⊢ eLpNormEssSup (fun x ↦ 1) μ < ∞
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConvergenceInMeasure

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k ↦ {x | 2⁻¹ ^ k ≤ edist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
⊢ ∑' (a : ℕ), 2⁻¹ ^ a ≠ ∞

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k ↦ {x | 2⁻¹ ^ k ≤ edist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
⊢ 2 ≠ ∞
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
ε : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
q : ℝ≥0∞
f : α → ε
hf : AEStronglyMeasurable f μ
q_zero : q ≠ 0
q_top : q ≠ ∞
⊢ MemLp (fun x ↦ ‖f x‖ₑ ^ q.toReal) (p / q) μ ↔ MemLp f p μ

Tactic:
refine ⟨fun h => ?_, fun h => h.enorm_rpow_div q⟩
  apply (memLp_enorm_iff hf).1
  convert! h.enorm_rpow_div q⁻¹ using 1
  · ext x
    have : q.toReal * q.toReal⁻¹ = 1 :=
      CommGroupWithZero.mul_inv_cancel q.toReal <| ENNReal.toReal_ne_zero.mpr ⟨q_zero, q_top⟩
    simp [← ENNReal.rpow_mul, this, ENNReal.rpow_one]
  · rw [div_eq_mul_inv, inv_inv, div_eq_mul_inv, mul_assoc, ENNReal.inv_mul_cancel q_zero q_top,
      mul_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: p : ℝ≥0∞
α : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
K : ℝ≥0
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : E → F
hg : LipschitzWith K g
g0 : g 0 = 0
hL : MemLp f p μ
x : α
⊢ ‖g (f x)‖ ≤ ↑K * ‖f x‖

Tactic:
simpa using

Goal state after:
p : ℝ≥0∞
α : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
K : ℝ≥0
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : E → F
hg : LipschitzWith K g
g0 : g 0 = 0
hL : MemLp f p μ
x : α
⊢ ‖g (f x)‖ ≤ ↑K * ‖f x‖
Module: Mathlib.Analysis.MeanInequalities

Goal state before:
pp: ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) = 0 ∨ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ = 0
⊢ (∀ i ∈ s, w i = 0) ∨ ∀ i ∈ s, w i = 0 ∨ f i = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) = 0 ∨ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ = 0
⊢ (∀ i ∈ s, w i = 0) ∨ ∀ i ∈ s, w i = 0 ∨ f i = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ ‖hg.compLp g0 f‖ ≤ ↑c * ‖f‖

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ ‖hg.compLp g0 f‖ ≤ ↑c * ‖f‖
Module: Mathlib.Analysis.MeanInequalities

Goal state before:
pp: ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : ¬((∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) = ∞ ∨ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ = ∞)
⊢ (∀ i ∈ s, w i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ∞

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : ¬((∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) = ∞ ∨ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ = ∞)
⊢ (∀ i ∈ s, ¬w i = ∞) ∧ ∀ i ∈ s, ¬w i * f i ^ p = ∞
Module: Mathlib.Analysis.MeanInequalities

Goal state before:
pp: case e'_3.a.inr
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ∞
this :
  ∑ x ∈ s, ↑(w x).toNNReal * ↑(f x).toNNReal ≤ (∑ i ∈ s, ↑(w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
i : ι
hi : i ∈ s
hw : w i ≠ 0
⊢ f i ≠ ∞

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case e'_3.a.inr
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ∞
this :
  ∑ x ∈ s, ↑(w x).toNNReal * ↑(f x).toNNReal ≤ (∑ i ∈ s, ↑(w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
i : ι
hi : i ∈ s
hw : w i ≠ 0
⊢ ¬f i = ∞
Module: Mathlib.Analysis.MeanInequalities

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0∞
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.HolderConjugate q
hp₁ : 1 / p * p = 1
hq : 1 / q * p = p - 1
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑(#s) ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inr
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0∞
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.HolderConjugate q
hp₁ : 1 / p * p = 1
hq : 1 / q * p = p - 1
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑(#s) ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Complete

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ∞
h_cau : ∀ (N n m_1 : ℕ), N ≤ n → N ≤ m_1 → eLpNorm' (f n - f m_1) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i ↦ f (i + 1) x - f i x
x : α
hx : Summable fun i ↦ f (i + 1) x - f i x
hx_sum : Tendsto (fun n ↦ f n x - f 0 x) atTop (𝓝 (∑' (b : ℕ), (f (b + 1) x - f b x)))
⊢ Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 (∑' (i : ℕ), (f (i + 1) x - f i x) + f 0 x))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ∞
h_cau : ∀ (N n m_1 : ℕ), N ≤ n → N ≤ m_1 → eLpNorm' (f n - f m_1) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i ↦ f (i + 1) x - f i x
x : α
hx : Summable fun i ↦ f (i + 1) x - f i x
hx_sum : Tendsto (fun n ↦ f n x - f 0 x) atTop (𝓝 (∑' (b : ℕ), (f (b + 1) x - f b x)))
⊢ Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 (∑' (i : ℕ), (f (i + 1) x - f i x) + f 0 x))
Module: Mathlib.Analysis.MeanInequalities

Goal state before:
pp: ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
H' : ¬((∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = ∞ ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p) = ∞)
pos : 0 < p
⊢ (∀ i ∈ s, f i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ∞

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
H' : ¬((∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = ∞ ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p) = ∞)
pos : 0 < p
⊢ (∀ i ∈ s, ¬f i = ∞) ∧ ∀ i ∈ s, ¬g i = ∞
Module: Mathlib.Analysis.MeanInequalities

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
H' : ¬((∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = ∞ ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p) = ∞)
pos : 0 < p
⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)

Tactic:
replace H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ⊤ := by
    simpa [ENNReal.rpow_eq_top_iff, asymm pos, pos, ENNReal.sum_eq_top, not_or] using H'

Goal state after:
case neg
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
pos : 0 < p
H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ∞
⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConvergenceInMeasure

Goal state before:
pp: α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : PseudoEMetricSpace E
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f u g
ns : ℕ → ι
h_tendsto_ns : Tendsto ns atTop u
⊢ ∃ ns, Tendsto ns atTop u ∧ TendstoInMeasure μ (fun n ↦ f (ns n)) atTop g

Tactic:
exact ⟨ns, h_tendsto_ns, fun ε hε => (hfg ε hε).comp h_tendsto_ns⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ∞
h : μ ≤ c • ν
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ↥(Lp E p ν)
⊢ ‖(LpToLpOfMeasureLeSMulₗ hc h) f‖ ≤ c.toReal ^ (1 / p).toReal * ‖f‖

Tactic:
simp only [← toReal_enorm]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ∞
h : μ ≤ c • ν
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ↥(Lp E p ν)
⊢ ‖(LpToLpOfMeasureLeSMulₗ hc h) f‖ₑ.toReal ≤ c.toReal ^ (1 / p).toReal * ‖f‖ₑ.toReal
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
m : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
R : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup R
inst✝¹ : StarAddMonoid R
inst✝ : NormedStarGroup R
p : ℝ≥0∞
f : ↥(Lp R p μ)
⊢ star ↑f ∈ Lp R p μ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
m : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
R : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup R
inst✝¹ : StarAddMonoid R
inst✝ : NormedStarGroup R
p : ℝ≥0∞
f : ↥(Lp R p μ)
⊢ eLpNorm (↑↑f) p μ < ∞
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConvergenceInMeasure

Goal state before:
pp: α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
hε_top : ε ≠ ∞
hfg : Tendsto (fun b ↦ 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f b - g) p μ ^ p.toReal) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i ↦ μ {x | ε ≤ edist (f i x) (g x)}) l (𝓝 0)

Tactic:
rw [ENNReal.tendsto_nhds_zero] at hfg ⊢

Goal state after:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
hε_top : ε ≠ ∞
hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1
⊢ ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, μ {x_1 | ε ≤ edist (f x x_1) (g x_1)} ≤ ε_1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConvergenceInMeasure

Goal state before:
pp: α : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_5
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
f : ι → α → E
g : α → E
l : Filter ι
δ : ℝ≥0∞
hδ : 0 < δ
hδ_top : δ ≠ ∞
hfg : Tendsto (fun n ↦ essSup (fun x ↦ ‖(f n - g) x‖ₑ) μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i ↦ μ {x | δ ≤ edist (f i x) (g x)}) l (𝓝 0)

Tactic:
rw [ENNReal.tendsto_nhds_zero] at hfg ⊢

Goal state after:
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_5
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
f : ι → α → E
g : α → E
l : Filter ι
δ : ℝ≥0∞
hδ : 0 < δ
hδ_top : δ ≠ ∞
hfg : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, essSup (fun x_1 ↦ ‖(f x - g) x_1‖ₑ) μ ≤ ε
⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, μ {x_1 | δ ≤ edist (f x x_1) (g x_1)} ≤ ε
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Multilinear.Bounded

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
F : Type u_3
E : ι → Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : Nonempty ι
s : Set ((i : ι) → E i)
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
h₁ : ¬∀ (c : 𝕜), ‖c‖ ≤ 1
⊢ ∃ x, 1 < ‖x‖

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
F : Type u_3
E : ι → Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : Nonempty ι
s : Set ((i : ι) → E i)
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
h₁ : ¬∀ (c : 𝕜), ‖c‖ ≤ 1
⊢ ∃ x, 1 < ‖x‖
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Multilinear.Bounded

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
F : Type u_3
E : ι → Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : Nonempty ι
s : Set ((i : ι) → E i)
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
h₁ : ¬∀ (c : 𝕜), ‖c‖ ≤ 1
x✝ : NontriviallyNormedField 𝕜 := { toNormedField := inst✝⁷, non_trivial := ⋯ }
I : Finset ι
t : (i : ι) → Set (E i)
ht₀ : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝓝 0
hft : (↑I).pi t ⊆ ⇑f ⁻¹' V
c : ι → 𝕜
hc₀ : ∀ (i : ι), c i ≠ 0
hc : ∀ (i : ι) (c' : 𝕜), ‖c'‖ ≤ ‖c i‖ → ∀ x ∈ s, c' • x i ∈ t i
hc₀' : ∏ i ∈ I, c i ≠ 0
a : 𝕜
ha : a ∈ {y | ‖y‖ < ‖∏ i ∈ I, c i‖}
x : (i : ι) → E i
hx : x ∈ s
y : (i : ι) → E i := I.piecewise (fun i ↦ c i • x i) x
i : ι
hi : i ∈ ↑I
⊢ ‖(a / ∏ i ∈ I, c i) * c i‖ ≤ ‖∏ i ∈ I, c i‖ / ‖∏ i ∈ I, c i‖ * ‖c i‖

Tactic:
rw [norm_mul, norm_div]

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
F : Type u_3
E : ι → Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : Nonempty ι
s : Set ((i : ι) → E i)
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
h₁ : ¬∀ (c : 𝕜), ‖c‖ ≤ 1
x✝ : NontriviallyNormedField 𝕜 := { toNormedField := inst✝⁷, non_trivial := ⋯ }
I : Finset ι
t : (i : ι) → Set (E i)
ht₀ : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝓝 0
hft : (↑I).pi t ⊆ ⇑f ⁻¹' V
c : ι → 𝕜
hc₀ : ∀ (i : ι), c i ≠ 0
hc : ∀ (i : ι) (c' : 𝕜), ‖c'‖ ≤ ‖c i‖ → ∀ x ∈ s, c' • x i ∈ t i
hc₀' : ∏ i ∈ I, c i ≠ 0
a : 𝕜
ha : a ∈ {y | ‖y‖ < ‖∏ i ∈ I, c i‖}
x : (i : ι) → E i
hx : x ∈ s
y : (i : ι) → E i := I.piecewise (fun i ↦ c i • x i) x
i : ι
hi : i ∈ ↑I
⊢ ‖a‖ / ‖∏ i ∈ I, c i‖ * ‖c i‖ ≤ ‖∏ i ∈ I, c i‖ / ‖∏ i ∈ I, c i‖ * ‖c i‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Ring.Units

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
x : Rˣ
⊢ (fun t ↦ (↑x + t)⁻¹ʳ - ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun t ↦ ‖t‖

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
x : Rˣ
⊢ (fun t ↦ (↑x + t)⁻¹ʳ - ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun t ↦ ‖t‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Ring.Units

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
x : Rˣ
h_is_o : (fun t ↦ (↑x + t)⁻¹ʳ - ↑x⁻¹) =o[𝓝 0] fun x ↦ 1
h_lim : Tendsto (fun y ↦ y - ↑x) (𝓝 ↑x) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun e ↦ ‖e⁻¹ʳ - ↑x⁻¹‖) (𝓝 ↑x) (𝓝 0)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
x : Rˣ
h_is_o : (fun t ↦ (↑x + t)⁻¹ʳ - ↑x⁻¹) =o[𝓝 0] fun x ↦ 1
h_lim : Tendsto (fun y ↦ y - ↑x) (𝓝 ↑x) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun e ↦ ‖e⁻¹ʳ - ↑x⁻¹‖) (𝓝 ↑x) (𝓝 0)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Ring.Units

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
I : Ideal R
x : R
hxI : x ∈ I
hx : ‖1 - x‖ < 1
u : Rˣ := Units.oneSub (1 - x) hx
⊢ 1 ∈ I

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
I : Ideal R
x : R
hxI : x ∈ I
hx : ‖1 - x‖ < 1
u : Rˣ := Units.oneSub (1 - x) hx
⊢ 1 ∈ I
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_3
inst✝³ : NonUnitalSeminormedRing R
inst✝² : NormedSpace 𝕜 R
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 R R
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 R R
x y : R
⊢ ‖((LinearMap.mul 𝕜 R) x) y‖ ≤ 1 * ‖x‖ * ‖y‖

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_3
inst✝³ : NonUnitalSeminormedRing R
inst✝² : NormedSpace 𝕜 R
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 R R
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 R R
x y : R
⊢ ‖x * y‖ ≤ ‖x‖ * ‖y‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : IsBoundedSMul R E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 R E
x y : E
h : (lsmul 𝕜 R).flip x = (lsmul 𝕜 R).flip y
⊢ x = y

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : IsBoundedSMul R E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 R E
x y : E
h : (lsmul 𝕜 R).flip x = (lsmul 𝕜 R).flip y
⊢ x = y
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : IsBoundedSMul R E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 R E
⊢ ↑‖lsmul 𝕜 R‖₊ ≤ ↑1

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : IsBoundedSMul R E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 R E
⊢ ‖lsmul 𝕜 R‖ ≤ 1
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : IsBoundedSMul R E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 R E
⊢ ↑‖lsmul 𝕜 R‖₊ ≤ 1

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : IsBoundedSMul R E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 R E
⊢ ‖lsmul 𝕜 R‖₊ ≤ 1