mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Charpoly

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
f : End K V
h : (charpoly f).Splits
b : Basis (Free.ChooseBasisIndex K V) K V := Free.chooseBasis K V
⊢ ((toMatrix (Free.chooseBasis K V) (Free.chooseBasis K V)) f).charpoly.Splits

Tactic:
simpa using

Goal state after:
K : Type u_3
V : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
f : End K V
h : (charpoly f).Splits
b : Basis (Free.ChooseBasisIndex K V) K V := Free.chooseBasis K V
⊢ (charpoly f).Splits
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Compact.FredholmAlternative

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
T : X →L[𝕜] X
μ : 𝕜
hT : IsCompactOperator ⇑T
hμ : μ ≠ 0
h : ∀ c > 0, ∃ x, ‖(T - μ • 1) x‖ < c * ‖x‖
c : ℝ
hc₀ : c > 0
hc : ∀ ε > 0, ∃ x, ‖x‖ ≤ 1 ∧ c ≤ ‖x‖ ∧ ‖(T - μ • 1) x‖ < ε
φ : ℕ → ℝ
hφ_anti : StrictAnti φ
hφ_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < φ n
hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 0)
x : ℕ → X
hx_norm_upper : ∀ (n : ℕ), ‖x n‖ ≤ 1
hx_norm_lower : ∀ (n : ℕ), c ≤ ‖x n‖
hx_bound : ∀ (n : ℕ), ‖(T - μ • 1) (x n)‖ < φ n
hx_lim : Tendsto (fun n ↦ (T - μ • 1) (x n)) atTop (𝓝 0)
y_ : ℕ → X := fun n ↦ T (x n)
n : ℕ
hn : φ n ≤ ‖μ‖ * c / 2
⊢ ‖T (x n) - μ • x n‖ < φ n

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
T : X →L[𝕜] X
μ : 𝕜
hT : IsCompactOperator ⇑T
hμ : μ ≠ 0
h : ∀ c > 0, ∃ x, ‖(T - μ • 1) x‖ < c * ‖x‖
c : ℝ
hc₀ : c > 0
hc : ∀ ε > 0, ∃ x, ‖x‖ ≤ 1 ∧ c ≤ ‖x‖ ∧ ‖(T - μ • 1) x‖ < ε
φ : ℕ → ℝ
hφ_anti : StrictAnti φ
hφ_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < φ n
hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 0)
x : ℕ → X
hx_norm_upper : ∀ (n : ℕ), ‖x n‖ ≤ 1
hx_norm_lower : ∀ (n : ℕ), c ≤ ‖x n‖
hx_bound : ∀ (n : ℕ), ‖(T - μ • 1) (x n)‖ < φ n
hx_lim : Tendsto (fun n ↦ (T - μ • 1) (x n)) atTop (𝓝 0)
y_ : ℕ → X := fun n ↦ T (x n)
n : ℕ
hn : φ n ≤ ‖μ‖ * c / 2
⊢ ‖T (x n) - μ • x n‖ < φ n
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Compact.FredholmAlternative

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
T : X →L[𝕜] X
μ : 𝕜
hT : IsCompactOperator ⇑T
hμ : μ ≠ 0
h : ∀ c > 0, ∃ x, ‖(T - μ • 1) x‖ < c * ‖x‖
c : ℝ
hc₀ : c > 0
hc : ∀ ε > 0, ∃ x, ‖x‖ ≤ 1 ∧ c ≤ ‖x‖ ∧ ‖(T - μ • 1) x‖ < ε
φ : ℕ → ℝ
hφ_anti : StrictAnti φ
hφ_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < φ n
hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 0)
x : ℕ → X
hx_norm_upper : ∀ (n : ℕ), ‖x n‖ ≤ 1
hx_norm_lower : ∀ (n : ℕ), c ≤ ‖x n‖
hx_bound : ∀ (n : ℕ), ‖(T - μ • 1) (x n)‖ < φ n
hx_lim : Tendsto (fun n ↦ (T - μ • 1) (x n)) atTop (𝓝 0)
y_ : ℕ → X := fun n ↦ T (x n)
n : ℕ
hn : φ n ≤ ‖μ‖ * c / 2
h₁ : ‖T (x n) - μ • x n‖ < φ n
⊢ ‖μ‖ * ‖x n‖ ≤ ‖T (x n)‖ + ‖T (x n) - μ • x n‖

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
T : X →L[𝕜] X
μ : 𝕜
hT : IsCompactOperator ⇑T
hμ : μ ≠ 0
h : ∀ c > 0, ∃ x, ‖(T - μ • 1) x‖ < c * ‖x‖
c : ℝ
hc₀ : c > 0
hc : ∀ ε > 0, ∃ x, ‖x‖ ≤ 1 ∧ c ≤ ‖x‖ ∧ ‖(T - μ • 1) x‖ < ε
φ : ℕ → ℝ
hφ_anti : StrictAnti φ
hφ_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < φ n
hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 0)
x : ℕ → X
hx_norm_upper : ∀ (n : ℕ), ‖x n‖ ≤ 1
hx_norm_lower : ∀ (n : ℕ), c ≤ ‖x n‖
hx_bound : ∀ (n : ℕ), ‖(T - μ • 1) (x n)‖ < φ n
hx_lim : Tendsto (fun n ↦ (T - μ • 1) (x n)) atTop (𝓝 0)
y_ : ℕ → X := fun n ↦ T (x n)
n : ℕ
hn : φ n ≤ ‖μ‖ * c / 2
h₁ : ‖T (x n) - μ • x n‖ < φ n
⊢ ‖μ‖ * ‖x n‖ ≤ ‖T (x n)‖ + ‖T (x n) - μ • x n‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Compact.FredholmAlternative

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
T : X →L[𝕜] X
μ : 𝕜
hT : IsCompactOperator ⇑T
hμ : μ ≠ 0
h : ∀ c > 0, ∃ x, ‖(T - μ • 1) x‖ < c * ‖x‖
c : ℝ
hc₀ : c > 0
hc : ∀ ε > 0, ∃ x, ‖x‖ ≤ 1 ∧ c ≤ ‖x‖ ∧ ‖(T - μ • 1) x‖ < ε
φ : ℕ → ℝ
hφ_anti : StrictAnti φ
hφ_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < φ n
hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 0)
x : ℕ → X
hx_norm_upper : ∀ (n : ℕ), ‖x n‖ ≤ 1
hx_norm_lower : ∀ (n : ℕ), c ≤ ‖x n‖
hx_bound : ∀ (n : ℕ), ‖(T - μ • 1) (x n)‖ < φ n
hx_lim : Tendsto (fun n ↦ (T - μ • 1) (x n)) atTop (𝓝 0)
y_ : ℕ → X := fun n ↦ T (x n)
hy_lower : ∃ d > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ ‖y_ n‖
K : Set X
hK : IsCompact K
hK' : ⇑↑T '' Metric.closedBall 0 1 ⊆ K
y : X
hyK : y ∈ K
ψ : ℕ → ℕ
hψ : StrictMono ψ
hψy : Tendsto (y_ ∘ ψ) atTop (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun n ↦ (T - μ • 1) (y_ n)) atTop (𝓝 0)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
T : X →L[𝕜] X
μ : 𝕜
hT : IsCompactOperator ⇑T
hμ : μ ≠ 0
h : ∀ c > 0, ∃ x, ‖(T - μ • 1) x‖ < c * ‖x‖
c : ℝ
hc₀ : c > 0
hc : ∀ ε > 0, ∃ x, ‖x‖ ≤ 1 ∧ c ≤ ‖x‖ ∧ ‖(T - μ • 1) x‖ < ε
φ : ℕ → ℝ
hφ_anti : StrictAnti φ
hφ_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < φ n
hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 0)
x : ℕ → X
hx_norm_upper : ∀ (n : ℕ), ‖x n‖ ≤ 1
hx_norm_lower : ∀ (n : ℕ), c ≤ ‖x n‖
hx_bound : ∀ (n : ℕ), ‖(T - μ • 1) (x n)‖ < φ n
hx_lim : Tendsto (fun n ↦ (T - μ • 1) (x n)) atTop (𝓝 0)
y_ : ℕ → X := fun n ↦ T (x n)
hy_lower : ∃ d > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ ‖y_ n‖
K : Set X
hK : IsCompact K
hK' : ⇑↑T '' Metric.closedBall 0 1 ⊆ K
y : X
hyK : y ∈ K
ψ : ℕ → ℕ
hψ : StrictMono ψ
hψy : Tendsto (y_ ∘ ψ) atTop (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun n ↦ T (y_ n) - μ • y_ n) atTop (𝓝 0)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.ContinuousLinearMap

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : T0Space M
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R M
inst✝ : IsTopologicalAddGroup M
f : M →L[R] M
μ : R
n : ℕ
⊢ IsClosed ↑((genEigenspace (↑f) μ) ↑n)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : T0Space M
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R M
inst✝ : IsTopologicalAddGroup M
f : M →L[R] M
μ : R
n : ℕ
⊢ IsClosed ↑((↑f - μ • 1) ^ n).ker
Module: Mathlib.Data.Fin.Tuple.Sort

Goal state before:
pp: n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
x✝ : ↥(graph f)
x : α
i : Fin n
h : (x, i) ∈ graph f
⊢ (fun i ↦ ⟨(f i, i), ⋯⟩) ((fun p ↦ (↑p).2) ⟨(x, i), h⟩) = ⟨(x, i), h⟩

Tactic:
simpa using

Goal state after:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
x✝ : ↥(graph f)
x : α
i : Fin n
h : (x, i) ∈ graph f
⊢ x = f i
Module: Mathlib.Data.Fin.Tuple.Sort

Goal state before:
pp: n : ℕ
σ : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ Monotone (⇑σ ∘ ⇑σ⁻¹)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
n : ℕ
σ : Equiv.Perm (Fin n)
⊢ Monotone id
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Compact.FredholmAlternative

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
T : X →L[𝕜] X
μ : 𝕜
hT : IsCompactOperator ⇑T
hμ : μ ≠ 0
h : ∀ c > 0, ∃ x, ‖(T - μ • 1) x‖ < c * ‖x‖
c : ℝ
hc₀ : c > 0
hc : ∀ ε > 0, ∃ x, ‖x‖ ≤ 1 ∧ c ≤ ‖x‖ ∧ ‖(T - μ • 1) x‖ < ε
φ : ℕ → ℝ
hφ_anti : StrictAnti φ
hφ_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < φ n
hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 0)
x : ℕ → X
hx_norm_upper : ∀ (n : ℕ), ‖x n‖ ≤ 1
hx_norm_lower : ∀ (n : ℕ), c ≤ ‖x n‖
hx_bound : ∀ (n : ℕ), ‖(T - μ • 1) (x n)‖ < φ n
hx_lim : Tendsto (fun n ↦ (T - μ • 1) (x n)) atTop (𝓝 0)
y_ : ℕ → X := fun n ↦ T (x n)
hy_lower : ∃ d > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ ‖y_ n‖
K : Set X
hK : IsCompact K
hK' : ⇑↑T '' Metric.closedBall 0 1 ⊆ K
y : X
hyK : y ∈ K
ψ : ℕ → ℕ
hψ : StrictMono ψ
hψy : Tendsto (y_ ∘ ψ) atTop (𝓝 y)
hy_lim : Tendsto (fun n ↦ (T - μ • 1) (y_ n)) atTop (𝓝 0)
hy_eigen' : (T - μ • 1) y = 0
hy_ne : y ≠ 0
⊢ HasEigenvector (↑T) μ y

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
T : X →L[𝕜] X
μ : 𝕜
hT : IsCompactOperator ⇑T
hμ : μ ≠ 0
h : ∀ c > 0, ∃ x, ‖(T - μ • 1) x‖ < c * ‖x‖
c : ℝ
hc₀ : c > 0
hc : ∀ ε > 0, ∃ x, ‖x‖ ≤ 1 ∧ c ≤ ‖x‖ ∧ ‖(T - μ • 1) x‖ < ε
φ : ℕ → ℝ
hφ_anti : StrictAnti φ
hφ_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < φ n
hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 0)
x : ℕ → X
hx_norm_upper : ∀ (n : ℕ), ‖x n‖ ≤ 1
hx_norm_lower : ∀ (n : ℕ), c ≤ ‖x n‖
hx_bound : ∀ (n : ℕ), ‖(T - μ • 1) (x n)‖ < φ n
hx_lim : Tendsto (fun n ↦ (T - μ • 1) (x n)) atTop (𝓝 0)
y_ : ℕ → X := fun n ↦ T (x n)
hy_lower : ∃ d > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, d ≤ ‖y_ n‖
K : Set X
hK : IsCompact K
hK' : ⇑↑T '' Metric.closedBall 0 1 ⊆ K
y : X
hyK : y ∈ K
ψ : ℕ → ℕ
hψ : StrictMono ψ
hψy : Tendsto (y_ ∘ ψ) atTop (𝓝 y)
hy_lim : Tendsto (fun n ↦ (T - μ • 1) (y_ n)) atTop (𝓝 0)
hy_eigen' : (T - μ • 1) y = 0
hy_ne : y ≠ 0
⊢ T y = μ • y
Module: Mathlib.Data.Fin.Tuple.Sort

Goal state before:
pp: n : ℕ
σ : Equiv.Perm (Fin n)
i✝ j✝ : Fin n
hij : i✝ < j✝
h : σ (σ⁻¹ i✝) = σ (σ⁻¹ j✝)
⊢ i✝ = j✝

Tactic:
simpa using

Goal state after:
n : ℕ
σ : Equiv.Perm (Fin n)
i✝ j✝ : Fin n
hij : i✝ < j✝
h : σ (σ⁻¹ i✝) = σ (σ⁻¹ j✝)
⊢ i✝ = j✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Compact.FredholmAlternative

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
T : X →L[𝕜] X
μ : 𝕜
inst✝ : CompleteSpace X
hT : IsCompactOperator ⇑T
hμ : μ ≠ 0
h₁ : ¬HasEigenvalue (↑T) μ
S : X →L[𝕜] X := T - μ • 1
K : NNReal
hK : AntilipschitzWith K ⇑S
h₂ : ¬Function.Surjective ⇑S
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
f : ℕ → X
hf_norm_lower : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ ‖f n‖
hf_norm_upper : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ ‖c‖ + 1
hf_far : ∀ (n : ℕ), ∀ y ∈ LinearMap.range (↑S ^ (n + 1)), 1 ≤ ‖f n - y‖
hf_mem : ∀ {n m : ℕ}, m ≤ n → f n ∈ (↑S ^ m).range
n m : ℕ
h : m ≤ n
⊢ S (f n) ∈ (↑S ^ (m + 1)).range

Tactic:
rw [iterate_succ', LinearMap.range_comp]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
T : X →L[𝕜] X
μ : 𝕜
inst✝ : CompleteSpace X
hT : IsCompactOperator ⇑T
hμ : μ ≠ 0
h₁ : ¬HasEigenvalue (↑T) μ
S : X →L[𝕜] X := T - μ • 1
K : NNReal
hK : AntilipschitzWith K ⇑S
h₂ : ¬Function.Surjective ⇑S
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
f : ℕ → X
hf_norm_lower : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ ‖f n‖
hf_norm_upper : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ ‖c‖ + 1
hf_far : ∀ (n : ℕ), ∀ y ∈ LinearMap.range (↑S ^ (n + 1)), 1 ≤ ‖f n - y‖
hf_mem : ∀ {n m : ℕ}, m ≤ n → f n ∈ (↑S ^ m).range
n m : ℕ
h : m ≤ n
⊢ S (f n) ∈ Submodule.map (↑S) (LinearMap.range (↑S ^ m))
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Compact.FredholmAlternative

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
T : X →L[𝕜] X
μ : 𝕜
inst✝ : CompleteSpace X
hT : IsCompactOperator ⇑T
hμ : μ ≠ 0
h₁ : ¬HasEigenvalue (↑T) μ
S : X →L[𝕜] X := T - μ • 1
K✝ : NNReal
hK✝ : AntilipschitzWith K✝ ⇑S
h₂ : ¬Function.Surjective ⇑S
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
f : ℕ → X
hf_norm_lower : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ ‖f n‖
hf_norm_upper : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ ‖c‖ + 1
hf_far : ∀ (n : ℕ), ∀ y ∈ LinearMap.range (↑S ^ (n + 1)), 1 ≤ ‖f n - y‖
hf_mem : ∀ {n m : ℕ}, m ≤ n → f n ∈ (↑S ^ m).range
hf_mem' : ∀ {n m : ℕ}, m ≤ n → S (f n) ∈ (↑S ^ (m + 1)).range
hp : Pairwise fun x₁ x₂ ↦ ‖μ‖ ≤ ‖T (f x₁) - T (f x₂)‖
K : Set X
hK : IsCompact K
hK' : ⇑↑T '' Metric.closedBall 0 (‖c‖ + 1) ⊆ K
y : X
hyK : y ∈ K
ψ : ℕ → ℕ
hψ : StrictMono ψ
hψy : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (((fun n ↦ ↑T (f n)) ∘ ψ) n) (((fun n ↦ ↑T (f n)) ∘ ψ) N) < ε
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (((fun n ↦ ↑T (f n)) ∘ ψ) n) (((fun n ↦ ↑T (f n)) ∘ ψ) N) < ‖μ‖
⊢ ‖T (f (ψ (N + 1))) - T (f (ψ N))‖ < ‖μ‖

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
T : X →L[𝕜] X
μ : 𝕜
inst✝ : CompleteSpace X
hT : IsCompactOperator ⇑T
hμ : μ ≠ 0
h₁ : ¬HasEigenvalue (↑T) μ
S : X →L[𝕜] X := T - μ • 1
K✝ : NNReal
hK✝ : AntilipschitzWith K✝ ⇑S
h₂ : ¬Function.Surjective ⇑S
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
f : ℕ → X
hf_norm_lower : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ ‖f n‖
hf_norm_upper : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ ‖c‖ + 1
hf_far : ∀ (n : ℕ), ∀ y ∈ LinearMap.range (↑S ^ (n + 1)), 1 ≤ ‖f n - y‖
hf_mem : ∀ {n m : ℕ}, m ≤ n → f n ∈ (↑S ^ m).range
hf_mem' : ∀ {n m : ℕ}, m ≤ n → S (f n) ∈ (↑S ^ (m + 1)).range
hp : Pairwise fun x₁ x₂ ↦ ‖μ‖ ≤ ‖T (f x₁) - T (f x₂)‖
K : Set X
hK : IsCompact K
hK' : ⇑↑T '' Metric.closedBall 0 (‖c‖ + 1) ⊆ K
y : X
hyK : y ∈ K
ψ : ℕ → ℕ
hψ : StrictMono ψ
hψy : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (((fun n ↦ ↑T (f n)) ∘ ψ) n) (((fun n ↦ ↑T (f n)) ∘ ψ) N) < ε
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (((fun n ↦ ↑T (f n)) ∘ ψ) n) (((fun n ↦ ↑T (f n)) ∘ ψ) N) < ‖μ‖
⊢ ‖T (f (ψ (N + 1))) - T (f (ψ N))‖ < ‖μ‖
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.HermitianFunctionalCalculus

Goal state before:
pp: n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
hf : ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i ↦ ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) = 0
⊢ diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i ↦ ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
hf : ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i ↦ ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) = 0
⊢ (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i ↦ ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) = 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
v : E
hv₁ : T v = μ • v
hv₂ : v ≠ 0
⊢ (starRingEnd 𝕜) μ = μ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
v : E
hv₁ : T v = μ • v
hv₂ : v ≠ 0
⊢ (starRingEnd 𝕜) μ = μ
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ ν : 𝕜
hμν : μ ≠ ν
v : E
hv : v ∈ eigenspace T μ
w : E
hw : w ∈ eigenspace T ν
hv' : v = 0
⊢ ⟪((fun μ ↦ (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) μ) ⟨v, hv⟩, ((fun μ ↦ (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) ν) ⟨w, hw⟩⟫ = 0

Tactic:
simp [hv']

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : RCLike 𝕜
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.PosSemidef
i : n
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ 0 ≤ ↑(⋯.eigenvalues i)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : RCLike 𝕜
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.PosSemidef
i : n
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ 0 ≤ ⋯.eigenvalues i
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ ν : 𝕜
hμν : μ ≠ ν
v : E
hv✝ : v ∈ eigenspace T μ
hv : T v = μ • v
w : E
hw✝ : w ∈ eigenspace T ν
hw : T w = ν • w
hv' : ¬v = 0
H : (starRingEnd 𝕜) μ = μ
⊢ ν = μ ∨ ⟪((fun μ ↦ (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) μ) ⟨v, hv✝⟩, ((fun μ ↦ (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) ν) ⟨w, hw✝⟩⟫ = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ ν : 𝕜
hμν : μ ≠ ν
v : E
hv✝ : v ∈ eigenspace T μ
hv : T v = μ • v
w : E
hw✝ : w ∈ eigenspace T ν
hw : T w = ν • w
hv' : ¬v = 0
H : (starRingEnd 𝕜) μ = μ
⊢ ν = μ ∨ ⟪v, w⟫ = 0
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : RCLike 𝕜
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.PosDef
i : n
a✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ 0 < ↑(⋯.eigenvalues i)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : RCLike 𝕜
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.PosDef
i : n
a✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ 0 < ⋯.eigenvalues i
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hT : T.IsSymmetric
v : E
μ : Eigenvalues T
this :
  ∀ (w : PiLp 2 fun μ ↦ ↥(eigenspace T (↑T 1 μ))),
    T (hT.diagonalization.symm w) = hT.diagonalization.symm (toLp 2 fun μ ↦ ↑T 1 μ • w.ofLp μ)
⊢ (hT.diagonalization (T v)).ofLp μ = ↑T 1 μ • (hT.diagonalization v).ofLp μ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hT : T.IsSymmetric
v : E
μ : Eigenvalues T
this :
  ∀ (w : PiLp 2 fun μ ↦ ↥(eigenspace T (↑T 1 μ))),
    T (hT.diagonalization.symm w) = hT.diagonalization.symm (toLp 2 fun μ ↦ ↑T 1 μ • w.ofLp μ)
⊢ (hT.diagonalization (T v)).ofLp μ = ↑T 1 μ • (hT.diagonalization v).ofLp μ
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : RCLike 𝕜
A M : Matrix n n 𝕜
hM : M.PosDef
x : n → 𝕜
hx : M *ᵥ x ⬝ᵥ star x = 0
h : x ≠ 0
⊢ False

Tactic:
simpa using

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : RCLike 𝕜
A M : Matrix n n 𝕜
hM : M.PosDef
x : n → 𝕜
hx : M *ᵥ x ⬝ᵥ star x = 0
h : x ≠ 0
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : T.IsSymmetric
hn : finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
v : E := (hT.unsortedEigenvectorBasis hn) i
μ : 𝕜 := ↑T (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯)
H₁ : v ∈ eigenspace T μ
⊢ v ≠ 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : T.IsSymmetric
hn : finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
v : E := (hT.unsortedEigenvectorBasis hn) i
μ : 𝕜 := ↑T (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯)
H₁ : v ∈ eigenspace T μ
⊢ ¬v = 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : T.IsSymmetric
hn : finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
v : E := (hT.unsortedEigenvectorBasis hn) i
μ : 𝕜 := ↑T (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯)
key : HasEigenvector T μ v
re_μ : ↑(RCLike.re μ) = μ
⊢ HasEigenvector T (↑(RCLike.re μ)) v

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : T.IsSymmetric
hn : finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
v : E := (hT.unsortedEigenvectorBasis hn) i
μ : 𝕜 := ↑T (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯)
key : HasEigenvector T μ v
re_μ : ↑(RCLike.re μ) = μ
⊢ HasEigenvector T μ v
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : T.IsSymmetric
hn : finrank 𝕜 E = n
v : E
i : Fin n
this :
  ∀ (w : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)),
    T ((hT.eigenvectorBasis hn).repr.symm w) =
      (hT.eigenvectorBasis hn).repr.symm (toLp 2 fun i ↦ ↑(hT.eigenvalues hn i) * w.ofLp i)
⊢ ((hT.eigenvectorBasis hn).repr (T v)).ofLp i = ↑(hT.eigenvalues hn i) * ((hT.eigenvectorBasis hn).repr v).ofLp i

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : T.IsSymmetric
hn : finrank 𝕜 E = n
v : E
i : Fin n
this :
  ∀ (w : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)),
    T ((hT.eigenvectorBasis hn).repr.symm w) =
      (hT.eigenvectorBasis hn).repr.symm (toLp 2 fun i ↦ ↑(hT.eigenvalues hn i) * w.ofLp i)
⊢ ((hT.eigenvectorBasis hn).repr (T v)).ofLp i = ↑(hT.eigenvalues hn i) * ((hT.eigenvectorBasis hn).repr v).ofLp i
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
μ : ℝ
T : E →ₗ[𝕜] E
hμ : HasEigenvalue T ↑μ
hnn : ∀ (x : E), 0 ≤ RCLike.re ⟪x, T x⟫
v : E
hv₁ : v ∈ (genEigenspace T ↑μ) 1
hv₂ : v ≠ 0
⊢ 0 < ‖v‖ ^ 2

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
μ : ℝ
T : E →ₗ[𝕜] E
hμ : HasEigenvalue T ↑μ
hnn : ∀ (x : E), 0 ≤ RCLike.re ⟪x, T x⟫
v : E
hv₁ : v ∈ (genEigenspace T ↑μ) 1
hv₂ : v ≠ 0
⊢ v ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
μ : ℝ
T : E →ₗ[𝕜] E
hμ : HasEigenvalue T ↑μ
hnn : ∀ (x : E), 0 < RCLike.re ⟪x, T x⟫
v : E
hv₁ : v ∈ (genEigenspace T ↑μ) 1
hv₂ : v ≠ 0
⊢ 0 < ‖v‖ ^ 2

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
μ : ℝ
T : E →ₗ[𝕜] E
hμ : HasEigenvalue T ↑μ
hnn : ∀ (x : E), 0 < RCLike.re ⟪x, T x⟫
v : E
hv₁ : v ∈ (genEigenspace T ↑μ) 1
hv₂ : v ≠ 0
⊢ v ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
n : ℕ∞
K : Compacts E
f g : 𝓓^{n}_{K}(E, F)
hfg : (structureMapLM 𝕜 n 0) f = (structureMapLM 𝕜 n 0) g
⊢ f = g

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
n : ℕ∞
K : Compacts E
f g : 𝓓^{n}_{K}(E, F)
hfg : (structureMapLM 𝕜 n 0) f = (structureMapLM 𝕜 n 0) g
⊢ ∀ (a : E), f a = g a
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsCompactOperator ⇑T
hT' : (↑T).IsSymmetric
S : ↥(⨆ μ, eigenspace (↑T) μ)ᗮ →L[𝕜] ↥(⨆ μ, eigenspace (↑T) μ)ᗮ := T.restrict ⋯
hS_compact : IsCompactOperator ⇑S
hS_symm : (↑S).IsSymmetric
hS : ∀ (μ : 𝕜), eigenspace (↑S) μ = ⊥
h : S = 0
hV : Nontrivial ↥(⨆ μ, eigenspace (↑T) μ)ᗮ
⊢ False

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsCompactOperator ⇑T
hT' : (↑T).IsSymmetric
S : ↥(⨆ μ, eigenspace (↑T) μ)ᗮ →L[𝕜] ↥(⨆ μ, eigenspace (↑T) μ)ᗮ := T.restrict ⋯
hS_compact : IsCompactOperator ⇑S
hS_symm : (↑S).IsSymmetric
hS : ∀ (μ : 𝕜), eigenspace (↑S) μ = ⊥
h : S = 0
hV : Nontrivial ↥(⨆ μ, eigenspace (↑T) μ)ᗮ
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.Order

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
n : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
A : Matrix n n 𝕜
h₁ : A.PosSemidef
h₂ : (-A).PosSemidef
i✝ j i : n
⊢ A i i ≤ 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
n : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
A : Matrix n n 𝕜
h₁ : A.PosSemidef
h₂ : (-A).PosSemidef
i✝ j i : n
⊢ A i i ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.Order

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
n : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
A : Matrix n n 𝕜
h₁ : A.PosSemidef
h₂ : (-A).PosSemidef
i✝ j i : n
⊢ 0 ≤ A i i

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
n : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
A : Matrix n n 𝕜
h₁ : A.PosSemidef
h₂ : (-A).PosSemidef
i✝ j i : n
⊢ 0 ≤ A i i