mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Unitary.Connected

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u : A
hu : u ∈ unitary A
x : ℝ
hz : IsLeast (re '' spectrum ℂ u) x
h✝ : Nontrivial A
h_eqOn : Set.EqOn (fun z ↦ ‖z - 1‖ ^ 2) (fun z ↦ 2 * (1 - z.re)) (spectrum ℂ u)
this : Antitone fun y ↦ 2 * (1 - y)
⊢ IsGreatest ((fun z ↦ 2 * (1 - z.re)) '' spectrum ℂ u) (2 * (1 - x))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u : A
hu : u ∈ unitary A
x : ℝ
hz : IsLeast (re '' spectrum ℂ u) x
h✝ : Nontrivial A
h_eqOn : Set.EqOn (fun z ↦ ‖z - 1‖ ^ 2) (fun z ↦ 2 * (1 - z.re)) (spectrum ℂ u)
this : Antitone fun y ↦ 2 * (1 - y)
⊢ IsGreatest ((fun z ↦ 2 * (1 - z.re)) '' spectrum ℂ u) (2 * (1 - x))
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Unitary.Connected

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u : A
hu : u ∈ unitary A
x : ℝ
hz : IsLeast (re '' spectrum ℂ u) x
h✝ : Nontrivial A
h_eqOn : Set.EqOn (fun z ↦ ‖z - 1‖ ^ 2) (fun z ↦ 2 * (1 - z.re)) (spectrum ℂ u)
h₂ : IsGreatest ((fun z ↦ 2 * (1 - z.re)) '' spectrum ℂ u) (2 * (1 - x))
this : MonotoneOn (fun a ↦ a ^ 2) ((fun x ↦ ‖x - 1‖) '' spectrum ℂ u)
⊢ IsGreatest ((fun x ↦ ‖x - 1‖ ^ 2) '' spectrum ℂ u) (‖cfc (fun x ↦ x - 1) u‖ ^ 2)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u : A
hu : u ∈ unitary A
x : ℝ
hz : IsLeast (re '' spectrum ℂ u) x
h✝ : Nontrivial A
h_eqOn : Set.EqOn (fun z ↦ ‖z - 1‖ ^ 2) (fun z ↦ 2 * (1 - z.re)) (spectrum ℂ u)
h₂ : IsGreatest ((fun z ↦ 2 * (1 - z.re)) '' spectrum ℂ u) (2 * (1 - x))
this : MonotoneOn (fun a ↦ a ^ 2) ((fun x ↦ ‖x - 1‖) '' spectrum ℂ u)
⊢ IsGreatest ((fun x ↦ ‖x - 1‖ ^ 2) '' spectrum ℂ u) (‖cfc (fun x ↦ x - 1) u‖ ^ 2)
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Unitary.Connected

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
x : ↥(selfAdjoint A)
hx : ‖x‖ ≤ π
a✝ : Nontrivial A
⊢ IsLeast (re '' spectrum ℂ (NormedSpace.exp (I • ↑x))) (Real.cos ‖x‖)

Tactic:
← CFC.exp_eq_normedSpace_exp (𝕜 := ℂ),

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
x : ↥(selfAdjoint A)
hx : ‖x‖ ≤ π
a✝ : Nontrivial A
⊢ IsLeast (re '' spectrum ℂ (cfc NormedSpace.exp (I • ↑x))) (Real.cos ‖x‖)
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Unitary.Connected

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
x : ↥(selfAdjoint A)
hx : ‖x‖ < π
a✝ : Nontrivial A
this : spectrum ℂ ↑(expUnitary x) ⊆ slitPlane
⊢ cfc (fun x ↦ ↑x.arg) (NormedSpace.exp (I • ↑x)) = ↑x

Tactic:
← CFC.exp_eq_normedSpace_exp (𝕜 := ℂ),

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
x : ↥(selfAdjoint A)
hx : ‖x‖ < π
a✝ : Nontrivial A
this : spectrum ℂ ↑(expUnitary x) ⊆ slitPlane
⊢ cfc (fun x ↦ ↑x.arg) (cfc NormedSpace.exp (I • ↑x)) = ↑x
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Complex.Circle

Goal state before:
pp: r : ℝ
hset : {x | |x| < r} = Ioo (-r) r
⊢ IsOpen (centeredArc r)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
r : ℝ
hset : {x | |x| < r} = Ioo (-r) r
⊢ IsOpen (⇑exp '' Ioo (-r) r)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Complex.Circle

Goal state before:
pp: z : Circle
hz : ∀ n > 0, z ^ n ∈ centeredArc (π / 2)
⊢ z ∈ centeredArc (π / 2)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
z : Circle
hz : ∀ n > 0, z ^ n ∈ centeredArc (π / 2)
⊢ z ∈ centeredArc (π / 2)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Complex.Circle

Goal state before:
pp: case zero
z : Circle
hz : ∀ n > 0, z ^ n ∈ centeredArc (π / 2)
hz1 : z ∈ centeredArc (π / 2)
⊢ z ∈ centeredArc (π / 2 ^ (0 + 1))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case zero
z : Circle
hz : ∀ n > 0, z ^ n ∈ centeredArc (π / 2)
hz1 : z ∈ centeredArc (π / 2)
⊢ z ∈ centeredArc (π / 2)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Complex.Circle

Goal state before:
pp: case succ
z : Circle
hz : ∀ n > 0, z ^ n ∈ centeredArc (π / 2)
hz1 : z ∈ centeredArc (π / 2)
n : ℕ
ih : z ∈ centeredArc (π / 2 ^ (n + 1))
⊢ z ∈ centeredArc (π / 2 ^ (n + 1 + 1))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case succ
z : Circle
hz : ∀ n > 0, z ^ n ∈ centeredArc (π / 2)
hz1 : z ∈ centeredArc (π / 2)
n : ℕ
ih : z ∈ centeredArc (π / 2 ^ (n + 1))
⊢ z ∈ centeredArc (π / 2 ^ (n + 1 + 1))
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Unitary.Connected

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
x : ↥(selfAdjoint A)
hx : ‖x‖ < π
a✝ : Nontrivial A
this : spectrum ℂ (NormedSpace.exp (I • ↑x)) ⊆ slitPlane
⊢ (fun x ↦ NormedSpace.exp (I • x)) '' spectrum ℂ ↑x ⊆ slitPlane

Tactic:
← CFC.exp_eq_normedSpace_exp (𝕜 := ℂ),

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
x : ↥(selfAdjoint A)
hx : ‖x‖ < π
a✝ : Nontrivial A
this : spectrum ℂ (cfc NormedSpace.exp (I • ↑x)) ⊆ slitPlane
⊢ (fun x ↦ NormedSpace.exp (I • x)) '' spectrum ℂ ↑x ⊆ slitPlane
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Complex.Circle

Goal state before:
pp: z : Circle
hz : ∀ n > 0, z ^ n ∈ centeredArc (π / 2)
hz1 : z ∈ centeredArc (π / 2)
h : ∀ (n : ℕ), z ∈ centeredArc (π / 2 ^ (n + 1))
⊢ z = 1

Tactic:
simpa using

Goal state after:
z : Circle
hz : ∀ n > 0, z ^ n ∈ centeredArc (π / 2)
hz1 : z ∈ centeredArc (π / 2)
h : ∀ (n : ℕ), z ∈ centeredArc (π / 2 ^ (n + 1))
⊢ z = 1
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Complex.Circle

Goal state before:
pp: n : ℤ
inst✝ : NeZero n
⊢ IsUnit ↑n

Tactic:
simpa using

Goal state after:
n : ℤ
inst✝ : NeZero n
⊢ ¬n = 0
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Unitary.Connected

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u : ↥(unitary A)
hu : ‖↑u - 1‖ < 2
this : ContinuousOn arg (spectrum ℂ ↑u)
⊢ NormedSpace.exp (I • cfc (fun x ↦ ↑x.arg) ↑u) = ↑u

Tactic:
← CFC.exp_eq_normedSpace_exp (𝕜 := ℂ),

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u : ↥(unitary A)
hu : ‖↑u - 1‖ < 2
this : ContinuousOn arg (spectrum ℂ ↑u)
⊢ cfc NormedSpace.exp (I • cfc (fun x ↦ ↑x.arg) ↑u) = ↑u
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Normalize

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace ℝ V
r : ℝ
hr : r < 0
x : V
⊢ normalize (r • x) = -normalize x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace ℝ V
r : ℝ
hr : r < 0
x : V
⊢ normalize (r • x) = -normalize x
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Unitary.Connected

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u : ↥(unitary A)
hu : ‖↑u - 1‖ < 2
this✝ : ContinuousOn arg (spectrum ℂ ↑u)
y : ℂ
hy : y ∈ spectrum ℂ ↑u
hy₁ : ‖y‖ = 1
this : I * ↑y.arg = log y
⊢ NormedSpace.exp (I • ↑y.arg) = y

Tactic:
simpa using

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u : ↥(unitary A)
hu : ‖↑u - 1‖ < 2
this✝ : ContinuousOn arg (spectrum ℂ ↑u)
y : ℂ
hy : y ∈ spectrum ℂ ↑u
hy₁ : ‖y‖ = 1
this : I * ↑y.arg = log y
⊢ cexp (log y) = y
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Unitary.Connected

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u : ↥(unitary A)
y : ℂ
hy : y ∈ spectrum ℂ ↑u
⊢ ‖↑y.arg‖ ≤ π

Tactic:
simpa using

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u : ↥(unitary A)
y : ℂ
hy : y ∈ spectrum ℂ ↑u
⊢ |y.arg| ≤ π
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
v : E
⊢ (adjointAux (adjointAux A)) v = A v

Tactic:
refine ext_inner_left 𝕜 fun w => ?_

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
v : E
w : F
⊢ ⟪w, (adjointAux (adjointAux A)) v⟫_𝕜 = ⟪w, A v⟫_𝕜
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : F →L[𝕜] G
B : E →L[𝕜] F
v : G
⊢ (adjoint (A ∘SL B)) v = (adjoint B ∘SL adjoint A) v

Tactic:
refine ext_inner_left 𝕜 fun w => ?_

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : F →L[𝕜] G
B : E →L[𝕜] F
v : G
w : E
⊢ ⟪w, (adjoint (A ∘SL B)) v⟫_𝕜 = ⟪w, (adjoint B ∘SL adjoint A) v⟫_𝕜
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Unitary.Connected

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u : ↥(unitary A)
hu : dist u 1 < 2
ε : ℝ
huε : dist u 1 ^ 2 < ε
hε2 : ε < 2 ^ 2
hε : 0 < ε
huε' : dist u 1 < √ε
v : ↥(unitary A)
hv : v ∈ closedBall 1 √ε
z : ℂ
hz : z ∈ spectrum ℂ ↑v
⊢ ‖↑v - 1‖ ≤ √ε

Tactic:
simpa using

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u : ↥(unitary A)
hu : dist u 1 < 2
ε : ℝ
huε : dist u 1 ^ 2 < ε
hε2 : ε < 2 ^ 2
hε : 0 < ε
huε' : dist u 1 < √ε
v : ↥(unitary A)
hv : v ∈ closedBall 1 √ε
z : ℂ
hz : z ∈ spectrum ℂ ↑v
⊢ ‖↑v - 1‖ ≤ √ε
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Unitary.Connected

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u : ↥(unitary A)
hu : u ∈ ball 1 2
⊢ ‖↑u - 1‖ < 2

Tactic:
simpa using

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u : ↥(unitary A)
hu : u ∈ ball 1 2
⊢ ‖↑u - 1‖ < 2
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Unitary.Connected

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
x : ↥(selfAdjoint A)
hx : x ∈ ball 0 π
⊢ ‖x‖ < π

Tactic:
simpa using

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
x : ↥(selfAdjoint A)
hx : x ∈ ball 0 π
⊢ ‖↑x‖ < π
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Unitary.Connected

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u✝ : ↥(unitary A)
δ : ℝ
hδ₀ : 0 < δ
hδ₂ : δ < 2
u : ↥(unitary A)
hu : u ∈ ball 1 δ
⊢ ‖↑u - 1‖ < δ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u✝ : ↥(unitary A)
δ : ℝ
hδ₀ : 0 < δ
hδ₂ : δ < 2
u : ↥(unitary A)
hu : u ∈ ball 1 δ
⊢ ‖↑u - 1‖ < δ
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Unitary.Connected

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u✝ : ↥(unitary A)
δ : ℝ
hδ₀ : 0 < δ
hδ₂ : δ < 2
u : ↥(unitary A)
hu✝ : u ∈ ball 1 δ
hu : ‖↑u - 1‖ < δ
t : ↑unitInterval
⊢ (path 1 u ⋯) t ∈ ball 1 δ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u✝ : ↥(unitary A)
δ : ℝ
hδ₀ : 0 < δ
hδ₂ : δ < 2
u : ↥(unitary A)
hu✝ : u ∈ ball 1 δ
hu : ‖↑u - 1‖ < δ
t : ↑unitInterval
⊢ ‖NormedSpace.exp (I • ↑t • cfc (fun x ↦ ↑x.arg) ↑u) - 1‖ < δ
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.AbsolutelyMonotone

Goal state before:
pp: f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : AbsolutelyMonotoneOn f s
⊢ ContDiffOn ℝ ∞ f s

Tactic:
by
  obtain ⟨_, hp, _⟩ := hf
  exact hp.contDiffOn

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
T U : E →L[𝕜] E
hT : (↑T).IsSymmetric
hU : (↑U).IsSymmetric
h : (↑U).ker ≤ (↑T).ker
this : CompleteSpace E
⊢ (↑T).range ≤ (↑U).range

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
T U : E →L[𝕜] E
hT : (↑T).IsSymmetric
hU : (↑U).IsSymmetric
h : (↑U).ker ≤ (↑T).ker
this : CompleteSpace E
⊢ (↑T).range ≤ (↑U).range
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] F
⊢ (↑(T ∘SL adjoint T)).ker = (↑(adjoint T)).ker

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] F
⊢ (↑T ∘ₗ ↑(adjoint T)).ker = (↑(adjoint T)).ker
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] F
⊢ Function.Injective (⇑T ∘ ⇑(adjoint T)) ↔ Function.Injective ⇑(adjoint T)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] F
⊢ Function.Injective (⇑T ∘ ⇑(adjoint T)) ↔ Function.Injective ⇑(adjoint T)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
inst✝ : CompleteSpace E
S : E →L[𝕜] E
hS : IsStarProjection S
hT : IsStarProjection T
⊢ S = T ↔ (↑S).range = (↑T).range

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
inst✝ : CompleteSpace E
S : E →L[𝕜] E
hS : IsStarProjection S
hT : IsStarProjection T
⊢ S = T ↔ (↑S).range = (↑T).range
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : U.HasOrthogonalProjection
⊢ Uᗮ ∈ invtSubmodule ↑T → U ∈ invtSubmodule ↑(adjoint T)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : U.HasOrthogonalProjection
⊢ Uᗮ ∈ invtSubmodule ↑T → U ∈ invtSubmodule ↑(adjoint T)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
v : E
⊢ (adjoint (adjoint A)) v = A v

Tactic:
refine ext_inner_left 𝕜 fun w => ?_

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
v : E
w : F
⊢ ⟪w, (adjoint (adjoint A)) v⟫_𝕜 = ⟪w, A v⟫_𝕜
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : F →ₗ[𝕜] G
B : E →ₗ[𝕜] F
v : G
⊢ (adjoint (A ∘ₗ B)) v = (adjoint B ∘ₗ adjoint A) v

Tactic:
refine ext_inner_left 𝕜 fun w => ?_

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : F →ₗ[𝕜] G
B : E →ₗ[𝕜] F
v : G
w : E
⊢ ⟪w, (adjoint (A ∘ₗ B)) v⟫_𝕜 = ⟪w, (adjoint B ∘ₗ adjoint A) v⟫_𝕜
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
⊢ (A ∘ₗ adjoint A).ker = (adjoint A).ker

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
⊢ (A ∘ₗ adjoint A).ker = (adjoint A).ker
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
⊢ Function.Injective (⇑A ∘ ⇑(adjoint A)) ↔ Function.Injective ⇑(adjoint A)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
⊢ Function.Injective (⇑A ∘ ⇑(adjoint A)) ↔ Function.Injective ⇑(adjoint A)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
⊢ (A ∘ₗ adjoint A).range = A.range

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
⊢ (A ∘ₗ adjoint A).range = A.range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : CharZero k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : #fs₁ = m₁ + 1
h₂ : #fs₂ = m₂ + 1
h :
  (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₁) =
    (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₂)
i : Fin (n + 1)
ha :
  (↑fs₁).indicator (Function.const (Fin (n + 1)) (↑(m₁ + 1))⁻¹) i =
    (↑fs₂).indicator (Function.const (Fin (n + 1)) (↑(m₂ + 1))⁻¹) i
key : ∀ (n : ℕ), ↑n + 1 ≠ 0
hi : i ∈ fs₂
hni : i ∉ fs₁
⊢ False

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : CharZero k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : #fs₁ = m₁ + 1
h₂ : #fs₂ = m₂ + 1
h :
  (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₁) =
    (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₂)
i : Fin (n + 1)
ha :
  (↑fs₁).indicator (Function.const (Fin (n + 1)) (↑(m₁ + 1))⁻¹) i =
    (↑fs₂).indicator (Function.const (Fin (n + 1)) (↑(m₂ + 1))⁻¹) i
key : ∀ (n : ℕ), ↑n + 1 ≠ 0
hi : i ∈ fs₂
hni : i ∉ fs₁
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
m n : ℕ
s : Simplex k P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ m = n

Tactic:
simpa using

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
m n : ℕ
s : Simplex k P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ m = n
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
T : E →ₗ[𝕜] F
⊢ (T ∘ₗ adjoint T).IsSymmetric

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
T : E →ₗ[𝕜] F
⊢ (T ∘ₗ adjoint T).IsSymmetric
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
S : F →ₗ[𝕜] E
⊢ (adjoint S ∘ₗ T ∘ₗ S).IsSymmetric

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
S : F →ₗ[𝕜] E
⊢ (adjoint S ∘ₗ T ∘ₗ S).IsSymmetric
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
T : E →ₗ[𝕜] F
⊢ (adjoint T ∘ₗ T).IsSymmetric

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
T : E →ₗ[𝕜] F
⊢ (adjoint T ∘ₗ T).IsSymmetric
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
S T : E →ₗ[𝕜] E
hS : IsStarProjection S
hT : IsStarProjection T
this : CompleteSpace E
⊢ S = T ↔ S.range = T.range

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
S T : E →ₗ[𝕜] E
hS : IsStarProjection S
hT : IsStarProjection T
this : CompleteSpace E
⊢ S = T ↔ S.range = T.range
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
u : H →L[𝕜] K
h : ∀ (x y : H), ⟪u x, u y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
x y : H
⊢ ⟪(adjoint u ∘SL u) x, y⟫_𝕜 = ⟪1 x, y⟫_𝕜

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
u : H →L[𝕜] K
h : ∀ (x y : H), ⟪u x, u y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
x y : H
⊢ ⟪u x, u y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜