mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
ι₂✝ : Type u_5
M₂✝ : Type u_6
N₂✝ : Type u_7
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂✝
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂✝
inst✝⁴ : Module R N₂✝
P✝ : RootPairing ι R M N
Q✝ : RootPairing ι₂✝ R M₂✝ N₂✝
ι₂ : Type u_8
M₂ : Type u_9
N₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
f : P.Equiv Q
n : N
m : M₂
⊢ (((↑(weightEquiv P Q f).symm).dualMap ∘ₗ ↑P.flip.toPerfPair) n) m =
    ((↑Q.flip.toPerfPair ∘ₗ ↑(coweightEquiv P Q f).symm) n) ((weightEquiv P Q f) ((weightEquiv P Q f).symm m))

Tactic:
nth_rw 1 [show n = (coweightEquiv P Q f) ((coweightEquiv P Q f).symm n) by
      exact (LinearEquiv.symm_apply_eq (coweightEquiv P Q f)).mp rfl]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
ι₂✝ : Type u_5
M₂✝ : Type u_6
N₂✝ : Type u_7
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂✝
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂✝
inst✝⁴ : Module R N₂✝
P✝ : RootPairing ι R M N
Q✝ : RootPairing ι₂✝ R M₂✝ N₂✝
ι₂ : Type u_8
M₂ : Type u_9
N₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
f : P.Equiv Q
n : N
m : M₂
⊢ (((↑(weightEquiv P Q f).symm).dualMap ∘ₗ ↑P.flip.toPerfPair) ((coweightEquiv P Q f) ((coweightEquiv P Q f).symm n)))
      m =
    ((↑Q.flip.toPerfPair ∘ₗ ↑(coweightEquiv P Q f).symm) n) ((weightEquiv P Q f) ((weightEquiv P Q f).symm m))
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: case zero
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring k
inst✝ : Group G
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
x : k[G]
hx : ∀ (a : G), (((leftRegular k G) g) x).coeff a = x.coeff a
⊢ x.coeff ((fun x ↦ g ^ x) 0) = x.coeff g

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case zero
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring k
inst✝ : Group G
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
x : k[G]
hx : ∀ (a : G), (((leftRegular k G) g) x).coeff a = x.coeff a
⊢ x.coeff 1 = x.coeff g
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: case succ
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring k
inst✝ : Group G
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
x : k[G]
hx : ∀ (a : G), (((leftRegular k G) g) x).coeff a = x.coeff a
n : ℕ
h : x.coeff ((fun x ↦ g ^ x) ↑n) = x.coeff g
⊢ x.coeff ((fun x ↦ g ^ x) (↑n + 1)) = x.coeff g

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case succ
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring k
inst✝ : Group G
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
x : k[G]
hx : ∀ (a : G), (((leftRegular k G) g) x).coeff a = x.coeff a
n : ℕ
h : x.coeff ((fun x ↦ g ^ x) ↑n) = x.coeff g
⊢ x.coeff (g * g ^ n) = x.coeff (g ^ n)
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: case pred
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring k
inst✝ : Group G
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
x : k[G]
hx : ∀ (a : G), (((leftRegular k G) g) x).coeff a = x.coeff a
n : ℕ
h : x.coeff ((fun x ↦ g ^ x) (-↑n)) = x.coeff g
⊢ x.coeff ((fun x ↦ g ^ x) (-↑n - 1)) = x.coeff g

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case pred
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring k
inst✝ : Group G
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ Subgroup.zpowers g
x : k[G]
hx : ∀ (a : G), (((leftRegular k G) g) x).coeff a = x.coeff a
n : ℕ
h : x.coeff ((fun x ↦ g ^ x) (-↑n)) = x.coeff g
⊢ x.coeff (g ^ n * g)⁻¹ = x.coeff (g ^ n)⁻¹
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Nontrivial M
h : ∀ (q : Submodule R M), (∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)) → q ≠ ⊥ → q = ⊤
q : ↥P.weylGroupRootRep.invtSubmodule
hq : q ≠ ⊥
this : ↑q = ⊤
⊢ q = ⊤

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Nontrivial M
h : ∀ (q : Submodule R M), (∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)) → q ≠ ⊥ → q = ⊤
q : ↥P.weylGroupRootRep.invtSubmodule
hq : q ≠ ⊥
this : ↑q = ⊤
⊢ q = ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Nontrivial M
h : ∀ (q : Submodule R M), (∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)) → q ≠ ⊥ → q = ⊤
q : ↥P.weylGroupRootRep.invtSubmodule
hq : q ≠ ⊥
⊢ ↑q ≠ ⊥

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Nontrivial M
h : ∀ (q : Submodule R M), (∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)) → q ≠ ⊥ → q = ⊤
q : ↥P.weylGroupRootRep.invtSubmodule
hq : q ≠ ⊥
⊢ ¬q = ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : Nontrivial M
P : RootPairing ι K M N
q : Submodule K N
h : ¬q.dualAnnihilator = ⊤ → Submodule.map (↑P.toPerfPair.symm) q.dualAnnihilator = ⊥
stab : ∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.coreflection i)
ne_bot : q.dualAnnihilator ≠ ⊤
⊢ q = ⊤

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : Nontrivial M
P : RootPairing ι K M N
q : Submodule K N
h : ¬q.dualAnnihilator = ⊤ → Submodule.map (↑P.toPerfPair.symm) q.dualAnnihilator = ⊥
stab : ∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.coreflection i)
ne_bot : q.dualAnnihilator ≠ ⊤
⊢ q = ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : Nontrivial M
P : RootPairing ι K M N
h : IsSimpleOrder ↥P.invtRootSubmodule
q : Submodule K M
hq : ∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)
q' : ↥P.invtRootSubmodule := ⟨q, ⋯⟩
hq' : ⊥ < q'
this : q' = ⊤
⊢ q = ⊤

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : Nontrivial M
P : RootPairing ι K M N
h : IsSimpleOrder ↥P.invtRootSubmodule
q : Submodule K M
hq : ∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)
q' : ↥P.invtRootSubmodule := ⟨q, ⋯⟩
hq' : ⊥ < q'
this : q' = ⊤
⊢ q = ⊤
Module: Mathlib.Order.Interval.Set.OrdConnectedLinear

Goal state before:
pp: α : Type u_1
I : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h' : I.OrdConnected
x : α
hx : x ∈ I
y : α
hy : y ∈ I
hxy : Ioo x y ⊆ Iᶜ
this : ∀ (z : α), x < z → y ≤ z
z : α
⊢ z ∈ Ioo x y ↔ z ∈ ∅

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
I : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h' : I.OrdConnected
x : α
hx : x ∈ I
y : α
hy : y ∈ I
hxy : Ioo x y ⊆ Iᶜ
this : ∀ (z : α), x < z → y ≤ z
z : α
⊢ x < z → y ≤ z
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
i : ι
⊢ span R (orbit (↥P.weylGroup) (P.root i)) ≠ ⊥

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
i : ι
⊢ ∃ x ∈ orbit (↥P.weylGroup) (P.root i), ¬x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
B : P.InvariantForm
i j : ι
contra : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j)) (P.root j) → (B.form (P.root i)) (P.root k) = 0
this : span R (orbit (↥P.weylGroup) (P.root j)) ≤ (B.form (P.root i)).ker
⊢ B.form (P.root i) = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
B : P.InvariantForm
i j : ι
contra : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j)) (P.root j) → (B.form (P.root i)) (P.root k) = 0
this : span R (orbit (↥P.weylGroup) (P.root j)) ≤ (B.form (P.root i)).ker
⊢ B.form (P.root i) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
B : P.InvariantForm
i j : ι
contra : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j)) (P.root j) → (B.form (P.root i)) (P.root k) = 0
v : M
hv : v ∈ orbit (↥P.weylGroup) (P.root j)
⊢ v ∈ ↑(B.form (P.root i)).ker

Tactic:
obtain ⟨g, rfl⟩ := mem_orbit_iff.mp hv

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
B : P.InvariantForm
i j : ι
contra : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j)) (P.root j) → (B.form (P.root i)) (P.root k) = 0
g : ↥P.weylGroup
hv : g • P.root j ∈ orbit (↥P.weylGroup) (P.root j)
⊢ g • P.root j ∈ ↑(B.form (P.root i)).ker
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
s : Set ι
hne : s.Nonempty
h : ∀ (j : ι), P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s) → ∀ i ∈ s, P.IsOrthogonal j i
hq : ∀ (j : ι), span R (⇑P.root '' s) ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection j)
⊢ span R (⇑P.root '' s) ≠ ⊥

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
s : Set ι
hne : s.Nonempty
h : ∀ (j : ι), P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s) → ∀ i ∈ s, P.IsOrthogonal j i
hq : ∀ (j : ι), span R (⇑P.root '' s) ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection j)
⊢ ∃ x ∈ s, ¬P.root x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
P : RootPairing ι R M N
f : P.Endˣ
⊢ ∃ g, LeftInverse g ⇑(↑f).weightMap ∧ RightInverse g ⇑(↑f).weightMap

Tactic:
use f.inv.weightMap

Goal state after:
case h
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
P : RootPairing ι R M N
f : P.Endˣ
⊢ LeftInverse ⇑f.inv.weightMap ⇑(↑f).weightMap ∧ RightInverse ⇑f.inv.weightMap ⇑(↑f).weightMap
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
P : RootPairing ι R M N
i : ι
f : N
x : M
⊢ (((↑(P.reflection i)).dualMap ∘ₗ ↑P.flip.toPerfPair) f) x = ((↑P.flip.toPerfPair ∘ₗ ↑(P.coreflection i)) f) x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
P : RootPairing ι R M N
i : ι
f : N
x : M
⊢ (P.toLinearMap x) (P.coroot i) * (P.toLinearMap (P.root i)) f = (P.root' i) f * (P.toLinearMap x) (P.coroot i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ (reflection P i)⁻¹ = reflection P i

Tactic:
refine Equiv.ext ?_ ?_ ?_

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ (↑(reflection P i)⁻¹).weightMap = (↑(reflection P i)).weightMap

case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ (↑(reflection P i)⁻¹).coweightMap = (↑(reflection P i)).coweightMap

case refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ (↑(reflection P i)⁻¹).indexEquiv = (↑(reflection P i)).indexEquiv
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, ⋯⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, ⋯⟩
li : S := (P.posRootForm S).rootLength i
lj : S := (P.posRootForm S).rootLength j
lij : S := ((P.posRootForm S).posForm ri) rj
si : S
hsi : si > 0
hsi' : (algebraMap S R) si = ((P.posRootForm S).form (P.root i)) (P.root i)
sj : S
hsj : sj > 0
hsj' : (algebraMap S R) sj = ((P.posRootForm S).form (P.root j)) (P.root j)
⊢ (algebraMap S R) si = (algebraMap S R) li

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, ⋯⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, ⋯⟩
li : S := (P.posRootForm S).rootLength i
lj : S := (P.posRootForm S).rootLength j
lij : S := ((P.posRootForm S).posForm ri) rj
si : S
hsi : si > 0
hsi' : (algebraMap S R) si = ((P.posRootForm S).form (P.root i)) (P.root i)
sj : S
hsj : sj > 0
hsj' : (algebraMap S R) sj = ((P.posRootForm S).form (P.root j)) (P.root j)
⊢ (algebraMap S R) si = ((P.posRootForm S).form (P.root i)) (P.root i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, ⋯⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, ⋯⟩
li : S := (P.posRootForm S).rootLength i
lj : S := (P.posRootForm S).rootLength j
lij : S := ((P.posRootForm S).posForm ri) rj
si : S
hsi : si > 0
sj : S
hsj : sj > 0
hsj' : (algebraMap S R) sj = ((P.posRootForm S).form (P.root j)) (P.root j)
hsi' : si = li
⊢ (algebraMap S R) sj = (algebraMap S R) lj

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, ⋯⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, ⋯⟩
li : S := (P.posRootForm S).rootLength i
lj : S := (P.posRootForm S).rootLength j
lij : S := ((P.posRootForm S).posForm ri) rj
si : S
hsi : si > 0
sj : S
hsj : sj > 0
hsj' : (algebraMap S R) sj = ((P.posRootForm S).form (P.root j)) (P.root j)
hsi' : si = li
⊢ (algebraMap S R) sj = ((P.posRootForm S).form (P.root j)) (P.root j)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⋯
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⋯
li : S := ⋯
lj : S := ⋯
lij : S := ⋯
si : S
hsi : li > 0
sj : S
hsj : lj > 0
hsi' : si = li
hsj' : sj = lj
cs : 4 * lij ^ 2 ≤ 4 * (li * lj)
⊢ (algebraMap S R) (4 • lij ^ 2) = (algebraMap S R) (P.coxeterWeightIn S i j • (li * lj))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, ⋯⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, ⋯⟩
li : S := (P.posRootForm S).rootLength i
lj : S := (P.posRootForm S).rootLength j
lij : S := ((P.posRootForm S).posForm ri) rj
si : S
hsi : li > 0
sj : S
hsj : lj > 0
hsi' : si = li
hsj' : sj = lj
cs : 4 * lij ^ 2 ≤ 4 * (li * lj)
⊢ 4 * (P.RootForm (P.root i)) (P.root j) ^ 2 =
    P.coxeterWeight i j * ((P.RootForm (P.root i)) (P.root i) * (P.RootForm (P.root j)) (P.root j))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
this : Fintype ι
⊢ 0 ≤ P.coxeterWeightIn ℤ i j

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
this : Fintype ι
⊢ 0 ≤ P.coxeterWeightIn ℤ i j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
⊢ P.pairingIn ℤ i j = 0 ↔ P.pairingIn ℤ j i = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
⊢ P.pairingIn ℤ i j = 0 ↔ P.pairingIn ℤ j i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : NeZero 2
contra : b.support = ∅
inhabited_h : Inhabited ι
⊢ False

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : NeZero 2
contra : b.support = ∅
inhabited_h : Inhabited ι
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
this : {↑j, ↑i} ⊆ ↑b.support
⊢ LinearIndepOn R id (range ![P.root ↑i, P.root ↑j])

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
this : {↑j, ↑i} ⊆ ↑b.support
⊢ LinearIndepOn R id {P.root ↑j, P.root ↑i}