mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
this : (descPochhammer ℤ (n + 1)).comp (X - 1) = descPochhammer ℤ (n + 1) - (↑n + 1) * (descPochhammer ℤ n).comp (X - 1)
⊢ (descPochhammer R (n + 1)).comp (X - 1) = descPochhammer R (n + 1) - (↑n + 1) • (descPochhammer R n).comp (X - 1)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
this : (descPochhammer ℤ (n + 1)).comp (X - 1) = descPochhammer ℤ (n + 1) - (↑n + 1) * (descPochhammer ℤ n).comp (X - 1)
⊢ (descPochhammer R (n + 1)).comp (X - 1) = descPochhammer R (n + 1) - (↑n + 1) * (descPochhammer R n).comp (X - 1)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : CharZero R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsRootSystem
inst✝² : P.IsCrystallographic
inst✝¹ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
f : M ≃ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ↥b.support), f (P.root ↑i) = P₂.root ↑(e i)
m : M
hm : m ∈ range ⇑P.root
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
k j : ↥b.support
⊢ P₂.pairing ↑(e j) ↑(e k) = P.pairing ↑j ↑k

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : CharZero R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsRootSystem
inst✝² : P.IsCrystallographic
inst✝¹ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
f : M ≃ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ↥b.support), f (P.root ↑i) = P₂.root ↑(e i)
m : M
hm : m ∈ range ⇑P.root
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
k j : ↥b.support
⊢ P₂.pairing ↑(e j) ↑(e k) = P.pairing ↑j ↑k
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : CharZero R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsRootSystem
inst✝² : P.IsCrystallographic
inst✝¹ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
f : M ≃ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ↥b.support), f (P.root ↑i) = P₂.root ↑(e i)
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
this : ∀ (k : ↥b.support), P.reflection ↑k ≪≫ₗ f = f ≪≫ₗ P₂.reflection ↑(e k)
i j k : ι
l : ι₂
hl : P₂.root l = f (P.root j)
hk : k ∈ b.support
⊢ f ((P.reflection k) (P.root j)) = (P₂.reflection ↑(e ⟨k, hk⟩)) (f (P.root j))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : CharZero R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsRootSystem
inst✝² : P.IsCrystallographic
inst✝¹ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
f : M ≃ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ↥b.support), f (P.root ↑i) = P₂.root ↑(e i)
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
this : ∀ (k : ↥b.support), P.reflection ↑k ≪≫ₗ f = f ≪≫ₗ P₂.reflection ↑(e k)
i j k : ι
l : ι₂
hl : P₂.root l = f (P.root j)
hk : k ∈ b.support
⊢ f ((P.reflection k) (P.root j)) = (P₂.reflection ↑(e ⟨k, hk⟩)) (f (P.root j))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝²² : CommRing R
inst✝²¹ : AddCommGroup M
inst✝²⁰ : Module R M
inst✝¹⁹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁸ : Module R N
S : Type u_5
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra S R
P✝ : RootPairing ι R M N
inst✝¹⁵ : P✝.IsValuedIn S
b✝ : P✝.Base
inst✝¹⁴ : P✝.IsCrystallographic
inst✝¹³ : CharZero R
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₂
inst✝⁹ : Module R M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : P.IsRootSystem
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝³ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
inst✝² : Finite ι₂
inst✝¹ : P₂.IsRootSystem
inst✝ : P₂.IsReduced
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
f : M ≃ₗ[R] M₂ := b.toWeightBasis.equiv b₂.toWeightBasis e
m : M
h : f m ∈ range ⇑P₂.root
⊢ m ∈ range ⇑P.root

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝²² : CommRing R
inst✝²¹ : AddCommGroup M
inst✝²⁰ : Module R M
inst✝¹⁹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁸ : Module R N
S : Type u_5
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra S R
P✝ : RootPairing ι R M N
inst✝¹⁵ : P✝.IsValuedIn S
b✝ : P✝.Base
inst✝¹⁴ : P✝.IsCrystallographic
inst✝¹³ : CharZero R
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₂
inst✝⁹ : Module R M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : P.IsRootSystem
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝³ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
inst✝² : Finite ι₂
inst✝¹ : P₂.IsRootSystem
inst✝ : P₂.IsReduced
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
f : M ≃ₗ[R] M₂ := b.toWeightBasis.equiv b₂.toWeightBasis e
m : M
h : f m ∈ range ⇑P₂.root
⊢ ∃ y, P.root y = m
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : CharZero K
a b : ℕ
⊢ ↑(a.descFactorial b) = eval (↑a) (descPochhammer K b)

Tactic:
descPochhammer_eval_eq_descFactorial

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : CharZero K
a b : ℕ
⊢ ↑(a.descFactorial b) = ↑(a.descFactorial b)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
h₁ :
  ↑(LieSubalgebra.map (prod eι b₁ b₂).incl (prodCartan eι b₁ b₂)) =
    ↑(lieSpan R (L₁ × L₂) {x | ∃ i, (b₁.h i, b₂.h (eι i)) = x})
h₂ :
  (lieSpan R (L₁ × L₂) {x | ∃ i, (b₁.h i, b₂.h (eι i)) = x}).toSubmodule = span R {x | ∃ i, (b₁.h i, b₂.h (eι i)) = x}
⊢ Submodule.map (LinearMap.fst R L₁ L₂) (span R {x | ∃ i, (b₁.h i, b₂.h (eι i)) = x}) = span R (Set.range b₁.h)

Tactic:
rw [Submodule.map_span]; congr; ext; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
h_deg_le : f.degree ≤ ↑(#s)
h_deg_eq : f.degree = g.degree
hlc : f.leadingCoeff = g.leadingCoeff
h_eval : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g
hf : f ≠ 0
⊢ f = g

Tactic:
exact eq_of_degree_sub_lt_of_eval_finset_eq s
      (lt_of_lt_of_le (degree_sub_lt_left h_deg_eq hf hlc) h_deg_le) h_eval

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Vandermonde

Goal state before:
pp: K : Type u_2
inst✝ : Field K
n✝ n : ℕ
ih : ∀ (v w : Fin n → K), (projVandermonde v w).det = ∏ i, ∏ j > i, (v j * w i - v i * w j)
v w : Fin (n + 1) → K
h0 : w 0 ≠ 0
r : K := v 0 / w 0
hr : r = v 0 / w 0
W : Matrix (Fin (n + 1)) (Fin (n + 1)) K :=
  of fun i ↦
    Fin.cons (projVandermonde v w i 0) fun j ↦ projVandermonde v w i j.succ - r * projVandermonde v w i j.castSucc
hW_eq : W.submatrix succ succ = of fun i j ↦ (v i.succ - r * w i.succ) * projVandermonde (v ∘ succ) (w ∘ succ) i j
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
⊢ projVandermonde v w i j.succ = W i j.succ + r * projVandermonde v w i j.castSucc

Tactic:
by simp [W, r, projVandermonde_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : x ≠ y
⊢ basisDivisor x y + basisDivisor y x = Lagrange.basis {x, y} id x + Lagrange.basis {x, y} id y

Tactic:
basis_pair_left hxy,

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : x ≠ y
⊢ basisDivisor x y + basisDivisor y x = basisDivisor (id x) (id y) + Lagrange.basis {x, y} id y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ (∏ j ∈ s.erase i, (X - C (v j))).coeff (#s - 1) = 1

Tactic:
simpa using

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ (∏ j ∈ s.erase i, (X - C (v j))).coeff (#s - 1) = 1
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
L : LieSubalgebra R (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₁ : ↥L →ₗ⁅R⁆ L₁ := (LieHom.fst R L₁ L₂).comp L.incl
h₁ : range b₁.e = range (⇑p₁ ∘ prodE eι b₁ b₂)
h₂ : range b₁.f = range (⇑p₁ ∘ prodF eι b₁ b₂)
⊢ ⊤ ≤ p₁.range

Tactic:
← b₁.span_ef,

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
L : LieSubalgebra R (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₁ : ↥L →ₗ⁅R⁆ L₁ := (LieHom.fst R L₁ L₂).comp L.incl
h₁ : range b₁.e = range (⇑p₁ ∘ prodE eι b₁ b₂)
h₂ : range b₁.f = range (⇑p₁ ∘ prodF eι b₁ b₂)
⊢ lieSpan R L₁ (range b₁.e ∪ range b₁.f) ≤ p₁.range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: case pos
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
i : ι
hi : i ∈ s
hr : r i = 0
⊢ (C (r i)).degree + ↑(#s - 1) ≤ ↑(#s - 1)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case pos
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
i : ι
hi : i ∈ s
hr : r i = 0
⊢ ⊥ ≤ ↑(#s - 1)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
y : ↥(prod eι b₁ b₂)
x : ↥H₁
this✝ : IsLieAbelian ↥H₁
i : ι₁
this : ⁅b₁.h' i, x⁆ = 0
⊢ ⁅(↑⟨(b₁.h i, b₂.h (eι i)), ⋯⟩).1, ↑x⁆ = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
y : ↥(prod eι b₁ b₂)
x : ↥H₁
this✝ : IsLieAbelian ↥H₁
i : ι₁
this : ⁅b₁.h' i, x⁆ = 0
⊢ ⁅b₁.h i, ↑x⁆ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι₁
inst✝⁹ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁸ : LieRing L₁
inst✝⁷ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L₁
inst✝³ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝² : LieAlgebra K L₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝ : Nontrivial L₂
this✝³ : Fintype ι₁
this✝² : Fintype ι₂
this✝¹ : H₁.IsCartanSubalgebra
this✝ : H₂.IsCartanSubalgebra
this : (prodCartan eι b₁ b₂).IsCartanSubalgebra
contra : prod eι b₁ b₂ = ⊤
x : ↥H₁ × ↥H₂
hx : (↑x.1, ↑x.2) ∈ prod eι b₁ b₂
x✝ : ↥(prodCartan eι b₁ b₂)
y : ↥(prod eι b₁ b₂)
hy : y ∈ prodCartan eι b₁ b₂
⊢ (((LieModule.toEnd K ↥(prodCartan eι b₁ b₂) ↥(prod eι b₁ b₂)) ⟨y, hy⟩ - 0 ⟨y, hy⟩ • 1) ^ 1) ⟨(↑x.1, ↑x.2), hx⟩ = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι₁
inst✝⁹ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁸ : LieRing L₁
inst✝⁷ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L₁
inst✝³ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝² : LieAlgebra K L₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝ : Nontrivial L₂
this✝³ : Fintype ι₁
this✝² : Fintype ι₂
this✝¹ : H₁.IsCartanSubalgebra
this✝ : H₂.IsCartanSubalgebra
this : (prodCartan eι b₁ b₂).IsCartanSubalgebra
contra : prod eι b₁ b₂ = ⊤
x : ↥H₁ × ↥H₂
hx : (↑x.1, ↑x.2) ∈ prod eι b₁ b₂
x✝ : ↥(prodCartan eι b₁ b₂)
y : ↥(prod eι b₁ b₂)
hy : y ∈ prodCartan eι b₁ b₂
⊢ ⁅(↑y).1, ↑x.1⁆ = 0 ∧ ⁅(↑y).2, ↑x.2⁆ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι₁
inst✝⁹ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁸ : LieRing L₁
inst✝⁷ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L₁
inst✝³ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝² : LieAlgebra K L₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝ : Nontrivial L₂
this✝⁴ : Fintype ι₁
this✝³ : Fintype ι₂
this✝² : H₁.IsCartanSubalgebra
this✝¹ : H₂.IsCartanSubalgebra
this✝ : (prodCartan eι b₁ b₂).IsCartanSubalgebra
contra : prod eι b₁ b₂ = ⊤
this : ∀ (x : ↥H₁ × ↥H₂) (hx : (↑x.1, ↑x.2) ∈ prod eι b₁ b₂), ⟨(↑x.1, ↑x.2), hx⟩ ∈ prodCartan eι b₁ b₂
f : ↥H₁ × ↥H₂ →ₗ[K] ↥(prodCartan eι b₁ b₂) := { toFun := fun x ↦ ⟨⟨(↑x.1, ↑x.2), ⋯⟩, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
x y : ↥H₁ × ↥H₂
h : f x = f y
⊢ x = y

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι₁
inst✝⁹ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁸ : LieRing L₁
inst✝⁷ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L₁
inst✝³ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝² : LieAlgebra K L₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝ : Nontrivial L₂
this✝⁴ : Fintype ι₁
this✝³ : Fintype ι₂
this✝² : H₁.IsCartanSubalgebra
this✝¹ : H₂.IsCartanSubalgebra
this✝ : (prodCartan eι b₁ b₂).IsCartanSubalgebra
contra : prod eι b₁ b₂ = ⊤
this : ∀ (x : ↥H₁ × ↥H₂) (hx : (↑x.1, ↑x.2) ∈ prod eι b₁ b₂), ⟨(↑x.1, ↑x.2), hx⟩ ∈ prodCartan eι b₁ b₂
f : ↥H₁ × ↥H₂ →ₗ[K] ↥(prodCartan eι b₁ b₂) := { toFun := fun x ↦ ⟨⟨(↑x.1, ↑x.2), ⋯⟩, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
x y : ↥H₁ × ↥H₂
h : f x = f y
⊢ x.1 = y.1 ∧ x.2 = y.2
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι₁
inst✝¹⁰ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁹ : LieRing L₁
inst✝⁸ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L₁
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝³ : LieAlgebra K L₂
inst✝² : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝¹ : IsSimple K L₁
inst✝ : IsSimple K L₂
L : LieSubalgebra K (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₁ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₁ := (LieHom.fst K L₁ L₂).comp L.incl
p₂ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₂ := (LieHom.snd K L₁ L₂).comp L.incl
disj : Disjoint p₁.ker p₂.ker
I₁ : LieIdeal K L₂ := LieIdeal.map p₂ p₁.ker
this✝ : Nontrivial L₂
hI₁ : ↑I₁ = ⇑p₂ '' ↑p₁.ker
x₂ : L₂
this : x₂ ∈ ↑I₁
⊢ (0, x₂) ∈ L

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι₁
inst✝¹⁰ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁹ : LieRing L₁
inst✝⁸ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L₁
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝³ : LieAlgebra K L₂
inst✝² : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝¹ : IsSimple K L₁
inst✝ : IsSimple K L₂
L : LieSubalgebra K (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₁ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₁ := (LieHom.fst K L₁ L₂).comp L.incl
p₂ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₂ := (LieHom.snd K L₁ L₂).comp L.incl
disj : Disjoint p₁.ker p₂.ker
I₁ : LieIdeal K L₂ := LieIdeal.map p₂ p₁.ker
this✝ : Nontrivial L₂
hI₁ : ↑I₁ = ⇑p₂ '' ↑p₁.ker
x₂ : L₂
this : x₂ ∈ ↑I₁
⊢ (0, x₂) ∈ L
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι₁
inst✝¹⁰ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁹ : LieRing L₁
inst✝⁸ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L₁
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝³ : LieAlgebra K L₂
inst✝² : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝¹ : IsSimple K L₁
inst✝ : IsSimple K L₂
L : LieSubalgebra K (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₁ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₁ := (LieHom.fst K L₁ L₂).comp L.incl
p₂ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₂ := (LieHom.snd K L₁ L₂).comp L.incl
disj : Disjoint p₁.ker p₂.ker
I₁ : LieIdeal K L₂ := LieIdeal.map p₂ p₁.ker
this✝ : Nontrivial L₂
this : I₁ = ⊤
hI₁ : ↑I₁ = ⇑p₂ '' ↑p₁.ker
hL₂ : ∀ (x₂ : L₂), (0, x₂) ∈ L
fst✝ : L₁
y : L₂
hy : (fst✝, y) ∈ L
⊢ (p₁ ⟨(fst✝, y), hy⟩, 0) ∈ L

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι₁
inst✝¹⁰ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁹ : LieRing L₁
inst✝⁸ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L₁
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝³ : LieAlgebra K L₂
inst✝² : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝¹ : IsSimple K L₁
inst✝ : IsSimple K L₂
L : LieSubalgebra K (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₁ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₁ := (LieHom.fst K L₁ L₂).comp L.incl
p₂ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₂ := (LieHom.snd K L₁ L₂).comp L.incl
disj : Disjoint p₁.ker p₂.ker
I₁ : LieIdeal K L₂ := LieIdeal.map p₂ p₁.ker
this✝ : Nontrivial L₂
this : I₁ = ⊤
hI₁ : ↑I₁ = ⇑p₂ '' ↑p₁.ker
hL₂ : ∀ (x₂ : L₂), (0, x₂) ∈ L
fst✝ : L₁
y : L₂
hy : (fst✝, y) ∈ L
⊢ (fst✝, 0) ∈ L
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι₁
inst✝¹⁰ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁹ : LieRing L₁
inst✝⁸ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L₁
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝³ : LieAlgebra K L₂
inst✝² : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝¹ : IsSimple K L₁
inst✝ : IsSimple K L₂
L : LieSubalgebra K (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₁ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₁ := (LieHom.fst K L₁ L₂).comp L.incl
p₂ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₂ := (LieHom.snd K L₁ L₂).comp L.incl
disj : Disjoint p₁.ker p₂.ker
I₁ : LieIdeal K L₂ := LieIdeal.map p₂ p₁.ker
this✝ : Nontrivial L₂
this : I₁ = ⊤
hI₁ : ↑I₁ = ⇑p₂ '' ↑p₁.ker
hL₂ : ∀ (x₂ : L₂), (0, x₂) ∈ L
hL₁ : ∀ (x₁ : L₁), (x₁, 0) ∈ L
x₁ : L₁
x₂ : L₂
⊢ (x₁, x₂) ∈ prod eι b₁ b₂

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι₁
inst✝¹⁰ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁹ : LieRing L₁
inst✝⁸ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L₁
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝³ : LieAlgebra K L₂
inst✝² : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝¹ : IsSimple K L₁
inst✝ : IsSimple K L₂
L : LieSubalgebra K (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₁ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₁ := (LieHom.fst K L₁ L₂).comp L.incl
p₂ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₂ := (LieHom.snd K L₁ L₂).comp L.incl
disj : Disjoint p₁.ker p₂.ker
I₁ : LieIdeal K L₂ := LieIdeal.map p₂ p₁.ker
this✝ : Nontrivial L₂
this : I₁ = ⊤
hI₁ : ↑I₁ = ⇑p₂ '' ↑p₁.ker
hL₂ : ∀ (x₂ : L₂), (0, x₂) ∈ L
hL₁ : ∀ (x₁ : L₁), (x₁, 0) ∈ L
x₁ : L₁
x₂ : L₂
⊢ (x₁, x₂) ∈ prod eι b₁ b₂
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Monad

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R
j : τ
h : j ∈ ((bind₁ f) φ).vars
⊢ ∃ i ∈ φ.vars, j ∈ (f i).vars

Tactic:
simpa using

Goal state after:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R
j : τ
h : j ∈ ((bind₁ f) φ).vars
⊢ ∃ i ∈ φ.vars, j ∈ (f i).vars
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Charpoly.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : Module.End R M
μ : R
⊢ charpoly (f - μ • 1) = (charpoly f).comp (X + C μ)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : Module.End R M
μ : R
⊢ ((toMatrix (chooseBasis R M) (chooseBasis R M)) f - diagonal fun x ↦ μ).charpoly =
    ((toMatrix (chooseBasis R M) (chooseBasis R M)) f).charpoly.comp (X + C μ)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
G : Subgroup Rˣ
inst✝ : Fintype ↥G
h : degree 1 < (X ^ Fintype.card ↥G).degree
i : Rˣ
hi : i ∈ (↑G).toFinset
⊢ i ∈ G

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
G : Subgroup Rˣ
inst✝ : Fintype ↥G
h : degree 1 < (X ^ Fintype.card ↥G).degree
i : Rˣ
hi : i ∈ (↑G).toFinset
⊢ i ∈ G
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Charpoly.ToMatrix

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module.Finite R M₁
inst✝⁴ : Free R M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module.Finite R M₂
inst✝ : Free R M₂
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₂
⊢ (f₁.prodMap f₂).charpoly = f₁.charpoly * f₂.charpoly

Tactic:
by
  let b₁ := chooseBasis R M₁
  let b₂ := chooseBasis R M₂
  let b := b₁.prod b₂
  rw [← charpoly_toMatrix f₁ b₁, ← charpoly_toMatrix f₂ b₂, ← charpoly_toMatrix (f₁.prodMap f₂) b,
    toMatrix_prodMap b₁ b₂ f₁ f₂, Matrix.charpoly_fromBlocks_zero₁₂]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Charpoly.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring M
inst✝² : Algebra R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Free R M
α : M
⊢ (lmul R M) ((aeval α) (LinearMap.charpoly ((lmul R M) α))) = (lmul R M) 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_2
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring M
inst✝² : Algebra R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Free R M
α : M
⊢ (aeval ((LinearMap.mul R M) α)) ((LinearMap.mul R M) α).charpoly = 0