mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : CharZero K
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module K M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝⁴ : P.IsRootSystem
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : P.IsReduced
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : Nonempty ι
U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)
U' : LieSubmodule K (↥H) (↥b.support ⊕ ι → K) := { toSubmodule := ↑U, lie_mem := ⋯ }
hU : ↑U ≤ span K (range u)
x : ↥b.support ⊕ ι → K
hx : x ∈ U
c : ↥b.support → K
hc : ∑ i, c i • u i = x
hCM : c ≠ 0
j : ↥b.support
contra : ¬∑ k, c k * ↑|b.cartanMatrix j k| = 0
key hj : v b ↑j ∈ U
⊢ False

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : CharZero K
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module K M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝⁴ : P.IsRootSystem
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : P.IsReduced
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : Nonempty ι
U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)
U' : LieSubmodule K (↥H) (↥b.support ⊕ ι → K) := { toSubmodule := ↑U, lie_mem := ⋯ }
hU : ↑U ≤ span K (range u)
x : ↥b.support ⊕ ι → K
hx : x ∈ U
c : ↥b.support → K
hc : ∑ i, c i • u i = x
hCM : c ≠ 0
j : ↥b.support
contra : ¬∑ k, c k * ↑|b.cartanMatrix j k| = 0
key hj : v b ↑j ∈ U
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hik_mem : P.root i + P.root k ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root (-k) + P.root j ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
h₁' : P.root (-k) - P.root i = P.root (-l)
h₂' : P.root (-k) + P.root j = P.root (-m)
h₃' : P.root (-k) + P.root j - P.root i ∈ range ⇑P.root
hki : P.pairingIn ℤ k i < 0
hik : chainBotCoeff i k = 0
hkj : P.pairingIn ℤ (-k) j < 0
hjk : chainBotCoeff j (-k) = 0
⊢ 0 < P.pairingIn ℤ k j

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hik_mem : P.root i + P.root k ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root (-k) + P.root j ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
h₁' : P.root (-k) - P.root i = P.root (-l)
h₂' : P.root (-k) + P.root j = P.root (-m)
h₃' : P.root (-k) + P.root j - P.root i ∈ range ⇑P.root
hki : P.pairingIn ℤ k i < 0
hik : chainBotCoeff i k = 0
hkj : P.pairingIn ℤ (-k) j < 0
hjk : chainBotCoeff j (-k) = 0
⊢ 0 < P.pairingIn ℤ k j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hik_mem : P.root i + P.root k ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root (-k) + P.root j ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
h₁' : P.root (-k) - P.root i = P.root (-l)
h₂' : P.root (-k) + P.root j = P.root (-m)
h₃' : P.root (-k) + P.root j - P.root i ∈ range ⇑P.root
hki : P.pairingIn ℤ k i < 0
hik : chainBotCoeff i k = 0
hkj : P.pairingIn ℤ (-k) j < 0
hjk : chainBotCoeff j (-k) = 0
aux₁ : ¬(chainBotCoeff i m = 1 ∧ chainBotCoeff j (-l) = 0)
⊢ ¬(chainBotCoeff j (-l) = 1 ∧ chainBotCoeff i m = 0)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hik_mem : P.root i + P.root k ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root (-k) + P.root j ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
h₁' : P.root (-k) - P.root i = P.root (-l)
h₂' : P.root (-k) + P.root j = P.root (-m)
h₃' : P.root (-k) + P.root j - P.root i ∈ range ⇑P.root
hki : P.pairingIn ℤ k i < 0
hik : chainBotCoeff i k = 0
hkj : P.pairingIn ℤ (-k) j < 0
hjk : chainBotCoeff j (-k) = 0
aux₁ : ¬(chainBotCoeff i m = 1 ∧ chainBotCoeff j (-l) = 0)
⊢ chainTopCoeff j l = 1 → ¬chainBotCoeff i m = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case ι
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
motive : SymmetricAlgebra R M → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), motive ((Algebra.algebraMap R (SymmetricAlgebra R M)) r)
ι : ∀ (x : M), motive ((SymmetricAlgebra.ι R M) x)
mul : ∀ (a b : SymmetricAlgebra R M), motive a → motive b → motive (a * b)
add : ∀ (a b : SymmetricAlgebra R M), motive a → motive b → motive (a + b)
x : M
⊢ motive ((algHom R M) ((TensorAlgebra.ι R) x))

Tactic:
exact ι x

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorAlgebra.Grading

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : M
⊢ (TensorAlgebra.ι R) m ∈ (TensorAlgebra.ι R).range ^ 1

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : M
⊢ (TensorAlgebra.ι R) m ∈ (TensorAlgebra.ι R).range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x : R
⊢ algebraMapInv ((algebraMap R (SymmetricAlgebra R M)) x) = x

Tactic:
simp [algebraMapInv]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
e : SymmetricAlgebra R M ≃ₐ[R] A
he : ↑↑e ∘ₗ SymmetricAlgebra.ι R M = f
x : M
⊢ (↑↑e ∘ₗ SymmetricAlgebra.ι R M) x = (↑(SymmetricAlgebra.lift f) ∘ₗ SymmetricAlgebra.ι R M) x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
e : SymmetricAlgebra R M ≃ₐ[R] A
he : ↑↑e ∘ₗ SymmetricAlgebra.ι R M = f
x : M
⊢ e ((SymmetricAlgebra.ι R M) x) = f x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
A' : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring A'
inst✝ : Algebra R A'
h : IsSymmetricAlgebra f
F G : A →ₐ[R] A'
hFG : ↑F ∘ₗ f = ↑G ∘ₗ f
x : M
⊢ (↑(F.comp ↑h.equiv) ∘ₗ SymmetricAlgebra.ι R M) x = (↑(G.comp ↑h.equiv) ∘ₗ SymmetricAlgebra.ι R M) x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
A' : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring A'
inst✝ : Algebra R A'
h : IsSymmetricAlgebra f
F G : A →ₐ[R] A'
hFG : ↑F ∘ₗ f = ↑G ∘ₗ f
x : M
⊢ F (f x) = G (f x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case algebraMap
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
h : IsSymmetricAlgebra f
motive : A → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), motive ((Algebra.algebraMap R A) r)
ι : ∀ (x : M), motive (f x)
mul : ∀ (a b : A), motive a → motive b → motive (a * b)
add : ∀ (a b : A), motive a → motive b → motive (a + b)
a : A
r : R
⊢ motive ((SymmetricAlgebra.lift f) ((Algebra.algebraMap R (SymmetricAlgebra R M)) r))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case algebraMap
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
h : IsSymmetricAlgebra f
motive : A → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), motive ((Algebra.algebraMap R A) r)
ι : ∀ (x : M), motive (f x)
mul : ∀ (a b : A), motive a → motive b → motive (a * b)
add : ∀ (a b : A), motive a → motive b → motive (a + b)
a : A
r : R
⊢ motive ((Algebra.algebraMap R A) r)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case ι
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
h : IsSymmetricAlgebra f
motive : A → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), motive ((Algebra.algebraMap R A) r)
ι : ∀ (x : M), motive (f x)
mul : ∀ (a b : A), motive a → motive b → motive (a * b)
add : ∀ (a b : A), motive a → motive b → motive (a + b)
a : A
y : M
⊢ motive ((SymmetricAlgebra.lift f) ((SymmetricAlgebra.ι R M) y))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case ι
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
h : IsSymmetricAlgebra f
motive : A → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), motive ((Algebra.algebraMap R A) r)
ι : ∀ (x : M), motive (f x)
mul : ∀ (a b : A), motive a → motive b → motive (a * b)
add : ∀ (a b : A), motive a → motive b → motive (a + b)
a : A
y : M
⊢ motive (f y)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case mul
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
h : IsSymmetricAlgebra f
motive : A → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), motive ((Algebra.algebraMap R A) r)
ι : ∀ (x : M), motive (f x)
mul : ∀ (a b : A), motive a → motive b → motive (a * b)
add : ∀ (a b : A), motive a → motive b → motive (a + b)
a : A
a✝ b✝ : SymmetricAlgebra R M
hx : motive ((SymmetricAlgebra.lift f) a✝)
hy : motive ((SymmetricAlgebra.lift f) b✝)
⊢ motive ((SymmetricAlgebra.lift f) (a✝ * b✝))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case mul
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
h : IsSymmetricAlgebra f
motive : A → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), motive ((Algebra.algebraMap R A) r)
ι : ∀ (x : M), motive (f x)
mul : ∀ (a b : A), motive a → motive b → motive (a * b)
add : ∀ (a b : A), motive a → motive b → motive (a + b)
a : A
a✝ b✝ : SymmetricAlgebra R M
hx : motive ((SymmetricAlgebra.lift f) a✝)
hy : motive ((SymmetricAlgebra.lift f) b✝)
⊢ motive ((SymmetricAlgebra.lift f) a✝ * (SymmetricAlgebra.lift f) b✝)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case add
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
h : IsSymmetricAlgebra f
motive : A → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), motive ((Algebra.algebraMap R A) r)
ι : ∀ (x : M), motive (f x)
mul : ∀ (a b : A), motive a → motive b → motive (a * b)
add : ∀ (a b : A), motive a → motive b → motive (a + b)
a : A
a✝ b✝ : SymmetricAlgebra R M
hx : motive ((SymmetricAlgebra.lift f) a✝)
hy : motive ((SymmetricAlgebra.lift f) b✝)
⊢ motive ((SymmetricAlgebra.lift f) (a✝ + b✝))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case add
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
h : IsSymmetricAlgebra f
motive : A → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), motive ((Algebra.algebraMap R A) r)
ι : ∀ (x : M), motive (f x)
mul : ∀ (a b : A), motive a → motive b → motive (a * b)
add : ∀ (a b : A), motive a → motive b → motive (a + b)
a : A
a✝ b✝ : SymmetricAlgebra R M
hx : motive ((SymmetricAlgebra.lift f) a✝)
hy : motive ((SymmetricAlgebra.lift f) b✝)
⊢ motive ((SymmetricAlgebra.lift f) a✝ + (SymmetricAlgebra.lift f) b✝)
Module: Mathlib.Logic.Godel.GodelBetaFunction

Goal state before:
pp: n m a : ℕ
ha : m - n ∣ a
p : ℕ
pp : Prime p
hn : p ∣ n * a + 1
hm : p ∣ m * a + 1
⊢ p ∣ (m - n) * a

Tactic:
simpa using

Goal state after:
n m a : ℕ
ha : m - n ∣ a
p : ℕ
pp : Prime p
hn : p ∣ n * a + 1
hm : p ∣ m * a + 1
⊢ p ∣ (m - n) * a
Module: Mathlib.Logic.Godel.GodelBetaFunction

Goal state before:
pp: n m a : ℕ
ha : m - n ∣ a
p : ℕ
pp : Prime p
hn : p ∣ n * a + 1
hm : p ∣ m * a + 1
this✝ : p ∣ (m - n) * a
this : p ∣ a
⊢ p = 1

Tactic:
simpa using

Goal state after:
n m a : ℕ
ha : m - n ∣ a
p : ℕ
pp : Prime p
hn : p ∣ n * a + 1
hm : p ∣ m * a + 1
this✝ : p ∣ (m - n) * a
this : p ∣ a
⊢ p = 1
Module: Mathlib.Logic.Godel.GodelBetaFunction

Goal state before:
pp: m : ℕ
a : Fin m → ℕ
i : Fin m
h₁ : a i < supOfSeq a
h₂ : supOfSeq a ≤ (↑i + 1) * (supOfSeq a)! + 1
⊢ a i < coprimes a i

Tactic:
simpa using

Goal state after:
m : ℕ
a : Fin m → ℕ
i : Fin m
h₁ : a i < supOfSeq a
h₂ : supOfSeq a ≤ (↑i + 1) * (supOfSeq a)! + 1
⊢ a i < (↑i + 1) * (supOfSeq a)! + 1
Module: Mathlib.Logic.Godel.GodelBetaFunction

Goal state before:
pp: m✝ m : ℕ
a : Fin m → ℕ
i j : Fin m
hij : i ≠ j
ltij : i < j
hja : ↑j < supOfSeq a
⊢ ↑j + 1 - (↑i + 1) ≤ supOfSeq a

Tactic:
simpa using

Goal state after:
m✝ m : ℕ
a : Fin m → ℕ
i j : Fin m
hij : i ≠ j
ltij : i < j
hja : ↑j < supOfSeq a
⊢ ↑j - ↑i ≤ supOfSeq a
Module: Mathlib.Logic.Godel.GodelBetaFunction

Goal state before:
pp: m : ℕ
l : List ℕ
⊢ (↑Finset.univ).Pairwise (Function.onFun Coprime (coprimes fun x ↦ l[x]))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
m : ℕ
l : List ℕ
⊢ Set.univ.Pairwise (Function.onFun Coprime (coprimes fun x ↦ l[↑x]))
Module: Mathlib.Logic.Godel.GodelBetaFunction

Goal state before:
pp: l : List ℕ
i : Fin l.length
⊢ (unbeta l).beta ↑i = l[i]

Tactic:
simpa using

Goal state after:
l : List ℕ
i : Fin l.length
⊢ ↑(chineseRemainderOfFinset (fun x ↦ l[↑x]) (coprimes fun x ↦ l[↑x]) Finset.univ ⋯ ⋯) %
      ((↑i + 1) * (supOfSeq fun x ↦ l[↑x])! + 1) =
    l[↑i]
Module: Mathlib.Logic.Godel.GodelBetaFunction

Goal state before:
pp: l : List ℕ
i : Fin l.length
⊢ (↑Finset.univ).Pairwise (Function.onFun Coprime (coprimes fun x ↦ l[x]))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
l : List ℕ
i : Fin l.length
⊢ Set.univ.Pairwise (Function.onFun Coprime (coprimes fun x ↦ l[↑x]))
Module: Mathlib.Logic.Hydra

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Std.Irrefl r
s t u : Multiset α
a : α
hr : ∀ (a' : α), ¬r a' a → a' ∉ u
b : α
h : (rᶜ ⊓ fun x1 x2 ↦ x1 ≠ x2) b a
he : count b (s + {a}) = count b (t + u)
⊢ count b s = count b t

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Std.Irrefl r
s t u : Multiset α
a : α
hr : ∀ (a' : α), ¬r a' a → a' ∉ u
b : α
h : (rᶜ ⊓ fun x1 x2 ↦ x1 ≠ x2) b a
he : count b (s + {a}) = count b (t + u)
⊢ count b s = count b t
Module: Mathlib.Logic.Hydra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : α → α → Prop
x' x : α
h✝ : r x' x
a : α
h : a ∈ {x'}
⊢ r a x

Tactic:
rwa [mem_singleton.1 h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Logic.Hydra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : Std.Irrefl r
s : Multiset α
⊢ ¬CutExpand r s 0

Tactic:
rw [cutExpand_iff]

Goal state after:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : Std.Irrefl r
s : Multiset α
⊢ ¬∃ t a, (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ 0 ∧ s = erase 0 a + t
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Transvection.Generation

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e f : V ≃ₗ[K] V
hf : f ∈ dilatransvections K V
| 1 + finrank K ↥(↑e).fixedSubmodule

Tactic:
rw [show e = (e * f) * f⁻¹ by simp]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e f : V ≃ₗ[K] V
hf : f ∈ dilatransvections K V
| 1 + finrank K ↥(↑(e * f * f⁻¹)).fixedSubmodule
Module: Mathlib.Logic.Hydra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : Std.Irrefl r
p : α → Prop
h : ∀ {a' a : α}, r a' a → p a → p a'
s' s : Multiset α
⊢ CutExpand r s' s → (∀ a ∈ s, p a) → ∀ a ∈ s', p a

Tactic:
rw [cutExpand_iff]

Goal state after:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : Std.Irrefl r
p : α → Prop
h : ∀ {a' a : α}, r a' a → p a → p a'
s' s : Multiset α
⊢ (∃ t a, (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s ∧ s' = s.erase a + t) → (∀ a ∈ s, p a) → ∀ a ∈ s', p a
Module: Mathlib.Logic.Hydra

Goal state before:
pp: case cons
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : Std.Irrefl r
a : α
s : Multiset α
ihs : (∀ a ∈ s, Acc (CutExpand r) {a}) → Acc (CutExpand r) s
hs : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, Acc (CutExpand r) {a_1}
⊢ Acc (CutExpand r) ({a} + s)

Tactic:
forall_mem_cons

Goal state after:
case cons
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : Std.Irrefl r
a : α
s : Multiset α
ihs : (∀ a ∈ s, Acc (CutExpand r) {a}) → Acc (CutExpand r) s
hs : Acc (CutExpand r) {a} ∧ ∀ x ∈ s, Acc (CutExpand r) {x}
⊢ Acc (CutExpand r) ({a} + s)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Cylinders

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
hC_univ : ∀ (i : ι), univ ∈ C i
s₁ : Finset ι
t₁ : (i : ι) → Set (α i)
h₁ : t₁ ∈ univ.pi C
s₂ : Finset ι
t₂ : (i : ι) → Set (α i)
h₂ : t₂ ∈ univ.pi C
hst_nonempty : ((↑s₁).pi t₁ ∩ (↑s₂).pi t₂).Nonempty
t₁' : (i : ι) → Set (α i) := s₁.piecewise t₁ fun i ↦ univ
t₂' : (i : ι) → Set (α i) := s₂.piecewise t₂ fun i ↦ univ
h1 : ∀ i ∈ ↑s₁, t₁ i = t₁' i
h1' : ∀ i ∉ ↑s₁, t₁' i = univ
h2 : ∀ i ∈ ↑s₂, t₂ i = t₂' i
h2' : ∀ i ∉ ↑s₂, t₂' i = univ
⊢ ((↑s₁ ∪ ↑s₂).pi fun i ↦ t₁' i ∩ t₂' i) ∈ squareCylinders C

Tactic:
refine ⟨s₁ ∪ s₂, fun i ↦ t₁' i ∩ t₂' i, ?_, ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
hC_univ : ∀ (i : ι), univ ∈ C i
s₁ : Finset ι
t₁ : (i : ι) → Set (α i)
h₁ : t₁ ∈ univ.pi C
s₂ : Finset ι
t₂ : (i : ι) → Set (α i)
h₂ : t₂ ∈ univ.pi C
hst_nonempty : ((↑s₁).pi t₁ ∩ (↑s₂).pi t₂).Nonempty
t₁' : (i : ι) → Set (α i) := s₁.piecewise t₁ fun i ↦ univ
t₂' : (i : ι) → Set (α i) := s₂.piecewise t₂ fun i ↦ univ
h1 : ∀ i ∈ ↑s₁, t₁ i = t₁' i
h1' : ∀ i ∉ ↑s₁, t₁' i = univ
h2 : ∀ i ∈ ↑s₂, t₂ i = t₂' i
h2' : ∀ i ∉ ↑s₂, t₂' i = univ
⊢ (fun i ↦ t₁' i ∩ t₂' i) ∈ univ.pi C

case refine_2
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
hC_univ : ∀ (i : ι), univ ∈ C i
s₁ : Finset ι
t₁ : (i : ι) → Set (α i)
h₁ : t₁ ∈ univ.pi C
s₂ : Finset ι
t₂ : (i : ι) → Set (α i)
h₂ : t₂ ∈ univ.pi C
hst_nonempty : ((↑s₁).pi t₁ ∩ (↑s₂).pi t₂).Nonempty
t₁' : (i : ι) → Set (α i) := s₁.piecewise t₁ fun i ↦ univ
t₂' : (i : ι) → Set (α i) := s₂.piecewise t₂ fun i ↦ univ
h1 : ∀ i ∈ ↑s₁, t₁ i = t₁' i
h1' : ∀ i ∉ ↑s₁, t₁' i = univ
h2 : ∀ i ∈ ↑s₂, t₂ i = t₂' i
h2' : ∀ i ∉ ↑s₂, t₂' i = univ
⊢ ((↑s₁ ∪ ↑s₂).pi fun i ↦ t₁' i ∩ t₂' i) = (↑(s₁ ∪ s₂)).pi fun i ↦ t₁' i ∩ t₂' i
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Projective

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : ↥J) → α ↑j)
h : IsEmpty ((i : ι) → α i)
hP : IsProjectiveMeasureFamily P
I : Finset ι
⊢ P I = 0

Tactic:
obtain ⟨i, hi⟩ := isEmpty_pi.mp h

Goal state after:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : ↥J) → α ↑j)
h : IsEmpty ((i : ι) → α i)
hP : IsProjectiveMeasureFamily P
I : Finset ι
i : ι
hi : IsEmpty (α i)
⊢ P I = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Projective

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : ↥J) → α ↑j)
I J : Finset ι
hP : IsProjectiveMeasureFamily P
S : Set ((i : ↥I) → α ↑i)
T : Set ((i : ↥J) → α ↑i)
hT : MeasurableSet T
h_eq : cylinder I S = cylinder J T
hJI : J ⊆ I
h : IsEmpty ((i : ι) → α i)
⊢ (P I) S = (P J) T

Tactic:
suffices ∀ I, P I univ = 0 by
      simp only [Measure.measure_univ_eq_zero] at this
      simp [this]

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : ↥J) → α ↑j)
I J : Finset ι
hP : IsProjectiveMeasureFamily P
S : Set ((i : ↥I) → α ↑i)
T : Set ((i : ↥J) → α ↑i)
hT : MeasurableSet T
h_eq : cylinder I S = cylinder J T
hJI : J ⊆ I
h : IsEmpty ((i : ι) → α i)
⊢ ∀ (I : Finset ι), (P I) univ = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Projective

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : ↥J) → α ↑j)
I J : Finset ι
hP : IsProjectiveMeasureFamily P
S : Set ((i : ↥I) → α ↑i)
T : Set ((i : ↥J) → α ↑i)
hT : MeasurableSet T
h_eq : cylinder I S = cylinder J T
hJI : J ⊆ I
h : IsEmpty ((i : ι) → α i)
⊢ ∀ (I : Finset ι), (P I) univ = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : ↥J) → α ↑j)
I J : Finset ι
hP : IsProjectiveMeasureFamily P
S : Set ((i : ↥I) → α ↑i)
T : Set ((i : ↥J) → α ↑i)
hT : MeasurableSet T
h_eq : cylinder I S = cylinder J T
hJI : J ⊆ I
h : IsEmpty ((i : ι) → α i)
⊢ ∀ (I : Finset ι), P I = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Transvection.Generation

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
n✝ : ℕ
e : V ≃ₗ[K] V
he : e.fixedReduce = 1
n : ℕ
h : finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) = n + 2
hind :
  ∀ {e : V ≃ₗ[K] V},
    e.fixedReduce = 1 → finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) = n + 1 → e ∈ transvections K V ^ n * dilatransvections K V
f : Dual K V
v : V
hf : (↑e).fixedSubmodule ≤ ker f
hv : f v = 1
hv_notMem : v ∉ (↑e).fixedSubmodule
hv' : v - e v ∈ (↑e).fixedSubmodule
⊢ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker f

Tactic:
simpa using

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
n✝ : ℕ
e : V ≃ₗ[K] V
he : e.fixedReduce = 1
n : ℕ
h : finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) = n + 2
hind :
  ∀ {e : V ≃ₗ[K] V},
    e.fixedReduce = 1 → finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) = n + 1 → e ∈ transvections K V ^ n * dilatransvections K V
f : Dual K V
v : V
hf : (↑e).fixedSubmodule ≤ ker f
hv : f v = 1
hv_notMem : v ∉ (↑e).fixedSubmodule
hv' : v - e v ∈ (↑e).fixedSubmodule
⊢ f (e v) - f v = 0