mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Continuity

Goal state before:
pp: case inr
y : ℝ
hp : 0 < y
A : Tendsto (fun p ↦ rexp (log p.1 * p.2)) (𝓝[≠] 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun p ↦ p.1 ^ p.2) (𝓝[≠] 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)
C : Tendsto (fun p ↦ p.1 ^ p.2) (𝓝[{0}] 0 ×ˢ 𝓝 y) (pure 0)
⊢ ContinuousAt (fun p ↦ p.1 ^ p.2) (0, y)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inr
y : ℝ
hp : 0 < y
A : Tendsto (fun p ↦ rexp (log p.1 * p.2)) (𝓝[≠] 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun p ↦ p.1 ^ p.2) (𝓝[≠] 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)
C : Tendsto (fun p ↦ p.1 ^ p.2) (𝓝[{0}] 0 ×ˢ 𝓝 y) (pure 0)
⊢ Tendsto (fun p ↦ p.1 ^ p.2) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.NNReal

Goal state before:
pp: x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : z ≠ 0
⊢ x ^ z = (y ^ z⁻¹) ^ z ↔ x ^ z = y

Tactic:
← one_div,

Goal state after:
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : z ≠ 0
⊢ x ^ z = (y ^ (1 / z)) ^ z ↔ x ^ z = y
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.NNReal

Goal state before:
pp: x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : z ≠ 0
⊢ (x ^ z⁻¹) ^ z = y ^ z ↔ x = y ^ z

Tactic:
← one_div,

Goal state after:
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : z ≠ 0
⊢ (x ^ (1 / z)) ^ z = y ^ z ↔ x = y ^ z
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Continuity

Goal state before:
pp: case refine_1
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y
this : (fun p ↦ p.1 ^ p.2) = toNNReal ∘ (fun p ↦ p.1 ^ p.2) ∘ fun p ↦ (↑p.1, p.2)
⊢ (↑(x, y).1, (x, y).2).1 ≠ 0 ∨ 0 < (↑(x, y).1, (x, y).2).2

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_1
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y
this : (fun p ↦ p.1 ^ p.2) = toNNReal ∘ (fun p ↦ p.1 ^ p.2) ∘ fun p ↦ (↑p.1, p.2)
⊢ ¬x = 0 ∨ 0 < y
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Continuity

Goal state before:
pp: x y : ℝ≥0
hy : 1 < y
m : ℕ
hm : x < y ^ m
n : ℕ
hn : m + 1 ≤ n
⊢ x ^ (↑n)⁻¹ ≤ y

Tactic:
simpa using

Goal state after:
x y : ℝ≥0
hy : 1 < y
m : ℕ
hm : x < y ^ m
n : ℕ
hn : m + 1 ≤ n
⊢ x ≤ y ^ n
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x y : ℝ
h₁ : 0 ≤ x
h₂ : x ≤ 1
h₃ : y ≤ 1
⊢ x ≤ x ^ y

Tactic:
simpa using

Goal state after:
x y : ℝ
h₁ : 0 ≤ x
h₂ : x ≤ 1
h₃ : y ≤ 1
⊢ x ≤ x ^ y
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x y : ℝ
h₁ : 1 ≤ x
h₂ : 1 ≤ y
⊢ x ≤ x ^ y

Tactic:
simpa using

Goal state after:
x y : ℝ
h₁ : 1 ≤ x
h₂ : 1 ≤ y
⊢ x ≤ x ^ y
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x y : ℝ
h₁ : 0 ≤ x
h₂ : x ≤ 1
h₃ : 1 ≤ y
⊢ x ^ y ≤ x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
x y : ℝ
h₁ : 0 ≤ x
h₂ : x ≤ 1
h₃ : 1 ≤ y
⊢ x ^ y ≤ x
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x y : ℝ
h₁ : 1 ≤ x
h₂ : y ≤ 1
⊢ x ^ y ≤ x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
x y : ℝ
h₁ : 1 ≤ x
h₂ : y ≤ 1
⊢ x ^ y ≤ x
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x y : ℝ
h₁ : 0 < x
h₂ : x < 1
h₃ : y < 1
⊢ x < x ^ y

Tactic:
simpa using

Goal state after:
x y : ℝ
h₁ : 0 < x
h₂ : x < 1
h₃ : y < 1
⊢ x < x ^ y
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x y : ℝ
h₁ : 0 < x
h₂ : x < 1
h₃ : y < 1
⊢ x < x ^ y

Tactic:
simpa only [rpow_one] using rpow_lt_rpow_of_exponent_gt h₁ h₂ h₃

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x y : ℝ
h₁ : 1 < x
h₂ : 1 < y
⊢ x < x ^ y

Tactic:
simpa using

Goal state after:
x y : ℝ
h₁ : 1 < x
h₂ : 1 < y
⊢ x < x ^ y
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x y : ℝ
h₁ : 0 < x
h₂ : x < 1
h₃ : 1 < y
⊢ x ^ y < x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
x y : ℝ
h₁ : 0 < x
h₂ : x < 1
h₃ : 1 < y
⊢ x ^ y < x
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x y : ℝ
h₁ : 0 < x
h₂ : x < 1
h₃ : 1 < y
⊢ x ^ y < x

Tactic:
simpa only [rpow_one] using rpow_lt_rpow_of_exponent_gt h₁ h₂ h₃

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x y : ℝ
h₁ : 1 < x
h₂ : y < 1
⊢ x ^ y < x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
x y : ℝ
h₁ : 1 < x
h₂ : y < 1
⊢ x ^ y < x
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Continuity

Goal state before:
pp: case pos
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
h : 0 < y
hx : x = ∞
⊢ ContinuousAt (fun a ↦ a ^ y) x

Tactic:
rw [hx, ContinuousAt]
    convert! ENNReal.tendsto_rpow_at_top h
    simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Continuity

Goal state before:
pp: y : ℝ
x : ℝ≥0∞
hy : y < 0
z : ℝ
hz : y = -z
⊢ 0 < z

Tactic:
simpa using

Goal state after:
y : ℝ
x : ℝ≥0∞
hy : y < 0
z : ℝ
hz : y = -z
⊢ 0 < z
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.NNReal

Goal state before:
pp: x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 ≤ z
⊢ (x * y) ^ z = x ^ z * y ^ z

Tactic:
simp [hz.not_gt, mul_rpow_eq_ite]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: case inr
x : ℝ
h : x < 0
this : 1 / 2 * π = π / 2
⊢ 0 = x ^ (1 / 2)

Tactic:
rpow_def_of_neg h,

Goal state after:
case inr
x : ℝ
h : x < 0
this : 1 / 2 * π = π / 2
⊢ 0 = rexp (log x * (1 / 2)) * cos (1 / 2 * π)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x : ℂ
⊢ ‖x‖ ^ 2⁻¹ * Real.cos (x.arg / 2) = √((‖x‖ + x.re) / 2)

Tactic:
← one_div,

Goal state after:
x : ℂ
⊢ ‖x‖ ^ (1 / 2) * Real.cos (x.arg / 2) = √((‖x‖ + x.re) / 2)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x : ℂ
hx : 0 ≤ x.im
⊢ ‖x‖ ^ 2⁻¹ * Real.sin (x.arg / 2) = √((‖x‖ - x.re) / 2)

Tactic:
← one_div,

Goal state after:
x : ℂ
hx : 0 ≤ x.im
⊢ ‖x‖ ^ (1 / 2) * Real.sin (x.arg / 2) = √((‖x‖ - x.re) / 2)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x : ℂ
hx : x.im < 0
⊢ ‖x‖ ^ 2⁻¹ * Real.sin (x.arg / 2) = -√((‖x‖ - x.re) / 2)

Tactic:
← one_div,

Goal state after:
x : ℂ
hx : x.im < 0
⊢ ‖x‖ ^ (1 / 2) * Real.sin (x.arg / 2) = -√((‖x‖ - x.re) / 2)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x : ℂ
⊢ |‖x‖ ^ 2⁻¹ * Real.sin (x.arg / 2)| = √((‖x‖ - x.re) / 2)

Tactic:
← one_div,

Goal state after:
x : ℂ
⊢ |‖x‖ ^ (1 / 2) * Real.sin (x.arg / 2)| = √((‖x‖ - x.re) / 2)
Module: Mathlib.Algebra.Order.Algebra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : Algebra α β
inst✝¹ : PosMulMono β
inst✝ : MulPosMono β
h : Monotone ⇑(algebraMap α β)
⊢ Monotone fun x ↦ x • 1

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : Algebra α β
inst✝¹ : PosMulMono β
inst✝ : MulPosMono β
h : Monotone ⇑(algebraMap α β)
⊢ Monotone fun x ↦ (algebraMap α β) x
Module: Mathlib.Algebra.Order.Algebra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : Algebra α β
inst✝¹ : ZeroLEOneClass β
inst✝ : SMulPosMono α β
⊢ Monotone ⇑(algebraMap α β)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : Algebra α β
inst✝¹ : ZeroLEOneClass β
inst✝ : SMulPosMono α β
⊢ Monotone ⇑(algebraMap α β)
Module: Mathlib.Algebra.Order.Algebra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : Algebra α β
inst✝¹ : ZeroLEOneClass β
inst✝ : SMulPosMono α β
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ (algebraMap α β) a

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : Algebra α β
inst✝¹ : ZeroLEOneClass β
inst✝ : SMulPosMono α β
a : α
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ (algebraMap α β) a
Module: Mathlib.Algebra.Order.Algebra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring α
inst✝⁶ : PartialOrder α
inst✝⁵ : Semiring β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : Algebra α β
inst✝² : ZeroLEOneClass β
inst✝¹ : Nontrivial β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
⊢ StrictMono ⇑(algebraMap α β)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring α
inst✝⁶ : PartialOrder α
inst✝⁵ : Semiring β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : Algebra α β
inst✝² : ZeroLEOneClass β
inst✝¹ : Nontrivial β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
⊢ StrictMono ⇑(algebraMap α β)
Module: Mathlib.Algebra.Order.Algebra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring α
inst✝⁶ : PartialOrder α
inst✝⁵ : Semiring β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : Algebra α β
inst✝² : ZeroLEOneClass β
inst✝¹ : Nontrivial β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
a : α
ha : 0 < a
⊢ 0 < (algebraMap α β) a

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring α
inst✝⁶ : PartialOrder α
inst✝⁵ : Semiring β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : Algebra α β
inst✝² : ZeroLEOneClass β
inst✝¹ : Nontrivial β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
a : α
ha : 0 < a
⊢ 0 < (algebraMap α β) a
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Midpoint

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Invertible 2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
p₁ p₂ : P
⊢ p₂ -ᵥ midpoint R p₁ p₂ = ⅟2 • (p₂ -ᵥ p₁)

Tactic:
rw [midpoint_comm, left_vsub_midpoint]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Midpoint

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Invertible 2
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
x : V
⊢ midpoint R (-x) x = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Invertible 2
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
x : V
⊢ midpoint R (-x) x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Ray

Goal state before:
pp: case inr.inl
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : PartialOrder R
inst✝⁴ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
x : M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
r : R
hr : r < 0
h₀ : r • x = 0
⊢ x = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inr.inl
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : PartialOrder R
inst✝⁴ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
x : M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
r : R
hr : r < 0
h₀ : r • x = 0
⊢ x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineMap

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V1
inst✝⁴ : Module k V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V2
inst✝ : AffineSpace V2 P2
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
hgl : g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun ((q -ᵥ p) +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q
⊢ f q = g q

Tactic:
have := f.map_vadd' q (q -ᵥ p)

Goal state after:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V1
inst✝⁴ : Module k V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V2
inst✝ : AffineSpace V2 P2
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
hgl : g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun ((q -ᵥ p) +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q
this : f.toFun ((q -ᵥ p) +ᵥ q) = f.linear (q -ᵥ p) +ᵥ f.toFun q
⊢ f q = g q
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Ray

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsTorsionFree R M
x y : M
hx : x = 0
⊢ SameRay R x y ∨ SameRay R x (-y) ↔ ¬LinearIndependent R ![x, y]

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsTorsionFree R M
x y : M
hx : x = 0
⊢ ¬LinearIndependent R ![0, y]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Ray

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsTorsionFree R M
x y : M
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ SameRay R x y ∨ SameRay R x (-y) ↔ ¬LinearIndependent R ![x, y]

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsTorsionFree R M
x y : M
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ ¬LinearIndependent R ![x, 0]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Ray

Goal state before:
pp: case neg.refine_2.inl.inl
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsTorsionFree R M
x y : M
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
m : Fin (Nat.succ 0).succ → R
hm : m 0 • x = -(m 1 • y)
hmne : ∃ i, m i ≠ 0
hm0 : m 0 < 0
hm1 : m 1 < 0
⊢ SameRay R x y ∨ SameRay R x (-y)

Tactic:
refine
        Or.inr (Or.inr (Or.inr ⟨-m 0, -m 1, Left.neg_pos_iff.2 hm0, Left.neg_pos_iff.2 hm1, ?_⟩))
      linear_combination (norm := module) -hm

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineMap

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V1
inst✝¹ : Module k V1
inst✝ : AffineSpace V1 P1
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ (lineMap p₀ p₁) (1 - c) = (lineMap p₁ p₀) c

Tactic:
by
  rw [lineMap_symm p₀, comp_apply]
  congr
  simp [lineMap_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Segment

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 E
x z : E
x✝ : z ∈ [x -[𝕜] x]
a b : 𝕜
left✝¹ : 0 ≤ a
left✝ : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hz : a • x + b • x = z
⊢ z ∈ {x}

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 E
x z : E
x✝ : z ∈ [x -[𝕜] x]
a b : 𝕜
left✝¹ : 0 ≤ a
left✝ : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hz : a • x + b • x = z
⊢ x = z
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Segment

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring 𝕜
inst✝⁹ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁸ : AddCommMonoid E
inst✝⁷ : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
R : Type u_7
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R 𝕜
inst✝¹ : IsScalarTower R 𝕜 E
inst✝ : SMulPosMono R 𝕜
x y z : E
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hxy : a • x + b • y = z
⊢ ?m.71 + ?m.74 = 1

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring 𝕜
inst✝⁹ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁸ : AddCommMonoid E
inst✝⁷ : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
R : Type u_7
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R 𝕜
inst✝¹ : IsScalarTower R 𝕜 E
inst✝ : SMulPosMono R 𝕜
x y z : E
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hxy : a • x + b • y = z
⊢ ?m.71 + ?m.74 = 1
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Segment

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
R : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : PartialOrder R
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R 𝕜
inst✝² : IsScalarTower R 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial 𝕜
inst✝ : SMulPosStrictMono R 𝕜
x y z : E
a b : R
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hxy : a • x + b • y = z
⊢ ?m.71 + ?m.74 = 1

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
R : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : PartialOrder R
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R 𝕜
inst✝² : IsScalarTower R 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial 𝕜
inst✝ : SMulPosStrictMono R 𝕜
x y z : E
a b : R
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hxy : a • x + b • y = z
⊢ ?m.71 + ?m.74 = 1
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Segment

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : Ring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddRightMono 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝¹ : Nontrivial 𝕜
inst✝ : DenselyOrdered 𝕜
x z : E
x✝ : z ∈ openSegment 𝕜 x x
a b : 𝕜
left✝¹ : 0 < a
left✝ : 0 < b
hab : a + b = 1
hz : a • x + b • x = z
⊢ z ∈ {x}

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : Ring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddRightMono 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝¹ : Nontrivial 𝕜
inst✝ : DenselyOrdered 𝕜
x z : E
x✝ : z ∈ openSegment 𝕜 x x
a b : 𝕜
left✝¹ : 0 < a
left✝ : 0 < b
hab : a + b = 1
hz : a • x + b • x = z
⊢ x = z
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Segment

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
y z : E
θ : 𝕜
hθ₀ : 0 ≤ θ
hθ₁ : θ ≤ 1
⊢ SameRay 𝕜 ((fun θ ↦ y + θ • (z - y)) θ - y) (z - (fun θ ↦ y + θ • (z - y)) θ)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
y z : E
θ : 𝕜
hθ₀ : 0 ≤ θ
hθ₁ : θ ≤ 1
⊢ SameRay 𝕜 (θ • (z - y)) (z - y - θ • (z - y))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Ray

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 < r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R y x

Tactic:
simp_rw [eq_comm (a := x)]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 < r ∧ r • y = x) ↔ SameRay R y x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Ray

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hy : y ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 < r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R y x ∧ x ≠ 0

Tactic:
simp_rw [eq_comm (a := x)]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hy : y ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 < r ∧ r • y = x) ↔ SameRay R y x ∧ x ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineMap

Goal state before:
pp: k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : Module k V1
inst✝¹ : IsTorsionFree k V1
inst✝ : IsCancelMulZero k
c : P1
r : k
hr : r ≠ 0
x✝¹ x✝ : P1
h : (homothety c r) x✝¹ = (homothety c r) x✝
⊢ x✝¹ = x✝

Tactic:
simpa using

Goal state after:
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : Module k V1
inst✝¹ : IsTorsionFree k V1
inst✝ : IsCancelMulZero k
c : P1
r : k
hr : r ≠ 0
x✝¹ x✝ : P1
h : (homothety c r) x✝¹ = (homothety c r) x✝
⊢ x✝¹ = x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Ray

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hy : y ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 ≤ r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R y x

Tactic:
simp_rw [eq_comm (a := x)]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hy : y ≠ 0
⊢ (∃ r, 0 ≤ r ∧ r • y = x) ↔ SameRay R y x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hx : x ∈ s
⊢ StarConvex 𝕜 x s ↔ ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s

Tactic:
by
  refine ⟨fun h y hy a b ha hb hab => h hy ha.le hb.le hab, ?_⟩
  intro h y hy a b ha hb hab
  obtain rfl | ha := ha.eq_or_lt
  · rw [zero_add] at hab
    rwa [hab, one_smul, zero_smul, zero_add]
  obtain rfl | hb := hb.eq_or_lt
  · rw [add_zero] at hab
    rwa [hab, one_smul, zero_smul, add_zero]
  exact h hy ha hb hab

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
x z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 (z + x) s
⊢ StarConvex 𝕜 x ((fun x ↦ x + z) ⁻¹' s)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
x z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 (z + x) s
⊢ StarConvex 𝕜 x ((fun x ↦ z + x) ⁻¹' s)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
c : 𝕜
⊢ StarConvex 𝕜 0 (c • s)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
c : 𝕜
⊢ StarConvex 𝕜 0 (c • s)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
⊢ vectorSpan k s = ⊥ ↔ s.Subsingleton

Tactic:
refine ⟨fun h ↦ ?_, vectorSpan_of_subsingleton _⟩
  by_contra hns
  rw [Set.not_subsingleton_iff] at hns
  obtain ⟨p, hp, q, hq, hpq⟩ := hns
  have hpq' := vsub_mem_vectorSpan k hp hq
  simp_all

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddRightMono 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMulWithZero 𝕜 E
s : Set E
x : E
x✝ : x ∈ s
h : ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • 0 + b • x ∈ s
a : 𝕜
ha₀ : 0 ≤ a
ha₁ : a ≤ 1
⊢ a • x ∈ s

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddRightMono 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMulWithZero 𝕜 E
s : Set E
x : E
x✝ : x ∈ s
h : ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • 0 + b • x ∈ s
a : 𝕜
ha₀ : 0 ≤ a
ha₁ : a ≤ 1
⊢ a • x ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Segment

Goal state before:
pp: case inr.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
x y z : 𝕜
hxz : 0 ≤ z - x
hyz : 0 ≤ y - z
h : 0 < y - x
⊢ (y - z) / (y - x) + (z - x) / (y - x) = 1

Tactic:
rw [← add_div, sub_add_sub_cancel, div_self h.ne']

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddRightMono 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : x + y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
h : x + t • y = (1 - t) • x + t • (x + y)
⊢ (1 - t) • x + t • (x + y) ∈ s

Tactic:
exact hs hy (sub_nonneg_of_le ht₁) ht₀ (sub_add_cancel _ _)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddRightMono 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
⊢ t • x ∈ s

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddRightMono 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
⊢ t • x ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddRightMono 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
⊢ 0 + x ∈ s

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddRightMono 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
⊢ x ∈ s