mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.1} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.1} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen[instTopologicalSpaceProd] t
ht : Bornology.IsBounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.1} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : dist p q₀.1 < ε
hps : p ∈ s
hx : x ∈ k
⊢ dist (p, x) (q₀.1, x) < ε

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.1} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.1} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen[instTopologicalSpaceProd] t
ht : Bornology.IsBounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.1} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : dist p q₀.1 < ε
hps : p ∈ s
hx : x ∈ k
⊢ dist p q₀.1 < ε
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.NormedSpace

Goal state before:
pp: F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
g : ℝ → F
a : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ), g (x * a) = |a⁻¹| • ∫ (y : ℝ), g y

Tactic:
simpa using

Goal state after:
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
g : ℝ → F
a : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ), g (a * x) = |a⁻¹| • ∫ (y : ℝ), g y
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.NormedSpace

Goal state before:
pp: F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
g : ℝ → F
a : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ), g (x * a⁻¹) = |a| • ∫ (y : ℝ), g y

Tactic:
simpa using

Goal state after:
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
g : ℝ → F
a : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ), g (x * a⁻¹) = |a| • ∫ (y : ℝ), g y
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.NormedSpace

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
this : ∀ {g : E → F}, Integrable g μ → ∀ {S : ℝ}, S ≠ 0 → Integrable (fun x ↦ g (S • x)) μ
⊢ Integrable (fun x ↦ f (R • x)) μ ↔ Integrable f μ

Tactic:
refine ⟨fun hf => ?_, fun hf => this hf hR⟩
    convert! this hf (inv_ne_zero hR)
    rw [← mul_smul, mul_inv_cancel₀ hR, one_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.NormedSpace

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
hg : Integrable g μ
S : ℝ
hS : S ≠ 0
t : E ≃ᵐ E := (Homeomorph.smul ⋯.unit).toMeasurableEquiv
⊢ ENNReal.ofReal |(S ^ finrank ℝ E)⁻¹| ≠ 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
hg : Integrable g μ
S : ℝ
hS : S ≠ 0
t : E ≃ᵐ E := (Homeomorph.smul ⋯.unit).toMeasurableEquiv
⊢ ¬(S ^ finrank ℝ E)⁻¹ = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.NormedSpace

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup F
g : ℝ → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ Integrable (fun x ↦ g (R * x)) volume ↔ Integrable g volume

Tactic:
simpa using

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup F
g : ℝ → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ Integrable (fun x ↦ g (R * x)) volume ↔ Integrable g volume
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.NormedSpace

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup F
g : ℝ → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ Integrable (fun x ↦ g (x * R)) volume ↔ Integrable g volume

Tactic:
simpa using

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup F
g : ℝ → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
⊢ Integrable (fun x ↦ g (R * x)) volume ↔ Integrable g volume
Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn

Goal state before:
pp: X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
⊢ ∃ f, IsInducing f

Tactic:
rcases exists_countable_basis X with ⟨B, hBc, -, hB⟩

Goal state after:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
⊢ ∃ f, IsInducing f
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.1} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.1} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen[instTopologicalSpaceProd] t
ht : Bornology.IsBounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.1} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : ‖p - q₀.1‖ < ε
hps : p ∈ s
hx : x ∉ k
this : g' (p, x) = 0
⊢ ‖0‖ ≤ C

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A✝ :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact ({q₀.1} ×ˢ k)
t : Set (P × G)
kt : {q₀.1} ×ˢ k ⊆ t
t_open : IsOpen[instTopologicalSpaceProd] t
ht : Bornology.IsBounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε ({q₀.1} ×ˢ k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : ‖p - q₀.1‖ < ε
hps : p ∈ s
hx : x ∉ k
this : g' (p, x) = 0
⊢ 0 ≤ C
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.EverywherePos

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s k : Set α
hk : IsCompact k
h'k : k ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s
x : α
hx : x ∈ k
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, μ u = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s k : Set α
hk : IsCompact k
h'k : k ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s
x : α
hx : x ∈ k
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, μ u = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.EverywherePos

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : μ.IsEverywherePos s
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
x : α
hx : x ∈ s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[s] x
⊢ 0 < (c • μ) n

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : μ.IsEverywherePos s
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
x : α
hx : x ∈ s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[s] x
⊢ 0 < c
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.EverywherePos

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : μ.IsEverywherePos s
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
⊢ ↑c ≠ 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : μ.IsEverywherePos s
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
⊢ ¬c = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a ↦ (L (f a)) (g x.1 (x.2 - a))) μ
I2 : Integrable (fun a ↦ (L (f a)) (g q₀.1 (q₀.2 - a))) μ
T : HasCompactSupport fun y ↦ g' (q₀.1, y)
this : ContinuousOn g' (s ×ˢ univ)
x : G
⊢ (q₀.1, x) ∈ s ×ˢ univ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a ↦ (L (f a)) (g x.1 (x.2 - a))) μ
I2 : Integrable (fun a ↦ (L (f a)) (g q₀.1 (q₀.2 - a))) μ
T : HasCompactSupport fun y ↦ g' (q₀.1, y)
this : ContinuousOn g' (s ×ˢ univ)
x : G
⊢ q₀.1 ∈ s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.EverywherePos

Goal state before:
pp: G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed[inst✝⁷] k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen[inst✝⁷] (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n ↦ ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
n : ℕ
this : W n * {z} ∈ 𝓝 z
⊢ x * z⁻¹ ∈ W n * W n

Tactic:
obtain ⟨i, hi, ni⟩ : ∃ i, y i ∈ W n * {z} ∧ n < i :=
      ((hz.frequently this).and_eventually (eventually_gt_atTop n)).exists

Goal state after:
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed[inst✝⁷] k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen[inst✝⁷] (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n ↦ ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
n : ℕ
this : W n * {z} ∈ 𝓝 z
i : ℕ
hi : y i ∈ W n * {z}
ni : n < i
⊢ x * z⁻¹ ∈ W n * W n
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.EverywherePos

Goal state before:
pp: G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed[inst✝⁷] k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen[inst✝⁷] (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n ↦ ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
n : ℕ
this : W n * {z} ∈ 𝓝 z
i : ℕ
hi : y i ∈ W n * {z}
ni : n < i
⊢ y i * z⁻¹ ∈ W n

Tactic:
simpa using

Goal state after:
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed[inst✝⁷] k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen[inst✝⁷] (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n ↦ ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
n : ℕ
this : W n * {z} ∈ 𝓝 z
i : ℕ
hi : y i ∈ W n * {z}
ni : n < i
⊢ y i * z⁻¹ ∈ W n
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.EverywherePos

Goal state before:
pp: G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed[inst✝⁷] k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen[inst✝⁷] (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n ↦ ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
n : ℕ
this : W n * {z} ∈ 𝓝 z
i : ℕ
hi : y i ∈ W n * {z}
ni : n < i
I : V i ⊆ W n
⊢ x * (y i)⁻¹ ∈ V i

Tactic:
simpa using

Goal state after:
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed[inst✝⁷] k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen[inst✝⁷] (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n ↦ ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
n : ℕ
this : W n * {z} ∈ 𝓝 z
i : ℕ
hi : y i ∈ W n * {z}
ni : n < i
I : V i ⊆ W n
⊢ v i ∈ V i
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.EverywherePos

Goal state before:
pp: G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed[inst✝⁷] k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen[inst✝⁷] (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n ↦ ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
A : ∀ (n : ℕ), μ ((x * z⁻¹) • k \ k) ≤ u n
B : μ ((x * z⁻¹) • k \ k) = 0
C : μ (k \ (z * x⁻¹) • k) = 0
H : ¬x ∈ k
⊢ IsOpen[inst✝⁷] ((z * x⁻¹) • k)ᶜ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed[inst✝⁷] k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen[inst✝⁷] (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n ↦ ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
A : ∀ (n : ℕ), μ ((x * z⁻¹) • k \ k) ≤ u n
B : μ ((x * z⁻¹) • k \ k) = 0
C : μ (k \ (z * x⁻¹) • k) = 0
H : ¬x ∈ k
⊢ IsClosed[inst✝⁷] ((z * x⁻¹) • k)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.EverywherePos

Goal state before:
pp: G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed[inst✝⁷] k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen[inst✝⁷] (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n ↦ ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
A : ∀ (n : ℕ), μ ((x * z⁻¹) • k \ k) ≤ u n
B : μ ((x * z⁻¹) • k \ k) = 0
C : μ (k \ (z * x⁻¹) • k) = 0
H : z ∈ (z * x⁻¹) • k
⊢ x ∈ k

Tactic:
simpa using

Goal state after:
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed[inst✝⁷] k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen[inst✝⁷] (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n ↦ ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
A : ∀ (n : ℕ), μ ((x * z⁻¹) • k \ k) ≤ u n
B : μ ((x * z⁻¹) • k \ k) = 0
C : μ (k \ (z * x⁻¹) • k) = 0
H : z ∈ (z * x⁻¹) • k
⊢ x ∈ k