mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ (LieModule.traceForm R (LieDerivation R L L) (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule
x : L
⊢ D x = 0 x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ (LieModule.traceForm R (LieDerivation R L L) (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule
x : L
⊢ D x = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
A : Matrix ι ι R
h : ∀ (v : ι → R), ∃ n, Aᵀ ^ n *ᵥ v = 0
i : ι
n : ℕ
hn : Aᵀ ^ n *ᵥ Pi.single i 1 = 0
⊢ (A ^ n).row i = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
A : Matrix ι ι R
h : ∀ (v : ι → R), ∃ n, Aᵀ ^ n *ᵥ v = 0
i : ι
n : ℕ
hn : Aᵀ ^ n *ᵥ Pi.single i 1 = 0
⊢ (A ^ n).row i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Semisimple

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ∞
m : M
hss : g.IsFinitelySemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
l : ℕ
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) ↑l
hm : m ∈ p
h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
h₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p
h₄ : MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
hfg : Commute (f - (algebraMap R (End R M)) μ) (f - g)
this : IsNilpotent (LinearMap.restrict (g - (algebraMap R (End R M)) μ) h₂)
⊢ IsFinitelySemisimple (LinearMap.restrict g h₁ - (algebraMap R (End R ↥p)) μ)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ∞
m : M
hss : g.IsFinitelySemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
l : ℕ
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) ↑l
hm : m ∈ p
h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
h₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p
h₄ : MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
hfg : Commute (f - (algebraMap R (End R M)) μ) (f - g)
this : IsNilpotent (LinearMap.restrict (g - (algebraMap R (End R M)) μ) h₂)
⊢ IsFinitelySemisimple (LinearMap.restrict g h₁)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Semisimple

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ∞
m : M
hss : g.IsFinitelySemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
l : ℕ
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) ↑l
hm : m ∈ p
h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
h₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p
h₄ : MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
hfg : Commute (f - (algebraMap R (End R M)) μ) (f - g)
this : LinearMap.restrict g h₁ - (algebraMap R (End R ↥p)) μ = 0
⊢ g m = μ • m

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ∞
m : M
hss : g.IsFinitelySemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
l : ℕ
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) ↑l
hm : m ∈ p
h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
h₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p
h₄ : MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
hfg : Commute (f - (algebraMap R (End R M)) μ) (f - g)
this : LinearMap.restrict g h₁ - (algebraMap R (End R ↥p)) μ = 0
⊢ g m = μ • m
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Semisimple

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ∞
m : M
hss : g.IsFinitelySemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
l : ℕ
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) ↑l
hm : m ∈ p
h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
h₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p
h₄ : MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
hfg : Commute (f - (algebraMap R (End R M)) μ) (f - g)
⊢ IsNilpotent (LinearMap.restrict (g - (algebraMap R (End R M)) μ) h₂)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ∞
m : M
hss : g.IsFinitelySemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
l : ℕ
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) ↑l
hm : m ∈ p
h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
h₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p
h₄ : MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
hfg : Commute (f - (algebraMap R (End R M)) μ) (f - g)
⊢ IsNilpotent (LinearMap.restrict (g - (algebraMap R (End R M)) μ) h₂)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Semisimple

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
hf : f.IsSemisimple
⊢ ⨆ μ, f.eigenspace μ = ⊤

Tactic:
simpa using

Goal state after:
K : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
hf : f.IsSemisimple
⊢ ⨆ μ, f.eigenspace μ = ⊤
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
χ₁ χ₂ : L → R
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
f : ℕ → L → R := fun k ↦ k • χ₁ + χ₂
k l : ℕ
hkl : f k = f l
⊢ ↑k • χ₁ = ↑l • χ₁

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
χ₁ χ₂ : L → R
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
f : ℕ → L → R := fun k ↦ k • χ₁ + χ₂
k l : ℕ
hkl : f k = f l
⊢ k • χ₁ = l • χ₁
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
⊢ (⁅x, traceForm R L M⁆ y) z = (0 y) z

Tactic:
LieHom.lie_apply,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
⊢ (⁅x, (traceForm R L M) y⁆ - (traceForm R L M) ⁅x, y⁆) z = (0 y) z
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsReduced R
inst✝ : IsNilpotent L M
x y : L
⊢ ((traceForm R L M) x) y = (0 x) y

Tactic:
simp only [traceForm_apply_apply, LinearMap.zero_apply, ← isNilpotent_iff_eq_zero]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsReduced R
inst✝ : IsNilpotent L M
x y : L
⊢ _root_.IsNilpotent ((trace R M) (φ x ∘ₗ φ y))
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
e : Nat.find ⋯ = 0
this : genWeightSpace M (0 • α + ⇑β) = ⊥
⊢ genWeightSpace M ⇑β = ⊥

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
e : Nat.find ⋯ = 0
this : genWeightSpace M (0 • α + ⇑β) = ⊥
⊢ genWeightSpace M ⇑β = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: case mem
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h : traceForm R L M = 0
y : End R M
hy : ∀ z ∈ φ.range, ⁅y, z⁆ ∈ φ.range
x a b c : L
hbc : ⁅φ b, y⁆ = -φ c
⊢ (trace R M) (φ a * φ c) = 0

Tactic:
Module.End.mul_eq_comp,

Goal state after:
case mem
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h : traceForm R L M = 0
y : End R M
hy : ∀ z ∈ φ.range, ⁅y, z⁆ ∈ φ.range
x a b c : L
hbc : ⁅φ b, y⁆ = -φ c
⊢ (trace R M) (φ a ∘ₗ φ c) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ -α ≠ 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ ¬α = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : Free R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥(genWeightSpace M χ)
h₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0
⊢ χ x • d • χ y = d • (χ x * χ y)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : Free R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥(genWeightSpace M χ)
h₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0
⊢ χ x * (↑d * χ y) = ↑d * (χ x * χ y)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hx : x ∈ ⊤.lcs L 0
hy : y ∈ LieSubmodule.ucs 0 ⊥
⊢ y = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hx : x ∈ ⊤.lcs L 0
hy : y ∈ LieSubmodule.ucs 0 ⊥
⊢ y = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
V : Submodule R N
h : p.IsPerfectCompl ⊤ V
⊢ IsCompl V ⊥

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
V : Submodule R N
h : p.IsPerfectCompl ⊤ V
⊢ IsCompl V ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
V : Submodule R N
h : V = ⊤
⊢ IsCompl ⊤ (Submodule.map ↑p.toPerfPair.symm ⊤.dualAnnihilator)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
V : Submodule R N
h : V = ⊤
⊢ IsCompl ⊤ ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
V : Submodule R N
h : V = ⊤
⊢ IsCompl ⊤ (Submodule.map ↑p.flip.toPerfPair.symm ⊤.dualAnnihilator)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
V : Submodule R N
h : V = ⊤
⊢ IsCompl ⊤ ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
⊢ Bijective ⇑(Dual.eval R N)

Tactic:
rw [← trans_dualMap_symm_flip e]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
⊢ Bijective ⇑↑(e ≪≫ₗ e.flip.symm.dualMap)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteSpan

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x ↦ e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
⊢ e' ^ k = 1

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x ↦ e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
⊢ e' ^ k = 1
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: case h₁
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
⊢ ↑S '' Set.Iio m ⊆ ↑(degreeLT R m)

Tactic:
intro P hP

Goal state after:
case h₁
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
P : R[X]
hP : P ∈ ↑S '' Set.Iio m
⊢ P ∈ ↑(degreeLT R m)
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: case h₂
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
⊢ degreeLT R m ≤ span R (↑S '' Set.Iio m)

Tactic:
intro P hP

Goal state after:
case h₂
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
P : R[X]
hP : P ∈ degreeLT R m
⊢ P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: case hx
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hx : x ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hy : y ∈ LieAlgebra.center R L
⊢ x ∈ ⊤.lcs L 1

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case hx
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hx : x ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hy : y ∈ LieAlgebra.center R L
⊢ x ∈ ⁅⊤, ⊤⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: case hy
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hx : x ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hy : y ∈ LieAlgebra.center R L
⊢ y ∈ LieSubmodule.ucs 1 ⊥

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case hy
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hx : x ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hy : y ∈ LieAlgebra.center R L
⊢ ∀ (x : L), ⁅x, y⁆ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
P : R[X]
hP : P ∈ degreeLT R m
hp : P.natDegree = n
p_ne_zero : P ≠ 0
hn : n < m
u : R
leftinv : (↑S n).leadingCoeff * u = 1
rightinv : u * (↑S n).leadingCoeff = 1
head : R[X] := P.leadingCoeff • u • ↑S n
tail : R[X] := P - head
head_mem_span : head ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
tail_eq_zero : ¬tail = 0
⊢ P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)

Tactic:
apply sub_mem_iff_left _ head_mem_span |>.mp

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
P : R[X]
hP : P ∈ degreeLT R m
hp : P.natDegree = n
p_ne_zero : P ≠ 0
hn : n < m
u : R
leftinv : (↑S n).leadingCoeff * u = 1
rightinv : u * (↑S n).leadingCoeff = 1
head : R[X] := ⋯
tail : R[X] := ⋯
head_mem_span : head ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
tail_eq_zero : ¬tail = 0
⊢ P - head ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ m₁ : M
hm₀ : m₀ ∈ genWeightSpace M 0
hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M
x : L
k : ℕ
ih : ∀ (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
m n : M
hB : ∀ (m : M), (B m) ((φ x) n) = -1 • (B ((φ x) m)) n
this : (-1) ^ k • -1 = (-1) ^ (k + 1)
| (B m) ((φ x ^ k * φ x) n)

Tactic:
Module.End.mul_eq_comp,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ m₁ : M
hm₀ : m₀ ∈ genWeightSpace M 0
hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M
x : L
k : ℕ
ih : ∀ (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
m n : M
hB : ∀ (m : M), (B m) ((φ x) n) = -1 • (B ((φ x) m)) n
this : (-1) ^ k • -1 = (-1) ^ (k + 1)
| (B m) (((φ x ^ k) ∘ₗ φ x) n)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : ↥H → K
x y : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : α + β ≠ 0
σ : (↥H → K) → ↥H → K := fun γ ↦ α + (β + γ)
γ : ↥H → K
⊢ σ γ ≠ γ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : ↥H → K
x y : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : α + β ≠ 0
σ : (↥H → K) → ↥H → K := fun γ ↦ α + (β + γ)
γ : ↥H → K
⊢ α + β + γ ≠ γ
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
P : R[X]
hP : P ∈ degreeLT R m
hp : P.natDegree = n
p_ne_zero : P ≠ 0
hn : n < m
u : R
leftinv : (↑S n).leadingCoeff * u = 1
rightinv : u * (↑S n).leadingCoeff = 1
head : R[X] := P.leadingCoeff • u • ↑S n
tail : R[X] := P - head
head_mem_span : head ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
tail_eq_zero : ¬tail = 0
⊢ IsRightRegular (u • ↑S n).leadingCoeff

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
P : R[X]
hP : P ∈ degreeLT R m
hp : P.natDegree = n
p_ne_zero : P ≠ 0
hn : n < m
u : R
leftinv : (↑S n).leadingCoeff * u = 1
rightinv : u * (↑S n).leadingCoeff = 1
head : R[X] := P.leadingCoeff • u • ↑S n
tail : R[X] := P - head
head_mem_span : head ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
tail_eq_zero : ¬tail = 0
⊢ IsRightRegular 1
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : x ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1 ∈ ⊤, ∃ n ∈ lowerCentralSeries R L L 0, ⁅x_1, n⁆ = x}
⊢ x ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : x ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1 ∈ ⊤, ∃ n ∈ lowerCentralSeries R L L 0, ⁅x_1, n⁆ = x}
⊢ x ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
h : α.IsNonZero
e : (-α).IsZero
⊢ α.IsZero

Tactic:
simpa using

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
h : α.IsNonZero
e : (-α).IsZero
⊢ α.IsZero
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsKilling K L
x : L
hx : x ∈ H
hx' : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x)
this : ⟨x, hx⟩ = 0
⊢ x = 0

Tactic:
exact (AddSubmonoid.mk_eq_zero H.toAddSubmonoid).mp this

Goal state after: