mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.MDifferentiable

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : ChartedSpace HB B
inst✝⁵ : FiberBundle F E
inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle 1 F E IB
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : MemTrivializationAtlas e
s : (b : B) → E b
b₀ : B
hex₀ : b₀ ∈ e.baseSet
⊢ MDiffAt (T% s) b₀ ↔ (MDiffAt fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2) b₀

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : ChartedSpace HB B
inst✝⁵ : FiberBundle F E
inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle 1 F E IB
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : MemTrivializationAtlas e
s : (b : B) → E b
b₀ : B
hex₀ : b₀ ∈ e.baseSet
⊢ MDiffAt[univ] (T% s) b₀ ↔ (MDiffAt[univ] fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2) b₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.MDifferentiable

Goal state before:
pp: case insert
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : FiberBundle F E
inst✝⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E x)
inst✝⁵ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E
HB : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace HB
inst✝² : ChartedSpace HB B
EB : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝ : NormedSpace 𝕜 EB
I : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
u : Set B
x₀ : B
ι : Type u_9
t : ι → (x : B) → E x
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
h : (∀ i ∈ s, MDiffAt[u] (T% t) x₀) → (MDiffAt[u] fun x ↦ ⟨x, ∑ i ∈ s, t i x⟩) x₀
hs : MDiffAt[u] (T% t) x₀ ∧ ∀ a ∈ s, MDiffAt[u] (T% t) x₀
⊢ (MDiffAt[u] fun x ↦ ⟨x, ∑ i ∈ insert i s, t i x⟩) x₀

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case insert
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : FiberBundle F E
inst✝⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E x)
inst✝⁵ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E
HB : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace HB
inst✝² : ChartedSpace HB B
EB : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝ : NormedSpace 𝕜 EB
I : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
u : Set B
x₀ : B
ι : Type u_9
t : ι → (x : B) → E x
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
h : (∀ i ∈ s, MDiffAt[u] (T% t) x₀) → (MDiffAt[u] fun x ↦ ⟨x, ∑ i ∈ s, t i x⟩) x₀
hs : MDiffAt[u] (T% t) x₀ ∧ ∀ a ∈ s, MDiffAt[u] (T% t) x₀
⊢ (MDiffAt[u] fun x ↦ ⟨x, t i x + ∑ i ∈ s, t i x⟩) x₀
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Hom

Goal state before:
pp: 𝕜₁ : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
inst✝¹⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁵ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
inst✝¹¹ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹⁰ : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝⁸ : TopologicalSpace B
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁶ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
inst✝⁴ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝³ : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁
inst✝² : Trivialization.IsLinear 𝕜₁ e₁'
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂
inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜₂ e₂'
x✝¹ : B × (F₁ →SL[σ] F₂)
x : B
f : F₁ →SL[σ] F₂
x✝ : (x, f) ∈ (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet) ×ˢ univ
h₁ : (x, f).1 ∈ e₁.baseSet
h₂ : (x, f).1 ∈ e₂.baseSet
right✝ : (x, f).2 ∈ univ
⊢ ({ proj := (x, f).1,
          snd :=
            Trivialization.symmL 𝕜₂ e₂ (x, f).1 ∘SL
              (x, f).2 ∘SL Trivialization.continuousLinearMapAt 𝕜₁ e₁ (x, f).1 }.proj,
      Trivialization.continuousLinearMapAt 𝕜₂ e₂
          { proj := (x, f).1,
              snd :=
                Trivialization.symmL 𝕜₂ e₂ (x, f).1 ∘SL
                  (x, f).2 ∘SL Trivialization.continuousLinearMapAt 𝕜₁ e₁ (x, f).1 }.proj ∘SL
        { proj := (x, f).1,
              snd :=
                Trivialization.symmL 𝕜₂ e₂ (x, f).1 ∘SL
                  (x, f).2 ∘SL Trivialization.continuousLinearMapAt 𝕜₁ e₁ (x, f).1 }.snd ∘SL
          Trivialization.symmL 𝕜₁ e₁
            { proj := (x, f).1,
                snd :=
                  Trivialization.symmL 𝕜₂ e₂ (x, f).1 ∘SL
                    (x, f).2 ∘SL Trivialization.continuousLinearMapAt 𝕜₁ e₁ (x, f).1 }.proj) =
    (x, f)

Tactic:
simp only [Prod.mk_right_inj]
    ext v
    dsimp only [comp_apply]
    rw [Trivialization.continuousLinearMapAt_symmL, Trivialization.continuousLinearMapAt_symmL]
    exacts [h₁, h₂]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.MDifferentiable

Goal state before:
pp: case h
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : FiberBundle F E
inst✝⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E x)
inst✝⁵ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E
HB : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace HB
inst✝² : ChartedSpace HB B
EB : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝ : NormedSpace 𝕜 EB
I : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
u : Set B
x₀ : B
ι : Type u_9
t : ι → (x : B) → E x
ht : LocallyFinite fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), MDiffAt[u] (T% t) x₀
y : B
hy : y ∈ univ
U : Set B
hu : U ∈ 𝓝 y
hfin : {i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ U).Nonempty}.Finite
x : ι
hx : t x y ≠ 0
⊢ y ∈ (fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) x ∩ U

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : FiberBundle F E
inst✝⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E x)
inst✝⁵ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E
HB : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace HB
inst✝² : ChartedSpace HB B
EB : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝ : NormedSpace 𝕜 EB
I : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
u : Set B
x₀ : B
ι : Type u_9
t : ι → (x : B) → E x
ht : LocallyFinite fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), MDiffAt[u] (T% t) x₀
y : B
hy : y ∈ univ
U : Set B
hu : U ∈ 𝓝 y
hfin : {i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ U).Nonempty}.Finite
x : ι
hx : t x y ≠ 0
⊢ ¬t x y = 0 ∧ y ∈ U
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.MDifferentiable

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
V : M → Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁷ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁶ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁵ : FiberBundle F V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
W : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module 𝕜 W
inst✝ : TopologicalSpace W
x : M
X X' : V x →L[𝕜] W
h : (fun A Z x_1 ↦ A (Z x)) X = (fun A Z x_1 ↦ A (Z x)) X'
σ₀ : V x
⊢ X σ₀ = X' σ₀

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
V : M → Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁷ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁶ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁵ : FiberBundle F V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
W : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module 𝕜 W
inst✝ : TopologicalSpace W
x : M
X X' : V x →L[𝕜] W
h : (fun A Z x_1 ↦ A (Z x)) X = (fun A Z x_1 ↦ A (Z x)) X'
σ₀ : V x
⊢ X σ₀ = X' σ₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.MDifferentiable

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
V : M → Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁷ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁶ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁵ : FiberBundle F V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
n : WithTop ℕ∞
inst✝³ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
W : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module 𝕜 W
inst✝ : TopologicalSpace W
x : M
X X' : V x →L[𝕜] W
h : (fun A Z x_1 ↦ A (Z x)) X = (fun A Z x_1 ↦ A (Z x)) X'
σ₀ : V x
⊢ X σ₀ = X' σ₀

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
V : M → Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁷ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁶ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁵ : FiberBundle F V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
n : WithTop ℕ∞
inst✝³ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
W : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module 𝕜 W
inst✝ : TopologicalSpace W
x : M
X X' : V x →L[𝕜] W
h : (fun A Z x_1 ↦ A (Z x)) X = (fun A Z x_1 ↦ A (Z x)) X'
σ₀ : V x
⊢ X σ₀ = X' σ₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
F : Type u_18
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : M → F
hf : MDiffAt[s] f x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
F : Type u_18
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : M → F
hf : MDiffAt[s] f x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
    (↑I (↑(chartAt H x) x))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
F : Type u_18
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : M → F
inst✝ : IsManifold I 1 M
hf :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ MDiffAt[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
F : Type u_18
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : M → F
inst✝ : IsManifold I 1 M
hf :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ MDiffAt[↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] (f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑(chartAt H x) x))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
x : M
V : Type u_18
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 V
f : M → 𝕜
g : M → V
hf : MDiffAt f x
hg : MDiffAt g x
v : TangentSpace I x
⊢ (fromTangentSpace ((f • g) x)) ((mfderiv% (f • g) x) v) =
    f x • (fromTangentSpace (g x)) ((mfderiv% g x) v) + (fromTangentSpace (f x)) ((mfderiv% f x) v) • g x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
x : M
V : Type u_18
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 V
f : M → 𝕜
g : M → V
hf : MDiffAt f x
hg : MDiffAt g x
v : TangentSpace I x
⊢ (fromTangentSpace (f x • g x)) ((mfderiv% (f • g) x) v) =
    f x • (fromTangentSpace (g x)) ((mfderiv% g x) v) + (fromTangentSpace (f x)) ((mfderiv% f x) v) • g x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : M
s : Set M
hs : UniqueMDiffAt[s] x
this : d[s] 0 x + d[s] 0 x = d[s] 0 x
⊢ d[s] 0 x = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : M
s : Set M
hs : UniqueMDiffAt[s] x
this : d[s] 0 x + d[s] 0 x = d[s] 0 x
⊢ d[s] 0 x = 0
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : M
this : d% 0 x + d% 0 x = d% 0 x
⊢ d% 0 x = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : M
this : d% 0 x + d% 0 x = d% 0 x
⊢ d% 0 x = 0
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: case hV
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
hV : V x = 0
hW : W x = 0
this : ↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x) = x
⊢ (mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x)).inverse 0 = 0

Tactic:
simp +instances

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: case hW
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
hV : V x = 0
hW : W x = 0
this : ↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x) = x
⊢ (mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x)).inverse 0 = 0

Tactic:
simp +instances

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hmn : 2 ≤ n
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f univ x₀
hf' : (mfderiv[univ] f x₀).IsInvertible
⊢ (MDiffAt[f ⁻¹' t] fun x ↦ ⟨x, mpullbackWithin I I' f V univ x⟩) x₀

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hmn : 2 ≤ n
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f univ x₀
hf' : (mfderiv[univ] f x₀).IsInvertible
⊢ (MDiffAt[f ⁻¹' t] fun x ↦ ⟨x, mpullback I I' f V x⟩) x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalSourceTargetProperty

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_4
H : Type u_6
G : Type u_8
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_10
N : Type u_12
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f g : M → N
x : M
P : (M → N) → OpenPartialHomeomorph M H → OpenPartialHomeomorph N G → Prop
hP : IsLocalSourceTargetProperty P
hf : LiftSourceTargetPropertyAt I J n f x P
h' : f =ᶠ[𝓝 x] g
s' : Set M
hxs' : s' ∈ 𝓝 x
hfg : EqOn f g s'
s : Set M
hss' : s ⊆ s'
hs : IsOpen[inst✝³] s
hxs : x ∈ s
⊢ x ∈ (hf.domChart.restr s).source

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_4
H : Type u_6
G : Type u_8
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_10
N : Type u_12
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f g : M → N
x : M
P : (M → N) → OpenPartialHomeomorph M H → OpenPartialHomeomorph N G → Prop
hP : IsLocalSourceTargetProperty P
hf : LiftSourceTargetPropertyAt I J n f x P
h' : f =ᶠ[𝓝 x] g
s' : Set M
hxs' : s' ∈ 𝓝 x
hfg : EqOn f g s'
s : Set M
hss' : s ⊆ s'
hs : IsOpen[inst✝³] s
hxs : x ∈ s
⊢ x ∈ hf.domChart.source ∧ x ∈ interior s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) t (f x₀)
hmn : m + 1 ≤ n
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f univ x₀
hf' : (mfderiv[univ] f x₀).IsInvertible
⊢ ContMDiffWithinAt I I.tangent m (fun x ↦ ⟨x, mpullbackWithin I I' f V univ x⟩) (f ⁻¹' t) x₀

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) t (f x₀)
hmn : m + 1 ≤ n
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f univ x₀
hf' : (mfderiv[univ] f x₀).IsInvertible
⊢ ContMDiffWithinAt I I.tangent m (fun x ↦ ⟨x, mpullback I I' f V x⟩) (f ⁻¹' t) x₀