mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -↑i
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n x : ℕ
hk₁ : P.root (-↑i) = P.root j + n • P.root ↑i
hk₂ : (e i ^ n).col (Sum.inr j) = x • Pi.single (Sum.inr (-↑i)) 1
⊢ False

Tactic:
replace hk₁ : P.root (-j) = (n + 1) • P.root i := by
        simp only [indexNeg_neg, root_reflectionPerm, reflection_apply_self, neg_eq_iff_add_eq_zero,
          add_smul, one_smul] at hk₁ ⊢
        rw [← hk₁]
        module

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -↑i
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n x : ℕ
hk₂ : (e i ^ n).col (Sum.inr j) = x • Pi.single (Sum.inr (-↑i)) 1
hk₁ : P.root (-j) = (n + 1) • P.root ↑i
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ ⁅e i, u j⁆ = |b.cartanMatrix i j| • v b ↑i

Tactic:
ext (k | k) <;> simp [e, Pi.single_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
j : ι
k : ↥b.support
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
l : ↥b.support
h : P.root j = P.root ↑k + P.root (-↑k)
⊢ P.root j = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
j : ι
k : ↥b.support
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
l : ↥b.support
h : P.root j = P.root ↑k + P.root (-↑k)
⊢ P.root j = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
j : ι
k l : ↥b.support
h : P.root ↑k = P.root j + P.root ↑k
⊢ P.root j = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
j : ι
k l : ↥b.support
h : P.root ↑k = P.root j + P.root ↑k
⊢ P.root j = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x u : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hu : u ∈ range h ∪ range e ∪ range f
⊢ (∃ j, h j = u) ∨ (∃ j, e j = u) ∨ ∃ j, f j = u

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x u : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hu : u ∈ range h ∪ range e ∪ range f
⊢ (∃ j, h j = u) ∨ (∃ j, e j = u) ∨ ∃ j, f j = u
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : P.root l = (x + 1) • P.root i + y • P.root j
⊢ 2 * (x + 1) + A * y = (x + 1) * 2 + y • P.pairingIn ℤ j i

Tactic:
Int.zsmul_eq_mul

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : P.root l = (x + 1) • P.root i + y • P.root j
⊢ 2 * (x + 1) + A * y = (x + 1) * 2 + y * P.pairingIn ℤ j i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
i j : ι
inst✝ : P.IsNotG2
h : P.root i + P.root ((P.reflectionPerm j) j) ∈ Set.range ⇑P.root
⊢ 0 ≤ P.pairingIn ℤ i j

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
i j : ι
inst✝ : P.IsNotG2
h : P.root i + P.root ((P.reflectionPerm j) j) ∈ Set.range ⇑P.root
⊢ 0 ≤ P.pairingIn ℤ i j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: case add
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x u v : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx✝ : u ∈ LieSubalgebra.lieSpan R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (range h ∪ range e ∪ range f)
hy✝ : v ∈ LieSubalgebra.lieSpan R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (range h ∪ range e ∪ range f)
hu : (ωConj b) u ∈ lieAlgebra b
hv : (ωConj b) v ∈ lieAlgebra b
⊢ (ωConj b) (u + v) ∈ lieAlgebra b

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case add
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x u v : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx✝ : u ∈ LieSubalgebra.lieSpan R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (range h ∪ range e ∪ range f)
hy✝ : v ∈ LieSubalgebra.lieSpan R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (range h ∪ range e ∪ range f)
hu : (ωConj b) u ∈ lieAlgebra b
hv : (ωConj b) v ∈ lieAlgebra b
⊢ ω b * u * ω b + ω b * v * ω b ∈ lieAlgebra b
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: case smul
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
t : R
u : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx✝ : u ∈ LieSubalgebra.lieSpan R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (range h ∪ range e ∪ range f)
hu : (ωConj b) u ∈ lieAlgebra b
⊢ (ωConj b) (t • u) ∈ lieAlgebra b

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case smul
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
t : R
u : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx✝ : u ∈ LieSubalgebra.lieSpan R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (range h ∪ range e ∪ range f)
hu : (ωConj b) u ∈ lieAlgebra b
⊢ t • (ω b * u * ω b) ∈ lieAlgebra b
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : P.root m = x • P.root i + (y - 1) • P.root j
⊢ 2 * x + A * (y - 1) = x * 2 + (y - 1) • P.pairingIn ℤ j i

Tactic:
Int.zsmul_eq_mul

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : P.root m = x • P.root i + (y - 1) • P.root j
⊢ 2 * x + A * (y - 1) = x * 2 + (y - 1) * P.pairingIn ℤ j i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
i j : ι
inst✝ : P.IsNotG2
h : P.root i - P.root j ∈ Set.range ⇑P.root
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ P.root i + P.root (-j) ∈ Set.range ⇑P.root

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
i j : ι
inst✝ : P.IsNotG2
h : P.root i - P.root j ∈ Set.range ⇑P.root
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ ∃ y, P.root y = P.root i - P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N✝
inst✝⁶ : Module R N✝
P : RootPairing ι R M N✝
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
N : LieSubmodule R (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → R)
A : ↥(lieAlgebra b)
x : ↥b.support ⊕ ι → R
hx : x ∈ (comap (Matrix.toLin' (ω b)) ↑N).carrier
A' : ↥(lieAlgebra b) := ⟨(ωConj b) ↑A, ⋯⟩
this : ⁅A', ω b *ᵥ x⁆ ∈ N
⊢ ⁅A, x⁆ ∈ (comap (Matrix.toLin' (ω b)) ↑N).carrier

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N✝
inst✝⁶ : Module R N✝
P : RootPairing ι R M N✝
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
N : LieSubmodule R (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → R)
A : ↥(lieAlgebra b)
x : ↥b.support ⊕ ι → R
hx : x ∈ (comap (Matrix.toLin' (ω b)) ↑N).carrier
A' : ↥(lieAlgebra b) := ⟨(ωConj b) ↑A, ⋯⟩
this : ⁅A', ω b *ᵥ x⁆ ∈ N
⊢ (ω b * ↑A) *ᵥ x ∈ N
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
i j : ι
inst✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h : P.root i + P.root (-j) ∈ Set.range ⇑P.root
⊢ chainTopCoeff i j = if P.pairingIn ℤ i j = 0 then 1 else 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
i j : ι
inst✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h : P.root i + P.root (-j) ∈ Set.range ⇑P.root
⊢ chainTopCoeff i j = if P.pairingIn ℤ i j = 0 then 1 else 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
h₃ : P.root n = (x + 1) • P.root i + (y - 1) • P.root j
⊢ 2 * (x + 1) + A * (y - 1) = (x + 1) * 2 + (y - 1) • P.pairingIn ℤ j i

Tactic:
Int.zsmul_eq_mul

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
h₃ : P.root n = (x + 1) • P.root i + (y - 1) • P.root j
⊢ 2 * (x + 1) + A * (y - 1) = (x + 1) * 2 + (y - 1) * P.pairingIn ℤ j i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
h₃ : 2 * (x + 1) + A * (y - 1) ∈ s
⊢ 2 * x + A * y = x * 2 + y • P.pairingIn ℤ j i

Tactic:
Int.zsmul_eq_mul

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
h₃ : 2 * (x + 1) + A * (y - 1) ∈ s
⊢ 2 * x + A * y = x * 2 + y * P.pairingIn ℤ j i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: case inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
k : ι
⊢ ∑ x ∈ {k, k},
      ((if P.root x = P.root ↑i + P.root k then
          Matrix.diagonal (fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) k x * (↑(chainBotCoeff (↑i) k) + 1)
        else 0) -
        if P.root k = P.root ↑i + P.root x then
          (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * Matrix.diagonal (fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) x k
        else 0) =
    if P.root k = P.root ↑i + P.root k then ↑(b.cartanMatrix i j) * ↑(chainBotCoeff (↑i) k) + ↑(b.cartanMatrix i j)
    else 0

pp: case inr.inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
k l : ι
hkl : k ≠ l
⊢ ∑ x ∈ {k, l},
      ((if P.root x = P.root ↑i + P.root l then
          Matrix.diagonal (fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) k x * (↑(chainBotCoeff (↑i) l) + 1)
        else 0) -
        if P.root k = P.root ↑i + P.root x then
          (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * Matrix.diagonal (fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) x l
        else 0) =
    if P.root k = P.root ↑i + P.root l then ↑(b.cartanMatrix i j) * ↑(chainBotCoeff (↑i) l) + ↑(b.cartanMatrix i j)
    else 0

Tactic:
· simp [P.ne_zero i]

Goal state after:
case inr.inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
k l : ι
hkl : k ≠ l
⊢ ∑ x ∈ {k, l},
      ((if P.root x = P.root ↑i + P.root l then
          Matrix.diagonal (fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) k x * (↑(chainBotCoeff (↑i) l) + 1)
        else 0) -
        if P.root k = P.root ↑i + P.root x then
          (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * Matrix.diagonal (fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) x l
        else 0) =
    if P.root k = P.root ↑i + P.root l then ↑(b.cartanMatrix i j) * ↑(chainBotCoeff (↑i) l) + ↑(b.cartanMatrix i j)
    else 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
B : P.InvariantForm
⊢ (B.form (longRoot P)) (longRoot P) = 3 * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
B : P.InvariantForm
⊢ (B.form (longRoot P)) (longRoot P) = 3 * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P)