mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLin

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
n : Type u_4
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
f g : M₁ →ₗ[R] M₁
⊢ (toMatrix v₁ v₁) (f * g) = (toMatrix v₁ v₁) f * (toMatrix v₁ v₁) g

Tactic:
Module.End.mul_eq_comp,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
n : Type u_4
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
f g : M₁ →ₗ[R] M₁
⊢ (toMatrix v₁ v₁) (f ∘ₗ g) = (toMatrix v₁ v₁) f * (toMatrix v₁ v₁) g
Module: Mathlib.RingTheory.OreLocalization.NonZeroDivisors

Goal state before:
pp: case c
R : Type u_1
inst✝³ : MonoidWithZero R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : OreSet R⁰
inst✝ : NoZeroDivisors R
r : R
s : ↥R⁰
h : r /ₒ s ≠ 0
⊢ r /ₒ s * (r /ₒ s)⁻¹ = 1

Tactic:
rw [OreLocalization.inv_def, OreLocalization.one_def]

Goal state after:
case c
R : Type u_1
inst✝³ : MonoidWithZero R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : OreSet R⁰
inst✝ : NoZeroDivisors R
r : R
s : ↥R⁰
h : r /ₒ s ≠ 0
⊢ (r /ₒ s * if hr : r = 0 then 0 else ↑s /ₒ ⟨r, ⋯⟩) = 1 /ₒ 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLin

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
inst✝⁴ : Fintype m
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix l m R
B : Matrix m n R
x : M₁
⊢ ((toLin v₁ v₃) (A * B)) x = ((toLin v₂ v₃) A) (((toLin v₁ v₂) B) x)

Tactic:
Matrix.toLin_mul v₁ v₂,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
inst✝⁴ : Fintype m
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix l m R
B : Matrix m n R
x : M₁
⊢ ((toLin v₂ v₃) A ∘ₗ (toLin v₁ v₂) B) x = ((toLin v₂ v₃) A) (((toLin v₁ v₂) B) x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLin

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
n : Type u_4
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
f g : M₁ →ₗ[R] M₁
⊢ (toMatrixAlgEquiv v₁) (f * g) = (toMatrixAlgEquiv v₁) f * (toMatrixAlgEquiv v₁) g

Tactic:
Module.End.mul_eq_comp,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
n : Type u_4
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R M₁
v₁ : Basis n R M₁
f g : M₁ →ₗ[R] M₁
⊢ (toMatrixAlgEquiv v₁) (f ∘ₗ g) = (toMatrixAlgEquiv v₁) f * (toMatrixAlgEquiv v₁) g
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : IsDomain R
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
n : ℕ
b' : Basis (Fin n) R ↥⊥
e : Fin n ≃ Fin 0 := b'.indexEquiv (Basis.empty ↥⊥)
⊢ n = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : IsDomain R
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
n : ℕ
b' : Basis (Fin n) R ↥⊥
e : Fin n ≃ Fin 0 := b'.indexEquiv (Basis.empty ↥⊥)
⊢ n = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLin

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Fintype ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
ij : ι₂ × ι₁
⊢ (b₁.linearMap b₂) ij = (toLin b₁ b₂) ((stdBasis R ι₂ ι₁) ij)

Tactic:
simp [linearMap]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
b : ι → M
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Fintype ι
s : ι → M
hs : span R (range s) = ⊤
inst✝ : IsTorsionFree R M
this✝ : ∃ s_1, LinearIndepOn R s s_1 ∧ ∀ i ∉ s_1, ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • s i ∈ span R (s '' s_1)
I : Set ι := this✝.choose
indepI : LinearIndependent (ι := ↑I) R (s ∘ fun x ↦ ↑x)
hI : ∀ i ∉ I, ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • s i ∈ span R (s '' I)
N : Submodule R M := span R (range (s ∘ fun x ↦ ↑x))
_sI : ↑I → ↥N := fun i ↦ ⟨s ↑i, ⋯⟩
sI_basis : Basis (↑I) R ↥N := Basis.span indepI
a : ι → R
ha : ∀ (i : ι), a i ≠ 0
ha' : ∀ (i : ι), a i • s i ∈ N
A : R := ∏ i, a i
hA : A ≠ 0
φ : M →ₗ[R] M := (LinearMap.lsmul R M) A
this : φ.ker = ⊥
ψ : M ≃ₗ[R] ↥φ.range := LinearEquiv.ofInjective φ ⋯
i : ι
⊢ (∏ j ∈ {i}ᶜ, a j) • a i • s i = (∏ j, a j) • s i

Tactic:
by rw [Fintype.prod_eq_prod_compl_mul i, mul_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
i : ι
hi : i ∉ range ⇑snf.f
c : Fin n →₀ R
hm : (c.sum fun i x ↦ x • ↑(snf.bN i)) ∈ N
⊢ ∀ (j : Fin n), snf.f j ≠ i

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
i : ι
hi : i ∉ range ⇑snf.f
c : Fin n →₀ R
hm : (c.sum fun i x ↦ x • ↑(snf.bN i)) ∈ N
⊢ ∀ (j : Fin n), ¬snf.f j = i
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
h : 0 ∈ M
⊢ 0 = 1

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
h : 0 ∈ M
⊢ 0 = 1
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1.inl
ι : Type u_1
R : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → CommSemiring (R i)
r₁ r₂ : (i : ι) → R i
j : ι
S : Submonoid (R j)
T : Submonoid ((i : ι) → R i) := Submonoid.comap (Pi.evalRingHom R j) S
s₁ s₂ : ↥T
s : ↥S
hs :
  ↑s * (↑⟨(Pi.evalRingHom R j) ↑s₂, ⋯⟩ * (Pi.evalRingHom R j) r₁) =
    ↑s * (↑⟨(Pi.evalRingHom R j) ↑s₁, ⋯⟩ * (Pi.evalRingHom R j) r₂)
⊢ (↑⟨update 0 j ↑s, ⋯⟩ * (↑s₂ * r₁)) j = (↑⟨update 0 j ↑s, ⋯⟩ * (↑s₁ * r₂)) j

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_1.inl
ι : Type u_1
R : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → CommSemiring (R i)
r₁ r₂ : (i : ι) → R i
j : ι
S : Submonoid (R j)
T : Submonoid ((i : ι) → R i) := Submonoid.comap (Pi.evalRingHom R j) S
s₁ s₂ : ↥T
s : ↥S
hs :
  ↑s * (↑⟨(Pi.evalRingHom R j) ↑s₂, ⋯⟩ * (Pi.evalRingHom R j) r₁) =
    ↑s * (↑⟨(Pi.evalRingHom R j) ↑s₁, ⋯⟩ * (Pi.evalRingHom R j) r₂)
⊢ ↑s * (↑s₂ j * r₁ j) = ↑s * (↑s₁ j * r₂ j)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
hM : ∀ m ∈ M, IsRegular m
r : R
m : ↥M
this : ∀ (n : ↥M) (x y : R), ↑n * x = ↑n * y ↔ x = y
h : ∀ (a a_1 : R), a_1 ∈ M → ∀ (a_2 a_3 : R), a_3 ∈ M → r * (a_3 * a) = r * (a_1 * a_2) → a_3 * a = a_1 * a_2
a b : R
⊢ r * a = r * b → a = b

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
hM : ∀ m ∈ M, IsRegular m
r : R
m : ↥M
this : ∀ (n : ↥M) (x y : R), ↑n * x = ↑n * y ↔ x = y
h : ∀ (a a_1 : R), a_1 ∈ M → ∀ (a_2 a_3 : R), a_3 ∈ M → r * (a_3 * a) = r * (a_1 * a_2) → a_3 * a = a_1 * a_2
a b : R
⊢ r * a = r * b → a = b
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : Finite R
x : S
⊢ ∃ a, uncurry (mk' S) a = x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : Finite R
x : S
⊢ ∃ a a_1, ∃ (b : a_1 ∈ M), mk' S a ⟨a_1, b⟩ = x
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝ : CommRing A
K : Type u_5
x : ℤ
hx✝ : x ∈ ℤ⁰
hx : x ≠ 0
⊢ IsUnit ((algebraMap ℤ ℚ) ↑⟨x, hx✝⟩)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝ : CommRing A
K : Type u_5
x : ℤ
hx✝ : x ∈ ℤ⁰
hx : x ≠ 0
⊢ ¬x = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M N : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
H : M ≤ IsUnit.submonoid R
x y : R
hxy : (Algebra.ofId R S) x = (Algebra.ofId R S) y
c : ↥M
u : Rˣ
eq : ↑u * x = ↑u * y
hu : ↑u = ↑c
⊢ x = y

Tactic:
Units.mul_right_inj

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M N : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
H : M ≤ IsUnit.submonoid R
x y : R
hxy : (Algebra.ofId R S) x = (Algebra.ofId R S) y
c : ↥M
u : Rˣ
eq : x = y
hu : ↑u = ↑c
⊢ x = y
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝ : CommRing A
K : Type u_5
y : ↥(Submonoid.pos ℤ)
⊢ IsUnit ((algebraMap ℤ ℚ) ↑y)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝ : CommRing A
K : Type u_5
y : ↥(Submonoid.pos ℤ)
⊢ ¬↑y = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝ : CommRing A
K : Type u_5
z : ℚ
x1 : ℤ
x2 : ↥ℤ⁰
hx : z * (algebraMap ℤ ℚ) ↑(x1, x2).2 = (algebraMap ℤ ℚ) (x1, x2).1
hx2 : ↑x2 < 0
⊢ -↑x2 ∈ Submonoid.pos ℤ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝ : CommRing A
K : Type u_5
z : ℚ
x1 : ℤ
x2 : ↥ℤ⁰
hx : z * (algebraMap ℤ ℚ) ↑(x1, x2).2 = (algebraMap ℤ ℚ) (x1, x2).1
hx2 : ↑x2 < 0
⊢ ↑x2 < 0
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝ : CommRing A
K : Type u_5
z : ℚ
x1 : ℤ
x2 : ↥ℤ⁰
hx : z * (algebraMap ℤ ℚ) ↑(x1, x2).2 = (algebraMap ℤ ℚ) (x1, x2).1
hx2 : ↑x2 < 0
⊢ z * (algebraMap ℤ ℚ) ↑(-x1, ⟨-↑x2, ⋯⟩).2 = (algebraMap ℤ ℚ) (-x1, ⟨-↑x2, ⋯⟩).1

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝ : CommRing A
K : Type u_5
z : ℚ
x1 : ℤ
x2 : ↥ℤ⁰
hx : z * (algebraMap ℤ ℚ) ↑(x1, x2).2 = (algebraMap ℤ ℚ) (x1, x2).1
hx2 : ↑x2 < 0
⊢ z * ↑↑x2 = ↑x1
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝ : CommRing A
K : Type u_5
x y : ℤ
h : (algebraMap ℤ ℚ) x = (algebraMap ℤ ℚ) y
⊢ ↑1 * x = ↑1 * y

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝ : CommRing A
K : Type u_5
x y : ℤ
h : (algebraMap ℤ ℚ) x = (algebraMap ℤ ℚ) y
⊢ x = y
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝ : CommRing A
K : Type u_5
x y : ℕ
h : (algebraMap ℕ ℚ≥0) x = (algebraMap ℕ ℚ≥0) y
⊢ ↑1 * x = ↑1 * y

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝ : CommRing A
K : Type u_5
x y : ℕ
h : (algebraMap ℕ ℚ≥0) x = (algebraMap ℕ ℚ≥0) y
⊢ x = y
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set A
t : Set B
a : A
b : B
ha : (a, b).1 ∈ ↑(adjoin R s)
hb : (a, b).2 ∈ ↑(adjoin R t)
P : Subalgebra R (A × B) := adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1}))
Ha : (a, 0) ∈ P
Hb : (0, b) ∈ P
⊢ (a, b) ∈ adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1}))

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set A
t : Set B
a : A
b : B
ha : (a, b).1 ∈ ↑(adjoin R s)
hb : (a, b).2 ∈ ↑(adjoin R t)
P : Subalgebra R (A × B) := adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1}))
Ha : (a, 0) ∈ P
Hb : (0, b) ∈ P
⊢ (a, b) ∈ adjoin R ((fun x ↦ (x, 0)) '' insert 1 s ∪ Prod.mk 0 '' insert 1 t)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : FaithfulSMul R K
surj : ∀ (z : K), ∃ x y, z = (algebraMap R K) x / (algebraMap R K) y
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R K)
this✝ : NoZeroDivisors R
this : Nontrivial R
z : K
x : R
eq : z = (algebraMap R K) x / (algebraMap R K) 0
⊢ z = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : FaithfulSMul R K
surj : ∀ (z : K), ∃ x y, z = (algebraMap R K) x / (algebraMap R K) y
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R K)
this✝ : NoZeroDivisors R
this : Nontrivial R
z : K
x : R
eq : z = (algebraMap R K) x / (algebraMap R K) 0
⊢ z = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : FaithfulSMul R K
surj : ∀ (z : K), ∃ x y, z = (algebraMap R K) x / (algebraMap R K) y
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R K)
this✝ : NoZeroDivisors R
this : Nontrivial R
x✝ y✝ : R
eq : (algebraMap R K) x✝ = (algebraMap R K) y✝
⊢ ↑1 * x✝ = ↑1 * y✝

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : FaithfulSMul R K
surj : ∀ (z : K), ∃ x y, z = (algebraMap R K) x / (algebraMap R K) y
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R K)
this✝ : NoZeroDivisors R
this : Nontrivial R
x✝ y✝ : R
eq : (algebraMap R K) x✝ = (algebraMap R K) y✝
⊢ x✝ = y✝
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
A : Type uA
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
⊢ adjoin R (s ∪ t) = Subalgebra.restrictScalars R (adjoin (↥(adjoin R s)) t)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type uR
A : Type uA
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
⊢ adjoin R (s ∪ t) = Subalgebra.restrictScalars R (adjoin (↥(adjoin R s)) t)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
hg : Injective ⇑g
x : A
y : ↥A⁰
⊢ (lift hg) (mk' K x y) = g x / g ↑y

Tactic:
by simp only [mk'_eq_div, map_div₀, lift_algebraMap]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring E
inst✝⁵ : Semiring K
inst✝⁴ : SMul F E
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : CommSemiring F
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : Subalgebra F K
ι : Type u_4
bL : Basis ι F ↥L
⊢ toSubmodule L = span F (Set.range fun i ↦ ↑(bL i))

Tactic:
simpa only [← L.range_val, Submodule.map_span, Submodule.map_top, ← Set.range_comp]
      using! congr_arg (Submodule.map (L.val : L →ₗ[F] K)) bL.span_eq.symm

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: A : Type u_8
K : Type u_9
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
f g : A ≃+* A
h : (ringEquivOfRingEquivHom A K) f = (ringEquivOfRingEquivHom A K) g
b : A
⊢ f b = g b

Tactic:
simpa using

Goal state after:
A : Type u_8
K : Type u_9
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
f g : A ≃+* A
h : (ringEquivOfRingEquivHom A K) f = (ringEquivOfRingEquivHom A K) g
b : A
⊢ f b = g b
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: A : Type u_8
B : Type u_9
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : CommRing B
inst✝¹⁰ : Algebra A B
K : Type u_10
L : Type u_11
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra A K
inst✝⁶ : Algebra B L
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : Algebra A L
inst✝² : IsScalarTower A B L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsScalarTower A K L
f g : B ≃ₐ[A] B
h : (fieldEquivOfAlgEquivHom K L) f = (fieldEquivOfAlgEquivHom K L) g
b : B
⊢ f b = g b

Tactic:
simpa using

Goal state after:
A : Type u_8
B : Type u_9
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : CommRing B
inst✝¹⁰ : Algebra A B
K : Type u_10
L : Type u_11
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra A K
inst✝⁶ : Algebra B L
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : Algebra A L
inst✝² : IsScalarTower A B L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsScalarTower A K L
f g : B ≃ₐ[A] B
h : (fieldEquivOfAlgEquivHom K L) f = (fieldEquivOfAlgEquivHom K L) g
b : B
⊢ f b = g b
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: G : Type u_10
B : Type u_12
L : Type u_14
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : MulSemiringAction G B
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra B L
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : MulSemiringAction G L
inst✝¹ : SMulDistribClass G B L
inst✝ : FaithfulSMul G B
m₁✝ m₂✝ : G
h : ∀ (a : L), m₁✝ • a = m₂✝ • a
x : ?m.65 h
⊢ m₁✝ • x = m₂✝ • x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
G : Type u_10
B : Type u_12
L : Type u_14
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : MulSemiringAction G B
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra B L
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : MulSemiringAction G L
inst✝¹ : SMulDistribClass G B L
inst✝ : FaithfulSMul G B
m₁✝ m₂✝ : G
h : ∀ (a : L), m₁✝ • a = m₂✝ • a
x : ?m.65 h
⊢ m₁✝ • x = m₂✝ • x
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
M : Submonoid R
m : ℕ
⊢ mk (↑m) 1 = ↑m

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
M : Submonoid R
m : ℕ
⊢ mk (↑m) 1 = ↑m
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Finite

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Nontrivial M
n : ℕ
f : Fin n → M
hf : Submodule.span R (Set.range f) = ⊤
s : Set ℕ := {m | Submodule.span R (f '' Fin.val ⁻¹' Set.Iio m) ≠ ⊤}
x : ℕ
hx : x ∈ s
e : n ≤ x
y : Fin n
⊢ y ∈ Fin.val ⁻¹' Set.Iio x ↔ y ∈ Set.univ

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Nontrivial M
n : ℕ
f : Fin n → M
hf : Submodule.span R (Set.range f) = ⊤
s : Set ℕ := {m | Submodule.span R (f '' Fin.val ⁻¹' Set.Iio m) ≠ ⊤}
x : ℕ
hx : x ∈ s
e : n ≤ x
y : Fin n
⊢ ↑y < x
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
M : Submonoid R
m : ℤ
⊢ mk (↑m) 1 = ↑m

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
M : Submonoid R
m : ℤ
⊢ mk (↑m) 1 = ↑m
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
M : Submonoid R
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
a c : R
b d : ↥M
h : a * ↑d = ↑b * c
⊢ 1 * (↑d * a) = 1 * (↑b * c)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
M : Submonoid R
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
a c : R
b d : ↥M
h : a * ↑d = ↑b * c
⊢ ↑d * a = ↑b * c
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Finite

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Nontrivial M
N : Submodule R M
hN : N ≠ ⊤
x : M ⧸ N
hx : ⊤ = R ∙ x
f : (R ⧸ (LinearMap.toSpanSingleton R (M ⧸ N) x).ker) ≃ₗ[R] M ⧸ N :=
  (LinearMap.toSpanSingleton R (M ⧸ N) x).quotKerEquivOfSurjective ⋯
e : (LinearMap.toSpanSingleton R (M ⧸ N) x).ker = ⊤
⊢ x = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Nontrivial M
N : Submodule R M
hN : N ≠ ⊤
x : M ⧸ N
hx : ⊤ = R ∙ x
f : (R ⧸ (LinearMap.toSpanSingleton R (M ⧸ N) x).ker) ≃ₗ[R] M ⧸ N :=
  (LinearMap.toSpanSingleton R (M ⧸ N) x).quotKerEquivOfSurjective ⋯
e : (LinearMap.toSpanSingleton R (M ⧸ N) x).ker = ⊤
⊢ x = 0
Module: Mathlib.Algebra.Star.Pointwise

Goal state before:
pp: S : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : InvolutiveStar α
inst✝¹ : SetLike S α
inst✝ : StarMemClass S α
s : S
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ star ↑s ↔ x✝ ∈ ↑s

Tactic:
simpa using

Goal state after:
S : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : InvolutiveStar α
inst✝¹ : SetLike S α
inst✝ : StarMemClass S α
s : S
x✝ : α
⊢ star x✝ ∈ s ↔ x✝ ∈ s
Module: Mathlib.Algebra.Star.StarProjection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
p q : R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝ : StarRing R
hp : IsStarProjection p
hq : IsStarProjection q
hpq : p * q = 0
⊢ q * p = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
p q : R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝ : StarRing R
hp : IsStarProjection p
hq : IsStarProjection q
hpq : p * q = 0
⊢ q * p = 0
Module: Mathlib.Algebra.Star.StarProjection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
p q : R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝ : StarRing R
hp : IsStarProjection p
hq : IsStarProjection q
hpq : p * q = p
⊢ q * p = p

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
p q : R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝ : StarRing R
hp : IsStarProjection p
hq : IsStarProjection q
hpq : p * q = p
⊢ q * p = p
Module: Mathlib.Algebra.Star.StarProjection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
p q : R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝ : StarRing R
hp : IsStarProjection p
hq : IsStarProjection q
hqp : q * p = p
⊢ p * q = p

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
p q : R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝ : StarRing R
hp : IsStarProjection p
hq : IsStarProjection q
hqp : q * p = p
⊢ p * q = p
Module: Mathlib.Algebra.Star.Center

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
ha : a ∈ center R
b c : R
⊢ star a * (b * c) = star a * b * c

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
ha : a ∈ center R
b c : R
⊢ star a * (b * c) = star a * b * c