mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Tautological

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁴ : Ring A
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module A M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module A N
s : (tautologicalRelations A M).Solution N
m₁ m₂ : M
⊢ s.var m₁ + s.var m₂ - s.var (m₁ + m₂) = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
A : Type u
inst✝⁴ : Ring A
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module A M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module A N
s : (tautologicalRelations A M).Solution N
m₁ m₂ : M
⊢ s.var m₁ + s.var m₂ - s.var (m₁ + m₂) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Tautological

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁴ : Ring A
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module A M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module A N
s : (tautologicalRelations A M).Solution N
a : A
m : M
⊢ (RingHom.id A) a • s.var m - s.var (a • m) = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
A : Type u
inst✝⁴ : Ring A
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module A M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module A N
s : (tautologicalRelations A M).Solution N
a : A
m : M
⊢ a • s.var m - s.var (a • m) = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
x : ι → M
h : IsTrivialRelation f x
⊢ ∑ i, f i • x i = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
x : ι → M
h : IsTrivialRelation f x
⊢ ∑ i, f i • x i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Vanishing

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R m
hG : G = linearCombination R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ (rTensor N G).ker
exact_ker_subtype : Exact ⇑G.ker.subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N G.ker.subtype) ⇑(rTensor N G)
ma : Finset (↥G.ker × N)
hkn : (rTensor N G.ker.subtype) (∑ kj ∈ ma, kj.1 ⊗ₜ[R] kj.2) = en
snd✝ : N
k : ι →₀ R
hk : k ∈ G.ker
property✝ : (⟨k, hk⟩, snd✝) ∈ ma
⊢ ∑ i,
      (match ⟨(⟨k, hk⟩, snd✝), property✝⟩ with
        | ⟨(kj, snd), property⟩ => ↑kj i) •
        m i =
    0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R m
hG : G = linearCombination R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ (rTensor N G).ker
exact_ker_subtype : Exact ⇑G.ker.subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N G.ker.subtype) ⇑(rTensor N G)
ma : Finset (↥G.ker × N)
hkn : (rTensor N G.ker.subtype) (∑ kj ∈ ma, kj.1 ⊗ₜ[R] kj.2) = en
snd✝ : N
k : ι →₀ R
hk : k ∈ G.ker
property✝ : (⟨k, hk⟩, snd✝) ∈ ma
⊢ ∑ x, k x • m x = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion

Goal state before:
pp: case h.left
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
tfae_1_iff_2 : Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : x f = 0
f' : Fin l → R := ⇑f
x' : Fin l → M := fun i ↦ x (Finsupp.single i 1)
this : ∑ i, f' i • x' i = 0
k : ℕ
a' : Fin l → Fin k → R
y' : Fin k → M
ha'y' : ∀ (i : Fin l), x' i = ∑ j, a' i j • y' j
ha' : ∀ (j : Fin k), ∑ i, f' i * a' i j = 0
i : Fin l
⊢ x (Finsupp.basisSingleOne i) =
    (linearCombination R y' ∘ₗ linearCombination R fun i ↦ equivFunOnFinite.symm (a' i)) (Finsupp.basisSingleOne i)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case h.left
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
tfae_1_iff_2 : Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : x f = 0
f' : Fin l → R := ⇑f
x' : Fin l → M := fun i ↦ x (Finsupp.single i 1)
this : ∑ i, f' i • x' i = 0
k : ℕ
a' : Fin l → Fin k → R
y' : Fin k → M
ha'y' : ∀ (i : Fin l), x' i = ∑ j, a' i j • y' j
ha' : ∀ (j : Fin k), ∑ i, f' i * a' i j = 0
i : Fin l
⊢ x (Finsupp.single i 1) = ∑ x, a' i x • y' x
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝⁴ : Algebra R R'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f g : P.Hom P'
x : P.CotangentSpace
⊢ (CotangentSpace.map f - CotangentSpace.map g) x = (↑S P'.cotangentComplex ∘ₗ f.sub g) x

Tactic:
induction x using TensorProduct.induction_on with
  | zero =>
    simp only [map_zero]
  | add =>
    simp only [map_add, LinearMap.coe_comp, LinearMap.coe_restrictScalars, Function.comp_apply, *]
  | tmul x y =>
    obtain ⟨y, rfl⟩ := KaehlerDifferential.tensorProductTo_surjective _ _ y
    induction y with
    | zero => simp only [map_zero, tmul_zero]
    | add => simp only [map_add, tmul_add, LinearMap.coe_comp, LinearMap.coe_restrictScalars,
      Function.comp_apply, *]
    | tmul =>
      simp only [Derivation.tensorProductTo_tmul, tmul_smul, smul_tmul', LinearMap.sub_apply,
        map_tmul, Hom.toAlgHom_apply, LinearMap.coe_comp, LinearMap.coe_restrictScalars,
        Function.comp_apply, Hom.sub_tmul, LinearMap.map_smul_of_tower, cotangentComplex_mk,
        Hom.subToKer_apply_coe, map_sub, ← algebraMap_eq_smul_one, tmul_sub, smul_sub]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
tfae_1_iff_2 : Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x) →
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
h₅ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : ∑ i, f i • x i = 0
f' : Fin l →₀ R := equivFunOnFinite.symm f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
⊢ x' f' = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
tfae_1_iff_2 : Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x) →
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
h₅ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : ∑ i, f i • x i = 0
f' : Fin l →₀ R := equivFunOnFinite.symm f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
⊢ ∑ x_1, f x_1 • x x_1 = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝²³ : CommRing R
inst✝²² : CommRing S
inst✝²¹ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²⁰ : CommRing R'
inst✝¹⁹ : CommRing S'
inst✝¹⁸ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝¹⁷ : Algebra R R'
inst✝¹⁶ : Algebra S S'
inst✝¹⁵ : Algebra R S'
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R R' S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹³ : CommRing R''
inst✝¹² : CommRing S''
inst✝¹¹ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹⁰ : Algebra R R''
inst✝⁹ : Algebra S S''
inst✝⁸ : Algebra R S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R R' R''
inst✝¹ : IsScalarTower S S' S''
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
x : P.Cotangent
hx : x ∈ P.cotangentComplex.ker
⊢ (Cotangent.map f) x ∈ Submodule.restrictScalars S P'.cotangentComplex.ker

Tactic:
simp only [LinearMap.mem_ker, Submodule.restrictScalars_mem] at hx ⊢

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝²³ : CommRing R
inst✝²² : CommRing S
inst✝²¹ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²⁰ : CommRing R'
inst✝¹⁹ : CommRing S'
inst✝¹⁸ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝¹⁷ : Algebra R R'
inst✝¹⁶ : Algebra S S'
inst✝¹⁵ : Algebra R S'
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R R' S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹³ : CommRing R''
inst✝¹² : CommRing S''
inst✝¹¹ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹⁰ : Algebra R R''
inst✝⁹ : Algebra S S''
inst✝⁸ : Algebra R S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R R' R''
inst✝¹ : IsScalarTower S S' S''
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
x : P.Cotangent
hx : P.cotangentComplex x = 0
⊢ P'.cotangentComplex ((Cotangent.map f) x) = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
tfae_1_iff_2 : Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x) →
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
h₅ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : ∑ i, f i • x i = 0
f' : Fin l →₀ R := equivFunOnFinite.symm f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
this : x' f' = 0
k : ℕ
a' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y' : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
ha'y' : x' = y' ∘ₗ a'
ha' : a' f' = 0
i : Fin l
⊢ x i = ∑ j, (fun i ↦ ⇑(a' (Finsupp.single i 1))) i j • (fun j ↦ y' (Finsupp.single j 1)) j

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
tfae_1_iff_2 : Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x) →
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
h₅ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : ∑ i, f i • x i = 0
f' : Fin l →₀ R := equivFunOnFinite.symm f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
this : x' f' = 0
k : ℕ
a' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y' : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
ha'y' : x' = y' ∘ₗ a'
ha' : a' f' = 0
i : Fin l
⊢ x i = y' (a' (Finsupp.single i 1))
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.ChineseRemainder

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
ι : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : ι → Ideal R
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x✝ : M
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry (rTensor M (LinearMap.pi fun i ↦ Submodule.mkQ (I i)))) 1) x✝ =
    ((AlgebraTensorModule.curry
          (↑(piLeft R M fun i ↦ R ⧸ I i).symm ∘ₗ
            (LinearMap.pi fun i ↦ (TensorProduct.mk R (R ⧸ I i) M) 1) ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid R M)))
        1)
      x✝

Tactic:
simp [LinearMap.pi, LinearEquiv.piCongrRight]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.ChineseRemainder

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
ι : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
I : ι → Ideal R
hI : Pairwise (IsCoprime on I)
inst✝ : Finite ι
this :
  Surjective
    ⇑(↑(piLeft R M fun i ↦ R ⧸ I i).symm ∘ₗ
        (LinearMap.pi fun i ↦ (TensorProduct.mk R (R ⧸ I i) M) 1) ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid R M))
⊢ Surjective ⇑(LinearMap.pi fun i ↦ (TensorProduct.mk R (R ⧸ I i) M) 1)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
ι : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
I : ι → Ideal R
hI : Pairwise (IsCoprime on I)
inst✝ : Finite ι
this :
  Surjective
    ⇑(↑(piLeft R M fun i ↦ R ⧸ I i).symm ∘ₗ
        (LinearMap.pi fun i ↦ (TensorProduct.mk R (R ⧸ I i) M) 1) ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid R M))
⊢ Surjective ⇑(LinearMap.pi fun i ↦ (TensorProduct.mk R (R ⧸ I i) M) 1)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : FinitePresentation R S
⊢ Module.FinitePresentation S Ω[S⁄R]

Tactic:
let P := Algebra.Presentation.ofFinitePresentation R S

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : FinitePresentation R S
P : Presentation R S (Fin (Presentation.ofFinitePresentationVars R S))
  (Fin (Presentation.ofFinitePresentationRels R S)) :=
  Presentation.ofFinitePresentation R S
⊢ Module.FinitePresentation S Ω[S⁄R]
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : FinitePresentation R S
⊢ Module.FinitePresentation S Ω[S⁄R]

Tactic:
by
  let P := Algebra.Presentation.ofFinitePresentation R S
  have : Algebra.FiniteType R P.toExtension.Ring := by simp [P]; infer_instance
  refine Module.finitePresentation_of_surjective _ P.toExtension.toKaehler_surjective ?_
  rw [LinearMap.exact_iff.mp P.toExtension.exact_cotangentComplex_toKaehler, ← Submodule.map_top]
  exact (Extension.Cotangent.finite P.fg_ker).1.map P.toExtension.cotangentComplex

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
tfae_1_iff_2 : Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x) →
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
h₅ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : ∑ i, f i • x i = 0
f' : Fin l →₀ R := equivFunOnFinite.symm f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
this : x' f' = 0
k : ℕ
a' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y' : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
ha'y' : x' = y' ∘ₗ a'
ha' : a' f' = 0
j : Fin k
⊢ (a' (equivFunOnFinite.symm f)) j = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
tfae_1_iff_2 : Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x) →
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
h₅ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : ∑ i, f i • x i = 0
f' : Fin l →₀ R := equivFunOnFinite.symm f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
this : x' f' = 0
k : ℕ
a' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y' : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
ha'y' : x' = y' ∘ₗ a'
ha' : a' f' = 0
j : Fin k
⊢ (a' (equivFunOnFinite.symm f)) j = 0
Module: Mathlib.RingTheory.QuotSMulTop

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
r : R
M : Type u_1
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Surjective ⇑f
H₁ : Surjective (⇑(r • ⊤).mkQ ∘ ⇑f)
⊢ Surjective (⇑((map r) f) ∘ ⇑(r • ⊤).mkQ)

Tactic:
by
    rwa [← LinearMap.coe_comp, map_comp_mkQ, LinearMap.coe_comp]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.QuotSMulTop

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : R
m : QuotSMulTop x M
m' : M
hm' : Submodule.Quotient.mk m' = m
⊢ x • m = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : R
m : QuotSMulTop x M
m' : M
hm' : Submodule.Quotient.mk m' = m
⊢ x • m' ∈ x • ⊤
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
ι : Type w
ι' : Type u_1
P : Generators R S ι
S' : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S'
inst✝⁸ : Algebra R S'
T : Type w
inst✝⁷ : CommRing T
inst✝⁶ : Algebra R T
inst✝⁵ : Algebra S T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S T
inst✝³ : Algebra S' T
inst✝² : IsScalarTower R S' T
inst✝¹ : FinitePresentation R S
inst✝ : Projective S Ω[S⁄R]
⊢ Module.Finite S (H1Cotangent R S)

Tactic:
let P := Algebra.Presentation.ofFinitePresentation R S

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
ι : Type w
ι' : Type u_1
P✝ : Generators R S ι
S' : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S'
inst✝⁸ : Algebra R S'
T : Type w
inst✝⁷ : CommRing T
inst✝⁶ : Algebra R T
inst✝⁵ : Algebra S T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S T
inst✝³ : Algebra S' T
inst✝² : IsScalarTower R S' T
inst✝¹ : FinitePresentation R S
inst✝ : Projective S Ω[S⁄R]
P : Presentation R S (Fin (Presentation.ofFinitePresentationVars R S))
  (Fin (Presentation.ofFinitePresentationRels R S)) :=
  Presentation.ofFinitePresentation R S
⊢ Module.Finite S (H1Cotangent R S)
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Flat R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Free R N
inst✝ : Module.Finite R N
f : N
x : N →ₗ[R] M
h : x f = 0
e : (Fin (Fintype.card (Free.ChooseBasisIndex R N)) →₀ R) ≃ₗ[R] N
⊢ (x ∘ₗ ↑e) (e.symm f) = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Flat R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Free R N
inst✝ : Module.Finite R N
f : N
x : N →ₗ[R] M
h : x f = 0
e : (Fin (Fintype.card (Free.ChooseBasisIndex R N)) →₀ R) ≃ₗ[R] N
⊢ x f = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
K : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup K
inst✝¹ : Module R K
inst✝ : Module.Finite R K
K' : Submodule R K
k : K
n : ℕ
f : K →ₗ[R] Fin n →₀ R
x : (Fin n →₀ R) →ₗ[R] M
h : x ∘ₗ f = 0
⊢ x (f k) = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
K : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup K
inst✝¹ : Module R K
inst✝ : Module.Finite R K
K' : Submodule R K
k : K
n : ℕ
f : K →ₗ[R] Fin n →₀ R
x : (Fin n →₀ R) →ₗ[R] M
h : x ∘ₗ f = 0
⊢ x (f k) = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion

Goal state before:
pp: case singleton
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
K : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup K
inst✝¹ : Module R K
inst✝ : Module.Finite R K
K' : Submodule R K
k : K
n : ℕ
f : K →ₗ[R] Fin n →₀ R
x : (Fin n →₀ R) →ₗ[R] M
h : x ∘ₗ f = 0
this : x (f k) = 0
⊢ ∃ k_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ R ∙ k ≤ (a ∘ₗ f).ker

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case singleton
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
K : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup K
inst✝¹ : Module R K
inst✝ : Module.Finite R K
K' : Submodule R K
k : K
n : ℕ
f : K →ₗ[R] Fin n →₀ R
x : (Fin n →₀ R) →ₗ[R] M
h : x ∘ₗ f = 0
this : x (f k) = 0
⊢ ∃ k_1 a, (∃ x_1, x = x_1 ∘ₗ a) ∧ a (f k) = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Support

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : R
H : Module.support R M ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus {f}
m : M
h : m = 0
⊢ 1 • m = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : R
H : Module.support R M ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus {f}
m : M
h : m = 0
⊢ m = 0