mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.VectorField

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
x : E
h'f : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
M : E ≃L[𝕜] F
hM : ↑M = fderivWithin 𝕜 f s x
U : Set E := {y | ∃ N, ↑N = fderivWithin 𝕜 f s y}
hU : U ∈ 𝓝[s] x
N : E → E ≃L[𝕜] F := fun x ↦ if h : x ∈ U then Exists.choose h else M
eN : (fun y ↦ ↑(N y)) =ᶠ[𝓝[s] x] fun y ↦ fderivWithin 𝕜 f s y
e'N : ↑(N x) = fderivWithin 𝕜 f s x
hN : ContDiffWithinAt 𝕜 1 (fun y ↦ ↑(N y)) s x
hN' : ContDiffWithinAt 𝕜 1 (fun y ↦ ↑(N y).symm) s x
v : E
A' : ∀ (y : E), ((ContinuousLinearMap.compL 𝕜 F E F) ↑(N y)) ↑(N y).symm = ContinuousLinearMap.id 𝕜 F
this :
  (((ContinuousLinearMap.precompR E (ContinuousLinearMap.compL 𝕜 F E F)) ↑(N x))
          (fderivWithin 𝕜 (fun y ↦ ↑(N y).symm) s x) +
        ((ContinuousLinearMap.precompL E (ContinuousLinearMap.compL 𝕜 F E F)) (fderivWithin 𝕜 (fun y ↦ ↑(N y)) s x))
          ↑(N x).symm)
      v =
    0
⊢ ↑(N x) ∘SL (fderivWithin 𝕜 (fun y ↦ ↑(N y).symm) s x) v = -(fderivWithin 𝕜 (fun y ↦ ↑(N y)) s x) v ∘SL ↑(N x).symm

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
x : E
h'f : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
M : E ≃L[𝕜] F
hM : ↑M = fderivWithin 𝕜 f s x
U : Set E := {y | ∃ N, ↑N = fderivWithin 𝕜 f s y}
hU : U ∈ 𝓝[s] x
N : E → E ≃L[𝕜] F := fun x ↦ if h : x ∈ U then Exists.choose h else M
eN : (fun y ↦ ↑(N y)) =ᶠ[𝓝[s] x] fun y ↦ fderivWithin 𝕜 f s y
e'N : ↑(N x) = fderivWithin 𝕜 f s x
hN : ContDiffWithinAt 𝕜 1 (fun y ↦ ↑(N y)) s x
hN' : ContDiffWithinAt 𝕜 1 (fun y ↦ ↑(N y).symm) s x
v : E
A' : ∀ (y : E), ((ContinuousLinearMap.compL 𝕜 F E F) ↑(N y)) ↑(N y).symm = ContinuousLinearMap.id 𝕜 F
this :
  (((ContinuousLinearMap.precompR E (ContinuousLinearMap.compL 𝕜 F E F)) ↑(N x))
          (fderivWithin 𝕜 (fun y ↦ ↑(N y).symm) s x) +
        ((ContinuousLinearMap.precompL E (ContinuousLinearMap.compL 𝕜 F E F)) (fderivWithin 𝕜 (fun y ↦ ↑(N y)) s x))
          ↑(N x).symm)
      v =
    0
⊢ ↑(N x) ∘SL (fderivWithin 𝕜 (fun y ↦ ↑(N y).symm) s x) v + (fderivWithin 𝕜 (fun y ↦ ↑(N y)) s x) v ∘SL ↑(N x).symm = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ s ∈ 𝓝 (x + 0 • v)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ s ∈ 𝓝 x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.Basic

Goal state before:
pp: case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f₀ f₁ : E → F
f' : F
s : Set E
x v : E
h : f₀ =ᶠ[𝓝[s] x] f₁
hx : f₀ x = f₁ x
⊢ f₀ (x + 0 • v) = f₁ (x + 0 • v)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f₀ f₁ : E → F
f' : F
s : Set E
x v : E
h : f₀ =ᶠ[𝓝[s] x] f₁
hx : f₀ x = f₁ x
⊢ f₀ x = f₁ x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₁ : E → F
s : Set E
x v : E
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ f₁ (x + 0 • v) = f (x + 0 • v)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₁ : E → F
s : Set E
x v : E
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ f₁ x = f x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
v : E
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A :
  Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
    fun t ↦ x₀ + t • v
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
v : E
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A :
  Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
    fun t ↦ x₀ + t • v
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
v : E
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A :
  Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
    fun t ↦ x₀ + t • v
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
t : 𝕜
ht : ‖f (x₀ + t • v) - f x₀‖ ≤ C * (‖v‖ * ‖t‖)
⊢ ‖f (x₀ + t • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖t - 0‖

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
v : E
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A :
  Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
    fun t ↦ x₀ + t • v
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
t : 𝕜
ht : ‖f (x₀ + t • v) - f x₀‖ ≤ C * (‖v‖ * ‖t‖)
⊢ ‖f (x₀ + t • v) - f x₀‖ ≤ C * (‖v‖ * ‖t‖)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
v : E
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A :
  Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
    fun t ↦ x₀ + t • v
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
v : E
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A :
  Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
    fun t ↦ x₀ + t • v
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
v : E
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A :
  Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
    fun t ↦ x₀ + t • v
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
t : 𝕜
ht : ‖f (x₀ + t • v) - f x₀‖ ≤ C * (‖v‖ * ‖t‖)
⊢ ‖f (x₀ + t • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖t - 0‖

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
v : E
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A :
  Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
    fun t ↦ x₀ + t • v
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
t : 𝕜
ht : ‖f (x₀ + t • v) - f x₀‖ ≤ C * (‖v‖ * ‖t‖)
⊢ ‖f (x₀ + t • v) - f x₀‖ ≤ C * (‖v‖ * ‖t‖)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
E' : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E'
inst✝ : Module 𝕜 E'
f : E → F
f' : F
x : E'
L : E' →ₗ[𝕜] E
v : E'
hf : HasLineDerivAt 𝕜 (f ∘ ⇑L) f' x v
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f f' (L x) (L v)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
E' : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E'
inst✝ : Module 𝕜 E'
f : E → F
f' : F
x : E'
L : E' →ₗ[𝕜] E
v : E'
hf : HasLineDerivAt 𝕜 (f ∘ ⇑L) f' x v
⊢ HasDerivAt (fun t ↦ f (L x + t • L v)) f' 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (c • f') s x (c • v)
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (c • f') s x (c • v)
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
x v : E
f' : F
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
h : HasLineDerivAt 𝕜 f (c • f') x (c • v)
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
x v : E
f' : F
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
h : HasLineDerivAt 𝕜 f (c • f') x (c • v)
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
h : LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x (c • v)
⊢ LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x v

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
h : LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x (c • v)
⊢ LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x v
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
x v : E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
h : LineDifferentiableAt 𝕜 f x (c • v)
⊢ LineDifferentiableAt 𝕜 f x v

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
x v : E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
h : LineDifferentiableAt 𝕜 f x (c • v)
⊢ LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
x v : E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
H : ¬LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
⊢ ¬LineDifferentiableAt 𝕜 f x (c • v)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
x v : E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
H : ¬LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
⊢ ¬LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
h4v : x + 4 • v ∈ interior s
h4w : x + 4 • w ∈ interior s
A : (fun h ↦ h ^ 2 • ((f'' w) v - (f'' v) w)) =o[𝓝[>] 0] fun h ↦ h ^ 2
B : (fun x ↦ (f'' w) v - (f'' v) w) =o[𝓝[>] 0] fun x ↦ 1
⊢ (f'' w) v = (f'' v) w

Tactic:
simpa using

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
h4v : x + 4 • v ∈ interior s
h4w : x + 4 • w ∈ interior s
A : (fun h ↦ h ^ 2 • ((f'' w) v - (f'' v) w)) =o[𝓝[>] 0] fun h ↦ h ^ 2
B : (fun x ↦ (f'' w) v - (f'' v) w) =o[𝓝[>] 0] fun x ↦ 1
⊢ (f'' w) v = (f'' v) w
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun r ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun x ↦ {r | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
x : α
xs : x ∈ s
δ : ℝ
δpos : δ > 0
t : Set α
tf : t ∈ f x
ht : t ⊆ closedBall x (δ / 2)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ closedBall x r = t

Tactic:
simpa using

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun r ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun x ↦ {r | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
x : α
xs : x ∈ s
δ : ℝ
δpos : δ > 0
t : Set α
tf : t ∈ f x
ht : t ⊆ closedBall x (δ / 2)
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ closedBall x r = t
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Norm

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : StrongDual ℝ E
x : E
t : ℝ
ht : t < 0
h : HasStrictFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) f x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) (-f) (t • x)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : StrongDual ℝ E
x : E
t : ℝ
ht : t < 0
h : HasStrictFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) f x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) (-f) (t • x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Norm

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : StrongDual ℝ E
x : E
t : ℝ
ht : 0 < t
h : HasStrictFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) f x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) f (t • x)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : StrongDual ℝ E
x : E
t : ℝ
ht : 0 < t
h : HasStrictFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) f x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) f (t • x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
h : ¬IsRCLikeNormedField 𝕜
hn : n = ω
⊢ ContDiffAt 𝕜 ω f x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
h : ¬IsRCLikeNormedField 𝕜
hn : n = ω
⊢ ContDiffAt 𝕜 ω f x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Partial

Goal state before:

Tactic:
fun (v, w) => f v.1 w.2 - f w.1 w.2 - ↿f₁ u (v.1 - w.1)
          _ =o[(𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2)] (fun (v, w) => v.1 - w.1 : _ → E₁) := by
            have h := tendsto_snd.prodMk <| tendsto_snd.comp <| tendsto_snd.comp <|
              tendsto_fst (f := (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2)) (g := 𝓝 u.1)
            let : NormedSpace ℝ E₁ := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 E₁
            apply isLittleO_sub_sub_fderiv (α := (E₁ × E₂) × (E₁ × E₂))
              (f := fun (v, w) x => f x w.2) (f' := fun (v, w) x => f₁ x w.2)
              (tendsto_fst.comp tendsto_fst) (tendsto_fst.comp tendsto_snd)
            · simpa using! h.eventually df₁
            · simpa using! cf₁.comp h
          _ =O[(𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2)] (fun (v, w) => v - w : _ → E₁ × E₂) := by
            simp [isBigO_of_le]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Norm

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : StrongDual ℝ E
x : E
t : ℝ
ht : t < 0
h : HasFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) f x
⊢ HasFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) (-f) (t • x)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : StrongDual ℝ E
x : E
t : ℝ
ht : t < 0
h : HasFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) f x
⊢ HasFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) (-f) (t • x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Norm

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : StrongDual ℝ E
x : E
t : ℝ
ht : 0 < t
h : HasFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) f x
⊢ HasFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) f (t • x)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : StrongDual ℝ E
x : E
t : ℝ
ht : 0 < t
h : HasFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) f x
⊢ HasFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) f (t • x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Gradient.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
x : F
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ HasGradientAt f (∇ f x) x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
x : F
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ HasFDerivAt f (fderiv 𝕜 f x) x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Gradient.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
x : F
s : Set F
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ HasGradientWithinAt f (gradientWithin f s x) s x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
x : F
s : Set F
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ HasFDerivWithinAt f (fderivWithin 𝕜 f s x) s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Gradient.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜
g' u : 𝕜
h : HasDerivAt g (((toDual 𝕜 𝕜) g') 1) u
⊢ HasDerivAt g ((starRingEnd 𝕜) g') u

Tactic:
simpa using

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜
g' u : 𝕜
h : HasDerivAt g (((toDual 𝕜 𝕜) g') 1) u
⊢ HasDerivAt g ((starRingEnd 𝕜) g') u
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ImplicitFunction.ProdDomain

Goal state before:
pp: case disjoint
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E₁ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁶ : CompleteSpace E₁
E₂ : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝³ : CompleteSpace E₂
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
u : E₁ × E₂
f : E₁ × E₂ → F
f'u : E₁ × E₂ →L[𝕜] F
dfu : HasStrictFDerivAt f f'u u
if₂u : (f'u ∘SL ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E₁ E₂).IsInvertible
y : E₂
h : (0, y) ∈ (↑f'u).ker
⊢ (0, y) = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case disjoint
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E₁ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁶ : CompleteSpace E₁
E₂ : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝³ : CompleteSpace E₂
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
u : E₁ × E₂
f : E₁ × E₂ → F
f'u : E₁ × E₂ →L[𝕜] F
dfu : HasStrictFDerivAt f f'u u
if₂u : (f'u ∘SL ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E₁ E₂).IsInvertible
y : E₂
h : (0, y) ∈ (↑f'u).ker
⊢ y = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ImplicitFunction.ProdDomain

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E₁ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁶ : CompleteSpace E₁
E₂ : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝³ : CompleteSpace E₂
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
u : E₁ × E₂
f : E₁ × E₂ → F
f'u : E₁ × E₂ →L[𝕜] F
dfu : HasStrictFDerivAt f f'u u
if₂u : (f'u ∘SL ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E₁ E₂).IsInvertible
⊢ IsCompl (↑f'u).ker (↑(ContinuousLinearMap.fst 𝕜 E₁ E₂)).ker

Tactic:
by
    constructor
    · rw [LinearMap.disjoint_ker]
      intro (_, y) h rfl
      simpa using (injective_iff_map_eq_zero _).mp if₂u.injective y h
    · rw [Submodule.codisjoint_iff_exists_add_eq]
      intro v
      have ⟨y, hy⟩ := if₂u.surjective (f'u v)
      use v - (0, y), (0, y)
      aesop

Goal state after: