mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Data.ZMod.ValMinAbs

Goal state before:
pp: p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq : Fact (Nat.Prime q)
hpq : p ≠ q
⊢ ¬q ≡ 0 [MOD p]

Tactic:
Nat.modEq_zero_iff_dvd,

Goal state after:
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq : Fact (Nat.Prime q)
hpq : p ≠ q
⊢ ¬p ∣ q
Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
hg₂ : (expand K (p ^ 0)) g = minpoly K x
⊢ g = minpoly K x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
hg₂ : (expand K (p ^ 0)) g = minpoly K x
⊢ g = minpoly K x
Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this✝ : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : (expand K (p ^ (n + 1))) g = minpoly K x
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this : p ^ (n + 1) = 1
⊢ g = minpoly K x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this✝ : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : (expand K (p ^ (n + 1))) g = minpoly K x
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this : p ^ (n + 1) = 1
⊢ g = minpoly K x
Module: Mathlib.FieldTheory.Galois.IsGaloisGroup

Goal state before:
pp: G : Type u_1
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : MulSemiringAction G L
hGKL : IsGaloisGroup G K L
this : FaithfulSMul G L
x✝ : G
⊢ x✝ ∈ fixingSubgroup G ↑⊤ ↔ x✝ ∈ ⊥

Tactic:
simpa using

Goal state after:
G : Type u_1
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : MulSemiringAction G L
hGKL : IsGaloisGroup G K L
this : FaithfulSMul G L
x✝ : G
⊢ (∀ (y : L), x✝ • y = y) ↔ x✝ = 1
Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
ι : Type w
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
this : FiniteDimensional K L
pb : PowerBasis K L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable K L
⊢ ((LinearMap.BilinForm.toMatrix pb.basis) (traceForm K L)).det ≠ 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_2
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
ι : Type w
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
this : FiniteDimensional K L
pb : PowerBasis K L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable K L
⊢ ((LinearMap.BilinForm.toMatrix pb.basis) (traceForm K L)).det ≠ 0
Module: Mathlib.RingTheory.Invariant.Basic

Goal state before:
pp: case neg
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Algebra A B
G : Type u_3
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : Finite G
inst✝¹³ : MulSemiringAction G B
inst✝¹² : SMulCommClass G A B
P : Ideal A
Q : Ideal B
inst✝¹¹ : Q.IsPrime
inst✝¹⁰ : Q.LiesOver P
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra (A ⧸ P) K
inst✝⁶ : Algebra (B ⧸ Q) L
inst✝⁵ : Algebra (A ⧸ P) L
inst✝⁴ : IsScalarTower (A ⧸ P) (B ⧸ Q) L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsScalarTower (A ⧸ P) K L
inst✝¹ : Algebra.IsInvariant A B G
inst✝ : Module.IsTorsionFree (B ⧸ Q) L
f : Gal(L/K)
val✝ : Fintype G
b₀ : B
hx :
  ∀ (g : ↥(MulAction.stabilizer G Q)),
    ((Ideal.Quotient.stabilizerHom Q P G) g) ((Ideal.Quotient.mk Q) b₀) = (Ideal.Quotient.mk Q) b₀
a b : B
ha1 : ∀ (g : G), g • a = a
ha2 : a ∉ Q
hb : ∀ (g : G), (algebraMap B (B ⧸ Q)) (g • b) = (algebraMap B (B ⧸ Q)) (if g • Q = Q then a * b₀ else 0)
M : A[X]
key : map (algebraMap (A ⧸ P) (B ⧸ Q)) (map (algebraMap A (A ⧸ P)) M) = ∏ i, map (algebraMap B (B ⧸ Q)) (X - C (i • b))
g : G
h✝ : ¬g • Q = Q
⊢ X - C ((algebraMap B (B ⧸ Q)) 0) = X

Tactic:
rw [map_zero, map_zero, sub_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Int.Associated

Goal state before:
pp: case mpr
a : ℤ
u : ℤˣ
⊢ a = a * ↑u ∨ a = -(a * ↑u)

Tactic:
obtain rfl | rfl := Int.units_eq_one_or u

Goal state after:
case mpr.inl
a : ℤ
⊢ a = a * ↑1 ∨ a = -(a * ↑1)

case mpr.inr
a : ℤ
⊢ a = a * ↑(-1) ∨ a = -(a * ↑(-1))
Module: Mathlib.FieldTheory.Finite.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype K
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Finite L
this✝ : Fintype L
m : ℕ
lt : m < Module.finrank K L
pos : 0 < m
eq : frobeniusAlgHom K L ^ m = 1
x : L
x✝ : x ∈ univ.val
this : (fun x ↦ x ^ q ^ m) x - x = 0
h : X ^ q ^ m - X = 0
⊢ False

Tactic:
simpa using

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype K
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Finite L
this✝ : Fintype L
m : ℕ
lt : m < Module.finrank K L
pos : 0 < m
eq : frobeniusAlgHom K L ^ m = 1
x : L
x✝ : x ∈ univ.val
this : (fun x ↦ x ^ q ^ m) x - x = 0
h : X ^ q ^ m - X = 0
⊢ False
Module: Mathlib.FieldTheory.Galois.IsGaloisGroup

Goal state before:
pp: G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Group G
inst✝¹⁶ : Group G'
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : CommRing C
inst✝¹² : IsDomain C
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra A C
inst✝⁹ : Algebra B C
inst✝⁸ : FaithfulSMul A B
inst✝⁷ : FaithfulSMul B C
inst✝⁶ : IsScalarTower A B C
inst✝⁵ : Finite G
inst✝⁴ : Finite G'
inst✝³ : MulSemiringAction G C
inst✝² : IsGaloisGroup G A C
inst✝¹ : MulSemiringAction G' B
inst✝ : IsGaloisGroup G' A B
⊢ Function.Surjective ⇑(restrictHom G G' A B C)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Group G
inst✝¹⁶ : Group G'
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : CommRing C
inst✝¹² : IsDomain C
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra A C
inst✝⁹ : Algebra B C
inst✝⁸ : FaithfulSMul A B
inst✝⁷ : FaithfulSMul B C
inst✝⁶ : IsScalarTower A B C
inst✝⁵ : Finite G
inst✝⁴ : Finite G'
inst✝³ : MulSemiringAction G C
inst✝² : IsGaloisGroup G A C
inst✝¹ : MulSemiringAction G' B
inst✝ : IsGaloisGroup G' A B
⊢ Function.Surjective QuotientGroup.mk
Module: Mathlib.FieldTheory.Galois.IsGaloisGroup

Goal state before:
pp: G : Type u_1
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : MulSemiringAction G L
H : Subgroup G
F : IntermediateField K L
N : Subgroup G
inst✝³ : N.Normal
inst✝² : IsGaloisGroup (↥N) (↥F) L
E : IntermediateField K L
hE : IsGaloisGroup (↥H) (↥E) L
inst✝¹ : Finite G
inst✝ : IsGaloisGroup G K L
h : E ≤ F
this✝³ : Algebra ↥E ↥F := ⋯
this✝² : SMul G ↥F := ⋯
this✝¹ : SMulDistribClass G (↥F) L
this✝ : MulSemiringAction G ↥F := ⋯
this : IsScalarTower (↥E) (↥F) L
g : G
hg : g ∈ ↑H
x : ↥E
y : ↥F
⊢ (algebraMap (↥F) L) (⟨(QuotientGroup.mk' N) g, ⋯⟩ • x • y) =
    (algebraMap (↥F) L) (x • ⟨(QuotientGroup.mk' N) g, ⋯⟩ • y)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
G : Type u_1
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : MulSemiringAction G L
H : Subgroup G
F : IntermediateField K L
N : Subgroup G
inst✝³ : N.Normal
inst✝² : IsGaloisGroup (↥N) (↥F) L
E : IntermediateField K L
hE : IsGaloisGroup (↥H) (↥E) L
inst✝¹ : Finite G
inst✝ : IsGaloisGroup G K L
h : E ≤ F
this✝³ : Algebra ↥E ↥F := (IntermediateField.inclusion h).toAlgebra
this✝² : SMul G ↥F := smulOfNormal G (↥F) L N
this✝¹ : SMulDistribClass G (↥F) L
this✝ : MulSemiringAction G ↥F := mulSemiringActionOfSmulDistribClass (↥F) L G
this : IsScalarTower (↥E) (↥F) L
g : G
hg : g ∈ ↑H
x : ↥E
y : ↥F
⊢ g • x • ↑y = x • g • ↑y
Module: Mathlib.FieldTheory.Finite.Basic

Goal state before:
pp: case inr
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
hp_odd : p % 2 = 1
f : (ZMod p)[X] := X ^ 2
g : (ZMod p)[X] := X ^ 2 - C x
a b : ZMod p
hab : eval a f + eval b g = 0
⊢ a ^ 2 + b ^ 2 - x = 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case inr
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
hp_odd : p % 2 = 1
f : (ZMod p)[X] := X ^ 2
g : (ZMod p)[X] := X ^ 2 - C x
a b : ZMod p
hab : eval a f + eval b g = 0
⊢ a ^ 2 + b ^ 2 - x = 0
Module: Mathlib.FieldTheory.Finite.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : IsDomain R
p : ℕ
inst✝¹ : NeZero p
inst✝ : CharP R p
x : ℤ
this : Fact (Nat.Prime p)
a b : ZMod p
hab : a ^ 2 + b ^ 2 = ↑x
⊢ ↑a.val ^ 2 + ↑b.val ^ 2 = ↑x

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : IsDomain R
p : ℕ
inst✝¹ : NeZero p
inst✝ : CharP R p
x : ℤ
this : Fact (Nat.Prime p)
a b : ZMod p
hab : a ^ 2 + b ^ 2 = ↑x
⊢ a.cast ^ 2 + b.cast ^ 2 = ↑x
Module: Mathlib.FieldTheory.Finite.Basic

Goal state before:
pp: p : ℕ
hp : Nat.Prime p
n : ℤ
hpn : IsCoprime n ↑p
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : ¬↑n = 0
⊢ n ^ (p - 1) ≡ 1 [ZMOD ↑p]

Tactic:
simpa using

Goal state after:
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
n : ℤ
hpn : IsCoprime n ↑p
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : ¬↑n = 0
⊢ ↑n ^ (p - 1) = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Quotient.Pi

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (Ns i)
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
f : (i : ι) → Ms i →ₗ[R] Ns i
hf : ∀ (i : ι), p i ≤ (f i).ker
x : (i : ι) → Ms i
hx : x ∈ pi Set.univ p
i : ι
⊢ (LinearMap.pi fun i ↦ f i ∘ₗ proj i) x i = 0 i

Tactic:
simpa using

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (Ns i)
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
f : (i : ι) → Ms i →ₗ[R] Ns i
hf : ∀ (i : ι), p i ≤ (f i).ker
x : (i : ι) → Ms i
hx : x ∈ pi Set.univ p
i : ι
⊢ (f i) (x i) = 0
Module: Mathlib.FieldTheory.Finite.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Finite F
hF : ringChar F ≠ 2
h : ¬Function.Injective fun x ↦ x * x
⊢ ∃ a, ¬IsSquare a

Tactic:
simpa using

Goal state after:
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Finite F
hF : ringChar F ≠ 2
h : ¬Function.Injective fun x ↦ x * x
⊢ ∃ a, ∀ (x : F), ¬a = x * x
Module: Mathlib.FieldTheory.Finite.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a g : Fˣ
hg : ∀ (x : Fˣ), x ∈ Subgroup.zpowers g
n : ℕ
hn : (fun x ↦ g ^ x) n = a
⊢ IsSquare a ↔ a ^ (Fintype.card F / 2) = 1

Tactic:
have hodd := Nat.two_mul_odd_div_two (FiniteField.odd_card_of_char_ne_two hF)

Goal state after:
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a g : Fˣ
hg : ∀ (x : Fˣ), x ∈ Subgroup.zpowers g
n : ℕ
hn : (fun x ↦ g ^ x) n = a
hodd : 2 * (Fintype.card F / 2) = Fintype.card F - 1
⊢ IsSquare a ↔ a ^ (Fintype.card F / 2) = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Finite.CardQuotient

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Free ℤ M
inst✝² : Module.Finite ℤ M
N : Submodule ℤ M
E : Type u_2
inst✝¹ : EquivLike E M ↥N
inst✝ : AddEquivClass E M ↥N
e : E
b : Basis (Free.ChooseBasisIndex ℤ M) ℤ M := Free.chooseBasis ℤ M
h : finrank ℤ ↥N = finrank ℤ M
a : Free.ChooseBasisIndex ℤ M → ℤ := smithNormalFormCoeffs b h
b' : Basis (Free.ChooseBasisIndex ℤ M) ℤ M := smithNormalFormTopBasis b h
ab : Basis (Free.ChooseBasisIndex ℤ M) ℤ ↥N := smithNormalFormBotBasis b h
ab_eq :
  ∀ (i : Free.ChooseBasisIndex ℤ M),
    ↑((smithNormalFormBotBasis b h) i) = smithNormalFormCoeffs b h i • (smithNormalFormTopBasis b h) i
e' : M ≃ₗ[ℤ] ↥N := b'.equiv ab (Equiv.refl (Free.ChooseBasisIndex ℤ M))
f : M →ₗ[ℤ] M := N.subtype ∘ₗ ↑e'
⊢ (LinearMap.det (N.subtype ∘ₗ (↑e).toIntLinearMap)).natAbs = Nat.card (M ⧸ N)

Tactic:
let f_apply : ∀ x, f x = b'.equiv ab (Equiv.refl _) x := fun x ↦ rfl

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Free ℤ M
inst✝² : Module.Finite ℤ M
N : Submodule ℤ M
E : Type u_2
inst✝¹ : EquivLike E M ↥N
inst✝ : AddEquivClass E M ↥N
e : E
b : Basis (Free.ChooseBasisIndex ℤ M) ℤ M := Free.chooseBasis ℤ M
h : finrank ℤ ↥N = finrank ℤ M
a : Free.ChooseBasisIndex ℤ M → ℤ := smithNormalFormCoeffs b h
b' : Basis (Free.ChooseBasisIndex ℤ M) ℤ M := smithNormalFormTopBasis b h
ab : Basis (Free.ChooseBasisIndex ℤ M) ℤ ↥N := smithNormalFormBotBasis b h
ab_eq :
  ∀ (i : Free.ChooseBasisIndex ℤ M),
    ↑((smithNormalFormBotBasis b h) i) = smithNormalFormCoeffs b h i • (smithNormalFormTopBasis b h) i
e' : M ≃ₗ[ℤ] ↥N := b'.equiv ab (Equiv.refl (Free.ChooseBasisIndex ℤ M))
f : M →ₗ[ℤ] M := N.subtype ∘ₗ ↑e'
f_apply : ∀ (x : M), f x = ↑((b'.equiv ab (Equiv.refl (Free.ChooseBasisIndex ℤ M))) x) := fun x ↦ rfl
⊢ (LinearMap.det (N.subtype ∘ₗ (↑e).toIntLinearMap)).natAbs = Nat.card (M ⧸ N)
Module: Mathlib.FieldTheory.Finite.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ Units.mk0 a ha ^ (Fintype.card F / 2) = 1 ↔ a ^ (Fintype.card F / 2) = 1

Tactic:
simp [Units.ext_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Finite.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0
⊢ (∃ r, a = r * r) → ∃ r, a = ↑r * ↑r

Tactic:
· rintro ⟨y, rfl⟩
    have hy : y ≠ 0 := by rintro rfl; simp at ha
    refine ⟨Units.mk0 y hy, ?_⟩; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Invariant.Basic

Goal state before:
pp: G : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁸ : Group G
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Algebra A B
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : Algebra B L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsFractionRing B L
inst✝⁶ : IsScalarTower A K L
inst✝⁵ : IsScalarTower A B L
inst✝⁴ : MulSemiringAction G B
inst✝³ : MulSemiringAction G L
inst✝² : SMulDistribClass G B L
hAB : Algebra.IsInvariant A B G
inst✝¹ : SMulCommClass G A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral A B
hc : ∀ (a : A), (algebraMap K L) ((algebraMap A K) a) = (algebraMap B L) ((algebraMap A B) a)
this✝ : Nontrivial A
this : Nontrivial B
x y : B
hy : y ∈ nonZeroDivisors B
h : ∀ (g : G), g • ((algebraMap B L) x / (algebraMap B L) y) = (algebraMap B L) x / (algebraMap B L) y
⊢ (algebraMap B L) y ≠ 0

Tactic:
simpa using

Goal state after:
G : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁸ : Group G
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Algebra A B
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : Algebra B L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsFractionRing B L
inst✝⁶ : IsScalarTower A K L
inst✝⁵ : IsScalarTower A B L
inst✝⁴ : MulSemiringAction G B
inst✝³ : MulSemiringAction G L
inst✝² : SMulDistribClass G B L
hAB : Algebra.IsInvariant A B G
inst✝¹ : SMulCommClass G A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral A B
hc : ∀ (a : A), (algebraMap K L) ((algebraMap A K) a) = (algebraMap B L) ((algebraMap A B) a)
this✝ : Nontrivial A
this : Nontrivial B
x y : B
hy : y ∈ nonZeroDivisors B
h : ∀ (g : G), g • ((algebraMap B L) x / (algebraMap B L) y) = (algebraMap B L) x / (algebraMap B L) y
⊢ ¬y = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Invariant.Basic

Goal state before:
pp: G : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁸ : Group G
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Algebra A B
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : Algebra B L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsFractionRing B L
inst✝⁶ : IsScalarTower A K L
inst✝⁵ : IsScalarTower A B L
inst✝⁴ : MulSemiringAction G B
inst✝³ : MulSemiringAction G L
inst✝² : SMulDistribClass G B L
hAB : Algebra.IsInvariant A B G
inst✝¹ : SMulCommClass G A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral A B
hc : ∀ (a : A), (algebraMap K L) ((algebraMap A K) a) = (algebraMap B L) ((algebraMap A B) a)
this✝ : Nontrivial A
this : Nontrivial B
x y : B
hy : y ∈ nonZeroDivisors B
h : ∀ (g : G), g • ((algebraMap B L) x / (algebraMap B L) y) = (algebraMap B L) x / (algebraMap B L) y
hy' : (algebraMap B L) y ≠ 0
b : B
a : A
hb : x * (algebraMap A B) a = b * y
ha : (algebraMap B L) ((algebraMap A B) a) ≠ 0
hxy : (algebraMap B L) x / (algebraMap B L) y = (algebraMap B L) b / (algebraMap B L) ((algebraMap A B) a)
⊢ ∀ (g : G), g • b = b

Tactic:
simpa using

Goal state after:
G : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁸ : Group G
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Algebra A B
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : Algebra B L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsFractionRing B L
inst✝⁶ : IsScalarTower A K L
inst✝⁵ : IsScalarTower A B L
inst✝⁴ : MulSemiringAction G B
inst✝³ : MulSemiringAction G L
inst✝² : SMulDistribClass G B L
hAB : Algebra.IsInvariant A B G
inst✝¹ : SMulCommClass G A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral A B
hc : ∀ (a : A), (algebraMap K L) ((algebraMap A K) a) = (algebraMap B L) ((algebraMap A B) a)
this✝ : Nontrivial A
this : Nontrivial B
x y : B
hy : y ∈ nonZeroDivisors B
h : ∀ (g : G), g • ((algebraMap B L) x / (algebraMap B L) y) = (algebraMap B L) x / (algebraMap B L) y
hy' : (algebraMap B L) y ≠ 0
b : B
a : A
hb : x * (algebraMap A B) a = b * y
ha : (algebraMap B L) ((algebraMap A B) a) ≠ 0
hxy : (algebraMap B L) x / (algebraMap B L) y = (algebraMap B L) b / (algebraMap B L) ((algebraMap A B) a)
⊢ ∀ (g : G), g • b = b
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Multiplicative

Goal state before:
pp: case empty
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
P : α → Prop
i : α → ℕ
h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → P x → P y → P (x * y)
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
is_prime : ∀ p ∈ ∅, Prime p
is_coprime : ∀ p ∈ ∅, ∀ q ∈ ∅, p ∣ q → p = q
⊢ P (∏ p ∈ ∅, p ^ i p)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case empty
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
P : α → Prop
i : α → ℕ
h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → P x → P y → P (x * y)
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
is_prime : ∀ p ∈ ∅, Prime p
is_coprime : ∀ p ∈ ∅, ∀ q ∈ ∅, p ∣ q → p = q
⊢ P 1
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Multiplicative

Goal state before:
pp: case empty
α : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero β
f : α → β
i j : α → ℕ
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
is_prime : ∀ p ∈ ∅, Prime p
is_coprime : ∀ p ∈ ∅, ∀ q ∈ ∅, p ∣ q → p = q
⊢ f (∏ p ∈ ∅, p ^ (i p + j p)) = f (∏ p ∈ ∅, p ^ i p) * f (∏ p ∈ ∅, p ^ j p)

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case empty
α : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero β
f : α → β
i j : α → ℕ
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
is_prime : ∀ p ∈ ∅, Prime p
is_coprime : ∀ p ∈ ∅, ∀ q ∈ ∅, p ∣ q → p = q
⊢ f 1 = f 1 * f 1
Module: Mathlib.NumberTheory.RamificationInertia.Inertia

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDedekindDomain S
inst✝⁵ : Free ℤ S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : Free ℤ R
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module.Finite S R
P : Ideal R
p : Ideal S
inst✝ : P.LiesOver p
hp : p.IsPrime
hp_ne_bot : p ≠ ⊥
this : p.IsMaximal
⊢ absNorm P = absNorm p ^ p.inertiaDeg' P

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDedekindDomain S
inst✝⁵ : Free ℤ S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : Free ℤ R
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module.Finite S R
P : Ideal R
p : Ideal S
inst✝ : P.LiesOver p
hp : p.IsPrime
hp_ne_bot : p ≠ ⊥
this : p.IsMaximal
⊢ Nat.card (R ⧸ P) = Nat.card (S ⧸ p) ^ finrank (S ⧸ p) (R ⧸ P)
Module: Mathlib.NumberTheory.RamificationInertia.Inertia

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Free ℤ R
inst✝¹ : Module.Finite ℤ R
p : ℤ
P : Ideal R
inst✝ : P.LiesOver (span {p})
hp : Prime p
⊢ absNorm P = p.natAbs ^ (span {p}).inertiaDeg' P

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Free ℤ R
inst✝¹ : Module.Finite ℤ R
p : ℤ
P : Ideal R
inst✝ : P.LiesOver (span {p})
hp : Prime p
⊢ absNorm P = p.natAbs ^ finrank (ℤ ⧸ span {p}) (R ⧸ P)
Module: Mathlib.NumberTheory.RamificationInertia.Inertia

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Free ℤ R
inst✝¹ : Module.Finite ℤ R
p : ℤ
P : Ideal R
inst✝ : P.LiesOver (span {p})
hp : Prime p
⊢ span {p} ≠ ⊥

Tactic:
simpa using

Goal state after:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Free ℤ R
inst✝¹ : Module.Finite ℤ R
p : ℤ
P : Ideal R
inst✝ : P.LiesOver (span {p})
hp : Prime p
⊢ ¬p = 0
Module: Mathlib.RingTheory.FiniteStability

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type w₁
inst✝⁵ : CommRing R
A : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
B : Type w₃
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : FinitePresentation R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hsurj : Function.Surjective ⇑f
hfg : (RingHom.ker f.toRingHom).FG
g : B ⊗[R] MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[B] B ⊗[R] A := TensorProduct.map (AlgHom.id B B) f
hgsurj : Function.Surjective ⇑g
hker_eq : RingHom.ker g = Ideal.map TensorProduct.includeRight (RingHom.ker f)
hfgg : (RingHom.ker g).FG
g' : MvPolynomial (Fin n) B →ₐ[B] B ⊗[R] A := g.comp ↑(MvPolynomial.algebraTensorAlgEquiv R B).symm
⊢ Function.Surjective ⇑↑↑(MvPolynomial.algebraTensorAlgEquiv R B).symm

Tactic:
simpa using

Goal state after:
case refine_3
R : Type w₁
inst✝⁵ : CommRing R
A : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
B : Type w₃
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : FinitePresentation R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hsurj : Function.Surjective ⇑f
hfg : (RingHom.ker f.toRingHom).FG
g : B ⊗[R] MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[B] B ⊗[R] A := TensorProduct.map (AlgHom.id B B) f
hgsurj : Function.Surjective ⇑g
hker_eq : RingHom.ker g = Ideal.map TensorProduct.includeRight (RingHom.ker f)
hfgg : (RingHom.ker g).FG
g' : MvPolynomial (Fin n) B →ₐ[B] B ⊗[R] A := g.comp ↑(MvPolynomial.algebraTensorAlgEquiv R B).symm
⊢ Function.Surjective ⇑(MvPolynomial.algebraTensorAlgEquiv R B).symm