mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
⊢ ⨆ α, ⨆ (_ : α.IsNonZero), corootSubmodule α = H.toLieSubmodule

Tactic:
suffices ⨆ α : Weight K H L, ⨆ (_ : α.IsNonZero), corootSpace α = ⊤ from
    le_antisymm (by simp) (by simp [← LieSubmodule.map_iSup, this])
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : Module k W
ρV : Representation k G V
r : k[G]
x : V
y : W
⊢ (r •
      have this := x ⊗ₜ[k] y;
      this) =
    (r •
        have this := x;
        this) ⊗ₜ[k]
      y

Tactic:
change asAlgebraHom (ρV ⊗ 1) _ _ = asAlgebraHom ρV _ _ ⊗ₜ _
  simp only [asAlgebraHom_def, MonoidAlgebra.lift_apply, tprod_apply, MonoidHom.one_apply,
    LinearMap.finsupp_sum_apply, LinearMap.smul_apply, TensorProduct.map_tmul, Module.End.one_apply]
  simp only [Finsupp.sum, TensorProduct.sum_tmul]
  rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: case single
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
α✝ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module k A
ρ : Representation k G A
inst✝¹ : AddCommMonoid B
inst✝ : Module k B
τ : Representation k G B
α : Type u_6
y : α →₀ k[G]
g : G
a : k
⊢ MonoidAlgebra.single g a • y = ((free k G α).asAlgebraHom (MonoidAlgebra.single g a)) y

Tactic:
induction y using Finsupp.induction_linear with

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
s : Set ι
hne : s.Nonempty
h : ∀ (j : ι), P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s) → ∀ i ∈ s, P.IsOrthogonal j i
j : ι
hj : P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s)
x : M
hx : x ∈ span R (⇑P.root '' s)
⊢ x ∈ Submodule.comap (↑(P.reflection j)) (span R (⇑P.root '' s))

Tactic:
rwa [Submodule.mem_comap, LinearEquiv.coe_coe,
        (isFixedPt_reflection_of_isOrthogonal (h _ hj) hx).eq]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
x : M
⊢ (↑(reflection P i)⁻¹).weightMap x = (↑(reflection P i)).weightMap x

Tactic:
by simp [← weightEquiv_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
this : {↑j, ↑i} ⊆ ↑b.support
⊢ LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root ↑j]

Tactic:
rw [← linearIndepOn_id_range_iff (by simp_all)]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
this : {↑j, ↑i} ⊆ ↑b.support
⊢ LinearIndepOn R id (range ![P.root ↑i, P.root ↑j])
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsAddTorsionFree M
inst✝ : IsAddTorsionFree N
i : ι
h : i ∈ b.support
t : R
j : ι
hj : P.root j = t • P.root i
this : ∃ c, ∑ i, c i • P.coroot ↑i = P.coroot j
⊢ ∃ f, P.coroot i = ∑ i, (t * ↑(f i)) • P.coroot ↑i

Tactic:
refine this.imp fun f hf ↦ ?_

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsAddTorsionFree M
inst✝ : IsAddTorsionFree N
i : ι
h : i ∈ b.support
t : R
j : ι
hj : P.root j = t • P.root i
this : ∃ c, ∑ i, c i • P.coroot ↑i = P.coroot j
f : ↥b.support → ℤ
hf : ∑ i, f i • P.coroot ↑i = P.coroot j
⊢ P.coroot i = ∑ i, (t * ↑(f i)) • P.coroot ↑i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : Module.IsReflexive R N
this : IsAddTorsionFree M
⊢ P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root

Tactic:
by_cases hli : LinearIndependent R ![α i, α j]

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : Module.IsReflexive R N
this : IsAddTorsionFree M
hli : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root

case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : Module.IsReflexive R N
this : IsAddTorsionFree M
hli : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j✝ : ι
hj : j✝ ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
l : ι → ℚ := fun i ↦ ((P.RootFormIn ℚ) (P.rootSpanMem ℚ i)) (P.rootSpanMem ℚ i)
hl : ∀ (i : ι), 0 < l i
l' : ι → R := fun i ↦ (P.RootForm (P.root i)) (P.root i)
hll' : ∀ (i : ι), ↑(l i) = l' i
contra : (2 / l' i)⁻¹ • (2 / l' i) • P.root i = (2 / l' i)⁻¹ • ((2 / l' j✝) • P.root j✝ + (2 / l' k) • P.root k)
aux₁ : 2 / l' i ≠ 0
j : ι
⊢ (2 / l' i)⁻¹ * (2 / l' j) = ↑(l i) / ↑(l j)

Tactic:
ring_nf

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j✝ : ι
hj : j✝ ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
l : ι → ℚ := fun i ↦ ((P.RootFormIn ℚ) (P.rootSpanMem ℚ i)) (P.rootSpanMem ℚ i)
hl : ∀ (i : ι), 0 < l i
l' : ι → R := fun i ↦ (P.RootForm (P.root i)) (P.root i)
hll' : ∀ (i : ι), ↑(l i) = l' i
contra : (2 / l' i)⁻¹ • (2 / l' i) • P.root i = (2 / l' i)⁻¹ • ((2 / l' j✝) • P.root j✝ + (2 / l' k) • P.root k)
aux₁ : 2 / l' i ≠ 0
j : ι
⊢ (l' i)⁻¹⁻¹ * (l' j)⁻¹ = ↑(l i) * (↑(l j))⁻¹
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
S₁ : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₁_def : S₁ = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂ : Set ℤ := {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂_def : S₂ = {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₁₂ : S₂ = (fun z ↦ -↑(chainTopCoeff i j) + z) '' S₁
hS₁ : S₁ = Icc (-↑(chainBotCoeff i j)) ↑(chainTopCoeff i j)
hS₂ : S₂ = Icc (-↑(chainBotCoeff i (chainTopIdx i j))) ↑(chainTopCoeff i (chainTopIdx i j))
⊢ chainBotCoeff i (chainTopIdx i j) = chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ∧ chainTopCoeff i (chainTopIdx i j) = 0

Tactic:
hS₁,

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
S₁ : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₁_def : S₁ = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂ : Set ℤ := {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂_def : S₂ = {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₁₂ : S₂ = (fun z ↦ -↑(chainTopCoeff i j) + z) '' Icc (-↑(chainBotCoeff i j)) ↑(chainTopCoeff i j)
hS₁ : S₁ = Icc (-↑(chainBotCoeff i j)) ↑(chainTopCoeff i j)
hS₂ : S₂ = Icc (-↑(chainBotCoeff i (chainTopIdx i j))) ↑(chainTopCoeff i (chainTopIdx i j))
⊢ chainBotCoeff i (chainTopIdx i j) = chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ∧ chainTopCoeff i (chainTopIdx i j) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.BilinearForm

Goal state before:
pp: R₂ : Type u_3
inst✝² : CommRing R₂
n : Type u_5
inst✝¹ : Fintype n
J A : Matrix n n R₂
inst✝ : DecidableEq n
⊢ A ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J ↔ J.IsSkewAdjoint A

Tactic:
simp only [mem_skewAdjointMatricesSubmodule]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N✝ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N✝
inst✝⁵ : Module R N✝
P : RootPairing ι R M N✝
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
i : ι
h₀ : b.IsPos i
p : ι → Prop
h₁ : ∀ i ∈ b.support, p i
h₂ : ∀ (i j : ι), p i → j ∈ b.support → p ((P.reflectionPerm j) i)
N : ℕ
hN : (b.height i).natAbs = N
⊢ p i

Tactic:
induction N using Nat.strongRecOn generalizing i with
  | ind n ih =>
    obtain ⟨j, hj, hj'⟩ := h₀.exists_mem_support_pos_pairingIn
    rw [P.zero_lt_pairingIn_iff'] at hj'
    rcases eq_or_ne i j with rfl | hij; · exact h₁ i hj
    have hk := h₀.reflectionPerm hj hij
    have : (b.height (P.reflectionPerm j i)).natAbs < n := by
      suffices b.height (P.reflectionPerm j i) < b.height i by
        have : (b.height (P.reflectionPerm j i)).natAbs = b.height (P.reflectionPerm j i) :=
          Int.natAbs_of_nonneg <| (isPos_iff' _).mp hk
        lia
      have := P.reflection_apply_root' ℤ (i := j) (j := i)
      rw [← root_reflectionPerm, sub_eq_add_neg, ← neg_smul] at this
      rw [b.height_add_zsmul this]
      replace hj : 0 < b.height j := (isPos_iff _).mp <| isPos_of_mem_support hj
      aesop
    simpa using h₂ (P.reflectionPerm j i) j
      (ih (m := (b.height (P.reflectionPerm j i)).natAbs) this hk rfl) hj

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Real.Basic

Goal state before:
pp: x a b c : ℝ
⊢ a * b * c = a * (b * c)

Tactic:
apply ext_cauchy; simp only [cauchy_mul, mul_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Real.Basic

Goal state before:
pp: C : ℝ → Prop
x : ℝ
h : ∀ (y : CauSeq ℚ abs), C (mk y)
⊢ C x

Tactic:
obtain ⟨x⟩ := x
  induction x using Quot.induction_on
  exact h _

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b c : CauSeq α abs
hb : a ≤ b
hc : a ≤ c
⊢ a ≤ b ⊓ c

Tactic:
obtain hb | hb := hb
  · obtain hc | hc := hc
    · exact Or.inl (CauSeq.lt_inf hb hc)
    · replace hb := le_of_eq_of_le (Setoid.symm hc) hb.le
      refine le_of_eq_of_le hc (Or.inr ?_)
      exact Setoid.symm (CauSeq.inf_eq_right hb)
  · replace hc := le_of_eq_of_le (Setoid.symm hb) hc
    refine le_of_eq_of_le hb (Or.inr ?_)
    exact Setoid.symm (CauSeq.inf_eq_left hc)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ
⊢ (A ^ ↑n)⁻¹ = (A ^ n)⁻¹

Tactic:
zpow_natCast

Goal state after:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ
⊢ (A ^ n)⁻¹ = (A ^ n)⁻¹
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
b : Basis ι H
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
e : ι ≃ ↑(range b.baseSupp') := Equiv.ofInjective b.baseSupp' ⋯
⊢ LinearIndependent K ((fun x ↦ (rootSystem H).root ↑x) ∘ ⇑e)

Tactic:
exact b.linearIndependent_baseSupp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
b : Basis ι H
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
χ : ↥root
this✝ : H.IsCartanSubalgebra := isCartanSubalgebra b
this : ∀ (n : ι → ℕ), ∑ i, n i • b.baseSupp i ∈ closure (⇑(rootSystem H).root '' range b.baseSupp')
s : Set (↥H → K) :=
  {0} ∪ {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = -⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)} ∪ {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hs : ⨆ α ∈ s, rootSpace H α = ⊤
⊢ (rootSystem H).root χ ∈ closure (⇑(rootSystem H).root '' range b.baseSupp') ∨
    -(rootSystem H).root χ ∈ closure (⇑(rootSystem H).root '' range b.baseSupp')

Tactic:
obtain ⟨χ, hχ⟩ := χ

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
b : Basis ι H
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
this✝ : H.IsCartanSubalgebra := isCartanSubalgebra b
this : ∀ (n : ι → ℕ), ∑ i, n i • b.baseSupp i ∈ closure (⇑(rootSystem H).root '' range b.baseSupp')
s : Set (↥H → K) :=
  {0} ∪ {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = -⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)} ∪ {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hs : ⨆ α ∈ s, rootSpace H α = ⊤
χ : Weight K (↥H) L
hχ : χ ∈ root
⊢ (rootSystem H).root ⟨χ, hχ⟩ ∈ closure (⇑(rootSystem H).root '' range b.baseSupp') ∨
    -(rootSystem H).root ⟨χ, hχ⟩ ∈ closure (⇑(rootSystem H).root '' range b.baseSupp')
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : CharZero R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsRootSystem
inst✝² : P.IsCrystallographic
inst✝¹ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
f : M ≃ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ↥b.support), f (P.root ↑i) = P₂.root ↑(e i)
m : M
hm : m ∈ range ⇑P.root
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
k : ↥b.support
⊢ P.reflection ↑k ≪≫ₗ f = f ≪≫ₗ P₂.reflection ↑(e k)

Tactic:
suffices ∀ j : b.support,
        (P.reflection k).trans f (P.root j) = f.trans (P₂.reflection (e k)) (P.root j) by
      rw [← LinearEquiv.toLinearMap_inj]
      exact b.toWeightBasis.ext fun j ↦ by simpa using this j

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : CharZero R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsRootSystem
inst✝² : P.IsCrystallographic
inst✝¹ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
f : M ≃ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ↥b.support), f (P.root ↑i) = P₂.root ↑(e i)
m : M
hm : m ∈ range ⇑P.root
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
k : ↥b.support
⊢ ∀ (j : ↥b.support), (P.reflection ↑k ≪≫ₗ f) (P.root ↑j) = (f ≪≫ₗ P₂.reflection ↑(e k)) (P.root ↑j)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: n : ℕ
⊢ descPochhammer ℤ n = (ascPochhammer ℤ n).comp (X - ↑n + 1)

Tactic:
by
  induction n with
  | zero => rw [descPochhammer_zero, ascPochhammer_zero, one_comp]
  | succ n ih =>
    rw [Nat.cast_succ, sub_add, add_sub_cancel_right, descPochhammer_succ_right,
      ascPochhammer_succ_left, ih, X_mul, mul_X_comp, comp_assoc, add_comp, X_comp, one_comp]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Vandermonde

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n.succ → R
| vandermonde v

Tactic:
← Fin.cons_self_tail v,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n.succ → R
| vandermonde (Fin.cons (v 0) (tail v))
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
this : ∀ (y : L₂), (∃ l, (linearCombination R fun i ↦ (b₁.h i, b₂.h (eι i))) l = (0, y)) → y = 0
⊢ InjOn ⇑(LinearMap.fst R L₁ L₂) ↑(span R {x | ∃ i, (b₁.h i, b₂.h (eι i)) = x})

Tactic:
by
    have aux : {(b₁.h i, b₂.h (eι i)) | i : ι₁} = (fun i : ι₁ ↦ (b₁.h i, b₂.h (eι i))) '' univ := by
      ext; simp
    simp_rw [← LinearMap.disjoint_ker_iff_injOn, LinearMap.disjoint_ker, aux,
      mem_span_image_iff_linearCombination]
    aesop

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Vandermonde

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v w : Fin (n + 1) → R
i : Fin (n + 1)
hw : w i = 0
⊢ projVandermonde v w i (last n) = Pi.single (last n) (v i ^ n) (last n)

Tactic:
simp [projVandermonde_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Vandermonde

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
R' : Type u_3
inst✝ : CommRing R'
φ : R →+* R'
v w : Fin n → R
i j : Fin n
⊢ projVandermonde (fun i ↦ φ (v i)) (fun i ↦ φ (w i)) i j = φ.mapMatrix (projVandermonde v w) i j

Tactic:
simp [projVandermonde_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
y : L₂
f : ι₁ →₀ R
hf : (linearCombination R fun i ↦ (b₁.h i, b₂.h (eι i))) f = (0, y)
⊢ y = 0

Tactic:
suffices linearCombination R b₁.h f = 0 by
    rw [LinearMap.map_eq_zero_iff _ b₁.linInd] at this
    aesop (add simp Prod.ext_iff)

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
y : L₂
f : ι₁ →₀ R
hf : (linearCombination R fun i ↦ (b₁.h i, b₂.h (eι i))) f = (0, y)
⊢ (linearCombination R b₁.h) f = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Vandermonde

Goal state before:
pp: case succ.inr.inl.inl
K : Type u_2
inst✝ : Field K
n : ℕ
ih : ∀ (v w : Fin 0 → K), (projVandermonde v w).det = ∏ i, ∏ j > i, (v j * w i - v i * w j)
v w : Fin (0 + 1) → K
aux : ∀ (v w : Fin (0 + 1) → K), w 0 ≠ 0 → (projVandermonde v w).det = ∏ i, ∏ j > i, (v j * w i - v i * w j)
h0 : ¬w 0 ≠ 0
h0' : ∀ (a : Fin (0 + 1)), w a = 0
⊢ (projVandermonde v w).det = ∏ i, ∏ j > i, (v j * w i - v i * w j)

Tactic:
simp [projVandermonde_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ (Lagrange.basis s v i).natDegree = #s - 1

Tactic:
have H : ∀ j, j ∈ s.erase i → basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0 := by
    simp_rw [Ne, mem_erase, basisDivisor_eq_zero_iff]
    exact fun j ⟨hij₁, hj⟩ hij₂ => hij₁ (hvs hj hi hij₂.symm)
  rw [← card_erase_of_mem hi, card_eq_sum_ones]
  convert! natDegree_prod _ _ H using 1
  refine sum_congr rfl fun j hj => (natDegree_basisDivisor_of_ne ?_).symm
  rw [Ne, ← basisDivisor_eq_zero_iff]
  exact H _ hj

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
L : LieSubalgebra R (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₁ : ↥L →ₗ⁅R⁆ L₁ := (LieHom.fst R L₁ L₂).comp L.incl
h₁ : range b₁.e = range (⇑p₁ ∘ prodE eι b₁ b₂)
h₂ : range b₁.f = range (⇑p₁ ∘ prodF eι b₁ b₂)
⊢ Surjective ⇑p₁

Tactic:
← LieHom.range_eq_top,

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
L : LieSubalgebra R (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₁ : ↥L →ₗ⁅R⁆ L₁ := (LieHom.fst R L₁ L₂).comp L.incl
h₁ : range b₁.e = range (⇑p₁ ∘ prodE eι b₁ b₂)
h₂ : range b₁.f = range (⇑p₁ ∘ prodF eι b₁ b₂)
⊢ p₁.range = ⊤