mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: case h.left
G : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G K V
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : LinearIndependent K ![E.rep, E'.rep]
qD :
  ∀ {D D' : ℙ K V} (hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]),
    ↑(hD.linearCombinationEquiv (Finsupp.single 0 1)) = D.rep
qD' :
  ∀ {D D' : ℙ K V} (hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]),
    ↑(hD.linearCombinationEquiv (Finsupp.single 1 1)) = D'.rep
f : ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep])) ≃ₗ[K] ↥(Submodule.span K (Set.range ![E.rep, E'.rep])) :=
  hD.linearCombinationEquiv.symm ≪≫ₗ hE.linearCombinationEquiv
this : FiniteDimensional K ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep]))
g : V ≃ₗ[K] V
hg : ∀ (x : ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep]))), ↑(f x) = g ↑x
⊢ mk K (g • D.rep) ⋯ = mk K E.rep ⋯

Tactic:
mk_eq_mk_iff

Goal state after:
case h.left
G : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G K V
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : LinearIndependent K ![E.rep, E'.rep]
qD :
  ∀ {D D' : ℙ K V} (hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]),
    ↑(hD.linearCombinationEquiv (Finsupp.single 0 1)) = D.rep
qD' :
  ∀ {D D' : ℙ K V} (hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]),
    ↑(hD.linearCombinationEquiv (Finsupp.single 1 1)) = D'.rep
f : ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep])) ≃ₗ[K] ↥(Submodule.span K (Set.range ![E.rep, E'.rep])) :=
  hD.linearCombinationEquiv.symm ≪≫ₗ hE.linearCombinationEquiv
this : FiniteDimensional K ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep]))
g : V ≃ₗ[K] V
hg : ∀ (x : ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep]))), ↑(f x) = g ↑x
⊢ ∃ a, a • E.rep = g • D.rep
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Independence

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
x✝ : ι
⊢ f x✝ = mk K ((Projectivization.rep ∘ f) x✝) ⋯

pp: case refine_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
⊢ ∀ (i : ι), (Projectivization.rep ∘ f) i ≠ 0

Tactic:
· simp only [mk_rep, Function.comp_apply]

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
⊢ ∀ (i : ι), (Projectivization.rep ∘ f) i ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Independence

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : ¬LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
x✝ : ι
⊢ f x✝ = mk K ((Projectivization.rep ∘ f) x✝) ⋯

pp: case refine_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : ¬LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
⊢ ∀ (i : ι), (Projectivization.rep ∘ f) i ≠ 0

Tactic:
· simp only [mk_rep, Function.comp_apply]

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : ¬LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
⊢ ∀ (i : ι), (Projectivization.rep ∘ f) i ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: case h.right
G : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G K V
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : LinearIndependent K ![E.rep, E'.rep]
qD :
  ∀ {D D' : ℙ K V} (hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]),
    ↑(hD.linearCombinationEquiv (Finsupp.single 0 1)) = D.rep
qD' :
  ∀ {D D' : ℙ K V} (hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]),
    ↑(hD.linearCombinationEquiv (Finsupp.single 1 1)) = D'.rep
f : ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep])) ≃ₗ[K] ↥(Submodule.span K (Set.range ![E.rep, E'.rep])) :=
  hD.linearCombinationEquiv.symm ≪≫ₗ hE.linearCombinationEquiv
this : FiniteDimensional K ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep]))
g : V ≃ₗ[K] V
hg : ∀ (x : ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep]))), ↑(f x) = g ↑x
⊢ mk K (g • D'.rep) ⋯ = mk K E'.rep ⋯

Tactic:
mk_eq_mk_iff

Goal state after:
case h.right
G : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G K V
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : LinearIndependent K ![E.rep, E'.rep]
qD :
  ∀ {D D' : ℙ K V} (hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]),
    ↑(hD.linearCombinationEquiv (Finsupp.single 0 1)) = D.rep
qD' :
  ∀ {D D' : ℙ K V} (hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]),
    ↑(hD.linearCombinationEquiv (Finsupp.single 1 1)) = D'.rep
f : ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep])) ≃ₗ[K] ↥(Submodule.span K (Set.range ![E.rep, E'.rep])) :=
  hD.linearCombinationEquiv.symm ≪≫ₗ hE.linearCombinationEquiv
this : FiniteDimensional K ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep]))
g : V ≃ₗ[K] V
hg : ∀ (x : ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep]))), ↑(f x) = g ↑x
⊢ ∃ a, a • E'.rep = g • D'.rep
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.PSL.Stabilizer

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
ι : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
g : SpecialLinearGroup ι F
L : Submodule F (ι → F)
A : SpecialLinearGroup ι F
⊢ A ∈ lineStab (g • L) ↔ (MulAut.conj g)⁻¹ • A ∈ lineStab L

Tactic:
simp only [mem_lineStab_iff, Submodule.mem_smul_pointwise_iff_exists, MulAut.smul_def,
    MulAut.inv_apply, MulAut.conj_symm_apply]

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
ι : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
g : SpecialLinearGroup ι F
L : Submodule F (ι → F)
A : SpecialLinearGroup ι F
⊢ (∀ (w : ι → F), ∃ b ∈ L, g • b = A • w - w) ↔ ∀ (w : ι → F), (g⁻¹ * A * g) • w - w ∈ L
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.PSL.Stabilizer

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
ι : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
v : ι → F
hv : v ≠ 0
A B : SpecialLinearGroup ι F
hA : A ∈ lineStab (F ∙ v)
hB : B ∈ lineStab (F ∙ v)
w : ι → F
⊢ ↑(A * B) • w = ↑(B * A) • w

Tactic:
obtain ⟨α, hα⟩ := Submodule.mem_span_singleton.mp (hA w)

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
ι : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
v : ι → F
hv : v ≠ 0
A B : SpecialLinearGroup ι F
hA : A ∈ lineStab (F ∙ v)
hB : B ∈ lineStab (F ∙ v)
w : ι → F
α : F
hα : α • v = A • w - w
⊢ ↑(A * B) • w = ↑(B * A) • w
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
r : ↥(rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R)
hV : Module.finrank R V = 0
hR : Nontrivial R
⊢ r = 1

Tactic:
simpa [hV] using (mem_rootsOfUnity _ _).mp r.prop

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
g h : ↥(Subgroup.center (SpecialLinearGroup R V))
hR : ¬Subsingleton R
hV✝ : ¬Subsingleton V
hV : Nontrivial V
this✝ : FaithfulSMul R V
Hg : ∃ r, r ^ Module.finrank R V = 1 ∧ ↑↑↑g = r • LinearMap.id := mem_center_iff.mp (Subtype.prop g)
Hh : ∃ r, r ^ Module.finrank R V = 1 ∧ ↑↑↑h = r • LinearMap.id := mem_center_iff.mp (Subtype.prop h)
Hgh : ∃ r, r ^ Module.finrank R V = 1 ∧ ↑↑↑(g * h) = r • LinearMap.id := mem_center_iff.mp (Subtype.prop (g * h))
this : Hgh.choose • LinearMap.id = Hg.choose • LinearMap.id * Hh.choose • LinearMap.id
x : V
⊢ Hgh.choose • x = (Hg.choose * Hh.choose) • x

Tactic:
simp [mul_smul,
        ← mem_center_iff_spec (g * h).prop, ← mem_center_iff_spec h.prop,
        ← mem_center_iff_spec g.prop]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsRootSystem
this :
  ⇑(Matrix.diagLinearMap (↥b.support ⊕ ι) R R) ∘ h =
    ⇑Sum.elimZeroLeft ∘ fun i ↦ ⇑(algebraMap ℤ R) ∘ fun x ↦ P.pairingIn ℤ x ↑i
⊢ b.cartanMatrixᵀ.det ≠ 0

Tactic:
rw [Matrix.det_transpose, ← Matrix.nondegenerate_iff_det_ne_zero]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsRootSystem
this :
  ⇑(Matrix.diagLinearMap (↥b.support ⊕ ι) R R) ∘ h =
    ⇑Sum.elimZeroLeft ∘ fun i ↦ ⇑(algebraMap ℤ R) ∘ fun x ↦ P.pairingIn ℤ x ↑i
⊢ b.cartanMatrix.Nondegenerate
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
⊢ P.root k ∈ P.rootSpan ℤ

Tactic:
exact Submodule.subset_span (mem_range_self k)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N✝
inst✝⁶ : Module R N✝
P : RootPairing ι R M N✝
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
N : LieSubmodule R (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → R)
⊢ ωConjLieSubmodule N = ⊤ ↔ N = ⊤

Tactic:
by
  rw [← LieSubmodule.toSubmodule_eq_top]
  let e : Submodule R (b.support ⊕ ι → R) ≃o Submodule R (b.support ⊕ ι → R) :=
    Submodule.orderIsoMapComapOfBijective (ω b).toLin' (Involutive.bijective fun x ↦ by simp)
  change e.symm N = ⊤ ↔ _
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
case_inl : ∀ (j : ↥b.support), (e i ^ 2).col (Sum.inl j) = 0
k : ι
x : ℕ
hij : ¬↑i = -↑i
hk₁ : P.root ↑i + (chainTopCoeff ↑i ↑i + 1) • P.root ↑i ∈ range ⇑P.root
⊢ False

Tactic:
apply P.nsmul_notMem_range_root (n := P.chainTopCoeff i i + 2) (i := i)

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := ⋯
case_inl : ∀ (j : ↥b.support), (e i ^ 2).col (Sum.inl j) = 0
k : ι
x : ℕ
hij : ¬↑i = -↑i
hk₁ : P.root ↑i + (chainTopCoeff ↑i ↑i + 1) • P.root ↑i ∈ range ⇑P.root
⊢ (chainTopCoeff ↑i ↑i + 2) • P.root ↑i ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.EmbeddedG2
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsIrreducible
i : ι
hi : P.root i ∉ allRoots P
this✝ : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h₂ : (B.form (P.root i)) (P.root (long P)) = 0
h₁ : (B.form (P.root i)) (P.root (short P)) = 0
this : Module.IsReflexive R M
x : M
hx : x ∈ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}
⊢ (B.form (P.root i)) x = 0

Tactic:
induction hx using Submodule.span_induction with
    | zero => simp
    | mem => grind
    | add => simp_all
    | smul => simp_all

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this✝² : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝¹ : P.IsNotG2
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
hnk_notMem : P.root n - P.root k ∉ range ⇑P.root
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = -P.pairingIn ℤ m i
aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = 0
key₁ : P.pairingIn ℤ i k = 0
key₂ : P.pairingIn ℤ i m = 0
key₃ : P.pairingIn ℤ j k = 2
key₄ : P.pairingIn ℤ j l ≠ 0
⊢ (chainBotCoeff i m + 1) * (chainBotCoeff j (-k) + 1) = (chainBotCoeff j (-l) + 1) * (chainBotCoeff i k + 1)

Tactic:
have hik_mem : P.root i + P.root k ∈ range P.root := ⟨l, by rw [← h₁, add_comm]⟩

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this✝² : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝¹ : P.IsNotG2
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
hnk_notMem : P.root n - P.root k ∉ range ⇑P.root
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = -P.pairingIn ℤ m i
aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = 0
key₁ : P.pairingIn ℤ i k = 0
key₂ : P.pairingIn ℤ i m = 0
key₃ : P.pairingIn ℤ j k = 2
key₄ : P.pairingIn ℤ j l ≠ 0
hik_mem : P.root i + P.root k ∈ range ⇑P.root
⊢ (chainBotCoeff i m + 1) * (chainBotCoeff j (-k) + 1) = (chainBotCoeff j (-l) + 1) * (chainBotCoeff i k + 1)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : CharZero K
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝³ : P.IsReduced
inst✝² : P.IsCrystallographic
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : P.IsRootSystem
b : P.Base
⊢ LieSubalgebra.lieSpan K (↥(lieAlgebra b)) ((range fun i ↦ ⟨e i, ⋯⟩) ∪ range fun i ↦ ⟨f i, ⋯⟩) = ⊤

Tactic:
let h₀ (i : b.support) : lieAlgebra b := ⟨h i, h_mem_lieAlgebra i⟩
    let e₀ (i : b.support) : lieAlgebra b := ⟨e i, e_mem_lieAlgebra i⟩
    let f₀ (i : b.support) : lieAlgebra b := ⟨f i, f_mem_lieAlgebra i⟩
    change LieSubalgebra.lieSpan K (lieAlgebra b) (range e₀ ∪ range f₀) = ⊤
    suffices LieSubalgebra.lieSpan K (lieAlgebra b) (range e₀ ∪ range f₀) =
        LieSubalgebra.lieSpan K (lieAlgebra b) (range h₀ ∪ range e₀ ∪ range f₀) by
      have hr : range h₀ ∪ range e₀ ∪ range f₀ = Subtype.val ⁻¹' (range h ∪ range e ∪ range f) := by
        aesop
      rw [this, hr]
      exact LieSubalgebra.lieSpan_lieSpan_coe_preimage
    simp only [union_assoc]
    refine le_antisymm (LieSubalgebra.lieSpan_mono <| by simp) ?_
    rw [LieSubalgebra.lieSpan_le]
    refine union_subset ?_ LieSubalgebra.subset_lieSpan
    rintro - ⟨i, rfl⟩
    have hef : h₀ i = ⁅e₀ i, f₀ i⁆ := by ext1; simp [h₀, e₀, f₀, (isSl2Triple i).lie_e_f]
    rw [hef]
    apply LieSubalgebra.lie_mem <;>
      exact LieSubalgebra.subset_lieSpan <| by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SesquilinearForm.Star

Goal state before:
pp: case refine_2
M : Type u_2
n : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq n
R : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : PartialOrder R
inst✝ : Module R M
B : M →ₗ⋆[R] M →ₗ[R] R
b : Basis n R M
h : ∀ (x : n → R), 0 ≤ star x ⬝ᵥ ((toMatrix₂ b b) B).mulVec x
x : M
⊢ 0 ≤ (B x) x

Tactic:
rw [apply_eq_star_dotProduct_toMatrix₂_mulVec b]
    exact h _

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hik_mem : P.root i + P.root k ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root (-k) + P.root j ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
h₁' : P.root (-k) - P.root i = P.root (-l)
h₂' : P.root (-k) + P.root j = P.root (-m)
h₃' : P.root (-k) + P.root j - P.root i ∈ range ⇑P.root
hki : P.pairingIn ℤ k i < 0
hik : chainBotCoeff i k = 0
hkj : P.pairingIn ℤ (-k) j = 0
⊢ P.root i + P.root (- -m) ∈ range ⇑P.root

Tactic:
by simpa only [neg_neg]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hik_mem : P.root i + P.root k ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root (-k) + P.root j ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
h₁' : P.root (-k) - P.root i = P.root (-l)
h₂' : P.root (-k) + P.root j = P.root (-m)
h₃' : P.root (-k) + P.root j - P.root i ∈ range ⇑P.root
hki : P.pairingIn ℤ k i < 0
hik : chainBotCoeff i k = 0
hkj : P.pairingIn ℤ (-k) j = 0
⊢ P.root i + P.root (- -k) ∈ range ⇑P.root

Tactic:
by simpa only [neg_neg]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : CharZero K
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module K M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝⁴ : P.IsRootSystem
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : P.IsReduced
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : Nonempty ι
⊢ LieModule.IsIrreducible K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)

Tactic:
refine LieModule.IsIrreducible.mk fun U hU ↦ ?_
  suffices ∃ i, v b i ∈ U by obtain ⟨i, hi⟩ := this; exact instIsIrreducible_aux₂ hi
  let U' : LieSubmodule K H (b.support ⊕ ι → K) := { U with lie_mem := U.lie_mem }
  apply instIsIrreducible_aux₁ U'
  contrapose hU
  replace hU : U ≤ span K (range (u (b := b))) := by rwa [← coe_genWeightSpace_zero_eq_span_range_u]
  refine (LieSubmodule.eq_bot_iff _).mpr fun x hx ↦ ?_
  obtain ⟨c, hc⟩ : ∃ c : b.support → K, ∑ i, c i • u i = x :=
    (mem_span_range_iff_exists_fun K).mp <| hU hx
  suffices c = 0 by simp [this, ← hc]
  have hCM : (4 - b.cartanMatrix).det ≠ 0 :=
    RootPairing.Base.det_four_sub_cartanMatrix_ne_zero b
  contrapose! hCM
  suffices ((Int.castRingHom K).mapMatrix (4 - b.cartanMatrix)).det = 0 by
    simpa only [← RingHom.map_det, eq_intCast, Int.cast_eq_zero] using this
  rw [← exists_mulVec_eq_zero_iff]
  suffices (b.cartanMatrix.map abs).map (↑) *ᵥ c = 0 from ⟨c, hCM, by simpa using this⟩
  ext j
  suffices ∑ k, c k * |b.cartanMatrix j k| = 0 by
    simpa [mulVec_eq_sum, -Base.cartanMatrix_map_abs]
  by_contra contra
  have key : v b j ∈ U := by
    have : ⁅e j, x⁆ ∈ U := U.lie_mem (x := ⟨e j, e_mem_lieAlgebra j⟩) hx
    have aux (k : b.support) : ⁅e j, u k⁆ = |b.cartanMatrix j k| • v b j := e_lie_u j k
    simp_rw [← hc, lie_sum, lie_smul, aux, smul_comm (M := K), ← smul_assoc, ← Finset.sum_smul,
      zsmul_eq_mul, mul_comm, ← LieSubmodule.mem_toSubmodule, U.smul_mem_iff contra] at this
    assumption
  have : v b j ∉ U := fun hj ↦ by simpa [v] using apply_inr_eq_zero_of_mem_span_range_u b j (hU hj)
  contradiction

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hik_mem : P.root i + P.root k ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root (-k) + P.root j ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
h₁' : P.root (-k) - P.root i = P.root (-l)
h₂' : P.root (-k) + P.root j = P.root (-m)
h₃' : P.root (-k) + P.root j - P.root i ∈ range ⇑P.root
hki : P.pairingIn ℤ k i < 0
hik : chainBotCoeff i k = 0
hkj : P.pairingIn ℤ (-k) j < 0
hjk : chainBotCoeff j (-k) = 0
aux₁ : ¬(chainBotCoeff i m = 1 ∧ chainBotCoeff j (-l) = 0)
⊢ P.root i + P.root (- -m) ∈ range ⇑P.root

Tactic:
by simpa only [neg_neg]

Goal state after: