Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: case refine_1.hg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
n : WithTop ℕ∞
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
inst✝ : ChartedSpace H M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ maximalAtlas I n M
he' : e' ∈ maximalAtlas I n M
x : E
φ : PartialEquiv E E := extendCoordChange e e'
hx : x ∈ φ.source
hφ : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ) φ.source
hφ' : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ.symm) φ.target
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑φ) φ.source (↑φ.symm (↑φ x))

pp: case refine_1.hf
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
n : WithTop ℕ∞
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
inst✝ : ChartedSpace H M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ maximalAtlas I n M
he' : e' ∈ maximalAtlas I n M
x : E
φ : PartialEquiv E E := extendCoordChange e e'
hx : x ∈ φ.source
hφ : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ) φ.source
hφ' : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ.symm) φ.target
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑φ.symm) φ.target (↑φ x)

pp: case refine_1.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
n : WithTop ℕ∞
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
inst✝ : ChartedSpace H M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ maximalAtlas I n M
he' : e' ∈ maximalAtlas I n M
x : E
φ : PartialEquiv E E := extendCoordChange e e'
hx : x ∈ φ.source
hφ : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ) φ.source
hφ' : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ.symm) φ.target
⊢ MapsTo (↑φ.symm) φ.target φ.source

pp: case refine_1.hxs
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
n : WithTop ℕ∞
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
inst✝ : ChartedSpace H M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ maximalAtlas I n M
he' : e' ∈ maximalAtlas I n M
x : E
φ : PartialEquiv E E := extendCoordChange e e'
hx : x ∈ φ.source
hφ : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ) φ.source
hφ' : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ.symm) φ.target
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 φ.target (↑φ x)

Tactic:
· exact (φ.left_inv hx ▸ ((hφ _ hx).differentiableWithinAt hn) :)

Goal state after:
case refine_1.hf
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
n : WithTop ℕ∞
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
inst✝ : ChartedSpace H M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ maximalAtlas I n M
he' : e' ∈ maximalAtlas I n M
x : E
φ : PartialEquiv E E := extendCoordChange e e'
hx : x ∈ φ.source
hφ : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ) φ.source
hφ' : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ.symm) φ.target
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑φ.symm) φ.target (↑φ x)

case refine_1.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
n : WithTop ℕ∞
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
inst✝ : ChartedSpace H M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ maximalAtlas I n M
he' : e' ∈ maximalAtlas I n M
x : E
φ : PartialEquiv E E := extendCoordChange e e'
hx : x ∈ φ.source
hφ : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ) φ.source
hφ' : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ.symm) φ.target
⊢ MapsTo (↑φ.symm) φ.target φ.source

case refine_1.hxs
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
n : WithTop ℕ∞
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
inst✝ : ChartedSpace H M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ maximalAtlas I n M
he' : e' ∈ maximalAtlas I n M
x : E
φ : PartialEquiv E E := extendCoordChange e e'
hx : x ∈ φ.source
hφ : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ) φ.source
hφ' : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ.symm) φ.target
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 φ.target (↑φ x)