mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymplecticGroup

Goal state before:
pp: l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : Fintype l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsLocalRing R
M : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hM : M ∈ symplecticGroup l R
A : Matrix l l R := M.toBlocks₁₁
B : Matrix l l R := M.toBlocks₁₂
C : Matrix l l R := M.toBlocks₂₁
D : Matrix l l R := M.toBlocks₂₂
X : Matrix l l R
hX_symm : X.IsSymm
hA_isUnit : IsUnit (M.toBlocks₁₁ + X * M.toBlocks₂₁).det
Lx_mul : fromBlocks 1 X 0 1 * M = fromBlocks (A + X * C) (B + X * D) C D
h_fromBlocks_in : fromBlocks (A + X * C) (B + X * D) C D ∈ symplecticGroup l R
x✝ : Invertible (A + X * C)
⊢ M.det = 1

Tactic:
have h_main : ((fromBlocks 1 X 0 1) * M).det = 1 := by
    rw [Lx_mul, det_one_if_fromBlocks_invertible h_fromBlocks_in]

Goal state after:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : Fintype l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsLocalRing R
M : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hM : M ∈ symplecticGroup l R
A : Matrix l l R := M.toBlocks₁₁
B : Matrix l l R := M.toBlocks₁₂
C : Matrix l l R := M.toBlocks₂₁
D : Matrix l l R := M.toBlocks₂₂
X : Matrix l l R
hX_symm : X.IsSymm
hA_isUnit : IsUnit (M.toBlocks₁₁ + X * M.toBlocks₂₁).det
Lx_mul : fromBlocks 1 X 0 1 * M = fromBlocks (A + X * C) (B + X * D) C D
h_fromBlocks_in : fromBlocks (A + X * C) (B + X * D) C D ∈ symplecticGroup l R
x✝ : Invertible (A + X * C)
h_main : (fromBlocks 1 X 0 1 * M).det = 1
⊢ M.det = 1
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Graded

Goal state before:
pp: case hadd.hadd.e_a
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : AddCommMonoid ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
ℒ : ι → Submodule R L
inst✝ : GradedLieAlgebra ℒ
φ : ι →+ R
hM :
  ∀ (k : ι) (b : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)),
    (decompose ℒ).symm b ∈ ℒ k →
      (toModule R ι (⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) fun i ↦ lof R ι (fun x ↦ ↥(ℒ x)) i ∘ₗ (φ i • LinearMap.id)) b = φ k • b
j i : ι
a : ↥(ℒ i)
f✝ : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)
a✝³ : f✝ i = 0
a✝² : a ≠ 0
k : ι
b : ↥(ℒ k)
f : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)
a✝¹ : f k = 0
a✝ : b ≠ 0
ih :
  ↑(((toModule R ι (⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) fun i ↦ lof R ι (fun x ↦ ↥(ℒ x)) i ∘ₗ (φ i • LinearMap.id))
          ⁅(of (fun i ↦ ↥(ℒ i)) i) a, f⁆)
        j) =
    ↑(⁅(of (fun i ↦ ↥(ℒ i)) i) a,
            (toModule R ι (⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) fun i ↦ lof R ι (fun x ↦ ↥(ℒ x)) i ∘ₗ (φ i • LinearMap.id)) f⁆
          j) -
      ↑(⁅f, φ i • (of (fun x ↦ ↥(ℒ x)) i) a⁆ j)
this : (decompose ℒ).symm ⁅(of (fun i ↦ ↥(ℒ i)) i) a, (of (fun i ↦ ↥(ℒ i)) k) b⁆ ∈ ℒ (i + k)
⊢ ↑((φ i • ⁅(of (fun i ↦ ↥(ℒ i)) i) a, (of (fun i ↦ ↥(ℒ i)) k) b⁆) j) =
    -↑((-(φ i • ⁅(of (fun i ↦ ↥(ℒ i)) i) a, (of (fun x ↦ ↥(ℒ x)) k) b⁆)) j)

Tactic:
← sub_eq_zero,

Goal state after:
case hadd.hadd.e_a
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : AddCommMonoid ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
ℒ : ι → Submodule R L
inst✝ : GradedLieAlgebra ℒ
φ : ι →+ R
hM :
  ∀ (k : ι) (b : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)),
    (decompose ℒ).symm b ∈ ℒ k →
      (toModule R ι (⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) fun i ↦ lof R ι (fun x ↦ ↥(ℒ x)) i ∘ₗ (φ i • LinearMap.id)) b = φ k • b
j i : ι
a : ↥(ℒ i)
f✝ : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)
a✝³ : f✝ i = 0
a✝² : a ≠ 0
k : ι
b : ↥(ℒ k)
f : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)
a✝¹ : f k = 0
a✝ : b ≠ 0
ih :
  ↑(((toModule R ι (⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) fun i ↦ lof R ι (fun x ↦ ↥(ℒ x)) i ∘ₗ (φ i • LinearMap.id))
          ⁅(of (fun i ↦ ↥(ℒ i)) i) a, f⁆)
        j) =
    ↑(⁅(of (fun i ↦ ↥(ℒ i)) i) a,
            (toModule R ι (⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) fun i ↦ lof R ι (fun x ↦ ↥(ℒ x)) i ∘ₗ (φ i • LinearMap.id)) f⁆
          j) -
      ↑(⁅f, φ i • (of (fun x ↦ ↥(ℒ x)) i) a⁆ j)
this : (decompose ℒ).symm ⁅(of (fun i ↦ ↥(ℒ i)) i) a, (of (fun i ↦ ↥(ℒ i)) k) b⁆ ∈ ℒ (i + k)
⊢ ↑((φ i • ⁅(of (fun i ↦ ↥(ℒ i)) i) a, (of (fun i ↦ ↥(ℒ i)) k) b⁆) j) -
      -↑((-(φ i • ⁅(of (fun i ↦ ↥(ℒ i)) i) a, (of (fun x ↦ ↥(ℒ x)) k) b⁆)) j) =
    0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Extension

Goal state before:
pp: R : Type u_1
N : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing M
inst✝¹ : LieAlgebra R M
inst✝ : IsLieAbelian M
E : Extension R M L
x y : L
m : M
h : HasRightInverse ⇑E.proj := Surjective.hasRightInverse (proj_surjective E)
⊢ ⁅Exists.choose h x + Exists.choose h y, E.toKer m⁆ = ⁅Exists.choose h (x + y), E.toKer m⁆

Tactic:
← sub_eq_zero,

Goal state after:
R : Type u_1
N : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing M
inst✝¹ : LieAlgebra R M
inst✝ : IsLieAbelian M
E : Extension R M L
x y : L
m : M
h : HasRightInverse ⇑E.proj := Surjective.hasRightInverse (proj_surjective E)
⊢ ⁅Exists.choose h x + Exists.choose h y, E.toKer m⁆ - ⁅Exists.choose h (x + y), E.toKer m⁆ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Extension

Goal state before:
pp: R : Type u_1
N : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing M
inst✝¹ : LieAlgebra R M
inst✝ : IsLieAbelian M
E : Extension R M L
x y : L
m : M
h : HasRightInverse ⇑E.proj := Surjective.hasRightInverse (proj_surjective E)
z : ↥E.proj.ker
⊢ ⁅⁅Exists.choose h x, Exists.choose h y⁆, z⁆ = ⁅Exists.choose h ⁅x, y⁆, z⁆

Tactic:
← sub_eq_zero,

Goal state after:
R : Type u_1
N : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing M
inst✝¹ : LieAlgebra R M
inst✝ : IsLieAbelian M
E : Extension R M L
x y : L
m : M
h : HasRightInverse ⇑E.proj := Surjective.hasRightInverse (proj_surjective E)
z : ↥E.proj.ker
⊢ ⁅⁅Exists.choose h x, Exists.choose h y⁆, z⁆ - ⁅Exists.choose h ⁅x, y⁆, z⁆ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Extension

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing M
inst✝¹ : LieAlgebra R M
inst✝ : IsLieAbelian M
E : Extension R M L
y : M
z : E.L
x : M
hx : ↑E.incl x = Exists.choose ⋯ (E.proj z) - z
⊢ ⁅Exists.choose ⋯ (E.proj z), E.toKer y⁆ = ⁅z, E.toKer y⁆

Tactic:
← sub_eq_zero,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing M
inst✝¹ : LieAlgebra R M
inst✝ : IsLieAbelian M
E : Extension R M L
y : M
z : E.L
x : M
hx : ↑E.incl x = Exists.choose ⋯ (E.proj z) - z
⊢ ⁅Exists.choose ⋯ (E.proj z), E.toKer y⁆ - ⁅z, E.toKer y⁆ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Extension

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing M
inst✝¹ : LieAlgebra R M
inst✝ : IsLieAbelian M
E : Extension R M L
this : LieRingModule L M := E.ringModuleOf
h : HasRightInverse ⇑E.proj := Surjective.hasRightInverse (proj_surjective E)
r : R
x : L
m : M
⊢ ⁅Exists.choose ⋯ (r • x), E.toKer m⁆ = ⁅r • Exists.choose ⋯ x, E.toKer m⁆

Tactic:
← sub_eq_zero,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing M
inst✝¹ : LieAlgebra R M
inst✝ : IsLieAbelian M
E : Extension R M L
this : LieRingModule L M := E.ringModuleOf
h : HasRightInverse ⇑E.proj := Surjective.hasRightInverse (proj_surjective E)
r : R
x : L
m : M
⊢ ⁅Exists.choose ⋯ (r • x), E.toKer m⁆ - ⁅r • Exists.choose ⋯ x, E.toKer m⁆ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Extension

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing M
inst✝¹ : LieAlgebra R M
inst✝ : IsLieAbelian M
E : Extension R M L
s : L →ₗ[R] E.L
hs : LeftInverse ⇑E.proj ⇑s
x : E.L
y : ↥E.proj.ker
⊢ ⁅s (E.proj x), y⁆ = ⁅x, y⁆

Tactic:
← sub_eq_zero,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing M
inst✝¹ : LieAlgebra R M
inst✝ : IsLieAbelian M
E : Extension R M L
s : L →ₗ[R] E.L
hs : LeftInverse ⇑E.proj ⇑s
x : E.L
y : ↥E.proj.ker
⊢ ⁅s (E.proj x), y⁆ - ⁅x, y⁆ = 0
Module: Mathlib.GroupTheory.Perm.Cycle.Concrete

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x)[k] = y
⊢ (p ^ ((k + 1) % (p.cycleOf x).support.card)) x = (p ^ (k + 1)) x

Tactic:
← pow_mod_orderOf_cycleOf_apply p (k + 1),

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x)[k] = y
⊢ (p ^ ((k + 1) % (p.cycleOf x).support.card)) x = (p ^ ((k + 1) % orderOf (p.cycleOf x))) x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: case refine_2
n p : ℕ
i : Fin n
α : Fin (p + 1) → Fin n
⊢ (∃ a, i < a ∧ ∃ a_1, StrictMono (Fin.cons a a_1) ∧ Fin.cons a a_1 = α) → StrictMono (Fin.cons i α)

Tactic:
rintro ⟨k, hk, u, hu, rfl⟩

Goal state after:
case refine_2
n p : ℕ
i k : Fin n
hk : i < k
u : Fin p → Fin n
hu : StrictMono (Fin.cons k u)
⊢ StrictMono (Fin.cons i (Fin.cons k u))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
A : Matrix (Fin (k + 1)) (Fin (k + 1)) R
this : ∑ α ∈ S k 0, bminor A 0 0 α = A.det
⊢ A.det = Spec.birdDet A

Tactic:
Spec.birdDetSpec_succ,

Goal state after:
case succ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
A : Matrix (Fin (k + 1)) (Fin (k + 1)) R
this : ∑ α ∈ S k 0, bminor A 0 0 α = A.det
⊢ A.det = (-1) ^ k * (Spec.stepEntry A)^[k] A 0 0
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
p : FractionalIdeal S P
s : Set P
hs : s = ↑p
x✝ : P
⊢ x✝ ∈ (↑p).copy s hs ↔ x✝ ∈ ↑p

Tactic:
simp only [hs]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
p : FractionalIdeal S P
s : Set P
hs : s = ↑p
x✝ : P
⊢ x✝ ∈ (↑p).copy ↑p ⋯ ↔ x✝ ∈ ↑p
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J J' : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ' : J' ≠ 0
⊢ I ≤ ⟨↑J / ↑J', ⋯⟩ ↔ I * J' ≤ J

Tactic:
← coe_le_coe (I := I * J') (J := J),

Goal state after:
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J J' : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ' : J' ≠ 0
⊢ I ≤ ⟨↑J / ↑J', ⋯⟩ ↔ ↑(I * J') ≤ ↑J
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
x : R
y : P
⊢ (∃ z, z • (algebraMap R P) x = y) → ∃ x' ∈ Ideal.span {x}, (algebraMap R P) x' = y

Tactic:
rintro ⟨y', rfl⟩
    refine ⟨y' * x, Submodule.mem_span_singleton.mpr ⟨y', rfl⟩, ?_⟩
    rw [map_mul, Algebra.smul_def]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P : Ideal A
hirr : Irreducible P
I J : Ideal A
this : P.IsMaximal
⊢ (∀ ⦃x : A⦄, x ∈ I * J → x ∈ P) → (∀ ⦃x : A⦄, x ∈ I → x ∈ P) ∨ ∀ ⦃x : A⦄, x ∈ J → x ∈ P

Tactic:
contrapose!

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P : Ideal A
hirr : Irreducible P
I J : Ideal A
this : P.IsMaximal
⊢ ((∃ x ∈ I, x ∉ P) ∧ ∃ x ∈ J, x ∉ P) → ∃ x ∈ I * J, x ∉ P
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: case refine_2
A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDedekindDomain A
P : Ideal A
h : Prime P
x✝ y✝ : A
hxy : x✝ * y✝ ∈ P
⊢ x✝ ∈ P ∨ y✝ ∈ P

Tactic:
simp only [← dvd_span_singleton, ← span_singleton_mul_span_singleton] at hxy ⊢
    exact h.dvd_or_dvd hxy

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u_6
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
h : Ideal.span {a} = ⊥
⊢ False

Tactic:
Ideal.span_singleton_eq_bot

Goal state after:
R : Type u_6
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
h : a = 0
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
x : P
I J : FractionalIdeal S P
h : ∀ (i : P), (∃ z, z • x = i) → ∀ j ∈ I, i * j ∈ J
zI : P
hzI : zI ∈ I
⊢ x * zI ∈ J

Tactic:
exact h x ⟨1, one_smul _ _⟩ zI hzI

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.GradedModule

Goal state before:
pp: ιA : Type u_1
ιM : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
M : Type u_5
σ : Type u_6
σ' : Type u_7
inst✝¹⁵ : AddMonoid ιA
inst✝¹⁴ : AddAction ιA ιM
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Semiring A
inst✝¹¹ : Algebra R A
𝓐 : ιA → σ'
inst✝¹⁰ : SetLike σ' A
𝓜 : ιM → σ
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module A M
inst✝⁷ : SetLike σ M
inst✝⁶ : AddSubmonoidClass σ' A
inst✝⁵ : AddSubmonoidClass σ M
inst✝⁴ : SetLike.GradedSMul 𝓐 𝓜
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιM
inst✝¹ : GradedRing 𝓐
inst✝ : Decomposition 𝓜
⊢ Module A (⨁ (i : ιM), ↥(𝓜 i))

Tactic:
letI := isModule 𝓐 𝓜; infer_instance

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.GradedModule

Goal state before:
pp: ιA : Type u_1
ιM : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
M : Type u_5
σ : Type u_6
σ' : Type u_7
inst✝¹⁵ : AddMonoid ιA
inst✝¹⁴ : AddAction ιA ιM
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Semiring A
inst✝¹¹ : Algebra R A
𝓐 : ιA → σ'
inst✝¹⁰ : SetLike σ' A
𝓜 : ιM → σ
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module A M
inst✝⁷ : SetLike σ M
inst✝⁶ : AddSubmonoidClass σ' A
inst✝⁵ : AddSubmonoidClass σ M
inst✝⁴ : SetLike.GradedSMul 𝓐 𝓜
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιM
inst✝¹ : GradedRing 𝓐
inst✝ : Decomposition 𝓜
⊢ M ≃ₗ[A] ⨁ (i : ιM), ↥(𝓜 i)

Tactic:
letI h := isModule 𝓐 𝓜

Goal state after:
ιA : Type u_1
ιM : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
M : Type u_5
σ : Type u_6
σ' : Type u_7
inst✝¹⁵ : AddMonoid ιA
inst✝¹⁴ : AddAction ιA ιM
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Semiring A
inst✝¹¹ : Algebra R A
𝓐 : ιA → σ'
inst✝¹⁰ : SetLike σ' A
𝓜 : ιM → σ
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module A M
inst✝⁷ : SetLike σ M
inst✝⁶ : AddSubmonoidClass σ' A
inst✝⁵ : AddSubmonoidClass σ M
inst✝⁴ : SetLike.GradedSMul 𝓐 𝓜
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιM
inst✝¹ : GradedRing 𝓐
inst✝ : Decomposition 𝓜
h : Module A (⨁ (i : ιM), ↥(𝓜 i)) := isModule 𝓐 𝓜
⊢ M ≃ₗ[A] ⨁ (i : ιM), ↥(𝓜 i)
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: case a.left
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥
this : (normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J).prod ≠ 0
⊢ normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J ≤ normalizedFactors I

pp: case a.right
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥
this : (normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J).prod ≠ 0
⊢ normalizedFactors I ∩ normalizedFactors J ≤ normalizedFactors J

Tactic:
exacts [inf_le_left, inf_le_right]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
inst✝ : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I
hI : I ≠ ⊥
l : Ideal R
hl : l ∣ I
l' : Ideal R
hl' : l' ∣ I
⊢ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv ⟨l, hl⟩) ∣ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv ⟨l', hl'⟩) ↔
    ↑⟨l, hl⟩ ∣ ↑⟨l', hl'⟩

Tactic:
rw [Subtype.coe_mk, Subtype.coe_mk]

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
inst✝ : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I
hI : I ≠ ⊥
l : Ideal R
hl : l ∣ I
l' : Ideal R
hl' : l' ∣ I
⊢ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv ⟨l, hl⟩) ∣ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv ⟨l', hl'⟩) ↔
    ↑⟨l, hl⟩ ∣ ↑⟨l', hl'⟩
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
s : Finset N
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
hs' : (linearCombination R Subtype.val).ker.FG
H : Function.Surjective ⇑(linearCombination R Subtype.val)
f : (↥s →₀ R) →ₗ[R] M
hf : l ∘ₗ f = linearCombination R Subtype.val
x : M
y : ↥s →₀ R
hy : l x = l (f y)
⊢ f.range.mkQ x ∈ Submodule.map f.range.mkQ l.ker

Tactic:
← sub_eq_zero,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
s : Finset N
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
hs' : (linearCombination R Subtype.val).ker.FG
H : Function.Surjective ⇑(linearCombination R Subtype.val)
f : (↥s →₀ R) →ₗ[R] M
hf : l ∘ₗ f = linearCombination R Subtype.val
x : M
y : ↥s →₀ R
hy : l x - l (f y) = 0
⊢ f.range.mkQ x ∈ Submodule.map f.range.mkQ l.ker
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: case neg.refine_1
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : NormalizationMonoid R
a b : R
ha : a ∈ normalizedFactors b
hb : ¬b = 0
h : span {a} = ⊥
⊢ False

Tactic:
exact (prime_of_normalized_factor a ha).ne_zero (span_singleton_eq_bot.mp h)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
a b : R
h : ¬FiniteMultiplicity a b
this : ¬FiniteMultiplicity (span {a}) (span {b})
⊢ emultiplicity (span {a}) (span {b}) = emultiplicity a b

Tactic:
by
      rw [emultiplicity_eq_top.2 h, emultiplicity_eq_top.2 this]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Cokernel

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁶ : Ring A
M₁ : Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module A M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module A M₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₃
inst✝ : Module A M₃
pres₂ : Presentation A M₂
f : M₁ →ₗ[A] M₂
ι : Type w₁
g₁ : ι → M₁
⊢ Nonempty (pres₂.CokernelData f g₁)

Tactic:
obtain ⟨s, hs⟩ := pres₂.surjective_π.hasRightInverse
  exact ⟨CokernelData.ofSection _ _ _ s hs⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
s : M → ↥S
hs : ∀ (x : M), s x • g₁ x = s x • g₂ x
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
⊢ σ.prod s • g₁ = σ.prod s • g₂

Tactic:
← sub_eq_zero,

Goal state after:
case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
s : M → ↥S
hs : ∀ (x : M), s x • g₁ x = s x • g₂ x
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
⊢ σ.prod s • g₁ - σ.prod s • g₂ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.PID

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type u
w✝ : Fintype ι
p : ι → R
irr : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)
n : ι → ℕ
x : R
e : M ≃ₗ[R] (Fin 0 →₀ R) × ⨁ (i : ι), R ⧸ R ∙ p i ^ n i
h :
  (∀ (a : Fin 0),
      (x • (Finsupp.equivFunOnFinite.symm fun x ↦ 1, DFinsupp.equivFunOnFintype.symm fun x ↦ (R ∙ p x ^ n x).mkQ 1)).1
          a =
        0.1 a) ∧
    ∀ (i : ι),
      (x • (Finsupp.equivFunOnFinite.symm fun x ↦ 1, DFinsupp.equivFunOnFintype.symm fun x ↦ (R ∙ p x ^ n x).mkQ 1)).2
          i =
        0.2 i
⊢ x • 1 ∈ annihilator R M

Tactic:
e.annihilator_eq,

Goal state after:
case zero
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type u
w✝ : Fintype ι
p : ι → R
irr : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)
n : ι → ℕ
x : R
e : M ≃ₗ[R] (Fin 0 →₀ R) × ⨁ (i : ι), R ⧸ R ∙ p i ^ n i
h :
  (∀ (a : Fin 0),
      (x • (Finsupp.equivFunOnFinite.symm fun x ↦ 1, DFinsupp.equivFunOnFintype.symm fun x ↦ (R ∙ p x ^ n x).mkQ 1)).1
          a =
        0.1 a) ∧
    ∀ (i : ι),
      (x • (Finsupp.equivFunOnFinite.symm fun x ↦ 1, DFinsupp.equivFunOnFintype.symm fun x ↦ (R ∙ p x ^ n x).mkQ 1)).2
          i =
        0.2 i
⊢ x • 1 ∈ annihilator R ((Fin 0 →₀ R) × ⨁ (i : ι), R ⧸ R ∙ p i ^ n i)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
r : P.Ring
x : P.Cotangent
⊢ P.σ ((algebraMap P.Ring S) r) • x.val = r • x.val

Tactic:
← sub_eq_zero,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
r : P.Ring
x : P.Cotangent
⊢ P.σ ((algebraMap P.Ring S) r) • x.val - r • x.val = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S ι
⊢ Function.Surjective ⇑(algebraMap R R)

Tactic:
by
  rw [algebraMap_self]
  exact RingHomSurjective.is_surjective

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
P' : Extension R S
f : P.Hom P'
h : Function.Surjective ⇑f
eq : Ideal.comap f.toRingHom P'.ker = RingHom.ker f.toRingHom ⊔ P.ker
eq_map : P'.ker = Ideal.map f.toRingHom P.ker
x : ↥P.ker
y : P.Ring
y_in : y ∈ P.ker ^ 2
z : P.Ring
z_in : z ∈ RingHom.ker f.toRingHom
hyz : y + z = ↑x
⊢ z - ↑x ∈ P.ker ^ 2

Tactic:
by simpa [← hyz]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Generators R S ι
ι' : Type u_1
T : Type ?u.18
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Generators R S ι'
e : ι ≃ ι'
s : S
⊢ (aeval (P.val ∘ ⇑e)) ((⇑(rename ⇑e.symm) ∘ P.σ) s) = s

Tactic:
by
    conv_rhs => rw [← P.aeval_val_σ s]
    rw [← MvPolynomial.aeval_rename]
    simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝⁴ : Algebra R R'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f g : P.Hom P'
x : P.H1Cotangent
⊢ ((Cotangent.map f) ↑x).val = ((Cotangent.map g) ↑x).val

Tactic:
← sub_eq_zero,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝⁴ : Algebra R R'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f g : P.Hom P'
x : P.H1Cotangent
⊢ ((Cotangent.map f) ↑x).val - ((Cotangent.map g) ↑x).val = 0