mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.SheafHom

Goal state before:
pp: case mp
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows
hx : x.Compatible
y : (presheafHom F G).obj (op X)
h : x.IsAmalgamation y
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : S.arrows g
⊢ y.app (op (Over.mk g)) = ((ConcreteCategory.hom ((presheafHom F G).map g.op)) y).app (op (Over.mk (𝟙 Y)))

Tactic:
presheafHom_map_app_op_mk_id

Goal state after:
case mp
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows
hx : x.Compatible
y : (presheafHom F G).obj (op X)
h : x.IsAmalgamation y
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : S.arrows g
⊢ y.app (op (Over.mk g)) = y.app (op (Over.mk g))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.MayerVietorisSquare

Goal state before:
pp: case left.right
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
inst✝² : HasWeakSheafify J (Type v)
sq : Square C
inst✝¹ : Mono sq.f₂₄
inst✝ : Mono sq.f₃₄
h₁ : sq.IsPullback
h₂ : Sieve.ofTwoArrows sq.f₂₄ sq.f₃₄ ∈ J sq.X₄
this : Mono sq.f₁₃
F : Sheaf J (Type v)
s : PullbackCone (sq.op.map F.obj).f₂₄ (sq.op.map F.obj).f₃₄
W : C
a : W ⟶ pairFunction sq.X₂ sq.X₃ WalkingPair.left
b : W ⟶ pairFunction sq.X₂ sq.X₃ WalkingPair.right
fac : a ≫ WalkingPair.casesOn WalkingPair.left sq.f₂₄ sq.f₃₄ = b ≫ WalkingPair.casesOn WalkingPair.right sq.f₂₄ sq.f₃₄
⊢ WalkingPair.casesOn WalkingPair.left s.fst s.snd ≫ F.obj.map a.op =
    WalkingPair.casesOn WalkingPair.right s.fst s.snd ≫ F.obj.map b.op

Tactic:
obtain ⟨φ, rfl, rfl⟩ := PullbackCone.IsLimit.lift' h₁.isLimit _ _ fac

Goal state after:
case left.right
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
inst✝² : HasWeakSheafify J (Type v)
sq : Square C
inst✝¹ : Mono sq.f₂₄
inst✝ : Mono sq.f₃₄
h₁ : sq.IsPullback
h₂ : Sieve.ofTwoArrows sq.f₂₄ sq.f₃₄ ∈ J sq.X₄
this : Mono sq.f₁₃
F : Sheaf J (Type v)
s : PullbackCone (sq.op.map F.obj).f₂₄ (sq.op.map F.obj).f₃₄
W : C
φ : W ⟶ sq.pullbackCone.pt
fac :
  (φ ≫ sq.pullbackCone.fst) ≫ WalkingPair.casesOn WalkingPair.left sq.f₂₄ sq.f₃₄ =
    (φ ≫ sq.pullbackCone.snd) ≫ WalkingPair.casesOn WalkingPair.right sq.f₂₄ sq.f₃₄
⊢ WalkingPair.casesOn WalkingPair.left s.fst s.snd ≫ F.obj.map (φ ≫ sq.pullbackCone.fst).op =
    WalkingPair.casesOn WalkingPair.right s.fst s.snd ≫ F.obj.map (φ ≫ sq.pullbackCone.snd).op
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.NonabelianCohomology.H1

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
G : Cᵒᵖ ⥤ GrpCat
I : Type w'
U : I → C
γ : OneCocycle G U
i j : I
T : C
a : T ⟶ U i
b : T ⟶ U j
⊢ γ.ev i j a b = (γ.ev j i b a)⁻¹

Tactic:
by
  rw [← mul_left_inj (γ.ev j i b a), γ.ev_trans i j i a b a,
    ev_refl, inv_mul_cancel]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
β : ι' → ι
p'' : (j : ι') → X' j ⟶ X (β j)
w' : ∀ (j : ι'), p'' j ≫ f (β j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
⊢ (F.mapComp' (p' j₁).op.toLoc f₁.op.toLoc (f₁ ≫ p' j₁).op.toLoc ⋯).inv.toNatTrans.app (D.obj (α j₁)) ≫
      D.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p'' j₂) ⋯ ⋯ ≫
        (F.mapComp' (p'' j₂).op.toLoc f₂.op.toLoc (f₂ ≫ p'' j₂).op.toLoc ⋯).hom.toNatTrans.app (D.obj (β j₂)) =
    (F.mapComp' (p' j₁).op.toLoc f₁.op.toLoc (f₁ ≫ p' j₁).op.toLoc ⋯).inv.toNatTrans.app (D.obj (α j₁)) ≫
      D.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂) ⋯ ⋯ ≫
        pullHom (D.hom (p' j₂ ≫ f (α j₂)) (p' j₂) (p'' j₂) ⋯ ⋯) f₂ (f₂ ≫ p' j₂) (f₂ ≫ p'' j₂) ⋯ ⋯ ≫
          (F.mapComp' (p'' j₂).op.toLoc f₂.op.toLoc (f₂ ≫ p'' j₂).op.toLoc ⋯).hom.toNatTrans.app (D.obj (β j₂))

Tactic:
pullHom_hom _ _ _ (q ≫ p) (by rw [w, reassoc_of% hf₂]) _ _
        rfl (by cat_disch) _ _ rfl rfl,

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
β : ι' → ι
p'' : (j : ι') → X' j ⟶ X (β j)
w' : ∀ (j : ι'), p'' j ≫ f (β j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
⊢ (F.mapComp' (p' j₁).op.toLoc f₁.op.toLoc (f₁ ≫ p' j₁).op.toLoc ⋯).inv.toNatTrans.app (D.obj (α j₁)) ≫
      D.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p'' j₂) ⋯ ⋯ ≫
        (F.mapComp' (p'' j₂).op.toLoc f₂.op.toLoc (f₂ ≫ p'' j₂).op.toLoc ⋯).hom.toNatTrans.app (D.obj (β j₂)) =
    (F.mapComp' (p' j₁).op.toLoc f₁.op.toLoc (f₁ ≫ p' j₁).op.toLoc ⋯).inv.toNatTrans.app (D.obj (α j₁)) ≫
      D.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂) ⋯ ⋯ ≫
        D.hom (q ≫ p) (f₂ ≫ p' j₂) (f₂ ≫ p'' j₂) ⋯ ⋯ ≫
          (F.mapComp' (p'' j₂).op.toLoc f₂.op.toLoc (f₂ ≫ p'' j₂).op.toLoc ⋯).hom.toNatTrans.app (D.obj (β j₂))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.Opposite.Functor

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹² : Category.{v_2, u_2} D
inst✝¹¹ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ
F : C ⥤ D
inst✝⁹ : F.CommShift ℤ
inst✝⁸ : HasZeroObject C
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : HasZeroObject D
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝¹ : Pretriangulated D
inst✝ : F.op.IsTriangulated
T : Triangle C
dT : T ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
this :
  unop (((triangleOpEquivalence D).functor ⋙ (triangleOpEquivalence D).inverse).obj (op (F.mapTriangle.obj T))) ∈
      Pretriangulated.distinguishedTriangles ↔
    F.mapTriangle.obj T ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ (F.mapTriangle.op ⋙ (triangleOpEquivalence D).functor).obj (op T) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles

Tactic:
distinguished_iff_of_iso ((mapTriangleOpCompTriangleOpEquivalenceFunctor F).app
      (Opposite.op T))

Goal state after:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹² : Category.{v_2, u_2} D
inst✝¹¹ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ
F : C ⥤ D
inst✝⁹ : F.CommShift ℤ
inst✝⁸ : HasZeroObject C
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : HasZeroObject D
inst✝³ : Preadditive D
inst✝² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝¹ : Pretriangulated D
inst✝ : F.op.IsTriangulated
T : Triangle C
dT : T ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
this :
  unop (((triangleOpEquivalence D).functor ⋙ (triangleOpEquivalence D).inverse).obj (op (F.mapTriangle.obj T))) ∈
      Pretriangulated.distinguishedTriangles ↔
    F.mapTriangle.obj T ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
⊢ ((triangleOpEquivalence C).functor ⋙ F.op.mapTriangle).obj (op T) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.TStructure.SpectralObject

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹ : Pretriangulated C
t : TStructure C
inst✝ : IsTriangulated C
a b c : EInt
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
X : C
⊢ (t.eTruncGE.obj a).map ((t.eTruncLTLTIsoLT c b hbc).hom.app X) ≫
      (t.eTruncGE.obj a).map ((t.eTruncLT.map (homOfLE hbc)).app X) =
    (t.eTruncLTGEIsoGELT a b).inv.app ((t.eTruncLT.obj c).obj X) ≫
      (t.eTruncLTι b).app ((t.eTruncGE.obj a).obj ((t.eTruncLT.obj c).obj X))

Tactic:
← cancel_epi ((t.eTruncLTGEIsoGELT a b).hom.app ((t.eTruncLT.obj c).obj X)),

Goal state after:
case refine_1
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹ : Pretriangulated C
t : TStructure C
inst✝ : IsTriangulated C
a b c : EInt
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
X : C
⊢ (t.eTruncLTGEIsoGELT a b).hom.app ((t.eTruncLT.obj c).obj X) ≫
      (t.eTruncGE.obj a).map ((t.eTruncLTLTIsoLT c b hbc).hom.app X) ≫
        (t.eTruncGE.obj a).map ((t.eTruncLT.map (homOfLE hbc)).app X) =
    (t.eTruncLTGEIsoGELT a b).hom.app ((t.eTruncLT.obj c).obj X) ≫
      (t.eTruncLTGEIsoGELT a b).inv.app ((t.eTruncLT.obj c).obj X) ≫
        (t.eTruncLTι b).app ((t.eTruncGE.obj a).obj ((t.eTruncLT.obj c).obj X))
Module: Mathlib.Combinatorics.Additive.AP.Three.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s
⊢ ThreeGPFree (f '' A) ↔ ThreeGPFree A

Tactic:
ThreeGPFree,

Goal state after:
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s
⊢ (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ f '' A → ∀ ⦃b : β⦄, b ∈ f '' A → ∀ ⦃c : β⦄, c ∈ f '' A → a * c = b * b → a = b) ↔ ThreeGPFree A
Module: Mathlib.Combinatorics.Enumerative.DoubleCounting

Goal state before:
pp: α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
s : Finset α
t : Finset β
hs : ∀ a ∈ s, ∃ b ∈ t, r a b
ht : ∀ b ∈ t, {a | a ∈ s ∧ r a b}.Subsingleton
⊢ #s ≤ #t

Tactic:
classical
    rw [← mul_one #s, ← mul_one #t]
    exact card_mul_le_card_mul r
      (fun a h ↦ card_pos.2 (by
        rw [← coe_nonempty, coe_bipartiteAbove]
        exact hs _ h : (t.bipartiteAbove r a).Nonempty))
      (fun b h ↦ card_le_one.2 (by
        simp_rw [mem_bipartiteBelow]
        exact ht _ h))

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.Additive.AP.Three.Behrend

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : LinearOrder 𝕜
inst✝³ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
⊢ a ∈ frontier s → ∀ ⦃b : E⦄, b ∈ frontier s → ∀ ⦃c : E⦄, c ∈ frontier s → a + c = b + b → a = b

Tactic:
ha

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : LinearOrder 𝕜
inst✝³ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
⊢ ∀ ⦃b : E⦄, b ∈ frontier s → ∀ ⦃c : E⦄, c ∈ frontier s → a + c = b + b → a = b
Module: Mathlib.Combinatorics.Additive.FreimanHom

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A : Set α
B : Set β
C : Set γ
f : α → β
g : β → γ
n : ℕ
hg : IsMulFreimanHom n B C g
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : s.card = n
ht : t.card = n
h : s.prod = t.prod
⊢ ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ map f s → x ∈ B

pp: case refine_2
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A : Set α
B : Set β
C : Set γ
f : α → β
g : β → γ
n : ℕ
hg : IsMulFreimanHom n B C g
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : s.card = n
ht : t.card = n
h : s.prod = t.prod
⊢ ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ map f t → x ∈ B

Tactic:
· simpa using fun a h ↦ hf.mapsTo (hsA h)

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A : Set α
B : Set β
C : Set γ
f : α → β
g : β → γ
n : ℕ
hg : IsMulFreimanHom n B C g
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : s.card = n
ht : t.card = n
h : s.prod = t.prod
⊢ ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ map f t → x ∈ B
Module: Mathlib.Combinatorics.Additive.CauchyDavenport

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : Mul α
inst✝² : IsCancelMul α
inst✝¹ : MulLeftMono α
inst✝ : MulRightMono α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ s * {t.min' ht} ∩ ({s.max' hs} * t) = {s.max' hs * t.min' ht}

Tactic:
refine eq_singleton_iff_unique_mem.2 ⟨mem_inter.2 ⟨mul_mem_mul (max'_mem _ _) <|
    mem_singleton_self _, mul_mem_mul (mem_singleton_self _) <| min'_mem _ _⟩, ?_⟩

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : Mul α
inst✝² : IsCancelMul α
inst✝¹ : MulLeftMono α
inst✝ : MulRightMono α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ ∀ x ∈ s * {t.min' ht} ∩ ({s.max' hs} * t), x = s.max' hs * t.min' ht
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Maps

Goal state before:
pp: V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
f : G ≃g G'
v : W
⊢ (f.toHom.comp f.symm.toHom) v = Hom.id v

Tactic:
simp only [RelHom.comp_apply, RelEmbedding.coe_toRelHom, RelIso.coe_toRelEmbedding,
    RelIso.apply_symm_apply, RelHom.id_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Set.Equitable

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
b : ℕ
hb : ∀ a ∈ ↑s, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1
h : ∀ a ∈ s, f a = b + 1
a : α
⊢ a ∈ s → (∑ i ∈ s, f i) / #s ≤ f a ∧ f a ≤ (∑ i ∈ s, f i) / #s + 1

Tactic:
ha

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
b : ℕ
hb : ∀ a ∈ ↑s, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1
h : ∀ a ∈ s, f a = b + 1
a : α
ha : a ∈ s
⊢ (∑ i ∈ s, f i) / #s ≤ f a ∧ f a ≤ (∑ i ∈ s, f i) / #s + 1
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Finite

Goal state before:
pp: V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
inst✝¹ : Fintype ↑(G.neighborSet v)
inst✝ : DecidableEq V
⊢ #(G.incidenceFinset v) = G.degree v

Tactic:
← G.card_incidenceSet_eq_degree

Goal state after:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v : V
inst✝¹ : Fintype ↑(G.neighborSet v)
inst✝ : DecidableEq V
⊢ #(G.incidenceFinset v) = Fintype.card ↑(G.incidenceSet v)
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Bound

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
⊢ 4 ^ #P.parts ≤ ↑m

Tactic:
norm_cast
    rwa [Nat.le_div_iff_mul_le (stepBound_pos (P.parts_nonempty <|
      univ_nonempty.ne_empty).card_pos), stepBound, mul_left_comm, ← mul_pow]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
P : Finpartition a
hab : a ≤ b
p : α
hp : p ∈ (P.extendOfLE hab).parts
h : ¬a < b
⊢ p ∈ P.parts

Tactic:
simpa [parts_extendOfLE_of_eq _ (LE.le.eq_of_not_lt hab h)] using hp

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a✝ : α
parts : Finset (Finset α)
h : ∀ p ∈ parts, p ⊆ s
h' : ∀ a ∈ s, ∃! t, t ∈ parts ∧ a ∈ t
h'' : ∅ ∉ parts
a : Finset α
⊢ a ∈ ↑parts → ∀ ⦃y : Finset α⦄, y ∈ ↑parts → a ≠ y → (Disjoint on id) a y

Tactic:
ha

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a✝ : α
parts : Finset (Finset α)
h : ∀ p ∈ parts, p ⊆ s
h' : ∀ a ∈ s, ∃! t, t ∈ parts ∧ a ∈ t
h'' : ∅ ∉ parts
a : Finset α
ha : a ∈ ↑parts
⊢ ∀ ⦃y : Finset α⦄, y ∈ ↑parts → a ≠ y → (Disjoint on id) a y
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
parts : Finset (Finset α)
h : ∀ p ∈ parts, p ⊆ s
h' : ∀ a ∈ s, ∃! t, t ∈ parts ∧ a ∈ t
h'' : ∅ ∉ parts
i : α
hi : i ∈ s
⊢ ∃ i_1 ∈ parts, i ∈ i_1

Tactic:
exact (h' i hi).exists

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ t u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
s : Setoid α
x : Finset α
inst✝ : DecidableRel ⇑s
this : ∀ (a b c d : α), s a d → s b d → (s a c ↔ s b c)
a✝³ : α
a✝² : a✝³ ∈ x
a✝¹ : α
a✝ : a✝¹ ∈ x
x✝³ : α
x✝² : x✝³ ∈ x
x✝¹ : α
x✝ : x✝¹ ∈ x
⊢ s a✝³ x✝¹ → x✝¹ ∈ x → s a✝¹ x✝¹ → (s a✝³ x✝³ ↔ s a✝¹ x✝³)

Tactic:
ha

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ t u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
s : Setoid α
x : Finset α
inst✝ : DecidableRel ⇑s
this : ∀ (a b c d : α), s a d → s b d → (s a c ↔ s b c)
a✝³ : α
a✝² : a✝³ ∈ x
a✝¹ : α
a✝ : a✝¹ ∈ x
x✝³ : α
x✝² : x✝³ ∈ x
x✝¹ : α
x✝ : x✝¹ ∈ x
ha : s a✝³ x✝¹
⊢ x✝¹ ∈ x → s a✝¹ x✝¹ → (s a✝³ x✝³ ↔ s a✝¹ x✝³)
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
s : Finset α
F : Finset (Finset α)
t : Finset α
ht : t ∈ image (fun Q ↦ {i ∈ s | ∀ t ∈ F, t ∈ Q ↔ i ∈ t}) F.powerset
⊢ id t ⊆ s

Tactic:
rw [mem_image] at ht

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
s : Finset α
F : Finset (Finset α)
t : Finset α
ht : ∃ a ∈ F.powerset, {i ∈ s | ∀ t ∈ F, t ∈ a ↔ i ∈ t} = t
⊢ id t ⊆ s
Module: Mathlib.Order.Partition.Equipartition

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
f : ↥s ≃ (t : ↥P.parts) × Fin #↑t
hf : ∀ (a b : ↥s), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
g : ↥P.parts ≃ Fin #P.parts
hg : ∀ (t : ↥P.parts), #↑t = #s / #P.parts + 1 ↔ ↑(g t) < #s % #P.parts
z : ↥s → ℕ := fun a ↦ #P.parts * ↑(f a).snd + ↑(g (f a).fst)
gl : ∀ (a : ↥s), ↑(g (f a).fst) < #P.parts
less : ∀ (a : ↥s), z a < #s
z' : ↥s → Fin #s := fun a ↦ ⟨z a, ⋯⟩
bij : Function.Bijective z'
⊢ ∃ f, ∀ (a b : ↥s), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑(f a) % #P.parts = ↑(f b) % #P.parts

Tactic:
use Equiv.ofBijective _ bij

Goal state after:
case h
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
f : ↥s ≃ (t : ↥P.parts) × Fin #↑t
hf : ∀ (a b : ↥s), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
g : ↥P.parts ≃ Fin #P.parts
hg : ∀ (t : ↥P.parts), #↑t = #s / #P.parts + 1 ↔ ↑(g t) < #s % #P.parts
z : ↥s → ℕ := ⋯
gl : ∀ (a : ↥s), ↑(g (f a).fst) < #P.parts
less : ∀ (a : ↥s), z a < #s
z' : ↥s → Fin #s := ⋯
bij : Function.Bijective z'
⊢ ∀ (a b : ↥s),
    P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑((Equiv.ofBijective z' bij) a) % #P.parts = ↑((Equiv.ofBijective z' bij) b) % #P.parts
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F
hts : t ⊆ s
a : α
⊢ a ∈ {u ∈ (atomise s F).parts | u ⊆ t ∧ u.Nonempty}.biUnion id ↔ a ∈ t

Tactic:
refine mem_biUnion.trans ⟨fun ⟨u, hu, ha⟩ ↦ (mem_filter.1 hu).2.1 ha, fun ha ↦ ?_⟩

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F
hts : t ⊆ s
a : α
ha : a ∈ t
⊢ ∃ a_1 ∈ {u ∈ (atomise s F).parts | u ⊆ t ∧ u.Nonempty}, a ∈ id a_1
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F
⊢ ∀ ⦃x : Finset α⦄,
    x ∈ {u ∈ (atomise s F).parts | u ⊆ t ∧ u.Nonempty} →
      x ∈ image (fun P ↦ {i ∈ s | ∀ x ∈ F, x ∈ insert t P ↔ i ∈ x}) (F.erase t).powerset

Tactic:
mem_image,

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
F : Finset (Finset α)
ht : t ∈ F
⊢ ∀ ⦃x : Finset α⦄,
    x ∈ {u ∈ (atomise s F).parts | u ⊆ t ∧ u.Nonempty} →
      ∃ a ∈ (F.erase t).powerset, {i ∈ s | ∀ x ∈ F, x ∈ insert t a ↔ i ∈ x} = x
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Uniform

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
x y : α
hx✝ : x ∈ A
hy✝ : y ∈ A
h : G.Adj x y
h' :
  ∀ x_1 ∈ P.parts,
    ∀ x_2 ∈ P.parts, x ∈ x_1 → y ∈ x_2 → x_1 ≠ x_2 → G.IsUniform (ε / 8) x_1 x_2 → ↑(G.edgeDensity x_1 x_2) < ε / 4
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
hx : x ∈ U
hV : U ∈ P.parts
hy : y ∈ U
⊢ (∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ¬G.IsUniform (ε / 8) a b ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b) ∨
    (∃ a ∈ P.parts, x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ x ≠ y) ∨
      ∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ↑(G.edgeDensity a b) < ε / 4 ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ G.Adj x y

pp: case inr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
x y : α
hx✝ : x ∈ A
hy✝ : y ∈ A
h : G.Adj x y
h' :
  ∀ x_1 ∈ P.parts,
    ∀ x_2 ∈ P.parts, x ∈ x_1 → y ∈ x_2 → x_1 ≠ x_2 → G.IsUniform (ε / 8) x_1 x_2 → ↑(G.edgeDensity x_1 x_2) < ε / 4
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
hx : x ∈ U
V : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hy : y ∈ V
hUV : U ≠ V
⊢ (∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ¬G.IsUniform (ε / 8) a b ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b) ∨
    (∃ a ∈ P.parts, x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ x ≠ y) ∨
      ∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ↑(G.edgeDensity a b) < ε / 4 ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ G.Adj x y

Tactic:
· exact Or.inr (Or.inl ⟨U, hU, hx, hy, G.ne_of_adj h⟩)

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
x y : α
hx✝ : x ∈ A
hy✝ : y ∈ A
h : G.Adj x y
h' :
  ∀ x_1 ∈ P.parts,
    ∀ x_2 ∈ P.parts, x ∈ x_1 → y ∈ x_2 → x_1 ≠ x_2 → G.IsUniform (ε / 8) x_1 x_2 → ↑(G.edgeDensity x_1 x_2) < ε / 4
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
hx : x ∈ U
V : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hy : y ∈ V
hUV : U ≠ V
⊢ (∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ¬G.IsUniform (ε / 8) a b ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b) ∨
    (∃ a ∈ P.parts, x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ x ≠ y) ∨
      ∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ↑(G.edgeDensity a b) < ε / 4 ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ G.Adj x y
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Copy

Goal state before:
pp: case e_f
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
H : SimpleGraph W
hH : H ≠ ⊥
G' : (G \ fromEdgeSet (⋃ G', ⋃ (hG' : Nonempty (H ≃g G'.coe)), {⋯.some})).Subgraph
hHG' : Nonempty (H ≃g G'.coe)
hG' : (Subgraph.map (Hom.ofLE ⋯) G').edgeSet.Nonempty
e : Sym2 ↑(Subgraph.map (Hom.ofLE ⋯) G').verts
he₀ : e ∈ (Subgraph.map (Hom.ofLE ⋯) G').coe.edgeSet
he₁ : Sym2.map Subtype.val e = hG'.some
e' : Sym2 ↑G'.verts :=
  Sym2.map
    (⇑((Copy.ofLE (G \ fromEdgeSet (⋃ G', ⋃ (hG' : Nonempty (H ≃g G'.coe)), {⋯.some})) G ⋯).isoSubgraphMap G').symm) e
he' : e' ∈ Sym2.map Subtype.val ⁻¹' G'.edgeSet
this :
  Sym2.map Subtype.val e' ∈ G.edgeSet ∧
    ∀ (x : G.Subgraph) (x_1 : Nonempty (H ≃g x.coe)), Sym2.map Subtype.val e' ∉ {⋯.some}
x : ↑(Subgraph.map (Copy.ofLE (G \ fromEdgeSet (⋃ G', ⋃ (hG' : Nonempty (H ≃g G'.coe)), {⋯.some})) G ⋯).toHom G').verts
⊢ (Subtype.val ∘
        ⇑((Copy.ofLE (G \ fromEdgeSet (⋃ G', ⋃ (hG' : Nonempty (H ≃g G'.coe)), {⋯.some})) G ⋯).isoSubgraphMap G').symm)
      x =
    ↑x

Tactic:
exact congr_arg _ (Equiv.Set.image_symm_apply _ _ injective_id _ _)

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Equitabilise

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
m a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = #s
hm : m ≠ 0
hunion : (equitabilise h).parts = {u ∈ (equitabilise h).parts | #u = m} ∪ {u ∈ (equitabilise h).parts | #u = m + 1}
x : Finset α → Prop
⊢ (x ≤ fun u ↦ #u = m) → (x ≤ fun u ↦ #u = m + 1) → x ≤ ⊥

Tactic:
ha

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
m a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = #s
hm : m ≠ 0
hunion : (equitabilise h).parts = {u ∈ (equitabilise h).parts | #u = m} ∪ {u ∈ (equitabilise h).parts | #u = m + 1}
x : Finset α → Prop
ha : x ≤ fun u ↦ #u = m
⊢ (x ≤ fun u ↦ #u = m + 1) → x ≤ ⊥
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Operations

Goal state before:
pp: V : Type u_1
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝ : DecidableEq V
v w : V
hv : v ≠ t
hw : w ≠ t
⊢ (G.replaceVertex s t).Adj v w ↔ G.Adj v w

Tactic:
simp [replaceVertex, hv, hw]

Goal state after: