mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s →
      ∀ ⦃y : E⦄,
        y ∈ s →
          ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
            0 ≤ a →
              0 ≤ b → 0 < a + b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) ≤ (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
⊢ 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y

Tactic:
ha

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s →
      ∀ ⦃y : E⦄,
        y ∈ s →
          ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
            0 ≤ a →
              0 ≤ b → 0 < a + b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) ≤ (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case cons
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
x : E
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : (s.sup p) x = ↑(s.sup fun i ↦ NNReal.mk ((p i) x) ⋯)
⊢ max ((p a) x) ((s.sup p) x) = ↑(max (NNReal.mk ((p a) x) ⋯) (s.sup fun i ↦ NNReal.mk ((p i) x) ⋯))

Tactic:
NNReal.coe_max,

Goal state after:
case cons
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
x : E
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : (s.sup p) x = ↑(s.sup fun i ↦ NNReal.mk ((p i) x) ⋯)
⊢ max ((p a) x) ((s.sup p) x) = max ↑(NNReal.mk ((p a) x) ⋯) ↑(s.sup fun i ↦ NNReal.mk ((p i) x) ⋯)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
⊢ 0 < a → 0 < b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y

Tactic:
ha

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
⊢ 0 < b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s →
      ∀ ⦃y : E⦄,
        y ∈ s →
          x ≠ y →
            ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
              0 < a → 0 < b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
⊢ 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y

Tactic:
ha

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s →
      ∀ ⦃y : E⦄,
        y ∈ s →
          x ≠ y →
            ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
              0 < a → 0 < b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
⊢ 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ 0 ∈ lowerBounds (range fun u ↦ p u + q (x - u))

Tactic:
by
    rintro _ ⟨x, rfl⟩
    dsimp; positivity

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
v : V
x : k
s : Set ι
p : ι → P
b : P
⊢ (∃ fs, ↑fs ⊆ s ∧ ∃ w, ∑ i ∈ fs, w i = x ∧ v = ∑ i ∈ fs, w i • (p i -ᵥ b)) →
    ∃ fs w, ∑ i ∈ fs, w i = x ∧ v = ∑ i ∈ fs, w i • (p ↑i -ᵥ b)

pp: case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
v : V
x : k
s : Set ι
p : ι → P
b : P
⊢ (∃ fs w, ∑ i ∈ fs, w i = x ∧ v = ∑ i ∈ fs, w i • (p ↑i -ᵥ b)) →
    ∃ fs, ↑fs ⊆ s ∧ ∃ w, ∑ i ∈ fs, w i = x ∧ v = ∑ i ∈ fs, w i • (p i -ᵥ b)

Tactic:
· rintro ⟨fs, hfs, w, rfl, rfl⟩
      exact ⟨fs.subtype (· ∈ s), fun i => w i, sum_subtype_of_mem _ hfs,
        (sum_subtype_of_mem _ hfs).symm⟩

Goal state after:
case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
v : V
x : k
s : Set ι
p : ι → P
b : P
⊢ (∃ fs w, ∑ i ∈ fs, w i = x ∧ v = ∑ i ∈ fs, w i • (p ↑i -ᵥ b)) →
    ∃ fs, ↑fs ⊆ s ∧ ∃ w, ∑ i ∈ fs, w i = x ∧ v = ∑ i ∈ fs, w i • (p i -ᵥ b)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
e : ι₂ ↪ ι
p : ι → P
⊢ centroid k (map e s₂) p = centroid k s₂ (p ∘ ⇑e)

Tactic:
by
  simp [centroid_def, affineCombination_map, centroidWeights]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
a : 𝕜
⊢ ‖a‖ < r₁ → ∀ (b : E), p b ≤ r₂ → ‖a‖ * p b < r₁ * r₂

Tactic:
ha

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r₁
⊢ ∀ (b : E), p b ≤ r₂ → ‖a‖ * p b < r₁ * r₂
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
a : 𝕜
⊢ ‖a‖ ≤ r₁ → ∀ (b : E), p b ≤ r₂ → ‖a‖ * p b ≤ r₁ * r₂

Tactic:
ha

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ r₁
⊢ ∀ (b : E), p b ≤ r₂ → ‖a‖ * p b ≤ r₁ * r₂
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
x y : E
hy : y ∈ p.closedBall 0 r
h : (fun x ↦ k • x) y = x
⊢ ‖k‖ * p y ≤ ‖k‖ * r

Tactic:
rw [Seminorm.mem_closedBall_zero] at hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
x y : E
hy : p y ≤ r
h : (fun x ↦ k • x) y = x
⊢ ‖k‖ * p y ≤ ‖k‖ * r
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
w : ↑s → kˣ
⊢ affineSpan k (Set.range fun q ↦ (AffineMap.lineMap p ↑q) ↑(w q)) = affineSpan k s

Tactic:
have : s = Set.range ((↑) : s → P) := by simp

Goal state after:
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
w : ↑s → kˣ
this : s = Set.range Subtype.val
⊢ affineSpan k (Set.range fun q ↦ (AffineMap.lineMap p ↑q) ↑(w q)) = affineSpan k s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
G : Type u_3
k : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G k V
a : G
b : AffineBasis ι k V
i : ι
j : { j // j ≠ i }
⊢ ((a • b).basisOf i) j = (a • b.basisOf i) j

Tactic:
simp [smul_sub]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
G : Type u_3
k : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G k V
a : G
b : AffineBasis ι k V
i : ι
v : V
⊢ ((a • b).coord i) v = ((b.coord i).comp (↑(DistribMulAction.toLinearEquiv k V a).symm).toAffineMap) v

Tactic:
simp [map_sub, coord]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: case mk
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s2 : Simplex k P n
points✝ : Fin (n + 1) → P
independent✝ : AffineIndependent k points✝
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), { points := points✝, independent := independent✝ }.points i = s2.points i
⊢ { points := points✝, independent := independent✝ } = s2

Tactic:
cases s2

Goal state after:
case mk.mk
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
points✝¹ : Fin (n + 1) → P
independent✝¹ : AffineIndependent k points✝¹
points✝ : Fin (n + 1) → P
independent✝ : AffineIndependent k points✝
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    { points := points✝¹, independent := independent✝¹ }.points i =
      { points := points✝, independent := independent✝ }.points i
⊢ { points := points✝¹, independent := independent✝¹ } = { points := points✝, independent := independent✝ }
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case mp.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
s₁ s₂ : Set ι
fs₁ : Finset ι
hfs₁ : ↑fs₁ ⊆ s₁
w₁ : ι → k
hw₁ : ∑ i ∈ fs₁, w₁ i = 1
fs₂ : Finset ι
hfs₂ : ↑fs₂ ⊆ s₂
w₂ : ι → k
hw₂ : ∑ i ∈ fs₂, w₂ i = 1
hw₁₂ : (affineCombination k fs₁ p) w₁ = (affineCombination k fs₂ p) w₂
ha : (↑fs₁).indicator w₁ = (↑fs₂).indicator w₂
i : ι
hi : i ∈ fs₁
hi₂ : i ∉ fs₂
⊢ (↑fs₁).indicator w₁ i = 0

Tactic:
ha

Goal state after:
case mp.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
s₁ s₂ : Set ι
fs₁ : Finset ι
hfs₁ : ↑fs₁ ⊆ s₁
w₁ : ι → k
hw₁ : ∑ i ∈ fs₁, w₁ i = 1
fs₂ : Finset ι
hfs₂ : ↑fs₂ ⊆ s₂
w₂ : ι → k
hw₂ : ∑ i ∈ fs₂, w₂ i = 1
hw₁₂ : (affineCombination k fs₁ p) w₁ = (affineCombination k fs₂ p) w₂
ha : (↑fs₁).indicator w₁ = (↑fs₂).indicator w₂
i : ι
hi : i ∈ fs₁
hi₂ : i ∉ fs₂
⊢ (↑fs₂).indicator w₂ i = 0
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Affine

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : TopologicalSpace V
inst✝¹⁰ : AddTorsor V P
inst✝⁹ : TopologicalSpace P
inst✝⁸ : IsTopologicalAddTorsor P
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : TopologicalSpace W
inst✝⁵ : AddTorsor W Q
inst✝⁴ : TopologicalSpace Q
inst✝³ : IsTopologicalAddTorsor Q
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : Module R W
f : P →ᵃ[R] Q
⊢ Continuous ⇑f.linear ↔ Continuous ⇑f

Tactic:
by
  inhabit P
  have :
    (f.linear : V → W) =
      (Homeomorph.vaddConst <| f default).symm ∘ f ∘ (Homeomorph.vaddConst default) := by
    ext v
    simp
  rw [this]
  simp only [Homeomorph.comp_continuous_iff, Homeomorph.comp_continuous_iff']

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝³ : Field R
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module R E
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : (i : ι) → Decidable (w i ≠ 0)
i : ι
hit : i ∈ t
hit' : i ∉ {i ∈ t | w i ≠ 0}
⊢ w i = 0

Tactic:
by
    simpa only [hit, mem_filter, true_and, Ne, Classical.not_not] using hit'

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h : ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
⊢ 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s

Tactic:
ha

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h : ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
⊢ 0 ≤ b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
Module: Mathlib.Topology.AlexandrovDiscrete

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace α
⊢ AlexandrovDiscrete α ↔ ∀ (S : Set (Set α)), (∀ s ∈ S, IsClosed[inst✝] s) → IsClosed[inst✝] (⋃₀ S)

Tactic:
by
  conv_lhs => tactic =>
    simp_rw +singlePass [alexandrovDiscrete_iff, compl_surjective.image_surjective.forall,
      forall_mem_image, ← compl_sUnion, isOpen_compl_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.AlexandrovDiscrete

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace α
hα : ∀ (a : α), 𝓝 a = 𝓟 (nhdsKer {a})
S : Set (Set α)
hS : ∀ s ∈ S, ∀ (a : α), (nhdsKer {a} ∩ s).Nonempty → a ∈ s
a : α
⊢ (nhdsKer {a} ∩ ⋃₀ S).Nonempty → a ∈ ⋃₀ S

Tactic:
ha

Goal state after:
α : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace α
hα : ∀ (a : α), 𝓝 a = 𝓟 (nhdsKer {a})
S : Set (Set α)
hS : ∀ s ∈ S, ∀ (a : α), (nhdsKer {a} ∩ s).Nonempty → a ∈ s
a : α
ha : (nhdsKer {a} ∩ ⋃₀ S).Nonempty
⊢ a ∈ ⋃₀ S
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Topology

Goal state before:
pp: E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
⊢ closure s ⊆ ⇑(homothety x t) '' interior s

Tactic:
intro y hy
  have hne : t ≠ 0 := (one_pos.trans ht).ne'
  refine
    ⟨homothety x t⁻¹ y, hs.openSegment_interior_closure_subset_interior hx hy ?_,
      (AffineEquiv.homothetyUnitsMulHom x (Units.mk0 t hne)).apply_symm_apply y⟩
  rw [openSegment_eq_image_lineMap, ← inv_one, ← inv_Ioi₀ (zero_lt_one' ℝ), ← image_inv_eq_inv,
    image_image, homothety_eq_lineMap]
  exact mem_image_of_mem _ ht

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Connected.LocallyPathConnected

Goal state before:
pp: case inr.refine_1.hs
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
x y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝¹ : LocallyPathConnectedSpace X
inst✝ : LocallyPathConnectedSpace Y
u : Set (X ⊕ Y)
hu : IsOpen[instTopologicalSpaceSum] u
y : Y
hxu : inr y ∈ u
⊢ IsPathConnected (inr '' pathComponentIn (inr ⁻¹' u) y)

pp: case hxs
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
x y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝¹ : LocallyPathConnectedSpace X
inst✝ : LocallyPathConnectedSpace Y
u : Set (X ⊕ Y)
hu : IsOpen[instTopologicalSpaceSum] u
y : Y
hxu : inr y ∈ u
⊢ inr y ∈ inr '' pathComponentIn (inr ⁻¹' u) y

pp: case inr.refine_1.hsF
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
x y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝¹ : LocallyPathConnectedSpace X
inst✝ : LocallyPathConnectedSpace Y
u : Set (X ⊕ Y)
hu : IsOpen[instTopologicalSpaceSum] u
y : Y
hxu : inr y ∈ u
⊢ inr '' pathComponentIn (inr ⁻¹' u) y ⊆ u

Tactic:
· exact (isPathConnected_pathComponentIn (by exact hxu)).image continuous_inr

Goal state after:
case hxs
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
x y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝¹ : LocallyPathConnectedSpace X
inst✝ : LocallyPathConnectedSpace Y
u : Set (X ⊕ Y)
hu : IsOpen[instTopologicalSpaceSum] u
y : Y
hxu : inr y ∈ u
⊢ inr y ∈ inr '' pathComponentIn (inr ⁻¹' u) y

case inr.refine_1.hsF
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
x y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝¹ : LocallyPathConnectedSpace X
inst✝ : LocallyPathConnectedSpace Y
u : Set (X ⊕ Y)
hu : IsOpen[instTopologicalSpaceSum] u
y : Y
hxu : inr y ∈ u
⊢ inr '' pathComponentIn (inr ⁻¹' u) y ⊆ u
Module: Mathlib.Topology.Connected.LocallyPathConnected

Goal state before:
pp: case refine_2
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X✝
ι : Type u_3
F : Set X✝
inst✝² : LocallyPathConnectedSpace X✝
X : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : ∀ (i : ι), LocallyPathConnectedSpace (X i)
x : (i : ι) × X i
u : Set ((i : ι) × X i)
hu : IsOpen[instTopologicalSpaceSigma] u
hxu : x ∈ u
⊢ IsOpen[instTopologicalSpaceSigma] (mk x.fst '' pathComponentIn (mk x.fst ⁻¹' u) x.snd)

Tactic:
exact isOpenMap_sigmaMk _ <| (hu.preimage continuous_sigmaMk).pathComponentIn _

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
ι : Type
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ i ∈ sx, 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i ∈ sx, wx i = 1
hzx : ∀ i ∈ sx, zx i ∈ s
ι' : Type
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ i ∈ sy, 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i ∈ sy, wy i = 1
hzy : ∀ i ∈ sy, zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (sx.disjSum sy).centerMass (Sum.elim (fun i ↦ a * wx i) fun j ↦ b * wy j) (Sum.elim zx zy) ∈
    {x | ∃ ι t w z, (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) ∧ ∑ i ∈ t, w i = 1 ∧ (∀ i ∈ t, z i ∈ s) ∧ t.centerMass w z = x}

Tactic:
refine ⟨_, _, _, _, ?_, ?_, ?_, rfl⟩

Goal state after:
case refine_2.refine_1
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
ι : Type
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ i ∈ sx, 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i ∈ sx, wx i = 1
hzx : ∀ i ∈ sx, zx i ∈ s
ι' : Type
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ i ∈ sy, 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i ∈ sy, wy i = 1
hzy : ∀ i ∈ sy, zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∀ i ∈ sx.disjSum sy, 0 ≤ Sum.elim (fun i ↦ a * wx i) (fun j ↦ b * wy j) i

case refine_2.refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
ι : Type
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ i ∈ sx, 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i ∈ sx, wx i = 1
hzx : ∀ i ∈ sx, zx i ∈ s
ι' : Type
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ i ∈ sy, 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i ∈ sy, wy i = 1
hzy : ∀ i ∈ sy, zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∑ i ∈ sx.disjSum sy, Sum.elim (fun i ↦ a * wx i) (fun j ↦ b * wy j) i = 1

case refine_2.refine_3
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
ι : Type
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ i ∈ sx, 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i ∈ sx, wx i = 1
hzx : ∀ i ∈ sx, zx i ∈ s
ι' : Type
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ i ∈ sy, 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i ∈ sy, wy i = 1
hzy : ∀ i ∈ sy, zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∀ i ∈ sx.disjSum sy, Sum.elim zx zy i ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_1
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
ι : Type
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ i ∈ sx, 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i ∈ sx, wx i = 1
hzx : ∀ i ∈ sx, zx i ∈ s
ι' : Type
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ i ∈ sy, 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i ∈ sy, wy i = 1
hzy : ∀ i ∈ sy, zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∀ i ∈ sx.disjSum sy, 0 ≤ Sum.elim (fun i ↦ a * wx i) (fun j ↦ b * wy j) i

Tactic:
rintro i hi

Goal state after:
case refine_2.refine_1
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
ι : Type
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ i ∈ sx, 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i ∈ sx, wx i = 1
hzx : ∀ i ∈ sx, zx i ∈ s
ι' : Type
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ i ∈ sy, 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i ∈ sy, wy i = 1
hzy : ∀ i ∈ sy, zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
i : ι ⊕ ι'
hi : i ∈ sx.disjSum sy
⊢ 0 ≤ Sum.elim (fun i ↦ a * wx i) (fun j ↦ b * wy j) i
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
⊢ Convex R {x | ∃ ι t w z, (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) ∧ ∑ i ∈ t, w i = 1 ∧ (∀ i ∈ t, z i ∈ s) ∧ t.centerMass w z = x}

pp: case refine_3
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
⊢ {x | ∃ ι t w z, (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) ∧ ∑ i ∈ t, w i = 1 ∧ (∀ i ∈ t, z i ∈ s) ∧ t.centerMass w z = x} ⊆ (convexHull R) s

Tactic:
· rintro x ⟨ι, sx, wx, zx, hwx₀, hwx₁, hzx, rfl⟩ y ⟨ι', sy, wy, zy, hwy₀, hwy₁, hzy, rfl⟩ a b ha
      hb hab
    rw [Finset.centerMass_segment' _ _ _ _ _ _ hwx₁ hwy₁ _ _ hab]
    refine ⟨_, _, _, _, ?_, ?_, ?_, rfl⟩
    · rintro i hi
      rw [Finset.mem_disjSum] at hi
      rcases hi with (⟨j, hj, rfl⟩ | ⟨j, hj, rfl⟩) <;> simp only [Sum.elim_inl, Sum.elim_inr] <;>
        apply_rules [mul_nonneg, hwx₀, hwy₀]
    · simp [← mul_sum, *]
    · intro i hi
      rw [Finset.mem_disjSum] at hi
      rcases hi with (⟨j, hj, rfl⟩ | ⟨j, hj, rfl⟩) <;> apply_rules [hzx, hzy]

Goal state after:
case refine_3
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
⊢ {x | ∃ ι t w z, (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) ∧ ∑ i ∈ t, w i = 1 ∧ (∀ i ∈ t, z i ∈ s) ∧ t.centerMass w z = x} ⊆ (convexHull R) s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Finset E
⊢ (convexHull R) ↑s = {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x}

Tactic:
refine Set.Subset.antisymm (convexHull_min ?_ ?_) ?_

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Finset E
⊢ ↑s ⊆ {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x}

case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Finset E
⊢ Convex R {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x}

case refine_3
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Finset E
⊢ {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x} ⊆ (convexHull R) ↑s