Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Gluing

Goal state before:
pp: case mp.inl.inl
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
hsX : s ∈ Filter.map (fun p ↦ (Sum.inl p.1, Sum.inl p.2)) (𝓤 X)
hsY : s ∈ Filter.map (fun p ↦ (Sum.inr p.1, Sum.inr p.2)) (𝓤 Y)
εX : ℝ
εX0 : εX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < εX → (a, b) ∈ (fun p ↦ (Sum.inl p.1, Sum.inl p.2)) ⁻¹' s
εY : ℝ
εY0 : εY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < εY → (a, b) ∈ (fun p ↦ (Sum.inr p.1, Sum.inr p.2)) ⁻¹' s
a b : X
h : Sum.dist (Sum.inl a) (Sum.inl b) < min (min εX εY) 1
⊢ (Sum.inl a, Sum.inl b) ∈ s

pp: case mp.inl.inr
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
hsX : s ∈ Filter.map (fun p ↦ (Sum.inl p.1, Sum.inl p.2)) (𝓤 X)
hsY : s ∈ Filter.map (fun p ↦ (Sum.inr p.1, Sum.inr p.2)) (𝓤 Y)
εX : ℝ
εX0 : εX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < εX → (a, b) ∈ (fun p ↦ (Sum.inl p.1, Sum.inl p.2)) ⁻¹' s
εY : ℝ
εY0 : εY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < εY → (a, b) ∈ (fun p ↦ (Sum.inr p.1, Sum.inr p.2)) ⁻¹' s
a : X
b : Y
h : Sum.dist (Sum.inl a) (Sum.inr b) < min (min εX εY) 1
⊢ (Sum.inl a, Sum.inr b) ∈ s

pp: case mp.inr.inl
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
hsX : s ∈ Filter.map (fun p ↦ (Sum.inl p.1, Sum.inl p.2)) (𝓤 X)
hsY : s ∈ Filter.map (fun p ↦ (Sum.inr p.1, Sum.inr p.2)) (𝓤 Y)
εX : ℝ
εX0 : εX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < εX → (a, b) ∈ (fun p ↦ (Sum.inl p.1, Sum.inl p.2)) ⁻¹' s
εY : ℝ
εY0 : εY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < εY → (a, b) ∈ (fun p ↦ (Sum.inr p.1, Sum.inr p.2)) ⁻¹' s
a : Y
b : X
h : Sum.dist (Sum.inr a) (Sum.inl b) < min (min εX εY) 1
⊢ (Sum.inr a, Sum.inl b) ∈ s

pp: case mp.inr.inr
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
hsX : s ∈ Filter.map (fun p ↦ (Sum.inl p.1, Sum.inl p.2)) (𝓤 X)
hsY : s ∈ Filter.map (fun p ↦ (Sum.inr p.1, Sum.inr p.2)) (𝓤 Y)
εX : ℝ
εX0 : εX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < εX → (a, b) ∈ (fun p ↦ (Sum.inl p.1, Sum.inl p.2)) ⁻¹' s
εY : ℝ
εY0 : εY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < εY → (a, b) ∈ (fun p ↦ (Sum.inr p.1, Sum.inr p.2)) ⁻¹' s
a b : Y
h : Sum.dist (Sum.inr a) (Sum.inr b) < min (min εX εY) 1
⊢ (Sum.inr a, Sum.inr b) ∈ s

Tactic:
· exact hX (lt_of_lt_of_le h (le_trans (min_le_left _ _) (min_le_left _ _)))

Goal state after:
case mp.inl.inr
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
hsX : s ∈ Filter.map (fun p ↦ (Sum.inl p.1, Sum.inl p.2)) (𝓤 X)
hsY : s ∈ Filter.map (fun p ↦ (Sum.inr p.1, Sum.inr p.2)) (𝓤 Y)
εX : ℝ
εX0 : εX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < εX → (a, b) ∈ (fun p ↦ (Sum.inl p.1, Sum.inl p.2)) ⁻¹' s
εY : ℝ
εY0 : εY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < εY → (a, b) ∈ (fun p ↦ (Sum.inr p.1, Sum.inr p.2)) ⁻¹' s
a : X
b : Y
h : Sum.dist (Sum.inl a) (Sum.inr b) < min (min εX εY) 1
⊢ (Sum.inl a, Sum.inr b) ∈ s

case mp.inr.inl
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
hsX : s ∈ Filter.map (fun p ↦ (Sum.inl p.1, Sum.inl p.2)) (𝓤 X)
hsY : s ∈ Filter.map (fun p ↦ (Sum.inr p.1, Sum.inr p.2)) (𝓤 Y)
εX : ℝ
εX0 : εX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < εX → (a, b) ∈ (fun p ↦ (Sum.inl p.1, Sum.inl p.2)) ⁻¹' s
εY : ℝ
εY0 : εY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < εY → (a, b) ∈ (fun p ↦ (Sum.inr p.1, Sum.inr p.2)) ⁻¹' s
a : Y
b : X
h : Sum.dist (Sum.inr a) (Sum.inl b) < min (min εX εY) 1
⊢ (Sum.inr a, Sum.inl b) ∈ s

case mp.inr.inr
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
hsX : s ∈ Filter.map (fun p ↦ (Sum.inl p.1, Sum.inl p.2)) (𝓤 X)
hsY : s ∈ Filter.map (fun p ↦ (Sum.inr p.1, Sum.inr p.2)) (𝓤 Y)
εX : ℝ
εX0 : εX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < εX → (a, b) ∈ (fun p ↦ (Sum.inl p.1, Sum.inl p.2)) ⁻¹' s
εY : ℝ
εY0 : εY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < εY → (a, b) ∈ (fun p ↦ (Sum.inr p.1, Sum.inr p.2)) ⁻¹' s
a b : Y
h : Sum.dist (Sum.inr a) (Sum.inr b) < min (min εX εY) 1
⊢ (Sum.inr a, Sum.inr b) ∈ s