mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : chainLength α β < n + chainTopCoeff (⇑α) β
this : rootSpace H ((-↑(n + chainTopCoeff (⇑α) β) + ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)) • ⇑α + ⇑β) = ⊥
⊢ rootSpace H (-↑n • ⇑α + ⇑β) = ⊥

Tactic:
Nat.cast_add,

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : chainLength α β < n + chainTopCoeff (⇑α) β
this : rootSpace H ((-(↑n + ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)) + ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)) • ⇑α + ⇑β) = ⊥
⊢ rootSpace H (-↑n • ⇑α + ⇑β) = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
hα : ¬α.IsZero
⊢ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β' + chainBotCoeff (⇑α) β') = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β + chainBotCoeff (⇑α) β)

Tactic:
Nat.cast_add,

Goal state after:
case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
hα : ¬α.IsZero
⊢ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β') + ↑(chainBotCoeff (⇑α) β') = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β + chainBotCoeff (⇑α) β)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
hα : ¬α.IsZero
⊢ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β') + ↑(chainBotCoeff (⇑α) β') = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β + chainBotCoeff (⇑α) β)

Tactic:
Nat.cast_add,

Goal state after:
case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
hα : ¬α.IsZero
⊢ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β') + ↑(chainBotCoeff (⇑α) β') = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) + ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Dual

Goal state before:
pp: ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : (BilinMap.toQuadraticMap B).PosDef
f : Module.Dual R M
v : ι → M
hp : ∀ (i : ι), 0 < f (v i)
hn : Pairwise fun i j ↦ (B (v i)) (v j) ≤ 0
s : Finset ι
c : ι → R
x : M := ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
hx : x = ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
y : M := ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
hy : y = ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
hc : x = y
hx₀ : x = 0
H : ∀ (c : ι → R), ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, c i ≤ 0
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i = 0

Tactic:
by grind

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Dual

Goal state before:
pp: ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : (BilinMap.toQuadraticMap B).PosDef
f : Module.Dual R M
v : ι → M
hp : ∀ (i : ι), 0 < f (v i)
hn : Pairwise fun i j ↦ (B (v i)) (v j) ≤ 0
s : Finset ι
c : ι → R
x : M := ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
y : M := ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
hy : y = ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
hc : x = y
hx₀ : x = 0
H : ∀ (c : ι → R), ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, c i ≤ 0
hx : ∀ i ∈ s, c i ≤ 0
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i = 0

Tactic:
by grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, genWeightSpace_ne_bot' := h }
⊢ 2 • ⇑W = ⇑α

Tactic:
change 2 • (2⁻¹ : K) • (α : H → K) = α

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, genWeightSpace_ne_bot' := h }
⊢ 2 • 2⁻¹ • ⇑α = ⇑α
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.WeylGroup

Goal state before:
pp: case h
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ Equiv.reflection P i ∈ P.weylGroup ∧ Equiv.weightEquiv P P (Equiv.reflection P i) = P.reflection i

Tactic:
exact ⟨reflection_mem_weylGroup P i, Equiv.reflection_weightEquiv P i⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
r : k
x : V
⊢ ρ.asModuleEquiv.symm (r • x) = (algebraMap k k[G]) r • ρ.asModuleEquiv.symm x

Tactic:
LinearEquiv.symm_apply_eq

Goal state after:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
r : k
x : V
⊢ r • x = ρ.asModuleEquiv ((algebraMap k k[G]) r • ρ.asModuleEquiv.symm x)
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
g : G
x : V
⊢ ρ.asModuleEquiv.symm ((ρ g) x) = (of k G) g • ρ.asModuleEquiv.symm x

Tactic:
LinearEquiv.symm_apply_eq

Goal state after:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
g : G
x : V
⊢ (ρ g) x = ρ.asModuleEquiv ((of k G) g • ρ.asModuleEquiv.symm x)
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: case of
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
x : k[G]
v : ρ.asModule
⊢ ∀ (m : G) (t : k), (t • (of k G) m) • v = t • (of k G) m • v

pp: case add
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
x : k[G]
v : ρ.asModule
⊢ ∀ (x y : k[G]),
    (∀ (t : k), (t • x) • v = t • x • v) →
      (∀ (t : k), (t • y) • v = t • y • v) → ∀ (t : k), (t • (x + y)) • v = t • (x + y) • v

pp: case smul
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
x : k[G]
v : ρ.asModule
⊢ ∀ (r : k) (x : k[G]), (∀ (t : k), (t • x) • v = t • x • v) → ∀ (t : k), (t • r • x) • v = t • (r • x) • v

Tactic:
· simp

Goal state after:
case add
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
x : k[G]
v : ρ.asModule
⊢ ∀ (x y : k[G]),
    (∀ (t : k), (t • x) • v = t • x • v) →
      (∀ (t : k), (t • y) • v = t • y • v) → ∀ (t : k), (t • (x + y)) • v = t • (x + y) • v

case smul
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
x : k[G]
v : ρ.asModule
⊢ ∀ (r : k) (x : k[G]), (∀ (t : k), (t • x) • v = t • x • v) → ∀ (t : k), (t • r • x) • v = t • (r • x) • v
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: case indexEquiv
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
P : RootPairing ι R M N
e : P.Equiv P
m : ι
⊢ (↑(symm P P e * e)).indexEquiv m = (↑1).indexEquiv m

Tactic:
· simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ Bijective ⇑↑(P.reflection i)

Tactic:
by
    simp only [LinearEquiv.coe_coe]
    exact LinearEquiv.bijective (P.reflection i)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : P.IsCrystallographic
i : ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsReduced
this : Module.IsReflexive R M
⊢ (P.pairingIn ℤ i i, P.pairingIn ℤ i i) ∈
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1), (2, 2), (-2, -2)}

pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsReduced
this : Module.IsReflexive R M
h₁ : i ≠ j
⊢ (P.pairingIn ℤ i j, P.pairingIn ℤ j i) ∈
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1), (2, 2), (-2, -2)}

Tactic:
· simp

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsReduced
this : Module.IsReflexive R M
h₁ : i ≠ j
⊢ (P.pairingIn ℤ i j, P.pairingIn ℤ j i) ∈
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1), (2, 2), (-2, -2)}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
f : ι → ℤ
hf : ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j ∈ range ⇑P.root
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
h : ¬f ≤ 0
⊢ 0 ≤ f

Tactic:
rcases b.pos_or_neg_of_sum_smul_root_mem f hf hf₀ with h' | h'

Goal state after:
case refine_1.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
f : ι → ℤ
hf : ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j ∈ range ⇑P.root
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
h : ¬f ≤ 0
h' : 0 < f
⊢ 0 ≤ f

case refine_1.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
f : ι → ℤ
hf : ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j ∈ range ⇑P.root
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
h : ¬f ≤ 0
h' : f < 0
⊢ 0 ≤ f
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j : ι
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : j ≠ i
f : ι → ℤ := fun k ↦ if k = i then 1 else if k = j then -1 else 0
this : {i, j} ⊆ b.support
⊢ i ∉ {j}

Tactic:
by grind

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
⊢ chainBotCoeff i j = 0 ↔ ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ∨ P.root j - P.root i ∉ range ⇑P.root

Tactic:
by_cases h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
  swap; · simp [chainBotCoeff_of_not_linearIndependent h, h]
  have : P.chainBotCoeff i j = 0 ↔ Iic (P.chainBotCoeff i j) = {0} := by
    simpa [Set.ext_iff, mem_Iic, mem_singleton_iff] using ⟨fun h ↦ by simp [h], fun h ↦ by rw [← h]⟩
  simp only [h, not_true_eq_false, false_or, this, Iic_chainBotCoeff_eq h, Set.ext_iff,
    mem_ofPred_eq, mem_singleton_iff]
  refine ⟨fun h' ↦ by simpa using h' 1, fun h' n ↦ ⟨fun h'' ↦ ?_, fun h'' ↦ by simp [h'']⟩⟩
  replace h' : 1 ∉ {k | P.root j - k • P.root i ∈ range P.root} := by simpa using h'
  rw [← Iic_chainBotCoeff_eq h, mem_Iic, not_le, Nat.lt_one_iff] at h'
  rw [root_sub_nsmul_mem_range_iff_le_chainBotCoeff h] at h''
  lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
k : ι
hk : P.root k = P.root j + P.root i
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root k]
⊢ ↑(chainBotCoeff i k) = ↑(chainBotCoeff i j + 1)

Tactic:
Nat.cast_add,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
k : ι
hk : P.root k = P.root j + P.root i
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root k]
⊢ ↑(chainBotCoeff i k) = ↑(chainBotCoeff i j) + ↑1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
contra : P.coroot i = P.coroot j + P.coroot k
this : i = j
⊢ P.coroot j = 0 ∨ P.coroot k = 0

Tactic:
by grind

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
hk : P.root k = P.root i + P.root j
f : ι → ℤ
hf : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
g : ι → ℤ
hg : P.root j = ∑ j ∈ b.support, g j • P.root j
⊢ b.height k = b.height i + b.height j

Tactic:
have hfg : P.root k = ∑ l ∈ b.support, (f + g) l • P.root l := by
    simp_rw [Pi.add_apply, add_smul, Finset.sum_add_distrib, ← hf, ← hg, hk]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
hk : P.root k = P.root i + P.root j
f : ι → ℤ
hf : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
g : ι → ℤ
hg : P.root j = ∑ j ∈ b.support, g j • P.root j
hfg : P.root k = ∑ l ∈ b.support, (f + g) l • P.root l
⊢ b.height k = b.height i + b.height j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : P.IsReduced
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ ↑(chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j) ≤ ↑3

Tactic:
Nat.cast_add,

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : P.IsReduced
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ ↑(chainBotCoeff i j) + ↑(chainTopCoeff i j) ≤ ↑3
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
contra : P.coroot i = P.coroot j + P.coroot k
u : ℚ
hu : u > 0
v : ℚ
hv : v > 0
hjk : ∀ {l : ι}, 0 < g (P.coroot l) → ∃ c, ∑ x, c x • ↑x = P.root l
a : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
ha : ∑ x, a x • ↑x = P.root j
b : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
hb : ∑ x, b x • ↑x = P.root k
ri : ↑(⇑P.root '' s) := ⟨P.root i, ⋯⟩
huv : u • Nat.cast ∘ a + v • Nat.cast ∘ b = Pi.single ri 1
q : ℚ
hq : q > 0
hq' : P.root j = q • P.root i
⊢ ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]

Tactic:
simp_rw [LinearIndependent.pair_iff, not_forall]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
contra : P.coroot i = P.coroot j + P.coroot k
u : ℚ
hu : u > 0
v : ℚ
hv : v > 0
hjk : ∀ {l : ι}, 0 < g (P.coroot l) → ∃ c, ∑ x, c x • ↑x = P.root l
a : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
ha : ∑ x, a x • ↑x = P.root j
b : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
hb : ∑ x, b x • ↑x = P.root k
ri : ↑(⇑P.root '' s) := ⟨P.root i, ⋯⟩
huv : u • Nat.cast ∘ a + v • Nat.cast ∘ b = Pi.single ri 1
q : ℚ
hq : q > 0
hq' : P.root j = q • P.root i
⊢ ∃ x x_1, ∃ (_ : x • P.root i + x_1 • P.root j = 0), ¬(x = 0 ∧ x_1 = 0)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
⊢ (∀ (i j : ι), P.pairing i j = P.pairing j i ∨ P.pairing i j = 2 * P.pairing j i ∨ P.pairing j i = 2 * P.pairing i j) ∨
    ∀ (i j : ι), P.pairing i j = P.pairing j i ∨ P.pairing i j = 3 * P.pairing j i ∨ P.pairing j i = 3 * P.pairing i j

Tactic:
have : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
  have B := (P.posRootForm ℤ).toInvariantForm
  by_cases! h : ∀ i j, B.form (α i) (α i) = B.form (α j) (α j)
  · refine Or.inl fun i j ↦ Or.inl ?_
    have := B.pairing_mul_eq_pairing_mul_swap j i
    rwa [h i j, mul_left_inj' (B.ne_zero j)] at this
  obtain ⟨i, j, hij⟩ := h
  have key := B.apply_eq_or_of_apply_ne hij
  set li := B.form (α i) (α i)
  set lj := B.form (α j) (α j)
  have : (li = 2 * lj ∨ lj = 2 * li) ∨ (li = 3 * lj ∨ lj = 3 * li) := by
    have := B.apply_eq_or i j; tauto
  rcases this with this | this
  · refine Or.inl fun k₁ k₂ ↦ ?_
    have hk := B.pairing_mul_eq_pairing_mul_swap k₁ k₂
    rcases this with h₀ | h₀ <;> rcases key k₁ with h₁ | h₁ <;> rcases key k₂ with h₂ | h₂ <;>
    simp only [h₁, h₂, h₀, ← mul_assoc, mul_comm, mul_eq_mul_right_iff] at hk <;>
    aesop -- https://github.com/leanprover-community/mathlib4/issues/24551 (this should be faster)
  · refine Or.inr fun k₁ k₂ ↦ ?_
    have hk := B.pairing_mul_eq_pairing_mul_swap k₁ k₂
    rcases this with h₀ | h₀ <;> rcases key k₁ with h₁ | h₁ <;> rcases key k₂ with h₂ | h₂ <;>
    simp only [h₁, h₂, h₀, ← mul_assoc, mul_comm, mul_eq_mul_right_iff] at hk <;>
    aesop

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
nk : ∀ x > 0, ∀ (x_1 : ℕ), ∃ x_2, ∃ (_ : x_2 ≥ x_1), abv (↑f x_2) < x
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
hj : abv (↑f j) < ε / 2
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε

Tactic:
refine ⟨j, fun k jk => ?_⟩

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
nk : ∀ x > 0, ∀ (x_1 : ℕ), ∃ x_2, ∃ (_ : x_2 ≥ x_1), abv (↑f x_2) < x
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
hj : abv (↑f j) < ε / 2
k : ℕ
jk : k ≥ j
⊢ abv (↑f k) < ε