mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.FieldTheory.Perfect

Goal state before:
pp: R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar R p
inst✝² : PerfectRing R p
inst✝¹ : ExpChar S p
inst✝ : PerfectRing S p
f : R →* S
n : ℕ
x : R
⊢ f ((⇑(frobenius R p) ∘ ⇑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n] x) = (⇑(frobenius S p) ∘ ⇑(frobeniusEquiv S p).symm)^[n] (f x)

pp: case h
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar R p
inst✝² : PerfectRing R p
inst✝¹ : ExpChar S p
inst✝ : PerfectRing S p
f : R →* S
n : ℕ
x : R
⊢ Function.Commute ⇑(frobenius S p) ⇑(frobeniusEquiv S p).symm

pp: case h
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar R p
inst✝² : PerfectRing R p
inst✝¹ : ExpChar S p
inst✝ : PerfectRing S p
f : R →* S
n : ℕ
x : R
⊢ Function.Commute ⇑(frobenius R p) ⇑(frobeniusEquiv R p).symm

Tactic:
· simp

Goal state after:
case h
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar R p
inst✝² : PerfectRing R p
inst✝¹ : ExpChar S p
inst✝ : PerfectRing S p
f : R →* S
n : ℕ
x : R
⊢ Function.Commute ⇑(frobenius S p) ⇑(frobeniusEquiv S p).symm

case h
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar R p
inst✝² : PerfectRing R p
inst✝¹ : ExpChar S p
inst✝ : PerfectRing S p
f : R →* S
n : ℕ
x : R
⊢ Function.Commute ⇑(frobenius R p) ⇑(frobeniusEquiv R p).symm
Module: Mathlib.FieldTheory.Perfect

Goal state before:
pp: R : Type u_2
p : ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : PerfectRing R p
f : R[X]
⊢ ¬Irreducible (map (↑(frobeniusEquiv R p).symm) f ^ p)

Tactic:
exact not_irreducible_pow (Fact.out : p.Prime).ne_one

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Perfect

Goal state before:
pp: case zero
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : PerfectField K
y : K
inst✝ : CharZero K
⊢ ∃ a, (frobenius K 1) a = y

Tactic:
simp [frobenius]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Determinant

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
hf : LinearMap.det f ≠ 1
H : ∃ s, Nonempty (Basis (↥s) R M)
⊢ Module.Finite R M

pp: case neg
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
hf : LinearMap.det f ≠ 1
H : ¬∃ s, Nonempty (Basis (↥s) R M)
⊢ Module.Finite R M

Tactic:
· rcases H with ⟨s, ⟨hs⟩⟩
    exact Module.Finite.of_basis hs

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
hf : LinearMap.det f ≠ 1
H : ¬∃ s, Nonempty (Basis (↥s) R M)
⊢ Module.Finite R M
Module: Mathlib.FieldTheory.Perfect

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]
s : R
⊢ count (s ^ p ^ n) (Multiset.map (⇑(iterateFrobenius R p n)) ((expand R (p ^ n)) f).roots) ≤
    rootMultiplicity s ((expand R (p ^ n)) f)

Tactic:
← count_roots,

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]
s : R
⊢ count (s ^ p ^ n) (Multiset.map (⇑(iterateFrobenius R p n)) ((expand R (p ^ n)) f).roots) ≤
    count s ((expand R (p ^ n)) f).roots
Module: Mathlib.FieldTheory.Perfect

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
r : R
⊢ p ^ n * rootMultiplicity (r ^ p ^ n) f = count r (p ^ n • Multiset.map (⇑(iterateFrobeniusEquiv R p n).symm) f.roots)

Tactic:
← count_roots,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
r : R
⊢ p ^ n * count (r ^ p ^ n) f.roots = count r (p ^ n • Multiset.map (⇑(iterateFrobeniusEquiv R p n).symm) f.roots)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Determinant

Goal state before:
pp: case neg
K : Type u_5
m : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : FunLike F (Matrix m m K) (Matrix m m K)
inst✝ : AlgHomClass F K (Matrix m m K) (Matrix m m K)
f : F
x : Matrix m m K
h✝ : IsEmpty m
⊢ (f x).det = x.det

Tactic:
· simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Determinant

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : Module.Finite R V
W : Submodule R V
inst✝² : Free R ↥W
inst✝¹ : Module.Finite R ↥W
inst✝ : Free R (V ⧸ W)
e : V →ₗ[R] V
he : W ≤ comap e W
m : Type u_7 := Free.ChooseBasisIndex R ↥W
bW : Basis m R ↥W := Free.chooseBasis R ↥W
n : Type u_7 := Free.ChooseBasisIndex R (V ⧸ W)
bQ : Basis n R (V ⧸ W) := Free.chooseBasis R (V ⧸ W)
b : Basis (m ⊕ n) R V := bW.sumQuot bQ
A : Matrix m m R := (toMatrix bW bW) (e.restrict he)
B : Matrix m n R := of fun i l ↦ ((bW.sumQuot bQ).repr (e ((bW.sumQuot bQ) (Sum.inr l)))) (Sum.inl i)
D : Matrix n n R := (toMatrix bQ bQ) (W.mapQ W e he)
v : m ⊕ n
i : m
⊢ (toMatrix b b) e (Sum.inl i) v = fromBlocks A B 0 D (Sum.inl i) v

Tactic:
| inl i =>

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Semisimple

Goal state before:
pp: M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
f : End K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
hf : f.IsSemisimple
p : K[X]
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {minpoly K f}
this✝ : Module.Finite K R
this : IsReduced R
a : K[X]
h : a ∈ Ideal.span {minpoly K f}
⊢ (aeval f) a = 0

Tactic:
rwa [Ideal.span, ← minpoly.ker_aeval_eq_span_minpoly] at h

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Semisimple

Goal state before:
pp: M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
f g : End K M
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : PerfectField K
comm : Commute f g
hf : f.IsSemisimple
hg : g.IsSemisimple
a : End K M
ha : a ∈ K[f, g]
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {minpoly K f}
S : Type u_3 := AdjoinRoot (map (algebraMap K R) (minpoly K g))
⊢ a.IsSemisimple

Tactic:
have : Module.Finite K R :=
    (AdjoinRoot.powerBasis' <| minpoly.monic <| IsIntegral.isIntegral f).finite

Goal state after:
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
f g : End K M
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : PerfectField K
comm : Commute f g
hf : f.IsSemisimple
hg : g.IsSemisimple
a : End K M
ha : a ∈ K[f, g]
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {minpoly K f}
S : Type u_3 := AdjoinRoot (map (algebraMap K R) (minpoly K g))
this : Module.Finite K R
⊢ a.IsSemisimple
Module: Mathlib.RingTheory.AdjoinRoot

Goal state before:
pp: n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ {R : Type u} [inst : CommRing R] [Nontrivial R] {p : R[X]},
      p.Monic →
        p.natDegree = m →
          ∃ S x x_1,
            ∃ (_ : Module.Finite R S) (_ : Free R S) (_ : Nontrivial S), (Polynomial.map (algebraMap R S) p).Splits
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
p : R[X]
hp : p.Monic
hn : p.natDegree = n
hpu : ¬IsUnit p
q : (AdjoinRoot p)[X]
hq : Polynomial.map (algebraMap R (AdjoinRoot p)) p = (X - C (AdjoinRoot.root p)) * q
hqm : q.Monic
this✝¹ : Free R (AdjoinRoot p)
this✝ : Module.Finite R (AdjoinRoot p)
this : Nontrivial (AdjoinRoot p)
⊢ q.natDegree < n

Tactic:
by rw [← hn, ← hp.natDegree_map (algebraMap R (AdjoinRoot p)), hq,
      Monic.natDegree_mul (monic_X_sub_C _) hqm]; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.JordanChevalley

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : PerfectField K
n₁ s₁ n₂ s₂ : End K V
hn₁ : IsNilpotent n₁
hs₁ : s₁.IsSemisimple
hn₂ : IsNilpotent n₂
hs₂ : s₂.IsSemisimple
hc₁ : Commute n₁ s₁
hc₂ : Commute n₂ s₂
h : n₁ + s₁ = n₂ + s₂
n₀ : End K V
hn₀ : n₀ ∈ K[n₁ + s₁]
s₀ : End K V
hs₀ : s₀ ∈ K[n₁ + s₁]
hn₀_nil : IsNilpotent n₀
hs₀_ss : s₀.IsSemisimple
h₀ : n₁ + s₁ = n₀ + s₀
this : ∀ {n s : End K V}, IsNilpotent n → s.IsSemisimple → Commute n s → n₁ + s₁ = n + s → s = s₀
⊢ n₁ = n₂ ∧ s₁ = s₂

Tactic:
by grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Ring.Divisibility.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
h : (x - y) ^ n = 0
⊢ (y - x) ^ n = 0

Tactic:
rw [← neg_sub x y, neg_pow, h, mul_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: case succ.inl
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ J
k : ℕ
ih : ∀ {l : ℕ}, l ≤ k → D k I ≤ D l J
l : ℕ
h₂ : l ≤ k + 1
h : l = k.succ
⊢ ⁅D k I, D k I⁆ ≤ D k.succ J

Tactic:
derivedSeriesOfIdeal_succ

Goal state after:
case succ.inl
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ J
k : ℕ
ih : ∀ {l : ℕ}, l ≤ k → D k I ≤ D l J
l : ℕ
h₂ : l ≤ k + 1
h : l = k.succ
⊢ ⁅D k I, D k I⁆ ≤ ⁅D k J, D k J⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: case succ.inr
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ J
k : ℕ
ih : ∀ {l : ℕ}, l ≤ k → D k I ≤ D l J
l : ℕ
h₂ : l ≤ k + 1
h : l ≤ k
⊢ D (k + 1) I ≤ D l J

Tactic:
derivedSeriesOfIdeal_succ

Goal state after:
case succ.inr
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ J
k : ℕ
ih : ∀ {l : ℕ}, l ≤ k → D k I ≤ D l J
l : ℕ
h₂ : l ≤ k + 1
h : l ≤ k
⊢ ⁅D k I, D k I⁆ ≤ D l J
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TensorProduct

Goal state before:
pp: case h.right
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N
⊢ ↑(toModuleHom R L M) (x ⊗ₜ[R] n) = ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨n, hn⟩⁆

Tactic:
· simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
n : ℕ
ih : derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤
⊢ derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1 + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤

Tactic:
derivedSeriesOfIdeal_succ

Goal state after:
case succ
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
n : ℕ
ih : derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤
⊢ ⁅derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤, derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤⁆ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
k : ℕ
ih : ↑↑(derivedSeriesOfIdeal R L k ⊤) = ↑↑(derivedSeriesOfIdeal ℤ L k ⊤)
⊢ ↑↑⁅derivedSeriesOfIdeal R L k ⊤, derivedSeriesOfIdeal R L k ⊤⁆ = ↑↑(derivedSeriesOfIdeal ℤ L (k + 1) ⊤)

Tactic:
derivedSeriesOfIdeal_succ

Goal state after:
case succ
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
k : ℕ
ih : ↑↑(derivedSeriesOfIdeal R L k ⊤) = ↑↑(derivedSeriesOfIdeal ℤ L k ⊤)
⊢ ↑↑⁅derivedSeriesOfIdeal R L k ⊤, derivedSeriesOfIdeal R L k ⊤⁆ =
    ↑↑⁅derivedSeriesOfIdeal ℤ L k ⊤, derivedSeriesOfIdeal ℤ L k ⊤⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Normalizer

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
⊢ H.normalizer = H ↔ LieModule.maxTrivSubmodule R (↥H) (L ⧸ H.toLieSubmodule) = ⊥

Tactic:
rw [LieSubmodule.eq_bot_iff]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
⊢ H.normalizer = H ↔ ∀ m ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R (↥H) (L ⧸ H.toLieSubmodule), m = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: case a
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
k : ℕ
ih : ∀ (x : L), x ∈ derivedSeriesOfIdeal R L k ⊤ ↔ x ∈ derivedSeriesOfIdeal ℤ L k ⊤
⊢ ↑(Submodule.span ℤ {x | ∃ x_1 ∈ derivedSeriesOfIdeal ℤ L k ⊤, ∃ n ∈ derivedSeriesOfIdeal ℤ L k ⊤, ⁅x_1, n⁆ = x}) ⊆
    ↑(Submodule.span R {x | ∃ x_1 ∈ derivedSeriesOfIdeal ℤ L k ⊤, ∃ n ∈ derivedSeriesOfIdeal ℤ L k ⊤, ⁅x_1, n⁆ = x})

Tactic:
· simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
hL : ∃ k, derivedSeries R L k = ⊥
h : Injective ⇑f
⊢ ∀ (a : ℕ), derivedSeries R L a = ⊥ → derivedSeries R L' a = ⊥

Tactic:
intro k hk

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
hL : ∃ k, derivedSeries R L k = ⊥
h : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L k = ⊥
⊢ derivedSeries R L' k = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
hL' : ∃ k, derivedSeries R L' k = ⊥
h : Surjective ⇑f
⊢ ∀ (a : ℕ), derivedSeries R L' a = ⊥ → derivedSeries R L a = ⊥

Tactic:
intro k hk

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
hL' : ∃ k, derivedSeries R L' k = ⊥
h : Surjective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L' k = ⊥
⊢ derivedSeries R L k = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : IsTrivial L M
⊢ lowerCentralSeries R L M 1 = ⊥

pp: case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : lowerCentralSeries R L M 1 = ⊥
⊢ IsTrivial L M

Tactic:
· simp

Goal state after:
case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : lowerCentralSeries R L M 1 = ⊥
⊢ IsTrivial L M
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
m : M
k : ℕ
ih : (⇑((toEnd R L M) x))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M k
⊢ (⇑((toEnd R L M) x))^[k + 1] m ∈ lowerCentralSeries R L M (k + 1)

Tactic:
simp only [lowerCentralSeries_succ, Function.comp_apply, Function.iterate_succ',
      toEnd_apply_apply]

Goal state after:
case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
m : M
k : ℕ
ih : (⇑((toEnd R L M) x))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M k
⊢ ⁅x, (⇑((toEnd R L M) x))^[k] m⁆ ∈ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M k⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Engel

Goal state before:
pp: R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L :=
  let __src := R ∙ x ⊔ K.toSubmodule;
  { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'
hK' : K' ≤ K.normalizer
⊢ IsEngelian R ↥K'

Tactic:
intro M _i1 _i2 _i3 _i4 h

Goal state after:
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L :=
  let __src := R ∙ x ⊔ K.toSubmodule;
  { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'
hK' : K' ≤ K.normalizer
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule (↥K') M
_i4 : LieModule R (↥K') M
h : ∀ (x : ↥K'), IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)
⊢ LieModule.IsNilpotent (↥K') M
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Engel

Goal state before:
pp: R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L :=
  let __src := R ∙ x ⊔ K.toSubmodule;
  { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'
hK' : K' ≤ K.normalizer
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule (↥K') M
_i4 : LieModule R (↥K') M
h : ∀ (x : ↥K'), IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)
I : LieIdeal R ↥K'
hI₁ : LieIdeal.toLieSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe hKK'
⊢ R ∙ ⟨x, hxK'⟩ ⊔ ↑I = ⊤

Tactic:
← LieIdeal.toLieSubalgebra_toSubmodule R K' I,

Goal state after:
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L :=
  let __src := R ∙ x ⊔ K.toSubmodule;
  { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'
hK' : K' ≤ K.normalizer
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule (↥K') M
_i4 : LieModule R (↥K') M
h : ∀ (x : ↥K'), IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)
I : LieIdeal R ↥K'
hI₁ : LieIdeal.toLieSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe hKK'
⊢ R ∙ ⟨x, hxK'⟩ ⊔ (LieIdeal.toLieSubalgebra R (↥K') I).toSubmodule = ⊤
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Engel

Goal state before:
pp: R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
⊢ IsEngelian R L

Tactic:
intro M _i1 _i2 _i3 _i4 h

Goal state after:
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
h : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
⊢ LieModule.IsNilpotent L M
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Engel

Goal state before:
pp: R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
L' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range
h : ∀ (y : ↥L'), IsNilpotent ↑y
s : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}
hs : s.Nonempty
this : ∀ K ∈ s, K ≠ ⊤ → ∃ K' ∈ s, K < K'
_i5 : IsNoetherian R ↥L'
K : LieSubalgebra R ↥L'
hK₁ : K ∈ s
hK₂ : ∀ x ∈ s, ¬K < x
⊢ K = ⊤

Tactic:
by grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case succ.hx
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieAlgebra R L₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
k : ℕ
ih : Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M k) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k)
m : M
x : L
n✝ : x ∈ ⊤
m_n : M
h₁ : m_n ∈ lowerCentralSeries R L M k
h₂ : ⁅x, m_n⁆ = m
y : L₂
n : ↥(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k)
hn : ↑⁅y, n⁆ = g m
⊢ y ∈ ⊤

pp: case succ.hm
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieAlgebra R L₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
k : ℕ
ih : Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M k) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k)
m : M
x : L
n✝ : x ∈ ⊤
m_n : M
h₁ : m_n ∈ lowerCentralSeries R L M k
h₂ : ⁅x, m_n⁆ = m
y : L₂
n : ↥(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k)
hn : ↑⁅y, n⁆ = g m
⊢ ↑n ∈ lowerCentralSeries R L₂ M₂ k

Tactic:
· simp

Goal state after:
case succ.hm
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieAlgebra R L₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
k : ℕ
ih : Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M k) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k)
m : M
x : L
n✝ : x ∈ ⊤
m_n : M
h₁ : m_n ∈ lowerCentralSeries R L M k
h₂ : ⁅x, m_n⁆ = m
y : L₂
n : ↥(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k)
hn : ↑⁅y, n⁆ = g m
⊢ ↑n ∈ lowerCentralSeries R L₂ M₂ k
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁹ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
S : Set E
α : E
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
inst✝⁶ : Field A
inst✝⁵ : Field B
inst✝⁴ : Field C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
b : B
x : ↥A⟮b⟯
⊢ ↑((AlgHom.restrictScalars A (Algebra.ofId B C)).comp A⟮b⟯.val) x ∈ A⟮(algebraMap B C) b⟯

Tactic:
rw [show (algebraMap B C) b = (Algebra.ofId B C).restrictScalars A b by rfl,
        ← Set.image_singleton, ← IntermediateField.adjoin_map A {b}]
      use x
      simp

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
⊢ adjoin F ↑∅ = ⊥

Tactic:
simp only [Finset.coe_empty, adjoin_empty]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k[X]
hp : p = C (p.coeff 0)
⊢ p.roots = 0

Tactic:
hp,

Goal state after:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k[X]
hp : p = C (p.coeff 0)
⊢ (C (p.coeff 0)).roots = 0
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Nontrivial A
I : FiniteDimensional 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
h_mon : p.Monic
h_eval_p : eval₂ ↑ₐ a p = 0
nu : ¬IsUnit ((aeval a) p)
⊢ (σ a).Nonempty

Tactic:
rw [(IsAlgClosed.splits p).eq_prod_roots_of_monic h_mon] at nu

Goal state after:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Nontrivial A
I : FiniteDimensional 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
h_mon : p.Monic
h_eval_p : eval₂ ↑ₐ a p = 0
nu : ¬IsUnit ((aeval a) (Multiset.map (fun x ↦ X - C x) p.roots).prod)
⊢ (σ a).Nonempty
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x : L
hx : IsIntegral K x
i : Fin (minpoly K x).natDegree
⊢ (powerBasisAux hx) i = AdjoinSimple.gen K x ^ ↑i

Tactic:
powerBasisAux,

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x : L
hx : IsIntegral K x
i : Fin (minpoly K x).natDegree
⊢ (((AdjoinRoot.powerBasis ⋯).basis.map ↑(adjoinRootEquivAdjoin K hx)).reindex (finCongr ⋯)) i =
    AdjoinSimple.gen K x ^ ↑i