Module: Mathlib.Probability.Distributions.Gaussian.HasGaussianLaw.Independence

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : SecondCountableTopology E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : BorelSpace F
inst✝² : SecondCountableTopology F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
X : Ω → E
Y : Ω → F
hXY : HasGaussianLaw (fun ω ↦ (X ω, Y ω)) P
h : ∀ (L₁ : StrongDual ℝ E) (L₂ : StrongDual ℝ F), cov[⇑L₁ ∘ X, ⇑L₂ ∘ Y; P] = 0
this✝ : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ (E × F)
this : (⇑L ∘ fun ω ↦ (X ω, Y ω)) = ⇑(L ∘SL inl ℝ E F) ∘ X + ⇑(L ∘SL inr ℝ E F) ∘ Y
⊢ cexp
      (↑(∫ (x : Ω), (⇑(L ∘SL inl ℝ E F) ∘ X + ⇑(L ∘SL inr ℝ E F) ∘ Y) x ∂P) * I -
        ↑(Var[⇑(L ∘SL inl ℝ E F) ∘ X; P] + Var[⇑(L ∘SL inr ℝ E F) ∘ Y; P]) / 2) =
    cexp
      (↑(∫ (a : Ω), (⇑(L ∘SL inl ℝ E F) ∘ X) a + (⇑(L ∘SL inr ℝ E F) ∘ Y) a ∂P) * I -
        ↑(Var[⇑(L ∘SL inl ℝ E F) ∘ X; P] + Var[⇑(L ∘SL inr ℝ E F) ∘ Y; P]) / 2)

pp: case hX
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : SecondCountableTopology E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : BorelSpace F
inst✝² : SecondCountableTopology F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
X : Ω → E
Y : Ω → F
hXY : HasGaussianLaw (fun ω ↦ (X ω, Y ω)) P
h : ∀ (L₁ : StrongDual ℝ E) (L₂ : StrongDual ℝ F), cov[⇑L₁ ∘ X, ⇑L₂ ∘ Y; P] = 0
this✝ : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ (E × F)
this : (⇑L ∘ fun ω ↦ (X ω, Y ω)) = ⇑(L ∘SL inl ℝ E F) ∘ X + ⇑(L ∘SL inr ℝ E F) ∘ Y
⊢ MemLp (⇑(L ∘SL inl ℝ E F) ∘ X) 2 P

pp: case hY
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : SecondCountableTopology E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : BorelSpace F
inst✝² : SecondCountableTopology F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
X : Ω → E
Y : Ω → F
hXY : HasGaussianLaw (fun ω ↦ (X ω, Y ω)) P
h : ∀ (L₁ : StrongDual ℝ E) (L₂ : StrongDual ℝ F), cov[⇑L₁ ∘ X, ⇑L₂ ∘ Y; P] = 0
this✝ : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ (E × F)
this : (⇑L ∘ fun ω ↦ (X ω, Y ω)) = ⇑(L ∘SL inl ℝ E F) ∘ X + ⇑(L ∘SL inr ℝ E F) ∘ Y
⊢ MemLp (⇑(L ∘SL inr ℝ E F) ∘ Y) 2 P

pp: case hf
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : SecondCountableTopology E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : BorelSpace F
inst✝² : SecondCountableTopology F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
X : Ω → E
Y : Ω → F
hXY : HasGaussianLaw (fun ω ↦ (X ω, Y ω)) P
h : ∀ (L₁ : StrongDual ℝ E) (L₂ : StrongDual ℝ F), cov[⇑L₁ ∘ X, ⇑L₂ ∘ Y; P] = 0
this✝ : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ (E × F)
this : (⇑L ∘ fun ω ↦ (X ω, Y ω)) = ⇑(L ∘SL inl ℝ E F) ∘ X + ⇑(L ∘SL inr ℝ E F) ∘ Y
⊢ Integrable (⇑(L ∘SL inl ℝ E F) ∘ X) P

pp: case hg
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : SecondCountableTopology E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : BorelSpace F
inst✝² : SecondCountableTopology F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
X : Ω → E
Y : Ω → F
hXY : HasGaussianLaw (fun ω ↦ (X ω, Y ω)) P
h : ∀ (L₁ : StrongDual ℝ E) (L₂ : StrongDual ℝ F), cov[⇑L₁ ∘ X, ⇑L₂ ∘ Y; P] = 0
this✝ : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ (E × F)
this : (⇑L ∘ fun ω ↦ (X ω, Y ω)) = ⇑(L ∘SL inl ℝ E F) ∘ X + ⇑(L ∘SL inr ℝ E F) ∘ Y
⊢ Integrable (⇑(L ∘SL inr ℝ E F) ∘ Y) P

Tactic:
· simp

Goal state after:
case hX
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : SecondCountableTopology E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : BorelSpace F
inst✝² : SecondCountableTopology F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
X : Ω → E
Y : Ω → F
hXY : HasGaussianLaw (fun ω ↦ (X ω, Y ω)) P
h : ∀ (L₁ : StrongDual ℝ E) (L₂ : StrongDual ℝ F), cov[⇑L₁ ∘ X, ⇑L₂ ∘ Y; P] = 0
this✝ : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ (E × F)
this : (⇑L ∘ fun ω ↦ (X ω, Y ω)) = ⇑(L ∘SL inl ℝ E F) ∘ X + ⇑(L ∘SL inr ℝ E F) ∘ Y
⊢ MemLp (⇑(L ∘SL inl ℝ E F) ∘ X) 2 P

case hY
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : SecondCountableTopology E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : BorelSpace F
inst✝² : SecondCountableTopology F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
X : Ω → E
Y : Ω → F
hXY : HasGaussianLaw (fun ω ↦ (X ω, Y ω)) P
h : ∀ (L₁ : StrongDual ℝ E) (L₂ : StrongDual ℝ F), cov[⇑L₁ ∘ X, ⇑L₂ ∘ Y; P] = 0
this✝ : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ (E × F)
this : (⇑L ∘ fun ω ↦ (X ω, Y ω)) = ⇑(L ∘SL inl ℝ E F) ∘ X + ⇑(L ∘SL inr ℝ E F) ∘ Y
⊢ MemLp (⇑(L ∘SL inr ℝ E F) ∘ Y) 2 P

case hf
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : SecondCountableTopology E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : BorelSpace F
inst✝² : SecondCountableTopology F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
X : Ω → E
Y : Ω → F
hXY : HasGaussianLaw (fun ω ↦ (X ω, Y ω)) P
h : ∀ (L₁ : StrongDual ℝ E) (L₂ : StrongDual ℝ F), cov[⇑L₁ ∘ X, ⇑L₂ ∘ Y; P] = 0
this✝ : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ (E × F)
this : (⇑L ∘ fun ω ↦ (X ω, Y ω)) = ⇑(L ∘SL inl ℝ E F) ∘ X + ⇑(L ∘SL inr ℝ E F) ∘ Y
⊢ Integrable (⇑(L ∘SL inl ℝ E F) ∘ X) P

case hg
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : SecondCountableTopology E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : BorelSpace F
inst✝² : SecondCountableTopology F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
X : Ω → E
Y : Ω → F
hXY : HasGaussianLaw (fun ω ↦ (X ω, Y ω)) P
h : ∀ (L₁ : StrongDual ℝ E) (L₂ : StrongDual ℝ F), cov[⇑L₁ ∘ X, ⇑L₂ ∘ Y; P] = 0
this✝ : IsProbabilityMeasure P
L : StrongDual ℝ (E × F)
this : (⇑L ∘ fun ω ↦ (X ω, Y ω)) = ⇑(L ∘SL inl ℝ E F) ∘ X + ⇑(L ∘SL inr ℝ E F) ∘ Y
⊢ Integrable (⇑(L ∘SL inr ℝ E F) ∘ Y) P