mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ - -o.oangle x (x - y) = -↑(Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖))

Tactic:
← oangle_neg_orientation_eq_neg,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -(-o).oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(-o).oangle x (x - y) = -↑(Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖))
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -o.oangle x y = -↑(π / 2)
⊢ -(o.oangle (x - y) x).cos = -(‖x‖ / ‖x - y‖)

Tactic:
oangle_rev,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(-o.oangle x (x - y)).cos = -(‖x‖ / ‖x - y‖)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(-o.oangle x (x - y)).cos = -(‖x‖ / ‖x - y‖)

Tactic:
← oangle_neg_orientation_eq_neg,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -(-o).oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -((-o).oangle x (x - y)).cos = -(‖x‖ / ‖x - y‖)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -o.oangle x y = -↑(π / 2)
⊢ -(o.oangle (x - y) x).sin = -(‖y‖ / ‖x - y‖)

Tactic:
oangle_rev,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(-o.oangle x (x - y)).sin = -(‖y‖ / ‖x - y‖)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(-o.oangle x (x - y)).sin = -(‖y‖ / ‖x - y‖)

Tactic:
← oangle_neg_orientation_eq_neg,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -(-o).oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -((-o).oangle x (x - y)).sin = -(‖y‖ / ‖x - y‖)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -o.oangle x y = -↑(π / 2)
⊢ -(o.oangle (x - y) x).tan = -(‖y‖ / ‖x‖)

Tactic:
oangle_rev,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(-o.oangle x (x - y)).tan = -(‖y‖ / ‖x‖)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(-o.oangle x (x - y)).tan = -(‖y‖ / ‖x‖)

Tactic:
← oangle_neg_orientation_eq_neg,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -(-o).oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -((-o).oangle x (x - y)).tan = -(‖y‖ / ‖x‖)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -o.oangle x y = -↑(π / 2)
⊢ -((o.oangle (x - y) x).cos * ‖x - y‖) = -‖x‖

Tactic:
oangle_rev,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -((-o.oangle x (x - y)).cos * ‖x - y‖) = -‖x‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -((-o.oangle x (x - y)).cos * ‖x - y‖) = -‖x‖

Tactic:
← oangle_neg_orientation_eq_neg,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -(-o).oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(((-o).oangle x (x - y)).cos * ‖x - y‖) = -‖x‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
h₃₂ : p₃ ≠ p₂
⊢ ∡ ((AffineEquiv.pointReflection ℝ p₂) p₁) p₂ p₃ = ∡ p₁ p₂ p₃ + ↑π

Tactic:
oangle_rev,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
h₃₂ : p₃ ≠ p₂
⊢ -∡ p₃ p₂ ((AffineEquiv.pointReflection ℝ p₂) p₁) = ∡ p₁ p₂ p₃ + ↑π
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -o.oangle x y = -↑(π / 2)
⊢ -((o.oangle (x - y) x).sin * ‖x - y‖) = -‖y‖

Tactic:
oangle_rev,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -((-o.oangle x (x - y)).sin * ‖x - y‖) = -‖y‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -((-o.oangle x (x - y)).sin * ‖x - y‖) = -‖y‖

Tactic:
← oangle_neg_orientation_eq_neg,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -(-o).oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(((-o).oangle x (x - y)).sin * ‖x - y‖) = -‖y‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -o.oangle x y = -↑(π / 2)
⊢ -((o.oangle (x - y) x).tan * ‖x‖) = -‖y‖

Tactic:
oangle_rev,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -((-o.oangle x (x - y)).tan * ‖x‖) = -‖y‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -((-o.oangle x (x - y)).tan * ‖x‖) = -‖y‖

Tactic:
← oangle_neg_orientation_eq_neg,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -(-o).oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(((-o).oangle x (x - y)).tan * ‖x‖) = -‖y‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -o.oangle x y = -↑(π / 2)
⊢ -(‖x‖ / (o.oangle (x - y) x).cos) = -‖x - y‖

Tactic:
oangle_rev,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(‖x‖ / (-o.oangle x (x - y)).cos) = -‖x - y‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(‖x‖ / (-o.oangle x (x - y)).cos) = -‖x - y‖

Tactic:
← oangle_neg_orientation_eq_neg,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -(-o).oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(‖x‖ / ((-o).oangle x (x - y)).cos) = -‖x - y‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₃' : P
h : Collinear ℝ {p₃, p₂, p₃'}
hp₃p₂ : p₃ ≠ p₂
hp₃'p₂ : p₃' ≠ p₂
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₁ p₂ p₃'

Tactic:
oangle_rev,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₃' : P
h : Collinear ℝ {p₃, p₂, p₃'}
hp₃p₂ : p₃ ≠ p₂
hp₃'p₂ : p₃' ≠ p₂
⊢ 2 • -∡ p₃ p₂ p₁ = 2 • ∡ p₁ p₂ p₃'
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -o.oangle x y = -↑(π / 2)
⊢ -(‖y‖ / (o.oangle (x - y) x).sin) = -‖x - y‖

Tactic:
oangle_rev,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(‖y‖ / (-o.oangle x (x - y)).sin) = -‖x - y‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(‖y‖ / (-o.oangle x (x - y)).sin) = -‖x - y‖

Tactic:
← oangle_neg_orientation_eq_neg,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -(-o).oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(‖y‖ / ((-o).oangle x (x - y)).sin) = -‖x - y‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Projection

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝¹ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : s.direction.HasOrthogonalProjection
hp : p ∉ s
h : p' ∈ s
hp' : p' ≠ ↑((orthogonalProjection s) p)
⊢ ∡ p' (↑((orthogonalProjection s) p)) p = ↑(π / 2) ∨ ∡ p' (↑((orthogonalProjection s) p)) p = ↑(-π / 2)

Tactic:
oangle_rev,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝¹ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : s.direction.HasOrthogonalProjection
hp : p ∉ s
h : p' ∈ s
hp' : p' ≠ ↑((orthogonalProjection s) p)
⊢ -∡ p (↑((orthogonalProjection s) p)) p' = ↑(π / 2) ∨ -∡ p (↑((orthogonalProjection s) p)) p' = ↑(-π / 2)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -o.oangle x y = -↑(π / 2)
⊢ -(‖y‖ / (o.oangle (x - y) x).tan) = -‖x‖

Tactic:
oangle_rev,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(‖y‖ / (-o.oangle x (x - y)).tan) = -‖x‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : - -o.oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(‖y‖ / (-o.oangle x (x - y)).tan) = -‖x‖

Tactic:
← oangle_neg_orientation_eq_neg,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : -(-o).oangle y x = -↑(π / 2)
⊢ -(‖y‖ / ((-o).oangle x (x - y)).tan) = -‖x‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
ha : -o.oangle x (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = - -↑(π / 2)
⊢ o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r)

Tactic:
← oangle_neg_orientation_eq_neg,

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
ha : (-o).oangle x (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = - -↑(π / 2)
⊢ o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
ha : (-o).oangle x (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(π / 2)
⊢ -o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = -↑(Real.arctan r)

Tactic:
oangle_rev,

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
ha : (-o).oangle x (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(π / 2)
⊢ - -o.oangle (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) x = -↑(Real.arctan r)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
ha : (-o).oangle x (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(π / 2)
⊢ - -o.oangle (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) x = -↑(Real.arctan r)

Tactic:
← oangle_neg_orientation_eq_neg,

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
ha : (-o).oangle x (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(π / 2)
⊢ -(-o).oangle (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) x = -↑(Real.arctan r)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
ha : (-o).oangle x (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(π / 2)
⊢ (-o).oangle (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) x = ↑(Real.arctan r)

Tactic:
oangle_rev,

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
ha : (-o).oangle x (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(π / 2)
⊢ -(-o).oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
ha : (-o).oangle x (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(π / 2)
⊢ -↑(-Real.arctan r) = ↑(Real.arctan r)

Tactic:
Real.Angle.coe_neg,

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
ha : (-o).oangle x (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(π / 2)
⊢ - -↑(Real.arctan r) = ↑(Real.arctan r)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: case inr.inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
⊢ o.oangle x (x + 0 • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan 0)

pp: case inr.inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r)

Tactic:
· simp

Goal state after:
case inr.inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
⊢ -o.oangle (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = -↑(Real.arctan r⁻¹)

Tactic:
oangle_rev,

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
⊢ - -o.oangle (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = -↑(Real.arctan r⁻¹)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
⊢ - -o.oangle (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = -↑(Real.arctan r⁻¹)

Tactic:
← oangle_neg_orientation_eq_neg,

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
⊢ -(-o).oangle (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = -↑(Real.arctan r⁻¹)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : r₁ = 0
⊢ SignType.sign r₂ * (SignType.sign r₃ * (o.oangle y x).sign) = -SignType.sign (r₂ * r₃) * (o.oangle x y).sign

Tactic:
oangle_rev,

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : r₁ = 0
⊢ SignType.sign r₂ * (SignType.sign r₃ * (-o.oangle x y).sign) = -SignType.sign (r₂ * r₃) * (o.oangle x y).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h : 2 • ∡ p₂ p₃ p₁ = 2 • ∡ p₄ p₆ p₅
h₁₂₃ : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h₄₅₆ : ∠ p₄ p₅ p₆ = π / 2
⊢ |(∡ p₄ p₆ p₅).toReal| < π / 2

Tactic:
oangle_rev,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h : 2 • ∡ p₂ p₃ p₁ = 2 • ∡ p₄ p₆ p₅
h₁₂₃ : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h₄₅₆ : ∠ p₄ p₅ p₆ = π / 2
⊢ |(-∡ p₅ p₆ p₄).toReal| < π / 2
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q r : P
⊢ ((signedDist v) p) r - ((signedDist v) q) r = ((signedDist v) p) q

Tactic:
sub_eq_iff_eq_add,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q r : P
⊢ ((signedDist v) p) r = ((signedDist v) p) q + ((signedDist v) q) r
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q : P
h : ¬v = 0
⊢ |⟪NormedSpace.normalize v, q -ᵥ p⟫| ≤ dist p q

Tactic:
grw [abs_real_inner_le_norm]
    simp [norm_normalize h, dist_eq_norm_vsub']

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q : P
⊢ |‖v‖⁻¹| * |⟪v, q -ᵥ p⟫| = ‖q -ᵥ p‖ ↔ ∃ a, a • v = q -ᵥ p

Tactic:
abs_inv,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q : P
⊢ |‖v‖|⁻¹ * |⟪v, q -ᵥ p⟫| = ‖q -ᵥ p‖ ↔ ∃ a, a • v = q -ᵥ p
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.PerpBisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c p₁ p₂ : P
⊢ c ∈ perpBisector p₁ p₂ ↔ ⟪c -ᵥ p₁, p₂ -ᵥ p₁⟫ = dist p₁ p₂ ^ 2 / 2

Tactic:
by
  rw [mem_perpBisector_iff_inner_eq_zero, ← vsub_sub_vsub_cancel_right _ _ p₁, inner_sub_left,
    sub_eq_zero, midpoint_vsub_left, invOf_eq_inv, real_inner_smul_left, real_inner_self_eq_norm_sq,
    dist_eq_norm_vsub' V, div_eq_inv_mul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ ↑((orthogonalProjection s₂) p)
h : dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)
this✝¹ : Nonempty ↥s₁
this✝ : Nonempty ↥s₂
this : Nonempty ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp : ↑((orthogonalProjection s₁) p) = p'
⊢ False

Tactic:
hp,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ ↑((orthogonalProjection s₂) p)
h : dist p p' = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)
this✝¹ : Nonempty ↥s₁
this✝ : Nonempty ↥s₂
this : Nonempty ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp : ↑((orthogonalProjection s₁) p) = p'
⊢ False