mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}
⊢ (trace R M) (φ 0) = 0

pp: case refine_3
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}
u v : L
x✝¹ : u ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}
x✝ : v ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}
hu : (trace R M) (φ u) = 0
hv : (trace R M) (φ v) = 0
⊢ (trace R M) (φ (u + v)) = 0

pp: case refine_4
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}
t : R
u : L
x✝ : u ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}
hu : (trace R M) (φ u) = 0
⊢ (trace R M) (φ (t • u)) = 0

Tactic:
· simp

Goal state after:
case refine_3
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}
u v : L
x✝¹ : u ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}
x✝ : v ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}
hu : (trace R M) (φ u) = 0
hv : (trace R M) (φ v) = 0
⊢ (trace R M) (φ (u + v)) = 0

case refine_4
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}
t : R
u : L
x✝ : u ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}
hu : (trace R M) (φ u) = 0
⊢ (trace R M) (φ (t • u)) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i ≤ m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
⊢ span R (↑S '' Set.Iio (Order.succ m)) = degreeLE R ↑m

Tactic:
span_degreeLT _ (fun i hi => hCoeff i (Order.lt_succ_iff.mp hi))

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i ≤ m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
⊢ degreeLT R (Order.succ m) = degreeLE R ↑m
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
hCoeff : ∀ (i : ℕ), IsUnit (↑S i).leadingCoeff
P : R[X]
p_ne_zero : P ≠ 0
⊢ ∀ i < P.natDegree + 1, IsUnit (↑S i).leadingCoeff

Tactic:
by grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
⊢ span K (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero}) = span K (range (Weight.toLinear K (↥H) L))

Tactic:
refine le_antisymm (Submodule.span_mono <| by simp) ?_

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
⊢ span K (range (Weight.toLinear K (↥H) L)) ≤ span K (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero})
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: case succ
motive : ℤ → Prop
zero : motive 0
one : motive 1
add_two : ∀ (n : ℕ), motive (↑n + 1) → motive ↑n → motive (↑n + 2)
neg : ∀ (n : ℤ), motive n → motive (-n)
neg' : ∀ (n : ℤ), motive (-n) → motive n
n : ℕ
h₀ : motive (-↑(n + 1))
h₁ : motive (-↑(n + 1) + 1)
⊢ motive (-↑(n + 1) - 1)

Tactic:
| succ n =>

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℤ
⊢ T R (n - 2) = 2 * X * T R (n - 1) - T R n

Tactic:
linear_combination (norm := ring_nf) T_add_two R (n - 2)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℤ
⊢ T R n = 2 * X * T R (n - 1) - T R (n - 2)

Tactic:
linear_combination (norm := ring_nf) T_add_two R (n - 2)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : R
n : ℕ
ih1 : eval (-x) (T R (↑n + 1)) = ↑↑(↑n + 1).negOnePow * eval x (T R (↑n + 1))
ih2 : eval (-x) (T R ↑n) = ↑↑(↑n).negOnePow * eval x (T R ↑n)
⊢ ↑↑(↑n + 2).negOnePow * (2 * x * eval x (T R (↑n + 1)) - eval x (T R ↑n)) =
    ↑↑(↑n + 2).negOnePow * eval x (T R (↑n + 2))

Tactic:
· simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
⊢ h = ↑(coroot α)

Tactic:
by
  have hef := lie_eq_killingForm_smul_of_mem_rootSpace_of_mem_rootSpace_neg heα hfα
  lift h to H using by simpa only [← ht.lie_e_f, hef] using H.smul_mem _ (Submodule.coe_mem _)
  congr 1
  have key : α h = 2 := by
    have := lie_eq_smul_of_mem_rootSpace heα h
    rw [LieSubalgebra.coe_bracket_of_module, ht.lie_h_e_smul K] at this
    exact smul_left_injective K ht.e_ne_zero this.symm
  suffices ∃ s : K, s • h = coroot α by
    obtain ⟨s, hs⟩ := this
    replace this : s = 1 := by simpa [root_apply_coroot hα, key] using congr_arg α hs
    rwa [this, one_smul] at hs
  set α' := (cartanEquivDual H).symm α with hα'
  have h_eq : h = killingForm K L e f • α' := by
    simp only [hα', Subtype.ext_iff, ← ht.lie_e_f, hef]
    rw [Submodule.coe_smul_of_tower]
  use (2 • (α α')⁻¹) * (killingForm K L e f)⁻¹
  have hef₀ : killingForm K L e f ≠ 0 := by
    have := ht.h_ne_zero
    contrapose this
    simpa [this] using h_eq
  rw [h_eq, smul_smul, mul_assoc, inv_mul_cancel₀ hef₀, mul_one, smul_assoc, coroot]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : R
n : ℕ
ih1 : eval (-x) (U R ↑n) = ↑↑(↑n).negOnePow * eval x (U R ↑n)
ih2 : eval (-x) (U R ↑(n + 1)) = ↑↑(↑(n + 1)).negOnePow * eval x (U R ↑(n + 1))
⊢ ↑↑(↑n + 2).negOnePow * (2 * x * eval x (U R (↑n + 1)) - eval x (U R ↑n)) =
    ↑↑(↑(n + 2)).negOnePow * eval x (U R ↑(n + 2))

Tactic:
· simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h₀ : U R ↑n ∈ Submodule.span ℕ ((fun m ↦ T R ↑m) '' Set.Icc 0 n)
a✝ : U R ↑(n + 1) ∈ Submodule.span ℕ ((fun m ↦ T R ↑m) '' Set.Icc 0 (n + 1))
⊢ (fun m ↦ T R ↑m) '' Set.Icc 0 n ⊆ (fun m ↦ T R ↑m) '' Set.Icc 0 (n + 2)

Tactic:
by grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
I : LieIdeal K L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : rootSpace H ⇑α ≤ LieSubmodule.restr I H
⊢ LieSubmodule.restr I H ⊓ rootSpace H ⇑α ≤ ⨆ α, ⨆ (_ : rootSpace H ⇑↑α ≤ LieSubmodule.restr I H), rootSpace H ⇑↑α

pp: case neg
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
I : LieIdeal K L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H ⇑α ≤ LieSubmodule.restr I H
⊢ LieSubmodule.restr I H ⊓ rootSpace H ⇑α ≤ ⨆ α, ⨆ (_ : rootSpace H ⇑↑α ≤ LieSubmodule.restr I H), rootSpace H ⇑↑α

Tactic:
· exact le_iSup₂_of_le ⟨α, Finset.mem_filter.mpr ⟨Finset.mem_univ _, hα⟩⟩ h inf_le_right

Goal state after:
case neg
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
I : LieIdeal K L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H ⇑α ≤ LieSubmodule.restr I H
⊢ LieSubmodule.restr I H ⊓ rootSpace H ⇑α ≤ ⨆ α, ⨆ (_ : rootSpace H ⇑↑α ≤ LieSubmodule.restr I H), rootSpace H ⇑↑α
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n k : ℕ
ih : (⇑derivative)^[k] (T R ↑n) ∈ Submodule.span ℕ ((fun m ↦ T R ↑m) '' Set.Icc 0 (n - k))
m : ℕ
hm : m ∈ Set.Icc 0 (n - k)
⊢ (fun m ↦ T R ↑m) '' Set.Ico 0 m ⊆ (fun m ↦ T R ↑m) '' Set.Icc 0 (n - (k + 1))

Tactic:
by grind

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsRootSystem
i j : ι
⊢ P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j ↔ P.reflection i = P.reflection j

Tactic:
by
  refine ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ Equiv.ext fun k ↦ P.root.injective <| by simp [h]⟩
  ext x
  exact (P.reflectionPerm_eq_reflectionPerm_iff_of_span i j).mp h x <| by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs

Goal state before:
pp: case smul
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
j : ι
s : Set ι
hj : ∀ i ∈ s, P.IsOrthogonal j i
x : M
t : R
u : M
hu : u ∈ span R (⇑P.root '' s)
hu' : (P.reflection j) u = u
⊢ (P.reflection j) (t • u) = t • u

Tactic:
rw [map_smul, hu']

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : Finite ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsTorsionFree R L
this✝ : IsLieAbelian ↥H := isLieAbelian_cartan b
U : LieSubmodule R (↥H) L := ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑((-b.baseSupp) i))
hU : U = ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑((-b.baseSupp) i))
V : LieSubmodule R (↥H) L := ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
hV : V = ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
s0 : Set (↥H → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥H → R) := {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • (-b.baseSupp) i)}
hsU : sU = {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • (-b.baseSupp) i)}
sV : Set (↥H → R) := {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hsV : sV = {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hs0' : rootSpace H 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
hV0 : Disjoint s0 sV
n : ι → ℕ
hn : n ≠ 0
m : ι → ℕ
hm : m ≠ 0
hf : ⇑(∑ i, m i • b.baseSupp i) ∈ sU
hg : ⇑(∑ i, m i • b.baseSupp i) ∈ sV
hn' : ∑ i, (Nat.cast ∘ (m + n)) i • b.baseSupp i = 0
this : ∀ (i : ι), (Nat.cast ∘ (m + n)) i = 0
⊢ False

Tactic:
refine hn <| funext fun i ↦ ?_

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : Finite ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsTorsionFree R L
this✝ : IsLieAbelian ↥H := isLieAbelian_cartan b
U : LieSubmodule R (↥H) L := ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑((-b.baseSupp) i))
hU : U = ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑((-b.baseSupp) i))
V : LieSubmodule R (↥H) L := ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
hV : V = ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
s0 : Set (↥H → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥H → R) := {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • (-b.baseSupp) i)}
hsU : sU = {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • (-b.baseSupp) i)}
sV : Set (↥H → R) := {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hsV : sV = {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hs0' : rootSpace H 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
hV0 : Disjoint s0 sV
n : ι → ℕ
hn : n ≠ 0
m : ι → ℕ
hm : m ≠ 0
hf : ⇑(∑ i, m i • b.baseSupp i) ∈ sU
hg : ⇑(∑ i, m i • b.baseSupp i) ∈ sV
hn' : ∑ i, (Nat.cast ∘ (m + n)) i • b.baseSupp i = 0
this : ∀ (i : ι), (Nat.cast ∘ (m + n)) i = 0
i : ι
⊢ n i = 0 i
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.PowTransition

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : ℕ → Submodule R M
hp : Antitone p
x : (n : ℕ) → M ⧸ p n
h : ∀ (m : ℕ), x m = (factor ⋯) (x (m + 1))
k : ℕ
ih : ∀ {m n : ℕ} (g : m ≤ n), n = m + (n - m) → n - m = k → x m = (factor ⋯) (x n)
m : ℕ
g : m ≤ m + k + 1
hmn : m + k + 1 - m = k + 1
⊢ (factor ⋯) ((factor ⋯) (x (m + k + 1))) = (factor ⋯) (x (m + k + 1))

pp: case succ
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : ℕ → Submodule R M
hp : Antitone p
x : (n : ℕ) → M ⧸ p n
h : ∀ (m : ℕ), x m = (factor ⋯) (x (m + 1))
k : ℕ
ih : ∀ {m n : ℕ} (g : m ≤ n), n = m + (n - m) → n - m = k → x m = (factor ⋯) (x n)
m : ℕ
g : m ≤ m + k + 1
hmn : m + k + 1 - m = k + 1
⊢ m + k - m = k

Tactic:
· simp

Goal state after:
case succ
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : ℕ → Submodule R M
hp : Antitone p
x : (n : ℕ) → M ⧸ p n
h : ∀ (m : ℕ), x m = (factor ⋯) (x (m + 1))
k : ℕ
ih : ∀ {m n : ℕ} (g : m ≤ n), n = m + (n - m) → n - m = k → x m = (factor ⋯) (x n)
m : ℕ
g : m ≤ m + k + 1
hmn : m + k + 1 - m = k + 1
⊢ m + k - m = k
Module: Mathlib.RingTheory.Length

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
H : Function.Exact ⇑f ⇑g
hP : IsFiniteLength R P
hN : IsFiniteLength R N
s : CompositionSeries (Submodule R P)
hs₁ : RelSeries.head s = ⊥
hs₂ : RelSeries.last s = ⊤
t : CompositionSeries (Submodule R N)
ht₁ : RelSeries.head t = ⊥
ht₂ : RelSeries.last t = ⊤
s' : CompositionSeries (Submodule R M) := RelSeries.map s { toFun := Submodule.comap g, map_rel' := ⋯ }
t' : CompositionSeries (Submodule R M) := RelSeries.map t { toFun := Submodule.map f, map_rel' := ⋯ }
hfg : Submodule.map f ⊤ = Submodule.comap g ⊥
r : RelSeries {(x, y) | JordanHolderLattice.IsMaximal x y} := RelSeries.smash t' s' ⋯
⊢ ↑(t'.length + s'.length) = ↑t.length + ↑s.length

Tactic:
Nat.cast_add,

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
H : Function.Exact ⇑f ⇑g
hP : IsFiniteLength R P
hN : IsFiniteLength R N
s : CompositionSeries (Submodule R P)
hs₁ : RelSeries.head s = ⊥
hs₂ : RelSeries.last s = ⊤
t : CompositionSeries (Submodule R N)
ht₁ : RelSeries.head t = ⊥
ht₂ : RelSeries.last t = ⊤
s' : CompositionSeries (Submodule R M) := RelSeries.map s { toFun := Submodule.comap g, map_rel' := ⋯ }
t' : CompositionSeries (Submodule R M) := RelSeries.map t { toFun := Submodule.map f, map_rel' := ⋯ }
hfg : Submodule.map f ⊤ = Submodule.comap g ⊥
r : RelSeries {(x, y) | JordanHolderLattice.IsMaximal x y} := RelSeries.smash t' s' ⋯
⊢ ↑t'.length + ↑s'.length = ↑t.length + ↑s.length
Module: Mathlib.RingTheory.Length

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
H : Function.Exact ⇑f ⇑g
hP : IsFiniteLength R P
hN : ¬IsFiniteLength R N
this : ¬IsFiniteLength R M
⊢ length R M = length R N + length R P

Tactic:
← Module.length_ne_top_iff,

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
H : Function.Exact ⇑f ⇑g
hP : IsFiniteLength R P
hN : ¬length R N ≠ ⊤
this : ¬length R M ≠ ⊤
⊢ length R M = length R N + length R P
Module: Mathlib.RingTheory.Bezout

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsBezout R
inst✝ : IsDomain R
tfae_1_to_2 : IsNoetherianRing R → IsPrincipalIdealRing R
tfae_2_to_3 : IsPrincipalIdealRing R → UniqueFactorizationMonoid R
tfae_3_to_4 : UniqueFactorizationMonoid R → WfDvdMonoid R
h : WellFounded DvdNotUnit
⊢ WellFoundedGT { N // N.FG }

Tactic:
refine ⟨RelEmbedding.wellFounded ?_ h⟩

Goal state after:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsBezout R
inst✝ : IsDomain R
tfae_1_to_2 : IsNoetherianRing R → IsPrincipalIdealRing R
tfae_2_to_3 : IsPrincipalIdealRing R → UniqueFactorizationMonoid R
tfae_3_to_4 : UniqueFactorizationMonoid R → WfDvdMonoid R
h : WellFounded DvdNotUnit
⊢ (fun x1 x2 ↦ x2 < x1) ↪r DvdNotUnit
Module: Mathlib.RingTheory.Length

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
H : Function.Exact ⇑f ⇑g
hP : ¬IsFiniteLength R P
this : ¬IsFiniteLength R M
⊢ length R M = length R N + length R P

Tactic:
← Module.length_ne_top_iff,

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
H : Function.Exact ⇑f ⇑g
hP : ¬length R P ≠ ⊤
this : ¬length R M ≠ ⊤
⊢ length R M = length R N + length R P
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case inl
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝² : CommRing O
inst✝¹ : Algebra O F
hv : v.Integers O
inst✝ : Subsingleton (↥(MonoidHom.mrange v))ˣ
⊢ v 0 ≤ 1

pp: case inr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝² : CommRing O
inst✝¹ : Algebra O F
hv : v.Integers O
inst✝ : Subsingleton (↥(MonoidHom.mrange v))ˣ
x : F
hx : x ≠ 0
⊢ v x ≤ 1

Tactic:
· simp

Goal state after:
case inr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝² : CommRing O
inst✝¹ : Algebra O F
hv : v.Integers O
inst✝ : Subsingleton (↥(MonoidHom.mrange v))ˣ
x : F
hx : x ≠ 0
⊢ v x ≤ 1
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case mp.refine_1
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : I = O ∙ x
⊢ (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) x ∈ ⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I

pp: case mp.refine_2
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : I = O ∙ x
⊢ (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) x ∈ upperBounds (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I)

Tactic:
· refine Set.mem_image_of_mem _ ?_
      simp [hx]

Goal state after:
case mp.refine_2
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : I = O ∙ x
⊢ (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) x ∈ upperBounds (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case inl
Γ₀ : Type v
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
K : Type u_1
inst✝ : Field K
v : Valuation K Γ₀
S : Submodule (↥v.integer) K
hx : 0 ∈ S
⊢ v.leSubmodule (v 0) ≤ S

pp: case inr
Γ₀ : Type v
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
K : Type u_1
inst✝ : Field K
v : Valuation K Γ₀
S : Submodule (↥v.integer) K
x : K
hx : x ∈ S
hx0 : x ≠ 0
⊢ v.leSubmodule (v x) ≤ S

Tactic:
· simp

Goal state after:
case inr
Γ₀ : Type v
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
K : Type u_1
inst✝ : Field K
v : Valuation K Γ₀
S : Submodule (↥v.integer) K
x : K
hx : x ∈ S
hx0 : x ≠ 0
⊢ v.leSubmodule (v x) ≤ S
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case inl
Γ₀ : Type v
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
K : Type u_1
inst✝ : Field K
v : Valuation K Γ₀
I : Ideal ↥v.integer
hx : 0 ∈ I
⊢ v.leIdeal (v ↑0) ≤ I

pp: case inr
Γ₀ : Type v
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
K : Type u_1
inst✝ : Field K
v : Valuation K Γ₀
I : Ideal ↥v.integer
x : ↥v.integer
hx : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
⊢ v.leIdeal (v ↑x) ≤ I

Tactic:
· simp

Goal state after:
case inr
Γ₀ : Type v
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
K : Type u_1
inst✝ : Field K
v : Valuation K Γ₀
I : Ideal ↥v.integer
x : ↥v.integer
hx : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
⊢ v.leIdeal (v ↑x) ≤ I
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsCancelMulZero R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
p : R := Classical.choose hR
spec : Irreducible (Classical.choose hR) ∧ ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (Classical.choose hR ^ n) x :=
  Classical.choose_spec hR
x : R
hx : x ≠ 0
q : R
hq : q ∈ Multiset.replicate (Classical.choose ⋯) p
hpq : q = p
b : R
m : ℕ
u : Rˣ
h : p ∣ ↑u * (Classical.choose hR ^ m * b)
ha : ¬Classical.choose hR ^ m * ↑u = 0
⊢ p ∣ Classical.choose hR ^ m * ↑u ∨ p ∣ b

Tactic:
Units.dvd_mul_left

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsCancelMulZero R
hR : HasUnitMulPowIrreducibleFactorization R
p : R := Classical.choose hR
spec : Irreducible (Classical.choose hR) ∧ ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (Classical.choose hR ^ n) x :=
  Classical.choose_spec hR
x : R
hx : x ≠ 0
q : R
hq : q ∈ Multiset.replicate (Classical.choose ⋯) p
hpq : q = p
b : R
m : ℕ
u : Rˣ
h : p ∣ Classical.choose hR ^ m * b
ha : ¬Classical.choose hR ^ m * ↑u = 0
⊢ p ∣ Classical.choose hR ^ m * ↑u ∨ p ∣ b
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
y : R
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Away y S
inst✝ : IsJacobsonRing R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
hy : y ∉ I
⊢ (Ideal.map (algebraMap R S) I).IsMaximal

Tactic:
rw [isMaximal_iff_isMaximal_disjoint S y, under_map_of_isPrime_disjoint (powers y) S hI.isPrime]

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
y : R
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Away y S
inst✝ : IsJacobsonRing R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
hy : y ∉ I
⊢ I.IsMaximal ∧ y ∉ I

R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
y : R
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Away y S
inst✝ : IsJacobsonRing R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
hy : y ∉ I
⊢ Disjoint ↑(powers y) ↑I