mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
S : Set E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥E1
inst✝ : FiniteDimensional K ↥E2
g : TensorProduct K ↥E1 ↥E2 →ₐ[K] L := Algebra.TensorProduct.productMap E1.val E2.val
this : g.range = (E1 ⊔ E2).toSubalgebra
h : FiniteDimensional K ↥(Subalgebra.toSubmodule g.range)
⊢ FiniteDimensional K ↥(E1 ⊔ E2)

Tactic:
rwa [this] at h

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝¹⁶ : Field k
K : Type u_1
J : Type u_2
R : Type u
S : Type u_3
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field J
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Field M
inst✝⁹ : Algebra R M
inst✝⁸ : IsTorsionFree R M
inst✝⁷ : IsAlgClosure R M
inst✝⁶ : Algebra K M
inst✝⁵ : IsAlgClosure K M
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : IsTorsionFree S L
inst✝² : IsAlgClosure S L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDomain S
hSR : S ≃+* R
this✝⁵ : Algebra R S := hSR.symm.toRingHom.toAlgebra
this✝⁴ : Algebra S R := hSR.toRingHom.toAlgebra
this✝³ : Algebra R L := ((algebraMap S L).comp (algebraMap R S)).toAlgebra
this✝² : IsScalarTower R S L
this✝¹ : IsScalarTower S R L
this✝ : FaithfulSMul R S
this : Algebra.IsAlgebraic R L
x : S
| (equivOfAlgebraic' R S L M) ((algebraMap S L) x)

Tactic:
rw [← hSR.symm_apply_apply x]

Goal state after:
k : Type u
inst✝¹⁶ : Field k
K : Type u_1
J : Type u_2
R : Type u
S : Type u_3
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field J
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Field M
inst✝⁹ : Algebra R M
inst✝⁸ : IsTorsionFree R M
inst✝⁷ : IsAlgClosure R M
inst✝⁶ : Algebra K M
inst✝⁵ : IsAlgClosure K M
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : IsTorsionFree S L
inst✝² : IsAlgClosure S L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDomain S
hSR : S ≃+* R
this✝⁵ : Algebra R S := hSR.symm.toRingHom.toAlgebra
this✝⁴ : Algebra S R := hSR.toRingHom.toAlgebra
this✝³ : Algebra R L := ((algebraMap S L).comp (algebraMap R S)).toAlgebra
this✝² : IsScalarTower R S L
this✝¹ : IsScalarTower S R L
this✝ : FaithfulSMul R S
this : Algebra.IsAlgebraic R L
x : S
| (equivOfAlgebraic' R S L M) ((algebraMap S L) (hSR.symm (hSR x)))
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case right
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : IsIntegral F α
f : AdjoinRoot (minpoly F α) →+* ↥F⟮α⟯ := AdjoinRoot.lift (↑(Algebra.ofId F ↥F⟮α⟯)) (AdjoinSimple.gen F α) ⋯
this : Fact (Irreducible (minpoly F α))
⊢ F⟮α⟯.toSubfield ≤ (F⟮α⟯.toSubfield.subtype.comp f).fieldRange

Tactic:
refine Subfield.closure_le.mpr (Set.union_subset (fun x hx => ?_) ?_)

Goal state after:
case right.refine_1
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : IsIntegral F α
f : AdjoinRoot (minpoly F α) →+* ↥F⟮α⟯ := AdjoinRoot.lift (↑(Algebra.ofId F ↥F⟮α⟯)) (AdjoinSimple.gen F α) ⋯
this : Fact (Irreducible (minpoly F α))
x : E
hx : x ∈ Set.range ⇑(algebraMap F E)
⊢ x ∈ ↑(F⟮α⟯.toSubfield.subtype.comp f).fieldRange

case right.refine_2
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : IsIntegral F α
f : AdjoinRoot (minpoly F α) →+* ↥F⟮α⟯ := AdjoinRoot.lift (↑(Algebra.ofId F ↥F⟮α⟯)) (AdjoinSimple.gen F α) ⋯
this : Fact (Irreducible (minpoly F α))
⊢ {α} ⊆ ↑(F⟮α⟯.toSubfield.subtype.comp f).fieldRange
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := ⋯
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := ⋯
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ :
  Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) =
    minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
⊢ restrictScalars K (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯)⟮root p⟯ = restrictScalars K ⊤

Tactic:
rw [restrictScalars_top, adjoin_adjoin_left, Set.union_comm, ← adjoin_adjoin_left,
          adjoin_root_eq_top p, restrictScalars_adjoin]

Goal state after:
K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ :
  Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) =
    minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
⊢ adjoin K (↑⊤ ∪ {(aeval (root p)) g}) = ⊤
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
h e f : L
inst✝ : IsAddTorsionFree M
t : IsSl2Triple h e f
m : M
μ ρ : R
hm : m ≠ 0
hm' : ⁅h, m⁆ = μ • m
he : ⁅e, m⁆ = ρ • m
⊢ 2 • ⁅e, m⁆ = 0

Tactic:
rw [← nsmul_lie, ← t.lie_h_e_nsmul, lie_lie, hm', lie_smul, he, lie_smul, hm',
      smul_smul, smul_smul, mul_comm ρ μ, sub_self]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
⊢ ∀ (x_1 y : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)),
    (∃ k,
        (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k)
            (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) x_1)) =
          0) →
      (∃ k,
          (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k)
              (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) y)) =
            0) →
        ∃ k,
          (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k)
              (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) (x_1 + y))) =
            0

pp: case refine_2
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
⊢ ∀ (x_1 : ↥𝕎(M₁, χ₁, x)) (y : ↥𝕎(M₂, χ₂, x)),
    ∃ k,
      (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k)
          (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) (x_1 ⊗ₜ[R] y))) =
        0

Tactic:
· rintro t₁ t₂ ⟨k₁, hk₁⟩ ⟨k₂, hk₂⟩; use max k₁ k₂
    simp only [map_add, Module.End.pow_map_zero_of_le (le_max_left k₁ k₂) hk₁,
      Module.End.pow_map_zero_of_le (le_max_right k₁ k₂) hk₂, add_zero]

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
⊢ ∀ (x_1 : ↥𝕎(M₁, χ₁, x)) (y : ↥𝕎(M₂, χ₂, x)),
    ∃ k,
      (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k)
          (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) (x_1 ⊗ₜ[R] y))) =
        0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: case mem.mem.inr.inr.inr.inl
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
e x y u v : L
t : IsSl2Triple u e v
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := span R {e, v, u}
⊢ ⁅u, v⁆ ∈ span R {e, v, u}

Tactic:
rw [t.lie_h_f_nsmul, neg_mem_iff]

Goal state after:
case mem.mem.inr.inr.inr.inl
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
e x y u v : L
t : IsSl2Triple u e v
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := span R {e, v, u}
⊢ 2 • v ∈ span R {e, v, u}
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan

Goal state before:
pp: case add
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
s : Set (↥H → R)
hs : ∀ χ₁ ∈ s, ∀ χ₂ ∈ s, χ₁ + χ₂ ∈ s
x : L
m : M
hm : m ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ
x✝ y✝ : L
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i ∈ s, rootSpace H i
hy✝ : y✝ ∈ ⨆ i ∈ s, rootSpace H i
hu : ⁅x✝, m⁆ ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ
hv : ⁅y✝, m⁆ ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ
⊢ ⁅x✝ + y✝, m⁆ ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ

Tactic:
add_lie

Goal state after:
case add
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
s : Set (↥H → R)
hs : ∀ χ₁ ∈ s, ∀ χ₂ ∈ s, χ₁ + χ₂ ∈ s
x : L
m : M
hm : m ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ
x✝ y✝ : L
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i ∈ s, rootSpace H i
hy✝ : y✝ ∈ ⨆ i ∈ s, rootSpace H i
hu : ⁅x✝, m⁆ ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ
hv : ⁅y✝, m⁆ ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ
⊢ ⁅x✝, m⁆ + ⁅y✝, m⁆ ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : LieRing.IsNilpotent ↥H
x : L
hx : ∀ y ∈ zeroRootSubalgebra R L H, ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H
⊢ x ∈ zeroRootSubalgebra R L H

Tactic:
rw [mem_zeroRootSubalgebra]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : LieRing.IsNilpotent ↥H
x : L
hx : ∀ y ∈ zeroRootSubalgebra R L H, ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H
⊢ ∀ (y : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝¹ : LieRing.IsNilpotent ↥H
inst✝ : IsNoetherian R L
⊢ ↑H.toLieSubmodule = ↑(rootSpace H 0) ↔ (zeroRootSubalgebra R L H).toSubmodule = H.toSubmodule

Tactic:
aesop

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
x : L
⊢ posFittingCompOf R M x ≤ posFittingComp R L M

Tactic:
by
  rw [posFittingComp]; exact le_iSup (posFittingCompOf R M) x

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
h e f : L
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Nontrivial M
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : IsTriangularizable R L M
t : IsSl2Triple h e f
μ₀ : R
hμ₀ : ((toEnd R L M) h).HasEigenvalue μ₀
m₀ : M
hm₀ : ((toEnd R L M) h).HasEigenvector μ₀ m₀
evals : ℕ → R := fun n ↦ μ₀ + 2 * ↑n
e_vecs : ℕ → M := fun n ↦ ((toEnd R L M) e ^ n) m₀
contra : ∀ (k : ℕ), e_vecs k ≠ 0
⊢ False

Tactic:
have h_inj : Function.Injective evals := fun a b hab ↦ by
      simpa [evals, add_right_inj, mul_eq_mul_left_iff, Nat.cast_inj] using hab

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
h e f : L
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Nontrivial M
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : IsTriangularizable R L M
t : IsSl2Triple h e f
μ₀ : R
hμ₀ : ((toEnd R L M) h).HasEigenvalue μ₀
m₀ : M
hm₀ : ((toEnd R L M) h).HasEigenvector μ₀ m₀
evals : ℕ → R := fun n ↦ μ₀ + 2 * ↑n
e_vecs : ℕ → M := fun n ↦ ((toEnd R L M) e ^ n) m₀
contra : ∀ (k : ℕ), e_vecs k ≠ 0
h_inj : Function.Injective evals
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
⊢ IsNilpotent L (M ⧸ posFittingComp R L M)

Tactic:
LieModule.isNilpotent_iff_forall' (R := R)

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
⊢ ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Properties

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R M
e : M ≃ₗ[R] M'
h : ((congr e) B).Nondegenerate
⊢ B = (congr e.symm) ((congr e) B)

Tactic:
congr_congr,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R M
e : M ≃ₗ[R] M'
h : ((congr e) B).Nondegenerate
⊢ B = (congr (e ≪≫ₗ e.symm)) B
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
⊢ b.symm.symm = b

Tactic:
aesop

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.InvariantForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
Φ : LinearMap.BilinForm R M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
⊢ LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ ↔ Φ ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R L (LinearMap.BilinForm R M)

Tactic:
refine ⟨fun h x ↦ ?_, fun h x y z ↦ ?_⟩
  · ext y z
    rw [LieHom.lie_apply, LinearMap.sub_apply, Module.Dual.lie_apply, LinearMap.zero_apply,
      LinearMap.zero_apply, h, sub_self]
  · replace h := LinearMap.congr_fun₂ (h x) y z
    simp only [LieHom.lie_apply, LinearMap.sub_apply, Module.Dual.lie_apply,
      LinearMap.zero_apply, sub_eq_zero] at h
    simp [← h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.InvariantForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
Φ : LinearMap.BilinForm R M
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
N : LieSubmodule R L M
x : L
y : M
⊢ y ∈ (Φ.orthogonal ↑N).carrier → ⁅x, y⁆ ∈ (Φ.orthogonal ↑N).carrier

Tactic:
suffices (∀ n ∈ N, Φ n y = 0) → ∀ n ∈ N, Φ n ⁅x, y⁆ = 0 by
      simpa only [
        AddSubsemigroup.mem_carrier, AddSubmonoid.mem_toSubsemigroup, Submodule.mem_toAddSubmonoid,
        LinearMap.BilinForm.mem_orthogonal_iff, LieSubmodule.mem_toSubmodule]
    intro H a ha
    rw [← neg_eq_zero, ← hΦ_inv]
    exact H _ <| N.lie_mem ha

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm K V
b₁ : B.Nondegenerate
b₂ : B.IsRefl
x : V
hx : (B x) x ≠ 0
this : ∀ (n : V), n ∈ K ∙ x ⊔ B.orthogonal (K ∙ x)
m : ↥(B.orthogonal (K ∙ x))
hm : ∀ (y : ↥(B.orthogonal (K ∙ x))), ((B.restrict (B.orthogonal (K ∙ x))) m) y = 0
n : V
⊢ (B ↑m) n = 0

Tactic:
obtain ⟨y, hy, z, hz, rfl⟩ := Submodule.mem_sup.1 <| this n

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm K V
b₁ : B.Nondegenerate
b₂ : B.IsRefl
x : V
hx : (B x) x ≠ 0
this : ∀ (n : V), n ∈ K ∙ x ⊔ B.orthogonal (K ∙ x)
m : ↥(B.orthogonal (K ∙ x))
hm : ∀ (y : ↥(B.orthogonal (K ∙ x))), ((B.restrict (B.orthogonal (K ∙ x))) m) y = 0
y : V
hy : y ∈ K ∙ x
z : V
hz : z ∈ B.orthogonal (K ∙ x)
⊢ (B ↑m) (y + z) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: case refine_2
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm K V
b₁ : B.Nondegenerate
b₂ : B.IsRefl
x : V
hx : (B x) x ≠ 0
this : ∀ (n : V), n ∈ K ∙ x ⊔ B.orthogonal (K ∙ x)
m : ↥(B.orthogonal (K ∙ x))
hm : ∀ (x_1 : ↥(B.orthogonal (K ∙ x))), ((B.restrict (B.orthogonal (K ∙ x))) x_1) m = 0
n : V
⊢ (B n) ↑m = 0

Tactic:
obtain ⟨y, hy, z, hz, rfl⟩ := Submodule.mem_sup.1 <| this n

Goal state after:
case refine_2
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm K V
b₁ : B.Nondegenerate
b₂ : B.IsRefl
x : V
hx : (B x) x ≠ 0
this : ∀ (n : V), n ∈ K ∙ x ⊔ B.orthogonal (K ∙ x)
m : ↥(B.orthogonal (K ∙ x))
hm : ∀ (x_1 : ↥(B.orthogonal (K ∙ x))), ((B.restrict (B.orthogonal (K ∙ x))) x_1) m = 0
y : V
hy : y ∈ K ∙ x
z : V
hz : z ∈ B.orthogonal (K ∙ x)
⊢ (B (y + z)) ↑m = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case add
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y : L
this : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ lieSpan R L (range b.f), ⁅b.e i, x⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
u v : L
hx✝ : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hy✝ : v ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
hv : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
z : L
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
⊢ ⁅u + v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper

Tactic:
add_lie

Goal state after:
case add
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y : L
this : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ lieSpan R L (range b.f), ⁅b.e i, x⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
u v : L
hx✝ : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hy✝ : v ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
hv : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
z : L
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
⊢ ⁅u, z⁆ + ⁅v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
Module: Mathlib.Data.Multiset.Fintype

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
a : α
⊢ {x ∈ m.toEnumFinset | x.1 = a} = {a} ×ˢ Finset.range (count a m)

Tactic:
aesop

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Multiset.Fintype

Goal state before:
pp: case isTrue
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
m : Multiset α
v x : α
hx : Fin (count x (v ::ₘ m))
h : x = v ∧ ↑hx = count v m
⊢ (none.elim ⟨v, ⟨count v m, ⋯⟩⟩ fun x ↦ ⟨x.fst, Fin.castLE ⋯ x.snd⟩) = ⟨x, hx⟩

Tactic:
obtain ⟨rfl, h2⟩ := h

Goal state after:
case isTrue
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
m : Multiset α
x : α
hx : Fin (count x (x ::ₘ m))
h2 : ↑hx = count x m
⊢ (none.elim ⟨x, ⟨count x m, ⋯⟩⟩ fun x_1 ↦ ⟨x_1.fst, Fin.castLE ⋯ x_1.snd⟩) = ⟨x, hx⟩
Module: Mathlib.FieldTheory.SplittingField.Construction

Goal state before:
pp: case pos
K : Type v
inst✝ : Field K
f : K[X]
H : ∃ g, Irreducible g ∧ g ∣ f
⊢ Irreducible (Classical.choose H)

Tactic:
exact (Classical.choose_spec H).1

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.SplittingField.Construction

Goal state before:
pp: n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih : ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → (map (algebraMap K (SplittingFieldAux n f)) f).Splits
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hf : f.natDegree = n.succ
⊢ (map (algebraMap K (SplittingFieldAux n.succ f)) f).Splits

Tactic:
rw [algebraMap_succ, ← map_map,
      ← X_sub_C_mul_removeFactor f fun h => by rw [h] at hf; cases hf]

Goal state after:
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih : ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → (map (algebraMap K (SplittingFieldAux n f)) f).Splits
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hf : f.natDegree = n.succ
⊢ (map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor))
      ((X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * f.removeFactor)).Splits
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Semisimple.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : HasTrivialRadical R L
h : ⊥ = ⊤
⊢ Subsingleton L

Tactic:
exact (LieSubmodule.subsingleton_iff R L L).mp (subsingleton_of_bot_eq_top h)

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.SplittingField.Construction

Goal state before:
pp: n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
  ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 :
  map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) *
      map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠
    0
⊢ Subalgebra.restrictScalars K
      (Algebra.adjoin (AdjoinRoot f.factor)
        ↑(map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor).roots.toFinset) =
    ⊤

Tactic:
← rootSet_def,

Goal state after:
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
  ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 :
  map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) *
      map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠
    0
⊢ Subalgebra.restrictScalars K
      (Algebra.adjoin (AdjoinRoot f.factor) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor))) =
    ⊤