mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.Page

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} ι
inst✝ : Abelian C
X : SpectralObject C ι
i j k l : ι
f₁ : i ⟶ j
f₂ : j ⟶ k
f₃ : k ⟶ l
f₁₂ : i ⟶ k
h₁₂ : f₁ ≫ f₂ = f₁₂
f₂₃ : j ⟶ l
h₂₃ : f₂ ≫ f₃ = f₂₃
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
⊢ (X.shortComplex f₁ f₂ f₃ n₀ n₁ n₂ hn₁ hn₂).RightHomologyData

Tactic:
let hp := (X.cokernelSequenceOpcycles_exact f₂ f₃ _ _ hn₁).gIsCokernel

Goal state after:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} ι
inst✝ : Abelian C
X : SpectralObject C ι
i j k l : ι
f₁ : i ⟶ j
f₂ : j ⟶ k
f₃ : k ⟶ l
f₁₂ : i ⟶ k
h₁₂ : f₁ ≫ f₂ = f₁₂
f₂₃ : j ⟶ l
h₂₃ : f₂ ≫ f₃ = f₂₃
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
hp : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (X.cokernelSequenceOpcycles f₂ f₃ n₀ n₁ hn₁).g ⋯) := ⋯.gIsCokernel
⊢ (X.shortComplex f₁ f₂ f₃ n₀ n₁ n₂ hn₁ hn₂).RightHomologyData
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.Page

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} ι
inst✝ : Abelian C
X : SpectralObject C ι
i j k l : ι
f₁ : i ⟶ j
f₂ : j ⟶ k
f₃ : k ⟶ l
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
⊢ (X.rightHomologyDataShortComplex f₁ f₂ f₃ n₀ n₁ n₂ hn₁ hn₂).g' = X.δFromOpcycles f₁ f₂ f₃ n₁ n₂ hn₂

Tactic:
let hp := (X.cokernelSequenceOpcycles_exact f₂ f₃ _ _ hn₁).gIsCokernel

Goal state after:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} ι
inst✝ : Abelian C
X : SpectralObject C ι
i j k l : ι
f₁ : i ⟶ j
f₂ : j ⟶ k
f₃ : k ⟶ l
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
hp : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (X.cokernelSequenceOpcycles f₂ f₃ n₀ n₁ hn₁).g ⋯) := ⋯.gIsCokernel
⊢ (X.rightHomologyDataShortComplex f₁ f₂ f₃ n₀ n₁ n₂ hn₁ hn₂).g' = X.δFromOpcycles f₁ f₂ f₃ n₁ n₂ hn₂
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.HasSpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : Preorder ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
l : ℕ
pq : ℤ × Fin l
⊢ pq.2.castSucc ≤ pq.2.succ

Tactic:
simp [Fin.le_iff_val_le_val]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
S : Type u_5
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsArtinian R M
inst✝ : IsScalarTower S R M
H : Function.Surjective ⇑(algebraMap S R)
N : Submodule S M
⊢ Submodule R M

Tactic:
refine { toAddSubmonoid := N.toAddSubmonoid, smul_mem' := ?_ }

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
S : Type u_5
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsArtinian R M
inst✝ : IsScalarTower S R M
H : Function.Surjective ⇑(algebraMap S R)
N : Submodule S M
⊢ ∀ (c : R) {x : M}, x ∈ N.carrier → c • x ∈ N.carrier
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
r : R
x : M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → (r ^ n • LinearMap.id).range = (r ^ m • LinearMap.id).range
⊢ ∃ n y, r ^ n.succ • y = r ^ n • x

Tactic:
simp_rw [SetLike.ext_iff] at hn

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
r : R
x : M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ∀ (x : M), x ∈ (r ^ n • LinearMap.id).range ↔ x ∈ (r ^ m • LinearMap.id).range
⊢ ∃ n y, r ^ n.succ • y = r ^ n • x
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Subalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
s : Set L
⊢ s ⊆ ↑(lieSpan R L s)

Tactic:
intro m hm

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
s : Set L
m : L
hm : m ∈ s
⊢ m ∈ ↑(lieSpan R L s)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Ideal

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
h : ∀ x ∈ I, f x = 0
x : L
hx : x ∈ I
⊢ x ∈ f.ker

Tactic:
· rw [mem_ker]; apply h x hx

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
y : L'
h₁ : Function.Surjective ⇑f
h₂ : y ∈ map f I
⊢ ∃ x, f ↑x = y

Tactic:
by
  rw [← LieSubmodule.mem_toSubmodule, coe_map_of_surjective h₁, Submodule.mem_map] at h₂
  obtain ⟨x, hx, rfl⟩ := h₂
  use ⟨x, hx⟩
  rw [LieHom.coe_toLinearMap]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ ⁅I, ⊥⁆ = ⊥

Tactic:
rw [eq_bot_iff]; apply lie_le_right

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
m : M
x : L
hx : x ∈ ⊥
n : ↥N
hn : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m
⊢ ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ ∈ ↑⊥

Tactic:
change x ∈ (⊥ : LieIdeal R L) at hx

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
m : M
x : L
n : ↥N
hx : x ∈ ⊥
hn : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m
⊢ ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ ∈ ↑⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
s : Set M
⊢ s ⊆ ↑(lieSpan R L s)

Tactic:
intro m hm

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
s : Set M
m : M
hm : m ∈ s
⊢ m ∈ ↑(lieSpan R L s)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieRing L'
inst✝⁶ : LieAlgebra R L'
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N✝ N₂ : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L M'
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M'
N : LieSubmodule R L M'
⊢ map e.toLieModuleHom (comap e.toLieModuleHom N) = N

Tactic:
by ext; simp [← e.eq_symm_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Field

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
pmin : ∀ (q : A[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval x) q = 0 → p.degree ≤ q.degree
hx : IsIntegral A x
⊢ p = minpoly A x

Tactic:
symm

Goal state after:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
pmin : ∀ (q : A[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval x) q = 0 → p.degree ≤ q.degree
hx : IsIntegral A x
⊢ minpoly A x = p
Module: Mathlib.Algebra.Jordan.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ 2 • (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (a * b)⁆) = 0

Tactic:
symm

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ 0 = 2 • (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (a * b)⁆)
Module: Mathlib.Algebra.Jordan.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ 0 = ⁅L (a + b + c), L ((a + b + c) * (a + b + c))⁆

Tactic:
by
      rw [(commute_lmul_lmul_sq (a + b + c)).lie_eq]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Separable

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
p q : R[X]
hsep : p.Separable
hq : 1 < emultiplicity q p
⊢ ↑2 ≤ emultiplicity q p

Tactic:
exact Order.add_one_le_of_lt hq

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Separable

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hsep : p.Separable
⊢ p.roots.Nodup

Tactic:
by
  classical
  exact Multiset.nodup_iff_count_le_one.mpr (count_roots_le_one hsep)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Determinant

Goal state before:
pp: M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
b : Basis ι A M
f : M →ₗ[A] M
this : DecidableEq M
⊢ ((toMatrix b b) f).det = LinearMap.det f

Tactic:
det_eq_det_toMatrix_of_finset b.reindexFinsetRange,

Goal state after:
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
b : Basis ι A M
f : M →ₗ[A] M
this : DecidableEq M
⊢ ((toMatrix b b) f).det = ((toMatrix b.reindexFinsetRange b.reindexFinsetRange) f).det
Module: Mathlib.FieldTheory.Separable

Goal state before:
pp: F : Type u
inst✝ : Field F
n : ℕ
x : F
hn : 0 < n
hx : x ≠ 0
h : (X ^ n - C x).Separable
hn' : ↑n = 0
⊢ IsUnit (X ^ n - C x)

Tactic:
simpa [separable_def, derivative_X_pow, hn', isCoprime_zero_right] using h

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Semisimple

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
p : Submodule R M
hp : p ∈ f.invtSubmodule
hf : f.IsSemisimple
⊢ IsSemisimple (LinearMap.restrict f hp)

Tactic:
rw [IsSemisimple] at hf ⊢
  let e : Submodule R[X] (AEval' (LinearMap.restrict f hp)) ≃o
      Iic (AEval.mapSubmodule R M f ⟨p, hp⟩) :=
    (Submodule.orderIsoMapComap <| AEval.restrict_equiv_mapSubmodule f p hp).trans <|
      Submodule.mapIic _
  exact (isSemisimpleModule_iff ..).mpr (e.complementedLattice_iff.mpr inferInstance)

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Ring.Divisibility.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Semiring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hy : y ^ n = 0
x✝ : ℕ × ℕ
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ Finset.antidiagonal p
⊢ x ^ m ∣ p.choose (i, j).1 • (x ^ (i, j).1 * y ^ (i, j).2)

Tactic:
replace hij : i + j = p := by simpa using hij

Goal state after:
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Semiring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hy : y ^ n = 0
x✝ : ℕ × ℕ
i j : ℕ
hij : i + j = p
⊢ x ^ m ∣ p.choose (i, j).1 • (x ^ (i, j).1 * y ^ (i, j).2)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Normalizer

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ N ≤ N.normalizer

Tactic:
intro m hm

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
m : M
hm : m ∈ N
⊢ m ∈ N.normalizer
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Normalizer

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : N₁ ≤ N₂
⊢ N₁.normalizer ≤ N₂.normalizer

Tactic:
intro m hm

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : N₁ ≤ N₂
m : M
hm : m ∈ N₁.normalizer
⊢ m ∈ N₂.normalizer
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Engel

Goal state before:
pp: R : Type u₁
L : Type u₂
M : Type u₄
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : R ∙ x ⊔ (LieIdeal.toLieSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n i j : ℕ
hxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
hIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j
this : ∀ (l : ℕ), ↑(⊤.lcs M (i + l)) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ l) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))
⊢ lowerCentralSeries R L M (i + n) ≤ I.lcs M (j + 1)

Tactic:
simpa only [bot_sup_eq, LieIdeal.incl_coe, Submodule.map_zero, hxn] using! this n

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
⊢ ucs k N = ⊤ ↔ LieModule.lowerCentralSeries R L M k ≤ N

Tactic:
eq_top_iff,

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
⊢ ⊤ ≤ ucs k N ↔ LieModule.lowerCentralSeries R L M k ≤ N
Module: Mathlib.FieldTheory.Fixed

Goal state before:
pp: G : Type u
inst✝² : Group G
F : Type v
inst✝¹ : Field F
inst✝ : MulSemiringAction G F
s✝ : Finset F
this✝ : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : LinearIndepOn (↥(subfield G F)) id ↑s → LinearIndepOn F ⇑(toFun G F) ↑s
hs : LinearIndepOn (↥(subfield G F)) id ↑s ∧ id a ∉ Submodule.span (↥(subfield G F)) (id '' ↑s)
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
this : ∀ i ∈ s, l i ∈ subfield G F
hla : ∑ c ∈ s, (l c • (toFun G F) c) 1 = (toFun G F) a 1
⊢ False

Tactic:
simp_rw [Pi.smul_apply, toFun_apply, one_smul] at hla

Goal state after:
G : Type u
inst✝² : Group G
F : Type v
inst✝¹ : Field F
inst✝ : MulSemiringAction G F
s✝ : Finset F
this✝ : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : LinearIndepOn (↥(subfield G F)) id ↑s → LinearIndepOn F ⇑(toFun G F) ↑s
hs : LinearIndepOn (↥(subfield G F)) id ↑s ∧ id a ∉ Submodule.span (↥(subfield G F)) (id '' ↑s)
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
this : ∀ i ∈ s, l i ∈ subfield G F
hla : ∑ x ∈ s, l x • x = a
⊢ False
Module: Mathlib.FieldTheory.Tower

Goal state before:
pp: F : Type u
K : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring F
inst✝⁵ : Semiring K
inst✝⁴ : Module F K
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module K A
inst✝¹ : Module F A
inst✝ : IsScalarTower F K A
hf : Module.Finite F A
b : Finset A
hb : span F ↑b = ⊤
⊢ restrictScalars F (span K ↑b) = ⊤

Tactic:
eq_top_iff,

Goal state after:
F : Type u
K : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring F
inst✝⁵ : Semiring K
inst✝⁴ : Module F K
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module K A
inst✝¹ : Module F A
inst✝ : IsScalarTower F K A
hf : Module.Finite F A
b : Finset A
hb : span F ↑b = ⊤
⊢ ⊤ ≤ restrictScalars F (span K ↑b)
Module: Mathlib.FieldTheory.SplittingField.IsSplittingField

Goal state before:
pp: F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : F[X]
inst✝ : IsSplittingField F L f
⊢ Subalgebra.restrictScalars F (Algebra.adjoin K ↑(Polynomial.map (algebraMap F L) f).roots.toFinset) = ⊤

Tactic:
eq_top_iff,

Goal state after:
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : F[X]
inst✝ : IsSplittingField F L f
⊢ ⊤ ≤ Subalgebra.restrictScalars F (Algebra.adjoin K ↑(Polynomial.map (algebraMap F L) f).roots.toFinset)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T) = ↑(adjoin F (S ∪ T))

Tactic:
apply subset_antisymm <;> rw [adjoin_subset_adjoin_iff] <;> constructor

Goal state after:
case a.left
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ Set.range ⇑(algebraMap (↥(adjoin F S)) E) ⊆ ↑(adjoin F (S ∪ T))

case a.right
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ T ⊆ ↑(adjoin F (S ∪ T))

case a.left
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T)

case a.right
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ S ∪ T ⊆ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T)
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
π : Ω → ↑c
hπ : ∀ (ω : Ω), ∀ θ ≥ ↑(π ω), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ → θ.carrier ≠ (↑(π ω)).carrier ⊔ adjoin F ↑S
this : FiniteDimensional F ↥(adjoin F ↑S)
π₀ : { a // a ∈ c }
hπ₀ : ∀ (i : Ω), ↑(π i) ≤ ↑π₀
⊢ False

Tactic:
have ⟨θ, hθπ, hθ⟩ := hext _ π₀.2 S

Goal state after:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
π : Ω → ↑c
hπ : ∀ (ω : Ω), ∀ θ ≥ ↑(π ω), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ → θ.carrier ≠ (↑(π ω)).carrier ⊔ adjoin F ↑S
this : FiniteDimensional F ↥(adjoin F ↑S)
π₀ : { a // a ∈ c }
hπ₀ : ∀ (i : Ω), ↑(π i) ≤ ↑π₀
θ : Lifts F E K
hθπ : θ ≥ ↑π₀
hθ : ↑S ⊆ ↑θ.carrier
⊢ False
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝¹⁷ : Field k
K : Type u
inst✝¹⁶ : Field K
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra K L
inst✝¹³ : Field M
inst✝¹² : Algebra K M
inst✝¹¹ : IsAlgClosed M
inst✝¹⁰ : Algebra.IsAlgebraic K L
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type v
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R M
inst✝³ : IsTorsionFree R S
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic R S
inst✝ : IsAlgClosed k
⊢ PerfectField k

Tactic:
obtain _ | ⟨p, _, _⟩ := CharP.exists' k
  exacts [.ofCharZero, PerfectRing.toPerfectField k p]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
x : Lifts F E K
s : E
h1 : IsIntegral (↥x.carrier) s
h2 : (Polynomial.map x.emb.toRingHom (minpoly (↥x.carrier) s)).Splits
I2 : (minpoly (↥x.carrier) s).degree ≠ 0
this✝ : Algebra (↥x.carrier) K := x.emb.toAlgebra
carrier : IntermediateField F E := restrictScalars F (↥x.carrier)⟮s⟯
this : Algebra ↥x.carrier ↥carrier := (↥x.carrier)⟮s⟯.algebra
⊢ (aeval (rootOfSplits h2 ⋯)) (minpoly (↥x.carrier) s) = 0

Tactic:
exact (eval_map _ _).symm.trans (eval_rootOfSplits _ _)

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanSubalgebra

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
k : ℕ
hk : ∀ (l : ℕ), k ≤ l → LieSubmodule.ucs l ⊥ = H.toLieSubmodule
⊢ H.IsCartanSubalgebra

Tactic:
exact
      { nilpotent := by
          dsimp only [LieRing.IsNilpotent]
          -- The instance for the second `H` in the goal is `lieRingSelfModule`
          -- but `rw` expects it to be `H.toLieSubmodule.instLieRingModuleSubtypeMem`,
          -- and these are not reducibly defeq.
          erw [H.toLieSubmodule.isNilpotent_iff_exists_lcs_eq_bot]
          use k
          rw [_root_.eq_bot_iff, LieSubmodule.lcs_le_iff, hk k (le_refl k)]
        self_normalizing := by
          have hk' := hk (k + 1) k.le_succ
          rw [LieSubmodule.ucs_succ, hk k (le_refl k)] at hk'
          rw [← LieSubalgebra.toSubmodule_inj, ← LieSubalgebra.coe_normalizer_eq_normalizer,
            hk', LieSubalgebra.coe_toLieSubmodule] }

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
α χ : ↥H → R
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
⊢ MapsTo ⇑((toEnd R L M) x) ↑(genWeightSpace M χ) ↑(genWeightSpace M (α + χ))

Tactic:
intro m hm

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
α χ : ↥H → R
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
m : M
hm : m ∈ ↑(genWeightSpace M χ)
⊢ ((toEnd R L M) x) m ∈ ↑(genWeightSpace M (α + χ))
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
⊢ ↑(genWeightSpace M χ) ≤
    LinearMap.ker
      (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ ((toEnd R L M) x).maxGenEigenspaceIndex (χ x))

Tactic:
intro m hm

Goal state after:
case h
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
m : M
hm : m ∈ ↑(genWeightSpace M χ)
⊢ m ∈
    LinearMap.ker
      (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ ((toEnd R L M) x).maxGenEigenspaceIndex (χ x))
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
⊢ (genWeightSpace M 0).normalizer ≤ genWeightSpace M 0

Tactic:
intro m hm

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
m : M
hm : m ∈ (genWeightSpace M 0).normalizer
⊢ m ∈ genWeightSpace M 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
x : L
k : ℕ
this : ∀ (m : M) (l : ℕ), ((toEnd R L M) x ^ l) m ∈ lowerCentralSeries R L M l
⊢ posFittingCompOf R M x ≤ lowerCentralSeries R L M k

Tactic:
intro m hm

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
x : L
k : ℕ
this : ∀ (m : M) (l : ℕ), ((toEnd R L M) x ^ l) m ∈ lowerCentralSeries R L M l
m : M
hm : m ∈ posFittingCompOf R M x
⊢ m ∈ lowerCentralSeries R L M k