mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : RCLike 𝕜
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
⊢ A.trace = 0 ↔ A = 0

Tactic:
conv_lhs => rw [hA.1.spectral_theorem, conjStarAlgAut_apply, trace_mul_cycle, coe_star_mul_self,
    one_mul, trace_diagonal, Finset.sum_eq_zero_iff_of_nonneg (by simp [hA.eigenvalues_nonneg])]

Goal state after:
n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : RCLike 𝕜
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
⊢ (∀ i ∈ Finset.univ, (RCLike.ofReal ∘ ⋯.eigenvalues) i = 0) ↔ A = 0
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
n k : ℕ∞
K : Compacts E
i : ℕ
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F)
⊢ ⇑((iteratedFDerivLM 𝕜 n k i) f) = if k + ↑i ≤ n then iteratedFDeriv ℝ i ⇑f else 0

Tactic:
rw [ContDiffMapSupportedIn.iteratedFDerivLM]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
n k : ℕ∞
K : Compacts E
i : ℕ
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F)
⊢ ⇑({ toFun := fun f ↦ if hi : k + ↑i ≤ n then ContDiffMapSupportedIn.of_support_subset ⋯ ⋯ else 0, map_add' := ⋯,
          map_smul' := ⋯ }
        f) =
    if k + ↑i ≤ n then iteratedFDeriv ℝ i ⇑f else 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.GramMatrix

Goal state before:
pp: case inl
E : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq n
i : n
x : E
j k : n
hij : i ≠ j
⊢ gram 𝕜 (Pi.single i x) j k = single i i (⟪x, x⟫_𝕜) j k

pp: case inr
E : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq n
i : n
x : E
k : n
⊢ gram 𝕜 (Pi.single i x) i k = single i i (⟪x, x⟫_𝕜) i k

Tactic:
· simp [hij]

Goal state after:
case inr
E : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq n
i : n
x : E
k : n
⊢ gram 𝕜 (Pi.single i x) i k = single i i (⟪x, x⟫_𝕜) i k
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.ContinuousFunctions

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
⊢ (toLpHom p μ).range = Lp.boundedContinuousFunction E p μ

Tactic:
symm

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
⊢ Lp.boundedContinuousFunction E p μ = (toLpHom p μ).range
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.L2Space

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
s t : Set α
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ∞
hμt : μ t ≠ ∞
a b : E
this : InnerProductSpace ℝ E := InnerProductSpace.rclikeToReal 𝕜 E
⊢ ⟪indicatorConstLp 2 hs hμs a, indicatorConstLp 2 ht hμt b⟫ = μ.real (s ∩ t) • ⟪a, b⟫

Tactic:
inner_indicatorConstLp_eq_inner_setIntegral,

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
s t : Set α
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ∞
hμt : μ t ≠ ∞
a b : E
this : InnerProductSpace ℝ E := InnerProductSpace.rclikeToReal 𝕜 E
⊢ ⟪a, ∫ (x : α) in s, ↑↑(indicatorConstLp 2 ht hμt b) x ∂μ⟫ = μ.real (s ∩ t) • ⟪a, b⟫
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ∞
K : Compacts E
m : MeasurableSpace E
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₁
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F₃
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
μ : Measure E
φ : E → F₂
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
hφ : IntegrableOn φ (↑K) μ
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict ↑K, ‖(B (f x)) (φ x)‖ ≤ ‖φ x‖ * ‖B‖ * (ContDiffMapSupportedIn.seminorm 𝕜 E F₁ n K 0) f

Tactic:
filter_upwards [] with x

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ∞
K : Compacts E
m : MeasurableSpace E
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₁
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F₃
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
μ : Measure E
φ : E → F₂
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
hφ : IntegrableOn φ (↑K) μ
x : E
⊢ ‖(B (f x)) (φ x)‖ ≤ ‖φ x‖ * ‖B‖ * (ContDiffMapSupportedIn.seminorm 𝕜 E F₁ n K 0) f
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.SmoothApprox

Goal state before:
pp: E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ ∞
hp₂ : 1 ≤ p
f : E → F
hf : MemLp f p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ContDiff ℝ ∞ g ∧ eLpNorm (f - g) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
have hε₂ : 0 < ε / 2 := by positivity

Goal state after:
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ ∞
hp₂ : 1 ≤ p
f : E → F
hf : MemLp f p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε₂ : 0 < ε / 2
⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ContDiff ℝ ∞ g ∧ eLpNorm (f - g) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f : ↥(lp G 2)
⊢ failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)

Tactic:
calc
        ‖f‖ ^ 2 = ‖f‖ ^ (2 : ℝ≥0∞).toReal := by norm_cast
        _ = ∑' i, ‖f i‖ ^ (2 : ℝ≥0∞).toReal := lp.norm_rpow_eq_tsum ?_ f
        _ = ∑' i, ‖f i‖ ^ (2 : ℕ) := by norm_cast
        _ = ∑' i, re ⟪f i, f i⟫ := by simp
        _ = re (∑' i, ⟪f i, f i⟫) := (RCLike.reCLM.map_tsum ?_).symm

Goal state after:
case calc_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f : ↥(lp G 2)
⊢ 0 < ENNReal.toReal 2

case calc_2
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f : ↥(lp G 2)
⊢ failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝¹ : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x : G i
⊢ hV.linearIsometry (lp.single 2 i x) = (V i) x

Tactic:
by
  rw [hV.linearIsometry_apply, ← tsum_ite_eq i (fun _ ↦ V i x)]
  congr
  ext j
  rw [lp.single_apply]
  split_ifs with h
  · subst h; simp
  · simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x ≠ y
⊢ ↑x.toCircle ≠ (fourier 1) y

Tactic:
fourier_one

Goal state after:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x ≠ y
⊢ ↑x.toCircle ≠ ↑y.toCircle
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n m : ℤ
⊢ fourierCoeff (↑↑(fourierLp 2 n)) m = Pi.single n 1 m

Tactic:
← fourierBasis_repr,

Goal state after:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n m : ℤ
⊢ ↑(fourierBasis.repr (fourierLp 2 n)) m = Pi.single n 1 m
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
| 1 / ↑(b - a) * ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x * f x =
    1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) *
      ((fourier (-n)) ↑a * (f b - f a) - ↑(b - a) * (1 / ↑(b - a) * ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x * f' x))

Tactic:
pattern (occs := 1 2 3) fourier _ _ * _

Goal state after:
a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
x : ℝ
| (fourier (-n)) ↑x * f x

a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
| (fourier (-n)) ↑a * (f b - f a)

a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
x : ℝ
| (fourier (-n)) ↑x * f' x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝³] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝³] u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < δ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < δ
hφpos : ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) s μ
I : IntegrableOn (φ i) t μ
B : ‖∫ (x : α) in s ∩ u, φ i x • g x ∂μ‖ ≤ 2 * δ
⊢ ∫ (x : α) in s \ u, ‖φ i x • g x‖ ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s \ u, δ * ‖g x‖ ∂μ

Tactic:
refine setIntegral_mono_on ?_ ?_ (hs.diff u_open.measurableSet) fun x hx => ?_
        · exact IntegrableOn.mono_set h''i.norm sdiff_subset
        · exact IntegrableOn.mono_set (hmg.norm.const_mul _) sdiff_subset
        rw [norm_smul]
        gcongr
        simpa only [Pi.zero_apply, dist_zero_left] using (hi x hx).le

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : ProperSpace E
f : 𝓢(E, F)
⊢ Tendsto (⇑f) (cocompact E) (𝓝 0)

Tactic:
apply (isBigO_cocompact_rpow f (-1)).trans_tendsto
  simp_rw [Real.rpow_neg_one]
  exact tendsto_norm_cocompact_atTop.inv_tendsto_atTop

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: case h
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k n : ℕ
x : E
⊢ ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (-⇑f) x‖ ≤ @SchwartzMap.seminormAux E F inst✝³ inst✝² inst✝¹ inst✝ k n f

Tactic:
grw [f.decay_neg_aux k n x, f.le_seminormAux k n x]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f g : 𝓢(E, F)
k n : ℕ
⊢ ∃ C, ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f + ⇑g) x‖ ≤ C

Tactic:
use f.seminormAux k n + g.seminormAux k n
      intro x
      grw [decay_add_le_aux k n f g x, f.le_seminormAux k n x, g.le_seminormAux k n x]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
⊢ ContDiff ℝ (↑N) (fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) f)

Tactic:
by_cases h'f : Integrable f μ

Goal state after:
case pos
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : Integrable f μ
⊢ ContDiff ℝ (↑N) (fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) f)

case neg
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : ¬Integrable f μ
⊢ ContDiff ℝ (↑N) (fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) f)
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace ℝ H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
L : F →L[𝕜] G
k n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ ‖L‖ * (‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖) ≤ ‖L‖ * (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k n) f

Tactic:
by
      grw [le_seminorm 𝕜 k n f x]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : MeasurableSpace D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
n : ℕ
h : Integrable (fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ (-↑n)) μ
m : ℕ × ℕ := (n, 0)
f : 𝓢(D, V)
x : D
⊢ (1 + ‖x‖) ^ n * ‖f x‖ ≤ 2 ^ n * ((Finset.Iic m).sup fun m' ↦ SchwartzMap.seminorm 𝕜 m'.1 m'.2) f

Tactic:
simpa using one_add_le_sup_seminorm_apply (m := m) (k := n) (n := 0) le_rfl le_rfl f x

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
⊢ ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v k) μ

Tactic:
intro m hm

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
⊢ Integrable (iteratedFDeriv ℝ m fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v k) μ
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝ : SecondCountableTopologyEither E F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure E
hμ : μ.HasTemperateGrowth
k : ℕ
C : ℝ≥0
hC :
  ∀ (f : 𝓢(E, F)), eLpNorm (⇑f) p μ ≤ ↑C * ENNReal.ofReal (((Finset.Iic (k, 0)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 E F)) f)
⊢ ∃ k C, 0 ≤ C ∧ ∀ (f : 𝓢(E, F)), ‖f.toLp p μ‖ ≤ C * ((Finset.Iic (k, 0)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 E F)) f

Tactic:
refine ⟨k, C, C.coe_nonneg, fun f ↦ ?_⟩

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝ : SecondCountableTopologyEither E F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure E
hμ : μ.HasTemperateGrowth
k : ℕ
C : ℝ≥0
hC :
  ∀ (f : 𝓢(E, F)), eLpNorm (⇑f) p μ ≤ ↑C * ENNReal.ofReal (((Finset.Iic (k, 0)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 E F)) f)
f : 𝓢(E, F)
⊢ ‖f.toLp p μ‖ ≤ ↑C * ((Finset.Iic (k, 0)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 E F)) f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Asymptotics

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
g : α → F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : SecondCountableTopology α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : AddCommGroup α
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : IsOrderedAddMonoid α
inst✝³ : CompactIccSpace α
inst✝² : atTop.IsMeasurablyGenerated
inst✝¹ : MeasurableNeg α
inst✝ : μ.IsNegInvariant
hf : LocallyIntegrable f μ
hsymm : norm ∘ f =ᵐ[μ] norm ∘ f ∘ Neg.neg
ho : f =O[atTop] g
hg : IntegrableAtFilter g atTop μ
⊢ Integrable f μ

Tactic:
have h_int := (hf.locallyIntegrableOn (Ici 0)).integrableOn_of_isBigO_atTop ho hg
  rw [← integrableOn_univ, ← Iic_union_Ici_of_le le_rfl, integrableOn_union]
  refine ⟨?_, h_int⟩
  have h_map_neg : (μ.restrict (Ici 0)).map Neg.neg = μ.restrict (Iic 0) := by
    conv => rhs; rw [← Measure.map_neg_eq_self μ, measurableEmbedding_neg.restrict_map]
    simp
  rw [IntegrableOn, ← h_map_neg, measurableEmbedding_neg.integrable_map_iff]
  refine h_int.congr' ?_ hsymm.restrict
  refine AEStronglyMeasurable.comp_aemeasurable ?_ measurable_neg.aemeasurable
  exact h_map_neg ▸ hf.aestronglyMeasurable.restrict

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransform

Goal state before:
pp: V : Type u_1
W : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace W
inst✝² : BorelSpace W
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
c : ℂ
f : ↥(Lp E 1 volume)
x✝ x : V
h : ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x
⊢ 𝐞 (-⟪x, x✝⟫) • ↑↑(c • f) x = (RingHom.id ℂ) c • 𝐞 (-⟪x, x✝⟫) • ↑↑f x

Tactic:
rw [h, smul_comm]

Goal state after:
V : Type u_1
W : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace W
inst✝² : BorelSpace W
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
c : ℂ
f : ↥(Lp E 1 volume)
x✝ x : V
h : ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x
⊢ 𝐞 (-⟪x, x✝⟫) • (c • ↑↑f) x = 𝐞 (-⟪x, x✝⟫) • (RingHom.id ℂ) c • ↑↑f x
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x ↦ x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
⊢ ((iteratedFDeriv ℝ n (𝓕 f) x) fun x ↦ 1) = 𝓕 (fun x ↦ (-2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • f x) x

Tactic:
iteratedFDeriv_fourier A B hn,

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x ↦ x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
⊢ ((𝓕 (fun v ↦ fourierPowSMulRight (innerSL ℝ) f v n) x) fun x ↦ 1) = 𝓕 (fun x ↦ (-2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • f x) x
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.PolarCoord

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ × ℝ → E
⊢ ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℝ × ℝ), f p

Tactic:
symm

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ × ℝ → E
⊢ ∫ (p : ℝ × ℝ), f p = ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑polarCoord.symm p)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.PolarCoord

Goal state before:
pp: f : ℝ × ℝ → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, ENNReal.ofReal p.1 • f (↑polarCoord.symm p) = ∫⁻ (p : ℝ × ℝ), f p

Tactic:
symm

Goal state after:
f : ℝ × ℝ → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (p : ℝ × ℝ), f p = ∫⁻ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, ENNReal.ofReal p.1 • f (↑polarCoord.symm p)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gamma.Basic

Goal state before:
pp: s : ℂ
hs : 0 < s.re
this : Tendsto (s + 1).partialGamma atTop (𝓝 (s * s.GammaIntegral))
⊢ (s + 1).GammaIntegral = s * s.GammaIntegral

Tactic:
by
    refine tendsto_nhds_unique ?_ this
    apply tendsto_partialGamma; rw [add_re, one_re]; linarith

Goal state after: