mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ
h4v : ∀ (x : E), ‖fderiv ℝ v x‖ ≤ ↑C₂ * ‖fderiv ℝ u x‖
⊢ ↑C₁ * ↑C * (↑C₂ * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ) = ↑(SNormLESNormFDerivOfEqConst F μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ

Tactic:
simp_rw [C₂, C₁, C, e, SNormLESNormFDerivOfEqConst]

Goal state after:
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ
h4v : ∀ (x : E), ‖fderiv ℝ v x‖ ≤ ↑C₂ * ‖fderiv ℝ u x‖
⊢ ↑‖↑toEuclidean.symm‖₊ * ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) *
      (↑‖↑toEuclidean‖₊ * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ) =
    ↑(‖↑toEuclidean.symm‖₊ * eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p * ‖↑toEuclidean‖₊) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.HausdorffDimension

Goal state before:
pp: X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : ↑d < dimH s
⊢ μH[↑d] s = ∞

Tactic:
simp only [dimH_def, lt_iSup_iff] at h
  rcases h with ⟨d', hsd', hdd'⟩
  rw [ENNReal.coe_lt_coe, ← NNReal.coe_lt_coe] at hdd'
  exact top_unique (hsd' ▸ hausdorffMeasure_mono hdd'.le _)

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Volume.Measure

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹⁷ : EMetricSpace X
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁵ : BorelSpace X
inst✝¹⁴ : EMetricSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : BorelSpace Y
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
inst✝⁸ : BorelSpace V
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝⁶ : MetricSpace P
inst✝⁵ : MeasurableSpace P
inst✝⁴ : BorelSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
α : Type u_5
inst✝² : AddGroup α
inst✝¹ : AddAction α X
inst✝ : IsIsometricVAdd α X
d : ℕ
⊢ VAddInvariantMeasure α X μHE[d]

Tactic:
rw [euclideanHausdorffMeasure_def]

Goal state after:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹⁷ : EMetricSpace X
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁵ : BorelSpace X
inst✝¹⁴ : EMetricSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : BorelSpace Y
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
inst✝⁸ : BorelSpace V
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝⁶ : MetricSpace P
inst✝⁵ : MeasurableSpace P
inst✝⁴ : BorelSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
α : Type u_5
inst✝² : AddGroup α
inst✝¹ : AddAction α X
inst✝ : IsIsometricVAdd α X
d : ℕ
⊢ VAddInvariantMeasure α X (volume.addHaarScalarFactor μH[↑d] • μH[↑d])
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Volume.Measure

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹⁶ : EMetricSpace X
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁴ : BorelSpace X
inst✝¹³ : EMetricSpace Y
inst✝¹² : MeasurableSpace Y
inst✝¹¹ : BorelSpace Y
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
inst✝⁷ : BorelSpace V
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : MeasurableSpace P
inst✝³ : BorelSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : AddGroup X
inst✝ : IsIsometricVAdd X X
d : ℕ
⊢ μHE[d].IsAddLeftInvariant

Tactic:
rw [euclideanHausdorffMeasure_def]

Goal state after:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹⁶ : EMetricSpace X
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁴ : BorelSpace X
inst✝¹³ : EMetricSpace Y
inst✝¹² : MeasurableSpace Y
inst✝¹¹ : BorelSpace Y
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
inst✝⁷ : BorelSpace V
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : MeasurableSpace P
inst✝³ : BorelSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : AddGroup X
inst✝ : IsIsometricVAdd X X
d : ℕ
⊢ (volume.addHaarScalarFactor μH[↑d] • μH[↑d]).IsAddLeftInvariant
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Volume.Measure

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹⁶ : EMetricSpace X
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁴ : BorelSpace X
inst✝¹³ : EMetricSpace Y
inst✝¹² : MeasurableSpace Y
inst✝¹¹ : BorelSpace Y
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
inst✝⁷ : BorelSpace V
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : MeasurableSpace P
inst✝³ : BorelSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : AddGroup X
inst✝ : IsIsometricVAdd Xᵃᵒᵖ X
d : ℕ
⊢ μHE[d].IsAddRightInvariant

Tactic:
rw [euclideanHausdorffMeasure_def]

Goal state after:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹⁶ : EMetricSpace X
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁴ : BorelSpace X
inst✝¹³ : EMetricSpace Y
inst✝¹² : MeasurableSpace Y
inst✝¹¹ : BorelSpace Y
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
inst✝⁷ : BorelSpace V
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : MeasurableSpace P
inst✝³ : BorelSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : AddGroup X
inst✝ : IsIsometricVAdd Xᵃᵒᵖ X
d : ℕ
⊢ (volume.addHaarScalarFactor μH[↑d] • μH[↑d]).IsAddRightInvariant
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.HausdorffDimension

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
e : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
⊢ dimH s ≤ dimH (⇑e '' s)

Tactic:
by
    simpa only [e.symm_image_image] using e.symm.lipschitz.dimH_image_le (e '' s)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁴ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 V
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : U →ₗ[𝕜] V
bu : OrthonormalBasis ι 𝕜 U
bv : OrthonormalBasis ι 𝕜 V
this : FiniteDimensional 𝕜 V
hrank : finrank 𝕜 U ≠ finrank 𝕜 ↥f.range
⊢ f.normDet = ‖((toMatrix bu.toBasis bv.toBasis) f).det‖

Tactic:
symm

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁴ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 V
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : U →ₗ[𝕜] V
bu : OrthonormalBasis ι 𝕜 U
bv : OrthonormalBasis ι 𝕜 V
this : FiniteDimensional 𝕜 V
hrank : finrank 𝕜 U ≠ finrank 𝕜 ↥f.range
⊢ ‖((toMatrix bu.toBasis bv.toBasis) f).det‖ = f.normDet
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.HausdorffDimension

Goal state before:
pp: case inr.refine_1
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
x : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r
h✝ : Nonempty ι
this : μH[↑(Fintype.card ι)] (Metric.ball x r) = ENNReal.ofReal ((2 * r) ^ Fintype.card ι)
⊢ μH[↑↑(Fintype.card ι)] (Metric.ball x r) ≠ 0

Tactic:
NNReal.coe_natCast,

Goal state after:
case inr.refine_1
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
x : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r
h✝ : Nonempty ι
this : μH[↑(Fintype.card ι)] (Metric.ball x r) = ENNReal.ofReal ((2 * r) ^ Fintype.card ι)
⊢ μH[↑(Fintype.card ι)] (Metric.ball x r) ≠ 0
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.HausdorffDimension

Goal state before:
pp: case inr.refine_2
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
x : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r
h✝ : Nonempty ι
this : μH[↑(Fintype.card ι)] (Metric.ball x r) = ENNReal.ofReal ((2 * r) ^ Fintype.card ι)
⊢ μH[↑↑(Fintype.card ι)] (Metric.ball x r) ≠ ∞

Tactic:
NNReal.coe_natCast,

Goal state after:
case inr.refine_2
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
x : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r
h✝ : Nonempty ι
this : μH[↑(Fintype.card ι)] (Metric.ball x r) = ENNReal.ofReal ((2 * r) ^ Fintype.card ι)
⊢ μH[↑(Fintype.card ι)] (Metric.ball x r) ≠ ∞
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝ : CompleteSpace V
f : U →L[𝕜] V
this✝ : CompleteSpace U
this : CompleteSpace ↥(↑f).range
bu : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 U := stdOrthonormalBasis 𝕜 U
h : (↑f).ker = ⊥
b : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥(↑f).range
hf : f = (↑f).range.subtypeₗᵢ.toContinuousLinearMap ∘SL f.rangeRestrict
⊢ ↑((↑f).normDet ^ 2) =
    (((ContinuousLinearMap.adjoint f.rangeRestrict ∘SL
            ContinuousLinearMap.adjoint (↑f).range.subtypeₗᵢ.toContinuousLinearMap) ∘SL
          (↑f).range.subtypeₗᵢ.toContinuousLinearMap) ∘SL
        f.rangeRestrict).det

Tactic:
ContinuousLinearMap.comp_assoc (ContinuousLinearMap.adjoint _),

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝ : CompleteSpace V
f : U →L[𝕜] V
this✝ : CompleteSpace U
this : CompleteSpace ↥(↑f).range
bu : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 U := stdOrthonormalBasis 𝕜 U
h : (↑f).ker = ⊥
b : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥(↑f).range
hf : f = (↑f).range.subtypeₗᵢ.toContinuousLinearMap ∘SL f.rangeRestrict
⊢ ↑((↑f).normDet ^ 2) =
    ((ContinuousLinearMap.adjoint f.rangeRestrict ∘SL
          ContinuousLinearMap.adjoint (↑f).range.subtypeₗᵢ.toContinuousLinearMap ∘SL
            (↑f).range.subtypeₗᵢ.toContinuousLinearMap) ∘SL
        f.rangeRestrict).det
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝ : CompleteSpace V
f : U →L[𝕜] V
this✝ : CompleteSpace U
this : CompleteSpace ↥(↑f).range
bu : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 U := ⋯
h : ¬(↑f).ker = ⊥
⊢ 0 = (ContinuousLinearMap.adjoint f ∘SL f).det

Tactic:
symm

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝ : CompleteSpace V
f : U →L[𝕜] V
this✝ : CompleteSpace U
this : CompleteSpace ↥(↑f).range
bu : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 U := ⋯
h : ¬(↑f).ker = ⊥
⊢ (ContinuousLinearMap.adjoint f ∘SL f).det = 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁴ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 V
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : U →ₗ[𝕜] V
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 U
h : ¬f.ker = ⊥
hrank : finrank 𝕜 ↥f.range < finrank 𝕜 U
⊢ 0 = (Matrix.gram 𝕜 fun x ↦ f.rangeRestrict (b x)).det

Tactic:
symm

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁴ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 V
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : U →ₗ[𝕜] V
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 U
h : ¬f.ker = ⊥
hrank : finrank 𝕜 ↥f.range < finrank 𝕜 U
⊢ (Matrix.gram 𝕜 fun x ↦ f.rangeRestrict (b x)).det = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case inr
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h✝ : d₁ ≤ d₂
s : Set X
h : d₁ < d₂
⊢ μH[d₂] s ≤ μH[d₁] s

Tactic:
rcases hausdorffMeasure_zero_or_top h s with hs | hs

Goal state after:
case inr.inl
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h✝ : d₁ ≤ d₂
s : Set X
h : d₁ < d₂
hs : μH[d₂] s = 0
⊢ μH[d₂] s ≤ μH[d₁] s

case inr.inr
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h✝ : d₁ ≤ d₂
s : Set X
h : d₁ < d₂
hs : μH[d₁] s = ∞
⊢ μH[d₂] s ≤ μH[d₁] s
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.OfNorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : ℝ
⊢ innerProp' E ↑r

Tactic:
by
  intro x y
  revert r
  rw [← funext_iff]
  refine Rat.isDenseEmbedding_coe_real.dense.equalizer ?_ ?_ (funext fun X => ?_)
  · exact (continuous_ofReal.smul continuous_const).inner_ continuous_const
  · exact (continuous_conj.comp continuous_ofReal).mul continuous_const
  · simp only [Function.comp_apply, RCLike.ofReal_ratCast, rat_prop _ _]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Reproducing

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
f : H
fin : f ∈ (span 𝕜 {x | ∃ x_1 v, (kerFun H x_1) v = x}).topologicalClosureᗮ
x : X
v : V
⊢ ⟪(kerFun H x) v, f⟫_𝕜 = 0

Tactic:
refine inner_right_of_mem_orthogonal (subset_closure ?_) fin

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
f : H
fin : f ∈ (span 𝕜 {x | ∃ x_1 v, (kerFun H x_1) v = x}).topologicalClosureᗮ
x : X
v : V
⊢ (kerFun H x) v ∈ ↑(span 𝕜 {x | ∃ x_1 v, (kerFun H x_1) v = x}).toAddSubmonoid
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.StarOrder

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
H : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
inst✝² : Algebra ℝ (H →L[𝕜] H)
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 (H →L[𝕜] H)
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ (H →L[𝕜] H) IsSelfAdjoint
f g : H →L[𝕜] H
h : (g - f).IsPositive
p : H →L[𝕜] H
hp₁ : IsSelfAdjoint p
hp₃ : p * p = g - f
⊢ g = f + p ^ 2

Tactic:
symm

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
H : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
inst✝² : Algebra ℝ (H →L[𝕜] H)
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 (H →L[𝕜] H)
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ (H →L[𝕜] H) IsSelfAdjoint
f g : H →L[𝕜] H
h : (g - f).IsPositive
p : H →L[𝕜] H
hp₁ : IsSelfAdjoint p
hp₃ : p * p = g - f
⊢ f + p ^ 2 = g
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.ContinuousOfBounded

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : Module 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ
inst✝ : FirstCountableTopology E
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
c : 𝕜
hc0 : 0 < ‖c‖
hc1 : ‖c‖ < 1
c_ne : c ≠ 0
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i ↦ b i
bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x ↦ True) fun n ↦ c ^ n • b n
⊢ ContinuousAt (⇑f) 0

Tactic:
simp_rw [ContinuousAt, map_zero, bE'.tendsto_left_iff, true_and, Set.MapsTo]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : Module 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ
inst✝ : FirstCountableTopology E
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
c : 𝕜
hc0 : 0 < ‖c‖
hc1 : ‖c‖ < 1
c_ne : c ≠ 0
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i ↦ b i
bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x ↦ True) fun n ↦ c ^ n • b n
⊢ ∀ t ∈ 𝓝 0, ∃ i, ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ c ^ i • b i → f x ∈ t
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : MeasurableSpace P
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor E P
inst✝ : BorelSpace P
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : P
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set P
⊢ μH[d] (⇑((AffineEquiv.homothetyUnitsMulHom x) (Units.mk0 c hc)) ⁻¹' s) = ‖c‖₊⁻¹ ^ d • μH[d] s

Tactic:
← AffineEquiv.image_symm,

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : MeasurableSpace P
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor E P
inst✝ : BorelSpace P
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : P
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set P
⊢ μH[d] (⇑((AffineEquiv.homothetyUnitsMulHom x) (Units.mk0 c hc)).symm '' s) = ‖c‖₊⁻¹ ^ d • μH[d] s
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TwoDim

Goal state before:
pp: case e'_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ o = (map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o

Tactic:
symm

Goal state after:
case e'_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ (map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o = o
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.PointwiseConvergence

Goal state before:
pp: case h
α : Type u_1
R : Type u_2
𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜₃
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
τ : 𝕜₃ →+* 𝕜₂
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : AddCommGroup D
inst✝³ : TopologicalSpace D
inst✝² : Module 𝕜₃ D
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ G
A : (E →SL[σ] F) →ₗ[𝕜₂] D →SL[τ] G
hbound : ∀ (f : D), ∃ s C, ∀ (B : E →SL[σ] F), ∃ g, ∃ (_ : g ∈ s), ‖(A B) f‖ ≤ C • ‖B g‖
f : D
s : Finset E
C : ℝ≥0
h : ∀ (B : E →SL[σ] F), ∃ g, ∃ (_ : g ∈ s), ‖(A B) f‖ ≤ C • ‖B g‖
⊢ (PointwiseConvergenceCLM.seminormFamily τ D G f).comp A ≤ C • s.sup (PointwiseConvergenceCLM.seminormFamily σ E F)

Tactic:
rw [← Seminorm.finset_sup_smul]

Goal state after:
case h
α : Type u_1
R : Type u_2
𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜₃
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
τ : 𝕜₃ →+* 𝕜₂
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : AddCommGroup D
inst✝³ : TopologicalSpace D
inst✝² : Module 𝕜₃ D
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ G
A : (E →SL[σ] F) →ₗ[𝕜₂] D →SL[τ] G
hbound : ∀ (f : D), ∃ s C, ∀ (B : E →SL[σ] F), ∃ g, ∃ (_ : g ∈ s), ‖(A B) f‖ ≤ C • ‖B g‖
f : D
s : Finset E
C : ℝ≥0
h : ∀ (B : E →SL[σ] F), ∃ g, ∃ (_ : g ∈ s), ‖(A B) f‖ ≤ C • ‖B g‖
⊢ (PointwiseConvergenceCLM.seminormFamily τ D G f).comp A ≤ s.sup (C • PointwiseConvergenceCLM.seminormFamily σ E F)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TwoDim

Goal state before:
pp: case e'_3
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x : E
⊢ o = (map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o

Tactic:
symm

Goal state after:
case e'_3
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x : E
⊢ (map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o = o
Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s a : ℂ
⊢ mellin (fun t ↦ ↑t ^ a • f t) s = mellin f (s + a)

Tactic:
refine setIntegral_congr_fun measurableSet_Ioi fun t ht => ?_
  simp_rw [← sub_add_eq_add_sub, cpow_add _ _ (ofReal_ne_zero.2 <| ne_of_gt ht), mul_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : a < b
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x ↦ x ^ (-a)
this : log =o[𝓝[>] 0] fun t ↦ t ^ (a - b)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ t ^ (a - b) * t ^ (-a) = t ^ (-b)

Tactic:
← rpow_add ht

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : a < b
hf : f =O[𝓝[>] 0] fun x ↦ x ^ (-a)
this : log =o[𝓝[>] 0] fun t ↦ t ^ (a - b)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ t ^ (a - b + -a) = t ^ (-b)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Trigonometric.EulerSineProd

Goal state before:
pp: case inr.succ
z : ℂ
hz : z ≠ 0
n : ℕ
hn :
  Complex.sin (↑π * z) =
    ((↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) *
        ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) /
      ↑(∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, cos x ^ (2 * n))
⊢ Complex.sin (↑π * z) =
    ((↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range (n + 1), (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) *
        ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * (n + 1))) /
      ↑(∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, cos x ^ (2 * (n + 1)))

Tactic:
rw [hn, Finset.prod_range_succ]

Goal state after:
case inr.succ
z : ℂ
hz : z ≠ 0
n : ℕ
hn :
  Complex.sin (↑π * z) =
    ((↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) *
        ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) /
      ↑(∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, cos x ^ (2 * n))
⊢ ((↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) *
        ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) /
      ↑(∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, cos x ^ (2 * n)) =
    (↑π * z * ((∏ x ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑x + 1) ^ 2)) * (1 - z ^ 2 / (↑n + 1) ^ 2)) *
        ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * (n + 1))) /
      ↑(∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, cos x ^ (2 * (n + 1)))
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gamma.BohrMollerup

Goal state before:
pp: case refine_1.inr
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hx : 0 < x
this : ∀ (m : ℕ), ↑m < x → x ≤ ↑m + 1 → Tendsto (logGammaSeq x) atTop (𝓝 (f x - f 1))
h✝ : 1 ≤ x
⊢ ↑⌈x - 1⌉₊ < x

Tactic:
convert! Nat.ceil_lt_add_one (by linarith : 0 ≤ x - 1)
        abel

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gamma.BohrMollerup

Goal state before:
pp: case e'_6
⊢ Ici 2 = Ioi 0 ∩ Ici 2

Tactic:
symm

Goal state after:
case e'_6
⊢ Ioi 0 ∩ Ici 2 = Ici 2