mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ 0 < ∠ p₂ p₃ p₁

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ 0 < InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₃)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ ≤ π / 2

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = π / 2
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ ≤ π / 2
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ ≤ π / 2

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₃) ≤ π / 2
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₃ ≠ p₂
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ < π / 2

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = π / 2
h0 : p₃ ≠ p₂
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ < π / 2
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0
⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ < π / 2

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0
⊢ InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₃) < π / 2
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = π / 2
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
⊢ Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = π / 2
⊢ Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)
⊢ InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = π / 2
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ Real.cos (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₃)) = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ (o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₂ -ᵥ p₃ - (p₂ -ᵥ p₁))).sign = -(o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂)).sign

Tactic:
← neg_vsub_eq_vsub_rev p₃ p₂,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ (o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (-(p₃ -ᵥ p₂) - (p₂ -ᵥ p₁))).sign = -(o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂)).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ ≠ p₂
⊢ Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ ≠ p₂
⊢ Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ Real.sin (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₃)) = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
⊢ Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = π / 2
⊢ Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ Real.tan (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₃)) = dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
⊢ Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₁ p₃ = dist p₃ p₂

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = π / 2
⊢ Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₁ p₃ = dist p₃ p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₁ p₃ = dist p₃ p₂

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ Real.cos (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₃)) * dist p₁ p₃ = dist p₃ p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
⊢ Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = π / 2
⊢ Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ Real.sin (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₃)) * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
⊢ Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂

Tactic:
rw [angle, dist_eq_norm_vsub V p₁ p₂, dist_eq_norm_vsub V p₁ p₃, ← vsub_add_vsub_cancel p₁ p₂ p₃,
    add_comm, sin_angle_add_mul_norm_of_inner_eq_zero h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₃ ≠ p₂
⊢ Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₃ p₂ = dist p₁ p₂

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = π / 2
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₃ ≠ p₂
⊢ Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₃ p₂ = dist p₁ p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ = 0
⊢ Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₃ p₂ = dist p₁ p₂

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ = 0
⊢ Real.tan (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₃)) * dist p₃ p₂ = dist p₁ p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₃ ≠ p₂
⊢ dist p₃ p₂ / Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = π / 2
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₃ ≠ p₂
⊢ dist p₃ p₂ / Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ = 0
⊢ dist p₃ p₂ / Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ = 0
⊢ dist p₃ p₂ / Real.cos (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₃)) = dist p₁ p₃
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂
⊢ dist p₁ p₂ / Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂
⊢ dist p₁ p₂ / Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ dist p₁ p₂ / Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ dist p₁ p₂ / Real.sin (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₃)) = dist p₁ p₃
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂
⊢ dist p₁ p₂ / Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₃ p₂

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂
⊢ dist p₁ p₂ / Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₃ p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ dist p₁ p₂ / Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₃ p₂

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
⊢ dist p₁ p₂ / Real.tan (InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₃)) = dist p₃ p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.Projection

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : s.direction.HasOrthogonalProjection
h : p' ∈ s
this : Nonempty ↥s
⊢ ∠ p (↑((orthogonalProjection s) p)) p' = π / 2

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : s.direction.HasOrthogonalProjection
h : p' ∈ s
this : Nonempty ↥s
⊢ InnerProductGeometry.angle (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) (p' -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) = π / 2
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (o.oangle (r • y - x) y).sign = -(o.oangle x y).sign

Tactic:
← oangle_sign_neg_left,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (o.oangle (r • y - x) y).sign = (o.oangle (-x) y).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg.inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : ¬x = y
hy : y ≠ 0
r : ℝ
h : r + 1 = 1 ∨ ‖y‖ = 0
hr0 : 0 ≤ r
hr : (r + 1) • y = x
⊢ |(o.oangle (y - x) y).toReal| < π / 2

Tactic:
or_iff_left (norm_ne_zero_iff.2 hy),

Goal state after:
case neg.inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : ¬x = y
hy : y ≠ 0
r : ℝ
h : r + 1 = 1
hr0 : 0 ≤ r
hr : (r + 1) • y = x
⊢ |(o.oangle (y - x) y).toReal| < π / 2
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.PerpBisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c p₁ p₂ : P
⊢ c ∈ perpBisector p₁ p₂ ↔ ⟪c -ᵥ p₁, p₂ -ᵥ p₁⟫ + ⟪c -ᵥ p₂, p₂ -ᵥ p₁⟫ = 0

Tactic:
add_eq_zero_iff_eq_neg,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c p₁ p₂ : P
⊢ c ∈ perpBisector p₁ p₂ ↔ ⟪c -ᵥ p₁, p₂ -ᵥ p₁⟫ = -⟪c -ᵥ p₂, p₂ -ᵥ p₁⟫
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : s.direction.HasOrthogonalProjection
p x : P
⊢ (s.signedInfDist p) x = ((signedDist (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p))) ↑((orthogonalProjection s) x)) x

Tactic:
by
  rw [signedInfDist_eq_signedDist_of_mem (orthogonalProjection_mem x)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ≠ p₂
hp₄ : p₄ ≠ p₂
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = ∠ p₃ p₂ p₄ ↔ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ p₄ ∨ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₄ ∨ Wbtw ℝ p₂ p₄ p₁

Tactic:
angle,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ≠ p₂
hp₄ : p₄ ≠ p₂
⊢ InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = InnerProductGeometry.angle (p₃ -ᵥ p₂) (p₄ -ᵥ p₂) ↔
    ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ p₄ ∨ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₄ ∨ Wbtw ℝ p₂ p₄ p₁
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
S : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥S
inst✝ : S.direction.HasOrthogonalProjection
ps : Set ↥S
h : Cospherical (Subtype.val '' ps)
p₀ : ↥S
hp₀ : p₀ ∈ ps
⊢ Cospherical ps

Tactic:
rcases h with ⟨c, r, hr⟩
    let c' : S := orthogonalProjection S c
    refine ⟨c', dist p₀ c', fun p hp => ?_⟩
    have hp_dist : dist (p : P) c = r := by grind
    have hp₀_dist : dist (p₀ : P) c = r := by grind
    have hpp₀ : dist (p : P) (c : P) = dist (p₀ : P) (c : P) := hp_dist.trans hp₀_dist.symm
    exact (dist_eq_iff_dist_orthogonalProjection_eq (s := S) (p₃ := c) p.2 p₀.2).1 hpp₀

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv : ∀ (i : Fin 3), ∃ r, p i = r • v +ᵥ p 0
h : v = 0
he : p 1 = p 0
⊢ 1 ≠ 0

Tactic:
decide

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫ = 0
hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
hb : LinearIndependent ℝ b
hbs : Submodule.span ℝ (Set.range b) = s.direction
v : V
hv : v ∈ s.direction
⊢ Finset.univ = {0, 1}

Tactic:
decide

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv0 : v ≠ 0
c : P
r : ℝ
hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r
hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r
f : Fin 3 → ℝ
hf : ∀ (i : Fin 3), p i = f i • v +ᵥ p 0
hf0 : f 0 = 0
hfi : Function.Injective f
hsd : ∀ (i : Fin 3), f i = 0 ∨ f i = -2 * ⟪v, p 0 -ᵥ c⟫ / ⟪v, v⟫
hfn0 : ∀ (i : Fin 3), i ≠ 0 → f i ≠ 0
hfn0' : ∀ (i : Fin 3), i ≠ 0 → f i = -2 * ⟪v, p 0 -ᵥ c⟫ / ⟪v, v⟫
⊢ 1 ≠ 0

Tactic:
decide

Goal state after: