mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
inst✝³ : IsManifold I 2 M
inst✝² : IsManifold I' 2 M'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffOn I I' 2 f s
hx₀ : x₀ ∈ s
ht : t ⊆ (extChartAt I' (f x₀)).source
hst : MapsTo f s t
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
A' : x₀ = ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)
h'f : MDiffAt[s] f x₀
this : (mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)).inverse = mfderiv% ↑(extChartAt I x₀) x₀
V' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) V (range ↑I')
hV' : V' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) V (range ↑I')
W' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) W (range ↑I')
hW' : W' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) W (range ↑I')
F : E → E' := (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm
hF : F = (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm
⊢ ↑(extChartAt I' (f x₀)) (f x₀) = F (↑(extChartAt I x₀) x₀)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
x : M
f : M → N
φ : N → N'
h : IsImmersionAtOfComplement F J J' n φ (f x)
h' : ContMDiffAt I J' n (φ ∘ f) x
t : Set M
ht : t ⊆ f ⁻¹' h.domChart.source
hxt : x ∈ t
f' : E → E'' := ↑(h.domChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm
φ' : E'' → E''' := ↑(h.codChart.extend J') ∘ φ ∘ ↑(h.domChart.extend J).symm
x' : E := ↑(extChartAt I x) x
s : Set E := ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I
hx' : ↑(extChartAt I x) x ∈ s
h'loc :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(h.codChart.extend J') ∘ (φ ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
    (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (φ' ∘ f') s x'

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
inst✝³ : IsManifold I 2 M
inst✝² : IsManifold I' 2 M'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffOn I I' 2 f s
hx₀ : x₀ ∈ s
ht : t ⊆ (extChartAt I' (f x₀)).source
hst : MapsTo f s t
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
A' : x₀ = ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)
h'f : MDiffAt[s] f x₀
this✝ : (mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)).inverse = mfderiv% ↑(extChartAt I x₀) x₀
V' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) V (range ↑I')
hV' : V' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) V (range ↑I')
W' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) W (range ↑I')
hW' : W' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) W (range ↑I')
F : E → E' := (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm
hF : F = (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm
hFx₀ : ↑(extChartAt I' (f x₀)) (f x₀) = F (↑(extChartAt I x₀) x₀)
Y : (x : M') → TangentSpace I' x
this : (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝[↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x₀) x₀
y : E
hy : y ∈ ↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I
h'''y : y ∈ (extChartAt I x₀).target
h'y : f (↑(extChartAt I x₀).symm y) ∈ (extChartAt I' (f x₀)).source
⊢ f (↑(extChartAt I x₀).symm y) ∈ (chartAt H' (f x₀)).source

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
inst✝³ : IsManifold I 2 M
inst✝² : IsManifold I' 2 M'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffOn I I' 2 f s
hx₀ : x₀ ∈ s
ht : t ⊆ (extChartAt I' (f x₀)).source
hst : MapsTo f s t
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
A' : x₀ = ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)
h'f : MDiffAt[s] f x₀
this✝ : (mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)).inverse = mfderiv% ↑(extChartAt I x₀) x₀
V' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) V (range ↑I')
hV' : V' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) V (range ↑I')
W' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) W (range ↑I')
hW' : W' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) W (range ↑I')
F : E → E' := (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm
hF : F = (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm
hFx₀ : ↑(extChartAt I' (f x₀)) (f x₀) = F (↑(extChartAt I x₀) x₀)
Y : (x : M') → TangentSpace I' x
this : (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝[↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x₀) x₀
y : E
hy : y ∈ ↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I
h'''y : y ∈ (extChartAt I x₀).target
h'y : f (↑(extChartAt I x₀).symm y) ∈ (extChartAt I' (f x₀)).source
h''y : f (↑(extChartAt I x₀).symm y) ∈ (chartAt H' (f x₀)).source
⊢ UniqueMDiffAt[↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
m n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
Js : IsManifold J 1 N
Is : IsManifold I 1 M
I's : IsManifold I' 1 M'
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
t : Set N
u : Set M
hf : ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (t ×ˢ u) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffWithinAt J I m g t x₀
hx₀ : x₀ ∈ t
hu : MapsTo g t u
hmn : m + 1 ≤ n
h'u : UniqueMDiff[u]
t' : Set N := t ∩ g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source
ht't : t' ⊆ t
hx₀gx₀ : (x₀, g x₀) ∈ t ×ˢ u
h4f✝ : ContinuousWithinAt (fun x ↦ f x (g x)) t x₀
h4f : (fun x ↦ f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝[t] x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝[t ×ˢ u] (x₀, g x₀), ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' 1 (uncurry f) (t ×ˢ u) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝[t] x₀, ContMDiffWithinAt I I' 1 (f x₂) u (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝[t] x₀
this✝ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m
    (fun x ↦
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        ((extChartAt I (g x₀)).target ∩ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm ⁻¹' u)
        (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x))))
    (↑(extChartAt J x₀).symm ⁻¹' t' ∩ range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
this :
  ContMDiffWithinAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x ↦
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        ((extChartAt I (g x₀)).target ∩ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm ⁻¹' u) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    t' x₀
x : N
hx : ContMDiffWithinAt I I' 1 (f x) u (g x)
h'x : x ∈ (fun x ↦ f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source
h2 : x ∈ g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source
hxt : x ∈ t
h1 : g x ∈ u
h3 : UniqueMDiffAt[(extChartAt I (g x₀)).target ∩ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm ⁻¹' u] (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))
A :
  mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I (g x₀)).symm (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)) =
    mfderiv[(extChartAt I (g x₀)).target ∩ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm ⁻¹' u] ↑(extChartAt I (g x₀)).symm
      (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))
⊢ f x (g x) ∈ (chartAt H' (f x₀ (g x₀))).source

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
m n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
Js : IsManifold J 1 N
Is : IsManifold I 1 M
I's : IsManifold I' 1 M'
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
t : Set N
u : Set M
hf : ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (t ×ˢ u) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffWithinAt J I m g t x₀
hx₀ : x₀ ∈ t
hu : MapsTo g t u
hmn : m + 1 ≤ n
h'u : UniqueMDiff[u]
t' : Set N := t ∩ g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source
ht't : t' ⊆ t
hx₀gx₀ : (x₀, g x₀) ∈ t ×ˢ u
h4f✝ : ContinuousWithinAt (fun x ↦ f x (g x)) t x₀
h4f : (fun x ↦ f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝[t] x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝[t ×ˢ u] (x₀, g x₀), ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' 1 (uncurry f) (t ×ˢ u) x'
h2f : ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝[t] x₀, ContMDiffWithinAt I I' 1 (f x₂) u (g x₂)
h2g : g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝[t] x₀
this✝ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m
    (fun x ↦
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f (↑(extChartAt J x₀).symm x) ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        ((extChartAt I (g x₀)).target ∩ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm ⁻¹' u)
        (↑(extChartAt I (g x₀)) (g (↑(extChartAt J x₀).symm x))))
    (↑(extChartAt J x₀).symm ⁻¹' t' ∩ range ↑J) (↑(extChartAt J x₀) x₀)
this :
  ContMDiffWithinAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x ↦
      fderivWithin 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀ (g x₀))) ∘ f x ∘ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm)
        ((extChartAt I (g x₀)).target ∩ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm ⁻¹' u) (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)))
    t' x₀
x : N
hx : ContMDiffWithinAt I I' 1 (f x) u (g x)
h'x : x ∈ (fun x ↦ f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source
h2 : x ∈ g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source
hxt : x ∈ t
h1 : g x ∈ u
h3 : UniqueMDiffAt[(extChartAt I (g x₀)).target ∩ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm ⁻¹' u] (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))
A :
  mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I (g x₀)).symm (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x)) =
    mfderiv[(extChartAt I (g x₀)).target ∩ ↑(extChartAt I (g x₀)).symm ⁻¹' u] ↑(extChartAt I (g x₀)).symm
      (↑(extChartAt I (g x₀)) (g x))
⊢ f x (g x) ∈ (chartAt H' (f x₀ (g x₀))).source

Tactic:
by simpa using h'x

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
x : M
f : M → N
φ : N → N'
h : IsImmersionAtOfComplement F J J' n φ (f x)
h' : ContMDiffAt I J' n (φ ∘ f) x
t : Set M
ht : t ⊆ f ⁻¹' h.domChart.source
hxt : x ∈ t
f' : E → E'' := ↑(h.domChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm
φ' : E'' → E''' := ↑(h.codChart.extend J') ∘ φ ∘ ↑(h.domChart.extend J).symm
x' : E := ↑(extChartAt I x) x
s : Set E := ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I
hx' : ↑(extChartAt I x) x ∈ s
h'loc :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(h.codChart.extend J') ∘ (φ ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
    (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
h'' : ContDiffWithinAt 𝕜 n (φ' ∘ f') s x'
f'' : E → E''' := (⇑h.equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) ∘ f'
y : E
hy : y ∈ s
⊢ ↑(h.domChart.extend J) ((f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) y) = (↑(h.domChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
x : M
f : M → N
φ : N → N'
h : IsImmersionAtOfComplement F J J' n φ (f x)
h' : ContMDiffAt I J' n (φ ∘ f) x
t : Set M
ht : t ⊆ f ⁻¹' h.domChart.source
hxt : x ∈ t
f' : E → E'' := ↑(h.domChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm
φ' : E'' → E''' := ↑(h.codChart.extend J') ∘ φ ∘ ↑(h.domChart.extend J).symm
x' : E := ↑(extChartAt I x) x
s : Set E := ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I
hx' : ↑(extChartAt I x) x ∈ s
h'loc :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(h.codChart.extend J') ∘ (φ ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
    (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
h'' : ContDiffWithinAt 𝕜 n (φ' ∘ f') s x'
f'' : E → E''' := (⇑h.equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) ∘ f'
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f'' s x'

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
x : M
f : M → N
φ : N → N'
h : IsImmersionAtOfComplement F J J' n φ (f x)
h' : ContMDiffAt I J' n (φ ∘ f) x
t : Set M
ht : t ⊆ f ⁻¹' h.domChart.source
hxt : x ∈ t
f' : E → E'' := ↑(h.domChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm
φ' : E'' → E''' := ↑(h.codChart.extend J') ∘ φ ∘ ↑(h.domChart.extend J).symm
x' : E := ↑(extChartAt I x) x
s : Set E := ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I
hx' : ↑(extChartAt I x) x ∈ s
h'loc :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(h.codChart.extend J') ∘ (φ ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
    (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
h'' : ContDiffWithinAt 𝕜 n (φ' ∘ f') s x'
f'' : E → E''' := (⇑h.equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) ∘ f'
h''' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f'' s x'
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (Prod.fst ∘ ⇑h.equiv.symm) univ (f'' x')

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
x : M
f : M → N
φ : N → N'
h : IsImmersionAtOfComplement F J J' n φ (f x)
h' : ContMDiffAt I J' n (φ ∘ f) x
t : Set M
ht : t ⊆ f ⁻¹' h.domChart.source
hxt : x ∈ t
f' : E → E'' := ↑(h.domChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm
φ' : E'' → E''' := ↑(h.codChart.extend J') ∘ φ ∘ ↑(h.domChart.extend J).symm
x' : E := ↑(extChartAt I x) x
s : Set E := ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I
hx' : ↑(extChartAt I x) x ∈ s
h'loc :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(h.codChart.extend J') ∘ (φ ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
    (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
h'' : ContDiffWithinAt 𝕜 n (φ' ∘ f') s x'
f'' : E → E''' := (⇑h.equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) ∘ f'
h''' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f'' s x'
h'''' : ContDiffWithinAt 𝕜 n ((Prod.fst ∘ ⇑h.equiv.symm) ∘ f'') s x'
y : E
hy : y ∈ s
⊢ f' y = ((Prod.fst ∘ ⇑h.equiv.symm) ∘ f'') y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
x : M
f : M → N
φ : N → N'
h : IsImmersionAtOfComplement F J J' n φ (f x)
h' : ContMDiffAt I J' n (φ ∘ f) x
t : Set M
ht : t ⊆ f ⁻¹' h.domChart.source
hxt : x ∈ t
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(h.domChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I)
    (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
⊢ IsManifold (𝓡∂ 1) n ↑(Icc x y)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
x : M
f : M → N
φ : N → N'
hφ : IsImmersionAtOfComplement F J J' n φ (f x)
⊢ ContMDiffAt I J n f x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I J' n (φ ∘ f) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
⊢ ChartedSpace (EuclideanHalfSpace 1) ↑(Icc 0 1)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
⊢ IsManifold (𝓡∂ 1) n ↑(Icc 0 1)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.SmoothEmbedding

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E₁ : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E₁
H : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E₁ H
M : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
s : TopologicalSpace.Opens M
⊢ IsSmoothEmbedding I I n Subtype.val

Tactic:
by

Goal state after: