mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : M →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : Fintype ↑(baseOf (⇑P.root) f)
v : ↑(baseOf (⇑P.root) f) → ↥(P.rootSpan ℚ) := fun i ↦ P.rootSpanMem ℚ ↑i
h_span : span ℚ (range v) = ⊤
h_card : Nat.card ↑(baseOf (⇑P.root) f) = finrank R M
⊢ span R (range (⇑(P.rootSpan ℚ).subtype ∘ v)) = ⊤

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j : ι
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : j ≠ i
f : ι → ℤ := fun k ↦ if k = i then 1 else if k = j then -1 else 0
this : {i, j} ⊆ b.support
⊢ ∀ x ∈ b.support, x ∉ {i, j} → f x • P.root x = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : Module.IsReflexive R N
this : IsAddTorsionFree M
hli : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ (P.pairingIn ℤ i j, P.pairingIn ℤ j i) ∈ {(1, 4), (2, 2), (4, 1)}

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j : ι
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : j ≠ i
f : ι → ℤ := fun k ↦ if k = i then 1 else if k = j then -1 else 0
this : {i, j} ⊆ b.support
⊢ i ∉ {j}

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j : ι
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : j ≠ i
f : ι → ℤ := fun k ↦ if k = i then 1 else if k = j then -1 else 0
⊢ ∑ k ∈ b.support, f k • P.root k = P.root i - P.root j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
⊢ chainBotCoeff ((P.reflectionPerm i) i) j = chainTopCoeff i j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
z : ℤ
⊢ z ∈ Icc (-↑(chainTopCoeff i j)) ↑(chainBotCoeff i j) ↔ z ∈ Icc (-↑(chainBotCoeff i (-j))) ↑(chainTopCoeff i (-j))

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j : ι
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : j ≠ i
f : ι → ℤ := fun k ↦ if k = i then 1 else if k = j then -1 else 0
hf : ∑ k ∈ b.support, f k • P.root k = P.root i - P.root j
contra : P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
⊢ ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j ∈ range ⇑P.root

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : M →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
⊢ LinearIndepOn R (⇑P.root) (baseOf (⇑P.root) f)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j : ι
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : j ≠ i
f : ι → ℤ := fun k ↦ if k = i then 1 else if k = j then -1 else 0
hf : ∑ k ∈ b.support, f k • P.root k = P.root i - P.root j
contra : P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
⊢ Function.support f ⊆ ↑b.support

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
hsp : ∀ (i : ι), P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s) ∨ -P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
i : ι
⊢ ∀ i ∈ s, 0 < f (P.root i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
⊢ chainTopCoeff i ((P.reflectionPerm j) j) = chainBotCoeff i j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
hsp : ∀ (i : ι), P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s) ∨ -P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
i : ι
⊢ P.root (-i) = -P.root i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
hsp : ∀ (i : ι), P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s) ∨ -P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hf' : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
i : ι
⊢ P.root (-i) = -P.root i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j : ι
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
⊢ P.root i - P.root j ∉ range ⇑P.root

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : Finite ι
i j : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
⊢ P.pairingIn ℤ i j ≤ 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
⊢ chainBotCoeff i ((P.reflectionPerm j) j) = chainTopCoeff i j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
hsp : ∀ (i : ι), P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s) ∨ -P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ (baseOf (⇑P.root) f).ncard = s.ncard

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
⊢ P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : P.pairingIn ℤ i j < 0
h' : P.root i ≠ -P.root j
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ 0 < P.pairingIn ℤ i (-j)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : Finite ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
⊢ ↑(chainTopCoeff ↑i ↑j) = -P.pairingIn ℤ ↑j ↑i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h' : P.root i ≠ -P.root j
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h : 0 < P.pairingIn ℤ i (-j)
⊢ i ≠ -j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : P.IsRootSystem
⊢ ⊤ ≤ span R (range fun x ↦ P.root ↑x)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
hsp : ∀ (i : ι), P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s) ∨ -P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h_card : (baseOf (⇑P.root) f).ncard = s.ncard
this : s ⊆ baseOf (⇑P.root) f
⊢ (baseOf (⇑P.root) f).ncard ≤ s.ncard

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : P.IsRootSystem
i : ↥b.support
⊢ b.toWeightBasis i = P.root ↑i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : P.IsRootSystem
i : ↥b.support
⊢ b.toWeightBasis.repr (P.root ↑i) = Finsupp.single i 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : P.pairingIn ℤ i j < 0
h' : P.root i ≠ -P.root j
⊢ P.root i + P.root j ∈ range ⇑P.root

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : P.IsRootSystem
i : ↥b.support
⊢ b.toCoweightBasis.repr (P.coroot ↑i) = Finsupp.single i 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h✝ : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h : chainBotCoeff i j = 0
⊢ ∀ (x : ℕ), x ≤ chainBotCoeff i j ↔ x = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h✝ : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h : ∀ (x : ℕ), x ≤ chainBotCoeff i j ↔ x = 0
⊢ chainBotCoeff i j = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i j = 0 ↔ Iic (chainBotCoeff i j) = {0}

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
hsp : ∀ (i : ι), P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s) ∨ -P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h_card : (baseOf (⇑P.root) f).ncard = s.ncard
i : ι
hi : P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
x : M
x✝ : x ∈ ⇑P.root '' s
j : ι
hj : j ∈ s
hx : P.root j = x
⊢ f x = ↑1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
⊢ span ℤ (P.rootSpanMem ℤ '' ↑b.support) = ⊤

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
⊢ (P.rootSpan ℤ).subtype.ker = ⊥

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
hsp : ∀ (i : ι), P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s) ∨ -P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h_card : (baseOf (⇑P.root) f).ncard = s.ncard
i : ι
hi : P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
⊢ f 0 = ↑0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
hp : i ≠ j
hn : P.root i ≠ -P.root j
h_add : P.root i + P.root j ∉ range ⇑P.root
h_sub : P.root i - P.root j ∉ range ⇑P.root
⊢ P.pairingIn ℤ i j = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
⊢ ⊤ ≤ span ℤ (range fun i ↦ P.rootSpanMem ℤ ↑i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ↥b.support
⊢ ↑(b.toWeightBasisInt i) = P.root ↑i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
this : chainBotCoeff i j = 0 ↔ Iic (chainBotCoeff i j) = {0}
h' : ∀ (x : ℕ), P.root j - x • P.root i ∈ range ⇑P.root ↔ x = 0
⊢ P.root j - P.root i ∉ range ⇑P.root

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
hsp : ∀ (i : ι), P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s) ∨ -P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h_card : (baseOf (⇑P.root) f).ncard = s.ncard
i : ι
hi : P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
x y : M
hx : x ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
hy : y ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
x✝¹ : ∃ z, f x = ↑z
x✝ : ∃ z, f y = ↑z
n : ℤ
hn : f x = ↑n
m : ℤ
hm : f y = ↑m
⊢ f (x + y) = ↑(n + m)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
this : chainBotCoeff i j = 0 ↔ Iic (chainBotCoeff i j) = {0}
h' : P.root j - P.root i ∉ range ⇑P.root
n : ℕ
h'' : n = 0
⊢ P.root j - n • P.root i ∈ range ⇑P.root

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
hp : i ≠ j
hn : P.root i ≠ -P.root j
h_add : P.root i + P.root j ∉ range ⇑P.root
h_sub : P.root i - P.root j ∉ range ⇑P.root
⊢ P.pairing i j = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
this : chainBotCoeff i j = 0 ↔ Iic (chainBotCoeff i j) = {0}
h' : P.root j - P.root i ∉ range ⇑P.root
n : ℕ
h'' : P.root j - n • P.root i ∈ range ⇑P.root
⊢ 1 ∉ {k | P.root j - k • P.root i ∈ range ⇑P.root}

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
i j : ι
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
hij : P.root i + P.root j ∈ range ⇑P.root
q : Submodule K M
hq✝ : q ∈ P.invtRootSubmodule
hq : ∀ (i : ι), q ∈ Module.End.invtSubmodule ↑(P.reflection i)
this : ∀ (i j : ι), P.root i + P.root j ∈ range ⇑P.root → P.root i ∈ q → P.root j ∈ q
⊢ P.root j + P.root i ∈ range ⇑P.root

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
hsp : ∀ (i : ι), P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s) ∨ -P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h_card : (baseOf (⇑P.root) f).ncard = s.ncard
i : ι
hi : -P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
z : ℤ
hz : f (P.root (-i)) = ↑z
⊢ f (P.root i) = ↑(-z)

Tactic:
by

Goal state after: