mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dual.BaseChange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
V : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommMonoid V
inst✝⁶ : Module R V
W : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid W
inst✝⁴ : Module R W
A : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module A W
inst✝ : IsScalarTower R A W
j : V →ₗ[R] W
ibc : IsBaseChange A j
a : A
g : A ⊗[R] Dual R V
⊢ (TensorProduct.lift { toFun := fun a ↦ a • ibc.toDual, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }).toFun (a • g) =
    (RingHom.id A) a • (TensorProduct.lift { toFun := fun a ↦ a • ibc.toDual, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }).toFun g

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dual.BaseChange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
V : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommMonoid V
inst✝⁶ : Module R V
W : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid W
inst✝⁴ : Module R W
A : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module A W
inst✝ : IsScalarTower R A W
j : V →ₗ[R] W
ibc : IsBaseChange A j
a : A
f : Dual R V
v : V
⊢ (ibc.toDualBaseChangeAux (a ⊗ₜ[R] f)) (j v) = a * (algebraMap R A) (f v)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeHom

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring S
inst✝¹² : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R P
Q : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid Q
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module S P
inst✝² : IsScalarTower R S P
inst✝¹ : Module S Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
α : M →ₗ[R] P
j : IsBaseChange S α
β : N →ₗ[R] Q
f : M →ₗ[R] N
⊢ ↑R ((j.linearMapLeftRightHom β) f) ∘ₗ α = β ∘ₗ f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeHom

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
N : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : Module R N
P : Type u_5
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
Q : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid Q
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module S P
inst✝⁴ : IsScalarTower R S P
inst✝³ : Module S Q
inst✝² : IsScalarTower R S Q
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
α : M →ₗ[R] P
j : IsBaseChange S α
β : N →ₗ[R] Q
k : IsBaseChange S β
⊢ IsBaseChange S (j.linearMapLeftRightHom β)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeHom

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module S P
inst✝ : IsScalarTower R S P
α : M →ₗ[R] P
j : IsBaseChange S α
f : M →ₗ[R] M
p : P
⊢ (j.endHom f) p = ((liftBaseChangeEquiv S) (α ∘ₗ f)) (j.equiv.symm p)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeHom

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module S P
inst✝ : IsScalarTower R S P
α : M →ₗ[R] P
j : IsBaseChange S α
f : M →ₗ[R] M
m : M
⊢ (j.endHom f) (α m) = α (f m)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeHom

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module S P
inst✝ : IsScalarTower R S P
α : M →ₗ[R] P
j : IsBaseChange S α
f : M →ₗ[R] M
⊢ ↑R (j.endHom f) ∘ₗ α = α ∘ₗ f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeHom

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module S P
inst✝ : IsScalarTower R S P
α : M →ₗ[R] P
j : IsBaseChange S α
⊢ j.endHom 1 = 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
⊢ Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁ →ₗ[R'] Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂ →ₗ[R'] Mᵢ [⋀^ιa ⊕ ιb]→ₗ[R'] N₁ ⊗[R'] N₂

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeHom

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
P : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : Module S P
inst✝² : IsScalarTower R S P
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
α : M →ₗ[R] P
j : IsBaseChange S α
⊢ IsBaseChange S j.endHom

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x ↦ Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x ↦ Mᵢ) N₂
⊢ (↑(alternatization a)).domCoprod ↑(alternatization b) =
    ∑ σa, ∑ σb, Perm.sign σa • Perm.sign σb • (domDomCongr σa a).domCoprod (domDomCongr σb b)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeHom

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommSemiring S
inst✝¹⁵ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
N : Type u_4
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
P : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid P
inst✝⁹ : Module R P
Q : Type u_6
inst✝⁸ : AddCommMonoid Q
inst✝⁷ : Module R Q
inst✝⁶ : Module S P
inst✝⁵ : IsScalarTower R S P
inst✝⁴ : Module S Q
inst✝³ : IsScalarTower R S Q
α : M →ₗ[R] P
β : N →ₗ[R] Q
ibcM : IsBaseChange S α
ibcN : IsBaseChange S β
ι : Type u_7
θ : Type u_8
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Finite θ
b : Basis ι R M
c : Basis θ R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ (toMatrix (basis b ibcM) (basis c ibcN)) ((ibcM.linearMapLeftRightHom β) f) = ((toMatrix b c) f).map ⇑(algebraMap R S)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dual.BaseChange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
V : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid V
inst✝⁸ : Module R V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid W
inst✝⁶ : Module R W
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module A W
inst✝² : IsScalarTower R A W
j : V →ₗ[R] W
ibc : IsBaseChange A j
inst✝¹ : Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
⊢ A ⊗[R] Dual R V ≃ₗ[A] Dual A W

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeHom

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
P : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : Module S P
inst✝² : IsScalarTower R S P
α : M →ₗ[R] P
ibcM : IsBaseChange S α
ι : Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ (toMatrix (basis b ibcM) (basis b ibcM)) (ibcM.endHom f) = ((toMatrix b b) f).map ⇑(algebraMap R S)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dual.BaseChange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
V : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid V
inst✝⁸ : Module R V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid W
inst✝⁶ : Module R W
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module A W
inst✝² : IsScalarTower R A W
j : V →ₗ[R] W
ibc : IsBaseChange A j
inst✝¹ : Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
⊢ IsBaseChange A ibc.toDual

Tactic:
apply of_equiv (toDualBaseChange ibc)
  intro f
  simp [toDualBaseChange, toDualBaseChangeAux]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dual.BaseChange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
V : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid V
inst✝⁸ : Module R V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid W
inst✝⁶ : Module R W
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module A W
inst✝² : IsScalarTower R A W
j : V →ₗ[R] W
ibc : IsBaseChange A j
inst✝¹ : Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
⊢ IsBaseChange A ibc.toDual

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeHom

Goal state before:
pp: R : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing R
S : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
P : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : Module S P
inst✝² : IsScalarTower R S P
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
α : M →ₗ[R] P
j : IsBaseChange S α
f : M →ₗ[R] M
hR : Subsingleton R
⊢ f = 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x ↦ Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x ↦ Mᵢ) N₂
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
f : Perm ιa × Perm ιb →* Perm (ιa ⊕ ιb) := sumCongrHom ιa ιb
⊢ ∑ τ with ⟦τ⟧ = Quotient.mk'' σ, sign τ • domDomCongr τ (a.domCoprod b) =
    ∑ τ with τ⁻¹ * σ ∈ f.range, sign τ • domDomCongr τ (a.domCoprod b)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FixedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid U
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Module R U
inst✝ : Module R V
e : V ≃ₗ[R] V
f : V →ₗ[R] V
x y : V
hx : x ∈ {x | f x = x}
hy : y ∈ {x | f x = x}
⊢ x + y ∈ {x | f x = x}

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FixedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid U
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Module R U
inst✝ : Module R V
e : V ≃ₗ[R] V
f : V →ₗ[R] V
⊢ 0 ∈ {x | f x = x}

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FixedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid U
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Module R U
inst✝ : Module R V
e : V ≃ₗ[R] V
f : V →ₗ[R] V
r : R
x : V
hx : x ∈ {x | f x = x}
⊢ r • x ∈ {x | f x = x}

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FixedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module R V
f : V →ₗ[R] V
v : V
⊢ v ∈ f.fixedSubmodule ↔ f v = v

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FixedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_4
inst✝² : Ring R
V : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
f : V →ₗ[R] V
⊢ f.fixedSubmodule = (f - id).ker

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FixedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module R V
f : V →ₗ[R] V
⊢ f.fixedSubmodule = ⊤ ↔ f = id

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FixedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module R V
f g : V →ₗ[R] V
⊢ f.fixedSubmodule ⊓ g.fixedSubmodule ≤ (f ∘ₗ g).fixedSubmodule

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FixedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module R V
f g : V →ₗ[R] V
⊢ (f ∘ₗ g).fixedSubmodule ⊓ g.fixedSubmodule ≤ f.fixedSubmodule

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FixedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module R V
f : V ≃ₗ[R] V
⊢ (↑f).fixedSubmodule = ⊤ ↔ f = refl R V

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FixedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module R V
e : V ≃ₗ[R] V
W : Submodule R V
hW : W ≤ (↑e).fixedSubmodule
x : V
hx : x ∈ W
this : e x = x
⊢ (DistribSMul.toLinearMap R V e) x ∈ W

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeHom

Goal state before:
pp: R : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing R
S : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
M : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
P : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : Module S P
inst✝² : IsScalarTower R S P
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
α : M →ₗ[R] P
j : IsBaseChange S α
f : M →ₗ[R] M
⊢ LinearMap.det (j.endHom f) = (algebraMap R S) (LinearMap.det f)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Field k
inst✝⁵ : LinearOrder k
inst✝⁴ : IsOrderedRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
x : k
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
hxpos : 0 < x
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
hp : (affineCombination k univ s.points) w ∈ affineSpan k (Set.range s.points)
j : Fin (n + 1)
hj : j ≠ i
⊢ x⁻¹ * w j ∈ Set.Icc 0 1 ↔ (lineMap (Pi.single i 1) w) x⁻¹ j ∈ Set.Icc 0 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Field k
inst✝⁵ : LinearOrder k
inst✝⁴ : IsOrderedRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
x : k
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
hxpos : 0 < x
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
hp : (affineCombination k univ s.points) w ∈ affineSpan k (Set.range s.points)
⊢ x⁻¹ * (w i - 1) + 1 = 0 ↔ (lineMap (Pi.single i 1) w) x⁻¹ i = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FixedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module R V
e : V ≃ₗ[R] V
W : Submodule R V
hW : W ≤ (↑e).fixedSubmodule
⊢ e ∈ stabilizer (V ≃ₗ[R] V) W

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Field k
inst✝⁵ : LinearOrder k
inst✝⁴ : IsOrderedRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
x : k
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
hxpos : 0 < x
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
hp : (affineCombination k univ s.points) w ∈ affineSpan k (Set.range s.points)
j : Fin (n + 1)
hj : ¬j = i
⊢ x⁻¹ * w j ∈ Set.Icc 0 1 ↔ (lineMap (Pi.single i 1) w) x⁻¹ j ∈ Set.Icc 0 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x ↦ Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x ↦ Mᵢ) N₂
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
f : Perm ιa × Perm ιb →* Perm (ιa ⊕ ιb) := sumCongrHom ιa ιb
⊢ ∑ τ with τ⁻¹ * σ ∈ f.range, sign τ • domDomCongr τ (a.domCoprod b) =
    ∑ τ with τ⁻¹ ∈ f.range, sign (σ * τ) • domDomCongr (σ * τ) (a.domCoprod b)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FixedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module R V
e : V ≃ₗ[R] V
W : Submodule R V
he : e ∈ fixingSubgroup (V ≃ₗ[R] V) W.carrier
⊢ map (↑e) W = W

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FixedSubmodule

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : Semiring R✝
U : Type u_2
V✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid U
inst✝⁵ : AddCommMonoid V✝
inst✝⁴ : Module R✝ U
inst✝³ : Module R✝ V✝
e : V✝ ≃ₗ[R✝] V✝
P : Submodule R✝ U
Q : Submodule R✝ V✝
R : Type u_4
V : Type u_5
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
W : Submodule R V
⊢ Quotient.equiv W W ↑1 ⋯ = 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FixedSubmodule

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : Semiring R✝
U : Type u_2
V✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid U
inst✝⁵ : AddCommMonoid V✝
inst✝⁴ : Module R✝ U
inst✝³ : Module R✝ V✝
e : V✝ ≃ₗ[R✝] V✝
P : Submodule R✝ U
Q : Submodule R✝ V✝
R : Type u_4
V : Type u_5
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
W : Submodule R V
u v : ↥(stabilizer (V ≃ₗ[R] V) W)
⊢ Quotient.equiv W W ↑(u * v) ⋯ = Quotient.equiv W W ↑u ⋯ * Quotient.equiv W W ↑v ⋯

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x ↦ Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x ↦ Mᵢ) N₂
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
f : Perm ιa × Perm ιb →* Perm (ιa ⊕ ιb) := sumCongrHom ιa ιb
⊢ ∑ τ with τ⁻¹ ∈ f.range, sign (σ * τ) • domDomCongr (σ * τ) (a.domCoprod b) =
    ∑ τ, sign (σ * f τ) • domDomCongr (σ * f τ) (a.domCoprod b)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x ↦ Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x ↦ Mᵢ) N₂
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
f : Perm ιa × Perm ιb →* Perm (ιa ⊕ ιb) := sumCongrHom ιa ιb
⊢ ∑ τ, sign (σ * f τ) • domDomCongr (σ * f τ) (a.domCoprod b) =
    ∑ τ, sign σ • (domDomCongrEquiv σ) (sign τ.1 • sign τ.2 • (domDomCongr τ.1 a).domCoprod (domDomCongr τ.2 b))

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x ↦ Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x ↦ Mᵢ) N₂
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
f : Perm ιa × Perm ιb →* Perm (ιa ⊕ ιb) := sumCongrHom ιa ιb
⊢ ∑ τ, sign σ • (domDomCongrEquiv σ) (sign τ.1 • sign τ.2 • (domDomCongr τ.1 a).domCoprod (domDomCongr τ.2 b)) =
    domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) (Quotient.mk'' σ)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Field k
inst✝⁵ : LinearOrder k
inst✝⁴ : IsOrderedRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
x : k
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
hxpos : 0 < x
q : P
hq : q ∈ (s.faceOpposite i).closedInterior
hp : (homothety (s.points i) x) q ∉ affineSpan k (Set.range s.points)
⊢ s.points i ∈ Set.range s.points

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FixedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_4
V : Type u_5
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
e : V ≃ₗ[R] V
a : R
⊢ (∀ (x : V ⧸ (↑e).fixedSubmodule), e.fixedReduce x = a • x) ↔ ∀ (v : V), e v - a • v ∈ (↑e).fixedSubmodule

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FixedSubmodule

Goal state before:
pp: R : Type u_4
V : Type u_5
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
e : V ≃ₗ[R] V
⊢ e.fixedReduce = refl R (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) ↔ ∀ (v : V), e v - v ∈ (↑e).fixedSubmodule

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Field k
inst✝⁵ : LinearOrder k
inst✝⁴ : IsOrderedRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
x : k
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
hxpos : 0 < x
q : P
hq : q ∈ (s.faceOpposite i).closedInterior
hp : (homothety (s.points i) x) q ∉ affineSpan k (Set.range s.points)
⊢ Set.range (s.faceOpposite i).points ⊆ Set.range s.points

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Center

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module R V
f : V →ₗ[R] V
a : R
hf : ∀ (x : V), f x = a • x
⊢ f ∈ center (End R V)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Center

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
ι : Type u_3
inst✝ : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hcomm : ∀ (i j : ι) (r : R), i ≠ j → Commute f ((b.coord i).transvection (r • b j))
hV : Subsingleton V
⊢ ∀ (g : R), g * 1 = 1 * g

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Field k
inst✝⁵ : LinearOrder k
inst✝⁴ : IsOrderedRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
x : k
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
⊢ s.closedInterior ∩ ↑((affineSpan k (s.points '' {i}ᶜ)).shift (s.points i) x) =
    ⇑(homothety (s.points i) x) '' (s.faceOpposite i).closedInterior

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x ↦ Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x ↦ Mᵢ) N₂
⊢ alternatization (a.domCoprod b) = (alternatization a).domCoprod (alternatization b)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Center

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
ι : Type u_3
inst✝ : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hV : Nontrivial V
hcomm : ∀ (i j : ι) (r : R), i ≠ j → f * (b.coord i).transvection (r • b j) = (b.coord i).transvection (r • b j) * f
i j : ι
hij : i ≠ j
r : R
⊢ r • f (b j) = (b.coord i) (f (b i)) • r • b j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Center

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
ι : Type u_3
inst✝ : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hV : Nontrivial V
hcomm : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (r : R), r • f (b j) = (b.coord i) (f (b i)) • r • b j
i j : ι
⊢ (b.coord i) (f (b i)) = (b.coord j) (f (b j))

Tactic:
by

Goal state after: