mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field k
L : Type u_2
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra k L
V : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module k V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule k L V
inst✝³ : CharZero k
inst✝² : Module.Finite k V
inst✝¹ : IsTriangularizable k L V
A : LieIdeal k L
hA✝ : IsCoatom ↑A
χ₀ : Module.Dual k ↥A
inst✝ : Nontrivial ↥(weightSpace V ⇑χ₀)
z : L
hz : z ∉ ↑A
e : ↥(k ∙ z) ≃ₗ[k] k := (LinearEquiv.toSpanNonzeroSingleton k L z ⋯).symm
he : ∀ (x : ↥(k ∙ z)), e x • z = ↑x
hA : IsCompl (↑A) (k ∙ z)
π₁ : L →ₗ[k] ↥A := (↑A).projectionOnto (k ∙ z) hA
π₂ : L →ₗ[k] ↥(k ∙ z) := (k ∙ z).projectionOnto (LieIdeal.toLieSubalgebra k L A).toSubmodule ⋯
W : LieSubmodule k L V := weightSpaceOfIsLieTower k V ⇑χ₀
c : k
hc : ((toEnd k L ↥W) z).HasEigenvalue c
v : V
hv : v ∈ W
hvc : ((toEnd k L ↥W) z).HasEigenvector c ⟨v, hv⟩
hv' : ∀ (x : ↥A), ⁅x, v⁆ = χ₀ x • v
x : L
hπ : ↑(π₁ x) + ↑(π₂ x) = x
this : ⁅((k ∙ z).projection ↑A ⋯) x, v⁆ = (c • e (π₂ x)) • v
⊢ ⁅x, v⁆ = (χ₀ ∘ₗ π₁ + c • ↑e ∘ₗ π₂) x • v

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i : Fin n
hEq1 : Eq1 A p
⊢ -∑ k > i, (Spec.stepEntry A)^[p] A k k = (-1) ^ (p + 1) * ∑ k > i, ∑ α ∈ S p k, bminor A k k α

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i : Fin n
hEq1 : Eq1 A p
⊢ (-1) ^ (p + 1) * ∑ k > i, ∑ α ∈ S p k, bminor A k k α = (-1) ^ (p + 1) * ∑ α ∈ S (p + 1) i, pminor A α

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i : Fin n
hEq1 : Eq1 A p
⊢ -∑ k > i, (Spec.stepEntry A)^[p] A k k = (-1) ^ (p + 1) * ∑ α ∈ S (p + 1) i, pminor A α

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
hEq1 : Eq1 A p
⊢ (Spec.stepEntry A)^[p + 1] A i j =
    (-1) ^ (p + 1) * (∑ α ∈ S (p + 1) i, pminor A α * A i j - ∑ k > i, ∑ α ∈ S p i, bminor A i k α * A k j)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
⊢ ∀ x ∈ S (p + 1) i, bminor A i j x = pminor A x * A i j - ∑ t, bminor A i (x t) (t.removeNth x) * A (x t) j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
⊢ ∑ α ∈ S (p + 1) i, bminor A i j α =
    ∑ α ∈ S (p + 1) i, (pminor A α * A i j - ∑ t, bminor A i (α t) (t.removeNth α) * A (α t) j)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field k
L : Type u_2
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra k L
V : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module k V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule k L V
inst✝³ : CharZero k
inst✝² : Module.Finite k V
inst✝¹ : IsTriangularizable k L V
A : LieIdeal k L
hA✝ : IsCoatom ↑A
χ₀ : Module.Dual k ↥A
inst✝ : Nontrivial ↥(weightSpace V ⇑χ₀)
z : L
hz : z ∉ ↑A
e : ↥(k ∙ z) ≃ₗ[k] k := (LinearEquiv.toSpanNonzeroSingleton k L z ⋯).symm
he : ∀ (x : ↥(k ∙ z)), e x • z = ↑x
hA : IsCompl (↑A) (k ∙ z)
π₁ : L →ₗ[k] ↥A := (↑A).projectionOnto (k ∙ z) hA
π₂ : L →ₗ[k] ↥(k ∙ z) := (k ∙ z).projectionOnto (LieIdeal.toLieSubalgebra k L A).toSubmodule ⋯
W : LieSubmodule k L V := weightSpaceOfIsLieTower k V ⇑χ₀
c : k
hc : ((toEnd k L ↥W) z).HasEigenvalue c
v : V
hv : v ∈ W
hvc : ((toEnd k L ↥W) z).HasEigenvector c ⟨v, hv⟩
hv' : ∀ (x : ↥A), ⁅x, v⁆ = χ₀ x • v
x : L
hπ : ↑(π₁ x) + ↑(π₂ x) = x
⊢ ⁅((k ∙ z).projection ↑A ⋯) x, v⁆ = e (π₂ x) • ↑(c • ⟨v, hv⟩)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
⊢ ∑ α ∈ S (p + 1) i, (pminor A α * A i j - ∑ t, bminor A i (α t) (t.removeNth α) * A (α t) j) =
    ∑ α ∈ S (p + 1) i, pminor A α * A i j - ∑ α ∈ S (p + 1) i, ∑ t, bminor A i (α t) (t.removeNth α) * A (α t) j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
α : Fin (p + 1) → Fin n
k : Fin (p + 1)
hi : ∀ (j : Fin (p + 1)), i < α j
hiα : StrictMono α
α' : Fin (p + 1) → Fin n
k' : Fin (p + 1)
hj : ∀ (j : Fin (p + 1)), i < α' j
hiα' : StrictMono α'
hremove : k.removeNth α = k'.removeNth α'
hvalue : α k = α' k'
hrange : Set.range α = Set.range α'
⊢ α = α' ∧ k = k'

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field k
L : Type u_2
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra k L
V : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module k V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule k L V
inst✝³ : CharZero k
inst✝² : Module.Finite k V
inst✝¹ : IsTriangularizable k L V
A : LieIdeal k L
hA✝ : IsCoatom ↑A
χ₀ : Module.Dual k ↥A
inst✝ : Nontrivial ↥(weightSpace V ⇑χ₀)
z : L
hz : z ∉ ↑A
e : ↥(k ∙ z) ≃ₗ[k] k := (LinearEquiv.toSpanNonzeroSingleton k L z ⋯).symm
he : ∀ (x : ↥(k ∙ z)), e x • z = ↑x
hA : IsCompl (↑A) (k ∙ z)
π₁ : L →ₗ[k] ↥A := (↑A).projectionOnto (k ∙ z) hA
π₂ : L →ₗ[k] ↥(k ∙ z) := (k ∙ z).projectionOnto (LieIdeal.toLieSubalgebra k L A).toSubmodule ⋯
W : LieSubmodule k L V := weightSpaceOfIsLieTower k V ⇑χ₀
c : k
hc : ((toEnd k L ↥W) z).HasEigenvalue c
v : V
hv : v ∈ W
hvc : ((toEnd k L ↥W) z).HasEigenvector c ⟨v, hv⟩
hv' : ∀ (x : ↥A), ⁅x, v⁆ = χ₀ x • v
x : L
hπ : ↑(π₁ x) + ↑(π₂ x) = x
⊢ e (π₂ x) • ↑(c • ⟨v, hv⟩) = (c • e (π₂ x)) • v

Tactic:
by

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Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
α : Fin (p + 1) → Fin n
k : Fin (p + 1)
hi : ∀ (j : Fin (p + 1)), i < α j
hiα : StrictMono α
α' : Fin (p + 1) → Fin n
k' : Fin (p + 1)
hj : ∀ (j : Fin (p + 1)), i < α' j
hiα' : StrictMono α'
hremove : k.removeNth α = k'.removeNth α'
hvalue : α k = α' k'
⊢ Set.range α = Set.insert (α k) (Set.range (k.removeNth α))

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
α : Fin (p + 1) → Fin n
k : Fin (p + 1)
hi : ∀ (j : Fin (p + 1)), i < α j
hiα : StrictMono α
α' : Fin (p + 1) → Fin n
k' : Fin (p + 1)
hj : ∀ (j : Fin (p + 1)), i < α' j
hiα' : StrictMono α'
hremove : k.removeNth α = k'.removeNth α'
hvalue : α k = α' k'
⊢ Set.insert (α k) (Set.range (k.removeNth α)) = Set.insert (α' k') (Set.range (k'.removeNth α'))

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
α : Fin (p + 1) → Fin n
k : Fin (p + 1)
hi : ∀ (j : Fin (p + 1)), i < α j
hiα : StrictMono α
α' : Fin (p + 1) → Fin n
k' : Fin (p + 1)
hj : ∀ (j : Fin (p + 1)), i < α' j
hiα' : StrictMono α'
hremove : k.removeNth α = k'.removeNth α'
hvalue : α k = α' k'
⊢ Set.insert (α' k') (Set.range (k'.removeNth α')) = Set.range α'

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
α : Fin p → Fin n
k : Fin n
hα : α ∈ S p i
hk : i < k
hoccurs : k ∉ Set.range α
hnotmem : ¬bminor A i (α, k).2 (α, k).1 * A (α, k).2 j = 0
t : Fin (p + 1)
ht : t.insertNth k α ∈ S (p + 1) i
⊢ (t.insertNth k α, t) ∈ ↑(S (p + 1) i ×ˢ Finset.univ)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field k
L : Type u_2
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra k L
V : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module k V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule k L V
inst✝³ : CharZero k
inst✝² : Module.Finite k V
inst✝¹ : IsTriangularizable k L V
A : LieIdeal k L
hA : IsCoatom ↑A
χ₀ : Module.Dual k ↥A
inst✝ : Nontrivial ↥(weightSpace V ⇑χ₀)
⊢ ∃ χ, Nontrivial ↥(weightSpace V ⇑χ)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
α : Fin p → Fin n
k : Fin n
hα : α ∈ S p i
hk : i < k
hoccurs : k ∉ Set.range α
hnotmem : ¬bminor A i (α, k).2 (α, k).1 * A (α, k).2 j = 0
t : Fin (p + 1)
ht : t.insertNth k α ∈ S (p + 1) i
⊢ (fun x ↦
        match x with
        | (α, k) => (k.removeNth α, α k))
      (t.insertNth k α, t) =
    (α, k)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹² : Field k
V : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module k V
inst✝⁹ : CharZero k
inst✝⁸ : Module.Finite k V
inst✝⁷ : Nontrivial V
L : Type u_4
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra k L
inst✝⁴ : LieRingModule L V
inst✝³ : LieModule k L V
inst✝² : IsSolvable L
inst✝¹ : IsTriangularizable k L V
inst✝ : Module.Finite k L
⊢ ∃ χ, Nontrivial ↥(weightSpace V ⇑χ)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
⊢ ∑ k > i, ∑ α ∈ S p i, bminor A i k α * A k j =
    ∑ α' ∈ S (p + 1) i, ∑ t, bminor A i (α' t) (t.removeNth α') * A (α' t) j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.SerreConstruction

Goal state before:
pp: R : Type u
B : Type v
inst✝ : CommRing R
CM : Matrix B B ℤ
i : B
h : CM i i = 2
⊢ adE R CM (i, i) = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.SerreConstruction

Goal state before:
pp: R : Type u
B : Type v
inst✝ : CommRing R
CM : Matrix B B ℤ
i : B
h : CM i i = 2
⊢ adF R CM (i, i) = 0

Tactic:
have h' : (-2 : ℤ).toNat = 0 := rfl
  simp [adF, h, h']

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.SerreConstruction

Goal state before:
pp: R : Type u
B : Type v
inst✝ : CommRing R
CM : Matrix B B ℤ
i : B
h : CM i i = 2
⊢ adF R CM (i, i) = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
⊢ Eq1 A p

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TransferInstance

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
e : M ≃+ L
x✝² x✝¹ x✝ : M
⊢ e.symm ⁅e (x✝² + x✝¹), e x✝⁆ = e.symm ⁅e x✝², e x✝⁆ + e.symm ⁅e x✝¹, e x✝⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TransferInstance

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
e : M ≃+ L
x✝² x✝¹ x✝ : M
⊢ e.symm ⁅e x✝², e (x✝¹ + x✝)⁆ = e.symm ⁅e x✝², e x✝¹⁆ + e.symm ⁅e x✝², e x✝⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TransferInstance

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
e : M ≃+ L
x✝ : M
⊢ e.symm ⁅e x✝, e x✝⁆ = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TransferInstance

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
e : M ≃+ L
x✝² x✝¹ x✝ : M
⊢ e.symm ⁅e x✝², e (e.symm ⁅e x✝¹, e x✝⁆)⁆ =
    e.symm ⁅e (e.symm ⁅e x✝², e x✝¹⁆), e x✝⁆ + e.symm ⁅e x✝¹, e (e.symm ⁅e x✝², e x✝⁆)⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TransferInstance

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
e : M ≃ₗ[R] L
this : LieRing M := e.toAddEquiv.lieRing
x✝² : R
x✝¹ x✝ : M
⊢ ⁅x✝¹, x✝² • x✝⁆ = x✝² • ⁅x✝¹, x✝⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TransferInstance

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
e : M ≃ₗ[R] L
this✝ : LieRing M := e.toAddEquiv.lieRing
this : LieAlgebra R M := e.lieAlgebra
⊢ ∀ {x y : M}, (↑e).toFun ⁅x, y⁆ = ⁅(↑e).toFun x, (↑e).toFun y⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
A : Matrix (Fin (k + 1)) (Fin (k + 1)) R
⊢ ∑ α ∈ S k 0, bminor A 0 0 α = A.det

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TransferInstance

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L' : Type u_2
L : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
e : L' ≃ L
this✝ : LieRing L' := e.lieRing
this : Module R L' := Equiv.module R e
x✝² : R
x✝¹ x✝ : L'
⊢ ⁅x✝¹, x✝² • x✝⁆ = x✝² • ⁅x✝¹, x✝⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TransferInstance

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L' : Type u_2
L : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
e : L' ≃ L
this✝ : LieRing L' := e.lieRing
this : LieAlgebra R L' := Equiv.lieAlgebra R e
x y : L'
⊢ (↑(linearEquiv R e)).toFun ⁅x, y⁆ = ⁅(↑(linearEquiv R e)).toFun x, (↑(linearEquiv R e)).toFun y⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
⊢ A.det = Spec.birdDet A

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Array R
hA : A.size = n * n
⊢ (Matrix.ofArray A hA).det = birdDet n A

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹¹ : Field k
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra k L
V : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module k V
inst✝⁶ : LieRingModule L V
inst✝⁵ : LieModule k L V
inst✝⁴ : CharZero k
inst✝³ : Module.Finite k V
inst✝² : Nontrivial V
inst✝¹ : IsSolvable L
inst✝ : IsTriangularizable k L V
⊢ ∃ χ, Nontrivial ↥(weightSpace V ⇑χ)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.LieRinehartAlgebra.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A₁ : Type u_2
L₁ : Type u_3
A₂ : Type u_4
L₂ : Type u_5
A₃ : Type u_6
L₃ : Type u_7
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A₁
inst✝¹⁶ : LieRing L₁
inst✝¹⁵ : Module A₁ L₁
inst✝¹⁴ : LieRingModule L₁ A₁
inst✝¹³ : CommRing A₂
inst✝¹² : LieRing L₂
inst✝¹¹ : Module A₂ L₂
inst✝¹⁰ : LieRingModule L₂ A₂
inst✝⁹ : CommRing A₃
inst✝⁸ : LieRing L₃
inst✝⁷ : Module A₃ L₃
inst✝⁶ : LieRingModule L₃ A₃
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₁
inst✝³ : Algebra R A₂
inst✝² : LieAlgebra R L₂
inst✝¹ : Algebra R A₃
inst✝ : LieAlgebra R L₃
σ₁₂ : A₁ →ₐ[R] A₂
σ₂₃ : A₂ →ₐ[R] A₃
x✝² : Derivation R A₁ A₁
x✝¹ x✝ : A₁
⊢ ⁅x✝², x✝¹ * x✝⁆ = x✝¹ • ⁅x✝², x✝⁆ + ⁅x✝², x✝¹⁆ * x✝

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.LieRinehartAlgebra.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A₁ : Type u_2
L₁ : Type u_3
A₂ : Type u_4
L₂ : Type u_5
A₃ : Type u_6
L₃ : Type u_7
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A₁
inst✝¹⁶ : LieRing L₁
inst✝¹⁵ : Module A₁ L₁
inst✝¹⁴ : LieRingModule L₁ A₁
inst✝¹³ : CommRing A₂
inst✝¹² : LieRing L₂
inst✝¹¹ : Module A₂ L₂
inst✝¹⁰ : LieRingModule L₂ A₂
inst✝⁹ : CommRing A₃
inst✝⁸ : LieRing L₃
inst✝⁷ : Module A₃ L₃
inst✝⁶ : LieRingModule L₃ A₃
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₁
inst✝³ : Algebra R A₂
inst✝² : LieAlgebra R L₂
inst✝¹ : Algebra R A₃
inst✝ : LieAlgebra R L₃
σ₁₂ : A₁ →ₐ[R] A₂
σ₂₃ : A₂ →ₐ[R] A₃
x✝² x✝¹ : Derivation R A₁ A₁
x✝ : A₁
⊢ ⁅x✝², x✝ • x✝¹⁆ = x✝ • ⁅x✝², x✝¹⁆ + ⁅x✝², x✝⁆ • x✝¹

Tactic:
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Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.LieRinehartAlgebra.Defs

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pp: R : Type u_1
A₁ : Type u_2
L₁ : Type u_3
A₂ : Type u_4
L₂ : Type u_5
A₃ : Type u_6
L₃ : Type u_7
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A₁
inst✝¹⁶ : LieRing L₁
inst✝¹⁵ : Module A₁ L₁
inst✝¹⁴ : LieRingModule L₁ A₁
inst✝¹³ : CommRing A₂
inst✝¹² : LieRing L₂
inst✝¹¹ : Module A₂ L₂
inst✝¹⁰ : LieRingModule L₂ A₂
inst✝⁹ : CommRing A₃
inst✝⁸ : LieRing L₃
inst✝⁷ : Module A₃ L₃
inst✝⁶ : LieRingModule L₃ A₃
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₁
inst✝³ : Algebra R A₂
inst✝² : LieAlgebra R L₂
inst✝¹ : Algebra R A₃
inst✝ : LieAlgebra R L₃
σ₁₂ : A₁ →ₐ[R] A₂
σ₂₃ : A₂ →ₐ[R] A₃
f : L₁ →ₗ⁅σ₁₂⁆ L₂
g : L₂ →ₗ⁅σ₂₃⁆ L₃
x✝¹ : A₁
x✝ : L₁
⊢ (g.comp f.toLieHom) (x✝¹ • x✝) = (σ₂₃.comp σ₁₂) x✝¹ • (g.comp f.toLieHom) x✝

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A₁ : Type u_2
L₁ : Type u_3
A₂ : Type u_4
L₂ : Type u_5
A₃ : Type u_6
L₃ : Type u_7
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A₁
inst✝¹⁶ : LieRing L₁
inst✝¹⁵ : Module A₁ L₁
inst✝¹⁴ : LieRingModule L₁ A₁
inst✝¹³ : CommRing A₂
inst✝¹² : LieRing L₂
inst✝¹¹ : Module A₂ L₂
inst✝¹⁰ : LieRingModule L₂ A₂
inst✝⁹ : CommRing A₃
inst✝⁸ : LieRing L₃
inst✝⁷ : Module A₃ L₃
inst✝⁶ : LieRingModule L₃ A₃
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₁
inst✝³ : Algebra R A₂
inst✝² : LieAlgebra R L₂
inst✝¹ : Algebra R A₃
inst✝ : LieAlgebra R L₃
σ₁₂ : A₁ →ₐ[R] A₂
σ₂₃ : A₂ →ₐ[R] A₃
f : L₁ →ₗ⁅σ₁₂⁆ L₂
g : L₂ →ₗ⁅σ₂₃⁆ L₃
x✝¹ : A₁
x✝ : L₁
⊢ (σ₂₃.comp σ₁₂) ⁅x✝, x✝¹⁆ = ⁅(g.comp f.toLieHom) x✝, (σ₂₃.comp σ₁₂) x✝¹⁆

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A₁ : Type u_2
L₁ : Type u_3
A₂ : Type u_4
L₂ : Type u_5
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L₃ : Type u_7
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A₁
inst✝¹⁶ : LieRing L₁
inst✝¹⁵ : Module A₁ L₁
inst✝¹⁴ : LieRingModule L₁ A₁
inst✝¹³ : CommRing A₂
inst✝¹² : LieRing L₂
inst✝¹¹ : Module A₂ L₂
inst✝¹⁰ : LieRingModule L₂ A₂
inst✝⁹ : CommRing A₃
inst✝⁸ : LieRing L₃
inst✝⁷ : Module A₃ L₃
inst✝⁶ : LieRingModule L₃ A₃
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₁
inst✝³ : Algebra R A₂
inst✝² : LieAlgebra R L₂
inst✝¹ : Algebra R A₃
inst✝ : LieAlgebra R L₃
σ₁₂ : A₁ →ₐ[R] A₂
σ₂₃ : A₂ →ₐ[R] A₃
x✝¹ : A₁
x✝ : L₁
⊢ LieHom.id (x✝¹ • x✝) = (AlgHom.id R A₁) x✝¹ • LieHom.id x✝

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inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A₁
inst✝¹⁶ : LieRing L₁
inst✝¹⁵ : Module A₁ L₁
inst✝¹⁴ : LieRingModule L₁ A₁
inst✝¹³ : CommRing A₂
inst✝¹² : LieRing L₂
inst✝¹¹ : Module A₂ L₂
inst✝¹⁰ : LieRingModule L₂ A₂
inst✝⁹ : CommRing A₃
inst✝⁸ : LieRing L₃
inst✝⁷ : Module A₃ L₃
inst✝⁶ : LieRingModule L₃ A₃
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₁
inst✝³ : Algebra R A₂
inst✝² : LieAlgebra R L₂
inst✝¹ : Algebra R A₃
inst✝ : LieAlgebra R L₃
σ₁₂ : A₁ →ₐ[R] A₂
σ₂₃ : A₂ →ₐ[R] A₃
x✝¹ : A₁
x✝ : L₁
⊢ (AlgHom.id R A₁) ⁅x✝, x✝¹⁆ = ⁅LieHom.id x✝, (AlgHom.id R A₁) x✝¹⁆

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A₁ : Type u_2
L₁ : Type u_3
A₂ : Type u_4
L₂ : Type u_5
A₃ : Type u_6
L₃ : Type u_7
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inst✝¹⁹ : CommRing A₁
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inst✝¹⁷ : Module A₁ L₁
inst✝¹⁶ : LieRingModule L₁ A₁
inst✝¹⁵ : CommRing A₂
inst✝¹⁴ : LieRing L₂
inst✝¹³ : Module A₂ L₂
inst✝¹² : LieRingModule L₂ A₂
inst✝¹¹ : CommRing A₃
inst✝¹⁰ : LieRing L₃
inst✝⁹ : Module A₃ L₃
inst✝⁸ : LieRingModule L₃ A₃
inst✝⁷ : Algebra R A₁
inst✝⁶ : LieAlgebra R L₁
inst✝⁵ : Algebra R A₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : LieAlgebra R L₃
σ₁₂ : A₁ →ₐ[R] A₂
σ₂₃ : A₂ →ₐ[R] A₃
inst✝¹ : LieRinehartRing A₁ L₁
inst✝ : LieRinehartAlgebra R A₁ L₁
x : L₁
a b : A₁
⊢ ((LieModule.toEnd R L₁ A₁) x) (a * b) = a • ((LieModule.toEnd R L₁ A₁) x) b + b • ((LieModule.toEnd R L₁ A₁) x) a

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A₁ : Type u_2
L₁ : Type u_3
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inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing A₁
inst✝¹⁸ : LieRing L₁
inst✝¹⁷ : Module A₁ L₁
inst✝¹⁶ : LieRingModule L₁ A₁
inst✝¹⁵ : CommRing A₂
inst✝¹⁴ : LieRing L₂
inst✝¹³ : Module A₂ L₂
inst✝¹² : LieRingModule L₂ A₂
inst✝¹¹ : CommRing A₃
inst✝¹⁰ : LieRing L₃
inst✝⁹ : Module A₃ L₃
inst✝⁸ : LieRingModule L₃ A₃
inst✝⁷ : Algebra R A₁
inst✝⁶ : LieAlgebra R L₁
inst✝⁵ : Algebra R A₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : LieAlgebra R L₃
σ₁₂ : A₁ →ₐ[R] A₂
σ₂₃ : A₂ →ₐ[R] A₃
inst✝¹ : LieRinehartRing A₁ L₁
inst✝ : LieRinehartAlgebra R A₁ L₁
x✝¹ x✝ : L₁
⊢ Derivation.mk' ((LieModule.toEnd R L₁ A₁) (x✝¹ + x✝)) ⋯ =
    Derivation.mk' ((LieModule.toEnd R L₁ A₁) x✝¹) ⋯ + Derivation.mk' ((LieModule.toEnd R L₁ A₁) x✝) ⋯

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L₁ : Type u_3
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inst✝¹⁷ : Module A₁ L₁
inst✝¹⁶ : LieRingModule L₁ A₁
inst✝¹⁵ : CommRing A₂
inst✝¹⁴ : LieRing L₂
inst✝¹³ : Module A₂ L₂
inst✝¹² : LieRingModule L₂ A₂
inst✝¹¹ : CommRing A₃
inst✝¹⁰ : LieRing L₃
inst✝⁹ : Module A₃ L₃
inst✝⁸ : LieRingModule L₃ A₃
inst✝⁷ : Algebra R A₁
inst✝⁶ : LieAlgebra R L₁
inst✝⁵ : Algebra R A₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : LieAlgebra R L₃
σ₁₂ : A₁ →ₐ[R] A₂
σ₂₃ : A₂ →ₐ[R] A₃
inst✝¹ : LieRinehartRing A₁ L₁
inst✝ : LieRinehartAlgebra R A₁ L₁
x✝¹ : R
x✝ : L₁
⊢ Derivation.mk' ((LieModule.toEnd R L₁ A₁) (x✝¹ • x✝)) ⋯ =
    (RingHom.id R) x✝¹ • Derivation.mk' ((LieModule.toEnd R L₁ A₁) x✝) ⋯

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pp: R : Type u_1
A₁ : Type u_2
L₁ : Type u_3
A₂ : Type u_4
L₂ : Type u_5
A₃ : Type u_6
L₃ : Type u_7
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing A₁
inst✝¹⁸ : LieRing L₁
inst✝¹⁷ : Module A₁ L₁
inst✝¹⁶ : LieRingModule L₁ A₁
inst✝¹⁵ : CommRing A₂
inst✝¹⁴ : LieRing L₂
inst✝¹³ : Module A₂ L₂
inst✝¹² : LieRingModule L₂ A₂
inst✝¹¹ : CommRing A₃
inst✝¹⁰ : LieRing L₃
inst✝⁹ : Module A₃ L₃
inst✝⁸ : LieRingModule L₃ A₃
inst✝⁷ : Algebra R A₁
inst✝⁶ : LieAlgebra R L₁
inst✝⁵ : Algebra R A₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : LieAlgebra R L₃
σ₁₂ : A₁ →ₐ[R] A₂
σ₂₃ : A₂ →ₐ[R] A₃
inst✝¹ : LieRinehartRing A₁ L₁
inst✝ : LieRinehartAlgebra R A₁ L₁
x✝¹ x✝ : L₁
⊢ Derivation.mk' ((LieModule.toEnd R L₁ A₁) ⁅x✝¹, x✝⁆) ⋯ =
    ⁅Derivation.mk' ((LieModule.toEnd R L₁ A₁) x✝¹) ⋯, Derivation.mk' ((LieModule.toEnd R L₁ A₁) x✝) ⋯⁆

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pp: R : Type u_1
A₁ : Type u_2
L₁ : Type u_3
A₂ : Type u_4
L₂ : Type u_5
A₃ : Type u_6
L₃ : Type u_7
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing A₁
inst✝¹⁸ : LieRing L₁
inst✝¹⁷ : Module A₁ L₁
inst✝¹⁶ : LieRingModule L₁ A₁
inst✝¹⁵ : CommRing A₂
inst✝¹⁴ : LieRing L₂
inst✝¹³ : Module A₂ L₂
inst✝¹² : LieRingModule L₂ A₂
inst✝¹¹ : CommRing A₃
inst✝¹⁰ : LieRing L₃
inst✝⁹ : Module A₃ L₃
inst✝⁸ : LieRingModule L₃ A₃
inst✝⁷ : Algebra R A₁
inst✝⁶ : LieAlgebra R L₁
inst✝⁵ : Algebra R A₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : LieAlgebra R L₃
σ₁₂ : A₁ →ₐ[R] A₂
σ₂₃ : A₂ →ₐ[R] A₃
inst✝¹ : LieRinehartRing A₁ L₁
inst✝ : LieRinehartAlgebra R A₁ L₁
x✝¹ : A₁
x✝ : L₁
⊢ { toFun := fun x ↦ Derivation.mk' ((LieModule.toEnd R L₁ A₁) x) ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, map_lie' := ⋯ }
      (x✝¹ • x✝) =
    (AlgHom.id R A₁) x✝¹ •
      { toFun := fun x ↦ Derivation.mk' ((LieModule.toEnd R L₁ A₁) x) ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, map_lie' := ⋯ }
        x✝

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by

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