mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : Fintype ι
i : ↥b.support
⊢ ω b * f i = e i * ω b

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ ⁅e i, f j⁆ * ω b = e i * f j * ω b - f j * e i * ω b

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ e i * f j * ω b - f j * e i * ω b = e i * (f j * ω b) - f j * (e i * ω b)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra✝ : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
contra : P.root m = P.root i
⊢ P.root k = P.root i + P.root j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ e i * (f j * ω b) - f j * (e i * ω b) = e i * (ω b * e j) - f j * (ω b * f i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ e i * (ω b * e j) - f j * (ω b * f i) = e i * ω b * e j - f j * ω b * f i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ e i * ω b * e j - f j * ω b * f i = ω b * f i * e j - ω b * e j * f i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

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pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra✝ : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
contra : P.root m = P.root i
h₂ : P.root k = P.root i + P.root j
⊢ P.root n = 2 • P.root i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
n✝ : ℕ
h : j ≠ -↑i
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
n : ℕ
⊢ (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)

Tactic:
by

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Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ ω b * f i * e j - ω b * e j * f i = ω b * (f i * e j) - ω b * (e j * f i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -↑i
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
⊢ P.root j = P.root j + 0 • P.root ↑i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra✝ : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
contra : P.root m = P.root i
⊢ False

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -↑i
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
⊢ (e i ^ 0).col (Sum.inr j) = 1 • Pi.single (Sum.inr j) 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ ⁅e i, f j⁆ * ω b = -ω b * ⁅e j, f i⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra✝ : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
contra : P.root m = -P.root i
⊢ P.root k = -P.root i + P.root j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
x : ↥b.support ⊕ ι → R
hx : x ∈ span R (range u)
⊢ x (Sum.inr j) = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ ⁅e i, ⁅f i, u j⁆⁆ = |b.cartanMatrix i j| • u i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra✝ : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
contra : P.root m = -P.root i
h₂ : P.root k = -P.root i + P.root j
⊢ P.root n = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
⊢ IsLieAbelian ↥(cartanSubalgebra b)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra✝ : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
contra : P.root m = -P.root i
⊢ False

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -↑i
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n x : ℕ
hk₁ : P.root (-↑i) = P.root j + n • P.root ↑i
hk₂ : (e i ^ n).col (Sum.inr j) = x • Pi.single (Sum.inr (-↑i)) 1
⊢ P.root (-j) = (n + 1) • P.root ↑i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x✝¹ x✝ : ↥(cartanSubalgebra' b)
x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx : x ∈ lieAlgebra b
hx' : ⟨x, hx⟩ ∈ cartanSubalgebra' b
y : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hy : y ∈ lieAlgebra b
hy' : ⟨y, hy⟩ ∈ cartanSubalgebra' b
x' : ↥(cartanSubalgebra b) := ⟨x, hx'⟩
y' : ↥(cartanSubalgebra b) := ⟨y, hy'⟩
this : ⁅x', y'⁆ = 0
⊢ ⁅⟨⟨x, hx⟩, hx'⟩, ⟨⟨y, hy⟩, hy'⟩⁆ = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
⊢ IsLieAbelian ↥(cartanSubalgebra' b)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x✝ : ↥(cartanSubalgebra' b)
x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx' : x ∈ lieAlgebra b
hx : ⟨x, hx'⟩ ∈ cartanSubalgebra' b
⊢ x ∈ span R (range h)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra✝ : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
contra : P.root n = P.root i
⊢ P.root k = P.root j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
⊢ LieModule.IsTriangularizable R (↥(cartanSubalgebra' b)) (↥b.support ⊕ ι → R)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
⊢ cartanSubalgebra b ≤ lieAlgebra b

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -↑i
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n x : ℕ
hk₂ : (e i ^ n).col (Sum.inr j) = x • Pi.single (Sum.inr (-↑i)) 1
hk₁ : P.root (-j) = (n + 1) • P.root ↑i
hn : n > 0
⊢ 2 ≤ n + 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra✝ : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
contra : P.root n = P.root i
h₃ : P.root k = P.root j
⊢ P.root m = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ ⁅e i, u j⁆ = |b.cartanMatrix i j| • v b ↑i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -↑i
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
k : ι
x : ℕ
hk₁ : P.root k = P.root j + n • P.root ↑i
hk₂ : (e i ^ n).col (Sum.inr j) = x • Pi.single (Sum.inr k) 1
⊢ k ≠ -↑i

Tactic:
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Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra✝ : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
contra : P.root n = P.root i
⊢ False

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
j : ι
k : ↥b.support
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
l : ↥b.support
h : P.root j = P.root ↑k + P.root (-↑k)
⊢ P.root j = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
i j : ι
k : ↥b.support
h : P.root j = P.root ↑k + P.root i
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
l : ↥b.support
⊢ i ≠ -↑k

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
i j : ι
k : ↥b.support
h : P.root j = P.root ↑k + P.root i
⊢ ⁅e k, v b i⁆ = (↑(chainBotCoeff (↑k) i) + 1) • v b j

Tactic:
by

Goal state after: