mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L₁
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
⊢ Injective DFunLike.coe

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L₁
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
h₁ : ∀ (x y : L₁), f (x + y) = f x + f y
h₂ :
  ∀ (m : R) (x : L₁),
    { toFun := ⇑f, map_add' := h₁ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := ⇑f, map_add' := h₁ }.toFun x
h₃ :
  ∀ {x y : L₁},
    { toFun := ⇑f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ }.toFun ⁅x, y⁆ =
      ⁅{ toFun := ⇑f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ }.toFun x,
        { toFun := ⇑f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂ }.toFun y⁆
⊢ { toFun := ⇑f, map_add' := h₁, map_smul' := h₂, map_lie' := h₃ } = f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₁
inst✝³ : LieRing L₂
inst✝² : LieAlgebra R L₂
inst✝¹ : LieRing L₃
inst✝ : LieAlgebra R L₃
f : L₂ →ₗ⁅R⁆ L₃
g : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
⊢ ∀ {x y : L₁}, (↑f ∘ₗ ↑g).toFun ⁅x, y⁆ = ⁅(↑f ∘ₗ ↑g).toFun x, (↑f ∘ₗ ↑g).toFun y⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.SpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' pq'' : κ
hpq : (c r).prev pq' = pq
hpq' : (c r).next pq' = pq''
i₀' i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀' : i₀' = data.i₀ r' pq' ⋯
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
⊢ Epi (ccSc X data r r' hrr' hr pq pq' i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' hi₀ hi₁ hi₂ hi₃ hi₃' n₀ n₁ n₂ hn₁' hn₁ hn₂).g

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₁
inst✝³ : LieRing L₂
inst✝² : LieAlgebra R L₂
inst✝¹ : LieRing L₃
inst✝ : LieAlgebra R L₃
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
g : L₂ → L₁
h₁ : LeftInverse g ⇑f
h₂ : RightInverse g ⇑f
x y : L₂
⊢ g ⁅x, y⁆ = g ⁅f (g x), f (g y)⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₁
inst✝³ : LieRing L₂
inst✝² : LieAlgebra R L₂
inst✝¹ : LieRing L₃
inst✝ : LieAlgebra R L₃
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
g : L₂ → L₁
h₁ : LeftInverse g ⇑f
h₂ : RightInverse g ⇑f
x y : L₂
⊢ g ⁅f (g x), f (g y)⁆ = g (f ⁅g x, g y⁆)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₁
inst✝³ : LieRing L₂
inst✝² : LieAlgebra R L₂
inst✝¹ : LieRing L₃
inst✝ : LieAlgebra R L₃
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
g : L₂ → L₁
h₁ : LeftInverse g ⇑f
h₂ : RightInverse g ⇑f
⊢ ∀ {x y : L₂}, ((↑f).inverse g h₁ h₂).toFun ⁅x, y⁆ = ⁅((↑f).inverse g h₁ h₂).toFun x, ((↑f).inverse g h₁ h₂).toFun y⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
M : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₁
inst✝³ : LieRing L₂
inst✝² : LieAlgebra R L₂
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : LieRingModule L₂ M
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
x y : L₁
m : M
⊢ ⁅f (x + y), m⁆ = ⁅f x, m⁆ + ⁅f y, m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
M : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₁
inst✝³ : LieRing L₂
inst✝² : LieAlgebra R L₂
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : LieRingModule L₂ M
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
x y : L₁
m : M
⊢ ⁅f x, ⁅f y, m⁆⁆ = ⁅f ⁅x, y⁆, m⁆ + ⁅f y, ⁅f x, m⁆⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
M : Type w₁
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L₁
inst✝⁶ : LieAlgebra R L₁
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : LieRingModule L₂ M
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieModule R L₂ M
t : R
x : L₁
m : M
⊢ ⁅t • x, m⁆ = t • ⁅x, m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
M : Type w₁
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L₁
inst✝⁶ : LieAlgebra R L₁
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : LieRingModule L₂ M
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieModule R L₂ M
t : R
x : L₁
m : M
⊢ ⁅x, t • m⁆ = t • ⁅x, m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.SpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
hpq : (c r).prev pq' = pq
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
inst✝ : X.HasSpectralSequence data
h : ¬(c r).Rel pq pq'
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
⊢ n₀ = data.deg pq' - 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieRing L₃
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieAlgebra R L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₃
f g : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
h₁ : (↑f.toLieHom).toFun = (↑g.toLieHom).toFun
h₂ : f.invFun = g.invFun
⊢ f = g

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L₁
inst✝² : LieRing L₂
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
⊢ Injective toLinearEquiv

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieRing L₃
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieAlgebra R L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₃
x✝² : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
x✝¹ x✝ : L₁
⊢ x✝² (x✝¹ + x✝) = x✝² x✝¹ + x✝² x✝

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieRing L₃
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieAlgebra R L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₃
x✝² : L₁ ≃ₗ⁅R⁆ L₂
x✝¹ : R
x✝ : L₁
⊢ x✝² (x✝¹ • x✝) = (RingHom.id R) x✝¹ • x✝² x✝

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieRing L₃
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieAlgebra R L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₃
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
h : Bijective ⇑f
⊢ ∀ {x y : L₁}, f ⁅x, y⁆ = ⁅f x, f y⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.SpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
hpq : (c r).prev pq' = pq
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
inst✝ : X.HasSpectralSequence data
h : ¬(c r).Rel pq pq'
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
⊢ IsIso (X.mapFourδ₄Toδ₃' i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ n₀ n₁ n₂ ⋯ ⋯)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieRingModule L P
x y : M →ₗ⁅R,L⁆ N
h : (fun f ↦ (↑f).toFun) x = (fun f ↦ (↑f).toFun) y
⊢ x = y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieRingModule L P
x✝² : M →ₗ⁅R,L⁆ N
x✝¹ x✝ : M
⊢ x✝² (x✝¹ + x✝) = x✝² x✝¹ + x✝² x✝

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieRingModule L P
x✝² : M →ₗ⁅R,L⁆ N
x✝¹ : R
x✝ : M
⊢ x✝² (x✝¹ • x✝) = (RingHom.id R) x✝¹ • x✝² x✝

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieRingModule L N
inst✝³ : LieRingModule L P
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieModule R L N
inst✝ : LieModule R L P
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P
x : L
m : M
n : N
⊢ ⁅x, (f m) n⁆ = (f ⁅x, m⁆) n + (f m) ⁅x, n⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieRingModule L P
⊢ ∀ {x : L} {m : M}, (LinearMap.toAddHom 0).toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, (LinearMap.toAddHom 0).toFun m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieRingModule L N
⊢ Injective DFunLike.coe

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
h : ∀ {x : L} {m : M}, (↑f).toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, (↑f).toFun m⁆
⊢ { toLinearMap := ↑f, map_lie' := h } = f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieRingModule L N
f : M →ₗ[R] N
h : ∀ {x : L} {m : M}, f.toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, f.toFun m⁆
⊢ ⇑{ toLinearMap := f, map_lie' := h } = ⇑f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieRingModule L N
f : M →ₗ[R] N
h : ∀ {x : L} {m : M}, f.toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, f.toFun m⁆
⊢ ↑{ toLinearMap := f, map_lie' := h } = f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieRingModule L P
f : N →ₗ⁅R,L⁆ P
g : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ∀ {x : L} {m : M}, (↑f ∘ₗ ↑g).toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, (↑f ∘ₗ ↑g).toFun m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieRingModule L P
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
g : N → M
h₁ : LeftInverse g ⇑f
h₂ : RightInverse g ⇑f
x : L
n : N
⊢ g ⁅x, n⁆ = g ⁅x, f (g n)⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieRingModule L P
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
g : N → M
h₁ : LeftInverse g ⇑f
h₂ : RightInverse g ⇑f
x : L
n : N
⊢ g ⁅x, f (g n)⁆ = g (f ⁅x, g n⁆)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieRingModule L P
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
g : N → M
h₁ : LeftInverse g ⇑f
h₂ : RightInverse g ⇑f
⊢ ∀ {x : L} {m : N}, ((↑f).inverse g h₁ h₂).toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, ((↑f).inverse g h₁ h₂).toFun m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieRingModule L P
f g : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ∀ {x : L} {m : M}, (↑f + ↑g).toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, (↑f + ↑g).toFun m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.SpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
hpq : (c r).prev pq' = pq
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
inst✝ : X.HasSpectralSequence data
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
h : (c r).Rel pq pq'
⊢ i₃' ≤ data.i₃ r pq ⋯

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieRingModule L P
f g : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ∀ {x : L} {m : M}, (↑f - ↑g).toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, (↑f - ↑g).toFun m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieRingModule L P
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ∀ {x : L} {m : M}, (-↑f).toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, (-↑f).toFun m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieRingModule L P
n : ℕ
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ∀ {x : L} {m : M}, (n • ↑f).toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, (n • ↑f).toFun m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieRingModule L P
z : ℤ
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ∀ {x : L} {m : M}, (z • ↑f).toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, (z • ↑f).toFun m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : AddCommGroup P
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieRingModule L N
inst✝² : LieRingModule L P
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L N
t : R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ∀ {x : L} {m : M}, (t • ↑f).toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, (t • ↑f).toFun m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.SpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
hpq : (c r).prev pq' = pq
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
inst✝ : X.HasSpectralSequence data
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
h : (c r).Rel pq pq'
⊢ n₀ - 1 + 1 = n₀

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieRingModule L P
f g : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
h₁ : (↑f.toLieModuleHom).toFun = (↑g.toLieModuleHom).toFun
h₂ : f.invFun = g.invFun
⊢ f = g

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_5
inst✝ : Finite ι
⊢ ∀ {M : ι → Submodule R P} [∀ (i : ι), IsArtinian R ↥(M i)], IsArtinian R ↥(⨆ i, M i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieRingModule L N
⊢ Injective toEquiv

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieRingModule L P
x✝² : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
x✝¹ x✝ : M
⊢ x✝² (x✝¹ + x✝) = x✝² x✝¹ + x✝² x✝

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieRingModule L P
x✝² : M ≃ₗ⁅R,L⁆ N
x✝¹ : R
x✝ : M
⊢ x✝² (x✝¹ • x✝) = (RingHom.id R) x✝¹ • x✝² x✝

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : Module.jacobson R M = ⊥
s : Finset { m // IsCoatom m }
hs : ∀ (a : { m // IsCoatom m }), s.inf Subtype.val ≤ ↑a
x✝ : ∀ (m : ↥s), IsSimpleModule R (M ⧸ ↑↑m)
f : M →ₗ[R] (m : ↥s) → M ⧸ ↑↑m := LinearMap.pi fun m ↦ (↑↑m).mkQ
x : M
hx : x ∈ f.ker
⊢ x ∈ ⊥

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.SpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
hpq : (c r).prev pq' = pq
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
inst✝ : X.HasSpectralSequence data
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
h : (c r).Rel pq pq'
⊢ i₂ = data.i₀ r pq ⋯

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : Module.End R M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)
m : ℕ
hm : n ≤ m
x y : M
hy : (f ^ m) ((f ^ n) y) = (f ^ m) x
⊢ x - (f ^ n) y ∈ (f ^ m).ker

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : Module.End R M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)
m : ℕ
hm : n ≤ m
x y : M
hy : (f ^ m) ((f ^ n) y) = (f ^ m) x
⊢ (f ^ n) y ∈ range (f ^ n) ∧ x - (f ^ n) y + (f ^ n) y = x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.SpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
hpq : (c r).prev pq' = pq
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
inst✝ : X.HasSpectralSequence data
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
h : (c r).Rel pq pq'
⊢ i₃ = data.i₁ pq

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.SpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
hpq : (c r).prev pq' = pq
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
inst✝ : X.HasSpectralSequence data
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
h : (c r).Rel pq pq'
⊢ i₃' = data.i₂ pq

Tactic:
by

Goal state after: