mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁹ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁸ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁶ : FiberBundle F V
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁴ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x : M
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) k (fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x
i : ι
aux : M → 𝕜 := fun x ↦ (b.repr (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) i
this : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) k aux x
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) k ((LinearMap.piApply (Trivialization.localFrameCoeff I e b i)) s) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁹ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁸ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁶ : FiberBundle F V
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁴ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x : M
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) k (fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x
i : ι
aux : M → 𝕜 := fun x ↦ (b.repr (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) i
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) k (fun x ↦ (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : RiemannianBundle fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : IsContinuousRiemannianBundle E fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝ : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC✝ : ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ‖mfderiv% ↑(extChartAt I x) y‖ₑ < ↑C
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst✝⁵] u
us : u ⊆ s
hu : u ⊆ {y | ‖mfderiv% ↑(extChartAt I x) y‖ₑ < ↑C}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
uc' : u ⊆ (chartAt H x).source
v : Set M
hv : v ⊆ u
v_mem : v ∈ 𝓝 x
v_open : IsOpen[inst✝⁵] v
r : ℝ≥0
hr : ball (↑(extChartAt I x) x) ↑r ⊆ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' v
r_pos : 0 < r
y : M
hy : y ∈ {y | riemannianEDist I x y < ↑(r / C)}
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ
hγ : pathELength I γ 0 1 < ↑(r / C)
A : Set ℝ := γ ⁻¹' u
zero_mem : 0 ∈ A
A_closed : IsClosed (A ∩ Icc 0 1)
t₁ : ℝ
ht₁0 : 0 ≤ t₁
ht₁1 : t₁ < 1
t₁_mem : Icc 0 t₁ ⊆ A
γ' : ℝ → E := ↑(extChartAt I x) ∘ γ
hC : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 γ' (Icc 0 t₁)
h't' : 0 < t₁
⊢ ∫⁻ (t' : ℝ) in Icc 0 t₁, ‖(mfderiv[Icc 0 t₁] γ' t') 1‖ₑ ≤ ∫⁻ (t' : ℝ) in Icc 0 t₁, ↑C * ‖(mfderiv[Icc 0 t₁] γ t') 1‖ₑ

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁹ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁸ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁶ : FiberBundle F V
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁴ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x : M
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) k (fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x
i : ι
aux : M → 𝕜 := fun x ↦ (b.repr (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) i
h₁ : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) k (fun x ↦ (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x
m m' : F
⊢ (b.repr (m + m')) i = (b.repr m) i + (b.repr m') i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁹ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁸ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁶ : FiberBundle F V
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁴ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x✝ : M
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x✝ ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) k (fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x✝
i : ι
aux : M → 𝕜 := fun x ↦ (b.repr (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) i
h₁ : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) k (fun x ↦ (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x✝
m : 𝕜
x : F
⊢ (b.repr (m • x)) i = (RingHom.id 𝕜) m • (b.repr x) i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁹ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁸ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁶ : FiberBundle F V
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁴ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x : M
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) k (fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x
i : ι
aux : M → 𝕜 := fun x ↦ (b.repr (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) i
h₁ : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) k (fun x ↦ (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x
breprl : F →ₗ[𝕜] 𝕜 := { toFun := fun v ↦ (b.repr v) i, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
⊢ ContDiffAt 𝕜 k (⇑(LinearMap.toContinuousLinearMap breprl)) (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁹ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁸ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁶ : FiberBundle F V
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁴ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x : M
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) k (fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x
i : ι
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) k ((LinearMap.piApply (Trivialization.localFrameCoeff I e b i)) s) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁹ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁸ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁶ : FiberBundle F V
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁴ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
t : Set M
k : ℕ∞ω
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : ContMDiffVectorBundle k F V I
ht : IsOpen[inst✝¹⁴] t
ht' : t ⊆ e.baseSet
⊢ ContMDiffOn I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) k (fun x ↦ ⟨x, s x⟩) t ↔
    ∀ (i : ι), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, 𝕜) k ((LinearMap.piApply (Trivialization.localFrameCoeff I e b i)) s) t

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Riemannian

Goal state before:
pp: B : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst✝² : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
inst✝ : VectorBundle ℝ F E
h : IsContinuousRiemannianBundle F E
x : B
r : ℝ
hr : 1 < r
r' : ℝ
hr' : 1 < r'
r'r : r' < r
h'x : x ∈ (trivializationAt F E x).baseSet
G : E x ≃L[ℝ] F := Trivialization.continuousLinearEquivAt ℝ (trivializationAt F E x) x h'x
C : ℝ := ‖↑G‖ ^ 2
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (r' ^ 2)⁻¹ < 1 - δ * C
g : (x : B) → E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ
g_cont :
  Continuous[inst✝⁷, topologicalSpaceTotalSpace (RingHom.id ℝ) F E (F →L[ℝ] ℝ) fun x ↦ E x →L[ℝ] ℝ] fun x ↦
    TotalSpace.mk' (F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ) x (g x)
hg : ∀ (x : B) (v w : E x), ⟪v, w⟫ = ((g x) v) w
g' : B → F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ := fun y ↦ inCoordinates F E (F →L[ℝ] ℝ) (fun x ↦ E x →L[ℝ] ℝ) x y x y (g y)
hg' : ContinuousAt g' x
this✝ : ∀ᶠ (y : B) in 𝓝 x, dist (g' y) (g' x) < δ
y : B
hy : dist (g' y) (g' x) < δ
h'y : y ∈ (trivializationAt F E x).baseSet
this : ‖g' x - g' y‖ ≤ δ
v : E y
w : F := (Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (trivializationAt F E x) y) v
⊢ (trivializationAt F E x).symm y ((Trivialization.linearMapAt ℝ (trivializationAt F E x) y) v) = v

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁹ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁸ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁶ : FiberBundle F V
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝⁴ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : ContMDiffVectorBundle k F V I
⊢ ContMDiffOn I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) k (fun x ↦ ⟨x, s x⟩) e.baseSet ↔
    ∀ (i : ι), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, 𝕜) k ((LinearMap.piApply (Trivialization.localFrameCoeff I e b i)) s) e.baseSet

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁸ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁶ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁵ : FiberBundle F V
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝³ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝² : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
x : M
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : MDiffAt (T% s) x
i : ι
aux : M → 𝕜 := fun x ↦ (b.repr (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) i
this : MDiffAt aux x
⊢ e.baseSet ∈ 𝓝 x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : RiemannianBundle fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : IsContinuousRiemannianBundle E fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝ : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC✝ : ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ‖mfderiv% ↑(extChartAt I x) y‖ₑ < ↑C
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst✝⁵] u
us : u ⊆ s
hu : u ⊆ {y | ‖mfderiv% ↑(extChartAt I x) y‖ₑ < ↑C}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
uc' : u ⊆ (chartAt H x).source
v : Set M
hv : v ⊆ u
v_mem : v ∈ 𝓝 x
v_open : IsOpen[inst✝⁵] v
r : ℝ≥0
hr : ball (↑(extChartAt I x) x) ↑r ⊆ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' v
r_pos : 0 < r
y : M
hy : y ∈ {y | riemannianEDist I x y < ↑(r / C)}
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ
hγ : pathELength I γ 0 1 < ↑(r / C)
A : Set ℝ := γ ⁻¹' u
zero_mem : 0 ∈ A
A_closed : IsClosed (A ∩ Icc 0 1)
t₁ : ℝ
ht₁0 : 0 ≤ t₁
ht₁1 : t₁ < 1
t₁_mem : Icc 0 t₁ ⊆ A
γ' : ℝ → E := ↑(extChartAt I x) ∘ γ
hC : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 γ' (Icc 0 t₁)
h't' : 0 < t₁
⊢ ∫⁻ (t' : ℝ) in Icc 0 t₁, ↑C * ‖(mfderiv[Icc 0 t₁] γ t') 1‖ₑ = ↑C * pathELength I γ 0 t₁

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : RiemannianBundle fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : IsContinuousRiemannianBundle E fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝ : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC✝ : ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ‖mfderiv% ↑(extChartAt I x) y‖ₑ < ↑C
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst✝⁵] u
us : u ⊆ s
hu : u ⊆ {y | ‖mfderiv% ↑(extChartAt I x) y‖ₑ < ↑C}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
uc' : u ⊆ (chartAt H x).source
v : Set M
hv : v ⊆ u
v_mem : v ∈ 𝓝 x
v_open : IsOpen[inst✝⁵] v
r : ℝ≥0
hr : ball (↑(extChartAt I x) x) ↑r ⊆ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' v
r_pos : 0 < r
y : M
hy : y ∈ {y | riemannianEDist I x y < ↑(r / C)}
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ
hγ : pathELength I γ 0 1 < ↑(r / C)
A : Set ℝ := γ ⁻¹' u
zero_mem : 0 ∈ A
A_closed : IsClosed (A ∩ Icc 0 1)
t₁ : ℝ
ht₁0 : 0 ≤ t₁
ht₁1 : t₁ < 1
t₁_mem : Icc 0 t₁ ⊆ A
γ' : ℝ → E := ↑(extChartAt I x) ∘ γ
hC : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 γ' (Icc 0 t₁)
h't' : 0 < t₁
⊢ ↑C * pathELength I γ 0 t₁ ≤ ↑C * pathELength I γ 0 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁸ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁶ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁵ : FiberBundle F V
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝³ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝² : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
x : M
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : MDiffAt (T% s) x
i : ι
aux : M → 𝕜 := fun x ↦ (b.repr (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) i
this : MDiffAt aux x
⊢ MDiffAt ((LinearMap.piApply (Trivialization.localFrameCoeff I e b i)) s) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁸ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁶ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁵ : FiberBundle F V
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝³ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝² : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
x : M
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : MDiffAt (T% s) x
i : ι
aux : M → 𝕜 := fun x ↦ (b.repr (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) i
⊢ (MDiffAt fun x ↦ (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁸ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁶ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁵ : FiberBundle F V
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝³ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝² : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
x : M
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : MDiffAt (T% s) x
i : ι
aux : M → 𝕜 := fun x ↦ (b.repr (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) i
h₁ : (MDiffAt fun x ↦ (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x
m m' : F
⊢ (b.repr (m + m')) i = (b.repr m) i + (b.repr m') i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁸ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁶ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁵ : FiberBundle F V
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝³ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝² : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
x✝ : M
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
hxe : x✝ ∈ e.baseSet
hs : MDiffAt (T% s) x✝
i : ι
aux : M → 𝕜 := fun x ↦ (b.repr (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) i
h₁ : (MDiffAt fun x ↦ (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x✝
m : 𝕜
x : F
⊢ (b.repr (m • x)) i = (RingHom.id 𝕜) m • (b.repr x) i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁸ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁶ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁵ : FiberBundle F V
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝³ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝² : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
x : M
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : MDiffAt (T% s) x
i : ι
aux : M → 𝕜 := fun x ↦ (b.repr (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) i
h₁ : (MDiffAt fun x ↦ (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x
breprl : F →ₗ[𝕜] 𝕜 := { toFun := fun v ↦ (b.repr v) i, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (⇑(LinearMap.toContinuousLinearMap breprl)) (↑e ((fun x ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁸ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁶ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁵ : FiberBundle F V
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝³ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝² : MemTrivializationAtlas e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
x : M
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : MDiffAt (T% s) x
i : ι
⊢ MDiffAt ((LinearMap.piApply (Trivialization.localFrameCoeff I e b i)) s) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Riemannian

Goal state before:
pp: B : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst✝² : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
inst✝ : VectorBundle ℝ F E
h : IsContinuousRiemannianBundle F E
x : B
r : ℝ
hr : 1 < r
r' : ℝ
hr' : 1 < r'
r'r : r' < r
h'x : x ∈ (trivializationAt F E x).baseSet
G : E x ≃L[ℝ] F := Trivialization.continuousLinearEquivAt ℝ (trivializationAt F E x) x h'x
C : ℝ := ‖↑G‖ ^ 2
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (r' ^ 2)⁻¹ < 1 - δ * C
g : (x : B) → E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ
g_cont :
  Continuous[inst✝⁷, topologicalSpaceTotalSpace (RingHom.id ℝ) F E (F →L[ℝ] ℝ) fun x ↦ E x →L[ℝ] ℝ] fun x ↦
    TotalSpace.mk' (F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ) x (g x)
hg : ∀ (x : B) (v w : E x), ⟪v, w⟫ = ((g x) v) w
g' : B → F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ := fun y ↦ inCoordinates F E (F →L[ℝ] ℝ) (fun x ↦ E x →L[ℝ] ℝ) x y x y (g y)
hg' : ContinuousAt g' x
this✝ : ∀ᶠ (y : B) in 𝓝 x, dist (g' y) (g' x) < δ
y : B
hy : dist (g' y) (g' x) < δ
h'y : y ∈ (trivializationAt F E x).baseSet
this : ‖g' x - g' y‖ ≤ δ
v : E y
w : F := (Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (trivializationAt F E x) y) v
⊢ ((g y) v) v = ((g' y) w) w

Tactic:
by

Goal state after: