mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ 𝕜'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F
u : D → 𝕜'
hu : Function.HasTemperateGrowth u
g : D ≃L[ℝ] E
f : 𝓢(E, F)
⊢ (smulLeftCLM F u) ((compCLMOfContinuousLinearEquiv 𝕜 g) f) =
    (compCLMOfContinuousLinearEquiv 𝕜 g) ((smulLeftCLM F (u ∘ ⇑g.symm)) f)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace ℝ H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
L : F →L[𝕜] G
x✝² x✝¹ : 𝓢(E, F)
x✝ : E
⊢ (⇑L ∘ ⇑(x✝² + x✝¹)) x✝ = (⇑L ∘ ⇑x✝²) x✝ + (⇑L ∘ ⇑x✝¹) x✝

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
u : Set F
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
hu : 0 ∈ u
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : δ > 0
h'u : ball 0 δ ⊆ u
M : ℝ
Mpos : M > 0
hM : ∀ ⦃x : F⦄, x ∈ (closedBall 0 M)ᶜ → ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x < δ ^ finrank ℝ F * ε
c : ℝ
hc : M / δ < c
x : F
hx : x ∈ uᶜ
cpos : 0 < c
⊢ δ ≤ ‖x‖

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace ℝ H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
L : F →L[𝕜] G
x✝² : 𝕜
x✝¹ : 𝓢(E, F)
x✝ : E
⊢ (⇑L ∘ ⇑(x✝² • x✝¹)) x✝ = (RingHom.id 𝕜) x✝² • (⇑L ∘ ⇑x✝¹) x✝

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace ℝ H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
L : F →L[𝕜] G
k n : ℕ
⊢ 0 ≤ ‖L‖

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
u : Set F
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
hu : 0 ∈ u
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : δ > 0
h'u : ball 0 δ ⊆ u
M : ℝ
Mpos : M > 0
hM : ∀ ⦃x : F⦄, x ∈ (closedBall 0 M)ᶜ → ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x < δ ^ finrank ℝ F * ε
c : ℝ
hc : M / δ < c
x : F
hx : x ∈ uᶜ
cpos : 0 < c
hδx : δ ≤ ‖x‖
this : δ ^ finrank ℝ F * (c ^ finrank ℝ F * φ (c • x)) < δ ^ finrank ℝ F * ε
⊢ 0 < δ ^ finrank ℝ F

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace ℝ H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
L : F →L[𝕜] G
k n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑L ∘ ⇑f) x‖ =
    ‖x‖ ^ k * ‖(ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ L).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x)‖

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n f) μ
n : ℕ
ih :
  ↑n ≤ N →
    fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (iteratedFDeriv ℝ n f) = fun w ↦
      fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) f) w n
hn : ↑(n + 1) ≤ N
w : W
m : Fin (n + 1) → V
J : Integrable (fderiv ℝ (iteratedFDeriv ℝ n f)) μ
H :
  ((fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fderiv ℝ (iteratedFDeriv ℝ n f)) w) (m 0)) (Fin.tail m) =
    (-(2 * ↑π * I)) ^ (n + 1) • (∏ x, -(L (m x)) w) • ∫ (v : V), 𝐞 (-(L v) w) • f v ∂μ
⊢ (fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (iteratedFDeriv ℝ (n + 1) f) w) m =
    (fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) f) w (n + 1)) m

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace ℝ H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
L : F →L[𝕜] G
k n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ ‖x‖ ^ k * ‖(ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ L).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x)‖ ≤
    ‖x‖ ^ k * (‖L‖ * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace ℝ H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
L : F →L[𝕜] G
k n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ ‖x‖ ^ k * (‖L‖ * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖) = ‖L‖ * (‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
u : Set F
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
hu : 0 ∈ u
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : δ > 0
h'u : ball 0 δ ⊆ u
M : ℝ
Mpos : M > 0
hM : ∀ ⦃x : F⦄, x ∈ (closedBall 0 M)ᶜ → ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x < δ ^ finrank ℝ F * ε
c : ℝ
hc : M / δ < c
x : F
hx : x ∈ uᶜ
cpos : 0 < c
hδx : δ ≤ ‖x‖
this : δ ^ finrank ℝ F * (c ^ finrank ℝ F * φ (c • x)) < δ ^ finrank ℝ F * ε
⊢ c ^ finrank ℝ F * φ (c • x) < ε

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace ℝ H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
L : F →L[𝕜] G
k n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ ‖L‖ * (‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖) ≤ ‖L‖ * (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k n) f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace ℝ H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
L : F →L[𝕜] G
⊢ ∀ (n : ℕ × ℕ),
    ∃ s C,
      0 ≤ C ∧
        ∀ (f : 𝓢(E, F)) (x : E),
          ‖x‖ ^ n.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ n.2 (⇑L ∘ ⇑f) x‖ ≤ C * (s.sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 E F)) f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a : E
⊢ Function.HasTemperateGrowth fun x ↦ x - a

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a x✝¹ x✝ : E
⊢ edist x✝¹ x✝ ≤ ↑1 * edist ((fun x ↦ x - a) x✝¹) ((fun x ↦ x - a) x✝)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransform

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝²² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝²¹ : AddCommGroup V
inst✝²⁰ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommGroup W
inst✝¹⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace ℂ F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ G
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁹ : IsTopologicalRing 𝕜
inst✝⁸ : TopologicalSpace V
inst✝⁷ : BorelSpace V
inst✝⁶ : TopologicalSpace W
inst✝⁵ : MeasurableSpace W
inst✝⁴ : BorelSpace W
e : AddChar 𝕜 𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
ν : Measure W
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither W V
σ : ℂ →+* ℂ
inst✝ : RingHomIsometric σ
f : V → E
g : W → F
M : F →L[ℂ] E →SL[σ] G
he : Continuous[inst✝¹⁰, _] ⇑e
hL : Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝¹⁰] fun p ↦ (L p.1) p.2
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g ν
this : Integrable (fun p ↦ ‖M‖ * (‖g p.1‖ * ‖f p.2‖)) (ν.prod μ)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun p ↦ e (-(L p.2) p.1) • f p.2) (ν.prod μ)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
⊢ compSubConstCLM 𝕜 0 = ContinuousLinearMap.id 𝕜 𝓢(E, F)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
a b : E
⊢ (compSubConstCLM 𝕜 b) ((compSubConstCLM 𝕜 a) f) = (compSubConstCLM 𝕜 (a + b)) f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: D : Type u_4
V : Type u_9
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
f : 𝓢(D, V)
k : ℕ
⊢ Integrable (fun x ↦ ‖x‖ ^ k * ‖f x‖) μ

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
u : Set F
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
hu : 0 ∈ u
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : δ > 0
h'u : ball 0 δ ⊆ u
M : ℝ
Mpos : M > 0
hM : ∀ ⦃x : F⦄, x ∈ (closedBall 0 M)ᶜ → ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x < δ ^ finrank ℝ F * ε
c : ℝ
hc : M / δ < c
x : F
hx : x ∈ uᶜ
cpos : 0 < c
hδx : δ ≤ ‖x‖
⊢ 0 ≤ c ^ finrank ℝ F

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: D : Type u_4
V : Type u_9
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
f : 𝓢(D, V)
x✝ : D
⊢ ‖f x✝‖ ≤ ‖‖x✝‖ ^ 0 * ‖f x✝‖‖

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
u : Set F
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
hu : 0 ∈ u
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : δ > 0
h'u : ball 0 δ ⊆ u
M : ℝ
Mpos : M > 0
hM : ∀ ⦃x : F⦄, x ∈ (closedBall 0 M)ᶜ → ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x < δ ^ finrank ℝ F * ε
c : ℝ
hc : M / δ < c
x : F
hx : x ∈ uᶜ
cpos : 0 < c
hδx : δ ≤ ‖x‖
⊢ δ ^ finrank ℝ F * (c ^ finrank ℝ F * φ (c • x)) ≤ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * (c ^ finrank ℝ F * φ (c • x))

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : MeasurableSpace D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
n : ℕ
h : Integrable (fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ (-↑n)) μ
m : ℕ × ℕ := (n, 0)
⊢ 0 ≤ 2 ^ n * ∫ (x : D), (1 + ‖x‖) ^ (-↑n) ∂μ

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : MeasurableSpace D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
n : ℕ
h : Integrable (fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ (-↑n)) μ
m : ℕ × ℕ := (n, 0)
f : 𝓢(D, V)
x : D
⊢ 0 ≤ 1 + ‖x‖

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
u : Set F
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
hu : 0 ∈ u
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : δ > 0
h'u : ball 0 δ ⊆ u
M : ℝ
Mpos : M > 0
hM : ∀ ⦃x : F⦄, x ∈ (closedBall 0 M)ᶜ → ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x < δ ^ finrank ℝ F * ε
c : ℝ
hc : M / δ < c
x : F
hx : x ∈ uᶜ
cpos : 0 < c
hδx : δ ≤ ‖x‖
⊢ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * (c ^ finrank ℝ F * φ (c • x)) = ‖c • x‖ ^ finrank ℝ F * φ (c • x)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : MeasurableSpace D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
n : ℕ
h : Integrable (fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ (-↑n)) μ
m : ℕ × ℕ := (n, 0)
f : 𝓢(D, V)
x : D
⊢ 0 < (1 + ‖x‖) ^ ↑n

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : MeasurableSpace D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
n : ℕ
h : Integrable (fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ (-↑n)) μ
m : ℕ × ℕ := (n, 0)
f : 𝓢(D, V)
⊢ ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-↑n) * (2 ^ n * ((Finset.Iic m).sup fun m' ↦ SchwartzMap.seminorm 𝕜 m'.1 m'.2) f)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n f) μ
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
⊢ fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (iteratedFDeriv ℝ n f) = fun w ↦
    fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) f) w n

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : MeasurableSpace D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
n : ℕ
h : Integrable (fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ (-↑n)) μ
m : ℕ × ℕ := (n, 0)
f : 𝓢(D, V)
h' : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-↑n) * (2 ^ n * ((Finset.Iic m).sup fun m' ↦ SchwartzMap.seminorm 𝕜 m'.1 m'.2) f)
⊢ Integrable (fun i ↦ ‖f i‖) μ

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
u : Set F
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
hu : 0 ∈ u
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : δ > 0
h'u : ball 0 δ ⊆ u
M : ℝ
Mpos : M > 0
hM : ∀ ⦃x : F⦄, x ∈ (closedBall 0 M)ᶜ → ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x < δ ^ finrank ℝ F * ε
c : ℝ
hc : M < c * δ
x : F
hx : x ∈ uᶜ
cpos : 0 < c
hδx : δ ≤ ‖x‖
⊢ c * δ ≤ c * ‖x‖

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransform

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝²² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝²¹ : AddCommGroup V
inst✝²⁰ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommGroup W
inst✝¹⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace ℂ F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ G
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁹ : IsTopologicalRing 𝕜
inst✝⁸ : TopologicalSpace V
inst✝⁷ : BorelSpace V
inst✝⁶ : TopologicalSpace W
inst✝⁵ : MeasurableSpace W
inst✝⁴ : BorelSpace W
e : AddChar 𝕜 𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
ν : Measure W
inst✝³ : SigmaFinite μ
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither W V
σ : ℂ →+* ℂ
inst✝ : RingHomIsometric σ
f : V → E
g : W → F
M : F →L[ℂ] E →SL[σ] G
he : Continuous[inst✝¹⁰, _] ⇑e
hL : Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝¹⁰] fun p ↦ (L p.1) p.2
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g ν
⊢ ∫ (ξ : W), ∫ (x : V), (M (g ξ)) (e (-(L x) ξ) • f x) ∂μ ∂ν =
    ∫ (x : V), ∫ (ξ : W), (M (g ξ)) (e (-(L x) ξ) • f x) ∂ν ∂μ

Tactic:
by

Goal state after: