mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hik_mem : P.root i + P.root k ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root (-k) + P.root j ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
h₁' : P.root (-k) - P.root i = P.root (-l)
h₂' : P.root (-k) + P.root j = P.root (-m)
h₃' : P.root (-k) + P.root j - P.root i ∈ range ⇑P.root
hki : P.pairingIn ℤ k i < 0
hik : chainBotCoeff i k = 0
hkj : P.pairingIn ℤ (-k) j < 0
hjk : chainBotCoeff j (-k) = 0
⊢ P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorAlgebra.Basis

Goal state before:
pp: κ : Type uκ
R : Type uR
M : Type uM
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis κ R M
⊢ ((lift R) (Finsupp.linearCombination R (FreeAlgebra.ι R) ∘ₗ ↑b.repr)).comp ((FreeAlgebra.lift R) (⇑(ι R) ∘ ⇑b)) =
    AlgHom.id R (FreeAlgebra R κ)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basis

Goal state before:
pp: κ : Type uκ
R : Type uR
M : Type uM
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis κ R M
i : κ
⊢ ((lift ((b.constr R) MvPolynomial.X)).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (ι R M) (b i))) (MvPolynomial.X i) =
    (AlgHom.id R (MvPolynomial κ R)) (MvPolynomial.X i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorAlgebra.Basis

Goal state before:
pp: κ : Type uκ
R : Type uR
M : Type uM
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis κ R M
i : κ
⊢ ((((FreeAlgebra.lift R) (⇑(ι R) ∘ ⇑b)).comp
            ((lift R) (Finsupp.linearCombination R (FreeAlgebra.ι R) ∘ₗ ↑b.repr))).toLinearMap ∘ₗ
        ι R)
      (b i) =
    ((AlgHom.id R (TensorAlgebra R M)).toLinearMap ∘ₗ ι R) (b i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorAlgebra.Basis

Goal state before:
pp: κ : Type uκ
R : Type uR
M : Type uM
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis κ R M
i : κ
⊢ (Finsupp.linearCombination R (FreeAlgebra.ι R) ∘ₗ ↑b.repr) (b i) = FreeAlgebra.ι R i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basis

Goal state before:
pp: κ : Type uκ
R : Type uR
M : Type uM
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis κ R M
i : κ
⊢ (↑((MvPolynomial.aeval fun i ↦ (ι R M) (b i)).comp (lift ((b.constr R) MvPolynomial.X))) ∘ₗ ι R M) (b i) =
    (↑(AlgHom.id R (SymmetricAlgebra R M)) ∘ₗ ι R M) (b i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basis

Goal state before:
pp: κ : Type uκ
R : Type uR
M : Type uM
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis κ R M
i : κ
⊢ ((b.constr R) MvPolynomial.X) (b i) = MvPolynomial.X i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorAlgebra.Basis

Goal state before:
pp: R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Free R M
⊢ Module.rank R (TensorAlgebra R M) = Cardinal.lift.{uR, uM} (sum fun n ↦ Module.rank R M ^ n)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hik_mem : P.root i + P.root k ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root (-k) + P.root j ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
h₁' : P.root (-k) - P.root i = P.root (-l)
h₂' : P.root (-k) + P.root j = P.root (-m)
h₃' : P.root (-k) + P.root j - P.root i ∈ range ⇑P.root
hki : P.pairingIn ℤ k i < 0
hik : chainBotCoeff i k = 0
hkj : P.pairingIn ℤ (-k) j < 0
hjk : chainBotCoeff j (-k) = 0
aux₁ : ¬(chainBotCoeff i m = 1 ∧ chainBotCoeff j (-l) = 0)
⊢ 0 < P.pairingIn ℤ (-k) i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hik_mem : P.root i + P.root k ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root (-k) + P.root j ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
h₁' : P.root (-k) - P.root i = P.root (-l)
h₂' : P.root (-k) + P.root j = P.root (-m)
h₃' : P.root (-k) + P.root j - P.root i ∈ range ⇑P.root
hki : P.pairingIn ℤ k i < 0
hik : chainBotCoeff i k = 0
hkj : P.pairingIn ℤ (-k) j < 0
hjk : chainBotCoeff j (-k) = 0
aux₁ : ¬(chainBotCoeff i m = 1 ∧ chainBotCoeff j (-l) = 0)
⊢ P.root i + P.root (- -m) ∈ range ⇑P.root

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basis

Goal state before:
pp: R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial M
inst✝ : Free R M
⊢ Module.rank R (SymmetricAlgebra R M) = Cardinal.lift.{uR, uM} (max (Module.rank R M) ℵ₀)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hik_mem : P.root i + P.root k ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root (-k) + P.root j ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
h₁' : P.root (-k) - P.root i = P.root (-l)
h₂' : P.root (-k) + P.root j = P.root (-m)
h₃' : P.root (-k) + P.root j - P.root i ∈ range ⇑P.root
hki : P.pairingIn ℤ k i < 0
hik : chainBotCoeff i k = 0
hkj : P.pairingIn ℤ (-k) j < 0
hjk : chainBotCoeff j (-k) = 0
aux₁ : ¬(chainBotCoeff i m = 1 ∧ chainBotCoeff j (-l) = 0)
⊢ P.root i + P.root (- -k) ∈ range ⇑P.root

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hik_mem : P.root i + P.root k ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root (-k) + P.root j ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
h₁' : P.root (-k) - P.root i = P.root (-l)
h₂' : P.root (-k) + P.root j = P.root (-m)
h₃' : P.root (-k) + P.root j - P.root i ∈ range ⇑P.root
hki : P.pairingIn ℤ k i < 0
hik : chainBotCoeff i k = 0
hkj : P.pairingIn ℤ (-k) j < 0
hjk : chainBotCoeff j (-k) = 0
aux₁ : ¬(chainBotCoeff i m = 1 ∧ chainBotCoeff j (-l) = 0)
⊢ ¬(chainBotCoeff j (-l) = 1 ∧ chainBotCoeff i m = 0)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
motive : SymmetricAlgebra R M → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), motive ((Algebra.algebraMap R (SymmetricAlgebra R M)) r)
ι : ∀ (x : M), motive ((SymmetricAlgebra.ι R M) x)
mul : ∀ (a b : SymmetricAlgebra R M), motive a → motive b → motive (a * b)
add : ∀ (a b : SymmetricAlgebra R M), motive a → motive b → motive (a + b)
a : SymmetricAlgebra R M
⊢ motive a

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
a b : SymmetricAlgebra R M
⊢ a * b = b * a

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorAlgebra.Grading

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : M
⊢ (TensorAlgebra.ι R) m ∈ (TensorAlgebra.ι R).range ^ 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorAlgebra.Grading

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
⊢ (DirectSum.coeAlgHom fun x ↦ (ι R).range ^ x).comp ((lift R) (GradedAlgebra.ι R M)) = AlgHom.id R (TensorAlgebra R M)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
a : M
⊢ (lift f) ((ι R M) a) = f a

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hik_mem : P.root i + P.root k ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root (-k) + P.root j ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
h₁' : P.root (-k) - P.root i = P.root (-l)
h₂' : P.root (-k) + P.root j = P.root (-m)
h₃' : P.root (-k) + P.root j - P.root i ∈ range ⇑P.root
hki : P.pairingIn ℤ k i < 0
hik : chainBotCoeff i k = 0
hkj : P.pairingIn ℤ (-k) j < 0
hjk : chainBotCoeff j (-k) = 0
aux₁ : ¬(chainBotCoeff i m = 1 ∧ chainBotCoeff j (-l) = 0)
aux₂ : ¬(chainBotCoeff j (-l) = 1 ∧ chainBotCoeff i m = 0)
⊢ chainBotCoeff i m = 0 ∨ chainBotCoeff i m = 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
F G : SymmetricAlgebra R M →ₐ[R] A
h : ↑F ∘ₗ ι R M = ↑G ∘ₗ ι R M
⊢ F = G

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
⊢ lift (ι R M) = AlgHom.id R (SymmetricAlgebra R M)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x : R
⊢ algebraMapInv ((algebraMap R (SymmetricAlgebra R M)) x) = x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
⊢ IsSymmetricAlgebra (ι R M)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
h : IsSymmetricAlgebra f
a : M
⊢ h.equiv (h.equiv.symm (f a)) = h.equiv ((SymmetricAlgebra.ι R M) a)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
e : SymmetricAlgebra R M ≃ₐ[R] A
he : ↑↑e ∘ₗ SymmetricAlgebra.ι R M = f
h : ↑e = SymmetricAlgebra.lift f
⊢ IsSymmetricAlgebra f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
e : SymmetricAlgebra R M ≃ₐ[R] A
he : ↑↑e ∘ₗ SymmetricAlgebra.ι R M = f
⊢ IsSymmetricAlgebra f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
h : IsSymmetricAlgebra f
A' : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring A'
inst✝ : Algebra R A'
g : M →ₗ[R] A'
a : M
⊢ (h.lift g) (f a) = g a

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
A' : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring A'
inst✝ : Algebra R A'
h : IsSymmetricAlgebra f
F G : A →ₐ[R] A'
hFG : ↑F ∘ₗ f = ↑G ∘ₗ f
this : F.comp ↑h.equiv = G.comp ↑h.equiv
⊢ F = G

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
A' : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring A'
inst✝ : Algebra R A'
h : IsSymmetricAlgebra f
F G : A →ₐ[R] A'
hFG : ↑F ∘ₗ f = ↑G ∘ₗ f
⊢ F = G

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
h : IsSymmetricAlgebra f
A' : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring A'
inst✝ : Algebra R A'
g : M →ₗ[R] A'
F : A →ₐ[R] A'
hF : ↑F ∘ₗ f = g
⊢ ↑F ∘ₗ f = ↑(h.lift g) ∘ₗ f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hik_mem : P.root i + P.root k ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root (-k) + P.root j ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
h₁' : P.root (-k) - P.root i = P.root (-l)
h₂' : P.root (-k) + P.root j = P.root (-m)
h₃' : P.root (-k) + P.root j - P.root i ∈ range ⇑P.root
hki : P.pairingIn ℤ k i < 0
hik : chainBotCoeff i k = 0
hkj : P.pairingIn ℤ (-k) j < 0
hjk : chainBotCoeff j (-k) = 0
aux₁ : ¬(chainBotCoeff i m = 1 ∧ chainBotCoeff j (-l) = 0)
aux₂ : ¬(chainBotCoeff j (-l) = 1 ∧ chainBotCoeff i m = 0)
aux₃ : chainBotCoeff i m = 0 ∨ chainBotCoeff i m = 1
⊢ chainBotCoeff j (-l) = 0 ∨ chainBotCoeff j (-l) = 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
h : IsSymmetricAlgebra f
motive : A → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), motive ((Algebra.algebraMap R A) r)
ι : ∀ (x : M), motive (f x)
mul : ∀ (a b : A), motive a → motive b → motive (a * b)
add : ∀ (a b : A), motive a → motive b → motive (a + b)
a : A
⊢ motive a

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
⊢ (chainBotCoeff i m + 1) * (chainTopCoeff j k + 1) = (chainTopCoeff j l + 1) * (chainBotCoeff i k + 1)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorAlgebra.Grading

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i : ℕ
x : ↥((ι R).range ^ i)
⊢ ((lift R) (GradedAlgebra.ι R M)) ↑x = (DirectSum.of (fun i ↦ ↥((ι R).range ^ i)) i) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorPower.Symmetric

Goal state before:
pp: R ι : Type u
inst✝² : CommSemiring R
M : Type v
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r : R
x y : ⨂[R] (x : ι), M
h : (addConGen (Rel R ι M)) x y
⊢ (addConGen (Rel R ι M)) (r • x) (r • y)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorPower.Symmetric

Goal state before:
pp: R ι : Type u
inst✝² : CommSemiring R
M : Type v
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r : R
x y : ⨂[R] (x : ι), M
h : (addConGen (Rel R ι M)) x y
⊢ (addConGen (Rel R ι M)) (r • x) (r • y)

Tactic:
by
  induction h with
  | of x y h => cases h with
    | perm e f =>
      apply isEmpty_or_nonempty ι |>.elim <;> intro h
      · convert! addConGen (Rel R ι M) |>.refl _
      · let i := Nonempty.some h
        classical
        convert!
          AddConGen.Rel.of _ _ <|
            SymmetricPower.Rel.perm (R := R) (ι := ι) e <| Function.update f i (r • f i)
        · rw [MultilinearMap.map_update_smul, Function.update_eq_self]
        · simp_rw [Function.update_apply_equiv_apply, MultilinearMap.map_update_smul,
              ← Function.update_comp_equiv, Function.update_eq_self]; rfl
  | refl => exact AddCon.refl _ _
  | symm => apply AddCon.symm; assumption
  | trans => apply AddCon.trans <;> assumption
  | add => rw [smul_add, smul_add]; apply AddCon.add <;> assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorPower.Symmetric

Goal state before:
pp: R ι : Type u
inst✝² : CommSemiring R
M : Type v
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
⊢ Submodule.span R (Set.range ⇑(tprod R)) = ⊤

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Matrix

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι
inst✝¹³ : DecidableEq κ
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype κ
inst✝¹⁰ : Finite ι'
inst✝⁹ : Finite κ'
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
f : M →ₗ[R] M'
g : N →ₗ[R] N'
⊢ (toMatrix (bM.tensorProduct bN) (bM'.tensorProduct bN')) (map f g) =
    kroneckerMap (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) ((toMatrix bM bM') f) ((toMatrix bN bN') g)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Matrix

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι
inst✝¹³ : DecidableEq κ
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype κ
inst✝¹⁰ : Finite ι'
inst✝⁹ : Finite κ'
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
A : Matrix ι' ι R
B : Matrix κ' κ R
⊢ (toLin (bM.tensorProduct bN) (bM'.tensorProduct bN')) (kroneckerMap (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) A B) =
    TensorProduct.map ((toLin bM bM') A) ((toLin bN bN') B)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Matrix

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
ι : Type u_7
κ : Type u_8
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
⊢ (toMatrix (bM.tensorProduct bN) (bN.tensorProduct bM)) ↑(TensorProduct.comm R M N) = submatrix 1 Prod.swap _root_.id

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Matrix

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
ι : Type u_7
κ : Type u_8
τ : Type u_9
inst✝¹² : DecidableEq ι
inst✝¹¹ : DecidableEq κ
inst✝¹⁰ : DecidableEq τ
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype κ
inst✝⁷ : Fintype τ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bP : Basis τ R P
⊢ (toMatrix ((bM.tensorProduct bN).tensorProduct bP) (bM.tensorProduct (bN.tensorProduct bP)))
      ↑(TensorProduct.assoc R M N P) =
    submatrix 1 _root_.id ⇑(Equiv.prodAssoc ι κ τ)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Logic.Godel.GodelBetaFunction

Goal state before:
pp: n m a : ℕ
ha : m - n ∣ a
p : ℕ
pp : Prime p
hn : p ∣ n * a + 1
hm : p ∣ m * a + 1
⊢ p ∣ (m - n) * a

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Logic.Godel.GodelBetaFunction

Goal state before:
pp: n m a : ℕ
ha : m - n ∣ a
p : ℕ
pp : Prime p
hn : p ∣ n * a + 1
hm : p ∣ m * a + 1
this : p ∣ (m - n) * a
⊢ p ∣ a

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Logic.Godel.GodelBetaFunction

Goal state before:
pp: n m a : ℕ
ha : m - n ∣ a
p : ℕ
pp : Prime p
hn : p ∣ n * a + 1
hm : p ∣ m * a + 1
⊢ False

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Logic.Godel.GodelBetaFunction

Goal state before:
pp: m : ℕ
a : Fin m → ℕ
i : Fin m
⊢ i ∈ Finset.univ

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Logic.Godel.GodelBetaFunction

Goal state before:
pp: m : ℕ
a : Fin m → ℕ
i : Fin m
⊢ a i < coprimes a i

Tactic:
by

Goal state after: