mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
m' : Type u_14
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝¹ : Fintype m'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
f : M₂' →ₗ[R] M₂
⊢ (toMatrix₂ b₁ b₂') (B.compl₂ f) = (toMatrix₂ b₁ b₂) B * (toMatrix b₂' b₂) f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
c₁ : Basis n' R M₁
c₂ : Basis m' R M₂
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
⊢ (b₁.toMatrix ⇑c₁)ᵀ * (toMatrix₂ b₁ b₂) B * b₂.toMatrix ⇑c₂ = (toMatrix₂ c₁ c₂) B

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : Fintype n
inst✝¹⁰ : Fintype m
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
M : Matrix n' n R
N : Matrix m m' R
⊢ M * (toMatrix₂ b₁ b₂) B * N = (toMatrix₂ b₁' b₂') (B.compl₁₂ ((toLin b₁' b₁) Mᵀ) ((toLin b₂' b₂) N))

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₁'
inst✝² : Module R M₁'
b₁' : Basis n' R M₁'
inst✝¹ : Fintype n'
inst✝ : DecidableEq n'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
M : Matrix n' n R
⊢ M * (toMatrix₂ b₁ b₂) B = (toMatrix₂ b₁' b₂) (B ∘ₗ (toLin b₁' b₁) Mᵀ)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
m' : Type u_14
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝¹ : Fintype m'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
M : Matrix m m' R
⊢ (toMatrix₂ b₁ b₂) B * M = (toMatrix₂ b₁ b₂') (B.compl₂ ((toLin b₂' b₂) M))

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
ι : Type u_8
Q : QuadraticMap R M N
s : Finset ι
f : ι → M
⊢ Q (∑ i ∈ s, f i) = ∑ ij ∈ s.sym2, polarSym2 (⇑Q) (Sym2.map f ij) - ∑ i ∈ s, Q (f i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : Fintype n
inst✝¹⁰ : Fintype m
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
M : Matrix n m R
P : Matrix n n' R
Q : Matrix m m' R
⊢ (toMatrix₂ b₁' b₂') (((toLinearMap₂ b₁ b₂) M).compl₁₂ ((toLin b₁' b₁) P) ((toLin b₂' b₂) Q)) =
    (toMatrix₂ b₁' b₂') ((toLinearMap₂ b₁' b₂') (Pᵀ * M * Q))

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Monoid S
inst✝⁴ : Monoid T
inst✝³ : DistribMulAction S N
inst✝² : DistribMulAction T N
inst✝¹ : SMulCommClass S R N
inst✝ : SMulCommClass T R N
a : S
Q : QuadraticMap R M N
b : R
x : M
⊢ (a • ⇑Q) (b • x) = (b * b) • (a • ⇑Q) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Monoid S
inst✝⁴ : Monoid T
inst✝³ : DistribMulAction S N
inst✝² : DistribMulAction T N
inst✝¹ : SMulCommClass S R N
inst✝ : SMulCommClass T R N
a : S
Q : QuadraticMap R M N
B : BilinMap R M N
h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y
this : SMulCommClass R S N := SMulCommClass.symm S R N
⊢ ∀ (x y : M), (a • ⇑Q) (x + y) = (a • ⇑Q) x + (a • ⇑Q) y + ((a • B) x) y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
a : R
x✝ : M
⊢ 0 = (a * a) • 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : AddMonoid ι
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
a : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)
i : ι
⊢ (proj 𝒜 i) ((decompose 𝒜).symm a) = (decompose 𝒜).symm ((of (fun i ↦ ↥(𝒜 i)) i) (a i))

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
x✝¹ x✝ : M
⊢ 0 = 0 + 0 + (0 x✝¹) x✝

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q Q' : QuadraticMap R M N
a : R
x : M
⊢ (⇑Q + ⇑Q') (a • x) = (a * a) • (⇑Q + ⇑Q') x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : SetLike σ A
inst✝² : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
i j : ι
inst✝¹ : AddLeftCancelMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
a b : A
a_mem : a ∈ 𝒜 i
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (a * b)) (i + j)) = a * ↑(((decompose 𝒜) b) j)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : SetLike σ A
inst✝² : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
i j : ι
inst✝¹ : AddRightCancelMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
a b : A
b_mem : b ∈ 𝒜 j
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (a * b)) (i + j)) = ↑(((decompose 𝒜) a) i) * b

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : SetLike σ A
inst✝² : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
j : ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
a b : A
a_mem : a ∈ 𝒜 0
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (a * b)) j) = a * ↑(((decompose 𝒜) b) j)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q Q' : QuadraticMap R M N
B : BilinMap R M N
h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y
B' : BilinMap R M N
h' : ∀ (x y : M), Q' (x + y) = Q' x + Q' y + (B' x) y
x y : M
⊢ (⇑Q + ⇑Q') (x + y) = (⇑Q + ⇑Q') x + (⇑Q + ⇑Q') y + ((B + B') x) y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
a : R
x : M
⊢ (-⇑Q) (a • x) = (a * a) • (-⇑Q) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : SetLike σ A
inst✝² : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
i : ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
a b : A
b_mem : b ∈ 𝒜 0
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (a * b)) i) = ↑(((decompose 𝒜) a) i) * b

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : AddMonoid ι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : SetLike.GradedMonoid 𝒜
decompose : A →ₐ[R] ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)
right_inv : (coeAlgHom 𝒜).comp decompose = AlgHom.id R A
left_inv : ∀ (i : ι) (x : ↥(𝒜 i)), decompose ↑x = (of (fun i ↦ ↥(𝒜 i)) i) x
⊢ Function.RightInverse ⇑(DirectSum.coeAddMonoidHom 𝒜) ⇑decompose

Tactic:
suffices decompose.comp (DirectSum.coeAlgHom 𝒜) = AlgHom.id _ _ from AlgHom.congr_fun this
    ext i x : 2
    exact (decompose.congr_arg <| DirectSum.coeAlgHom_of _ _ _).trans (left_inv i x)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : AddMonoid ι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : SetLike.GradedMonoid 𝒜
decompose : A →ₐ[R] ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)
right_inv : (coeAlgHom 𝒜).comp decompose = AlgHom.id R A
left_inv : ∀ (i : ι) (x : ↥(𝒜 i)), decompose ↑x = (of (fun i ↦ ↥(𝒜 i)) i) x
⊢ Function.RightInverse ⇑(DirectSum.coeAddMonoidHom 𝒜) ⇑decompose

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
B : BilinMap R M N
h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y
x y : M
⊢ (-⇑Q) (x + y) = (-⇑Q) x + (-⇑Q) y + ((-B) x) y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S R N
Q : QuadraticMap R M N
a : S
x : M
⊢ Q (a • x) = (a * a) • Q x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : AddMonoid ι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
a : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)
i : ι
⊢ (proj 𝒜 i) ((decompose 𝒜).symm a) = (decompose 𝒜).symm ((of (fun i ↦ ↥(𝒜 i)) i) (a i))

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S R N
Q : QuadraticMap R M N
B : BilinMap R M N
h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y
x y : M
⊢ Q (x + y) = Q x + Q y + ((LinearMap.restrictScalars₁₂ S S B) x) y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : QuadraticMap R N P
f : M →ₗ[R] N
a : R
x : M
⊢ Q (f (a • x)) = (a * a) • Q (f x)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_11
n' : Type u_13
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
J : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ ∀ (B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R), B = B' ↔ (toMatrix₂' R) B = (toMatrix₂' R) B'

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : QuadraticMap R N P
f : M →ₗ[R] N
B : BilinMap R N P
h : ∀ (x y : N), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y
x y : M
⊢ Q (f (x + y)) = Q (f x) + Q (f y) + ((LinearMap.compl₁₂ B f f) x) y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] P
Q : QuadraticMap R M N
b : R
x : M
⊢ f (Q (b • x)) = (b * b) • f (Q x)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] P
Q : QuadraticMap R M N
B : BilinMap R M N
h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y
x y : M
⊢ f (Q (x + y)) = f (Q x) + f (Q y) + ((LinearMap.compr₂ B f) x) y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
j : ι
c' : A
hc' : c' ∈ 𝒜 j
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (↑⟨c, hc⟩ * ↑⟨c', hc'⟩)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c, hc⟩) 0) * ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c', hc'⟩) 0)

Tactic:
simp only

Goal state after:
case refine_2.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
j : ι
c' : A
hc' : c' ∈ 𝒜 j
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (c * c')) 0) = ↑(((decompose 𝒜) c) 0) * ↑(((decompose 𝒜) c') 0)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : IsScalarTower R A A
f g : M →ₗ[R] A
a : R
x : M
⊢ (⇑f * ⇑g) (a • x) = (a * a) • (⇑f * ⇑g) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : IsScalarTower R A A
f g : M →ₗ[R] A
x y : M
⊢ (⇑f * ⇑g) (x + y) =
    (⇑f * ⇑g) x + (⇑f * ⇑g) y + (((LinearMap.mul R A).compl₁₂ f g + (LinearMap.mul R A).flip.compl₁₂ g f) x) y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
N' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid N'
inst✝ : Module R N'
B : BilinMap R M N
a : R
x : M
⊢ (B (a • x)) (a • x) = (a * a) • (B x) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
N' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid N'
inst✝ : Module R N'
B : BilinMap R M N
x y : M
⊢ (B (x + y)) (x + y) = (B x) x + (B y) y + ((B + flip B) x) y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
B : BilinMap R M N
x y : M
⊢ polar (⇑B.toQuadraticMap) x y = (B x) y + (B y) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ 2 • Q x = (2 • Q) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
h : IsUnit 2
Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M N
h₁₂ : Q₁.polarBilin = Q₂.polarBilin
⊢ 2 • Q₁ = 2 • Q₂

Tactic:
rw [show (2 : R) = (2 : ℕ) by rfl]

Goal state after:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
h : IsUnit 2
Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M N
h₁₂ : Q₁.polarBilin = Q₂.polarBilin
⊢ ↑2 • Q₁ = ↑2 • Q₂
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
h : IsUnit 2
⊢ Function.Injective polarBilin

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
N' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
Q : QuadraticMap R N' N
f : M →ₗ[R] N'
x y : M
⊢ ((Q.comp f).polarBilin x) y = ((compl₁₂ Q.polarBilin f f) x) y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Algebra S R
A : ι → Submodule S R
inst✝ : GradedOne A
s : S
⊢ (algebraMap S R) s ∈ A 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_11
n' : Type u_13
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
J : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ ((toLinearMap₂' R) J).IsAdjointPair ((toLinearMap₂' R) J') ⇑(toLin' A) ⇑(toLin' A') ↔ J.IsAdjointPair J' A A'

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
⊢ ∀ (x y : A), ↑(((decompose 𝒜) (x * y)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) x) 0) * ↑(((decompose 𝒜) y) 0)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
N' : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup N'
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : Module S N'
inst✝² : IsScalarTower S R N
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
f : N →ₗ[S] N'
Q : QuadraticMap R M N
x y : M
⊢ polar (⇑(f.compQuadraticMap' Q)) x y = f (polar (⇑Q) x y)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
⊢ ↑0 = 0

Tactic:
ZeroMemClass.coe_zero

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
⊢ ↑(((decompose 𝒜) 0) 0) = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
x✝¹ x✝ : A
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (x✝¹ + x✝)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) x✝¹) 0) + ↑(((decompose 𝒜) x✝) 0)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : SetLike σ R
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝ : GradedOne A
n : ℕ
⊢ ↑n ∈ A 0

Tactic:
by

Goal state after: