mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsAddTorsionFree M
inst✝¹ : P.IsReduced
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
i : ι
⊢ ¬(1 = 0 ∧ -↑n = 0)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsAddTorsionFree M
inst✝¹ : P.IsReduced
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
i : ι
⊢ ¬LinearIndependent R ![n • P.root i, P.root i]

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsAddTorsionFree M
inst✝¹ : P.IsReduced
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
i : ι
this : ¬LinearIndependent R ![n • P.root i, P.root i]
j : ι
hj : P.root j = n • P.root i
⊢ j = i ∨ P.root j = -P.root i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsAddTorsionFree M
inst✝¹ : P.IsReduced
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
j : ι
hj : P.root j = n • P.root j
⊢ 1 • P.root j = ↑n • P.root j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p α)
x✝ : M
⊢ (p.flip (coroot i)) (root i) = 2

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
⊢ LinearMap.ker P.RootForm = Submodule.map (↑P.toPerfPair.symm) (P.corootSpan R).dualAnnihilator

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p α)
⊢ preReflection (sα β) (p.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
⊢ LinearMap.ker P.RootForm = Submodule.map (↑P.toPerfPair.symm) (P.corootSpan R).dualAnnihilator

Tactic:
by
  have : IsReflexive R M := .of_isPerfPair P.toLinearMap
  have : IsReflexive R N := .of_isPerfPair P.flip.toLinearMap
  suffices finrank R (LinearMap.ker P.RootForm) = finrank R (P.corootSpan R).dualAnnihilator by
    refine (Submodule.eq_of_le_of_finrank_eq P.corootSpan_dualAnnihilator_le_ker_rootForm ?_).symm
    rw [this]
    apply LinearEquiv.finrank_map_eq
  have aux0 := Subspace.finrank_add_finrank_dualAnnihilator_eq (P.corootSpan R)
  have aux1 := Submodule.finrank_add_eq_of_isCompl P.isCompl_rootSpan_ker_rootForm
  rw [← P.finrank_corootSpan_eq', P.toPerfPair.finrank_eq, Subspace.dual_finrank_eq] at aux1
  lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsAddTorsionFree M
inst✝¹ : P.IsReduced
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
i j : ι
hj : P.root j = n • P.root i
this : n • P.root i = -1 • P.root i
⊢ ↑n • P.root i = -1 • P.root i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
⊢ IsCompl (P.rootSpan R) (Submodule.map (↑P.toPerfPair.symm) (P.corootSpan R).dualAnnihilator)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
⊢ IsCompl (P.corootSpan R) (Submodule.map (↑P.flip.toPerfPair.symm) (P.rootSpan R).dualAnnihilator)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsAddTorsionFree M
inst✝¹ : P.IsReduced
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
i : ι
⊢ n • P.root i ∉ range ⇑P.root

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
⊢ P.RootForm.orthogonal ⊤ ≤ P.RootForm.orthogonal (P.rootSpan R)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsAddTorsionFree M
inst✝ : P.IsReduced
i j : ι
h : P.root i + P.root j ∈ range ⇑P.root
⊢ LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
x y : M
hx : ∀ n ∈ P.rootSpan R, (P.RootForm n) x = 0
⊢ ∃ u ∈ P.rootSpan R, ∃ v ∈ LinearMap.ker P.RootForm, u + v = y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsAddTorsionFree M
inst✝ : P.IsReduced
i j : ι
h : P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this : LinearIndependent R ![P.root i, P.root ((P.reflectionPerm j) j)]
⊢ LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Fintype ι
i j : ι
⊢ 4 • (P.RootForm (P.root i)) (P.root j) ^ 2 =
    P.coxeterWeight i j • ((P.RootForm (P.root i)) (P.root i) * (P.RootForm (P.root j)) (P.root j))

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
⊢ P.RootForm.orthogonal (P.rootSpan R) = LinearMap.ker P.RootForm

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsAddTorsionFree M
inst✝ : P.IsReduced
i j : ι
h : P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
⊢ LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Fintype ι
i : ι
c : R
hc : ∏ i, (P.RootForm (P.root i)) (P.root i) = (P.RootForm (P.root i)) (P.root i) * c
⊢ c • 2 • P.root i ∈ P.rootSpan R

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Fintype ι
i : ι
⊢ (∏ a, (P.RootForm (P.root a)) (P.root a)) • P.coroot i ∈ (P.Polarization.domRestrict (P.rootSpan R)).range

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : LinearOrder S
inst✝⁶ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : FaithfulSMul S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : Fintype ι
i✝ j✝ i j : ι
⊢ (algebraMap S R) (∑ k, P.pairingIn S i k * P.pairingIn S j k) = (P.RootForm (P.root i)) (P.root j)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : LinearOrder S
inst✝⁶ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : FaithfulSMul S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : Fintype ι
i✝ j i : ι
⊢ (algebraMap S R) (∑ k, P.pairingIn S i k ^ 2) = (P.RootForm (P.root i)) (P.root i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : LinearOrder S
inst✝⁶ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : FaithfulSMul S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : Fintype ι
i✝ j i : ι
⊢ i ∈ Finset.univ ∧ 0 < P.pairingIn S i i ^ 2

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : LinearOrder S
inst✝⁶ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : FaithfulSMul S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : Fintype ι
i✝ j i : ι
⊢ ∃ s > 0, (algebraMap S R) s = (P.RootForm (P.root i)) (P.root i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
hk : root k = (preReflection (root i) (p.flip (coroot i))) (root j)
⊢ coroot k = (preReflection (coroot i) (p (root i))) (coroot j)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
⊢ P.rootSpan R = ⊤ ↔ P.corootSpan R = ⊤

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : LinearOrder S
inst✝⁶ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : FaithfulSMul S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : Fintype ι
x y : ↥(span S (range ⇑P.root))
⊢ (algebraMap S R) (((P.posRootForm S).posForm x) y) = (P.RootForm ↑x) ↑y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : LinearOrder S
inst✝⁶ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : FaithfulSMul S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : Fintype ι
⊢ (P.posRootForm S).posForm = P.RootFormIn S

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : LinearOrder S
inst✝⁶ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : FaithfulSMul S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : Fintype ι
x : M
hx : x ∈ span S (range ⇑P.root)
⊢ (algebraMap S R) (((P.posRootForm S).posForm ⟨x, hx⟩) ⟨x, hx⟩) = (P.RootForm x) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsAnisotropic
inst✝ : P.IsRootSystem
⊢ ↑P.PolarizationEquiv = P.Polarization

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : P.IsRootSystem
k : Type u_5
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : CharZero k
inst✝² : Module k M
inst✝¹ : Module k N
p : M →ₗ[k] N →ₗ[k] k
inst✝ : p.IsPerfPair
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span k (range ⇑root) = ⊤
⊢ ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (coroot i) (p (root i)))) (range ⇑coroot) (range ⇑coroot)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : LinearOrder S
inst✝⁶ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : FaithfulSMul S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : Fintype ι
x : M
hx : x ∈ span S (range ⇑P.root)
⊢ ∃ s ≥ 0, (algebraMap S R) s = (P.RootForm x) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : LinearOrder S
inst✝⁶ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : FaithfulSMul S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : Fintype ι
x : M
hx : x ∈ span S (range ⇑P.root)
⊢ ∃ s ≥ 0, (algebraMap S R) s = (P.RootForm x) x

Tactic:
by
  refine ⟨(P.posRootForm S).posForm ⟨x, hx⟩ ⟨x, hx⟩, IsSumSq.nonneg ?_, by simp [posRootForm]⟩
  choose s hs using P.coroot'_apply_apply_mem_of_mem_span S hx
  suffices (P.posRootForm S).posForm ⟨x, hx⟩ ⟨x, hx⟩ = ∑ i, s i * s i from
    this ▸ IsSumSq.sum_mul_self Finset.univ s
  apply FaithfulSMul.algebraMap_injective S R
  simp only [posRootForm, RootPositiveForm.algebraMap_posForm, map_sum, map_mul]
  simp [hs, rootForm_apply_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : x = 0
⊢ 0 • x = ⁅coroot α, x⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
this : ⁅e, x⁆ ∈ genWeightSpace L (⇑α + ⇑(chainTop (⇑α) β))
⊢ ⁅↑(coroot α), x⁆ = (chainTop (⇑α) β) (coroot α) • x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ Infinite ι

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsAnisotropic
inst✝ : P.IsRootSystem
i : ι
⊢ P.coroot i = (2 / (P.RootForm (P.root i)) (P.root i)) • P.PolarizationEquiv (P.root i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsAnisotropic
inst✝ : P.IsRootSystem
i : ι
⊢ P.PolarizationEquiv.symm (P.coroot i) = (2 / (P.RootForm (P.root i)) (P.root i)) • P.root i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : LinearOrder S
inst✝⁶ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : FaithfulSMul S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : Fintype ι
x y : ↥(P.rootSpan S)
⊢ ((P.posRootForm S).posForm x) y = ∑ i, (P.coroot'In S i) x * (P.coroot'In S i) y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsAnisotropic
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : NeZero 2
s : Set ι
h : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
i : ↑s
⊢ 2 / (P.RootForm (P.root ↑i)) (P.root ↑i) ≠ 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
this : ⁅e, x⁆ ∈ genWeightSpace L (⇑α + ⇑(chainTop (⇑α) β))
⊢ ⁅e, x⁆ = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
t : R
h₁ : 0 • P.root i + t • P.root j = 0
h₂ : 0 = 0 → t ≠ 0
⊢ t • P.root j = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsAnisotropic
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : NeZero 2
s : Set ι
h : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
i : ↑s
⊢ P.coroot ↑i = (fun i ↦ Units.mk0 (2 / (P.RootForm (P.root ↑i)) (P.root ↑i)) ⋯) i • P.PolarizationEquiv (P.root ↑i)

Tactic:
by

Goal state after: