mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.RationalRoot

Goal state before:
pp: case pos
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr✝ : (aeval r) p = 0
this : num A r ∣ p.coeff 0 * ↑(den A r) ^ (p.natDegree - 0)
inst : (a : Prop) → Decidable a
hr : num A r = 0
⊢ num A r ∣ p.coeff 0

pp: case neg
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr✝ : (aeval r) p = 0
this : num A r ∣ p.coeff 0 * ↑(den A r) ^ (p.natDegree - 0)
inst : (a : Prop) → Decidable a
hr : ¬num A r = 0
⊢ num A r ∣ p.coeff 0

Tactic:
· simp_all [nonZeroDivisors.coe_ne_zero]

Goal state after:
case neg
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr✝ : (aeval r) p = 0
this : num A r ∣ p.coeff 0 * ↑(den A r) ^ (p.natDegree - 0)
inst : (a : Prop) → Decidable a
hr : ¬num A r = 0
⊢ num A r ∣ p.coeff 0
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.NumDen

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
n : A
d : ↥(nonZeroDivisors A)
pr : IsRelPrime n ↑d
h : mk' K n d = x
⊢ Associated (num A x) n ∧ Associated ↑(den A x) ↑d

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module L M
inst✝⁴ : Module L N
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
inst✝¹ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝ : p.IsPerfPair
M' : Submodule K M
N' : Submodule K N
hM : span L ↑M' = ⊤
hN : span L ↑N' = ⊤
hp : ∀ x ∈ M', ∀ y ∈ N', (p x) y ∈ (algebraMap K L).range
this✝² : IsReflexive L M
this✝¹ : IsReflexive L N
v : Set M
hv₁ : v ⊆ ↑M'
hv₂ : span L v = ⊤
hv₃ : LinearIndependent L Subtype.val
b : Basis { x // x ∈ v } L M := Basis.mk hv₃ ⋯
this✝ : Fintype ↑v
v' : ↑v → ↥M' := fun i ↦ ⟨↑i, ⋯⟩
hv' : LinearIndependent (ι := ↑v) K v'
m : M
hm : m ∈ M'
w : Set N
hw₁ : w ⊆ ↑N'
hw₂ : span L w = ⊤
hw₃ : LinearIndependent L Subtype.val
bN : Basis { x // x ∈ w } L N := Basis.mk hw₃ ⋯
this : Fintype ↑w
e : ↑v ≃ ↑w
bM : Basis { x // x ∈ w } L M := bN.dualBasis.map p.toPerfPair.symm
j : ↑w
x : M
hx : x ∈ M'
⊢ (bM.repr x) j = (p x) ↑j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing A
hA : DimensionLEOne A
e : R ≃+* A
P : Ideal R
hP_ne : P ≠ ⊥
hP_prime : P.IsPrime
⊢ P.IsMaximal

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : IsLocalRing A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : FaithfulSMul R A
inst✝¹ : Module.Finite R A
p : Ideal R
inst✝ : p.IsMaximal
hp0 : p ≠ ⊥
⊢ p.primesOver A = {maximalIdeal A}

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℤ
k : ℕ
⊢ ↑(∏ l ∈ Finset.range k, (2 * l + 3)) * eval 1 ((⇑derivative)^[k] (U R n)) =
    ↑(∏ l ∈ Finset.range k, ((n + 1) ^ 2 - (↑l + 1) ^ 2)) * (↑n + 1)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℤ
⊢ eval 1 (derivative (T R n)) = ↑n ^ 2

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℤ
⊢ 3 * eval 1 (derivative (U R n)) = (↑n + 2) * (↑n + 1) * ↑n

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: 𝔽 : Type u_3
inst✝¹ : Field 𝔽
inst✝ : CharZero 𝔽
n : ℤ
k x✝¹ : ℕ
x✝ : x✝¹ ∈ Finset.range k
⊢ 2 * x✝¹ + 1 ≠ 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.RationalRoot

Goal state before:
pp: A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
this : num A r ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff 0
⊢ num A r ∣ p.coeff 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: 𝔽 : Type u_3
inst✝¹ : Field 𝔽
inst✝ : CharZero 𝔽
n : ℤ
k : ℕ
⊢ eval 1 ((⇑derivative)^[k] (T 𝔽 n)) = ↑(∏ l ∈ Finset.range k, (n ^ 2 - ↑l ^ 2)) / ↑(∏ l ∈ Finset.range k, (2 * l + 1))

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: 𝔽 : Type u_3
inst✝¹ : Field 𝔽
inst✝ : CharZero 𝔽
n : ℤ
k x✝¹ : ℕ
x✝ : x✝¹ ∈ Finset.range k
⊢ 2 * x✝¹ + 3 ≠ 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: 𝔽 : Type u_3
inst✝¹ : Field 𝔽
inst✝ : CharZero 𝔽
n : ℤ
k : ℕ
⊢ eval 1 ((⇑derivative)^[k] (U 𝔽 n)) =
    ↑(∏ l ∈ Finset.range k, ((n + 1) ^ 2 - (↑l + 1) ^ 2)) * (↑n + 1) / ↑(∏ l ∈ Finset.range k, (2 * l + 3))

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module L M
inst✝⁴ : Module L N
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
inst✝¹ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝ : p.IsPerfPair
M' : Submodule K M
N' : Submodule K N
hM : span L ↑M' = ⊤
hN : span L ↑N' = ⊤
hp : ∀ x ∈ M', ∀ y ∈ N', (p x) y ∈ (algebraMap K L).range
this✝² : IsReflexive L M
this✝¹ : IsReflexive L N
v : Set M
hv₁ : v ⊆ ↑M'
hv₂ : span L v = ⊤
hv₃ : LinearIndependent L Subtype.val
b : Basis { x // x ∈ v } L M := Basis.mk hv₃ ⋯
this✝ : Fintype ↑v
v' : ↑v → ↥M' := fun i ↦ ⟨↑i, ⋯⟩
hv' : LinearIndependent (ι := ↑v) K v'
m : M
hm : m ∈ M'
w : Set N
hw₁ : w ⊆ ↑N'
hw₂ : span L w = ⊤
hw₃ : LinearIndependent L Subtype.val
bN : Basis { x // x ∈ w } L N := Basis.mk hw₃ ⋯
this : Fintype ↑w
e : ↑v ≃ ↑w
bM : Basis { x // x ∈ w } L M := bN.dualBasis.map p.toPerfPair.symm
hbM : ∀ (j : ↑w), ∀ x ∈ M', (bM.repr x) j = (p x) ↑j
hj : ∀ (j : ↑w), (bM.repr m) j ∈ (algebraMap K L).range
i : ↑w
j : ↑v
⊢ b j ∈ M'

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.RationalRoot

Goal state before:
pp: A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
⊢ num A r ∣ p.coeff 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module L M
inst✝⁴ : Module L N
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
inst✝¹ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝ : p.IsPerfPair
M' : Submodule K M
N' : Submodule K N
hM : span L ↑M' = ⊤
hN : span L ↑N' = ⊤
hp : ∀ x ∈ M', ∀ y ∈ N', (p x) y ∈ (algebraMap K L).range
this✝² : IsReflexive L M
this✝¹ : IsReflexive L N
v : Set M
hv₁ : v ⊆ ↑M'
hv₂ : span L v = ⊤
hv₃ : LinearIndependent L Subtype.val
b : Basis { x // x ∈ v } L M := Basis.mk hv₃ ⋯
this✝ : Fintype ↑v
v' : ↑v → ↥M' := fun i ↦ ⟨↑i, ⋯⟩
hv' : LinearIndependent (ι := ↑v) K v'
m : M
hm : m ∈ M'
w : Set N
hw₁ : w ⊆ ↑N'
hw₂ : span L w = ⊤
hw₃ : LinearIndependent L Subtype.val
bN : Basis { x // x ∈ w } L N := Basis.mk hw₃ ⋯
this : Fintype ↑w
e : ↑v ≃ ↑w
bM : Basis { x // x ∈ w } L M := bN.dualBasis.map p.toPerfPair.symm
hbM : ∀ (j : ↑w), ∀ x ∈ M', (bM.repr x) j = (p x) ↑j
hj : ∀ (j : ↑w), (bM.repr m) j ∈ (algebraMap K L).range
i : ↑w
j : ↑v
⊢ bN i ∈ N'

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module L M
inst✝⁴ : Module L N
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
inst✝¹ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝ : p.IsPerfPair
M' : Submodule K M
N' : Submodule K N
hM : span L ↑M' = ⊤
hN : span L ↑N' = ⊤
hp : ∀ x ∈ M', ∀ y ∈ N', (p x) y ∈ (algebraMap K L).range
this✝² : IsReflexive L M
this✝¹ : IsReflexive L N
v : Set M
hv₁ : v ⊆ ↑M'
hv₂ : span L v = ⊤
hv₃ : LinearIndependent L Subtype.val
b : Basis { x // x ∈ v } L M := Basis.mk hv₃ ⋯
this✝ : Fintype ↑v
v' : ↑v → ↥M' := fun i ↦ ⟨↑i, ⋯⟩
hv' : LinearIndependent (ι := ↑v) K v'
m : M
hm : m ∈ M'
w : Set N
hw₁ : w ⊆ ↑N'
hw₂ : span L w = ⊤
hw₃ : LinearIndependent L Subtype.val
bN : Basis { x // x ∈ w } L N := Basis.mk hw₃ ⋯
this : Fintype ↑w
e : ↑v ≃ ↑w
bM : Basis { x // x ∈ w } L M := bN.dualBasis.map p.toPerfPair.symm
hbM : ∀ (j : ↑w), ∀ x ∈ M', (bM.repr x) j = (p x) ↑j
hj : ∀ (j : ↑w), (bM.repr m) j ∈ (algebraMap K L).range
i : ↑w
j : ↑v
⊢ (bN.dualBasis.map p.toPerfPair.symm).toMatrix (⇑b) i j ∈ (algebraMap K L).fieldRange

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.RationalRoot

Goal state before:
pp: A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
this : ↑(den A r) ∣ p.leadingCoeff * num A r ^ p.natDegree
⊢ ↑(den A r) ∣ p.leadingCoeff

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module L M
inst✝⁴ : Module L N
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
inst✝¹ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝ : p.IsPerfPair
M' : Submodule K M
N' : Submodule K N
hM : span L ↑M' = ⊤
hN : span L ↑N' = ⊤
this✝² : IsReflexive L M
this✝¹ : IsReflexive L N
v : Set M
hv₁ : v ⊆ ↑M'
hv₂ : span L v = ⊤
hv₃ : LinearIndependent L Subtype.val
b : Basis { x // x ∈ v } L M := Basis.mk hv₃ ⋯
this✝ : Fintype ↑v
v' : ↑v → ↥M' := fun i ↦ ⟨↑i, ⋯⟩
hv' : LinearIndependent (ι := ↑v) K v'
m : M
hm : m ∈ M'
w : Set N
hw₁ : w ⊆ ↑N'
hw₂ : span L w = ⊤
hw₃ : LinearIndependent L Subtype.val
bN : Basis { x // x ∈ w } L N := Basis.mk hw₃ ⋯
this : Fintype ↑w
e : ↑v ≃ ↑w
bM : Basis { x // x ∈ w } L M := bN.dualBasis.map p.toPerfPair.symm
hbM : ∀ (j : ↑w), ∀ x ∈ M', (bM.repr x) j = (p x) ↑j
hj : ∀ (j : ↑w), (bM.repr m) j ∈ (algebraMap K L).range
hp : ∀ (i : ↑w) (j : ↑v), (bN.dualBasis.map p.toPerfPair.symm).toMatrix (⇑b) i j ∈ (algebraMap K L).fieldRange
i : { x // x ∈ v }
j : { x // x ∈ w }
⊢ b.toMatrix ⇑bM * (bN.dualBasis.map p.toPerfPair.symm).toMatrix ⇑b = 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module L M
inst✝⁴ : Module L N
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
inst✝¹ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝ : p.IsPerfPair
M' : Submodule K M
N' : Submodule K N
hM : span L ↑M' = ⊤
hN : span L ↑N' = ⊤
this✝² : IsReflexive L M
this✝¹ : IsReflexive L N
v : Set M
hv₁ : v ⊆ ↑M'
hv₂ : span L v = ⊤
hv₃ : LinearIndependent L Subtype.val
b : Basis { x // x ∈ v } L M := Basis.mk hv₃ ⋯
this✝ : Fintype ↑v
v' : ↑v → ↥M' := fun i ↦ ⟨↑i, ⋯⟩
hv' : LinearIndependent (ι := ↑v) K v'
m : M
hm : m ∈ M'
w : Set N
hw₁ : w ⊆ ↑N'
hw₂ : span L w = ⊤
hw₃ : LinearIndependent L Subtype.val
bN : Basis { x // x ∈ w } L N := Basis.mk hw₃ ⋯
this : Fintype ↑w
e : ↑v ≃ ↑w
bM : Basis { x // x ∈ w } L M := bN.dualBasis.map p.toPerfPair.symm
hbM : ∀ (j : ↑w), ∀ x ∈ M', (bM.repr x) j = (p x) ↑j
hj : ∀ (j : ↑w), (bM.repr m) j ∈ (algebraMap K L).range
hp : ∀ (i : ↑w) (j : ↑v), (bN.dualBasis.map p.toPerfPair.symm).toMatrix (⇑b) i j ∈ (algebraMap K L).fieldRange
hA : ∀ (i : { x // x ∈ v }) (j : { x // x ∈ w }), b.toMatrix (⇑bM) i j ∈ (algebraMap K L).range
⊢ span K v = span K (Set.range ⇑b)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.RationalRoot

Goal state before:
pp: A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
⊢ ↑(den A r) ∣ p.leadingCoeff

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.RationalRoot

Goal state before:
pp: A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
hp : p.Monic
r : K
hr : (aeval r) p = 0
inv : A
h_inv : 1 = ↑(den A r) * inv
⊢ 1 = inv * ↑(den A r)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.PowTransition

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
I J : Ideal R
H : I ≤ J
inst✝¹ : I.IsTwoSided
inst✝ : J.IsTwoSided
x : R ⧸ I
h : x ∈ RingHom.ker (factor H)
⊢ x ∈ map (mk I) J

pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
I J : Ideal R
H : I ≤ J
inst✝¹ : I.IsTwoSided
inst✝ : J.IsTwoSided
x : R ⧸ I
h : x ∈ map (mk I) J
⊢ x ∈ RingHom.ker (factor H)

Tactic:
· rcases Ideal.Quotient.mk_surjective x with ⟨r, hr⟩
    rw [← hr] at h ⊢
    simp only [factor, RingHom.mem_ker, lift_mk, eq_zero_iff_mem] at h
    exact Ideal.mem_map_of_mem _ h

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
I J : Ideal R
H : I ≤ J
inst✝¹ : I.IsTwoSided
inst✝ : J.IsTwoSided
x : R ⧸ I
h : x ∈ map (mk I) J
⊢ x ∈ RingHom.ker (factor H)
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.PowTransition

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Ring R
I J : Ideal R
H : I ≤ J
inst✝¹ : I.IsTwoSided
inst✝ : J.IsTwoSided
⊢ RingHom.ker (factor H) = map (mk I) J

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.RationalRoot

Goal state before:
pp: A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
hp : p.Monic
r : K
hr : (aeval r) p = 0
⊢ ∃ r', r = (algebraMap A K) r' ∧ r' ∣ p.coeff 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.PowTransition

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Ring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : ℕ → Submodule R M
hp : Antitone p
x : (n : ℕ) → M ⧸ p n
h : ∀ (m : ℕ), x m = (factor ⋯) (x (m + 1))
k : ℕ
ih : ∀ {m n : ℕ} (g : m ≤ n), n = m + (n - m) → n - m = k → x m = (factor ⋯) (x n)
m : ℕ
g : m ≤ m + k + 1
hmn : m + k + 1 - m = k + 1
⊢ m + k = m + (m + k - m)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m k : ℤ
⊢ 2 * T R m * T R k = T R (m + k) + T R (m - k)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module L M
inst✝⁴ : Module L N
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
inst✝¹ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝ : p.IsPerfPair
M' : Submodule K M
N' : Submodule K N
hM : span L ↑M' = ⊤
hN : span L ↑N' = ⊤
hp : ∀ x ∈ M', ∀ y ∈ N', (p x) y ∈ (algebraMap K L).range
⊢ ∃ n b b', ∀ (i : Fin n), b i = ↑(b' i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module L M
inst✝⁴ : Module L N
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
inst✝¹ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝ : p.IsPerfPair
M' : Submodule K M
N' : Submodule K N
hM : span L ↑M' = ⊤
hN : span L ↑N' = ⊤
hp : ∀ x ∈ M', ∀ y ∈ N', (p x) y ∈ (algebraMap K L).range
⊢ finrank K ↥M' = finrank L M

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.PowTransition

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Ring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : ℕ → Submodule R M
hp : Antitone p
x : (n : ℕ) → M ⧸ p n
h : ∀ (m : ℕ), x m = (factor ⋯) (x (m + 1))
m n : ℕ
g : m ≤ n
⊢ x m = (factor ⋯) (x n)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.PowTransition

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Ring R
I J K : Ideal R
inst✝¹ : J.IsTwoSided
inst✝ : K.IsTwoSided
hIJ : J ≤ I
hJK : K ≤ J
x : R ⧸ K
h : x ∈ comap (factor hJK) (map (mk J) I)
r : R
hr : r ∈ ↑I
eq : (mk J) r = (factor hJK) x
⊢ x - (mk K) r ∈ map (mk K) J

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module L M
inst✝⁹ : Module L N
inst✝⁸ : Module K M
inst✝⁷ : Module K N
inst✝⁶ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝⁵ : p.IsPerfPair
M' : Type u_5
N' : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module K M'
inst✝¹ : Module K N'
inst✝ : IsScalarTower K L N
i : M' →ₗ[K] M
j : N' →ₗ[K] N
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hM : span L ↑i.range = ⊤
hN : span L ↑j.range = ⊤
hp : ∀ (m : M') (n : N'), (p (i m)) (j n) ∈ (algebraMap K L).range
⊢ ∀ x ∈ i.range, ∀ y ∈ j.range, (p x) y ∈ (algebraMap K L).range

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module L M
inst✝⁹ : Module L N
inst✝⁸ : Module K M
inst✝⁷ : Module K N
inst✝⁶ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝⁵ : p.IsPerfPair
M' : Type u_5
N' : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module K M'
inst✝¹ : Module K N'
inst✝ : IsScalarTower K L N
i : M' →ₗ[K] M
j : N' →ₗ[K] N
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hM : span L ↑i.range = ⊤
hN : span L ↑j.range = ⊤
hp : ∀ (m : M') (n : N'), (p (i m)) (j n) ∈ (algebraMap K L).range
⊢ (i.restrictScalarsRange₂ j (Algebra.linearMap K L) ⋯ p hp).IsPerfPair

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.PowTransition

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Ring R
I J K : Ideal R
inst✝¹ : J.IsTwoSided
inst✝ : K.IsTwoSided
hIJ : J ≤ I
hJK : K ≤ J
⊢ comap (factor hJK) (map (mk J) I) = map (mk K) I

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module L M
inst✝⁹ : Module L N
inst✝⁸ : Module K M
inst✝⁷ : Module K N
inst✝⁶ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝⁵ : p.IsPerfPair
M' : Type u_5
N' : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module K M'
inst✝¹ : Module K N'
inst✝ : IsScalarTower K L N
i : M' →ₗ[K] M
j : N' →ₗ[K] N
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hij : p.IsPerfectCompl (span L ↑i.range) (span L ↑j.range)
hp : ∀ (m : M') (n : N'), (p (i m)) (j n) ∈ (algebraMap K L).range
⊢ Injective ⇑(span L (Set.range ⇑i)).subtype

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.PowTransition

Goal state before:
pp: R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a b : ℕ
apos : 0 < a
le : a ≤ b
⊢ comap (factorPow I le) (map (mk (I ^ a)) I) = map (mk (I ^ b)) I

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module L M
inst✝⁹ : Module L N
inst✝⁸ : Module K M
inst✝⁷ : Module K N
inst✝⁶ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝⁵ : p.IsPerfPair
M' : Type u_5
N' : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module K M'
inst✝¹ : Module K N'
inst✝ : IsScalarTower K L N
i : M' →ₗ[K] M
j : N' →ₗ[K] N
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hij : p.IsPerfectCompl (span L ↑i.range) (span L ↑j.range)
hp : ∀ (m : M') (n : N'), (p (i m)) (j n) ∈ (algebraMap K L).range
⊢ Injective ⇑(span L (Set.range ⇑j)).subtype

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module L M
inst✝⁹ : Module L N
inst✝⁸ : Module K M
inst✝⁷ : Module K N
inst✝⁶ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝⁵ : p.IsPerfPair
M' : Type u_5
N' : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module K M'
inst✝¹ : Module K N'
inst✝ : IsScalarTower K L N
i : M' →ₗ[K] M
j : N' →ₗ[K] N
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hij : p.IsPerfectCompl (span L ↑i.range) (span L ↑j.range)
hp : ∀ (m : M') (n : N'), (p (i m)) (j n) ∈ (algebraMap K L).range
⊢ p.IsPerfectCompl (span L (Set.range ⇑i)).subtype.range (span L (Set.range ⇑j)).subtype.range

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module L M
inst✝⁹ : Module L N
inst✝⁸ : Module K M
inst✝⁷ : Module K N
inst✝⁶ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝⁵ : p.IsPerfPair
M' : Type u_5
N' : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module K M'
inst✝¹ : Module K N'
inst✝ : IsScalarTower K L N
i : M' →ₗ[K] M
j : N' →ₗ[K] N
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hij : p.IsPerfectCompl (span L ↑i.range) (span L ↑j.range)
hp : ∀ (m : M') (n : N'), (p (i m)) (j n) ∈ (algebraMap K L).range
this : (p.compl₁₂ (span L (Set.range ⇑i)).subtype (span L (Set.range ⇑j)).subtype).IsPerfPair
⊢ Injective ⇑i.rangeRestrict

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m k : ℤ
⊢ C R m * C R k = C R (m + k) + C R (m - k)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module L M
inst✝⁹ : Module L N
inst✝⁸ : Module K M
inst✝⁷ : Module K N
inst✝⁶ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝⁵ : p.IsPerfPair
M' : Type u_5
N' : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module K M'
inst✝¹ : Module K N'
inst✝ : IsScalarTower K L N
i : M' →ₗ[K] M
j : N' →ₗ[K] N
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hij : p.IsPerfectCompl (span L ↑i.range) (span L ↑j.range)
hp : ∀ (m : M') (n : N'), (p (i m)) (j n) ∈ (algebraMap K L).range
this : (p.compl₁₂ (span L (Set.range ⇑i)).subtype (span L (Set.range ⇑j)).subtype).IsPerfPair
⊢ Injective ⇑j.rangeRestrict

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.PowTransition

Goal state before:
pp: R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
n : ℕ
npos : n > 0
a : R ⧸ I ^ (n + 1)
h : IsUnit ((factorPow I ⋯) a)
b : R ⧸ I ^ n
right✝ : b * (factorPow I ⋯) a = 1
b' : R ⧸ I ^ n.succ
hb' : (factor ⋯) b' = b
hb : a * b' - 1 ∈ map (mk (I ^ n.succ)) (I ^ n)
c : R
hc : c ∈ ↑(I ^ n)
eq : (mk (I ^ (n + 1))) c = a * b' - 1
⊢ a * (b' * (1 - (mk (I ^ (n + 1))) c)) = (a * b' - 1) * (1 - (mk (I ^ (n + 1))) c) + (1 - (mk (I ^ (n + 1))) c)

Tactic:
by

Goal state after: