mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f g : 𝓢(E, F)
⊢ ∀ (k n : ℕ), ∃ C, ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f - ⇑g) x‖ ≤ C

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
k n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
⊢ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k n) f = sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ c}

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
k n : ℕ
f : 𝓢(ℝ, F)
M : ℝ
hMp : 0 ≤ M
hM : ∀ (x : ℝ), |x| ^ k * ‖iteratedDeriv n (⇑f) x‖ ≤ M
⊢ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k n) f ≤ M

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
k n : ℕ
f : 𝓢(ℝ, F)
x : ℝ
⊢ |x| ^ k * ‖iteratedDeriv n (⇑f) x‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k n) f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
x₀ : E
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 n) f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : Integrable f μ
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ
w : W
y : V
g : V → ℂ := fun v ↦ ↑(𝐞 (-(L v) w))
this : ∫ (x : V), g x • (fderiv ℝ f x) y ∂μ = ∫ (x : V), (2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * g x) • f x ∂μ
⊢ (fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fderiv ℝ f) w) y =
    (fourierSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) f) w) y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
x₀ : E
⊢ ‖x₀‖ ^ k * ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k 0) f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
x₀ : E
⊢ ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 0) f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : μ t ≠ ∞
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁴] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h✝ : α → E := g - t.indicator fun x ↦ a
A : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in s, φ i x • h✝ x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a) l (𝓝 a)
i : ι
hi : IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) s μ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h : ∫ (a : α) in t, φ i a ∂μ = 0
⊢ False

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : μ t ≠ ∞
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁴] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
m : ℕ × ℕ
k n : ℕ
hk : k ≤ m.1
hn : n ≤ m.2
f : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ Finset.range (k + 1) ⊆ Finset.range (m.1 + 1)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ∞
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁴] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
this : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in univ, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α), φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ∞
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁴] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ t ∈ 𝓝[univ] x₀

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ∞
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁴] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ univ, 0 ≤ φ i x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
m : ℕ × ℕ
k n : ℕ
hk : k ≤ m.1
hn : n ≤ m.2
f : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ (1 + ‖x‖) ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ 2 ^ m.1 * ((Finset.Iic m).sup fun m ↦ SchwartzMap.seminorm 𝕜 m.1 m.2) f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ∞
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁴] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁴] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (univ \ u)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
⊢ WithSeminorms (schwartzSeminormFamily 𝕜 E F)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ∞
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁴] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict univ)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
⊢ ContinuousSMul 𝕜 𝓢(E, F)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ∞
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁴] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ IntegrableOn g univ μ

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ 0 * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ C
⊢ ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
⊢ Function.HasTemperateGrowth ⇑f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h₁ : HasCompactSupport f
h₂ : ContDiff ℝ ∞ f
k n : ℕ
g : E → ℝ := fun x ↦ ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖
⊢ Continuous fun x ↦ ‖x‖ ^ k

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ∞
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁴] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ Tendsto g (𝓝[univ] x₀) (𝓝 a)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h₁ : HasCompactSupport f
h₂ : ContDiff ℝ ∞ f
k n : ℕ
g : E → ℝ := fun x ↦ ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖
⊢ Continuous g

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ∞
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁴] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α), φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h₁ : HasCompactSupport f
h₂ : ContDiff ℝ ∞ f
k n : ℕ
⊢ ∃ C, ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedField 𝕜'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜' G
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
A : 𝓢(D, E) → F → G
hadd : ∀ (f g : 𝓢(D, E)) (x : F), A (f + g) x = A f x + A g x
hsmul : ∀ (a : 𝕜) (f : 𝓢(D, E)) (x : F), A (a • f) x = σ a • A f x
hsmooth : ∀ (f : 𝓢(D, E)), ContDiff ℝ ∞ (A f)
hbound :
  ∀ (n : ℕ × ℕ),
    ∃ s C,
      0 ≤ C ∧
        ∀ (f : 𝓢(D, E)) (x : F),
          ‖x‖ ^ n.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ n.2 (A f) x‖ ≤ C * (s.sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E)) f
f : 𝓢(D, E)
⊢ ∀ (k n : ℕ), ∃ C, ∀ (x : F), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (A f) x‖ ≤ C

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁶] u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜' G
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜' G
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
inst✝ : RingHomIsometric σ
A : 𝓢(D, E) → F → G
hadd : ∀ (f g : 𝓢(D, E)) (x : F), A (f + g) x = A f x + A g x
hsmul : ∀ (a : 𝕜) (f : 𝓢(D, E)) (x : F), A (a • f) x = σ a • A f x
hsmooth : ∀ (f : 𝓢(D, E)), ContDiff ℝ ∞ (A f)
hbound :
  ∀ (n : ℕ × ℕ),
    ∃ s C,
      0 ≤ C ∧
        ∀ (f : 𝓢(D, E)) (x : F),
          ‖x‖ ^ n.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ n.2 (A f) x‖ ≤ C * (s.sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E)) f
n : ℕ × ℕ
s : Finset (ℕ × ℕ)
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
h : ∀ (f : 𝓢(D, E)) (x : F), ‖x‖ ^ n.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ n.2 (A f) x‖ ≤ C * (s.sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E)) f
f : 𝓢(D, E)
⊢ 0 ≤ (⟨C, hC⟩ • s.sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E)) f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁶] u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x ↦ c x ^ n) s μ
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᵐ[μ.restrict s] fun x ↦ c x ^ n

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜' G
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜' G
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
inst✝ : RingHomIsometric σ
A : 𝓢(D, E) → F → G
hadd : ∀ (f g : 𝓢(D, E)) (x : F), A (f + g) x = A f x + A g x
hsmul : ∀ (a : 𝕜) (f : 𝓢(D, E)) (x : F), A (a • f) x = σ a • A f x
hsmooth : ∀ (f : 𝓢(D, E)), ContDiff ℝ ∞ (A f)
hbound :
  ∀ (n : ℕ × ℕ),
    ∃ s C,
      0 ≤ C ∧
        ∀ (f : 𝓢(D, E)) (x : F),
          ‖x‖ ^ n.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ n.2 (A f) x‖ ≤ C * (s.sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E)) f
⊢ Continuous (mkLM A hadd hsmul hsmooth hbound).toFun

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : Integrable f μ
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ
⊢ fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fderiv ℝ f) =
    fourierSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) f)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
n : ℕ
m : Fin n → W
⊢ (fourierPowSMulRight L f v n) m = (-(2 * ↑π * I)) ^ n • (∏ i, (L v) (m i)) • f v

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜' G
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜' G
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
inst✝ : RingHomIsometric σ
A : 𝓢(D, E) → G
hadd : ∀ (f g : 𝓢(D, E)), A (f + g) = A f + A g
hsmul : ∀ (a : 𝕜) (f : 𝓢(D, E)), A (a • f) = σ a • A f
hbound : ∃ s C, 0 ≤ C ∧ ∀ (f : 𝓢(D, E)), ‖A f‖ ≤ C * (s.sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E)) f
f : 𝓢(D, E) →ₛₗ[σ] G := { toFun := fun x ↦ A x, map_add' := hadd, map_smul' := hsmul }
⊢ Continuous f.toFun

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁶] u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᵐ[μ.restrict s] fun x ↦ c x ^ n
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 G
m : F
k n : ℕ
f : 𝓢(E, F →L[ℝ] G)
x : E
⊢ ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x ↦ (f x) m) x‖ ≤ ‖x‖ ^ k * (‖m‖ * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖)

Tactic:
by

Goal state after: