mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst✝⁴⁹ : CommSemiring R
inst✝⁴⁸ : CommSemiring R₂
inst✝⁴⁷ : CommSemiring R₃
inst✝⁴⁶ : Monoid R'
inst✝⁴⁵ : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A✝ : Type u_6
M✝ : Type u_7
N✝ : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S✝ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst✝⁴⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁴³ : AddCommMonoid N✝
inst✝⁴² : AddCommMonoid P
inst✝⁴¹ : AddCommMonoid Q
inst✝⁴⁰ : AddCommMonoid S✝
inst✝³⁹ : AddCommMonoid P'
inst✝³⁸ : AddCommMonoid Q'
inst✝³⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝³⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝³⁵ : AddCommMonoid P₂
inst✝³⁴ : AddCommMonoid Q₂
inst✝³³ : AddCommMonoid M₃
inst✝³² : AddCommMonoid N₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid P₃
inst✝³⁰ : AddCommMonoid Q₃
inst✝²⁹ : DistribMulAction R' M✝
inst✝²⁸ : Module R'' M✝
inst✝²⁷ : Module R M✝
inst✝²⁶ : Module R N✝
inst✝²⁵ : Module R S✝
inst✝²⁴ : Module R P'
inst✝²³ : Module R Q'
inst✝²² : Module R₂ M₂
inst✝²¹ : Module R₂ N₂
inst✝²⁰ : Module R₂ P₂
inst✝¹⁹ : Module R₂ Q₂
inst✝¹⁸ : Module R₃ M₃
inst✝¹⁷ : Module R₃ N₃
inst✝¹⁶ : Module R₃ P₃
inst✝¹⁵ : Module R₃ Q₃
inst✝¹⁴ : Module R P
inst✝¹³ : Module R Q
A : Type u_22
S : Type u_23
M : Type u_24
N : Type u_25
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : Module A N
inst✝⁵ : SMulCommClass R A M
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass R S M
inst✝¹ : SMulCommClass A S M
inst✝ : CompatibleSMul R A M N
x✝¹ x✝ : M
⊢ ∀ (x : N),
    (let __spread.0 := (mk R M N) (x✝¹ + x✝);
        { toAddHom := __spread.0.toAddHom, map_smul' := ⋯ })
        x =
      ((let __spread.0 := (mk R M N) x✝¹;
          { toAddHom := __spread.0.toAddHom, map_smul' := ⋯ }) +
          let __spread.0 := (mk R M N) x✝;
          { toAddHom := __spread.0.toAddHom, map_smul' := ⋯ })
        x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
x : α
p : LTSeries α
hlast : RelSeries.last p = x
⊢ (⊥, RelSeries.head (p.map (fun a ↦ ↑a) ⋯)) ∈ {(a, b) | a < b}

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
x : α
p : LTSeries α
hlast : RelSeries.last p = x
p' : RelSeries {(a, b) | a < b} := RelSeries.cons (p.map (fun a ↦ ↑a) ⋯) ⊥ ⋯
⊢ p'.last ≤ ↑x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst✝³⁸ : CommSemiring R
inst✝³⁷ : CommSemiring R₂
inst✝³⁶ : CommSemiring R₃
inst✝³⁵ : Monoid R'
inst✝³⁴ : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : AddCommMonoid P
inst✝³⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝²⁹ : AddCommMonoid S
inst✝²⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝²⁷ : AddCommMonoid Q'
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝²⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P₂
inst✝²³ : AddCommMonoid Q₂
inst✝²² : AddCommMonoid M₃
inst✝²¹ : AddCommMonoid N₃
inst✝²⁰ : AddCommMonoid P₃
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid Q₃
inst✝¹⁸ : DistribMulAction R' M
inst✝¹⁷ : Module R'' M
inst✝¹⁶ : Module R M
inst✝¹⁵ : Module R N
inst✝¹⁴ : Module R S
inst✝¹³ : Module R P'
inst✝¹² : Module R Q'
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ N₂
inst✝⁹ : Module R₂ P₂
inst✝⁸ : Module R₂ Q₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
inst✝⁶ : Module R₃ N₃
inst✝⁵ : Module R₃ P₃
inst✝⁴ : Module R₃ Q₃
inst✝³ : SMulCommClass R R' M
inst✝² : SMulCommClass R R'' M
inst✝¹ : Module R''ᵐᵒᵖ M
inst✝ : IsCentralScalar R'' M
r : R''
x : M ⊗[R] N
⊢ MulOpposite.op r • 0 = r • 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
x : α
p : LTSeries α
hlast : RelSeries.last p = x
p' : RelSeries {(a, b) | a < b} := RelSeries.cons (p.map (fun a ↦ ↑a) ⋯) ⊥ ⋯
⊢ ↑p.length + 1 ≤ ↑p'.length

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
x : α
⊢ height ↑x = height x + 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
x : α
p : LTSeries (WithTop α)
hlast : RelSeries.last p = ↑x
i : Fin (p.length + 1)
⊢ p.toFun i ≠ ⊤

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst✝³⁸ : CommSemiring R
inst✝³⁷ : CommSemiring R₂
inst✝³⁶ : CommSemiring R₃
inst✝³⁵ : Monoid R'
inst✝³⁴ : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : AddCommMonoid P
inst✝³⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝²⁹ : AddCommMonoid S
inst✝²⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝²⁷ : AddCommMonoid Q'
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝²⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P₂
inst✝²³ : AddCommMonoid Q₂
inst✝²² : AddCommMonoid M₃
inst✝²¹ : AddCommMonoid N₃
inst✝²⁰ : AddCommMonoid P₃
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid Q₃
inst✝¹⁸ : DistribMulAction R' M
inst✝¹⁷ : Module R'' M
inst✝¹⁶ : Module R M
inst✝¹⁵ : Module R N
inst✝¹⁴ : Module R S
inst✝¹³ : Module R P'
inst✝¹² : Module R Q'
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ N₂
inst✝⁹ : Module R₂ P₂
inst✝⁸ : Module R₂ Q₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
inst✝⁶ : Module R₃ N₃
inst✝⁵ : Module R₃ P₃
inst✝⁴ : Module R₃ Q₃
inst✝³ : SMulCommClass R R' M
inst✝² : SMulCommClass R R'' M
inst✝¹ : Module R''ᵐᵒᵖ M
inst✝ : IsCentralScalar R'' M
r : R''
x✝ : M ⊗[R] N
x : M
y : N
⊢ MulOpposite.op r • x ⊗ₜ[R] y = r • x ⊗ₜ[R] y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
x : α
p : LTSeries (WithTop α)
hlast : RelSeries.last p = ↑x
i : Fin p.length
⊢ ((p.toFun i.castSucc).untop ⋯, (p.toFun i.succ).untop ⋯) ∈ {(a, b) | a < b}

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
x : α
p : LTSeries (WithTop α)
hlast : RelSeries.last p = ↑x
p' : LTSeries α := { length := p.length, toFun := fun i ↦ (p.toFun i).untop ⋯, step := ⋯ }
⊢ RelSeries.last p' = x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst✝⁴⁹ : CommSemiring R
inst✝⁴⁸ : CommSemiring R₂
inst✝⁴⁷ : CommSemiring R₃
inst✝⁴⁶ : Monoid R'
inst✝⁴⁵ : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A✝ : Type u_6
M✝ : Type u_7
N✝ : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S✝ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst✝⁴⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁴³ : AddCommMonoid N✝
inst✝⁴² : AddCommMonoid P
inst✝⁴¹ : AddCommMonoid Q
inst✝⁴⁰ : AddCommMonoid S✝
inst✝³⁹ : AddCommMonoid P'
inst✝³⁸ : AddCommMonoid Q'
inst✝³⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝³⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝³⁵ : AddCommMonoid P₂
inst✝³⁴ : AddCommMonoid Q₂
inst✝³³ : AddCommMonoid M₃
inst✝³² : AddCommMonoid N₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid P₃
inst✝³⁰ : AddCommMonoid Q₃
inst✝²⁹ : DistribMulAction R' M✝
inst✝²⁸ : Module R'' M✝
inst✝²⁷ : Module R M✝
inst✝²⁶ : Module R N✝
inst✝²⁵ : Module R S✝
inst✝²⁴ : Module R P'
inst✝²³ : Module R Q'
inst✝²² : Module R₂ M₂
inst✝²¹ : Module R₂ N₂
inst✝²⁰ : Module R₂ P₂
inst✝¹⁹ : Module R₂ Q₂
inst✝¹⁸ : Module R₃ M₃
inst✝¹⁷ : Module R₃ N₃
inst✝¹⁶ : Module R₃ P₃
inst✝¹⁵ : Module R₃ Q₃
inst✝¹⁴ : Module R P
inst✝¹³ : Module R Q
A : Type u_22
S : Type u_23
M : Type u_24
N : Type u_25
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : Module A N
inst✝⁵ : SMulCommClass R A M
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass R S M
inst✝¹ : SMulCommClass A S M
inst✝ : CompatibleSMul R A M N
s : S
x : M ⊗[A] N
⊢ (lift
          {
            toFun := fun m ↦
              let __spread.0 := (mk R M N) m;
              { toAddHom := __spread.0.toAddHom, map_smul' := ⋯ },
            map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }).toFun
      (s • x) =
    (RingHom.id S) s •
      (lift
            {
              toFun := fun m ↦
                let __spread.0 := (mk R M N) m;
                { toAddHom := __spread.0.toAddHom, map_smul' := ⋯ },
              map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }).toFun
        x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
x : α
p : LTSeries (WithTop α)
hlast : RelSeries.last p = ↑x
p' : LTSeries α := { length := p.length, toFun := fun i ↦ (p.toFun i).untop ⋯, step := ⋯ }
hlast' : RelSeries.last p' = x
this : ↑p'.length ≤ height (RelSeries.last p')
⊢ ↑p.length ≤ height x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R
A : Type u_22
S : Type u_23
M : Type u_24
N : Type u_25
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Module A M
inst✝⁶ : Module A N
inst✝⁵ : SMulCommClass R A M
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass R S M
inst✝¹ : SMulCommClass A S M
inst✝ : CompatibleSMul R A M N
x✝⁴ x✝³ x✝² : M ⊗[R] N
x✝¹ : ∃ a, (mapOfCompatibleSMul R A S M N) a = x✝³
x✝ : ∃ a, (mapOfCompatibleSMul R A S M N) a = x✝²
x : M ⊗[A] N
hx : (mapOfCompatibleSMul R A S M N) x = x✝³
y : M ⊗[A] N
hy : (mapOfCompatibleSMul R A S M N) y = x✝²
⊢ (mapOfCompatibleSMul R A S M N) (x + y) = x✝³ + x✝²

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
x : α
p : LTSeries α
hlast : RelSeries.last p = x
p' : LTSeries (WithTop α) := p.map (fun a ↦ ↑a) ⋯
⊢ RelSeries.last p' ≤ ↑x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
x : α
p : LTSeries α
hlast : RelSeries.last p = x
p' : LTSeries (WithTop α) := p.map (fun a ↦ ↑a) ⋯
⊢ ↑p.length ≤ ↑p'.length

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
x : α
⊢ height ↑x = height x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst✝⁵⁰ : CommSemiring R
inst✝⁴⁹ : CommSemiring R₂
inst✝⁴⁸ : CommSemiring R₃
inst✝⁴⁷ : Monoid R'
inst✝⁴⁶ : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A✝ : Type u_6
M✝ : Type u_7
N✝ : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S✝ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst✝⁴⁵ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁴⁴ : AddCommMonoid N✝
inst✝⁴³ : AddCommMonoid P
inst✝⁴² : AddCommMonoid Q
inst✝⁴¹ : AddCommMonoid S✝
inst✝⁴⁰ : AddCommMonoid P'
inst✝³⁹ : AddCommMonoid Q'
inst✝³⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝³⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝³⁶ : AddCommMonoid P₂
inst✝³⁵ : AddCommMonoid Q₂
inst✝³⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝³³ : AddCommMonoid N₃
inst✝³² : AddCommMonoid P₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid Q₃
inst✝³⁰ : DistribMulAction R' M✝
inst✝²⁹ : Module R'' M✝
inst✝²⁸ : Module R M✝
inst✝²⁷ : Module R N✝
inst✝²⁶ : Module R S✝
inst✝²⁵ : Module R P'
inst✝²⁴ : Module R Q'
inst✝²³ : Module R₂ M₂
inst✝²² : Module R₂ N₂
inst✝²¹ : Module R₂ P₂
inst✝²⁰ : Module R₂ Q₂
inst✝¹⁹ : Module R₃ M₃
inst✝¹⁸ : Module R₃ N₃
inst✝¹⁷ : Module R₃ P₃
inst✝¹⁶ : Module R₃ Q₃
inst✝¹⁵ : Module R P
inst✝¹⁴ : Module R Q
A : Type u_22
S : Type u_23
M : Type u_24
N : Type u_25
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : Module A M
inst✝⁷ : Module A N
inst✝⁶ : SMulCommClass R A M
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : SMulCommClass R S M
inst✝² : SMulCommClass A S M
inst✝¹ : CompatibleSMul R A M N
inst✝ : CompatibleSMul A R M N
x x✝¹ x✝ : M ⊗[A] N
h : (mapOfCompatibleSMul A R S M N) ((mapOfCompatibleSMul R A S M N).toFun x✝¹) = x✝¹
h' : (mapOfCompatibleSMul A R S M N) ((mapOfCompatibleSMul R A S M N).toFun x✝) = x✝
⊢ (mapOfCompatibleSMul A R S M N) ((mapOfCompatibleSMul R A S M N).toFun (x✝¹ + x✝)) = x✝¹ + x✝

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Nonempty α
⊢ krullDim (WithTop α) = krullDim α + 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst✝³⁸ : CommSemiring R
inst✝³⁷ : CommSemiring R₂
inst✝³⁶ : CommSemiring R₃
inst✝³⁵ : Monoid R'
inst✝³⁴ : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : AddCommMonoid P
inst✝³⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝²⁹ : AddCommMonoid S
inst✝²⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝²⁷ : AddCommMonoid Q'
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝²⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P₂
inst✝²³ : AddCommMonoid Q₂
inst✝²² : AddCommMonoid M₃
inst✝²¹ : AddCommMonoid N₃
inst✝²⁰ : AddCommMonoid P₃
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid Q₃
inst✝¹⁸ : DistribMulAction R' M
inst✝¹⁷ : Module R'' M
inst✝¹⁶ : Module R M
inst✝¹⁵ : Module R N
inst✝¹⁴ : Module R S
inst✝¹³ : Module R P'
inst✝¹² : Module R Q'
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ N₂
inst✝⁹ : Module R₂ P₂
inst✝⁸ : Module R₂ Q₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
inst✝⁶ : Module R₃ N₃
inst✝⁵ : Module R₃ P₃
inst✝⁴ : Module R₃ Q₃
inst✝³ : SMulCommClass R R' M
inst✝² : SMulCommClass R R'' M
inst✝¹ : Module R''ᵐᵒᵖ M
inst✝ : IsCentralScalar R'' M
r : R''
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : MulOpposite.op r • x = r • x
hy : MulOpposite.op r • y = r • y
⊢ MulOpposite.op r • (x + y) = r • (x + y)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Nonempty α
⊢ krullDim (WithBot α) = krullDim α + 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Nonempty α
⊢ krullDim (WithBot α) = krullDim α + 1

Tactic:
by
  conv_lhs => rw [← krullDim_orderDual]
  conv_rhs => rw [← krullDim_orderDual]
  exact krullDim_WithTop (α := αᵒᵈ)

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: ⊢ krullDim ℕ∞ = ⊤

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: n : ℕ∞
⊢ height n = n

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst✝⁴⁰ : CommSemiring R
inst✝³⁹ : CommSemiring R₂
inst✝³⁸ : CommSemiring R₃
inst✝³⁷ : Monoid R'
inst✝³⁶ : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst✝³⁵ : AddCommMonoid M
inst✝³⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³³ : AddCommMonoid P
inst✝³² : AddCommMonoid Q
inst✝³¹ : AddCommMonoid S
inst✝³⁰ : AddCommMonoid P'
inst✝²⁹ : AddCommMonoid Q'
inst✝²⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝²⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝²⁶ : AddCommMonoid P₂
inst✝²⁵ : AddCommMonoid Q₂
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝²³ : AddCommMonoid N₃
inst✝²² : AddCommMonoid P₃
inst✝²¹ : AddCommMonoid Q₃
inst✝²⁰ : DistribMulAction R' M
inst✝¹⁹ : Module R'' M
inst✝¹⁸ : Module R M
inst✝¹⁷ : Module R N
inst✝¹⁶ : Module R S
inst✝¹⁵ : Module R P'
inst✝¹⁴ : Module R Q'
inst✝¹³ : Module R₂ M₂
inst✝¹² : Module R₂ N₂
inst✝¹¹ : Module R₂ P₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ Q₂
inst✝⁹ : Module R₃ M₃
inst✝⁸ : Module R₃ N₃
inst✝⁷ : Module R₃ P₃
inst✝⁶ : Module R₃ Q₃
inst✝⁵ : SMulCommClass R R' M
inst✝⁴ : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst✝³ : Monoid R'₂
inst✝² : DistribMulAction R'₂ M
inst✝¹ : SMulCommClass R R'₂ M
inst✝ : SMulCommClass R' R'₂ M
r' : R'
r'₂ : R'₂
x : M ⊗[R] N
⊢ r' • r'₂ • 0 = r'₂ • r' • 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: n : ℕ
⊢ coheight ↑n = ⊤

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst✝⁵⁰ : CommSemiring R
inst✝⁴⁹ : CommSemiring R₂
inst✝⁴⁸ : CommSemiring R₃
inst✝⁴⁷ : Monoid R'
inst✝⁴⁶ : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A✝ : Type u_6
M✝ : Type u_7
N✝ : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S✝ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst✝⁴⁵ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁴⁴ : AddCommMonoid N✝
inst✝⁴³ : AddCommMonoid P
inst✝⁴² : AddCommMonoid Q
inst✝⁴¹ : AddCommMonoid S✝
inst✝⁴⁰ : AddCommMonoid P'
inst✝³⁹ : AddCommMonoid Q'
inst✝³⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝³⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝³⁶ : AddCommMonoid P₂
inst✝³⁵ : AddCommMonoid Q₂
inst✝³⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝³³ : AddCommMonoid N₃
inst✝³² : AddCommMonoid P₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid Q₃
inst✝³⁰ : DistribMulAction R' M✝
inst✝²⁹ : Module R'' M✝
inst✝²⁸ : Module R M✝
inst✝²⁷ : Module R N✝
inst✝²⁶ : Module R S✝
inst✝²⁵ : Module R P'
inst✝²⁴ : Module R Q'
inst✝²³ : Module R₂ M₂
inst✝²² : Module R₂ N₂
inst✝²¹ : Module R₂ P₂
inst✝²⁰ : Module R₂ Q₂
inst✝¹⁹ : Module R₃ M₃
inst✝¹⁸ : Module R₃ N₃
inst✝¹⁷ : Module R₃ P₃
inst✝¹⁶ : Module R₃ Q₃
inst✝¹⁵ : Module R P
inst✝¹⁴ : Module R Q
A : Type u_22
S : Type u_23
M : Type u_24
N : Type u_25
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : Module A M
inst✝⁷ : Module A N
inst✝⁶ : SMulCommClass R A M
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : SMulCommClass R S M
inst✝² : SMulCommClass A S M
inst✝¹ : CompatibleSMul R A M N
inst✝ : CompatibleSMul A R M N
x x✝¹ x✝ : M ⊗[R] N
h : (mapOfCompatibleSMul R A S M N).toFun ((mapOfCompatibleSMul A R S M N) x✝¹) = x✝¹
h' : (mapOfCompatibleSMul R A S M N).toFun ((mapOfCompatibleSMul A R S M N) x✝) = x✝
⊢ (mapOfCompatibleSMul R A S M N).toFun ((mapOfCompatibleSMul A R S M N) (x✝¹ + x✝)) = x✝¹ + x✝

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x : M ⊗[R] N
⊢ -0 + 0 = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x✝ : M ⊗[R] N
x : M
y : N
⊢ -x ⊗ₜ[R] y + x ⊗ₜ[R] y = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst✝⁴⁰ : CommSemiring R
inst✝³⁹ : CommSemiring R₂
inst✝³⁸ : CommSemiring R₃
inst✝³⁷ : Monoid R'
inst✝³⁶ : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst✝³⁵ : AddCommMonoid M
inst✝³⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³³ : AddCommMonoid P
inst✝³² : AddCommMonoid Q
inst✝³¹ : AddCommMonoid S
inst✝³⁰ : AddCommMonoid P'
inst✝²⁹ : AddCommMonoid Q'
inst✝²⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝²⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝²⁶ : AddCommMonoid P₂
inst✝²⁵ : AddCommMonoid Q₂
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝²³ : AddCommMonoid N₃
inst✝²² : AddCommMonoid P₃
inst✝²¹ : AddCommMonoid Q₃
inst✝²⁰ : DistribMulAction R' M
inst✝¹⁹ : Module R'' M
inst✝¹⁸ : Module R M
inst✝¹⁷ : Module R N
inst✝¹⁶ : Module R S
inst✝¹⁵ : Module R P'
inst✝¹⁴ : Module R Q'
inst✝¹³ : Module R₂ M₂
inst✝¹² : Module R₂ N₂
inst✝¹¹ : Module R₂ P₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ Q₂
inst✝⁹ : Module R₃ M₃
inst✝⁸ : Module R₃ N₃
inst✝⁷ : Module R₃ P₃
inst✝⁶ : Module R₃ Q₃
inst✝⁵ : SMulCommClass R R' M
inst✝⁴ : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst✝³ : Monoid R'₂
inst✝² : DistribMulAction R'₂ M
inst✝¹ : SMulCommClass R R'₂ M
inst✝ : SMulCommClass R' R'₂ M
r' : R'
r'₂ : R'₂
x : M ⊗[R] N
m : M
n : N
⊢ r' • r'₂ • m ⊗ₜ[R] n = r'₂ • r' • m ⊗ₜ[R] n

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : -x + x = 0
hy : -y + y = 0
this : -x + x + (-y + y) = 0
⊢ { neg := ⇑(Neg.aux R) }.1 (x + y) + (x + y) = { neg := ⇑(Neg.aux R) }.1 x + x + ({ neg := ⇑(Neg.aux R) }.1 y + y)

Tactic:
simp only

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : -x + x = 0
hy : -y + y = 0
this : -x + x + (-y + y) = 0
⊢ (Neg.aux R) (x + y) + (x + y) = (Neg.aux R) x + x + ((Neg.aux R) y + y)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : -x + x = 0
hy : -y + y = 0
this : -x + x + (-y + y) = 0
⊢ -(x + y) + (x + y) = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : -x + x = 0
hy : -y + y = 0
⊢ -(x + y) + (x + y) = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
⊢ ∀ (a : M ⊗[R] N), 0 • a = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
⊢ ∀ (n : ℕ) (a : M ⊗[R] N), ↑n.succ • a = ↑n • a + a

Tactic:
by

Goal state after: