mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
I : Ideal S
e : I ^ 2 = ⊥
x : S
H : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) x)
y : S
hy : (Ideal.Quotient.mk I) y = ↑H.unit⁻¹
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) (x * y) = (Ideal.Quotient.mk I) 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M
I : Ideal S
⊢ mk' S x y ∈ I ↔ (algebraMap R S) x ∈ I

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ I
s : ↥M
⊢ IsLocalizedModule.mk' (Algebra.linearMap R S) x s * (algebraMap R S) ↑(⟨x, hx⟩, s).2 =
    (algebraMap R S) ↑(⟨x, hx⟩, s).1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
z : S
⊢ z ∈ Ideal.map (algebraMap R S) I ↔ ∃ x, z * (algebraMap R S) ↑x.2 = (algebraMap R S) ↑x.1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
I : Ideal S
e : I ^ 2 = ⊥
x : S
H : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) x)
y : S
hy : (Ideal.Quotient.mk I) y = ↑H.unit⁻¹
this : x * y - 1 ∈ I
⊢ (x * y - 1) ^ 2 = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Submodule

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
M✝ : Type u_3
N✝ : Type u_4
inst✝²¹ : CommSemiring R✝
inst✝²⁰ : CommSemiring S✝
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁷ : Module R✝ M✝
inst✝¹⁶ : Module R✝ N✝
inst✝¹⁵ : Algebra R✝ S✝
inst✝¹⁴ : Module S✝ N✝
inst✝¹³ : IsScalarTower R✝ S✝ N✝
p✝ : Submonoid R✝
inst✝¹² : IsLocalization p✝ S✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] N✝
inst✝¹¹ : IsLocalizedModule p✝ f✝
M'✝¹ M'' : Submodule R✝ M✝
R : Type u_5
S : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
M'✝ M' : Submodule R M
m n : M
e :
  (Submodule.toLocalizedQuotient' S p f M') (Submodule.Quotient.mk m) =
    (Submodule.toLocalizedQuotient' S p f M') (Submodule.Quotient.mk n)
x : M
hx : x ∈ M'
s : ↥p
hs : mk' f x s = f (m - n)
c : ↥p
hc : c • s • (m - n) = c • x
⊢ (c * s) • Submodule.Quotient.mk m = (c * s) • Submodule.Quotient.mk n

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
x : R
s✝ : ↥M
x✝ : ∃ s ∈ M, s * x ∈ I
s : R
hs : s ∈ M
h : s * x ∈ I
⊢ ↑(1 * (⟨s * x, h⟩, ⟨s, hs⟩).2) * x = ↑1 * ↑(⟨s * x, h⟩, ⟨s, hs⟩).1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
x : R
s : ↥M
⊢ mk' S x s ∈ Ideal.map (algebraMap R S) I ↔ ∃ s ∈ M, s * x ∈ I

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
x : R
⊢ (algebraMap R S) x ∈ Ideal.map (algebraMap R S) I ↔ ∃ m ∈ M, m * x ∈ I

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
⊢ Ideal.map (algebraMap R S) I ≠ ⊤ ↔ Disjoint ↑M ↑I

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Submodule

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
M✝ : Type u_3
N✝ : Type u_4
inst✝²¹ : CommSemiring R✝
inst✝²⁰ : CommSemiring S✝
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁷ : Module R✝ M✝
inst✝¹⁶ : Module R✝ N✝
inst✝¹⁵ : Algebra R✝ S✝
inst✝¹⁴ : Module S✝ N✝
inst✝¹³ : IsScalarTower R✝ S✝ N✝
p✝ : Submonoid R✝
inst✝¹² : IsLocalization p✝ S✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] N✝
inst✝¹¹ : IsLocalizedModule p✝ f✝
M'✝¹ M'' : Submodule R✝ M✝
R : Type u_5
S : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
M'✝ M' : Submodule R M
m n : M ⧸ M'
e : (Submodule.toLocalizedQuotient' S p f M') m = (Submodule.toLocalizedQuotient' S p f M') n
⊢ ∃ c, c • m = c • n

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
I : Ideal S
e : I ^ 2 = ⊥
x : S
H : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) x)
y : S
hy : (Ideal.Quotient.mk I) y = ↑H.unit⁻¹
this✝ : x * y - 1 ∈ I
this : (x * y - 1) ^ 2 = 0
⊢ x * (y * (2 - x * y)) = 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
hI : IsNilpotent I
x : R
⊢ IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) x) ↔ IsUnit x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I J : Ideal R
⊢ Ideal.map (algebraMap R S) (I ⊓ J) = Ideal.map (algebraMap R S) I ⊓ Ideal.map (algebraMap R S) J

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
p : Submonoid R
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁵ : IsLocalizedModule p f
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R P
Q : Type u_6
inst✝² : AddCommMonoid Q
inst✝¹ : Module R Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
a : M
b c : ↥p
hc : c • g a = 0
⊢ g (c • a) = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.Nilpotent

Goal state before:
pp: S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
I : Ideal S
x : S
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ IsUnit ((mk (I ^ n)) x) ↔ IsUnit ((mk I) x)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
p : Submonoid R
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁵ : IsLocalizedModule p f
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R P
Q : Type u_6
inst✝² : AddCommMonoid Q
inst✝¹ : Module R Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
a : M
b c : ↥p
hc : c • g a = 0
⊢ mk' f (c • a) (c * b) = Function.uncurry (mk' f) (a, b)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
J : Ideal S
x : S
hJ : x ∈ J
⊢ x ∈ Ideal.map (algebraMap R S) (Ideal.under R J)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.Nilpotent

Goal state before:
pp: S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
I : Ideal S
inst✝ : I.IsMaximal
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x : S
⊢ IsUnit ((mk (I ^ n)) x) ↔ x ∉ I

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrimary
hM : Disjoint ↑M ↑I
⊢ Disjoint ↑M ↑I.radical

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.Nilpotent

Goal state before:
pp: S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
I : Ideal S
inst✝ : I.IsMaximal
n : ℕ
x : S
hx : x ∉ I
⊢ IsUnit ((mk (I ^ n)) x)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
p : Submonoid R
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁵ : IsLocalizedModule p f
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R P
Q : Type u_6
inst✝² : AddCommMonoid Q
inst✝¹ : Module R Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
⊢ ((IsLocalizedModule.map p f f') g).ker = localized₀ p f g.ker

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : CommSemiring S
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Module S N
inst✝⁹ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝⁸ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁷ : IsLocalizedModule p f
P : Type u_5
inst✝⁶ : AddCommMonoid P
inst✝⁵ : Module R P
Q : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
⊢ ∀ (x : N), x ∈ localized' S p f g.ker ↔ x ∈ (extendScalarsOfIsLocalization p S ((IsLocalizedModule.map p f f') g)).ker

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
m : M
N : Submodule R M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], (f P) m ∈ localized₀ P.primeCompl (f P) N
I : Ideal R := comap (LinearMap.toSpanSingleton R M m) N
this : I = ⊤
⊢ m ∈ N

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrimary
hM : Disjoint ↑M ↑I
key : Disjoint ↑M ↑I.radical
a : R
b : ↥I
s : ↥M
h : (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) ↑(b, s).2 = (algebraMap R S) ↑(b, s).1
⊢ (algebraMap R S) (↑s * a) = (algebraMap R S) ↑b

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : CommSemiring S
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Module S N
inst✝⁹ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝⁸ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁷ : IsLocalizedModule p f
P : Type u_5
inst✝⁶ : AddCommMonoid P
inst✝⁵ : Module R P
Q : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
⊢ ((IsLocalizedModule.map p f f') g).ker = Submodule.restrictScalars R (localized' S p f g.ker)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
m : M
N : Submodule R M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], (f P) m ∈ localized₀ P.primeCompl (f P) N
I : Ideal R := comap (LinearMap.toSpanSingleton R M m) N
x✝ : ∃ M, M.IsMaximal ∧ I ≤ M
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
le : I ≤ P
a : M
ha : a ∈ N
s t : ↥P.primeCompl
ht : (t * s) • m = (t * 1) • a
⊢ ↑(t * s) ∈ I

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : CommSemiring S
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Module S N
inst✝⁹ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝⁸ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁷ : IsLocalizedModule p f
M' M'' : Submodule R M
P : Type u_5
inst✝⁶ : AddCommMonoid P
inst✝⁵ : Module R P
Q : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
x : M
hx : x ∈ g.ker
⊢ f x ∈ ((IsLocalizedModule.map p f f') g).ker

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
m : M
N : Submodule R M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], (f P) m ∈ localized₀ P.primeCompl (f P) N
⊢ m ∈ N

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrimary
hM : Disjoint ↑M ↑I
key : Disjoint ↑M ↑I.radical
a : R
b : ↥I
s : ↥M
h : (algebraMap R S) (↑s * a) = (algebraMap R S) ↑b
c : ↥M
hc : ↑c * (↑s * a) = ↑c * ↑b
⊢ a * ↑(c * s) ∈ I

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
N₁ N₂ : Submodule R M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], localized₀ P.primeCompl (f P) N₁ ≤ localized₀ P.primeCompl (f P) N₂
m : M
hm : m ∈ N₁
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
⊢ IsLocalizedModule.mk' (f P) m 1 = (f P) m

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
p : Submonoid R
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁵ : IsLocalizedModule p f
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R P
Q : Type u_6
inst✝² : AddCommMonoid Q
inst✝¹ : Module R Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
⊢ ((IsLocalizedModule.map p f f') g).range = localized₀ p f' g.range

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrimary
hM : Disjoint ↑M ↑I
⊢ Ideal.under R (Ideal.map (algebraMap R S) I) = I

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : CommSemiring S
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Module S N
inst✝⁹ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝⁸ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁷ : IsLocalizedModule p f
P : Type u_5
inst✝⁶ : AddCommMonoid P
inst✝⁵ : Module R P
Q : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
⊢ ∀ (x : Q),
    x ∈ localized' S p f' g.range ↔ x ∈ (extendScalarsOfIsLocalization p S ((IsLocalizedModule.map p f f') g)).range

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
N : Submodule R M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], localized₀ P.primeCompl (f P) N = ⊥
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
⊢ localized₀ P.primeCompl (f P) N = localized₀ P.primeCompl (f P) ⊥

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_7
M : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
S : Submonoid R
φ : M →ₗ[R] N
⊢ Function.Surjective ⇑((LocalizedModule.map S) φ) ↔ Subsingleton (LocalizedModule S (N ⧸ φ.range))

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
⊢ ∀ {a b : Ideal S},
    { toFun := fun J ↦ Ideal.under R J, inj' := ⋯ } a ≤ { toFun := fun J ↦ Ideal.under R J, inj' := ⋯ } b ↔ a ≤ b

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I J : Ideal S
⊢ Ideal.under R I ≤ Ideal.under R J ↔ I ≤ J

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
N : Submodule R M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], localized₀ P.primeCompl (f P) N = ⊤
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
⊢ localized₀ P.primeCompl (f P) N = localized₀ P.primeCompl (f P) ⊤

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
m m' : M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], (f P) m = (f P) m'
⊢ m = m'

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
m : M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], (f P) m = 0
P : Ideal R
x✝ : P.IsMaximal
⊢ (f P) m = (f P) 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝⁵ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝⁴ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝³ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
M₁ₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_6
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (M₁ₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (M₁ₚ P)
f₁ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M₁ →ₗ[R] M₁ₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f₁ P)
g g' : M →ₗ[R] M₁
h :
  ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal],
    (IsLocalizedModule.map P.primeCompl (f P) (f₁ P)) g = (IsLocalizedModule.map P.primeCompl (f P) (f₁ P)) g'
x : M
P : Ideal R
x✝ : P.IsMaximal
⊢ (f₁ P) (g x) = (f₁ P) (g' x)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
J : Ideal S
h : (Ideal.under R J).IsPrime ∧ Disjoint ↑M ↑(Ideal.under R J)
x y : S
hxy : x * y ∈ J
a : R
s : ↥M
ha : mk' S a s = x
b : R
t : ↥M
hb : mk' S b t = y
⊢ mk' S (a * b) (s * t) ∈ J

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], Subsingleton (Mₚ P)
⊢ Subsingleton M

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
Rₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_4
inst✝⁷ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → CommSemiring (Rₚ P)
inst✝⁶ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Algebra R (Rₚ P)
inst✝⁵ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalization.AtPrime (Rₚ P) P
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝⁴ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝³ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module (Rₚ P) (Mₚ P)
inst✝¹ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsScalarTower R (Rₚ P) (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
N : Submodule R M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], localized' (Rₚ P) P.primeCompl (f P) N = ⊥
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
⊢ localized' (Rₚ P) P.primeCompl (f P) N = localized' (Rₚ P) P.primeCompl (f P) ⊥

Tactic:
by

Goal state after: