mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
m n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
Js : IsManifold J 1 N
Is : IsManifold I 1 M
I's : IsManifold I' 1 M'
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
t : Set N
u : Set M
hf : ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (t ×ˢ u) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffWithinAt J I m g t x₀
hx₀ : x₀ ∈ t
hu : MapsTo g t u
hmn : m + 1 ≤ n
h'u : UniqueMDiff[u]
t' : Set N := t ∩ g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source
ht't : t' ⊆ t
hx₀gx₀ : (x₀, g x₀) ∈ t ×ˢ u
h4f✝ : ContinuousWithinAt (fun x ↦ f x (g x)) t x₀
h4f : (fun x ↦ f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝[t] x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝[t ×ˢ u] (x₀, g x₀), ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' 1 (uncurry f) (t ×ˢ u) x'
y : N
hy : y ∈ t
⊢ (fun x ↦ (x, g x)) y ∈ t ×ˢ u

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
⊢ mpullbackWithin I I' f (-V) s = -mpullbackWithin I I' f V s

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V : (x : M) → TangentSpace I x
h : UniqueMDiffAt[s] x
⊢ mpullbackWithin I I id V s x = V x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
c : 𝕜
⊢ mpullback I I' f (c • V) x = c • mpullback I I' f V x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
V : (x : M') → TangentSpace I' x
c : 𝕜
⊢ mpullback I I' f (c • V) = c • mpullback I I' f V

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Hom

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_8
B : Type u_9
F₁ : Type u_10
F₂ : Type u_11
M : Type u_13
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E₁ : B → Type u_14
inst✝¹⁹ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
inst✝¹⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
E₂ : B → Type u_15
inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝⁹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝⁸ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F₁ E₁
inst✝³ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F₂ E₂
b : M → B
v : (x : M) → E₁ (b x)
inst✝¹ : ∀ (x : B), IsTopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝ : ∀ (x : B), ContinuousSMul 𝕜 (E₂ x)
ϕ : (x : M) → E₁ (b x) →L[𝕜] E₂ (b x)
hϕ :
  Continuous[inst✝⁶, ContinuousLinearMap.topologicalSpaceTotalSpace (RingHom.id 𝕜) F₁ E₁ F₂ E₂] fun m ↦
    TotalSpace.mk' (F₁ →L[𝕜] F₂) (b m) (ϕ m)
hv : Continuous[inst✝⁶, inst✝¹⁵] fun m ↦ TotalSpace.mk' F₁ (b m) (v m)
⊢ Continuous[inst✝⁶, inst✝⁹] fun m ↦ TotalSpace.mk' F₂ (b m) ((ϕ m) (v m))

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
g : M' → 𝕜
⊢ mpullback I I' f (g • V) x = g (f x) • mpullback I I' f V x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
V : (x : M') → TangentSpace I' x
g : M' → 𝕜
⊢ mpullback I I' f (g • V) = g ∘ f • mpullback I I' f V

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
V V₁ : (x : M') → TangentSpace I' x
⊢ mpullback I I' f (V + V₁) x = mpullback I I' f V x + mpullback I I' f V₁ x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
V V₁ : (x : M') → TangentSpace I' x
⊢ mpullback I I' f (V + V₁) = mpullback I I' f V + mpullback I I' f V₁

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
F : Type u_18
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : M → F
hf : MDiffAt[s] f x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
⊢ mpullback I I' f (-V) x = -mpullback I I' f V x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
V : (x : M') → TangentSpace I' x
⊢ mpullback I I' f (-V) = -mpullback I I' f V

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
V : (x : M') → TangentSpace I' x
⊢ mpullbackWithin I I' f V univ = mpullback I I' f V

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
m n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
Js : IsManifold J 1 N
Is : IsManifold I 1 M
I's : IsManifold I' 1 M'
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
t : Set N
u : Set M
hf : ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (t ×ˢ u) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffWithinAt J I m g t x₀
hx₀ : x₀ ∈ t
hu : MapsTo g t u
hmn : m + 1 ≤ n
h'u : UniqueMDiff[u]
t' : Set N := t ∩ g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source
ht't : t' ⊆ t
hx₀gx₀ : (x₀, g x₀) ∈ t ×ˢ u
h4f✝ : ContinuousWithinAt (fun x ↦ f x (g x)) t x₀
h4f : (fun x ↦ f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝[t] x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝[t ×ˢ u] (x₀, g x₀), ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' 1 (uncurry f) (t ×ˢ u) x'
this : MapsTo (fun x ↦ (x, g x)) t (t ×ˢ u)
x : N
hx : ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' 1 (uncurry f) (t ×ˢ u) (id x, g x)
h'x : x ∈ t
y : M
hy : y ∈ u
⊢ (id x, y) ∈ t ×ˢ u

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
⊢ mpullback I I' f 0 = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
F : Type u_18
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : M → F
inst✝ : IsManifold I 1 M
hf :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ MDiffAt[s] f x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
V : E' → E'
s : Set E
⊢ mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f V s = pullbackWithin 𝕜 f V s

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
m n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
Js : IsManifold J 1 N
Is : IsManifold I 1 M
I's : IsManifold I' 1 M'
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
t : Set N
u : Set M
hf : ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (t ×ˢ u) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffWithinAt J I m g t x₀
hx₀ : x₀ ∈ t
hu : MapsTo g t u
hmn : m + 1 ≤ n
h'u : UniqueMDiff[u]
t' : Set N := t ∩ g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source
ht't : t' ⊆ t
hx₀gx₀ : (x₀, g x₀) ∈ t ×ˢ u
h4f✝ : ContinuousWithinAt (fun x ↦ f x (g x)) t x₀
h4f : (fun x ↦ f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝[t] x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝[t ×ˢ u] (x₀, g x₀), ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' 1 (uncurry f) (t ×ˢ u) x'
⊢ ∀ᶠ (x₂ : N) in 𝓝[t] x₀, ContMDiffWithinAt I I' 1 (f x₂) u (g x₂)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
V : E' → E'
⊢ mpullback 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f V = pullback 𝕜 f V

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
V : (x : M) → TangentSpace I x
⊢ mpullback I I id V = V

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
g : M → F₁ →L[𝕜] F₂
f : M → F₁
s : Set M
x : M
hg : MDiffAt[s] g x
hf : MDiffAt[s] f x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x ↦ x.1 x.2) univ (g x, f x)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
g : M → F₁ →L[𝕜] F₂
f : M → F₁
s : Set M
x : M
hg : MDiffAt[s] g x
hf : MDiffAt[s] f x
⊢ MapsTo (fun x ↦ (g x, f x)) s univ

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
g : M → F₁ →L[𝕜] F₂
f : M → F₁
x : M
hg : MDiffAt g x
hf : MDiffAt f x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x ↦ x.1 x.2) univ (g x, f x)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
g : M → F₁ →L[𝕜] F₂
f : M → F₁
x : M
hg : MDiffAt g x
hf : MDiffAt f x
⊢ MapsTo (fun x ↦ (g x, f x)) univ univ

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
E'' : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
g : M' → M''
f : M → M'
V : (x : M'') → TangentSpace I'' x
s : Set M
t : Set M'
x₀ : M
hf : MDiffAt[s] f x₀
h : MapsTo f s t
hu : UniqueMDiffAt[s] x₀
hg' : (mfderiv[t] g (f x₀)).IsInvertible
⊢ mpullbackWithin I I'' (g ∘ f) V s x₀ = mpullbackWithin I I' f (mpullbackWithin I' I'' g V t) s x₀

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
x : M
V : Type u_18
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 V
f : M → 𝕜
g : M → V
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] 𝕜
hs : HasMFDerivAt% f x (↑(fromTangentSpace (f x)).symm ∘SL f')
g' : TangentSpace I x →L[𝕜] V
hg : HasMFDerivAt% g x (↑(fromTangentSpace (g x)).symm ∘SL g')
⊢ HasMFDerivAt% (f • g) x
    (f x • ↑(fromTangentSpace ((f • g) x)).symm ∘SL g' +
      toSpanSingleton 𝕜 ((fromTangentSpace ((f • g) x)).symm (g x)) ∘SL f')

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
E'' : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
g : M' → M''
f : M → M'
V : (x : M'') → TangentSpace I'' x
s : Set M
t : Set M'
x₀ : M
hg : MDiffAt[t] g (f x₀)
h : MapsTo f s t
hu : UniqueMDiffAt[s] x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
⊢ mpullbackWithin I I'' (g ∘ f) V s x₀ = mpullbackWithin I I' f (mpullbackWithin I' I'' g V t) s x₀

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
x : M
V : Type u_18
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 V
f : M → 𝕜
g : M → V
hf : MDiffAt f x
hg : MDiffAt g x
⊢ ↑(fromTangentSpace ((f • g) x)) ∘SL mfderiv% (f • g) x =
    f x • ↑(fromTangentSpace (g x)) ∘SL mfderiv% g x +
      toSpanSingleton 𝕜 (g x) ∘SL ↑(fromTangentSpace (f x)) ∘SL mfderiv% f x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
x : M
V : Type u_18
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 V
f : M → 𝕜
g : M → V
hf : MDiffAt f x
hg : MDiffAt g x
v : TangentSpace I x
⊢ (fromTangentSpace ((f • g) x)) ((mfderiv% (f • g) x) v) =
    f x • (fromTangentSpace (g x)) ((mfderiv% g x) v) + (fromTangentSpace (f x)) ((mfderiv% f x) v) • g x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : 2 ≤ n
b₁ : M → M' := f
b₂ : M → M := id
v : (x : M) → TangentSpace I' (f x) := V ∘ f
ϕ : (x : M) → TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I x := fun x ↦ (mfderiv[s] f x).inverse
⊢ n ≠ 0

Tactic:
by

Goal state after: