mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
r : ℝ≥0∞
inst✝² : Fact (1 ≤ r)
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ≥0
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ ↑K
inst✝¹ : Fact (1 ≤ ∞)
e : ↥(lp E ∞)
inst✝ : Fact (1 ≤ r)
f : ↥(lp F r)
hpqr : ∞.HolderTriple r r
hq : 1 ≤ r.toReal
s : Finset ι
⊢ 0 ≤ ↑K * ‖e‖

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
r : ℝ≥0∞
inst✝² : Fact (1 ≤ r)
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ≥0
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ ↑K
inst✝¹ : Fact (1 ≤ ∞)
e : ↥(lp E ∞)
inst✝ : Fact (1 ≤ r)
f : ↥(lp F r)
hpqr : ∞.HolderTriple r r
hq : 1 ≤ r.toReal
s : Finset ι
⊢ 0 ≤ ‖f‖

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Perturbation.StrictByFinite

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
u : E →L[𝕜] F
A : Submodule 𝕜 E
A_closed : IsClosed[inst✝⁵] ↑A
A_cofg : A.CoFG
h_ker : Disjoint (↑u).ker A
range_u : (↑u).range = ⊤
range_u_restr : IsClosed[inst✝²] ↑(↑(u.domRestrict A)).range
S : Submodule 𝕜 E
ker_le_S : (↑u).ker ≤ S
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥S
S_compl_A : IsTopCompl S A
uS_compl_uA : IsTopCompl (map (↑u) S) (map (↑u) A)
this : T2Space ↥(map (↑u) S)
uₛ : ↥S →L[𝕜] ↥(map (↑u) S) := u.restrict ⋯
uₐ : ↥A →L[𝕜] ↥(map (↑u) A) := u.restrict ⋯
Φ : (↥S × ↥A) ≃L[𝕜] E := S.prodEquivOfIsTopCompl A S_compl_A
Ψ : (↥(map (↑u) S) × ↥(map (↑u) A)) ≃L[𝕜] F := (map (↑u) S).prodEquivOfIsTopCompl (map (↑u) A) uS_compl_uA
⊢ ⇑u = ⇑Ψ ∘ ⇑(uₛ.prodMap uₐ) ∘ ⇑Φ.symm

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
r : ℝ≥0∞
inst✝² : Fact (1 ≤ r)
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ≥0
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ ↑K
inst✝¹ : Fact (1 ≤ ∞)
e : ↥(lp E ∞)
inst✝ : Fact (1 ≤ r)
f : ↥(lp F r)
hpqr : ∞.HolderTriple r r
hq : 1 ≤ r.toReal
s : Finset ι
⊢ 0 ≤ ↑K

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
r : ℝ≥0∞
inst✝² : Fact (1 ≤ r)
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ≥0
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ ↑K
inst✝¹ : Fact (1 ≤ ∞)
e : ↥(lp E ∞)
inst✝ : Fact (1 ≤ r)
f : ↥(lp F r)
hpqr : ∞.HolderTriple r r
hq : 1 ≤ r.toReal
s : Finset ι
⊢ 0 ≤ ‖e‖

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
r : ℝ≥0∞
inst✝² : Fact (1 ≤ r)
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ≥0
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ ↑K
inst✝¹ : Fact (1 ≤ ∞)
e : ↥(lp E ∞)
inst✝ : Fact (1 ≤ r)
f : ↥(lp F r)
hpqr : ∞.HolderTriple r r
hq : 1 ≤ r.toReal
s : Finset ι
⊢ ∞ ≠ 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.PiTensorProduct.InjectiveSeminorm

Goal state before:
pp: ι : Type uι
inst✝³ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
⊢ injectiveSeminorm ≤ projectiveSeminorm

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
r : ℝ≥0∞
inst✝² : Fact (1 ≤ r)
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ≥0
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ ↑K
inst✝¹ : Fact (1 ≤ ∞)
f : ↥(lp F ∞)
inst✝ : Fact (1 ≤ r)
e : ↥(lp E r)
hp : 1 ≤ r.toReal
hpqr : r.HolderTriple ∞ r
⊢ 0 ≤ ↑K * ‖e‖ * ‖f‖

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
r : ℝ≥0∞
inst✝² : Fact (1 ≤ r)
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ≥0
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ ↑K
inst✝¹ : Fact (1 ≤ ∞)
f : ↥(lp F ∞)
inst✝ : Fact (1 ≤ r)
e : ↥(lp E r)
hp : 1 ≤ r.toReal
hpqr : r.HolderTriple ∞ r
s : Finset ι
⊢ 0 ≤ ↑K * ‖f‖

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
r : ℝ≥0∞
inst✝² : Fact (1 ≤ r)
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ≥0
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ ↑K
inst✝¹ : Fact (1 ≤ ∞)
f : ↥(lp F ∞)
inst✝ : Fact (1 ≤ r)
e : ↥(lp E r)
hp : 1 ≤ r.toReal
hpqr : r.HolderTriple ∞ r
s : Finset ι
⊢ 0 ≤ ‖e‖

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Perturbation.StrictByFinite

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
u : E →L[𝕜] F
A : Submodule 𝕜 E
A_closed : IsClosed[inst✝⁵] ↑A
A_cofg : A.CoFG
h_ker : Disjoint (↑u).ker A
range_u : (↑u).range = ⊤
range_u_restr : IsClosed[inst✝²] ↑(↑(u.domRestrict A)).range
S : Submodule 𝕜 E
ker_le_S : (↑u).ker ≤ S
this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 ↥S
S_compl_A : IsTopCompl S A
uS_compl_uA : IsTopCompl (map (↑u) S) (map (↑u) A)
this✝ : T2Space ↥(map (↑u) S)
uₛ : ↥S →L[𝕜] ↥(map (↑u) S) := u.restrict ⋯
uₐ : ↥A →L[𝕜] ↥(map (↑u) A) := u.restrict ⋯
Φ : (↥S × ↥A) ≃L[𝕜] E := S.prodEquivOfIsTopCompl A S_compl_A
Ψ : (↥(map (↑u) S) × ↥(map (↑u) A)) ≃L[𝕜] F := (map (↑u) S).prodEquivOfIsTopCompl (map (↑u) A) uS_compl_uA
u_eq : ⇑u = ⇑Ψ ∘ ⇑(uₛ.prodMap uₐ) ∘ ⇑Φ.symm
u_restr_eq : ⇑(u.domRestrict A) = ⇑(map (↑u) A).subtypeL ∘ ⇑uₐ
this : IsStrictMap ⇑(uₛ.prodMap uₐ) ↔ IsStrictMap ⇑uₐ
⊢ IsStrictMap ⇑u ↔ IsStrictMap ⇑(u.domRestrict A)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
r : ℝ≥0∞
inst✝² : Fact (1 ≤ r)
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ≥0
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ ↑K
inst✝¹ : Fact (1 ≤ ∞)
f : ↥(lp F ∞)
inst✝ : Fact (1 ≤ r)
e : ↥(lp E r)
hp : 1 ≤ r.toReal
hpqr : r.HolderTriple ∞ r
s : Finset ι
⊢ 0 ≤ ↑K

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
r : ℝ≥0∞
inst✝² : Fact (1 ≤ r)
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ≥0
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ ↑K
inst✝¹ : Fact (1 ≤ ∞)
f : ↥(lp F ∞)
inst✝ : Fact (1 ≤ r)
e : ↥(lp E r)
hp : 1 ≤ r.toReal
hpqr : r.HolderTriple ∞ r
s : Finset ι
⊢ 0 ≤ ‖f‖

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
r : ℝ≥0∞
inst✝² : Fact (1 ≤ r)
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ≥0
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ ↑K
inst✝¹ : Fact (1 ≤ ∞)
f : ↥(lp F ∞)
inst✝ : Fact (1 ≤ r)
e : ↥(lp E r)
hp : 1 ≤ r.toReal
hpqr : r.HolderTriple ∞ r
s : Finset ι
⊢ ∞ ≠ 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Fredholm.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace F
u : E →L[𝕜] F
pkg : u.FredholmPackage
⊢ (↑u).ker = pkg.decDom.X₀

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Fredholm.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace F
u : E →L[𝕜] F
pkg : u.FredholmPackage
⊢ (↑u).range = pkg.decCodom.X₁

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Fredholm.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace F
u : E →L[𝕜] F
pkg : u.FredholmPackage
⊢ MapsTo ⇑u ↑pkg.decDom.X₁ ↑pkg.decCodom.X₁

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Fredholm.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace F
u : E →L[𝕜] F
pkg : u.FredholmPackage
⊢ ↑pkg.equiv = u.restrict ⋯

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Fredholm.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace F
u : E →L[𝕜] F
pkg : u.FredholmPackage
⊢ (↑pkg.quasiInverse).IsQuasiInverse ↑u

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
p q r : ℝ≥0∞
hpqr✝ : p.HolderTriple q r
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fact (1 ≤ q)
inst✝ : Fact (1 ≤ r)
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ≥0
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ ↑K
e : ↥(lp E p)
f : ↥(lp F q)
hp✝ : 1 ≤ p.toReal
hq✝ : 1 ≤ q.toReal
hpqr : p.toReal.HolderTriple q.toReal r.toReal
hp : 0 < p.toReal
hq : 0 < q.toReal
⊢ 0 ≤ ↑K * ‖e‖ * ‖f‖

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
p q r : ℝ≥0∞
hpqr✝ : p.HolderTriple q r
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fact (1 ≤ q)
inst✝ : Fact (1 ≤ r)
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ≥0
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ ↑K
e : ↥(lp E p)
f : ↥(lp F q)
hp✝ : 1 ≤ p.toReal
hq✝ : 1 ≤ q.toReal
hpqr : p.toReal.HolderTriple q.toReal r.toReal
hp : 0 < p.toReal
hq : 0 < q.toReal
s : Finset ι
⊢ 0 ≤ ↑K

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
p q r : ℝ≥0∞
hpqr✝ : p.HolderTriple q r
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fact (1 ≤ q)
inst✝ : Fact (1 ≤ r)
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ≥0
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ ↑K
e : ↥(lp E p)
f : ↥(lp F q)
hp✝ : 1 ≤ p.toReal
hq✝ : 1 ≤ q.toReal
hpqr : p.toReal.HolderTriple q.toReal r.toReal
hp : 0 < p.toReal
hq : 0 < q.toReal
s : Finset ι
⊢ 0 ≤ ‖e‖ ^ p.toReal

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Perturbation.StrictByFinite

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
u : E →L[𝕜] F
A : Submodule 𝕜 E
A_closed : IsClosed[inst✝⁵] ↑A
A_cofg : A.CoFG
h_ker : Disjoint (↑u).ker A
range_u : (↑u).range = ⊤
range_u_restr : IsClosed[inst✝²] ↑(↑(u.domRestrict A)).range
⊢ IsStrictMap ⇑u ↔ IsStrictMap ⇑(u.domRestrict A)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Perturbation.StrictByFinite

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : IsTopologicalAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F
u : E →L[𝕜] F
A : Submodule 𝕜 E
A_closed : IsClosed[inst✝⁶] ↑A
inst✝ : A.CoFG
h_ker : Disjoint (↑u).ker A
h_range : (↑u).range = ⊤
this : IsStrictMap ⇑u → IsClosed[inst✝³] ↑(↑(u.domRestrict A)).range
⊢ IsStrictMap ⇑u ↔ IsStrictMap ⇑(u.domRestrict A) ∧ IsClosed[inst✝³] ↑(↑(u.domRestrict A)).range

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Perturbation.StrictByFinite

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : IsTopologicalAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F
u : E →L[𝕜] F
A : Submodule 𝕜 E
A_closed : IsClosed[inst✝⁶] ↑A
inst✝ : A.CoFG
h_ker : Disjoint (↑u).ker A
h_range : (↑u).range = ⊤
u_strict : IsStrictMap ⇑u
⊢ IsQuotientMap ⇑u

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Perturbation.StrictByFinite

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : IsTopologicalAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F
u : E →L[𝕜] F
A : Submodule 𝕜 E
A_closed : IsClosed[inst✝⁶] ↑A
inst✝ : A.CoFG
h_ker : Disjoint (↑u).ker A
h_range : (↑u).range = ⊤
u_strict : IsStrictMap ⇑u
u_quot : IsQuotientMap ⇑u
⊢ IsClosed[inst✝⁶] ↑(comap (↑u) ((↑u).domRestrict A).range)

Tactic:
LinearMap.range_domRestrict

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : IsTopologicalAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F
u : E →L[𝕜] F
A : Submodule 𝕜 E
A_closed : IsClosed[inst✝⁶] ↑A
inst✝ : A.CoFG
h_ker : Disjoint (↑u).ker A
h_range : (↑u).range = ⊤
u_strict : IsStrictMap ⇑u
u_quot : IsQuotientMap ⇑u
⊢ IsClosed[inst✝⁶] ↑(comap (↑u) (map (↑u) A))
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Fredholm.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : T2Space E
inst✝ : T2Space F
u : E →L[𝕜] F
v : F →L[𝕜] E
hvu : (↑v).IsQuasiInverse ↑u
⊢ ∃ E₁ F₁,
    IsClosed[inst✝³] ↑E₁ ∧
      IsClosed[inst✝²] ↑F₁ ∧ E₁.CoFG ∧ F₁.CoFG ∧ ∃ (h : MapsTo ⇑u ↑E₁ ↑F₁), (u.restrict h).IsInvertible

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Perturbation.StrictByFinite

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : IsTopologicalAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F
u : E →L[𝕜] F
A : Submodule 𝕜 E
A_closed : IsClosed[inst✝⁶] ↑A
inst✝ : A.CoFG
h_ker : Disjoint (↑u).ker A
h_range : (↑u).range = ⊤
⊢ IsStrictMap ⇑u ↔ IsStrictMap ⇑(u.domRestrict A) ∧ IsClosed[inst✝³] ↑(↑(u.domRestrict A)).range

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Fredholm.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : Module 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
u : E →L[𝕜] F
E₁ : Submodule 𝕜 E
E₁_closed : IsClosed[inst✝⁶] ↑E₁
E₁_coFG : E₁.CoFG
F₁ : Submodule 𝕜 F
F₁_closed : IsClosed[inst✝⁵] ↑F₁
F₁_coFG : F₁.CoFG
h_mapsto : MapsTo ⇑u ↑E₁ ↑F₁
e : ↥E₁ ≃L[𝕜] ↥F₁
he : ↑e = u.restrict h_mapsto
eqL : u.domRestrict E₁ = F₁.subtypeL ∘SL ↑e
eqₗ : (↑u).domRestrict E₁ = F₁.subtype ∘ₗ ↑↑e
⊢ IsClosed[inst✝⁵] ↑(↑(F₁.subtypeL ∘SL ↑e)).range

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
p q r : ℝ≥0∞
hpqr✝ : p.HolderTriple q r
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fact (1 ≤ q)
inst✝ : Fact (1 ≤ r)
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ≥0
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ ↑K
e : ↥(lp E p)
f : ↥(lp F q)
hp✝ : 1 ≤ p.toReal
hq✝ : 1 ≤ q.toReal
hpqr : p.toReal.HolderTriple q.toReal r.toReal
hp : 0 < p.toReal
hq : 0 < q.toReal
s : Finset ι
⊢ ↑K ^ r.toReal * (‖e‖ ^ p.toReal) ^ (r.toReal / p.toReal) * (‖f‖ ^ q.toReal) ^ (r.toReal / q.toReal) ≤
    (↑K * ‖e‖ * ‖f‖) ^ r.toReal

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Fredholm.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : Module 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
u : E →L[𝕜] F
E₁ : Submodule 𝕜 E
E₁_closed : IsClosed[inst✝⁶] ↑E₁
E₁_coFG : E₁.CoFG
F₁ : Submodule 𝕜 F
F₁_closed : IsClosed[inst✝⁵] ↑F₁
F₁_coFG : F₁.CoFG
h_mapsto : MapsTo ⇑u ↑E₁ ↑F₁
e : ↥E₁ ≃L[𝕜] ↥F₁
he : ↑e = u.restrict h_mapsto
eqL : u.domRestrict E₁ = F₁.subtypeL ∘SL ↑e
eqₗ : (↑u).domRestrict E₁ = F₁.subtype ∘ₗ ↑↑e
⊢ IsStrictMap ⇑u ∧ IsClosed[inst✝⁵] ↑(↑u).range

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
p q r : ℝ≥0∞
hpqr : p.HolderTriple q r
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fact (1 ≤ q)
inst✝ : Fact (1 ≤ r)
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K : ℝ≥0
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ ↑K
e : ↥(lp E p)
f : ↥(lp F q)
⊢ ‖((holderₗ r B hBK) e) f‖ ≤ ↑K * ‖e‖ * ‖f‖

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
p q : ℝ≥0∞
H : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fact (1 ≤ q)
inst✝ : p.HolderConjugate q
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] H
K : ℝ≥0
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ ↑K
⊢ ‖ContinuousLinearMap.postcomp (↥(lp F q)) (tsumCLM 𝕜 ι H)‖ * ‖holderL 1 B hBK‖ ≤ 1 * ↑K

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Fredholm.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : Module 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
u : E →L[𝕜] F
E₁ : Submodule 𝕜 E
E₁_closed : IsClosed[inst✝⁶] ↑E₁
E₁_coFG : E₁.CoFG
F₁ : Submodule 𝕜 F
F₁_closed : IsClosed[inst✝⁵] ↑F₁
F₁_coFG : F₁.CoFG
h_mapsto : MapsTo ⇑u ↑E₁ ↑F₁
e : ↥E₁ ≃L[𝕜] ↥F₁
he : ↑e = u.restrict h_mapsto
eqL : u.domRestrict E₁ = F₁.subtypeL ∘SL ↑e
eqₗ : (↑u).domRestrict E₁ = F₁.subtype ∘ₗ ↑↑e
h : IsStrictMap ⇑u ∧ IsClosed[inst✝⁵] ↑(↑u).range
⊢ Disjoint E₁ (↑u).ker

Tactic:
by

Goal state after: