mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
S : Type u_5
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsArtinian R M
inst✝ : IsScalarTower S R M
H : Function.Surjective ⇑(algebraMap S R)
N : Submodule S M
x : M
hx : x ∈ N.carrier
r : S
this : r • x ∈ N
⊢ (algebraMap S R) r • x ∈ N.carrier

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.SpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
h : (c r).Rel pq pq'
⊢ i₃' ≤ data.i₃ r pq ⋯

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
S : Type u_5
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsArtinian R M
inst✝ : IsScalarTower S R M
H : Function.Surjective ⇑(algebraMap S R)
⊢ IsArtinian S M

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
h : IsArtinian R M
s : Set M
hs : LinearIndependent R Subtype.val
i : ↑s
x✝ : R ∙ ↑i = ⊥
⊢ ↑i = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
⊢ (∀ (a : Set (Submodule R M)), a.Nonempty → ∃ M' ∈ a, ∀ I ∈ a, ¬I < M') ↔ IsArtinian R M

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : ℕ →o (Submodule R M)ᵒᵈ
⊢ EventuallyConst (⇑f) atTop

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: L₁ : Type u_1
L₂ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Bracket L₁ L₂
inst✝⁵ : Bracket L₁ M
inst✝⁴ : Bracket L₂ M
inst✝³ : Bracket L₂ L₁
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : IsLieTower L₁ L₂ M
inst✝ : IsLieTower L₂ L₁ M
x : L₁
y : L₂
m : M
⊢ ⁅⁅x, y⁆, m⁆ = -⁅⁅y, x⁆, m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.SpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
h : (c r).Rel pq pq'
⊢ i₂ = data.i₀ r pq ⋯

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: L : Type u_1
inst✝ : LieRing L
⊢ Injective (@toModule ℚ L Rat.commRing inst✝)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: L : Type v
inst✝ : LieRing L
x y : L
⊢ ⁅x + y, x⁆ + ⁅x + y, y⁆ = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
s : Injective ⇑f
⊢ Surjective ⇑f

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: L : Type v
inst✝ : LieRing L
x y : L
⊢ -⁅y, x⁆ = ⁅x, y⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.SpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
h : (c r).Rel pq pq'
⊢ i₃ = data.i₁ pq

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t✝ : R
x✝ y z : L
m✝ n : M
t : R
x m : L
⊢ ⁅t • x, m⁆ = t • ⁅x, m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
⊢ ∀ (t : R) (x m : L), ⁅x, t • m⁆ = t • ⁅x, m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: L : Type v
M : Type w
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : LieRingModule L M
x : L
m : M
⊢ ⁅-x, m⁆ = -⁅x, m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: L : Type v
M : Type w
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : LieRingModule L M
x : L
m : M
⊢ ⁅x, -m⁆ = -⁅x, m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: L : Type v
M : Type w
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : LieRingModule L M
x y : L
m : M
⊢ ⁅x - y, m⁆ = ⁅x, m⁆ - ⁅y, m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: L : Type v
M : Type w
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : LieRingModule L M
x : L
m n : M
⊢ ⁅x, m - n⁆ = ⁅x, m⁆ - ⁅x, n⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.SpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
h : (c r).Rel pq pq'
⊢ i₃' = data.i₂ pq

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : ℕ → Submodule R M
h : ∀ (n : ℕ), Disjoint ((partialSups (⇑OrderDual.toDual ∘ f)) n) (OrderDual.toDual (f (n + 1)))
⊢ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f m = ⊤

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: L : Type v
M : Type w
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : LieRingModule L M
x y : L
m : M
⊢ ⁅⁅x, y⁆, m⁆ = ⁅x, ⁅y, m⁆⁆ - ⁅y, ⁅x, m⁆⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: L : Type v
inst✝ : LieRing L
x y z : L
⊢ ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ + ⁅y, ⁅z, x⁆⁆ + ⁅z, ⁅x, y⁆⁆ = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.SpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
h : (c r).Rel pq pq'
⊢ n₀ = data.deg pq

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
⊢ { toFun := fun m ↦ ⁅0, m⁆, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.Page

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} ι
inst✝ : Abelian C
X : SpectralObject C ι
i₀ i₁ i₂ i₃ : ι
f₁ : i₀ ⟶ i₁
f₂ : i₁ ⟶ i₂
f₃ : i₂ ⟶ i₃
f₁₂ : i₀ ⟶ i₂
h₁₂ : f₁ ≫ f₂ = f₁₂
i₀' i₁' i₂' i₃' : ι
f₁' : i₀' ⟶ i₁'
f₂' : i₁' ⟶ i₂'
f₃' : i₂' ⟶ i₃'
f₁₂' : i₀' ⟶ i₂'
h₁₂' : f₁' ≫ f₂' = f₁₂'
α : mk₃ f₁ f₂ f₃ ⟶ mk₃ f₁' f₂' f₃'
β : mk₂ f₁₂ f₃ ⟶ mk₂ f₁₂' f₃'
n₀ n₁ n₂ : ℤ
h₀ : β.app 0 = α.app 0
h₁ : β.app 1 = α.app 2
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
⊢ X.opcyclesToE f₁ f₂ f₃ f₁₂ h₁₂ n₀ n₁ n₂ hn₁ hn₂ ≫ X.map f₁ f₂ f₃ f₁' f₂' f₃' α n₀ n₁ n₂ ⋯ ⋯ =
    X.opcyclesMap f₁₂ f₃ f₁₂' f₃' β n₁ ≫ X.opcyclesToE f₁' f₂' f₃' f₁₂' h₁₂' n₀ n₁ n₂ hn₁ hn₂

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y✝ z✝ : L
m n : M
y z : L
⊢ { toFun := fun m ↦ ⁅y + z, m⁆, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } =
    { toFun := fun m ↦ ⁅y, m⁆, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } +
      { toFun := fun m ↦ ⁅z, m⁆, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.SpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
h : (c r).Rel pq pq'
⊢ n₀ - 1 + 1 = n₀

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x✝ y z : L
m✝ n✝ : M
x : L
f : M →ₗ[R] N
m n : M
⊢ ⁅x, f (m + n)⁆ - f ⁅x, m + n⁆ = ⁅x, f m⁆ - f ⁅x, m⁆ + (⁅x, f n⁆ - f ⁅x, n⁆)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t✝ : R
x✝ y z : L
m✝ n : M
x : L
f : M →ₗ[R] N
t : R
m : M
⊢ ⁅x, f (t • m)⁆ - f ⁅x, t • m⁆ = (RingHom.id R) t • (⁅x, f m⁆ - f ⁅x, m⁆)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x✝ y✝ z : L
m n : M
x y : L
f : M →ₗ[R] N
⊢ { toFun := fun m ↦ ⁅x + y, f m⁆ - f ⁅x + y, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } =
    { toFun := fun m ↦ ⁅x, f m⁆ - f ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } +
      { toFun := fun m ↦ ⁅y, f m⁆ - f ⁅y, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : Module.End R M
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ⨅ m, (f ^ m).range = (f ^ n).range

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x✝ y z : L
m n : M
x : L
f g : M →ₗ[R] N
⊢ { toFun := fun m ↦ ⁅x, (f + g) m⁆ - (f + g) ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } =
    { toFun := fun m ↦ ⁅x, f m⁆ - f ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } +
      { toFun := fun m ↦ ⁅x, g m⁆ - g ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : IsArtinian R M
inst✝ : IsArtinian R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : f.range = g.ker
⊢ ∀ (a : Submodule R N), Submodule.map (f.ker.liftQ f ⋯) (Submodule.comap (f.ker.liftQ f ⋯) a) = a ⊓ f.range

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : IsArtinian R M
inst✝ : IsArtinian R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : f.range = g.ker
⊢ ∀ (a : Submodule R N), Submodule.comap g.rangeRestrict (Submodule.map g.rangeRestrict a) = a ⊔ f.range

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x✝ y✝ z : L
m n : M
x y : L
f : M →ₗ[R] N
⊢ {
      toFun := fun m ↦
        ⁅x, { toFun := fun m ↦ ⁅y, f m⁆ - f ⁅y, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } m⁆ -
          { toFun := fun m ↦ ⁅y, f m⁆ - f ⁅y, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ⁅x, m⁆,
      map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } =
    { toFun := fun m ↦ ⁅⁅x, y⁆, f m⁆ - f ⁅⁅x, y⁆, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } +
      {
        toFun := fun m ↦
          ⁅y, { toFun := fun m ↦ ⁅x, f m⁆ - f ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } m⁆ -
            { toFun := fun m ↦ ⁅x, f m⁆ - f ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ⁅y, m⁆,
        map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t✝ : R
x✝ y z : L
m n : M
t : R
x : L
f : M →ₗ[R] N
⊢ ⁅t • x, f⁆ = t • ⁅x, f⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
P : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
S : Submodule R P
⊢ IsArtinian R P ↔ IsArtinian R ↥S ∧ IsArtinian R (P ⧸ S)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t✝ : R
x✝ y z : L
m n : M
t : R
x : L
f : M →ₗ[R] N
⊢ ⁅x, t • f⁆ = t • ⁅x, f⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x✝ y z : L
m n : M
x : L
f : M →ₗ[R] R
⊢ ∀ (x_1 y : M), -f ⁅x, x_1 + y⁆ = -f ⁅x, x_1⁆ + -f ⁅x, y⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x✝ y z : L
m n : M
x : L
f : M →ₗ[R] R
⊢ ∀ (m : R) (x_1 : M), -f ⁅x, m • x_1⁆ = (RingHom.id R) m • -f ⁅x, x_1⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x✝ y✝ z : L
m✝ n : M
x y : L
m : M →ₗ[R] R
⊢ { toFun := fun m_1 ↦ -m ⁅x + y, m_1⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } =
    { toFun := fun m_1 ↦ -m ⁅x, m_1⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } +
      { toFun := fun m_1 ↦ -m ⁅y, m_1⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R P
inst✝¹ : IsArtinian R ↥M₁
inst✝ : IsArtinian R ↥M₂
⊢ IsArtinian R ↥(M₁ ⊔ M₂)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x✝ y z : L
m✝ n✝ : M
x : L
m n : M →ₗ[R] R
⊢ { toFun := fun m_1 ↦ -(m + n) ⁅x, m_1⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } =
    { toFun := fun m_1 ↦ -m ⁅x, m_1⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } +
      { toFun := fun m ↦ -n ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x✝ y z : L
m✝ n✝ : M
x m : L
n : M →ₗ[R] R
⊢ { toFun := fun m_1 ↦ -{ toFun := fun m_2 ↦ -n ⁅m, m_2⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ⁅x, m_1⁆, map_add' := ⋯,
      map_smul' := ⋯ } =
    { toFun := fun m_1 ↦ -n ⁅⁅x, m⁆, m_1⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } +
      { toFun := fun m_1 ↦ -{ toFun := fun m ↦ -n ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ⁅m, m_1⁆, map_add' := ⋯,
        map_smul' := ⋯ }

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t✝ : R
x✝ y z : L
m✝ n : M
t : R
x : L
m : M →ₗ[R] R
⊢ ⁅t • x, m⁆ = t • ⁅x, m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_5
inst✝ : Finite ι
⊢ ∀ {M : ι → Type u_6} [inst : (i : ι) → AddCommGroup (M i)] [inst_1 : (i : ι) → Module R (M i)]
    [∀ (i : ι), IsArtinian R (M i)], IsArtinian R ((i : ι) → M i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t✝ : R
x✝ y z : L
m✝ n : M
t : R
x : L
m : M →ₗ[R] R
⊢ ⁅x, t • m⁆ = t • ⁅x, m⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: L : Type v
M : Type w
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : LieRingModule L M
ι : Type u_1
κ : Type u_3
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → L
g : κ → M
⊢ ⁅∑ i ∈ s, f i, ∑ j ∈ t, g j⁆ = ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ t, ⁅f i, g j⁆

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₁
inst✝³ : LieRing L₂
inst✝² : LieAlgebra R L₂
inst✝¹ : LieRing L₃
inst✝ : LieAlgebra R L₃
x y : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
h : (fun f ↦ (↑f).toFun) x = (fun f ↦ (↑f).toFun) y
⊢ x = y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.SpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
⊢ (page X data r hr).d pq pq' ≫
      (pageXIso X data r hr pq' i₀ i₁ i₂ i₃ hi₀ hi₁ hi₂ hi₃ n₀ n₁ n₂ hn₁' ⋯ ⋯).hom ≫
        X.mapFourδ₄Toδ₃' i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ n₀ n₁ n₂ ⋯ ⋯ =
    0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₁
inst✝³ : LieRing L₂
inst✝² : LieAlgebra R L₂
inst✝¹ : LieRing L₃
inst✝ : LieAlgebra R L₃
x✝² : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
x✝¹ x✝ : L₁
⊢ x✝² (x✝¹ + x✝) = x✝² x✝¹ + x✝² x✝

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₁
inst✝³ : LieRing L₂
inst✝² : LieAlgebra R L₂
inst✝¹ : LieRing L₃
inst✝ : LieAlgebra R L₃
x✝² : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
x✝¹ : R
x✝ : L₁
⊢ x✝² (x✝¹ • x✝) = (RingHom.id R) x✝¹ • x✝² x✝

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₁
inst✝³ : LieRing L₂
inst✝² : LieAlgebra R L₂
inst✝¹ : LieRing L₃
inst✝ : LieAlgebra R L₃
⊢ ∀ {x y : L₁}, (LinearMap.toAddHom 0).toFun ⁅x, y⁆ = ⁅(LinearMap.toAddHom 0).toFun x, (LinearMap.toAddHom 0).toFun y⁆

Tactic:
by

Goal state after: