mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
⊢ StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f.symm

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
p q : Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ p x + q (x - x) ≤ p x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
hf : Function.Injective ⇑f
s₁ s₂ : AffineSubspace k P₁
⊢ map f (s₁ ⊓ s₂) = map f s₁ ⊓ map f s₂

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
p q : Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ p 0 + q (x - 0) ≤ q x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
v : V
x : k
s : Set ι
p : ι → P
b : P
⊢ (∃ fs, ↑fs ⊆ s ∧ ∃ w, ∑ i ∈ fs, w i = x ∧ v = (fs.weightedVSubOfPoint p b) w) ↔
    ∃ fs w, ∑ i ∈ fs, w i = x ∧ v = (fs.weightedVSubOfPoint (fun i ↦ p ↑i) b) w

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
p : P₁
direction : Submodule k V₁
r : P₁
hr : r -ᵥ p ∈ direction
⊢ f.linear (r -ᵥ p) = f r -ᵥ f p

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ x' ∈ univ

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
p : P₁
direction : Submodule k V₁
q : P₂
r : V₁
hr : r ∈ direction
he : f.linear r = q -ᵥ f p
⊢ (r +ᵥ p) -ᵥ p ∈ direction

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ y' ∈ univ

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
p : P₁
direction : Submodule k V₁
q : P₂
r : V₁
hr : r ∈ direction
he : f.linear r = q -ᵥ f p
⊢ f (r +ᵥ p) = q

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p0 : P
s : Set ι
p : ι → P
⊢ (∃ fs, ↑fs ⊆ s ∧ ∃ w, ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p0 = (affineCombination k fs p) w) ↔
    ∃ fs w, ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p0 = (affineCombination k fs fun i ↦ p ↑i) w

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
⊢ ConvexOn 𝕜 univ ⇑f.symm

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p q : Seminorm 𝕜 E
⊢ r • (p ⊓ q) = r • p ⊓ r • q

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
p : P₁
direction : Submodule k V₁
⊢ map f (mk' p direction) = mk' (f p) (Submodule.map f.linear direction)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ AffineSubspace.map f ⊤ = ⊤

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
h : BddAbove (DFunLike.coe '' s)
⊢ (⨆ p, ⇑↑p) 0 = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
f : P →ᵃ[k] P₂
⊢ f ((affineCombination k s p) w) = (affineCombination k s (⇑f ∘ p)) w

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
hf : Function.Surjective ⇑f
h : affineSpan k s = ⊤
⊢ affineSpan k (⇑f '' s) = ⊤

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ x' ≠ y'

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
V₂ : Type u_8
P₂ : Type u_9
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
s : Set P₁
f g : P₁ →ᵃ[k] P₂
h_agree : EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ EqOn ⇑f.linear ⇑g.linear ↑(vectorSpan k s)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
V₂ : Type u_8
P₂ : Type u_9
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
s : Set P₁
f g : P₁ →ᵃ[k] P₂
h_agree : EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ EqOn ⇑f ⇑g ↑(affineSpan k s)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
V₂ : Type u_8
P₂ : Type u_9
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
s : Set P₁
f g : P₁ →ᵃ[k] P₂
h_span : affineSpan k s = ⊤
h_agree : EqOn (⇑f) (⇑g) s
⊢ f = g

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'
⊢ x' ∈ univ

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module k V₁
inst✝² : AffineSpace V₁ P₁
S₁ S₂ : AffineSubspace k P₁
inst✝¹ : Nonempty ↥S₁
inst✝ : Nonempty ↥S₂
h : S₁ = S₂
⊢ (ofEq S₁ S₂ h).symm = ofEq S₂ S₁ ⋯

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'
⊢ y' ∈ univ

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f.symm

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
w : ι → k
p : ι → P
p₁ p₂ : P
s' : Finset ι
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
hp₂ : ∀ i ∈ s ∩ s', p i = p₂
hp₁ : ∀ i ∈ s \ s', p i = p₁
⊢ (affineCombination k s p) w = (AffineMap.lineMap p₁ p₂) (∑ i ∈ s ∩ s', w i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
s : Set P₁
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
h : affineSpan k (⇑e '' s) = ⊤
⊢ s = ⇑e.symm '' ⇑e '' s

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
h : BddAbove (DFunLike.coe '' s)
x y : E
⊢ (⨆ p, ⇑↑p) (x + y) ≤ (⨆ p, ⇑↑p) x + (⨆ p, ⇑↑p) y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → k
r : k
p : ι → P
⊢ (AffineMap.lineMap ((affineCombination k s p) w₁) ((affineCombination k s p) w₂)) r =
    (affineCombination k s p) ((AffineMap.lineMap w₁ w₂) r)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
h : BddAbove (DFunLike.coe '' s)
x : E
⊢ (⨆ p, ⇑↑p) (-x) = (⨆ p, ⇑↑p) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
s : Set P₁
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
⊢ affineSpan k s = ⊤ ↔ affineSpan k (⇑e '' s) = ⊤

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹ : Ring k
ι : Type u_4
s : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
h : i ∈ s
⊢ ∑ j ∈ s, affineCombinationSingleWeights k i j = 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹ : Ring k
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
⊢ weightedVSubVSubWeights k i i = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹ : Ring k
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
h : i ≠ j
⊢ weightedVSubVSubWeights k i j i = 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ x' ∈ univ

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹ : Ring k
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
h : i ≠ j
⊢ weightedVSubVSubWeights k i j j = -1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹ : Ring k
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
i j t : ι
hi : t ≠ i
hj : t ≠ j
⊢ weightedVSubVSubWeights k i j t = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ y' ∈ univ

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹ : Ring k
ι : Type u_4
s : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
⊢ ∑ t ∈ s, weightedVSubVSubWeights k i j t = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConvexOn 𝕜 univ ⇑f
⊢ ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f.symm

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
h : BddAbove (DFunLike.coe '' s)
a : 𝕜
x : E
⊢ (⨆ p, ⇑↑p) (a • x) = ‖a‖ * (⨆ p, ⇑↑p) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹ : Ring k
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
c : k
⊢ affineCombinationLineMapWeights i i c = Pi.single i 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹ : Ring k
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
h : i ≠ j
c : k
⊢ affineCombinationLineMapWeights i j c i = 1 - c

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹ : Ring k
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
h : i ≠ j
c : k
⊢ affineCombinationLineMapWeights i j c j = c

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
⊢ comap f ⊤ = ⊤

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹ : Ring k
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
i j t : ι
hi : t ≠ i
hj : t ≠ j
c : k
⊢ affineCombinationLineMapWeights i j c t = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid β
inst✝⁵ : PartialOrder β
inst✝⁴ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y
⊢ 0 ≤ 2⁻¹

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
H : BddAbove (DFunLike.coe '' s)
p : Seminorm 𝕜 E
hp : p ∈ s
x : E
⊢ p x ≤ (sSup s) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹ : Ring k
ι : Type u_4
s : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
c : k
⊢ ∑ t ∈ s, affineCombinationLineMapWeights i j c t = 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → P
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ Pi.single i 1 i = 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid β
inst✝⁵ : PartialOrder β
inst✝⁴ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y
⊢ 2⁻¹ + 2⁻¹ = 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
s : Set P₂
⊢ comap (↑f) (affineSpan k s) = affineSpan k (⇑f ⁻¹' s)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → P
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ (affineCombination k s p) (Pi.single i 1) = p i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_12
p : ι → Seminorm 𝕜 E
⊢ BddAbove (range p) ↔ ∀ (x : E), BddAbove (range fun i ↦ (p i) x)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
hf : Function.Injective ⇑f
s : AffineSubspace k P₁
p : P₁
⊢ p ∈ comap f (map f s) → p ∈ s

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid β
inst✝⁵ : PartialOrder β
inst✝⁴ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y
hz : z ∈ s
⊢ 0 < 2⁻¹

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → P
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
⊢ (s.weightedVSub p) (weightedVSubVSubWeights k i j) = p i -ᵥ p j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module k W
inst✝ : AffineSpace W Q
⊢ ⊤.prod ⊤ = ⊤

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_12
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)
⊢ ⇑(⨆ i, p i) = ⨆ i, ⇑(p i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module k W
inst✝ : AffineSpace W Q
s : AffineSubspace k P
⊢ s.prod ⊥ = ⊥

Tactic:
by

Goal state after: