mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Metric

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
V : M → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝² : (x : M) → NormedAddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → InnerProductSpace ℝ (V x)
inst✝ : FiberBundle F V
cov : CovariantDerivative I F V
σ τ : (x : M) → V x
x : M
X₀ : TangentSpace I x
⊢ (derivMetricTensorAux I cov σ τ x) X₀ =
    ((d% fun x ↦ inner ℝ (σ x) (τ x)) x) X₀ - inner ℝ ((↑cov σ x) X₀) (τ x) - inner ℝ (σ x) ((↑cov τ x) X₀)

Tactic:
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Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Metric

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
V : M → Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → NormedAddCommGroup (V x)
inst✝³ : (x : M) → InnerProductSpace ℝ (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
cov : CovariantDerivative I F V
inst✝¹ : VectorBundle ℝ F V
inst✝ : IsContMDiffRiemannianBundle I 1 F V
x : M
τ : (x : M) → V x
hτ : MDiffAt (T% τ) x
f✝ : M → ℝ
σ✝ : (x : M) → V x
hf : MDiffAt f✝ x
hσ : MDiffAt (T% σ✝) x
⊢ derivMetricTensorAux I cov (f✝ • σ✝) τ x = f✝ x • derivMetricTensorAux I cov σ✝ τ x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : ∀ (x : M), IsTopologicalAddGroup (V x)
inst✝¹ : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
inst✝ : FiberBundle F V
cov : ((x : M) → V x) → (x : M) → TangentSpace I x →L[𝕜] V x
s : Set M
hcov : IsCovariantDerivativeOn F cov s
σ σ' : (x : M) → V x
x : M
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hxs : s ∈ 𝓝 x
hσσ' : ∀ x ∈ s, σ x = σ' x
hxs' : x ∈ s
ψ : M → 𝕜 := fun x' ↦ if x' ∈ s then 1 else 0
hψx : ψ x = 1
x' : M
⊢ (ψ • σ) x' = (ψ • σ') x'

Tactic:
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Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Metric

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
V : M → Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → NormedAddCommGroup (V x)
inst✝³ : (x : M) → InnerProductSpace ℝ (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
cov : CovariantDerivative I F V
inst✝¹ : VectorBundle ℝ F V
inst✝ : IsContMDiffRiemannianBundle I 1 F V
x : M
τ : (x : M) → V x
hτ : MDiffAt (T% τ) x
σ✝ σ'✝ : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ✝) x
hσ' : MDiffAt (T% σ'✝) x
⊢ derivMetricTensorAux I cov (σ✝ + σ'✝) τ x = derivMetricTensorAux I cov σ✝ τ x + derivMetricTensorAux I cov σ'✝ τ x

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by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H✝ M
F : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : ∀ (x : M), IsTopologicalAddGroup (V x)
inst✝¹ : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
inst✝ : FiberBundle F V
cov : ((x : M) → V x) → (x : M) → TangentSpace I x →L[𝕜] V x
s : Set M
hcov : IsCovariantDerivativeOn F cov s
σ σ' : (x : M) → V x
x : M
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hxs : s ∈ 𝓝 x
hσσ' : ∀ x ∈ s, σ x = σ' x
hxs' : x ∈ s
ψ : M → 𝕜 := fun x' ↦ if x' ∈ s then 1 else 0
hψx : ψ x = 1
H : ∀ (x' : M), (ψ • σ) x' = (ψ • σ') x'
⊢ HasMFDerivAt% ψ x 0

Tactic:
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Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Metric

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
V : M → Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → NormedAddCommGroup (V x)
inst✝³ : (x : M) → InnerProductSpace ℝ (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
cov : CovariantDerivative I F V
inst✝¹ : VectorBundle ℝ F V
inst✝ : IsContMDiffRiemannianBundle I 1 F V
x : M
σ : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
f✝ : M → ℝ
σ✝ : (x : M) → V x
hf : MDiffAt f✝ x
hτ : MDiffAt (T% σ✝) x
⊢ derivMetricTensorAux I cov σ (f✝ • σ✝) x = f✝ x • derivMetricTensorAux I cov σ σ✝ x

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Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H✝ M
F : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : ∀ (x : M), IsTopologicalAddGroup (V x)
inst✝¹ : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
inst✝ : FiberBundle F V
cov : ((x : M) → V x) → (x : M) → TangentSpace I x →L[𝕜] V x
s : Set M
hcov : IsCovariantDerivativeOn F cov s
σ σ' : (x : M) → V x
x : M
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hxs : s ∈ 𝓝 x
hσσ' : ∀ x ∈ s, σ x = σ' x
hxs' : x ∈ s
ψ : M → 𝕜 := fun x' ↦ if x' ∈ s then 1 else 0
hψx : ψ x = 1
H : ∀ (x' : M), (ψ • σ) x' = (ψ • σ') x'
hψ' : HasMFDerivAt% ψ x 0
this : cov (ψ • σ) x = ψ x • cov σ x + (d% ψ x).smulRight (σ x)
⊢ cov σ x = cov (ψ • σ) x

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Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Metric

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pp: E : Type u_1
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
V : M → Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → NormedAddCommGroup (V x)
inst✝³ : (x : M) → InnerProductSpace ℝ (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
cov : CovariantDerivative I F V
inst✝¹ : VectorBundle ℝ F V
inst✝ : IsContMDiffRiemannianBundle I 1 F V
x : M
σ : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
σ✝ σ'✝ : (x : M) → V x
hτ : MDiffAt (T% σ✝) x
hτ' : MDiffAt (T% σ'✝) x
⊢ derivMetricTensorAux I cov σ (σ✝ + σ'✝) x = derivMetricTensorAux I cov σ σ✝ x + derivMetricTensorAux I cov σ σ'✝ x

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Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H✝ M
F : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : ∀ (x : M), IsTopologicalAddGroup (V x)
inst✝¹ : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
inst✝ : FiberBundle F V
cov : ((x : M) → V x) → (x : M) → TangentSpace I x →L[𝕜] V x
s : Set M
hcov : IsCovariantDerivativeOn F cov s
σ σ' : (x : M) → V x
x : M
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hxs : s ∈ 𝓝 x
hσσ' : ∀ x ∈ s, σ x = σ' x
hxs' : x ∈ s
ψ : M → 𝕜 := fun x' ↦ if x' ∈ s then 1 else 0
hψx : ψ x = 1
H : ∀ (x' : M), (ψ • σ) x' = (ψ • σ') x'
hψ' : HasMFDerivAt% ψ x 0
this : cov (ψ • σ) x = ψ x • cov σ x + (d% ψ x).smulRight (σ x)
⊢ cov (ψ • σ) x = cov (ψ • σ') x

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Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H✝ M
F : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : ∀ (x : M), IsTopologicalAddGroup (V x)
inst✝¹ : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
inst✝ : FiberBundle F V
cov : ((x : M) → V x) → (x : M) → TangentSpace I x →L[𝕜] V x
s : Set M
hcov : IsCovariantDerivativeOn F cov s
σ σ' : (x : M) → V x
x : M
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hxs : s ∈ 𝓝 x
hσσ' : ∀ x ∈ s, σ x = σ' x
hxs' : x ∈ s
ψ : M → 𝕜 := fun x' ↦ if x' ∈ s then 1 else 0
hψx : ψ x = 1
H : ∀ (x' : M), (ψ • σ) x' = (ψ • σ') x'
hψ' : HasMFDerivAt% ψ x 0
this : cov (ψ • σ) x = ψ x • cov σ x + (d% ψ x).smulRight (σ x)
⊢ cov (ψ • σ') x = cov σ' x

Tactic:
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Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Metric

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
F : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
V : M → Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁶ : (x : M) → NormedAddCommGroup (V x)
inst✝⁵ : (x : M) → InnerProductSpace ℝ (V x)
inst✝⁴ : FiberBundle F V
σ τ : (x : M) → V x
cov : CovariantDerivative I F V
inst✝³ : VectorBundle ℝ F V
inst✝² : IsContMDiffRiemannianBundle I 1 F V
X : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
x : M
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hτ : MDiffAt (T% τ) x
⊢ (((cov.derivMetricTensor x) (σ x)) (τ x)) (X x) =
    ((d% fun x ↦ inner ℝ (σ x) (τ x)) x) (X x) - (fun x ↦ inner ℝ ((fun x ↦ (↑cov σ x) (X x)) x) (τ x)) x -
      (fun x ↦ inner ℝ (σ x) ((fun x ↦ (↑cov τ x) (X x)) x)) x

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by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Metric

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
F : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
V : M → Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁶ : (x : M) → NormedAddCommGroup (V x)
inst✝⁵ : (x : M) → InnerProductSpace ℝ (V x)
inst✝⁴ : FiberBundle F V
cov : CovariantDerivative I F V
inst✝³ : VectorBundle ℝ F V
inst✝² : IsContMDiffRiemannianBundle I 1 F V
x : M
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
X₀ : TangentSpace I x
σ₀ τ₀ : V x
⊢ (((cov.derivMetricTensor x) σ₀) τ₀) X₀ =
    ((d% fun x_1 ↦ inner ℝ (FiberBundle.extend F σ₀ x_1) (FiberBundle.extend F τ₀ x_1)) x) X₀ -
        inner ℝ ((↑cov (FiberBundle.extend F σ₀) x) X₀) τ₀ -
      inner ℝ σ₀ ((↑cov (FiberBundle.extend F τ₀) x) X₀)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : ∀ (x : M), IsTopologicalAddGroup (V x)
inst✝¹ : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
inst✝ : FiberBundle F V
cov : ((x : M) → V x) → (x : M) → TangentSpace I x →L[𝕜] V x
s : Set M
hcov : IsCovariantDerivativeOn F cov s
σ σ' : (x : M) → V x
x : M
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hxs : s ∈ 𝓝 x
hσσ' : ∀ x ∈ s, σ x = σ' x
⊢ cov σ x = cov σ' x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Metric

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
F : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
V : M → Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁶ : (x : M) → NormedAddCommGroup (V x)
inst✝⁵ : (x : M) → InnerProductSpace ℝ (V x)
inst✝⁴ : FiberBundle F V
cov : CovariantDerivative I F V
inst✝³ : VectorBundle ℝ F V
inst✝² : IsContMDiffRiemannianBundle I 1 F V
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
hcov : cov.IsMetricCompatible
x : M
X : (x : M) → TangentSpace I x
σ τ : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hτ : MDiffAt (T% τ) x
⊢ ((d% fun x ↦ inner ℝ (σ x) (τ x)) x) (X x) =
    (fun x ↦ inner ℝ ((fun x ↦ (↑cov σ x) (X x)) x) (τ x)) x + (fun x ↦ inner ℝ (σ x) ((fun x ↦ (↑cov τ x) (X x)) x)) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : ∀ (x : M), IsTopologicalAddGroup (V x)
inst✝¹ : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
inst✝ : FiberBundle F V
cov : ((x : M) → V x) → (x : M) → TangentSpace I x →L[𝕜] V x
s : Set M
hcov : IsCovariantDerivativeOn F cov s
σ σ' : (x : M) → V x
x : M
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hxs : s ∈ 𝓝 x
hσσ' : ∀ᶠ (x : M) in 𝓝 x, σ x = σ' x
⊢ cov σ x = cov σ' x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁶ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁵ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : ∀ (x : M), IsTopologicalAddGroup (V x)
inst✝² : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
inst✝¹ : FiberBundle F V
cov : ((x : M) → V x) → (x : M) → TangentSpace I x →L[𝕜] V x
s : Set M
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
hcov : IsCovariantDerivativeOn F cov s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ cov 0 x = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : ∀ (x : M), IsTopologicalAddGroup (V x)
inst✝¹ : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
inst✝ : FiberBundle F V
cov : ((x : M) → V x) → (x : M) → TangentSpace I x →L[𝕜] V x
s : Set M
hcov : IsCovariantDerivativeOn F cov s
σ : (x : M) → V x
x : M
a : 𝕜
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hx : x ∈ s
⊢ cov (a • σ) x = a • cov σ x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Riemannian

Goal state before:
pp: B : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst✝² : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
inst✝ : VectorBundle ℝ F E
h : IsContinuousRiemannianBundle F E
x : B
r : ℝ
hr : 1 < r
r' : ℝ
hr' : 1 < r'
r'r : r' < r
h'x : x ∈ (trivializationAt F E x).baseSet
G : E x ≃L[ℝ] F := Trivialization.continuousLinearEquivAt ℝ (trivializationAt F E x) x h'x
C : ℝ := ‖↑G‖ ^ 2
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (r' ^ 2)⁻¹ < 1 - δ * C
g : (x : B) → E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ
g_cont :
  Continuous[inst✝⁷, topologicalSpaceTotalSpace (RingHom.id ℝ) F E (F →L[ℝ] ℝ) fun x ↦ E x →L[ℝ] ℝ] fun x ↦
    TotalSpace.mk' (F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ) x (g x)
hg : ∀ (x : B) (v w : E x), ⟪v, w⟫ = ((g x) v) w
g' : B → F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ := fun y ↦ inCoordinates F E (F →L[ℝ] ℝ) (fun x ↦ E x →L[ℝ] ℝ) x y x y (g y)
hg' : ContinuousAt g' x
this✝ : ∀ᶠ (y : B) in 𝓝 x, dist (g' y) (g' x) < δ
y : B
hy : dist (g' y) (g' x) < δ
h'y : y ∈ (trivializationAt F E x).baseSet
this : ‖g' x - g' y‖ ≤ δ
v : E y
w : F := (Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (trivializationAt F E x) y) v
hgy : ((g y) v) v = ((g' y) w) w
hgx : ((g x) ((trivializationAt F E x).symm x w)) ((trivializationAt F E x).symm x w) = ((g' x) w) w
⊢ ((g' x - g' y) w) w + ((g' y) w) w ≤ ‖g' x - g' y‖ * ‖w‖ * ‖w‖ + ((g' y) w) w

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : ∀ (x : M), IsTopologicalAddGroup (V x)
inst✝¹ : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
inst✝ : FiberBundle F V
s : Set M
cov : ((x : M) → V x) → (x : M) → TangentSpace I x →L[𝕜] V x
hcov : IsCovariantDerivativeOn F cov s
cov' : ((x : M) → V x) → (x : M) → TangentSpace I x →L[𝕜] V x
hcov' : IsCovariantDerivativeOn F cov' s
g : M → 𝕜
σ✝ σ'✝ : (x : M) → V x
x✝ : M
hσ : MDiffAt (T% σ✝) x✝
hσ' : MDiffAt (T% σ'✝) x✝
hx : x✝ ∈ s
⊢ (g • cov (σ✝ + σ'✝) + (1 - g) • cov' (σ✝ + σ'✝)) x✝ =
    (g • cov σ✝ + (1 - g) • cov' σ✝) x✝ + (g • cov σ'✝ + (1 - g) • cov' σ'✝) x✝

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : ∀ (x : M), IsTopologicalAddGroup (V x)
inst✝¹ : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
inst✝ : FiberBundle F V
s : Set M
cov : ((x : M) → V x) → (x : M) → TangentSpace I x →L[𝕜] V x
hcov : IsCovariantDerivativeOn F cov s
cov' : ((x : M) → V x) → (x : M) → TangentSpace I x →L[𝕜] V x
hcov' : IsCovariantDerivativeOn F cov' s
g : M → 𝕜
σ✝ : (x : M) → V x
g✝ : M → 𝕜
x✝ : M
hσ : MDiffAt (T% σ✝) x✝
hφ : MDiffAt g✝ x✝
hx : x✝ ∈ s
⊢ (g • cov (g✝ • σ✝) + (1 - g) • cov' (g✝ • σ✝)) x✝ =
    g✝ x✝ • (g • cov σ✝ + (1 - g) • cov' σ✝) x✝ + (d% g✝ x✝).smulRight (σ✝ x✝)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁷ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁶ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁵ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁴ : ∀ (x : M), IsTopologicalAddGroup (V x)
inst✝³ : ∀ (x : M), ContinuousSMul 𝕜 (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
cov cov' : ((x : M) → V x) → (x : M) → TangentSpace I x →L[𝕜] V x
u : Set M
f : M → 𝕜
n : ℕ∞ω
hf : ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, 𝕜) n f u
Hcov : ContMDiffCovariantDerivativeOn F n cov u
Hcov' : ContMDiffCovariantDerivativeOn F n cov' u
σ✝ : (x : M) → V x
hσ : ContMDiffOn I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (n + 1) (fun x ↦ ⟨x, σ✝ x⟩) u
⊢ ContMDiffOn I (I.prod 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] F)) n (fun x ↦ ⟨x, (f • cov σ✝ + (1 - f) • cov' σ✝) x⟩) u

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Metric

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace H M
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
V : M → Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁷ : (x : M) → NormedAddCommGroup (V x)
inst✝⁶ : (x : M) → InnerProductSpace ℝ (V x)
inst✝⁵ : FiberBundle F V
cov : CovariantDerivative I F V
inst✝⁴ : VectorBundle ℝ F V
inst✝³ : IsContMDiffRiemannianBundle I 1 F V
inst✝² : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
⊢ cov.IsMetricCompatible ↔
    ∀ {x : M} {X : (x : M) → TangentSpace I x} {σ τ : (x : M) → V x},
      MDiffAt (T% X) x →
        MDiffAt (T% σ) x →
          MDiffAt (T% τ) x →
            ((d% fun x ↦ inner ℝ (σ x) (τ x)) x) (X x) =
              (fun x ↦ inner ℝ ((fun x ↦ (↑cov σ x) (X x)) x) (τ x)) x +
                (fun x ↦ inner ℝ (σ x) ((fun x ↦ (↑cov τ x) (X x)) x)) x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.CovariantDerivative.Torsion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
cov : ((x : M) → TangentSpace I x) → (x : M) → TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I x
hcov : IsCovariantDerivativeOn E cov
x : M
Y : (x : M) → TangentSpace I x
f✝ : M → 𝕜
σ✝ : (x : M) → TangentSpace I x
hf : MDiffAt f✝ x
hX : MDiffAt (T% σ✝) x
⊢ torsionAux cov (f✝ • σ✝) Y x = f✝ x • torsionAux cov σ✝ Y x

Tactic:
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Goal state after: