mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hij' : ↑i ≠ ↑j
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ ↑j
h₄ : l ≠ -↑i
this :
  (∑ x,
      if P.root x = P.root l - P.root ↑j ∧ P.root k = P.root ↑i + P.root x then
        (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑j) l) + 1)
      else 0) =
    ∑ x,
      if P.root x = P.root ↑i + P.root l ∧ P.root k = P.root x - P.root ↑j then
        (↑(chainTopCoeff (↑j) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) l) + 1)
      else 0
⊢ ∀ x ∈ Finset.univ, ¬((x = i ∧ l = -↑i) ∧ k = -↑j)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.OfBilinear

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
x : M
hSB : B.IsSymm
y : M
hx : B.IsReflective x
hy : B.IsReflective y
z : M
⊢ (reflection ⋯) ((reflection ⋯) z) = z

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.OfBilinear

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
x : M
hSB : B.IsSymm
y : M
hx : B.IsReflective x
hy : B.IsReflective y
⊢ B.IsReflective ((reflection ⋯) y)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CharZero K
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)
i : ι
hi : v b i ∈ U
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hωu : ∀ (i : ↥b.support), ω b *ᵥ u i = u i
hωv : ∀ (i : ι), ω b *ᵥ v b i = v b (-i)
⊢ ∃ j, u j ∈ U

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hij' : ↑i ≠ ↑j
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ ↑j
h₄ : l ≠ -↑i
this :
  (∑ x,
      if P.root x = P.root l - P.root ↑j ∧ P.root k = P.root ↑i + P.root x then
        (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑j) l) + 1)
      else 0) =
    ∑ x,
      if P.root x = P.root ↑i + P.root l ∧ P.root k = P.root x - P.root ↑j then
        (↑(chainTopCoeff (↑j) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) l) + 1)
      else 0
h₁ : ∀ x ∈ Finset.univ, ¬((x = i ∧ l = -↑i) ∧ k = -↑j)
⊢ ∀ x ∈ Finset.univ, ¬((x = j ∧ l = ↑j) ∧ k = ↑i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
hki' : P.pairingIn ℤ k i < 0
hkj' : 0 < P.pairingIn ℤ k j
this✝³ : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝² : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this✝¹ : P.IsNotG2
this✝ : IsAddTorsionFree M
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
hlj_mem : P.root l - P.root j ∈ range ⇑P.root
hmi : P.pairingIn ℤ m i = 0
hlj : P.pairingIn ℤ l j ≠ 0
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = P.pairingIn ℤ k i
this : P.pairingIn ℤ l j = P.pairingIn ℤ i j + P.pairingIn ℤ k j
⊢ -P.pairingIn ℤ i j < P.pairingIn ℤ k j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CharZero K
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)
i : ι
hi : v b i ∈ U
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hωu : ∀ (i : ↥b.support), ω b *ᵥ u i = u i
hωv : ∀ (i : ι), ω b *ᵥ v b i = v b (-i)
j : ↥b.support
hj : u j ∈ U
k l l' : ↥b.support
hl₁ : u l ∈ U
hl₂ : b.cartanMatrix l' l ≠ 0
this : ↑|b.cartanMatrix l' l| • u l' ∈ U
⊢ ↑|b.cartanMatrix l' l| ≠ 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
hki' : P.pairingIn ℤ k i < 0
hkj' : 0 < P.pairingIn ℤ k j
this✝³ : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝² : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this✝¹ : P.IsNotG2
this✝ : IsAddTorsionFree M
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
hlj_mem : P.root l - P.root j ∈ range ⇑P.root
hmi : P.pairingIn ℤ m i = 0
hlj : P.pairingIn ℤ l j ≠ 0
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = P.pairingIn ℤ k i
this : P.pairing l j = P.pairing i j + P.pairing k j
⊢ (algebraMap ℤ R) (P.pairingIn ℤ l j) = (algebraMap ℤ R) (P.pairingIn ℤ i j + P.pairingIn ℤ k j)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hij' : ↑i ≠ ↑j
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ ↑j
h₄ : l ≠ -↑i
this :
  (∑ x,
      if P.root x = P.root l - P.root ↑j ∧ P.root k = P.root ↑i + P.root x then
        (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑j) l) + 1)
      else 0) =
    ∑ x,
      if P.root x = P.root ↑i + P.root l ∧ P.root k = P.root x - P.root ↑j then
        (↑(chainTopCoeff (↑j) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) l) + 1)
      else 0
⊢ ⁅e i, f j⁆ (Sum.inr k) (Sum.inr l) = 0 (Sum.inr k) (Sum.inr l)

Tactic:
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Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CharZero K
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)
i : ι
hi : v b i ∈ U
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hωu : ∀ (i : ↥b.support), ω b *ᵥ u i = u i
hωv : ∀ (i : ι), ω b *ᵥ v b i = v b (-i)
j : ↥b.support
hj : u j ∈ U
k : ↥b.support
⊢ u k ∈ U

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
hki' : P.pairingIn ℤ k i < 0
hkj' : 0 < P.pairingIn ℤ k j
this✝² : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝¹ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this✝ : P.IsNotG2
this : IsAddTorsionFree M
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
hlj_mem : P.root l - P.root j ∈ range ⇑P.root
hmi : P.pairingIn ℤ m i = 0
hlj : P.pairingIn ℤ l j ≠ 0
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = P.pairingIn ℤ k i
⊢ P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ k j = 2

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CharZero K
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hωu : ∀ (i : ↥b.support), ω b *ᵥ u i = u i
hωv : ∀ (i : ι), ω b *ᵥ v b i = v b (-i)
aux : ∀ (k : ↥b.support), u k ∈ U
this : ∀ (j : ι), v b j ∈ U
⊢ U = ⊤

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.OfBilinear

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsReflexive R M
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
hNB : B.Nondegenerate
hSB : B.IsSymm
h2 : IsRegular 2
x y : ↑{x | B.IsReflective x}
hxy : IsReflective.coroot B ⋯ = IsReflective.coroot B ⋯
h1 : ∀ (z : M), (IsReflective.coroot B ⋯) z = (IsReflective.coroot B ⋯) z
h2x : ∀ (z : M), 2 * (B ↑x) z = (B ↑x) ↑x * (IsReflective.coroot B ⋯) z
h2y : ∀ (z : M), (B ↑y) ↑y * (IsReflective.coroot B ⋯) z = 2 * (B ↑y) z
⊢ (B ↑x) ↑x = (B ↑y) ↑y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
hki' : P.pairingIn ℤ k i < 0
hkj' : 0 < P.pairingIn ℤ k j
this✝² : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝¹ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this✝ : P.IsNotG2
this : IsAddTorsionFree M
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
hlj_mem : P.root l - P.root j ∈ range ⇑P.root
hmi : P.pairingIn ℤ m i = 0
hlj : P.pairingIn ℤ l j ≠ 0
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = P.pairingIn ℤ k i
aux₁ : P.pairingIn ℤ i j = -1
aux₂ : P.pairingIn ℤ k j = 2
B : RootPositiveForm ℤ P
hij_le : B.rootLength i ≤ B.rootLength j
⊢ P.root k ≠ P.root j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
hki' : P.pairingIn ℤ k i < 0
hkj' : 0 < P.pairingIn ℤ k j
this✝² : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝¹ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this✝ : P.IsNotG2
this : IsAddTorsionFree M
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
hlj_mem : P.root l - P.root j ∈ range ⇑P.root
hmi : P.pairingIn ℤ m i = 0
hlj : P.pairingIn ℤ l j ≠ 0
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = P.pairingIn ℤ k i
aux₁ : P.pairingIn ℤ i j = -1
aux₂ : P.pairingIn ℤ k j = 2
B : RootPositiveForm ℤ P
hij_le : B.rootLength i ≤ B.rootLength j
⊢ P.pairingIn ℤ k j ∉ {-1, 0, 1}

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hij' : ↑i ≠ ↑j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ ↑j
h₄ : l ≠ -↑i
h₅ : P.root l + P.root ↑i - P.root ↑j ∉ range ⇑P.root
x : ι
hx : P.root x = P.root ↑i + P.root l
hx' : P.root k = P.root x - P.root ↑j
⊢ P.root k = P.root l + P.root ↑i - P.root ↑j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CharZero K
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hωu : ∀ (i : ↥b.support), ω b *ᵥ u i = u i
hωv : ∀ (i : ι), ω b *ᵥ v b i = v b (-i)
j✝ j : ι
h : ∀ {U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)}, (∀ (k : ↥b.support), u k ∈ U) → v b j ∈ U
U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)
hU : ∀ (k : ↥b.support), u k ∈ U
this : v b j ∈ ωConjLieSubmodule U
⊢ v b ((P.reflectionPerm j) j) ∈ U

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hij' : ↑i ≠ ↑j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ ↑j
h₄ : l ≠ -↑i
h₅ : P.root l + P.root ↑i - P.root ↑j ∉ range ⇑P.root
⊢ ∀ x ∈ Finset.univ, ¬(P.root x = P.root ↑i + P.root l ∧ P.root k = P.root x - P.root ↑j)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CharZero K
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hωu : ∀ (i : ↥b.support), ω b *ᵥ u i = u i
hωv : ∀ (i : ι), ω b *ᵥ v b i = v b (-i)
j✝ j : ι
h : ∀ {U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)}, (∀ (k : ↥b.support), u k ∈ U) → v b j ∈ U
U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)
hU : ∀ (k : ↥b.support), u k ∈ U
k : ↥b.support
⊢ u k ∈ ωConjLieSubmodule U

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CharZero K
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hωu : ∀ (i : ↥b.support), ω b *ᵥ u i = u i
hωv : ∀ (i : ι), ω b *ᵥ v b i = v b (-i)
j k : ι
hk : k ∈ b.support
U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)
aux : ∀ (k : ↥b.support), u k ∈ U
⊢ ⁅e ⟨k, hk⟩, u ⟨k, hk⟩⁆ = 2 • v b k

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
hki' : P.pairingIn ℤ k i < 0
hkj' : 0 < P.pairingIn ℤ k j
this✝² : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝¹ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this✝ : P.IsNotG2
this : IsAddTorsionFree M
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
hlj_mem : P.root l - P.root j ∈ range ⇑P.root
hmi : P.pairingIn ℤ m i = 0
hlj : P.pairingIn ℤ l j ≠ 0
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = P.pairingIn ℤ k i
aux₁ : P.pairingIn ℤ i j = -1
aux₂ : P.pairingIn ℤ k j = 2
B : RootPositiveForm ℤ P
hij_le : B.rootLength i ≤ B.rootLength j
hjk_lt : B.rootLength j < B.rootLength k
⊢ (B.toInvariantForm.form (P.root j)) (P.root j) ≠ (B.toInvariantForm.form (P.root k)) (P.root k)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.OfBilinear

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsReflexive R M
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
hNB : B.Nondegenerate
hSB : B.IsSymm
h2 : IsRegular 2
⊢ Injective fun x ↦ IsReflective.coroot B ⋯

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hij' : ↑i ≠ ↑j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ ↑j
h₄ : l ≠ -↑i
h₅ : P.root l + P.root ↑i - P.root ↑j ∉ range ⇑P.root
aux₃ : ∀ x ∈ Finset.univ, ¬(P.root x = P.root ↑i + P.root l ∧ P.root k = P.root x - P.root ↑j)
x : ι
hx : P.root x = P.root l - P.root ↑j
hx' : P.root k = P.root ↑i + P.root x
⊢ P.root k = P.root l + P.root ↑i - P.root ↑j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.OfBilinear

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsReflexive R M
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
hNB : B.Nondegenerate
hSB : B.IsSymm
h2 : IsRegular 2
x : ↑{x | B.IsReflective x}
⊢ LeftInverse (fun y ↦ ⟨(Module.reflection ⋯) ↑y, ⋯⟩) fun y ↦ ⟨(Module.reflection ⋯) ↑y, ⋯⟩

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hij' : ↑i ≠ ↑j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ ↑j
h₄ : l ≠ -↑i
h₅ : P.root l + P.root ↑i - P.root ↑j ∉ range ⇑P.root
aux₃ : ∀ x ∈ Finset.univ, ¬(P.root x = P.root ↑i + P.root l ∧ P.root k = P.root x - P.root ↑j)
⊢ ∀ x ∈ Finset.univ, ¬(P.root x = P.root l - P.root ↑j ∧ P.root k = P.root ↑i + P.root x)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.OfBilinear

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsReflexive R M
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
hNB : B.Nondegenerate
hSB : B.IsSymm
h2 : IsRegular 2
x : ↑{x | B.IsReflective x}
⊢ RightInverse (fun y ↦ ⟨(Module.reflection ⋯) ↑y, ⋯⟩) fun y ↦ ⟨(Module.reflection ⋯) ↑y, ⋯⟩

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
hki' : P.pairingIn ℤ k i < 0
hkj' : 0 < P.pairingIn ℤ k j
this✝² : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝¹ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this✝ : P.IsNotG2
this : IsAddTorsionFree M
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
hlj_mem : P.root l - P.root j ∈ range ⇑P.root
hmi : P.pairingIn ℤ m i = 0
hlj : P.pairingIn ℤ l j ≠ 0
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = P.pairingIn ℤ k i
aux₁ : P.pairingIn ℤ i j = -1
aux₂ : P.pairingIn ℤ k j = 2
B : RootPositiveForm ℤ P
hij_le : B.rootLength i ≤ B.rootLength j
hjk_lt : B.rootLength j < B.rootLength k
⊢ ¬(B.toInvariantForm.form (P.root i)) (P.root i) = (B.toInvariantForm.form (P.root k)) (P.root k)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.OfBilinear

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsReflexive R M
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
hNB : B.Nondegenerate
hSB : B.IsSymm
h2 : IsRegular 2
⊢ ∀ (i j : ↑{x | B.IsReflective x}),
    (Embedding.subtype fun x ↦ B.IsReflective x) j -
        ((Dual.eval R M) ((Embedding.subtype fun x ↦ B.IsReflective x) j))
            ({ toFun := fun x ↦ IsReflective.coroot B ⋯, inj' := ⋯ } i) •
          (Embedding.subtype fun x ↦ B.IsReflective x) i =
      (Embedding.subtype fun x ↦ B.IsReflective x)
        ({ toFun := fun y ↦ ⟨(Module.reflection ⋯) ↑y, ⋯⟩, invFun := fun y ↦ ⟨(Module.reflection ⋯) ↑y, ⋯⟩,
            left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
          j)

Tactic:
by

Goal state after: