mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j k : ↥b.support
l : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux₁ : ∀ x ∈ Finset.univ, ¬(P.root x = P.root ↑i + P.root l ∧ k = j ∧ x = ↑j)
hl : P.root ↑i = P.root ↑j - P.root l
⊢ P.root (-l) = P.root ↑i - P.root ↑j

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : CharZero K
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
χ : ↥H → K
hχ : χ ≠ 0
w : ↥b.support ⊕ ι → K
hw₀ : w ≠ 0
hw : w ∈ genWeightSpace (↥b.support ⊕ ι → K) χ
aux :
  ∀ (d : ↥b.support ⊕ ι → K) (x : ↥H),
    ↑↑x = diagonal d → (w ∈ genWeightSpaceOf (↥b.support ⊕ ι → K) (χ x) x ↔ ∃ k, diagonal ((d - χ x • 1) ^ k) *ᵥ w = 0)
i : ι
hi : w (Sum.inr i) ≠ 0
d : ι → K
⊢ d ∈ span K (range fun i j ↦ ↑(P.pairingIn ℤ j ↑i)) ∧ (∀ (i : ι), d i ≠ 0) ∧ Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ≠ x2) on d) ↔
    (∀ (i : ι), d i ≠ 0) ∧ Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ≠ x2) on d) ∧ d ∈ span K (range fun i j ↦ ↑(P.pairingIn ℤ j ↑i))

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j k : ↥b.support
l : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux₁ : ∀ x ∈ Finset.univ, ¬(P.root x = P.root ↑i + P.root l ∧ k = j ∧ x = ↑j)
⊢ ∀ x ∈ Finset.univ, ¬(P.root x = P.root l - P.root ↑j ∧ k = i ∧ x = -↑i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.EmbeddedG2
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsIrreducible
i : ι
hi : P.root i ∉ allRoots P
this✝ : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h₂ : (B.form (P.root i)) (P.root (long P)) = 0
h₁ : (B.form (P.root i)) (P.root (short P)) = 0
this : Module.IsReflexive R M
x : M
⊢ x ∈ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j k : ↥b.support
l : ι
⊢ ⁅e i, f j⁆ (Sum.inl k) (Sum.inr l) = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this✝² : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝¹ : P.IsNotG2
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
hnk_notMem : P.root n - P.root k ∉ range ⇑P.root
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = -P.pairingIn ℤ m i
aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = 0
key₁ : P.pairingIn ℤ i k = 0
key₂ : P.pairingIn ℤ i m = 0
key₃ : P.pairingIn ℤ j k = 2
key₄ : P.pairingIn ℤ l j = 1
⊢ P.pairingIn ℤ j l ≠ 0

Tactic:
by

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Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : CharZero K
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
U : LieSubmodule K (↥H) (↥b.support ⊕ ι → K)
χ : ↥H → K
hχ : χ ≠ 0
hχ' : genWeightSpace (↥U) χ ≠ ⊥
⊢ ∃ i, v b i ∈ LieSubmodule.map U.incl (genWeightSpace (↥U) χ)

Tactic:
by

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Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
hij' : ↑i ≠ ↑j
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k : ι
this :
  ((if k = ↑i then ↑|b.cartanMatrix i j| else 0) -
      ∑ x,
        if P.root x = P.root ↑i + P.root ↑j ∧ P.root k = P.root x - P.root ↑j then ↑(chainTopCoeff (↑j) x) + 1 else 0) =
    0
⊢ ↑j ≠ -↑i

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by

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Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.EmbeddedG2
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsIrreducible
i : ι
hi : P.root i ∉ allRoots P
this✝ : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h₂ : (B.form (P.root i)) (P.root (long P)) = 0
h₁ : (B.form (P.root i)) (P.root (short P)) = 0
this : Module.IsReflexive R M
⊢ B.form (P.root i) = 0

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Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : CharZero K
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
U : LieSubmodule K (↥H) (↥b.support ⊕ ι → K)
hU : ¬U ≤ genWeightSpace (↥b.support ⊕ ι → K) 0
this : ∃ χ, χ ≠ 0 ∧ genWeightSpace (↥U) χ ≠ ⊥
⊢ ∃ i, v b i ∈ U

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij✝ : i ≠ j
hij' : ↑i ≠ ↑j
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k : ι
this :
  ((if k = ↑i then ↑|b.cartanMatrix i j| else 0) -
      ∑ x,
        if P.root x = P.root ↑i + P.root ↑j ∧ P.root k = P.root x - P.root ↑j then ↑(chainTopCoeff (↑j) x) + 1 else 0) =
    0
hij : ↑j ≠ -↑i
⊢ ∀ x ∈ Finset.univ, x ≠ j → (if x = j ∧ k = ↑i then ↑|b.cartanMatrix i x| else 0) = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.EmbeddedG2
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsIrreducible
i : ι
⊢ P.root i ∈ allRoots P

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.EmbeddedG2
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsIrreducible
i : ι
⊢ (fun x ↦ Exists.choose ⋯) ((fun i ↦ ⟨P.root i, ⋯⟩) i) = i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this✝² : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝¹ : P.IsNotG2
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
hnk_notMem : P.root n - P.root k ∉ range ⇑P.root
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = -P.pairingIn ℤ m i
aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = 0
key₁ : P.pairingIn ℤ i k = 0
key₂ : P.pairingIn ℤ i m = 0
key₃ : P.pairingIn ℤ j k = 2
key₄ : P.pairingIn ℤ j l ≠ 0
⊢ P.root l = P.root i + P.root k

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.EmbeddedG2
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsIrreducible
⊢ RightInverse (fun x ↦ Exists.choose ⋯) fun i ↦ ⟨P.root i, ⋯⟩

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
hij' : ↑i ≠ ↑j
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k : ι
this :
  ((if k = ↑i then ↑|b.cartanMatrix i j| else 0) -
      ∑ x,
        if P.root x = P.root ↑i + P.root ↑j ∧ P.root k = P.root x - P.root ↑j then ↑(chainTopCoeff (↑j) x) + 1 else 0) =
    0
⊢ ⁅e i, f j⁆ᵀ (Sum.inr ↑j) (Sum.inr k) = 0 (Sum.inr k)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : CharZero K
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
U : LieSubmodule K (↥H) (↥b.support ⊕ ι → K)
hU : ∀ (χ : ↥H → K), χ ≠ 0 → genWeightSpace (↥U) χ = ⊥
this : genWeightSpace (↥U) 0 = ⊤
⊢ U ≤ LieSubmodule.map U.incl (genWeightSpace (↥U) 0)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.EmbeddedG2
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsIrreducible
⊢ Nat.card ↥(allRoots P).toFinset = 12

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.EmbeddedG2
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsIrreducible
⊢ Nat.card ι = 12

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.EmbeddedG2
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsIrreducible
i : ι
⊢ i ∈
    {long P, -long P, short P, -short P, shortAddLong P, -shortAddLong P, twoShortAddLong P, -twoShortAddLong P,
      threeShortAddLong P, -threeShortAddLong P, threeShortAddTwoLong P, -threeShortAddTwoLong P}

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
hij' : ↑i ≠ ↑j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k : ι
hk : k ≠ ↑i
⊢ ¬k = ↑i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
⊢ have this := ⋯;
  P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root →
    P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root →
      P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root →
        (chainBotCoeff i m + 1) * (chainBotCoeff j (-k) + 1) = (chainBotCoeff j (-l) + 1) * (chainBotCoeff i k + 1)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
hij' : ↑i ≠ ↑j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k : ι
hk : k ≠ ↑i
⊢ ∀ x ∈ Finset.univ, ¬(P.root x = P.root ↑i + P.root ↑j ∧ P.root k = P.root x - P.root ↑j)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : CharZero K
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
U : LieSubmodule K (↥H) (↥b.support ⊕ ι → K)
hU : ¬U ≤ genWeightSpace (↥b.support ⊕ ι → K) 0
⊢ ∃ i, v b i ∈ U

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
hij' : ↑i ≠ ↑j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
m : ι
hm : P.root m = P.root ↑i + P.root ↑j
⊢ ∀ b_1 ∈ Finset.univ,
    b_1 ≠ m →
      (if P.root b_1 = P.root ↑i + P.root ↑j ∧ P.root ↑i = P.root b_1 - P.root ↑j then ↑(chainTopCoeff (↑j) b_1) + 1
        else 0) =
        0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CharZero K
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)
i✝ : ι
hi : v b i✝ ∈ U
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
i : ↥b.support
⊢ ω b *ᵥ u i = u i

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
hki' : P.pairingIn ℤ k i < 0
hkj' : 0 < P.pairingIn ℤ k j
this✝ : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ ¬(chainBotCoeff i m = 1 ∧ chainBotCoeff j (-l) = 0)

Tactic:
have := chainBotCoeff_mul_chainTopCoeff.isNotG2 hi hj hij h₁ h₂ h₃

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
hki' : P.pairingIn ℤ k i < 0
hkj' : 0 < P.pairingIn ℤ k j
this✝¹ : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : P.IsNotG2
⊢ ¬(chainBotCoeff i m = 1 ∧ chainBotCoeff j (-l) = 0)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsG2
b : P.Base
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
⊢ b.support.card = 2

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsG2
b : P.Base
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i j : ι
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
h_ne : i ≠ j
⊢ {i, j} ⊆ b.support

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsG2
b : P.Base
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i j : ι
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
h_ne : i ≠ j
this : {i, j} ⊆ b.support
⊢ b.support.card ≤ {i, j}.card

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CharZero K
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)
i✝ : ι
hi : v b i✝ ∈ U
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hωu : ∀ (i : ↥b.support), ω b *ᵥ u i = u i
i : ι
⊢ ω b *ᵥ v b i = v b (-i)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsG2
b : P.Base
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i j : ι
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
h_ne : i ≠ j
⊢ Submodule.span ℤ {P.root i, P.root j} = P.rootSpan ℤ

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
hki' : P.pairingIn ℤ k i < 0
hkj' : 0 < P.pairingIn ℤ k j
this✝² : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝¹ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this✝ : P.IsNotG2
this : IsAddTorsionFree M
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
⊢ P.root l - P.root j ∈ range ⇑P.root

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
hij' : ↑i ≠ ↑j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hij_mem : P.root ↑i + P.root ↑j ∉ range ⇑P.root
⊢ ∀ x ∈ Finset.univ, ¬(P.root x = P.root ↑i + P.root ↑j ∧ P.root ↑i = P.root x - P.root ↑j)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : CharZero K
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝³ : P.IsReduced
inst✝² : P.IsCrystallographic
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : P.IsRootSystem
b : P.Base
⊢ cartanSubalgebra' b = LieSubalgebra.lieSpan K (↥(lieAlgebra b)) (range fun i ↦ ⟨h i, ⋯⟩)

Tactic:
by

Goal state after: