mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
N : Type u_5
N' : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
x✝ : M
y✝ : N
inst✝ : p.IsPerfPair
x y : M
⊢ p.1.toFun (x + y) = p.1.toFun x + p.1.toFun y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
N : Type u_5
N' : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
x✝ : M
y : N
inst✝ : p.IsPerfPair
r : R
x : M
⊢ p.1.toFun (r • x) = (RingHom.id R) r • p.1.toFun x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
⊢ Bijective ⇑(Dual.eval R M)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
M' : Type u_4
N : Type u_5
N' : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
eM : M' ≃ₗ[R] M
eN : N' ≃ₗ[R] N
q : M' →ₗ[R] N' →ₗ[R] R
H : q.compl₁₂ ↑eM.symm ↑eN.symm = p
⊢ q = p.compl₁₂ ↑eM ↑eN

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
M' : Type u_4
N : Type u_5
N' : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
eM : M' ≃ₗ[R] M
eN : N' ≃ₗ[R] N
q : M' →ₗ[R] N' →ₗ[R] R
H : q.compl₁₂ ↑eM.symm ↑eN.symm = p
⊢ q.IsPerfPair

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Module K N
p : M →ₗ[K] N →ₗ[K] K
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : Injective ⇑p
h' : Injective ⇑p.flip
⊢ Surjective ⇑p

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Module K N
p : M →ₗ[K] N →ₗ[K] K
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : Injective ⇑p
h' : Injective ⇑p.flip
⊢ Surjective ⇑p.flip

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
V : Submodule R N
h : p.IsPerfectCompl ⊤ V
⊢ IsCompl V ⊥

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
V : Submodule R N
h : V = ⊤
⊢ IsCompl ⊤ (Submodule.map ↑p.toPerfPair.symm ⊤.dualAnnihilator)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
V : Submodule R N
h : V = ⊤
⊢ IsCompl ⊤ (Submodule.map ↑p.flip.toPerfPair.symm ⊤.dualAnnihilator)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
V : Submodule R N
⊢ p.IsPerfectCompl ⊤ V ↔ V = ⊤

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
U : Submodule R M
⊢ p.IsPerfectCompl U ⊤ ↔ U = ⊤

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
⊢ ↑(e ≪≫ₗ e.flip.symm.dualMap) = Dual.eval R N

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
⊢ IsReflexive R N

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
h : IsReflexive R N
⊢ e.flip.flip = e

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R M
⊢ (map (↑e).flip p).dualCoannihilator = map (↑e.symm) p.dualAnnihilator

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R N
⊢ map (↑e.flip.symm) p.dualAnnihilator = (map (↑e) p).dualCoannihilator

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R (Dual R M)
⊢ map (↑e).flip p.dualCoannihilator = (map (↑e.symm) p).dualAnnihilator

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R (Dual R N)
⊢ (map (↑e.flip.symm) p).dualAnnihilator = map (↑e) p.dualCoannihilator

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteSpan

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x ↦ e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
⊢ (e ^ k) 0 = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteSpan

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x ↦ e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x y : M
x✝¹ : x ∈ span R Φ
x✝ : y ∈ span R Φ
hx : (e ^ k) x = x
hy : (e ^ k) y = y
⊢ (e ^ k) (x + y) = x + y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteSpan

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x ↦ e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
t : R
x : M
x✝ : x ∈ span R Φ
hx : (e ^ k) x = x
⊢ (e ^ k) (t • x) = t • x

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteSpan

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x ↦ e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
⊢ e' ^ k = 1

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteSpan

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : MapsTo (⇑e) Φ Φ
⊢ IsOfFinOrder e

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
k : ℕ
hx : x ∈ ⊤.lcs L k
hy : y ∈ LieSubmodule.ucs k ⊥
⊢ ((traceForm R L M) x) y = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
S : Sequence R
i : ℕ
⊢ (↑S i).degree ≠ ⊥

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
S : Sequence R
x✝¹ x✝ : ℕ
⊢ x✝¹ < x✝ → (degree ∘ ↑S) x✝¹ < (degree ∘ ↑S) x✝

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
S : Sequence R
x✝¹ x✝ : ℕ
⊢ x✝¹ < x✝ → (natDegree ∘ ↑S) x✝¹ < (natDegree ∘ ↑S) x✝

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hx : x ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hy : y ∈ LieAlgebra.center R L
⊢ ((traceForm R L M) x) y = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsTrivial L M
x y : L
this : φ x ∘ₗ φ y = 0
⊢ ((traceForm R L M) x) y = (0 x) y

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsTrivial L M
⊢ traceForm R L M = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
P : R[X]
hP : P ∈ degreeLT R m
hp : P.natDegree = n
p_ne_zero : P ≠ 0
⊢ n < m

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
P : R[X]
hP : P ∈ degreeLT R m
hp : P.natDegree = n
p_ne_zero : P ≠ 0
hn : n < m
u : R
leftinv : (↑S n).leadingCoeff * u = 1
rightinv : u * (↑S n).leadingCoeff = 1
head : R[X] := P.leadingCoeff • u • ↑S n
tail : R[X] := P - head
⊢ n ∈ Set.Iio m

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : ∀ (x : L) (m n : M), (B ⁅x, m⁆) n = -(B m) ⁅x, n⁆
m₀ m₁ : M
hm₀ : m₀ ∈ genWeightSpace M 0
hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M
x : L
k : ℕ
ih : ∀ (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
m n : M
⊢ ∀ (m : M), (B m) ((φ x) n) = -1 • (B ((φ x) m)) n

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
P : R[X]
hP : P ∈ degreeLT R m
hp : P.natDegree = n
p_ne_zero : P ≠ 0
hn : n < m
u : R
leftinv : (↑S n).leadingCoeff * u = 1
rightinv : u * (↑S n).leadingCoeff = 1
head : R[X] := P.leadingCoeff • u • ↑S n
tail : R[X] := P - head
⊢ head ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ m₁ : M
hm₀ : m₀ ∈ genWeightSpace M 0
hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M
x : L
k : ℕ
ih : ∀ (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
m n : M
hB : ∀ (m : M), (B m) ((φ x) n) = -1 • (B ((φ x) m)) n
⊢ (-1) ^ k • -1 = (-1) ^ (k + 1)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : IsKilling R L
inst✝² : IsNoetherian R L
inst✝¹ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
h : Codisjoint (rootSpace H 0) (LieModule.posFittingComp R (↥H) L)
⊢ Codisjoint H.toSubmodule ↑(LieModule.posFittingComp R (↥H) L)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : IsKilling R L
inst✝² : IsNoetherian R L
inst✝¹ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
h : Codisjoint H.toSubmodule ↑(LieModule.posFittingComp R (↥H) L)
this : ∀ m₀ ∈ H, ∀ m₁ ∈ LieModule.posFittingComp R (↥H) L, ((killingForm R L) m₀) m₁ = 0
⊢ LinearMap.ker ((killingForm R L).restrict H.toSubmodule) = ⊥

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
P : R[X]
hP : P ∈ degreeLT R m
hp : P.natDegree = n
p_ne_zero : P ≠ 0
hn : n < m
u : R
leftinv : (↑S n).leadingCoeff * u = 1
rightinv : u * (↑S n).leadingCoeff = 1
head : R[X] := P.leadingCoeff • u • ↑S n
tail : R[X] := P - head
head_mem_span : head ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
tail_eq_zero : ¬tail = 0
this : tail.degree < ↑n
⊢ P - head ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : IsKilling R L
inst✝² : IsNoetherian R L
inst✝¹ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
⊢ LinearMap.ker ((killingForm R L).restrict H.toSubmodule) = ⊥

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : IsKilling R L
inst✝² : IsNoetherian R L
inst✝¹ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
⊢ (LieModule.traceForm R (↥H) L).Nondegenerate

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : ↥H → K
x y : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : α + β ≠ 0
σ : (↥H → K) → ↥H → K := fun γ ↦ α + (β + γ)
γ : ↥H → K
⊢ σ γ ≠ γ

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
P : R[X]
hP : P ∈ degreeLT R m
hp : P.natDegree = n
p_ne_zero : P ≠ 0
hn : n < m
u : R
leftinv : (↑S n).leadingCoeff * u = 1
rightinv : u * (↑S n).leadingCoeff = 1
head : R[X] := P.leadingCoeff • u • ↑S n
tail : R[X] := P - head
head_mem_span : head ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
tail_eq_zero : ¬tail = 0
⊢ IsRightRegular (u • ↑S n).leadingCoeff

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : ↥H → K
x y : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : α + β ≠ 0
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y : L
⊢ y ∈ ⨆ β, rootSpace H β

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : ∀ (x : L) (m n : M), (B ⁅x, m⁆) n = -(B m) ⁅x, n⁆
m₀ m₁ : M
hm₀ : m₀ ∈ genWeightSpace M 0
hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M
⊢ ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ m₁ : M
hm₀ : m₀ ∈ genWeightSpace M 0
hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M
hB : ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
this : ∀ (x : L), ∀ m ∈ posFittingCompOf R M x, (B m₀) m = 0
⊢ (B m₀) m₁ = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
P : R[X]
hP : P ∈ degreeLT R m
hp : P.natDegree = n
p_ne_zero : P ≠ 0
hn : n < m
u : R
leftinv : (↑S n).leadingCoeff * u = 1
rightinv : u * (↑S n).leadingCoeff = 1
head : R[X] := P.leadingCoeff • u • ↑S n
tail : R[X] := P - head
head_mem_span : head ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
tail_eq_zero : ¬tail = 0
isRightRegular_smul_leadingCoeff : IsRightRegular (u • ↑S n).leadingCoeff
u_degree_same : (u • ↑S n).degree = (↑S n).degree
head_degree_eq : P.degree = (P.leadingCoeff • u • ↑S n).degree
⊢ head ≠ 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
⊢ x ∈ LinearMap.ker (killingForm K L)

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : ∀ (x : L) (m n : M), (B ⁅x, m⁆) n = -(B m) ⁅x, n⁆
m₀ m₁ : M
hm₀ : m₀ ∈ genWeightSpace M 0
hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M
⊢ (B m₀) m₁ = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : x ∈ lowerCentralSeries R L L 1
⊢ x ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v, ⁅u, v⁆ = m}

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ α : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
e : genWeightSpace L (-⇑α) = ⊥
x : L
hx : x ∈ genWeightSpace L ⇑α
x_ne0 : x ≠ 0
y : L
hy : y ∈ rootSpace H (-⇑α)
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ α : Weight K (↥H) L
⊢ genWeightSpace L (-⇑α) ≠ ⊥

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ α : Weight K (↥H) L
⊢ { toFun := -⇑{ toFun := -⇑α, genWeightSpace_ne_bot' := ⋯ }, genWeightSpace_ne_bot' := ⋯ } = α

Tactic:
by

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
h : α.IsZero
x✝ : ↥H
⊢ (-α) x✝ = 0 x✝

Tactic:
rw [coe_neg, h, neg_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
h : α.IsZero
⊢ (-α).IsZero

Tactic:
by

Goal state after: