Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.AffineTransitionLimit

Goal state before:
pp: case refine_3.refine_2
I : Type u
inst✝⁶ : Category.{u, u} I
D : I ⥤ Scheme
c : Cone D
hc : IsLimit c
inst✝⁵ : IsCofiltered I
inst✝⁴ : ∀ {i j : I} (f : i ⟶ j), IsAffineHom (D.map f)
inst✝³ : ∀ (i : I), CompactSpace ↥(D.obj i)
inst✝² : ∀ (i : I), QuasiSeparatedSpace ↥(D.obj i)
𝒰 : c.pt.OpenCover
inst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.I₀), IsAffine (𝒰.X i)
inst✝ : Finite 𝒰.I₀
i : I
V : 𝒰.I₀ → (D.obj i).Opens
hV : TopologicalSpace.IsOpenCover V
hV' : ∀ (j : 𝒰.I₀), IsAffineOpen (V j) ∧ Hom.opensRange (𝒰.f j) = c.π.app i ⁻¹ᵁ V j
hV'' : ∀ (k : 𝒰.I₀), Set.range ⇑(𝒰.f k) = ⇑(c.π.app i) ⁻¹' ↑(V k)
k : 𝒰.I₀
⊢ (s : PullbackCone ⋯.fromSpec (c.π.app i)) → s.pt ⟶ 𝒰.X k

pp: case refine_3.refine_3
I : Type u
inst✝⁶ : Category.{u, u} I
D : I ⥤ Scheme
c : Cone D
hc : IsLimit c
inst✝⁵ : IsCofiltered I
inst✝⁴ : ∀ {i j : I} (f : i ⟶ j), IsAffineHom (D.map f)
inst✝³ : ∀ (i : I), CompactSpace ↥(D.obj i)
inst✝² : ∀ (i : I), QuasiSeparatedSpace ↥(D.obj i)
𝒰 : c.pt.OpenCover
inst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.I₀), IsAffine (𝒰.X i)
inst✝ : Finite 𝒰.I₀
i : I
V : 𝒰.I₀ → (D.obj i).Opens
hV : TopologicalSpace.IsOpenCover V
hV' : ∀ (j : 𝒰.I₀), IsAffineOpen (V j) ∧ Hom.opensRange (𝒰.f j) = c.π.app i ⁻¹ᵁ V j
hV'' : ∀ (k : 𝒰.I₀), Set.range ⇑(𝒰.f k) = ⇑(c.π.app i) ⁻¹' ↑(V k)
k : 𝒰.I₀
⊢ ∀ (s : PullbackCone ⋯.fromSpec (c.π.app i)),
    ?refine_3.refine_2 s ≫ IsOpenImmersion.lift (V k).ι (𝒰.f k ≫ c.π.app i) ⋯ ≫ ⋯.isoSpec.hom = s.fst

pp: case refine_3.refine_4
I : Type u
inst✝⁶ : Category.{u, u} I
D : I ⥤ Scheme
c : Cone D
hc : IsLimit c
inst✝⁵ : IsCofiltered I
inst✝⁴ : ∀ {i j : I} (f : i ⟶ j), IsAffineHom (D.map f)
inst✝³ : ∀ (i : I), CompactSpace ↥(D.obj i)
inst✝² : ∀ (i : I), QuasiSeparatedSpace ↥(D.obj i)
𝒰 : c.pt.OpenCover
inst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.I₀), IsAffine (𝒰.X i)
inst✝ : Finite 𝒰.I₀
i : I
V : 𝒰.I₀ → (D.obj i).Opens
hV : TopologicalSpace.IsOpenCover V
hV' : ∀ (j : 𝒰.I₀), IsAffineOpen (V j) ∧ Hom.opensRange (𝒰.f j) = c.π.app i ⁻¹ᵁ V j
hV'' : ∀ (k : 𝒰.I₀), Set.range ⇑(𝒰.f k) = ⇑(c.π.app i) ⁻¹' ↑(V k)
k : 𝒰.I₀
⊢ ∀ (s : PullbackCone ⋯.fromSpec (c.π.app i)), ?refine_3.refine_2 s ≫ 𝒰.f k = s.snd

pp: case refine_3.refine_5
I : Type u
inst✝⁶ : Category.{u, u} I
D : I ⥤ Scheme
c : Cone D
hc : IsLimit c
inst✝⁵ : IsCofiltered I
inst✝⁴ : ∀ {i j : I} (f : i ⟶ j), IsAffineHom (D.map f)
inst✝³ : ∀ (i : I), CompactSpace ↥(D.obj i)
inst✝² : ∀ (i : I), QuasiSeparatedSpace ↥(D.obj i)
𝒰 : c.pt.OpenCover
inst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.I₀), IsAffine (𝒰.X i)
inst✝ : Finite 𝒰.I₀
i : I
V : 𝒰.I₀ → (D.obj i).Opens
hV : TopologicalSpace.IsOpenCover V
hV' : ∀ (j : 𝒰.I₀), IsAffineOpen (V j) ∧ Hom.opensRange (𝒰.f j) = c.π.app i ⁻¹ᵁ V j
hV'' : ∀ (k : 𝒰.I₀), Set.range ⇑(𝒰.f k) = ⇑(c.π.app i) ⁻¹' ↑(V k)
k : 𝒰.I₀
⊢ ∀ (s : PullbackCone ⋯.fromSpec (c.π.app i)) (m : s.pt ⟶ 𝒰.X k),
    m ≫ IsOpenImmersion.lift (V k).ι (𝒰.f k ≫ c.π.app i) ⋯ ≫ ⋯.isoSpec.hom = s.fst →
      m ≫ 𝒰.f k = s.snd → m = ?refine_3.refine_2 s

Tactic:
· intro s
      refine IsOpenImmersion.lift (𝒰.f k) s.snd ?_
      simp only [hV'', Set.range_subset_iff, Set.mem_preimage, SetLike.mem_coe]
      intro y
      rw [← Scheme.Hom.comp_apply, ← s.condition]
      simp [← IsAffineOpen.isoSpec_inv_ι]

Goal state after:
case refine_3.refine_3
I : Type u
inst✝⁶ : Category.{u, u} I
D : I ⥤ Scheme
c : Cone D
hc : IsLimit c
inst✝⁵ : IsCofiltered I
inst✝⁴ : ∀ {i j : I} (f : i ⟶ j), IsAffineHom (D.map f)
inst✝³ : ∀ (i : I), CompactSpace ↥(D.obj i)
inst✝² : ∀ (i : I), QuasiSeparatedSpace ↥(D.obj i)
𝒰 : c.pt.OpenCover
inst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.I₀), IsAffine (𝒰.X i)
inst✝ : Finite 𝒰.I₀
i : I
V : 𝒰.I₀ → (D.obj i).Opens
hV : TopologicalSpace.IsOpenCover V
hV' : ∀ (j : 𝒰.I₀), IsAffineOpen (V j) ∧ Hom.opensRange (𝒰.f j) = c.π.app i ⁻¹ᵁ V j
hV'' : ∀ (k : 𝒰.I₀), Set.range ⇑(𝒰.f k) = ⇑(c.π.app i) ⁻¹' ↑(V k)
k : 𝒰.I₀
⊢ ∀ (s : PullbackCone ⋯.fromSpec (c.π.app i)),
    IsOpenImmersion.lift (𝒰.f k) s.snd ⋯ ≫ IsOpenImmersion.lift (V k).ι (𝒰.f k ≫ c.π.app i) ⋯ ≫ ⋯.isoSpec.hom = s.fst

case refine_3.refine_4
I : Type u
inst✝⁶ : Category.{u, u} I
D : I ⥤ Scheme
c : Cone D
hc : IsLimit c
inst✝⁵ : IsCofiltered I
inst✝⁴ : ∀ {i j : I} (f : i ⟶ j), IsAffineHom (D.map f)
inst✝³ : ∀ (i : I), CompactSpace ↥(D.obj i)
inst✝² : ∀ (i : I), QuasiSeparatedSpace ↥(D.obj i)
𝒰 : c.pt.OpenCover
inst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.I₀), IsAffine (𝒰.X i)
inst✝ : Finite 𝒰.I₀
i : I
V : 𝒰.I₀ → (D.obj i).Opens
hV : TopologicalSpace.IsOpenCover V
hV' : ∀ (j : 𝒰.I₀), IsAffineOpen (V j) ∧ Hom.opensRange (𝒰.f j) = c.π.app i ⁻¹ᵁ V j
hV'' : ∀ (k : 𝒰.I₀), Set.range ⇑(𝒰.f k) = ⇑(c.π.app i) ⁻¹' ↑(V k)
k : 𝒰.I₀
⊢ ∀ (s : PullbackCone ⋯.fromSpec (c.π.app i)), IsOpenImmersion.lift (𝒰.f k) s.snd ⋯ ≫ 𝒰.f k = s.snd

case refine_3.refine_5
I : Type u
inst✝⁶ : Category.{u, u} I
D : I ⥤ Scheme
c : Cone D
hc : IsLimit c
inst✝⁵ : IsCofiltered I
inst✝⁴ : ∀ {i j : I} (f : i ⟶ j), IsAffineHom (D.map f)
inst✝³ : ∀ (i : I), CompactSpace ↥(D.obj i)
inst✝² : ∀ (i : I), QuasiSeparatedSpace ↥(D.obj i)
𝒰 : c.pt.OpenCover
inst✝¹ : ∀ (i : 𝒰.I₀), IsAffine (𝒰.X i)
inst✝ : Finite 𝒰.I₀
i : I
V : 𝒰.I₀ → (D.obj i).Opens
hV : TopologicalSpace.IsOpenCover V
hV' : ∀ (j : 𝒰.I₀), IsAffineOpen (V j) ∧ Hom.opensRange (𝒰.f j) = c.π.app i ⁻¹ᵁ V j
hV'' : ∀ (k : 𝒰.I₀), Set.range ⇑(𝒰.f k) = ⇑(c.π.app i) ⁻¹' ↑(V k)
k : 𝒰.I₀
⊢ ∀ (s : PullbackCone ⋯.fromSpec (c.π.app i)) (m : s.pt ⟶ 𝒰.X k),
    m ≫ IsOpenImmersion.lift (V k).ι (𝒰.f k ≫ c.π.app i) ⋯ ≫ ⋯.isoSpec.hom = s.fst →
      m ≫ 𝒰.f k = s.snd → m = IsOpenImmersion.lift (𝒰.f k) s.snd ⋯