mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h_card : (baseOf (⇑P.root) f).ncard = s.ncard
hsp : ∀ (i : ι), ∃ z, f (P.root i) = ↑z
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < f (P.root i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < f (P.root i)}
contra : P.root i = P.root j + P.root k
⊢ P.root j = 0 ∨ P.root k = 0

Tactic:
obtain ⟨n, hn⟩ := hsp j

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h_card : (baseOf (⇑P.root) f).ncard = s.ncard
hsp : ∀ (i : ι), ∃ z, f (P.root i) = ↑z
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < f (P.root i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < f (P.root i)}
contra : P.root i = P.root j + P.root k
n : ℤ
hn : f (P.root j) = ↑n
⊢ P.root j = 0 ∨ P.root k = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℕ
hf : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
⊢ P.root i = ∑ j ∈ b.support, (Nat.cast ∘ f) j • P.root j

Tactic:
by simp [hf']

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℕ
hf : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : P.root i = -∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
⊢ P.root i = ∑ j ∈ b.support, (-Nat.cast ∘ f) j • P.root j

Tactic:
by simp [hf']

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hk : P.root k = P.root i + P.root (-j)
⊢ b.height k = b.height i - b.height j

Tactic:
sub_eq_add_neg,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hk : P.root k = P.root i + P.root (-j)
⊢ b.height k = b.height i + -b.height j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.BilinearForm

Goal state before:
pp: R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : IsDomain R₂
inst✝¹ : Free R₂ M₂
inst✝ : Module.Finite R₂ M₂
B : BilinForm R₂ M₂
h : ker B = ⊥
⊢ SeparatingLeft B

Tactic:
separatingLeft_iff_ker_eq_bot

Goal state after:
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : IsDomain R₂
inst✝¹ : Free R₂ M₂
inst✝ : Module.Finite R₂ M₂
B : BilinForm R₂ M₂
h : ker B = ⊥
⊢ ker B = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
nk : ¬∃ K > 0, ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ abv (↑f j)
⊢ False

Tactic:
refine hf fun ε ε0 => ?_

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
nk : ¬∃ K > 0, ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ abv (↑f j)
ε : α
ε0 : ε > 0
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
p : ι → Prop
h₁ : ∀ i ∈ b.support, p i
h₂ : ∀ (i j : ι), p i → j ∈ b.support → p ((P.reflectionPerm j) i)
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ {i : ι}, b.IsPos i → (b.height i).natAbs = m → p i
i : ι
h₀ : b.IsPos i
hN : (b.height i).natAbs = n
j : ι
hj : j ∈ b.support
hj' : 0 < P.pairingIn ℤ i j
hij : i ≠ j
hk : b.IsPos ((P.reflectionPerm j) i)
this : P.root ((P.reflectionPerm j) i) = P.root i - P.pairingIn ℤ i j • P.root j
⊢ b.height ((P.reflectionPerm j) i) < b.height i

Tactic:
sub_eq_add_neg,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
p : ι → Prop
h₁ : ∀ i ∈ b.support, p i
h₂ : ∀ (i j : ι), p i → j ∈ b.support → p ((P.reflectionPerm j) i)
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ {i : ι}, b.IsPos i → (b.height i).natAbs = m → p i
i : ι
h₀ : b.IsPos i
hN : (b.height i).natAbs = n
j : ι
hj : j ∈ b.support
hj' : 0 < P.pairingIn ℤ i j
hij : i ≠ j
hk : b.IsPos ((P.reflectionPerm j) i)
this : P.root ((P.reflectionPerm j) i) = P.root i + -(P.pairingIn ℤ i j • P.root j)
⊢ b.height ((P.reflectionPerm j) i) < b.height i
Module: Mathlib.Data.Real.Basic

Goal state before:
pp: a b : Cauchy abs
⊢ { cauchy := a - b } = { cauchy := a } - { cauchy := b }

Tactic:
sub_eq_add_neg,

Goal state after:
a b : Cauchy abs
⊢ { cauchy := a + -b } = { cauchy := a } - { cauchy := b }
Module: Mathlib.Data.Real.Basic

Goal state before:
pp: a b : Cauchy abs
⊢ ({ cauchy := a } - { cauchy := b }).cauchy = { cauchy := a }.cauchy - { cauchy := b }.cauchy

Tactic:
sub_eq_add_neg,

Goal state after:
a b : Cauchy abs
⊢ ({ cauchy := a } - { cauchy := b }).cauchy = { cauchy := a }.cauchy + -{ cauchy := b }.cauchy
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Completion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁵ : Field α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : IsStrictOrderedRing α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f g : CauSeq β abv
⊢ f.lim - g.lim = (f - g).lim

Tactic:
sub_eq_add_neg,

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁵ : Field α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : IsStrictOrderedRing α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f g : CauSeq β abv
⊢ f.lim + -g.lim = (f - g).lim
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Completion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁵ : Field α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : IsStrictOrderedRing α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f g : CauSeq β abv
⊢ f.lim + -g.lim = (f - g).lim

Tactic:
sub_eq_add_neg,

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁵ : Field α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : IsStrictOrderedRing α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f g : CauSeq β abv
⊢ f.lim + -g.lim = (f + -g).lim
Module: Mathlib.Data.Real.Basic

Goal state before:
pp: x : ℝ
⊢ ∀ (x y z : ℝ), (x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z) ≤ x ⊔ y ⊓ z

Tactic:
by
    intro a b c
    induction a using Real.ind_mk
    induction b using Real.ind_mk
    induction c using Real.ind_mk
    apply Eq.le
    simp only [← mk_sup, ← mk_inf]
    exact congr_arg mk (CauSeq.sup_inf_distrib_left ..).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Vec

Goal state before:
pp: l : Type u_2
m : Type u_1
n : Type u_4
p : Type u_5
R : Type u_3
inst✝² : NonUnitalSemiring R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m l R
X : Matrix m n R
B : Matrix n p R
hA : ∀ (x : R) (i : m) (j : l), Commute (A i j) x
⊢ X.vec ᵥ* kroneckerMap (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) B A = (Aᵀ * X * B).vec

Tactic:
ext ⟨k, l⟩
  simp_rw [vec, vecMul, mul_apply, dotProduct, kroneckerMap_apply, Finset.sum_mul, transpose_apply,
    ← Finset.univ_product_univ, Finset.sum_product, (hA ..).eq, (hA ..).right_comm, mul_assoc, vec]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
ha : IsUnit A.det
z1 z2 : ℤ
⊢ A ^ (z1 - z2) = A ^ z1 / A ^ z2

Tactic:
sub_eq_add_neg,

Goal state after:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
ha : IsUnit A.det
z1 z2 : ℤ
⊢ A ^ (z1 + -z2) = A ^ z1 / A ^ z2
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : PartialOrder R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
d : n → R
h : (diagonal d).PosDef
i : n
⊢ 0 < d i

Tactic:
by simpa using h.2 (x := .single i 1)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
S : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra S R
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
B : P.InvariantForm
b : P.Base
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ((cartanMatrixIn S b).map ⇑(algebraMap S R) * Matrix.diagonal fun i ↦ (B.form (P.root ↑i)) (P.root ↑i)) =
    2 • (LinearMap.BilinForm.toMatrix b.toWeightBasis) B.form

Tactic:
ext
  simp [B.two_mul_apply_root_root]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : CharZero R
i j : ↥b.support
⊢ b.cartanMatrix i j = 0 ↔ P.pairing ↑i ↑j = 0

Tactic:
by
  rw [cartanMatrix, cartanMatrixIn_def, ← (algebraMap_injective ℤ R).eq_iff,
    algebraMap_pairingIn, map_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
b : Basis ι H
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
χ : ↥root
this✝ : H.IsCartanSubalgebra := isCartanSubalgebra b
this : ∀ (n : ι → ℕ), ∑ i, n i • b.baseSupp i ∈ closure (⇑(rootSystem H).root '' range b.baseSupp')
⊢ (rootSystem H).root χ ∈ closure (⇑(rootSystem H).root '' range b.baseSupp') ∨
    -(rootSystem H).root χ ∈ closure (⇑(rootSystem H).root '' range b.baseSupp')

Tactic:
let s : Set (H → K) := {0} ∪
    {f | ∃ n : ι → ℕ, n ≠ 0 ∧ f = -∑ i, n i • b.baseSupp i} ∪
    {f | ∃ n : ι → ℕ, n ≠ 0 ∧ f =  ∑ i, n i • b.baseSupp i}

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
b : Basis ι H
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
χ : ↥root
this✝ : H.IsCartanSubalgebra := isCartanSubalgebra b
this : ∀ (n : ι → ℕ), ∑ i, n i • b.baseSupp i ∈ closure (⇑(rootSystem H).root '' range b.baseSupp')
s : Set (↥H → K) :=
  {0} ∪ {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = -⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)} ∪ {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
⊢ (rootSystem H).root χ ∈ closure (⇑(rootSystem H).root '' range b.baseSupp') ∨
    -(rootSystem H).root χ ∈ closure (⇑(rootSystem H).root '' range b.baseSupp')
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case succ
S : Type u
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : NoZeroDivisors S
inst✝ : Nontrivial S
n : ℕ
hn : (ascPochhammer S n).natDegree = n
⊢ (ascPochhammer S (n + 1)).natDegree = n + 1

Tactic:
have : natDegree (X + (n : S[X])) = 1 := natDegree_X_add_C (n : S)
    rw [ascPochhammer_succ_right,
        natDegree_mul _ (ne_zero_of_natDegree_gt <| this.symm ▸ Nat.zero_lt_one), hn, this]
    cases n
    · simp
    · refine ne_zero_of_natDegree_gt <| hn.symm ▸ Nat.add_one_pos _

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
n : ℕ
hn : (descPochhammer R n).Monic
⊢ (descPochhammer R (n + 1)).Monic

Tactic:
have h : leadingCoeff (X - 1 : R[X]) = 1 := leadingCoeff_X_sub_C 1

Goal state after:
case succ
R : Type u
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
n : ℕ
hn : (descPochhammer R n).Monic
h : (X - 1).leadingCoeff = 1
⊢ (descPochhammer R (n + 1)).Monic
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Finite ι
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CharZero K
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
p : Submodule K (ι → K) := span K (range fun i j ↦ ↑(P.pairingIn ℤ j ↑i))
f : ι ⊕ ↑{(i, j) | i ≠ j} → Module.Dual K (ι → K) :=
  LinearMap.proj ⊕ᵥ fun x ↦ LinearMap.proj (↑x).1 - LinearMap.proj (↑x).2
i j : ι
h : i ≠ j
⊢ ∃ x ∈ p, (f (Sum.inr ⟨(i, j), h⟩)) x ≠ 0

Tactic:
· obtain ⟨k, hk, hk'⟩ : ∃ k ∈ b.support, P.pairingIn ℤ i k ≠ P.pairingIn ℤ j k := by
      contrapose! h
      apply b.injective_pairingIn
      aesop
    simpa [f, sub_eq_zero] using ⟨fun i ↦ P.pairingIn ℤ i k, subset_span ⟨⟨k, hk⟩, rfl⟩, by simpa⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
k : ℕ
⊢ (-1) ^ k * (eval r (descPochhammer R k) * (-r + ↑k)) =
    (-1) ^ k * (eval r (descPochhammer R k) * -r - -1 * (eval r (descPochhammer R k) * ↑k))

Tactic:
sub_eq_add_neg,

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
k : ℕ
⊢ (-1) ^ k * (eval r (descPochhammer R k) * (-r + ↑k)) =
    (-1) ^ k * (eval r (descPochhammer R k) * -r + -(-1 * (eval r (descPochhammer R k) * ↑k)))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝ : Field F
x : F
⊢ natDegree 0 = 0

Tactic:
natDegree_zero

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x : F
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Vandermonde

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
a : R
⊢ (vandermonde fun i ↦ v i - a).det = (vandermonde v).det

Tactic:
by
  rw [← det_vandermonde_add v (-a)]
  simp only [← sub_eq_add_neg]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
⊢ ∀ {x_1 y : L},
    x_1 ∈ (((ad R L) x).maxGenEigenspace 0).carrier →
      y ∈ (((ad R L) x).maxGenEigenspace 0).carrier → ⁅x_1, y⁆ ∈ (((ad R L) x).maxGenEigenspace 0).carrier

Tactic:
by
      simp only [AddSubsemigroup.mem_carrier, AddSubmonoid.mem_toSubsemigroup,
        Submodule.mem_toAddSubmonoid, Module.End.mem_maxGenEigenspace, zero_smul,
        sub_zero, forall_exists_index]
      intro y z m hm n hn
      refine ⟨m + n, ?_⟩
      rw [ad_pow_lie]
      apply Finset.sum_eq_zero
      intro ij hij
      obtain (h | h) : m ≤ ij.1 ∨ n ≤ ij.2 := by rw [Finset.mem_antidiagonal] at hij; lia
      all_goals simp [Module.End.pow_map_zero_of_le h, hm, hn]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
h : s.Nonempty
⊢ nodal s v ≠ 0

Tactic:
apply ne_zero_of_natDegree_gt (n := 0)
    simp only [natDegree_nodal, h.card_pos]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: case h_deg_eq
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
G : Subgroup Rˣ
inst✝ : Fintype ↥G
h : degree 1 < (X ^ Fintype.card ↥G).degree
⊢ ↑(#(↑G).toFinset) = (X ^ Fintype.card ↥G).degree

Tactic:
Set.toFinset_card,

Goal state after:
case h_deg_eq
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
G : Subgroup Rˣ
inst✝ : Fintype ↥G
h : degree 1 < (X ^ Fintype.card ↥G).degree
⊢ ↑(Fintype.card ↑↑G) = (X ^ Fintype.card ↥G).degree
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
⊢ homogeneousSubmodule σ R 1 = Submodule.span R (Set.range X)

Tactic:
by
  simp [MvPolynomial.homogeneousSubmodule_eq_finsupp_supported,
    AddMonoidAlgebra.supported_eq_span_single, MvPolynomial.single_eq_monomial,
    ← Finsupp.range_single_one, ← Set.range_comp, Function.comp_def, ← X_pow_eq_monomial]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Homogeneous.Ideal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
x : A
hx : x ∈ 𝒜₊.toAddSubmonoid
j : ι
hj : j ∈ DFinsupp.support ((decompose 𝒜) x)
hj₀ : j = 0
⊢ ((decompose 𝒜) x) 0 = 0

Tactic:
simpa using hx

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.Polynomial

Goal state before:
pp: case e_f.hX
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij : ιM × ιM
⊢ ((↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ)))).comp
        (MvPolynomial.map (algebraMap R A)))
      (X ij) =
    ((MvPolynomial.map (algebraMap R A)).comp ↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (X ij)

Tactic:
simp only [RingHom.coe_comp, RingHom.coe_coe, Function.comp_apply, map_X, bind₁_X_right]

Goal state after:
case e_f.hX
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij : ιM × ιM
⊢ toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ) ij =
    (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (toMvPolynomial b bₘ.end φ ij)
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.Polynomial

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup L
inst✝⁹ : Module R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Free R L
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank ≠ 0

Tactic:
rw [nilRank_eq_polyCharpoly_natTrailingDegree _ b]
  apply polyCharpoly_coeff_nilRankAux_ne_zero

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.Polynomial

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : Free R L
x : L
⊢ (charpoly (φ x)).coeff φ.nilRank ≠ 0 ↔ (eval ⇑(b.repr x)) ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank) ≠ 0

Tactic:
polyCharpoly_coeff_eval

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : Free R L
x : L
⊢ (charpoly (φ x)).coeff φ.nilRank ≠ 0 ↔ (charpoly (φ x)).coeff φ.nilRank ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
m₀ : Type um₀
n : Type un
n₀ : Type un₀
R : Type uR
inst✝ : Semiring R
A : Matrix m n R
r : m₀ → m
c : n₀ → n
h : ((A.submatrix r id).submatrix id c).cRank ≤ (A.submatrix r id).cRank
f : (m → R) →ₗ[R] m₀ → R := LinearMap.funLeft R R r
h_eq : Submodule.map f (span R (range A.col)) = span R (range (A.submatrix r id).col)
hwin :
  lift.{max uR um, max uR um₀} (Module.rank R ↥(Submodule.map f (span R (range Aᵀ)))) ≤
    lift.{max uR um₀, max uR um} (Module.rank R ↥(span R (range Aᵀ)))
⊢ lift.{um, max uR um₀} (Module.rank R ↥(Submodule.map f (span R (range A.col)))) ≤ lift.{um₀, max uR um} A.cRank

Tactic:
← lift_umax

Goal state after:
m : Type um
m₀ : Type um₀
n : Type un
n₀ : Type un₀
R : Type uR
inst✝ : Semiring R
A : Matrix m n R
r : m₀ → m
c : n₀ → n
h : ((A.submatrix r id).submatrix id c).cRank ≤ (A.submatrix r id).cRank
f : (m → R) →ₗ[R] m₀ → R := LinearMap.funLeft R R r
h_eq : Submodule.map f (span R (range A.col)) = span R (range (A.submatrix r id).col)
hwin :
  lift.{max (max uR um₀) (max uR um) um₀, max uR um₀} (Module.rank R ↥(Submodule.map f (span R (range Aᵀ)))) ≤
    lift.{max (max uR um) um₀, max uR um} (Module.rank R ↥(span R (range Aᵀ)))
⊢ lift.{max (max uR um₀) (max uR um) um₀, max uR um₀} (Module.rank R ↥(Submodule.map f (span R (range A.col)))) ≤
    lift.{max (max uR um) um₀, max uR um} A.cRank
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: case inr
m : Type um
n : Type un
R : Type uR
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
this :
  ∀ {m : Type um} {n : Type un} {R : Type uR} [inst : Semiring R] [StrongRankCondition R] (A : Matrix m n R),
    Finite n → A.eRank ≤ ENat.card n
hfin : ¬Finite n
⊢ A.eRank ≤ ENat.card n

pp: m✝ : Type um
n✝ : Type un
R✝ : Type uR
inst✝² : Semiring R✝
m : Type um
n : Type un
R : Type uR
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
hfin : Finite n
⊢ A.eRank ≤ ENat.card n

Tactic:
· simp [ENat.card_eq_top.2 (by simpa using hfin)]

Goal state after:
m✝ : Type um
n✝ : Type un
R✝ : Type uR
inst✝² : Semiring R✝
m : Type um
n : Type un
R : Type uR
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
hfin : Finite n
⊢ A.eRank ≤ ENat.card n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: case inr
m : Type um
n : Type un
R : Type uR
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
this :
  ∀ {m : Type um} {n : Type un} {R : Type uR} [inst : Semiring R] [StrongRankCondition R] (A : Matrix m n R),
    Finite m → A.eRank ≤ ENat.card m
hfin : ¬Finite m
⊢ A.eRank ≤ ENat.card m

pp: m✝ : Type um
n✝ : Type un
R✝ : Type uR
inst✝² : Semiring R✝
m : Type um
n : Type un
R : Type uR
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
hfin : Finite m
⊢ A.eRank ≤ ENat.card m

Tactic:
· simp [ENat.card_eq_top.2 (by simpa using hfin)]

Goal state after:
m✝ : Type um
n✝ : Type un
R✝ : Type uR
inst✝² : Semiring R✝
m : Type um
n : Type un
R : Type uR
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
hfin : Finite m
⊢ A.eRank ≤ ENat.card m