Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Triangle.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y ↦ (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
hHG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
hG : #(G.edgeFinset \ H.edgeFinset) < #tris.attach
x y z : α
xy : G.Adj x y
xz : G.Adj x z
yz : G.Adj y z
ht : {x, y, z} ∈ tris
h : ∀ (x_1 y_1 : α), x_1 ∈ {x, y, z} → y_1 ∈ {x, y, z} → x_1 ≠ y_1 → G.Adj x_1 y_1 → H.Adj x_1 y_1
⊢ H.Adj x y ∧ H.Adj x z ∧ H.Adj y z

Tactic:
refine ⟨h _ _ ?_ ?_ xy.ne xy, h _ _ ?_ ?_ xz.ne xz, h _ _ ?_ ?_ yz.ne yz⟩

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y ↦ (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
hHG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
hG : #(G.edgeFinset \ H.edgeFinset) < #tris.attach
x y z : α
xy : G.Adj x y
xz : G.Adj x z
yz : G.Adj y z
ht : {x, y, z} ∈ tris
h : ∀ (x_1 y_1 : α), x_1 ∈ {x, y, z} → y_1 ∈ {x, y, z} → x_1 ≠ y_1 → G.Adj x_1 y_1 → H.Adj x_1 y_1
⊢ x ∈ {x, y, z}

case refine_2
α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y ↦ (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
hHG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
hG : #(G.edgeFinset \ H.edgeFinset) < #tris.attach
x y z : α
xy : G.Adj x y
xz : G.Adj x z
yz : G.Adj y z
ht : {x, y, z} ∈ tris
h : ∀ (x_1 y_1 : α), x_1 ∈ {x, y, z} → y_1 ∈ {x, y, z} → x_1 ≠ y_1 → G.Adj x_1 y_1 → H.Adj x_1 y_1
⊢ y ∈ {x, y, z}

case refine_3
α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y ↦ (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
hHG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
hG : #(G.edgeFinset \ H.edgeFinset) < #tris.attach
x y z : α
xy : G.Adj x y
xz : G.Adj x z
yz : G.Adj y z
ht : {x, y, z} ∈ tris
h : ∀ (x_1 y_1 : α), x_1 ∈ {x, y, z} → y_1 ∈ {x, y, z} → x_1 ≠ y_1 → G.Adj x_1 y_1 → H.Adj x_1 y_1
⊢ x ∈ {x, y, z}

case refine_4
α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y ↦ (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
hHG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
hG : #(G.edgeFinset \ H.edgeFinset) < #tris.attach
x y z : α
xy : G.Adj x y
xz : G.Adj x z
yz : G.Adj y z
ht : {x, y, z} ∈ tris
h : ∀ (x_1 y_1 : α), x_1 ∈ {x, y, z} → y_1 ∈ {x, y, z} → x_1 ≠ y_1 → G.Adj x_1 y_1 → H.Adj x_1 y_1
⊢ z ∈ {x, y, z}

case refine_5
α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y ↦ (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
hHG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
hG : #(G.edgeFinset \ H.edgeFinset) < #tris.attach
x y z : α
xy : G.Adj x y
xz : G.Adj x z
yz : G.Adj y z
ht : {x, y, z} ∈ tris
h : ∀ (x_1 y_1 : α), x_1 ∈ {x, y, z} → y_1 ∈ {x, y, z} → x_1 ≠ y_1 → G.Adj x_1 y_1 → H.Adj x_1 y_1
⊢ y ∈ {x, y, z}

case refine_6
α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y ↦ (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
hHG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
hG : #(G.edgeFinset \ H.edgeFinset) < #tris.attach
x y z : α
xy : G.Adj x y
xz : G.Adj x z
yz : G.Adj y z
ht : {x, y, z} ∈ tris
h : ∀ (x_1 y_1 : α), x_1 ∈ {x, y, z} → y_1 ∈ {x, y, z} → x_1 ≠ y_1 → G.Adj x_1 y_1 → H.Adj x_1 y_1
⊢ z ∈ {x, y, z}