mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Complex

Goal state before:
pp: x n : ℂ
⊢ (if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else cexp (log ((starRingEnd ℂ) x) * n)) =
    if x.arg = π then if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else cexp (log x * n)
    else if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else (starRingEnd ℂ) (cexp (log x * (starRingEnd ℂ) n))

Tactic:
← exp_conj,

Goal state after:
x n : ℂ
⊢ (if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else cexp (log ((starRingEnd ℂ) x) * n)) =
    if x.arg = π then if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else cexp (log x * n)
    else if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else cexp ((starRingEnd ℂ) (log x * (starRingEnd ℂ) n))
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Trigonometric.Angle

Goal state before:
pp: a : Angle
h : 2 • a = 2 • a
h_sign : a.sign = -a.sign
h_ne : a.sign ≠ 0
h1 : a = a ∨ a = a + ↑π
⊢ False

Tactic:
simp only [SignType.self_eq_neg_iff] at h_sign

Goal state after:
a : Angle
h : 2 • a = 2 • a
h_ne : a.sign ≠ 0
h1 : a = a ∨ a = a + ↑π
h_sign : a.sign = 0
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : 0 ≤ z
⊢ x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z

Tactic:
rcases hy.eq_or_lt with (rfl | hy)
  · rw [zero_add, rpow_zero, one_mul]
  exact rpow_add' hx (ne_of_gt <| add_pos_of_pos_of_nonneg hy hz)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Asymptotics

Goal state before:
pp: case neg
y : ℝ
hy : 0 < y
x c : ℝ≥0
left✝ : True
hc : ∀ x_1 ∈ Set.Ioi c, x_1 ^ y ∈ Set.Ioi x
hc' : Set.Ioi ↑c ∈ 𝓝 ∞
a : ℝ≥0∞
ha : a ∈ Set.Ioi ↑c
ha' : ¬a = ∞
⊢ ↑x < a ^ y

Tactic:
lift a to ℝ≥0 using ha'

Goal state after:
case neg
y : ℝ
hy : 0 < y
x c : ℝ≥0
left✝ : True
hc : ∀ x_1 ∈ Set.Ioi c, x_1 ^ y ∈ Set.Ioi x
hc' : Set.Ioi ↑c ∈ 𝓝 ∞
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Set.Ioi ↑c
⊢ ↑x < ↑a ^ y
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Asymptotics

Goal state before:
pp: α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℂ
b : ℂ
hl : b.re = 0 → b ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → b.re = 0 → b = 0

Tactic:
by
    simpa only [eventually_imp_distrib_right, not_imp_not, Imp.swap (a := b.re = 0)] using hl

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.NNReal

Goal state before:
pp: x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z
⊢ x < y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z < y

Tactic:
by
  simp only [← not_le, rpow_inv_le_iff hz]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.NNReal

Goal state before:
pp: p : ℝ
x : ℝ≥0
hx_pos : 0 < x
rpow_pos_of_nonneg : ∀ {p : ℝ}, 0 < p → 0 < x ^ p
⊢ 0 < x ^ p

Tactic:
rcases lt_trichotomy (0 : ℝ) p with (hp_pos | rfl | hp_neg)

Goal state after:
case inl
p : ℝ
x : ℝ≥0
hx_pos : 0 < x
rpow_pos_of_nonneg : ∀ {p : ℝ}, 0 < p → 0 < x ^ p
hp_pos : 0 < p
⊢ 0 < x ^ p

case inr.inl
x : ℝ≥0
hx_pos : 0 < x
rpow_pos_of_nonneg : ∀ {p : ℝ}, 0 < p → 0 < x ^ p
⊢ 0 < x ^ 0

case inr.inr
p : ℝ
x : ℝ≥0
hx_pos : 0 < x
rpow_pos_of_nonneg : ∀ {p : ℝ}, 0 < p → 0 < x ^ p
hp_neg : p < 0
⊢ 0 < x ^ p
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.NNReal

Goal state before:
pp: x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : 0 < y
⊢ x ^ y < ∞ ↔ x < ∞

Tactic:
simp only [lt_top_iff_ne_top, Ne, rpow_eq_top_iff_of_pos hy]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.NNReal

Goal state before:
pp: case inl
y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : z < 0 ∨ 0 < z
hxy : 0 ≤ y
⊢ (0 * y) ^ z = if (0 = 0 ∧ y = ∞ ∨ 0 = ∞ ∧ y = 0) ∧ z < 0 then ∞ else 0 ^ z * y ^ z

pp: case inr
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : z < 0 ∨ 0 < z
hxy : x ≤ y
hx0 : x ≠ 0
⊢ (x * y) ^ z = if (x = 0 ∧ y = ∞ ∨ x = ∞ ∧ y = 0) ∧ z < 0 then ∞ else x ^ z * y ^ z

Tactic:
· induction y <;> rcases hz with hz | hz <;> simp [*, hz.not_gt]

Goal state after:
case inr
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : z < 0 ∨ 0 < z
hxy : x ≤ y
hx0 : x ≠ 0
⊢ (x * y) ^ z = if (x = 0 ∧ y = ∞ ∨ x = ∞ ∧ y = 0) ∧ z < 0 then ∞ else x ^ z * y ^ z
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Midpoint

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Invertible 2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
p₁ p₂ p : P
⊢ ⅟2 • (p -ᵥ p₁) + ⅟2 • -(p₂ -ᵥ p) = ⅟2 • (p -ᵥ p₁) + ⅟2 • (p -ᵥ p₂)

Tactic:
neg_vsub_eq_vsub_rev

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Invertible 2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
p₁ p₂ p : P
⊢ ⅟2 • (p -ᵥ p₁) + ⅟2 • (p -ᵥ p₂) = ⅟2 • (p -ᵥ p₁) + ⅟2 • (p -ᵥ p₂)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Midpoint

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Invertible 2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
⊢ midpoint R x y = y ↔ x = y

Tactic:
rw [midpoint_comm, midpoint_eq_left_iff, eq_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Midpoint

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Invertible 2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x x' y y' : P
⊢ x -ᵥ x' = -(y -ᵥ y') ↔ x -ᵥ x' = y' -ᵥ y

Tactic:
neg_vsub_eq_vsub_rev

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Invertible 2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x x' y y' : P
⊢ x -ᵥ x' = y' -ᵥ y ↔ x -ᵥ x' = y' -ᵥ y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Ray

Goal state before:
pp: case inr.inr
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : PartialOrder R
inst✝⁴ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
x : M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
r : R
hr : r < 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h : r₁ • x - (r₂ * r) • x = 0
⊢ x = 0

Tactic:
← sub_smul,

Goal state after:
case inr.inr
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : PartialOrder R
inst✝⁴ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
x : M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
r : R
hr : r < 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h : (r₁ - r₂ * r) • x = 0
⊢ x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineMap

Goal state before:
pp: case e_linear
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V1
inst✝⁴ : Module k V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V2
inst✝ : AffineSpace V2 P2
x✝¹ x✝ : P1 →ᵃ[k] P2
f : P1 → P2
f_linear : V1 →ₗ[k] V2
f_add : ∀ (p : P1) (v : V1), f (v +ᵥ p) = f_linear v +ᵥ f p
g : P1 → P2
g_linear : V1 →ₗ[k] V2
g_add : ∀ (p : P1) (v : V1), g (v +ᵥ p) = g_linear v +ᵥ g p
h : f = g
p : P1
v : V1
⊢ f_linear v +ᵥ f p = g_linear v +ᵥ f p

Tactic:
rw [← f_add, h, ← g_add]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineMap

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V1
inst✝⁴ : Module k V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V2
inst✝ : AffineSpace V2 P2
f : P1 →ᵃ[k] P2
⊢ Function.Injective ⇑f.linear ↔ Function.Injective ⇑f

Tactic:
by
  obtain ⟨p⟩ := (inferInstance : Nonempty P1)
  have h : ⇑f.linear = (Equiv.vaddConst (f p)).symm ∘ f ∘ Equiv.vaddConst p := by
    ext v
    simp [f.map_vadd]
  rw [h, Equiv.comp_injective, Equiv.injective_comp]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineMap

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V1
inst✝³ : Module k V1
inst✝² : AffineSpace V1 P1
inst✝¹ : IsDomain k
inst✝ : IsTorsionFree k V1
p₀ p₁ : P1
c₁ c₂ : k
⊢ (c₁ • (p₁ -ᵥ p₀) +ᵥ p₀) -ᵥ (c₂ • (p₁ -ᵥ p₀) +ᵥ p₀) = 0 ↔ p₀ = p₁ ∨ c₁ = c₂

Tactic:
vadd_vsub_vadd_cancel_right,

Goal state after:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V1
inst✝³ : Module k V1
inst✝² : AffineSpace V1 P1
inst✝¹ : IsDomain k
inst✝ : IsTorsionFree k V1
p₀ p₁ : P1
c₁ c₂ : k
⊢ c₁ • (p₁ -ᵥ p₀) - c₂ • (p₁ -ᵥ p₀) = 0 ↔ p₀ = p₁ ∨ c₁ = c₂
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineMap

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V1
inst✝¹ : Module k V1
inst✝ : AffineSpace V1 P1
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ c • -(p₁ -ᵥ p₀) = c • (p₀ -ᵥ p₁)

Tactic:
neg_vsub_eq_vsub_rev

Goal state after:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V1
inst✝¹ : Module k V1
inst✝ : AffineSpace V1 P1
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ c • (p₀ -ᵥ p₁) = c • (p₀ -ᵥ p₁)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Ray

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v₂ : M
⊢ ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ 0 = a • (0 + v₂) ∧ v₂ = b • (0 + v₂)

pp: case inr.inl
R : Type u_1
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v₁ : M
⊢ ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ v₁ = a • (v₁ + 0) ∧ 0 = b • (v₁ + 0)

pp: case inr.inr
R : Type u_1
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v₁ v₂ : M
r₁ r₂ : R
h₁ : 0 < r₁
h₂ : 0 < r₂
H : r₁ • v₁ = r₂ • v₂
⊢ ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ v₁ = a • (v₁ + v₂) ∧ v₂ = b • (v₁ + v₂)

Tactic:
· use 0, 1
    simp

Goal state after:
case inr.inl
R : Type u_1
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v₁ : M
⊢ ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ v₁ = a • (v₁ + 0) ∧ 0 = b • (v₁ + 0)

case inr.inr
R : Type u_1
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v₁ v₂ : M
r₁ r₂ : R
h₁ : 0 < r₁
h₂ : 0 < r₂
H : r₁ • v₁ = r₂ • v₂
⊢ ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ v₁ = a • (v₁ + v₂) ∧ v₂ = b • (v₁ + v₂)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Segment

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddRightMono 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
⊢ openSegment 𝕜 x y = (fun θ ↦ x + θ • (y - x)) '' Ioo 0 1

Tactic:
convert! openSegment_eq_image 𝕜 x y using 2

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddRightMono 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Ioo 0 1
⊢ x + a✝¹ • (y - x) = (1 - a✝¹) • x + a✝¹ • y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Segment

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : Ring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddRightMono 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
f : E →ᵃ[𝕜] F
a b : E
x : F
⊢ x ∈ ⇑f '' openSegment 𝕜 a b ↔ x ∈ openSegment 𝕜 (f a) (f b)

Tactic:
simp_rw [openSegment_eq_image_lineMap, mem_image, exists_exists_and_eq_and,
      AffineMap.apply_lineMap]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ ↑s
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ ↑s
p₄ : P
hp₄ : p₄ ∈ ↑s
⊢ (fun x1 x2 ↦ x1 -ᵥ x2) p₁ p₂ + (fun x1 x2 ↦ x1 -ᵥ x2) p₃ p₄ ∈ ↑s -ᵥ ↑s

Tactic:
rw [← vadd_vsub_assoc]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ ↑s
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ ↑s
p₄ : P
hp₄ : p₄ ∈ ↑s
⊢ ((fun x1 x2 ↦ x1 -ᵥ x2) p₁ p₂ +ᵥ p₃) -ᵥ p₄ ∈ ↑s -ᵥ ↑s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty
⊢ ∀ {a b : V}, a ∈ ↑s -ᵥ ↑s → b ∈ ↑s -ᵥ ↑s → a + b ∈ ↑s -ᵥ ↑s

Tactic:
rintro _ _ ⟨p₁, hp₁, p₂, hp₂, rfl⟩ ⟨p₃, hp₃, p₄, hp₄, rfl⟩
    rw [← vadd_vsub_assoc]
    refine vsub_mem_vsub ?_ hp₄
    rw [mem_coe]
    convert s.smul_vsub_vadd_mem 1 hp₁ hp₂ hp₃
    rw [one_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring 𝕜
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
𝕜' : Type u_5
inst✝⁵ : Semiring 𝕜'
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
inst✝³ : RingHomSurjective σ
F' : Type u_6
inst✝² : AddCommMonoid F'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
hσ : ∀ {s t : 𝕜}, σ s ≤ σ t ↔ s ≤ t
f : E →ₛₗ[σ] F'
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
r : 𝕜
ha : 0 ≤ σ r
t : 𝕜
hb : 0 ≤ σ t
hab : σ r + σ t = 1
⊢ r + t = 1

Tactic:
apply_fun σ using Function.Injective.of_eq_imp_le (hσ.mp ·.le)

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring 𝕜
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
𝕜' : Type u_5
inst✝⁵ : Semiring 𝕜'
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
inst✝³ : RingHomSurjective σ
F' : Type u_6
inst✝² : AddCommMonoid F'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
hσ : ∀ {s t : 𝕜}, σ s ≤ σ t ↔ s ≤ t
f : E →ₛₗ[σ] F'
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
r : 𝕜
ha : 0 ≤ σ r
t : 𝕜
hb : 0 ≤ σ t
hab : σ r + σ t = 1
⊢ σ (r + t) = σ 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p x : P
⊢ x ∈ mk' p ⊤ ↔ x ∈ ⊤

Tactic:
simp [mem_mk']

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
x✝ : E
a✝⁵ : x✝ ∈ ↑K
y✝ : E
a✝⁴ : y✝ ∈ ↑K
a✝³ b✝ : 𝕜
a✝² : 0 ≤ a✝³
a✝¹ : 0 ≤ b✝
a✝ : a✝³ + b✝ = 1
⊢ a✝³ • x✝ + b✝ • y✝ ∈ ↑K

Tactic:
refine add_mem (smul_mem _ _ ?_) (smul_mem _ _ ?_)

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
x✝ : E
a✝⁵ : x✝ ∈ ↑K
y✝ : E
a✝⁴ : y✝ ∈ ↑K
a✝³ b✝ : 𝕜
a✝² : 0 ≤ a✝³
a✝¹ : 0 ≤ b✝
a✝ : a✝³ + b✝ = 1
⊢ x✝ ∈ K

case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
x✝ : E
a✝⁵ : x✝ ∈ ↑K
y✝ : E
a✝⁴ : y✝ ∈ ↑K
a✝³ b✝ : 𝕜
a✝² : 0 ≤ a✝³
a✝¹ : 0 ≤ b✝
a✝ : a✝³ + b✝ = 1
⊢ y✝ ∈ K
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Bounded

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedRing 𝕜'
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝⁵ : Nontrivial 𝕜'
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : MulAction 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
s : Set E
h : IsVonNBounded 𝕜' s
V : Set E
hV : V ∈ 𝓝 0
x y : 𝕜
⊢ ‖x - y‖₊ ≤ ‖1‖₊⁻¹ * ‖x • 1 - y • 1‖₊

Tactic:
← sub_smul,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedRing 𝕜'
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝⁵ : Nontrivial 𝕜'
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : MulAction 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
s : Set E
h : IsVonNBounded 𝕜' s
V : Set E
hV : V ∈ 𝓝 0
x y : 𝕜
⊢ ‖x - y‖₊ ≤ ‖1‖₊⁻¹ * ‖(x - y) • 1‖₊
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Equicontinuity

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : PseudoMetricSpace β
b : ℝ → ℝ
b_lim : Tendsto b (𝓝 0) (𝓝 0)
F : ι → β → α
H : ∀ (x y : β) (i : ι), dist (F i x) (F i y) ≤ b (dist x y)
⊢ UniformEquicontinuous F

Tactic:
by
  rw [Metric.uniformEquicontinuous_iff]
  intro ε ε0
  rcases tendsto_nhds_nhds.1 b_lim ε ε0 with ⟨δ, δ0, hδ⟩
  refine ⟨δ, δ0, fun x y hxy i => ?_⟩
  calc
    dist (F i x) (F i y) ≤ b (dist x y) := H x y i
    _ ≤ |b (dist x y)| := le_abs_self _
    _ = dist (b (dist x y)) 0 := by simp [Real.dist_eq]
    _ < ε := hδ (by simpa only [Real.dist_eq, tsub_zero, abs_dist] using hxy)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring 𝕜
inst✝⁷ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid β
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • (f ⊔ g) x + b • (f ⊔ g) y

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring 𝕜
inst✝⁷ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid β
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ g (a • x + b • y) ≤ a • (f ⊔ g) x + b • (f ⊔ g) y

Tactic:
· calc
      f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y := hf.right hx hy ha hb hab
      _ ≤ a • (f x ⊔ g x) + b • (f y ⊔ g y) := by gcongr <;> apply le_sup_left

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring 𝕜
inst✝⁷ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid β
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ g (a • x + b • y) ≤ a • (f ⊔ g) x + b • (f ⊔ g) y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
v : V
⊢ v ∈ vectorSpan k {p₁, p₂} ↔ ∃ r, r • (p₂ -ᵥ p₁) = v

Tactic:
rw [vectorSpan_pair_rev, Submodule.mem_span_singleton]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
v : V
⊢ (s.weightedVSubOfPoint p (-v +ᵥ Classical.choice ⋯)) w = (s.weightedVSub p) w

Tactic:
weightedVSub_eq_weightedVSubOfPoint_of_sum_eq_zero _ _ _ h

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
v : V
⊢ (s.weightedVSubOfPoint p (-v +ᵥ Classical.choice ⋯)) w = (s.weightedVSubOfPoint p ?m.72) w

k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
v : V
⊢ P
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
ι : Type u_4
G : Type u_6
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G k V
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → V
a : G
⊢ a • (s.weightedVSubOfPoint p (a⁻¹ • Classical.choice ⋯)) w = a • (s.weightedVSub p) w

Tactic:
weightedVSub_eq_weightedVSubOfPoint_of_sum_eq_zero _ _ _ h

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
ι : Type u_4
G : Type u_6
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G k V
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → V
a : G
⊢ a • (s.weightedVSubOfPoint p (a⁻¹ • Classical.choice ⋯)) w = a • (s.weightedVSubOfPoint p ?m.82) w

k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
ι : Type u_4
G : Type u_6
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G k V
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → V
a : G
⊢ V
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
⊢ (affineSpan k (insert p₂ ↑s)).direction = s.direction ⊔ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁)

Tactic:
← Set.union_singleton,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
⊢ (affineSpan k (↑s ∪ {p₂})).direction = s.direction ⊔ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁)
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
p q : Seminorm 𝕜 E
a : 𝕜
x : E
ha : a ≠ 0
⊢ ⨅ u, p u + q (a • x - u) = ⨅ i, p (a • i) + ‖a‖ * q (x - i)

Tactic:
←
          map_smul_eq_mul q,

Goal state after:
case inr
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
p q : Seminorm 𝕜 E
a : 𝕜
x : E
ha : a ≠ 0
⊢ ⨅ u, p u + q (a • x - u) = ⨅ i, p (a • i) + q (a • (x - i))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
inst✝¹ : Ring k
ι : Type u_4
s : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
⊢ ∑ x ∈ s, (Pi.single i 1 x - Pi.single j 1 x) = 0

Tactic:
sum_sub_distrib

Goal state after:
k : Type u_1
inst✝¹ : Ring k
ι : Type u_4
s : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
⊢ ∑ x ∈ s, Pi.single i 1 x - ∑ x ∈ s, Pi.single j 1 x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
h₁₂₄₅ : line[k, p₁, p₂] ∥ line[k, p₄, p₅]
h₂₃₅₆ : line[k, p₅, p₆].direction ≤ line[k, p₂, p₃].direction
h₃₁₆₄ : line[k, p₆, p₄].direction ≤ line[k, p₃, p₁].direction
⊢ ∃ r, r ≠ 0 ∧ p₅ -ᵥ p₄ = r • (p₂ -ᵥ p₁) ∧ p₆ -ᵥ p₅ = r • (p₃ -ᵥ p₂) ∧ p₄ -ᵥ p₆ = r • (p₁ -ᵥ p₃)

Tactic:
rw [affineSpan_pair_parallel_iff_exists_unit_smul'] at h₁₂₄₅

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
h₁₂₄₅ : ∃ z, z • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
h₂₃₅₆ : line[k, p₅, p₆].direction ≤ line[k, p₂, p₃].direction
h₃₁₆₄ : line[k, p₆, p₄].direction ≤ line[k, p₃, p₁].direction
⊢ ∃ r, r ≠ 0 ∧ p₅ -ᵥ p₄ = r • (p₂ -ᵥ p₁) ∧ p₆ -ᵥ p₅ = r • (p₃ -ᵥ p₂) ∧ p₄ -ᵥ p₆ = r • (p₁ -ᵥ p₃)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ↑r₁ = r₂
⊢ p₆ -ᵥ p₅ + (p₅ -ᵥ p₄) = ↑r₁ • (p₃ -ᵥ p₂) + ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁)

Tactic:
hr₁,

Goal state after:
case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ↑r₁ = r₂
⊢ p₆ -ᵥ p₅ + (p₅ -ᵥ p₄) = ↑r₁ • (p₃ -ᵥ p₂) + (p₅ -ᵥ p₄)