mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
ι₂✝ : Type u_5
M₂✝ : Type u_6
N₂✝ : Type u_7
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂✝
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂✝
inst✝⁴ : Module R N₂✝
P✝ : RootPairing ι R M N
Q✝ : RootPairing ι₂✝ R M₂✝ N₂✝
ι₂ : Type u_8
M₂ : Type u_9
N₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
f : P.Equiv Q
i : ι
this : ∀ (x : ι₂), (⇑(↑f).coweightMap ∘ ⇑Q.coroot) x = (⇑P.coroot ∘ ⇑(↑f).indexEquiv.symm) x
⊢ (coweightEquiv P Q f).symm (P.coroot i) = Q.coroot ((↑f).indexEquiv i)

Tactic:
specialize this (f.indexEquiv i)

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
ι₂✝ : Type u_5
M₂✝ : Type u_6
N₂✝ : Type u_7
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂✝
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂✝
inst✝⁴ : Module R N₂✝
P✝ : RootPairing ι R M N
Q✝ : RootPairing ι₂✝ R M₂✝ N₂✝
ι₂ : Type u_8
M₂ : Type u_9
N₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
f : P.Equiv Q
i : ι
this : (⇑(↑f).coweightMap ∘ ⇑Q.coroot) ((↑f).indexEquiv i) = (⇑P.coroot ∘ ⇑(↑f).indexEquiv.symm) ((↑f).indexEquiv i)
⊢ (coweightEquiv P Q f).symm (P.coroot i) = Q.coroot ((↑f).indexEquiv i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: case refine_2.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Nontrivial M
h : ∀ (q : Submodule R M), (∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)) → q ≠ ⊥ → q = ⊤
q : ↥P.weylGroupRootRep.invtSubmodule
hq : q ≠ ⊥
i : ι
⊢ ↑q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)

Tactic:
exact P.weylGroupRootRep.mem_invtSubmodule.mp q.property ⟨_, P.reflection_mem_weylGroup i⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, ⋯⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, ⋯⟩
li : S := (P.posRootForm S).rootLength i
lj : S := (P.posRootForm S).rootLength j
lij : S := ((P.posRootForm S).posForm ri) rj
si : S
hsi : li > 0
sj : S
hsj : lj > 0
hsi' : si = li
hsj' : sj = lj
cs : 4 * lij ^ 2 ≤ 4 * (li * lj)
⊢ P.coxeterWeightIn S i j ≤ 4

Tactic:
have key : 4 • lij ^ 2 = P.coxeterWeightIn S i j • (li * lj) := by
    apply algebraMap_injective S R
    simpa [map_ofNat, lij, posRootForm, ri, rj, li, lj] using
       P.four_smul_rootForm_sq_eq_coxeterWeight_smul i j

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, ⋯⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, ⋯⟩
li : S := (P.posRootForm S).rootLength i
lj : S := (P.posRootForm S).rootLength j
lij : S := ((P.posRootForm S).posForm ri) rj
si : S
hsi : li > 0
sj : S
hsj : lj > 0
hsi' : si = li
hsj' : sj = lj
cs : 4 * lij ^ 2 ≤ 4 * (li * lj)
key : 4 • lij ^ 2 = P.coxeterWeightIn S i j • (li * lj)
⊢ P.coxeterWeightIn S i j ≤ 4
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁷ : Finite ι
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M
inst✝¹⁵ : AddCommGroup N
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹¹ : IsDomain R
S : Type u_6
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : Module S M
inst✝⁴ : IsScalarTower S R M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower S R N
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : Dual S M
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
this✝ : CharZero R
this : Fintype ι
M₀ : Submodule S M := span S (range ⇑P.root)
v : ↑(baseOf ⇑P.root ↑f) → ↥M₀ := fun i ↦ P.rootSpanMem S ↑i
f' : Dual S ↥M₀ := f ∘ₗ M₀.subtype
B : RootPositiveForm S P
hB : (LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap B.posForm).PosDef
hp : ∀ (i : ↑(baseOf ⇑P.root ↑f)), 0 < f' (v i)
⊢ LinearIndependent (ι := ↑(baseOf ⇑P.root ↑f)) S v

Tactic:
have hn : Pairwise fun (i j : baseOf P.root (f : M →+ S)) ↦ B.posForm (v i) (v j) ≤ 0 := by
    rintro ⟨i, hi⟩ ⟨j, hj⟩ hij
    rw [B.posForm_apply_root_root_le_zero_iff, ← P.algebraMap_pairingIn' S ℤ]
    simpa using P.baseOf_pairwise_pairing_le_zero _ hf (by simpa) (by simpa) (by aesop : i ≠ j)

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁷ : Finite ι
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M
inst✝¹⁵ : AddCommGroup N
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹¹ : IsDomain R
S : Type u_6
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : Module S M
inst✝⁴ : IsScalarTower S R M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower S R N
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : Dual S M
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
this✝ : CharZero R
this : Fintype ι
M₀ : Submodule S M := span S (range ⇑P.root)
v : ↑(baseOf ⇑P.root ↑f) → ↥M₀ := fun i ↦ P.rootSpanMem S ↑i
f' : Dual S ↥M₀ := f ∘ₗ M₀.subtype
B : RootPositiveForm S P
hB : (LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap B.posForm).PosDef
hp : ∀ (i : ↑(baseOf ⇑P.root ↑f)), 0 < f' (v i)
hn : Pairwise fun i j ↦ (B.posForm (v i)) (v j) ≤ 0
⊢ LinearIndependent (ι := ↑(baseOf ⇑P.root ↑f)) S v
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : M →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : Fintype ↑(baseOf (⇑P.root) f)
v : ↑(baseOf (⇑P.root) f) → ↥(P.rootSpan ℚ) := fun i ↦ P.rootSpanMem ℚ ↑i
h_span : span ℚ (range v) = ⊤
h_card : Nat.card ↑(baseOf (⇑P.root) f) = finrank R M
⊢ span R ↑(span ℚ (⇑(P.rootSpan ℚ).subtype '' range v)) = ⊤

Tactic:
span_image,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : M →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : Fintype ↑(baseOf (⇑P.root) f)
v : ↑(baseOf (⇑P.root) f) → ↥(P.rootSpan ℚ) := fun i ↦ P.rootSpanMem ℚ ↑i
h_span : span ℚ (range v) = ⊤
h_card : Nat.card ↑(baseOf (⇑P.root) f) = finrank R M
⊢ span R ↑(map (P.rootSpan ℚ).subtype (span ℚ (range v))) = ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
⊢ chainBotCoeff i ((P.reflectionPerm j) j) = chainTopCoeff i j

Tactic:
by
  let := P.indexNeg
  have (z : ℤ) : z ∈ Icc (-P.chainTopCoeff i j : ℤ) (P.chainBotCoeff i j) ↔
      z ∈ Icc (-P.chainBotCoeff i (-j) : ℤ) (P.chainTopCoeff i (-j)) := by
    rw [P.chainCoeff_reflectionPerm_right_aux]
  refine le_antisymm ?_ ?_
  · simpa using this (-P.chainBotCoeff i (-j))
  · simpa using this (-P.chainTopCoeff i j)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
k : ι
hk : P.root k = P.root j + P.root i
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root k]
⊢ ↑(chainBotCoeff i k) = ↑(chainBotCoeff i j) + ↑1

Tactic:
Nat.cast_one,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
k : ι
hk : P.root k = P.root j + P.root i
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root k]
⊢ ↑(chainBotCoeff i k) = ↑(chainBotCoeff i j) + 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i : ι
m : M
hm : m ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support)
⊢ ∀ x ∈ ⇑P.root '' ↑b.support, ∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ x = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j

Tactic:
rintro - ⟨j, hj, rfl⟩

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i : ι
m : M
hm : m ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support)
j : ι
hj : j ∈ ↑b.support
⊢ ∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ P.root j = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.Star

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : IsOrderedRing R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
⊢ x * y = star x * star y

Tactic:
IsSelfAdjoint.of_nonneg hx,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : IsOrderedRing R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
⊢ x * y = x * star y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
i j : ι
hi : b.IsPos i
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
⊢ b.IsPos ((P.reflectionPerm j) i)

Tactic:
have : P.root (P.reflectionPerm j i) = P.root i + (-P.pairingIn ℤ i j) • P.root j := by
    rw [root_reflectionPerm, neg_smul, reflection_apply_root' ℤ, sub_eq_add_neg]
  exact hi.add_zsmul hij hj this

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Real.Basic

Goal state before:
pp: case h
x : ℝ
f y✝ : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk y✝ ≤ ↑(↑f j)
⊢ mk y✝ ≤ mk f

Tactic:
apply le_of_not_gt

Goal state after:
case h
x : ℝ
f y✝ : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk y✝ ≤ ↑(↑f j)
⊢ ¬mk f < mk y✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: case h
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℕ
ha : IsUnit A.det
h : n ≤ m
⊢ IsUnit (A ^ n).det

Tactic:
simpa using ha.pow n

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Matrix

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : DecidableEq n
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
d : n → R
μ : R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
b : Basis n R M
this : ∀ (i : n), HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) (d i)
⊢ HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) μ → ∃ i, d i = μ

Tactic:
contrapose!
    intro hμ h_eig
    have h_iSup : ⨆ μ ∈ Set.range d, eigenspace (toLin b b (diagonal d)) μ = ⊤ := by
      rw [eq_top_iff, ← b.span_eq, Submodule.span_le]
      rintro - ⟨i, rfl⟩
      simp only [SetLike.mem_coe]
      apply Submodule.mem_iSup_of_mem (d i)
      apply Submodule.mem_iSup_of_mem ⟨i, rfl⟩
      rw [mem_eigenspace_iff]
      exact (hasEigenvector_toLin_diagonal d i b).apply_eq_smul
    have hμ_notMem : μ ∉ Set.range d := by simpa using fun i ↦ (hμ i)
    have := eigenspaces_iSupIndep (toLin b b (diagonal d)) |>.disjoint_biSup hμ_notMem
    rw [h_iSup, disjoint_top] at this
    exact h_eig this

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: case inr
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
x✝ : -(↑n + 2) ≠ -1
h : A⁻¹ = 0
⊢ A ^ (-↑(n + 1)) = A ^ (-↑(n + 2)) * A

Tactic:
simp_rw [zpow_neg_natCast, ← inv_pow', h, zero_pow <| Nat.succ_ne_zero _, zero_mul]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
S : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : NeZero 2
inst✝⁵ : FaithfulSMul S R
inst✝⁴ : IsDomain S
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsRootSystem
inst✝² : P.IsValuedIn S
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : P.IsAnisotropic
b : P.Base
B : P.InvariantForm
hB : (2 • (LinearMap.BilinForm.toMatrix b.toWeightBasis) B.form).Nondegenerate
⊢ (cartanMatrixIn S b).Nondegenerate

Tactic:
have aux : (Matrix.diagonal fun i : b.support ↦ B.form (P.root i) (P.root i)).Nondegenerate := by
    rw [Matrix.nondegenerate_iff_det_ne_zero, Matrix.det_diagonal, Finset.prod_ne_zero_iff]
    aesop

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
S : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : NeZero 2
inst✝⁵ : FaithfulSMul S R
inst✝⁴ : IsDomain S
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsRootSystem
inst✝² : P.IsValuedIn S
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : P.IsAnisotropic
b : P.Base
B : P.InvariantForm
hB : (2 • (LinearMap.BilinForm.toMatrix b.toWeightBasis) B.form).Nondegenerate
aux : (Matrix.diagonal fun i ↦ (B.form (P.root ↑i)) (P.root ↑i)).Nondegenerate
⊢ (cartanMatrixIn S b).Nondegenerate
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: n : Type u_1
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
Q : QuadraticForm ℝ (n → ℝ)
hQ : QuadraticMap.PosDef Q
⊢ Q.toMatrix'.PosDef

Tactic:
by
  rw [← Q.toQuadraticMap_associated ℝ,
    ← (LinearMap.toMatrix₂' ℝ).left_inv (Q.associatedHom ℝ)] at hQ
  exact .of_toQuadraticForm' (isSymm_toMatrix' Q) hQ

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
n k : ℕ
⊢ eval (↑n) (ascPochhammer S k) = ↑(n.ascFactorial k)

Tactic:
by
  norm_cast
  rw [ascPochhammer_nat_eq_ascFactorial]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
ih : descPochhammer ℤ (n + 1) = descPochhammer ℤ n * (X - ↑n)
⊢ descPochhammer ℤ (n + 1) * (X - 1 - ↑n) = descPochhammer ℤ (n + 1) * (X - (↑n + ↑1))

Tactic:
Nat.cast_one,

Goal state after:
case succ
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
ih : descPochhammer ℤ (n + 1) = descPochhammer ℤ n * (X - ↑n)
⊢ descPochhammer ℤ (n + 1) * (X - 1 - ↑n) = descPochhammer ℤ (n + 1) * (X - (↑n + 1))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: case h₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : CharZero R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsRootSystem
inst✝² : P.IsCrystallographic
inst✝¹ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
f : M ≃ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ↥b.support), f (P.root ↑i) = P₂.root ↑(e i)
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
this : ∀ (k : ↥b.support), P.reflection ↑k ≪≫ₗ f = f ≪≫ₗ P₂.reflection ↑(e k)
i j k : ι
⊢ f (P.root j) ∈ range ⇑P₂.root → k ∈ b.support → f (P.root ((P.reflectionPerm k) j)) ∈ range ⇑P₂.root

Tactic:
⟨l, hl⟩

Goal state after:
case h₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : CharZero R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsRootSystem
inst✝² : P.IsCrystallographic
inst✝¹ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
f : M ≃ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ↥b.support), f (P.root ↑i) = P₂.root ↑(e i)
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
this : ∀ (k : ↥b.support), P.reflection ↑k ≪≫ₗ f = f ≪≫ₗ P₂.reflection ↑(e k)
i j k : ι
l : ι₂
hl : P₂.root l = f (P.root j)
⊢ k ∈ b.support → f (P.root ((P.reflectionPerm k) j)) ∈ range ⇑P₂.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : (x - y)⁻¹ = 0
⊢ x = y

Tactic:
inv_eq_zero,

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : x - y = 0
⊢ x = y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
i : ι
v r : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ ∑ i_1 ∈ s, eval (v i) (C (r i_1) * Lagrange.basis s v i_1) = r i

Tactic:
← add_sum_erase _ _ hi

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
i : ι
v r : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ eval (v i) (C (r i) * Lagrange.basis s v i) + ∑ x ∈ s.erase i, eval (v i) (C (r x) * Lagrange.basis s v x) = r i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i✝ j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
f : ↥s → F
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ (if hx : i ∈ s then f ⟨i, hx⟩ else 0) = f ⟨i, hi⟩

Tactic:
exact dif_pos hi

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
P : F[X]
hP : ↑(#s) = P.degree + 1
⊢ P.leadingCoeff = ∑ i ∈ s, eval (v i) P / ∏ j ∈ s.erase i, (v i - v j)

Tactic:
by
  lift P.degree to ℕ using (by contrapose! hP; simp [hP]) with deg hdeg
  rw [← WithBot.coe_one, ← WithBot.coe_add] at hP
  replace hP : #s = deg + 1 := WithBot.coe_eq_coe.mp hP
  have hdegree : P.degree = ↑(#s - 1) := hdeg.symm.trans (WithBot.coe_eq_coe.mpr (by grind))
  rw [leadingCoeff, natDegree_eq_of_degree_eq_some hdegree]
  exact coeff_eq_sum hvs (by rw [hdegree]; norm_cast; lia)

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
aux₁ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ H
aux₂ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ N
dx : ↥N →ₗ[R] ↥N := LinearMap.restrict ((ad R L) x) aux₂
k : ℕ
hk : Codisjoint (dx ^ (k + 1)).ker (dx ^ (k + 1)).range
y : ↥N
⊢ N.subtype (dx ((dx ^ k) y)) ∈ H

Tactic:
apply aux₁

Goal state after:
case a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := ⋯
aux₁ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ H
aux₂ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ N
dx : ↥N →ₗ[R] ↥N := ⋯
k : ℕ
hk : Codisjoint (dx ^ (k + 1)).ker (dx ^ (k + 1)).range
y : ↥N
⊢ N.subtype ((dx ^ k) y) ∈ N
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (nodal s v).natDegree = #s

Tactic:
nodal,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ (∏ i ∈ s, (X - C (v i))).natDegree = #s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
x : R
⊢ eval x (nodal s v) = ∏ i ∈ s, (x - v i)

Tactic:
nodal,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
x : R
⊢ eval x (∏ i ∈ s, (X - C (v i))) = ∏ i ∈ s, (x - v i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
x : R
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
⊢ eval x (nodal s v) ≠ 0

Tactic:
nodal,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
x : R
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
⊢ eval x (∏ i ∈ s, (X - C (v i))) ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ nodal s v = (X - C (v i)) * nodal (s.erase i) v

Tactic:
nodal,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ∏ i ∈ s, (X - C (v i)) = (X - C (v i)) * ∏ i ∈ s.erase i, (X - C (v i))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ nodal (insert i s) v = (X - C (v i)) * nodal s v

Tactic:
nodal,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ∏ i ∈ insert i s, (X - C (v i)) = (X - C (v i)) * ∏ i ∈ s, (X - C (v i))
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Monad

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f : σ → MvPolynomial τ R
α✝ β✝ : Type u_6
x✝ : α✝
f✝ : α✝ → MvPolynomial β✝ R
⊢ pure x✝ >>= f✝ = f✝ x✝

Tactic:
simp [pure, bind]

Goal state after: