mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x : E
p q : Seminorm 𝕜 E
⊢ ∀ (a : 𝕜) (x : E), ⨅ u, p u + q (a • x - u) = ‖a‖ * ⨅ u, p u + q (x - u)

Tactic:
intro a x

Goal state after:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
p q : Seminorm 𝕜 E
a : 𝕜
x : E
⊢ ⨅ u, p u + q (a • x - u) = ‖a‖ * ⨅ u, p u + q (x - u)
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case cons
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
e : E
r : ℝ
a✝ : ι
s✝ : Finset ι
h✝ : a✝ ∉ s✝
hs : s✝.Nonempty
ih : (s✝.sup' hs p).ball e r = s✝.inf' hs fun i ↦ (p i).ball e r
⊢ ((Finset.cons a✝ s✝ h✝).sup' ⋯ p).ball e r = (Finset.cons a✝ s✝ h✝).inf' ⋯ fun i ↦ (p i).ball e r

Tactic:
simp only [Finset.sup'_cons hs, Finset.inf'_cons hs, ball_sup, inf_eq_inter, ih]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
x₁ x₂ : E
⊢ p.ball x₁ r₁ + p.ball x₂ r₂ ⊆ p.ball (x₁ + x₂) (r₁ + r₂)

Tactic:
rintro x ⟨y₁, hy₁, y₂, hy₂, rfl⟩

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
x₁ x₂ y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ p.ball x₁ r₁
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ p.ball x₂ r₂
⊢ (fun x1 x2 ↦ x1 + x2) y₁ y₂ ∈ p.ball (x₁ + x₂) (r₁ + r₂)
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
x₁ x₂ : E
⊢ p.closedBall x₁ r₁ + p.closedBall x₂ r₂ ⊆ p.closedBall (x₁ + x₂) (r₁ + r₂)

Tactic:
rintro x ⟨y₁, hy₁, y₂, hy₂, rfl⟩

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
x₁ x₂ y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ p.closedBall x₁ r₁
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ p.closedBall x₂ r₂
⊢ (fun x1 x2 ↦ x1 + x2) y₁ y₂ ∈ p.closedBall (x₁ + x₂) (r₁ + r₂)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i1 : ι
h : AffineIndependent k p
s : Finset { x // x ≠ i1 }
g : { x // x ≠ i1 } → k
i : { x // x ≠ i1 }
hi : i ∈ s
f : ι → k := fun x ↦ if hx : x = i1 then -∑ y ∈ s, g y else g ⟨x, hx⟩
hfdef : f = fun x ↦ if hx : x = i1 then -∑ y ∈ s, g y else g ⟨x, hx⟩
s2 : Finset ι := insert i1 (map (Embedding.subtype fun x ↦ x ≠ i1) s)
hfg : ∀ (x : { x // x ≠ i1 }), g x = f ↑x
hf : ∑ ι ∈ s2, f ι = 0
f2 : ι → V := fun x ↦ f x • (p x -ᵥ p i1)
hf2def : f2 = fun x ↦ f x • (p x -ᵥ p i1)
g2 : { x // x ≠ i1 } → V := fun x ↦ g x • (p ↑x -ᵥ p i1)
hg : s.sum g2 = 0
hf2g2 : ∀ (x : { x // x ≠ i1 }), f2 ↑x = g2 x
⊢ ∑ x ∈ s, g2 x = 0

Tactic:
exact hg

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
ι : Type u_4
v : ι → V
hv : LinearIndependent k v
⊢ AffineIndependent k v

Tactic:
by
  intro s w hw0 hwv i hi
  rw [Finset.weightedVSub_eq_weightedVSubOfPoint_of_sum_eq_zero _ _ _ hw0 0,
    Finset.weightedVSubOfPoint_apply] at hwv
  simp only [vsub_eq_sub, sub_zero] at hwv
  exact linearIndependent_iff'.mp hv s w hwv i hi

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case refine_3
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ε ≤ ‖c ^ (n + 1)‖⁻¹ * p x * ‖c‖

Tactic:
norm_zpow,

Goal state after:
case refine_3
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ε ≤ (‖c‖ ^ (n + 1))⁻¹ * p x * ‖c‖
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case refine_4
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
this : ε⁻¹ * ‖c‖ * p x = ε⁻¹ * p x * ‖c‖
⊢ ‖c ^ (n + 1)‖ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * p x

Tactic:
norm_zpow,

Goal state after:
case refine_4
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
this : ε⁻¹ * ‖c‖ * p x = ε⁻¹ * p x * ‖c‖
⊢ ‖c‖ ^ (n + 1) ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * p x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Simplex k P 1
i : Fin 2
n : Fin 1
⊢ (s.faceOpposite i).points n = s.points i.rev

Tactic:
by
  have h : i.rev = Fin.succAbove i n := by decide +revert
  simp [h, faceOpposite_point_eq_point_succAbove]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Monoid.FunOnFinite

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ContinuousAdd M
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : Finite X
inst✝ : Finite Y
f : X → Y
⊢ Continuous (map f)

Tactic:
by
  classical
  have := Fintype.ofFinite X
  refine continuous_pi (fun y ↦ ?_)
  simp only [FunOnFinite.map_apply_apply]
  exact continuous_finsetSum _ (fun _ _ ↦ continuous_apply _)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s₁ s₂ : Set ι
h : vectorSpan k (p '' s₁) = vectorSpan k (p '' s₂)
he : ¬s₁ = s₂
h₁ : ¬s₁.Subsingleton
h₂ : ¬s₂.Subsingleton
hi : (∃ i ∈ s₁, i ∉ s₂) ∨ ∃ i ∈ s₂, i ∉ s₁
⊢ False

Tactic:
rcases hi with ⟨i, his₁, his₂⟩ | ⟨i, his₂, his₁⟩

Goal state after:
case neg.inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s₁ s₂ : Set ι
h : vectorSpan k (p '' s₁) = vectorSpan k (p '' s₂)
he : ¬s₁ = s₂
h₁ : ¬s₁.Subsingleton
h₂ : ¬s₂.Subsingleton
i : ι
his₁ : i ∈ s₁
his₂ : i ∉ s₂
⊢ False

case neg.inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s₁ s₂ : Set ι
h : vectorSpan k (p '' s₁) = vectorSpan k (p '' s₂)
he : ¬s₁ = s₂
h₁ : ¬s₁.Subsingleton
h₂ : ¬s₂.Subsingleton
i : ι
his₂ : i ∈ s₂
his₁ : i ∉ s₁
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
t : Finset V
h : ¬∀ (w : ↥t → k), ∑ i, w i = 0 → (univ.weightedVSub Subtype.val) w = 0 → ∀ (i : ↥t), w i = 0
⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0

Tactic:
simp only [exists_prop, not_forall] at h

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
t : Finset V
h : ∃ x, ∑ i, x i = 0 ∧ (univ.weightedVSub Subtype.val) x = 0 ∧ ∃ x_1, ¬x x_1 = 0
⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case e_f
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝³ : Field R
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module R E
i✝ : ι
t : Finset ι
z : ι → E
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i✝ ∈ t
i : ι
⊢ (if i✝ = i then 1 else 0) • z i = if i✝ = i then z i✝ else 0

Tactic:
split_ifs with h

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝³ : Field R
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module R E
i✝ : ι
t : Finset ι
z : ι → E
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i✝ ∈ t
i : ι
h : i✝ = i
⊢ 1 • z i = z i✝

case neg
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝³ : Field R
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module R E
i✝ : ι
t : Finset ι
z : ι → E
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i✝ ∈ t
i : ι
h : ¬i✝ = i
⊢ 0 • z i = 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
ι : Type u_5
α : Type u_7
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : Module R α
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid α
inst✝ : PosSMulMono R α
s : Finset ι
f : ι → α
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ s, w i
⊢ (∑ i ∈ s, w i)⁻¹ • ∑ i ∈ s, w i • f i ≤ s.sup' ⋯ f

Tactic:
inv_smul_le_iff_of_pos hw₁,

Goal state after:
R : Type u_1
ι : Type u_5
α : Type u_7
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : Module R α
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid α
inst✝ : PosSMulMono R α
s : Finset ι
f : ι → α
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ s, w i
⊢ ∑ i ∈ s, w i • f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) • s.sup' ⋯ f
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
h : AffineIndependent k fun p ↦ ↑p
p₁ : P
hsv : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex k V)) k V := Basis.ofVectorSpace k V
hsvi : LinearIndependent (ι := ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex k V)) k Subtype.val
hsvt : Submodule.span k (Set.range Subtype.val) = ⊤
h0 : ∀ v ∈ Basis.ofVectorSpaceIndex k V, v ≠ 0
⊢ ∃ t, ∅ ⊆ t ∧ (AffineIndependent k fun p ↦ ↑p) ∧ affineSpan k t = ⊤

Tactic:
linearIndependent_set_iff_affineIndependent_vadd_union_singleton k h0 p₁

Goal state after:
case inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
h : AffineIndependent k fun p ↦ ↑p
p₁ : P
hsv : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex k V)) k V := Basis.ofVectorSpace k V
hsvi : AffineIndependent k fun p ↦ ↑p
hsvt : Submodule.span k (Set.range Subtype.val) = ⊤
h0 : ∀ v ∈ Basis.ofVectorSpaceIndex k V, v ≠ 0
⊢ ∃ t, ∅ ⊆ t ∧ (AffineIndependent k fun p ↦ ↑p) ∧ affineSpan k t = ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
h✝ : LinearIndependent k fun (v : ↑((fun p ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}))) ↦ ↑v
h : LinearIndepOn k id ((fun p ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}))
hp₁ : p₁ ∈ s
bsv : Basis (↑(LinearIndepOn.extend h✝ ⋯)) k V := Basis.extend h✝
hsvi : LinearIndependent k Subtype.val
hsvt : Submodule.span k (Set.range Subtype.val) = ⊤
hsv : (fun p ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}) ⊆ h.extend ⋯
h0 : ∀ v ∈ h.extend ⋯, v ≠ 0
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ (AffineIndependent k fun p ↦ ↑p) ∧ affineSpan k t = ⊤

Tactic:
linearIndependent_set_iff_affineIndependent_vadd_union_singleton k h0 p₁

Goal state after:
case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
h✝ : LinearIndependent k fun (v : ↑((fun p ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}))) ↦ ↑v
h : LinearIndepOn k id ((fun p ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}))
hp₁ : p₁ ∈ s
bsv : Basis (↑(LinearIndepOn.extend h✝ ⋯)) k V := Basis.extend h✝
hsvi : AffineIndependent k fun p ↦ ↑p
hsvt : Submodule.span k (Set.range Subtype.val) = ⊤
hsv : (fun p ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}) ⊆ h.extend ⋯
h0 : ∀ v ∈ h.extend ⋯, v ≠ 0
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ (AffineIndependent k fun p ↦ ↑p) ∧ affineSpan k t = ⊤
Module: Mathlib.Topology.Connected.LocallyPathConnected

Goal state before:
pp: X : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
h : ∀ (x : X) (u : Set X), IsOpen[inst✝] u → IsOpen[inst✝] (pathComponentIn u x)
x : X
s : Set X
⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ ∃ i, (i ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected i) ∧ id i ⊆ s

Tactic:
refine ⟨fun hs ↦ ?_, fun ⟨_, ht⟩ ↦ Filter.mem_of_superset ht.1.1 ht.2⟩
    let ⟨u, hu⟩ := mem_nhds_iff.mp hs
    exact ⟨pathComponentIn u x, ⟨(h x u hu.2.1).mem_nhds (mem_pathComponentIn_self hu.2.2),
      isPathConnected_pathComponentIn hu.2.2⟩, pathComponentIn_subset.trans hu.1⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_1
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
ι : Type
sx : Finset ι
wx : ι → R
zx : ι → E
hwx₀ : ∀ i ∈ sx, 0 ≤ wx i
hwx₁ : ∑ i ∈ sx, wx i = 1
hzx : ∀ i ∈ sx, zx i ∈ s
ι' : Type
sy : Finset ι'
wy : ι' → R
zy : ι' → E
hwy₀ : ∀ i ∈ sy, 0 ≤ wy i
hwy₁ : ∑ i ∈ sy, wy i = 1
hzy : ∀ i ∈ sy, zy i ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∀ i ∈ sx.disjSum sy, 0 ≤ Sum.elim (fun i ↦ a * wx i) (fun j ↦ b * wy j) i

Tactic:
rintro i hi
      rw [Finset.mem_disjSum] at hi
      rcases hi with (⟨j, hj, rfl⟩ | ⟨j, hj, rfl⟩) <;> simp only [Sum.elim_inl, Sum.elim_inr] <;>
        apply_rules [mul_nonneg, hwx₀, hwy₀]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Convex

Goal state before:
pp: case inr
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
δ : ℝ
hδ : δ ≤ 0
⊢ Convex ℝ (Metric.cthickening δ s)

Tactic:
rw [cthickening_of_nonpos hδ]
    exact hs.closure

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.UniformConvergence

Goal state before:
pp: case hsmul_left
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : IsUniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : IsInducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))
this : IsTopologicalAddGroup H
hb : (𝓝 0).HasBasis (fun x ↦ x ∈ 𝓝 0) fun V ↦ {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ V}
c : 𝕜
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
⊢ ∃ j ∈ 𝓝 0, Set.MapsTo (fun x ↦ c • x) {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ j} {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ U}

Tactic:
have : Tendsto (c • · : E → E) (𝓝 0) (𝓝 0) :=
      (continuous_const_smul c).tendsto' _ _ (smul_zero _)

Goal state after:
case hsmul_left
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : IsUniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : IsInducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))
this✝ : IsTopologicalAddGroup H
hb : (𝓝 0).HasBasis (fun x ↦ x ∈ 𝓝 0) fun V ↦ {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ V}
c : 𝕜
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
this : Tendsto (fun x ↦ c • x) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ ∃ j ∈ 𝓝 0, Set.MapsTo (fun x ↦ c • x) {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ j} {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ U}
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
ι : Type u_8
b : AffineBasis ι R E
x : E
⊢ x ∈ {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s ⇑b) w = x} →
    x ∈ {x | ∀ (i : ι), 0 ≤ (b.coord i) x}

Tactic:
rintro ⟨s, w, hw₀, hw₁, rfl⟩ i
    by_cases hi : i ∈ s
    · rw [b.coord_apply_combination_of_mem hi hw₁]
      exact hw₀ i hi
    · rw [b.coord_apply_combination_of_notMem hi hw₁]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝² : SeminormedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : SeminormFamily R E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
ι' : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (ι'.sup p).ball 0 r
⊢ 0 ∈ U

Tactic:
rw [hU, mem_ball_zero, map_zero]

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝² : SeminormedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : SeminormFamily R E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
ι' : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (ι'.sup p).ball 0 r
⊢ 0 < r
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0
this : IsTopologicalAddGroup E
⊢ T1Space E

Tactic:
refine IsTopologicalAddGroup.t1Space _ ?_

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0
this : IsTopologicalAddGroup E
⊢ IsClosed[inst✝] {0}
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
t : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
i : ι
⊢ Continuous[t, _] ⇑(p i)

Tactic:
have := hp.topologicalAddGroup
  rw [p.withSeminorms_iff_topologicalSpace_eq_iInf.mp hp]
  exact continuous_iInf_dom (@continuous_norm _ (p i).toSeminormedAddGroup)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
𝓕 : Type u_8
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
inst✝ : RingHomSurjective σ₁₂
f : 𝓕
x : F
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ball x r ⊆ Set.range ⇑f ↔ Function.Surjective ⇑f

Tactic:
refine ⟨fun h ↦ ?_, by simp_all⟩

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
𝓕 : Type u_8
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
inst✝ : RingHomSurjective σ₁₂
f : 𝓕
x : F
r : ℝ
hr : 0 < r
h : ball x r ⊆ Set.range ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑f
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
h : WithSeminorms fun x ↦ p
⊢ p.ball 0 1 ∈ 𝓝 0

Tactic:
apply (h.mem_nhds_iff _ _).2

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
h : WithSeminorms fun x ↦ p
⊢ ∃ s, ∃ r > 0, (s.sup fun x ↦ p).ball 0 r ⊆ p.ball 0 1
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F' : Type u_9
𝓕' : Type u_10
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : Nontrivial F'
τ : 𝕜 →+* ℝ
inst✝² : FunLike 𝓕' E F'
inst✝¹ : SemilinearMapClass 𝓕' τ E F'
inst✝ : RingHomSurjective τ
f : 𝓕'
x : F'
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ sphere x r ⊆ Set.range ⇑f ↔ Function.Surjective ⇑f

Tactic:
refine ⟨fun h ↦ ?_, by simp_all⟩

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F' : Type u_9
𝓕' : Type u_10
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : Nontrivial F'
τ : 𝕜 →+* ℝ
inst✝² : FunLike 𝓕' E F'
inst✝¹ : SemilinearMapClass 𝓕' τ E F'
inst✝ : RingHomSurjective τ
f : 𝓕'
x : F'
r : ℝ
hr : 0 < r
h : sphere x r ⊆ Set.range ⇑f
⊢ Function.Surjective ⇑f
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Spaces.UniformConvergenceCLM

Goal state before:
pp: 𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : Module 𝕜₂ F
𝕜₁ : Type u_6
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁹ : AddCommGroup G
𝕜₃ : Type u_7
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
τ : 𝕜₃ →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomSurjective τ
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝³ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : ∀ s ∈ 𝔖, IsVonNBounded 𝕜₁ s
B : G →ₛₗ[τ] E →SLᵤ[σ, 𝔖] F
hB : Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝⁵] fun p ↦ (B p.1) p.2
S : Set E
hS : S ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set G
hV : V ∈ 𝓝 0
W : Set E
hW : W ∈ 𝓝 0
hVW : V ×ˢ W ⊆ (fun p ↦ (B p.1) p.2) ⁻¹' U
c : 𝕜₁
hc : MapsTo (fun x ↦ c • x) S W
c_ne : c ≠ 0
d : 𝕜₃
hd : τ d = σ c
d_ne : d ≠ 0
a : G
ha : a ∈ V
x : E
hx : x ∈ S
⊢ σ c • (B a) x ∈ U

Tactic:
← map_smulₛₗ

Goal state after:
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : Module 𝕜₂ F
𝕜₁ : Type u_6
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁹ : AddCommGroup G
𝕜₃ : Type u_7
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
τ : 𝕜₃ →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomSurjective τ
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝³ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : ∀ s ∈ 𝔖, IsVonNBounded 𝕜₁ s
B : G →ₛₗ[τ] E →SLᵤ[σ, 𝔖] F
hB : Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝⁵] fun p ↦ (B p.1) p.2
S : Set E
hS : S ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set G
hV : V ∈ 𝓝 0
W : Set E
hW : W ∈ 𝓝 0
hVW : V ×ˢ W ⊆ (fun p ↦ (B p.1) p.2) ⁻¹' U
c : 𝕜₁
hc : MapsTo (fun x ↦ c • x) S W
c_ne : c ≠ 0
d : 𝕜₃
hd : τ d = σ c
d_ne : d ≠ 0
a : G
ha : a ∈ V
x : E
hx : x ∈ S
⊢ (B a) (c • x) ∈ U
Module: Mathlib.Order.Filter.Germ.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f✝¹ g h : α → β
M : Type u_5
N : Type u_6
R : Type u_7
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f✝ : l.Germ M
f : α → M
⊢ 0 • f =ᶠ[l] 0

Tactic:
simp [zero_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Bilinear

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
Fₗ : Type u_7
Gₗ : Type u_9
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
L : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
⊢ 1 * ‖L‖ = ‖L‖

Tactic:
by rw [one_mul]

Goal state after: