mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Additive

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
i : ι
⊢ ((if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0) ≫ if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0) = 𝟙 (F.obj (((single W₁ c j).obj X).X i))

Tactic:
split_ifs with h

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
i : ι
h : i = j
⊢ eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ = 𝟙 (F.obj (((single W₁ c j).obj X).X i))

case neg
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
i : ι
h : ¬i = j
⊢ 0 ≫ 0 = 𝟙 (F.obj (((single W₁ c j).obj X).X i))
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Additive

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
i : ι
⊢ ((if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0) ≫ if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0) = 𝟙 (((single W₂ c j).obj (F.obj X)).X i)

Tactic:
split_ifs with h

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
i : ι
h : i = j
⊢ eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ = 𝟙 (((single W₂ c j).obj (F.obj X)).X i)

case neg
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
i : ι
h : ¬i = j
⊢ 0 ≫ 0 = 𝟙 (((single W₂ c j).obj (F.obj X)).X i)
Module: Mathlib.RingTheory.Kaehler.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_1
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x : ↥(KaehlerDifferential.ideal R S)
hx : x ∈ Submodule.restrictScalars S (KaehlerDifferential.ideal R S • ⊤)
⊢ ∀ r ∈ KaehlerDifferential.ideal R S,
    ∀ n ∈ ⊤, (D.tensorProductTo ∘ₗ ↑S (Submodule.subtype (KaehlerDifferential.ideal R S))) (r • n) = 0

pp: case refine_2.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x : ↥(KaehlerDifferential.ideal R S)
hx : x ∈ Submodule.restrictScalars S (KaehlerDifferential.ideal R S • ⊤)
⊢ ∀ (x y : ↥(KaehlerDifferential.ideal R S)),
    (D.tensorProductTo ∘ₗ ↑S (Submodule.subtype (KaehlerDifferential.ideal R S))) x = 0 →
      (D.tensorProductTo ∘ₗ ↑S (Submodule.subtype (KaehlerDifferential.ideal R S))) y = 0 →
        (D.tensorProductTo ∘ₗ ↑S (Submodule.subtype (KaehlerDifferential.ideal R S))) (x + y) = 0

Tactic:
· rintro x hx y -
      rw [RingHom.mem_ker] at hx
      dsimp
      rw [Derivation.tensorProductTo_mul, hx, y.prop, zero_smul, zero_smul, zero_add]

Goal state after:
case refine_2.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x : ↥(KaehlerDifferential.ideal R S)
hx : x ∈ Submodule.restrictScalars S (KaehlerDifferential.ideal R S • ⊤)
⊢ ∀ (x y : ↥(KaehlerDifferential.ideal R S)),
    (D.tensorProductTo ∘ₗ ↑S (Submodule.subtype (KaehlerDifferential.ideal R S))) x = 0 →
      (D.tensorProductTo ∘ₗ ↑S (Submodule.subtype (KaehlerDifferential.ideal R S))) y = 0 →
        (D.tensorProductTo ∘ₗ ↑S (Submodule.subtype (KaehlerDifferential.ideal R S))) (x + y) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Additive

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f✝ : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X✝ Y✝ : W₁
f : X✝ ⟶ Y✝
i : ι
⊢ (F.map (((single W₁ c j).map f).f i) ≫ if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0) =
    (if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0) ≫ ((single W₂ c j).map (F.map f)).f i

Tactic:
split_ifs with h

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f✝ : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X✝ Y✝ : W₁
f : X✝ ⟶ Y✝
i : ι
h : i = j
⊢ F.map (((single W₁ c j).map f).f i) ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯ ≫ ((single W₂ c j).map (F.map f)).f i

case neg
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f✝ : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X✝ Y✝ : W₁
f : X✝ ⟶ Y✝
i : ι
h : ¬i = j
⊢ F.map (((single W₁ c j).map f).f i) ≫ 0 = 0 ≫ ((single W₂ c j).map (F.map f)).f i
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomologicalComplex

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
d₁ : X₂ ⟶ X₁
s : d₁ ≫ d₀ = 0
succ : (S : ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
n : ℕ
⊢ (mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').X (n + 2) ≅ (succ' ((mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (n + 1) n)).fst

Tactic:
obtain _ | n := n

Goal state after:
case zero
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
d₁ : X₂ ⟶ X₁
s : d₁ ≫ d₀ = 0
succ : (S : ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
⊢ (mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').X (0 + 2) ≅ (succ' ((mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (0 + 1) 0)).fst

case succ
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
d₁ : X₂ ⟶ X₁
s : d₁ ≫ d₀ = 0
succ : (S : ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
n : ℕ
⊢ (mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').X (n + 1 + 2) ≅
    (succ' ((mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (n + 1 + 1) (n + 1))).fst
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomologicalComplex

Goal state before:
pp: V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
n : ℕ
⊢ (mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (n + 2) (n + 1) =
    (mk'XIso X₀ X₁ d₀ (fun {X₀ X₁} ↦ succ') n).hom ≫ (succ' ((mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (n + 1) n)).snd.fst

Tactic:
obtain _ | n := n

Goal state after:
case zero
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
⊢ (mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (0 + 2) (0 + 1) =
    (mk'XIso X₀ X₁ d₀ (fun {X₀ X₁} ↦ succ') 0).hom ≫ (succ' ((mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (0 + 1) 0)).snd.fst

case succ
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
n : ℕ
⊢ (mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (n + 1 + 2) (n + 1 + 1) =
    (mk'XIso X₀ X₁ d₀ (fun {X₀ X₁} ↦ succ') (n + 1)).hom ≫
      (succ' ((mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (n + 1 + 1) (n + 1))).snd.fst
Module: Mathlib.RingTheory.Kaehler.Basic

Goal state before:
pp: case h.a
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : EssFiniteType R S
x : S
left✝ : x ∈ ↑(EssFiniteType.finset R S)
⊢ (fun s ↦ 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) x ∈ ↑(ideal R S)

Tactic:
exact KaehlerDifferential.one_smul_sub_smul_one_mem_ideal R x

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Kaehler.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : EssFiniteType R S
x : S
I : Ideal (S ⊗[R] S) := Ideal.span ↑(Finset.image (fun s ↦ 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) (EssFiniteType.finset R S))
a : S
ha : a ∈ EssFiniteType.finset R S
⊢ 1 ⊗ₜ[R] a - a ⊗ₜ[R] 1 ∈ I

Tactic:
refine Ideal.subset_span ?_

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : EssFiniteType R S
x : S
I : Ideal (S ⊗[R] S) := Ideal.span ↑(Finset.image (fun s ↦ 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) (EssFiniteType.finset R S))
a : S
ha : a ∈ EssFiniteType.finset R S
⊢ 1 ⊗ₜ[R] a - a ⊗ₜ[R] 1 ∈ ↑(Finset.image (fun s ↦ 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) (EssFiniteType.finset R S))
Module: Mathlib.Algebra.Homology.ShortComplex.HomologicalComplex

Goal state before:
pp: case pos
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A : C
k : K.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
x : K.X (c.next i) ⟶ A
hx : k = K.d i (c.next i) ≫ x
h : c.Rel i (c.next i)
⊢ K.homologyι i ≫ K.descOpcycles k j hj ⋯ = 0

Tactic:
exact (K.sc i).homologyι_descOpcycles_eq_zero_of_boundary _ x hx

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Kaehler.Basic

Goal state before:
pp: case e_p
R : Type u
S : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x : A →₀ A
⊢ (x.sum fun i a ↦ a • (map R S A B) ((D R A) i)) = 0 ↔
    ((mapRange ⇑(Algebra.linearMap A B) ⋯ (mapDomain (⇑(algebraMap A B)) x)).sum fun i a ↦ a • (D S B) i) = 0

Tactic:
rw [Finsupp.sum_mapRange_index, Finsupp.sum_mapDomain_index]

Goal state after:
case e_p
R : Type u
S : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x : A →₀ A
⊢ (x.sum fun i a ↦ a • (map R S A B) ((D R A) i)) = 0 ↔
    (x.sum fun a m ↦ (Algebra.linearMap A B) m • (D S B) ((algebraMap A B) a)) = 0

case e_p.h_zero
R : Type u
S : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x : A →₀ A
⊢ ∀ (b : B), (Algebra.linearMap A B) 0 • (D S B) b = 0

case e_p.h_add
R : Type u
S : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x : A →₀ A
⊢ ∀ (b : B) (m₁ m₂ : A),
    (Algebra.linearMap A B) (m₁ + m₂) • (D S B) b =
      (Algebra.linearMap A B) m₁ • (D S B) b + (Algebra.linearMap A B) m₂ • (D S B) b

case e_p
R : Type u
S : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x : A →₀ A
⊢ ∀ (a : B), 0 • (D S B) a = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Kaehler.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ (map R S A B).range = ⊤

Tactic:
_root_.eq_top_iff,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap A B)
⊢ ⊤ ≤ (map R S A B).range
Module: Mathlib.RingTheory.Kaehler.Basic

Goal state before:
pp: case a
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
⊢ (map R A B B).ker ≤ (mapBaseChange R A B).range

Tactic:
· convert_to (kerTotal A B).map (Finsupp.linearCombination B (D R B)) ≤ _
    · rw [KaehlerDifferential.ker_map]
      congr 1
      convert! Submodule.comap_id _
      · ext; simp
    rw [Submodule.map_le_iff_le_comap, kerTotal, Submodule.span_le]
    rintro f ((⟨⟨x, y⟩, rfl⟩ | ⟨⟨x, y⟩, rfl⟩) | ⟨x, rfl⟩)
    · use 0; simp
    · use 0; simp
    · use 1 ⊗ₜ D _ _ x; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomotopyCofiber

Goal state before:
pp: case pos.h₁
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
f : homotopyCofiber φ ⟶ K
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
j : ι
hj : c.Rel j (c.next j)
⊢ inlX φ (c.next j) j hj ≫ f.f j =
    inlX φ (c.next j) j hj ≫
      (desc φ (inr φ ≫ f) ((Homotopy.ofEq ⋯).trans (((inrCompHomotopy φ hc).compRight f).trans (Homotopy.ofEq ⋯)))).f j

Tactic:
simp [inrCompHomotopy_hom _ _ _ _ hj]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomotopyCategory.HomComplex

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
h : Homotopy φ₁ φ₂
p : ℤ
eq : φ₁.f p = F.d p (p + 1) ≫ h.hom (p + 1) p + h.hom p (p - 1) ≫ G.d (p - 1) p + φ₂.f p
⊢ (Cochain.mk fun p q x ↦ h.hom p q).v p (p - 1) ⋯ ≫ G.d (p - 1) p +
      Int.negOnePow 0 • F.d p (p + 1) ≫ (Cochain.mk fun p q x ↦ h.hom p q).v (p + 1) p ⋯ =
    (Cochain.ofHom φ₁ - Cochain.ofHom φ₂).v p p ⋯

Tactic:
simp only [Cochain.mk_v, one_smul, Int.negOnePow_zero, Cochain.sub_v, Cochain.ofHom_v, eq]

Goal state after:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
h : Homotopy φ₁ φ₂
p : ℤ
eq : φ₁.f p = F.d p (p + 1) ≫ h.hom (p + 1) p + h.hom p (p - 1) ≫ G.d (p - 1) p + φ₂.f p
⊢ h.hom p (p - 1) ≫ G.d (p - 1) p + F.d p (p + 1) ≫ h.hom (p + 1) p =
    F.d p (p + 1) ≫ h.hom (p + 1) p + h.hom p (p - 1) ≫ G.d (p - 1) p + φ₂.f p - φ₂.f p
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomotopyCategory.MappingCone

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v, u_1} C
inst✝³ : Category.{v', u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
⊢ 1 + m = n

Tactic:
rw [← h, add_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomotopyCategory.HomComplex

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
ho : Homotopy φ₁ φ₂
i j : ℤ
⊢ (if hij : i + -1 = j then (ofHomotopy ho).v i j hij else 0) = ho.hom i j

Tactic:
split_ifs with h

Goal state after:
case pos
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
ho : Homotopy φ₁ φ₂
i j : ℤ
h : i + -1 = j
⊢ (ofHomotopy ho).v i j h = ho.hom i j

case neg
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
ho : Homotopy φ₁ φ₂
i j : ℤ
h : ¬i + -1 = j
⊢ 0 = ho.hom i j
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomotopyCofiber

Goal state before:
pp: case pos
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
inst✝² : DecidableRel c.Rel
inst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝ : K.HasCylinder
i j : ι
hij : c.Rel j i
hj : ∃ k, c.Rel k j
⊢ inlX K i j hij ≫
      (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij ↦
            homotopyCofiber.sndX (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) i ≫ biprod.snd.f i ≫ inlX K i j hij).f
        j =
    inlX K i j hij ≫ ((π K).f j ≫ (ι₀ K).f j - 𝟙 (homotopyCofiber.X (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) j))

pp: case neg
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
inst✝² : DecidableRel c.Rel
inst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝ : K.HasCylinder
i j : ι
hij : c.Rel j i
hj : ∀ (k : ι), ¬c.Rel k j
⊢ inlX K i j hij ≫
      (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij ↦
            homotopyCofiber.sndX (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) i ≫ biprod.snd.f i ≫ inlX K i j hij).f
        j =
    inlX K i j hij ≫ ((π K).f j ≫ (ι₀ K).f j - 𝟙 (homotopyCofiber.X (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) j))

Tactic:
· obtain ⟨k, hjk⟩ := hj
    simp only [assoc, Homotopy.nullHomotopicMap'_f hjk hij, homotopyCofiber_d,
      homotopyCofiber.d_sndX_assoc _ _ _ hij, add_comp, comp_add, homotopyCofiber.inlX_fstX_assoc,
      homotopyCofiber.inlX_sndX_assoc, zero_comp, add_zero, comp_sub, inlX_π_assoc, comp_id,
      zero_sub, ← HomologicalComplex.comp_f_assoc, biprod.lift_snd, neg_f_apply, id_f,
      neg_comp, id_comp]

Goal state after:
case neg
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
inst✝² : DecidableRel c.Rel
inst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝ : K.HasCylinder
i j : ι
hij : c.Rel j i
hj : ∀ (k : ι), ¬c.Rel k j
⊢ inlX K i j hij ≫
      (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij ↦
            homotopyCofiber.sndX (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) i ≫ biprod.snd.f i ≫ inlX K i j hij).f
        j =
    inlX K i j hij ≫ ((π K).f j ≫ (ι₀ K).f j - 𝟙 (homotopyCofiber.X (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) j))
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomotopyCofiber

Goal state before:
pp: case h₁
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
inst✝² : DecidableRel c.Rel
inst✝¹ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (K.X i)
inst✝ : K.HasCylinder
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
j : ι
this : biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K) = biprod.inl - biprod.inr
i : ι
hij : c.Rel i j
k : ι
hjk : c.Rel j k
⊢ biprod.inr ≫
      (K.biprodXIso K j).inv ≫
        biprod.snd.f j ≫ (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)).f j ≫ homotopyCofiber.inrX (biprod.lift (𝟙 K) (-𝟙 K)) j =
    biprod.inr ≫ (K.biprodXIso K j).inv ≫ ((biprod.desc (𝟙 K) (𝟙 K)).f j ≫ (ι₀ K).f j - inrX K j)

Tactic:
· simp only [inr_biprodXIso_inv_assoc, biprod_inr_snd_f_assoc, comp_sub,
        biprod_inr_desc_f_assoc, id_f, id_comp, ι₀, comp_f, this,
        sub_f_apply, sub_comp, homotopyCofiber.inr_f]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Homotopy

Goal state before:
pp: ι✝ : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c✝ : ComplexShape ι✝
C✝ D E : HomologicalComplex V c✝
f✝ g✝ : C✝ ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι✝
C : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
ι : Type ?u.42
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableRel c.Rel
K L : HomologicalComplex C c
f g : K ⟶ L
ho : Homotopy f g
i : ι
⊢ (if c.Rel (c.prev i) i then ho.hom (c.prev i) (c.prev (c.prev i)) ≫ L.d (c.prev (c.prev i)) (c.prev i)
      else f.f (c.prev i) - g.f (c.prev i) - K.d (c.prev i) i ≫ ho.hom i (c.prev i)) ≫
      ((shortComplexFunctor C c i).obj L).f =
    0

Tactic:
split_ifs with h

Goal state after:
case pos
ι✝ : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c✝ : ComplexShape ι✝
C✝ D E : HomologicalComplex V c✝
f✝ g✝ : C✝ ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι✝
C : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
ι : Type ?u.42
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableRel c.Rel
K L : HomologicalComplex C c
f g : K ⟶ L
ho : Homotopy f g
i : ι
h : c.Rel (c.prev i) i
⊢ (ho.hom (c.prev i) (c.prev (c.prev i)) ≫ L.d (c.prev (c.prev i)) (c.prev i)) ≫ ((shortComplexFunctor C c i).obj L).f =
    0

case neg
ι✝ : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c✝ : ComplexShape ι✝
C✝ D E : HomologicalComplex V c✝
f✝ g✝ : C✝ ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι✝
C : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
ι : Type ?u.42
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableRel c.Rel
K L : HomologicalComplex C c
f g : K ⟶ L
ho : Homotopy f g
i : ι
h : ¬c.Rel (c.prev i) i
⊢ (f.f (c.prev i) - g.f (c.prev i) - K.d (c.prev i) i ≫ ho.hom i (c.prev i)) ≫ ((shortComplexFunctor C c i).obj L).f = 0