Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : α → ℝ := fun x ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
this : Encodable ↑t0
⊢ ∑' (x : ↑t0), μ (closedBall (↑x) (r0 ↑x)) = μ (⋃ x, closedBall (↑x) (r0 ↑x))

Tactic:
measure_iUnion

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : α → ℝ := fun x ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
this : Encodable ↑t0
⊢ ∑' (x : ↑t0), μ (closedBall (↑x) (r0 ↑x)) = ∑' (i : ↑t0), μ (closedBall (↑i) (r0 ↑i))

case hn
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : α → ℝ := fun x ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
this : Encodable ↑t0
⊢ Pairwise (Function.onFun Disjoint fun x ↦ closedBall (↑x) (r0 ↑x))

case h
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : α → ℝ := fun x ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
this : Encodable ↑t0
⊢ ∀ (i : ↑t0), MeasurableSet (closedBall (↑i) (r0 ↑i))