Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
t : (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U) ⊆ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts
hε : 0 ≤ ε
sp : ∀ (a b : Finset (Finset α)), a.product b = a ×ˢ b
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 +
      ↑(#(star hP G ε hU V)) * ↑(#(star hP G ε hV U)) / 16 ^ #P.parts * (9 / 16) * ε ^ 2 ≤
    (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) / 16 ^ #P.parts

Tactic:
have := add_div_le_sum_sq_div_card t (fun x => (G.edgeDensity x.1 x.2 : ℝ))
        ((G.edgeDensity U V : ℝ) ^ 2 - ε ^ 5 / ↑25) (show 0 ≤ 3 / 4 * ε by linarith) ?_ ?_

Goal state after:
case refine_3
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
t : (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U) ⊆ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts
hε : 0 ≤ ε
sp : ∀ (a b : Finset (Finset α)), a.product b = a ×ˢ b
this :
  ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 +
      ↑(#((star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U))) /
          ↑(#((chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts)) *
        (3 / 4 * ε) ^ 2 ≤
    (∑ i ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) /
      ↑(#((chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts))
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 +
      ↑(#(star hP G ε hU V)) * ↑(#(star hP G ε hV U)) / 16 ^ #P.parts * (9 / 16) * ε ^ 2 ≤
    (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) ^ 2) / 16 ^ #P.parts

case refine_1
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
t : (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U) ⊆ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts
hε : 0 ≤ ε
sp : ∀ (a b : Finset (Finset α)), a.product b = a ×ˢ b
⊢ 3 / 4 * ε ≤
    |(∑ i ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), ↑(G.edgeDensity i.1 i.2)) /
          ↑(#((star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U))) -
        (∑ i ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2)) /
          ↑(#((chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts))|

case refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
t : (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U) ⊆ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts
hε : 0 ≤ ε
sp : ∀ (a b : Finset (Finset α)), a.product b = a ×ˢ b
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤
    ((∑ i ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2)) /
        ↑(#((chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts))) ^
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