Module: Mathlib.RingTheory.MvPowerSeries.Substitution

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
A : Type u_2
inst✝²¹ : CommSemiring A
R✝ : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R✝
inst✝¹⁹ : Algebra A R✝
τ : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A R✝ S
a✝¹ a✝ : σ → MvPowerSeries τ S
T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : IsUniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : IsTopologicalRing T✝
inst✝⁸ : IsLinearTopology T✝ T✝
inst✝⁷ : Algebra R✝ T✝
ε : MvPowerSeries τ S →ₐ[R✝] T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ S T✝
υ : Type u_7
T : Type u_8
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R✝ T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R✝ S T
b : τ → MvPowerSeries υ T
R : Type u_9
inst✝ : CommSemiring R
a : σ → R
f g : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ
x : (σ →₀ ℕ) × (σ →₀ ℕ)
hx : x.1 + x.2 = n
⊢ (∏ x_1 ∈ x.1.support ∪ x.2.support, a x_1 ^ (x.1 + x.2) x_1) * (f x.1 * g x.2) =
    (∏ x_1 ∈ x.1.support ∪ ?m.185, a x_1 ^ x.1 x_1) * f x.1 * ((∏ x_1 ∈ ?m.199 ∪ x.2.support, a x_1 ^ x.2 x_1) * g x.2)

pp: case h
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst✝²¹ : CommSemiring A
R✝ : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R✝
inst✝¹⁹ : Algebra A R✝
τ : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A R✝ S
a✝¹ a✝ : σ → MvPowerSeries τ S
T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : IsUniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : IsTopologicalRing T✝
inst✝⁸ : IsLinearTopology T✝ T✝
inst✝⁷ : Algebra R✝ T✝
ε : MvPowerSeries τ S →ₐ[R✝] T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ S T✝
υ : Type u_7
T : Type u_8
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R✝ T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R✝ S T
b : τ → MvPowerSeries υ T
R : Type u_9
inst✝ : CommSemiring R
a : σ → R
f g : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ
x : (σ →₀ ℕ) × (σ →₀ ℕ)
hx : x.1 + x.2 = n
⊢ ∀ i ∈ ?m.199 ∪ x.2.support, a i ^ 0 = 1

pp: σ : Type u_1
A : Type u_2
inst✝²¹ : CommSemiring A
R✝ : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R✝
inst✝¹⁹ : Algebra A R✝
τ : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A R✝ S
a✝¹ a✝ : σ → MvPowerSeries τ S
T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : IsUniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : IsTopologicalRing T✝
inst✝⁸ : IsLinearTopology T✝ T✝
inst✝⁷ : Algebra R✝ T✝
ε : MvPowerSeries τ S →ₐ[R✝] T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ S T✝
υ : Type u_7
T : Type u_8
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R✝ T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R✝ S T
b : τ → MvPowerSeries υ T
R : Type u_9
inst✝ : CommSemiring R
a : σ → R
f g : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ
x : (σ →₀ ℕ) × (σ →₀ ℕ)
hx : x.1 + x.2 = n
⊢ Finset σ

pp: case h
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst✝²¹ : CommSemiring A
R✝ : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R✝
inst✝¹⁹ : Algebra A R✝
τ : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A R✝ S
a✝¹ a✝ : σ → MvPowerSeries τ S
T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : IsUniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : IsTopologicalRing T✝
inst✝⁸ : IsLinearTopology T✝ T✝
inst✝⁷ : Algebra R✝ T✝
ε : MvPowerSeries τ S →ₐ[R✝] T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ S T✝
υ : Type u_7
T : Type u_8
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R✝ T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R✝ S T
b : τ → MvPowerSeries υ T
R : Type u_9
inst✝ : CommSemiring R
a : σ → R
f g : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ
x : (σ →₀ ℕ) × (σ →₀ ℕ)
hx : x.1 + x.2 = n
⊢ ∀ i ∈ x.1.support ∪ ?m.185, a i ^ 0 = 1

pp: σ : Type u_1
A : Type u_2
inst✝²¹ : CommSemiring A
R✝ : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R✝
inst✝¹⁹ : Algebra A R✝
τ : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A R✝ S
a✝¹ a✝ : σ → MvPowerSeries τ S
T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : IsUniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : IsTopologicalRing T✝
inst✝⁸ : IsLinearTopology T✝ T✝
inst✝⁷ : Algebra R✝ T✝
ε : MvPowerSeries τ S →ₐ[R✝] T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ S T✝
υ : Type u_7
T : Type u_8
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R✝ T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R✝ S T
b : τ → MvPowerSeries υ T
R : Type u_9
inst✝ : CommSemiring R
a : σ → R
f g : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ
x : (σ →₀ ℕ) × (σ →₀ ℕ)
hx : x.1 + x.2 = n
⊢ Finset σ

pp: case h
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst✝²¹ : CommSemiring A
R✝ : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R✝
inst✝¹⁹ : Algebra A R✝
τ : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A R✝ S
a✝¹ a✝ : σ → MvPowerSeries τ S
T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : IsUniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : IsTopologicalRing T✝
inst✝⁸ : IsLinearTopology T✝ T✝
inst✝⁷ : Algebra R✝ T✝
ε : MvPowerSeries τ S →ₐ[R✝] T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ S T✝
υ : Type u_7
T : Type u_8
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R✝ T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R✝ S T
b : τ → MvPowerSeries υ T
R : Type u_9
inst✝ : CommSemiring R
a : σ → R
f g : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ
x : (σ →₀ ℕ) × (σ →₀ ℕ)
hx : x.1 + x.2 = n
⊢ ∀ i ∈ x.1.support ∪ x.2.support, a i ^ 0 = 1

Tactic:
· simp only [← mul_assoc]
      congr 1
      rw [mul_assoc, mul_comm (f x.1), ← mul_assoc]
      congr 1
      rw [← Finset.prod_mul_distrib]
      apply Finset.prod_congr rfl
      simp [pow_add]

Goal state after:
case h
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst✝²¹ : CommSemiring A
R✝ : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R✝
inst✝¹⁹ : Algebra A R✝
τ : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A R✝ S
a✝¹ a✝ : σ → MvPowerSeries τ S
T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : IsUniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : IsTopologicalRing T✝
inst✝⁸ : IsLinearTopology T✝ T✝
inst✝⁷ : Algebra R✝ T✝
ε : MvPowerSeries τ S →ₐ[R✝] T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ S T✝
υ : Type u_7
T : Type u_8
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R✝ T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R✝ S T
b : τ → MvPowerSeries υ T
R : Type u_9
inst✝ : CommSemiring R
a : σ → R
f g : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ
x : (σ →₀ ℕ) × (σ →₀ ℕ)
hx : x.1 + x.2 = n
⊢ ∀ i ∈ x.1.support ∪ x.2.support, a i ^ 0 = 1

case h
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst✝²¹ : CommSemiring A
R✝ : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R✝
inst✝¹⁹ : Algebra A R✝
τ : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A R✝ S
a✝¹ a✝ : σ → MvPowerSeries τ S
T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : IsUniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : IsTopologicalRing T✝
inst✝⁸ : IsLinearTopology T✝ T✝
inst✝⁷ : Algebra R✝ T✝
ε : MvPowerSeries τ S →ₐ[R✝] T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ S T✝
υ : Type u_7
T : Type u_8
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R✝ T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R✝ S T
b : τ → MvPowerSeries υ T
R : Type u_9
inst✝ : CommSemiring R
a : σ → R
f g : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ
x : (σ →₀ ℕ) × (σ →₀ ℕ)
hx : x.1 + x.2 = n
⊢ ∀ i ∈ x.1.support ∪ x.2.support, a i ^ 0 = 1

case h
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst✝²¹ : CommSemiring A
R✝ : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R✝
inst✝¹⁹ : Algebra A R✝
τ : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A R✝ S
a✝¹ a✝ : σ → MvPowerSeries τ S
T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : IsUniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : IsTopologicalRing T✝
inst✝⁸ : IsLinearTopology T✝ T✝
inst✝⁷ : Algebra R✝ T✝
ε : MvPowerSeries τ S →ₐ[R✝] T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ S T✝
υ : Type u_7
T : Type u_8
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R✝ T
inst✝² : Algebra S T
inst✝¹ : IsScalarTower R✝ S T
b : τ → MvPowerSeries υ T
R : Type u_9
inst✝ : CommSemiring R
a : σ → R
f g : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ
x : (σ →₀ ℕ) × (σ →₀ ℕ)
hx : x.1 + x.2 = n
⊢ ∀ i ∈ x.1.support ∪ x.2.support, a i ^ 0 = 1