mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ → δ < 1 → ∃ s, (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun i j ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
⊢ ∀ (a a_1 : Fin N), ¬f a = f a_1 → 1 ≤ ‖f a - f a_1‖

Tactic:
intro i j hij

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ → δ < 1 → ∃ s, (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun i j ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin N
hij : ¬f i = f j
⊢ 1 ≤ ‖f i - f j‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun i j ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
⊢ Function.Injective f

Tactic:
intro i j hij

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun i j ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin n
hij : f i = f j
⊢ i = j
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun i j ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = n
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
⊢ ∀ (a a_1 : Fin n), ¬f a = f a_1 → 1 - goodδ E ≤ ‖f a - f a_1‖

Tactic:
intro i j hij

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun i j ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = n
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin n
hij : ¬f i = f j
⊢ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case inr.inr.refine_1
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : μ o = μ s
a : BallPackage (↑s) α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun i ↦ ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x) (r ↑x)
A : s = ⋃ i, s ∩ v i
S : ∑ _i, μ s / ↑N ≤ ∑ i, μ (s ∩ v i)
i : Fin N
hi : μ s / (↑N + 1) < μ (s ∩ v i)
B : μ (o ∩ v i) = ∑' (x : ↑(u i)), μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
w : Finset ↑(u i)
hw : μ s / (↑N + 1) < ∑ x ∈ w, μ (o ∩ closedBall (↑↑x) (r ↑↑x))
⊢ ↑(Finset.image (fun x ↦ ↑↑x) w) ⊆ s

Tactic:
simp only [image_subset_iff, Finset.coe_image]
    intro y _
    simp only [Subtype.coe_prop, mem_preimage]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁷ : CommGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace G
inst✝ : μ.Regular
c : ℝ≥0∞ := ↑(μ.inv.haarScalarFactor μ)
hc : μ.inv = c • μ
this✝¹ : map Inv.inv (map Inv.inv μ) = c ^ 2 • μ
μeq : μ = c ^ 2 • μ
K : PositiveCompacts G
this✝ : c ^ 2 * μ ↑K = 1 ^ 2 * μ ↑K
this : c ^ 2 = 1 ^ 2
⊢ μ.inv = μ

Tactic:
have : c = 1 := (ENNReal.pow_right_strictMono two_ne_zero).injective this

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝⁷ : CommGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace G
inst✝ : μ.Regular
c : ℝ≥0∞ := ↑(μ.inv.haarScalarFactor μ)
hc : μ.inv = c • μ
this✝² : map Inv.inv (map Inv.inv μ) = c ^ 2 • μ
μeq : μ = c ^ 2 • μ
K : PositiveCompacts G
this✝¹ : c ^ 2 * μ ↑K = 1 ^ 2 * μ ↑K
this✝ : c ^ 2 = 1 ^ 2
this : c = 1
⊢ μ.inv = μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁷ : CommGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace G
inst✝ : μ.InnerRegular
c : ℝ≥0∞ := ↑(μ.inv.haarScalarFactor μ)
hc : μ.inv = c • μ
this✝¹ : map Inv.inv (map Inv.inv μ) = c ^ 2 • μ
μeq : μ = c ^ 2 • μ
K : PositiveCompacts G
this✝ : c ^ 2 * μ ↑K = 1 ^ 2 * μ ↑K
this : c ^ 2 = 1 ^ 2
⊢ μ.inv = μ

Tactic:
have : c = 1 := (ENNReal.pow_right_strictMono two_ne_zero).injective this

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝⁷ : CommGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : LocallyCompactSpace G
inst✝ : μ.InnerRegular
c : ℝ≥0∞ := ↑(μ.inv.haarScalarFactor μ)
hc : μ.inv = c • μ
this✝² : map Inv.inv (map Inv.inv μ) = c ^ 2 • μ
μeq : μ = c ^ 2 • μ
K : PositiveCompacts G
this✝¹ : c ^ 2 * μ ↑K = 1 ^ 2 * μ ↑K
this✝ : c ^ 2 = 1 ^ 2
this : c = 1
⊢ μ.inv = μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace

Goal state before:
pp: case inr.inr
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
c' : Fin N.succ → E := fun i ↦ if ‖a.c i‖ ≤ 2 then a.c i else (2 / ‖a.c i‖) • a.c i
norm_c'_le : ∀ (i : Fin N.succ), ‖c' i‖ ≤ 2
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖
Hj : 2 < ‖a.c j‖
H'j : ‖a.c j‖ ≤ 2 ↔ False
Hi : 2 < ‖a.c i‖
H'i : ‖a.c i‖ ≤ 2 ↔ False
⊢ 1 - δ ≤ ‖(if False then a.c i else (2 / ‖a.c i‖) • a.c i) - if ‖a.c j‖ ≤ 2 then a.c j else (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖

Tactic:
if_false,

Goal state after:
case inr.inr
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
c' : Fin N.succ → E := fun i ↦ if ‖a.c i‖ ≤ 2 then a.c i else (2 / ‖a.c i‖) • a.c i
norm_c'_le : ∀ (i : Fin N.succ), ‖c' i‖ ≤ 2
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖
Hj : 2 < ‖a.c j‖
H'j : ‖a.c j‖ ≤ 2 ↔ False
Hi : 2 < ‖a.c i‖
H'i : ‖a.c i‖ ≤ 2 ↔ False
⊢ 1 - δ ≤ ‖(2 / ‖a.c i‖) • a.c i - if ‖a.c j‖ ≤ 2 then a.c j else (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Holder

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace X
inst✝ : PseudoEMetricSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
C D : ℝ≥0
A : Set X
hA : ∀ x ∈ A, ∀ y ∈ A, edist x y ≤ ↑D
hf : HolderOnWith C r f A
⊢ HolderOnWith (C * D ^ ↑r) 0 f A

Tactic:
intro x hx y hy
  simp only [NNReal.coe_zero, ENNReal.rpow_zero, mul_one]
  grw [hf x hx y hy, hA x hx y hy, ENNReal.coe_mul, ENNReal.coe_rpow_of_nonneg _ (by simp)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
⊢ IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x ↔
    ContinuousMultilinearMap.domDomCongr Fin.revPerm (iteratedFDerivWithin 𝕜 2 f s x) = iteratedFDerivWithin 𝕜 2 f s x

Tactic:
IsSymmSndFDerivWithinAt,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
⊢ (∀ (v w : E), ((fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x) v) w = ((fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x) w) v) ↔
    ContinuousMultilinearMap.domDomCongr Fin.revPerm (iteratedFDerivWithin 𝕜 2 f s x) = iteratedFDerivWithin 𝕜 2 f s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
⊢ IsSymmSndFDerivAt 𝕜 f x ↔
    ContinuousMultilinearMap.domDomCongr Fin.revPerm (iteratedFDeriv 𝕜 2 f x) = iteratedFDeriv 𝕜 2 f x

Tactic:
simp only [← isSymmSndFDerivWithinAt_univ, ← iteratedFDerivWithin_univ]
  exact isSymmSndFDerivWithinAt_iff_iteratedFDerivWithin uniqueDiffOn_univ (mem_univ _)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
L : F →L[𝕜] G
f : E → F
x : E
N : ℕ∞ω
n : ℕ
hf : ContDiffAt 𝕜 N f x
hn : ↑n ≤ N
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (⇑L ∘ f) x‖ ≤ ‖L‖ * ‖iteratedFDeriv 𝕜 n f x‖

Tactic:
by
  simp only [← iteratedFDerivWithin_univ]
  exact L.norm_iteratedFDerivWithin_comp_left hf.contDiffWithinAt uniqueDiffOn_univ (Set.mem_univ x)
    hn

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.VectorField

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
V W : E → E
s t : Set E
x y : E
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
⊢ lieBracketWithin 𝕜 V W s x = lieBracketWithin 𝕜 V W t x

Tactic:
simp [lieBracketWithin, fderivWithin_congr_set' _ h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: case hbc
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 ↦ ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ t ∈ Icc 0 1, x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : ℝ → F := ⋯
g' : ℝ → F := ⋯
hg' : g' = fun t ↦ (f' (x + h • v + (t * h) • w)) (h • w) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (t * h ^ 2) • (f'' w) w
g_deriv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivWithinAt g (g' t) (Icc 0 1) t
t : ℝ
ht : t ∈ Ico 0 1
I : ‖h • v + (t * h) • w‖ ≤ h * (‖v‖ + ‖w‖)
⊢ ‖h • v + (t * h) • w‖ ≤ ‖h • v‖ + ‖h • w‖

Tactic:
apply (norm_add_le _ _).trans

Goal state after:
case hbc
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 ↦ ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ t ∈ Icc 0 1, x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : ℝ → F := ⋯
g' : ℝ → F := ⋯
hg' : g' = fun t ↦ (f' (x + h • v + (t * h) • w)) (h • w) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (t * h ^ 2) • (f'' w) w
g_deriv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivWithinAt g (g' t) (Icc 0 1) t
t : ℝ
ht : t ∈ Ico 0 1
I : ‖h • v + (t * h) • w‖ ≤ h * (‖v‖ + ‖w‖)
⊢ ‖h • v‖ + ‖(t * h) • w‖ ≤ ‖h • v‖ + ‖h • w‖
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LHopital

Goal state before:
pp: a b : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hab : a < b
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b
hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0
c : ℝ → ℝ
hc : ∀ x ∈ Ioo a b, c x ∈ Ioo a x ∧ f x * g' (c x) = g x * f' (c x)
this : ∀ x ∈ Ioo a b, ((fun x' ↦ f' x' / g' x') ∘ c) x = f x / g x
cmp : ∀ x ∈ Ioo a b, a < c x ∧ c x < x
⊢ Tendsto (fun x ↦ f x / g x) (𝓝[>] a) l

Tactic:
rw [← nhdsWithin_Ioo_eq_nhdsGT hab]

Goal state after:
a b : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hab : a < b
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b
hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0
c : ℝ → ℝ
hc : ∀ x ∈ Ioo a b, c x ∈ Ioo a x ∧ f x * g' (c x) = g x * f' (c x)
this : ∀ x ∈ Ioo a b, ((fun x' ↦ f' x' / g' x') ∘ c) x = f x / g x
cmp : ∀ x ∈ Ioo a b, a < c x ∧ c x < x
⊢ Tendsto (fun x ↦ f x / g x) (𝓝[Ioo a b] a) l
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.IntegrationByParts

Goal state before:
pp: case inr
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), 0 ≤ f' x
M : MonotoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ f b ≤ f a

pp: case inr.hf
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), 0 ≤ f' x
M : MonotoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ ContinuousOn f (Icc b a)

pp: case inr.hff'
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), 0 ≤ f' x
M : MonotoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ ∀ x ∈ Ioo b a, HasDerivAt f (f' x) x

pp: case inr.hf'
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), 0 ≤ f' x
M : MonotoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ ∀ x ∈ Ioo b a, 0 ≤ f' x

pp: case inr.hab
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), 0 ≤ f' x
M : MonotoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ b ≤ a

Tactic:
· apply M right_mem_uIcc left_mem_uIcc hab.le

Goal state after:
case inr.hf
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), 0 ≤ f' x
M : MonotoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ ContinuousOn f (Icc b a)

case inr.hff'
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), 0 ≤ f' x
M : MonotoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ ∀ x ∈ Ioo b a, HasDerivAt f (f' x) x

case inr.hf'
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), 0 ≤ f' x
M : MonotoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ ∀ x ∈ Ioo b a, 0 ≤ f' x

case inr.hab
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), 0 ≤ f' x
M : MonotoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ b ≤ a
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.IntegrationByParts

Goal state before:
pp: case inr
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ f a ≤ f b

pp: case inr.hf
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ ContinuousOn f (Icc b a)

pp: case inr.hff'
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ ∀ x ∈ Ioo b a, HasDerivAt f (f' x) x

pp: case inr.hf'
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ ∀ x ∈ Ioo b a, f' x ≤ 0

pp: case inr.hab
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ b ≤ a

Tactic:
· apply M right_mem_uIcc left_mem_uIcc hab.le

Goal state after:
case inr.hf
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ ContinuousOn f (Icc b a)

case inr.hff'
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ ∀ x ∈ Ioo b a, HasDerivAt f (f' x) x

case inr.hf'
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ ∀ x ∈ Ioo b a, f' x ≤ 0

case inr.hab
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ b ≤ a
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LocalExtr.Polynomial

Goal state before:
pp: case inr
p : ℝ[X]
hp' : derivative p ≠ 0
hp : p ≠ 0
x : ℝ
hx : p.IsRoot x
y : ℝ
hy : p.IsRoot y
hxy : x < y
hxy' : ∀ z ∈ p.roots.toFinset, z ∉ Set.Ioo x y
z : ℝ
hz1 : z ∈ Set.Ioo x y
hz2 : deriv (fun x ↦ eval x p) z = 0
⊢ ∃ z ∈ (derivative p).roots.toFinset, x < z ∧ z < y

Tactic:
refine ⟨z, ?_, hz1⟩

Goal state after:
case inr
p : ℝ[X]
hp' : derivative p ≠ 0
hp : p ≠ 0
x : ℝ
hx : p.IsRoot x
y : ℝ
hy : p.IsRoot y
hxy : x < y
hxy' : ∀ z ∈ p.roots.toFinset, z ∉ Set.Ioo x y
z : ℝ
hz1 : z ∈ Set.Ioo x y
hz2 : deriv (fun x ↦ eval x p) z = 0
⊢ z ∈ (derivative p).roots.toFinset
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: case e'_6
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
⊢ (Ioi c).indicator (fun x ↦ f (a * x)) x = (HMul.hMul a ⁻¹' Ioi (a * c)).indicator (f ∘ HMul.hMul a) x

Tactic:
preimage_const_mul_Ioi₀ _ ha,

Goal state after:
case e'_6
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
⊢ (Ioi c).indicator (fun x ↦ f (a * x)) x = (Ioi (a * c / a)).indicator (f ∘ HMul.hMul a) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ChartedSpace

Goal state before:
pp: H : Type u
M : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : LocallyPathConnectedSpace H
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ i, (i ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected i) ∧ id i ⊆ s

Tactic:
let e := chartAt H x

Goal state after:
H : Type u
M : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : LocallyPathConnectedSpace H
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
e : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
⊢ ∃ i, (i ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected i) ∧ id i ⊆ s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.HasGroupoid

Goal state before:
pp: H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
G : StructureGroupoid H
inst✝³ : ChartedSpace H M'
inst✝² : ChartedSpace H M''
e : OpenPartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Opens M := { carrier := e.source, is_open' := ⋯ }
t : Opens H := { carrier := e.target, is_open' := ⋯ }
⊢ Structomorph G ↥s ↥t

Tactic:
by_cases! h : Nonempty e.source

Goal state after:
case pos
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
G : StructureGroupoid H
inst✝³ : ChartedSpace H M'
inst✝² : ChartedSpace H M''
e : OpenPartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Opens M := { carrier := e.source, is_open' := ⋯ }
t : Opens H := { carrier := e.target, is_open' := ⋯ }
h : Nonempty ↑e.source
⊢ Structomorph G ↥s ↥t

case neg
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
G : StructureGroupoid H
inst✝³ : ChartedSpace H M'
inst✝² : ChartedSpace H M''
e : OpenPartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Opens M := { carrier := e.source, is_open' := ⋯ }
t : Opens H := { carrier := e.target, is_open' := ⋯ }
h : IsEmpty ↑e.source
⊢ Structomorph G ↥s ↥t