mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℤ
⊢ U R (n + 2) = 2 * T R (n + 2) + U R n

Tactic:
linear_combination (norm := ring_nf) - (two_mul_T_eq_U_sub_U R n)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
this : X * 2 - X = X
⊢ X * C R (-↑0) - C R (-↑0 + 1) = X

Tactic:
by simpa

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: case one
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
⊢ C R (-1) = C R 1

Tactic:
simp only [C_neg_one, C_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: case neg_add_one
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih1 : (C R (-↑n)).comp (2 * X) = 2 * T R (-↑n)
ih2 : (C R (-↑n + 1)).comp (2 * X) = 2 * T R (-↑n + 1)
⊢ (C R (-↑n - 1)).comp (2 * X) = 2 * T R (-↑n - 1)

Tactic:
simp_rw [C_sub_one, T_sub_one, sub_comp, mul_comp, X_comp, ih1, ih2]

Goal state after:
case neg_add_one
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih1 : (C R (-↑n)).comp (2 * X) = 2 * T R (-↑n)
ih2 : (C R (-↑n + 1)).comp (2 * X) = 2 * T R (-↑n + 1)
⊢ 2 * X * (2 * T R (-↑n)) - 2 * T R (-↑n + 1) = 2 * (2 * X * T R (-↑n) - T R (-↑n + 1))
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ↥H
x : L
hx : x ∈ (sl2SubalgebraOfRoot hα).carrier
this : ⁅↑h, x⁆ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα
⊢ ⁅h, x⁆ ∈ (sl2SubalgebraOfRoot hα).carrier

Tactic:
by simpa

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Invertible 2
n : ℤ
this : (C R n).comp (↑2 * Polynomial.C ⅟2 * X) = ↑2 * (T R n).comp (Polynomial.C ⅟2 * X)
⊢ C R n = 2 * (T R n).comp (Polynomial.C ⅟2 * X)

Tactic:
← C_eq_natCast,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Invertible 2
n : ℤ
this : (C R n).comp (Polynomial.C ↑2 * Polynomial.C ⅟2 * X) = Polynomial.C ↑2 * (T R n).comp (Polynomial.C ⅟2 * X)
⊢ C R n = 2 * (T R n).comp (Polynomial.C ⅟2 * X)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Reflection

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
f g : Dual R M
hf : f x = 2
hg : g y = 2
z : M
t : R
ht : t = f y * g x - 2
a✝ :
  ∀ (n : ℕ),
    ((reflection hf * reflection hg) ^ ↑n) z =
      z +
          (Polynomial.eval t (S R ((↑n - 2) / 2)) *
              (Polynomial.eval t (S R ((↑n - 1) / 2)) + Polynomial.eval t (S R ((↑n - 3) / 2)))) •
            ((g x * f z - g z) • y - f z • x) +
        (Polynomial.eval t (S R ((↑n - 1) / 2)) *
            (Polynomial.eval t (S R (↑n / 2)) + Polynomial.eval t (S R ((↑n - 2) / 2)))) •
          ((f y * g z - f z) • x - g z • y)
m : ℕ
ht' : t = g x * f y - 2
⊢ ((reflection hf * reflection hg)⁻¹ ^ ↑m) z =
    z +
        (Polynomial.eval t (S R ((-↑m - 2) / 2)) *
            (Polynomial.eval t (S R ((-↑m - 1) / 2)) + Polynomial.eval t (S R ((-↑m - 3) / 2)))) •
          ((g x * f z - g z) • y - f z • x) +
      (Polynomial.eval t (S R ((-↑m - 1) / 2)) *
          (Polynomial.eval t (S R (-↑m / 2)) + Polynomial.eval t (S R ((-↑m - 2) / 2)))) •
        ((f y * g z - f z) • x - g z • y)

Tactic:
mul_inv_rev,

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
f g : Dual R M
hf : f x = 2
hg : g y = 2
z : M
t : R
ht : t = f y * g x - 2
a✝ :
  ∀ (n : ℕ),
    ((reflection hf * reflection hg) ^ ↑n) z =
      z +
          (Polynomial.eval t (S R ((↑n - 2) / 2)) *
              (Polynomial.eval t (S R ((↑n - 1) / 2)) + Polynomial.eval t (S R ((↑n - 3) / 2)))) •
            ((g x * f z - g z) • y - f z • x) +
        (Polynomial.eval t (S R ((↑n - 1) / 2)) *
            (Polynomial.eval t (S R (↑n / 2)) + Polynomial.eval t (S R ((↑n - 2) / 2)))) •
          ((f y * g z - f z) • x - g z • y)
m : ℕ
ht' : t = g x * f y - 2
⊢ (((reflection hg)⁻¹ * (reflection hf)⁻¹) ^ ↑m) z =
    z +
        (Polynomial.eval t (S R ((-↑m - 2) / 2)) *
            (Polynomial.eval t (S R ((-↑m - 1) / 2)) + Polynomial.eval t (S R ((-↑m - 3) / 2)))) •
          ((g x * f z - g z) • y - f z • x) +
      (Polynomial.eval t (S R ((-↑m - 1) / 2)) *
          (Polynomial.eval t (S R (-↑m / 2)) + Polynomial.eval t (S R ((-↑m - 2) / 2)))) •
        ((f y * g z - f z) • x - g z • y)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: case refine_1.refine_3
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h' e f : L
ht : IsSl2Triple h' e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
c₁ c₂ c₃ : K
hx : c₁ • e + c₂ • f + c₃ • ⁅e, f⁆ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα
⊢ H.subtype (c₃ • coroot α) = c₃ • ↑(coroot α)

Tactic:
map_smul,

Goal state after:
case refine_1.refine_3
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h' e f : L
ht : IsSl2Triple h' e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
c₁ c₂ c₃ : K
hx : c₁ • e + c₂ • f + c₃ • ⁅e, f⁆ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα
⊢ c₃ • H.subtype (coroot α) = c₃ • ↑(coroot α)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Invertible 2
n : ℤ
this : (S R n).comp (↑2 * Polynomial.C ⅟2 * X) = (U R n).comp (Polynomial.C ⅟2 * X)
⊢ S R n = (U R n).comp (Polynomial.C ⅟2 * X)

Tactic:
← C_eq_natCast,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Invertible 2
n : ℤ
this : (S R n).comp (Polynomial.C ↑2 * Polynomial.C ⅟2 * X) = (U R n).comp (Polynomial.C ⅟2 * X)
⊢ S R n = (U R n).comp (Polynomial.C ⅟2 * X)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Reflection

Goal state before:
pp: case pred
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
f g : Dual R M
hf : f x = 2
hg : g y = 2
t : R
ht : t = f y * g x - 2
S_eval_t_sub_two :
  ∀ (k : ℤ),
    Polynomial.eval t (S R (k - 2)) = (f y * g x - 2) * Polynomial.eval t (S R (k - 1)) - Polynomial.eval t (S R k)
m : ℕ
ih :
  ((reflection hf * reflection hg) ^ (-↑m)) x =
    (Polynomial.eval t (S R (-↑m)) + Polynomial.eval t (S R (-↑m - 1))) • x +
      (Polynomial.eval t (S R (-↑m - 1)) * -g x) • y
⊢ ((reflection hf * reflection hg)⁻¹ * (reflection hf * reflection hg) ^ (-↑m)) x =
    (Polynomial.eval t (S R (-1 + -↑m)) + Polynomial.eval t (S R (-1 + -↑m - 1))) • x +
      (Polynomial.eval t (S R (-1 + -↑m - 1)) * -g x) • y

Tactic:
mul_inv_rev,

Goal state after:
case pred
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
f g : Dual R M
hf : f x = 2
hg : g y = 2
t : R
ht : t = f y * g x - 2
S_eval_t_sub_two :
  ∀ (k : ℤ),
    Polynomial.eval t (S R (k - 2)) = (f y * g x - 2) * Polynomial.eval t (S R (k - 1)) - Polynomial.eval t (S R k)
m : ℕ
ih :
  ((reflection hf * reflection hg) ^ (-↑m)) x =
    (Polynomial.eval t (S R (-↑m)) + Polynomial.eval t (S R (-↑m - 1))) • x +
      (Polynomial.eval t (S R (-↑m - 1)) * -g x) • y
⊢ ((reflection hg)⁻¹ * (reflection hf)⁻¹ * (reflection hf * reflection hg) ^ (-↑m)) x =
    (Polynomial.eval t (S R (-1 + -↑m)) + Polynomial.eval t (S R (-1 + -↑m - 1))) • x +
      (Polynomial.eval t (S R (-1 + -↑m - 1)) * -g x) • y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs

Goal state before:
pp: case calc_5
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ (P.toLinearMap x) (2 • P.coroot j) • P.root j = 2 • (P.toLinearMap x) (P.coroot j) • P.root j

Tactic:
map_smul,

Goal state after:
case calc_5
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ (2 • (P.toLinearMap x) (P.coroot j)) • P.root j = 2 • (P.toLinearMap x) (P.coroot j) • P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
⊢ P.IsOrthogonal i j ↔ P.IsOrthogonal j i

Tactic:
by
  simp only [IsOrthogonal, and_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs

Goal state before:
pp: case smul
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
j : ι
s : Set ι
hj : ∀ i ∈ s, P.IsOrthogonal j i
x : M
t : R
u : M
hu : u ∈ span R (⇑P.root '' s)
hu' : (P.reflection j) u = u
⊢ (P.reflection j) (t • u) = t • u

Tactic:
map_smul,

Goal state after:
case smul
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
j : ι
s : Set ι
hj : ∀ i ∈ s, P.IsOrthogonal j i
x : M
t : R
u : M
hu : u ∈ span R (⇑P.root '' s)
hu' : (P.reflection j) u = u
⊢ t • (P.reflection j) u = t • u
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Reflection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgxfy : f y * g x = 4
n : ℕ
ih : (⇑(reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx))^[n] y = y + n • (f y • x - 2 • y)
z : M
⊢ 4 • z = (2 * 2) • z

Tactic:
← Nat.cast_smul_eq_nsmul R (2 * 2),

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgxfy : f y * g x = 4
n : ℕ
ih : (⇑(reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx))^[n] y = y + n • (f y • x - 2 • y)
z : M
⊢ 4 • z = ↑(2 * 2) • z
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.BaseChange

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Field L
e : m ≃ n
K : Subfield L
A : Matrix m n L
B : Matrix n m L
hAB : A * B = 1
h_mem : ∀ (i : m) (j : n), A i j ∈ K
i : n
j : m
val✝ : Fintype m
A' : Matrix m m ↥K := of fun i j ↦ ⟨A.submatrix id (⇑e) i j, ⋯⟩
hA' : A'.map ⇑K.subtype = A.submatrix id ⇑e
⊢ A.submatrix id ⇑e * B.submatrix (⇑e) id = 1

Tactic:
by simpa

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module L M
inst✝⁹ : Module L N
inst✝⁸ : Module K M
inst✝⁷ : Module K N
inst✝⁶ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝⁵ : p.IsPerfPair
M' : Type u_5
N' : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module K M'
inst✝¹ : Module K N'
inst✝ : IsScalarTower K L N
i : M' →ₗ[K] M
j : N' →ₗ[K] N
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hij : p.IsPerfectCompl (span L ↑i.range) (span L ↑j.range)
hp : ∀ (m : M') (n : N'), (p (i m)) (j n) ∈ (algebraMap K L).range
⊢ p.IsPerfectCompl (span L (Set.range ⇑i)).subtype.range (span L (Set.range ⇑j)).subtype.range

Tactic:
by simpa

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module L M
inst✝⁹ : Module L N
inst✝⁸ : Module K M
inst✝⁷ : Module K N
inst✝⁶ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝⁵ : p.IsPerfPair
M' : Type u_5
N' : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module K M'
inst✝¹ : Module K N'
inst✝ : IsScalarTower K L N
i : M' →ₗ[K] M
j : N' →ₗ[K] N
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hij : p.IsPerfectCompl (span L ↑i.range) (span L ↑j.range)
hp : ∀ (m : M') (n : N'), (p (i m)) (j n) ∈ (algebraMap K L).range
this : (p.compl₁₂ (span L (Set.range ⇑i)).subtype (span L (Set.range ⇑j)).subtype).IsPerfPair
⊢ Injective ⇑i.rangeRestrict

Tactic:
by simpa

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module L M
inst✝⁹ : Module L N
inst✝⁸ : Module K M
inst✝⁷ : Module K N
inst✝⁶ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝⁵ : p.IsPerfPair
M' : Type u_5
N' : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module K M'
inst✝¹ : Module K N'
inst✝ : IsScalarTower K L N
i : M' →ₗ[K] M
j : N' →ₗ[K] N
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hij : p.IsPerfectCompl (span L ↑i.range) (span L ↑j.range)
hp : ∀ (m : M') (n : N'), (p (i m)) (j n) ∈ (algebraMap K L).range
this : (p.compl₁₂ (span L (Set.range ⇑i)).subtype (span L (Set.range ⇑j)).subtype).IsPerfPair
⊢ Injective ⇑j.rangeRestrict

Tactic:
by simpa

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module L M
inst✝⁹ : Module L N
inst✝⁸ : Module K M
inst✝⁷ : Module K N
inst✝⁶ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝⁵ : p.IsPerfPair
M' : Type u_5
N' : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module K M'
inst✝¹ : Module K N'
inst✝ : IsScalarTower K L N
i : M' →ₗ[K] M
j : N' →ₗ[K] N
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hij : p.IsPerfectCompl (span L ↑i.range) (span L ↑j.range)
hp : ∀ (m : M') (n : N'), (p (i m)) (j n) ∈ (algebraMap K L).range
this : (p.compl₁₂ (span L (Set.range ⇑i)).subtype (span L (Set.range ⇑j)).subtype).IsPerfPair
x : M'
y : N'
⊢ ∀ x ∈ ↑i.range, ∀ y ∈ ↑j.range, ((restrictScalarsₗ K L N L K ∘ₗ ↑K p) x) y ∈ (Algebra.linearMap K L).range

Tactic:
by simpa

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Range

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : MonoidWithZero A
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero B
f : A →*₀ B
a : f.ValueGroup₀ˣ
⊢ 0 < embedding ↑a

Tactic:
by
  conv_lhs => rw [← map_zero f, ← ValueGroup₀.embedding_restrict₀ (0 : A)]
  rw [embedding_strictMono.lt_iff_lt]
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Length

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
H : Function.Exact ⇑f ⇑g
hP : IsFiniteLength R P
hN : ¬IsFiniteLength R N
this : ¬IsFiniteLength R M
⊢ length R M = length R N + length R P

Tactic:
rw [← Module.length_ne_top_iff, ne_eq, not_not] at hN this

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
H : Function.Exact ⇑f ⇑g
hP : IsFiniteLength R P
hN : length R N = ⊤
this : length R M = ⊤
⊢ length R M = length R N + length R P
Module: Mathlib.RingTheory.Length

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : N →ₗ[R] M
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ length R N ≤ length R M

Tactic:
rw [Module.length_eq_add_of_exact f (LinearMap.range f).mkQ hf
    (Submodule.mkQ_surjective _) (LinearMap.exact_map_mkQ_range f)]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : N →ₗ[R] M
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ length R N ≤ length R N + length R (M ⧸ f.range)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case mpr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
a : O
ha : a ∈ I
hx : IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) ((⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) a)
⊢ Submodule.IsPrincipal I

Tactic:
refine ⟨a, ?_⟩

Goal state after:
case mpr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
a : O
ha : a ∈ I
hx : IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) ((⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) a)
⊢ I = O ∙ a
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case mp
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
a : O
ha : a ∈ I
hx : IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) ((⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) a)
⊢ ∃ x, ↑I = {y | v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) x)}

Tactic:
refine ⟨a, ?_⟩

Goal state after:
case mp
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
a : O
ha : a ∈ I
hx : IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) ((⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) a)
⊢ ↑I = {y | v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) a)}
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Module S M
J : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
hIJ : Ideal.map (algebraMap R S) I ≤ J
inst✝ : IsHausdorff J M
x : M
h : ∀ (n : ℕ), x ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]
n : ℕ
⊢ (I ^ n • ⊤).toAddSubgroup ≤ (J ^ n • ⊤).toAddSubgroup

Tactic:
rw [← AddSubgroup.toAddSubmonoid_le]
    simp only [Submodule.smul_toAddSubmonoid, Submodule.top_toAddSubmonoid]
    rw [AddSubmonoid.smul_le]
    intro r hr m hm
    rw [← algebraMap_smul S r m]
    apply AddSubmonoid.smul_mem_smul ?_ hm
    have := Ideal.mem_map_of_mem (algebraMap R S) hr
    simp only [Ideal.map_pow] at this
    exact Ideal.pow_right_mono hIJ n this

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
c : R
f : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤
hf : f ∈ {f | ∀ {m n : ℕ} (hmn : m ≤ n), (transitionMap I M hmn) (f n) = f m}
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (transitionMap I M hmn) (c • f n) = c • f m

Tactic:
map_smul,

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
c : R
f : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤
hf : f ∈ {f | ∀ {m n : ℕ} (hmn : m ≤ n), (transitionMap I M hmn) (f n) = f m}
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ c • (transitionMap I M hmn) (f n) = c • f m
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
p : R
hp : Irreducible p
n : ℕ
hn : Associated (ϖ ^ n) p
this : Irreducible (ϖ ^ n)
H : n < 1
⊢ n = 0

Tactic:
clear hn this

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
p : R
hp : Irreducible p
n : ℕ
H : n < 1
⊢ n = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: 𝒪 : Type u
K : Type v
inst✝² : CommRing 𝒪
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra 𝒪 K
h : ∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)
this✝² : IsDomain 𝒪
this✝¹ : FaithfulSMul 𝒪 K
this✝ : IsDomain 𝒪
x : K
a : 𝒪
h0 : ¬a = 0
this : (algebraMap 𝒪 K) a ≠ 0
ha : x = (algebraMap 𝒪 K) a
⊢ x * (algebraMap 𝒪 K) ↑(a, 1).2 = (algebraMap 𝒪 K) (a, 1).1

Tactic:
by simpa

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.KrullDimension.Zero

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
J : Ideal (R ⧸ I)
hJ : J ∈ minimalPrimes (R ⧸ I)
h : J.IsMaximal
⊢ (comap (Quotient.mk I) J).IsMaximal

pp: case refine_2
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
J : Ideal (R ⧸ I)
hJ : J ∈ minimalPrimes (R ⧸ I)
h : (comap (Quotient.mk I) J).IsMaximal
⊢ J.IsMaximal

Tactic:
· exact comap_isMaximal_of_surjective (Quotient.mk I) Quotient.mk_surjective

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
J : Ideal (R ⧸ I)
hJ : J ∈ minimalPrimes (R ⧸ I)
h : (comap (Quotient.mk I) J).IsMaximal
⊢ J.IsMaximal
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y : R
h : v (y - x) < v x
this : v (y - x + x) = max (v (y - x)) (v x)
⊢ v y = v x

Tactic:
rw [max_eq_right (le_of_lt h)] at this

Goal state after:
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y : R
h : v (y - x) < v x
this : v (y - x + x) = v x
⊢ v y = v x
Module: Mathlib.RingTheory.KrullDimension.Zero

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
⊢ [KrullDimLE 0 R ∧ IsLocalRing R, ∃! I, I.IsPrime, ∀ (x : R), IsNilpotent x ↔ ¬IsUnit x, (nilradical R).IsMaximal].TFAE

Tactic:
tfae_have 1 → 3 := by
    intro ⟨h₁, h₂⟩ x
    change x ∈ nilradical R ↔ x ∈ IsLocalRing.maximalIdeal R
    rw [nilradical, Ideal.radical_eq_sInf]
    simp [← Ideal.isMaximal_iff_isPrime, IsLocalRing.isMaximal_iff]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
tfae_1_to_3 : KrullDimLE 0 R ∧ IsLocalRing R → ∀ (x : R), IsNilpotent x ↔ ¬IsUnit x
⊢ [KrullDimLE 0 R ∧ IsLocalRing R, ∃! I, I.IsPrime, ∀ (x : R), IsNilpotent x ↔ ¬IsUnit x, (nilradical R).IsMaximal].TFAE
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic

Goal state before:
pp: case coe
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
x y : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
vy : ℕ∞
hvy : (addVal R) y = vy
vx : ℕ
hvx : (addVal R) x = ↑vx
⊢ ↑vx ≤ vy ↔ x ∣ y

Tactic:
cases vy with

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.IntegrallyClosed

Goal state before:
pp: case e'_4
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ∀ (p : Ideal R), p ≠ ⊥ → ∀ [inst : p.IsMaximal], IsIntegrallyClosed (Localization.AtPrime p)
hf : ¬IsField R
x✝ : MaximalSpectrum R
⊢ subalgebra (FractionRing R) x✝.toPrimeSpectrum.asIdeal.primeCompl ⋯ =
    subalgebra.ofField (FractionRing R) x✝.asIdeal.primeCompl ⋯

Tactic:
rw [subalgebra.ofField_eq, MaximalSpectrum.toPrimeSpectrum]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Dvr

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
h : IsDedekindDomainDvr A
p : Ideal A
hp : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
q : Ideal A
hq : q.IsMaximal
hpq : p ≤ q
⊢ p.IsMaximal

Tactic:
let f := (IsLocalization.orderIsoOfPrime q.primeCompl (Localization.AtPrime q)).symm

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
h : IsDedekindDomainDvr A
p : Ideal A
hp : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
q : Ideal A
hq : q.IsMaximal
hpq : p ≤ q
f : { p // p.IsPrime ∧ Disjoint ↑q.primeCompl ↑p } ≃o { p // p.IsPrime } :=
  (IsLocalization.orderIsoOfPrime q.primeCompl (Localization.AtPrime q)).symm
⊢ p.IsMaximal