Module: Mathlib.Combinatorics.Additive.SmallTripling

Goal state before:
pp: case inr.inl.inl.inr
G : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Group G
A : Finset G
K : ℝ
m : ℕ
hm : 3 ≤ m
hA : ↑(#(A ^ 3)) ≤ K * ↑(#A)
ε : Fin m → ℤ
hε : ∀ (i : Fin m), |ε i| = 1
hm₀ : m ≠ 0
hε₀ : ∀ (i : Fin m), ε i ≠ 0
hA₀ : A.Nonempty
hK₁ : 1 ≤ K
δ : Fin 3 → ℤ
this : K ^ 2 ≤ K ^ 3
hδ₀ : δ 0 = 1
hδ₁ : δ 1 = 1
hδ₂ : δ 2 = -1
⊢ ↑(#(A * A * A⁻¹)) ≤ K ^ 3 * ↑(#A)

pp: case inr.inl.inr.inl
G : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Group G
A : Finset G
K : ℝ
m : ℕ
hm : 3 ≤ m
hA : ↑(#(A ^ 3)) ≤ K * ↑(#A)
ε : Fin m → ℤ
hε : ∀ (i : Fin m), |ε i| = 1
hm₀ : m ≠ 0
hε₀ : ∀ (i : Fin m), ε i ≠ 0
hA₀ : A.Nonempty
hK₁ : 1 ≤ K
δ : Fin 3 → ℤ
this : K ^ 2 ≤ K ^ 3
hδ₀ : δ 0 = 1
hδ₁ : δ 1 = -1
hδ₂ : δ 2 = 1
⊢ ↑(#(A * A⁻¹ * A)) ≤ K ^ 3 * ↑(#A)

pp: case inr.inl.inr.inr
G : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Group G
A : Finset G
K : ℝ
m : ℕ
hm : 3 ≤ m
hA : ↑(#(A ^ 3)) ≤ K * ↑(#A)
ε : Fin m → ℤ
hε : ∀ (i : Fin m), |ε i| = 1
hm₀ : m ≠ 0
hε₀ : ∀ (i : Fin m), ε i ≠ 0
hA₀ : A.Nonempty
hK₁ : 1 ≤ K
δ : Fin 3 → ℤ
this : K ^ 2 ≤ K ^ 3
hδ₀ : δ 0 = 1
hδ₁ : δ 1 = -1
hδ₂ : δ 2 = -1
⊢ ↑(#(A * A⁻¹ * A⁻¹)) ≤ K ^ 3 * ↑(#A)

pp: case inr.inr.inl.inl
G : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Group G
A : Finset G
K : ℝ
m : ℕ
hm : 3 ≤ m
hA : ↑(#(A ^ 3)) ≤ K * ↑(#A)
ε : Fin m → ℤ
hε : ∀ (i : Fin m), |ε i| = 1
hm₀ : m ≠ 0
hε₀ : ∀ (i : Fin m), ε i ≠ 0
hA₀ : A.Nonempty
hK₁ : 1 ≤ K
δ : Fin 3 → ℤ
this : K ^ 2 ≤ K ^ 3
hδ₀ : δ 0 = -1
hδ₁ : δ 1 = 1
hδ₂ : δ 2 = 1
⊢ ↑(#(A⁻¹ * A * A)) ≤ K ^ 3 * ↑(#A)

pp: case inr.inr.inl.inr
G : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Group G
A : Finset G
K : ℝ
m : ℕ
hm : 3 ≤ m
hA : ↑(#(A ^ 3)) ≤ K * ↑(#A)
ε : Fin m → ℤ
hε : ∀ (i : Fin m), |ε i| = 1
hm₀ : m ≠ 0
hε₀ : ∀ (i : Fin m), ε i ≠ 0
hA₀ : A.Nonempty
hK₁ : 1 ≤ K
δ : Fin 3 → ℤ
this : K ^ 2 ≤ K ^ 3
hδ₀ : δ 0 = -1
hδ₁ : δ 1 = 1
hδ₂ : δ 2 = -1
⊢ ↑(#(A⁻¹ * A * A⁻¹)) ≤ K ^ 3 * ↑(#A)

pp: case inr.inr.inr.inl
G : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Group G
A : Finset G
K : ℝ
m : ℕ
hm : 3 ≤ m
hA : ↑(#(A ^ 3)) ≤ K * ↑(#A)
ε : Fin m → ℤ
hε : ∀ (i : Fin m), |ε i| = 1
hm₀ : m ≠ 0
hε₀ : ∀ (i : Fin m), ε i ≠ 0
hA₀ : A.Nonempty
hK₁ : 1 ≤ K
δ : Fin 3 → ℤ
this : K ^ 2 ≤ K ^ 3
hδ₀ : δ 0 = -1
hδ₁ : δ 1 = -1
hδ₂ : δ 2 = 1
⊢ ↑(#(A⁻¹ * A⁻¹ * A)) ≤ K ^ 3 * ↑(#A)

pp: case inr.inr.inr.inr
G : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Group G
A : Finset G
K : ℝ
m : ℕ
hm : 3 ≤ m
hA : ↑(#(A ^ 3)) ≤ K * ↑(#A)
ε : Fin m → ℤ
hε : ∀ (i : Fin m), |ε i| = 1
hm₀ : m ≠ 0
hε₀ : ∀ (i : Fin m), ε i ≠ 0
hA₀ : A.Nonempty
hK₁ : 1 ≤ K
δ : Fin 3 → ℤ
this : K ^ 2 ≤ K ^ 3
hδ₀ : δ 0 = -1
hδ₁ : δ 1 = -1
hδ₂ : δ 2 = -1
⊢ ↑(#(A⁻¹ * A⁻¹ * A⁻¹)) ≤ K ^ 3 * ↑(#A)

Tactic:
· nlinarith [small_pos_pos_neg_mul hA]

Goal state after:
case inr.inl.inr.inl
G : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Group G
A : Finset G
K : ℝ
m : ℕ
hm : 3 ≤ m
hA : ↑(#(A ^ 3)) ≤ K * ↑(#A)
ε : Fin m → ℤ
hε : ∀ (i : Fin m), |ε i| = 1
hm₀ : m ≠ 0
hε₀ : ∀ (i : Fin m), ε i ≠ 0
hA₀ : A.Nonempty
hK₁ : 1 ≤ K
δ : Fin 3 → ℤ
this : K ^ 2 ≤ K ^ 3
hδ₀ : δ 0 = 1
hδ₁ : δ 1 = -1
hδ₂ : δ 2 = 1
⊢ ↑(#(A * A⁻¹ * A)) ≤ K ^ 3 * ↑(#A)

case inr.inl.inr.inr
G : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Group G
A : Finset G
K : ℝ
m : ℕ
hm : 3 ≤ m
hA : ↑(#(A ^ 3)) ≤ K * ↑(#A)
ε : Fin m → ℤ
hε : ∀ (i : Fin m), |ε i| = 1
hm₀ : m ≠ 0
hε₀ : ∀ (i : Fin m), ε i ≠ 0
hA₀ : A.Nonempty
hK₁ : 1 ≤ K
δ : Fin 3 → ℤ
this : K ^ 2 ≤ K ^ 3
hδ₀ : δ 0 = 1
hδ₁ : δ 1 = -1
hδ₂ : δ 2 = -1
⊢ ↑(#(A * A⁻¹ * A⁻¹)) ≤ K ^ 3 * ↑(#A)

case inr.inr.inl.inl
G : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Group G
A : Finset G
K : ℝ
m : ℕ
hm : 3 ≤ m
hA : ↑(#(A ^ 3)) ≤ K * ↑(#A)
ε : Fin m → ℤ
hε : ∀ (i : Fin m), |ε i| = 1
hm₀ : m ≠ 0
hε₀ : ∀ (i : Fin m), ε i ≠ 0
hA₀ : A.Nonempty
hK₁ : 1 ≤ K
δ : Fin 3 → ℤ
this : K ^ 2 ≤ K ^ 3
hδ₀ : δ 0 = -1
hδ₁ : δ 1 = 1
hδ₂ : δ 2 = 1
⊢ ↑(#(A⁻¹ * A * A)) ≤ K ^ 3 * ↑(#A)

case inr.inr.inl.inr
G : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Group G
A : Finset G
K : ℝ
m : ℕ
hm : 3 ≤ m
hA : ↑(#(A ^ 3)) ≤ K * ↑(#A)
ε : Fin m → ℤ
hε : ∀ (i : Fin m), |ε i| = 1
hm₀ : m ≠ 0
hε₀ : ∀ (i : Fin m), ε i ≠ 0
hA₀ : A.Nonempty
hK₁ : 1 ≤ K
δ : Fin 3 → ℤ
this : K ^ 2 ≤ K ^ 3
hδ₀ : δ 0 = -1
hδ₁ : δ 1 = 1
hδ₂ : δ 2 = -1
⊢ ↑(#(A⁻¹ * A * A⁻¹)) ≤ K ^ 3 * ↑(#A)

case inr.inr.inr.inl
G : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Group G
A : Finset G
K : ℝ
m : ℕ
hm : 3 ≤ m
hA : ↑(#(A ^ 3)) ≤ K * ↑(#A)
ε : Fin m → ℤ
hε : ∀ (i : Fin m), |ε i| = 1
hm₀ : m ≠ 0
hε₀ : ∀ (i : Fin m), ε i ≠ 0
hA₀ : A.Nonempty
hK₁ : 1 ≤ K
δ : Fin 3 → ℤ
this : K ^ 2 ≤ K ^ 3
hδ₀ : δ 0 = -1
hδ₁ : δ 1 = -1
hδ₂ : δ 2 = 1
⊢ ↑(#(A⁻¹ * A⁻¹ * A)) ≤ K ^ 3 * ↑(#A)

case inr.inr.inr.inr
G : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Group G
A : Finset G
K : ℝ
m : ℕ
hm : 3 ≤ m
hA : ↑(#(A ^ 3)) ≤ K * ↑(#A)
ε : Fin m → ℤ
hε : ∀ (i : Fin m), |ε i| = 1
hm₀ : m ≠ 0
hε₀ : ∀ (i : Fin m), ε i ≠ 0
hA₀ : A.Nonempty
hK₁ : 1 ≤ K
δ : Fin 3 → ℤ
this : K ^ 2 ≤ K ^ 3
hδ₀ : δ 0 = -1
hδ₁ : δ 1 = -1
hδ₂ : δ 2 = -1
⊢ ↑(#(A⁻¹ * A⁻¹ * A⁻¹)) ≤ K ^ 3 * ↑(#A)