mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
J : Ideal S
h : J.IsMaximal
hJ✝ : (under R J).IsPrime ∧ Disjoint ↑(powers y) ↑(under R J)
I : Ideal R
hI' : y ∉ I
hJI : under R J ≤ I
hIm : I.IsMaximal
e_2✝ : CommRing.toCommSemiring.toSemiring = inst✝³.toSemiring
hJ : ¬J = Ideal.map (algebraMap R S) I
hI_p : (Ideal.map (algebraMap R S) I).IsPrime
⊢ under R J = I

Tactic:
have : J ≤ I.map (algebraMap R S) := map_under (Submonoid.powers y) S J ▸ map_mono hJI

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
J : Ideal S
h : J.IsMaximal
hJ✝ : (under R J).IsPrime ∧ Disjoint ↑(powers y) ↑(under R J)
I : Ideal R
hI' : y ∉ I
hJI : under R J ≤ I
hIm : I.IsMaximal
e_2✝ : CommRing.toCommSemiring.toSemiring = inst✝³.toSemiring
hJ : ¬J = Ideal.map (algebraMap R S) I
hI_p : (Ideal.map (algebraMap R S) I).IsPrime
this : J ≤ Ideal.map (algebraMap R S) I
⊢ under R J = I
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hg : g ≠ 0
hf : ∀ i ∈ s, v (f i) < g
⊢ v (∑ i ∈ s, f i) < g

Tactic:
refine
    Finset.induction_on s (fun _ => v.map_zero ▸ (zero_lt_iff.2 hg))
      (fun a s has ih hf => ?_) hf

Goal state after:
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hg : g ≠ 0
hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) < g
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, v (f i) < g) → v (∑ i ∈ s, f i) < g
hf : ∀ i ∈ insert a s, v (f i) < g
⊢ v (∑ i ∈ insert a s, f i) < g
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
I : Ideal R
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n ↦ ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
hf : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
L : R
hL : ∀ (n : ℕ), f n ≡ L [SMOD I ^ n • ⊤]
⊢ IsUnit (1 + -x * y)

Tactic:
rw [isUnit_iff_exists_inv]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
I : Ideal R
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n ↦ ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
hf : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
L : R
hL : ∀ (n : ℕ), f n ≡ L [SMOD I ^ n • ⊤]
⊢ ∃ b, (1 + -x * y) * b = 1
Module: Mathlib.RingTheory.KrullDimension.Zero

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : KrullDimLE 0 R
inst✝ : IsLocalRing R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊤
⊢ I.radical = IsLocalRing.maximalIdeal R

Tactic:
rw [Ideal.radical_eq_sInf]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : KrullDimLE 0 R
inst✝ : IsLocalRing R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊤
⊢ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime} = IsLocalRing.maximalIdeal R
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.TFAE

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
⊢ (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R

Tactic:
rw [Ideal.radical_eq_sInf]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
⊢ sInf {J | Ideal.span {a} ≤ J ∧ J.IsPrime} = maximalIdeal R
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.IntegrallyClosed

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ∀ (p : Ideal R), p ≠ ⊥ → ∀ [inst : p.IsMaximal], IsIntegrallyClosed (Localization.AtPrime p)
⊢ IsIntegrallyClosed R

Tactic:
by
  by_cases hf : IsField R
  · exact hf.toField.instIsIntegrallyClosed
  refine of_localization (.range MaximalSpectrum.toPrimeSpectrum) (fun _ ↦ ?_) ?_
  · rintro ⟨p, rfl⟩
    exact h p.asIdeal (Ring.ne_bot_of_isMaximal_of_not_isField p.isMaximal hf)
  · rw [iInf_range]
    convert! MaximalSpectrum.iInf_localization_eq_bot R (FractionRing R)
    rw [subalgebra.ofField_eq, MaximalSpectrum.toPrimeSpectrum]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
hR : IsJacobsonRing R
P : Ideal R[X]
inst✝ : P.IsPrime
hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
Pb : ¬P = ⊥
⊢ P.jacobson = P

Tactic:
jacobson_eq_iff_jacobson_quotient_eq_bot

Goal state after:
case neg
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
hR : IsJacobsonRing R
P : Ideal R[X]
inst✝ : P.IsPrime
hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
Pb : ¬P = ⊥
⊢ ⊥.jacobson = ⊥
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.TorsionFree

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
r : R
hr : r ∈ R⁰
inst✝ : Flat R M
⊢ IsSMulRegular M r

Tactic:
by
  apply isSMulRegular_of_isRegular
  exact le_nonZeroDivisors_iff_isRegular.mp (le_refl R⁰) ⟨r, hr⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseChange

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module L M
inst✝⁸ : Module L N
P : RootPairing ι L M N
K : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : Module K N
inst✝³ : IsScalarTower K L M
inst✝² : IsScalarTower K L N
inst✝¹ : P.IsBalanced
inst✝ : P.IsValuedIn K
⊢ P.IsPerfectCompl (span L ↑(span K (range ⇑P.root)).subtype.range) (span L ↑(span K (range ⇑P.coroot)).subtype.range)

Tactic:
by simpa using IsBalanced.isPerfectCompl

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsAnisotropic
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R N
i j k : ι
m n : R
hk : m • P.root i + n • P.root j = P.root k
B : P.InvariantForm := P.toInvariantForm
lsq : ι → R := fun i ↦ (B.form (P.root i)) (P.root i)
hlsq : ∀ (i : ι), lsq i = (P.RootForm (P.root i)) (P.root i)
⊢ lsq k • P.coroot k = (m • lsq i) • P.coroot i + (n • lsq j) • P.coroot j

Tactic:
simp only [hlsq, smul_assoc, P.rootForm_self_smul_coroot, smul_comm _ 2]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsAnisotropic
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R N
i j k : ι
m n : R
hk : m • P.root i + n • P.root j = P.root k
B : P.InvariantForm := P.toInvariantForm
lsq : ι → R := fun i ↦ (B.form (P.root i)) (P.root i)
hlsq : ∀ (i : ι), lsq i = (P.RootForm (P.root i)) (P.root i)
⊢ 2 • P.Polarization (P.root k) = 2 • m • P.Polarization (P.root i) + 2 • n • P.Polarization (P.root j)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Fintype ι
⊢ Submodule.map (↑P.toPerfPair.symm) (P.corootSpan R).dualAnnihilator ≤ LinearMap.ker P.RootForm

Tactic:
by
  rw [P.corootSpan_dualAnnihilator_map_eq_iInf_ker_coroot']
  intro x hx
  ext y
  simp_all [coroot', rootForm_apply_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
⊢ β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))

Tactic:
by_cases hα : α.IsZero
  · rw [coroot_eq_zero_iff.mpr hα, chainLength, dif_pos hα, hα.eq, chainTopCoeff_zero, map_zero,
      CharP.cast_eq_zero, mul_zero, sub_self, Int.cast_zero]
  obtain ⟨x, hx, x_ne0⟩ := (chainTop α β).exists_ne_zero
  have := chainLength_smul _ _ hx
  rw [lie_eq_smul_of_mem_rootSpace hx, ← sub_eq_zero, ← sub_smul,
    smul_eq_zero_iff_left x_ne0, sub_eq_zero, coe_chainTop', nsmul_eq_mul, Pi.natCast_def,
    Pi.add_apply, Pi.mul_apply, root_apply_coroot hα] at this
  simp only [Int.cast_sub, Int.cast_natCast, Int.cast_mul, Int.cast_ofNat, eq_sub_iff_add_eq',
    this, mul_comm (2 : K)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Union

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Infinite K
f : ι → Dual K M
h : ∀ (i : ι), ∃ x, (f i) x ≠ 0
p : ι → Submodule K M := fun i ↦ LinearMap.ker (f i)
i : ι
⊢ p i ≠ ⊤

Tactic:
specialize h i

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Infinite K
f : ι → Dual K M
p : ι → Submodule K M := fun i ↦ LinearMap.ker (f i)
i : ι
h : ∃ x, (f i) x ≠ 0
⊢ p i ≠ ⊤
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case mpr
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : ℕ
h₁ : ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : -(↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k) ≤ ↑(chainBotCoeff (⇑α) β)
⊢ rootSpace H ((↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k) • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥

Tactic:
simp only [neg_sub, tsub_le_iff_right, ← Nat.cast_add, Nat.cast_le,
      chainBotCoeff_add_chainTopCoeff] at h₂

Goal state after:
case mpr
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : ℕ
h₁ : ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
h₂ : k ≤ chainLength α β
⊢ rootSpace H ((↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - ↑k) • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β') ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n

Tactic:
refine le_sub_iff_add_le.mpr ((rootSpace_zsmul_add_ne_bot_iff α β hα _).mp ?_).1

Goal state after:
case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ rootSpace H ((↑(chainTopCoeff (⇑α) β') + n) • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hβ : β.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
hα : ¬α.IsZero
⊢ β = -α ∨ β = α

Tactic:
rcases eq_neg_one_or_eq_zero_or_eq_one_of_eq_smul α β hα k h with (rfl | rfl | rfl)

Goal state after:
case neg.inl
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hβ : β.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
h : ⇑β = -1 • ⇑α
⊢ β = -α ∨ β = α

case neg.inr.inl
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hβ : β.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
h : ⇑β = 0 • ⇑α
⊢ β = -α ∨ β = α

case neg.inr.inr
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hβ : β.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
h : ⇑β = 1 • ⇑α
⊢ β = -α ∨ β = α
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Submodule

Goal state before:
pp: k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
⊢ Nontrivial ↥ρ.invtSubmodule ↔ Nontrivial V

Tactic:
refine ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ ?_⟩
  · contrapose! h
    infer_instance
  · refine ⟨⊥, ⊤, ?_⟩
    rw [← Subtype.coe_ne_coe, invtSubmodule.coe_top, invtSubmodule.coe_bot]
    exact bot_ne_top

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: case single.single
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
α✝ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module k A
ρ : Representation k G A
inst✝¹ : AddCommMonoid B
inst✝ : Module k B
τ : Representation k G B
α : Type u_6
g : G
a : k
h : α
y : k[G]
⊢ MonoidAlgebra.single g a • Finsupp.single h y =
    ((free k G α).asAlgebraHom (MonoidAlgebra.single g a)) (Finsupp.single h y)

Tactic:
induction y using MonoidAlgebra.induction_linear with
    | zero => simp
    | add => simp [*]
    | single i b => simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ Bijective ⇑↑(P.coreflection i)

Tactic:
by
    simp only [LinearEquiv.coe_coe]
    exact LinearEquiv.bijective (P.coreflection i)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case refine_1.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
f : ι → ℤ
hf : ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j ∈ range ⇑P.root
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
h : ¬f ≤ 0
h' : 0 < f
⊢ 0 ≤ f

Tactic:
exact le_of_lt h'

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i j = 0 ↔ Iic (chainBotCoeff i j) = {0}

Tactic:
simpa [Set.ext_iff, mem_Iic, mem_singleton_iff] using ⟨fun h ↦ by simp [h], fun h ↦ by rw [← h]⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h_card : (baseOf (⇑P.root) f).ncard = s.ncard
hsp : ∀ (i : ι), ∃ z, f (P.root i) = ↑z
i : ι
hi : i ∈ s
j k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < f (P.root i)}
contra : P.root i = P.root j + P.root k
n : ℤ
hn : f (P.root j) = ↑n
m : ℤ
hm : f (P.root k) = ↑m
hj : 0 < n
⊢ 0 < m

Tactic:
simpa [hm] using hk

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hk : P.root k = P.root i + P.root (-j)
⊢ b.height k = b.height i - b.height j

Tactic:
rw [sub_eq_add_neg, ← b.height_reflectionPerm_self, b.height_add hk]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.BilinearForm

Goal state before:
pp: R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : IsDomain R₂
inst✝¹ : Free R₂ M₂
inst✝ : Module.Finite R₂ M₂
B : BilinForm R₂ M₂
hB : SeparatingLeft B
ι : Type u_4
b : Basis ι R₂ M₂
⊢ B.Nondegenerate

Tactic:
have : Finite ι := Module.Finite.finite_basis b

Goal state after:
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : IsDomain R₂
inst✝¹ : Free R₂ M₂
inst✝ : Module.Finite R₂ M₂
B : BilinForm R₂ M₂
hB : SeparatingLeft B
ι : Type u_4
b : Basis ι R₂ M₂
this : Finite ι
⊢ B.Nondegenerate
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
ε : α
ε0 : 0 < ε
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, abv (f j - f i) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
k : ℕ
ik : k ≥ i
⊢ abv (f k - f i) < ε / 2

Tactic:
exact hi _ ik

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
j : ι
hj : j ∈ b.support
w : ℕ
hw :
  ∀ {i k : ι}, b.IsPos i → P.root k = P.root i + -↑w • P.root j → LinearIndependent R ![P.root j, P.root i] → b.IsPos k
i k : ι
hi : b.IsPos i
hij : LinearIndependent R ![P.root j, P.root i]
hk : P.root i - (w + 1) • P.root j ∈ range ⇑P.root
⊢ P.root i - w • P.root j ∈ range ⇑P.root

Tactic:
simp only [root_sub_nsmul_mem_range_iff_le_chainBotCoeff hij] at hk ⊢

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
j : ι
hj : j ∈ b.support
w : ℕ
hw :
  ∀ {i k : ι}, b.IsPos i → P.root k = P.root i + -↑w • P.root j → LinearIndependent R ![P.root j, P.root i] → b.IsPos k
i k : ι
hi : b.IsPos i
hij : LinearIndependent R ![P.root j, P.root i]
hk : w + 1 ≤ chainBotCoeff j i
⊢ w ≤ chainBotCoeff j i
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : CauSeq α abs
h : a ≈ b
⊢ b ⊔ b ≈ b

Tactic:
rw [CauSeq.sup_idem]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b c : CauSeq α abs
hc : a ≤ c
hb : a ≈ b
⊢ a ≤ b ⊓ c

Tactic:
replace hc := le_of_eq_of_le (Setoid.symm hb) hc

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b c : CauSeq α abs
hb : a ≈ b
hc : b ≤ c
⊢ a ≤ b ⊓ c
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Hermitian

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝ : InvolutiveStar α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
hA : A.IsHermitian
hBC : Bᴴ = C
hD : D.IsHermitian
hCB : Cᴴ = B
⊢ Matrix.fromBlocks Aᴴ Cᴴ Bᴴ Dᴴ = Matrix.fromBlocks A B C D

Tactic:
hBC,

Goal state after:
α : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝ : InvolutiveStar α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
hA : A.IsHermitian
hBC : Bᴴ = C
hD : D.IsHermitian
hCB : Cᴴ = B
⊢ Matrix.fromBlocks Aᴴ Cᴴ C Dᴴ = Matrix.fromBlocks A B C D
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: case succ.succ
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
IH : ∀ (m : ℕ), A⁻¹ ^ m * A ^ n = A ^ n * A⁻¹ ^ m
m : ℕ
⊢ A⁻¹ ^ (m + 1) * A ^ (n + 1) = A ^ (n + 1) * A⁻¹ ^ (m + 1)

Tactic:
rcases nonsing_inv_cancel_or_zero A with ⟨h, h'⟩ | h

Goal state after:
case succ.succ.inl
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
IH : ∀ (m : ℕ), A⁻¹ ^ m * A ^ n = A ^ n * A⁻¹ ^ m
m : ℕ
h : A⁻¹ * A = 1
h' : A * A⁻¹ = 1
⊢ A⁻¹ ^ (m + 1) * A ^ (n + 1) = A ^ (n + 1) * A⁻¹ ^ (m + 1)

case succ.succ.inr
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
IH : ∀ (m : ℕ), A⁻¹ ^ m * A ^ n = A ^ n * A⁻¹ ^ m
m : ℕ
h : A⁻¹ = 0
⊢ A⁻¹ ^ (m + 1) * A ^ (n + 1) = A ^ (n + 1) * A⁻¹ ^ (m + 1)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Matrix

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : DecidableEq n
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
d : n → R
μ : R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
b : Basis n R M
this : ∀ (i : n), HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) (d i)
hμ : ∀ (i : n), d i ≠ μ
h_eig : HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) μ
⊢ Submodule.span R (Set.range ⇑b) ≤ ⨆ μ ∈ Set.range d, eigenspace ((toLin b b) (diagonal d)) μ

Tactic:
Submodule.span_le

Goal state after:
R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : DecidableEq n
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
d : n → R
μ : R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
b : Basis n R M
this : ∀ (i : n), HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) (d i)
hμ : ∀ (i : n), d i ≠ μ
h_eig : HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) μ
⊢ Set.range ⇑b ⊆ ↑(⨆ μ ∈ Set.range d, eigenspace ((toLin b b) (diagonal d)) μ)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Matrix

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
d : n → R
μ : R
b : Basis n R M
inst✝ : IsDomain R
x : M
hx : x ∈ maxGenEigenspace ((toLin b b) (diagonal d)) μ
k : ℕ
hk : (((toLin b b) (diagonal d) - μ • 1) ^ k) x = 0
j : n
⊢ (toLin b b) (diagonal d) - μ • 1 = (toLin b b) (diagonal fun i ↦ d i - (μ • 1) i)

Tactic:
← diagonal_sub

Goal state after:
R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
d : n → R
μ : R
b : Basis n R M
inst✝ : IsDomain R
x : M
hx : x ∈ maxGenEigenspace ((toLin b b) (diagonal d)) μ
k : ℕ
hk : (((toLin b b) (diagonal d) - μ • 1) ^ k) x = 0
j : n
⊢ (toLin b b) (diagonal d) - μ • 1 = (toLin b b) (diagonal d - diagonal (μ • 1))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
ha : IsUnit A.det
z1 z2 : ℤ
⊢ A ^ z1 * (A ^ z2)⁻¹ = A ^ z1 / A ^ z2

Tactic:
div_eq_mul_inv

Goal state after:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
ha : IsUnit A.det
z1 z2 : ℤ
⊢ A ^ z1 * (A ^ z2)⁻¹ = A ^ z1 * (A ^ z2)⁻¹
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: n : ℕ
⊢ eval n (ascPochhammer ℕ 0) = n.ascFactorial 0

Tactic:
by rw [ascPochhammer_zero, eval_one, Nat.ascFactorial_zero]

Goal state after: