mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
α : ↥LieSubalgebra.root
hα_span : Weight.toLinear K (↥H) L ↑α ∈ I.rootSpan
hα_not : α ∉ I.rootSet
hα_nz : (↑α).IsNonZero
⊢ Submodule.span K (⇑(rootSystem H).root '' I.rootSet) ≤ LinearMap.ker ((Dual.eval K ↥H) (coroot ↑α))

Tactic:
Submodule.span_le

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
α : ↥LieSubalgebra.root
hα_span : Weight.toLinear K (↥H) L ↑α ∈ I.rootSpan
hα_not : α ∉ I.rootSet
hα_nz : (↑α).IsNonZero
⊢ ⇑(rootSystem H).root '' I.rootSet ⊆ ↑(LinearMap.ker ((Dual.eval K ↥H) (coroot ↑α)))
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
α : ↥LieSubalgebra.root
hα : α ∈ I.rootSet
⊢ sl2SubmoduleOfRoot ⋯ ≤ LieSubmodule.restr I H

Tactic:
by
      rw [sl2SubmoduleOfRoot_eq_sup]
      refine sup_le (sup_le ?_ ?_) ?_
      · exact hα
      · apply I.rootSpace_le_of_apply_coroot_ne_zero hα
        simp [Pi.neg_apply, root_apply_coroot (H.isNonZero_coe_root α)]
      · exact I.corootSubmodule_le hα

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: case pos
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I = 0
⊢ 0 ≤ 1

Tactic:
exact zero_le 1

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsFractionRing K L
I : FractionalIdeal K⁰ L
⊢ I = 0 ∨ I = 1

Tactic:
or_iff_not_imp_left

Goal state after:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsFractionRing K L
I : FractionalIdeal K⁰ L
⊢ ¬I = 0 → I = 1
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
x✝ : IsDedekindDomain A
a : A
J : Ideal A
ha : a ≠ 0
hI : spanSingleton A⁰ ((algebraMap A (FractionRing A)) a)⁻¹ * ↑J ≠ ⊥
⊢ spanSingleton A⁰ ((algebraMap A (FractionRing A)) a)⁻¹ *
      (↑J * (spanSingleton A⁰ ((algebraMap A (FractionRing A)) a) * (↑J)⁻¹)) =
    1

Tactic:
mul_left_comm (J : FractionalIdeal A⁰ _),

Goal state after:
A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
x✝ : IsDedekindDomain A
a : A
J : Ideal A
ha : a ≠ 0
hI : spanSingleton A⁰ ((algebraMap A (FractionRing A)) a)⁻¹ * ↑J ≠ ⊥
⊢ spanSingleton A⁰ ((algebraMap A (FractionRing A)) a)⁻¹ *
      (spanSingleton A⁰ ((algebraMap A (FractionRing A)) a) * (↑J * (↑J)⁻¹)) =
    1
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
K✝ : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K✝
inst✝ : IsFractionRing A K✝
I : { x // 0 < x }
J K : FractionalIdeal A⁰ K✝
hJK : (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) ((fun x y ↦ ↑x * y) I J) ((fun x y ↦ ↑x * y) I K)
⊢ (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) J K

Tactic:
simpa [I.2.ne'] using mul_right_mono (a := I.1⁻¹) hJK

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: case h
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : ∀ J ≤ I, (↑J).FG
hx : ¬x = 0
h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0
h_spanx : spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≠ 0
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ : J * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≤ I
s : Finset K
hs : span R₁ ↑s = ↑(J * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x))
⊢ span R₁ ↑(s * {((algebraMap R₁ K) x)⁻¹}) = ↑J

Tactic:
Finset.coe_mul,

Goal state after:
case h
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : ∀ J ≤ I, (↑J).FG
hx : ¬x = 0
h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0
h_spanx : spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≠ 0
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ : J * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≤ I
s : Finset K
hs : span R₁ ↑s = ↑(J * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x))
⊢ span R₁ (↑s * ↑{((algebraMap R₁ K) x)⁻¹}) = ↑J
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
⊢ ↑J / I < I⁻¹

Tactic:
div_eq_mul_inv

Goal state after:
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
⊢ ↑J * I⁻¹ < I⁻¹
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : Ideal A
this : NormalizedGCDMonoid (Ideal A) := UniqueFactorizationMonoid.toNormalizedGCDMonoid (Ideal A)
⊢ (I ⊔ J) * (I ⊓ J) = I * J

Tactic:
have hgcd : gcd I J = I ⊔ J := by
    rw [gcd_eq_normalize _ _, normalize_eq]
    · rw [dvd_iff_le, sup_le_iff, ← dvd_iff_le, ← dvd_iff_le]
      exact ⟨gcd_dvd_left _ _, gcd_dvd_right _ _⟩
    · rw [dvd_gcd_iff, dvd_iff_le, dvd_iff_le]
      simp

Goal state after:
A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : Ideal A
this : NormalizedGCDMonoid (Ideal A) := UniqueFactorizationMonoid.toNormalizedGCDMonoid (Ideal A)
hgcd : gcd I J = I ⊔ J
⊢ (I ⊔ J) * (I ⊓ J) = I * J
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Cofinite

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherianRing R
s : Finset (Submodule R M)
hs : ∀ S ∈ s, S.CoFG
⊢ (sInf ↑s).CoFG

Tactic:
induction s using Finset.induction with

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : emultiplicity J I ≤ ↑n
⊢ count J (normalizedFactors I) ≤ n

Tactic:
· rw [emultiplicity_eq_count_normalizedFactors hJ hI, normalize_eq J] at hn
    exact_mod_cast hn

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.FiniteRange

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₃
inst✝ : Module K V₃
u u' : V₃ →ₗ[K] V₂
v v' : V₂ →ₗ[K] V₃
h : u.IsQuasiInverse v
h' : u'.IsQuasiInverse v'
hu : u ≈ u'
⊢ (v ∘ₗ u) ∘ₗ v' ≈ id ∘ₗ v'

Tactic:
by grw [h.2.equiv]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset (↥σ →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = (linearCombination R Subtype.val).ker
π : (↥σ →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : ↥σ → N := fun x ↦ (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
hi : f ∘ₗ linearCombination R i = (s₀ • g) ∘ₗ π
s' : ↥τ → ↥S
hs' : ∀ (x : ↥τ), s' x • (linearCombination R i) ↑x = 0
s₁ : ↥S := ∏ i, s' i
⊢ Submodule.span R ↑τ ≤ (s₁ • linearCombination R i).ker

Tactic:
Submodule.span_le

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset (↥σ →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = (linearCombination R Subtype.val).ker
π : (↥σ →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : ↥σ → N := fun x ↦ (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
hi : f ∘ₗ linearCombination R i = (s₀ • g) ∘ₗ π
s' : ↥τ → ↥S
hs' : ∀ (x : ↥τ), s' x • (linearCombination R i) ↑x = 0
s₁ : ↥S := ∏ i, s' i
⊢ ↑τ ⊆ ↑(s₁ • linearCombination R i).ker
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset (↥σ →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = (linearCombination R Subtype.val).ker
π : (↥σ →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : ↥σ → N := fun x ↦ (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
hi : f ∘ₗ linearCombination R i = (s₀ • g) ∘ₗ π
s' : ↥τ → ↥S
hs' : ∀ (x : ↥τ), s' x • (linearCombination R i) ↑x = 0
s₁ : ↥S := ∏ i, s' i
x : ↥σ →₀ R
hxσ : x ∈ ↑τ
⊢ x ∈ ↑(s₁ • linearCombination R i).ker

Tactic:
simp only [s₁]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset (↥σ →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = (linearCombination R Subtype.val).ker
π : (↥σ →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : ↥σ → N := fun x ↦ (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
hi : f ∘ₗ linearCombination R i = (s₀ • g) ∘ₗ π
s' : ↥τ → ↥S
hs' : ∀ (x : ↥τ), s' x • (linearCombination R i) ↑x = 0
s₁ : ↥S := ∏ i, s' i
x : ↥σ →₀ R
hxσ : x ∈ ↑τ
⊢ x ∈ ↑((∏ i, s' i) • linearCombination R i).ker
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
s : M → ↥S
hs : ∀ (x : M), s x • g₁ x = s x • g₂ x
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
⊢ Submodule.span R ↑σ ≤ (σ.prod s • g₁ - σ.prod s • g₂).ker

Tactic:
Submodule.span_le

Goal state after:
case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂
s : M → ↥S
hs : ∀ (x : M), s x • g₁ x = s x • g₂ x
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
⊢ ↑σ ⊆ ↑(σ.prod s • g₁ - σ.prod s • g₂).ker
Module: Mathlib.Algebra.Module.PID

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x y : M
k : ℕ
hM' : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM y)
h : p ^ k • x ∈ R ∙ y
⊢ ∃ a, p ^ k • x = p ^ k • a • y

Tactic:
by_cases! hk : k ≤ pOrder hM y
  · let f :=
      ((R ∙ p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k).quotEquivOfEq _ ?_).trans
        (quotTorsionOfEquivSpanSingleton R M y)
    · have : f.symm ⟨p ^ k • x, h⟩ ∈
          R ∙ Ideal.Quotient.mk (R ∙ p ^ (pOrder hM y - k) * p ^ k) (p ^ k) := by
        rw [← Quotient.torsionBy_eq_span_singleton, mem_torsionBy_iff, ← f.symm.map_smul]
        · convert! f.symm.map_zero; ext
          rw [coe_smul_of_tower, coe_mk, coe_zero, smul_smul, ← pow_add, Nat.sub_add_cancel hk,
            @hM' x]
        · exact mem_nonZeroDivisors_of_ne_zero (pow_ne_zero _ hp.ne_zero)
      rw [Submodule.mem_span_singleton] at this; obtain ⟨a, ha⟩ := this; use a
      rw [f.eq_symm_apply, ← Ideal.Quotient.mk_eq_mk, ← Quotient.mk_smul] at ha
      dsimp only [smul_eq_mul, LinearEquiv.trans_apply, Submodule.quotEquivOfEq_mk,
        quotTorsionOfEquivSpanSingleton_apply_mk] at ha
      rw [smul_smul, mul_comm]; exact congr_arg ((↑) : _ → M) ha.symm
    · symm; convert! Ideal.torsionOf_eq_span_pow_pOrder hp hM y
      rw [← pow_add, Nat.sub_add_cancel hk]
  · use 0
    rw [zero_smul, smul_zero, ← Nat.sub_add_cancel hk.le, pow_add, mul_smul, hM',
      smul_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Derivation

Goal state before:
pp: case mul_X
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁ : D 1 = 0
H : ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)
hC : ∀ (r : R), D (C r) = 0
this : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (i : σ), D (p * X i) = p • D (X i) + X i • D p
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
hq : D (p * q) = p • D q + q • D p
⊢ D (p * (q * X i)) = p • D (q * X i) + (q * X i) • D p

Tactic:
simp only [this, ← mul_assoc, hq, mul_smul, smul_add, add_assoc]

Goal state after:
case mul_X
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁ : D 1 = 0
H : ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)
hC : ∀ (r : R), D (C r) = 0
this : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (i : σ), D (p * X i) = p • D (X i) + X i • D p
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
hq : D (p * q) = p • D q + q • D p
⊢ p • q • D (X i) + (X i • p • D q + X i • q • D p) = p • q • D (X i) + (p • X i • D q + q • X i • D p)
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.PDeriv

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u
σ : Type v
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
m n : σ →₀ ℕ
a : R
h : ¬n = m + single i 1
⊢ (if n - single i 1 = m then a * ↑(n i) else 0) = (if n = m + single i 1 then a else 0) * (↑(m i) + 1)

Tactic:
simp only [h, ↓reduceIte, zero_mul]

Goal state after:
case neg
R : Type u
σ : Type v
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
m n : σ →₀ ℕ
a : R
h : ¬n = m + single i 1
⊢ (if n - single i 1 = m then a * ↑(n i) else 0) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝² : IsLocalizedModule S g
inst✝¹ : FinitePresentation R M
inst✝ : FinitePresentation R N
l : M' ≃ₗ[R] N'
l' : M →ₗ[R] N
s : ↥S
H : g ∘ₗ l' = s • ↑l ∘ₗ f
this✝ : Function.Bijective ⇑((map S f g) l')
r : R
hr : r ∈ S
hr' : ∀ (t : R), r ∣ t → Function.Bijective ⇑((LocalizedModule.map (Submonoid.powers t)) l')
rs : Submonoid R := Submonoid.powers (r * ↑s)
Rᵣₛ : Type u_3 := Localization rs
hsu : IsUnit ((algebraMap R Rᵣₛ) ↑s)
this : Function.Bijective ⇑(↑hsu.unit⁻¹ • (LocalizedModule.map rs) l')
⊢ LocalizedModule.lift (Submonoid.powers (r * ↑s)) g ⋯ ∘ₗ
      ↑R ↑(LinearEquiv.ofBijective (↑hsu.unit⁻¹ • (LocalizedModule.map rs) l') this) =
    ↑l ∘ₗ LocalizedModule.lift (Submonoid.powers (r * ↑s)) f ⋯

Tactic:
apply IsLocalizedModule.ext rs (LocalizedModule.mkLinearMap rs M) fun x ↦ map_units g
    ⟨x.1, SetLike.le_def.mp (Submonoid.powers_le.mpr (mul_mem hr s.2)) x.2⟩

Goal state after:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝² : IsLocalizedModule S g
inst✝¹ : FinitePresentation R M
inst✝ : FinitePresentation R N
l : M' ≃ₗ[R] N'
l' : M →ₗ[R] N
s : ↥S
H : g ∘ₗ l' = s • ↑l ∘ₗ f
this✝ : Function.Bijective ⇑((map S f g) l')
r : R
hr : r ∈ S
hr' : ∀ (t : R), r ∣ t → Function.Bijective ⇑((LocalizedModule.map (Submonoid.powers t)) l')
rs : Submonoid R := ⋯
Rᵣₛ : Type u_3 := ⋯
hsu : IsUnit ((algebraMap R Rᵣₛ) ↑s)
this : Function.Bijective ⇑(↑hsu.unit⁻¹ • (LocalizedModule.map rs) l')
⊢ (LocalizedModule.lift (Submonoid.powers (r * ↑s)) g ⋯ ∘ₗ
        ↑R ↑(LinearEquiv.ofBijective (↑hsu.unit⁻¹ • (LocalizedModule.map rs) l') this)) ∘ₗ
      LocalizedModule.mkLinearMap rs M =
    (↑l ∘ₗ LocalizedModule.lift (Submonoid.powers (r * ↑s)) f ⋯) ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap rs M
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Localization

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_3
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : Away r S
g : R →+* MvPolynomial Unit R ⧸ Ideal.span {C r * X () - 1} := (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {C r * X () - 1})).comp C
⊢ IsUnit ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {C r * X () - 1})) (C r))

Tactic:
rw [isUnit_iff_exists_inv]

Goal state after:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_3
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : Away r S
g : R →+* MvPolynomial Unit R ⧸ Ideal.span {C r * X () - 1} := (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {C r * X () - 1})).comp C
⊢ ∃ b, (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {C r * X () - 1})) (C r) * b = 1
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Presentation R S ι σ
x : S
⊢ (ofId P.Ring S) (P.σ x) = x

Tactic:
rw [Algebra.ofId_apply, P.algebraMap_apply, P.aeval_val_σ]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Differentials

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
r : σ
this :
  ∀ (r : pres.differentialsRelations.R),
    pres.differentialsRelations.map (Finsupp.single r 1) = pres.differentialsRelations.relation r
⊢ ((pres.toExtension.cotangentComplex ∘ₗ hom₁ pres) ∘ₗ Finsupp.lsingle r) 1 =
    ((↑pres.cotangentSpaceBasis.repr.symm ∘ₗ pres.differentialsRelations.map) ∘ₗ Finsupp.lsingle r) 1

Tactic:
dsimp at this ⊢

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
r : σ
this : ∀ (r : σ), pres.differentialsRelations.map (Finsupp.single r 1) = pres.differentialsRelations.relation r
⊢ pres.toExtension.cotangentComplex ((hom₁ pres) (Finsupp.single r 1)) =
    pres.cotangentSpaceBasis.repr.symm (pres.differentialsRelations.map (Finsupp.single r 1))
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Free

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝³ : Ring A
relations : Relations A
M : Type v
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsEmpty relations.R
r : relations.R
⊢ (Finsupp.linearCombination A fun g ↦ Finsupp.single g 1) (relations.relation r) = 0

Tactic:
by exfalso; exact IsEmpty.false r

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
x : Q.Ring
⊢ (∃ x_1 ∈ (Q.comp P).ker, (Q.ofComp P).toAlgHom x_1 = x) → x ∈ Q.ker

pp: case mpr
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
x : Q.Ring
⊢ x ∈ Q.ker → ∃ x_1 ∈ (Q.comp P).ker, (Q.ofComp P).toAlgHom x_1 = x

Tactic:
· rintro ⟨x, hx, rfl⟩
    simp only [ker_eq_ker_aeval_val,
      RingHom.mem_ker] at hx ⊢
    rw [← hx, Hom.algebraMap_toAlgHom, algebraMap_self_apply]

Goal state after:
case mpr
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
x : Q.Ring
⊢ x ∈ Q.ker → ∃ x_1 ∈ (Q.comp P).ker, (Q.ofComp P).toAlgHom x_1 = x
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Finiteness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
R' : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R'
inst✝⁵ : Algebra R R'
N : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R' N
inst✝¹ : IsScalarTower R R' N
inst✝ : IsLocalization M R'
s : Set N
x : N
hx : x ∈ Submodule.span R' s
s' : Finset N
hss' : ↑s' ⊆ s
hs' : x ∈ Submodule.span R' ↑s'
⊢ ∃ t, t • x ∈ Submodule.span R s

Tactic:
rsuffices ⟨t, ht⟩ : ∃ t : M, t • x ∈ Submodule.span R (s' : Set N)

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
R' : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R'
inst✝⁵ : Algebra R R'
N : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R' N
inst✝¹ : IsScalarTower R R' N
inst✝ : IsLocalization M R'
s : Set N
x : N
hx : x ∈ Submodule.span R' s
s' : Finset N
hss' : ↑s' ⊆ s
hs' : x ∈ Submodule.span R' ↑s'
t : ↥M
ht : t • x ∈ Submodule.span R ↑s'
⊢ ∃ t, t • x ∈ Submodule.span R s

R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
R' : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R'
inst✝⁵ : Algebra R R'
N : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R' N
inst✝¹ : IsScalarTower R R' N
inst✝ : IsLocalization M R'
s : Set N
x : N
hx : x ∈ Submodule.span R' s
s' : Finset N
hss' : ↑s' ⊆ s
hs' : x ∈ Submodule.span R' ↑s'
⊢ ∃ t, t • x ∈ Submodule.span R ↑s'
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : FinitePresentation R M
ι : Type u_5
v : ι → M
hli : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hsp : Submodule.span k (Set.range (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)) = ⊤
H : Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor M (Submodule.subtype 𝔪))
bk : Basis ι k (k ⊗[R] M) := Basis.mk hli ⋯
this✝ : Finite ι
this : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
i : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.linearCombination R v
x✝ : ι
⊢ 1 ⊗ₜ[R] v x✝ = bk x✝

Tactic:
by simp [bk]

Goal state after: