Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID

Goal state before:
pp: case neg.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
⊢ ∃ M' ≤ M,
    ∃ N' ≤ N,
      N' ≤ M' ∧
        (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0) ∧
          (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0) ∧
            ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'),
              ∃ bN,
                ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'),
                  ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1),
                    ∃ bM,
                      ∀ (as : Fin n' → R),
                        (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) →
                          ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))

Tactic:
have N'_le_M' : N' ≤ M' := by
    intro x hx
    simp only [N', mem_map, LinearMap.mem_ker] at hx ⊢
    obtain ⟨⟨x, xN⟩, hx, rfl⟩ := hx
    exact ⟨⟨x, N_le_M xN⟩, hx, rfl⟩

Goal state after:
case neg.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
⊢ ∃ M' ≤ M,
    ∃ N' ≤ N,
      N' ≤ M' ∧
        (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0) ∧
          (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0) ∧
            ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'),
              ∃ bN,
                ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'),
                  ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1),
                    ∃ bM,
                      ∀ (as : Fin n' → R),
                        (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) →
                          ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))