Module: Mathlib.RingTheory.Smooth.IntegralClosure

Goal state before:
pp: case e'_2
R : Type u_1
S : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : Algebra.IsStandardEtale R S
𝓟 : StandardEtalePresentation R S
n : ℕ
𝓟' : StandardEtalePresentation B (B ⊗[R] S) := ⋯
e : B ⊗[R] S ≃ₐ[B] Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g) := ⋯
a : AdjoinRoot 𝓟'.f
m : ℕ
hx✝ :
  IsIntegral S
    ((Algebra.TensorProduct.comm R B S)
      (e.symm
        (IsLocalization.mk' (Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g)) a
          ⟨(fun x ↦ (AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g ^ x) m, ⋯⟩)))
hx :
  ∀ (m_1 : ℕ),
    IsIntegral R
      ((aeval 𝓟.x) 𝓟.g ^ (n + m_1) •
        (Algebra.TensorProduct.comm R B S)
          (e.symm
            (IsLocalization.mk' (Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g)) a
              ⟨(fun x ↦ (AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g ^ x) m, ⋯⟩)))
hfg : IsIntegral R ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g)
heg :
  ∀ (g : R[X]),
    e (1 ⊗ₜ[R] (aeval 𝓟.x) g) =
      (algebraMap (AdjoinRoot 𝓟'.f) (Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g)))
        ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) (Polynomial.map (algebraMap R B) g))
k : ℕ
hk : IsIntegral R ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g ^ k * a)
y : B[X]
hy : (AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) (derivative 𝓟'.f) * ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g ^ k * a) = (AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) y
hRy : ∀ (i : ℕ), IsIntegral R (y.coeff i)
⊢ (Algebra.TensorProduct.comm R B S).symm
      (((aeval 𝓟.x) (derivative 𝓟.f) * ((aeval 𝓟.x) 𝓟.g ^ k * (aeval 𝓟.x) 𝓟.g ^ m)) •
        (Algebra.TensorProduct.comm R B S)
          (e.symm
            (IsLocalization.mk' (Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g)) a
              ⟨(fun x ↦ (AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g ^ x) m, ⋯⟩))) =
    (Algebra.TensorProduct.comm R B S).symm
      ((Algebra.TensorProduct.comm R B S)
        (e.symm
          ((algebraMap (AdjoinRoot 𝓟'.f) (Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g)))
            ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) (derivative 𝓟'.f) * ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g ^ k * a)))))

Tactic:
apply e.injective

Goal state after:
case e'_2
R : Type u_1
S : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : Algebra.IsStandardEtale R S
𝓟 : StandardEtalePresentation R S
n : ℕ
𝓟' : StandardEtalePresentation B (B ⊗[R] S) := ⋯
e : B ⊗[R] S ≃ₐ[B] Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g) := ⋯
a : AdjoinRoot 𝓟'.f
m : ℕ
hx✝ :
  IsIntegral S
    ((Algebra.TensorProduct.comm R B S)
      (e.symm
        (IsLocalization.mk' (Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g)) a
          ⟨(fun x ↦ (AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g ^ x) m, ⋯⟩)))
hx :
  ∀ (m_1 : ℕ),
    IsIntegral R
      ((aeval 𝓟.x) 𝓟.g ^ (n + m_1) •
        (Algebra.TensorProduct.comm R B S)
          (e.symm
            (IsLocalization.mk' (Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g)) a
              ⟨(fun x ↦ (AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g ^ x) m, ⋯⟩)))
hfg : IsIntegral R ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g)
heg :
  ∀ (g : R[X]),
    e (1 ⊗ₜ[R] (aeval 𝓟.x) g) =
      (algebraMap (AdjoinRoot 𝓟'.f) (Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g)))
        ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) (Polynomial.map (algebraMap R B) g))
k : ℕ
hk : IsIntegral R ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g ^ k * a)
y : B[X]
hy : (AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) (derivative 𝓟'.f) * ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g ^ k * a) = (AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) y
hRy : ∀ (i : ℕ), IsIntegral R (y.coeff i)
⊢ e
      ((Algebra.TensorProduct.comm R B S).symm
        (((aeval 𝓟.x) (derivative 𝓟.f) * ((aeval 𝓟.x) 𝓟.g ^ k * (aeval 𝓟.x) 𝓟.g ^ m)) •
          (Algebra.TensorProduct.comm R B S)
            (e.symm
              (IsLocalization.mk' (Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g)) a
                ⟨(fun x ↦ (AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g ^ x) m, ⋯⟩)))) =
    e
      ((Algebra.TensorProduct.comm R B S).symm
        ((Algebra.TensorProduct.comm R B S)
          (e.symm
            ((algebraMap (AdjoinRoot 𝓟'.f) (Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g)))
              ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) (derivative 𝓟'.f) * ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f) 𝓟'.g ^ k * a))))))