Module: Mathlib.Analysis.Complex.HasPrimitives

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
c : ℂ
r : ℝ
f : ℂ → E
f_cont : ContinuousOn f (ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ ball c r
hf : IsConservativeOn f (ball c r)
w : ℂ
w_in_z_ball : w ∈ ball z (r - dist z c)
I₁ : E := ∫ (x : ℝ) in c.re..w.re, f (↑x + ↑c.im * I)
I₂ : E := I • ∫ (y : ℝ) in c.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * I)
I₃ : E := ∫ (x : ℝ) in c.re..z.re, f (↑x + ↑c.im * I)
I₄ : E := I • ∫ (y : ℝ) in c.im..z.im, f (↑z.re + ↑y * I)
I₅ : E := ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑z.im * I)
I₆ : E := I • ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im, f (↑w.re + ↑y * I)
I₇ : E := ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re, f (↑x + ↑c.im * I)
I₈ : E := I • ∫ (y : ℝ) in c.im..z.im, f (↑w.re + ↑y * I)
z_ball : ball z (r - dist z c) ⊆ ball c r
w_mem : w ∈ ball c r
integrableHoriz :
  ∀ (a₁ a₂ b : ℝ),
    ↑a₁ + ↑b * I ∈ ball c r → ↑a₂ + ↑b * I ∈ ball c r → IntervalIntegrable (fun x ↦ f (↑x + ↑b * I)) volume a₁ a₂
integrableVert :
  ∀ (a b₁ b₂ : ℝ),
    ↑a + ↑b₁ * I ∈ ball c r → ↑a + ↑b₂ * I ∈ ball c r → IntervalIntegrable (fun y ↦ f (↑a + ↑y * I)) volume b₁ b₂
⊢ I₁ = I₃ + I₇

Tactic:
rw [intervalIntegral.integral_add_adjacent_intervals] <;> apply integrableHoriz

Goal state after:
case hab.ha₁
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
c : ℂ
r : ℝ
f : ℂ → E
f_cont : ContinuousOn f (ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ ball c r
hf : IsConservativeOn f (ball c r)
w : ℂ
w_in_z_ball : w ∈ ball z (r - dist z c)
I₁ : E := ⋯
I₂ : E := ⋯
I₃ : E := ⋯
I₄ : E := ⋯
I₅ : E := ⋯
I₆ : E := ⋯
I₇ : E := ⋯
I₈ : E := ⋯
z_ball : ball z (r - dist z c) ⊆ ball c r
w_mem : w ∈ ball c r
integrableHoriz :
  ∀ (a₁ a₂ b : ℝ),
    ↑a₁ + ↑b * I ∈ ball c r → ↑a₂ + ↑b * I ∈ ball c r → IntervalIntegrable (fun x ↦ f (↑x + ↑b * I)) volume a₁ a₂
integrableVert :
  ∀ (a b₁ b₂ : ℝ),
    ↑a + ↑b₁ * I ∈ ball c r → ↑a + ↑b₂ * I ∈ ball c r → IntervalIntegrable (fun y ↦ f (↑a + ↑y * I)) volume b₁ b₂
⊢ ↑c.re + ↑c.im * I ∈ ball c r

case hab.ha₂
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
c : ℂ
r : ℝ
f : ℂ → E
f_cont : ContinuousOn f (ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ ball c r
hf : IsConservativeOn f (ball c r)
w : ℂ
w_in_z_ball : w ∈ ball z (r - dist z c)
I₁ : E := ⋯
I₂ : E := ⋯
I₃ : E := ⋯
I₄ : E := ⋯
I₅ : E := ⋯
I₆ : E := ⋯
I₇ : E := ⋯
I₈ : E := ⋯
z_ball : ball z (r - dist z c) ⊆ ball c r
w_mem : w ∈ ball c r
integrableHoriz :
  ∀ (a₁ a₂ b : ℝ),
    ↑a₁ + ↑b * I ∈ ball c r → ↑a₂ + ↑b * I ∈ ball c r → IntervalIntegrable (fun x ↦ f (↑x + ↑b * I)) volume a₁ a₂
integrableVert :
  ∀ (a b₁ b₂ : ℝ),
    ↑a + ↑b₁ * I ∈ ball c r → ↑a + ↑b₂ * I ∈ ball c r → IntervalIntegrable (fun y ↦ f (↑a + ↑y * I)) volume b₁ b₂
⊢ ↑z.re + ↑c.im * I ∈ ball c r

case hbc.ha₁
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
c : ℂ
r : ℝ
f : ℂ → E
f_cont : ContinuousOn f (ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ ball c r
hf : IsConservativeOn f (ball c r)
w : ℂ
w_in_z_ball : w ∈ ball z (r - dist z c)
I₁ : E := ⋯
I₂ : E := ⋯
I₃ : E := ⋯
I₄ : E := ⋯
I₅ : E := ⋯
I₆ : E := ⋯
I₇ : E := ⋯
I₈ : E := ⋯
z_ball : ball z (r - dist z c) ⊆ ball c r
w_mem : w ∈ ball c r
integrableHoriz :
  ∀ (a₁ a₂ b : ℝ),
    ↑a₁ + ↑b * I ∈ ball c r → ↑a₂ + ↑b * I ∈ ball c r → IntervalIntegrable (fun x ↦ f (↑x + ↑b * I)) volume a₁ a₂
integrableVert :
  ∀ (a b₁ b₂ : ℝ),
    ↑a + ↑b₁ * I ∈ ball c r → ↑a + ↑b₂ * I ∈ ball c r → IntervalIntegrable (fun y ↦ f (↑a + ↑y * I)) volume b₁ b₂
⊢ ↑z.re + ↑c.im * I ∈ ball c r

case hbc.ha₂
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
c : ℂ
r : ℝ
f : ℂ → E
f_cont : ContinuousOn f (ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ ball c r
hf : IsConservativeOn f (ball c r)
w : ℂ
w_in_z_ball : w ∈ ball z (r - dist z c)
I₁ : E := ⋯
I₂ : E := ⋯
I₃ : E := ⋯
I₄ : E := ⋯
I₅ : E := ⋯
I₆ : E := ⋯
I₇ : E := ⋯
I₈ : E := ⋯
z_ball : ball z (r - dist z c) ⊆ ball c r
w_mem : w ∈ ball c r
integrableHoriz :
  ∀ (a₁ a₂ b : ℝ),
    ↑a₁ + ↑b * I ∈ ball c r → ↑a₂ + ↑b * I ∈ ball c r → IntervalIntegrable (fun x ↦ f (↑x + ↑b * I)) volume a₁ a₂
integrableVert :
  ∀ (a b₁ b₂ : ℝ),
    ↑a + ↑b₁ * I ∈ ball c r → ↑a + ↑b₂ * I ∈ ball c r → IntervalIntegrable (fun y ↦ f (↑a + ↑y * I)) volume b₁ b₂
⊢ ↑w.re + ↑c.im * I ∈ ball c r