mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ → δ < 1 → ∃ s, (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left✝ : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A : ∀ (n : ℕ), F (u n) ∈ closedBall 0 2
f : Fin N → E
fmem : f ∈ closedBall 0 2
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)
i j : Fin N
hij : i ≠ j
⊢ (fun i j ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖) i j

Tactic:
have A : Tendsto (fun n => ‖F (u (φ n)) i - F (u (φ n)) j‖) atTop (𝓝 ‖f i - f j‖) :=
        ((hf.apply_nhds i).sub (hf.apply_nhds j)).norm
      have B : Tendsto (fun n => 1 - u (φ n)) atTop (𝓝 (1 - 0)) :=
        tendsto_const_nhds.sub (hu.comp φ_mono.tendsto_atTop)
      rw [sub_zero] at B
      exact le_of_tendsto_of_tendsto' B A fun n => (hF (u (φ n)) (zero_lt_u _)).2 hij

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
h's : IsCompact (closure[inst✝⁸] s)
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
⊢ μ' (toMeasurable ν s ∩ closure[inst✝⁸] s) = ν (toMeasurable ν s ∩ closure[inst✝⁸] s)

Tactic:
by
      apply measure_isMulInvariant_eq_smul_of_isCompact_closure_of_measurableSet _ _ _ _
      · exact (measurableSet_toMeasurable ν s).inter isClosed_closure.measurableSet
      · exact h's.closure_of_subset inter_subset_right

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
⊢ μ' = μ

Tactic:
have : CompactSpace G := by
    by_contra H
    rw [not_compactSpace_iff] at H
    simpa using measure_univ_of_isMulLeftInvariant μ

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
this : CompactSpace G
⊢ μ' = μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ → δ < 1 → ∃ s, (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun i j ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this : multiplicity E + 1 ≤ multiplicity E
⊢ False

Tactic:
exact lt_irrefl _ ((Nat.lt_succ_self (multiplicity E)).trans_le this)

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : μ o = μ s
a : BallPackage (↑s) α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)

Tactic:
have u_count : ∀ i, (u i).Countable := by
    intro i
    refine (hu i).countable_of_nonempty_interior fun j _ => ?_
    have : (ball (j : α) (r j)).Nonempty := nonempty_ball.2 (a.rpos _)
    exact this.mono ball_subset_interior_closedBall

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : μ o = μ s
a : BallPackage (↑s) α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
⊢ ∃ t,
    ↑t ⊆ s ∧
      μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : μ o = μ s
a : BallPackage (↑s) α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun i ↦ ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x) (r ↑x)
⊢ s ⊆ ⋃ i, s ∩ v i

Tactic:
intro x hx

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : μ o = μ s
a : BallPackage (↑s) α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun i ↦ ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x) (r ↑x)
x : α
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ ⋃ i, s ∩ v i
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : 0 < μ s
h✝ : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : μ o = μ s
a : BallPackage (↑s) α := ⋯
u : Fin N → Set ↑s
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := ⋯
A : s = ⋃ i, s ∩ v i
S : ∑ _i, μ s / ↑N ≤ ∑ i, μ (s ∩ v i)
⊢ Finset.univ.Nonempty

Tactic:
exact ⟨⟨0, bot_lt_iff_ne_bot.2 Npos⟩, Finset.mem_univ _⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FiniteDimension

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
f : D → E →L[𝕜] F
s : Set D
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : ∀ (y : E), ContDiffOn 𝕜 n (fun x ↦ (f x) y) s
d : ℕ := finrank 𝕜 E
hd : d = finrank 𝕜 (Fin d → 𝕜)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s

Tactic:
let e₁ := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq hd

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
f : D → E →L[𝕜] F
s : Set D
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : ∀ (y : E), ContDiffOn 𝕜 n (fun x ↦ (f x) y) s
d : ℕ := finrank 𝕜 E
hd : d = finrank 𝕜 (Fin d → 𝕜)
e₁ : E ≃L[𝕜] Fin d → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq hd
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.RestrictScalars

Goal state before:
pp: case hs
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
x : E
f : E → F
n✝ : ℕ
s : Set E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn :
  ContDiffWithinAt 𝕜' (↑n) f s x →
    restrictScalars 𝕜 ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜' n f s =ᶠ[𝓝[s] x] iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s
h : ContDiffWithinAt 𝕜' (↑(n + 1)) f s x
t₀ : ContDiffWithinAt 𝕜' (↑n) f s x
t₁ : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, ContDiffWithinAt 𝕜' (↑(n + 1)) f s y
a : E
h₁a : restrictScalars 𝕜 ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜' n f s =ᶠ[𝓝[s] a] iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s
h₃a : ContDiffWithinAt 𝕜' (↑(n + 1)) f s a
h₄a : a ∈ s
m : Fin (n + 1) → E
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 s a

Tactic:
apply hs a h₄a

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t ↦ ((↑t).PairwiseDisjoint fun p ↦ closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
⊢ ∀ x ∈ s', ∃ r ∈ f x ∩ Ioo 0 1, Disjoint B (closedBall x r)

Tactic:
intro x hx

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t ↦ ((↑t).PairwiseDisjoint fun p ↦ closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
x : α
hx : x ∈ s'
⊢ ∃ r ∈ f x ∩ Ioo 0 1, Disjoint B (closedBall x r)
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Holder

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace X
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
α : Type u_4
inst✝² : SeminormedAddCommGroup α
inst✝¹ : SMulZeroClass α Y
inst✝ : IsBoundedSMul α Y
a : α
hf : HolderWith C r f
x₁ x₂ : X
⊢ ‖a‖₊ • edist (f x₁) (f x₂) ≤ ↑(C * ‖a‖₊) * edist x₁ x₂ ^ ↑r

Tactic:
rw [ENNReal.coe_mul, ENNReal.smul_def, smul_eq_mul, mul_comm (C : ℝ≥0∞), mul_assoc]

Goal state after:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace X
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
α : Type u_4
inst✝² : SeminormedAddCommGroup α
inst✝¹ : SMulZeroClass α Y
inst✝ : IsBoundedSMul α Y
a : α
hf : HolderWith C r f
x₁ x₂ : X
⊢ ↑‖a‖₊ * edist (f x₁) (f x₂) ≤ ↑‖a‖₊ * (↑C * edist x₁ x₂ ^ ↑r)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Darboux

Goal state before:
pp: a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Icc a b) x
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab' : a < b
g : ℝ → ℝ := fun x ↦ f x - m * x
⊢ ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt g (f' x - m) (Icc a b) x

Tactic:
intro x hx

Goal state after:
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Icc a b) x
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab' : a < b
g : ℝ → ℝ := fun x ↦ f x - m * x
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b
⊢ HasDerivWithinAt g (f' x - m) (Icc a b) x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case refine_3
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t ↦ ((↑t).PairwiseDisjoint fun p ↦ closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧ P (F t) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A : ∀ (n : ℕ), μ (s \ ⋃ p ∈ ⋃ n, ↑(u n), closedBall p.1 p.2) ≤ μ (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2)
B : ∀ (n : ℕ), μ (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * μ s
⊢ μ (s \ ⋃ p ∈ ⋃ n, ↑(u n), closedBall p.1 p.2) = 0

Tactic:
have C : Tendsto (fun n : ℕ => ((N : ℝ≥0∞) / (N + 1)) ^ n * μ s) atTop (𝓝 (0 * μ s)) := by
      apply ENNReal.Tendsto.mul_const _ (Or.inr (measure_lt_top μ s).ne)
      apply ENNReal.tendsto_pow_atTop_nhds_zero_of_lt_one
      rw [ENNReal.div_lt_iff, one_mul]
      · conv_lhs => rw [← add_zero (N : ℝ≥0∞)]
        exact ENNReal.add_lt_add_left (ENNReal.natCast_ne_top N) zero_lt_one
      · simp
      · left; finiteness

Goal state after:
case refine_3
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t ↦ ((↑t).PairwiseDisjoint fun p ↦ closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧ P (F t) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A : ∀ (n : ℕ), μ (s \ ⋃ p ∈ ⋃ n, ↑(u n), closedBall p.1 p.2) ≤ μ (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2)
B : ∀ (n : ℕ), μ (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * μ s
C : Tendsto (fun n ↦ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * μ s) atTop (𝓝 (0 * μ s))
⊢ μ (s \ ⋃ p ∈ ⋃ n, ↑(u n), closedBall p.1 p.2) = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
⊢ ∀ x ∈ s', ∃ r1 ∈ f x ∩ Ioo 0 1, closedBall x r1 ⊆ v

Tactic:
intro x hx

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
x : α
hx : x ∈ s'
⊢ ∃ r1 ∈ f x ∩ Ioo 0 1, closedBall x r1 ⊆ v
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : α → ℝ := fun x ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
⊢ ∀ x ∈ t0, r x = r0 x

Tactic:
intro x hx

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : α → ℝ := fun x ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
x : α
hx : x ∈ t0
⊢ r x = r0 x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case refine_3
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : α → ℝ := fun x ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
⊢ ∀ x ∈ t0 ∪ ⋃ i, Subtype.val '' S i, r x ∈ f x

Tactic:
intro x hx

Goal state after:
case refine_3
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : α → ℝ := fun x ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ t0 ∪ ⋃ i, Subtype.val '' S i
⊢ r x ∈ f x