mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.WeylGroup

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Nonempty ι
pred : (g : P.Aut) → g ∈ P.weylGroup → Prop
mem : ∀ (i : ι), pred (Equiv.reflection P i) ⋯
mul : ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ P.weylGroup) (hy : y ∈ P.weylGroup), pred x hx → pred y hy → pred (x * y) ⋯
x : P.Aut
hx : x ∈ P.weylGroup
i : ι
⊢ (Equiv.reflection P i)⁻¹ = Equiv.reflection P i

Tactic:
Equiv.reflection_inv P i

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Nonempty ι
pred : (g : P.Aut) → g ∈ P.weylGroup → Prop
mem : ∀ (i : ι), pred (Equiv.reflection P i) ⋯
mul : ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ P.weylGroup) (hy : y ∈ P.weylGroup), pred x hx → pred y hy → pred (x * y) ⋯
x : P.Aut
hx : x ∈ P.weylGroup
i : ι
⊢ Equiv.reflection P i = Equiv.reflection P i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.WeylGroup

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
⊢ range P.reflectionPerm ⊆ ↑P.weylGroupToPerm.range

Tactic:
rintro - ⟨i, rfl⟩
    simp only [MonoidHom.domRestrict_range, Subgroup.coe_map, mem_image, SetLike.mem_coe]
    use Equiv.reflection P i
    refine ⟨reflection_mem_weylGroup P i, by simp⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Submodule

Goal state before:
pp: case e'_1
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
q : Submodule k[G] ρ.asModule
g : G
v : V
hv : ↑ρ.asModuleEquiv.symm v ∈ Submodule.restrictScalars k q
⊢ ↑ρ.asModuleEquiv.symm ((ρ g) v) = (MonoidAlgebra.of k G) g • ↑ρ.asModuleEquiv.symm v

Tactic:
rw [LinearEquiv.coe_coe, ← asModuleEquiv_symm_map_rho]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
⊢ β.IsNonZero

Tactic:
by simpa using hβ

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
u : K
hu : u • Weight.toLinear K (↥H) L α = Weight.toLinear K (↥H) L β
⊢ β.IsNonZero

Tactic:
by simpa using hβ

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
ι₂✝ : Type u_5
M₂✝ : Type u_6
N₂✝ : Type u_7
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂✝
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂✝
inst✝⁴ : Module R N₂✝
P✝ : RootPairing ι R M N
Q✝ : RootPairing ι₂✝ R M₂✝ N₂✝
ι₂ : Type u_8
M₂ : Type u_9
N₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
f : P.Equiv Q
n : N
m : M₂
⊢ (((↑(weightEquiv P Q f).symm).dualMap ∘ₗ ↑P.flip.toPerfPair) n) m =
    ((↑Q.flip.toPerfPair ∘ₗ ↑(coweightEquiv P Q f).symm) n) m

Tactic:
show m = (weightEquiv P Q f) ((weightEquiv P Q f).symm m) by
      exact (LinearEquiv.symm_apply_eq (weightEquiv P Q f)).mp rfl

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
ι₂✝ : Type u_5
M₂✝ : Type u_6
N₂✝ : Type u_7
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂✝
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂✝
inst✝⁴ : Module R N₂✝
P✝ : RootPairing ι R M N
Q✝ : RootPairing ι₂✝ R M₂✝ N₂✝
ι₂ : Type u_8
M₂ : Type u_9
N₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
f : P.Equiv Q
n : N
m : M₂
⊢ (((↑(weightEquiv P Q f).symm).dualMap ∘ₗ ↑P.flip.toPerfPair) n) m =
    ((↑Q.flip.toPerfPair ∘ₗ ↑(coweightEquiv P Q f).symm) n) ((weightEquiv P Q f) ((weightEquiv P Q f).symm m))
Module: Mathlib.Order.Interval.Set.OrdConnectedLinear

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
I : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h' : I.OrdConnected
x : α
hx : x ∈ I
y : α
hy : y ∈ I
hxy : Ioo x y ⊆ Iᶜ
⊢ Ioo x y = ∅

Tactic:
suffices ∀ z, x < z → y ≤ z by ext z; simpa using this z
    intro z hz
    suffices z ∉ Ioo x y by simp_all
    exact fun contra ↦ hxy contra <| h'.out hx hy <| mem_Icc_of_Ioo contra

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
P : RootPairing ι R M N
f : P.Endˣ
⊢ Bijective ⇑(↑f).weightMap

Tactic:
by
      refine bijective_iff_has_inverse.mpr ?_
      use f.inv.weightMap
      constructor
      · refine leftInverse_iff_comp.mpr ?_
        simp only [← @LinearMap.coe_comp]
        rw [← Hom.weightMap_mul, f.inv_val, Hom.weightMap_one, LinearMap.id_coe]
      · refine rightInverse_iff_comp.mpr ?_
        simp only [← @LinearMap.coe_comp]
        rw [← Hom.weightMap_mul, f.val_inv, Hom.weightMap_one, LinearMap.id_coe]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
x✝¹ : r ∈ S
s : ℤ
x✝ : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk : P.root k = P.root j + r • P.root i
l : ι
hl : P.root l = P.root j + s • P.root i
contra : r + 1 < s
hki_notMem : P.root k + P.root i ∉ range ⇑P.root
hki_ne : P.root k ≠ -P.root i
⊢ False

Tactic:
have hli_notMem : P.root l - P.root i ∉ range P.root := by
    replace hl : P.root l - P.root i = P.root j + (s - 1) • P.root i := by rw [hl]; module
    replace contra : s - 1 ∉ S := hrs.notMem_of_mem_left <| by simp [lt_sub_right_of_add_lt contra]
    simpa only [hl, S_def, mem_ofPred_eq, S] using contra

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
x✝¹ : r ∈ S
s : ℤ
x✝ : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk : P.root k = P.root j + r • P.root i
l : ι
hl : P.root l = P.root j + s • P.root i
contra : r + 1 < s
hki_notMem : P.root k + P.root i ∉ range ⇑P.root
hki_ne : P.root k ≠ -P.root i
hli_notMem : P.root l - P.root i ∉ range ⇑P.root
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
x✝¹ : r ∈ S
s : ℤ
x✝ : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk : P.root k = P.root j + r • P.root i
l : ι
hl : P.root l = P.root j + s • P.root i
contra : r + 1 < s
hki_notMem : P.root k + P.root i ∉ range ⇑P.root
hki_ne : P.root k ≠ -P.root i
hli_notMem : P.root l - P.root i ∉ range ⇑P.root
h : s • P.root i = P.root i - P.root j
⊢ (s - 1) • P.root i + 1 • P.root j = 0

Tactic:
by simp [sub_smul, h]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
this :
  ∀ (f : ι → ℤ),
    ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support) →
      Function.support f ⊆ ↑b.support → f ≠ 0 → 0 < f
k : ι
hf₀ : Function.support 0 ⊆ ↑b.support
hk : P.root k = ∑ j ∈ b.support, 0 j • P.root j
⊢ P.root k = 0

Tactic:
by simp [hk]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁷ : Finite ι
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M
inst✝¹⁵ : AddCommGroup N
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹¹ : IsDomain R
S : Type u_6
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : Module S M
inst✝⁴ : IsScalarTower S R M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower S R N
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : Dual S M
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
this✝ : CharZero R
this : Fintype ι
M₀ : Submodule S M := span S (range ⇑P.root)
v : ↑(baseOf ⇑P.root ↑f) → ↥M₀ := fun i ↦ P.rootSpanMem S ↑i
f' : Dual S ↥M₀ := f ∘ₗ M₀.subtype
B : RootPositiveForm S P
hB : (LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap B.posForm).PosDef
hp : ∀ (i : ↑(baseOf ⇑P.root ↑f)), 0 < f' (v i)
i : ι
hi : i ∈ baseOf ⇑P.root ↑f
j : ι
hj : j ∈ baseOf ⇑P.root ↑f
hij : ⟨i, hi⟩ ≠ ⟨j, hj⟩
⊢ (B.posForm (v ⟨i, hi⟩)) (v ⟨j, hj⟩) ≤ 0

Tactic:
rw [B.posForm_apply_root_root_le_zero_iff, ← P.algebraMap_pairingIn' S ℤ]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁷ : Finite ι
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M
inst✝¹⁵ : AddCommGroup N
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹¹ : IsDomain R
S : Type u_6
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : Module S M
inst✝⁴ : IsScalarTower S R M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower S R N
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : Dual S M
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
this✝ : CharZero R
this : Fintype ι
M₀ : Submodule S M := span S (range ⇑P.root)
v : ↑(baseOf ⇑P.root ↑f) → ↥M₀ := fun i ↦ P.rootSpanMem S ↑i
f' : Dual S ↥M₀ := f ∘ₗ M₀.subtype
B : RootPositiveForm S P
hB : (LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap B.posForm).PosDef
hp : ∀ (i : ↑(baseOf ⇑P.root ↑f)), 0 < f' (v i)
i : ι
hi : i ∈ baseOf ⇑P.root ↑f
j : ι
hj : j ∈ baseOf ⇑P.root ↑f
hij : ⟨i, hi⟩ ≠ ⟨j, hj⟩
⊢ (algebraMap ℤ S) (P.pairingIn ℤ ↑⟨i, hi⟩ ↑⟨j, hj⟩) ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ ↑(chainTopCoeff i j) = sSup {k | P.root j + k • P.root i ∈ range ⇑P.root}

Tactic:
rw [setOfPred_root_add_zsmul_mem_eq_Icc h]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ ↑(chainTopCoeff i j) = sSup (Icc (-↑(chainBotCoeff i j)) ↑(chainTopCoeff i j))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : Module.IsReflexive R N
this : IsAddTorsionFree M
hli : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
aux₁ : P.coxeterWeightIn ℤ i j ∈ {0, 1, 2, 3, 4}
⊢ P.coxeterWeightIn ℤ i j ∈ {1, 2, 3}

Tactic:
have aux₂ := (linearIndependent_iff_coxeterWeightIn_ne_four P ℤ).mp hli

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : Module.IsReflexive R N
this : IsAddTorsionFree M
hli : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
aux₁ : P.coxeterWeightIn ℤ i j ∈ {0, 1, 2, 3, 4}
aux₂ : P.coxeterWeightIn ℤ i j ≠ 4
⊢ P.coxeterWeightIn ℤ i j ∈ {1, 2, 3}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : M →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : Fintype ↑(baseOf (⇑P.root) f)
v : ↑(baseOf (⇑P.root) f) → ↥(P.rootSpan ℚ) := fun i ↦ P.rootSpanMem ℚ ↑i
h_span : span ℚ (range v) = ⊤
b : Basis ↑(baseOf (⇑P.root) f) ℚ ↥(P.rootSpan ℚ) :=
  have this := ⋯;
  Basis.mk this ⋯
⊢ Nat.card ↑(baseOf (⇑P.root) f) = finrank R M

Tactic:
← RootPairing.finrank_rootSpanIn ℚ P,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : M →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : Fintype ↑(baseOf (⇑P.root) f)
v : ↑(baseOf (⇑P.root) f) → ↥(P.rootSpan ℚ) := fun i ↦ P.rootSpanMem ℚ ↑i
h_span : span ℚ (range v) = ⊤
b : Basis ↑(baseOf (⇑P.root) f) ℚ ↥(P.rootSpan ℚ) :=
  have this := ⋯;
  Basis.mk this ⋯
⊢ Nat.card ↑(baseOf (⇑P.root) f) = finrank ℚ ↥(P.rootSpan ℚ)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
k : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hk : P.root k = P.root j + P.root (-i)
⊢ chainTopCoeff i k = chainTopCoeff i j + 1

Tactic:
simpa using chainBotCoeff_of_add (by simpa) hk

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℕ
hf : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
contra : ∀ (i : ι), (Nat.cast ∘ f) i ≤ 0 i
⊢ False

Tactic:
replace contra : f = 0 := by ext i; simpa using contra i

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℕ
hf : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
contra : f = 0
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
⊢ baseOf (⇑P.root) f ⊆ baseOf (⇑P.coroot) g

Tactic:
have _i : Fintype ι := Fintype.ofFinite _

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i : Fintype ι
⊢ baseOf (⇑P.root) f ⊆ baseOf (⇑P.coroot) g
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℕ
hf : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : P.root i = -∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
contra : ∀ (i : ι), 0 i ≤ (-Nat.cast ∘ f) i
⊢ False

Tactic:
replace contra : f = 0 := by ext i; simpa using contra i

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℕ
hf : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : P.root i = -∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
contra : f = 0
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
pos : 0 < f
⊢ ∑ j ∈ b.support, f j ≠ 0

Tactic:
refine (Finset.sum_pos' (fun i _ ↦ pos.le i) ?_).ne'

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
pos : 0 < f
⊢ ∃ i ∈ b.support, 0 < f i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this✝ : Fintype ι
B : P.InvariantForm
i j : ι
li : R := (B.form (P.root i)) (P.root i)
lj : R := (B.form (P.root j)) (P.root j)
hij : li ≠ lj
key : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = li ∨ (B.form (P.root k)) (P.root k) = lj
this : (li = 2 * lj ∨ lj = 2 * li) ∨ li = 3 * lj ∨ lj = 3 * li
⊢ (∀ (i j : ι), P.pairing i j = P.pairing j i ∨ P.pairing i j = 2 * P.pairing j i ∨ P.pairing j i = 2 * P.pairing i j) ∨
    ∀ (i j : ι), P.pairing i j = P.pairing j i ∨ P.pairing i j = 3 * P.pairing j i ∨ P.pairing j i = 3 * P.pairing i j

Tactic:
rcases this with this | this

Goal state after:
case neg.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this✝ : Fintype ι
B : P.InvariantForm
i j : ι
li : R := (B.form (P.root i)) (P.root i)
lj : R := (B.form (P.root j)) (P.root j)
hij : li ≠ lj
key : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = li ∨ (B.form (P.root k)) (P.root k) = lj
this : li = 2 * lj ∨ lj = 2 * li
⊢ (∀ (i j : ι), P.pairing i j = P.pairing j i ∨ P.pairing i j = 2 * P.pairing j i ∨ P.pairing j i = 2 * P.pairing i j) ∨
    ∀ (i j : ι), P.pairing i j = P.pairing j i ∨ P.pairing i j = 3 * P.pairing j i ∨ P.pairing j i = 3 * P.pairing i j

case neg.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this✝ : Fintype ι
B : P.InvariantForm
i j : ι
li : R := (B.form (P.root i)) (P.root i)
lj : R := (B.form (P.root j)) (P.root j)
hij : li ≠ lj
key : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = li ∨ (B.form (P.root k)) (P.root k) = lj
this : li = 3 * lj ∨ lj = 3 * li
⊢ (∀ (i j : ι), P.pairing i j = P.pairing j i ∨ P.pairing i j = 2 * P.pairing j i ∨ P.pairing j i = 2 * P.pairing i j) ∨
    ∀ (i j : ι), P.pairing i j = P.pairing j i ∨ P.pairing i j = 3 * P.pairing j i ∨ P.pairing j i = 3 * P.pairing i j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.BilinearForm

Goal state before:
pp: R₁ : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R₁
n : Type u_5
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
⊢ toMatrix (Pi.basisFun R₁ n) = toMatrix'

Tactic:
rw [BilinForm.toMatrix, BilinForm.toMatrix', LinearMap.toMatrix₂_basisFun]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : P.IsCrystallographic
i : ι
⊢ ∃ j ∈ b.support, P.pairingIn ℤ j i ≠ 0

Tactic:
rcases IsPos.or_neg b i with hi | hi

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : P.IsCrystallographic
i : ι
hi : b.IsPos i
⊢ ∃ j ∈ b.support, P.pairingIn ℤ j i ≠ 0

case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : P.IsCrystallographic
i : ι
hi : b.IsPos (-i)
⊢ ∃ j ∈ b.support, P.pairingIn ℤ j i ≠ 0