mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.BifunctorAssociator

Goal state before:
pp: case e_a
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₁₂ : Type u_3
C₃ : Type u_5
C₄ : Type u_6
inst✝²⁰ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝¹⁹ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝¹⁸ : Category.{v_3, u_5} C₃
inst✝¹⁷ : Category.{v_4, u_6} C₄
inst✝¹⁶ : Category.{v_5, u_3} C₁₂
inst✝¹⁵ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝¹⁴ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝¹³ : HasZeroMorphisms C₃
inst✝¹² : Preadditive C₁₂
inst✝¹¹ : Preadditive C₄
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
inst✝¹⁰ : F₁₂.PreservesZeroMorphisms
inst✝⁹ : ∀ (X₁ : C₁), (F₁₂.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
inst✝⁸ : G.Additive
inst✝⁷ : ∀ (X₁₂ : C₁₂), (G.obj X₁₂).PreservesZeroMorphisms
ι₁ : Type u_7
ι₂ : Type u_8
ι₃ : Type u_9
ι₁₂ : Type u_10
ι₄ : Type u_12
inst✝⁶ : DecidableEq ι₄
c₁ : ComplexShape ι₁
c₂ : ComplexShape ι₂
c₃ : ComplexShape ι₃
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
K₃ : HomologicalComplex C₃ c₃
c₁₂ : ComplexShape ι₁₂
c₄ : ComplexShape ι₄
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₁₂ c₃ c₄
inst✝³ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂
inst✝² : DecidableEq ι₁₂
inst✝¹ : (K₁.mapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂).HasMapBifunctor K₃ G c₄
j j' : ι₄
inst✝ : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄
i₁ : ι₁
i₂ : ι₂
i₃ : ι₃
h : c₁.r c₂ c₃ c₁₂ c₄ (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ ((G.map (K₁.ιMapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂ i₁ i₂ (c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)) ⋯)).app (K₃.X i₃) ≫
        (K₁.mapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂).ιMapBifunctor K₃ G c₄ (c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)) i₃ j h) ≫
      mapBifunctor.D₁ (K₁.mapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂) K₃ G c₄ j j' =
    d₁ F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄ i₁ i₂ i₃ j' + d₂ F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄ i₁ i₂ i₃ j'

Tactic:
assoc,

Goal state after:
case e_a
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₁₂ : Type u_3
C₃ : Type u_5
C₄ : Type u_6
inst✝²⁰ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝¹⁹ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝¹⁸ : Category.{v_3, u_5} C₃
inst✝¹⁷ : Category.{v_4, u_6} C₄
inst✝¹⁶ : Category.{v_5, u_3} C₁₂
inst✝¹⁵ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝¹⁴ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝¹³ : HasZeroMorphisms C₃
inst✝¹² : Preadditive C₁₂
inst✝¹¹ : Preadditive C₄
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
inst✝¹⁰ : F₁₂.PreservesZeroMorphisms
inst✝⁹ : ∀ (X₁ : C₁), (F₁₂.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
inst✝⁸ : G.Additive
inst✝⁷ : ∀ (X₁₂ : C₁₂), (G.obj X₁₂).PreservesZeroMorphisms
ι₁ : Type u_7
ι₂ : Type u_8
ι₃ : Type u_9
ι₁₂ : Type u_10
ι₄ : Type u_12
inst✝⁶ : DecidableEq ι₄
c₁ : ComplexShape ι₁
c₂ : ComplexShape ι₂
c₃ : ComplexShape ι₃
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
K₃ : HomologicalComplex C₃ c₃
c₁₂ : ComplexShape ι₁₂
c₄ : ComplexShape ι₄
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₁₂ c₃ c₄
inst✝³ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂
inst✝² : DecidableEq ι₁₂
inst✝¹ : (K₁.mapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂).HasMapBifunctor K₃ G c₄
j j' : ι₄
inst✝ : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄
i₁ : ι₁
i₂ : ι₂
i₃ : ι₃
h : c₁.r c₂ c₃ c₁₂ c₄ (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ (G.map (K₁.ιMapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂ i₁ i₂ (c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)) ⋯)).app (K₃.X i₃) ≫
      (K₁.mapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂).ιMapBifunctor K₃ G c₄ (c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)) i₃ j h ≫
        mapBifunctor.D₁ (K₁.mapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂) K₃ G c₄ j j' =
    d₁ F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄ i₁ i₂ i₃ j' + d₂ F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄ i₁ i₂ i₃ j'
Module: Mathlib.Algebra.Homology.CommSq

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
X₁ X₂ X₃ X₄ : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X₂ X₃
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₁ ⟶ X₃
inl : X₂ ⟶ X₄
inr : X₃ ⟶ X₄
sq : CommSq f g inl inr
h : IsColimit sq.cokernelCofork
s : PushoutCocone f g
m : X₄ ⟶ s.pt
hm₁ : inl ≫ m = s.inl
hm₂ : inr ≫ m = s.inr
⊢ Cofork.π sq.cokernelCofork ≫ m = Cofork.π sq.cokernelCofork ≫ h.desc (CokernelCofork.ofπ (biprod.desc s.inl s.inr) ⋯)

Tactic:
convert!
          (h.fac (CokernelCofork.ofπ (biprod.desc s.inl s.inr) (by simp [s.condition])) .one).symm

Goal state after:
case e'_2
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
X₁ X₂ X₃ X₄ : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X₂ X₃
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₁ ⟶ X₃
inl : X₂ ⟶ X₄
inr : X₃ ⟶ X₄
sq : CommSq f g inl inr
h : IsColimit sq.cokernelCofork
s : PushoutCocone f g
m : X₄ ⟶ s.pt
hm₁ : inl ≫ m = s.inl
hm₂ : inr ≫ m = s.inr
e_1✝ :
  (X₂ ⊞ X₃ ⟶ s.pt) =
    ((parallelPair (biprod.lift f (-g)) 0).obj WalkingParallelPair.one ⟶
      (CokernelCofork.ofπ (biprod.desc s.inl s.inr) ⋯).pt)
⊢ Cofork.π sq.cokernelCofork ≫ m = (CokernelCofork.ofπ (biprod.desc s.inl s.inr) ⋯).ι.app WalkingParallelPair.one
Module: Mathlib.Algebra.Homology.CommSq

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
X₁ X₂ X₃ X₄ : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X₂ X₃
fst : X₁ ⟶ X₂
snd : X₁ ⟶ X₃
f : X₂ ⟶ X₄
g : X₃ ⟶ X₄
sq : CommSq fst snd f g
h : IsLimit (PullbackCone.mk fst snd ⋯)
s : Fork (biprod.desc f (-g)) 0
⊢ (s.ι ≫ biprod.fst) ≫ f - (s.ι ≫ biprod.snd) ≫ g = 0

Tactic:
assoc,

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
X₁ X₂ X₃ X₄ : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X₂ X₃
fst : X₁ ⟶ X₂
snd : X₁ ⟶ X₃
f : X₂ ⟶ X₄
g : X₃ ⟶ X₄
sq : CommSq fst snd f g
h : IsLimit (PullbackCone.mk fst snd ⋯)
s : Fork (biprod.desc f (-g)) 0
⊢ s.ι ≫ biprod.fst ≫ f - (s.ι ≫ biprod.snd) ≫ g = 0
Module: Mathlib.Algebra.Homology.CommSq

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
X₁ X₂ X₃ X₄ : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X₂ X₃
fst : X₁ ⟶ X₂
snd : X₁ ⟶ X₃
f : X₂ ⟶ X₄
g : X₃ ⟶ X₄
sq : CommSq fst snd f g
h : IsLimit (PullbackCone.mk fst snd ⋯)
s : Fork (biprod.desc f (-g)) 0
⊢ s.ι ≫ biprod.fst ≫ f - (s.ι ≫ biprod.snd) ≫ g = 0

Tactic:
assoc,

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
X₁ X₂ X₃ X₄ : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X₂ X₃
fst : X₁ ⟶ X₂
snd : X₁ ⟶ X₃
f : X₂ ⟶ X₄
g : X₃ ⟶ X₄
sq : CommSq fst snd f g
h : IsLimit (PullbackCone.mk fst snd ⋯)
s : Fork (biprod.desc f (-g)) 0
⊢ s.ι ≫ biprod.fst ≫ f - s.ι ≫ biprod.snd ≫ g = 0
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.Orthogonal

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
P : ObjectProperty C
inst✝⁵ : HasZeroObject C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹ : Pretriangulated C
inst✝ : P.IsTriangulated
Y : C
hY : P.rightOrthogonal Y
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
x✝ : P.trW f
X₃ : C
g : X₂ ⟶ X₃
h : X₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
hT : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
hX₃ : P X₃
β : (Triangle.mk f g h).obj₃ ⟶ Y
hα : f ≫ (Triangle.mk f g h).mor₂ ≫ β = 0
⊢ (Triangle.mk f g h).mor₂ ≫ β = 0

Tactic:
simp [hY β hX₃]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.TStructure.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
H : ℕ → Prop := fun a ↦ ∀ (n : ℤ), t.le n ≤ t.le (n + ↑a)
H_zero : H 0
H_one : H 1
⊢ ∀ (a b c : ℕ), a + b = c → H a → H b → H c

Tactic:
intro a b c h ha hb n

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
H : ℕ → Prop := fun a ↦ ∀ (n : ℤ), t.le n ≤ t.le (n + ↑a)
H_zero : H 0
H_one : H 1
a b c : ℕ
h : a + b = c
ha : H a
hb : H b
n : ℤ
⊢ t.le n ≤ t.le (n + ↑c)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.TStructure.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
H : ℕ → Prop := fun a ↦ ∀ (n : ℤ), t.ge (n + ↑a) ≤ t.ge n
H_zero : H 0
H_one : H 1
⊢ ∀ (a b c : ℕ), a + b = c → H a → H b → H c

Tactic:
intro a b c h ha hb n

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
H : ℕ → Prop := fun a ↦ ∀ (n : ℤ), t.ge (n + ↑a) ≤ t.ge n
H_zero : H 0
H_one : H 1
a b c : ℕ
h : a + b = c
ha : H a
hb : H b
n : ℤ
⊢ t.ge (n + ↑c) ≤ t.ge n
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomotopyCategory.KInjective

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z : Cocycle K L n
inst✝ : L.IsKInjective
hK : HomologicalComplex.Acyclic K
m : ℤ
hm : m + 1 = n
φ : K ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj L
hφ : (Cocycle.equivHom K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj L)) φ = z.rightShift n 0 ⋯
⊢ ∃ α, δ m n α = ↑z

Tactic:
Cocycle.ext_iff

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z : Cocycle K L n
inst✝ : L.IsKInjective
hK : HomologicalComplex.Acyclic K
m : ℤ
hm : m + 1 = n
φ : K ⟶ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj L
hφ : ↑((Cocycle.equivHom K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) n).obj L)) φ) = ↑(z.rightShift n 0 ⋯)
⊢ ∃ α, δ m n α = ↑z
Module: Mathlib.CategoryTheory.MorphismProperty.LiftingProperty

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
T : MorphismProperty C
J : Type u_1
⊢ T.rlp.IsStableUnderProductsOfShape J

Tactic:
apply IsStableUnderProductsOfShape.mk

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
T : MorphismProperty C
J : Type u_1
⊢ ∀ (X₁ X₂ : J → C) [inst : Limits.HasProduct X₁] [inst_1 : Limits.HasProduct X₂] (f : (j : J) → X₁ j ⟶ X₂ j),
    (∀ (j : J), T.rlp (f j)) → T.rlp (Limits.Pi.map f)
Module: Mathlib.AlgebraicTopology.ModelCategory.Instances

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : CategoryWithWeakEquivalences C
inst✝³ : CategoryWithCofibrations C
inst✝² : CategoryWithFibrations C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : (fibrations C).IsStableUnderBaseChange
hf : fibrations C f
⊢ fibrations C (pullback.snd f g)

Tactic:
exact MorphismProperty.of_isPullback (IsPullback.of_hasPullback f g) hf

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.OfQuotient

Goal state before:
pp: case h₁
C : Type u_1
inst✝ : Category.{v_1, u_1} C
r : HomRel C
W : MorphismProperty C
hW : W.IsInvertedBy (functor r)
hr : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f₀ f₁ : X ⟶ Y), r f₀ f₁ → ∃ P x, W P.π
⊢ Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget (functor r) W (Quotient r)

pp: case h₂
C : Type u_1
inst✝ : Category.{v_1, u_1} C
r : HomRel C
W : MorphismProperty C
hW : W.IsInvertedBy (functor r)
hr : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f₀ f₁ : X ⟶ Y), r f₀ f₁ → ∃ P x, W P.π
⊢ Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget (functor r) W W.Localization

Tactic:
all_goals apply isLocalization_functor.strictUniversalPropertyFixedTarget hW hr

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.BifunctorAssociator

Goal state before:
pp: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₁₂ : Type u_3
C₂₃ : Type u_4
C₃ : Type u_5
C₄ : Type u_6
inst✝³³ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝³² : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝³¹ : Category.{v_3, u_5} C₃
inst✝³⁰ : Category.{v_4, u_6} C₄
inst✝²⁹ : Category.{v_5, u_3} C₁₂
inst✝²⁸ : Category.{v_6, u_4} C₂₃
inst✝²⁷ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝²⁶ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝²⁵ : HasZeroMorphisms C₃
inst✝²⁴ : Preadditive C₁₂
inst✝²³ : Preadditive C₂₃
inst✝²² : Preadditive C₄
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄
G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃
inst✝²¹ : F₁₂.PreservesZeroMorphisms
inst✝²⁰ : ∀ (X₁ : C₁), (F₁₂.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
inst✝¹⁹ : G.Additive
inst✝¹⁸ : ∀ (X₁₂ : C₁₂), (G.obj X₁₂).PreservesZeroMorphisms
inst✝¹⁷ : G₂₃.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹⁶ : ∀ (X₂ : C₂), (G₂₃.obj X₂).PreservesZeroMorphisms
inst✝¹⁵ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹⁴ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive
associator : bifunctorComp₁₂ F₁₂ G ≅ bifunctorComp₂₃ F G₂₃
ι₁ : Type u_7
ι₂ : Type u_8
ι₃ : Type u_9
ι₁₂ : Type u_10
ι₂₃ : Type u_11
ι₄ : Type u_12
inst✝¹³ : DecidableEq ι₄
c₁ : ComplexShape ι₁
c₂ : ComplexShape ι₂
c₃ : ComplexShape ι₃
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
K₃ : HomologicalComplex C₃ c₃
c₁₂ : ComplexShape ι₁₂
c₂₃ : ComplexShape ι₂₃
c₄ : ComplexShape ι₄
inst✝¹² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹¹ : TotalComplexShape c₁₂ c₃ c₄
inst✝¹⁰ : TotalComplexShape c₂ c₃ c₂₃
inst✝⁹ : TotalComplexShape c₁ c₂₃ c₄
inst✝⁸ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂
inst✝⁷ : K₂.HasMapBifunctor K₃ G₂₃ c₂₃
inst✝⁶ : c₁.Associative c₂ c₃ c₁₂ c₂₃ c₄
inst✝⁵ : DecidableEq ι₁₂
inst✝⁴ : DecidableEq ι₂₃
inst✝³ : (K₁.mapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂).HasMapBifunctor K₃ G c₄
inst✝² : K₁.HasMapBifunctor (K₂.mapBifunctor K₃ G₂₃ c₂₃) F c₄
inst✝¹ : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄
inst✝ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₂₃ c₄
i₁ : ι₁
i₂ : ι₂
i₃ : ι₃
j : ι₄
⊢ mapBifunctor₁₂.ιOrZero F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄ i₁ i₂ i₃ j ≫
      (mapBifunctorAssociatorX associator K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₂₃ c₄ j).hom =
    ((associator.hom.app (K₁.X i₁)).app (K₂.X i₂)).app (K₃.X i₃) ≫
      mapBifunctor₂₃.ιOrZero F G₂₃ K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₂₃ c₄ i₁ i₂ i₃ j

Tactic:
by
  by_cases h : ComplexShape.r c₁ c₂ c₃ c₁₂ c₄ (i₁, i₂, i₃) = j
  · rw [mapBifunctor₁₂.ιOrZero_eq _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ h,
      mapBifunctor₂₃.ιOrZero_eq _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ h,
      ι_mapBifunctorAssociatorX_hom]
  · rw [mapBifunctor₁₂.ιOrZero_eq_zero _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ h,
      mapBifunctor₂₃.ιOrZero_eq_zero _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ h,
      zero_comp, comp_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.DerivedCategory.Plus

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X : Plus C
n : ℤ
inst✝ : X.IsLE n
⊢ (ι.obj X).IsLE n

Tactic:
rw [isLE_ι_obj_iff]

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X : Plus C
n : ℤ
inst✝ : X.IsLE n
⊢ X.IsLE n
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.TStructure.TruncLTGE

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
n : ℤ
X Y : C
φ : X ⟶ Y
A : C
⊢ t.IsLE ((triangleFunctor t n).obj A).obj₁ (n - 1)

Tactic:
dsimp [triangleFunctor]

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
n : ℤ
X Y : C
φ : X ⟶ Y
A : C
⊢ t.IsLE (triangle t n A).obj₁ (n - 1)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.TStructure.TruncLTGE

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
n : ℤ
X Y : C
φ : X ⟶ Y
A : C
⊢ t.IsGE ((triangleFunctor t n).obj A).obj₃ n

Tactic:
dsimp [triangleFunctor]

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
n : ℤ
X Y : C
φ : X ⟶ Y
A : C
⊢ t.IsGE (triangle t n A).obj₃ n
Module: Mathlib.CategoryTheory.Functor.OfSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝ : Category.{v_1, u_1} C
F G : ℕ ⥤ C
app : (n : ℕ) → F.obj n ⟶ G.obj n
naturality : ∀ (n : ℕ), F.map (homOfLE ⋯) ≫ app (n + 1) = app n ≫ G.map (homOfLE ⋯)
i j : ℕ
⊢ ∀ (f : i ⟶ j), F.map f ≫ app j = app i ≫ G.map f

Tactic:
φ

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{v_1, u_1} C
F G : ℕ ⥤ C
app : (n : ℕ) → F.obj n ⟶ G.obj n
naturality : ∀ (n : ℕ), F.map (homOfLE ⋯) ≫ app (n + 1) = app n ≫ G.map (homOfLE ⋯)
i j : ℕ
φ : i ⟶ j
⊢ F.map φ ≫ app j = app i ≫ G.map φ
Module: Mathlib.Algebra.Homology.ModelCategory.Injective

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
A B : Plus C
i : A ⟶ B
inst✝ : Cofibration i
⊢ Mono i

Tactic:
by
  rwa [← cofibration_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.ModelCategory.Injective

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Abelian C
A : CochainComplex C ℤ
hA : CochainComplex.plus C A
B : CochainComplex C ℤ
hB : CochainComplex.plus C B
X : CochainComplex C ℤ
hX : CochainComplex.plus C X
Y : CochainComplex C ℤ
hY : CochainComplex.plus C Y
i : A ⟶ B
inst✝¹ : Mono (ObjectProperty.homMk i)
hi : Mono i
p : X ⟶ Y
inst✝ : Fibration (ObjectProperty.homMk p)
hp : degreewiseEpiWithInjectiveKernel p
hip : WeakEquivalence (ObjectProperty.homMk i) ∨ WeakEquivalence (ObjectProperty.homMk p)
t : A ⟶ X
b : B ⟶ Y
sq : CommSq (ObjectProperty.homMk t) (ObjectProperty.homMk i) (ObjectProperty.homMk p) (ObjectProperty.homMk b)
⊢ sq.HasLift

Tactic:
have hip : QuasiIso i ∨ QuasiIso p := by
      simpa only [weakEquivalence_iff] using! hip

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Abelian C
A : CochainComplex C ℤ
hA : CochainComplex.plus C A
B : CochainComplex C ℤ
hB : CochainComplex.plus C B
X : CochainComplex C ℤ
hX : CochainComplex.plus C X
Y : CochainComplex C ℤ
hY : CochainComplex.plus C Y
i : A ⟶ B
inst✝¹ : Mono (ObjectProperty.homMk i)
hi : Mono i
p : X ⟶ Y
inst✝ : Fibration (ObjectProperty.homMk p)
hp : degreewiseEpiWithInjectiveKernel p
hip✝ : WeakEquivalence (ObjectProperty.homMk i) ∨ WeakEquivalence (ObjectProperty.homMk p)
t : A ⟶ X
b : B ⟶ Y
sq : CommSq (ObjectProperty.homMk t) (ObjectProperty.homMk i) (ObjectProperty.homMk p) (ObjectProperty.homMk b)
hip : QuasiIso i ∨ QuasiIso p
⊢ sq.HasLift
Module: Mathlib.AlgebraicTopology.ModelCategory.Homotopy

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ModelCategory C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : IsFibrant Y
h✝ : RightHomotopyRel f g
Q : Cylinder X
inst✝ : Q.IsGood
P : PathObject Y := ⋯.choose
h : ⋯.choose.RightHomotopy f g
h' : ⋯.choose.IsGood
sq : CommSq (coprod.desc (f ≫ P.ι) h.h) Q.i P.p₀ (Q.π ≫ f)
this : Q.i₁ ≫ sq.lift = coprod.inr ≫ coprod.desc (f ≫ P.ι) h.h
⊢ Q.i₁ ≫ sq.lift ≫ P.p₁ = g

Tactic:
coprod.inr_desc

Goal state after:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ModelCategory C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
inst✝¹ : IsFibrant Y
h✝ : RightHomotopyRel f g
Q : Cylinder X
inst✝ : Q.IsGood
P : PathObject Y := ⋯.choose
h : ⋯.choose.RightHomotopy f g
h' : ⋯.choose.IsGood
sq : CommSq (coprod.desc (f ≫ P.ι) h.h) Q.i P.p₀ (Q.π ≫ f)
this : Q.i₁ ≫ sq.lift = h.h
⊢ Q.i₁ ≫ sq.lift ≫ P.p₁ = g
Module: Mathlib.AlgebraicTopology.ModelCategory.Homotopy

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ModelCategory C
X Y Z : C
inst✝² : IsCofibrant X
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : Fibration g
inst✝ : WeakEquivalence g
f₀ f₁ : X ⟶ Y
h✝ : LeftHomotopyRel (f₀ ≫ g) (f₁ ≫ g)
P : Cylinder X
left✝ : P.IsGood
h : P.LeftHomotopy (f₀ ≫ g) (f₁ ≫ g)
sq : CommSq (coprod.desc f₀ f₁) P.i g h.h
this : P.i₁ ≫ sq.lift = coprod.inr ≫ coprod.desc f₀ f₁
⊢ P.i₁ ≫ sq.lift = f₁

Tactic:
coprod.inr_desc

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ModelCategory C
X Y Z : C
inst✝² : IsCofibrant X
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : Fibration g
inst✝ : WeakEquivalence g
f₀ f₁ : X ⟶ Y
h✝ : LeftHomotopyRel (f₀ ≫ g) (f₁ ≫ g)
P : Cylinder X
left✝ : P.IsGood
h : P.LeftHomotopy (f₀ ≫ g) (f₁ ≫ g)
sq : CommSq (coprod.desc f₀ f₁) P.i g h.h
this : P.i₁ ≫ sq.lift = f₁
⊢ P.i₁ ≫ sq.lift = f₁
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Factorizations.CM5a

Goal state before:
pp: case neg
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
K L : CochainComplex C ℤ
f : K ⟶ L
n : ℤ
hf : ∀ i < n, QuasiIsoAt f i
inst✝¹ : Mono f
inst✝ : Mono (homologyMap f n)
i : ℤ
hi : i < n
hi' : ¬i + 1 < n
⊢ Mono
    { X₁ := { X₁ := K, X₂ := L, X₃ := cokernel f, f := f, g := cokernel.π f, zero := ⋯ }.X₃.homology i,
        X₂ := { X₁ := K, X₂ := L, X₃ := cokernel f, f := f, g := cokernel.π f, zero := ⋯ }.X₁.homology (i + 1),
        X₃ := { X₁ := K, X₂ := L, X₃ := cokernel f, f := f, g := cokernel.π f, zero := ⋯ }.X₂.homology (i + 1),
        f := ⋯.δ i (i + 1) ⋯,
        g := homologyMap { X₁ := K, X₂ := L, X₃ := cokernel f, f := f, g := cokernel.π f, zero := ⋯ }.f (i + 1),
        zero := ⋯ }.g

Tactic:
obtain rfl : n = i + 1 := by lia
      infer_instance

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.Opposite

Goal state before:
pp: case mpr
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
⊢ w.GuitartExact → w.op.GuitartExact

Tactic:
intro
    infer_instance

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.DerivabilityStructure.Constructor

Goal state before:
pp: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
inst✝⁴ : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions
inst✝² : W₂.ContainsIdentities
D : Type u_3
inst✝¹ : Category.{v_3, u_3} D
L : C₂ ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W₂
X₂ : C₂
X₃ : D
y : L.obj X₂ ⟶ X₃
R R' : Φ.RightResolution X₂
φ : R ⟶ R'
⊢ L.map R.w ≫ (L.map (Φ.functor.map φ.f) ≫ (isoOfHom L W₂ R'.w ⋯).inv) ≫ y = y

Tactic:
assoc,

Goal state after:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
inst✝⁴ : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions
inst✝² : W₂.ContainsIdentities
D : Type u_3
inst✝¹ : Category.{v_3, u_3} D
L : C₂ ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W₂
X₂ : C₂
X₃ : D
y : L.obj X₂ ⟶ X₃
R R' : Φ.RightResolution X₂
φ : R ⟶ R'
⊢ L.map R.w ≫ L.map (Φ.functor.map φ.f) ≫ (isoOfHom L W₂ R'.w ⋯).inv ≫ y = y
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.Basic

Goal state before:
pp: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ X₂' : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
g' : R.obj X₂' ⟶ B.obj X₃
γ : X₂' ⟶ X₂
hγ : R.map γ ≫ g = g'
A A' : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : A ⟶ A'
⊢ (γ ≫ (CostructuredArrow.left A).hom) ≫ T.map (StructuredArrow.Hom.right φ.left) = γ ≫ (CostructuredArrow.left A').hom

Tactic:
assoc,

Goal state after:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ X₂' : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
g' : R.obj X₂' ⟶ B.obj X₃
γ : X₂' ⟶ X₂
hγ : R.map γ ≫ g = g'
A A' : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : A ⟶ A'
⊢ γ ≫ (CostructuredArrow.left A).hom ≫ T.map (StructuredArrow.Hom.right φ.left) = γ ≫ (CostructuredArrow.left A').hom
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.Basic

Goal state before:
pp: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
hw : w.GuitartExact
X₂ : C₂
g : StructuredArrow (R.obj X₂) B
⊢ IsConnected (CostructuredArrow (w.structuredArrowDownwards X₂) g)

Tactic:
rw [guitartExact_iff_isConnected_downwards] at hw

Goal state after:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
hw : ∀ {X₂ : C₂} {X₃ : C₃} (g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃), IsConnected (w.CostructuredArrowDownwards g)
X₂ : C₂
g : StructuredArrow (R.obj X₂) B
⊢ IsConnected (CostructuredArrow (w.structuredArrowDownwards X₂) g)
Module: Mathlib.AlgebraicTopology.ModelCategory.DerivabilityStructureFibrant

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : ModelCategory C
X : C
⊢ weakEquivalences C (HoCat.iResolutionObj X)

Tactic:
simpa using mem_weakEquivalences (HoCat.iResolutionObj X)

Goal state after: