mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝² : Field K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
S : Set L
hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral K x
⊢ Algebra.IsAlgebraic K ↥(adjoin K S)

Tactic:
rw [← biSup_adjoin_simple, ← iSup_subtype'']
  exact isAlgebraic_iSup fun x ↦ isAlgebraic_adjoin_simple (hS x x.2)

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
pb : PowerBasis K L
⊢ minpoly K (adjoin.powerBasis ⋯).gen = minpoly K pb.gen

Tactic:
by
    rw [adjoin.powerBasis_gen, minpoly_gen]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
⊢ ∃ k,
    (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k) (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) t)) = 0

Tactic:
let F : Module.End R M₃ := toEnd R L M₃ x - (χ₁ + χ₂) • ↑1

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
⊢ ∃ k,
    (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k) (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) t)) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Pi

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
n : ℕ
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
f : ι → End K M
h : ∀ (i j : ι) (φ : K), MapsTo ⇑(f i) ↑((f j).maxGenEigenspace φ) ↑((f j).maxGenEigenspace φ)
h' : ∀ (i : ι), ⨆ μ, (f i).maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K M = n
i : ι
hy : ∀ (φ : K), finrank K ↥((f i).maxGenEigenspace φ) < n
hi : ∀ (j : ι) (φ : K), MapsTo ⇑(f j) ↑((f i).maxGenEigenspace φ) ↑((f i).maxGenEigenspace φ)
ih : ∀ (φ : K), ⨆ χ, ⨆ (_ : χ i = φ), ⨅ j, maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f j) ⋯) (χ j) = ⊤
φ : K
this :
  ∀ (χ : ι → K),
    χ i = φ →
      ⨅ j, (f j).maxGenEigenspace (χ j) =
        Submodule.map ((f i).maxGenEigenspace φ).subtype (⨅ j, maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f j) ⋯) (χ j))
⊢ Submodule.map ((f i).maxGenEigenspace φ).subtype
      (⨆ i_1, ⨆ (_ : i_1 i = φ), ⨅ j, maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f j) ⋯) (i_1 j)) =
    (f i).maxGenEigenspace φ

Tactic:
ih,

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
n : ℕ
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
f : ι → End K M
h : ∀ (i j : ι) (φ : K), MapsTo ⇑(f i) ↑((f j).maxGenEigenspace φ) ↑((f j).maxGenEigenspace φ)
h' : ∀ (i : ι), ⨆ μ, (f i).maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K M = n
i : ι
hy : ∀ (φ : K), finrank K ↥((f i).maxGenEigenspace φ) < n
hi : ∀ (j : ι) (φ : K), MapsTo ⇑(f j) ↑((f i).maxGenEigenspace φ) ↑((f i).maxGenEigenspace φ)
ih : ∀ (φ : K), ⨆ χ, ⨆ (_ : χ i = φ), ⨅ j, maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f j) ⋯) (χ j) = ⊤
φ : K
this :
  ∀ (χ : ι → K),
    χ i = φ →
      ⨅ j, (f j).maxGenEigenspace (χ j) =
        Submodule.map ((f i).maxGenEigenspace φ).subtype (⨅ j, maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f j) ⋯) (χ j))
⊢ Submodule.map ((f i).maxGenEigenspace φ).subtype ⊤ = (f i).maxGenEigenspace φ
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
n : ℕ
ih : ⁅h, ((toEnd R L M) f ^ n) m⁆ = (μ - 2 * ↑n) • ((toEnd R L M) f ^ n) m
⊢ ⁅-2 • f, ((toEnd R L M) f ^ n) m⁆ + ⁅f, ⁅h, ((toEnd R L M) f ^ n) m⁆⁆ =
    (μ - 2 * (↑n + 1)) • ⁅f, ((toEnd R L M) f ^ n) m⁆

Tactic:
ih,

Goal state after:
case succ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
n : ℕ
ih : ⁅h, ((toEnd R L M) f ^ n) m⁆ = (μ - 2 * ↑n) • ((toEnd R L M) f ^ n) m
⊢ ⁅-2 • f, ((toEnd R L M) f ^ n) m⁆ + ⁅f, (μ - 2 * ↑n) • ((toEnd R L M) f ^ n) m⁆ =
    (μ - 2 * (↑n + 1)) • ⁅f, ((toEnd R L M) f ^ n) m⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
n : ℕ
ih : ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m⁆ = ((↑n + 1) * (μ - ↑n)) • ((toEnd R L M) f ^ n) m
⊢ (μ - 2 * ↑(n + 1)) • ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m + ⁅f, ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m⁆⁆ =
    ((↑(n + 1) + 1) * (μ - ↑(n + 1))) • ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m

Tactic:
ih,

Goal state after:
case succ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
n : ℕ
ih : ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m⁆ = ((↑n + 1) * (μ - ↑n)) • ((toEnd R L M) f ^ n) m
⊢ (μ - 2 * ↑(n + 1)) • ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m + ⁅f, ((↑n + 1) * (μ - ↑n)) • ((toEnd R L M) f ^ n) m⁆ =
    ((↑(n + 1) + 1) * (μ - ↑(n + 1))) • ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
this : ∃ n, ((toEnd R L M) f ^ n) m = 0
n : ℕ
hn₁ : ¬((toEnd R L M) f ^ n) m = 0
hn₂ : ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m = 0
⊢ μ = ↑n

Tactic:
have := lie_e_pow_succ_toEnd_f P n

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
this✝ : ∃ n, ((toEnd R L M) f ^ n) m = 0
n : ℕ
hn₁ : ¬((toEnd R L M) f ^ n) m = 0
hn₂ : ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m = 0
this : ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (n + 1)) m⁆ = ((↑n + 1) * (μ - ↑n)) • ((toEnd R L M) f ^ n) m
⊢ μ = ↑n
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
χ : Weight R L M
x : L
⊢ genWeightSpaceOf M (χ x) x ≠ ⊥

Tactic:
by
  have : ⨅ x, genWeightSpaceOf M (χ x) x ≠ ⊥ := χ.genWeightSpace_ne_bot
  contrapose this
  rw [eq_bot_iff]
  exact le_of_le_of_eq (iInf_le _ _) this

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
hm : ⁅h, m⁆ = μ • m
n : ℕ
ih : ⁅h, ((toEnd R L M) e ^ n) m⁆ = (μ + 2 * ↑n) • ((toEnd R L M) e ^ n) m
⊢ 2 • ⁅e, ((toEnd R L M) e ^ n) m⁆ + ⁅e, ⁅h, ((toEnd R L M) e ^ n) m⁆⁆ =
    (μ + 2 * (↑n + 1)) • ⁅e, ((toEnd R L M) e ^ n) m⁆

Tactic:
ih,

Goal state after:
case succ
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
hm : ⁅h, m⁆ = μ • m
n : ℕ
ih : ⁅h, ((toEnd R L M) e ^ n) m⁆ = (μ + 2 * ↑n) • ((toEnd R L M) e ^ n) m
⊢ 2 • ⁅e, ((toEnd R L M) e ^ n) m⁆ + ⁅e, (μ + 2 * ↑n) • ((toEnd R L M) e ^ n) m⁆ =
    (μ + 2 * (↑n + 1)) • ⁅e, ((toEnd R L M) e ^ n) m⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan

Goal state before:
pp: L : Type u_2
inst✝⁵ : LieRing L
K : Type u_4
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
α : Weight K (↥H) L
⊢ LieSubmodule.restr I H ⊓ genWeightSpace L ⇑α ≤
    LieSubmodule.restr I H ⊓ H.toLieSubmodule ⊔ ⨆ α, ⨆ (_ : α.IsNonZero), LieSubmodule.restr I H ⊓ rootSpace H ⇑α

Tactic:
by
    by_cases hα : α.IsZero
    · rw [show genWeightSpace L (α : H → K) = H.toLieSubmodule by ext; simp [hα.eq]]
      exact le_sup_left
    · exact le_sup_of_le_right (le_iSup₂_of_le α hα le_rfl)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Properties

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
⊢ B.IsSymm ↔ LinearMap.IsSymm B

Tactic:
by
  simp [isSymm_def, LinearMap.isSymm_def]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ LieSubmodule.map e.toLieModuleHom (posFittingComp R L M) = posFittingComp R L M₂

Tactic:
refine le_antisymm (map_posFittingComp_le _) ?_
  suffices posFittingComp R L M₂ = ((posFittingComp R L M₂).map (e.symm : M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M)).map e by
    rw [this]
    exact LieSubmodule.map_mono (map_posFittingComp_le _)
  rw [← LieSubmodule.map_comp]
  convert! LieSubmodule.map_id
  ext
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case mem
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x y : L
hx : x ∈ Submodule.span R (range b.h)
i : ι
⊢ ⁅x, b.e i⁆ ∈ lieSpan R L (range b.e)

Tactic:
induction hx using Submodule.span_induction with
    | mem v hv =>
      obtain ⟨j, rfl⟩ := hv
      rw [b.lie_h_e]
      apply zsmul_mem <| subset_lieSpan <| mem_range_self i
    | zero => simp
    | add v w _ _ hv hw => simpa using add_mem hv hw
    | smul t v _ hv => simpa using LieSubalgebra.smul_mem _ t hv

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: R₄ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₄
inst✝² : IsDomain R₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : Module R₄ M₄
G : BilinForm R₄ M₄
x y : M₄
a : R₄
ha : a ≠ 0
⊢ (a • G x) y = 0 ↔ (G x) y = 0

Tactic:
simp only [LinearMap.smul_apply, smul_eq_mul, mul_eq_zero, or_iff_right_iff_imp]

Goal state after:
R₄ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₄
inst✝² : IsDomain R₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : Module R₄ M₄
G : BilinForm R₄ M₄
x y : M₄
a : R₄
ha : a ≠ 0
⊢ a = 0 → (G x) y = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
x : V
hx : x ∈ W ⊓ B.orthogonal W
hx₁ : x ∈ W
hx₂ : x ∈ B.orthogonal W
n : V
hn : n ∈ W
⊢ ((B.restrict W) ⟨x, hx₁⟩) ⟨n, hn⟩ = 0

Tactic:
simp only [restrict_apply, domRestrict_apply]

Goal state after:
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
x : V
hx : x ∈ W ⊓ B.orthogonal W
hx₁ : x ∈ W
hx₂ : x ∈ B.orthogonal W
n : V
hn : n ∈ W
⊢ (B x) n = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case smul
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y : L
this : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ lieSpan R L (range b.f), ⁅b.e i, x⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
t : R
u : L
hx✝ : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
z : L
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
⊢ ⁅t • u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper

Tactic:
rw [smul_lie]

Goal state after:
case smul
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y : L
this : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ lieSpan R L (range b.f), ⁅b.e i, x⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
t : R
u : L
hx✝ : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
z : L
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
⊢ t • ⁅u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
L' : Type u_4
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : IsKilling R L
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x' : L'
y : L
hx' : ((killingForm R L') x') (e y) = 0
⊢ ((killingForm R L) (e.symm x')) y = 0 y

Tactic:
rwa [← e.apply_symm_apply x', killingForm_of_equiv_apply] at hx'

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieRing.IsNilpotent ↥H
hp : genWeightSpace M (p • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H (-α)
y : M
hy : y ∈ genWeightSpaceChain M α χ p q
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ genWeightSpaceChain M α χ p q

Tactic:
by
  replace hp : genWeightSpace M ((-p) • (-α) + χ) = ⊥ := by rwa [smul_neg, neg_smul, neg_neg]
  rw [← genWeightSpaceChain_neg] at hy ⊢
  exact lie_mem_genWeightSpaceChain_of_genWeightSpace_eq_bot_right M (-α) χ (-q) (-p) hp hx hy

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
e : Nat.find ⋯ = 0
⊢ genWeightSpace M (Nat.find ⋯ • α + ⇑β) = ⊥

Tactic:
exact Nat.find_spec (eventually_genWeightSpace_smul_add_eq_bot M α β hα).exists

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ genWeightSpace M (Nat.find ⋯ • α + ⇑β) = ⊥

Tactic:
exact Nat.find_spec (eventually_genWeightSpace_smul_add_eq_bot M α β hα).exists

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hx : x ∈ ⊤.lcs L 0
hy : y ∈ LieSubmodule.ucs 0 ⊥
⊢ y = 0

Tactic:
simpa using hy

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Module K N
p : M →ₗ[K] N →ₗ[K] K
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : Injective ⇑p
h' : Injective ⇑p.flip
this : FiniteDimensional K N
⊢ Surjective ⇑p.flip

Tactic:
rwa [← p.flip.flip_injective_iff₁, LinearMap.flip_flip]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: case hy
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hx : x ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hy : y ∈ LieAlgebra.center R L
⊢ y ∈ LieSubmodule.ucs 1 ⊥

Tactic:
simpa using hy

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ m₁ : M
hm₀ : m₀ ∈ genWeightSpace M 0
hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M
x : L
k : ℕ
ih : ∀ (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
m n : M
hB : ∀ (m : M), (B m) ((φ x) n) = -1 • (B ((φ x) m)) n
this : (-1) ^ k • -1 = (-1) ^ (k + 1)
| (B m) ((φ x ^ k) ((φ x) n))

Tactic:
ih,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ m₁ : M
hm₀ : m₀ ∈ genWeightSpace M 0
hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M
x : L
k : ℕ
ih : ∀ (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
m n : M
hB : ∀ (m : M), (B m) ((φ x) n) = -1 • (B ((φ x) m)) n
this : (-1) ^ k • -1 = (-1) ^ (k + 1)
| (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) ((φ x) n)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
this✝ : IsLieAbelian ↥H := isLieAbelian_cartan b
x u v✝ : L
hx✝ : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hy✝ : v✝ ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu : u ∈ ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
hv : v✝ ∈ ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
s : Set (↥H → R) := {χ | ∃ n, n ≠ 0 ∧ χ = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hs : ∀ χ₁ ∈ s, ∀ χ₂ ∈ s, χ₁ + χ₂ ∈ s
n₁ n₂ : ↑{n | n ≠ 0}
h : (fun n ↦ ⟨∑ i, ↑n i • ⇑(b.baseSupp i), ⋯⟩) n₁ = (fun n ↦ ⟨∑ i, ↑n i • ⇑(b.baseSupp i), ⋯⟩) n₂
i : ι
this : LinearIndependent ℕ b.baseSupp
v : ↥H
⊢ (∑ i, ↑n₁ i • b.baseSupp i) v = (∑ i, ↑n₂ i • b.baseSupp i) v

Tactic:
Subtype.mk.injEq

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
this✝ : IsLieAbelian ↥H := isLieAbelian_cartan b
x u v✝ : L
hx✝ : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hy✝ : v✝ ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu : u ∈ ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
hv : v✝ ∈ ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
s : Set (↥H → R) := {χ | ∃ n, n ≠ 0 ∧ χ = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hs : ∀ χ₁ ∈ s, ∀ χ₂ ∈ s, χ₁ + χ₂ ∈ s
n₁ n₂ : ↑{n | n ≠ 0}
h : ∑ i, ↑n₁ i • ⇑(b.baseSupp i) = ∑ i, ↑n₂ i • ⇑(b.baseSupp i)
i : ι
this : LinearIndependent ℕ b.baseSupp
v : ↥H
⊢ (∑ i, ↑n₁ i • b.baseSupp i) v = (∑ i, ↑n₂ i • b.baseSupp i) v
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n k : ℕ
ih : (⇑derivative)^[k] (T R ↑n) ∈ Submodule.span ℕ ((fun m ↦ T R ↑m) '' Set.Icc 0 (n - k))
⊢ (⇑derivative)^[k + 1] (T R ↑n) ∈ Submodule.span ℕ ((fun m ↦ T R ↑m) '' Set.Icc 0 (n - (k + 1)))

Tactic:
rw [Function.iterate_succ_apply']
    suffices Submodule.span ℕ ((fun m : ℕ => derivative (T R m)) '' Set.Icc 0 (n - k)) ≤
      Submodule.span ℕ ((fun m : ℕ => T R m) '' Set.Icc 0 (n - (k + 1))) by
      apply this
      convert! Submodule.apply_mem_span_image_of_mem_span (derivative.restrictScalars ℕ) ih using 2
      simp [Set.image]
    refine Submodule.span_le.mpr (fun x hx => ?_)
    obtain ⟨m, hm, rfl⟩ := hx
    refine (Submodule.span_mono (by grind)) (T_derivative_mem_span_T (R := R) m)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Reflection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
x : M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
f g : Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ
⊢ f = g

Tactic:
have hx : x ≠ 0 := by rintro rfl; simp at hf₁

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
x : M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
f g : Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ
hx : x ≠ 0
⊢ f = g
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Reflection

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
x : M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
f g : Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ
hx : x ≠ 0
u : M ≃ₗ[R] M := reflection hg₁ * reflection hf₁
hu : ↑u = LinearMap.id + LinearMap.smulRight (f - g) x
n : ℕ
ih : ↑(u ^ n) = LinearMap.id + ↑n • LinearMap.smulRight (f - g) x
this : LinearMap.smulRight (f - g) x ∘ₗ (↑n • LinearMap.smulRight (f - g) x) = 0
⊢ ↑u * ↑(u ^ n) = LinearMap.id + ↑(n + 1) • LinearMap.smulRight (f - g) x

Tactic:
ih,

Goal state after:
case succ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
x : M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
f g : Dual R M
hf₁ : f x = 2
hf₂ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hg₁ : g x = 2
hg₂ : MapsTo (⇑(preReflection x g)) Φ Φ
hx : x ≠ 0
u : M ≃ₗ[R] M := reflection hg₁ * reflection hf₁
hu : ↑u = LinearMap.id + LinearMap.smulRight (f - g) x
n : ℕ
ih : ↑(u ^ n) = LinearMap.id + ↑n • LinearMap.smulRight (f - g) x
this : LinearMap.smulRight (f - g) x ∘ₗ (↑n • LinearMap.smulRight (f - g) x) = 0
⊢ ↑u * (LinearMap.id + ↑n • LinearMap.smulRight (f - g) x) = LinearMap.id + ↑(n + 1) • LinearMap.smulRight (f - g) x