Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Quotient

Goal state before:
pp: case neZeroV
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : IsTopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
V : Set (G ⧸ Γ)
hV : (interior V).Nonempty
meas_V : MeasurableSet V
hμK : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ 𝓕)
neTopV : μ V ≠ ∞
⊢ μ V ≠ 0

pp: case hV
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : IsTopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
V : Set (G ⧸ Γ)
hV : (interior V).Nonempty
meas_V : MeasurableSet V
hμK : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ 𝓕)
neTopV : μ V ≠ ∞
⊢ μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ 𝓕)

pp: case neTopV
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : IsTopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
V : Set (G ⧸ Γ)
hV : (interior V).Nonempty
meas_V : MeasurableSet V
hμK : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ 𝓕)
neTopV : μ V ≠ ∞
⊢ μ V ≠ ∞

Tactic:
· rw [hμK]
    intro c_eq_zero
    apply IsOpenPosMeasure.open_pos (interior (π ⁻¹' V)) (μ := ν)
    · simp
    · apply Set.Nonempty.mono (preimage_interior_subset_interior_preimage continuous_coinduced_rng)
      apply hV.preimage'
      simp
    · apply measure_mono_null (h := interior_subset)
      apply h𝓕.measure_zero_of_invariant (ht := fun g ↦ QuotientGroup.sound _ _ g)
      exact c_eq_zero

Goal state after:
case hV
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : IsTopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
V : Set (G ⧸ Γ)
hV : (interior V).Nonempty
meas_V : MeasurableSet V
hμK : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ 𝓕)
neTopV : μ V ≠ ∞
⊢ μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ 𝓕)

case neTopV
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : IsTopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Γ.Normal
inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsHaarMeasure
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
V : Set (G ⧸ Γ)
hV : (interior V).Nonempty
meas_V : MeasurableSet V
hμK : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ 𝓕)
neTopV : μ V ≠ ∞
⊢ μ V ≠ ∞