mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.LeftExact

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹¹ : Category.{t, w} D
inst✝¹⁰ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst✝⁸ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
inst✝⁷ : ConcreteCategory D FD
inst✝⁶ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝⁵ : ∀ (X : C), Small.{t, max u v} (J.Cover X)ᵒᵖ
K : Type t
inst✝⁴ : SmallCategory K
inst✝³ : FinCategory K
inst✝² : HasLimitsOfShape K D
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape K (forget D)
inst✝ : ReflectsLimitsOfShape K (forget D)
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
X : Cᵒᵖ
⊢ ∀ (s : Cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj X)) (j : K),
    liftToPlusObjLimitObj F (unop X) s ≫ ((J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj X).mapCone (limit.cone F)).π.app j =
      s.π.app j

Tactic:
intro S k

Goal state after:
case refine_1
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹¹ : Category.{t, w} D
inst✝¹⁰ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst✝⁸ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
inst✝⁷ : ConcreteCategory D FD
inst✝⁶ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝⁵ : ∀ (X : C), Small.{t, max u v} (J.Cover X)ᵒᵖ
K : Type t
inst✝⁴ : SmallCategory K
inst✝³ : FinCategory K
inst✝² : HasLimitsOfShape K D
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape K (forget D)
inst✝ : ReflectsLimitsOfShape K (forget D)
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
X : Cᵒᵖ
S : Cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj X)
k : K
⊢ liftToPlusObjLimitObj F (unop X) S ≫ ((J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj X).mapCone (limit.cone F)).π.app k =
    S.π.app k
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.LeftExact

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹¹ : Category.{t, w} D
inst✝¹⁰ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst✝⁸ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
inst✝⁷ : ConcreteCategory D FD
inst✝⁶ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝⁵ : ∀ (X : C), Small.{t, max u v} (J.Cover X)ᵒᵖ
K : Type t
inst✝⁴ : SmallCategory K
inst✝³ : FinCategory K
inst✝² : HasLimitsOfShape K D
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape K (forget D)
inst✝ : ReflectsLimitsOfShape K (forget D)
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
X : Cᵒᵖ
S : Cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj X)
m : S.pt ⟶ ((J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj X).mapCone (limit.cone F)).pt
hm : ∀ (j : K), m ≫ ((J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj X).mapCone (limit.cone F)).π.app j = S.π.app j
⊢ (m ≫
        (HasColimit.isoOfNatIso
            ((isLimitOfPreserves (J.diagramFunctor D (unop X)) (limit.isLimit F)).conePointUniqueUpToIso
              (limit.isLimit (F ⋙ J.diagramFunctor D (unop X))))).hom) ≫
      (colimitLimitIso (F ⋙ J.diagramFunctor D (unop X))).hom =
    limit.lift (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj X) S ≫
      (HasLimit.isoOfNatIso
          (NatIso.ofComponents (fun k ↦ colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D (unop X)).flip k)
              ⋯).symm).hom

Tactic:
← Iso.comp_inv_eq

Goal state after:
case refine_2
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹¹ : Category.{t, w} D
inst✝¹⁰ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst✝⁸ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
inst✝⁷ : ConcreteCategory D FD
inst✝⁶ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝⁵ : ∀ (X : C), Small.{t, max u v} (J.Cover X)ᵒᵖ
K : Type t
inst✝⁴ : SmallCategory K
inst✝³ : FinCategory K
inst✝² : HasLimitsOfShape K D
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape K (forget D)
inst✝ : ReflectsLimitsOfShape K (forget D)
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
X : Cᵒᵖ
S : Cone (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj X)
m : S.pt ⟶ ((J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj X).mapCone (limit.cone F)).pt
hm : ∀ (j : K), m ≫ ((J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj X).mapCone (limit.cone F)).π.app j = S.π.app j
⊢ ((m ≫
          (HasColimit.isoOfNatIso
              ((isLimitOfPreserves (J.diagramFunctor D (unop X)) (limit.isLimit F)).conePointUniqueUpToIso
                (limit.isLimit (F ⋙ J.diagramFunctor D (unop X))))).hom) ≫
        (colimitLimitIso (F ⋙ J.diagramFunctor D (unop X))).hom) ≫
      (HasLimit.isoOfNatIso
          (NatIso.ofComponents (fun k ↦ colimitObjIsoColimitCompEvaluation (F ⋙ J.diagramFunctor D (unop X)).flip k)
              ⋯).symm).inv =
    limit.lift (F ⋙ J.plusFunctor D ⋙ (evaluation Cᵒᵖ D).obj X) S
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.VanKampen

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasInitial C
H : IsUniversalColimit (BinaryCofan.mk (𝟙 (⊥_ C)) (𝟙 (⊥_ C)))
A : C
⊢ ∀ (f : A ⟶ ⊥_ C), IsIso f

Tactic:
f

Goal state after:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasInitial C
H : IsUniversalColimit (BinaryCofan.mk (𝟙 (⊥_ C)) (𝟙 (⊥_ C)))
A : C
f : A ⟶ ⊥_ C
⊢ IsIso f
Module: Mathlib.CategoryTheory.ObjectProperty.Local

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W W' : MorphismProperty C
J : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} J
X : C
x✝ : W.isColocal.colimitsOfShape J X
Y Z : C
g : Y ⟶ Z
hg : W g
p : W.isColocal.ColimitOfShape J X
f : X ⟶ Z
app : (j : J) → p.diag.obj j ⟶ Y
h : ∀ (j : J), (fun f ↦ f ≫ g) (app j) = p.ι.app j ≫ f
j : J
⊢ { pt := X, ι := p.ι }.ι.app j ≫ (fun f ↦ f ≫ g) (p.isColimit.desc { pt := Y, ι := { app := app, naturality := ⋯ } }) =
    { pt := X, ι := p.ι }.ι.app j ≫ f

Tactic:
simp [p.isColimit.fac_assoc, h]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.Adjunction

Goal state before:
pp: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{v_3, u_3} D₁
inst✝⁴ : Category.{v_4, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G' : D₁ ⥤ D₂
F' : D₂ ⥤ D₁
inst✝¹ : CatCommSq G L₁ L₂ G'
inst✝ : CatCommSq F L₂ L₁ F'
X₂ : C₂
eq : adj.unit.app (F.obj X₂) ≫ F.map (adj.counit.app X₂) = 𝟙 (F.obj X₂)
⊢ (Localization.ε adj L₁ W₁ L₂ G' F').app (F'.obj (L₂.obj X₂)) ≫
      (F'.associator G' F').inv.app (L₂.obj X₂) ≫
        F'.map
          (G'.map ((CatCommSq.iso F L₂ L₁ F').inv.app X₂) ≫
            (CatCommSq.iso G L₁ L₂ G').inv.app (F.obj X₂) ≫ L₂.map (adj.counit.app X₂)) =
    (NatTrans.id (F' ⋙ 𝟭 D₁)).app (L₂.obj X₂)

Tactic:
Functor.associator_inv_app,

Goal state after:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{v_3, u_3} D₁
inst✝⁴ : Category.{v_4, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G' : D₁ ⥤ D₂
F' : D₂ ⥤ D₁
inst✝¹ : CatCommSq G L₁ L₂ G'
inst✝ : CatCommSq F L₂ L₁ F'
X₂ : C₂
eq : adj.unit.app (F.obj X₂) ≫ F.map (adj.counit.app X₂) = 𝟙 (F.obj X₂)
⊢ (Localization.ε adj L₁ W₁ L₂ G' F').app (F'.obj (L₂.obj X₂)) ≫
      𝟙 ((F' ⋙ G' ⋙ F').obj (L₂.obj X₂)) ≫
        F'.map
          (G'.map ((CatCommSq.iso F L₂ L₁ F').inv.app X₂) ≫
            (CatCommSq.iso G L₁ L₂ G').inv.app (F.obj X₂) ≫ L₂.map (adj.counit.app X₂)) =
    (NatTrans.id (F' ⋙ 𝟭 D₁)).app (L₂.obj X₂)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Adhesive.Basic

Goal state before:
pp: J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f : W✝ ⟶ X✝
g : W✝ ⟶ Y✝
h : X✝ ⟶ Z✝
i : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝³ : Category.{v'', u''} D
inst✝² : Adhesive C
inst✝¹ : HasPullbacks C
inst✝ : HasPushouts C
W X Y Z : D ⥤ C
⊢ ∀ {f : W ⟶ X} {g : W ⟶ Y} {h : X ⟶ Z} {i : Y ⟶ Z} [Mono f] (H : IsPushout f g h i), H.IsVanKampen

Tactic:
f

Goal state after:
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g : W✝ ⟶ Y✝
h : X✝ ⟶ Z✝
i : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝³ : Category.{v'', u''} D
inst✝² : Adhesive C
inst✝¹ : HasPullbacks C
inst✝ : HasPushouts C
W X Y Z : D ⥤ C
f : W ⟶ X
⊢ ∀ {g : W ⟶ Y} {h : X ⟶ Z} {i : Y ⟶ Z} [Mono f] (H : IsPushout f g h i), H.IsVanKampen
Module: Mathlib.CategoryTheory.Adhesive.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : Adhesive D
H₁ : ∀ {X Y S : C} (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S) [Mono f], HasPullback f g
H₂ : ∀ {X Y S : C} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [Mono f], HasPushout f g
inst✝³ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape WalkingSpan F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape WalkingSpan F
W X Y Z : C
⊢ ∀ {f : W ⟶ X} {g : W ⟶ Y} {h : X ⟶ Z} {i : Y ⟶ Z} [Mono f] (H : IsPushout f g h i), H.IsVanKampen

Tactic:
f

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : Adhesive D
H₁ : ∀ {X Y S : C} (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S) [Mono f], HasPullback f g
H₂ : ∀ {X Y S : C} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [Mono f], HasPushout f g
inst✝³ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape WalkingSpan F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape WalkingSpan F
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
⊢ ∀ {g : W ⟶ Y} {h : X ⟶ Z} {i : Y ⟶ Z} [Mono f] (H : IsPushout f g h i), H.IsVanKampen
Module: Mathlib.CategoryTheory.Adhesive.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D
inst✝⁶ : HasPullbacks D
inst✝⁵ : Adhesive C
inst✝⁴ : HasPullbacks C
inst✝³ : HasPushouts C
H₂ : ∀ {X Y S : D} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [Mono f], HasPushout f g
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝² : Gr.Full
inst✝¹ : Gr.Faithful
inst✝ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan Gl
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{?u.95, ?u.94, v, v'', u, u''} Gl
this : PreservesLimitsOfSize.{?u.102, ?u.101, v'', v, u'', u} Gr
W X Y Z : D
⊢ ∀ {f : W ⟶ X} {g : W ⟶ Y} {h : X ⟶ Z} {i : Y ⟶ Z} [Mono f] (H : IsPushout f g h i), H.IsVanKampen

Tactic:
f

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D
inst✝⁶ : HasPullbacks D
inst✝⁵ : Adhesive C
inst✝⁴ : HasPullbacks C
inst✝³ : HasPushouts C
H₂ : ∀ {X Y S : D} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [Mono f], HasPushout f g
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝² : Gr.Full
inst✝¹ : Gr.Faithful
inst✝ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan Gl
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{?u.95, ?u.94, v, v'', u, u''} Gl
this : PreservesLimitsOfSize.{?u.102, ?u.101, v'', v, u'', u} Gr
W X Y Z : D
f : W ⟶ X
⊢ ∀ {g : W ⟶ Y} {h : X ⟶ Z} {i : Y ⟶ Z} [Mono f] (H : IsPushout f g h i), H.IsVanKampen
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.PreservesSheafification

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} A
inst✝² : Category.{v_2, u_2} B
F : A ⥤ B
inst✝¹ : J.PreservesSheafification F
inst✝ : HasWeakSheafify J B
P₁ P₂ : Cᵒᵖ ⥤ A
⊢ ∀ (f : P₁ ⟶ P₂), J.W f → IsIso (((whiskeringRight Cᵒᵖ A B).obj F ⋙ presheafToSheaf J B).map f)

Tactic:
f

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} A
inst✝² : Category.{v_2, u_2} B
F : A ⥤ B
inst✝¹ : J.PreservesSheafification F
inst✝ : HasWeakSheafify J B
P₁ P₂ : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P₁ ⟶ P₂
⊢ J.W f → IsIso (((whiskeringRight Cᵒᵖ A B).obj F ⋙ presheafToSheaf J B).map f)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.PreservesSheafification

Goal state before:
pp: case mpr
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} A
inst✝ : Category.{v_2, u_2} B
F : A ⥤ B
G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A
G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B
adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B
h : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ A), J.W (whiskerRight (adj₁.unit.app P) F)
P₁ P₂ : Cᵒᵖ ⥤ A
⊢ ∀ (f : P₁ ⟶ P₂), J.W f → J.W.inverseImage ((whiskeringRight Cᵒᵖ A B).obj F) f

Tactic:
f

Goal state after:
case mpr
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} A
inst✝ : Category.{v_2, u_2} B
F : A ⥤ B
G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A
G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B
adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B
h : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ A), J.W (whiskerRight (adj₁.unit.app P) F)
P₁ P₂ : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P₁ ⟶ P₂
⊢ J.W f → J.W.inverseImage ((whiskeringRight Cᵒᵖ A B).obj F) f
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.LocallyInjective

Goal state before:
pp: case mp.refine_2
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type w
inst✝¹ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
inst✝ : ConcreteCategory D FD
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : Cᵒᵖ ⥤ D
φ : F₁ ⟶ F₂
a✝ : IsLocallyInjective J φ
X : Cᵒᵖ
x y : ToType (F₁.obj X)
h : equalizerSieve ((ConcreteCategory.hom (φ.app X)) x) ((ConcreteCategory.hom (φ.app X)) y) ∈ J (unop X)
S : Sieve (unop X) := equalizerSieve ((ConcreteCategory.hom (φ.app X)) x) ((ConcreteCategory.hom (φ.app X)) y)
T : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ unop X⦄ → S.arrows f → Sieve Y :=
  fun Y f x_1 ↦ equalizerSieve ((ConcreteCategory.hom (F₁.map f.op)) x) ((ConcreteCategory.hom (F₁.map f.op)) y)
Y : C
⊢ ∀ ⦃f : Y ⟶ unop X⦄,
    (equalizerSieve ((ConcreteCategory.hom (φ.app X)) x) ((ConcreteCategory.hom (φ.app X)) y)).arrows f →
      Sieve.pullback f (Sieve.bind S.arrows T) ∈ J Y

Tactic:
f

Goal state after:
case mp.refine_2
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type w
inst✝¹ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
inst✝ : ConcreteCategory D FD
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : Cᵒᵖ ⥤ D
φ : F₁ ⟶ F₂
a✝ : IsLocallyInjective J φ
X : Cᵒᵖ
x y : ToType (F₁.obj X)
h : equalizerSieve ((ConcreteCategory.hom (φ.app X)) x) ((ConcreteCategory.hom (φ.app X)) y) ∈ J (unop X)
S : Sieve (unop X) := equalizerSieve ((ConcreteCategory.hom (φ.app X)) x) ((ConcreteCategory.hom (φ.app X)) y)
T : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ unop X⦄ → S.arrows f → Sieve Y :=
  fun Y f x_1 ↦ equalizerSieve ((ConcreteCategory.hom (F₁.map f.op)) x) ((ConcreteCategory.hom (F₁.map f.op)) y)
Y : C
f : Y ⟶ unop X
⊢ (equalizerSieve ((ConcreteCategory.hom (φ.app X)) x) ((ConcreteCategory.hom (φ.app X)) y)).arrows f →
    Sieve.pullback f (Sieve.bind S.arrows T) ∈ J Y
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.LocallySurjective

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} A
FA : A → A → Type u_1
CA : A → Type w'
inst✝³ : (X Y : A) → FunLike (FA X Y) (CA X) (CA Y)
inst✝² : ConcreteCategory A FA
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝¹ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)
inst✝ : IsLocallySurjective J f₁
X : Cᵒᵖ
x₁ x₂ : ToType (F₂.obj X)
h : (ConcreteCategory.hom (f₂.app X)) x₁ = (ConcreteCategory.hom (f₂.app X)) x₂
S : Sieve (unop X) := imageSieve f₁ x₁ ⊓ imageSieve f₁ x₂
hS : S ∈ J (unop X)
T : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ unop X) → S.arrows f → Sieve Y :=
  fun Y f hf ↦ equalizerSieve (localPreimage f₁ x₁ f ⋯) (localPreimage f₁ x₂ f ⋯)
Y : C
⊢ ∀ ⦃f : Y ⟶ unop X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f (Sieve.bind S.arrows T) ∈ J Y

Tactic:
f

Goal state after:
case refine_2
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} A
FA : A → A → Type u_1
CA : A → Type w'
inst✝³ : (X Y : A) → FunLike (FA X Y) (CA X) (CA Y)
inst✝² : ConcreteCategory A FA
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝¹ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)
inst✝ : IsLocallySurjective J f₁
X : Cᵒᵖ
x₁ x₂ : ToType (F₂.obj X)
h : (ConcreteCategory.hom (f₂.app X)) x₁ = (ConcreteCategory.hom (f₂.app X)) x₂
S : Sieve (unop X) := imageSieve f₁ x₁ ⊓ imageSieve f₁ x₂
hS : S ∈ J (unop X)
T : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ unop X) → S.arrows f → Sieve Y :=
  fun Y f hf ↦ equalizerSieve (localPreimage f₁ x₁ f ⋯) (localPreimage f₁ x₂ f ⋯)
Y : C
f : Y ⟶ unop X
⊢ S.arrows f → Sieve.pullback f (Sieve.bind S.arrows T) ∈ J Y
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.LocallySurjective

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} A
FA : A → A → Type u_1
CA : A → Type w'
inst✝³ : (X Y : A) → FunLike (FA X Y) (CA X) (CA Y)
inst✝² : ConcreteCategory A FA
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝¹ : IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)
inst✝ : IsLocallyInjective J f₂
X : C
x : ToType (F₂.obj (op X))
S : Sieve X := imageSieve (f₁ ≫ f₂) ((ConcreteCategory.hom (f₂.app (op X))) x)
T : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → S.arrows f → Sieve Y :=
  fun Y f hf ↦
    equalizerSieve
      ((ConcreteCategory.hom (f₁.app (op Y))) (localPreimage (f₁ ≫ f₂) ((ConcreteCategory.hom (f₂.app (op X))) x) f hf))
      ((ConcreteCategory.hom (F₂.map f.op)) x)
Y : C
⊢ ∀ ⦃f : Y ⟶ unop (op X)⦄,
    (imageSieve (f₁ ≫ f₂) ((ConcreteCategory.hom (f₂.app (op X))) x)).arrows f →
      Sieve.pullback f (Sieve.bind S.arrows T) ∈ J Y

Tactic:
f

Goal state after:
case refine_2
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} A
FA : A → A → Type u_1
CA : A → Type w'
inst✝³ : (X Y : A) → FunLike (FA X Y) (CA X) (CA Y)
inst✝² : ConcreteCategory A FA
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝¹ : IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)
inst✝ : IsLocallyInjective J f₂
X : C
x : ToType (F₂.obj (op X))
S : Sieve X := imageSieve (f₁ ≫ f₂) ((ConcreteCategory.hom (f₂.app (op X))) x)
T : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → S.arrows f → Sieve Y :=
  fun Y f hf ↦
    equalizerSieve
      ((ConcreteCategory.hom (f₁.app (op Y))) (localPreimage (f₁ ≫ f₂) ((ConcreteCategory.hom (f₂.app (op X))) x) f hf))
      ((ConcreteCategory.hom (F₂.map f.op)) x)
Y : C
f : Y ⟶ unop (op X)
⊢ (imageSieve (f₁ ≫ f₂) ((ConcreteCategory.hom (f₂.app (op X))) x)).arrows f →
    Sieve.pullback f (Sieve.bind S.arrows T) ∈ J Y
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.LocallySurjective

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
FA : A → A → Type u_1
CA : A → Type w'
inst✝¹ : (X Y : A) → FunLike (FA X Y) (CA X) (CA Y)
inst✝ : ConcreteCategory A FA
F₁ F₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F₁ ⟶ F₂
X : C
⊢ ∀ (s : ToType ((Subfunctor.sheafify J (Subfunctor.range f)).toFunctor.obj (op X))),
    imageSieve (Subfunctor.toRangeSheafify J f) s ∈ J X

Tactic:
rintro ⟨s, hs⟩

Goal state after:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
FA : A → A → Type u_1
CA : A → Type w'
inst✝¹ : (X Y : A) → FunLike (FA X Y) (CA X) (CA Y)
inst✝ : ConcreteCategory A FA
F₁ F₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F₁ ⟶ F₂
X : C
s : F₂.obj (op X)
hs : s ∈ (Subfunctor.sheafify J (Subfunctor.range f)).obj (op X)
⊢ imageSieve (Subfunctor.toRangeSheafify J f) ⟨s, hs⟩ ∈ J X
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.LocallySurjective

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
FA : A → A → Type u_1
CA : A → Type w'
inst✝¹ : (X Y : A) → FunLike (FA X Y) (CA X) (CA Y)
inst✝ : ConcreteCategory A FA
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max u v)
U✝ : C
x : ToType ((J.plusObj P).obj (op U✝))
⊢ imageSieve (J.toPlus P) x ∈ J U✝

Tactic:
obtain ⟨S, x, rfl⟩ := exists_rep x

Goal state after:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
FA : A → A → Type u_1
CA : A → Type w'
inst✝¹ : (X Y : A) → FunLike (FA X Y) (CA X) (CA Y)
inst✝ : ConcreteCategory A FA
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max u v)
U✝ : C
S : J.Cover U✝
x : Meq P S
⊢ imageSieve (J.toPlus P) (Plus.mk x) ∈ J U✝
Module: Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Projective.Dimension

Goal state before:
pp: case succ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
n : ℕ
h₁ : HasProjectiveDimensionLT S.X₁ n
h₂ : HasProjectiveDimensionLT S.X₂ (n + 1)
this : HasExt C := HasExt.standard C
i : ℕ
hi : n + 1 ≤ i + 1
Y : C
x₃ : Ext S.X₃ Y (i + 1)
⊢ x₃ = 0

Tactic:
obtain ⟨x₁, rfl⟩ := Ext.contravariant_sequence_exact₃ hS _ x₃
      (Ext.eq_zero_of_hasProjectiveDimensionLT _ (n + 1) hi) (add_comm _ _)

Goal state after:
case succ
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
n : ℕ
h₁ : HasProjectiveDimensionLT S.X₁ n
h₂ : HasProjectiveDimensionLT S.X₂ (n + 1)
this : HasExt C := HasExt.standard C
i : ℕ
hi : n + 1 ≤ i + 1
Y : C
x₁ : Ext S.X₁ Y i
⊢ hS.extClass.comp x₁ ⋯ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y✝ : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y✝
r r' : ↑(R.obj.obj X)
m m' : ↑(A.obj.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X)
hS : S ∈ J (Opposite.unop X)
r₀ : Presieve.FamilyOfElements (R₀ ⋙ forget RingCat) S.arrows
m₀ : Presieve.FamilyOfElements (M₀.presheaf ⋙ forget Ab) S.arrows
hr₀ : (r₀.map (whiskerRight α (forget RingCat))).IsAmalgamation r
hm₀ : (m₀.map (whiskerRight φ (forget Ab))).IsAmalgamation m
a : ↑(A.obj.obj X)
ha : ((r₀.smul m₀).map (whiskerRight φ (forget Ab))).IsAmalgamation a
Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
a₀ : ↑(R₀.obj Y)
ha₀ : (ConcreteCategory.hom (α.app Y)) a₀ = (ConcreteCategory.hom (R.obj.map f)) r
b₀ : ↑(M₀.obj Y)
hb₀ : (ConcreteCategory.hom (φ.app Y)) b₀ = (ConcreteCategory.hom (A.obj.map f)) m
Z : C
g : Z ⟶ Opposite.unop Y
hg : S.arrows (g ≫ f.unop)
⊢ (ConcreteCategory.hom (α.app (Opposite.op Z))) (r₀ (g ≫ f.unop) hg) =
    (ConcreteCategory.hom (α.app (Opposite.op Z))) ((ConcreteCategory.hom (R₀.map g.op)) a₀)

Tactic:
rw [← RingCat.comp_apply, NatTrans.naturality, RingCat.comp_apply, ha₀]
      apply (hr₀ _ hg).symm.trans
      simp

Goal state after: