Module: Mathlib.Analysis.Convex.Join

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
y : E
hyt : y ∈ t
hy : (p * b₁ + q * b₂) • y = (p * b₁) • y₁ + (q * b₂) • y₂
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_1, ∃ (_ : i_1 ∈ t), p • (a₁ • x₁ + b₁ • y₁) + q • (a₂ • x₂ + b₂ • y₂) ∈ [i -[𝕜] i_1]

Tactic:
refine ⟨_, hxs, _, hyt, p * a₁ + q * a₂, p * b₁ + q * b₂, ?_, ?_, ?_, ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
y : E
hyt : y ∈ t
hy : (p * b₁ + q * b₂) • y = (p * b₁) • y₁ + (q * b₂) • y₂
⊢ 0 ≤ p * a₁ + q * a₂

case refine_2
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
y : E
hyt : y ∈ t
hy : (p * b₁ + q * b₂) • y = (p * b₁) • y₁ + (q * b₂) • y₂
⊢ 0 ≤ p * b₁ + q * b₂

case refine_3
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
y : E
hyt : y ∈ t
hy : (p * b₁ + q * b₂) • y = (p * b₁) • y₁ + (q * b₂) • y₂
⊢ p * a₁ + q * a₂ + (p * b₁ + q * b₂) = 1

case refine_4
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ t
a₁ b₁ : 𝕜
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₁ : 0 ≤ b₁
hab₁ : a₁ + b₁ = 1
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ t
a₂ b₂ : 𝕜
ha₂ : 0 ≤ a₂
hb₂ : 0 ≤ b₂
hab₂ : a₂ + b₂ = 1
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : E
hxs : x ∈ s
hx : (p * a₁ + q * a₂) • x = (p * a₁) • x₁ + (q * a₂) • x₂
y : E
hyt : y ∈ t
hy : (p * b₁ + q * b₂) • y = (p * b₁) • y₁ + (q * b₂) • y₂
⊢ (p * a₁ + q * a₂) • x + (p * b₁ + q * b₂) • y = p • (a₁ • x₁ + b₁ • y₁) + q • (a₂ • x₂ + b₂ • y₂)