mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝² : IsLocalizedModule S g
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hf : Function.Bijective ⇑((IsLocalizedModule.map S f g) l)
e : M' ≃ₗ[R] N' := LinearEquiv.ofBijective ((IsLocalizedModule.map S f g) l) hf
l' : N →ₗ[R] M
s₀ : ↥S
H : f ∘ₗ l' = s₀ • ↑e.symm ∘ₗ g
H₁ : g ∘ₗ l ∘ₗ l' = g ∘ₗ (s₀ • LinearMap.id)
s₁ : ↥S
hs₁ : s₁ • l ∘ₗ l' = s₁ • s₀ • LinearMap.id
⊢ s₀ • (↑e.symm ∘ₗ g) ∘ₗ l = f ∘ₗ (s₀ • LinearMap.id)

Tactic:
LinearMap.comp_assoc,

Goal state after:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝² : IsLocalizedModule S g
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hf : Function.Bijective ⇑((IsLocalizedModule.map S f g) l)
e : M' ≃ₗ[R] N' := LinearEquiv.ofBijective ((IsLocalizedModule.map S f g) l) hf
l' : N →ₗ[R] M
s₀ : ↥S
H : f ∘ₗ l' = s₀ • ↑e.symm ∘ₗ g
H₁ : g ∘ₗ l ∘ₗ l' = g ∘ₗ (s₀ • LinearMap.id)
s₁ : ↥S
hs₁ : s₁ • l ∘ₗ l' = s₁ • s₀ • LinearMap.id
⊢ s₀ • ↑e.symm ∘ₗ g ∘ₗ l = f ∘ₗ (s₀ • LinearMap.id)
Module: Mathlib.Algebra.Module.PID

Goal state before:
pp: case h.succ.refine_2
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : Module R M],
    IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p) →
      ∀ (s : Fin d → M), Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → M ⧸ R ∙ s j := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
⊢ Submodule.span R (Set.range s') = ⊤

Tactic:
have hs' := congr_arg (Submodule.map <| mkQ <| R ∙ s j) hs
      rw [Submodule.map_span, Submodule.map_top, range_mkQ] at hs'; simp only [mkQ_apply] at hs'
      simp only [s']; rw [← Function.comp_assoc, Set.range_comp (_ ∘ s), Fin.range_succAbove]
      rw [← Set.range_comp, ← Set.insert_image_compl_eq_range _ j, Function.comp_apply,
        (Quotient.mk_eq_zero _).mpr (Submodule.mem_span_singleton_self _),
        Submodule.span_insert_zero] at hs'
      exact hs'

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Basic

Goal state before:
pp: case a
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Presentation R S ι σ
x : MvPolynomial ι T
y : σ
hy : (fun i ↦ (MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation i)) y = x
Z : TensorProduct.includeRight ((aeval P.val) (P.relation y)) = 0
⊢ (aeval (Generators.baseChange T P.toGenerators).val) (P.relation y) =
    TensorProduct.includeRight.toRingHom ((aeval P.val) (P.relation y))

Tactic:
map_aeval,

Goal state after:
case a
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Presentation R S ι σ
x : MvPolynomial ι T
y : σ
hy : (fun i ↦ (MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation i)) y = x
Z : TensorProduct.includeRight ((aeval P.val) (P.relation y)) = 0
⊢ (aeval (Generators.baseChange T P.toGenerators).val) (P.relation y) =
    (eval₂Hom (TensorProduct.includeRight.comp (algebraMap R S)) fun i ↦ TensorProduct.includeRight.toRingHom (P.val i))
      (P.relation y)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: case mpr
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
α : ↥LieSubalgebra.root
J : LieIdeal K L := ⋯
⊢ (rootSystem H).root α ∈ q → α ∈ J.rootSet

Tactic:
intro hα
    calc rootSpace H (α : Weight K H L)
        ≤ sl2SubmoduleOfRoot (H.isNonZero_coe_root α) := by
          rw [sl2SubmoduleOfRoot_eq_sup]; exact le_sup_of_le_left le_sup_left
      _ ≤ ⨆ x : {β : Weight K H L // ↑β ∈ q ∧ β.IsNonZero}, sl2SubmoduleOfRoot x.2.2 :=
          le_iSup_of_le ⟨↑α, hα, H.isNonZero_coe_root α⟩ le_rfl
      _ = J.restr H := (restr_invtSubmoduleToLieIdeal_eq_iSup q hq).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P✝ : Generators R S ι
ι' : Type u_1
T : Type ?u.18
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
s : T
x : P.Ring
⊢ (aeval (⇑(algebraMap S T) ∘ P.val)) x = (algebraMap S T) ((aeval P.val) x)

Tactic:
map_aeval,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P✝ : Generators R S ι
ι' : Type u_1
T : Type ?u.18
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
s : T
x : P.Ring
⊢ (aeval (⇑(algebraMap S T) ∘ P.val)) x =
    (eval₂Hom ((algebraMap S T).comp (algebraMap R S)) fun i ↦ (algebraMap S T) (P.val i)) x
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁶ : CommRing R'
inst✝⁵ : CommRing S'
inst✝⁴ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
f : P.Hom P'
x : S
y : Ω[P.Ring⁄R]
⊢ x • (↑P.Ring ((TensorProduct.mk P'.Ring S' Ω[P'.Ring⁄R']) 1) ∘ₗ KaehlerDifferential.map R R' P.Ring P'.Ring) y =
    (algebraMap S S') x ⊗ₜ[P'.Ring] (KaehlerDifferential.map R R' P.Ring P'.Ring) y

Tactic:
LinearMap.coe_comp,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁶ : CommRing R'
inst✝⁵ : CommRing S'
inst✝⁴ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
f : P.Hom P'
x : S
y : Ω[P.Ring⁄R]
⊢ x • (⇑(↑P.Ring ((TensorProduct.mk P'.Ring S' Ω[P'.Ring⁄R']) 1)) ∘ ⇑(KaehlerDifferential.map R R' P.Ring P'.Ring)) y =
    (algebraMap S S') x ⊗ₜ[P'.Ring] (KaehlerDifferential.map R R' P.Ring P'.Ring) y
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
x : ↥Q.ker
| ↑x

Tactic:
rw [← x.1.support_sum_monomial_coeff]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
x : ↥Q.ker
| ∑ v ∈ support ↑x, (monomial v) (coeff v ↑x)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝²³ : CommRing R
inst✝²² : CommRing S
inst✝²¹ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²⁰ : CommRing R'
inst✝¹⁹ : CommRing S'
inst✝¹⁸ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝¹⁷ : Algebra R R'
inst✝¹⁶ : Algebra S S'
inst✝¹⁵ : Algebra R S'
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R R' S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹³ : CommRing R''
inst✝¹² : CommRing S''
inst✝¹¹ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹⁰ : Algebra R R''
inst✝⁹ : Algebra S S''
inst✝⁸ : Algebra R S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R R' R''
inst✝¹ : IsScalarTower S S' S''
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
x : P.Cotangent
hx : P'.cotangentComplex ((Cotangent.map f) x) = (CotangentSpace.map f) 0
⊢ (CotangentSpace.map f) 0 = 0

Tactic:
exact LinearMap.map_zero _

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Support

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
⊢ p ∈ support R M ↔ ∃ m, (R ∙ m).annihilator ≤ p.asIdeal

Tactic:
rw [Module.mem_support_iff']
  simp_rw [not_imp_not, SetLike.le_def, Submodule.mem_annihilator_span_singleton]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Fin.Parity

Goal state before:
pp: n : ℕ
inst✝ : NeZero (n + n)
l : Fin (n + n)
⊢ Odd (2 * ↑l + 1)

Tactic:
Nat.odd_add_one,

Goal state after:
n : ℕ
inst✝ : NeZero (n + n)
l : Fin (n + n)
⊢ ¬Odd (2 * ↑l)
Module: Mathlib.Algebra.Module.SpanRankOperations

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsLocalRing R
N : Submodule R M
fg : N.FG
⊢ N.spanFinrank = Module.finrank (R ⧸ maximalIdeal R) (↥N ⧸ maximalIdeal R • ⊤)

Tactic:
by
  let : Module 𝓀 (N ⧸ maximalIdeal R • (⊤ : Submodule R N)) :=
    inferInstanceAs (Module (R ⧸ maximalIdeal R) _)
  let : IsScalarTower R 𝓀 (N ⧸ maximalIdeal R • (⊤ : Submodule R N)) :=
    inferInstanceAs (IsScalarTower R (R ⧸ maximalIdeal R) _)
  rw [← spanFinrank_top_eq_of_residueField N fg, ← Module.finrank_eq_spanFinrank_of_free]
  let e : 𝓀 ⊗[R] N ≃ₗ[𝓀] N ⧸ (maximalIdeal R) • (⊤ : Submodule R N) :=
    (quotTensorEquivQuotSMul N (maximalIdeal R)).extendScalarsOfSurjective residue_surjective
  exact e.finrank_eq

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Skeleton

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
D : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} D
inst✝¹ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
e : C ≌ D
inst✝ : e.functor.Monoidal
hC : Skeletal C
hD : Skeletal D
⊢ let x := monoidOfSkeletalMonoidal hC;
  let x_1 := monoidOfSkeletalMonoidal hD;
  C ≃* D

Tactic:
intros; exact
  { toFun := e.functor.obj
    invFun := e.inverse.obj
    left_inv X := hC ⟨(e.unitIso.app X).symm⟩
    right_inv X := hD ⟨e.counitIso.app X⟩
    map_mul' X Y := hD ⟨(Monoidal.μIso e.functor X Y).symm⟩ }

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
⊢ Function.Surjective ⇑(↑(LinearEquiv.ofEq (M.mulMap N).range (M * N) ⋯) ∘ₗ (M.mulMap N).rangeRestrict)

Tactic:
LinearMap.coe_comp,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
⊢ Function.Surjective (⇑↑(LinearEquiv.ofEq (M.mulMap N).range (M * N) ⋯) ∘ ⇑(M.mulMap N).rangeRestrict)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
N : Submodule R S
y : R
n : ↥N
⊢ ↑((↑(LinearEquiv.ofEq ((Subalgebra.toSubmodule ⊥).mulMap N).range N ⋯) ∘ₗ
          ((Subalgebra.toSubmodule ⊥).mulMap N).rangeRestrict)
        ((algebraMap R ↥⊥) y ⊗ₜ[R] n)) =
    ↑(y • n)

Tactic:
LinearMap.coe_comp,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
N : Submodule R S
y : R
n : ↥N
⊢ ↑((⇑↑(LinearEquiv.ofEq ((Subalgebra.toSubmodule ⊥).mulMap N).range N ⋯) ∘
          ⇑((Subalgebra.toSubmodule ⊥).mulMap N).rangeRestrict)
        ((algebraMap R ↥⊥) y ⊗ₜ[R] n)) =
    ↑(y • n)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M : Submodule R S
y : R
m : ↥M
⊢ ↑((↑(LinearEquiv.ofEq (M.mulMap (Subalgebra.toSubmodule ⊥)).range M ⋯) ∘ₗ
          (M.mulMap (Subalgebra.toSubmodule ⊥)).rangeRestrict)
        (m ⊗ₜ[R] (algebraMap R ↥⊥) y)) =
    ↑(y • m)

Tactic:
LinearMap.coe_comp,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M : Submodule R S
y : R
m : ↥M
⊢ ↑((⇑↑(LinearEquiv.ofEq (M.mulMap (Subalgebra.toSubmodule ⊥)).range M ⋯) ∘
          ⇑(M.mulMap (Subalgebra.toSubmodule ⊥)).rangeRestrict)
        (m ⊗ₜ[R] (algebraMap R ↥⊥) y)) =
    ↑(y • m)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
m : Basis ι R ↥M
H :
  Function.Injective
    ⇑(M.mulMap N ∘ₗ ↑((TensorProduct.finsuppScalarLeft R (↥N) ι).symm ≪≫ₗ LinearEquiv.rTensor (↥N) m.repr.symm))
⊢ M.LinearDisjoint N

Tactic:
LinearMap.coe_comp,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
m : Basis ι R ↥M
H :
  Function.Injective
    (⇑(M.mulMap N) ∘ ⇑↑((TensorProduct.finsuppScalarLeft R (↥N) ι).symm ≪≫ₗ LinearEquiv.rTensor (↥N) m.repr.symm))
⊢ M.LinearDisjoint N
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
n : Basis ι R ↥N
H :
  Function.Injective
    ⇑(M.mulMap N ∘ₗ ↑((TensorProduct.finsuppScalarRight R R (↥M) ι).symm ≪≫ₗ LinearEquiv.lTensor (↥M) n.repr.symm))
⊢ M.LinearDisjoint N

Tactic:
LinearMap.coe_comp,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
n : Basis ι R ↥N
H :
  Function.Injective
    (⇑(M.mulMap N) ∘ ⇑↑((TensorProduct.finsuppScalarRight R R (↥M) ι).symm ≪≫ₗ LinearEquiv.lTensor (↥M) n.repr.symm))
⊢ M.LinearDisjoint N
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : Basis κ R ↥M
n : Basis ι R ↥N
i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm
i1 : ↥M ⊗[R] ↥N ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := TensorProduct.congr m.repr n.repr
i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ ↑(i0 ≪≫ₗ i1.symm)
this : i = Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2)
H : Function.Injective ⇑(M.mulMap N ∘ₗ ↑(i0 ≪≫ₗ i1.symm))
⊢ M.LinearDisjoint N

Tactic:
LinearMap.coe_comp,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : Basis κ R ↥M
n : Basis ι R ↥N
i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm
i1 : ↥M ⊗[R] ↥N ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := TensorProduct.congr m.repr n.repr
i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ ↑(i0 ≪≫ₗ i1.symm)
this : i = Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2)
H : Function.Injective (⇑(M.mulMap N) ∘ ⇑↑(i0 ≪≫ₗ i1.symm))
⊢ M.LinearDisjoint N
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Flat R ↥N
ι : Type u_1
m : ι → ↥M
hm : LinearIndependent R m
⊢ Function.Injective
    ⇑(M.mulMap N ∘ₗ
        LinearMap.rTensor (↥N) (Finsupp.linearCombination R m) ∘ₗ ↑(TensorProduct.finsuppScalarLeft R (↥N) ι).symm)

Tactic:
LinearMap.coe_comp,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Flat R ↥N
ι : Type u_1
m : ι → ↥M
hm : LinearIndependent R m
⊢ Function.Injective
    (⇑(M.mulMap N) ∘
      ⇑(LinearMap.rTensor (↥N) (Finsupp.linearCombination R m)) ∘ ⇑↑(TensorProduct.finsuppScalarLeft R (↥N) ι).symm)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Flat R ↥M
ι : Type u_1
n : ι → ↥N
hn : LinearIndependent R n
⊢ Function.Injective
    ⇑(M.mulMap N ∘ₗ
        LinearMap.lTensor (↥M) (Finsupp.linearCombination R n) ∘ₗ ↑(TensorProduct.finsuppScalarRight R R (↥M) ι).symm)

Tactic:
LinearMap.coe_comp,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Flat R ↥M
ι : Type u_1
n : ι → ↥N
hn : LinearIndependent R n
⊢ Function.Injective
    (⇑(M.mulMap N) ∘
      ⇑(LinearMap.lTensor (↥M) (Finsupp.linearCombination R n)) ∘ ⇑↑(TensorProduct.finsuppScalarRight R R (↥M) ι).symm)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
E : Type u_9
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module R E
F : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
inst✝ : DecidableEq ι
z : R
f : (i : ι) → s i
i : ι
r : R
⊢ (z, update f i (r • f i)).1 • φ (z, update f i (r • f i)).2 = (r * z, f).1 • φ (r * z, f).2

Tactic:
by simp [φ.map_update_smul, smul_smul, mul_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst✝ : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
n : ℕ
hn0 : n ≠ 0
h : ann.minimalPrimes.Finite
hn : (I ⊓ (h.toFinset.erase I).inf id) ^ n ≤ ann
⊢ ∃ n, n ≠ 0 ∧ ∃ J, I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I

Tactic:
grw [← Ideal.mul_le_inf, mul_pow] at hn

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst✝ : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
n : ℕ
hn0 : n ≠ 0
h : ann.minimalPrimes.Finite
hn : I ^ n * (h.toFinset.erase I).inf id ^ n ≤ ann
⊢ ∃ n, n ≠ 0 ∧ ∃ J, I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i ≃ₗ[R] t i
m : (i : ι) → s i
⊢ (congr f) ((tprod R) m) = ⨂ₜ[R] (i : ι), (f i) (m i)

Tactic:
by
  simp only [congr, LinearEquiv.coe_ofLinearMap, map_tprod, LinearEquiv.coe_coe]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsGCDMonoid R
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.arbitrary (NormalizedGCDMonoid R)
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
T : Finset R
hTK : ↑T ⊆ ↑K
hxT : x ∈ J * span ↑T
⊢ Submodule.IsPrincipal J

Tactic:
set K' : Ideal R := span T

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsGCDMonoid R
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.arbitrary (NormalizedGCDMonoid R)
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
T : Finset R
hTK : ↑T ⊆ ↑K
K' : Ideal R := span ↑T
hxT : x ∈ J * K'
⊢ Submodule.IsPrincipal J
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsGCDMonoid R
J : Ideal R
this✝ : NormalizedGCDMonoid R := Classical.arbitrary (NormalizedGCDMonoid R)
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
T : Finset R
hTK : ↑T ⊆ ↑K
K' : Ideal R := span ↑T
g : R := T.gcd id
hK' : K' ≤ span {g}
y : R
hyJ : y ∈ J
hJK : J * K = R ∙ y * g
hxmemJK : y * g ∈ J * K
hxT : y * g ∈ J * K'
hxJg : y * g ∈ J * span {g}
this : J * span {g} = span {y} * span {g}
hx0 : g = 0
⊢ y * g = 0

Tactic:
rw [hx0, mul_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsGCDMonoid R
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.arbitrary (NormalizedGCDMonoid R)
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
T : Finset R
hTK : ↑T ⊆ ↑K
K' : Ideal R := span ↑T
hxT : x ∈ J * K'
g : R := T.gcd id
hK' : K' ≤ span {g}
hxJg : x ∈ J * span {g}
hx0 : x ≠ 0
b : R
hb : b ∈ J
z : R
hz : g * z ∈ span {g}
c : R
hc : c ∈ T
⊢ normalize b * id c ∈ J * K

Tactic:
normalize_apply

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsGCDMonoid R
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.arbitrary (NormalizedGCDMonoid R)
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
T : Finset R
hTK : ↑T ⊆ ↑K
K' : Ideal R := span ↑T
hxT : x ∈ J * K'
g : R := T.gcd id
hK' : K' ≤ span {g}
hxJg : x ∈ J * span {g}
hx0 : x ≠ 0
b : R
hb : b ∈ J
z : R
hz : g * z ∈ span {g}
c : R
hc : c ∈ T
⊢ b * ↑(normUnit b) * id c ∈ J * K