mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u
inst✝ : Field F
W : Projective F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
⊢ W.Nonsingular P ↔ W.Equation P ∧ ((eval P) W.polynomialX ≠ 0 ∨ (eval P) W.polynomialY ≠ 0)

Tactic:
by
  rw [nonsingular_of_Z_ne_zero hPz, Affine.Nonsingular, ← equation_of_Z_ne_zero hPz,
    ← eval_polynomialX_of_Z_ne_zero hPz, div_ne_zero_iff, and_iff_left <| pow_ne_zero 2 hPz,
    ← eval_polynomialY_of_Z_ne_zero hPz, div_ne_zero_iff, and_iff_left <| pow_ne_zero 2 hPz]

Goal state after:
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Point

Goal state before:
pp: case pos
F : Type u
inst✝¹ : Field F
W : Projective F
inst✝ : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
⊢ toAffine W (W.add P Q) = toAffine W Q

Tactic:
rw [add_of_Z_eq_zero hP hQ hPz hQz, toAffine_smul _ <| (isUnit_Y_of_Z_eq_zero hP hPz).pow 4,
        toAffine_zero, toAffine_of_Z_eq_zero hQz]

Goal state after:
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Basic

Goal state before:
pp: R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W' : Projective R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
A : Type u
inst✝⁸ : CommRing A
B : Type v
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra S A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
hf : Function.Injective ⇑f
P : Fin 3 → A
⊢ (W'⁄B).Equation (⇑↑f ∘ P) ↔ (W'⁄A).Equation P

Tactic:
← map_equation _ hf,

Goal state after:
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W' : Projective R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
A : Type u
inst✝⁸ : CommRing A
B : Type v
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra S A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
hf : Function.Injective ⇑f
P : Fin 3 → A
⊢ (W'⁄B).Equation (⇑↑f ∘ P) ↔ ((W'⁄A).map f.toRingHom).Equation (⇑f.toRingHom ∘ P)
Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.GrothendieckTopology

Goal state before:
pp: ⊢ uliftFunctor.IsContinuous grothendieckTopology grothendieckTopology

Tactic:
apply Functor.isContinuous_toGrothendieck_of_pullbacksPreservedBy
  apply precoverage_le_comap_uliftFunctor

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.RingHom.Unramified

Goal state before:
pp: ⊢ OfLocalizationPrime fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ FormallyUnramified

Tactic:
intro R S _ _ f H

Goal state after:
R S : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
H :
  ∀ (J : Ideal S) (x : J.IsPrime),
    (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ FormallyUnramified) (Localization.localRingHom (Ideal.comap f J) J f ⋯)
⊢ f.FormallyUnramified
Module: Mathlib.RingTheory.Smooth.Pi

Goal state before:
pp: case intro.mp
R : Type u_1
I : Type u_2
A : I → Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : (i : I) → CommRing (A i)
inst✝¹ : (i : I) → Algebra R (A i)
inst✝ : Finite I
val✝ : Fintype I
⊢ FormallySmooth R ((i : I) → A i) → ∀ (i : I), FormallySmooth R (A i)

pp: case intro.mpr
R : Type u_1
I : Type u_2
A : I → Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : (i : I) → CommRing (A i)
inst✝¹ : (i : I) → Algebra R (A i)
inst✝ : Finite I
val✝ : Fintype I
⊢ (∀ (i : I), FormallySmooth R (A i)) → FormallySmooth R ((i : I) → A i)

Tactic:
· exact fun _ ↦ of_pi A

Goal state after:
case intro.mpr
R : Type u_1
I : Type u_2
A : I → Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : (i : I) → CommRing (A i)
inst✝¹ : (i : I) → Algebra R (A i)
inst✝ : Finite I
val✝ : Fintype I
⊢ (∀ (i : I), FormallySmooth R (A i)) → FormallySmooth R ((i : I) → A i)
Module: Mathlib.RingTheory.Unramified.Pi

Goal state before:
pp: R : Type u_1
I : Type u_2
inst✝⁵ : Finite I
f : I → Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : (i : I) → CommRing (f i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (f i)
val✝ : Fintype I
H : ∀ (i : I), FormallyUnramified R (f i)
B : Type (max u_2 u_3)
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R B
J : Ideal B
hJ : J ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : ((i : I) → f i) →ₐ[R] B
e✝ : (Ideal.Quotient.mkₐ R J).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R J).comp f₂
g : (i : I) → f i
x : I
hf : ∀ (x : (i : I) → f i), f₁ x - f₂ x ∈ J
e : (i : I) → f i := ⋯
he : IsIdempotentElem e
h₁ : f₁ e * (1 - f₂ e) = 0
h₂ : f₂ e * (1 - f₁ e) = 0
⊢ f₁ e * f₂ e = f₂ e

Tactic:
rw [eq_comm, ← sub_eq_zero, ← h₂, mul_sub, mul_one, mul_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Kaehler.TensorProduct

Goal state before:
pp: case tmul
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra S B
inst✝¹ : IsScalarTower R A B
inst✝ : IsScalarTower R S B
r : R
x✝ : S
y✝ : Ω[A⁄R]
⊢ (algebraMap R A) r • x✝ ⊗ₜ[R] y✝ = r • x✝ ⊗ₜ[R] y✝

pp: case add
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra S B
inst✝¹ : IsScalarTower R A B
inst✝ : IsScalarTower R S B
r : R
x✝ y✝ : S ⊗[R] Ω[A⁄R]
a✝¹ : (algebraMap R A) r • x✝ = r • x✝
a✝ : (algebraMap R A) r • y✝ = r • y✝
⊢ (algebraMap R A) r • (x✝ + y✝) = r • (x✝ + y✝)

Tactic:
· rw [mulActionBaseChange_smul_tmul, algebraMap_smul, tmul_smul]

Goal state after:
case add
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra S B
inst✝¹ : IsScalarTower R A B
inst✝ : IsScalarTower R S B
r : R
x✝ y✝ : S ⊗[R] Ω[A⁄R]
a✝¹ : (algebraMap R A) r • x✝ = r • x✝
a✝ : (algebraMap R A) r • y✝ = r • y✝
⊢ (algebraMap R A) r • (x✝ + y✝) = r • (x✝ + y✝)
Module: Mathlib.RingTheory.Etale.Field

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K A
inst✝² : EssFiniteType K A
inst✝¹ : FormallyEtale K A
p : Ideal A
inst✝ : p.IsPrime
this✝² : Module.Finite K A
this✝¹ : IsArtinianRing A
this✝ : IsReduced A
this : Field (A ⧸ p) := Ideal.Quotient.field p
⊢ Algebra.IsSeparable K (A ⧸ p)

Tactic:
← Algebra.FormallyEtale.iff_isSeparable

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K A
inst✝² : EssFiniteType K A
inst✝¹ : FormallyEtale K A
p : Ideal A
inst✝ : p.IsPrime
this✝² : Module.Finite K A
this✝¹ : IsArtinianRing A
this✝ : IsReduced A
this : Field (A ⧸ p) := Ideal.Quotient.field p
⊢ FormallyEtale K (A ⧸ p)
Module: Mathlib.RingTheory.Smooth.Local

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsLocalRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing P
inst✝⁸ : Algebra R P
inst✝⁷ : Algebra P S
inst✝⁶ : IsScalarTower R P S
inst✝⁵ : Algebra S K
inst✝⁴ : Algebra P K
inst✝³ : IsScalarTower P S K
inst✝² : FormallySmooth R P
inst✝¹ : Module.Free P Ω[P⁄R]
inst✝ : Module.Finite P Ω[P⁄R]
h₁ : Function.Surjective ⇑(algebraMap P S)
h₂ : (RingHom.ker (algebraMap P S)).FG
h₃ : maximalIdeal S ≤ RingHom.ker (algebraMap S K)
f : ResidueField S →ₐ[S] K := Ideal.Quotient.liftₐ (maximalIdeal S) (ofId S K) h₃
this✝¹ : Algebra (ResidueField S) K := f.toAlgebra
this✝ : IsScalarTower S (ResidueField S) K
this : IsScalarTower P (ResidueField S) K
x✝ : ↥(RingHom.ker (algebraMap P S))
⊢ (↑P ↑(AlgebraTensorModule.cancelBaseChange P (ResidueField S) K K Ω[P⁄R]) ∘ₗ
        ↑P (LinearMap.baseChange K (cotangentComplexBaseChange R S P (ResidueField S))) ∘ₗ
          ↑P ↑(AlgebraTensorModule.cancelBaseChange P (ResidueField S) K K ↥(RingHom.ker (algebraMap P S))).symm)
      (1 ⊗ₜ[P] x✝) =
    (↑P (cotangentComplexBaseChange R S P K)) (1 ⊗ₜ[P] x✝)

Tactic:
LinearMap.coe_comp,

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsLocalRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing P
inst✝⁸ : Algebra R P
inst✝⁷ : Algebra P S
inst✝⁶ : IsScalarTower R P S
inst✝⁵ : Algebra S K
inst✝⁴ : Algebra P K
inst✝³ : IsScalarTower P S K
inst✝² : FormallySmooth R P
inst✝¹ : Module.Free P Ω[P⁄R]
inst✝ : Module.Finite P Ω[P⁄R]
h₁ : Function.Surjective ⇑(algebraMap P S)
h₂ : (RingHom.ker (algebraMap P S)).FG
h₃ : maximalIdeal S ≤ RingHom.ker (algebraMap S K)
f : ResidueField S →ₐ[S] K := Ideal.Quotient.liftₐ (maximalIdeal S) (ofId S K) h₃
this✝¹ : Algebra (ResidueField S) K := f.toAlgebra
this✝ : IsScalarTower S (ResidueField S) K
this : IsScalarTower P (ResidueField S) K
x✝ : ↥(RingHom.ker (algebraMap P S))
⊢ (⇑(↑P ↑(AlgebraTensorModule.cancelBaseChange P (ResidueField S) K K Ω[P⁄R])) ∘
        ⇑(↑P (LinearMap.baseChange K (cotangentComplexBaseChange R S P (ResidueField S)))) ∘
          ⇑(↑P ↑(AlgebraTensorModule.cancelBaseChange P (ResidueField S) K K ↥(RingHom.ker (algebraMap P S))).symm))
      (1 ⊗ₜ[P] x✝) =
    (↑P (cotangentComplexBaseChange R S P K)) (1 ⊗ₜ[P] x✝)
Module: Mathlib.RingTheory.Smooth.Fiber

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Module.Flat R S
inst✝⁴ : FinitePresentation R S
p : Ideal R
q : Ideal S
inst✝³ : p.IsPrime
inst✝² : q.IsPrime
inst✝¹ : q.LiesOver p
inst✝ : FormallySmooth p.ResidueField (p.Fiber S)
⊢ IsSmoothAt R q

Tactic:
let Rp := Localization.AtPrime p

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Module.Flat R S
inst✝⁴ : FinitePresentation R S
p : Ideal R
q : Ideal S
inst✝³ : p.IsPrime
inst✝² : q.IsPrime
inst✝¹ : q.LiesOver p
inst✝ : FormallySmooth p.ResidueField (p.Fiber S)
Rp : Type u_1 := Localization.AtPrime p
⊢ IsSmoothAt R q
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
h : Function.Surjective ⇑((I • ⊤).mkQ ∘ₗ f)
y : AdicCompletion I N
n : ℕ
xn : { m // Submodule.Quotient.mk (f m) = (eval I N n) y }
⊢ { m // Submodule.Quotient.mk (f m) = (eval I N (n + 1)) y }

Tactic:
choose z hz using exists_smodEq_pow_smul_top_and_mkQ_eq h
          (y' := eval _ _ (n + 1) y) (by simp) xn.2
      exact ⟨z, hz.2⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Algebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
s : R ⧸ I • ⊤
x : M ⧸ I • ⊤
⊢ (r • s) • x = r • s • x

Tactic:
induction s, x using Quotient.inductionOn₂' with

Goal state after:
case h
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r s : R
x : M
⊢ (r • Quotient.mk'' s) • Quotient.mk'' x = r • Quotient.mk'' s • Quotient.mk'' x
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.AsTensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ (↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm ∘ₗ ↑(piEquivOfFintype I fun x ↦ R)) ∘ₗ
      ofTensorProduct I (ι → R) =
    LinearMap.id

Tactic:
LinearMap.comp_assoc,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm ∘ₗ
      ↑(piEquivOfFintype I fun x ↦ R) ∘ₗ ofTensorProduct I (ι → R) =
    LinearMap.id
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Submersive

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
ι' : Type u_1
σ' : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
Q : PreSubmersivePresentation S T ι' σ'
P : PreSubmersivePresentation R S ι σ
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype σ'
i : σ'
j : σ
⊢ (Q.comp P).jacobiMatrix (Sum.inl i) (Sum.inr j) = 0

Tactic:
rw [jacobiMatrix_apply]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
ι' : Type u_1
σ' : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
Q : PreSubmersivePresentation S T ι' σ'
P : PreSubmersivePresentation R S ι σ
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype σ'
i : σ'
j : σ
⊢ (pderiv ((Q.comp P).map (Sum.inl i))) ((Q.comp P).relation (Sum.inr j)) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Exact

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
K : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup K
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R K
inst✝ : Module R P
f : K →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
p q : Submodule R M
hpq : IsCompl p q
hmap : map g q = ⊤
⊢ Set.SurjOn (⇑(p.projectionOnto q hpq ∘ₗ f)) Set.univ Set.univ

Tactic:
LinearMap.coe_comp,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
K : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup K
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R K
inst✝ : Module R P
f : K →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
p q : Submodule R M
hpq : IsCompl p q
hmap : map g q = ⊤
⊢ Set.SurjOn (⇑(p.projectionOnto q hpq) ∘ ⇑f) Set.univ Set.univ
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Exact

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
K : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup K
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R K
inst✝ : Module R P
f : K →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hf : Function.Injective ⇑f
p q : Submodule R M
hpq : IsCompl p q
hker : Disjoint g.ker q
hmap : map g q = ⊤
⊢ Function.Injective ⇑(p.projectionOnto q hpq ∘ₗ f)

Tactic:
LinearMap.coe_comp,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
K : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup K
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R K
inst✝ : Module R P
f : K →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hf : Function.Injective ⇑f
p q : Submodule R M
hpq : IsCompl p q
hker : Disjoint g.ker q
hmap : map g q = ⊤
⊢ Function.Injective (⇑(p.projectionOnto q hpq) ∘ ⇑f)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Exact

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
K : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup K
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R K
inst✝² : Module R P
f : K →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hf : Function.Injective ⇑f
q : Submodule R M
E : Type u_8
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
i : E →ₗ[R] M
hi : Function.Injective ⇑i
h : IsCompl i.range q
hker : Disjoint g.ker q
hmap : Submodule.map g q = ⊤
⊢ Function.Bijective ⇑((↑(LinearEquiv.ofInjective i hi).symm ∘ₗ i.range.projectionOnto q h) ∘ₗ f)

Tactic:
LinearMap.comp_assoc,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
K : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup K
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R K
inst✝² : Module R P
f : K →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hf : Function.Injective ⇑f
q : Submodule R M
E : Type u_8
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
i : E →ₗ[R] M
hi : Function.Injective ⇑i
h : IsCompl i.range q
hker : Disjoint g.ker q
hmap : Submodule.map g q = ⊤
⊢ Function.Bijective ⇑(↑(LinearEquiv.ofInjective i hi).symm ∘ₗ i.range.projectionOnto q h ∘ₗ f)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Exact

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
K : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup K
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R K
inst✝² : Module R P
f : K →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hf : Function.Injective ⇑f
q : Submodule R M
E : Type u_8
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
i : E →ₗ[R] M
hi : Function.Injective ⇑i
h : IsCompl i.range q
hker : Disjoint g.ker q
hmap : Submodule.map g q = ⊤
⊢ Function.Bijective ⇑(↑(LinearEquiv.ofInjective i hi).symm ∘ₗ i.range.projectionOnto q h ∘ₗ f)

Tactic:
LinearMap.coe_comp,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
K : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup K
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R K
inst✝² : Module R P
f : K →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hf : Function.Injective ⇑f
q : Submodule R M
E : Type u_8
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
i : E →ₗ[R] M
hi : Function.Injective ⇑i
h : IsCompl i.range q
hker : Disjoint g.ker q
hmap : Submodule.map g q = ⊤
⊢ Function.Bijective (⇑↑(LinearEquiv.ofInjective i hi).symm ∘ ⇑(i.range.projectionOnto q h ∘ₗ f))
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Core

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Finite σ
P : SubmersivePresentation R S ι σ
R₀ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R₀
inst✝³ : Algebra R₀ R
inst✝² : Algebra R₀ S
inst✝¹ : IsScalarTower R₀ R S
inst✝ : P.HasCoeffs R₀
⊢ (MvPolynomial.aeval P.val) (P.jacobianOfHasCoeffs R₀) = P.jacobian

Tactic:
classical
  let : Fintype σ := Fintype.ofFinite _
  rw [← MvPolynomial.aeval_map_algebraMap R, map_jacobianOfHasCoeffs,
    P.jacobian_eq_jacobiMatrix_det, Generators.algebraMap_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Smooth.StandardSmoothCotangent

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Finite σ
P : SubmersivePresentation R S ι σ
r x✝ : σ
⊢ P.cotangentEquiv (Cotangent.mk ⟨P.relation r, ⋯⟩) x✝ = P.cotangentEquiv (P.basisCotangent r) x✝

Tactic:
simp_rw [basisCotangent, Basis.map_apply, LinearEquiv.apply_symm_apply, basisDeriv_apply]

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Finite σ
P : SubmersivePresentation R S ι σ
r x✝ : σ
⊢ P.cotangentEquiv (Cotangent.mk ⟨P.relation r, ⋯⟩) x✝ = (aeval P.val) ((pderiv (P.map x✝)) (P.relation r))
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basis

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ✝ : Type u_3
ι : Type u_4
P : Generators R S ι
σ : Type u_5
b : Module.Basis σ S P.toExtension.Cotangent
D : Aux P b
⊢ Function.Surjective ⇑(algebraMap D.T S)

pp: case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ✝ : Type u_3
ι : Type u_4
P : Generators R S ι
σ : Type u_5
b : Module.Basis σ S P.toExtension.Cotangent
D : Aux P b
⊢ Function.Surjective ⇑(algebraMap P.Ring D.T)

pp: case refine_3
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ✝ : Type u_3
ι : Type u_4
P : Generators R S ι
σ : Type u_5
b : Module.Basis σ S P.toExtension.Cotangent
D : Aux P b
⊢ IsUnit ((algebraMap P.Ring S) D.g)

Tactic:
· refine .of_comp (g := algebraMap P.Ring D.T) ?_
    convert! P.algebraMap_surjective
    ext x
    exact (IsScalarTower.algebraMap_apply _ D.T S x).symm

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ✝ : Type u_3
ι : Type u_4
P : Generators R S ι
σ : Type u_5
b : Module.Basis σ S P.toExtension.Cotangent
D : Aux P b
⊢ Function.Surjective ⇑(algebraMap P.Ring D.T)

case refine_3
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ✝ : Type u_3
ι : Type u_4
P : Generators R S ι
σ : Type u_5
b : Module.Basis σ S P.toExtension.Cotangent
D : Aux P b
⊢ IsUnit ((algebraMap P.Ring S) D.g)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basis

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : FinitePresentation R S
α : Type u_4
P : Generators R S α
inst✝ : Finite α
σ : Type u_5
b₀ : Module.Basis σ S P.toExtension.Cotangent
h✝ : Nontrivial S
f : P.toExtension.Cotangent → ↥P.toExtension.ker
hf : ∀ (b : P.toExtension.Cotangent), Extension.Cotangent.mk (f b) = b
v : σ → ↥P.ker := fun i ↦ f (b₀ i)
J : Ideal P.Ring := Ideal.span (Set.range (Subtype.val ∘ v))
hJfg : P.ker.FG
hJ : J ≤ P.ker
⊢ ⊤ ≤ Submodule.comap (Submodule.subtype P.ker) (J ⊔ P.ker • P.ker)

Tactic:
Submodule.comap_sup_of_injective P.ker.subtype_injective (by simpa using hJ)
    (by simp [Ideal.mul_le_right]),

Goal state after:
case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : FinitePresentation R S
α : Type u_4
P : Generators R S α
inst✝ : Finite α
σ : Type u_5
b₀ : Module.Basis σ S P.toExtension.Cotangent
h✝ : Nontrivial S
f : P.toExtension.Cotangent → ↥P.toExtension.ker
hf : ∀ (b : P.toExtension.Cotangent), Extension.Cotangent.mk (f b) = b
v : σ → ↥P.ker := fun i ↦ f (b₀ i)
J : Ideal P.Ring := Ideal.span (Set.range (Subtype.val ∘ v))
hJfg : P.ker.FG
hJ : J ≤ P.ker
⊢ ⊤ ≤ Submodule.comap (Submodule.subtype P.ker) J ⊔ Submodule.comap (Submodule.subtype P.ker) (P.ker • P.ker)
Module: Mathlib.RingTheory.Smooth.NoetherianDescent

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
A : Type u
B : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
n : ℕ
inst✝ : IsStandardSmoothOfRelativeDimension n A B
⊢ ∃ A₀ B₀ x x_1, A₀.FG ∧ IsStandardSmoothOfRelativeDimension n (↥A₀) B₀ ∧ Nonempty (B ≃ₐ[A] A ⊗[↥A₀] B₀)

Tactic:
obtain ⟨ι, σ, _, _, P, hP⟩ := IsStandardSmoothOfRelativeDimension.out (n := n) (R := A) (S := B)
  let A₀ := Algebra.adjoin R P.coeffs
  have : P.HasCoeffs A₀ := ⟨by simp [A₀]⟩
  exact ⟨A₀, (P.ModelOfHasCoeffs A₀:), inferInstance, inferInstance,
    ⟨P.finite_coeffs.toFinset, by simp [A₀]⟩, ⟨_, _, _, inferInstance,
      P.ofHasCoeffs A₀, hP⟩, ⟨(P.tensorModelOfHasCoeffsEquiv A₀).symm⟩⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.FlatDescent

Goal state before:
pp: case refine_2
P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : P.IsStableUnderBaseChange
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q
h :
  RingHom.CodescendsAlong (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q) fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦
    RingHom.FaithfullyFlat
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
hf₁ : Surjective (Spec.map f)
hf₂ : Flat (Spec.map f)
⊢ (CommRingCat.Hom.hom f).Flat

Tactic:
rwa [HasRingHomProperty.Spec_iff (P := @Flat)] at hf₂

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.IntegralClosure.GoingDown

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
H : q ∣ p
i✝ : ℕ
hi : i✝ ≠ q.natDegree
P : Ideal R
hPJ : Ideal.span {x | ∃ i < p.natDegree, p.coeff i = x} ≤ P
hP : P.IsPrime
i : ℕ
⊢ (map (Ideal.Quotient.mk P) p).coeff i = (X ^ p.natDegree).coeff i

Tactic:
obtain hi | rfl | hi := lt_trichotomy i p.natDegree

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
H : q ∣ p
i✝ : ℕ
hi✝ : i✝ ≠ q.natDegree
P : Ideal R
hPJ : Ideal.span {x | ∃ i < p.natDegree, p.coeff i = x} ≤ P
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < p.natDegree
⊢ (map (Ideal.Quotient.mk P) p).coeff i = (X ^ p.natDegree).coeff i

case inr.inl
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
H : q ∣ p
i : ℕ
hi : i ≠ q.natDegree
P : Ideal R
hPJ : Ideal.span {x | ∃ i < p.natDegree, p.coeff i = x} ≤ P
hP : P.IsPrime
⊢ (map (Ideal.Quotient.mk P) p).coeff p.natDegree = (X ^ p.natDegree).coeff p.natDegree

case inr.inr
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
H : q ∣ p
i✝ : ℕ
hi✝ : i✝ ≠ q.natDegree
P : Ideal R
hPJ : Ideal.span {x | ∃ i < p.natDegree, p.coeff i = x} ≤ P
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : p.natDegree < i
⊢ (map (Ideal.Quotient.mk P) p).coeff i = (X ^ p.natDegree).coeff i