mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝ : P.IsRootSystem
q : ↥P.invtRootSubmodule
h : q = ⊤
⊢ range ⇑P.root ⊆ ↑↑q

Tactic:
simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Int.ConditionallyCompleteOrder

Goal state before:
pp: s : Set ℤ
h : ¬BddAbove s
⊢ ¬(s.Nonempty ∧ BddAbove s)

Tactic:
simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Int.ConditionallyCompleteOrder

Goal state before:
pp: s : Set ℤ
h : ¬BddBelow s
⊢ ¬(s.Nonempty ∧ BddBelow s)

Tactic:
simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Int.ConditionallyCompleteOrder

Goal state before:
pp: s : Set ℤ
h1 : s.Nonempty
h2 : BddAbove s
⊢ sSup s = ↑((Classical.choose h2).greatestOfBdd ⋯ h1)

pp: s : Set ℤ
h1 : s.Nonempty
h2 : BddAbove s
⊢ DecidablePred (Membership.mem s)

Tactic:
exact dif_pos ⟨h1, h2⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Int.ConditionallyCompleteOrder

Goal state before:
pp: s : Set ℤ
h1 : s.Nonempty
h2 : BddBelow s
⊢ sInf s = ↑((Classical.choose h2).leastOfBdd ⋯ h1)

pp: s : Set ℤ
h1 : s.Nonempty
h2 : BddBelow s
⊢ DecidablePred (Membership.mem s)

Tactic:
exact dif_pos ⟨h1, h2⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
K : Type u_5
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NeZero 2
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝ : P.IsRootSystem
q : Submodule K M
h₀ : q ≠ ⊥
h₁ : ∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)
h₂ : ∀ (Φ : Set ι), Φ.Nonempty → ⇑P.root '' Φ ⊆ ↑q → (∀ i ∉ Φ, q ≤ ker (P.coroot' i)) → Φ = univ
b : ∀ i ∈ ∅, ¬Disjoint q (K ∙ P.root i)
c : ∀ i ∉ ∅, q ≤ ker (P.coroot' i)
⊢ q ≤ ⨅ i, ker (P.coroot' i)

Tactic:
simpa using! c

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : Module.IsReflexive R N
this : IsAddTorsionFree M
hli : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h₁ : P.pairingIn ℤ i j = 1
⊢ P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root

pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : Module.IsReflexive R N
this : IsAddTorsionFree M
hli : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h₁ : P.pairingIn ℤ j i = 1
⊢ P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root

Tactic:
· replace h₁ : P.pairing i j = 1 := by simpa [← P.algebraMap_pairingIn ℤ]
        exact ⟨P.reflectionPerm j i, by simpa [h₁] using P.reflection_apply_root j i⟩

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : Module.IsReflexive R N
this : IsAddTorsionFree M
hli : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h₁ : P.pairingIn ℤ j i = 1
⊢ P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
f : ι → ℤ
hf : ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j ∈ range ⇑P.root
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
⊢ ¬0 ≤ f ↔ f < 0

Tactic:
replace hf : ∑ j ∈ b.support, (-f) j • P.root j ∈ range P.root := by
    rw [← neg_mem_range_root_iff]; simpa
  have := b.not_nonpos_iff_pos_of_sum_mem_range_root (-f) hf (by simpa)
  simp_all

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i j = 0 ↔ ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ∨ P.root j - P.root i ∉ range ⇑P.root

pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i j = 0 ↔ ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ∨ P.root j - P.root i ∉ range ⇑P.root

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i j = 0 ↔ ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ∨ P.root j - P.root i ∉ range ⇑P.root

case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i j = 0 ↔ ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ∨ P.root j - P.root i ∉ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : P.IsRootSystem
⊢ ⊤ ≤ span R (range fun x ↦ P.root ↑x)

Tactic:
by
    change ⊤ ≤ span R (range <| P.root ∘ ((↑) : b.support → ι))
    simp [range_comp]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h✝ : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h : chainBotCoeff i j = 0
⊢ ∀ (x : ℕ), x ≤ chainBotCoeff i j ↔ x = 0

Tactic:
simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
B : P.InvariantForm
inst✝ : P.IsIrreducible
i j j' : ι
h₁ : (B.form (P.root j')) (P.root j') = (B.form (P.root j)) (P.root j)
h₂ : P.pairingIn ℤ i j' = 0
⊢ (B.form (P.root i)) (P.root j') = 0

Tactic:
replace h₂ : P.pairing i j' = 0 := by rw [← P.algebraMap_pairingIn ℤ, h₂, map_zero]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
B : P.InvariantForm
inst✝ : P.IsIrreducible
i j j' : ι
h₁ : (B.form (P.root j')) (P.root j') = (B.form (P.root j)) (P.root j)
h₂ : P.pairing i j' = 0
⊢ (B.form (P.root i)) (P.root j') = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
B : P.InvariantForm
inst✝ : P.IsIrreducible
h : (B.form (P.root i)) (P.root i) ≠ (B.form (P.root j)) (P.root j)
k : ι
this : Nonempty ι
i' j' : ι
h' :
  ∀ (k : ι),
    (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root i')) (P.root i') ∨
      (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j')) (P.root j')
⊢ (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root i)) (P.root i) ∨
    (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j)) (P.root j)

Tactic:
rcases h' i with hi | hi

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
B : P.InvariantForm
inst✝ : P.IsIrreducible
h : (B.form (P.root i)) (P.root i) ≠ (B.form (P.root j)) (P.root j)
k : ι
this : Nonempty ι
i' j' : ι
h' :
  ∀ (k : ι),
    (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root i')) (P.root i') ∨
      (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j')) (P.root j')
hi : (B.form (P.root i)) (P.root i) = (B.form (P.root i')) (P.root i')
⊢ (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root i)) (P.root i) ∨
    (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j)) (P.root j)

case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
B : P.InvariantForm
inst✝ : P.IsIrreducible
h : (B.form (P.root i)) (P.root i) ≠ (B.form (P.root j)) (P.root j)
k : ι
this : Nonempty ι
i' j' : ι
h' :
  ∀ (k : ι),
    (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root i')) (P.root i') ∨
      (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j')) (P.root j')
hi : (B.form (P.root i)) (P.root i) = (B.form (P.root j')) (P.root j')
⊢ (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root i)) (P.root i) ∨
    (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j)) (P.root j)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i (chainTopIdx i j) = chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ∧ chainTopCoeff i (chainTopIdx i j) = 0

pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i (chainTopIdx i j) = chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ∧ chainTopCoeff i (chainTopIdx i j) = 0

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i (chainTopIdx i j) = chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ∧ chainTopCoeff i (chainTopIdx i j) = 0

case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i (chainTopIdx i j) = chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ∧ chainTopCoeff i (chainTopIdx i j) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i (chainTopIdx i j) = chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ∧ chainTopCoeff i (chainTopIdx i j) = 0

Tactic:
have h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root (P.chainTopIdx i j)] := by rwa [← aux]

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
⊢ chainBotCoeff i (chainTopIdx i j) = chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ∧ chainTopCoeff i (chainTopIdx i j) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : P.IsCrystallographic
i : ι
h₀ : b.IsPos i
contra : ∀ j ∈ b.support, P.pairingIn ℤ j i ≤ 0
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
hf₁ : 0 < f
⊢ (∑ x ∈ b.support, f x • P.toLinearMap (P.root x)) (P.coroot i) =
    ∑ x ∈ b.support, f x • (algebraMap ℤ R) (P.pairingIn ℤ x i)

Tactic:
LinearMap.coe_sum,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : P.IsCrystallographic
i : ι
h₀ : b.IsPos i
contra : ∀ j ∈ b.support, P.pairingIn ℤ j i ≤ 0
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
hf₁ : 0 < f
⊢ (∑ i ∈ b.support, ⇑(f i • P.toLinearMap (P.root i))) (P.coroot i) =
    ∑ x ∈ b.support, f x • (algebraMap ℤ R) (P.pairingIn ℤ x i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : P.IsReduced
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ≤ 3

pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : P.IsReduced
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ≤ 3

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : P.IsReduced
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ≤ 3

case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : P.IsReduced
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ≤ 3
Module: Mathlib.Data.Int.Star

Goal state before:
pp: ⊢ closure (range fun x ↦ x * x) = nonneg ℤ

Tactic:
simpa only [sq] using addSubmonoid_closure_range_pow even_two

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
h : f ≈ g
ε : α
ε0 : 0 < ε
x✝ : ℕ
H : ∀ j ≥ x✝, abv (↑(f - g) j) < ε / 2 ∧ ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ x✝
k : ℕ
jk : k ≥ j
⊢ abv (↑f k - ↑g j) < ε

Tactic:
let ⟨h₁, h₂⟩ := H _ ij

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
h : f ≈ g
ε : α
ε0 : 0 < ε
x✝ : ℕ
H : ∀ j ≥ x✝, abv (↑(f - g) j) < ε / 2 ∧ ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ x✝
k : ℕ
jk : k ≥ j
h₁ : abv (↑(f - g) j) < ε / 2
h₂ : ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2
⊢ abv (↑f k - ↑g j) < ε
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
nk : ∀ x > 0, ∀ (x_1 : ℕ), ∃ x_2, ∃ (_ : x_2 ≥ x_1), abv (↑f x_2) < x
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
hj : abv (↑f j) < ε / 2
k : ℕ
jk : k ≥ j
this : abv (↑f k - ↑f j + ↑f j) < ε / 2 + ε / 2
⊢ abv (↑f k) < ε

Tactic:
rwa [sub_add_cancel, add_halves] at this

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
h : f.LimZero
⊢ (f - 0).LimZero

Tactic:
simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Vec

Goal state before:
pp: m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommMonoid R
inst✝³ : Mul R
inst✝² : Star R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
A B : Matrix m n R
⊢ (A.map star).vec ⬝ᵥ B.vec = (Aᴴ * B).trace

Tactic:
vec_dotProduct_vec,

Goal state after:
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommMonoid R
inst✝³ : Mul R
inst✝² : Star R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
A B : Matrix m n R
⊢ ((A.map star)ᵀ * B).trace = (Aᴴ * B).trace
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Hermitian

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝² : AddMonoid α
inst✝¹ : StarAddMonoid α
inst✝ : DecidableEq n
M : n → Matrix m m α
⊢ (blockDiagonal M).IsHermitian ↔ ∀ (i : n), (M i).IsHermitian

Tactic:
by
  simpa [IsHermitian] using isHermitian_blockDiagonal'_iff

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: case succ.succ.inr
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
IH : ∀ (m : ℕ), A⁻¹ ^ m * A ^ n = A ^ n * A⁻¹ ^ m
m : ℕ
h : A⁻¹ = 0
⊢ A⁻¹ ^ (m + 1) * A ^ (n + 1) = A ^ (n + 1) * A⁻¹ ^ (m + 1)

Tactic:
simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0
⊢ 0 ^ ↑n = 0

Tactic:
by
    rw [zpow_natCast, zero_pow]
    exact mod_cast h

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: n : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype n
R : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : TrivialStar R
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n R
hM : M.PosDef
⊢ QuadraticMap.PosDef M.toQuadraticForm'

Tactic:
intro x hx
  simpa [Matrix.toQuadraticForm', toLinearMap₂'_apply'] using hM.dotProduct_mulVec_pos hx

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Minpoly

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type v
M : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
μ : R
x : M
p✝ : R[X]
h : f.HasEigenvector μ x
p q : R[X]
hp : ((aeval f) p) x = eval μ p • x
hq : ((aeval f) q) x = eval μ q • x
⊢ ((aeval f) (p + q)) x = eval μ (p + q) • x

Tactic:
simp [hp, hq, add_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: S : Type u
inst✝¹ : Semiring S
T : Type v
inst✝ : Semiring T
f : S →+* T
n : ℕ
t : T
⊢ eval t (ascPochhammer T n) = eval₂ f t (ascPochhammer S n)

Tactic:
← ascPochhammer_map f

Goal state after:
S : Type u
inst✝¹ : Semiring S
T : Type v
inst✝ : Semiring T
f : S →+* T
n : ℕ
t : T
⊢ eval t (map f (ascPochhammer S n)) = eval₂ f t (ascPochhammer S n)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: S : Type u
inst✝¹ : Semiring S
T : Type v
inst✝ : Semiring T
f : S →+* T
n : ℕ
t : T
⊢ eval t (map f (ascPochhammer S n)) = eval₂ f t (ascPochhammer S n)

Tactic:
exact eval_map f t

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case succ
S : Type u_1
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : PartialOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
s : S
n : ℕ
ih : ↑n - 1 ≤ s → (s - ↑n + 1) ^ n ≤ eval s (descPochhammer S n)
h : ↑(n + 1) - 1 ≤ s
⊢ (s - ↑(n + 1) + 1) ^ (n + 1) ≤ eval s (descPochhammer S (n + 1))

Tactic:
rw [Nat.cast_add_one, add_sub_cancel_right, ← sub_nonneg] at h

Goal state after:
case succ
S : Type u_1
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : PartialOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
s : S
n : ℕ
ih : ↑n - 1 ≤ s → (s - ↑n + 1) ^ n ≤ eval s (descPochhammer S n)
h : 0 ≤ s - ↑n
⊢ (s - ↑(n + 1) + 1) ^ (n + 1) ≤ eval s (descPochhammer S (n + 1))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: case e'_3
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
⊢ v i ≠ v j

Tactic:
rw [Ne, ← basisDivisor_eq_zero_iff]

Goal state after:
case e'_3
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
⊢ ¬basisDivisor (v i) (v j) = 0