mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.BaseChange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
s : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}
this : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s
⊢ ↑(baseChange A ⁅I, N⁆) = ↑⁅baseChange A I, baseChange A N⁆

Tactic:
coe_baseChange,

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
s : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}
this : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s
⊢ Submodule.baseChange A ↑⁅I, N⁆ = ↑⁅baseChange A I, baseChange A N⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent L M
x : L
⊢ ∃ k, (toEnd R L M) x ^ k = 0

Tactic:
have := exists_forall_pow_toEnd_eq_zero R L M

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent L M
x : L
this : ∃ k, ∀ (x : L), (toEnd R L M) x ^ k = 0
⊢ ∃ k, (toEnd R L M) x ^ k = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Engel

Goal state before:
pp: R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
h : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
L' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range
y : L
⊢ IsNilpotent ↑⟨↑(toEnd R L M) y, ⋯⟩

Tactic:
simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Algebraic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
F E : IntermediateField K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
h_le : F ≤ E
h_finrank : finrank (↥F) L ≤ finrank (↥E) L
⊢ finrank K ↥E ≤ finrank K ↥F

Tactic:
have h1 := finrank_mul_finrank K F L

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
F E : IntermediateField K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
h_le : F ≤ E
h_finrank : finrank (↥F) L ≤ finrank (↥E) L
h1 : finrank K ↥F * finrank (↥F) L = finrank K L
⊢ finrank K ↥E ≤ finrank K ↥F
Module: Mathlib.FieldTheory.Fixed

Goal state before:
pp: case h
G : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : Finite G
f : G →* Gal(F/↥(subfield G F)) := MulSemiringAction.toAlgAut G (↥(subfield G F)) F
Q : Type u_2 := G ⧸ f.ker
x✝ : MulSemiringAction Q F := MulSemiringAction.compHom F (QuotientGroup.kerLift f)
g₁ g₂ : G
h : ∀ (a : F), ⟦g₁⟧ • a = ⟦g₂⟧ • a
⊢ ⟦g₁⟧ = ⟦g₂⟧

Tactic:
QuotientGroup.eq,

Goal state after:
case h
G : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : Finite G
f : G →* Gal(F/↥(subfield G F)) := MulSemiringAction.toAlgAut G (↥(subfield G F)) F
Q : Type u_2 := G ⧸ f.ker
x✝ : MulSemiringAction Q F := MulSemiringAction.compHom F (QuotientGroup.kerLift f)
g₁ g₂ : G
h : ∀ (a : F), ⟦g₁⟧ • a = ⟦g₂⟧ • a
⊢ g₁⁻¹ * g₂ ∈ f.ker
Module: Mathlib.FieldTheory.SplittingField.IsSplittingField

Goal state before:
pp: K : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : ⊤ = ⊥
⊢ (Polynomial.map
      ((RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).trans (RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).symm).toRingHom
      f).Splits

Tactic:
RingEquiv.toRingHom_trans,

Goal state after:
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
f : K[X]
inst✝ : IsSplittingField K L f
h : ⊤ = ⊥
⊢ (Polynomial.map
      ((RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).symm.toRingHom.comp
        (RingEquiv.ofBijective (algebraMap K L) ⋯).toRingHom)
      f).Splits
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: L : Type u_2
inst✝ : Field L
F : Subfield L
x : L
⊢ x ∈ Set.range ⇑(algebraMap (↥F) L) → x ∈ F

Tactic:
rintro ⟨y, rfl⟩

Goal state after:
L : Type u_2
inst✝ : Field L
F : Subfield L
y : ↥F
⊢ (algebraMap (↥F) L) y ∈ F
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
L₁ L₂ : Lifts F E K
⊢ L₁ < L₂ ↔ L₁ ≤ L₂ ∧ L₁.carrier ≠ L₂.carrier

Tactic:
lt_iff_le_and_ne,

Goal state after:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
L₁ L₂ : Lifts F E K
⊢ L₁ ≤ L₂ ∧ L₁ ≠ L₂ ↔ L₁ ≤ L₂ ∧ L₁.carrier ≠ L₂.carrier
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
L₁ L₂ : Lifts F E K
c : Set (Lifts F E K)
hc✝ : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
t : ↑(insert ⊥ c) → IntermediateField F E := fun i ↦ (↑i).carrier
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (insert ⊥ c)
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) t
i j : ↑(insert ⊥ c)
h : (t i).toSubalgebra ≤ (t j).toSubalgebra
x : ↥(↑i).carrier
hji : ↑j ≤ ↑i
⊢ (↑i).emb x = ((↑j).emb.comp (Subalgebra.inclusion h)) x

Tactic:
rw [AlgHom.comp_apply, ← inclusion]
      dsimp only [coe_type_toSubalgebra]
      rw [← hji.snd (inclusion h x), inclusion_inclusion, inclusion_self, AlgHom.id_apply x]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: M : Type w
inst✝¹ : Field M
inst✝ : IsAlgClosed M
p : M[X]
hp : p.natDegree ≠ 0
x : M
⊢ ∃ a, (fun x ↦ eval x p) a = x

Tactic:
← Nat.pos_iff_ne_zero,

Goal state after:
M : Type w
inst✝¹ : Field M
inst✝ : IsAlgClosed M
p : M[X]
hp : 0 < p.natDegree
x : M
⊢ ∃ a, (fun x ↦ eval x p) a = x
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: case inl
F : Type u_1
F' : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field F'
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F F'
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : IsAlgClosed F'
h✝ : finrank F F' = 2
emb : E →ₐ[F] F'
e : E ≃ₐ[F] ↥⊥
this : IsSimpleOrder (Subalgebra F F')
h : emb.range = ⊥
⊢ Nonempty (E ≃ₐ[F] F) ∨ Nonempty (E ≃ₐ[F] F')

pp: case inr
F : Type u_1
F' : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field F'
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F F'
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : IsAlgClosed F'
h✝ : finrank F F' = 2
emb : E →ₐ[F] F'
e : E ≃ₐ[F] ↥⊤
this : IsSimpleOrder (Subalgebra F F')
h : emb.range = ⊤
⊢ Nonempty (E ≃ₐ[F] F) ∨ Nonempty (E ≃ₐ[F] F')

Tactic:
exacts [.inl ⟨e.trans <| Algebra.botEquiv ..⟩, .inr ⟨e.trans Subalgebra.topEquiv⟩]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝¹⁸ : Field k
K✝ : Type u
inst✝¹⁷ : Field K✝
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra K✝ L
inst✝¹⁴ : Field M
inst✝¹³ : Algebra K✝ M
inst✝¹² : IsAlgClosed M
inst✝¹¹ : Algebra.IsAlgebraic K✝ L
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
S : Type v
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R M
inst✝⁴ : IsTorsionFree R S
inst✝³ : IsTorsionFree R M
inst✝² : Algebra.IsAlgebraic R S
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsAlgClosed K
hfin : Fintype K
n : ℕ := Fintype.card K
⊢ False

Tactic:
set f := (X : K[X]) ^ (n + 1) - 1

Goal state after:
k : Type u
inst✝¹⁸ : Field k
K✝ : Type u
inst✝¹⁷ : Field K✝
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra K✝ L
inst✝¹⁴ : Field M
inst✝¹³ : Algebra K✝ M
inst✝¹² : IsAlgClosed M
inst✝¹¹ : Algebra.IsAlgebraic K✝ L
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
S : Type v
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R M
inst✝⁴ : IsTorsionFree R S
inst✝³ : IsTorsionFree R M
inst✝² : Algebra.IsAlgebraic R S
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsAlgClosed K
hfin : Fintype K
n : ℕ := Fintype.card K
f : K[X] := X ^ (n + 1) - 1
⊢ False
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : IntermediateField F K
halg : Algebra.IsAlgebraic F E ∨ Algebra.IsAlgebraic F ↥L
h : (adjoin E ↑L.toSubalgebra).toSubalgebra = Algebra.adjoin E ↑L.toSubalgebra
⊢ Module.rank E ↥(adjoin E ↑L) ≤ Module.rank F ↥L

Tactic:
have := L.toSubalgebra.adjoin_rank_le E

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : IntermediateField F K
halg : Algebra.IsAlgebraic F E ∨ Algebra.IsAlgebraic F ↥L
h : (adjoin E ↑L.toSubalgebra).toSubalgebra = Algebra.adjoin E ↑L.toSubalgebra
this : Module.rank E ↥(Algebra.adjoin E ↑L.toSubalgebra) ≤ Module.rank F ↥L.toSubalgebra
⊢ Module.rank E ↥(adjoin E ↑L) ≤ Module.rank F ↥L
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Triangularizable

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
⊢ m μ ∈ p

pp: case neg
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∉ m.support
⊢ m μ ∈ p

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∉ m.support
⊢ m μ ∈ p

case pos
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
⊢ m μ ∈ p
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝¹ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this✝ : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ :
  Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) =
    minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
this : (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯)⟮root p⟯ = ⊤
⊢ finrank (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) Kx = (minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)).natDegree

Tactic:
← finrank_top',

Goal state after:
K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝¹ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this✝ : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ :
  Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) =
    minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
this : (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯)⟮root p⟯ = ⊤
⊢ finrank ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ ↥⊤ = (minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)).natDegree
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝¹ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this✝ : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ :
  Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) =
    minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
key₂' : finrank (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) Kx = g.natDegree
this : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ * finrank (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) Kx = finrank K Kx
⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree

Tactic:
rwa [key₁', key₂', (AdjoinRoot.powerBasis hp₁.ne_zero).finrank, powerBasis_dim, eq_comm] at this

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Pi

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
f : ι → End K M
h : ∀ (i j : ι) (φ : K), MapsTo ⇑(f i) ↑((f j).maxGenEigenspace φ) ↑((f j).maxGenEigenspace φ)
h' : ∀ (i : ι), ⨆ μ, (f i).maxGenEigenspace μ = ⊤
⊢ ⨆ χ, ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i) = ⊤

Tactic:
by
  generalize h_dim : finrank K M = n
  induction n using Nat.strongRecOn generalizing M with | ind n ih => ?_
  obtain this | ⟨i : ι, hy : ¬ ∃ φ, (f i).maxGenEigenspace φ = ⊤⟩ :=
    forall_or_exists_not (fun j : ι ↦ ∃ φ : K, (f j).maxGenEigenspace φ = ⊤)
  · choose χ hχ using this
    replace hχ : ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i) = ⊤ := by simpa
    simp_rw [eq_top_iff] at hχ ⊢
    exact le_trans hχ <| le_iSup (fun χ : ι → K ↦ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i)) χ
  · replace hy : ∀ φ, finrank K ((f i).maxGenEigenspace φ) < n := fun φ ↦ by
      simp_rw [not_exists, ← lt_top_iff_ne_top] at hy; exact h_dim ▸ Submodule.finrank_lt (hy φ).ne
    have hi (j : ι) (φ : K) :
        MapsTo (f j) ((f i).maxGenEigenspace φ) ((f i).maxGenEigenspace φ) := by
      exact h j i φ
    replace ih (φ : K) :
        ⨆ χ : ι → K, ⨅ j, maxGenEigenspace ((f j).restrict (hi j φ)) (χ j) = ⊤ := by
      apply ih _ (hy φ)
      · intro j k μ
        exact mapsTo_restrict_maxGenEigenspace_restrict_of_mapsTo (f j) (f k) _ _ (h j k μ)
      · exact fun j ↦ Module.End.genEigenspace_restrict_eq_top _ (h' j)
      · rfl
    replace ih (φ : K) :
        ⨆ (χ : ι → K) (_ : χ i = φ), ⨅ j, maxGenEigenspace ((f j).restrict (hi j φ)) (χ j) = ⊤ := by
      suffices ∀ χ : ι → K, χ i ≠ φ → ⨅ j, maxGenEigenspace ((f j).restrict (hi j φ)) (χ j) = ⊥ by
        specialize ih φ; rw [iSup_split, biSup_congr this] at ih; simpa using ih
      intro χ hχ
      rw [eq_bot_iff, ← ((f i).maxGenEigenspace φ).ker_subtype, LinearMap.ker,
        ← Submodule.map_le_iff_le_comap, ← Submodule.inf_iInf_maxGenEigenspace_of_forall_mapsTo,
        ← disjoint_iff_inf_le]
      exact ((f i).disjoint_genEigenspace hχ.symm _ _).mono_right (iInf_le _ i)
    replace ih (φ : K) :
        ⨆ (χ : ι → K) (_ : χ i = φ), ⨅ j, maxGenEigenspace (f j) (χ j) =
        maxGenEigenspace (f i) φ := by
      have (χ : ι → K) (hχ : χ i = φ) : ⨅ j, maxGenEigenspace (f j) (χ j) =
          (⨅ j, maxGenEigenspace ((f j).restrict (hi j φ)) (χ j)).map
            ((f i).maxGenEigenspace φ).subtype := by
        rw [← hχ, iInf_maxGenEigenspace_restrict_map_subtype_eq]
      simp_rw [biSup_congr this, ← Submodule.map_iSup, ih, Submodule.map_top,
        Submodule.range_subtype]
    simpa only [← ih, iSup_comm (ι := K), iSup_iSup_eq_right] using h' i

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
s : Set (↥H → R)
hs : ∀ χ₁ ∈ s, ∀ χ₂ ∈ s, χ₁ + χ₂ ∈ s
x : L
m : M
hm : m ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ
χ₁ : ↥H → R
u : L
hu : u ∈ ⨆ (_ : χ₁ ∈ s), rootSpace H χ₁
hχ₁ : χ₁ ∈ s
⊢ ⁅u, m⁆ ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ

pp: case neg
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
s : Set (↥H → R)
hs : ∀ χ₁ ∈ s, ∀ χ₂ ∈ s, χ₁ + χ₂ ∈ s
x : L
m : M
hm : m ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ
χ₁ : ↥H → R
u : L
hu : u ∈ ⨆ (_ : χ₁ ∈ s), rootSpace H χ₁
hχ₁ : χ₁ ∉ s
⊢ ⁅u, m⁆ ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
s : Set (↥H → R)
hs : ∀ χ₁ ∈ s, ∀ χ₂ ∈ s, χ₁ + χ₂ ∈ s
x : L
m : M
hm : m ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ
χ₁ : ↥H → R
u : L
hu : u ∈ ⨆ (_ : χ₁ ∈ s), rootSpace H χ₁
hχ₁ : χ₁ ∉ s
⊢ ⁅u, m⁆ ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ

case pos
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
s : Set (↥H → R)
hs : ∀ χ₁ ∈ s, ∀ χ₂ ∈ s, χ₁ + χ₂ ∈ s
x : L
m : M
hm : m ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ
χ₁ : ↥H → R
u : L
hu : u ∈ ⨆ (_ : χ₁ ∈ s), rootSpace H χ₁
hχ₁ : χ₁ ∈ s
⊢ ⁅u, m⁆ ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
s : Set (↥H → R)
hs : ∀ χ₁ ∈ s, ∀ χ₂ ∈ s, χ₁ + χ₂ ∈ s
x : L
m : M
χ₁ : ↥H → R
u : L
hχ₁ : χ₁ ∈ s
hu : u ∈ rootSpace H χ₁
χ₂ : ↥H → R
v : M
hv : v ∈ ⨆ (_ : χ₂ ∈ s), genWeightSpace M χ₂
hχ₂ : χ₂ ∈ s
⊢ ⁅u, v⁆ ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ

pp: case neg
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
s : Set (↥H → R)
hs : ∀ χ₁ ∈ s, ∀ χ₂ ∈ s, χ₁ + χ₂ ∈ s
x : L
m : M
χ₁ : ↥H → R
u : L
hχ₁ : χ₁ ∈ s
hu : u ∈ rootSpace H χ₁
χ₂ : ↥H → R
v : M
hv : v ∈ ⨆ (_ : χ₂ ∈ s), genWeightSpace M χ₂
hχ₂ : χ₂ ∉ s
⊢ ⁅u, v⁆ ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
s : Set (↥H → R)
hs : ∀ χ₁ ∈ s, ∀ χ₂ ∈ s, χ₁ + χ₂ ∈ s
x : L
m : M
χ₁ : ↥H → R
u : L
hχ₁ : χ₁ ∈ s
hu : u ∈ rootSpace H χ₁
χ₂ : ↥H → R
v : M
hv : v ∈ ⨆ (_ : χ₂ ∈ s), genWeightSpace M χ₂
hχ₂ : χ₂ ∉ s
⊢ ⁅u, v⁆ ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ

case pos
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
s : Set (↥H → R)
hs : ∀ χ₁ ∈ s, ∀ χ₂ ∈ s, χ₁ + χ₂ ∈ s
x : L
m : M
χ₁ : ↥H → R
u : L
hχ₁ : χ₁ ∈ s
hu : u ∈ rootSpace H χ₁
χ₂ : ↥H → R
v : M
hv : v ∈ ⨆ (_ : χ₂ ∈ s), genWeightSpace M χ₂
hχ₂ : χ₂ ∈ s
⊢ ⁅u, v⁆ ∈ ⨆ χ ∈ s, genWeightSpace M χ
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
⊢ ⁅e, ((toEnd R L M) f ^ (0 + 1)) m⁆ = ((↑0 + 1) * (μ - ↑0)) • ((toEnd R L M) f ^ 0) m

Tactic:
simp only [zero_add, pow_one, toEnd_apply_apply, Nat.cast_zero, sub_zero, one_mul,
        pow_zero, Module.End.one_apply, leibniz_lie e, t.lie_e_f, P.lie_e, P.lie_h, lie_zero,
        add_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
⊢ rootSpace H 0 = H.toLieSubmodule

Tactic:
by
  rw [← LieSubmodule.toSubmodule_inj, ← coe_zeroRootSubalgebra,
    zeroRootSubalgebra_eq_of_is_cartan R L H, LieSubalgebra.coe_toLieSubmodule]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ ⨆ i, LieSubmodule.map f (posFittingCompOf R M i) ≤ ⨆ x, posFittingCompOf R M₂ x

Tactic:
refine iSup_mono fun y ↦ LieSubmodule.map_le_iff_le_comap.mpr fun m hm ↦ ?_

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
y : L
m : M
hm : m ∈ posFittingCompOf R M y
⊢ m ∈ LieSubmodule.comap f (posFittingCompOf R M₂ y)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Properties

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
x✝¹ : B.IsSymm
h : ∀ (x y : M), (B x) y = (B y) x
x✝ y✝ : M
⊢ ((flipHom B) x✝) y✝ = (B x✝) y✝

Tactic:
simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Properties

Goal state before:
pp: M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
R : Type u_8
inst✝² : Field R
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : Module R M
B C : BilinForm R M
hB : B.IsSymm
hC : C.IsSymm
h : B = C
⊢ ∀ (x : M), (B x) x = (C x) x

Tactic:
simp [h]

Goal state after: