mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.InformationTheory.KullbackLeibler.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
c : ℝ≥0
hc : ¬c = 0
hc' : ↑c ≠ 0
hμ_smul : ∀ (μ : Measure α), μ = c⁻¹ • c • μ
hμν : μ ≪ ν
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
⊢ klDiv (c • μ) (c • ν) = ↑c * klDiv μ ν

pp: case neg
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
c : ℝ≥0
hc : ¬c = 0
hc' : ↑c ≠ 0
hμ_smul : ∀ (μ : Measure α), μ = c⁻¹ • c • μ
hμν : μ ≪ ν
h_int : ¬Integrable (llr μ ν) μ
⊢ klDiv (c • μ) (c • ν) = ↑c * klDiv μ ν

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
c : ℝ≥0
hc : ¬c = 0
hc' : ↑c ≠ 0
hμ_smul : ∀ (μ : Measure α), μ = c⁻¹ • c • μ
hμν : μ ≪ ν
h_int : ¬Integrable (llr μ ν) μ
⊢ klDiv (c • μ) (c • ν) = ↑c * klDiv μ ν

case pos
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
c : ℝ≥0
hc : ¬c = 0
hc' : ↑c ≠ 0
hμ_smul : ∀ (μ : Measure α), μ = c⁻¹ • c • μ
hμν : μ ≪ ν
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
⊢ klDiv (c • μ) (c • ν) = ↑c * klDiv μ ν
Module: Mathlib.InformationTheory.KullbackLeibler.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
c : ℝ≥0
hc : ¬c = 0
hc' : ↑c ≠ 0
hμ_smul : ∀ (μ : Measure α), μ = c⁻¹ • c • μ
hμν : μ ≪ ν
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
⊢ ENNReal.ofReal (klDiv (c • μ) (c • ν)).toReal = ↑c * ENNReal.ofReal (klDiv μ ν).toReal

pp: α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
c : ℝ≥0
hc : ¬c = 0
hc' : ↑c ≠ 0
hμ_smul : ∀ (μ : Measure α), μ = c⁻¹ • c • μ
hμν : μ ≪ ν
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
⊢ Integrable (llr (c • μ) (c • ν)) (c • μ)

Tactic:
swap

Goal state after:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
c : ℝ≥0
hc : ¬c = 0
hc' : ↑c ≠ 0
hμ_smul : ∀ (μ : Measure α), μ = c⁻¹ • c • μ
hμν : μ ≪ ν
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
⊢ Integrable (llr (c • μ) (c • ν)) (c • μ)

case pos
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
c : ℝ≥0
hc : ¬c = 0
hc' : ↑c ≠ 0
hμ_smul : ∀ (μ : Measure α), μ = c⁻¹ • c • μ
hμν : μ ≪ ν
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
⊢ ENNReal.ofReal (klDiv (c • μ) (c • ν)).toReal = ↑c * ENNReal.ofReal (klDiv μ ν).toReal
Module: Mathlib.InformationTheory.KullbackLeibler.Basic

Goal state before:
pp: case neg.refine_2
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
hμν : μ ≪ ν
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
hμ : ¬μ = 0
hν : ¬ν = 0
this : NeZero ν
ν' : Measure α := (ν univ)⁻¹ • ν
hμν' : μ ≪ ν'
h : 0 ≤ ∫ (x : α), llr μ ν' x ∂μ + ν'.real univ - μ.real univ
⊢ 0 ≤ ∫ (x : α), llr μ ν x ∂μ + μ.real univ * log (ν.real univ) + 1 - μ.real univ

pp: case neg.refine_1
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
hμν : μ ≪ ν
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
hμ : ¬μ = 0
hν : ¬ν = 0
this : NeZero ν
ν' : Measure α := (ν univ)⁻¹ • ν
hμν' : μ ≪ ν'
⊢ Integrable (llr μ ν') μ

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg.refine_1
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
hμν : μ ≪ ν
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
hμ : ¬μ = 0
hν : ¬ν = 0
this : NeZero ν
ν' : Measure α := (ν univ)⁻¹ • ν
hμν' : μ ≪ ν'
⊢ Integrable (llr μ ν') μ

case neg.refine_2
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
hμν : μ ≪ ν
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
hμ : ¬μ = 0
hν : ¬ν = 0
this : NeZero ν
ν' : Measure α := (ν univ)⁻¹ • ν
hμν' : μ ≪ ν'
h : 0 ≤ ∫ (x : α), llr μ ν' x ∂μ + ν'.real univ - μ.real univ
⊢ 0 ≤ ∫ (x : α), llr μ ν x ∂μ + μ.real univ * log (ν.real univ) + 1 - μ.real univ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondexpL1

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ∞
x : G
⊢ ∫⁻ (x_1 : α), ‖↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) x_1‖ₑ ∂μ ≤ μ s * ENNReal.ofReal ‖x‖

pp: α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ∞
x : G
⊢ Integrable (↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x)) μ

Tactic:
swap

Goal state after:
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ∞
x : G
⊢ Integrable (↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x)) μ

α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ∞
x : G
⊢ ∫⁻ (x_1 : α), ‖↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) x_1‖ₑ ∂μ ≤ μ s * ENNReal.ofReal ‖x‖
Module: Mathlib.InformationTheory.KullbackLeibler.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ ENNReal.ofReal (μ.real univ * log (μ.real univ / ν.real univ) + ν.real univ - μ.real univ) ≤ klDiv μ ν

pp: case neg
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
hμν : ¬μ ≪ ν
⊢ ENNReal.ofReal (μ.real univ * log (μ.real univ / ν.real univ) + ν.real univ - μ.real univ) ≤ klDiv μ ν

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
hμν : ¬μ ≪ ν
⊢ ENNReal.ofReal (μ.real univ * log (μ.real univ / ν.real univ) + ν.real univ - μ.real univ) ≤ klDiv μ ν

case pos
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ ENNReal.ofReal (μ.real univ * log (μ.real univ / ν.real univ) + ν.real univ - μ.real univ) ≤ klDiv μ ν
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondexpL1

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
x y : G
hs : MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (x + y) = condExpIndL1 hm μ s x + condExpIndL1 hm μ s y

pp: case neg
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
x y : G
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (x + y) = condExpIndL1 hm μ s x + condExpIndL1 hm μ s y

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
x y : G
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (x + y) = condExpIndL1 hm μ s x + condExpIndL1 hm μ s y

case pos
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
x y : G
hs : MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (x + y) = condExpIndL1 hm μ s x + condExpIndL1 hm μ s y
Module: Mathlib.InformationTheory.KullbackLeibler.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
hμν : μ ≪ ν
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
⊢ ENNReal.ofReal (μ.real univ * log (μ.real univ / ν.real univ) + ν.real univ - μ.real univ) ≤ klDiv μ ν

pp: case neg
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
hμν : μ ≪ ν
h_int : ¬Integrable (llr μ ν) μ
⊢ ENNReal.ofReal (μ.real univ * log (μ.real univ / ν.real univ) + ν.real univ - μ.real univ) ≤ klDiv μ ν

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
hμν : μ ≪ ν
h_int : ¬Integrable (llr μ ν) μ
⊢ ENNReal.ofReal (μ.real univ * log (μ.real univ / ν.real univ) + ν.real univ - μ.real univ) ≤ klDiv μ ν

case pos
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
hμν : μ ≪ ν
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
⊢ ENNReal.ofReal (μ.real univ * log (μ.real univ / ν.real univ) + ν.real univ - μ.real univ) ≤ klDiv μ ν
Module: Mathlib.InformationTheory.KullbackLeibler.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h : klDiv μ ν = 0
⊢ klDiv μ ν ≠ ∞

Tactic:
simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondexpL1

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
c : ℝ
x : G
hs : MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

pp: case neg
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
c : ℝ
x : G
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
c : ℝ
x : G
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

case pos
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
c : ℝ
x : G
hs : MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondexpL1

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

pp: case neg
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondexpL1

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
x : G
hs : MeasurableSet s
⊢ ‖condExpIndL1 hm μ s x‖ ≤ μ.real s * ‖x‖

pp: case neg
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
x : G
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ ‖condExpIndL1 hm μ s x‖ ≤ μ.real s * ‖x‖

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
x : G
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ ‖condExpIndL1 hm μ s x‖ ≤ μ.real s * ‖x‖

case pos
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
x : G
hs : MeasurableSet s
⊢ ‖condExpIndL1 hm μ s x‖ ≤ μ.real s * ‖x‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondexpL2

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ∞
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
hf : ↑↑f =ᵐ[μ.restrict s] 0
⊢ ↑↑↑((condExpL2 ℝ ℝ hm) f) =ᵐ[μ.restrict s] 0

Tactic:
suffices h_nnnorm_eq_zero : ∫⁻ x in s, ‖(condExpL2 ℝ ℝ hm f : α → ℝ) x‖₊ ∂μ = 0 by
    rw [lintegral_eq_zero_iff] at h_nnnorm_eq_zero
    · refine h_nnnorm_eq_zero.mono fun x hx => ?_
      dsimp only at hx
      rw [Pi.zero_apply] at hx ⊢
      · rwa [ENNReal.coe_eq_zero, nnnorm_eq_zero] at hx
    · refine Measurable.coe_nnreal_ennreal (Measurable.nnnorm ?_)
      exact (Lp.stronglyMeasurable _).measurable
  rw [← nonpos_iff_eq_zero]
  refine (lintegral_nnnorm_condExpL2_le hs hμs f).trans (le_of_eq ?_)
  rw [lintegral_eq_zero_iff]
  · refine hf.mono fun x hx => ?_
    dsimp only
    rw [hx]
    simp
  · exact (Lp.stronglyMeasurable _).enorm (ε := ℝ)

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.InfiniteSum

Goal state before:
pp: case inr
X : Type u_1
E : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
hp : Fact (1 ≤ p)
ι : Type u_3
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : CompleteSpace E
f : ι → ↥(Lp E p μ)
hf : ∑' (n : ι), ‖f n‖ₑ ≠ ∞
hι : Infinite ι
e : ℕ ≃ ι
⊢ ∀ᵐ (a : X) ∂μ, HasSum (fun n ↦ ↑↑(f n) a) (↑↑(∑' (n : ι), f n) a)

Tactic:
have : ∀ᵐ a ∂μ, HasSum (fun n ↦ f (e n) a) (⇑(∑' n, f (e n)) a) := by
      apply Lp.hasSum_coeFn_tsum_nat
      convert hf
      exact e.tsum_eq (fun i ↦ ‖f i‖ₑ)

Goal state after:
case inr
X : Type u_1
E : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
hp : Fact (1 ≤ p)
ι : Type u_3
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : CompleteSpace E
f : ι → ↥(Lp E p μ)
hf : ∑' (n : ι), ‖f n‖ₑ ≠ ∞
hι : Infinite ι
e : ℕ ≃ ι
this : ∀ᵐ (a : X) ∂μ, HasSum (fun n ↦ ↑↑(f (e n)) a) (↑↑(∑' (n : ℕ), f (e n)) a)
⊢ ∀ᵐ (a : X) ∂μ, HasSum (fun n ↦ ↑↑(f n) a) (↑↑(∑' (n : ι), f n) a)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hf : ¬Integrable f μ
hm : m ≤ m₀
⊢ μ[f | m] = 0

pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hf : ¬Integrable f μ
hm : ¬m ≤ m₀
⊢ μ[f | m] = 0

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hf : ¬Integrable f μ
hm : ¬m ≤ m₀
⊢ μ[f | m] = 0

case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hf : ¬Integrable f μ
hm : m ≤ m₀
⊢ μ[f | m] = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hf : ¬Integrable f μ
hm : m ≤ m₀
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f | m] = 0

pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hf : ¬Integrable f μ
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f | m] = 0

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hf : ¬Integrable f μ
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f | m] = 0

case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hf : ¬Integrable f μ
hm : m ≤ m₀
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f | m] = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hm : m ≤ m₀
⊢ μ[0 | m] = 0

pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hm : ¬m ≤ m₀
⊢ μ[0 | m] = 0

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hm : ¬m ≤ m₀
⊢ μ[0 | m] = 0

case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hm : m ≤ m₀
⊢ μ[0 | m] = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hm : m ≤ m₀
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[0 | m] = 0

pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[0 | m] = 0

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[0 | m] = 0

case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hm : m ≤ m₀
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[0 | m] = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hm : m ≤ m₀
⊢ StronglyMeasurable μ[f | m]

pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hm : ¬m ≤ m₀
⊢ StronglyMeasurable μ[f | m]

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hm : ¬m ≤ m₀
⊢ StronglyMeasurable μ[f | m]

case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hm : m ≤ m₀
⊢ StronglyMeasurable μ[f | m]
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hm : m ≤ m₀
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ StronglyMeasurable μ[f | m]

pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ StronglyMeasurable μ[f | m]

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ StronglyMeasurable μ[f | m]

case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hm : m ≤ m₀
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ StronglyMeasurable μ[f | m]
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
h : f =ᵐ[μ] g
hm : m ≤ m₀
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ] μ[g | m]

pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
h : f =ᵐ[μ] g
hm : ¬m ≤ m₀
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ] μ[g | m]

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
h : f =ᵐ[μ] g
hm : ¬m ≤ m₀
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ] μ[g | m]

case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
h : f =ᵐ[μ] g
hm : m ≤ m₀
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ] μ[g | m]
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
h : f =ᵐ[μ] g
hm : m ≤ m₀
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ] μ[g | m]

pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
h : f =ᵐ[μ] g
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ] μ[g | m]

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
h : f =ᵐ[μ] g
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ] μ[g | m]

case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
h : f =ᵐ[μ] g
hm : m ≤ m₀
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[f | m] =ᵐ[μ] μ[g | m]
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m₀
⊢ Integrable μ[f | m] μ

pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : ¬m ≤ m₀
⊢ Integrable μ[f | m] μ

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : ¬m ≤ m₀
⊢ Integrable μ[f | m] μ

case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m₀
⊢ Integrable μ[f | m] μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m₀
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ Integrable μ[f | m] μ

pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ Integrable μ[f | m] μ

Tactic:
swap

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m₀
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ Integrable μ[f | m] μ

case pos
α : Type u_1
E : Type u_3
m m₀ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m₀
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ Integrable μ[f | m] μ