Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Norm.RelNorm

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDomain R
S : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : IsDomain S
inst✝⁹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Module.Finite R S
inst✝⁵ : IsTorsionFree R S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
P : Ideal S
p : Ideal R
hPp : P.LiesOver p
inst✝² : p.IsMaximal
inst✝¹ : P.IsPrime
inst✝ : IsGalois (FractionRing R) (FractionRing S)
this✝¹ : P.IsMaximal
G : Type u_3 := Gal(FractionRing S/FractionRing R)
this✝ : MulSemiringAction Gal(FractionRing S/FractionRing R) S :=
  IsIntegralClosure.MulSemiringAction R (FractionRing R) (FractionRing S) S
this : IsGaloisGroup G R S
hp : ¬p = ⊥
s : ℕ
hs : (relNorm R) P = p ^ s
h₀ : ∀ Q ∈ (p.primesOver S).toFinset, (relNorm R) Q ^ Q.ramificationIdx R = p ^ (p.ramificationIdxIn S * s)
h :
  (p.primesOver S).ncard * (p.ramificationIdxIn S * s) =
    (p.primesOver S).ncard * (p.ramificationIdxIn S * p.inertiaDegIn S)
⊢ s = P.inertiaDeg R

pp: R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDomain R
S : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : IsDomain S
inst✝⁹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Module.Finite R S
inst✝⁵ : IsTorsionFree R S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
P : Ideal S
p : Ideal R
hPp : P.LiesOver p
inst✝² : p.IsMaximal
inst✝¹ : P.IsPrime
inst✝ : IsGalois (FractionRing R) (FractionRing S)
this✝¹ : P.IsMaximal
G : Type u_3 := Gal(FractionRing S/FractionRing R)
this✝ : MulSemiringAction Gal(FractionRing S/FractionRing R) S :=
  IsIntegralClosure.MulSemiringAction R (FractionRing R) (FractionRing S) S
this : IsGaloisGroup G R S
hp : ¬p = ⊥
s : ℕ
hs : (relNorm R) P = p ^ s
h₀ : ∀ Q ∈ (p.primesOver S).toFinset, (relNorm R) Q ^ Q.ramificationIdx R = p ^ (p.ramificationIdxIn S * s)
h :
  p ^ ((p.primesOver S).ncard * (p.ramificationIdxIn S * s)) =
    p ^ ((p.primesOver S).ncard * (p.ramificationIdxIn S * p.inertiaDegIn S))
⊢ p ≠ 1

Tactic:
mul_right_inj' (IsDedekindDomain.primesOver_ncard_ne_zero p S),

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDomain R
S : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : IsDomain S
inst✝⁹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Module.Finite R S
inst✝⁵ : IsTorsionFree R S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
P : Ideal S
p : Ideal R
hPp : P.LiesOver p
inst✝² : p.IsMaximal
inst✝¹ : P.IsPrime
inst✝ : IsGalois (FractionRing R) (FractionRing S)
this✝¹ : P.IsMaximal
G : Type u_3 := Gal(FractionRing S/FractionRing R)
this✝ : MulSemiringAction Gal(FractionRing S/FractionRing R) S :=
  IsIntegralClosure.MulSemiringAction R (FractionRing R) (FractionRing S) S
this : IsGaloisGroup G R S
hp : ¬p = ⊥
s : ℕ
hs : (relNorm R) P = p ^ s
h₀ : ∀ Q ∈ (p.primesOver S).toFinset, (relNorm R) Q ^ Q.ramificationIdx R = p ^ (p.ramificationIdxIn S * s)
h : p.ramificationIdxIn S * s = p.ramificationIdxIn S * p.inertiaDegIn S
⊢ s = P.inertiaDeg R

R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDomain R
S : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : IsDomain S
inst✝⁹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Module.Finite R S
inst✝⁵ : IsTorsionFree R S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
P : Ideal S
p : Ideal R
hPp : P.LiesOver p
inst✝² : p.IsMaximal
inst✝¹ : P.IsPrime
inst✝ : IsGalois (FractionRing R) (FractionRing S)
this✝¹ : P.IsMaximal
G : Type u_3 := Gal(FractionRing S/FractionRing R)
this✝ : MulSemiringAction Gal(FractionRing S/FractionRing R) S :=
  IsIntegralClosure.MulSemiringAction R (FractionRing R) (FractionRing S) S
this : IsGaloisGroup G R S
hp : ¬p = ⊥
s : ℕ
hs : (relNorm R) P = p ^ s
h₀ : ∀ Q ∈ (p.primesOver S).toFinset, (relNorm R) Q ^ Q.ramificationIdx R = p ^ (p.ramificationIdxIn S * s)
h :
  p ^ ((p.primesOver S).ncard * (p.ramificationIdxIn S * s)) =
    p ^ ((p.primesOver S).ncard * (p.ramificationIdxIn S * p.inertiaDegIn S))
⊢ p ≠ 1