mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
inst✝³ : IsManifold I 2 M
inst✝² : IsManifold I' 2 M'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffOn I I' 2 f s
hx₀ : x₀ ∈ s
ht : t ⊆ (extChartAt I' (f x₀)).source
hst : MapsTo f s t
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
A' : x₀ = ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)
h'f : MDiffAt[s] f x₀
this : (mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)).inverse = mfderiv% ↑(extChartAt I x₀) x₀
V' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) V (range ↑I')
hV' : V' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) V (range ↑I')
W' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) W (range ↑I')
hW' : W' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) W (range ↑I')
F : E → E' := (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm
hF : F = (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm
hFx₀ : ↑(extChartAt I' (f x₀)) (f x₀) = F (↑(extChartAt I x₀) x₀)
P :
  ∀ (Y : (x : M') → TangentSpace I' x),
    mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm) (mpullbackWithin I I' f Y s)
        (range ↑I) =ᶠ[𝓝[↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x₀) x₀]
      mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') F (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) Y (range ↑I'))
        (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
⊢ (f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (↑(extChartAt I x₀) x₀) ∈ (chartAt H' (f x₀)).source

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffWithinAt I I' 2 f s x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
hfi : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
this : CompleteSpace E'
⊢ 2 = ∞ → 2 = ω

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.PathELength

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
γ : Path x y
γ_smooth : ContMDiff (𝓡∂ 1) I 1 ⇑γ
hγ : ∫⁻ (x_1 : ↑unitInterval), ‖(mfderiv% ⇑γ x_1) 1‖ₑ < r
⊢ (⇑γ ∘ projIcc 0 1 ⋯) 0 = x

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.PathELength

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
γ : Path x y
γ_smooth : ContMDiff (𝓡∂ 1) I 1 ⇑γ
hγ : ∫⁻ (x_1 : ↑unitInterval), ‖(mfderiv% ⇑γ x_1) 1‖ₑ < r
⊢ (⇑γ ∘ projIcc 0 1 ⋯) 1 = y

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.PathELength

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x : M
⊢ pathELength I (fun t ↦ x) 0 0 = ⊥

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Sheaf.Smooth

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace HM M
R : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : ContMDiffRing I ∞ R
x : ↑(TopCat.of M)
⊢ smoothSheaf.evalHom IM I R x = (forgetStalk IM I M R x).inv ≫ ↾⇑(ConcreteCategory.hom (evalHom IM I M R x))

Tactic:
← smoothSheafCommRing.forgetStalk_inv_comp_eval

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace HM M
R : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : ContMDiffRing I ∞ R
x : ↑(TopCat.of M)
⊢ (forgetStalk IM I M R x).inv ≫ ↾⇑(CommRingCat.Hom.hom (evalHom IM I M R x)) =
    (forgetStalk IM I M R x).inv ≫ ↾⇑(ConcreteCategory.hom (evalHom IM I M R x))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : RiemannianBundle fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsContinuousRiemannianBundle E fun x ↦ TangentSpace I x
x : M
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I x) x, ‖mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x).symm y‖ₑ < ↑C
r : ℝ
r_pos : r > 0
hr :
  ball (↑(extChartAt I x) x) r ∩ range ↑I ⊆
    (extChartAt I x).target ∩ {y | ‖mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x).symm y‖ₑ < ↑C}
⊢ x ∈ (extChartAt I x).source

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : IsManifold I' (minSmoothness 𝕜 2) M'
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffAt I I' n f x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
this : mpullback I I' f (mlieBracketWithin I' V W t) x₀ = mpullbackWithin I I' f (mlieBracketWithin I' V W t) s x₀
⊢ x₀ ∈ closure[inst✝⁹] (interior univ)

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : IsManifold I' (minSmoothness 𝕜 2) M'
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffAt I I' n f x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
this : mpullback I I' f (mlieBracketWithin I' V W t) x₀ = mpullbackWithin I I' f (mlieBracketWithin I' V W t) s x₀
⊢ 2 ≠ ∞

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : IsManifold I' (minSmoothness 𝕜 2) M'
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
hf : ContMDiffAt I I' n f x₀
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hV : MDiffAt[univ] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[univ] (T% W) (f x₀)
⊢ f ⁻¹' univ ∈ 𝓝[univ] x₀

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : IsManifold I' (minSmoothness 𝕜 2) M'
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
hV : MDiffAt (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt (T% W) (f x₀)
hf : ContMDiffAt I I' n f x₀
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
⊢ mpullback I I' f (mlieBracket I' V W) x₀ = mlieBracket I (mpullback I I' f V) (mpullback I I' f W) x₀

Tactic:
by
  simp only [← mlieBracketWithin_univ, ← mdifferentiableWithinAt_univ] at hV hW ⊢
  exact mpullback_mlieBracketWithin hV hW uniqueMDiffOn_univ hf (mem_univ _) hn (by simp)

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU : ContMDiffWithinAt I I.tangent n (fun x ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV : ContMDiffWithinAt I I.tangent n (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiff[s]
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
hm'n : m' + 1 ≤ n
pre_mem : ↑(extChartAt I x) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) U (range ↑I)
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I)
A :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m' (lieBracketWithin 𝕜 U' V' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s))
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent m'
    (fun x₀ ↦ ⟨x₀, mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) x₀⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
← mlieBracketWithin_eq_lieBracketWithin

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU : ContMDiffWithinAt I I.tangent n (fun x ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV : ContMDiffWithinAt I I.tangent n (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiff[s]
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
hm'n : m' + 1 ≤ n
pre_mem : ↑(extChartAt I x) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) U (range ↑I)
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I)
A :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m' (mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s))
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent m'
    (fun x₀ ↦ ⟨x₀, mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) x₀⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : RiemannianBundle fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsContinuousRiemannianBundle E fun x ↦ TangentSpace I x
x : M
c : ℝ≥0∞
hc : 0 < c
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC : ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, riemannianEDist I x y ≤ ↑C * edist (↑(extChartAt I x) x) (↑(extChartAt I x) y)
⊢ ↑C ≠ ∞

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 3) M
inst✝ : CompleteSpace E
U V W : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiff[s]
h's : x ∈ closure[inst✝³] (interior s)
hx : x ∈ s
hU : ContMDiffWithinAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV : ContMDiffWithinAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hW : ContMDiffWithinAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, W x⟩) s x
A : minSmoothness 𝕜 2 + 1 ≤ minSmoothness 𝕜 3
s_inter_mem : s ∩ (extChartAt I x).source ∈ 𝓝[s] x
pre_mem : ↑(extChartAt I x) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) U (range ↑I)
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I)
W' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) W (range ↑I)
J0U :
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, U' x⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
J0V :
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, V' x⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
J0W :
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, W' x⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ minSmoothness 𝕜 2 ≠ ∞

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Submersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E'' : Type u_3
F : Type u_5
H : Type u_7
G : Type u_9
E : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalSpace N
f g : M → N
φ : OpenPartialHomeomorph M H
ψ : OpenPartialHomeomorph N G
hfg : EqOn f g φ.source
equiv : E ≃L[𝕜] E'' × F
hf : EqOn (↑(ψ.extend J) ∘ f ∘ ↑(φ.extend I).symm) (Prod.fst ∘ ⇑equiv) (φ.extend I).target
⊢ (φ.extend I).target ⊆ (φ.extend I).target

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 3) M
inst✝ : CompleteSpace E
U V W : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiff[s]
h's : x ∈ closure[inst✝³] (interior s)
hx : x ∈ s
hU : ContMDiffWithinAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV : ContMDiffWithinAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hW : ContMDiffWithinAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, W x⟩) s x
A : minSmoothness 𝕜 2 + 1 ≤ minSmoothness 𝕜 3
s_inter_mem : s ∩ (extChartAt I x).source ∈ 𝓝[s] x
pre_mem : ↑(extChartAt I x) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) U (range ↑I)
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I)
W' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) W (range ↑I)
J0U :
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, U' x⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
J0V :
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, V' x⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
J0W :
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, W' x⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
J1U :
  ∀ᶠ (y : M) in 𝓝[s] x,
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, U' x⟩)
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) y)
⊢ minSmoothness 𝕜 2 ≠ ∞

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 3) M
inst✝ : CompleteSpace E
U V W : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiff[s]
h's : x ∈ closure[inst✝³] (interior s)
hx : x ∈ s
hU : ContMDiffWithinAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV : ContMDiffWithinAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hW : ContMDiffWithinAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, W x⟩) s x
A : minSmoothness 𝕜 2 + 1 ≤ minSmoothness 𝕜 3
s_inter_mem : s ∩ (extChartAt I x).source ∈ 𝓝[s] x
pre_mem : ↑(extChartAt I x) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) U (range ↑I)
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I)
W' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) W (range ↑I)
J0U :
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, U' x⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
J0V :
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, V' x⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
J0W :
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, W' x⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
J1U :
  ∀ᶠ (y : M) in 𝓝[s] x,
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, U' x⟩)
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) y)
J1V :
  ∀ᶠ (y : M) in 𝓝[s] x,
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E).tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, V' x⟩)
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) y)
⊢ minSmoothness 𝕜 2 ≠ ∞

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : RiemannianBundle fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : IsContinuousRiemannianBundle E fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝ : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC : ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ‖mfderiv% ↑(extChartAt I x) y‖ₑ < ↑C
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst✝⁵] u
us : u ⊆ s
hu : u ⊆ {y | ‖mfderiv% ↑(extChartAt I x) y‖ₑ < ↑C}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
uc' : u ⊆ (chartAt H x).source
v : Set M
hv : v ⊆ u
v_mem : v ∈ 𝓝 x
v_open : IsOpen[inst✝⁵] v
r : ℝ≥0
hr : ball (↑(extChartAt I x) x) ↑r ⊆ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' v
r_pos : 0 < r
y : M
hy : y ∈ {y | riemannianEDist I x y < ↑(r / C)}
⊢ y ∈ s

Tactic:
rcases exists_lt_locally_constant_of_riemannianEDist_lt hy zero_lt_one
    with ⟨γ, hγx, hγy, γ_smooth, hγ, -⟩

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : RiemannianBundle fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : IsContinuousRiemannianBundle E fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝ : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC : ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ‖mfderiv% ↑(extChartAt I x) y‖ₑ < ↑C
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst✝⁵] u
us : u ⊆ s
hu : u ⊆ {y | ‖mfderiv% ↑(extChartAt I x) y‖ₑ < ↑C}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
uc' : u ⊆ (chartAt H x).source
v : Set M
hv : v ⊆ u
v_mem : v ∈ 𝓝 x
v_open : IsOpen[inst✝⁵] v
r : ℝ≥0
hr : ball (↑(extChartAt I x) x) ↑r ⊆ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' v
r_pos : 0 < r
y : M
hy : y ∈ {y | riemannianEDist I x y < ↑(r / C)}
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ
hγ : pathELength I γ 0 1 < ↑(r / C)
⊢ y ∈ s