mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
inst✝ : Ring R
v : Valuation R Γ₀
w : Valuation R Γ'₀
h : v.IsEquiv w
r s : R
hr : (ofClass v) r ≠ 0
hs : (ofClass v) s ≠ 0
hr' : (ofClass w) r ≠ 0
hs' : (ofClass w) s ≠ 0
⊢ ¬↑(valueGroup.mk (ofClass v) r s hr hs) = 0

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Dvr

Goal state before:
pp: case refine_4
A : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : IsDomain A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_2
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization M Aₘ
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit ((algebraMap A (FractionRing A)) ↑y)
this✝¹ : Algebra Aₘ (FractionRing A) := (lift h).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A Aₘ (FractionRing A)
this : IsFractionRing Aₘ (FractionRing A)
⊢ ∀ {x : FractionRing A}, IsIntegral Aₘ x → ∃ y, (algebraMap Aₘ (FractionRing A)) y = x

Tactic:
intro x hx
    obtain ⟨⟨y, y_mem⟩, hy⟩ := hx.exists_multiple_integral_of_isLocalization M _
    obtain ⟨z, hz⟩ := (isIntegrallyClosed_iff _).mp IsDedekindRing.toIsIntegralClosure hy
    refine ⟨IsLocalization.mk' Aₘ z ⟨y, y_mem⟩, (IsLocalization.lift_mk'_spec _ _ _ _).mpr ?_⟩
    rw [hz, ← Algebra.smul_def]
    rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Dvr

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : IsDomain A
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
pP : P.IsPrime
Aₘ : Type u_2
inst✝² : CommRing Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization.AtPrime Aₘ P
⊢ ¬IsField Aₘ

Tactic:
by
  intro h
  let := h.toField
  obtain ⟨x, x_mem, x_ne⟩ := P.ne_bot_iff.mp hP
  exact
    (IsLocalRing.maximalIdeal.isMaximal _).ne_top
      (Ideal.eq_top_of_isUnit_mem _
        ((IsLocalization.AtPrime.to_map_mem_maximal_iff Aₘ P _).mpr x_mem)
        (isUnit_iff_ne_zero.mpr
          ((map_ne_zero_iff (algebraMap A Aₘ)
                (IsLocalization.injective Aₘ P.primeCompl_le_nonZeroDivisors)).mpr
            x_ne)))

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.Tensor

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ Flat R M ↔ ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))

Tactic:
refine iff_rTensor_injective'.trans ⟨fun h I _ ↦ h I,
    fun h I ↦ (injective_iff_map_eq_zero _).mpr fun x hx ↦ ?_⟩

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
I : Ideal R
x : TensorProduct R (↥I) M
hx : (rTensor M (Submodule.subtype I)) x = 0
⊢ x = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.IsPrincipal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
⊢ ↑1 = R ∙ 1

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobsonRing R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
hp0 : map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX ≠ 0
a : R ⧸ P' := (map (Ideal.Quotient.mk P') pX).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
hP'_prime : P'.IsPrime
hM : 0 ∉ M
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap (R[X] ⧸ P) (Localization M'))

Tactic:
refine IsLocalization.injective (Localization M')
      (show M' ≤ _ from le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors fun hM' => hM ?_)
    exact
      let ⟨z, zM, z0⟩ := hM'
      quotientMap_injective (_root_.trans z0 φ.map_zero.symm) ▸ zM

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.TFAE

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : IsDomain R
hR : IsField R
this : Field R := hR.toField
⊢ ¬IsDiscreteValuationRing R

Tactic:
exact fun h ↦ h.3 maximalIdeal_eq_bot

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : IsJacobsonRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : S[X] ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P
hw : Ideal.map v Q = P
hQ : Q.IsMaximal
w : (S[X] ⧸ Q) ≃ₐ[R] T ⧸ P := Q.quotientEquivAlg P v ⋯
Q' : Ideal S := comap Polynomial.C Q
w' : S ⧸ Q' →ₐ[R] S[X] ⧸ Q := quotientMapₐ Q (Cₐ R S) ⋯
h_eq : algebraMap R (T ⧸ P) = w.toRingEquiv.toRingHom.comp (w'.comp (algebraMap R (S ⧸ Q')))
this : w'.toRingHom = quotientMap Q Polynomial.C ⋯
⊢ (quotientMap Q Polynomial.C ⋯).IsIntegral

Tactic:
isIntegral_quotientMap_iff _

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : IsJacobsonRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral
v : S[X] ≃ₐ[R] T
P : Ideal T
hP : P.IsMaximal
Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P
hw : Ideal.map v Q = P
hQ : Q.IsMaximal
w : (S[X] ⧸ Q) ≃ₐ[R] T ⧸ P := Q.quotientEquivAlg P v ⋯
Q' : Ideal S := comap Polynomial.C Q
w' : S ⧸ Q' →ₐ[R] S[X] ⧸ Q := quotientMapₐ Q (Cₐ R S) ⋯
h_eq : algebraMap R (T ⧸ P) = w.toRingEquiv.toRingHom.comp (w'.comp (algebraMap R (S ⧸ Q')))
this : w'.toRingHom = quotientMap Q Polynomial.C ⋯
⊢ ((Ideal.Quotient.mk Q).comp Polynomial.C).IsIntegral
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseChange

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsRootSystem
⊢ P.IsPerfectCompl (P.rootSpan R) (P.corootSpan R)

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.IsValuedIn

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i✝ j✝ i j : ι
⊢ ∃ s, (algebraMap R R) s = P.pairing i j

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Ring.SumsOfSquares

Goal state before:
pp: R : Type u_1
T : Type u_2
inst✝ : CommSemiring T
⊢ 1 ∈ (NonUnitalSubsemiring.sumSq T).carrier

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.IsValuedIn

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ P.rootSpan R ∈ End.invtSubmodule ↑(P.reflection i)

Tactic:
Module.End.mem_invtSubmodule,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ P.rootSpan R ≤ Submodule.comap (↑(P.reflection i)) (P.rootSpan R)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.RootPositive

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsValuedIn S
B : RootPositiveForm S P
inst✝² : FaithfulSMul S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
x y : ↥(span S (range ⇑P.root))
h : 0 < (B.posForm x) y
⊢ (algebraMap S R) ((B.posForm x) y) = (B.form ↑x) ↑y

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.RootPositive

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : LinearOrder S
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Algebra S R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
B : RootPositiveForm S P
i j : ι
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
hi : P.root i ∈ span S (range ⇑P.root)
hj : P.root j ∈ span S (range ⇑P.root)
⊢ 0 < (B.posForm ⟨P.root i, hi⟩) ⟨P.root j, hj⟩ ↔ 0 < P.pairingIn S i j

Tactic:
zero_lt_apply_root_root_iff

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : LinearOrder S
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Algebra S R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
B : RootPositiveForm S P
i j : ι
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
hi : P.root i ∈ span S (range ⇑P.root)
hj : P.root j ∈ span S (range ⇑P.root)
⊢ 0 < P.pairingIn S i j ↔ 0 < P.pairingIn S i j
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
a s : R
h : s ∈ v.supp
aux : ∀ (a s : R), v s = 0 → v (a + s) ≤ v a
⊢ v a = v (a + s + -s)

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : P.IsReduced
h : i ≠ i → P.root i = -P.root i
⊢ 1 • P.root i + -1 • P.root i = 0 ∧ (1 = 0 → -1 ≠ 0)

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : P.IsReduced
h : i ≠ j → P.root i = -P.root j
h' : i ≠ j
⊢ 1 • -P.root j + 1 • P.root j = 0 ∧ (1 = 0 → 1 ≠ 0)

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsAddTorsionFree M
inst✝¹ : P.IsReduced
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
i : ι
⊢ ¬(1 = 0 ∧ -↑n = 0)

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : LinearOrder S
inst✝⁶ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : FaithfulSMul S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : Fintype ι
i✝ j i : ι
⊢ i ∈ Finset.univ ∧ 0 < P.pairingIn S i i ^ 2

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ (P.flip (P.coroot i)) (P.root j) * (P.flip (P.coroot j)) (P.root i) = 4

pp: case refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ (P.flip (P.coroot i)) (P.root j) • P.root i ≠ 2 • P.root j

Tactic:
· rw [coroot_root_eq_pairing, coroot_root_eq_pairing, ← hc, mul_comm, coxeterWeight]

Goal state after:
case refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ (P.flip (P.coroot i)) (P.root j) • P.root i ≠ 2 • P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsAnisotropic
inst✝ : P.IsRootSystem
i : ι
h₀ : (P.RootForm (P.root i)) (P.root i) ≠ 0
⊢ (P.RootForm (P.root i)) (P.root i) • P.coroot i =
    (P.RootForm (P.root i)) (P.root i) • (2 / (P.RootForm (P.root i)) (P.root i)) • P.Polarization (P.root i)

Tactic:
P.rootForm_self_smul_coroot i,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsAnisotropic
inst✝ : P.IsRootSystem
i : ι
h₀ : (P.RootForm (P.root i)) (P.root i) ≠ 0
⊢ 2 • P.Polarization (P.root i) =
    (P.RootForm (P.root i)) (P.root i) • (2 / (P.RootForm (P.root i)) (P.root i)) • P.Polarization (P.root i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsRootSystem
x : M
⊢ x ∈ P.rootSpan R

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Union

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Infinite K
p : ι → Submodule K M
h : ∀ (i : ι), p i ≠ ⊤
_i : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
⊢ ↑Finset.univ.card < ENat.card K

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Union

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Infinite K
v : ι → M
hv : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
⊢ ∃ f, ∀ (i : ι), f (v i) ≠ 0

Tactic:
refine Dual.exists_forall_ne_zero_of_forall_exists (fun i ↦ Dual.eval K M (v i)) fun i ↦ ?_
  by_contra! contra
  simp_rw [Dual.eval_apply, forall_dual_apply_eq_zero_iff] at contra
  exact hv i contra

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
m₁ : M₁
⊢ (Q₁.prod Q₂) ((LinearMap.inl R M₁ M₂).toFun m₁) = Q₁ m₁

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
m₁ : M₂
⊢ (Q₁.prod Q₂) ((LinearMap.inr R M₁ M₂).toFun m₁) = Q₂ m₁

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
m₁ : M₁ × M₂
⊢ Q₁ ((LinearMap.fst R M₁ M₂).toFun m₁) = (Q₁.prod 0) m₁

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
m₁ : M₁ × M₂
⊢ Q₂ ((LinearMap.snd R M₁ M₂).toFun m₁) = (prod 0 Q₂) m₁

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: case mp
ι : Type u_1
R : Type u_2
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
P : Type u_10
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ (∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), 0 ≤ ∑ i, (Q i) (x i)) → ∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x

pp: case mpr
ι : Type u_1
R : Type u_2
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
P : Type u_10
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ (∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) → ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), 0 ≤ ∑ i, (Q i) (x i)

Tactic:
· intro h i x
    classical
    convert! h (Pi.single i x) using 1
    rw [Finset.sum_eq_single_of_mem i (Finset.mem_univ _) fun j _ hji => ?_, Pi.single_eq_same]
    rw [Pi.single_eq_of_ne hji, map_zero]

Goal state after:
case mpr
ι : Type u_1
R : Type u_2
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
P : Type u_10
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ (∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) → ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), 0 ≤ ∑ i, (Q i) (x i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (Mᵢ i)
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
x y : (i : ι) → Mᵢ i
⊢ ∑ i, polar (⇑(Q i)) (x i) (y i) =
    ((∑ i, LinearMap.compl₁₂ (Q i).polarBilin (LinearMap.proj i) (LinearMap.proj i)) x) y

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.WeylGroup

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ (Equiv.coweightHom P) (Equiv.reflection P i) = (MulOpposite.op ∘ P.coreflection) i

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.WeylGroup

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
⊢ (Equiv.indexHom P) (Equiv.reflection P i) = P.reflectionPerm i

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
⊢ LinearMap.id.dualMap ∘ₗ ↑P.flip.toPerfPair = ↑P.flip.toPerfPair ∘ₗ LinearMap.id

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
⊢ ⇑LinearMap.id ∘ ⇑P.root = ⇑P.root ∘ ⇑(Equiv.refl ι)

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
⊢ ⇑LinearMap.id ∘ ⇑P.coroot = ⇑P.coroot ∘ ⇑(Equiv.refl ι).symm

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
g : G
⊢ ρ.asAlgebraHom (MonoidAlgebra.single g 1) = ρ g

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Submodule

Goal state before:
pp: k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
x✝ : ↥ρ.invtSubmodule
p : Submodule k V
hp : p ∈ ρ.invtSubmodule
⊢ ⟨p, hp⟩ ≤ ⟨⊤, ⋯⟩

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Submodule

Goal state before:
pp: k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
x✝ : ↥ρ.invtSubmodule
p : Submodule k V
hp : p ∈ ρ.invtSubmodule
⊢ ⟨⊥, ⋯⟩ ≤ ⟨p, hp⟩

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: case smul
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
x : k[G]
v : ρ.asModule
s : k
y : k[G]
hy : ∀ (t : k), (t • y) • v = t • y • v
⊢ ∀ (t : k), (t • s • y) • v = t • (s • y) • v

Tactic:
t

Goal state after:
case smul
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
x : k[G]
v : ρ.asModule
s : k
y : k[G]
hy : ∀ (t : k), (t • y) • v = t • y • v
t : k
⊢ (t • s • y) • v = t • (s • y) • v
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring k
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
g : G
x✝ : V
⊢ ∀ (x : G), (ρ x) ((ρ g) x✝) = (ρ (x * g)) x✝

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring k
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
g : G
x✝ : V
⊢ ∀ (x : G), (ρ g) ((ρ x) x✝) = (ρ (g * x)) x✝

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
x✝ : ↥P.invtRootSubmodule
p : Submodule R M
hp : p ∈ P.invtRootSubmodule
⊢ ⟨p, hp⟩ ≤ ⟨⊤, ⋯⟩

Tactic:
by simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
x✝ : ↥P.invtRootSubmodule
p : Submodule R M
hp : p ∈ P.invtRootSubmodule
⊢ ⟨⊥, ⋯⟩ ≤ ⟨p, hp⟩

Tactic:
by simp

Goal state after: