Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem

Goal state before:
pp: E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x ↦ ∑ i, (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i ↦ (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i ↦ (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x ↦ ∑ i, (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq :
  ∀ (k : ℕ),
    ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i, (f' x) (e i) i =
      ∑ i,
        ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) -
          ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
⊢ Tendsto
    (fun x ↦
      ∑ i,
        ((∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth ((J x).upper i) x_1) i) -
          ∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth ((J x).lower i) x_1) i))
    atTop
    (𝓝
      (∑ i,
        ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) -
          ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)))

Tactic:
suffices ∀ (i : Fin (n + 1)) (c : ℕ → ℝ) (d), (∀ k, c k ∈ Icc (I.lower i) (I.upper i)) →
    Tendsto c atTop (𝓝 d) →
      Tendsto (fun k => ∫ x in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth (c k) x) i) atTop
        (𝓝 <| ∫ x in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i) by
    rw [Box.Icc_eq_pi] at hJ_sub'
    refine tendsto_finsetSum _ fun i _ => (this _ _ _ ?_ (hJu _)).sub (this _ _ _ ?_ (hJl _))
    exacts [fun k => hJ_sub' k (J k).upper_mem_Icc _ trivial, fun k =>
      hJ_sub' k (J k).lower_mem_Icc _ trivial]

Goal state after:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x ↦ ∑ i, (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i ↦ (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i ↦ (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x ↦ ∑ i, (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq :
  ∀ (k : ℕ),
    ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i, (f' x) (e i) i =
      ∑ i,
        ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) -
          ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
⊢ ∀ (i : Fin (n + 1)) (c : ℕ → ℝ) (d : ℝ),
    (∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) →
      Tendsto c atTop (𝓝 d) →
        Tendsto (fun k ↦ ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth (c k) x) i) atTop
          (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))