mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ f.symm (a • x + b • y) < a • f.symm x + b • f.symm y

Tactic:
have hxy' : x' ≠ y' := by rw [← f.injective.ne_iff, ← hx'', ← hy'']; exact hxy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'
⊢ f.symm (a • x + b • y) < a • f.symm x + b • f.symm y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
⊢ a • f.symm x + b • f.symm y < f.symm (a • x + b • y)

Tactic:
have hxy' : x' ≠ y' := by rw [← f.injective.ne_iff, ← hx'', ← hy'']; exact hxy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : SMul 𝕜 α
inst✝² : AddCommMonoid β
inst✝¹ : PartialOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'
⊢ a • f.symm x + b • f.symm y < f.symm (a • x + b • y)
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
hs₁ : BddAbove s
hs₂ : s.Nonempty
⊢ IsLUB s (sSup s)

Tactic:
refine ⟨fun p hp x => ?_, fun p hp x => ?_⟩ <;> have : Nonempty ↑s := hs₂.coe_sort <;>
    dsimp <;> rw [Seminorm.coe_sSup_eq hs₁, iSup_apply]

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
hs₁ : BddAbove s
hs₂ : s.Nonempty
p : Seminorm 𝕜 E
hp : p ∈ s
x : E
this : Nonempty ↑s
⊢ p x ≤ ⨆ i, ↑i x

case refine_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
hs₁ : BddAbove s
hs₂ : s.Nonempty
p : Seminorm 𝕜 E
hp : p ∈ upperBounds s
x : E
this : Nonempty ↑s
⊢ ⨆ i, ↑i x ≤ p x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range p)

Tactic:
have hnz : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0 := h.symm ▸ one_ne_zero

Goal state after:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P
hnz : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range p)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Finset ι
w1 w2 : ι → k
hw1 : ∑ i ∈ s1 ∪ s2, (↑s1).indicator w1 i = 1
hw2 : ∑ i ∈ s1 ∪ s2, (↑s2).indicator w2 i = 1
heq : ((s1 ∪ s2).weightedVSub p) ((↑s1).indicator w1 - (↑s2).indicator w2) = 0
i : ι
hi : i ∈ s1 ∪ s2
hws : ∑ i ∈ s1 ∪ s2, ((↑s1).indicator w1 - (↑s2).indicator w2) i = 0
⊢ (↑s1).indicator w1 i - (↑s2).indicator w2 i = 0

Tactic:
exact ha (s1 ∪ s2) (Set.indicator (↑s1) w1 - Set.indicator (↑s2) w2) hws heq i hi

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
i : ι
v : V
b : AffineBasis ι k P
p : P
⊢ (b.basisOf i).repr (p -ᵥ (v +ᵥ b i)) = (b.basisOf i).repr ((-v +ᵥ p) -ᵥ b i)

Tactic:
rw [vadd_vsub_assoc, neg_add_eq_sub, vsub_vadd_eq_vsub_sub]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r ε : ℝ
hε : ε > 0
k : 𝕜
hp : k • p.closedBall 0 r ∈ 𝓝 0
hk₀ : 0 < ‖k‖
hk : ‖k‖ * r < ε
⊢ p.closedBall 0 (‖k‖ * r) ∈ 𝓝 0

Tactic:
smul_closedBall_zero hk₀

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r ε : ℝ
hε : ε > 0
k : 𝕜
hp : p.closedBall 0 (‖k‖ * r) ∈ 𝓝 0
hk₀ : 0 < ‖k‖
hk : ‖k‖ * r < ε
⊢ p.closedBall 0 (‖k‖ * r) ∈ 𝓝 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Simplex k P 1
i : Fin 2
n : Fin 1
⊢ (s.faceOpposite i).points n = s.points i.rev

Tactic:
have h : i.rev = Fin.succAbove i n := by decide +revert

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Simplex k P 1
i : Fin 2
n : Fin 1
h : i.rev = i.succAbove n
⊢ (s.faceOpposite i).points n = s.points i.rev
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
m n : ℕ
s : Simplex k P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ s.reindex (Equiv.refl (Fin (m + 1))) = s

Tactic:
reindex_refl

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
m n : ℕ
s : Simplex k P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ s = s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
m n : ℕ
s : Simplex k P m
e : Fin (n + 1) ≃ Fin (m + 1)
⊢ s.reindex (Equiv.refl (Fin (m + 1))) = s

Tactic:
reindex_refl

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
m n : ℕ
s : Simplex k P m
e : Fin (n + 1) ≃ Fin (m + 1)
⊢ s = s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
m n : ℕ
s : Simplex k P n
e : Fin (n + 1) ≃ Fin (m + 1)
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
hwI : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ I
x✝ : (affineCombination k univ s.points) w ∈ Simplex.setInterior I s
⊢ (affineCombination k univ ((s.points ∘ ⇑e.symm) ∘ ⇑e)) ((w ∘ ⇑e.symm) ∘ ⇑e) ∈ Simplex.setInterior I (s.reindex e)

Tactic:
← e.coe_toEmbedding,

Goal state after:
case refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
m n : ℕ
s : Simplex k P n
e : Fin (n + 1) ≃ Fin (m + 1)
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
hwI : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ I
x✝ : (affineCombination k univ s.points) w ∈ Simplex.setInterior I s
⊢ (affineCombination k univ ((s.points ∘ ⇑e.symm) ∘ ⇑e.toEmbedding)) ((w ∘ ⇑e.symm) ∘ ⇑e.toEmbedding) ∈
    Simplex.setInterior I (s.reindex e)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s₁ s₂ : Set ι
i : ι
his₁ : i ∈ s₁
his₂ : i ∉ s₂
h₁ : s₁.Nontrivial
j : ι
hj : j ∈ s₁
hne : j ≠ i
he : vectorSpan k (p '' s₁) = vectorSpan k (p '' s₂)
fs : Finset ↑s₂
w : ↑s₂ → k
hw : ∑ i ∈ fs, w i = 0
hs : p i -ᵥ p j = (fs.weightedVSub fun x ↦ p ↑x) w
w' : ι → k := extend Subtype.val w 0
hw' : ∑ t ∈ map (Embedding.subtype fun x ↦ x ∈ s₂) fs, w' t = 0
hs' : p i -ᵥ p j = ((map (Embedding.subtype fun x ↦ x ∈ s₂) fs).weightedVSub p) w'
fs' : Finset ι := insert i (insert j (map (Embedding.subtype fun x ↦ x ∈ s₂) fs))
hfsfs' : map (Embedding.subtype fun x ↦ x ∈ s₂) fs ⊆ fs'
w'' : ι → k := (↑(map (Embedding.subtype fun x ↦ x ∈ s₂) fs)).indicator w'
hs'' : p i -ᵥ p j = (fs'.weightedVSub p) w''
⊢ False

Tactic:
have hw'' : ∑ t ∈ fs', w'' t = 0 := by
    rw [← hw']
    exact sum_indicator_subset _ (by grind)

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s₁ s₂ : Set ι
i : ι
his₁ : i ∈ s₁
his₂ : i ∉ s₂
h₁ : s₁.Nontrivial
j : ι
hj : j ∈ s₁
hne : j ≠ i
he : vectorSpan k (p '' s₁) = vectorSpan k (p '' s₂)
fs : Finset ↑s₂
w : ↑s₂ → k
hw : ∑ i ∈ fs, w i = 0
hs : p i -ᵥ p j = (fs.weightedVSub fun x ↦ p ↑x) w
w' : ι → k := extend Subtype.val w 0
hw' : ∑ t ∈ map (Embedding.subtype fun x ↦ x ∈ s₂) fs, w' t = 0
hs' : p i -ᵥ p j = ((map (Embedding.subtype fun x ↦ x ∈ s₂) fs).weightedVSub p) w'
fs' : Finset ι := insert i (insert j (map (Embedding.subtype fun x ↦ x ∈ s₂) fs))
hfsfs' : map (Embedding.subtype fun x ↦ x ∈ s₂) fs ⊆ fs'
w'' : ι → k := (↑(map (Embedding.subtype fun x ↦ x ∈ s₂) fs)).indicator w'
hs'' : p i -ᵥ p j = (fs'.weightedVSub p) w''
hw'' : ∑ t ∈ fs', w'' t = 0
⊢ False
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Group.Torsor

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : Group V
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : Torsor V P
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : IsTopologicalTorsor P
⊢ Continuous[inst✝³, inst✝³] fun a ↦ a⁻¹

Tactic:
by
    have ⟨p⟩ : Nonempty P := inferInstance
    conv =>
      enter [1, v]
      equals p /ₛ (v • p) => rw [sdiv_smul_eq_sdiv_div, sdiv_self, one_div]
    fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s₁ s₂ : Set ι
h : vectorSpan k (p '' s₁) = vectorSpan k (p '' s₂)
⊢ s₁ = s₂ ∨ s₁.Subsingleton ∧ s₂.Subsingleton

Tactic:
by_cases he : s₁ = s₂

Goal state after:
case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s₁ s₂ : Set ι
h : vectorSpan k (p '' s₁) = vectorSpan k (p '' s₂)
he : s₁ = s₂
⊢ s₁ = s₂ ∨ s₁.Subsingleton ∧ s₂.Subsingleton

case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s₁ s₂ : Set ι
h : vectorSpan k (p '' s₁) = vectorSpan k (p '' s₂)
he : ¬s₁ = s₂
⊢ s₁ = s₂ ∨ s₁.Subsingleton ∧ s₂.Subsingleton
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case hw
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝² : Field R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
s : Finset ι
t : Finset ι'
ws : ι → R
zs : ι → E
wt : ι' → R
zt : ι' → E
hws : ∑ i ∈ s, ws i = 1
hwt : ∑ i ∈ t, wt i = 1
a b : R
hab : a + b = 1
⊢ a * ∑ i ∈ s, ws i + b * ∑ i ∈ t, wt i = 1

Tactic:
hws,

Goal state after:
case hw
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝² : Field R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
s : Finset ι
t : Finset ι'
ws : ι → R
zs : ι → E
wt : ι' → R
zt : ι' → E
hws : ∑ i ∈ s, ws i = 1
hwt : ∑ i ∈ t, wt i = 1
a b : R
hab : a + b = 1
⊢ a * 1 + b * ∑ i ∈ t, wt i = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
t : Finset V
w : ↥t → k
hw : ∑ i, w i = 0
i : ↥t
hi : ¬w i = 0
hwt : ∑ x, w x • ↑x = 0
f : (x : V) → x ∈ t → k := fun x hx ↦ w ⟨x, hx⟩
⊢ ∑ e ∈ t, (fun x ↦ if hx : x ∈ t then f x hx else 0) e • e = 0

Tactic:
suffices (∑ e ∈ t, dite (e ∈ t) (fun hx => f e hx • e) fun _ => 0) = 0 by
        convert! this
        rename V => x
        by_cases hx : x ∈ t <;> simp [hx]

Goal state after:
case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
t : Finset V
w : ↥t → k
hw : ∑ i, w i = 0
i : ↥t
hi : ¬w i = 0
hwt : ∑ x, w x • ↑x = 0
f : (x : V) → x ∈ t → k := fun x hx ↦ w ⟨x, hx⟩
⊢ (∑ e ∈ t, if hx : e ∈ t then f e hx • e else 0) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: case h₁
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁷ : Ring k
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module k V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : LinearOrder k
inst✝² : IsOrderedAddMonoid k
inst✝¹ : ZeroLEOneClass k
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
w : Fin (n + 1) → k
hw1 : ∑ i, w i = 1
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ Set.Icc 0 1
hp' : (affineCombination k univ s.points) w ∈ ↑(affineSpan k (Set.range s.points))
h : ∃ i, w i ≤ 0 ∨ 1 ≤ w i
⊢ (affineCombination k univ s.points) w ∈ ⋃ i, (s.faceOpposite i).closedInterior

Tactic:
obtain ⟨j, hj⟩ : ∃ j : Fin (n + 1), w j = 0 := by
      obtain ⟨i, hi | hi⟩ := h
      · exact ⟨i, le_antisymm hi (hp i).1⟩
      · have hi1 : w i = 1 := le_antisymm (hp i).2 hi
        rw [← hi1, ← Finset.sum_erase_add _ _ (show i ∈ Finset.univ by simp), add_eq_right,
          Finset.sum_eq_zero_iff_of_nonneg (fun j _ ↦ (hp j).1)] at hw1
        exact ⟨i + 1, hw1 _ (by simp)⟩

Goal state after:
case h₁
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁷ : Ring k
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module k V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : LinearOrder k
inst✝² : IsOrderedAddMonoid k
inst✝¹ : ZeroLEOneClass k
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
w : Fin (n + 1) → k
hw1 : ∑ i, w i = 1
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ Set.Icc 0 1
hp' : (affineCombination k univ s.points) w ∈ ↑(affineSpan k (Set.range s.points))
h : ∃ i, w i ≤ 0 ∨ 1 ≤ w i
j : Fin (n + 1)
hj : w j = 0
⊢ (affineCombination k univ s.points) w ∈ ⋃ i, (s.faceOpposite i).closedInterior
Module: Mathlib.Topology.NhdsKer

Goal state before:
pp: X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x : X
y : Y
⊢ (𝓝 x ×ˢ 𝓝 y).ker = (𝓝 x).ker ×ˢ (𝓝 y).ker

Tactic:
ker_prod

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.NhdsKer

Goal state before:
pp: ι : Type u_3
X : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
p : (i : ι) → X i
⊢ (𝓝 p).ker = univ.pi fun i ↦ (𝓝 (p i)).ker

Tactic:
nhds_pi,

Goal state after:
ι : Type u_3
X : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
p : (i : ι) → X i
⊢ (Filter.pi fun i ↦ 𝓝 (p i)).ker = univ.pi fun i ↦ (𝓝 (p i)).ker
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h : ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h_cases : x = y
⊢ a • x + b • y ∈ s

pp: case neg
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h : ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h_cases : ¬x = y
⊢ a • x + b • y ∈ s

Tactic:
· rw [h_cases, ← add_smul, hab, one_smul]
    exact hy

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h : ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h_cases : ¬x = y
⊢ a • x + b • y ∈ s
Module: Mathlib.Topology.AlexandrovDiscrete

Goal state before:
pp: ι✝ : Sort u_1
κ : ι✝ → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : AlexandrovDiscrete α
inst✝³ : AlexandrovDiscrete β
s t : Set α
a : α
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
X : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : ∀ (i : ι), AlexandrovDiscrete (X i)
⊢ ∀ (a : (i : ι) → X i), 𝓝 a = 𝓟 (nhdsKer {a})

Tactic:
nhds_pi,

Goal state after:
ι✝ : Sort u_1
κ : ι✝ → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : AlexandrovDiscrete α
inst✝³ : AlexandrovDiscrete β
s t : Set α
a : α
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
X : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : ∀ (i : ι), AlexandrovDiscrete (X i)
⊢ ∀ (a : (i : ι) → X i), (Filter.pi fun i ↦ 𝓝 (a i)) = 𝓟 (nhdsKer {a})
Module: Mathlib.Topology.Connected.LocallyPathConnected

Goal state before:
pp: case refine_1.hs
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X✝
ι : Type u_3
F : Set X✝
inst✝² : LocallyPathConnectedSpace X✝
X : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : ∀ (i : ι), LocallyPathConnectedSpace (X i)
x : (i : ι) × X i
u : Set ((i : ι) × X i)
hu : IsOpen[instTopologicalSpaceSigma] u
hxu : x ∈ u
⊢ IsPathConnected (mk x.fst '' pathComponentIn (mk x.fst ⁻¹' u) x.snd)

pp: case hxs
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X✝
ι : Type u_3
F : Set X✝
inst✝² : LocallyPathConnectedSpace X✝
X : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : ∀ (i : ι), LocallyPathConnectedSpace (X i)
x : (i : ι) × X i
u : Set ((i : ι) × X i)
hu : IsOpen[instTopologicalSpaceSigma] u
hxu : x ∈ u
⊢ x ∈ mk x.fst '' pathComponentIn (mk x.fst ⁻¹' u) x.snd

pp: case refine_1.hsF
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X✝
ι : Type u_3
F : Set X✝
inst✝² : LocallyPathConnectedSpace X✝
X : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : ∀ (i : ι), LocallyPathConnectedSpace (X i)
x : (i : ι) × X i
u : Set ((i : ι) × X i)
hu : IsOpen[instTopologicalSpaceSigma] u
hxu : x ∈ u
⊢ mk x.fst '' pathComponentIn (mk x.fst ⁻¹' u) x.snd ⊆ u

Tactic:
· exact (isPathConnected_pathComponentIn (by exact hxu)).image continuous_sigmaMk

Goal state after:
case hxs
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X✝
ι : Type u_3
F : Set X✝
inst✝² : LocallyPathConnectedSpace X✝
X : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : ∀ (i : ι), LocallyPathConnectedSpace (X i)
x : (i : ι) × X i
u : Set ((i : ι) × X i)
hu : IsOpen[instTopologicalSpaceSigma] u
hxu : x ∈ u
⊢ x ∈ mk x.fst '' pathComponentIn (mk x.fst ⁻¹' u) x.snd

case refine_1.hsF
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X✝
ι : Type u_3
F : Set X✝
inst✝² : LocallyPathConnectedSpace X✝
X : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : ∀ (i : ι), LocallyPathConnectedSpace (X i)
x : (i : ι) × X i
u : Set ((i : ι) × X i)
hu : IsOpen[instTopologicalSpaceSigma] u
hxu : x ∈ u
⊢ mk x.fst '' pathComponentIn (mk x.fst ⁻¹' u) x.snd ⊆ u
Module: Mathlib.Topology.Connected.LocallyPathConnected

Goal state before:
pp: ι : Type u_3
Z : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (Z i)
inst✝ : ∀ (i : ι), LocallyPathConnectedSpace (Z i)
hfinite : {i | ¬PathConnectedSpace (Z i)}.Finite
x : (i : ι) → Z i
U : Set ((i : ι) → Z i)
hU : U ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ r ∈ 𝓝 x, IsPathConnected r ∧ r ⊆ U

Tactic:
nhds_pi,

Goal state after:
ι : Type u_3
Z : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (Z i)
inst✝ : ∀ (i : ι), LocallyPathConnectedSpace (Z i)
hfinite : {i | ¬PathConnectedSpace (Z i)}.Finite
x : (i : ι) → Z i
U : Set ((i : ι) → Z i)
hU : U ∈ Filter.pi fun i ↦ 𝓝 (x i)
⊢ ∃ r ∈ 𝓝 x, IsPathConnected r ∧ r ⊆ U
Module: Mathlib.Topology.Connected.LocallyPathConnected

Goal state before:
pp: case refine_1.inr
ι : Type u_3
Z : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (Z i)
h : LocallyPathConnectedSpace ((i : ι) → Z i)
x : (i : ι) → Z i
this : ∀ (i : ι), Nonempty (Z i)
hVn : pathComponent x ∈ 𝓝 x
⊢ {i | ¬PathConnectedSpace (Z i)}.Finite

Tactic:
nhds_pi,

Goal state after:
case refine_1.inr
ι : Type u_3
Z : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (Z i)
h : LocallyPathConnectedSpace ((i : ι) → Z i)
x : (i : ι) → Z i
this : ∀ (i : ι), Nonempty (Z i)
hVn : pathComponent x ∈ Filter.pi fun i ↦ 𝓝 (x i)
⊢ {i | ¬PathConnectedSpace (Z i)}.Finite
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.LocallyConvex

Goal state before:
pp: case refine_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
S : Set E
hS : Convex ℝ S
x : ↑S
s : Set ↑S
hs : s ∈ 𝓝 x
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝 ↑x ∧ Subtype.val ⁻¹' t ⊆ s
t' : Set E
ht' : (t' ∈ 𝓝 ↑x ∧ Convex ℝ t') ∧ id t' ⊆ t
⊢ Subtype.val ⁻¹' t' ∈ 𝓝 x

Tactic:
exact continuousAt_subtype_val.preimage_mem_nhds ht'.1.1

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Connected.LocallyPathConnected

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝¹ : LocallyPathConnectedSpace X
inst✝ : AlexandrovDiscrete X
⊢ LocallyPathConnectedSpace X

Tactic:
apply LocallyPathConnectedSpace.of_bases nhds_basis_nhdsKer_singleton
  simp only [forall_const, IsPathConnected, mem_nhdsKer_singleton]
  intro x
  exists x, specializes_rfl
  intro y hy
  symm
  apply hy.joinedIn <;> rewrite [mem_nhdsKer_singleton] <;> [assumption; rfl]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : LinearOrder k
inst✝³ : IsStrictOrderedRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
i₁ i₂ i₃ : ι
h₁ : i₁ ∈ s
h₂ : i₂ ∈ s
h₃ : i₃ ∈ s
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
c : k
hc0 : 0 < c
hc1 : c < 1
hs :
  (affineCombination k s p) w ∈
    line[k, (affineCombination k s p) (Pi.single i₁ 1),
      (affineCombination k s p) (affineCombinationLineMapWeights i₂ i₃ c)]
⊢ SignType.sign (affineCombinationLineMapWeights i₂ i₃ c i₂) =
    SignType.sign (affineCombinationLineMapWeights i₂ i₃ c i₃)

Tactic:
Finset.affineCombinationLineMapWeights_apply_left h₂₃,

Goal state after:
case refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : LinearOrder k
inst✝³ : IsStrictOrderedRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
i₁ i₂ i₃ : ι
h₁ : i₁ ∈ s
h₂ : i₂ ∈ s
h₃ : i₃ ∈ s
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
c : k
hc0 : 0 < c
hc1 : c < 1
hs :
  (affineCombination k s p) w ∈
    line[k, (affineCombination k s p) (Pi.single i₁ 1),
      (affineCombination k s p) (affineCombinationLineMapWeights i₂ i₃ c)]
⊢ SignType.sign (1 - c) = SignType.sign (affineCombinationLineMapWeights i₂ i₃ c i₃)