Module: Mathlib.NumberTheory.ModularForms.Bounds

Goal state before:
pp: k : ℤ
Γ : Subgroup (GL (Fin 2) ℝ)
inst✝² : Γ.IsArithmetic
F✝ : Type u_2
inst✝¹ : FunLike F✝ ℍ ℂ
inst✝ : ModularFormClass F✝ Γ k
f : F✝
e : ℝ
hF : ⇑f =O[comap UpperHalfPlane.im (𝓝 0)] fun τ ↦ τ.im ^ (-e)
h : ℝ := Γ.strictWidthInfty
hh : 0 < h
this✝ : NeZero h
hΓ : h ∈ Γ.strictPeriods
C : ℝ
Cpos : C > 0
hC : ∀ᶠ (b : ℝ) in 𝓝 0, ∀ (a : ℍ), a.im = b → ‖f a‖ ≤ C * ‖a.im ^ (-e)‖
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : ∀ (a : ℍ), a.im = ((fun r ↦ r⁻¹) ∘ Nat.cast) n → ‖f a‖ ≤ C * ‖a.im ^ (-e)‖
F : ℝ → ℝ := fun x ↦ ‖1 / ↑h * (1 / 𝕢 h (↑x + 1 / ↑n * I) ^ n * f { coe := ↑x + 1 / ↑n * I, coe_im_pos := ⋯ })‖
hne : ‖↑n ^ e‖ = ↑n ^ e
this : ∀ (x : ℝ), F x ≤ 1 / h * (1 / Real.exp (-2 * Real.pi / h)) * (C * ↑n ^ e)
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0..h, ‖1 / ↑h * (1 / 𝕢 h (↑x + 1 / ↑n * I) ^ n * f { coe := ↑x + 1 / ↑n * I, coe_im_pos := ⋯ })‖ ≤
    1 / Real.exp (-2 * Real.pi / h) * C * ‖↑n ^ e‖

Tactic:
refine (intervalIntegral.integral_mono (by positivity) ?_ ?_ this).trans (le_of_eq ?_)

Goal state after:
case refine_1
k : ℤ
Γ : Subgroup (GL (Fin 2) ℝ)
inst✝² : Γ.IsArithmetic
F✝ : Type u_2
inst✝¹ : FunLike F✝ ℍ ℂ
inst✝ : ModularFormClass F✝ Γ k
f : F✝
e : ℝ
hF : ⇑f =O[comap UpperHalfPlane.im (𝓝 0)] fun τ ↦ τ.im ^ (-e)
h : ℝ := Γ.strictWidthInfty
hh : 0 < h
this✝ : NeZero h
hΓ : h ∈ Γ.strictPeriods
C : ℝ
Cpos : C > 0
hC : ∀ᶠ (b : ℝ) in 𝓝 0, ∀ (a : ℍ), a.im = b → ‖f a‖ ≤ C * ‖a.im ^ (-e)‖
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : ∀ (a : ℍ), a.im = ((fun r ↦ r⁻¹) ∘ Nat.cast) n → ‖f a‖ ≤ C * ‖a.im ^ (-e)‖
F : ℝ → ℝ := fun x ↦ ‖1 / ↑h * (1 / 𝕢 h (↑x + 1 / ↑n * I) ^ n * f { coe := ↑x + 1 / ↑n * I, coe_im_pos := ⋯ })‖
hne : ‖↑n ^ e‖ = ↑n ^ e
this : ∀ (x : ℝ), F x ≤ 1 / h * (1 / Real.exp (-2 * Real.pi / h)) * (C * ↑n ^ e)
⊢ IntervalIntegrable F MeasureTheory.volume 0 h

case refine_2
k : ℤ
Γ : Subgroup (GL (Fin 2) ℝ)
inst✝² : Γ.IsArithmetic
F✝ : Type u_2
inst✝¹ : FunLike F✝ ℍ ℂ
inst✝ : ModularFormClass F✝ Γ k
f : F✝
e : ℝ
hF : ⇑f =O[comap UpperHalfPlane.im (𝓝 0)] fun τ ↦ τ.im ^ (-e)
h : ℝ := Γ.strictWidthInfty
hh : 0 < h
this✝ : NeZero h
hΓ : h ∈ Γ.strictPeriods
C : ℝ
Cpos : C > 0
hC : ∀ᶠ (b : ℝ) in 𝓝 0, ∀ (a : ℍ), a.im = b → ‖f a‖ ≤ C * ‖a.im ^ (-e)‖
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : ∀ (a : ℍ), a.im = ((fun r ↦ r⁻¹) ∘ Nat.cast) n → ‖f a‖ ≤ C * ‖a.im ^ (-e)‖
F : ℝ → ℝ := fun x ↦ ‖1 / ↑h * (1 / 𝕢 h (↑x + 1 / ↑n * I) ^ n * f { coe := ↑x + 1 / ↑n * I, coe_im_pos := ⋯ })‖
hne : ‖↑n ^ e‖ = ↑n ^ e
this : ∀ (x : ℝ), F x ≤ 1 / h * (1 / Real.exp (-2 * Real.pi / h)) * (C * ↑n ^ e)
⊢ IntervalIntegrable (fun i ↦ 1 / h * (1 / Real.exp (-2 * Real.pi / h)) * (C * ↑n ^ e)) MeasureTheory.volume 0 h

case refine_3
k : ℤ
Γ : Subgroup (GL (Fin 2) ℝ)
inst✝² : Γ.IsArithmetic
F✝ : Type u_2
inst✝¹ : FunLike F✝ ℍ ℂ
inst✝ : ModularFormClass F✝ Γ k
f : F✝
e : ℝ
hF : ⇑f =O[comap UpperHalfPlane.im (𝓝 0)] fun τ ↦ τ.im ^ (-e)
h : ℝ := Γ.strictWidthInfty
hh : 0 < h
this✝ : NeZero h
hΓ : h ∈ Γ.strictPeriods
C : ℝ
Cpos : C > 0
hC : ∀ᶠ (b : ℝ) in 𝓝 0, ∀ (a : ℍ), a.im = b → ‖f a‖ ≤ C * ‖a.im ^ (-e)‖
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : ∀ (a : ℍ), a.im = ((fun r ↦ r⁻¹) ∘ Nat.cast) n → ‖f a‖ ≤ C * ‖a.im ^ (-e)‖
F : ℝ → ℝ := fun x ↦ ‖1 / ↑h * (1 / 𝕢 h (↑x + 1 / ↑n * I) ^ n * f { coe := ↑x + 1 / ↑n * I, coe_im_pos := ⋯ })‖
hne : ‖↑n ^ e‖ = ↑n ^ e
this : ∀ (x : ℝ), F x ≤ 1 / h * (1 / Real.exp (-2 * Real.pi / h)) * (C * ↑n ^ e)
⊢ ∫ (u : ℝ) in 0..h, 1 / h * (1 / Real.exp (-2 * Real.pi / h)) * (C * ↑n ^ e) =
    1 / Real.exp (-2 * Real.pi / h) * C * ‖↑n ^ e‖