mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
i j : ι₁
hij : i ≠ j
⊢ ⁅prodE eι b₁ b₂ i, prodF eι b₁ b₂ j⁆ = 0

Tactic:
by
    have hij' : eι i ≠ eι j := by aesop
    simp [Subtype.ext_iff, b₁.lie_e_f_ne i j hij, b₂.lie_e_f_ne _ _ hij']

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
m : ℕ
hm : ((ad R L) x ^ m) y = 0
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) z = 0
ij : ℕ × ℕ
hij : ij ∈ Finset.antidiagonal (m + n)
⊢ m ≤ ij.1 ∨ n ≤ ij.2

Tactic:
rw [Finset.mem_antidiagonal] at hij

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
m : ℕ
hm : ((ad R L) x ^ m) y = 0
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) z = 0
ij : ℕ × ℕ
hij : ij.1 + ij.2 = m + n
⊢ m ≤ ij.1 ∨ n ≤ ij.2
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion

Goal state before:
pp: L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieModule K L M
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : traceForm K L M = 0
φ : L →ₗ⁅K⁆ End K M := toEnd K L M
x : L
hx : x ∈ derivedSeries K L 1
n : End K M
hn_adj : n ∈ K[φ x]
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : φ x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace :=
  DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top (eigenspaces_iSupIndep s)
    (IsSemisimple.iSup_eigenspace_eq_top hs_ss)
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M := eigenDecomp.collectedBasis fun μ ↦ finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this✝ : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst
hsv : ∀ (i : I), s (v i) = μ i • v i
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
this : ∀ (f : Dual ℚ ↥E), f = 0
⊢ ∀ (ν : K), s.HasEigenvalue ν → ν = 0

Tactic:
intro ν hν

Goal state after:
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieModule K L M
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : traceForm K L M = 0
φ : L →ₗ⁅K⁆ End K M := toEnd K L M
x : L
hx : x ∈ derivedSeries K L 1
n : End K M
hn_adj : n ∈ K[φ x]
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : φ x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace :=
  DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top (eigenspaces_iSupIndep s)
    (IsSemisimple.iSup_eigenspace_eq_top hs_ss)
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M := eigenDecomp.collectedBasis fun μ ↦ finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this✝ : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst
hsv : ∀ (i : I), s (v i) = μ i • v i
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
this : ∀ (f : Dual ℚ ↥E), f = 0
ν : K
hν : s.HasEigenvalue ν
⊢ ν = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: case pos
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
x y : ι → F
hwd : ∀ (i j : ι), x i = x j → y i = y j
this : Fintype ι
hinj : Set.InjOn (fun d ↦ d) ↑(image x univ)
v : F → F := fun z ↦ if h : ∃ i, x i = z then y h.choose else 0
v_def : v = fun z ↦ if h : ∃ i, x i = z then y h.choose else 0
i : ι
h : ∃ i_1, x i_1 = x i
⊢ y h.choose = y i

Tactic:
exact hwd _ _ h.choose_spec

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
IH : derivative (nodal t v) = ∑ i ∈ t, nodal (t.erase i) v
⊢ nodal t v + (X - C (v i)) * ∑ i ∈ t, nodal (t.erase i) v = ∑ i_1 ∈ insert i t, nodal ((insert i t).erase i_1) v

Tactic:
sum_insert hit,

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
IH : derivative (nodal t v) = ∑ i ∈ t, nodal (t.erase i) v
⊢ nodal t v + (X - C (v i)) * ∑ i ∈ t, nodal (t.erase i) v =
    nodal ((insert i t).erase i) v + ∑ x ∈ t, nodal ((insert i t).erase x) v
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_5
τ : Type u_6
e : σ → τ
w : τ → ℕ
P : MvPolynomial σ R
he : Function.Injective e
⊢ weightedTotalDegree w ((rename e) P) = weightedTotalDegree (w ∘ e) P

Tactic:
unfold weightedTotalDegree

Goal state after:
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_5
τ : Type u_6
e : σ → τ
w : τ → ℕ
P : MvPolynomial σ R
he : Function.Injective e
⊢ (((rename e) P).support.sup fun s ↦ (weight w) s) = P.support.sup fun s ↦ (weight (w ∘ e)) s
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x : ι → R
n : ℕ
⊢ span (Set.range x) ^ n = Submodule.map (MvPolynomial.aeval x).toLinearMap (MvPolynomial.homogeneousSubmodule ι R n)

Tactic:
by
  rw [← MvPolynomial.homogeneousSubmodule_one_pow, Submodule.map_pow,
    Ideal.span_eq_map_homogeneousSubmodule]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanExists

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
this : Polynomial.map (evalRingHom 1) (lieCharpoly K (↥E) x' u) = X ^ r
⊢ Ex ≤ Ey

Tactic:
lieCharpoly_map_eval,

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
this : LinearMap.charpoly ((toEnd K ↥U ↥E) (1 • u + x')) = X ^ r
⊢ Ex ≤ Ey
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanExists

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
hi : 0 < r
α : K
⊢ (Polynomial.map (evalRingHom α) χ).coeff 0 = 0

Tactic:
lieCharpoly_map_eval,

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
hi : 0 < r
α : K
⊢ (LinearMap.charpoly ((toEnd K ↥U ↥E) (α • u + x'))).coeff 0 = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymplecticGroup

Goal state before:
pp: l : Type u_1
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
R : Type u_3
inst✝ : Field R
A C : Matrix l l R
hker : ∀ (x : l → R), A • x = 0 → C • x = 0 → x = 0
hsymm : Aᵀ * C = Cᵀ * A
V U : Matrix l l R
s : l ≃ Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)
hV : IsUnit V
hU : IsUnit U
heq : V * C * U = (fromBlocks 1 0 0 0).submatrix ⇑s ⇑s
⊢ ∃ X, X.IsSymm ∧ IsUnit (A + X * C)

Tactic:
set P := V * C * U with P_def

Goal state after:
l : Type u_1
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
R : Type u_3
inst✝ : Field R
A C : Matrix l l R
hker : ∀ (x : l → R), A • x = 0 → C • x = 0 → x = 0
hsymm : Aᵀ * C = Cᵀ * A
V U : Matrix l l R
s : l ≃ Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)
hV : IsUnit V
hU : IsUnit U
P : Matrix l l R := V * C * U
heq : P = (fromBlocks 1 0 0 0).submatrix ⇑s ⇑s
P_def : P = V * C * U
⊢ ∃ X, X.IsSymm ∧ IsUnit (A + X * C)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanExists

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (Polynomial.map (evalRingHom 0) ψ).coeff 0 = (evalRingHom 0) 0
⊢ ∃ z, z ≠ 0 ∧ ⁅x', z⁆ = 0

Tactic:
lieCharpoly_map_eval,

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
H : (LinearMap.charpoly ((toEnd K (↥U) Q) (0 • u + x'))).coeff 0 = (evalRingHom 0) 0
⊢ ∃ z, z ≠ 0 ∧ ⁅x', z⁆ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanExists

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
⊢ (Polynomial.map (evalRingHom α) χ).coeff i = 0

Tactic:
lieCharpoly_map_eval,

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
⊢ (LinearMap.charpoly ((toEnd K ↥U ↥E) (α • u + x'))).coeff i = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange

Goal state before:
pp: case refine_1.refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
L : Type u_3
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
d : LieDerivation R L L
x y : A ⊗[R] L
x✝¹ : A
y✝¹ : L
x✝ : A
y✝ : L
⊢ (LinearMap.lTensor A ↑d) ⁅x✝¹ ⊗ₜ[R] y✝¹, x✝ ⊗ₜ[R] y✝⁆ =
    ⁅x✝¹ ⊗ₜ[R] y✝¹, (LinearMap.lTensor A ↑d) (x✝ ⊗ₜ[R] y✝)⁆ - ⁅x✝ ⊗ₜ[R] y✝, (LinearMap.lTensor A ↑d) (x✝¹ ⊗ₜ[R] y✝¹)⁆

Tactic:
simp [LieAlgebra.ExtendScalars.bracket_tmul, tmul_sub, mul_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.DirectSum

Goal state before:
pp: R : Type u
ι : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
L : Type w₁
M : ι → Type w
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → LieRingModule L (M i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), LieModule R L (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
x : L
m : M j
⊢ (lof R ι M j).toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, (lof R ι M j).toFun m⁆

Tactic:
ext i
      by_cases h : j = i
      · rw [← h]; simp
      · -- This used to be the end of the proof before https://github.com/leanprover/lean4/pull/2644
        -- old proof `simp [lof, lsingle, h]`
        simp only [lof, lsingle, AddHom.toFun_eq_coe, lie_module_bracket_apply]
        -- The coercion in the goal is `DFunLike.coe (β := fun x ↦ Π₀ (i : ι), M i)`
        -- but the lemma is expecting `DFunLike.coe (β := fun x ↦ ⨁ (i : ι), M i)`
        erw [AddHom.coe_mk]
        simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanExists

Goal state before:
pp: case inr
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
α : K
hsψ : (Polynomial.map (evalRingHom α) ψ).coeff 0 ≠ 0
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K ↑v
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q) v ^ n) z' = 0
n : ℕ := Nat.find hz'
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q) v ^ n) z' = 0
k : ℕ
hk : n = k + 1
⊢ z' = 0

Tactic:
lieCharpoly_map_eval,

Goal state after:
case inr
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
α : K
hsψ : (LinearMap.charpoly ((toEnd K (↥U) Q) (α • u + x'))).coeff 0 ≠ 0
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K ↑v
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q) v ^ n) z' = 0
n : ℕ := Nat.find hz'
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q) v ^ n) z' = 0
k : ℕ
hk : n = k + 1
⊢ z' = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.DirectSum

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u
ι : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝² : DecidableEq ι
L' : Type w₁
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'
hf : Pairwise fun i j ↦ ∀ (x : L i) (y : L j), ⁅(f i) x, (f j) y⁆ = 0
x✝ y✝ : ⨁ (i : ι), L i
f' : (i : ι) → L i →ₗ[R] L' := fun i ↦ ↑(f i)
i : ι
y x : L i
⊢ (f i) ⁅x, y⁆ = ⁅(f i) x, (f i) y⁆

Tactic:
LieHom.map_lie

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.Perm.Cycle.Concrete

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
hl : l.attach.Nodup
hn : 2 ≤ l.attach.length
x : { x // x ∈ l }
h : l.attach = [x]
⊢ False

Tactic:
simp [h] at hn

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Loop

Goal state before:
pp: case tmul.add
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : DecidableEq A
inst✝ : AddCommMonoid A
i j : A
x : ↥(AddMonoidAlgebra.grade R i)
y : L
u v : ↥(AddMonoidAlgebra.grade R j) ⊗[R] L
hv :
  ⁅↑x ⊗ₜ[R] y, (LinearMap.rTensor L (AddMonoidAlgebra.grade R j).subtype) v⁆ ∈
    (LinearMap.rTensor L (AddMonoidAlgebra.grade R (i + j)).subtype).range
u' : ↥(AddMonoidAlgebra.grade R (i + j)) ⊗[R] L
hu' :
  (LinearMap.rTensor L (AddMonoidAlgebra.grade R (i + j)).subtype) u' =
    ⁅↑x ⊗ₜ[R] y, (LinearMap.rTensor L (AddMonoidAlgebra.grade R j).subtype) u⁆
⊢ ⁅↑x ⊗ₜ[R] y, (LinearMap.rTensor L (AddMonoidAlgebra.grade R j).subtype) u⁆ +
      ⁅↑x ⊗ₜ[R] y, (LinearMap.rTensor L (AddMonoidAlgebra.grade R j).subtype) v⁆ ∈
    (LinearMap.rTensor L (AddMonoidAlgebra.grade R (i + j)).subtype).range

Tactic:
obtain ⟨v', hv'⟩ := hv

Goal state after:
case tmul.add
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : DecidableEq A
inst✝ : AddCommMonoid A
i j : A
x : ↥(AddMonoidAlgebra.grade R i)
y : L
u v : ↥(AddMonoidAlgebra.grade R j) ⊗[R] L
u' : ↥(AddMonoidAlgebra.grade R (i + j)) ⊗[R] L
hu' :
  (LinearMap.rTensor L (AddMonoidAlgebra.grade R (i + j)).subtype) u' =
    ⁅↑x ⊗ₜ[R] y, (LinearMap.rTensor L (AddMonoidAlgebra.grade R j).subtype) u⁆
v' : ↥(AddMonoidAlgebra.grade R (i + j)) ⊗[R] L
hv' :
  (LinearMap.rTensor L (AddMonoidAlgebra.grade R (i + j)).subtype) v' =
    ⁅↑x ⊗ₜ[R] y, (LinearMap.rTensor L (AddMonoidAlgebra.grade R j).subtype) v⁆
⊢ ⁅↑x ⊗ₜ[R] y, (LinearMap.rTensor L (AddMonoidAlgebra.grade R j).subtype) u⁆ +
      ⁅↑x ⊗ₜ[R] y, (LinearMap.rTensor L (AddMonoidAlgebra.grade R j).subtype) v⁆ ∈
    (LinearMap.rTensor L (AddMonoidAlgebra.grade R (i + j)).subtype).range
Module: Mathlib.GroupTheory.Perm.Cycle.Concrete

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x✝ : α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x y : α
m✝ : Multiset α
s : Cycle α
hx : ¬f x = x
hy : ¬f y = y
hc : f.SameCycle x y
⊢ ↑(f.toList x) = ↑(f.toList y)

Tactic:
exact Quotient.sound' hc.toList_isRotated

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i : Fin n
hEq1 : Eq1 A p
⊢ (↑(Finset.Ioi i)).PairwiseDisjoint fun k ↦ Finset.image (Fin.cons k) (S p k)

Tactic:
· grind [Set.PairwiseDisjoint, Set.Pairwise, Finset.disjoint_left, Fin.cons_inj]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : FaithfulSMul R P
I : FractionalIdeal S P
reg : IsSMulRegular P I.den
x✝ : P
hx : x✝ ∈ ↑I
⊢ (DistribSMul.toLinearMap R P I.den) x✝ ∈ I.den • ↑I

Tactic:
exact Submodule.smul_mem_pointwise_smul _ _ _ hx

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing P
inst✝³ : Algebra R P
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree R P
inst✝ : Nontrivial P
I : FractionalIdeal S P
h_nz : ↑I.den ≠ 0
x : ↥I
⊢ (Algebra.linearMap R P)
      ↑((equivMapOfInjective (Algebra.linearMap R P) ⋯ I.num).symm
          ((LinearEquiv.ofBijective ((DistribSMul.toLinearMap R P I.den).restrict ⋯) ⋯) x)) =
    I.den • ↑x

Tactic:
LinearEquiv.ofBijective_apply,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing P
inst✝³ : Algebra R P
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree R P
inst✝ : Nontrivial P
I : FractionalIdeal S P
h_nz : ↑I.den ≠ 0
x : ↥I
⊢ (Algebra.linearMap R P)
      ↑((equivMapOfInjective (Algebra.linearMap R P) ⋯ I.num).symm
          (((DistribSMul.toLinearMap R P I.den).restrict ⋯) x)) =
    I.den • ↑x
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
p : FractionalIdeal S P
s : Set P
hs : s = ↑p
⊢ IsFractional S ((↑p).copy s hs)

Tactic:
by
    convert! p.isFractional
    ext
    simp only [hs]
    rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
S : Submonoid R
P : Type u_4
inst✝³ : Nontrivial P
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : Module.IsTorsionFree R P
hR : IsNoetherianRing R
hS : S ≤ R⁰
I : FractionalIdeal S P
⊢ (↑I).FG

Tactic:
have := hR.noetherian I.num

Goal state after:
R : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
S : Submonoid R
P : Type u_4
inst✝³ : Nontrivial P
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : Module.IsTorsionFree R P
hR : IsNoetherianRing R
hS : S ≤ R⁰
I : FractionalIdeal S P
this : FG I.num
⊢ (↑I).FG
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
x : L
hxI : x ∈ ↑↑(LieSubmodule.restr I H)
hxH : x ∈ ↑↑H.toLieSubmodule
f : ↥LieSubalgebra.root → LieIdeal K ↥H := fun α ↦ corootSpace ⇑↑α
span_I_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ α ∈ I.rootSet, f α
span_compl_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ β, ⨆ (_ : β ∉ I.rootSet), f β
h_split : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⨆ α, f α
h_top : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⊤
hspan_I_roots_incl : LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl span_I_roots = ⨆ α ∈ I.rootSet, corootSubmodule ↑α
hspan_compl_roots_vanish : ∀ μ ∈ I.rootSet, ↑span_compl_roots ≤ Weight.ker
hx_top : ⟨x, hxH⟩ ∈ span_I_roots ⊔ span_compl_roots
a : ↥H
ha : a ∈ ↑span_I_roots
b : ↥H
hb : b ∈ ↑span_compl_roots
hab : a + b = ⟨x, hxH⟩
haI : ↑a ∈ I
hbI : ↑b ∈ I
this : b = 0
⊢ x ∈ ⨆ α ∈ I.rootSet, corootSubmodule ↑α

Tactic:
by
    subst this; simp only [add_zero] at hab; subst hab
    exact hspan_I_roots_incl ▸ LieSubmodule.mem_map_of_mem ha

Goal state after: