mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
m : MeasurableSpace E
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₁
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F₃
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
μ : Measure E
φ : E → F₂
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
⊢ ‖(integralAgainstBilinLM B μ φ) f‖ ≤
    (∫ (x : E) in ↑K, ‖φ x‖ ∂μ) * ‖B‖ * ({0}.sup fun i ↦ ContDiffMapSupportedIn.seminorm 𝕜 E F₁ n K i) f

Tactic:
by simpa using! norm_integralAgainstBilinLM_le

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α → E
g_support : HasCompactSupport g
g_cont : Continuous[inst✝⁸, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] g
g_mem : MemLp g (↑p.toNNReal) μ
hg :
  ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖(f - g) a‖ ^ (ENNReal.ofReal p).toReal ∂μ) ^ (ENNReal.ofReal p).toReal⁻¹) ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p))
⊢ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε

Tactic:
ENNReal.ofReal_le_ofReal_iff I.le,

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α → E
g_support : HasCompactSupport g
g_cont : Continuous[inst✝⁸, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] g
g_mem : MemLp g (↑p.toNNReal) μ
hg : (∫ (a : α), ‖(f - g) a‖ ^ (ENNReal.ofReal p).toReal ∂μ) ^ (ENNReal.ofReal p).toReal⁻¹ ≤ ε ^ (1 / p)
⊢ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hrank : ∀ (n : ℕ), Module.finrank 𝕜 ↥(↑(P n)).range = n
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
n : ℕ
U : Submodule 𝕜 X := (↑(succSub P n)).range
V : Submodule 𝕜 X := (↑(P n)).range
W : Submodule 𝕜 X := (↑(P (n + 1))).range
hV : V ≤ W
y : X
⊢ ↑(succSub P n) y ∈ W

Tactic:
exact Submodule.sub_mem W ⟨y, rfl⟩ (hV ⟨y, rfl⟩)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hrank : ∀ (n : ℕ), Module.finrank 𝕜 ↥(↑(P n)).range = n
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
n : ℕ
U : Submodule 𝕜 X := (↑(succSub P n)).range
V : Submodule 𝕜 X := (↑(P n)).range
W : Submodule 𝕜 X := (↑(P (n + 1))).range
hV : V ≤ W
hUW : U ≤ W
hW : W = U ⊔ V
x : X
x✝ : x ∈ U ⊓ V
y : X
hy : ↑(succSub P n) y = x
z : X
hz : ↑(P n) z = x
⊢ x = (P n) x

Tactic:
rw [← hz, ContinuousLinearMap.coe_coe, hcomp, min_self]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α →ᵇ E
g_mem : MemLp (⇑g) (↑p.toNNReal) μ
hg :
  ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖(f - ⇑g) a‖ ^ (ENNReal.ofReal p).toReal ∂μ) ^ (ENNReal.ofReal p).toReal⁻¹) ≤
    ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p))
⊢ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε

Tactic:
ENNReal.ofReal_le_ofReal_iff I.le,

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α →ᵇ E
g_mem : MemLp (⇑g) (↑p.toNNReal) μ
hg : (∫ (a : α), ‖(f - ⇑g) a‖ ^ (ENNReal.ofReal p).toReal ∂μ) ^ (ENNReal.ofReal p).toReal⁻¹ ≤ ε ^ (1 / p)
⊢ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝¹ : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (G i)
f : ↥(lp G 2)
s : Finset ι
⊢ ∀ c ∈ s, (V c) (↑f c) ∈ (⨆ i, (V i).range).toAddSubmonoid

Tactic:
intro i _

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝¹ : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (G i)
f : ↥(lp G 2)
s : Finset ι
i : ι
a✝ : i ∈ s
⊢ (V i) (↑f i) ∈ (⨆ i, (V i).range).toAddSubmonoid
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝³] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
hδ : δ * ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ + 2 * δ < ε
δpos : 0 < δ
δone : δ < 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝³] u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball 0 δ
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < δ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < δ
hφpos : ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
h''i : IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) s μ
I : IntegrableOn (φ i) t μ
⊢ ∫ (x : α) in t, φ i x * δ ∂μ = (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) * δ

Tactic:
by rw [integral_mul_const]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedField 𝕜'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜' G
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
A : 𝓢(D, E) → F → G
hadd : ∀ (f g : 𝓢(D, E)) (x : F), A (f + g) x = A f x + A g x
hsmul : ∀ (a : 𝕜) (f : 𝓢(D, E)) (x : F), A (a • f) x = σ a • A f x
hsmooth : ∀ (f : 𝓢(D, E)), ContDiff ℝ ∞ (A f)
hbound :
  ∀ (n : ℕ × ℕ),
    ∃ s C,
      0 ≤ C ∧
        ∀ (f : 𝓢(D, E)) (x : F),
          ‖x‖ ^ n.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ n.2 (A f) x‖ ≤ C * (s.sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E)) f
f : 𝓢(D, E)
⊢ ∀ (k n : ℕ), ∃ C, ∀ (x : F), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (A f) x‖ ≤ C

Tactic:
intro k n
        rcases hbound ⟨k, n⟩ with ⟨s, C, _, h⟩
        exact ⟨C * (s.sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E)) f, h f⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: case hbc.succ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup D
inst✝³ : NormedSpace ℝ D
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[ℝ] G →L[ℝ] ℝ
k : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
⊢ ↑((n + 1).choose 0) * ‖iteratedFDeriv ℝ 0 (⇑L) x‖ * ‖iteratedFDeriv ℝ (n + 1 - 0) (⇑f) x‖ +
      ∑ k ∈ Finset.range (n + 1),
        ↑((n + 1).choose (k + 1)) * ‖iteratedFDeriv ℝ (k + 1) (⇑L) x‖ * ‖iteratedFDeriv ℝ (n + 1 - (k + 1)) (⇑f) x‖ ≤
    ‖L x‖ * ‖iteratedFDeriv ℝ (n + 1) (⇑f) x‖ + ↑(n + 1) * ‖L‖ * ‖iteratedFDeriv ℝ (n + 1 - 1) (⇑f) x‖

Tactic:
have : ∑ k ∈ Finset.range n,
                (((n + 1).choose (k + 1 + 1)) : ℝ) * ‖iteratedFDeriv ℝ (k + 1 + 1) L x‖ *
                ‖iteratedFDeriv ℝ (n + 1 - (k + 1 + 1)) f x‖ = 0 := by
              apply Finset.sum_eq_zero
              simp [iteratedFDeriv_succ_eq_comp_right, iteratedFDeriv_succ_const]

Goal state after:
case hbc.succ
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup D
inst✝³ : NormedSpace ℝ D
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[ℝ] G →L[ℝ] ℝ
k : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x : E
n : ℕ
this :
  ∑ k ∈ Finset.range n,
      ↑((n + 1).choose (k + 1 + 1)) * ‖iteratedFDeriv ℝ (k + 1 + 1) (⇑L) x‖ *
        ‖iteratedFDeriv ℝ (n + 1 - (k + 1 + 1)) (⇑f) x‖ =
    0
⊢ ↑((n + 1).choose 0) * ‖iteratedFDeriv ℝ 0 (⇑L) x‖ * ‖iteratedFDeriv ℝ (n + 1 - 0) (⇑f) x‖ +
      ∑ k ∈ Finset.range (n + 1),
        ↑((n + 1).choose (k + 1)) * ‖iteratedFDeriv ℝ (k + 1) (⇑L) x‖ * ‖iteratedFDeriv ℝ (n + 1 - (k + 1)) (⇑f) x‖ ≤
    ‖L x‖ * ‖iteratedFDeriv ℝ (n + 1) (⇑f) x‖ + ↑(n + 1) * ‖L‖ * ‖iteratedFDeriv ℝ (n + 1 - 1) (⇑f) x‖
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : SecondCountableTopologyEither E F
f : 𝓢(E, F)
p : ℝ≥0∞
μ : Measure E
hμ : μ.HasTemperateGrowth
⊢ ‖f.toLp p μ‖ = (eLpNorm (⇑f) p μ).toReal

Tactic:
Lp.norm_def,

Goal state after:
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : SecondCountableTopologyEither E F
f : 𝓢(E, F)
p : ℝ≥0∞
μ : Measure E
hμ : μ.HasTemperateGrowth
⊢ (eLpNorm (↑↑(f.toLp p μ)) p μ).toReal = (eLpNorm (⇑f) p μ).toReal
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
v : V
w : W
⊢ ((2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ) *
      ‖v‖ ^ n =
    ‖v‖ ^ n * (2 * π * ‖L‖) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ

Tactic:
by
    simp [mul_pow]
    ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gaussian.GaussianIntegral

Goal state before:
pp: p b : ℝ
hb : 0 < b
hp : 1 < p
⊢ (fun x ↦ rexp (-b * x ^ p)) =o[atTop] fun x ↦ rexp (-x)

Tactic:
by
  rw [isLittleO_exp_comp_exp_comp]
  suffices Tendsto (fun x => x * (b * x ^ (p - 1) + -1)) atTop atTop by
    refine Tendsto.congr' ?_ this
    refine eventuallyEq_of_mem (Ioi_mem_atTop (0 : ℝ)) (fun x hx => ?_)
    rw [mem_Ioi] at hx
    rw [rpow_sub_one hx.ne']
    field
  apply tendsto_id.atTop_mul_atTop₀
  refine tendsto_atTop_add_const_right atTop (-1 : ℝ) ?_
  exact Tendsto.const_mul_atTop hb (tendsto_rpow_atTop (by linarith))

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Pi

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : NormedCommRing 𝕜
E : ι → Type u_3
f : (i : ι) → E i → 𝕜
mE : (i : ι) → MeasurableSpace (E i)
μ : (i : ι) → Measure (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hf : ∀ (i : ι), Integrable (f i) (μ i)
e : Fin (card ι) ≃ ι := (equivFin ι).symm
⊢ Integrable ((fun x ↦ ∏ i, f i (x i)) ∘ ⇑(MeasurableEquiv.piCongrLeft E e)) (Measure.pi fun i' ↦ μ (e i'))

Tactic:
← e.prod_comp,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : NormedCommRing 𝕜
E : ι → Type u_3
f : (i : ι) → E i → 𝕜
mE : (i : ι) → MeasurableSpace (E i)
μ : (i : ι) → Measure (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hf : ∀ (i : ι), Integrable (f i) (μ i)
e : Fin (card ι) ≃ ι := (equivFin ι).symm
⊢ Integrable ((fun x ↦ ∏ i, f (e i) (x (e i))) ∘ ⇑(MeasurableEquiv.piCongrLeft E e)) (Measure.pi fun i' ↦ μ (e i'))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Pi

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : RCLike 𝕜
E : ι → Type u_3
f : (i : ι) → E i → 𝕜
mE : (i : ι) → MeasurableSpace (E i)
μ : (i : ι) → Measure (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
e : Fin (card ι) ≃ ι := (equivFin ι).symm
⊢ (∫ (x : (b : Fin (card ι)) → E (e b)),
      ∏ i, f i ((MeasurableEquiv.piCongrLeft E e) x i) ∂Measure.pi fun i' ↦ μ (e i')) =
    ∏ i, ∫ (x : E i), f i x ∂μ i

Tactic:
← e.prod_comp,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : RCLike 𝕜
E : ι → Type u_3
f : (i : ι) → E i → 𝕜
mE : (i : ι) → MeasurableSpace (E i)
μ : (i : ι) → Measure (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
e : Fin (card ι) ≃ ι := (equivFin ι).symm
⊢ (∫ (x : (b : Fin (card ι)) → E (e b)),
      ∏ i, f (e i) ((MeasurableEquiv.piCongrLeft E e) x (e i)) ∂Measure.pi fun i' ↦ μ (e i')) =
    ∏ i, ∫ (x : E (e i)), f (e i) x ∂μ (e i)
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Fourier

Goal state before:
pp: V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
F : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : 𝓢(V, F)
⊢ ∀ (x : V), ‖(𝓕 f).toBoundedContinuousFunction x‖ ≤ ‖f.toLp 1 volume‖

Tactic:
simpa using norm_fourier_apply_le_toLp_one f

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Fourier

Goal state before:
pp: V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
F : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : 𝓢(V, F)
⊢ ∀ (x : V), ‖x‖ ^ 0 * ‖iteratedFDeriv ℝ 0 (⇑(𝓕 f)) x‖ ≤ ‖f.toLp 1 volume‖

Tactic:
simpa using norm_fourier_apply_le_toLp_one f

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Inner

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : ι → Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (E i)
w : ι → ℝ
f g₁ g₂ : (i : ι) → E i
⊢ ⟪f, g₁ + g₂⟫_[𝕜, w] = ⟪f, g₁⟫_[𝕜, w] + ⟪f, g₂⟫_[𝕜, w]

Tactic:
by
  simp [wInner, inner_add_right, smul_add, sum_add_distrib]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Inner

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : ι → Type u_4
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : IsEmpty ι
w : ι → ℝ
f g : (i : ι) → E i
⊢ ⟪f, g⟫_[𝕜, w] = 0

Tactic:
simp [Subsingleton.elim f 0]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Inner

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : ι → Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (E i)
𝕝 : Type u_5
inst✝⁵ : CommSemiring 𝕝
inst✝⁴ : StarRing 𝕝
inst✝³ : Algebra 𝕝 𝕜
inst✝² : StarModule 𝕝 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕝 (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower 𝕝 𝕜 (E i)
c : 𝕝
w : ι → ℝ
f g : (i : ι) → E i
⊢ ∑ x, w x • ⟪f x, c • g x⟫_𝕜 = c • ∑ i, w i • ⟪f i, g i⟫_𝕜

Tactic:
inner_smul_right_eq_smul,

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : ι → Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (E i)
𝕝 : Type u_5
inst✝⁵ : CommSemiring 𝕝
inst✝⁴ : StarRing 𝕝
inst✝³ : Algebra 𝕝 𝕜
inst✝² : StarModule 𝕝 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕝 (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower 𝕝 𝕜 (E i)
c : 𝕝
w : ι → ℝ
f g : (i : ι) → E i
⊢ ∑ x, w x • c • ⟪f x, g x⟫_𝕜 = c • ∑ i, w i • ⟪f i, g i⟫_𝕜
Module: Mathlib.Analysis.RCLike.Inner

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : ι → Type u_4
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (E i)
𝕝 : Type u_5
inst✝⁵ : CommSemiring 𝕝
inst✝⁴ : StarRing 𝕝
inst✝³ : Algebra 𝕝 𝕜
inst✝² : StarModule 𝕝 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕝 (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower 𝕝 𝕜 (E i)
c : 𝕝
w : ι → ℝ
f g : (i : ι) → E i
⊢ ∑ x, w x • c • ⟪f x, g x⟫_𝕜 = ∑ x, c • w x • ⟪f x, g x⟫_𝕜

Tactic:
smul_comm c

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.PNat.Prime

Goal state before:
pp: n : ℕ+
⊢ n < 2 → n = 1

Tactic:
by
  change n < 1 + 1 → _
  rw [lt_add_one_iff, le_one_iff_eq_one]
  exact id

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.ArithmeticFunction.Moebius

Goal state before:
pp: p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : 0 < k
hn : IsPrimePow (p ^ k)
hn' : ¬Nat.Prime (p ^ k)
⊢ μ (p ^ k) = 0

Tactic:
moebius_apply_prime_pow hp hk.ne',

Goal state after:
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : 0 < k
hn : IsPrimePow (p ^ k)
hn' : ¬Nat.Prime (p ^ k)
⊢ (if k = 1 then -1 else 0) = 0
Module: Mathlib.RingTheory.RootsOfUnity.Complex

Goal state before:
pp: case right
i : ℤ
n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : IsCoprime i ↑n
⊢ ∀ (l : ℕ), (∃ n_1, ↑l * (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ↑n_1 * (2 * ↑π * I)) → n ∣ l

Tactic:
simp only [forall_exists_index]
    have hn0 : (n : ℂ) ≠ 0 := mod_cast h0
    rintro l k hk
    field_simp at hk
    norm_cast at hk
    exact Int.natCast_dvd_natCast.mp <| hi.symm.dvd_of_dvd_mul_right <| hk ▸ dvd_mul_right ..

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.RootsOfUnity.PrimitiveRoots

Goal state before:
pp: G : Type u_3
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
l : ℤ
⊢ ζ ^ l = 1 ↔ ↑k ∣ l

Tactic:
by
  by_cases h0 : 0 ≤ l
  · lift l to ℕ using h0; exact_mod_cast h.pow_eq_one_iff_dvd l
  · have : 0 ≤ -l := (Int.neg_pos_of_neg <| Int.lt_of_not_ge h0).le
    lift -l to ℕ using this with l' hl'
    rw [← dvd_neg, ← hl']
    norm_cast
    rw [← h.pow_eq_one_iff_dvd, ← inv_inj, ← zpow_neg, ← hl', zpow_natCast, inv_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∀ i ∈ n.properDivisors, (cyclotomic' i K).Monic

Tactic:
intro i _

Goal state after:
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
i : ℕ
a✝ : i ∈ n.properDivisors
⊢ (cyclotomic' i K).Monic
Module: Mathlib.RingTheory.RootsOfUnity.PrimitiveRoots

Goal state before:
pp: R : Type u_4
ζ : R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p : ℕ := ringChar R
n : ℕ
inst✝ : NeZero (p * n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (p * n)
h : p ≠ 0 ∧ n ≠ 0
this : NeZero p
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ False

Tactic:
refine (hζ.pow_ne_one_of_pos_of_lt h.2 (lt_mul_of_one_lt_left (by grind) hp.1.one_lt) <|
    frobenius_inj R p ?_).elim

Goal state after:
R : Type u_4
ζ : R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p : ℕ := ringChar R
n : ℕ
inst✝ : NeZero (p * n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (p * n)
h : p ≠ 0 ∧ n ≠ 0
this : NeZero p
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ (frobenius R p) (ζ ^ n) = (frobenius R p) 1
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ⋯
⊢ ∀ i ∈ k.properDivisors, (cyclotomic' i K).Monic

Tactic:
intro i _

Goal state after:
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
i : ℕ
a✝ : i ∈ k.properDivisors
⊢ (cyclotomic' i K).Monic
Module: Mathlib.RingTheory.RootsOfUnity.Minpoly

Goal state before:
pp: case refine_2
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hprime : Fact (Nat.Prime p)
hdiv : ¬p ∣ n
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
P : ℤ[X] := minpoly ℤ μ
Q : ℤ[X] := minpoly ℤ (μ ^ p)
hdiff : ¬P = Q
Pmonic : P.Monic
Qmonic : Q.Monic
Pirr : Irreducible P
Qirr : Irreducible Q
PQprim : (P * Q).IsPrimitive
⊢ map (Int.castRingHom ℚ) P ∣ map (Int.castRingHom ℚ) (X ^ n - 1)

Tactic:
apply (map_dvd_map (Int.castRingHom ℚ) Int.cast_injective Pmonic).2
      exact minpoly_dvd_x_pow_sub_one h

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ cyclotomic p ℤ = ∑ i ∈ range p, X ^ i

Tactic:
← prod_cyclotomic_eq_geom_sum hp.out.pos,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ cyclotomic p ℤ = ∏ i ∈ p.divisors.erase 1, cyclotomic i ℤ
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
⊢ ∀ i ∈ n.properDivisors, (cyclotomic i R).Monic

Tactic:
intro i _

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝¹ : Nontrivial R
i : ℕ
a✝ : i ∈ n.properDivisors
⊢ (cyclotomic i R).Monic
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Cyclotomic.Roots

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ζ : R
i : ℕ
h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ
hi : i ∈ Nat.divisors 0
⊢ ζ ^ 0 = 1

Tactic:
exact pow_zero _

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
P : R[X]
a✝ : Nontrivial R
hP : P * ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R = X ^ n - 1
⊢ ∀ i ∈ n.properDivisors, (cyclotomic i R).Monic

Tactic:
intro i _

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
P : R[X]
a✝¹ : Nontrivial R
hP : P * ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R = X ^ n - 1
i : ℕ
a✝ : i ∈ n.properDivisors
⊢ (cyclotomic i R).Monic