mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DFinsupp

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_3
N : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
x : N
⊢ x ∈ iSup p ↔ ∃ f, (∀ (i : ι), f i ∈ p i) ∧ (f.sum fun _i xi ↦ xi) = x

Tactic:
by
  classical
  rw [mem_iSup_iff_exists_dfinsupp']
  refine ⟨fun ⟨f, hf⟩ ↦ ⟨⟨f.support, fun i ↦ (f i : N), by simp⟩, by simp, hf⟩, ?_⟩
  rintro ⟨f, hf, rfl⟩
  refine ⟨DFinsupp.mk f.support fun i ↦ ⟨f i, hf i⟩, Finset.sum_congr ?_ fun i hi ↦ ?_⟩
  · ext; simp [mk_eq_zero]
  · simp [Finsupp.mem_support_iff.mp hi]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
⊢ 0 ≠ 1

Tactic:
by trivial

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
u v : R
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v
⊢ LinearIndependent R ![u • x, v • y] ↔ LinearIndependent R ![x, y]

Tactic:
by
  simp only [LinearIndependent.pair_iff]
  refine ⟨fun h s t hst ↦ ?_, fun h s t hst ↦ ?_⟩
  · specialize h (s * hu.unit⁻¹) (t * hv.unit⁻¹)
    simp only [Units.mul_left_eq_zero] at h
    apply h
    simpa [← mul_smul, mul_assoc]
  · specialize h (s * hu.unit) (t * hv.unit)
    simp only [Units.mul_left_eq_zero] at h
    apply h
    simpa [mul_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Isomorphisms

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ (subToSupQuotient p p').range = ⊤

Tactic:
eq_top_iff'

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ ∀ (x : ↥(p ⊔ p') ⧸ comap (p ⊔ p').subtype p'), x ∈ (subToSupQuotient p p').range
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset γ
⊢ image₂ f s t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, image (fun b ↦ f a b) t ⊆ u

Tactic:
simp_rw [image₂_subset_iff, image_subset_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s s' : Finset α
t : Finset β
inst✝ : DecidableEq α
⊢ ↑(image₂ f (s ∪ s') t) = ↑(image₂ f s t ∪ image₂ f s' t)

Tactic:
by
    push_cast
    exact image2_union_left

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t t' : Finset β
inst✝ : DecidableEq β
⊢ ↑(image₂ f s (t ∪ t')) = ↑(image₂ f s t ∪ image₂ f s t')

Tactic:
push_cast
    exact image2_union_right

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
δ : Type u_7
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
s : Finset α
t : Finset β
inst✝ : DecidableEq δ
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f' : α → ε' → ε
g' : β → γ → ε'
h_assoc : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = f' a (g' b c)
⊢ ↑(image₂ f (image₂ g s t) u) = ↑(image₂ f' s (image₂ g' t u))

Tactic:
by
    push_cast
    exact image2_assoc h_assoc

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s✝ : Finset α
t : Finset β
a : α
s : Finset α
a✝ : a ∉ s
ih : #t ∣ #(image₂ f s t)
hf : ∀ a_1 ∈ insert a s, Injective (f a_1)
hs : ((fun a ↦ image (f a) t) '' ↑(insert a s)).PairwiseDisjoint id
h : ¬Disjoint (image (f a) t) (image₂ f s t)
⊢ #t ∣ #(image (fun b ↦ f a b) t ∪ image₂ f s t)

Tactic:
← biUnion_image_left,

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s✝ : Finset α
t : Finset β
a : α
s : Finset α
a✝ : a ∉ s
ih : #t ∣ #(image₂ f s t)
hf : ∀ a_1 ∈ insert a s, Injective (f a_1)
hs : ((fun a ↦ image (f a) t) '' ↑(insert a s)).PairwiseDisjoint id
h : ¬Disjoint (image (f a) t) (s.biUnion fun a ↦ image (f a) t)
⊢ #t ∣ #(image (fun b ↦ f a b) t ∪ image₂ f s t)
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
⊢ n ∈ p.support ↔ p.coeff n ≠ 0

Tactic:
rcases p with ⟨⟩
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
⊢ p.coeffs = ∅ ↔ p = 0

Tactic:
refine ⟨?_, fun h ↦ by simp [h]⟩
  contrapose!
  intro h
  rw [← support_nonempty] at h
  obtain ⟨n, hn⟩ := h
  rw [mem_support_iff] at hn
  exact ⟨p.coeff n, coeff_mem_coeffs hn⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic

Goal state before:
pp: case refine_3
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
D : Finset G := map { toFun := fun x ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul
this :
  ∃ a0 ∈ image (fun x ↦ x⁻¹) D * C,
    ∃ b0 ∈ D * image (fun x ↦ x⁻¹) C, UniqueMul (image (fun x ↦ x⁻¹) D * C) (D * image (fun x ↦ x⁻¹) C) a0 b0
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
obtain ⟨e, he, f, hf, hu⟩ := this
      clear_value C D
      simp only [UniqueMul, mem_mul, mem_image] at he hf hu
      obtain ⟨_, ⟨d1, hd1, rfl⟩, c1, hc1, rfl⟩ := he
      obtain ⟨d2, hd2, _, ⟨c2, hc2, rfl⟩, rfl⟩ := hf
      by_cases! h12 : c1 ≠ 1 ∨ d2 ≠ 1
      · refine ⟨c1, hc1, d2, hd2, h12, fun c3 d3 hc3 hd3 he => ?_⟩
        specialize hu ⟨_, ⟨_, hd1, rfl⟩, _, hc3, rfl⟩ ⟨_, hd3, _, ⟨_, hc2, rfl⟩, rfl⟩
        rw [mul_left_cancel_iff, mul_right_cancel_iff,
            mul_assoc, ← mul_assoc c3, he, mul_assoc, mul_assoc] at hu; exact hu rfl
      obtain ⟨rfl, rfl⟩ := h12
      by_cases! h21 : c2 ≠ 1 ∨ d1 ≠ 1
      · refine ⟨c2, hc2, d1, hd1, h21, fun c4 d4 hc4 hd4 he => ?_⟩
        specialize hu ⟨_, ⟨_, hd4, rfl⟩, _, hC, rfl⟩ ⟨_, hD, _, ⟨_, hc4, rfl⟩, rfl⟩
        simpa only [mul_one, one_mul, ← mul_inv_rev, he, true_imp_iff, inv_inj, and_comm] using hu
      obtain ⟨rfl, rfl⟩ := h21
      rcases hcard with hC | hD
      · obtain ⟨c, hc, hc1⟩ := exists_mem_ne hC 1
        refine (hc1 ?_).elim
        simpa using hu ⟨_, ⟨_, hD, rfl⟩, _, hc, rfl⟩ ⟨_, hD, _, ⟨_, hc, rfl⟩, rfl⟩
      · obtain ⟨d, hd, hd1⟩ := exists_mem_ne hD 1
        refine (hd1 ?_).elim
        simpa using hu ⟨_, ⟨_, hd, rfl⟩, _, hC, rfl⟩ ⟨_, hd, _, ⟨_, hC, rfl⟩, rfl⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p q : E →ₗ[R] E
hp : IsIdempotentElem p
hq : IsIdempotentElem q
⊢ p = q ↔ p.range = q.range ∧ p.ker = q.ker

Tactic:
refine ⟨fun h => ⟨congrArg range h, congrArg ker h⟩, fun ⟨hr, hk⟩ => ?_⟩
  ext x
  obtain ⟨⟨v, hv⟩, ⟨w, hw⟩, rfl, _⟩ :=
    (ker p).existsUnique_add_of_isCompl hp.isCompl.symm x
  simp [mem_ker.mp, hv, (hk ▸ hv), (mem_range_iff hp).mp, hw, (mem_range_iff hq).mp, (hr ▸ hw)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
x : ↑{x | x ≠ [] ∧ List.IsChain (fun x1 x2 ↦ (x1, x2) ∈ r) x}
n : ℕ
hn1 : n < (↑((fun x ↦ ⟨x.toList, ⋯⟩) ((fun x ↦ fromListIsChain ↑x ⋯ ⋯) x))).length
x✝ : n < (↑x).length
⊢ (↑((fun x ↦ ⟨x.toList, ⋯⟩) ((fun x ↦ fromListIsChain ↑x ⋯ ⋯) x))).get ⟨n, hn1⟩ = (↑x).get ⟨n, x✝⟩

Tactic:
dsimp; apply List.get_ofFn

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + 1)
⊢ { length := p.length + q.length + 1, toFun := Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯, step := ⋯ }.toFun
      (Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd (q.length + 1) i)) =
    p.toFun i

Tactic:
simp only [Function.comp_apply]

Goal state after:
α : Type u_1
r : SetRel α α
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + 1)
⊢ Fin.append p.toFun q.toFun (Fin.cast ⋯ (Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd (q.length + 1) i))) = p.toFun i
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a : α
n : ℕ∞
hne : Nonempty { p // RelSeries.last p = a }
⊢ (⨆ x, ↑(↑x).length) + n = ⨆ x, ↑(↑x).length + n

Tactic:
ENat.iSup_add

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a : α
n : ℕ∞
hne : Nonempty { p // RelSeries.last p = a }
⊢ ⨆ i, ↑(↑i).length + n = ⨆ x, ↑(↑x).length + n
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a : α
n : ℕ∞
hne : Nonempty { p // RelSeries.last p = a }
⊢ height a + n = ⨆ p, ⨆ (_ : RelSeries.last p = a), ↑p.length + n

Tactic:
rw [height_eq_iSup_last_eq, iSup_subtype', iSup_subtype', ENat.iSup_add]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: case mp.succ
α : Type u_1
r : SetRel α α
inst✝ : Nonempty α
H : ∀ (x : RelSeries r), ∃ y, x.length < y.length
n : ℕ
l : RelSeries r
hl : l.length = n
l' : RelSeries r
hl' : l.length < l'.length
⊢ ∃ x, x.length = n + 1

Tactic:
exact ⟨l'.take ⟨n + 1, by simpa [hl] using hl'⟩, rfl⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
n : ℕ
lf : Fin n
f : Fin (↑lf + 1) → α
mf : StrictMono ⟨lf, f⟩.snd
lg : Fin n
g : Fin (↑lg + 1) → α
mg : StrictMono ⟨lg, g⟩.snd
e : (fun f ↦ mk (↑(↑f).fst) (↑f).snd ⋯) ⟨⟨lf, f⟩, mf⟩ = (fun f ↦ mk (↑(↑f).fst) (↑f).snd ⋯) ⟨⟨lg, g⟩, mg⟩
⊢ ⟨⟨lf, f⟩, mf⟩ = ⟨⟨lg, g⟩, mg⟩

Tactic:
dsimp only at mf mg e

Goal state after:
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
n : ℕ
lf : Fin n
f : Fin (↑lf + 1) → α
mf : StrictMono f
lg : Fin n
g : Fin (↑lg + 1) → α
mg : StrictMono g
e : mk (↑lf) f ⋯ = mk (↑lg) g ⋯
⊢ ⟨⟨lf, f⟩, mf⟩ = ⟨⟨lg, g⟩, mg⟩
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: case coe
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a : α
n : ℕ
h : ↑n ≤ height a
hne : Nonempty { p // RelSeries.last p = a }
m : ℕ
ha : height a = ↑m
⊢ ∃ p, RelSeries.last p = a ∧ p.length = n

Tactic:
ha,

Goal state after:
case coe
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a : α
n : ℕ
hne : Nonempty { p // RelSeries.last p = a }
m : ℕ
h : ↑n ≤ ↑m
ha : height a = ↑m
⊢ ∃ p, RelSeries.last p = a ∧ p.length = n
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: case a.succ
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
x : α
p : LTSeries α
hp : RelSeries.last p = x
n : ℕ
hlen : p.length = n + 1
⊢ ↑(n + 1) ≤ ⨆ y, ⨆ (_ : y < x), height y + 1

Tactic:
apply le_iSup_of_le p.eraseLast.last

Goal state after:
case a.succ
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
x : α
p : LTSeries α
hp : RelSeries.last p = x
n : ℕ
hlen : p.length = n + 1
⊢ ↑(n + 1) ≤ ⨆ (_ : (RelSeries.eraseLast p).last < x), height (RelSeries.eraseLast p).last + 1
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a : α
n : ℕ
hfin : ⊤ ≤ height a
this : ∃ x < a, ↑n ≤ height x
⊢ height a = ↑n ↔ Minimal (fun y ↦ ↑n ≤ height y) a

Tactic:
simp_all [minimal_iff_forall_lt]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.KrullDimension

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
x : α
⊢ 1 < height x ↔ ∃ y, ∃ z < y, y < x

Tactic:
rw [← ENat.add_one_le_iff ENat.one_ne_top, one_add_one_eq_two]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
x : α
⊢ 2 ≤ height x ↔ ∃ y, ∃ z < y, y < x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : -x + x = 0
hy : -y + y = 0
⊢ -(x + y) + (x + y) = 0

Tactic:
suffices -x + x + (-y + y) = 0 by
      rw [← this]
      unfold Neg.neg neg
      simp only
      rw [map_add]
      abel

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : -x + x = 0
hy : -y + y = 0
⊢ -x + x + (-y + y) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Order.Kleene

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹² : KleeneAlgebra α
inst✝¹¹ : LE β
inst✝¹⁰ : LT β
inst✝⁹ : Zero β
inst✝⁸ : One β
inst✝⁷ : Add β
inst✝⁶ : Mul β
inst✝⁵ : Pow β ℕ
inst✝⁴ : SMul ℕ β
inst✝³ : NatCast β
inst✝² : Max β
inst✝¹ : Bot β
inst✝ : KStar β
f : β → α
hf : Injective f
le : ∀ {x y : β}, f x ≤ f y ↔ x ≤ y
lt : ∀ {x y : β}, f x < f y ↔ x < y
zero : f 0 = 0
one : f 1 = 1
add : ∀ (x y : β), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : β), f (x * y) = f x * f y
nsmul : ∀ (n : ℕ) (x : β), f (n • x) = n • f x
npow : ∀ (x : β) (n : ℕ), f (x ^ n) = f x ^ n
natCast : ∀ (n : ℕ), f ↑n = ↑n
sup : ∀ (a b : β), f (a ⊔ b) = f a ⊔ f b
bot : f ⊥ = ⊥
kstar : ∀ (a : β), f a∗ = (f a)∗
a : β
⊢ 1 ≤ f a∗

Tactic:
kstar

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹² : KleeneAlgebra α
inst✝¹¹ : LE β
inst✝¹⁰ : LT β
inst✝⁹ : Zero β
inst✝⁸ : One β
inst✝⁷ : Add β
inst✝⁶ : Mul β
inst✝⁵ : Pow β ℕ
inst✝⁴ : SMul ℕ β
inst✝³ : NatCast β
inst✝² : Max β
inst✝¹ : Bot β
inst✝ : KStar β
f : β → α
hf : Injective f
le : ∀ {x y : β}, f x ≤ f y ↔ x ≤ y
lt : ∀ {x y : β}, f x < f y ↔ x < y
zero : f 0 = 0
one : f 1 = 1
add : ∀ (x y : β), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : β), f (x * y) = f x * f y
nsmul : ∀ (n : ℕ) (x : β), f (n • x) = n • f x
npow : ∀ (x : β) (n : ℕ), f (x ^ n) = f x ^ n
natCast : ∀ (n : ℕ), f ↑n = ↑n
sup : ∀ (a b : β), f (a ⊔ b) = f a ⊔ f b
bot : f ⊥ = ⊥
kstar : ∀ (a : β), f a∗ = (f a)∗
a : β
⊢ 1 ≤ (f a)∗
Module: Mathlib.Algebra.Ring.Submonoid.Pointwise

Goal state before:
pp: M : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
x y : AddSubmonoid R
⊢ -x * y = -(x * y)

Tactic:
refine le_antisymm (mul_le.2 fun m hm n hn => ?_)
      ((AddSubmonoid.neg_le _ _).2 <| mul_le.2 fun m hm n hn => ?_)

Goal state after:
case refine_1
M : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
x y : AddSubmonoid R
m : R
hm : m ∈ -x
n : R
hn : n ∈ y
⊢ m * n ∈ -(x * y)

case refine_2
M : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
x y : AddSubmonoid R
m : R
hm : m ∈ x
n : R
hn : n ∈ y
⊢ m * n ∈ -(-x * y)
Module: Mathlib.Algebra.Order.Kleene

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹² : KleeneAlgebra α
inst✝¹¹ : LE β
inst✝¹⁰ : LT β
inst✝⁹ : Zero β
inst✝⁸ : One β
inst✝⁷ : Add β
inst✝⁶ : Mul β
inst✝⁵ : Pow β ℕ
inst✝⁴ : SMul ℕ β
inst✝³ : NatCast β
inst✝² : Max β
inst✝¹ : Bot β
inst✝ : KStar β
f : β → α
hf : Injective f
le : ∀ {x y : β}, f x ≤ f y ↔ x ≤ y
lt : ∀ {x y : β}, f x < f y ↔ x < y
zero : f 0 = 0
one : f 1 = 1
add : ∀ (x y : β), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : β), f (x * y) = f x * f y
nsmul : ∀ (n : ℕ) (x : β), f (n • x) = n • f x
npow : ∀ (x : β) (n : ℕ), f (x ^ n) = f x ^ n
natCast : ∀ (n : ℕ), f ↑n = ↑n
sup : ∀ (a b : β), f (a ⊔ b) = f a ⊔ f b
bot : f ⊥ = ⊥
kstar : ∀ (a : β), f a∗ = (f a)∗
a : β
⊢ f a * f a∗ ≤ f a∗

Tactic:
kstar

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹² : KleeneAlgebra α
inst✝¹¹ : LE β
inst✝¹⁰ : LT β
inst✝⁹ : Zero β
inst✝⁸ : One β
inst✝⁷ : Add β
inst✝⁶ : Mul β
inst✝⁵ : Pow β ℕ
inst✝⁴ : SMul ℕ β
inst✝³ : NatCast β
inst✝² : Max β
inst✝¹ : Bot β
inst✝ : KStar β
f : β → α
hf : Injective f
le : ∀ {x y : β}, f x ≤ f y ↔ x ≤ y
lt : ∀ {x y : β}, f x < f y ↔ x < y
zero : f 0 = 0
one : f 1 = 1
add : ∀ (x y : β), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : β), f (x * y) = f x * f y
nsmul : ∀ (n : ℕ) (x : β), f (n • x) = n • f x
npow : ∀ (x : β) (n : ℕ), f (x ^ n) = f x ^ n
natCast : ∀ (n : ℕ), f ↑n = ↑n
sup : ∀ (a b : β), f (a ⊔ b) = f a ⊔ f b
bot : f ⊥ = ⊥
kstar : ∀ (a : β), f a∗ = (f a)∗
a : β
⊢ f a * (f a)∗ ≤ (f a)∗
Module: Mathlib.Algebra.Ring.Submonoid.Pointwise

Goal state before:
pp: M : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
x y : AddSubmonoid R
⊢ x * -y = -(x * y)

Tactic:
refine le_antisymm (mul_le.2 fun m hm n hn => ?_)
      ((AddSubmonoid.neg_le _ _).2 <| mul_le.2 fun m hm n hn => ?_)

Goal state after:
case refine_1
M : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
x y : AddSubmonoid R
m : R
hm : m ∈ x
n : R
hn : n ∈ -y
⊢ m * n ∈ -(x * y)

case refine_2
M : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
x y : AddSubmonoid R
m : R
hm : m ∈ x
n : R
hn : n ∈ y
⊢ m * n ∈ -(x * -y)
Module: Mathlib.Algebra.Order.Kleene

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹² : KleeneAlgebra α
inst✝¹¹ : LE β
inst✝¹⁰ : LT β
inst✝⁹ : Zero β
inst✝⁸ : One β
inst✝⁷ : Add β
inst✝⁶ : Mul β
inst✝⁵ : Pow β ℕ
inst✝⁴ : SMul ℕ β
inst✝³ : NatCast β
inst✝² : Max β
inst✝¹ : Bot β
inst✝ : KStar β
f : β → α
hf : Injective f
le : ∀ {x y : β}, f x ≤ f y ↔ x ≤ y
lt : ∀ {x y : β}, f x < f y ↔ x < y
zero : f 0 = 0
one : f 1 = 1
add : ∀ (x y : β), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : β), f (x * y) = f x * f y
nsmul : ∀ (n : ℕ) (x : β), f (n • x) = n • f x
npow : ∀ (x : β) (n : ℕ), f (x ^ n) = f x ^ n
natCast : ∀ (n : ℕ), f ↑n = ↑n
sup : ∀ (a b : β), f (a ⊔ b) = f a ⊔ f b
bot : f ⊥ = ⊥
kstar : ∀ (a : β), f a∗ = (f a)∗
a : β
⊢ f a∗ * f a ≤ f a∗

Tactic:
kstar

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹² : KleeneAlgebra α
inst✝¹¹ : LE β
inst✝¹⁰ : LT β
inst✝⁹ : Zero β
inst✝⁸ : One β
inst✝⁷ : Add β
inst✝⁶ : Mul β
inst✝⁵ : Pow β ℕ
inst✝⁴ : SMul ℕ β
inst✝³ : NatCast β
inst✝² : Max β
inst✝¹ : Bot β
inst✝ : KStar β
f : β → α
hf : Injective f
le : ∀ {x y : β}, f x ≤ f y ↔ x ≤ y
lt : ∀ {x y : β}, f x < f y ↔ x < y
zero : f 0 = 0
one : f 1 = 1
add : ∀ (x y : β), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : β), f (x * y) = f x * f y
nsmul : ∀ (n : ℕ) (x : β), f (n • x) = n • f x
npow : ∀ (x : β) (n : ℕ), f (x ^ n) = f x ^ n
natCast : ∀ (n : ℕ), f ↑n = ↑n
sup : ∀ (a b : β), f (a ⊔ b) = f a ⊔ f b
bot : f ⊥ = ⊥
kstar : ∀ (a : β), f a∗ = (f a)∗
a : β
⊢ (f a)∗ * f a ≤ (f a)∗
Module: Mathlib.Algebra.Order.Kleene

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹² : KleeneAlgebra α
inst✝¹¹ : LE β
inst✝¹⁰ : LT β
inst✝⁹ : Zero β
inst✝⁸ : One β
inst✝⁷ : Add β
inst✝⁶ : Mul β
inst✝⁵ : Pow β ℕ
inst✝⁴ : SMul ℕ β
inst✝³ : NatCast β
inst✝² : Max β
inst✝¹ : Bot β
inst✝ : KStar β
f : β → α
hf : Injective f
le : ∀ {x y : β}, f x ≤ f y ↔ x ≤ y
lt : ∀ {x y : β}, f x < f y ↔ x < y
zero : f 0 = 0
one : f 1 = 1
add : ∀ (x y : β), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : β), f (x * y) = f x * f y
nsmul : ∀ (n : ℕ) (x : β), f (n • x) = n • f x
npow : ∀ (x : β) (n : ℕ), f (x ^ n) = f x ^ n
natCast : ∀ (n : ℕ), f ↑n = ↑n
sup : ∀ (a b : β), f (a ⊔ b) = f a ⊔ f b
bot : f ⊥ = ⊥
kstar : ∀ (a : β), f a∗ = (f a)∗
a b : β
h : b * a ≤ b
⊢ f b * f a∗ ≤ f b

Tactic:
kstar

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹² : KleeneAlgebra α
inst✝¹¹ : LE β
inst✝¹⁰ : LT β
inst✝⁹ : Zero β
inst✝⁸ : One β
inst✝⁷ : Add β
inst✝⁶ : Mul β
inst✝⁵ : Pow β ℕ
inst✝⁴ : SMul ℕ β
inst✝³ : NatCast β
inst✝² : Max β
inst✝¹ : Bot β
inst✝ : KStar β
f : β → α
hf : Injective f
le : ∀ {x y : β}, f x ≤ f y ↔ x ≤ y
lt : ∀ {x y : β}, f x < f y ↔ x < y
zero : f 0 = 0
one : f 1 = 1
add : ∀ (x y : β), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : β), f (x * y) = f x * f y
nsmul : ∀ (n : ℕ) (x : β), f (n • x) = n • f x
npow : ∀ (x : β) (n : ℕ), f (x ^ n) = f x ^ n
natCast : ∀ (n : ℕ), f ↑n = ↑n
sup : ∀ (a b : β), f (a ⊔ b) = f a ⊔ f b
bot : f ⊥ = ⊥
kstar : ∀ (a : β), f a∗ = (f a)∗
a b : β
h : b * a ≤ b
⊢ f b * (f a)∗ ≤ f b
Module: Mathlib.Algebra.Order.Kleene

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹² : KleeneAlgebra α
inst✝¹¹ : LE β
inst✝¹⁰ : LT β
inst✝⁹ : Zero β
inst✝⁸ : One β
inst✝⁷ : Add β
inst✝⁶ : Mul β
inst✝⁵ : Pow β ℕ
inst✝⁴ : SMul ℕ β
inst✝³ : NatCast β
inst✝² : Max β
inst✝¹ : Bot β
inst✝ : KStar β
f : β → α
hf : Injective f
le : ∀ {x y : β}, f x ≤ f y ↔ x ≤ y
lt : ∀ {x y : β}, f x < f y ↔ x < y
zero : f 0 = 0
one : f 1 = 1
add : ∀ (x y : β), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : β), f (x * y) = f x * f y
nsmul : ∀ (n : ℕ) (x : β), f (n • x) = n • f x
npow : ∀ (x : β) (n : ℕ), f (x ^ n) = f x ^ n
natCast : ∀ (n : ℕ), f ↑n = ↑n
sup : ∀ (a b : β), f (a ⊔ b) = f a ⊔ f b
bot : f ⊥ = ⊥
kstar : ∀ (a : β), f a∗ = (f a)∗
a b : β
h : a * b ≤ b
⊢ f a∗ * f b ≤ f b

Tactic:
kstar

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹² : KleeneAlgebra α
inst✝¹¹ : LE β
inst✝¹⁰ : LT β
inst✝⁹ : Zero β
inst✝⁸ : One β
inst✝⁷ : Add β
inst✝⁶ : Mul β
inst✝⁵ : Pow β ℕ
inst✝⁴ : SMul ℕ β
inst✝³ : NatCast β
inst✝² : Max β
inst✝¹ : Bot β
inst✝ : KStar β
f : β → α
hf : Injective f
le : ∀ {x y : β}, f x ≤ f y ↔ x ≤ y
lt : ∀ {x y : β}, f x < f y ↔ x < y
zero : f 0 = 0
one : f 1 = 1
add : ∀ (x y : β), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : β), f (x * y) = f x * f y
nsmul : ∀ (n : ℕ) (x : β), f (n • x) = n • f x
npow : ∀ (x : β) (n : ℕ), f (x ^ n) = f x ^ n
natCast : ∀ (n : ℕ), f ↑n = ↑n
sup : ∀ (a b : β), f (a ⊔ b) = f a ⊔ f b
bot : f ⊥ = ⊥
kstar : ∀ (a : β), f a∗ = (f a)∗
a b : β
h : a * b ≤ b
⊢ (f a)∗ * f b ≤ f b
Module: Mathlib.Algebra.Order.Kleene

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹² : KleeneAlgebra α
inst✝¹¹ : LE β
inst✝¹⁰ : LT β
inst✝⁹ : Zero β
inst✝⁸ : One β
inst✝⁷ : Add β
inst✝⁶ : Mul β
inst✝⁵ : Pow β ℕ
inst✝⁴ : SMul ℕ β
inst✝³ : NatCast β
inst✝² : Max β
inst✝¹ : Bot β
inst✝ : KStar β
f : β → α
hf : Injective f
le : ∀ {x y : β}, f x ≤ f y ↔ x ≤ y
lt : ∀ {x y : β}, f x < f y ↔ x < y
zero : f 0 = 0
one : f 1 = 1
add : ∀ (x y : β), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : β), f (x * y) = f x * f y
nsmul : ∀ (n : ℕ) (x : β), f (n • x) = n • f x
npow : ∀ (x : β) (n : ℕ), f (x ^ n) = f x ^ n
natCast : ∀ (n : ℕ), f ↑n = ↑n
sup : ∀ (a b : β), f (a ⊔ b) = f a ⊔ f b
bot : f ⊥ = ⊥
kstar : ∀ (a : β), f a∗ = (f a)∗
a b : β
h : f a * f b ≤ f b
⊢ (f a)∗ * f b ≤ f b

Tactic:
exact kstar_mul_le_self h

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Coprime.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
⊢ IsCoprime (y * z) x ↔ IsCoprime x y ∧ IsCoprime x z

Tactic:
IsCoprime.mul_left_iff,

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
⊢ IsCoprime y x ∧ IsCoprime z x ↔ IsCoprime x y ∧ IsCoprime x z
Module: Mathlib.RingTheory.Coprime.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y z : R
⊢ IsCoprime (z * y - x) y ↔ IsCoprime x y

Tactic:
by
  rw [sub_eq_neg_add, add_mul_right_left_iff, neg_left_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Coprime.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : CommRing R
y z : R
⊢ IsCoprime 1 y

Tactic:
exact isCoprime_one_left

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Coprime.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2.inl
n : ℕ
⊢ IsCoprime 1 n

Tactic:
exact isCoprime_one_left

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Coprime.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y z : R
⊢ IsRelPrime (z * y - x) y ↔ IsRelPrime x y

Tactic:
by
  rw [sub_eq_neg_add, add_mul_right_left_iff, neg_left_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Coprime.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x : R
s : I → R
t✝ : Finset I
b : I
t : Finset I
hbt : b ∉ t
ih : IsCoprime (∏ i ∈ t, s i) x ↔ ∀ i ∈ t, IsCoprime (s i) x
⊢ IsCoprime (s b * ∏ x ∈ t, s x) x ↔ ∀ i ∈ insert b t, IsCoprime (s i) x

Tactic:
IsCoprime.mul_left_iff,

Goal state after:
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x : R
s : I → R
t✝ : Finset I
b : I
t : Finset I
hbt : b ∉ t
ih : IsCoprime (∏ i ∈ t, s i) x ↔ ∀ i ∈ t, IsCoprime (s i) x
⊢ IsCoprime (s b) x ∧ IsCoprime (∏ x ∈ t, s x) x ↔ ∀ i ∈ insert b t, IsCoprime (s i) x
Module: Mathlib.RingTheory.Coprime.Lemmas

Goal state before:
pp: case insert.refine_1
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
z : R
s : I → R
t : Finset I
a : I
r : Finset I
har : a ∉ r
ih : (↑r).Pairwise (IsCoprime on s) → (∀ i ∈ r, s i ∣ z) → ∏ x ∈ r, s x ∣ z
Hs : (↑(insert a r)).Pairwise (IsCoprime on s)
Hs1 : ∀ i ∈ insert a r, s i ∣ z
i : I
hir : i ∈ r
⊢ IsCoprime (s a) (s i)

Tactic:
exact Hs (by simp) (by simp [hir]) (ne_of_mem_of_not_mem hir har).symm

Goal state after: