mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Free.Coherence

Goal state before:
pp: C : Type u
X Y : F C
n : (Discrete ∘ NormalMonoidalObject) C
⊢ normalizeIsoApp C (X.tensor Y) n = normalizeIsoApp' C (X.tensor Y) n.as

Tactic:
rw [normalizeIsoApp, normalizeIsoApp']

Goal state after:
C : Type u
X Y : F C
n : (Discrete ∘ NormalMonoidalObject) C
⊢ (α_ (inclusion.obj { as := n.as }) X Y).symm ≪≫
      normalizeIsoApp C X n ▷ᵢ Y ≪≫ normalizeIsoApp C Y { as := X.normalizeObj n.as } =
    (α_ (inclusionObj n.as) X Y).symm ≪≫ normalizeIsoApp' C X n.as ▷ᵢ Y ≪≫ normalizeIsoApp' C Y (X.normalizeObj n.as)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Hopf_

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
inst✝¹ : BraidedCategory C
A : C
inst✝ : HopfObj A
⊢ Δ ≫
      Δ ▷ A ≫
        (α_ A A A).hom ≫
          A ◁ A ◁ Δ ≫
            ((((((A ◁ A ◁ 𝒮 ▷ A ≫ A ◁ A ◁ (β_ A A).hom) ≫ A ◁ (α_ A A A).inv) ≫ A ◁ (β_ A A).hom ▷ A) ≫
                    A ◁ (α_ A A A).hom) ≫
                  A ◁ 𝒮 ▷ (A ⊗ A)) ≫
                (α_ A A (A ⊗ A)).inv) ≫
              (μ ⊗ₘ μ) =
    ε ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (η ⊗ₘ η)

Tactic:
slice_lhs 11 12 =>
    rw [tensorHom_def', ← Category.assoc, ← associator_inv_naturality_right]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
inst✝¹ : BraidedCategory C
A : C
inst✝ : HopfObj A
⊢ Δ ≫
      Δ ▷ A ≫
        (α_ A A A).hom ≫
          A ◁ A ◁ Δ ≫
            A ◁ A ◁ 𝒮 ▷ A ≫
              A ◁ A ◁ (β_ A A).hom ≫
                A ◁ (α_ A A A).inv ≫
                  A ◁ (β_ A A).hom ▷ A ≫ A ◁ (α_ A A A).hom ≫ A ◁ 𝒮 ▷ (A ⊗ A) ≫ (A ◁ A ◁ μ ≫ (α_ A A A).inv) ≫ μ ▷ A =
    ε ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (η ⊗ₘ η)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Internal.FunctorCategory

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : MonoidalCategory D
A : C ⥤ D
inst✝ : MonObj A
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ A.map (f ≫ g) = A.map f ≫ A.map g

Tactic:
rw [Functor.map_comp]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Internal.FunctorCategory

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : MonoidalCategory D
A : C ⥤ D
inst✝ : ComonObj A
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ A.map (f ≫ g) = A.map f ≫ A.map g

Tactic:
rw [Functor.map_comp]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.MorphismProperty.Ind

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_4
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x✝ : P.underObj.ind (CategoryTheory.Under.mk f)
J : Type w
w✝¹ : SmallCategory J
w✝ : IsFiltered J
pres : ColimitPresentation J (CategoryTheory.Under.mk f)
hpres : ∀ (i : J), P.underObj (pres.diag.obj i)
j : J
⊢ P ({ app := fun j ↦ (pres.diag.obj j).hom, naturality := ⋯ }.app j)

pp: case refine_2.refine_5
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x✝ : P.underObj.ind (CategoryTheory.Under.mk f)
J : Type w
w✝¹ : SmallCategory J
w✝ : IsFiltered J
pres : ColimitPresentation J (CategoryTheory.Under.mk f)
hpres : ∀ (i : J), P.underObj (pres.diag.obj i)
j : J
⊢ { app := fun j ↦ (pres.diag.obj j).hom, naturality := ⋯ }.app j ≫
      (Functor.whiskerRight pres.ι (CategoryTheory.Under.forget X)).app j =
    f

Tactic:
· exact hpres j

Goal state after:
case refine_2.refine_5
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x✝ : P.underObj.ind (CategoryTheory.Under.mk f)
J : Type w
w✝¹ : SmallCategory J
w✝ : IsFiltered J
pres : ColimitPresentation J (CategoryTheory.Under.mk f)
hpres : ∀ (i : J), P.underObj (pres.diag.obj i)
j : J
⊢ { app := fun j ↦ (pres.diag.obj j).hom, naturality := ⋯ }.app j ≫
      (Functor.whiskerRight pres.ι (CategoryTheory.Under.forget X)).app j =
    f
Module: Mathlib.CategoryTheory.MorphismProperty.Ind

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P Q : MorphismProperty C
inst✝ : P.RespectsIso
X Y Z : C
i : Y ⟶ Z
hi : IsIso i
f : X ⟶ Y
x✝ : P.ind f
J : Type u_1
w✝¹ : SmallCategory J
w✝ : IsFiltered J
D : J ⥤ C
t : (Functor.const J).obj X ⟶ D
s : D ⟶ (Functor.const J).obj Y
hs : IsColimit { pt := Y, ι := s }
hst : ∀ (j : J), P (t.app j) ∧ t.app j ≫ s.app j = f
⊢ P.ind (f ≫ i)

Tactic:
refine ⟨J, ‹_›, ‹_›, D, t, s ≫ (Functor.const J).map i, ?_, fun j ↦ ⟨(hst j).1, ?_⟩⟩

Goal state after:
case refine_1
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P Q : MorphismProperty C
inst✝ : P.RespectsIso
X Y Z : C
i : Y ⟶ Z
hi : IsIso i
f : X ⟶ Y
x✝ : P.ind f
J : Type u_1
w✝¹ : SmallCategory J
w✝ : IsFiltered J
D : J ⥤ C
t : (Functor.const J).obj X ⟶ D
s : D ⟶ (Functor.const J).obj Y
hs : IsColimit { pt := Y, ι := s }
hst : ∀ (j : J), P (t.app j) ∧ t.app j ≫ s.app j = f
⊢ IsColimit { pt := Z, ι := s ≫ (Functor.const J).map i }

case refine_2
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P Q : MorphismProperty C
inst✝ : P.RespectsIso
X Y Z : C
i : Y ⟶ Z
hi : IsIso i
f : X ⟶ Y
x✝ : P.ind f
J : Type u_1
w✝¹ : SmallCategory J
w✝ : IsFiltered J
D : J ⥤ C
t : (Functor.const J).obj X ⟶ D
s : D ⟶ (Functor.const J).obj Y
hs : IsColimit { pt := Y, ι := s }
hst : ∀ (j : J), P (t.app j) ∧ t.app j ≫ s.app j = f
j : J
⊢ t.app j ≫ (s ≫ (Functor.const J).map i).app j = f ≫ i
Module: Mathlib.CategoryTheory.Preadditive.Projective.LiftingProperties

Goal state before:
pp: case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
P Z : C
hZ : IsZero Z
h : (MorphismProperty.epimorphisms C).llp 0
X Y : C
f : P ⟶ Y
p : X ⟶ Y
hp : Epi p
this : HasLiftingProperty 0 p
⊢ ∃ f', f' ≫ p = f

Tactic:
have sq : CommSq 0 (0 : Z ⟶ P) p f := ⟨by simp⟩

Goal state after:
case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
P Z : C
hZ : IsZero Z
h : (MorphismProperty.epimorphisms C).llp 0
X Y : C
f : P ⟶ Y
p : X ⟶ Y
hp : Epi p
this : HasLiftingProperty 0 p
sq : CommSq 0 0 p f
⊢ ∃ f', f' ≫ p = f
Module: Mathlib.CategoryTheory.Preadditive.Mat

Goal state before:
pp: case h₀
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
f : Fin n → Mat_ C
i : Fin n
j : (f i).ι
i' : Fin n
j' : (f i').ι
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ,
    b ≠ i →
      (∑ j_1,
          (if h : i = b then if h' : h ▸ j = j_1 then eqToHom ⋯ else 0 else 0) ≫
            if h : i' = b then if h' : h ▸ j' = j_1 then eqToHom ⋯ else 0 else 0) =
        0

Tactic:
intro b _ hb

Goal state after:
case h₀
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
f : Fin n → Mat_ C
i : Fin n
j : (f i).ι
i' : Fin n
j' : (f i').ι
b : Fin n
a✝ : b ∈ Finset.univ
hb : b ≠ i
⊢ (∑ j_1,
      (if h : i = b then if h' : h ▸ j = j_1 then eqToHom ⋯ else 0 else 0) ≫
        if h : i' = b then if h' : h ▸ j' = j_1 then eqToHom ⋯ else 0 else 0) =
    0
Module: Mathlib.CategoryTheory.Preadditive.Mat

Goal state before:
pp: case h₀
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
f : Fin n → Mat_ C
i : Fin n
j : (f i).ι
i' : Fin n
j' : (f i').ι
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ,
    b ≠ j →
      ((if h : i = i then if h' : h ▸ j = b then eqToHom ⋯ else 0 else 0) ≫
          if h : i' = i then if h' : h ▸ j' = b then eqToHom ⋯ else 0 else 0) =
        0

Tactic:
intro b _ hb

Goal state after:
case h₀
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
f : Fin n → Mat_ C
i : Fin n
j : (f i).ι
i' : Fin n
j' : (f i').ι
b : (f i).ι
a✝ : b ∈ Finset.univ
hb : b ≠ j
⊢ ((if h : i = i then if h' : h ▸ j = b then eqToHom ⋯ else 0 else 0) ≫
      if h : i' = i then if h' : h ▸ j' = b then eqToHom ⋯ else 0 else 0) =
    0
Module: Mathlib.CategoryTheory.Preadditive.Mat

Goal state before:
pp: case h₀
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i j : M.ι
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ,
    b ≠ i → ((fun j x ↦ if h : j = b then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun x k ↦ if h : b = k then eqToHom ⋯ else 0) i j = 0

Tactic:
intro b _ hb

Goal state after:
case h₀
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i j b : M.ι
a✝ : b ∈ Finset.univ
hb : b ≠ i
⊢ ((fun j x ↦ if h : j = b then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun x k ↦ if h : b = k then eqToHom ⋯ else 0) i j = 0
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed

Goal state before:
pp: case refine_4
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → ↑x.snd ⟶ m := fun x ↦ (D x.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u x.fst
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H : ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m}, (D₂ D hι u).W f → f = φ ⟨i, ⟨j, hj⟩⟩
⊢ ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), (D₂ D hι u).W f → ∃ li lj, (D₂ D hι u).W li ∧ (D₂ D hι u).W lj ∧ f ≫ lj = li

Tactic:
· rintro j k f ((hf | ⟨⟨⟩⟩) | ⟨⟨i, j, hj⟩⟩)
        · simp only [Diagram.iSup_W, MorphismProperty.iSup_iff] at hf
          obtain ⟨i, hf⟩ := hf
          exact ⟨φ ⟨i, j, (D i).src hf⟩, φ ⟨i, k, (D i).tgt hf⟩, Or.inr ⟨_⟩, Or.inr ⟨_⟩,
            by simp [φ, (D i).isTerminal.comm_assoc _ hf]⟩
        · exact ⟨𝟙 _, 𝟙 _, Or.inl (Or.inr ⟨⟨⟩⟩), Or.inl (Or.inr ⟨⟨⟩⟩), by simp⟩
        · refine ⟨φ ⟨i, j, hj⟩, 𝟙 _, Or.inr ⟨_⟩, Or.inl (Or.inr ⟨⟨⟩⟩), by simp [φ]⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coherent.RegularSheaves

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
hP : EqualizerCondition P
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝ : EffectiveEpi π
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
⊢ Function.Bijective ⇑(ConcreteCategory.hom (mapToEqualizer P π c.fst c.snd ⋯))

Tactic:
by
  specialize hP π _ hc
  rw [Types.type_equalizer_iff_unique] at hP
  rw [Function.bijective_iff_existsUnique]
  intro ⟨b, hb⟩
  obtain ⟨a, ha₁, ha₂⟩ := hP b hb
  refine ⟨a, ?_, ?_⟩
  · ext
    simpa [mapToEqualizer] using! ha₁
  · intro y h
    apply ha₂ y
    simpa [mapToEqualizer] using Subtype.ext_iff.1 h

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coherent.RegularSheaves

Goal state before:
pp: case mpr
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝ : HasPullback π π
h : IsLimit (P.mapCone (Sieve.ofArrows (fun x ↦ X) fun x ↦ π).arrows.cocone.op)
⊢ SingleEqualizerCondition P π

Tactic:
exact fun c hc ↦ ⟨(isLimit_forkOfι_equiv _ _ _ hc).symm h⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coherent.RegularSheaves

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Preregular C
W X : C
S : Presieve X
w✝ : C
hS : ∃ f, (S = ofArrows (fun x ↦ w✝) fun x ↦ f) ∧ EffectiveEpi f
⊢ IsSheafFor (yoneda.obj W) S

Tactic:
have : S.regular := ⟨_, hS⟩

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Preregular C
W X : C
S : Presieve X
w✝ : C
hS : ∃ f, (S = ofArrows (fun x ↦ w✝) fun x ↦ f) ∧ EffectiveEpi f
this : S.regular
⊢ IsSheafFor (yoneda.obj W) S
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.Subcanonical

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : Precoverage C
inst✝² : J.toGrothendieck.Subcanonical
inst✝¹ : Limits.HasPullbacks C
inst✝ : J.IsStableUnderBaseChange
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
𝒰 : J.ZeroHypercover X
H : ∀ (i : 𝒰.I₀), IsPullback (pullback.snd fst (𝒰.f i)) (pullback.fst fst (𝒰.f i) ≫ snd) (𝒰.f i ≫ f) g
h : fst ≫ f = snd ≫ g
i : (𝒰.pullbackCoverOfLeft f g).I₀
m : pullback (𝒰.f i ≫ f) g ⟶ pullback f g := pullback.map (𝒰.f i ≫ f) g f g (𝒰.f i) (𝟙 Y) (𝟙 Z) ⋯ ⋯
this : IsPullback (pullback.fst (𝒰.f i ≫ f) g) m (𝒰.f i) (pullback.fst f g)
⊢ pullback.snd fst (𝒰.f i) ≫ 𝒰.f i ≫ f = (pullback.fst fst (𝒰.f i) ≫ snd) ≫ g

Tactic:
by simp [← h, pullback.condition_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.SheafHom

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
s : ↑(presheafHom F G).sections
X₁ X₂ : C
f : X₂ ⟶ X₁
⊢ F.map (op f) ≫ ((ConcreteCategory.hom ((presheafHom F G).map f.op)) (↑s (op X₁))).app (op (Over.mk (𝟙 X₂))) =
    F.map f.op ≫ (↑s (op X₁)).app (op (Over.mk f))

Tactic:
rw [presheafHom_map_app_op_mk_id]

Goal state after:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
s : ↑(presheafHom F G).sections
X₁ X₂ : C
f : X₂ ⟶ X₁
⊢ F.map (op f) ≫ (↑s (op X₁)).app (op (Over.mk f)) = F.map f.op ≫ (↑s (op X₁)).app (op (Over.mk f))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.SheafHom

Goal state before:
pp: case mp
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows
hx : x.Compatible
y : (presheafHom F G).obj (op X)
h : x.IsAmalgamation y
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : S.arrows g
⊢ y.app (op (Over.mk g)) = ((ConcreteCategory.hom ((presheafHom F G).map g.op)) y).app (op (Over.mk (𝟙 Y)))

Tactic:
rw [presheafHom_map_app_op_mk_id]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.MayerVietorisSquare

Goal state before:
pp: case refine_3.right
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
inst✝² : HasWeakSheafify J (Type v)
sq : Square C
inst✝¹ : Mono sq.f₂₄
inst✝ : Mono sq.f₃₄
h₁ : sq.IsPullback
h₂ : Sieve.ofTwoArrows sq.f₂₄ sq.f₃₄ ∈ J sq.X₄
this : Mono sq.f₁₃
F : Sheaf J (Type v)
s : PullbackCone (sq.op.map F.obj).f₂₄ (sq.op.map F.obj).f₃₄
m : s.pt ⟶ (sq.op.map F.obj).X₁
hm₁ : m ≫ (sq.op.map F.obj).f₁₂ = s.fst
hm₂ : m ≫ (sq.op.map F.obj).f₁₃ = s.snd
⊢ m ≫ F.obj.map (WalkingPair.casesOn WalkingPair.right sq.f₂₄ sq.f₃₄).op =
    WalkingPair.casesOn WalkingPair.right s.fst s.snd

Tactic:
exact hm₂

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
M : ↑(F.obj { as := op S })
Y : C
q : Y ⟶ S'
i₁ i₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' i₁
f₂ : Y ⟶ X' i₂
hf₁ : f₁ ≫ f' i₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' i₂ = q
⊢ (F.map f₁.op.toLoc).toFunctor.map
        (((F.mapComp' p.op.toLoc (f' i₁).op.toLoc (p.op.toLoc ≫ (f' i₁).op.toLoc) ⋯).symm ≪≫
                  F.mapComp' (f (α i₁)).op.toLoc (p' i₁).op.toLoc (p.op.toLoc ≫ (f' i₁).op.toLoc) ⋯).inv.toNatTrans.app
          M) ≫
      (F.mapComp' (f' i₁).op.toLoc f₁.op.toLoc q.op.toLoc ⋯).inv.toNatTrans.app ((F.map p.op.toLoc).toFunctor.obj M) ≫
        (F.mapComp' (f' i₂).op.toLoc f₂.op.toLoc q.op.toLoc ⋯).hom.toNatTrans.app ((F.map p.op.toLoc).toFunctor.obj M) =
    pullFunctorObjHom w (ofObj M) (f₁ ≫ f' i₁) f₁ f₂ ⋯ ⋯ ≫
      (F.map f₂.op.toLoc).toFunctor.map ((F.isoMapOfCommSq ⋯).inv.toNatTrans.app M)

Tactic:
F.isoMapOfCommSq_eq _ _ rfl

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
M : ↑(F.obj { as := op S })
Y : C
q : Y ⟶ S'
i₁ i₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' i₁
f₂ : Y ⟶ X' i₂
hf₁ : f₁ ≫ f' i₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' i₂ = q
⊢ (F.map f₁.op.toLoc).toFunctor.map
        (((F.mapComp' p.op.toLoc (f' i₁).op.toLoc (p.op.toLoc ≫ (f' i₁).op.toLoc) ⋯).symm ≪≫
                  F.mapComp' (f (α i₁)).op.toLoc (p' i₁).op.toLoc (p.op.toLoc ≫ (f' i₁).op.toLoc) ⋯).inv.toNatTrans.app
          M) ≫
      (F.mapComp' (f' i₁).op.toLoc f₁.op.toLoc q.op.toLoc ⋯).inv.toNatTrans.app ((F.map p.op.toLoc).toFunctor.obj M) ≫
        (F.mapComp' (f' i₂).op.toLoc f₂.op.toLoc q.op.toLoc ⋯).hom.toNatTrans.app ((F.map p.op.toLoc).toFunctor.obj M) =
    pullFunctorObjHom w (ofObj M) (f₁ ≫ f' i₁) f₁ f₂ ⋯ ⋯ ≫
      (F.map f₂.op.toLoc).toFunctor.map
        (((F.mapComp' p.op.toLoc (f' i₂).op.toLoc (p.op.toLoc ≫ (f' i₂).op.toLoc) ⋯).symm ≪≫
                  F.mapComp' (f (α i₂)).op.toLoc (p' i₂).op.toLoc (p.op.toLoc ≫ (f' i₂).op.toLoc) ⋯).inv.toNatTrans.app
          M)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ (q : Y ⟶ S) ⦃i₁ i₂ : ι⦄ (f₁ : Y ⟶ X i₁) (f₂ : Y ⟶ X i₂) (hf₁ : f₁ ≫ f i₁ = q) (hf₂ : f₂ ≫ f i₂ = q),
    (F.map f₁.op.toLoc).toFunctor.map
          ((Cat.Hom.toNatIso (F.mapId { as := op (X ((fun x ↦ x) i₁)) })).app (D.obj ((fun x ↦ x) i₁))).hom ≫
        ((𝟭 (F.DescentData f)).obj D).hom q f₁ f₂ ⋯ ⋯ =
      ((pullFunctor F ⋯).obj D).hom q f₁ f₂ ⋯ ⋯ ≫
        (F.map f₂.op.toLoc).toFunctor.map
          ((Cat.Hom.toNatIso (F.mapId { as := op (X ((fun x ↦ x) i₂)) })).app (D.obj ((fun x ↦ x) i₂))).hom

Tactic:
intro Y q i₁ i₂ f₁ f₂ hf₁ hf₂
    dsimp
    rw [pullFunctorObjHom_eq_assoc _ _ _ _ _ q f₁ f₂ rfl]
    simp [mapComp'_id_comp_inv_app_assoc, mapComp'_id_comp_hom_app, ← Functor.map_comp]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.SheafCohomology.MayerVietoris

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
inst✝² : HasWeakSheafify J (Type v)
inst✝¹ : HasSheafify J AddCommGrpCat
inst✝ : HasExt (Sheaf J AddCommGrpCat)
S : J.MayerVietorisSquare
F : Sheaf J AddCommGrpCat
n : ℕ
x : ↑(F.H' n S.X₂ ⊞ F.H' n S.X₃)
⊢ (Ext.mk₀ S.shortComplex.f).comp
      (Ext.biprodAddEquiv.symm ((ConcreteCategory.hom ((F.H' n S.X₂).biprodIsoProd (F.H' n S.X₃)).hom) x)) ⋯ =
    (ConcreteCategory.hom (S.fromBiprod F n)) x

Tactic:
obtain ⟨⟨x₂, x₃⟩, rfl⟩ :=
    (AddCommGrpCat.biprodIsoProd _ _).addCommGroupIsoToAddEquiv.symm.surjective x

Goal state after:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
inst✝² : HasWeakSheafify J (Type v)
inst✝¹ : HasSheafify J AddCommGrpCat
inst✝ : HasExt (Sheaf J AddCommGrpCat)
S : J.MayerVietorisSquare
F : Sheaf J AddCommGrpCat
n : ℕ
x₂ : ↑(F.H' n S.X₂)
x₃ : ↑(F.H' n S.X₃)
⊢ (Ext.mk₀ S.shortComplex.f).comp
      (Ext.biprodAddEquiv.symm
        ((ConcreteCategory.hom ((F.H' n S.X₂).biprodIsoProd (F.H' n S.X₃)).hom)
          (((F.H' n S.X₂).biprodIsoProd (F.H' n S.X₃)).addCommGroupIsoToAddEquiv.symm (x₂, x₃))))
      ⋯ =
    (ConcreteCategory.hom (S.fromBiprod F n))
      (((F.H' n S.X₂).biprodIsoProd (F.H' n S.X₃)).addCommGroupIsoToAddEquiv.symm (x₂, x₃))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.Adjunction

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : HasShift C ℤ
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : G.CommShift ℤ
inst✝¹ : adj.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
this : G.Additive
Z : C
f : G.obj T.obj₂ ⟶ Z
g : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (G.obj T.obj₁)
mem : Triangle.mk (G.map T.mor₁) f g ∈ distinguishedTriangles
h : F.obj Z ⟶ T.obj₃
h₁ : F.map f ≫ h = adj.counit.app T.obj₂ ≫ T.mor₂
h₂ :
  F.map g ≫ (Functor.commShiftIso F 1).hom.app (G.obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (adj.counit.app T.obj₁) =
    h ≫ T.mor₃
h₁' : f ≫ adj.unit.app Z ≫ G.map h = G.map T.mor₂
h₂' : g ≫ (Functor.commShiftIso G 1).inv.app T.obj₁ = (adj.homEquiv Z T.obj₃) h ≫ G.map T.mor₃
P✝ : C
ψ : P✝ ⟶ G.obj T.obj₂
hφ : (ψ ≫ f) ≫ (adj.homEquiv Z T.obj₃) h = 0
α : F.obj P✝ ⟶ T.obj₁
hα : (adj.homEquiv P✝ T.obj₂).symm ψ = α ≫ T.mor₁
eq : ψ = adj.unit.app P✝ ≫ G.map α ≫ G.map T.mor₁
eq' : G.map T.mor₁ ≫ f = 0
⊢ adj.unit.app P✝ ≫ 0 = 0

Tactic:
comp_zero

Goal state after:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : HasShift C ℤ
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : G.CommShift ℤ
inst✝¹ : adj.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
this : G.Additive
Z : C
f : G.obj T.obj₂ ⟶ Z
g : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (G.obj T.obj₁)
mem : Triangle.mk (G.map T.mor₁) f g ∈ distinguishedTriangles
h : F.obj Z ⟶ T.obj₃
h₁ : F.map f ≫ h = adj.counit.app T.obj₂ ≫ T.mor₂
h₂ :
  F.map g ≫ (Functor.commShiftIso F 1).hom.app (G.obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (adj.counit.app T.obj₁) =
    h ≫ T.mor₃
h₁' : f ≫ adj.unit.app Z ≫ G.map h = G.map T.mor₂
h₂' : g ≫ (Functor.commShiftIso G 1).inv.app T.obj₁ = (adj.homEquiv Z T.obj₃) h ≫ G.map T.mor₃
P✝ : C
ψ : P✝ ⟶ G.obj T.obj₂
hφ : (ψ ≫ f) ≫ (adj.homEquiv Z T.obj₃) h = 0
α : F.obj P✝ ⟶ T.obj₁
hα : (adj.homEquiv P✝ T.obj₂).symm ψ = α ≫ T.mor₁
eq : ψ = adj.unit.app P✝ ≫ G.map α ≫ G.map T.mor₁
eq' : G.map T.mor₁ ≫ f = 0
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.Adjunction

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : HasShift C ℤ
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : G.CommShift ℤ
inst✝¹ : adj.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
this✝ : G.Additive
Z : C
f : G.obj T.obj₂ ⟶ Z
g : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (G.obj T.obj₁)
mem : Triangle.mk (G.map T.mor₁) f g ∈ distinguishedTriangles
h : F.obj Z ⟶ T.obj₃
h₁ : F.map f ≫ h = adj.counit.app T.obj₂ ≫ T.mor₂
h₂ :
  F.map g ≫ (Functor.commShiftIso F 1).hom.app (G.obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (adj.counit.app T.obj₁) =
    h ≫ T.mor₃
h₁' : f ≫ adj.unit.app Z ≫ G.map h = G.map T.mor₂
h₂' : g ≫ (Functor.commShiftIso G 1).inv.app T.obj₁ = (adj.homEquiv Z T.obj₃) h ≫ G.map T.mor₃
this : Mono ((adj.homEquiv Z T.obj₃) h)
Y : C
φ : Y ⟶ G.obj T.obj₃
⊢ φ ≫ 0 = 0

Tactic:
comp_zero

Goal state after:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : HasShift C ℤ
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : G.CommShift ℤ
inst✝¹ : adj.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
this✝ : G.Additive
Z : C
f : G.obj T.obj₂ ⟶ Z
g : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (G.obj T.obj₁)
mem : Triangle.mk (G.map T.mor₁) f g ∈ distinguishedTriangles
h : F.obj Z ⟶ T.obj₃
h₁ : F.map f ≫ h = adj.counit.app T.obj₂ ≫ T.mor₂
h₂ :
  F.map g ≫ (Functor.commShiftIso F 1).hom.app (G.obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (adj.counit.app T.obj₁) =
    h ≫ T.mor₃
h₁' : f ≫ adj.unit.app Z ≫ G.map h = G.map T.mor₂
h₂' : g ≫ (Functor.commShiftIso G 1).inv.app T.obj₁ = (adj.homEquiv Z T.obj₃) h ≫ G.map T.mor₃
this : Mono ((adj.homEquiv Z T.obj₃) h)
Y : C
φ : Y ⟶ G.obj T.obj₃
⊢ 0 = 0