Module: Mathlib.Topology.Connected.Clopen

Goal state before:
pp: case inr.succ.succ.cons
α : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Infinite (ConnectedComponents α)
h✝ : Nonempty α
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
U : Fin n → Set α
a b : Set α
ha : IsClopen a
hb : IsClopen b
ha' : a.Nonempty
hb' : b.Nonempty
hab : Disjoint a b
h₃ : Pairwise (Disjoint on (Equiv.piCongrLeft (fun x ↦ Set α) (Equiv.swap 0 i)).symm (Fin.cons (a ∪ b) U))
h₁ : ∀ (i_1 : Fin (n + 1)), IsClopen (Fin.cons (a ∪ b) U ((Equiv.swap 0 i) i_1))
h₂ : ∀ (i_1 : Fin (n + 1)), (Fin.cons (a ∪ b) U ((Equiv.swap 0 i) i_1)).Nonempty
h₄ : ⋃ i_1, Fin.cons (a ∪ b) U ((Equiv.swap 0 i) i_1) = univ
hi : ¬IsConnected (a ∪ b)
⊢ ∃ U,
    (∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), IsClopen (U i)) ∧
      (∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), (U i).Nonempty) ∧ Pairwise (Disjoint on U) ∧ ⋃ i, U i = univ

Tactic:
refine ⟨Fin.cons a (Fin.cons b U), ?_, ?_, ?_, ?_⟩

Goal state after:
case inr.succ.succ.cons.refine_1
α : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Infinite (ConnectedComponents α)
h✝ : Nonempty α
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
U : Fin n → Set α
a b : Set α
ha : IsClopen a
hb : IsClopen b
ha' : a.Nonempty
hb' : b.Nonempty
hab : Disjoint a b
h₃ : Pairwise (Disjoint on (Equiv.piCongrLeft (fun x ↦ Set α) (Equiv.swap 0 i)).symm (Fin.cons (a ∪ b) U))
h₁ : ∀ (i_1 : Fin (n + 1)), IsClopen (Fin.cons (a ∪ b) U ((Equiv.swap 0 i) i_1))
h₂ : ∀ (i_1 : Fin (n + 1)), (Fin.cons (a ∪ b) U ((Equiv.swap 0 i) i_1)).Nonempty
h₄ : ⋃ i_1, Fin.cons (a ∪ b) U ((Equiv.swap 0 i) i_1) = univ
hi : ¬IsConnected (a ∪ b)
⊢ ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), IsClopen (Fin.cons a (Fin.cons b U) i)

case inr.succ.succ.cons.refine_2
α : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Infinite (ConnectedComponents α)
h✝ : Nonempty α
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
U : Fin n → Set α
a b : Set α
ha : IsClopen a
hb : IsClopen b
ha' : a.Nonempty
hb' : b.Nonempty
hab : Disjoint a b
h₃ : Pairwise (Disjoint on (Equiv.piCongrLeft (fun x ↦ Set α) (Equiv.swap 0 i)).symm (Fin.cons (a ∪ b) U))
h₁ : ∀ (i_1 : Fin (n + 1)), IsClopen (Fin.cons (a ∪ b) U ((Equiv.swap 0 i) i_1))
h₂ : ∀ (i_1 : Fin (n + 1)), (Fin.cons (a ∪ b) U ((Equiv.swap 0 i) i_1)).Nonempty
h₄ : ⋃ i_1, Fin.cons (a ∪ b) U ((Equiv.swap 0 i) i_1) = univ
hi : ¬IsConnected (a ∪ b)
⊢ ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), (Fin.cons a (Fin.cons b U) i).Nonempty

case inr.succ.succ.cons.refine_3
α : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Infinite (ConnectedComponents α)
h✝ : Nonempty α
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
U : Fin n → Set α
a b : Set α
ha : IsClopen a
hb : IsClopen b
ha' : a.Nonempty
hb' : b.Nonempty
hab : Disjoint a b
h₃ : Pairwise (Disjoint on (Equiv.piCongrLeft (fun x ↦ Set α) (Equiv.swap 0 i)).symm (Fin.cons (a ∪ b) U))
h₁ : ∀ (i_1 : Fin (n + 1)), IsClopen (Fin.cons (a ∪ b) U ((Equiv.swap 0 i) i_1))
h₂ : ∀ (i_1 : Fin (n + 1)), (Fin.cons (a ∪ b) U ((Equiv.swap 0 i) i_1)).Nonempty
h₄ : ⋃ i_1, Fin.cons (a ∪ b) U ((Equiv.swap 0 i) i_1) = univ
hi : ¬IsConnected (a ∪ b)
⊢ Pairwise (Disjoint on Fin.cons a (Fin.cons b U))

case inr.succ.succ.cons.refine_4
α : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Infinite (ConnectedComponents α)
h✝ : Nonempty α
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
U : Fin n → Set α
a b : Set α
ha : IsClopen a
hb : IsClopen b
ha' : a.Nonempty
hb' : b.Nonempty
hab : Disjoint a b
h₃ : Pairwise (Disjoint on (Equiv.piCongrLeft (fun x ↦ Set α) (Equiv.swap 0 i)).symm (Fin.cons (a ∪ b) U))
h₁ : ∀ (i_1 : Fin (n + 1)), IsClopen (Fin.cons (a ∪ b) U ((Equiv.swap 0 i) i_1))
h₂ : ∀ (i_1 : Fin (n + 1)), (Fin.cons (a ∪ b) U ((Equiv.swap 0 i) i_1)).Nonempty
h₄ : ⋃ i_1, Fin.cons (a ∪ b) U ((Equiv.swap 0 i) i_1) = univ
hi : ¬IsConnected (a ∪ b)
⊢ ⋃ i, Fin.cons a (Fin.cons b U) i = univ