mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: case succ
α : Type u_1
C : Set (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetRing C
s : ℕ → Set α
hs_disj : Pairwise (Disjoint on s)
hsC : ∀ (i : ℕ), s i ∈ C
n : ℕ
hn : m (accumulate s n) = ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), m (s i)
⊢ Disjoint (accumulate s n) (s (n + 1))

pp: α : Type u_1
C : Set (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetRing C
s : ℕ → Set α
hs_disj : Pairwise (Disjoint on s)
hsC : ∀ (i : ℕ), s i ∈ C
n : ℕ
hn : m (accumulate s n) = ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), m (s i)
⊢ accumulate s n ∈ C

Tactic:
·

Goal state after:
case succ
α : Type u_1
C : Set (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetRing C
s : ℕ → Set α
hs_disj : Pairwise (Disjoint on s)
hsC : ∀ (i : ℕ), s i ∈ C
n : ℕ
hn : m (accumulate s n) = ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), m (s i)
⊢ Disjoint (accumulate s n) (s (n + 1))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: α : Type u_1
C : Set (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetRing C
s : ℕ → Set α
hs_disj : Pairwise (Disjoint on s)
hsC : ∀ (i : ℕ), s i ∈ C
n : ℕ
hn : m (accumulate s n) = ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), m (s i)
⊢ accumulate s n ∈ C

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetRing C
s : ℕ → Set α
hs_disj : Pairwise (Disjoint on s)
hsC : ∀ (i : ℕ), s i ∈ C
n : ℕ
hn : m (accumulate s n) = ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), m (s i)
⊢ accumulate s n ∈ C
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.LiminfLimsup

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i ↦ cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i ↦ cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i ↦ ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' :
  ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ),
    Tendsto δ l (𝓝[>] 0) →
      (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) →
        Tendsto (fun j ↦ μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : C ≠ 0
b : ℕ → Set α := fun j ↦ closedBall (w j) (M * r₁ (f j))
B : ℕ → Set α := fun j ↦ closedBall (w j) (r₁ (f j))
h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j
h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j
j : ℕ
hj : i ≤ j
hj' : M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
⊢ b j ⊆ Z i

Tactic:
refine (closedBall_subset_cthickening (hw j) (M * r₁ (f j))).trans
      ((cthickening_mono hj' _).trans fun a ha => ?_)

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (i : ℕ), IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s i)
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hrp : 0 ≤ r₁
M : ℝ
hM : 0 < M
hM' : M < 1
Y₁ : ℕ → Set α := fun i ↦ cthickening (r₁ i) (s i)
Y₂ : ℕ → Set α := fun i ↦ cthickening (r₂ i) (s i)
Z : ℕ → Set α := fun i ↦ ⋃ j, ⋃ (_ : p j ∧ i ≤ j), Y₂ j
i : ℕ
W : Set α := blimsup Y₁ atTop p \ Z i
contra : ¬μ W = 0
d : α
hd' :
  ∀ {ι : Type} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ),
    Tendsto δ l (𝓝[>] 0) →
      (∀ᶠ (j : ι) in l, d ∈ closedBall (w j) (2 * δ j)) →
        Tendsto (fun j ↦ μ (W ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
hd : d ∈ blimsup Y₁ atTop p
f : ℕ → ℕ
hf₁ : ∀ (x : ℕ), p (f x)
hf₂ : ∀ (j : ℕ), j ≤ f j
hf₃ : Tendsto f atTop atTop
hr : Tendsto (r₁ ∘ f) atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (j : ℕ) in atTop, M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
w : ℕ → α
hw : ∀ (j : ℕ), w j ∈ s (f j)
hw' : ∀ (j : ℕ), d ∈ closedBall (w j) (2 * r₁ (f j))
C : ℝ≥0 := IsUnifLocDoublingMeasure.scalingConstantOf μ M⁻¹
hC : C ≠ 0
b : ℕ → Set α := fun j ↦ closedBall (w j) (M * r₁ (f j))
B : ℕ → Set α := fun j ↦ closedBall (w j) (r₁ (f j))
h₁ : ∀ (j : ℕ), b j ⊆ B j
h₂ : ∀ (j : ℕ), W ∩ B j ⊆ B j
j : ℕ
hj : i ≤ j
hj' : M * r₁ (f j) ≤ r₂ (f j)
a : α
ha : a ∈ cthickening (r₂ (f j)) (s (f j))
⊢ a ∈ Z i
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: case insert
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s✝ t : Set α
I✝ : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m✝ m' : AddContent G C
m : Set α → G
hC : IsSetRing C
m_empty : m ∅ = 0
m_add : ∀ {s t : Set α}, s ∈ C → t ∈ C → Disjoint s t → m (s ∪ t) = m s + m t
s : Set α
I : Finset (Set α)
hsI : s ∉ I
h : ↑I ⊆ C → (↑I).PairwiseDisjoint id → ⋃₀ ↑I ∈ C → m (⋃₀ ↑I) = ∑ u ∈ I, m u
h_ss : s ∈ C ∧ ↑I ⊆ C
h_dis : (insert s ↑I).PairwiseDisjoint id
h_mem : ⋃₀ insert s ↑I ∈ C
⊢ s ∉ ↑I

pp: case insert
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s✝ t : Set α
I✝ : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m✝ m' : AddContent G C
m : Set α → G
hC : IsSetRing C
m_empty : m ∅ = 0
m_add : ∀ {s t : Set α}, s ∈ C → t ∈ C → Disjoint s t → m (s ∪ t) = m s + m t
s : Set α
I : Finset (Set α)
hsI : s ∉ I
h : ↑I ⊆ C → (↑I).PairwiseDisjoint id → ⋃₀ ↑I ∈ C → m (⋃₀ ↑I) = ∑ u ∈ I, m u
h_ss : s ∈ C ∧ ↑I ⊆ C
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id ∧ ∀ j ∈ ↑I, Disjoint (id s) (id j)
h_mem : ⋃₀ insert s ↑I ∈ C
⊢ m (⋃₀ insert s ↑I) = ∑ u ∈ insert s I, m u

Tactic:
·

Goal state after:
case insert
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s✝ t : Set α
I✝ : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m✝ m' : AddContent G C
m : Set α → G
hC : IsSetRing C
m_empty : m ∅ = 0
m_add : ∀ {s t : Set α}, s ∈ C → t ∈ C → Disjoint s t → m (s ∪ t) = m s + m t
s : Set α
I : Finset (Set α)
hsI : s ∉ I
h : ↑I ⊆ C → (↑I).PairwiseDisjoint id → ⋃₀ ↑I ∈ C → m (⋃₀ ↑I) = ∑ u ∈ I, m u
h_ss : s ∈ C ∧ ↑I ⊆ C
h_dis : (insert s ↑I).PairwiseDisjoint id
h_mem : ⋃₀ insert s ↑I ∈ C
⊢ s ∉ ↑I
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: α : Type u_1
C : Set (Set α)
s✝ t : Set α
I✝ : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m✝ m' : AddContent G C
m : Set α → G
hC : IsSetRing C
m_empty : m ∅ = 0
m_add : ∀ {s t : Set α}, s ∈ C → t ∈ C → Disjoint s t → m (s ∪ t) = m s + m t
s : Set α
I : Finset (Set α)
hsI : s ∉ I
h : ↑I ⊆ C → (↑I).PairwiseDisjoint id → ⋃₀ ↑I ∈ C → m (⋃₀ ↑I) = ∑ u ∈ I, m u
h_ss : s ∈ C ∧ ↑I ⊆ C
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id ∧ ∀ j ∈ ↑I, Disjoint (id s) (id j)
h_mem : ⋃₀ insert s ↑I ∈ C
⊢ ⋃₀ ↑I ∈ C

Tactic:
rw [Set.sUnion_eq_biUnion]

Goal state after:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s✝ t : Set α
I✝ : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m✝ m' : AddContent G C
m : Set α → G
hC : IsSetRing C
m_empty : m ∅ = 0
m_add : ∀ {s t : Set α}, s ∈ C → t ∈ C → Disjoint s t → m (s ∪ t) = m s + m t
s : Set α
I : Finset (Set α)
hsI : s ∉ I
h : ↑I ⊆ C → (↑I).PairwiseDisjoint id → ⋃₀ ↑I ∈ C → m (⋃₀ ↑I) = ∑ u ∈ I, m u
h_ss : s ∈ C ∧ ↑I ⊆ C
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id ∧ ∀ j ∈ ↑I, Disjoint (id s) (id j)
h_mem : ⋃₀ insert s ↑I ∈ C
⊢ ⋃ i ∈ ↑I, i ∈ C
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
inst✝¹ : PartialOrder G
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd G
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ m s + m (t \ s) ≤ m s + m t

pp: α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
inst✝¹ : PartialOrder G
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd G
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ Disjoint s (t \ s)

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
inst✝¹ : PartialOrder G
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd G
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ m s + m (t \ s) ≤ m s + m t
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
inst✝¹ : PartialOrder G
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd G
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ Disjoint s (t \ s)

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
inst✝¹ : PartialOrder G
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd G
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
⊢ Disjoint s (t \ s)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Transvection.Generation

Goal state before:
pp: case neg
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
n✝ : ℕ
e : V ≃ₗ[K] V
he : ∀ (a : K), ∃ x, e.fixedReduce x ≠ a • x
n : ℕ
hind :
  ∀ {e : V ≃ₗ[K] V},
    (∀ (a : K), ∃ x, ¬e.fixedReduce x = a • x) →
      finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) = n + 1 → e ∈ transvections K V ^ n * dilatransvections K V
h : finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) = n + 2
f : Dual K V
v : V
hv : LinearIndependent K ![(↑e).fixedSubmodule.mkQ v, e.fixedReduce ((↑e).fixedSubmodule.mkQ v)]
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker f
hfv : f v = 1
hv_notMem : v ∉ (↑e).fixedSubmodule
hrank : finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v) = n + 1
hn_pos : n > 0
he' : auxTransvection hf * e ∉ transvections K V ^ n * dilatransvections K V
hne_top : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v < ⊤
g : Dual K V
hg0 : g ≠ 0
hg2 : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v ≤ ker g
⊢ ∃ x ∈ transvections K V, ∃ y ∈ transvections K V ^ n * dilatransvections K V, x * y = e

Tactic:
have hg : e.fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker (f + g) := fun x hx ↦ by
        rw [mem_ker, LinearMap.add_apply, mem_ker.mp (hf hx),
          mem_ker.mp (hg2 (mem_sup_left hx)), add_zero]

Goal state after:
case neg
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
n✝ : ℕ
e : V ≃ₗ[K] V
he : ∀ (a : K), ∃ x, e.fixedReduce x ≠ a • x
n : ℕ
hind :
  ∀ {e : V ≃ₗ[K] V},
    (∀ (a : K), ∃ x, ¬e.fixedReduce x = a • x) →
      finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) = n + 1 → e ∈ transvections K V ^ n * dilatransvections K V
h : finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) = n + 2
f : Dual K V
v : V
hv : LinearIndependent K ![(↑e).fixedSubmodule.mkQ v, e.fixedReduce ((↑e).fixedSubmodule.mkQ v)]
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker f
hfv : f v = 1
hv_notMem : v ∉ (↑e).fixedSubmodule
hrank : finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v) = n + 1
hn_pos : n > 0
he' : auxTransvection hf * e ∉ transvections K V ^ n * dilatransvections K V
hne_top : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v < ⊤
g : Dual K V
hg0 : g ≠ 0
hg2 : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v ≤ ker g
hg : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker (f + g)
⊢ ∃ x ∈ transvections K V, ∃ y ∈ transvections K V ^ n * dilatransvections K V, x * y = e
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: case insert
α : Type u_1
C : Set (Set α)
G : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
inst✝¹ : PartialOrder G
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd G
ι : Type u_3
hC : IsSetRing C
s : ι → Set α
i : ι
S : Finset ι
hiS : i ∉ S
h : (∀ n ∈ S, s n ∈ C) → m (⋃ i ∈ S, s i) ≤ ∑ i ∈ S, m (s i)
hs : s i ∈ C ∧ ∀ a ∈ S, s a ∈ C
⊢ m (s i ∪ ⋃ x ∈ ↑S, s x) ≤ m (s i) + ∑ x ∈ S, m (s x)

Tactic:
refine (addContent_union_le hC hs.1 (hC.biUnion_mem S hs.2)).trans ?_

Goal state after:
case insert
α : Type u_1
C : Set (Set α)
G : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
inst✝¹ : PartialOrder G
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd G
ι : Type u_3
hC : IsSetRing C
s : ι → Set α
i : ι
S : Finset ι
hiS : i ∉ S
h : (∀ n ∈ S, s n ∈ C) → m (⋃ i ∈ S, s i) ≤ ∑ i ∈ S, m (s i)
hs : s i ∈ C ∧ ∀ a ∈ S, s a ∈ C
⊢ m (s i) + m (⋃ i ∈ S, s i) ≤ m (s i) + ∑ x ∈ S, m (s x)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
C : Set (Set α)
hC : IsSetRing C
m : AddContent ℝ≥0∞ C
hm_ne_top : ∀ s ∈ C, m s ≠ ∞
hm_tendsto : ∀ ⦃s : ℕ → Set α⦄, (∀ (n : ℕ), s n ∈ C) → Antitone s → ⋂ n, s n = ∅ → Tendsto (fun n ↦ m (s n)) atTop (𝓝 0)
f : ℕ → Set α
hf : ∀ (i : ℕ), f i ∈ C
hUf : ⋃ i, f i ∈ C
h_disj : Pairwise (Disjoint on f)
s : ℕ → Set α := fun n ↦ (⋃ i, f i) \ accumulate f n
hCs : ∀ (n : ℕ), s n ∈ C
⊢ Antitone s

pp: case refine_2
α : Type u_1
C : Set (Set α)
hC : IsSetRing C
m : AddContent ℝ≥0∞ C
hm_ne_top : ∀ s ∈ C, m s ≠ ∞
hm_tendsto : ∀ ⦃s : ℕ → Set α⦄, (∀ (n : ℕ), s n ∈ C) → Antitone s → ⋂ n, s n = ∅ → Tendsto (fun n ↦ m (s n)) atTop (𝓝 0)
f : ℕ → Set α
hf : ∀ (i : ℕ), f i ∈ C
hUf : ⋃ i, f i ∈ C
h_disj : Pairwise (Disjoint on f)
s : ℕ → Set α := fun n ↦ (⋃ i, f i) \ accumulate f n
hCs : ∀ (n : ℕ), s n ∈ C
⊢ ⋂ n, s n = ∅

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
C : Set (Set α)
hC : IsSetRing C
m : AddContent ℝ≥0∞ C
hm_ne_top : ∀ s ∈ C, m s ≠ ∞
hm_tendsto : ∀ ⦃s : ℕ → Set α⦄, (∀ (n : ℕ), s n ∈ C) → Antitone s → ⋂ n, s n = ∅ → Tendsto (fun n ↦ m (s n)) atTop (𝓝 0)
f : ℕ → Set α
hf : ∀ (i : ℕ), f i ∈ C
hUf : ⋃ i, f i ∈ C
h_disj : Pairwise (Disjoint on f)
s : ℕ → Set α := fun n ↦ (⋃ i, f i) \ accumulate f n
hCs : ∀ (n : ℕ), s n ∈ C
⊢ Antitone s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
C : Set (Set α)
hC : IsSetRing C
m : AddContent ℝ≥0∞ C
hm_ne_top : ∀ s ∈ C, m s ≠ ∞
hm_tendsto : ∀ ⦃s : ℕ → Set α⦄, (∀ (n : ℕ), s n ∈ C) → Antitone s → ⋂ n, s n = ∅ → Tendsto (fun n ↦ m (s n)) atTop (𝓝 0)
f : ℕ → Set α
hf : ∀ (i : ℕ), f i ∈ C
hUf : ⋃ i, f i ∈ C
h_disj : Pairwise (Disjoint on f)
s : ℕ → Set α := fun n ↦ (⋃ i, f i) \ accumulate f n
hCs : ∀ (n : ℕ), s n ∈ C
⊢ ⋂ n, s n = ∅

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
C : Set (Set α)
hC : IsSetRing C
m : AddContent ℝ≥0∞ C
hm_ne_top : ∀ s ∈ C, m s ≠ ∞
hm_tendsto : ∀ ⦃s : ℕ → Set α⦄, (∀ (n : ℕ), s n ∈ C) → Antitone s → ⋂ n, s n = ∅ → Tendsto (fun n ↦ m (s n)) atTop (𝓝 0)
f : ℕ → Set α
hf : ∀ (i : ℕ), f i ∈ C
hUf : ⋃ i, f i ∈ C
h_disj : Pairwise (Disjoint on f)
s : ℕ → Set α := fun n ↦ (⋃ i, f i) \ accumulate f n
hCs : ∀ (n : ℕ), s n ∈ C
⊢ ⋂ n, s n = ∅
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
f : SimpleFunc Ω F
g : Ω → E
hg : Integrable g μ
this :
  ∀ (s : Set Ω) (c : F) (f : Ω → E),
    (fun ω ↦ (B (s.indicator (Function.const Ω c) ω)) (f ω)) = s.indicator fun ω ↦ (B c) (f ω)
c : F
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ μ[fun ω ↦ (B ((SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const Ω c) (SimpleFunc.const Ω 0)) ω)) (g ω) | m] =ᵐ[μ] fun ω ↦
    (B ((SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const Ω c) (SimpleFunc.const Ω 0)) ω)) (μ[g | m] ω)

pp: Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
f : SimpleFunc Ω F
g : Ω → E
hg : Integrable g μ
this :
  ∀ (s : Set Ω) (c : F) (f : Ω → E),
    (fun ω ↦ (B (s.indicator (Function.const Ω c) ω)) (f ω)) = s.indicator fun ω ↦ (B c) (f ω)
g₁ g₂ : SimpleFunc Ω F
x✝ : Disjoint (Function.support ⇑g₁) (Function.support ⇑g₂)
h_eq₁ : μ[fun ω ↦ (B (g₁ ω)) (g ω) | m] =ᵐ[μ] fun ω ↦ (B (g₁ ω)) (μ[g | m] ω)
h_eq₂ : μ[fun ω ↦ (B (g₂ ω)) (g ω) | m] =ᵐ[μ] fun ω ↦ (B (g₂ ω)) (μ[g | m] ω)
⊢ μ[fun ω ↦ (B ((g₁ + g₂) ω)) (g ω) | m] =ᵐ[μ] fun ω ↦ (B ((g₁ + g₂) ω)) (μ[g | m] ω)

Tactic:
·

Goal state after:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
f : SimpleFunc Ω F
g : Ω → E
hg : Integrable g μ
this :
  ∀ (s : Set Ω) (c : F) (f : Ω → E),
    (fun ω ↦ (B (s.indicator (Function.const Ω c) ω)) (f ω)) = s.indicator fun ω ↦ (B c) (f ω)
c : F
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
⊢ μ[fun ω ↦ (B ((SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const Ω c) (SimpleFunc.const Ω 0)) ω)) (g ω) | m] =ᵐ[μ] fun ω ↦
    (B ((SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const Ω c) (SimpleFunc.const Ω 0)) ω)) (μ[g | m] ω)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
f : SimpleFunc Ω F
g : Ω → E
hg : Integrable g μ
this :
  ∀ (s : Set Ω) (c : F) (f : Ω → E),
    (fun ω ↦ (B (s.indicator (Function.const Ω c) ω)) (f ω)) = s.indicator fun ω ↦ (B c) (f ω)
g₁ g₂ : SimpleFunc Ω F
x✝ : Disjoint (Function.support ⇑g₁) (Function.support ⇑g₂)
h_eq₁ : μ[fun ω ↦ (B (g₁ ω)) (g ω) | m] =ᵐ[μ] fun ω ↦ (B (g₁ ω)) (μ[g | m] ω)
h_eq₂ : μ[fun ω ↦ (B (g₂ ω)) (g ω) | m] =ᵐ[μ] fun ω ↦ (B (g₂ ω)) (μ[g | m] ω)
⊢ μ[fun ω ↦ (B ((g₁ + g₂) ω)) (g ω) | m] =ᵐ[μ] fun ω ↦ (B ((g₁ + g₂) ω)) (μ[g | m] ω)

Tactic:
·

Goal state after:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
f : SimpleFunc Ω F
g : Ω → E
hg : Integrable g μ
this :
  ∀ (s : Set Ω) (c : F) (f : Ω → E),
    (fun ω ↦ (B (s.indicator (Function.const Ω c) ω)) (f ω)) = s.indicator fun ω ↦ (B c) (f ω)
g₁ g₂ : SimpleFunc Ω F
x✝ : Disjoint (Function.support ⇑g₁) (Function.support ⇑g₂)
h_eq₁ : μ[fun ω ↦ (B (g₁ ω)) (g ω) | m] =ᵐ[μ] fun ω ↦ (B (g₁ ω)) (μ[g | m] ω)
h_eq₂ : μ[fun ω ↦ (B (g₂ ω)) (g ω) | m] =ᵐ[μ] fun ω ↦ (B (g₂ ω)) (μ[g | m] ω)
⊢ μ[fun ω ↦ (B ((g₁ + g₂) ω)) (g ω) | m] =ᵐ[μ] fun ω ↦ (B ((g₁ + g₂) ω)) (μ[g | m] ω)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut

Goal state before:
pp: case pos
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst✝¹ : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun x ↦ (fs x) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : μ = 0
⊢ μ[fun ω ↦ (B (f ω)) (g ω) | m] =ᵐ[μ] fun ω ↦ (B (f ω)) (μ[g | m] ω)

pp: case neg
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst✝¹ : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun x ↦ (fs x) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
⊢ μ[fun ω ↦ (B (f ω)) (g ω) | m] =ᵐ[μ] fun ω ↦ (B (f ω)) (μ[g | m] ω)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst✝¹ : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun x ↦ (fs x) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : μ = 0
⊢ μ[fun ω ↦ (B (f ω)) (g ω) | m] =ᵐ[μ] fun ω ↦ (B (f ω)) (μ[g | m] ω)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut

Goal state before:
pp: case refine_1
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst✝¹ : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun x ↦ (fs x) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ‖(fs n) ω‖ ≤ c
⊢ StronglyMeasurable fun ω ↦ (B (f ω)) (μ[g | m] ω)

pp: case refine_2
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst✝¹ : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun x ↦ (fs x) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ‖(fs n) ω‖ ≤ c
⊢ Integrable (fun ω ↦ (B (f ω)) (μ[g | m] ω)) μ

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst✝¹ : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun x ↦ (fs x) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ‖(fs n) ω‖ ≤ c
⊢ StronglyMeasurable fun ω ↦ (B (f ω)) (μ[g | m] ω)