mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Constructions

Goal state before:
pp: case inr.h₁
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_16
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝² : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
f : M → N
g : M' → N
hf : ContMDiff I J n f
hg : ContMDiff I J n g
x : M'
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I (Sum.inr x)) (Sum.inr x))
⊢ ↑(extChartAt J (Sum.elim f g (Sum.inr x))) ∘
      Sum.elim f g ∘ ↑(extChartAt I (Sum.inr x)).symm =ᶠ[𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I (Sum.inr x)) (Sum.inr x)]
    ↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm

pp: case inr.hx
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_16
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝² : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
f : M → N
g : M' → N
hf : ContMDiff I J n f
hg : ContMDiff I J n g
x : M'
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I (Sum.inr x)) (Sum.inr x))
⊢ (↑(extChartAt J (Sum.elim f g (Sum.inr x))) ∘ Sum.elim f g ∘ ↑(extChartAt I (Sum.inr x)).symm)
      (↑(extChartAt I (Sum.inr x)) (Sum.inr x)) =
    (↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I (Sum.inr x)) (Sum.inr x))

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.h₁
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_16
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝² : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
f : M → N
g : M' → N
hf : ContMDiff I J n f
hg : ContMDiff I J n g
x : M'
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I (Sum.inr x)) (Sum.inr x))
⊢ ↑(extChartAt J (Sum.elim f g (Sum.inr x))) ∘
      Sum.elim f g ∘ ↑(extChartAt I (Sum.inr x)).symm =ᶠ[𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I (Sum.inr x)) (Sum.inr x)]
    ↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: case hn
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : ℕ → Set E := fun n ↦ disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
A : s = ⋃ n, s ∩ u n
⊢ Pairwise (Disjoint on fun i ↦ f '' (s ∩ u i))

pp: case h
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : ℕ → Set E := fun n ↦ disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
A : s = ⋃ n, s ∩ u n
⊢ ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f '' (s ∩ u i))

Tactic:
·

Goal state after:
case hn
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : ℕ → Set E := fun n ↦ disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
A : s = ⋃ n, s ∩ u n
⊢ Pairwise (Disjoint on fun i ↦ f '' (s ∩ u i))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Constructions

Goal state before:
pp: case inr.hx
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_16
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝² : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
f : M → N
g : M' → N
hf : ContMDiff I J n f
hg : ContMDiff I J n g
x : M'
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I (Sum.inr x)) (Sum.inr x))
⊢ (↑(extChartAt J (Sum.elim f g (Sum.inr x))) ∘ Sum.elim f g ∘ ↑(extChartAt I (Sum.inr x)).symm)
      (↑(extChartAt I (Sum.inr x)) (Sum.inr x)) =
    (↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I (Sum.inr x)) (Sum.inr x))

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.hx
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_16
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝² : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
f : M → N
g : M' → N
hf : ContMDiff I J n f
hg : ContMDiff I J n g
x : M'
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I (Sum.inr x)) (Sum.inr x))
⊢ (↑(extChartAt J (Sum.elim f g (Sum.inr x))) ∘ Sum.elim f g ∘ ↑(extChartAt I (Sum.inr x)).symm)
      (↑(extChartAt I (Sum.inr x)) (Sum.inr x)) =
    (↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I (Sum.inr x)) (Sum.inr x))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContinuousWithinAt f s x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: case refine_1.hf
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

pp: case refine_1.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ MapsTo (↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) s

pp: case refine_1.hy
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x) = x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.hf
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt (↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: case refine_1.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ MapsTo (↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) s

pp: case refine_1.hy
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x) = x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ MapsTo (↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: case refine_1.hy
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x) = x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.hy
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x) = x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContinuousWithinAt f s x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContinuousWithinAt f s x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: case h
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : ℕ → Set E := fun n ↦ disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
A : s = ⋃ n, s ∩ u n
⊢ ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f '' (s ∩ u i))

Tactic:
·

Goal state after:
case h
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : ℕ → Set E := fun n ↦ disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
A : s = ⋃ n, s ∩ u n
⊢ ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f '' (s ∩ u i))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: case refine_2.h₁
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
this : ContinuousWithinAt ((f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ∘ ↑(extChartAt I x)) (s ∩ (extChartAt I x).source) x
⊢ ∀ y ∈ s ∩ (extChartAt I x).source, f y = ((f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ∘ ↑(extChartAt I x)) y

pp: case refine_2.hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
this : ContinuousWithinAt ((f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ∘ ↑(extChartAt I x)) (s ∩ (extChartAt I x).source) x
⊢ f x = ((f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ∘ ↑(extChartAt I x)) x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.h₁
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
this : ContinuousWithinAt ((f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ∘ ↑(extChartAt I x)) (s ∩ (extChartAt I x).source) x
⊢ ∀ y ∈ s ∩ (extChartAt I x).source, f y = ((f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ∘ ↑(extChartAt I x)) y
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: case refine_2.hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
this : ContinuousWithinAt ((f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ∘ ↑(extChartAt I x)) (s ∩ (extChartAt I x).source) x
⊢ f x = ((f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ∘ ↑(extChartAt I x)) x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
this : ContinuousWithinAt ((f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ∘ ↑(extChartAt I x)) (s ∩ (extChartAt I x).source) x
⊢ f x = ((f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ∘ ↑(extChartAt I x)) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Basic

Goal state before:
pp: case right
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
e : M → H
h : IsOpenEmbedding e
n : ℕ∞ω
inst✝ : Nonempty M
this : IsManifold I ω M
x : M
y : H
z : E
hz : z ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' e ⁻¹' (extChartAt I y).source
⊢ ↑I (↑I.symm z) = z

pp: case right
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
e : M → H
h : IsOpenEmbedding e
n : ℕ∞ω
inst✝ : Nonempty M
this : IsManifold I ω M
x : M
y : H
z : E
hz : z ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' e ⁻¹' (extChartAt I y).source
⊢ ↑I.symm z ∈ range e

Tactic:
·

Goal state after:
case right
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
e : M → H
h : IsOpenEmbedding e
n : ℕ∞ω
inst✝ : Nonempty M
this : IsManifold I ω M
x : M
y : H
z : E
hz : z ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' e ⁻¹' (extChartAt I y).source
⊢ ↑I (↑I.symm z) = z
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Basic

Goal state before:
pp: case right
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
e : M → H
h : IsOpenEmbedding e
n : ℕ∞ω
inst✝ : Nonempty M
this : IsManifold I ω M
x : M
y : H
z : E
hz : z ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' e ⁻¹' (extChartAt I y).source
⊢ ↑I.symm z ∈ range e

Tactic:
·

Goal state after:
case right
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
e : M → H
h : IsOpenEmbedding e
n : ℕ∞ω
inst✝ : Nonempty M
this : IsManifold I ω M
x : M
y : H
z : E
hz : z ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' e ⁻¹' (extChartAt I y).source
⊢ ↑I.symm z ∈ range e
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Basic

Goal state before:
pp: case left
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
e : M → H
h : IsOpenEmbedding e
n : ℕ∞ω
inst✝ : Nonempty M
this : IsManifold I ω M
⊢ ContinuousOn (↑(IsOpenEmbedding.toOpenPartialHomeomorph e h).symm) (range e)

pp: case right
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
e : M → H
h : IsOpenEmbedding e
n : ℕ∞ω
inst✝ : Nonempty M
this : IsManifold I ω M
⊢ ∀ (x : H) (y : M),
    ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ ↑(IsOpenEmbedding.toOpenPartialHomeomorph e h).symm ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      ((extChartAt I x).target ∩
        ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹'
          (range e ∩ ↑(IsOpenEmbedding.toOpenPartialHomeomorph e h).symm ⁻¹' (extChartAt I y).source))

Tactic:
·

Goal state after:
case left
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
e : M → H
h : IsOpenEmbedding e
n : ℕ∞ω
inst✝ : Nonempty M
this : IsManifold I ω M
⊢ ContinuousOn (↑(IsOpenEmbedding.toOpenPartialHomeomorph e h).symm) (range e)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Basic

Goal state before:
pp: case right
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
e : M → H
h : IsOpenEmbedding e
n : ℕ∞ω
inst✝ : Nonempty M
this : IsManifold I ω M
⊢ ∀ (x : H) (y : M),
    ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ ↑(IsOpenEmbedding.toOpenPartialHomeomorph e h).symm ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      ((extChartAt I x).target ∩
        ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹'
          (range e ∩ ↑(IsOpenEmbedding.toOpenPartialHomeomorph e h).symm ⁻¹' (extChartAt I y).source))

Tactic:
·

Goal state after:
case right
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
e : M → H
h : IsOpenEmbedding e
n : ℕ∞ω
inst✝ : Nonempty M
this : IsManifold I ω M
⊢ ∀ (x : H) (y : M),
    ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ ↑(IsOpenEmbedding.toOpenPartialHomeomorph e h).symm ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      ((extChartAt I x).target ∩
        ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹'
          (range e ∩ ↑(IsOpenEmbedding.toOpenPartialHomeomorph e h).symm ⁻¹' (extChartAt I y).source))