mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
g : β → α
s : Set α
hgf : LeftInvOn g f s
ginj : InjOn g (g ⁻¹' s)
x : β
⊢ x ∈ f '' s → x ∈ g ⁻¹' s

pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
g : β → α
s : Set α
hgf : LeftInvOn g f s
ginj : InjOn g (g ⁻¹' s)
x : β
⊢ x ∈ g ⁻¹' s → x ∈ f '' s

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
g : β → α
s : Set α
hgf : LeftInvOn g f s
ginj : InjOn g (g ⁻¹' s)
x : β
⊢ x ∈ f '' s → x ∈ g ⁻¹' s
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
g : β → α
s : Set α
hgf : LeftInvOn g f s
ginj : InjOn g (g ⁻¹' s)
x : β
⊢ x ∈ g ⁻¹' s → x ∈ f '' s

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
g : β → α
s : Set α
hgf : LeftInvOn g f s
ginj : InjOn g (g ⁻¹' s)
x : β
⊢ x ∈ g ⁻¹' s → x ∈ f '' s
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: motive : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
zero : motive b
succ : (k : ℤ) → b ≤ k → motive k → motive (k + 1)
pred : (k : ℤ) → k ≤ b → motive k → motive (k - 1)
hz : b ≤ z
⊢ cast ⋯
      (match z + 1 - b with
      | ofNat n => inductionOn'.pos b zero succ n
      | -[n+1] => inductionOn'.neg b zero pred n) =
    succ z hz
      (cast ⋯
        (match z - b with
        | ofNat n => inductionOn'.pos b zero succ n
        | -[n+1] => inductionOn'.neg b zero pred n))

Tactic:
rw! [show z - b = (z - b).toNat by lia, show z + 1 - b = ((z - b).toNat + 1 : ℕ) by lia]

Goal state after:
motive : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
zero : motive b
succ : (k : ℤ) → b ≤ k → motive k → motive (k + 1)
pred : (k : ℤ) → k ≤ b → motive k → motive (k - 1)
hz : b ≤ z
⊢ cast ⋯
      (match ↑((z - b).toNat + 1) with
      | ofNat n => inductionOn'.pos b zero succ n
      | -[n+1] => inductionOn'.neg b zero pred n) =
    succ z hz
      (cast ⋯
        (match ↑(z - b).toNat with
        | ofNat n => inductionOn'.pos b zero succ n
        | -[n+1] => inductionOn'.neg b zero pred n))
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: case pos
motive : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
zero : motive b
succ : (k : ℤ) → b ≤ k → motive k → motive (k + 1)
pred : (k : ℤ) → k ≤ b → motive k → motive (k - 1)
hz : z ≤ b
h✝ : z = b
⊢ cast ⋯
      (match z - 1 - b with
      | ofNat n => inductionOn'.pos b zero succ n
      | -[n+1] =>
        match n with
        | 0 => pred b ⋯ zero
        | n.succ => cast ⋯ (pred (b + -[n+1]) ⋯ (inductionOn'.neg b zero pred n))) =
    pred z hz
      (cast ⋯
        (match z - b with
        | ofNat n => inductionOn'.pos b zero succ n
        | -[n+1] => inductionOn'.neg b zero pred n))

pp: case neg
motive : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
zero : motive b
succ : (k : ℤ) → b ≤ k → motive k → motive (k + 1)
pred : (k : ℤ) → k ≤ b → motive k → motive (k - 1)
hz : z ≤ b
h✝ : ¬z = b
⊢ cast ⋯
      (match z - 1 - b with
      | ofNat n => inductionOn'.pos b zero succ n
      | -[n+1] =>
        match n with
        | 0 => pred b ⋯ zero
        | n.succ => cast ⋯ (pred (b + -[n+1]) ⋯ (inductionOn'.neg b zero pred n))) =
    pred z hz
      (cast ⋯
        (match z - b with
        | ofNat n => inductionOn'.pos b zero succ n
        | -[n+1] => inductionOn'.neg b zero pred n))

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
motive : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
zero : motive b
succ : (k : ℤ) → b ≤ k → motive k → motive (k + 1)
pred : (k : ℤ) → k ≤ b → motive k → motive (k - 1)
hz : z ≤ b
h✝ : z = b
⊢ cast ⋯
      (match z - 1 - b with
      | ofNat n => inductionOn'.pos b zero succ n
      | -[n+1] =>
        match n with
        | 0 => pred b ⋯ zero
        | n.succ => cast ⋯ (pred (b + -[n+1]) ⋯ (inductionOn'.neg b zero pred n))) =
    pred z hz
      (cast ⋯
        (match z - b with
        | ofNat n => inductionOn'.pos b zero succ n
        | -[n+1] => inductionOn'.neg b zero pred n))
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
⊢ SurjOn f s t → ∃ s', s' ⊆ s ∧ BijOn f s' t

pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
⊢ (∃ s', s' ⊆ s ∧ BijOn f s' t) → SurjOn f s t

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
⊢ SurjOn f s t → ∃ s', s' ⊆ s ∧ BijOn f s' t
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case mp.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
⊢ SurjOn f s ∅ → ∃ s', s' ⊆ s ∧ BijOn f s' ∅

pp: case mp.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
ht : t.Nonempty
⊢ SurjOn f s t → ∃ s', s' ⊆ s ∧ BijOn f s' t

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → β
⊢ SurjOn f s ∅ → ∃ s', s' ⊆ s ∧ BijOn f s' ∅
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case mp.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
ht : t.Nonempty
⊢ SurjOn f s t → ∃ s', s' ⊆ s ∧ BijOn f s' t

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
ht : t.Nonempty
⊢ SurjOn f s t → ∃ s', s' ⊆ s ∧ BijOn f s' t
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: a b c d m✝ n✝ m : ℤ
motive : (n : ℤ) → m ≤ n → Sort u_1
base : motive m ⋯
succ : (n : ℤ) → (hmn : m ≤ n) → motive n hmn → motive (n + 1) ⋯
n x✝³ : ℤ
x✝² : x✝³ ≤ m
x✝¹ : (hmn : m ≤ x✝³) → motive x✝³ hmn
x✝ : m ≤ x✝³ - 1
⊢ False

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
⊢ (∃ s', s' ⊆ s ∧ BijOn f s' t) → SurjOn f s t

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
⊢ (∃ s', s' ⊆ s ∧ BijOn f s' t) → SurjOn f s t
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: a b c d m✝ n✝ m : ℤ
motive : (n : ℤ) → m ≤ n → Sort u_1
base : motive m ⋯
succ : (n : ℤ) → (hmn : m ≤ n) → motive n hmn → motive (n + 1) ⋯
n : ℤ
hmn : m ≤ n
⊢ m ≤ n + 1

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: a b c d m✝ n✝ m : ℤ
motive : (n : ℤ) → n ≤ m → Sort u_1
base : motive m ⋯
n : ℤ
hnm : n ≤ m
⊢ n - 1 ≤ m

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: a b c d m✝ n✝ m : ℤ
motive : (n : ℤ) → n ≤ m → Sort u_1
base : motive m ⋯
pred : (n : ℤ) → (hnm : n ≤ m) → motive n hnm → motive (n - 1) ⋯
n x✝³ : ℤ
x✝² : m ≤ x✝³
x✝¹ : (hnm : x✝³ ≤ m) → motive x✝³ hnm
x✝ : x✝³ + 1 ≤ m
⊢ False

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: a b c d m✝ n✝ m : ℤ
motive : (n : ℤ) → n ≤ m → Sort u_1
base : motive m ⋯
pred : (n : ℤ) → (hnm : n ≤ m) → motive n hnm → motive (n - 1) ⋯
n : ℤ
hnm : n ≤ m
⊢ n - 1 ≤ m

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
⊢ s ∪ r ⊆ s₁

pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
⊢ MapsTo f (s ∪ r) t'

pp: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
⊢ InjOn f (s ∪ r)

pp: case refine_4
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
y : β
hyt' : y ∈ t'
⊢ y ∈ f '' (s ∪ r)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
⊢ s ∪ r ⊆ s₁
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: a b c d m n✝ : ℤ
motive : ℤ → Sort u_1
lt : (n : ℤ) → n < m → motive n
ge : (n : ℤ) → n ≥ m → ((k : ℤ) → k < n → motive k) → motive n
n : ℤ
hnm : ¬n < m
⊢ n ≥ m

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
⊢ MapsTo f (s ∪ r) t'

pp: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
⊢ InjOn f (s ∪ r)

pp: case refine_4
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
y : β
hyt' : y ∈ t'
⊢ y ∈ f '' (s ∪ r)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
⊢ MapsTo f (s ∪ r) t'
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: case refine_1
a b c d m n✝ : ℤ
motive : ℤ → Sort u_1
lt : (n : ℤ) → n < m → motive n
ge : (n : ℤ) → n ≥ m → ((k : ℤ) → k < n → motive k) → motive n
n : ℤ
hnm : ¬n < m
⊢ (k : ℤ) → m ≤ k → ((k_1 : ℤ) → k_1 < k → motive k_1) → (k_1 : ℤ) → k_1 < k + 1 → motive k_1

pp: case refine_2
a b c d m n✝ : ℤ
motive : ℤ → Sort u_1
lt : (n : ℤ) → n < m → motive n
ge : (n : ℤ) → n ≥ m → ((k : ℤ) → k < n → motive k) → motive n
n : ℤ
hnm : ¬n < m
⊢ (k : ℤ) → k ≤ m → ((k_1 : ℤ) → k_1 < k → motive k_1) → (k_1 : ℤ) → k_1 < k - 1 → motive k_1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
a b c d m n✝ : ℤ
motive : ℤ → Sort u_1
lt : (n : ℤ) → n < m → motive n
ge : (n : ℤ) → n ≥ m → ((k : ℤ) → k < n → motive k) → motive n
n : ℤ
hnm : ¬n < m
⊢ (k : ℤ) → m ≤ k → ((k_1 : ℤ) → k_1 < k → motive k_1) → (k_1 : ℤ) → k_1 < k + 1 → motive k_1
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: a b c d m n✝ : ℤ
motive : ℤ → Sort u_1
lt : (n : ℤ) → n < m → motive n
ge : (n : ℤ) → n ≥ m → ((k : ℤ) → k < n → motive k) → motive n
n : ℤ
hnm : ¬n < m
_n : ℤ
a✝¹ : m ≤ _n
ih : (k : ℤ) → k < _n → motive k
l : ℤ
a✝ : l < _n + 1
hlm : ¬l < m
⊢ l ≥ m

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: a b c d m n✝ : ℤ
motive : ℤ → Sort u_1
lt : (n : ℤ) → n < m → motive n
ge : (n : ℤ) → n ≥ m → ((k : ℤ) → k < n → motive k) → motive n
n : ℤ
hnm : ¬n < m
_n : ℤ
a✝¹ : m ≤ _n
ih : (k : ℤ) → k < _n → motive k
l : ℤ
a✝ : l < _n + 1
hlm : ¬l < m
k : ℤ
x✝ : k < l
⊢ k < _n

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: case refine_2
a b c d m n✝ : ℤ
motive : ℤ → Sort u_1
lt : (n : ℤ) → n < m → motive n
ge : (n : ℤ) → n ≥ m → ((k : ℤ) → k < n → motive k) → motive n
n : ℤ
hnm : ¬n < m
⊢ (k : ℤ) → k ≤ m → ((k_1 : ℤ) → k_1 < k → motive k_1) → (k_1 : ℤ) → k_1 < k - 1 → motive k_1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
a b c d m n✝ : ℤ
motive : ℤ → Sort u_1
lt : (n : ℤ) → n < m → motive n
ge : (n : ℤ) → n ≥ m → ((k : ℤ) → k < n → motive k) → motive n
n : ℤ
hnm : ¬n < m
⊢ (k : ℤ) → k ≤ m → ((k_1 : ℤ) → k_1 < k → motive k_1) → (k_1 : ℤ) → k_1 < k - 1 → motive k_1
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: a b c d m n✝¹ : ℤ
motive : ℤ → Sort u_1
lt : (n : ℤ) → n < m → motive n
ge : (n : ℤ) → n ≥ m → ((k : ℤ) → k < n → motive k) → motive n
n✝ : ℤ
hnm : ¬n✝ < m
n : ℤ
x✝¹ : n ≤ m
hn : (k : ℤ) → k < n → motive k
l : ℤ
x✝ : l < n - 1
⊢ l < n

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.Torsion

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : IsMulTorsionFree M
a : M
⊢ 2 ≠ 0

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
⊢ InjOn f (s ∪ r)

pp: case refine_4
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
y : β
hyt' : y ∈ t'
⊢ y ∈ f '' (s ∪ r)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
⊢ InjOn f (s ∪ r)
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
⊢ ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ r → f x ≠ f y

pp: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
⊢ Disjoint s r

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
hss₁ : s ⊆ s₁
htt' : t ⊆ t'
ht' : SurjOn f s₁ t'
r : Set α
hrss : r ⊆ (s₁ ∩ f ⁻¹' t') \ f ⁻¹' t
hbij : BijOn f r ((f '' s₁ ∩ t') \ t)
⊢ ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ r → f x ≠ f y
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: m : ℤ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ m.toNat < n ↔ m < ↑n

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: m : ℤ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 0 < ↑n

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nonempty α
f : α → β
hf : Injective f
s : Set α
h : Classical.choice n ∈ s
a : α
⊢ f a ∈ invFun f ⁻¹' s ↔ f a ∈ f '' s ∪ (range f)ᶜ

pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nonempty α
f : α → β
hf : Injective f
s : Set α
h : Classical.choice n ∈ s
x : β
hx : ¬x ∈ range f
⊢ x ∈ invFun f ⁻¹' s ↔ x ∈ f '' s ∪ (range f)ᶜ

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nonempty α
f : α → β
hf : Injective f
s : Set α
h : Classical.choice n ∈ s
a : α
⊢ f a ∈ invFun f ⁻¹' s ↔ f a ∈ f '' s ∪ (range f)ᶜ
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nonempty α
f : α → β
hf : Injective f
s : Set α
h : Classical.choice n ∈ s
x : β
hx : ¬x ∈ range f
⊢ x ∈ invFun f ⁻¹' s ↔ x ∈ f '' s ∪ (range f)ᶜ

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nonempty α
f : α → β
hf : Injective f
s : Set α
h : Classical.choice n ∈ s
x : β
hx : ¬x ∈ range f
⊢ x ∈ invFun f ⁻¹' s ↔ x ∈ f '' s ∪ (range f)ᶜ
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nonempty α
f : α → β
hf : Injective f
s : Set α
h : ¬Classical.choice n ∈ s
a : α
⊢ f a ∈ invFun f ⁻¹' s ↔ f a ∈ f '' s

pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nonempty α
f : α → β
hf : Injective f
s : Set α
h : ¬Classical.choice n ∈ s
x : β
hx : ¬x ∈ range f
⊢ x ∈ invFun f ⁻¹' s ↔ x ∈ f '' s

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nonempty α
f : α → β
hf : Injective f
s : Set α
h : ¬Classical.choice n ∈ s
a : α
⊢ f a ∈ invFun f ⁻¹' s ↔ f a ∈ f '' s
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nonempty α
f : α → β
hf : Injective f
s : Set α
h : ¬Classical.choice n ∈ s
x : β
hx : ¬x ∈ range f
⊢ x ∈ invFun f ⁻¹' s ↔ x ∈ f '' s

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Nonempty α
f : α → β
hf : Injective f
s : Set α
h : ¬Classical.choice n ∈ s
x : β
hx : ¬x ∈ range f
⊢ x ∈ invFun f ⁻¹' s ↔ x ∈ f '' s
Module: Mathlib.Algebra.Group.TypeTags.Basic

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → AddMonoid (M i)
j : ι
a : M j
⊢ mulSingle j (ofAdd a) j = ofAdd (single j a j)

pp: case inr
ι : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → AddMonoid (M i)
i : ι
a : M i
j : ι
h : j ≠ i
⊢ mulSingle i (ofAdd a) j = ofAdd (single i a j)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → AddMonoid (M i)
j : ι
a : M j
⊢ mulSingle j (ofAdd a) j = ofAdd (single j a j)
Module: Mathlib.Algebra.Group.TypeTags.Basic

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → AddMonoid (M i)
i : ι
a : M i
j : ι
h : j ≠ i
⊢ mulSingle i (ofAdd a) j = ofAdd (single i a j)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → AddMonoid (M i)
i : ι
a : M i
j : ι
h : j ≠ i
⊢ mulSingle i (ofAdd a) j = ofAdd (single i a j)
Module: Mathlib.Algebra.Group.TypeTags.Basic

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Monoid (M i)
j : ι
a : M j
⊢ single j (ofMul a) j = ofMul (mulSingle j a j)

pp: case inr
ι : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Monoid (M i)
i : ι
a : M i
j : ι
h : j ≠ i
⊢ single i (ofMul a) j = ofMul (mulSingle i a j)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Monoid (M i)
j : ι
a : M j
⊢ single j (ofMul a) j = ofMul (mulSingle j a j)
Module: Mathlib.Algebra.Group.TypeTags.Basic

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Monoid (M i)
i : ι
a : M i
j : ι
h : j ≠ i
⊢ single i (ofMul a) j = ofMul (mulSingle i a j)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Monoid (M i)
i : ι
a : M i
j : ι
h : j ≠ i
⊢ single i (ofMul a) j = ofMul (mulSingle i a j)
Module: Mathlib.Algebra.Group.InjSurj

Goal state before:
pp: M₁✝ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁴ : Mul M₁✝
inst✝³ : One M₁✝
inst✝² : Pow M₁✝ ℕ
M₁ : Type u_3
inst✝¹ : Inv M₁
inst✝ : InvolutiveInv M₂
f : M₁ → M₂
hf : Injective f
inv : ∀ (x : M₁), f x⁻¹ = (f x)⁻¹
x : M₁
⊢ f x⁻¹⁻¹ = f x

Tactic:
by rw [inv, inv, inv_inv]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.Basic

Goal state before:
pp: G : Type u_3
inst✝ : Group G
a b c : G
⊢ b / a = c / a ↔ b = c

Tactic:
rw [div_eq_mul_inv, div_eq_mul_inv]

Goal state after:
G : Type u_3
inst✝ : Group G
a b c : G
⊢ b * a⁻¹ = c * a⁻¹ ↔ b = c
Module: Mathlib.Algebra.Group.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Monoid β
p r : α → α → Prop
inst✝¹ : Std.Total r
f : α → α → β
inst✝ : Std.Symm p
hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
a b✝ c✝ : α
pab✝ : p a b✝
pbc✝ : p b✝ c✝
pac✝ : p a c✝
b c : α
rbc : r b c
pab : p a b
pbc : p b c
pac : p a c
rab : r a b
⊢ f a c = f a b * f b c

pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Monoid β
p r : α → α → Prop
inst✝¹ : Std.Total r
f : α → α → β
inst✝ : Std.Symm p
hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
a b✝ c✝ : α
pab✝ : p a b✝
pbc✝ : p b✝ c✝
pac✝ : p a c✝
b c : α
rbc : r b c
pab : p a b
pbc : p b c
pac : p a c
rba : r b a
⊢ f a c = f a b * f b c

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Monoid β
p r : α → α → Prop
inst✝¹ : Std.Total r
f : α → α → β
inst✝ : Std.Symm p
hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
a b✝ c✝ : α
pab✝ : p a b✝
pbc✝ : p b✝ c✝
pac✝ : p a c✝
b c : α
rbc : r b c
pab : p a b
pbc : p b c
pac : p a c
rab : r a b
⊢ f a c = f a b * f b c
Module: Mathlib.Algebra.Group.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Monoid β
p r : α → α → Prop
inst✝¹ : Std.Total r
f : α → α → β
inst✝ : Std.Symm p
hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
a b✝ c✝ : α
pab✝ : p a b✝
pbc✝ : p b✝ c✝
pac✝ : p a c✝
b c : α
rbc : r b c
pab : p a b
pbc : p b c
pac : p a c
rba : r b a
rac : r a c
⊢ f a b * (f b a * f a c) = f a b * f b c

pp: case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Monoid β
p r : α → α → Prop
inst✝¹ : Std.Total r
f : α → α → β
inst✝ : Std.Symm p
hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
a b✝ c✝ : α
pab✝ : p a b✝
pbc✝ : p b✝ c✝
pac✝ : p a c✝
b c : α
rbc : r b c
pab : p a b
pbc : p b c
pac : p a c
rba : r b a
rca : r c a
⊢ f a b * (f b a * f a c) = f a b * f b c

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Monoid β
p r : α → α → Prop
inst✝¹ : Std.Total r
f : α → α → β
inst✝ : Std.Symm p
hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
a b✝ c✝ : α
pab✝ : p a b✝
pbc✝ : p b✝ c✝
pac✝ : p a c✝
b c : α
rbc : r b c
pab : p a b
pbc : p b c
pac : p a c
rba : r b a
rac : r a c
⊢ f a b * (f b a * f a c) = f a b * f b c
Module: Mathlib.Algebra.Group.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Monoid β
p r : α → α → Prop
inst✝¹ : Std.Total r
f : α → α → β
inst✝ : Std.Symm p
hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
a b✝ c✝ : α
pab✝ : p a b✝
pbc✝ : p b✝ c✝
pac✝ : p a c✝
b c : α
rbc : r b c
pab : p a b
pbc : p b c
pac : p a c
rba : r b a
rca : r c a
⊢ f a b * (f b a * f a c) = f a b * f b c

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Monoid β
p r : α → α → Prop
inst✝¹ : Std.Total r
f : α → α → β
inst✝ : Std.Symm p
hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
a b✝ c✝ : α
pab✝ : p a b✝
pbc✝ : p b✝ c✝
pac✝ : p a c✝
b c : α
rbc : r b c
pab : p a b
pbc : p b c
pac : p a c
rba : r b a
rca : r c a
⊢ f a b * (f b a * f a c) = f a b * f b c
Module: Mathlib.Algebra.Group.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Monoid β
p r : α → α → Prop
inst✝¹ : Std.Total r
f : α → α → β
inst✝ : Std.Symm p
hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
a b c : α
pab : p a b
pbc : p b c
pac : p a c
hmul' : ∀ {b c : α}, r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
rbc : r b c
⊢ f a c = f a b * f b c

pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Monoid β
p r : α → α → Prop
inst✝¹ : Std.Total r
f : α → α → β
inst✝ : Std.Symm p
hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
a b c : α
pab : p a b
pbc : p b c
pac : p a c
hmul' : ∀ {b c : α}, r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
rcb : r c b
⊢ f a c = f a b * f b c

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Monoid β
p r : α → α → Prop
inst✝¹ : Std.Total r
f : α → α → β
inst✝ : Std.Symm p
hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
a b c : α
pab : p a b
pbc : p b c
pac : p a c
hmul' : ∀ {b c : α}, r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
rbc : r b c
⊢ f a c = f a b * f b c