mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
hs' : (s'.weightedVSub p) w' = p1 -ᵥ p i0
w0 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i0 1
hw0 : ∑ i ∈ s', w0 i = 1
hw0s : (Finset.affineCombination k s' p) w0 = p i0
⊢ ∑ i ∈ s', (w0 + w') i = 1

pp: case refine_2
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
hs' : (s'.weightedVSub p) w' = p1 -ᵥ p i0
w0 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i0 1
hw0 : ∑ i ∈ s', w0 i = 1
hw0s : (Finset.affineCombination k s' p) w0 = p i0
⊢ p1 = (Finset.affineCombination k s' p) (w0 + w')

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
hs' : (s'.weightedVSub p) w' = p1 -ᵥ p i0
w0 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i0 1
hw0 : ∑ i ∈ s', w0 i = 1
hw0s : (Finset.affineCombination k s' p) w0 = p i0
⊢ ∑ i ∈ s', (w0 + w') i = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
hs' : (s'.weightedVSub p) w' = p1 -ᵥ p i0
w0 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i0 1
hw0 : ∑ i ∈ s', w0 i = 1
hw0s : (Finset.affineCombination k s' p) w0 = p i0
⊢ p1 = (Finset.affineCombination k s' p) (w0 + w')

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
hs' : (s'.weightedVSub p) w' = p1 -ᵥ p i0
w0 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i0 1
hw0 : ∑ i ∈ s', w0 i = 1
hw0s : (Finset.affineCombination k s' p) w0 = p i0
⊢ p1 = (Finset.affineCombination k s' p) (w0 + w')
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ¬↑r₁ = r₂
⊢ ∃ r, r ≠ 0 ∧ p₅ -ᵥ p₄ = r • (p₂ -ᵥ p₁) ∧ p₆ -ᵥ p₅ = r • (p₃ -ᵥ p₂) ∧ p₄ -ᵥ p₆ = r • (p₁ -ᵥ p₃)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ¬↑r₁ = r₂
⊢ ∃ r, r ≠ 0 ∧ p₅ -ᵥ p₄ = r • (p₂ -ᵥ p₁) ∧ p₆ -ᵥ p₅ = r • (p₃ -ᵥ p₂) ∧ p₄ -ᵥ p₆ = r • (p₁ -ᵥ p₃)
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ : ℝ
⊢ Metric.ball 0 r₁ • p.ball 0 0 ⊆ p.ball 0 (r₁ * 0)

pp: case inr
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
⊢ Metric.ball 0 r₁ • p.ball 0 r₂ ⊆ p.ball 0 (r₁ * r₂)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ : ℝ
⊢ Metric.ball 0 r₁ • p.ball 0 0 ⊆ p.ball 0 (r₁ * 0)
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
⊢ Metric.ball 0 r₁ • p.ball 0 r₂ ⊆ p.ball 0 (r₁ * r₂)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
⊢ Metric.ball 0 r₁ • p.ball 0 r₂ ⊆ p.ball 0 (r₁ * r₂)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ : P
p : ι → P
s : Set ι
h : p₁ ∈ affineSpan k (p '' s)
⊢ ∃ fs w, ↑fs ⊆ s ∧ ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p₁ = (Finset.affineCombination k fs p) w

Tactic:
rw [Set.image_eq_range] at h

Goal state after:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ : P
p : ι → P
s : Set ι
h : p₁ ∈ affineSpan k (Set.range fun x ↦ p ↑x)
⊢ ∃ fs w, ↑fs ⊆ s ∧ ∑ i ∈ fs, w i = 1 ∧ p₁ = (Finset.affineCombination k fs p) w
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i1 : ι
⊢ (LinearIndependent k fun i ↦ p ↑i -ᵥ p i1) → AffineIndependent k p

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i1 : ι
⊢ (LinearIndependent k fun i ↦ p ↑i -ᵥ p i1) → AffineIndependent k p
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
⊢ p.ball 0 (‖0‖ * r) ⊆ 0 • p.ball 0 r

pp: case inr
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : k ≠ 0
⊢ p.ball 0 (‖k‖ * r) ⊆ k • p.ball 0 r

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
⊢ p.ball 0 (‖0‖ * r) ⊆ 0 • p.ball 0 r
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : k ≠ 0
⊢ p.ball 0 (‖k‖ * r) ⊆ k • p.ball 0 r

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : k ≠ 0
⊢ p.ball 0 (‖k‖ * r) ⊆ k • p.ball 0 r
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case inr.refine_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : k ≠ 0
x : E
hx : p x < ‖k‖ * r
⊢ k⁻¹ • x ∈ p.ball 0 r

pp: case inr.refine_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : k ≠ 0
x : E
hx : p x < ‖k‖ * r
⊢ k • k⁻¹ • x = x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.refine_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : k ≠ 0
x : E
hx : p x < ‖k‖ * r
⊢ k⁻¹ • x ∈ p.ball 0 r
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case mp
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p1 : P
p : ι → P
⊢ p1 ∈ affineSpan k (Set.range p) → ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

pp: case mpr
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p1 : P
p : ι → P
⊢ (∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w) → p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p1 : P
p : ι → P
⊢ p1 ∈ affineSpan k (Set.range p) → ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case mpr
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p1 : P
p : ι → P
⊢ (∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w) → p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p1 : P
p : ι → P
⊢ (∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w) → p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
⊢ (LinearIndependent k fun i ↦ ↑↑i -ᵥ ↑⟨p₁, hp₁⟩) →
    LinearIndependent k fun (v : ↑((fun p ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}))) ↦ ↑v

pp: case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
⊢ (LinearIndependent k fun (v : ↑((fun p ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}))) ↦ ↑v) →
    LinearIndependent k fun i ↦ ↑↑i -ᵥ ↑⟨p₁, hp₁⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
⊢ (LinearIndependent k fun i ↦ ↑↑i -ᵥ ↑⟨p₁, hp₁⟩) →
    LinearIndependent k fun (v : ↑((fun p ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}))) ↦ ↑v
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : 0 < ‖k‖
x : E
hx : p x ≤ ‖k‖ * r
⊢ k⁻¹ • x ∈ p.closedBall 0 r

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : 0 < ‖k‖
x : E
hx : p x ≤ ‖k‖ * r
⊢ k • k⁻¹ • x = x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : 0 < ‖k‖
x : E
hx : p x ≤ ‖k‖ * r
⊢ k⁻¹ • x ∈ p.closedBall 0 r
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
⊢ (LinearIndependent k fun (v : ↑((fun p ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}))) ↦ ↑v) →
    LinearIndependent k fun i ↦ ↑↑i -ᵥ ↑⟨p₁, hp₁⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
⊢ (LinearIndependent k fun (v : ↑((fun p ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}))) ↦ ↑v) →
    LinearIndependent k fun i ↦ ↑↑i -ᵥ ↑⟨p₁, hp₁⟩
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case mp
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
j : ι
q : P
⊢ q ∈ affineSpan k (Set.range p) → ∃ s w, q = (s.weightedVSubOfPoint p (p j)) w +ᵥ p j

pp: case mpr
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
j : ι
q : P
⊢ (∃ s w, q = (s.weightedVSubOfPoint p (p j)) w +ᵥ p j) → q ∈ affineSpan k (Set.range p)

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
j : ι
q : P
⊢ q ∈ affineSpan k (Set.range p) → ∃ s w, q = (s.weightedVSubOfPoint p (p j)) w +ᵥ p j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case mpr
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
j : ι
q : P
⊢ (∃ s w, q = (s.weightedVSubOfPoint p (p j)) w +ᵥ p j) → q ∈ affineSpan k (Set.range p)

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
j : ι
q : P
⊢ (∃ s w, q = (s.weightedVSubOfPoint p (p j)) w +ᵥ p j) → q ∈ affineSpan k (Set.range p)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
j : ι
s : Finset ι
w : ι → k
w' : ι → k := Function.update w j (1 - (s \ {j}).sum w)
hj : j ∈ s
⊢ (insert j s).sum w' = 1

pp: case neg
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
j : ι
s : Finset ι
w : ι → k
w' : ι → k := Function.update w j (1 - (s \ {j}).sum w)
hj : j ∉ s
⊢ (insert j s).sum w' = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
j : ι
s : Finset ι
w : ι → k
w' : ι → k := Function.update w j (1 - (s \ {j}).sum w)
hj : j ∈ s
⊢ (insert j s).sum w' = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
j : ι
s : Finset ι
w : ι → k
w' : ι → k := Function.update w j (1 - (s \ {j}).sum w)
hj : j ∉ s
⊢ (insert j s).sum w' = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
j : ι
s : Finset ι
w : ι → k
w' : ι → k := Function.update w j (1 - (s \ {j}).sum w)
hj : j ∉ s
⊢ (insert j s).sum w' = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
⊢ AffineIndependent k p →
    ∀ (s1 s2 : Finset ι) (w1 w2 : ι → k),
      ∑ i ∈ s1, w1 i = 1 →
        ∑ i ∈ s2, w2 i = 1 →
          (affineCombination k s1 p) w1 = (affineCombination k s2 p) w2 → (↑s1).indicator w1 = (↑s2).indicator w2

pp: case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
⊢ (∀ (s1 s2 : Finset ι) (w1 w2 : ι → k),
      ∑ i ∈ s1, w1 i = 1 →
        ∑ i ∈ s2, w2 i = 1 →
          (affineCombination k s1 p) w1 = (affineCombination k s2 p) w2 → (↑s1).indicator w1 = (↑s2).indicator w2) →
    AffineIndependent k p

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
⊢ AffineIndependent k p →
    ∀ (s1 s2 : Finset ι) (w1 w2 : ι → k),
      ∑ i ∈ s1, w1 i = 1 →
        ∑ i ∈ s2, w2 i = 1 →
          (affineCombination k s1 p) w1 = (affineCombination k s2 p) w2 → (↑s1).indicator w1 = (↑s2).indicator w2
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Finset ι
w1 w2 : ι → k
hw1 : ∑ i ∈ s1, w1 i = 1
hw2 : ∑ i ∈ s2, w2 i = 1
heq : (affineCombination k s1 p) w1 = (affineCombination k s2 p) w2
i : ι
hi : i ∈ s1 ∪ s2
⊢ (↑s1).indicator w1 i = (↑s2).indicator w2 i

pp: case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Finset ι
w1 w2 : ι → k
hw1 : ∑ i ∈ s1, w1 i = 1
hw2 : ∑ i ∈ s2, w2 i = 1
heq : (affineCombination k s1 p) w1 = (affineCombination k s2 p) w2
i : ι
hi : i ∉ s1 ∪ s2
⊢ (↑s1).indicator w1 i = (↑s2).indicator w2 i

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Finset ι
w1 w2 : ι → k
hw1 : ∑ i ∈ s1, w1 i = 1
hw2 : ∑ i ∈ s2, w2 i = 1
heq : (affineCombination k s1 p) w1 = (affineCombination k s2 p) w2
i : ι
hi : i ∈ s1 ∪ s2
⊢ (↑s1).indicator w1 i = (↑s2).indicator w2 i
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_12
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)
e : E
r : ℝ
hr : 0 < r
h✝ : IsEmpty ι
⊢ (⨆ i, p i).closedBall e r = ⋂ i, (p i).closedBall e r

pp: case inr
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_12
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)
e : E
r : ℝ
hr : 0 < r
h✝ : Nonempty ι
⊢ (⨆ i, p i).closedBall e r = ⋂ i, (p i).closedBall e r

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_12
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)
e : E
r : ℝ
hr : 0 < r
h✝ : IsEmpty ι
⊢ (⨆ i, p i).closedBall e r = ⋂ i, (p i).closedBall e r
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Finset ι
w1 w2 : ι → k
hw1 : ∑ i ∈ s1, w1 i = 1
hw2 : ∑ i ∈ s2, w2 i = 1
heq : (affineCombination k s1 p) w1 = (affineCombination k s2 p) w2
i : ι
hi : i ∉ s1 ∪ s2
⊢ (↑s1).indicator w1 i = (↑s2).indicator w2 i

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Finset ι
w1 w2 : ι → k
hw1 : ∑ i ∈ s1, w1 i = 1
hw2 : ∑ i ∈ s2, w2 i = 1
heq : (affineCombination k s1 p) w1 = (affineCombination k s2 p) w2
i : ι
hi : i ∉ s1 ∪ s2
⊢ (↑s1).indicator w1 i = (↑s2).indicator w2 i
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_12
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)
e : E
r : ℝ
hr : 0 < r
h✝ : Nonempty ι
⊢ (⨆ i, p i).closedBall e r = ⋂ i, (p i).closedBall e r

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_12
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)
e : E
r : ℝ
hr : 0 < r
h✝ : Nonempty ι
⊢ (⨆ i, p i).closedBall e r = ⋂ i, (p i).closedBall e r
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
⊢ (∀ (s1 s2 : Finset ι) (w1 w2 : ι → k),
      ∑ i ∈ s1, w1 i = 1 →
        ∑ i ∈ s2, w2 i = 1 →
          (affineCombination k s1 p) w1 = (affineCombination k s2 p) w2 → (↑s1).indicator w1 = (↑s2).indicator w2) →
    AffineIndependent k p

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
⊢ (∀ (s1 s2 : Finset ι) (w1 w2 : ι → k),
      ∑ i ∈ s1, w1 i = 1 →
        ∑ i ∈ s2, w2 i = 1 →
          (affineCombination k s1 p) w1 = (affineCombination k s2 p) w2 → (↑s1).indicator w1 = (↑s2).indicator w2) →
    AffineIndependent k p
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case h
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
w : ↑s → kˣ
this : s = Set.range Subtype.val
t : Finset { x // x ∈ s }
μ : { x // x ∈ s } → k
⊢ (t.weightedVSubOfPoint (fun q ↦ (AffineMap.lineMap p ↑q) ↑(w q)) ((AffineMap.lineMap p ↑⟨p, hp⟩) ↑(w ⟨p, hp⟩))) μ +ᵥ
      (AffineMap.lineMap p ↑⟨p, hp⟩) ↑(w ⟨p, hp⟩) =
    ((t.weightedVSubOfPoint Subtype.val ↑⟨p, hp⟩) fun x ↦ μ x * ↑(w x)) +ᵥ ↑⟨p, hp⟩

Tactic:
simp [smul_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case h
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
w : ↑s → kˣ
this : s = Set.range Subtype.val
t : Finset { x // x ∈ s }
μ : { x // x ∈ s } → k
⊢ (t.weightedVSubOfPoint Subtype.val ↑⟨p, hp⟩) μ +ᵥ ↑⟨p, hp⟩ =
    ((t.weightedVSubOfPoint (fun q ↦ (AffineMap.lineMap p ↑q) ↑(w q)) ((AffineMap.lineMap p ↑⟨p, hp⟩) ↑(w ⟨p, hp⟩)))
        fun x ↦ μ x * ↑(w x)⁻¹) +ᵥ
      (AffineMap.lineMap p ↑⟨p, hp⟩) ↑(w ⟨p, hp⟩)

Tactic:
simp [smul_smul]

Goal state after: