mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Quotient

Goal state before:
pp: case hμK
G : Type u_1
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁶ : Γ.Normal
inst✝⁵ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁴ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
inst✝³ : Countable ↥Γ
ν : Measure G
inst✝² : ν.IsHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : SigmaFinite ν
K : PositiveCompacts (G ⧸ Γ)
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ∞
c : ℝ≥0∞ := ⋯
c_ne_top : c ≠ ∞
μ : Measure (G ⧸ Γ) := ⋯
hμK : μ ↑K = c
this : SigmaFinite μ
⊢ μ ↑K = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' ↑K ∩ 𝓕)

pp: case neTopV
G : Type u_1
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁶ : Γ.Normal
inst✝⁵ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁴ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
inst✝³ : Countable ↥Γ
ν : Measure G
inst✝² : ν.IsHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : SigmaFinite ν
K : PositiveCompacts (G ⧸ Γ)
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ∞
c : ℝ≥0∞ := ⋯
c_ne_top : c ≠ ∞
μ : Measure (G ⧸ Γ) := ⋯
hμK : μ ↑K = c
this : SigmaFinite μ
⊢ μ ↑K ≠ ∞

Tactic:
·

Goal state after:
case hμK
G : Type u_1
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁶ : Γ.Normal
inst✝⁵ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁴ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
inst✝³ : Countable ↥Γ
ν : Measure G
inst✝² : ν.IsHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : SigmaFinite ν
K : PositiveCompacts (G ⧸ Γ)
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ∞
c : ℝ≥0∞ := ⋯
c_ne_top : c ≠ ∞
μ : Measure (G ⧸ Γ) := ⋯
hμK : μ ↑K = c
this : SigmaFinite μ
⊢ μ ↑K = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' ↑K ∩ 𝓕)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Quotient

Goal state before:
pp: case neTopV
G : Type u_1
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁶ : Γ.Normal
inst✝⁵ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁴ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
inst✝³ : Countable ↥Γ
ν : Measure G
inst✝² : ν.IsHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : SigmaFinite ν
K : PositiveCompacts (G ⧸ Γ)
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ∞
c : ℝ≥0∞ := ⋯
c_ne_top : c ≠ ∞
μ : Measure (G ⧸ Γ) := ⋯
hμK : μ ↑K = c
this : SigmaFinite μ
⊢ μ ↑K ≠ ∞

Tactic:
·

Goal state after:
case neTopV
G : Type u_1
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : MeasurableSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁶ : Γ.Normal
inst✝⁵ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁴ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
inst✝³ : Countable ↥Γ
ν : Measure G
inst✝² : ν.IsHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : SigmaFinite ν
K : PositiveCompacts (G ⧸ Γ)
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_finite : ν 𝓕 ≠ ∞
c : ℝ≥0∞ := ⋯
c_ne_top : c ≠ ∞
μ : Measure (G ⧸ Γ) := ⋯
hμK : μ ↑K = c
this : SigmaFinite μ
⊢ μ ↑K ≠ ∞
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DominatedConvergence

Goal state before:
pp: case h₁
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : NullSingletonClass μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x ↦ ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * μ.real (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)) + δ * μ.real (Icc a b) < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q
this : v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ) ∈ 𝓝 (q, b₀)
p : X
s : ℝ
hp : p ∈ v
hs : s ∈ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ)
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f p x - f q x‖ < δ
J : ∀ (r : X) (u v : ℝ), IntervalIntegrable (f r) μ u v
x : ℝ
hx : x ∈ Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)
⊢ ‖f q x‖ ≤ M

pp: case h₂
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : NullSingletonClass μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x ↦ ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * μ.real (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)) + δ * μ.real (Icc a b) < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q
this : v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ) ∈ 𝓝 (q, b₀)
p : X
s : ℝ
hp : p ∈ v
hs : s ∈ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ)
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f p x - f q x‖ < δ
J : ∀ (r : X) (u v : ℝ), IntervalIntegrable (f r) μ u v
x : ℝ
hx : x ∈ Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)
⊢ ‖f p x - f q x‖ ≤ δ

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : NullSingletonClass μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x ↦ ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * μ.real (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)) + δ * μ.real (Icc a b) < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q
this : v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ) ∈ 𝓝 (q, b₀)
p : X
s : ℝ
hp : p ∈ v
hs : s ∈ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ)
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f p x - f q x‖ < δ
J : ∀ (r : X) (u v : ℝ), IntervalIntegrable (f r) μ u v
x : ℝ
hx : x ∈ Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)
⊢ ‖f q x‖ ≤ M
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DominatedConvergence

Goal state before:
pp: case h₂
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : NullSingletonClass μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x ↦ ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * μ.real (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)) + δ * μ.real (Icc a b) < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q
this : v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ) ∈ 𝓝 (q, b₀)
p : X
s : ℝ
hp : p ∈ v
hs : s ∈ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ)
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f p x - f q x‖ < δ
J : ∀ (r : X) (u v : ℝ), IntervalIntegrable (f r) μ u v
x : ℝ
hx : x ∈ Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)
⊢ ‖f p x - f q x‖ ≤ δ

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : NullSingletonClass μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x ↦ ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * μ.real (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)) + δ * μ.real (Icc a b) < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q
this : v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ) ∈ 𝓝 (q, b₀)
p : X
s : ℝ
hp : p ∈ v
hs : s ∈ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ)
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f p x - f q x‖ < δ
J : ∀ (r : X) (u v : ℝ), IntervalIntegrable (f r) μ u v
x : ℝ
hx : x ∈ Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)
⊢ ‖f p x - f q x‖ ≤ δ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Periodic

Goal state before:
pp: case inr
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
T t : ℝ
h₁f : Periodic f T
hT✝ : T ≠ 0
h₂f : IntervalIntegrable f volume t (t + T)
a₁ a₂ : ℝ
this :
  ∀ {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {f : ℝ → E} {T t : ℝ},
    Periodic f T →
      T ≠ 0 → IntervalIntegrable f volume t (t + T) → ∀ (a₁ a₂ : ℝ), 0 < T → IntervalIntegrable f volume a₁ a₂
hT : ¬0 < T
⊢ IntervalIntegrable f volume a₁ a₂

pp: E✝ : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
f✝ : ℝ → E✝
T✝ : ℝ
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
T t : ℝ
h₁f : Periodic f T
hT✝ : T ≠ 0
h₂f : IntervalIntegrable f volume t (t + T)
a₁ a₂ : ℝ
hT : 0 < T
⊢ IntervalIntegrable f volume a₁ a₂

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
T t : ℝ
h₁f : Periodic f T
hT✝ : T ≠ 0
h₂f : IntervalIntegrable f volume t (t + T)
a₁ a₂ : ℝ
this :
  ∀ {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {f : ℝ → E} {T t : ℝ},
    Periodic f T →
      T ≠ 0 → IntervalIntegrable f volume t (t + T) → ∀ (a₁ a₂ : ℝ), 0 < T → IntervalIntegrable f volume a₁ a₂
hT : ¬0 < T
⊢ IntervalIntegrable f volume a₁ a₂
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Quotient

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
meas_π : Measurable π
s : Set (G ⧸ Γ)
s_meas : MeasurableSet s
hs : μ (π ⁻¹' s ∩ 𝓕) = 0
⊢ μ (π ⁻¹' s) = 0

pp: G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
meas_π : Measurable π
s : Set (G ⧸ Γ)
s_meas : MeasurableSet s
hs : (μ.restrict 𝓕) (π ⁻¹' s) = 0
⊢ MeasurableSet (π ⁻¹' s)

Tactic:
·

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
meas_π : Measurable π
s : Set (G ⧸ Γ)
s_meas : MeasurableSet s
hs : μ (π ⁻¹' s ∩ 𝓕) = 0
⊢ μ (π ⁻¹' s) = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Periodic

Goal state before:
pp: case inr.inl
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
T t : ℝ
h₁f : Periodic f T
hT✝ : T ≠ 0
h₂f : IntervalIntegrable f volume t (t + T)
a₁ a₂ : ℝ
this :
  ∀ {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {f : ℝ → E} {T t : ℝ},
    Periodic f T →
      T ≠ 0 → IntervalIntegrable f volume t (t + T) → ∀ (a₁ a₂ : ℝ), 0 < T → IntervalIntegrable f volume a₁ a₂
hT : ¬0 < T
h : T = 0
⊢ IntervalIntegrable f volume a₁ a₂

pp: case inr.inr
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
T t : ℝ
h₁f : Periodic f T
hT✝ : T ≠ 0
h₂f : IntervalIntegrable f volume t (t + T)
a₁ a₂ : ℝ
this :
  ∀ {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {f : ℝ → E} {T t : ℝ},
    Periodic f T →
      T ≠ 0 → IntervalIntegrable f volume t (t + T) → ∀ (a₁ a₂ : ℝ), 0 < T → IntervalIntegrable f volume a₁ a₂
hT : ¬0 < T
h : T < 0
⊢ IntervalIntegrable f volume a₁ a₂

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
T t : ℝ
h₁f : Periodic f T
hT✝ : T ≠ 0
h₂f : IntervalIntegrable f volume t (t + T)
a₁ a₂ : ℝ
this :
  ∀ {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {f : ℝ → E} {T t : ℝ},
    Periodic f T →
      T ≠ 0 → IntervalIntegrable f volume t (t + T) → ∀ (a₁ a₂ : ℝ), 0 < T → IntervalIntegrable f volume a₁ a₂
hT : ¬0 < T
h : T = 0
⊢ IntervalIntegrable f volume a₁ a₂
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Periodic

Goal state before:
pp: case inr.inr
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
T t : ℝ
h₁f : Periodic f T
hT✝ : T ≠ 0
h₂f : IntervalIntegrable f volume t (t + T)
a₁ a₂ : ℝ
this :
  ∀ {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {f : ℝ → E} {T t : ℝ},
    Periodic f T →
      T ≠ 0 → IntervalIntegrable f volume t (t + T) → ∀ (a₁ a₂ : ℝ), 0 < T → IntervalIntegrable f volume a₁ a₂
hT : ¬0 < T
h : T < 0
⊢ IntervalIntegrable f volume a₁ a₂

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
T t : ℝ
h₁f : Periodic f T
hT✝ : T ≠ 0
h₂f : IntervalIntegrable f volume t (t + T)
a₁ a₂ : ℝ
this :
  ∀ {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] {f : ℝ → E} {T t : ℝ},
    Periodic f T →
      T ≠ 0 → IntervalIntegrable f volume t (t + T) → ∀ (a₁ a₂ : ℝ), 0 < T → IntervalIntegrable f volume a₁ a₂
hT : ¬0 < T
h : T < 0
⊢ IntervalIntegrable f volume a₁ a₂
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Periodic

Goal state before:
pp: case left
E✝ : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
f✝ : ℝ → E✝
T✝ : ℝ
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
T t : ℝ
h₁f : Periodic f T
hT✝ : T ≠ 0
h₂f : IntervalIntegrable f volume t (t + T)
a₁ a₂ : ℝ
hT : 0 < T
n₁ : ℕ
hn₁ : (t - min a₁ a₂) / T ≤ ↑n₁
n₂ : ℕ
hn₂ : (max a₁ a₂ - t) / T ≤ ↑n₂
⊢ min (t - ↑n₁ * T) (t + ↑n₂ * T) ≤ min a₁ a₂

pp: case right
E✝ : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
f✝ : ℝ → E✝
T✝ : ℝ
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
T t : ℝ
h₁f : Periodic f T
hT✝ : T ≠ 0
h₂f : IntervalIntegrable f volume t (t + T)
a₁ a₂ : ℝ
hT : 0 < T
n₁ : ℕ
hn₁ : (t - min a₁ a₂) / T ≤ ↑n₁
n₂ : ℕ
hn₂ : (max a₁ a₂ - t) / T ≤ ↑n₂
⊢ max a₁ a₂ ≤ max (t - ↑n₁ * T) (t + ↑n₂ * T)

Tactic:
·

Goal state after:
case left
E✝ : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
f✝ : ℝ → E✝
T✝ : ℝ
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
T t : ℝ
h₁f : Periodic f T
hT✝ : T ≠ 0
h₂f : IntervalIntegrable f volume t (t + T)
a₁ a₂ : ℝ
hT : 0 < T
n₁ : ℕ
hn₁ : (t - min a₁ a₂) / T ≤ ↑n₁
n₂ : ℕ
hn₂ : (max a₁ a₂ - t) / T ≤ ↑n₂
⊢ min (t - ↑n₁ * T) (t + ↑n₂ * T) ≤ min a₁ a₂
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Periodic

Goal state before:
pp: case right
E✝ : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
f✝ : ℝ → E✝
T✝ : ℝ
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
T t : ℝ
h₁f : Periodic f T
hT✝ : T ≠ 0
h₂f : IntervalIntegrable f volume t (t + T)
a₁ a₂ : ℝ
hT : 0 < T
n₁ : ℕ
hn₁ : (t - min a₁ a₂) / T ≤ ↑n₁
n₂ : ℕ
hn₂ : (max a₁ a₂ - t) / T ≤ ↑n₂
⊢ max a₁ a₂ ≤ max (t - ↑n₁ * T) (t + ↑n₂ * T)

Tactic:
·

Goal state after:
case right
E✝ : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
f✝ : ℝ → E✝
T✝ : ℝ
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
T t : ℝ
h₁f : Periodic f T
hT✝ : T ≠ 0
h₂f : IntervalIntegrable f volume t (t + T)
a₁ a₂ : ℝ
hT : 0 < T
n₁ : ℕ
hn₁ : (t - min a₁ a₂) / T ≤ ↑n₁
n₂ : ℕ
hn₂ : (max a₁ a₂ - t) / T ≤ ↑n₂
⊢ max a₁ a₂ ≤ max (t - ↑n₁ * T) (t + ↑n₂ * T)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Quotient

Goal state before:
pp: case hf
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
hf₁ : Integrable f μ
hf₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
⊢ ∀ (i : ↥Γ.op), AEStronglyMeasurable (fun x ↦ f (i • x)) (μ.restrict 𝓕)

pp: case hf'
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
hf₁ : Integrable f μ
hf₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
⊢ ∑' (i : ↥Γ.op), ∫⁻ (a : G) in 𝓕, ‖f (i • a)‖ₑ ∂μ ≠ ∞

Tactic:
·

Goal state after:
case hf
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
hf₁ : Integrable f μ
hf₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
⊢ ∀ (i : ↥Γ.op), AEStronglyMeasurable (fun x ↦ f (i • x)) (μ.restrict 𝓕)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Quotient

Goal state before:
pp: case hf'
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
hf₁ : Integrable f μ
hf₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
⊢ ∑' (i : ↥Γ.op), ∫⁻ (a : G) in 𝓕, ‖f (i • a)‖ₑ ∂μ ≠ ∞

Tactic:
·

Goal state after:
case hf'
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
hf₁ : Integrable f μ
hf₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
⊢ ∑' (i : ↥Γ.op), ∫⁻ (a : G) in 𝓕, ‖f (i • a)‖ₑ ∂μ ≠ ∞
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DominatedConvergence

Goal state before:
pp: case hs
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : NullSingletonClass μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x ↦ ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * μ.real (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)) + δ * μ.real (Icc a b) < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q
this : v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ) ∈ 𝓝 (q, b₀)
p : X
s : ℝ
hp : p ∈ v
hs : s ∈ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ)
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f p x - f q x‖ < δ
J : ∀ (r : X) (u v : ℝ), IntervalIntegrable (f r) μ u v
⊢ NullMeasurableSet (Icc a b) μ

pp: case h
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : NullSingletonClass μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x ↦ ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * μ.real (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)) + δ * μ.real (Icc a b) < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q
this : v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ) ∈ 𝓝 (q, b₀)
p : X
s : ℝ
hp : p ∈ v
hs : s ∈ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ)
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f p x - f q x‖ < δ
J : ∀ (r : X) (u v : ℝ), IntervalIntegrable (f r) μ u v
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b
⊢ ‖f p x - f q x‖ ≤ δ

Tactic:
·

Goal state after:
case hs
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : NullSingletonClass μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x ↦ ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * μ.real (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)) + δ * μ.real (Icc a b) < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q
this : v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ) ∈ 𝓝 (q, b₀)
p : X
s : ℝ
hp : p ∈ v
hs : s ∈ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ)
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f p x - f q x‖ < δ
J : ∀ (r : X) (u v : ℝ), IntervalIntegrable (f r) μ u v
⊢ NullMeasurableSet (Icc a b) μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DominatedConvergence

Goal state before:
pp: case h
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : NullSingletonClass μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x ↦ ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * μ.real (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)) + δ * μ.real (Icc a b) < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q
this : v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ) ∈ 𝓝 (q, b₀)
p : X
s : ℝ
hp : p ∈ v
hs : s ∈ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ)
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f p x - f q x‖ < δ
J : ∀ (r : X) (u v : ℝ), IntervalIntegrable (f r) μ u v
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b
⊢ ‖f p x - f q x‖ ≤ δ

Tactic:
·

Goal state after:
case h
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : NullSingletonClass μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x ↦ ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * μ.real (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)) + δ * μ.real (Icc a b) < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q
this : v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ) ∈ 𝓝 (q, b₀)
p : X
s : ℝ
hp : p ∈ v
hs : s ∈ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ)
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f p x - f q x‖ < δ
J : ∀ (r : X) (u v : ℝ), IntervalIntegrable (f r) μ u v
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b
⊢ ‖f p x - f q x‖ ≤ δ