mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) =
    (P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P)) * (B.form (shortAddLongRoot P)) (shortAddLongRoot P)

Tactic:
·

Goal state after:
case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) =
    (P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P)) * (B.form (shortAddLongRoot P)) (shortAddLongRoot P)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: case calc_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ -(b.cartanMatrix i j • e i) * ω b = ω b * -b.cartanMatrix i j • f i

Tactic:
·

Goal state after:
case calc_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ -(b.cartanMatrix i j • e i) * ω b = ω b * -b.cartanMatrix i j • f i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
⊢ 2 • P.pairingIn ℤ (short P) i + 1 • P.pairingIn ℤ (long P) i =
    2 * P.pairingIn ℤ (short P) i + P.pairingIn ℤ (long P) i

pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
⊢ P.root (twoShortAddLong P) = 2 • P.root (short P) + 1 • P.root (long P)

Tactic:
·

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
⊢ 2 • P.pairingIn ℤ (short P) i + 1 • P.pairingIn ℤ (long P) i =
    2 * P.pairingIn ℤ (short P) i + P.pairingIn ℤ (long P) i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
⊢ P.root (twoShortAddLong P) = 2 • P.root (short P) + 1 • P.root (long P)

Tactic:
·

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
⊢ P.root (twoShortAddLong P) = 2 • P.root (short P) + 1 • P.root (long P)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ P.pairing i (twoShortAddLong P) * (B.form (twoShortAddLongRoot P)) (twoShortAddLongRoot P) =
    2 * (B.form (P.root i)) (twoShortAddLongRoot P)

pp: case calc_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (B.form (P.root i)) (twoShortAddLongRoot P) =
    2 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P)

pp: case calc_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P) =
    2 * P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P)

pp: case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) =
    (2 * P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P)) * (B.form (twoShortAddLongRoot P)) (twoShortAddLongRoot P)

Tactic:
·

Goal state after:
case calc_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ P.pairing i (twoShortAddLong P) * (B.form (twoShortAddLongRoot P)) (twoShortAddLongRoot P) =
    2 * (B.form (P.root i)) (twoShortAddLongRoot P)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (B.form (P.root i)) (twoShortAddLongRoot P) =
    2 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P)

pp: case calc_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P) =
    2 * P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P)

pp: case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) =
    (2 * P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P)) * (B.form (twoShortAddLongRoot P)) (twoShortAddLongRoot P)

Tactic:
·

Goal state after:
case calc_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (B.form (P.root i)) (twoShortAddLongRoot P) =
    2 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P) =
    2 * P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P)

pp: case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) =
    (2 * P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P)) * (B.form (twoShortAddLongRoot P)) (twoShortAddLongRoot P)

Tactic:
·

Goal state after:
case calc_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P) =
    2 * P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) =
    (2 * P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P)) * (B.form (twoShortAddLongRoot P)) (twoShortAddLongRoot P)

Tactic:
·

Goal state after:
case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) =
    (2 * P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P)) * (B.form (twoShortAddLongRoot P)) (twoShortAddLongRoot P)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.EmbeddedG2
inst✝ : CharZero R
i : ι
⊢ 3 • P.pairingIn ℤ (short P) i + 1 • P.pairingIn ℤ (long P) i =
    3 * P.pairingIn ℤ (short P) i + P.pairingIn ℤ (long P) i

pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.EmbeddedG2
inst✝ : CharZero R
i : ι
⊢ P.root (threeShortAddLong P) = 3 • P.root (short P) + 1 • P.root (long P)

Tactic:
·

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.EmbeddedG2
inst✝ : CharZero R
i : ι
⊢ 3 • P.pairingIn ℤ (short P) i + 1 • P.pairingIn ℤ (long P) i =
    3 * P.pairingIn ℤ (short P) i + P.pairingIn ℤ (long P) i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.EmbeddedG2
inst✝ : CharZero R
i : ι
⊢ P.root (threeShortAddLong P) = 3 • P.root (short P) + 1 • P.root (long P)

Tactic:
·

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.EmbeddedG2
inst✝ : CharZero R
i : ι
⊢ P.root (threeShortAddLong P) = 3 • P.root (short P) + 1 • P.root (long P)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: case inl.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx : x ∈ lieAlgebra b
i : ↥b.support
⊢ (trace R (↥b.support ⊕ ι → R)) ((toEnd R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (↥b.support ⊕ ι → R)) (h i)) = 0

pp: case inl.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx : x ∈ lieAlgebra b
i : ↥b.support
⊢ (trace R (↥b.support ⊕ ι → R)) ((toEnd R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (↥b.support ⊕ ι → R)) (e i)) = 0

pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx : x ∈ lieAlgebra b
i : ↥b.support
⊢ (trace R (↥b.support ⊕ ι → R)) ((toEnd R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (↥b.support ⊕ ι → R)) (f i)) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx : x ∈ lieAlgebra b
i : ↥b.support
⊢ (trace R (↥b.support ⊕ ι → R)) ((toEnd R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (↥b.support ⊕ ι → R)) (h i)) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ P.pairing i (threeShortAddLong P) * (B.form (threeShortAddLongRoot P)) (threeShortAddLongRoot P) =
    2 * (B.form (P.root i)) (threeShortAddLongRoot P)

pp: case calc_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (B.form (P.root i)) (threeShortAddLongRoot P) =
    3 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P)

pp: case calc_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 3 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P) =
    P.pairing i (short P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P)

pp: case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ P.pairing i (short P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) =
    (P.pairing i (short P) + P.pairing i (long P)) * (B.form (threeShortAddLongRoot P)) (threeShortAddLongRoot P)

Tactic:
·

Goal state after:
case calc_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ P.pairing i (threeShortAddLong P) * (B.form (threeShortAddLongRoot P)) (threeShortAddLongRoot P) =
    2 * (B.form (P.root i)) (threeShortAddLongRoot P)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: case inl.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx : x ∈ lieAlgebra b
i : ↥b.support
⊢ (trace R (↥b.support ⊕ ι → R)) ((toEnd R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (↥b.support ⊕ ι → R)) (e i)) = 0

pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx : x ∈ lieAlgebra b
i : ↥b.support
⊢ (trace R (↥b.support ⊕ ι → R)) ((toEnd R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (↥b.support ⊕ ι → R)) (f i)) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx : x ∈ lieAlgebra b
i : ↥b.support
⊢ (trace R (↥b.support ⊕ ι → R)) ((toEnd R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (↥b.support ⊕ ι → R)) (e i)) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (B.form (P.root i)) (threeShortAddLongRoot P) =
    3 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P)

pp: case calc_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 3 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P) =
    P.pairing i (short P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P)

pp: case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ P.pairing i (short P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) =
    (P.pairing i (short P) + P.pairing i (long P)) * (B.form (threeShortAddLongRoot P)) (threeShortAddLongRoot P)

Tactic:
·

Goal state after:
case calc_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (B.form (P.root i)) (threeShortAddLongRoot P) =
    3 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx : x ∈ lieAlgebra b
i : ↥b.support
⊢ (trace R (↥b.support ⊕ ι → R)) ((toEnd R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (↥b.support ⊕ ι → R)) (f i)) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx : x ∈ lieAlgebra b
i : ↥b.support
⊢ (trace R (↥b.support ⊕ ι → R)) ((toEnd R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (↥b.support ⊕ ι → R)) (f i)) = 0