mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.GramSchmidtOrtho

Goal state before:
pp: case left
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : WellFoundedLT ι
f : ι → E
h₀ : LinearIndependent 𝕜 f
⊢ ∀ (i : ι), ‖gramSchmidtNormed 𝕜 f i‖ = 1

pp: case right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : WellFoundedLT ι
f : ι → E
h₀ : LinearIndependent 𝕜 f
⊢ Pairwise fun i j ↦ ⟪gramSchmidtNormed 𝕜 f i, gramSchmidtNormed 𝕜 f j⟫_𝕜 = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case left
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : WellFoundedLT ι
f : ι → E
h₀ : LinearIndependent 𝕜 f
⊢ ∀ (i : ι), ‖gramSchmidtNormed 𝕜 f i‖ = 1
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.GramSchmidtOrtho

Goal state before:
pp: case right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : WellFoundedLT ι
f : ι → E
h₀ : LinearIndependent 𝕜 f
⊢ Pairwise fun i j ↦ ⟪gramSchmidtNormed 𝕜 f i, gramSchmidtNormed 𝕜 f j⟫_𝕜 = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : WellFoundedLT ι
f : ι → E
h₀ : LinearIndependent 𝕜 f
⊢ Pairwise fun i j ↦ ⟪gramSchmidtNormed 𝕜 f i, gramSchmidtNormed 𝕜 f j⟫_𝕜 = 0
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability

Goal state before:
pp: case zero
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c
hcε : c < ε
this : Fact (μ ↑I < ∞)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
⊢ (μ.restrict ↑I) (N ⁻¹' {0}) < ↑(δ 0) / ↑0

pp: case succ
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c
hcε : c < ε
this : Fact (μ ↑I < ∞)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
n : ℕ
⊢ (μ.restrict ↑I) (N ⁻¹' {n + 1}) < ↑(δ (n + 1)) / ↑(n + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case zero
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c
hcε : c < ε
this : Fact (μ ↑I < ∞)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
⊢ (μ.restrict ↑I) (N ⁻¹' {0}) < ↑(δ 0) / ↑0
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.UnitPartition

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
s : Set (ι → ℝ)
F : (ι → ℝ) → ℝ
inst✝ : Fintype ι
hF : Continuous F
hs₁ : Bornology.IsBounded s
hs₂ : MeasurableSet s
hs₃ : volume (frontier s) = 0
B : Box ι
hB : hasIntegralVertices B
hs₀ : s ⊆ ↑B
ε : ℝ
hε : ε > 0
C₀ : ℝ
h₀ : ∀ x ∈ Box.Icc B, ‖F x‖ ≤ C₀
x : ι → ℝ
hx : x ∈ Box.Icc B
hs : x ∈ s
⊢ ‖F x‖ ≤ max 0 C₀

pp: case neg
ι : Type u_1
s : Set (ι → ℝ)
F : (ι → ℝ) → ℝ
inst✝ : Fintype ι
hF : Continuous F
hs₁ : Bornology.IsBounded s
hs₂ : MeasurableSet s
hs₃ : volume (frontier s) = 0
B : Box ι
hB : hasIntegralVertices B
hs₀ : s ⊆ ↑B
ε : ℝ
hε : ε > 0
C₀ : ℝ
h₀ : ∀ x ∈ Box.Icc B, ‖F x‖ ≤ C₀
x : ι → ℝ
hx : x ∈ Box.Icc B
hs : x ∉ s
⊢ ‖0‖ ≤ max 0 C₀

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
s : Set (ι → ℝ)
F : (ι → ℝ) → ℝ
inst✝ : Fintype ι
hF : Continuous F
hs₁ : Bornology.IsBounded s
hs₂ : MeasurableSet s
hs₃ : volume (frontier s) = 0
B : Box ι
hB : hasIntegralVertices B
hs₀ : s ⊆ ↑B
ε : ℝ
hε : ε > 0
C₀ : ℝ
h₀ : ∀ x ∈ Box.Icc B, ‖F x‖ ≤ C₀
x : ι → ℝ
hx : x ∈ Box.Icc B
hs : x ∈ s
⊢ ‖F x‖ ≤ max 0 C₀
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability

Goal state before:
pp: case succ
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c
hcε : c < ε
this : Fact (μ ↑I < ∞)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
n : ℕ
⊢ (μ.restrict ↑I) (N ⁻¹' {n + 1}) < ↑(δ (n + 1)) / ↑(n + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case succ
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c
hcε : c < ε
this : Fact (μ ↑I < ∞)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
n : ℕ
⊢ (μ.restrict ↑I) (N ⁻¹' {n + 1}) < ↑(δ (n + 1)) / ↑(n + 1)
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability

Goal state before:
pp: case succ.refine_1
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c
hcε : c < ε
this : Fact (μ ↑I < ∞)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
n : ℕ
⊢ N ⁻¹' {n + 1} ⊆ {x | f x ≠ 0}

pp: case succ.refine_2
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c
hcε : c < ε
this : Fact (μ ↑I < ∞)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
n : ℕ
⊢ 0 < ↑(δ (n + 1)) / ↑(n + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case succ.refine_1
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c
hcε : c < ε
this : Fact (μ ↑I < ∞)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
n : ℕ
⊢ N ⁻¹' {n + 1} ⊆ {x | f x ≠ 0}
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.UnitPartition

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
s : Set (ι → ℝ)
F : (ι → ℝ) → ℝ
inst✝ : Fintype ι
hF : Continuous F
hs₁ : Bornology.IsBounded s
hs₂ : MeasurableSet s
hs₃ : volume (frontier s) = 0
B : Box ι
hB : hasIntegralVertices B
hs₀ : s ⊆ ↑B
ε : ℝ
hε : ε > 0
C₀ : ℝ
h₀ : ∀ x ∈ Box.Icc B, ‖F x‖ ≤ C₀
x : ι → ℝ
hx : x ∈ Box.Icc B
hs : x ∉ s
⊢ ‖0‖ ≤ max 0 C₀

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
s : Set (ι → ℝ)
F : (ι → ℝ) → ℝ
inst✝ : Fintype ι
hF : Continuous F
hs₁ : Bornology.IsBounded s
hs₂ : MeasurableSet s
hs₃ : volume (frontier s) = 0
B : Box ι
hB : hasIntegralVertices B
hs₀ : s ⊆ ↑B
ε : ℝ
hε : ε > 0
C₀ : ℝ
h₀ : ∀ x ∈ Box.Icc B, ‖F x‖ ≤ C₀
x : ι → ℝ
hx : x ∈ Box.Icc B
hs : x ∉ s
⊢ ‖0‖ ≤ max 0 C₀
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability

Goal state before:
pp: case succ.refine_2
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c
hcε : c < ε
this : Fact (μ ↑I < ∞)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
n : ℕ
⊢ 0 < ↑(δ (n + 1)) / ↑(n + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case succ.refine_2
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c
hcε : c < ε
this : Fact (μ ↑I < ∞)
hf : (μ.restrict ↑I) {x | f x ≠ 0} = 0
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun x ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
n : ℕ
⊢ 0 < ↑(δ (n + 1)) / ↑(n + 1)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.GramSchmidtOrtho

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : WellFoundedLT ι
f : ι → E
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s
h : gramSchmidt 𝕜 f i = 0
⊢ gramSchmidt 𝕜 f i ∈ 𝕜 ∙ gramSchmidtNormed 𝕜 f i

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : WellFoundedLT ι
f : ι → E
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s
h : ¬gramSchmidt 𝕜 f i = 0
⊢ gramSchmidt 𝕜 f i ∈ 𝕜 ∙ gramSchmidtNormed 𝕜 f i

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : WellFoundedLT ι
f : ι → E
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s
h : gramSchmidt 𝕜 f i = 0
⊢ gramSchmidt 𝕜 f i ∈ 𝕜 ∙ gramSchmidtNormed 𝕜 f i
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.GramSchmidtOrtho

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : WellFoundedLT ι
f : ι → E
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s
h : ¬gramSchmidt 𝕜 f i = 0
⊢ gramSchmidt 𝕜 f i ∈ 𝕜 ∙ gramSchmidtNormed 𝕜 f i

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : WellFoundedLT ι
f : ι → E
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s
h : ¬gramSchmidt 𝕜 f i = 0
⊢ gramSchmidt 𝕜 f i ∈ 𝕜 ∙ gramSchmidtNormed 𝕜 f i
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.GramSchmidtOrtho

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : WellFoundedLT ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
i : ι
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0
j k : ι
left✝ : k ∈ Set.Iic j
hk : gramSchmidtNormed 𝕜 f k = 0
⊢ ⟪gramSchmidtNormed 𝕜 f k, (gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i⟫_𝕜 = 0

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : WellFoundedLT ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
i : ι
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0
j k : ι
left✝ : k ∈ Set.Iic j
hk : ¬gramSchmidtNormed 𝕜 f k = 0
⊢ ⟪gramSchmidtNormed 𝕜 f k, (gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i⟫_𝕜 = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : WellFoundedLT ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
i : ι
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0
j k : ι
left✝ : k ∈ Set.Iic j
hk : gramSchmidtNormed 𝕜 f k = 0
⊢ ⟪gramSchmidtNormed 𝕜 f k, (gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i⟫_𝕜 = 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.GramSchmidtOrtho

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : WellFoundedLT ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
i : ι
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0
j k : ι
left✝ : k ∈ Set.Iic j
hk : gramSchmidtNormed 𝕜 f k = 0
⊢ ⟪gramSchmidtNormed 𝕜 f k, (gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i⟫_𝕜 = 0

Tactic:
rw [hk, inner_zero_left]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.GramSchmidtOrtho

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : WellFoundedLT ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
i j : ι
hij : i < j
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f j = 0
⊢ ⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) j, f i⟫_𝕜 = 0

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : WellFoundedLT ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
i j : ι
hij : i < j
hi : ¬gramSchmidtNormed 𝕜 f j = 0
⊢ ⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) j, f i⟫_𝕜 = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : WellFoundedLT ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
i j : ι
hij : i < j
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f j = 0
⊢ ⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) j, f i⟫_𝕜 = 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.GramSchmidtOrtho

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : WellFoundedLT ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
i j : ι
hij : i < j
hi : ¬gramSchmidtNormed 𝕜 f j = 0
⊢ ⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) j, f i⟫_𝕜 = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : WellFoundedLT ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f : ι → E
i j : ι
hij : i < j
hi : ¬gramSchmidtNormed 𝕜 f j = 0
⊢ ⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) j, f i⟫_𝕜 = 0
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.UnitPartition

Goal state before:
pp: case refine_3
ι : Type u_1
s : Set (ι → ℝ)
F : (ι → ℝ) → ℝ
inst✝ : Fintype ι
hF : Continuous F
hs₁ : Bornology.IsBounded s
hs₂ : MeasurableSet s
hs₃ : volume (frontier s) = 0
B : Box ι
hB : hasIntegralVertices B
hs₀ : s ⊆ ↑B
ε : ℝ
hε : ε > 0
h₁ : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc B, ‖s.indicator F x‖ ≤ C
h₂ : ∀ᵐ (x : ι → ℝ), ContinuousAt (s.indicator F) x
r : NNReal → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hr₁ : ∀ (c : NNReal), IntegrationParams.Riemann.RCond (r c)
hr₂ :
  ∀ (c : NNReal) (π : TaggedPrepartition B),
    IntegrationParams.Riemann.MemBaseSet B c (r c) π →
      π.IsPartition →
        dist (integralSum (s.indicator F) volume.toBoxAdditive.toSMul π)
            (∫ (x : ι → ℝ) in ↑B, s.indicator F x ∂volume) ≤
          ε / 2
n : ℕ
hn : n ≥ ⌈(↑(r 0 0))⁻¹⌉₊
this : NeZero n
h : IntegrationParams.Riemann.bDistortion = true
⊢ (prepartition n B).distortion ≤ 0

pp: case refine_4
ι : Type u_1
s : Set (ι → ℝ)
F : (ι → ℝ) → ℝ
inst✝ : Fintype ι
hF : Continuous F
hs₁ : Bornology.IsBounded s
hs₂ : MeasurableSet s
hs₃ : volume (frontier s) = 0
B : Box ι
hB : hasIntegralVertices B
hs₀ : s ⊆ ↑B
ε : ℝ
hε : ε > 0
h₁ : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc B, ‖s.indicator F x‖ ≤ C
h₂ : ∀ᵐ (x : ι → ℝ), ContinuousAt (s.indicator F) x
r : NNReal → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hr₁ : ∀ (c : NNReal), IntegrationParams.Riemann.RCond (r c)
hr₂ :
  ∀ (c : NNReal) (π : TaggedPrepartition B),
    IntegrationParams.Riemann.MemBaseSet B c (r c) π →
      π.IsPartition →
        dist (integralSum (s.indicator F) volume.toBoxAdditive.toSMul π)
            (∫ (x : ι → ℝ) in ↑B, s.indicator F x ∂volume) ≤
          ε / 2
n : ℕ
hn : n ≥ ⌈(↑(r 0 0))⁻¹⌉₊
this : NeZero n
h : IntegrationParams.Riemann.bDistortion = true
⊢ ∃ π', π'.iUnion = ↑B \ (prepartition n B).iUnion ∧ π'.distortion ≤ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
ι : Type u_1
s : Set (ι → ℝ)
F : (ι → ℝ) → ℝ
inst✝ : Fintype ι
hF : Continuous F
hs₁ : Bornology.IsBounded s
hs₂ : MeasurableSet s
hs₃ : volume (frontier s) = 0
B : Box ι
hB : hasIntegralVertices B
hs₀ : s ⊆ ↑B
ε : ℝ
hε : ε > 0
h₁ : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc B, ‖s.indicator F x‖ ≤ C
h₂ : ∀ᵐ (x : ι → ℝ), ContinuousAt (s.indicator F) x
r : NNReal → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hr₁ : ∀ (c : NNReal), IntegrationParams.Riemann.RCond (r c)
hr₂ :
  ∀ (c : NNReal) (π : TaggedPrepartition B),
    IntegrationParams.Riemann.MemBaseSet B c (r c) π →
      π.IsPartition →
        dist (integralSum (s.indicator F) volume.toBoxAdditive.toSMul π)
            (∫ (x : ι → ℝ) in ↑B, s.indicator F x ∂volume) ≤
          ε / 2
n : ℕ
hn : n ≥ ⌈(↑(r 0 0))⁻¹⌉₊
this : NeZero n
h : IntegrationParams.Riemann.bDistortion = true
⊢ (prepartition n B).distortion ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.UnitPartition

Goal state before:
pp: case refine_4
ι : Type u_1
s : Set (ι → ℝ)
F : (ι → ℝ) → ℝ
inst✝ : Fintype ι
hF : Continuous F
hs₁ : Bornology.IsBounded s
hs₂ : MeasurableSet s
hs₃ : volume (frontier s) = 0
B : Box ι
hB : hasIntegralVertices B
hs₀ : s ⊆ ↑B
ε : ℝ
hε : ε > 0
h₁ : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc B, ‖s.indicator F x‖ ≤ C
h₂ : ∀ᵐ (x : ι → ℝ), ContinuousAt (s.indicator F) x
r : NNReal → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hr₁ : ∀ (c : NNReal), IntegrationParams.Riemann.RCond (r c)
hr₂ :
  ∀ (c : NNReal) (π : TaggedPrepartition B),
    IntegrationParams.Riemann.MemBaseSet B c (r c) π →
      π.IsPartition →
        dist (integralSum (s.indicator F) volume.toBoxAdditive.toSMul π)
            (∫ (x : ι → ℝ) in ↑B, s.indicator F x ∂volume) ≤
          ε / 2
n : ℕ
hn : n ≥ ⌈(↑(r 0 0))⁻¹⌉₊
this : NeZero n
h : IntegrationParams.Riemann.bDistortion = true
⊢ ∃ π', π'.iUnion = ↑B \ (prepartition n B).iUnion ∧ π'.distortion ≤ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_4
ι : Type u_1
s : Set (ι → ℝ)
F : (ι → ℝ) → ℝ
inst✝ : Fintype ι
hF : Continuous F
hs₁ : Bornology.IsBounded s
hs₂ : MeasurableSet s
hs₃ : volume (frontier s) = 0
B : Box ι
hB : hasIntegralVertices B
hs₀ : s ⊆ ↑B
ε : ℝ
hε : ε > 0
h₁ : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc B, ‖s.indicator F x‖ ≤ C
h₂ : ∀ᵐ (x : ι → ℝ), ContinuousAt (s.indicator F) x
r : NNReal → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hr₁ : ∀ (c : NNReal), IntegrationParams.Riemann.RCond (r c)
hr₂ :
  ∀ (c : NNReal) (π : TaggedPrepartition B),
    IntegrationParams.Riemann.MemBaseSet B c (r c) π →
      π.IsPartition →
        dist (integralSum (s.indicator F) volume.toBoxAdditive.toSMul π)
            (∫ (x : ι → ℝ) in ↑B, s.indicator F x ∂volume) ≤
          ε / 2
n : ℕ
hn : n ≥ ⌈(↑(r 0 0))⁻¹⌉₊
this : NeZero n
h : IntegrationParams.Riemann.bDistortion = true
⊢ ∃ π', π'.iUnion = ↑B \ (prepartition n B).iUnion ∧ π'.distortion ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.UnitPartition

Goal state before:
pp: case e'_3
ι : Type u_1
s : Set (ι → ℝ)
inst✝ : Fintype ι
hs₁ : Bornology.IsBounded s
hs₂ : MeasurableSet s
hs₃ : volume (frontier s) = 0
x✝ : ℕ
⊢ ↑(Nat.card ↑(s ∩ (↑x✝)⁻¹ • ↑(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι))))) =
    ∑' (x : ↑(s ∩ (↑x✝)⁻¹ • ↑(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι))))), 1

pp: case e'_5
ι : Type u_1
s : Set (ι → ℝ)
inst✝ : Fintype ι
hs₁ : Bornology.IsBounded s
hs₂ : MeasurableSet s
hs₃ : volume (frontier s) = 0
⊢ volume.real s = ∫ (x : ι → ℝ) in s, 1

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_3
ι : Type u_1
s : Set (ι → ℝ)
inst✝ : Fintype ι
hs₁ : Bornology.IsBounded s
hs₂ : MeasurableSet s
hs₃ : volume (frontier s) = 0
x✝ : ℕ
⊢ ↑(Nat.card ↑(s ∩ (↑x✝)⁻¹ • ↑(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι))))) =
    ∑' (x : ↑(s ∩ (↑x✝)⁻¹ • ↑(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι))))), 1
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case e_5
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
π : TaggedPrepartition I
f₁ f₂ : (ι → ℝ) → E
vol₁ vol₂ : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hf : EqOn f₁ f₂ (Box.Icc I)
hvol : EqOn ⇑vol₁ ⇑vol₂ ↑π.boxes
J : Box ι
hJ : J ∈ π.boxes
⊢ vol₁ J = vol₂ J

pp: case e_6
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
π : TaggedPrepartition I
f₁ f₂ : (ι → ℝ) → E
vol₁ vol₂ : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hf : EqOn f₁ f₂ (Box.Icc I)
hvol : EqOn ⇑vol₁ ⇑vol₂ ↑π.boxes
J : Box ι
hJ : J ∈ π.boxes
⊢ f₁ (π.tag J) = f₂ (π.tag J)

Tactic:
·

Goal state after:
case e_5
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
π : TaggedPrepartition I
f₁ f₂ : (ι → ℝ) → E
vol₁ vol₂ : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hf : EqOn f₁ f₂ (Box.Icc I)
hvol : EqOn ⇑vol₁ ⇑vol₂ ↑π.boxes
J : Box ι
hJ : J ∈ π.boxes
⊢ vol₁ J = vol₂ J
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.UnitPartition

Goal state before:
pp: case e'_5
ι : Type u_1
s : Set (ι → ℝ)
inst✝ : Fintype ι
hs₁ : Bornology.IsBounded s
hs₂ : MeasurableSet s
hs₃ : volume (frontier s) = 0
⊢ volume.real s = ∫ (x : ι → ℝ) in s, 1

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_5
ι : Type u_1
s : Set (ι → ℝ)
inst✝ : Fintype ι
hs₁ : Bornology.IsBounded s
hs₂ : MeasurableSet s
hs₃ : volume (frontier s) = 0
⊢ volume.real s = ∫ (x : ι → ℝ) in s, 1
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
J : Box ι
hJ : J ∈ π₁.boxes
⊢ (vol J) (f ((π₁.disjUnion π₂ h).tag J)) = (vol J) (f (π₁.tag J))

pp: case refine_2
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
J : Box ι
hJ : J ∈ π₂.boxes
⊢ (vol J) (f ((π₁.disjUnion π₂ h).tag J)) = (vol J) (f (π₂.tag J))

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
J : Box ι
hJ : J ∈ π₁.boxes
⊢ (vol J) (f ((π₁.disjUnion π₂ h).tag J)) = (vol J) (f (π₁.tag J))