mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: case mpr.cont
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
Hzero_eq : ∀ x ∈ s, (p x 0).curry0 = f x
Hfderiv_zero : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun y ↦ p y 0) (p x 1).curryLeft s x
Htaylor : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑n) (fun x ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) (fun x ↦ (p x).shift) s
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ ↑(n + 1) → ContinuousOn (fun x ↦ p x m) s

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr.cont
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
Hzero_eq : ∀ x ∈ s, (p x 0).curry0 = f x
Hfderiv_zero : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun y ↦ p y 0) (p x 1).curryLeft s x
Htaylor : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑n) (fun x ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) (fun x ↦ (p x).shift) s
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ ↑(n + 1) → ContinuousOn (fun x ↦ p x m) s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: case mpr.cont.zero
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
Hzero_eq : ∀ x ∈ s, (p x 0).curry0 = f x
Hfderiv_zero : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun y ↦ p y 0) (p x 1).curryLeft s x
Htaylor : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑n) (fun x ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) (fun x ↦ (p x).shift) s
hm : ↑0 ≤ ↑n.succ
⊢ ContinuousOn (fun x ↦ p x 0) s

pp: case mpr.cont.succ
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
Hzero_eq : ∀ x ∈ s, (p x 0).curry0 = f x
Hfderiv_zero : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun y ↦ p y 0) (p x 1).curryLeft s x
Htaylor : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑n) (fun x ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) (fun x ↦ (p x).shift) s
m : ℕ
hm : ↑(m + 1) ≤ ↑n.succ
⊢ ContinuousOn (fun x ↦ p x (m + 1)) s

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr.cont.zero
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
Hzero_eq : ∀ x ∈ s, (p x 0).curry0 = f x
Hfderiv_zero : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun y ↦ p y 0) (p x 1).curryLeft s x
Htaylor : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑n) (fun x ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) (fun x ↦ (p x).shift) s
hm : ↑0 ≤ ↑n.succ
⊢ ContinuousOn (fun x ↦ p x 0) s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: case mpr.cont.succ
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
Hzero_eq : ∀ x ∈ s, (p x 0).curry0 = f x
Hfderiv_zero : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun y ↦ p y 0) (p x 1).curryLeft s x
Htaylor : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑n) (fun x ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) (fun x ↦ (p x).shift) s
m : ℕ
hm : ↑(m + 1) ≤ ↑n.succ
⊢ ContinuousOn (fun x ↦ p x (m + 1)) s

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr.cont.succ
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
Hzero_eq : ∀ x ∈ s, (p x 0).curry0 = f x
Hfderiv_zero : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun y ↦ p y 0) (p x 1).curryLeft s x
Htaylor : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑n) (fun x ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) (fun x ↦ (p x).shift) s
m : ℕ
hm : ↑(m + 1) ≤ ↑n.succ
⊢ ContinuousOn (fun x ↦ p x (m + 1)) s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
h : HasFTaylorSeriesUpToOn N f p s
⊢ (∀ x ∈ s, (p x 0).curry0 = f x) ∧
    (∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun y ↦ p y 0) (p x 1).curryLeft s x) ∧
      HasFTaylorSeriesUpToOn N (fun x ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) (fun x ↦ (p x).shift) s

pp: case refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
h :
  (∀ x ∈ s, (p x 0).curry0 = f x) ∧
    (∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun y ↦ p y 0) (p x 1).curryLeft s x) ∧
      HasFTaylorSeriesUpToOn N (fun x ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) (fun x ↦ (p x).shift) s
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn N f p s

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
h : HasFTaylorSeriesUpToOn N f p s
⊢ (∀ x ∈ s, (p x 0).curry0 = f x) ∧
    (∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun y ↦ p y 0) (p x 1).curryLeft s x) ∧
      HasFTaylorSeriesUpToOn N (fun x ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) (fun x ↦ (p x).shift) s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
h :
  (∀ x ∈ s, (p x 0).curry0 = f x) ∧
    (∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun y ↦ p y 0) (p x 1).curryLeft s x) ∧
      HasFTaylorSeriesUpToOn N (fun x ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) (fun x ↦ (p x).shift) s
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn N f p s

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
h :
  (∀ x ∈ s, (p x 0).curry0 = f x) ∧
    (∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun y ↦ p y 0) (p x 1).curryLeft s x) ∧
      HasFTaylorSeriesUpToOn N (fun x ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) (fun x ↦ (p x).shift) s
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn N f p s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p univ
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m < n → ∀ (x : E), HasFDerivAt (fun y ↦ p y m) (p x m.succ).curryLeft x

pp: case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m < n → ∀ x ∈ univ, HasFDerivWithinAt (fun x ↦ p x m) (p x m.succ).curryLeft univ x

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p univ
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m < n → ∀ (x : E), HasFDerivAt (fun y ↦ p y m) (p x m.succ).curryLeft x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m < n → ∀ x ∈ univ, HasFDerivWithinAt (fun x ↦ p x m) (p x m.succ).curryLeft univ x

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m < n → ∀ x ∈ univ, HasFDerivWithinAt (fun x ↦ p x m) (p x m.succ).curryLeft univ x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
⊢ Tendsto (fun y ↦ ‖y - (x, x)‖) (𝓝 (x, x)) (𝓝 0)

Tactic:
refine (continuous_id.fun_sub continuous_const).norm.tendsto' _ _ ?_

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
⊢ ‖id (x, x) - (x, x)‖ = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
k m : ℕ
h : k ≤ m
h2 : ↑m ≤ n
hf : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
⊢ (tsupport fun x ↦ p x m) ⊆ tsupport fun x ↦ p x k

Tactic:
induction h with
  | refl => rfl
  | @step l h ih =>
    have hl : l < n := lt_of_lt_of_le (mod_cast lt_add_one l) h2
    refine subset_trans ?_ (ih hl.le)
    refine Eq.trans_subset ?_ (tsupport_fderiv_subset 𝕜)
    rw [funext <| hf.fderiv_eq (mod_cast hl)]
    refine tsupport_comp_eq (g := ContinuousMultilinearMap.curryLeft) (fun {x} ↦ ?_) _ |>.symm
    exact (continuousMultilinearCurryLeftEquiv _ _ _).map_eq_zero_iff (x := x)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ Tendsto (fun y ↦ (y, x)) (𝓝[insert x s] x) (𝓝[insert x s] x ×ˢ 𝓝[insert x s] x)

Tactic:
exact Tendsto.prodMk tendsto_id (tendsto_const_nhdsWithin (by simp))

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
y : E
Z : DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert y s) y
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s y r
hy : y ∈ insert y s ∩ Metric.eball y r
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert y s ∩ Metric.eball y r) y

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
hy✝ : y ∈ insert x s ∩ Metric.eball x r
Z : DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert y s) y
hy : y ≠ x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert x s ∩ Metric.eball x r) y

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
y : E
Z : DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert y s) y
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s y r
hy : y ∈ insert y s ∩ Metric.eball y r
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert y s ∩ Metric.eball y r) y
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
hy✝ : y ∈ insert x s ∩ Metric.eball x r
Z : DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert y s) y
hy : y ≠ x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert x s ∩ Metric.eball x r) y

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
hy✝ : y ∈ insert x s ∩ Metric.eball x r
Z : DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert y s) y
hy : y ≠ x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert x s ∩ Metric.eball x r) y
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hy : ↑‖0‖₊ < r
h'y : x + 0 ∈ insert x s
⊢ HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin 0 1)) (insert x s) (x + 0)

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
hy : ↑‖y‖₊ < r
h'y : x + y ∈ insert x s
h''y : y ≠ 0
⊢ HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin y 1)) (insert x s) (x + y)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hy : ↑‖0‖₊ < r
h'y : x + 0 ∈ insert x s
⊢ HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin 0 1)) (insert x s) (x + 0)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f univ = iteratedFDeriv 𝕜 n f

Tactic:
by
  simp [iteratedFDerivWithin, iteratedFDeriv]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
hy : ↑‖y‖₊ < r
h'y : x + y ∈ insert x s
h''y : y ≠ 0
⊢ HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin y 1)) (insert x s) (x + y)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
hy : ↑‖y‖₊ < r
h'y : x + y ∈ insert x s
h''y : y ≠ 0
⊢ HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin y 1)) (insert x s) (x + y)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
hy : ↑‖y‖₊ < r
h'y : x + y ∈ insert x s
h''y : y ≠ 0
Z : HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin y 1)) (insert (x + y) s) (x + y)
⊢ s ∈ 𝓝[s] (x + y)

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
hy : ↑‖y‖₊ < r
h'y : x + y ∈ insert x s
h''y : y ≠ 0
Z : HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin y 1)) (insert (x + y) s) (x + y)
⊢ x + y ≠ x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
hy : ↑‖y‖₊ < r
h'y : x + y ∈ insert x s
h''y : y ≠ 0
Z : HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin y 1)) (insert (x + y) s) (x + y)
⊢ s ∈ 𝓝[s] (x + y)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
hy : ↑‖y‖₊ < r
h'y : x + y ∈ insert x s
h''y : y ≠ 0
Z : HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin y 1)) (insert (x + y) s) (x + y)
⊢ x + y ≠ x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
hy : ↑‖y‖₊ < r
h'y : x + y ∈ insert x s
h''y : y ≠ 0
Z : HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin y 1)) (insert (x + y) s) (x + y)
⊢ x + y ≠ x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun z ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) p.derivSeries x r

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
z : E
hz : z ∈ Metric.eball x r
⊢ (fun z ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) z = fderiv 𝕜 f z

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun z ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) p.derivSeries x r
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hu : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
⊢ HasFPowerSeriesWithinOnBall (fun z ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) p.derivSeries
    s x r

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hu : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
z : E
hz : z ∈ insert x s ∩ Metric.eball x r
⊢ fderivWithin 𝕜 f (insert x s) z = (fun z ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) z

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hu : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
⊢ HasFPowerSeriesWithinOnBall (fun z ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) p.derivSeries
    s x r
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hu : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
z : E
hz : z ∈ insert x s ∩ Metric.eball x r
⊢ fderivWithin 𝕜 f (insert x s) z = (fun z ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) z

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hu : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
z : E
hz : z ∈ insert x s ∩ Metric.eball x r
⊢ fderivWithin 𝕜 f (insert x s) z = (fun z ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) z