mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Algebraic.Integral

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : IsDomain T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : IsScalarTower R S T
inst✝ : FaithfulSMul S T
h : ¬FaithfulSMul R S
⊢ finrank R S * finrank S T = finrank R T

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : IsDomain T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : IsScalarTower R S T
inst✝ : FaithfulSMul S T
h : ¬FaithfulSMul R S
⊢ finrank R S * finrank S T = finrank R T
Module: Mathlib.RingTheory.Algebraic.Integral

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
z : A
z' : S
alg : Algebra.IsAlgebraic R S
inst✝ : NoZeroDivisors S
h : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ Algebra.IsAlgebraic R[X] S[X]

pp: case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
z : A
z' : S
alg : Algebra.IsAlgebraic R S
inst✝ : NoZeroDivisors S
h : ¬Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ Algebra.IsAlgebraic R[X] S[X]

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
z : A
z' : S
alg : Algebra.IsAlgebraic R S
inst✝ : NoZeroDivisors S
h : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ Algebra.IsAlgebraic R[X] S[X]
Module: Mathlib.RingTheory.Spectrum.Prime.Basic

Goal state before:
pp: case pos
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, J ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ J ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
h_nzI : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : M.IsPrime
⊢ ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥

pp: case neg
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, J ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ J ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
h_nzI : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
⊢ ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, J ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ J ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
h_nzI : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : M.IsPrime
⊢ ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
Module: Mathlib.RingTheory.Algebraic.Integral

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
z : A
z' : S
alg : Algebra.IsAlgebraic R S
σ : Type u_4
inst✝ : NoZeroDivisors S
h : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ Algebra.IsAlgebraic (MvPolynomial σ R) (MvPolynomial σ S)

pp: case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
z : A
z' : S
alg : Algebra.IsAlgebraic R S
σ : Type u_4
inst✝ : NoZeroDivisors S
h : ¬Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ Algebra.IsAlgebraic (MvPolynomial σ R) (MvPolynomial σ S)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
z : A
z' : S
alg : Algebra.IsAlgebraic R S
σ : Type u_4
inst✝ : NoZeroDivisors S
h : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ Algebra.IsAlgebraic (MvPolynomial σ R) (MvPolynomial σ S)
Module: Mathlib.RingTheory.SurjectiveOnStalks

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
P : Ideal S
inst✝ : P.IsPrime
⊢ Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap f P) P f ⋯) →
    ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ P, f r ∉ P ∧ c * f r * s = c * f x

pp: case mpr
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
P : Ideal S
inst✝ : P.IsPrime
⊢ (∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ P, f r ∉ P ∧ c * f r * s = c * f x) →
    Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap f P) P f ⋯)

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
P : Ideal S
inst✝ : P.IsPrime
⊢ Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap f P) P f ⋯) →
    ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ P, f r ∉ P ∧ c * f r * s = c * f x
Module: Mathlib.RingTheory.SurjectiveOnStalks

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
P : Ideal S
inst✝ : P.IsPrime
⊢ (∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ P, f r ∉ P ∧ c * f r * s = c * f x) →
    Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap f P) P f ⋯)

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
P : Ideal S
inst✝ : P.IsPrime
⊢ (∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ P, f r ∉ P ∧ c * f r * s = c * f x) →
    Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap f P) P f ⋯)
Module: Mathlib.RingTheory.SurjectiveOnStalks

Goal state before:
pp: case mpr.refine_1
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
P : Ideal S
inst✝ : P.IsPrime
H : ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ P, f r ∉ P ∧ c * f r * s = c * f x
y✝ : Localization.AtPrime P
x✝ : S × ↥P.primeCompl
y t : S
h : t ∈ P.primeCompl
yx ys : R
yc : S
hyc : yc ∉ P
hy : f ys ∉ P
ey : yc * f ys * y = yc * f yx
tx ts : R
yt : S
hyt : yt ∉ P
ht : f ts ∉ P
et : yt * f ts * t = yt * f tx
⊢ tx ∈ (Ideal.comap f P).primeCompl

pp: case mpr.refine_2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
P : Ideal S
inst✝ : P.IsPrime
H : ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ P, f r ∉ P ∧ c * f r * s = c * f x
y✝ : Localization.AtPrime P
x✝ : S × ↥P.primeCompl
y t : S
h : t ∈ P.primeCompl
yx ys : R
yc : S
hyc : yc ∉ P
hy : f ys ∉ P
ey : yc * f ys * y = yc * f yx
tx ts : R
yt : S
hyt : yt ∉ P
ht : f ts ∉ P
et : yt * f ts * t = yt * f tx
⊢ (Localization.localRingHom (Ideal.comap f P) P f ⋯) (Localization.mk (yx * ts) ⟨ys * tx, ⋯⟩) =
    Localization.mk y ⟨t, h⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr.refine_1
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
P : Ideal S
inst✝ : P.IsPrime
H : ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ P, f r ∉ P ∧ c * f r * s = c * f x
y✝ : Localization.AtPrime P
x✝ : S × ↥P.primeCompl
y t : S
h : t ∈ P.primeCompl
yx ys : R
yc : S
hyc : yc ∉ P
hy : f ys ∉ P
ey : yc * f ys * y = yc * f yx
tx ts : R
yt : S
hyt : yt ∉ P
ht : f ts ∉ P
et : yt * f ts * t = yt * f tx
⊢ tx ∈ (Ideal.comap f P).primeCompl
Module: Mathlib.RingTheory.SurjectiveOnStalks

Goal state before:
pp: case mpr.refine_2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
P : Ideal S
inst✝ : P.IsPrime
H : ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ P, f r ∉ P ∧ c * f r * s = c * f x
y✝ : Localization.AtPrime P
x✝ : S × ↥P.primeCompl
y t : S
h : t ∈ P.primeCompl
yx ys : R
yc : S
hyc : yc ∉ P
hy : f ys ∉ P
ey : yc * f ys * y = yc * f yx
tx ts : R
yt : S
hyt : yt ∉ P
ht : f ts ∉ P
et : yt * f ts * t = yt * f tx
⊢ (Localization.localRingHom (Ideal.comap f P) P f ⋯) (Localization.mk (yx * ts) ⟨ys * tx, ⋯⟩) =
    Localization.mk y ⟨t, h⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr.refine_2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
P : Ideal S
inst✝ : P.IsPrime
H : ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ P, f r ∉ P ∧ c * f r * s = c * f x
y✝ : Localization.AtPrime P
x✝ : S × ↥P.primeCompl
y t : S
h : t ∈ P.primeCompl
yx ys : R
yc : S
hyc : yc ∉ P
hy : f ys ∉ P
ey : yc * f ys * y = yc * f yx
tx ts : R
yt : S
hyt : yt ∉ P
ht : f ts ∉ P
et : yt * f ts * t = yt * f tx
⊢ (Localization.localRingHom (Ideal.comap f P) P f ⋯) (Localization.mk (yx * ts) ⟨ys * tx, ⋯⟩) =
    Localization.mk y ⟨t, h⟩
Module: Mathlib.RingTheory.Spectrum.Prime.Basic

Goal state before:
pp: case h.refine_1
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, J ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ J ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
h_nzI : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + A ∙ z
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + A ∙ x
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + A ∙ y
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
⊢ (M + A ∙ x) * (M + A ∙ y) ≤ M

pp: case h.refine_2
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, J ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ J ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
h_nzI : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + A ∙ z
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + A ∙ x
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + A ∙ y
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
⊢ ¬((Multiset.map asIdeal Wx).prod = ⊥ ∨ (Multiset.map asIdeal Wy).prod = ⊥)

Tactic:
·

Goal state after:
case h.refine_1
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, J ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ J ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
h_nzI : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + A ∙ z
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + A ∙ x
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + A ∙ y
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
⊢ (M + A ∙ x) * (M + A ∙ y) ≤ M
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Integral

Goal state before:
pp: case hx
R : Type u_5
S : Type u_6
K : Type u_7
L : Type u_8
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing L
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsFractionRing S L
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : S
s : ↥S⁰
⊢ (algebraMap K L).IsIntegralElem ((algebraMap S L) x)

pp: case hy
R : Type u_5
S : Type u_6
K : Type u_7
L : Type u_8
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing L
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsFractionRing S L
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : S
s : ↥S⁰
⊢ (algebraMap K L).IsIntegralElem (mk' L 1 s)

Tactic:
·

Goal state after:
case hx
R : Type u_5
S : Type u_6
K : Type u_7
L : Type u_8
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing L
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsFractionRing S L
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : S
s : ↥S⁰
⊢ (algebraMap K L).IsIntegralElem ((algebraMap S L) x)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Integral

Goal state before:
pp: case hy
R : Type u_5
S : Type u_6
K : Type u_7
L : Type u_8
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing L
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsFractionRing S L
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : S
s : ↥S⁰
⊢ (algebraMap K L).IsIntegralElem (mk' L 1 s)

Tactic:
·

Goal state after:
case hy
R : Type u_5
S : Type u_6
K : Type u_7
L : Type u_8
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing L
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsFractionRing S L
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : S
s : ↥S⁰
⊢ (algebraMap K L).IsIntegralElem (mk' L 1 s)
Module: Mathlib.RingTheory.Spectrum.Prime.Basic

Goal state before:
pp: case h.refine_2
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, J ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ J ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
h_nzI : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + A ∙ z
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + A ∙ x
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + A ∙ y
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
⊢ ¬((Multiset.map asIdeal Wx).prod = ⊥ ∨ (Multiset.map asIdeal Wy).prod = ⊥)

Tactic:
·

Goal state after:
case h.refine_2
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, J ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ J ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
h_nzI : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + A ∙ z
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + A ∙ x
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + A ∙ y
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
⊢ ¬((Multiset.map asIdeal Wx).prod = ⊥ ∨ (Multiset.map asIdeal Wy).prod = ⊥)
Module: Mathlib.RingTheory.SurjectiveOnStalks

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Algebra R S
hf : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
J : Ideal (S ⊗[R] T)
hJ : J.IsPrime
x : S ⊗[R] T
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g J
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
⊢ (algebraMap S (S ⊗[R] T)) ((algebraMap R S) r) ∉ J

pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Algebra R S
hf : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
J : Ideal (S ⊗[R] T)
hJ : J.IsPrime
x : S ⊗[R] T
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g J
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
⊢ 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * (algebraMap S (S ⊗[R] T)) ((algebraMap R S) r) * x = 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * (algebraMap S (S ⊗[R] T)) a

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Algebra R S
hf : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
J : Ideal (S ⊗[R] T)
hJ : J.IsPrime
x : S ⊗[R] T
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g J
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
⊢ (algebraMap S (S ⊗[R] T)) ((algebraMap R S) r) ∉ J
Module: Mathlib.RingTheory.SurjectiveOnStalks

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Algebra R S
hf : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
J : Ideal (S ⊗[R] T)
hJ : J.IsPrime
x : S ⊗[R] T
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g J
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
⊢ 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * (algebraMap S (S ⊗[R] T)) ((algebraMap R S) r) * x = 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * (algebraMap S (S ⊗[R] T)) a

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
T : Type u_3
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Algebra R S
hf : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
J : Ideal (S ⊗[R] T)
hJ : J.IsPrime
x : S ⊗[R] T
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g J
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
⊢ 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * (algebraMap S (S ⊗[R] T)) ((algebraMap R S) r) * x = 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * (algebraMap S (S ⊗[R] T)) a
Module: Mathlib.RingTheory.SurjectiveOnStalks

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing T
S' : Type u_4
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Algebra R S'
f : S →ₐ[R] S'
Hf : f.SurjectiveOnStalks
this✝ : Algebra S S' := f.toAlgebra
this : IsScalarTower R S S'
⊢ (Algebra.TensorProduct.map (Algebra.ofId S S') (AlgHom.id R T)).toRingHom =
    ((↑(Algebra.TensorProduct.cancelBaseChange R S S S' T)).comp Algebra.TensorProduct.includeRight).toRingHom

pp: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing T
S' : Type u_4
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Algebra R S'
f : S →ₐ[R] S'
Hf : f.SurjectiveOnStalks
this✝ : Algebra S S' := f.toAlgebra
this : IsScalarTower R S S'
⊢ ((↑(Algebra.TensorProduct.cancelBaseChange R S S S' T)).comp Algebra.TensorProduct.includeRight).SurjectiveOnStalks

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing T
S' : Type u_4
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Algebra R S'
f : S →ₐ[R] S'
Hf : f.SurjectiveOnStalks
this✝ : Algebra S S' := f.toAlgebra
this : IsScalarTower R S S'
⊢ (Algebra.TensorProduct.map (Algebra.ofId S S') (AlgHom.id R T)).toRingHom =
    ((↑(Algebra.TensorProduct.cancelBaseChange R S S S' T)).comp Algebra.TensorProduct.includeRight).toRingHom
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.Idempotent

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a b : { a // a.1 * a.2 = 0 ∧ a.1 + a.2 = 1 }
eq : (↑a).1 = (↑b).1
⊢ (↑a).1 * (↑a).2 = (↑b).2 * (↑a).1

pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a b : { a // a.1 * a.2 = 0 ∧ a.1 + a.2 = 1 }
eq : (↑a).1 = (↑b).1
⊢ (↑a).1 + (↑b).2 = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a b : { a // a.1 * a.2 = 0 ∧ a.1 + a.2 = 1 }
eq : (↑a).1 = (↑b).1
⊢ (↑a).1 * (↑a).2 = (↑b).2 * (↑a).1
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.Idempotent

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a b : { a // a.1 * a.2 = 0 ∧ a.1 + a.2 = 1 }
eq : (↑a).1 = (↑b).1
⊢ (↑a).1 + (↑b).2 = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a b : { a // a.1 * a.2 = 0 ∧ a.1 + a.2 = 1 }
eq : (↑a).1 = (↑b).1
⊢ (↑a).1 + (↑b).2 = 1
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.Idempotent

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a b : { a // a.1 * a.2 = 0 ∧ a.1 + a.2 = 1 }
eq : (↑a).2 = (↑b).2
⊢ (↑a).2 * (↑a).1 = (↑b).1 * (↑a).2

pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a b : { a // a.1 * a.2 = 0 ∧ a.1 + a.2 = 1 }
eq : (↑a).2 = (↑b).2
⊢ (↑a).2 + (↑a).1 = 1

pp: case refine_3
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a b : { a // a.1 * a.2 = 0 ∧ a.1 + a.2 = 1 }
eq : (↑a).2 = (↑b).2
⊢ (↑a).2 + (↑b).1 = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a b : { a // a.1 * a.2 = 0 ∧ a.1 + a.2 = 1 }
eq : (↑a).2 = (↑b).2
⊢ (↑a).2 * (↑a).1 = (↑b).1 * (↑a).2
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.Idempotent

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a b : { a // a.1 * a.2 = 0 ∧ a.1 + a.2 = 1 }
eq : (↑a).2 = (↑b).2
⊢ (↑a).2 + (↑a).1 = 1

pp: case refine_3
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a b : { a // a.1 * a.2 = 0 ∧ a.1 + a.2 = 1 }
eq : (↑a).2 = (↑b).2
⊢ (↑a).2 + (↑b).1 = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a b : { a // a.1 * a.2 = 0 ∧ a.1 + a.2 = 1 }
eq : (↑a).2 = (↑b).2
⊢ (↑a).2 + (↑a).1 = 1
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.Idempotent

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a b : { a // a.1 * a.2 = 0 ∧ a.1 + a.2 = 1 }
eq : (↑a).2 = (↑b).2
⊢ (↑a).2 + (↑b).1 = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a b : { a // a.1 * a.2 = 0 ∧ a.1 + a.2 = 1 }
eq : (↑a).2 = (↑b).2
⊢ (↑a).2 + (↑b).1 = 1
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.ResidueField.Ideal

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
I : Ideal R
inst✝ : I.IsPrime
x s : R
hs : s ∈ I.primeCompl
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) s ∈ (R ⧸ I)⁰

pp: case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
I : Ideal R
inst✝ : I.IsPrime
x s : R
hs : s ∈ I.primeCompl
⊢ (IsLocalRing.residue (Localization.AtPrime I)) (IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime I) x ⟨s, hs⟩) *
      (algebraMap (R ⧸ I) I.ResidueField) ↑((Ideal.Quotient.mk I) x, ⟨(Ideal.Quotient.mk I) s, ?refine_1⟩).2 =
    (algebraMap (R ⧸ I) I.ResidueField) ((Ideal.Quotient.mk I) x, ⟨(Ideal.Quotient.mk I) s, ?refine_1⟩).1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
I : Ideal R
inst✝ : I.IsPrime
x s : R
hs : s ∈ I.primeCompl
⊢ (Ideal.Quotient.mk I) s ∈ (R ⧸ I)⁰
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.ResidueField.Ideal

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
I : Ideal R
inst✝ : I.IsPrime
x s : R
hs : s ∈ I.primeCompl
⊢ (IsLocalRing.residue (Localization.AtPrime I)) (IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime I) x ⟨s, hs⟩) *
      (algebraMap (R ⧸ I) I.ResidueField) ↑((Ideal.Quotient.mk I) x, ⟨(Ideal.Quotient.mk I) s, ⋯⟩).2 =
    (algebraMap (R ⧸ I) I.ResidueField) ((Ideal.Quotient.mk I) x, ⟨(Ideal.Quotient.mk I) s, ⋯⟩).1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
I : Ideal R
inst✝ : I.IsPrime
x s : R
hs : s ∈ I.primeCompl
⊢ (IsLocalRing.residue (Localization.AtPrime I)) (IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime I) x ⟨s, hs⟩) *
      (algebraMap (R ⧸ I) I.ResidueField) ↑((Ideal.Quotient.mk I) x, ⟨(Ideal.Quotient.mk I) s, ⋯⟩).2 =
    (algebraMap (R ⧸ I) I.ResidueField) ((Ideal.Quotient.mk I) x, ⟨(Ideal.Quotient.mk I) s, ⋯⟩).1
Module: Mathlib.RingTheory.Spectrum.Prime.RingHom

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
S' : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring S'
f : R →+* S
e : R ≃+* S
x : PrimeSpectrum R
⊢ comap ((↑e.symm).comp ↑e) x = x

Tactic:
RingEquiv.symm_comp

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
S' : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring S'
f : R →+* S
e : R ≃+* S
x : PrimeSpectrum R
⊢ comap (RingHom.id R) x = x