mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
A : ∀ (x : M), 0 < f x + g x
⊢ (range fun x ↦ f x / (f x + g x)) ⊆ Icc 0 1

pp: case refine_3
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
A : ∀ (x : M), 0 < f x + g x
⊢ (support fun x ↦ f x / (f x + g x)) = s

pp: case refine_4
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
A : ∀ (x : M), 0 < f x + g x
⊢ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ (fun x ↦ f x / (f x + g x)) x = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
A : ∀ (x : M), 0 < f x + g x
⊢ (range fun x ↦ f x / (f x + g x)) ⊆ Icc 0 1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)
K_compact : IsCompact K
t : ℝ
ht : t ∈ Ioc 0 1
t_pos : 0 < t
x : E
hx : x ∈ K
⊢ ‖t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x‖ ≤ K.indicator (fun x ↦ ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) x

pp: case neg
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)
K_compact : IsCompact K
t : ℝ
ht : t ∈ Ioc 0 1
t_pos : 0 < t
x : E
hx : x ∉ K
⊢ ‖t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x‖ ≤ K.indicator (fun x ↦ ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)
K_compact : IsCompact K
t : ℝ
ht : t ∈ Ioc 0 1
t_pos : 0 < t
x : E
hx : x ∈ K
⊢ ‖t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x‖ ≤ K.indicator (fun x ↦ ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.AEEqOfIntegral

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : FinStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
t : Set α
ht_meas : MeasurableSet t
htf_zero✝ : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ : SigmaFinite ((μ.trim hm).restrict t)
this : SigmaFinite ((μ.restrict t).trim hm)
htf_zero : f =ᵐ[μ.restrict tᶜ] 0
hf_meas_m : StronglyMeasurable f
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ((μ.restrict t).trim hm) s < ∞ → ∫ (x : α) in s, f x ∂(μ.restrict t).trim hm = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : FinStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
t : Set α
ht_meas : MeasurableSet t
htf_zero✝ : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ : SigmaFinite ((μ.trim hm).restrict t)
this : SigmaFinite ((μ.restrict t).trim hm)
htf_zero : f =ᵐ[μ.restrict tᶜ] 0
hf_meas_m : StronglyMeasurable f
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ((μ.restrict t).trim hm) s < ∞ → ∫ (x : α) in s, f x ∂(μ.restrict t).trim hm = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TangentCone.ProperSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : ProperSpace E
s : Set E
x : E
hx : AccPt x (𝓟 s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → E
hvx : ∀ (n : ℕ), v n ≠ x
hvu : ∀ (n : ℕ), v n ∈ closedBall x (u n)
hvs : ∀ (n : ℕ), v n ∈ s
d : ℕ → E := ⋯
M : ∀ (n : ℕ), x + d n ∈ s \ {x}
r : 𝕜
hr : 1 < ‖r‖
c : ℕ → 𝕜
c_ne : ∀ (n : ℕ), c n ≠ 0
c_le : ∀ (n : ℕ), ‖c n • d n‖ < 1
le_c : ∀ (n : ℕ), 1 / ‖r‖ ≤ ‖c n • d n‖
hc : ∀ (n : ℕ), ‖c n‖⁻¹ ≤ 1⁻¹ * ‖r‖ * ‖d n‖
⊢ IsCompact (closedBall 0 1 \ ball 0 (1 / ‖r‖))

pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : ProperSpace E
s : Set E
x : E
hx : AccPt x (𝓟 s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → E
hvx : ∀ (n : ℕ), v n ≠ x
hvu : ∀ (n : ℕ), v n ∈ closedBall x (u n)
hvs : ∀ (n : ℕ), v n ∈ s
d : ℕ → E := fun n ↦ v n - x
M : ∀ (n : ℕ), x + d n ∈ s \ {x}
r : 𝕜
hr : 1 < ‖r‖
c : ℕ → 𝕜
c_ne : ∀ (n : ℕ), c n ≠ 0
c_le : ∀ (n : ℕ), ‖c n • d n‖ < 1
le_c : ∀ (n : ℕ), 1 / ‖r‖ ≤ ‖c n • d n‖
hc : ∀ (n : ℕ), ‖c n‖⁻¹ ≤ 1⁻¹ * ‖r‖ * ‖d n‖
n : ℕ
⊢ c n • d n ∈ closedBall 0 1 \ ball 0 (1 / ‖r‖)

Tactic:
·

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : ProperSpace E
s : Set E
x : E
hx : AccPt x (𝓟 s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → E
hvx : ∀ (n : ℕ), v n ≠ x
hvu : ∀ (n : ℕ), v n ∈ closedBall x (u n)
hvs : ∀ (n : ℕ), v n ∈ s
d : ℕ → E := ⋯
M : ∀ (n : ℕ), x + d n ∈ s \ {x}
r : 𝕜
hr : 1 < ‖r‖
c : ℕ → 𝕜
c_ne : ∀ (n : ℕ), c n ≠ 0
c_le : ∀ (n : ℕ), ‖c n • d n‖ < 1
le_c : ∀ (n : ℕ), 1 / ‖r‖ ≤ ‖c n • d n‖
hc : ∀ (n : ℕ), ‖c n‖⁻¹ ≤ 1⁻¹ * ‖r‖ * ‖d n‖
⊢ IsCompact (closedBall 0 1 \ ball 0 (1 / ‖r‖))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case refine_3
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
A : ∀ (x : M), 0 < f x + g x
⊢ (support fun x ↦ f x / (f x + g x)) = s

pp: case refine_4
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
A : ∀ (x : M), 0 < f x + g x
⊢ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ (fun x ↦ f x / (f x + g x)) x = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
A : ∀ (x : M), 0 < f x + g x
⊢ (support fun x ↦ f x / (f x + g x)) = s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case refine_4
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
A : ∀ (x : M), 0 < f x + g x
⊢ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ (fun x ↦ f x / (f x + g x)) x = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_4
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
A : ∀ (x : M), 0 < f x + g x
⊢ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ (fun x ↦ f x / (f x + g x)) x = 1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: case neg
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)
K_compact : IsCompact K
t : ℝ
ht : t ∈ Ioc 0 1
t_pos : 0 < t
x : E
hx : x ∉ K
⊢ ‖t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x‖ ≤ K.indicator (fun x ↦ ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) x

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)
K_compact : IsCompact K
t : ℝ
ht : t ∈ Ioc 0 1
t_pos : 0 < t
x : E
hx : x ∉ K
⊢ ‖t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x‖ ≤ K.indicator (fun x ↦ ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TangentCone.ProperSpace

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : ProperSpace E
s : Set E
x : E
hx : AccPt x (𝓟 s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → E
hvx : ∀ (n : ℕ), v n ≠ x
hvu : ∀ (n : ℕ), v n ∈ closedBall x (u n)
hvs : ∀ (n : ℕ), v n ∈ s
d : ℕ → E := fun n ↦ v n - x
M : ∀ (n : ℕ), x + d n ∈ s \ {x}
r : 𝕜
hr : 1 < ‖r‖
c : ℕ → 𝕜
c_ne : ∀ (n : ℕ), c n ≠ 0
c_le : ∀ (n : ℕ), ‖c n • d n‖ < 1
le_c : ∀ (n : ℕ), 1 / ‖r‖ ≤ ‖c n • d n‖
hc : ∀ (n : ℕ), ‖c n‖⁻¹ ≤ 1⁻¹ * ‖r‖ * ‖d n‖
l : E
l_mem : l ∈ closedBall 0 1 \ ball 0 (1 / ‖r‖)
φ : ℕ → ℕ
φ_strict : StrictMono φ
hφ : Tendsto ((fun n ↦ c n • d n) ∘ φ) atTop (𝓝 l)
⊢ l ∈ {0}ᶜ

pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : ProperSpace E
s : Set E
x : E
hx : AccPt x (𝓟 s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → E
hvx : ∀ (n : ℕ), v n ≠ x
hvu : ∀ (n : ℕ), v n ∈ closedBall x (u n)
hvs : ∀ (n : ℕ), v n ∈ s
d : ℕ → E := fun n ↦ v n - x
M : ∀ (n : ℕ), x + d n ∈ s \ {x}
r : 𝕜
hr : 1 < ‖r‖
c : ℕ → 𝕜
c_ne : ∀ (n : ℕ), c n ≠ 0
c_le : ∀ (n : ℕ), ‖c n • d n‖ < 1
le_c : ∀ (n : ℕ), 1 / ‖r‖ ≤ ‖c n • d n‖
hc : ∀ (n : ℕ), ‖c n‖⁻¹ ≤ 1⁻¹ * ‖r‖ * ‖d n‖
l : E
l_mem : l ∈ closedBall 0 1 \ ball 0 (1 / ‖r‖)
φ : ℕ → ℕ
φ_strict : StrictMono φ
hφ : Tendsto ((fun n ↦ c n • d n) ∘ φ) atTop (𝓝 l)
⊢ l ∈ tangentConeAt 𝕜 s x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : ProperSpace E
s : Set E
x : E
hx : AccPt x (𝓟 s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → E
hvx : ∀ (n : ℕ), v n ≠ x
hvu : ∀ (n : ℕ), v n ∈ closedBall x (u n)
hvs : ∀ (n : ℕ), v n ∈ s
d : ℕ → E := fun n ↦ v n - x
M : ∀ (n : ℕ), x + d n ∈ s \ {x}
r : 𝕜
hr : 1 < ‖r‖
c : ℕ → 𝕜
c_ne : ∀ (n : ℕ), c n ≠ 0
c_le : ∀ (n : ℕ), ‖c n • d n‖ < 1
le_c : ∀ (n : ℕ), 1 / ‖r‖ ≤ ‖c n • d n‖
hc : ∀ (n : ℕ), ‖c n‖⁻¹ ≤ 1⁻¹ * ‖r‖ * ‖d n‖
l : E
l_mem : l ∈ closedBall 0 1 \ ball 0 (1 / ‖r‖)
φ : ℕ → ℕ
φ_strict : StrictMono φ
hφ : Tendsto ((fun n ↦ c n • d n) ∘ φ) atTop (𝓝 l)
⊢ l ∈ {0}ᶜ
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: case bound_integrable
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := ⋯
K_compact : IsCompact K
⊢ Integrable (K.indicator fun x ↦ ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) μ

pp: case h_lim
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := ⋯
K_compact : IsCompact K
⊢ ∀ᵐ (a : E) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) (𝓝[>] 0) (𝓝 (lineDeriv ℝ f a v * g a))

Tactic:
·

Goal state after:
case bound_integrable
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := ⋯
K_compact : IsCompact K
⊢ Integrable (K.indicator fun x ↦ ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) μ
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: case h_lim
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := ⋯
K_compact : IsCompact K
⊢ ∀ᵐ (a : E) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) (𝓝[>] 0) (𝓝 (lineDeriv ℝ f a v * g a))

Tactic:
·

Goal state after:
case h_lim
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := ⋯
K_compact : IsCompact K
⊢ ∀ᵐ (a : E) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) (𝓝[>] 0) (𝓝 (lineDeriv ℝ f a v * g a))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TangentCone.Seq

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : SMul R E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : FirstCountableTopology E
s : Set E
x y : E
⊢ y ∈ tangentConeAt R s x →
    ∃ c d, Tendsto d atTop (𝓝 0) ∧ (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s) ∧ Tendsto (fun n ↦ c n • d n) atTop (𝓝 y)

pp: case mpr
R : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : SMul R E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : FirstCountableTopology E
s : Set E
x y : E
⊢ (∃ c d, Tendsto d atTop (𝓝 0) ∧ (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s) ∧ Tendsto (fun n ↦ c n • d n) atTop (𝓝 y)) →
    y ∈ tangentConeAt R s x

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : SMul R E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : FirstCountableTopology E
s : Set E
x y : E
⊢ y ∈ tangentConeAt R s x →
    ∃ c d, Tendsto d atTop (𝓝 0) ∧ (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s) ∧ Tendsto (fun n ↦ c n • d n) atTop (𝓝 y)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TangentCone.Seq

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : SMul R E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : FirstCountableTopology E
s : Set E
x y : E
⊢ (∃ c d, Tendsto d atTop (𝓝 0) ∧ (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s) ∧ Tendsto (fun n ↦ c n • d n) atTop (𝓝 y)) →
    y ∈ tangentConeAt R s x

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
R : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : SMul R E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : FirstCountableTopology E
s : Set E
x y : E
⊢ (∃ c d, Tendsto d atTop (𝓝 0) ∧ (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s) ∧ Tendsto (fun n ↦ c n • d n) atTop (𝓝 y)) →
    y ∈ tangentConeAt R s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TangentCone.ProperSpace

Goal state before:
pp: case refine_1.hd₀
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : ProperSpace E
s : Set E
x : E
hx : AccPt x (𝓟 s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → E
hvx : ∀ (n : ℕ), v n ≠ x
hvu : ∀ (n : ℕ), v n ∈ closedBall x (u n)
hvs : ∀ (n : ℕ), v n ∈ s
d : ℕ → E := ⋯
M : ∀ (n : ℕ), x + d n ∈ s \ {x}
r : 𝕜
hr : 1 < ‖r‖
c : ℕ → 𝕜
c_ne : ∀ (n : ℕ), c n ≠ 0
c_le : ∀ (n : ℕ), ‖c n • d n‖ < 1
le_c : ∀ (n : ℕ), 1 / ‖r‖ ≤ ‖c n • d n‖
hc : ∀ (n : ℕ), ‖c n‖⁻¹ ≤ 1⁻¹ * ‖r‖ * ‖d n‖
l : E
l_mem : l ∈ closedBall 0 1 \ ball 0 (1 / ‖r‖)
φ : ℕ → ℕ
φ_strict : StrictMono φ
hφ : Tendsto ((fun n ↦ c n • d n) ∘ φ) atTop (𝓝 l)
⊢ Tendsto (d ∘ φ) atTop (𝓝 0)

pp: case refine_1.hds
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : ProperSpace E
s : Set E
x : E
hx : AccPt x (𝓟 s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → E
hvx : ∀ (n : ℕ), v n ≠ x
hvu : ∀ (n : ℕ), v n ∈ closedBall x (u n)
hvs : ∀ (n : ℕ), v n ∈ s
d : ℕ → E := ⋯
M : ∀ (n : ℕ), x + d n ∈ s \ {x}
r : 𝕜
hr : 1 < ‖r‖
c : ℕ → 𝕜
c_ne : ∀ (n : ℕ), c n ≠ 0
c_le : ∀ (n : ℕ), ‖c n • d n‖ < 1
le_c : ∀ (n : ℕ), 1 / ‖r‖ ≤ ‖c n • d n‖
hc : ∀ (n : ℕ), ‖c n‖⁻¹ ≤ 1⁻¹ * ‖r‖ * ‖d n‖
l : E
l_mem : l ∈ closedBall 0 1 \ ball 0 (1 / ‖r‖)
φ : ℕ → ℕ
φ_strict : StrictMono φ
hφ : Tendsto ((fun n ↦ c n • d n) ∘ φ) atTop (𝓝 l)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + (d ∘ φ) n ∈ s

pp: case refine_1.hcd
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : ProperSpace E
s : Set E
x : E
hx : AccPt x (𝓟 s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → E
hvx : ∀ (n : ℕ), v n ≠ x
hvu : ∀ (n : ℕ), v n ∈ closedBall x (u n)
hvs : ∀ (n : ℕ), v n ∈ s
d : ℕ → E := ⋯
M : ∀ (n : ℕ), x + d n ∈ s \ {x}
r : 𝕜
hr : 1 < ‖r‖
c : ℕ → 𝕜
c_ne : ∀ (n : ℕ), c n ≠ 0
c_le : ∀ (n : ℕ), ‖c n • d n‖ < 1
le_c : ∀ (n : ℕ), 1 / ‖r‖ ≤ ‖c n • d n‖
hc : ∀ (n : ℕ), ‖c n‖⁻¹ ≤ 1⁻¹ * ‖r‖ * ‖d n‖
l : E
l_mem : l ∈ closedBall 0 1 \ ball 0 (1 / ‖r‖)
φ : ℕ → ℕ
φ_strict : StrictMono φ
hφ : Tendsto ((fun n ↦ c n • d n) ∘ φ) atTop (𝓝 l)
⊢ Tendsto (fun n ↦ (c ∘ φ) n • (d ∘ φ) n) atTop (𝓝 l)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.hd₀
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : ProperSpace E
s : Set E
x : E
hx : AccPt x (𝓟 s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → E
hvx : ∀ (n : ℕ), v n ≠ x
hvu : ∀ (n : ℕ), v n ∈ closedBall x (u n)
hvs : ∀ (n : ℕ), v n ∈ s
d : ℕ → E := ⋯
M : ∀ (n : ℕ), x + d n ∈ s \ {x}
r : 𝕜
hr : 1 < ‖r‖
c : ℕ → 𝕜
c_ne : ∀ (n : ℕ), c n ≠ 0
c_le : ∀ (n : ℕ), ‖c n • d n‖ < 1
le_c : ∀ (n : ℕ), 1 / ‖r‖ ≤ ‖c n • d n‖
hc : ∀ (n : ℕ), ‖c n‖⁻¹ ≤ 1⁻¹ * ‖r‖ * ‖d n‖
l : E
l_mem : l ∈ closedBall 0 1 \ ball 0 (1 / ‖r‖)
φ : ℕ → ℕ
φ_strict : StrictMono φ
hφ : Tendsto ((fun n ↦ c n • d n) ∘ φ) atTop (𝓝 l)
⊢ Tendsto (d ∘ φ) atTop (𝓝 0)