mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: case neg.refine_1
R : Type u_2
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : NormMulClass R
P Q : R[X]
h : P.degree < Q.degree
hP : ¬P = 0
⊢ Q.leadingCoeff ≠ 0

pp: case neg.refine_2
R : Type u_2
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : NormMulClass R
P Q : R[X]
h : P.degree < Q.degree
hP : ¬P = 0
⊢ (fun x ↦ x ^ P.natDegree) =o[cobounded R] fun x ↦ x ^ Q.natDegree

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.refine_1
R : Type u_2
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : NormMulClass R
P Q : R[X]
h : P.degree < Q.degree
hP : ¬P = 0
⊢ Q.leadingCoeff ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: case neg.refine_1
R : Type u_2
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : NormMulClass R
P Q : R[X]
h : P.degree < Q.degree
hP : ¬P = 0
⊢ Q.leadingCoeff ≠ 0

Tactic:
exact leadingCoeff_ne_zero.mpr (ne_zero_of_degree_gt h)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: case neg.refine_2
R : Type u_2
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : NormMulClass R
P Q : R[X]
h : P.degree < Q.degree
hP : ¬P = 0
⊢ (fun x ↦ x ^ P.natDegree) =o[cobounded R] fun x ↦ x ^ Q.natDegree

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.refine_2
R : Type u_2
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : NormMulClass R
P Q : R[X]
h : P.degree < Q.degree
hP : ¬P = 0
⊢ (fun x ↦ x ^ P.natDegree) =o[cobounded R] fun x ↦ x ^ Q.natDegree
Module: Mathlib.Analysis.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_2
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : NormMulClass R
P Q : R[X]
h : P.degree ≤ Q.degree
hQ : Q.leadingCoeff = 0
⊢ (fun x ↦ eval x P) =O[cobounded R] fun x ↦ eval x Q

pp: case neg
R : Type u_2
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : NormMulClass R
P Q : R[X]
h : P.degree ≤ Q.degree
hQ : ¬Q.leadingCoeff = 0
⊢ (fun x ↦ eval x P) =O[cobounded R] fun x ↦ eval x Q

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_2
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : NormMulClass R
P Q : R[X]
h : P.degree ≤ Q.degree
hQ : Q.leadingCoeff = 0
⊢ (fun x ↦ eval x P) =O[cobounded R] fun x ↦ eval x Q
Module: Mathlib.Analysis.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_2
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : NormMulClass R
P Q : R[X]
h : P.degree ≤ Q.degree
hQ : ¬Q.leadingCoeff = 0
⊢ (fun x ↦ eval x P) =O[cobounded R] fun x ↦ eval x Q

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_2
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : NormMulClass R
P Q : R[X]
h : P.degree ≤ Q.degree
hQ : ¬Q.leadingCoeff = 0
⊢ (fun x ↦ eval x P) =O[cobounded R] fun x ↦ eval x Q
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussNorm

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝ : ZeroHomClass F R ℝ
h_supp : p.support.Nonempty
⊢ ∃ i, gaussNorm v c p = v (p.coeff i) * c ^ i

pp: case neg
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝ : ZeroHomClass F R ℝ
h_supp : ¬p.support.Nonempty
⊢ ∃ i, gaussNorm v c p = v (p.coeff i) * c ^ i

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝ : ZeroHomClass F R ℝ
h_supp : p.support.Nonempty
⊢ ∃ i, gaussNorm v c p = v (p.coeff i) * c ^ i
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussNorm

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝ : ZeroHomClass F R ℝ
h_supp : ¬p.support.Nonempty
⊢ ∃ i, gaussNorm v c p = v (p.coeff i) * c ^ i

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝ : ZeroHomClass F R ℝ
h_supp : ¬p.support.Nonempty
⊢ ∃ i, gaussNorm v c p = v (p.coeff i) * c ^ i
Module: Mathlib.Analysis.ODE.PicardLindelof

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E → E
α : ℝ → E
u : Set E
t₀ tmin tmax : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Icc tmin tmax
n : ℕ
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) (uncurry f) (Icc tmin tmax ×ˢ u)
hα : ContinuousOn α (Icc tmin tmax)
hmem : ∀ t ∈ Icc tmin tmax, α t ∈ u
x₀ : E
heqon : ∀ t ∈ Icc tmin tmax, α t = picard f t₀ x₀ α t
hlt : tmin < tmax
⊢ ContDiffOn ℝ (↑n) (picard f t₀ x₀ α) (Icc tmin tmax)

pp: case neg
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E → E
α : ℝ → E
u : Set E
t₀ tmin tmax : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Icc tmin tmax
n : ℕ
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) (uncurry f) (Icc tmin tmax ×ˢ u)
hα : ContinuousOn α (Icc tmin tmax)
hmem : ∀ t ∈ Icc tmin tmax, α t ∈ u
x₀ : E
heqon : ∀ t ∈ Icc tmin tmax, α t = picard f t₀ x₀ α t
hlt : ¬tmin < tmax
⊢ ContDiffOn ℝ (↑n) (picard f t₀ x₀ α) (Icc tmin tmax)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E → E
α : ℝ → E
u : Set E
t₀ tmin tmax : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Icc tmin tmax
n : ℕ
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) (uncurry f) (Icc tmin tmax ×ˢ u)
hα : ContinuousOn α (Icc tmin tmax)
hmem : ∀ t ∈ Icc tmin tmax, α t ∈ u
x₀ : E
heqon : ∀ t ∈ Icc tmin tmax, α t = picard f t₀ x₀ α t
hlt : tmin < tmax
⊢ ContDiffOn ℝ (↑n) (picard f t₀ x₀ α) (Icc tmin tmax)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussNorm

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hc : 0 ≤ c
hp : p = 0
⊢ PowerSeries.gaussNorm (⇑v) c ↑p = gaussNorm v c p

pp: case neg
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hc : 0 ≤ c
hp : ¬p = 0
⊢ PowerSeries.gaussNorm (⇑v) c ↑p = gaussNorm v c p

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hc : 0 ≤ c
hp : p = 0
⊢ PowerSeries.gaussNorm (⇑v) c ↑p = gaussNorm v c p
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussNorm

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hc : 0 ≤ c
hp : ¬p = 0
⊢ PowerSeries.gaussNorm (⇑v) c ↑p = gaussNorm v c p

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hc : 0 ≤ c
hp : ¬p = 0
⊢ PowerSeries.gaussNorm (⇑v) c ↑p = gaussNorm v c p
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussNorm

Goal state before:
pp: case neg.a
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hc : 0 ≤ c
hp : ¬p = 0
⊢ ⨆ i, v (p.coeff i) * c ^ i ≤ p.support.sup' ⋯ fun i ↦ v (p.coeff i) * c ^ i

pp: case a
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hc : 0 ≤ c
hp : ¬p = 0
⊢ (p.support.sup' ⋯ fun i ↦ v (p.coeff i) * c ^ i) ≤ ⨆ i, v (p.coeff i) * c ^ i

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.a
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hc : 0 ≤ c
hp : ¬p = 0
⊢ ⨆ i, v (p.coeff i) * c ^ i ≤ p.support.sup' ⋯ fun i ↦ v (p.coeff i) * c ^ i
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussNorm

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hc : 0 ≤ c
hp : ¬p = 0
n : ℕ
h : n ∈ p.support
⊢ v (p.coeff n) * c ^ n ≤ p.support.sup' ⋯ fun i ↦ v (p.coeff i) * c ^ i

pp: case neg
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hc : 0 ≤ c
hp : ¬p = 0
n : ℕ
h : n ∉ p.support
⊢ v (p.coeff n) * c ^ n ≤ p.support.sup' ⋯ fun i ↦ v (p.coeff i) * c ^ i

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hc : 0 ≤ c
hp : ¬p = 0
n : ℕ
h : n ∈ p.support
⊢ v (p.coeff n) * c ^ n ≤ p.support.sup' ⋯ fun i ↦ v (p.coeff i) * c ^ i
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussNorm

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hc : 0 ≤ c
hp : ¬p = 0
n : ℕ
h : n ∉ p.support
⊢ v (p.coeff n) * c ^ n ≤ p.support.sup' ⋯ fun i ↦ v (p.coeff i) * c ^ i

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hc : 0 ≤ c
hp : ¬p = 0
n : ℕ
h : n ∉ p.support
⊢ v (p.coeff n) * c ^ n ≤ p.support.sup' ⋯ fun i ↦ v (p.coeff i) * c ^ i
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussNorm

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hc : 0 ≤ c
hp : ¬p = 0
⊢ (p.support.sup' ⋯ fun i ↦ v (p.coeff i) * c ^ i) ≤ ⨆ i, v (p.coeff i) * c ^ i

Tactic:
·

Goal state after:
case a
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hc : 0 ≤ c
hp : ¬p = 0
⊢ (p.support.sup' ⋯ fun i ↦ v (p.coeff i) * c ^ i) ≤ ⨆ i, v (p.coeff i) * c ^ i
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussNorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
c : ℝ
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hc : 0 ≤ c
⊢ PowerSeries.gaussNorm (⇑v) c ↑p = gaussNorm v c p

Tactic:
by
  by_cases hp : p = 0
  · simp [hp]
  · simp only [PowerSeries.gaussNorm_eq, coeff_coe, gaussNorm, support_nonempty, ne_eq, hp,
      not_false_eq_true, ↓reduceDIte]
    apply le_antisymm
    · apply ciSup_le
      intro n
      by_cases h : n ∈ p.support
      · exact Finset.le_sup' (fun j ↦ v (p.coeff j) * c ^ j) h
      · simp_all [sup'_nonneg_of_ne_zero v (support_nonempty.mpr hp) hc]
    · obtain ⟨i, hi⟩ := exists_eq_gaussNorm v c p
      simp only [gaussNorm, support_nonempty.mpr hp, ↓reduceDIte] at hi
      rw [hi]
      exact le_ciSup (aux_bdd v p) i

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.ODE.PicardLindelof

Goal state before:
pp: case neg
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E → E
α : ℝ → E
u : Set E
t₀ tmin tmax : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Icc tmin tmax
n : ℕ
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) (uncurry f) (Icc tmin tmax ×ˢ u)
hα : ContinuousOn α (Icc tmin tmax)
hmem : ∀ t ∈ Icc tmin tmax, α t ∈ u
x₀ : E
heqon : ∀ t ∈ Icc tmin tmax, α t = picard f t₀ x₀ α t
hlt : ¬tmin < tmax
⊢ ContDiffOn ℝ (↑n) (picard f t₀ x₀ α) (Icc tmin tmax)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E → E
α : ℝ → E
u : Set E
t₀ tmin tmax : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Icc tmin tmax
n : ℕ
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) (uncurry f) (Icc tmin tmax ×ˢ u)
hα : ContinuousOn α (Icc tmin tmax)
hmem : ∀ t ∈ Icc tmin tmax, α t ∈ u
x₀ : E
heqon : ∀ t ∈ Icc tmin tmax, α t = picard f t₀ x₀ α t
hlt : ¬tmin < tmax
⊢ ContDiffOn ℝ (↑n) (picard f t₀ x₀ α) (Icc tmin tmax)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussNorm

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
this : (fun i ↦ v (p.coeff i) * 0 ^ i) = fun i ↦ if i = 0 then v (p.coeff 0) else 0
h✝ : p.coeff 0 = 0
⊢ gaussNorm v 0 p = v (p.coeff 0)

pp: case inr
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
this : (fun i ↦ v (p.coeff i) * 0 ^ i) = fun i ↦ if i = 0 then v (p.coeff 0) else 0
hcoeff0 : p.coeff 0 ≠ 0
⊢ gaussNorm v 0 p = v (p.coeff 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
this : (fun i ↦ v (p.coeff i) * 0 ^ i) = fun i ↦ if i = 0 then v (p.coeff 0) else 0
h✝ : p.coeff 0 = 0
⊢ gaussNorm v 0 p = v (p.coeff 0)
Module: Mathlib.Analysis.ODE.PicardLindelof

Goal state before:
pp: case neg
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E → E
α : ℝ → E
u : Set E
t₀ tmin tmax : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Icc tmin tmax
n : ℕ
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) (uncurry f) (Icc tmin tmax ×ˢ u)
hα : ContinuousOn α (Icc tmin tmax)
hmem : ∀ t ∈ Icc tmin tmax, α t ∈ u
x₀ : E
heqon : ∀ t ∈ Icc tmin tmax, α t = picard f t₀ x₀ α t
hlt : ¬tmin < tmax
⊢ ContDiffOn ℝ (↑n) (picard f t₀ x₀ α) (Icc tmin tmax)

Tactic:
rw [(subsingleton_Icc_of_ge (not_lt.mp hlt)).eq_singleton_of_mem ht₀]
    intro t ht
    rw [eq_of_mem_singleton ht]
    exact contDiffWithinAt_singleton

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussNorm

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
this : (fun i ↦ v (p.coeff i) * 0 ^ i) = fun i ↦ if i = 0 then v (p.coeff 0) else 0
hcoeff0 : p.coeff 0 ≠ 0
⊢ gaussNorm v 0 p = v (p.coeff 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
this : (fun i ↦ v (p.coeff i) * 0 ^ i) = fun i ↦ if i = 0 then v (p.coeff 0) else 0
hcoeff0 : p.coeff 0 ≠ 0
⊢ gaussNorm v 0 p = v (p.coeff 0)
Module: Mathlib.RingTheory.MvPowerSeries.GaussNorm

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
σ : Type u_2
v : R → ℝ
c : σ → ℝ
f : MvPowerSeries σ R
inst✝ : Semiring R
vNonneg : ∀ (a : R), v a ≥ 0
h : HasGaussNorm v c f
⊢ 0 ≤ ⨆ t, v ((coeff t) f) * t.prod fun x1 x2 ↦ c x1 ^ x2

pp: case neg
R : Type u_1
σ : Type u_2
v : R → ℝ
c : σ → ℝ
f : MvPowerSeries σ R
inst✝ : Semiring R
vNonneg : ∀ (a : R), v a ≥ 0
h : ¬HasGaussNorm v c f
⊢ 0 ≤ ⨆ t, v ((coeff t) f) * t.prod fun x1 x2 ↦ c x1 ^ x2

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
σ : Type u_2
v : R → ℝ
c : σ → ℝ
f : MvPowerSeries σ R
inst✝ : Semiring R
vNonneg : ∀ (a : R), v a ≥ 0
h : HasGaussNorm v c f
⊢ 0 ≤ ⨆ t, v ((coeff t) f) * t.prod fun x1 x2 ↦ c x1 ^ x2
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussNorm

Goal state before:
pp: case inr.a
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
this : (fun i ↦ v (p.coeff i) * 0 ^ i) = fun i ↦ if i = 0 then v (p.coeff 0) else 0
hcoeff0 : p.coeff 0 ≠ 0
⊢ gaussNorm v 0 p ≤ v (p.coeff 0)

pp: case a
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
this : (fun i ↦ v (p.coeff i) * 0 ^ i) = fun i ↦ if i = 0 then v (p.coeff 0) else 0
hcoeff0 : p.coeff 0 ≠ 0
⊢ v (p.coeff 0) ≤ gaussNorm v 0 p

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.a
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
this : (fun i ↦ v (p.coeff i) * 0 ^ i) = fun i ↦ if i = 0 then v (p.coeff 0) else 0
hcoeff0 : p.coeff 0 ≠ 0
⊢ gaussNorm v 0 p ≤ v (p.coeff 0)
Module: Mathlib.RingTheory.MvPowerSeries.GaussNorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
σ : Type u_2
v : R → ℝ
c : σ → ℝ
f : MvPowerSeries σ R
inst✝ : Semiring R
vNonneg : ∀ (a : R), v a ≥ 0
h : HasGaussNorm v c f
⊢ 0 ≤ v (constantCoeff f)

pp: R : Type u_1
σ : Type u_2
v : R → ℝ
c : σ → ℝ
f : MvPowerSeries σ R
inst✝ : Semiring R
vNonneg : ∀ (a : R), v a ≥ 0
h : HasGaussNorm v c f
⊢ v (constantCoeff f) ≤ ⨆ t, v ((coeff t) f) * t.prod fun x1 x2 ↦ c x1 ^ x2

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type u_1
σ : Type u_2
v : R → ℝ
c : σ → ℝ
f : MvPowerSeries σ R
inst✝ : Semiring R
vNonneg : ∀ (a : R), v a ≥ 0
h : HasGaussNorm v c f
⊢ 0 ≤ v (constantCoeff f)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussNorm

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
this : (fun i ↦ v (p.coeff i) * 0 ^ i) = fun i ↦ if i = 0 then v (p.coeff 0) else 0
hcoeff0 : p.coeff 0 ≠ 0
⊢ v (p.coeff 0) ≤ gaussNorm v 0 p

Tactic:
·

Goal state after:
case a
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
p : R[X]
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
this : (fun i ↦ v (p.coeff i) * 0 ^ i) = fun i ↦ if i = 0 then v (p.coeff 0) else 0
hcoeff0 : p.coeff 0 ≠ 0
⊢ v (p.coeff 0) ≤ gaussNorm v 0 p
Module: Mathlib.Analysis.ODE.PicardLindelof

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E → E
α : ℝ → E
u : Set E
tmin tmax : ℝ
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) (uncurry f) (Icc tmin tmax ×ˢ u)
hα : ∀ t ∈ Icc tmin tmax, HasDerivWithinAt α (f t (α t)) (Icc tmin tmax) t
hmem : MapsTo α (Icc tmin tmax) u
hlt : tmin < tmax
⊢ ContDiffOn ℝ (↑n) α (Icc tmin tmax)

pp: case neg
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E → E
α : ℝ → E
u : Set E
tmin tmax : ℝ
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) (uncurry f) (Icc tmin tmax ×ˢ u)
hα : ∀ t ∈ Icc tmin tmax, HasDerivWithinAt α (f t (α t)) (Icc tmin tmax) t
hmem : MapsTo α (Icc tmin tmax) u
hlt : ¬tmin < tmax
⊢ ContDiffOn ℝ (↑n) α (Icc tmin tmax)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E → E
α : ℝ → E
u : Set E
tmin tmax : ℝ
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) (uncurry f) (Icc tmin tmax ×ˢ u)
hα : ∀ t ∈ Icc tmin tmax, HasDerivWithinAt α (f t (α t)) (Icc tmin tmax) t
hmem : MapsTo α (Icc tmin tmax) u
hlt : tmin < tmax
⊢ ContDiffOn ℝ (↑n) α (Icc tmin tmax)
Module: Mathlib.RingTheory.MvPowerSeries.GaussNorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
σ : Type u_2
v : R → ℝ
c : σ → ℝ
f : MvPowerSeries σ R
inst✝ : Semiring R
vNonneg : ∀ (a : R), v a ≥ 0
h : HasGaussNorm v c f
⊢ v (constantCoeff f) ≤ ⨆ t, v ((coeff t) f) * t.prod fun x1 x2 ↦ c x1 ^ x2

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type u_1
σ : Type u_2
v : R → ℝ
c : σ → ℝ
f : MvPowerSeries σ R
inst✝ : Semiring R
vNonneg : ∀ (a : R), v a ≥ 0
h : HasGaussNorm v c f
⊢ v (constantCoeff f) ≤ ⨆ t, v ((coeff t) f) * t.prod fun x1 x2 ↦ c x1 ^ x2
Module: Mathlib.RingTheory.MvPowerSeries.GaussNorm

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
σ : Type u_2
v : R → ℝ
c : σ → ℝ
f : MvPowerSeries σ R
inst✝ : Semiring R
vNonneg : ∀ (a : R), v a ≥ 0
h : ¬HasGaussNorm v c f
⊢ 0 ≤ ⨆ t, v ((coeff t) f) * t.prod fun x1 x2 ↦ c x1 ^ x2

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
σ : Type u_2
v : R → ℝ
c : σ → ℝ
f : MvPowerSeries σ R
inst✝ : Semiring R
vNonneg : ∀ (a : R), v a ≥ 0
h : ¬HasGaussNorm v c f
⊢ 0 ≤ ⨆ t, v ((coeff t) f) * t.prod fun x1 x2 ↦ c x1 ^ x2
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussNorm

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hna : IsNonarchimedean ⇑v
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
p q : R[X]
hp : p = 0
⊢ gaussNorm v c (p + q) ≤ max (gaussNorm v c p) (gaussNorm v c q)

pp: case inr
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hna : IsNonarchimedean ⇑v
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
p q : R[X]
h✝ : p ≠ 0
⊢ gaussNorm v c (p + q) ≤ max (gaussNorm v c p) (gaussNorm v c q)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hna : IsNonarchimedean ⇑v
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
p q : R[X]
hp : p = 0
⊢ gaussNorm v c (p + q) ≤ max (gaussNorm v c p) (gaussNorm v c q)
Module: Mathlib.Analysis.ODE.PicardLindelof

Goal state before:
pp: case neg
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E → E
α : ℝ → E
u : Set E
tmin tmax : ℝ
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) (uncurry f) (Icc tmin tmax ×ˢ u)
hα : ∀ t ∈ Icc tmin tmax, HasDerivWithinAt α (f t (α t)) (Icc tmin tmax) t
hmem : MapsTo α (Icc tmin tmax) u
hlt : ¬tmin < tmax
⊢ ContDiffOn ℝ (↑n) α (Icc tmin tmax)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E → E
α : ℝ → E
u : Set E
tmin tmax : ℝ
n : ℕ∞
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) (uncurry f) (Icc tmin tmax ×ˢ u)
hα : ∀ t ∈ Icc tmin tmax, HasDerivWithinAt α (f t (α t)) (Icc tmin tmax) t
hmem : MapsTo α (Icc tmin tmax) u
hlt : ¬tmin < tmax
⊢ ContDiffOn ℝ (↑n) α (Icc tmin tmax)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussNorm

Goal state before:
pp: case inr.inl
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hna : IsNonarchimedean ⇑v
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
p q : R[X]
h✝ : p ≠ 0
hq : q = 0
⊢ gaussNorm v c (p + q) ≤ max (gaussNorm v c p) (gaussNorm v c q)

pp: case inr.inr
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hna : IsNonarchimedean ⇑v
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
p q : R[X]
h✝¹ : p ≠ 0
h✝ : q ≠ 0
⊢ gaussNorm v c (p + q) ≤ max (gaussNorm v c p) (gaussNorm v c q)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hna : IsNonarchimedean ⇑v
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
p q : R[X]
h✝ : p ≠ 0
hq : q = 0
⊢ gaussNorm v c (p + q) ≤ max (gaussNorm v c p) (gaussNorm v c q)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.GaussNorm

Goal state before:
pp: case inr.inr.inl
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hna : IsNonarchimedean ⇑v
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
p q : R[X]
h✝¹ : p ≠ 0
h✝ : q ≠ 0
hpq : p + q = 0
⊢ gaussNorm v c (p + q) ≤ max (gaussNorm v c p) (gaussNorm v c q)

pp: case inr.inr.inr
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hna : IsNonarchimedean ⇑v
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
p q : R[X]
h✝¹ : p ≠ 0
h✝ : q ≠ 0
hpq : p + q ≠ 0
⊢ gaussNorm v c (p + q) ≤ max (gaussNorm v c p) (gaussNorm v c q)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr.inl
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : FunLike F R ℝ
v : F
inst✝¹ : ZeroHomClass F R ℝ
inst✝ : NonnegHomClass F R ℝ
hna : IsNonarchimedean ⇑v
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
p q : R[X]
h✝¹ : p ≠ 0
h✝ : q ≠ 0
hpq : p + q = 0
⊢ gaussNorm v c (p + q) ≤ max (gaussNorm v c p) (gaussNorm v c q)
Module: Mathlib.Analysis.Polynomial.Norm

Goal state before:
pp: case pos
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedRing A
p : A[X]
h : p.support.Nonempty
⊢ p.supNorm = p.support.sup' h (norm ∘ p.coeff)

pp: case neg
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedRing A
p : A[X]
h : ¬p.support.Nonempty
⊢ p.supNorm = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedRing A
p : A[X]
h : p.support.Nonempty
⊢ p.supNorm = p.support.sup' h (norm ∘ p.coeff)
Module: Mathlib.Analysis.Polynomial.Norm

Goal state before:
pp: case neg
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedRing A
p : A[X]
h : ¬p.support.Nonempty
⊢ p.supNorm = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedRing A
p : A[X]
h : ¬p.support.Nonempty
⊢ p.supNorm = 0
Module: Mathlib.Analysis.Polynomial.Norm

Goal state before:
pp: case pos
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedRing A
n : ℕ
a : A
ha : a = 0
⊢ ((monomial n) a).supNorm = ‖a‖

pp: case neg
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedRing A
n : ℕ
a : A
ha : ¬a = 0
⊢ ((monomial n) a).supNorm = ‖a‖

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedRing A
n : ℕ
a : A
ha : a = 0
⊢ ((monomial n) a).supNorm = ‖a‖
Module: Mathlib.Analysis.Polynomial.Norm

Goal state before:
pp: case neg
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedRing A
n : ℕ
a : A
ha : ¬a = 0
⊢ ((monomial n) a).supNorm = ‖a‖

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedRing A
n : ℕ
a : A
ha : ¬a = 0
⊢ ((monomial n) a).supNorm = ‖a‖