mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: case «0»
F : Type u_1
inst✝ : Field F
a : F
ha : a ≠ 0
hasq : a ^ 2 ≠ 1
j : Fin 2
c : F
h : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ j
⊢ SpecialLinearGroup.transvection h c ∈ commutator SL(2, F)

pp: case «1»
F : Type u_1
inst✝ : Field F
a : F
ha : a ≠ 0
hasq : a ^ 2 ≠ 1
j : Fin 2
c : F
h : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ j
⊢ SpecialLinearGroup.transvection h c ∈ commutator SL(2, F)

Tactic:
·

Goal state after:
case «0»
F : Type u_1
inst✝ : Field F
a : F
ha : a ≠ 0
hasq : a ^ 2 ≠ 1
j : Fin 2
c : F
h : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ j
⊢ SpecialLinearGroup.transvection h c ∈ commutator SL(2, F)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: case «1»
F : Type u_1
inst✝ : Field F
a : F
ha : a ≠ 0
hasq : a ^ 2 ≠ 1
j : Fin 2
c : F
h : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ j
⊢ SpecialLinearGroup.transvection h c ∈ commutator SL(2, F)

Tactic:
·

Goal state after:
case «1»
F : Type u_1
inst✝ : Field F
a : F
ha : a ≠ 0
hasq : a ^ 2 ≠ 1
j : Fin 2
c : F
h : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ j
⊢ SpecialLinearGroup.transvection h c ∈ commutator SL(2, F)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: case «0»
F : Type u_1
inst✝ : Field F
P : SL(2, F) → Prop
htransvec : ∀ (i j : Fin 2) (h : i ≠ j) (c : F), P (SpecialLinearGroup.transvection h c)
hmul : ∀ (A B : SL(2, F)), P A → P B → P (A * B)
A : SL(2, F)
j : Fin 2
c : F
hc : c ≠ 0
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ j
⊢ P (diag2n hij c hc)

pp: case «1»
F : Type u_1
inst✝ : Field F
P : SL(2, F) → Prop
htransvec : ∀ (i j : Fin 2) (h : i ≠ j) (c : F), P (SpecialLinearGroup.transvection h c)
hmul : ∀ (A B : SL(2, F)), P A → P B → P (A * B)
A : SL(2, F)
j : Fin 2
c : F
hc : c ≠ 0
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ j
⊢ P (diag2n hij c hc)

Tactic:
·

Goal state after:
case «0»
F : Type u_1
inst✝ : Field F
P : SL(2, F) → Prop
htransvec : ∀ (i j : Fin 2) (h : i ≠ j) (c : F), P (SpecialLinearGroup.transvection h c)
hmul : ∀ (A B : SL(2, F)), P A → P B → P (A * B)
A : SL(2, F)
j : Fin 2
c : F
hc : c ≠ 0
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ j
⊢ P (diag2n hij c hc)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: case «1»
F : Type u_1
inst✝ : Field F
P : SL(2, F) → Prop
htransvec : ∀ (i j : Fin 2) (h : i ≠ j) (c : F), P (SpecialLinearGroup.transvection h c)
hmul : ∀ (A B : SL(2, F)), P A → P B → P (A * B)
A : SL(2, F)
j : Fin 2
c : F
hc : c ≠ 0
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ j
⊢ P (diag2n hij c hc)

Tactic:
·

Goal state after:
case «1»
F : Type u_1
inst✝ : Field F
P : SL(2, F) → Prop
htransvec : ∀ (i j : Fin 2) (h : i ≠ j) (c : F), P (SpecialLinearGroup.transvection h c)
hmul : ∀ (A B : SL(2, F)), P A → P B → P (A * B)
A : SL(2, F)
j : Fin 2
c : F
hc : c ≠ 0
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ j
⊢ P (diag2n hij c hc)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
R : Type u_16
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
⊢ (∑ i_1,
      ((Pi.basisFun R m).repr (r (Pi.single j 1))).sum fun j yj ↦
        ((Pi.basisFun R n).repr (l (Pi.single i 1))) i_1 •> yj •> (B ((Pi.basisFun R n) i_1)) ((Pi.basisFun R m) j)) =
    ∑ y,
      ∑ x,
        of (fun i j ↦ l (Pi.single j 1) i) y i * (B (Pi.single y 1)) (Pi.single x 1) *
          of (fun i j ↦ r (Pi.single j 1) i) x j

pp: case h
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
R : Type u_16
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
⊢ ∀ (i : n),
    (((Pi.basisFun R m).repr (r (Pi.single j 1))).sum fun j yj ↦
        0 •> yj •> (B ((Pi.basisFun R n) i)) ((Pi.basisFun R m) j)) =
      0

Tactic:
·

Goal state after:
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
R : Type u_16
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
⊢ (∑ i_1,
      ((Pi.basisFun R m).repr (r (Pi.single j 1))).sum fun j yj ↦
        ((Pi.basisFun R n).repr (l (Pi.single i 1))) i_1 •> yj •> (B ((Pi.basisFun R n) i_1)) ((Pi.basisFun R m) j)) =
    ∑ y,
      ∑ x,
        of (fun i j ↦ l (Pi.single j 1) i) y i * (B (Pi.single y 1)) (Pi.single x 1) *
          of (fun i j ↦ r (Pi.single j 1) i) x j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
R : Type u_16
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ ∑ i_1,
      ((Pi.basisFun R n).repr (l (Pi.single i 1))) i' •>
        ((Pi.basisFun R m).repr (r (Pi.single j 1))) i_1 •> (B ((Pi.basisFun R n) i')) ((Pi.basisFun R m) i_1) =
    ∑ x,
      of (fun i j ↦ l (Pi.single j 1) i) i' i * (B (Pi.single i' 1)) (Pi.single x 1) *
        of (fun i j ↦ r (Pi.single j 1) i) x j

pp: case h
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
R : Type u_16
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ ∀ (i_1 : m),
    ((Pi.basisFun R n).repr (l (Pi.single i 1))) i' •> 0 •> (B ((Pi.basisFun R n) i')) ((Pi.basisFun R m) i_1) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
R : Type u_16
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ ∑ i_1,
      ((Pi.basisFun R n).repr (l (Pi.single i 1))) i' •>
        ((Pi.basisFun R m).repr (r (Pi.single j 1))) i_1 •> (B ((Pi.basisFun R n) i')) ((Pi.basisFun R m) i_1) =
    ∑ x,
      of (fun i j ↦ l (Pi.single j 1) i) i' i * (B (Pi.single i' 1)) (Pi.single x 1) *
        of (fun i j ↦ r (Pi.single j 1) i) x j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: case h
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
R : Type u_16
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ ∀ (i_1 : m),
    ((Pi.basisFun R n).repr (l (Pi.single i 1))) i' •> 0 •> (B ((Pi.basisFun R n) i')) ((Pi.basisFun R m) i_1) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case h
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
R : Type u_16
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ ∀ (i_1 : m),
    ((Pi.basisFun R n).repr (l (Pi.single i 1))) i' •> 0 •> (B ((Pi.basisFun R n) i')) ((Pi.basisFun R m) i_1) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: case h
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
R : Type u_16
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
⊢ ∀ (i : n),
    (((Pi.basisFun R m).repr (r (Pi.single j 1))).sum fun j yj ↦
        0 •> yj •> (B ((Pi.basisFun R n) i)) ((Pi.basisFun R m) j)) =
      0

Tactic:
·

Goal state after:
case h
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
R : Type u_16
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
⊢ ∀ (i : n),
    (((Pi.basisFun R m).repr (r (Pi.single j 1))).sum fun j yj ↦
        0 •> yj •> (B ((Pi.basisFun R n) i)) ((Pi.basisFun R m) j)) =
      0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: i j : Fin 2
⊢ ↑(S • S • S • T • S • T • S) i j = ↑T⁻¹ i j

Tactic:
fin_cases i <;> fin_cases j <;> rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
a : R
x y : M
B : BilinMap R M N
h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y
⊢ (a * a) • Q x + Q y + a • (B x) y - ((a * a) • Q x + Q y) = a • (Q x + Q y + (B x) y - (Q x + Q y))

Tactic:
add_sub_cancel_left

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : Fintype n
inst✝¹⁰ : Fintype m
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ (∑ i_1, (b₂.repr (r (b₂' j))).sum fun j yj ↦ (b₁.repr (l (b₁' i))) i_1 •> yj •> (B (b₁ i_1)) (b₂ j)) =
    ∑ y, ∑ x, (b₁.repr (l (b₁' i))) y * (B (b₁ y)) (b₂ x) * (b₂.repr (r (b₂' j))) x

pp: case h
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : Fintype n
inst✝¹⁰ : Fintype m
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ ∀ (i : n), ((b₂.repr (r (b₂' j))).sum fun j yj ↦ 0 •> yj •> (B (b₁ i)) (b₂ j)) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : Fintype n
inst✝¹⁰ : Fintype m
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ (∑ i_1, (b₂.repr (r (b₂' j))).sum fun j yj ↦ (b₁.repr (l (b₁' i))) i_1 •> yj •> (B (b₁ i_1)) (b₂ j)) =
    ∑ y, ∑ x, (b₁.repr (l (b₁' i))) y * (B (b₁ y)) (b₂ x) * (b₂.repr (r (b₂' j))) x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : Fintype n
inst✝¹⁰ : Fintype m
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ ∑ i_1, (b₁.repr (l (b₁' i))) i' •> (b₂.repr (r (b₂' j))) i_1 •> (B (b₁ i')) (b₂ i_1) =
    ∑ x, (b₁.repr (l (b₁' i))) i' * (B (b₁ i')) (b₂ x) * (b₂.repr (r (b₂' j))) x

pp: case h
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : Fintype n
inst✝¹⁰ : Fintype m
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ ∀ (i_1 : m), (b₁.repr (l (b₁' i))) i' •> 0 •> (B (b₁ i')) (b₂ i_1) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : Fintype n
inst✝¹⁰ : Fintype m
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ ∑ i_1, (b₁.repr (l (b₁' i))) i' •> (b₂.repr (r (b₂' j))) i_1 •> (B (b₁ i')) (b₂ i_1) =
    ∑ x, (b₁.repr (l (b₁' i))) i' * (B (b₁ i')) (b₂ x) * (b₂.repr (r (b₂' j))) x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M
⊢ (⋯.choose x) y = Q x + Q y + (⋯.choose x) y - (Q x + Q y)

Tactic:
add_sub_cancel_left

Goal state after:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M
⊢ (⋯.choose x) y = (⋯.choose x) y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : Fintype n
inst✝¹⁰ : Fintype m
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ ∀ (i_1 : m), (b₁.repr (l (b₁' i))) i' •> 0 •> (B (b₁ i')) (b₂ i_1) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case h
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : Fintype n
inst✝¹⁰ : Fintype m
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ ∀ (i_1 : m), (b₁.repr (l (b₁' i))) i' •> 0 •> (B (b₁ i')) (b₂ i_1) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : Fintype n
inst✝¹⁰ : Fintype m
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ ∀ (i : n), ((b₂.repr (r (b₂' j))).sum fun j yj ↦ 0 •> yj •> (B (b₁ i)) (b₂ j)) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case h
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁴ : Module R M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R M₂
inst✝¹¹ : Fintype n
inst✝¹⁰ : Fintype m
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ ∀ (i : n), ((b₂.repr (r (b₂' j))).sum fun j yj ↦ 0 •> yj •> (B (b₁ i)) (b₂ j)) = 0
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : SetLike σ A
inst✝² : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
i j : ι
inst✝¹ : AddRightCancelMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
a b : A
b_mem : b ∈ 𝒜 j
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (a * b)) (i + j)) = ↑(((decompose 𝒜) a) i) * b

Tactic:
lift b to 𝒜 j using b_mem

Goal state after:
ι : Type u_1
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : SetLike σ A
inst✝² : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
i j : ι
inst✝¹ : AddRightCancelMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
a : A
b : ↥(𝒜 j)
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (a * ↑b)) (i + j)) = ↑(((decompose 𝒜) a) i) * ↑b
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
n : Type u_11
n' : Type u_13
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
J : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R
h : B = B'
⊢ (toMatrix₂' R) B = (toMatrix₂' R) B'

pp: case mpr
R : Type u_1
n : Type u_11
n' : Type u_13
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
J : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R
h : (toMatrix₂' R) B = (toMatrix₂' R) B'
⊢ B = B'

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
n : Type u_11
n' : Type u_13
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
J : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R
h : B = B'
⊢ (toMatrix₂' R) B = (toMatrix₂' R) B'
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
n : Type u_11
n' : Type u_13
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
J : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R
h : (toMatrix₂' R) B = (toMatrix₂' R) B'
⊢ B = B'

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
R : Type u_1
n : Type u_11
n' : Type u_13
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
J : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R
h : (toMatrix₂' R) B = (toMatrix₂' R) B'
⊢ B = B'
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
x : A
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (0 * x)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) 0) 0) * ↑(((decompose 𝒜) x) 0)

pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
⊢ ∀ {i : ι} (m : ↥(𝒜 i)) (y : A), ↑(((decompose 𝒜) (↑m * y)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑m) 0) * ↑(((decompose 𝒜) y) 0)

pp: case refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
⊢ ∀ (m m' : A),
    (∀ (y : A), ↑(((decompose 𝒜) (m * y)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) m) 0) * ↑(((decompose 𝒜) y) 0)) →
      (∀ (y : A), ↑(((decompose 𝒜) (m' * y)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) m') 0) * ↑(((decompose 𝒜) y) 0)) →
        ∀ (y : A), ↑(((decompose 𝒜) ((m + m') * y)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) (m + m')) 0) * ↑(((decompose 𝒜) y) 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
x : A
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (0 * x)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) 0) 0) * ↑(((decompose 𝒜) x) 0)