mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
⊢ ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v k) μ

Tactic:
·

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
⊢ ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v k) μ
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: case hf
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
I : Integrable (fun v ↦ ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
v : V
i : ℕ
hi : i ≤ m
j : ℕ
hj : j ≤ k
⊢ ∀ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1), 0 ≤ ‖v‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f v‖

pp: case h
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
I : Integrable (fun v ↦ ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
v : V
i : ℕ
hi : i ≤ m
j : ℕ
hj : j ≤ k
⊢ (j, i) ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case hf
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
I : Integrable (fun v ↦ ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
v : V
i : ℕ
hi : i ≤ m
j : ℕ
hj : j ≤ k
⊢ ∀ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1), 0 ≤ ‖v‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f v‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: case h'iφ
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ ∀ᶠ (i : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (fun x ↦ i ^ finrank ℝ F * φ (i • x)) μ

pp: case hmg
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ Integrable g μ

pp: case hcg
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ Tendsto g (𝓝 0) (𝓝 (g 0))

Tactic:
·

Goal state after:
case h'iφ
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ ∀ᶠ (i : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (fun x ↦ i ^ finrank ℝ F * φ (i • x)) μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: case hmg
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ Integrable g μ

pp: case hcg
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ Tendsto g (𝓝 0) (𝓝 (g 0))

Tactic:
·

Goal state after:
case hmg
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ Integrable g μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: case hcg
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ Tendsto g (𝓝 0) (𝓝 (g 0))

Tactic:
·

Goal state after:
case hcg
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ Tendsto g (𝓝 0) (𝓝 (g 0))
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: case h
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
I : Integrable (fun v ↦ ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
v : V
i : ℕ
hi : i ≤ m
j : ℕ
hj : j ≤ k
⊢ (j, i) ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case h
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
I : Integrable (fun v ↦ ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
v : V
i : ℕ
hi : i ≤ m
j : ℕ
hj : j ≤ k
⊢ (j, i) ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.Integral

Goal state before:
pp: case refine_1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
hf : Summable fun n ↦ ‖ContinuousMap.restrict (Icc 0 1) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
n : ℤ
⊢ ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := Icc (↑n) (↑n + 1), isCompact' := ⋯ }) f‖ *
      volume.real ↑{ carrier := Icc (↑n) (↑n + 1), isCompact' := ⋯ } ≤
    ‖ContinuousMap.restrict (Icc 0 1) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖

pp: case refine_2
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
hf : Summable fun n ↦ ‖ContinuousMap.restrict (Icc 0 1) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
⊢ ⋃ i, ↑{ carrier := Icc (↑i) (↑i + 1), isCompact' := ⋯ } = univ

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
hf : Summable fun n ↦ ‖ContinuousMap.restrict (Icc 0 1) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
n : ℤ
⊢ ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := Icc (↑n) (↑n + 1), isCompact' := ⋯ }) f‖ *
      volume.real ↑{ carrier := Icc (↑n) (↑n + 1), isCompact' := ⋯ } ≤
    ‖ContinuousMap.restrict (Icc 0 1) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.Integral

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
hf : Summable fun n ↦ ‖ContinuousMap.restrict (Icc 0 1) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
⊢ ⋃ i, ↑{ carrier := Icc (↑i) (↑i + 1), isCompact' := ⋯ } = univ

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
hf : Summable fun n ↦ ‖ContinuousMap.restrict (Icc 0 1) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
⊢ ⋃ i, ↑{ carrier := Icc (↑i) (↑i + 1), isCompact' := ⋯ } = univ
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: case hgi
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
⊢ Integrable
    (fun a ↦
      (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
        ∑ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ‖a‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f a‖)
    μ

pp: case h
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
⊢ (fun a ↦ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v k) a‖) ≤ᵐ[μ] fun a ↦
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
      ∑ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ‖a‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f a‖

Tactic:
·

Goal state after:
case hgi
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
⊢ Integrable
    (fun a ↦
      (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
        ∑ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ‖a‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f a‖)
    μ
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: case h
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
⊢ (fun a ↦ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v k) a‖) ≤ᵐ[μ] fun a ↦
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
      ∑ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ‖a‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f a‖

Tactic:
·

Goal state after:
case h
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
⊢ (fun a ↦ ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v k) a‖) ≤ᵐ[μ] fun a ↦
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
      ∑ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ‖a‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f a‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.Integral

Goal state before:
pp: case pos
f : ℝ → ℝ
eq : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f |x| = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x
hf : IntegrableOn (fun x ↦ f |x|) (Ioi 0) volume
⊢ ∫ (x : ℝ), f |x| = 2 * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x

pp: case neg
f : ℝ → ℝ
eq : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f |x| = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x
hf : ¬IntegrableOn (fun x ↦ f |x|) (Ioi 0) volume
⊢ ∫ (x : ℝ), f |x| = 2 * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
f : ℝ → ℝ
eq : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f |x| = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x
hf : IntegrableOn (fun x ↦ f |x|) (Ioi 0) volume
⊢ ∫ (x : ℝ), f |x| = 2 * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: case hf
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
v : V
i : ℕ
hi : i ≤ n
j : ℕ
hj : j ≤ k
⊢ ∀ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), 0 ≤ ‖v‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f v‖

pp: case h
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
v : V
i : ℕ
hi : i ≤ n
j : ℕ
hj : j ≤ k
⊢ (j, i) ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case hf
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
v : V
i : ℕ
hi : i ≤ n
j : ℕ
hj : j ≤ k
⊢ ∀ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), 0 ≤ ‖v‖ ^ i.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ i.2 f v‖
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: case h
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
v : V
i : ℕ
hi : i ≤ n
j : ℕ
hj : j ≤ k
⊢ (j, i) ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case h
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
I : ∀ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ
v : V
i : ℕ
hi : i ≤ n
j : ℕ
hj : j ≤ k
⊢ (j, i) ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ImproperIntegrals

Goal state before:
pp: case refine_1
a : ℂ
ha : a.re < 0
c : ℝ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x ↦ Complex.exp (a * ↑x)) (volume.restrict (Ioi c))

pp: case refine_2
a : ℂ
ha : a.re < 0
c : ℝ
⊢ Integrable (fun a_1 ↦ ‖Complex.exp (a * ↑a_1)‖) (volume.restrict (Ioi c))

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
a : ℂ
ha : a.re < 0
c : ℝ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x ↦ Complex.exp (a * ↑x)) (volume.restrict (Ioi c))
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ImproperIntegrals

Goal state before:
pp: case refine_2
a : ℂ
ha : a.re < 0
c : ℝ
⊢ Integrable (fun a_1 ↦ ‖Complex.exp (a * ↑a_1)‖) (volume.restrict (Ioi c))

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
a : ℂ
ha : a.re < 0
c : ℝ
⊢ Integrable (fun a_1 ↦ ‖Complex.exp (a * ↑a_1)‖) (volume.restrict (Ioi c))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.Integral

Goal state before:
pp: case neg
f : ℝ → ℝ
eq : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f |x| = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x
hf : ¬IntegrableOn (fun x ↦ f |x|) (Ioi 0) volume
⊢ ∫ (x : ℝ), f |x| = 2 * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
f : ℝ → ℝ
eq : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f |x| = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x
hf : ¬IntegrableOn (fun x ↦ f |x|) (Ioi 0) volume
⊢ ∫ (x : ℝ), f |x| = 2 * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, f x
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ImproperIntegrals

Goal state before:
pp: case e'_9
a c m : ℝ
ha : a < -1
hc : -m < c
x : ℝ
hx : x ∈ Ici c
⊢ (x + m) ^ a = 1 * (a + 1) * (id x + m) ^ (a + 1 - 1) / (a + 1)

pp: case convert_3
a c m : ℝ
ha : a < -1
hc : -m < c
x : ℝ
hx : x ∈ Ici c
⊢ id x + m ≠ 0 ∨ 1 ≤ a + 1

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_9
a c m : ℝ
ha : a < -1
hc : -m < c
x : ℝ
hx : x ∈ Ici c
⊢ (x + m) ^ a = 1 * (a + 1) * (id x + m) ^ (a + 1 - 1) / (a + 1)