mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Group

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : IsUniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
o : Set α
ho : o ∈ 𝓝 1
o_closed : IsClosed[inst✝².toTopologicalSpace] o
oe : o ⊆ e
s : Finset β
hs : ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ o
t : Set β
hts : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s
ht : Multipliable fun a ↦ f ↑a
⊢ ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ o

pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : IsUniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
o : Set α
ho : o ∈ 𝓝 1
o_closed : IsClosed[inst✝².toTopologicalSpace] o
oe : o ⊆ e
s : Finset β
hs : ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ o
t : Set β
hts : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s
ht : ¬Multipliable fun a ↦ f ↑a
⊢ ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ o

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : IsUniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
o : Set α
ho : o ∈ 𝓝 1
o_closed : IsClosed[inst✝².toTopologicalSpace] o
oe : o ⊆ e
s : Finset β
hs : ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ o
t : Set β
hts : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s
ht : Multipliable fun a ↦ f ↑a
⊢ ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ o
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
g : ι → α
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ g i
hg : Multipliable g L
⊢ 1 ≤ ∏'[L] (i : ι), g i

pp: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
g : ι → α
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ g i
hg : ¬Multipliable g L
⊢ 1 ≤ ∏'[L] (i : ι), g i

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
g : ι → α
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ g i
hg : Multipliable g L
⊢ 1 ≤ ∏'[L] (i : ι), g i
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
g : ι → α
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ g i
hg : Multipliable g L
hL : L.NeBot
⊢ 1 ≤ ∏'[L] (i : ι), g i

pp: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
g : ι → α
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ g i
hg : Multipliable g L
hL : ¬L.NeBot
⊢ 1 ≤ ∏'[L] (i : ι), g i

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
g : ι → α
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ g i
hg : Multipliable g L
hL : L.NeBot
⊢ 1 ≤ ∏'[L] (i : ι), g i
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
g : ι → α
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ g i
hg : Multipliable g L
hL : ¬L.NeBot
⊢ 1 ≤ ∏'[L] (i : ι), g i

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
g : ι → α
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ g i
hg : Multipliable g L
hL : ¬L.NeBot
⊢ 1 ≤ ∏'[L] (i : ι), g i
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
g : ι → α
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ g i
hg : ¬Multipliable g L
⊢ 1 ≤ ∏'[L] (i : ι), g i

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
g : ι → α
h : ∀ (i : ι), 1 ≤ g i
hg : ¬Multipliable g L
⊢ 1 ≤ ∏'[L] (i : ι), g i
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≤ 1
hf : Multipliable f L
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ 1

pp: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≤ 1
hf : ¬Multipliable f L
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≤ 1
hf : Multipliable f L
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ 1
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≤ 1
hf : Multipliable f L
hL : L.NeBot
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ 1

pp: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≤ 1
hf : Multipliable f L
hL : ¬L.NeBot
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≤ 1
hf : Multipliable f L
hL : L.NeBot
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ 1
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≤ 1
hf : Multipliable f L
hL : ¬L.NeBot
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≤ 1
hf : Multipliable f L
hL : ¬L.NeBot
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ 1
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.NatInt

Goal state before:
pp: case inl
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
s : β → α
a : β
⊢ m (⨆ b ∈ decode₂ β (encode a), s b) = extend encode (fun b ↦ m (s b)) 1 (encode a)

pp: case inr
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
s : β → α
n : ℕ
hn : n ∉ Set.range encode
⊢ m (⨆ b ∈ decode₂ β n, s b) = extend encode (fun b ↦ m (s b)) 1 n

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
s : β → α
a : β
⊢ m (⨆ b ∈ decode₂ β (encode a), s b) = extend encode (fun b ↦ m (s b)) 1 (encode a)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≤ 1
hf : ¬Multipliable f L
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≤ 1
hf : ¬Multipliable f L
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ 1
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.NatInt

Goal state before:
pp: case inr
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
s : β → α
n : ℕ
hn : n ∉ Set.range encode
⊢ m (⨆ b ∈ decode₂ β n, s b) = extend encode (fun b ↦ m (s b)) 1 n

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
s : β → α
n : ℕ
hn : n ∉ Set.range encode
⊢ m (⨆ b ∈ decode₂ β n, s b) = extend encode (fun b ↦ m (s b)) 1 n
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_4
α : Type u_5
L : SummationFilter ι
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : IsOrderedMonoid α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderClosedTopology α
f : ι → α
inst✝¹ : L.LeAtTop
inst✝ : L.NeBot
hf : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
hf' : HasProd f 1 L
⊢ f = 1

pp: case refine_2
ι : Type u_4
α : Type u_5
L : SummationFilter ι
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : IsOrderedMonoid α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderClosedTopology α
f : ι → α
inst✝¹ : L.LeAtTop
inst✝ : L.NeBot
hf : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
⊢ f = 1 → HasProd f 1 L

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_4
α : Type u_5
L : SummationFilter ι
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : IsOrderedMonoid α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderClosedTopology α
f : ι → α
inst✝¹ : L.LeAtTop
inst✝ : L.NeBot
hf : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
hf' : HasProd f 1 L
⊢ f = 1
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_4
α : Type u_5
L : SummationFilter ι
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : IsOrderedMonoid α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderClosedTopology α
f : ι → α
inst✝¹ : L.LeAtTop
inst✝ : L.NeBot
hf : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
⊢ f = 1 → HasProd f 1 L

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_4
α : Type u_5
L : SummationFilter ι
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : IsOrderedMonoid α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderClosedTopology α
f : ι → α
inst✝¹ : L.LeAtTop
inst✝ : L.NeBot
hf : ∀ (i : ι), 1 ≤ f i
⊢ f = 1 → HasProd f 1 L
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Group

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : IsUniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
o : Set α
ho : o ∈ 𝓝 1
o_closed : IsClosed[inst✝².toTopologicalSpace] o
oe : o ⊆ e
s : Finset β
hs : ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ o
t : Set β
hts : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s
ht : ¬Multipliable fun a ↦ f ↑a
⊢ ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ o

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : IsUniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
o : Set α
ho : o ∈ 𝓝 1
o_closed : IsClosed[inst✝².toTopologicalSpace] o
oe : o ⊆ e
s : Finset β
hs : ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ o
t : Set β
hts : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s
ht : ¬Multipliable fun a ↦ f ↑a
⊢ ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ o
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁵ : CommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : ClosedIciTopology α
f : ι → α
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
h : Multipliable f L
⊢ 0 ≤ ∏'[L] (x : ι), f x

pp: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁵ : CommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : ClosedIciTopology α
f : ι → α
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
h : ¬Multipliable f L
⊢ 0 ≤ ∏'[L] (x : ι), f x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁵ : CommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : ClosedIciTopology α
f : ι → α
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
h : Multipliable f L
⊢ 0 ≤ ∏'[L] (x : ι), f x
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Group

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : IsUniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Set β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s) → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : IsUniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Set β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s) → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁵ : CommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : ClosedIciTopology α
f : ι → α
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
h : Multipliable f L
hbot : L.NeBot
⊢ 0 ≤ ∏'[L] (x : ι), f x

pp: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁵ : CommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : ClosedIciTopology α
f : ι → α
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
h : Multipliable f L
hbot : ¬L.NeBot
⊢ 0 ≤ ∏'[L] (x : ι), f x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁵ : CommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : ClosedIciTopology α
f : ι → α
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
h : Multipliable f L
hbot : L.NeBot
⊢ 0 ≤ ∏'[L] (x : ι), f x
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.NatInt

Goal state before:
pp: case e'_1
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
α : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s₁ s₂ : α
⊢ s₁ ⊔ s₂ = ⨆ b, bif b then s₁ else s₂

pp: case e'_2
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
α : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s₁ s₂ : α
⊢ m s₁ * m s₂ = ∏' (b : Bool), m (bif b then s₁ else s₂)

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_1
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
α : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s₁ s₂ : α
⊢ s₁ ⊔ s₂ = ⨆ b, bif b then s₁ else s₂
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁵ : CommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : ClosedIciTopology α
f : ι → α
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
h : Multipliable f L
hbot : ¬L.NeBot
⊢ 0 ≤ ∏'[L] (x : ι), f x

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁵ : CommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : ClosedIciTopology α
f : ι → α
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
h : Multipliable f L
hbot : ¬L.NeBot
⊢ 0 ≤ ∏'[L] (x : ι), f x
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.NatInt

Goal state before:
pp: case e'_2
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
α : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s₁ s₂ : α
⊢ m s₁ * m s₂ = ∏' (b : Bool), m (bif b then s₁ else s₂)

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_2
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
α : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s₁ s₂ : α
⊢ m s₁ * m s₂ = ∏' (b : Bool), m (bif b then s₁ else s₂)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁵ : CommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : ClosedIciTopology α
f : ι → α
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
h : ¬Multipliable f L
⊢ 0 ≤ ∏'[L] (x : ι), f x

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁵ : CommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : ClosedIciTopology α
f : ι → α
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
h : ¬Multipliable f L
⊢ 0 ≤ ∏'[L] (x : ι), f x
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.NatInt

Goal state before:
pp: case pos
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : IsTopologicalGroup G
inst✝ : T2Space G
f : ℕ → G
hf : Multipliable f
⊢ Tendsto (fun i ↦ ∏' (k : ℕ), f (k + i)) atTop (𝓝 1)

pp: case neg
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : IsTopologicalGroup G
inst✝ : T2Space G
f : ℕ → G
hf : ¬Multipliable f
⊢ Tendsto (fun i ↦ ∏' (k : ℕ), f (k + i)) atTop (𝓝 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : IsTopologicalGroup G
inst✝ : T2Space G
f : ℕ → G
hf : Multipliable f
⊢ Tendsto (fun i ↦ ∏' (k : ℕ), f (k + i)) atTop (𝓝 1)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.NatInt

Goal state before:
pp: case neg
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : IsTopologicalGroup G
inst✝ : T2Space G
f : ℕ → G
hf : ¬Multipliable f
⊢ Tendsto (fun i ↦ ∏' (k : ℕ), f (k + i)) atTop (𝓝 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : IsTopologicalGroup G
inst✝ : T2Space G
f : ℕ → G
hf : ¬Multipliable f
⊢ Tendsto (fun i ↦ ∏' (k : ℕ), f (k + i)) atTop (𝓝 1)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Group

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
f : α → G
hf : Multipliable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ k ∈ t, f k ∈ e

Tactic:
let : UniformSpace G := IsTopologicalGroup.rightUniformSpace G
  have : IsUniformGroup G := isUniformGroup_of_commGroup
  exact cauchySeq_finset_iff_prod_vanishing.1 hf.hasProd.cauchySeq e he

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Group

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
f : α → G
H : Multipliable f
⊢ Tendsto (fun s ↦ ∏' (a : { x // x ∉ s }), f ↑a) atTop (𝓝 1)

pp: case neg
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
f : α → G
H : ¬Multipliable f
⊢ Tendsto (fun s ↦ ∏' (a : { x // x ∉ s }), f ↑a) atTop (𝓝 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
f : α → G
H : Multipliable f
⊢ Tendsto (fun s ↦ ∏' (a : { x // x ∉ s }), f ↑a) atTop (𝓝 1)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.NatInt

Goal state before:
pp: case refine_1
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : IsUniformGroup G
f : ℕ → G
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Set ℕ), Disjoint t ↑s → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ N, ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∏' (n : ↑t), f ↑n ∈ e

pp: case refine_2
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : IsUniformGroup G
f : ℕ → G
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ N, ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∏' (n : ↑t), f ↑n ∈ e
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ s, ∀ (t : Set ℕ), Disjoint t ↑s → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : IsUniformGroup G
f : ℕ → G
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Set ℕ), Disjoint t ↑s → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ N, ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∏' (n : ↑t), f ↑n ∈ e
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Basic

Goal state before:
pp: case pos
β : Type u_2
L : SummationFilter β
inst✝⁶ : L.LeAtTop
inst✝⁵ : L.NeBot
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
a a' : α
hf : HasProd f a L
b : β
x : α
hf' : HasProd (update f b x) a' L
b' : β
hb' : b' = b
⊢ f b' * x = update f b x b' * f b

pp: case neg
β : Type u_2
L : SummationFilter β
inst✝⁶ : L.LeAtTop
inst✝⁵ : L.NeBot
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
a a' : α
hf : HasProd f a L
b : β
x : α
hf' : HasProd (update f b x) a' L
b' : β
hb' : ¬b' = b
⊢ f b' * 1 = update f b x b' * 1

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
β : Type u_2
L : SummationFilter β
inst✝⁶ : L.LeAtTop
inst✝⁵ : L.NeBot
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
a a' : α
hf : HasProd f a L
b : β
x : α
hf' : HasProd (update f b x) a' L
b' : β
hb' : b' = b
⊢ f b' * x = update f b x b' * f b
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Group

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
f : α → G
H : ¬Multipliable f
⊢ Tendsto (fun s ↦ ∏' (a : { x // x ∉ s }), f ↑a) atTop (𝓝 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
f : α → G
H : ¬Multipliable f
⊢ Tendsto (fun s ↦ ∏' (a : { x // x ∉ s }), f ↑a) atTop (𝓝 1)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Basic

Goal state before:
pp: case neg
β : Type u_2
L : SummationFilter β
inst✝⁶ : L.LeAtTop
inst✝⁵ : L.NeBot
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
a a' : α
hf : HasProd f a L
b : β
x : α
hf' : HasProd (update f b x) a' L
b' : β
hb' : ¬b' = b
⊢ f b' * 1 = update f b x b' * 1

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
β : Type u_2
L : SummationFilter β
inst✝⁶ : L.LeAtTop
inst✝⁵ : L.NeBot
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
a a' : α
hf : HasProd f a L
b : β
x : α
hf' : HasProd (update f b x) a' L
b' : β
hb' : ¬b' = b
⊢ f b' * 1 = update f b x b' * 1