mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.FourierMultiplier

Goal state before:
pp: case e_f.e_a
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ι : Type := Fin (Module.finrank ℝ E)
b : OrthonormalBasis (Fin (Module.finrank ℝ E)) ℝ E := stdOrthonormalBasis ℝ E
this : ∀ i ∈ Finset.univ, Function.HasTemperateGrowth fun x ↦ inner ℝ x (b i) ^ 2
i : Fin (Module.finrank ℝ E)
x : E
⊢ 2 * ↑π * Complex.I * (2 * ↑π * Complex.I) = ↑(algebraMap ℝ ℂ).toMonoidWithZeroHom (-(2 * π) ^ 2)

pp: case e_f.e_a
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ι : Type := Fin (Module.finrank ℝ E)
b : OrthonormalBasis (Fin (Module.finrank ℝ E)) ℝ E := stdOrthonormalBasis ℝ E
this : ∀ i ∈ Finset.univ, Function.HasTemperateGrowth fun x ↦ inner ℝ x (b i) ^ 2
i : Fin (Module.finrank ℝ E)
x : E
⊢ ((fourierMultiplierCLM F fun x ↦ ↑(inner ℝ x (b i))) ((fourierMultiplierCLM F fun x ↦ inner ℝ x (b i)) f)) x =
    ((fourierMultiplierCLM F fun x ↦ inner ℝ x (b i) ^ 2) f) x

Tactic:
·

Goal state after:
case e_f.e_a
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ι : Type := Fin (Module.finrank ℝ E)
b : OrthonormalBasis (Fin (Module.finrank ℝ E)) ℝ E := stdOrthonormalBasis ℝ E
this : ∀ i ∈ Finset.univ, Function.HasTemperateGrowth fun x ↦ inner ℝ x (b i) ^ 2
i : Fin (Module.finrank ℝ E)
x : E
⊢ 2 * ↑π * Complex.I * (2 * ↑π * Complex.I) = ↑(algebraMap ℝ ℂ).toMonoidWithZeroHom (-(2 * π) ^ 2)
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.FourierMultiplier

Goal state before:
pp: case e_f.e_a
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ι : Type := Fin (Module.finrank ℝ E)
b : OrthonormalBasis (Fin (Module.finrank ℝ E)) ℝ E := stdOrthonormalBasis ℝ E
this : ∀ i ∈ Finset.univ, Function.HasTemperateGrowth fun x ↦ inner ℝ x (b i) ^ 2
i : Fin (Module.finrank ℝ E)
x : E
⊢ ((fourierMultiplierCLM F fun x ↦ ↑(inner ℝ x (b i))) ((fourierMultiplierCLM F fun x ↦ inner ℝ x (b i)) f)) x =
    ((fourierMultiplierCLM F fun x ↦ inner ℝ x (b i) ^ 2) f) x

Tactic:
·

Goal state after:
case e_f.e_a
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ι : Type := Fin (Module.finrank ℝ E)
b : OrthonormalBasis (Fin (Module.finrank ℝ E)) ℝ E := stdOrthonormalBasis ℝ E
this : ∀ i ∈ Finset.univ, Function.HasTemperateGrowth fun x ↦ inner ℝ x (b i) ^ 2
i : Fin (Module.finrank ℝ E)
x : E
⊢ ((fourierMultiplierCLM F fun x ↦ ↑(inner ℝ x (b i))) ((fourierMultiplierCLM F fun x ↦ inner ℝ x (b i)) f)) x =
    ((fourierMultiplierCLM F fun x ↦ inner ℝ x (b i) ^ 2) f) x
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Fourier

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
⊢ ∀ (f g : 𝓢(V, E)) (x : V), 𝓕 (⇑(f + g)) x = 𝓕 (⇑f) x + 𝓕 (⇑g) x

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
⊢ ∀ (a : 𝕜) (f : 𝓢(V, E)) (x : V), 𝓕 (⇑(a • f)) x = (RingHom.id 𝕜) a • 𝓕 (⇑f) x

pp: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
⊢ ∀ (f : 𝓢(V, E)), ContDiff ℝ (↑⊤) (𝓕 ⇑f)

pp: case refine_4
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
⊢ ∀ (n : ℕ × ℕ),
    ∃ s C,
      0 ≤ C ∧
        ∀ (f : 𝓢(V, E)) (x : V),
          ‖x‖ ^ n.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ n.2 (𝓕 ⇑f) x‖ ≤ C * (s.sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 V E)) f

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
⊢ ∀ (f g : 𝓢(V, E)) (x : V), 𝓕 (⇑(f + g)) x = 𝓕 (⇑f) x + 𝓕 (⇑g) x
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Fourier

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
⊢ ∀ (a : 𝕜) (f : 𝓢(V, E)) (x : V), 𝓕 (⇑(a • f)) x = (RingHom.id 𝕜) a • 𝓕 (⇑f) x

pp: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
⊢ ∀ (f : 𝓢(V, E)), ContDiff ℝ (↑⊤) (𝓕 ⇑f)

pp: case refine_4
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
⊢ ∀ (n : ℕ × ℕ),
    ∃ s C,
      0 ≤ C ∧
        ∀ (f : 𝓢(V, E)) (x : V),
          ‖x‖ ^ n.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ n.2 (𝓕 ⇑f) x‖ ≤ C * (s.sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 V E)) f

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
⊢ ∀ (a : 𝕜) (f : 𝓢(V, E)) (x : V), 𝓕 (⇑(a • f)) x = (RingHom.id 𝕜) a • 𝓕 (⇑f) x
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Fourier

Goal state before:
pp: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
⊢ ∀ (f : 𝓢(V, E)), ContDiff ℝ (↑⊤) (𝓕 ⇑f)

pp: case refine_4
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
⊢ ∀ (n : ℕ × ℕ),
    ∃ s C,
      0 ≤ C ∧
        ∀ (f : 𝓢(V, E)) (x : V),
          ‖x‖ ^ n.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ n.2 (𝓕 ⇑f) x‖ ≤ C * (s.sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 V E)) f

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
⊢ ∀ (f : 𝓢(V, E)), ContDiff ℝ (↑⊤) (𝓕 ⇑f)
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Fourier

Goal state before:
pp: case refine_4
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
⊢ ∀ (n : ℕ × ℕ),
    ∃ s C,
      0 ≤ C ∧
        ∀ (f : 𝓢(V, E)) (x : V),
          ‖x‖ ^ n.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ n.2 (𝓕 ⇑f) x‖ ≤ C * (s.sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 V E)) f

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_4
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
⊢ ∀ (n : ℕ × ℕ),
    ∃ s C,
      0 ≤ C ∧
        ∀ (f : 𝓢(V, E)) (x : V),
          ‖x‖ ^ n.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ n.2 (𝓕 ⇑f) x‖ ≤ C * (s.sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 V E)) f
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Fourier

Goal state before:
pp: case h₁
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
k n : ℕ
f : 𝓢(V, E)
x : V
p : ℕ × ℕ
a✝ : p ∈ Finset.range (n + 1) ×ˢ Finset.range (k + 1)
⊢ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 p.2) f ≤
    ((Finset.range (n + volume.integrablePower + 1) ×ˢ Finset.range (k + 1)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 V E)) f

pp: case h₂
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
k n : ℕ
f : 𝓢(V, E)
x : V
p : ℕ × ℕ
a✝ : p ∈ Finset.range (n + 1) ×ˢ Finset.range (k + 1)
⊢ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 (p.1 + volume.integrablePower) p.2) f ≤
    ((Finset.range (n + volume.integrablePower + 1) ×ˢ Finset.range (k + 1)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 V E)) f

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
k n : ℕ
f : 𝓢(V, E)
x : V
p : ℕ × ℕ
a✝ : p ∈ Finset.range (n + 1) ×ˢ Finset.range (k + 1)
⊢ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 p.2) f ≤
    ((Finset.range (n + volume.integrablePower + 1) ×ˢ Finset.range (k + 1)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 V E)) f
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Fourier

Goal state before:
pp: case h₂
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
k n : ℕ
f : 𝓢(V, E)
x : V
p : ℕ × ℕ
a✝ : p ∈ Finset.range (n + 1) ×ˢ Finset.range (k + 1)
⊢ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 (p.1 + volume.integrablePower) p.2) f ≤
    ((Finset.range (n + volume.integrablePower + 1) ×ˢ Finset.range (k + 1)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 V E)) f

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
k n : ℕ
f : 𝓢(V, E)
x : V
p : ℕ × ℕ
a✝ : p ∈ Finset.range (n + 1) ×ˢ Finset.range (k + 1)
⊢ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 (p.1 + volume.integrablePower) p.2) f ≤
    ((Finset.range (n + volume.integrablePower + 1) ×ˢ Finset.range (k + 1)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 V E)) f
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.FourierMultiplier

Goal state before:
pp: case e_f.e_a
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℂ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
f : 𝓢'(E, F)
ι : Type := Fin (Module.finrank ℝ E)
b : OrthonormalBasis (Fin (Module.finrank ℝ E)) ℝ E := stdOrthonormalBasis ℝ E
this : ∀ i ∈ Finset.univ, Function.HasTemperateGrowth fun x ↦ ↑(inner ℝ x (b i)) ^ 2
i : Fin (Module.finrank ℝ E)
x : 𝓢(E, ℂ)
⊢ 2 * ↑π * Complex.I * (2 * ↑π * Complex.I) = ↑(-(2 * π) ^ 2)

pp: case e_f.e_a
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℂ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
f : 𝓢'(E, F)
ι : Type := Fin (Module.finrank ℝ E)
b : OrthonormalBasis (Fin (Module.finrank ℝ E)) ℝ E := stdOrthonormalBasis ℝ E
this : ∀ i ∈ Finset.univ, Function.HasTemperateGrowth fun x ↦ ↑(inner ℝ x (b i)) ^ 2
i : Fin (Module.finrank ℝ E)
x : 𝓢(E, ℂ)
⊢ ((fun x ↦ ↑(inner ℝ x (b i))) * fun x ↦ ↑(inner ℝ x (b i))) = fun x ↦ ↑(inner ℝ x (b i)) ^ 2

Tactic:
·

Goal state after:
case e_f.e_a
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℂ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
f : 𝓢'(E, F)
ι : Type := Fin (Module.finrank ℝ E)
b : OrthonormalBasis (Fin (Module.finrank ℝ E)) ℝ E := stdOrthonormalBasis ℝ E
this : ∀ i ∈ Finset.univ, Function.HasTemperateGrowth fun x ↦ ↑(inner ℝ x (b i)) ^ 2
i : Fin (Module.finrank ℝ E)
x : 𝓢(E, ℂ)
⊢ 2 * ↑π * Complex.I * (2 * ↑π * Complex.I) = ↑(-(2 * π) ^ 2)
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.FourierMultiplier

Goal state before:
pp: case e_f.e_a
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℂ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
f : 𝓢'(E, F)
ι : Type := Fin (Module.finrank ℝ E)
b : OrthonormalBasis (Fin (Module.finrank ℝ E)) ℝ E := stdOrthonormalBasis ℝ E
this : ∀ i ∈ Finset.univ, Function.HasTemperateGrowth fun x ↦ ↑(inner ℝ x (b i)) ^ 2
i : Fin (Module.finrank ℝ E)
x : 𝓢(E, ℂ)
⊢ ((fun x ↦ ↑(inner ℝ x (b i))) * fun x ↦ ↑(inner ℝ x (b i))) = fun x ↦ ↑(inner ℝ x (b i)) ^ 2

Tactic:
·

Goal state after:
case e_f.e_a
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace ℂ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
f : 𝓢'(E, F)
ι : Type := Fin (Module.finrank ℝ E)
b : OrthonormalBasis (Fin (Module.finrank ℝ E)) ℝ E := stdOrthonormalBasis ℝ E
this : ∀ i ∈ Finset.univ, Function.HasTemperateGrowth fun x ↦ ↑(inner ℝ x (b i)) ^ 2
i : Fin (Module.finrank ℝ E)
x : 𝓢(E, ℂ)
⊢ ((fun x ↦ ↑(inner ℝ x (b i))) * fun x ↦ ↑(inner ℝ x (b i))) = fun x ↦ ↑(inner ℝ x (b i)) ^ 2
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Fourier

Goal state before:
pp: case e'_2
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℂ G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(V, E)
g : 𝓢(V, F)
M : E →L[ℂ] F →L[ℂ] G
x✝ : V
⊢ g = 𝓕 (𝓕⁻ g)

pp: case e'_3
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℂ G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(V, E)
g : 𝓢(V, F)
M : E →L[ℂ] F →L[ℂ] G
x✝ : V
⊢ f = 𝓕 (𝓕⁻ f)

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_2
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℂ G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(V, E)
g : 𝓢(V, F)
M : E →L[ℂ] F →L[ℂ] G
x✝ : V
⊢ g = 𝓕 (𝓕⁻ g)
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Fourier

Goal state before:
pp: case e'_3
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℂ G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(V, E)
g : 𝓢(V, F)
M : E →L[ℂ] F →L[ℂ] G
x✝ : V
⊢ f = 𝓕 (𝓕⁻ f)

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_3
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℂ G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(V, E)
g : 𝓢(V, F)
M : E →L[ℂ] F →L[ℂ] G
x✝ : V
⊢ f = 𝓕 (𝓕⁻ f)
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.Support

Goal state before:
pp: α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_6
V : Type u_10
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero β
f : F → V
s : Set α
inst✝ : Zero V
⊢ ¬IsVanishingOn f s ↔ ∃ u, tsupport ⇑u ⊆ s ∧ f u ≠ 0

Tactic:
simp [IsVanishingOn]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.Support

Goal state before:
pp: case a
E : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
⊢ dsupport ⇑(TemperedDistribution.delta x) ⊆ {x}

pp: case a
E : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
⊢ {x} ⊆ dsupport ⇑(TemperedDistribution.delta x)

Tactic:
·

Goal state after:
case a
E : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
⊢ dsupport ⇑(TemperedDistribution.delta x) ⊆ {x}
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.LpSpace

Goal state before:
pp: case h_dense
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℂ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : 𝓢(E, F)
⊢ DenseRange ⇑↑(toLpCLM ℂ F 2 volume)

pp: case h_norm
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℂ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : 𝓢(E, F)
⊢ ∃ C, ∀ (x : 𝓢(E, F)), ‖(↑(toLpCLM ℂ F 2 volume) ∘ₗ ↑(fourierEquiv ℂ 𝓢(E, F))) x‖ ≤ C * ‖↑(toLpCLM ℂ F 2 volume) x‖

Tactic:
·

Goal state after:
case h_dense
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℂ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : 𝓢(E, F)
⊢ DenseRange ⇑↑(toLpCLM ℂ F 2 volume)
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.Support

Goal state before:
pp: case a
E : Type u_11
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
Ω : Opens E
n : ℕ∞
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
hx : x ∈ Ω
⊢ dsupport ⇑(delta x) ⊆ {x}

pp: case a
E : Type u_11
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
Ω : Opens E
n : ℕ∞
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
hx : x ∈ Ω
⊢ {x} ⊆ dsupport ⇑(delta x)

Tactic:
·

Goal state after:
case a
E : Type u_11
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
Ω : Opens E
n : ℕ∞
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
hx : x ∈ Ω
⊢ dsupport ⇑(delta x) ⊆ {x}
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.LpSpace

Goal state before:
pp: case h_dense
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℂ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : 𝓢(E, F)
⊢ DenseRange ⇑↑(toLpCLM ℂ F 2 volume)

pp: case h_norm
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℂ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : 𝓢(E, F)
⊢ ∃ C,
    ∀ (x : 𝓢(E, F)), ‖(↑(toLpCLM ℂ F 2 volume) ∘ₗ ↑(fourierEquiv ℂ 𝓢(E, F)).symm) x‖ ≤ C * ‖↑(toLpCLM ℂ F 2 volume) x‖

Tactic:
·

Goal state after:
case h_dense
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℂ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : 𝓢(E, F)
⊢ DenseRange ⇑↑(toLpCLM ℂ F 2 volume)
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.LpSpace

Goal state before:
pp: case hp
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℂ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : ↥(Lp F 2 volume)
p : ↥(Lp F 2 volume) → Prop := ⋯
⊢ IsClosed {b | p b}

pp: case ih
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℂ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : ↥(Lp F 2 volume)
p : ↥(Lp F 2 volume) → Prop := ⋯
⊢ ∀ (a : 𝓢(E, F)), p ((toLpCLM ℝ F 2 volume) a)

Tactic:
·

Goal state after:
case hp
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℂ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : ↥(Lp F 2 volume)
p : ↥(Lp F 2 volume) → Prop := ⋯
⊢ IsClosed {b | p b}