mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β') ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n

pp: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β')

Tactic:
·

Goal state after:
case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β') ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: case mp
ι : Type u_1
R : Type u_2
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
P : Type u_10
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ (∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (pi Q).Anisotropic → ∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (Q i).Anisotropic

pp: case mpr
ι : Type u_1
R : Type u_2
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
P : Type u_10
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ (∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (Q i).Anisotropic) →
    (∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (pi Q).Anisotropic

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
ι : Type u_1
R : Type u_2
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
P : Type u_10
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ (∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (pi Q).Anisotropic → ∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (Q i).Anisotropic
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: case mpr
ι : Type u_1
R : Type u_2
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
P : Type u_10
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ (∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (Q i).Anisotropic) →
    (∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (pi Q).Anisotropic

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
ι : Type u_1
R : Type u_2
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
P : Type u_10
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
⊢ (∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (Q i).Anisotropic) →
    (∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (pi Q).Anisotropic
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β')

Tactic:
·

Goal state after:
case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β')
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: case mpr
ι : Type u_1
R : Type u_2
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
P : Type u_10
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
h : ∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (Q i).Anisotropic
x : (i : ι) → Mᵢ i
hx : ∀ i ∈ Finset.univ, (Q i) (x i) = 0
i : ι
⊢ (Q i) (x i) = 0

pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
P : Type u_10
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
h : ∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (Q i).Anisotropic
x : (i : ι) → Mᵢ i
hx : ∑ i, (Q i) (x i) = 0
i j : ι
x✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ 0 ≤ (Q j) (x j)

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
ι : Type u_1
R : Type u_2
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
P : Type u_10
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
h : ∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (Q i).Anisotropic
x : (i : ι) → Mᵢ i
hx : ∀ i ∈ Finset.univ, (Q i) (x i) = 0
i : ι
⊢ (Q i) (x i) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
hα : α.IsZero
⊢ chainLength α β' = chainLength α β

pp: case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
hα : ¬α.IsZero
⊢ chainLength α β' = chainLength α β

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
hα : α.IsZero
⊢ chainLength α β' = chainLength α β
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
hα : ¬α.IsZero
⊢ chainLength α β' = chainLength α β

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
hα : ¬α.IsZero
⊢ chainLength α β' = chainLength α β
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Dual

Goal state before:
pp: case h
ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : (BilinMap.toQuadraticMap B).PosDef
f : Module.Dual R M
v : ι → M
hp : ∀ (i : ι), 0 < f (v i)
hn : Pairwise fun i j ↦ (B (v i)) (v j) ≤ 0
s : Finset ι
c : ι → R
hc : ∑ i ∈ s, c i • v i = 0
x : M := ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
hx : x = ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
y : M := ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
hy : y = ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
⊢ {i ∈ s | 0 < c i} ∪ {i ∈ s | 0 < -c i} ⊆ s

pp: case hf
ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : (BilinMap.toQuadraticMap B).PosDef
f : Module.Dual R M
v : ι → M
hp : ∀ (i : ι), 0 < f (v i)
hn : Pairwise fun i j ↦ (B (v i)) (v j) ≤ 0
s : Finset ι
c : ι → R
hc : ∑ i ∈ s, c i • v i = 0
x : M := ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
hx : x = ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
y : M := ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
hy : y = ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
⊢ ∀ x ∈ s, x ∉ {i ∈ s | 0 < c i} ∪ {i ∈ s | 0 < -c i} → c x • v x = 0

pp: ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : (BilinMap.toQuadraticMap B).PosDef
f : Module.Dual R M
v : ι → M
hp : ∀ (i : ι), 0 < f (v i)
hn : Pairwise fun i j ↦ (B (v i)) (v j) ≤ 0
s : Finset ι
c : ι → R
hc : ∑ i ∈ s, c i • v i = 0
x : M := ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
hx : x = ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
y : M := ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
hy : y = ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
⊢ Disjoint ({i ∈ s | 0 < c i}) ({i ∈ s | 0 < -c i})

Tactic:
·

Goal state after:
case h
ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : (BilinMap.toQuadraticMap B).PosDef
f : Module.Dual R M
v : ι → M
hp : ∀ (i : ι), 0 < f (v i)
hn : Pairwise fun i j ↦ (B (v i)) (v j) ≤ 0
s : Finset ι
c : ι → R
hc : ∑ i ∈ s, c i • v i = 0
x : M := ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
hx : x = ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
y : M := ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
hy : y = ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
⊢ {i ∈ s | 0 < c i} ∪ {i ∈ s | 0 < -c i} ⊆ s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Dual

Goal state before:
pp: case hf
ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : (BilinMap.toQuadraticMap B).PosDef
f : Module.Dual R M
v : ι → M
hp : ∀ (i : ι), 0 < f (v i)
hn : Pairwise fun i j ↦ (B (v i)) (v j) ≤ 0
s : Finset ι
c : ι → R
hc : ∑ i ∈ s, c i • v i = 0
x : M := ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
hx : x = ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
y : M := ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
hy : y = ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
⊢ ∀ x ∈ s, x ∉ {i ∈ s | 0 < c i} ∪ {i ∈ s | 0 < -c i} → c x • v x = 0

pp: ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : (BilinMap.toQuadraticMap B).PosDef
f : Module.Dual R M
v : ι → M
hp : ∀ (i : ι), 0 < f (v i)
hn : Pairwise fun i j ↦ (B (v i)) (v j) ≤ 0
s : Finset ι
c : ι → R
hc : ∑ i ∈ s, c i • v i = 0
x : M := ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
hx : x = ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
y : M := ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
hy : y = ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
⊢ Disjoint ({i ∈ s | 0 < c i}) ({i ∈ s | 0 < -c i})

Tactic:
·

Goal state after:
case hf
ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : (BilinMap.toQuadraticMap B).PosDef
f : Module.Dual R M
v : ι → M
hp : ∀ (i : ι), 0 < f (v i)
hn : Pairwise fun i j ↦ (B (v i)) (v j) ≤ 0
s : Finset ι
c : ι → R
hc : ∑ i ∈ s, c i • v i = 0
x : M := ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
hx : x = ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
y : M := ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
hy : y = ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
⊢ ∀ x ∈ s, x ∉ {i ∈ s | 0 < c i} ∪ {i ∈ s | 0 < -c i} → c x • v x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Dual

Goal state before:
pp: ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : (BilinMap.toQuadraticMap B).PosDef
f : Module.Dual R M
v : ι → M
hp : ∀ (i : ι), 0 < f (v i)
hn : Pairwise fun i j ↦ (B (v i)) (v j) ≤ 0
s : Finset ι
c : ι → R
hc : ∑ i ∈ s, c i • v i = 0
x : M := ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
hx : x = ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
y : M := ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
hy : y = ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
⊢ Disjoint ({i ∈ s | 0 < c i}) ({i ∈ s | 0 < -c i})

Tactic:
·

Goal state after:
ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : (BilinMap.toQuadraticMap B).PosDef
f : Module.Dual R M
v : ι → M
hp : ∀ (i : ι), 0 < f (v i)
hn : Pairwise fun i j ↦ (B (v i)) (v j) ≤ 0
s : Finset ι
c : ι → R
hc : ∑ i ∈ s, c i • v i = 0
x : M := ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
hx : x = ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
y : M := ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
hy : y = ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
⊢ Disjoint ({i ∈ s | 0 < c i}) ({i ∈ s | 0 < -c i})
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case h₁
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
inst✝ : Nontrivial L
hα : α.IsNonZero
⊢ 1 ≤ chainTopCoeff (⇑α) 0

pp: case h₂
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
inst✝ : Nontrivial L
hα : α.IsNonZero
⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
inst✝ : Nontrivial L
hα : α.IsNonZero
⊢ 1 ≤ chainTopCoeff (⇑α) 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case inl
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h✝ : Subsingleton L
⊢ rootSpace H (2 • ⇑α) = ⊥

pp: case inr
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h✝ : Nontrivial L
⊢ rootSpace H (2 • ⇑α) = ⊥

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h✝ : Subsingleton L
⊢ rootSpace H (2 • ⇑α) = ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.WeylGroup

Goal state before:
pp: case mem
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
pred : (g : P.Aut) → g ∈ P.weylGroup → Prop
mem : ∀ (i : ι), pred (Equiv.reflection P i) ⋯
one : pred 1 ⋯
mul : ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ P.weylGroup) (hy : y ∈ P.weylGroup), pred x hx → pred y hy → pred (x * y) ⋯
x : P.Aut
hx : x ∈ P.weylGroup
pred' : (g : P.Aut) → g ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)) → Prop := ⋯
hx' : x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))
⊢ ∀ (x : P.Aut) (h : x ∈ range (Equiv.reflection P)), pred' x ⋯

pp: case one
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
pred : (g : P.Aut) → g ∈ P.weylGroup → Prop
mem : ∀ (i : ι), pred (Equiv.reflection P i) ⋯
one : pred 1 ⋯
mul : ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ P.weylGroup) (hy : y ∈ P.weylGroup), pred x hx → pred y hy → pred (x * y) ⋯
x : P.Aut
hx : x ∈ P.weylGroup
pred' : (g : P.Aut) → g ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)) → Prop := ⋯
hx' : x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))
⊢ pred' 1 ⋯

pp: case mul
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
pred : (g : P.Aut) → g ∈ P.weylGroup → Prop
mem : ∀ (i : ι), pred (Equiv.reflection P i) ⋯
one : pred 1 ⋯
mul : ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ P.weylGroup) (hy : y ∈ P.weylGroup), pred x hx → pred y hy → pred (x * y) ⋯
x : P.Aut
hx : x ∈ P.weylGroup
pred' : (g : P.Aut) → g ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)) → Prop := ⋯
hx' : x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))
⊢ ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)))
    (hy : y ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))), pred' x hx → pred' y hy → pred' (x * y) ⋯

Tactic:
·

Goal state after:
case mem
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
pred : (g : P.Aut) → g ∈ P.weylGroup → Prop
mem : ∀ (i : ι), pred (Equiv.reflection P i) ⋯
one : pred 1 ⋯
mul : ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ P.weylGroup) (hy : y ∈ P.weylGroup), pred x hx → pred y hy → pred (x * y) ⋯
x : P.Aut
hx : x ∈ P.weylGroup
pred' : (g : P.Aut) → g ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)) → Prop := ⋯
hx' : x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))
⊢ ∀ (x : P.Aut) (h : x ∈ range (Equiv.reflection P)), pred' x ⋯
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.WeylGroup

Goal state before:
pp: case one
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
pred : (g : P.Aut) → g ∈ P.weylGroup → Prop
mem : ∀ (i : ι), pred (Equiv.reflection P i) ⋯
one : pred 1 ⋯
mul : ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ P.weylGroup) (hy : y ∈ P.weylGroup), pred x hx → pred y hy → pred (x * y) ⋯
x : P.Aut
hx : x ∈ P.weylGroup
pred' : (g : P.Aut) → g ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)) → Prop := ⋯
hx' : x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))
⊢ pred' 1 ⋯

pp: case mul
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
pred : (g : P.Aut) → g ∈ P.weylGroup → Prop
mem : ∀ (i : ι), pred (Equiv.reflection P i) ⋯
one : pred 1 ⋯
mul : ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ P.weylGroup) (hy : y ∈ P.weylGroup), pred x hx → pred y hy → pred (x * y) ⋯
x : P.Aut
hx : x ∈ P.weylGroup
pred' : (g : P.Aut) → g ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)) → Prop := ⋯
hx' : x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))
⊢ ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)))
    (hy : y ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))), pred' x hx → pred' y hy → pred' (x * y) ⋯

Tactic:
·

Goal state after:
case one
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
pred : (g : P.Aut) → g ∈ P.weylGroup → Prop
mem : ∀ (i : ι), pred (Equiv.reflection P i) ⋯
one : pred 1 ⋯
mul : ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ P.weylGroup) (hy : y ∈ P.weylGroup), pred x hx → pred y hy → pred (x * y) ⋯
x : P.Aut
hx : x ∈ P.weylGroup
pred' : (g : P.Aut) → g ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)) → Prop := ⋯
hx' : x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))
⊢ pred' 1 ⋯
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case inl
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Subsingleton L
⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1

pp: case inr
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Subsingleton L
⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.WeylGroup

Goal state before:
pp: case mul
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
pred : (g : P.Aut) → g ∈ P.weylGroup → Prop
mem : ∀ (i : ι), pred (Equiv.reflection P i) ⋯
one : pred 1 ⋯
mul : ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ P.weylGroup) (hy : y ∈ P.weylGroup), pred x hx → pred y hy → pred (x * y) ⋯
x : P.Aut
hx : x ∈ P.weylGroup
pred' : (g : P.Aut) → g ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)) → Prop := ⋯
hx' : x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))
⊢ ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)))
    (hy : y ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))), pred' x hx → pred' y hy → pred' (x * y) ⋯

Tactic:
·

Goal state after:
case mul
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
pred : (g : P.Aut) → g ∈ P.weylGroup → Prop
mem : ∀ (i : ι), pred (Equiv.reflection P i) ⋯
one : pred 1 ⋯
mul : ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ P.weylGroup) (hy : y ∈ P.weylGroup), pred x hx → pred y hy → pred (x * y) ⋯
x : P.Aut
hx : x ∈ P.weylGroup
pred' : (g : P.Aut) → g ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)) → Prop := ⋯
hx' : x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))
⊢ ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)))
    (hy : y ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))), pred' x hx → pred' y hy → pred' (x * y) ⋯