mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.House

Goal state before:
pp: case calc_4
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ∑ r, ‖x (l, r)‖ * supOfBasis K ≤ ∑ _r, (↑q * ↑h * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p)) * supOfBasis K

pp: case calc_5
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ∑ _r, (↑q * ↑h * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p)) * supOfBasis K ≤ ↑h * c₂ K * (↑q * c₁ K * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p))

pp: case calc_6
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ↑h * c₂ K * (↑q * c₁ K * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p)) ≤ c₁ K * (c₁ K * ↑q * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p))

Tactic:
·

Goal state after:
case calc_4
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ∑ r, ‖x (l, r)‖ * supOfBasis K ≤ ∑ _r, (↑q * ↑h * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p)) * supOfBasis K
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.House

Goal state before:
pp: case calc_5
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ∑ _r, (↑q * ↑h * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p)) * supOfBasis K ≤ ↑h * c₂ K * (↑q * c₁ K * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p))

pp: case calc_6
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ↑h * c₂ K * (↑q * c₁ K * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p)) ≤ c₁ K * (c₁ K * ↑q * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p))

Tactic:
·

Goal state after:
case calc_5
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ∑ _r, (↑q * ↑h * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p)) * supOfBasis K ≤ ↑h * c₂ K * (↑q * c₁ K * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.House

Goal state before:
pp: case hbc
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := ⋯
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ supOfBasis K ≤ max 1 (c K) * supOfBasis K

pp: case hbc
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := ⋯
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ‖asiegel K a‖ ≤ c₂ K * A

Tactic:
·

Goal state after:
case hbc
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := ⋯
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ supOfBasis K ≤ max 1 (c K) * supOfBasis K
Module: Mathlib.NumberTheory.Ostrowski

Goal state before:
pp: case inl
f : AbsoluteValue ℚ ℝ
notbdd : ¬∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
m : ℕ
hm : ¬f ↑m ≤ 1
hfm1 : 1 < f ↑m
oneltm : 1 < m
s : ℝ := logb (↑m) (f ↑m)
hs : s = logb (↑m) (f ↑m)
hs0 : 0 < s
n : ℕ
h : n < 1
⊢ f ↑n ^ s⁻¹ = real ↑n

pp: case inr.inl
f : AbsoluteValue ℚ ℝ
notbdd : ¬∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
m : ℕ
hm : ¬f ↑m ≤ 1
hfm1 : 1 < f ↑m
oneltm : 1 < m
s : ℝ := logb (↑m) (f ↑m)
hs : s = logb (↑m) (f ↑m)
hs0 : 0 < s
⊢ f ↑1 ^ s⁻¹ = real ↑1

pp: case inr.inr
f : AbsoluteValue ℚ ℝ
notbdd : ¬∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
m : ℕ
hm : ¬f ↑m ≤ 1
hfm1 : 1 < f ↑m
oneltm : 1 < m
s : ℝ := logb (↑m) (f ↑m)
hs : s = logb (↑m) (f ↑m)
hs0 : 0 < s
n : ℕ
h : 1 < n
⊢ f ↑n ^ s⁻¹ = real ↑n

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
f : AbsoluteValue ℚ ℝ
notbdd : ¬∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
m : ℕ
hm : ¬f ↑m ≤ 1
hfm1 : 1 < f ↑m
oneltm : 1 < m
s : ℝ := logb (↑m) (f ↑m)
hs : s = logb (↑m) (f ↑m)
hs0 : 0 < s
n : ℕ
h : n < 1
⊢ f ↑n ^ s⁻¹ = real ↑n
Module: Mathlib.NumberTheory.Ostrowski

Goal state before:
pp: f : AbsoluteValue ℚ ℝ
notbdd : ¬∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
m : ℕ
hm : ¬f ↑m ≤ 1
hfm1 : 1 < f ↑m
oneltm : 1 < m
s : ℝ := logb (↑m) (f ↑m)
hs : s = logb (↑m) (f ↑m)
hs0 : 0 < s
n : ℕ
h : n < 1
⊢ n = 0

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.Ostrowski

Goal state before:
pp: case inr.inl
f : AbsoluteValue ℚ ℝ
notbdd : ¬∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
m : ℕ
hm : ¬f ↑m ≤ 1
hfm1 : 1 < f ↑m
oneltm : 1 < m
s : ℝ := logb (↑m) (f ↑m)
hs : s = logb (↑m) (f ↑m)
hs0 : 0 < s
⊢ f ↑1 ^ s⁻¹ = real ↑1

pp: case inr.inr
f : AbsoluteValue ℚ ℝ
notbdd : ¬∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
m : ℕ
hm : ¬f ↑m ≤ 1
hfm1 : 1 < f ↑m
oneltm : 1 < m
s : ℝ := logb (↑m) (f ↑m)
hs : s = logb (↑m) (f ↑m)
hs0 : 0 < s
n : ℕ
h : 1 < n
⊢ f ↑n ^ s⁻¹ = real ↑n

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
f : AbsoluteValue ℚ ℝ
notbdd : ¬∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
m : ℕ
hm : ¬f ↑m ≤ 1
hfm1 : 1 < f ↑m
oneltm : 1 < m
s : ℝ := logb (↑m) (f ↑m)
hs : s = logb (↑m) (f ↑m)
hs0 : 0 < s
⊢ f ↑1 ^ s⁻¹ = real ↑1
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.House

Goal state before:
pp: case hbc
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := ⋯
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ‖asiegel K a‖ ≤ c₂ K * A

Tactic:
·

Goal state after:
case hbc
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := ⋯
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ‖asiegel K a‖ ≤ c₂ K * A
Module: Mathlib.NumberTheory.Ostrowski

Goal state before:
pp: case inr.inr
f : AbsoluteValue ℚ ℝ
notbdd : ¬∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
m : ℕ
hm : ¬f ↑m ≤ 1
hfm1 : 1 < f ↑m
oneltm : 1 < m
s : ℝ := logb (↑m) (f ↑m)
hs : s = logb (↑m) (f ↑m)
hs0 : 0 < s
n : ℕ
h : 1 < n
⊢ f ↑n ^ s⁻¹ = real ↑n

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
f : AbsoluteValue ℚ ℝ
notbdd : ¬∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
m : ℕ
hm : ¬f ↑m ≤ 1
hfm1 : 1 < f ↑m
oneltm : 1 < m
s : ℝ := logb (↑m) (f ↑m)
hs : s = logb (↑m) (f ↑m)
hs0 : 0 < s
n : ℕ
h : 1 < n
⊢ f ↑n ^ s⁻¹ = real ↑n
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.House

Goal state before:
pp: case calc_6
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ↑h * c₂ K * (↑q * c₁ K * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p)) ≤ c₁ K * (c₁ K * ↑q * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p))

Tactic:
·

Goal state after:
case calc_6
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ↑h * c₂ K * (↑q * c₁ K * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p)) ≤ c₁ K * (c₁ K * ↑q * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
Module: Mathlib.NumberTheory.Ostrowski

Goal state before:
pp: case pos
f : AbsoluteValue ℚ ℝ
hf_nontriv : f.IsNontrivial
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
⊢ f ≈ real ∨ ∃! p, ∃ (x : Fact (Nat.Prime p)), f ≈ padic p

pp: case neg
f : AbsoluteValue ℚ ℝ
hf_nontriv : f.IsNontrivial
bdd : ¬∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
⊢ f ≈ real ∨ ∃! p, ∃ (x : Fact (Nat.Prime p)), f ≈ padic p

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
f : AbsoluteValue ℚ ℝ
hf_nontriv : f.IsNontrivial
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
⊢ f ≈ real ∨ ∃! p, ∃ (x : Fact (Nat.Prime p)), f ≈ padic p
Module: Mathlib.NumberTheory.Ostrowski

Goal state before:
pp: case neg
f : AbsoluteValue ℚ ℝ
hf_nontriv : f.IsNontrivial
bdd : ¬∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
⊢ f ≈ real ∨ ∃! p, ∃ (x : Fact (Nat.Prime p)), f ≈ padic p

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
f : AbsoluteValue ℚ ℝ
hf_nontriv : f.IsNontrivial
bdd : ¬∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
⊢ f ≈ real ∨ ∃! p, ∃ (x : Fact (Nat.Prime p)), f ≈ padic p
Module: Mathlib.NumberTheory.Padics.Complex

Goal state before:
pp: case hf
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ UniformContinuous Norm.norm

pp: case hg
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ UniformContinuous Valued.v.norm

pp: case h
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ∀ (a : PadicAlgCl p), ‖a‖ = Valued.v.norm ↑a

Tactic:
·

Goal state after:
case hf
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ UniformContinuous Norm.norm
Module: Mathlib.NumberTheory.Padics.Complex

Goal state before:
pp: case hg
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ UniformContinuous Valued.v.norm

pp: case h
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ∀ (a : PadicAlgCl p), ‖a‖ = Valued.v.norm ↑a

Tactic:
·

Goal state after:
case hg
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ UniformContinuous Valued.v.norm
Module: Mathlib.NumberTheory.Padics.Complex

Goal state before:
pp: case hg
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ UniformContinuous Valued.v.norm

Tactic:
let S := (Valued.toNormedField ℂ_[p] NNReal).toNormedCommRing.toNormedRing.toSeminormedRing

Goal state after:
case hg
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
S : SeminormedRing ℂ_[p] := NormedRing.toSeminormedRing
⊢ UniformContinuous Valued.v.norm
Module: Mathlib.NumberTheory.Padics.Complex

Goal state before:
pp: case h
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ∀ (a : PadicAlgCl p), ‖a‖ = Valued.v.norm ↑a

Tactic:
·

Goal state after:
case h
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ∀ (a : PadicAlgCl p), ‖a‖ = Valued.v.norm ↑a
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.House

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
h0p : 0 < p
hpq : p < q
inst✝² : Fintype β
cardβ : Fintype.card β = q
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
cardα : Fintype.card α = p
h : ℕ := finrank ℚ K
hphqh : p * h < q * h
h0ph : 0 < p * h
hfinp : Fintype.card (α × (K →+* ℂ)) = p * h
hfinq : Fintype.card (β × (K →+* ℂ)) = q * h
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑h * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p * ↑h / (↑q * ↑h - ↑p * ↑h))
⊢ ∃ ξ, ξ ≠ 0 ∧ a *ᵥ ξ = 0 ∧ ∀ (l : β), house ↑(ξ l) ≤ c₁ K * (c₁ K * ↑q * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p))

Tactic:
rw [← sub_mul, mul_div_mul_right _ _ (mod_cast finrank_pos.ne')] at hxbound

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
h0p : 0 < p
hpq : p < q
inst✝² : Fintype β
cardβ : Fintype.card β = q
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
cardα : Fintype.card α = p
h : ℕ := finrank ℚ K
hphqh : p * h < q * h
h0ph : 0 < p * h
hfinp : Fintype.card (α × (K →+* ℂ)) = p * h
hfinq : Fintype.card (β × (K →+* ℂ)) = q * h
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑h * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
⊢ ∃ ξ, ξ ≠ 0 ∧ a *ᵥ ξ = 0 ∧ ∀ (l : β), house ↑(ξ l) ≤ c₁ K * (c₁ K * ↑q * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
Module: Mathlib.NumberTheory.Padics.MahlerBasis

Goal state before:
pp: M : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoidWithOne M
inst✝ : AddCommGroup G
f : M → G
n R : ℕ
hR : 1 ≤ R
aux : Δ_[1]^[n + R] f 0 = R.choose (R - 1 + 1) • Δ_[1]^[n + R] f 0
⊢ n + R = n + (R - 1 + 1)

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.Padics.MahlerBasis

Goal state before:
pp: case refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Module ℤ_[p] E
inst✝¹ : IsBoundedSMul ℤ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n : ℕ
⊢ ‖-∑ j ∈ range (p ^ t - 1), (p ^ t).choose (j + 1) • Δ_[1]^[n + (j + 1)] (⇑f) 0‖ ≤
    ↑((range (p ^ t - 1)).sup fun j ↦ ‖Δ_[1]^[n + (j + 1)] (⇑f) 0‖₊ / ↑p)

pp: case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Module ℤ_[p] E
inst✝¹ : IsBoundedSMul ℤ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n : ℕ
⊢ ‖∑ k ∈ range (n + 1), ((-1) ^ (n - k) * ↑(n.choose k)) • (f (↑k + ↑(p ^ t)) - f ↑k)‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Module ℤ_[p] E
inst✝¹ : IsBoundedSMul ℤ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n : ℕ
⊢ ‖-∑ j ∈ range (p ^ t - 1), (p ^ t).choose (j + 1) • Δ_[1]^[n + (j + 1)] (⇑f) 0‖ ≤
    ↑((range (p ^ t - 1)).sup fun j ↦ ‖Δ_[1]^[n + (j + 1)] (⇑f) 0‖₊ / ↑p)
Module: Mathlib.NumberTheory.Padics.MahlerBasis

Goal state before:
pp: p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Module ℤ_[p] E
inst✝¹ : IsBoundedSMul ℤ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n i : ℕ
hi : i < p ^ t - 1
this : 0 < (p ^ t).choose (i + 1)
⊢ i + 1 ≠ 0

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.Padics.MahlerBasis

Goal state before:
pp: case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Module ℤ_[p] E
inst✝¹ : IsBoundedSMul ℤ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n : ℕ
⊢ ‖∑ k ∈ range (n + 1), ((-1) ^ (n - k) * ↑(n.choose k)) • (f (↑k + ↑(p ^ t)) - f ↑k)‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Module ℤ_[p] E
inst✝¹ : IsBoundedSMul ℤ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n : ℕ
⊢ ‖∑ k ∈ range (n + 1), ((-1) ^ (n - k) * ↑(n.choose k)) • (f (↑k + ↑(p ^ t)) - f ↑k)‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
Module: Mathlib.NumberTheory.Padics.MahlerBasis

Goal state before:
pp: case succ.refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Module ℤ_[p] E
inst✝¹ : IsBoundedSMul ℤ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
k : ℕ
IH : ∀ (n : ℕ), k ≤ s → ‖Δ_[1]^[n + k * p ^ t] (⇑f) 0‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ k
n : ℕ
hk : k + 1 ≤ s
⊢ ↑((range (p ^ t - 1)).sup fun j ↦ ‖Δ_[1]^[n + k * p ^ t + (j + 1)] (⇑f) 0‖₊ / ↑p) ≤ ‖f‖ / ↑p ^ (k + 1)

pp: case succ.refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Module ℤ_[p] E
inst✝¹ : IsBoundedSMul ℤ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
k : ℕ
IH : ∀ (n : ℕ), k ≤ s → ‖Δ_[1]^[n + k * p ^ t] (⇑f) 0‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ k
n : ℕ
hk : k + 1 ≤ s
⊢ ‖f‖ / ↑p ^ s ≤ ‖f‖ / ↑p ^ (k + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case succ.refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Module ℤ_[p] E
inst✝¹ : IsBoundedSMul ℤ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
k : ℕ
IH : ∀ (n : ℕ), k ≤ s → ‖Δ_[1]^[n + k * p ^ t] (⇑f) 0‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ k
n : ℕ
hk : k + 1 ≤ s
⊢ ↑((range (p ^ t - 1)).sup fun j ↦ ‖Δ_[1]^[n + k * p ^ t + (j + 1)] (⇑f) 0‖₊ / ↑p) ≤ ‖f‖ / ↑p ^ (k + 1)
Module: Mathlib.NumberTheory.Padics.WithVal

Goal state before:
pp: case left
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp0' : 0 < ↑p
hp0 : 0 < (↑p)⁻¹
hp1' : 1 < ↑p
hp1 : (↑p)⁻¹ < 1
⊢ ∀ (i : ℕ),
    ∃ j,
      ∀ (x y : WithVal (Rat.padicValuation p)),
        Valued.v.restrict (y - x) < ↑j → ↑(padicNorm p ((WithVal.equiv (Rat.padicValuation p)) (x - y))) ≤ (↑p ^ i)⁻¹

pp: case right
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp0' : 0 < ↑p
hp0 : 0 < (↑p)⁻¹
hp1' : 1 < ↑p
hp1 : (↑p)⁻¹ < 1
⊢ ∀ (j : (MonoidWithZeroHom.ofClass Valued.v).ValueGroup₀ˣ),
    ∃ i,
      ∀ (x y : WithVal (Rat.padicValuation p)),
        ↑(padicNorm p ((WithVal.equiv (Rat.padicValuation p)) (x - y))) ≤ (↑p ^ i)⁻¹ → Valued.v.restrict (y - x) < ↑j

Tactic:
·

Goal state after:
case left
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp0' : 0 < ↑p
hp0 : 0 < (↑p)⁻¹
hp1' : 1 < ↑p
hp1 : (↑p)⁻¹ < 1
⊢ ∀ (i : ℕ),
    ∃ j,
      ∀ (x y : WithVal (Rat.padicValuation p)),
        Valued.v.restrict (y - x) < ↑j → ↑(padicNorm p ((WithVal.equiv (Rat.padicValuation p)) (x - y))) ≤ (↑p ^ i)⁻¹
Module: Mathlib.NumberTheory.Padics.MahlerBasis

Goal state before:
pp: p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Module ℤ_[p] E
inst✝¹ : IsBoundedSMul ℤ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
k : ℕ
IH : ∀ (n : ℕ), k ≤ s → ‖Δ_[1]^[n + k * p ^ t] (⇑f) 0‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ k
n : ℕ
hk : k + 1 ≤ s
j : ℕ
x✝ : j ∈ range (p ^ t - 1)
⊢ k ≤ s

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.Padics.MahlerBasis

Goal state before:
pp: case succ.refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Module ℤ_[p] E
inst✝¹ : IsBoundedSMul ℤ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
k : ℕ
IH : ∀ (n : ℕ), k ≤ s → ‖Δ_[1]^[n + k * p ^ t] (⇑f) 0‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ k
n : ℕ
hk : k + 1 ≤ s
⊢ ‖f‖ / ↑p ^ s ≤ ‖f‖ / ↑p ^ (k + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case succ.refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Module ℤ_[p] E
inst✝¹ : IsBoundedSMul ℤ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
k : ℕ
IH : ∀ (n : ℕ), k ≤ s → ‖Δ_[1]^[n + k * p ^ t] (⇑f) 0‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ k
n : ℕ
hk : k + 1 ≤ s
⊢ ‖f‖ / ↑p ^ s ≤ ‖f‖ / ↑p ^ (k + 1)
Module: Mathlib.NumberTheory.Padics.WithVal

Goal state before:
pp: case h
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp0' : 0 < ↑p
hp0 : 0 < (↑p)⁻¹
hp1' : 1 < ↑p
hp1 : (↑p)⁻¹ < 1
n : ℕ
hn : Valued.v (↑p ^ n) = exp (-↑n)
x y : WithVal (Rat.padicValuation p)
x' : ℚ := (WithVal.equiv (Rat.padicValuation p)) x
hx : x' = (WithVal.equiv (Rat.padicValuation p)) x
y' : ℚ := (WithVal.equiv (Rat.padicValuation p)) y
hy : y' = (WithVal.equiv (Rat.padicValuation p)) y
h : (Rat.padicValuation p) (x' - y') < exp (-↑n)
⊢ padicNorm p ((WithVal.equiv (Rat.padicValuation p)) (x - y)) ≤ (↑(p ^ n))⁻¹

pp: case h
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp0' : 0 < ↑p
hp0 : 0 < (↑p)⁻¹
hp1' : 1 < ↑p
hp1 : (↑p)⁻¹ < 1
n : ℕ
hn : Valued.v (↑p ^ n) = exp (-↑n)
x y : WithVal (Rat.padicValuation p)
x' : ℚ := (WithVal.equiv (Rat.padicValuation p)) x
hx : x' = (WithVal.equiv (Rat.padicValuation p)) x
y' : ℚ := (WithVal.equiv (Rat.padicValuation p)) y
hy : y' = (WithVal.equiv (Rat.padicValuation p)) y
h : (Rat.padicValuation p) (x' - y') < exp (-↑n)
⊢ ↑(↑(p ^ n)).num ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case h
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp0' : 0 < ↑p
hp0 : 0 < (↑p)⁻¹
hp1' : 1 < ↑p
hp1 : (↑p)⁻¹ < 1
n : ℕ
hn : Valued.v (↑p ^ n) = exp (-↑n)
x y : WithVal (Rat.padicValuation p)
x' : ℚ := (WithVal.equiv (Rat.padicValuation p)) x
hx : x' = (WithVal.equiv (Rat.padicValuation p)) x
y' : ℚ := (WithVal.equiv (Rat.padicValuation p)) y
hy : y' = (WithVal.equiv (Rat.padicValuation p)) y
h : (Rat.padicValuation p) (x' - y') < exp (-↑n)
⊢ padicNorm p ((WithVal.equiv (Rat.padicValuation p)) (x - y)) ≤ (↑(p ^ n))⁻¹
Module: Mathlib.NumberTheory.Padics.MahlerBasis

Goal state before:
pp: case inl
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Module ℤ_[p] E
inst✝¹ : IsBoundedSMul ℤ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
ε : ℝ
hε : ε > 0
s : ℕ
this : Tendsto (fun s ↦ ‖0‖ / ↑p ^ s) atTop (𝓝 0)
hs : ‖0‖ / ↑p ^ s < ε
⊢ ∃ t, ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖0 x - 0 y‖ ≤ ‖0‖ / ↑p ^ s

pp: case inr
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Module ℤ_[p] E
inst✝¹ : IsBoundedSMul ℤ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
ε : ℝ
hε : ε > 0
this : Tendsto (fun s ↦ ‖f‖ / ↑p ^ s) atTop (𝓝 0)
s : ℕ
hs : ‖f‖ / ↑p ^ s < ε
hf : f ≠ 0
⊢ ∃ t, ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Module ℤ_[p] E
inst✝¹ : IsBoundedSMul ℤ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
ε : ℝ
hε : ε > 0
s : ℕ
this : Tendsto (fun s ↦ ‖0‖ / ↑p ^ s) atTop (𝓝 0)
hs : ‖0‖ / ↑p ^ s < ε
⊢ ∃ t, ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖0 x - 0 y‖ ≤ ‖0‖ / ↑p ^ s