Module: Mathlib.RingTheory.FiniteType

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
M : Type u_1
x✝² : AddCommMonoid M
x✝¹ : Module R M
x✝ : Module.Finite R M
N : Submodule R M
f : ↥N →ₗ[R] M
hf : Surjective ⇑f
this✝² : AddCommGroup M := addCommMonoidToAddCommGroup R
this✝¹ : AddCommGroup ↥N := addCommMonoidToAddCommGroup R
i : ↥N →ₗ[R] M := N.subtype
hi : Function.Injective ⇑i := injective_subtype N
n : ↥N
hn : f n = 0
k : ℕ
mj : Fin k → M
hmj : Surjective ⇑((Module.piEquiv (Fin k) R M) mj)
b : Fin k → R
hb : ((Module.piEquiv (Fin k) R M) mj) b = i n
nj : Fin k → ↥N
hnj : ∀ (j : Fin k), f (nj j) = mj j
c : Fin k → Fin k → R
hc : ∀ (j : Fin k), ((Module.piEquiv (Fin k) R M) mj) (c j) = i (nj j)
A : Subring R := Subring.closure (Set.range b ∪ Set.range (Function.uncurry c))
N' : Submodule ↥A ↥N := span (↥A) ({n} ∪ Set.range nj)
M' : Submodule (↥A) M := span (↥A) (Set.range mj)
this✝ : IsNoetherianRing ↥A
this : Module.Finite ↥A ↥M'
x : ↥N
hx : x ∈ N'
⊢ (↑↥A i) x ∈ M'

pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
M : Type u_1
x✝² : AddCommMonoid M
x✝¹ : Module R M
x✝ : Module.Finite R M
N : Submodule R M
f : ↥N →ₗ[R] M
hf : Surjective ⇑f
this✝² : AddCommGroup M := addCommMonoidToAddCommGroup R
this✝¹ : AddCommGroup ↥N := addCommMonoidToAddCommGroup R
i : ↥N →ₗ[R] M := N.subtype
hi : Function.Injective ⇑i := injective_subtype N
n : ↥N
hn : f n = 0
k : ℕ
mj : Fin k → M
hmj : Surjective ⇑((Module.piEquiv (Fin k) R M) mj)
b : Fin k → R
hb : ((Module.piEquiv (Fin k) R M) mj) b = i n
nj : Fin k → ↥N
hnj : ∀ (j : Fin k), f (nj j) = mj j
c : Fin k → Fin k → R
hc : ∀ (j : Fin k), ((Module.piEquiv (Fin k) R M) mj) (c j) = i (nj j)
A : Subring R := Subring.closure (Set.range b ∪ Set.range (Function.uncurry c))
N' : Submodule ↥A ↥N := span (↥A) ({n} ∪ Set.range nj)
M' : Submodule (↥A) M := span (↥A) (Set.range mj)
this✝ : IsNoetherianRing ↥A
this : Module.Finite ↥A ↥M'
x : ↥N
hx : x ∈ N'
⊢ (↑↥A f) x ∈ M'

pp: case refine_3
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
M : Type u_1
x✝³ : AddCommMonoid M
x✝² : Module R M
x✝¹ : Module.Finite R M
N : Submodule R M
f : ↥N →ₗ[R] M
hf : Surjective ⇑f
this✝² : AddCommGroup M := addCommMonoidToAddCommGroup R
this✝¹ : AddCommGroup ↥N := addCommMonoidToAddCommGroup R
i : ↥N →ₗ[R] M := N.subtype
hi : Function.Injective ⇑i := injective_subtype N
n : ↥N
hn : f n = 0
k : ℕ
mj : Fin k → M
hmj : Surjective ⇑((Module.piEquiv (Fin k) R M) mj)
b : Fin k → R
hb : ((Module.piEquiv (Fin k) R M) mj) b = i n
nj : Fin k → ↥N
hnj : ∀ (j : Fin k), f (nj j) = mj j
c : Fin k → Fin k → R
hc : ∀ (j : Fin k), ((Module.piEquiv (Fin k) R M) mj) (c j) = i (nj j)
A : Subring R := Subring.closure (Set.range b ∪ Set.range (Function.uncurry c))
N' : Submodule ↥A ↥N := span (↥A) ({n} ∪ Set.range nj)
M' : Submodule (↥A) M := span (↥A) (Set.range mj)
this✝ : IsNoetherianRing ↥A
this : Module.Finite ↥A ↥M'
x✝ : ↥M'
x : M
hx : x ∈ M'
⊢ ∃ a, ((↑↥A f).restrict ⋯) a = ⟨x, hx⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
M : Type u_1
x✝² : AddCommMonoid M
x✝¹ : Module R M
x✝ : Module.Finite R M
N : Submodule R M
f : ↥N →ₗ[R] M
hf : Surjective ⇑f
this✝² : AddCommGroup M := addCommMonoidToAddCommGroup R
this✝¹ : AddCommGroup ↥N := addCommMonoidToAddCommGroup R
i : ↥N →ₗ[R] M := N.subtype
hi : Function.Injective ⇑i := injective_subtype N
n : ↥N
hn : f n = 0
k : ℕ
mj : Fin k → M
hmj : Surjective ⇑((Module.piEquiv (Fin k) R M) mj)
b : Fin k → R
hb : ((Module.piEquiv (Fin k) R M) mj) b = i n
nj : Fin k → ↥N
hnj : ∀ (j : Fin k), f (nj j) = mj j
c : Fin k → Fin k → R
hc : ∀ (j : Fin k), ((Module.piEquiv (Fin k) R M) mj) (c j) = i (nj j)
A : Subring R := Subring.closure (Set.range b ∪ Set.range (Function.uncurry c))
N' : Submodule ↥A ↥N := span (↥A) ({n} ∪ Set.range nj)
M' : Submodule (↥A) M := span (↥A) (Set.range mj)
this✝ : IsNoetherianRing ↥A
this : Module.Finite ↥A ↥M'
x : ↥N
hx : x ∈ N'
⊢ (↑↥A i) x ∈ M'