mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: case inl
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
mpos : 0 < m
hA : A.det ≠ 0
B : E ≃L[ℝ] E := A.toContinuousLinearEquivOfDetNeZero hA
I : ENNReal.ofReal |(↑B.symm).det| < ↑m⁻¹
δ₀ : ℝ≥0
δ₀pos : 0 < δ₀
hδ₀ : ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g (↑B.symm) t δ₀ → μ (g '' t) ≤ ↑m⁻¹ * μ t
L1 : ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, Subsingleton E ∨ δ < ‖↑B.symm‖₊⁻¹
H : ‖↑B.symm‖₊ = 0
⊢ Tendsto (fun δ ↦ ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - δ)⁻¹ * δ) (𝓝 0) (𝓝 (‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - 0)⁻¹ * 0))

pp: case inr
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
mpos : 0 < m
hA : A.det ≠ 0
B : E ≃L[ℝ] E := A.toContinuousLinearEquivOfDetNeZero hA
I : ENNReal.ofReal |(↑B.symm).det| < ↑m⁻¹
δ₀ : ℝ≥0
δ₀pos : 0 < δ₀
hδ₀ : ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g (↑B.symm) t δ₀ → μ (g '' t) ≤ ↑m⁻¹ * μ t
L1 : ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, Subsingleton E ∨ δ < ‖↑B.symm‖₊⁻¹
H : ‖↑B.symm‖₊ ≠ 0
⊢ Tendsto (fun δ ↦ ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - δ)⁻¹ * δ) (𝓝 0) (𝓝 (‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - 0)⁻¹ * 0))

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
mpos : 0 < m
hA : A.det ≠ 0
B : E ≃L[ℝ] E := A.toContinuousLinearEquivOfDetNeZero hA
I : ENNReal.ofReal |(↑B.symm).det| < ↑m⁻¹
δ₀ : ℝ≥0
δ₀pos : 0 < δ₀
hδ₀ : ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g (↑B.symm) t δ₀ → μ (g '' t) ≤ ↑m⁻¹ * μ t
L1 : ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, Subsingleton E ∨ δ < ‖↑B.symm‖₊⁻¹
H : ‖↑B.symm‖₊ = 0
⊢ Tendsto (fun δ ↦ ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - δ)⁻¹ * δ) (𝓝 0) (𝓝 (‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - 0)⁻¹ * 0))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: case h_anti
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ Antitone fun n ↦ Ici ↑n

pp: case hfi
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ ∃ i, IntegrableOn (fun x ↦ ‖f' x‖) (Ici ↑i) volume

Tactic:
·

Goal state after:
case h_anti
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ Antitone fun n ↦ Ici ↑n
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: case hfi
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ ∃ i, IntegrableOn (fun x ↦ ‖f' x‖) (Ici ↑i) volume

Tactic:
·

Goal state after:
case hfi
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ ∃ i, IntegrableOn (fun x ↦ ‖f' x‖) (Ici ↑i) volume
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.IntegrationByParts

Goal state before:
pp: case inr
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ IntervalIntegrable (fun x ↦ f' x • g (f x)) volume a b ↔ IntervalIntegrable g volume (f a) (f b)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), f' x ≤ 0
M : AntitoneOn f [[a, b]]
hab : b < a
⊢ IntervalIntegrable (fun x ↦ f' x • g (f x)) volume a b ↔ IntervalIntegrable g volume (f a) (f b)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: case hderiv
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : ℝ) in Ici ↑n, ‖f' x‖ < ε
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a < ↑n
N : ℕ
hN : ∫ (x : ℝ) in Ici ↑N, ‖f' x‖ < ε
h'N : a < ↑N
x : ℝ
hx : x ≥ ↑N
⊢ ∀ x_1 ∈ [[↑N, x]], HasDerivAt f (f' x_1) x_1

pp: case hint
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : ℝ) in Ici ↑n, ‖f' x‖ < ε
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a < ↑n
N : ℕ
hN : ∫ (x : ℝ) in Ici ↑N, ‖f' x‖ < ε
h'N : a < ↑N
x : ℝ
hx : x ≥ ↑N
⊢ IntervalIntegrable f' volume (↑N) x

Tactic:
·

Goal state after:
case hderiv
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : ℝ) in Ici ↑n, ‖f' x‖ < ε
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a < ↑n
N : ℕ
hN : ∫ (x : ℝ) in Ici ↑N, ‖f' x‖ < ε
h'N : a < ↑N
x : ℝ
hx : x ≥ ↑N
⊢ ∀ x_1 ∈ [[↑N, x]], HasDerivAt f (f' x_1) x_1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: case hint
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : ℝ) in Ici ↑n, ‖f' x‖ < ε
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a < ↑n
N : ℕ
hN : ∫ (x : ℝ) in Ici ↑N, ‖f' x‖ < ε
h'N : a < ↑N
x : ℝ
hx : x ≥ ↑N
⊢ IntervalIntegrable f' volume (↑N) x

Tactic:
·

Goal state after:
case hint
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : ℝ) in Ici ↑n, ‖f' x‖ < ε
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a < ↑n
N : ℕ
hN : ∫ (x : ℝ) in Ici ↑N, ‖f' x‖ < ε
h'N : a < ↑N
x : ℝ
hx : x ≥ ↑N
⊢ IntervalIntegrable f' volume (↑N) x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: case hfi
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : ℝ) in Ici ↑n, ‖f' x‖ < ε
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a < ↑n
N : ℕ
hN : ∫ (x : ℝ) in Ici ↑N, ‖f' x‖ < ε
h'N : a < ↑N
x : ℝ
hx : x ≥ ↑N
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ ‖f' x‖) (Ici ↑N) volume

pp: case hf
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : ℝ) in Ici ↑n, ‖f' x‖ < ε
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a < ↑n
N : ℕ
hN : ∫ (x : ℝ) in Ici ↑N, ‖f' x‖ < ε
h'N : a < ↑N
x : ℝ
hx : x ≥ ↑N
⊢ 0 ≤ᵐ[volume.restrict (Ici ↑N)] fun x ↦ ‖f' x‖

pp: case hst
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : ℝ) in Ici ↑n, ‖f' x‖ < ε
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a < ↑n
N : ℕ
hN : ∫ (x : ℝ) in Ici ↑N, ‖f' x‖ < ε
h'N : a < ↑N
x : ℝ
hx : x ≥ ↑N
⊢ Ioc (↑N) x ≤ᵐ[volume] Ici ↑N

Tactic:
·

Goal state after:
case hfi
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : ℝ) in Ici ↑n, ‖f' x‖ < ε
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a < ↑n
N : ℕ
hN : ∫ (x : ℝ) in Ici ↑N, ‖f' x‖ < ε
h'N : a < ↑N
x : ℝ
hx : x ≥ ↑N
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ ‖f' x‖) (Ici ↑N) volume
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.JacobianOneDim

Goal state before:
pp: case hf'
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
g : ℝ → F
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo a b, f' x ≤ 0
hab : a ≤ b
⊢ DifferentiableOn ℝ f (interior (Icc a b))

pp: case hf'_nonpos
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
g : ℝ → F
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo a b, f' x ≤ 0
hab : a ≤ b
⊢ ∀ x ∈ interior (Icc a b), deriv f x ≤ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case hf'
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
g : ℝ → F
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo a b, f' x ≤ 0
hab : a ≤ b
⊢ DifferentiableOn ℝ f (interior (Icc a b))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.JacobianOneDim

Goal state before:
pp: case hf'_nonpos
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
g : ℝ → F
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo a b, f' x ≤ 0
hab : a ≤ b
⊢ ∀ x ∈ interior (Icc a b), deriv f x ≤ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case hf'_nonpos
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
g : ℝ → F
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo a b, f' x ≤ 0
hab : a ≤ b
⊢ ∀ x ∈ interior (Icc a b), deriv f x ≤ 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: case hf
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : ℝ) in Ici ↑n, ‖f' x‖ < ε
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a < ↑n
N : ℕ
hN : ∫ (x : ℝ) in Ici ↑N, ‖f' x‖ < ε
h'N : a < ↑N
x : ℝ
hx : x ≥ ↑N
⊢ 0 ≤ᵐ[volume.restrict (Ici ↑N)] fun x ↦ ‖f' x‖

pp: case hst
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : ℝ) in Ici ↑n, ‖f' x‖ < ε
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a < ↑n
N : ℕ
hN : ∫ (x : ℝ) in Ici ↑N, ‖f' x‖ < ε
h'N : a < ↑N
x : ℝ
hx : x ≥ ↑N
⊢ Ioc (↑N) x ≤ᵐ[volume] Ici ↑N

Tactic:
·

Goal state after:
case hf
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : ℝ) in Ici ↑n, ‖f' x‖ < ε
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a < ↑n
N : ℕ
hN : ∫ (x : ℝ) in Ici ↑N, ‖f' x‖ < ε
h'N : a < ↑N
x : ℝ
hx : x ≥ ↑N
⊢ 0 ≤ᵐ[volume.restrict (Ici ↑N)] fun x ↦ ‖f' x‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: case hst
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : ℝ) in Ici ↑n, ‖f' x‖ < ε
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a < ↑n
N : ℕ
hN : ∫ (x : ℝ) in Ici ↑N, ‖f' x‖ < ε
h'N : a < ↑N
x : ℝ
hx : x ≥ ↑N
⊢ Ioc (↑N) x ≤ᵐ[volume] Ici ↑N

Tactic:
·

Goal state after:
case hst
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
ε : ℝ
εpos : ε > 0
A : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∫ (x : ℝ) in Ici ↑n, ‖f' x‖ < ε
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a < ↑n
N : ℕ
hN : ∫ (x : ℝ) in Ici ↑N, ‖f' x‖ < ε
h'N : a < ↑N
x : ℝ
hx : x ≥ ↑N
⊢ Ioc (↑N) x ≤ᵐ[volume] Ici ↑N
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝ : SigmaFinite μ
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x ↦ (B (f' x)) (g x)) (μ.prod volume)
hfg' : Integrable (fun x ↦ (B (f x)) (g' x)) (μ.prod volume)
hfg : Integrable (fun x ↦ (B (f x)) (g x)) (μ.prod volume)
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
x : E
hf'gx : Integrable (fun y ↦ (B (f' (x, y))) (g (x, y))) volume
hfg'x : Integrable (fun y ↦ (B (f (x, y))) (g' (x, y))) volume
hfgx : Integrable (fun y ↦ (B (f (x, y))) (g (x, y))) volume
⊢ ∀ x_1 ∈ tsupport fun x_2 ↦ g (x, x_2), HasDerivAt (fun x_2 ↦ f (x, x_2)) (f' (x, x_1)) x_1

pp: E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝ : SigmaFinite μ
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x ↦ (B (f' x)) (g x)) (μ.prod volume)
hfg' : Integrable (fun x ↦ (B (f x)) (g' x)) (μ.prod volume)
hfg : Integrable (fun x ↦ (B (f x)) (g x)) (μ.prod volume)
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
x : E
hf'gx : Integrable (fun y ↦ (B (f' (x, y))) (g (x, y))) volume
hfg'x : Integrable (fun y ↦ (B (f (x, y))) (g' (x, y))) volume
hfgx : Integrable (fun y ↦ (B (f (x, y))) (g (x, y))) volume
⊢ ∀ x_1 ∈ tsupport fun x_2 ↦ f (x, x_2), HasDerivAt (fun x_2 ↦ g (x, x_2)) (g' (x, x_1)) x_1

Tactic:
·

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝ : SigmaFinite μ
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x ↦ (B (f' x)) (g x)) (μ.prod volume)
hfg' : Integrable (fun x ↦ (B (f x)) (g' x)) (μ.prod volume)
hfg : Integrable (fun x ↦ (B (f x)) (g x)) (μ.prod volume)
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
x : E
hf'gx : Integrable (fun y ↦ (B (f' (x, y))) (g (x, y))) volume
hfg'x : Integrable (fun y ↦ (B (f (x, y))) (g' (x, y))) volume
hfgx : Integrable (fun y ↦ (B (f (x, y))) (g (x, y))) volume
⊢ ∀ x_1 ∈ tsupport fun x_2 ↦ g (x, x_2), HasDerivAt (fun x_2 ↦ f (x, x_2)) (f' (x, x_1)) x_1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.JacobianOneDim

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
g : ℝ → F
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo a b, f' x ≤ 0
hab : a ≤ b
M : AntitoneOn f (Icc a b)
A : ∫ (u : ℝ) in Icc (f b) (f a), g u = ∫ (u : ℝ) in f '' Ioo a b, g u
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioo a b, f' t • g (f t) = -∫ (x : ℝ) in Ioo a b, -f' x • g (f x)

pp: case hf'
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
g : ℝ → F
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo a b, f' x ≤ 0
hab : a ≤ b
M : AntitoneOn f (Icc a b)
A : ∫ (u : ℝ) in Icc (f b) (f a), g u = ∫ (u : ℝ) in f '' Ioo a b, g u
⊢ ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioo a b) x

pp: case hf
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
g : ℝ → F
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo a b, f' x ≤ 0
hab : a ≤ b
M : AntitoneOn f (Icc a b)
A : ∫ (u : ℝ) in Icc (f b) (f a), g u = ∫ (u : ℝ) in f '' Ioo a b, g u
⊢ AntitoneOn f (Ioo a b)

Tactic:
·

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
g : ℝ → F
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo a b, f' x ≤ 0
hab : a ≤ b
M : AntitoneOn f (Icc a b)
A : ∫ (u : ℝ) in Icc (f b) (f a), g u = ∫ (u : ℝ) in f '' Ioo a b, g u
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioo a b, f' t • g (f t) = -∫ (x : ℝ) in Ioo a b, -f' x • g (f x)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.JacobianOneDim

Goal state before:
pp: case hf'
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
g : ℝ → F
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo a b, f' x ≤ 0
hab : a ≤ b
M : AntitoneOn f (Icc a b)
A : ∫ (u : ℝ) in Icc (f b) (f a), g u = ∫ (u : ℝ) in f '' Ioo a b, g u
⊢ ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioo a b) x

pp: case hf
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
g : ℝ → F
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo a b, f' x ≤ 0
hab : a ≤ b
M : AntitoneOn f (Icc a b)
A : ∫ (u : ℝ) in Icc (f b) (f a), g u = ∫ (u : ℝ) in f '' Ioo a b, g u
⊢ AntitoneOn f (Ioo a b)

Tactic:
·

Goal state after:
case hf'
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
g : ℝ → F
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo a b, f' x ≤ 0
hab : a ≤ b
M : AntitoneOn f (Icc a b)
A : ∫ (u : ℝ) in Icc (f b) (f a), g u = ∫ (u : ℝ) in f '' Ioo a b, g u
⊢ ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioo a b) x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.JacobianOneDim

Goal state before:
pp: case hf
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
g : ℝ → F
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo a b, f' x ≤ 0
hab : a ≤ b
M : AntitoneOn f (Icc a b)
A : ∫ (u : ℝ) in Icc (f b) (f a), g u = ∫ (u : ℝ) in f '' Ioo a b, g u
⊢ AntitoneOn f (Ioo a b)

Tactic:
·

Goal state after:
case hf
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
g : ℝ → F
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo a b, f' x ≤ 0
hab : a ≤ b
M : AntitoneOn f (Icc a b)
A : ∫ (u : ℝ) in Icc (f b) (f a), g u = ∫ (u : ℝ) in f '' Ioo a b, g u
⊢ AntitoneOn f (Ioo a b)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: case h0
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
mpos : 0 < m
hA : A.det ≠ 0
B : E ≃L[ℝ] E := A.toContinuousLinearEquivOfDetNeZero hA
I : ENNReal.ofReal |(↑B.symm).det| < ↑m⁻¹
δ₀ : ℝ≥0
δ₀pos : 0 < δ₀
hδ₀ : ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g (↑B.symm) t δ₀ → μ (g '' t) ≤ ↑m⁻¹ * μ t
L1 : ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, Subsingleton E ∨ δ < ‖↑B.symm‖₊⁻¹
L2 : ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - δ)⁻¹ * δ < δ₀
δ : ℝ≥0
h1δ : Subsingleton E ∨ δ < ‖↑B.symm‖₊⁻¹
h2δ : ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - δ)⁻¹ * δ < δ₀
s : Set E
f : E → E
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hf' : ApproximatesLinearOn f (↑B) s δ
F : PartialEquiv E E := hf'.toPartialEquiv h1δ
H : μ (↑F.symm '' F.target) ≤ ↑m⁻¹ * μ F.target
⊢ ↑m ≠ 0 ∨ μ F.target ≠ 0

pp: case ht
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
mpos : 0 < m
hA : A.det ≠ 0
B : E ≃L[ℝ] E := A.toContinuousLinearEquivOfDetNeZero hA
I : ENNReal.ofReal |(↑B.symm).det| < ↑m⁻¹
δ₀ : ℝ≥0
δ₀pos : 0 < δ₀
hδ₀ : ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g (↑B.symm) t δ₀ → μ (g '' t) ≤ ↑m⁻¹ * μ t
L1 : ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, Subsingleton E ∨ δ < ‖↑B.symm‖₊⁻¹
L2 : ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - δ)⁻¹ * δ < δ₀
δ : ℝ≥0
h1δ : Subsingleton E ∨ δ < ‖↑B.symm‖₊⁻¹
h2δ : ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - δ)⁻¹ * δ < δ₀
s : Set E
f : E → E
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hf' : ApproximatesLinearOn f (↑B) s δ
F : PartialEquiv E E := hf'.toPartialEquiv h1δ
H : μ (↑F.symm '' F.target) ≤ ↑m⁻¹ * μ F.target
⊢ ↑m ≠ ∞ ∨ μ F.target ≠ ∞

Tactic:
·

Goal state after:
case h0
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
mpos : 0 < m
hA : A.det ≠ 0
B : E ≃L[ℝ] E := A.toContinuousLinearEquivOfDetNeZero hA
I : ENNReal.ofReal |(↑B.symm).det| < ↑m⁻¹
δ₀ : ℝ≥0
δ₀pos : 0 < δ₀
hδ₀ : ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g (↑B.symm) t δ₀ → μ (g '' t) ≤ ↑m⁻¹ * μ t
L1 : ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, Subsingleton E ∨ δ < ‖↑B.symm‖₊⁻¹
L2 : ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - δ)⁻¹ * δ < δ₀
δ : ℝ≥0
h1δ : Subsingleton E ∨ δ < ‖↑B.symm‖₊⁻¹
h2δ : ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - δ)⁻¹ * δ < δ₀
s : Set E
f : E → E
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hf' : ApproximatesLinearOn f (↑B) s δ
F : PartialEquiv E E := hf'.toPartialEquiv h1δ
H : μ (↑F.symm '' F.target) ≤ ↑m⁻¹ * μ F.target
⊢ ↑m ≠ 0 ∨ μ F.target ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝ : SigmaFinite μ
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x ↦ (B (f' x)) (g x)) (μ.prod volume)
hfg' : Integrable (fun x ↦ (B (f x)) (g' x)) (μ.prod volume)
hfg : Integrable (fun x ↦ (B (f x)) (g x)) (μ.prod volume)
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
x : E
hf'gx : Integrable (fun y ↦ (B (f' (x, y))) (g (x, y))) volume
hfg'x : Integrable (fun y ↦ (B (f (x, y))) (g' (x, y))) volume
hfgx : Integrable (fun y ↦ (B (f (x, y))) (g (x, y))) volume
⊢ ∀ x_1 ∈ tsupport fun x_2 ↦ f (x, x_2), HasDerivAt (fun x_2 ↦ g (x, x_2)) (g' (x, x_1)) x_1

Tactic:
·

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝ : SigmaFinite μ
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x ↦ (B (f' x)) (g x)) (μ.prod volume)
hfg' : Integrable (fun x ↦ (B (f x)) (g' x)) (μ.prod volume)
hfg : Integrable (fun x ↦ (B (f x)) (g x)) (μ.prod volume)
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
x : E
hf'gx : Integrable (fun y ↦ (B (f' (x, y))) (g (x, y))) volume
hfg'x : Integrable (fun y ↦ (B (f (x, y))) (g' (x, y))) volume
hfgx : Integrable (fun y ↦ (B (f (x, y))) (g (x, y))) volume
⊢ ∀ x_1 ∈ tsupport fun x_2 ↦ f (x, x_2), HasDerivAt (fun x_2 ↦ g (x, x_2)) (g' (x, x_1)) x_1