mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun r ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun x ↦ {r | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
A : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
t : Set α
r : α → ℝ
left✝ : t.Countable
ts : t ⊆ s
tg : ∀ x ∈ t, r x ∈ g x ∩ Ioo 0 1
μt : μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) = 0
tdisj : t.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)
F : α → α × Set α := fun x ↦ (x, closedBall x (r x))
⊢ (F '' t).PairwiseDisjoint fun p ↦ p.2

pp: case refine_3
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun r ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun x ↦ {r | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
A : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
t : Set α
r : α → ℝ
left✝ : t.Countable
ts : t ⊆ s
tg : ∀ x ∈ t, r x ∈ g x ∩ Ioo 0 1
μt : μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) = 0
tdisj : t.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)
F : α → α × Set α := fun x ↦ (x, closedBall x (r x))
⊢ ∀ p ∈ F '' t, p.2 ∈ f p.1

pp: case refine_4
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun r ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun x ↦ {r | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
A : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
t : Set α
r : α → ℝ
left✝ : t.Countable
ts : t ⊆ s
tg : ∀ x ∈ t, r x ∈ g x ∩ Ioo 0 1
μt : μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) = 0
tdisj : t.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)
F : α → α × Set α := fun x ↦ (x, closedBall x (r x))
⊢ μ (s \ ⋃ p ∈ F '' t, p.2) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun r ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun x ↦ {r | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
A : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
t : Set α
r : α → ℝ
left✝ : t.Countable
ts : t ⊆ s
tg : ∀ x ∈ t, r x ∈ g x ∩ Ioo 0 1
μt : μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) = 0
tdisj : t.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)
F : α → α × Set α := fun x ↦ (x, closedBall x (r x))
⊢ (F '' t).PairwiseDisjoint fun p ↦ p.2
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Partial

Goal state before:
pp: case h₁
𝕜 : Type u_1
E₁ : Type u_2
E₂ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
u : E₁ × E₂
f : E₁ → E₂ → F
f₁ : E₁ → E₂ → E₁ →L[𝕜] F
f₂ : E₁ → E₂ → E₂ →L[𝕜] F
df₁ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f x v.2) (↿f₁ v) v.1
df₂ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f v.1 x) (↿f₂ v) v.2
cf₁ : Tendsto (↿f₁) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₁ u))
cf₂ : Tendsto (↿f₂) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₂ u))
this : RCLike 𝕜 := ⋯
⊢ (fun x ↦ f x.1.1 x.2.2 - f x.2.1 x.2.2 - (↿f₁ u) (x.1.1 - x.2.1)) =o[(𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2] fun x ↦
    match x with
    | (v, w) => v - w

pp: case h₂
𝕜 : Type u_1
E₁ : Type u_2
E₂ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
u : E₁ × E₂
f : E₁ → E₂ → F
f₁ : E₁ → E₂ → E₁ →L[𝕜] F
f₂ : E₁ → E₂ → E₂ →L[𝕜] F
df₁ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f x v.2) (↿f₁ v) v.1
df₂ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f v.1 x) (↿f₂ v) v.2
cf₁ : Tendsto (↿f₁) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₁ u))
cf₂ : Tendsto (↿f₂) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₂ u))
this : RCLike 𝕜 := ⋯
⊢ (fun x ↦ f x.1.1 x.1.2 - f x.1.1 x.2.2 - (↿f₂ u) (x.1.2 - x.2.2)) =o[(𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2] fun x ↦
    match x with
    | (v, w) => v - w

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
𝕜 : Type u_1
E₁ : Type u_2
E₂ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
u : E₁ × E₂
f : E₁ → E₂ → F
f₁ : E₁ → E₂ → E₁ →L[𝕜] F
f₂ : E₁ → E₂ → E₂ →L[𝕜] F
df₁ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f x v.2) (↿f₁ v) v.1
df₂ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f v.1 x) (↿f₂ v) v.2
cf₁ : Tendsto (↿f₁) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₁ u))
cf₂ : Tendsto (↿f₂) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₂ u))
this : RCLike 𝕜 := ⋯
⊢ (fun x ↦ f x.1.1 x.2.2 - f x.2.1 x.2.2 - (↿f₁ u) (x.1.1 - x.2.1)) =o[(𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2] fun x ↦
    match x with
    | (v, w) => v - w
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
h : IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ IsSymmSndFDerivAt 𝕜 f x

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
h : ¬IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ IsSymmSndFDerivAt 𝕜 f x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
h : IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ IsSymmSndFDerivAt 𝕜 f x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: case pos.hf
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
h : IsRCLikeNormedField 𝕜
v w : E
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (fderiv 𝕜 f y) y

pp: case pos.hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
h : IsRCLikeNormedField 𝕜
v w : E
⊢ HasFDerivAt (fderiv 𝕜 f) (fderiv 𝕜 (fderiv 𝕜 f) x) x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos.hf
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
h : IsRCLikeNormedField 𝕜
v w : E
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (fderiv 𝕜 f y) y
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case refine_3
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun r ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun x ↦ {r | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
A : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
t : Set α
r : α → ℝ
left✝ : t.Countable
ts : t ⊆ s
tg : ∀ x ∈ t, r x ∈ g x ∩ Ioo 0 1
μt : μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) = 0
tdisj : t.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)
F : α → α × Set α := fun x ↦ (x, closedBall x (r x))
⊢ ∀ p ∈ F '' t, p.2 ∈ f p.1

pp: case refine_4
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun r ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun x ↦ {r | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
A : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
t : Set α
r : α → ℝ
left✝ : t.Countable
ts : t ⊆ s
tg : ∀ x ∈ t, r x ∈ g x ∩ Ioo 0 1
μt : μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) = 0
tdisj : t.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)
F : α → α × Set α := fun x ↦ (x, closedBall x (r x))
⊢ μ (s \ ⋃ p ∈ F '' t, p.2) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun r ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun x ↦ {r | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
A : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
t : Set α
r : α → ℝ
left✝ : t.Countable
ts : t ⊆ s
tg : ∀ x ∈ t, r x ∈ g x ∩ Ioo 0 1
μt : μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) = 0
tdisj : t.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)
F : α → α × Set α := fun x ↦ (x, closedBall x (r x))
⊢ ∀ p ∈ F '' t, p.2 ∈ f p.1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: case pos.hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
h : IsRCLikeNormedField 𝕜
v w : E
⊢ HasFDerivAt (fderiv 𝕜 f) (fderiv 𝕜 (fderiv 𝕜 f) x) x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos.hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
h : IsRCLikeNormedField 𝕜
v w : E
⊢ HasFDerivAt (fderiv 𝕜 f) (fderiv 𝕜 (fderiv 𝕜 f) x) x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
h : ¬IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ IsSymmSndFDerivAt 𝕜 f x

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
h : ¬IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ IsSymmSndFDerivAt 𝕜 f x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Norm

Goal state before:
pp: case e'_11
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : StrongDual ℝ E
x : E
t : ℝ
ht : t ≠ 0
h : HasFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) f x
h1 : HasFDerivAt (fun y ↦ t⁻¹ • y) (t⁻¹ • ContinuousLinearMap.id ℝ E) (t • x)
h2 : HasFDerivAt (fun y ↦ |t| * ‖y‖) (|t| • f) (t⁻¹ • t • x)
x✝ : E
⊢ ‖x✝‖ = ((fun y ↦ |t| * ‖y‖) ∘ HSMul.hSMul t⁻¹) x✝

pp: case e'_12
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : StrongDual ℝ E
x : E
t : ℝ
ht : t ≠ 0
h : HasFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) f x
h1 : HasFDerivAt (fun y ↦ t⁻¹ • y) (t⁻¹ • ContinuousLinearMap.id ℝ E) (t • x)
h2 : HasFDerivAt (fun y ↦ |t| * ‖y‖) (|t| • f) (t⁻¹ • t • x)
e_8✝ : instAddCommGroup = normedAddCommGroup.toAddCommGroup
e_9✝ : Semiring.toModule ≍ RCLike.toInnerProductSpaceReal.toModule
⊢ ↑(SignType.sign t) • f = (|t| • f) ∘SL (t⁻¹ • ContinuousLinearMap.id ℝ E)

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_11
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : StrongDual ℝ E
x : E
t : ℝ
ht : t ≠ 0
h : HasFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) f x
h1 : HasFDerivAt (fun y ↦ t⁻¹ • y) (t⁻¹ • ContinuousLinearMap.id ℝ E) (t • x)
h2 : HasFDerivAt (fun y ↦ |t| * ‖y‖) (|t| • f) (t⁻¹ • t • x)
x✝ : E
⊢ ‖x✝‖ = ((fun y ↦ |t| * ‖y‖) ∘ HSMul.hSMul t⁻¹) x✝
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case refine_4
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun r ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun x ↦ {r | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
A : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
t : Set α
r : α → ℝ
left✝ : t.Countable
ts : t ⊆ s
tg : ∀ x ∈ t, r x ∈ g x ∩ Ioo 0 1
μt : μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) = 0
tdisj : t.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)
F : α → α × Set α := fun x ↦ (x, closedBall x (r x))
⊢ μ (s \ ⋃ p ∈ F '' t, p.2) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_4
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun r ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun x ↦ {r | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
A : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
t : Set α
r : α → ℝ
left✝ : t.Countable
ts : t ⊆ s
tg : ∀ x ∈ t, r x ∈ g x ∩ Ioo 0 1
μt : μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) = 0
tdisj : t.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)
F : α → α × Set α := fun x ↦ (x, closedBall x (r x))
⊢ μ (s \ ⋃ p ∈ F '' t, p.2) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Partial

Goal state before:
pp: case cf'
𝕜 : Type u_1
E₁ : Type u_2
E₂ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
u : E₁ × E₂
f : E₁ → E₂ → F
f₁ : E₁ → E₂ → E₁ →L[𝕜] F
f₂ : E₁ → E₂ → E₂ →L[𝕜] F
df₁ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f x v.2) (↿f₁ v) v.1
df₂ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f v.1 x) (↿f₂ v) v.2
cf₁ : Tendsto (↿f₁) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₁ u))
cf₂ : Tendsto (↿f₂) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₂ u))
this✝ : RCLike 𝕜 := ⋯
h :
  Tendsto (fun x ↦ (x.2, (Prod.snd ∘ Prod.snd ∘ Prod.fst) x)) (((𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.1)
    (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2)
this : NormedSpace ℝ E₁ := ⋯
⊢ Tendsto
    (↿fun x x_1 ↦
      match x with
      | (v, w) => f₁ x_1 w.2)
    (((𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝[Set.univ] u.1) (𝓝 (↿f₁ u))

Tactic:
·

Goal state after:
case cf'
𝕜 : Type u_1
E₁ : Type u_2
E₂ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
u : E₁ × E₂
f : E₁ → E₂ → F
f₁ : E₁ → E₂ → E₁ →L[𝕜] F
f₂ : E₁ → E₂ → E₂ →L[𝕜] F
df₁ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f x v.2) (↿f₁ v) v.1
df₂ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f v.1 x) (↿f₂ v) v.2
cf₁ : Tendsto (↿f₁) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₁ u))
cf₂ : Tendsto (↿f₂) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₂ u))
this✝ : RCLike 𝕜 := ⋯
h :
  Tendsto (fun x ↦ (x.2, (Prod.snd ∘ Prod.snd ∘ Prod.fst) x)) (((𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.1)
    (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2)
this : NormedSpace ℝ E₁ := ⋯
⊢ Tendsto
    (↿fun x x_1 ↦
      match x with
      | (v, w) => f₁ x_1 w.2)
    (((𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝[Set.univ] u.1) (𝓝 (↿f₁ u))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Norm

Goal state before:
pp: case e'_12
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : StrongDual ℝ E
x : E
t : ℝ
ht : t ≠ 0
h : HasFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) f x
h1 : HasFDerivAt (fun y ↦ t⁻¹ • y) (t⁻¹ • ContinuousLinearMap.id ℝ E) (t • x)
h2 : HasFDerivAt (fun y ↦ |t| * ‖y‖) (|t| • f) (t⁻¹ • t • x)
e_8✝ : instAddCommGroup = normedAddCommGroup.toAddCommGroup
e_9✝ : Semiring.toModule ≍ RCLike.toInnerProductSpaceReal.toModule
⊢ ↑(SignType.sign t) • f = (|t| • f) ∘SL (t⁻¹ • ContinuousLinearMap.id ℝ E)

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_12
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : StrongDual ℝ E
x : E
t : ℝ
ht : t ≠ 0
h : HasFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) f x
h1 : HasFDerivAt (fun y ↦ t⁻¹ • y) (t⁻¹ • ContinuousLinearMap.id ℝ E) (t • x)
h2 : HasFDerivAt (fun y ↦ |t| * ‖y‖) (|t| • f) (t⁻¹ • t • x)
e_8✝ : instAddCommGroup = normedAddCommGroup.toAddCommGroup
e_9✝ : Semiring.toModule ≍ RCLike.toInnerProductSpaceReal.toModule
⊢ ↑(SignType.sign t) • f = (|t| • f) ∘SL (t⁻¹ • ContinuousLinearMap.id ℝ E)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Partial

Goal state before:
pp: case h₂
𝕜 : Type u_1
E₁ : Type u_2
E₂ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
u : E₁ × E₂
f : E₁ → E₂ → F
f₁ : E₁ → E₂ → E₁ →L[𝕜] F
f₂ : E₁ → E₂ → E₂ →L[𝕜] F
df₁ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f x v.2) (↿f₁ v) v.1
df₂ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f v.1 x) (↿f₂ v) v.2
cf₁ : Tendsto (↿f₁) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₁ u))
cf₂ : Tendsto (↿f₂) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₂ u))
this : RCLike 𝕜 := ⋯
⊢ (fun x ↦ f x.1.1 x.1.2 - f x.1.1 x.2.2 - (↿f₂ u) (x.1.2 - x.2.2)) =o[(𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2] fun x ↦
    match x with
    | (v, w) => v - w

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂
𝕜 : Type u_1
E₁ : Type u_2
E₂ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
u : E₁ × E₂
f : E₁ → E₂ → F
f₁ : E₁ → E₂ → E₁ →L[𝕜] F
f₂ : E₁ → E₂ → E₂ →L[𝕜] F
df₁ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f x v.2) (↿f₁ v) v.1
df₂ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f v.1 x) (↿f₂ v) v.2
cf₁ : Tendsto (↿f₁) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₁ u))
cf₂ : Tendsto (↿f₂) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₂ u))
this : RCLike 𝕜 := ⋯
⊢ (fun x ↦ f x.1.1 x.1.2 - f x.1.1 x.2.2 - (↿f₂ u) (x.1.2 - x.2.2)) =o[(𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2] fun x ↦
    match x with
    | (v, w) => v - w
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case a
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
x : α
s : Set (Set α)
hs : s ∈ (Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ a ∈ (Besicovitch.vitaliFamily μ).setsAt x, a ⊆ closedBall x ε → a ∈ s
_r : ℝ
hr : _r ∈ Ioc 0 ε
⊢ (fun r ↦ closedBall x r) _r ∈ (Besicovitch.vitaliFamily μ).setsAt x

pp: case a
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
x : α
s : Set (Set α)
hs : s ∈ (Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ a ∈ (Besicovitch.vitaliFamily μ).setsAt x, a ⊆ closedBall x ε → a ∈ s
_r : ℝ
hr : _r ∈ Ioc 0 ε
⊢ (fun r ↦ closedBall x r) _r ⊆ closedBall x ε

Tactic:
·

Goal state after:
case a
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
x : α
s : Set (Set α)
hs : s ∈ (Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ a ∈ (Besicovitch.vitaliFamily μ).setsAt x, a ⊆ closedBall x ε → a ∈ s
_r : ℝ
hr : _r ∈ Ioc 0 ε
⊢ (fun r ↦ closedBall x r) _r ∈ (Besicovitch.vitaliFamily μ).setsAt x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Partial

Goal state before:
pp: case df'
𝕜 : Type u_1
E₁ : Type u_2
E₂ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
u : E₁ × E₂
f : E₁ → E₂ → F
f₁ : E₁ → E₂ → E₁ →L[𝕜] F
f₂ : E₁ → E₂ → E₂ →L[𝕜] F
df₁ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f x v.2) (↿f₁ v) v.1
df₂ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f v.1 x) (↿f₂ v) v.2
cf₁ : Tendsto (↿f₁) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₁ u))
cf₂ : Tendsto (↿f₂) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₂ u))
this✝ : RCLike 𝕜 := ⋯
h :
  Tendsto (fun x ↦ ((Prod.fst ∘ Prod.fst ∘ Prod.fst) x, x.2)) (((𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.2)
    (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2)
this : NormedSpace ℝ E₂ := ⋯
⊢ ∀ᶠ (p : ((E₁ × E₂) × E₁ × E₂) × E₂) in ((𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝[Set.univ] u.2,
    HasFDerivWithinAt (f p.1.1.1)
      (match p.1 with
      | (v, w) => f₂ v.1 p.2)
      Set.univ p.2

pp: case cf'
𝕜 : Type u_1
E₁ : Type u_2
E₂ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
u : E₁ × E₂
f : E₁ → E₂ → F
f₁ : E₁ → E₂ → E₁ →L[𝕜] F
f₂ : E₁ → E₂ → E₂ →L[𝕜] F
df₁ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f x v.2) (↿f₁ v) v.1
df₂ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f v.1 x) (↿f₂ v) v.2
cf₁ : Tendsto (↿f₁) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₁ u))
cf₂ : Tendsto (↿f₂) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₂ u))
this✝ : RCLike 𝕜 := ⋯
h :
  Tendsto (fun x ↦ ((Prod.fst ∘ Prod.fst ∘ Prod.fst) x, x.2)) (((𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.2)
    (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2)
this : NormedSpace ℝ E₂ := ⋯
⊢ Tendsto
    (↿fun x y ↦
      match x with
      | (v, w) => f₂ v.1 y)
    (((𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝[Set.univ] u.2) (𝓝 (↿f₂ u))

Tactic:
·

Goal state after:
case df'
𝕜 : Type u_1
E₁ : Type u_2
E₂ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
u : E₁ × E₂
f : E₁ → E₂ → F
f₁ : E₁ → E₂ → E₁ →L[𝕜] F
f₂ : E₁ → E₂ → E₂ →L[𝕜] F
df₁ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f x v.2) (↿f₁ v) v.1
df₂ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2, HasFDerivAt (fun x ↦ f v.1 x) (↿f₂ v) v.2
cf₁ : Tendsto (↿f₁) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₁ u))
cf₂ : Tendsto (↿f₂) (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) (𝓝 (↿f₂ u))
this✝ : RCLike 𝕜 := ⋯
h :
  Tendsto (fun x ↦ ((Prod.fst ∘ Prod.fst ∘ Prod.fst) x, x.2)) (((𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.2)
    (𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2)
this : NormedSpace ℝ E₂ := ⋯
⊢ ∀ᶠ (p : ((E₁ × E₂) × E₁ × E₂) × E₂) in ((𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝 u.1 ×ˢ 𝓝 u.2) ×ˢ 𝓝[Set.univ] u.2,
    HasFDerivWithinAt (f p.1.1.1)
      (match p.1 with
      | (v, w) => f₂ v.1 p.2)
      Set.univ p.2