mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : α → E
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : α → E
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
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m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : α → E
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f

pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : ¬Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
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m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
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h : T = T'
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f

Tactic:
simp_rw [setToFun_eq _ hf, L1.setToL1_congr_left T T' hT hT' h]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
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m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
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C C' : ℝ
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hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : ¬Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
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hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : ¬Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = T' s
f : α → E
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = T' s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = T' s
f : α → E
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = T' s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f

pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = T' s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : ¬Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = T' s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = T' s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f

pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = T' s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : ¬Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f

Tactic:
· simp_rw [setToFun_eq _ hf, L1.setToL1_congr_left' T T' hT hT' h]

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = T' s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : ¬Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.SumMeasure

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : Countable ι
mX : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
hf : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
h : Summable fun i ↦ ∫ (x : X), ‖f x‖ ∂μ i
⊢ HasFiniteIntegral f (Measure.sum μ)

Tactic:
·

Goal state after:
ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : Countable ι
mX : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
hf : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
h : Summable fun i ↦ ∫ (x : X), ‖f x‖ ∂μ i
⊢ HasFiniteIntegral f (Measure.sum μ)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.SumMeasure

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : Countable ι
mX : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
hf : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
h : Summable fun i ↦ ∫ (x : X), ‖f x‖ ∂μ i
i : ι
⊢ ∫⁻ (a : X), ‖f a‖ₑ ∂μ i = ∫⁻ (x : X), ENNReal.ofReal ‖f x‖ ∂μ i

pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : Countable ι
mX : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
hf : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
h : Summable fun i ↦ ∫ (x : X), ‖f x‖ ∂μ i
i : ι
⊢ 0 ≤ᵐ[μ i] fun a ↦ ‖f a‖

Tactic:
·

Goal state after:
ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : Countable ι
mX : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
hf : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
h : Summable fun i ↦ ∫ (x : X), ‖f x‖ ∂μ i
i : ι
⊢ ∫⁻ (a : X), ‖f a‖ₑ ∂μ i = ∫⁻ (x : X), ENNReal.ofReal ‖f x‖ ∂μ i
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.SumMeasure

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : Countable ι
mX : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
hf : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
h : Summable fun i ↦ ∫ (x : X), ‖f x‖ ∂μ i
i : ι
⊢ 0 ≤ᵐ[μ i] fun a ↦ ‖f a‖

Tactic:
·

Goal state after:
ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : Countable ι
mX : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
hf : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
h : Summable fun i ↦ ∫ (x : X), ‖f x‖ ∂μ i
i : ι
⊢ 0 ≤ᵐ[μ i] fun a ↦ ‖f a‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = T' s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : ¬Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = T' s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : ¬Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.SumMeasure

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
i : ι
⊢ ∫ (x : X), ‖f x‖ ∂μ i = (∫⁻ (x : X), ‖f x‖ₑ ∂μ i).toReal

pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
⊢ ∑' (x : ι), ∫⁻ (x : X), ‖f x‖ₑ ∂μ x ≠ ∞

Tactic:
·

Goal state after:
ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
i : ι
⊢ ∫ (x : X), ‖f x‖ ∂μ i = (∫⁻ (x : X), ‖f x‖ₑ ∂μ i).toReal
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.SumMeasure

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
i : ι
⊢ ∫ (x : X), ‖f x‖ ∂μ i = ∫ (a : X), ‖f a‖ₑ.toReal ∂μ i

pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
i : ι
⊢ AEMeasurable (fun x ↦ ‖f x‖ₑ) (μ i)

Tactic:
·

Goal state after:
ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
i : ι
⊢ ∫ (x : X), ‖f x‖ ∂μ i = ∫ (a : X), ‖f a‖ₑ.toReal ∂μ i
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.SumMeasure

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
i : ι
⊢ AEMeasurable (fun x ↦ ‖f x‖ₑ) (μ i)

Tactic:
·

Goal state after:
ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
i : ι
⊢ AEMeasurable (fun x ↦ ‖f x‖ₑ) (μ i)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : α → E
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ (T + T') ⋯ f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : α → E
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ (T + T') ⋯ f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : α → E
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ (T + T') ⋯ f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : Integrable f μ
⊢ setToFun μ (T + T') ⋯ f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f

pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : ¬Integrable f μ
⊢ setToFun μ (T + T') ⋯ f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : Integrable f μ
⊢ setToFun μ (T + T') ⋯ f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF_int : Integrable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i ↦ ∫ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i ↦ f i a
hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
f' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a ↦ ENNReal.ofReal (f n a - f 0 a)
F' : α → ℝ≥0∞ := fun a ↦ ENNReal.ofReal (F a - f 0 a)
hf'_int_eq : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), f i a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
hF'_int_eq : ∫⁻ (a : α), F' a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), F a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
h_tendsto : Tendsto (fun i ↦ ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F' a ∂μ))
h_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i ↦ f' i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f' i a ≤ F' a
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i ↦ f' i a) atTop (𝓝 (F' a))
a : α
ha : Tendsto (fun i ↦ f' i a) atTop (𝓝 (F' a))
ha_mono : Monotone fun i ↦ f i a
ha_bound : ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h1 : (fun i ↦ f i a) = fun i ↦ (f' i a).toReal + f 0 a
⊢ 0 ≤ F a - f 0 a

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF_int : Integrable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i ↦ ∫ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i ↦ f i a
hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
f' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a ↦ ENNReal.ofReal (f n a - f 0 a)
F' : α → ℝ≥0∞ := fun a ↦ ENNReal.ofReal (F a - f 0 a)
hf'_int_eq : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), f i a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
hF'_int_eq : ∫⁻ (a : α), F' a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), F a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
h_tendsto : Tendsto (fun i ↦ ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F' a ∂μ))
h_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i ↦ f' i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f' i a ≤ F' a
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i ↦ f' i a) atTop (𝓝 (F' a))
a : α
ha : Tendsto (fun i ↦ f' i a) atTop (𝓝 (F' a))
ha_mono : Monotone fun i ↦ f i a
ha_bound : ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h1 : (fun i ↦ f i a) = fun i ↦ (f' i a).toReal + f 0 a
⊢ 0 ≤ F a - f 0 a
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : ¬Integrable f μ
⊢ setToFun μ (T + T') ⋯ f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : ¬Integrable f μ
⊢ setToFun μ (T + T') ⋯ f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T'' s = T s + T' s
f : α → E
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T'' s = T s + T' s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T'' s = T s + T' s
f : α → E
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T'' s = T s + T' s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : Integrable f μ
⊢ setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f

pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T'' s = T s + T' s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : ¬Integrable f μ
⊢ setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T'' s = T s + T' s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : Integrable f μ
⊢ setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T'' s = T s + T' s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : ¬Integrable f μ
⊢ setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T'' s = T s + T' s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
hf : ¬Integrable f μ
⊢ setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f