mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
s : Set M
⊢ -span R s ≤ span R (-s)

Tactic:
·

Goal state after:
case a
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
s : Set M
⊢ -span R s ≤ span R (-s)
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
⊢ a ∈ s ∪ ?m.338

pp: α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
⊢ Set α

pp: α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
⊢ Disjoint b (sSup (s ∪ ?m.338))

pp: α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∪ ?m.338
⊢ Disjoint x (sSup ((s ∪ ?m.338) \ {x}))

pp: α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∪ ?m.338
⊢ IsAtom x ∧ x ≤ c

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.refine_2
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
⊢ a ∈ s ∪ ?m.338
Module: Mathlib.Algebra.Group.Indicator

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
M : Type u_4
inst✝ : MulOneClass M
s : Set α
f g : α → M
x✝ : α
h✝ : x✝ ∈ s
⊢ f x✝ * g x✝ = f x✝ * g x✝

pp: case neg
α : Type u_1
M : Type u_4
inst✝ : MulOneClass M
s : Set α
f g : α → M
x✝ : α
h✝ : ¬x✝ ∈ s
⊢ 1 = 1 * 1

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
M : Type u_4
inst✝ : MulOneClass M
s : Set α
f g : α → M
x✝ : α
h✝ : x✝ ∈ s
⊢ f x✝ * g x✝ = f x✝ * g x✝
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
⊢ Disjoint b (sSup (s ∪ {a}))

pp: α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∪ {a}
⊢ Disjoint x (sSup ((s ∪ {a}) \ {x}))

pp: α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∪ {a}
⊢ IsAtom x ∧ x ≤ c

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
⊢ Disjoint b (sSup (s ∪ {a}))
Module: Mathlib.Algebra.Group.Indicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_4
inst✝ : MulOneClass M
f g : α → M
h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)
x : α
hx : x ∈ mulSupport g
this : f x = 1
⊢ (f * g) x = g x

Tactic:
rw [Pi.mul_apply, this, one_mul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.Indicator

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
M : Type u_4
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
f g : α → M
x : α
h : x ∈ s
⊢ (s.mulIndicator f * sᶜ.mulIndicator g) x = s.piecewise f g x

pp: case neg
α : Type u_1
M : Type u_4
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
f g : α → M
x : α
h : ¬x ∈ s
⊢ (s.mulIndicator f * sᶜ.mulIndicator g) x = s.piecewise f g x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
M : Type u_4
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
f g : α → M
x : α
h : x ∈ s
⊢ (s.mulIndicator f * sᶜ.mulIndicator g) x = s.piecewise f g x
Module: Mathlib.Algebra.Group.Indicator

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
M : Type u_4
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
f g : α → M
x : α
h : ¬x ∈ s
⊢ (s.mulIndicator f * sᶜ.mulIndicator g) x = s.piecewise f g x

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
M : Type u_4
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
f g : α → M
x : α
h : ¬x ∈ s
⊢ (s.mulIndicator f * sᶜ.mulIndicator g) x = s.piecewise f g x
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∪ {a}
⊢ Disjoint x (sSup ((s ∪ {a}) \ {x}))

pp: α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∪ {a}
⊢ IsAtom x ∧ x ≤ c

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∪ {a}
⊢ Disjoint x (sSup ((s ∪ {a}) \ {x}))
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset

Goal state before:
pp: case insert
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)
h₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))
b : κ a
x✝¹ : b ∈ t a
h₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi t, ∀ p₂ ∈ s.pi t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
x✝ : g ∈ s.pi t
⊢ f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (g ↑x ⋯) =
    f (↑⟨a, ⋯⟩) (Pi.cons s a b g ↑⟨a, ⋯⟩ ⋯) * ∏ x ∈ s.attach, f (↑⟨↑x, ⋯⟩) (Pi.cons s a b g ↑⟨↑x, ⋯⟩ ⋯)

pp: case insert
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)
h₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))
b : κ a
x✝¹ : b ∈ t a
h₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi t, ∀ p₂ ∈ s.pi t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
x✝ : g ∈ s.pi t
⊢ Set.InjOn (fun x ↦ ⟨↑x, ⋯⟩) ↑s.attach

pp: case insert
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)
h₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))
b : κ a
x✝¹ : b ∈ t a
h₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi t, ∀ p₂ ∈ s.pi t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
x✝ : g ∈ s.pi t
⊢ ⟨a, ⋯⟩ ∉ image (fun x ↦ ⟨↑x, ⋯⟩) s.attach

Tactic:
·

Goal state after:
case insert
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)
h₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))
b : κ a
x✝¹ : b ∈ t a
h₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi t, ∀ p₂ ∈ s.pi t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
x✝ : g ∈ s.pi t
⊢ f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (g ↑x ⋯) =
    f (↑⟨a, ⋯⟩) (Pi.cons s a b g ↑⟨a, ⋯⟩ ⋯) * ∏ x ∈ s.attach, f (↑⟨↑x, ⋯⟩) (Pi.cons s a b g ↑⟨↑x, ⋯⟩ ⋯)
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
x : α
ha : x ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint x (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint x (sSup s)
hx : x ∈ s ∨ x = x
⊢ Disjoint x (sSup ((s ∪ {x}) \ {x}))

pp: case inr
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∨ x = a
xa : x ≠ a
⊢ Disjoint x (sSup ((s ∪ {a}) \ {x}))

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
x : α
ha : x ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint x (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint x (sSup s)
hx : x ∈ s ∨ x = x
⊢ Disjoint x (sSup ((s ∪ {x}) \ {x}))
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∨ x = a
xa : x ≠ a
⊢ Disjoint x (sSup ((s ∪ {a}) \ {x}))

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∨ x = a
xa : x ≠ a
⊢ Disjoint x (sSup ((s ∪ {a}) \ {x}))
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset

Goal state before:
pp: case insert
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)
h₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))
b : κ a
x✝¹ : b ∈ t a
h₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi t, ∀ p₂ ∈ s.pi t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
x✝ : g ∈ s.pi t
⊢ Set.InjOn (fun x ↦ ⟨↑x, ⋯⟩) ↑s.attach

pp: case insert
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)
h₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))
b : κ a
x✝¹ : b ∈ t a
h₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi t, ∀ p₂ ∈ s.pi t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
x✝ : g ∈ s.pi t
⊢ ⟨a, ⋯⟩ ∉ image (fun x ↦ ⟨↑x, ⋯⟩) s.attach

Tactic:
·

Goal state after:
case insert
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)
h₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))
b : κ a
x✝¹ : b ∈ t a
h₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi t, ∀ p₂ ∈ s.pi t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
x✝ : g ∈ s.pi t
⊢ Set.InjOn (fun x ↦ ⟨↑x, ⋯⟩) ↑s.attach
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset

Goal state before:
pp: case insert
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)
h₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))
b : κ a
x✝¹ : b ∈ t a
h₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi t, ∀ p₂ ∈ s.pi t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
x✝ : g ∈ s.pi t
⊢ ⟨a, ⋯⟩ ∉ image (fun x ↦ ⟨↑x, ⋯⟩) s.attach

Tactic:
·

Goal state after:
case insert
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)
h₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))
b : κ a
x✝¹ : b ∈ t a
h₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi t, ∀ p₂ ∈ s.pi t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
x✝ : g ∈ s.pi t
⊢ ⟨a, ⋯⟩ ∉ image (fun x ↦ ⟨↑x, ⋯⟩) s.attach
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∪ {a}
⊢ IsAtom x ∧ x ≤ c

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∪ {a}
⊢ IsAtom x ∧ x ≤ c
Module: Mathlib.Data.Multiset.Find

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l₁ l₂ : List α
h : l₁ ≈ l₂
⊢ {x | x ∈ ⟦l₁⟧ ∧ p x}.Subsingleton = {x | x ∈ ⟦l₂⟧ ∧ p x}.Subsingleton

pp: case refine_2
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l₁ l₂ : List α
h : l₁ ≈ l₂
hp₁ : {x | x ∈ ⟦l₁⟧ ∧ p x}.Subsingleton
hp₂ : {x | x ∈ ⟦l₂⟧ ∧ p x}.Subsingleton
x✝ : hp₁ ≍ hp₂
⊢ List.find? (fun b ↦ decide (p b)) l₁ = List.find? (fun b ↦ decide (p b)) l₂

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l₁ l₂ : List α
h : l₁ ≈ l₂
⊢ {x | x ∈ ⟦l₁⟧ ∧ p x}.Subsingleton = {x | x ∈ ⟦l₂⟧ ∧ p x}.Subsingleton
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s
⊢ IsAtom x ∧ x ≤ c

pp: case inr
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
x : α
ha : x ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint x (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint x (sSup s)
⊢ IsAtom x ∧ x ≤ c

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s
⊢ IsAtom x ∧ x ≤ c
Module: Mathlib.Data.Multiset.Find

Goal state before:
pp: case cons.isTrue
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a x : α
s : Multiset α
ih : ∀ (hp : {x | x ∈ s ∧ p x}.Subsingleton), find? p s hp = some a ↔ a ∈ s ∧ p a
hp : {x_1 | x_1 ∈ x ::ₘ s ∧ p x_1}.Subsingleton
h✝ : p x
⊢ some x = some a ↔ a ∈ x ::ₘ s ∧ p a

pp: case cons.isFalse
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a x : α
s : Multiset α
ih : ∀ (hp : {x | x ∈ s ∧ p x}.Subsingleton), find? p s hp = some a ↔ a ∈ s ∧ p a
hp : {x_1 | x_1 ∈ x ::ₘ s ∧ p x_1}.Subsingleton
h✝ : ¬p x
⊢ find? p s ⋯ = some a ↔ a ∈ x ::ₘ s ∧ p a

Tactic:
·

Goal state after:
case cons.isTrue
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a x : α
s : Multiset α
ih : ∀ (hp : {x | x ∈ s ∧ p x}.Subsingleton), find? p s hp = some a ↔ a ∈ s ∧ p a
hp : {x_1 | x_1 ∈ x ::ₘ s ∧ p x_1}.Subsingleton
h✝ : p x
⊢ some x = some a ↔ a ∈ x ::ₘ s ∧ p a
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
x : α
ha : x ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint x (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint x (sSup s)
⊢ IsAtom x ∧ x ≤ c

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
x : α
ha : x ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint x (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint x (sSup s)
⊢ IsAtom x ∧ x ≤ c
Module: Mathlib.Data.Multiset.Find

Goal state before:
pp: case cons.isFalse
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a x : α
s : Multiset α
ih : ∀ (hp : {x | x ∈ s ∧ p x}.Subsingleton), find? p s hp = some a ↔ a ∈ s ∧ p a
hp : {x_1 | x_1 ∈ x ::ₘ s ∧ p x_1}.Subsingleton
h✝ : ¬p x
⊢ find? p s ⋯ = some a ↔ a ∈ x ::ₘ s ∧ p a

Tactic:
·

Goal state after:
case cons.isFalse
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a x : α
s : Multiset α
ih : ∀ (hp : {x | x ∈ s ∧ p x}.Subsingleton), find? p s hp = some a ↔ a ∈ s ∧ p a
hp : {x_1 | x_1 ∈ x ::ₘ s ∧ p x_1}.Subsingleton
h✝ : ¬p x
⊢ find? p s ⋯ = some a ↔ a ∈ x ::ₘ s ∧ p a
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b : α
h : sSup {a | a ≤ b ∧ IsAtom a} = b
s : Set α
s_ind : sSupIndep s
left✝ : Disjoint ⊥ (sSup s)
s_atoms : ⊥ ⊔ sSup s = b ∧ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → IsAtom a
⊢ sSup s = b ∧ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → IsAtom a

Tactic:
simpa using s_atoms

Goal state after: