mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory

Goal state before:
pp: case neg.refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
c : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
int_f : ∫⁻ (x : α), ↑((piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
hc : ¬c = 0
μs_lt_top : μ s < ∞
this : 0 < ε / ↑c
F : Set α
Fs : F ⊆ s
F_closed : IsClosed F
μF : μ s < μ F + ε / ↑c
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑((piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(F.indicator (fun x ↦ c) x) ∂μ + ε

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
c : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
int_f : ∫⁻ (x : α), ↑((piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
hc : ¬c = 0
μs_lt_top : μ s < ∞
this : 0 < ε / ↑c
F : Set α
Fs : F ⊆ s
F_closed : IsClosed F
μF : μ s < μ F + ε / ↑c
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑((piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(F.indicator (fun x ↦ c) x) ∂μ + ε
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Deriv

Goal state before:
pp: x : ℝ
h : |x| < 1
term : ℕ → ℝ := fun n ↦ -1 * ((-x) ^ (n + 1) / (↑n + 1)) + x ^ (n + 1) / (↑n + 1)
h_term_eq_goal : (term ∘ fun x ↦ 2 * x) = fun k ↦ 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * x ^ (2 * k + 1)
⊢ HasSum term (log (1 + x) - log (1 - x))

pp: x : ℝ
h : |x| < 1
term : ℕ → ℝ := fun n ↦ -1 * ((-x) ^ (n + 1) / (↑n + 1)) + x ^ (n + 1) / (↑n + 1)
h_term_eq_goal : (term ∘ fun x ↦ 2 * x) = fun k ↦ 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * x ^ (2 * k + 1)
⊢ ∀ x ∉ Set.range fun x ↦ 2 * x, term x = 0

Tactic:
·

Goal state after:
x : ℝ
h : |x| < 1
term : ℕ → ℝ := fun n ↦ -1 * ((-x) ^ (n + 1) / (↑n + 1)) + x ^ (n + 1) / (↑n + 1)
h_term_eq_goal : (term ∘ fun x ↦ 2 * x) = fun k ↦ 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * x ^ (2 * k + 1)
⊢ HasSum term (log (1 + x) - log (1 - x))
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Deriv

Goal state before:
pp: x : ℝ
h : |x| < 1
term : ℕ → ℝ := fun n ↦ -1 * ((-x) ^ (n + 1) / (↑n + 1)) + x ^ (n + 1) / (↑n + 1)
h_term_eq_goal : (term ∘ fun x ↦ 2 * x) = fun k ↦ 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * x ^ (2 * k + 1)
⊢ ∀ x ∉ Set.range fun x ↦ 2 * x, term x = 0

Tactic:
·

Goal state after:
x : ℝ
h : |x| < 1
term : ℕ → ℝ := fun n ↦ -1 * ((-x) ^ (n + 1) / (↑n + 1)) + x ^ (n + 1) / (↑n + 1)
h_term_eq_goal : (term ∘ fun x ↦ 2 * x) = fun k ↦ 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * x ^ (2 * k + 1)
⊢ ∀ x ∉ Set.range fun x ↦ 2 * x, term x = 0
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Deriv

Goal state before:
pp: a : ℝ
h : 0 < a
⊢ 1 < 2 * a + 1

pp: a : ℝ
h : 0 < a
⊢ 0 < 2 * a + 1

pp: a : ℝ
h : 0 < a
⊢ 0 < 1 / (2 * a + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
a : ℝ
h : 0 < a
⊢ 1 < 2 * a + 1
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Deriv

Goal state before:
pp: a : ℝ
h : 0 < a
⊢ 0 < 2 * a + 1

pp: a : ℝ
h : 0 < a
⊢ 0 < 1 / (2 * a + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
a : ℝ
h : 0 < a
⊢ 0 < 2 * a + 1
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Deriv

Goal state before:
pp: a : ℝ
h : 0 < a
⊢ 0 < 1 / (2 * a + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
a : ℝ
h : 0 < a
⊢ 0 < 1 / (2 * a + 1)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Cone.Extension

Goal state before:
pp: case refine_2.inr.inl
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : PointedCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
c : ℝ
le_c : ∀ (x : ↥f.domain), -↑x - y ∈ s → ↑f x ≤ c
c_le : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x + y ∈ s → c ≤ ↑f x
x : E
hx : x ∈ f.domain
r : ℝ
hy' : r • y ∈ (LinearPMap.mkSpanSingleton y (-c) ⋯).domain
hz : x + r • y ∈ (f.supSpanSingleton y (-c) hy).domain
hzs : x + r • y ∈ s
hr : r = 0
⊢ (RingHom.id ℝ) r • c ≤ ↑f ⟨x, hx⟩

pp: case refine_2.inr.inr
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : PointedCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
c : ℝ
le_c : ∀ (x : ↥f.domain), -↑x - y ∈ s → ↑f x ≤ c
c_le : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x + y ∈ s → c ≤ ↑f x
x : E
hx : x ∈ f.domain
r : ℝ
hy' : r • y ∈ (LinearPMap.mkSpanSingleton y (-c) ⋯).domain
hz : x + r • y ∈ (f.supSpanSingleton y (-c) hy).domain
hzs : x + r • y ∈ s
hr : 0 < r
⊢ (RingHom.id ℝ) r • c ≤ ↑f ⟨x, hx⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.inr.inl
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : PointedCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
c : ℝ
le_c : ∀ (x : ↥f.domain), -↑x - y ∈ s → ↑f x ≤ c
c_le : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x + y ∈ s → c ≤ ↑f x
x : E
hx : x ∈ f.domain
r : ℝ
hy' : r • y ∈ (LinearPMap.mkSpanSingleton y (-c) ⋯).domain
hz : x + r • y ∈ (f.supSpanSingleton y (-c) hy).domain
hzs : x + r • y ∈ s
hr : r = 0
⊢ (RingHom.id ℝ) r • c ≤ ↑f ⟨x, hx⟩
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Deriv

Goal state before:
pp: a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0
⊢ log (1 + a⁻¹) = log ((1 + 1 / (2 * a + 1)) / (1 - 1 / (2 * a + 1)))

pp: case hx
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0
⊢ 1 + 1 / (2 * a + 1) ≠ 0

pp: case hy
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0
⊢ 1 - 1 / (2 * a + 1) ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0
⊢ log (1 + a⁻¹) = log ((1 + 1 / (2 * a + 1)) / (1 - 1 / (2 * a + 1)))
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Deriv

Goal state before:
pp: case hx
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0
⊢ 1 + 1 / (2 * a + 1) ≠ 0

pp: case hy
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0
⊢ 1 - 1 / (2 * a + 1) ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case hx
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0
⊢ 1 + 1 / (2 * a + 1) ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Deriv

Goal state before:
pp: case hy
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0
⊢ 1 - 1 / (2 * a + 1) ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case hy
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0
⊢ 1 - 1 / (2 * a + 1) ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Deriv

Goal state before:
pp: case inl
h : 0 ≤ 0
⊢ HasSum (fun k ↦ 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * (0 / (0 + 2)) ^ (2 * k + 1)) (log (1 + 0))

pp: case inr
a : ℝ
h : 0 ≤ a
ha0 : a ≠ 0
⊢ HasSum (fun k ↦ 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * (a / (a + 2)) ^ (2 * k + 1)) (log (1 + a))

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
h : 0 ≤ 0
⊢ HasSum (fun k ↦ 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * (0 / (0 + 2)) ^ (2 * k + 1)) (log (1 + 0))
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Deriv

Goal state before:
pp: case inr
a : ℝ
h : 0 ≤ a
ha0 : a ≠ 0
⊢ HasSum (fun k ↦ 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * (a / (a + 2)) ^ (2 * k + 1)) (log (1 + a))

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
a : ℝ
h : 0 ≤ a
ha0 : a ≠ 0
⊢ HasSum (fun k ↦ 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * (a / (a + 2)) ^ (2 * k + 1)) (log (1 + a))
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
h : 0 ∈ s
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • 0 ∈ s} = 0

pp: case neg
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
h : 0 ∉ s
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • 0 ∈ s} = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
h : 0 ∈ s
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • 0 ∈ s} = 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case neg
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
h : 0 ∉ s
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • 0 ∈ s} = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
h : 0 ∉ s
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • 0 ∈ s} = 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case inl
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • 0 ∈ 0} = 0 0

pp: case inr
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ 0} = 0 x

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • 0 ∈ 0} = 0 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Cone.Extension

Goal state before:
pp: case refine_2.inr.inr
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : PointedCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
c : ℝ
le_c : ∀ (x : ↥f.domain), -↑x - y ∈ s → ↑f x ≤ c
c_le : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x + y ∈ s → c ≤ ↑f x
x : E
hx : x ∈ f.domain
r : ℝ
hy' : r • y ∈ (LinearPMap.mkSpanSingleton y (-c) ⋯).domain
hz : x + r • y ∈ (f.supSpanSingleton y (-c) hy).domain
hzs : x + r • y ∈ s
hr : 0 < r
⊢ (RingHom.id ℝ) r • c ≤ ↑f ⟨x, hx⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.inr.inr
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : PointedCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
c : ℝ
le_c : ∀ (x : ↥f.domain), -↑x - y ∈ s → ↑f x ≤ c
c_le : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x + y ∈ s → c ≤ ↑f x
x : E
hx : x ∈ f.domain
r : ℝ
hy' : r • y ∈ (LinearPMap.mkSpanSingleton y (-c) ⋯).domain
hz : x + r • y ∈ (f.supSpanSingleton y (-c) hy).domain
hzs : x + r • y ∈ s
hr : 0 < r
⊢ (RingHom.id ℝ) r • c ≤ ↑f ⟨x, hx⟩
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case inr
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ 0} = 0 x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ 0} = 0 x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case inl
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
x : E
ha : 0 ≤ 0
hx : x ∈ 0 • s
⊢ gauge s x ≤ 0

pp: case inr
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
x : E
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
hx : x ∈ a • s
ha' : 0 < a
⊢ gauge s x ≤ a

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
x : E
ha : 0 ≤ 0
hx : x ∈ 0 • s
⊢ gauge s x ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case inr
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
x : E
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
hx : x ∈ a • s
ha' : 0 < a
⊢ gauge s x ≤ a

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
x : E
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
hx : x ∈ a • s
ha' : 0 < a
⊢ gauge s x ≤ a
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case refine_1
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
a : ℝ
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
ha : 0 ≤ a
x : E
h : gauge s x ≤ a
r : ℝ
hr : a < r
⊢ x ∈ r • s

pp: case refine_2
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
a : ℝ
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
ha : 0 ≤ a
x : E
h : ∀ (i : ℝ), a < i → x ∈ i • s
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ gauge s x < a + ε

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
a : ℝ
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
ha : 0 ≤ a
x : E
h : gauge s x ≤ a
r : ℝ
hr : a < r
⊢ x ∈ r • s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
a : ℝ
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
ha : 0 ≤ a
x : E
h : ∀ (i : ℝ), a < i → x ∈ i • s
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ gauge s x < a + ε

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
a : ℝ
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
ha : 0 ≤ a
x : E
h : ∀ (i : ℝ), a < i → x ∈ i • s
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ gauge s x < a + ε
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
h₀ : 0 ∈ s
absorbs : Absorbent ℝ s
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
⊢ Convex ℝ {x | gauge s x ≤ a}

pp: case neg
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
h₀ : 0 ∈ s
absorbs : Absorbent ℝ s
a : ℝ
ha : ¬0 ≤ a
⊢ Convex ℝ {x | gauge s x ≤ a}

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
h₀ : 0 ∈ s
absorbs : Absorbent ℝ s
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
⊢ Convex ℝ {x | gauge s x ≤ a}
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case neg
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
h₀ : 0 ∈ s
absorbs : Absorbent ℝ s
a : ℝ
ha : ¬0 ≤ a
⊢ Convex ℝ {x | gauge s x ≤ a}

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
h₀ : 0 ∈ s
absorbs : Absorbent ℝ s
a : ℝ
ha : ¬0 ≤ a
⊢ Convex ℝ {x | gauge s x ≤ a}
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → E →L[𝕜] F
hn :
  ∀ (e p q : ℕ),
    n e ≤ p →
      n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M :
  ∀ (e p q e' p' q' : ℕ),
    n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → E →L[𝕜] F := fun e ↦ L e (n e) (n e)
this : CauchySeq L0
f' : E →L[𝕜] F
f'K : f' ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
pos : 0 < 4 + 12 * ‖c‖
e : ℕ
he : (1 / 2) ^ e < ε / (4 + 12 * ‖c‖)
y : E
hy : y ∈ ball 0 ((1 / 2) ^ (n e + 1))
y_pos : y = 0
⊢ ‖f (x + y) - f x - f' y‖ ≤ ε * ‖y‖

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → E →L[𝕜] F
hn :
  ∀ (e p q : ℕ),
    n e ≤ p →
      n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M :
  ∀ (e p q e' p' q' : ℕ),
    n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → E →L[𝕜] F := fun e ↦ L e (n e) (n e)
this : CauchySeq L0
f' : E →L[𝕜] F
f'K : f' ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
pos : 0 < 4 + 12 * ‖c‖
e : ℕ
he : (1 / 2) ^ e < ε / (4 + 12 * ‖c‖)
y : E
hy : y ∈ ball 0 ((1 / 2) ^ (n e + 1))
y_pos : ¬y = 0
⊢ ‖f (x + y) - f x - f' y‖ ≤ ε * ‖y‖

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → E →L[𝕜] F
hn :
  ∀ (e p q : ℕ),
    n e ≤ p →
      n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M :
  ∀ (e p q e' p' q' : ℕ),
    n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → E →L[𝕜] F := fun e ↦ L e (n e) (n e)
this : CauchySeq L0
f' : E →L[𝕜] F
f'K : f' ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * ‖c‖ * (1 / 2) ^ e
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
pos : 0 < 4 + 12 * ‖c‖
e : ℕ
he : (1 / 2) ^ e < ε / (4 + 12 * ‖c‖)
y : E
hy : y ∈ ball 0 ((1 / 2) ^ (n e + 1))
y_pos : y = 0
⊢ ‖f (x + y) - f x - f' y‖ ≤ ε * ‖y‖
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Cone.Extension

Goal state before:
pp: case refine_1
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : PointedCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
g : ↥⊤ →ₗ[ℝ] ℝ
hfg : ∀ ⦃x : ↥f.domain⦄ ⦃y : ↥{ domain := ⊤, toFun := g }.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑{ domain := ⊤, toFun := g } y
hgs : ∀ (x : ↥{ domain := ⊤, toFun := g }.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑{ domain := ⊤, toFun := g } x
⊢ ∀ (x : ↥f.domain), (g ∘ₗ LinearMap.codRestrict ⊤ LinearMap.id ⋯) ↑x = ↑f x

pp: case refine_2
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : PointedCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
g : ↥⊤ →ₗ[ℝ] ℝ
hfg : ∀ ⦃x : ↥f.domain⦄ ⦃y : ↥{ domain := ⊤, toFun := g }.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑{ domain := ⊤, toFun := g } y
hgs : ∀ (x : ↥{ domain := ⊤, toFun := g }.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑{ domain := ⊤, toFun := g } x
⊢ ∀ x ∈ s, 0 ≤ (g ∘ₗ LinearMap.codRestrict ⊤ LinearMap.id ⋯) x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : PointedCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
g : ↥⊤ →ₗ[ℝ] ℝ
hfg : ∀ ⦃x : ↥f.domain⦄ ⦃y : ↥{ domain := ⊤, toFun := g }.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑{ domain := ⊤, toFun := g } y
hgs : ∀ (x : ↥{ domain := ⊤, toFun := g }.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑{ domain := ⊤, toFun := g } x
⊢ ∀ (x : ↥f.domain), (g ∘ₗ LinearMap.codRestrict ⊤ LinearMap.id ⋯) ↑x = ↑f x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Cone.Extension

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : PointedCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
g : ↥⊤ →ₗ[ℝ] ℝ
hfg : ∀ ⦃x : ↥f.domain⦄ ⦃y : ↥{ domain := ⊤, toFun := g }.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑{ domain := ⊤, toFun := g } y
hgs : ∀ (x : ↥{ domain := ⊤, toFun := g }.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑{ domain := ⊤, toFun := g } x
⊢ ∀ x ∈ s, 0 ≤ (g ∘ₗ LinearMap.codRestrict ⊤ LinearMap.id ⋯) x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : PointedCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
g : ↥⊤ →ₗ[ℝ] ℝ
hfg : ∀ ⦃x : ↥f.domain⦄ ⦃y : ↥{ domain := ⊤, toFun := g }.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑{ domain := ⊤, toFun := g } y
hgs : ∀ (x : ↥{ domain := ⊤, toFun := g }.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑{ domain := ⊤, toFun := g } x
⊢ ∀ x ∈ s, 0 ≤ (g ∘ₗ LinearMap.codRestrict ⊤ LinearMap.id ⋯) x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case refine_1
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
r : ℝ
hr : r > 0
b : ℝ
hb : 0 < b
x : E
hx' : x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x ↦ b • x) x}
hx : (fun x ↦ b • x) x ∉ a • s
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {(fun x ↦ b • x) x} ⊆ c • s
hba : b < a
ha : 0 < a
⊢ a⁻¹ * b ≤ 1

pp: case refine_2
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
r : ℝ
hr : r > 0
b : ℝ
hb : 0 < b
x : E
hx' : x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x ↦ b • x) x}
hx : (fun x ↦ b • x) x ∉ a • s
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {(fun x ↦ b • x) x} ⊆ c • s
hba : b < a
ha : 0 < a
⊢ (fun x ↦ a • x) ((a⁻¹ * b) • x) = (fun x ↦ b • x) x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
r : ℝ
hr : r > 0
b : ℝ
hb : 0 < b
x : E
hx' : x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x ↦ b • x) x}
hx : (fun x ↦ b • x) x ∉ a • s
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {(fun x ↦ b • x) x} ⊆ c • s
hba : b < a
ha : 0 < a
⊢ a⁻¹ * b ≤ 1
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
r : ℝ
hr : r > 0
b : ℝ
hb : 0 < b
x : E
hx' : x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x ↦ b • x) x}
hx : (fun x ↦ b • x) x ∉ a • s
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {(fun x ↦ b • x) x} ⊆ c • s
hba : b < a
ha : 0 < a
⊢ (fun x ↦ a • x) ((a⁻¹ * b) • x) = (fun x ↦ b • x) x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
a : ℝ
hs₀ : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : ℝ⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
r : ℝ
hr : r > 0
b : ℝ
hb : 0 < b
x : E
hx' : x ∈ s
hs₂ : Absorbs ℝ s {(fun x ↦ b • x) x}
hx : (fun x ↦ b • x) x ∉ a • s
h : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → {(fun x ↦ b • x) x} ⊆ c • s
hba : b < a
ha : 0 < a
⊢ (fun x ↦ a • x) ((a⁻¹ * b) • x) = (fun x ↦ b • x) x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Gauge

Goal state before:
pp: case inl
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
α : Type u_3
inst✝⁶ : Field α
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : IsStrictOrderedRing α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : IsStrictOrderedModule α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
x : E
ha : 0 ≤ 0
⊢ gauge s (0 • x) = 0 • gauge s x

pp: case inr
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
α : Type u_3
inst✝⁶ : Field α
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : IsStrictOrderedRing α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : IsStrictOrderedModule α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
⊢ gauge s (a • x) = a • gauge s x

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
α : Type u_3
inst✝⁶ : Field α
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : IsStrictOrderedRing α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : IsStrictOrderedModule α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
x : E
ha : 0 ≤ 0
⊢ gauge s (0 • x) = 0 • gauge s x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x ↦ ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
If : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ < ∞
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ↑ε
Ig : ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ∞
⊢ Integrable (fun x ↦ ↑(g x)) μ

pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x ↦ ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
If : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ < ∞
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ↑ε
Ig : ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ∞
⊢ ∫ (x : α), ↑(f x) ∂μ - ↑ε ≤ ∫ (x : α), ↑(g x) ∂μ

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (fun x ↦ ↑(f x)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ↑ε
If : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ < ∞
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ↑ε
Ig : ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ∞
⊢ Integrable (fun x ↦ ↑(g x)) μ