mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case refine_1
p : ℝ≥0∞
hp : Fact (1 ≤ p)
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup β
R : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : Module R α
inst✝² : Module R β
inst✝¹ : IsBoundedSMul R α
inst✝ : IsBoundedSMul R β
this : PseudoMetricSpace (α × β) := pseudoMetricSpaceToProd p α β
x : R
y z : α × β
⊢ dist (x • y) (x • z) ≤ dist x 0 * dist y z

pp: case refine_2
p : ℝ≥0∞
hp : Fact (1 ≤ p)
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup β
R : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : Module R α
inst✝² : Module R β
inst✝¹ : IsBoundedSMul R α
inst✝ : IsBoundedSMul R β
this : PseudoMetricSpace (α × β) := pseudoMetricSpaceToProd p α β
x y : R
z : α × β
⊢ dist (x • z) (y • z) ≤ dist x y * dist z 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
p : ℝ≥0∞
hp : Fact (1 ≤ p)
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup β
R : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : Module R α
inst✝² : Module R β
inst✝¹ : IsBoundedSMul R α
inst✝ : IsBoundedSMul R β
this : PseudoMetricSpace (α × β) := pseudoMetricSpaceToProd p α β
x : R
y z : α × β
⊢ dist (x • y) (x • z) ≤ dist x 0 * dist y z
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case refine_2
p : ℝ≥0∞
hp : Fact (1 ≤ p)
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup β
R : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : Module R α
inst✝² : Module R β
inst✝¹ : IsBoundedSMul R α
inst✝ : IsBoundedSMul R β
this : PseudoMetricSpace (α × β) := pseudoMetricSpaceToProd p α β
x y : R
z : α × β
⊢ dist (x • z) (y • z) ≤ dist x y * dist z 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
p : ℝ≥0∞
hp : Fact (1 ≤ p)
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup β
R : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : Module R α
inst✝² : Module R β
inst✝¹ : IsBoundedSMul R α
inst✝ : IsBoundedSMul R β
this : PseudoMetricSpace (α × β) := pseudoMetricSpaceToProd p α β
x y : R
z : α × β
⊢ dist (x • z) (y • z) ≤ dist x y * dist z 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝¹ : Fintype ι
i : ι
inst✝ : Fact (1 ≤ ∞)
x y : PiLp ∞ β
⊢ edist (x.ofLp i) (y.ofLp i) ≤ edist x y

pp: case inr
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
x y : PiLp p β
i : ι
h : 1 ≤ p.toReal
⊢ edist (x.ofLp i) (y.ofLp i) ≤ edist x y

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝¹ : Fintype ι
i : ι
inst✝ : Fact (1 ≤ ∞)
x y : PiLp ∞ β
⊢ edist (x.ofLp i) (y.ofLp i) ≤ edist x y
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case inr
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
x y : PiLp p β
i : ι
h : 1 ≤ p.toReal
⊢ edist (x.ofLp i) (y.ofLp i) ≤ edist x y

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
x y : PiLp p β
i : ι
h : 1 ≤ p.toReal
⊢ edist (x.ofLp i) (y.ofLp i) ≤ edist x y
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_2
β : Type u_3
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
f : α → α'
hf : Isometry f
g : β → β'
hg : Isometry g
hp : Fact (1 ≤ 0)
x1✝ x2✝ : WithLp 0 (α × β)
⊢ edist (WithLp.map 0 (Prod.map f g) x1✝) (WithLp.map 0 (Prod.map f g) x2✝) = edist x1✝ x2✝

pp: case inr.inl
α : Type u_2
β : Type u_3
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
f : α → α'
hf : Isometry f
g : β → β'
hg : Isometry g
hp : Fact (1 ≤ ∞)
x1✝ x2✝ : WithLp ∞ (α × β)
⊢ edist (WithLp.map ∞ (Prod.map f g) x1✝) (WithLp.map ∞ (Prod.map f g) x2✝) = edist x1✝ x2✝

pp: case inr.inr
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
α' : Type u_5
β' : Type u_6
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
f : α → α'
hf : Isometry f
g : β → β'
hg : Isometry g
x1✝ x2✝ : WithLp p (α × β)
hp : 0 < p.toReal
⊢ edist (WithLp.map p (Prod.map f g) x1✝) (WithLp.map p (Prod.map f g) x2✝) = edist x1✝ x2✝

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_2
β : Type u_3
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
f : α → α'
hf : Isometry f
g : β → β'
hg : Isometry g
hp : Fact (1 ≤ 0)
x1✝ x2✝ : WithLp 0 (α × β)
⊢ edist (WithLp.map 0 (Prod.map f g) x1✝) (WithLp.map 0 (Prod.map f g) x2✝) = edist x1✝ x2✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜' F✝
f✝ : E →SL[σ] F✝
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
inst✝⁵ : CompleteSpace F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (↑f).range G
inst✝ : CompleteSpace ↥G
hker : (↑f).ker = ⊥
⊢ (↑f).ker.prod (↑G.subtypeL).ker = ⊥

pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜' F✝
f✝ : E →SL[σ] F✝
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
inst✝⁵ : CompleteSpace F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (↑f).range G
inst✝ : CompleteSpace ↥G
hker : (↑f).ker = ⊥
⊢ Disjoint (↑f).range (↑G.subtypeL).range

Tactic:
·

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜' F✝
f✝ : E →SL[σ] F✝
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
inst✝⁵ : CompleteSpace F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (↑f).range G
inst✝ : CompleteSpace ↥G
hker : (↑f).ker = ⊥
⊢ (↑f).ker.prod (↑G.subtypeL).ker = ⊥
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_2
β : Type u_3
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
f : α → α'
hf : Isometry f
g : β → β'
hg : Isometry g
hp : Fact (1 ≤ ∞)
x1✝ x2✝ : WithLp ∞ (α × β)
⊢ edist (WithLp.map ∞ (Prod.map f g) x1✝) (WithLp.map ∞ (Prod.map f g) x2✝) = edist x1✝ x2✝

pp: case inr.inr
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
α' : Type u_5
β' : Type u_6
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
f : α → α'
hf : Isometry f
g : β → β'
hg : Isometry g
x1✝ x2✝ : WithLp p (α × β)
hp : 0 < p.toReal
⊢ edist (WithLp.map p (Prod.map f g) x1✝) (WithLp.map p (Prod.map f g) x2✝) = edist x1✝ x2✝

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_2
β : Type u_3
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
f : α → α'
hf : Isometry f
g : β → β'
hg : Isometry g
hp : Fact (1 ≤ ∞)
x1✝ x2✝ : WithLp ∞ (α × β)
⊢ edist (WithLp.map ∞ (Prod.map f g) x1✝) (WithLp.map ∞ (Prod.map f g) x2✝) = edist x1✝ x2✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜' F✝
f✝ : E →SL[σ] F✝
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
inst✝⁵ : CompleteSpace F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (↑f).range G
inst✝ : CompleteSpace ↥G
hker : (↑f).ker = ⊥
⊢ Disjoint (↑f).range (↑G.subtypeL).range

Tactic:
·

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜' F✝
f✝ : E →SL[σ] F✝
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
inst✝⁵ : CompleteSpace F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (↑f).range G
inst✝ : CompleteSpace ↥G
hker : (↑f).ker = ⊥
⊢ Disjoint (↑f).range (↑G.subtypeL).range
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inr.inr
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
α' : Type u_5
β' : Type u_6
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
f : α → α'
hf : Isometry f
g : β → β'
hg : Isometry g
x1✝ x2✝ : WithLp p (α × β)
hp : 0 < p.toReal
⊢ edist (WithLp.map p (Prod.map f g) x1✝) (WithLp.map p (Prod.map f g) x2✝) = edist x1✝ x2✝

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
α' : Type u_5
β' : Type u_6
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
f : α → α'
hf : Isometry f
g : β → β'
hg : Isometry g
x1✝ x2✝ : WithLp p (α × β)
hp : 0 < p.toReal
⊢ edist (WithLp.map p (Prod.map f g) x1✝) (WithLp.map p (Prod.map f g) x2✝) = edist x1✝ x2✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
hp : Fact (1 ≤ 0)
__spread✝⁻⁰ : WithLp 0 (α × β) ≃ WithLp 0 (β × α) := WithLp.congr 0 (Equiv.prodComm α β)
x✝¹ x✝ : WithLp 0 (α × β)
⊢ edist ((WithLp.congr 0 (Equiv.prodComm α β)).toFun x✝¹) ((WithLp.congr 0 (Equiv.prodComm α β)).toFun x✝) =
    edist x✝¹ x✝

pp: case inr.inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
hp : Fact (1 ≤ ∞)
__spread✝⁻⁰ : WithLp ∞ (α × β) ≃ WithLp ∞ (β × α) := WithLp.congr ∞ (Equiv.prodComm α β)
x✝¹ x✝ : WithLp ∞ (α × β)
⊢ edist ((WithLp.congr ∞ (Equiv.prodComm α β)).toFun x✝¹) ((WithLp.congr ∞ (Equiv.prodComm α β)).toFun x✝) =
    edist x✝¹ x✝

pp: case inr.inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
x✝¹ x✝ : WithLp p (α × β)
hp : 0 < p.toReal
⊢ edist ((WithLp.congr p (Equiv.prodComm α β)).toFun x✝¹) ((WithLp.congr p (Equiv.prodComm α β)).toFun x✝) =
    edist x✝¹ x✝

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
hp : Fact (1 ≤ 0)
__spread✝⁻⁰ : WithLp 0 (α × β) ≃ WithLp 0 (β × α) := WithLp.congr 0 (Equiv.prodComm α β)
x✝¹ x✝ : WithLp 0 (α × β)
⊢ edist ((WithLp.congr 0 (Equiv.prodComm α β)).toFun x✝¹) ((WithLp.congr 0 (Equiv.prodComm α β)).toFun x✝) =
    edist x✝¹ x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inr.inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
hp : Fact (1 ≤ ∞)
__spread✝⁻⁰ : WithLp ∞ (α × β) ≃ WithLp ∞ (β × α) := WithLp.congr ∞ (Equiv.prodComm α β)
x✝¹ x✝ : WithLp ∞ (α × β)
⊢ edist ((WithLp.congr ∞ (Equiv.prodComm α β)).toFun x✝¹) ((WithLp.congr ∞ (Equiv.prodComm α β)).toFun x✝) =
    edist x✝¹ x✝

pp: case inr.inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
x✝¹ x✝ : WithLp p (α × β)
hp : 0 < p.toReal
⊢ edist ((WithLp.congr p (Equiv.prodComm α β)).toFun x✝¹) ((WithLp.congr p (Equiv.prodComm α β)).toFun x✝) =
    edist x✝¹ x✝

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
hp : Fact (1 ≤ ∞)
__spread✝⁻⁰ : WithLp ∞ (α × β) ≃ WithLp ∞ (β × α) := WithLp.congr ∞ (Equiv.prodComm α β)
x✝¹ x✝ : WithLp ∞ (α × β)
⊢ edist ((WithLp.congr ∞ (Equiv.prodComm α β)).toFun x✝¹) ((WithLp.congr ∞ (Equiv.prodComm α β)).toFun x✝) =
    edist x✝¹ x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inr.inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
x✝¹ x✝ : WithLp p (α × β)
hp : 0 < p.toReal
⊢ edist ((WithLp.congr p (Equiv.prodComm α β)).toFun x✝¹) ((WithLp.congr p (Equiv.prodComm α β)).toFun x✝) =
    edist x✝¹ x✝

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
x✝¹ x✝ : WithLp p (α × β)
hp : 0 < p.toReal
⊢ edist ((WithLp.congr p (Equiv.prodComm α β)).toFun x✝¹) ((WithLp.congr p (Equiv.prodComm α β)).toFun x✝) =
    edist x✝¹ x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Fact (1 ≤ ∞)
x y : WithLp ∞ ((i : ι) → β i)
⊢ edist x y ≤ ↑(↑(Fintype.card ι) ^ (1 / ∞).toReal) * edist x.ofLp y.ofLp

pp: case inr
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
x y : WithLp p ((i : ι) → β i)
h : 1 ≤ p.toReal
⊢ edist x y ≤ ↑(↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal) * edist x.ofLp y.ofLp

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Fact (1 ≤ ∞)
x y : WithLp ∞ ((i : ι) → β i)
⊢ edist x y ≤ ↑(↑(Fintype.card ι) ^ (1 / ∞).toReal) * edist x.ofLp y.ofLp
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
hp : Fact (1 ≤ 0)
x✝¹ x✝ : WithLp 0 (WithLp 0 (α × β) × γ)
⊢ edist ((fun x ↦ WithLp.toLp 0 (x.fst.fst, WithLp.toLp 0 (x.fst.snd, x.snd))) x✝¹)
      ((fun x ↦ WithLp.toLp 0 (x.fst.fst, WithLp.toLp 0 (x.fst.snd, x.snd))) x✝) =
    edist x✝¹ x✝

pp: case inr.inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
hp : Fact (1 ≤ ∞)
x✝¹ x✝ : WithLp ∞ (WithLp ∞ (α × β) × γ)
⊢ edist ((fun x ↦ WithLp.toLp ∞ (x.fst.fst, WithLp.toLp ∞ (x.fst.snd, x.snd))) x✝¹)
      ((fun x ↦ WithLp.toLp ∞ (x.fst.fst, WithLp.toLp ∞ (x.fst.snd, x.snd))) x✝) =
    edist x✝¹ x✝

pp: case inr.inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
x✝¹ x✝ : WithLp p (WithLp p (α × β) × γ)
hp : 0 < p.toReal
⊢ edist ((fun x ↦ WithLp.toLp p (x.fst.fst, WithLp.toLp p (x.fst.snd, x.snd))) x✝¹)
      ((fun x ↦ WithLp.toLp p (x.fst.fst, WithLp.toLp p (x.fst.snd, x.snd))) x✝) =
    edist x✝¹ x✝

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
hp : Fact (1 ≤ 0)
x✝¹ x✝ : WithLp 0 (WithLp 0 (α × β) × γ)
⊢ edist ((fun x ↦ WithLp.toLp 0 (x.fst.fst, WithLp.toLp 0 (x.fst.snd, x.snd))) x✝¹)
      ((fun x ↦ WithLp.toLp 0 (x.fst.fst, WithLp.toLp 0 (x.fst.snd, x.snd))) x✝) =
    edist x✝¹ x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case inr
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
x y : WithLp p ((i : ι) → β i)
h : 1 ≤ p.toReal
⊢ edist x y ≤ ↑(↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal) * edist x.ofLp y.ofLp

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
x y : WithLp p ((i : ι) → β i)
h : 1 ≤ p.toReal
⊢ edist x y ≤ ↑(↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal) * edist x.ofLp y.ofLp
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inr.inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
hp : Fact (1 ≤ ∞)
x✝¹ x✝ : WithLp ∞ (WithLp ∞ (α × β) × γ)
⊢ edist ((fun x ↦ WithLp.toLp ∞ (x.fst.fst, WithLp.toLp ∞ (x.fst.snd, x.snd))) x✝¹)
      ((fun x ↦ WithLp.toLp ∞ (x.fst.fst, WithLp.toLp ∞ (x.fst.snd, x.snd))) x✝) =
    edist x✝¹ x✝

pp: case inr.inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
x✝¹ x✝ : WithLp p (WithLp p (α × β) × γ)
hp : 0 < p.toReal
⊢ edist ((fun x ↦ WithLp.toLp p (x.fst.fst, WithLp.toLp p (x.fst.snd, x.snd))) x✝¹)
      ((fun x ↦ WithLp.toLp p (x.fst.fst, WithLp.toLp p (x.fst.snd, x.snd))) x✝) =
    edist x✝¹ x✝

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
hp : Fact (1 ≤ ∞)
x✝¹ x✝ : WithLp ∞ (WithLp ∞ (α × β) × γ)
⊢ edist ((fun x ↦ WithLp.toLp ∞ (x.fst.fst, WithLp.toLp ∞ (x.fst.snd, x.snd))) x✝¹)
      ((fun x ↦ WithLp.toLp ∞ (x.fst.fst, WithLp.toLp ∞ (x.fst.snd, x.snd))) x✝) =
    edist x✝¹ x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inr.inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
x✝¹ x✝ : WithLp p (WithLp p (α × β) × γ)
hp : 0 < p.toReal
⊢ edist ((fun x ↦ WithLp.toLp p (x.fst.fst, WithLp.toLp p (x.fst.snd, x.snd))) x✝¹)
      ((fun x ↦ WithLp.toLp p (x.fst.fst, WithLp.toLp p (x.fst.snd, x.snd))) x✝) =
    edist x✝¹ x✝

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α'
inst✝ : PseudoEMetricSpace β'
x✝¹ x✝ : WithLp p (WithLp p (α × β) × γ)
hp : 0 < p.toReal
⊢ edist ((fun x ↦ WithLp.toLp p (x.fst.fst, WithLp.toLp p (x.fst.snd, x.snd))) x✝¹)
      ((fun x ↦ WithLp.toLp p (x.fst.fst, WithLp.toLp p (x.fst.snd, x.snd))) x✝) =
    edist x✝¹ x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace β
inst✝³ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝² : PseudoEMetricSpace α'
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β'
inst✝ : Unique β
hp : Fact (1 ≤ 0)
__spread✝⁻⁰ : WithLp 0 (α × β) ≃ α := (WithLp.equiv 0 (α × β)).trans (Equiv.prodUnique α β)
x y : WithLp 0 (α × β)
⊢ edist x.fst y.fst = edist x y

pp: case inr.inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace β
inst✝³ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝² : PseudoEMetricSpace α'
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β'
inst✝ : Unique β
hp : Fact (1 ≤ ∞)
__spread✝⁻⁰ : WithLp ∞ (α × β) ≃ α := (WithLp.equiv ∞ (α × β)).trans (Equiv.prodUnique α β)
x y : WithLp ∞ (α × β)
⊢ edist x.fst y.fst = edist x y

pp: case inr.inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace β
inst✝³ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝² : PseudoEMetricSpace α'
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β'
inst✝ : Unique β
x y : WithLp p (α × β)
hp : 0 < p.toReal
⊢ edist x.fst y.fst = edist x y

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace β
inst✝³ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝² : PseudoEMetricSpace α'
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β'
inst✝ : Unique β
hp : Fact (1 ≤ 0)
__spread✝⁻⁰ : WithLp 0 (α × β) ≃ α := (WithLp.equiv 0 (α × β)).trans (Equiv.prodUnique α β)
x y : WithLp 0 (α × β)
⊢ edist x.fst y.fst = edist x y