mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal

Goal state before:
pp: case refine_2.mpr.refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this✝ : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
this : Std.Symm fun x1 x2 ↦ I x1 ⊔ I x2 = ⊤
hs : (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ ↑t, a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : v ∈ ⨅ i ∈ t, I i
huv : u + v = 1
i : ι
hi : i = a
⊢ v ∈ ⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j

pp: case refine_2.mpr.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this✝ : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
this : Std.Symm fun x1 x2 ↦ I x1 ⊔ I x2 = ⊤
hs : (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ ↑t, a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : v ∈ ⨅ i ∈ t, I i
huv : u + v = 1
i : ι
hi : ¬i = a
⊢ u * ↑(μ i) ∈ ⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j

pp: case refine_2.mpr.refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this✝ : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
this : Std.Symm fun x1 x2 ↦ I x1 ⊔ I x2 = ⊤
hs : (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ ↑t, a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : v ∈ ⨅ i ∈ t, I i
huv : u + v = 1
⊢ ∑ i ∈ Finset.cons a t hat, ↑((fun i ↦ if hi : i = a then ⟨v, ⋯⟩ else ⟨u * ↑(μ i), ⋯⟩) i) = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.mpr.refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this✝ : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
this : Std.Symm fun x1 x2 ↦ I x1 ⊔ I x2 = ⊤
hs : (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ ↑t, a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : v ∈ ⨅ i ∈ t, I i
huv : u + v = 1
i : ι
hi : i = a
⊢ v ∈ ⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j
Module: Mathlib.RingTheory.SimpleModule.Basic

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R M
⊢ ∃ a, ⊥ = R ∙ a

pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R M
⊢ ∃ a, ⊤ = R ∙ a

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R M
⊢ ∃ a, ⊥ = R ∙ a
Module: Mathlib.RingTheory.SimpleModule.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : IsSimpleModule R M
⊢ ∃ I, I.IsMaximal ∧ Nonempty (M ≃ₗ[R] R ⧸ I)

pp: case refine_2
R : Type u_2
inst✝² : Ring R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x✝ : ∃ I, I.IsMaximal ∧ Nonempty (M ≃ₗ[R] R ⧸ I)
I : Ideal R
coatom : IsCoatom I
equiv : M ≃ₗ[R] R ⧸ I
⊢ IsSimpleModule R M

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : IsSimpleModule R M
⊢ ∃ I, I.IsMaximal ∧ Nonempty (M ≃ₗ[R] R ⧸ I)
Module: Mathlib.RingTheory.SimpleModule.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_2
inst✝² : Ring R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x✝ : ∃ I, I.IsMaximal ∧ Nonempty (M ≃ₗ[R] R ⧸ I)
I : Ideal R
coatom : IsCoatom I
equiv : M ≃ₗ[R] R ⧸ I
⊢ IsSimpleModule R M

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_2
inst✝² : Ring R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x✝ : ∃ I, I.IsMaximal ∧ Nonempty (M ≃ₗ[R] R ⧸ I)
I : Ideal R
coatom : IsCoatom I
equiv : M ≃ₗ[R] R ⧸ I
⊢ IsSimpleModule R M
Module: Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal

Goal state before:
pp: case refine_2.mpr.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this✝ : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
this : Std.Symm fun x1 x2 ↦ I x1 ⊔ I x2 = ⊤
hs : (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ ↑t, a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : v ∈ ⨅ i ∈ t, I i
huv : u + v = 1
i : ι
hi : ¬i = a
⊢ u * ↑(μ i) ∈ ⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j

pp: case refine_2.mpr.refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this✝ : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
this : Std.Symm fun x1 x2 ↦ I x1 ⊔ I x2 = ⊤
hs : (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ ↑t, a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : v ∈ ⨅ i ∈ t, I i
huv : u + v = 1
⊢ ∑ i ∈ Finset.cons a t hat, ↑((fun i ↦ if hi : i = a then ⟨v, ⋯⟩ else ⟨u * ↑(μ i), ⋯⟩) i) = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.mpr.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this✝ : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
this : Std.Symm fun x1 x2 ↦ I x1 ⊔ I x2 = ⊤
hs : (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ ↑t, a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : v ∈ ⨅ i ∈ t, I i
huv : u + v = 1
i : ι
hi : ¬i = a
⊢ u * ↑(μ i) ∈ ⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j
Module: Mathlib.Order.JordanHolder

Goal state before:
pp: case refine_2
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
x₁ x₂ y₁ y₂ : X
hsat₁ : IsMaximal (last s) x₁
hsat₂ : IsMaximal (last s) x₂
hsaty₁ : IsMaximal (snoc s x₁ hsat₁).last y₁
hsaty₂ : IsMaximal (snoc s x₂ hsat₂).last y₂
hr₁ : Iso (last s, x₁) (x₂, y₂)
hr₂ : Iso (x₁, y₁) (last s, x₂)
e : Fin (s.length + 1 + 1) ≃ Fin (s.length + 1 + 1) := Equiv.swap (Fin.last (s.length + 1)) (Fin.last s.length).castSucc
h1 : ∀ {i : Fin s.length}, i.castSucc.castSucc ≠ (Fin.last s.length).castSucc
h2 : ∀ {i : Fin s.length}, i.castSucc.castSucc ≠ Fin.last (s.length + 1)
i✝ : Fin ((snoc s x₁ hsat₁).snoc y₁ hsaty₁).length
i : Fin ((snoc s x₁ hsat₁).length + (RelSeries.singleton {(x, y) | IsMaximal x y} y₁).length)
⊢ Iso
    (((snoc s x₁ hsat₁).snoc y₁ hsaty₁).toFun i.castSucc.castSucc,
      ((snoc s x₁ hsat₁).snoc y₁ hsaty₁).toFun i.castSucc.succ)
    (((snoc s x₂ hsat₂).snoc y₂ hsaty₂).toFun
        ((Equiv.swap (Fin.last (s.length + 1)) (Fin.last s.length).castSucc) i.castSucc).castSucc,
      ((snoc s x₂ hsat₂).snoc y₂ hsaty₂).toFun
        ((Equiv.swap (Fin.last (s.length + 1)) (Fin.last s.length).castSucc) i.castSucc).succ)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
x₁ x₂ y₁ y₂ : X
hsat₁ : IsMaximal (last s) x₁
hsat₂ : IsMaximal (last s) x₂
hsaty₁ : IsMaximal (snoc s x₁ hsat₁).last y₁
hsaty₂ : IsMaximal (snoc s x₂ hsat₂).last y₂
hr₁ : Iso (last s, x₁) (x₂, y₂)
hr₂ : Iso (x₁, y₁) (last s, x₂)
e : Fin (s.length + 1 + 1) ≃ Fin (s.length + 1 + 1) := Equiv.swap (Fin.last (s.length + 1)) (Fin.last s.length).castSucc
h1 : ∀ {i : Fin s.length}, i.castSucc.castSucc ≠ (Fin.last s.length).castSucc
h2 : ∀ {i : Fin s.length}, i.castSucc.castSucc ≠ Fin.last (s.length + 1)
i✝ : Fin ((snoc s x₁ hsat₁).snoc y₁ hsaty₁).length
i : Fin ((snoc s x₁ hsat₁).length + (RelSeries.singleton {(x, y) | IsMaximal x y} y₁).length)
⊢ Iso
    (((snoc s x₁ hsat₁).snoc y₁ hsaty₁).toFun i.castSucc.castSucc,
      ((snoc s x₁ hsat₁).snoc y₁ hsaty₁).toFun i.castSucc.succ)
    (((snoc s x₂ hsat₂).snoc y₂ hsaty₂).toFun
        ((Equiv.swap (Fin.last (s.length + 1)) (Fin.last s.length).castSucc) i.castSucc).castSucc,
      ((snoc s x₂ hsat₂).snoc y₂ hsaty₂).toFun
        ((Equiv.swap (Fin.last (s.length + 1)) (Fin.last s.length).castSucc) i.castSucc).succ)
Module: Mathlib.Order.JordanHolder

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
x₁ x₂ y₁ y₂ : X
hsat₁ : IsMaximal (last s) x₁
hsat₂ : IsMaximal (last s) x₂
hsaty₁ : IsMaximal (snoc s x₁ hsat₁).last y₁
hsaty₂ : IsMaximal (snoc s x₂ hsat₂).last y₂
hr₁ : Iso (last s, x₁) (x₂, y₂)
hr₂ : Iso (x₁, y₁) (last s, x₂)
e : Fin (s.length + 1 + 1) ≃ Fin (s.length + 1 + 1) := Equiv.swap (Fin.last (s.length + 1)) (Fin.last s.length).castSucc
h1 : ∀ {i : Fin s.length}, i.castSucc.castSucc ≠ (Fin.last s.length).castSucc
h2 : ∀ {i : Fin s.length}, i.castSucc.castSucc ≠ Fin.last (s.length + 1)
i✝¹ : Fin ((snoc s x₁ hsat₁).snoc y₁ hsaty₁).length
i✝ : Fin ((snoc s x₁ hsat₁).length + (RelSeries.singleton {(x, y) | IsMaximal x y} y₁).length)
i : Fin (s.length + (RelSeries.singleton {(x, y) | IsMaximal x y} x₁).length)
⊢ Iso
    (((snoc s x₁ hsat₁).snoc y₁ hsaty₁).toFun i.castSucc.castSucc.castSucc,
      ((snoc s x₁ hsat₁).snoc y₁ hsaty₁).toFun i.castSucc.castSucc.succ)
    (((snoc s x₂ hsat₂).snoc y₂ hsaty₂).toFun
        ((Equiv.swap (Fin.last (s.length + 1)) (Fin.last s.length).castSucc) i.castSucc.castSucc).castSucc,
      ((snoc s x₂ hsat₂).snoc y₂ hsaty₂).toFun
        ((Equiv.swap (Fin.last (s.length + 1)) (Fin.last s.length).castSucc) i.castSucc.castSucc).succ)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.refine_2
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
x₁ x₂ y₁ y₂ : X
hsat₁ : IsMaximal (last s) x₁
hsat₂ : IsMaximal (last s) x₂
hsaty₁ : IsMaximal (snoc s x₁ hsat₁).last y₁
hsaty₂ : IsMaximal (snoc s x₂ hsat₂).last y₂
hr₁ : Iso (last s, x₁) (x₂, y₂)
hr₂ : Iso (x₁, y₁) (last s, x₂)
e : Fin (s.length + 1 + 1) ≃ Fin (s.length + 1 + 1) := Equiv.swap (Fin.last (s.length + 1)) (Fin.last s.length).castSucc
h1 : ∀ {i : Fin s.length}, i.castSucc.castSucc ≠ (Fin.last s.length).castSucc
h2 : ∀ {i : Fin s.length}, i.castSucc.castSucc ≠ Fin.last (s.length + 1)
i✝¹ : Fin ((snoc s x₁ hsat₁).snoc y₁ hsaty₁).length
i✝ : Fin ((snoc s x₁ hsat₁).length + (RelSeries.singleton {(x, y) | IsMaximal x y} y₁).length)
i : Fin (s.length + (RelSeries.singleton {(x, y) | IsMaximal x y} x₁).length)
⊢ Iso
    (((snoc s x₁ hsat₁).snoc y₁ hsaty₁).toFun i.castSucc.castSucc.castSucc,
      ((snoc s x₁ hsat₁).snoc y₁ hsaty₁).toFun i.castSucc.castSucc.succ)
    (((snoc s x₂ hsat₂).snoc y₂ hsaty₂).toFun
        ((Equiv.swap (Fin.last (s.length + 1)) (Fin.last s.length).castSucc) i.castSucc.castSucc).castSucc,
      ((snoc s x₂ hsat₂).snoc y₂ hsaty₂).toFun
        ((Equiv.swap (Fin.last (s.length + 1)) (Fin.last s.length).castSucc) i.castSucc.castSucc).succ)
Module: Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal

Goal state before:
pp: case refine_2.mpr.refine_2.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this✝¹ : DecidableEq ι
t : Finset ι
h : t.Nonempty
ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
this✝ : Std.Symm fun x1 x2 ↦ I x1 ⊔ I x2 = ⊤
hs : (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1
u v : R
hv : v ∈ ⨅ i ∈ t, I i
huv : u + v = 1
i : ι
this : ∀ i_1 ∈ t, i_1 ≠ i → ↑(μ i) ∈ I i_1
j : ι
ij : j ≠ i
hat : j ∉ t
Hb : ∀ b ∈ ↑t, j ≠ b → I j ⊔ I b = ⊤
hu : u ∈ I j
hi : ¬i = j
hj : j ∈ Finset.cons j t hat
⊢ u * ↑(μ i) ∈ I j

pp: case refine_2.mpr.refine_2.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this✝¹ : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
this✝ : Std.Symm fun x1 x2 ↦ I x1 ⊔ I x2 = ⊤
hs : (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ ↑t, a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : v ∈ ⨅ i ∈ t, I i
huv : u + v = 1
i : ι
hi : ¬i = a
this : ∀ i_1 ∈ t, i_1 ≠ i → ↑(μ i) ∈ I i_1
j : ι
hj✝ : j ∈ Finset.cons a t hat
ij : j ≠ i
hj : j ∈ t
⊢ u * ↑(μ i) ∈ I j

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.mpr.refine_2.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this✝¹ : DecidableEq ι
t : Finset ι
h : t.Nonempty
ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
this✝ : Std.Symm fun x1 x2 ↦ I x1 ⊔ I x2 = ⊤
hs : (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1
u v : R
hv : v ∈ ⨅ i ∈ t, I i
huv : u + v = 1
i : ι
this : ∀ i_1 ∈ t, i_1 ≠ i → ↑(μ i) ∈ I i_1
j : ι
ij : j ≠ i
hat : j ∉ t
Hb : ∀ b ∈ ↑t, j ≠ b → I j ⊔ I b = ⊤
hu : u ∈ I j
hi : ¬i = j
hj : j ∈ Finset.cons j t hat
⊢ u * ↑(μ i) ∈ I j
Module: Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal

Goal state before:
pp: case refine_2.mpr.refine_2.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this✝¹ : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
this✝ : Std.Symm fun x1 x2 ↦ I x1 ⊔ I x2 = ⊤
hs : (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ ↑t, a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : v ∈ ⨅ i ∈ t, I i
huv : u + v = 1
i : ι
hi : ¬i = a
this : ∀ i_1 ∈ t, i_1 ≠ i → ↑(μ i) ∈ I i_1
j : ι
hj✝ : j ∈ Finset.cons a t hat
ij : j ≠ i
hj : j ∈ t
⊢ u * ↑(μ i) ∈ I j

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.mpr.refine_2.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this✝¹ : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
this✝ : Std.Symm fun x1 x2 ↦ I x1 ⊔ I x2 = ⊤
hs : (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ ↑t, a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : v ∈ ⨅ i ∈ t, I i
huv : u + v = 1
i : ι
hi : ¬i = a
this : ∀ i_1 ∈ t, i_1 ≠ i → ↑(μ i) ∈ I i_1
j : ι
hj✝ : j ∈ Finset.cons a t hat
ij : j ≠ i
hj : j ∈ t
⊢ u * ↑(μ i) ∈ I j
Module: Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal

Goal state before:
pp: case refine_2.mpr.refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this✝ : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
this : Std.Symm fun x1 x2 ↦ I x1 ⊔ I x2 = ⊤
hs : (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ ↑t, a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : v ∈ ⨅ i ∈ t, I i
huv : u + v = 1
⊢ ∑ i ∈ Finset.cons a t hat, ↑((fun i ↦ if hi : i = a then ⟨v, ⋯⟩ else ⟨u * ↑(μ i), ⋯⟩) i) = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.mpr.refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this✝ : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih : (∃ μ, ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1) ↔ (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
this : Std.Symm fun x1 x2 ↦ I x1 ⊔ I x2 = ⊤
hs : (↑t).Pairwise fun i j ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ ↑t, a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : ∑ i ∈ t, ↑(μ i) = 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : v ∈ ⨅ i ∈ t, I i
huv : u + v = 1
⊢ ∑ i ∈ Finset.cons a t hat, ↑((fun i ↦ if hi : i = a then ⟨v, ⋯⟩ else ⟨u * ↑(μ i), ⋯⟩) i) = 1
Module: Mathlib.Order.JordanHolder

Goal state before:
pp: case pos
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
n : ℕ
ih :
  ∀ (s : CompositionSeries X) (x : X) (hm : IsMaximal x (last s)),
    head s ≤ x →
      s.length = n → ∃ t, head t = head s ∧ t.length + 1 = n ∧ ∃ (htx : last t = x), s.Equivalent (snoc t (last s) ⋯)
s : CompositionSeries X
x : X
hm : IsMaximal x (last s)
hb : head s ≤ x
hn : s.length = n + 1
h0s : 0 < s.length
hetx : (eraseLast s).last = x
⊢ ∃ t, head t = head s ∧ t.length + 1 = n + 1 ∧ ∃ (htx : last t = x), s.Equivalent (snoc t (last s) ⋯)

pp: case neg
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
n : ℕ
ih :
  ∀ (s : CompositionSeries X) (x : X) (hm : IsMaximal x (last s)),
    head s ≤ x →
      s.length = n → ∃ t, head t = head s ∧ t.length + 1 = n ∧ ∃ (htx : last t = x), s.Equivalent (snoc t (last s) ⋯)
s : CompositionSeries X
x : X
hm : IsMaximal x (last s)
hb : head s ≤ x
hn : s.length = n + 1
h0s : 0 < s.length
hetx : ¬(eraseLast s).last = x
⊢ ∃ t, head t = head s ∧ t.length + 1 = n + 1 ∧ ∃ (htx : last t = x), s.Equivalent (snoc t (last s) ⋯)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
n : ℕ
ih :
  ∀ (s : CompositionSeries X) (x : X) (hm : IsMaximal x (last s)),
    head s ≤ x →
      s.length = n → ∃ t, head t = head s ∧ t.length + 1 = n ∧ ∃ (htx : last t = x), s.Equivalent (snoc t (last s) ⋯)
s : CompositionSeries X
x : X
hm : IsMaximal x (last s)
hb : head s ≤ x
hn : s.length = n + 1
h0s : 0 < s.length
hetx : (eraseLast s).last = x
⊢ ∃ t, head t = head s ∧ t.length + 1 = n + 1 ∧ ∃ (htx : last t = x), s.Equivalent (snoc t (last s) ⋯)
Module: Mathlib.Order.JordanHolder

Goal state before:
pp: case neg
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
n : ℕ
ih :
  ∀ (s : CompositionSeries X) (x : X) (hm : IsMaximal x (last s)),
    head s ≤ x →
      s.length = n → ∃ t, head t = head s ∧ t.length + 1 = n ∧ ∃ (htx : last t = x), s.Equivalent (snoc t (last s) ⋯)
s : CompositionSeries X
x : X
hm : IsMaximal x (last s)
hb : head s ≤ x
hn : s.length = n + 1
h0s : 0 < s.length
hetx : ¬(eraseLast s).last = x
⊢ ∃ t, head t = head s ∧ t.length + 1 = n + 1 ∧ ∃ (htx : last t = x), s.Equivalent (snoc t (last s) ⋯)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
n : ℕ
ih :
  ∀ (s : CompositionSeries X) (x : X) (hm : IsMaximal x (last s)),
    head s ≤ x →
      s.length = n → ∃ t, head t = head s ∧ t.length + 1 = n ∧ ∃ (htx : last t = x), s.Equivalent (snoc t (last s) ⋯)
s : CompositionSeries X
x : X
hm : IsMaximal x (last s)
hb : head s ≤ x
hn : s.length = n + 1
h0s : 0 < s.length
hetx : ¬(eraseLast s).last = x
⊢ ∃ t, head t = head s ∧ t.length + 1 = n + 1 ∧ ∃ (htx : last t = x), s.Equivalent (snoc t (last s) ⋯)
Module: Mathlib.RingTheory.SimpleModule.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ f.range = ⊤ ∨ f = 0

Tactic:
← range_eq_bot,

Goal state after:
R : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ f.range = ⊤ ∨ f.range = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Module.Torsion.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
m : M
h : torsionOf R M m = ⊥
contra : m = 0
⊢ False

pp: case refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
m : M
h : m ≠ 0
r : R
hr : r ∈ torsionOf R M m
⊢ r = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
m : M
h : torsionOf R M m = ⊥
contra : m = 0
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.Module.Torsion.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
m : M
h : m ≠ 0
r : R
hr : r ∈ torsionOf R M m
⊢ r = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
m : M
h : m ≠ 0
r : R
hr : r ∈ torsionOf R M m
⊢ r = 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.Torsion.Basic

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j ↦ p i ⊔ p j = ⊤
h : S = ∅
⊢ ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i) = torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)

pp: case inr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j ↦ p i ⊔ p j = ⊤
h : S.Nonempty
⊢ ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i) = torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j ↦ p i ⊔ p j = ⊤
h : S = ∅
⊢ ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i) = torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)
Module: Mathlib.Algebra.Module.Torsion.Basic

Goal state before:
pp: case inr.a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j ↦ p i ⊔ p j = ⊤
h : S.Nonempty
⊢ ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i) ≤ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)

pp: case a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j ↦ p i ⊔ p j = ⊤
h : S.Nonempty
⊢ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i) ≤ ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j ↦ p i ⊔ p j = ⊤
h : S.Nonempty
⊢ ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i) ≤ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)
Module: Mathlib.Algebra.Module.Torsion.Basic

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j ↦ p i ⊔ p j = ⊤
h : S.Nonempty
⊢ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i) ≤ ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i)

Tactic:
·

Goal state after:
case a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j ↦ p i ⊔ p j = ⊤
h : S.Nonempty
⊢ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i) ≤ ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i)
Module: Mathlib.Algebra.Module.Torsion.Basic

Goal state before:
pp: case a.refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j ↦ p i ⊔ p j = ⊤
h : S.Nonempty
x : M
hx : x ∈ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ S, ⨅ (_ : j ≠ i), p j)
hμ : ∑ i ∈ S, ↑(μ i) = 1
i : ι
⊢ ↑(μ i) • x ∈ torsionBySet R M ↑(p i)

pp: case a.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j ↦ p i ⊔ p j = ⊤
h : S.Nonempty
x : M
hx : x ∈ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ S, ⨅ (_ : j ≠ i), p j)
hμ : ∑ i ∈ S, ↑(μ i) = 1
⊢ ∑ i ∈ S, ↑((fun i ↦ ⟨↑(μ i) • x, ⋯⟩) i) = x

Tactic:
·

Goal state after:
case a.refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j ↦ p i ⊔ p j = ⊤
h : S.Nonempty
x : M
hx : x ∈ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ S, ⨅ (_ : j ≠ i), p j)
hμ : ∑ i ∈ S, ↑(μ i) = 1
i : ι
⊢ ↑(μ i) • x ∈ torsionBySet R M ↑(p i)