mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case a
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
a r : ↥R
hr : r ∈ (R.idealOfLE S h).primeCompl
⊢ ((algebraMap (↥R) K) r)⁻¹ ∈ S

Tactic:
·

Goal state after:
case a
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
a r : ↥R
hr : r ∈ (R.idealOfLE S h).primeCompl
⊢ ((algebraMap (↥R) K) r)⁻¹ ∈ S
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case a
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
a r : ↥R
hr : r ∈ (R.idealOfLE S h).primeCompl
⊢ 1 ≤ S.valuation ((algebraMap (↥R) K) r)

pp: case a.ha
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
a r : ↥R
hr : r ∈ (R.idealOfLE S h).primeCompl
⊢ 0 < S.valuation ((algebraMap (↥R) K) r)

pp: case a.hb
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
a r : ↥R
hr : r ∈ (R.idealOfLE S h).primeCompl
⊢ 0 < 1

Tactic:
·

Goal state after:
case a
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
a r : ↥R
hr : r ∈ (R.idealOfLE S h).primeCompl
⊢ 1 ≤ S.valuation ((algebraMap (↥R) K) r)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case a.ha
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
a r : ↥R
hr : r ∈ (R.idealOfLE S h).primeCompl
⊢ 0 < S.valuation ((algebraMap (↥R) K) r)

pp: case a.hb
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
a r : ↥R
hr : r ∈ (R.idealOfLE S h).primeCompl
⊢ 0 < 1

Tactic:
·

Goal state after:
case a.ha
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
a r : ↥R
hr : r ∈ (R.idealOfLE S h).primeCompl
⊢ 0 < S.valuation ((algebraMap (↥R) K) r)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case a.hb
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
a r : ↥R
hr : r ∈ (R.idealOfLE S h).primeCompl
⊢ 0 < 1

Tactic:
·

Goal state after:
case a.hb
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
a r : ↥R
hr : r ∈ (R.idealOfLE S h).primeCompl
⊢ 0 < 1
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case mpr
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
x : K
⊢ x ∈ S → x ∈ R.ofPrime (R.idealOfLE S h)

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
x : K
⊢ x ∈ S → x ∈ R.ofPrime (R.idealOfLE S h)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
x : K
hx : x ∈ S
hr : x ∈ R
⊢ x ∈ R.ofPrime (R.idealOfLE S h)

pp: case neg
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
x : K
hx : x ∈ S
hr : x ∉ R
⊢ x ∈ R.ofPrime (R.idealOfLE S h)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
x : K
hx : x ∈ S
hr : x ∈ R
⊢ x ∈ R.ofPrime (R.idealOfLE S h)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case neg.refine_1
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
x : K
hx : x ∈ S
this : x ≠ 0
hr : x⁻¹ ∈ R
⊢ ⟨x⁻¹, hr⟩ ∈ (R.idealOfLE S h).primeCompl

pp: case neg.refine_2
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
x : K
hx : x ∈ S
this : x ≠ 0
hr : x⁻¹ ∈ R
⊢ x = (algebraMap (↥R) K) 1 * ((algebraMap (↥R) K) ⟨x⁻¹, hr⟩)⁻¹

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.refine_1
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
x : K
hx : x ∈ S
this : x ≠ 0
hr : x⁻¹ ∈ R
⊢ ⟨x⁻¹, hr⟩ ∈ (R.idealOfLE S h).primeCompl
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case neg.refine_2
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
x : K
hx : x ∈ S
this : x ≠ 0
hr : x⁻¹ ∈ R
⊢ x = (algebraMap (↥R) K) 1 * ((algebraMap (↥R) K) ⟨x⁻¹, hr⟩)⁻¹

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.refine_2
K : Type u
inst✝ : Field K
R S : ValuationSubring K
h : R ≤ S
x : K
hx : x ∈ S
this : x ≠ 0
hr : x⁻¹ ∈ R
⊢ x = (algebraMap (↥R) K) 1 * ((algebraMap (↥R) K) ⟨x⁻¹, hr⟩)⁻¹
Module: Mathlib.Algebra.Order.Star.Real

Goal state before:
pp: case refine_1
x y : ℝ≥0
h : x ≤ y
⊢ ∃ s, y = x + star s * s

pp: case refine_2
x y : ℝ≥0
⊢ (∃ s, y = x + star s * s) → x ≤ y

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
x y : ℝ≥0
h : x ≤ y
⊢ ∃ s, y = x + star s * s
Module: Mathlib.Algebra.Order.Star.Real

Goal state before:
pp: case refine_2
x y : ℝ≥0
⊢ (∃ s, y = x + star s * s) → x ≤ y

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
x y : ℝ≥0
⊢ (∃ s, y = x + star s * s) → x ≤ y
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case refine_3
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ
a b : PrimeSpectrum ↥A
h : ⟨A.ofPrime a.asIdeal, ⋯⟩ ≤ ⟨A.ofPrime b.asIdeal, ⋯⟩
this : A.idealOfLE ↑⟨A.ofPrime b.asIdeal, ⋯⟩ ?refine_2 ≤ A.idealOfLE ↑⟨A.ofPrime a.asIdeal, ⋯⟩ ?refine_1
⊢ b ≤ a

pp: case refine_1
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ
a b : PrimeSpectrum ↥A
h : ⟨A.ofPrime a.asIdeal, ⋯⟩ ≤ ⟨A.ofPrime b.asIdeal, ⋯⟩
⊢ A ≤ ↑⟨A.ofPrime a.asIdeal, ⋯⟩

pp: case refine_2
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ
a b : PrimeSpectrum ↥A
h : ⟨A.ofPrime a.asIdeal, ⋯⟩ ≤ ⟨A.ofPrime b.asIdeal, ⋯⟩
⊢ A ≤ ↑⟨A.ofPrime b.asIdeal, ⋯⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a✝ b✝ : (PrimeSpectrum ↥A)ᵒᵈ
a b : PrimeSpectrum ↥A
h : ⟨A.ofPrime a.asIdeal, ⋯⟩ ≤ ⟨A.ofPrime b.asIdeal, ⋯⟩
this : A.idealOfLE ↑⟨A.ofPrime b.asIdeal, ⋯⟩ ?refine_2 ≤ A.idealOfLE ↑⟨A.ofPrime a.asIdeal, ⋯⟩ ?refine_1
⊢ b ≤ a
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: case inl
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
c : FiniteArchimedeanClass M
y : ↥(↑f).domain
hy : ArchimedeanClass.mk (↑y - x) = ↑c
h : ∀ (z : ↥(↑f).domain), ↑z - x ∉ ball K c
d : FiniteArchimedeanClass M
hd : d < c
⊢ f.evalCoeff x d = ((truncLTLinearMap K c) (ofLex (↑↑f y))).coeff d

pp: case inr
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
c : FiniteArchimedeanClass M
y : ↥(↑f).domain
hy : ArchimedeanClass.mk (↑y - x) = ↑c
h : ∀ (z : ↥(↑f).domain), ↑z - x ∉ ball K c
d : FiniteArchimedeanClass M
hd : c ≤ d
⊢ f.evalCoeff x d = ((truncLTLinearMap K c) (ofLex (↑↑f y))).coeff d

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
c : FiniteArchimedeanClass M
y : ↥(↑f).domain
hy : ArchimedeanClass.mk (↑y - x) = ↑c
h : ∀ (z : ↥(↑f).domain), ↑z - x ∉ ball K c
d : FiniteArchimedeanClass M
hd : d < c
⊢ f.evalCoeff x d = ((truncLTLinearMap K c) (ofLex (↑↑f y))).coeff d
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: case inr
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
c : FiniteArchimedeanClass M
y : ↥(↑f).domain
hy : ArchimedeanClass.mk (↑y - x) = ↑c
h : ∀ (z : ↥(↑f).domain), ↑z - x ∉ ball K c
d : FiniteArchimedeanClass M
hd : c ≤ d
⊢ f.evalCoeff x d = ((truncLTLinearMap K c) (ofLex (↑↑f y))).coeff d

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
c : FiniteArchimedeanClass M
y : ↥(↑f).domain
hy : ArchimedeanClass.mk (↑y - x) = ↑c
h : ∀ (z : ↥(↑f).domain), ↑z - x ∉ ball K c
d : FiniteArchimedeanClass M
hd : c ≤ d
⊢ f.evalCoeff x d = ((truncLTLinearMap K c) (ofLex (↑↑f y))).coeff d
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case mp
K : Type u
inst✝² : Field K
Γ₁ : Type u_2
Γ₂ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₁
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₂
v₁ : Valuation K Γ₁
v₂ : Valuation K Γ₂
⊢ v₁.IsEquiv v₂ → v₁.valuationSubring = v₂.valuationSubring

pp: case mpr
K : Type u
inst✝² : Field K
Γ₁ : Type u_2
Γ₂ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₁
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₂
v₁ : Valuation K Γ₁
v₂ : Valuation K Γ₂
⊢ v₁.valuationSubring = v₂.valuationSubring → v₁.IsEquiv v₂

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
K : Type u
inst✝² : Field K
Γ₁ : Type u_2
Γ₂ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₁
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₂
v₁ : Valuation K Γ₁
v₂ : Valuation K Γ₂
⊢ v₁.IsEquiv v₂ → v₁.valuationSubring = v₂.valuationSubring
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case mpr
K : Type u
inst✝² : Field K
Γ₁ : Type u_2
Γ₂ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₁
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₂
v₁ : Valuation K Γ₁
v₂ : Valuation K Γ₂
⊢ v₁.valuationSubring = v₂.valuationSubring → v₁.IsEquiv v₂

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
K : Type u
inst✝² : Field K
Γ₁ : Type u_2
Γ₂ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₁
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₂
v₁ : Valuation K Γ₁
v₂ : Valuation K Γ₂
⊢ v₁.valuationSubring = v₂.valuationSubring → v₁.IsEquiv v₂
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case mp
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ A.unitGroup ≤ B.unitGroup → A ≤ B

pp: case mpr
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ A ≤ B → A.unitGroup ≤ B.unitGroup

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ A.unitGroup ≤ B.unitGroup → A ≤ B
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : A.unitGroup ≤ B.unitGroup
x : K
hx : A.valuation x < 1 ∨ A.valuation x = 1
h_1 : x = 0
⊢ x ∈ B

pp: case neg
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : A.unitGroup ≤ B.unitGroup
x : K
hx : A.valuation x < 1 ∨ A.valuation x = 1
h_1 : ¬x = 0
⊢ x ∈ B

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : A.unitGroup ≤ B.unitGroup
x : K
hx : A.valuation x < 1 ∨ A.valuation x = 1
h_1 : x = 0
⊢ x ∈ B
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : A.unitGroup ≤ B.unitGroup
x : K
hx : A.valuation x < 1 ∨ A.valuation x = 1
h_1 : ¬x = 0
h_2 : 1 + x = 0
⊢ x ∈ B

pp: case neg
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : A.unitGroup ≤ B.unitGroup
x : K
hx : A.valuation x < 1 ∨ A.valuation x = 1
h_1 : ¬x = 0
h_2 : ¬1 + x = 0
⊢ x ∈ B

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : A.unitGroup ≤ B.unitGroup
x : K
hx : A.valuation x < 1 ∨ A.valuation x = 1
h_1 : ¬x = 0
h_2 : 1 + x = 0
⊢ x ∈ B
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case neg.inl
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : A.unitGroup ≤ B.unitGroup
x : K
h_1 : ¬x = 0
h_2 : ¬1 + x = 0
hx : A.valuation x < 1
⊢ x ∈ B

pp: case neg.inr
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : A.unitGroup ≤ B.unitGroup
x : K
h_1 : ¬x = 0
h_2 : ¬1 + x = 0
hx : A.valuation x = 1
⊢ x ∈ B

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.inl
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : A.unitGroup ≤ B.unitGroup
x : K
h_1 : ¬x = 0
h_2 : ¬1 + x = 0
hx : A.valuation x < 1
⊢ x ∈ B
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case neg.inr
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : A.unitGroup ≤ B.unitGroup
x : K
h_1 : ¬x = 0
h_2 : ¬1 + x = 0
hx : A.valuation x = 1
⊢ x ∈ B

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.inr
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : A.unitGroup ≤ B.unitGroup
x : K
h_1 : ¬x = 0
h_2 : ¬1 + x = 0
hx : A.valuation x = 1
⊢ x ∈ B
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case mpr
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ A ≤ B → A.unitGroup ≤ B.unitGroup

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ A ≤ B → A.unitGroup ≤ B.unitGroup
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case mp
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ B.nonunits ≤ A.nonunits → A ≤ B

pp: case mpr
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ A ≤ B → B.nonunits ≤ A.nonunits

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ B.nonunits ≤ A.nonunits → A ≤ B
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : B.nonunits ≤ A.nonunits
x : K
hx : x ∈ A
h_1 : x = 0
⊢ x ∈ B

pp: case neg
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : B.nonunits ≤ A.nonunits
x : K
hx : x ∈ A
h_1 : ¬x = 0
⊢ x ∈ B

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : B.nonunits ≤ A.nonunits
x : K
hx : x ∈ A
h_1 : x = 0
⊢ x ∈ B
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case mpr
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ A ≤ B → B.nonunits ≤ A.nonunits

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ A ≤ B → B.nonunits ≤ A.nonunits
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: case refine_1
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
h : x < ↑y
hxy0 : ↑y - x ≠ 0
⊢ ∀ j < FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) hxy0, (ofLex (f.eval x)).coeff j = (ofLex (↑↑f y)).coeff j

pp: case refine_2
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
h : x < ↑y
hxy0 : ↑y - x ≠ 0
⊢ (ofLex (f.eval x)).coeff (FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) hxy0) <
    (ofLex (↑↑f y)).coeff (FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) hxy0)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
h : x < ↑y
hxy0 : ↑y - x ≠ 0
⊢ ∀ j < FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) hxy0, (ofLex (f.eval x)).coeff j = (ofLex (↑↑f y)).coeff j
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case mp
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ B.principalUnitGroup ≤ A.principalUnitGroup → A ≤ B

pp: case mpr
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ A ≤ B → B.principalUnitGroup ≤ A.principalUnitGroup

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ B.principalUnitGroup ≤ A.principalUnitGroup → A ≤ B
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : B.principalUnitGroup ≤ A.principalUnitGroup
x : K
hx : x ∈ A
h_1 : x = 0
⊢ x ∈ B

pp: case neg
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : B.principalUnitGroup ≤ A.principalUnitGroup
x : K
hx : x ∈ A
h_1 : ¬x = 0
⊢ x ∈ B

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : B.principalUnitGroup ≤ A.principalUnitGroup
x : K
hx : x ∈ A
h_1 : x = 0
⊢ x ∈ B
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : B.principalUnitGroup ≤ A.principalUnitGroup
x : K
hx : x ∈ A
h_1 : ¬x = 0
h_2 : x⁻¹ + 1 = 0
⊢ x ∈ B

pp: case neg
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : B.principalUnitGroup ≤ A.principalUnitGroup
x : K
hx : x ∈ A
h_1 : ¬x = 0
h_2 : ¬x⁻¹ + 1 = 0
⊢ x ∈ B

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : B.principalUnitGroup ≤ A.principalUnitGroup
x : K
hx : x ∈ A
h_1 : ¬x = 0
h_2 : x⁻¹ + 1 = 0
⊢ x ∈ B
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case neg
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : B.principalUnitGroup ≤ A.principalUnitGroup
x : K
hx : x ∈ A
h_1 : ¬x = 0
h_2 : ¬x⁻¹ + 1 = 0
⊢ x ∈ B

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
h : B.principalUnitGroup ≤ A.principalUnitGroup
x : K
hx : x ∈ A
h_1 : ¬x = 0
h_2 : ¬x⁻¹ + 1 = 0
⊢ x ∈ B
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case mpr
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ A ≤ B → B.principalUnitGroup ≤ A.principalUnitGroup

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
K : Type u
inst✝ : Field K
A B : ValuationSubring K
⊢ A ≤ B → B.principalUnitGroup ≤ A.principalUnitGroup
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: case a
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
h : x < ↑y
hxy0 : ↑y - x ≠ 0
z : ↥(↑f).domain
hz : ↑z - x ∈ ball K (FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) ⋯)
this : ↑z ≠ x
hzyne : ↑z - ↑y ≠ 0
hzyclass : FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) hxy0 = FiniteArchimedeanClass.mk (↑z - ↑y) hzyne
i : FiniteArchimedeanClass M
hj : ∀ j < i, (ofLex (↑↑f z)).coeff j = (ofLex (↑↑f y)).coeff j
hi : (ofLex (↑↑f z)).coeff i < (ofLex (↑↑f y)).coeff i
⊢ i ≤ FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) hxy0

pp: case a
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
h : x < ↑y
hxy0 : ↑y - x ≠ 0
z : ↥(↑f).domain
hz : ↑z - x ∈ ball K (FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) ⋯)
this : ↑z ≠ x
hzyne : ↑z - ↑y ≠ 0
hzyclass : FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) hxy0 = FiniteArchimedeanClass.mk (↑z - ↑y) hzyne
i : FiniteArchimedeanClass M
hj : ∀ j < i, (ofLex (↑↑f z)).coeff j = (ofLex (↑↑f y)).coeff j
hi : (ofLex (↑↑f z)).coeff i < (ofLex (↑↑f y)).coeff i
⊢ FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) hxy0 ≤ i

Tactic:
·

Goal state after:
case a
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
h : x < ↑y
hxy0 : ↑y - x ≠ 0
z : ↥(↑f).domain
hz : ↑z - x ∈ ball K (FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) ⋯)
this : ↑z ≠ x
hzyne : ↑z - ↑y ≠ 0
hzyclass : FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) hxy0 = FiniteArchimedeanClass.mk (↑z - ↑y) hzyne
i : FiniteArchimedeanClass M
hj : ∀ j < i, (ofLex (↑↑f z)).coeff j = (ofLex (↑↑f y)).coeff j
hi : (ofLex (↑↑f z)).coeff i < (ofLex (↑↑f y)).coeff i
⊢ i ≤ FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) hxy0
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: case a
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
h : x < ↑y
hxy0 : ↑y - x ≠ 0
z : ↥(↑f).domain
hz : ↑z - x ∈ ball K (FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) ⋯)
this : ↑z ≠ x
hzyne : ↑z - ↑y ≠ 0
hzyclass : FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) hxy0 = FiniteArchimedeanClass.mk (↑z - ↑y) hzyne
i : FiniteArchimedeanClass M
hj : ∀ j < i, (ofLex (↑↑f z)).coeff j = (ofLex (↑↑f y)).coeff j
hi : (ofLex (↑↑f z)).coeff i < (ofLex (↑↑f y)).coeff i
⊢ FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) hxy0 ≤ i

Tactic:
·

Goal state after:
case a
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
h : x < ↑y
hxy0 : ↑y - x ≠ 0
z : ↥(↑f).domain
hz : ↑z - x ∈ ball K (FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) ⋯)
this : ↑z ≠ x
hzyne : ↑z - ↑y ≠ 0
hzyclass : FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) hxy0 = FiniteArchimedeanClass.mk (↑z - ↑y) hzyne
i : FiniteArchimedeanClass M
hj : ∀ j < i, (ofLex (↑↑f z)).coeff j = (ofLex (↑↑f y)).coeff j
hi : (ofLex (↑↑f z)).coeff i < (ofLex (↑↑f y)).coeff i
⊢ FiniteArchimedeanClass.mk (↑y - x) hxy0 ≤ i
Module: Mathlib.Algebra.Order.WithTop.Untop0

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup α
inst✝ : PartialOrder α
b : WithTop α
a : α
h : (↑a).untop₀ ≤ b.untop₀
hb : b = ⊤
⊢ ↑a ≤ b

pp: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup α
inst✝ : PartialOrder α
b : WithTop α
a : α
h : (↑a).untop₀ ≤ b.untop₀
hb : ¬b = ⊤
⊢ ↑a ≤ b

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup α
inst✝ : PartialOrder α
b : WithTop α
a : α
h : (↑a).untop₀ ≤ b.untop₀
hb : b = ⊤
⊢ ↑a ≤ b