mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1.inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s₁
hp₂ : p₂ ∈ s₂
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ ↑s₂
⊢ (fun x ↦ x -ᵥ p₁) p₃ ∈ ↑(s₁.direction ⊔ s₂.direction ⊔ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁))

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s₁
hp₂ : p₂ ∈ s₂
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ ↑s₂
⊢ (fun x ↦ x -ᵥ p₁) p₃ ∈ ↑(s₁.direction ⊔ s₂.direction ⊔ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁))
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → ℝ
map_zero : f 0 = 0
add_le : ∀ (x y : E), f (x + y) ≤ f x + f y
smul_le : ∀ (r : 𝕜) (x : E), f (r • x) ≤ ‖r‖ * f x
r : 𝕜
x : E
h : r = 0
⊢ ‖r‖ * f x ≤ f (r • x)

pp: case neg
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → ℝ
map_zero : f 0 = 0
add_le : ∀ (x y : E), f (x + y) ≤ f x + f y
smul_le : ∀ (r : 𝕜) (x : E), f (r • x) ≤ ‖r‖ * f x
r : 𝕜
x : E
h : ¬r = 0
⊢ ‖r‖ * f x ≤ f (r • x)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → ℝ
map_zero : f 0 = 0
add_le : ∀ (x y : E), f (x + y) ≤ f x + f y
smul_le : ∀ (r : 𝕜) (x : E), f (r • x) ≤ ‖r‖ * f x
r : 𝕜
x : E
h : r = 0
⊢ ‖r‖ * f x ≤ f (r • x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s₁
hp₂ : p₂ ∈ s₂
⊢ s₁.direction ⊔ s₂.direction ⊔ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁) ≤ (s₁ ⊔ s₂).direction

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s₁
hp₂ : p₂ ∈ s₂
⊢ s₁.direction ⊔ s₂.direction ⊔ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁) ≤ (s₁ ⊔ s₂).direction
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
⊢ (affineCombination k s fun x ↦ p) w = p

Tactic:
affineCombination_apply,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
⊢ (s.weightedVSubOfPoint (fun x ↦ p) (Classical.choice ⋯)) w +ᵥ Classical.choice ⋯ = p
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ i ∈ s, w₁ i = w₂ i
p₁ p₂ : ι → P
hp : ∀ i ∈ s, p₁ i = p₂ i
⊢ (affineCombination k s p₁) w₁ = (affineCombination k s p₂) w₂

Tactic:
affineCombination_apply,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ i ∈ s, w₁ i = w₂ i
p₁ p₂ : ι → P
hp : ∀ i ∈ s, p₁ i = p₂ i
⊢ (s.weightedVSubOfPoint p₁ (Classical.choice ⋯)) w₁ +ᵥ Classical.choice ⋯ =
    (s.weightedVSubOfPoint p₂ (Classical.choice ⋯)) w₂ +ᵥ Classical.choice ⋯
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s
p₂ p : P
⊢ (∃ y ∈ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁), ∃ z ∈ s.direction, y + z = p -ᵥ p₁) → ∃ r, ∃ p0 ∈ s, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p0

pp: case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s
p₂ p : P
⊢ (∃ r, ∃ p0 ∈ s, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p0) → ∃ y ∈ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁), ∃ z ∈ s.direction, y + z = p -ᵥ p₁

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s
p₂ p : P
⊢ (∃ y ∈ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁), ∃ z ∈ s.direction, y + z = p -ᵥ p₁) → ∃ r, ∃ p0 ∈ s, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
his : i ∈ s
hwi : w i = 1
hw0 : ∀ i2 ∈ s, i2 ≠ i → w i2 = 0
h1 : ∑ i ∈ s, w i = 1
i2 : ι
hi2 : i2 ∈ s
h : i2 = i
⊢ w i2 • (p i2 -ᵥ p i) = 0

pp: case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
his : i ∈ s
hwi : w i = 1
hw0 : ∀ i2 ∈ s, i2 ≠ i → w i2 = 0
h1 : ∑ i ∈ s, w i = 1
i2 : ι
hi2 : i2 ∈ s
h : ¬i2 = i
⊢ w i2 • (p i2 -ᵥ p i) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
his : i ∈ s
hwi : w i = 1
hw0 : ∀ i2 ∈ s, i2 ≠ i → w i2 = 0
h1 : ∑ i ∈ s, w i = 1
i2 : ι
hi2 : i2 ∈ s
h : i2 = i
⊢ w i2 • (p i2 -ᵥ p i) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
x : E
i : ι
hi : i ∈ s
hix : (s.sup fun i ↦ ⟨(p i) x, ⋯⟩) = ⟨(p i) x, ⋯⟩
⊢ ∃ i ∈ s, (s.sup p) x = (p i) x

Tactic:
rw [finset_sup_apply]

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
x : E
i : ι
hi : i ∈ s
hix : (s.sup fun i ↦ ⟨(p i) x, ⋯⟩) = ⟨(p i) x, ⋯⟩
⊢ ∃ i ∈ s, ↑(s.sup fun i ↦ NNReal.mk ((p i) x) ⋯) = (p i) x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
his : i ∈ s
hwi : w i = 1
hw0 : ∀ i2 ∈ s, i2 ≠ i → w i2 = 0
h1 : ∑ i ∈ s, w i = 1
i2 : ι
hi2 : i2 ∈ s
h : ¬i2 = i
⊢ w i2 • (p i2 -ᵥ p i) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
his : i ∈ s
hwi : w i = 1
hw0 : ∀ i2 ∈ s, i2 ≠ i → w i2 = 0
h1 : ∑ i ∈ s, w i = 1
i2 : ι
hi2 : i2 ∈ s
h : ¬i2 = i
⊢ w i2 • (p i2 -ᵥ p i) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ (∅.sup p) x = 0 ∨ ∃ i ∈ ∅, (∅.sup p) x = (p i) x

pp: case inr
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
hs : s.Nonempty
⊢ (s.sup p) x = 0 ∨ ∃ i ∈ s, (s.sup p) x = (p i) x

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ (∅.sup p) x = 0 ∨ ∃ i ∈ ∅, (∅.sup p) x = (p i) x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
w : ι → k
p : ι → P
s₁ s₂ : Finset ι
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ (affineCombination k s₁ p) w = (affineCombination k s₂ p) ((↑s₁).indicator w)

Tactic:
affineCombination_apply,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
w : ι → k
p : ι → P
s₁ s₂ : Finset ι
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ (s₁.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w +ᵥ Classical.choice ⋯ =
    (affineCombination k s₂ p) ((↑s₁).indicator w)
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
hs : s.Nonempty
⊢ (s.sup p) x = 0 ∨ ∃ i ∈ s, (s.sup p) x = (p i) x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
hs : s.Nonempty
⊢ (s.sup p) x = 0 ∨ ∃ i ∈ s, (s.sup p) x = (p i) x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
w : ι → k
p : ι → P
s₁ s₂ : Finset ι
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ (s₁.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w +ᵥ Classical.choice ⋯ =
    (affineCombination k s₂ p) ((↑s₁).indicator w)

Tactic:
affineCombination_apply,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
w : ι → k
p : ι → P
s₁ s₂ : Finset ι
h : s₁ ⊆ s₂
⊢ (s₁.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w +ᵥ Classical.choice ⋯ =
    (s₂.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) ((↑s₁).indicator w) +ᵥ Classical.choice ⋯
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
e : ι₂ ↪ ι
w : ι → k
p : ι → P
⊢ (affineCombination k (map e s₂) p) w = (affineCombination k s₂ (p ∘ ⇑e)) (w ∘ ⇑e)

Tactic:
affineCombination_apply,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
e : ι₂ ↪ ι
w : ι → k
p : ι → P
⊢ ((map e s₂).weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w +ᵥ Classical.choice ⋯ =
    (s₂.weightedVSubOfPoint (p ∘ ⇑e) (Classical.choice ⋯)) (w ∘ ⇑e) +ᵥ Classical.choice ⋯
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s
p₂ p : P
⊢ (∃ r, ∃ p0 ∈ s, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p0) → ∃ y ∈ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁), ∃ z ∈ s.direction, y + z = p -ᵥ p₁

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s
p₂ p : P
⊢ (∃ r, ∃ p0 ∈ s, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p0) → ∃ y ∈ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁), ∃ z ∈ s.direction, y + z = p -ᵥ p₁
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s
p₂ p : P
⊢ (∃ r, ∃ p0 ∈ s, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p0) → ∃ y ∈ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁), ∃ z ∈ s.direction, y + z = p -ᵥ p₁

Tactic:
rintro ⟨r, p₃, hp₃, rfl⟩

Goal state after:
case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s
p₂ : P
r : k
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
⊢ ∃ y ∈ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁), ∃ z ∈ s.direction, y + z = (r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p₃) -ᵥ p₁
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p₁ p₂ : ι → P
⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂ i) = (affineCombination k s p₁) w -ᵥ (affineCombination k s p₂) w

Tactic:
affineCombination_apply,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p₁ p₂ : ι → P
⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂ i) =
    ((s.weightedVSubOfPoint p₁ (Classical.choice ⋯)) w +ᵥ Classical.choice ⋯) -ᵥ
      ((s.weightedVSubOfPoint p₂ (Classical.choice ⋯)) w +ᵥ Classical.choice ⋯)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s
p₂ p : P
⊢ (∃ r, ∃ p0 ∈ s, p = r • (p₂ -ᵥ p₁) +ᵥ p0) → ∃ y ∈ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁), ∃ z ∈ s.direction, y + z = p -ᵥ p₁

Tactic:
· rintro ⟨r, p₃, hp₃, rfl⟩
    use r • (p₂ -ᵥ p₁), Submodule.mem_span_singleton.2 ⟨r, rfl⟩, p₃ -ᵥ p₁,
      vsub_mem_direction hp₃ hp₁
    rw [vadd_vsub_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
s₂ : Finset ι
h : s₂ ⊆ s
w : ι → k
p : ι → P
⊢ (affineCombination k (s \ s₂) p) w -ᵥ (affineCombination k s₂ p) (-w) = (s.weightedVSub p) w

Tactic:
affineCombination_apply,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
s₂ : Finset ι
h : s₂ ⊆ s
w : ι → k
p : ι → P
⊢ (((s \ s₂).weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w +ᵥ Classical.choice ⋯) -ᵥ
      ((s₂.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) (-w) +ᵥ Classical.choice ⋯) =
    (s.weightedVSub p) w
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
a : ℝ≥0
ha : 0 < ↑a
h : ∀ i ∈ s, (p i) x < ↑a
⊢ ∀ b ∈ s, NNReal.mk ((p b) x) ⋯ < a

pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
a : ℝ≥0
ha : 0 < ↑a
h : ∀ i ∈ s, (p i) x < ↑a
⊢ ⊥ < a

Tactic:
·

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
a : ℝ≥0
ha : 0 < ↑a
h : ∀ i ∈ s, (p i) x < ↑a
⊢ ∀ b ∈ s, NNReal.mk ((p b) x) ⋯ < a
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
a : ℝ≥0
ha : 0 < ↑a
h : ∀ i ∈ s, (p i) x < ↑a
⊢ ⊥ < a

Tactic:
·

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
a : ℝ≥0
ha : 0 < ↑a
h : ∀ i ∈ s, (p i) x < ↑a
⊢ ⊥ < a
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case e_a.refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
hw : (s.weightedVSub p) w = 0
i : ι
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ≠ i
his : i ∈ s
hwi : w i = -1
⊢ (-w) i = 1

pp: case e_a.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
hw : (s.weightedVSub p) w = 0
i : ι
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ≠ i
his : i ∈ s
hwi : w i = -1
⊢ ∀ i2 ∈ {i}, i2 ≠ i → (-w) i2 = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case e_a.refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
hw : (s.weightedVSub p) w = 0
i : ι
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ≠ i
his : i ∈ s
hwi : w i = -1
⊢ (-w) i = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case e_a.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
hw : (s.weightedVSub p) w = 0
i : ι
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ≠ i
his : i ∈ s
hwi : w i = -1
⊢ ∀ i2 ∈ {i}, i2 ≠ i → (-w) i2 = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case e_a.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
hw : (s.weightedVSub p) w = 0
i : ι
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ≠ i
his : i ∈ s
hwi : w i = -1
⊢ ∀ i2 ∈ {i}, i2 ≠ i → (-w) i2 = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : AffineSubspace k P₁
h : map f s = ⊥
⊢ s = ⊥

pp: case refine_2
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : AffineSubspace k P₁
h : s = ⊥
⊢ map f s = ⊥

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : AffineSubspace k P₁
h : map f s = ⊥
⊢ s = ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred
⊢ ((affineCombination k (Finset.subtype pred s) fun i ↦ p ↑i) fun i ↦ w ↑i) =
    (affineCombination k ({x ∈ s | pred x}) p) w

Tactic:
affineCombination_apply,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred
⊢ (((Finset.subtype pred s).weightedVSubOfPoint (fun i ↦ p ↑i) (Classical.choice ⋯)) fun i ↦ w ↑i) +ᵥ
      Classical.choice ⋯ =
    (affineCombination k ({x ∈ s | pred x}) p) w
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred
⊢ (((Finset.subtype pred s).weightedVSubOfPoint (fun i ↦ p ↑i) (Classical.choice ⋯)) fun i ↦ w ↑i) +ᵥ
      Classical.choice ⋯ =
    (affineCombination k ({x ∈ s | pred x}) p) w

Tactic:
affineCombination_apply,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred
⊢ (((Finset.subtype pred s).weightedVSubOfPoint (fun i ↦ p ↑i) (Classical.choice ⋯)) fun i ↦ w ↑i) +ᵥ
      Classical.choice ⋯ =
    ({x ∈ s | pred x}.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w +ᵥ Classical.choice ⋯
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : AffineSubspace k P₁
h : s = ⊥
⊢ map f s = ⊥

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : AffineSubspace k P₁
h : s = ⊥
⊢ map f s = ⊥
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
p q : Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ ⨅ u, p u + q (0 • x - u) = ‖0‖ * ⨅ u, p u + q (x - u)

pp: case inr
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
p q : Seminorm 𝕜 E
a : 𝕜
x : E
ha : a ≠ 0
⊢ ⨅ u, p u + q (a • x - u) = ‖a‖ * ⨅ u, p u + q (x - u)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
p q : Seminorm 𝕜 E
x : E
⊢ ⨅ u, p u + q (0 • x - u) = ‖0‖ * ⨅ u, p u + q (x - u)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred
h : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → pred i
⊢ (affineCombination k ({x ∈ s | pred x}) p) w = (affineCombination k s p) w

Tactic:
affineCombination_apply,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred
h : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → pred i
⊢ ({x ∈ s | pred x}.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w +ᵥ Classical.choice ⋯ = (affineCombination k s p) w
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred
h : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → pred i
⊢ ({x ∈ s | pred x}.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w +ᵥ Classical.choice ⋯ = (affineCombination k s p) w

Tactic:
affineCombination_apply,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred
h : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → pred i
⊢ ({x ∈ s | pred x}.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w +ᵥ Classical.choice ⋯ =
    (s.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w +ᵥ Classical.choice ⋯