mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransform

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
e : AddChar 𝕜 𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : V → F →L[ℝ] E
a : F
w : W
he : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ⇑e
hf : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : V), (e (-((ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) x) w) • f x) a ∂μ =
    fourierIntegral e μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fun x ↦ (f x) a) w

pp: case φ_int
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
e : AddChar 𝕜 𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : V → F →L[ℝ] E
a : F
w : W
he : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ⇑e
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun v ↦ e (-((ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) v) w) • f v) μ

Tactic:
·

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
e : AddChar 𝕜 𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : V → F →L[ℝ] E
a : F
w : W
he : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ⇑e
hf : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : V), (e (-((ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) x) w) • f x) a ∂μ =
    fourierIntegral e μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fun x ↦ (f x) a) w
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransform

Goal state before:
pp: case φ_int
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
e : AddChar 𝕜 𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : V → F →L[ℝ] E
a : F
w : W
he : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ⇑e
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun v ↦ e (-((ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) v) w) • f v) μ

Tactic:
·

Goal state after:
case φ_int
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
e : AddChar 𝕜 𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : V → F →L[ℝ] E
a : F
w : W
he : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ⇑e
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun v ↦ e (-((ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) v) w) • f v) μ
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: case h₁
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
v : V
w : W
⊢ ‖fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) f)) w
        n‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ

pp: case h₂
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
v : V
w : W
⊢ ∏ x, ‖v‖ ≤ ‖v‖ ^ n

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
v : V
w : W
⊢ ‖fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) f)) w
        n‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: case h₂
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
v : V
w : W
⊢ ∏ x, ‖v‖ ≤ ‖v‖ ^ n

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
v : V
w : W
⊢ ∏ x, ‖v‖ ≤ ‖v‖ ^ n
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ImproperIntegrals

Goal state before:
pp: case inl
s : ℝ
h : IntegrableOn (fun x ↦ x ^ s) (Ioi 0) volume
hs : s ≤ -1
⊢ False

pp: case inr
s : ℝ
h : IntegrableOn (fun x ↦ x ^ s) (Ioi 0) volume
hs : -1 < s
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
s : ℝ
h : IntegrableOn (fun x ↦ x ^ s) (Ioi 0) volume
hs : s ≤ -1
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ImproperIntegrals

Goal state before:
pp: case inr
s : ℝ
h : IntegrableOn (fun x ↦ x ^ s) (Ioi 0) volume
hs : -1 < s
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
s : ℝ
h : IntegrableOn (fun x ↦ x ^ s) (Ioi 0) volume
hs : -1 < s
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransform

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
e : AddChar 𝕜 𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
f : V → ContinuousMultilinearMap ℝ M E
m : (i : ι) → M i
w : W
he : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ⇑e
hf : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : V), (e (-((ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) x) w) • f x) m ∂μ =
    fourierIntegral e μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fun x ↦ (f x) m) w

pp: case φ_int
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
e : AddChar 𝕜 𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
f : V → ContinuousMultilinearMap ℝ M E
m : (i : ι) → M i
w : W
he : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ⇑e
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun v ↦ e (-((ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) v) w) • f v) μ

Tactic:
·

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
e : AddChar 𝕜 𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
f : V → ContinuousMultilinearMap ℝ M E
m : (i : ι) → M i
w : W
he : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ⇑e
hf : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : V), (e (-((ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) x) w) • f x) m ∂μ =
    fourierIntegral e μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fun x ↦ (f x) m) w
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransform

Goal state before:
pp: case φ_int
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
e : AddChar 𝕜 𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
f : V → ContinuousMultilinearMap ℝ M E
m : (i : ι) → M i
w : W
he : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ⇑e
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun v ↦ e (-((ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) v) w) • f v) μ

Tactic:
·

Goal state after:
case φ_int
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹¹ : Fintype ι
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
e : AddChar 𝕜 𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
f : V → ContinuousMultilinearMap ℝ M E
m : (i : ι) → M i
w : W
he : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ⇑e
hf : Integrable f μ
⊢ Integrable (fun v ↦ e (-((ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) v) w) • f v) μ
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ImproperIntegrals

Goal state before:
pp: a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ IntegrableOn (fun t ↦ ‖↑t ^ a‖) (Ioi c) volume

Tactic:
refine (integrableOn_Ioi_rpow_of_lt ha hc).congr_fun (fun x hx => ?_) measurableSet_Ioi

Goal state after:
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi c
⊢ (fun t ↦ t ^ a.re) x = ‖↑x ^ a‖
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ImproperIntegrals

Goal state before:
pp: case inl
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
hs✝ : s.re ≤ 0
hs : s.re = 0
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ s.re * x ^ (s.re - 1)) (Ioi t) volume

pp: case inr
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
hs✝ : s.re ≤ 0
hs : s.re < 0
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ s.re * x ^ (s.re - 1)) (Ioi t) volume

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
hs✝ : s.re ≤ 0
hs : s.re = 0
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ s.re * x ^ (s.re - 1)) (Ioi t) volume
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ImproperIntegrals

Goal state before:
pp: case inr
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
hs✝ : s.re ≤ 0
hs : s.re < 0
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ s.re * x ^ (s.re - 1)) (Ioi t) volume

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
hs✝ : s.re ≤ 0
hs : s.re < 0
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ s.re * x ^ (s.re - 1)) (Ioi t) volume
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ImproperIntegrals

Goal state before:
pp: case inl
s : ℂ
h : IntegrableOn (fun x ↦ ↑x ^ s) (Ioi 0) volume
hs : s.re ≤ -1
⊢ False

pp: case inr
s : ℂ
h : IntegrableOn (fun x ↦ ↑x ^ s) (Ioi 0) volume
hs : -1 < s.re
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
s : ℂ
h : IntegrableOn (fun x ↦ ↑x ^ s) (Ioi 0) volume
hs : s.re ≤ -1
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ImproperIntegrals

Goal state before:
pp: case inr
s : ℂ
h : IntegrableOn (fun x ↦ ↑x ^ s) (Ioi 0) volume
hs : -1 < s.re
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
s : ℂ
h : IntegrableOn (fun x ↦ ↑x ^ s) (Ioi 0) volume
hs : -1 < s.re
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ImproperIntegrals

Goal state before:
pp: a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
this : Tendsto (fun x ↦ (↑x ^ (a + 1) - ↑c ^ (a + 1)) / (a + 1)) atTop (𝓝 (-↑c ^ (a + 1) / (a + 1)))
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ (↑x ^ (a + 1) - ↑c ^ (a + 1)) / (a + 1) = ∫ (x : ℝ) in c..id x, ↑x ^ a

Tactic:
integral_cpow,

Goal state after:
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
this : Tendsto (fun x ↦ (↑x ^ (a + 1) - ↑c ^ (a + 1)) / (a + 1)) atTop (𝓝 (-↑c ^ (a + 1) / (a + 1)))
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ (↑x ^ (a + 1) - ↑c ^ (a + 1)) / (a + 1) = (↑(id x) ^ (a + 1) - ↑c ^ (a + 1)) / (a + 1)

a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
this : Tendsto (fun x ↦ (↑x ^ (a + 1) - ↑c ^ (a + 1)) / (a + 1)) atTop (𝓝 (-↑c ^ (a + 1) / (a + 1)))
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ -1 < a.re ∨ a ≠ -1 ∧ 0 ∉ uIcc c (id x)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ImproperIntegrals

Goal state before:
pp: c : ℝ
hc : 1 < c
⊢ ∀ x ∈ Ici c, HasDerivAt (fun x ↦ -log⁻¹ x) (x⁻¹ / log x ^ 2) x

pp: c : ℝ
hc : 1 < c
⊢ ∀ x ∈ Ioi c, 0 ≤ x⁻¹ / log x ^ 2

Tactic:
·

Goal state after:
c : ℝ
hc : 1 < c
⊢ ∀ x ∈ Ici c, HasDerivAt (fun x ↦ -log⁻¹ x) (x⁻¹ / log x ^ 2) x
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ImproperIntegrals

Goal state before:
pp: c : ℝ
hc : 1 < c
⊢ ∀ x ∈ Ioi c, 0 ≤ x⁻¹ / log x ^ 2

Tactic:
·

Goal state after:
c : ℝ
hc : 1 < c
⊢ ∀ x ∈ Ioi c, 0 ≤ x⁻¹ / log x ^ 2
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: case inl
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f : V → E
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
w : V
hn : ↑0 ≤ N
Z :
  ‖w‖ ^ 0 * (‖w‖ ^ 0 * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤
    ‖w‖ ^ 0 *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ 0 *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (0 + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
⊢ ‖w‖ ^ 0 * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ 0 *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (0 + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖

pp: case inr
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f : V → E
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn✝ : ↑n ≤ N
w : V
Z :
  ‖w‖ ^ n * (‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤
    ‖w‖ ^ n *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ n *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
hn : n ≠ 0
⊢ ‖w‖ ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f : V → E
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N) f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) volume
k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
w : V
hn : ↑0 ≤ N
Z :
  ‖w‖ ^ 0 * (‖w‖ ^ 0 * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖) ≤
    ‖w‖ ^ 0 *
      ((2 * (π * ‖innerSL ℝ‖)) ^ k *
        ((2 * ↑k + 2) ^ 0 *
          ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (0 + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖))
⊢ ‖w‖ ^ 0 * ‖iteratedFDeriv ℝ k (𝓕 f) w‖ ≤
    (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ 0 *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (0 + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ImproperIntegrals

Goal state before:
pp: c : ℝ
hc : 1 < c
⊢ (log c)⁻¹ = 0 - -(log c)⁻¹

pp: case convert_1
c : ℝ
hc : 1 < c
⊢ ∀ x ∈ Ici c, HasDerivAt (fun t ↦ -(log t)⁻¹) (x⁻¹ / log x ^ 2) x

pp: case convert_2
c : ℝ
hc : 1 < c
⊢ Tendsto (fun t ↦ -(log t)⁻¹) atTop (𝓝 0)

Tactic:
·

Goal state after:
c : ℝ
hc : 1 < c
⊢ (log c)⁻¹ = 0 - -(log c)⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ImproperIntegrals

Goal state before:
pp: case convert_1
c : ℝ
hc : 1 < c
⊢ ∀ x ∈ Ici c, HasDerivAt (fun t ↦ -(log t)⁻¹) (x⁻¹ / log x ^ 2) x

pp: case convert_2
c : ℝ
hc : 1 < c
⊢ Tendsto (fun t ↦ -(log t)⁻¹) atTop (𝓝 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case convert_1
c : ℝ
hc : 1 < c
⊢ ∀ x ∈ Ici c, HasDerivAt (fun t ↦ -(log t)⁻¹) (x⁻¹ / log x ^ 2) x
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransform

Goal state before:
pp: V : Type u_1
W : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace W
inst✝² : BorelSpace W
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f g : ↥(Lp E 1 volume)
x : V
⊢ ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, x⟫) • ↑↑(f + g) v = ∫ (a : V), 𝐞 (-⟪a, x⟫) • ↑↑f a + 𝐞 (-⟪a, x⟫) • ↑↑g a

pp: case hf
V : Type u_1
W : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace W
inst✝² : BorelSpace W
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f g : ↥(Lp E 1 volume)
x : V
⊢ Integrable (fun v ↦ 𝐞 (-⟪v, x⟫) • ↑↑f v) volume

pp: case hg
V : Type u_1
W : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace W
inst✝² : BorelSpace W
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f g : ↥(Lp E 1 volume)
x : V
⊢ Integrable (fun v ↦ 𝐞 (-⟪v, x⟫) • ↑↑g v) volume

Tactic:
·

Goal state after:
V : Type u_1
W : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace W
inst✝² : BorelSpace W
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f g : ↥(Lp E 1 volume)
x : V
⊢ ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, x⟫) • ↑↑(f + g) v = ∫ (a : V), 𝐞 (-⟪a, x⟫) • ↑↑f a + 𝐞 (-⟪a, x⟫) • ↑↑g a
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransform

Goal state before:
pp: case hf
V : Type u_1
W : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace W
inst✝² : BorelSpace W
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f g : ↥(Lp E 1 volume)
x : V
⊢ Integrable (fun v ↦ 𝐞 (-⟪v, x⟫) • ↑↑f v) volume

pp: case hg
V : Type u_1
W : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace W
inst✝² : BorelSpace W
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f g : ↥(Lp E 1 volume)
x : V
⊢ Integrable (fun v ↦ 𝐞 (-⟪v, x⟫) • ↑↑g v) volume

Tactic:
·

Goal state after:
case hf
V : Type u_1
W : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace W
inst✝² : BorelSpace W
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f g : ↥(Lp E 1 volume)
x : V
⊢ Integrable (fun v ↦ 𝐞 (-⟪v, x⟫) • ↑↑f v) volume
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransform

Goal state before:
pp: case hg
V : Type u_1
W : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace W
inst✝² : BorelSpace W
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f g : ↥(Lp E 1 volume)
x : V
⊢ Integrable (fun v ↦ 𝐞 (-⟪v, x⟫) • ↑↑g v) volume

Tactic:
·

Goal state after:
case hg
V : Type u_1
W : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace W
inst✝² : BorelSpace W
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f g : ↥(Lp E 1 volume)
x : V
⊢ Integrable (fun v ↦ 𝐞 (-⟪v, x⟫) • ↑↑g v) volume