mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
he : p₁ = p₄
hl : Collinear ℝ {p₂, p₃, p₄}
⊢ Cospherical {p₂, p₃, p₄} ∨ Collinear ℝ {p₂, p₃, p₄}

pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
he : p₁ = p₄
hl : ¬Collinear ℝ {p₂, p₃, p₄}
⊢ Cospherical {p₂, p₃, p₄} ∨ Collinear ℝ {p₂, p₃, p₄}

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
he : p₁ = p₄
hl : Collinear ℝ {p₂, p₃, p₄}
⊢ Cospherical {p₂, p₃, p₄} ∨ Collinear ℝ {p₂, p₃, p₄}
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
hbc : b = c
⊢ dist a b ^ 2 + dist a c ^ 2 = 2 * (dist a (midpoint ℝ b c) ^ 2 + (dist b c / 2) ^ 2)

pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
hbc : ¬b = c
⊢ dist a b ^ 2 + dist a c ^ 2 = 2 * (dist a (midpoint ℝ b c) ^ 2 + (dist b c / 2) ^ 2)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
hbc : b = c
⊢ dist a b ^ 2 + dist a c ^ 2 = 2 * (dist a (midpoint ℝ b c) ^ 2 + (dist b c / 2) ^ 2)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
hbc : ¬b = c
⊢ dist a b ^ 2 + dist a c ^ 2 = 2 * (dist a (midpoint ℝ b c) ^ 2 + (dist b c / 2) ^ 2)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
hbc : ¬b = c
⊢ dist a b ^ 2 + dist a c ^ 2 = 2 * (dist a (midpoint ℝ b c) ^ 2 + (dist b c / 2) ^ 2)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case pointIndex
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i a✝ : Fin (n + 1)
hi : pointIndex a✝ ∈ univ
hn : pointIndex a✝ ≠ pointIndex i
⊢ pointWeightsWithCircumcenter i (pointIndex a✝) = 0

pp: case circumcenterIndex
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
hi : circumcenterIndex ∈ univ
hn : circumcenterIndex ≠ pointIndex i
⊢ pointWeightsWithCircumcenter i circumcenterIndex = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pointIndex
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i a✝ : Fin (n + 1)
hi : pointIndex a✝ ∈ univ
hn : pointIndex a✝ ≠ pointIndex i
⊢ pointWeightsWithCircumcenter i (pointIndex a✝) = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case circumcenterIndex
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
hi : circumcenterIndex ∈ univ
hn : circumcenterIndex ≠ pointIndex i
⊢ pointWeightsWithCircumcenter i circumcenterIndex = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case circumcenterIndex
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
hi : circumcenterIndex ∈ univ
hn : circumcenterIndex ≠ pointIndex i
⊢ pointWeightsWithCircumcenter i circumcenterIndex = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
signs : Finset (Fin (n + 1))
⊢ (∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i) p = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r) →
    s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs

pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
signs : Finset (Fin (n + 1))
⊢ s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs →
    ∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i) p = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
signs : Finset (Fin (n + 1))
⊢ (∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i) p = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r) →
    s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
⊢ (affineCombination ℝ fs s.points) (centroidWeights ℝ fs) =
    (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (centroidWeightsWithCircumcenter fs)

Tactic:
affineCombination_apply,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
⊢ (fs.weightedVSubOfPoint s.points (Classical.choice ⋯)) (centroidWeights ℝ fs) +ᵥ Classical.choice ⋯ =
    (univ.weightedVSubOfPoint s.pointsWithCircumcenter (Classical.choice ⋯)) (centroidWeightsWithCircumcenter fs) +ᵥ
      Classical.choice ⋯
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hc : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
⊢ Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄} ∨ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hc : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
⊢ Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄} ∨ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case e'_2.a
n : ℕ
j : PointsWithCircumcenterIndex n
a✝ : j ∈ univ
⊢ circumcenterWeightsWithCircumcenter n j =
    if j = circumcenterIndex then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 j else 0

pp: case e'_3
n : ℕ
⊢ 1 = if circumcenterIndex ∈ univ then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 circumcenterIndex else 0

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_2.a
n : ℕ
j : PointsWithCircumcenterIndex n
a✝ : j ∈ univ
⊢ circumcenterWeightsWithCircumcenter n j =
    if j = circumcenterIndex then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 j else 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case e'_3
n : ℕ
⊢ 1 = if circumcenterIndex ∈ univ then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 circumcenterIndex else 0

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_3
n : ℕ
⊢ 1 = if circumcenterIndex ∈ univ then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 circumcenterIndex else 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hc : Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}
⊢ Concyclic {p₁, p₂, p₃, p₄} ∨ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}

pp: case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
⊢ Concyclic {p₁, p₂, p₃, p₄} ∨ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hc : Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}
⊢ Concyclic {p₁, p₂, p₃, p₄} ∨ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
⊢ Concyclic {p₁, p₂, p₃, p₄} ∨ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
⊢ Concyclic {p₁, p₂, p₃, p₄} ∨ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c a' b' c' : P
r : ℝ
h : ∠ a' b' c' = ∠ a b c
hab : dist a' b' = r * dist a b
hcb : dist c' b' = r * dist c b
h' : dist a' c' ^ 2 = (r * dist a c) ^ 2
hab₁ : a = b
⊢ dist a' c' = r * dist a c

pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c a' b' c' : P
r : ℝ
h : ∠ a' b' c' = ∠ a b c
hab : dist a' b' = r * dist a b
hcb : dist c' b' = r * dist c b
h' : dist a' c' ^ 2 = (r * dist a c) ^ 2
hab₁ : ¬a = b
⊢ dist a' c' = r * dist a c

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c a' b' c' : P
r : ℝ
h : ∠ a' b' c' = ∠ a b c
hab : dist a' b' = r * dist a b
hcb : dist c' b' = r * dist c b
h' : dist a' c' ^ 2 = (r * dist a c) ^ 2
hab₁ : a = b
⊢ dist a' c' = r * dist a c
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ (#(if i₁ ∈ univ then {i₁} else ∅) + #(if i₂ ∈ univ then {i₂} else ∅)) • 1 + #{x | ¬(x = i₁ ∨ x = i₂)} • 0 + -1 = 1

pp: n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ Disjoint (if i₁ ∈ univ then {i₁} else ∅) (if i₂ ∈ univ then {i₂} else ∅)

Tactic:
·

Goal state after:
n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ (#(if i₁ ∈ univ then {i₁} else ∅) + #(if i₂ ∈ univ then {i₂} else ∅)) • 1 + #{x | ¬(x = i₁ ∨ x = i₂)} • 0 + -1 = 1
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ Disjoint (if i₁ ∈ univ then {i₁} else ∅) (if i₂ ∈ univ then {i₂} else ∅)

Tactic:
·

Goal state after:
n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
⊢ Disjoint (if i₁ ∈ univ then {i₁} else ∅) (if i₂ ∈ univ then {i₂} else ∅)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c a' b' c' : P
r : ℝ
h : ∠ a' b' c' = ∠ a b c
hab : dist a' b' = r * dist a b
hcb : dist c' b' = r * dist c b
h' : dist a' c' ^ 2 = (r * dist a c) ^ 2
hab₁ : ¬a = b
⊢ dist a' c' = r * dist a c

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c a' b' c' : P
r : ℝ
h : ∠ a' b' c' = ∠ a b c
hab : dist a' b' = r * dist a b
hcb : dist c' b' = r * dist c b
h' : dist a' c' ^ 2 = (r * dist a c) ^ 2
hab₁ : ¬a = b
⊢ dist a' c' = r * dist a c
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.TriangleInequality

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
h₁ : x = y
⊢ (‖x - ⟪y, x⟫ • y‖⁻¹ * (⟪x, x⟫ - ⟪y, x⟫ * ⟪x, y⟫)) ^ 2 + ⟪x, y⟫ ^ 2 = 1

pp: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
h₁ : ¬x = y
⊢ (‖x - ⟪y, x⟫ • y‖⁻¹ * (⟪x, x⟫ - ⟪y, x⟫ * ⟪x, y⟫)) ^ 2 + ⟪x, y⟫ ^ 2 = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
h₁ : x = y
⊢ (‖x - ⟪y, x⟫ • y‖⁻¹ * (⟪x, x⟫ - ⟪y, x⟫ * ⟪x, y⟫)) ^ 2 + ⟪x, y⟫ ^ 2 = 1
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.TriangleInequality

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
h₁ : ¬x = y
h₂ : x = -y
⊢ (‖x - ⟪y, x⟫ • y‖⁻¹ * (⟪x, x⟫ - ⟪y, x⟫ * ⟪x, y⟫)) ^ 2 + ⟪x, y⟫ ^ 2 = 1

pp: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
h₁ : ¬x = y
h₂ : ¬x = -y
⊢ (‖x - ⟪y, x⟫ • y‖⁻¹ * (⟪x, x⟫ - ⟪y, x⟫ * ⟪x, y⟫)) ^ 2 + ⟪x, y⟫ ^ 2 = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
h₁ : ¬x = y
h₂ : x = -y
⊢ (‖x - ⟪y, x⟫ • y‖⁻¹ * (⟪x, x⟫ - ⟪y, x⟫ * ⟪x, y⟫)) ^ 2 + ⟪x, y⟫ ^ 2 = 1
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
signs : Finset (Fin (n + 1))
⊢ s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs →
    ∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i) p = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
signs : Finset (Fin (n + 1))
⊢ s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs →
    ∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i) p = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
h : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
hsin : Real.sin (∠ a b c) * dist a b = Real.sin (∠ a c b) * dist a c
hac : dist a c > 0
hsinabc : Real.sin (∠ a b c) ≥ 0
h1 : ∠ a c b < ∠ a b c
h2 : ∠ a b c ≤ π / 2
⊢ dist a b < dist a c

pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
h : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
hsin : Real.sin (∠ a b c) * dist a b = Real.sin (∠ a c b) * dist a c
hac : dist a c > 0
hsinabc : Real.sin (∠ a b c) ≥ 0
h1 : ∠ a c b < ∠ a b c
h2 : π / 2 < ∠ a b c
⊢ dist a b < dist a c

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
h : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
hsin : Real.sin (∠ a b c) * dist a b = Real.sin (∠ a c b) * dist a c
hac : dist a c > 0
hsinabc : Real.sin (∠ a b c) ≥ 0
h1 : ∠ a c b < ∠ a b c
h2 : ∠ a b c ≤ π / 2
⊢ dist a b < dist a c
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case e'_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
x✝ : ℝ
a✝ : Fin (n + 1)
⊢ x✝ = (if a✝ ∈ ∅ then -1 else 1) * x✝

pp: case e'_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ p = s.incenter ↔ s.ExcenterExists ∅ ∧ p = s.excenter ∅

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
x✝ : ℝ
a✝ : Fin (n + 1)
⊢ x✝ = (if a✝ ∈ ∅ then -1 else 1) * x✝
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case e'_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ p = s.incenter ↔ s.ExcenterExists ∅ ∧ p = s.excenter ∅

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ p = s.incenter ↔ s.ExcenterExists ∅ ∧ p = s.excenter ∅
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ (∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i) p| = r) → ∃ signs, s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs

pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ (∃ signs, s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs) → ∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i) p| = r

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ (∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i) p| = r) → ∃ signs, s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
h : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
hsin : Real.sin (∠ a b c) * dist a b = Real.sin (∠ a c b) * dist a c
hac : dist a c > 0
hsinabc : Real.sin (∠ a b c) ≥ 0
h1 : ∠ a c b < ∠ a b c
h2 : π / 2 < ∠ a b c
⊢ dist a b < dist a c

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
h : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
hsin : Real.sin (∠ a b c) * dist a b = Real.sin (∠ a c b) * dist a c
hac : dist a c > 0
hsinabc : Real.sin (∠ a b c) ≥ 0
h1 : ∠ a c b < ∠ a b c
h2 : π / 2 < ∠ a b c
⊢ dist a b < dist a c
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ (∃ signs, s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs) → ∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i) p| = r

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ (∃ signs, s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs) → ∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i) p| = r
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.TriangleInequality

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
hxy : x - ⟪x, y⟫ • y = 0
⊢ x = ⟪x, y⟫ • y + ⟪x, NormedSpace.normalize (x - ⟪y, x⟫ • y)⟫ • NormedSpace.normalize (x - ⟪y, x⟫ • y)

pp: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
hxy : ¬x - ⟪x, y⟫ • y = 0
⊢ x = ⟪x, y⟫ • y + ⟪x, NormedSpace.normalize (x - ⟪y, x⟫ • y)⟫ • NormedSpace.normalize (x - ⟪y, x⟫ • y)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
hxy : x - ⟪x, y⟫ • y = 0
⊢ x = ⟪x, y⟫ • y + ⟪x, NormedSpace.normalize (x - ⟪y, x⟫ • y)⟫ • NormedSpace.normalize (x - ⟪y, x⟫ • y)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
hn1 : n = 1
⊢ False

pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
hn1 : ¬n = 1
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
hn1 : n = 1
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
hn1 : ¬n = 1
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
hn1 : ¬n = 1
⊢ False