mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Additive

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
i : ι
h : i = j
⊢ eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ = 𝟙 (F.obj (((single W₁ c j).obj X).X i))

pp: case neg
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
i : ι
h : ¬i = j
⊢ 0 ≫ 0 = 𝟙 (F.obj (((single W₁ c j).obj X).X i))

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
i : ι
h : i = j
⊢ eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ = 𝟙 (F.obj (((single W₁ c j).obj X).X i))
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Additive

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
i : ι
h : ¬i = j
⊢ 0 ≫ 0 = 𝟙 (F.obj (((single W₁ c j).obj X).X i))

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
i : ι
h : ¬i = j
⊢ 0 ≫ 0 = 𝟙 (F.obj (((single W₁ c j).obj X).X i))
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Additive

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
i : ι
h : i = j
⊢ eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ = 𝟙 (((single W₂ c j).obj (F.obj X)).X i)

pp: case neg
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
i : ι
h : ¬i = j
⊢ 0 ≫ 0 = 𝟙 (((single W₂ c j).obj (F.obj X)).X i)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
i : ι
h : i = j
⊢ eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ = 𝟙 (((single W₂ c j).obj (F.obj X)).X i)
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Additive

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
i : ι
h : ¬i = j
⊢ 0 ≫ 0 = 𝟙 (((single W₂ c j).obj (F.obj X)).X i)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁
i : ι
h : ¬i = j
⊢ 0 ≫ 0 = 𝟙 (((single W₂ c j).obj (F.obj X)).X i)
Module: Mathlib.RingTheory.Kaehler.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x : ↥(KaehlerDifferential.ideal R S)
hx : x ∈ Submodule.restrictScalars S (KaehlerDifferential.ideal R S • ⊤)
⊢ ∀ (x y : ↥(KaehlerDifferential.ideal R S)),
    (D.tensorProductTo ∘ₗ ↑S (Submodule.subtype (KaehlerDifferential.ideal R S))) x = 0 →
      (D.tensorProductTo ∘ₗ ↑S (Submodule.subtype (KaehlerDifferential.ideal R S))) y = 0 →
        (D.tensorProductTo ∘ₗ ↑S (Submodule.subtype (KaehlerDifferential.ideal R S))) (x + y) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
D : Derivation R S M
x : ↥(KaehlerDifferential.ideal R S)
hx : x ∈ Submodule.restrictScalars S (KaehlerDifferential.ideal R S • ⊤)
⊢ ∀ (x y : ↥(KaehlerDifferential.ideal R S)),
    (D.tensorProductTo ∘ₗ ↑S (Submodule.subtype (KaehlerDifferential.ideal R S))) x = 0 →
      (D.tensorProductTo ∘ₗ ↑S (Submodule.subtype (KaehlerDifferential.ideal R S))) y = 0 →
        (D.tensorProductTo ∘ₗ ↑S (Submodule.subtype (KaehlerDifferential.ideal R S))) (x + y) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Additive

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f✝ : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X✝ Y✝ : W₁
f : X✝ ⟶ Y✝
i : ι
h : i = j
⊢ F.map (((single W₁ c j).map f).f i) ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯ ≫ ((single W₂ c j).map (F.map f)).f i

pp: case neg
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f✝ : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X✝ Y✝ : W₁
f : X✝ ⟶ Y✝
i : ι
h : ¬i = j
⊢ F.map (((single W₁ c j).map f).f i) ≫ 0 = 0 ≫ ((single W₂ c j).map (F.map f)).f i

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f✝ : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X✝ Y✝ : W₁
f : X✝ ⟶ Y✝
i : ι
h : i = j
⊢ F.map (((single W₁ c j).map f).f i) ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯ ≫ ((single W₂ c j).map (F.map f)).f i
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Additive

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f✝ : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X✝ Y✝ : W₁
f : X✝ ⟶ Y✝
i : ι
h : ¬i = j
⊢ F.map (((single W₁ c j).map f).f i) ≫ 0 = 0 ≫ ((single W₂ c j).map (F.map f)).f i

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{v_1, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D : HomologicalComplex V c✝
f✝ : C ⟶ D
i✝ : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X✝ Y✝ : W₁
f : X✝ ⟶ Y✝
i : ι
h : ¬i = j
⊢ F.map (((single W₁ c j).map f).f i) ≫ 0 = 0 ≫ ((single W₂ c j).map (F.map f)).f i
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomologicalComplex

Goal state before:
pp: case zero
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
d₁ : X₂ ⟶ X₁
s : d₁ ≫ d₀ = 0
succ : (S : ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
⊢ (mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').X (0 + 2) ≅ (succ' ((mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (0 + 1) 0)).fst

pp: case succ
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
d₁ : X₂ ⟶ X₁
s : d₁ ≫ d₀ = 0
succ : (S : ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
n : ℕ
⊢ (mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').X (n + 1 + 2) ≅
    (succ' ((mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (n + 1 + 1) (n + 1))).fst

Tactic:
·

Goal state after:
case zero
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
d₁ : X₂ ⟶ X₁
s : d₁ ≫ d₀ = 0
succ : (S : ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
⊢ (mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').X (0 + 2) ≅ (succ' ((mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (0 + 1) 0)).fst
Module: Mathlib.RingTheory.Kaehler.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ ∀ x ∈ Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S), f x = f' x

pp: case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ f 0 = f' 0

pp: case refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ ∀ (x y : Ω[S⁄R]),
    x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S)) →
      y ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S)) → f x = f' x → f y = f' y → f (x + y) = f' (x + y)

pp: case refine_4
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ ∀ (a : S), ∀ x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S)), f x = f' x → f (a • x) = f' (a • x)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ ∀ x ∈ Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S), f x = f' x
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomologicalComplex

Goal state before:
pp: case succ
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
d₁ : X₂ ⟶ X₁
s : d₁ ≫ d₀ = 0
succ : (S : ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
n : ℕ
⊢ (mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').X (n + 1 + 2) ≅
    (succ' ((mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (n + 1 + 1) (n + 1))).fst

Tactic:
·

Goal state after:
case succ
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
d₁ : X₂ ⟶ X₁
s : d₁ ≫ d₀ = 0
succ : (S : ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
n : ℕ
⊢ (mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').X (n + 1 + 2) ≅
    (succ' ((mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (n + 1 + 1) (n + 1))).fst
Module: Mathlib.RingTheory.Kaehler.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x✝ : Ω[S⁄R]
this : x✝ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
x : S
⊢ f ((KaehlerDifferential.D R S) x) = f' ((KaehlerDifferential.D R S) x)

Tactic:
exact congr_arg (fun D : Derivation R S M => D x) hf

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomologicalComplex

Goal state before:
pp: case zero
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
⊢ (mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (0 + 2) (0 + 1) =
    (mk'XIso X₀ X₁ d₀ (fun {X₀ X₁} ↦ succ') 0).hom ≫ (succ' ((mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (0 + 1) 0)).snd.fst

pp: case succ
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
n : ℕ
⊢ (mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (n + 1 + 2) (n + 1 + 1) =
    (mk'XIso X₀ X₁ d₀ (fun {X₀ X₁} ↦ succ') (n + 1)).hom ≫
      (succ' ((mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (n + 1 + 1) (n + 1))).snd.fst

Tactic:
·

Goal state after:
case zero
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
⊢ (mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (0 + 2) (0 + 1) =
    (mk'XIso X₀ X₁ d₀ (fun {X₀ X₁} ↦ succ') 0).hom ≫ (succ' ((mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (0 + 1) 0)).snd.fst
Module: Mathlib.RingTheory.Kaehler.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ f 0 = f' 0

pp: case refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ ∀ (x y : Ω[S⁄R]),
    x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S)) →
      y ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S)) → f x = f' x → f y = f' y → f (x + y) = f' (x + y)

pp: case refine_4
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ ∀ (a : S), ∀ x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S)), f x = f' x → f (a • x) = f' (a • x)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ f 0 = f' 0
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomologicalComplex

Goal state before:
pp: case succ
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
n : ℕ
⊢ (mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (n + 1 + 2) (n + 1 + 1) =
    (mk'XIso X₀ X₁ d₀ (fun {X₀ X₁} ↦ succ') (n + 1)).hom ≫
      (succ' ((mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (n + 1 + 1) (n + 1))).snd.fst

Tactic:
·

Goal state after:
case succ
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₁ ⟶ X₀) → (X₂ : V) ×' (d : X₂ ⟶ X₁) ×' d ≫ f = 0
n : ℕ
⊢ (mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (n + 1 + 2) (n + 1 + 1) =
    (mk'XIso X₀ X₁ d₀ (fun {X₀ X₁} ↦ succ') (n + 1)).hom ≫
      (succ' ((mk' X₀ X₁ d₀ fun {X₀ X₁} ↦ succ').d (n + 1 + 1) (n + 1))).snd.fst
Module: Mathlib.RingTheory.Kaehler.Basic

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ ∀ (x y : Ω[S⁄R]),
    x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S)) →
      y ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S)) → f x = f' x → f y = f' y → f (x + y) = f' (x + y)

pp: case refine_4
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ ∀ (a : S), ∀ x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S)), f x = f' x → f (a • x) = f' (a • x)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ ∀ (x y : Ω[S⁄R]),
    x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S)) →
      y ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S)) → f x = f' x → f y = f' y → f (x + y) = f' (x + y)
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomologicalComplex

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
inst✝² : AddRightCancelSemigroup α
inst✝¹ : One α
inst✝ : DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X n ⟶ X (n + 1)
sq : ∀ (n : α), d n ≫ d (n + 1) = 0
i j k : α
h : i + 1 = j
h' : j + 1 = k
⊢ i + 1 = j → j + 1 = k → (d i ≫ eqToHom ⋯) ≫ d j ≫ eqToHom ⋯ = 0

pp: case neg
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
inst✝² : AddRightCancelSemigroup α
inst✝¹ : One α
inst✝ : DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X n ⟶ X (n + 1)
sq : ∀ (n : α), d n ≫ d (n + 1) = 0
i j k : α
h : i + 1 = j
h' : ¬j + 1 = k
⊢ i + 1 = j → j + 1 = k → (d i ≫ eqToHom ⋯) ≫ 0 = 0

pp: case pos
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
inst✝² : AddRightCancelSemigroup α
inst✝¹ : One α
inst✝ : DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X n ⟶ X (n + 1)
sq : ∀ (n : α), d n ≫ d (n + 1) = 0
i j k : α
h : ¬i + 1 = j
h' : j + 1 = k
⊢ i + 1 = j → j + 1 = k → 0 ≫ d j ≫ eqToHom ⋯ = 0

pp: case neg
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
inst✝² : AddRightCancelSemigroup α
inst✝¹ : One α
inst✝ : DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X n ⟶ X (n + 1)
sq : ∀ (n : α), d n ≫ d (n + 1) = 0
i j k : α
h : ¬i + 1 = j
h' : ¬j + 1 = k
⊢ i + 1 = j → j + 1 = k → 0 ≫ 0 = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
inst✝² : AddRightCancelSemigroup α
inst✝¹ : One α
inst✝ : DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X n ⟶ X (n + 1)
sq : ∀ (n : α), d n ≫ d (n + 1) = 0
i j k : α
h : i + 1 = j
h' : j + 1 = k
⊢ i + 1 = j → j + 1 = k → (d i ≫ eqToHom ⋯) ≫ d j ≫ eqToHom ⋯ = 0