mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
f : Rˣ →* R'ˣ
x y : R
hx : IsUnit x
hy : IsUnit y
⊢ (if h : IsUnit y then ↑(f ⋯.unit) else 0) = ↑(f ⋯.unit) * if hx : IsUnit y then ↑(f hx.unit) else 0

pp: case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
f : Rˣ →* R'ˣ
x y : R
hx : IsUnit x
hy : ¬IsUnit y
⊢ (if h : IsUnit y then ↑(f ⋯.unit) else 0) = ↑(f ⋯.unit) * if hx : IsUnit y then ↑(f hx.unit) else 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
f : Rˣ →* R'ˣ
x y : R
hx : IsUnit x
hy : IsUnit y
⊢ (if h : IsUnit y then ↑(f ⋯.unit) else 0) = ↑(f ⋯.unit) * if hx : IsUnit y then ↑(f hx.unit) else 0
Module: Mathlib.NumberTheory.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: case refine_4
n : ℕ
inst✝¹⁰ : NeZero n
S T : Set ℕ
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : NeZero ↑n
x : CyclotomicField n K
this : NeZero ↑n
⊢ ∀ (x y : CyclotomicField n K),
    x ∈ adjoin K {b | b ^ n = 1} →
      y ∈ adjoin K {b | b ^ n = 1} →
        (∃ x_1,
            x * (algebraMap (CyclotomicRing n A K) (CyclotomicField n K)) ↑x_1.2 =
              (algebraMap (CyclotomicRing n A K) (CyclotomicField n K)) x_1.1) →
          (∃ x,
              y * (algebraMap (CyclotomicRing n A K) (CyclotomicField n K)) ↑x.2 =
                (algebraMap (CyclotomicRing n A K) (CyclotomicField n K)) x.1) →
            ∃ x_1,
              x * y * (algebraMap (CyclotomicRing n A K) (CyclotomicField n K)) ↑x_1.2 =
                (algebraMap (CyclotomicRing n A K) (CyclotomicField n K)) x_1.1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_4
n : ℕ
inst✝¹⁰ : NeZero n
S T : Set ℕ
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : NeZero ↑n
x : CyclotomicField n K
this : NeZero ↑n
⊢ ∀ (x y : CyclotomicField n K),
    x ∈ adjoin K {b | b ^ n = 1} →
      y ∈ adjoin K {b | b ^ n = 1} →
        (∃ x_1,
            x * (algebraMap (CyclotomicRing n A K) (CyclotomicField n K)) ↑x_1.2 =
              (algebraMap (CyclotomicRing n A K) (CyclotomicField n K)) x_1.1) →
          (∃ x,
              y * (algebraMap (CyclotomicRing n A K) (CyclotomicField n K)) ↑x.2 =
                (algebraMap (CyclotomicRing n A K) (CyclotomicField n K)) x.1) →
            ∃ x_1,
              x * y * (algebraMap (CyclotomicRing n A K) (CyclotomicField n K)) ↑x_1.2 =
                (algebraMap (CyclotomicRing n A K) (CyclotomicField n K)) x_1.1
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Basic

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
f : Rˣ →* R'ˣ
x y : R
hx : IsUnit x
hy : ¬IsUnit y
⊢ (if h : IsUnit y then ↑(f ⋯.unit) else 0) = ↑(f ⋯.unit) * if hx : IsUnit y then ↑(f hx.unit) else 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
f : Rˣ →* R'ˣ
x y : R
hx : IsUnit x
hy : ¬IsUnit y
⊢ (if h : IsUnit y then ↑(f ⋯.unit) else 0) = ↑(f ⋯.unit) * if hx : IsUnit y then ↑(f hx.unit) else 0
Module: Mathlib.NumberTheory.DirichletCharacter.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
inst✝ : NeZero n
hd : d ∣ n
x✝ : χ.FactorsThrough d
x : (ZMod n)ˣ
hx : x ∈ (ZMod.unitsMap hd).ker
w✝ : d ∣ n
χ₀ : DirichletCharacter R d
hχ₀ : χ = (changeLevel w✝) χ₀
⊢ x ∈ (toUnitHom χ).ker

pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
inst✝ : NeZero n
hd : d ∣ n
h : (ZMod.unitsMap hd).ker ≤ (toUnitHom χ).ker
⊢ χ.FactorsThrough d

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
inst✝ : NeZero n
hd : d ∣ n
x✝ : χ.FactorsThrough d
x : (ZMod n)ˣ
hx : x ∈ (ZMod.unitsMap hd).ker
w✝ : d ∣ n
χ₀ : DirichletCharacter R d
hχ₀ : χ = (changeLevel w✝) χ₀
⊢ x ∈ (toUnitHom χ).ker
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Basic

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
f : Rˣ →* R'ˣ
x y : R
hx : ¬IsUnit x
⊢ (if hx : IsUnit (x * y) then ↑(f hx.unit) else 0) =
    (if hx : IsUnit x then ↑(f hx.unit) else 0) * if hx : IsUnit y then ↑(f hx.unit) else 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
f : Rˣ →* R'ˣ
x y : R
hx : ¬IsUnit x
⊢ (if hx : IsUnit (x * y) then ↑(f hx.unit) else 0) =
    (if hx : IsUnit x then ↑(f hx.unit) else 0) * if hx : IsUnit y then ↑(f hx.unit) else 0
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Lemmas

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : Fintype M
inst✝¹ : DecidableEq M
R : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R
ζ : Rˣ
hζ : ζ ∈ rootsOfUnity (Fintype.card Mˣ) R
g : Mˣ
hg : ∀ (x : Mˣ), x ∈ Subgroup.zpowers g
⊢ MulChar M R

Tactic:
have : orderOf ζ ∣ Fintype.card Mˣ :=
    orderOf_dvd_iff_pow_eq_one.mpr <| (mem_rootsOfUnity _ ζ).mp hζ

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : Fintype M
inst✝¹ : DecidableEq M
R : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R
ζ : Rˣ
hζ : ζ ∈ rootsOfUnity (Fintype.card Mˣ) R
g : Mˣ
hg : ∀ (x : Mˣ), x ∈ Subgroup.zpowers g
this : orderOf ζ ∣ Fintype.card Mˣ
⊢ MulChar M R
Module: Mathlib.NumberTheory.DirichletCharacter.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
inst✝ : NeZero n
hd : d ∣ n
h : (ZMod.unitsMap hd).ker ≤ (toUnitHom χ).ker
⊢ χ.FactorsThrough d

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
inst✝ : NeZero n
hd : d ∣ n
h : (ZMod.unitsMap hd).ker ≤ (toUnitHom χ).ker
⊢ χ.FactorsThrough d
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R'
R : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero R
χ : MulChar R R'
a : R
ha : IsUnit a
⊢ χ⁻¹ a = χ a⁻¹ʳ

pp: case neg
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R'
R : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero R
χ : MulChar R R'
a : R
ha : ¬IsUnit a
⊢ χ⁻¹ a = χ a⁻¹ʳ

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R'
R : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero R
χ : MulChar R R'
a : R
ha : IsUnit a
⊢ χ⁻¹ a = χ a⁻¹ʳ
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Basic

Goal state before:
pp: case neg
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R'
R : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero R
χ : MulChar R R'
a : R
ha : ¬IsUnit a
⊢ χ⁻¹ a = χ a⁻¹ʳ

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R'
R : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero R
χ : MulChar R R'
a : R
ha : ¬IsUnit a
⊢ χ⁻¹ a = χ a⁻¹ʳ
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Lemmas

Goal state before:
pp: case h.refine_1
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
h' : ζ' ^ Fintype.card Fˣ = 1
⊢ ⟨ζ', ⋯⟩ ^ n = 1

pp: case h.refine_2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h✝ : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
h' : ζ' ^ Fintype.card Fˣ = 1
m : ℕ
hm : m < n
hm₀ : 0 < m
h : ⟨ζ', ⋯⟩ ^ m = 1
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case h.refine_1
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
h' : ζ' ^ Fintype.card Fˣ = 1
⊢ ⟨ζ', ⋯⟩ ^ n = 1
Module: Mathlib.NumberTheory.DirichletCharacter.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : DirichletCharacter R m
h : (changeLevel ⋯) χ = (changeLevel ⋯) ψ
x : (ZMod n)ˣ
hx : x ∈ (ZMod.unitsMap ⋯).ker
this : (↑x).val ≡ 1 [MOD n.gcd m]
z : ℕ
hz₁ : z ≡ (↑x).val [MOD n]
hz₂ : z ≡ 1 [MOD m]
⊢ ↑z = ↑x

pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : DirichletCharacter R m
h : (changeLevel ⋯) χ = (changeLevel ⋯) ψ
x : (ZMod n)ˣ
hx : x ∈ (ZMod.unitsMap ⋯).ker
this : (↑x).val ≡ 1 [MOD n.gcd m]
z : ℕ
hz₁ : z ≡ (↑x).val [MOD n]
hz₂ : z ≡ 1 [MOD m]
⊢ ↑z = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : DirichletCharacter R m
h : (changeLevel ⋯) χ = (changeLevel ⋯) ψ
x : (ZMod n)ˣ
hx : x ∈ (ZMod.unitsMap ⋯).ker
this : (↑x).val ≡ 1 [MOD n.gcd m]
z : ℕ
hz₁ : z ≡ (↑x).val [MOD n]
hz₂ : z ≡ 1 [MOD m]
⊢ ↑z = ↑x
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : R
ha : IsUnit a
⊢ (χ ^ n) a = χ a ^ n

pp: case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : R
ha : ¬IsUnit a
⊢ (χ ^ n) a = χ a ^ n

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : R
ha : IsUnit a
⊢ (χ ^ n) a = χ a ^ n
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Basic

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : R
ha : ¬IsUnit a
⊢ (χ ^ n) a = χ a ^ n

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : R
ha : ¬IsUnit a
⊢ (χ ^ n) a = χ a ^ n
Module: Mathlib.NumberTheory.DirichletCharacter.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : DirichletCharacter R m
h : (changeLevel ⋯) χ = (changeLevel ⋯) ψ
x : (ZMod n)ˣ
hx : x ∈ (ZMod.unitsMap ⋯).ker
this : (↑x).val ≡ 1 [MOD n.gcd m]
z : ℕ
hz₁ : z ≡ (↑x).val [MOD n]
hz₂ : z ≡ 1 [MOD m]
⊢ ↑z = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : DirichletCharacter R m
h : (changeLevel ⋯) χ = (changeLevel ⋯) ψ
x : (ZMod n)ˣ
hx : x ∈ (ZMod.unitsMap ⋯).ker
this : (↑x).val ≡ 1 [MOD n.gcd m]
z : ℕ
hz₁ : z ≡ (↑x).val [MOD n]
hz₂ : z ≡ 1 [MOD m]
⊢ ↑z = 1
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Lemmas

Goal state before:
pp: case h.refine_2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h✝ : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
h' : ζ' ^ Fintype.card Fˣ = 1
m : ℕ
hm : m < n
hm₀ : 0 < m
h : ⟨ζ', ⋯⟩ ^ m = 1
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case h.refine_2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h✝ : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
h' : ζ' ^ Fintype.card Fˣ = 1
m : ℕ
hm : m < n
hm₀ : 0 < m
h : ⟨ζ', ⋯⟩ ^ m = 1
⊢ False
Module: Mathlib.NumberTheory.DirichletCharacter.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : DirichletCharacter R m
h : (changeLevel ⋯) χ = (changeLevel ⋯) ψ
x : (ZMod n)ˣ
hx : x ∈ (ZMod.unitsMap ⋯).ker
z : ℕ
hz₁ : ↑z = ↑x
hz₂ : ↑z = 1
⊢ z.Coprime n

pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : DirichletCharacter R m
h : (changeLevel ⋯) χ = (changeLevel ⋯) ψ
x : (ZMod n)ˣ
hx : x ∈ (ZMod.unitsMap ⋯).ker
z : ℕ
hz₁ : ↑z = ↑x
hz₂ : ↑z = 1
⊢ z.Coprime m

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : DirichletCharacter R m
h : (changeLevel ⋯) χ = (changeLevel ⋯) ψ
x : (ZMod n)ˣ
hx : x ∈ (ZMod.unitsMap ⋯).ker
z : ℕ
hz₁ : ↑z = ↑x
hz₂ : ↑z = 1
⊢ z.Coprime n
Module: Mathlib.NumberTheory.DirichletCharacter.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : DirichletCharacter R m
h : (changeLevel ⋯) χ = (changeLevel ⋯) ψ
x : (ZMod n)ˣ
hx : x ∈ (ZMod.unitsMap ⋯).ker
z : ℕ
hz₁ : ↑z = ↑x
hz₂ : ↑z = 1
⊢ z.Coprime m

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : DirichletCharacter R m
h : (changeLevel ⋯) χ = (changeLevel ⋯) ψ
x : (ZMod n)ˣ
hx : x ∈ (ZMod.unitsMap ⋯).ker
z : ℕ
hz₁ : ↑z = ↑x
hz₂ : ↑z = 1
⊢ z.Coprime m
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Basic

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_4
inst✝¹ : CommGroupWithZero R
R' : Type u_5
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
a : Rˣ
m : ℕ
⊢ (χ ^ ↑m) ↑a = χ ↑(a ^ ↑m)

pp: case inr
R : Type u_4
inst✝¹ : CommGroupWithZero R
R' : Type u_5
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
a : Rˣ
m : ℕ
⊢ (χ ^ (-↑m)) ↑a = χ ↑(a ^ (-↑m))

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_4
inst✝¹ : CommGroupWithZero R
R' : Type u_5
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
a : Rˣ
m : ℕ
⊢ (χ ^ ↑m) ↑a = χ ↑(a ^ ↑m)
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Basic

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_4
inst✝¹ : CommGroupWithZero R
R' : Type u_5
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
a : Rˣ
m : ℕ
⊢ (χ ^ (-↑m)) ↑a = χ ↑(a ^ (-↑m))

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
R : Type u_4
inst✝¹ : CommGroupWithZero R
R' : Type u_5
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
a : Rˣ
m : ℕ
⊢ (χ ^ (-↑m)) ↑a = χ ↑(a ^ (-↑m))
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Finite F
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
⊢ χ 0 ∈ ℤ[μ]

pp: case inr
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Finite F
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
a : F
h : a ≠ 0
⊢ χ a ∈ ℤ[μ]

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Finite F
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
⊢ χ 0 ∈ ℤ[μ]
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Finite F
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
a : F
h : a ≠ 0
⊢ χ a ∈ ℤ[μ]

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Finite F
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
a : F
h : a ≠ 0
⊢ χ a ∈ ℤ[μ]
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Basic

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₀ : χ ↑x = 0
⊢ (χ ↑x)⁻¹ʳ = χ ↑x

pp: case inr.inl
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₁ : χ ↑x = 1
⊢ (χ ↑x)⁻¹ʳ = χ ↑x

pp: case inr.inr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₂ : χ ↑x = -1
⊢ (χ ↑x)⁻¹ʳ = χ ↑x

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₀ : χ ↑x = 0
⊢ (χ ↑x)⁻¹ʳ = χ ↑x
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inl
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₁ : χ ↑x = 1
⊢ (χ ↑x)⁻¹ʳ = χ ↑x

pp: case inr.inr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₂ : χ ↑x = -1
⊢ (χ ↑x)⁻¹ʳ = χ ↑x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₁ : χ ↑x = 1
⊢ (χ ↑x)⁻¹ʳ = χ ↑x
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₂ : χ ↑x = -1
⊢ (χ ↑x)⁻¹ʳ = χ ↑x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
x : Rˣ
h₂ : χ ↑x = -1
⊢ (χ ↑x)⁻¹ʳ = χ ↑x
Module: Mathlib.NumberTheory.DirichletCharacter.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
⊢ χ.conductor = 0 → n = 0

pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
⊢ n = 0 → χ.conductor = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
⊢ χ.conductor = 0 → n = 0
Module: Mathlib.NumberTheory.DirichletCharacter.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
⊢ n = 0 → χ.conductor = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
⊢ n = 0 → χ.conductor = 0
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Basic

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
hx : χ ↑x = 0
⊢ 0 ^ p = 0

pp: case inr.inl
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
hx : χ ↑x = 1
⊢ 1 ^ p = 1

pp: case inr.inr
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
hx : χ ↑x = -1
⊢ (-1) ^ p = -1

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
hx : χ ↑x = 0
⊢ 0 ^ p = 0
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inl
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
hx : χ ↑x = 1
⊢ 1 ^ p = 1

pp: case inr.inr
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
hx : χ ↑x = -1
⊢ (-1) ^ p = -1

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
hx : χ ↑x = 1
⊢ 1 ^ p = 1
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
hx : χ ↑x = -1
⊢ (-1) ^ p = -1

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
hx : χ ↑x = -1
⊢ (-1) ^ p = -1
Module: Mathlib.NumberTheory.DirichletCharacter.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
h : χ.conductor = 0
⊢ χ.primitiveCharacter.IsPrimitive

pp: case neg
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
h : ¬χ.conductor = 0
⊢ χ.primitiveCharacter.IsPrimitive

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
h : χ.conductor = 0
⊢ χ.primitiveCharacter.IsPrimitive
Module: Mathlib.NumberTheory.DirichletCharacter.Basic

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
h : ¬χ.conductor = 0
⊢ χ.primitiveCharacter.IsPrimitive

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
h : ¬χ.conductor = 0
⊢ χ.primitiveCharacter.IsPrimitive
Module: Mathlib.NumberTheory.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: n : ℕ
inst✝⁴ : NeZero n
A : Type u
B : Type v
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsDomain B
C : Subalgebra A B
ζ : B
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ C = adjoin A {x | ∃ n_1 ∈ {n}, n_1 ≠ 0 ∧ x ^ n_1 = 1} ↔ C = A[ζ]

pp: case hS
n : ℕ
inst✝⁴ : NeZero n
A : Type u
B : Type v
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsDomain B
C : Subalgebra A B
ζ : B
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∀ n_1 ∈ {n}, n_1 ≠ 0 → ∃ r, IsPrimitiveRoot r n_1

Tactic:
·

Goal state after:
n : ℕ
inst✝⁴ : NeZero n
A : Type u
B : Type v
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsDomain B
C : Subalgebra A B
ζ : B
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ C = adjoin A {x | ∃ n_1 ∈ {n}, n_1 ≠ 0 ∧ x ^ n_1 = 1} ↔ C = A[ζ]
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
M : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
χ : MulChar M R
h : χ.IsQuadratic
x : Mˣ
⊢ (χ ^ 2) ↑x = 1 ↑x

pp: case refine_2
M : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
χ : MulChar M R
h : χ ^ 2 = 1
x : M
⊢ χ x = 0 ∨ χ x = 1 ∨ χ x = -1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
M : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
χ : MulChar M R
h : χ.IsQuadratic
x : Mˣ
⊢ (χ ^ 2) ↑x = 1 ↑x
Module: Mathlib.NumberTheory.MulChar.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1.inl
M : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
χ : MulChar M R
h : χ.IsQuadratic
x : Mˣ
H : χ ↑x = 0
⊢ χ ↑x ^ 2 = 1

pp: case refine_1.inr.inl
M : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
χ : MulChar M R
h : χ.IsQuadratic
x : Mˣ
H : χ ↑x = 1
⊢ χ ↑x ^ 2 = 1

pp: case refine_1.inr.inr
M : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
χ : MulChar M R
h : χ.IsQuadratic
x : Mˣ
H : χ ↑x = -1
⊢ χ ↑x ^ 2 = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.inl
M : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
χ : MulChar M R
h : χ.IsQuadratic
x : Mˣ
H : χ ↑x = 0
⊢ χ ↑x ^ 2 = 1