mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type uE
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝³ : IsManifold I ∞ M
n : ℕ∞
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed[inst✝⁶] s
ht : IsClosed[inst✝⁶] t
hd : Disjoint s t
u : Set M
u_op : IsOpen[inst✝⁶] u
hsu : s ⊆ u
hut : closure[inst✝⁶] u ⊆ tᶜ
v : Set M
v_op : IsOpen[inst✝⁶] v
htv : t ⊆ v
hvu : closure[inst✝⁶] v ⊆ (closure[inst✝⁶] u)ᶜ
f : C^↑n⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯
hfu : EqOn (⇑f) 0 (closure[inst✝⁶] u)
hfv : EqOn (⇑f) 1 (closure[inst✝⁶] v)
hf : ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
⊢ ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ t, f x = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
E : Type uE
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝³ : IsManifold I ∞ M
n : ℕ∞
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed[inst✝⁶] s
ht : IsClosed[inst✝⁶] t
hd : Disjoint s t
u : Set M
u_op : IsOpen[inst✝⁶] u
hsu : s ⊆ u
hut : closure[inst✝⁶] u ⊆ tᶜ
v : Set M
v_op : IsOpen[inst✝⁶] v
htv : t ⊆ v
hvu : closure[inst✝⁶] v ⊆ (closure[inst✝⁶] u)ᶜ
f : C^↑n⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯
hfu : EqOn (⇑f) 0 (closure[inst✝⁶] u)
hfv : EqOn (⇑f) 1 (closure[inst✝⁶] v)
hf : ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
⊢ ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ t, f x = 1
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type uE
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝³ : IsManifold I ∞ M
n : ℕ∞
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed[inst✝⁶] s
ht : IsClosed[inst✝⁶] t
hd : Disjoint s t
u : Set M
u_op : IsOpen[inst✝⁶] u
hsu : s ⊆ u
hut : closure[inst✝⁶] u ⊆ tᶜ
v : Set M
v_op : IsOpen[inst✝⁶] v
htv : t ⊆ v
hvu : closure[inst✝⁶] v ⊆ (closure[inst✝⁶] u)ᶜ
f : C^↑n⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯
hfu : EqOn (⇑f) 0 (closure[inst✝⁶] u)
hfv : EqOn (⇑f) 1 (closure[inst✝⁶] v)
hf : ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
⊢ ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ t, f x = 1

Tactic:
exact eventually_of_mem (mem_of_superset (v_op.mem_nhdsSet.mpr htv) subset_closure) hfv

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : IsManifold I ∞ M
n : ℕ∞
s : Set M
j : ι
⊢ ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ ⇑((BumpCovering.single j s) j)

pp: case inr
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : IsManifold I ∞ M
n : ℕ∞
i : ι
s : Set M
j : ι
h : j ≠ i
⊢ ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ ⇑((BumpCovering.single i s) j)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : IsManifold I ∞ M
n : ℕ∞
s : Set M
j : ι
⊢ ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ ⇑((BumpCovering.single j s) j)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : IsManifold I ∞ M
n : ℕ∞
i : ι
s : Set M
j : ι
h : j ≠ i
⊢ ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ ⇑((BumpCovering.single i s) j)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : IsManifold I ∞ M
n : ℕ∞
i : ι
s : Set M
j : ι
h : j ≠ i
⊢ ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ ⇑((BumpCovering.single i s) j)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed[inst✝⁵] s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen[inst✝⁵] (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝¹ : LocallyCompactSpace H
this✝ : LocallyCompactSpace M
this : ∃ f, (∀ (i : ι), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U

pp: case refine_1
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed[inst✝⁵] s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen[inst✝⁵] (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
⊢ ∀ (s t : Set M),
    IsClosed[inst✝⁵] s →
      IsClosed[inst✝⁵] t →
        Disjoint s t → ∃ f, ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed[inst✝⁵] s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen[inst✝⁵] (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝¹ : LocallyCompactSpace H
this✝ : LocallyCompactSpace M
this : ∃ f, (∀ (i : ι), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed[inst✝⁵] s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen[inst✝⁵] (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
⊢ ∀ (s t : Set M),
    IsClosed[inst✝⁵] s →
      IsClosed[inst✝⁵] t →
        Disjoint s t → ∃ f, ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed[inst✝⁵] s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen[inst✝⁵] (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
⊢ ∀ (s t : Set M),
    IsClosed[inst✝⁵] s →
      IsClosed[inst✝⁵] t →
        Disjoint s t → ∃ f, ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : IsManifold I ∞ M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this✝² : LocallyCompactSpace H
this✝¹ : LocallyCompactSpace M
this✝ : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x✝ : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun n ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : ℕ → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun x ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fun x ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
n : ℕ
x : M
hxK : x ∉ K
⊢ ‖g n x‖ * ‖f x‖ ≤ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : IsManifold I ∞ M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this✝² : LocallyCompactSpace H
this✝¹ : LocallyCompactSpace M
this✝ : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x✝ : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun n ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : ℕ → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun x ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fun x ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
n : ℕ
x : M
hxK : x ∉ K
⊢ ‖g n x‖ * ‖f x‖ ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff

Goal state before:
pp: case neg
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : IsManifold I ∞ M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this✝² : LocallyCompactSpace H
this✝¹ : LocallyCompactSpace M
this✝ : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x✝ : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun n ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : ℕ → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun x ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fun x ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
C : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : M) ∂μ, ‖g n x • f x‖ ≤ bound x
x : M
hxs : x ∉ s
⊢ Tendsto (fun n ↦ g n x • f x) atTop (𝓝 (s.indicator f x))

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : IsManifold I ∞ M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this✝² : LocallyCompactSpace H
this✝¹ : LocallyCompactSpace M
this✝ : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x✝ : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun n ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : ℕ → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun x ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fun x ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
C : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : M) ∂μ, ‖g n x • f x‖ ≤ bound x
x : M
hxs : x ∉ s
⊢ Tendsto (fun n ↦ g n x • f x) atTop (𝓝 (s.indicator f x))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case refine_1
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen[inst✝¹] s
h's : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (↑I.symm ⁻¹' s)
f : E → ℝ
f_supp : support f = ↑I.symm ⁻¹' s
f_diff : ContDiff ℝ (↑?m.76) f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
⊢ support (f ∘ ↑I) = s

pp: case refine_2
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen[inst✝¹] s
h's : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (↑I.symm ⁻¹' s)
f : E → ℝ
f_supp : support f = ↑I.symm ⁻¹' s
f_diff : ContDiff ℝ (↑?m.76) f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
⊢ ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) (f ∘ ↑I)

pp: case refine_3
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen[inst✝¹] s
h's : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (↑I.symm ⁻¹' s)
f : E → ℝ
f_supp : support f = ↑I.symm ⁻¹' s
f_diff : ContDiff ℝ (↑?m.76) f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
⊢ range (f ∘ ↑I) ⊆ Icc 0 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen[inst✝¹] s
h's : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (↑I.symm ⁻¹' s)
f : E → ℝ
f_supp : support f = ↑I.symm ⁻¹' s
f_diff : ContDiff ℝ (↑?m.76) f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
⊢ support (f ∘ ↑I) = s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Disintegration

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this : FiniteDimensional 𝕜 E
hE : Subsingleton E
⊢ ProperSpace F

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this : FiniteDimensional 𝕜 E
hE : Nontrivial E
⊢ ProperSpace F

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this : FiniteDimensional 𝕜 E
hE : Subsingleton E
⊢ ProperSpace F
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Disintegration

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this : FiniteDimensional 𝕜 E
hE : Nontrivial E
⊢ ProperSpace F

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this : FiniteDimensional 𝕜 E
hE : Nontrivial E
⊢ ProperSpace F
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen[inst✝¹] s
h's : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (↑I.symm ⁻¹' s)
f : E → ℝ
f_supp : support f = ↑I.symm ⁻¹' s
f_diff : ContDiff ℝ (↑?m.76) f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
⊢ ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) (f ∘ ↑I)

pp: case refine_3
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen[inst✝¹] s
h's : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (↑I.symm ⁻¹' s)
f : E → ℝ
f_supp : support f = ↑I.symm ⁻¹' s
f_diff : ContDiff ℝ (↑?m.76) f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
⊢ range (f ∘ ↑I) ⊆ Icc 0 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen[inst✝¹] s
h's : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (↑I.symm ⁻¹' s)
f : E → ℝ
f_supp : support f = ↑I.symm ⁻¹' s
f_diff : ContDiff ℝ (↑?m.76) f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
⊢ ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) (f ∘ ↑I)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case refine_3
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen[inst✝¹] s
h's : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (↑I.symm ⁻¹' s)
f : E → ℝ
f_supp : support f = ↑I.symm ⁻¹' s
f_diff : ContDiff ℝ (↑n) f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
⊢ range (f ∘ ↑I) ⊆ Icc 0 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen[inst✝¹] s
h's : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (↑I.symm ⁻¹' s)
f : E → ℝ
f_supp : support f = ↑I.symm ⁻¹' s
f_diff : ContDiff ℝ (↑n) f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
⊢ range (f ∘ ↑I) ⊆ Icc 0 1
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case refine_1.refine_1
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate fun x ↦ (chartAt H x).source
g : M → H → ℝ
g_supp : ∀ (c : M), support (g c) = (chartAt H c).target ∩ ↑(chartAt H c).symm ⁻¹' s
g_diff : ∀ (c : M), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) (g c)
hg : ∀ (c : M), range (g c) ⊆ Icc 0 1
h'g : ∀ (c : M) (x : H), 0 ≤ g c x
h''g : ∀ (c x : M), 0 ≤ (f c) x * g c (↑(chartAt H c) x)
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ∑ᶠ (c : M), (f c) x * g c (↑(chartAt H c) x) ≠ 0

pp: case refine_1.refine_2
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate fun x ↦ (chartAt H x).source
g : M → H → ℝ
g_supp : ∀ (c : M), support (g c) = (chartAt H c).target ∩ ↑(chartAt H c).symm ⁻¹' s
g_diff : ∀ (c : M), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) (g c)
hg : ∀ (c : M), range (g c) ⊆ Icc 0 1
h'g : ∀ (c : M) (x : H), 0 ≤ g c x
h''g : ∀ (c x : M), 0 ≤ (f c) x * g c (↑(chartAt H c) x)
x : M
hx : x ∉ s
⊢ ∑ᶠ (c : M), (f c) x * g c (↑(chartAt H c) x) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.refine_1
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate fun x ↦ (chartAt H x).source
g : M → H → ℝ
g_supp : ∀ (c : M), support (g c) = (chartAt H c).target ∩ ↑(chartAt H c).symm ⁻¹' s
g_diff : ∀ (c : M), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) (g c)
hg : ∀ (c : M), range (g c) ⊆ Icc 0 1
h'g : ∀ (c : M) (x : H), 0 ≤ g c x
h''g : ∀ (c x : M), 0 ≤ (f c) x * g c (↑(chartAt H c) x)
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ∑ᶠ (c : M), (f c) x * g c (↑(chartAt H c) x) ≠ 0