mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set A
⊢ adjoin S s ≤ adjoin S ↑(adjoin R s)

pp: R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set A
⊢ ↑(adjoin R s) ⊆ ↑(adjoin S s)

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set A
⊢ adjoin S s ≤ adjoin S ↑(adjoin R s)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Defs

Goal state before:
pp: case map_units
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ⋯
⊢ ∀ (y : ↥(Submonoid.map h M)), IsUnit ((algebraMap P S) ↑y)

pp: case surj
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ⋯
⊢ ∀ (z : S), ∃ x, z * (algebraMap P S) ↑x.2 = (algebraMap P S) x.1

pp: case exists_of_eq
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ⋯
⊢ ∀ {x y : P}, (algebraMap P S) x = (algebraMap P S) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y

Tactic:
·

Goal state after:
case map_units
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ⋯
⊢ ∀ (y : ↥(Submonoid.map h M)), IsUnit ((algebraMap P S) ↑y)
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set A
⊢ ↑(adjoin R s) ⊆ ↑(adjoin S s)

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set A
⊢ ↑(adjoin R s) ⊆ ↑(adjoin S s)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Defs

Goal state before:
pp: case surj
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ⋯
⊢ ∀ (z : S), ∃ x, z * (algebraMap P S) ↑x.2 = (algebraMap P S) x.1

pp: case exists_of_eq
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ⋯
⊢ ∀ {x y : P}, (algebraMap P S) x = (algebraMap P S) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y

Tactic:
·

Goal state after:
case surj
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ⋯
⊢ ∀ (z : S), ∃ x, z * (algebraMap P S) ↑x.2 = (algebraMap P S) x.1
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set A
⊢ adjoin R s ≤ Subalgebra.restrictScalars R (adjoin S s)

Tactic:
exact adjoin_le subset_adjoin

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Defs

Goal state before:
pp: case exists_of_eq
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ⋯
⊢ ∀ {x y : P}, (algebraMap P S) x = (algebraMap P S) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y

Tactic:
·

Goal state after:
case exists_of_eq
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ⋯
⊢ ∀ {x y : P}, (algebraMap P S) x = (algebraMap P S) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Defs

Goal state before:
pp: case e'_3
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
H : IsLocalization (Submonoid.map (↑h) M) S
⊢ M = Submonoid.map h.symm (Submonoid.map (↑h) M)

pp: case e'_6
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
H : IsLocalization (Submonoid.map (↑h) M) S
⊢ inst✝¹ = ((algebraMap P S).comp h.symm.symm.toRingHom).toAlgebra

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_3
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
H : IsLocalization (Submonoid.map (↑h) M) S
⊢ M = Submonoid.map h.symm (Submonoid.map (↑h) M)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Basic

Goal state before:
pp: case e'_3
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R
S₁ : Type u_4
S₂ : Type u_5
T : Type u_6
inst✝¹² : CommSemiring S₁
inst✝¹¹ : CommSemiring S₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring T
inst✝⁹ : Algebra R S₁
inst✝⁸ : Algebra R S₂
inst✝⁷ : Algebra R T
inst✝⁶ : Algebra S₁ T
inst✝⁵ : Algebra S₂ T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S₁ T
inst✝³ : IsScalarTower R S₂ T
M₁ M₂ : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization M₁ S₁
inst✝¹ : IsLocalization M₂ S₂
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S₂ M₁) T
a : T
y : S₂
m : R
hm : m ∈ ↑M₁
hy : a * (algebraMap S₁ T) ((algebraMap R S₁) m) = (algebraMap S₂ T) (y, ⟨(algebraMap R S₂) m, ⋯⟩).1
z n : R
hn : n ∈ M₂
hz : y * (algebraMap R S₂) ↑(z, ⟨n, hn⟩).2 = (algebraMap R S₂) (z, ⟨n, hn⟩).1
hunit : IsUnit ((algebraMap R S₁) m)
⊢ a * (algebraMap S₁ T) ((algebraMap R S₁) m) * (algebraMap S₂ T) ((algebraMap R S₂) ↑(z, ⟨n, hn⟩).2) *
      (algebraMap S₁ T) ↑hunit.unit⁻¹ =
    a * (algebraMap S₂ T) ((algebraMap R S₂) n) * (algebraMap S₁ T) ((algebraMap R S₁) m * ↑hunit.unit⁻¹)

pp: case h.convert_2
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R
S₁ : Type u_4
S₂ : Type u_5
T : Type u_6
inst✝¹² : CommSemiring S₁
inst✝¹¹ : CommSemiring S₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring T
inst✝⁹ : Algebra R S₁
inst✝⁸ : Algebra R S₂
inst✝⁷ : Algebra R T
inst✝⁶ : Algebra S₁ T
inst✝⁵ : Algebra S₂ T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S₁ T
inst✝³ : IsScalarTower R S₂ T
M₁ M₂ : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization M₁ S₁
inst✝¹ : IsLocalization M₂ S₂
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S₂ M₁) T
a : T
y : S₂
m : R
hm : m ∈ ↑M₁
hy : a * (algebraMap S₁ T) ((algebraMap R S₁) m) = (algebraMap S₂ T) (y, ⟨(algebraMap R S₂) m, ⋯⟩).1
z n : R
hn : n ∈ M₂
hz : y * (algebraMap R S₂) ↑(z, ⟨n, hn⟩).2 = (algebraMap R S₂) (z, ⟨n, hn⟩).1
hunit : IsUnit ((algebraMap R S₁) m)
⊢ a * (algebraMap S₂ T) ((algebraMap R S₂) n) =
    a * (algebraMap S₂ T) ((algebraMap R S₂) n) * (algebraMap S₁ T) ((algebraMap R S₁) m * ↑hunit.unit⁻¹)

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_3
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R
S₁ : Type u_4
S₂ : Type u_5
T : Type u_6
inst✝¹² : CommSemiring S₁
inst✝¹¹ : CommSemiring S₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring T
inst✝⁹ : Algebra R S₁
inst✝⁸ : Algebra R S₂
inst✝⁷ : Algebra R T
inst✝⁶ : Algebra S₁ T
inst✝⁵ : Algebra S₂ T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S₁ T
inst✝³ : IsScalarTower R S₂ T
M₁ M₂ : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization M₁ S₁
inst✝¹ : IsLocalization M₂ S₂
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S₂ M₁) T
a : T
y : S₂
m : R
hm : m ∈ ↑M₁
hy : a * (algebraMap S₁ T) ((algebraMap R S₁) m) = (algebraMap S₂ T) (y, ⟨(algebraMap R S₂) m, ⋯⟩).1
z n : R
hn : n ∈ M₂
hz : y * (algebraMap R S₂) ↑(z, ⟨n, hn⟩).2 = (algebraMap R S₂) (z, ⟨n, hn⟩).1
hunit : IsUnit ((algebraMap R S₁) m)
⊢ a * (algebraMap S₁ T) ((algebraMap R S₁) m) * (algebraMap S₂ T) ((algebraMap R S₂) ↑(z, ⟨n, hn⟩).2) *
      (algebraMap S₁ T) ↑hunit.unit⁻¹ =
    a * (algebraMap S₂ T) ((algebraMap R S₂) n) * (algebraMap S₁ T) ((algebraMap R S₁) m * ↑hunit.unit⁻¹)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Defs

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
h : (algebraMap R S) x = 0
⊢ x = 0

pp: case mpr
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
h : x = 0
⊢ (algebraMap R S) x = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
h : (algebraMap R S) x = 0
⊢ x = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Defs

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
h : x = 0
⊢ (algebraMap R S) x = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
h : x = 0
⊢ (algebraMap R S) x = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_8
S : Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra R S
h : IsFractionRing R S
left✝ : Nontrivial R
right✝ : Subsingleton S
⊢ False

pp: case inr
R : Type u_8
S : Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra R S
h : IsFractionRing R S
left✝ : Subsingleton R
right✝ : Nontrivial S
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_8
S : Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra R S
h : IsFractionRing R S
left✝ : Nontrivial R
right✝ : Subsingleton S
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.FractionRing

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_8
S : Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra R S
h : IsFractionRing R S
left✝ : Subsingleton R
right✝ : Nontrivial S
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
R : Type u_8
S : Type u_9
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra R S
h : IsFractionRing R S
left✝ : Subsingleton R
right✝ : Nontrivial S
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝²² : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝²¹ : CommSemiring S
inst✝²⁰ : Algebra R S
Rₘ : Type u_4
Sₙ : Type u_5
Rₘ' : Type u_6
Sₙ' : Type u_7
inst✝¹⁹ : CommSemiring Rₘ
inst✝¹⁸ : CommSemiring Sₙ
inst✝¹⁷ : CommSemiring Rₘ'
inst✝¹⁶ : CommSemiring Sₙ'
inst✝¹⁵ : Algebra R Rₘ
inst✝¹⁴ : Algebra S Sₙ
inst✝¹³ : Algebra R Rₘ'
inst✝¹² : Algebra S Sₙ'
inst✝¹¹ : Algebra R Sₙ
inst✝¹⁰ : Algebra Rₘ Sₙ
inst✝⁹ : Algebra Rₘ' Sₙ'
inst✝⁸ : Algebra R Sₙ'
N : Submonoid S
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization N Sₙ
inst✝⁵ : IsLocalization M Rₘ'
inst✝⁴ : IsLocalization N Sₙ'
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₙ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₙ
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₘ' Sₙ'
inst✝ : IsScalarTower R S Sₙ'
x : Rₘ
⊢ ((↑(algEquiv N Sₙ Sₙ')).comp (algebraMap Rₘ Sₙ)) x = ((algebraMap Rₘ' Sₙ').comp ↑(algEquiv M Rₘ Rₘ')) x

Tactic:
rw [algEquiv_comp_algebraMap M Rₘ Sₙ Rₘ']

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Finite

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Nontrivial M
n : ℕ
f : Fin n → M
hf : Submodule.span R (Set.range f) = ⊤
s : Set ℕ := {m | Submodule.span R (f '' Fin.val ⁻¹' Set.Iio m) ≠ ⊤}
hns : ∀ x ∈ s, x < n
hs₁ : s.Nonempty
hs₂ : BddAbove s
hs : sSup s ∈ s
⊢ ⊤ = R ∙ (Submodule.span R (f '' Fin.val ⁻¹' Set.Iio (sSup s))).mkQ (f ⟨sSup s, ⋯⟩)

Tactic:
have := not_not.mp (notMem_of_csSup_lt (Order.lt_succ _) hs₂)

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Nontrivial M
n : ℕ
f : Fin n → M
hf : Submodule.span R (Set.range f) = ⊤
s : Set ℕ := {m | Submodule.span R (f '' Fin.val ⁻¹' Set.Iio m) ≠ ⊤}
hns : ∀ x ∈ s, x < n
hs₁ : s.Nonempty
hs₂ : BddAbove s
hs : sSup s ∈ s
this : Submodule.span R (f '' Fin.val ⁻¹' Set.Iio (Order.succ (sSup s))) = ⊤
⊢ ⊤ = R ∙ (Submodule.span R (f '' Fin.val ⁻¹' Set.Iio (sSup s))).mkQ (f ⟨sSup s, ⋯⟩)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Epi

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Module.Finite R A
h✝ : Algebra.IsEpi R A
R' : Submodule R A := (Algebra.linearMap R A).range
h : Subsingleton (A ⧸ R')
⊢ Surjective ⇑(algebraMap R A)

pp: case inr
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Module.Finite R A
h : Algebra.IsEpi R A
R' : Submodule R A := (Algebra.linearMap R A).range
h✝ : Nontrivial (A ⧸ R')
⊢ Surjective ⇑(algebraMap R A)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Module.Finite R A
h✝ : Algebra.IsEpi R A
R' : Submodule R A := (Algebra.linearMap R A).range
h : Subsingleton (A ⧸ R')
⊢ Surjective ⇑(algebraMap R A)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Epi

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Module.Finite R A
h : Algebra.IsEpi R A
R' : Submodule R A := ⋯
h✝ : Nontrivial (A ⧸ R')
x y : A
⊢ 1 ⊗ₜ[R] (x * y) = x ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] y

pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Module.Finite R A
h : Algebra.IsEpi R A
R' : Submodule R A := ⋯
h✝ : Nontrivial (A ⧸ R')
x y : A
⊢ x ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] y = x ⊗ₜ[R] y

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Module.Finite R A
h : Algebra.IsEpi R A
R' : Submodule R A := ⋯
h✝ : Nontrivial (A ⧸ R')
x y : A
⊢ 1 ⊗ₜ[R] (x * y) = x ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] y
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Epi

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Module.Finite R A
h : Algebra.IsEpi R A
R' : Submodule R A := ⋯
h✝ : Nontrivial (A ⧸ R')
x y : A
⊢ x ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] y = x ⊗ₜ[R] y

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Module.Finite R A
h : Algebra.IsEpi R A
R' : Submodule R A := ⋯
h✝ : Nontrivial (A ⧸ R')
x y : A
⊢ x ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] y = x ⊗ₜ[R] y
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Finite

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
S' : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Algebra R S'
f : S →ₐ[R] S'
Hf : f.Finite
this✝¹ : Algebra S S' := f.toAlgebra
this✝ : IsScalarTower R S S'
this : Module.Finite S S'
⊢ Algebra.TensorProduct.map (Algebra.ofId S S') (AlgHom.id R T) =
    (↑((Algebra.TensorProduct.comm S (TensorProduct R S T) S').trans
            (Algebra.TensorProduct.cancelBaseChange R S S S' T))).comp
      Algebra.TensorProduct.includeLeft

pp: R : Type u_1
S : Type u_2
S' : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Algebra R S'
f : S →ₐ[R] S'
Hf : f.Finite
this✝¹ : Algebra S S' := f.toAlgebra
this✝ : IsScalarTower R S S'
this : Module.Finite S S'
⊢ ((↑((Algebra.TensorProduct.comm S (TensorProduct R S T) S').trans
            (Algebra.TensorProduct.cancelBaseChange R S S S' T))).comp
      Algebra.TensorProduct.includeLeft).Finite

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
S' : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : Algebra R S'
f : S →ₐ[R] S'
Hf : f.Finite
this✝¹ : Algebra S S' := f.toAlgebra
this✝ : IsScalarTower R S S'
this : Module.Finite S S'
⊢ Algebra.TensorProduct.map (Algebra.ofId S S') (AlgHom.id R T) =
    (↑((Algebra.TensorProduct.comm S (TensorProduct R S T) S').trans
            (Algebra.TensorProduct.cancelBaseChange R S S S' T))).comp
      Algebra.TensorProduct.includeLeft
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
⊢ (liftBaseChange A l).range ≤ Submodule.span A ↑l.range

pp: case a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
⊢ Submodule.span A ↑l.range ≤ (liftBaseChange A l).range

Tactic:
·

Goal state after:
case a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
⊢ (liftBaseChange A l).range ≤ Submodule.span A ↑l.range
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
x : A ⊗[R] M
⊢ (liftBaseChange A l) x ∈ Submodule.span A ↑l.range

Tactic:
induction x using TensorProduct.induction_on

Goal state after:
case a.zero
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
⊢ (liftBaseChange A l) 0 ∈ Submodule.span A ↑l.range

case a.tmul
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
x✝ : A
y✝ : M
⊢ (liftBaseChange A l) (x✝ ⊗ₜ[R] y✝) ∈ Submodule.span A ↑l.range

case a.add
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
x✝ y✝ : A ⊗[R] M
a✝¹ : (liftBaseChange A l) x✝ ∈ Submodule.span A ↑l.range
a✝ : (liftBaseChange A l) y✝ ∈ Submodule.span A ↑l.range
⊢ (liftBaseChange A l) (x✝ + y✝) ∈ Submodule.span A ↑l.range
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: case a.zero
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
⊢ (liftBaseChange A l) 0 ∈ Submodule.span A ↑l.range

pp: case a.tmul
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
x✝ : A
y✝ : M
⊢ (liftBaseChange A l) (x✝ ⊗ₜ[R] y✝) ∈ Submodule.span A ↑l.range

pp: case a.add
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
x✝ y✝ : A ⊗[R] M
a✝¹ : (liftBaseChange A l) x✝ ∈ Submodule.span A ↑l.range
a✝ : (liftBaseChange A l) y✝ ∈ Submodule.span A ↑l.range
⊢ (liftBaseChange A l) (x✝ + y✝) ∈ Submodule.span A ↑l.range

Tactic:
·

Goal state after:
case a.zero
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
⊢ (liftBaseChange A l) 0 ∈ Submodule.span A ↑l.range
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: case a.tmul
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
x✝ : A
y✝ : M
⊢ (liftBaseChange A l) (x✝ ⊗ₜ[R] y✝) ∈ Submodule.span A ↑l.range

pp: case a.add
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
x✝ y✝ : A ⊗[R] M
a✝¹ : (liftBaseChange A l) x✝ ∈ Submodule.span A ↑l.range
a✝ : (liftBaseChange A l) y✝ ∈ Submodule.span A ↑l.range
⊢ (liftBaseChange A l) (x✝ + y✝) ∈ Submodule.span A ↑l.range

Tactic:
·

Goal state after:
case a.tmul
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
x✝ : A
y✝ : M
⊢ (liftBaseChange A l) (x✝ ⊗ₜ[R] y✝) ∈ Submodule.span A ↑l.range
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: case a.add
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
x✝ y✝ : A ⊗[R] M
a✝¹ : (liftBaseChange A l) x✝ ∈ Submodule.span A ↑l.range
a✝ : (liftBaseChange A l) y✝ ∈ Submodule.span A ↑l.range
⊢ (liftBaseChange A l) (x✝ + y✝) ∈ Submodule.span A ↑l.range

Tactic:
·

Goal state after:
case a.add
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
x✝ y✝ : A ⊗[R] M
a✝¹ : (liftBaseChange A l) x✝ ∈ Submodule.span A ↑l.range
a✝ : (liftBaseChange A l) y✝ ∈ Submodule.span A ↑l.range
⊢ (liftBaseChange A l) (x✝ + y✝) ∈ Submodule.span A ↑l.range