mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Defs

Goal state before:
pp: case mp.zero
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : Norm E
inst✝ : Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
H : f =o[l] g
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ↑0 * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖

pp: case mp.succ
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : Norm E
inst✝ : Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
H : f =o[l] g
n : ℕ
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ↑(n + 1) * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.zero
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : Norm E
inst✝ : Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
H : f =o[l] g
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ↑0 * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Defs

Goal state before:
pp: case mp.succ
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : Norm E
inst✝ : Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
H : f =o[l] g
n : ℕ
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ↑(n + 1) * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.succ
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : Norm E
inst✝ : Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
H : f =o[l] g
n : ℕ
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ↑(n + 1) * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Defs

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : Norm E
inst✝ : Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
⊢ (∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (x : α) in l, ↑n * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖) → f =o[l] g

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : Norm E
inst✝ : Norm F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
h₀ : (∀ (x : α), 0 ≤ ‖f x‖) ∨ ∀ (x : α), 0 ≤ ‖g x‖
⊢ (∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (x : α) in l, ↑n * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖) → f =o[l] g
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Defs

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
inst✝² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F''
c : E''
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
⊢ ((fun _x ↦ c) =O[l] fun _x ↦ 0) ↔ 0 = 0 → c = 0

pp: case inr
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
inst✝² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F''
c : E''
c' : F''
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
hc' : c' ≠ 0
⊢ ((fun _x ↦ c) =O[l] fun _x ↦ c') ↔ c' = 0 → c = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
inst✝² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F''
c : E''
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
⊢ ((fun _x ↦ c) =O[l] fun _x ↦ 0) ↔ 0 = 0 → c = 0
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Defs

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
inst✝² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F''
c : E''
c' : F''
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
hc' : c' ≠ 0
⊢ ((fun _x ↦ c) =O[l] fun _x ↦ c') ↔ c' = 0 → c = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
inst✝² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F''
c : E''
c' : F''
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
hc' : c' ≠ 0
⊢ ((fun _x ↦ c) =O[l] fun _x ↦ c') ↔ c' = 0 → c = 0
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
F' : Type u_7
E'' : Type u_9
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedAddCommGroup E''
g' : α → F'
f'' : α → E''
s : Set α
h : f'' =o[𝓟 s] g'
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ‖f'' x‖ ≤ 0

pp: case refine_2
α : Type u_1
F' : Type u_7
E'' : Type u_9
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedAddCommGroup E''
g' : α → F'
f'' : α → E''
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, f'' x = 0
⊢ f'' =o[𝓟 s] g'

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
F' : Type u_7
E'' : Type u_9
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedAddCommGroup E''
g' : α → F'
f'' : α → E''
s : Set α
h : f'' =o[𝓟 s] g'
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ‖f'' x‖ ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
F' : Type u_7
E'' : Type u_9
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedAddCommGroup E''
g' : α → F'
f'' : α → E''
s : Set α
h : f'' =o[𝓟 s] g'
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ‖f'' x‖ ≤ 0

pp: case refine_2
α : Type u_1
F' : Type u_7
E'' : Type u_9
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedAddCommGroup E''
g' : α → F'
f'' : α → E''
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, f'' x = 0
⊢ f'' =o[𝓟 s] g'

Tactic:
· simp only [isLittleO_iff] at h
    have : Tendsto (fun c : ℝ => c * ‖g' x‖) (𝓝[>] 0) (𝓝 0) :=
      ((continuous_id.mul continuous_const).tendsto' _ _ (zero_mul _)).mono_left
        inf_le_left
    apply le_of_tendsto_of_tendsto tendsto_const_nhds this
    apply eventually_nhdsWithin_iff.2 (Eventually.of_forall (fun c hc ↦ ?_))
    exact eventually_principal.1 (h hc) x hx

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
F' : Type u_7
E'' : Type u_9
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedAddCommGroup E''
g' : α → F'
f'' : α → E''
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, f'' x = 0
⊢ f'' =o[𝓟 s] g'
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
F' : Type u_7
E'' : Type u_9
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedAddCommGroup E''
g' : α → F'
f'' : α → E''
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, f'' x = 0
⊢ f'' =o[𝓟 s] g'

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
F' : Type u_7
E'' : Type u_9
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedAddCommGroup E''
g' : α → F'
f'' : α → E''
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, f'' x = 0
⊢ f'' =o[𝓟 s] g'
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : Norm E
inst✝³ : Norm F
f : α → E
inst✝² : One F
inst✝¹ : NormOneClass F
inst✝ : TopologicalSpace α
c : ℝ
b : α
hc : ∀ᶠ (a : α) in 𝓝[≠] b, ‖f a‖ ≤ c
hb : b ∈ {b}ᶜ → ‖f b‖ ≤ c
⊢ ‖f b‖ ≤ max c ‖f b‖

pp: case inr
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : Norm E
inst✝³ : Norm F
f : α → E
inst✝² : One F
inst✝¹ : NormOneClass F
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
c : ℝ
hc : ∀ᶠ (a : α) in 𝓝[≠] a, ‖f a‖ ≤ c
b : α
hb : b ∈ {a}ᶜ → ‖f b‖ ≤ c
hb' : b ≠ a
⊢ ‖f b‖ ≤ max c ‖f a‖

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : Norm E
inst✝³ : Norm F
f : α → E
inst✝² : One F
inst✝¹ : NormOneClass F
inst✝ : TopologicalSpace α
c : ℝ
b : α
hc : ∀ᶠ (a : α) in 𝓝[≠] b, ‖f a‖ ≤ c
hb : b ∈ {b}ᶜ → ‖f b‖ ≤ c
⊢ ‖f b‖ ≤ max c ‖f b‖
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : Norm E
inst✝³ : Norm F
f : α → E
inst✝² : One F
inst✝¹ : NormOneClass F
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
c : ℝ
hc : ∀ᶠ (a : α) in 𝓝[≠] a, ‖f a‖ ≤ c
b : α
hb : b ∈ {a}ᶜ → ‖f b‖ ≤ c
hb' : b ≠ a
⊢ ‖f b‖ ≤ max c ‖f a‖

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : Norm E
inst✝³ : Norm F
f : α → E
inst✝² : One F
inst✝¹ : NormOneClass F
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
c : ℝ
hc : ∀ᶠ (a : α) in 𝓝[≠] a, ‖f a‖ ≤ c
b : α
hb : b ∈ {a}ᶜ → ‖f b‖ ≤ c
hb' : b ≠ a
⊢ ‖f b‖ ≤ max c ‖f a‖
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Defs

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c : ℝ
l : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : IsBigOWith c l f g
h₀✝ : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → g x = 0
x : α
h₀ : f x = 0 → g x = 0
hle : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
hx : f x = 0
⊢ ‖(g x)⁻¹‖ ≤ c * ‖(f x)⁻¹‖

pp: case inr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c : ℝ
l : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : IsBigOWith c l f g
h₀✝ : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → g x = 0
x : α
h₀ : f x = 0 → g x = 0
hle : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
hx : f x ≠ 0
⊢ ‖(g x)⁻¹‖ ≤ c * ‖(f x)⁻¹‖

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c : ℝ
l : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : IsBigOWith c l f g
h₀✝ : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → g x = 0
x : α
h₀ : f x = 0 → g x = 0
hle : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
hx : f x = 0
⊢ ‖(g x)⁻¹‖ ≤ c * ‖(f x)⁻¹‖
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
E' : Type u_6
E'' : Type u_9
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedAddCommGroup E''
f' : α → E'
l : Filter α
c : E''
hc : c ≠ 0
⊢ (fun _x ↦ c) =O[l] f' → ∃ b, 0 < b ∧ ∀ᶠ (x : α) in l, b ≤ ‖f' x‖

pp: case mpr
α : Type u_1
E' : Type u_6
E'' : Type u_9
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedAddCommGroup E''
f' : α → E'
l : Filter α
c : E''
hc : c ≠ 0
⊢ (∃ b, 0 < b ∧ ∀ᶠ (x : α) in l, b ≤ ‖f' x‖) → (fun _x ↦ c) =O[l] f'

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
E' : Type u_6
E'' : Type u_9
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedAddCommGroup E''
f' : α → E'
l : Filter α
c : E''
hc : c ≠ 0
⊢ (fun _x ↦ c) =O[l] f' → ∃ b, 0 < b ∧ ∀ᶠ (x : α) in l, b ≤ ‖f' x‖
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Defs

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c : ℝ
l : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : IsBigOWith c l f g
h₀✝ : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → g x = 0
x : α
h₀ : f x = 0 → g x = 0
hle : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
hx : f x ≠ 0
⊢ ‖(g x)⁻¹‖ ≤ c * ‖(f x)⁻¹‖

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c : ℝ
l : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : IsBigOWith c l f g
h₀✝ : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → g x = 0
x : α
h₀ : f x = 0 → g x = 0
hle : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
hx : f x ≠ 0
⊢ ‖(g x)⁻¹‖ ≤ c * ‖(f x)⁻¹‖
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
E' : Type u_6
E'' : Type u_9
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedAddCommGroup E''
f' : α → E'
l : Filter α
c : E''
hc : c ≠ 0
⊢ (∃ b, 0 < b ∧ ∀ᶠ (x : α) in l, b ≤ ‖f' x‖) → (fun _x ↦ c) =O[l] f'

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
E' : Type u_6
E'' : Type u_9
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedAddCommGroup E''
f' : α → E'
l : Filter α
c : E''
hc : c ≠ 0
⊢ (∃ b, 0 < b ∧ ∀ᶠ (x : α) in l, b ≤ ‖f' x‖) → (fun _x ↦ c) =O[l] f'
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℝ
hf : 1 ≤ᶠ[l] f
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ ∃ c, IsBigOWith c l (f ^ n) (f ^ m)

Tactic:
refine ⟨1, ?_⟩

Goal state after:
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℝ
hf : 1 ≤ᶠ[l] f
m n : ℕ
h : n ≤ m
⊢ IsBigOWith 1 l (f ^ n) (f ^ m)
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Defs

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
E' : Type u_6
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E'
l : Filter α
ι : Type u_18
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
B : ι → α → ℝ
hAB : ∀ i ∈ ∅, IsBigOWith (C i) l (A i) (B i)
⊢ IsBigOWith (sSup (C '' ↑∅)) l (fun H ↦ ∑ i ∈ ∅, A i H) fun H ↦ ∑ i ∈ ∅, ‖B i H‖

pp: case inr
α : Type u_1
E' : Type u_6
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E'
l : Filter α
ι : Type u_18
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
B : ι → α → ℝ
hAB : ∀ i ∈ s, IsBigOWith (C i) l (A i) (B i)
hs : s.Nonempty
⊢ IsBigOWith (sSup (C '' ↑s)) l (fun H ↦ ∑ i ∈ s, A i H) fun H ↦ ∑ i ∈ s, ‖B i H‖

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
E' : Type u_6
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E'
l : Filter α
ι : Type u_18
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
B : ι → α → ℝ
hAB : ∀ i ∈ ∅, IsBigOWith (C i) l (A i) (B i)
⊢ IsBigOWith (sSup (C '' ↑∅)) l (fun H ↦ ∑ i ∈ ∅, A i H) fun H ↦ ∑ i ∈ ∅, ‖B i H‖
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
𝕜 : Type u_15
inst✝⁴ : Norm F
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
g : α → F
f' : α → E'
l : Filter α
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : NormSMulClass 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (fun x ↦ ‖f' x‖) =O[l] g ↔ f' =O[l] g

Tactic:
isBigO_norm_left

Goal state after:
α : Type u_1
F : Type u_4
E' : Type u_6
𝕜 : Type u_15
inst✝⁴ : Norm F
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
g : α → F
f' : α → E'
l : Filter α
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : NormSMulClass 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ f' =O[l] g ↔ f' =O[l] g
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
R : Type u_13
𝕜' : Type u_16
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : IsBoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : NormSMulClass 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =O[l] g'
⊢ (fun x ↦ k₁ x • f' x) =O[l] fun x ↦ k₂ x • g' x

Tactic:
obtain ⟨c₁, h₁⟩ := h₁.isBigOWith

Goal state after:
α : Type u_1
E' : Type u_6
F' : Type u_7
R : Type u_13
𝕜' : Type u_16
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
f' : α → E'
g' : α → F'
l : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : IsBoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : NormSMulClass 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁✝ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =O[l] g'
c₁ : ℝ
h₁ : IsBigOWith c₁ l k₁ k₂
⊢ (fun x ↦ k₁ x • f' x) =O[l] fun x ↦ k₂ x • g' x
Module: Mathlib.Analysis.Complex.Exponential

Goal state before:
pp: case zero
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hj : 0 ≥ 1
⊢ ‖↑(exp' 0 - const (fun x ↦ ‖x‖) 1) 0‖ = 0

pp: case succ
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
j : ℕ
hj : j + 1 ≥ 1
⊢ ‖↑(exp' 0 - const (fun x ↦ ‖x‖) 1) (j + 1)‖ = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case zero
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hj : 0 ≥ 1
⊢ ‖↑(exp' 0 - const (fun x ↦ ‖x‖) 1) 0‖ = 0
Module: Mathlib.Analysis.Complex.Exponential

Goal state before:
pp: case succ
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
j : ℕ
hj : j + 1 ≥ 1
⊢ ‖↑(exp' 0 - const (fun x ↦ ‖x‖) 1) (j + 1)‖ = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case succ
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
j : ℕ
hj : j + 1 ≥ 1
⊢ ‖↑(exp' 0 - const (fun x ↦ ‖x‖) 1) (j + 1)‖ = 0
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
⊢ (fun x ↦ f x / g x) =o[l] fun x ↦ g x / g x

Tactic:
simpa only [div_eq_mul_inv] using h.mul_isBigO (isBigO_refl _ _)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : NormedAddCommGroup F''
g'' : α → F''
l : Filter α
⊢ (fun _x ↦ 0) =o[l] g'' ↔ 0 = 0 ∨ Tendsto (norm ∘ g'') l atTop

pp: case inr
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : NormedAddCommGroup F''
g'' : α → F''
l : Filter α
c : E''
hc : c ≠ 0
⊢ (fun _x ↦ c) =o[l] g'' ↔ c = 0 ∨ Tendsto (norm ∘ g'') l atTop

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : NormedAddCommGroup F''
g'' : α → F''
l : Filter α
⊢ (fun _x ↦ 0) =o[l] g'' ↔ 0 = 0 ∨ Tendsto (norm ∘ g'') l atTop
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : NormedAddCommGroup F''
g'' : α → F''
l : Filter α
c : E''
hc : c ≠ 0
⊢ (fun _x ↦ c) =o[l] g'' ↔ c = 0 ∨ Tendsto (norm ∘ g'') l atTop

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : NormedAddCommGroup F''
g'' : α → F''
l : Filter α
c : E''
hc : c ≠ 0
⊢ (fun _x ↦ c) =o[l] g'' ↔ c = 0 ∨ Tendsto (norm ∘ g'') l atTop
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case hgf
α : Type u_1
𝕜 : Type u_17
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : Tendsto (fun x ↦ g x / f x) l atTop
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, g x = 0 → f x = 0

pp: case a
α : Type u_1
𝕜 : Type u_17
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : Tendsto (fun x ↦ g x / f x) l atTop
⊢ Tendsto (fun x ↦ f x / g x) l (𝓝 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case hgf
α : Type u_1
𝕜 : Type u_17
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : Tendsto (fun x ↦ g x / f x) l atTop
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, g x = 0 → f x = 0
Module: Mathlib.Analysis.Complex.Exponential

Goal state before:
pp: case ofNat
z : ℂ
a✝ : ℕ
⊢ cexp (↑(Int.ofNat a✝) * z) = cexp z ^ Int.ofNat a✝

pp: case negSucc
z : ℂ
a✝ : ℕ
⊢ cexp (↑(Int.negSucc a✝) * z) = cexp z ^ Int.negSucc a✝

Tactic:
·

Goal state after:
case ofNat
z : ℂ
a✝ : ℕ
⊢ cexp (↑(Int.ofNat a✝) * z) = cexp z ^ Int.ofNat a✝
Module: Mathlib.Analysis.Complex.Exponential

Goal state before:
pp: case negSucc
z : ℂ
a✝ : ℕ
⊢ cexp (↑(Int.negSucc a✝) * z) = cexp z ^ Int.negSucc a✝

Tactic:
·

Goal state after:
case negSucc
z : ℂ
a✝ : ℕ
⊢ cexp (↑(Int.negSucc a✝) * z) = cexp z ^ Int.negSucc a✝
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case a
α : Type u_1
𝕜 : Type u_17
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : Tendsto (fun x ↦ g x / f x) l atTop
⊢ Tendsto (fun x ↦ f x / g x) l (𝓝 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case a
α : Type u_1
𝕜 : Type u_17
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : Tendsto (fun x ↦ g x / f x) l atTop
⊢ Tendsto (fun x ↦ f x / g x) l (𝓝 0)
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
c : ℝ
l : Filter α
u v : α → 𝕜
hc : 0 ≤ c
⊢ IsBigOWith c l u v → ∃ φ, (∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x‖ ≤ c) ∧ u =ᶠ[l] φ * v

pp: case mpr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
c : ℝ
l : Filter α
u v : α → 𝕜
hc : 0 ≤ c
⊢ (∃ φ, (∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x‖ ≤ c) ∧ u =ᶠ[l] φ * v) → IsBigOWith c l u v

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
c : ℝ
l : Filter α
u v : α → 𝕜
hc : 0 ≤ c
⊢ IsBigOWith c l u v → ∃ φ, (∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x‖ ≤ c) ∧ u =ᶠ[l] φ * v
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
c : ℝ
l : Filter α
u v : α → 𝕜
hc : 0 ≤ c
⊢ (∃ φ, (∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x‖ ≤ c) ∧ u =ᶠ[l] φ * v) → IsBigOWith c l u v

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
c : ℝ
l : Filter α
u v : α → 𝕜
hc : 0 ≤ c
⊢ (∃ φ, (∀ᶠ (x : α) in l, ‖φ x‖ ≤ c) ∧ u =ᶠ[l] φ * v) → IsBigOWith c l u v
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
u v : α → 𝕜
⊢ u =O[l] v → ∃ φ, IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) l (norm ∘ φ) ∧ u =ᶠ[l] φ * v

pp: case mpr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
u v : α → 𝕜
⊢ (∃ φ, IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) l (norm ∘ φ) ∧ u =ᶠ[l] φ * v) → u =O[l] v

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
u v : α → 𝕜
⊢ u =O[l] v → ∃ φ, IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) l (norm ∘ φ) ∧ u =ᶠ[l] φ * v
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
u v : α → 𝕜
⊢ (∃ φ, IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) l (norm ∘ φ) ∧ u =ᶠ[l] φ * v) → u =O[l] v

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
u v : α → 𝕜
⊢ (∃ φ, IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) l (norm ∘ φ) ∧ u =ᶠ[l] φ * v) → u =O[l] v
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
u v : α → 𝕜
⊢ u =o[l] v → ∃ φ, Tendsto φ l (𝓝 0) ∧ u =ᶠ[l] φ * v

pp: case mpr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
u v : α → 𝕜
⊢ (∃ φ, Tendsto φ l (𝓝 0) ∧ u =ᶠ[l] φ * v) → u =o[l] v

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
u v : α → 𝕜
⊢ u =o[l] v → ∃ φ, Tendsto φ l (𝓝 0) ∧ u =ᶠ[l] φ * v
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
u v : α → 𝕜
⊢ (∃ φ, Tendsto φ l (𝓝 0) ∧ u =ᶠ[l] φ * v) → u =o[l] v

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
u v : α → 𝕜
⊢ (∃ φ, Tendsto φ l (𝓝 0) ∧ u =ᶠ[l] φ * v) → u =o[l] v
Module: Mathlib.Analysis.Complex.Exponential

Goal state before:
pp: case inl
hx : 0 ≤ 0
⊢ 0 + 1 ≤ rexp 0

pp: case inr
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
h : 0 < x
⊢ x + 1 ≤ rexp x

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
hx : 0 ≤ 0
⊢ 0 + 1 ≤ rexp 0
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
hgf : ∀ᶠ (x : α) in l, g x = 0 → f x = 0
c : ℝ
hc : ∀ᶠ (a : α) in l, ‖f a‖ / ‖g a‖ ≤ c
x : α
hx₁ : g x = 0 → f x = 0
hx₂ : ‖f x‖ / ‖g x‖ ≤ c
hgx : g x = 0
⊢ ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖

pp: case neg
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
hgf : ∀ᶠ (x : α) in l, g x = 0 → f x = 0
c : ℝ
hc : ∀ᶠ (a : α) in l, ‖f a‖ / ‖g a‖ ≤ c
x : α
hx₁ : g x = 0 → f x = 0
hx₂ : ‖f x‖ / ‖g x‖ ≤ c
hgx : ¬g x = 0
⊢ ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
hgf : ∀ᶠ (x : α) in l, g x = 0 → f x = 0
c : ℝ
hc : ∀ᶠ (a : α) in l, ‖f a‖ / ‖g a‖ ≤ c
x : α
hx₁ : g x = 0 → f x = 0
hx₂ : ‖f x‖ / ‖g x‖ ≤ c
hgx : g x = 0
⊢ ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.Lemmas

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
hgf : ∀ᶠ (x : α) in l, g x = 0 → f x = 0
c : ℝ
hc : ∀ᶠ (a : α) in l, ‖f a‖ / ‖g a‖ ≤ c
x : α
hx₁ : g x = 0 → f x = 0
hx₂ : ‖f x‖ / ‖g x‖ ≤ c
hgx : ¬g x = 0
⊢ ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_15
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
hgf : ∀ᶠ (x : α) in l, g x = 0 → f x = 0
c : ℝ
hc : ∀ᶠ (a : α) in l, ‖f a‖ / ‖g a‖ ≤ c
x : α
hx₁ : g x = 0 → f x = 0
hx₂ : ‖f x‖ / ‖g x‖ ≤ c
hgx : ¬g x = 0
⊢ ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖