mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Multilinear.Topology

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : UniformSpace F
inst✝³ : IsUniformAddGroup F
inst✝² : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
h : IsCoherentWith {s | IsVonNBounded 𝕜 s}
this :
  ∀ {F : Type u_4} [inst : AddCommGroup F] [inst_1 : Module 𝕜 F] [inst_2 : UniformSpace F]
    [inst_3 : IsUniformAddGroup F] [ContinuousConstSMul 𝕜 F] [CompleteSpace F],
    T2Space F → CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F)
hF : ¬T2Space F
⊢ CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F)

pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F✝
inst✝⁹ : Module 𝕜 F✝
inst✝⁸ : UniformSpace F✝
inst✝⁷ : IsUniformAddGroup F✝
inst✝⁶ : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
h : IsCoherentWith {s | IsVonNBounded 𝕜 s}
F : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : UniformSpace F
inst✝² : IsUniformAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
hF : T2Space F
⊢ CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : UniformSpace F
inst✝³ : IsUniformAddGroup F
inst✝² : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
h : IsCoherentWith {s | IsVonNBounded 𝕜 s}
this :
  ∀ {F : Type u_4} [inst : AddCommGroup F] [inst_1 : Module 𝕜 F] [inst_2 : UniformSpace F]
    [inst_3 : IsUniformAddGroup F] [ContinuousConstSMul 𝕜 F] [CompleteSpace F],
    T2Space F → CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F)
hF : ¬T2Space F
⊢ CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Multilinear.Topology

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : UniformSpace F
inst✝³ : IsUniformAddGroup F
inst✝² : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
h : IsCoherentWith {s | IsVonNBounded 𝕜 s}
this :
  ∀ {F : Type u_4} [inst : AddCommGroup F] [inst_1 : Module 𝕜 F] [inst_2 : UniformSpace F]
    [inst_3 : IsUniformAddGroup F] [ContinuousConstSMul 𝕜 F] [CompleteSpace F],
    T2Space F → CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F)
hF : ¬T2Space F
⊢ CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E (SeparationQuotient F))

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : UniformSpace F
inst✝³ : IsUniformAddGroup F
inst✝² : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
h : IsCoherentWith {s | IsVonNBounded 𝕜 s}
this :
  ∀ {F : Type u_4} [inst : AddCommGroup F] [inst_1 : Module 𝕜 F] [inst_2 : UniformSpace F]
    [inst_3 : IsUniformAddGroup F] [ContinuousConstSMul 𝕜 F] [CompleteSpace F],
    T2Space F → CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F)
hF : ¬T2Space F
⊢ Surjective (SeparationQuotient.mkCLM 𝕜 F).compContinuousMultilinearMap

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : UniformSpace F
inst✝³ : IsUniformAddGroup F
inst✝² : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
h : IsCoherentWith {s | IsVonNBounded 𝕜 s}
this :
  ∀ {F : Type u_4} [inst : AddCommGroup F] [inst_1 : Module 𝕜 F] [inst_2 : UniformSpace F]
    [inst_3 : IsUniformAddGroup F] [ContinuousConstSMul 𝕜 F] [CompleteSpace F],
    T2Space F → CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F)
hF : ¬T2Space F
⊢ CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E (SeparationQuotient F))
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Multilinear.Topology

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : UniformSpace F
inst✝³ : IsUniformAddGroup F
inst✝² : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
h : IsCoherentWith {s | IsVonNBounded 𝕜 s}
this :
  ∀ {F : Type u_4} [inst : AddCommGroup F] [inst_1 : Module 𝕜 F] [inst_2 : UniformSpace F]
    [inst_3 : IsUniformAddGroup F] [ContinuousConstSMul 𝕜 F] [CompleteSpace F],
    T2Space F → CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F)
hF : ¬T2Space F
⊢ Surjective (SeparationQuotient.mkCLM 𝕜 F).compContinuousMultilinearMap

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : UniformSpace F
inst✝³ : IsUniformAddGroup F
inst✝² : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
h : IsCoherentWith {s | IsVonNBounded 𝕜 s}
this :
  ∀ {F : Type u_4} [inst : AddCommGroup F] [inst_1 : Module 𝕜 F] [inst_2 : UniformSpace F]
    [inst_3 : IsUniformAddGroup F] [ContinuousConstSMul 𝕜 F] [CompleteSpace F],
    T2Space F → CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F)
hF : ¬T2Space F
⊢ Surjective (SeparationQuotient.mkCLM 𝕜 F).compContinuousMultilinearMap
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.BoundedLinearMaps

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : Module 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC : ∀ (x : E) (y : F), ‖f (x, y)‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖
y : F
hx : max ‖x‖ 1 = ‖x‖ ∧ 1 ≤ ‖x‖
⊢ C * ‖x‖ * ‖y‖ ≤ C * max ‖x‖ 1 * ‖y‖

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : Module 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC : ∀ (x : E) (y : F), ‖f (x, y)‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖
y : F
hx : max ‖x‖ 1 = 1 ∧ ‖x‖ < 1
⊢ C * ‖x‖ * ‖y‖ ≤ C * max ‖x‖ 1 * ‖y‖

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : Module 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC : ∀ (x : E) (y : F), ‖f (x, y)‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖
y : F
hx : max ‖x‖ 1 = ‖x‖ ∧ 1 ≤ ‖x‖
⊢ C * ‖x‖ * ‖y‖ ≤ C * max ‖x‖ 1 * ‖y‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.BoundedLinearMaps

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : Module 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC : ∀ (x : E) (y : F), ‖f (x, y)‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖
y : F
hx : max ‖x‖ 1 = 1 ∧ ‖x‖ < 1
⊢ C * ‖x‖ * ‖y‖ ≤ C * max ‖x‖ 1 * ‖y‖

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : Module 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC : ∀ (x : E) (y : F), ‖f (x, y)‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖
y : F
hx : max ‖x‖ 1 = 1 ∧ ‖x‖ < 1
⊢ C * ‖x‖ * ‖y‖ ≤ C * max ‖x‖ 1 * ‖y‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.BoundedLinearMaps

Goal state before:
pp: case hf
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : Module 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E × F
⊢ Tendsto (fun x_1 ↦ f (x_1.1 - x.1, x_1.2)) (𝓝 x) (𝓝 0)

pp: case hg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : Module 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E × F
⊢ Tendsto (fun x_1 ↦ f (x.1, x_1.2 - x.2)) (𝓝 x) (𝓝 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case hf
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : Module 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E × F
⊢ Tendsto (fun x_1 ↦ f (x_1.1 - x.1, x_1.2)) (𝓝 x) (𝓝 0)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.BoundedLinearMaps

Goal state before:
pp: case hf.refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : Module 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E × F
⊢ (fun x_1 ↦ x_1.1 - x.1) =o[𝓝 x] fun _x ↦ 1

pp: case hf.refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : Module 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E × F
⊢ Prod.snd =O[𝓝 x] fun _x ↦ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case hf.refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : Module 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E × F
⊢ (fun x_1 ↦ x_1.1 - x.1) =o[𝓝 x] fun _x ↦ 1
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.BoundedLinearMaps

Goal state before:
pp: case hf.refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : Module 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E × F
⊢ Prod.snd =O[𝓝 x] fun _x ↦ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case hf.refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : Module 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E × F
⊢ Prod.snd =O[𝓝 x] fun _x ↦ 1
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.BoundedLinearMaps

Goal state before:
pp: case hg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : Module 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E × F
⊢ Tendsto (fun x_1 ↦ f (x.1, x_1.2 - x.2)) (𝓝 x) (𝓝 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case hg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : Module 𝕜 G
f : E × F → G
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 f
x : E × F
⊢ Tendsto (fun x_1 ↦ f (x.1, x_1.2 - x.2)) (𝓝 x) (𝓝 0)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.NormedSpace

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x ↦ ‖f x‖)
tfae_6_iff_8 : (∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x ↦ ‖f x‖)
tfae_8_iff_9 : BddAbove (Set.range fun x ↦ ‖f x‖) ↔ ⨆ i, ↑‖f i‖₊ < ⊤
⊢ (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) →
    ∃ p,
      Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ⇑p ∧
        ∀ (k : ι), (normSeminorm 𝕜₂ F).comp ↑(f k) ≤ p

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x ↦ ‖f x‖)
tfae_6_iff_8 : (∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x ↦ ‖f x‖)
tfae_8_iff_9 : BddAbove (Set.range fun x ↦ ‖f x‖) ↔ ⨆ i, ↑‖f i‖₊ < ⊤
⊢ (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) →
    ∃ p,
      Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ⇑p ∧
        ∀ (k : ι), (normSeminorm 𝕜₂ F).comp ↑(f k) ≤ p
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
tfae_5_iff_7 : (∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C
tfae_7_iff_8 : (∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x ↦ ‖f x‖)
tfae_6_iff_8 : (∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C) ↔ BddAbove (Set.range fun x ↦ ‖f x‖)
tfae_8_iff_9 : BddAbove (Set.range fun x ↦ ‖f x‖) ↔ ⨆ i, ↑‖f i‖₊ < ⊤
tfae_3_iff_4 : UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) ↔ ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
⊢ [EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0, Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f),
      ∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖, ∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖,
      ∃ C, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, ∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ C, BddAbove (Set.range fun x ↦ ‖f x‖),
      ⨆ i, ↑‖f i‖₊ < ⊤].TFAE

Tactic:
tfae_finish

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Multilinear.Topology

Goal state before:
pp: case h₂.h₂
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F✝
inst✝⁹ : Module 𝕜 F✝
inst✝⁸ : UniformSpace F✝
inst✝⁷ : IsUniformAddGroup F✝
inst✝⁶ : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
h : IsCoherentWith {s | IsVonNBounded 𝕜 s}
F : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : UniformSpace F
inst✝² : IsUniformAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
hF : T2Space F
H :
  ∀ {m : (i : ι) → E i},
    Continuous[topologicalSpace ((i : ι) → E i) F {s | IsVonNBounded 𝕜 s}, inst✝³.toTopologicalSpace] fun f ↦
      (toFun {s | IsVonNBounded 𝕜 s}) f m
⊢ IsClosed[(uniformSpace ((i : ι) → E i) F {s | IsVonNBounded 𝕜 s}).toTopologicalSpace]
    (⋂ i,
      ⋂ i_1,
        ⋂ i_2,
          ⋂ i_3,
            {x |
              (toFun {s | IsVonNBounded 𝕜 s}) x (update i i_1 (i_2 • i_3)) =
                i_2 • (toFun {s | IsVonNBounded 𝕜 s}) x (update i i_1 i_3)})

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂.h₂
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F✝
inst✝⁹ : Module 𝕜 F✝
inst✝⁸ : UniformSpace F✝
inst✝⁷ : IsUniformAddGroup F✝
inst✝⁶ : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
h : IsCoherentWith {s | IsVonNBounded 𝕜 s}
F : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : UniformSpace F
inst✝² : IsUniformAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
hF : T2Space F
H :
  ∀ {m : (i : ι) → E i},
    Continuous[topologicalSpace ((i : ι) → E i) F {s | IsVonNBounded 𝕜 s}, inst✝³.toTopologicalSpace] fun f ↦
      (toFun {s | IsVonNBounded 𝕜 s}) f m
⊢ IsClosed[(uniformSpace ((i : ι) → E i) F {s | IsVonNBounded 𝕜 s}).toTopologicalSpace]
    (⋂ i,
      ⋂ i_1,
        ⋂ i_2,
          ⋂ i_3,
            {x |
              (toFun {s | IsVonNBounded 𝕜 s}) x (update i i_1 (i_2 • i_3)) =
                i_2 • (toFun {s | IsVonNBounded 𝕜 s}) x (update i i_1 i_3)})
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Simple

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : IsSimpleModule R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
⊢ IsClosed ↑l.ker ∨ Dense ↑l.ker

pp: case inr
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : IsSimpleModule R N
⊢ IsClosed ↑(ker 0) ∨ Dense ↑(ker 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : IsSimpleModule R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
⊢ IsClosed ↑l.ker ∨ Dense ↑l.ker
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Simple

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : IsSimpleModule R N
⊢ IsClosed ↑(ker 0) ∨ Dense ↑(ker 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : IsSimpleModule R N
⊢ IsClosed ↑(ker 0) ∨ Dense ↑(ker 0)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.BoundedLinearMaps

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
O : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := ⋯
h_O : Continuous O
f' : E →L[𝕜] F
⊢ f' ∈ range toContinuousLinearMap → f' ∈ O ⁻¹' {x | IsUnit x}

pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
O : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := ⋯
h_O : Continuous O
f' : E →L[𝕜] F
⊢ f' ∈ O ⁻¹' {x | IsUnit x} → f' ∈ range toContinuousLinearMap

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
O : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := ⋯
h_O : Continuous O
f' : E →L[𝕜] F
⊢ f' ∈ range toContinuousLinearMap → f' ∈ O ⁻¹' {x | IsUnit x}
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.BoundedLinearMaps

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
O : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := ⋯
h_O : Continuous O
f' : E →L[𝕜] F
⊢ f' ∈ O ⁻¹' {x | IsUnit x} → f' ∈ range toContinuousLinearMap

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
O : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := ⋯
h_O : Continuous O
f' : E →L[𝕜] F
⊢ f' ∈ O ⁻¹' {x | IsUnit x} → f' ∈ range toContinuousLinearMap