mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : Module k V
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nontrivial ι
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
i : ι
w : ι → k
hw : ∑ i, w i = 1
c : k
j : ι
hj : j ≠ i
t : Finset ι
w' : ι → k
ht✝ : ↑t ⊆ {i}ᶜ
hw' : ∑ i ∈ t, w' i = 1
hqmem : (affineCombination k t p) w' ∈ affineSpan k (p '' {i}ᶜ)
heq : ∀ i_1 ∈ univ, ((1 - c) • (Pi.single i 1 - Pi.single j 1) + (↑t).indicator w') i_1 = w i_1
ht : (↑t).indicator w' i = 0
⊢ w i = 1 - c

pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : Module k V
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nontrivial ι
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
i : ι
w : ι → k
hw : ∑ i, w i = 1
c : k
j : ι
hj : j ≠ i
t : Finset ι
w' : ι → k
ht✝ : ↑t ⊆ {i}ᶜ
hw' : ∑ i ∈ t, w' i = 1
hqmem : (affineCombination k t p) w' ∈ affineSpan k (p '' {i}ᶜ)
heq :
  (affineCombination k univ p) ((1 - c) • (Pi.single i 1 - Pi.single j 1) + (↑t).indicator w') =
    (affineCombination k univ p) w
ht : (↑t).indicator w' i = 0
⊢ ∑ i_1, ((1 - c) • (Pi.single i 1 - Pi.single j 1) + (↑t).indicator w') i_1 = 1

Tactic:
·

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : Module k V
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nontrivial ι
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
i : ι
w : ι → k
hw : ∑ i, w i = 1
c : k
j : ι
hj : j ≠ i
t : Finset ι
w' : ι → k
ht✝ : ↑t ⊆ {i}ᶜ
hw' : ∑ i ∈ t, w' i = 1
hqmem : (affineCombination k t p) w' ∈ affineSpan k (p '' {i}ᶜ)
heq : ∀ i_1 ∈ univ, ((1 - c) • (Pi.single i 1 - Pi.single j 1) + (↑t).indicator w') i_1 = w i_1
ht : (↑t).indicator w' i = 0
⊢ w i = 1 - c
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: case e'_6.e'_3.e'_9
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
a✝ : Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ (fun i₁ ↦ v ((swap i j) (a✝ (Sum.inl i₁)))) = fun i₁ ↦ v (a✝ (Sum.inl i₁))

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_6.e'_3.e'_9
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
a✝ : Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ (fun i₁ ↦ v ((swap i j) (a✝ (Sum.inl i₁)))) = fun i₁ ↦ v (a✝ (Sum.inl i₁))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : Module k V
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nontrivial ι
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
i : ι
w : ι → k
hw : ∑ i, w i = 1
c : k
j : ι
hj : j ≠ i
t : Finset ι
w' : ι → k
ht✝ : ↑t ⊆ {i}ᶜ
hw' : ∑ i ∈ t, w' i = 1
hqmem : (affineCombination k t p) w' ∈ affineSpan k (p '' {i}ᶜ)
heq :
  (affineCombination k univ p) ((1 - c) • (Pi.single i 1 - Pi.single j 1) + (↑t).indicator w') =
    (affineCombination k univ p) w
ht : (↑t).indicator w' i = 0
⊢ ∑ i_1, ((1 - c) • (Pi.single i 1 - Pi.single j 1) + (↑t).indicator w') i_1 = 1

Tactic:
·

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : Module k V
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nontrivial ι
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
i : ι
w : ι → k
hw : ∑ i, w i = 1
c : k
j : ι
hj : j ≠ i
t : Finset ι
w' : ι → k
ht✝ : ↑t ⊆ {i}ᶜ
hw' : ∑ i ∈ t, w' i = 1
hqmem : (affineCombination k t p) w' ∈ affineSpan k (p '' {i}ᶜ)
heq :
  (affineCombination k univ p) ((1 - c) • (Pi.single i 1 - Pi.single j 1) + (↑t).indicator w') =
    (affineCombination k univ p) w
ht : (↑t).indicator w' i = 0
⊢ ∑ i_1, ((1 - c) • (Pi.single i 1 - Pi.single j 1) + (↑t).indicator w') i_1 = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: case e'_6.e'_3.e'_10
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
a✝ : Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ (fun i₂ ↦ v ((swap i j) (a✝ (Sum.inr i₂)))) = fun i₂ ↦ v (a✝ (Sum.inr i₂))

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_6.e'_3.e'_10
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
a✝ : Perm (ιa ⊕ ιb)
⊢ (fun i₂ ↦ v ((swap i j) (a✝ (Sum.inr i₂)))) = fun i₂ ↦ v (a✝ (Sum.inr i₂))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h : s = ⊥
⊢ s.shift c r = map (homothety c r) s

pp: case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h : (↑s).Nonempty
⊢ s.shift c r = map (homothety c r) s

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h : s = ⊥
⊢ s.shift c r = map (homothety c r) s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case inr.mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h✝ : (↑s).Nonempty
h : Nonempty ↥s
p x : P
hmem : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x = p
⊢ ∃ y ∈ s, r • (y -ᵥ c) +ᵥ c = (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x

pp: case inr.mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h✝ : (↑s).Nonempty
h : Nonempty ↥s
p x : P
hmem : x ∈ s
heq : r • (x -ᵥ c) +ᵥ c = p
⊢ ∃ y ∈ s, (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ y = r • (x -ᵥ c) +ᵥ c

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h✝ : (↑s).Nonempty
h : Nonempty ↥s
p x : P
hmem : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x = p
⊢ ∃ y ∈ s, r • (y -ᵥ c) +ᵥ c = (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case inr.mp.refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h✝ : (↑s).Nonempty
h : Nonempty ↥s
p x : P
hmem : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x = p
⊢ t • (x -ᵥ ↑h.some) +ᵥ ↑h.some ∈ s

pp: case inr.mp.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h✝ : (↑s).Nonempty
h : Nonempty ↥s
p x : P
hmem : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x = p
⊢ r • ((t • (x -ᵥ ↑h.some) +ᵥ ↑h.some) -ᵥ c) +ᵥ c = (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.mp.refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h✝ : (↑s).Nonempty
h : Nonempty ↥s
p x : P
hmem : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x = p
⊢ t • (x -ᵥ ↑h.some) +ᵥ ↑h.some ∈ s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case inr.mp.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h✝ : (↑s).Nonempty
h : Nonempty ↥s
p x : P
hmem : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x = p
⊢ r • ((t • (x -ᵥ ↑h.some) +ᵥ ↑h.some) -ᵥ c) +ᵥ c = (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.mp.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h✝ : (↑s).Nonempty
h : Nonempty ↥s
p x : P
hmem : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x = p
⊢ r • ((t • (x -ᵥ ↑h.some) +ᵥ ↑h.some) -ᵥ c) +ᵥ c = (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case inr.mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h✝ : (↑s).Nonempty
h : Nonempty ↥s
p x : P
hmem : x ∈ s
heq : r • (x -ᵥ c) +ᵥ c = p
⊢ ∃ y ∈ s, (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ y = r • (x -ᵥ c) +ᵥ c

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h✝ : (↑s).Nonempty
h : Nonempty ↥s
p x : P
hmem : x ∈ s
heq : r • (x -ᵥ c) +ᵥ c = p
⊢ ∃ y ∈ s, (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ y = r • (x -ᵥ c) +ᵥ c
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case inr.mpr.refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h✝ : (↑s).Nonempty
h : Nonempty ↥s
p x : P
hmem : x ∈ s
heq : r • (x -ᵥ c) +ᵥ c = p
⊢ r • (x -ᵥ ↑h.some) +ᵥ ↑h.some ∈ s

pp: case inr.mpr.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h✝ : (↑s).Nonempty
h : Nonempty ↥s
p x : P
hmem : x ∈ s
heq : r • (x -ᵥ c) +ᵥ c = p
⊢ (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ r • (x -ᵥ ↑h.some) +ᵥ ↑h.some = r • (x -ᵥ c) +ᵥ c

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.mpr.refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h✝ : (↑s).Nonempty
h : Nonempty ↥s
p x : P
hmem : x ∈ s
heq : r • (x -ᵥ c) +ᵥ c = p
⊢ r • (x -ᵥ ↑h.some) +ᵥ ↑h.some ∈ s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case inr.mpr.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h✝ : (↑s).Nonempty
h : Nonempty ↥s
p x : P
hmem : x ∈ s
heq : r • (x -ᵥ c) +ᵥ c = p
⊢ (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ r • (x -ᵥ ↑h.some) +ᵥ ↑h.some = r • (x -ᵥ c) +ᵥ c

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.mpr.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h✝ : (↑s).Nonempty
h : Nonempty ↥s
p x : P
hmem : x ∈ s
heq : r • (x -ᵥ c) +ᵥ c = p
⊢ (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ r • (x -ᵥ ↑h.some) +ᵥ ↑h.some = r • (x -ᵥ c) +ᵥ c
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁷ : Ring k
inst✝⁶ : PartialOrder k
inst✝⁵ : IsOrderedAddMonoid k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Module k V
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
inst✝ : ZeroLEOneClass k
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
x✝ :
  (affineCombination k univ s.points) w ∈ s.closedInterior ∩ ↑((affineSpan k (s.points '' {i}ᶜ)).shift (s.points i) 0)
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ Set.Icc 0 1
hshift : w i = 1
j : Fin (n + 1)
hj : j = i
⊢ w j = Pi.single i 1 j

pp: case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁷ : Ring k
inst✝⁶ : PartialOrder k
inst✝⁵ : IsOrderedAddMonoid k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Module k V
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
inst✝ : ZeroLEOneClass k
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
x✝ :
  (affineCombination k univ s.points) w ∈ s.closedInterior ∩ ↑((affineSpan k (s.points '' {i}ᶜ)).shift (s.points i) 0)
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ Set.Icc 0 1
hshift : w i = 1
j : Fin (n + 1)
hj : ¬j = i
⊢ w j = Pi.single i 1 j

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁷ : Ring k
inst✝⁶ : PartialOrder k
inst✝⁵ : IsOrderedAddMonoid k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Module k V
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
inst✝ : ZeroLEOneClass k
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
x✝ :
  (affineCombination k univ s.points) w ∈ s.closedInterior ∩ ↑((affineSpan k (s.points '' {i}ᶜ)).shift (s.points i) 0)
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ Set.Icc 0 1
hshift : w i = 1
j : Fin (n + 1)
hj : j = i
⊢ w j = Pi.single i 1 j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: case refine_1
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
m₁ m₂ : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
n : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
⊢ (m₁ + m₂).domCoprod n = m₁.domCoprod n + m₂.domCoprod n

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
m₁ m₂ : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
n : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
⊢ (m₁ + m₂).domCoprod n = m₁.domCoprod n + m₂.domCoprod n
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeHom

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
P : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : Module S P
inst✝² : IsScalarTower R S P
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
ε : N →ₗ[R] P
ibc : IsBaseChange S ε
ι : Type u_3 := Free.ChooseBasisIndex R M
b : Basis ι R M
this : Fintype (Free.ChooseBasisIndex R M)
e : (M →ₗ[R] N) ≃ₗ[R] ι → N := LinearEquiv.congrLeft N R b.repr ≪≫ₗ (Finsupp.llift N R R ι).symm
f : (M →ₗ[R] P) ≃ₗ[S] ι → P := LinearEquiv.congrLeft P S b.repr ≪≫ₗ (Finsupp.llift P R S ι).symm
h : S ⊗[R] (M →ₗ[R] N) →ₗ[S] M →ₗ[R] P := linearMapRightBaseChangeHom S M ε
⊢ Function.Bijective ⇑(linearMapRightBaseChangeHom S M ε)

Tactic:
let e' : S ⊗[R] (M →ₗ[R] N) ≃ₗ[S] S ⊗[R] (ι → N) :=
    LinearEquiv.baseChange R S (M →ₗ[R] N) (ι → N) e

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
P : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : Module S P
inst✝² : IsScalarTower R S P
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
ε : N →ₗ[R] P
ibc : IsBaseChange S ε
ι : Type u_3 := Free.ChooseBasisIndex R M
b : Basis ι R M
this : Fintype (Free.ChooseBasisIndex R M)
e : (M →ₗ[R] N) ≃ₗ[R] ι → N := LinearEquiv.congrLeft N R b.repr ≪≫ₗ (Finsupp.llift N R R ι).symm
f : (M →ₗ[R] P) ≃ₗ[S] ι → P := LinearEquiv.congrLeft P S b.repr ≪≫ₗ (Finsupp.llift P R S ι).symm
h : S ⊗[R] (M →ₗ[R] N) →ₗ[S] M →ₗ[R] P := linearMapRightBaseChangeHom S M ε
e' : S ⊗[R] (M →ₗ[R] N) ≃ₗ[S] S ⊗[R] (ι → N) := LinearEquiv.baseChange R S (M →ₗ[R] N) (ι → N) e
⊢ Function.Bijective ⇑(linearMapRightBaseChangeHom S M ε)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: case refine_2
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
c : R'
m : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
n : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
⊢ (c • m).domCoprod n = c • m.domCoprod n

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
c : R'
m : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
n : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
⊢ (c • m).domCoprod n = c • m.domCoprod n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case refine_1
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : LinearOrder k
inst✝ : IsOrderedRing k
n : ℕ
i : Fin n
x : k
hxpos : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
w : Fin n → k
hw : ∑ i, w i = 1
hi : w i = 1 - x
hj : ∀ (j : Fin n), w j ∈ Set.Icc 0 1
j : Fin n
hji : j ≠ i
⊢ 0 ≤ x⁻¹ * w j

pp: case refine_2
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : LinearOrder k
inst✝ : IsOrderedRing k
n : ℕ
i : Fin n
x : k
hxpos : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
w : Fin n → k
hw : ∑ i, w i = 1
hi : w i = 1 - x
hj : ∀ (j : Fin n), w j ∈ Set.Icc 0 1
j : Fin n
hji : j ≠ i
⊢ x⁻¹ * w j ≤ 1

pp: case refine_3
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : LinearOrder k
inst✝ : IsOrderedRing k
n : ℕ
i : Fin n
x : k
hxpos : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
w : Fin n → k
hw : ∑ i, w i = 1
hi : w i = 1 - x
hj : ∀ (j : Fin n), j ≠ i → x⁻¹ * w j ∈ Set.Icc 0 1
⊢ ∀ (j : Fin n), w j ∈ Set.Icc 0 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : LinearOrder k
inst✝ : IsOrderedRing k
n : ℕ
i : Fin n
x : k
hxpos : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
w : Fin n → k
hw : ∑ i, w i = 1
hi : w i = 1 - x
hj : ∀ (j : Fin n), w j ∈ Set.Icc 0 1
j : Fin n
hji : j ≠ i
⊢ 0 ≤ x⁻¹ * w j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case refine_2
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : LinearOrder k
inst✝ : IsOrderedRing k
n : ℕ
i : Fin n
x : k
hxpos : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
w : Fin n → k
hw : ∑ i, w i = 1
hi : w i = 1 - x
hj : ∀ (j : Fin n), w j ∈ Set.Icc 0 1
j : Fin n
hji : j ≠ i
⊢ x⁻¹ * w j ≤ 1

pp: case refine_3
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : LinearOrder k
inst✝ : IsOrderedRing k
n : ℕ
i : Fin n
x : k
hxpos : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
w : Fin n → k
hw : ∑ i, w i = 1
hi : w i = 1 - x
hj : ∀ (j : Fin n), j ≠ i → x⁻¹ * w j ∈ Set.Icc 0 1
⊢ ∀ (j : Fin n), w j ∈ Set.Icc 0 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : LinearOrder k
inst✝ : IsOrderedRing k
n : ℕ
i : Fin n
x : k
hxpos : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
w : Fin n → k
hw : ∑ i, w i = 1
hi : w i = 1 - x
hj : ∀ (j : Fin n), w j ∈ Set.Icc 0 1
j : Fin n
hji : j ≠ i
⊢ x⁻¹ * w j ≤ 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: case refine_3
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
m : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
n₁ n₂ : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
⊢ m.domCoprod (n₁ + n₂) = m.domCoprod n₁ + m.domCoprod n₂

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
m : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
n₁ n₂ : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
⊢ m.domCoprod (n₁ + n₂) = m.domCoprod n₁ + m.domCoprod n₂
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case refine_3
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : LinearOrder k
inst✝ : IsOrderedRing k
n : ℕ
i : Fin n
x : k
hxpos : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
w : Fin n → k
hw : ∑ i, w i = 1
hi : w i = 1 - x
hj : ∀ (j : Fin n), j ≠ i → x⁻¹ * w j ∈ Set.Icc 0 1
⊢ ∀ (j : Fin n), w j ∈ Set.Icc 0 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : LinearOrder k
inst✝ : IsOrderedRing k
n : ℕ
i : Fin n
x : k
hxpos : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
w : Fin n → k
hw : ∑ i, w i = 1
hi : w i = 1 - x
hj : ∀ (j : Fin n), j ≠ i → x⁻¹ * w j ∈ Set.Icc 0 1
⊢ ∀ (j : Fin n), w j ∈ Set.Icc 0 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: case refine_4
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
c : R'
m : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
n : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
⊢ m.domCoprod (c • n) = c • m.domCoprod n

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_4
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
c : R'
m : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
n : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
⊢ m.domCoprod (c • n) = c • m.domCoprod n