mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Slope

Goal state before:
pp: case inl
k : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : Field k
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module k E
inst✝⁴ : LinearOrder k
inst✝³ : IsStrictOrderedRing k
inst✝² : PartialOrder E
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝ : PosSMulMono k E
f : k → E
x y : k
s : Set k
hf : StrictMonoOn f s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy✝ : x ≠ y
hxy : x < y
⊢ 0 < slope f x y

pp: case inr
k : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : Field k
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module k E
inst✝⁴ : LinearOrder k
inst✝³ : IsStrictOrderedRing k
inst✝² : PartialOrder E
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝ : PosSMulMono k E
f : k → E
x y : k
s : Set k
hf : StrictMonoOn f s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy✝ : x ≠ y
hxy : y < x
⊢ 0 < slope f x y

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
k : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : Field k
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module k E
inst✝⁴ : LinearOrder k
inst✝³ : IsStrictOrderedRing k
inst✝² : PartialOrder E
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝ : PosSMulMono k E
f : k → E
x y : k
s : Set k
hf : StrictMonoOn f s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy✝ : x ≠ y
hxy : x < y
⊢ 0 < slope f x y
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case zero_eq
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ ∀ (x : (i : ι) → E i), (f.iteratedFDeriv 0 x).curry0 = f x

pp: case fderiv
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ ∀ (m : ℕ),
    ↑m < ⊤ → ∀ (x : (i : ι) → E i), HasFDerivAt (fun y ↦ f.iteratedFDeriv m y) (f.iteratedFDeriv m.succ x).curryLeft x

pp: case cont
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ ⊤ → Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] fun x ↦ f.iteratedFDeriv m x

Tactic:
·

Goal state after:
case zero_eq
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ ∀ (x : (i : ι) → E i), (f.iteratedFDeriv 0 x).curry0 = f x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Slope

Goal state before:
pp: case inr
k : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : Field k
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module k E
inst✝⁴ : LinearOrder k
inst✝³ : IsStrictOrderedRing k
inst✝² : PartialOrder E
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝ : PosSMulMono k E
f : k → E
x y : k
s : Set k
hf : StrictMonoOn f s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy✝ : x ≠ y
hxy : y < x
⊢ 0 < slope f x y

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
k : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : Field k
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module k E
inst✝⁴ : LinearOrder k
inst✝³ : IsStrictOrderedRing k
inst✝² : PartialOrder E
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝ : PosSMulMono k E
f : k → E
x y : k
s : Set k
hf : StrictMonoOn f s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy✝ : x ≠ y
hxy : y < x
⊢ 0 < slope f x y
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case fderiv
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ ∀ (m : ℕ),
    ↑m < ⊤ → ∀ (x : (i : ι) → E i), HasFDerivAt (fun y ↦ f.iteratedFDeriv m y) (f.iteratedFDeriv m.succ x).curryLeft x

pp: case cont
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ ⊤ → Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] fun x ↦ f.iteratedFDeriv m x

Tactic:
·

Goal state after:
case fderiv
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ ∀ (m : ℕ),
    ↑m < ⊤ → ∀ (x : (i : ι) → E i), HasFDerivAt (fun y ↦ f.iteratedFDeriv m y) (f.iteratedFDeriv m.succ x).curryLeft x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ
x v : (i : ι) → E i
m : Fin n → (i : ι) → E i
e : Fin n.succ ↪ ι
k : ι
hke : k ∈ range ⇑e
⊢ (if h : k ∈ range ⇑e then Fin.cons v m (e.toEquivRange.symm ⟨k, ⋯⟩) k else x k) =
    if h : k ∈ range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst then
      m (((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst.toEquivRange.symm ⟨k, h⟩) k
    else
      Function.update ((Pi.compRightL 𝕜 E Subtype.val) x) ((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd
        (v ↑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd) ⟨k, h⟩

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ
x v : (i : ι) → E i
m : Fin n → (i : ι) → E i
e : Fin n.succ ↪ ι
k : ι
hke : k ∉ range ⇑e
⊢ (if h : k ∈ range ⇑e then Fin.cons v m (e.toEquivRange.symm ⟨k, ⋯⟩) k else x k) =
    if h : k ∈ range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst then
      m (((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst.toEquivRange.symm ⟨k, h⟩) k
    else
      Function.update ((Pi.compRightL 𝕜 E Subtype.val) x) ((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd
        (v ↑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd) ⟨k, h⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ
x v : (i : ι) → E i
m : Fin n → (i : ι) → E i
e : Fin n.succ ↪ ι
k : ι
hke : k ∈ range ⇑e
⊢ (if h : k ∈ range ⇑e then Fin.cons v m (e.toEquivRange.symm ⟨k, ⋯⟩) k else x k) =
    if h : k ∈ range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst then
      m (((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst.toEquivRange.symm ⟨k, h⟩) k
    else
      Function.update ((Pi.compRightL 𝕜 E Subtype.val) x) ((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd
        (v ↑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd) ⟨k, h⟩
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ
x v : (i : ι) → E i
m : Fin n → (i : ι) → E i
e : Fin n.succ ↪ ι
k : ι
hke : k ∈ range ⇑e
hkf : k ∈ range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst
⊢ Fin.cons v m (e.toEquivRange.symm ⟨k, ⋯⟩) k = m (((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst.toEquivRange.symm ⟨k, hkf⟩) k

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ
x v : (i : ι) → E i
m : Fin n → (i : ι) → E i
e : Fin n.succ ↪ ι
k : ι
hke : k ∈ range ⇑e
hkf : k ∉ range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst
⊢ Fin.cons v m (e.toEquivRange.symm ⟨k, ⋯⟩) k =
    Function.update ((Pi.compRightL 𝕜 E Subtype.val) x) ((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd
      (v ↑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd) ⟨k, hkf⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ
x v : (i : ι) → E i
m : Fin n → (i : ι) → E i
e : Fin n.succ ↪ ι
k : ι
hke : k ∈ range ⇑e
hkf : k ∈ range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst
⊢ Fin.cons v m (e.toEquivRange.symm ⟨k, ⋯⟩) k = m (((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst.toEquivRange.symm ⟨k, hkf⟩) k
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ
x v : (i : ι) → E i
m : Fin n → (i : ι) → E i
e : Fin n.succ ↪ ι
k : ι
hke : k ∈ range ⇑e
hkf : k ∉ range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst
⊢ Fin.cons v m (e.toEquivRange.symm ⟨k, ⋯⟩) k =
    Function.update ((Pi.compRightL 𝕜 E Subtype.val) x) ((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd
      (v ↑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd) ⟨k, hkf⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ
x v : (i : ι) → E i
m : Fin n → (i : ι) → E i
e : Fin n.succ ↪ ι
k : ι
hke : k ∈ range ⇑e
hkf : k ∉ range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst
⊢ Fin.cons v m (e.toEquivRange.symm ⟨k, ⋯⟩) k =
    Function.update ((Pi.compRightL 𝕜 E Subtype.val) x) ((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd
      (v ↑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd) ⟨k, hkf⟩
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ
x v : (i : ι) → E i
m : Fin n → (i : ι) → E i
e : Fin n.succ ↪ ι
hke : e 0 ∈ range ⇑e
hkf : e 0 ∉ range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst
h : ⟨e 0, hkf⟩ = ((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd
⊢ v (e 0) = v ↑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ
x v : (i : ι) → E i
m : Fin n → (i : ι) → E i
e : Fin n.succ ↪ ι
hke : e 0 ∈ range ⇑e
hkf : e 0 ∉ range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst
h : ¬⟨e 0, hkf⟩ = ((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd
⊢ v (e 0) = x (e 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ
x v : (i : ι) → E i
m : Fin n → (i : ι) → E i
e : Fin n.succ ↪ ι
hke : e 0 ∈ range ⇑e
hkf : e 0 ∉ range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst
h : ⟨e 0, hkf⟩ = ((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd
⊢ v (e 0) = v ↑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ
x v : (i : ι) → E i
m : Fin n → (i : ι) → E i
e : Fin n.succ ↪ ι
hke : e 0 ∈ range ⇑e
hkf : e 0 ∉ range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst
h : ¬⟨e 0, hkf⟩ = ((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd
⊢ v (e 0) = x (e 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ
x v : (i : ι) → E i
m : Fin n → (i : ι) → E i
e : Fin n.succ ↪ ι
hke : e 0 ∈ range ⇑e
hkf : e 0 ∉ range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst
h : ¬⟨e 0, hkf⟩ = ((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd
⊢ v (e 0) = x (e 0)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ
x v : (i : ι) → E i
m : Fin n → (i : ι) → E i
e : Fin n.succ ↪ ι
k : ι
hke : k ∉ range ⇑e
⊢ (if h : k ∈ range ⇑e then Fin.cons v m (e.toEquivRange.symm ⟨k, ⋯⟩) k else x k) =
    if h : k ∈ range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst then
      m (((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst.toEquivRange.symm ⟨k, h⟩) k
    else
      Function.update ((Pi.compRightL 𝕜 E Subtype.val) x) ((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd
        (v ↑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd) ⟨k, h⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n : ℕ
x v : (i : ι) → E i
m : Fin n → (i : ι) → E i
e : Fin n.succ ↪ ι
k : ι
hke : k ∉ range ⇑e
⊢ (if h : k ∈ range ⇑e then Fin.cons v m (e.toEquivRange.symm ⟨k, ⋯⟩) k else x k) =
    if h : k ∈ range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst then
      m (((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst.toEquivRange.symm ⟨k, h⟩) k
    else
      Function.update ((Pi.compRightL 𝕜 E Subtype.val) x) ((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd
        (v ↑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).snd) ⟨k, h⟩
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case cont
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ ⊤ → Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] fun x ↦ f.iteratedFDeriv m x

Tactic:
·

Goal state after:
case cont
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ ⊤ → Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] fun x ↦ f.iteratedFDeriv m x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Slope

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s ∩ t)
x : 𝕜
H : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))

pp: case pos
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s ∩ t)
x : 𝕜
H : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s ∩ t)
x : 𝕜
H : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Slope

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s ∩ t)
x : 𝕜
H : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
H' : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))

pp: case pos
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s ∩ t)
x : 𝕜
H : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
H' : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s t : Set 𝕜
h : s ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s ∩ t)
x : 𝕜
H : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
H' : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ derivWithin f s x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.RestrictScalars

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜' f s x → ∃ g', restrictScalars 𝕜 g' = fderivWithin 𝕜 f s x

pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ (∃ g', restrictScalars 𝕜 g' = fderivWithin 𝕜 f s x) → DifferentiableWithinAt 𝕜' f s x

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜' f s x → ∃ g', restrictScalars 𝕜 g' = fderivWithin 𝕜 f s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case e'_2.a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E
x✝ : { s // s.card = n }
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ
⊢ ((p.changeOriginSeriesTerm 1 n ↑x✝ ⋯) fun x_1 ↦ x) (Fin.snoc ![] x) = (p (n + 1)) fun x_1 ↦ x

pp: case e'_3.e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E
⊢ n + 1 = Finset.univ.card

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_2.a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E
x✝ : { s // s.card = n }
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ
⊢ ((p.changeOriginSeriesTerm 1 n ↑x✝ ⋯) fun x_1 ↦ x) (Fin.snoc ![] x) = (p (n + 1)) fun x_1 ↦ x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.RestrictScalars

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ (∃ g', restrictScalars 𝕜 g' = fderivWithin 𝕜 f s x) → DifferentiableWithinAt 𝕜' f s x

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ (∃ g', restrictScalars 𝕜 g' = fderivWithin 𝕜 f s x) → DifferentiableWithinAt 𝕜' f s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case e'_3.e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E
⊢ n + 1 = Finset.univ.card

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_3.e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E
⊢ n + 1 = Finset.univ.card
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.RestrictScalars

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
x : E
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ DifferentiableAt 𝕜' f x ↔ ∃ g', restrictScalars 𝕜 g' = fderiv 𝕜 f x

Tactic:
rw [← differentiableWithinAt_univ, ← fderivWithin_univ]
  exact
    differentiableWithinAt_iff_restrictScalars 𝕜 hf.differentiableWithinAt uniqueDiffWithinAt_univ

Goal state after: