mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.LinearGrowth

Goal state before:
pp: case neg.refine_1
u : ℕ → EReal
v : ℕ → ℕ
h : Monotone u
hv : (linearGrowthInf fun n ↦ ↑(v n)) ≠ 0
v_0 : 0 < linearGrowthInf fun n ↦ ↑(v n)
u_0 : ¬u = ⊥
a : EReal
a_0 : 0 < a
a_v : a < linearGrowthInf fun n ↦ ↑(v n)
b : EReal
b_0 : 0 < b
a' : EReal
a_a' : a < a'
a_top' : a' ≠ ⊤
a_0' : 0 < a'
a_a_inv' : a'⁻¹ < a⁻¹
a_v' : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a' * ↑n ≤ ↑(v n)
b_u : ∃ᶠ (x : ℕ) in atTop, (b * ↑x ≤ u x ∧ 0 < x) ∧ ∃ m, a'⁻¹ * ↑x ≤ ↑m ∧ ↑m ≤ a⁻¹ * ↑x
M M' : ℕ
aM_M' : a' * ↑M ≤ ↑M'
n : ℕ
n_M' : M' ≤ n
bn_un : b * ↑n ≤ u n
right✝ : 0 < n
k : ℕ
an_k' : a'⁻¹ * ↑n ≤ ↑k
k_an : ↑k ≤ a⁻¹ * ↑n
⊢ M ≤ k

pp: case neg.refine_2
u : ℕ → EReal
v : ℕ → ℕ
h : Monotone u
hv : (linearGrowthInf fun n ↦ ↑(v n)) ≠ 0
v_0 : 0 < linearGrowthInf fun n ↦ ↑(v n)
u_0 : ¬u = ⊥
a : EReal
a_0 : 0 < a
a_v : a < linearGrowthInf fun n ↦ ↑(v n)
b : EReal
b_0 : 0 < b
a' : EReal
a_a' : a < a'
a_top' : a' ≠ ⊤
a_0' : 0 < a'
a_a_inv' : a'⁻¹ < a⁻¹
a_v' : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a' * ↑n ≤ ↑(v n)
b_u : ∃ᶠ (x : ℕ) in atTop, (b * ↑x ≤ u x ∧ 0 < x) ∧ ∃ m, a'⁻¹ * ↑x ≤ ↑m ∧ ↑m ≤ a⁻¹ * ↑x
M M' : ℕ
aM_M' : a' * ↑M ≤ ↑M'
n : ℕ
n_M' : M' ≤ n
bn_un : b * ↑n ≤ u n
right✝ : 0 < n
k : ℕ
an_k' : a'⁻¹ * ↑n ≤ ↑k
k_an : ↑k ≤ a⁻¹ * ↑n
ak_vk' : a' * ↑k ≤ ↑(v k)
⊢ a * b * ↑k ≤ (u ∘ v) k

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.refine_1
u : ℕ → EReal
v : ℕ → ℕ
h : Monotone u
hv : (linearGrowthInf fun n ↦ ↑(v n)) ≠ 0
v_0 : 0 < linearGrowthInf fun n ↦ ↑(v n)
u_0 : ¬u = ⊥
a : EReal
a_0 : 0 < a
a_v : a < linearGrowthInf fun n ↦ ↑(v n)
b : EReal
b_0 : 0 < b
a' : EReal
a_a' : a < a'
a_top' : a' ≠ ⊤
a_0' : 0 < a'
a_a_inv' : a'⁻¹ < a⁻¹
a_v' : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a' * ↑n ≤ ↑(v n)
b_u : ∃ᶠ (x : ℕ) in atTop, (b * ↑x ≤ u x ∧ 0 < x) ∧ ∃ m, a'⁻¹ * ↑x ≤ ↑m ∧ ↑m ≤ a⁻¹ * ↑x
M M' : ℕ
aM_M' : a' * ↑M ≤ ↑M'
n : ℕ
n_M' : M' ≤ n
bn_un : b * ↑n ≤ u n
right✝ : 0 < n
k : ℕ
an_k' : a'⁻¹ * ↑n ≤ ↑k
k_an : ↑k ≤ a⁻¹ * ↑n
⊢ M ≤ k
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Vitali

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) :=
  {u |
    u ⊆ t ∧
      u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
hu : Maximal (fun x ↦ x ∈ T) u
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
a' : ι
a'A : a' ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ a'
a'_ne_u : a' ∉ u
⊢ (insert a' u).PairwiseDisjoint B

pp: case refine_3
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) :=
  {u |
    u ⊆ t ∧
      u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
hu : Maximal (fun x ↦ x ∈ T) u
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
a' : ι
a'A : a' ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ a'
a'_ne_u : a' ∉ u
⊢ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ insert a' u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ insert a' u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) :=
  {u |
    u ⊆ t ∧
      u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
hu : Maximal (fun x ↦ x ∈ T) u
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
a' : ι
a'A : a' ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ a'
a'_ne_u : a' ∉ u
⊢ (insert a' u).PairwiseDisjoint B
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Vitali

Goal state before:
pp: case refine_3
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) :=
  {u |
    u ⊆ t ∧
      u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
hu : Maximal (fun x ↦ x ∈ T) u
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
a' : ι
a'A : a' ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ a'
a'_ne_u : a' ∉ u
⊢ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ insert a' u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ insert a' u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) :=
  {u |
    u ⊆ t ∧
      u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
hu : Maximal (fun x ↦ x ∈ T) u
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
a' : ι
a'A : a' ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ a'
a'_ne_u : a' ∉ u
⊢ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ insert a' u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ insert a' u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.LinearGrowth

Goal state before:
pp: case neg.refine_2
u : ℕ → EReal
v : ℕ → ℕ
h : Monotone u
hv : (linearGrowthInf fun n ↦ ↑(v n)) ≠ 0
v_0 : 0 < linearGrowthInf fun n ↦ ↑(v n)
u_0 : ¬u = ⊥
a : EReal
a_0 : 0 < a
a_v : a < linearGrowthInf fun n ↦ ↑(v n)
b : EReal
b_0 : 0 < b
a' : EReal
a_a' : a < a'
a_top' : a' ≠ ⊤
a_0' : 0 < a'
a_a_inv' : a'⁻¹ < a⁻¹
a_v' : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a' * ↑n ≤ ↑(v n)
b_u : ∃ᶠ (x : ℕ) in atTop, (b * ↑x ≤ u x ∧ 0 < x) ∧ ∃ m, a'⁻¹ * ↑x ≤ ↑m ∧ ↑m ≤ a⁻¹ * ↑x
M M' : ℕ
aM_M' : a' * ↑M ≤ ↑M'
n : ℕ
n_M' : M' ≤ n
bn_un : b * ↑n ≤ u n
right✝ : 0 < n
k : ℕ
an_k' : a'⁻¹ * ↑n ≤ ↑k
k_an : ↑k ≤ a⁻¹ * ↑n
ak_vk' : a' * ↑k ≤ ↑(v k)
⊢ a * b * ↑k ≤ (u ∘ v) k

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.refine_2
u : ℕ → EReal
v : ℕ → ℕ
h : Monotone u
hv : (linearGrowthInf fun n ↦ ↑(v n)) ≠ 0
v_0 : 0 < linearGrowthInf fun n ↦ ↑(v n)
u_0 : ¬u = ⊥
a : EReal
a_0 : 0 < a
a_v : a < linearGrowthInf fun n ↦ ↑(v n)
b : EReal
b_0 : 0 < b
a' : EReal
a_a' : a < a'
a_top' : a' ≠ ⊤
a_0' : 0 < a'
a_a_inv' : a'⁻¹ < a⁻¹
a_v' : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a' * ↑n ≤ ↑(v n)
b_u : ∃ᶠ (x : ℕ) in atTop, (b * ↑x ≤ u x ∧ 0 < x) ∧ ∃ m, a'⁻¹ * ↑x ≤ ↑m ∧ ↑m ≤ a⁻¹ * ↑x
M M' : ℕ
aM_M' : a' * ↑M ≤ ↑M'
n : ℕ
n_M' : M' ≤ n
bn_un : b * ↑n ≤ u n
right✝ : 0 < n
k : ℕ
an_k' : a'⁻¹ * ↑n ≤ ↑k
k_an : ↑k ≤ a⁻¹ * ↑n
ak_vk' : a' * ↑k ≤ ↑(v k)
⊢ a * b * ↑k ≤ (u ∘ v) k
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Vitali

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) :=
  {u |
    u ⊆ t ∧
      u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
hu : Maximal (fun x ↦ x ∈ T) u
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
a' : ι
a'A : a' ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ a'
a'_ne_u : a' ∉ u
c : ι
ct : c ∈ t
b : ι
ba'u : b ∈ insert a' u
hcb : (B c ∩ B b).Nonempty
H : ∃ d ∈ u, (B c ∩ B d).Nonempty
⊢ ∃ c_1 ∈ insert a' u, (B c ∩ B c_1).Nonempty ∧ δ c ≤ τ * δ c_1

pp: case neg
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) :=
  {u |
    u ⊆ t ∧
      u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
hu : Maximal (fun x ↦ x ∈ T) u
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
a' : ι
a'A : a' ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ a'
a'_ne_u : a' ∉ u
c : ι
ct : c ∈ t
b : ι
ba'u : b ∈ insert a' u
hcb : (B c ∩ B b).Nonempty
H : ∀ d ∈ u, B c ∩ B d = ∅
⊢ ∃ c_1 ∈ insert a' u, (B c ∩ B c_1).Nonempty ∧ δ c ≤ τ * δ c_1

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) :=
  {u |
    u ⊆ t ∧
      u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
hu : Maximal (fun x ↦ x ∈ T) u
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
a' : ι
a'A : a' ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ a'
a'_ne_u : a' ∉ u
c : ι
ct : c ∈ t
b : ι
ba'u : b ∈ insert a' u
hcb : (B c ∩ B b).Nonempty
H : ∃ d ∈ u, (B c ∩ B d).Nonempty
⊢ ∃ c_1 ∈ insert a' u, (B c ∩ B c_1).Nonempty ∧ δ c ≤ τ * δ c_1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.AEMeasurableOrder

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_2
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β
inst✝⁵ : DenselyOrdered β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
s : Set β
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
f : α → β
h :
  ∀ p ∈ s,
    ∀ q ∈ s, p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
this✝ : Encodable ↑s
u v : β → β → Set α
huv :
  ∀ (p q : β),
    MeasurableSet (u p q) ∧
      MeasurableSet (v p q) ∧
        {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → μ (u p q ∩ v p q) = 0)
u' : β → Set α := ⋯
u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i)
f' : α → β := ⋯
f'_meas : Measurable f'
t : Set α := ⋯
μt : μ t ≤ 0
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ t
x : α
hx : x ∉ t
⊢ ∀ (w : β), f x < w → ∃ i, (u' ↑i).piecewise (fun x ↦ ↑i) (fun x ↦ ⊤) x < w

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_2
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder β
inst✝⁵ : DenselyOrdered β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
s : Set β
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
f : α → β
h :
  ∀ p ∈ s,
    ∀ q ∈ s, p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
this✝ : Encodable ↑s
u v : β → β → Set α
huv :
  ∀ (p q : β),
    MeasurableSet (u p q) ∧
      MeasurableSet (v p q) ∧
        {x | f x < p} ⊆ u p q ∧ {x | q < f x} ⊆ v p q ∧ (p ∈ s → q ∈ s → p < q → μ (u p q ∩ v p q) = 0)
u' : β → Set α := ⋯
u'_meas : ∀ (i : β), MeasurableSet (u' i)
f' : α → β := ⋯
f'_meas : Measurable f'
t : Set α := ⋯
μt : μ t ≤ 0
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ t
x : α
hx : x ∉ t
⊢ ∀ (w : β), f x < w → ∃ i, (u' ↑i).piecewise (fun x ↦ ↑i) (fun x ↦ ⊤) x < w
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Vitali

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) :=
  {u |
    u ⊆ t ∧
      u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
hu : Maximal (fun x ↦ x ∈ T) u
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
a' : ι
a'A : a' ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ a'
a'_ne_u : a' ∉ u
c : ι
ct : c ∈ t
b : ι
ba'u : b ∈ insert a' u
hcb : (B c ∩ B b).Nonempty
H : ∀ d ∈ u, B c ∩ B d = ∅
⊢ ∃ c_1 ∈ insert a' u, (B c ∩ B c_1).Nonempty ∧ δ c ≤ τ * δ c_1

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) :=
  {u |
    u ⊆ t ∧
      u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
hu : Maximal (fun x ↦ x ∈ T) u
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
a' : ι
a'A : a' ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ a'
a'_ne_u : a' ∉ u
c : ι
ct : c ∈ t
b : ι
ba'u : b ∈ insert a' u
hcb : (B c ∩ B b).Nonempty
H : ∀ d ∈ u, B c ∩ B d = ∅
⊢ ∃ c_1 ∈ insert a' u, (B c ∩ B c_1).Nonempty ∧ δ c ≤ τ * δ c_1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Vitali

Goal state before:
pp: case neg.inl
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) :=
  {u |
    u ⊆ t ∧
      u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
hu : Maximal (fun x ↦ x ∈ T) u
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
c : ι
ct : c ∈ t
b : ι
hcb : (B c ∩ B b).Nonempty
H : ∀ d ∈ u, Disjoint (B c) (B d)
a'A : b ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ b
a'_ne_u : b ∉ u
ba'u : b ∈ insert b u
⊢ ∃ c_1 ∈ insert b u, (B c ∩ B c_1).Nonempty ∧ δ c ≤ τ * δ c_1

pp: case neg.inr
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) :=
  {u |
    u ⊆ t ∧
      u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
hu : Maximal (fun x ↦ x ∈ T) u
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
a' : ι
a'A : a' ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ a'
a'_ne_u : a' ∉ u
c : ι
ct : c ∈ t
b : ι
ba'u : b ∈ insert a' u
hcb : (B c ∩ B b).Nonempty
H : ∀ d ∈ u, Disjoint (B c) (B d)
H' : b ∈ u
⊢ ∃ c_1 ∈ insert a' u, (B c ∩ B c_1).Nonempty ∧ δ c ≤ τ * δ c_1

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.inl
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) :=
  {u |
    u ⊆ t ∧
      u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
hu : Maximal (fun x ↦ x ∈ T) u
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
c : ι
ct : c ∈ t
b : ι
hcb : (B c ∩ B b).Nonempty
H : ∀ d ∈ u, Disjoint (B c) (B d)
a'A : b ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ b
a'_ne_u : b ∉ u
ba'u : b ∈ insert b u
⊢ ∃ c_1 ∈ insert b u, (B c ∩ B c_1).Nonempty ∧ δ c ≤ τ * δ c_1
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.LinearGrowth

Goal state before:
pp: case pos
u : ℕ → EReal
v : ℕ → ℕ
a : EReal
h : Monotone u
hv : Tendsto (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop (𝓝 a)
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hv₁ : 0 < liminf (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop
v_top : Tendsto v atTop atTop
u_0 : u = ⊥
⊢ linearGrowthInf (u ∘ v) = a * linearGrowthInf u

pp: case neg
u : ℕ → EReal
v : ℕ → ℕ
a : EReal
h : Monotone u
hv : Tendsto (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop (𝓝 a)
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hv₁ : 0 < liminf (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop
v_top : Tendsto v atTop atTop
u_0 : ¬u = ⊥
⊢ linearGrowthInf (u ∘ v) = a * linearGrowthInf u

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
u : ℕ → EReal
v : ℕ → ℕ
a : EReal
h : Monotone u
hv : Tendsto (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop (𝓝 a)
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hv₁ : 0 < liminf (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop
v_top : Tendsto v atTop atTop
u_0 : u = ⊥
⊢ linearGrowthInf (u ∘ v) = a * linearGrowthInf u
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.LinearGrowth

Goal state before:
pp: case pos
u : ℕ → EReal
v : ℕ → ℕ
a : EReal
h : Monotone u
hv : Tendsto (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop (𝓝 a)
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hv₁ : 0 < liminf (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop
v_top : Tendsto v atTop atTop
u_0 : ¬u = ⊥
h' : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n ≤ 0
⊢ linearGrowthInf (u ∘ v) = a * linearGrowthInf u

pp: case neg
u : ℕ → EReal
v : ℕ → ℕ
a : EReal
h : Monotone u
hv : Tendsto (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop (𝓝 a)
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hv₁ : 0 < liminf (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop
v_top : Tendsto v atTop atTop
u_0 : ¬u = ⊥
h' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < u x
⊢ linearGrowthInf (u ∘ v) = a * linearGrowthInf u

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
u : ℕ → EReal
v : ℕ → ℕ
a : EReal
h : Monotone u
hv : Tendsto (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop (𝓝 a)
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hv₁ : 0 < liminf (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop
v_top : Tendsto v atTop atTop
u_0 : ¬u = ⊥
h' : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n ≤ 0
⊢ linearGrowthInf (u ∘ v) = a * linearGrowthInf u
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Vitali

Goal state before:
pp: case neg.inr
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) :=
  {u |
    u ⊆ t ∧
      u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
hu : Maximal (fun x ↦ x ∈ T) u
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
a' : ι
a'A : a' ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ a'
a'_ne_u : a' ∉ u
c : ι
ct : c ∈ t
b : ι
ba'u : b ∈ insert a' u
hcb : (B c ∩ B b).Nonempty
H : ∀ d ∈ u, Disjoint (B c) (B d)
H' : b ∈ u
⊢ ∃ c_1 ∈ insert a' u, (B c ∩ B c_1).Nonempty ∧ δ c ≤ τ * δ c_1

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.inr
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) :=
  {u |
    u ⊆ t ∧
      u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
hu : Maximal (fun x ↦ x ∈ T) u
A : Set ι := {a' | a' ∈ t ∧ ∀ c ∈ u, Disjoint (B a') (B c)}
Anonempty : A.Nonempty
m : ℝ := sSup (δ '' A)
bddA : BddAbove (δ '' A)
a' : ι
a'A : a' ∈ A
ha' : m / τ ≤ δ a'
a'_ne_u : a' ∉ u
c : ι
ct : c ∈ t
b : ι
ba'u : b ∈ insert a' u
hcb : (B c ∩ B b).Nonempty
H : ∀ d ∈ u, Disjoint (B c) (B d)
H' : b ∈ u
⊢ ∃ c_1 ∈ insert a' u, (B c ∩ B c_1).Nonempty ∧ δ c ≤ τ * δ c_1
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.LinearGrowth

Goal state before:
pp: case neg
u : ℕ → EReal
v : ℕ → ℕ
a : EReal
h : Monotone u
hv : Tendsto (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop (𝓝 a)
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hv₁ : 0 < liminf (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop
v_top : Tendsto v atTop atTop
u_0 : ¬u = ⊥
h' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < u x
⊢ linearGrowthInf (u ∘ v) = a * linearGrowthInf u

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
u : ℕ → EReal
v : ℕ → ℕ
a : EReal
h : Monotone u
hv : Tendsto (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop (𝓝 a)
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hv₁ : 0 < liminf (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop
v_top : Tendsto v atTop atTop
u_0 : ¬u = ⊥
h' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < u x
⊢ linearGrowthInf (u ∘ v) = a * linearGrowthInf u
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Vitali

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : ι → α
r : ι → ℝ
R τ : ℝ
hτ : 3 < τ
hr : ∀ a ∈ ∅, r a ≤ R
⊢ ∃ u ⊆ ∅,
    (u.PairwiseDisjoint fun a ↦ closedBall (x a) (r a)) ∧
      ∀ a ∈ ∅, ∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (τ * r b)

pp: case inr
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
t : Set ι
x : ι → α
r : ι → ℝ
R : ℝ
hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R
τ : ℝ
hτ : 3 < τ
h✝ : t.Nonempty
⊢ ∃ u ⊆ t,
    (u.PairwiseDisjoint fun a ↦ closedBall (x a) (r a)) ∧
      ∀ a ∈ t, ∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (τ * r b)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : ι → α
r : ι → ℝ
R τ : ℝ
hτ : 3 < τ
hr : ∀ a ∈ ∅, r a ≤ R
⊢ ∃ u ⊆ ∅,
    (u.PairwiseDisjoint fun a ↦ closedBall (x a) (r a)) ∧
      ∀ a ∈ ∅, ∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (τ * r b)
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.LinearGrowth

Goal state before:
pp: case neg.a
u : ℕ → EReal
v : ℕ → ℕ
a : EReal
h : Monotone u
hv : Tendsto (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop (𝓝 a)
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hv₁ : 0 < liminf (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop
v_top : Tendsto v atTop atTop
u_0 : ¬u = ⊥
h' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 ≤ u x
⊢ linearGrowthInf (u ∘ v) ≤ a * linearGrowthInf u

pp: case a
u : ℕ → EReal
v : ℕ → ℕ
a : EReal
h : Monotone u
hv : Tendsto (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop (𝓝 a)
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hv₁ : 0 < liminf (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop
v_top : Tendsto v atTop atTop
u_0 : ¬u = ⊥
h' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 ≤ u x
⊢ a * linearGrowthInf u ≤ linearGrowthInf (u ∘ v)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.a
u : ℕ → EReal
v : ℕ → ℕ
a : EReal
h : Monotone u
hv : Tendsto (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop (𝓝 a)
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hv₁ : 0 < liminf (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop
v_top : Tendsto v atTop atTop
u_0 : ¬u = ⊥
h' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 ≤ u x
⊢ linearGrowthInf (u ∘ v) ≤ a * linearGrowthInf u
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Average

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ = 0
⊢ μ univ * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ

pp: case inr
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
⊢ μ univ * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ = 0
⊢ μ univ * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Vitali

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
t : Set ι
x : ι → α
r : ι → ℝ
R : ℝ
hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R
τ : ℝ
hτ : 3 < τ
h✝ : t.Nonempty
ht : ∀ a ∈ t, r a < 0
⊢ ∃ u ⊆ t,
    (u.PairwiseDisjoint fun a ↦ closedBall (x a) (r a)) ∧
      ∀ a ∈ t, ∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (τ * r b)

pp: case neg
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
t : Set ι
x : ι → α
r : ι → ℝ
R : ℝ
hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R
τ : ℝ
hτ : 3 < τ
h✝ : t.Nonempty
ht : ∃ a ∈ t, 0 ≤ r a
⊢ ∃ u ⊆ t,
    (u.PairwiseDisjoint fun a ↦ closedBall (x a) (r a)) ∧
      ∀ a ∈ t, ∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (τ * r b)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
t : Set ι
x : ι → α
r : ι → ℝ
R : ℝ
hr : ∀ a ∈ t, r a ≤ R
τ : ℝ
hτ : 3 < τ
h✝ : t.Nonempty
ht : ∀ a ∈ t, r a < 0
⊢ ∃ u ⊆ t,
    (u.PairwiseDisjoint fun a ↦ closedBall (x a) (r a)) ∧
      ∀ a ∈ t, ∃ b ∈ u, closedBall (x a) (r a) ⊆ closedBall (x b) (τ * r b)
Module: Mathlib.Analysis.Asymptotics.LinearGrowth

Goal state before:
pp: case a
u : ℕ → EReal
v : ℕ → ℕ
a : EReal
h : Monotone u
hv : Tendsto (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop (𝓝 a)
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hv₁ : 0 < liminf (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop
v_top : Tendsto v atTop atTop
u_0 : ¬u = ⊥
h' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 ≤ u x
⊢ a * linearGrowthInf u ≤ linearGrowthInf (u ∘ v)

Tactic:
·

Goal state after:
case a
u : ℕ → EReal
v : ℕ → ℕ
a : EReal
h : Monotone u
hv : Tendsto (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop (𝓝 a)
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hv₁ : 0 < liminf (fun n ↦ ↑(v n) / ↑n) atTop
v_top : Tendsto v atTop atTop
u_0 : ¬u = ⊥
h' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 ≤ u x
⊢ a * linearGrowthInf u ≤ linearGrowthInf (u ∘ v)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Average

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
⊢ μ univ * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
⊢ μ univ * ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ