mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DominatedConvergence

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∈ Icc b₁ b₂
h₁₂ : b₁ ≤ b₂
min₁₂ : min b₁ b₂ = b₁
h_int' : ∀ {x : ℝ}, x ∈ Icc b₁ b₂ → IntervalIntegrable f μ b₁ x
this :
  (fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b, f x ∂μ) =ᶠ[𝓝[Icc b₁ b₂] b₀] fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b₂, {x | x ≤ b}.indicator f x ∂μ
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[Icc b₁ b₂] b₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι b₁ b₂ → ‖{x_1 | x_1 ≤ x}.indicator f t‖ ≤ ‖f t‖

pp: case refine_3
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∈ Icc b₁ b₂
h₁₂ : b₁ ≤ b₂
min₁₂ : min b₁ b₂ = b₁
h_int' : ∀ {x : ℝ}, x ∈ Icc b₁ b₂ → IntervalIntegrable f μ b₁ x
this :
  (fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b, f x ∂μ) =ᶠ[𝓝[Icc b₁ b₂] b₀] fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b₂, {x | x ≤ b}.indicator f x ∂μ
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι b₁ b₂ → ContinuousWithinAt (fun x ↦ {x_1 | x_1 ≤ x}.indicator f t) (Icc b₁ b₂) b₀

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∈ Icc b₁ b₂
h₁₂ : b₁ ≤ b₂
min₁₂ : min b₁ b₂ = b₁
h_int' : ∀ {x : ℝ}, x ∈ Icc b₁ b₂ → IntervalIntegrable f μ b₁ x
this :
  (fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b, f x ∂μ) =ᶠ[𝓝[Icc b₁ b₂] b₀] fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b₂, {x | x ≤ b}.indicator f x ∂μ
⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[Icc b₁ b₂] b₀, ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι b₁ b₂ → ‖{x_1 | x_1 ≤ x}.indicator f t‖ ≤ ‖f t‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DominatedConvergence

Goal state before:
pp: case refine_3
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∈ Icc b₁ b₂
h₁₂ : b₁ ≤ b₂
min₁₂ : min b₁ b₂ = b₁
h_int' : ∀ {x : ℝ}, x ∈ Icc b₁ b₂ → IntervalIntegrable f μ b₁ x
this :
  (fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b, f x ∂μ) =ᶠ[𝓝[Icc b₁ b₂] b₀] fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b₂, {x | x ≤ b}.indicator f x ∂μ
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι b₁ b₂ → ContinuousWithinAt (fun x ↦ {x_1 | x_1 ≤ x}.indicator f t) (Icc b₁ b₂) b₀

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∈ Icc b₁ b₂
h₁₂ : b₁ ≤ b₂
min₁₂ : min b₁ b₂ = b₁
h_int' : ∀ {x : ℝ}, x ∈ Icc b₁ b₂ → IntervalIntegrable f μ b₁ x
this :
  (fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b, f x ∂μ) =ᶠ[𝓝[Icc b₁ b₂] b₀] fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b₂, {x | x ≤ b}.indicator f x ∂μ
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι b₁ b₂ → ContinuousWithinAt (fun x ↦ {x_1 | x_1 ≤ x}.indicator f t) (Icc b₁ b₂) b₀
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DominatedConvergence

Goal state before:
pp: case refine_3.inl
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∈ Icc b₁ b₂
h₁₂ : b₁ ≤ b₂
min₁₂ : min b₁ b₂ = b₁
h_int' : ∀ {x : ℝ}, x ∈ Icc b₁ b₂ → IntervalIntegrable f μ b₁ x
this✝ :
  (fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b, f x ∂μ) =ᶠ[𝓝[Icc b₁ b₂] b₀] fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b₂, {x | x ≤ b}.indicator f x ∂μ
this : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t < b₀ ∨ b₀ < t
x₀ : ℝ
hx₀ : x₀ < b₀
⊢ ContinuousWithinAt (fun x ↦ {x_1 | x_1 ≤ x}.indicator f x₀) (Icc b₁ b₂) b₀

pp: case refine_3.inr
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∈ Icc b₁ b₂
h₁₂ : b₁ ≤ b₂
min₁₂ : min b₁ b₂ = b₁
h_int' : ∀ {x : ℝ}, x ∈ Icc b₁ b₂ → IntervalIntegrable f μ b₁ x
this✝ :
  (fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b, f x ∂μ) =ᶠ[𝓝[Icc b₁ b₂] b₀] fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b₂, {x | x ≤ b}.indicator f x ∂μ
this : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t < b₀ ∨ b₀ < t
x₀ : ℝ
hx₀ : b₀ < x₀
⊢ ContinuousWithinAt (fun x ↦ {x_1 | x_1 ≤ x}.indicator f x₀) (Icc b₁ b₂) b₀

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3.inl
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∈ Icc b₁ b₂
h₁₂ : b₁ ≤ b₂
min₁₂ : min b₁ b₂ = b₁
h_int' : ∀ {x : ℝ}, x ∈ Icc b₁ b₂ → IntervalIntegrable f μ b₁ x
this✝ :
  (fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b, f x ∂μ) =ᶠ[𝓝[Icc b₁ b₂] b₀] fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b₂, {x | x ≤ b}.indicator f x ∂μ
this : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t < b₀ ∨ b₀ < t
x₀ : ℝ
hx₀ : x₀ < b₀
⊢ ContinuousWithinAt (fun x ↦ {x_1 | x_1 ≤ x}.indicator f x₀) (Icc b₁ b₂) b₀
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DominatedConvergence

Goal state before:
pp: case refine_3.inr
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∈ Icc b₁ b₂
h₁₂ : b₁ ≤ b₂
min₁₂ : min b₁ b₂ = b₁
h_int' : ∀ {x : ℝ}, x ∈ Icc b₁ b₂ → IntervalIntegrable f μ b₁ x
this✝ :
  (fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b, f x ∂μ) =ᶠ[𝓝[Icc b₁ b₂] b₀] fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b₂, {x | x ≤ b}.indicator f x ∂μ
this : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t < b₀ ∨ b₀ < t
x₀ : ℝ
hx₀ : b₀ < x₀
⊢ ContinuousWithinAt (fun x ↦ {x_1 | x_1 ≤ x}.indicator f x₀) (Icc b₁ b₂) b₀

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3.inr
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∈ Icc b₁ b₂
h₁₂ : b₁ ≤ b₂
min₁₂ : min b₁ b₂ = b₁
h_int' : ∀ {x : ℝ}, x ∈ Icc b₁ b₂ → IntervalIntegrable f μ b₁ x
this✝ :
  (fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b, f x ∂μ) =ᶠ[𝓝[Icc b₁ b₂] b₀] fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b₂, {x | x ≤ b}.indicator f x ∂μ
this : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t < b₀ ∨ b₀ < t
x₀ : ℝ
hx₀ : b₀ < x₀
⊢ ContinuousWithinAt (fun x ↦ {x_1 | x_1 ≤ x}.indicator f x₀) (Icc b₁ b₂) b₀
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case inl
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
h₁f : ∀ (x : ℝ), f x = f (-x)
h₂f : ∀ (x : ℝ), 0 < x → IntervalIntegrable f volume 0 x
t : ℝ
ht : ‖f (min 0 t)‖ₑ ≠ ∞
h : t < 0
⊢ IntervalIntegrable f volume 0 t

pp: case inr.inl
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
h₁f : ∀ (x : ℝ), f x = f (-x)
h₂f : ∀ (x : ℝ), 0 < x → IntervalIntegrable f volume 0 x
t : ℝ
ht : ‖f (min 0 t)‖ₑ ≠ ∞
h : t = 0
⊢ IntervalIntegrable f volume 0 t

pp: case inr.inr
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
h₁f : ∀ (x : ℝ), f x = f (-x)
h₂f : ∀ (x : ℝ), 0 < x → IntervalIntegrable f volume 0 x
t : ℝ
ht : ‖f (min 0 t)‖ₑ ≠ ∞
h : 0 < t
⊢ IntervalIntegrable f volume 0 t

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
h₁f : ∀ (x : ℝ), f x = f (-x)
h₂f : ∀ (x : ℝ), 0 < x → IntervalIntegrable f volume 0 x
t : ℝ
ht : ‖f (min 0 t)‖ₑ ≠ ∞
h : t < 0
⊢ IntervalIntegrable f volume 0 t
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inl
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
h₁f : ∀ (x : ℝ), f x = f (-x)
h₂f : ∀ (x : ℝ), 0 < x → IntervalIntegrable f volume 0 x
t : ℝ
ht : ‖f (min 0 t)‖ₑ ≠ ∞
h : t = 0
⊢ IntervalIntegrable f volume 0 t

pp: case inr.inr
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
h₁f : ∀ (x : ℝ), f x = f (-x)
h₂f : ∀ (x : ℝ), 0 < x → IntervalIntegrable f volume 0 x
t : ℝ
ht : ‖f (min 0 t)‖ₑ ≠ ∞
h : 0 < t
⊢ IntervalIntegrable f volume 0 t

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
h₁f : ∀ (x : ℝ), f x = f (-x)
h₂f : ∀ (x : ℝ), 0 < x → IntervalIntegrable f volume 0 x
t : ℝ
ht : ‖f (min 0 t)‖ₑ ≠ ∞
h : t = 0
⊢ IntervalIntegrable f volume 0 t
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.FundThmCalculus

Goal state before:
pp: case refine_1
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
ca cb : E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) volume
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t ↦
      ((∫ (x : ℝ) in t.1.1..t.1.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in t.2.1..t.2.2, f x) -
        ((t.1.2 - t.2.2) • cb - (t.1.1 - t.2.1) • ca)) =o[𝓝 ((a, b), a, b)]
    fun t ↦ ‖t.1.1 - t.2.1‖ + ‖t.1.2 - t.2.2‖
⊢ ∀ (x : (ℝ × ℝ) × ℝ × ℝ),
    ((∫ (x : ℝ) in x.1.1..x.1.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in x.2.1..x.2.2, f x) -
        ((x.1.2 - x.2.2) • cb - (x.1.1 - x.2.1) • ca) =
      ((∫ (x : ℝ) in x.1.1..x.1.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in x.2.1..x.2.2, f x) -
        ((snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (x.1 - x.2)

pp: case refine_2
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
ca cb : E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) volume
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t ↦
      ((∫ (x : ℝ) in t.1.1..t.1.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in t.2.1..t.2.2, f x) -
        ((t.1.2 - t.2.2) • cb - (t.1.1 - t.2.1) • ca)) =o[𝓝 ((a, b), a, b)]
    fun t ↦ ‖t.1.1 - t.2.1‖ + ‖t.1.2 - t.2.2‖
⊢ (fun t ↦ ‖t.1.1 - t.2.1‖ + ‖t.1.2 - t.2.2‖) =O[𝓝 ((a, b), a, b)] fun p ↦ p.1 - p.2

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
ca cb : E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) volume
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t ↦
      ((∫ (x : ℝ) in t.1.1..t.1.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in t.2.1..t.2.2, f x) -
        ((t.1.2 - t.2.2) • cb - (t.1.1 - t.2.1) • ca)) =o[𝓝 ((a, b), a, b)]
    fun t ↦ ‖t.1.1 - t.2.1‖ + ‖t.1.2 - t.2.2‖
⊢ ∀ (x : (ℝ × ℝ) × ℝ × ℝ),
    ((∫ (x : ℝ) in x.1.1..x.1.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in x.2.1..x.2.2, f x) -
        ((x.1.2 - x.2.2) • cb - (x.1.1 - x.2.1) • ca) =
      ((∫ (x : ℝ) in x.1.1..x.1.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in x.2.1..x.2.2, f x) -
        ((snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (x.1 - x.2)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DominatedConvergence

Goal state before:
pp: case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∉ Icc b₁ b₂
⊢ ContinuousWithinAt (fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) (Icc b₁ b₂) b₀

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∉ Icc b₁ b₂
⊢ ContinuousWithinAt (fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) (Icc b₁ b₂) b₀
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
h₁f : ∀ (x : ℝ), f x = f (-x)
h₂f : ∀ (x : ℝ), 0 < x → IntervalIntegrable f volume 0 x
t : ℝ
ht : ‖f (min 0 t)‖ₑ ≠ ∞
h : 0 < t
⊢ IntervalIntegrable f volume 0 t

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
h₁f : ∀ (x : ℝ), f x = f (-x)
h₂f : ∀ (x : ℝ), 0 < x → IntervalIntegrable f volume 0 x
t : ℝ
ht : ‖f (min 0 t)‖ₑ ≠ ∞
h : 0 < t
⊢ IntervalIntegrable f volume 0 t
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case inl
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
h₁f : ∀ (x : ℝ), -f x = f (-x)
h₂f : ∀ (x : ℝ), 0 < x → IntervalIntegrable f volume 0 x
t : ℝ
ht : ‖f (min 0 t)‖ₑ ≠ ∞
h : t < 0
⊢ IntervalIntegrable f volume 0 t

pp: case inr.inl
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
h₁f : ∀ (x : ℝ), -f x = f (-x)
h₂f : ∀ (x : ℝ), 0 < x → IntervalIntegrable f volume 0 x
t : ℝ
ht : ‖f (min 0 t)‖ₑ ≠ ∞
h : t = 0
⊢ IntervalIntegrable f volume 0 t

pp: case inr.inr
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
h₁f : ∀ (x : ℝ), -f x = f (-x)
h₂f : ∀ (x : ℝ), 0 < x → IntervalIntegrable f volume 0 x
t : ℝ
ht : ‖f (min 0 t)‖ₑ ≠ ∞
h : 0 < t
⊢ IntervalIntegrable f volume 0 t

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
h₁f : ∀ (x : ℝ), -f x = f (-x)
h₂f : ∀ (x : ℝ), 0 < x → IntervalIntegrable f volume 0 x
t : ℝ
ht : ‖f (min 0 t)‖ₑ ≠ ∞
h : t < 0
⊢ IntervalIntegrable f volume 0 t
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.FundThmCalculus

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
ca cb : E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) volume
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t ↦
      ((∫ (x : ℝ) in t.1.1..t.1.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in t.2.1..t.2.2, f x) -
        ((t.1.2 - t.2.2) • cb - (t.1.1 - t.2.1) • ca)) =o[𝓝 ((a, b), a, b)]
    fun t ↦ ‖t.1.1 - t.2.1‖ + ‖t.1.2 - t.2.2‖
⊢ (fun t ↦ ‖t.1.1 - t.2.1‖ + ‖t.1.2 - t.2.2‖) =O[𝓝 ((a, b), a, b)] fun p ↦ p.1 - p.2

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
ca cb : E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) volume
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t ↦
      ((∫ (x : ℝ) in t.1.1..t.1.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in t.2.1..t.2.2, f x) -
        ((t.1.2 - t.2.2) • cb - (t.1.1 - t.2.1) • ca)) =o[𝓝 ((a, b), a, b)]
    fun t ↦ ‖t.1.1 - t.2.1‖ + ‖t.1.2 - t.2.2‖
⊢ (fun t ↦ ‖t.1.1 - t.2.1‖ + ‖t.1.2 - t.2.2‖) =O[𝓝 ((a, b), a, b)] fun p ↦ p.1 - p.2
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.FundThmCalculus

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
ca cb : E
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) volume
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t ↦
      ((∫ (x : ℝ) in t.1.1..t.1.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in t.2.1..t.2.2, f x) -
        ((t.1.2 - t.2.2) • cb - (t.1.1 - t.2.1) • ca)) =o[𝓝 ((a, b), a, b)]
    fun t ↦ ‖t.1.1 - t.2.1‖ + ‖t.1.2 - t.2.2‖
⊢ (fun t ↦ ‖t.1.1 - t.2.1‖ + ‖t.1.2 - t.2.2‖) =O[𝓝 ((a, b), a, b)] fun p ↦ p.1 - p.2

Tactic:
exact isBigO_fst_prod.norm_left.add isBigO_snd_prod.norm_left

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inl
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
h₁f : ∀ (x : ℝ), -f x = f (-x)
h₂f : ∀ (x : ℝ), 0 < x → IntervalIntegrable f volume 0 x
t : ℝ
ht : ‖f (min 0 t)‖ₑ ≠ ∞
h : t = 0
⊢ IntervalIntegrable f volume 0 t

pp: case inr.inr
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
h₁f : ∀ (x : ℝ), -f x = f (-x)
h₂f : ∀ (x : ℝ), 0 < x → IntervalIntegrable f volume 0 x
t : ℝ
ht : ‖f (min 0 t)‖ₑ ≠ ∞
h : 0 < t
⊢ IntervalIntegrable f volume 0 t

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
h₁f : ∀ (x : ℝ), -f x = f (-x)
h₂f : ∀ (x : ℝ), 0 < x → IntervalIntegrable f volume 0 x
t : ℝ
ht : ‖f (min 0 t)‖ₑ ≠ ∞
h : t = 0
⊢ IntervalIntegrable f volume 0 t
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
h₁f : ∀ (x : ℝ), -f x = f (-x)
h₂f : ∀ (x : ℝ), 0 < x → IntervalIntegrable f volume 0 x
t : ℝ
ht : ‖f (min 0 t)‖ₑ ≠ ∞
h : 0 < t
⊢ IntervalIntegrable f volume 0 t

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
h₁f : ∀ (x : ℝ), -f x = f (-x)
h₂f : ∀ (x : ℝ), 0 < x → IntervalIntegrable f volume 0 x
t : ℝ
ht : ‖f (min 0 t)‖ₑ ≠ ∞
h : 0 < t
⊢ IntervalIntegrable f volume 0 t
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
h : a ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 1 • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ

pp: case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
h : ¬a ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = -1 • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
h : a ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 1 • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
h : ¬a ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = -1 • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
h : ¬a ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = -1 • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.FundThmCalculus

Goal state before:
pp: case refine_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
ca cb : E
la lb : Filter ℝ
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb volume
ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t ↦
      ((∫ (x : ℝ) in t.1..t.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((t.2 - b) • cb - (t.1 - a) • ca)) =o[𝓝[s ×ˢ t] (a, b)]
    fun t ↦ ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖
⊢ ∀ (x : ℝ × ℝ),
    ((∫ (x : ℝ) in x.1..x.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((x.2 - b) • cb - (x.1 - a) • ca) =
      ((∫ (x : ℝ) in x.1..x.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in (a, b).1..(a, b).2, f x) -
        ((snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (x - (a, b))

pp: case refine_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
ca cb : E
la lb : Filter ℝ
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb volume
ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t ↦
      ((∫ (x : ℝ) in t.1..t.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((t.2 - b) • cb - (t.1 - a) • ca)) =o[𝓝[s ×ˢ t] (a, b)]
    fun t ↦ ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖
⊢ (fun t ↦ ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖) =O[𝓝[s ×ˢ t] (a, b)] fun x' ↦ x' - (a, b)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
ca cb : E
la lb : Filter ℝ
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb volume
ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t ↦
      ((∫ (x : ℝ) in t.1..t.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((t.2 - b) • cb - (t.1 - a) • ca)) =o[𝓝[s ×ˢ t] (a, b)]
    fun t ↦ ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖
⊢ ∀ (x : ℝ × ℝ),
    ((∫ (x : ℝ) in x.1..x.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((x.2 - b) • cb - (x.1 - a) • ca) =
      ((∫ (x : ℝ) in x.1..x.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in (a, b).1..(a, b).2, f x) -
        ((snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (x - (a, b))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.FundThmCalculus

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
ca cb : E
la lb : Filter ℝ
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb volume
ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t ↦
      ((∫ (x : ℝ) in t.1..t.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((t.2 - b) • cb - (t.1 - a) • ca)) =o[𝓝[s ×ˢ t] (a, b)]
    fun t ↦ ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖
⊢ (fun t ↦ ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖) =O[𝓝[s ×ˢ t] (a, b)] fun x' ↦ x' - (a, b)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
ca cb : E
la lb : Filter ℝ
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb volume
ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t ↦
      ((∫ (x : ℝ) in t.1..t.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((t.2 - b) • cb - (t.1 - a) • ca)) =o[𝓝[s ×ˢ t] (a, b)]
    fun t ↦ ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖
⊢ (fun t ↦ ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖) =O[𝓝[s ×ˢ t] (a, b)] fun x' ↦ x' - (a, b)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.FundThmCalculus

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
ca cb : E
la lb : Filter ℝ
a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb volume
ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this :
  (fun t ↦
      ((∫ (x : ℝ) in t.1..t.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((t.2 - b) • cb - (t.1 - a) • ca)) =o[𝓝[s ×ˢ t] (a, b)]
    fun t ↦ ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖
⊢ (fun t ↦ ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖) =O[𝓝[s ×ˢ t] (a, b)] fun x' ↦ x' - (a, b)

Tactic:
exact isBigO_fst_prod.norm_left.add isBigO_snd_prod.norm_left

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b C : ℝ
f : ℝ → E
h : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ι a b → ‖f x‖ ≤ C
⊢ C * |b - a| = C * volume.real (Ι a b)

pp: E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b C : ℝ
f : ℝ → E
h : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ι a b → ‖f x‖ ≤ C
⊢ volume (Ι a b) < ∞

Tactic:
·

Goal state after:
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b C : ℝ
f : ℝ → E
h : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ι a b → ‖f x‖ ≤ C
⊢ C * |b - a| = C * volume.real (Ι a b)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b C : ℝ
f : ℝ → E
h : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ι a b → ‖f x‖ ≤ C
⊢ volume (Ι a b) < ∞

Tactic:
·

Goal state after:
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b C : ℝ
f : ℝ → E
h : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ι a b → ‖f x‖ ≤ C
⊢ volume (Ι a b) < ∞