mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 V
f : U →ₗ[𝕜] V
g : V →ₗ[𝕜] W
h : finrank 𝕜 U = finrank 𝕜 V
htop : f.range = ⊤
⊢ (g ∘ₗ f).normDet = g.normDet * f.normDet

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 V
f : U →ₗ[𝕜] V
g : V →ₗ[𝕜] W
h : finrank 𝕜 U = finrank 𝕜 V
htop : ¬f.range = ⊤
⊢ (g ∘ₗ f).normDet = g.normDet * f.normDet

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 V
f : U →ₗ[𝕜] V
g : V →ₗ[𝕜] W
h : finrank 𝕜 U = finrank 𝕜 V
htop : f.range = ⊤
⊢ (g ∘ₗ f).normDet = g.normDet * f.normDet
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 V
f : U →ₗ[𝕜] V
g : V →ₗ[𝕜] W
h : finrank 𝕜 U = finrank 𝕜 V
htop : ¬f.range = ⊤
⊢ (g ∘ₗ f).normDet = g.normDet * f.normDet

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 V
f : U →ₗ[𝕜] V
g : V →ₗ[𝕜] W
h : finrank 𝕜 U = finrank 𝕜 V
htop : ¬f.range = ⊤
⊢ (g ∘ₗ f).normDet = g.normDet * f.normDet
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case inl
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
hr₀ : 0 ≤ ↑0
hrc : ↑0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
⊢ ↑0 ^ d₂ / ↑0 ^ d₁ ≤ ↑c

pp: case inr
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
r : ℝ≥0
hr₀✝ : 0 ≤ ↑r
hrc : ↑r < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
hr₀ : r ≠ 0
⊢ ↑r ^ d₂ / ↑r ^ d₁ ≤ ↑c

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
hr₀ : 0 ≤ ↑0
hrc : ↑0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
⊢ ↑0 ^ d₂ / ↑0 ^ d₁ ≤ ↑c
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case inl.inl
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
hr₀ : 0 ≤ ↑0
hrc : ↑0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
h₂ : 0 < d₂
⊢ ↑0 ^ d₂ / ↑0 ^ d₁ ≤ ↑c

pp: case inl.inr
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
hr₀ : 0 ≤ ↑0
hrc : ↑0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
h₂ : d₂ ≤ 0
⊢ ↑0 ^ d₂ / ↑0 ^ d₁ ≤ ↑c

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.inl
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
hr₀ : 0 ≤ ↑0
hrc : ↑0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
h₂ : 0 < d₂
⊢ ↑0 ^ d₂ / ↑0 ^ d₁ ≤ ↑c
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case inl.inr
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
hr₀ : 0 ≤ ↑0
hrc : ↑0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
h₂ : d₂ ≤ 0
⊢ ↑0 ^ d₂ / ↑0 ^ d₁ ≤ ↑c

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.inr
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
hr₀ : 0 ≤ ↑0
hrc : ↑0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
h₂ : d₂ ≤ 0
⊢ ↑0 ^ d₂ / ↑0 ^ d₁ ≤ ↑c
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Reproducing

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
x y : X
⊢ ‖adjoint (kerFun H x) ∘SL kerFun H y‖ ≤ √‖kernel H x x‖ * √‖kernel H y y‖

Tactic:
opNorm_comp_le

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
x y : X
⊢ ‖adjoint (kerFun H x)‖ * ‖kerFun H y‖ ≤ √‖kernel H x x‖ * √‖kernel H y y‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case inr
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
r : ℝ≥0
hr₀✝ : 0 ≤ ↑r
hrc : ↑r < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
hr₀ : r ≠ 0
⊢ ↑r ^ d₂ / ↑r ^ d₁ ≤ ↑c

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
r : ℝ≥0
hr₀✝ : 0 ≤ ↑r
hrc : ↑r < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
hr₀ : r ≠ 0
⊢ ↑r ^ d₂ / ↑r ^ d₁ ≤ ↑c
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case inr
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this✝ : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
r : ℝ≥0
hr₀✝ : 0 ≤ ↑r
hrc : ↑r < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
hr₀ : r ≠ 0
this : ↑r ≠ 0
⊢ ↑r ^ d₂ / ↑r ^ d₁ ≤ ↑c

Tactic:
rw [← ENNReal.rpow_sub _ _ this ENNReal.coe_ne_top]

Goal state after:
case inr
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this✝ : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
r : ℝ≥0
hr₀✝ : 0 ≤ ↑r
hrc : ↑r < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
hr₀ : r ≠ 0
this : ↑r ≠ 0
⊢ ↑r ^ (d₂ - d₁) ≤ ↑c
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: case pos
U : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ U
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ U
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MeasurableSpace U
inst✝² : BorelSpace U
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f : U →ₗ[ℝ] V
s : Set U
h : f.ker = ⊥
⊢ μH[↑(finrank ℝ U)] (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal f.normDet * μH[↑(finrank ℝ U)] s

pp: case neg
U : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ U
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ U
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MeasurableSpace U
inst✝² : BorelSpace U
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f : U →ₗ[ℝ] V
s : Set U
h : ¬f.ker = ⊥
⊢ μH[↑(finrank ℝ U)] (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal f.normDet * μH[↑(finrank ℝ U)] s

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
U : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ U
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ U
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MeasurableSpace U
inst✝² : BorelSpace U
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f : U →ₗ[ℝ] V
s : Set U
h : f.ker = ⊥
⊢ μH[↑(finrank ℝ U)] (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal f.normDet * μH[↑(finrank ℝ U)] s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case inl
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ : ℝ
s : Set X
h : d₁ ≤ d₁
⊢ μH[d₁] s ≤ μH[d₁] s

pp: case inr
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h✝ : d₁ ≤ d₂
s : Set X
h : d₁ < d₂
⊢ μH[d₂] s ≤ μH[d₁] s

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ : ℝ
s : Set X
h : d₁ ≤ d₁
⊢ μH[d₁] s ≤ μH[d₁] s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case refine_1
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝ : 0 < ε
⊢ {x} ⊆ ⋃ n, (fun x_1 ↦ {x}) n

pp: case refine_2
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝¹ : 0 < ε
x✝ : ℕ
⊢ ediam ((fun x_1 ↦ {x}) x✝) ≤ ε

pp: case refine_3
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝ : 0 < ε
⊢ ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : ((fun x_1 ↦ {x}) n).Nonempty), ediam ((fun x_2 ↦ {x}) n) ^ d ≤ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝ : 0 < ε
⊢ {x} ⊆ ⋃ n, (fun x_1 ↦ {x}) n
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case refine_2
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝¹ : 0 < ε
x✝ : ℕ
⊢ ediam ((fun x_1 ↦ {x}) x✝) ≤ ε

pp: case refine_3
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝ : 0 < ε
⊢ ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : ((fun x_1 ↦ {x}) n).Nonempty), ediam ((fun x_2 ↦ {x}) n) ^ d ≤ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝¹ : 0 < ε
x✝ : ℕ
⊢ ediam ((fun x_1 ↦ {x}) x✝) ≤ ε
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case refine_3
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝ : 0 < ε
⊢ ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : ((fun x_1 ↦ {x}) n).Nonempty), ediam ((fun x_2 ↦ {x}) n) ^ d ≤ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝ : 0 < ε
⊢ ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : ((fun x_1 ↦ {x}) n).Nonempty), ediam ((fun x_2 ↦ {x}) n) ^ d ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.OfNorm

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E
⊢ Continuous fun r ↦ inner_ 𝕜 (↑r • x) y

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E
⊢ Continuous fun r ↦ (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y

pp: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E
X : ℚ
⊢ ((fun r ↦ inner_ 𝕜 (↑r • x) y) ∘ Rat.cast) X = ((fun r ↦ (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y) ∘ Rat.cast) X

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E
⊢ Continuous fun r ↦ inner_ 𝕜 (↑r • x) y
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case a
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
x : X
⊢ μH[0] {x} ≤ 1

pp: case a
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
x : X
⊢ 1 ≤ μH[0] {x}

Tactic:
·

Goal state after:
case a
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
x : X
⊢ μH[0] {x} ≤ 1
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.OfNorm

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E
⊢ Continuous fun r ↦ (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y

pp: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E
X : ℚ
⊢ ((fun r ↦ inner_ 𝕜 (↑r • x) y) ∘ Rat.cast) X = ((fun r ↦ (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y) ∘ Rat.cast) X

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E
⊢ Continuous fun r ↦ (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.OfNorm

Goal state before:
pp: case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E
X : ℚ
⊢ ((fun r ↦ inner_ 𝕜 (↑r • x) y) ∘ Rat.cast) X = ((fun r ↦ (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y) ∘ Rat.cast) X

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E
X : ℚ
⊢ ((fun r ↦ inner_ 𝕜 (↑r • x) y) ∘ Rat.cast) X = ((fun r ↦ (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y) ∘ Rat.cast) X
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.OfNorm

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : I = 0
⊢ innerProp' E I

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
⊢ innerProp' E I

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : I = 0
⊢ innerProp' E I
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case a
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
x : X
⊢ 1 ≤ μH[0] {x}

Tactic:
·

Goal state after:
case a
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
x : X
⊢ 1 ≤ μH[0] {x}
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: case neg
U : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ U
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ U
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MeasurableSpace U
inst✝² : BorelSpace U
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f : U →ₗ[ℝ] V
s : Set U
h : ¬f.ker = ⊥
⊢ μH[↑(finrank ℝ U)] (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal f.normDet * μH[↑(finrank ℝ U)] s

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
U : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ U
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ U
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MeasurableSpace U
inst✝² : BorelSpace U
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f : U →ₗ[ℝ] V
s : Set U
h : ¬f.ker = ⊥
⊢ μH[↑(finrank ℝ U)] (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal f.normDet * μH[↑(finrank ℝ U)] s
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Reproducing

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
s : X →₀ V →L[𝕜] V
⊢ IsSelfAdjoint ((s.sum fun i xi ↦ s.sum fun j xj ↦ star xi * kernel H i j * xj) - 0)

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
s : X →₀ V →L[𝕜] V
v : V
⊢ 0 ≤ ⟪((s.sum fun i xi ↦ s.sum fun j xj ↦ star xi * kernel H i j * xj) - 0) v, v⟫_𝕜

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
s : X →₀ V →L[𝕜] V
⊢ IsSelfAdjoint ((s.sum fun i xi ↦ s.sum fun j xj ↦ star xi * kernel H i j * xj) - 0)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case inl
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hs : ∅.Subsingleton
⊢ μH[d] ∅ ≤ 1

pp: case inr
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : X
hx : x ∈ s
⊢ μH[d] s ≤ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hs : ∅.Subsingleton
⊢ μH[d] ∅ ≤ 1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case inr
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : X
hx : x ∈ s
⊢ μH[d] s ≤ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : X
hx : x ∈ s
⊢ μH[d] s ≤ 1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case inr.inl
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
x : X
hx : x ∈ s
hd : 0 ≤ 0
⊢ μH[0] {x} ≤ 1

pp: case inr.inr
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : X
hx : x ∈ s
dpos : 0 < d
⊢ μH[d] {x} ≤ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
x : X
hx : x ∈ s
hd : 0 ≤ 0
⊢ μH[0] {x} ≤ 1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case inr.inr
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : X
hx : x ∈ s
dpos : 0 < d
⊢ μH[d] {x} ≤ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : X
hx : x ∈ s
dpos : 0 < d
⊢ μH[d] {x} ≤ 1
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Reproducing

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
s : X →₀ V →L[𝕜] V
v : V
⊢ 0 ≤ ⟪((s.sum fun i xi ↦ s.sum fun j xj ↦ star xi * kernel H i j * xj) - 0) v, v⟫_𝕜

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
s : X →₀ V →L[𝕜] V
v : V
⊢ 0 ≤ ⟪((s.sum fun i xi ↦ s.sum fun j xj ↦ star xi * kernel H i j * xj) - 0) v, v⟫_𝕜
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case inl
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] s

pp: case inr
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑C ^ d * μH[↑r * d] s

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case inl.inl
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f ∅
⊢ μH[d] (f '' ∅) ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] ∅

pp: case inl.inr
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] s

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.inl
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f ∅
⊢ μH[d] (f '' ∅) ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] ∅
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.StandardSubspace

Goal state before:
pp: case mp
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
ipc : InnerProductSpace ℂ H
x : H
S : ClosedSubmodule ℝ H
⊢ (∀ (u : H), -(I • u) ∈ S → inner ℝ u x = 0) → ∀ y ∈ S, ⟪y, x⟫.im = 0

pp: case mpr
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
ipc : InnerProductSpace ℂ H
x : H
S : ClosedSubmodule ℝ H
⊢ (∀ y ∈ S, ⟪y, x⟫.im = 0) → ∀ (u : H), -(I • u) ∈ S → inner ℝ u x = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
ipc : InnerProductSpace ℂ H
x : H
S : ClosedSubmodule ℝ H
⊢ (∀ (u : H), -(I • u) ∈ S → inner ℝ u x = 0) → ∀ y ∈ S, ⟪y, x⟫.im = 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Reproducing

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝ : CompleteSpace V
K : Matrix X X (V →L[𝕜] V)
h p1 p2 p3 : Prop
htfae : h → [p1, p2, p3].TFAE
tfae_1_to_2 : h ∧ p1 → h ∧ p2
tfae_2_to_3 : h ∧ p2 → h ∧ p3
tfae_3_to_1 : h ∧ p3 → h ∧ p1
⊢ [h ∧ p1, h ∧ p2, h ∧ p3].TFAE

Tactic:
tfae_finish

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.StandardSubspace

Goal state before:
pp: case mpr
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
ipc : InnerProductSpace ℂ H
x : H
S : ClosedSubmodule ℝ H
⊢ (∀ y ∈ S, ⟪y, x⟫.im = 0) → ∀ (u : H), -(I • u) ∈ S → inner ℝ u x = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
H : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup H
ipc : InnerProductSpace ℂ H
x : H
S : ClosedSubmodule ℝ H
⊢ (∀ y ∈ S, ⟪y, x⟫.im = 0) → ∀ (u : H), -(I • u) ∈ S → inner ℝ u x = 0