mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Data.Set.Piecewise

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
δ : α → Sort u_7
s : Set α
f g : (i : α) → δ i
inst✝² : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
inst✝¹ : DecidableEq α
j : α
inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ insert j s)
i : α
h : i = j
⊢ (if i = j ∨ i ∈ s then f i else g i) = update (fun i ↦ if i ∈ s then f i else g i) j (f j) i

pp: case neg
α : Type u_1
δ : α → Sort u_7
s : Set α
f g : (i : α) → δ i
inst✝² : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
inst✝¹ : DecidableEq α
j : α
inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ insert j s)
i : α
h : ¬i = j
⊢ (if i = j ∨ i ∈ s then f i else g i) = update (fun i ↦ if i ∈ s then f i else g i) j (f j) i

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
δ : α → Sort u_7
s : Set α
f g : (i : α) → δ i
inst✝² : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
inst✝¹ : DecidableEq α
j : α
inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ insert j s)
i : α
h : i = j
⊢ (if i = j ∨ i ∈ s then f i else g i) = update (fun i ↦ if i ∈ s then f i else g i) j (f j) i
Module: Mathlib.Data.Set.Piecewise

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
δ : α → Sort u_7
s : Set α
f g : (i : α) → δ i
inst✝² : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
inst✝¹ : DecidableEq α
j : α
inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ insert j s)
i : α
h : ¬i = j
⊢ (if i = j ∨ i ∈ s then f i else g i) = update (fun i ↦ if i ∈ s then f i else g i) j (f j) i

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
δ : α → Sort u_7
s : Set α
f g : (i : α) → δ i
inst✝² : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
inst✝¹ : DecidableEq α
j : α
inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ insert j s)
i : α
h : ¬i = j
⊢ (if i = j ∨ i ∈ s then f i else g i) = update (fun i ↦ if i ∈ s then f i else g i) j (f j) i
Module: Mathlib.Data.Set.Piecewise

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
inst✝¹ : (y : α) → Decidable (y ∈ {x})
inst✝ : DecidableEq α
f g : α → β
y : α
hy : y = x
⊢ {x}.piecewise f g y = update g x (f x) y

pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
inst✝¹ : (y : α) → Decidable (y ∈ {x})
inst✝ : DecidableEq α
f g : α → β
y : α
hy : ¬y = x
⊢ {x}.piecewise f g y = update g x (f x) y

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
inst✝¹ : (y : α) → Decidable (y ∈ {x})
inst✝ : DecidableEq α
f g : α → β
y : α
hy : y = x
⊢ {x}.piecewise f g y = update g x (f x) y
Module: Mathlib.Data.Set.Piecewise

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
inst✝¹ : (y : α) → Decidable (y ∈ {x})
inst✝ : DecidableEq α
f g : α → β
y : α
hy : ¬y = x
⊢ {x}.piecewise f g y = update g x (f x) y

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
inst✝¹ : (y : α) → Decidable (y ∈ {x})
inst✝ : DecidableEq α
f g : α → β
y : α
hy : ¬y = x
⊢ {x}.piecewise f g y = update g x (f x) y
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t t₁ : Set β
h : (s ×ˢ t).Nonempty
⊢ s ×ˢ t = s₁ ×ˢ t₁ → s = s₁ ∧ t = t₁

pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t t₁ : Set β
h : (s ×ˢ t).Nonempty
⊢ s = s₁ ∧ t = t₁ → s ×ˢ t = s₁ ×ˢ t₁

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t t₁ : Set β
h : (s ×ˢ t).Nonempty
⊢ s ×ˢ t = s₁ ×ˢ t₁ → s = s₁ ∧ t = t₁
Module: Mathlib.Data.Set.Image

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : β → α
hs : s ⊆ range f
⊢ f ⁻¹' s ⊆ f ⁻¹' t → s ⊆ t

pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : β → α
hs : s ⊆ range f
⊢ s ⊆ t → f ⁻¹' s ⊆ f ⁻¹' t

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : β → α
hs : s ⊆ range f
⊢ f ⁻¹' s ⊆ f ⁻¹' t → s ⊆ t
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t t₁ : Set β
h : (s ×ˢ t).Nonempty
⊢ s = s₁ ∧ t = t₁ → s ×ˢ t = s₁ ×ˢ t₁

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t t₁ : Set β
h : (s ×ˢ t).Nonempty
⊢ s = s₁ ∧ t = t₁ → s ×ˢ t = s₁ ×ˢ t₁
Module: Mathlib.Data.Set.Image

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : β → α
hs : s ⊆ range f
ht : t ⊆ range f
⊢ f ⁻¹' s = f ⁻¹' t → s = t

pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : β → α
hs : s ⊆ range f
ht : t ⊆ range f
⊢ s = t → f ⁻¹' s = f ⁻¹' t

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : β → α
hs : s ⊆ range f
ht : t ⊆ range f
⊢ f ⁻¹' s = f ⁻¹' t → s = t
Module: Mathlib.Data.Set.Image

Goal state before:
pp: case mp.h₁
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : β → α
hs : s ⊆ range f
ht : t ⊆ range f
h : f ⁻¹' s = f ⁻¹' t
⊢ s ⊆ t

pp: case mp.h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : β → α
hs : s ⊆ range f
ht : t ⊆ range f
h : f ⁻¹' s = f ⁻¹' t
⊢ t ⊆ s

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.h₁
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : β → α
hs : s ⊆ range f
ht : t ⊆ range f
h : f ⁻¹' s = f ⁻¹' t
⊢ s ⊆ t
Module: Mathlib.Data.Set.Image

Goal state before:
pp: case mp.h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : β → α
hs : s ⊆ range f
ht : t ⊆ range f
h : f ⁻¹' s = f ⁻¹' t
⊢ t ⊆ s

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : β → α
hs : s ⊆ range f
ht : t ⊆ range f
h : f ⁻¹' s = f ⁻¹' t
⊢ t ⊆ s
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t t₁ : Set β
h : s ×ˢ t = ∅
⊢ s = s₁ ∧ t = t₁ ∨ (s = ∅ ∨ t = ∅) ∧ (s₁ = ∅ ∨ t₁ = ∅) ↔ s ×ˢ t = s₁ ×ˢ t₁

pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t t₁ : Set β
h : (s ×ˢ t).Nonempty
⊢ s = s₁ ∧ t = t₁ ∨ (s = ∅ ∨ t = ∅) ∧ (s₁ = ∅ ∨ t₁ = ∅) ↔ s ×ˢ t = s₁ ×ˢ t₁

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
t t₁ : Set β
h : s ×ˢ t = ∅
⊢ s = s₁ ∧ t = t₁ ∨ (s = ∅ ∨ t = ∅) ∧ (s₁ = ∅ ∨ t₁ = ∅) ↔ s ×ˢ t = s₁ ×ˢ t₁
Module: Mathlib.Data.Set.Piecewise

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f g : α → β
y : β
⊢ y ∈ range (s.piecewise f g) → y ∈ f '' s ∪ g '' sᶜ

pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f g : α → β
y : β
⊢ y ∈ f '' s ∪ g '' sᶜ → y ∈ range (s.piecewise f g)

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f g : α → β
y : β
⊢ y ∈ range (s.piecewise f g) → y ∈ f '' s ∪ g '' sᶜ
Module: Mathlib.Data.Set.Piecewise

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f g : α → β
y : β
⊢ y ∈ f '' s ∪ g '' sᶜ → y ∈ range (s.piecewise f g)

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f g : α → β
y : β
⊢ y ∈ f '' s ∪ g '' sᶜ → y ∈ range (s.piecewise f g)
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
hβ : Nonempty β
f : α → β
hf : f ∈ {f | ∀ (x y : α), f x = f y}
h : IsEmpty α
⊢ ∃ a, const α a = f

pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
hβ : Nonempty β
f : α → β
hf : f ∈ {f | ∀ (x y : α), f x = f y}
a : α
⊢ ∃ a, const α a = f

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
hβ : Nonempty β
f : α → β
hf : f ∈ {f | ∀ (x y : α), f x = f y}
h : IsEmpty α
⊢ ∃ a, const α a = f
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
hβ : Nonempty β
f : α → β
hf : f ∈ {f | ∀ (x y : α), f x = f y}
a : α
⊢ ∃ a, const α a = f

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
hβ : Nonempty β
f : α → β
hf : f ∈ {f | ∀ (x y : α), f x = f y}
a : α
⊢ ∃ a, const α a = f
Module: Mathlib.Data.Set.Image

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
x✝ : β
⊢ x✝ ∈ f '' s → x✝ ∈ range fun x ↦ f ↑x

pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
x✝ : β
⊢ (x✝ ∈ range fun x ↦ f ↑x) → x✝ ∈ f '' s

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
x✝ : β
⊢ x✝ ∈ f '' s → x✝ ∈ range fun x ↦ f ↑x
Module: Mathlib.Data.Set.Image

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
x✝ : β
⊢ (x✝ ∈ range fun x ↦ f ↑x) → x✝ ∈ f '' s

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
s : Set α
x✝ : β
⊢ (x✝ ∈ range fun x ↦ f ↑x) → x✝ ∈ f '' s
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case mp
X : Type u_1
Y : Sort u_2
f : X → Y
s : Set X
x : Pullback f f
⊢ x ∈ toPullbackDiag f '' s → x ∈ pullbackDiagonal f ∩ Subtype.val ⁻¹' s ×ˢ s

pp: case mpr
X : Type u_1
Y : Sort u_2
f : X → Y
s : Set X
x : Pullback f f
⊢ x ∈ pullbackDiagonal f ∩ Subtype.val ⁻¹' s ×ˢ s → x ∈ toPullbackDiag f '' s

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
X : Type u_1
Y : Sort u_2
f : X → Y
s : Set X
x : Pullback f f
⊢ x ∈ toPullbackDiag f '' s → x ∈ pullbackDiagonal f ∩ Subtype.val ⁻¹' s ×ˢ s
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case mpr
X : Type u_1
Y : Sort u_2
f : X → Y
s : Set X
x : Pullback f f
⊢ x ∈ pullbackDiagonal f ∩ Subtype.val ⁻¹' s ×ˢ s → x ∈ toPullbackDiag f '' s

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
X : Type u_1
Y : Sort u_2
f : X → Y
s : Set X
x : Pullback f f
⊢ x ∈ pullbackDiagonal f ∩ Subtype.val ⁻¹' s ×ˢ s → x ∈ toPullbackDiag f '' s
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
s t : Set α
h : Disjoint s t
x : α × α
⊢ (x.1 ∈ s ∨ x.1 ∈ t) ∧ (x.2 ∈ s ∨ x.2 ∈ t) ∧ ¬x.1 = x.2 →
    ((x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ s ∧ ¬x.1 = x.2 ∨ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ t ∧ ¬x.1 = x.2) ∨ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t) ∨ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ s

pp: case mpr
α : Type u_1
s t : Set α
h : Disjoint s t
x : α × α
⊢ ((x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ s ∧ ¬x.1 = x.2 ∨ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ t ∧ ¬x.1 = x.2) ∨ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t) ∨ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ s →
    (x.1 ∈ s ∨ x.1 ∈ t) ∧ (x.2 ∈ s ∨ x.2 ∈ t) ∧ ¬x.1 = x.2

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
s t : Set α
h : Disjoint s t
x : α × α
⊢ (x.1 ∈ s ∨ x.1 ∈ t) ∧ (x.2 ∈ s ∨ x.2 ∈ t) ∧ ¬x.1 = x.2 →
    ((x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ s ∧ ¬x.1 = x.2 ∨ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ t ∧ ¬x.1 = x.2) ∨ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t) ∨ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ s
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
s t : Set α
h : Disjoint s t
x : α × α
⊢ ((x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ s ∧ ¬x.1 = x.2 ∨ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ t ∧ ¬x.1 = x.2) ∨ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t) ∨ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ s →
    (x.1 ∈ s ∨ x.1 ∈ t) ∧ (x.2 ∈ s ∨ x.2 ∈ t) ∧ ¬x.1 = x.2

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
s t : Set α
h : Disjoint s t
x : α × α
⊢ ((x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ s ∧ ¬x.1 = x.2 ∨ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ t ∧ ¬x.1 = x.2) ∨ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t) ∨ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ s →
    (x.1 ∈ s ∨ x.1 ∈ t) ∧ (x.2 ∈ s ∨ x.2 ∈ t) ∧ ¬x.1 = x.2
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
p : ι → Prop
h✝ : DecidablePred p
s : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
h : f ∈ s.pi fun i ↦ if p i then t₁ i else t₂ i
⊢ f ∈ {i | i ∈ s ∧ p i}.pi t₁ ∩ {i | i ∈ s ∧ ¬p i}.pi t₂

pp: case refine_2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
p : ι → Prop
h : DecidablePred p
s : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
⊢ f ∈ {i | i ∈ s ∧ p i}.pi t₁ ∩ {i | i ∈ s ∧ ¬p i}.pi t₂ → f ∈ s.pi fun i ↦ if p i then t₁ i else t₂ i

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
p : ι → Prop
h✝ : DecidablePred p
s : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
h : f ∈ s.pi fun i ↦ if p i then t₁ i else t₂ i
⊢ f ∈ {i | i ∈ s ∧ p i}.pi t₁ ∩ {i | i ∈ s ∧ ¬p i}.pi t₂
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case refine_1.left
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
p : ι → Prop
h✝ : DecidablePred p
s : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
h : f ∈ s.pi fun i ↦ if p i then t₁ i else t₂ i
⊢ f ∈ {i | i ∈ s ∧ p i}.pi t₁

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.left
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
p : ι → Prop
h✝ : DecidablePred p
s : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
h : f ∈ s.pi fun i ↦ if p i then t₁ i else t₂ i
⊢ f ∈ {i | i ∈ s ∧ p i}.pi t₁
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case refine_1.right
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
p : ι → Prop
h✝ : DecidablePred p
s : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
h : f ∈ s.pi fun i ↦ if p i then t₁ i else t₂ i
⊢ f ∈ {i | i ∈ s ∧ ¬p i}.pi t₂

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.right
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
p : ι → Prop
h✝ : DecidablePred p
s : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
h : f ∈ s.pi fun i ↦ if p i then t₁ i else t₂ i
⊢ f ∈ {i | i ∈ s ∧ ¬p i}.pi t₂
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
p : ι → Prop
h : DecidablePred p
s : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
⊢ f ∈ {i | i ∈ s ∧ p i}.pi t₁ ∩ {i | i ∈ s ∧ ¬p i}.pi t₂ → f ∈ s.pi fun i ↦ if p i then t₁ i else t₂ i

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
p : ι → Prop
h : DecidablePred p
s : Set ι
t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
⊢ f ∈ {i | i ∈ s ∧ p i}.pi t₁ ∩ {i | i ∈ s ∧ ¬p i}.pi t₂ → f ∈ s.pi fun i ↦ if p i then t₁ i else t₂ i
Module: Mathlib.Data.Set.Image

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
s t u : Set α
⊢ val ⁻¹' t ⊆ val ⁻¹' u → s ∩ t ⊆ s ∩ u

pp: case mpr
α : Type u_1
s t u : Set α
⊢ s ∩ t ⊆ s ∩ u → val ⁻¹' t ⊆ val ⁻¹' u

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
s t u : Set α
⊢ val ⁻¹' t ⊆ val ⁻¹' u → s ∩ t ⊆ s ∩ u
Module: Mathlib.Data.Set.Image

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
s t u : Set α
⊢ s ∩ t ⊆ s ∩ u → val ⁻¹' t ⊆ val ⁻¹' u

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
s t u : Set α
⊢ s ∩ t ⊆ s ∩ u → val ⁻¹' t ⊆ val ⁻¹' u
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case mp
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : Decidable (s.pi t).Nonempty
hi : ¬i ∈ s
xᵢ : α i
⊢ (∃ x, (∀ (i : ι), i ∈ s → x i ∈ t i) ∧ x i = xᵢ) → ∃ x, ∀ (i : ι), i ∈ s → x i ∈ t i

pp: case mpr
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : Decidable (s.pi t).Nonempty
hi : ¬i ∈ s
xᵢ : α i
⊢ (∃ x, ∀ (i : ι), i ∈ s → x i ∈ t i) → ∃ x, (∀ (i : ι), i ∈ s → x i ∈ t i) ∧ x i = xᵢ

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : Decidable (s.pi t).Nonempty
hi : ¬i ∈ s
xᵢ : α i
⊢ (∃ x, (∀ (i : ι), i ∈ s → x i ∈ t i) ∧ x i = xᵢ) → ∃ x, ∀ (i : ι), i ∈ s → x i ∈ t i
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case mpr
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : Decidable (s.pi t).Nonempty
hi : ¬i ∈ s
xᵢ : α i
⊢ (∃ x, ∀ (i : ι), i ∈ s → x i ∈ t i) → ∃ x, (∀ (i : ι), i ∈ s → x i ∈ t i) ∧ x i = xᵢ

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : Decidable (s.pi t).Nonempty
hi : ¬i ∈ s
xᵢ : α i
⊢ (∃ x, ∀ (i : ι), i ∈ s → x i ∈ t i) → ∃ x, (∀ (i : ι), i ∈ s → x i ∈ t i) ∧ x i = xᵢ
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
a : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i
ha : a ∈ s.pi t
⊢ update a i b ∈ s.pi t ↔ i ∈ s → b ∈ t i

Tactic:
rw [update_mem_pi_iff, and_iff_right]

Goal state after:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
a : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i
ha : a ∈ s.pi t
⊢ a ∈ (s \ {i}).pi t
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
f : α → β
h : Disjoint s₁ s₂
H : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
⊢ ∀ (x : α), x ∈ s₁ → ∀ (y : α), y ∈ s₂ → f x ≠ f y

pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
f : α → β
h : Disjoint s₁ s₂
⊢ (InjOn f s₁ ∧ InjOn f s₂ ∧ ∀ (x : α), x ∈ s₁ → ∀ (y : α), y ∈ s₂ → f x ≠ f y) → InjOn f (s₁ ∪ s₂)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
f : α → β
h : Disjoint s₁ s₂
H : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
⊢ ∀ (x : α), x ∈ s₁ → ∀ (y : α), y ∈ s₂ → f x ≠ f y
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
f : α → β
h : Disjoint s₁ s₂
⊢ (InjOn f s₁ ∧ InjOn f s₂ ∧ ∀ (x : α), x ∈ s₁ → ∀ (y : α), y ∈ s₂ → f x ≠ f y) → InjOn f (s₁ ∪ s₂)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
s₁ s₂ : Set α
f : α → β
h : Disjoint s₁ s₂
⊢ (InjOn f s₁ ∧ InjOn f s₂ ∧ ∀ (x : α), x ∈ s₁ → ∀ (y : α), y ∈ s₂ → f x ≠ f y) → InjOn f (s₁ ∪ s₂)
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
hi : i ∈ s
hf : ∀ (j : ι), j ∈ s → j ≠ i → f j ∈ t j
x : α i
h : x ∈ update f i ⁻¹' s.pi t
⊢ x ∈ t i

pp: case refine_2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
hi : i ∈ s
hf : ∀ (j : ι), j ∈ s → j ≠ i → f j ∈ t j
x : α i
hx : x ∈ t i
j : ι
hj : j ∈ s
⊢ update f i x j ∈ t j

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
hi : i ∈ s
hf : ∀ (j : ι), j ∈ s → j ≠ i → f j ∈ t j
x : α i
h : x ∈ update f i ⁻¹' s.pi t
⊢ x ∈ t i
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
hi : i ∈ s
hf : ∀ (j : ι), j ∈ s → j ≠ i → f j ∈ t j
x : α i
hx : x ∈ t i
j : ι
hj : j ∈ s
⊢ update f i x j ∈ t j

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
hi : i ∈ s
hf : ∀ (j : ι), j ∈ s → j ≠ i → f j ∈ t j
x : α i
hx : x ∈ t i
j : ι
hj : j ∈ s
⊢ update f i x j ∈ t j
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case refine_2.inl
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
j : ι
hj hi : j ∈ s
hf : ∀ (j_1 : ι), j_1 ∈ s → j_1 ≠ j → f j_1 ∈ t j_1
x : α j
hx : x ∈ t j
⊢ update f j x j ∈ t j

pp: case refine_2.inr
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
hi : i ∈ s
hf : ∀ (j : ι), j ∈ s → j ≠ i → f j ∈ t j
x : α i
hx : x ∈ t i
j : ι
hj : j ∈ s
h : j ≠ i
⊢ update f i x j ∈ t j

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.inl
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
j : ι
hj hi : j ∈ s
hf : ∀ (j_1 : ι), j_1 ∈ s → j_1 ≠ j → f j_1 ∈ t j_1
x : α j
hx : x ∈ t j
⊢ update f j x j ∈ t j
Module: Mathlib.Data.Set.Prod

Goal state before:
pp: case refine_2.inr
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
hi : i ∈ s
hf : ∀ (j : ι), j ∈ s → j ≠ i → f j ∈ t j
x : α i
hx : x ∈ t i
j : ι
hj : j ∈ s
h : j ≠ i
⊢ update f i x j ∈ t j

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.inr
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
hi : i ∈ s
hf : ∀ (j : ι), j ∈ s → j ≠ i → f j ∈ t j
x : α i
hx : x ∈ t i
j : ι
hj : j ∈ s
h : j ≠ i
⊢ update f i x j ∈ t j
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
s t u : Set α
f : α → β
h : Disjoint s t
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
⊢ Disjoint (f '' s) (f '' t)

Tactic:
rw [disjoint_iff_inter_eq_empty] at h ⊢
  rw [← hf.image_inter hs ht, h, image_empty]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
⊢ (∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)) ↔ InjOn Prod.fst s

Tactic:
refine ⟨?_, fun h ↦ ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
⊢ (∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)) → InjOn Prod.fst s

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
h : InjOn Prod.fst s
⊢ ∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
⊢ (∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)) → InjOn Prod.fst s

pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
h : InjOn Prod.fst s
⊢ ∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
⊢ (∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)) → InjOn Prod.fst s
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
h : InjOn Prod.fst s
⊢ ∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
h : InjOn Prod.fst s
⊢ ∃ f, s = graphOn f (Prod.fst '' s)
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s : Set α
t : Set β
f : α → β
p₁ : α → γ
p₂ : β → δ
g : γ → δ
comm : ∀ (a : α), p₂ (f a) = g (p₁ a)
hinj : InjOn g (p₁ '' s)
h1 : MapsTo f s t
h2 : InjOn f s
h3 : SurjOn f s t
⊢ MapsTo g (p₁ '' s) (p₂ '' t)

pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s : Set α
t : Set β
f : α → β
p₁ : α → γ
p₂ : β → δ
g : γ → δ
comm : ∀ (a : α), p₂ (f a) = g (p₁ a)
hinj : InjOn g (p₁ '' s)
h1 : MapsTo f s t
h2 : InjOn f s
h3 : SurjOn f s t
⊢ SurjOn g (p₁ '' s) (p₂ '' t)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s : Set α
t : Set β
f : α → β
p₁ : α → γ
p₂ : β → δ
g : γ → δ
comm : ∀ (a : α), p₂ (f a) = g (p₁ a)
hinj : InjOn g (p₁ '' s)
h1 : MapsTo f s t
h2 : InjOn f s
h3 : SurjOn f s t
⊢ MapsTo g (p₁ '' s) (p₂ '' t)
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s : Set α
t : Set β
f : α → β
p₁ : α → γ
p₂ : β → δ
g : γ → δ
comm : ∀ (a : α), p₂ (f a) = g (p₁ a)
hinj : InjOn g (p₁ '' s)
h1 : MapsTo f s t
h2 : InjOn f s
h3 : SurjOn f s t
⊢ SurjOn g (p₁ '' s) (p₂ '' t)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s : Set α
t : Set β
f : α → β
p₁ : α → γ
p₂ : β → δ
g : γ → δ
comm : ∀ (a : α), p₂ (f a) = g (p₁ a)
hinj : InjOn g (p₁ '' s)
h1 : MapsTo f s t
h2 : InjOn f s
h3 : SurjOn f s t
⊢ SurjOn g (p₁ '' s) (p₂ '' t)
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
a : α
ha : ¬a ∈ s
hfa : ¬f a ∈ t
h : BijOn f (insert a s) (insert (f a) t)
this : f '' s = t
⊢ BijOn f s t

pp: α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
a : α
ha : ¬a ∈ s
hfa : ¬f a ∈ t
h : BijOn f (insert a s) (insert (f a) t)
this : f '' s \ {f a} = t
⊢ ¬f a ∈ f '' s

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : α → β
a : α
ha : ¬a ∈ s
hfa : ¬f a ∈ t
h : BijOn f (insert a s) (insert (f a) t)
this : f '' s = t
⊢ BijOn f s t
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case h₁
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
f : α → β
f' : β → α
hf : LeftInvOn f' f s
⊢ f '' (s₁ ∩ s) ⊆ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s

pp: case h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
f : α → β
f' : β → α
hf : LeftInvOn f' f s
⊢ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s ⊆ f '' (s₁ ∩ s)

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
f : α → β
f' : β → α
hf : LeftInvOn f' f s
⊢ f '' (s₁ ∩ s) ⊆ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s
Module: Mathlib.Data.Set.Function

Goal state before:
pp: case h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
f : α → β
f' : β → α
hf : LeftInvOn f' f s
⊢ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s ⊆ f '' (s₁ ∩ s)

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
s s₁ : Set α
f : α → β
f' : β → α
hf : LeftInvOn f' f s
⊢ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s ⊆ f '' (s₁ ∩ s)
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: a : ℤ
⊢ a.pred < a

Tactic:
unfold pred

Goal state after:
a : ℤ
⊢ a - 1 < a
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: a b✝ c d m n✝ : ℤ
motive : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
zero : motive b
succ : (k : ℤ) → b ≤ k → motive k → motive (k + 1)
pred : (k : ℤ) → k ≤ b → motive k → motive (k - 1)
n : ℕ
⊢ motive (b + ↑n + 1) = motive (b + ↑(n + 1))

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: a b✝ c d m n✝ : ℤ
motive : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
zero : motive b
succ : (k : ℤ) → b ≤ k → motive k → motive (k + 1)
pred : (k : ℤ) → k ≤ b → motive k → motive (k - 1)
n : ℕ
⊢ motive (b + -[n+1] - 1) = motive (b + -[n + 1+1])

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Int.Init

Goal state before:
pp: a b✝ c d m n✝ : ℤ
motive : ℤ → Sort u_1
z b : ℤ
zero : motive b
succ : (k : ℤ) → b ≤ k → motive k → motive (k + 1)
pred : (k : ℤ) → k ≤ b → motive k → motive (k - 1)
n : ℕ
⊢ b + -[n+1] ≤ b

Tactic:
by lia

Goal state after: