mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case mpr
M : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
B : Set α
g : M
⊢ IsTrivialBlock B → IsTrivialBlock (g • B)

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
M : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
B : Set α
g : M
⊢ IsTrivialBlock B → IsTrivialBlock (g • B)
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : SMul G X
g₁ g₂ : G
hB : IsBlock G ∅
hg : g₁ • ∅ ⊆ g₂ • ∅
hg' : g₁ • ∅ ≠ g₂ • ∅
⊢ False

Tactic:
simp at hg'

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.Nilpotent

Goal state before:
pp: G : Type u_1
hG : Group G
inst✝ : Finite G
tfae_1_to_2 : IsNilpotent G → NormalizerCondition G
tfae_2_to_3 : NormalizerCondition G → ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
tfae_3_to_4 :
  (∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal) → ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal
tfae_4_to_5 :
  (∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal) →
    Nonempty (((p : ↥(Nat.card G).primeFactors) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)
tfae_5_to_1 : Nonempty (((p : ↥(Nat.card G).primeFactors) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G) → IsNilpotent G
⊢ [IsNilpotent G, NormalizerCondition G, ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal,
      ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p G), (↑P).Normal,
      Nonempty (((p : ↥(Nat.card G).primeFactors) → (P : Sylow (↑p) G) → ↥↑P) ≃* G)].TFAE

Tactic:
tfae_finish

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case inl
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : B.Subsingleton
⊢ IsBlock G B

pp: case inr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
⊢ IsBlock G univ

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : B.Subsingleton
⊢ IsBlock G B
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case inr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
⊢ IsBlock G univ

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
⊢ IsBlock G univ
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case f
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : IsBlock (↥H) B
g : G
h' : ↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)
h : G
hH : h ∈ H
hh : g * h * g⁻¹ = ↑h'
this : h' • g • B = g • h • B
⊢ ⟨h, hH⟩ • B = B → g • h • B = g • B

pp: case g
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : IsBlock (↥H) B
g : G
h' : ↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)
h : G
hH : h ∈ H
hh : g * h * g⁻¹ = ↑h'
this : h' • g • B = g • h • B
⊢ Disjoint (⟨h, hH⟩ • B) B → Disjoint (g • h • B) (g • B)

Tactic:
·

Goal state after:
case f
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : IsBlock (↥H) B
g : G
h' : ↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)
h : G
hH : h ∈ H
hh : g * h * g⁻¹ = ↑h'
this : h' • g • B = g • h • B
⊢ ⟨h, hH⟩ • B = B → g • h • B = g • B
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case g
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : IsBlock (↥H) B
g : G
h' : ↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)
h : G
hH : h ∈ H
hh : g * h * g⁻¹ = ↑h'
this : h' • g • B = g • h • B
⊢ Disjoint (⟨h, hH⟩ • B) B → Disjoint (g • h • B) (g • B)

Tactic:
·

Goal state after:
case g
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : IsBlock (↥H) B
g : G
h' : ↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)
h : G
hH : h ∈ H
hh : g * h * g⁻¹ = ↑h'
this : h' • g • B = g • h • B
⊢ Disjoint (⟨h, hH⟩ • B) B → Disjoint (g • h • B) (g • B)
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case nonempty
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hGX : IsPretransitive G X
hB : IsBlock G B
hBe : B.Nonempty
⊢ ∅ ∉ range fun g ↦ g • B

pp: case cover
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hGX : IsPretransitive G X
hB : IsBlock G B
hBe : B.Nonempty
⊢ ∀ (a : X), ∃! b, (b ∈ range fun g ↦ g • B) ∧ a ∈ b

Tactic:
·

Goal state after:
case nonempty
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hGX : IsPretransitive G X
hB : IsBlock G B
hBe : B.Nonempty
⊢ ∅ ∉ range fun g ↦ g • B
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case cover
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hGX : IsPretransitive G X
hB : IsBlock G B
hBe : B.Nonempty
⊢ ∀ (a : X), ∃! b, (b ∈ range fun g ↦ g • B) ∧ a ∈ b

Tactic:
·

Goal state after:
case cover
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hGX : IsPretransitive G X
hB : IsBlock G B
hBe : B.Nonempty
⊢ ∀ (a : X), ∃! b, (b ∈ range fun g ↦ g • B) ∧ a ∈ b
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case mp
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
N : Subgroup G
nN : N.Normal
a : X
g : G
x✝ : X
⊢ (∃ y, g • y • a = x✝) → ∃ y, y • g • a = x✝

pp: case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
N : Subgroup G
nN : N.Normal
a : X
g : G
x✝ : X
⊢ (∃ y, y • g • a = x✝) → ∃ y, g • y • a = x✝

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
N : Subgroup G
nN : N.Normal
a : X
g : G
x✝ : X
⊢ (∃ y, g • y • a = x✝) → ∃ y, y • g • a = x✝
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
N : Subgroup G
nN : N.Normal
a : X
g : G
x✝ : X
⊢ (∃ y, y • g • a = x✝) → ∃ y, g • y • a = x✝

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
N : Subgroup G
nN : N.Normal
a : X
g : G
x✝ : X
⊢ (∃ y, y • g • a = x✝) → ∃ y, g • y • a = x✝
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case left
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
⊢ Setoid.IsPartition (range fun a ↦ orbit (↥N) a)

pp: case right
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
⊢ ∀ ⦃B : Set X⦄, (B ∈ range fun a ↦ orbit (↥N) a) → IsBlock G B

Tactic:
·

Goal state after:
case left
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
⊢ Setoid.IsPartition (range fun a ↦ orbit (↥N) a)
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case right
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
⊢ ∀ ⦃B : Set X⦄, (B ∈ range fun a ↦ orbit (↥N) a) → IsBlock G B

Tactic:
·

Goal state after:
case right
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
⊢ ∀ ⦃B : Set X⦄, (B ∈ range fun a ↦ orbit (↥N) a) → IsBlock G B
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁵ : Group G
S : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : Group H
inst✝³ : SetLike S H
inst✝² : SubgroupClass S H
s : S
inst✝¹ : MulAction G H
inst✝ : IsScalarTower G H H
⊢ IsBlock G ↑s

Tactic:
by
  simp only [IsBlock, disjoint_left]
  rintro a b hab _ ⟨c, hc, rfl⟩ ⟨d, hd, (hcd : b • d = a • c)⟩
  refine hab ?_
  rw [← smul_coe_set hc, ← smul_assoc, ← hcd, smul_assoc, smul_coe_set hc, smul_coe_set hd]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case mp
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
B : Set X
inst✝ : IsPretransitive G X
hB : IsBlock G B
a : X
ha : a ∈ B
x : X
⊢ x ∈ orbit (↥(stabilizer G B)) a → x ∈ B

pp: case mpr
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
B : Set X
inst✝ : IsPretransitive G X
hB : IsBlock G B
a : X
ha : a ∈ B
x : X
⊢ x ∈ B → x ∈ orbit (↥(stabilizer G B)) a

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
B : Set X
inst✝ : IsPretransitive G X
hB : IsBlock G B
a : X
ha : a ∈ B
x : X
⊢ x ∈ orbit (↥(stabilizer G B)) a → x ∈ B
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case mpr
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
B : Set X
inst✝ : IsPretransitive G X
hB : IsBlock G B
a : X
ha : a ∈ B
x : X
⊢ x ∈ B → x ∈ orbit (↥(stabilizer G B)) a

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
B : Set X
inst✝ : IsPretransitive G X
hB : IsBlock G B
a : X
ha : a ∈ B
x : X
⊢ x ∈ B → x ∈ orbit (↥(stabilizer G B)) a
Module: Mathlib.GroupTheory.IndexNormal

Goal state before:
pp: case pos
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
hHp : H.index = (Nat.card G).minFac
hG0 : Nat.card G = 0
⊢ H.Normal

pp: case neg
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
hHp : H.index = (Nat.card G).minFac
hG0 : ¬Nat.card G = 0
⊢ H.Normal

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
hHp : H.index = (Nat.card G).minFac
hG0 : Nat.card G = 0
⊢ H.Normal
Module: Mathlib.GroupTheory.IndexNormal

Goal state before:
pp: case pos
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
hHp : H.index = (Nat.card G).minFac
hG0 : ¬Nat.card G = 0
hG1 : Nat.card G = 1
⊢ H.Normal

pp: case neg
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
hHp : H.index = (Nat.card G).minFac
hG0 : ¬Nat.card G = 0
hG1 : ¬Nat.card G = 1
⊢ H.Normal

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
hHp : H.index = (Nat.card G).minFac
hG0 : ¬Nat.card G = 0
hG1 : Nat.card G = 1
⊢ H.Normal
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case mp
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
a : X
H : Subgroup G
hH : stabilizer G a ≤ H
g : G
⊢ g ∈ stabilizer G (orbit (↥H) a) → g ∈ H

pp: case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
a : X
H : Subgroup G
hH : stabilizer G a ≤ H
g : G
⊢ g ∈ H → g ∈ stabilizer G (orbit (↥H) a)

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
a : X
H : Subgroup G
hH : stabilizer G a ≤ H
g : G
⊢ g ∈ stabilizer G (orbit (↥H) a) → g ∈ H
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
a : X
H : Subgroup G
hH : stabilizer G a ≤ H
g : G
⊢ g ∈ H → g ∈ stabilizer G (orbit (↥H) a)

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
a : X
H : Subgroup G
hH : stabilizer G a ≤ H
g : G
⊢ g ∈ H → g ∈ stabilizer G (orbit (↥H) a)
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case mp
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B✝ : Set X
htGX : IsPretransitive G X
a : X
B : Set X
ha : a ∈ B
hB : IsBlock G B
B' : Set X
ha' : a ∈ B'
hB' : IsBlock G B'
⊢ ⟨stabilizer G B, ⋯⟩ ≤ ⟨stabilizer G B', ⋯⟩ → B ⊆ B'

pp: case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B✝ : Set X
htGX : IsPretransitive G X
a : X
B : Set X
ha : a ∈ B
hB : IsBlock G B
B' : Set X
ha' : a ∈ B'
hB' : IsBlock G B'
⊢ B ⊆ B' → ⟨stabilizer G B, ⋯⟩ ≤ ⟨stabilizer G B', ⋯⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B✝ : Set X
htGX : IsPretransitive G X
a : X
B : Set X
ha : a ∈ B
hB : IsBlock G B
B' : Set X
ha' : a ∈ B'
hB' : IsBlock G B'
⊢ ⟨stabilizer G B, ⋯⟩ ≤ ⟨stabilizer G B', ⋯⟩ → B ⊆ B'
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B✝ : Set X
htGX : IsPretransitive G X
a : X
B : Set X
ha : a ∈ B
hB : IsBlock G B
B' : Set X
ha' : a ∈ B'
hB' : IsBlock G B'
⊢ B ⊆ B' → ⟨stabilizer G B, ⋯⟩ ≤ ⟨stabilizer G B', ⋯⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B✝ : Set X
htGX : IsPretransitive G X
a : X
B : Set X
ha : a ∈ B
hB : IsBlock G B
B' : Set X
ha' : a ∈ B'
hB' : IsBlock G B'
⊢ B ⊆ B' → ⟨stabilizer G B, ⋯⟩ ≤ ⟨stabilizer G B', ⋯⟩
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case inl
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsPretransitive G X
hX : Finite X
hB : IsBlock G ∅
hB' : Nat.card X < ∅.ncard * 2
⊢ ∅ = Set.univ

pp: case inr
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsPretransitive G X
B : Set X
hX : Finite X
hB : IsBlock G B
hB' : Nat.card X < B.ncard * 2
hB_ne : B.Nonempty
⊢ B = Set.univ

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsPretransitive G X
hX : Finite X
hB : IsBlock G ∅
hB' : Nat.card X < ∅.ncard * 2
⊢ ∅ = Set.univ
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case inr.«0»
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsPretransitive G X
B : Set X
hX : Finite X
hB : IsBlock G B
hB_ne : B.Nonempty
hB' : 0 < 2
key : B.ncard * 0 = Nat.card X
⊢ B = Set.univ

pp: case inr.«1»
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsPretransitive G X
B : Set X
hX : Finite X
hB : IsBlock G B
hB_ne : B.Nonempty
hB' : 1 < 2
key : B.ncard * 1 = Nat.card X
⊢ B = Set.univ

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.«0»
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsPretransitive G X
B : Set X
hX : Finite X
hB : IsBlock G B
hB_ne : B.Nonempty
hB' : 0 < 2
key : B.ncard * 0 = Nat.card X
⊢ B = Set.univ
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case inr.«1»
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsPretransitive G X
B : Set X
hX : Finite X
hB : IsBlock G B
hB_ne : B.Nonempty
hB' : 1 < 2
key : B.ncard * 1 = Nat.card X
⊢ B = Set.univ

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.«1»
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsPretransitive G X
B : Set X
hX : Finite X
hB : IsBlock G B
hB_ne : B.Nonempty
hB' : 1 < 2
key : B.ncard * 1 = Nat.card X
⊢ B = Set.univ
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Blocks

Goal state before:
pp: case inl
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsPretransitive G X
B : Set X
a : X
hfB : B.Finite
B' : Set X := ⋂ k, ⋂ (_ : a ∈ k • B), k • B
hfB_e : B = ∅
⊢ IsBlock G (⋂ k, ⋂ (_ : a ∈ k • B), k • B)

pp: case inr
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsPretransitive G X
B : Set X
a : X
hfB : B.Finite
B' : Set X := ⋂ k, ⋂ (_ : a ∈ k • B), k • B
hfB_ne : B.Nonempty
⊢ IsBlock G (⋂ k, ⋂ (_ : a ∈ k • B), k • B)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
G : Type u_1
inst✝² : Group G
X : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsPretransitive G X
B : Set X
a : X
hfB : B.Finite
B' : Set X := ⋂ k, ⋂ (_ : a ∈ k • B), k • B
hfB_e : B = ∅
⊢ IsBlock G (⋂ k, ⋂ (_ : a ∈ k • B), k • B)
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Primitive

Goal state before:
pp: case inl
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsPretransitive G X
a : X
H : ∀ {B : Set X}, a ∈ B → IsBlock G B → IsTrivialBlock B
hB : IsBlock G ∅
⊢ IsTrivialBlock ∅

pp: case inr
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsPretransitive G X
a : X
H : ∀ {B : Set X}, a ∈ B → IsBlock G B → IsTrivialBlock B
B : Set X
hB : IsBlock G B
b : X
hb : b ∈ B
⊢ IsTrivialBlock B

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsPretransitive G X
a : X
H : ∀ {B : Set X}, a ∈ B → IsBlock G B → IsTrivialBlock B
hB : IsBlock G ∅
⊢ IsTrivialBlock ∅
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Primitive

Goal state before:
pp: case inr
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsPretransitive G X
a : X
H : ∀ {B : Set X}, a ∈ B → IsBlock G B → IsTrivialBlock B
B : Set X
hB : IsBlock G B
b : X
hb : b ∈ B
⊢ IsTrivialBlock B

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsPretransitive G X
a : X
H : ∀ {B : Set X}, a ∈ B → IsBlock G B → IsTrivialBlock B
B : Set X
hB : IsBlock G B
b : X
hb : b ∈ B
⊢ IsTrivialBlock B
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Primitive

Goal state before:
pp: case inl
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G X
a : X
ha : a ∉ fixedPoints G X
H✝ : ∀ ⦃B : Set X⦄, a ∈ B → IsBlock G B → IsTrivialBlock B
H : (orbit G a).Subsingleton
⊢ ∀ (x : X), ∃ g, g • a = x

pp: case inr
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G X
a : X
ha : a ∉ fixedPoints G X
H✝ : ∀ ⦃B : Set X⦄, a ∈ B → IsBlock G B → IsTrivialBlock B
H : orbit G a = Set.univ
⊢ ∀ (x : X), ∃ g, g • a = x

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G X
a : X
ha : a ∉ fixedPoints G X
H✝ : ∀ ⦃B : Set X⦄, a ∈ B → IsBlock G B → IsTrivialBlock B
H : (orbit G a).Subsingleton
⊢ ∀ (x : X), ∃ g, g • a = x
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Primitive

Goal state before:
pp: case inr
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G X
a : X
ha : a ∉ fixedPoints G X
H✝ : ∀ ⦃B : Set X⦄, a ∈ B → IsBlock G B → IsTrivialBlock B
H : orbit G a = Set.univ
⊢ ∀ (x : X), ∃ g, g • a = x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G X
a : X
ha : a ∉ fixedPoints G X
H✝ : ∀ ⦃B : Set X⦄, a ∈ B → IsBlock G B → IsTrivialBlock B
H : orbit G a = Set.univ
⊢ ∀ (x : X), ∃ g, g • a = x
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Primitive

Goal state before:
pp: case inl
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G X
a : X
ha : a ∉ fixedPoints G X
H : ∀ ⦃B : Set X⦄, a ∈ B → IsBlock G B → IsTrivialBlock B
this : IsPretransitive G X
hB : IsBlock G ∅
⊢ IsTrivialBlock ∅

pp: case inr
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G X
a : X
ha : a ∉ fixedPoints G X
H : ∀ ⦃B : Set X⦄, a ∈ B → IsBlock G B → IsTrivialBlock B
this : IsPretransitive G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
b : X
hb : b ∈ B
⊢ IsTrivialBlock B

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G X
a : X
ha : a ∉ fixedPoints G X
H : ∀ ⦃B : Set X⦄, a ∈ B → IsBlock G B → IsTrivialBlock B
this : IsPretransitive G X
hB : IsBlock G ∅
⊢ IsTrivialBlock ∅
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Primitive

Goal state before:
pp: case inr
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G X
a : X
ha : a ∉ fixedPoints G X
H : ∀ ⦃B : Set X⦄, a ∈ B → IsBlock G B → IsTrivialBlock B
this : IsPretransitive G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
b : X
hb : b ∈ B
⊢ IsTrivialBlock B

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G X
a : X
ha : a ∉ fixedPoints G X
H : ∀ ⦃B : Set X⦄, a ∈ B → IsBlock G B → IsTrivialBlock B
this : IsPretransitive G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
b : X
hb : b ∈ B
⊢ IsTrivialBlock B
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Primitive

Goal state before:
pp: case mp
M : Type u_3
inst✝³ : Group M
α : Type u_4
inst✝² : MulAction M α
N : Type u_5
β : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
f : α →ₑ[φ] β
hφ : Function.Surjective φ
hf : Function.Bijective ⇑f
⊢ IsPreprimitive M α → IsPreprimitive N β

pp: case mpr
M : Type u_3
inst✝³ : Group M
α : Type u_4
inst✝² : MulAction M α
N : Type u_5
β : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
f : α →ₑ[φ] β
hφ : Function.Surjective φ
hf : Function.Bijective ⇑f
⊢ IsPreprimitive N β → IsPreprimitive M α

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
M : Type u_3
inst✝³ : Group M
α : Type u_4
inst✝² : MulAction M α
N : Type u_5
β : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
f : α →ₑ[φ] β
hφ : Function.Surjective φ
hf : Function.Bijective ⇑f
⊢ IsPreprimitive M α → IsPreprimitive N β
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Primitive

Goal state before:
pp: case mpr
M : Type u_3
inst✝³ : Group M
α : Type u_4
inst✝² : MulAction M α
N : Type u_5
β : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
f : α →ₑ[φ] β
hφ : Function.Surjective φ
hf : Function.Bijective ⇑f
⊢ IsPreprimitive N β → IsPreprimitive M α

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
M : Type u_3
inst✝³ : Group M
α : Type u_4
inst✝² : MulAction M α
N : Type u_5
β : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
f : α →ₑ[φ] β
hφ : Function.Surjective φ
hf : Function.Bijective ⇑f
⊢ IsPreprimitive N β → IsPreprimitive M α
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Primitive

Goal state before:
pp: case mp
G : Type u_3
inst✝³ : Group G
X : Type u_4
inst✝² : MulAction G X
inst✝¹ : IsPretransitive G X
inst✝ : Nontrivial X
a : X
⊢ IsSimpleOrder (BlockMem G a) → IsPreprimitive G X

pp: case mpr
G : Type u_3
inst✝³ : Group G
X : Type u_4
inst✝² : MulAction G X
inst✝¹ : IsPretransitive G X
inst✝ : Nontrivial X
a : X
⊢ IsPreprimitive G X → IsSimpleOrder (BlockMem G a)

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
G : Type u_3
inst✝³ : Group G
X : Type u_4
inst✝² : MulAction G X
inst✝¹ : IsPretransitive G X
inst✝ : Nontrivial X
a : X
⊢ IsSimpleOrder (BlockMem G a) → IsPreprimitive G X
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Primitive

Goal state before:
pp: case mp.inl
G : Type u_3
inst✝³ : Group G
X : Type u_4
inst✝² : MulAction G X
inst✝¹ : IsPretransitive G X
inst✝ : Nontrivial X
a : X
h : IsSimpleOrder (BlockMem G a)
h_bot_or_top : ∀ (a_1 : BlockMem G a), a_1 = ⊥ ∨ a_1 = ⊤ := eq_bot_or_eq_top
B : Set X
haB : a ∈ B
hB : IsBlock G B
hB' : B = ↑⊥
⊢ IsTrivialBlock B

pp: case mp.inr
G : Type u_3
inst✝³ : Group G
X : Type u_4
inst✝² : MulAction G X
inst✝¹ : IsPretransitive G X
inst✝ : Nontrivial X
a : X
h : IsSimpleOrder (BlockMem G a)
h_bot_or_top : ∀ (a_1 : BlockMem G a), a_1 = ⊥ ∨ a_1 = ⊤ := eq_bot_or_eq_top
B : Set X
haB : a ∈ B
hB : IsBlock G B
hB' : B = ↑⊤
⊢ IsTrivialBlock B

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.inl
G : Type u_3
inst✝³ : Group G
X : Type u_4
inst✝² : MulAction G X
inst✝¹ : IsPretransitive G X
inst✝ : Nontrivial X
a : X
h : IsSimpleOrder (BlockMem G a)
h_bot_or_top : ∀ (a_1 : BlockMem G a), a_1 = ⊥ ∨ a_1 = ⊤ := eq_bot_or_eq_top
B : Set X
haB : a ∈ B
hB : IsBlock G B
hB' : B = ↑⊥
⊢ IsTrivialBlock B
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Primitive

Goal state before:
pp: case mp.inr
G : Type u_3
inst✝³ : Group G
X : Type u_4
inst✝² : MulAction G X
inst✝¹ : IsPretransitive G X
inst✝ : Nontrivial X
a : X
h : IsSimpleOrder (BlockMem G a)
h_bot_or_top : ∀ (a_1 : BlockMem G a), a_1 = ⊥ ∨ a_1 = ⊤ := eq_bot_or_eq_top
B : Set X
haB : a ∈ B
hB : IsBlock G B
hB' : B = ↑⊤
⊢ IsTrivialBlock B

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.inr
G : Type u_3
inst✝³ : Group G
X : Type u_4
inst✝² : MulAction G X
inst✝¹ : IsPretransitive G X
inst✝ : Nontrivial X
a : X
h : IsSimpleOrder (BlockMem G a)
h_bot_or_top : ∀ (a_1 : BlockMem G a), a_1 = ⊥ ∨ a_1 = ⊤ := eq_bot_or_eq_top
B : Set X
haB : a ∈ B
hB : IsBlock G B
hB' : B = ↑⊤
⊢ IsTrivialBlock B
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Primitive

Goal state before:
pp: case mpr
G : Type u_3
inst✝³ : Group G
X : Type u_4
inst✝² : MulAction G X
inst✝¹ : IsPretransitive G X
inst✝ : Nontrivial X
a : X
⊢ IsPreprimitive G X → IsSimpleOrder (BlockMem G a)

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
G : Type u_3
inst✝³ : Group G
X : Type u_4
inst✝² : MulAction G X
inst✝¹ : IsPretransitive G X
inst✝ : Nontrivial X
a : X
⊢ IsPreprimitive G X → IsSimpleOrder (BlockMem G a)
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
hα : Nat.card α ≤ 3
h✝ : Subsingleton α
⊢ IsCyclic ↥(alternatingGroup α)

pp: case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
hα : Nat.card α ≤ 3
h✝ : Nontrivial α
⊢ IsCyclic ↥(alternatingGroup α)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
hα : Nat.card α ≤ 3
h✝ : Subsingleton α
⊢ IsCyclic ↥(alternatingGroup α)