mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteDimensional.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Submodule K V
hS : IsAtom S
⊢ finrank K ↥S = 1

pp: case refine_2
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Submodule K V
hS : finrank K ↥S = 1
T : Submodule K V
hT : T < S
⊢ T = ⊥

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Submodule K V
hS : IsAtom S
⊢ finrank K ↥S = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.FreeAndStrongRankCondition

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Free F E
this : Free F ↥⊤
⊢ ⊥ = ⊤ ↔ finrank F ↥⊤ = 1

Tactic:
← subalgebra_top_finrank_eq_submodule_top_finrank,

Goal state after:
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Free F E
this : Free F ↥⊤
⊢ ⊥ = ⊤ ↔ finrank F ↥⊤ = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteDimensional.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Submodule K V
hS : finrank K ↥S = 1
T : Submodule K V
hT : T < S
⊢ T = ⊥

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Submodule K V
hS : finrank K ↥S = 1
T : Submodule K V
hT : T < S
⊢ T = ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteDimensional.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Submodule K V
hS : finrank K ↥S = 1
T : Submodule K V
hT : T < S
this✝ : FiniteDimensional K ↥S
this : FiniteDimensional K ↥T
h : ¬finrank K ↥T = 0
⊢ finrank K ↥S ≤ finrank K ↥T

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteDimensional.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Submodule K V
w : V
hS : finrank K ↥S = 1
hw : w ∈ S
hw0 : w ≠ 0
⊢ 0 < finrank K ↥S

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteDimensional.Basic

Goal state before:
pp: case a
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
k : ℕ
h : LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ k.succ)
m : ℕ
⊢ LinearMap.ker (f ^ k) ≤ LinearMap.ker (f ^ (k + (m + 1)))

pp: case a
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
k : ℕ
h : LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ k.succ)
m : ℕ
⊢ LinearMap.ker (f ^ (k + (m + 1))) ≤ LinearMap.ker (f ^ k)

Tactic:
·

Goal state after:
case a
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
k : ℕ
h : LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ k.succ)
m : ℕ
⊢ LinearMap.ker (f ^ k) ≤ LinearMap.ker (f ^ (k + (m + 1)))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteDimensional.Basic

Goal state before:
pp: case a
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
k : ℕ
h : LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ k.succ)
m : ℕ
⊢ LinearMap.ker (f ^ (k + (m + 1))) ≤ LinearMap.ker (f ^ k)

Tactic:
·

Goal state after:
case a
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
k : ℕ
h : LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ k.succ)
m : ℕ
⊢ LinearMap.ker (f ^ (k + (m + 1))) ≤ LinearMap.ker (f ^ k)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearPMap

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
⊢ x ∈ (- -f).domain ↔ x ∈ f.domain

pp: case h'
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
y : x ∈ (- -f).domain
hxy : x ∈ f.domain
⊢ ↑(- -f) ⟨x, y⟩ = ↑f ⟨x, hxy⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
⊢ x ∈ (- -f).domain ↔ x ∈ f.domain
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearPMap

Goal state before:
pp: case h'
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
y : x ∈ (- -f).domain
hxy : x ∈ f.domain
⊢ ↑(- -f) ⟨x, y⟩ = ↑f ⟨x, hxy⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case h'
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
y : x ∈ (- -f).domain
hxy : x ∈ f.domain
⊢ ↑(- -f) ⟨x, y⟩ = ↑f ⟨x, hxy⟩
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearPMap

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f g h : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
⊢ x ∈ (f + g + h).domain ↔ x ∈ (f + (g + h)).domain

pp: case h'
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f g h : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
y : x ∈ (f + g + h).domain
hxy : x ∈ (f + (g + h)).domain
⊢ ↑(f + g + h) ⟨x, y⟩ = ↑(f + (g + h)) ⟨x, hxy⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f g h : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
⊢ x ∈ (f + g + h).domain ↔ x ∈ (f + (g + h)).domain
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearPMap

Goal state before:
pp: case h'
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f g h : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
y : x ∈ (f + g + h).domain
hxy : x ∈ (f + (g + h)).domain
⊢ ↑(f + g + h) ⟨x, y⟩ = ↑(f + (g + h)) ⟨x, hxy⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case h'
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f g h : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
y : x ∈ (f + g + h).domain
hxy : x ∈ (f + (g + h)).domain
⊢ ↑(f + g + h) ⟨x, y⟩ = ↑(f + (g + h)) ⟨x, hxy⟩
Module: Mathlib.Algebra.FreeAlgebra

Goal state before:
pp: case mul_assoc
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ b✝ c✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f (a✝ * b✝ * c✝) = liftFun R X f (a✝ * (b✝ * c✝))

pp: case one_mul
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f (1 * a✝) = liftFun R X f a✝

pp: case mul_one
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f (a✝ * 1) = liftFun R X f a✝

pp: case left_distrib
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ b✝ c✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f (a✝ * (b✝ + c✝)) = liftFun R X f (a✝ * b✝ + a✝ * c✝)

pp: case right_distrib
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ b✝ c✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f ((a✝ + b✝) * c✝) = liftFun R X f (a✝ * c✝ + b✝ * c✝)

pp: case zero_mul
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f (0 * a✝) = liftFun R X f 0

pp: case mul_zero
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f (a✝ * 0) = liftFun R X f 0

pp: case add_compat_left
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝² : FreeAlgebra R X
a b a✝¹ b✝ c✝ : Pre R X
a✝ : Rel R X a✝¹ b✝
a_ih✝ : liftFun R X f a✝¹ = liftFun R X f b✝
⊢ liftFun R X f (a✝¹ + c✝) = liftFun R X f (b✝ + c✝)

pp: case add_compat_right
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝² : FreeAlgebra R X
a b a✝¹ b✝ c✝ : Pre R X
a✝ : Rel R X a✝¹ b✝
a_ih✝ : liftFun R X f a✝¹ = liftFun R X f b✝
⊢ liftFun R X f (c✝ + a✝¹) = liftFun R X f (c✝ + b✝)

pp: case mul_compat_left
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝² : FreeAlgebra R X
a b a✝¹ b✝ c✝ : Pre R X
a✝ : Rel R X a✝¹ b✝
a_ih✝ : liftFun R X f a✝¹ = liftFun R X f b✝
⊢ liftFun R X f (a✝¹ * c✝) = liftFun R X f (b✝ * c✝)

pp: case mul_compat_right
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝² : FreeAlgebra R X
a b a✝¹ b✝ c✝ : Pre R X
a✝ : Rel R X a✝¹ b✝
a_ih✝ : liftFun R X f a✝¹ = liftFun R X f b✝
⊢ liftFun R X f (c✝ * a✝¹) = liftFun R X f (c✝ * b✝)

Tactic:
·

Goal state after:
case mul_assoc
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ b✝ c✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f (a✝ * b✝ * c✝) = liftFun R X f (a✝ * (b✝ * c✝))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearPMap

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
⊢ x ∈ (0 + f).domain ↔ x ∈ f.domain

pp: case h'
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
y : x ∈ (0 + f).domain
hxy : x ∈ f.domain
⊢ ↑(0 + f) ⟨x, y⟩ = ↑f ⟨x, hxy⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
⊢ x ∈ (0 + f).domain ↔ x ∈ f.domain
Module: Mathlib.Algebra.FreeAlgebra

Goal state before:
pp: case one_mul
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f (1 * a✝) = liftFun R X f a✝

pp: case mul_one
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f (a✝ * 1) = liftFun R X f a✝

pp: case left_distrib
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ b✝ c✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f (a✝ * (b✝ + c✝)) = liftFun R X f (a✝ * b✝ + a✝ * c✝)

pp: case right_distrib
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ b✝ c✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f ((a✝ + b✝) * c✝) = liftFun R X f (a✝ * c✝ + b✝ * c✝)

pp: case zero_mul
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f (0 * a✝) = liftFun R X f 0

pp: case mul_zero
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f (a✝ * 0) = liftFun R X f 0

pp: case add_compat_left
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝² : FreeAlgebra R X
a b a✝¹ b✝ c✝ : Pre R X
a✝ : Rel R X a✝¹ b✝
a_ih✝ : liftFun R X f a✝¹ = liftFun R X f b✝
⊢ liftFun R X f (a✝¹ + c✝) = liftFun R X f (b✝ + c✝)

pp: case add_compat_right
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝² : FreeAlgebra R X
a b a✝¹ b✝ c✝ : Pre R X
a✝ : Rel R X a✝¹ b✝
a_ih✝ : liftFun R X f a✝¹ = liftFun R X f b✝
⊢ liftFun R X f (c✝ + a✝¹) = liftFun R X f (c✝ + b✝)

pp: case mul_compat_left
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝² : FreeAlgebra R X
a b a✝¹ b✝ c✝ : Pre R X
a✝ : Rel R X a✝¹ b✝
a_ih✝ : liftFun R X f a✝¹ = liftFun R X f b✝
⊢ liftFun R X f (a✝¹ * c✝) = liftFun R X f (b✝ * c✝)

pp: case mul_compat_right
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝² : FreeAlgebra R X
a b a✝¹ b✝ c✝ : Pre R X
a✝ : Rel R X a✝¹ b✝
a_ih✝ : liftFun R X f a✝¹ = liftFun R X f b✝
⊢ liftFun R X f (c✝ * a✝¹) = liftFun R X f (c✝ * b✝)

Tactic:
·

Goal state after:
case one_mul
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f (1 * a✝) = liftFun R X f a✝
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Eval.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
⊢ eval₂ f x (X ^ n) = x ^ n

Tactic:
by
  rw [X_pow_eq_monomial]
  convert! eval₂_monomial f x (n := n) (r := 1)
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearPMap

Goal state before:
pp: case h'
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
y : x ∈ (0 + f).domain
hxy : x ∈ f.domain
⊢ ↑(0 + f) ⟨x, y⟩ = ↑f ⟨x, hxy⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case h'
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
y : x ∈ (0 + f).domain
hxy : x ∈ f.domain
⊢ ↑(0 + f) ⟨x, y⟩ = ↑f ⟨x, hxy⟩
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearPMap

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
⊢ x ∈ (f + 0).domain ↔ x ∈ f.domain

pp: case h'
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
y : x ∈ (f + 0).domain
hxy : x ∈ f.domain
⊢ ↑(f + 0) ⟨x, y⟩ = ↑f ⟨x, hxy⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
⊢ x ∈ (f + 0).domain ↔ x ∈ f.domain
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearPMap

Goal state before:
pp: case h'
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
y : x ∈ (f + 0).domain
hxy : x ∈ f.domain
⊢ ↑(f + 0) ⟨x, y⟩ = ↑f ⟨x, hxy⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case h'
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
y : x ∈ (f + 0).domain
hxy : x ∈ f.domain
⊢ ↑(f + 0) ⟨x, y⟩ = ↑f ⟨x, hxy⟩
Module: Mathlib.Algebra.FreeAlgebra

Goal state before:
pp: case mul_one
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f (a✝ * 1) = liftFun R X f a✝

pp: case left_distrib
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ b✝ c✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f (a✝ * (b✝ + c✝)) = liftFun R X f (a✝ * b✝ + a✝ * c✝)

pp: case right_distrib
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ b✝ c✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f ((a✝ + b✝) * c✝) = liftFun R X f (a✝ * c✝ + b✝ * c✝)

pp: case zero_mul
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f (0 * a✝) = liftFun R X f 0

pp: case mul_zero
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f (a✝ * 0) = liftFun R X f 0

pp: case add_compat_left
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝² : FreeAlgebra R X
a b a✝¹ b✝ c✝ : Pre R X
a✝ : Rel R X a✝¹ b✝
a_ih✝ : liftFun R X f a✝¹ = liftFun R X f b✝
⊢ liftFun R X f (a✝¹ + c✝) = liftFun R X f (b✝ + c✝)

pp: case add_compat_right
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝² : FreeAlgebra R X
a b a✝¹ b✝ c✝ : Pre R X
a✝ : Rel R X a✝¹ b✝
a_ih✝ : liftFun R X f a✝¹ = liftFun R X f b✝
⊢ liftFun R X f (c✝ + a✝¹) = liftFun R X f (c✝ + b✝)

pp: case mul_compat_left
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝² : FreeAlgebra R X
a b a✝¹ b✝ c✝ : Pre R X
a✝ : Rel R X a✝¹ b✝
a_ih✝ : liftFun R X f a✝¹ = liftFun R X f b✝
⊢ liftFun R X f (a✝¹ * c✝) = liftFun R X f (b✝ * c✝)

pp: case mul_compat_right
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝² : FreeAlgebra R X
a b a✝¹ b✝ c✝ : Pre R X
a✝ : Rel R X a✝¹ b✝
a_ih✝ : liftFun R X f a✝¹ = liftFun R X f b✝
⊢ liftFun R X f (c✝ * a✝¹) = liftFun R X f (c✝ * b✝)

Tactic:
·

Goal state after:
case mul_one
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
a✝¹ : FreeAlgebra R X
a b a✝ : Pre R X
⊢ liftFun R X f (a✝ * 1) = liftFun R X f a✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearPMap

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f g : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
⊢ x ∈ (f + g).domain ↔ x ∈ (g + f).domain

pp: case h'
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f g : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
y : x ∈ (f + g).domain
hxy : x ∈ (g + f).domain
⊢ ↑(f + g) ⟨x, y⟩ = ↑(g + f) ⟨x, hxy⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Ring T
σ : R →+* S
τ : S →+* T
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module S F
G : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module T G
f g : E →ₛₗ.[σ] F
x : E
⊢ x ∈ (f + g).domain ↔ x ∈ (g + f).domain