mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.FieldTheory.Finite.GaloisField

Goal state before:
pp: case succ.refine_6
n : ℕ
h : n ≠ 0
n✝ : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime (n✝ + 1))
this : Fintype (GaloisField (n✝ + 1) n)
g_poly : (ZMod (n✝ + 1))[X] := X ^ (n✝ + 1) ^ n - X
hp : 1 < n✝ + 1
aux : X ^ (n✝ + 1) ^ n - X ≠ 0
key : Fintype.card ↑(g_poly.rootSet (GaloisField (n✝ + 1) n)) = (n✝ + 1) ^ n
nat_degree_eq : g_poly.natDegree = (n✝ + 1) ^ n
x : GaloisField (n✝ + 1) n
hx :
  x ∈
    Subring.closure
      (Set.range ⇑(algebraMap (ZMod (n✝ + 1)) (GaloisField (n✝ + 1) n)) ∪
        (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).rootSet (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).SplittingField)
⊢ ∀ (x y : GaloisField (n✝ + 1) n),
    x ∈
        Subring.closure
          (Set.range ⇑(algebraMap (ZMod (n✝ + 1)) (GaloisField (n✝ + 1) n)) ∪
            (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).rootSet (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).SplittingField) →
      y ∈
          Subring.closure
            (Set.range ⇑(algebraMap (ZMod (n✝ + 1)) (GaloisField (n✝ + 1) n)) ∪
              (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).rootSet (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).SplittingField) →
        (aeval x) (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X) = 0 →
          (aeval y) (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X) = 0 → (aeval (x * y)) (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case succ.refine_6
n : ℕ
h : n ≠ 0
n✝ : ℕ
h_prime : Fact (Nat.Prime (n✝ + 1))
this : Fintype (GaloisField (n✝ + 1) n)
g_poly : (ZMod (n✝ + 1))[X] := X ^ (n✝ + 1) ^ n - X
hp : 1 < n✝ + 1
aux : X ^ (n✝ + 1) ^ n - X ≠ 0
key : Fintype.card ↑(g_poly.rootSet (GaloisField (n✝ + 1) n)) = (n✝ + 1) ^ n
nat_degree_eq : g_poly.natDegree = (n✝ + 1) ^ n
x : GaloisField (n✝ + 1) n
hx :
  x ∈
    Subring.closure
      (Set.range ⇑(algebraMap (ZMod (n✝ + 1)) (GaloisField (n✝ + 1) n)) ∪
        (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).rootSet (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).SplittingField)
⊢ ∀ (x y : GaloisField (n✝ + 1) n),
    x ∈
        Subring.closure
          (Set.range ⇑(algebraMap (ZMod (n✝ + 1)) (GaloisField (n✝ + 1) n)) ∪
            (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).rootSet (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).SplittingField) →
      y ∈
          Subring.closure
            (Set.range ⇑(algebraMap (ZMod (n✝ + 1)) (GaloisField (n✝ + 1) n)) ∪
              (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).rootSet (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X).SplittingField) →
        (aeval x) (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X) = 0 →
          (aeval y) (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X) = 0 → (aeval (x * y)) (X ^ (n✝ + 1) ^ n - X) = 0
Module: Mathlib.Data.ZMod.Units

Goal state before:
pp: case pos
n : ℕ
x : ℤ
h : IsCoprime x ↑n
hn : n = 0
⊢ ↑x * (↑x)⁻¹ = 1

pp: case neg
n : ℕ
x : ℤ
h : IsCoprime x ↑n
hn : ¬n = 0
⊢ ↑x * (↑x)⁻¹ = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
n : ℕ
x : ℤ
h : IsCoprime x ↑n
hn : n = 0
⊢ ↑x * (↑x)⁻¹ = 1
Module: Mathlib.NumberTheory.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: case a
S : Set ℕ
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsCyclotomicExtension S K L
M : Type u_1
inst✝² : Field M
inst✝¹ : Algebra K M
inst✝ : IsSepClosed M
this : Algebra.IsSeparable K L
i : L →ₐ[K] M := IsSepClosed.lift
htop : IntermediateField.adjoin K {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1} = ⊤
⊢ ⇑i '' {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1} ⊆ ↑(IntermediateField.adjoin K {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1})

pp: case a
S : Set ℕ
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsCyclotomicExtension S K L
M : Type u_1
inst✝² : Field M
inst✝¹ : Algebra K M
inst✝ : IsSepClosed M
this : Algebra.IsSeparable K L
i : L →ₐ[K] M := IsSepClosed.lift
htop : IntermediateField.adjoin K {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1} = ⊤
⊢ {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1} ⊆ ↑(IntermediateField.adjoin K (⇑i '' {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1}))

Tactic:
·

Goal state after:
case a
S : Set ℕ
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsCyclotomicExtension S K L
M : Type u_1
inst✝² : Field M
inst✝¹ : Algebra K M
inst✝ : IsSepClosed M
this : Algebra.IsSeparable K L
i : L →ₐ[K] M := IsSepClosed.lift
htop : IntermediateField.adjoin K {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1} = ⊤
⊢ ⇑i '' {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1} ⊆ ↑(IntermediateField.adjoin K {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1})
Module: Mathlib.Data.ZMod.Units

Goal state before:
pp: case inl
n : ℤ
h : IsUnit ↑n
⊢ IsCoprime (↑0) n

pp: case inr
n : ℤ
m : ℕ
h : IsUnit ↑n
hm : m ≠ 0
⊢ IsCoprime (↑m) n

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
n : ℤ
h : IsUnit ↑n
⊢ IsCoprime (↑0) n
Module: Mathlib.Data.ZMod.Units

Goal state before:
pp: case inr
n : ℤ
m : ℕ
h : IsUnit ↑n
hm : m ≠ 0
⊢ IsCoprime (↑m) n

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
n : ℤ
m : ℕ
h : IsUnit ↑n
hm : m ≠ 0
⊢ IsCoprime (↑m) n
Module: Mathlib.NumberTheory.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: case a
S : Set ℕ
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsCyclotomicExtension S K L
M : Type u_1
inst✝² : Field M
inst✝¹ : Algebra K M
inst✝ : IsSepClosed M
this : Algebra.IsSeparable K L
i : L →ₐ[K] M := IsSepClosed.lift
htop : IntermediateField.adjoin K {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1} = ⊤
⊢ {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1} ⊆ ↑(IntermediateField.adjoin K (⇑i '' {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1}))

Tactic:
·

Goal state after:
case a
S : Set ℕ
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsCyclotomicExtension S K L
M : Type u_1
inst✝² : Field M
inst✝¹ : Algebra K M
inst✝ : IsSepClosed M
this : Algebra.IsSeparable K L
i : L →ₐ[K] M := IsSepClosed.lift
htop : IntermediateField.adjoin K {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1} = ⊤
⊢ {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1} ⊆ ↑(IntermediateField.adjoin K (⇑i '' {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1}))
Module: Mathlib.NumberTheory.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: case a
S : Set ℕ
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsCyclotomicExtension S K L
M : Type u_1
inst✝² : Field M
inst✝¹ : Algebra K M
inst✝ : IsSepClosed M
this : Algebra.IsSeparable K L
i : L →ₐ[K] M := IsSepClosed.lift
htop : IntermediateField.adjoin K {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1} = ⊤
⊢ {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1} ⊆ ↑(IntermediateField.adjoin K (⇑i '' {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1}))

Tactic:
rintro x ⟨n, hn, h1, h2⟩

Goal state after:
case a
S : Set ℕ
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsCyclotomicExtension S K L
M : Type u_1
inst✝² : Field M
inst✝¹ : Algebra K M
inst✝ : IsSepClosed M
this : Algebra.IsSeparable K L
i : L →ₐ[K] M := IsSepClosed.lift
htop : IntermediateField.adjoin K {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1} = ⊤
x : M
n : ℕ
hn : n ∈ S
h1 : n ≠ 0
h2 : x ^ n = 1
⊢ x ∈ ↑(IntermediateField.adjoin K (⇑i '' {x | ∃ n ∈ S, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1}))
Module: Mathlib.NumberTheory.LegendreSymbol.AddCharacter

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
inst✝ : Finite R
e : AddChar R R'
r : R
hr : ¬IsUnit r
⊢ ¬(e.mulShift r).IsPrimitive

Tactic:
simp only [IsPrimitive, not_forall]
  simp only [isUnit_iff_mem_nonZeroDivisors_of_finite,
    mem_nonZeroDivisors_iff_right, not_forall] at hr
  rcases hr with ⟨x, h, h'⟩
  exact ⟨x, h', by simp only [mulShift_mulShift, mul_comm r, h, mulShift_zero, not_ne_iff]⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.LegendreSymbol.AddCharacter

Goal state before:
pp: case refine_1
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
d : ℕ
hd : d ∣ N
u : ZMod N
hu : IsUnit u
hb_ne : u * ↑d ≠ 0
hb : e.mulShift (u * ↑d) = 1
⊢ d ≠ N

pp: case refine_2
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
d : ℕ
hd : d ∣ N
u : ZMod N
hu : IsUnit u
hb_ne : u * ↑d ≠ 0
hb : e.mulShift (u * ↑d) = 1
⊢ e.mulShift ↑d = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
d : ℕ
hd : d ∣ N
u : ZMod N
hu : IsUnit u
hb_ne : u * ↑d ≠ 0
hb : e.mulShift (u * ↑d) = 1
⊢ d ≠ N
Module: Mathlib.NumberTheory.LegendreSymbol.AddCharacter

Goal state before:
pp: case refine_2
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
d : ℕ
hd : d ∣ N
u : ZMod N
hu : IsUnit u
hb_ne : u * ↑d ≠ 0
hb : e.mulShift (u * ↑d) = 1
⊢ e.mulShift ↑d = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
d : ℕ
hd : d ∣ N
u : ZMod N
hu : IsUnit u
hb_ne : u * ↑d ≠ 0
hb : e.mulShift (u * ↑d) = 1
⊢ e.mulShift ↑d = 1
Module: Mathlib.NumberTheory.Cyclotomic.PrimitiveRoots

Goal state before:
pp: case pos
p : ℕ
K : Type u
L : Type v
inst✝² : Field L
ζ : L
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (p ^ (k + 1)) K)
hs : s ≤ k
hk : k ≠ 0
htwo : p ^ (k - s + 1) = 2
⊢ (Algebra.norm K) (ζ ^ p ^ s - 1) = ↑p ^ p ^ s

pp: case neg
p : ℕ
K : Type u
L : Type v
inst✝² : Field L
ζ : L
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (p ^ (k + 1)) K)
hs : s ≤ k
hk : k ≠ 0
htwo : ¬p ^ (k - s + 1) = 2
⊢ (Algebra.norm K) (ζ ^ p ^ s - 1) = ↑p ^ p ^ s

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
p : ℕ
K : Type u
L : Type v
inst✝² : Field L
ζ : L
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (p ^ (k + 1)) K)
hs : s ≤ k
hk : k ≠ 0
htwo : p ^ (k - s + 1) = 2
⊢ (Algebra.norm K) (ζ ^ p ^ s - 1) = ↑p ^ p ^ s
Module: Mathlib.FieldTheory.Finite.GaloisField

Goal state before:
pp: case inl
K : Type u_1
inst✝ : Field K
val✝ : Fintype K
⊢ (X ^ Nat.card K - X).Splits

pp: case inr
K : Type u_1
inst✝ : Field K
val✝ : Infinite K
⊢ (X ^ Nat.card K - X).Splits

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
K : Type u_1
inst✝ : Field K
val✝ : Fintype K
⊢ (X ^ Nat.card K - X).Splits
Module: Mathlib.FieldTheory.Finite.GaloisField

Goal state before:
pp: case inr
K : Type u_1
inst✝ : Field K
val✝ : Infinite K
⊢ (X ^ Nat.card K - X).Splits

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
K : Type u_1
inst✝ : Field K
val✝ : Infinite K
⊢ (X ^ Nat.card K - X).Splits
Module: Mathlib.FieldTheory.Finite.GaloisField

Goal state before:
pp: case inr
K : Type u_1
inst✝ : Field K
val✝ : Infinite K
⊢ (X ^ Nat.card K - X).Splits

Tactic:
← Polynomial.splits_neg_iff

Goal state after:
case inr
K : Type u_1
inst✝ : Field K
val✝ : Infinite K
⊢ (-(X ^ Nat.card K - X)).Splits
Module: Mathlib.FieldTheory.Finite.GaloisField

Goal state before:
pp: case inr
K : Type u_1
inst✝ : Field K
val✝ : Infinite K
⊢ (-(X ^ Nat.card K - X)).Splits

Tactic:
simpa [Nat.card_eq_zero_of_infinite, pow_zero, neg_sub] using Splits.X_sub_C (1 : K)

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.LegendreSymbol.AddCharacter

Goal state before:
pp: case inl
F : Type u_1
F' : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : Field F'
h : ringChar F' ≠ ringChar F
p : ℕ := ringChar F
hp : Fact (Nat.Prime p)
pp : ℕ+ := p.toPNat ⋯
hq : Nat.Prime (ringChar F')
⊢ ¬ringChar F' ∣ p

pp: case inr
F : Type u_1
F' : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : Field F'
h : ringChar F' ≠ ringChar F
p : ℕ := ringChar F
hp : Fact (Nat.Prime p)
pp : ℕ+ := p.toPNat ⋯
hq : ringChar F' = 0
⊢ ¬ringChar F' ∣ p

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
F : Type u_1
F' : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : Field F'
h : ringChar F' ≠ ringChar F
p : ℕ := ringChar F
hp : Fact (Nat.Prime p)
pp : ℕ+ := p.toPNat ⋯
hq : Nat.Prime (ringChar F')
⊢ ¬ringChar F' ∣ p
Module: Mathlib.NumberTheory.LegendreSymbol.AddCharacter

Goal state before:
pp: case inr
F : Type u_1
F' : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : Field F'
h : ringChar F' ≠ ringChar F
p : ℕ := ringChar F
hp : Fact (Nat.Prime p)
pp : ℕ+ := p.toPNat ⋯
hq : ringChar F' = 0
⊢ ¬ringChar F' ∣ p

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
F : Type u_1
F' : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : Field F'
h : ringChar F' ≠ ringChar F
p : ℕ := ringChar F
hp : Fact (Nat.Prime p)
pp : ℕ+ := p.toPNat ⋯
hq : ringChar F' = 0
⊢ ¬ringChar F' ∣ p
Module: Mathlib.NumberTheory.Cyclotomic.PrimitiveRoots

Goal state before:
pp: case neg
p : ℕ
K : Type u
L : Type v
inst✝² : Field L
ζ : L
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (p ^ (k + 1)) K)
hs : s ≤ k
hk : k ≠ 0
htwo : ¬p ^ (k - s + 1) = 2
⊢ (Algebra.norm K) (ζ ^ p ^ s - 1) = ↑p ^ p ^ s

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
p : ℕ
K : Type u
L : Type v
inst✝² : Field L
ζ : L
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (p ^ (k + 1)) K)
hs : s ≤ k
hk : k ≠ 0
htwo : ¬p ^ (k - s + 1) = 2
⊢ (Algebra.norm K) (ζ ^ p ^ s - 1) = ↑p ^ p ^ s
Module: Mathlib.RingTheory.RootsOfUnity.EnoughRootsOfUnity

Goal state before:
pp: case refine_1
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : HasEnoughRootsOfUnity M n
ζ : M
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ Monoid.exponent ↥(rootsOfUnity n M) ∣ n

pp: case refine_2
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : HasEnoughRootsOfUnity M n
ζ : M
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ n ∣ Monoid.exponent ↥(rootsOfUnity n M)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : HasEnoughRootsOfUnity M n
ζ : M
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ Monoid.exponent ↥(rootsOfUnity n M) ∣ n
Module: Mathlib.RingTheory.RootsOfUnity.EnoughRootsOfUnity

Goal state before:
pp: case refine_2
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : HasEnoughRootsOfUnity M n
ζ : M
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ n ∣ Monoid.exponent ↥(rootsOfUnity n M)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : HasEnoughRootsOfUnity M n
ζ : M
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ n ∣ Monoid.exponent ↥(rootsOfUnity n M)
Module: Mathlib.RingTheory.RootsOfUnity.EnoughRootsOfUnity

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : HasEnoughRootsOfUnity M n
ζ : M
h : IsPrimitiveRoot ζ n
ζ' : ↥(rootsOfUnity n M) := ⟨⋯.unit, ?refine_2.refine_1⟩
⊢ orderOf ⋯.unit ∣ Monoid.exponent ↥(rootsOfUnity n M)

pp: case refine_2.refine_1
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : HasEnoughRootsOfUnity M n
ζ : M
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ⋯.unit ∈ rootsOfUnity n M

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.refine_2
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : HasEnoughRootsOfUnity M n
ζ : M
h : IsPrimitiveRoot ζ n
ζ' : ↥(rootsOfUnity n M) := ⟨⋯.unit, ?refine_2.refine_1⟩
⊢ orderOf ⋯.unit ∣ Monoid.exponent ↥(rootsOfUnity n M)
Module: Mathlib.FieldTheory.Finite.GaloisField

Goal state before:
pp: case inl
K : Type u_1
K' : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra K K'
inst✝ : Finite K'
⊢ ∃ a, (Algebra.norm K) a = 0

pp: case inr
K : Type u_1
K' : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra K K'
inst✝ : Finite K'
k : K
ne : k ≠ 0
⊢ ∃ a, (Algebra.norm K) a = k

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
K : Type u_1
K' : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra K K'
inst✝ : Finite K'
⊢ ∃ a, (Algebra.norm K) a = 0
Module: Mathlib.NumberTheory.LegendreSymbol.AddCharacter

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Fintype R
inst✝² : DecidableEq R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
b : R
hψ : ψ.IsPrimitive
h : b = 0
⊢ ∑ x, ψ (x * b) = ↑(Fintype.card R)

pp: case neg
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Fintype R
inst✝² : DecidableEq R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
b : R
hψ : ψ.IsPrimitive
h : ¬b = 0
⊢ ∑ x, ψ (x * b) = ↑0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Fintype R
inst✝² : DecidableEq R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
b : R
hψ : ψ.IsPrimitive
h : b = 0
⊢ ∑ x, ψ (x * b) = ↑(Fintype.card R)
Module: Mathlib.NumberTheory.LegendreSymbol.AddCharacter

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Fintype R
inst✝² : DecidableEq R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
b : R
hψ : ψ.IsPrimitive
h : ¬b = 0
⊢ ∑ x, ψ (x * b) = ↑0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Fintype R
inst✝² : DecidableEq R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
b : R
hψ : ψ.IsPrimitive
h : ¬b = 0
⊢ ∑ x, ψ (x * b) = ↑0
Module: Mathlib.RingTheory.RootsOfUnity.EnoughRootsOfUnity

Goal state before:
pp: G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : HasEnoughRootsOfUnity M (Monoid.exponent G)
S : Subgroup Mˣ := rootsOfUnity (Monoid.exponent G) M
this : Finite (G →* ↥S)
f : G →* Mˣ
a : G
⊢ f (a ^ Monoid.exponent G) = 1

Tactic:
Monoid.pow_exponent_eq_one,

Goal state after:
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : HasEnoughRootsOfUnity M (Monoid.exponent G)
S : Subgroup Mˣ := rootsOfUnity (Monoid.exponent G) M
this : Finite (G →* ↥S)
f : G →* Mˣ
a : G
⊢ f 1 = 1
Module: Mathlib.NumberTheory.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: n : ℕ
inst✝⁴ : NeZero n
K : Type w
L : Type z
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
⊢ adjoin K ((X ^ n - 1).rootSet L) = ⊤

Tactic:
by
      rw [← ((iff_adjoin_eq_top {n} K L).1 inferInstance).2]
      congr
      refine Set.ext fun x => ?_
      simp only [mem_singleton_iff, ne_eq, exists_eq_left, NeZero.ne, not_false_eq_true, true_and,
        mem_ofPred_eq]
      simp only [mem_rootSet', map_sub, map_pow, aeval_one, aeval_X, sub_eq_zero, map_X,
        and_iff_right_iff_imp, Polynomial.map_sub, Polynomial.map_pow, Polynomial.map_one]
      exact fun _ => X_pow_sub_C_ne_zero (NeZero.pos n) (1 : L)

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Finite.GaloisField

Goal state before:
pp: case refine_1
F : Type u_3
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Finite L
h : Module.finrank F K ∣ Module.finrank F L
this✝⁴ : Finite F
this✝³ : Fintype F
this✝² : Module.Finite F K
this✝¹ : Finite K
this✝ : Fintype K
this : Fintype L
⊢ Polynomial.map (algebraMap F L) (X ^ Fintype.card L - X) ≠ 0

pp: case refine_2
F : Type u_3
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Finite L
h : Module.finrank F K ∣ Module.finrank F L
this✝⁴ : Finite F
this✝³ : Fintype F
this✝² : Module.Finite F K
this✝¹ : Finite K
this✝ : Fintype K
this : Fintype L
⊢ Polynomial.map (algebraMap F L) (X ^ Fintype.card K - X) ∣ Polynomial.map (algebraMap F L) (X ^ Fintype.card L - X)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
F : Type u_3
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Finite L
h : Module.finrank F K ∣ Module.finrank F L
this✝⁴ : Finite F
this✝³ : Fintype F
this✝² : Module.Finite F K
this✝¹ : Finite K
this✝ : Fintype K
this : Fintype L
⊢ Polynomial.map (algebraMap F L) (X ^ Fintype.card L - X) ≠ 0
Module: Mathlib.FieldTheory.Finite.GaloisField

Goal state before:
pp: case refine_2
F : Type u_3
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Finite L
h : Module.finrank F K ∣ Module.finrank F L
this✝⁴ : Finite F
this✝³ : Fintype F
this✝² : Module.Finite F K
this✝¹ : Finite K
this✝ : Fintype K
this : Fintype L
⊢ Polynomial.map (algebraMap F L) (X ^ Fintype.card K - X) ∣ Polynomial.map (algebraMap F L) (X ^ Fintype.card L - X)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
F : Type u_3
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Finite L
h : Module.finrank F K ∣ Module.finrank F L
this✝⁴ : Finite F
this✝³ : Fintype F
this✝² : Module.Finite F K
this✝¹ : Finite K
this✝ : Fintype K
this : Fintype L
⊢ Polynomial.map (algebraMap F L) (X ^ Fintype.card K - X) ∣ Polynomial.map (algebraMap F L) (X ^ Fintype.card L - X)
Module: Mathlib.NumberTheory.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
n : ℕ
inst✝⁷ : NeZero n
S T : Set ℕ
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : NeZero ↑n
this✝¹ : NeZero ↑n
this✝ : DecidableEq (CyclotomicField n K) := Classical.decEq (CyclotomicField n K)
this : (cyclotomic n K).degree ≠ 0
ζ : (cyclotomic n K).SplittingField
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∀ {n_1 : ℕ}, n_1 ∈ {n} → n_1 ≠ 0 → ∃ r, IsPrimitiveRoot r n_1

pp: case refine_2
n : ℕ
inst✝⁷ : NeZero n
S T : Set ℕ
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : NeZero ↑n
this✝¹ : NeZero ↑n
this✝ : DecidableEq (CyclotomicField n K) := Classical.decEq (CyclotomicField n K)
this : (cyclotomic n K).degree ≠ 0
ζ : (cyclotomic n K).SplittingField
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∀ (x : CyclotomicField n K), x ∈ adjoin K {b | ∃ n_1 ∈ {n}, n_1 ≠ 0 ∧ b ^ n_1 = 1}

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
n : ℕ
inst✝⁷ : NeZero n
S T : Set ℕ
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : NeZero ↑n
this✝¹ : NeZero ↑n
this✝ : DecidableEq (CyclotomicField n K) := Classical.decEq (CyclotomicField n K)
this : (cyclotomic n K).degree ≠ 0
ζ : (cyclotomic n K).SplittingField
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∀ {n_1 : ℕ}, n_1 ∈ {n} → n_1 ≠ 0 → ∃ r, IsPrimitiveRoot r n_1
Module: Mathlib.NumberTheory.Cyclotomic.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
n : ℕ
inst✝⁷ : NeZero n
S T : Set ℕ
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : NeZero ↑n
this✝¹ : NeZero ↑n
this✝ : DecidableEq (CyclotomicField n K) := Classical.decEq (CyclotomicField n K)
this : (cyclotomic n K).degree ≠ 0
ζ : (cyclotomic n K).SplittingField
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∀ (x : CyclotomicField n K), x ∈ adjoin K {b | ∃ n_1 ∈ {n}, n_1 ≠ 0 ∧ b ^ n_1 = 1}

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
n : ℕ
inst✝⁷ : NeZero n
S T : Set ℕ
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : NeZero ↑n
this✝¹ : NeZero ↑n
this✝ : DecidableEq (CyclotomicField n K) := Classical.decEq (CyclotomicField n K)
this : (cyclotomic n K).degree ≠ 0
ζ : (cyclotomic n K).SplittingField
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∀ (x : CyclotomicField n K), x ∈ adjoin K {b | ∃ n_1 ∈ {n}, n_1 ≠ 0 ∧ b ^ n_1 = 1}