mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Group.Defs

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : IsOrderedMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1
h : 1 < y
⊢ ∃ a, 1 < a

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : IsOrderedMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1
h : 1 < y
⊢ ∃ a, 1 < a
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h : CovariantClass α>0 α (fun x y ↦ ↑x * y) fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2
a : α
ha✝ : 0 ≤ a
b c : α
hbc : b ≤ c
ha : 0 = a
⊢ a * b ≤ a * c

pp: case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h : CovariantClass α>0 α (fun x y ↦ ↑x * y) fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2
a : α
ha✝ : 0 ≤ a
b c : α
hbc : b ≤ c
ha : 0 < a
⊢ a * b ≤ a * c

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h : CovariantClass α>0 α (fun x y ↦ ↑x * y) fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2
a : α
ha✝ : 0 ≤ a
b c : α
hbc : b ≤ c
ha : 0 = a
⊢ a * b ≤ a * c
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h : CovariantClass α>0 α (fun x y ↦ ↑x * y) fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2
a : α
ha✝ : 0 ≤ a
b c : α
hbc : b ≤ c
ha : 0 < a
⊢ a * b ≤ a * c

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h : CovariantClass α>0 α (fun x y ↦ ↑x * y) fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2
a : α
ha✝ : 0 ≤ a
b c : α
hbc : b ≤ c
ha : 0 < a
⊢ a * b ≤ a * c
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h : CovariantClass α>0 α (fun x y ↦ y * ↑x) fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2
a : α
ha✝ : 0 ≤ a
b c : α
hbc : b ≤ c
ha : 0 = a
⊢ b * a ≤ c * a

pp: case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h : CovariantClass α>0 α (fun x y ↦ y * ↑x) fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2
a : α
ha✝ : 0 ≤ a
b c : α
hbc : b ≤ c
ha : 0 < a
⊢ b * a ≤ c * a

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h : CovariantClass α>0 α (fun x y ↦ y * ↑x) fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2
a : α
ha✝ : 0 ≤ a
b c : α
hbc : b ≤ c
ha : 0 = a
⊢ b * a ≤ c * a
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h : CovariantClass α>0 α (fun x y ↦ y * ↑x) fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2
a : α
ha✝ : 0 ≤ a
b c : α
hbc : b ≤ c
ha : 0 < a
⊢ b * a ≤ c * a

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h : CovariantClass α>0 α (fun x y ↦ y * ↑x) fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2
a : α
ha✝ : 0 ≤ a
b c : α
hbc : b ≤ c
ha : 0 < a
⊢ b * a ≤ c * a
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : ContravariantClass α>0 α (fun x y ↦ ↑x * y) fun x1 x2 ↦ x1 < x2
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : (fun x1 x2 ↦ x1 < x2) ((fun x y ↦ ↑x * y) a b) ((fun x y ↦ ↑x * y) a c)
ha : 0 = ↑a
⊢ b < c

pp: case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : ContravariantClass α>0 α (fun x y ↦ ↑x * y) fun x1 x2 ↦ x1 < x2
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : (fun x1 x2 ↦ x1 < x2) ((fun x y ↦ ↑x * y) a b) ((fun x y ↦ ↑x * y) a c)
ha : 0 < ↑a
⊢ b < c

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : ContravariantClass α>0 α (fun x y ↦ ↑x * y) fun x1 x2 ↦ x1 < x2
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : (fun x1 x2 ↦ x1 < x2) ((fun x y ↦ ↑x * y) a b) ((fun x y ↦ ↑x * y) a c)
ha : 0 = ↑a
⊢ b < c
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : ContravariantClass α>0 α (fun x y ↦ ↑x * y) fun x1 x2 ↦ x1 < x2
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : (fun x1 x2 ↦ x1 < x2) ((fun x y ↦ ↑x * y) a b) ((fun x y ↦ ↑x * y) a c)
ha : 0 < ↑a
⊢ b < c

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : ContravariantClass α>0 α (fun x y ↦ ↑x * y) fun x1 x2 ↦ x1 < x2
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : (fun x1 x2 ↦ x1 < x2) ((fun x y ↦ ↑x * y) a b) ((fun x y ↦ ↑x * y) a c)
ha : 0 < ↑a
⊢ b < c
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : ContravariantClass α>0 α (fun x y ↦ y * ↑x) fun x1 x2 ↦ x1 < x2
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : (fun x1 x2 ↦ x1 < x2) ((fun x y ↦ y * ↑x) a b) ((fun x y ↦ y * ↑x) a c)
ha : 0 = ↑a
⊢ b < c

pp: case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : ContravariantClass α>0 α (fun x y ↦ y * ↑x) fun x1 x2 ↦ x1 < x2
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : (fun x1 x2 ↦ x1 < x2) ((fun x y ↦ y * ↑x) a b) ((fun x y ↦ y * ↑x) a c)
ha : 0 < ↑a
⊢ b < c

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : ContravariantClass α>0 α (fun x y ↦ y * ↑x) fun x1 x2 ↦ x1 < x2
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : (fun x1 x2 ↦ x1 < x2) ((fun x y ↦ y * ↑x) a b) ((fun x y ↦ y * ↑x) a c)
ha : 0 = ↑a
⊢ b < c
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : ContravariantClass α>0 α (fun x y ↦ y * ↑x) fun x1 x2 ↦ x1 < x2
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : (fun x1 x2 ↦ x1 < x2) ((fun x y ↦ y * ↑x) a b) ((fun x y ↦ y * ↑x) a c)
ha : 0 < ↑a
⊢ b < c

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : ContravariantClass α>0 α (fun x y ↦ y * ↑x) fun x1 x2 ↦ x1 < x2
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : (fun x1 x2 ↦ x1 < x2) ((fun x y ↦ y * ↑x) a b) ((fun x y ↦ y * ↑x) a c)
ha : 0 < ↑a
⊢ b < c
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab✝ : a ≤ b
hcd : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
h : a * c = b * d
hab : a < b
⊢ a * c < b * d

pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd✝ : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
h : a * c = b * d
hcd : c < d
⊢ a * c < b * d

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab✝ : a ≤ b
hcd : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
h : a * c = b * d
hab : a < b
⊢ a * c < b * d
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd✝ : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
h : a * c = b * d
hcd : c < d
⊢ a * c < b * d

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd✝ : c ≤ d
a0 : 0 < a
d0 : 0 < d
h : a * c = b * d
hcd : c < d
⊢ a * c < b * d
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab✝ : a ≤ b
hcd : c ≤ d
b0 : 0 < b
c0 : 0 < c
h : a * c = b * d
hab : a < b
⊢ a * c < b * d

pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd✝ : c ≤ d
b0 : 0 < b
c0 : 0 < c
h : a * c = b * d
hcd : c < d
⊢ a * c < b * d

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab✝ : a ≤ b
hcd : c ≤ d
b0 : 0 < b
c0 : 0 < c
h : a * c = b * d
hab : a < b
⊢ a * c < b * d
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd✝ : c ≤ d
b0 : 0 < b
c0 : 0 < c
h : a * c = b * d
hcd : c < d
⊢ a * c < b * d

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd✝ : c ≤ d
b0 : 0 < b
c0 : 0 < c
h : a * c = b * d
hcd : c < d
⊢ a * c < b * d
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝⁵ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PosMulReflectLE α
inst✝² : MulPosReflectLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h : b * d ≤ a * c
⊢ b ≤ a

pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝⁵ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PosMulReflectLE α
inst✝² : MulPosReflectLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h : b * d ≤ a * c
⊢ d ≤ c

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝⁵ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PosMulReflectLE α
inst✝² : MulPosReflectLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h : b * d ≤ a * c
⊢ b ≤ a
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝⁵ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PosMulReflectLE α
inst✝² : MulPosReflectLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h : b * d ≤ a * d
⊢ b ≤ a

pp: case ha
α : Type u_1
inst✝⁵ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PosMulReflectLE α
inst✝² : MulPosReflectLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h : b * d ≤ a * c
⊢ 0 ≤ a

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝⁵ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PosMulReflectLE α
inst✝² : MulPosReflectLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h : b * d ≤ a * d
⊢ b ≤ a
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case ha
α : Type u_1
inst✝⁵ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PosMulReflectLE α
inst✝² : MulPosReflectLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h : b * d ≤ a * c
⊢ 0 ≤ a

Tactic:
·

Goal state after:
case ha
α : Type u_1
inst✝⁵ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PosMulReflectLE α
inst✝² : MulPosReflectLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h : b * d ≤ a * c
⊢ 0 ≤ a
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝⁵ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PosMulReflectLE α
inst✝² : MulPosReflectLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h : b * d ≤ a * c
⊢ d ≤ c

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
inst✝⁵ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PosMulReflectLE α
inst✝² : MulPosReflectLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h : b * d ≤ a * c
⊢ d ≤ c
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝⁵ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PosMulReflectLE α
inst✝² : MulPosReflectLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h : b * d ≤ b * c
⊢ d ≤ c

pp: case ha
α : Type u_1
inst✝⁵ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PosMulReflectLE α
inst✝² : MulPosReflectLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h : b * d ≤ a * c
⊢ 0 ≤ c

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
inst✝⁵ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PosMulReflectLE α
inst✝² : MulPosReflectLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h : b * d ≤ b * c
⊢ d ≤ c
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case ha
α : Type u_1
inst✝⁵ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PosMulReflectLE α
inst✝² : MulPosReflectLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h : b * d ≤ a * c
⊢ 0 ≤ c

Tactic:
·

Goal state after:
case ha
α : Type u_1
inst✝⁵ : MulZeroClass α
a b c d : α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PosMulReflectLE α
inst✝² : MulPosReflectLE α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h : b * d ≤ a * c
⊢ 0 ≤ c
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
a b : α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < a * b
ha : a < 0
⊢ 0 < a ∧ 0 < b ∨ a < 0 ∧ b < 0

pp: case inr.inl
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
b : α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < 0 * b
⊢ 0 < 0 ∧ 0 < b ∨ 0 < 0 ∧ b < 0

pp: case inr.inr
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
a b : α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < a * b
ha : 0 < a
⊢ 0 < a ∧ 0 < b ∨ a < 0 ∧ b < 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
a b : α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < a * b
ha : a < 0
⊢ 0 < a ∧ 0 < b ∨ a < 0 ∧ b < 0
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
b : α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < 0 * b
⊢ 0 < 0 ∧ 0 < b ∨ 0 < 0 ∧ b < 0

pp: case inr.inr
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
a b : α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < a * b
ha : 0 < a
⊢ 0 < a ∧ 0 < b ∨ a < 0 ∧ b < 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
b : α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < 0 * b
⊢ 0 < 0 ∧ 0 < b ∨ 0 < 0 ∧ b < 0
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
a b : α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < a * b
ha : 0 < a
⊢ 0 < a ∧ 0 < b ∨ a < 0 ∧ b < 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
a b : α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < a * b
ha : 0 < a
⊢ 0 < a ∧ 0 < b ∨ a < 0 ∧ b < 0
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_1
inst✝³ : MulZeroClass α
a b : α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < a * b
ha : 0 < a
hb : b ≤ 0
⊢ a * b ≤ 0

Tactic:
exact mul_nonpos_of_nonneg_of_nonpos ha.le hb

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inl
M₀ : Type u_2
inst✝³ : MonoidWithZero M₀
inst✝² : Preorder M₀
a : M₀
m n : ℕ
inst✝¹ : ZeroLEOneClass M₀
inst✝ : PosMulMono M₀
a1 : 1 ≤ a
nm : n ≤ m
⊢ a ^ n ≤ a ^ m

pp: case inr
M₀ : Type u_2
inst✝³ : MonoidWithZero M₀
inst✝² : Preorder M₀
a : M₀
m n : ℕ
inst✝¹ : ZeroLEOneClass M₀
inst✝ : PosMulMono M₀
a0 : 0 ≤ a
a1 : a ≤ 1
mn : m ≤ n
⊢ a ^ n ≤ a ^ m

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
M₀ : Type u_2
inst✝³ : MonoidWithZero M₀
inst✝² : Preorder M₀
a : M₀
m n : ℕ
inst✝¹ : ZeroLEOneClass M₀
inst✝ : PosMulMono M₀
a1 : 1 ≤ a
nm : n ≤ m
⊢ a ^ n ≤ a ^ m
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inr
M₀ : Type u_2
inst✝³ : MonoidWithZero M₀
inst✝² : Preorder M₀
a : M₀
m n : ℕ
inst✝¹ : ZeroLEOneClass M₀
inst✝ : PosMulMono M₀
a0 : 0 ≤ a
a1 : a ≤ 1
mn : m ≤ n
⊢ a ^ n ≤ a ^ m

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
M₀ : Type u_2
inst✝³ : MonoidWithZero M₀
inst✝² : Preorder M₀
a : M₀
m n : ℕ
inst✝¹ : ZeroLEOneClass M₀
inst✝ : PosMulMono M₀
a0 : 0 ≤ a
a1 : a ≤ 1
mn : m ≤ n
⊢ a ^ n ≤ a ^ m
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inl
M₀ : Type u_2
inst✝³ : MonoidWithZero M₀
inst✝² : LinearOrder M₀
inst✝¹ : PosMulStrictMono M₀
a : M₀
inst✝ : ZeroLEOneClass M₀
ha₀ : 0 < a
ha₁✝ : a ≠ 1
ha₁ : a < 1
⊢ Injective fun x ↦ a ^ x

pp: case inr
M₀ : Type u_2
inst✝³ : MonoidWithZero M₀
inst✝² : LinearOrder M₀
inst✝¹ : PosMulStrictMono M₀
a : M₀
inst✝ : ZeroLEOneClass M₀
ha₀ : 0 < a
ha₁✝ : a ≠ 1
ha₁ : 1 < a
⊢ Injective fun x ↦ a ^ x

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
M₀ : Type u_2
inst✝³ : MonoidWithZero M₀
inst✝² : LinearOrder M₀
inst✝¹ : PosMulStrictMono M₀
a : M₀
inst✝ : ZeroLEOneClass M₀
ha₀ : 0 < a
ha₁✝ : a ≠ 1
ha₁ : a < 1
⊢ Injective fun x ↦ a ^ x
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inr
M₀ : Type u_2
inst✝³ : MonoidWithZero M₀
inst✝² : LinearOrder M₀
inst✝¹ : PosMulStrictMono M₀
a : M₀
inst✝ : ZeroLEOneClass M₀
ha₀ : 0 < a
ha₁✝ : a ≠ 1
ha₁ : 1 < a
⊢ Injective fun x ↦ a ^ x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
M₀ : Type u_2
inst✝³ : MonoidWithZero M₀
inst✝² : LinearOrder M₀
inst✝¹ : PosMulStrictMono M₀
a : M₀
inst✝ : ZeroLEOneClass M₀
ha₀ : 0 < a
ha₁✝ : a ≠ 1
ha₁ : 1 < a
⊢ Injective fun x ↦ a ^ x
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inl
G₀ : Type u_3
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : Preorder G₀
a b : G₀
h : 0 ≤ a / b
⊢ a * 0 / (b * 0) ≤ a / b

pp: case inr
G₀ : Type u_3
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : Preorder G₀
a b c : G₀
h : 0 ≤ a / b
hc : c ≠ 0
⊢ a * c / (b * c) ≤ a / b

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
G₀ : Type u_3
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : Preorder G₀
a b : G₀
h : 0 ≤ a / b
⊢ a * 0 / (b * 0) ≤ a / b
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inr
G₀ : Type u_3
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : Preorder G₀
a b c : G₀
h : 0 ≤ a / b
hc : c ≠ 0
⊢ a * c / (b * c) ≤ a / b

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
G₀ : Type u_3
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : Preorder G₀
a b c : G₀
h : 0 ≤ a / b
hc : c ≠ 0
⊢ a * c / (b * c) ≤ a / b
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inl
G₀ : Type u_3
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : Preorder G₀
a b : G₀
h : a / b ≤ 0
⊢ a / b ≤ a * 0 / (b * 0)

pp: case inr
G₀ : Type u_3
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : Preorder G₀
a b c : G₀
h : a / b ≤ 0
hc : c ≠ 0
⊢ a / b ≤ a * c / (b * c)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
G₀ : Type u_3
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : Preorder G₀
a b : G₀
h : a / b ≤ 0
⊢ a / b ≤ a * 0 / (b * 0)
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inr
G₀ : Type u_3
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : Preorder G₀
a b c : G₀
h : a / b ≤ 0
hc : c ≠ 0
⊢ a / b ≤ a * c / (b * c)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
G₀ : Type u_3
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : Preorder G₀
a b c : G₀
h : a / b ≤ 0
hc : c ≠ 0
⊢ a / b ≤ a * c / (b * c)
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inl
G₀ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : PartialOrder G₀
inst✝ : PosMulReflectLT G₀
a b : G₀
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ 0
h : a ≤ 0⁻¹ * b
⊢ 0 * a ≤ b

pp: case inr
G₀ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : PartialOrder G₀
inst✝ : PosMulReflectLT G₀
a b c : G₀
hb : 0 ≤ b
hc✝ : 0 ≤ c
h : a ≤ c⁻¹ * b
hc : 0 < c
⊢ c * a ≤ b

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
G₀ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : PartialOrder G₀
inst✝ : PosMulReflectLT G₀
a b : G₀
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ 0
h : a ≤ 0⁻¹ * b
⊢ 0 * a ≤ b
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inr
G₀ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : PartialOrder G₀
inst✝ : PosMulReflectLT G₀
a b c : G₀
hb : 0 ≤ b
hc✝ : 0 ≤ c
h : a ≤ c⁻¹ * b
hc : 0 < c
⊢ c * a ≤ b

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
G₀ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : PartialOrder G₀
inst✝ : PosMulReflectLT G₀
a b c : G₀
hb : 0 ≤ b
hc✝ : 0 ≤ c
h : a ≤ c⁻¹ * b
hc : 0 < c
⊢ c * a ≤ b
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inr
G₀ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : PartialOrder G₀
inst✝ : PosMulReflectLT G₀
a b c : G₀
hb : 0 ≤ b
hc✝ : 0 ≤ c
h : a ≤ c⁻¹ * b
hc : 0 < c
⊢ c * a ≤ b

Tactic:
le_inv_mul_iff₀ hc

Goal state after:
case inr
G₀ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : PartialOrder G₀
inst✝ : PosMulReflectLT G₀
a b c : G₀
hb : 0 ≤ b
hc✝ : 0 ≤ c
h : c * a ≤ b
hc : 0 < c
⊢ c * a ≤ b
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inl
G₀ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : PartialOrder G₀
inst✝ : PosMulReflectLT G₀
a c : G₀
hc : 0 ≤ c
hb : 0 ≤ 0
h : a ≤ 0 * c
⊢ 0⁻¹ * a ≤ c

pp: case inr
G₀ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : PartialOrder G₀
inst✝ : PosMulReflectLT G₀
a b c : G₀
hb✝ : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
h : a ≤ b * c
hb : 0 < b
⊢ b⁻¹ * a ≤ c

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
G₀ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : PartialOrder G₀
inst✝ : PosMulReflectLT G₀
a c : G₀
hc : 0 ≤ c
hb : 0 ≤ 0
h : a ≤ 0 * c
⊢ 0⁻¹ * a ≤ c
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: case inr
G₀ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : PartialOrder G₀
inst✝ : PosMulReflectLT G₀
a b c : G₀
hb✝ : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
h : a ≤ b * c
hb : 0 < b
⊢ b⁻¹ * a ≤ c

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
G₀ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : PartialOrder G₀
inst✝ : PosMulReflectLT G₀
a b c : G₀
hb✝ : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
h : a ≤ b * c
hb : 0 < b
⊢ b⁻¹ * a ≤ c
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.Unbundled.Basic

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder R
a b : R
inst✝¹ : MulPosStrictMono R
inst✝ : PosMulStrictMono R
hab : 0 ≤ a * b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
ha : 0 < a
⊢ a * b < 0

pp: case inr.inl
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder R
b : R
inst✝¹ : MulPosStrictMono R
inst✝ : PosMulStrictMono R
hab : 0 ≤ 0 * b
ab : 0 ≤ 0 → b < 0
nab : 0 ≤ 0 → 0 < b
⊢ 0 * b < 0

pp: case inr.inr
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder R
a b : R
inst✝¹ : MulPosStrictMono R
inst✝ : PosMulStrictMono R
hab : 0 ≤ a * b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
ha : a < 0
⊢ a * b < 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder R
a b : R
inst✝¹ : MulPosStrictMono R
inst✝ : PosMulStrictMono R
hab : 0 ≤ a * b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
ha : 0 < a
⊢ a * b < 0
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.Unbundled.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inl
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder R
b : R
inst✝¹ : MulPosStrictMono R
inst✝ : PosMulStrictMono R
hab : 0 ≤ 0 * b
ab : 0 ≤ 0 → b < 0
nab : 0 ≤ 0 → 0 < b
⊢ 0 * b < 0

pp: case inr.inr
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder R
a b : R
inst✝¹ : MulPosStrictMono R
inst✝ : PosMulStrictMono R
hab : 0 ≤ a * b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
ha : a < 0
⊢ a * b < 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder R
b : R
inst✝¹ : MulPosStrictMono R
inst✝ : PosMulStrictMono R
hab : 0 ≤ 0 * b
ab : 0 ≤ 0 → b < 0
nab : 0 ≤ 0 → 0 < b
⊢ 0 * b < 0
Module: Mathlib.Algebra.Order.GroupWithZero.Basic

Goal state before:
pp: G₀ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : PartialOrder G₀
inst✝ : PosMulReflectLT G₀
a b : G₀
ha : 0 < a
⊢ 1 < a⁻¹ * b ↔ a < b

Tactic:
rw [lt_inv_mul_iff₀ ha, mul_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.Unbundled.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder R
a b : R
inst✝¹ : MulPosStrictMono R
inst✝ : PosMulStrictMono R
hab : 0 ≤ a * b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
ha : a < 0
⊢ a * b < 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder R
a b : R
inst✝¹ : MulPosStrictMono R
inst✝ : PosMulStrictMono R
hab : 0 ≤ a * b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
ha : a < 0
⊢ a * b < 0