mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
p : R[X]
h0 : r = 0
⊢ Associated (C r * p).content (r * p.content)

pp: case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
p : R[X]
h0 : ¬r = 0
⊢ Associated (C r * p).content (r * p.content)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
p : R[X]
h0 : r = 0
⊢ Associated (C r * p).content (r * p.content)
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic

Goal state before:
pp: case neg.calc_2
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : IsCancelMulZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
a b : α
ane0 : a ≠ 0
c : α
hc : ¬IsUnit c
b_eq : b = a * c
h : ¬b = 0
cne0 : c ≠ 0
⊢ ∀ x ∈ Classical.choose ⋯ + Classical.choose ⋯, Prime x

pp: case neg.calc_3
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : IsCancelMulZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
a b : α
ane0 : a ≠ 0
c : α
hc : ¬IsUnit c
b_eq : b = a * c
h : ¬b = 0
cne0 : c ≠ 0
⊢ (Classical.choose ⋯ + Classical.choose ⋯).prod ~ᵤ (Classical.choose ⋯).prod

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.calc_2
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : IsCancelMulZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
a b : α
ane0 : a ≠ 0
c : α
hc : ¬IsUnit c
b_eq : b = a * c
h : ¬b = 0
cne0 : c ≠ 0
⊢ ∀ x ∈ Classical.choose ⋯ + Classical.choose ⋯, Prime x
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic

Goal state before:
pp: case neg.calc_3
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : IsCancelMulZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
a b : α
ane0 : a ≠ 0
c : α
hc : ¬IsUnit c
b_eq : b = a * c
h : ¬b = 0
cne0 : c ≠ 0
⊢ (Classical.choose ⋯ + Classical.choose ⋯).prod ~ᵤ (Classical.choose ⋯).prod

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.calc_3
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : IsCancelMulZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
a b : α
ane0 : a ≠ 0
c : α
hc : ¬IsUnit c
b_eq : b = a * c
h : ¬b = 0
cne0 : c ≠ 0
⊢ (Classical.choose ⋯ + Classical.choose ⋯).prod ~ᵤ (Classical.choose ⋯).prod
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : IsCancelMulZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
a b : α
ane0 : a ≠ 0
c : α
hc : ¬IsUnit c
b_eq : b = a * c
h : ¬b = 0
cne0 : c ≠ 0
⊢ (Classical.choose ⋯).prod * (Classical.choose ⋯).prod ~ᵤ a * c

pp: α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : IsCancelMulZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
a b : α
ane0 : a ≠ 0
c : α
hc : ¬IsUnit c
b_eq : b = a * c
h : ¬b = 0
cne0 : c ≠ 0
⊢ a * c ~ᵤ (Classical.choose ⋯).prod

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : IsCancelMulZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
a b : α
ane0 : a ≠ 0
c : α
hc : ¬IsUnit c
b_eq : b = a * c
h : ¬b = 0
cne0 : c ≠ 0
⊢ (Classical.choose ⋯).prod * (Classical.choose ⋯).prod ~ᵤ a * c
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ∀ x ∈ p.support, p.coeff x = 0
⊢ p = 0

pp: case mpr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : p = 0
⊢ ∀ x ∈ p.support, p.coeff x = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ∀ x ∈ p.support, p.coeff x = 0
⊢ p = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : p = 0
⊢ ∀ x ∈ p.support, p.coeff x = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : p = 0
⊢ ∀ x ∈ p.support, p.coeff x = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp0 : p.content = 0
⊢ normUnit p.content = 1

pp: case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp0 : ¬p.content = 0
⊢ normUnit p.content = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp0 : p.content = 0
⊢ normUnit p.content = 1
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp0 : ¬p.content = 0
⊢ normUnit p.content = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp0 : ¬p.content = 0
⊢ normUnit p.content = 1
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : IsCancelMulZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
a b : α
ane0 : a ≠ 0
c : α
hc : ¬IsUnit c
b_eq : b = a * c
h : ¬b = 0
cne0 : c ≠ 0
⊢ a * c ~ᵤ (Classical.choose ⋯).prod

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : IsCancelMulZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
a b : α
ane0 : a ≠ 0
c : α
hc : ¬IsUnit c
b_eq : b = a * c
h : ¬b = 0
cne0 : c ≠ 0
⊢ a * c ~ᵤ (Classical.choose ⋯).prod
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content

Goal state before:
pp: case hab
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n
⊢ p.content ∣ (Finset.range n).gcd p.coeff

pp: case hba
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n
⊢ (Finset.range n).gcd p.coeff ∣ p.content

Tactic:
·

Goal state after:
case hab
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n
⊢ p.content ∣ (Finset.range n).gcd p.coeff
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content

Goal state before:
pp: case hba
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n
⊢ (Finset.range n).gcd p.coeff ∣ p.content

Tactic:
·

Goal state after:
case hba
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n
⊢ (Finset.range n).gcd p.coeff ∣ p.content
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : p = 0
⊢ p.content = gcd p.leadingCoeff p.eraseLead.content

pp: case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ¬p = 0
⊢ p.content = gcd p.leadingCoeff p.eraseLead.content

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : p = 0
⊢ p.content = gcd p.leadingCoeff p.eraseLead.content
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : IsCancelMulZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
p : α
hp0 : p = 0
⊢ Irreducible p ↔ Prime p

pp: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : IsCancelMulZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
p : α
hp0 : ¬p = 0
⊢ Irreducible p ↔ Prime p

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : IsCancelMulZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
p : α
hp0 : p = 0
⊢ Irreducible p ↔ Prime p
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.FieldDivision

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hpt : p.IsRoot t
hnzd : ↑(rootMultiplicity t p) ∈ nonZeroDivisors R
h : p = 0
⊢ rootMultiplicity t (derivative p) = rootMultiplicity t p - 1

pp: case neg
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hpt : p.IsRoot t
hnzd : ↑(rootMultiplicity t p) ∈ nonZeroDivisors R
h : ¬p = 0
⊢ rootMultiplicity t (derivative p) = rootMultiplicity t p - 1

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hpt : p.IsRoot t
hnzd : ↑(rootMultiplicity t p) ∈ nonZeroDivisors R
h : p = 0
⊢ rootMultiplicity t (derivative p) = rootMultiplicity t p - 1
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Roots

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : DecidableEq S
m : R →+* S
d : ℕ
U : Set R
h : U.Finite
π : R[X] → Fin (d + 1) → R := fun f i ↦ f.coeff ↑i
⊢ (π '' fun f ↦ f.natDegree ≤ d ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ U) ⊆ Set.univ.pi fun x ↦ U

pp: case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : DecidableEq S
m : R →+* S
d : ℕ
U : Set R
h : U.Finite
π : R[X] → Fin (d + 1) → R := fun f i ↦ f.coeff ↑i
⊢ Set.InjOn π fun f ↦ f.natDegree ≤ d ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ U

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : DecidableEq S
m : R →+* S
d : ℕ
U : Set R
h : U.Finite
π : R[X] → Fin (d + 1) → R := fun f i ↦ f.coeff ↑i
⊢ (π '' fun f ↦ f.natDegree ≤ d ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ U) ⊆ Set.univ.pi fun x ↦ U
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Roots

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : DecidableEq S
m : R →+* S
d : ℕ
U : Set R
h : U.Finite
π : R[X] → Fin (d + 1) → R := fun f i ↦ f.coeff ↑i
⊢ Set.InjOn π fun f ↦ f.natDegree ≤ d ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ U

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : DecidableEq S
m : R →+* S
d : ℕ
U : Set R
h : U.Finite
π : R[X] → Fin (d + 1) → R := fun f i ↦ f.coeff ↑i
⊢ Set.InjOn π fun f ↦ f.natDegree ≤ d ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ U
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
r : R
⊢ r ∣ p.content → ∀ (i : ℕ), r ∣ p.coeff i

pp: case mpr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
r : R
⊢ (∀ (i : ℕ), r ∣ p.coeff i) → r ∣ p.content

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
r : R
⊢ r ∣ p.content → ∀ (i : ℕ), r ∣ p.coeff i
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
r : R
⊢ (∀ (i : ℕ), r ∣ p.coeff i) → r ∣ p.content

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
r : R
⊢ (∀ (i : ℕ), r ∣ p.coeff i) → r ∣ p.content
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ 0 ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = 0 ∧ c' * b' = b

pp: case refine_2
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ ∀ (x : R), IsUnit x → x ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = x ∧ c' * b' = b

pp: case refine_3
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ ∀ (a p : R),
    a ≠ 0 →
      Prime p →
        (a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b) →
          p * a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = b

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ 0 ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = 0 ∧ c' * b' = b
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ ∀ (x : R), IsUnit x → x ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = x ∧ c' * b' = b

pp: case refine_3
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ ∀ (a p : R),
    a ≠ 0 →
      Prime p →
        (a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b) →
          p * a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = b

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ ∀ (x : R), IsUnit x → x ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = x ∧ c' * b' = b
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : p = 0
⊢ p = C p.content * p.primPart

pp: case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ¬p = 0
⊢ p = C p.content * p.primPart

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : p = 0
⊢ p = C p.content * p.primPart
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic

Goal state before:
pp: case h.left
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝¹ a : R
a_unit : IsUnit a
a✝ : a ≠ 0
b : R
⊢ IsRelPrime a b

pp: case h.right
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝¹ a : R
a_unit : IsUnit a
a✝ : a ≠ 0
b : R
⊢ 1 * a = a ∧ 1 * b = b

Tactic:
·

Goal state after:
case h.left
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝¹ a : R
a_unit : IsUnit a
a✝ : a ≠ 0
b : R
⊢ IsRelPrime a b
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic

Goal state before:
pp: case h.right
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝¹ a : R
a_unit : IsUnit a
a✝ : a ≠ 0
b : R
⊢ 1 * a = a ∧ 1 * b = b

Tactic:
·

Goal state after:
case h.right
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝¹ a : R
a_unit : IsUnit a
a✝ : a ≠ 0
b : R
⊢ 1 * a = a ∧ 1 * b = b
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ ∀ (a p : R),
    a ≠ 0 →
      Prime p →
        (a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b) →
          p * a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = b

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ ∀ (a p : R),
    a ≠ 0 →
      Prime p →
        (a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b) →
          p * a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = b
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : p = 0
⊢ p.primPart.IsPrimitive

pp: case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ¬p = 0
⊢ p.primPart.IsPrimitive

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : p = 0
⊢ p.primPart.IsPrimitive
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Roots

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
h : 0 < n
a : R
⊢ ↑(nthRootsFinset n a) = {r | r ^ n = a}

Tactic:
ext x
  simp_all

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Roots

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra S R
G : Type u_1
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : MulSemiringAction G R
inst✝ : SMulCommClass G S R
f : S[X]
g : G
hg : IsUnit g
x : R
⊢ g • x ∈ f.rootSet R ↔ x ∈ f.rootSet R

Tactic:
refine ⟨?_, smul_mem_rootSet g⟩

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra S R
G : Type u_1
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : MulSemiringAction G R
inst✝ : SMulCommClass G S R
f : S[X]
g : G
hg : IsUnit g
x : R
⊢ g • x ∈ f.rootSet R → x ∈ f.rootSet R
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
a✝ : Nontrivial R
h : C p.content = 0
⊢ p.primPart.natDegree = p.natDegree

pp: case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
a✝ : Nontrivial R
h : ¬C p.content = 0
⊢ p.primPart.natDegree = p.natDegree

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
a✝ : Nontrivial R
h : C p.content = 0
⊢ p.primPart.natDegree = p.natDegree
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝ a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b : R
h : p ∣ b
⊢ ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = b

pp: case neg
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝ a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b : R
h : ¬p ∣ b
⊢ ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = b

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝ a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b : R
h : p ∣ b
⊢ ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = b
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic

Goal state before:
pp: case pos.refine_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝ a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b a' b' c' : R
no_factor : IsRelPrime a' b'
ha' : c' * a' = a
hb' : c' * b' = b
⊢ p * c' * a' = p * a

pp: case pos.refine_2
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝ a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b a' b' c' : R
no_factor : IsRelPrime a' b'
ha' : c' * a' = a
hb' : c' * b' = b
⊢ p * c' * b' = p * b

Tactic:
·

Goal state after:
case pos.refine_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝ a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b a' b' c' : R
no_factor : IsRelPrime a' b'
ha' : c' * a' = a
hb' : c' * b' = b
⊢ p * c' * a' = p * a
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
h0 : r = 0
⊢ IsUnit (C r).primPart

pp: case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
h0 : ¬r = 0
⊢ IsUnit (C r).primPart

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
h0 : r = 0
⊢ IsUnit (C r).primPart
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic

Goal state before:
pp: case pos.refine_2
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝ a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b a' b' c' : R
no_factor : IsRelPrime a' b'
ha' : c' * a' = a
hb' : c' * b' = b
⊢ p * c' * b' = p * b

Tactic:
·

Goal state after:
case pos.refine_2
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝ a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b a' b' c' : R
no_factor : IsRelPrime a' b'
ha' : c' * a' = a
hb' : c' * b' = b
⊢ p * c' * b' = p * b
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝ a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b : R
h : ¬p ∣ b
⊢ ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = b

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝ a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b : R
h : ¬p ∣ b
⊢ ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = b
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.FieldDivision

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hm : m = rootMultiplicity t p
⊢ eval t (m.choose 0 • ((⇑derivative)^[m - 0] ((X - C t) ^ m) * (⇑derivative)^[0] (p /ₘ (X - C t) ^ m))) =
    m ! • eval t (p /ₘ (X - C t) ^ m)

pp: R : Type u
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hm : m = rootMultiplicity t p
⊢ ∀ b ∈ range m.succ,
    b ≠ 0 → eval t (m.choose b • ((⇑derivative)^[m - b] ((X - C t) ^ m) * (⇑derivative)^[b] (p /ₘ (X - C t) ^ m))) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hm : m = rootMultiplicity t p
⊢ eval t (m.choose 0 • ((⇑derivative)^[m - 0] ((X - C t) ^ m) * (⇑derivative)^[0] (p /ₘ (X - C t) ^ m))) =
    m ! • eval t (p /ₘ (X - C t) ^ m)
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic

Goal state before:
pp: case neg.inl
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a p : R
p_prime : Prime p
a' b' c' : R
coprime : IsRelPrime a' b'
a_ne_zero : c' * a' ≠ 0
ih_a : c' * a' ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a'_1 b' c'_1, IsRelPrime a'_1 b' ∧ c'_1 * a'_1 = c' * a' ∧ c'_1 * b' = b
pa_ne_zero : p * (c' * a') ≠ 0
h : ¬p ∣ c' * b'
q : R
q_dvd_pa' : q ∣ p * a'
q_dvd_b' : q ∣ b'
p_dvd_q : p ∣ q
⊢ IsUnit q

pp: case neg.inr
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a p : R
p_prime : Prime p
a' b' c' : R
coprime : IsRelPrime a' b'
a_ne_zero : c' * a' ≠ 0
ih_a : c' * a' ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a'_1 b' c'_1, IsRelPrime a'_1 b' ∧ c'_1 * a'_1 = c' * a' ∧ c'_1 * b' = b
pa_ne_zero : p * (c' * a') ≠ 0
h : ¬p ∣ c' * b'
q : R
q_dvd_pa' : q ∣ p * a'
q_dvd_b' : q ∣ b'
q_dvd_a' : q ∣ a'
⊢ IsUnit q

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.inl
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a p : R
p_prime : Prime p
a' b' c' : R
coprime : IsRelPrime a' b'
a_ne_zero : c' * a' ≠ 0
ih_a : c' * a' ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a'_1 b' c'_1, IsRelPrime a'_1 b' ∧ c'_1 * a'_1 = c' * a' ∧ c'_1 * b' = b
pa_ne_zero : p * (c' * a') ≠ 0
h : ¬p ∣ c' * b'
q : R
q_dvd_pa' : q ∣ p * a'
q_dvd_b' : q ∣ b'
p_dvd_q : p ∣ q
⊢ IsUnit q
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Roots

Goal state before:
pp: case heval
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p q : R[X]
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
hf : Function.Injective f
heval : ∀ (i : ι), eval (f i) p = eval (f i) q
hcard : max p.natDegree q.natDegree < Fintype.card ι
⊢ ∀ (i : ι), eval (f i) (p - q) = 0

pp: case hcard
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p q : R[X]
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
hf : Function.Injective f
heval : ∀ (i : ι), eval (f i) p = eval (f i) q
hcard : max p.natDegree q.natDegree < Fintype.card ι
⊢ (p - q).natDegree < Fintype.card ι

Tactic:
·

Goal state after:
case heval
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p q : R[X]
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
hf : Function.Injective f
heval : ∀ (i : ι), eval (f i) p = eval (f i) q
hcard : max p.natDegree q.natDegree < Fintype.card ι
⊢ ∀ (i : ι), eval (f i) (p - q) = 0