mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := ⋯
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
⊢ IsClosed (s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ)

Tactic:
·

Goal state after:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := ⋯
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
⊢ IsClosed (s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ)
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
x : X
hx : x ∈ s
h : ∃ j, j ≠ i ∧ x ∈ v.toFun j
⊢ ∃ i_1, x ∈ update v.toFun i vi i_1

pp: case neg
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
x : X
hx : x ∈ s
h : ∀ (j : ι), j ≠ i → x ∉ v.toFun j
⊢ ∃ i_1, x ∈ update v.toFun i vi i_1

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
x : X
hx : x ∈ s
h : ∃ j, j ≠ i ∧ x ∈ v.toFun j
⊢ ∃ i_1, x ∈ update v.toFun i vi i_1
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
x : X
hx : x ∈ s
h : ∀ (j : ι), j ≠ i → x ∉ v.toFun j
⊢ ∃ i_1, x ∈ update v.toFun i vi i_1

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
x : X
hx : x ∈ s
h : ∀ (j : ι), j ≠ i → x ∉ v.toFun j
⊢ ∃ i_1, x ∈ update v.toFun i vi i_1
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: case ofNat
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n✝ : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s : Cₛ^n✝⟮I; F, V⟯
n : ℕ
⊢ ⇑(Int.ofNat n • s) = Int.ofNat n • ⇑s

pp: case negSucc
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n✝ : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s : Cₛ^n✝⟮I; F, V⟯
n : ℕ
⊢ ⇑(Int.negSucc n • s) = Int.negSucc n • ⇑s

Tactic:
·

Goal state after:
case ofNat
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n✝ : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s : Cₛ^n✝⟮I; F, V⟯
n : ℕ
⊢ ⇑(Int.ofNat n • s) = Int.ofNat n • ⇑s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: case negSucc
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n✝ : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s : Cₛ^n✝⟮I; F, V⟯
n : ℕ
⊢ ⇑(Int.negSucc n • s) = Int.negSucc n • ⇑s

Tactic:
·

Goal state after:
case negSucc
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n✝ : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s : Cₛ^n✝⟮I; F, V⟯
n : ℕ
⊢ ⇑(Int.negSucc n • s) = Int.negSucc n • ⇑s
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case refine_3.inl
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
vi : Set X
j : ι
hi : j ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j_1, ⋃ (_ : j_1 ≠ j), v.toFun j_1)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i, ⋂ (_ : ¬i = j), (v.toFun i)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun j
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun j ∧ IsCompact (closure vi)
⊢ closure (update v.toFun j vi j) ⊆ u j

pp: case refine_3.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
hj : j ∈ v.carrier
⊢ closure (update v.toFun i vi j) ⊆ u j

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3.inl
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
vi : Set X
j : ι
hi : j ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j_1, ⋃ (_ : j_1 ≠ j), v.toFun j_1)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i, ⋂ (_ : ¬i = j), (v.toFun i)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun j
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun j ∧ IsCompact (closure vi)
⊢ closure (update v.toFun j vi j) ⊆ u j
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case refine_3.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
hj : j ∈ v.carrier
⊢ closure (update v.toFun i vi j) ⊆ u j

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
hj : j ∈ v.carrier
⊢ closure (update v.toFun i vi j) ⊆ u j
Module: Mathlib.Topology.EMetricSpace.Paracompact

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
pow_pos : ∀ (k : ℕ), 0 < 2⁻¹ ^ k
hpow_le : ∀ {m n : ℕ}, m ≤ n → 2⁻¹ ^ n ≤ 2⁻¹ ^ m
h2pow : ∀ (n : ℕ), 2 * 2⁻¹ ^ (n + 1) = 2⁻¹ ^ n
ι : Type u_1
s : ι → Set α
ho : ∀ (a : ι), IsOpen[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s a)
hcov : ∀ (x : α), ∃ i, x ∈ s i
w✝ : LinearOrder ι
wf : WellFoundedLT ι
ind : α → ι := fun x ↦ ⋯.min {i | x ∈ s i} ⋯
mem_ind : ∀ (x : α), x ∈ s (ind x)
notMem_of_lt_ind : ∀ {x : α} {i : ι}, i < ind x → x ∈ s i → False
D : ℕ → ι → Set α :=
  fun t ↦
    Nat.strongRec (motive := fun x ↦ ι → Set α)
      (fun n D' i ↦
        ⋃ x,
          ⋃ (_ : ind x = i),
            ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι), x ∉ D' m H j), eball x (2⁻¹ ^ n))
      t
hD :
  D = fun t ↦
    Nat.strongRec (motive := fun x ↦ ι → Set α)
      (fun n D' i ↦
        ⋃ x,
          ⋃ (_ : ind x = i),
            ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι), x ∉ D' m H j), eball x (2⁻¹ ^ n))
      t
Dn :
  ∀ (n : ℕ) (i : ι),
    D n i =
      ⋃ x,
        ⋃ (_ : ind x = i), ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ m < n, ∀ (j : ι), x ∉ D m j), eball x (2⁻¹ ^ n)
memD :
  ∀ {n : ℕ} {i : ι} {y : α},
    y ∈ D n i ↔ ∃ x, ind x = i ∧ eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i ∧ (∀ m < n, ∀ (j : ι), x ∉ D m j) ∧ edist y x < 2⁻¹ ^ n
Dcov : ∀ (x : α), ∃ n i, x ∈ D n i
Dopen : ∀ (n : ℕ) (i : ι), IsOpen[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (D n i)
HDS : ∀ (n : ℕ) (i : ι), D n i ⊆ s i
x : α
n : ℕ
i : ι
hn : x ∈ D n i
this : D n i ∈ 𝓝 x
k : ℕ
hsub : eball x (2⁻¹ ^ k) ⊆ D n i
B : Set α := eball x (2⁻¹ ^ (n + k + 1))
m : ℕ
hm : n + k + 1 ≤ m
y : α
hyx : y ∈ B
z : α
hym : y ∈ D m (ind z)
_hzi : eball z (3 * 2⁻¹ ^ m) ⊆ s (ind z)
H : ∀ m_1 < m, ∀ (j : ι), z ∉ D m_1 j
hz : edist y z < 2⁻¹ ^ m
hz' : z ∈ eball x (2⁻¹ ^ k)
⊢ n < m

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
hf : {i | ((fun i ↦ support ⇑(f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
y : X
hyU : y ∈ U
j : ι
a✝ : WellOrderingRel j i
hj : (f j) y ≠ 0
⊢ j ∈ hf.toFinset

Tactic:
exact hf.mem_toFinset.2 ⟨y, ⟨hj, hyU⟩⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.EMetricSpace.Paracompact

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
pow_pos : ∀ (k : ℕ), 0 < 2⁻¹ ^ k
hpow_le : ∀ {m n : ℕ}, m ≤ n → 2⁻¹ ^ n ≤ 2⁻¹ ^ m
h2pow : ∀ (n : ℕ), 2 * 2⁻¹ ^ (n + 1) = 2⁻¹ ^ n
ι : Type u_1
s : ι → Set α
ho : ∀ (a : ι), IsOpen[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s a)
hcov : ∀ (x : α), ∃ i, x ∈ s i
w✝ : LinearOrder ι
wf : WellFoundedLT ι
ind : α → ι := fun x ↦ ⋯.min {i | x ∈ s i} ⋯
mem_ind : ∀ (x : α), x ∈ s (ind x)
notMem_of_lt_ind : ∀ {x : α} {i : ι}, i < ind x → x ∈ s i → False
D : ℕ → ι → Set α :=
  fun t ↦
    Nat.strongRec (motive := fun x ↦ ι → Set α)
      (fun n D' i ↦
        ⋃ x,
          ⋃ (_ : ind x = i),
            ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι), x ∉ D' m H j), eball x (2⁻¹ ^ n))
      t
hD :
  D = fun t ↦
    Nat.strongRec (motive := fun x ↦ ι → Set α)
      (fun n D' i ↦
        ⋃ x,
          ⋃ (_ : ind x = i),
            ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι), x ∉ D' m H j), eball x (2⁻¹ ^ n))
      t
Dn :
  ∀ (n : ℕ) (i : ι),
    D n i =
      ⋃ x,
        ⋃ (_ : ind x = i), ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ m < n, ∀ (j : ι), x ∉ D m j), eball x (2⁻¹ ^ n)
memD :
  ∀ {n : ℕ} {i : ι} {y : α},
    y ∈ D n i ↔ ∃ x, ind x = i ∧ eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i ∧ (∀ m < n, ∀ (j : ι), x ∉ D m j) ∧ edist y x < 2⁻¹ ^ n
Dcov : ∀ (x : α), ∃ n i, x ∈ D n i
Dopen : ∀ (n : ℕ) (i : ι), IsOpen[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (D n i)
HDS : ∀ (n : ℕ) (i : ι), D n i ⊆ s i
x : α
n : ℕ
i : ι
hn : x ∈ D n i
this✝ : D n i ∈ 𝓝 x
k : ℕ
hsub : eball x (2⁻¹ ^ k) ⊆ D n i
B : Set α := eball x (2⁻¹ ^ (n + k + 1))
m : ℕ
hm : n + k + 1 ≤ m
y : α
hyx : y ∈ B
z : α
hym : y ∈ D m (ind z)
_hzi : eball z (3 * 2⁻¹ ^ m) ⊆ s (ind z)
H : ∀ m_1 < m, ∀ (j : ι), z ∉ D m_1 j
hz : edist y z < 2⁻¹ ^ m
this : z ∉ eball x (2⁻¹ ^ k)
⊢ k + 1 ≤ m

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case hx
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ 1 - (f (f.ind x hx)) x = 0

pp: case hf
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ HasFiniteMulSupport fun i ↦ 1 - (f i) x

Tactic:
·

Goal state after:
case hx
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ 1 - (f (f.ind x hx)) x = 0
Module: Mathlib.Topology.EMetricSpace.Paracompact

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
pow_pos : ∀ (k : ℕ), 0 < 2⁻¹ ^ k
hpow_le : ∀ {m n : ℕ}, m ≤ n → 2⁻¹ ^ n ≤ 2⁻¹ ^ m
h2pow : ∀ (n : ℕ), 2 * 2⁻¹ ^ (n + 1) = 2⁻¹ ^ n
ι : Type u_1
s : ι → Set α
ho : ∀ (a : ι), IsOpen[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s a)
hcov : ∀ (x : α), ∃ i, x ∈ s i
w✝ : LinearOrder ι
wf : WellFoundedLT ι
ind : α → ι := fun x ↦ ⋯.min {i | x ∈ s i} ⋯
mem_ind : ∀ (x : α), x ∈ s (ind x)
notMem_of_lt_ind : ∀ {x : α} {i : ι}, i < ind x → x ∈ s i → False
D : ℕ → ι → Set α :=
  fun t ↦
    Nat.strongRec (motive := fun x ↦ ι → Set α)
      (fun n D' i ↦
        ⋃ x,
          ⋃ (_ : ind x = i),
            ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι), x ∉ D' m H j), eball x (2⁻¹ ^ n))
      t
hD :
  D = fun t ↦
    Nat.strongRec (motive := fun x ↦ ι → Set α)
      (fun n D' i ↦
        ⋃ x,
          ⋃ (_ : ind x = i),
            ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι), x ∉ D' m H j), eball x (2⁻¹ ^ n))
      t
Dn :
  ∀ (n : ℕ) (i : ι),
    D n i =
      ⋃ x,
        ⋃ (_ : ind x = i), ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ m < n, ∀ (j : ι), x ∉ D m j), eball x (2⁻¹ ^ n)
memD :
  ∀ {n : ℕ} {i : ι} {y : α},
    y ∈ D n i ↔ ∃ x, ind x = i ∧ eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i ∧ (∀ m < n, ∀ (j : ι), x ∉ D m j) ∧ edist y x < 2⁻¹ ^ n
Dcov : ∀ (x : α), ∃ n i, x ∈ D n i
Dopen : ∀ (n : ℕ) (i : ι), IsOpen[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (D n i)
HDS : ∀ (n : ℕ) (i : ι), D n i ⊆ s i
x : α
n : ℕ
i : ι
hn : x ∈ D n i
this✝ : D n i ∈ 𝓝 x
k : ℕ
hsub : eball x (2⁻¹ ^ k) ⊆ D n i
B : Set α := eball x (2⁻¹ ^ (n + k + 1))
m : ℕ
hm : n + k + 1 ≤ m
y : α
hyx : y ∈ B
z : α
hym : y ∈ D m (ind z)
_hzi : eball z (3 * 2⁻¹ ^ m) ⊆ s (ind z)
H : ∀ m_1 < m, ∀ (j : ι), z ∉ D m_1 j
hz : edist y z < 2⁻¹ ^ m
this : z ∉ eball x (2⁻¹ ^ k)
⊢ k + 1 ≤ n + k + 1

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case hf
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ HasFiniteMulSupport fun i ↦ 1 - (f i) x

Tactic:
·

Goal state after:
case hf
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ HasFiniteMulSupport fun i ↦ 1 - (f i) x
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
hj : j = i ∨ j ∈ v.carrier
h : j = i
⊢ IsCompact (closure (update v.toFun i vi j))

pp: case neg
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
hj : j = i ∨ j ∈ v.carrier
h : ¬j = i
⊢ IsCompact (closure (update v.toFun i vi j))

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
hj : j = i ∨ j ∈ v.carrier
h : j = i
⊢ IsCompact (closure (update v.toFun i vi j))
Module: Mathlib.Topology.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case h.refine_1
X : Type v
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
n : ℕ
t : Set X
s : Fin n → Set X
hs : ∀ (i : Fin n), IsOpen[inst✝²] (s i)
htcp : IsCompact t
hst : t ⊆ ⋃ i, s i
f : PartitionOfUnity (Fin n) X t
hfsub : f.IsSubordinate s
hfcp : ∀ (i : Fin n), HasCompactSupport ⇑(f i)
⊢ EqOn (∑ i, ⇑(f i)) 1 t

pp: case h.refine_2
X : Type v
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
n : ℕ
t : Set X
s : Fin n → Set X
hs : ∀ (i : Fin n), IsOpen[inst✝²] (s i)
htcp : IsCompact t
hst : t ⊆ ⋃ i, s i
f : PartitionOfUnity (Fin n) X t
hfsub : f.IsSubordinate s
hfcp : ∀ (i : Fin n), HasCompactSupport ⇑(f i)
⊢ ∀ (i : Fin n) (x : X), (f i) x ∈ Icc 0 1

Tactic:
·

Goal state after:
case h.refine_1
X : Type v
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
n : ℕ
t : Set X
s : Fin n → Set X
hs : ∀ (i : Fin n), IsOpen[inst✝²] (s i)
htcp : IsCompact t
hst : t ⊆ ⋃ i, s i
f : PartitionOfUnity (Fin n) X t
hfsub : f.IsSubordinate s
hfcp : ∀ (i : Fin n), HasCompactSupport ⇑(f i)
⊢ EqOn (∑ i, ⇑(f i)) 1 t
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
hj : j = i ∨ j ∈ v.carrier
h : ¬j = i
⊢ IsCompact (closure (update v.toFun i vi j))

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
hj : j = i ∨ j ∈ v.carrier
h : ¬j = i
⊢ IsCompact (closure (update v.toFun i vi j))
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case neg.left
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := ⋯
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
hj : j = i ∨ j ∈ v.carrier
h : ¬j = i
⊢ j = i → IsCompact (closure (update v.toFun i vi j))

pp: case neg.right
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := ⋯
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
hj : j = i ∨ j ∈ v.carrier
h : ¬j = i
⊢ j ∈ v.carrier → IsCompact (closure (update v.toFun i vi j))

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.left
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := ⋯
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
hj : j = i ∨ j ∈ v.carrier
h : ¬j = i
⊢ j = i → IsCompact (closure (update v.toFun i vi j))
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case neg.right
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := ⋯
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
hj : j = i ∨ j ∈ v.carrier
h : ¬j = i
⊢ j ∈ v.carrier → IsCompact (closure (update v.toFun i vi j))

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.right
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := ⋯
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
hj : j = i ∨ j ∈ v.carrier
h : ¬j = i
⊢ j ∈ v.carrier → IsCompact (closure (update v.toFun i vi j))