mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: case hbc
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
v : V
hv : ∀ i ≤ k, ∀ j ≤ n, ‖v‖ ^ j * ‖iteratedFDeriv ℝ i f v‖ ≤ C
T : (W →L[ℝ] ℝ) [×n]→L[ℝ] W [×n]→L[ℝ] ℝ := ⋯
I₁ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m ⇑T fun x ↦ L v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
I₂ :
  ∀ (m : ℕ),
    ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x ↦ L)) v‖ ≤
      ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
I₃ :
  ∀ (m : ℕ),
    ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x ↦ L)) v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)
A : ContDiff ℝ K fun y ↦ T fun x ↦ L y
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (k + 1)
⊢ ↑(n.descFactorial i) ≤ ↑(n + 1) ^ k

pp: case h₂
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
v : V
hv : ∀ i ≤ k, ∀ j ≤ n, ‖v‖ ^ j * ‖iteratedFDeriv ℝ i f v‖ ≤ C
T : (W →L[ℝ] ℝ) [×n]→L[ℝ] W [×n]→L[ℝ] ℝ := ⋯
I₁ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m ⇑T fun x ↦ L v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
I₂ :
  ∀ (m : ℕ),
    ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x ↦ L)) v‖ ≤
      ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
I₃ :
  ∀ (m : ℕ),
    ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x ↦ L)) v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)
A : ContDiff ℝ K fun y ↦ T fun x ↦ L y
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (k + 1)
⊢ ‖v‖ ^ (n - i) * ‖iteratedFDeriv ℝ (k - i) f v‖ ≤ C

Tactic:
·

Goal state after:
case hbc
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
v : V
hv : ∀ i ≤ k, ∀ j ≤ n, ‖v‖ ^ j * ‖iteratedFDeriv ℝ i f v‖ ≤ C
T : (W →L[ℝ] ℝ) [×n]→L[ℝ] W [×n]→L[ℝ] ℝ := ⋯
I₁ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m ⇑T fun x ↦ L v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
I₂ :
  ∀ (m : ℕ),
    ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x ↦ L)) v‖ ≤
      ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
I₃ :
  ∀ (m : ℕ),
    ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x ↦ L)) v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)
A : ContDiff ℝ K fun y ↦ T fun x ↦ L y
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (k + 1)
⊢ ↑(n.descFactorial i) ≤ ↑(n + 1) ^ k
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: case hab
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁶] u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := ⋯
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᵐ[μ.restrict s] fun x ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝⁶] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen[inst✝⁶] v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
B : t' ^ n * μ.real (v ∩ s) ≤ ∫ (y : α) in s, c y ^ n ∂μ
this : 0 < (μ (v ∩ s)).toReal
⊢ c x ≤ t

Tactic:
·

Goal state after:
case hab
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁶] u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := ⋯
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᵐ[μ.restrict s] fun x ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝⁶] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen[inst✝⁶] v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
B : t' ^ n * μ.real (v ∩ s) ≤ ∫ (y : α) in s, c y ^ n ∂μ
this : 0 < (μ (v ∩ s)).toReal
⊢ c x ≤ t
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: case h₂
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
v : V
hv : ∀ i ≤ k, ∀ j ≤ n, ‖v‖ ^ j * ‖iteratedFDeriv ℝ i f v‖ ≤ C
T : (W →L[ℝ] ℝ) [×n]→L[ℝ] W [×n]→L[ℝ] ℝ := ⋯
I₁ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m ⇑T fun x ↦ L v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
I₂ :
  ∀ (m : ℕ),
    ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x ↦ L)) v‖ ≤
      ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
I₃ :
  ∀ (m : ℕ),
    ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x ↦ L)) v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)
A : ContDiff ℝ K fun y ↦ T fun x ↦ L y
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (k + 1)
⊢ ‖v‖ ^ (n - i) * ‖iteratedFDeriv ℝ (k - i) f v‖ ≤ C

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
v : V
hv : ∀ i ≤ k, ∀ j ≤ n, ‖v‖ ^ j * ‖iteratedFDeriv ℝ i f v‖ ≤ C
T : (W →L[ℝ] ℝ) [×n]→L[ℝ] W [×n]→L[ℝ] ℝ := ⋯
I₁ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m ⇑T fun x ↦ L v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
I₂ :
  ∀ (m : ℕ),
    ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x ↦ L)) v‖ ≤
      ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
I₃ :
  ∀ (m : ℕ),
    ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x ↦ L)) v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)
A : ContDiff ℝ K fun y ↦ T fun x ↦ L y
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (k + 1)
⊢ ‖v‖ ^ (n - i) * ‖iteratedFDeriv ℝ (k - i) f v‖ ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
v : V
hv : ∀ i ≤ k, ∀ j ≤ n, ‖v‖ ^ j * ‖iteratedFDeriv ℝ i f v‖ ≤ C
T : (W →L[ℝ] ℝ) [×n]→L[ℝ] W [×n]→L[ℝ] ℝ :=
  (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight
I₁ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m ⇑T fun x ↦ L v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
I₂ :
  ∀ (m : ℕ),
    ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x ↦ L)) v‖ ≤
      ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
I₃ :
  ∀ (m : ℕ),
    ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x ↦ L)) v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)
A : ContDiff ℝ K fun y ↦ T fun x ↦ L y
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (k + 1)
⊢ k - i ≤ k

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
v : V
hv : ∀ i ≤ k, ∀ j ≤ n, ‖v‖ ^ j * ‖iteratedFDeriv ℝ i f v‖ ≤ C
T : (W →L[ℝ] ℝ) [×n]→L[ℝ] W [×n]→L[ℝ] ℝ :=
  (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight
I₁ : ∀ (m : ℕ), ‖iteratedFDeriv ℝ m ⇑T fun x ↦ L v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
I₂ :
  ∀ (m : ℕ),
    ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x ↦ L)) v‖ ≤
      ↑(n.descFactorial m) * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
I₃ :
  ∀ (m : ℕ),
    ‖iteratedFDeriv ℝ m (⇑T ∘ ⇑(ContinuousLinearMap.pi fun x ↦ L)) v‖ ≤ ↑(n.descFactorial m) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)
A : ContDiff ℝ K fun y ↦ T fun x ↦ L y
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (k + 1)
⊢ n - i ≤ n

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: case zero_eq
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞ω
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∀ (x : W),
    (fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v 0) x).curry0 =
      fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) f x

pp: case fderiv
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞ω
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∀ (m : ℕ),
    ↑m < N →
      ∀ (x : W),
        HasFDerivAt
          (fun y ↦ fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v m) y)
          (fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v m.succ)
              x).curryLeft
          x

pp: case cont
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞ω
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∀ (m : ℕ),
    ↑m ≤ N →
      Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] fun x ↦
        fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v m) x

Tactic:
·

Goal state after:
case zero_eq
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞ω
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∀ (x : W),
    (fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v 0) x).curry0 =
      fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) f x
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: case fderiv
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞ω
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∀ (m : ℕ),
    ↑m < N →
      ∀ (x : W),
        HasFDerivAt
          (fun y ↦ fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v m) y)
          (fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v m.succ)
              x).curryLeft
          x

pp: case cont
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞ω
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∀ (m : ℕ),
    ↑m ≤ N →
      Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] fun x ↦
        fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v m) x

Tactic:
·

Goal state after:
case fderiv
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞ω
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∀ (m : ℕ),
    ↑m < N →
      ∀ (x : W),
        HasFDerivAt
          (fun y ↦ fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v m) y)
          (fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v m.succ)
              x).curryLeft
          x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure[inst✝⁷] (interior s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
this : x₀ ∈ s
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝⁷] u
⊢ x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)

Tactic:
x₀_u

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : MetrizableSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
hs : IsCompact s
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ closure[inst✝⁷] (interior s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
this : x₀ ∈ s
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝⁷] u
x₀_u : x₀ ∈ u
⊢ 0 < μ (u ∩ s)
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: case h₁
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹ : NormedSpace ℝ D
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g : D → E
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hgrowth : ∀ N ≤ n, ∀ (x : D), ‖iteratedFDeriv ℝ N g x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ l
kg : ℕ
Cg : ℝ
hg_upper' : ∀ (x : D), ‖x‖ ≤ Cg * (1 + ‖g x‖) ^ kg
hCg : 1 ≤ 1 + Cg
k' : ℕ := ⋯
f : 𝓢(E, F)
x : D
seminorm_f : ℝ := ⋯
hg_upper'' : (1 + ‖x‖) ^ (k + l * n) ≤ (1 + Cg) ^ (k + l * n) * (1 + ‖g x‖) ^ k'
hbound : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i (⇑f) (g x)‖ ≤ 2 ^ k' * seminorm_f / (1 + ‖g x‖) ^ k'
N : ℕ
hN₁ : 1 ≤ N
hN₂ : N ≤ n
hN₁' : N ≠ 0
⊢ C ≤ (C + 1) ^ N

pp: case h₂
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹ : NormedSpace ℝ D
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g : D → E
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hgrowth : ∀ N ≤ n, ∀ (x : D), ‖iteratedFDeriv ℝ N g x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ l
kg : ℕ
Cg : ℝ
hg_upper' : ∀ (x : D), ‖x‖ ≤ Cg * (1 + ‖g x‖) ^ kg
hCg : 1 ≤ 1 + Cg
k' : ℕ := ⋯
f : 𝓢(E, F)
x : D
seminorm_f : ℝ := ⋯
hg_upper'' : (1 + ‖x‖) ^ (k + l * n) ≤ (1 + Cg) ^ (k + l * n) * (1 + ‖g x‖) ^ k'
hbound : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i (⇑f) (g x)‖ ≤ 2 ^ k' * seminorm_f / (1 + ‖g x‖) ^ k'
N : ℕ
hN₁ : 1 ≤ N
hN₂ : N ≤ n
hN₁' : N ≠ 0
⊢ (1 + ‖x‖) ^ l ≤ ((1 + ‖x‖) ^ l) ^ N

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹ : NormedSpace ℝ D
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g : D → E
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hgrowth : ∀ N ≤ n, ∀ (x : D), ‖iteratedFDeriv ℝ N g x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ l
kg : ℕ
Cg : ℝ
hg_upper' : ∀ (x : D), ‖x‖ ≤ Cg * (1 + ‖g x‖) ^ kg
hCg : 1 ≤ 1 + Cg
k' : ℕ := ⋯
f : 𝓢(E, F)
x : D
seminorm_f : ℝ := ⋯
hg_upper'' : (1 + ‖x‖) ^ (k + l * n) ≤ (1 + Cg) ^ (k + l * n) * (1 + ‖g x‖) ^ k'
hbound : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i (⇑f) (g x)‖ ≤ 2 ^ k' * seminorm_f / (1 + ‖g x‖) ^ k'
N : ℕ
hN₁ : 1 ≤ N
hN₂ : N ≤ n
hN₁' : N ≠ 0
⊢ C ≤ (C + 1) ^ N
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: case h₂
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹ : NormedSpace ℝ D
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g : D → E
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hgrowth : ∀ N ≤ n, ∀ (x : D), ‖iteratedFDeriv ℝ N g x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ l
kg : ℕ
Cg : ℝ
hg_upper' : ∀ (x : D), ‖x‖ ≤ Cg * (1 + ‖g x‖) ^ kg
hCg : 1 ≤ 1 + Cg
k' : ℕ := ⋯
f : 𝓢(E, F)
x : D
seminorm_f : ℝ := ⋯
hg_upper'' : (1 + ‖x‖) ^ (k + l * n) ≤ (1 + Cg) ^ (k + l * n) * (1 + ‖g x‖) ^ k'
hbound : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i (⇑f) (g x)‖ ≤ 2 ^ k' * seminorm_f / (1 + ‖g x‖) ^ k'
N : ℕ
hN₁ : 1 ≤ N
hN₂ : N ≤ n
hN₁' : N ≠ 0
⊢ (1 + ‖x‖) ^ l ≤ ((1 + ‖x‖) ^ l) ^ N

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹ : NormedSpace ℝ D
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g : D → E
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hgrowth : ∀ N ≤ n, ∀ (x : D), ‖iteratedFDeriv ℝ N g x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ l
kg : ℕ
Cg : ℝ
hg_upper' : ∀ (x : D), ‖x‖ ≤ Cg * (1 + ‖g x‖) ^ kg
hCg : 1 ≤ 1 + Cg
k' : ℕ := ⋯
f : 𝓢(E, F)
x : D
seminorm_f : ℝ := ⋯
hg_upper'' : (1 + ‖x‖) ^ (k + l * n) ≤ (1 + Cg) ^ (k + l * n) * (1 + ‖g x‖) ^ k'
hbound : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv ℝ i (⇑f) (g x)‖ ≤ 2 ^ k' * seminorm_f / (1 + ‖g x‖) ^ k'
N : ℕ
hN₁ : 1 ≤ N
hN₂ : N ≤ n
hN₁' : N ≠ 0
⊢ (1 + ‖x‖) ^ l ≤ ((1 + ‖x‖) ^ l) ^ N
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: case cont
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞ω
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∀ (m : ℕ),
    ↑m ≤ N →
      Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] fun x ↦
        fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v m) x

Tactic:
·

Goal state after:
case cont
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞ω
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∀ (m : ℕ),
    ↑m ≤ N →
      Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] fun x ↦
        fourierIntegral 𝐞 μ (ContinuousLinearMap.toLinearMap₁₂ L) (fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v m) x
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransform

Goal state before:
pp: case hf
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : IsTopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous[inst✝⁴, _] ⇑e
hL : Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝⁴] fun p ↦ (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ Integrable (fun v ↦ e (-(L v) w) • f v) μ

pp: case hg
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : IsTopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous[inst✝⁴, _] ⇑e
hL : Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝⁴] fun p ↦ (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ Integrable (fun v ↦ e (-(L v) w) • g v) μ

Tactic:
·

Goal state after:
case hf
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : IsTopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous[inst✝⁴, _] ⇑e
hL : Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝⁴] fun p ↦ (L p.1) p.2
f g : V → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
w : W
⊢ Integrable (fun v ↦ e (-(L v) w) • f v) μ