mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
r : R
hr : r ∈ I
hr0 : r = 0
⊢ r ∈ span {p ^ Nat.find ex}

pp: case neg
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
r : R
hr : r ∈ I
hr0 : ¬r = 0
⊢ r ∈ span {p ^ Nat.find ex}

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
r : R
hr : r ∈ I
hr0 : r = 0
⊢ r ∈ span {p ^ Nat.find ex}
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
J : Ideal S
⊢ J.IsMaximal → (under R J).IsMaximal ∧ y ∉ under R J

pp: case mpr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
J : Ideal S
⊢ (under R J).IsMaximal ∧ y ∉ under R J → J.IsMaximal

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
J : Ideal S
⊢ J.IsMaximal → (under R J).IsMaximal ∧ y ∉ under R J
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic

Goal state before:
pp: case a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
⊢ span {p ^ Nat.find ex} ≤ I

Tactic:
·

Goal state after:
case a
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
⊢ span {p ^ Nat.find ex} ≤ I
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
J : Ideal S
h : J.IsMaximal
hJ✝ : (under R J).IsPrime ∧ Disjoint ↑(powers y) ↑(under R J)
I : Ideal R
hI' : y ∉ I
hJI : under R J ≤ I
hIm : I.IsMaximal
e_2✝ : CommRing.toCommSemiring.toSemiring = inst✝³.toSemiring
hJ : J = Ideal.map (algebraMap R S) I
⊢ under R J = I

pp: case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
J : Ideal S
h : J.IsMaximal
hJ✝ : (under R J).IsPrime ∧ Disjoint ↑(powers y) ↑(under R J)
I : Ideal R
hI' : y ∉ I
hJI : under R J ≤ I
hIm : I.IsMaximal
e_2✝ : CommRing.toCommSemiring.toSemiring = inst✝³.toSemiring
hJ : ¬J = Ideal.map (algebraMap R S) I
⊢ under R J = I

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
J : Ideal S
h : J.IsMaximal
hJ✝ : (under R J).IsPrime ∧ Disjoint ↑(powers y) ↑(under R J)
I : Ideal R
hI' : y ∉ I
hJI : under R J ≤ I
hIm : I.IsMaximal
e_2✝ : CommRing.toCommSemiring.toSemiring = inst✝³.toSemiring
hJ : J = Ideal.map (algebraMap R S) I
⊢ under R J = I
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
PID : IsPrincipalIdealRing R
p : R
hp : Irreducible p
⊢ span {p} ≠ ⊥

pp: case refine_2
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
PID : IsPrincipalIdealRing R
p : R
hp : Irreducible p
⊢ (span {p}).IsPrime

pp: case refine_3
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
PID : IsPrincipalIdealRing R
p : R
hp : Irreducible p
⊢ ∀ (y : Ideal R), (fun P ↦ P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = span {p}

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
PID : IsPrincipalIdealRing R
p : R
hp : Irreducible p
⊢ span {p} ≠ ⊥
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
a : ℕ → ℕ
ha : StrictMono a
f : (n : ℕ) → M →ₗ[R] N ⧸ I ^ a n • ⊤
hf : ∀ {m : ℕ}, Submodule.factorPow I N ⋯ ∘ₗ f (m + 1) = f m
m n : ℕ
hle : m ≤ n
x : M
⊢ Antitone fun n ↦ I ^ a n • ⊤

pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
a : ℕ → ℕ
ha : StrictMono a
f : (n : ℕ) → M →ₗ[R] N ⧸ I ^ a n • ⊤
hf : ∀ {m : ℕ}, Submodule.factorPow I N ⋯ ∘ₗ f (m + 1) = f m
m n : ℕ
hle : m ≤ n
x : M
⊢ ∀ (m : ℕ), (f m) x = (Submodule.factor ⋯) ((f (m + 1)) x)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
a : ℕ → ℕ
ha : StrictMono a
f : (n : ℕ) → M →ₗ[R] N ⧸ I ^ a n • ⊤
hf : ∀ {m : ℕ}, Submodule.factorPow I N ⋯ ∘ₗ f (m + 1) = f m
m n : ℕ
hle : m ≤ n
x : M
⊢ Antitone fun n ↦ I ^ a n • ⊤
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
PID : IsPrincipalIdealRing R
p : R
hp : Irreducible p
⊢ (span {p}).IsPrime

pp: case refine_3
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
PID : IsPrincipalIdealRing R
p : R
hp : Irreducible p
⊢ ∀ (y : Ideal R), (fun P ↦ P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = span {p}

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
PID : IsPrincipalIdealRing R
p : R
hp : Irreducible p
⊢ (span {p}).IsPrime
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
a : ℕ → ℕ
ha : StrictMono a
f : (n : ℕ) → M →ₗ[R] N ⧸ I ^ a n • ⊤
hf : ∀ {m : ℕ}, Submodule.factorPow I N ⋯ ∘ₗ f (m + 1) = f m
m n : ℕ
hle : m ≤ n
x : M
⊢ ∀ (m : ℕ), (f m) x = (Submodule.factor ⋯) ((f (m + 1)) x)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
a : ℕ → ℕ
ha : StrictMono a
f : (n : ℕ) → M →ₗ[R] N ⧸ I ^ a n • ⊤
hf : ∀ {m : ℕ}, Submodule.factorPow I N ⋯ ∘ₗ f (m + 1) = f m
m n : ℕ
hle : m ≤ n
x : M
⊢ ∀ (m : ℕ), (f m) x = (Submodule.factor ⋯) ((f (m + 1)) x)
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
PID : IsPrincipalIdealRing R
p : R
hp : Irreducible p
⊢ ∀ (y : Ideal R), (fun P ↦ P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = span {p}

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
PID : IsPrincipalIdealRing R
p : R
hp : Irreducible p
⊢ ∀ (y : Ideal R), (fun P ↦ P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = span {p}
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
a : ℕ → ℕ
ha : StrictMono a
f : (n : ℕ) → M →ₗ[R] N ⧸ I ^ a n • ⊤
hf : ∀ {m : ℕ}, Submodule.factorPow I N ⋯ ∘ₗ f (m + 1) = f m
m n : ℕ
hle : m ≤ n
x : M
s : ℕ
⊢ (f s) x = (Submodule.factor ⋯) ((f (s + 1)) x)

Tactic:
simp only [LinearMap.ext_iff] at hf

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
a : ℕ → ℕ
ha : StrictMono a
f : (n : ℕ) → M →ₗ[R] N ⧸ I ^ a n • ⊤
m n : ℕ
hle : m ≤ n
x : M
s : ℕ
hf : ∀ {m : ℕ} (x : M), (Submodule.factorPow I N ⋯ ∘ₗ f (m + 1)) x = (f m) x
⊢ (f s) x = (Submodule.factor ⋯) ((f (s + 1)) x)
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
J : Ideal S
h : J.IsMaximal
hJ✝ : (under R J).IsPrime ∧ Disjoint ↑(powers y) ↑(under R J)
I : Ideal R
hI' : y ∉ I
hJI : under R J ≤ I
hIm : I.IsMaximal
e_2✝ : CommRing.toCommSemiring.toSemiring = inst✝³.toSemiring
hJ : ¬J = Ideal.map (algebraMap R S) I
⊢ under R J = I

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
J : Ideal S
h : J.IsMaximal
hJ✝ : (under R J).IsPrime ∧ Disjoint ↑(powers y) ↑(under R J)
I : Ideal R
hI' : y ∉ I
hJI : under R J ≤ I
hIm : I.IsMaximal
e_2✝ : CommRing.toCommSemiring.toSemiring = inst✝³.toSemiring
hJ : ¬J = Ideal.map (algebraMap R S) I
⊢ under R J = I
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
J : Ideal S
⊢ (under R J).IsMaximal ∧ y ∉ under R J → J.IsMaximal

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
J : Ideal S
⊢ (under R J).IsMaximal ∧ y ∉ under R J → J.IsMaximal
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
y : R
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Away y S
inst✝ : IsJacobsonRing R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
hy : y ∉ I
⊢ I.IsMaximal ∧ y ∉ I

pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
y : R
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Away y S
inst✝ : IsJacobsonRing R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
hy : y ∉ I
⊢ Disjoint ↑(powers y) ↑I

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
y : R
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Away y S
inst✝ : IsJacobsonRing R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
hy : y ∉ I
⊢ I.IsMaximal ∧ y ∉ I
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
y : R
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Away y S
inst✝ : IsJacobsonRing R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
hy : y ∉ I
⊢ Disjoint ↑(powers y) ↑I

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
y : R
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Away y S
inst✝ : IsJacobsonRing R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
hy : y ∉ I
⊢ Disjoint ↑(powers y) ↑I
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
x : R
hx : x ∈ sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
J : Ideal R
hJ : J ∈ {J | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ J ∧ J.IsMaximal}
h : y ∈ J
⊢ x * y ∈ J

pp: case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
x : R
hx : x ∈ sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
J : Ideal R
hJ : J ∈ {J | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ J ∧ J.IsMaximal}
h : y ∉ J
⊢ x * y ∈ J

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
x : R
hx : x ∈ sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
J : Ideal R
hJ : J ∈ {J | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ J ∧ J.IsMaximal}
h : y ∈ J
⊢ x * y ∈ J
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
x : R
hx : x ∈ sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
J : Ideal R
hJ : J ∈ {J | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ J ∧ J.IsMaximal}
h : y ∉ J
⊢ x * y ∈ J

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
x : R
hx : x ∈ sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
J : Ideal R
hJ : J ∈ {J | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ J ∧ J.IsMaximal}
h : y ∉ J
⊢ x * y ∈ J
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
x : R
hx : x ∈ sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
hxy✝ : x * y ∈ under R P'
hxy : x ∈ under R P'
⊢ x ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) P'

pp: case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
x : R
hx : x ∈ sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
hxy✝ : x * y ∈ under R P'
hxy : y ∈ under R P'
⊢ x ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) P'

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
x : R
hx : x ∈ sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
hxy✝ : x * y ∈ under R P'
hxy : x ∈ under R P'
⊢ x ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) P'
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
x : R
hx : x ∈ sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
hxy✝ : x * y ∈ under R P'
hxy : y ∈ under R P'
⊢ x ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) P'

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
x : R
hx : x ∈ sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
hxy✝ : x * y ∈ under R P'
hxy : y ∈ under R P'
⊢ x ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) P'
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y : R
h : v x ≠ v y
h' : v (x + y) < max (v x) (v y)
this : ∀ {x y : R}, v x ≠ v y → v (x + y) < max (v x) (v y) → v y < v x → False
vyx : ¬v y < v x
⊢ False

pp: R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ x y : R
h : v x ≠ v y
h' : v (x + y) < max (v x) (v y)
vyx : v y < v x
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y : R
h : v x ≠ v y
h' : v (x + y) < max (v x) (v y)
this : ∀ {x y : R}, v x ≠ v y → v (x + y) < max (v x) (v y) → v y < v x → False
vyx : ¬v y < v x
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: case h.zero
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
I : Ideal R
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n ↦ ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
hf : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
L : R
hL : f 0 - L ∈ I ^ 0
⊢ (1 - x * y) * f 0 - 1 ∈ I ^ 0

pp: case h.succ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
I : Ideal R
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n ↦ ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
hf : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
L : R
n✝ : ℕ
hL : f (n✝ + 1) - L ∈ I ^ (n✝ + 1)
⊢ (1 - x * y) * f (n✝ + 1) - 1 ∈ I ^ (n✝ + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case h.zero
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
I : Ideal R
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n ↦ ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
hf : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
L : R
hL : f 0 - L ∈ I ^ 0
⊢ (1 - x * y) * f 0 - 1 ∈ I ^ 0
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: case h.succ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
I : Ideal R
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n ↦ ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
hf : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
L : R
n✝ : ℕ
hL : f (n✝ + 1) - L ∈ I ^ (n✝ + 1)
⊢ (1 - x * y) * f (n✝ + 1) - 1 ∈ I ^ (n✝ + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case h.succ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
I : Ideal R
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n ↦ ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
hf : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
L : R
n✝ : ℕ
hL : f (n✝ + 1) - L ∈ I ^ (n✝ + 1)
⊢ (1 - x * y) * f (n✝ + 1) - 1 ∈ I ^ (n✝ + 1)
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
this : sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ Ideal.comap (algebraMap R S) P'
I : Ideal R
x✝ : I ∈ {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
hI : Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I
hIm : I.IsMaximal
hyI : y ∉ I
⊢ Ideal.map (algebraMap R S) I ∈ {J | P' ≤ J ∧ J.IsMaximal}

pp: case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
this : sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ Ideal.comap (algebraMap R S) P'
I : Ideal R
x✝ : I ∈ {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
hI : Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I
hIm : I.IsMaximal
hyI : y ∉ I
⊢ Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I) = I

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
this : sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ Ideal.comap (algebraMap R S) P'
I : Ideal R
x✝ : I ∈ {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
hI : Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I
hIm : I.IsMaximal
hyI : y ∉ I
⊢ Ideal.map (algebraMap R S) I ∈ {J | P' ≤ J ∧ J.IsMaximal}
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
ι : Type u_7
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → R
j : ι
hj : j ∈ s
hf : ∀ i ∈ s \ {j}, v (f i) < v (f j)
h0 : v (f j) = 0
⊢ v (∑ i ∈ s, f i) = v (f j)

pp: case inr
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
ι : Type u_7
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → R
j : ι
hj : j ∈ s
hf : ∀ i ∈ s \ {j}, v (f i) < v (f j)
h0 : v (f j) ≠ 0
⊢ v (∑ i ∈ s, f i) = v (f j)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
ι : Type u_7
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → R
j : ι
hj : j ∈ s
hf : ∀ i ∈ s \ {j}, v (f i) < v (f j)
h0 : v (f j) = 0
⊢ v (∑ i ∈ s, f i) = v (f j)
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
this : sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ Ideal.comap (algebraMap R S) P'
I : Ideal R
x✝ : I ∈ {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
hI : Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I
hIm : I.IsMaximal
hyI : y ∉ I
⊢ Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I) = I

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
this : sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ Ideal.comap (algebraMap R S) P'
I : Ideal R
x✝ : I ∈ {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
hI : Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I
hIm : I.IsMaximal
hyI : y ∉ I
⊢ Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I) = I