mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.NumberTheory.Height.Basic

Goal state before:
pp: case h₁
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : LinearOrder S
inst✝¹ : IsOrderedRing S
inst✝ : CharZero S
v : AbsoluteValue R S
ι : Type u_3
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
x : ι → R
⊢ 1 ≤ ↑(#s)

pp: case h₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : LinearOrder S
inst✝¹ : IsOrderedRing S
inst✝ : CharZero S
v : AbsoluteValue R S
ι : Type u_3
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
x : ι → R
⊢ 1 ≤ ∏ i ∈ s, max (v (x i)) 1

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : LinearOrder S
inst✝¹ : IsOrderedRing S
inst✝ : CharZero S
v : AbsoluteValue R S
ι : Type u_3
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
x : ι → R
⊢ 1 ≤ ↑(#s)
Module: Mathlib.NumberTheory.Height.Basic

Goal state before:
pp: case h₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : LinearOrder S
inst✝¹ : IsOrderedRing S
inst✝ : CharZero S
v : AbsoluteValue R S
ι : Type u_3
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
x : ι → R
⊢ 1 ≤ ∏ i ∈ s, max (v (x i)) 1

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : LinearOrder S
inst✝¹ : IsOrderedRing S
inst✝ : CharZero S
v : AbsoluteValue R S
ι : Type u_3
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
x : ι → R
⊢ 1 ≤ ∏ i ∈ s, max (v (x i)) 1
Module: Mathlib.NumberTheory.Height.Basic

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : IsOrderedRing S
v : AbsoluteValue R S
hv : IsNonarchimedean ⇑v
ι : Type u_3
x : ι → R
⊢ max (v (∑ i ∈ ∅, x i)) 1 ≤ ∏ i ∈ ∅, max (v (x i)) 1

pp: case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : IsOrderedRing S
v : AbsoluteValue R S
hv : IsNonarchimedean ⇑v
ι : Type u_3
s : Finset ι
x : ι → R
hs : s.Nonempty
⊢ max (v (∑ i ∈ s, x i)) 1 ≤ ∏ i ∈ s, max (v (x i)) 1

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : IsOrderedRing S
v : AbsoluteValue R S
hv : IsNonarchimedean ⇑v
ι : Type u_3
x : ι → R
⊢ max (v (∑ i ∈ ∅, x i)) 1 ≤ ∏ i ∈ ∅, max (v (x i)) 1
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case hf
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ Tendsto (fun x ↦ 1 / (s - 1) * (1 - 1 / (↑x + 1) ^ (s - 1))) atTop (𝓝 (1 / (s - 1)))

pp: case hg
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ Tendsto (fun x ↦ 1 / s * (∑ n ∈ Finset.range x, 1 / (↑n + 1) ^ s - ↑x / (↑x + 1) ^ s)) atTop
    (𝓝 (1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s))

Tactic:
·

Goal state after:
case hf
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ Tendsto (fun x ↦ 1 / (s - 1) * (1 - 1 / (↑x + 1) ^ (s - 1))) atTop (𝓝 (1 / (s - 1)))
Module: Mathlib.NumberTheory.Height.MvPolynomial

Goal state before:
pp: case h₂.inl
K : Type u_4
inst✝² : Field K
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝¹ : AdmissibleAbsValues K
inst✝ : Finite ι'
p : ι' → MvPolynomial ι K
h : (fun j ↦ constantCoeff (p j)) ≠ 0
this : Nonempty ι'
v : ↑nonarchAbsVal
j : ι'
h₀ : coeff 0 (p j) = 0
⊢ ↑v (coeff 0 (p j)) ≤ max (⨆ s, ↑v (coeff (↑s) (p j))) 1

pp: case h₂.inr
K : Type u_4
inst✝² : Field K
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝¹ : AdmissibleAbsValues K
inst✝ : Finite ι'
p : ι' → MvPolynomial ι K
h : (fun j ↦ constantCoeff (p j)) ≠ 0
this : Nonempty ι'
v : ↑nonarchAbsVal
j : ι'
h₀ : coeff 0 (p j) ≠ 0
⊢ ↑v (coeff 0 (p j)) ≤ max (⨆ s, ↑v (coeff (↑s) (p j))) 1

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂.inl
K : Type u_4
inst✝² : Field K
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝¹ : AdmissibleAbsValues K
inst✝ : Finite ι'
p : ι' → MvPolynomial ι K
h : (fun j ↦ constantCoeff (p j)) ≠ 0
this : Nonempty ι'
v : ↑nonarchAbsVal
j : ι'
h₀ : coeff 0 (p j) = 0
⊢ ↑v (coeff 0 (p j)) ≤ max (⨆ s, ↑v (coeff (↑s) (p j))) 1
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case hg
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ Tendsto (fun x ↦ 1 / s * (∑ n ∈ Finset.range x, 1 / (↑n + 1) ^ s - ↑x / (↑x + 1) ^ s)) atTop
    (𝓝 (1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s))

Tactic:
·

Goal state after:
case hg
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ Tendsto (fun x ↦ 1 / s * (∑ n ∈ Finset.range x, 1 / (↑n + 1) ^ s - ↑x / (↑x + 1) ^ s)) atTop
    (𝓝 (1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s))
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ Summable fun i ↦ 1 / (↑i + 1) ^ s

pp: s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ Tendsto (fun x ↦ ↑x / (↑x + 1) ^ s) atTop (𝓝 0)

Tactic:
·

Goal state after:
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ Summable fun i ↦ 1 / (↑i + 1) ^ s
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ Tendsto (fun x ↦ ↑x / (↑x + 1) ^ s) atTop (𝓝 0)

Tactic:
·

Goal state after:
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ Tendsto (fun x ↦ ↑x / (↑x + 1) ^ s) atTop (𝓝 0)
Module: Mathlib.NumberTheory.Height.MvPolynomial

Goal state before:
pp: case h₂.inr
K : Type u_4
inst✝² : Field K
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝¹ : AdmissibleAbsValues K
inst✝ : Finite ι'
p : ι' → MvPolynomial ι K
h : (fun j ↦ constantCoeff (p j)) ≠ 0
this : Nonempty ι'
v : ↑nonarchAbsVal
j : ι'
h₀ : coeff 0 (p j) ≠ 0
⊢ ↑v (coeff 0 (p j)) ≤ max (⨆ s, ↑v (coeff (↑s) (p j))) 1

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂.inr
K : Type u_4
inst✝² : Field K
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝¹ : AdmissibleAbsValues K
inst✝ : Finite ι'
p : ι' → MvPolynomial ι K
h : (fun j ↦ constantCoeff (p j)) ≠ 0
this : Nonempty ι'
v : ↑nonarchAbsVal
j : ι'
h₀ : coeff 0 (p j) ≠ 0
⊢ ↑v (coeff 0 (p j)) ≤ max (⨆ s, ↑v (coeff (↑s) (p j))) 1
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case hh
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ Tendsto (fun n ↦ (1 / ↑(n + 1)) ^ (s - 1)) atTop (𝓝 0)

pp: case hgf
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ (fun x ↦ 0) ≤ fun x ↦ ↑x / (↑x + 1) ^ s

pp: case hfh
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ (fun x ↦ ↑x / (↑x + 1) ^ s) ≤ fun n ↦ (1 / ↑(n + 1)) ^ (s - 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case hh
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ Tendsto (fun n ↦ (1 / ↑(n + 1)) ^ (s - 1)) atTop (𝓝 0)
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case hgf
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ (fun x ↦ 0) ≤ fun x ↦ ↑x / (↑x + 1) ^ s

pp: case hfh
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ (fun x ↦ ↑x / (↑x + 1) ^ s) ≤ fun n ↦ (1 / ↑(n + 1)) ^ (s - 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case hgf
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ (fun x ↦ 0) ≤ fun x ↦ ↑x / (↑x + 1) ^ s
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case hfh
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ (fun x ↦ ↑x / (↑x + 1) ^ s) ≤ fun n ↦ (1 / ↑(n + 1)) ^ (s - 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case hfh
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ (fun x ↦ ↑x / (↑x + 1) ^ s) ≤ fun n ↦ (1 / ↑(n + 1)) ^ (s - 1)
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: s : ℝ
hs : 1 < s
n : ℕ
⊢ ↑n / (↑n + 1) ^ s ≤ (↑n + 1) / (↑n + 1) ^ s

pp: s : ℝ
hs : 1 < s
n : ℕ
⊢ (↑n + 1) / (↑n + 1) ^ s ≤ (1 / ↑(n + 1)) ^ (s - 1)

Tactic:
·

Goal state after:
s : ℝ
hs : 1 < s
n : ℕ
⊢ ↑n / (↑n + 1) ^ s ≤ (↑n + 1) / (↑n + 1) ^ s
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: s : ℝ
hs : 1 < s
n : ℕ
⊢ (↑n + 1) / (↑n + 1) ^ s ≤ (1 / ↑(n + 1)) ^ (s - 1)

Tactic:
·

Goal state after:
s : ℝ
hs : 1 < s
n : ℕ
⊢ (↑n + 1) / (↑n + 1) ^ s ≤ (1 / ↑(n + 1)) ^ (s - 1)
Module: Mathlib.NumberTheory.Height.MvPolynomial

Goal state before:
pp: case inl
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝² : AdmissibleAbsValues K
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : Finite ι
N : ℕ
p : ι' → MvPolynomial ι K
hp : ∀ (i : ι'), (p i).IsHomogeneous N
⊢ (mulHeight fun j ↦ (eval 0) (p j)) ≤ max (mulHeightBound p) 1 * mulHeight 0 ^ N

pp: case inr
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝² : AdmissibleAbsValues K
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : Finite ι
N : ℕ
p : ι' → MvPolynomial ι K
hp : ∀ (i : ι'), (p i).IsHomogeneous N
x : ι → K
hx : x ≠ 0
⊢ (mulHeight fun j ↦ (eval x) (p j)) ≤ max (mulHeightBound p) 1 * mulHeight x ^ N

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝² : AdmissibleAbsValues K
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : Finite ι
N : ℕ
p : ι' → MvPolynomial ι K
hp : ∀ (i : ι'), (p i).IsHomogeneous N
⊢ (mulHeight fun j ↦ (eval 0) (p j)) ≤ max (mulHeightBound p) 1 * mulHeight 0 ^ N
Module: Mathlib.NumberTheory.Height.MvPolynomial

Goal state before:
pp: case inl.inl
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝² : AdmissibleAbsValues K
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : Finite ι
N : ℕ
p : ι' → MvPolynomial ι K
hp : ∀ (i : ι'), (p i).IsHomogeneous N
h : (fun j ↦ constantCoeff (p j)) = 0
⊢ (mulHeight fun j ↦ (eval 0) (p j)) ≤ max (mulHeightBound p) 1 * mulHeight 0 ^ N

pp: case inl.inr
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝² : AdmissibleAbsValues K
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : Finite ι
N : ℕ
p : ι' → MvPolynomial ι K
hp : ∀ (i : ι'), (p i).IsHomogeneous N
h : (fun j ↦ constantCoeff (p j)) ≠ 0
⊢ (mulHeight fun j ↦ (eval 0) (p j)) ≤ max (mulHeightBound p) 1 * mulHeight 0 ^ N

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.inl
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝² : AdmissibleAbsValues K
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : Finite ι
N : ℕ
p : ι' → MvPolynomial ι K
hp : ∀ (i : ι'), (p i).IsHomogeneous N
h : (fun j ↦ constantCoeff (p j)) = 0
⊢ (mulHeight fun j ↦ (eval 0) (p j)) ≤ max (mulHeightBound p) 1 * mulHeight 0 ^ N
Module: Mathlib.NumberTheory.Height.Basic

Goal state before:
pp: case c0
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : AdmissibleAbsValues K
α : Type u_2
s : Finset α
hs : s.Nonempty
x : α → K
⊢ 0 ≤ ∏ᶠ (v : ↑nonarchAbsVal), max (↑v (∑ a ∈ s, x a)) 1

pp: case b0
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : AdmissibleAbsValues K
α : Type u_2
s : Finset α
hs : s.Nonempty
x : α → K
⊢ 0 ≤ (Multiset.map (fun i ↦ ↑(#s) * ∏ a ∈ s, max (i (x a)) 1) archAbsVal).prod

pp: case h₁
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : AdmissibleAbsValues K
α : Type u_2
s : Finset α
hs : s.Nonempty
x : α → K
⊢ (Multiset.map (fun v ↦ max (v (∑ a ∈ s, x a)) 1) archAbsVal).prod ≤
    (Multiset.map (fun i ↦ ↑(#s) * ∏ a ∈ s, max (i (x a)) 1) archAbsVal).prod

pp: case h₂
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : AdmissibleAbsValues K
α : Type u_2
s : Finset α
hs : s.Nonempty
x : α → K
⊢ ∏ᶠ (v : ↑nonarchAbsVal), max (↑v (∑ a ∈ s, x a)) 1 ≤ ∏ᶠ (a : ↑nonarchAbsVal), ∏ b ∈ s, max (↑a (x b)) 1

Tactic:
·

Goal state after:
case c0
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : AdmissibleAbsValues K
α : Type u_2
s : Finset α
hs : s.Nonempty
x : α → K
⊢ 0 ≤ ∏ᶠ (v : ↑nonarchAbsVal), max (↑v (∑ a ∈ s, x a)) 1
Module: Mathlib.NumberTheory.Height.MvPolynomial

Goal state before:
pp: case inl.inr
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝² : AdmissibleAbsValues K
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : Finite ι
N : ℕ
p : ι' → MvPolynomial ι K
hp : ∀ (i : ι'), (p i).IsHomogeneous N
h : (fun j ↦ constantCoeff (p j)) ≠ 0
⊢ (mulHeight fun j ↦ (eval 0) (p j)) ≤ max (mulHeightBound p) 1 * mulHeight 0 ^ N

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.inr
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝² : AdmissibleAbsValues K
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : Finite ι
N : ℕ
p : ι' → MvPolynomial ι K
hp : ∀ (i : ι'), (p i).IsHomogeneous N
h : (fun j ↦ constantCoeff (p j)) ≠ 0
⊢ (mulHeight fun j ↦ (eval 0) (p j)) ≤ max (mulHeightBound p) 1 * mulHeight 0 ^ N
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: s : ℝ
hs : 1 < s
n : ℕ
⊢ (↑n + 1) / (↑n + 1) ^ s = ↑(n + 1) / ↑(n + 1) ^ s

pp: case hx
s : ℝ
hs : 1 < s
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ↑(n + 1)

pp: case hx
s : ℝ
hs : 1 < s
n : ℕ
⊢ 1 / ↑(n + 1) ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
s : ℝ
hs : 1 < s
n : ℕ
⊢ (↑n + 1) / (↑n + 1) ^ s = ↑(n + 1) / ↑(n + 1) ^ s
Module: Mathlib.NumberTheory.Height.Basic

Goal state before:
pp: case b0
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : AdmissibleAbsValues K
α : Type u_2
s : Finset α
hs : s.Nonempty
x : α → K
⊢ 0 ≤ (Multiset.map (fun i ↦ ↑(#s) * ∏ a ∈ s, max (i (x a)) 1) archAbsVal).prod

pp: case h₁
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : AdmissibleAbsValues K
α : Type u_2
s : Finset α
hs : s.Nonempty
x : α → K
⊢ (Multiset.map (fun v ↦ max (v (∑ a ∈ s, x a)) 1) archAbsVal).prod ≤
    (Multiset.map (fun i ↦ ↑(#s) * ∏ a ∈ s, max (i (x a)) 1) archAbsVal).prod

pp: case h₂
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : AdmissibleAbsValues K
α : Type u_2
s : Finset α
hs : s.Nonempty
x : α → K
⊢ ∏ᶠ (v : ↑nonarchAbsVal), max (↑v (∑ a ∈ s, x a)) 1 ≤ ∏ᶠ (a : ↑nonarchAbsVal), ∏ b ∈ s, max (↑a (x b)) 1

Tactic:
·

Goal state after:
case b0
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : AdmissibleAbsValues K
α : Type u_2
s : Finset α
hs : s.Nonempty
x : α → K
⊢ 0 ≤ (Multiset.map (fun i ↦ ↑(#s) * ∏ a ∈ s, max (i (x a)) 1) archAbsVal).prod
Module: Mathlib.NumberTheory.Height.Basic

Goal state before:
pp: case h₁
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : AdmissibleAbsValues K
α : Type u_2
s : Finset α
hs : s.Nonempty
x : α → K
⊢ (Multiset.map (fun v ↦ max (v (∑ a ∈ s, x a)) 1) archAbsVal).prod ≤
    (Multiset.map (fun i ↦ ↑(#s) * ∏ a ∈ s, max (i (x a)) 1) archAbsVal).prod

pp: case h₂
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : AdmissibleAbsValues K
α : Type u_2
s : Finset α
hs : s.Nonempty
x : α → K
⊢ ∏ᶠ (v : ↑nonarchAbsVal), max (↑v (∑ a ∈ s, x a)) 1 ≤ ∏ᶠ (a : ↑nonarchAbsVal), ∏ b ∈ s, max (↑a (x b)) 1

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : AdmissibleAbsValues K
α : Type u_2
s : Finset α
hs : s.Nonempty
x : α → K
⊢ (Multiset.map (fun v ↦ max (v (∑ a ∈ s, x a)) 1) archAbsVal).prod ≤
    (Multiset.map (fun i ↦ ↑(#s) * ∏ a ∈ s, max (i (x a)) 1) archAbsVal).prod
Module: Mathlib.NumberTheory.Height.MvPolynomial

Goal state before:
pp: case inr.inl
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝² : AdmissibleAbsValues K
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : Finite ι
N : ℕ
p : ι' → MvPolynomial ι K
hp : ∀ (i : ι'), (p i).IsHomogeneous N
x : ι → K
hx : x ≠ 0
h₀ : (fun j ↦ (eval x) (p j)) = 0
⊢ (mulHeight fun j ↦ (eval x) (p j)) ≤ max (mulHeightBound p) 1 * mulHeight x ^ N

pp: case inr.inr
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝² : AdmissibleAbsValues K
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : Finite ι
N : ℕ
p : ι' → MvPolynomial ι K
hp : ∀ (i : ι'), (p i).IsHomogeneous N
x : ι → K
hx : x ≠ 0
h₀ : (fun j ↦ (eval x) (p j)) ≠ 0
⊢ (mulHeight fun j ↦ (eval x) (p j)) ≤ max (mulHeightBound p) 1 * mulHeight x ^ N

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝² : AdmissibleAbsValues K
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : Finite ι
N : ℕ
p : ι' → MvPolynomial ι K
hp : ∀ (i : ι'), (p i).IsHomogeneous N
x : ι → K
hx : x ≠ 0
h₀ : (fun j ↦ (eval x) (p j)) = 0
⊢ (mulHeight fun j ↦ (eval x) (p j)) ≤ max (mulHeightBound p) 1 * mulHeight x ^ N
Module: Mathlib.NumberTheory.Height.Basic

Goal state before:
pp: case h₂
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : AdmissibleAbsValues K
α : Type u_2
s : Finset α
hs : s.Nonempty
x : α → K
⊢ ∏ᶠ (v : ↑nonarchAbsVal), max (↑v (∑ a ∈ s, x a)) 1 ≤ ∏ᶠ (a : ↑nonarchAbsVal), ∏ b ∈ s, max (↑a (x b)) 1

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : AdmissibleAbsValues K
α : Type u_2
s : Finset α
hs : s.Nonempty
x : α → K
⊢ ∏ᶠ (v : ↑nonarchAbsVal), max (↑v (∑ a ∈ s, x a)) 1 ≤ ∏ᶠ (a : ↑nonarchAbsVal), ∏ b ∈ s, max (↑a (x b)) 1
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case hF_meas
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ Ici 1,
    AEStronglyMeasurable (fun a ↦ (a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)) (volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)))

pp: case h_bound
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ Ici 1,
    ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)), ‖(a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)‖ ≤ (a - ↑(n + 1)) / a ^ 2

pp: case bound_integrable
n : ℕ
⊢ Integrable (fun x ↦ (x - ↑(n + 1)) / x ^ 2) (volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)))

pp: case h_cont
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)),
    ContinuousOn (fun x ↦ (a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)) (Ici 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case hF_meas
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ Ici 1,
    AEStronglyMeasurable (fun a ↦ (a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)) (volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)))
Module: Mathlib.NumberTheory.Height.Basic

Goal state before:
pp: case inl
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : AdmissibleAbsValues K
α : Type u_2
x : α → K
⊢ logHeight₁ (∑ a ∈ ∅, x a) ≤ ↑(totalWeight K) * log ↑(#∅) + ∑ a ∈ ∅, logHeight₁ (x a)

pp: case inr
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : AdmissibleAbsValues K
α : Type u_2
s : Finset α
x : α → K
hs : s.Nonempty
⊢ logHeight₁ (∑ a ∈ s, x a) ≤ ↑(totalWeight K) * log ↑(#s) + ∑ a ∈ s, logHeight₁ (x a)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : AdmissibleAbsValues K
α : Type u_2
x : α → K
⊢ logHeight₁ (∑ a ∈ ∅, x a) ≤ ↑(totalWeight K) * log ↑(#∅) + ∑ a ∈ ∅, logHeight₁ (x a)
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case h_bound
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ Ici 1,
    ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)), ‖(a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)‖ ≤ (a - ↑(n + 1)) / a ^ 2

pp: case bound_integrable
n : ℕ
⊢ Integrable (fun x ↦ (x - ↑(n + 1)) / x ^ 2) (volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)))

pp: case h_cont
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)),
    ContinuousOn (fun x ↦ (a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)) (Ici 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case h_bound
n : ℕ
⊢ ∀ x ∈ Ici 1,
    ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)), ‖(a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)‖ ≤ (a - ↑(n + 1)) / a ^ 2
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case hc
n : ℕ
s : ℝ
hs : 1 ≤ s
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
this : 1 < x
⊢ 0 ≤ x - (↑n + 1)

pp: case hx
n : ℕ
s : ℝ
hs : 1 ≤ s
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
this : 1 < x
⊢ 1 ≤ x

pp: case hyz
n : ℕ
s : ℝ
hs : 1 ≤ s
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
this : 1 < x
⊢ 2 ≤ s + 1

Tactic:
·

Goal state after:
case hc
n : ℕ
s : ℝ
hs : 1 ≤ s
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
this : 1 < x
⊢ 0 ≤ x - (↑n + 1)
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case hx
n : ℕ
s : ℝ
hs : 1 ≤ s
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
this : 1 < x
⊢ 1 ≤ x

pp: case hyz
n : ℕ
s : ℝ
hs : 1 ≤ s
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
this : 1 < x
⊢ 2 ≤ s + 1

Tactic:
·

Goal state after:
case hx
n : ℕ
s : ℝ
hs : 1 ≤ s
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
this : 1 < x
⊢ 1 ≤ x
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case hyz
n : ℕ
s : ℝ
hs : 1 ≤ s
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
this : 1 < x
⊢ 2 ≤ s + 1

Tactic:
·

Goal state after:
case hyz
n : ℕ
s : ℝ
hs : 1 ≤ s
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
this : 1 < x
⊢ 2 ≤ s + 1
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case bound_integrable
n : ℕ
⊢ Integrable (fun x ↦ (x - ↑(n + 1)) / x ^ 2) (volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)))

pp: case h_cont
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)),
    ContinuousOn (fun x ↦ (a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)) (Ici 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case bound_integrable
n : ℕ
⊢ Integrable (fun x ↦ (x - ↑(n + 1)) / x ^ 2) (volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)))
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: n : ℕ
⊢ 0 < n + 1

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case h_cont
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)),
    ContinuousOn (fun x ↦ (a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)) (Ici 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case h_cont
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)),
    ContinuousOn (fun x ↦ (a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)) (Ici 1)
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case h_cont.refine_1
n : ℕ
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
s : ℝ
hs : 1 ≤ s
⊢ ContinuousAt (fun x_1 ↦ x ^ (x_1 + 1)) s

pp: case h_cont.refine_2
n : ℕ
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
s : ℝ
hs : 1 ≤ s
⊢ x ^ (s + 1) ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case h_cont.refine_1
n : ℕ
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
s : ℝ
hs : 1 ≤ s
⊢ ContinuousAt (fun x_1 ↦ x ^ (x_1 + 1)) s
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case h_cont.refine_2
n : ℕ
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
s : ℝ
hs : 1 ≤ s
⊢ x ^ (s + 1) ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case h_cont.refine_2
n : ℕ
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
s : ℝ
hs : 1 ≤ s
⊢ x ^ (s + 1) ≠ 0
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
⊢ ∫ (x : ℝ) in ↑(n + 1)..↑(n + 1) + 1, (x - ↑(n + 1)) / x ^ (s + 1) ≤
    ∫ (x : ℝ) in ↑(n + 1)..↑(n + 1) + 1, (x - ↑(n + 1)) / x ^ (1 + 1)

pp: n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
⊢ 0 ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑(n + 1)..↑(n + 1) + 1, (x - ↑(n + 1)) / x ^ (s + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
⊢ ∫ (x : ℝ) in ↑(n + 1)..↑(n + 1) + 1, (x - ↑(n + 1)) / x ^ (s + 1) ≤
    ∫ (x : ℝ) in ↑(n + 1)..↑(n + 1) + 1, (x - ↑(n + 1)) / x ^ (1 + 1)
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case refine_1
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ (x - ↑(n + 1)) / x ^ (s + 1)) (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)) volume

pp: case refine_2
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ (x - ↑(n + 1)) / x ^ (1 + 1)) (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)) volume

pp: case refine_3
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
⊢ (x - ↑(n + 1)) / x ^ (s + 1) ≤ (x - ↑(n + 1)) / x ^ (1 + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ (x - ↑(n + 1)) / x ^ (s + 1)) (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)) volume
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case refine_2
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ (x - ↑(n + 1)) / x ^ (1 + 1)) (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)) volume

pp: case refine_3
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
⊢ (x - ↑(n + 1)) / x ^ (s + 1) ≤ (x - ↑(n + 1)) / x ^ (1 + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ (x - ↑(n + 1)) / x ^ (1 + 1)) (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)) volume
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case refine_3
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
⊢ (x - ↑(n + 1)) / x ^ (s + 1) ≤ (x - ↑(n + 1)) / x ^ (1 + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
⊢ (x - ↑(n + 1)) / x ^ (s + 1) ≤ (x - ↑(n + 1)) / x ^ (1 + 1)
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case hc
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
this : 1 ≤ x
⊢ 0 ≤ x - ↑(n + 1)

pp: case h₁
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
this : 1 ≤ x
⊢ 1 ≤ s

Tactic:
·

Goal state after:
case hc
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
this : 1 ≤ x
⊢ 0 ≤ x - ↑(n + 1)
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: case h₁
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
this : 1 ≤ x
⊢ 1 ≤ s

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)
this : 1 ≤ x
⊢ 1 ≤ s
Module: Mathlib.NumberTheory.Harmonic.ZetaAsymp

Goal state before:
pp: n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
⊢ 0 ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑(n + 1)..↑(n + 1) + 1, (x - ↑(n + 1)) / x ^ (s + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
n : ℕ
s : ℝ
hs : s ∈ Ici 1
⊢ 0 ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑(n + 1)..↑(n + 1) + 1, (x - ↑(n + 1)) / x ^ (s + 1)