mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.IntegralCompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
⊢ ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a)) → ℝ≥0∞

pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
⊢ Tendsto ?m.133 (𝓝 g) (𝓝 0)

pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
⊢ (fun i ↦ ∫⁻ (x : β), ‖∫ (y : γ), ↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y) ∂η (a, x)‖ₑ ∂κ a) ≤ ?m.133

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
⊢ ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a)) → ℝ≥0∞
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: case refine_2.hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f✝ : β → γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f✝)
F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f✝)
h : ∀ (a : β) (b : γ), ⨆ n, (F n) (a, b) = f✝ a b
h_mono : Monotone F
this : ∀ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ⨆ n, (F n) (b, c) ∂η (a, b) = ⨆ n, ∫⁻ (c : γ), (F n) (b, c) ∂η (a, b)
h_some_meas_integral : ∀ (f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞), Measurable fun b ↦ ∫⁻ (c : γ), f' (b, c) ∂η (a, b)
n : ℕ
f f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞
a✝ : Disjoint (Function.support ⇑f) (Function.support ⇑f')
hf_eq : ∫⁻ (a : β × γ), f a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c : γ), f (a_1, c) ∂η (a, a_1) ∂κ a
hf'_eq : ∫⁻ (a : β × γ), f' a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c : γ), f' (a_1, c) ∂η (a, a_1) ∂κ a
⊢ Measurable fun a_1 ↦ ∫⁻ (c : γ), f (a_1, c) ∂η (a, a_1)

pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f✝ : β → γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f✝)
F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f✝)
h : ∀ (a : β) (b : γ), ⨆ n, (F n) (a, b) = f✝ a b
h_mono : Monotone F
this : ∀ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ⨆ n, (F n) (b, c) ∂η (a, b) = ⨆ n, ∫⁻ (c : γ), (F n) (b, c) ∂η (a, b)
h_some_meas_integral : ∀ (f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞), Measurable fun b ↦ ∫⁻ (c : γ), f' (b, c) ∂η (a, b)
n : ℕ
f f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞
a✝ : Disjoint (Function.support ⇑f) (Function.support ⇑f')
hf_eq : ∫⁻ (a : β × γ), f a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c : γ), f (a_1, c) ∂η (a, a_1) ∂κ a
hf'_eq : ∫⁻ (a : β × γ), f' a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c : γ), f' (a_1, c) ∂η (a, a_1) ∂κ a
⊢ ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c : γ), f (a_1, c) ∂η (a, a_1) + ∫⁻ (c : γ), f' (a_1, c) ∂η (a, a_1) ∂κ a =
    ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), f (b, c) + f' (b, c) ∂η (a, b) ∂κ a

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f✝ : β → γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f✝)
F : ℕ → SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞ := SimpleFunc.eapprox (Function.uncurry f✝)
h : ∀ (a : β) (b : γ), ⨆ n, (F n) (a, b) = f✝ a b
h_mono : Monotone F
this : ∀ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ⨆ n, (F n) (b, c) ∂η (a, b) = ⨆ n, ∫⁻ (c : γ), (F n) (b, c) ∂η (a, b)
h_some_meas_integral : ∀ (f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞), Measurable fun b ↦ ∫⁻ (c : γ), f' (b, c) ∂η (a, b)
n : ℕ
f f' : SimpleFunc (β × γ) ℝ≥0∞
a✝ : Disjoint (Function.support ⇑f) (Function.support ⇑f')
hf_eq : ∫⁻ (a : β × γ), f a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c : γ), f (a_1, c) ∂η (a, a_1) ∂κ a
hf'_eq : ∫⁻ (a : β × γ), f' a ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (a_1 : β), ∫⁻ (c : γ), f' (a_1, c) ∂η (a, a_1) ∂κ a
⊢ Measurable fun a_1 ↦ ∫⁻ (c : γ), f (a_1, c) ∂η (a, a_1)
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.IntegralCompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
⊢ (fun i ↦ ∫⁻ (x : β), ‖∫ (y : γ), ↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y) ∂η (a, x)‖ₑ ∂κ a) ≤ fun i ↦
    ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), ‖↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y)‖ₑ ∂η (a, x) ∂κ a

pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
⊢ Tendsto (fun i ↦ ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), ‖↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y)‖ₑ ∂η (a, x) ∂κ a) (𝓝 g) (𝓝 0)

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
⊢ (fun i ↦ ∫⁻ (x : β), ‖∫ (y : γ), ↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y) ∂η (a, x)‖ₑ ∂κ a) ≤ fun i ↦
    ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), ‖↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y)‖ₑ ∂η (a, x) ∂κ a
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.RadonNikodym

Goal state before:
pp: case refine_4
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
hμν : μ ≪ ν
κ : Kernel α β
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : IsFiniteKernel κ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
x✝ : (ν ⊗ₘ κ) s < ∞
h_key :
  ∀ (t₁ : Set α) (t₂ : Set β),
    MeasurableSet t₁ →
      MeasurableSet t₂ →
        ∫⁻ (x : α × β) in t₁ ×ˢ t₂, (μ ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ κ) x ∂ν ⊗ₘ κ =
          ∫⁻ (x : α × β) in t₁ ×ˢ t₂, μ.rnDeriv ν x.1 ∂ν ⊗ₘ κ
⊢ ∀ (f : ℕ → Set (α × β)),
    Pairwise (Function.onFun Disjoint f) →
      (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) →
        (∀ (i : ℕ),
            ∫⁻ (x : α × β) in f i, (μ ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ κ) x ∂ν ⊗ₘ κ =
              ∫⁻ (x : α × β) in f i, μ.rnDeriv ν x.1 ∂ν ⊗ₘ κ) →
          ∫⁻ (x : α × β) in ⋃ i, f i, (μ ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ κ) x ∂ν ⊗ₘ κ =
            ∫⁻ (x : α × β) in ⋃ i, f i, μ.rnDeriv ν x.1 ∂ν ⊗ₘ κ

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_4
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
hμν : μ ≪ ν
κ : Kernel α β
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : IsFiniteKernel κ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
x✝ : (ν ⊗ₘ κ) s < ∞
h_key :
  ∀ (t₁ : Set α) (t₂ : Set β),
    MeasurableSet t₁ →
      MeasurableSet t₂ →
        ∫⁻ (x : α × β) in t₁ ×ˢ t₂, (μ ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ κ) x ∂ν ⊗ₘ κ =
          ∫⁻ (x : α × β) in t₁ ×ˢ t₂, μ.rnDeriv ν x.1 ∂ν ⊗ₘ κ
⊢ ∀ (f : ℕ → Set (α × β)),
    Pairwise (Function.onFun Disjoint f) →
      (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) →
        (∀ (i : ℕ),
            ∫⁻ (x : α × β) in f i, (μ ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ κ) x ∂ν ⊗ₘ κ =
              ∫⁻ (x : α × β) in f i, μ.rnDeriv ν x.1 ∂ν ⊗ₘ κ) →
          ∫⁻ (x : α × β) in ⋃ i, f i, (μ ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ κ) x ∂ν ⊗ₘ κ =
            ∫⁻ (x : α × β) in ⋃ i, f i, μ.rnDeriv ν x.1 ∂ν ⊗ₘ κ
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.IntegralCompProd

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : ¬CompleteSpace E
⊢ Integrable f✝ ((κ ⊗ₖ η) a) → ∫ (z : β × γ), f✝ z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f✝ (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a

pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
⊢ Integrable f✝ ((κ ⊗ₖ η) a) → ∫ (z : β × γ), f✝ z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f✝ (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : ¬CompleteSpace E
⊢ Integrable f✝ ((κ ⊗ₖ η) a) → ∫ (z : β × γ), f✝ z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f✝ (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Decomposition.IntegralRNDeriv

Goal state before:
pp: case pos
𝓧 : Type u_1
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
μ ν : Measure 𝓧
f : ℝ → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
hf_cvx : ConvexOn ℝ (Ici 0) f
hf_cont : ContinuousWithinAt f (Ici 0) 0
hf_int : Integrable (fun x ↦ f (μ.rnDeriv ν x).toReal) ν
hμν : μ ≪ ν
hν : ν = 0
⊢ ν.real univ * f (μ.real univ / ν.real univ) ≤ ∫ (x : 𝓧), f (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν

pp: case neg
𝓧 : Type u_1
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
μ ν : Measure 𝓧
f : ℝ → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
hf_cvx : ConvexOn ℝ (Ici 0) f
hf_cont : ContinuousWithinAt f (Ici 0) 0
hf_int : Integrable (fun x ↦ f (μ.rnDeriv ν x).toReal) ν
hμν : μ ≪ ν
hν : ¬ν = 0
⊢ ν.real univ * f (μ.real univ / ν.real univ) ≤ ∫ (x : 𝓧), f (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝓧 : Type u_1
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
μ ν : Measure 𝓧
f : ℝ → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
hf_cvx : ConvexOn ℝ (Ici 0) f
hf_cont : ContinuousWithinAt f (Ici 0) 0
hf_int : Integrable (fun x ↦ f (μ.rnDeriv ν x).toReal) ν
hμν : μ ≪ ν
hν : ν = 0
⊢ ν.real univ * f (μ.real univ / ν.real univ) ≤ ∫ (x : 𝓧), f (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : β → γ → ℝ≥0∞ := Function.curry f
⊢ ∫⁻ (bc : β × γ), f bc ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (bc : β × γ), g bc.1 bc.2 ∂(κ ⊗ₖ η) a

pp: case hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : β → γ → ℝ≥0∞ := Function.curry f
⊢ Measurable (Function.uncurry g)

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : β → γ → ℝ≥0∞ := Function.curry f
⊢ ∫⁻ (bc : β × γ), f bc ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (bc : β × γ), g bc.1 bc.2 ∂(κ ⊗ₖ η) a
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.RadonNikodym

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
inst✝² : IsFiniteMeasure ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h :
  (μ.singularPart ν ⊗ₘ κ + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ η) =ᵐ[ν ⊗ₘ η]
    (μ.singularPart ν ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ η) + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ η)
⊢ μ.singularPart ν ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η

pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
inst✝² : IsFiniteMeasure ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h :
  (μ.singularPart ν ⊗ₘ κ + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ η) =ᵐ[ν ⊗ₘ η]
    (μ.singularPart ν ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ η) + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ η)
⊢ ν ⊗ₘ η ≪ ν ⊗ₘ η

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
inst✝² : IsFiniteMeasure ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h :
  (μ.singularPart ν ⊗ₘ κ + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ η) =ᵐ[ν ⊗ₘ η]
    (μ.singularPart ν ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ η) + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ η)
⊢ μ.singularPart ν ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.RadonNikodym

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
inst✝² : IsFiniteMeasure ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h :
  (μ.singularPart ν ⊗ₘ κ + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ η) =ᵐ[ν ⊗ₘ η]
    (μ.singularPart ν ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ η) + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ η)
⊢ ν ⊗ₘ η ≪ ν ⊗ₘ η

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
inst✝² : IsFiniteMeasure ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h :
  (μ.singularPart ν ⊗ₘ κ + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ η) =ᵐ[ν ⊗ₘ η]
    (μ.singularPart ν ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ η) + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) ⊗ₘ κ).rnDeriv (ν ⊗ₘ η)
⊢ ν ⊗ₘ η ≪ ν ⊗ₘ η
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: case hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : β → γ → ℝ≥0∞ := Function.curry f
⊢ Measurable (Function.uncurry g)

Tactic:
·

Goal state after:
case hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : β → γ → ℝ≥0∞ := Function.curry f
⊢ Measurable (Function.uncurry g)
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.IntegralCompProd

Goal state before:
pp: case pos.h_ind
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set (β × γ)⦄,
    MeasurableSet s →
      ((κ ⊗ₖ η) a) s < ∞ →
        ∫ (z : β × γ), s.indicator (fun x ↦ c) z ∂(κ ⊗ₖ η) a =
          ∫ (x : β), ∫ (y : γ), s.indicator (fun x ↦ c) (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a

pp: case pos.h_add
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
⊢ ∀ ⦃f g : β × γ → E⦄,
    Disjoint (support f) (support g) →
      Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a) →
        Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a) →
          ∫ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a →
            ∫ (z : β × γ), g z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a →
              ∫ (z : β × γ), (f + g) z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), (f + g) (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a

pp: case h_closed
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
⊢ IsClosed {f | ∫ (z : β × γ), ↑↑f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), ↑↑f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a}

pp: case h_ae
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
⊢ ∀ ⦃f g : β × γ → E⦄,
    f =ᵐ[(κ ⊗ₖ η) a] g →
      Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a) →
        ∫ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a →
          ∫ (z : β × γ), g z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a

Tactic:
·

Goal state after:
case pos.h_ind
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set (β × γ)⦄,
    MeasurableSet s →
      ((κ ⊗ₖ η) a) s < ∞ →
        ∫ (z : β × γ), s.indicator (fun x ↦ c) z ∂(κ ⊗ₖ η) a =
          ∫ (x : β), ∫ (y : γ), s.indicator (fun x ↦ c) (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.IntegralCompProd

Goal state before:
pp: case pos.h_ind.e_a.hfm
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
c : E
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s < ∞
⊢ AEMeasurable (fun x ↦ (η (a, x)) (Prod.mk x ⁻¹' s)) (κ a)

pp: case pos.h_ind.e_a.hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
c : E
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s < ∞
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂κ a, (η (a, x)) (Prod.mk x ⁻¹' s) < ∞

pp: case pos.h_ind.e_a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
c : E
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s < ∞
⊢ (((κ ⊗ₖ η) a) s).toReal = (∫⁻ (a_1 : β), (η (a, a_1)) (Prod.mk a_1 ⁻¹' s) ∂κ a).toReal

Tactic:
·

Goal state after:
case pos.h_ind.e_a.hfm
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
c : E
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s < ∞
⊢ AEMeasurable (fun x ↦ (η (a, x)) (Prod.mk x ⁻¹' s)) (κ a)
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.IntegralCompProd

Goal state before:
pp: case pos.h_ind.e_a.hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
c : E
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s < ∞
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂κ a, (η (a, x)) (Prod.mk x ⁻¹' s) < ∞

pp: case pos.h_ind.e_a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
c : E
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s < ∞
⊢ (((κ ⊗ₖ η) a) s).toReal = (∫⁻ (a_1 : β), (η (a, a_1)) (Prod.mk a_1 ⁻¹' s) ∂κ a).toReal

Tactic:
·

Goal state after:
case pos.h_ind.e_a.hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
a : α
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E
c : E
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
h2s : ((κ ⊗ₖ η) a) s < ∞
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂κ a, (η (a, x)) (Prod.mk x ⁻¹' s) < ∞
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Tilted

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
c : ℝ
h0 : NeZero μ
h_univ : μ Set.univ = ∞
⊢ ENNReal.ofReal (rexp c / (μ.real Set.univ * rexp c)) • μ = (μ Set.univ)⁻¹ • μ

pp: case neg
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
c : ℝ
h0 : NeZero μ
h_univ : ¬μ Set.univ = ∞
⊢ ENNReal.ofReal (rexp c / (μ.real Set.univ * rexp c)) • μ = (μ Set.univ)⁻¹ • μ

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
c : ℝ
h0 : NeZero μ
h_univ : μ Set.univ = ∞
⊢ ENNReal.ofReal (rexp c / (μ.real Set.univ * rexp c)) • μ = (μ Set.univ)⁻¹ • μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Decomposition.IntegralRNDeriv

Goal state before:
pp: case h0
𝓧 : Type u_1
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
μ ν : Measure 𝓧
f : ℝ → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
hf_cvx : ConvexOn ℝ (Ici 0) f
hf_cont : ContinuousWithinAt f (Ici 0) 0
hf_int : Integrable (fun x ↦ f (μ.rnDeriv ν x).toReal) ν
hμν : μ ≪ ν
hν : ¬ν = 0
this✝ : NeZero ν
μ' : Measure 𝓧 := (ν univ)⁻¹ • μ
ν' : Measure 𝓧 := (ν univ)⁻¹ • ν
this : IsFiniteMeasure μ'
hμν' : μ' ≪ ν'
h1' : μ'.rnDeriv ν' =ᵐ[ν'] (ν univ)⁻¹ • μ.rnDeriv ν'
h1✝ : μ'.rnDeriv ν' =ᵐ[ν] (ν univ)⁻¹ • μ.rnDeriv ν'
h2✝ : μ.rnDeriv ν' =ᵐ[ν] (ν univ)⁻¹⁻¹ • μ.rnDeriv ν
x : 𝓧
h1 : μ'.rnDeriv ν' x = ((ν univ)⁻¹ • μ.rnDeriv ν') x
h2 : μ.rnDeriv ν' x = ((ν univ)⁻¹⁻¹ • μ.rnDeriv ν) x
⊢ ν univ ≠ 0

pp: case ht
𝓧 : Type u_1
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
μ ν : Measure 𝓧
f : ℝ → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
hf_cvx : ConvexOn ℝ (Ici 0) f
hf_cont : ContinuousWithinAt f (Ici 0) 0
hf_int : Integrable (fun x ↦ f (μ.rnDeriv ν x).toReal) ν
hμν : μ ≪ ν
hν : ¬ν = 0
this✝ : NeZero ν
μ' : Measure 𝓧 := (ν univ)⁻¹ • μ
ν' : Measure 𝓧 := (ν univ)⁻¹ • ν
this : IsFiniteMeasure μ'
hμν' : μ' ≪ ν'
h1' : μ'.rnDeriv ν' =ᵐ[ν'] (ν univ)⁻¹ • μ.rnDeriv ν'
h1✝ : μ'.rnDeriv ν' =ᵐ[ν] (ν univ)⁻¹ • μ.rnDeriv ν'
h2✝ : μ.rnDeriv ν' =ᵐ[ν] (ν univ)⁻¹⁻¹ • μ.rnDeriv ν
x : 𝓧
h1 : μ'.rnDeriv ν' x = ((ν univ)⁻¹ • μ.rnDeriv ν') x
h2 : μ.rnDeriv ν' x = ((ν univ)⁻¹⁻¹ • μ.rnDeriv ν) x
⊢ ν univ ≠ ∞

Tactic:
·

Goal state after:
case h0
𝓧 : Type u_1
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
μ ν : Measure 𝓧
f : ℝ → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
hf_cvx : ConvexOn ℝ (Ici 0) f
hf_cont : ContinuousWithinAt f (Ici 0) 0
hf_int : Integrable (fun x ↦ f (μ.rnDeriv ν x).toReal) ν
hμν : μ ≪ ν
hν : ¬ν = 0
this✝ : NeZero ν
μ' : Measure 𝓧 := (ν univ)⁻¹ • μ
ν' : Measure 𝓧 := (ν univ)⁻¹ • ν
this : IsFiniteMeasure μ'
hμν' : μ' ≪ ν'
h1' : μ'.rnDeriv ν' =ᵐ[ν'] (ν univ)⁻¹ • μ.rnDeriv ν'
h1✝ : μ'.rnDeriv ν' =ᵐ[ν] (ν univ)⁻¹ • μ.rnDeriv ν'
h2✝ : μ.rnDeriv ν' =ᵐ[ν] (ν univ)⁻¹⁻¹ • μ.rnDeriv ν
x : 𝓧
h1 : μ'.rnDeriv ν' x = ((ν univ)⁻¹ • μ.rnDeriv ν') x
h2 : μ.rnDeriv ν' x = ((ν univ)⁻¹⁻¹ • μ.rnDeriv ν) x
⊢ ν univ ≠ 0