mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
α : Type u_2
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
hm : m ≤ mα
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf_int : ¬Integrable f μ
⊢ (fun x ↦ ‖μ[f | m] x‖) ≤ᵐ[μ] μ[fun x ↦ ‖f x‖ | m]

pp: case neg
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
α : Type u_2
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
hm : m ≤ mα
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf_int : Integrable f μ
⊢ (fun x ↦ ‖μ[f | m] x‖) ≤ᵐ[μ] μ[fun x ↦ ‖f x‖ | m]

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
α : Type u_2
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → E
hm : m ≤ mα
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf_int : ¬Integrable f μ
⊢ (fun x ↦ ‖μ[f | m] x‖) ≤ᵐ[μ] μ[fun x ↦ ‖f x‖ | m]
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hfint : Integrable (fun x ↦ ‖f x‖ ^ p) μ
hp' : 0 < p
hm : ¬m ≤ mα
⊢ (fun x ↦ ‖μ[f | m] x‖ ^ p) ≤ᵐ[μ] μ[fun x ↦ ‖f x‖ ^ p | m]

pp: case neg
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hfint : Integrable (fun x ↦ ‖f x‖ ^ p) μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ mα
⊢ (fun x ↦ ‖μ[f | m] x‖ ^ p) ≤ᵐ[μ] μ[fun x ↦ ‖f x‖ ^ p | m]

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hfint : Integrable (fun x ↦ ‖f x‖ ^ p) μ
hp' : 0 < p
hm : ¬m ≤ mα
⊢ (fun x ↦ ‖μ[f | m] x‖ ^ p) ≤ᵐ[μ] μ[fun x ↦ ‖f x‖ ^ p | m]
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hfint : Integrable (fun x ↦ ‖f x‖ ^ p) μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ mα
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ (fun x ↦ ‖μ[f | m] x‖ ^ p) ≤ᵐ[μ] μ[fun x ↦ ‖f x‖ ^ p | m]

pp: case neg
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hfint : Integrable (fun x ↦ ‖f x‖ ^ p) μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ mα
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ (fun x ↦ ‖μ[f | m] x‖ ^ p) ≤ᵐ[μ] μ[fun x ↦ ‖f x‖ ^ p | m]

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hfint : Integrable (fun x ↦ ‖f x‖ ^ p) μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ mα
hμm : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ (fun x ↦ ‖μ[f | m] x‖ ^ p) ≤ᵐ[μ] μ[fun x ↦ ‖f x‖ ^ p | m]
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hfint : Integrable (fun x ↦ ‖f x‖ ^ p) μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ mα
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf_int : ¬Integrable f μ
⊢ (fun x ↦ ‖μ[f | m] x‖ ^ p) ≤ᵐ[μ] μ[fun x ↦ ‖f x‖ ^ p | m]

pp: case neg
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hfint : Integrable (fun x ↦ ‖f x‖ ^ p) μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ mα
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf_int : Integrable f μ
⊢ (fun x ↦ ‖μ[f | m] x‖ ^ p) ≤ᵐ[μ] μ[fun x ↦ ‖f x‖ ^ p | m]

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hfint : Integrable (fun x ↦ ‖f x‖ ^ p) μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ mα
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf_int : ¬Integrable f μ
⊢ (fun x ↦ ‖μ[f | m] x‖ ^ p) ≤ᵐ[μ] μ[fun x ↦ ‖f x‖ ^ p | m]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Matrix

Goal state before:
pp: case mp
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
⊢ IsUnit (b.toMatrix p) → AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤

pp: case mpr
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
⊢ AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤ → IsUnit (b.toMatrix p)

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
⊢ IsUnit (b.toMatrix p) → AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
h : s = ⊥
⊢ (s.shift c r).direction = s.direction

pp: case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
h : (↑s).Nonempty
⊢ (s.shift c r).direction = s.direction

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
h : s = ⊥
⊢ (s.shift c r).direction = s.direction
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Matrix

Goal state before:
pp: case mpr
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
⊢ AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤ → IsUnit (b.toMatrix p)

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
⊢ AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤ → IsUnit (b.toMatrix p)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
p : ↥s
c : P
r : k
h : Nonempty ↥s
q x : P
hx : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑⋯.some) +ᵥ x = q
⊢ ∃ y ∈ s, (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ y = (1 - r) • (c -ᵥ ↑⋯.some) +ᵥ x

pp: case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
p : ↥s
c : P
r : k
h : Nonempty ↥s
q x : P
hx : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ x = q
⊢ ∃ y ∈ s, (1 - r) • (c -ᵥ ↑⋯.some) +ᵥ y = (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ x

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
p : ↥s
c : P
r : k
h : Nonempty ↥s
q x : P
hx : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑⋯.some) +ᵥ x = q
⊢ ∃ y ∈ s, (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ y = (1 - r) • (c -ᵥ ↑⋯.some) +ᵥ x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case mp.refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
p : ↥s
c : P
r : k
h : Nonempty ↥s
q x : P
hx : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑⋯.some) +ᵥ x = q
⊢ (1 - r) • (↑p -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x ∈ s

pp: case mp.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
p : ↥s
c : P
r : k
h : Nonempty ↥s
q x : P
hx : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑⋯.some) +ᵥ x = q
⊢ (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ (1 - r) • (↑p -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x = (1 - r) • (c -ᵥ ↑⋯.some) +ᵥ x

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
p : ↥s
c : P
r : k
h : Nonempty ↥s
q x : P
hx : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑⋯.some) +ᵥ x = q
⊢ (1 - r) • (↑p -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x ∈ s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case mp.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
p : ↥s
c : P
r : k
h : Nonempty ↥s
q x : P
hx : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑⋯.some) +ᵥ x = q
⊢ (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ (1 - r) • (↑p -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x = (1 - r) • (c -ᵥ ↑⋯.some) +ᵥ x

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
p : ↥s
c : P
r : k
h : Nonempty ↥s
q x : P
hx : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑⋯.some) +ᵥ x = q
⊢ (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ (1 - r) • (↑p -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x = (1 - r) • (c -ᵥ ↑⋯.some) +ᵥ x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
p : ↥s
c : P
r : k
h : Nonempty ↥s
q x : P
hx : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ x = q
⊢ ∃ y ∈ s, (1 - r) • (c -ᵥ ↑⋯.some) +ᵥ y = (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ x

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
p : ↥s
c : P
r : k
h : Nonempty ↥s
q x : P
hx : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ x = q
⊢ ∃ y ∈ s, (1 - r) • (c -ᵥ ↑⋯.some) +ᵥ y = (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case mpr.refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
p : ↥s
c : P
r : k
h : Nonempty ↥s
q x : P
hx : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ x = q
⊢ (1 - r) • (↑h.some -ᵥ ↑p) +ᵥ x ∈ s

pp: case mpr.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
p : ↥s
c : P
r : k
h : Nonempty ↥s
q x : P
hx : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ x = q
⊢ (1 - r) • (c -ᵥ ↑⋯.some) +ᵥ (1 - r) • (↑h.some -ᵥ ↑p) +ᵥ x = (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ x

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr.refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
p : ↥s
c : P
r : k
h : Nonempty ↥s
q x : P
hx : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ x = q
⊢ (1 - r) • (↑h.some -ᵥ ↑p) +ᵥ x ∈ s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case mpr.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
p : ↥s
c : P
r : k
h : Nonempty ↥s
q x : P
hx : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ x = q
⊢ (1 - r) • (c -ᵥ ↑⋯.some) +ᵥ (1 - r) • (↑h.some -ᵥ ↑p) +ᵥ x = (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ x

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
p : ↥s
c : P
r : k
h : Nonempty ↥s
q x : P
hx : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ x = q
⊢ (1 - r) • (c -ᵥ ↑⋯.some) +ᵥ (1 - r) • (↑h.some -ᵥ ↑p) +ᵥ x = (1 - r) • (c -ᵥ ↑p) +ᵥ x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
h : s = ⊥
⊢ s.shift c 1 = s

pp: case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
h : (↑s).Nonempty
⊢ s.shift c 1 = s

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
h : s = ⊥
⊢ s.shift c 1 = s
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeFree

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module R V
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : Module S W
inst✝ : IsScalarTower R S W
ι : Type u_5
ε : V →ₗ[R] W
b : Module.Basis ι R V
ibc : IsBaseChange S ε
v : V
i : ι
⊢ ((basis b ibc).repr ((b.repr v) i • ε (b i))) i = (algebraMap R S) ((b.repr v) i)

pp: case h₀
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module R V
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : Module S W
inst✝ : IsScalarTower R S W
ι : Type u_5
ε : V →ₗ[R] W
b : Module.Basis ι R V
ibc : IsBaseChange S ε
v : V
i : ι
⊢ ∀ (b_1 : ι), (b.repr v) b_1 ≠ 0 → b_1 ≠ i → ((basis b ibc).repr ((b.repr v) b_1 • ε (b b_1))) i = 0

pp: case h₁
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module R V
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : Module S W
inst✝ : IsScalarTower R S W
ι : Type u_5
ε : V →ₗ[R] W
b : Module.Basis ι R V
ibc : IsBaseChange S ε
v : V
i : ι
⊢ (b.repr v) i = 0 → ((basis b ibc).repr (0 • ε (b i))) i = 0

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module R V
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : Module S W
inst✝ : IsScalarTower R S W
ι : Type u_5
ε : V →ₗ[R] W
b : Module.Basis ι R V
ibc : IsBaseChange S ε
v : V
i : ι
⊢ ((basis b ibc).repr ((b.repr v) i • ε (b i))) i = (algebraMap R S) ((b.repr v) i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : Module k V
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nontrivial ι
p : ι → P
i : ι
w : ι → k
hw : ∑ i, w i = 1
h✝ : Subsingleton k
⊢ (affineCombination k univ p) w ∈ (affineSpan k (p '' {i}ᶜ)).shift (p i) (1 - w i)

pp: case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : Module k V
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nontrivial ι
p : ι → P
i : ι
w : ι → k
hw : ∑ i, w i = 1
h✝ : Nontrivial k
⊢ (affineCombination k univ p) w ∈ (affineSpan k (p '' {i}ᶜ)).shift (p i) (1 - w i)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : Module k V
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nontrivial ι
p : ι → P
i : ι
w : ι → k
hw : ∑ i, w i = 1
h✝ : Subsingleton k
⊢ (affineCombination k univ p) w ∈ (affineSpan k (p '' {i}ᶜ)).shift (p i) (1 - w i)
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeFree

Goal state before:
pp: case h₀
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module R V
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : Module S W
inst✝ : IsScalarTower R S W
ι : Type u_5
ε : V →ₗ[R] W
b : Module.Basis ι R V
ibc : IsBaseChange S ε
v : V
i : ι
⊢ ∀ (b_1 : ι), (b.repr v) b_1 ≠ 0 → b_1 ≠ i → ((basis b ibc).repr ((b.repr v) b_1 • ε (b b_1))) i = 0

pp: case h₁
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module R V
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : Module S W
inst✝ : IsScalarTower R S W
ι : Type u_5
ε : V →ₗ[R] W
b : Module.Basis ι R V
ibc : IsBaseChange S ε
v : V
i : ι
⊢ (b.repr v) i = 0 → ((basis b ibc).repr (0 • ε (b i))) i = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case h₀
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module R V
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : Module S W
inst✝ : IsScalarTower R S W
ι : Type u_5
ε : V →ₗ[R] W
b : Module.Basis ι R V
ibc : IsBaseChange S ε
v : V
i : ι
⊢ ∀ (b_1 : ι), (b.repr v) b_1 ≠ 0 → b_1 ≠ i → ((basis b ibc).repr ((b.repr v) b_1 • ε (b b_1))) i = 0
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeFree

Goal state before:
pp: case h₁
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module R V
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : Module S W
inst✝ : IsScalarTower R S W
ι : Type u_5
ε : V →ₗ[R] W
b : Module.Basis ι R V
ibc : IsBaseChange S ε
v : V
i : ι
⊢ (b.repr v) i = 0 → ((basis b ibc).repr (0 • ε (b i))) i = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module R V
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : Module S W
inst✝ : IsScalarTower R S W
ι : Type u_5
ε : V →ₗ[R] W
b : Module.Basis ι R V
ibc : IsBaseChange S ε
v : V
i : ι
⊢ (b.repr v) i = 0 → ((basis b ibc).repr (0 • ε (b i))) i = 0
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeFree

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
V : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module R V
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra A R
inst✝¹ : Module A V
inst✝ : IsScalarTower A R V
ι : Type u_4
b : Module.Basis ι R V
j : R ⊗[A] (ι →₀ A) ≃ₗ[R] ι →₀ R := finsuppScalarRight A R R ι
⊢ R ⊗[A] (ι →₀ A) ≃ₗ[R] V

pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
V : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module R V
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra A R
inst✝¹ : Module A V
inst✝ : IsScalarTower A R V
ι : Type u_4
b : Module.Basis ι R V
j : R ⊗[A] (ι →₀ A) ≃ₗ[R] ι →₀ R := finsuppScalarRight A R R ι
⊢ ∀ (x : ι →₀ A), ?refine_1 (1 ⊗ₜ[A] x) = (Finsupp.linearCombination A ⇑b) x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
V : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module R V
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra A R
inst✝¹ : Module A V
inst✝ : IsScalarTower A R V
ι : Type u_4
b : Module.Basis ι R V
j : R ⊗[A] (ι →₀ A) ≃ₗ[R] ι →₀ R := finsuppScalarRight A R R ι
⊢ R ⊗[A] (ι →₀ A) ≃ₗ[R] V
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeFree

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
V : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module R V
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra A R
inst✝¹ : Module A V
inst✝ : IsScalarTower A R V
ι : Type u_4
b : Module.Basis ι R V
j : R ⊗[A] (ι →₀ A) ≃ₗ[R] ι →₀ R := finsuppScalarRight A R R ι
⊢ ∀ (x : ι →₀ A),
    (LinearEquiv.ofBijective (Finsupp.linearCombination R ⇑b ∘ₗ ↑j) ⋯) (1 ⊗ₜ[A] x) = (Finsupp.linearCombination A ⇑b) x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
V : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module R V
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : Algebra A R
inst✝¹ : Module A V
inst✝ : IsScalarTower A R V
ι : Type u_4
b : Module.Basis ι R V
j : R ⊗[A] (ι →₀ A) ≃ₗ[R] ι →₀ R := finsuppScalarRight A R R ι
⊢ ∀ (x : ι →₀ A),
    (LinearEquiv.ofBijective (Finsupp.linearCombination R ⇑b ∘ₗ ↑j) ⋯) (1 ⊗ₜ[A] x) = (Finsupp.linearCombination A ⇑b) x
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeFree

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
V : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommMonoid V
inst✝⁵ : Module R V
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring A
inst✝³ : Algebra A R
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower A R V
ι : Type u_4
b : Module.Basis ι R V
inst✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι
j : R ⊗[A] (ι → A) ≃ₗ[R] ι → R := piScalarRight A R R ι
⊢ R ⊗[A] (ι → A) ≃ₗ[R] V

pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
V : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommMonoid V
inst✝⁵ : Module R V
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring A
inst✝³ : Algebra A R
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower A R V
ι : Type u_4
b : Module.Basis ι R V
inst✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι
j : R ⊗[A] (ι → A) ≃ₗ[R] ι → R := piScalarRight A R R ι
⊢ ∀ (x : ι → A), ?refine_1 (1 ⊗ₜ[A] x) = (Fintype.linearCombination A ⇑b) x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
V : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommMonoid V
inst✝⁵ : Module R V
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring A
inst✝³ : Algebra A R
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower A R V
ι : Type u_4
b : Module.Basis ι R V
inst✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι
j : R ⊗[A] (ι → A) ≃ₗ[R] ι → R := piScalarRight A R R ι
⊢ R ⊗[A] (ι → A) ≃ₗ[R] V
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeFree

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
V : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommMonoid V
inst✝⁵ : Module R V
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring A
inst✝³ : Algebra A R
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower A R V
ι : Type u_4
b : Module.Basis ι R V
inst✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι
j : R ⊗[A] (ι → A) ≃ₗ[R] ι → R := piScalarRight A R R ι
⊢ ∀ (x : ι → A),
    (LinearEquiv.ofBijective (Fintype.linearCombination R ⇑b ∘ₗ ↑j) ⋯) (1 ⊗ₜ[A] x) = (Fintype.linearCombination A ⇑b) x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
V : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommMonoid V
inst✝⁵ : Module R V
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring A
inst✝³ : Algebra A R
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower A R V
ι : Type u_4
b : Module.Basis ι R V
inst✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι
j : R ⊗[A] (ι → A) ≃ₗ[R] ι → R := piScalarRight A R R ι
⊢ ∀ (x : ι → A),
    (LinearEquiv.ofBijective (Fintype.linearCombination R ⇑b ∘ₗ ↑j) ⋯) (1 ⊗ₜ[A] x) = (Fintype.linearCombination A ⇑b) x