mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Probability.BrownianMotion.Basic

Goal state before:
pp: case refine_3.hZ
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
X : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
law : ∀ (t : ℝ≥0), HasLaw (X t) (gaussianReal 0 t) P
incr : HasIndepIncrements X P
h0 : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂P, X 0 ω = 0
s t : ℝ≥0
hst : s ≤ t
h1 : X s ⟂ᵢ[P] X t - X s
this : IsProbabilityMeasure P
h2 : X t = X t - X s + X s
⊢ MemLp (X s) 2 P

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3.hZ
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
X : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
law : ∀ (t : ℝ≥0), HasLaw (X t) (gaussianReal 0 t) P
incr : HasIndepIncrements X P
h0 : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂P, X 0 ω = 0
s t : ℝ≥0
hst : s ≤ t
h1 : X s ⟂ᵢ[P] X t - X s
this : IsProbabilityMeasure P
h2 : X t = X t - X s + X s
⊢ MemLp (X s) 2 P
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CondCDF

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
x : ℚ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a ↦ (preCDF ρ x a).toReal) ρ.fst

pp: case refine_2
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
x : ℚ
t : Set α
x✝¹ : MeasurableSet t
x✝ : ρ.fst t ≠ ∞
⊢ ∫⁻ (x_1 : α) in t, ‖(preCDF ρ x x_1).toReal‖ₑ ∂ρ.fst ≤ ρ.fst univ

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
x : ℚ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a ↦ (preCDF ρ x a).toReal) ρ.fst
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
⊢ Tendsto (fun i ↦ ∫ (a_1 : β), f (a, a_1) (seq i) ∂ν a) atTop (𝓝 (∫ (a : β), 1 ∂ν a))

pp: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
⊢ ∀ᵐ (a_1 : β) ∂ν a, Monotone fun i ↦ f (a, a_1) (seq i)

pp: case refine_4
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
⊢ ∀ᵐ (a_1 : β) ∂ν a, ∀ (i : ℕ), f (a, a_1) (seq i) ≤ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
⊢ Tendsto (fun i ↦ ∫ (a_1 : β), f (a, a_1) (seq i) ∂ν a) atTop (𝓝 (∫ (a : β), 1 ∂ν a))
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CondCDF

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
x : ℚ
t : Set α
x✝¹ : MeasurableSet t
x✝ : ρ.fst t ≠ ∞
⊢ ∫⁻ (x_1 : α) in t, ‖(preCDF ρ x x_1).toReal‖ₑ ∂ρ.fst ≤ ρ.fst univ

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
x : ℚ
t : Set α
x✝¹ : MeasurableSet t
x✝ : ρ.fst t ≠ ∞
⊢ ∫⁻ (x_1 : α) in t, ‖(preCDF ρ x x_1).toReal‖ₑ ∂ρ.fst ≤ ρ.fst univ
Module: Mathlib.Probability.BrownianMotion.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
t : ℝ≥0
⊢ HasLaw ((-B) t) (gaussianReal 0 t) P

pp: case refine_2
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
n : ℕ
t : Fin (n + 1) → ℝ≥0
ht : Monotone t
⊢ iIndepFun (fun i ω ↦ (-B) (t i.succ) ω - (-B) (t i.castSucc) ω) P

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
t : ℝ≥0
⊢ HasLaw ((-B) t) (gaussianReal 0 t) P
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel

Goal state before:
pp: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
⊢ ∀ᵐ (a_1 : β) ∂ν a, Monotone fun i ↦ f (a, a_1) (seq i)

pp: case refine_4
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
⊢ ∀ᵐ (a_1 : β) ∂ν a, ∀ (i : ℕ), f (a, a_1) (seq i) ≤ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
⊢ ∀ᵐ (a_1 : β) ∂ν a, Monotone fun i ↦ f (a, a_1) (seq i)
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel

Goal state before:
pp: case refine_4
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
⊢ ∀ᵐ (a_1 : β) ∂ν a, ∀ (i : ℕ), f (a, a_1) (seq i) ≤ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_4
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
⊢ ∀ᵐ (a_1 : β) ∂ν a, ∀ (i : ℕ), f (a, a_1) (seq i) ≤ 1
Module: Mathlib.Probability.BrownianMotion.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
⊢ IsGaussianProcess (fun t ω ↦ (√↑c)⁻¹ * B (c * t) ω) P

pp: case refine_2
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
t : ℝ≥0
⊢ ∫ (x : Ω), (√↑c)⁻¹ * B (c * t) x ∂P = 0

pp: case refine_3
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
s t : ℝ≥0
hst : s ≤ t
⊢ cov[fun ω ↦ (√↑c)⁻¹ * B (c * s) ω, fun ω ↦ (√↑c)⁻¹ * B (c * t) ω; P] = ↑s

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
⊢ IsGaussianProcess (fun t ω ↦ (√↑c)⁻¹ * B (c * t) ω) P
Module: Mathlib.Probability.BrownianMotion.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
t : ℝ≥0
⊢ ∫ (x : Ω), (√↑c)⁻¹ * B (c * t) x ∂P = 0

pp: case refine_3
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
s t : ℝ≥0
hst : s ≤ t
⊢ cov[fun ω ↦ (√↑c)⁻¹ * B (c * s) ω, fun ω ↦ (√↑c)⁻¹ * B (c * t) ω; P] = ↑s

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
t : ℝ≥0
⊢ ∫ (x : Ω), (√↑c)⁻¹ * B (c * t) x ∂P = 0
Module: Mathlib.Probability.BrownianMotion.Basic

Goal state before:
pp: case refine_3
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
s t : ℝ≥0
hst : s ≤ t
⊢ cov[fun ω ↦ (√↑c)⁻¹ * B (c * s) ω, fun ω ↦ (√↑c)⁻¹ * B (c * t) ω; P] = ↑s

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
s t : ℝ≥0
hst : s ≤ t
⊢ cov[fun ω ↦ (√↑c)⁻¹ * B (c * s) ω, fun ω ↦ (√↑c)⁻¹ * B (c * t) ω; P] = ↑s
Module: Mathlib.Probability.Distributions.Gaussian.HasGaussianLaw.Independence

Goal state before:
pp: case refine_1
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
ι : Type u_2
inst✝¹ : Finite ι
κ : ι → Type u_4
inst✝ : ∀ (i : ι), Finite (κ i)
X : (i : ι) → κ i → Ω → ℝ
hX : HasGaussianLaw (fun ω i j ↦ X i j ω) P
h : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (k : κ i) (l : κ j), cov[X i k, X j l; P] = 0
this✝² : IsProbabilityMeasure P
this✝¹ : (fun i ω j ↦ X i j ω) = fun i ↦ ofLp ∘ toLp 2 ∘ fun ω j ↦ X i j ω
this✝ : (i : ι) → Fintype (κ i) := fun i ↦ Fintype.ofFinite (κ i)
this : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
⊢ HasGaussianLaw (fun ω i ↦ (toLp 2 ∘ fun ω j ↦ X i j ω) ω) P

pp: case refine_2
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
ι : Type u_2
inst✝¹ : Finite ι
κ : ι → Type u_4
inst✝ : ∀ (i : ι), Finite (κ i)
X : (i : ι) → κ i → Ω → ℝ
hX : HasGaussianLaw (fun ω i j ↦ X i j ω) P
h : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (k : κ i) (l : κ j), cov[X i k, X j l; P] = 0
this✝² : IsProbabilityMeasure P
this✝¹ : (fun i ω j ↦ X i j ω) = fun i ↦ ofLp ∘ toLp 2 ∘ fun ω j ↦ X i j ω
this✝ : (i : ι) → Fintype (κ i) := fun i ↦ Fintype.ofFinite (κ i)
this : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
i j : ι
hij : i ≠ j
x : WithLp 2 (κ i → ℝ)
y : WithLp 2 (κ j → ℝ)
⊢ cov[fun ω ↦ ⟪x, (toLp 2 ∘ fun ω j ↦ X i j ω) ω⟫, fun ω ↦ ⟪y, (toLp 2 ∘ fun ω j_1 ↦ X j j_1 ω) ω⟫; P] = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
ι : Type u_2
inst✝¹ : Finite ι
κ : ι → Type u_4
inst✝ : ∀ (i : ι), Finite (κ i)
X : (i : ι) → κ i → Ω → ℝ
hX : HasGaussianLaw (fun ω i j ↦ X i j ω) P
h : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (k : κ i) (l : κ j), cov[X i k, X j l; P] = 0
this✝² : IsProbabilityMeasure P
this✝¹ : (fun i ω j ↦ X i j ω) = fun i ↦ ofLp ∘ toLp 2 ∘ fun ω j ↦ X i j ω
this✝ : (i : ι) → Fintype (κ i) := fun i ↦ Fintype.ofFinite (κ i)
this : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
⊢ HasGaussianLaw (fun ω i ↦ (toLp 2 ∘ fun ω j ↦ X i j ω) ω) P
Module: Mathlib.Probability.BrownianMotion.Basic

Goal state before:
pp: case refine_3
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
s t : ℝ≥0
hst : s ≤ t
⊢ (√↑c)⁻¹ * ((√↑c)⁻¹ * ↑(c * s)) = ↑s

pp: case refine_3
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
s t : ℝ≥0
hst : s ≤ t
⊢ c * s ≤ c * t

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
s t : ℝ≥0
hst : s ≤ t
⊢ (√↑c)⁻¹ * ((√↑c)⁻¹ * ↑(c * s)) = ↑s
Module: Mathlib.Probability.BrownianMotion.Basic

Goal state before:
pp: case refine_3
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
s t : ℝ≥0
hst : s ≤ t
⊢ c * s ≤ c * t

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
s t : ℝ≥0
hst : s ≤ t
⊢ c * s ≤ c * t
Module: Mathlib.Probability.BrownianMotion.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
t₀ t : ℝ≥0
⊢ ∫ (x : Ω), B (t₀ + t) x - B t₀ x ∂P = 0

pp: case refine_2
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
t₀ s t : ℝ≥0
hst : s ≤ t
⊢ cov[fun ω ↦ B (t₀ + s) ω - B t₀ ω, fun ω ↦ B (t₀ + t) ω - B t₀ ω; P] = ↑s

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
t₀ t : ℝ≥0
⊢ ∫ (x : Ω), B (t₀ + t) x - B t₀ x ∂P = 0
Module: Mathlib.Probability.BrownianMotion.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
t₀ s t : ℝ≥0
hst : s ≤ t
⊢ cov[fun ω ↦ B (t₀ + s) ω - B t₀ ω, fun ω ↦ B (t₀ + t) ω - B t₀ ω; P] = ↑s

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
B : ℝ≥0 → Ω → ℝ
P : Measure Ω
hB : IsPreBrownianReal B P
t₀ s t : ℝ≥0
hst : s ≤ t
⊢ cov[fun ω ↦ B (t₀ + s) ω - B t₀ ω, fun ω ↦ B (t₀ + t) ω - B t₀ ω; P] = ↑s
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r ↦ f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ ⨅ r, f (a, t) ↑r ≤ 1

pp: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r ↦ f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ 0 ≤ ⨅ r, f (a, t) ↑r

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r ↦ f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ ⨅ r, f (a, t) ↑r ≤ 1
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r ↦ f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ BddBelow (range fun r ↦ f (a, t) ↑r)

pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r ↦ f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ ↑(Ioi q)

pp: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r ↦ f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ f (a, t) ↑?refine_2 ≤ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r ↦ f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ BddBelow (range fun r ↦ f (a, t) ↑r)
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r ↦ f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ ↑(Ioi q)

pp: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r ↦ f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ f (a, t) ↑?refine_2 ≤ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r ↦ f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ ↑(Ioi q)
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel

Goal state before:
pp: case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r ↦ f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ f (a, t) ↑⟨q + 1, ⋯⟩ ≤ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r ↦ f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ f (a, t) ↑⟨q + 1, ⋯⟩ ≤ 1
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r ↦ f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ 0 ≤ ⨅ r, f (a, t) ↑r

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r ↦ f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ 0 ≤ ⨅ r, f (a, t) ↑r
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel

Goal state before:
pp: α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
⊢ ρ (⋂ i, s ×ˢ Iic ↑↑i) = ρ (s ×ˢ Iic ↑t)

pp: case hs
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
⊢ Monotone fun r ↦ s ×ˢ Iic ↑↑r

pp: case hsm
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
⊢ ∀ (i : { r' // t < r' }), NullMeasurableSet (s ×ˢ Iic ↑↑i) ρ

pp: case hfin
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
⊢ ∃ i, ρ (s ×ˢ Iic ↑↑i) ≠ ∞

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
⊢ ρ (⋂ i, s ×ˢ Iic ↑↑i) = ρ (s ×ˢ Iic ↑t)
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel

Goal state before:
pp: case e_6.e_a.refine_1
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
x : ℝ
h : ∀ (a : ℚ), t < a → x ≤ ↑a
⊢ x ≤ ↑t

pp: case e_6.e_a.refine_2
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
x : ℝ
h : x ≤ ↑t
a : ℚ
hta : t < a
⊢ ↑t ≤ ↑a

Tactic:
·

Goal state after:
case e_6.e_a.refine_1
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
x : ℝ
h : ∀ (a : ℚ), t < a → x ≤ ↑a
⊢ x ≤ ↑t
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel

Goal state before:
pp: case e_6.e_a.refine_2
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
x : ℝ
h : x ≤ ↑t
a : ℚ
hta : t < a
⊢ ↑t ≤ ↑a

Tactic:
·

Goal state after:
case e_6.e_a.refine_2
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
x : ℝ
h : x ≤ ↑t
a : ℚ
hta : t < a
⊢ ↑t ≤ ↑a
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel

Goal state before:
pp: case hs
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
⊢ Monotone fun r ↦ s ×ˢ Iic ↑↑r

pp: case hsm
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
⊢ ∀ (i : { r' // t < r' }), NullMeasurableSet (s ×ˢ Iic ↑↑i) ρ

pp: case hfin
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
⊢ ∃ i, ρ (s ×ˢ Iic ↑↑i) ≠ ∞

Tactic:
·

Goal state after:
case hs
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
⊢ Monotone fun r ↦ s ×ˢ Iic ↑↑r
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel

Goal state before:
pp: case hsm
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
⊢ ∀ (i : { r' // t < r' }), NullMeasurableSet (s ×ˢ Iic ↑↑i) ρ

pp: case hfin
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
⊢ ∃ i, ρ (s ×ˢ Iic ↑↑i) ≠ ∞

Tactic:
·

Goal state after:
case hsm
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
⊢ ∀ (i : { r' // t < r' }), NullMeasurableSet (s ×ˢ Iic ↑↑i) ρ
Module: Mathlib.Probability.CentralLimitTheorem

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
X : ℕ → Ω → ℝ
hindep : iIndepFun X P
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) P P
n : ℕ
t : ℝ
mX : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (X n) P
⊢ (∏ i ∈ Finset.range n, charFun (Measure.map (X i) P)) ((√↑n)⁻¹ * t) = charFun (Measure.map (X 0) P) ((√↑n)⁻¹ * t) ^ n

pp: case hf
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
X : ℕ → Ω → ℝ
hindep : iIndepFun X P
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) P P
n : ℕ
t : ℝ
mX : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (X n) P
⊢ AEMeasurable (fun ω ↦ ∑ k ∈ Finset.range n, X k ω) P

Tactic:
·

Goal state after:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
X : ℕ → Ω → ℝ
hindep : iIndepFun X P
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) P P
n : ℕ
t : ℝ
mX : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (X n) P
⊢ (∏ i ∈ Finset.range n, charFun (Measure.map (X i) P)) ((√↑n)⁻¹ * t) = charFun (Measure.map (X 0) P) ((√↑n)⁻¹ * t) ^ n
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel

Goal state before:
pp: case hfin
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
⊢ ∃ i, ρ (s ×ˢ Iic ↑↑i) ≠ ∞

Tactic:
·

Goal state after:
case hfin
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ
⊢ ∃ i, ρ (s ×ˢ Iic ↑↑i) ≠ ∞