mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Group.ModEq

Goal state before:
pp: case mp.refine_2
G : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup G
p a b : G
n : ℕ
hn : n ≠ 0
k : ℤ
hk : a - b = k • p
⊢ a - b = (k / ↑n * ↑n + k % ↑n) • p

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.refine_2
G : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup G
p a b : G
n : ℕ
hn : n ≠ 0
k : ℤ
hk : a - b = k • p
⊢ a - b = (k / ↑n * ↑n + k % ↑n) • p
Module: Mathlib.Algebra.Group.ModEq

Goal state before:
pp: case mpr
G : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup G
p a b : G
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (∃ i, i < n ∧ ∃ m, a - b = (m * ↑n + ↑i) • p) → ∃ m, a - b = m • p

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
G : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup G
p a b : G
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (∃ i, i < n ∧ ∃ m, a - b = (m * ↑n + ↑i) • p) → ∃ m, a - b = m • p
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
n : ℕ
IH : ∑ n_1, (-1) ^ ↑n_1 = if Even n then 0 else 1
h : Even n
⊢ 0 + (-1) ^ n = 1

pp: case neg
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
n : ℕ
IH : ∑ n_1, (-1) ^ ↑n_1 = if Even n then 0 else 1
h : ¬Even n
⊢ 1 + (-1) ^ n = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
n : ℕ
IH : ∑ n_1, (-1) ^ ↑n_1 = if Even n then 0 else 1
h : Even n
⊢ 0 + (-1) ^ n = 1
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
n : ℕ
IH : ∑ n_1, (-1) ^ ↑n_1 = if Even n then 0 else 1
h : ¬Even n
⊢ 1 + (-1) ^ n = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
n : ℕ
IH : ∑ n_1, (-1) ^ ↑n_1 = if Even n then 0 else 1
h : ¬Even n
⊢ 1 + (-1) ^ n = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
G : Type u_6
hG : Group G
inst✝³ : MulAction G R
inst✝² : SMul G M
inst✝¹ : IsScalarTower G R M
inst✝ : SMulCommClass G R M
v : ι → M
hv :
  ∀ (s : Finset ι) (f g : ι → R), (∀ i ∉ s, f i = g i) → ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ s, g i • v i → ∀ (i : ι), f i = g i
w : ι → G
s : Finset ι
g₁ g₂ : ι → R
hgs : ∀ i ∉ s, g₁ i = g₂ i
hsum : ∑ i ∈ s, g₁ i • (w • v) i = ∑ i ∈ s, g₂ i • (w • v) i
i✝ i : ι
hi : i ∉ s
⊢ w i • g₁ i = w i • g₂ i

pp: case refine_2
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
G : Type u_6
hG : Group G
inst✝³ : MulAction G R
inst✝² : SMul G M
inst✝¹ : IsScalarTower G R M
inst✝ : SMulCommClass G R M
v : ι → M
hv :
  ∀ (s : Finset ι) (f g : ι → R), (∀ i ∉ s, f i = g i) → ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ s, g i • v i → ∀ (i : ι), f i = g i
w : ι → G
s : Finset ι
g₁ g₂ : ι → R
hgs : ∀ i ∉ s, g₁ i = g₂ i
hsum : ∑ i ∈ s, g₁ i • (w • v) i = ∑ i ∈ s, g₂ i • (w • v) i
i : ι
⊢ ∑ i ∈ s, (w i • g₁ i) • v i = ∑ i ∈ s, (w i • g₂ i) • v i

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
G : Type u_6
hG : Group G
inst✝³ : MulAction G R
inst✝² : SMul G M
inst✝¹ : IsScalarTower G R M
inst✝ : SMulCommClass G R M
v : ι → M
hv :
  ∀ (s : Finset ι) (f g : ι → R), (∀ i ∉ s, f i = g i) → ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ s, g i • v i → ∀ (i : ι), f i = g i
w : ι → G
s : Finset ι
g₁ g₂ : ι → R
hgs : ∀ i ∉ s, g₁ i = g₂ i
hsum : ∑ i ∈ s, g₁ i • (w • v) i = ∑ i ∈ s, g₂ i • (w • v) i
i✝ i : ι
hi : i ∉ s
⊢ w i • g₁ i = w i • g₂ i
Module: Mathlib.Data.Nat.GCD.Basic

Goal state before:
pp: case inl
b c : ℕ
⊢ (0 ^ c - 1) % (0 ^ b - 1) = 0 ^ (c % b) - 1

pp: case inr
a b c : ℕ
ha0 : a > 0
⊢ (a ^ c - 1) % (a ^ b - 1) = a ^ (c % b) - 1

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
b c : ℕ
⊢ (0 ^ c - 1) % (0 ^ b - 1) = 0 ^ (c % b) - 1
Module: Mathlib.Data.Nat.GCD.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inl
b c : ℕ
ha0 : succ 0 > 0
⊢ (succ 0 ^ c - 1) % (succ 0 ^ b - 1) = succ 0 ^ (c % b) - 1

pp: case inr.inr
a b c : ℕ
ha0 : a > 0
ha1 : succ 0 < a
⊢ (a ^ c - 1) % (a ^ b - 1) = a ^ (c % b) - 1

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
b c : ℕ
ha0 : succ 0 > 0
⊢ (succ 0 ^ c - 1) % (succ 0 ^ b - 1) = succ 0 ^ (c % b) - 1
Module: Mathlib.Data.Nat.GCD.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr.inl
a c : ℕ
ha0 : a > 0
ha1 : succ 0 < a
⊢ (a ^ c - 1) % (a ^ 0 - 1) = a ^ (c % 0) - 1

pp: case inr.inr.inr
a b c : ℕ
ha0 : a > 0
ha1 : succ 0 < a
hb0 : b > 0
⊢ (a ^ c - 1) % (a ^ b - 1) = a ^ (c % b) - 1

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr.inl
a c : ℕ
ha0 : a > 0
ha1 : succ 0 < a
⊢ (a ^ c - 1) % (a ^ 0 - 1) = a ^ (c % 0) - 1
Module: Mathlib.Data.Nat.GCD.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr.inl
a b c : ℕ
ha0 : a > 0
ha1 : succ 0 < a
hb0 : b > 0
h : c < b
⊢ (a ^ c - 1) % (a ^ b - 1) = a ^ (c % b) - 1

pp: case inr.inr.inr.inr
a b c : ℕ
ha0 : a > 0
ha1 : succ 0 < a
hb0 : b > 0
h : b ≤ c
⊢ (a ^ c - 1) % (a ^ b - 1) = a ^ (c % b) - 1

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr.inr.inl
a b c : ℕ
ha0 : a > 0
ha1 : succ 0 < a
hb0 : b > 0
h : c < b
⊢ (a ^ c - 1) % (a ^ b - 1) = a ^ (c % b) - 1
Module: Mathlib.Data.Nat.GCD.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr.inr
a b c : ℕ
ha0 : a > 0
ha1 : succ 0 < a
hb0 : b > 0
h : b ≤ c
⊢ (a ^ c - 1) % (a ^ b - 1) = a ^ (c % b) - 1

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr.inr.inr
a b c : ℕ
ha0 : a > 0
ha1 : succ 0 < a
hb0 : b > 0
h : b ≤ c
⊢ (a ^ c - 1) % (a ^ b - 1) = a ^ (c % b) - 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
G : Type u_6
hG : Group G
inst✝³ : MulAction G R
inst✝² : SMul G M
inst✝¹ : IsScalarTower G R M
inst✝ : SMulCommClass G R M
v : ι → M
hv :
  ∀ (s : Finset ι) (f g : ι → R), (∀ i ∉ s, f i = g i) → ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ s, g i • v i → ∀ (i : ι), f i = g i
w : ι → G
s : Finset ι
g₁ g₂ : ι → R
hgs : ∀ i ∉ s, g₁ i = g₂ i
hsum : ∑ i ∈ s, g₁ i • (w • v) i = ∑ i ∈ s, g₂ i • (w • v) i
i : ι
⊢ ∑ i ∈ s, (w i • g₁ i) • v i = ∑ i ∈ s, (w i • g₂ i) • v i

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
G : Type u_6
hG : Group G
inst✝³ : MulAction G R
inst✝² : SMul G M
inst✝¹ : IsScalarTower G R M
inst✝ : SMulCommClass G R M
v : ι → M
hv :
  ∀ (s : Finset ι) (f g : ι → R), (∀ i ∉ s, f i = g i) → ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ s, g i • v i → ∀ (i : ι), f i = g i
w : ι → G
s : Finset ι
g₁ g₂ : ι → R
hgs : ∀ i ∉ s, g₁ i = g₂ i
hsum : ∑ i ∈ s, g₁ i • (w • v) i = ∑ i ∈ s, g₂ i • (w • v) i
i : ι
⊢ ∑ i ∈ s, (w i • g₁ i) • v i = ∑ i ∈ s, (w i • g₂ i) • v i
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case refine_1
G : Type u_3
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : Fin (n + 1) → G
a i : Fin (n + 1)
⊢ partialProd (a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g) 0 = (partialProd g ∘ a.succ.succAbove) 0

pp: case refine_2
G : Type u_3
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : Fin (n + 1) → G
a i : Fin (n + 1)
⊢ ∀ (i : Fin n),
    partialProd (a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g) i.castSucc = (partialProd g ∘ a.succ.succAbove) i.castSucc →
      partialProd (a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g) i.succ = (partialProd g ∘ a.succ.succAbove) i.succ

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
G : Type u_3
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : Fin (n + 1) → G
a i : Fin (n + 1)
⊢ partialProd (a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g) 0 = (partialProd g ∘ a.succ.succAbove) 0
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case refine_2
G : Type u_3
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : Fin (n + 1) → G
a i : Fin (n + 1)
⊢ ∀ (i : Fin n),
    partialProd (a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g) i.castSucc = (partialProd g ∘ a.succ.succAbove) i.castSucc →
      partialProd (a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g) i.succ = (partialProd g ∘ a.succ.succAbove) i.succ

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
G : Type u_3
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : Fin (n + 1) → G
a i : Fin (n + 1)
⊢ ∀ (i : Fin n),
    partialProd (a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g) i.castSucc = (partialProd g ∘ a.succ.succAbove) i.castSucc →
      partialProd (a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g) i.succ = (partialProd g ∘ a.succ.succAbove) i.succ
Module: Mathlib.Data.Nat.GCD.Basic

Goal state before:
pp: case inl
a c : ℕ
⊢ (a ^ 0 - 1).gcd (a ^ c - 1) = a ^ gcd 0 c - 1

pp: case inr
a b c : ℕ
hb : b > 0
⊢ (a ^ b - 1).gcd (a ^ c - 1) = a ^ b.gcd c - 1

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
a c : ℕ
⊢ (a ^ 0 - 1).gcd (a ^ c - 1) = a ^ gcd 0 c - 1
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case refine_2.inl
G : Type u_3
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : Fin (n + 1) → G
a i✝ : Fin (n + 1)
i : Fin n
hi : partialProd (a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g) i.castSucc = partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc)
h : ↑i < ↑a
⊢ partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc) * a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g i =
    partialProd g (a.succAbove i).castSucc * g (a.succAbove i)

pp: case refine_2.inr.inl
G : Type u_3
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : Fin (n + 1) → G
a i✝ : Fin (n + 1)
i : Fin n
hi : partialProd (a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g) i.castSucc = partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc)
h : ↑i = ↑a
⊢ partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc) * a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g i =
    partialProd g (a.succAbove i).castSucc * g (a.succAbove i)

pp: case refine_2.inr.inr
G : Type u_3
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : Fin (n + 1) → G
a i✝ : Fin (n + 1)
i : Fin n
hi : partialProd (a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g) i.castSucc = partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc)
h : ↑a < ↑i
⊢ partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc) * a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g i =
    partialProd g (a.succAbove i).castSucc * g (a.succAbove i)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.inl
G : Type u_3
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : Fin (n + 1) → G
a i✝ : Fin (n + 1)
i : Fin n
hi : partialProd (a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g) i.castSucc = partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc)
h : ↑i < ↑a
⊢ partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc) * a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g i =
    partialProd g (a.succAbove i).castSucc * g (a.succAbove i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Defs

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
s : Set ι
M : Type u_4
M' : Type u_5
V : Type u
v : ι → M
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M'
hv : LinearIndependent R v
⊢ ∀ (c : ι →₀ R), (Finsupp.linearCombination R v) c ∈ span R (range v)

pp: case refine_2
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
s : Set ι
M : Type u_4
M' : Type u_5
V : Type u
v : ι → M
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M'
hv : LinearIndependent R v
⊢ Surjective ⇑(LinearMap.codRestrict (span R (range v)) (Finsupp.linearCombination R v) ?refine_1)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
s : Set ι
M : Type u_4
M' : Type u_5
V : Type u
v : ι → M
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M'
hv : LinearIndependent R v
⊢ ∀ (c : ι →₀ R), (Finsupp.linearCombination R v) c ∈ span R (range v)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
hv :
  ∀ (s : Finset ι) (f g : ι → R), (∀ i ∉ s, f i = g i) → ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ s, g i • v i → ∀ (i : ι), f i = g i
w : ι → Rˣ
s : Finset ι
g₁ g₂ : ι → R
hgs : ∀ i ∉ s, g₁ i = g₂ i
hsum : ∑ i ∈ s, g₁ i • (w • v) i = ∑ i ∈ s, g₂ i • (w • v) i
i✝ i : ι
hi : i ∉ s
⊢ g₁ i • ↑(w i) = g₂ i • ↑(w i)

pp: case refine_2
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
hv :
  ∀ (s : Finset ι) (f g : ι → R), (∀ i ∉ s, f i = g i) → ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ s, g i • v i → ∀ (i : ι), f i = g i
w : ι → Rˣ
s : Finset ι
g₁ g₂ : ι → R
hgs : ∀ i ∉ s, g₁ i = g₂ i
hsum : ∑ i ∈ s, g₁ i • (w • v) i = ∑ i ∈ s, g₂ i • (w • v) i
i : ι
⊢ ∑ i ∈ s, (g₁ i • ↑(w i)) • v i = ∑ i ∈ s, (g₂ i • ↑(w i)) • v i

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
hv :
  ∀ (s : Finset ι) (f g : ι → R), (∀ i ∉ s, f i = g i) → ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ s, g i • v i → ∀ (i : ι), f i = g i
w : ι → Rˣ
s : Finset ι
g₁ g₂ : ι → R
hgs : ∀ i ∉ s, g₁ i = g₂ i
hsum : ∑ i ∈ s, g₁ i • (w • v) i = ∑ i ∈ s, g₂ i • (w • v) i
i✝ i : ι
hi : i ∉ s
⊢ g₁ i • ↑(w i) = g₂ i • ↑(w i)
Module: Mathlib.Data.Nat.GCD.Basic

Goal state before:
pp: m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ m.gcd (n - m) = 1 ↔ m.gcd n = 1

Tactic:
gcd_sub_self_right h

Goal state after:
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ m.gcd n = 1 ↔ m.gcd n = 1
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case refine_2.inr.inl
G : Type u_3
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : Fin (n + 1) → G
a i✝ : Fin (n + 1)
i : Fin n
hi : partialProd (a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g) i.castSucc = partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc)
h : ↑i = ↑a
⊢ partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc) * a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g i =
    partialProd g (a.succAbove i).castSucc * g (a.succAbove i)

pp: case refine_2.inr.inr
G : Type u_3
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : Fin (n + 1) → G
a i✝ : Fin (n + 1)
i : Fin n
hi : partialProd (a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g) i.castSucc = partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc)
h : ↑a < ↑i
⊢ partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc) * a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g i =
    partialProd g (a.succAbove i).castSucc * g (a.succAbove i)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.inr.inl
G : Type u_3
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : Fin (n + 1) → G
a i✝ : Fin (n + 1)
i : Fin n
hi : partialProd (a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g) i.castSucc = partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc)
h : ↑i = ↑a
⊢ partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc) * a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g i =
    partialProd g (a.succAbove i).castSucc * g (a.succAbove i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
hv :
  ∀ (s : Finset ι) (f g : ι → R), (∀ i ∉ s, f i = g i) → ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ s, g i • v i → ∀ (i : ι), f i = g i
w : ι → Rˣ
s : Finset ι
g₁ g₂ : ι → R
hgs : ∀ i ∉ s, g₁ i = g₂ i
hsum : ∑ i ∈ s, g₁ i • (w • v) i = ∑ i ∈ s, g₂ i • (w • v) i
i : ι
⊢ ∑ i ∈ s, (g₁ i • ↑(w i)) • v i = ∑ i ∈ s, (g₂ i • ↑(w i)) • v i

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
hv :
  ∀ (s : Finset ι) (f g : ι → R), (∀ i ∉ s, f i = g i) → ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ s, g i • v i → ∀ (i : ι), f i = g i
w : ι → Rˣ
s : Finset ι
g₁ g₂ : ι → R
hgs : ∀ i ∉ s, g₁ i = g₂ i
hsum : ∑ i ∈ s, g₁ i • (w • v) i = ∑ i ∈ s, g₂ i • (w • v) i
i : ι
⊢ ∑ i ∈ s, (g₁ i • ↑(w i)) • v i = ∑ i ∈ s, (g₂ i • ↑(w i)) • v i
Module: Mathlib.Data.Nat.GCD.Basic

Goal state before:
pp: case inl
n m k : ℕ
hkm : m ∣ k
hkn : n ∣ m
hn : n = 0
⊢ k / m * (m / n) = k / n

pp: case inr
n m k : ℕ
hkm : m ∣ k
hkn : n ∣ m
hn : n > 0
⊢ k / m * (m / n) = k / n

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
n m k : ℕ
hkm : m ∣ k
hkn : n ∣ m
hn : n = 0
⊢ k / m * (m / n) = k / n
Module: Mathlib.Data.Nat.GCD.Basic

Goal state before:
pp: case inl
n m k : ℕ
hkm : m ∣ k
hkn : n ∣ k
c : ℕ
hmc : k / m ∣ c
hnc : k / n ∣ c
hm : m = 0
⊢ k / m.gcd n ∣ c

pp: case inr
n m k : ℕ
hkm : m ∣ k
hkn : n ∣ k
c : ℕ
hmc : k / m ∣ c
hnc : k / n ∣ c
hm : m > 0
⊢ k / m.gcd n ∣ c

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
n m k : ℕ
hkm : m ∣ k
hkn : n ∣ k
c : ℕ
hmc : k / m ∣ c
hnc : k / n ∣ c
hm : m = 0
⊢ k / m.gcd n ∣ c
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case refine_2.inr.inr
G : Type u_3
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : Fin (n + 1) → G
a i✝ : Fin (n + 1)
i : Fin n
hi : partialProd (a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g) i.castSucc = partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc)
h : ↑a < ↑i
⊢ partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc) * a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g i =
    partialProd g (a.succAbove i).castSucc * g (a.succAbove i)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.inr.inr
G : Type u_3
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : Fin (n + 1) → G
a i✝ : Fin (n + 1)
i : Fin n
hi : partialProd (a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g) i.castSucc = partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc)
h : ↑a < ↑i
⊢ partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc) * a.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g i =
    partialProd g (a.succAbove i).castSucc * g (a.succAbove i)
Module: Mathlib.Data.Nat.GCD.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inl
n m k : ℕ
hkm : m ∣ k
hkn : n ∣ k
c : ℕ
hmc : k / m ∣ c
hnc : k / n ∣ c
hm : m > 0
hn : n = 0
⊢ k / m.gcd n ∣ c

pp: case inr.inr
n m k : ℕ
hkm : m ∣ k
hkn : n ∣ k
c : ℕ
hmc : k / m ∣ c
hnc : k / n ∣ c
hm : m > 0
hn : n > 0
⊢ k / m.gcd n ∣ c

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
n m k : ℕ
hkm : m ∣ k
hkn : n ∣ k
c : ℕ
hmc : k / m ∣ c
hnc : k / n ∣ c
hm : m > 0
hn : n = 0
⊢ k / m.gcd n ∣ c
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u'
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
li : LinearIndependent R v
c d : R
i j : ι
hc : c ≠ 0
h : c • v i = d • v j
h_single_eq : Finsupp.single i c = Finsupp.single j d
H : i = j
right✝ : c = d
⊢ i = j

pp: case inr
ι : Type u'
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
li : LinearIndependent R v
c d : R
i j : ι
hc✝ : c ≠ 0
h : c • v i = d • v j
h_single_eq : Finsupp.single i c = Finsupp.single j d
hc : c = 0
right✝ : d = 0
⊢ i = j

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type u'
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
li : LinearIndependent R v
c d : R
i j : ι
hc : c ≠ 0
h : c • v i = d • v j
h_single_eq : Finsupp.single i c = Finsupp.single j d
H : i = j
right✝ : c = d
⊢ i = j
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: case mp
a b n : ℕ
⊢ a ≡ b [PMOD n] → a ≡ b [MOD n]

pp: case mpr
a b n : ℕ
⊢ a ≡ b [MOD n] → a ≡ b [PMOD n]

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
a b n : ℕ
⊢ a ≡ b [PMOD n] → a ≡ b [MOD n]
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: case mpr
a b n : ℕ
⊢ a ≡ b [MOD n] → a ≡ b [PMOD n]

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
a b n : ℕ
⊢ a ≡ b [MOD n] → a ≡ b [PMOD n]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u'
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
li : LinearIndependent R v
c d : R
i j : ι
hc✝ : c ≠ 0
h : c • v i = d • v j
h_single_eq : Finsupp.single i c = Finsupp.single j d
hc : c = 0
right✝ : d = 0
⊢ i = j

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type u'
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
li : LinearIndependent R v
c d : R
i j : ι
hc✝ : c ≠ 0
h : c • v i = d • v j
h_single_eq : Finsupp.single i c = Finsupp.single j d
hc : c = 0
right✝ : d = 0
⊢ i = j
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: case inl
n a b : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
h0 : a ≤ b
⊢ n ∣ b - a

pp: case inr
n a b : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
h0 : b ≤ a
⊢ n ∣ b - a

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
n a b : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
h0 : a ≤ b
⊢ n ∣ b - a
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case inl
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
⊢ (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ =
    j.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g k

pp: case inr.inl
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ =
    j.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g k

pp: case inr.inr
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑j < ↑k
⊢ (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ =
    j.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g k

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
⊢ (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ =
    j.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g k
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: case inr
n a b : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
h0 : b ≤ a
⊢ n ∣ b - a

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
n a b : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
h0 : b ≤ a
⊢ n ∣ b - a
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: case inr
n a b : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
h0 : b ≤ a
⊢ n ∣ b - a

Tactic:
Nat.sub_eq_zero_of_le h0

Goal state after:
case inr
n a b : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
h0 : b ≤ a
⊢ n ∣ 0
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
⊢ k.castSucc < j

pp: case inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
⊢ k.castSucc.castSucc < j.succ

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
⊢ k.castSucc < j
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
⊢ k.castSucc.castSucc < j.succ

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
⊢ k.castSucc.castSucc < j.succ
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case inr.inl
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ =
    j.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g k

pp: case inr.inr
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑j < ↑k
⊢ (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ =
    j.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g k

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ =
    j.contractNth (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) g k
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b c d : ℕ
h₁ : a ≡ b [MOD n]
h₂ : c ≡ d [MOD n]
⊢ ↑n ∣ ↑b + ↑d - (↑a + ↑c)

Tactic:
add_sub_add_comm

Goal state after:
n a b c d : ℕ
h₁ : a ≡ b [MOD n]
h₂ : c ≡ d [MOD n]
⊢ ↑n ∣ ↑b - ↑a + (↑d - ↑c)
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case inr.inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ j ≤ k.castSucc

pp: case inr.inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ k.castSucc.castSucc < j.succ

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ j ≤ k.castSucc
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b c d : ℕ
h₁ : ↑n ∣ ↑b - ↑a
h₂ : ↑n ∣ ↑b + ↑d - (↑a + ↑c)
⊢ ↑n ∣ ↑d - ↑c

Tactic:
add_sub_add_comm

Goal state after:
n a b c d : ℕ
h₁ : ↑n ∣ ↑b - ↑a
h₂ : ↑n ∣ ↑b - ↑a + (↑d - ↑c)
⊢ ↑n ∣ ↑d - ↑c
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case inr.inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ k.castSucc.castSucc < j.succ

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ k.castSucc.castSucc < j.succ
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b c d : ℕ
h₁ : ↑n ∣ ↑b - ↑a
h₂ : ↑n ∣ ↑b - ↑a + (↑d - ↑c)
⊢ ↑d - ↑c = ↑b - ↑a + (↑d - ↑c) - (↑b - ↑a)

Tactic:
add_sub_cancel_left

Goal state after:
n a b c d : ℕ
h₁ : ↑n ∣ ↑b - ↑a
h₂ : ↑n ∣ ↑b - ↑a + (↑d - ↑c)
⊢ ↑d - ↑c = ↑d - ↑c