mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.GrowsPolynomially

Goal state before:
pp: case h₂
f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ :
  ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop,
    ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x ↦ |f x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x ↦ |f x|) x) (c₂ * (fun x ↦ |f x|) x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
hc₄_mem : c₄ > 0
hg✝ :
  ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop,
    ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x ↦ |g x|) u ∈ Set.Icc (c₃ * (fun x ↦ |g x|) x) (c₄ * (fun x ↦ |g x|) x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, |f u| ∈ Set.Icc (c₁ * |f x|) (c₂ * |f x|)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, |g u| ∈ Set.Icc (c₃ * |g x|) (c₄ * |g x|)
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
⊢ |g u| ≤ c₄ * |g x|

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂
f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ :
  ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop,
    ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x ↦ |f x|) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x ↦ |f x|) x) (c₂ * (fun x ↦ |f x|) x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
hc₄_mem : c₄ > 0
hg✝ :
  ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop,
    ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x ↦ |g x|) u ∈ Set.Icc (c₃ * (fun x ↦ |g x|) x) (c₄ * (fun x ↦ |g x|) x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, |f u| ∈ Set.Icc (c₁ * |f x|) (c₂ * |f x|)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, |g u| ∈ Set.Icc (c₃ * |g x|) (c₄ * |g x|)
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
⊢ |g u| ≤ c₄ * |g x|
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.AkraBazzi

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, 0 ≤ T n

pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, 0 < (1 - ε ↑n) * asympBound g a b n

pp: case refine_3
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n₀ : ℕ) in atTop,
    ∃ C₀,
      ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
        ∀ C ≥ C₀,
          (∀ m ∈ Ico n₀ n, T m ≤ C * ((1 - ε ↑m) * asympBound g a b m)) → T n ≤ C * ((1 - ε ↑n) * asympBound g a b n)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, 0 ≤ T n
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.AkraBazzi

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, 0 < (1 - ε ↑n) * asympBound g a b n

pp: case refine_3
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n₀ : ℕ) in atTop,
    ∃ C₀,
      ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
        ∀ C ≥ C₀,
          (∀ m ∈ Ico n₀ n, T m ≤ C * ((1 - ε ↑m) * asympBound g a b m)) → T n ≤ C * ((1 - ε ↑n) * asympBound g a b n)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, 0 < (1 - ε ↑n) * asympBound g a b n
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, g u ≤ c₂ * g ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, g u ≤ c₂ * g ↑n
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g ↑n
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
⊢ u ≤ n

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.GrowsPolynomially

Goal state before:
pp: f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg' : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
⊢ (∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y) →
    0 ≤ x → ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u + g u ∈ Set.Icc (min c₁ c₃ * (f x + g x)) (max c₂ c₄ * (f x + g x))

Tactic:
hg'

Goal state after:
f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
⊢ 0 ≤ x → ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u + g u ∈ Set.Icc (min c₁ c₃ * (f x + g x)) (max c₂ c₄ * (f x + g x))
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.GrowsPolynomially

Goal state before:
pp: case hbc
f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
hbx : b * x ≤ x
fx_nonneg : 0 ≤ f x
gx_nonneg : 0 ≤ g x
⊢ min c₁ c₃ ≤ c₁

pp: case hbc
f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
hbx : b * x ≤ x
fx_nonneg : 0 ≤ f x
gx_nonneg : 0 ≤ g x
⊢ min c₁ c₃ ≤ c₃

Tactic:
·

Goal state after:
case hbc
f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
hbx : b * x ≤ x
fx_nonneg : 0 ≤ f x
gx_nonneg : 0 ≤ g x
⊢ min c₁ c₃ ≤ c₁
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.GrowsPolynomially

Goal state before:
pp: case hbc
f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
hbx : b * x ≤ x
fx_nonneg : 0 ≤ f x
gx_nonneg : 0 ≤ g x
⊢ min c₁ c₃ ≤ c₃

Tactic:
·

Goal state after:
case hbc
f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
hbx : b * x ≤ x
fx_nonneg : 0 ≤ f x
gx_nonneg : 0 ≤ g x
⊢ min c₁ c₃ ≤ c₃
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.GrowsPolynomially

Goal state before:
pp: case h₁
f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
hbx : b * x ≤ x
fx_nonneg : 0 ≤ f x
gx_nonneg : 0 ≤ g x
⊢ c₁ * f x ≤ f u

pp: case h₂
f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
hbx : b * x ≤ x
fx_nonneg : 0 ≤ f x
gx_nonneg : 0 ≤ g x
⊢ c₃ * g x ≤ g u

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
hbx : b * x ≤ x
fx_nonneg : 0 ≤ f x
gx_nonneg : 0 ≤ g x
⊢ c₁ * f x ≤ f u
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.AkraBazzi

Goal state before:
pp: case ha
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := ⋯
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
bound1 : ∀ (i : α), ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
h_smoothing_pos : 0 < 1 - ε ↑n
h_sumTransform : ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
h_smoothing_gt_half : 1 / 2 < 1 - ε ↑n
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
n₀_div_le_n : ⌈↑n₀ / b'⌉₊ ≤ n
n₀_le_r : ∀ (i : α), n₀ ≤ r i n
r_le_n : ∀ (i : α), r i n < n
C : ℝ
hC : C ≥ 2 * c₁⁻¹
h_ind : ∀ m ∈ Ico n₀ n, T m ≤ C * ((1 - ε ↑m) * asympBound g a b m)
C_pos : 0 ≤ C
g_pos : 0 ≤ g ↑n
i : α
a✝ : i ∈ univ
⊢ 0 ≤ a i

pp: case hbc
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
bound1 : ∀ (i : α), ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
h_smoothing_pos : 0 < 1 - ε ↑n
h_sumTransform : ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
h_smoothing_gt_half : 1 / 2 < 1 - ε ↑n
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
n₀_div_le_n : ⌈↑n₀ / b'⌉₊ ≤ n
n₀_le_r : ∀ (i : α), n₀ ≤ r i n
r_le_n : ∀ (i : α), r i n < n
C : ℝ
hC : C ≥ 2 * c₁⁻¹
h_ind : ∀ m ∈ Ico n₀ n, T m ≤ C * ((1 - ε ↑m) * asympBound g a b m)
C_pos : 0 ≤ C
g_pos : 0 ≤ g ↑n
i : α
a✝ : i ∈ univ
⊢ T (r i n) ≤ C * ((1 - ε ↑(r i n)) * asympBound g a b (r i n))

Tactic:
·

Goal state after:
case ha
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := ⋯
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
bound1 : ∀ (i : α), ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
h_smoothing_pos : 0 < 1 - ε ↑n
h_sumTransform : ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
h_smoothing_gt_half : 1 / 2 < 1 - ε ↑n
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
n₀_div_le_n : ⌈↑n₀ / b'⌉₊ ≤ n
n₀_le_r : ∀ (i : α), n₀ ≤ r i n
r_le_n : ∀ (i : α), r i n < n
C : ℝ
hC : C ≥ 2 * c₁⁻¹
h_ind : ∀ m ∈ Ico n₀ n, T m ≤ C * ((1 - ε ↑m) * asympBound g a b m)
C_pos : 0 ≤ C
g_pos : 0 ≤ g ↑n
i : α
a✝ : i ∈ univ
⊢ 0 ≤ a i
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.GrowsPolynomially

Goal state before:
pp: case h₂
f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
hbx : b * x ≤ x
fx_nonneg : 0 ≤ f x
gx_nonneg : 0 ≤ g x
⊢ c₃ * g x ≤ g u

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂
f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
hbx : b * x ≤ x
fx_nonneg : 0 ≤ f x
gx_nonneg : 0 ≤ g x
⊢ c₃ * g x ≤ g u
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.AkraBazzi

Goal state before:
pp: case hbc
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
bound1 : ∀ (i : α), ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
h_smoothing_pos : 0 < 1 - ε ↑n
h_sumTransform : ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
h_smoothing_gt_half : 1 / 2 < 1 - ε ↑n
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
n₀_div_le_n : ⌈↑n₀ / b'⌉₊ ≤ n
n₀_le_r : ∀ (i : α), n₀ ≤ r i n
r_le_n : ∀ (i : α), r i n < n
C : ℝ
hC : C ≥ 2 * c₁⁻¹
h_ind : ∀ m ∈ Ico n₀ n, T m ≤ C * ((1 - ε ↑m) * asympBound g a b m)
C_pos : 0 ≤ C
g_pos : 0 ≤ g ↑n
i : α
a✝ : i ∈ univ
⊢ T (r i n) ≤ C * ((1 - ε ↑(r i n)) * asympBound g a b (r i n))

Tactic:
·

Goal state after:
case hbc
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
bound1 : ∀ (i : α), ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
h_smoothing_pos : 0 < 1 - ε ↑n
h_sumTransform : ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
h_smoothing_gt_half : 1 / 2 < 1 - ε ↑n
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
n₀_div_le_n : ⌈↑n₀ / b'⌉₊ ≤ n
n₀_le_r : ∀ (i : α), n₀ ≤ r i n
r_le_n : ∀ (i : α), r i n < n
C : ℝ
hC : C ≥ 2 * c₁⁻¹
h_ind : ∀ m ∈ Ico n₀ n, T m ≤ C * ((1 - ε ↑m) * asympBound g a b m)
C_pos : 0 ≤ C
g_pos : 0 ≤ g ↑n
i : α
a✝ : i ∈ univ
⊢ T (r i n) ≤ C * ((1 - ε ↑(r i n)) * asympBound g a b (r i n))
Module: Mathlib.Computability.PartrecCode

Goal state before:
pp: case refine_1
f : ℕ →. ℕ
h : Nat.Partrec f
⊢ ∃ c, c.eval = f

pp: case refine_2
f : ℕ →. ℕ
⊢ (∃ c, c.eval = f) → Nat.Partrec f

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
f : ℕ →. ℕ
h : Nat.Partrec f
⊢ ∃ c, c.eval = f
Module: Mathlib.Computability.PartrecCode

Goal state before:
pp: case refine_2
f : ℕ →. ℕ
⊢ (∃ c, c.eval = f) → Nat.Partrec f

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
f : ℕ →. ℕ
⊢ (∃ c, c.eval = f) → Nat.Partrec f
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.GrowsPolynomially

Goal state before:
pp: case hbc
f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
hbx : b * x ≤ x
fx_nonneg : 0 ≤ f x
gx_nonneg : 0 ≤ g x
⊢ c₂ ≤ max c₂ c₄

pp: case hbc
f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
hbx : b * x ≤ x
fx_nonneg : 0 ≤ f x
gx_nonneg : 0 ≤ g x
⊢ c₄ ≤ max c₂ c₄

Tactic:
·

Goal state after:
case hbc
f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
hbx : b * x ≤ x
fx_nonneg : 0 ≤ f x
gx_nonneg : 0 ≤ g x
⊢ c₂ ≤ max c₂ c₄
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.GrowsPolynomially

Goal state before:
pp: case hbc
f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
hbx : b * x ≤ x
fx_nonneg : 0 ≤ f x
gx_nonneg : 0 ≤ g x
⊢ c₄ ≤ max c₂ c₄

Tactic:
·

Goal state after:
case hbc
f g : ℝ → ℝ
hf✝¹ : GrowsPolynomially f
hg✝¹ : GrowsPolynomially g
hf'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] f
hg'✝ : 0 ≤ᶠ[atTop] g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ > 0
c₄ : ℝ
left✝ : c₄ > 0
hg✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
x : ℝ
hf : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hg : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₃ * g x) (c₄ * g x)
hf' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ f y
hg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 y ≤ g y
hx_pos : 0 ≤ x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
hbx : b * x ≤ x
fx_nonneg : 0 ≤ f x
gx_nonneg : 0 ≤ g x
⊢ c₄ ≤ max c₂ c₄