mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
h₂ : p₁ ≠ p₂
h₃ : p₁ ≠ p₃
h : 2 • ∡ p₂ p₁ p = 2 • ∡ p p₁ p₃
h' : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁ ∨ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p) = p₁
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)

pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
h₂ : p₁ ≠ p₂
h₃ : p₁ ≠ p₃
h : 2 • ∡ p₂ p₁ p = 2 • ∡ p p₁ p₃
h' : ¬(↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁ ∨ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p) = p₁)
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
h₂ : p₁ ≠ p₂
h₃ : p₁ ≠ p₃
h : 2 • ∡ p₂ p₁ p = 2 • ∡ p p₁ p₃
h' : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁ ∨ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p) = p₁
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
h₂ : p₁ ≠ p₂
h₃ : p₁ ≠ p₃
h : 2 • ∡ p₂ p₁ p = 2 • ∡ p p₁ p₃
h' : ¬(↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁ ∨ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p) = p₁)
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
h₂ : p₁ ≠ p₂
h₃ : p₁ ≠ p₃
h : 2 • ∡ p₂ p₁ p = 2 • ∡ p p₁ p₃
h' : ¬(↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁ ∨ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p) = p₁)
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
⊢ 2 • ∡ p₂ p₁ p = 2 • ∡ p p₁ p₃

pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ¬↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
⊢ 2 • ∡ p₂ p₁ p = 2 • ∡ p p₁ p₃

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
⊢ 2 • ∡ p₂ p₁ p = 2 • ∡ p p₁ p₃
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case e'_2.e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hs : ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
⊢ {p₁, p₂} = ![p₁, p₂, p₃] '' {0, 1}

pp: case e'_2.e'_4
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hs : ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
⊢ {p₁, p₃} = ![p₁, p₂, p₃] '' {0, 2}

pp: case e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hs : ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
⊢ {p₁} = ![p₁, p₂, p₃] '' ({0, 1} ∩ {0, 2})

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_2.e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hs : ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
⊢ {p₁, p₂} = ![p₁, p₂, p₃] '' {0, 1}
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case e'_2.e'_4
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hs : ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
⊢ {p₁, p₃} = ![p₁, p₂, p₃] '' {0, 2}

pp: case e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hs : ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
⊢ {p₁} = ![p₁, p₂, p₃] '' ({0, 1} ∩ {0, 2})

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_2.e'_4
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hs : ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
⊢ {p₁, p₃} = ![p₁, p₂, p₃] '' {0, 2}
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case refine_1.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
r : ℝ
hr : r • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center
hp : r - r * r = 0
⊢ p = q ∨ q = s.center

pp: case refine_1.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
r : ℝ
hr : r • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center
hp : ⟪p -ᵥ s.center, p -ᵥ s.center⟫ = 0
⊢ p = q ∨ q = s.center

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
r : ℝ
hr : r • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center
hp : r - r * r = 0
⊢ p = q ∨ q = s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hs : ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
⊢ {p₁} = ![p₁, p₂, p₃] '' ({0, 1} ∩ {0, 2})

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hs : ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
⊢ {p₁} = ![p₁, p₂, p₃] '' ({0, 1} ∩ {0, 2})
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case refine_1.inl.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
r : ℝ
hr : r • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center
hp : 1 - r = 0
⊢ p = q ∨ q = s.center

pp: case refine_1.inl.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
hr : 0 • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center
⊢ p = q ∨ q = s.center

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.inl.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
r : ℝ
hr : r • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center
hp : 1 - r = 0
⊢ p = q ∨ q = s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case refine_1.inl.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
hr : 0 • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center
⊢ p = q ∨ q = s.center

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.inl.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
hr : 0 • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center
⊢ p = q ∨ q = s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p₁ p₂ p₃ : P
h₁ : p₁ ∈ s
h₂ : p₂ ∈ s
h₃ : p₃ ∈ s
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
h₁₃ : p₁ ≠ p₃
h₂₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ Set.range ![p₁, p₂, p₃] ⊆ s

pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p₁ p₂ p₃ : P
h₁ : p₁ ∈ s
h₂ : p₂ ∈ s
h₃ : p₃ ∈ s
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
h₁₃ : p₁ ≠ p₃
h₂₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ Function.Injective ![p₁, p₂, p₃]

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p₁ p₂ p₃ : P
h₁ : p₁ ∈ s
h₂ : p₂ ∈ s
h₃ : p₃ ∈ s
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
h₁₃ : p₁ ≠ p₃
h₂₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ Set.range ![p₁, p₂, p₃] ⊆ s
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p₁ p₂ p₃ : P
h₁ : p₁ ∈ s
h₂ : p₂ ∈ s
h₃ : p₃ ∈ s
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
h₁₃ : p₁ ≠ p₃
h₂₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ Function.Injective ![p₁, p₂, p₃]

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p₁ p₂ p₃ : P
h₁ : p₁ ∈ s
h₂ : p₂ ∈ s
h₃ : p₃ ∈ s
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
h₁₃ : p₁ ≠ p₃
h₂₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ Function.Injective ![p₁, p₂, p₃]
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case refine_1.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
r : ℝ
hr : r • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center
hp : ⟪p -ᵥ s.center, p -ᵥ s.center⟫ = 0
⊢ p = q ∨ q = s.center

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
r : ℝ
hr : r • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center
hp : ⟪p -ᵥ s.center, p -ᵥ s.center⟫ = 0
⊢ p = q ∨ q = s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : p = q ∨ q = s.center
⊢ s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : p = q ∨ q = s.center
⊢ s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
⊢ s.IsTangentAt s.center as → s.radius = 0 ∧ s.center ∈ as

pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
⊢ s.radius = 0 ∧ s.center ∈ as → s.IsTangentAt s.center as

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
⊢ s.IsTangentAt s.center as → s.radius = 0 ∧ s.center ∈ as
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case e'_8
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hs : ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
hinf : line[ℝ, p₁, p₂] ⊓ line[ℝ, p₁, p₃] = affineSpan ℝ {p₁}
⊢ {p₁, p₂} ∪ {p₁, p₃} = Set.range ![p₁, p₂, p₃]

pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hs : ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
hinf : line[ℝ, p₁, p₂] ⊓ line[ℝ, p₁, p₃] = affineSpan ℝ {p₁}
⊢ Fintype.card (Fin (Nat.succ 0).succ.succ) = finrank ℝ V + 1

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_8
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hs : ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
hinf : line[ℝ, p₁, p₂] ⊓ line[ℝ, p₁, p₃] = affineSpan ℝ {p₁}
⊢ {p₁, p₂} ∪ {p₁, p₃} = Set.range ![p₁, p₂, p₃]
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
⊢ s.radius = 0 ∧ s.center ∈ as → s.IsTangentAt s.center as

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
⊢ s.radius = 0 ∧ s.center ∈ as → s.IsTangentAt s.center as
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
hr : s.radius = 0
hm : s.center ∈ as
⊢ s.center ∈ s

pp: case refine_2.refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
hr : s.radius = 0
hm : s.center ∈ as
⊢ as ≤ s.orthRadius s.center

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
hr : s.radius = 0
hm : s.center ∈ as
⊢ s.center ∈ s
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
hr : s.radius = 0
hm : s.center ∈ as
⊢ as ≤ s.orthRadius s.center

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
hr : s.radius = 0
hm : s.center ∈ as
⊢ as ≤ s.orthRadius s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
as : AffineSubspace ℝ P
h : s.IsTangentAt p as
x✝ : q ∈ s ∧ q ∈ as
hs : q ∈ s
has : q ∈ as
⊢ q = p

pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
as : AffineSubspace ℝ P
h : s.IsTangentAt p as
⊢ q = p → q ∈ s ∧ q ∈ as

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
as : AffineSubspace ℝ P
h : s.IsTangentAt p as
x✝ : q ∈ s ∧ q ∈ as
hs : q ∈ s
has : q ∈ as
⊢ q = p
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hs : ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
hinf : line[ℝ, p₁, p₂] ⊓ line[ℝ, p₁, p₃] = affineSpan ℝ {p₁}
⊢ Fintype.card (Fin (Nat.succ 0).succ.succ) = finrank ℝ V + 1

Tactic:
·

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hs : ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
hinf : line[ℝ, p₁, p₂] ⊓ line[ℝ, p₁, p₃] = affineSpan ℝ {p₁}
⊢ Fintype.card (Fin (Nat.succ 0).succ.succ) = finrank ℝ V + 1