mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic

Goal state before:
pp: case h.hg₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
hP₁ : P₁.IsRootSystem
hP₂ : P₂.IsRootSystem
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι
⊢ MapsTo (⇑(preReflection (P₁.root i) (P₁.flip.toPerfPair (P₁.coroot i)))) (range ⇑P₁.root) (range ⇑P₁.root)

Tactic:
·

Goal state after:
case h.hg₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
hP₁ : P₁.IsRootSystem
hP₂ : P₂.IsRootSystem
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι
⊢ MapsTo (⇑(preReflection (P₁.root i) (P₁.flip.toPerfPair (P₁.coroot i)))) (range ⇑P₁.root) (range ⇑P₁.root)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : P.IsReduced
h : i ≠ j → P.root i = -P.root j
h' : i ≠ j
⊢ ∃ s t, s • P.root i + t • P.root j = 0 ∧ (s = 0 → t ≠ 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : P.IsReduced
h : i ≠ j → P.root i = -P.root j
h' : i ≠ j
⊢ ∃ s t, s • P.root i + t • P.root j = 0 ∧ (s = 0 → t ≠ 0)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsAddTorsionFree M
inst✝¹ : P.IsReduced
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
j : ι
hj : P.root j = n • P.root j
⊢ False

pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsAddTorsionFree M
inst✝¹ : P.IsReduced
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
i j : ι
hj : P.root j = n • P.root i
this : P.root j = -P.root i
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsAddTorsionFree M
inst✝¹ : P.IsReduced
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
j : ι
hj : P.root j = n • P.root j
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R M
this : IsReflexive R N
aux0 : finrank R ↥(P.corootSpan R) + finrank R ↥(P.corootSpan R).dualAnnihilator = finrank R N
aux1 : finrank R ↥(P.corootSpan R) + finrank R ↥(LinearMap.ker P.RootForm) = finrank R (Dual R N)
⊢ finrank R ↥(LinearMap.ker P.RootForm) = finrank R ↥(P.corootSpan R).dualAnnihilator

Tactic:
Subspace.dual_finrank_eq

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R M
this : IsReflexive R N
aux0 : finrank R ↥(P.corootSpan R) + finrank R ↥(P.corootSpan R).dualAnnihilator = finrank R N
aux1 : finrank R ↥(P.corootSpan R) + finrank R ↥(LinearMap.ker P.RootForm) = finrank R N
⊢ finrank R ↥(LinearMap.ker P.RootForm) = finrank R ↥(P.corootSpan R).dualAnnihilator
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsAddTorsionFree M
inst✝¹ : P.IsReduced
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
i j : ι
hj : P.root j = n • P.root i
this : P.root j = -P.root i
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsAddTorsionFree M
inst✝¹ : P.IsReduced
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
i j : ι
hj : P.root j = n • P.root i
this : P.root j = -P.root i
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic

Goal state before:
pp: case hg₁
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := ⋯
β : M := ⋯
α' : N := ⋯
β' : N := ⋯
sα : End R M := ⋯
hk : root k = sα β
sβ : End R M := ⋯
sα' : End R N := ⋯
hij : preReflection (sα β) (p.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
⊢ (p.flip.toPerfPair ((preReflection α' (p α)) β')) (root k) = 2

pp: case hg₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := ⋯
β : M := ⋯
α' : N := ⋯
β' : N := ⋯
sα : End R M := ⋯
hk : root k = sα β
sβ : End R M := ⋯
sα' : End R N := ⋯
hij : preReflection (sα β) (p.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
⊢ MapsTo (⇑(preReflection (root k) (p.flip.toPerfPair ((preReflection α' (p α)) β')))) (range ⇑root) (range ⇑root)

Tactic:
·

Goal state after:
case hg₁
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := ⋯
β : M := ⋯
α' : N := ⋯
β' : N := ⋯
sα : End R M := ⋯
hk : root k = sα β
sβ : End R M := ⋯
sα' : End R N := ⋯
hij : preReflection (sα β) (p.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
⊢ (p.flip.toPerfPair ((preReflection α' (p α)) β')) (root k) = 2
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsAddTorsionFree M
inst✝ : P.IsReduced
i j : ι
h : P.root i + P.root j ∈ range ⇑P.root
hij : i = j
⊢ False

pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsAddTorsionFree M
inst✝ : P.IsReduced
i j : ι
h : P.root i + P.root j ∈ range ⇑P.root
hij : P.root i = -P.root j
⊢ 0 ∈ range ⇑P.root

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsAddTorsionFree M
inst✝ : P.IsReduced
i j : ι
h : P.root i + P.root j ∈ range ⇑P.root
hij : i = j
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic

Goal state before:
pp: case hg₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := ⋯
β : M := ⋯
α' : N := ⋯
β' : N := ⋯
sα : End R M := ⋯
hk : root k = sα β
sβ : End R M := ⋯
sα' : End R N := ⋯
hij : preReflection (sα β) (p.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
⊢ MapsTo (⇑(preReflection (root k) (p.flip.toPerfPair ((preReflection α' (p α)) β')))) (range ⇑root) (range ⇑root)

Tactic:
·

Goal state after:
case hg₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := ⋯
β : M := ⋯
α' : N := ⋯
β' : N := ⋯
sα : End R M := ⋯
hk : root k = sα β
sβ : End R M := ⋯
sα' : End R N := ⋯
hij : preReflection (sα β) (p.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
⊢ MapsTo (⇑(preReflection (root k) (p.flip.toPerfPair ((preReflection α' (p α)) β')))) (range ⇑root) (range ⇑root)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsAddTorsionFree M
inst✝ : P.IsReduced
i j : ι
h : P.root i + P.root j ∈ range ⇑P.root
hij : P.root i = -P.root j
⊢ 0 ∈ range ⇑P.root

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsAddTorsionFree M
inst✝ : P.IsReduced
i j : ι
h : P.root i + P.root j ∈ range ⇑P.root
hij : P.root i = -P.root j
⊢ 0 ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ (range fun n ↦ (⇑(Module.reflection ⋯ ≪≫ₗ Module.reflection ⋯))^[n] (P.root j)) ⊆ range ⇑P.root

pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ (P.flip (P.coroot i)) (P.root j) * (P.flip (P.coroot j)) (P.root i) = 4

pp: case refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ (P.flip (P.coroot i)) (P.root j) • P.root i ≠ 2 • P.root j

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ (range fun n ↦ (⇑(Module.reflection ⋯ ≪≫ₗ Module.reflection ⋯))^[n] (P.root j)) ⊆ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R M
this : IsReflexive R N
h : P.rootSpan R = ⊤
⊢ finrank R ↥(P.corootSpan R) = finrank R N

pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R M
this : IsReflexive R N
h : P.corootSpan R = ⊤
⊢ finrank R ↥(P.rootSpan R) = finrank R M

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R M
this : IsReflexive R N
h : P.rootSpan R = ⊤
⊢ finrank R ↥(P.corootSpan R) = finrank R N
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R M
this : IsReflexive R N
h : P.rootSpan R = ⊤
⊢ finrank R (Dual R N) = finrank R N

Tactic:
Subspace.dual_finrank_eq

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R M
this : IsReflexive R N
h : P.rootSpan R = ⊤
⊢ finrank R N = finrank R N
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R M
this : IsReflexive R N
h : P.corootSpan R = ⊤
⊢ finrank R ↥(P.rootSpan R) = finrank R M

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R M
this : IsReflexive R N
h : P.corootSpan R = ⊤
⊢ finrank R ↥(P.rootSpan R) = finrank R M
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst✝ : p.IsPerfPair
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
hk : root k = (preReflection (root i) (p.flip (coroot i))) (root j)
⊢ coroot k = (preReflection (coroot i) (p (root i))) (coroot j)

Tactic:
set α := root i
  set β := root j
  set α' := coroot i
  set β' := coroot j
  set sα := preReflection α (p.flip α')
  set sβ := preReflection β (p.flip β')
  let sα' := preReflection α' (p α)
  have hij : preReflection (sα β) (p.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα := by
    ext
    have hpi : (p.flip (coroot i)) (root i) = 2 := by simp [hp i]
    simp [α, β, α', β', sα, sβ, sα', ← preReflection_preReflection β (p.flip β') hpi,
      preReflection_apply] -- v4.7.0-rc1 issues
  apply p.flip.toPerfPair.injective
  apply Dual.eq_of_preReflection_mapsTo (finite_range root) hsp (hp k) (hs k)
  · simp [map_sub, α, β, α', β', sα, hk, preReflection_apply, hp i, hp j,
      mul_comm (p α β')]
    ring -- v4.7.0-rc1 issues
  · rw [hk, LinearMap.toLinearMap_toPerfPair, hij]
    exact (hs i).comp <| (hs j).comp (hs i)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R M
this : IsReflexive R N
h : P.corootSpan R = ⊤
⊢ finrank R N = finrank R (Dual R N)

Tactic:
Subspace.dual_finrank_eq

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R M
this : IsReflexive R N
h : P.corootSpan R = ⊤
⊢ finrank R N = finrank R N
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ (P.flip (P.coroot i)) (P.root j) * (P.flip (P.coroot j)) (P.root i) = 4

pp: case refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ (P.flip (P.coroot i)) (P.root j) • P.root i ≠ 2 • P.root j

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ (P.flip (P.coroot i)) (P.root j) * (P.flip (P.coroot j)) (P.root i) = 4
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ (P.flip (P.coroot i)) (P.root j) • P.root i ≠ 2 • P.root j

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ (P.flip (P.coroot i)) (P.root j) • P.root i ≠ 2 • P.root j
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : x = 0
⊢ ∃ n, n • x = ⁅coroot α, x⁆

pp: case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0
⊢ ∃ n, n • x = ⁅coroot α, x⁆

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : x = 0
⊢ ∃ n, n • x = ⁅coroot α, x⁆
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ (P.flip (P.coroot i)) (P.root j) • P.root i ≠ 2 • P.root j

Tactic:
rw [LinearIndependent.pair_iff] at hl
    specialize hl (P.pairing j i) (-2)
    simp only [neg_smul, neg_eq_zero, two_ne_zero (α := R), and_false, imp_false] at hl
    rw [ne_eq, coroot_root_eq_pairing, ← sub_eq_zero, sub_eq_add_neg]
    exact hl

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
this : ⁅e, x⁆ ∈ genWeightSpace L (⇑α + ⇑(chainTop (⇑α) β))
⊢ ⁅e, x⁆ = 0

Tactic:
genWeightSpace_add_chainTop α β hα

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
this : ⁅e, x⁆ ∈ ⊥
⊢ ⁅e, x⁆ = 0