mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.Constructors

Goal state before:
pp: case mp
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
this : Q.IsLocal := ⋯
⊢ P.diagonal f → targetAffineLocally Q.diagonal f

pp: case mpr
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
this : Q.IsLocal := ⋯
⊢ targetAffineLocally Q.diagonal f → P.diagonal f

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
this : Q.IsLocal := ⋯
⊢ P.diagonal f → targetAffineLocally Q.diagonal f
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.Constructors

Goal state before:
pp: case mpr
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
this : Q.IsLocal := ⋯
⊢ targetAffineLocally Q.diagonal f → P.diagonal f

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
this : Q.IsLocal := ⋯
⊢ targetAffineLocally Q.diagonal f → P.diagonal f
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.Constructors

Goal state before:
pp: case refine_1
P : MorphismProperty Scheme
inst✝² : P.HasOfPostcompProperty IsOpenImmersion
inst✝¹ : P.RespectsRight IsOpenImmersion
inst✝ : IsZariskiLocalAtSource P
g : {X Y : Scheme} → (f : X ⟶ Y) → (U : X.Opens) → pullback (U.ι ≫ f) (U.ι ≫ f) ⟶ pullback f f :=
  fun {X Y} f U ↦ pullback.map (U.ι ≫ f) (U.ι ≫ f) f f U.ι U.ι (𝟙 Y) ⋯ ⋯
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : X.Opens
hf : P.diagonal f
⊢ P.diagonal (U.ι ≫ f)

pp: case refine_2
P : MorphismProperty Scheme
inst✝² : P.HasOfPostcompProperty IsOpenImmersion
inst✝¹ : P.RespectsRight IsOpenImmersion
inst✝ : IsZariskiLocalAtSource P
g : {X Y : Scheme} → (f : X ⟶ Y) → (U : X.Opens) → pullback (U.ι ≫ f) (U.ι ≫ f) ⟶ pullback f f :=
  fun {X Y} f U ↦ pullback.map (U.ι ≫ f) (U.ι ≫ f) f f U.ι U.ι (𝟙 Y) ⋯ ⋯
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u_1
U : ι → X.Opens
hU : iSup U = ⊤
hf : ∀ (i : ι), P.diagonal ((U i).ι ≫ f)
⊢ P.diagonal f

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
P : MorphismProperty Scheme
inst✝² : P.HasOfPostcompProperty IsOpenImmersion
inst✝¹ : P.RespectsRight IsOpenImmersion
inst✝ : IsZariskiLocalAtSource P
g : {X Y : Scheme} → (f : X ⟶ Y) → (U : X.Opens) → pullback (U.ι ≫ f) (U.ι ≫ f) ⟶ pullback f f :=
  fun {X Y} f U ↦ pullback.map (U.ι ≫ f) (U.ι ≫ f) f f U.ι U.ι (𝟙 Y) ⋯ ⋯
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : X.Opens
hf : P.diagonal f
⊢ P.diagonal (U.ι ≫ f)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.Constructors

Goal state before:
pp: case refine_2
P : MorphismProperty Scheme
inst✝² : P.HasOfPostcompProperty IsOpenImmersion
inst✝¹ : P.RespectsRight IsOpenImmersion
inst✝ : IsZariskiLocalAtSource P
g : {X Y : Scheme} → (f : X ⟶ Y) → (U : X.Opens) → pullback (U.ι ≫ f) (U.ι ≫ f) ⟶ pullback f f :=
  fun {X Y} f U ↦ pullback.map (U.ι ≫ f) (U.ι ≫ f) f f U.ι U.ι (𝟙 Y) ⋯ ⋯
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u_1
U : ι → X.Opens
hU : iSup U = ⊤
hf : ∀ (i : ι), P.diagonal ((U i).ι ≫ f)
⊢ P.diagonal f

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
P : MorphismProperty Scheme
inst✝² : P.HasOfPostcompProperty IsOpenImmersion
inst✝¹ : P.RespectsRight IsOpenImmersion
inst✝ : IsZariskiLocalAtSource P
g : {X Y : Scheme} → (f : X ⟶ Y) → (U : X.Opens) → pullback (U.ι ≫ f) (U.ι ≫ f) ⟶ pullback f f :=
  fun {X Y} f U ↦ pullback.map (U.ι ≫ f) (U.ι ≫ f) f f U.ι U.ι (𝟙 Y) ⋯ ⋯
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u_1
U : ι → X.Opens
hU : iSup U = ⊤
hf : ∀ (i : ι), P.diagonal ((U i).ι ≫ f)
⊢ P.diagonal f
Module: Mathlib.RingTheory.RingHom.Locally

Goal state before:
pp: case refine_1
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hPi : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
hPl : LocalizationPreserves fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
hPc : StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
R S T : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
sf : Finset S
hsfone : Ideal.span ↑sf = ⊤
hsf : ∀ t ∈ sf, P ((algebraMap S (Localization.Away t)).comp f)
sg : Finset T
hsgone : Ideal.span ↑sg = ⊤
hsg : ∀ t ∈ sg, P ((algebraMap T (Localization.Away t)).comp g)
⊢ Ideal.span
      (Set.range fun x ↦
        match x with
        | (a, b) => g ↑a * ↑b) =
    ⊤

pp: case refine_2
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hPi : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
hPl : LocalizationPreserves fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
hPc : StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
R S T : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
sf : Finset S
hsfone : Ideal.span ↑sf = ⊤
hsf : ∀ t ∈ sf, P ((algebraMap S (Localization.Away t)).comp f)
sg : Finset T
hsgone : Ideal.span ↑sg = ⊤
hsg : ∀ t ∈ sg, P ((algebraMap T (Localization.Away t)).comp g)
⊢ ∀ (i : ↥sf × ↥sg),
    P
      ((algebraMap T
            ((fun x ↦
                match x with
                | (a, b) => Localization.Away ((algebraMap T (Localization.Away ↑b)) (g ↑a)))
              i)).comp
        (g.comp f))

Tactic:
· rw [eq_top_iff, ← hsgone, Ideal.span_le]
    intro t ht
    have : 1 ∈ Ideal.span (Set.range <| fun a : sf ↦ a.val) := by simp [hsfone]
    simp only [Ideal.mem_span_range_iff_exists_fun, SetLike.mem_coe] at this ⊢
    obtain ⟨cf, hcf⟩ := this
    let cg : sg → T := Pi.single ⟨t, ht⟩ 1
    use fun (a, b) ↦ g (cf a) * cg b
    simp [cg, Pi.single_apply, Fintype.sum_prod_type, ← mul_assoc, ← Finset.sum_mul, ← map_mul,
      ← map_sum, hcf] at hcf ⊢

Goal state after:
case refine_2
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hPi : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
hPl : LocalizationPreserves fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
hPc : StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
R S T : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
sf : Finset S
hsfone : Ideal.span ↑sf = ⊤
hsf : ∀ t ∈ sf, P ((algebraMap S (Localization.Away t)).comp f)
sg : Finset T
hsgone : Ideal.span ↑sg = ⊤
hsg : ∀ t ∈ sg, P ((algebraMap T (Localization.Away t)).comp g)
⊢ ∀ (i : ↥sf × ↥sg),
    P
      ((algebraMap T
            ((fun x ↦
                match x with
                | (a, b) => Localization.Away ((algebraMap T (Localization.Away ↑b)) (g ↑a)))
              i)).comp
        (g.comp f))
Module: Mathlib.RingTheory.RingHom.Locally

Goal state before:
pp: case refine_2
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hPi : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
hPl : LocalizationPreserves fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
hPc : StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
R S T : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
sf : Finset S
hsfone : Ideal.span ↑sf = ⊤
hsf : ∀ t ∈ sf, P ((algebraMap S (Localization.Away t)).comp f)
sg : Finset T
hsgone : Ideal.span ↑sg = ⊤
hsg : ∀ t ∈ sg, P ((algebraMap T (Localization.Away t)).comp g)
⊢ ∀ (i : ↥sf × ↥sg),
    P
      ((algebraMap T
            ((fun x ↦
                match x with
                | (a, b) => Localization.Away ((algebraMap T (Localization.Away ↑b)) (g ↑a)))
              i)).comp
        (g.comp f))

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hPi : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
hPl : LocalizationPreserves fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
hPc : StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
R S T : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
sf : Finset S
hsfone : Ideal.span ↑sf = ⊤
hsf : ∀ t ∈ sf, P ((algebraMap S (Localization.Away t)).comp f)
sg : Finset T
hsgone : Ideal.span ↑sg = ⊤
hsg : ∀ t ∈ sg, P ((algebraMap T (Localization.Away t)).comp g)
⊢ ∀ (i : ↥sf × ↥sg),
    P
      ((algebraMap T
            ((fun x ↦
                match x with
                | (a, b) => Localization.Away ((algebraMap T (Localization.Away ↑b)) (g ↑a)))
              i)).comp
        (g.comp f))
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.Constructors

Goal state before:
pp: case refine_2
P : MorphismProperty Scheme
inst✝² : P.HasOfPostcompProperty IsOpenImmersion
inst✝¹ : P.RespectsRight IsOpenImmersion
inst✝ : IsZariskiLocalAtSource P
g : {X Y : Scheme} → (f : X ⟶ Y) → (U : X.Opens) → pullback (U.ι ≫ f) (U.ι ≫ f) ⟶ pullback f f :=
  fun {X Y} f U ↦ pullback.map (U.ι ≫ f) (U.ι ≫ f) f f U.ι U.ι (𝟙 Y) ⋯ ⋯
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u_1
U : ι → X.Opens
hU : iSup U = ⊤
hf : ∀ (i : ι), P.diagonal ((U i).ι ≫ f)
⊢ P (pullback.diagonal f)

Tactic:
refine IsZariskiLocalAtSource.of_iSup_eq_top U hU fun i ↦ ?_

Goal state after:
case refine_2
P : MorphismProperty Scheme
inst✝² : P.HasOfPostcompProperty IsOpenImmersion
inst✝¹ : P.RespectsRight IsOpenImmersion
inst✝ : IsZariskiLocalAtSource P
g : {X Y : Scheme} → (f : X ⟶ Y) → (U : X.Opens) → pullback (U.ι ≫ f) (U.ι ≫ f) ⟶ pullback f f :=
  fun {X Y} f U ↦ pullback.map (U.ι ≫ f) (U.ι ≫ f) f f U.ι U.ι (𝟙 Y) ⋯ ⋯
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u_1
U : ι → X.Opens
hU : iSup U = ⊤
hf : ∀ (i : ι), P.diagonal ((U i).ι ≫ f)
i : ι
⊢ P ((U i).ι ≫ pullback.diagonal f)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.Constructors

Goal state before:
pp: case restrict
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
⊢ ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (U : Y.Opens), P.universally f → P.universally (f ∣_ U)

pp: case of_sSup_eq_top
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
⊢ ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens),
    iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)) → P.universally f

Tactic:
·

Goal state after:
case restrict
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
⊢ ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (U : Y.Opens), P.universally f → P.universally (f ∣_ U)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.Constructors

Goal state before:
pp: case of_sSup_eq_top
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
⊢ ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens),
    iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)) → P.universally f

Tactic:
·

Goal state after:
case of_sSup_eq_top
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
⊢ ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens),
    iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)) → P.universally f
Module: Mathlib.RingTheory.RingHom.Locally

Goal state before:
pp: case refine_1
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hPa : StableUnderCompositionWithLocalizationAwayTarget fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
R S T : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra S T
t : S
inst✝ : IsLocalization.Away t T
f : R →+* S
s : Set S
hsone : Ideal.span s = ⊤
hs : ∀ t ∈ s, (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P) ((algebraMap S (Localization.Away t)).comp f)
⊢ Ideal.span (⇑(algebraMap S T) '' s) = ⊤

pp: case refine_2
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hPa : StableUnderCompositionWithLocalizationAwayTarget fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
R S T : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra S T
t : S
inst✝ : IsLocalization.Away t T
f : R →+* S
s : Set S
hsone : Ideal.span s = ⊤
hs : ∀ t ∈ s, (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P) ((algebraMap S (Localization.Away t)).comp f)
⊢ ∀ t ∈ ⇑(algebraMap S T) '' s,
    (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P) ((algebraMap T (Localization.Away t)).comp ((algebraMap S T).comp f))

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hPa : StableUnderCompositionWithLocalizationAwayTarget fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
R S T : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra S T
t : S
inst✝ : IsLocalization.Away t T
f : R →+* S
s : Set S
hsone : Ideal.span s = ⊤
hs : ∀ t ∈ s, (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P) ((algebraMap S (Localization.Away t)).comp f)
⊢ Ideal.span (⇑(algebraMap S T) '' s) = ⊤
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.Constructors

Goal state before:
pp: case of_sSup_eq_top.x
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
h : IsPullback f' i₁ i₂ f
⊢ IsOpenCover fun i ↦ i₂ ⁻¹ᵁ U i

pp: case of_sSup_eq_top.a
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
h : IsPullback f' i₁ i₂ f
⊢ ∀ (i : ι), P (f' ∣_ i₂ ⁻¹ᵁ U i)

Tactic:
·

Goal state after:
case of_sSup_eq_top.x
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
h : IsPullback f' i₁ i₂ f
⊢ IsOpenCover fun i ↦ i₂ ⁻¹ᵁ U i
Module: Mathlib.RingTheory.RingHom.Locally

Goal state before:
pp: case refine_2
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hPa : StableUnderCompositionWithLocalizationAwayTarget fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
R S T : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra S T
t : S
inst✝ : IsLocalization.Away t T
f : R →+* S
s : Set S
hsone : Ideal.span s = ⊤
hs : ∀ t ∈ s, (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P) ((algebraMap S (Localization.Away t)).comp f)
⊢ ∀ t ∈ ⇑(algebraMap S T) '' s,
    (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P) ((algebraMap T (Localization.Away t)).comp ((algebraMap S T).comp f))

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hPa : StableUnderCompositionWithLocalizationAwayTarget fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
R S T : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra S T
t : S
inst✝ : IsLocalization.Away t T
f : R →+* S
s : Set S
hsone : Ideal.span s = ⊤
hs : ∀ t ∈ s, (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P) ((algebraMap S (Localization.Away t)).comp f)
⊢ ∀ t ∈ ⇑(algebraMap S T) '' s,
    (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P) ((algebraMap T (Localization.Away t)).comp ((algebraMap S T).comp f))
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.Constructors

Goal state before:
pp: case of_sSup_eq_top.a
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
h : IsPullback f' i₁ i₂ f
⊢ ∀ (i : ι), P (f' ∣_ i₂ ⁻¹ᵁ U i)

Tactic:
·

Goal state after:
case of_sSup_eq_top.a
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
h : IsPullback f' i₁ i₂ f
⊢ ∀ (i : ι), P (f' ∣_ i₂ ⁻¹ᵁ U i)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.Constructors

Goal state before:
pp: case of_sSup_eq_top.a.refine_1
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
h : IsPullback f' i₁ i₂ f
i : ι
⊢ f' ⁻¹ᵁ i₂ ⁻¹ᵁ U i = i₁ ⁻¹ᵁ f ⁻¹ᵁ U i

pp: case of_sSup_eq_top.a.refine_2
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
h : IsPullback f' i₁ i₂ f
i : ι
⊢ IsPullback (f' ∣_ i₂ ⁻¹ᵁ U i) ((X'.isoOfEq ?of_sSup_eq_top.a.refine_1).hom ≫ i₁ ∣_ f ⁻¹ᵁ U i) (i₂ ∣_ U i) (f ∣_ U i)

Tactic:
·

Goal state after:
case of_sSup_eq_top.a.refine_1
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
h : IsPullback f' i₁ i₂ f
i : ι
⊢ f' ⁻¹ᵁ i₂ ⁻¹ᵁ U i = i₁ ⁻¹ᵁ f ⁻¹ᵁ U i
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.Constructors

Goal state before:
pp: case of_sSup_eq_top.a.refine_2
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
h : IsPullback f' i₁ i₂ f
i : ι
⊢ IsPullback (f' ∣_ i₂ ⁻¹ᵁ U i) ((X'.isoOfEq ⋯).hom ≫ i₁ ∣_ f ⁻¹ᵁ U i) (i₂ ∣_ U i) (f ∣_ U i)

Tactic:
·

Goal state after:
case of_sSup_eq_top.a.refine_2
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
h : IsPullback f' i₁ i₂ f
i : ι
⊢ IsPullback (f' ∣_ i₂ ⁻¹ᵁ U i) ((X'.isoOfEq ⋯).hom ≫ i₁ ∣_ f ⁻¹ᵁ U i) (i₂ ∣_ U i) (f ∣_ U i)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.Constructors

Goal state before:
pp: case of_sSup_eq_top.a.refine_2
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
h : IsPullback f' i₁ i₂ f
i : ι
⊢ IsPullback (f' ∣_ i₂ ⁻¹ᵁ U i) (((X'.isoOfEq ⋯).hom ≫ i₁ ∣_ f ⁻¹ᵁ U i) ≫ (f ⁻¹ᵁ U i).ι) (i₂ ∣_ U i ≫ (U i).ι) f

pp: case of_sSup_eq_top.a.refine_2
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
h : IsPullback f' i₁ i₂ f
i : ι
⊢ f' ∣_ i₂ ⁻¹ᵁ U i ≫ i₂ ∣_ U i = ((X'.isoOfEq ⋯).hom ≫ i₁ ∣_ f ⁻¹ᵁ U i) ≫ f ∣_ U i

Tactic:
·

Goal state after:
case of_sSup_eq_top.a.refine_2
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
h : IsPullback f' i₁ i₂ f
i : ι
⊢ IsPullback (f' ∣_ i₂ ⁻¹ᵁ U i) (((X'.isoOfEq ⋯).hom ≫ i₁ ∣_ f ⁻¹ᵁ U i) ≫ (f ⁻¹ᵁ U i).ι) (i₂ ∣_ U i ≫ (U i).ι) f
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.Constructors

Goal state before:
pp: case of_sSup_eq_top.a.refine_2
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
h : IsPullback f' i₁ i₂ f
i : ι
⊢ f' ∣_ i₂ ⁻¹ᵁ U i ≫ i₂ ∣_ U i = ((X'.isoOfEq ⋯).hom ≫ i₁ ∣_ f ⁻¹ᵁ U i) ≫ f ∣_ U i

Tactic:
·

Goal state after:
case of_sSup_eq_top.a.refine_2
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), IsOpenCover U → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
ι : Type u
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
h : IsPullback f' i₁ i₂ f
i : ι
⊢ f' ∣_ i₂ ⁻¹ᵁ U i ≫ i₂ ∣_ U i = ((X'.isoOfEq ⋯).hom ≫ i₁ ∣_ f ⁻¹ᵁ U i) ≫ f ∣_ U i
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.Constructors

Goal state before:
pp: case refine_1
P : MorphismProperty Scheme
inst✝ : IsZariskiLocalAtSource P
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Scheme.zariskiPrecoverage.ZeroHypercover X
hf : P.universally f
i : 𝒰.I₀
⊢ P.universally (𝒰.f i ≫ f)

pp: case refine_2
P : MorphismProperty Scheme
inst✝ : IsZariskiLocalAtSource P
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Scheme.zariskiPrecoverage.ZeroHypercover X
hf : ∀ (i : 𝒰.I₀), P.universally (𝒰.f i ≫ f)
⊢ P.universally f

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
P : MorphismProperty Scheme
inst✝ : IsZariskiLocalAtSource P
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Scheme.zariskiPrecoverage.ZeroHypercover X
hf : P.universally f
i : 𝒰.I₀
⊢ P.universally (𝒰.f i ≫ f)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.Constructors

Goal state before:
pp: case refine_2
P : MorphismProperty Scheme
inst✝ : IsZariskiLocalAtSource P
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Scheme.zariskiPrecoverage.ZeroHypercover X
hf : ∀ (i : 𝒰.I₀), P.universally (𝒰.f i ≫ f)
⊢ P.universally f

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
P : MorphismProperty Scheme
inst✝ : IsZariskiLocalAtSource P
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Scheme.zariskiPrecoverage.ZeroHypercover X
hf : ∀ (i : 𝒰.I₀), P.universally (𝒰.f i ≫ f)
⊢ P.universally f