mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K E
inst✝¹ : Algebra L E
inst✝ : IsScalarTower K L E
E' : IntermediateField L E
s : Finset E
hs : adjoin K ↑s = restrictScalars K E'
⊢ E' ≤ adjoin L ↑s

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K E
inst✝¹ : Algebra L E
inst✝ : IsScalarTower K L E
E' : IntermediateField L E
s : Finset E
hs : adjoin K ↑s = restrictScalars K E'
⊢ E' ≤ adjoin L ↑s
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
k : Type u
inst✝³ : Field k
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : Algebra k K
p q : k[X]
h : ∀ (a : K), (aeval a) p ≠ 0 ∨ (aeval a) q ≠ 0
x : k[X]
hu : x ∈ nonunits k[X]
h0 : x ≠ 0
⊢ x ∣ p → ¬x ∣ q

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
k : Type u
inst✝³ : Field k
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : Algebra k K
p q : k[X]
h : ∀ (a : K), (aeval a) p ≠ 0 ∨ (aeval a) q ≠ 0
x : k[X]
hu : x ∈ nonunits k[X]
h0 : x ≠ 0
⊢ x ∣ p → ¬x ∣ q
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Triangularizable

Goal state before:
pp: case h.zero
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
ih :
  ∀ m < 0,
    ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [FiniteDimensional K V] (f : End K V),
      finrank K V = m → ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K V = 0
⊢ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤

pp: case h.succ
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n + 1,
    ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [FiniteDimensional K V] (f : End K V),
      finrank K V = m → ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K V = n + 1
⊢ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤

Tactic:
·

Goal state after:
case h.zero
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
ih :
  ∀ m < 0,
    ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [FiniteDimensional K V] (f : End K V),
      finrank K V = m → ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K V = 0
⊢ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Triangularizable

Goal state before:
pp: case h.succ
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n + 1,
    ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [FiniteDimensional K V] (f : End K V),
      finrank K V = m → ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K V = n + 1
⊢ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤

Tactic:
·

Goal state after:
case h.succ
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n + 1,
    ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [FiniteDimensional K V] (f : End K V),
      finrank K V = m → ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K V = n + 1
⊢ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
h : FiniteDimensional K ↥E1
⊢ finrank K ↥(E1 ⊔ E2) ≤ finrank K ↥E1 * finrank K ↥E2

pp: case neg
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
h : ¬FiniteDimensional K ↥E1
⊢ finrank K ↥(E1 ⊔ E2) ≤ finrank K ↥E1 * finrank K ↥E2

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
h : FiniteDimensional K ↥E1
⊢ finrank K ↥(E1 ⊔ E2) ≤ finrank K ↥E1 * finrank K ↥E2
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: case inr
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = adjoin F (↑(↑π).carrier ∪ ↑S)
π₁ π₂ : ↑c
this : ∀ (π₁ π₂ : ↑c), π₁ ≤ π₂ → (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (θ π₁) (θ π₂) ∨ (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (θ π₂) (θ π₁)
h : ¬π₁ ≤ π₂
⊢ (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (θ π₁) (θ π₂) ∨ (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (θ π₂) (θ π₁)

pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = adjoin F (↑(↑π).carrier ∪ ↑S)
π₁ π₂ : ↑c
h : π₁ ≤ π₂
⊢ (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (θ π₁) (θ π₂) ∨ (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (θ π₂) (θ π₁)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = adjoin F (↑(↑π).carrier ∪ ↑S)
π₁ π₂ : ↑c
this : ∀ (π₁ π₂ : ↑c), π₁ ≤ π₂ → (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (θ π₁) (θ π₂) ∨ (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (θ π₂) (θ π₁)
h : ¬π₁ ≤ π₂
⊢ (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (θ π₁) (θ π₂) ∨ (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (θ π₂) (θ π₁)
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: case refine_1
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = adjoin F (↑(↑π).carrier ∪ ↑S)
π₁ π₂ : ↑c
h : π₁ ≤ π₂
⊢ (θ π₁).carrier ≤ (θ π₂).carrier

pp: case refine_2
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = adjoin F (↑(↑π).carrier ∪ ↑S)
π₁ π₂ : ↑c
h : π₁ ≤ π₂
⊢ ∀ (x : E) (hx : x ∈ ↑(↑π₁).carrier ∪ ↑S), ((θ π₂).emb.comp (inclusion ?refine_1)) ⟨x, ⋯⟩ = (θ π₁).emb ⟨x, ⋯⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = adjoin F (↑(↑π).carrier ∪ ↑S)
π₁ π₂ : ↑c
h : π₁ ≤ π₂
⊢ (θ π₁).carrier ≤ (θ π₂).carrier
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case inl
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) t
h✝ : IsEmpty ι
⊢ (iSup t).toSubalgebra = ⨆ i, (t i).toSubalgebra

pp: case inr
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) t
h✝ : Nonempty ι
⊢ (iSup t).toSubalgebra = ⨆ i, (t i).toSubalgebra

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) t
h✝ : IsEmpty ι
⊢ (iSup t).toSubalgebra = ⨆ i, (t i).toSubalgebra
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: case refine_2.inl
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = adjoin F (↑(↑π).carrier ∪ ↑S)
π₁ π₂ : ↑c
h : π₁ ≤ π₂
x : E
hx : x ∈ ↑(↑π₁).carrier
⊢ ((θ π₂).emb.comp (inclusion ⋯)) ⟨x, ⋯⟩ = (θ π₁).emb ⟨x, ⋯⟩

pp: case refine_2.inr
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = adjoin F (↑(↑π).carrier ∪ ↑S)
π₁ π₂ : ↑c
h : π₁ ≤ π₂
x : E
hx : x ∈ ↑S
⊢ ((θ π₂).emb.comp (inclusion ⋯)) ⟨x, ⋯⟩ = (θ π₁).emb ⟨x, ⋯⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.inl
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = adjoin F (↑(↑π).carrier ∪ ↑S)
π₁ π₂ : ↑c
h : π₁ ≤ π₂
x : E
hx : x ∈ ↑(↑π₁).carrier
⊢ ((θ π₂).emb.comp (inclusion ⋯)) ⟨x, ⋯⟩ = (θ π₁).emb ⟨x, ⋯⟩
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case inr
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) t
h✝ : Nonempty ι
⊢ (iSup t).toSubalgebra = ⨆ i, (t i).toSubalgebra

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) t
h✝ : Nonempty ι
⊢ (iSup t).toSubalgebra = ⨆ i, (t i).toSubalgebra
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: case refine_2.inr
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = adjoin F (↑(↑π).carrier ∪ ↑S)
π₁ π₂ : ↑c
h : π₁ ≤ π₂
x : E
hx : x ∈ ↑S
⊢ ((θ π₂).emb.comp (inclusion ⋯)) ⟨x, ⋯⟩ = (θ π₁).emb ⟨x, ⋯⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.inr
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = adjoin F (↑(↑π).carrier ∪ ↑S)
π₁ π₂ : ↑c
h : π₁ ≤ π₂
x : E
hx : x ∈ ↑S
⊢ ((θ π₂).emb.comp (inclusion ⋯)) ⟨x, ⋯⟩ = (θ π₁).emb ⟨x, ⋯⟩
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : CharZero K
f g : K[X]
hf0 : f ≠ 0
hg0 : g = 0
⊢ (∀ (x : K), f.IsRoot x → g.IsRoot x) → f ∣ derivative f * g

pp: case neg
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : CharZero K
f g : K[X]
hf0 : f ≠ 0
hg0 : ¬g = 0
⊢ (∀ (x : K), f.IsRoot x → g.IsRoot x) → f ∣ derivative f * g

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : CharZero K
f g : K[X]
hf0 : f ≠ 0
hg0 : g = 0
⊢ (∀ (x : K), f.IsRoot x → g.IsRoot x) → f ∣ derivative f * g
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : CharZero K
f g : K[X]
hf0 : f ≠ 0
hg0 : ¬g = 0
hdf0 : derivative f = 0
⊢ (∀ (x : K), f.IsRoot x → g.IsRoot x) → f ∣ derivative f * g

pp: case neg
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : CharZero K
f g : K[X]
hf0 : f ≠ 0
hg0 : ¬g = 0
hdf0 : ¬derivative f = 0
⊢ (∀ (x : K), f.IsRoot x → g.IsRoot x) → f ∣ derivative f * g

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : CharZero K
f g : K[X]
hf0 : f ≠ 0
hg0 : ¬g = 0
hdf0 : derivative f = 0
⊢ (∀ (x : K), f.IsRoot x → g.IsRoot x) → f ∣ derivative f * g
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Triangularizable

Goal state before:
pp: case neg
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∉ m.support
⊢ m μ ∈ p

pp: case pos
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
⊢ m μ ∈ p

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∉ m.support
⊢ m μ ∈ p
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic F ↥(f i)
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
i : ι
x1 : E
hx1 : x1 ∈ f i
⊢ adjoin F ((minpoly F x1).rootSet E) ≤ adjoin F ((minpoly F ⟨i, ⟨x1, hx1⟩⟩.snd).rootSet E)

pp: case refine_2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic F ↥(f i)
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
i : ι
x1 : E
hx1 : x1 ∈ f i
⊢ x1 ∈ (minpoly F x1).rootSet E

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic F ↥(f i)
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
i : ι
x1 : E
hx1 : x1 ∈ f i
⊢ adjoin F ((minpoly F x1).rootSet E) ≤ adjoin F ((minpoly F ⟨i, ⟨x1, hx1⟩⟩.snd).rootSet E)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic F ↥(f i)
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
i : ι
x1 : E
hx1 : x1 ∈ f i
⊢ x1 ∈ (minpoly F x1).rootSet E

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic F ↥(f i)
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
i : ι
x1 : E
hx1 : x1 ∈ f i
⊢ x1 ∈ (minpoly F x1).rootSet E
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : CharZero K
f g : K[X]
hf0 : f ≠ 0
hg0 : ¬g = 0
hdf0 : ¬derivative f = 0
hdg : derivative f * g ≠ 0
a : K
haf : eval a f = 0
⊢ (f.IsRoot a → g.IsRoot a) → rootMultiplicity a f ≤ rootMultiplicity a (derivative f) + rootMultiplicity a g

pp: case neg
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : CharZero K
f g : K[X]
hf0 : f ≠ 0
hg0 : ¬g = 0
hdf0 : ¬derivative f = 0
hdg : derivative f * g ≠ 0
a : K
haf : ¬eval a f = 0
⊢ (f.IsRoot a → g.IsRoot a) → rootMultiplicity a f ≤ rootMultiplicity a (derivative f) + rootMultiplicity a g

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : CharZero K
f g : K[X]
hf0 : f ≠ 0
hg0 : ¬g = 0
hdf0 : ¬derivative f = 0
hdg : derivative f * g ≠ 0
a : K
haf : eval a f = 0
⊢ (f.IsRoot a → g.IsRoot a) → rootMultiplicity a f ≤ rootMultiplicity a (derivative f) + rootMultiplicity a g
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: case neg
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : CharZero K
f g : K[X]
hf0 : f ≠ 0
hg0 : ¬g = 0
hdf0 : ¬derivative f = 0
hdg : derivative f * g ≠ 0
a : K
haf : ¬eval a f = 0
⊢ (f.IsRoot a → g.IsRoot a) → rootMultiplicity a f ≤ rootMultiplicity a (derivative f) + rootMultiplicity a g

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : CharZero K
f g : K[X]
hf0 : f ≠ 0
hg0 : ¬g = 0
hdf0 : ¬derivative f = 0
hdg : derivative f * g ≠ 0
a : K
haf : ¬eval a f = 0
⊢ (f.IsRoot a → g.IsRoot a) → rootMultiplicity a f ≤ rootMultiplicity a (derivative f) + rootMultiplicity a g
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Pi

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ι → End R M
μ : ι → R
p : Submodule R M
hfp : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑(f i) ↑p ↑p
h✝ : IsEmpty ι
⊢ p ⊓ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (μ i) =
    Submodule.map p.subtype (⨅ i, maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f i) ⋯) (μ i))

pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ι → End R M
μ : ι → R
p : Submodule R M
hfp : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑(f i) ↑p ↑p
h✝ : Nonempty ι
⊢ p ⊓ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (μ i) =
    Submodule.map p.subtype (⨅ i, maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f i) ⋯) (μ i))

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ι → End R M
μ : ι → R
p : Submodule R M
hfp : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑(f i) ↑p ↑p
h✝ : IsEmpty ι
⊢ p ⊓ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (μ i) =
    Submodule.map p.subtype (⨅ i, maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f i) ⋯) (μ i))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Pi

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ι → End R M
μ : ι → R
p : Submodule R M
hfp : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑(f i) ↑p ↑p
h✝ : Nonempty ι
⊢ p ⊓ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (μ i) =
    Submodule.map p.subtype (⨅ i, maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f i) ⋯) (μ i))

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ι → End R M
μ : ι → R
p : Submodule R M
hfp : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑(f i) ↑p ↑p
h✝ : Nonempty ι
⊢ p ⊓ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (μ i) =
    Submodule.map p.subtype (⨅ i, maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f i) ⋯) (μ i))
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
hp : Nat.Prime (finrank F E)
⊢ Nontrivial (IntermediateField F E)

pp: case refine_2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
hp : Nat.Prime (finrank F E)
⊢ ∀ (a : IntermediateField F E), a = ⊥ ∨ a = ⊤

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
hp : Nat.Prime (finrank F E)
⊢ Nontrivial (IntermediateField F E)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
hp : Nat.Prime (finrank F E)
⊢ ∀ (a : IntermediateField F E), a = ⊥ ∨ a = ⊤

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
hp : Nat.Prime (finrank F E)
⊢ ∀ (a : IntermediateField F E), a = ⊥ ∨ a = ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Triangularizable

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ ((f - i • 1) ^ l i).ker
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ ↦ (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
μ' : K
hμ' : μ' ∈ m.support
hμμ' : μ' = μ
⊢ g (m μ') = g (m μ)

pp: case neg
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ ((f - i • 1) ^ l i).ker
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ ↦ (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
μ' : K
hμ' : μ' ∈ m.support
hμμ' : ¬μ' = μ
⊢ g (m μ') = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ ((f - i • 1) ^ l i).ker
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ ↦ (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
μ' : K
hμ' : μ' ∈ m.support
hμμ' : μ' = μ
⊢ g (m μ') = g (m μ)