mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Order.DirSupClosed

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
s t : Set α
D : Set (Set α)
inst✝ : Preorder α
hDL : IsLowerSet D
hs : DirSupClosedOn D s
ht : DirSupClosedOn D t
d : Set α
hD : d ∈ D
hdu : d ⊆ s ∪ t
hd₀ : d.Nonempty
hd₁ : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) d
a : α
ha : IsLUB d a
hdst : d ∩ s ∪ d ∩ t = d
this :
  ∀ {α : Type u_1} {s t : Set α} {D : Set (Set α)} [inst : Preorder α] (hDL : IsLowerSet D) (hs : DirSupClosedOn D s)
    (ht : DirSupClosedOn D t) ⦃d : Set α⦄ (hD : d ∈ D) (hdu : d ⊆ s ∪ t) (hd₀ : d.Nonempty)
    (hd₁ : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) d) ⦃a : α⦄ (ha : IsLUB d a) (hdst : d ∩ s ∪ d ∩ t = d),
    DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (d ∩ s) ∧ IsCofinalFor (d ∩ t) (d ∩ s) → a ∈ s ∪ t
h : ¬(DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (d ∩ s) ∧ IsCofinalFor (d ∩ t) (d ∩ s))
⊢ a ∈ s ∪ t

pp: α✝ : Type u_1
s✝ t✝ : Set α✝
D✝ : Set (Set α✝)
inst✝¹ : Preorder α✝
α : Type u_1
s t : Set α
D : Set (Set α)
inst✝ : Preorder α
hDL : IsLowerSet D
hs : DirSupClosedOn D s
ht : DirSupClosedOn D t
d : Set α
hD : d ∈ D
hdu : d ⊆ s ∪ t
hd₀ : d.Nonempty
hd₁ : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) d
a : α
ha : IsLUB d a
hdst : d ∩ s ∪ d ∩ t = d
h : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (d ∩ s) ∧ IsCofinalFor (d ∩ t) (d ∩ s)
⊢ a ∈ s ∪ t

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
s t : Set α
D : Set (Set α)
inst✝ : Preorder α
hDL : IsLowerSet D
hs : DirSupClosedOn D s
ht : DirSupClosedOn D t
d : Set α
hD : d ∈ D
hdu : d ⊆ s ∪ t
hd₀ : d.Nonempty
hd₁ : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) d
a : α
ha : IsLUB d a
hdst : d ∩ s ∪ d ∩ t = d
this :
  ∀ {α : Type u_1} {s t : Set α} {D : Set (Set α)} [inst : Preorder α] (hDL : IsLowerSet D) (hs : DirSupClosedOn D s)
    (ht : DirSupClosedOn D t) ⦃d : Set α⦄ (hD : d ∈ D) (hdu : d ⊆ s ∪ t) (hd₀ : d.Nonempty)
    (hd₁ : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) d) ⦃a : α⦄ (ha : IsLUB d a) (hdst : d ∩ s ∪ d ∩ t = d),
    DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (d ∩ s) ∧ IsCofinalFor (d ∩ t) (d ∩ s) → a ∈ s ∪ t
h : ¬(DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (d ∩ s) ∧ IsCofinalFor (d ∩ t) (d ∩ s))
⊢ a ∈ s ∪ t
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : Preorder α
inst✝⁷ : Preorder β
inst✝⁶ : Preorder γ
inst✝⁵ : SMul α β
inst✝⁴ : SMul α γ
inst✝³ : Zero β
inst✝² : Zero γ
inst✝¹ : SMulPosReflectLE α β
inst✝ : SMulPosReflectLE α γ
_b : β × γ
hb : 0 < _b
_a₁ _a₂ : α
h : _a₁ • _b ≤ _a₂ • _b
h₁ : 0.1 < _b.1
⊢ _a₁ ≤ _a₂

pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : Preorder α
inst✝⁷ : Preorder β
inst✝⁶ : Preorder γ
inst✝⁵ : SMul α β
inst✝⁴ : SMul α γ
inst✝³ : Zero β
inst✝² : Zero γ
inst✝¹ : SMulPosReflectLE α β
inst✝ : SMulPosReflectLE α γ
_b : β × γ
hb : 0 < _b
_a₁ _a₂ : α
h : _a₁ • _b ≤ _a₂ • _b
h₁ : 0.2 < _b.2
⊢ _a₁ ≤ _a₂

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : Preorder α
inst✝⁷ : Preorder β
inst✝⁶ : Preorder γ
inst✝⁵ : SMul α β
inst✝⁴ : SMul α γ
inst✝³ : Zero β
inst✝² : Zero γ
inst✝¹ : SMulPosReflectLE α β
inst✝ : SMulPosReflectLE α γ
_b : β × γ
hb : 0 < _b
_a₁ _a₂ : α
h : _a₁ • _b ≤ _a₂ • _b
h₁ : 0.1 < _b.1
⊢ _a₁ ≤ _a₂
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : Preorder α
inst✝⁷ : Preorder β
inst✝⁶ : Preorder γ
inst✝⁵ : SMul α β
inst✝⁴ : SMul α γ
inst✝³ : Zero β
inst✝² : Zero γ
inst✝¹ : SMulPosReflectLE α β
inst✝ : SMulPosReflectLE α γ
_b : β × γ
hb : 0 < _b
_a₁ _a₂ : α
h : _a₁ • _b ≤ _a₂ • _b
h₁ : 0.2 < _b.2
⊢ _a₁ ≤ _a₂

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : Preorder α
inst✝⁷ : Preorder β
inst✝⁶ : Preorder γ
inst✝⁵ : SMul α β
inst✝⁴ : SMul α γ
inst✝³ : Zero β
inst✝² : Zero γ
inst✝¹ : SMulPosReflectLE α β
inst✝ : SMulPosReflectLE α γ
_b : β × γ
hb : 0 < _b
_a₁ _a₂ : α
h : _a₁ • _b ≤ _a₂ • _b
h₁ : 0.2 < _b.2
⊢ _a₁ ≤ _a₂
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : PartialOrder α
inst✝⁷ : PartialOrder β
inst✝⁶ : PartialOrder γ
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : SMulWithZero α γ
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α γ
_a : α
ha : 0 < _a
_b₁ _b₂ : β × γ
h₁ : _b₁.1 < _b₂.1
h₂ : _b₁.2 ≤ _b₂.2
⊢ (_a • _b₁).1 < (_a • _b₂).1 ∧ (_a • _b₁).2 ≤ (_a • _b₂).2 ∨ (_a • _b₁).1 ≤ (_a • _b₂).1 ∧ (_a • _b₁).2 < (_a • _b₂).2

pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : PartialOrder α
inst✝⁷ : PartialOrder β
inst✝⁶ : PartialOrder γ
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : SMulWithZero α γ
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α γ
_a : α
ha : 0 < _a
_b₁ _b₂ : β × γ
h₁ : _b₁.1 ≤ _b₂.1
h₂ : _b₁.2 < _b₂.2
⊢ (_a • _b₁).1 < (_a • _b₂).1 ∧ (_a • _b₁).2 ≤ (_a • _b₂).2 ∨ (_a • _b₁).1 ≤ (_a • _b₂).1 ∧ (_a • _b₁).2 < (_a • _b₂).2

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : PartialOrder α
inst✝⁷ : PartialOrder β
inst✝⁶ : PartialOrder γ
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : SMulWithZero α γ
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α γ
_a : α
ha : 0 < _a
_b₁ _b₂ : β × γ
h₁ : _b₁.1 < _b₂.1
h₂ : _b₁.2 ≤ _b₂.2
⊢ (_a • _b₁).1 < (_a • _b₂).1 ∧ (_a • _b₁).2 ≤ (_a • _b₂).2 ∨ (_a • _b₁).1 ≤ (_a • _b₂).1 ∧ (_a • _b₁).2 < (_a • _b₂).2
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : PartialOrder α
inst✝⁷ : PartialOrder β
inst✝⁶ : PartialOrder γ
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : SMulWithZero α γ
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α γ
_a : α
ha : 0 < _a
_b₁ _b₂ : β × γ
h₁ : _b₁.1 ≤ _b₂.1
h₂ : _b₁.2 < _b₂.2
⊢ (_a • _b₁).1 < (_a • _b₂).1 ∧ (_a • _b₁).2 ≤ (_a • _b₂).2 ∨ (_a • _b₁).1 ≤ (_a • _b₂).1 ∧ (_a • _b₁).2 < (_a • _b₂).2

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : PartialOrder α
inst✝⁷ : PartialOrder β
inst✝⁶ : PartialOrder γ
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : SMulWithZero α γ
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α γ
_a : α
ha : 0 < _a
_b₁ _b₂ : β × γ
h₁ : _b₁.1 ≤ _b₂.1
h₂ : _b₁.2 < _b₂.2
⊢ (_a • _b₁).1 < (_a • _b₂).1 ∧ (_a • _b₁).2 ≤ (_a • _b₂).2 ∨ (_a • _b₁).1 ≤ (_a • _b₂).1 ∧ (_a • _b₁).2 < (_a • _b₂).2
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : PartialOrder α
inst✝⁷ : PartialOrder β
inst✝⁶ : PartialOrder γ
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : SMulWithZero α γ
inst✝¹ : SMulPosStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α γ
a : β × γ
h₁ : 0.1 < a.1
h₂ : 0.2 ≤ a.2
_b₁ _b₂ : α
hb : _b₁ < _b₂
⊢ (_b₁ • a).1 < (_b₂ • a).1 ∧ (_b₁ • a).2 ≤ (_b₂ • a).2 ∨ (_b₁ • a).1 ≤ (_b₂ • a).1 ∧ (_b₁ • a).2 < (_b₂ • a).2

pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : PartialOrder α
inst✝⁷ : PartialOrder β
inst✝⁶ : PartialOrder γ
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : SMulWithZero α γ
inst✝¹ : SMulPosStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α γ
a : β × γ
h₁ : 0.1 ≤ a.1
h₂ : 0.2 < a.2
_b₁ _b₂ : α
hb : _b₁ < _b₂
⊢ (_b₁ • a).1 < (_b₂ • a).1 ∧ (_b₁ • a).2 ≤ (_b₂ • a).2 ∨ (_b₁ • a).1 ≤ (_b₂ • a).1 ∧ (_b₁ • a).2 < (_b₂ • a).2

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : PartialOrder α
inst✝⁷ : PartialOrder β
inst✝⁶ : PartialOrder γ
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : SMulWithZero α γ
inst✝¹ : SMulPosStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α γ
a : β × γ
h₁ : 0.1 < a.1
h₂ : 0.2 ≤ a.2
_b₁ _b₂ : α
hb : _b₁ < _b₂
⊢ (_b₁ • a).1 < (_b₂ • a).1 ∧ (_b₁ • a).2 ≤ (_b₂ • a).2 ∨ (_b₁ • a).1 ≤ (_b₂ • a).1 ∧ (_b₁ • a).2 < (_b₂ • a).2
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : PartialOrder α
inst✝⁷ : PartialOrder β
inst✝⁶ : PartialOrder γ
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : SMulWithZero α γ
inst✝¹ : SMulPosStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α γ
a : β × γ
h₁ : 0.1 ≤ a.1
h₂ : 0.2 < a.2
_b₁ _b₂ : α
hb : _b₁ < _b₂
⊢ (_b₁ • a).1 < (_b₂ • a).1 ∧ (_b₁ • a).2 ≤ (_b₂ • a).2 ∨ (_b₁ • a).1 ≤ (_b₂ • a).1 ∧ (_b₁ • a).2 < (_b₂ • a).2

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : PartialOrder α
inst✝⁷ : PartialOrder β
inst✝⁶ : PartialOrder γ
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : SMulWithZero α γ
inst✝¹ : SMulPosStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α γ
a : β × γ
h₁ : 0.1 ≤ a.1
h₂ : 0.2 < a.2
_b₁ _b₂ : α
hb : _b₁ < _b₂
⊢ (_b₁ • a).1 < (_b₂ • a).1 ∧ (_b₁ • a).2 ≤ (_b₂ • a).2 ∨ (_b₁ • a).1 ≤ (_b₂ • a).1 ∧ (_b₁ • a).2 < (_b₂ • a).2
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : PartialOrder α
inst✝⁷ : PartialOrder β
inst✝⁶ : PartialOrder γ
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : SMulWithZero α γ
inst✝¹ : SMulPosReflectLT α β
inst✝ : SMulPosReflectLT α γ
b : β × γ
hb : 0 ≤ b
_a₁ _a₂ : α
h₁ : (_a₁ • b).1 < (_a₂ • b).1
h₂ : (_a₁ • b).2 ≤ (_a₂ • b).2
⊢ _a₁ < _a₂

pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : PartialOrder α
inst✝⁷ : PartialOrder β
inst✝⁶ : PartialOrder γ
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : SMulWithZero α γ
inst✝¹ : SMulPosReflectLT α β
inst✝ : SMulPosReflectLT α γ
b : β × γ
hb : 0 ≤ b
_a₁ _a₂ : α
h₁ : (_a₁ • b).1 ≤ (_a₂ • b).1
h₂ : (_a₁ • b).2 < (_a₂ • b).2
⊢ _a₁ < _a₂

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : PartialOrder α
inst✝⁷ : PartialOrder β
inst✝⁶ : PartialOrder γ
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : SMulWithZero α γ
inst✝¹ : SMulPosReflectLT α β
inst✝ : SMulPosReflectLT α γ
b : β × γ
hb : 0 ≤ b
_a₁ _a₂ : α
h₁ : (_a₁ • b).1 < (_a₂ • b).1
h₂ : (_a₁ • b).2 ≤ (_a₂ • b).2
⊢ _a₁ < _a₂
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : PartialOrder α
inst✝⁷ : PartialOrder β
inst✝⁶ : PartialOrder γ
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : SMulWithZero α γ
inst✝¹ : SMulPosReflectLT α β
inst✝ : SMulPosReflectLT α γ
b : β × γ
hb : 0 ≤ b
_a₁ _a₂ : α
h₁ : (_a₁ • b).1 ≤ (_a₂ • b).1
h₂ : (_a₁ • b).2 < (_a₂ • b).2
⊢ _a₁ < _a₂

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁹ : Zero α
inst✝⁸ : PartialOrder α
inst✝⁷ : PartialOrder β
inst✝⁶ : PartialOrder γ
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : SMulWithZero α γ
inst✝¹ : SMulPosReflectLT α β
inst✝ : SMulPosReflectLT α γ
b : β × γ
hb : 0 ≤ b
_a₁ _a₂ : α
h₁ : (_a₁ • b).1 ≤ (_a₂ • b).1
h₂ : (_a₁ • b).2 < (_a₂ • b).2
⊢ _a₁ < _a₂
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Basic

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module R E
x : R
hx : 0 ≤ x
⊢ x ∈ Submodule.span R≥0 {1, -1}

pp: case inr
R : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module R E
x : R
hx : x ≤ 0
⊢ x ∈ Submodule.span R≥0 {1, -1}

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module R E
x : R
hx : 0 ≤ x
⊢ x ∈ Submodule.span R≥0 {1, -1}
Module: Mathlib.Order.DirSupClosed

Goal state before:
pp: α : Type u_1
s : Set α
inst✝ : Preorder α
hs : DirSupClosed s
a b : α
h : AntisymmRel (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) a b
ha : a ∈ s
⊢ b ∈ s

Tactic:
by
  apply hs (singleton_subset_iff.2 ha) ⟨a, rfl⟩ (directedOn_singleton a)
  rw [← isLUB_congr_of_antisymmRel h]
  exact isLUB_singleton

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Basic

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module R E
x : R
hx : x ≤ 0
⊢ x ∈ Submodule.span R≥0 {1, -1}

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
R : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module R E
x : R
hx : x ≤ 0
⊢ x ∈ Submodule.span R≥0 {1, -1}
Module: Mathlib.Order.IsNormal

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
hf : IsNormal f
ha : IsSuccLimit a
⊢ ¬IsMin (f a)

pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
hf : IsNormal f
ha : IsSuccLimit a
b : β
hb : b ⋖ f a
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
hf : IsNormal f
ha : IsSuccLimit a
⊢ ¬IsMin (f a)
Module: Mathlib.Order.IsNormal

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
hf : IsNormal f
ha : IsSuccLimit a
b : β
hb : b ⋖ f a
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
hf : IsNormal f
ha : IsSuccLimit a
b : β
hb : b ⋖ f a
⊢ False
Module: Mathlib.Order.IsNormal

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
hf : IsNormal f
s : Set α
hs : IsLUB s a
hs' : s.Nonempty
⊢ f a ∈ upperBounds (f '' s)

pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
hf : IsNormal f
s : Set α
hs : IsLUB s a
hs' : s.Nonempty
b : β
hb : b ∈ upperBounds (f '' s)
⊢ f a ≤ b

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
hf : IsNormal f
s : Set α
hs : IsLUB s a
hs' : s.Nonempty
⊢ f a ∈ upperBounds (f '' s)
Module: Mathlib.Order.IsNormal

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
hf : IsNormal f
s : Set α
hs : IsLUB s a
hs' : s.Nonempty
b : β
hb : b ∈ upperBounds (f '' s)
⊢ f a ≤ b

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
hf : IsNormal f
s : Set α
hs : IsLUB s a
hs' : s.Nonempty
b : β
hb : b ∈ upperBounds (f '' s)
⊢ f a ≤ b
Module: Mathlib.Order.IsNormal

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
hf : IsNormal f
s : Set α
hs : IsLUB s a
hs' : s.Nonempty
b : β
hb : b ∈ upperBounds (f '' s)
ha : a ∈ s
⊢ f a ≤ b

pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
hf : IsNormal f
s : Set α
hs : IsLUB s a
hs' : s.Nonempty
b : β
hb : b ∈ upperBounds (f '' s)
ha : a ∉ s
⊢ f a ≤ b

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
hf : IsNormal f
s : Set α
hs : IsLUB s a
hs' : s.Nonempty
b : β
hb : b ∈ upperBounds (f '' s)
ha : a ∈ s
⊢ f a ≤ b
Module: Mathlib.Order.IsNormal

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
hf : IsNormal f
s : Set α
hs : IsLUB s a
hs' : s.Nonempty
b : β
hb : b ∈ upperBounds (f '' s)
ha : a ∉ s
⊢ f a ≤ b

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
hf : IsNormal f
s : Set α
hs : IsLUB s a
hs' : s.Nonempty
b : β
hb : b ∈ upperBounds (f '' s)
ha : a ∉ s
⊢ f a ≤ b
Module: Mathlib.Order.IsNormal

Goal state before:
pp: case a
α : Type u_1
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : WellFoundedLT α
f : α → α
a : α
hf : IsNormal f
hf' : BddAbove (range fun n ↦ f^[n] a)
n : ℕ
⊢ f (f^[n] a) ≤ ⨆ n, f^[n] a

pp: case a
α : Type u_1
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : WellFoundedLT α
f : α → α
a : α
hf : IsNormal f
hf' : BddAbove (range fun n ↦ f^[n] a)
n : ℕ
⊢ f^[n] a ≤ ⨆ i, f (f^[i] a)

Tactic:
·

Goal state after:
case a
α : Type u_1
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : WellFoundedLT α
f : α → α
a : α
hf : IsNormal f
hf' : BddAbove (range fun n ↦ f^[n] a)
n : ℕ
⊢ f (f^[n] a) ≤ ⨆ n, f^[n] a
Module: Mathlib.Order.IsNormal

Goal state before:
pp: case a
α : Type u_1
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : WellFoundedLT α
f : α → α
a : α
hf : IsNormal f
hf' : BddAbove (range fun n ↦ f^[n] a)
n : ℕ
⊢ f^[n] a ≤ ⨆ i, f (f^[i] a)

Tactic:
·

Goal state after:
case a
α : Type u_1
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : WellFoundedLT α
f : α → α
a : α
hf : IsNormal f
hf' : BddAbove (range fun n ↦ f^[n] a)
n : ℕ
⊢ f^[n] a ≤ ⨆ i, f (f^[i] a)
Module: Mathlib.Order.IsNormal

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
x : β
h₁ : (f ⁻¹' Iic x).Nonempty
h₂ : BddAbove (f ⁻¹' Iic x)
y : α
hy✝ : y ∈ Iic (sSup (f ⁻¹' Iic x))
hy : y < sSup (f ⁻¹' Iic x)
⊢ y ∈ f ⁻¹' Iic x

pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
x : β
h₁ : (f ⁻¹' Iic x).Nonempty
h₂ : BddAbove (f ⁻¹' Iic x)
hy : sSup (f ⁻¹' Iic x) ∈ Iic (sSup (f ⁻¹' Iic x))
⊢ sSup (f ⁻¹' Iic x) ∈ f ⁻¹' Iic x

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
x : β
h₁ : (f ⁻¹' Iic x).Nonempty
h₂ : BddAbove (f ⁻¹' Iic x)
y : α
hy✝ : y ∈ Iic (sSup (f ⁻¹' Iic x))
hy : y < sSup (f ⁻¹' Iic x)
⊢ y ∈ f ⁻¹' Iic x
Module: Mathlib.Order.IsNormal

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
x : β
h₁ : (f ⁻¹' Iic x).Nonempty
h₂ : BddAbove (f ⁻¹' Iic x)
hy : sSup (f ⁻¹' Iic x) ∈ Iic (sSup (f ⁻¹' Iic x))
⊢ sSup (f ⁻¹' Iic x) ∈ f ⁻¹' Iic x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
x : β
h₁ : (f ⁻¹' Iic x).Nonempty
h₂ : BddAbove (f ⁻¹' Iic x)
hy : sSup (f ⁻¹' Iic x) ∈ Iic (sSup (f ⁻¹' Iic x))
⊢ sSup (f ⁻¹' Iic x) ∈ f ⁻¹' Iic x
Module: Mathlib.Order.IsNormal

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
x : β
h₁ : (f ⁻¹' Iic x).Nonempty
h₂ : BddAbove (f ⁻¹' Iic x)
hy : sSup (f ⁻¹' Iic x) ∈ Iic (sSup (f ⁻¹' Iic x))
⊢ sSup (Iic x) ≤ x

pp: α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
x : β
h₁ : (f ⁻¹' Iic x).Nonempty
h₂ : BddAbove (f ⁻¹' Iic x)
hy : sSup (f ⁻¹' Iic x) ∈ Iic (sSup (f ⁻¹' Iic x))
⊢ (f '' f ⁻¹' Iic x).Nonempty

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
x : β
h₁ : (f ⁻¹' Iic x).Nonempty
h₂ : BddAbove (f ⁻¹' Iic x)
hy : sSup (f ⁻¹' Iic x) ∈ Iic (sSup (f ⁻¹' Iic x))
⊢ sSup (Iic x) ≤ x
Module: Mathlib.Order.IsNormal

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
x : β
h₁ : (f ⁻¹' Iic x).Nonempty
h₂ : BddAbove (f ⁻¹' Iic x)
hy : sSup (f ⁻¹' Iic x) ∈ Iic (sSup (f ⁻¹' Iic x))
⊢ (f '' f ⁻¹' Iic x).Nonempty

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
x : β
h₁ : (f ⁻¹' Iic x).Nonempty
h₂ : BddAbove (f ⁻¹' Iic x)
hy : sSup (f ⁻¹' Iic x) ∈ Iic (sSup (f ⁻¹' Iic x))
⊢ (f '' f ⁻¹' Iic x).Nonempty
Module: Mathlib.Order.IsNormal

Goal state before:
pp: case e'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
ha : IsSuccLimit a
⊢ a = ⨆ i, ↑i

pp: case convert_2
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
ha : IsSuccLimit a
⊢ Nonempty ↑(Iio a)

pp: case convert_4
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
ha : IsSuccLimit a
⊢ BddAbove (range Subtype.val)

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
ha : IsSuccLimit a
⊢ a = ⨆ i, ↑i
Module: Mathlib.Order.IsNormal

Goal state before:
pp: case convert_2
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
ha : IsSuccLimit a
⊢ Nonempty ↑(Iio a)

pp: case convert_4
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
ha : IsSuccLimit a
⊢ BddAbove (range Subtype.val)

Tactic:
·

Goal state after:
case convert_2
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
ha : IsSuccLimit a
⊢ Nonempty ↑(Iio a)
Module: Mathlib.Order.IsNormal

Goal state before:
pp: case convert_4
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
ha : IsSuccLimit a
⊢ BddAbove (range Subtype.val)

Tactic:
·

Goal state after:
case convert_4
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
f : α → β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
hf : IsNormal f
ha : IsSuccLimit a
⊢ BddAbove (range Subtype.val)
Module: Mathlib.Order.IsNormal

Goal state before:
pp: case succ.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : WellFoundedLT α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : LinearOrder β
hs : ∀ (a : α), f a < f (succ a)
hl : ∀ {a : α}, IsSuccLimit a → IsLUB (f '' Iio a) (f a)
a : α
hb : ¬IsMax a
IH : a < a → f a < f a
hab : a < succ a
⊢ f a < f (succ a)

pp: case succ.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : WellFoundedLT α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : LinearOrder β
hs : ∀ (a : α), f a < f (succ a)
hl : ∀ {a : α}, IsSuccLimit a → IsLUB (f '' Iio a) (f a)
a b : α
hb : ¬IsMax b
IH : a < b → f a < f b
hab : a < succ b
h : a < b
⊢ f a < f (succ b)

Tactic:
·

Goal state after:
case succ.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : WellFoundedLT α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : LinearOrder β
hs : ∀ (a : α), f a < f (succ a)
hl : ∀ {a : α}, IsSuccLimit a → IsLUB (f '' Iio a) (f a)
a : α
hb : ¬IsMax a
IH : a < a → f a < f a
hab : a < succ a
⊢ f a < f (succ a)