mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Lebesgue.DominatedConvergence

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i ↦ ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i ↦ f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), F a ≤ f i a
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ∞
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ∞
a : α
h_mono : Antitone fun i ↦ f i a
h : Tendsto (fun i ↦ f i a) atTop atBot
⊢ ∃ l, Tendsto (fun i ↦ f i a) atTop (𝓝 l)

pp: case inr
α : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i ↦ ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i ↦ f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), F a ≤ f i a
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ∞
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ∞
a : α
h_mono : Antitone fun i ↦ f i a
h : ∃ l, Tendsto (fun i ↦ f i a) atTop (𝓝 l)
⊢ ∃ l, Tendsto (fun i ↦ f i a) atTop (𝓝 l)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i ↦ ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i ↦ f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), F a ≤ f i a
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ∞
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ∞
a : α
h_mono : Antitone fun i ↦ f i a
h : Tendsto (fun i ↦ f i a) atTop atBot
⊢ ∃ l, Tendsto (fun i ↦ f i a) atTop (𝓝 l)
Module: Mathlib.Topology.UnitInterval

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
h : a ≤ b
this : ∀ {c d : α}, d ≤ c → |↑(projIcc a b h c) - ↑(projIcc a b h d)| ≤ |c - d|
hdc : ¬d ≤ c
⊢ |↑(projIcc a b h c) - ↑(projIcc a b h d)| ≤ |c - d|

pp: α : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c✝ d✝ : α
h : a ≤ b
c d : α
hdc : d ≤ c
⊢ |↑(projIcc a b h c) - ↑(projIcc a b h d)| ≤ |c - d|

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
h : a ≤ b
this : ∀ {c d : α}, d ≤ c → |↑(projIcc a b h c) - ↑(projIcc a b h d)| ≤ |c - d|
hdc : ¬d ≤ c
⊢ |↑(projIcc a b h c) - ↑(projIcc a b h d)| ≤ |c - d|
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Gluing

Goal state before:
pp: case refine_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : X
y z : Y
p : Z
⊢ 0 ∈ lowerBounds (range fun p ↦ dist x (Φ p) + dist z (Ψ p))

pp: case refine_2
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : X
y z : Y
p : Z
⊢ dist x (Φ p) + dist z (Ψ p) ≤ dist x (Φ p) + dist y (Ψ p) + dist y z

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : X
y z : Y
p : Z
⊢ 0 ∈ lowerBounds (range fun p ↦ dist x (Φ p) + dist z (Ψ p))
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Gluing

Goal state before:
pp: case refine_2
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : X
y z : Y
p : Z
⊢ dist x (Φ p) + dist z (Ψ p) ≤ dist x (Φ p) + dist y (Ψ p) + dist y z

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : X
y z : Y
p : Z
⊢ dist x (Φ p) + dist z (Ψ p) ≤ dist x (Φ p) + dist y (Ψ p) + dist y z
Module: Mathlib.Topology.UnitInterval

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c✝ d✝ : α
h : a ≤ b
c d : α
hdc : 0 ≤ c - d
⊢ |b - b| ≤ c - d

pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c✝ d✝ : α
h : a ≤ b
c d : α
hdc : 0 ≤ c - d
⊢ |c - d| ≤ c - d

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c✝ d✝ : α
h : a ≤ b
c d : α
hdc : 0 ≤ c - d
⊢ |b - b| ≤ c - d
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Lebesgue.DominatedConvergence

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i ↦ ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i ↦ f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), F a ≤ f i a
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ∞
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ∞
a : α
h_mono : Antitone fun i ↦ f i a
h : ∃ l, Tendsto (fun i ↦ f i a) atTop (𝓝 l)
⊢ ∃ l, Tendsto (fun i ↦ f i a) atTop (𝓝 l)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i ↦ ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i ↦ f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), F a ≤ f i a
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ∞
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ∞
a : α
h_mono : Antitone fun i ↦ f i a
h : ∃ l, Tendsto (fun i ↦ f i a) atTop (𝓝 l)
⊢ ∃ l, Tendsto (fun i ↦ f i a) atTop (𝓝 l)
Module: Mathlib.Topology.UnitInterval

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c✝ d✝ : α
h : a ≤ b
c d : α
hdc : 0 ≤ c - d
⊢ |c - d| ≤ c - d

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c✝ d✝ : α
h : a ≤ b
c d : α
hdc : 0 ≤ c - d
⊢ |c - d| ≤ c - d
Module: Mathlib.Topology.UnitInterval

Goal state before:
pp: case left
α : Type ?u.3
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a✝ b✝ c d : α
h : a✝ ≤ b✝
δ : α
a b : ℝ
x y : ↑(Icc a b)
t : ↑unitInterval
⊢ a ≤ (1 - ↑t) * ↑x + ↑t * ↑y

pp: case right
α : Type ?u.3
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a✝ b✝ c d : α
h : a✝ ≤ b✝
δ : α
a b : ℝ
x y : ↑(Icc a b)
t : ↑unitInterval
⊢ (1 - ↑t) * ↑x + ↑t * ↑y ≤ b

Tactic:
·

Goal state after:
case left
α : Type ?u.3
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a✝ b✝ c d : α
h : a✝ ≤ b✝
δ : α
a b : ℝ
x y : ↑(Icc a b)
t : ↑unitInterval
⊢ a ≤ (1 - ↑t) * ↑x + ↑t * ↑y
Module: Mathlib.Topology.UnitInterval

Goal state before:
pp: case right
α : Type ?u.3
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a✝ b✝ c d : α
h : a✝ ≤ b✝
δ : α
a b : ℝ
x y : ↑(Icc a b)
t : ↑unitInterval
⊢ (1 - ↑t) * ↑x + ↑t * ↑y ≤ b

Tactic:
·

Goal state after:
case right
α : Type ?u.3
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a✝ b✝ c d : α
h : a✝ ≤ b✝
δ : α
a b : ℝ
x y : ↑(Icc a b)
t : ↑unitInterval
⊢ (1 - ↑t) * ↑x + ↑t * ↑y ≤ b
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Gluing

Goal state before:
pp: case mp
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
⊢ ((∃ ε > 0, ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < ε → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s) ∧
      ∃ ε > 0, ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < ε → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s) →
    ∃ δ > 0, ∀ (a b : X ⊕ Y), glueDist Φ Ψ ε a b < δ → (a, b) ∈ s

pp: case mpr
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
⊢ (∃ δ > 0, ∀ (a b : X ⊕ Y), glueDist Φ Ψ ε a b < δ → (a, b) ∈ s) →
    (∃ ε > 0, ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < ε → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s) ∧
      ∃ ε > 0, ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < ε → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
⊢ ((∃ ε > 0, ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < ε → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s) ∧
      ∃ ε > 0, ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < ε → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s) →
    ∃ δ > 0, ∀ (a b : X ⊕ Y), glueDist Φ Ψ ε a b < δ → (a, b) ∈ s
Module: Mathlib.Topology.UnitInterval

Goal state before:
pp: case ha
α : Type ?u.3
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α
s t : ↑unitInterval
⊢ 0 ≤ ↑s * (1 - ↑t)

pp: case hb
α : Type ?u.3
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α
s t : ↑unitInterval
⊢ 0 ≤ 1 - ↑s * ↑t

Tactic:
·

Goal state after:
case ha
α : Type ?u.3
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α
s t : ↑unitInterval
⊢ 0 ≤ ↑s * (1 - ↑t)
Module: Mathlib.Topology.UnitInterval

Goal state before:
pp: case hb
α : Type ?u.3
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α
s t : ↑unitInterval
⊢ 0 ≤ 1 - ↑s * ↑t

Tactic:
·

Goal state after:
case hb
α : Type ?u.3
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α
s t : ↑unitInterval
⊢ 0 ≤ 1 - ↑s * ↑t
Module: Mathlib.Topology.UnitInterval

Goal state before:
pp: case h
α : Type ?u.3
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α
s t : ↑unitInterval
⊢ ↑s * (1 - ↑t) ≤ 1 - ↑s * ↑t

pp: case hb
α : Type ?u.3
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α
s t : ↑unitInterval
⊢ 0 ≤ 1 - ↑s * ↑t

Tactic:
·

Goal state after:
case h
α : Type ?u.3
inst✝² : AddCommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α
s t : ↑unitInterval
⊢ ↑s * (1 - ↑t) ≤ 1 - ↑s * ↑t
Module: Mathlib.Topology.UnitInterval

Goal state before:
pp: case pos
a b : ℝ
x y z : ↑(Icc a b)
s t : ↑unitInterval
hs : ↑s = 1
⊢ (1 - ↑s) * ↑x + ↑s * ((1 - ↑t) * ↑y + ↑t * ↑z) =
    (1 - ↑s * ↑t) * ((1 - ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t)) * ↑x + ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t) * ↑y) + ↑s * ↑t * ↑z

pp: case neg
a b : ℝ
x y z : ↑(Icc a b)
s t : ↑unitInterval
hs : ¬↑s = 1
⊢ (1 - ↑s) * ↑x + ↑s * ((1 - ↑t) * ↑y + ↑t * ↑z) =
    (1 - ↑s * ↑t) * ((1 - ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t)) * ↑x + ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t) * ↑y) + ↑s * ↑t * ↑z

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
a b : ℝ
x y z : ↑(Icc a b)
s t : ↑unitInterval
hs : ↑s = 1
⊢ (1 - ↑s) * ↑x + ↑s * ((1 - ↑t) * ↑y + ↑t * ↑z) =
    (1 - ↑s * ↑t) * ((1 - ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t)) * ↑x + ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t) * ↑y) + ↑s * ↑t * ↑z
Module: Mathlib.Topology.UnitInterval

Goal state before:
pp: case pos
a b : ℝ
x y z : ↑(Icc a b)
s t : ↑unitInterval
hs : ↑s = 1
ht : ↑t = 1
⊢ (1 - 1) * ↑x + 1 * ((1 - ↑t) * ↑y + ↑t * ↑z) =
    (1 - 1 * ↑t) * ((1 - 1 * (1 - ↑t) / (1 - 1 * ↑t)) * ↑x + 1 * (1 - ↑t) / (1 - 1 * ↑t) * ↑y) + 1 * ↑t * ↑z

pp: case neg
a b : ℝ
x y z : ↑(Icc a b)
s t : ↑unitInterval
hs : ↑s = 1
ht : ¬↑t = 1
⊢ (1 - 1) * ↑x + 1 * ((1 - ↑t) * ↑y + ↑t * ↑z) =
    (1 - 1 * ↑t) * ((1 - 1 * (1 - ↑t) / (1 - 1 * ↑t)) * ↑x + 1 * (1 - ↑t) / (1 - 1 * ↑t) * ↑y) + 1 * ↑t * ↑z

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
a b : ℝ
x y z : ↑(Icc a b)
s t : ↑unitInterval
hs : ↑s = 1
ht : ↑t = 1
⊢ (1 - 1) * ↑x + 1 * ((1 - ↑t) * ↑y + ↑t * ↑z) =
    (1 - 1 * ↑t) * ((1 - 1 * (1 - ↑t) / (1 - 1 * ↑t)) * ↑x + 1 * (1 - ↑t) / (1 - 1 * ↑t) * ↑y) + 1 * ↑t * ↑z
Module: Mathlib.Topology.UnitInterval

Goal state before:
pp: case neg
a b : ℝ
x y z : ↑(Icc a b)
s t : ↑unitInterval
hs : ↑s = 1
ht : ¬↑t = 1
⊢ (1 - 1) * ↑x + 1 * ((1 - ↑t) * ↑y + ↑t * ↑z) =
    (1 - 1 * ↑t) * ((1 - 1 * (1 - ↑t) / (1 - 1 * ↑t)) * ↑x + 1 * (1 - ↑t) / (1 - 1 * ↑t) * ↑y) + 1 * ↑t * ↑z

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
a b : ℝ
x y z : ↑(Icc a b)
s t : ↑unitInterval
hs : ↑s = 1
ht : ¬↑t = 1
⊢ (1 - 1) * ↑x + 1 * ((1 - ↑t) * ↑y + ↑t * ↑z) =
    (1 - 1 * ↑t) * ((1 - 1 * (1 - ↑t) / (1 - 1 * ↑t)) * ↑x + 1 * (1 - ↑t) / (1 - 1 * ↑t) * ↑y) + 1 * ↑t * ↑z
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Gluing

Goal state before:
pp: case mp.inl.inl
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
δX : ℝ
δX0 : δX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < δX → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s
δY : ℝ
δY0 : δY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < δY → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s
a b : X
h :
  (glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl a) (Sum.inl b) < δX ∧ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl a) (Sum.inl b) < δY) ∧
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl a) (Sum.inl b) < ε
⊢ (Sum.inl a, Sum.inl b) ∈ s

pp: case mp.inl.inr
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
δX : ℝ
δX0 : δX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < δX → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s
δY : ℝ
δY0 : δY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < δY → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s
a : X
b : Y
h :
  (glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl a) (Sum.inr b) < δX ∧ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl a) (Sum.inr b) < δY) ∧
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl a) (Sum.inr b) < ε
⊢ (Sum.inl a, Sum.inr b) ∈ s

pp: case mp.inr.inl
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
δX : ℝ
δX0 : δX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < δX → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s
δY : ℝ
δY0 : δY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < δY → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s
a : Y
b : X
h :
  (glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inl b) < δX ∧ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inl b) < δY) ∧
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inl b) < ε
⊢ (Sum.inr a, Sum.inl b) ∈ s

pp: case mp.inr.inr
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
δX : ℝ
δX0 : δX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < δX → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s
δY : ℝ
δY0 : δY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < δY → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s
a b : Y
h :
  (glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inr b) < δX ∧ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inr b) < δY) ∧
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inr b) < ε
⊢ (Sum.inr a, Sum.inr b) ∈ s

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.inl.inl
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
δX : ℝ
δX0 : δX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < δX → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s
δY : ℝ
δY0 : δY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < δY → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s
a b : X
h :
  (glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl a) (Sum.inl b) < δX ∧ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl a) (Sum.inl b) < δY) ∧
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl a) (Sum.inl b) < ε
⊢ (Sum.inl a, Sum.inl b) ∈ s
Module: Mathlib.Topology.UnitInterval

Goal state before:
pp: case neg
a b : ℝ
x y z : ↑(Icc a b)
s t : ↑unitInterval
hs : ¬↑s = 1
⊢ (1 - ↑s) * ↑x + ↑s * ((1 - ↑t) * ↑y + ↑t * ↑z) =
    (1 - ↑s * ↑t) * ((1 - ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t)) * ↑x + ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t) * ↑y) + ↑s * ↑t * ↑z

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
a b : ℝ
x y z : ↑(Icc a b)
s t : ↑unitInterval
hs : ¬↑s = 1
⊢ (1 - ↑s) * ↑x + ↑s * ((1 - ↑t) * ↑y + ↑t * ↑z) =
    (1 - ↑s * ↑t) * ((1 - ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t)) * ↑x + ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t) * ↑y) + ↑s * ↑t * ↑z
Module: Mathlib.Topology.UnitInterval

Goal state before:
pp: case pos
a b : ℝ
x y z : ↑(Icc a b)
s t : ↑unitInterval
hs : ¬↑s = 1
ht : ↑t = 1
⊢ (1 - ↑s) * ↑x + ↑s * ((1 - ↑t) * ↑y + ↑t * ↑z) =
    (1 - ↑s * ↑t) * ((1 - ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t)) * ↑x + ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t) * ↑y) + ↑s * ↑t * ↑z

pp: case neg
a b : ℝ
x y z : ↑(Icc a b)
s t : ↑unitInterval
hs : ¬↑s = 1
ht : ¬↑t = 1
⊢ (1 - ↑s) * ↑x + ↑s * ((1 - ↑t) * ↑y + ↑t * ↑z) =
    (1 - ↑s * ↑t) * ((1 - ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t)) * ↑x + ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t) * ↑y) + ↑s * ↑t * ↑z

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
a b : ℝ
x y z : ↑(Icc a b)
s t : ↑unitInterval
hs : ¬↑s = 1
ht : ↑t = 1
⊢ (1 - ↑s) * ↑x + ↑s * ((1 - ↑t) * ↑y + ↑t * ↑z) =
    (1 - ↑s * ↑t) * ((1 - ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t)) * ↑x + ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t) * ↑y) + ↑s * ↑t * ↑z
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Gluing

Goal state before:
pp: case mp.inl.inr
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
δX : ℝ
δX0 : δX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < δX → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s
δY : ℝ
δY0 : δY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < δY → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s
a : X
b : Y
h :
  (glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl a) (Sum.inr b) < δX ∧ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl a) (Sum.inr b) < δY) ∧
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl a) (Sum.inr b) < ε
⊢ (Sum.inl a, Sum.inr b) ∈ s

pp: case mp.inr.inl
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
δX : ℝ
δX0 : δX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < δX → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s
δY : ℝ
δY0 : δY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < δY → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s
a : Y
b : X
h :
  (glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inl b) < δX ∧ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inl b) < δY) ∧
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inl b) < ε
⊢ (Sum.inr a, Sum.inl b) ∈ s

pp: case mp.inr.inr
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
δX : ℝ
δX0 : δX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < δX → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s
δY : ℝ
δY0 : δY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < δY → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s
a b : Y
h :
  (glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inr b) < δX ∧ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inr b) < δY) ∧
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inr b) < ε
⊢ (Sum.inr a, Sum.inr b) ∈ s

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.inl.inr
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
δX : ℝ
δX0 : δX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < δX → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s
δY : ℝ
δY0 : δY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < δY → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s
a : X
b : Y
h :
  (glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl a) (Sum.inr b) < δX ∧ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl a) (Sum.inr b) < δY) ∧
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl a) (Sum.inr b) < ε
⊢ (Sum.inl a, Sum.inr b) ∈ s
Module: Mathlib.Topology.UnitInterval

Goal state before:
pp: case neg
a b : ℝ
x y z : ↑(Icc a b)
s t : ↑unitInterval
hs : ¬↑s = 1
ht : ¬↑t = 1
⊢ (1 - ↑s) * ↑x + ↑s * ((1 - ↑t) * ↑y + ↑t * ↑z) =
    (1 - ↑s * ↑t) * ((1 - ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t)) * ↑x + ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t) * ↑y) + ↑s * ↑t * ↑z

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
a b : ℝ
x y z : ↑(Icc a b)
s t : ↑unitInterval
hs : ¬↑s = 1
ht : ¬↑t = 1
⊢ (1 - ↑s) * ↑x + ↑s * ((1 - ↑t) * ↑y + ↑t * ↑z) =
    (1 - ↑s * ↑t) * ((1 - ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t)) * ↑x + ↑s * (1 - ↑t) / (1 - ↑s * ↑t) * ↑y) + ↑s * ↑t * ↑z
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Gluing

Goal state before:
pp: case mp.inr.inl
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
δX : ℝ
δX0 : δX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < δX → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s
δY : ℝ
δY0 : δY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < δY → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s
a : Y
b : X
h :
  (glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inl b) < δX ∧ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inl b) < δY) ∧
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inl b) < ε
⊢ (Sum.inr a, Sum.inl b) ∈ s

pp: case mp.inr.inr
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
δX : ℝ
δX0 : δX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < δX → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s
δY : ℝ
δY0 : δY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < δY → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s
a b : Y
h :
  (glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inr b) < δX ∧ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inr b) < δY) ∧
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inr b) < ε
⊢ (Sum.inr a, Sum.inr b) ∈ s

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.inr.inl
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
δX : ℝ
δX0 : δX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < δX → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s
δY : ℝ
δY0 : δY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < δY → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s
a : Y
b : X
h :
  (glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inl b) < δX ∧ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inl b) < δY) ∧
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inl b) < ε
⊢ (Sum.inr a, Sum.inl b) ∈ s
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Gluing

Goal state before:
pp: case mp.inr.inr
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
δX : ℝ
δX0 : δX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < δX → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s
δY : ℝ
δY0 : δY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < δY → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s
a b : Y
h :
  (glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inr b) < δX ∧ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inr b) < δY) ∧
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inr b) < ε
⊢ (Sum.inr a, Sum.inr b) ∈ s

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.inr.inr
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
δX : ℝ
δX0 : δX > 0
hX : ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < δX → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s
δY : ℝ
δY0 : δY > 0
hY : ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < δY → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s
a b : Y
h :
  (glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inr b) < δX ∧ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inr b) < δY) ∧
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr a) (Sum.inr b) < ε
⊢ (Sum.inr a, Sum.inr b) ∈ s
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Gluing

Goal state before:
pp: case mpr
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
⊢ (∃ δ > 0, ∀ (a b : X ⊕ Y), glueDist Φ Ψ ε a b < δ → (a, b) ∈ s) →
    (∃ ε > 0, ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < ε → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s) ∧
      ∃ ε > 0, ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < ε → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hε : 0 < ε
s : Set ((X ⊕ Y) × (X ⊕ Y))
⊢ (∃ δ > 0, ∀ (a b : X ⊕ Y), glueDist Φ Ψ ε a b < δ → (a, b) ∈ s) →
    (∃ ε > 0, ∀ ⦃a b : X⦄, dist a b < ε → Prod.map Sum.inl Sum.inl (a, b) ∈ s) ∧
      ∃ ε > 0, ∀ ⦃a b : Y⦄, dist a b < ε → Prod.map Sum.inr Sum.inr (a, b) ∈ s
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.PiNat

Goal state before:
pp: case mp
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
⊢ y ∈ cylinder x n → cylinder y n = cylinder x n

pp: case mpr
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
⊢ cylinder y n = cylinder x n → y ∈ cylinder x n

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
⊢ y ∈ cylinder x n → cylinder y n = cylinder x n
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.PiNat

Goal state before:
pp: case mp.h₁
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hy : y ∈ cylinder x n
⊢ cylinder y n ⊆ cylinder x n

pp: case mp.h₂
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hy : y ∈ cylinder x n
⊢ cylinder x n ⊆ cylinder y n

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.h₁
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hy : y ∈ cylinder x n
⊢ cylinder y n ⊆ cylinder x n