mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.IsUniformGroup.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
G✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace G✝
inst✝³ : IsTopologicalGroup G✝
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
this✝ : UniformSpace G := IsTopologicalGroup.leftUniformSpace G
this : UniformSpace Gᵐᵒᵖ := IsTopologicalGroup.rightUniformSpace Gᵐᵒᵖ
⊢ UniformContinuous opEquiv.toFun

pp: case refine_2
G✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace G✝
inst✝³ : IsTopologicalGroup G✝
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
this✝ : UniformSpace G := IsTopologicalGroup.leftUniformSpace G
this : UniformSpace Gᵐᵒᵖ := IsTopologicalGroup.rightUniformSpace Gᵐᵒᵖ
⊢ UniformContinuous opEquiv.invFun

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
G✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace G✝
inst✝³ : IsTopologicalGroup G✝
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
this✝ : UniformSpace G := IsTopologicalGroup.leftUniformSpace G
this : UniformSpace Gᵐᵒᵖ := IsTopologicalGroup.rightUniformSpace Gᵐᵒᵖ
⊢ UniformContinuous opEquiv.toFun
Module: Mathlib.Topology.Algebra.IsUniformGroup.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
G✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace G✝
inst✝³ : IsTopologicalGroup G✝
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
this✝ : UniformSpace G := IsTopologicalGroup.leftUniformSpace G
this : UniformSpace Gᵐᵒᵖ := IsTopologicalGroup.rightUniformSpace Gᵐᵒᵖ
⊢ UniformContinuous opEquiv.invFun

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
G✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace G✝
inst✝³ : IsTopologicalGroup G✝
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
this✝ : UniformSpace G := IsTopologicalGroup.leftUniformSpace G
this : UniformSpace Gᵐᵒᵖ := IsTopologicalGroup.rightUniformSpace Gᵐᵒᵖ
⊢ UniformContinuous opEquiv.invFun
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Field

Goal state before:
pp: case inl
K✝ : Type u_1
inst✝⁴ : DivisionRing K✝
inst✝³ : TopologicalSpace K✝
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsTopologicalDivisionRing α
K : Subfield α
hx : 0 ∈ closure ↑K
⊢ 0⁻¹ ∈ closure ↑K

pp: case inr
K✝ : Type u_1
inst✝⁴ : DivisionRing K✝
inst✝³ : TopologicalSpace K✝
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsTopologicalDivisionRing α
K : Subfield α
x : α
hx : x ∈ closure ↑K
h : x ≠ 0
⊢ x⁻¹ ∈ closure ↑K

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
K✝ : Type u_1
inst✝⁴ : DivisionRing K✝
inst✝³ : TopologicalSpace K✝
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsTopologicalDivisionRing α
K : Subfield α
hx : 0 ∈ closure ↑K
⊢ 0⁻¹ ∈ closure ↑K
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Field

Goal state before:
pp: case inr
K✝ : Type u_1
inst✝⁴ : DivisionRing K✝
inst✝³ : TopologicalSpace K✝
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsTopologicalDivisionRing α
K : Subfield α
x : α
hx : x ∈ closure ↑K
h : x ≠ 0
⊢ x⁻¹ ∈ closure ↑K

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
K✝ : Type u_1
inst✝⁴ : DivisionRing K✝
inst✝³ : TopologicalSpace K✝
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsTopologicalDivisionRing α
K : Subfield α
x : α
hx : x ∈ closure ↑K
h : x ≠ 0
⊢ x⁻¹ ∈ closure ↑K
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Field

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : ContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
y : α
hy : y ∈ S
hy' : f y = g y
x : α
hx : x ∈ S
h : EqOn f g S
⊢ f x = g x

pp: case inr
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : ContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
y : α
hy : y ∈ S
hy' : f y = g y
x : α
hx : x ∈ S
h : EqOn f (-g) S
⊢ f x = g x

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : ContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
y : α
hy : y ∈ S
hy' : f y = g y
x : α
hx : x ∈ S
h : EqOn f g S
⊢ f x = g x
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Field

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : ContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
y : α
hy : y ∈ S
hy' : f y = g y
x : α
hx : x ∈ S
h : EqOn f (-g) S
⊢ f x = g x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : ContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
y : α
hy : y ∈ S
hy' : f y = g y
x : α
hx : x ∈ S
h : EqOn f (-g) S
⊢ f x = g x
Module: Mathlib.Order.Interval.Set.Pi

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
x : (a : ι) → α a
⊢ x ∈ update f i '' Icc a b → x ∈ univ.pi fun i_1 ↦ Icc (update f i a i_1) (update f i b i_1)

pp: case refine_2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
x : (a : ι) → α a
h : x ∈ univ.pi fun i_1 ↦ Icc (update f i a i_1) (update f i b i_1)
⊢ x i ∈ Icc a b

pp: case refine_3
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
x : (a : ι) → α a
h : x ∈ univ.pi fun i_1 ↦ Icc (update f i a i_1) (update f i b i_1)
⊢ update f i (x i) = x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
x : (a : ι) → α a
⊢ x ∈ update f i '' Icc a b → x ∈ univ.pi fun i_1 ↦ Icc (update f i a i_1) (update f i b i_1)
Module: Mathlib.Order.Interval.Set.Pi

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
x : (a : ι) → α a
h : x ∈ univ.pi fun i_1 ↦ Icc (update f i a i_1) (update f i b i_1)
⊢ x i ∈ Icc a b

pp: case refine_3
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
x : (a : ι) → α a
h : x ∈ univ.pi fun i_1 ↦ Icc (update f i a i_1) (update f i b i_1)
⊢ update f i (x i) = x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
x : (a : ι) → α a
h : x ∈ univ.pi fun i_1 ↦ Icc (update f i a i_1) (update f i b i_1)
⊢ x i ∈ Icc a b
Module: Mathlib.Order.Interval.Set.Pi

Goal state before:
pp: case refine_3
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
x : (a : ι) → α a
h : x ∈ univ.pi fun i_1 ↦ Icc (update f i a i_1) (update f i b i_1)
⊢ update f i (x i) = x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
x : (a : ι) → α a
h : x ∈ univ.pi fun i_1 ↦ Icc (update f i a i_1) (update f i b i_1)
⊢ update f i (x i) = x
Module: Mathlib.Order.Interval.Set.Pi

Goal state before:
pp: case refine_3.inl
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
x : (a : ι) → α a
h : x ∈ univ.pi fun i_1 ↦ Icc (update f i a i_1) (update f i b i_1)
⊢ update f i (x i) i = x i

pp: case refine_3.inr
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
x : (a : ι) → α a
h : x ∈ univ.pi fun i_1 ↦ Icc (update f i a i_1) (update f i b i_1)
j : ι
hij : i ≠ j
⊢ update f i (x i) j = x j

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3.inl
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
x : (a : ι) → α a
h : x ∈ univ.pi fun i_1 ↦ Icc (update f i a i_1) (update f i b i_1)
⊢ update f i (x i) i = x i
Module: Mathlib.Order.Interval.Set.Pi

Goal state before:
pp: case refine_3.inr
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
x : (a : ι) → α a
h : x ∈ univ.pi fun i_1 ↦ Icc (update f i a i_1) (update f i b i_1)
j : ι
hij : i ≠ j
⊢ update f i (x i) j = x j

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3.inr
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i
x : (a : ι) → α a
h : x ∈ univ.pi fun i_1 ↦ Icc (update f i a i_1) (update f i b i_1)
j : ι
hij : i ≠ j
⊢ update f i (x i) j = x j
Module: Mathlib.Topology.Algebra.IsUniformGroup.Basic

Goal state before:
pp: case left
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace α
inst✝¹³ : AddCommGroup α
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup α
inst✝¹¹ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁰ : AddCommGroup β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
inst✝⁸ : AddCommGroup γ
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace δ
inst✝⁵ : AddCommGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝⁴.toTopologicalSpace] fun p ↦ (φ p.1) p.2
inst✝² : IsUniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
⊢ (map (fun p ↦ (φ p.1) p.2) (comap (Prod.map ⇑e ⇑f) (𝓝 (x₀, y₀)))).NeBot

pp: case right
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace α
inst✝¹³ : AddCommGroup α
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup α
inst✝¹¹ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁰ : AddCommGroup β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
inst✝⁸ : AddCommGroup γ
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace δ
inst✝⁵ : AddCommGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝⁴.toTopologicalSpace] fun p ↦ (φ p.1) p.2
inst✝² : IsUniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
⊢ map (fun p ↦ (φ p.1) p.2) (comap (Prod.map ⇑e ⇑f) (𝓝 (x₀, y₀))) ×ˢ
      map (fun p ↦ (φ p.1) p.2) (comap (Prod.map ⇑e ⇑f) (𝓝 (x₀, y₀))) ≤
    𝓤 G

Tactic:
·

Goal state after:
case left
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace α
inst✝¹³ : AddCommGroup α
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup α
inst✝¹¹ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁰ : AddCommGroup β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
inst✝⁸ : AddCommGroup γ
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace δ
inst✝⁵ : AddCommGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝⁴.toTopologicalSpace] fun p ↦ (φ p.1) p.2
inst✝² : IsUniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
⊢ (map (fun p ↦ (φ p.1) p.2) (comap (Prod.map ⇑e ⇑f) (𝓝 (x₀, y₀)))).NeBot
Module: Mathlib.Order.Filter.Interval

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
l : Filter α
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
s : Set (Set α)
hs : s ∈ l.smallSets
t : Set α
htl : t ∈ l
hts : ∀ p ∈ t ×ˢ t, Icc p.1 p.2 ∈ s
p : α × α
hp : p ∈ t ×ˢ t
h : p.1 ≤ p.2
⊢ p ∈ (fun p ↦ [[p.1, p.2]]) ⁻¹' s

pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
l : Filter α
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
s : Set (Set α)
hs : s ∈ l.smallSets
t : Set α
htl : t ∈ l
hts : ∀ p ∈ t ×ˢ t, Icc p.1 p.2 ∈ s
p : α × α
hp : p ∈ t ×ˢ t
h : p.2 ≤ p.1
⊢ p ∈ (fun p ↦ [[p.1, p.2]]) ⁻¹' s

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
l : Filter α
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
s : Set (Set α)
hs : s ∈ l.smallSets
t : Set α
htl : t ∈ l
hts : ∀ p ∈ t ×ˢ t, Icc p.1 p.2 ∈ s
p : α × α
hp : p ∈ t ×ˢ t
h : p.1 ≤ p.2
⊢ p ∈ (fun p ↦ [[p.1, p.2]]) ⁻¹' s
Module: Mathlib.Order.Filter.Interval

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
l : Filter α
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
s : Set (Set α)
hs : s ∈ l.smallSets
t : Set α
htl : t ∈ l
hts : ∀ p ∈ t ×ˢ t, Icc p.1 p.2 ∈ s
p : α × α
hp : p ∈ t ×ˢ t
h : p.2 ≤ p.1
⊢ p ∈ (fun p ↦ [[p.1, p.2]]) ⁻¹' s

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
l : Filter α
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
s : Set (Set α)
hs : s ∈ l.smallSets
t : Set α
htl : t ∈ l
hts : ∀ p ∈ t ×ˢ t, Icc p.1 p.2 ∈ s
p : α × α
hp : p ∈ t ×ˢ t
h : p.2 ≤ p.1
⊢ p ∈ (fun p ↦ [[p.1, p.2]]) ⁻¹' s
Module: Mathlib.Topology.Algebra.IsUniformGroup.Basic

Goal state before:
pp: case right
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace α
inst✝¹³ : AddCommGroup α
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup α
inst✝¹¹ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁰ : AddCommGroup β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
inst✝⁸ : AddCommGroup γ
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace δ
inst✝⁵ : AddCommGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝⁴.toTopologicalSpace] fun p ↦ (φ p.1) p.2
inst✝² : IsUniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
⊢ map (fun p ↦ (φ p.1) p.2) (comap (Prod.map ⇑e ⇑f) (𝓝 (x₀, y₀))) ×ˢ
      map (fun p ↦ (φ p.1) p.2) (comap (Prod.map ⇑e ⇑f) (𝓝 (x₀, y₀))) ≤
    𝓤 G

Tactic:
·

Goal state after:
case right
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace α
inst✝¹³ : AddCommGroup α
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup α
inst✝¹¹ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁰ : AddCommGroup β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
inst✝⁸ : AddCommGroup γ
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace δ
inst✝⁵ : AddCommGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝⁴.toTopologicalSpace] fun p ↦ (φ p.1) p.2
inst✝² : IsUniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
⊢ map (fun p ↦ (φ p.1) p.2) (comap (Prod.map ⇑e ⇑f) (𝓝 (x₀, y₀))) ×ˢ
      map (fun p ↦ (φ p.1) p.2) (comap (Prod.map ⇑e ⇑f) (𝓝 (x₀, y₀))) ≤
    𝓤 G
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Order.Group

Goal state before:
pp: case inl
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a b ε : G
hε : ε > 1
δ : G
hδ₁ : 1 < δ
hδε : δ < ε
⊢ ∀ᶠ (b_1 : G × G) in 𝓝 (a, b), |b_1.1 * b_1.2 / (a * b)|ₘ < ε

pp: case inr
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a b ε : G
hε : ε > 1
hε_min : ∀ a < ε, a ≤ 1
⊢ ∀ᶠ (b_1 : G × G) in 𝓝 (a, b), |b_1.1 * b_1.2 / (a * b)|ₘ < ε

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a b ε : G
hε : ε > 1
δ : G
hδ₁ : 1 < δ
hδε : δ < ε
⊢ ∀ᶠ (b_1 : G × G) in 𝓝 (a, b), |b_1.1 * b_1.2 / (a * b)|ₘ < ε
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Order.Group

Goal state before:
pp: case inr
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a b ε : G
hε : ε > 1
hε_min : ∀ a < ε, a ≤ 1
⊢ ∀ᶠ (b_1 : G × G) in 𝓝 (a, b), |b_1.1 * b_1.2 / (a * b)|ₘ < ε

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a b ε : G
hε : ε > 1
hε_min : ∀ a < ε, a ≤ 1
⊢ ∀ᶠ (b_1 : G × G) in 𝓝 (a, b), |b_1.1 * b_1.2 / (a * b)|ₘ < ε
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Order.Group

Goal state before:
pp: case inr
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a : G
h : DenseRange fun x ↦ a ^ x
this : ∀ {a : G}, (DenseRange fun x ↦ a ^ x) → 1 < a → Surjective fun x ↦ a ^ x
ha₀ : a ≤ 1
⊢ Surjective fun x ↦ a ^ x

pp: G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a : G
h : DenseRange fun x ↦ a ^ x
ha₀ : 1 < a
⊢ Surjective fun x ↦ a ^ x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a : G
h : DenseRange fun x ↦ a ^ x
this : ∀ {a : G}, (DenseRange fun x ↦ a ^ x) → 1 < a → Surjective fun x ↦ a ^ x
ha₀ : a ≤ 1
⊢ Surjective fun x ↦ a ^ x
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Order.Group

Goal state before:
pp: case inr.inl
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
this : ∀ {a : G}, Dense (range fun x ↦ a ^ x) → 1 < a → (range fun x ↦ a ^ x) = univ
h : Dense (range fun x ↦ 1 ^ x)
ha₀ : 1 ≤ 1
⊢ (range fun x ↦ 1 ^ x) = univ

pp: case inr.inr
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a : G
h : Dense (range fun x ↦ a ^ x)
ha₀ : a ≤ 1
this : ∀ {a : G}, Dense (range fun x ↦ a ^ x) → 1 < a → (range fun x ↦ a ^ x) = univ
hlt : a < 1
⊢ (range fun x ↦ a ^ x) = univ

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
this : ∀ {a : G}, Dense (range fun x ↦ a ^ x) → 1 < a → (range fun x ↦ a ^ x) = univ
h : Dense (range fun x ↦ 1 ^ x)
ha₀ : 1 ≤ 1
⊢ (range fun x ↦ 1 ^ x) = univ
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Order.Group

Goal state before:
pp: case inr.inr
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a : G
h : Dense (range fun x ↦ a ^ x)
ha₀ : a ≤ 1
this : ∀ {a : G}, Dense (range fun x ↦ a ^ x) → 1 < a → (range fun x ↦ a ^ x) = univ
hlt : a < 1
⊢ (range fun x ↦ a ^ x) = univ

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a : G
h : Dense (range fun x ↦ a ^ x)
ha₀ : a ≤ 1
this : ∀ {a : G}, Dense (range fun x ↦ a ^ x) → 1 < a → (range fun x ↦ a ^ x) = univ
hlt : a < 1
⊢ (range fun x ↦ a ^ x) = univ
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Order.Group

Goal state before:
pp: case inl
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a : G
h : DenseRange fun x ↦ a ^ x
ha₀ : 1 < a
m : ℤ
hm : a ^ (m - 1) < a ^ m
hm' : a ^ m < a ^ (m - 1) * a * a
⊢ ∃ a_1, (fun x ↦ a ^ x) a_1 = a ^ (m - 1)

pp: case inr
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a : G
h : DenseRange fun x ↦ a ^ x
ha₀ : 1 < a
b : G
m : ℤ
hm : b < a ^ m
hm' : a ^ m < b * a * a
hne : b ≠ a ^ (m - 1)
⊢ ∃ a_1, (fun x ↦ a ^ x) a_1 = b

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a : G
h : DenseRange fun x ↦ a ^ x
ha₀ : 1 < a
m : ℤ
hm : a ^ (m - 1) < a ^ m
hm' : a ^ m < a ^ (m - 1) * a * a
⊢ ∃ a_1, (fun x ↦ a ^ x) a_1 = a ^ (m - 1)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Order.Group

Goal state before:
pp: case inr.inl
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a : G
h : DenseRange fun x ↦ a ^ x
ha₀ : 1 < a
b : G
m : ℤ
hm : b < a ^ m
hm' : a ^ m < b * a * a
hne : b ≠ a ^ (m - 1)
hlt : b < a ^ (m - 1)
⊢ (Ioo (a ^ m) (a ^ (m + 1))).Nonempty

pp: case inr.inr
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a : G
h : DenseRange fun x ↦ a ^ x
ha₀ : 1 < a
b : G
m : ℤ
hm : b < a ^ m
hm' : a ^ m < b * a * a
hne : b ≠ a ^ (m - 1)
hlt : a ^ (m - 1) < b
⊢ (Ioo (a ^ m) (a ^ (m + 1))).Nonempty

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a : G
h : DenseRange fun x ↦ a ^ x
ha₀ : 1 < a
b : G
m : ℤ
hm : b < a ^ m
hm' : a ^ m < b * a * a
hne : b ≠ a ^ (m - 1)
hlt : b < a ^ (m - 1)
⊢ (Ioo (a ^ m) (a ^ (m + 1))).Nonempty
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Order.Group

Goal state before:
pp: case inr.inr
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a : G
h : DenseRange fun x ↦ a ^ x
ha₀ : 1 < a
b : G
m : ℤ
hm : b < a ^ m
hm' : a ^ m < b * a * a
hne : b ≠ a ^ (m - 1)
hlt : a ^ (m - 1) < b
⊢ (Ioo (a ^ m) (a ^ (m + 1))).Nonempty

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
G : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : LinearOrder G
inst✝¹ : IsOrderedMonoid G
inst✝ : OrderTopology G
a : G
h : DenseRange fun x ↦ a ^ x
ha₀ : 1 < a
b : G
m : ℤ
hm : b < a ^ m
hm' : a ^ m < b * a * a
hne : b ≠ a ^ (m - 1)
hlt : a ^ (m - 1) < b
⊢ (Ioo (a ^ m) (a ^ (m + 1))).Nonempty
Module: Mathlib.Topology.Order.LeftRightNhds

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
hab : a < b
s : Set α
tfae_1_iff_2 : s ∈ 𝓝[>] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioc a b] a
tfae_1_iff_3 : s ∈ 𝓝[>] a ↔ s ∈ 𝓝[Ioo a b] a
tfae_4_to_5 : (∃ u ∈ Ioc a b, Ioo a u ⊆ s) → ∃ u ∈ Ioi a, Ioo a u ⊆ s
tfae_5_to_1 : (∃ u ∈ Ioi a, Ioo a u ⊆ s) → s ∈ 𝓝[>] a
tfae_1_to_4 : s ∈ 𝓝[>] a → ∃ u ∈ Ioc a b, Ioo a u ⊆ s
⊢ [s ∈ 𝓝[>] a, s ∈ 𝓝[Ioc a b] a, s ∈ 𝓝[Ioo a b] a, ∃ u ∈ Ioc a b, Ioo a u ⊆ s, ∃ u ∈ Ioi a, Ioo a u ⊆ s].TFAE

Tactic:
tfae_finish

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Order.LeftRightNhds

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
ha : IsTop a
⊢ 𝓝[>] a = ⊥ ↔ IsTop a ∨ ∃ b, a ⋖ b

pp: case neg
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
ha : ¬IsTop a
⊢ 𝓝[>] a = ⊥ ↔ IsTop a ∨ ∃ b, a ⋖ b

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
ha : IsTop a
⊢ 𝓝[>] a = ⊥ ↔ IsTop a ∨ ∃ b, a ⋖ b
Module: Mathlib.Topology.Order.LeftRightNhds

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
ha : ¬IsTop a
⊢ 𝓝[>] a = ⊥ ↔ IsTop a ∨ ∃ b, a ⋖ b

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
ha : ¬IsTop a
⊢ 𝓝[>] a = ⊥ ↔ IsTop a ∨ ∃ b, a ⋖ b