mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Basic

Goal state before:
pp: case e_a.e_a
σ : Type u_1
A : Type u
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
X : Scheme
f : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
x x' : ↑Γ(X, ⊤)
t : A
d : ℕ
H : f t = x
h0d : 0 < d
hd : t ∈ 𝒜 d
s : A
n : ℕ
hs : s ∈ 𝒜 n
hx'x : PrimeSpectrum.basicOpen x' ≤ PrimeSpectrum.basicOpen x
H' : f (t * s) = x'
h0d' : 0 < d + n
hd' : t * s ∈ 𝒜 (d + n)
x✝ : Away 𝒜 t
⊢ (IsLocalization.Away.awayToAwayRight x (f s)) ((IsLocalization.map (Localization.Away x) f ⋯) (val x✝)) =
    (IsLocalization.map (Localization.Away x') f ⋯)
      ((Localization.awayLift (algebraMap A (Localization (Submonoid.powers (t * s)))) t ⋯) (val x✝))

Tactic:
simp only [← RingHom.comp_apply]

Goal state after:
case e_a.e_a
σ : Type u_1
A : Type u
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
X : Scheme
f : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
x x' : ↑Γ(X, ⊤)
t : A
d : ℕ
H : f t = x
h0d : 0 < d
hd : t ∈ 𝒜 d
s : A
n : ℕ
hs : s ∈ 𝒜 n
hx'x : PrimeSpectrum.basicOpen x' ≤ PrimeSpectrum.basicOpen x
H' : f (t * s) = x'
h0d' : 0 < d + n
hd' : t * s ∈ 𝒜 (d + n)
x✝ : Away 𝒜 t
⊢ ((IsLocalization.Away.awayToAwayRight x (f s)).comp (IsLocalization.map (Localization.Away x) f ⋯)) (val x✝) =
    ((IsLocalization.map (Localization.Away x') f ⋯).comp
        (Localization.awayLift (algebraMap A (Localization (Submonoid.powers (t * s)))) t ⋯))
      (val x✝)
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization

Goal state before:
pp: case exists_of_eq
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
e d : ℕ
f : A
hf : f ∈ 𝒜 d
g : A
hg : g ∈ 𝒜 e
x : A
hx : x = f * g
hd : d ≠ 0
this : Algebra (Away 𝒜 f) (Away 𝒜 x) := ⋯
⊢ ∀ {x_1 y : Away 𝒜 f},
    (algebraMap (Away 𝒜 f) (Away 𝒜 x)) x_1 = (algebraMap (Away 𝒜 f) (Away 𝒜 x)) y → ∃ c, ↑c * x_1 = ↑c * y

Tactic:
·

Goal state after:
case exists_of_eq
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
e d : ℕ
f : A
hf : f ∈ 𝒜 d
g : A
hg : g ∈ 𝒜 e
x : A
hx : x = f * g
hd : d ≠ 0
this : Algebra (Away 𝒜 f) (Away 𝒜 x) := ⋯
⊢ ∀ {x_1 y : Away 𝒜 f},
    (algebraMap (Away 𝒜 f) (Away 𝒜 x)) x_1 = (algebraMap (Away 𝒜 f) (Away 𝒜 x)) y → ∃ c, ↑c * x_1 = ↑c * y
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Basic

Goal state before:
pp: case a
σ : Type u_1
A : Type u
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
X : Scheme
f✝ : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
x x' : ↑Γ(X, ⊤)
t t' : A
d d' : ℕ
f : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
hf : Ideal.map f (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal = ⊤
⊢ Ideal.span (Set.range fun x ↦ x.snd.fst) ≤ (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal

pp: case a
σ : Type u_1
A : Type u
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
X : Scheme
f✝ : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
x x' : ↑Γ(X, ⊤)
t t' : A
d d' : ℕ
f : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
hf : Ideal.map f (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal = ⊤
⊢ (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal ≤ Ideal.span (Set.range fun x ↦ x.snd.fst)

Tactic:
·

Goal state after:
case a
σ : Type u_1
A : Type u
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
X : Scheme
f✝ : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
x x' : ↑Γ(X, ⊤)
t t' : A
d d' : ℕ
f : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
hf : Ideal.map f (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal = ⊤
⊢ Ideal.span (Set.range fun x ↦ x.snd.fst) ≤ (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Basic

Goal state before:
pp: case a
σ : Type u_1
A : Type u
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
X : Scheme
f✝ : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
x x' : ↑Γ(X, ⊤)
t t' : A
d d' : ℕ
f : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
hf : Ideal.map f (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal = ⊤
⊢ (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal ≤ Ideal.span (Set.range fun x ↦ x.snd.fst)

Tactic:
·

Goal state after:
case a
σ : Type u_1
A : Type u
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
X : Scheme
f✝ : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
x x' : ↑Γ(X, ⊤)
t t' : A
d d' : ℕ
f : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
hf : Ideal.map f (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal = ⊤
⊢ (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal ≤ Ideal.span (Set.range fun x ↦ x.snd.fst)
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization

Goal state before:
pp: case exists_of_eq.zero
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
e : ℕ
f g : A
hg : g ∈ 𝒜 e
x : A
hx : x = f * g
this : Algebra (Away 𝒜 f) (Away 𝒜 x) := (awayMap 𝒜 hg hx).toAlgebra
n : ℕ
a : A
m : ℕ
b : A
k : ℕ
hc : ↑⟨(fun x_1 ↦ x ^ x_1) k, ⋯⟩ * (x ^ m * (a * g ^ n)) = ↑⟨(fun x_1 ↦ x ^ x_1) k, ⋯⟩ * (x ^ n * (b * g ^ m))
hf : f ∈ 𝒜 0
hd : 0 ≠ 0
ha : a ∈ 𝒜 (n • 0)
hb : b ∈ 𝒜 (m • 0)
⊢ (fun x ↦ f ^ x) k * ((f ^ e) ^ (k + m + n) * f ^ m * ((g ^ 0) ^ (k + m + n) * a)) =
    (fun x ↦ f ^ x) k * ((f ^ e) ^ (k + m + n) * f ^ n * ((g ^ 0) ^ (k + m + n) * b))

pp: case exists_of_eq.succ
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
e : ℕ
f g : A
hg : g ∈ 𝒜 e
x : A
hx : x = f * g
this : Algebra (Away 𝒜 f) (Away 𝒜 x) := (awayMap 𝒜 hg hx).toAlgebra
n : ℕ
a : A
m : ℕ
b : A
k : ℕ
hc : ↑⟨(fun x_1 ↦ x ^ x_1) k, ⋯⟩ * (x ^ m * (a * g ^ n)) = ↑⟨(fun x_1 ↦ x ^ x_1) k, ⋯⟩ * (x ^ n * (b * g ^ m))
d : ℕ
hf : f ∈ 𝒜 (d + 1)
hd : d + 1 ≠ 0
ha : a ∈ 𝒜 (n • (d + 1))
hb : b ∈ 𝒜 (m • (d + 1))
⊢ (fun x ↦ f ^ x) k * ((f ^ e) ^ (k + m + n) * f ^ m * ((g ^ (d + 1)) ^ (k + m + n) * a)) =
    (fun x ↦ f ^ x) k * ((f ^ e) ^ (k + m + n) * f ^ n * ((g ^ (d + 1)) ^ (k + m + n) * b))

Tactic:
·

Goal state after:
case exists_of_eq.zero
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
e : ℕ
f g : A
hg : g ∈ 𝒜 e
x : A
hx : x = f * g
this : Algebra (Away 𝒜 f) (Away 𝒜 x) := (awayMap 𝒜 hg hx).toAlgebra
n : ℕ
a : A
m : ℕ
b : A
k : ℕ
hc : ↑⟨(fun x_1 ↦ x ^ x_1) k, ⋯⟩ * (x ^ m * (a * g ^ n)) = ↑⟨(fun x_1 ↦ x ^ x_1) k, ⋯⟩ * (x ^ n * (b * g ^ m))
hf : f ∈ 𝒜 0
hd : 0 ≠ 0
ha : a ∈ 𝒜 (n • 0)
hb : b ∈ 𝒜 (m • 0)
⊢ (fun x ↦ f ^ x) k * ((f ^ e) ^ (k + m + n) * f ^ m * ((g ^ 0) ^ (k + m + n) * a)) =
    (fun x ↦ f ^ x) k * ((f ^ e) ^ (k + m + n) * f ^ n * ((g ^ 0) ^ (k + m + n) * b))
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Basic

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
A : Type u
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
X : Scheme
f✝ : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
x✝ x' : ↑Γ(X, ⊤)
t t' : A
d d' : ℕ
f : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
hf : Ideal.map f (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal = ⊤
x y : (openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).I₀
e : pullback ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f x) ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f y) ≅
  ↑(X.basicOpen (f (x.snd.fst * y.snd.fst))) := ⋯
⊢ e.inv ≫
      pullback.fst ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f x) ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f y) ≫
        toBasicOpenOfGlobalSections 𝒜 f ⋯ ⋯ ⋯ ≫ (basicOpen 𝒜 x.snd.fst).ι =
    toBasicOpenOfGlobalSections 𝒜 f ⋯ ⋯ ⋯ ≫ (basicOpen 𝒜 (x.snd.fst * y.snd.fst)).ι

pp: σ : Type u_1
A : Type u
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
X : Scheme
f✝ : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
x✝ x' : ↑Γ(X, ⊤)
t t' : A
d d' : ℕ
f : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
hf : Ideal.map f (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal = ⊤
x y : (openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).I₀
e : pullback ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f x) ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f y) ≅
  ↑(X.basicOpen (f (x.snd.fst * y.snd.fst))) := ⋯
⊢ toBasicOpenOfGlobalSections 𝒜 f ⋯ ⋯ ⋯ ≫ (basicOpen 𝒜 (x.snd.fst * y.snd.fst)).ι =
    e.inv ≫
      pullback.snd ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f x) ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f y) ≫
        toBasicOpenOfGlobalSections 𝒜 f ⋯ ⋯ ⋯ ≫ (basicOpen 𝒜 y.snd.fst).ι

Tactic:
·

Goal state after:
σ : Type u_1
A : Type u
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
X : Scheme
f✝ : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
x✝ x' : ↑Γ(X, ⊤)
t t' : A
d d' : ℕ
f : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
hf : Ideal.map f (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal = ⊤
x y : (openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).I₀
e : pullback ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f x) ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f y) ≅
  ↑(X.basicOpen (f (x.snd.fst * y.snd.fst))) := ⋯
⊢ e.inv ≫
      pullback.fst ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f x) ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f y) ≫
        toBasicOpenOfGlobalSections 𝒜 f ⋯ ⋯ ⋯ ≫ (basicOpen 𝒜 x.snd.fst).ι =
    toBasicOpenOfGlobalSections 𝒜 f ⋯ ⋯ ⋯ ≫ (basicOpen 𝒜 (x.snd.fst * y.snd.fst)).ι
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Basic

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
A : Type u
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
X : Scheme
f✝ : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
x✝ x' : ↑Γ(X, ⊤)
t t' : A
d d' : ℕ
f : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
hf : Ideal.map f (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal = ⊤
x y : (openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).I₀
e : pullback ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f x) ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f y) ≅
  ↑(X.basicOpen (f (x.snd.fst * y.snd.fst))) := ⋯
⊢ toBasicOpenOfGlobalSections 𝒜 f ⋯ ⋯ ⋯ ≫ (basicOpen 𝒜 (x.snd.fst * y.snd.fst)).ι =
    e.inv ≫
      pullback.snd ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f x) ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f y) ≫
        toBasicOpenOfGlobalSections 𝒜 f ⋯ ⋯ ⋯ ≫ (basicOpen 𝒜 y.snd.fst).ι

Tactic:
·

Goal state after:
σ : Type u_1
A : Type u
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
X : Scheme
f✝ : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
x✝ x' : ↑Γ(X, ⊤)
t t' : A
d d' : ℕ
f : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
hf : Ideal.map f (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal = ⊤
x y : (openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).I₀
e : pullback ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f x) ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f y) ≅
  ↑(X.basicOpen (f (x.snd.fst * y.snd.fst))) := ⋯
⊢ toBasicOpenOfGlobalSections 𝒜 f ⋯ ⋯ ⋯ ≫ (basicOpen 𝒜 (x.snd.fst * y.snd.fst)).ι =
    e.inv ≫
      pullback.snd ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f x) ((openCoverOfMapIrrelevantEqTop 𝒜 f hf).f y) ≫
        toBasicOpenOfGlobalSections 𝒜 f ⋯ ⋯ ⋯ ≫ (basicOpen 𝒜 y.snd.fst).ι
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Basic

Goal state before:
pp: case a
σ : Type u_1
A : Type u
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
X : Scheme
f : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
hf : Ideal.map f (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal = ⊤
r : A
n : ℕ
hn : 0 < n
hr : r ∈ 𝒜 n
⊢ fromOfGlobalSections 𝒜 f hf ⁻¹ᵁ basicOpen 𝒜 r ≤ X.basicOpen (f r)

pp: case a
σ : Type u_1
A : Type u
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
X : Scheme
f : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
hf : Ideal.map f (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal = ⊤
r : A
n : ℕ
hn : 0 < n
hr : r ∈ 𝒜 n
⊢ X.basicOpen (f r) ≤ fromOfGlobalSections 𝒜 f hf ⁻¹ᵁ basicOpen 𝒜 r

Tactic:
·

Goal state after:
case a
σ : Type u_1
A : Type u
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
X : Scheme
f : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
hf : Ideal.map f (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal = ⊤
r : A
n : ℕ
hn : 0 < n
hr : r ∈ 𝒜 n
⊢ fromOfGlobalSections 𝒜 f hf ⁻¹ᵁ basicOpen 𝒜 r ≤ X.basicOpen (f r)
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubgroupClass σ A
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v) = ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : Subsingleton (Away 𝒜 f)
⊢ Submodule.span ↥(𝒜 0) {x | ∃ a ai, ∃ (hai : ∑ i, ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i, v i ^ ai i) ⋯ = x} = ⊤

pp: case neg
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubgroupClass σ A
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v) = ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
⊢ Submodule.span ↥(𝒜 0) {x | ∃ a ai, ∃ (hai : ∑ i, ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i, v i ^ ai i) ⋯ = x} = ⊤

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubgroupClass σ A
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v) = ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : Subsingleton (Away 𝒜 f)
⊢ Submodule.span ↥(𝒜 0) {x | ∃ a ai, ∃ (hai : ∑ i, ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i, v i ^ ai i) ⋯ = x} = ⊤
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubgroupClass σ A
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v) = ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
ha : a ∈ 𝒜 n
j : ℕ
hb' : (fun x ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : f ^ j = 0
⊢ mk { deg := n, num := ⟨a, ha⟩, den := ⟨(fun x ↦ f ^ x) j, hb'⟩, den_mem := ⋯ } ∈
    Submodule.span ↥(𝒜 0) {x | ∃ a ai, ∃ (hai : ∑ i, ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i, v i ^ ai i) ⋯ = x}

pp: case neg
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubgroupClass σ A
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v) = ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
ha : a ∈ 𝒜 n
j : ℕ
hb' : (fun x ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
⊢ mk { deg := n, num := ⟨a, ha⟩, den := ⟨(fun x ↦ f ^ x) j, hb'⟩, den_mem := ⋯ } ∈
    Submodule.span ↥(𝒜 0) {x | ∃ a ai, ∃ (hai : ∑ i, ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i, v i ^ ai i) ⋯ = x}

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubgroupClass σ A
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v) = ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
ha : a ∈ 𝒜 n
j : ℕ
hb' : (fun x ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : f ^ j = 0
⊢ mk { deg := n, num := ⟨a, ha⟩, den := ⟨(fun x ↦ f ^ x) j, hb'⟩, den_mem := ⋯ } ∈
    Submodule.span ↥(𝒜 0) {x | ∃ a ai, ∃ (hai : ∑ i, ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i, v i ^ ai i) ⋯ = x}
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubgroupClass σ A
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v) = ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun x ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i, ai i • dv i = n
⊢ mk { deg := n, num := ((decompose 𝒜) (∏ i, v i ^ ai i)) n, den := ⟨f ^ j, hb'⟩, den_mem := ⋯ } ∈
    Submodule.span ↥(𝒜 0) {x | ∃ a ai, ∃ (hai : ∑ i, ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i, v i ^ ai i) ⋯ = x}

pp: case neg
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubgroupClass σ A
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v) = ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun x ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ¬∑ i, ai i • dv i = n
⊢ mk { deg := n, num := ((decompose 𝒜) (∏ i, v i ^ ai i)) n, den := ⟨f ^ j, hb'⟩, den_mem := ⋯ } ∈
    Submodule.span ↥(𝒜 0) {x | ∃ a ai, ∃ (hai : ∑ i, ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i, v i ^ ai i) ⋯ = x}

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubgroupClass σ A
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v) = ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun x ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i, ai i • dv i = n
⊢ mk { deg := n, num := ((decompose 𝒜) (∏ i, v i ^ ai i)) n, den := ⟨f ^ j, hb'⟩, den_mem := ⋯ } ∈
    Submodule.span ↥(𝒜 0) {x | ∃ a ai, ∃ (hai : ∑ i, ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i, v i ^ ai i) ⋯ = x}
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization

Goal state before:
pp: case pos.refine_1
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubgroupClass σ A
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v) = ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun x ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i, ai i • dv i = n
⊢ n = j • d

pp: case pos.refine_2
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubgroupClass σ A
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v) = ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun x ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i, ai i • dv i = n
⊢ Away.mk 𝒜 hf j (∏ i, v i ^ ai i) ⋯ =
    mk { deg := n, num := ((decompose 𝒜) (∏ i, v i ^ ai i)) n, den := ⟨f ^ j, hb'⟩, den_mem := ⋯ }

Tactic:
·

Goal state after:
case pos.refine_1
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubgroupClass σ A
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v) = ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun x ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i, ai i • dv i = n
⊢ n = j • d
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization

Goal state before:
pp: case pos.refine_2
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubgroupClass σ A
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v) = ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun x ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i, ai i • dv i = n
⊢ Away.mk 𝒜 hf j (∏ i, v i ^ ai i) ⋯ =
    mk { deg := n, num := ((decompose 𝒜) (∏ i, v i ^ ai i)) n, den := ⟨f ^ j, hb'⟩, den_mem := ⋯ }

Tactic:
·

Goal state after:
case pos.refine_2
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubgroupClass σ A
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v) = ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun x ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i, ai i • dv i = n
⊢ Away.mk 𝒜 hf j (∏ i, v i ^ ai i) ⋯ =
    mk { deg := n, num := ((decompose 𝒜) (∏ i, v i ^ ai i)) n, den := ⟨f ^ j, hb'⟩, den_mem := ⋯ }
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubgroupClass σ A
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v) = ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun x ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ¬∑ i, ai i • dv i = n
⊢ mk { deg := n, num := ((decompose 𝒜) (∏ i, v i ^ ai i)) n, den := ⟨f ^ j, hb'⟩, den_mem := ⋯ } ∈
    Submodule.span ↥(𝒜 0) {x | ∃ a ai, ∃ (hai : ∑ i, ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i, v i ^ ai i) ⋯ = x}

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubgroupClass σ A
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst✝¹ : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst✝ : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v) = ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun x ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ¬∑ i, ai i • dv i = n
⊢ mk { deg := n, num := ((decompose 𝒜) (∏ i, v i ^ ai i)) n, den := ⟨f ^ j, hb'⟩, den_mem := ⋯ } ∈
    Submodule.span ↥(𝒜 0) {x | ∃ a ai, ∃ (hai : ∑ i, ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i, v i ^ ai i) ⋯ = x}
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Basic

Goal state before:
pp: case a
σ : Type u_1
A : Type u
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
X : Scheme
f : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
hf : Ideal.map f (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal = ⊤
r : A
n : ℕ
hn : 0 < n
hr : r ∈ 𝒜 n
⊢ X.basicOpen (f r) ≤ fromOfGlobalSections 𝒜 f hf ⁻¹ᵁ basicOpen 𝒜 r

Tactic:
·

Goal state after:
case a
σ : Type u_1
A : Type u
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
X : Scheme
f : A →+* ↑Γ(X, ⊤)
hf : Ideal.map f (HomogeneousIdeal.irrelevant 𝒜).toIdeal = ⊤
r : A
n : ℕ
hn : 0 < n
hr : r ∈ 𝒜 n
⊢ X.basicOpen (f r) ≤ fromOfGlobalSections 𝒜 f hf ⁻¹ᵁ basicOpen 𝒜 r