Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.SeparableMeasure

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2.refine_1
X : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure X
p : ℝ≥0∞
one_le_p : Fact (1 ≤ p)
p_ne_top : Fact (p ≠ ∞)
𝒜✝ : Set (Set X)
inst✝¹ : IsSeparable μ
inst✝ : SeparableSpace E
𝒜 : Set (Set X)
count_𝒜 : 𝒜.Countable
h𝒜 : μ.MeasureDense 𝒜
𝒜₀ : Set (Set X) := {s | s ∈ 𝒜 ∧ μ s ≠ ∞}
h𝒜₀ : μ.MeasureDense 𝒜₀
count_𝒜₀ : 𝒜₀.Countable
p_ne_zero : p ≠ 0
u : Set E
countable_u : u.Countable
dense_u : Dense u
key : (n : ℕ) → (Fin n → ↑u) → (Fin n → ↑𝒜₀) → ↥(Lp E p μ) := fun n d s ↦ ∑ i, indicatorConstLp p ⋯ ⋯ ↑(d i)
D : Set ↥(Lp E p μ) := {s | ∃ n d t, s = key n d t}
f g : X → E
hf : MemLp f p μ
hg : MemLp g p μ
f_mem : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ D, ‖MemLp.toLp f hf - b‖ < ε
g_mem : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ D, ‖MemLp.toLp g hg - b‖ < ε
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
bf : ↥(Lp E p μ)
hbf : ‖MemLp.toLp f hf - bf‖ < ε / 2
nf : ℕ
df : Fin nf → ↑u
sf : Fin nf → ↑𝒜₀
bf_eq : bf = key nf df sf
bg : ↥(Lp E p μ)
hbg : ‖MemLp.toLp g hg - bg‖ < ε / 2
ng : ℕ
dg : Fin ng → ↑u
sg : Fin ng → ↑𝒜₀
bg_eq : bg = key ng dg sg
d : Fin (nf + ng) → ↑u := fun i ↦ if h : ↑i < nf then df (i.castLT h) else dg (Fin.subNat nf (Fin.cast ⋯ i) ⋯)
s : Fin (nf + ng) → ↑𝒜₀ := fun i ↦ if h : ↑i < nf then sf (i.castLT h) else sg (Fin.subNat nf (Fin.cast ⋯ i) ⋯)
⊢ bf + bg = key (nf + ng) d s

pp: case refine_2.refine_2.refine_2
X : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure X
p : ℝ≥0∞
one_le_p : Fact (1 ≤ p)
p_ne_top : Fact (p ≠ ∞)
𝒜✝ : Set (Set X)
inst✝¹ : IsSeparable μ
inst✝ : SeparableSpace E
𝒜 : Set (Set X)
count_𝒜 : 𝒜.Countable
h𝒜 : μ.MeasureDense 𝒜
𝒜₀ : Set (Set X) := {s | s ∈ 𝒜 ∧ μ s ≠ ∞}
h𝒜₀ : μ.MeasureDense 𝒜₀
count_𝒜₀ : 𝒜₀.Countable
p_ne_zero : p ≠ 0
u : Set E
countable_u : u.Countable
dense_u : Dense u
key : (n : ℕ) → (Fin n → ↑u) → (Fin n → ↑𝒜₀) → ↥(Lp E p μ) := fun n d s ↦ ∑ i, indicatorConstLp p ⋯ ⋯ ↑(d i)
D : Set ↥(Lp E p μ) := {s | ∃ n d t, s = key n d t}
f g : X → E
hf : MemLp f p μ
hg : MemLp g p μ
f_mem : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ D, ‖MemLp.toLp f hf - b‖ < ε
g_mem : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ D, ‖MemLp.toLp g hg - b‖ < ε
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
bf : ↥(Lp E p μ)
hbf : ‖MemLp.toLp f hf - bf‖ < ε / 2
nf : ℕ
df : Fin nf → ↑u
sf : Fin nf → ↑𝒜₀
bf_eq : bf = key nf df sf
bg : ↥(Lp E p μ)
hbg : ‖MemLp.toLp g hg - bg‖ < ε / 2
ng : ℕ
dg : Fin ng → ↑u
sg : Fin ng → ↑𝒜₀
bg_eq : bg = key ng dg sg
d : Fin (nf + ng) → ↑u := fun i ↦ if h : ↑i < nf then df (i.castLT h) else dg (Fin.subNat nf (Fin.cast ⋯ i) ⋯)
s : Fin (nf + ng) → ↑𝒜₀ := fun i ↦ if h : ↑i < nf then sf (i.castLT h) else sg (Fin.subNat nf (Fin.cast ⋯ i) ⋯)
⊢ ‖MemLp.toLp f hf + MemLp.toLp g hg - (bf + bg)‖ < ε

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.refine_2.refine_1
X : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure X
p : ℝ≥0∞
one_le_p : Fact (1 ≤ p)
p_ne_top : Fact (p ≠ ∞)
𝒜✝ : Set (Set X)
inst✝¹ : IsSeparable μ
inst✝ : SeparableSpace E
𝒜 : Set (Set X)
count_𝒜 : 𝒜.Countable
h𝒜 : μ.MeasureDense 𝒜
𝒜₀ : Set (Set X) := {s | s ∈ 𝒜 ∧ μ s ≠ ∞}
h𝒜₀ : μ.MeasureDense 𝒜₀
count_𝒜₀ : 𝒜₀.Countable
p_ne_zero : p ≠ 0
u : Set E
countable_u : u.Countable
dense_u : Dense u
key : (n : ℕ) → (Fin n → ↑u) → (Fin n → ↑𝒜₀) → ↥(Lp E p μ) := fun n d s ↦ ∑ i, indicatorConstLp p ⋯ ⋯ ↑(d i)
D : Set ↥(Lp E p μ) := {s | ∃ n d t, s = key n d t}
f g : X → E
hf : MemLp f p μ
hg : MemLp g p μ
f_mem : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ D, ‖MemLp.toLp f hf - b‖ < ε
g_mem : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ D, ‖MemLp.toLp g hg - b‖ < ε
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
bf : ↥(Lp E p μ)
hbf : ‖MemLp.toLp f hf - bf‖ < ε / 2
nf : ℕ
df : Fin nf → ↑u
sf : Fin nf → ↑𝒜₀
bf_eq : bf = key nf df sf
bg : ↥(Lp E p μ)
hbg : ‖MemLp.toLp g hg - bg‖ < ε / 2
ng : ℕ
dg : Fin ng → ↑u
sg : Fin ng → ↑𝒜₀
bg_eq : bg = key ng dg sg
d : Fin (nf + ng) → ↑u := fun i ↦ if h : ↑i < nf then df (i.castLT h) else dg (Fin.subNat nf (Fin.cast ⋯ i) ⋯)
s : Fin (nf + ng) → ↑𝒜₀ := fun i ↦ if h : ↑i < nf then sf (i.castLT h) else sg (Fin.subNat nf (Fin.cast ⋯ i) ⋯)
⊢ bf + bg = key (nf + ng) d s