mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
⊢ s.Nonempty ↔ s ≠ ∅

Tactic:
nonempty_iff_ne_empty

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
⊢ s ≠ ∅ ↔ s ≠ ∅
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
⊢ affineSpan k s ≠ ⊥ ↔ s.Nonempty

Tactic:
nonempty_iff_ne_empty

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
⊢ affineSpan k s ≠ ⊥ ↔ s ≠ ∅
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.BalancedCoreHull

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : IsClosed[inst✝¹] U
h : 0 ∉ U
⊢ IsClosed[inst✝¹] (balancedCore 𝕜 U)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : IsClosed[inst✝¹] U
h : 0 ∉ U
⊢ IsClosed[inst✝¹] (balancedCore 𝕜 U)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: case mem
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : (x : P) → x ∈ affineSpan k s → Prop
mem : ∀ (y : P) (hys : y ∈ s), p y ⋯
smul_vsub_vadd :
  ∀ (c : k) (u : P) (hu : u ∈ affineSpan k s) (v : P) (hv : v ∈ affineSpan k s) (w : P) (hw : w ∈ affineSpan k s),
    p u hu → p v hv → p w hw → p (c • (u -ᵥ v) +ᵥ w) ⋯
x : P
h : x ∈ affineSpan k s
⊢ ∀ x ∈ s, ∃ (hx : x ∈ affineSpan k s), p x hx

pp: case smul_vsub_vadd
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : (x : P) → x ∈ affineSpan k s → Prop
mem : ∀ (y : P) (hys : y ∈ s), p y ⋯
smul_vsub_vadd :
  ∀ (c : k) (u : P) (hu : u ∈ affineSpan k s) (v : P) (hv : v ∈ affineSpan k s) (w : P) (hw : w ∈ affineSpan k s),
    p u hu → p v hv → p w hw → p (c • (u -ᵥ v) +ᵥ w) ⋯
x : P
h : x ∈ affineSpan k s
⊢ ∀ (c : k) (u v w : P),
    (∃ (hx : u ∈ affineSpan k s), p u hx) →
      (∃ (hx : v ∈ affineSpan k s), p v hx) →
        (∃ (hx : w ∈ affineSpan k s), p w hx) → ∃ (hx : c • (u -ᵥ v) +ᵥ w ∈ affineSpan k s), p (c • (u -ᵥ v) +ᵥ w) hx

Tactic:
·

Goal state after:
case mem
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : (x : P) → x ∈ affineSpan k s → Prop
mem : ∀ (y : P) (hys : y ∈ s), p y ⋯
smul_vsub_vadd :
  ∀ (c : k) (u : P) (hu : u ∈ affineSpan k s) (v : P) (hv : v ∈ affineSpan k s) (w : P) (hw : w ∈ affineSpan k s),
    p u hu → p v hv → p w hw → p (c • (u -ᵥ v) +ᵥ w) ⋯
x : P
h : x ∈ affineSpan k s
⊢ ∀ x ∈ s, ∃ (hx : x ∈ affineSpan k s), p x hx
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: case smul_vsub_vadd
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : (x : P) → x ∈ affineSpan k s → Prop
mem : ∀ (y : P) (hys : y ∈ s), p y ⋯
smul_vsub_vadd :
  ∀ (c : k) (u : P) (hu : u ∈ affineSpan k s) (v : P) (hv : v ∈ affineSpan k s) (w : P) (hw : w ∈ affineSpan k s),
    p u hu → p v hv → p w hw → p (c • (u -ᵥ v) +ᵥ w) ⋯
x : P
h : x ∈ affineSpan k s
⊢ ∀ (c : k) (u v w : P),
    (∃ (hx : u ∈ affineSpan k s), p u hx) →
      (∃ (hx : v ∈ affineSpan k s), p v hx) →
        (∃ (hx : w ∈ affineSpan k s), p w hx) → ∃ (hx : c • (u -ᵥ v) +ᵥ w ∈ affineSpan k s), p (c • (u -ᵥ v) +ᵥ w) hx

Tactic:
·

Goal state after:
case smul_vsub_vadd
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : (x : P) → x ∈ affineSpan k s → Prop
mem : ∀ (y : P) (hys : y ∈ s), p y ⋯
smul_vsub_vadd :
  ∀ (c : k) (u : P) (hu : u ∈ affineSpan k s) (v : P) (hv : v ∈ affineSpan k s) (w : P) (hw : w ∈ affineSpan k s),
    p u hu → p v hv → p w hw → p (c • (u -ᵥ v) +ᵥ w) ⋯
x : P
h : x ∈ affineSpan k s
⊢ ∀ (c : k) (u v w : P),
    (∃ (hx : u ∈ affineSpan k s), p u hx) →
      (∃ (hx : v ∈ affineSpan k s), p v hx) →
        (∃ (hx : w ∈ affineSpan k s), p w hx) → ∃ (hx : c • (u -ᵥ v) +ᵥ w ∈ affineSpan k s), p (c • (u -ᵥ v) +ᵥ w) hx
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.BalancedCoreHull

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : IsOpen[inst✝¹] s
hzero : 0 ∈ s
hr : ‖0‖ ≤ 1
⊢ ∃ i', ∃ (_ : ‖i'‖ ≤ 1 ∧ i' ≠ 0), 0 • s ⊆ i' • s

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : IsOpen[inst✝¹] s
hzero : 0 ∈ s
r : 𝕜
hr : ‖r‖ ≤ 1
hr_ne : r ≠ 0
⊢ ∃ i', ∃ (_ : ‖i'‖ ≤ 1 ∧ i' ≠ 0), r • s ⊆ i' • s

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : IsOpen[inst✝¹] s
hzero : 0 ∈ s
hr : ‖0‖ ≤ 1
⊢ ∃ i', ∃ (_ : ‖i'‖ ≤ 1 ∧ i' ≠ 0), 0 • s ⊆ i' • s
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.BalancedCoreHull

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : IsOpen[inst✝¹] s
hzero : 0 ∈ s
r : 𝕜
hr : ‖r‖ ≤ 1
hr_ne : r ≠ 0
⊢ ∃ i', ∃ (_ : ‖i'‖ ≤ 1 ∧ i' ≠ 0), r • s ⊆ i' • s

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : IsOpen[inst✝¹] s
hzero : 0 ∈ s
r : 𝕜
hr : ‖r‖ ≤ 1
hr_ne : r ≠ 0
⊢ ∃ i', ∃ (_ : ‖i'‖ ≤ 1 ∧ i' ≠ 0), r • s ⊆ i' • s
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Bounded

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
t : Set E
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (∅ + t) ↔ ∅ = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsVonNBounded 𝕜 ∅ ∧ IsVonNBounded 𝕜 t

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : s.Nonempty
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (s + t) ↔ s = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsVonNBounded 𝕜 s ∧ IsVonNBounded 𝕜 t

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
t : Set E
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (∅ + t) ↔ ∅ = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsVonNBounded 𝕜 ∅ ∧ IsVonNBounded 𝕜 t
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Bounded

Goal state before:
pp: case inr.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s : Set E
hs : s.Nonempty
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (s + ∅) ↔ s = ∅ ∨ ∅ = ∅ ∨ IsVonNBounded 𝕜 s ∧ IsVonNBounded 𝕜 ∅

pp: case inr.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (s + t) ↔ s = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsVonNBounded 𝕜 s ∧ IsVonNBounded 𝕜 t

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s : Set E
hs : s.Nonempty
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (s + ∅) ↔ s = ∅ ∨ ∅ = ∅ ∨ IsVonNBounded 𝕜 s ∧ IsVonNBounded 𝕜 ∅
Module: Mathlib.Topology.Algebra.UniformConvergence

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : IsUniformGroup G
p : ι → Prop
b : ι → Set G
h : (𝓝 1).HasBasis p b
⊢ (𝓝 1).HasBasis p fun i ↦ {f | ∀ (x : α), toFun f x ∈ b i}

Tactic:
by
  convert! UniformFun.hasBasis_nhds_of_basis α _ (1 : α →ᵤ G) h.uniformity_of_nhds_one
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Bounded

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s → ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1

pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ (∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1) → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s → ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Bounded

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ (∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1) → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ (∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1) → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Bounded

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ Bornology.IsBounded s → ∃ a, s ⊆ a • Metric.closedBall 0 1

pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ (∃ a, s ⊆ a • Metric.closedBall 0 1) → Bornology.IsBounded s

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ Bornology.IsBounded s → ∃ a, s ⊆ a • Metric.closedBall 0 1
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Bounded

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ (∃ a, s ⊆ a • Metric.closedBall 0 1) → Bornology.IsBounded s

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ (∃ a, s ⊆ a • Metric.closedBall 0 1) → Bornology.IsBounded s
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Equicontinuity

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
x₀ : β
H : ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ V ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ V, ∀ y ∈ V, ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U
⊢ ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i x') < ε

pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
x₀ : β
H : ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i x') < ε
⊢ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ V ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ V, ∀ y ∈ V, ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
x₀ : β
H : ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ V ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ V, ∀ y ∈ V, ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U
⊢ ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i x') < ε
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Equicontinuity

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
x₀ : β
H : ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i x') < ε
⊢ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ V ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ V, ∀ y ∈ V, ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
x₀ : β
H : ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i x') < ε
⊢ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ V ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ V, ∀ y ∈ V, ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
⊢ StrictConvex 𝕜 (s ∩ t)

Tactic:
intro x hx y hy hxy a b ha hb hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
x : E
hx : x ∈ s ∩ t
y : E
hy : y ∈ s ∩ t
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior (s ∩ t)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
⊢ StrictConvex 𝕜 (⇑f ⁻¹' s)

Tactic:
intro x hx y hy hxy a b ha hb hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior (⇑f ⁻¹' s)
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Equicontinuity

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : PseudoMetricSpace β
b : ℝ → ℝ
b_lim : Tendsto b (𝓝 0) (𝓝 0)
F : ι → β → α
H : ∀ (x y : β) (i : ι), dist (F i x) (F i y) ≤ b (dist x y)
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
δ : ℝ
δ0 : δ > 0
hδ : ∀ ⦃x : ℝ⦄, dist x 0 < δ → dist (b x) 0 < ε
x y : β
hxy : dist x y < δ
i : ι
⊢ dist (F i x) (F i y) < ε

Tactic:
calc
    dist (F i x) (F i y) ≤ b (dist x y) := H x y i
    _ ≤ |b (dist x y)| := le_abs_self _
    _ = dist (b (dist x y)) 0 := by simp [Real.dist_eq]
    _ < ε := hδ (by simpa only [Real.dist_eq, tsub_zero, abs_dist] using hxy)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : AddCancelCommMonoid E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z : E
⊢ StrictConvex 𝕜 ((fun x ↦ z + x) ⁻¹' s)

Tactic:
intro x hx y hy hxy a b ha hb hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : AddCancelCommMonoid E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z x : E
hx : x ∈ (fun x ↦ z + x) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun x ↦ z + x) ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior ((fun x ↦ z + x) ⁻¹' s)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
v : E
hv : v ∈ s
w : E
hw : w ∈ t
y : E
hy : y ∈ t
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx : v ∈ s
h : (fun x1 x2 ↦ x1 + x2) v w ≠ (fun x1 x2 ↦ x1 + x2) v y
⊢ a • v + b • v + (a • w + b • y) ∈ interior (s + t)

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
v : E
hv : v ∈ s
w : E
hw : w ∈ t
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
h : (fun x1 x2 ↦ x1 + x2) v w ≠ (fun x1 x2 ↦ x1 + x2) x y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hvx : v ≠ x
⊢ a • v + b • x + (a • w + b • y) ∈ interior (s + t)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
v : E
hv : v ∈ s
w : E
hw : w ∈ t
y : E
hy : y ∈ t
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx : v ∈ s
h : (fun x1 x2 ↦ x1 + x2) v w ≠ (fun x1 x2 ↦ x1 + x2) v y
⊢ a • v + b • v + (a • w + b • y) ∈ interior (s + t)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁸ : Semiring 𝕜
inst✝⁷ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Field 𝕝
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕝 E
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E E 𝕜 𝕝
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
⊢ StrictConvex 𝕜 (0 • s)

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁸ : Semiring 𝕜
inst✝⁷ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Field 𝕝
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕝 E
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E E 𝕜 𝕝
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
c : 𝕝
hc : c ≠ 0
⊢ StrictConvex 𝕜 (c • s)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁸ : Semiring 𝕜
inst✝⁷ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Field 𝕝
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕝 E
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E E 𝕜 𝕝
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
⊢ StrictConvex 𝕜 (0 • s)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁸ : Semiring 𝕜
inst✝⁷ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Field 𝕝
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕝 E
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E E 𝕜 𝕝
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
c : 𝕝
hc : c ≠ 0
⊢ StrictConvex 𝕜 (c • s)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁸ : Semiring 𝕜
inst✝⁷ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Field 𝕝
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕝 E
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E E 𝕜 𝕝
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
c : 𝕝
hc : c ≠ 0
⊢ StrictConvex 𝕜 (c • s)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring 𝕜
inst✝⁶ : IsDomain 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree 𝕜 E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
⊢ StrictConvex 𝕜 ((fun z ↦ 0 • z) ⁻¹' s)

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring 𝕜
inst✝⁶ : IsDomain 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree 𝕜 E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ StrictConvex 𝕜 ((fun z ↦ c • z) ⁻¹' s)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring 𝕜
inst✝⁶ : IsDomain 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree 𝕜 E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
⊢ StrictConvex 𝕜 ((fun z ↦ 0 • z) ⁻¹' s)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁹ : Semiring 𝕜
inst✝⁸ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommMonoid β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMul 𝕜 α
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g : β → α
hg : ConvexOn 𝕜 (f '' s) g
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hg' : StrictMonoOn g (f '' s)
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ (g ∘ f) (a • x + b • y) < g (a • f x + b • f y)

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁹ : Semiring 𝕜
inst✝⁸ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommMonoid β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMul 𝕜 α
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g : β → α
hg : ConvexOn 𝕜 (f '' s) g
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hg' : StrictMonoOn g (f '' s)
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ g (a • f x + b • f y) ≤ a • (g ∘ f) x + b • (g ∘ f) y

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁹ : Semiring 𝕜
inst✝⁸ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommMonoid β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMul 𝕜 α
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g : β → α
hg : ConvexOn 𝕜 (f '' s) g
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hg' : StrictMonoOn g (f '' s)
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ (g ∘ f) (a • x + b • y) < g (a • f x + b • f y)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring 𝕜
inst✝⁶ : IsDomain 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree 𝕜 E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
h✝ : 0 ∈ s
⊢ StrictConvex 𝕜 univ

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring 𝕜
inst✝⁶ : IsDomain 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree 𝕜 E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
h✝ : 0 ∉ s
⊢ StrictConvex 𝕜 ∅

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring 𝕜
inst✝⁶ : IsDomain 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree 𝕜 E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
h✝ : 0 ∈ s
⊢ StrictConvex 𝕜 univ
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring 𝕜
inst✝⁶ : IsDomain 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree 𝕜 E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
h✝ : 0 ∉ s
⊢ StrictConvex 𝕜 ∅

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring 𝕜
inst✝⁶ : IsDomain 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree 𝕜 E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
h✝ : 0 ∉ s
⊢ StrictConvex 𝕜 ∅