mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : b < 0
⊢ 1 < a / b ↔ 0 < b ∧ b < a ∨ b < 0 ∧ a < b

pp: case inr.inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a : α
⊢ 1 < a / 0 ↔ 0 < 0 ∧ 0 < a ∨ 0 < 0 ∧ a < 0

pp: case inr.inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ 1 < a / b ↔ 0 < b ∧ b < a ∨ b < 0 ∧ a < b

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : b < 0
⊢ 1 < a / b ↔ 0 < b ∧ b < a ∨ b < 0 ∧ a < b
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a : α
⊢ 1 < a / 0 ↔ 0 < 0 ∧ 0 < a ∨ 0 < 0 ∧ a < 0

pp: case inr.inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ 1 < a / b ↔ 0 < b ∧ b < a ∨ b < 0 ∧ a < b

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a : α
⊢ 1 < a / 0 ↔ 0 < 0 ∧ 0 < a ∨ 0 < 0 ∧ a < 0
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ 1 < a / b ↔ 0 < b ∧ b < a ∨ b < 0 ∧ a < b

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ 1 < a / b ↔ 0 < b ∧ b < a ∨ b < 0 ∧ a < b
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : b < 0
⊢ 1 ≤ a / b ↔ 0 < b ∧ b ≤ a ∨ b < 0 ∧ a ≤ b

pp: case inr.inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a : α
⊢ 1 ≤ a / 0 ↔ 0 < 0 ∧ 0 ≤ a ∨ 0 < 0 ∧ a ≤ 0

pp: case inr.inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ 1 ≤ a / b ↔ 0 < b ∧ b ≤ a ∨ b < 0 ∧ a ≤ b

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : b < 0
⊢ 1 ≤ a / b ↔ 0 < b ∧ b ≤ a ∨ b < 0 ∧ a ≤ b
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a : α
⊢ 1 ≤ a / 0 ↔ 0 < 0 ∧ 0 ≤ a ∨ 0 < 0 ∧ a ≤ 0

pp: case inr.inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ 1 ≤ a / b ↔ 0 < b ∧ b ≤ a ∨ b < 0 ∧ a ≤ b

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a : α
⊢ 1 ≤ a / 0 ↔ 0 < 0 ∧ 0 ≤ a ∨ 0 < 0 ∧ a ≤ 0
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ 1 ≤ a / b ↔ 0 < b ∧ b ≤ a ∨ b < 0 ∧ a ≤ b

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ 1 ≤ a / b ↔ 0 < b ∧ b ≤ a ∨ b < 0 ∧ a ≤ b
Module: Mathlib.Data.List.Forall2

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
a b : List α
⊢ Forall₂ (fun x1 x2 ↦ x1 = x2) a b → a = b

pp: case mpr
α : Type u_1
a b : List α
⊢ a = b → Forall₂ (fun x1 x2 ↦ x1 = x2) a b

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
a b : List α
⊢ Forall₂ (fun x1 x2 ↦ x1 = x2) a b → a = b
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : b < 0
⊢ a / b < 1 ↔ 0 < b ∧ a < b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b < a

pp: case inr.inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a : α
⊢ a / 0 < 1 ↔ 0 < 0 ∧ a < 0 ∨ 0 = 0 ∨ 0 < 0 ∧ 0 < a

pp: case inr.inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ a / b < 1 ↔ 0 < b ∧ a < b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b < a

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : b < 0
⊢ a / b < 1 ↔ 0 < b ∧ a < b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b < a
Module: Mathlib.Data.List.Forall2

Goal state before:
pp: case mp.nil
α : Type u_1
a b : List α
⊢ [] = []

pp: case mp.cons
α : Type u_1
a b : List α
a✝² b✝ : α
l₁✝ l₂✝ : List α
a✝¹ : a✝² = b✝
a✝ : Forall₂ (fun x1 x2 ↦ x1 = x2) l₁✝ l₂✝
a_ih✝ : l₁✝ = l₂✝
⊢ a✝² :: l₁✝ = b✝ :: l₂✝

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.nil
α : Type u_1
a b : List α
⊢ [] = []
Module: Mathlib.Data.List.Forall2

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
a b : List α
⊢ a = b → Forall₂ (fun x1 x2 ↦ x1 = x2) a b

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
a b : List α
⊢ a = b → Forall₂ (fun x1 x2 ↦ x1 = x2) a b
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a : α
⊢ a / 0 < 1 ↔ 0 < 0 ∧ a < 0 ∨ 0 = 0 ∨ 0 < 0 ∧ 0 < a

pp: case inr.inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ a / b < 1 ↔ 0 < b ∧ a < b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b < a

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a : α
⊢ a / 0 < 1 ↔ 0 < 0 ∧ a < 0 ∨ 0 = 0 ∨ 0 < 0 ∧ 0 < a
Module: Mathlib.Data.List.Forall2

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
R : α → β → Prop
f : γ → β
x✝ : List α
b : γ
u : List γ
⊢ Forall₂ R x✝ (map f (b :: u)) ↔ Forall₂ (fun a c ↦ R a (f c)) x✝ (b :: u)

Tactic:
by simp only [map, forall₂_cons_right_iff, forall₂_map_right_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ a / b < 1 ↔ 0 < b ∧ a < b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b < a

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ a / b < 1 ↔ 0 < b ∧ a < b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b < a
Module: Mathlib.Data.List.Forall2

Goal state before:
pp: case cons.nil
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
a : α
l₁ : List α
IH : ∀ {l₂ : List β}, l₁.length = l₂.length → (∀ {a : α} {b : β}, (a, b) ∈ l₁.zip l₂ → R a b) → Forall₂ R l₁ l₂
h₁ : (a :: l₁).length = [].length
h₂ : ∀ {a_1 : α} {b : β}, (a_1, b) ∈ (a :: l₁).zip [] → R a_1 b
⊢ Forall₂ R (a :: l₁) []

pp: case cons.cons
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
a : α
l₁ : List α
IH : ∀ {l₂ : List β}, l₁.length = l₂.length → (∀ {a : α} {b : β}, (a, b) ∈ l₁.zip l₂ → R a b) → Forall₂ R l₁ l₂
b : β
l₂ : List β
h₁ : (a :: l₁).length = (b :: l₂).length
h₂ : ∀ {a_1 : α} {b_1 : β}, (a_1, b_1) ∈ (a :: l₁).zip (b :: l₂) → R a_1 b_1
⊢ Forall₂ R (a :: l₁) (b :: l₂)

Tactic:
·

Goal state after:
case cons.nil
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
a : α
l₁ : List α
IH : ∀ {l₂ : List β}, l₁.length = l₂.length → (∀ {a : α} {b : β}, (a, b) ∈ l₁.zip l₂ → R a b) → Forall₂ R l₁ l₂
h₁ : (a :: l₁).length = [].length
h₂ : ∀ {a_1 : α} {b : β}, (a_1, b) ∈ (a :: l₁).zip [] → R a_1 b
⊢ Forall₂ R (a :: l₁) []
Module: Mathlib.Data.List.Forall2

Goal state before:
pp: case cons.cons
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
a : α
l₁ : List α
IH : ∀ {l₂ : List β}, l₁.length = l₂.length → (∀ {a : α} {b : β}, (a, b) ∈ l₁.zip l₂ → R a b) → Forall₂ R l₁ l₂
b : β
l₂ : List β
h₁ : (a :: l₁).length = (b :: l₂).length
h₂ : ∀ {a_1 : α} {b_1 : β}, (a_1, b_1) ∈ (a :: l₁).zip (b :: l₂) → R a_1 b_1
⊢ Forall₂ R (a :: l₁) (b :: l₂)

Tactic:
·

Goal state after:
case cons.cons
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
a : α
l₁ : List α
IH : ∀ {l₂ : List β}, l₁.length = l₂.length → (∀ {a : α} {b : β}, (a, b) ∈ l₁.zip l₂ → R a b) → Forall₂ R l₁ l₂
b : β
l₂ : List β
h₁ : (a :: l₁).length = (b :: l₂).length
h₂ : ∀ {a_1 : α} {b_1 : β}, (a_1, b_1) ∈ (a :: l₁).zip (b :: l₂) → R a_1 b_1
⊢ Forall₂ R (a :: l₁) (b :: l₂)
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : b < 0
⊢ a / b ≤ 1 ↔ 0 < b ∧ a ≤ b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b ≤ a

pp: case inr.inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a : α
⊢ a / 0 ≤ 1 ↔ 0 < 0 ∧ a ≤ 0 ∨ 0 = 0 ∨ 0 < 0 ∧ 0 ≤ a

pp: case inr.inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ a / b ≤ 1 ↔ 0 < b ∧ a ≤ b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b ≤ a

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : b < 0
⊢ a / b ≤ 1 ↔ 0 < b ∧ a ≤ b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b ≤ a
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a : α
⊢ a / 0 ≤ 1 ↔ 0 < 0 ∧ a ≤ 0 ∨ 0 = 0 ∨ 0 < 0 ∧ 0 ≤ a

pp: case inr.inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ a / b ≤ 1 ↔ 0 < b ∧ a ≤ b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b ≤ a

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a : α
⊢ a / 0 ≤ 1 ↔ 0 < 0 ∧ a ≤ 0 ∨ 0 = 0 ∨ 0 < 0 ∧ 0 ≤ a
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ a / b ≤ 1 ↔ 0 < b ∧ a ≤ b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b ≤ a

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b : α
hb : 0 < b
⊢ a / b ≤ 1 ↔ 0 < b ∧ a ≤ b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b ≤ a
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b c : α
hc : a * b < c
hb : b ≤ 0
⊢ ∃ a' > a, a' * b < c

pp: case inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b c : α
hc : a * b < c
hb : 0 < b
⊢ ∃ a' > a, a' * b < c

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b c : α
hc : a * b < c
hb : b ≤ 0
⊢ ∃ a' > a, a' * b < c
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b c : α
hc : a * b < c
hb : 0 < b
⊢ ∃ a' > a, a' * b < c

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b c : α
hc : a * b < c
hb : 0 < b
⊢ ∃ a' > a, a' * b < c
Module: Mathlib.Data.List.InsertIdx

Goal state before:
pp: α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
a : α
n : ℕ
hl : ∀ (x : α), x ∈ l → p x
ha : p a
⊢ (pmap f l hl).insertIdx n (f a ha) = pmap f (l.insertIdx n a) ⋯

Tactic:
induction n generalizing l with

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b c : α
ha : 0 ≤ a
hc : 0 ≤ c
h : ∀ a' ≥ 0, a' < a → ∀ b' ≥ 0, b' < b → a' * b' ≤ c
d : α
d_ab : d < a * b
hd : d < 0
⊢ d ≤ c

pp: case inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b c : α
ha : 0 ≤ a
hc : 0 ≤ c
h : ∀ a' ≥ 0, a' < a → ∀ b' ≥ 0, b' < b → a' * b' ≤ c
d : α
d_ab : d < a * b
hd : 0 ≤ d
⊢ d ≤ c

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
a b c : α
ha : 0 ≤ a
hc : 0 ≤ c
h : ∀ a' ≥ 0, a' < a → ∀ b' ≥ 0, b' < b → a' * b' ≤ c
d : α
d_ab : d < a * b
hd : d < 0
⊢ d ≤ c
Module: Mathlib.Data.List.InsertIdx

Goal state before:
pp: α : Type u
β : Type v
f : α → β
l : List α
n : ℕ
⊢ (map f l).eraseIdx n = map f (l.eraseIdx n)

Tactic:
by
  simpa only [pmap_eq_map] using eraseIdx_pmap (fun a _ ↦ f a) (fun _ _ ↦ trivial) n

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.List.Forall2

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
p : α → Bool
q : β → Bool
hpq : ∀ ⦃a : α⦄ ⦃b : β⦄, R a b → (p a = true ↔ q b = true)
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
h₁ : R a b
h₂ : Forall₂ R as bs
h : p a = true
⊢ Forall₂ R (filter p (a :: as)) (filter q (b :: bs))

pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
p : α → Bool
q : β → Bool
hpq : ∀ ⦃a : α⦄ ⦃b : β⦄, R a b → (p a = true ↔ q b = true)
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
h₁ : R a b
h₂ : Forall₂ R as bs
h : ¬p a = true
⊢ Forall₂ R (filter p (a :: as)) (filter q (b :: bs))

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
p : α → Bool
q : β → Bool
hpq : ∀ ⦃a : α⦄ ⦃b : β⦄, R a b → (p a = true ↔ q b = true)
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
h₁ : R a b
h₂ : Forall₂ R as bs
h : p a = true
⊢ Forall₂ R (filter p (a :: as)) (filter q (b :: bs))
Module: Mathlib.Data.List.InsertIdx

Goal state before:
pp: α : Type u
β : Type v
a : α
l : List α
x : α
n k : ℕ
hk' : n + k < l.length
⊢ n ≤ l.length

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
B ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
this : ∀ (B : α), 0 < B → ∃ δ > 0, ∀ (q r : α), |r| ≤ B → |q - r| ≤ δ → |q ^ n - r ^ n| < ε
B_pos : B ≤ 0
⊢ ∃ δ > 0, ∀ (q r : α), |r| ≤ B → |q - r| ≤ δ → |q ^ n - r ^ n| < ε

pp: α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
B : α
B_pos : 0 < B
⊢ ∃ δ > 0, ∀ (q r : α), |r| ≤ B → |q - r| ≤ δ → |q ^ n - r ^ n| < ε

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
B ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
this : ∀ (B : α), 0 < B → ∃ δ > 0, ∀ (q r : α), |r| ≤ B → |q - r| ≤ δ → |q ^ n - r ^ n| < ε
B_pos : B ≤ 0
⊢ ∃ δ > 0, ∀ (q r : α), |r| ≤ B → |q - r| ≤ δ → |q ^ n - r ^ n| < ε
Module: Mathlib.Data.List.Forall2

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
p : α → Bool
q : β → Bool
hpq : ∀ ⦃a : α⦄ ⦃b : β⦄, R a b → (p a = true ↔ q b = true)
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
h₁ : R a b
h₂ : Forall₂ R as bs
h : ¬p a = true
⊢ Forall₂ R (filter p (a :: as)) (filter q (b :: bs))

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
p : α → Bool
q : β → Bool
hpq : ∀ ⦃a : α⦄ ⦃b : β⦄, R a b → (p a = true ↔ q b = true)
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
h₁ : R a b
h₂ : Forall₂ R as bs
h : ¬p a = true
⊢ Forall₂ R (filter p (a :: as)) (filter q (b :: bs))
Module: Mathlib.Data.List.Forall2

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
l₁ : List α
l₂ : List β
h : SublistForall₂ R l₁ l₂
⊢ ∃ l, Forall₂ R l₁ l ∧ l <+ l₂

pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
l₁ : List α
l₂ : List β
h : ∃ l, Forall₂ R l₁ l ∧ l <+ l₂
⊢ SublistForall₂ R l₁ l₂

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
l₁ : List α
l₂ : List β
h : SublistForall₂ R l₁ l₂
⊢ ∃ l, Forall₂ R l₁ l ∧ l <+ l₂
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
B : α
B_pos : 0 < B
pos : 0 < 1 + ↑n * (B + 1) ^ (n - 1)
q r : α
hr : |r| ≤ B
hqr : |q - r| ≤ 1 ∧ |q - r| + |q - r| * ↑n * (B + 1) ^ (n - 1) ≤ ε
h : 0 = |q - r|
⊢ |q - r| * ↑n * max |q| |r| ^ (n - 1) < ε

pp: case inr
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
B : α
B_pos : 0 < B
pos : 0 < 1 + ↑n * (B + 1) ^ (n - 1)
q r : α
hr : |r| ≤ B
hqr : |q - r| ≤ 1 ∧ |q - r| + |q - r| * ↑n * (B + 1) ^ (n - 1) ≤ ε
h : 0 < |q - r|
⊢ |q - r| * ↑n * max |q| |r| ^ (n - 1) < ε

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
B : α
B_pos : 0 < B
pos : 0 < 1 + ↑n * (B + 1) ^ (n - 1)
q r : α
hr : |r| ≤ B
hqr : |q - r| ≤ 1 ∧ |q - r| + |q - r| * ↑n * (B + 1) ^ (n - 1) ≤ ε
h : 0 = |q - r|
⊢ |q - r| * ↑n * max |q| |r| ^ (n - 1) < ε
Module: Mathlib.Data.List.Forall2

Goal state before:
pp: case mp.cons_right
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
l₁ : List α
l₂ : List β
a✝¹ : β
l₁✝ : List α
l₂✝ : List β
a✝ : SublistForall₂ R l₁✝ l₂✝
l : List β
hl1 : Forall₂ R l₁✝ l
hl2 : l <+ l₂✝
⊢ ∃ l, Forall₂ R l₁✝ l ∧ l <+ a✝¹ :: l₂✝

Tactic:
exact ⟨l, hl1, hl2.trans (Sublist.cons _ (Sublist.refl _))⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.List.Forall2

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
l₁ : List α
l₂ : List β
h : ∃ l, Forall₂ R l₁ l ∧ l <+ l₂
⊢ SublistForall₂ R l₁ l₂

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
R : α → β → Prop
l₁ : List α
l₂ : List β
h : ∃ l, Forall₂ R l₁ l ∧ l <+ l₂
⊢ SublistForall₂ R l₁ l₂
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case ha
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
B : α
B_pos : 0 < B
pos : 0 < 1 + ↑n * (B + 1) ^ (n - 1)
q r : α
hr : |r| ≤ B
hqr : |q - r| ≤ 1 ∧ |q - r| + |q - r| * ↑n * (B + 1) ^ (n - 1) ≤ ε
h : 0 < |q - r|
⊢ 0 ≤ |q - r| * ↑n

pp: case ha
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
B : α
B_pos : 0 < B
pos : 0 < 1 + ↑n * (B + 1) ^ (n - 1)
q r : α
hr : |r| ≤ B
hqr : |q - r| ≤ 1 ∧ |q - r| + |q - r| * ↑n * (B + 1) ^ (n - 1) ≤ ε
h : 0 < |q - r|
⊢ 0 ≤ max |q| |r|

pp: case hab
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
B : α
B_pos : 0 < B
pos : 0 < 1 + ↑n * (B + 1) ^ (n - 1)
q r : α
hr : |r| ≤ B
hqr : |q - r| ≤ 1 ∧ |q - r| + |q - r| * ↑n * (B + 1) ^ (n - 1) ≤ ε
h : 0 < |q - r|
⊢ max |q| |r| ≤ B + 1

Tactic:
·

Goal state after:
case ha
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
B : α
B_pos : 0 < B
pos : 0 < 1 + ↑n * (B + 1) ^ (n - 1)
q r : α
hr : |r| ≤ B
hqr : |q - r| ≤ 1 ∧ |q - r| + |q - r| * ↑n * (B + 1) ^ (n - 1) ≤ ε
h : 0 < |q - r|
⊢ 0 ≤ |q - r| * ↑n
Module: Mathlib.Algebra.Order.Field.Basic

Goal state before:
pp: case ha
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
B : α
B_pos : 0 < B
pos : 0 < 1 + ↑n * (B + 1) ^ (n - 1)
q r : α
hr : |r| ≤ B
hqr : |q - r| ≤ 1 ∧ |q - r| + |q - r| * ↑n * (B + 1) ^ (n - 1) ≤ ε
h : 0 < |q - r|
⊢ 0 ≤ max |q| |r|

pp: case hab
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
B : α
B_pos : 0 < B
pos : 0 < 1 + ↑n * (B + 1) ^ (n - 1)
q r : α
hr : |r| ≤ B
hqr : |q - r| ≤ 1 ∧ |q - r| + |q - r| * ↑n * (B + 1) ^ (n - 1) ≤ ε
h : 0 < |q - r|
⊢ max |q| |r| ≤ B + 1

Tactic:
·

Goal state after:
case ha
α : Type u_2
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
B : α
B_pos : 0 < B
pos : 0 < 1 + ↑n * (B + 1) ^ (n - 1)
q r : α
hr : |r| ≤ B
hqr : |q - r| ≤ 1 ∧ |q - r| + |q - r| * ↑n * (B + 1) ^ (n - 1) ≤ ε
h : 0 < |q - r|
⊢ 0 ≤ max |q| |r|
Module: Mathlib.Data.List.Forall2

Goal state before:
pp: case cons.nil
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α Rₐ
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (a b : List α), SublistForall₂ Rₐ a b → SublistForall₂ Rₐ b tail✝ → SublistForall₂ Rₐ a tail✝
a : List α
h1 : SublistForall₂ Rₐ a []
⊢ SublistForall₂ Rₐ a (head✝ :: tail✝)

pp: case cons.cons
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α Rₐ
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (a b : List α), SublistForall₂ Rₐ a b → SublistForall₂ Rₐ b tail✝ → SublistForall₂ Rₐ a tail✝
a : List α
a₁✝ : α
l₁✝ : List α
h1 : SublistForall₂ Rₐ a (a₁✝ :: l₁✝)
hbc : Rₐ a₁✝ head✝
tbc : SublistForall₂ Rₐ l₁✝ tail✝
⊢ SublistForall₂ Rₐ a (head✝ :: tail✝)

pp: case cons.cons_right
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α Rₐ
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (a b : List α), SublistForall₂ Rₐ a b → SublistForall₂ Rₐ b tail✝ → SublistForall₂ Rₐ a tail✝
a b : List α
h1 : SublistForall₂ Rₐ a b
btc : SublistForall₂ Rₐ b tail✝
⊢ SublistForall₂ Rₐ a (head✝ :: tail✝)

Tactic:
·

Goal state after:
case cons.nil
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α Rₐ
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (a b : List α), SublistForall₂ Rₐ a b → SublistForall₂ Rₐ b tail✝ → SublistForall₂ Rₐ a tail✝
a : List α
h1 : SublistForall₂ Rₐ a []
⊢ SublistForall₂ Rₐ a (head✝ :: tail✝)
Module: Mathlib.Data.List.Forall2

Goal state before:
pp: case cons.cons
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α Rₐ
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (a b : List α), SublistForall₂ Rₐ a b → SublistForall₂ Rₐ b tail✝ → SublistForall₂ Rₐ a tail✝
a : List α
a₁✝ : α
l₁✝ : List α
h1 : SublistForall₂ Rₐ a (a₁✝ :: l₁✝)
hbc : Rₐ a₁✝ head✝
tbc : SublistForall₂ Rₐ l₁✝ tail✝
⊢ SublistForall₂ Rₐ a (head✝ :: tail✝)

pp: case cons.cons_right
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α Rₐ
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (a b : List α), SublistForall₂ Rₐ a b → SublistForall₂ Rₐ b tail✝ → SublistForall₂ Rₐ a tail✝
a b : List α
h1 : SublistForall₂ Rₐ a b
btc : SublistForall₂ Rₐ b tail✝
⊢ SublistForall₂ Rₐ a (head✝ :: tail✝)

Tactic:
·

Goal state after:
case cons.cons
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α Rₐ
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (a b : List α), SublistForall₂ Rₐ a b → SublistForall₂ Rₐ b tail✝ → SublistForall₂ Rₐ a tail✝
a : List α
a₁✝ : α
l₁✝ : List α
h1 : SublistForall₂ Rₐ a (a₁✝ :: l₁✝)
hbc : Rₐ a₁✝ head✝
tbc : SublistForall₂ Rₐ l₁✝ tail✝
⊢ SublistForall₂ Rₐ a (head✝ :: tail✝)
Module: Mathlib.Data.List.Forall2

Goal state before:
pp: case cons.cons.nil
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α Rₐ
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (a b : List α), SublistForall₂ Rₐ a b → SublistForall₂ Rₐ b tail✝ → SublistForall₂ Rₐ a tail✝
a₁✝ : α
l₁✝ : List α
hbc : Rₐ a₁✝ head✝
tbc : SublistForall₂ Rₐ l₁✝ tail✝
⊢ SublistForall₂ Rₐ [] (head✝ :: tail✝)

pp: case cons.cons.cons
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α Rₐ
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (a b : List α), SublistForall₂ Rₐ a b → SublistForall₂ Rₐ b tail✝ → SublistForall₂ Rₐ a tail✝
a₁✝¹ : α
l₁✝¹ : List α
hbc : Rₐ a₁✝¹ head✝
tbc : SublistForall₂ Rₐ l₁✝¹ tail✝
a₁✝ : α
l₁✝ : List α
hab : Rₐ a₁✝ a₁✝¹
tab : SublistForall₂ Rₐ l₁✝ l₁✝¹
⊢ SublistForall₂ Rₐ (a₁✝ :: l₁✝) (head✝ :: tail✝)

pp: case cons.cons.cons_right
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α Rₐ
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (a b : List α), SublistForall₂ Rₐ a b → SublistForall₂ Rₐ b tail✝ → SublistForall₂ Rₐ a tail✝
a : List α
a₁✝ : α
l₁✝ : List α
hbc : Rₐ a₁✝ head✝
tbc : SublistForall₂ Rₐ l₁✝ tail✝
atb : SublistForall₂ Rₐ a l₁✝
⊢ SublistForall₂ Rₐ a (head✝ :: tail✝)

Tactic:
·

Goal state after:
case cons.cons.nil
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α Rₐ
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (a b : List α), SublistForall₂ Rₐ a b → SublistForall₂ Rₐ b tail✝ → SublistForall₂ Rₐ a tail✝
a₁✝ : α
l₁✝ : List α
hbc : Rₐ a₁✝ head✝
tbc : SublistForall₂ Rₐ l₁✝ tail✝
⊢ SublistForall₂ Rₐ [] (head✝ :: tail✝)