mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows := ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible
t : FamilyOfElements P U.arrows := ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (t f hf)
Z W : C
f : Z ⟶ X
h : W ⟶ Z
hf : U.arrows f
Y : C
l : Y ⟶ W
hl : (B ⋯).arrows l
M : C
m : M ⟶ Y
hm : (Sieve.pullback (l ≫ h) (B hf)).arrows m
this : (Sieve.bind U.arrows B).arrows (m ≫ l ≫ h ≫ f)
⊢ (ConcreteCategory.hom (P.map m.op)) ((ConcreteCategory.hom (P.map l.op)) (t (h ≫ f) ⋯)) = s (m ≫ l ≫ h ≫ f) this

pp: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows := ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible
t : FamilyOfElements P U.arrows := ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (t f hf)
Z W : C
f : Z ⟶ X
h : W ⟶ Z
hf : U.arrows f
Y : C
l : Y ⟶ W
hl : (B ⋯).arrows l
M : C
m : M ⟶ Y
hm : (Sieve.pullback (l ≫ h) (B hf)).arrows m
this : (Sieve.bind U.arrows B).arrows (m ≫ l ≫ h ≫ f)
⊢ s (m ≫ l ≫ h ≫ f) this =
    (ConcreteCategory.hom (P.map m.op))
      ((ConcreteCategory.hom (P.map l.op)) ((ConcreteCategory.hom (P.map h.op)) (t f hf)))

Tactic:
·

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows := ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible
t : FamilyOfElements P U.arrows := ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (t f hf)
Z W : C
f : Z ⟶ X
h : W ⟶ Z
hf : U.arrows f
Y : C
l : Y ⟶ W
hl : (B ⋯).arrows l
M : C
m : M ⟶ Y
hm : (Sieve.pullback (l ≫ h) (B hf)).arrows m
this : (Sieve.bind U.arrows B).arrows (m ≫ l ≫ h ≫ f)
⊢ (ConcreteCategory.hom (P.map m.op)) ((ConcreteCategory.hom (P.map l.op)) (t (h ≫ f) ⋯)) = s (m ≫ l ≫ h ≫ f) this
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows := ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible
t : FamilyOfElements P U.arrows := ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (t f hf)
Z W : C
f : Z ⟶ X
h : W ⟶ Z
hf : U.arrows f
Y : C
l : Y ⟶ W
hl : (B ⋯).arrows l
M : C
m : M ⟶ Y
hm : (Sieve.pullback (l ≫ h) (B hf)).arrows m
this : (Sieve.bind U.arrows B).arrows (m ≫ l ≫ h ≫ f)
⊢ s (m ≫ l ≫ h ≫ f) this =
    (ConcreteCategory.hom (P.map m.op))
      ((ConcreteCategory.hom (P.map l.op)) ((ConcreteCategory.hom (P.map h.op)) (t f hf)))

Tactic:
·

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows := ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible
t : FamilyOfElements P U.arrows := ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (t f hf)
Z W : C
f : Z ⟶ X
h : W ⟶ Z
hf : U.arrows f
Y : C
l : Y ⟶ W
hl : (B ⋯).arrows l
M : C
m : M ⟶ Y
hm : (Sieve.pullback (l ≫ h) (B hf)).arrows m
this : (Sieve.bind U.arrows B).arrows (m ≫ l ≫ h ≫ f)
⊢ s (m ≫ l ≫ h ≫ f) this =
    (ConcreteCategory.hom (P.map m.op))
      ((ConcreteCategory.hom (P.map l.op)) ((ConcreteCategory.hom (P.map h.op)) (t f hf)))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification

Goal state before:
pp: case e'_3
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst✝⁴ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory D FD
inst✝³ : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq P Sy
h : ∀ (I : S.Arrow), mk (x.pullback I.f) = mk (y.pullback I.f)
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
B : J.Cover X := ⋯
ex : B ⟶ Sx := ⋯
ey : B ⟶ Sy := ⋯
I : B.Arrow
IS : S.Arrow := ⋯
IW : (W IS).Arrow := ⋯
hh : ↑((x.pullback IS.f).refine (h1 IS)) IW = ↑((y.pullback IS.f).refine (h2 IS)) IW
e_1✝ : ToType (P.obj (op I.Y)) = ToType (P.obj (op IW.Y))
⊢ ↑(y.refine ey) I = ↑((y.pullback IS.f).refine (h2 IS)) IW

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_3
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst✝⁴ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory D FD
inst✝³ : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq P Sy
h : ∀ (I : S.Arrow), mk (x.pullback I.f) = mk (y.pullback I.f)
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
B : J.Cover X := ⋯
ex : B ⟶ Sx := ⋯
ey : B ⟶ Sy := ⋯
I : B.Arrow
IS : S.Arrow := ⋯
IW : (W IS).Arrow := ⋯
hh : ↑((x.pullback IS.f).refine (h1 IS)) IW = ↑((y.pullback IS.f).refine (h2 IS)) IW
e_1✝ : ToType (P.obj (op I.Y)) = ToType (P.obj (op IW.Y))
⊢ ↑(y.refine ey) I = ↑((y.pullback IS.f).refine (h2 IS)) IW
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Subsheaf

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subfunctor F
f : G.toFunctor ⟶ F'
h : Presieve.IsSheaf J F'
U V : Cᵒᵖ
i : U ⟶ V
s : (sheafify J G).toFunctor.obj U
W : C
j : W ⟶ unop V
hj : (G.sieveOfSection ↑((ConcreteCategory.hom ((sheafify J G).toFunctor.map i)) s)).arrows j
⊢ (ConcreteCategory.hom (f.app (op W)))
      (G.familyOfElementsOfSection (↑({ toFun := fun x ↦ ⟨(ConcreteCategory.hom (F.map i)) ↑x, ⋯⟩ } s)) j hj) =
    (G.familyOfElementsOfSection ↑s).map f (j ≫ i.unop) ?refine_2

pp: case refine_2
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subfunctor F
f : G.toFunctor ⟶ F'
h : Presieve.IsSheaf J F'
U V : Cᵒᵖ
i : U ⟶ V
s : (sheafify J G).toFunctor.obj U
W : C
j : W ⟶ unop V
hj : (G.sieveOfSection ↑((ConcreteCategory.hom ((sheafify J G).toFunctor.map i)) s)).arrows j
⊢ (G.sieveOfSection ↑s).arrows (j ≫ i.unop)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subfunctor F
f : G.toFunctor ⟶ F'
h : Presieve.IsSheaf J F'
U V : Cᵒᵖ
i : U ⟶ V
s : (sheafify J G).toFunctor.obj U
W : C
j : W ⟶ unop V
hj : (G.sieveOfSection ↑((ConcreteCategory.hom ((sheafify J G).toFunctor.map i)) s)).arrows j
⊢ (ConcreteCategory.hom (f.app (op W)))
      (G.familyOfElementsOfSection (↑({ toFun := fun x ↦ ⟨(ConcreteCategory.hom (F.map i)) ↑x, ⋯⟩ } s)) j hj) =
    (G.familyOfElementsOfSection ↑s).map f (j ≫ i.unop) ?refine_2
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Subsheaf

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subfunctor F
f : G.toFunctor ⟶ F'
h : Presieve.IsSheaf J F'
U V : Cᵒᵖ
i : U ⟶ V
s : (sheafify J G).toFunctor.obj U
W : C
j : W ⟶ unop V
hj : (G.sieveOfSection ↑((ConcreteCategory.hom ((sheafify J G).toFunctor.map i)) s)).arrows j
⊢ (G.sieveOfSection ↑s).arrows (j ≫ i.unop)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subfunctor F
f : G.toFunctor ⟶ F'
h : Presieve.IsSheaf J F'
U V : Cᵒᵖ
i : U ⟶ V
s : (sheafify J G).toFunctor.obj U
W : C
j : W ⟶ unop V
hj : (G.sieveOfSection ↑((ConcreteCategory.hom ((sheafify J G).toFunctor.map i)) s)).arrows j
⊢ (G.sieveOfSection ↑s).arrows (j ≫ i.unop)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows := fun Y f hf Z g hg ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible
t : FamilyOfElements P U.arrows := fun Y f hf ↦ ⋯.amalgamate (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (t f hf)
hT : t.Compatible
⊢ (fun t ↦ s.IsAmalgamation t) (hU.amalgamate t hT)

pp: case refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows := fun Y f hf Z g hg ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible
t : FamilyOfElements P U.arrows := fun Y f hf ↦ ⋯.amalgamate (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (t f hf)
hT : t.Compatible
⊢ ∀ (y : P.obj (op X)), (fun t ↦ s.IsAmalgamation t) y → y = hU.amalgamate t hT

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows := fun Y f hf Z g hg ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible
t : FamilyOfElements P U.arrows := fun Y f hf ↦ ⋯.amalgamate (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (t f hf)
hT : t.Compatible
⊢ (fun t ↦ s.IsAmalgamation t) (hU.amalgamate t hT)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows := fun Y f hf Z g hg ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible
t : FamilyOfElements P U.arrows := fun Y f hf ↦ ⋯.amalgamate (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (t f hf)
hT : t.Compatible
⊢ ∀ (y : P.obj (op X)), (fun t ↦ s.IsAmalgamation t) y → y = hU.amalgamate t hT

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows := fun Y f hf Z g hg ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible
t : FamilyOfElements P U.arrows := fun Y f hf ↦ ⋯.amalgamate (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (t f hf)
hT : t.Compatible
⊢ ∀ (y : P.obj (op X)), (fun t ↦ s.IsAmalgamation t) y → y = hU.amalgamate t hT
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Subsheaf

Goal state before:
pp: case h
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subfunctor F✝
F F' : Sheaf J (Type (max v u))
f : F ⟶ F'
I : Limits.MonoFactorisation f
M : Mono I.m.hom
⊢ Subfunctor.range f.hom ≤ Subfunctor.range I.m.hom

pp: case hF
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subfunctor F✝
F F' : Sheaf J (Type (max v u))
f : F ⟶ F'
I : Limits.MonoFactorisation f
M : Mono I.m.hom
⊢ Presieve.IsSheaf J F'.obj

pp: case hG'
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subfunctor F✝
F F' : Sheaf J (Type (max v u))
f : F ⟶ F'
I : Limits.MonoFactorisation f
M : Mono I.m.hom
⊢ Presieve.IsSheaf J (Subfunctor.range I.m.hom).toFunctor

Tactic:
·

Goal state after:
case h
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subfunctor F✝
F F' : Sheaf J (Type (max v u))
f : F ⟶ F'
I : Limits.MonoFactorisation f
M : Mono I.m.hom
⊢ Subfunctor.range f.hom ≤ Subfunctor.range I.m.hom
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case hS
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
R S : Sieve X
hR : IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
⊢ IsSheafFor P (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S).arrows

pp: case trans
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
R S : Sieve X
hR : IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    S.arrows f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S)).arrows

Tactic:
·

Goal state after:
case hS
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
R S : Sieve X
hR : IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
⊢ IsSheafFor P (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S).arrows
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Subsheaf

Goal state before:
pp: case hF
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subfunctor F✝
F F' : Sheaf J (Type (max v u))
f : F ⟶ F'
I : Limits.MonoFactorisation f
M : Mono I.m.hom
⊢ Presieve.IsSheaf J F'.obj

pp: case hG'
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subfunctor F✝
F F' : Sheaf J (Type (max v u))
f : F ⟶ F'
I : Limits.MonoFactorisation f
M : Mono I.m.hom
⊢ Presieve.IsSheaf J (Subfunctor.range I.m.hom).toFunctor

Tactic:
·

Goal state after:
case hF
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subfunctor F✝
F F' : Sheaf J (Type (max v u))
f : F ⟶ F'
I : Limits.MonoFactorisation f
M : Mono I.m.hom
⊢ Presieve.IsSheaf J F'.obj
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Subsheaf

Goal state before:
pp: case hG'
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subfunctor F✝
F F' : Sheaf J (Type (max v u))
f : F ⟶ F'
I : Limits.MonoFactorisation f
M : Mono I.m.hom
⊢ Presieve.IsSheaf J (Subfunctor.range I.m.hom).toFunctor

Tactic:
·

Goal state after:
case hG'
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subfunctor F✝
F F' : Sheaf J (Type (max v u))
f : F ⟶ F'
I : Limits.MonoFactorisation f
M : Mono I.m.hom
⊢ Presieve.IsSheaf J (Subfunctor.range I.m.hom).toFunctor
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case trans
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
R S : Sieve X
hR : IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    S.arrows f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S)).arrows

Tactic:
·

Goal state after:
case trans
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
R S : Sieve X
hR : IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    S.arrows f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S)).arrows
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case mp
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
R S : Sieve X
hR : IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y
⊢ (Sieve.pullback f (Sieve.bind R.arrows fun T k x ↦ Sieve.pullback k S)).arrows g → (Sieve.pullback f R).arrows g

pp: case mpr
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
R S : Sieve X
hR : IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y
⊢ (Sieve.pullback f R).arrows g → (Sieve.pullback f (Sieve.bind R.arrows fun T k x ↦ Sieve.pullback k S)).arrows g

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
R S : Sieve X
hR : IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y
⊢ (Sieve.pullback f (Sieve.bind R.arrows fun T k x ↦ Sieve.pullback k S)).arrows g → (Sieve.pullback f R).arrows g
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case mpr
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
R S : Sieve X
hR : IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y
⊢ (Sieve.pullback f R).arrows g → (Sieve.pullback f (Sieve.bind R.arrows fun T k x ↦ Sieve.pullback k S)).arrows g

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
R S : Sieve X
hR : IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y
⊢ (Sieve.pullback f R).arrows g → (Sieve.pullback f (Sieve.bind R.arrows fun T k x ↦ Sieve.pullback k S)).arrows g
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Sheafification

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P
⊢ toSheafify J P ≫ ((sheafificationAdjunction J D).counit.app { obj := P, property := hP }).hom = 𝟙 P

pp: case refine_2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P
⊢ ((sheafificationAdjunction J D).counit.app { obj := P, property := hP }).hom ≫ toSheafify J P = 𝟙 (sheafify J P)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P
⊢ toSheafify J P ≫ ((sheafificationAdjunction J D).counit.app { obj := P, property := hP }).hom = 𝟙 P
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Sheafification

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P
⊢ ((sheafificationAdjunction J D).counit.app { obj := P, property := hP }).hom ≫ toSheafify J P = 𝟙 (sheafify J P)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P
⊢ ((sheafificationAdjunction J D).counit.app { obj := P, property := hP }).hom ≫ toSheafify J P = 𝟙 (sheafify J P)