mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.FiniteDimension

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : f.ker = ⊥
h✝ : Nontrivial E
⊢ ∃ K > 0, AntilipschitzWith K ⇑f

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : f.ker = ⊥
h✝ : Nontrivial E
⊢ ∃ K > 0, AntilipschitzWith K ⇑f
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.FiniteDimension

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
⊢ Injective ⇑f → ∃ K > 0, AntilipschitzWith K ⇑f

pp: case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
⊢ (∃ K > 0, AntilipschitzWith K ⇑f) → Injective ⇑f

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
⊢ Injective ⇑f → ∃ K > 0, AntilipschitzWith K ⇑f
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.FiniteDimension

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
⊢ (∃ K > 0, AntilipschitzWith K ⇑f) → Injective ⇑f

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
⊢ (∃ K > 0, AntilipschitzWith K ⇑f) → Injective ⇑f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → G
h₁ : Integrable f μ
h₂ : Integrable f ν
⊢ ↑‖∫ (x : α), f x ∂μ + ∫ (x : α), f x ∂ν - ∫ (x : α), f x ∂μ‖₊ ≤ ∫⁻ (x : α), ‖f x‖ₑ ∂ν

Tactic:
add_sub_cancel_left

Goal state after:
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → G
h₁ : Integrable f μ
h₂ : Integrable f ν
⊢ ↑‖∫ (x : α), f x ∂ν‖₊ ≤ ∫⁻ (x : α), ‖f x‖ₑ ∂ν
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → G
⊢ ∫ (x : α), f x ∂∞ • μ = ∞.toReal • ∫ (x : α), f x ∂μ

pp: case inr
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → G
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ∞
⊢ ∫ (x : α), f x ∂c • μ = c.toReal • ∫ (x : α), f x ∂μ

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → G
⊢ ∫ (x : α), f x ∂∞ • μ = ∞.toReal • ∫ (x : α), f x ∂μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_6
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hfi : ¬Integrable f (Measure.map φ μ)
⊢ ∫ (y : β), f y ∂Measure.map φ μ = ∫ (x : α), f (φ x) ∂μ

pp: case pos
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_6
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
⊢ ∫ (y : β), f y ∂Measure.map φ μ = ∫ (x : α), f (φ x) ∂μ

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_6
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hfi : ¬Integrable f (Measure.map φ μ)
⊢ ∫ (y : β), f y ∂Measure.map φ μ = ∫ (x : α), f (φ x) ∂μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_6
x✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
g : β → G
hgm : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
⊢ ∫ (y : β), g y ∂Measure.map f μ = ∫ (x : α), g (f x) ∂μ

pp: case neg
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_6
x✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
g : β → G
hgm : ¬AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
⊢ ∫ (y : β), g y ∂Measure.map f μ = ∫ (x : α), g (f x) ∂μ

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_6
x✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
g : β → G
hgm : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
⊢ ∫ (y : β), g y ∂Measure.map f μ = ∫ (x : α), g (f x) ∂μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_6
x✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
g : β → G
hgm : ¬AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
⊢ ∫ (y : β), g y ∂Measure.map f μ = ∫ (x : α), g (f x) ∂μ

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_6
x✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
g : β → G
hgm : ¬AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
⊢ ∫ (y : β), g y ∂Measure.map f μ = ∫ (x : α), g (f x) ∂μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : PartialOrder G''
inst✝² : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G''
inst✝ : OrderClosedTopology G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : α → E
hG'' : ¬CompleteSpace G''
⊢ setToFun μ T hT f ≤ setToFun μ T' hT' f

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : PartialOrder G''
inst✝² : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G''
inst✝ : OrderClosedTopology G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : α → E
hG'' : CompleteSpace G''
⊢ setToFun μ T hT f ≤ setToFun μ T' hT' f

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : PartialOrder G''
inst✝² : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G''
inst✝ : OrderClosedTopology G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : α → E
hG'' : ¬CompleteSpace G''
⊢ setToFun μ T hT f ≤ setToFun μ T' hT' f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : PartialOrder G''
inst✝² : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G''
inst✝ : OrderClosedTopology G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : α → E
hG'' : CompleteSpace G''
hf : Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f ≤ setToFun μ T' hT' f

pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : PartialOrder G''
inst✝² : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G''
inst✝ : OrderClosedTopology G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : α → E
hG'' : CompleteSpace G''
hf : ¬Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f ≤ setToFun μ T' hT' f

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : PartialOrder G''
inst✝² : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G''
inst✝ : OrderClosedTopology G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : α → E
hG'' : CompleteSpace G''
hf : Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f ≤ setToFun μ T' hT' f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : PartialOrder G''
inst✝² : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G''
inst✝ : OrderClosedTopology G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : α → E
hG'' : CompleteSpace G''
hf : ¬Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f ≤ setToFun μ T' hT' f

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : PartialOrder G''
inst✝² : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G''
inst✝ : OrderClosedTopology G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : α → E
hG'' : CompleteSpace G''
hf : ¬Integrable f μ
⊢ setToFun μ T hT f ≤ setToFun μ T' hT' f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
mα : MeasurableSpace α
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
a : α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : Decidable (a ∈ s)
h✝ : a ∈ s
⊢ ∫ (x : α), f x ∂Measure.dirac a = f a

pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
mα : MeasurableSpace α
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
a : α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : Decidable (a ∈ s)
h✝ : a ∉ s
⊢ ∫ (x : α), f x ∂0 = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
mα : MeasurableSpace α
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
a : α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : Decidable (a ∈ s)
h✝ : a ∈ s
⊢ ∫ (x : α), f x ∂Measure.dirac a = f a
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
mα : MeasurableSpace α
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
a : α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : Decidable (a ∈ s)
h✝ : a ∉ s
⊢ ∫ (x : α), f x ∂0 = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
mα : MeasurableSpace α
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
a : α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : Decidable (a ∈ s)
h✝ : a ∉ s
⊢ ∫ (x : α), f x ∂0 = 0
Module: Mathlib.Topology.ContinuousMap.Bounded.Basic

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace α
C0 : 0 < C
⊢ dist f g < C → ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C

pp: case mpr
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace α
C0 : 0 < C
⊢ (∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C) → dist f g < C

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace α
C0 : 0 < C
⊢ dist f g < C → ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C
Module: Mathlib.Topology.ContinuousMap.Bounded.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace α
C0 : 0 < C
⊢ (∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C) → dist f g < C

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace α
C0 : 0 < C
⊢ (∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C) → dist f g < C
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
a : α
s : Set α
inst✝ : Decidable (a ∈ s)
h✝ : a ∈ s
⊢ ∫ (x : α), f x ∂Measure.dirac a = f a

pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
a : α
s : Set α
inst✝ : Decidable (a ∈ s)
h✝ : a ∉ s
⊢ ∫ (x : α), f x ∂0 = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
a : α
s : Set α
inst✝ : Decidable (a ∈ s)
h✝ : a ∈ s
⊢ ∫ (x : α), f x ∂Measure.dirac a = f a
Module: Mathlib.Topology.ContinuousMap.Bounded.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace α
C0 : 0 < C
h : Nonempty α
⊢ (∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C) → dist f g < C

pp: case neg
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace α
C0 : 0 < C
h : ¬Nonempty α
⊢ (∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C) → dist f g < C

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace α
C0 : 0 < C
h : Nonempty α
⊢ (∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C) → dist f g < C
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : PartialOrder G''
inst✝⁵ : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G''
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : PartialOrder G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : ClosedIciTopology G''
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hG'' : ¬CompleteSpace G''
⊢ 0 ≤ setToFun μ T hT f

pp: case pos
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : PartialOrder G''
inst✝⁵ : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G''
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : PartialOrder G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : ClosedIciTopology G''
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hG'' : CompleteSpace G''
⊢ 0 ≤ setToFun μ T hT f

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : PartialOrder G''
inst✝⁵ : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G''
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : PartialOrder G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : ClosedIciTopology G''
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hG'' : ¬CompleteSpace G''
⊢ 0 ≤ setToFun μ T hT f
Module: Mathlib.Topology.ContinuousMap.Bounded.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace α
C0 : 0 < C
h : ¬Nonempty α
⊢ (∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C) → dist f g < C

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
C : ℝ
inst✝ : CompactSpace α
C0 : 0 < C
h : ¬Nonempty α
⊢ (∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C) → dist f g < C
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
a : α
s : Set α
inst✝ : Decidable (a ∈ s)
h✝ : a ∉ s
⊢ ∫ (x : α), f x ∂0 = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
a : α
s : Set α
inst✝ : Decidable (a ∈ s)
h✝ : a ∉ s
⊢ ∫ (x : α), f x ∂0 = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : PartialOrder G''
inst✝⁵ : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G''
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : PartialOrder G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : ClosedIciTopology G''
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hG'' : CompleteSpace G''
hfi : Integrable f μ
⊢ 0 ≤ setToFun μ T hT f

pp: case neg
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : PartialOrder G''
inst✝⁵ : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G''
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : PartialOrder G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : ClosedIciTopology G''
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hG'' : CompleteSpace G''
hfi : ¬Integrable f μ
⊢ 0 ≤ setToFun μ T hT f

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : PartialOrder G''
inst✝⁵ : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G''
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : PartialOrder G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : ClosedIciTopology G''
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hG'' : CompleteSpace G''
hfi : Integrable f μ
⊢ 0 ≤ setToFun μ T hT f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᵐ[μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ
hμ : μ {x | ε ≤ f x} = ∞
⊢ ε * μ.real {x | ε ≤ f x} ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ

pp: case inr
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᵐ[μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ
hμ : μ {x | ε ≤ f x} < ∞
⊢ ε * μ.real {x | ε ≤ f x} ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᵐ[μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ
hμ : μ {x | ε ≤ f x} = ∞
⊢ ε * μ.real {x | ε ≤ f x} ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : PartialOrder G''
inst✝⁵ : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G''
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : PartialOrder G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : ClosedIciTopology G''
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hG'' : CompleteSpace G''
hfi : ¬Integrable f μ
⊢ 0 ≤ setToFun μ T hT f

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : PartialOrder G''
inst✝⁵ : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G''
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : PartialOrder G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : ClosedIciTopology G''
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hG'' : CompleteSpace G''
hfi : ¬Integrable f μ
⊢ 0 ≤ setToFun μ T hT f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᵐ[μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ
hμ : μ {x | ε ≤ f x} < ∞
⊢ ε * μ.real {x | ε ≤ f x} ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᵐ[μ] f
hf_int : Integrable f μ
ε : ℝ
hμ : μ {x | ε ≤ f x} < ∞
⊢ ε * μ.real {x | ε ≤ f x} ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
Module: Mathlib.Topology.ContinuousMap.Bounded.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
h✝ : IsEmpty α
⊢ dist f g = ⨆ x, dist (f x) (g x)

pp: case inr
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
h✝ : Nonempty α
⊢ dist f g = ⨆ x, dist (f x) (g x)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
h✝ : IsEmpty α
⊢ dist f g = ⨆ x, dist (f x) (g x)