mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Probability.Moments.SubGaussian

Goal state before:
pp: case pos.inl
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
mΩ' : MeasurableSpace Ω'
ν : Measure Ω'
κ : Kernel Ω' Ω
X : Ω → ℝ
c : ℝ≥0
Ω'' : Type u_3
mΩ'' : MeasurableSpace Ω''
Y : Ω'' → ℝ
cY : ℝ≥0
inst✝¹ : SFinite ν
hX : HasSubgaussianMGF X c κ ν
t : ℝ
hκ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel 0
hY : HasSubgaussianMGF Y cY 0 (ν ⊗ₘ κ)
⊢ Integrable (fun ω ↦ rexp (t * (X ω.1 + Y ω.2))) (⇑(κ ⊗ₖ 0) ∘ₘ ν)

pp: case pos.inr
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
mΩ' : MeasurableSpace Ω'
ν : Measure Ω'
κ : Kernel Ω' Ω
X : Ω → ℝ
c : ℝ≥0
Ω'' : Type u_3
mΩ'' : MeasurableSpace Ω''
Y : Ω'' → ℝ
cY : ℝ≥0
inst✝¹ : SFinite ν
η : Kernel (Ω' × Ω) Ω''
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel η
hX : HasSubgaussianMGF X c κ ν
hY : HasSubgaussianMGF Y cY η (ν ⊗ₘ κ)
t : ℝ
hκ : IsSFiniteKernel κ
hη : IsMarkovKernel η
⊢ Integrable (fun ω ↦ rexp (t * (X ω.1 + Y ω.2))) (⇑(κ ⊗ₖ η) ∘ₘ ν)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos.inl
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
mΩ' : MeasurableSpace Ω'
ν : Measure Ω'
κ : Kernel Ω' Ω
X : Ω → ℝ
c : ℝ≥0
Ω'' : Type u_3
mΩ'' : MeasurableSpace Ω''
Y : Ω'' → ℝ
cY : ℝ≥0
inst✝¹ : SFinite ν
hX : HasSubgaussianMGF X c κ ν
t : ℝ
hκ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel 0
hY : HasSubgaussianMGF Y cY 0 (ν ⊗ₘ κ)
⊢ Integrable (fun ω ↦ rexp (t * (X ω.1 + Y ω.2))) (⇑(κ ⊗ₖ 0) ∘ₘ ν)
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: case h.hf
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
⊢ ∀ u ∈ Set.Icc (↑i) (↑i + 1), 0 ≤ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case h.hf
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
⊢ ∀ u ∈ Set.Icc (↑i) (↑i + 1), 0 ≤ 1
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: case h
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ ∫ (a : ℝ) in Set.Ioc ↑i ↑(i + 1), (↑i + 1) * 1 ∂ρ ≤ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioc ↑i ↑(i + 1), x + 1 ∂ρ

Tactic:
apply setIntegral_mono_on

Goal state after:
case h.hf
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ (↑i + 1) * 1) (Set.Ioc ↑i ↑(i + 1)) ρ

case h.hg
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ x + 1) (Set.Ioc ↑i ↑(i + 1)) ρ

case h.hs
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ MeasurableSet (Set.Ioc ↑i ↑(i + 1))

case h
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ ∀ x ∈ Set.Ioc ↑i ↑(i + 1), (↑i + 1) * 1 ≤ x + 1
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: case h.hf
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ (↑i + 1) * 1) (Set.Ioc ↑i ↑(i + 1)) ρ

pp: case h.hg
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ x + 1) (Set.Ioc ↑i ↑(i + 1)) ρ

pp: case h.hs
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ MeasurableSet (Set.Ioc ↑i ↑(i + 1))

pp: case h
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ ∀ x ∈ Set.Ioc ↑i ↑(i + 1), (↑i + 1) * 1 ≤ x + 1

Tactic:
·

Goal state after:
case h.hf
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ (↑i + 1) * 1) (Set.Ioc ↑i ↑(i + 1)) ρ
Module: Mathlib.Probability.Moments.SubGaussian

Goal state before:
pp: case pos.inr.refine_1
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
mΩ' : MeasurableSpace Ω'
ν : Measure Ω'
κ : Kernel Ω' Ω
X : Ω → ℝ
c : ℝ≥0
Ω'' : Type u_3
mΩ'' : MeasurableSpace Ω''
Y : Ω'' → ℝ
cY : ℝ≥0
inst✝¹ : SFinite ν
η : Kernel (Ω' × Ω) Ω''
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel η
hX : HasSubgaussianMGF X c κ ν
hY : HasSubgaussianMGF Y cY η (ν ⊗ₘ κ)
t : ℝ
hκ : IsSFiniteKernel κ
hη : IsMarkovKernel η
⊢ MemLp (fun ω ↦ rexp (t * X ω.1)) 2 (⇑(κ ⊗ₖ η) ∘ₘ ν)

pp: case pos.inr.refine_2
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
mΩ' : MeasurableSpace Ω'
ν : Measure Ω'
κ : Kernel Ω' Ω
X : Ω → ℝ
c : ℝ≥0
Ω'' : Type u_3
mΩ'' : MeasurableSpace Ω''
Y : Ω'' → ℝ
cY : ℝ≥0
inst✝¹ : SFinite ν
η : Kernel (Ω' × Ω) Ω''
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel η
hX : HasSubgaussianMGF X c κ ν
hY : HasSubgaussianMGF Y cY η (ν ⊗ₘ κ)
t : ℝ
hκ : IsSFiniteKernel κ
hη : IsMarkovKernel η
⊢ MemLp (fun ω ↦ rexp (t * Y ω.2)) 2 (⇑(κ ⊗ₖ η) ∘ₘ ν)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos.inr.refine_1
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
mΩ' : MeasurableSpace Ω'
ν : Measure Ω'
κ : Kernel Ω' Ω
X : Ω → ℝ
c : ℝ≥0
Ω'' : Type u_3
mΩ'' : MeasurableSpace Ω''
Y : Ω'' → ℝ
cY : ℝ≥0
inst✝¹ : SFinite ν
η : Kernel (Ω' × Ω) Ω''
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel η
hX : HasSubgaussianMGF X c κ ν
hY : HasSubgaussianMGF Y cY η (ν ⊗ₘ κ)
t : ℝ
hκ : IsSFiniteKernel κ
hη : IsMarkovKernel η
⊢ MemLp (fun ω ↦ rexp (t * X ω.1)) 2 (⇑(κ ⊗ₖ η) ∘ₘ ν)
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: case h.hg
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ x + 1) (Set.Ioc ↑i ↑(i + 1)) ρ

pp: case h.hs
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ MeasurableSet (Set.Ioc ↑i ↑(i + 1))

pp: case h
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ ∀ x ∈ Set.Ioc ↑i ↑(i + 1), (↑i + 1) * 1 ≤ x + 1

Tactic:
·

Goal state after:
case h.hg
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ x + 1) (Set.Ioc ↑i ↑(i + 1)) ρ
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: case h.hs
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ MeasurableSet (Set.Ioc ↑i ↑(i + 1))

pp: case h
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ ∀ x ∈ Set.Ioc ↑i ↑(i + 1), (↑i + 1) * 1 ≤ x + 1

Tactic:
·

Goal state after:
case h.hs
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ MeasurableSet (Set.Ioc ↑i ↑(i + 1))
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: case h
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ ∀ x ∈ Set.Ioc ↑i ↑(i + 1), (↑i + 1) * 1 ≤ x + 1

Tactic:
·

Goal state after:
case h
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := ⋯
this : IsProbabilityMeasure ρ
i : ℕ
a✝ : i ∈ range N
I : ↑i ≤ ↑(i + 1)
⊢ ∀ x ∈ Set.Ioc ↑i ↑(i + 1), (↑i + 1) * 1 ≤ x + 1
Module: Mathlib.Probability.Moments.SubGaussian

Goal state before:
pp: case pos.inr.refine_2
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
mΩ' : MeasurableSpace Ω'
ν : Measure Ω'
κ : Kernel Ω' Ω
X : Ω → ℝ
c : ℝ≥0
Ω'' : Type u_3
mΩ'' : MeasurableSpace Ω''
Y : Ω'' → ℝ
cY : ℝ≥0
inst✝¹ : SFinite ν
η : Kernel (Ω' × Ω) Ω''
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel η
hX : HasSubgaussianMGF X c κ ν
hY : HasSubgaussianMGF Y cY η (ν ⊗ₘ κ)
t : ℝ
hκ : IsSFiniteKernel κ
hη : IsMarkovKernel η
⊢ MemLp (fun ω ↦ rexp (t * Y ω.2)) 2 (⇑(κ ⊗ₖ η) ∘ₘ ν)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos.inr.refine_2
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
mΩ' : MeasurableSpace Ω'
ν : Measure Ω'
κ : Kernel Ω' Ω
X : Ω → ℝ
c : ℝ≥0
Ω'' : Type u_3
mΩ'' : MeasurableSpace Ω''
Y : Ω'' → ℝ
cY : ℝ≥0
inst✝¹ : SFinite ν
η : Kernel (Ω' × Ω) Ω''
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel η
hX : HasSubgaussianMGF X c κ ν
hY : HasSubgaussianMGF Y cY η (ν ⊗ₘ κ)
t : ℝ
hκ : IsSFiniteKernel κ
hη : IsMarkovKernel η
⊢ MemLp (fun ω ↦ rexp (t * Y ω.2)) 2 (⇑(κ ⊗ₖ η) ∘ₘ ν)
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
this : IsProbabilityMeasure ρ
⊢ ∫ (x : ℝ) in ↑0..↑N, x + 1 ∂ρ = ∫ (x : ℝ) in 0..↑N, x + 1 ∂ρ

pp: Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
this : IsProbabilityMeasure ρ
k : ℕ
x✝ : k < N
⊢ IntervalIntegrable (fun x ↦ x + 1) ρ ↑k ↑(k + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
this : IsProbabilityMeasure ρ
⊢ ∫ (x : ℝ) in ↑0..↑N, x + 1 ∂ρ = ∫ (x : ℝ) in 0..↑N, x + 1 ∂ρ
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
this : IsProbabilityMeasure ρ
k : ℕ
x✝ : k < N
⊢ IntervalIntegrable (fun x ↦ x + 1) ρ ↑k ↑(k + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
this : IsProbabilityMeasure ρ
k : ℕ
x✝ : k < N
⊢ IntervalIntegrable (fun x ↦ x + 1) ρ ↑k ↑(k + 1)
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: case hf
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
this : IsProbabilityMeasure ρ
⊢ IntervalIntegrable (fun x ↦ x) ρ 0 ↑N

pp: case hg
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
this : IsProbabilityMeasure ρ
⊢ IntervalIntegrable (fun x ↦ 1) ρ 0 ↑N

Tactic:
·

Goal state after:
case hf
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
this : IsProbabilityMeasure ρ
⊢ IntervalIntegrable (fun x ↦ x) ρ 0 ↑N
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: case hg
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
this : IsProbabilityMeasure ρ
⊢ IntervalIntegrable (fun x ↦ 1) ρ 0 ↑N

Tactic:
·

Goal state after:
case hg
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K N : ℕ
hKN : K ≤ N
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
this : IsProbabilityMeasure ρ
⊢ IntervalIntegrable (fun x ↦ 1) ρ 0 ↑N
Module: Mathlib.Probability.Moments.SubGaussian

Goal state before:
pp: case neg
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
mΩ' : MeasurableSpace Ω'
ν : Measure Ω'
κ : Kernel Ω' Ω
X : Ω → ℝ
c : ℝ≥0
Ω'' : Type u_3
mΩ'' : MeasurableSpace Ω''
Y : Ω'' → ℝ
cY : ℝ≥0
inst✝¹ : SFinite ν
η : Kernel (Ω' × Ω) Ω''
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel η
hX : HasSubgaussianMGF X c κ ν
hY : HasSubgaussianMGF Y cY η (ν ⊗ₘ κ)
hκ : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ HasSubgaussianMGF (fun p ↦ X p.1 + Y p.2) (c + cY) (κ ⊗ₖ η) ν

pp: case pos
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
mΩ' : MeasurableSpace Ω'
ν : Measure Ω'
κ : Kernel Ω' Ω
X : Ω → ℝ
c : ℝ≥0
Ω'' : Type u_3
mΩ'' : MeasurableSpace Ω''
Y : Ω'' → ℝ
cY : ℝ≥0
inst✝¹ : SFinite ν
η : Kernel (Ω' × Ω) Ω''
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel η
hX : HasSubgaussianMGF X c κ ν
hY : HasSubgaussianMGF Y cY η (ν ⊗ₘ κ)
hκ : IsSFiniteKernel κ
⊢ HasSubgaussianMGF (fun p ↦ X p.1 + Y p.2) (c + cY) (κ ⊗ₖ η) ν

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
mΩ' : MeasurableSpace Ω'
ν : Measure Ω'
κ : Kernel Ω' Ω
X : Ω → ℝ
c : ℝ≥0
Ω'' : Type u_3
mΩ'' : MeasurableSpace Ω''
Y : Ω'' → ℝ
cY : ℝ≥0
inst✝¹ : SFinite ν
η : Kernel (Ω' × Ω) Ω''
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel η
hX : HasSubgaussianMGF X c κ ν
hY : HasSubgaussianMGF Y cY η (ν ⊗ₘ κ)
hκ : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ HasSubgaussianMGF (fun p ↦ X p.1 + Y p.2) (c + cY) (κ ⊗ₖ η) ν
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K i : ℕ
x✝ : i ∈ range K
⊢ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑i} ⊆ ⋃ N, {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑i ↑N}

pp: Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K i : ℕ
x✝ : i ∈ range K
⊢ ⋃ N, {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑i ↑N} ⊆ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑i}

Tactic:
·

Goal state after:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K i : ℕ
x✝ : i ∈ range K
⊢ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑i} ⊆ ⋃ N, {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑i ↑N}
Module: Mathlib.Probability.Process.LocalProperty

Goal state before:
pp: case e_s
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁸ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : OrderTopology ι
𝓕 : Filtration ι mΩ
X : ι → Ω → E
p : (ι → Ω → E) → Prop
inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure P
inst✝³ : DenselyOrdered ι
inst✝² : NoMaxOrder ι
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : 𝓕.IsRightContinuous
hp : IsStable 𝓕 p
hL : Locally (fun Y ↦ Locally p 𝓕 Y P) 𝓕 X P
τ : ℕ → ℕ → Ω → WithTop ι
hτ₁ : ∀ (n : ℕ), IsLocalizingSequence 𝓕 (τ n) P
hτ₂ :
  ∀ (n n_1 : ℕ),
    p
      (stoppedProcess
        (fun i ↦
          {ω | ⊥ < τ n n_1 ω}.indicator
            (stoppedProcess (fun i ↦ {ω | ⊥ < hL.localSeq n ω}.indicator (X i)) (hL.localSeq n) i))
        (τ n n_1))
nk : ℕ → ℕ
hnk : StrictMono nk
hpre : IsPreLocalizingSequence 𝓕 (fun i ω ↦ min (hL.localSeq i ω) (τ i (nk i) ω)) P
n : ℕ
i : ι
ω : Ω
⊢ {ω | ⊥ < hL.localSeq n ω ∧ ⊥ < τ n (nk n) ω} = {ω | ⊥ < τ n (nk n) ω} ∩ {ω | ⊥ < hL.localSeq n ω}

pp: case e_f
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁸ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : OrderTopology ι
𝓕 : Filtration ι mΩ
X : ι → Ω → E
p : (ι → Ω → E) → Prop
inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure P
inst✝³ : DenselyOrdered ι
inst✝² : NoMaxOrder ι
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : 𝓕.IsRightContinuous
hp : IsStable 𝓕 p
hL : Locally (fun Y ↦ Locally p 𝓕 Y P) 𝓕 X P
τ : ℕ → ℕ → Ω → WithTop ι
hτ₁ : ∀ (n : ℕ), IsLocalizingSequence 𝓕 (τ n) P
hτ₂ :
  ∀ (n n_1 : ℕ),
    p
      (stoppedProcess
        (fun i ↦
          {ω | ⊥ < τ n n_1 ω}.indicator
            (stoppedProcess (fun i ↦ {ω | ⊥ < hL.localSeq n ω}.indicator (X i)) (hL.localSeq n) i))
        (τ n n_1))
nk : ℕ → ℕ
hnk : StrictMono nk
hpre : IsPreLocalizingSequence 𝓕 (fun i ω ↦ min (hL.localSeq i ω) (τ i (nk i) ω)) P
n : ℕ
i : ι
ω : Ω
⊢ stoppedProcess X (fun ω ↦ min (hL.localSeq n ω) (τ n (nk n) ω)) i = stoppedProcess X (τ n (nk n) ⊓ hL.localSeq n) i

Tactic:
·

Goal state after:
case e_s
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁸ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : OrderTopology ι
𝓕 : Filtration ι mΩ
X : ι → Ω → E
p : (ι → Ω → E) → Prop
inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure P
inst✝³ : DenselyOrdered ι
inst✝² : NoMaxOrder ι
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : 𝓕.IsRightContinuous
hp : IsStable 𝓕 p
hL : Locally (fun Y ↦ Locally p 𝓕 Y P) 𝓕 X P
τ : ℕ → ℕ → Ω → WithTop ι
hτ₁ : ∀ (n : ℕ), IsLocalizingSequence 𝓕 (τ n) P
hτ₂ :
  ∀ (n n_1 : ℕ),
    p
      (stoppedProcess
        (fun i ↦
          {ω | ⊥ < τ n n_1 ω}.indicator
            (stoppedProcess (fun i ↦ {ω | ⊥ < hL.localSeq n ω}.indicator (X i)) (hL.localSeq n) i))
        (τ n n_1))
nk : ℕ → ℕ
hnk : StrictMono nk
hpre : IsPreLocalizingSequence 𝓕 (fun i ω ↦ min (hL.localSeq i ω) (τ i (nk i) ω)) P
n : ℕ
i : ι
ω : Ω
⊢ {ω | ⊥ < hL.localSeq n ω ∧ ⊥ < τ n (nk n) ω} = {ω | ⊥ < τ n (nk n) ω} ∩ {ω | ⊥ < hL.localSeq n ω}
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K i : ℕ
x✝ : i ∈ range K
⊢ ⋃ N, {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑i ↑N} ⊆ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑i}

Tactic:
·

Goal state after:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K i : ℕ
x✝ : i ∈ range K
⊢ ⋃ N, {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑i ↑N} ⊆ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑i}
Module: Mathlib.Probability.Process.LocalProperty

Goal state before:
pp: case e_f
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁸ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : OrderTopology ι
𝓕 : Filtration ι mΩ
X : ι → Ω → E
p : (ι → Ω → E) → Prop
inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure P
inst✝³ : DenselyOrdered ι
inst✝² : NoMaxOrder ι
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : 𝓕.IsRightContinuous
hp : IsStable 𝓕 p
hL : Locally (fun Y ↦ Locally p 𝓕 Y P) 𝓕 X P
τ : ℕ → ℕ → Ω → WithTop ι
hτ₁ : ∀ (n : ℕ), IsLocalizingSequence 𝓕 (τ n) P
hτ₂ :
  ∀ (n n_1 : ℕ),
    p
      (stoppedProcess
        (fun i ↦
          {ω | ⊥ < τ n n_1 ω}.indicator
            (stoppedProcess (fun i ↦ {ω | ⊥ < hL.localSeq n ω}.indicator (X i)) (hL.localSeq n) i))
        (τ n n_1))
nk : ℕ → ℕ
hnk : StrictMono nk
hpre : IsPreLocalizingSequence 𝓕 (fun i ω ↦ min (hL.localSeq i ω) (τ i (nk i) ω)) P
n : ℕ
i : ι
ω : Ω
⊢ stoppedProcess X (fun ω ↦ min (hL.localSeq n ω) (τ n (nk n) ω)) i = stoppedProcess X (τ n (nk n) ⊓ hL.localSeq n) i

Tactic:
·

Goal state after:
case e_f
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁸ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : OrderTopology ι
𝓕 : Filtration ι mΩ
X : ι → Ω → E
p : (ι → Ω → E) → Prop
inst✝⁵ : SecondCountableTopology ι
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure P
inst✝³ : DenselyOrdered ι
inst✝² : NoMaxOrder ι
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : 𝓕.IsRightContinuous
hp : IsStable 𝓕 p
hL : Locally (fun Y ↦ Locally p 𝓕 Y P) 𝓕 X P
τ : ℕ → ℕ → Ω → WithTop ι
hτ₁ : ∀ (n : ℕ), IsLocalizingSequence 𝓕 (τ n) P
hτ₂ :
  ∀ (n n_1 : ℕ),
    p
      (stoppedProcess
        (fun i ↦
          {ω | ⊥ < τ n n_1 ω}.indicator
            (stoppedProcess (fun i ↦ {ω | ⊥ < hL.localSeq n ω}.indicator (X i)) (hL.localSeq n) i))
        (τ n n_1))
nk : ℕ → ℕ
hnk : StrictMono nk
hpre : IsPreLocalizingSequence 𝓕 (fun i ω ↦ min (hL.localSeq i ω) (τ i (nk i) ω)) P
n : ℕ
i : ι
ω : Ω
⊢ stoppedProcess X (fun ω ↦ min (hL.localSeq n ω) (τ n (nk n) ω)) i = stoppedProcess X (τ n (nk n) ⊓ hL.localSeq n) i
Module: Mathlib.Probability.Moments.SubGaussian

Goal state before:
pp: case refine_1
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
mΩ' : MeasurableSpace Ω'
ν : Measure Ω'
κ : Kernel Ω' Ω
X : Ω → ℝ
c : ℝ≥0
Ω'' : Type u_3
mΩ'' : MeasurableSpace Ω''
Y : Ω'' → ℝ
cY : ℝ≥0
inst✝¹ : SFinite ν
η : Kernel (Ω' × Ω) Ω''
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel η
hX : HasSubgaussianMGF X c κ ν
hY : HasSubgaussianMGF Y cY η (ν ⊗ₘ κ)
hκ : IsSFiniteKernel κ
q : ℚ
ω' : Ω'
hX_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf X (κ ω') t ≤ rexp (↑c * t ^ 2 / 2)
hX_int : Integrable (fun y ↦ rexp (↑q * X y)) (κ ω')
hY_mgf : ∀ᵐ (b : Ω) ∂κ ω', ∀ (t : ℝ), mgf Y (η (ω', b)) t ≤ rexp (↑cY * t ^ 2 / 2)
h_int_mul : Integrable (fun ω ↦ rexp (↑q * (X ω.1 + Y ω.2))) ((κ ⊗ₖ η) ω')
⊢ 0 ≤ᵐ[κ ω'] fun x ↦ rexp (↑q * X x) * ∫ (y : Ω''), rexp (↑q * Y y) ∂η (ω', x)

pp: case refine_2
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
mΩ' : MeasurableSpace Ω'
ν : Measure Ω'
κ : Kernel Ω' Ω
X : Ω → ℝ
c : ℝ≥0
Ω'' : Type u_3
mΩ'' : MeasurableSpace Ω''
Y : Ω'' → ℝ
cY : ℝ≥0
inst✝¹ : SFinite ν
η : Kernel (Ω' × Ω) Ω''
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel η
hX : HasSubgaussianMGF X c κ ν
hY : HasSubgaussianMGF Y cY η (ν ⊗ₘ κ)
hκ : IsSFiniteKernel κ
q : ℚ
ω' : Ω'
hX_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf X (κ ω') t ≤ rexp (↑c * t ^ 2 / 2)
hX_int : Integrable (fun y ↦ rexp (↑q * X y)) (κ ω')
hY_mgf : ∀ᵐ (b : Ω) ∂κ ω', ∀ (t : ℝ), mgf Y (η (ω', b)) t ≤ rexp (↑cY * t ^ 2 / 2)
h_int_mul : Integrable (fun ω ↦ rexp (↑q * (X ω.1 + Y ω.2))) ((κ ⊗ₖ η) ω')
⊢ (fun x ↦ rexp (↑q * X x) * ∫ (y : Ω''), rexp (↑q * Y y) ∂η (ω', x)) ≤ᵐ[κ ω'] fun x ↦
    rexp (↑q * X x) * rexp (↑cY * ↑q ^ 2 / 2)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
mΩ' : MeasurableSpace Ω'
ν : Measure Ω'
κ : Kernel Ω' Ω
X : Ω → ℝ
c : ℝ≥0
Ω'' : Type u_3
mΩ'' : MeasurableSpace Ω''
Y : Ω'' → ℝ
cY : ℝ≥0
inst✝¹ : SFinite ν
η : Kernel (Ω' × Ω) Ω''
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel η
hX : HasSubgaussianMGF X c κ ν
hY : HasSubgaussianMGF Y cY η (ν ⊗ₘ κ)
hκ : IsSFiniteKernel κ
q : ℚ
ω' : Ω'
hX_mgf : ∀ (t : ℝ), mgf X (κ ω') t ≤ rexp (↑c * t ^ 2 / 2)
hX_int : Integrable (fun y ↦ rexp (↑q * X y)) (κ ω')
hY_mgf : ∀ᵐ (b : Ω) ∂κ ω', ∀ (t : ℝ), mgf Y (η (ω', b)) t ≤ rexp (↑cY * t ^ 2 / 2)
h_int_mul : Integrable (fun ω ↦ rexp (↑q * (X ω.1 + Y ω.2))) ((κ ⊗ₖ η) ω')
⊢ 0 ≤ᵐ[κ ω'] fun x ↦ rexp (↑q * X x) * ∫ (y : Ω''), rexp (↑q * Y y) ∂η (ω', x)