mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Division

Goal state before:
pp: case inr.succ.refine_1.inl
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : IsCancelMulZero R
n✝ : σ →₀ ℕ
hR : Nontrivial R
d : ℕ
hd :
  ∀ (n : σ →₀ ℕ),
    Finsupp.degree n = d →
      ∀ (p q : MvPolynomial σ R), p ∣ (monomial n) 1 * q ↔ ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r
n : σ →₀ ℕ
hn : Finsupp.degree n = d + 1
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
hi : i ∈ n.support
n' : σ →₀ ℕ := n - Finsupp.single i 1
hn' : n' + Finsupp.single i 1 = n
hnn' : n' ≤ n
hd' : Finsupp.degree n' = d
hp : p ∣ (monomial n') 1 * q
⊢ ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r

pp: case inr.succ.refine_1.inr
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : IsCancelMulZero R
n✝ : σ →₀ ℕ
hR : Nontrivial R
d : ℕ
hd :
  ∀ (n : σ →₀ ℕ),
    Finsupp.degree n = d →
      ∀ (p q : MvPolynomial σ R), p ∣ (monomial n) 1 * q ↔ ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r
n : σ →₀ ℕ
hn : Finsupp.degree n = d + 1
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
hi : i ∈ n.support
n' : σ →₀ ℕ := n - Finsupp.single i 1
hn' : n' + Finsupp.single i 1 = n
hnn' : n' ≤ n
hd' : Finsupp.degree n' = d
hp : X i ∣ p ∧ p.divMonomial (Finsupp.single i 1) ∣ (monomial n') 1 * q
⊢ ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.succ.refine_1.inl
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : IsCancelMulZero R
n✝ : σ →₀ ℕ
hR : Nontrivial R
d : ℕ
hd :
  ∀ (n : σ →₀ ℕ),
    Finsupp.degree n = d →
      ∀ (p q : MvPolynomial σ R), p ∣ (monomial n) 1 * q ↔ ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r
n : σ →₀ ℕ
hn : Finsupp.degree n = d + 1
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
hi : i ∈ n.support
n' : σ →₀ ℕ := n - Finsupp.single i 1
hn' : n' + Finsupp.single i 1 = n
hnn' : n' ≤ n
hd' : Finsupp.degree n' = d
hp : p ∣ (monomial n') 1 * q
⊢ ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r
Module: Mathlib.Data.Nat.Choose.Multinomial

Goal state before:
pp: case empty.zero
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
x : α → R
hc : (↑∅).Pairwise (Commute on x)
⊢ 0 ^ 0 = ∑ k, ↑(↑↑k).countPerms * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯

pp: case empty.succ
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
x : α → R
hc : (↑∅).Pairwise (Commute on x)
n : ℕ
⊢ 0 ^ (n + 1) = ∑ k, ↑(↑↑k).countPerms * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯

Tactic:
·

Goal state after:
case empty.zero
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
x : α → R
hc : (↑∅).Pairwise (Commute on x)
⊢ 0 ^ 0 = ∑ k, ↑(↑↑k).countPerms * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
Module: Mathlib.Data.Nat.Choose.Multinomial

Goal state before:
pp: case empty.zero.a
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
x : α → R
hc : (↑∅).Pairwise (Commute on x)
⊢ ↥(∅.sym 0)

pp: case empty.zero
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
x : α → R
hc : (↑∅).Pairwise (Commute on x)
⊢ 1 = ↑(↑↑?empty.zero.a).countPerms * (Multiset.map x ↑↑?empty.zero.a).noncommProd ⋯

Tactic:
·

Goal state after:
case empty.zero.a
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
x : α → R
hc : (↑∅).Pairwise (Commute on x)
⊢ ↥(∅.sym 0)
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Division

Goal state before:
pp: case inr.succ.refine_1.inr
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : IsCancelMulZero R
n✝ : σ →₀ ℕ
hR : Nontrivial R
d : ℕ
hd :
  ∀ (n : σ →₀ ℕ),
    Finsupp.degree n = d →
      ∀ (p q : MvPolynomial σ R), p ∣ (monomial n) 1 * q ↔ ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r
n : σ →₀ ℕ
hn : Finsupp.degree n = d + 1
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
hi : i ∈ n.support
n' : σ →₀ ℕ := n - Finsupp.single i 1
hn' : n' + Finsupp.single i 1 = n
hnn' : n' ≤ n
hd' : Finsupp.degree n' = d
hp : X i ∣ p ∧ p.divMonomial (Finsupp.single i 1) ∣ (monomial n') 1 * q
⊢ ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.succ.refine_1.inr
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : IsCancelMulZero R
n✝ : σ →₀ ℕ
hR : Nontrivial R
d : ℕ
hd :
  ∀ (n : σ →₀ ℕ),
    Finsupp.degree n = d →
      ∀ (p q : MvPolynomial σ R), p ∣ (monomial n) 1 * q ↔ ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r
n : σ →₀ ℕ
hn : Finsupp.degree n = d + 1
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
hi : i ∈ n.support
n' : σ →₀ ℕ := n - Finsupp.single i 1
hn' : n' + Finsupp.single i 1 = n
hnn' : n' ≤ n
hd' : Finsupp.degree n' = d
hp : X i ∣ p ∧ p.divMonomial (Finsupp.single i 1) ∣ (monomial n') 1 * q
⊢ ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r
Module: Mathlib.Data.Nat.Choose.Multinomial

Goal state before:
pp: case empty.succ
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
x : α → R
hc : (↑∅).Pairwise (Commute on x)
n : ℕ
⊢ 0 ^ (n + 1) = ∑ k, ↑(↑↑k).countPerms * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯

Tactic:
·

Goal state after:
case empty.succ
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
x : α → R
hc : (↑∅).Pairwise (Commute on x)
n : ℕ
⊢ 0 ^ (n + 1) = ∑ k, ↑(↑↑k).countPerms * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Division

Goal state before:
pp: case right
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
p q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : IsCancelMulZero R
n✝ : σ →₀ ℕ
hR : Nontrivial R
d : ℕ
hd :
  ∀ (n : σ →₀ ℕ),
    Finsupp.degree n = d →
      ∀ (p q : MvPolynomial σ R), p ∣ (monomial n) 1 * q ↔ ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r
n : σ →₀ ℕ
hn : Finsupp.degree n = d + 1
q : MvPolynomial σ R
i : σ
hi : i ∈ n.support
n' : σ →₀ ℕ := ⋯
hn' : n' + Finsupp.single i 1 = n
hnn' : n' ≤ n
hd' : Finsupp.degree n' = d
p' : MvPolynomial σ R
hp✝ : X i ∣ X i * p' ∧ (X i * p').divMonomial (Finsupp.single i 1) ∣ (monomial n') 1 * q
m : σ →₀ ℕ
r : MvPolynomial σ R
hm : m ≤ n'
hr : r ∣ q
hp : (X i * p').divMonomial (Finsupp.single i 1) = (monomial m) 1 * r
⊢ X i * p' = (monomial (m + Finsupp.single i 1)) 1 * r

pp: case left
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
p q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : IsCancelMulZero R
n✝ : σ →₀ ℕ
hR : Nontrivial R
d : ℕ
hd :
  ∀ (n : σ →₀ ℕ),
    Finsupp.degree n = d →
      ∀ (p q : MvPolynomial σ R), p ∣ (monomial n) 1 * q ↔ ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r
n : σ →₀ ℕ
hn : Finsupp.degree n = d + 1
q : MvPolynomial σ R
i : σ
hi : i ∈ n.support
n' : σ →₀ ℕ := n - Finsupp.single i 1
hn' : n' + Finsupp.single i 1 = n
hnn' : n' ≤ n
hd' : Finsupp.degree n' = d
p' : MvPolynomial σ R
hp✝ : X i ∣ X i * p' ∧ (X i * p').divMonomial (Finsupp.single i 1) ∣ (monomial n') 1 * q
m : σ →₀ ℕ
r : MvPolynomial σ R
hm : m ≤ n'
hr : r ∣ q
hp : (X i * p').divMonomial (Finsupp.single i 1) = (monomial m) 1 * r
⊢ m + Finsupp.single i 1 ≤ n

Tactic:
·

Goal state after:
case right
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
p q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : IsCancelMulZero R
n✝ : σ →₀ ℕ
hR : Nontrivial R
d : ℕ
hd :
  ∀ (n : σ →₀ ℕ),
    Finsupp.degree n = d →
      ∀ (p q : MvPolynomial σ R), p ∣ (monomial n) 1 * q ↔ ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r
n : σ →₀ ℕ
hn : Finsupp.degree n = d + 1
q : MvPolynomial σ R
i : σ
hi : i ∈ n.support
n' : σ →₀ ℕ := ⋯
hn' : n' + Finsupp.single i 1 = n
hnn' : n' ≤ n
hd' : Finsupp.degree n' = d
p' : MvPolynomial σ R
hp✝ : X i ∣ X i * p' ∧ (X i * p').divMonomial (Finsupp.single i 1) ∣ (monomial n') 1 * q
m : σ →₀ ℕ
r : MvPolynomial σ R
hm : m ≤ n'
hr : r ∣ q
hp : (X i * p').divMonomial (Finsupp.single i 1) = (monomial m) 1 * r
⊢ X i * p' = (monomial (m + Finsupp.single i 1)) 1 * r
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Division

Goal state before:
pp: case left
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
p q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : IsCancelMulZero R
n✝ : σ →₀ ℕ
hR : Nontrivial R
d : ℕ
hd :
  ∀ (n : σ →₀ ℕ),
    Finsupp.degree n = d →
      ∀ (p q : MvPolynomial σ R), p ∣ (monomial n) 1 * q ↔ ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r
n : σ →₀ ℕ
hn : Finsupp.degree n = d + 1
q : MvPolynomial σ R
i : σ
hi : i ∈ n.support
n' : σ →₀ ℕ := n - Finsupp.single i 1
hn' : n' + Finsupp.single i 1 = n
hnn' : n' ≤ n
hd' : Finsupp.degree n' = d
p' : MvPolynomial σ R
hp✝ : X i ∣ X i * p' ∧ (X i * p').divMonomial (Finsupp.single i 1) ∣ (monomial n') 1 * q
m : σ →₀ ℕ
r : MvPolynomial σ R
hm : m ≤ n'
hr : r ∣ q
hp : (X i * p').divMonomial (Finsupp.single i 1) = (monomial m) 1 * r
⊢ m + Finsupp.single i 1 ≤ n

Tactic:
·

Goal state after:
case left
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
p q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : IsCancelMulZero R
n✝ : σ →₀ ℕ
hR : Nontrivial R
d : ℕ
hd :
  ∀ (n : σ →₀ ℕ),
    Finsupp.degree n = d →
      ∀ (p q : MvPolynomial σ R), p ∣ (monomial n) 1 * q ↔ ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r
n : σ →₀ ℕ
hn : Finsupp.degree n = d + 1
q : MvPolynomial σ R
i : σ
hi : i ∈ n.support
n' : σ →₀ ℕ := n - Finsupp.single i 1
hn' : n' + Finsupp.single i 1 = n
hnn' : n' ≤ n
hd' : Finsupp.degree n' = d
p' : MvPolynomial σ R
hp✝ : X i ∣ X i * p' ∧ (X i * p').divMonomial (Finsupp.single i 1) ∣ (monomial n') 1 * q
m : σ →₀ ℕ
r : MvPolynomial σ R
hm : m ≤ n'
hr : r ∣ q
hp : (X i * p').divMonomial (Finsupp.single i 1) = (monomial m) 1 * r
⊢ m + Finsupp.single i 1 ≤ n
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Division

Goal state before:
pp: case inr.succ.refine_2
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : IsCancelMulZero R
n✝ : σ →₀ ℕ
hR : Nontrivial R
d : ℕ
hd :
  ∀ (n : σ →₀ ℕ),
    Finsupp.degree n = d →
      ∀ (p q : MvPolynomial σ R), p ∣ (monomial n) 1 * q ↔ ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r
n : σ →₀ ℕ
hn : Finsupp.degree n = d + 1
p q : MvPolynomial σ R
x✝ : ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r
m : σ →₀ ℕ
r : MvPolynomial σ R
hmn : m ≤ n
hrq : r ∣ q
hp : p = (monomial m) 1 * r
⊢ p ∣ (monomial n) 1 * q

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.succ.refine_2
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : IsCancelMulZero R
n✝ : σ →₀ ℕ
hR : Nontrivial R
d : ℕ
hd :
  ∀ (n : σ →₀ ℕ),
    Finsupp.degree n = d →
      ∀ (p q : MvPolynomial σ R), p ∣ (monomial n) 1 * q ↔ ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r
n : σ →₀ ℕ
hn : Finsupp.degree n = d + 1
p q : MvPolynomial σ R
x✝ : ∃ m r, m ≤ n ∧ r ∣ q ∧ p = (monomial m) 1 * r
m : σ →₀ ℕ
r : MvPolynomial σ R
hmn : m ≤ n
hrq : r ∣ q
hp : p = (monomial m) 1 * r
⊢ p ∣ (monomial n) 1 * q
Module: Mathlib.Data.Nat.Choose.Multinomial

Goal state before:
pp: α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
x : α → R
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hc : (↑(insert a s)).Pairwise (Commute on x)
ih : ∀ (n : ℕ), s.sum x ^ n = ∑ k, ↑(↑↑k).countPerms * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
n : ℕ
⊢ ∀ i ∈ s, Commute (x a) (x i)

pp: case insert
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
x : α → R
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hc : (↑(insert a s)).Pairwise (Commute on x)
ih : ∀ (n : ℕ), s.sum x ^ n = ∑ k, ↑(↑↑k).countPerms * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
n : ℕ
⊢ ∑ i, x a ^ ↑i * (∑ i ∈ s, x i) ^ (n - ↑i) * ↑(n.choose ↑i) =
    ∑ k, ↑(↑↑k).countPerms * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
x : α → R
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hc : (↑(insert a s)).Pairwise (Commute on x)
ih : ∀ (n : ℕ), s.sum x ^ n = ∑ k, ↑(↑↑k).countPerms * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
n : ℕ
⊢ ∀ i ∈ s, Commute (x a) (x i)
Module: Mathlib.Data.Nat.Choose.Multinomial

Goal state before:
pp: case insert
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
x : α → R
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hc : (↑(insert a s)).Pairwise (Commute on x)
ih : ∀ (n : ℕ), s.sum x ^ n = ∑ k, ↑(↑↑k).countPerms * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
n : ℕ
⊢ ∑ i, x a ^ ↑i * (∑ i ∈ s, x i) ^ (n - ↑i) * ↑(n.choose ↑i) =
    ∑ k, ↑(↑↑k).countPerms * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯

Tactic:
·

Goal state after:
case insert
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
x : α → R
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hc : (↑(insert a s)).Pairwise (Commute on x)
ih : ∀ (n : ℕ), s.sum x ^ n = ∑ k, ↑(↑↑k).countPerms * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
n : ℕ
⊢ ∑ i, x a ^ ↑i * (∑ i ∈ s, x i) ^ (n - ↑i) * ↑(n.choose ↑i) =
    ∑ k, ↑(↑↑k).countPerms * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Expand

Goal state before:
pp: case inl
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
f : MvPolynomial σ R
hp : p = 0
⊢ ((expand p) f).totalDegree = f.totalDegree * p

pp: case inr
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
f : MvPolynomial σ R
hp : p > 0
⊢ ((expand p) f).totalDegree = f.totalDegree * p

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
f : MvPolynomial σ R
hp : p = 0
⊢ ((expand p) f).totalDegree = f.totalDegree * p
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Expand

Goal state before:
pp: case pos
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
f : MvPolynomial σ R
hp : p > 0
hf : f = 0
⊢ ((expand p) f).totalDegree = f.totalDegree * p

pp: case neg
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
f : MvPolynomial σ R
hp : p > 0
hf : ¬f = 0
⊢ ((expand p) f).totalDegree = f.totalDegree * p

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
f : MvPolynomial σ R
hp : p > 0
hf : f = 0
⊢ ((expand p) f).totalDegree = f.totalDegree * p
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Polynomial

Goal state before:
pp: case C
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : S
f : R →+* Polynomial S
g : σ → Polynomial S
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (a : R),
    Polynomial.eval x (eval₂ f g (C a)) =
      eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) (C a)

pp: case add
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : S
f : R →+* Polynomial S
g : σ → Polynomial S
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p q : MvPolynomial σ R),
    Polynomial.eval x (eval₂ f g p) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) p →
      Polynomial.eval x (eval₂ f g q) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) q →
        Polynomial.eval x (eval₂ f g (p + q)) =
          eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) (p + q)

pp: case mul_X
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : S
f : R →+* Polynomial S
g : σ → Polynomial S
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ),
    Polynomial.eval x (eval₂ f g p) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) p →
      Polynomial.eval x (eval₂ f g (p * X n)) =
        eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) (p * X n)

Tactic:
·

Goal state after:
case C
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : S
f : R →+* Polynomial S
g : σ → Polynomial S
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (a : R),
    Polynomial.eval x (eval₂ f g (C a)) =
      eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) (C a)
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Polynomial

Goal state before:
pp: case add
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : S
f : R →+* Polynomial S
g : σ → Polynomial S
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p q : MvPolynomial σ R),
    Polynomial.eval x (eval₂ f g p) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) p →
      Polynomial.eval x (eval₂ f g q) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) q →
        Polynomial.eval x (eval₂ f g (p + q)) =
          eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) (p + q)

pp: case mul_X
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : S
f : R →+* Polynomial S
g : σ → Polynomial S
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ),
    Polynomial.eval x (eval₂ f g p) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) p →
      Polynomial.eval x (eval₂ f g (p * X n)) =
        eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) (p * X n)

Tactic:
·

Goal state after:
case add
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : S
f : R →+* Polynomial S
g : σ → Polynomial S
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p q : MvPolynomial σ R),
    Polynomial.eval x (eval₂ f g p) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) p →
      Polynomial.eval x (eval₂ f g q) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) q →
        Polynomial.eval x (eval₂ f g (p + q)) =
          eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) (p + q)
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Polynomial

Goal state before:
pp: case mul_X
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : S
f : R →+* Polynomial S
g : σ → Polynomial S
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ),
    Polynomial.eval x (eval₂ f g p) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) p →
      Polynomial.eval x (eval₂ f g (p * X n)) =
        eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) (p * X n)

Tactic:
·

Goal state after:
case mul_X
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : S
f : R →+* Polynomial S
g : σ → Polynomial S
p : MvPolynomial σ R
⊢ ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ),
    Polynomial.eval x (eval₂ f g p) = eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) p →
      Polynomial.eval x (eval₂ f g (p * X n)) =
        eval₂ ((Polynomial.evalRingHom x).comp f) (fun s ↦ Polynomial.eval x (g s)) (p * X n)
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Funext

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
σ : Type u_2
p✝ q : MvPolynomial σ R
s : σ → Set R
hs : ∀ (i : σ), (s i).Infinite
h✝ : ∀ x ∈ Set.univ.pi s, (eval x) p✝ = (eval x) q
n : ℕ
f : Fin n → σ
hf : Function.Injective f
p : MvPolynomial (Fin n) R
h : ∀ x ∈ Set.univ.pi s, (eval x) ((rename f) p) = 0
x : Fin n → R
hx : x ∈ Set.univ.pi (s ∘ f)
g : σ → R
hg : ∀ (i : σ), g i ∈ s i
⊢ (eval x) p = (eval (Function.extend f x g)) ((rename f) p)

pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
σ : Type u_2
p✝ q : MvPolynomial σ R
s : σ → Set R
hs : ∀ (i : σ), (s i).Infinite
h✝ : ∀ x ∈ Set.univ.pi s, (eval x) p✝ = (eval x) q
n : ℕ
f : Fin n → σ
hf : Function.Injective f
p : MvPolynomial (Fin n) R
h : ∀ x ∈ Set.univ.pi s, (eval x) ((rename f) p) = 0
x : Fin n → R
hx : x ∈ Set.univ.pi (s ∘ f)
g : σ → R
hg : ∀ (i : σ), g i ∈ s i
i : σ
x✝ : i ∈ Set.univ
⊢ Function.extend f x g i ∈ s i

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
σ : Type u_2
p✝ q : MvPolynomial σ R
s : σ → Set R
hs : ∀ (i : σ), (s i).Infinite
h✝ : ∀ x ∈ Set.univ.pi s, (eval x) p✝ = (eval x) q
n : ℕ
f : Fin n → σ
hf : Function.Injective f
p : MvPolynomial (Fin n) R
h : ∀ x ∈ Set.univ.pi s, (eval x) ((rename f) p) = 0
x : Fin n → R
hx : x ∈ Set.univ.pi (s ∘ f)
g : σ → R
hg : ∀ (i : σ), g i ∈ s i
⊢ (eval x) p = (eval (Function.extend f x g)) ((rename f) p)
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Funext

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
σ : Type u_2
p✝ q : MvPolynomial σ R
s : σ → Set R
hs : ∀ (i : σ), (s i).Infinite
h✝ : ∀ x ∈ Set.univ.pi s, (eval x) p✝ = (eval x) q
n : ℕ
f : Fin n → σ
hf : Function.Injective f
p : MvPolynomial (Fin n) R
h : ∀ x ∈ Set.univ.pi s, (eval x) ((rename f) p) = 0
x : Fin n → R
hx : x ∈ Set.univ.pi (s ∘ f)
g : σ → R
hg : ∀ (i : σ), g i ∈ s i
i : Fin n
x✝ : f i ∈ Set.univ
⊢ Function.extend f x g (f i) ∈ s (f i)

pp: case inr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
σ : Type u_2
p✝ q : MvPolynomial σ R
s : σ → Set R
hs : ∀ (i : σ), (s i).Infinite
h✝ : ∀ x ∈ Set.univ.pi s, (eval x) p✝ = (eval x) q
n : ℕ
f : Fin n → σ
hf : Function.Injective f
p : MvPolynomial (Fin n) R
h : ∀ x ∈ Set.univ.pi s, (eval x) ((rename f) p) = 0
x : Fin n → R
hx : x ∈ Set.univ.pi (s ∘ f)
g : σ → R
hg : ∀ (i : σ), g i ∈ s i
i : σ
x✝ : i ∈ Set.univ
nex : ¬∃ x, f x = i
⊢ Function.extend f x g i ∈ s i

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
σ : Type u_2
p✝ q : MvPolynomial σ R
s : σ → Set R
hs : ∀ (i : σ), (s i).Infinite
h✝ : ∀ x ∈ Set.univ.pi s, (eval x) p✝ = (eval x) q
n : ℕ
f : Fin n → σ
hf : Function.Injective f
p : MvPolynomial (Fin n) R
h : ∀ x ∈ Set.univ.pi s, (eval x) ((rename f) p) = 0
x : Fin n → R
hx : x ∈ Set.univ.pi (s ∘ f)
g : σ → R
hg : ∀ (i : σ), g i ∈ s i
i : Fin n
x✝ : f i ∈ Set.univ
⊢ Function.extend f x g (f i) ∈ s (f i)
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Funext

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
σ : Type u_2
p✝ q : MvPolynomial σ R
s : σ → Set R
hs : ∀ (i : σ), (s i).Infinite
h✝ : ∀ x ∈ Set.univ.pi s, (eval x) p✝ = (eval x) q
n : ℕ
f : Fin n → σ
hf : Function.Injective f
p : MvPolynomial (Fin n) R
h : ∀ x ∈ Set.univ.pi s, (eval x) ((rename f) p) = 0
x : Fin n → R
hx : x ∈ Set.univ.pi (s ∘ f)
g : σ → R
hg : ∀ (i : σ), g i ∈ s i
i : σ
x✝ : i ∈ Set.univ
nex : ¬∃ x, f x = i
⊢ Function.extend f x g i ∈ s i

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
σ : Type u_2
p✝ q : MvPolynomial σ R
s : σ → Set R
hs : ∀ (i : σ), (s i).Infinite
h✝ : ∀ x ∈ Set.univ.pi s, (eval x) p✝ = (eval x) q
n : ℕ
f : Fin n → σ
hf : Function.Injective f
p : MvPolynomial (Fin n) R
h : ∀ x ∈ Set.univ.pi s, (eval x) ((rename f) p) = 0
x : Fin n → R
hx : x ∈ Set.univ.pi (s ∘ f)
g : σ → R
hg : ∀ (i : σ), g i ∈ s i
i : σ
x✝ : i ∈ Set.univ
nex : ¬∃ x, f x = i
⊢ Function.extend f x g i ∈ s i
Module: Mathlib.Data.Nat.Choose.Multinomial

Goal state before:
pp: case refine_1
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ (↑(fill x m s)).card.choose (Multiset.count x ↑(fill x m s)) = n.choose ↑m

pp: case refine_2
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ (Multiset.filter (fun x_1 ↦ x ≠ x_1) ↑(fill x m s)).countPerms = (↑s).countPerms

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ (↑(fill x m s)).card.choose (Multiset.count x ↑(fill x m s)) = n.choose ↑m
Module: Mathlib.Data.Nat.Choose.Multinomial

Goal state before:
pp: case refine_2
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ (Multiset.filter (fun x_1 ↦ x ≠ x_1) ↑(fill x m s)).countPerms = (↑s).countPerms

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ (Multiset.filter (fun x_1 ↦ x ≠ x_1) ↑(fill x m s)).countPerms = (↑s).countPerms
Module: Mathlib.Data.Nat.Choose.Multinomial

Goal state before:
pp: case refine_2
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ ↑s + Multiset.filter (fun x_1 ↦ x ≠ x_1) (Multiset.replicate (↑m) x) = ↑s

pp: case refine_2
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ ∀ a ∈ ↑s, x ≠ a

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ ↑s + Multiset.filter (fun x_1 ↦ x ≠ x_1) (Multiset.replicate (↑m) x) = ↑s
Module: Mathlib.Data.Nat.Choose.Multinomial

Goal state before:
pp: case refine_2
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ ∀ a ∈ ↑s, x ≠ a

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑m)
x : α
hx : x ∉ ↑s
⊢ ∀ a ∈ ↑s, x ≠ a
Module: Mathlib.Data.Nat.Choose.Multinomial

Goal state before:
pp: case e_a
x : ℕ
l : List ℕ
⊢ ((x :: l).toFinsupp.sum fun x ↦ id).choose ((x :: l).toFinsupp 0) = (x + l.sum).choose x

pp: case e_a
x : ℕ
l : List ℕ
⊢ ((x :: l).toFinsupp.update 0 0).multinomial = l.toFinsupp.multinomial

Tactic:
·

Goal state after:
case e_a
x : ℕ
l : List ℕ
⊢ ((x :: l).toFinsupp.sum fun x ↦ id).choose ((x :: l).toFinsupp 0) = (x + l.sum).choose x