mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: case left
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) - ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
    ε ^ 5 / 49

pp: case right
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) ≤
    ε ^ 5 / 49

Tactic:
·

Goal state after:
case left
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) - ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
    ε ^ 5 / 49
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Triangle.Basic

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y ↦ (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
hHG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
hG : #(G.edgeFinset \ H.edgeFinset) < #tris.attach
fx fy : ⦃t : Finset α⦄ → t ∈ tris → α
hfx : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fx ht ∈ t
hfy : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fy ht ∈ t
hfne : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fx ht ≠ fy ht
fmem : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), s(fx ht, fy ht) ∈ G.edgeFinset \ H.edgeFinset
f : ↥tris → Sym2 α := fun t ↦ s(fx ⋯, fy ⋯)
hf : ∀ x ∈ tris.attach, f x ∈ G.edgeFinset \ H.edgeFinset
t₁ : Finset α
ht₁ : t₁ ∈ tris
t₂ : Finset α
ht₂ : t₂ ∈ tris
tne : ⟨t₁, ht₁⟩ ≠ ⟨t₂, ht₂⟩
i : (↑t₁ ∩ ↑t₂).Subsingleton
t : fx ⋯ = fy ⋯ ∧ fy ⋯ = fx ⋯
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
G H : SimpleGraph α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y ↦ (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
hHG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
hG : #(G.edgeFinset \ H.edgeFinset) < #tris.attach
fx fy : ⦃t : Finset α⦄ → t ∈ tris → α
hfx : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fx ht ∈ t
hfy : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fy ht ∈ t
hfne : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), fx ht ≠ fy ht
fmem : ∀ ⦃t : Finset α⦄ (ht : t ∈ tris), s(fx ht, fy ht) ∈ G.edgeFinset \ H.edgeFinset
f : ↥tris → Sym2 α := fun t ↦ s(fx ⋯, fy ⋯)
hf : ∀ x ∈ tris.attach, f x ∈ G.edgeFinset \ H.edgeFinset
t₁ : Finset α
ht₁ : t₁ ∈ tris
t₂ : Finset α
ht₂ : t₂ ∈ tris
tne : ⟨t₁, ht₁⟩ ≠ ⟨t₂, ht₂⟩
i : (↑t₁ ∩ ↑t₂).Subsingleton
t : fx ⋯ = fy ⋯ ∧ fy ⋯ = fx ⋯
⊢ False
Module: Mathlib.Data.Finset.CastCard

Goal state before:
pp: α : Type u_1
R : Type u_2
s : Finset α
a : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : AddGroupWithOne R
hs : a ∈ s
⊢ ↑(#(s.erase a)) = ↑(#s) - 1

Tactic:
← card_erase_add_one hs,

Goal state after:
α : Type u_1
R : Type u_2
s : Finset α
a : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : AddGroupWithOne R
hs : a ∈ s
⊢ ↑(#(s.erase a)) = ↑(#(s.erase a) + 1) - 1
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Triangle.Removal

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : #P.parts ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
hX : s ∈ P.parts
h✝ : IsEmpty α
⊢ ↑(Fintype.card α) / (2 * ↑(bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊)) ≤ ↑(#s)

pp: case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : #P.parts ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
hX : s ∈ P.parts
h✝ : Nonempty α
⊢ ↑(Fintype.card α) / (2 * ↑(bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊)) ≤ ↑(#s)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : #P.parts ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
hX : s ∈ P.parts
h✝ : IsEmpty α
⊢ ↑(Fintype.card α) / (2 * ↑(bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊)) ≤ ↑(#s)
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 / 50
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤
    ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ #P.parts) ^ 2

pp: case inr
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : ε ^ 5 / 50 ≤ ↑(G.edgeDensity U V)
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤
    ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ #P.parts) ^ 2

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 / 50
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤
    ((∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ #P.parts) ^ 2
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: case inl.refine_1
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 / 50
⊢ 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V)

pp: case inl.refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 / 50
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ≤ 1

pp: case inl.refine_3
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 / 50
⊢ ε ^ 5 / 50 ≤ ε ^ 5 / 25

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.refine_1
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 / 50
⊢ 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V)
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: case inl.refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 / 50
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ≤ 1

pp: case inl.refine_3
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 / 50
⊢ ε ^ 5 / 50 ≤ ε ^ 5 / 25

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 / 50
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) ≤ 1
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: case inl.refine_3
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 / 50
⊢ ε ^ 5 / 50 ≤ ε ^ 5 / 25

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.refine_3
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : ↑(G.edgeDensity U V) ≤ ε ^ 5 / 50
⊢ ε ^ 5 / 50 ≤ ε ^ 5 / 25
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: case hab.refine_1
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this : 0 ≤ ε
rflU : (chunk hP G ε hU).parts ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
rflV : (chunk hP G ε hV).parts ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50 ≤
    ↑(G.edgeDensity ((chunk hP G ε hU).parts.biUnion id) ((chunk hP G ε hV).parts.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50

pp: case hab.refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this : 0 ≤ ε
rflU : (chunk hP G ε hU).parts ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
rflV : (chunk hP G ε hV).parts ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) /
      (↑(#(chunk hP G ε hU).parts) * ↑(#(chunk hP G ε hV).parts)) ≤
    (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ #P.parts

Tactic:
·

Goal state after:
case hab.refine_1
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this : 0 ≤ ε
rflU : (chunk hP G ε hU).parts ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
rflV : (chunk hP G ε hV).parts ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50 ≤
    ↑(G.edgeDensity ((chunk hP G ε hU).parts.biUnion id) ((chunk hP G ε hV).parts.biUnion id)) - ε ^ 5 / 50
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Triangle.Counting

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
hst : G.IsUniform ε s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
h₁ : ↑(#(G.badVertices ε s t)) ≤ ↑(#s) * ε
h₂ : ↑(#(G.badVertices ε s u)) ≤ ↑(#s) * ε
X' : Finset α := s \ (G.badVertices ε s t ∪ G.badVertices ε s u)
this :
  (X'.biUnion fun x ↦ image (fun x_1 ↦ (x, x_1)) (G.interedges ({y ∈ t | G.Adj x y}) ({y ∈ u | G.Adj x y}))) ⊆
    {x ∈ s ×ˢ t ×ˢ u |
      match x with
      | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c}
⊢ (1 - 2 * ε) * ε ^ 3 * ↑(#s) * ↑(#t) * ↑(#u) ≤
    ∑ x ∈ X', ↑(#(image (fun x_1 ↦ (x, x_1)) (G.interedges ({y ∈ t | G.Adj x y}) ({y ∈ u | G.Adj x y}))))

pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
hst : G.IsUniform ε s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
h₁ : ↑(#(G.badVertices ε s t)) ≤ ↑(#s) * ε
h₂ : ↑(#(G.badVertices ε s u)) ≤ ↑(#s) * ε
X' : Finset α := s \ (G.badVertices ε s t ∪ G.badVertices ε s u)
this :
  (X'.biUnion fun x ↦ image (fun x_1 ↦ (x, x_1)) (G.interedges ({y ∈ t | G.Adj x y}) ({y ∈ u | G.Adj x y}))) ⊆
    {x ∈ s ×ˢ t ×ˢ u |
      match x with
      | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c}
⊢ (↑X').PairwiseDisjoint fun x ↦ image (fun x_1 ↦ (x, x_1)) (G.interedges ({y ∈ t | G.Adj x y}) ({y ∈ u | G.Adj x y}))

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
hst : G.IsUniform ε s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
h₁ : ↑(#(G.badVertices ε s t)) ≤ ↑(#s) * ε
h₂ : ↑(#(G.badVertices ε s u)) ≤ ↑(#s) * ε
X' : Finset α := s \ (G.badVertices ε s t ∪ G.badVertices ε s u)
this :
  (X'.biUnion fun x ↦ image (fun x_1 ↦ (x, x_1)) (G.interedges ({y ∈ t | G.Adj x y}) ({y ∈ u | G.Adj x y}))) ⊆
    {x ∈ s ×ˢ t ×ˢ u |
      match x with
      | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c}
⊢ (1 - 2 * ε) * ε ^ 3 * ↑(#s) * ↑(#t) * ↑(#u) ≤
    ∑ x ∈ X', ↑(#(image (fun x_1 ↦ (x, x_1)) (G.interedges ({y ∈ t | G.Adj x y}) ({y ∈ u | G.Adj x y}))))
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: case hab.refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this : 0 ≤ ε
rflU : (chunk hP G ε hU).parts ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
rflV : (chunk hP G ε hV).parts ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) /
      (↑(#(chunk hP G ε hU).parts) * ↑(#(chunk hP G ε hV).parts)) ≤
    (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ #P.parts

Tactic:
·

Goal state after:
case hab.refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hGε : 0 ≤ ↑(G.edgeDensity U V) - ε ^ 5 / 50
this : 0 ≤ ε
rflU : (chunk hP G ε hU).parts ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
rflV : (chunk hP G ε hV).parts ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) /
      (↑(#(chunk hP G ε hU).parts) * ↑(#(chunk hP G ε hV).parts)) ≤
    (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / 16 ^ #P.parts
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Triangle.Removal

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
P : Finpartition univ
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hPε : P.IsUniform G (ε / 8)
hP' : 4 / ε ≤ ↑(#P.parts)
A : Finset (α × α) :=
  (P.nonUniforms G (ε / 8)).biUnion fun x ↦
    match x with
    | (U, V) => U ×ˢ V
B : Finset (α × α) := P.parts.biUnion offDiag
C : Finset (α × α) :=
  (P.sparsePairs G (ε / 4)).biUnion fun x ↦
    match x with
    | (U, V) => G.interedges U V
⊢ 2 * ↑(#G.edgeFinset) - 2 * ↑(#(regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).edgeFinset) =
    ↑(#{x | G.Adj x.1 x.2}) - ↑(#{x | (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj x.1 x.2})

pp: α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
P : Finpartition univ
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hPε : P.IsUniform G (ε / 8)
hP' : 4 / ε ≤ ↑(#P.parts)
A : Finset (α × α) :=
  (P.nonUniforms G (ε / 8)).biUnion fun x ↦
    match x with
    | (U, V) => U ×ˢ V
B : Finset (α × α) := P.parts.biUnion offDiag
C : Finset (α × α) :=
  (P.sparsePairs G (ε / 4)).biUnion fun x ↦
    match x with
    | (U, V) => G.interedges U V
⊢ {x | (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj x.1 x.2} ⊆ {x | G.Adj x.1 x.2}

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
P : Finpartition univ
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hPε : P.IsUniform G (ε / 8)
hP' : 4 / ε ≤ ↑(#P.parts)
A : Finset (α × α) :=
  (P.nonUniforms G (ε / 8)).biUnion fun x ↦
    match x with
    | (U, V) => U ×ˢ V
B : Finset (α × α) := P.parts.biUnion offDiag
C : Finset (α × α) :=
  (P.sparsePairs G (ε / 4)).biUnion fun x ↦
    match x with
    | (U, V) => G.interedges U V
⊢ 2 * ↑(#G.edgeFinset) - 2 * ↑(#(regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).edgeFinset) =
    ↑(#{x | G.Adj x.1 x.2}) - ↑(#{x | (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj x.1 x.2})
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Triangle.Counting

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
ust : G.IsUniform ε s t
hst : Disjoint s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
htu : Disjoint t u
⊢ Set.MapsTo
    (fun x ↦
      match x with
      | (x, y, z) => {x, y, z})
    ↑({x ∈ s ×ˢ t ×ˢ u |
        match x with
        | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c})
    ↑(G.cliqueFinset 3)

pp: case refine_2
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
ust : G.IsUniform ε s t
hst : Disjoint s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
htu : Disjoint t u
⊢ Set.InjOn
    (fun x ↦
      match x with
      | (x, y, z) => {x, y, z})
    ↑({x ∈ s ×ˢ t ×ˢ u |
        match x with
        | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c})

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
ust : G.IsUniform ε s t
hst : Disjoint s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
htu : Disjoint t u
⊢ Set.MapsTo
    (fun x ↦
      match x with
      | (x, y, z) => {x, y, z})
    ↑({x ∈ s ×ˢ t ×ˢ u |
        match x with
        | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c})
    ↑(G.cliqueFinset 3)
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: case hbc
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
hε : 0 ≤ 1 - ε / 10
hε₀ : 0 < ε
⊢ ↑(#((star hP G ε hU V).biUnion id)) ≤ ↑(#(star hP G ε hU V)) * (↑m + 1)

Tactic:
exact card_biUnion_star_le_m_add_one_card_star_mul

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Triangle.Removal

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
P : Finpartition univ
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hPε : P.IsUniform G (ε / 8)
hP' : 4 / ε ≤ ↑(#P.parts)
A : Finset (α × α) :=
  (P.nonUniforms G (ε / 8)).biUnion fun x ↦
    match x with
    | (U, V) => U ×ˢ V
B : Finset (α × α) := P.parts.biUnion offDiag
C : Finset (α × α) :=
  (P.sparsePairs G (ε / 4)).biUnion fun x ↦
    match x with
    | (U, V) => G.interedges U V
⊢ {x | (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj x.1 x.2} ⊆ {x | G.Adj x.1 x.2}

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
P : Finpartition univ
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hPε : P.IsUniform G (ε / 8)
hP' : 4 / ε ≤ ↑(#P.parts)
A : Finset (α × α) :=
  (P.nonUniforms G (ε / 8)).biUnion fun x ↦
    match x with
    | (U, V) => U ×ˢ V
B : Finset (α × α) := P.parts.biUnion offDiag
C : Finset (α × α) :=
  (P.sparsePairs G (ε / 4)).biUnion fun x ↦
    match x with
    | (U, V) => G.interedges U V
⊢ {x | (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj x.1 x.2} ⊆ {x | G.Adj x.1 x.2}
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk

Goal state before:
pp: case hd
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
hε : 0 ≤ 1 - ε / 10
hε₀ : 0 < ε
⊢ 0 < 4 ^ #P.parts * ↑m

pp: case hdb
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
hε : 0 ≤ 1 - ε / 10
hε₀ : 0 < ε
⊢ 4 ^ #P.parts * ↑m ≤ ↑(#U)

Tactic:
·

Goal state after:
case hd
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUV : U ≠ V
hunif : ¬G.IsUniform ε U V
hm : 0 ≤ 1 - (↑m)⁻¹
hε : 0 ≤ 1 - ε / 10
hε₀ : 0 < ε
⊢ 0 < 4 ^ #P.parts * ↑m