mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P₁ : Cᵒᵖ ⥤ Type w
P₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type w'
e : ⦃X : C⦄ → P₁.obj (op X) ≃ P₂.obj (op X)
he :
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y) (x : P₁.obj (op Y)),
    e ((ConcreteCategory.hom (P₁.map f.op)) x) = (ConcreteCategory.hom (P₂.map f.op)) (e x)
X : C
R : Presieve X
hP₁ : IsSheafFor P₁ R
x₂ : FamilyOfElements P₂ R
hx₂ : x₂.Compatible
he' :
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y) (x : P₂.obj (op Y)),
    e.symm ((ConcreteCategory.hom (P₂.map f.op)) x) = (ConcreteCategory.hom (P₁.map f.op)) (e.symm x)
x₁ : FamilyOfElements P₁ R := fun Y f hf ↦ e.symm (x₂ f hf)
hx₁ : x₁.Compatible
this : ∀ (t₂ : P₂.obj (op X)), x₂.IsAmalgamation t₂ ↔ x₁.IsAmalgamation (e.symm t₂)
⊢ (fun t ↦ x₂.IsAmalgamation t) (e (hP₁.amalgamate x₁ hx₁))

pp: case refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P₁ : Cᵒᵖ ⥤ Type w
P₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type w'
e : ⦃X : C⦄ → P₁.obj (op X) ≃ P₂.obj (op X)
he :
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y) (x : P₁.obj (op Y)),
    e ((ConcreteCategory.hom (P₁.map f.op)) x) = (ConcreteCategory.hom (P₂.map f.op)) (e x)
X : C
R : Presieve X
hP₁ : IsSheafFor P₁ R
x₂ : FamilyOfElements P₂ R
hx₂ : x₂.Compatible
he' :
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y) (x : P₂.obj (op Y)),
    e.symm ((ConcreteCategory.hom (P₂.map f.op)) x) = (ConcreteCategory.hom (P₁.map f.op)) (e.symm x)
x₁ : FamilyOfElements P₁ R := fun Y f hf ↦ e.symm (x₂ f hf)
hx₁ : x₁.Compatible
this : ∀ (t₂ : P₂.obj (op X)), x₂.IsAmalgamation t₂ ↔ x₁.IsAmalgamation (e.symm t₂)
⊢ ∀ (y : P₂.obj (op X)), (fun t ↦ x₂.IsAmalgamation t) y → y = e (hP₁.amalgamate x₁ hx₁)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P₁ : Cᵒᵖ ⥤ Type w
P₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type w'
e : ⦃X : C⦄ → P₁.obj (op X) ≃ P₂.obj (op X)
he :
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y) (x : P₁.obj (op Y)),
    e ((ConcreteCategory.hom (P₁.map f.op)) x) = (ConcreteCategory.hom (P₂.map f.op)) (e x)
X : C
R : Presieve X
hP₁ : IsSheafFor P₁ R
x₂ : FamilyOfElements P₂ R
hx₂ : x₂.Compatible
he' :
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y) (x : P₂.obj (op Y)),
    e.symm ((ConcreteCategory.hom (P₂.map f.op)) x) = (ConcreteCategory.hom (P₁.map f.op)) (e.symm x)
x₁ : FamilyOfElements P₁ R := fun Y f hf ↦ e.symm (x₂ f hf)
hx₁ : x₁.Compatible
this : ∀ (t₂ : P₂.obj (op X)), x₂.IsAmalgamation t₂ ↔ x₁.IsAmalgamation (e.symm t₂)
⊢ (fun t ↦ x₂.IsAmalgamation t) (e (hP₁.amalgamate x₁ hx₁))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Sheaf

Goal state before:
pp: case mpr.refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hP : Presieve.IsSheaf J P
X : Type w
Y : C
S : Sieve Y
hS : S ∈ J Y
z : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op X)) S.arrows
hz : z.Compatible
⊢ (fun t ↦ z.IsAmalgamation t) (↾fun x ↦ ⋯.amalgamate (fun Z f hf ↦ (ConcreteCategory.hom (z f hf)) x) ⋯)

pp: case mpr.refine_3
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hP : Presieve.IsSheaf J P
X : Type w
Y : C
S : Sieve Y
hS : S ∈ J Y
z : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op X)) S.arrows
hz : z.Compatible
⊢ ∀ (y : (P ⋙ coyoneda.obj (op X)).obj (op Y)),
    (fun t ↦ z.IsAmalgamation t) y → y = ↾fun x ↦ ⋯.amalgamate (fun Z f hf ↦ (ConcreteCategory.hom (z f hf)) x) ⋯

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr.refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hP : Presieve.IsSheaf J P
X : Type w
Y : C
S : Sieve Y
hS : S ∈ J Y
z : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op X)) S.arrows
hz : z.Compatible
⊢ (fun t ↦ z.IsAmalgamation t) (↾fun x ↦ ⋯.amalgamate (fun Z f hf ↦ (ConcreteCategory.hom (z f hf)) x) ⋯)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P₁ : Cᵒᵖ ⥤ Type w
P₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type w'
e : ⦃X : C⦄ → P₁.obj (op X) ≃ P₂.obj (op X)
he :
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y) (x : P₁.obj (op Y)),
    e ((ConcreteCategory.hom (P₁.map f.op)) x) = (ConcreteCategory.hom (P₂.map f.op)) (e x)
X : C
R : Presieve X
hP₁ : IsSheafFor P₁ R
x₂ : FamilyOfElements P₂ R
hx₂ : x₂.Compatible
he' :
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y) (x : P₂.obj (op Y)),
    e.symm ((ConcreteCategory.hom (P₂.map f.op)) x) = (ConcreteCategory.hom (P₁.map f.op)) (e.symm x)
x₁ : FamilyOfElements P₁ R := fun Y f hf ↦ e.symm (x₂ f hf)
hx₁ : x₁.Compatible
this : ∀ (t₂ : P₂.obj (op X)), x₂.IsAmalgamation t₂ ↔ x₁.IsAmalgamation (e.symm t₂)
⊢ ∀ (y : P₂.obj (op X)), (fun t ↦ x₂.IsAmalgamation t) y → y = e (hP₁.amalgamate x₁ hx₁)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P₁ : Cᵒᵖ ⥤ Type w
P₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type w'
e : ⦃X : C⦄ → P₁.obj (op X) ≃ P₂.obj (op X)
he :
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y) (x : P₁.obj (op Y)),
    e ((ConcreteCategory.hom (P₁.map f.op)) x) = (ConcreteCategory.hom (P₂.map f.op)) (e x)
X : C
R : Presieve X
hP₁ : IsSheafFor P₁ R
x₂ : FamilyOfElements P₂ R
hx₂ : x₂.Compatible
he' :
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y) (x : P₂.obj (op Y)),
    e.symm ((ConcreteCategory.hom (P₂.map f.op)) x) = (ConcreteCategory.hom (P₁.map f.op)) (e.symm x)
x₁ : FamilyOfElements P₁ R := fun Y f hf ↦ e.symm (x₂ f hf)
hx₁ : x₁.Compatible
this : ∀ (t₂ : P₂.obj (op X)), x₂.IsAmalgamation t₂ ↔ x₁.IsAmalgamation (e.symm t₂)
⊢ ∀ (y : P₂.obj (op X)), (fun t ↦ x₂.IsAmalgamation t) y → y = e (hP₁.amalgamate x₁ hx₁)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Sheaf

Goal state before:
pp: case mpr.refine_3
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hP : Presieve.IsSheaf J P
X : Type w
Y : C
S : Sieve Y
hS : S ∈ J Y
z : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op X)) S.arrows
hz : z.Compatible
⊢ ∀ (y : (P ⋙ coyoneda.obj (op X)).obj (op Y)),
    (fun t ↦ z.IsAmalgamation t) y → y = ↾fun x ↦ ⋯.amalgamate (fun Z f hf ↦ (ConcreteCategory.hom (z f hf)) x) ⋯

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr.refine_3
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hP : Presieve.IsSheaf J P
X : Type w
Y : C
S : Sieve Y
hS : S ∈ J Y
z : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op X)) S.arrows
hz : z.Compatible
⊢ ∀ (y : (P ⋙ coyoneda.obj (op X)).obj (op Y)),
    (fun t ↦ z.IsAmalgamation t) y → y = ↾fun x ↦ ⋯.amalgamate (fun Z f hf ↦ (ConcreteCategory.hom (z f hf)) x) ⋯
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Sheaf

Goal state before:
pp: case left
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
X : C
S : J.Cover X
hP : IsSheaf J P
E : Multifork (S.index P)
a : S.shape.L
⊢ hP.amalgamate S (fun x ↦ E.ι x) ⋯ ≫ (S.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.left a) =
    E.π.app (WalkingMulticospan.left a)

pp: case right
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
X : C
S : J.Cover X
hP : IsSheaf J P
E : Multifork (S.index P)
b : S.shape.R
⊢ hP.amalgamate S (fun x ↦ E.ι x) ⋯ ≫ (S.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.right b) =
    E.π.app (WalkingMulticospan.right b)

Tactic:
·

Goal state after:
case left
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
X : C
S : J.Cover X
hP : IsSheaf J P
E : Multifork (S.index P)
a : S.shape.L
⊢ hP.amalgamate S (fun x ↦ E.ι x) ⋯ ≫ (S.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.left a) =
    E.π.app (WalkingMulticospan.left a)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Sheaf

Goal state before:
pp: case right
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
X : C
S : J.Cover X
hP : IsSheaf J P
E : Multifork (S.index P)
b : S.shape.R
⊢ hP.amalgamate S (fun x ↦ E.ι x) ⋯ ≫ (S.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.right b) =
    E.π.app (WalkingMulticospan.right b)

Tactic:
·

Goal state after:
case right
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
X : C
S : J.Cover X
hP : IsSheaf J P
E : Multifork (S.index P)
b : S.shape.R
⊢ hP.amalgamate S (fun x ↦ E.ι x) ⋯ ≫ (S.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.right b) =
    E.π.app (WalkingMulticospan.right b)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case left
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
S : Sieve X
R : Presieve X
h : S.arrows ≤ R
hS : IsSheafFor P S.arrows
trans : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f S).arrows
⊢ IsSeparatedFor P R

pp: case right
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
S : Sieve X
R : Presieve X
h : S.arrows ≤ R
hS : IsSheafFor P S.arrows
trans : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f S).arrows
⊢ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t

Tactic:
·

Goal state after:
case left
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
S : Sieve X
R : Presieve X
h : S.arrows ≤ R
hS : IsSheafFor P S.arrows
trans : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f S).arrows
⊢ IsSeparatedFor P R
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case right
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
S : Sieve X
R : Presieve X
h : S.arrows ≤ R
hS : IsSheafFor P S.arrows
trans : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f S).arrows
⊢ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t

Tactic:
·

Goal state after:
case right
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
S : Sieve X
R : Presieve X
h : S.arrows ≤ R
hS : IsSheafFor P S.arrows
trans : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f S).arrows
⊢ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Sheaf

Goal state before:
pp: case h.left
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⋯
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := ⋯
⊢ x.IsAmalgamation (hh.lift K)

pp: case h.right
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⋯
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := ⋯
⊢ ∀ (y : E ⟶ P.obj (op X)), x.IsAmalgamation y → y = hh.lift K

Tactic:
·

Goal state after:
case h.left
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⋯
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := ⋯
⊢ x.IsAmalgamation (hh.lift K)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
h : IsSheafFor P (ofArrows X π)
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
hx : Arrows.Compatible P π x
⊢ ∃! t, ∀ (i : I), (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t = x i

pp: case refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
h :
  ∀ (x : (i : I) → P.obj (op (X i))),
    Arrows.Compatible P π x → ∃! t, ∀ (i : I), (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t = x i
x : FamilyOfElements P (ofArrows X π)
hx : x.Compatible
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
h : IsSheafFor P (ofArrows X π)
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
hx : Arrows.Compatible P π x
⊢ ∃! t, ∀ (i : I), (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t = x i
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case refine_1.refine_1
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
h : IsSheafFor P (ofArrows X π)
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
hx : Arrows.Compatible P π x
t : P.obj (op B)
ht₁ : hx.familyOfElements.IsAmalgamation t
ht₂ : ∀ (y : P.obj (op B)), (fun t ↦ hx.familyOfElements.IsAmalgamation t) y → y = t
i : I
⊢ (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t = x i

pp: case refine_1.refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
h : IsSheafFor P (ofArrows X π)
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
hx : Arrows.Compatible P π x
t : P.obj (op B)
ht₁ : hx.familyOfElements.IsAmalgamation t
ht₂ : ∀ (y : P.obj (op B)), (fun t ↦ hx.familyOfElements.IsAmalgamation t) y → y = t
t' : (fun X ↦ X) (P.obj (op B))
ht' : (fun t ↦ ∀ (i : I), (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t = x i) t'
x✝² : C
x✝¹ : x✝² ⟶ B
x✝ : ofArrows X π x✝¹
i : I
⊢ (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t' = hx.familyOfElements (π i) ⋯

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.refine_1
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
h : IsSheafFor P (ofArrows X π)
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
hx : Arrows.Compatible P π x
t : P.obj (op B)
ht₁ : hx.familyOfElements.IsAmalgamation t
ht₂ : ∀ (y : P.obj (op B)), (fun t ↦ hx.familyOfElements.IsAmalgamation t) y → y = t
i : I
⊢ (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t = x i
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Sheaf

Goal state before:
pp: case h.right
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⋯
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := ⋯
⊢ ∀ (y : E ⟶ P.obj (op X)), x.IsAmalgamation y → y = hh.lift K

Tactic:
·

Goal state after:
case h.right
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⋯
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := ⋯
⊢ ∀ (y : E ⟶ P.obj (op X)), x.IsAmalgamation y → y = hh.lift K
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case refine_1.refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
h : IsSheafFor P (ofArrows X π)
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
hx : Arrows.Compatible P π x
t : P.obj (op B)
ht₁ : hx.familyOfElements.IsAmalgamation t
ht₂ : ∀ (y : P.obj (op B)), (fun t ↦ hx.familyOfElements.IsAmalgamation t) y → y = t
t' : (fun X ↦ X) (P.obj (op B))
ht' : (fun t ↦ ∀ (i : I), (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t = x i) t'
x✝² : C
x✝¹ : x✝² ⟶ B
x✝ : ofArrows X π x✝¹
i : I
⊢ (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t' = hx.familyOfElements (π i) ⋯

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
h : IsSheafFor P (ofArrows X π)
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
hx : Arrows.Compatible P π x
t : P.obj (op B)
ht₁ : hx.familyOfElements.IsAmalgamation t
ht₂ : ∀ (y : P.obj (op B)), (fun t ↦ hx.familyOfElements.IsAmalgamation t) y → y = t
t' : (fun X ↦ X) (P.obj (op B))
ht' : (fun t ↦ ∀ (i : I), (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t = x i) t'
x✝² : C
x✝¹ : x✝² ⟶ B
x✝ : ofArrows X π x✝¹
i : I
⊢ (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t' = hx.familyOfElements (π i) ⋯
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
h :
  ∀ (x : (i : I) → P.obj (op (X i))),
    Arrows.Compatible P π x → ∃! t, ∀ (i : I), (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t = x i
x : FamilyOfElements P (ofArrows X π)
hx : x.Compatible
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
h :
  ∀ (x : (i : I) → P.obj (op (X i))),
    Arrows.Compatible P π x → ∃! t, ∀ (i : I), (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t = x i
x : FamilyOfElements P (ofArrows X π)
hx : x.Compatible
⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
⊢ IsSheafFor P (ofArrows X π) ↔ Function.Bijective (Arrows.toCompatible P π)

Tactic:
rw [isSheafFor_arrows_iff]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
⊢ (∀ (x : (i : I) → P.obj (op (X i))),
      Arrows.Compatible P π x → ∃! t, ∀ (i : I), (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t = x i) ↔
    Function.Bijective (Arrows.toCompatible P π)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
h :
  ∀ (x : (i : I) → P.obj (op (X i))),
    Arrows.Compatible P π x → ∃! t, ∀ (i : I), (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t = x i
x✝ : Subtype (Arrows.Compatible P π)
y : (i : I) → P.obj (op (X i))
hy : Arrows.Compatible P π y
⊢ ∃ a, Arrows.toCompatible P π a = ⟨y, hy⟩

pp: case refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
h : Function.Bijective (Arrows.toCompatible P π)
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
hx : Arrows.Compatible P π x
⊢ ∃! t, ∀ (i : I), (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t = x i

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
h :
  ∀ (x : (i : I) → P.obj (op (X i))),
    Arrows.Compatible P π x → ∃! t, ∀ (i : I), (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t = x i
x✝ : Subtype (Arrows.Compatible P π)
y : (i : I) → P.obj (op (X i))
hy : Arrows.Compatible P π y
⊢ ∃ a, Arrows.toCompatible P π a = ⟨y, hy⟩
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Sheaf

Goal state before:
pp: case h.right.left
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I ↦ x I.f ⋯) ⋯
e : E ⟶ P.obj (op X)
he : x.IsAmalgamation e
a : T.shape.L
⊢ e ≫ (T.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.left a) = K.π.app (WalkingMulticospan.left a)

pp: case h.right.right
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I ↦ x I.f ⋯) ⋯
e : E ⟶ P.obj (op X)
he : x.IsAmalgamation e
b : T.shape.R
⊢ e ≫ (T.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.right b) = K.π.app (WalkingMulticospan.right b)

Tactic:
·

Goal state after:
case h.right.left
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I ↦ x I.f ⋯) ⋯
e : E ⟶ P.obj (op X)
he : x.IsAmalgamation e
a : T.shape.L
⊢ e ≫ (T.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.left a) = K.π.app (WalkingMulticospan.left a)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
h : Function.Bijective (Arrows.toCompatible P π)
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
hx : Arrows.Compatible P π x
⊢ ∃! t, ∀ (i : I), (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t = x i

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
h : Function.Bijective (Arrows.toCompatible P π)
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
hx : Arrows.Compatible P π x
⊢ ∃! t, ∀ (i : I), (ConcreteCategory.hom (P.map (π i).op)) t = x i
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Sheaf

Goal state before:
pp: case h.right.left
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I ↦ x I.f ⋯) ⋯
e : E ⟶ P.obj (op X)
he : x.IsAmalgamation e
a : T.shape.L
⊢ e ≫ (T.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.left a) = K.π.app (WalkingMulticospan.left a)

pp: case h.right.right
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I ↦ x I.f ⋯) ⋯
e : E ⟶ P.obj (op X)
he : x.IsAmalgamation e
b : T.shape.R
⊢ e ≫ (T.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.right b) = K.π.app (WalkingMulticospan.right b)

Tactic:
· apply he

Goal state after:
case h.right.right
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I ↦ x I.f ⋯) ⋯
e : E ⟶ P.obj (op X)
he : x.IsAmalgamation e
b : T.shape.R
⊢ e ≫ (T.multifork P).π.app (WalkingMulticospan.right b) = K.π.app (WalkingMulticospan.right b)