mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : P.IsRootSystem
d : ↥b.support → ℤ
hd : ∀ (i : ↥b.support), 0 < d i
hdS : (Matrix.diagonal d * b.cartanMatrix).PosDef
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
⊢ b.cartanMatrix i j ≤ if i = j then 2 else 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : P.IsRootSystem
d : ↥b.support → ℤ
hd : ∀ (i : ↥b.support), 0 < d i
hdS : (Matrix.diagonal d * b.cartanMatrix).PosDef
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
⊢ b.cartanMatrix i j ≤ if i = j then 2 else 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : P.IsRootSystem
⊢ (4 - b.cartanMatrix).det ≠ 0

Tactic:
suffices ¬ HasEigenvalue b.cartanMatrix.toLin' 4 by
    have aux : (4 - b.cartanMatrix).toLin' = - (b.cartanMatrix.toLin' - (4 : ℤ) • 1) := by ext; simp
    rwa [ne_eq, ← det_toLin', det_eq_zero_iff_ker_ne_bot, aux, ker_neg, ← eigenspace_def,
      ← hasEigenvalue_iff]
  obtain ⟨d, hd, hdS⟩ := b.exists_cartanMatrix_diagaonal_mul_posDef
  have aux (i j : b.support) : b.cartanMatrix i j ≤ if i = j then 2 else 0 := by
    rcases eq_or_ne i j with rfl | hij
    · simp
    · simpa [hij] using cartanMatrix_le_zero_of_ne b i j hij
  have := b.cartanMatrix.lt_two_mul_of_mul_diagonal_posDef_of_for_le_of_hasEigen d hdS hd 2 4 aux
  aesop

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Minpoly

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type v
M : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
μ : R
x : M
p : R[X]
h : f.HasEigenvector μ x
⊢ ∀ (a : R), ((aeval f) (C a)) x = eval μ (C a) • x

pp: case refine_2
R : Type v
M : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
μ : R
x : M
p : R[X]
h : f.HasEigenvector μ x
⊢ ∀ (p q : R[X]),
    ((aeval f) p) x = eval μ p • x → ((aeval f) q) x = eval μ q • x → ((aeval f) (p + q)) x = eval μ (p + q) • x

pp: case refine_3
R : Type v
M : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
μ : R
x : M
p : R[X]
h : f.HasEigenvector μ x
⊢ ∀ (n : ℕ) (a : R),
    ((aeval f) (C a * X ^ n)) x = eval μ (C a * X ^ n) • x →
      ((aeval f) (C a * X ^ (n + 1))) x = eval μ (C a * X ^ (n + 1)) • x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type v
M : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
μ : R
x : M
p : R[X]
h : f.HasEigenvector μ x
⊢ ∀ (a : R), ((aeval f) (C a)) x = eval μ (C a) • x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Minpoly

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type v
M : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
μ : R
x : M
p : R[X]
h : f.HasEigenvector μ x
⊢ ∀ (p q : R[X]),
    ((aeval f) p) x = eval μ p • x → ((aeval f) q) x = eval μ q • x → ((aeval f) (p + q)) x = eval μ (p + q) • x

pp: case refine_3
R : Type v
M : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
μ : R
x : M
p : R[X]
h : f.HasEigenvector μ x
⊢ ∀ (n : ℕ) (a : R),
    ((aeval f) (C a * X ^ n)) x = eval μ (C a * X ^ n) • x →
      ((aeval f) (C a * X ^ (n + 1))) x = eval μ (C a * X ^ (n + 1)) • x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type v
M : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
μ : R
x : M
p : R[X]
h : f.HasEigenvector μ x
⊢ ∀ (p q : R[X]),
    ((aeval f) p) x = eval μ p • x → ((aeval f) q) x = eval μ q • x → ((aeval f) (p + q)) x = eval μ (p + q) • x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Minpoly

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type v
M : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
μ : R
x : M
p : R[X]
h : f.HasEigenvector μ x
⊢ ∀ (n : ℕ) (a : R),
    ((aeval f) (C a * X ^ n)) x = eval μ (C a * X ^ n) • x →
      ((aeval f) (C a * X ^ (n + 1))) x = eval μ (C a * X ^ (n + 1)) • x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
R : Type v
M : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
μ : R
x : M
p : R[X]
h : f.HasEigenvector μ x
⊢ ∀ (n : ℕ) (a : R),
    ((aeval f) (C a * X ^ n)) x = eval μ (C a * X ^ n) • x →
      ((aeval f) (C a * X ^ (n + 1))) x = eval μ (C a * X ^ (n + 1)) • x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Minpoly

Goal state before:
pp: case inl
R : Type v
M : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
μ : R
p : R[X]
hx : f 0 = μ • 0
⊢ ((aeval f) p) 0 = eval μ p • 0

pp: case inr
R : Type v
M : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
μ : R
x : M
p : R[X]
hx : f x = μ • x
hne : x ≠ 0
⊢ ((aeval f) p) x = eval μ p • x

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type v
M : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
μ : R
p : R[X]
hx : f 0 = μ • 0
⊢ ((aeval f) p) 0 = eval μ p • 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Minpoly

Goal state before:
pp: case inr
R : Type v
M : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
μ : R
x : M
p : R[X]
hx : f x = μ • x
hne : x ≠ 0
⊢ ((aeval f) p) x = eval μ p • x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
R : Type v
M : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
μ : R
x : M
p : R[X]
hx : f x = μ • x
hne : x ≠ 0
⊢ ((aeval f) p) x = eval μ p • x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Minpoly

Goal state before:
pp: R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
f : End R M
μ : R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
h : (minpoly R f).IsRoot μ
q : R[X]
hq : minpoly R f = (X - C μ) * q
h_contra : ∀ (v : M), ((aeval f) q) v = 0
this : 1 + ↑q.natDegree ≤ ↑q.natDegree
⊢ False

pp: R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
f : End R M
μ : R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
h : (minpoly R f).IsRoot μ
q : R[X]
hq : minpoly R f = (X - C μ) * q
h_contra : ∀ (v : M), ((aeval f) q) v = 0
this : 1 + q.degree ≤ q.degree
⊢ q ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
f : End R M
μ : R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
h : (minpoly R f).IsRoot μ
q : R[X]
hq : minpoly R f = (X - C μ) * q
h_contra : ∀ (v : M), ((aeval f) q) v = 0
this : 1 + ↑q.natDegree ≤ ↑q.natDegree
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Minpoly

Goal state before:
pp: R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
f : End R M
μ : R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
h : (minpoly R f).IsRoot μ
q : R[X]
hq : minpoly R f = (X - C μ) * q
h_contra : ∀ (v : M), ((aeval f) q) v = 0
this : 1 + q.degree ≤ q.degree
⊢ q ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
f : End R M
μ : R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
h : (minpoly R f).IsRoot μ
q : R[X]
hq : minpoly R f = (X - C μ) * q
h_contra : ∀ (v : M), ((aeval f) q) v = 0
this : 1 + q.degree ≤ q.degree
⊢ q ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
p : ↥b.support → Prop
i j : ↥b.support
hi : p i
hp : ∀ (i j : ↥b.support), p i → b.cartanMatrix j i ≠ 0 → p j
q : Submodule R M := span R (⇑P.root ∘ Subtype.val '' {i | p i})
hq₀ : q ≠ ⊥
hq_mem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∈ q ↔ p k
hq_notMem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∉ q → q ≤ LinearMap.ker (P.coroot' ↑k)
k : ι
hkb : k ∈ b.support
x : M
hx : x ∈ q
hk : P.root k ∈ q
⊢ (P.coroot' k) x • P.root k ∈ q

pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
p : ↥b.support → Prop
i j : ↥b.support
hi : p i
hp : ∀ (i j : ↥b.support), p i → b.cartanMatrix j i ≠ 0 → p j
q : Submodule R M := span R (⇑P.root ∘ Subtype.val '' {i | p i})
hq₀ : q ≠ ⊥
hq_mem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∈ q ↔ p k
hq_notMem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∉ q → q ≤ LinearMap.ker (P.coroot' ↑k)
k : ι
hkb : k ∈ b.support
x : M
hx : x ∈ q
hk : P.root k ∉ q
⊢ (P.coroot' k) x • P.root k ∈ q

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
p : ↥b.support → Prop
i j : ↥b.support
hi : p i
hp : ∀ (i j : ↥b.support), p i → b.cartanMatrix j i ≠ 0 → p j
q : Submodule R M := span R (⇑P.root ∘ Subtype.val '' {i | p i})
hq₀ : q ≠ ⊥
hq_mem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∈ q ↔ p k
hq_notMem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∉ q → q ≤ LinearMap.ker (P.coroot' ↑k)
k : ι
hkb : k ∈ b.support
x : M
hx : x ∈ q
hk : P.root k ∈ q
⊢ (P.coroot' k) x • P.root k ∈ q
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
p : ↥b.support → Prop
i j : ↥b.support
hi : p i
hp : ∀ (i j : ↥b.support), p i → b.cartanMatrix j i ≠ 0 → p j
q : Submodule R M := span R (⇑P.root ∘ Subtype.val '' {i | p i})
hq₀ : q ≠ ⊥
hq_mem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∈ q ↔ p k
hq_notMem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∉ q → q ≤ LinearMap.ker (P.coroot' ↑k)
k : ι
hkb : k ∈ b.support
x : M
hx : x ∈ q
hk : P.root k ∉ q
⊢ (P.coroot' k) x • P.root k ∈ q

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
p : ↥b.support → Prop
i j : ↥b.support
hi : p i
hp : ∀ (i j : ↥b.support), p i → b.cartanMatrix j i ≠ 0 → p j
q : Submodule R M := span R (⇑P.root ∘ Subtype.val '' {i | p i})
hq₀ : q ≠ ⊥
hq_mem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∈ q ↔ p k
hq_notMem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∉ q → q ≤ LinearMap.ker (P.coroot' ↑k)
k : ι
hkb : k ∈ b.support
x : M
hx : x ∈ q
hk : P.root k ∉ q
⊢ (P.coroot' k) x • P.root k ∈ q
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case zero
S : Type u
inst✝ : Semiring S
⊢ eval 0 (ascPochhammer S 0) = if 0 = 0 then 1 else 0

pp: case succ
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n✝ : ℕ
⊢ eval 0 (ascPochhammer S (n✝ + 1)) = if n✝ + 1 = 0 then 1 else 0

Tactic:
·

Goal state after:
case zero
S : Type u
inst✝ : Semiring S
⊢ eval 0 (ascPochhammer S 0) = if 0 = 0 then 1 else 0
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case succ
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n✝ : ℕ
⊢ eval 0 (ascPochhammer S (n✝ + 1)) = if n✝ + 1 = 0 then 1 else 0

Tactic:
·

Goal state after:
case succ
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n✝ : ℕ
⊢ eval 0 (ascPochhammer S (n✝ + 1)) = if n✝ + 1 = 0 then 1 else 0
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case zero
S : Type u
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : NoZeroDivisors S
inst✝ : Nontrivial S
hn : (ascPochhammer S 0).natDegree = 0
this : (X + ↑0).natDegree = 1
⊢ ascPochhammer S 0 ≠ 0

pp: case succ
S : Type u
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : NoZeroDivisors S
inst✝ : Nontrivial S
n✝ : ℕ
hn : (ascPochhammer S (n✝ + 1)).natDegree = n✝ + 1
this : (X + ↑(n✝ + 1)).natDegree = 1
⊢ ascPochhammer S (n✝ + 1) ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case zero
S : Type u
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : NoZeroDivisors S
inst✝ : Nontrivial S
hn : (ascPochhammer S 0).natDegree = 0
this : (X + ↑0).natDegree = 1
⊢ ascPochhammer S 0 ≠ 0
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case succ
S : Type u
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : NoZeroDivisors S
inst✝ : Nontrivial S
n✝ : ℕ
hn : (ascPochhammer S (n✝ + 1)).natDegree = n✝ + 1
this : (X + ↑(n✝ + 1)).natDegree = 1
⊢ ascPochhammer S (n✝ + 1) ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case succ
S : Type u
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : NoZeroDivisors S
inst✝ : Nontrivial S
n✝ : ℕ
hn : (ascPochhammer S (n✝ + 1)).natDegree = n✝ + 1
this : (X + ↑(n✝ + 1)).natDegree = 1
⊢ ascPochhammer S (n✝ + 1) ≠ 0
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case pos
r : ℕ
h : r = 0
⊢ 0 * eval (0 + 1) (ascPochhammer ℕ r) = (0 + r) * eval 0 (ascPochhammer ℕ r)

pp: case neg
r : ℕ
h : ¬r = 0
⊢ 0 * eval (0 + 1) (ascPochhammer ℕ r) = (0 + r) * eval 0 (ascPochhammer ℕ r)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
r : ℕ
h : r = 0
⊢ 0 * eval (0 + 1) (ascPochhammer ℕ r) = (0 + r) * eval 0 (ascPochhammer ℕ r)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case neg
r : ℕ
h : ¬r = 0
⊢ 0 * eval (0 + 1) (ascPochhammer ℕ r) = (0 + r) * eval 0 (ascPochhammer ℕ r)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
r : ℕ
h : ¬r = 0
⊢ 0 * eval (0 + 1) (ascPochhammer ℕ r) = (0 + r) * eval 0 (ascPochhammer ℕ r)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case succ.inl
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a b✝ b : ℕ
a✝ : ↑(a.descFactorial b) = ↑((a - (b - 1) + b - 1).descFactorial b)
h : a ≤ b
⊢ ↑(a.descFactorial (b + 0).succ) = ↑((a - b + b).descFactorial (b + 0).succ)

pp: case succ.inr
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a b✝ b : ℕ
a✝ : ↑(a.descFactorial b) = ↑((a - (b - 1) + b - 1).descFactorial b)
h : b ≤ a
⊢ ↑(a.descFactorial (b + 0).succ) = ↑((a - b + b).descFactorial (b + 0).succ)

Tactic:
·

Goal state after:
case succ.inl
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a b✝ b : ℕ
a✝ : ↑(a.descFactorial b) = ↑((a - (b - 1) + b - 1).descFactorial b)
h : a ≤ b
⊢ ↑(a.descFactorial (b + 0).succ) = ↑((a - b + b).descFactorial (b + 0).succ)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case succ.inr
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a b✝ b : ℕ
a✝ : ↑(a.descFactorial b) = ↑((a - (b - 1) + b - 1).descFactorial b)
h : b ≤ a
⊢ ↑(a.descFactorial (b + 0).succ) = ↑((a - b + b).descFactorial (b + 0).succ)

Tactic:
·

Goal state after:
case succ.inr
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a b✝ b : ℕ
a✝ : ↑(a.descFactorial b) = ↑((a - (b - 1) + b - 1).descFactorial b)
h : b ≤ a
⊢ ↑(a.descFactorial (b + 0).succ) = ↑((a - b + b).descFactorial (b + 0).succ)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
inst✝ : Ring R
⊢ eval 0 (descPochhammer R 0) = if 0 = 0 then 1 else 0

pp: case succ
R : Type u
inst✝ : Ring R
n✝ : ℕ
⊢ eval 0 (descPochhammer R (n✝ + 1)) = if n✝ + 1 = 0 then 1 else 0

Tactic:
·

Goal state after:
case zero
R : Type u
inst✝ : Ring R
⊢ eval 0 (descPochhammer R 0) = if 0 = 0 then 1 else 0
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
inst✝ : Ring R
n✝ : ℕ
⊢ eval 0 (descPochhammer R (n✝ + 1)) = if n✝ + 1 = 0 then 1 else 0

Tactic:
·

Goal state after:
case succ
R : Type u
inst✝ : Ring R
n✝ : ℕ
⊢ eval 0 (descPochhammer R (n✝ + 1)) = if n✝ + 1 = 0 then 1 else 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Finite ι
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CharZero K
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
p : Submodule K (ι → K) := span K (range fun i j ↦ ↑(P.pairingIn ℤ j ↑i))
f : ι ⊕ ↑{(i, j) | i ≠ j} → Module.Dual K (ι → K) :=
  LinearMap.proj ⊕ᵥ fun x ↦ LinearMap.proj (↑x).1 - LinearMap.proj (↑x).2
i : ι
⊢ ∃ x ∈ p, (f (Sum.inl i)) x ≠ 0

pp: case inr
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Finite ι
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CharZero K
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
p : Submodule K (ι → K) := span K (range fun i j ↦ ↑(P.pairingIn ℤ j ↑i))
f : ι ⊕ ↑{(i, j) | i ≠ j} → Module.Dual K (ι → K) :=
  LinearMap.proj ⊕ᵥ fun x ↦ LinearMap.proj (↑x).1 - LinearMap.proj (↑x).2
i j : ι
h : i ≠ j
⊢ ∃ x ∈ p, (f (Sum.inr ⟨(i, j), h⟩)) x ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Finite ι
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CharZero K
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
p : Submodule K (ι → K) := span K (range fun i j ↦ ↑(P.pairingIn ℤ j ↑i))
f : ι ⊕ ↑{(i, j) | i ≠ j} → Module.Dual K (ι → K) :=
  LinearMap.proj ⊕ᵥ fun x ↦ LinearMap.proj (↑x).1 - LinearMap.proj (↑x).2
i : ι
⊢ ∃ x ∈ p, (f (Sum.inl i)) x ≠ 0
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
hn : (descPochhammer R 0).natDegree = 0
this : (X - ↑0).natDegree = 1
⊢ descPochhammer R 0 ≠ 0

pp: case succ
R : Type u
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
n✝ : ℕ
hn : (descPochhammer R (n✝ + 1)).natDegree = n✝ + 1
this : (X - ↑(n✝ + 1)).natDegree = 1
⊢ descPochhammer R (n✝ + 1) ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case zero
R : Type u
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
hn : (descPochhammer R 0).natDegree = 0
this : (X - ↑0).natDegree = 1
⊢ descPochhammer R 0 ≠ 0
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
n✝ : ℕ
hn : (descPochhammer R (n✝ + 1)).natDegree = n✝ + 1
this : (X - ↑(n✝ + 1)).natDegree = 1
⊢ descPochhammer R (n✝ + 1) ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case succ
R : Type u
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
n✝ : ℕ
hn : (descPochhammer R (n✝ + 1)).natDegree = n✝ + 1
this : (X - ↑(n✝ + 1)).natDegree = 1
⊢ descPochhammer R (n✝ + 1) ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Finite ι
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CharZero K
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
p : Submodule K (ι → K) := span K (range fun i j ↦ ↑(P.pairingIn ℤ j ↑i))
f : ι ⊕ ↑{(i, j) | i ≠ j} → Module.Dual K (ι → K) :=
  LinearMap.proj ⊕ᵥ fun x ↦ LinearMap.proj (↑x).1 - LinearMap.proj (↑x).2
i j : ι
h : i ≠ j
⊢ ∃ x ∈ p, (f (Sum.inr ⟨(i, j), h⟩)) x ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Finite ι
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CharZero K
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
p : Submodule K (ι → K) := span K (range fun i j ↦ ↑(P.pairingIn ℤ j ↑i))
f : ι ⊕ ↑{(i, j) | i ≠ j} → Module.Dual K (ι → K) :=
  LinearMap.proj ⊕ᵥ fun x ↦ LinearMap.proj (↑x).1 - LinearMap.proj (↑x).2
i j : ι
h : i ≠ j
⊢ ∃ x ∈ p, (f (Sum.inr ⟨(i, j), h⟩)) x ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: case h₁
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : CharZero R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsRootSystem
inst✝² : P.IsCrystallographic
inst✝¹ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
f : M ≃ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ↥b.support), f (P.root ↑i) = P₂.root ↑(e i)
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
this : ∀ (k : ↥b.support), P.reflection ↑k ≪≫ₗ f = f ≪≫ₗ P₂.reflection ↑(e k)
i : ι
⊢ ∀ i ∈ b.support, f (P.root i) ∈ range ⇑P₂.root

pp: case h₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : CharZero R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsRootSystem
inst✝² : P.IsCrystallographic
inst✝¹ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
f : M ≃ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ↥b.support), f (P.root ↑i) = P₂.root ↑(e i)
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
this : ∀ (k : ↥b.support), P.reflection ↑k ≪≫ₗ f = f ≪≫ₗ P₂.reflection ↑(e k)
i : ι
⊢ ∀ (i j : ι), f (P.root i) ∈ range ⇑P₂.root → j ∈ b.support → f (P.root ((P.reflectionPerm j) i)) ∈ range ⇑P₂.root

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : CharZero R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsRootSystem
inst✝² : P.IsCrystallographic
inst✝¹ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
f : M ≃ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ↥b.support), f (P.root ↑i) = P₂.root ↑(e i)
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
this : ∀ (k : ↥b.support), P.reflection ↑k ≪≫ₗ f = f ≪≫ₗ P₂.reflection ↑(e k)
i : ι
⊢ ∀ i ∈ b.support, f (P.root i) ∈ range ⇑P₂.root