mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i : ι
m : M
hm : m ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support)
⊢ ∀ (x y : M),
    x ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support) →
      y ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support) →
        (∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ x = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j) →
          (∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ y = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j) →
            ∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ x + y = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i : ι
m : M
hm : m ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support)
⊢ ∀ (x y : M),
    x ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support) →
      y ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support) →
        (∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ x = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j) →
          (∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ y = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j) →
            ∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ x + y = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℕ
hf : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
⊢ ∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ (0 < f ∨ f < 0) ∧ P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j

pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℕ
hf : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : P.root i = -∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
⊢ ∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ (0 < f ∨ f < 0) ∧ P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℕ
hf : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
⊢ ∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ (0 < f ∨ f < 0) ∧ P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
B : P.InvariantForm
inst✝ : P.IsIrreducible
i j j' : ι
h₁ : (B.form (P.root j')) (P.root j') = (B.form (P.root j)) (P.root j)
h₂ : (B.form (P.root i)) (P.root j') ≠ 0
⊢ P.pairingIn ℤ i j' ≠ 0

Tactic:
contrapose h₂

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
B : P.InvariantForm
inst✝ : P.IsIrreducible
i j j' : ι
h₁ : (B.form (P.root j')) (P.root j') = (B.form (P.root j)) (P.root j)
h₂ : P.pairingIn ℤ i j' = 0
⊢ (B.form (P.root i)) (P.root j') = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.root (chainTopIdx i j) = P.root j + chainTopCoeff i j • P.root i

pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.root (chainTopIdx i j) = P.root j + chainTopCoeff i j • P.root i

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.root (chainTopIdx i j) = P.root j + chainTopCoeff i j • P.root i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℕ
hf : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : P.root i = -∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
⊢ ∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ (0 < f ∨ f < 0) ∧ P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℕ
hf : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : P.root i = -∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
⊢ ∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ (0 < f ∨ f < 0) ∧ P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.root (chainTopIdx i j) = P.root j + chainTopCoeff i j • P.root i

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.root (chainTopIdx i j) = P.root j + chainTopCoeff i j • P.root i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : P.IsReduced
B : P.InvariantForm
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : Nonempty ι
i : ι
h : ∀ (j : ι), (B.form (P.root j)) (P.root j) = (B.form (P.root i)) (P.root i)
⊢ ∃ i j,
    ∀ (k : ι),
      (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root i)) (P.root i) ∨
        (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j)) (P.root j)

pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : P.IsReduced
B : P.InvariantForm
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : Nonempty ι
i : ι
h : ∃ j, (B.form (P.root j)) (P.root j) ≠ (B.form (P.root i)) (P.root i)
⊢ ∃ i j,
    ∀ (k : ι),
      (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root i)) (P.root i) ∨
        (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j)) (P.root j)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : P.IsReduced
B : P.InvariantForm
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : Nonempty ι
i : ι
h : ∀ (j : ι), (B.form (P.root j)) (P.root j) = (B.form (P.root i)) (P.root i)
⊢ ∃ i j,
    ∀ (k : ι),
      (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root i)) (P.root i) ∨
        (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j)) (P.root j)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.root (chainBotIdx i j) = P.root j - chainBotCoeff i j • P.root i

pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.root (chainBotIdx i j) = P.root j - chainBotCoeff i j • P.root i

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.root (chainBotIdx i j) = P.root j - chainBotCoeff i j • P.root i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : P.IsReduced
B : P.InvariantForm
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : Nonempty ι
i : ι
h : ∃ j, (B.form (P.root j)) (P.root j) ≠ (B.form (P.root i)) (P.root i)
⊢ ∃ i j,
    ∀ (k : ι),
      (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root i)) (P.root i) ∨
        (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j)) (P.root j)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : P.IsReduced
B : P.InvariantForm
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : Nonempty ι
i : ι
h : ∃ j, (B.form (P.root j)) (P.root j) ≠ (B.form (P.root i)) (P.root i)
⊢ ∃ i j,
    ∀ (k : ι),
      (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root i)) (P.root i) ∨
        (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j)) (P.root j)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.root (chainBotIdx i j) = P.root j - chainBotCoeff i j • P.root i

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.root (chainBotIdx i j) = P.root j - chainBotCoeff i j • P.root i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
pos : 0 < f
⊢ ∑ j ∈ b.support, f j ≠ 0

pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
neg : f < 0
⊢ ∑ j ∈ b.support, f j ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
pos : 0 < f
⊢ ∑ j ∈ b.support, f j ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
pos : 0 < f
contra : ∀ i ∈ b.support, f i ≤ 0
j : ι
hj : j ∈ Function.support f
⊢ f j = 0

pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
pos : 0 < f
contra : ∀ i ∈ b.support, f i ≤ 0
j : ι
hj : j ∉ Function.support f
⊢ f j = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
pos : 0 < f
contra : ∀ i ∈ b.support, f i ≤ 0
j : ι
hj : j ∈ Function.support f
⊢ f j = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
pos : 0 < f
contra : ∀ i ∈ b.support, f i ≤ 0
j : ι
hj : j ∉ Function.support f
⊢ f j = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
pos : 0 < f
contra : ∀ i ∈ b.support, f i ≤ 0
j : ι
hj : j ∉ Function.support f
⊢ f j = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
neg : f < 0
⊢ ∑ j ∈ b.support, f j ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
neg : f < 0
⊢ ∑ j ∈ b.support, f j ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
neg : f < 0
contra : ∀ i ∈ b.support, 0 ≤ f i
j : ι
hj : j ∈ Function.support f
⊢ f j = 0

pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
neg : f < 0
contra : ∀ i ∈ b.support, 0 ≤ f i
j : ι
hj : j ∉ Function.support f
⊢ f j = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
neg : f < 0
contra : ∀ i ∈ b.support, 0 ≤ f i
j : ι
hj : j ∈ Function.support f
⊢ f j = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i (chainTopIdx i j) = chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ∧ chainTopCoeff i (chainTopIdx i j) = 0

pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i (chainTopIdx i j) = chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ∧ chainTopCoeff i (chainTopIdx i j) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i (chainTopIdx i j) = chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ∧ chainTopCoeff i (chainTopIdx i j) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
neg : f < 0
contra : ∀ i ∈ b.support, 0 ≤ f i
j : ι
hj : j ∉ Function.support f
⊢ f j = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
neg : f < 0
contra : ∀ i ∈ b.support, 0 ≤ f i
j : ι
hj : j ∉ Function.support f
⊢ f j = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h : ∀ (i j : ι), (B.form (P.root i)) (P.root i) = (B.form (P.root j)) (P.root j)
⊢ (∀ (i j : ι), P.pairing i j = P.pairing j i ∨ P.pairing i j = 2 * P.pairing j i ∨ P.pairing j i = 2 * P.pairing i j) ∨
    ∀ (i j : ι), P.pairing i j = P.pairing j i ∨ P.pairing i j = 3 * P.pairing j i ∨ P.pairing j i = 3 * P.pairing i j

pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h : ∃ i j, (B.form (P.root i)) (P.root i) ≠ (B.form (P.root j)) (P.root j)
⊢ (∀ (i j : ι), P.pairing i j = P.pairing j i ∨ P.pairing i j = 2 * P.pairing j i ∨ P.pairing j i = 2 * P.pairing i j) ∨
    ∀ (i j : ι), P.pairing i j = P.pairing j i ∨ P.pairing i j = 3 * P.pairing j i ∨ P.pairing j i = 3 * P.pairing i j

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h : ∀ (i j : ι), (B.form (P.root i)) (P.root i) = (B.form (P.root j)) (P.root j)
⊢ (∀ (i j : ι), P.pairing i j = P.pairing j i ∨ P.pairing i j = 2 * P.pairing j i ∨ P.pairing j i = 2 * P.pairing i j) ∨
    ∀ (i j : ι), P.pairing i j = P.pairing j i ∨ P.pairing i j = 3 * P.pairing j i ∨ P.pairing j i = 3 * P.pairing i j