mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Nondegenerate

Goal state before:
pp: case refine_2
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
M : Matrix m n R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Finite n
this : Fintype n
h : ∀ (v : m → R), v ᵥ* M = 0 → v = 0
w : m → R
hw : ∀ (w_1 : n → R), w ⬝ᵥ M *ᵥ w_1 = 0
i : n
⊢ (w ᵥ* M) i = 0 i

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
M : Matrix m n R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Finite n
this : Fintype n
h : ∀ (v : m → R), v ᵥ* M = 0 → v = 0
w : m → R
hw : ∀ (w_1 : n → R), w ⬝ᵥ M *ᵥ w_1 = 0
i : n
⊢ (w ᵥ* M) i = 0 i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Nondegenerate

Goal state before:
pp: case refine_1
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
M : Matrix m n R
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Fintype n
this : Fintype m
h : ∀ (w : n → R), (∀ (v : m → R), v ⬝ᵥ M *ᵥ w = 0) → w = 0
v : n → R
hv : M *ᵥ v = 0
w : m → R
⊢ w ⬝ᵥ M *ᵥ v = 0

pp: case refine_2
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
M : Matrix m n R
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Fintype n
this : Fintype m
h : ∀ (v : n → R), M *ᵥ v = 0 → v = 0
w : n → R
hw : ∀ (v : m → R), v ⬝ᵥ M *ᵥ w = 0
i : m
⊢ (M *ᵥ w) i = 0 i

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
M : Matrix m n R
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Fintype n
this : Fintype m
h : ∀ (w : n → R), (∀ (v : m → R), v ⬝ᵥ M *ᵥ w = 0) → w = 0
v : n → R
hv : M *ᵥ v = 0
w : m → R
⊢ w ⬝ᵥ M *ᵥ v = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Nondegenerate

Goal state before:
pp: case refine_2
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
M : Matrix m n R
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Fintype n
this : Fintype m
h : ∀ (v : n → R), M *ᵥ v = 0 → v = 0
w : n → R
hw : ∀ (v : m → R), v ⬝ᵥ M *ᵥ w = 0
i : m
⊢ (M *ᵥ w) i = 0 i

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
M : Matrix m n R
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Fintype n
this : Fintype m
h : ∀ (v : n → R), M *ᵥ v = 0 → v = 0
w : n → R
hw : ∀ (v : m → R), v ⬝ᵥ M *ᵥ w = 0
i : m
⊢ (M *ᵥ w) i = 0 i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Basis

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
e : Basis ι R M
v : ι' → M
j : ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
x : M
i' : ι
k : ι'
h : k = j
⊢ (e.repr (update v j x k)) i' = (e.repr x) i'

pp: case neg
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
e : Basis ι R M
v : ι' → M
j : ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
x : M
i' : ι
k : ι'
h : ¬k = j
⊢ (e.repr (update v j x k)) i' = (e.repr (v k)) i'

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
e : Basis ι R M
v : ι' → M
j : ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
x : M
i' : ι
k : ι'
h : k = j
⊢ (e.repr (update v j x k)) i' = (e.repr x) i'
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Basis

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
e : Basis ι R M
v : ι' → M
j : ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
x : M
i' : ι
k : ι'
h : ¬k = j
⊢ (e.repr (update v j x k)) i' = (e.repr (v k)) i'

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
e : Basis ι R M
v : ι' → M
j : ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
x : M
i' : ι
k : ι'
h : ¬k = j
⊢ (e.repr (update v j x k)) i' = (e.repr (v k)) i'
Module: Mathlib.RingTheory.IntegralDomain

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g : R[X]
hg : g.Monic
⊢ (f %ₘ g).degree < g.degree

pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g : R[X]
hg : g.Monic
⊢ (algebraMap R[X] K) f / (algebraMap R[X] K) g =
    (algebraMap R[X] K) (f /ₘ g) + (algebraMap R[X] K) (f %ₘ g) / (algebraMap R[X] K) g

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g : R[X]
hg : g.Monic
⊢ (f %ₘ g).degree < g.degree
Module: Mathlib.RingTheory.IntegralDomain

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g : R[X]
hg : g.Monic
⊢ (algebraMap R[X] K) f / (algebraMap R[X] K) g =
    (algebraMap R[X] K) (f /ₘ g) + (algebraMap R[X] K) (f %ₘ g) / (algebraMap R[X] K) g

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g : R[X]
hg : g.Monic
⊢ (algebraMap R[X] K) f / (algebraMap R[X] K) g =
    (algebraMap R[X] K) (f /ₘ g) + (algebraMap R[X] K) (f %ₘ g) / (algebraMap R[X] K) g
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι'
⊢ b.toMatrix ⇑b' * b'.toMatrix ⇑b = 1

Tactic:
rw [toMatrix_mul_toMatrix, toMatrix_self]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.IntegralDomain

Goal state before:
pp: case calc_1
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
f : G →* R
hf : f ≠ 1
x : ↥f.toHomUnits.range
hx : ∀ (y : ↥f.toHomUnits.range), y ∈ Submonoid.powers x
hx1 : ↑↑x - 1 ≠ 0
c : ℕ := #{g | f.toHomUnits g = 1}
u : Rˣ
hu : u ∈ image (⇑f.toHomUnits) univ
⊢ #{g | f.toHomUnits g = u} = c

pp: case calc_2
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
f : G →* R
hf : f ≠ 1
x : ↥f.toHomUnits.range
hx : ∀ (y : ↥f.toHomUnits.range), y ∈ Submonoid.powers x
hx1 : ↑↑x - 1 ≠ 0
c : ℕ := #{g | f.toHomUnits g = 1}
⊢ ∑ b, ↑↑b = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case calc_1
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
f : G →* R
hf : f ≠ 1
x : ↥f.toHomUnits.range
hx : ∀ (y : ↥f.toHomUnits.range), y ∈ Submonoid.powers x
hx1 : ↑↑x - 1 ≠ 0
c : ℕ := #{g | f.toHomUnits g = 1}
u : Rˣ
hu : u ∈ image (⇑f.toHomUnits) univ
⊢ #{g | f.toHomUnits g = u} = c
Module: Mathlib.RingTheory.IntegralDomain

Goal state before:
pp: case calc_1.hx
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
f : G →* R
hf : f ≠ 1
x : ↥f.toHomUnits.range
hx : ∀ (y : ↥f.toHomUnits.range), y ∈ Submonoid.powers x
hx1 : ↑↑x - 1 ≠ 0
c : ℕ := ⋯
u : Rˣ
hu : u ∈ image (⇑f.toHomUnits) univ
⊢ u ∈ Set.range ⇑f.toHomUnits

pp: case calc_1.hy
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
f : G →* R
hf : f ≠ 1
x : ↥f.toHomUnits.range
hx : ∀ (y : ↥f.toHomUnits.range), y ∈ Submonoid.powers x
hx1 : ↑↑x - 1 ≠ 0
c : ℕ := ⋯
u : Rˣ
hu : u ∈ image (⇑f.toHomUnits) univ
⊢ 1 ∈ Set.range ⇑f.toHomUnits

Tactic:
·

Goal state after:
case calc_1.hx
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
f : G →* R
hf : f ≠ 1
x : ↥f.toHomUnits.range
hx : ∀ (y : ↥f.toHomUnits.range), y ∈ Submonoid.powers x
hx1 : ↑↑x - 1 ≠ 0
c : ℕ := ⋯
u : Rˣ
hu : u ∈ image (⇑f.toHomUnits) univ
⊢ u ∈ Set.range ⇑f.toHomUnits
Module: Mathlib.RingTheory.IntegralDomain

Goal state before:
pp: case calc_1.hy
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
f : G →* R
hf : f ≠ 1
x : ↥f.toHomUnits.range
hx : ∀ (y : ↥f.toHomUnits.range), y ∈ Submonoid.powers x
hx1 : ↑↑x - 1 ≠ 0
c : ℕ := ⋯
u : Rˣ
hu : u ∈ image (⇑f.toHomUnits) univ
⊢ 1 ∈ Set.range ⇑f.toHomUnits

Tactic:
·

Goal state after:
case calc_1.hy
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
f : G →* R
hf : f ≠ 1
x : ↥f.toHomUnits.range
hx : ∀ (y : ↥f.toHomUnits.range), y ∈ Submonoid.powers x
hx1 : ↑↑x - 1 ≠ 0
c : ℕ := ⋯
u : Rˣ
hu : u ∈ image (⇑f.toHomUnits) univ
⊢ 1 ∈ Set.range ⇑f.toHomUnits
Module: Mathlib.RingTheory.IntegralDomain

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
f : G →* R
inst✝ : Decidable (f = 1)
h : f = 1
⊢ ∑ g, f g = ↑(Fintype.card G)

pp: case neg
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
f : G →* R
inst✝ : Decidable (f = 1)
h : ¬f = 1
⊢ ∑ g, f g = ↑0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
f : G →* R
inst✝ : Decidable (f = 1)
h : f = 1
⊢ ∑ g, f g = ↑(Fintype.card G)
Module: Mathlib.RingTheory.IntegralDomain

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
f : G →* R
inst✝ : Decidable (f = 1)
h : ¬f = 1
⊢ ∑ g, f g = ↑0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
f : G →* R
inst✝ : Decidable (f = 1)
h : ¬f = 1
⊢ ∑ g, f g = ↑0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: case mp
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
K : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Field K
M : Matrix n n K
⊢ (∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0) → M.det = 0

pp: case mpr
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
K : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Field K
M : Matrix n n K
⊢ M.det = 0 → ∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
K : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Field K
M : Matrix n n K
⊢ (∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0) → M.det = 0
Module: Mathlib.RingTheory.RootsOfUnity.Basic

Goal state before:
pp: M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S✝ : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : CommMonoid M
inst✝⁶ : CommMonoid N
inst✝⁵ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝⁴ : NeZero k
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
L : Type u_7
inst✝¹ : LeftCancelMonoid L
inst✝ : Finite L
S : Subgroup Rˣ := rootsOfUnity (Monoid.exponent L) R
this : Finite (L →* ↥S)
f : L →* Rˣ
a : L
⊢ f (a ^ Monoid.exponent L) = 1

Tactic:
Monoid.pow_exponent_eq_one,

Goal state after:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S✝ : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : CommMonoid M
inst✝⁶ : CommMonoid N
inst✝⁵ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝⁴ : NeZero k
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
L : Type u_7
inst✝¹ : LeftCancelMonoid L
inst✝ : Finite L
S : Subgroup Rˣ := rootsOfUnity (Monoid.exponent L) R
this : Finite (L →* ↥S)
f : L →* Rˣ
a : L
⊢ f 1 = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: case mpr
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
K : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Field K
M : Matrix n n K
⊢ M.det = 0 → ∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
K : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Field K
M : Matrix n n K
⊢ M.det = 0 → ∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: case mp
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → A
hv : v ≠ 0
mul_eq : M *ᵥ v = 0
⊢ ∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0

pp: case mpr
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → K
hv : v ≠ 0
mul_eq : (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
⊢ ∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → A
hv : v ≠ 0
mul_eq : M *ᵥ v = 0
⊢ ∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: case mp.refine_1
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → A
hv : v ≠ 0
mul_eq : M *ᵥ v = 0
h : (fun i ↦ (algebraMap A K) (v i)) = 0
i : n
⊢ v i = 0 i

pp: case mp.refine_2
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → A
hv : v ≠ 0
mul_eq : M *ᵥ v = 0
⊢ ((algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ fun i ↦ (algebraMap A K) (v i)) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.refine_1
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → A
hv : v ≠ 0
mul_eq : M *ᵥ v = 0
h : (fun i ↦ (algebraMap A K) (v i)) = 0
i : n
⊢ v i = 0 i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: case mp.refine_2
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → A
hv : v ≠ 0
mul_eq : M *ᵥ v = 0
⊢ ((algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ fun i ↦ (algebraMap A K) (v i)) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.refine_2
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → A
hv : v ≠ 0
mul_eq : M *ᵥ v = 0
⊢ ((algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ fun i ↦ (algebraMap A K) (v i)) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: case mpr
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → K
hv : v ≠ 0
mul_eq : (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
⊢ ∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → K
hv : v ≠ 0
mul_eq : (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
⊢ ∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: case mpr.refine_1
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this✝ : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → K
hv : v ≠ 0
mul_eq : (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
b : A
hb : b ∈ nonZeroDivisors A
f : (a : K) → a ∈ Finset.image v Finset.univ → A
hf : ∀ (a : K) (a_1 : a ∈ Finset.image v Finset.univ), (algebraMap A K) (f a a_1) = ↑⟨b, hb⟩ • a
h : (fun i ↦ f (v i) ⋯) = 0
i : n
⊢ v i = 0 i

pp: case mpr.refine_2
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this✝ : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → K
hv : v ≠ 0
mul_eq : (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
b : A
hb : b ∈ nonZeroDivisors A
f : (a : K) → a ∈ Finset.image v Finset.univ → A
hf : ∀ (a : K) (a_1 : a ∈ Finset.image v Finset.univ), (algebraMap A K) (f a a_1) = ↑⟨b, hb⟩ • a
⊢ (M *ᵥ fun i ↦ f (v i) ⋯) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr.refine_1
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this✝ : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → K
hv : v ≠ 0
mul_eq : (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
b : A
hb : b ∈ nonZeroDivisors A
f : (a : K) → a ∈ Finset.image v Finset.univ → A
hf : ∀ (a : K) (a_1 : a ∈ Finset.image v Finset.univ), (algebraMap A K) (f a a_1) = ↑⟨b, hb⟩ • a
h : (fun i ↦ f (v i) ⋯) = 0
i : n
⊢ v i = 0 i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: case mpr.refine_2
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this✝ : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → K
hv : v ≠ 0
mul_eq : (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
b : A
hb : b ∈ nonZeroDivisors A
f : (a : K) → a ∈ Finset.image v Finset.univ → A
hf : ∀ (a : K) (a_1 : a ∈ Finset.image v Finset.univ), (algebraMap A K) (f a a_1) = ↑⟨b, hb⟩ • a
⊢ (M *ᵥ fun i ↦ f (v i) ⋯) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr.refine_2
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this✝ : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → K
hv : v ≠ 0
mul_eq : (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
b : A
hb : b ∈ nonZeroDivisors A
f : (a : K) → a ∈ Finset.image v Finset.univ → A
hf : ∀ (a : K) (a_1 : a ∈ Finset.image v Finset.univ), (algebraMap A K) (f a a_1) = ↑⟨b, hb⟩ • a
⊢ (M *ᵥ fun i ↦ f (v i) ⋯) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: case mpr.refine_2.calc_1
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this✝ : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → K
hv : v ≠ 0
mul_eq : (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
b : A
hb : b ∈ nonZeroDivisors A
f : (a : K) → a ∈ Finset.image v Finset.univ → A
hf : ∀ (a : K) (a_1 : a ∈ Finset.image v Finset.univ), (algebraMap A K) (f a a_1) = ↑⟨b, hb⟩ • a
i : n
⊢ (algebraMap A K) ((M *ᵥ fun i ↦ f (v i) ⋯) i) = ((algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ (algebraMap A K) b • v) i

pp: case mpr.refine_2.calc_2
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this✝ : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → K
hv : v ≠ 0
mul_eq : (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
b : A
hb : b ∈ nonZeroDivisors A
f : (a : K) → a ∈ Finset.image v Finset.univ → A
hf : ∀ (a : K) (a_1 : a ∈ Finset.image v Finset.univ), (algebraMap A K) (f a a_1) = ↑⟨b, hb⟩ • a
i : n
⊢ ((algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ (algebraMap A K) b • v) i = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr.refine_2.calc_1
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this✝ : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → K
hv : v ≠ 0
mul_eq : (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
b : A
hb : b ∈ nonZeroDivisors A
f : (a : K) → a ∈ Finset.image v Finset.univ → A
hf : ∀ (a : K) (a_1 : a ∈ Finset.image v Finset.univ), (algebraMap A K) (f a a_1) = ↑⟨b, hb⟩ • a
i : n
⊢ (algebraMap A K) ((M *ᵥ fun i ↦ f (v i) ⋯) i) = ((algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ (algebraMap A K) b • v) i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: case mpr.refine_2.calc_2
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this✝ : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → K
hv : v ≠ 0
mul_eq : (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
b : A
hb : b ∈ nonZeroDivisors A
f : (a : K) → a ∈ Finset.image v Finset.univ → A
hf : ∀ (a : K) (a_1 : a ∈ Finset.image v Finset.univ), (algebraMap A K) (f a a_1) = ↑⟨b, hb⟩ • a
i : n
⊢ ((algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ (algebraMap A K) b • v) i = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr.refine_2.calc_2
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this✝ : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → K
hv : v ≠ 0
mul_eq : (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
b : A
hb : b ∈ nonZeroDivisors A
f : (a : K) → a ∈ Finset.image v Finset.univ → A
hf : ∀ (a : K) (a_1 : a ∈ Finset.image v Finset.univ), (algebraMap A K) (f a a_1) = ↑⟨b, hb⟩ • a
i : n
⊢ ((algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ (algebraMap A K) b • v) i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: case inl
n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j ↦ A i j < 0
h2 : ∀ (j : n), 0 < ∑ i, A i j
h✝ : IsEmpty n
⊢ A.det ≠ 0

pp: case inr
n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j ↦ A i j < 0
h2 : ∀ (j : n), 0 < ∑ i, A i j
h✝ : Nonempty n
⊢ A.det ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j ↦ A i j < 0
h2 : ∀ (j : n), 0 < ∑ i, A i j
h✝ : IsEmpty n
⊢ A.det ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: case inr
n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j ↦ A i j < 0
h2 : ∀ (j : n), 0 < ∑ i, A i j
h✝ : Nonempty n
⊢ A.det ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j ↦ A i j < 0
h2 : ∀ (j : n), 0 < ∑ i, A i j
h✝ : Nonempty n
⊢ A.det ≠ 0