mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Abelian.DiagramLemmas.KernelCokernelComp

Goal state before:
pp: case h₂
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ IsColimit
    ((CokernelCofork.ofπ { τ₁ := cokernel.π f, τ₂ := π f g, τ₃ := cokernel.π g, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ } ⋯).map
      ShortComplex.π₂)

pp: case h₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ IsColimit
    ((CokernelCofork.ofπ { τ₁ := cokernel.π f, τ₂ := π f g, τ₃ := cokernel.π g, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ } ⋯).map
      ShortComplex.π₃)

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ IsColimit
    ((CokernelCofork.ofπ { τ₁ := cokernel.π f, τ₂ := π f g, τ₃ := cokernel.π g, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ } ⋯).map
      ShortComplex.π₂)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Abelian.DiagramLemmas.KernelCokernelComp

Goal state before:
pp: case h₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ IsColimit
    ((CokernelCofork.ofπ { τ₁ := cokernel.π f, τ₂ := π f g, τ₃ := cokernel.π g, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ } ⋯).map
      ShortComplex.π₃)

Tactic:
·

Goal state after:
case h₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ IsColimit
    ((CokernelCofork.ofπ { τ₁ := cokernel.π f, τ₂ := π f g, τ₃ := cokernel.π g, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ } ⋯).map
      ShortComplex.π₃)
Module: Mathlib.Analysis.SumIntegralComparisons

Goal state before:
pp: case c0
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : AntitoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑a
gpos : 0 ≤ g (↑b - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ 0 ≤ g ↑i

pp: case b0
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : AntitoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑a
gpos : 0 ≤ g (↑b - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ 0 ≤ f x

pp: case h₁
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : AntitoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑a
gpos : 0 ≤ g (↑b - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ f ↑i ≤ f x

pp: case h₂
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : AntitoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑a
gpos : 0 ≤ g (↑b - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ g ↑i ≤ g (x - 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case c0
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : AntitoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑a
gpos : 0 ≤ g (↑b - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ 0 ≤ g ↑i
Module: Mathlib.Analysis.SumIntegralComparisons

Goal state before:
pp: case b0
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : AntitoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑a
gpos : 0 ≤ g (↑b - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ 0 ≤ f x

pp: case h₁
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : AntitoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑a
gpos : 0 ≤ g (↑b - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ f ↑i ≤ f x

pp: case h₂
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : AntitoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑a
gpos : 0 ≤ g (↑b - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ g ↑i ≤ g (x - 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case b0
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : AntitoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑a
gpos : 0 ≤ g (↑b - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ 0 ≤ f x
Module: Mathlib.Analysis.SumIntegralComparisons

Goal state before:
pp: case h₁
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : AntitoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑a
gpos : 0 ≤ g (↑b - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ f ↑i ≤ f x

pp: case h₂
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : AntitoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑a
gpos : 0 ≤ g (↑b - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ g ↑i ≤ g (x - 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : AntitoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑a
gpos : 0 ≤ g (↑b - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ f ↑i ≤ f x
Module: Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow

Goal state before:
pp: u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ c,
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n ↦ u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - ↑n * l ≤ ε * (1 + ε + l) * ↑n
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c : ℕ → ℕ
cgrowth : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ (1 + ε) * ↑(c n)
ctop : Tendsto c atTop atTop
clim : Tendsto (fun n ↦ u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
L : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c n) * l - u (c n) ≤ ε * ↑(c n)
a : ℕ
ha : ∀ (b : ℕ), a ≤ b → ↑(c (b + 1)) ≤ (1 + ε) * ↑(c b) ∧ ↑(c b) * l - u (c b) ≤ ε * ↑(c b)
M : ℕ := (image (fun i ↦ c i) (range (a + 1))).max' ⋯
n : ℕ
hn : n ∈ Set.Ici M
N : ℕ
hN : n + 1 ≤ c N
⊢ n < c N

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SumIntegralComparisons

Goal state before:
pp: case h₂
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : AntitoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑a
gpos : 0 ≤ g (↑b - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ g ↑i ≤ g (x - 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : AntitoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑a
gpos : 0 ≤ g (↑b - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ g ↑i ≤ g (x - 1)
Module: Mathlib.Analysis.SumIntegralComparisons

Goal state before:
pp: case hg
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : AntitoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑a
gpos : 0 ≤ g (↑b - 1)
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ f x * g (x - 1)) (Ico ↑a ↑b) volume

Tactic:
·

Goal state after:
case hg
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : AntitoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑a
gpos : 0 ≤ g (↑b - 1)
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ f x * g (x - 1)) (Ico ↑a ↑b) volume
Module: Mathlib.Analysis.SumIntegralComparisons

Goal state before:
pp: case h
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
⊢ ∀ i ∈ Ico a b, ∀ x ∈ Ico ↑i ↑(i + 1), f x * g (x - 1) ≤ f ↑i * g ↑i

pp: case hg
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ f x * g (x - 1)) (Ico ↑a ↑b) volume

Tactic:
·

Goal state after:
case h
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
⊢ ∀ i ∈ Ico a b, ∀ x ∈ Ico ↑i ↑(i + 1), f x * g (x - 1) ≤ f ↑i * g ↑i
Module: Mathlib.Analysis.SumIntegralComparisons

Goal state before:
pp: case c0
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ 0 ≤ g (x - 1)

pp: case b0
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ 0 ≤ f ↑i

pp: case h₁
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ f x ≤ f ↑i

pp: case h₂
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ g (x - 1) ≤ g ↑i

Tactic:
·

Goal state after:
case c0
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ 0 ≤ g (x - 1)
Module: Mathlib.Analysis.SumIntegralComparisons

Goal state before:
pp: case b0
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ 0 ≤ f ↑i

pp: case h₁
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ f x ≤ f ↑i

pp: case h₂
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ g (x - 1) ≤ g ↑i

Tactic:
·

Goal state after:
case b0
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ 0 ≤ f ↑i
Module: Mathlib.Analysis.SumIntegralComparisons

Goal state before:
pp: case h₁
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ f x ≤ f ↑i

pp: case h₂
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ g (x - 1) ≤ g ↑i

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ f x ≤ f ↑i
Module: Mathlib.Analysis.SumIntegralComparisons

Goal state before:
pp: case h₂
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ g (x - 1) ≤ g ↑i

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
i : ℕ
x : ℝ
hx : ↑i ≤ x ∧ x < ↑i + 1
hi : ↑a ≤ ↑i ∧ ↑i + 1 ≤ ↑b
⊢ g (x - 1) ≤ g ↑i
Module: Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow

Goal state before:
pp: case refine_1
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ c,
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n ↦ u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - ↑n * l ≤ ε * (1 + ε + l) * ↑n
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑n * l - u n ≤ ε * (1 + l) * ↑n
d : ℝ
hd : d < l
⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, d < u b / ↑b

pp: case refine_2
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ c,
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n ↦ u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - ↑n * l ≤ ε * (1 + ε + l) * ↑n
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑n * l - u n ≤ ε * (1 + l) * ↑n
d : ℝ
hd : d > l
⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, u b / ↑b < d

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ c,
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n ↦ u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - ↑n * l ≤ ε * (1 + ε + l) * ↑n
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑n * l - u n ≤ ε * (1 + l) * ↑n
d : ℝ
hd : d < l
⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, d < u b / ↑b
Module: Mathlib.Analysis.SumIntegralComparisons

Goal state before:
pp: case hg
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ f x * g (x - 1)) (Ico ↑a ↑b) volume

Tactic:
·

Goal state after:
case hg
a b : ℕ
f g : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
hg : MonotoneOn g (Icc (↑a - 1) (↑b - 1))
fpos : 0 ≤ f ↑b
gpos : 0 ≤ g (↑a - 1)
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ f x * g (x - 1)) (Ico ↑a ↑b) volume
Module: Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Yoneda

Goal state before:
pp: case hR₁
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
G : C
inst✝¹ : Projective G
hG : IsSeparator G
X : C
p : G ⟶ X
inst✝ : Epi p
Y : C
cm : ShortComplex C := ⋯
exact : cm.Exact
mono : Mono cm.op.f
φ : C ⥤ ModuleCat (End G)ᵐᵒᵖ := ⋯
faithful : φ.Faithful
⊢ (cm.op.map (preadditiveYoneda.obj Y)).Exact

pp: case hR₂'
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
G : C
inst✝¹ : Projective G
hG : IsSeparator G
X : C
p : G ⟶ X
inst✝ : Epi p
Y : C
cm : ShortComplex C := ⋯
exact : cm.Exact
mono : Mono cm.op.f
φ : C ⥤ ModuleCat (End G)ᵐᵒᵖ := ⋯
faithful : φ.Faithful
⊢ Mono (cm.op.map ((preadditiveCoyonedaObj G).op ⋙ preadditiveYoneda.obj ((preadditiveCoyonedaObj G).obj Y))).f

pp: case h₀
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
G : C
inst✝¹ : Projective G
hG : IsSeparator G
X : C
p : G ⟶ X
inst✝ : Epi p
Y : C
cm : ShortComplex C := ⋯
exact : cm.Exact
mono : Mono cm.op.f
φ : C ⥤ ModuleCat (End G)ᵐᵒᵖ := ⋯
faithful : φ.Faithful
⊢ Epi (cm.op.mapNatTrans (preadditiveYonedaMap (preadditiveCoyonedaObj G) Y)).τ₂

pp: case h₁
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
G : C
inst✝¹ : Projective G
hG : IsSeparator G
X : C
p : G ⟶ X
inst✝ : Epi p
Y : C
cm : ShortComplex C := ⋯
exact : cm.Exact
mono : Mono cm.op.f
φ : C ⥤ ModuleCat (End G)ᵐᵒᵖ := ⋯
faithful : φ.Faithful
⊢ Mono (cm.op.mapNatTrans (preadditiveYonedaMap (preadditiveCoyonedaObj G) Y)).τ₃

Tactic:
·

Goal state after:
case hR₁
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
G : C
inst✝¹ : Projective G
hG : IsSeparator G
X : C
p : G ⟶ X
inst✝ : Epi p
Y : C
cm : ShortComplex C := ⋯
exact : cm.Exact
mono : Mono cm.op.f
φ : C ⥤ ModuleCat (End G)ᵐᵒᵖ := ⋯
faithful : φ.Faithful
⊢ (cm.op.map (preadditiveYoneda.obj Y)).Exact
Module: Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Yoneda

Goal state before:
pp: case hR₂'
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
G : C
inst✝¹ : Projective G
hG : IsSeparator G
X : C
p : G ⟶ X
inst✝ : Epi p
Y : C
cm : ShortComplex C := ⋯
exact : cm.Exact
mono : Mono cm.op.f
φ : C ⥤ ModuleCat (End G)ᵐᵒᵖ := ⋯
faithful : φ.Faithful
⊢ Mono (cm.op.map ((preadditiveCoyonedaObj G).op ⋙ preadditiveYoneda.obj ((preadditiveCoyonedaObj G).obj Y))).f

pp: case h₀
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
G : C
inst✝¹ : Projective G
hG : IsSeparator G
X : C
p : G ⟶ X
inst✝ : Epi p
Y : C
cm : ShortComplex C := ⋯
exact : cm.Exact
mono : Mono cm.op.f
φ : C ⥤ ModuleCat (End G)ᵐᵒᵖ := ⋯
faithful : φ.Faithful
⊢ Epi (cm.op.mapNatTrans (preadditiveYonedaMap (preadditiveCoyonedaObj G) Y)).τ₂

pp: case h₁
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
G : C
inst✝¹ : Projective G
hG : IsSeparator G
X : C
p : G ⟶ X
inst✝ : Epi p
Y : C
cm : ShortComplex C := ⋯
exact : cm.Exact
mono : Mono cm.op.f
φ : C ⥤ ModuleCat (End G)ᵐᵒᵖ := ⋯
faithful : φ.Faithful
⊢ Mono (cm.op.mapNatTrans (preadditiveYonedaMap (preadditiveCoyonedaObj G) Y)).τ₃

Tactic:
·

Goal state after:
case hR₂'
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
G : C
inst✝¹ : Projective G
hG : IsSeparator G
X : C
p : G ⟶ X
inst✝ : Epi p
Y : C
cm : ShortComplex C := ⋯
exact : cm.Exact
mono : Mono cm.op.f
φ : C ⥤ ModuleCat (End G)ᵐᵒᵖ := ⋯
faithful : φ.Faithful
⊢ Mono (cm.op.map ((preadditiveCoyonedaObj G).op ⋙ preadditiveYoneda.obj ((preadditiveCoyonedaObj G).obj Y))).f
Module: Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Yoneda

Goal state before:
pp: case h₀
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
G : C
inst✝¹ : Projective G
hG : IsSeparator G
X : C
p : G ⟶ X
inst✝ : Epi p
Y : C
cm : ShortComplex C := ⋯
exact : cm.Exact
mono : Mono cm.op.f
φ : C ⥤ ModuleCat (End G)ᵐᵒᵖ := ⋯
faithful : φ.Faithful
⊢ Epi (cm.op.mapNatTrans (preadditiveYonedaMap (preadditiveCoyonedaObj G) Y)).τ₂

pp: case h₁
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
G : C
inst✝¹ : Projective G
hG : IsSeparator G
X : C
p : G ⟶ X
inst✝ : Epi p
Y : C
cm : ShortComplex C := ⋯
exact : cm.Exact
mono : Mono cm.op.f
φ : C ⥤ ModuleCat (End G)ᵐᵒᵖ := ⋯
faithful : φ.Faithful
⊢ Mono (cm.op.mapNatTrans (preadditiveYonedaMap (preadditiveCoyonedaObj G) Y)).τ₃

Tactic:
·

Goal state after:
case h₀
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
G : C
inst✝¹ : Projective G
hG : IsSeparator G
X : C
p : G ⟶ X
inst✝ : Epi p
Y : C
cm : ShortComplex C := ⋯
exact : cm.Exact
mono : Mono cm.op.f
φ : C ⥤ ModuleCat (End G)ᵐᵒᵖ := ⋯
faithful : φ.Faithful
⊢ Epi (cm.op.mapNatTrans (preadditiveYonedaMap (preadditiveCoyonedaObj G) Y)).τ₂
Module: Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Yoneda

Goal state before:
pp: case h₁
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
G : C
inst✝¹ : Projective G
hG : IsSeparator G
X : C
p : G ⟶ X
inst✝ : Epi p
Y : C
cm : ShortComplex C := ⋯
exact : cm.Exact
mono : Mono cm.op.f
φ : C ⥤ ModuleCat (End G)ᵐᵒᵖ := ⋯
faithful : φ.Faithful
⊢ Mono (cm.op.mapNatTrans (preadditiveYonedaMap (preadditiveCoyonedaObj G) Y)).τ₃

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
G : C
inst✝¹ : Projective G
hG : IsSeparator G
X : C
p : G ⟶ X
inst✝ : Epi p
Y : C
cm : ShortComplex C := ⋯
exact : cm.Exact
mono : Mono cm.op.f
φ : C ⥤ ModuleCat (End G)ᵐᵒᵖ := ⋯
faithful : φ.Faithful
⊢ Mono (cm.op.mapNatTrans (preadditiveYonedaMap (preadditiveCoyonedaObj G) Y)).τ₃
Module: Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow

Goal state before:
pp: u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ c,
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n ↦ u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - ↑n * l ≤ ε * (1 + ε + l) * ↑n
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑n * l - u n ≤ ε * (1 + l) * ↑n
d : ℝ
hd : d < l
ε : ℝ
hε : d + ε * (1 + l) < l
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ↑n * l - u n ≤ ε * (1 + l) * ↑n
npos : n ∈ Set.Ioi 0
⊢ d < l - ε * (1 + l)

pp: u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ c,
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n ↦ u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - ↑n * l ≤ ε * (1 + ε + l) * ↑n
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑n * l - u n ≤ ε * (1 + l) * ↑n
d : ℝ
hd : d < l
ε : ℝ
hε : d + ε * (1 + l) < l
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ↑n * l - u n ≤ ε * (1 + l) * ↑n
npos : n ∈ Set.Ioi 0
⊢ ↑n ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ c,
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n ↦ u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - ↑n * l ≤ ε * (1 + ε + l) * ↑n
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑n * l - u n ≤ ε * (1 + l) * ↑n
d : ℝ
hd : d < l
ε : ℝ
hε : d + ε * (1 + l) < l
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ↑n * l - u n ≤ ε * (1 + l) * ↑n
npos : n ∈ Set.Ioi 0
⊢ d < l - ε * (1 + l)
Module: Mathlib.Analysis.SumIntegralComparisons

Goal state before:
pp: case pos
f : ℝ → ℝ
a b : ℕ
anti : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
integrable : IntegrableOn f (Ioi ↑a) volume
nonneg : ∀ t ∈ Ioi ↑a, 0 ≤ f t
hab : b < a
⊢ ∑ n ∈ Finset.Ico a b, f ↑(n + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑a, f x

pp: case neg
f : ℝ → ℝ
a b : ℕ
anti : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
integrable : IntegrableOn f (Ioi ↑a) volume
nonneg : ∀ t ∈ Ioi ↑a, 0 ≤ f t
hab : a ≤ b
⊢ ∑ n ∈ Finset.Ico a b, f ↑(n + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑a, f x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
f : ℝ → ℝ
a b : ℕ
anti : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
integrable : IntegrableOn f (Ioi ↑a) volume
nonneg : ∀ t ∈ Ioi ↑a, 0 ≤ f t
hab : b < a
⊢ ∑ n ∈ Finset.Ico a b, f ↑(n + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑a, f x
Module: Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow

Goal state before:
pp: u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ c,
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n ↦ u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - ↑n * l ≤ ε * (1 + ε + l) * ↑n
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑n * l - u n ≤ ε * (1 + l) * ↑n
d : ℝ
hd : d < l
ε : ℝ
hε : d + ε * (1 + l) < l
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ↑n * l - u n ≤ ε * (1 + l) * ↑n
npos : n ∈ Set.Ioi 0
⊢ ↑n ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ c,
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n ↦ u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - ↑n * l ≤ ε * (1 + ε + l) * ↑n
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑n * l - u n ≤ ε * (1 + l) * ↑n
d : ℝ
hd : d < l
ε : ℝ
hε : d + ε * (1 + l) < l
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ↑n * l - u n ≤ ε * (1 + l) * ↑n
npos : n ∈ Set.Ioi 0
⊢ ↑n ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow

Goal state before:
pp: case refine_2
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ c,
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n ↦ u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - ↑n * l ≤ ε * (1 + ε + l) * ↑n
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑n * l - u n ≤ ε * (1 + l) * ↑n
d : ℝ
hd : d > l
⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, u b / ↑b < d

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ c,
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n ↦ u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - ↑n * l ≤ ε * (1 + ε + l) * ↑n
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑n * l - u n ≤ ε * (1 + l) * ↑n
d : ℝ
hd : d > l
⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, u b / ↑b < d
Module: Mathlib.Analysis.SumIntegralComparisons

Goal state before:
pp: case refine_1
f : ℝ → ℝ
N : ℕ
anti : AntitoneOn f (Set.Ici ↑N)
integrable : IntegrableOn f (Set.Ioi ↑N) volume
nonneg : ∀ t ∈ Set.Ioi ↑N, 0 ≤ f t
⊢ 0 ≤ᵐ[volume.restrict (Set.Ioi ↑N)] f

pp: case refine_2
f : ℝ → ℝ
N : ℕ
anti : AntitoneOn f (Set.Ici ↑N)
integrable : IntegrableOn f (Set.Ioi ↑N) volume
nonneg : ∀ t ∈ Set.Ioi ↑N, 0 ≤ f t
s : Finset ℕ
⊢ ∑ i ∈ s, f ↑(i + N + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi ↑N, f x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
f : ℝ → ℝ
N : ℕ
anti : AntitoneOn f (Set.Ici ↑N)
integrable : IntegrableOn f (Set.Ioi ↑N) volume
nonneg : ∀ t ∈ Set.Ioi ↑N, 0 ≤ f t
⊢ 0 ≤ᵐ[volume.restrict (Set.Ioi ↑N)] f
Module: Mathlib.Analysis.SumIntegralComparisons

Goal state before:
pp: case refine_2
f : ℝ → ℝ
N : ℕ
anti : AntitoneOn f (Set.Ici ↑N)
integrable : IntegrableOn f (Set.Ioi ↑N) volume
nonneg : ∀ t ∈ Set.Ioi ↑N, 0 ≤ f t
s : Finset ℕ
⊢ ∑ i ∈ s, f ↑(i + N + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi ↑N, f x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
f : ℝ → ℝ
N : ℕ
anti : AntitoneOn f (Set.Ici ↑N)
integrable : IntegrableOn f (Set.Ioi ↑N) volume
nonneg : ∀ t ∈ Set.Ioi ↑N, 0 ≤ f t
s : Finset ℕ
⊢ ∑ i ∈ s, f ↑(i + N + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in Set.Ioi ↑N, f x