mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Polynomial

Goal state before:
pp: case inr.inl
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : (map f p).natDegree < i
⊢ ‖(map f p).coeff i‖ ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i) * ↑((map f p).natDegree.choose i)

pp: case inr.inr
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
⊢ ‖(map f p).coeff i‖ ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i) * ↑((map f p).natDegree.choose i)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : (map f p).natDegree < i
⊢ ‖(map f p).coeff i‖ ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i) * ↑((map f p).natDegree.choose i)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem

Goal state before:
pp: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f [[a, b]]
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a

Tactic:
by
  rcases le_total a b with hab | hab
  · simp only [uIcc_of_le hab, min_eq_left hab, max_eq_right hab] at *
    exact integral_eq_of_hasDerivAt_off_countable_of_le f f' hab hs Hc Hd Hi
  · simp only [uIcc_of_ge hab, min_eq_right hab, max_eq_left hab] at *
    rw [intervalIntegral.integral_symm, neg_eq_iff_eq_neg, neg_sub]
    exact integral_eq_of_hasDerivAt_off_countable_of_le f f' hab hs Hc Hd Hi.symm

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Complex.CauchyIntegral

Goal state before:
pp: case mp
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
⊢ AnalyticAt ℂ f c → ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z

pp: case mpr
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
⊢ (∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z) → AnalyticAt ℂ f c

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
⊢ AnalyticAt ℂ f c → ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
Module: Mathlib.Analysis.Complex.CauchyIntegral

Goal state before:
pp: case mpr
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
⊢ (∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z) → AnalyticAt ℂ f c

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
⊢ (∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z) → AnalyticAt ℂ f c
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Polynomial

Goal state before:
pp: case inr.inr
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
⊢ (Multiset.map (fun x ↦ ‖x‖) (Multiset.map prod (powersetCard ((map f p).natDegree - i) (map f p).roots))).card •
      ?m.228 ≤
    B ^ ((map f p).natDegree - i) * ↑((map f p).natDegree.choose i)

pp: F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
⊢ ℝ

pp: F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
⊢ ∀ r ∈ Multiset.map (fun x ↦ ‖x‖) (Multiset.map prod (powersetCard ((map f p).natDegree - i) (map f p).roots)),
    r ≤ ?m.228

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
⊢ (Multiset.map (fun x ↦ ‖x‖) (Multiset.map prod (powersetCard ((map f p).natDegree - i) (map f p).roots))).card •
      ?m.228 ≤
    B ^ ((map f p).natDegree - i) * ↑((map f p).natDegree.choose i)
Module: Mathlib.Analysis.Complex.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: case pos
p : ℚ[X]
hp : p = 0
⊢ (p.rootSet ℂ).toFinset.card =
    (p.rootSet ℝ).toFinset.card + ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card

pp: case neg
p : ℚ[X]
hp : ¬p = 0
⊢ (p.rootSet ℂ).toFinset.card =
    (p.rootSet ℝ).toFinset.card + ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
p : ℚ[X]
hp : p = 0
⊢ (p.rootSet ℂ).toFinset.card =
    (p.rootSet ℝ).toFinset.card + ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem

Goal state before:
pp: case refine_3
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x ↦ (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm
⊢ ∀ (i : Fin (1 + 1)), ContinuousOn (![f, g] i) (Set.Icc a b)

pp: case refine_4
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x ↦ (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm
x : ℝ × ℝ
hx : x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s
⊢ ∀ (i : Fin (1 + 1)), HasFDerivAt (![f, g] i) (![f', g'] i x) x

pp: case refine_5
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x ↦ (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm
⊢ ∀ (x : ℝ × ℝ), (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1) = ∑ i, (![f', g'] i x) (e.symm (Pi.single i 1))

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x ↦ (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm
⊢ ∀ (i : Fin (1 + 1)), ContinuousOn (![f, g] i) (Set.Icc a b)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem

Goal state before:
pp: case refine_4
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x ↦ (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm
x : ℝ × ℝ
hx : x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s
⊢ ∀ (i : Fin (1 + 1)), HasFDerivAt (![f, g] i) (![f', g'] i x) x

pp: case refine_5
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x ↦ (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm
⊢ ∀ (x : ℝ × ℝ), (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1) = ∑ i, (![f', g'] i x) (e.symm (Pi.single i 1))

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_4
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x ↦ (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm
x : ℝ × ℝ
hx : x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s
⊢ ∀ (i : Fin (1 + 1)), HasFDerivAt (![f, g] i) (![f', g'] i x) x
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Polynomial

Goal state before:
pp: case inl
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : 0 ≤ B
⊢ ‖(map f p).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ d * ↑(d.choose (d / 2))

pp: case inr
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : B < 0
⊢ ‖(map f p).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ d * ↑(d.choose (d / 2))

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : 0 ≤ B
⊢ ‖(map f p).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ d * ↑(d.choose (d / 2))
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Polynomial

Goal state before:
pp: case ha
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : 0 ≤ B
⊢ 1 ≤ max B 1

pp: case hmn
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : 0 ≤ B
⊢ p.natDegree - i ≤ d

Tactic:
·

Goal state after:
case ha
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : 0 ≤ B
⊢ 1 ≤ max B 1
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Polynomial

Goal state before:
pp: case hmn
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : 0 ≤ B
⊢ p.natDegree - i ≤ d

Tactic:
·

Goal state after:
case hmn
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : 0 ≤ B
⊢ p.natDegree - i ≤ d
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem

Goal state before:
pp: case refine_5
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x ↦ (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm
⊢ ∀ (x : ℝ × ℝ), (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1) = ∑ i, (![f', g'] i x) (e.symm (Pi.single i 1))

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_5
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x ↦ (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1)) (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ).symm
⊢ ∀ (x : ℝ × ℝ), (f' x) (1, 0) + (g' x) (0, 1) = ∑ i, (![f', g'] i x) (e.symm (Pi.single i 1))
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Polynomial

Goal state before:
pp: case inr
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : B < 0
⊢ ‖(map f p).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ d * ↑(d.choose (d / 2))

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : B < 0
⊢ ‖(map f p).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ d * ↑(d.choose (d / 2))
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Polynomial

Goal state before:
pp: case inr.refine_1
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : B < 0
⊢ ‖if i = 0 then 1 else 0‖ ≤ 1

pp: case inr.refine_2
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : B < 0
⊢ 1 ≤ ↑(d.choose (d / 2))

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.refine_1
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : B < 0
⊢ ‖if i = 0 then 1 else 0‖ ≤ 1
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Polynomial

Goal state before:
pp: case inr.refine_2
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : B < 0
⊢ 1 ≤ ↑(d.choose (d / 2))

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.refine_2
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : B < 0
⊢ 1 ≤ ↑(d.choose (d / 2))
Module: Mathlib.Analysis.Complex.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: case mp
p : ℚ[X]
hp : ¬p = 0
inj : Function.Injective ⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)
a : Finset ℂ := ⋯
b : Finset ℂ := ⋯
c : Finset ℂ := ⋯
ha : ∀ (z : ℂ), z ∈ a ↔ (aeval z) p = 0
z : ℂ
⊢ (∃ a, (aeval a) p = 0 ∧ (IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ) a = z) → (aeval z) p = 0 ∧ z.im = 0

pp: case mpr
p : ℚ[X]
hp : ¬p = 0
inj : Function.Injective ⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)
a : Finset ℂ := ⋯
b : Finset ℂ := ⋯
c : Finset ℂ := ⋯
ha : ∀ (z : ℂ), z ∈ a ↔ (aeval z) p = 0
z : ℂ
⊢ (aeval z) p = 0 ∧ z.im = 0 → ∃ a, (aeval a) p = 0 ∧ (IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ) a = z

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
p : ℚ[X]
hp : ¬p = 0
inj : Function.Injective ⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)
a : Finset ℂ := ⋯
b : Finset ℂ := ⋯
c : Finset ℂ := ⋯
ha : ∀ (z : ℂ), z ∈ a ↔ (aeval z) p = 0
z : ℂ
⊢ (∃ a, (aeval a) p = 0 ∧ (IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ) a = z) → (aeval z) p = 0 ∧ z.im = 0
Module: Mathlib.Analysis.Complex.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
p : ℚ[X]
hp : ¬p = 0
inj : Function.Injective ⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)
a : Finset ℂ := ⋯
b : Finset ℂ := ⋯
c : Finset ℂ := ⋯
ha : ∀ (z : ℂ), z ∈ a ↔ (aeval z) p = 0
z : ℂ
⊢ (aeval z) p = 0 ∧ z.im = 0 → ∃ a, (aeval a) p = 0 ∧ (IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ) a = z

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
p : ℚ[X]
hp : ¬p = 0
inj : Function.Injective ⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)
a : Finset ℂ := ⋯
b : Finset ℂ := ⋯
c : Finset ℂ := ⋯
ha : ∀ (z : ℂ), z ∈ a ↔ (aeval z) p = 0
z : ℂ
⊢ (aeval z) p = 0 ∧ z.im = 0 → ∃ a, (aeval a) p = 0 ∧ (IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ) a = z
Module: Mathlib.Analysis.Complex.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: case a
p : ℚ[X]
hp : ¬p = 0
inj : Function.Injective ⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)
a : Finset ℂ := ⋯
b : Finset ℂ := ⋯
c : Finset ℂ := ⋯
ha : ∀ (z : ℂ), z ∈ a ↔ (aeval z) p = 0
z : ℂ
hz1 : (aeval z) p = 0
hz2 : z.im = 0
⊢ ((IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ) z.re).re = z.re

pp: case a
p : ℚ[X]
hp : ¬p = 0
inj : Function.Injective ⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)
a : Finset ℂ := ⋯
b : Finset ℂ := ⋯
c : Finset ℂ := ⋯
ha : ∀ (z : ℂ), z ∈ a ↔ (aeval z) p = 0
z : ℂ
hz1 : (aeval z) p = 0
hz2 : z.im = 0
⊢ ((IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ) z.re).im = z.im

Tactic:
·

Goal state after:
case a
p : ℚ[X]
hp : ¬p = 0
inj : Function.Injective ⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)
a : Finset ℂ := ⋯
b : Finset ℂ := ⋯
c : Finset ℂ := ⋯
ha : ∀ (z : ℂ), z ∈ a ↔ (aeval z) p = 0
z : ℂ
hz1 : (aeval z) p = 0
hz2 : z.im = 0
⊢ ((IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ) z.re).re = z.re
Module: Mathlib.Analysis.Complex.Polynomial.Basic

Goal state before:
pp: case a
p : ℚ[X]
hp : ¬p = 0
inj : Function.Injective ⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)
a : Finset ℂ := ⋯
b : Finset ℂ := ⋯
c : Finset ℂ := ⋯
ha : ∀ (z : ℂ), z ∈ a ↔ (aeval z) p = 0
z : ℂ
hz1 : (aeval z) p = 0
hz2 : z.im = 0
⊢ ((IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ) z.re).im = z.im

Tactic:
·

Goal state after:
case a
p : ℚ[X]
hp : ¬p = 0
inj : Function.Injective ⇑(IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ)
a : Finset ℂ := ⋯
b : Finset ℂ := ⋯
c : Finset ℂ := ⋯
ha : ∀ (z : ℂ), z ∈ a ↔ (aeval z) p = 0
z : ℂ
hz1 : (aeval z) p = 0
hz2 : z.im = 0
⊢ ((IsScalarTower.toAlgHom ℚ ℝ ℂ) z.re).im = z.im
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.InfinitePlace.Embeddings

Goal state before:
pp: case refine_1
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ finrank ℚ K * ↑((finrank ℚ K).choose (finrank ℚ K / 2))⌉₊
this :
  (⋃ f,
      ⋃ (_ : f.natDegree ≤ finrank ℚ K ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ Icc (-↑C) ↑C),
        ↑(map (algebraMap ℤ K) f).roots.toFinset).Finite
x : K
hx : x ∈ {x | IsIntegral ℤ x ∧ ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B}
h_map_ℚ_minpoly : minpoly ℚ x = map (algebraMap ℤ ℚ) (minpoly ℤ x)
⊢ (minpoly ℤ x).natDegree ≤ finrank ℚ K

pp: case refine_2
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ finrank ℚ K * ↑((finrank ℚ K).choose (finrank ℚ K / 2))⌉₊
this :
  (⋃ f,
      ⋃ (_ : f.natDegree ≤ finrank ℚ K ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ Icc (-↑C) ↑C),
        ↑(map (algebraMap ℤ K) f).roots.toFinset).Finite
x : K
hx : x ∈ {x | IsIntegral ℤ x ∧ ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B}
h_map_ℚ_minpoly : minpoly ℚ x = map (algebraMap ℤ ℚ) (minpoly ℤ x)
i : ℕ
⊢ (minpoly ℤ x).coeff i ∈ Icc (-↑C) ↑C

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ finrank ℚ K * ↑((finrank ℚ K).choose (finrank ℚ K / 2))⌉₊
this :
  (⋃ f,
      ⋃ (_ : f.natDegree ≤ finrank ℚ K ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ Icc (-↑C) ↑C),
        ↑(map (algebraMap ℤ K) f).roots.toFinset).Finite
x : K
hx : x ∈ {x | IsIntegral ℤ x ∧ ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B}
h_map_ℚ_minpoly : minpoly ℚ x = map (algebraMap ℤ ℚ) (minpoly ℤ x)
⊢ (minpoly ℤ x).natDegree ≤ finrank ℚ K
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Archimedean

Goal state before:
pp: case refine_1
F : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
O : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝² : CommRing O
inst✝¹ : Algebra O F
v : Valuation F Γ₀
inst✝ : Nontrivial (↥(MonoidHom.mrange v))ˣ
hv : v.Integers O
h : (Set.range (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F))).WellFoundedOn fun x1 x2 ↦ x1 > x2
⊢ Set.MapsTo Subtype.val {x | x ≤ 1} (Set.range (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)))

pp: case refine_2
F : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
O : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝² : CommRing O
inst✝¹ : Algebra O F
v : Valuation F Γ₀
inst✝ : Nontrivial (↥(MonoidHom.mrange v))ˣ
hv : v.Integers O
h : {x | x ≤ 1}.WellFoundedOn fun x1 x2 ↦ x1 > x2
⊢ Γ₀ → ↥(MonoidHom.mrange v)

pp: case refine_3
F : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
O : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝² : CommRing O
inst✝¹ : Algebra O F
v : Valuation F Γ₀
inst✝ : Nontrivial (↥(MonoidHom.mrange v))ˣ
hv : v.Integers O
h : {x | x ≤ 1}.WellFoundedOn fun x1 x2 ↦ x1 > x2
⊢ Set.MapsTo ?refine_2 (Set.range (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F))) {x | x ≤ 1}

pp: case refine_4
F : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
O : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝² : CommRing O
inst✝¹ : Algebra O F
v : Valuation F Γ₀
inst✝ : Nontrivial (↥(MonoidHom.mrange v))ˣ
hv : v.Integers O
h : {x | x ≤ 1}.WellFoundedOn fun x1 x2 ↦ x1 > x2
⊢ ∀ a ∈ Set.range (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)),
    ∀ b ∈ Set.range (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)), a > b → ((fun x1 x2 ↦ x1 > x2) on ?refine_2) a b

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
F : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
O : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝² : CommRing O
inst✝¹ : Algebra O F
v : Valuation F Γ₀
inst✝ : Nontrivial (↥(MonoidHom.mrange v))ˣ
hv : v.Integers O
h : (Set.range (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F))).WellFoundedOn fun x1 x2 ↦ x1 > x2
⊢ Set.MapsTo Subtype.val {x | x ≤ 1} (Set.range (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)))
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Archimedean

Goal state before:
pp: case refine_2
F : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
O : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝² : CommRing O
inst✝¹ : Algebra O F
v : Valuation F Γ₀
inst✝ : Nontrivial (↥(MonoidHom.mrange v))ˣ
hv : v.Integers O
h : {x | x ≤ 1}.WellFoundedOn fun x1 x2 ↦ x1 > x2
⊢ Γ₀ → ↥(MonoidHom.mrange v)

pp: case refine_3
F : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
O : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝² : CommRing O
inst✝¹ : Algebra O F
v : Valuation F Γ₀
inst✝ : Nontrivial (↥(MonoidHom.mrange v))ˣ
hv : v.Integers O
h : {x | x ≤ 1}.WellFoundedOn fun x1 x2 ↦ x1 > x2
⊢ Set.MapsTo ?refine_2 (Set.range (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F))) {x | x ≤ 1}

pp: case refine_4
F : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
O : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝² : CommRing O
inst✝¹ : Algebra O F
v : Valuation F Γ₀
inst✝ : Nontrivial (↥(MonoidHom.mrange v))ˣ
hv : v.Integers O
h : {x | x ≤ 1}.WellFoundedOn fun x1 x2 ↦ x1 > x2
⊢ ∀ a ∈ Set.range (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)),
    ∀ b ∈ Set.range (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)), a > b → ((fun x1 x2 ↦ x1 > x2) on ?refine_2) a b

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
F : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
O : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝² : CommRing O
inst✝¹ : Algebra O F
v : Valuation F Γ₀
inst✝ : Nontrivial (↥(MonoidHom.mrange v))ˣ
hv : v.Integers O
h : {x | x ≤ 1}.WellFoundedOn fun x1 x2 ↦ x1 > x2
⊢ Γ₀ → ↥(MonoidHom.mrange v)