mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Spectrum.Prime.Homeomorph

Goal state before:
pp: R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
H : ∀ (x : S), ∃ n > 0, x ^ n ∈ f.range
hker : RingHom.ker f ≤ nilradical R
q q' : PrimeSpectrum S
hqq' : comap f q = comap f q'
x : S
n : ℕ
hn : n > 0
y : R
hy : f y = x ^ n
⊢ f y ∈ q.asIdeal ↔ f y ∈ q'.asIdeal

Tactic:
rw [PrimeSpectrum.ext_iff, SetLike.ext_iff] at hqq'

Goal state after:
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
H : ∀ (x : S), ∃ n > 0, x ^ n ∈ f.range
hker : RingHom.ker f ≤ nilradical R
q q' : PrimeSpectrum S
hqq' : ∀ (x : R), x ∈ (comap f q).asIdeal ↔ x ∈ (comap f q').asIdeal
x : S
n : ℕ
hn : n > 0
y : R
hy : f y = x ^ n
⊢ f y ∈ q.asIdeal ↔ f y ∈ q'.asIdeal
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeRightExact

Goal state before:
pp: case refine_4
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : Algebra R S
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N₃ : Type u_8
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N₁
inst✝¹³ : AddCommGroup N₂
inst✝¹² : AddCommGroup N₃
inst✝¹¹ : Module R M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₂
inst✝⁹ : Module R M₃
inst✝⁸ : Module R N₁
inst✝⁷ : Module R N₂
inst✝⁶ : Module R N₃
inst✝⁵ : Module S N₁
inst✝⁴ : Module S N₂
inst✝³ : Module S N₃
inst✝² : IsScalarTower R S N₁
inst✝¹ : IsScalarTower R S N₂
inst✝ : IsScalarTower R S N₃
h₁ : M₁ →ₗ[R] N₁
h₂ : M₂ →ₗ[R] N₂
h₃ : M₃ →ₗ[R] N₃
f : M₁ →ₗ[R] M₂
g : M₂ →ₗ[R] M₃
f' : N₁ →ₗ[S] N₂
g' : N₂ →ₗ[S] N₃
comm₁ : h₂ ∘ₗ f = ↑R f' ∘ₗ h₁
comm₂ : h₃ ∘ₗ g = ↑R g' ∘ₗ h₂
isb₁ : Function.Bijective ⇑(TensorProduct.lift (↑R ((Algebra.linearMap S (Module.End S (M₁ →ₗ[R] N₁))).flip h₁)))
isb₂ : Function.Bijective ⇑(TensorProduct.lift (↑R ((Algebra.linearMap S (Module.End S (M₂ →ₗ[R] N₂))).flip h₂)))
exact₁ : Function.Exact ⇑f ⇑g
surj₁ : Function.Surjective ⇑g
exact₂ : Function.Exact ⇑f' ⇑g'
surj₂ : Function.Surjective ⇑g'
⊢ Function.Surjective ⇑(↑R (LinearMap.baseChange S g))

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_4
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : Algebra R S
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N₃ : Type u_8
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N₁
inst✝¹³ : AddCommGroup N₂
inst✝¹² : AddCommGroup N₃
inst✝¹¹ : Module R M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₂
inst✝⁹ : Module R M₃
inst✝⁸ : Module R N₁
inst✝⁷ : Module R N₂
inst✝⁶ : Module R N₃
inst✝⁵ : Module S N₁
inst✝⁴ : Module S N₂
inst✝³ : Module S N₃
inst✝² : IsScalarTower R S N₁
inst✝¹ : IsScalarTower R S N₂
inst✝ : IsScalarTower R S N₃
h₁ : M₁ →ₗ[R] N₁
h₂ : M₂ →ₗ[R] N₂
h₃ : M₃ →ₗ[R] N₃
f : M₁ →ₗ[R] M₂
g : M₂ →ₗ[R] M₃
f' : N₁ →ₗ[S] N₂
g' : N₂ →ₗ[S] N₃
comm₁ : h₂ ∘ₗ f = ↑R f' ∘ₗ h₁
comm₂ : h₃ ∘ₗ g = ↑R g' ∘ₗ h₂
isb₁ : Function.Bijective ⇑(TensorProduct.lift (↑R ((Algebra.linearMap S (Module.End S (M₁ →ₗ[R] N₁))).flip h₁)))
isb₂ : Function.Bijective ⇑(TensorProduct.lift (↑R ((Algebra.linearMap S (Module.End S (M₂ →ₗ[R] N₂))).flip h₂)))
exact₁ : Function.Exact ⇑f ⇑g
surj₁ : Function.Surjective ⇑g
exact₂ : Function.Exact ⇑f' ⇑g'
surj₂ : Function.Surjective ⇑g'
⊢ Function.Surjective ⇑(↑R (LinearMap.baseChange S g))
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Moebius

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : IsRelPrime a b
h✝ : Subsingleton α
⊢ moebius (a * b) = moebius a * moebius b

pp: case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : IsRelPrime a b
h✝ : Nontrivial α
⊢ moebius (a * b) = moebius a * moebius b

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : IsRelPrime a b
h✝ : Subsingleton α
⊢ moebius (a * b) = moebius a * moebius b
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Moebius

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : IsRelPrime a b
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬Squarefree a
⊢ moebius (a * b) = moebius a * moebius b

pp: case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : IsRelPrime a b
h✝ : Nontrivial α
ha : Squarefree a
⊢ moebius (a * b) = moebius a * moebius b

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : IsRelPrime a b
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬Squarefree a
⊢ moebius (a * b) = moebius a * moebius b
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Moebius

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : IsRelPrime a b
h✝ : Nontrivial α
ha : Squarefree a
hb : ¬Squarefree b
⊢ moebius (a * b) = moebius a * moebius b

pp: case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : IsRelPrime a b
h✝ : Nontrivial α
ha : Squarefree a
hb : Squarefree b
⊢ moebius (a * b) = moebius a * moebius b

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : IsRelPrime a b
h✝ : Nontrivial α
ha : Squarefree a
hb : ¬Squarefree b
⊢ moebius (a * b) = moebius a * moebius b
Module: Mathlib.RingTheory.Smooth.Quotient

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
I : Ideal R
f : M →ₗ[R] N
surj : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : Module.Flat R N
x : M
hx : x ∈ f.ker ⊓ I • ⊤
⊢ x ∈ I • f.ker

pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
I : Ideal R
f : M →ₗ[R] N
surj : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : Module.Flat R N
x : M
hx : x ∈ I • f.ker
⊢ x ∈ f.ker ⊓ I • ⊤

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
I : Ideal R
f : M →ₗ[R] N
surj : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : Module.Flat R N
x : M
hx : x ∈ f.ker ⊓ I • ⊤
⊢ x ∈ I • f.ker
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Quotient

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
J : Ideal R
hJ : J ≤ v.supp
⊢ (v.onQuot hJ).supp ≤ Ideal.map (Ideal.Quotient.mk J) v.supp

pp: case a
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
J : Ideal R
hJ : J ≤ v.supp
⊢ Ideal.map (Ideal.Quotient.mk J) v.supp ≤ (v.onQuot hJ).supp

Tactic:
·

Goal state after:
case a
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
J : Ideal R
hJ : J ≤ v.supp
⊢ (v.onQuot hJ).supp ≤ Ideal.map (Ideal.Quotient.mk J) v.supp
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Quotient

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
J : Ideal R
hJ : J ≤ v.supp
⊢ Ideal.map (Ideal.Quotient.mk J) v.supp ≤ (v.onQuot hJ).supp

Tactic:
·

Goal state after:
case a
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
J : Ideal R
hJ : J ≤ v.supp
⊢ Ideal.map (Ideal.Quotient.mk J) v.supp ≤ (v.onQuot hJ).supp
Module: Mathlib.RingTheory.Smooth.Quotient

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
I : Ideal R
f : M →ₗ[R] N
surj : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : Module.Flat R N
x : M
hx : x ∈ I • f.ker
⊢ x ∈ f.ker ⊓ I • ⊤

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
I : Ideal R
f : M →ₗ[R] N
surj : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : Module.Flat R N
x : M
hx : x ∈ I • f.ker
⊢ x ∈ f.ker ⊓ I • ⊤
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuativeRel.Trivial

Goal state before:
pp: case inl
R Γ : Type
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
inst✝¹ : ValuativeRel R
inst✝ : Valuation.Compatible 1
this : Subsingleton (ValueGroupWithZero R)ˣ
hx : 0 ≠ 0
hx' : 0 ≠ 1
⊢ False

pp: case inr
R Γ : Type
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
inst✝¹ : ValuativeRel R
inst✝ : Valuation.Compatible 1
this : Subsingleton (ValueGroupWithZero R)ˣ
u : (ValueGroupWithZero R)ˣ
hx : ↑u ≠ 0
hx' : ↑u ≠ 1
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R Γ : Type
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
inst✝¹ : ValuativeRel R
inst✝ : Valuation.Compatible 1
this : Subsingleton (ValueGroupWithZero R)ˣ
hx : 0 ≠ 0
hx' : 0 ≠ 1
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuativeRel.Trivial

Goal state before:
pp: case inr
R Γ : Type
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
inst✝¹ : ValuativeRel R
inst✝ : Valuation.Compatible 1
this : Subsingleton (ValueGroupWithZero R)ˣ
u : (ValueGroupWithZero R)ˣ
hx : ↑u ≠ 0
hx' : ↑u ≠ 1
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
R Γ : Type
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
inst✝¹ : ValuativeRel R
inst✝ : Valuation.Compatible 1
this : Subsingleton (ValueGroupWithZero R)ˣ
u : (ValueGroupWithZero R)ˣ
hx : ↑u ≠ 0
hx' : ↑u ≠ 1
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuativeRel.Trivial

Goal state before:
pp: case inl
R Γ : Type
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
inst✝¹ : ValuativeRel R
inst✝ : Valuation.Compatible 1
this : Subsingleton (ValueGroupWithZero R)ˣ
⊢ 0 < 1 → 0 ≤ 0

pp: case inr
R Γ : Type
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
inst✝¹ : ValuativeRel R
inst✝ : Valuation.Compatible 1
this : Subsingleton (ValueGroupWithZero R)ˣ
u : (ValueGroupWithZero R)ˣ
⊢ ↑u < 1 → ↑u ≤ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R Γ : Type
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
inst✝¹ : ValuativeRel R
inst✝ : Valuation.Compatible 1
this : Subsingleton (ValueGroupWithZero R)ˣ
⊢ 0 < 1 → 0 ≤ 0
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuativeRel.Trivial

Goal state before:
pp: case inr
R Γ : Type
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
inst✝¹ : ValuativeRel R
inst✝ : Valuation.Compatible 1
this : Subsingleton (ValueGroupWithZero R)ˣ
u : (ValueGroupWithZero R)ˣ
⊢ ↑u < 1 → ↑u ≤ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
R Γ : Type
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
inst✝¹ : ValuativeRel R
inst✝ : Valuation.Compatible 1
this : Subsingleton (ValueGroupWithZero R)ˣ
u : (ValueGroupWithZero R)ˣ
⊢ ↑u < 1 → ↑u ≤ 0
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Extension

Goal state before:
pp: case hx
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
ΓR : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedCommGroupWithZero ΓR
vR : Valuation R ΓR
S : Type u_9
ΓS : Type u_10
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero ΓS
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalHom (algebraMap R S)
vS : Valuation S ΓS
inst✝ : vR.HasExtension vS
r : ↥vR.integer
hr : IsUnit ((algebraMap ↥vR.integer ↥vS.integer) r)
⊢ IsUnit ((algebraMap (↥vR.integer) R) r)

pp: case hvx
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
ΓR : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedCommGroupWithZero ΓR
vR : Valuation R ΓR
S : Type u_9
ΓS : Type u_10
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero ΓS
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalHom (algebraMap R S)
vS : Valuation S ΓS
inst✝ : vR.HasExtension vS
r : ↥vR.integer
hr : IsUnit ((algebraMap ↥vR.integer ↥vS.integer) r)
⊢ vR ((algebraMap (↥vR.integer) R) r) = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case hx
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
ΓR : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedCommGroupWithZero ΓR
vR : Valuation R ΓR
S : Type u_9
ΓS : Type u_10
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero ΓS
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalHom (algebraMap R S)
vS : Valuation S ΓS
inst✝ : vR.HasExtension vS
r : ↥vR.integer
hr : IsUnit ((algebraMap ↥vR.integer ↥vS.integer) r)
⊢ IsUnit ((algebraMap (↥vR.integer) R) r)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Extension

Goal state before:
pp: case hvx
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
ΓR : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedCommGroupWithZero ΓR
vR : Valuation R ΓR
S : Type u_9
ΓS : Type u_10
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero ΓS
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalHom (algebraMap R S)
vS : Valuation S ΓS
inst✝ : vR.HasExtension vS
r : ↥vR.integer
hr : IsUnit ((algebraMap ↥vR.integer ↥vS.integer) r)
⊢ vR ((algebraMap (↥vR.integer) R) r) = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case hvx
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
ΓR : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedCommGroupWithZero ΓR
vR : Valuation R ΓR
S : Type u_9
ΓS : Type u_10
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero ΓS
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalHom (algebraMap R S)
vS : Valuation S ΓS
inst✝ : vR.HasExtension vS
r : ↥vR.integer
hr : IsUnit ((algebraMap ↥vR.integer ↥vS.integer) r)
⊢ vR ((algebraMap (↥vR.integer) R) r) = 1
Module: Mathlib.RingTheory.WittVector.DiscreteValuationRing

Goal state before:
pp: case zero
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
n : ℕ
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
hb0 : (⇑verschiebung)^[n] b ≠ 0
ha0 : (⇑verschiebung)^[0] a ≠ 0
hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[0] a * (⇑verschiebung)^[n] b
⊢ IsUnit ((⇑verschiebung)^[0] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n] b)

pp: case succ
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
n : ℕ
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
hb0 : (⇑verschiebung)^[n] b ≠ 0
n✝ : ℕ
ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0
hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a * (⇑verschiebung)^[n] b
⊢ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n] b)

Tactic:
·

Goal state after:
case zero
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
n : ℕ
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
hb0 : (⇑verschiebung)^[n] b ≠ 0
ha0 : (⇑verschiebung)^[0] a ≠ 0
hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[0] a * (⇑verschiebung)^[n] b
⊢ IsUnit ((⇑verschiebung)^[0] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n] b)
Module: Mathlib.RingTheory.WittVector.DiscreteValuationRing

Goal state before:
pp: case succ.zero
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
n✝ : ℕ
ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0
hb0 : (⇑verschiebung)^[0] b ≠ 0
hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a * (⇑verschiebung)^[0] b
⊢ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[0] b)

pp: case succ.succ
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
n✝ : ℕ
ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0
n : ℕ
hb0 : (⇑verschiebung)^[n + 1] b ≠ 0
hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a * (⇑verschiebung)^[n + 1] b
⊢ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n + 1] b)

Tactic:
·

Goal state after:
case succ.zero
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
n✝ : ℕ
ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0
hb0 : (⇑verschiebung)^[0] b ≠ 0
hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a * (⇑verschiebung)^[0] b
⊢ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[0] b)
Module: Mathlib.RingTheory.WittVector.DiscreteValuationRing

Goal state before:
pp: case refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b
this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
⊢ b.coeff 0 ≠ 0

pp: case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b
this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
⊢ a = ↑p ^ m * b

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b
this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
⊢ b.coeff 0 ≠ 0
Module: Mathlib.RingTheory.WittVector.DiscreteValuationRing

Goal state before:
pp: case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b
this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
⊢ a = ↑p ^ m * b

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b
this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
⊢ a = ↑p ^ m * b
Module: Mathlib.RingTheory.WittVector.MulCoeff

Goal state before:
pp: case refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ ((rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ n)).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ ((rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ n)).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)
Module: Mathlib.RingTheory.WittVector.MulCoeff

Goal state before:
pp: case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ ((rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ n)).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ ((rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ n)).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)
Module: Mathlib.RingTheory.WittVector.MulCoeff

Goal state before:
pp: case refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n x : ℕ
hx : x ∈ range n
⊢ (↑p ^ x).vars ⊆ univ ×ˢ range n

pp: case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n x : ℕ
hx : x ∈ range n
⊢ (wittMul p x ^ p ^ (n - x)).vars ⊆ univ ×ˢ range n

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n x : ℕ
hx : x ∈ range n
⊢ (↑p ^ x).vars ⊆ univ ×ˢ range n
Module: Mathlib.RingTheory.WittVector.MulCoeff

Goal state before:
pp: case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n x : ℕ
hx : x ∈ range n
⊢ (wittMul p x ^ p ^ (n - x)).vars ⊆ univ ×ˢ range n

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n x : ℕ
hx : x ∈ range n
⊢ (wittMul p x ^ p ^ (n - x)).vars ⊆ univ ×ˢ range n
Module: Mathlib.RingTheory.WittVector.MulCoeff

Goal state before:
pp: case refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))).vars ⊆
    univ ×ˢ range (n + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))).vars ⊆
    univ ×ˢ range (n + 1)
Module: Mathlib.RingTheory.WittVector.MulCoeff

Goal state before:
pp: case refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n x : ℕ
hx : x ∈ range (n + 1)
⊢ (Finsupp.single (0, x) (p ^ (n + 1 - x))).support ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)

pp: case refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n x : ℕ
hx : x ∈ range (n + 1)
⊢ ↑p ^ x ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n x : ℕ
hx : x ∈ range (n + 1)
⊢ (Finsupp.single (0, x) (p ^ (n + 1 - x))).support ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)
Module: Mathlib.RingTheory.WittVector.MulCoeff

Goal state before:
pp: case refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n x : ℕ
hx : x ∈ range (n + 1)
⊢ ↑p ^ x ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n x : ℕ
hx : x ∈ range (n + 1)
⊢ ↑p ^ x ≠ 0
Module: Mathlib.RingTheory.WittVector.MulCoeff

Goal state before:
pp: case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))).vars ⊆
    univ ×ˢ range (n + 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))).vars ⊆
    univ ×ˢ range (n + 1)
Module: Mathlib.RingTheory.WittVector.MulCoeff

Goal state before:
pp: case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n x : ℕ
hx : x ∈ range (n + 1)
⊢ (Finsupp.single (1, x) (p ^ (n + 1 - x))).support ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)

pp: case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n x : ℕ
hx : x ∈ range (n + 1)
⊢ ↑p ^ x ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n x : ℕ
hx : x ∈ range (n + 1)
⊢ (Finsupp.single (1, x) (p ^ (n + 1 - x))).support ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)
Module: Mathlib.RingTheory.WittVector.MulCoeff

Goal state before:
pp: case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n x : ℕ
hx : x ∈ range (n + 1)
⊢ ↑p ^ x ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n x : ℕ
hx : x ∈ range (n + 1)
⊢ ↑p ^ x ≠ 0
Module: Mathlib.RingTheory.WittVector.MulCoeff

Goal state before:
pp: case e'_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range (n + 1), ↑p ^ i * wittMul p i ^ p ^ (n - i) =
    (bind₁ (wittStructureInt p (X 0 * X 1))) (wittPolynomial p ℤ n)

pp: case e'_3
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ n) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ n) =
    (bind₁ fun i ↦ (rename (Prod.mk i)) (wittPolynomial p ℤ n)) (X 0 * X 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range (n + 1), ↑p ^ i * wittMul p i ^ p ^ (n - i) =
    (bind₁ (wittStructureInt p (X 0 * X 1))) (wittPolynomial p ℤ n)
Module: Mathlib.RingTheory.WittVector.MulCoeff

Goal state before:
pp: case e'_3
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ n) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ n) =
    (bind₁ fun i ↦ (rename (Prod.mk i)) (wittPolynomial p ℤ n)) (X 0 * X 1)

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_3
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
⊢ (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ n) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ n) =
    (bind₁ fun i ↦ (rename (Prod.mk i)) (wittPolynomial p ℤ n)) (X 0 * X 1)
Module: Mathlib.RingTheory.WittVector.FrobeniusFractionField

Goal state before:
pp: p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsDomain k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
⊢ (X ^ p).degree + 0 = ↑p

pp: p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsDomain k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
⊢ a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsDomain k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
⊢ (X ^ p).degree + 0 = ↑p