mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Permanent

Goal state before:
pp: case refine_2
n : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
d : n → R
⊢ ∏ i, diagonal d (1 i) i = ∏ i, d i

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
n : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
d : n → R
⊢ ∏ i, diagonal d (1 i) i = ∏ i, d i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Swap

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
⊢ swap R i j * swap R i j = 1

Tactic:
by
  simp only [swap]
  rw [← Equiv.swap_inv, Equiv.Perm.inv_def]
  simp [← PEquiv.toMatrix_trans, ← Equiv.toPEquiv_trans]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module.Finite R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₂
n : ℕ
N : Fin n → Type u_5
inst✝³ : (i : Fin n) → AddCommGroup (N i)
inst✝² : (i : Fin n) → Module R (N i)
inst✝¹ : ∀ (i : Fin n), Module.Finite R (N i)
inst✝ : ∀ (i : Fin n), Module.Free R (N i)
⊢ Module.Free R (MultilinearMap R N M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R N M₂)

Tactic:
induction n with
  | zero =>
    have : IsEmpty (Fin Nat.zero) := inferInstanceAs (IsEmpty (Fin 0))
    exact
      ⟨Module.Free.of_equiv (constLinearEquivOfIsEmpty R R N M₂),
        Module.Finite.equiv (constLinearEquivOfIsEmpty R R N M₂)⟩
  | succ n ih =>
    suffices
      Module.Free R (N 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i : Fin n => N i.succ) M₂) ∧
        Module.Finite R (N 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i : Fin n => N i.succ) M₂) by
      cases this
      exact
        ⟨Module.Free.of_equiv (multilinearCurryLeftEquiv R N M₂).symm,
          Module.Finite.equiv (multilinearCurryLeftEquiv R N M₂).symm⟩
    cases ih fun i => N i.succ
    exact ⟨Module.Free.linearMap _ _ _ _, Module.Finite.linearMap _ _ _ _⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Nonsingular

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
n : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
ind : LinearIndependent R A.col
a b : R
bal : A.IsDetpBalanced a b
P : ℕ → Prop := fun r ↦ ∀ (f g : Fin r → n), (A.submatrix f g).IsDetpBalanced a b
r : ℕ
x✝¹ : r < Fintype.card n
x✝ : 0 ≤ r
ih : P (r + 1)
f g : Fin r → n
hg : Function.Surjective g
⊢ (A.submatrix f g).IsDetpBalanced a b

pp: case neg
R : Type u_1
n : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
ind : LinearIndependent R A.col
a b : R
bal : A.IsDetpBalanced a b
P : ℕ → Prop := fun r ↦ ∀ (f g : Fin r → n), (A.submatrix f g).IsDetpBalanced a b
r : ℕ
x✝¹ : r < Fintype.card n
x✝ : 0 ≤ r
ih : P (r + 1)
f g : Fin r → n
hg : ¬Function.Surjective g
⊢ (A.submatrix f g).IsDetpBalanced a b

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
n : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
ind : LinearIndependent R A.col
a b : R
bal : A.IsDetpBalanced a b
P : ℕ → Prop := fun r ↦ ∀ (f g : Fin r → n), (A.submatrix f g).IsDetpBalanced a b
r : ℕ
x✝¹ : r < Fintype.card n
x✝ : 0 ≤ r
ih : P (r + 1)
f g : Fin r → n
hg : Function.Surjective g
⊢ (A.submatrix f g).IsDetpBalanced a b
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Pi

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝⁴ : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝³ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝² : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
f : (p : (i : ι) → κ i) → MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
p : (i : ι) → κ i
m : (i : ι) → M i (p i)
⊢ (piFamily f) (fun i ↦ Pi.single (p i) (m i)) p = Pi.single p ((f p) m) p

pp: case inr
ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝⁴ : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝³ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝² : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
f : (p : (i : ι) → κ i) → MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
p : (i : ι) → κ i
m : (i : ι) → M i (p i)
q : (i : ι) → κ i
hpq : p ≠ q
⊢ (piFamily f) (fun i ↦ Pi.single (p i) (m i)) q = Pi.single p ((f p) m) q

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝⁴ : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝³ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝² : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
f : (p : (i : ι) → κ i) → MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
p : (i : ι) → κ i
m : (i : ι) → M i (p i)
⊢ (piFamily f) (fun i ↦ Pi.single (p i) (m i)) p = Pi.single p ((f p) m) p
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Pi

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝⁴ : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝³ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝² : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
f : (p : (i : ι) → κ i) → MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
p : (i : ι) → κ i
m : (i : ι) → M i (p i)
q : (i : ι) → κ i
hpq : p ≠ q
⊢ (piFamily f) (fun i ↦ Pi.single (p i) (m i)) q = Pi.single p ((f p) m) q

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝⁴ : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝³ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝² : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
f : (p : (i : ι) → κ i) → MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
p : (i : ι) → κ i
m : (i : ι) → M i (p i)
q : (i : ι) → κ i
hpq : p ≠ q
⊢ (piFamily f) (fun i ↦ Pi.single (p i) (m i)) q = Pi.single p ((f p) m) q
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Nonsingular

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
inst✝ : IsCancelAdd R
hA : A.Nonsingular
x y : n → R
eq : A *ᵥ x = A *ᵥ y
k : n
⊢ x k * detp 1 A + y k * detp (-1) A = y k * detp 1 A + x k * detp (-1) A

Tactic:
have h v : ((A.adjp 1 * A + A.detp (-1) • 1) *ᵥ v) k =
        ((A.adjp (-1) * A + A.detp 1 • 1) *ᵥ v) k := by
      congr 1; ext k i
      obtain (h | h) := eq_or_ne k i <;> simp [adjp_mul_apply_eq, add_comm, adjp_mul_apply_ne, h]
    simp [add_mulVec, smul_mulVec, ← mulVec_mulVec] at h; grind

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Pi

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝⁴ : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝³ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝² : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
p : (i : ι) → κ i
f : MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
x : (i : ι) → (j : κ i) → M i j
⊢ (piFamily (Pi.single p f)) x p = Pi.single p (f fun i ↦ x i (p i)) p

pp: case inr
ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝⁴ : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝³ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝² : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
p : (i : ι) → κ i
f : MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
x : (i : ι) → (j : κ i) → M i j
p' : (i : ι) → κ i
hp : p ≠ p'
⊢ (piFamily (Pi.single p f)) x p' = Pi.single p (f fun i ↦ x i (p i)) p'

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝⁴ : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝³ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝² : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
p : (i : ι) → κ i
f : MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
x : (i : ι) → (j : κ i) → M i j
⊢ (piFamily (Pi.single p f)) x p = Pi.single p (f fun i ↦ x i (p i)) p
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Pi

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝⁴ : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝³ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝² : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
p : (i : ι) → κ i
f : MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
x : (i : ι) → (j : κ i) → M i j
p' : (i : ι) → κ i
hp : p ≠ p'
⊢ (piFamily (Pi.single p f)) x p' = Pi.single p (f fun i ↦ x i (p i)) p'

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝⁴ : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝³ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝² : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
p : (i : ι) → κ i
f : MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
x : (i : ι) → (j : κ i) → M i j
p' : (i : ι) → κ i
hp : p ≠ p'
⊢ (piFamily (Pi.single p f)) x p' = Pi.single p (f fun i ↦ x i (p i)) p'
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Generators

Goal state before:
pp: case succ.e_f.hι
R : Type u_1
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
n : ℕ
hn :
  ∀ {ι : Type u_2} [Finite ι] {M : ι → Type u_3} {γ : ι → Type u_5} [inst : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)]
    [inst_1 : (i : ι) → Module R (M i)] {g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i},
    (∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤) →
      ∀ {φ φ' : (⨂[R] (i : ι), M i) →ₗ[R] N},
        (∀ (j : (i : ι) → γ i), φ (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)) = φ' (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))) → Nat.card ι = n → φ = φ'
ι : Type u_2
inst✝² : Finite ι
M : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i
hg : ∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤
hι : Nat.card ι = n + 1
this : Nonempty ι
i₀ : ι
e : (⨂[R] (i : ι), M i) ≃ₗ[R] M i₀ ⊗[R] (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) := ⋯
ψ ψ' : M i₀ ⊗[R] (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) →ₗ[R] N
h :
  ∀ (j : (i : ι) → γ i),
    ψ
        ((TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀))
          ((equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀) (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)))) =
      ψ'
        ((TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀))
          ((equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀) (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))))
g₀ : γ i₀
⊢ Nat.card ↑{i₀}ᶜ = n

Tactic:
·

Goal state after:
case succ.e_f.hι
R : Type u_1
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
n : ℕ
hn :
  ∀ {ι : Type u_2} [Finite ι] {M : ι → Type u_3} {γ : ι → Type u_5} [inst : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)]
    [inst_1 : (i : ι) → Module R (M i)] {g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i},
    (∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤) →
      ∀ {φ φ' : (⨂[R] (i : ι), M i) →ₗ[R] N},
        (∀ (j : (i : ι) → γ i), φ (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)) = φ' (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))) → Nat.card ι = n → φ = φ'
ι : Type u_2
inst✝² : Finite ι
M : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i
hg : ∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤
hι : Nat.card ι = n + 1
this : Nonempty ι
i₀ : ι
e : (⨂[R] (i : ι), M i) ≃ₗ[R] M i₀ ⊗[R] (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) := ⋯
ψ ψ' : M i₀ ⊗[R] (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) →ₗ[R] N
h :
  ∀ (j : (i : ι) → γ i),
    ψ
        ((TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀))
          ((equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀) (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)))) =
      ψ'
        ((TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀))
          ((equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀) (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))))
g₀ : γ i₀
⊢ Nat.card ↑{i₀}ᶜ = n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Cardinality

Goal state before:
pp: case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
this :
  ∀ (k : Type u_1) (V : Type u_2) [inst : Field k] [inst_1 : AddCommGroup V] [inst_2 : Module k V] [Finite k] {n : ℕ},
    Module.finrank k V = n → Finite V → Nat.card (ℙ k V) = ∑ i ∈ Finset.range n, Nat.card k ^ i
hf : ¬Finite V
⊢ Nat.card (ℙ k V) = ∑ i ∈ Finset.range n, Nat.card k ^ i

pp: k✝ : Type u_1
V✝ : Type u_2
inst✝⁶ : Field k✝
inst✝⁵ : AddCommGroup V✝
inst✝⁴ : Module k✝ V✝
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
hf : Finite V
⊢ Nat.card (ℙ k V) = ∑ i ∈ Finset.range n, Nat.card k ^ i

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
this :
  ∀ (k : Type u_1) (V : Type u_2) [inst : Field k] [inst_1 : AddCommGroup V] [inst_2 : Module k V] [Finite k] {n : ℕ},
    Module.finrank k V = n → Finite V → Nat.card (ℙ k V) = ∑ i ∈ Finset.range n, Nat.card k ^ i
hf : ¬Finite V
⊢ Nat.card (ℙ k V) = ∑ i ∈ Finset.range n, Nat.card k ^ i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Cardinality

Goal state before:
pp: k✝ : Type u_1
V✝ : Type u_2
inst✝⁶ : Field k✝
inst✝⁵ : AddCommGroup V✝
inst✝⁴ : Module k✝ V✝
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
hf : Finite V
this : 1 < Nat.card k
⊢ 0 < Nat.card k - 1

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: G : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G K V
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : LinearIndependent K ![E.rep, E'.rep]
qD :
  ∀ {D D' : ℙ K V} (hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]),
    ↑(hD.linearCombinationEquiv (Finsupp.single 0 1)) = D.rep
qD' :
  ∀ {D D' : ℙ K V} (hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]),
    ↑(hD.linearCombinationEquiv (Finsupp.single 1 1)) = D'.rep
f : ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep])) ≃ₗ[K] ↥(Submodule.span K (Set.range ![E.rep, E'.rep])) :=
  hD.linearCombinationEquiv.symm ≪≫ₗ hE.linearCombinationEquiv
this : FiniteDimensional K ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep]))
g : V ≃ₗ[K] V
hg : ∀ (x : ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep]))), ↑(f x) = g ↑x
⊢ ∃ g, g • D = E ∧ g • D' = E'

Tactic:
use g

Goal state after:
case h
G : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G K V
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : LinearIndependent K ![E.rep, E'.rep]
qD :
  ∀ {D D' : ℙ K V} (hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]),
    ↑(hD.linearCombinationEquiv (Finsupp.single 0 1)) = D.rep
qD' :
  ∀ {D D' : ℙ K V} (hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]),
    ↑(hD.linearCombinationEquiv (Finsupp.single 1 1)) = D'.rep
f : ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep])) ≃ₗ[K] ↥(Submodule.span K (Set.range ![E.rep, E'.rep])) := ⋯
this : FiniteDimensional K ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep]))
g : V ≃ₗ[K] V
hg : ∀ (x : ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep]))), ↑(f x) = g ↑x
⊢ g • D = E ∧ g • D' = E'
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: case h.left
G : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G K V
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : LinearIndependent K ![E.rep, E'.rep]
qD :
  ∀ {D D' : ℙ K V} (hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]),
    ↑(hD.linearCombinationEquiv (Finsupp.single 0 1)) = D.rep
qD' :
  ∀ {D D' : ℙ K V} (hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]),
    ↑(hD.linearCombinationEquiv (Finsupp.single 1 1)) = D'.rep
f : ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep])) ≃ₗ[K] ↥(Submodule.span K (Set.range ![E.rep, E'.rep])) := ⋯
this : FiniteDimensional K ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep]))
g : V ≃ₗ[K] V
hg : ∀ (x : ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep]))), ↑(f x) = g ↑x
⊢ g • D = E

pp: case h.right
G : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G K V
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : LinearIndependent K ![E.rep, E'.rep]
qD :
  ∀ {D D' : ℙ K V} (hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]),
    ↑(hD.linearCombinationEquiv (Finsupp.single 0 1)) = D.rep
qD' :
  ∀ {D D' : ℙ K V} (hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]),
    ↑(hD.linearCombinationEquiv (Finsupp.single 1 1)) = D'.rep
f : ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep])) ≃ₗ[K] ↥(Submodule.span K (Set.range ![E.rep, E'.rep])) := ⋯
this : FiniteDimensional K ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep]))
g : V ≃ₗ[K] V
hg : ∀ (x : ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep]))), ↑(f x) = g ↑x
⊢ g • D' = E'

Tactic:
·

Goal state after:
case h.left
G : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G K V
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : LinearIndependent K ![E.rep, E'.rep]
qD :
  ∀ {D D' : ℙ K V} (hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]),
    ↑(hD.linearCombinationEquiv (Finsupp.single 0 1)) = D.rep
qD' :
  ∀ {D D' : ℙ K V} (hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]),
    ↑(hD.linearCombinationEquiv (Finsupp.single 1 1)) = D'.rep
f : ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep])) ≃ₗ[K] ↥(Submodule.span K (Set.range ![E.rep, E'.rep])) := ⋯
this : FiniteDimensional K ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep]))
g : V ≃ₗ[K] V
hg : ∀ (x : ↥(Submodule.span K (Set.range ![D.rep, D'.rep]))), ↑(f x) = g ↑x
⊢ g • D = E
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Independence

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
⊢ Independent f → LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)

pp: case refine_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
⊢ Independent f

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
⊢ Independent f → LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Independence

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
⊢ Independent f

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
⊢ Independent f
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Independence

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
x✝ : ι
⊢ f x✝ = mk K ((Projectivization.rep ∘ f) x✝) ⋯

pp: case refine_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
⊢ ∀ (i : ι), (Projectivization.rep ∘ f) i ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
x✝ : ι
⊢ f x✝ = mk K ((Projectivization.rep ∘ f) x✝) ⋯
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Independence

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
⊢ ∀ (i : ι), (Projectivization.rep ∘ f) i ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
⊢ ∀ (i : ι), (Projectivization.rep ∘ f) i ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Independence

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
⊢ Independent f → iSupIndep fun i ↦ (f i).submodule

pp: case refine_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : iSupIndep fun i ↦ (f i).submodule
⊢ Independent f

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
⊢ Independent f → iSupIndep fun i ↦ (f i).submodule
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Independence

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : iSupIndep fun i ↦ (f i).submodule
⊢ Independent f

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : iSupIndep fun i ↦ (f i).submodule
⊢ Independent f
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Independence

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_1
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : iSupIndep fun i ↦ (f i).submodule
i : ι
⊢ (Projectivization.rep ∘ f) i ∈ (Projectivization.submodule ∘ f) i

pp: case refine_2.refine_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : iSupIndep fun i ↦ (f i).submodule
i : ι
⊢ (Projectivization.rep ∘ f) i ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.refine_1
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : iSupIndep fun i ↦ (f i).submodule
i : ι
⊢ (Projectivization.rep ∘ f) i ∈ (Projectivization.submodule ∘ f) i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Independence

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : iSupIndep fun i ↦ (f i).submodule
i : ι
⊢ (Projectivization.rep ∘ f) i ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.refine_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : iSupIndep fun i ↦ (f i).submodule
i : ι
⊢ (Projectivization.rep ∘ f) i ≠ 0