mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
⊢ ∀ {i : ι} (m : ↥(𝒜 i)) (y : A), ↑(((decompose 𝒜) (↑m * y)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑m) 0) * ↑(((decompose 𝒜) y) 0)

pp: case refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
⊢ ∀ (m m' : A),
    (∀ (y : A), ↑(((decompose 𝒜) (m * y)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) m) 0) * ↑(((decompose 𝒜) y) 0)) →
      (∀ (y : A), ↑(((decompose 𝒜) (m' * y)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) m') 0) * ↑(((decompose 𝒜) y) 0)) →
        ∀ (y : A), ↑(((decompose 𝒜) ((m + m') * y)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) (m + m')) 0) * ↑(((decompose 𝒜) y) 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
⊢ ∀ {i : ι} (m : ↥(𝒜 i)) (y : A), ↑(((decompose 𝒜) (↑m * y)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑m) 0) * ↑(((decompose 𝒜) y) 0)
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (↑⟨c, hc⟩ * 0)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c, hc⟩) 0) * ↑(((decompose 𝒜) 0) 0)

pp: case refine_2.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
⊢ ∀ {i_1 : ι} (m : ↥(𝒜 i_1)),
    ↑(((decompose 𝒜) (↑⟨c, hc⟩ * ↑m)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c, hc⟩) 0) * ↑(((decompose 𝒜) ↑m) 0)

pp: case refine_2.refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
⊢ ∀ (m m' : A),
    ↑(((decompose 𝒜) (↑⟨c, hc⟩ * m)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c, hc⟩) 0) * ↑(((decompose 𝒜) m) 0) →
      ↑(((decompose 𝒜) (↑⟨c, hc⟩ * m')) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c, hc⟩) 0) * ↑(((decompose 𝒜) m') 0) →
        ↑(((decompose 𝒜) (↑⟨c, hc⟩ * (m + m'))) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c, hc⟩) 0) * ↑(((decompose 𝒜) (m + m')) 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (↑⟨c, hc⟩ * 0)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c, hc⟩) 0) * ↑(((decompose 𝒜) 0) 0)
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
⊢ ∀ {i_1 : ι} (m : ↥(𝒜 i_1)),
    ↑(((decompose 𝒜) (↑⟨c, hc⟩ * ↑m)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c, hc⟩) 0) * ↑(((decompose 𝒜) ↑m) 0)

pp: case refine_2.refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
⊢ ∀ (m m' : A),
    ↑(((decompose 𝒜) (↑⟨c, hc⟩ * m)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c, hc⟩) 0) * ↑(((decompose 𝒜) m) 0) →
      ↑(((decompose 𝒜) (↑⟨c, hc⟩ * m')) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c, hc⟩) 0) * ↑(((decompose 𝒜) m') 0) →
        ↑(((decompose 𝒜) (↑⟨c, hc⟩ * (m + m'))) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c, hc⟩) 0) * ↑(((decompose 𝒜) (m + m')) 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
⊢ ∀ {i_1 : ι} (m : ↥(𝒜 i_1)),
    ↑(((decompose 𝒜) (↑⟨c, hc⟩ * ↑m)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c, hc⟩) 0) * ↑(((decompose 𝒜) ↑m) 0)
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
j : ι
c' : A
hc' : c' ∈ 𝒜 j
h : i + j = 0
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (c * c')) 0) = ↑(((decompose 𝒜) c) 0) * ↑(((decompose 𝒜) c') 0)

pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
j : ι
c' : A
hc' : c' ∈ 𝒜 j
h : ¬i + j = 0
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (c * c')) 0) = ↑(((decompose 𝒜) c) 0) * ↑(((decompose 𝒜) c') 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
j : ι
c' : A
hc' : c' ∈ 𝒜 j
h : i + j = 0
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (c * c')) 0) = ↑(((decompose 𝒜) c) 0) * ↑(((decompose 𝒜) c') 0)
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
j : ι
c' : A
hc' : c' ∈ 𝒜 j
h : ¬i + j = 0
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (c * c')) 0) = ↑(((decompose 𝒜) c) 0) * ↑(((decompose 𝒜) c') 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
j : ι
c' : A
hc' : c' ∈ 𝒜 j
h : ¬i + j = 0
⊢ ↑(((decompose 𝒜) (c * c')) 0) = ↑(((decompose 𝒜) c) 0) * ↑(((decompose 𝒜) c') 0)
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case neg.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
j : ι
c' : A
hc' : c' ∈ 𝒜 j
h : ¬i + j = 0
h' : i ≠ 0
⊢ 0 = ↑(((decompose 𝒜) c) 0) * ↑(((decompose 𝒜) c') 0)

pp: case neg.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
j : ι
c' : A
hc' : c' ∈ 𝒜 j
h : ¬i + j = 0
h' : j ≠ 0
⊢ 0 = ↑(((decompose 𝒜) c) 0) * ↑(((decompose 𝒜) c') 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
j : ι
c' : A
hc' : c' ∈ 𝒜 j
h : ¬i + j = 0
h' : i ≠ 0
⊢ 0 = ↑(((decompose 𝒜) c) 0) * ↑(((decompose 𝒜) c') 0)
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case neg.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
j : ι
c' : A
hc' : c' ∈ 𝒜 j
h : ¬i + j = 0
h' : j ≠ 0
⊢ 0 = ↑(((decompose 𝒜) c) 0) * ↑(((decompose 𝒜) c') 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
j : ι
c' : A
hc' : c' ∈ 𝒜 j
h : ¬i + j = 0
h' : j ≠ 0
⊢ 0 = ↑(((decompose 𝒜) c) 0) * ↑(((decompose 𝒜) c') 0)
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
⊢ ∀ (m m' : A),
    ↑(((decompose 𝒜) (↑⟨c, hc⟩ * m)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c, hc⟩) 0) * ↑(((decompose 𝒜) m) 0) →
      ↑(((decompose 𝒜) (↑⟨c, hc⟩ * m')) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c, hc⟩) 0) * ↑(((decompose 𝒜) m') 0) →
        ↑(((decompose 𝒜) (↑⟨c, hc⟩ * (m + m'))) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c, hc⟩) 0) * ↑(((decompose 𝒜) (m + m')) 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
c : A
hc : c ∈ 𝒜 i
⊢ ∀ (m m' : A),
    ↑(((decompose 𝒜) (↑⟨c, hc⟩ * m)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c, hc⟩) 0) * ↑(((decompose 𝒜) m) 0) →
      ↑(((decompose 𝒜) (↑⟨c, hc⟩ * m')) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c, hc⟩) 0) * ↑(((decompose 𝒜) m') 0) →
        ↑(((decompose 𝒜) (↑⟨c, hc⟩ * (m + m'))) 0) = ↑(((decompose 𝒜) ↑⟨c, hc⟩) 0) * ↑(((decompose 𝒜) (m + m')) 0)
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
⊢ ∀ (m m' : A),
    (∀ (y : A), ↑(((decompose 𝒜) (m * y)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) m) 0) * ↑(((decompose 𝒜) y) 0)) →
      (∀ (y : A), ↑(((decompose 𝒜) (m' * y)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) m') 0) * ↑(((decompose 𝒜) y) 0)) →
        ∀ (y : A), ↑(((decompose 𝒜) ((m + m') * y)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) (m + m')) 0) * ↑(((decompose 𝒜) y) 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
⊢ ∀ (m m' : A),
    (∀ (y : A), ↑(((decompose 𝒜) (m * y)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) m) 0) * ↑(((decompose 𝒜) y) 0)) →
      (∀ (y : A), ↑(((decompose 𝒜) (m' * y)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) m') 0) * ↑(((decompose 𝒜) y) 0)) →
        ∀ (y : A), ↑(((decompose 𝒜) ((m + m') * y)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) (m + m')) 0) * ↑(((decompose 𝒜) y) 0)
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: case ofNat
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : AddGroupWithOne R
inst✝² : SetLike σ R
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ R
A : ι → σ
inst✝ : GradedOne A
a✝ : ℕ
⊢ ↑(Int.ofNat a✝) ∈ A 0

pp: case negSucc
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : AddGroupWithOne R
inst✝² : SetLike σ R
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ R
A : ι → σ
inst✝ : GradedOne A
a✝ : ℕ
⊢ ↑(Int.negSucc a✝) ∈ A 0

Tactic:
·

Goal state after:
case ofNat
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : AddGroupWithOne R
inst✝² : SetLike σ R
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ R
A : ι → σ
inst✝ : GradedOne A
a✝ : ℕ
⊢ ↑(Int.ofNat a✝) ∈ A 0
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: case negSucc
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : AddGroupWithOne R
inst✝² : SetLike σ R
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ R
A : ι → σ
inst✝ : GradedOne A
a✝ : ℕ
⊢ ↑(Int.negSucc a✝) ∈ A 0

Tactic:
·

Goal state after:
case negSucc
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : AddGroupWithOne R
inst✝² : SetLike σ R
inst✝¹ : AddSubgroupClass σ R
A : ι → σ
inst✝ : GradedOne A
a✝ : ℕ
⊢ ↑(Int.negSucc a✝) ∈ A 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
n : Type u_11
n' : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
h : B = B'
⊢ (toMatrix₂ b₁ b₂) B = (toMatrix₂ b₁ b₂) B'

pp: case mpr
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
n : Type u_11
n' : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
h : (toMatrix₂ b₁ b₂) B = (toMatrix₂ b₁ b₂) B'
⊢ B = B'

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
n : Type u_11
n' : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
h : B = B'
⊢ (toMatrix₂ b₁ b₂) B = (toMatrix₂ b₁ b₂) B'
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
n : Type u_11
n' : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
h : (toMatrix₂ b₁ b₂) B = (toMatrix₂ b₁ b₂) B'
⊢ B = B'

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
n : Type u_11
n' : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
B B' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
h : (toMatrix₂ b₁ b₂) B = (toMatrix₂ b₁ b₂) B'
⊢ B = B'
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝¹ x✝ : ι
h : x✝¹ + x✝ = n
⊢ ↑(((of (fun i ↦ ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) n) = ↑(r x✝¹) * ↑(r' x✝)

pp: case neg
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝¹ x✝ : ι
h : ¬x✝¹ + x✝ = n
⊢ ↑(((of (fun i ↦ ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) n) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝¹ x✝ : ι
h : x✝¹ + x✝ = n
⊢ ↑(((of (fun i ↦ ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) n) = ↑(r x✝¹) * ↑(r' x✝)
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝¹ x✝ : ι
h : ¬x✝¹ + x✝ = n
⊢ ↑(((of (fun i ↦ ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) n) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝¹ x✝ : ι
h : ¬x✝¹ + x✝ = n
⊢ ↑(((of (fun i ↦ ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) n) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: case e'_1.e'_3
R : Type u_1
n : Type u_11
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
J A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝ : DecidableEq n
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₂
this : x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
⊢ Pᵀ * J * P * A₂ = ↑v * y

pp: case e'_2.e'_2
R : Type u_1
n : Type u_11
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
J A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝ : DecidableEq n
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₂
this : x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
⊢ Pᵀ⁻¹ * A₁ᵀ * Pᵀ * J = ↑v⁻¹ * x

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_1.e'_3
R : Type u_1
n : Type u_11
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
J A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝ : DecidableEq n
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₂
this : x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
⊢ Pᵀ * J * P * A₂ = ↑v * y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: case e'_2.e'_2
R : Type u_1
n : Type u_11
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
J A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝ : DecidableEq n
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₂
this : x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
⊢ Pᵀ⁻¹ * A₁ᵀ * Pᵀ * J = ↑v⁻¹ * x

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_2.e'_2
R : Type u_1
n : Type u_11
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
J A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝ : DecidableEq n
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₂
this : x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
⊢ Pᵀ⁻¹ * A₁ᵀ * Pᵀ * J = ↑v⁻¹ * x
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (DFinsupp.sum r' fun j rj ↦ if i + j = n then ↑0 * ↑rj else 0) = 0

pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (DFinsupp.sum r' fun j rj ↦ if i + j = n then ↑r * ↑rj else 0) = ↑r * ↑(r' j)

Tactic:
·

Goal state after:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (DFinsupp.sum r' fun j rj ↦ if i + j = n then ↑0 * ↑rj else 0) = 0
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
h : j ∈ DFinsupp.support r'
⊢ ↑r * ↑(r' j) = ↑r * ↑(r' j)

pp: case neg
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
h : j ∉ DFinsupp.support r'
⊢ 0 = ↑r * ↑(r' j)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
h : j ∈ DFinsupp.support r'
⊢ ↑r * ↑(r' j) = ↑r * ↑(r' j)
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
i : ι
r' : ↥(A i)
j n : ι
H : ∀ (x : ι), x + i = n ↔ x = j
⊢ (DFinsupp.sum r fun i₁ x₁ ↦ if i₁ + i = n then ↑x₁ * ↑0 else 0) = 0

pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
i : ι
r' : ↥(A i)
j n : ι
H : ∀ (x : ι), x + i = n ↔ x = j
⊢ (DFinsupp.sum r fun i₁ x₁ ↦ if i₁ + i = n then ↑x₁ * ↑r' else 0) = ↑(r j) * ↑r'

Tactic:
·

Goal state after:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
i : ι
r' : ↥(A i)
j n : ι
H : ∀ (x : ι), x + i = n ↔ x = j
⊢ (DFinsupp.sum r fun i₁ x₁ ↦ if i₁ + i = n then ↑x₁ * ↑0 else 0) = 0