mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.MapComap

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ (κ a) {p | p.swap ∈ {p | p.1 ∈ s}} = (κ a) (Prod.snd ⁻¹' s)

pp: case hs
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet {p | p.1 ∈ s}

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ (κ a) {p | p.swap ∈ {p | p.1 ∈ s}} = (κ a) (Prod.snd ⁻¹' s)
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.MeasureCompProd

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
inst✝ : SFinite ν
hμν : μ ≪ ν
κ : Kernel α β
hκ : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ κ

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
inst✝ : SFinite ν
hμν : μ ≪ ν
κ : Kernel α β
hκ : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ κ
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.MapComap

Goal state before:
pp: case hs
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet {p | p.1 ∈ s}

Tactic:
·

Goal state after:
case hs
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet {p | p.1 ∈ s}
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.MeasureCompProd

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hκη : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, κ a ≪ η a
hκ : IsSFiniteKernel κ
⊢ μ ⊗ₘ κ ≪ μ ⊗ₘ η

pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hκη : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, κ a ≪ η a
hκ : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ μ ⊗ₘ κ ≪ μ ⊗ₘ η

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hκη : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, κ a ≪ η a
hκ : IsSFiniteKernel κ
⊢ μ ⊗ₘ κ ≪ μ ⊗ₘ η
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.MeasureCompProd

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hκη : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, κ a ≪ η a
hκ : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ μ ⊗ₘ κ ≪ μ ⊗ₘ η

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hκη : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, κ a ≪ η a
hκ : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ μ ⊗ₘ κ ≪ μ ⊗ₘ η
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.MapComap

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (κ a) {p | p.swap ∈ Prod.snd ⁻¹' s} = (κ a) {p | p.1 ∈ s}

pp: case hs
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (Prod.snd ⁻¹' s)

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ (κ a) {p | p.swap ∈ Prod.snd ⁻¹' s} = (κ a) {p | p.1 ∈ s}
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.MapComap

Goal state before:
pp: case hs
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (Prod.snd ⁻¹' s)

Tactic:
·

Goal state after:
case hs
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (Prod.snd ⁻¹' s)
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.MeasureCompProd

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
h_zero : ∀ (a : α), NeZero (κ a)
h : μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ η
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ν s = 0
hν : ¬SFinite ν
⊢ (ν ⊗ₘ η) (s ×ˢ univ) = 0

pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
h_zero : ∀ (a : α), NeZero (κ a)
h : μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ η
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ν s = 0
hν : SFinite ν
⊢ (ν ⊗ₘ η) (s ×ˢ univ) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
h_zero : ∀ (a : α), NeZero (κ a)
h : μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ η
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ν s = 0
hν : ¬SFinite ν
⊢ (ν ⊗ₘ η) (s ×ˢ univ) = 0
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.MeasureCompProd

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
h_zero : ∀ (a : α), NeZero (κ a)
h : μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ η
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ν s = 0
hν : SFinite ν
hη : ¬IsSFiniteKernel η
⊢ (ν ⊗ₘ η) (s ×ˢ univ) = 0

pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
h_zero : ∀ (a : α), NeZero (κ a)
h : μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ η
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ν s = 0
hν : SFinite ν
hη : IsSFiniteKernel η
⊢ (ν ⊗ₘ η) (s ×ˢ univ) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
h_zero : ∀ (a : α), NeZero (κ a)
h : μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ η
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ν s = 0
hν : SFinite ν
hη : ¬IsSFiniteKernel η
⊢ (ν ⊗ₘ η) (s ×ˢ univ) = 0
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
b : β
x : γ
⊢ ((swap γ β) (x, b)) s = (Prod.mk b ⁻¹' s).indicator 1 x

pp: case hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
b : β
x : γ
⊢ Measurable fun y ↦ ((swap γ β) (x, y)) s

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
b : β
x : γ
⊢ ((swap γ β) (x, b)) s = (Prod.mk b ⁻¹' s).indicator 1 x
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: case hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
b : β
x : γ
⊢ Measurable fun y ↦ ((swap γ β) (x, y)) s

Tactic:
·

Goal state after:
case hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
b : β
x : γ
⊢ Measurable fun y ↦ ((swap γ β) (x, y)) s
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.MapComap

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ✝ : MeasurableSpace γ✝
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
κ : Kernel (α × β) γ
inst✝ : ∀ (b : β), IsMarkovKernel (κ.sectL b)
⊢ IsMarkovKernel κ

Tactic:
refine ⟨fun _ ↦ ⟨?_⟩⟩
  rw [← sectL_apply, measure_univ]

Goal state after:
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.MeasureCompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
h_zero : ∀ (a : α), NeZero (κ a)
h : μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ η
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ν s = 0
h1 : (ν ⊗ₘ η) (s ×ˢ univ) = 0
h2 : ∫⁻ (a : α) in s, (κ a) univ ∂μ = 0
⊢ Measurable fun a ↦ (κ a) univ

pp: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
h_zero : ∀ (a : α), NeZero (κ a)
h : μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ η
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ν s = 0
h1 : (ν ⊗ₘ η) (s ×ˢ univ) = 0
h2 : (fun a ↦ (κ a) univ) =ᵐ[μ.restrict s] 0
⊢ μ s = 0

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
h_zero : ∀ (a : α), NeZero (κ a)
h : μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ η
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ν s = 0
h1 : (ν ⊗ₘ η) (s ×ˢ univ) = 0
h2 : ∫⁻ (a : α) in s, (κ a) univ ∂μ = 0
⊢ Measurable fun a ↦ (κ a) univ
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.MeasureCompProd

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hμν : μ ≪ ν
hκη : μ ⊗ₘ κ ≪ μ ⊗ₘ η
hμ : ¬SFinite μ
⊢ μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ η

pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hμν : μ ≪ ν
hκη : μ ⊗ₘ κ ≪ μ ⊗ₘ η
hμ : SFinite μ
⊢ μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ η

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hμν : μ ≪ ν
hκη : μ ⊗ₘ κ ≪ μ ⊗ₘ η
hμ : ¬SFinite μ
⊢ μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ η
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.Prod

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ✝ : MeasurableSpace γ✝
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
η : Kernel α γ
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel η
h : IsZeroOrMarkovKernel 0
⊢ IsZeroOrMarkovKernel (0 ×ₖ η)

pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ✝ : MeasurableSpace γ✝
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
κ : Kernel α β
h✝ : IsZeroOrMarkovKernel κ
η : Kernel α γ
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel η
h : IsMarkovKernel κ
⊢ IsZeroOrMarkovKernel (κ ×ₖ η)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ✝ : MeasurableSpace γ✝
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
η : Kernel α γ
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel η
h : IsZeroOrMarkovKernel 0
⊢ IsZeroOrMarkovKernel (0 ×ₖ η)
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η η' : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : IsSFiniteKernel η'
h : ∀ (a : α), ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, η (a, b) = η' (a, b)
hκ : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ κ ⊗ₖ η = κ ⊗ₖ η'

pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η η' : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : IsSFiniteKernel η'
h : ∀ (a : α), ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, η (a, b) = η' (a, b)
hκ : IsSFiniteKernel κ
⊢ κ ⊗ₖ η = κ ⊗ₖ η'

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η η' : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
inst✝ : IsSFiniteKernel η'
h : ∀ (a : α), ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, η (a, b) = η' (a, b)
hκ : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ κ ⊗ₖ η = κ ⊗ₖ η'
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.Prod

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ✝ : MeasurableSpace γ✝
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
κ : Kernel α β
h✝ : IsZeroOrMarkovKernel κ
h : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel 0
⊢ IsZeroOrMarkovKernel (κ ×ₖ 0)

pp: case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ✝ : MeasurableSpace γ✝
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
κ : Kernel α β
h✝ : IsZeroOrMarkovKernel κ
η : Kernel α γ
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel η
h : IsMarkovKernel κ
h' : IsMarkovKernel η
⊢ IsZeroOrMarkovKernel (κ ×ₖ η)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ✝ : MeasurableSpace γ✝
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
κ : Kernel α β
h✝ : IsZeroOrMarkovKernel κ
h : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsZeroOrMarkovKernel 0
⊢ IsZeroOrMarkovKernel (κ ×ₖ 0)
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.KernelLemmas

Goal state before:
pp: case hs
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
mY : MeasurableSpace Y
mZ : MeasurableSpace Z
κ : Kernel X Y
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel Y Z
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : X
s : Set (Y × Z)
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (Prod.snd ⁻¹' s)

pp: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
mY : MeasurableSpace Y
mZ : MeasurableSpace Z
κ : Kernel X Y
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel Y Z
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : X
s : Set (Y × Z)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫⁻ (b : Y), ((prodMkLeft X η) (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s) ∂κ a =
    ∫⁻ (b : Y), ((prodMkLeft X (Kernel.id ×ₖ η)) (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' Prod.snd ⁻¹' s) ∂κ a

Tactic:
·

Goal state after:
case hs
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
mY : MeasurableSpace Y
mZ : MeasurableSpace Z
κ : Kernel X Y
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel Y Z
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : X
s : Set (Y × Z)
hs : MeasurableSet s
⊢ MeasurableSet (Prod.snd ⁻¹' s)
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.MeasureCompProd

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
hμν : μ ⟂ₘ ν
κ η : Kernel α β
hμ : ¬SFinite μ
⊢ μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η

pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
hμν : μ ⟂ₘ ν
κ η : Kernel α β
hμ : SFinite μ
⊢ μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
hμν : μ ⟂ₘ ν
κ η : Kernel α β
hμ : ¬SFinite μ
⊢ μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.MeasureCompProd

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
hμν : μ ⟂ₘ ν
κ η : Kernel α β
hμ : SFinite μ
hν : ¬SFinite ν
⊢ μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η

pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
hμν : μ ⟂ₘ ν
κ η : Kernel α β
hμ : SFinite μ
hν : SFinite ν
⊢ μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
hμν : μ ⟂ₘ ν
κ η : Kernel α β
hμ : SFinite μ
hν : ¬SFinite ν
⊢ μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.MeasureCompProd

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
hμν : μ ⟂ₘ ν
κ η : Kernel α β
hμ : SFinite μ
hν : SFinite ν
hκ : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η

pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
hμν : μ ⟂ₘ ν
κ η : Kernel α β
hμ : SFinite μ
hν : SFinite ν
hκ : IsSFiniteKernel κ
⊢ μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
hμν : μ ⟂ₘ ν
κ η : Kernel α β
hμ : SFinite μ
hν : SFinite ν
hκ : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.KernelLemmas

Goal state before:
pp: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
T : Type u_4
mX : MeasurableSpace X
mY : MeasurableSpace Y
mZ : MeasurableSpace Z
mT : MeasurableSpace T
κ : Kernel X Y
η : Kernel Z T
hκ : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ swap Y T ∘ₖ (κ ∥ₖ η) = η ∥ₖ κ ∘ₖ swap X Z

pp: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
T : Type u_4
mX : MeasurableSpace X
mY : MeasurableSpace Y
mZ : MeasurableSpace Z
mT : MeasurableSpace T
κ : Kernel X Y
η : Kernel Z T
hκ : IsSFiniteKernel κ
⊢ swap Y T ∘ₖ (κ ∥ₖ η) = η ∥ₖ κ ∘ₖ swap X Z

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
T : Type u_4
mX : MeasurableSpace X
mY : MeasurableSpace Y
mZ : MeasurableSpace Z
mT : MeasurableSpace T
κ : Kernel X Y
η : Kernel Z T
hκ : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ swap Y T ∘ₖ (κ ∥ₖ η) = η ∥ₖ κ ∘ₖ swap X Z
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.MeasureCompProd

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
hμν : μ ⟂ₘ ν
κ η : Kernel α β
hμ : SFinite μ
hν : SFinite ν
hκ : IsSFiniteKernel κ
hη : ¬IsSFiniteKernel η
⊢ μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η

pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
hμν : μ ⟂ₘ ν
κ η : Kernel α β
hμ : SFinite μ
hν : SFinite ν
hκ : IsSFiniteKernel κ
hη : IsSFiniteKernel η
⊢ μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
hμν : μ ⟂ₘ ν
κ η : Kernel α β
hμ : SFinite μ
hν : SFinite ν
hκ : IsSFiniteKernel κ
hη : ¬IsSFiniteKernel η
⊢ μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel (α × β) γ
h : IsSFiniteKernel κ
⊢ 0 ⊗ₖ κ = 0

pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel (α × β) γ
h : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ 0 ⊗ₖ κ = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel (α × β) γ
h : IsSFiniteKernel κ
⊢ 0 ⊗ₖ κ = 0
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel (α × β) γ
h : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ 0 ⊗ₖ κ = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel (α × β) γ
h : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ 0 ⊗ₖ κ = 0
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.KernelLemmas

Goal state before:
pp: case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
T : Type u_4
mX : MeasurableSpace X
mY : MeasurableSpace Y
mZ : MeasurableSpace Z
mT : MeasurableSpace T
κ : Kernel X Y
η : Kernel Z T
hκ : IsSFiniteKernel κ
hη : ¬IsSFiniteKernel η
⊢ swap Y T ∘ₖ (κ ∥ₖ η) = η ∥ₖ κ ∘ₖ swap X Z

pp: case pos
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
T : Type u_4
mX : MeasurableSpace X
mY : MeasurableSpace Y
mZ : MeasurableSpace Z
mT : MeasurableSpace T
κ : Kernel X Y
η : Kernel Z T
hκ : IsSFiniteKernel κ
hη : IsSFiniteKernel η
⊢ swap Y T ∘ₖ (κ ∥ₖ η) = η ∥ₖ κ ∘ₖ swap X Z

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
T : Type u_4
mX : MeasurableSpace X
mY : MeasurableSpace Y
mZ : MeasurableSpace Z
mT : MeasurableSpace T
κ : Kernel X Y
η : Kernel Z T
hκ : IsSFiniteKernel κ
hη : ¬IsSFiniteKernel η
⊢ swap Y T ∘ₖ (κ ∥ₖ η) = η ∥ₖ κ ∘ₖ swap X Z
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
h : IsSFiniteKernel κ
⊢ κ ⊗ₖ 0 = 0

pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
h : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ κ ⊗ₖ 0 = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
h : IsSFiniteKernel κ
⊢ κ ⊗ₖ 0 = 0
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
h : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ κ ⊗ₖ 0 = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
h : ¬IsSFiniteKernel κ
⊢ κ ⊗ₖ 0 = 0
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : κ ⊗ₖ η = 0
⊢ ∀ (a : α), ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, η (a, b) = 0

pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : ∀ (a : α), ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, η (a, b) = 0
⊢ κ ⊗ₖ η = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : κ ⊗ₖ η = 0
⊢ ∀ (a : α), ∀ᵐ (b : β) ∂κ a, η (a, b) = 0
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: case refine_1.refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : κ ⊗ₖ η = 0
a : α
⊢ Measurable fun b ↦ (η (a, b)) Set.univ

pp: case refine_1.refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : κ ⊗ₖ η = 0
a : α
⊢ ∫⁻ (a_1 : β), (η (a, a_1)) Set.univ ∂κ a = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : κ ⊗ₖ η = 0
a : α
⊢ Measurable fun b ↦ (η (a, b)) Set.univ
Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.CompProd

Goal state before:
pp: case refine_1.refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : κ ⊗ₖ η = 0
a : α
⊢ ∫⁻ (a_1 : β), (η (a, a_1)) Set.univ ∂κ a = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : κ ⊗ₖ η = 0
a : α
⊢ ∫⁻ (a_1 : β), (η (a, a_1)) Set.univ ∂κ a = 0