mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Diffeomorph

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
e✝ e : E ≃L[𝕜] F
x : M
⊢ ↑(extChartAt I x) x ∈
    (extChartAt I x).target ∩
      ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹'
        (univ ∩ ⇑(Equiv.refl M) ⁻¹' (extChartAt (I.transContinuousLinearEquiv e) ((Equiv.refl M) x)).source)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
e✝ e : E ≃L[𝕜] F
x : M
⊢ ↑(extChartAt I x) x ∈
    (extChartAt I x).target ∩
      ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹'
        (univ ∩ ⇑(Equiv.refl M) ⁻¹' (extChartAt (I.transContinuousLinearEquiv e) ((Equiv.refl M) x)).source)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Atlas

Goal state before:
pp: case hL
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x : M
y : E
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
h'y : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ (extChartAt I x).source
h''y : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ (chartAt H x).source
U' : UniqueMDiffAt[(extChartAt I x).source] (↑(extChartAt I x).symm y)
this :
  mfderiv% ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y) =
    mfderiv[(extChartAt I x).source] ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y)
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ∘ ↑(extChartAt I x) =ᶠ[𝓝[(extChartAt I x).source] ↑(extChartAt I x).symm y] id

pp: case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x : M
y : E
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
h'y : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ (extChartAt I x).source
h''y : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ (chartAt H x).source
U' : UniqueMDiffAt[(extChartAt I x).source] (↑(extChartAt I x).symm y)
this :
  mfderiv% ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y) =
    mfderiv[(extChartAt I x).source] ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y)
⊢ (↑(extChartAt I x).symm ∘ ↑(extChartAt I x)) (↑(extChartAt I x).symm y) = id (↑(extChartAt I x).symm y)

Tactic:
·

Goal state after:
case hL
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x : M
y : E
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
h'y : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ (extChartAt I x).source
h''y : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ (chartAt H x).source
U' : UniqueMDiffAt[(extChartAt I x).source] (↑(extChartAt I x).symm y)
this :
  mfderiv% ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y) =
    mfderiv[(extChartAt I x).source] ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y)
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ∘ ↑(extChartAt I x) =ᶠ[𝓝[(extChartAt I x).source] ↑(extChartAt I x).symm y] id
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Atlas

Goal state before:
pp: case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x : M
y : E
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
h'y : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ (extChartAt I x).source
h''y : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ (chartAt H x).source
U' : UniqueMDiffAt[(extChartAt I x).source] (↑(extChartAt I x).symm y)
this :
  mfderiv% ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y) =
    mfderiv[(extChartAt I x).source] ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y)
⊢ (↑(extChartAt I x).symm ∘ ↑(extChartAt I x)) (↑(extChartAt I x).symm y) = id (↑(extChartAt I x).symm y)

Tactic:
·

Goal state after:
case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x : M
y : E
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
h'y : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ (extChartAt I x).source
h''y : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ (chartAt H x).source
U' : UniqueMDiffAt[(extChartAt I x).source] (↑(extChartAt I x).symm y)
this :
  mfderiv% ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y) =
    mfderiv[(extChartAt I x).source] ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y)
⊢ (↑(extChartAt I x).symm ∘ ↑(extChartAt I x)) (↑(extChartAt I x).symm y) = id (↑(extChartAt I x).symm y)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Diffeomorph

Goal state before:
pp: case hg
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J✝¹ : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
M'✝ : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace M'✝
inst✝¹² : ChartedSpace H' M'✝
N✝ : Type u_11
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N✝
inst✝¹⁰ : ChartedSpace G N✝
N'✝ : Type u_12
inst✝⁹ : TopologicalSpace N'✝
inst✝⁸ : ChartedSpace G' N'✝
n : ℕ∞ω
M' : Type u_13
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H M'
M'' : Type u_14
inst✝⁵ : TopologicalSpace M''
inst✝⁴ : ChartedSpace H M''
N : Type u_15
J✝ : Type u_16
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H
N' : Type u_17
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace H N'
⊢ ContMDiff I I n (Sum.inr ∘ Sum.inr)

Tactic:
·

Goal state after:
case hg
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J✝¹ : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
M'✝ : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace M'✝
inst✝¹² : ChartedSpace H' M'✝
N✝ : Type u_11
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N✝
inst✝¹⁰ : ChartedSpace G N✝
N'✝ : Type u_12
inst✝⁹ : TopologicalSpace N'✝
inst✝⁸ : ChartedSpace G' N'✝
n : ℕ∞ω
M' : Type u_13
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H M'
M'' : Type u_14
inst✝⁵ : TopologicalSpace M''
inst✝⁴ : ChartedSpace H M''
N : Type u_15
J✝ : Type u_16
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H
N' : Type u_17
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace H N'
⊢ ContMDiff I I n (Sum.inr ∘ Sum.inr)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.BumpFunction

Goal state before:
pp: E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
⊢ support ↑f = (chartAt H c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut

Tactic:
coe_def,

Goal state after:
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
⊢ support ((chartAt H c).source.indicator (↑f.toContDiffBump ∘ ↑(extChartAt I c))) =
    (chartAt H c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: case e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
s : Set M
z : M
F' : Type u_21
inst✝² : NormedCommRing F'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 F'
ι : Type
t✝ : Finset ι
f : ι → M → F'
f' : ι → TangentSpace I z →L[𝕜] F'
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
IH :
  (∀ i ∈ t, HasMFDerivAt[s] (f i) z (f' i)) →
    HasMFDerivAt[s] (∏ i ∈ t, f i) z (∑ i ∈ t, (∏ j ∈ t.erase i, f j z) • f' i)
hf : HasMFDerivAt[s] (f i) z (f' i) ∧ ∀ x ∈ t, HasMFDerivAt[s] (f x) z (f' x)
e_1✝ : (TangentSpace I z →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, F') ((f i * ∏ x ∈ t, f x) z)) = (TangentSpace I z →L[𝕜] F')
⊢ ∑ x ∈ t, (∏ j ∈ (insert i t).erase x, f j z) • f' x = f i z • ∑ i ∈ t, (∏ j ∈ t.erase i, f j z) • f' i

pp: case e'_6
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
s : Set M
z : M
F' : Type u_21
inst✝² : NormedCommRing F'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 F'
ι : Type
t✝ : Finset ι
f : ι → M → F'
f' : ι → TangentSpace I z →L[𝕜] F'
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
IH :
  (∀ i ∈ t, HasMFDerivAt[s] (f i) z (f' i)) →
    HasMFDerivAt[s] (∏ i ∈ t, f i) z (∑ i ∈ t, (∏ j ∈ t.erase i, f j z) • f' i)
hf : HasMFDerivAt[s] (f i) z (f' i) ∧ ∀ x ∈ t, HasMFDerivAt[s] (f x) z (f' x)
e_2✝ : (TangentSpace I z →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, F') ((f i * ∏ x ∈ t, f x) z)) = (TangentSpace I z →L[𝕜] F')
⊢ (∏ j ∈ t, f j z) • f' i = (∏ i ∈ t, f i) z • f' i

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
s : Set M
z : M
F' : Type u_21
inst✝² : NormedCommRing F'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 F'
ι : Type
t✝ : Finset ι
f : ι → M → F'
f' : ι → TangentSpace I z →L[𝕜] F'
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
IH :
  (∀ i ∈ t, HasMFDerivAt[s] (f i) z (f' i)) →
    HasMFDerivAt[s] (∏ i ∈ t, f i) z (∑ i ∈ t, (∏ j ∈ t.erase i, f j z) • f' i)
hf : HasMFDerivAt[s] (f i) z (f' i) ∧ ∀ x ∈ t, HasMFDerivAt[s] (f x) z (f' x)
e_1✝ : (TangentSpace I z →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, F') ((f i * ∏ x ∈ t, f x) z)) = (TangentSpace I z →L[𝕜] F')
⊢ ∑ x ∈ t, (∏ j ∈ (insert i t).erase x, f j z) • f' x = f i z • ∑ i ∈ t, (∏ j ∈ t.erase i, f j z) • f' i
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Diffeomorph

Goal state before:
pp: case hg
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J✝¹ : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
M'✝ : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace M'✝
inst✝¹² : ChartedSpace H' M'✝
N✝ : Type u_11
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N✝
inst✝¹⁰ : ChartedSpace G N✝
N'✝ : Type u_12
inst✝⁹ : TopologicalSpace N'✝
inst✝⁸ : ChartedSpace G' N'✝
n : ℕ∞ω
M' : Type u_13
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H M'
M'' : Type u_14
inst✝⁵ : TopologicalSpace M''
inst✝⁴ : ChartedSpace H M''
N : Type u_15
J✝ : Type u_16
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H
N' : Type u_17
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace H N'
⊢ ContMDiff I I n (Sum.elim (Sum.inl ∘ Sum.inr) Sum.inr)

Tactic:
·

Goal state after:
case hg
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J✝¹ : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
M'✝ : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace M'✝
inst✝¹² : ChartedSpace H' M'✝
N✝ : Type u_11
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N✝
inst✝¹⁰ : ChartedSpace G N✝
N'✝ : Type u_12
inst✝⁹ : TopologicalSpace N'✝
inst✝⁸ : ChartedSpace G' N'✝
n : ℕ∞ω
M' : Type u_13
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H M'
M'' : Type u_14
inst✝⁵ : TopologicalSpace M''
inst✝⁴ : ChartedSpace H M''
N : Type u_15
J✝ : Type u_16
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H
N' : Type u_17
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace H N'
⊢ ContMDiff I I n (Sum.elim (Sum.inl ∘ Sum.inr) Sum.inr)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.BumpFunction

Goal state before:
pp: case h₁
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set M
hse : s ⊆ (extChartAt I c).source
hsf : ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
⊢ ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s

pp: case h₂
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set M
hse : s ⊆ (extChartAt I c).source
hsf : ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
⊢ closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s ⊆ ↑(extChartAt I c) '' s

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set M
hse : s ⊆ (extChartAt I c).source
hsf : ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
⊢ ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.BumpFunction

Goal state before:
pp: case h₁.refine_1
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set M
hse : s ⊆ (extChartAt I c).source
hsf : ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
⊢ ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ range ↑I

pp: case h₁.refine_2
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set M
hse : s ⊆ (extChartAt I c).source
hsf : ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
⊢ ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁.refine_1
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set M
hse : s ⊆ (extChartAt I c).source
hsf : ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
⊢ ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ range ↑I
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.BumpFunction

Goal state before:
pp: case h₁.refine_2
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set M
hse : s ⊆ (extChartAt I c).source
hsf : ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
⊢ ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁.refine_2
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set M
hse : s ⊆ (extChartAt I c).source
hsf : ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
⊢ ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.BumpFunction

Goal state before:
pp: case h₂
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set M
hse : s ⊆ (extChartAt I c).source
hsf : ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
⊢ closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s ⊆ ↑(extChartAt I c) '' s

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set M
hse : s ⊆ (extChartAt I c).source
hsf : ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
⊢ closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s ⊆ ↑(extChartAt I c) '' s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: case e'_6
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
s : Set M
z : M
F' : Type u_21
inst✝² : NormedCommRing F'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 F'
ι : Type
t✝ : Finset ι
f : ι → M → F'
f' : ι → TangentSpace I z →L[𝕜] F'
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
IH :
  (∀ i ∈ t, HasMFDerivAt[s] (f i) z (f' i)) →
    HasMFDerivAt[s] (∏ i ∈ t, f i) z (∑ i ∈ t, (∏ j ∈ t.erase i, f j z) • f' i)
hf : HasMFDerivAt[s] (f i) z (f' i) ∧ ∀ x ∈ t, HasMFDerivAt[s] (f x) z (f' x)
e_2✝ : (TangentSpace I z →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, F') ((f i * ∏ x ∈ t, f x) z)) = (TangentSpace I z →L[𝕜] F')
⊢ (∏ j ∈ t, f j z) • f' i = (∏ i ∈ t, f i) z • f' i

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_6
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
s : Set M
z : M
F' : Type u_21
inst✝² : NormedCommRing F'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 F'
ι : Type
t✝ : Finset ι
f : ι → M → F'
f' : ι → TangentSpace I z →L[𝕜] F'
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
IH :
  (∀ i ∈ t, HasMFDerivAt[s] (f i) z (f' i)) →
    HasMFDerivAt[s] (∏ i ∈ t, f i) z (∑ i ∈ t, (∏ j ∈ t.erase i, f j z) • f' i)
hf : HasMFDerivAt[s] (f i) z (f' i) ∧ ∀ x ∈ t, HasMFDerivAt[s] (f x) z (f' x)
e_2✝ : (TangentSpace I z →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, F') ((f i * ∏ x ∈ t, f x) z)) = (TangentSpace I z →L[𝕜] F')
⊢ (∏ j ∈ t, f j z) • f' i = (∏ i ∈ t, f i) z • f' i
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.BumpFunction

Goal state before:
pp: case refine_1
E : Type uE
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
c : M
⊢ ∀ (i : ℝ),
    0 < i ∧ closedBall (↑(extChartAt I c) c) i ∩ range ↑I ⊆ (extChartAt I c).target →
      ∃ i', True ∧ closedBall (↑(extChartAt I c) c) i'.rOut ∩ range ↑I ⊆ closedBall (↑(extChartAt I c) c) i ∩ range ↑I

pp: case refine_2
E : Type uE
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
c : M
⊢ ∀ (i' : SmoothBumpFunction I c),
    True → closedBall (↑(extChartAt I c) c) i'.rOut ∩ range ↑I ∈ 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I c) c

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
E : Type uE
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
c : M
⊢ ∀ (i : ℝ),
    0 < i ∧ closedBall (↑(extChartAt I c) c) i ∩ range ↑I ⊆ (extChartAt I c).target →
      ∃ i', True ∧ closedBall (↑(extChartAt I c) c) i'.rOut ∩ range ↑I ⊆ closedBall (↑(extChartAt I c) c) i ∩ range ↑I
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.BumpFunction

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type uE
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
c : M
⊢ ∀ (i' : SmoothBumpFunction I c),
    True → closedBall (↑(extChartAt I c) c) i'.rOut ∩ range ↑I ∈ 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I c) c

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
E : Type uE
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
c : M
⊢ ∀ (i' : SmoothBumpFunction I c),
    True → closedBall (↑(extChartAt I c) c) i'.rOut ∩ range ↑I ∈ 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I c) c