mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.EMetricSpace.Diam

Goal state before:
pp: case inr.inl
X : Type u_2
s t : Set X
x y : X
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ ediam s + edist x y + ediam t
a b : X
h'a : a ∈ t
h'b : b ∈ s
⊢ edist a b ≤ ediam s + edist x y + ediam t

pp: case inr.inr
X : Type u_2
s t : Set X
x y : X
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ ediam s + edist x y + ediam t
a b : X
h'a : a ∈ t
h'b : b ∈ t
⊢ edist a b ≤ ediam s + edist x y + ediam t

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
X : Type u_2
s t : Set X
x y : X
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ ediam s + edist x y + ediam t
a b : X
h'a : a ∈ t
h'b : b ∈ s
⊢ edist a b ≤ ediam s + edist x y + ediam t
Module: Mathlib.Topology.Order.IntermediateValue

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed[inst✝³] (s ∩ Icc a b)
ha : a ∈ s
h✝ : ∀ t ∈ Ico a b, Icc a t ⊆ s → s ∈ 𝓝[>] t
hab : a ≤ b
A : Set α := {t | t ∈ Icc a b ∧ Icc a t ⊆ s}
a_mem : a ∈ A
bdd_A : BddAbove A
t₁ : α := sSup A
t₁_mem : t₁ ∈ Icc a b
t : α
ht : t ∈ Icc a t₁
h : t < t₁
⊢ t ∈ s

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed[inst✝³] (s ∩ Icc a b)
ha : a ∈ s
h✝ : ∀ t ∈ Ico a b, Icc a t ⊆ s → s ∈ 𝓝[>] t
hab : a ≤ b
A : Set α := {t | t ∈ Icc a b ∧ Icc a t ⊆ s}
a_mem : a ∈ A
bdd_A : BddAbove A
t₁ : α := sSup A
t₁_mem : t₁ ∈ Icc a b
t : α
ht : t ∈ Icc a t₁
h : t < t₁
⊢ t ∈ s
Module: Mathlib.Topology.EMetricSpace.Diam

Goal state before:
pp: case inr.inl
X : Type u_2
s t : Set X
x y : X
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ ediam s + edist x y + ediam t
a b : X
h'a : a ∈ t
h'b : b ∈ s
Z : edist b a ≤ ediam s + edist x y + ediam t
⊢ edist a b ≤ ediam s + edist x y + ediam t

Tactic:
rwa [edist_comm] at Z

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.EMetricSpace.Diam

Goal state before:
pp: case inr.inr
X : Type u_2
s t : Set X
x y : X
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ ediam s + edist x y + ediam t
a b : X
h'a : a ∈ t
h'b : b ∈ t
⊢ edist a b ≤ ediam s + edist x y + ediam t

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
X : Type u_2
s t : Set X
x y : X
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ ediam s + edist x y + ediam t
a b : X
h'a : a ∈ t
h'b : b ∈ t
⊢ edist a b ≤ ediam s + edist x y + ediam t
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Factorization

Goal state before:
pp: case refine_4
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J I' J' : FractionalIdeal R⁰ K
H✝ : I * J' = I' * J
h : J ≤ I
h' : J' ≤ I'
hJ' : J' ≠ 0
hI : I ≠ 0
this : J' ⊓ spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J') * I = spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J') * J
H : Submodule.map ((Algebra.lsmul R R K) (I'.divMod I J')) ↑I = ↑(spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J')) * ↑I
⊢ ↑I' ≤ ↑J' ⊔ ↑(spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J')) * ↑I

pp: case refine_4
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J I' J' : FractionalIdeal R⁰ K
H✝ : I * J' = I' * J
h : J ≤ I
h' : J' ≤ I'
hJ' : J' ≠ 0
hI : I ≠ 0
this : J' ⊓ spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J') * I = spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J') * J
H : Submodule.map ((Algebra.lsmul R R K) (I'.divMod I J')) ↑I = ↑(spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J')) * ↑I
⊢ ↑(spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J')) * ↑I ≤ ↑I'

pp: case refine_4
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J I' J' : FractionalIdeal R⁰ K
H✝ : I * J' = I' * J
h : J ≤ I
h' : J' ≤ I'
hJ' : J' ≠ 0
hI : I ≠ 0
this : J' ⊓ spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J') * I = spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J') * J
H : Submodule.map ((Algebra.lsmul R R K) (I'.divMod I J')) ↑I = ↑(spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J')) * ↑I
⊢ ↑J' ≤ ↑I'

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_4
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J I' J' : FractionalIdeal R⁰ K
H✝ : I * J' = I' * J
h : J ≤ I
h' : J' ≤ I'
hJ' : J' ≠ 0
hI : I ≠ 0
this : J' ⊓ spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J') * I = spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J') * J
H : Submodule.map ((Algebra.lsmul R R K) (I'.divMod I J')) ↑I = ↑(spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J')) * ↑I
⊢ ↑I' ≤ ↑J' ⊔ ↑(spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J')) * ↑I
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Group.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
inst✝ : SeminormedCommGroup E
a b : E
r : ℝ
⊢ (fun x ↦ b * x) ⁻¹' sphere a r = sphere (a / b) r

Tactic:
ext c
  simp only [Set.mem_preimage, mem_sphere_iff_norm', div_div_eq_mul_div, mul_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Factorization

Goal state before:
pp: case refine_4
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J I' J' : FractionalIdeal R⁰ K
H✝ : I * J' = I' * J
h : J ≤ I
h' : J' ≤ I'
hJ' : J' ≠ 0
hI : I ≠ 0
this : J' ⊓ spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J') * I = spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J') * J
H : Submodule.map ((Algebra.lsmul R R K) (I'.divMod I J')) ↑I = ↑(spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J')) * ↑I
⊢ ↑(spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J')) * ↑I ≤ ↑I'

pp: case refine_4
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J I' J' : FractionalIdeal R⁰ K
H✝ : I * J' = I' * J
h : J ≤ I
h' : J' ≤ I'
hJ' : J' ≠ 0
hI : I ≠ 0
this : J' ⊓ spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J') * I = spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J') * J
H : Submodule.map ((Algebra.lsmul R R K) (I'.divMod I J')) ↑I = ↑(spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J')) * ↑I
⊢ ↑J' ≤ ↑I'

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_4
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J I' J' : FractionalIdeal R⁰ K
H✝ : I * J' = I' * J
h : J ≤ I
h' : J' ≤ I'
hJ' : J' ≠ 0
hI : I ≠ 0
this : J' ⊓ spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J') * I = spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J') * J
H : Submodule.map ((Algebra.lsmul R R K) (I'.divMod I J')) ↑I = ↑(spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J')) * ↑I
⊢ ↑(spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J')) * ↑I ≤ ↑I'
Module: Mathlib.Topology.Order.IntermediateValue

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed[inst✝³] (s ∩ Icc a b)
ha : a ∈ s
h : ∀ t ∈ Ico a b, Icc a t ⊆ s → s ∈ 𝓝[>] t
hab : a ≤ b
A : Set α := {t | t ∈ Icc a b ∧ Icc a t ⊆ s}
a_mem : a ∈ A
bdd_A : BddAbove A
t₁ : α := sSup A
t₁_mem : t₁ ∈ Icc a b
ht₁ : Icc a t₁ ⊆ s
t₁a : a ≤ t₁
t₁b : t₁ ≤ b
t₁b' : t₁ < b
m : α
t₁m : m > t₁
H : Ioo t₁ m ⊆ s
t : α
hat : t₁ < t
ht : t < min m b
t' : α
ht' : t' ∈ Icc a t
h't' : t' ≤ t₁
⊢ t' ∈ s

pp: case inr
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed[inst✝³] (s ∩ Icc a b)
ha : a ∈ s
h : ∀ t ∈ Ico a b, Icc a t ⊆ s → s ∈ 𝓝[>] t
hab : a ≤ b
A : Set α := {t | t ∈ Icc a b ∧ Icc a t ⊆ s}
a_mem : a ∈ A
bdd_A : BddAbove A
t₁ : α := sSup A
t₁_mem : t₁ ∈ Icc a b
ht₁ : Icc a t₁ ⊆ s
t₁a : a ≤ t₁
t₁b : t₁ ≤ b
t₁b' : t₁ < b
m : α
t₁m : m > t₁
H : Ioo t₁ m ⊆ s
t : α
hat : t₁ < t
ht : t < min m b
t' : α
ht' : t' ∈ Icc a t
h't' : t₁ < t'
⊢ t' ∈ s

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed[inst✝³] (s ∩ Icc a b)
ha : a ∈ s
h : ∀ t ∈ Ico a b, Icc a t ⊆ s → s ∈ 𝓝[>] t
hab : a ≤ b
A : Set α := {t | t ∈ Icc a b ∧ Icc a t ⊆ s}
a_mem : a ∈ A
bdd_A : BddAbove A
t₁ : α := sSup A
t₁_mem : t₁ ∈ Icc a b
ht₁ : Icc a t₁ ⊆ s
t₁a : a ≤ t₁
t₁b : t₁ ≤ b
t₁b' : t₁ < b
m : α
t₁m : m > t₁
H : Ioo t₁ m ⊆ s
t : α
hat : t₁ < t
ht : t < min m b
t' : α
ht' : t' ∈ Icc a t
h't' : t' ≤ t₁
⊢ t' ∈ s
Module: Mathlib.Topology.Order.IntermediateValue

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed[inst✝³] (s ∩ Icc a b)
ha : a ∈ s
h : ∀ t ∈ Ico a b, Icc a t ⊆ s → s ∈ 𝓝[>] t
hab : a ≤ b
A : Set α := {t | t ∈ Icc a b ∧ Icc a t ⊆ s}
a_mem : a ∈ A
bdd_A : BddAbove A
t₁ : α := sSup A
t₁_mem : t₁ ∈ Icc a b
ht₁ : Icc a t₁ ⊆ s
t₁a : a ≤ t₁
t₁b : t₁ ≤ b
t₁b' : t₁ < b
m : α
t₁m : m > t₁
H : Ioo t₁ m ⊆ s
t : α
hat : t₁ < t
ht : t < min m b
t' : α
ht' : t' ∈ Icc a t
h't' : t₁ < t'
⊢ t' ∈ s

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed[inst✝³] (s ∩ Icc a b)
ha : a ∈ s
h : ∀ t ∈ Ico a b, Icc a t ⊆ s → s ∈ 𝓝[>] t
hab : a ≤ b
A : Set α := {t | t ∈ Icc a b ∧ Icc a t ⊆ s}
a_mem : a ∈ A
bdd_A : BddAbove A
t₁ : α := sSup A
t₁_mem : t₁ ∈ Icc a b
ht₁ : Icc a t₁ ⊆ s
t₁a : a ≤ t₁
t₁b : t₁ ≤ b
t₁b' : t₁ < b
m : α
t₁m : m > t₁
H : Ioo t₁ m ⊆ s
t : α
hat : t₁ < t
ht : t < min m b
t' : α
ht' : t' ∈ Icc a t
h't' : t₁ < t'
⊢ t' ∈ s
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Factorization

Goal state before:
pp: case refine_4
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J I' J' : FractionalIdeal R⁰ K
H✝ : I * J' = I' * J
h : J ≤ I
h' : J' ≤ I'
hJ' : J' ≠ 0
hI : I ≠ 0
this : J' ⊓ spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J') * I = spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J') * J
H : Submodule.map ((Algebra.lsmul R R K) (I'.divMod I J')) ↑I = ↑(spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J')) * ↑I
⊢ ↑J' ≤ ↑I'

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_4
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J I' J' : FractionalIdeal R⁰ K
H✝ : I * J' = I' * J
h : J ≤ I
h' : J' ≤ I'
hJ' : J' ≠ 0
hI : I ≠ 0
this : J' ⊓ spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J') * I = spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J') * J
H : Submodule.map ((Algebra.lsmul R R K) (I'.divMod I J')) ↑I = ↑(spanSingleton R⁰ (I'.divMod I J')) * ↑I
⊢ ↑J' ≤ ↑I'
Module: Mathlib.Topology.Order.IntermediateValue

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s t : Set α
hs : IsClosed[inst✝³] s
ht : IsClosed[inst✝³] t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
y : α
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
h : x ≤ y
⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty

pp: case inr
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s t : Set α
hs : IsClosed[inst✝³] s
ht : IsClosed[inst✝³] t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
y : α
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
h : y ≤ x
⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s t : Set α
hs : IsClosed[inst✝³] s
ht : IsClosed[inst✝³] t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
y : α
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
h : x ≤ y
⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
Module: Mathlib.Topology.Order.IntermediateValue

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s t : Set α
hs : IsClosed[inst✝³] s
ht : IsClosed[inst✝³] t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
y : α
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
h : x ≤ y
⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty

pp: case inr
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s t : Set α
hs : IsClosed[inst✝³] s
ht : IsClosed[inst✝³] t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
y : α
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
h : y ≤ x
⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty

Tactic:
· exact isPreconnected_Icc_aux x y s t h hs ht hab hx hy

Goal state after:
case inr
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s t : Set α
hs : IsClosed[inst✝³] s
ht : IsClosed[inst✝³] t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
y : α
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
h : y ≤ x
⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
Module: Mathlib.Topology.Order.IntermediateValue

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s t : Set α
hs : IsClosed[inst✝³] s
ht : IsClosed[inst✝³] t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
y : α
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
h : y ≤ x
⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s t : Set α
hs : IsClosed[inst✝³] s
ht : IsClosed[inst✝³] t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
y : α
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
h : y ≤ x
⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Factorization

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
S : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Algebra.IsIntegral S R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree S R
p : Ideal S
inst✝ : p.IsMaximal
hp : p ≠ 0
h : map (algebraMap S R) p ≠ 0
hF : Fintype ↑{v | v.asIdeal ∣ map (algebraMap S R) p} := ⋯.fintype
⊢ ∏ i, (↑i).maxPowDividing (map (algebraMap S R) p) = ∏ i, ↑i ^ (↑i).ramificationIdx S

pp: case h
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
S : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Algebra.IsIntegral S R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree S R
p : Ideal S
inst✝ : p.IsMaximal
hp : p ≠ 0
h : map (algebraMap S R) p ≠ 0
hF : Fintype ↑{v | v.asIdeal ∣ map (algebraMap S R) p} := ⋯.fintype
⊢ (mulSupport fun v ↦ v.maxPowDividing (map (algebraMap S R) p)) ⊆ ↑{v | v.asIdeal ∣ map (algebraMap S R) p}.toFinset

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
S : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Algebra.IsIntegral S R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree S R
p : Ideal S
inst✝ : p.IsMaximal
hp : p ≠ 0
h : map (algebraMap S R) p ≠ 0
hF : Fintype ↑{v | v.asIdeal ∣ map (algebraMap S R) p} := ⋯.fintype
⊢ ∏ i, (↑i).maxPowDividing (map (algebraMap S R) p) = ∏ i, ↑i ^ (↑i).ramificationIdx S
Module: Mathlib.Topology.Order.IntermediateValue

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
s : Set α
h : ∀ t ⊆ s, t.OrdConnected → ∀ x ∈ t, ∀ x_1 ∈ t, ¬x < x_1
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
hxy : x < y
⊢ ∃ z ∉ s, z ∈ Ioo x y

pp: case refine_2
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → ∃ z ∉ s, z ∈ Ioo x y
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : t.OrdConnected
x : α
hx : x ∈ t
y : α
hy : y ∈ t
hxy : x < y
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
s : Set α
h : ∀ t ⊆ s, t.OrdConnected → ∀ x ∈ t, ∀ x_1 ∈ t, ¬x < x_1
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
hxy : x < y
⊢ ∃ z ∉ s, z ∈ Ioo x y
Module: Mathlib.Topology.Order.IntermediateValue

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → ∃ z ∉ s, z ∈ Ioo x y
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : t.OrdConnected
x : α
hx : x ∈ t
y : α
hy : y ∈ t
hxy : x < y
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x < y → ∃ z ∉ s, z ∈ Ioo x y
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : t.OrdConnected
x : α
hx : x ∈ t
y : α
hy : y ∈ t
hxy : x < y
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Factorization

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
S : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Algebra.IsIntegral S R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree S R
p : Ideal S
inst✝ : p.IsMaximal
hp : p ≠ 0
h : map (algebraMap S R) p ≠ 0
hF : Fintype ↑{v | v.asIdeal ∣ map (algebraMap S R) p} := ⋯.fintype
⊢ (mulSupport fun v ↦ v.maxPowDividing (map (algebraMap S R) p)) ⊆ ↑{v | v.asIdeal ∣ map (algebraMap S R) p}.toFinset

Tactic:
·

Goal state after:
case h
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
S : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Algebra.IsIntegral S R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree S R
p : Ideal S
inst✝ : p.IsMaximal
hp : p ≠ 0
h : map (algebraMap S R) p ≠ 0
hF : Fintype ↑{v | v.asIdeal ∣ map (algebraMap S R) p} := ⋯.fintype
⊢ (mulSupport fun v ↦ v.maxPowDividing (map (algebraMap S R) p)) ⊆ ↑{v | v.asIdeal ∣ map (algebraMap S R) p}.toFinset
Module: Mathlib.Topology.Order.IntermediateValue

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
δ : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderClosedTopology δ
inst✝ : BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous[inst✝⁷, inst✝²] f
hf : f ⊥ ≤ f ⊤
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
h : f b ≤ f a
H : f b < f a
ha : f a ≤ f ⊥
⊢ False

pp: case neg
α : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
δ : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderClosedTopology δ
inst✝ : BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous[inst✝⁷, inst✝²] f
hf : f ⊥ ≤ f ⊤
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
h : f b ≤ f a
H : f b < f a
ha : f ⊥ < f a
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
δ : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderClosedTopology δ
inst✝ : BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous[inst✝⁷, inst✝²] f
hf : f ⊥ ≤ f ⊤
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
h : f b ≤ f a
H : f b < f a
ha : f a ≤ f ⊥
⊢ False
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Bounded

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
hU : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ∅
⊢ ∃ f,
    Monotone f ∧
      ⋃ i, f i = ∅ ∧
        ∀ (i : ℕ), Bornology.IsBounded (f i) ∧ IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (f i)

pp: case inr
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
U : Set α
hU : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
x : α
⊢ ∃ f,
    Monotone f ∧
      ⋃ i, f i = U ∧
        ∀ (i : ℕ), Bornology.IsBounded (f i) ∧ IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (f i)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
hU : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ∅
⊢ ∃ f,
    Monotone f ∧
      ⋃ i, f i = ∅ ∧
        ∀ (i : ℕ), Bornology.IsBounded (f i) ∧ IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (f i)
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Factorization

Goal state before:
pp: R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥
⊢ ∏ᶠ (p : HeightOneSpectrum R), p.asIdeal ^ multiplicity p.asIdeal I = I

Tactic:
simpa only [maxPowDividing_eq_pow_multiplicity hI]
    using finprod_heightOneSpectrum_factorization hI

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Bounded

Goal state before:
pp: case inr.refine_1
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
U : Set α
hU : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
x : α
i j : ℕ
hij : i ≤ j
⊢ (fun i ↦ U ∩ ball x ↑i) i ⊆ (fun i ↦ U ∩ ball x ↑i) j

pp: case inr.refine_2
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
U : Set α
hU : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
x : α
⊢ ⋃ i, (fun i ↦ U ∩ ball x ↑i) i = U

pp: case inr.refine_3
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
U : Set α
hU : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
x : α
i : ℕ
⊢ Bornology.IsBounded ((fun i ↦ U ∩ ball x ↑i) i)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.refine_1
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
U : Set α
hU : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
x : α
i j : ℕ
hij : i ≤ j
⊢ (fun i ↦ U ∩ ball x ↑i) i ⊆ (fun i ↦ U ∩ ball x ↑i) j
Module: Mathlib.Topology.Order.IntermediateValue

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
δ : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderClosedTopology δ
inst✝ : BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous[inst✝⁷, inst✝²] f
hf : f ⊥ ≤ f ⊤
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
h : f b ≤ f a
H : f b < f a
ha : f ⊥ < f a
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
δ : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderClosedTopology δ
inst✝ : BoundedOrder α
f : α → δ
hf_c : Continuous[inst✝⁷, inst✝²] f
hf : f ⊥ ≤ f ⊤
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
h : f b ≤ f a
H : f b < f a
ha : f ⊥ < f a
⊢ False
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Bounded

Goal state before:
pp: case inr.refine_2
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
U : Set α
hU : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
x : α
⊢ ⋃ i, (fun i ↦ U ∩ ball x ↑i) i = U

pp: case inr.refine_3
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
U : Set α
hU : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
x : α
i : ℕ
⊢ Bornology.IsBounded ((fun i ↦ U ∩ ball x ↑i) i)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.refine_2
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
U : Set α
hU : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
x : α
⊢ ⋃ i, (fun i ↦ U ∩ ball x ↑i) i = U
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Bounded

Goal state before:
pp: case inr.refine_3
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
U : Set α
hU : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
x : α
i : ℕ
⊢ Bornology.IsBounded ((fun i ↦ U ∩ ball x ↑i) i)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.refine_3
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
U : Set α
hU : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
x : α
i : ℕ
⊢ Bornology.IsBounded ((fun i ↦ U ∩ ball x ↑i) i)