mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
L : Type u_3
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x✝¹ x✝ : LieDerivation R L L
z : A ⊗[R] L
a : A
l : L
⊢ { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑⁅x✝¹, x✝⁆), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } (a ⊗ₜ[R] l) =
    ⁅{ toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝¹), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ },
        { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }⁆
      (a ⊗ₜ[R] l)

pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
L : Type u_3
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x✝³ x✝² : LieDerivation R L L
z x✝¹ x✝ : A ⊗[R] L
hx :
  { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑⁅x✝³, x✝²⁆), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } x✝¹ =
    ⁅{ toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝³), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ },
        { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝²), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }⁆
      x✝¹
hy :
  { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑⁅x✝³, x✝²⁆), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } x✝ =
    ⁅{ toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝³), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ },
        { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝²), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }⁆
      x✝
⊢ { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑⁅x✝³, x✝²⁆), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } (x✝¹ + x✝) =
    ⁅{ toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝³), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ },
        { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝²), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }⁆
      (x✝¹ + x✝)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
L : Type u_3
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x✝¹ x✝ : LieDerivation R L L
z : A ⊗[R] L
a : A
l : L
⊢ { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑⁅x✝¹, x✝⁆), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } (a ⊗ₜ[R] l) =
    ⁅{ toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝¹), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ },
        { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }⁆
      (a ⊗ₜ[R] l)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
L : Type u_3
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x✝³ x✝² : LieDerivation R L L
z x✝¹ x✝ : A ⊗[R] L
hx :
  { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑⁅x✝³, x✝²⁆), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } x✝¹ =
    ⁅{ toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝³), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ },
        { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝²), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }⁆
      x✝¹
hy :
  { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑⁅x✝³, x✝²⁆), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } x✝ =
    ⁅{ toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝³), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ },
        { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝²), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }⁆
      x✝
⊢ { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑⁅x✝³, x✝²⁆), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } (x✝¹ + x✝) =
    ⁅{ toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝³), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ },
        { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝²), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }⁆
      (x✝¹ + x✝)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
L : Type u_3
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x✝³ x✝² : LieDerivation R L L
z x✝¹ x✝ : A ⊗[R] L
hx :
  { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑⁅x✝³, x✝²⁆), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } x✝¹ =
    ⁅{ toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝³), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ },
        { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝²), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }⁆
      x✝¹
hy :
  { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑⁅x✝³, x✝²⁆), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } x✝ =
    ⁅{ toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝³), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ },
        { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝²), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }⁆
      x✝
⊢ { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑⁅x✝³, x✝²⁆), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } (x✝¹ + x✝) =
    ⁅{ toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝³), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ },
        { toFun := ⇑(LinearMap.lTensor A ↑x✝²), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }⁆
      (x✝¹ + x✝)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymplecticGroup

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
l : Type u_1
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
R : Type u_3
inst✝ : Field R
A C : Matrix l l R
hker : ∀ (x : l → R), A • x = 0 → C • x = 0 → x = 0
hsymm : Aᵀ * C = Cᵀ * A
V U : Matrix l l R
s : l ≃ Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)
hV : IsUnit V
hU : IsUnit U
P : Matrix l l R := V * C * U
heq : P = (fromBlocks 1 0 0 0).submatrix ⇑s ⇑s
P_def : P = V * C * U
Q : Matrix l l R := Vᵀ⁻¹ * A * U
Q_def : Q = Vᵀ⁻¹ * A * U
f : Matrix l l R → Matrix (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) R :=
  fun x ↦ x.submatrix ⇑s.symm ⇑s.symm
hf : ∀ (x : Matrix l l R), f x = x.submatrix ⇑s.symm ⇑s.symm
f_unit : ∀ {x : Matrix l l R}, IsUnit x → IsUnit (f x)
f_mul : ∀ (x y : Matrix l l R), f (x * y) = f x * f y
x✝² : Invertible V
x✝¹ : Invertible U
x✝ : Invertible (f Vᵀ)
con1 : ∀ (x : Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank) → R), f Q • x = 0 → f P • x = 0 → x = 0
con2 : (f Q).toBlocks₁₁ᵀ = (f Q).toBlocks₁₁ ∧ (f Q).toBlocks₁₂ = 0
con3 : IsUnit (f Q).toBlocks₂₂
Y : Matrix (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) R :=
  fromBlocks (1 - (f Q).toBlocks₁₁) 0 0 0
Y_def : Y = fromBlocks (1 - (f Q).toBlocks₁₁) 0 0 0
hY_symm : Y.IsSymm
X : Matrix (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) R := f Vᵀ * Y * f V
X_def : X = f Vᵀ * Y * f V
heq' : f (A + X.submatrix ⇑s ⇑s * C) = f Vᵀ * (f Q + Y * f P) * f U⁻¹
⊢ IsUnit (f U⁻¹)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.refine_2
l : Type u_1
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
R : Type u_3
inst✝ : Field R
A C : Matrix l l R
hker : ∀ (x : l → R), A • x = 0 → C • x = 0 → x = 0
hsymm : Aᵀ * C = Cᵀ * A
V U : Matrix l l R
s : l ≃ Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)
hV : IsUnit V
hU : IsUnit U
P : Matrix l l R := V * C * U
heq : P = (fromBlocks 1 0 0 0).submatrix ⇑s ⇑s
P_def : P = V * C * U
Q : Matrix l l R := Vᵀ⁻¹ * A * U
Q_def : Q = Vᵀ⁻¹ * A * U
f : Matrix l l R → Matrix (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) R :=
  fun x ↦ x.submatrix ⇑s.symm ⇑s.symm
hf : ∀ (x : Matrix l l R), f x = x.submatrix ⇑s.symm ⇑s.symm
f_unit : ∀ {x : Matrix l l R}, IsUnit x → IsUnit (f x)
f_mul : ∀ (x y : Matrix l l R), f (x * y) = f x * f y
x✝² : Invertible V
x✝¹ : Invertible U
x✝ : Invertible (f Vᵀ)
con1 : ∀ (x : Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank) → R), f Q • x = 0 → f P • x = 0 → x = 0
con2 : (f Q).toBlocks₁₁ᵀ = (f Q).toBlocks₁₁ ∧ (f Q).toBlocks₁₂ = 0
con3 : IsUnit (f Q).toBlocks₂₂
Y : Matrix (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) R :=
  fromBlocks (1 - (f Q).toBlocks₁₁) 0 0 0
Y_def : Y = fromBlocks (1 - (f Q).toBlocks₁₁) 0 0 0
hY_symm : Y.IsSymm
X : Matrix (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) R := f Vᵀ * Y * f V
X_def : X = f Vᵀ * Y * f V
heq' : f (A + X.submatrix ⇑s ⇑s * C) = f Vᵀ * (f Q + Y * f P) * f U⁻¹
⊢ IsUnit (f U⁻¹)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.DirectSum

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u
ι : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝² : DecidableEq ι
L' : Type w₁
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'
hf : Pairwise fun i j ↦ ∀ (x : L i) (y : L j), ⁅(f i) x, (f j) y⁆ = 0
x✝ y✝ : ⨁ (i : ι), L i
f' : (i : ι) → L i →ₗ[R] L' := fun i ↦ ↑(f i)
i : ι
y x : L i
⊢ (toAddMonoid fun i ↦ (↑(f i)).toAddMonoidHom) ⁅(of L i) x, (of L i) y⁆ =
    ⁅(↑(f i)).toAddMonoidHom x, (↑(f i)).toAddMonoidHom y⁆

pp: case inr
R : Type u
ι : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝² : DecidableEq ι
L' : Type w₁
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'
hf : Pairwise fun i j ↦ ∀ (x : L i) (y : L j), ⁅(f i) x, (f j) y⁆ = 0
x✝ y✝ : ⨁ (i : ι), L i
f' : (i : ι) → L i →ₗ[R] L' := fun i ↦ ↑(f i)
i j : ι
y : L i
x : L j
hij : i ≠ j
⊢ (toAddMonoid fun i ↦ (↑(f i)).toAddMonoidHom) ⁅(of L j) x, (of L i) y⁆ =
    ⁅(↑(f j)).toAddMonoidHom x, (↑(f i)).toAddMonoidHom y⁆

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u
ι : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝² : DecidableEq ι
L' : Type w₁
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'
hf : Pairwise fun i j ↦ ∀ (x : L i) (y : L j), ⁅(f i) x, (f j) y⁆ = 0
x✝ y✝ : ⨁ (i : ι), L i
f' : (i : ι) → L i →ₗ[R] L' := fun i ↦ ↑(f i)
i : ι
y x : L i
⊢ (toAddMonoid fun i ↦ (↑(f i)).toAddMonoidHom) ⁅(of L i) x, (of L i) y⁆ =
    ⁅(↑(f i)).toAddMonoidHom x, (↑(f i)).toAddMonoidHom y⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.DirectSum

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u
ι : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝² : DecidableEq ι
L' : Type w₁
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'
hf : Pairwise fun i j ↦ ∀ (x : L i) (y : L j), ⁅(f i) x, (f j) y⁆ = 0
x✝ y✝ : ⨁ (i : ι), L i
f' : (i : ι) → L i →ₗ[R] L' := fun i ↦ ↑(f i)
i j : ι
y : L i
x : L j
hij : i ≠ j
⊢ (toAddMonoid fun i ↦ (↑(f i)).toAddMonoidHom) ⁅(of L j) x, (of L i) y⁆ =
    ⁅(↑(f j)).toAddMonoidHom x, (↑(f i)).toAddMonoidHom y⁆

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
R : Type u
ι : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
L : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝³ : (i : ι) → LieAlgebra R (L i)
inst✝² : DecidableEq ι
L' : Type w₁
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : (i : ι) → L i →ₗ⁅R⁆ L'
hf : Pairwise fun i j ↦ ∀ (x : L i) (y : L j), ⁅(f i) x, (f j) y⁆ = 0
x✝ y✝ : ⨁ (i : ι), L i
f' : (i : ι) → L i →ₗ[R] L' := fun i ↦ ↑(f i)
i j : ι
y : L i
x : L j
hij : i ≠ j
⊢ (toAddMonoid fun i ↦ (↑(f i)).toAddMonoidHom) ⁅(of L j) x, (of L i) y⁆ =
    ⁅(↑(f j)).toAddMonoidHom x, (↑(f i)).toAddMonoidHom y⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanExists

Goal state before:
pp: case h.refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K ↑v
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q) v ^ n) z' = 0
n : ℕ := Nat.find hz'
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q) v ^ n) z' = 0
k : ℕ
hk : n = k + 1
hsψ : z' ≠ 0
⊢ ((toEnd K (↥U) Q) (α • u + x')) (((toEnd K (↥U) Q) v ^ k) z') = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case h.refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
α : K
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K ↑v
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q) v ^ n) z' = 0
n : ℕ := Nat.find hz'
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q) v ^ n) z' = 0
k : ℕ
hk : n = k + 1
hsψ : z' ≠ 0
⊢ ((toEnd K (↥U) Q) (α • u + x')) (((toEnd K (↥U) Q) v ^ k) z') = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.UniversalEnveloping

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
A : Type u₃
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
g : UniversalEnvelopingAlgebra R L →ₐ[R] A
⊢ ⇑g ∘ ⇑(ι R) = ⇑f → (lift R).symm g = f

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
A : Type u₃
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
g : UniversalEnvelopingAlgebra R L →ₐ[R] A
⊢ ⇑g ∘ ⇑(ι R) = ⇑f → (lift R).symm g = f
Module: Mathlib.Algebra.Lie.UniversalEnveloping

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
A : Type u₃
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
g : UniversalEnvelopingAlgebra R L →ₐ[R] A
⊢ (lift R).symm g = f → ⇑g ∘ ⇑(ι R) = ⇑f

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
A : Type u₃
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
g : UniversalEnvelopingAlgebra R L →ₐ[R] A
⊢ (lift R).symm g = f → ⇑g ∘ ⇑(ι R) = ⇑f
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Grading

Goal state before:
pp: M : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
m : M
a : R[M]
⊢ (∃ b, a.coeff = Finsupp.single m b) ↔ a ∈ (lsingle m).range

Tactic:
simp [← coeff_inj, eq_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Grading

Goal state before:
pp: case refine_1
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
⊢ ∀ (hx : 0 ∈ gradeBy R (⇑f) i), (decomposeAux f) ↑⟨0, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i ↦ ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨0, hx⟩

pp: case refine_2
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
⊢ ∀ (m : M) (r : R) (x : R[M]),
    m ∉ x.coeff.support →
      r ≠ 0 →
        (∀ (hx : x ∈ gradeBy R (⇑f) i),
            (decomposeAux f) ↑⟨x, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i ↦ ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨x, hx⟩) →
          ∀ (hx : single m r + x ∈ gradeBy R (⇑f) i),
            (decomposeAux f) ↑⟨single m r + x, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i ↦ ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨single m r + x, hx⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
⊢ ∀ (hx : 0 ∈ gradeBy R (⇑f) i), (decomposeAux f) ↑⟨0, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i ↦ ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨0, hx⟩
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Grading

Goal state before:
pp: case refine_2
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
⊢ ∀ (m : M) (r : R) (x : R[M]),
    m ∉ x.coeff.support →
      r ≠ 0 →
        (∀ (hx : x ∈ gradeBy R (⇑f) i),
            (decomposeAux f) ↑⟨x, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i ↦ ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨x, hx⟩) →
          ∀ (hx : single m r + x ∈ gradeBy R (⇑f) i),
            (decomposeAux f) ↑⟨single m r + x, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i ↦ ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨single m r + x, hx⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
⊢ ∀ (m : M) (r : R) (x : R[M]),
    m ∉ x.coeff.support →
      r ≠ 0 →
        (∀ (hx : x ∈ gradeBy R (⇑f) i),
            (decomposeAux f) ↑⟨x, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i ↦ ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨x, hx⟩) →
          ∀ (hx : single m r + x ∈ gradeBy R (⇑f) i),
            (decomposeAux f) ↑⟨single m r + x, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i ↦ ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨single m r + x, hx⟩
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Decomposition

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ℳ : ι → Submodule R M
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Decomposition ℳ
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra R S
⊢ (coeLinearMap fun i ↦ Submodule.baseChange S (ℳ i)) ∘ₗ
      (lmap fun x ↦ Submodule.toBaseChange S (ℳ x)) ∘ₗ
        ↑(directSumRight R S S fun i ↦ ↥(ℳ i)) ∘ₗ
          ↑(LinearEquiv.baseChange R S M (⨁ (i : ι), ↥(ℳ i)) (decomposeLinearEquiv ℳ)) =
    LinearMap.id

pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ℳ : ι → Submodule R M
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Decomposition ℳ
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra R S
⊢ (((lmap fun x ↦ Submodule.toBaseChange S (ℳ x)) ∘ₗ
        ↑(directSumRight R S S fun i ↦ ↥(ℳ i)) ∘ₗ
          ↑(LinearEquiv.baseChange R S M (⨁ (i : ι), ↥(ℳ i)) (decomposeLinearEquiv ℳ))) ∘ₗ
      coeLinearMap fun i ↦ Submodule.baseChange S (ℳ i)) =
    LinearMap.id

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ℳ : ι → Submodule R M
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Decomposition ℳ
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra R S
⊢ (coeLinearMap fun i ↦ Submodule.baseChange S (ℳ i)) ∘ₗ
      (lmap fun x ↦ Submodule.toBaseChange S (ℳ x)) ∘ₗ
        ↑(directSumRight R S S fun i ↦ ↥(ℳ i)) ∘ₗ
          ↑(LinearEquiv.baseChange R S M (⨁ (i : ι), ↥(ℳ i)) (decomposeLinearEquiv ℳ)) =
    LinearMap.id
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Decomposition

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ℳ : ι → Submodule R M
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Decomposition ℳ
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra R S
⊢ (((lmap fun x ↦ Submodule.toBaseChange S (ℳ x)) ∘ₗ
        ↑(directSumRight R S S fun i ↦ ↥(ℳ i)) ∘ₗ
          ↑(LinearEquiv.baseChange R S M (⨁ (i : ι), ↥(ℳ i)) (decomposeLinearEquiv ℳ))) ∘ₗ
      coeLinearMap fun i ↦ Submodule.baseChange S (ℳ i)) =
    LinearMap.id

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ℳ : ι → Submodule R M
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Decomposition ℳ
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra R S
⊢ (((lmap fun x ↦ Submodule.toBaseChange S (ℳ x)) ∘ₗ
        ↑(directSumRight R S S fun i ↦ ↥(ℳ i)) ∘ₗ
          ↑(LinearEquiv.baseChange R S M (⨁ (i : ι), ↥(ℳ i)) (decomposeLinearEquiv ℳ))) ∘ₗ
      coeLinearMap fun i ↦ Submodule.baseChange S (ℳ i)) =
    LinearMap.id
Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
a : A
hv : ∀ (x : A), ⁅x, 0⁆ = χ x • 0
⊢ ⁅a, ⁅z, 0⁆⁆ = χ a • ⁅z, 0⁆

pp: case inr
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
⊢ ⁅a, ⁅z, v⁆⁆ = χ a • ⁅z, v⁆

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
a : A
hv : ∀ (x : A), ⁅x, 0⁆ = χ x • 0
⊢ ⁅a, ⁅z, 0⁆⁆ = χ a • ⁅z, 0⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
a : A
hv : ∀ (x : A), ⁅x, 0⁆ = χ x • 0
⊢ ⁅a, ⁅z, 0⁆⁆ = χ a • ⁅z, 0⁆

Tactic:
simp only [lie_zero, smul_zero]

Goal state after: