mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
t : R
h₁ : 0 • P.root i + t • P.root j = 0
h₂ : 0 = 0 → t ≠ 0
⊢ 0 ≠ 0

pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
s t : R
h₁ : s • P.root i + t • P.root j = 0
h₂ : s = 0 → t ≠ 0
hs : s ≠ 0
⊢ s ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
t : R
h₁ : 0 • P.root i + t • P.root j = 0
h₂ : 0 = 0 → t ≠ 0
⊢ 0 ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
s t : R
h₁ : s • P.root i + t • P.root j = 0
h₂ : s = 0 → t ≠ 0
hs : s ≠ 0
⊢ s ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
s t : R
h₁ : s • P.root i + t • P.root j = 0
h₂ : s = 0 → t ≠ 0
hs : s ≠ 0
⊢ s ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
s : R
h₂ : s ≠ 0
h₁ : s • P.root i + 0 • P.root j = 0
⊢ 0 ≠ 0

pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
s t : R
h₁ : s • P.root i + t • P.root j = 0
h₂ : s ≠ 0
ht : t ≠ 0
⊢ t ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
s : R
h₂ : s ≠ 0
h₁ : s • P.root i + 0 • P.root j = 0
⊢ 0 ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
s t : R
h₁ : s • P.root i + t • P.root j = 0
h₂ : s ≠ 0
ht : t ≠ 0
⊢ t ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
s t : R
h₁ : s • P.root i + t • P.root j = 0
h₂ : s ≠ 0
ht : t ≠ 0
⊢ t ≠ 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Union

Goal state before:
pp: case insert.inl
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module K M
p : ι → Submodule K M
h₁ : ∀ (i : ι), p i ≠ ⊤
j : ι
hj : j ∉ ∅
h₂ : ↑(insert j ∅).card < ENat.card K
hj' : ↑∅.card < ENat.card K → ⋃ i ∈ ∅, ↑(p i) ≠ univ
⊢ ⋃ i ∈ insert j ∅, ↑(p i) ≠ univ

pp: case insert.inr
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module K M
p : ι → Submodule K M
h₁ : ∀ (i : ι), p i ≠ ⊤
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
h₂ : ↑(insert j s).card < ENat.card K
hj' : ↑s.card < ENat.card K → ⋃ i ∈ s, ↑(p i) ≠ univ
hs : s.Nonempty
⊢ ⋃ i ∈ insert j s, ↑(p i) ≠ univ

Tactic:
·

Goal state after:
case insert.inl
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module K M
p : ι → Submodule K M
h₁ : ∀ (i : ι), p i ≠ ⊤
j : ι
hj : j ∉ ∅
h₂ : ↑(insert j ∅).card < ENat.card K
hj' : ↑∅.card < ENat.card K → ⋃ i ∈ ∅, ↑(p i) ≠ univ
⊢ ⋃ i ∈ insert j ∅, ↑(p i) ≠ univ
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hα : α.IsZero
⊢ chainLength α β • x = ⁅coroot α, x⁆

pp: case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hα : ¬α.IsZero
⊢ chainLength α β • x = ⁅coroot α, x⁆

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hα : α.IsZero
⊢ chainLength α β • x = ⁅coroot α, x⁆
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Union

Goal state before:
pp: case insert.inr.inl
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module K M
p : ι → Submodule K M
h₁ : ∀ (i : ι), p i ≠ ⊤
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
hs : s.Nonempty
h₂ : ↑s.card + 1 < ENat.card K
hj' : ↑(p j) ∪ ⋃ i ∈ s, ↑(p i) = univ
hx : 0 ∈ p j
⊢ 0 ∈ ⋃ i ∈ s, ↑(p i)

pp: case insert.inr.inr
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module K M
p : ι → Submodule K M
h₁ : ∀ (i : ι), p i ≠ ⊤
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
hs : s.Nonempty
h₂ : ↑s.card + 1 < ENat.card K
hj' : ↑(p j) ∪ ⋃ i ∈ s, ↑(p i) = univ
x : M
hx : x ∈ p j
hx₀ : x ≠ 0
⊢ x ∈ ⋃ i ∈ s, ↑(p i)

Tactic:
·

Goal state after:
case insert.inr.inl
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module K M
p : ι → Submodule K M
h₁ : ∀ (i : ι), p i ≠ ⊤
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
hs : s.Nonempty
h₂ : ↑s.card + 1 < ENat.card K
hj' : ↑(p j) ∪ ⋃ i ∈ s, ↑(p i) = univ
hx : 0 ∈ p j
⊢ 0 ∈ ⋃ i ∈ s, ↑(p i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: case inl.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j = 0
hji : P.pairingIn S j i = 0
⊢ P.pairingIn S i j ≤ 0 ↔ P.pairingIn S j i ≤ 0

pp: case inl.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j = 0
hji : P.pairingIn S j i ≠ 0
⊢ P.pairingIn S i j ≤ 0 ↔ P.pairingIn S j i ≤ 0

pp: case inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j ≠ 0
hji : P.pairingIn S j i = 0
⊢ P.pairingIn S i j ≤ 0 ↔ P.pairingIn S j i ≤ 0

pp: case inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j ≠ 0
hji : P.pairingIn S j i ≠ 0
⊢ P.pairingIn S i j ≤ 0 ↔ P.pairingIn S j i ≤ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j = 0
hji : P.pairingIn S j i = 0
⊢ P.pairingIn S i j ≤ 0 ↔ P.pairingIn S j i ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: case inl.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j = 0
hji : P.pairingIn S j i ≠ 0
⊢ P.pairingIn S i j ≤ 0 ↔ P.pairingIn S j i ≤ 0

pp: case inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j ≠ 0
hji : P.pairingIn S j i = 0
⊢ P.pairingIn S i j ≤ 0 ↔ P.pairingIn S j i ≤ 0

pp: case inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j ≠ 0
hji : P.pairingIn S j i ≠ 0
⊢ P.pairingIn S i j ≤ 0 ↔ P.pairingIn S j i ≤ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j = 0
hji : P.pairingIn S j i ≠ 0
⊢ P.pairingIn S i j ≤ 0 ↔ P.pairingIn S j i ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: case inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j ≠ 0
hji : P.pairingIn S j i = 0
⊢ P.pairingIn S i j ≤ 0 ↔ P.pairingIn S j i ≤ 0

pp: case inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j ≠ 0
hji : P.pairingIn S j i ≠ 0
⊢ P.pairingIn S i j ≤ 0 ↔ P.pairingIn S j i ≤ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j ≠ 0
hji : P.pairingIn S j i = 0
⊢ P.pairingIn S i j ≤ 0 ↔ P.pairingIn S j i ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: case inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j ≠ 0
hji : P.pairingIn S j i ≠ 0
⊢ P.pairingIn S i j ≤ 0 ↔ P.pairingIn S j i ≤ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j ≠ 0
hji : P.pairingIn S j i ≠ 0
⊢ P.pairingIn S i j ≤ 0 ↔ P.pairingIn S j i ≤ 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
⊢ β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))

pp: case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
⊢ β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
⊢ β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
i✝ j : ι
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : IsTorsionFree R N
i : ι
h : ¬LinearIndependent R ![P.flip.root i, P.flip.root i]
⊢ P.flip.root i = P.flip.root i ∨ P.flip.root i = -P.flip.root i

pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
i✝ j✝ : ι
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : IsTorsionFree R N
i j : ι
h : ¬LinearIndependent R ![P.flip.root i, P.flip.root j]
hij : i ≠ j
⊢ P.flip.root i = P.flip.root j ∨ P.flip.root i = -P.flip.root j

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
i✝ j : ι
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : IsTorsionFree R N
i : ι
h : ¬LinearIndependent R ![P.flip.root i, P.flip.root i]
⊢ P.flip.root i = P.flip.root i ∨ P.flip.root i = -P.flip.root i
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
n : ℕ
hn : n ≤ chainLength α β
hα : α.IsZero
⊢ rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) ≠ ⊥

pp: case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
n : ℕ
hn : n ≤ chainLength α β
hα : ¬α.IsZero
⊢ rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) ≠ ⊥

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
n : ℕ
hn : n ≤ chainLength α β
hα : α.IsZero
⊢ rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) ≠ ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsTorsionFree R N
h2 : IsSMulRegular R 2
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : IsAddTorsionFree N
x✝ : P.pairing i j = 1 ∧ P.pairing j i = 4
h₁ : P.pairing i j = 1
h₂ : P.pairing j i = 4
⊢ P.root j = 2 • P.root i

pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsTorsionFree R N
h2 : IsSMulRegular R 2
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : IsAddTorsionFree N
h : P.root j = 2 • P.root i
⊢ P.pairing i j = 1 ∧ P.pairing j i = 4

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsTorsionFree R N
h2 : IsSMulRegular R 2
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : IsAddTorsionFree N
x✝ : P.pairing i j = 1 ∧ P.pairing j i = 4
h₁ : P.pairing i j = 1
h₂ : P.pairing j i = 4
⊢ P.root j = 2 • P.root i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsTorsionFree R N
h2 : IsSMulRegular R 2
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : IsAddTorsionFree N
h : P.root j = 2 • P.root i
⊢ P.pairing i j = 1 ∧ P.pairing j i = 4

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsTorsionFree R N
h2 : IsSMulRegular R 2
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : IsAddTorsionFree N
h : P.root j = 2 • P.root i
⊢ P.pairing i j = 1 ∧ P.pairing j i = 4
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
⊢ chainTopCoeff (⇑α) β ≤ chainLength α β

pp: case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
⊢ chainTopCoeff (⇑α) β ≤ chainLength α β

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
⊢ chainTopCoeff (⇑α) β ≤ chainLength α β