mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Quotient

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
p : Ideal R
inst✝⁵ : p.IsMaximal
x : S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDomain S
inst✝² : IsTorsionFree R S
inst✝¹ : Module.Finite R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed S
Rₚ : Type u_1 := Localization.AtPrime p
Sₚ : Type u_2 := Localization (algebraMapSubmonoid S p.primeCompl)
this✝⁵ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
this✝⁴ : IsScalarTower R Rₚ Sₚ
this✝³ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) p.primeCompl) Sₚ
e : algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this✝² : IsDomain Sₚ
this✝¹ : IsTorsionFree Rₚ Sₚ
this✝ : Module.Finite Rₚ Sₚ
this : IsIntegrallyClosed Sₚ
hp : ¬p = ⊥
⊢ IsPrincipalIdealRing Rₚ

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
p : Ideal R
inst✝⁵ : p.IsMaximal
x : S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDomain S
inst✝² : IsTorsionFree R S
inst✝¹ : Module.Finite R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed S
Rₚ : Type u_1 := Localization.AtPrime p
Sₚ : Type u_2 := Localization (algebraMapSubmonoid S p.primeCompl)
this✝⁵ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
this✝⁴ : IsScalarTower R Rₚ Sₚ
this✝³ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) p.primeCompl) Sₚ
e : algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this✝² : IsDomain Sₚ
this✝¹ : IsTorsionFree Rₚ Sₚ
this✝ : Module.Finite Rₚ Sₚ
this : IsIntegrallyClosed Sₚ
hp : ¬p = ⊥
⊢ IsPrincipalIdealRing Rₚ
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Extended

Goal state before:
pp: case refine_2
A : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : Algebra B L
inst✝ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I J : FractionalIdeal M K
x✝ : L
h : x✝ ∈ ⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I * ⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑J
⊢ x✝ ∈ ↑(span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑(I * J)))

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
A : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : Algebra B L
inst✝ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I J : FractionalIdeal M K
x✝ : L
h : x✝ ∈ ⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I * ⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑J
⊢ x✝ ∈ ↑(span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑(I * J)))
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Quotient

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : Module.Finite R S
inst✝ : Free R S
this : Module.Finite (R ⧸ p) (S ⧸ pS)
⊢ finrank R S ≤ finrank (R ⧸ p) (S ⧸ pS)

Tactic:
·

Goal state after:
case a
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : Module.Finite R S
inst✝ : Free R S
this : Module.Finite (R ⧸ p) (S ⧸ pS)
⊢ finrank R S ≤ finrank (R ⧸ p) (S ⧸ pS)
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Extended

Goal state before:
pp: case refine_1
A : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝⁶ : CommRing L
inst✝⁵ : Algebra B L
inst✝⁴ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I : FractionalIdeal M K
C : Type u_5
W : Type u_6
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : CommRing W
inst✝¹ : Algebra C W
P : Submonoid C
inst✝ : IsLocalization P W
g : B →+* C
hg : N ≤ Submonoid.comap g P
⊢ ⇑(IsLocalization.map W g hg) '' ↑(extended L hf I) ⊆ ↑(span C (⇑(IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) '' ↑I))

pp: case refine_2
A : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝⁶ : CommRing L
inst✝⁵ : Algebra B L
inst✝⁴ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I : FractionalIdeal M K
C : Type u_5
W : Type u_6
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : CommRing W
inst✝¹ : Algebra C W
P : Submonoid C
inst✝ : IsLocalization P W
g : B →+* C
hg : N ≤ Submonoid.comap g P
⊢ ⇑(IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) '' ↑I ⊆ ↑(span C (⇑(IsLocalization.map W g hg) '' ↑(extended L hf I)))

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
A : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝⁶ : CommRing L
inst✝⁵ : Algebra B L
inst✝⁴ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I : FractionalIdeal M K
C : Type u_5
W : Type u_6
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : CommRing W
inst✝¹ : Algebra C W
P : Submonoid C
inst✝ : IsLocalization P W
g : B →+* C
hg : N ≤ Submonoid.comap g P
⊢ ⇑(IsLocalization.map W g hg) '' ↑(extended L hf I) ⊆ ↑(span C (⇑(IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) '' ↑I))
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Extended

Goal state before:
pp: case refine_1.refine_2
A : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝⁶ : CommRing L
inst✝⁵ : Algebra B L
inst✝⁴ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I : FractionalIdeal M K
C : Type u_5
W : Type u_6
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : CommRing W
inst✝¹ : Algebra C W
P : Submonoid C
inst✝ : IsLocalization P W
g : B →+* C
hg : N ≤ Submonoid.comap g P
x : L
hx : x ∈ ↑(extended L hf I)
hx' : x ∈ span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I)
y z : L
x✝¹ : y ∈ span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I)
x✝ : z ∈ span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I)
hy : (IsLocalization.map W g hg) y ∈ ↑(span C (⇑(IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) '' ↑I))
hz : (IsLocalization.map W g hg) z ∈ ↑(span C (⇑(IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) '' ↑I))
⊢ (IsLocalization.map W g hg) (y + z) ∈ ↑(span C (⇑(IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) '' ↑I))

pp: case refine_1.refine_3
A : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝⁶ : CommRing L
inst✝⁵ : Algebra B L
inst✝⁴ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I : FractionalIdeal M K
C : Type u_5
W : Type u_6
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : CommRing W
inst✝¹ : Algebra C W
P : Submonoid C
inst✝ : IsLocalization P W
g : B →+* C
hg : N ≤ Submonoid.comap g P
x : L
hx : x ∈ ↑(extended L hf I)
hx' : x ∈ span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I)
b : B
y : L
x✝ : y ∈ span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I)
hy : (IsLocalization.map W g hg) y ∈ ↑(span C (⇑(IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) '' ↑I))
⊢ (IsLocalization.map W g hg) (b • y) ∈ ↑(span C (⇑(IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) '' ↑I))

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.refine_2
A : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝⁶ : CommRing L
inst✝⁵ : Algebra B L
inst✝⁴ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I : FractionalIdeal M K
C : Type u_5
W : Type u_6
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : CommRing W
inst✝¹ : Algebra C W
P : Submonoid C
inst✝ : IsLocalization P W
g : B →+* C
hg : N ≤ Submonoid.comap g P
x : L
hx : x ∈ ↑(extended L hf I)
hx' : x ∈ span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I)
y z : L
x✝¹ : y ∈ span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I)
x✝ : z ∈ span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I)
hy : (IsLocalization.map W g hg) y ∈ ↑(span C (⇑(IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) '' ↑I))
hz : (IsLocalization.map W g hg) z ∈ ↑(span C (⇑(IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) '' ↑I))
⊢ (IsLocalization.map W g hg) (y + z) ∈ ↑(span C (⇑(IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) '' ↑I))
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Extended

Goal state before:
pp: case refine_1.refine_3
A : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝⁶ : CommRing L
inst✝⁵ : Algebra B L
inst✝⁴ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I : FractionalIdeal M K
C : Type u_5
W : Type u_6
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : CommRing W
inst✝¹ : Algebra C W
P : Submonoid C
inst✝ : IsLocalization P W
g : B →+* C
hg : N ≤ Submonoid.comap g P
x : L
hx : x ∈ ↑(extended L hf I)
hx' : x ∈ span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I)
b : B
y : L
x✝ : y ∈ span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I)
hy : (IsLocalization.map W g hg) y ∈ ↑(span C (⇑(IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) '' ↑I))
⊢ (IsLocalization.map W g hg) (b • y) ∈ ↑(span C (⇑(IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) '' ↑I))

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.refine_3
A : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝⁶ : CommRing L
inst✝⁵ : Algebra B L
inst✝⁴ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I : FractionalIdeal M K
C : Type u_5
W : Type u_6
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : CommRing W
inst✝¹ : Algebra C W
P : Submonoid C
inst✝ : IsLocalization P W
g : B →+* C
hg : N ≤ Submonoid.comap g P
x : L
hx : x ∈ ↑(extended L hf I)
hx' : x ∈ span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I)
b : B
y : L
x✝ : y ∈ span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑I)
hy : (IsLocalization.map W g hg) y ∈ ↑(span C (⇑(IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) '' ↑I))
⊢ (IsLocalization.map W g hg) (b • y) ∈ ↑(span C (⇑(IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) '' ↑I))
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Quotient

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
I : Ideal R
inst✝ : IsArtinianRing (R ⧸ I)
hI : I = ⊤
⊢ ∃ n, p ^ n ≤ I

pp: case neg
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
I : Ideal R
inst✝ : IsArtinianRing (R ⧸ I)
hI : ¬I = ⊤
⊢ ∃ n, p ^ n ≤ I

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
I : Ideal R
inst✝ : IsArtinianRing (R ⧸ I)
hI : I = ⊤
⊢ ∃ n, p ^ n ≤ I
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Extended

Goal state before:
pp: case refine_2
A : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝⁶ : CommRing L
inst✝⁵ : Algebra B L
inst✝⁴ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I : FractionalIdeal M K
C : Type u_5
W : Type u_6
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : CommRing W
inst✝¹ : Algebra C W
P : Submonoid C
inst✝ : IsLocalization P W
g : B →+* C
hg : N ≤ Submonoid.comap g P
⊢ ⇑(IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) '' ↑I ⊆ ↑(span C (⇑(IsLocalization.map W g hg) '' ↑(extended L hf I)))

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
A : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝⁶ : CommRing L
inst✝⁵ : Algebra B L
inst✝⁴ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I : FractionalIdeal M K
C : Type u_5
W : Type u_6
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : CommRing W
inst✝¹ : Algebra C W
P : Submonoid C
inst✝ : IsLocalization P W
g : B →+* C
hg : N ≤ Submonoid.comap g P
⊢ ⇑(IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) '' ↑I ⊆ ↑(span C (⇑(IsLocalization.map W g hg) '' ↑(extended L hf I)))
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.Discriminant.Basic

Goal state before:
pp: case ha
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
D : ℕ := ⋯
B : ℝ≥0 := ⋯
C : ℕ := ⋯
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝¹ : CharZero ↥K
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsComplex}
this : minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLT'Factor ↥K) * ↑(boundOfDiscBdd N)
x : 𝓞 ↥K
hx₁ : ℚ⟮↑x⟯ = ⊤
hx₂ : ∀ (w : InfinitePlace ↥K), w ↑x < √(1 + ↑(boundOfDiscBdd N) ^ 2)
hx : IsIntegral ℤ ((algebraMap (𝓞 ↥K) ↥K) x)
i : ℕ
⊢ 1 ≤ max (√(1 + ↑(boundOfDiscBdd N) ^ 2)) 1

pp: case hmn
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
D : ℕ := ⋯
B : ℝ≥0 := ⋯
C : ℕ := ⋯
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝¹ : CharZero ↥K
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsComplex}
this : minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLT'Factor ↥K) * ↑(boundOfDiscBdd N)
x : 𝓞 ↥K
hx₁ : ℚ⟮↑x⟯ = ⊤
hx₂ : ∀ (w : InfinitePlace ↥K), w ↑x < √(1 + ↑(boundOfDiscBdd N) ^ 2)
hx : IsIntegral ℤ ((algebraMap (𝓞 ↥K) ↥K) x)
i : ℕ
⊢ finrank ℚ ↥K ≤ D

pp: case h₂
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
D : ℕ := ⋯
B : ℝ≥0 := ⋯
C : ℕ := ⋯
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝¹ : CharZero ↥K
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsComplex}
this : minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLT'Factor ↥K) * ↑(boundOfDiscBdd N)
x : 𝓞 ↥K
hx₁ : ℚ⟮↑x⟯ = ⊤
hx₂ : ∀ (w : InfinitePlace ↥K), w ↑x < √(1 + ↑(boundOfDiscBdd N) ^ 2)
hx : IsIntegral ℤ ((algebraMap (𝓞 ↥K) ↥K) x)
i : ℕ
⊢ ↑((finrank ℚ ↥K).choose (finrank ℚ ↥K / 2)) ≤ ↑↑(D.choose (D / 2))

Tactic:
·

Goal state after:
case ha
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
D : ℕ := ⋯
B : ℝ≥0 := ⋯
C : ℕ := ⋯
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝¹ : CharZero ↥K
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsComplex}
this : minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLT'Factor ↥K) * ↑(boundOfDiscBdd N)
x : 𝓞 ↥K
hx₁ : ℚ⟮↑x⟯ = ⊤
hx₂ : ∀ (w : InfinitePlace ↥K), w ↑x < √(1 + ↑(boundOfDiscBdd N) ^ 2)
hx : IsIntegral ℤ ((algebraMap (𝓞 ↥K) ↥K) x)
i : ℕ
⊢ 1 ≤ max (√(1 + ↑(boundOfDiscBdd N) ^ 2)) 1
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Extended

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_1
A : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝⁶ : CommRing L
inst✝⁵ : Algebra B L
inst✝⁴ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I : FractionalIdeal M K
C : Type u_5
W : Type u_6
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : CommRing W
inst✝¹ : Algebra C W
P : Submonoid C
inst✝ : IsLocalization P W
g : B →+* C
hg : N ≤ Submonoid.comap g P
x : K
hx : x ∈ ↑I
⊢ (IsLocalization.map L f hf) x ∈ ↑(extended L hf I)

pp: case refine_2.refine_2
A : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝⁶ : CommRing L
inst✝⁵ : Algebra B L
inst✝⁴ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I : FractionalIdeal M K
C : Type u_5
W : Type u_6
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : CommRing W
inst✝¹ : Algebra C W
P : Submonoid C
inst✝ : IsLocalization P W
g : B →+* C
hg : N ≤ Submonoid.comap g P
x : K
hx : x ∈ ↑I
⊢ (IsLocalization.map W g hg) ((IsLocalization.map L f hf) x) = (IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.refine_1
A : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝⁶ : CommRing L
inst✝⁵ : Algebra B L
inst✝⁴ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I : FractionalIdeal M K
C : Type u_5
W : Type u_6
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : CommRing W
inst✝¹ : Algebra C W
P : Submonoid C
inst✝ : IsLocalization P W
g : B →+* C
hg : N ≤ Submonoid.comap g P
x : K
hx : x ∈ ↑I
⊢ (IsLocalization.map L f hf) x ∈ ↑(extended L hf I)
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Extended

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
A : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝⁶ : CommRing L
inst✝⁵ : Algebra B L
inst✝⁴ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I : FractionalIdeal M K
C : Type u_5
W : Type u_6
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : CommRing W
inst✝¹ : Algebra C W
P : Submonoid C
inst✝ : IsLocalization P W
g : B →+* C
hg : N ≤ Submonoid.comap g P
x : K
hx : x ∈ ↑I
⊢ (IsLocalization.map W g hg) ((IsLocalization.map L f hf) x) = (IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) x

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2.refine_2
A : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝⁶ : CommRing L
inst✝⁵ : Algebra B L
inst✝⁴ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I : FractionalIdeal M K
C : Type u_5
W : Type u_6
inst✝³ : CommRing C
inst✝² : CommRing W
inst✝¹ : Algebra C W
P : Submonoid C
inst✝ : IsLocalization P W
g : B →+* C
hg : N ≤ Submonoid.comap g P
x : K
hx : x ∈ ↑I
⊢ (IsLocalization.map W g hg) ((IsLocalization.map L f hf) x) = (IsLocalization.map W (g.comp f) ⋯) x
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.Discriminant.Basic

Goal state before:
pp: case hmn
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
D : ℕ := ⋯
B : ℝ≥0 := ⋯
C : ℕ := ⋯
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝¹ : CharZero ↥K
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsComplex}
this : minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLT'Factor ↥K) * ↑(boundOfDiscBdd N)
x : 𝓞 ↥K
hx₁ : ℚ⟮↑x⟯ = ⊤
hx₂ : ∀ (w : InfinitePlace ↥K), w ↑x < √(1 + ↑(boundOfDiscBdd N) ^ 2)
hx : IsIntegral ℤ ((algebraMap (𝓞 ↥K) ↥K) x)
i : ℕ
⊢ finrank ℚ ↥K ≤ D

pp: case h₂
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
D : ℕ := ⋯
B : ℝ≥0 := ⋯
C : ℕ := ⋯
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝¹ : CharZero ↥K
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsComplex}
this : minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLT'Factor ↥K) * ↑(boundOfDiscBdd N)
x : 𝓞 ↥K
hx₁ : ℚ⟮↑x⟯ = ⊤
hx₂ : ∀ (w : InfinitePlace ↥K), w ↑x < √(1 + ↑(boundOfDiscBdd N) ^ 2)
hx : IsIntegral ℤ ((algebraMap (𝓞 ↥K) ↥K) x)
i : ℕ
⊢ ↑((finrank ℚ ↥K).choose (finrank ℚ ↥K / 2)) ≤ ↑↑(D.choose (D / 2))

Tactic:
·

Goal state after:
case hmn
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
D : ℕ := ⋯
B : ℝ≥0 := ⋯
C : ℕ := ⋯
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝¹ : CharZero ↥K
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsComplex}
this : minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLT'Factor ↥K) * ↑(boundOfDiscBdd N)
x : 𝓞 ↥K
hx₁ : ℚ⟮↑x⟯ = ⊤
hx₂ : ∀ (w : InfinitePlace ↥K), w ↑x < √(1 + ↑(boundOfDiscBdd N) ^ 2)
hx : IsIntegral ℤ ((algebraMap (𝓞 ↥K) ↥K) x)
i : ℕ
⊢ finrank ℚ ↥K ≤ D
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.Discriminant.Basic

Goal state before:
pp: case h₂
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
D : ℕ := ⋯
B : ℝ≥0 := ⋯
C : ℕ := ⋯
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝¹ : CharZero ↥K
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsComplex}
this : minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLT'Factor ↥K) * ↑(boundOfDiscBdd N)
x : 𝓞 ↥K
hx₁ : ℚ⟮↑x⟯ = ⊤
hx₂ : ∀ (w : InfinitePlace ↥K), w ↑x < √(1 + ↑(boundOfDiscBdd N) ^ 2)
hx : IsIntegral ℤ ((algebraMap (𝓞 ↥K) ↥K) x)
i : ℕ
⊢ ↑((finrank ℚ ↥K).choose (finrank ℚ ↥K / 2)) ≤ ↑↑(D.choose (D / 2))

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
D : ℕ := ⋯
B : ℝ≥0 := ⋯
C : ℕ := ⋯
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝¹ : CharZero ↥K
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsComplex}
this : minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLT'Factor ↥K) * ↑(boundOfDiscBdd N)
x : 𝓞 ↥K
hx₁ : ℚ⟮↑x⟯ = ⊤
hx₂ : ∀ (w : InfinitePlace ↥K), w ↑x < √(1 + ↑(boundOfDiscBdd N) ^ 2)
hx : IsIntegral ℤ ((algebraMap (𝓞 ↥K) ↥K) x)
i : ℕ
⊢ ↑((finrank ℚ ↥K).choose (finrank ℚ ↥K / 2)) ≤ ↑↑(D.choose (D / 2))
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Extended

Goal state before:
pp: case refine_1
A : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : Algebra B L
inst✝ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I₀ : Ideal A
⊢ ⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑↑I₀ ⊆ ↑(span B (⇑(algebraMap B L) '' ⇑f '' ↑I₀))

pp: case refine_2
A : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : Algebra B L
inst✝ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I₀ : Ideal A
⊢ ⇑(algebraMap B L) '' ⇑f '' ↑I₀ ⊆ ↑(span B (⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑↑I₀))

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
A : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing A
B : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing B
f : A →+* B
K : Type u_3
M : Submonoid A
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsLocalization M K
L : Type u_4
N : Submonoid B
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : Algebra B L
inst✝ : IsLocalization N L
hf : M ≤ Submonoid.comap f N
I₀ : Ideal A
⊢ ⇑(IsLocalization.map L f hf) '' ↑↑I₀ ⊆ ↑(span B (⇑(algebraMap B L) '' ⇑f '' ↑I₀))