mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : s.erase i = ∅
⊢ supDegree D (f i + ∑ x ∈ s.erase i, f x) = supDegree D (f i) ∧
    leadingCoeff D (f i + ∑ x ∈ s.erase i, f x) = leadingCoeff D (f i)

pp: case neg
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : (s.erase i).Nonempty
⊢ supDegree D (f i + ∑ x ∈ s.erase i, f x) = supDegree D (f i) ∧
    leadingCoeff D (f i + ∑ x ∈ s.erase i, f x) = leadingCoeff D (f i)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : s.erase i = ∅
⊢ supDegree D (f i + ∑ x ∈ s.erase i, f x) = supDegree D (f i) ∧
    leadingCoeff D (f i + ∑ x ∈ s.erase i, f x) = leadingCoeff D (f i)
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u
a : R
inst✝ : Semiring R
ha : IsUnit a
⊢ (C a * 0).degree = degree 0

pp: case inr
R : Type u
a : R
inst✝ : Semiring R
ha : IsUnit a
p : R[X]
hp : p ≠ 0
⊢ (C a * p).degree = p.degree

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u
a : R
inst✝ : Semiring R
ha : IsUnit a
⊢ (C a * 0).degree = degree 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
a : R
inst✝ : Semiring R
ha : IsUnit a
p : R[X]
hp : p ≠ 0
a✝ : Nontrivial R
⊢ 0 + p.degree = p.degree

pp: R : Type u
a : R
inst✝ : Semiring R
ha : IsUnit a
p : R[X]
hp : p ≠ 0
a✝ : Nontrivial R
⊢ (C a).leadingCoeff * p.leadingCoeff ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type u
a : R
inst✝ : Semiring R
ha : IsUnit a
p : R[X]
hp : p ≠ 0
a✝ : Nontrivial R
⊢ 0 + p.degree = p.degree
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
a : R
inst✝ : Semiring R
ha : IsUnit a
p : R[X]
hp : p ≠ 0
a✝ : Nontrivial R
⊢ (C a).leadingCoeff * p.leadingCoeff ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type u
a : R
inst✝ : Semiring R
ha : IsUnit a
p : R[X]
hp : p ≠ 0
a✝ : Nontrivial R
⊢ (C a).leadingCoeff * p.leadingCoeff ≠ 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u
a : R
inst✝ : Semiring R
ha : IsUnit a
⊢ (0 * C a).degree = degree 0

pp: case inr
R : Type u
a : R
inst✝ : Semiring R
ha : IsUnit a
p : R[X]
hp : p ≠ 0
⊢ (p * C a).degree = p.degree

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u
a : R
inst✝ : Semiring R
ha : IsUnit a
⊢ (0 * C a).degree = degree 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
a : R
inst✝ : Semiring R
ha : IsUnit a
p : R[X]
hp : p ≠ 0
a✝ : Nontrivial R
⊢ p.degree + 0 = p.degree

pp: R : Type u
a : R
inst✝ : Semiring R
ha : IsUnit a
p : R[X]
hp : p ≠ 0
a✝ : Nontrivial R
⊢ p.leadingCoeff * (C a).leadingCoeff ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type u
a : R
inst✝ : Semiring R
ha : IsUnit a
p : R[X]
hp : p ≠ 0
a✝ : Nontrivial R
⊢ p.degree + 0 = p.degree
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case neg.refine_1
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : (s.erase i).Nonempty
⊢ (s.erase i).Nonempty

pp: case neg.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : (s.erase i).Nonempty
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
⊢ supDegree D (f j) < supDegree D (f i)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.refine_1
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : (s.erase i).Nonempty
⊢ (s.erase i).Nonempty
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
a : R
inst✝ : Semiring R
ha : IsUnit a
p : R[X]
hp : p ≠ 0
a✝ : Nontrivial R
⊢ p.leadingCoeff * (C a).leadingCoeff ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
R : Type u
a : R
inst✝ : Semiring R
ha : IsUnit a
p : R[X]
hp : p ≠ 0
a✝ : Nontrivial R
⊢ p.leadingCoeff * (C a).leadingCoeff ≠ 0
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case neg.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : (s.erase i).Nonempty
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
⊢ supDegree D (f j) < supDegree D (f i)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : (s.erase i).Nonempty
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
⊢ supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hd : Set.InjOn (supDegree D ∘ f) ↑s
j : ι
hj : j ∈ s
hne : f j ≠ 0
i : ι
hi : i ∈ s
he : s.sup (supDegree D ∘ f) = (supDegree D ∘ f) i
h : ∀ k ∈ s, k = i
⊢ ∑ i ∈ s, f i ≠ 0

pp: case neg
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hd : Set.InjOn (supDegree D ∘ f) ↑s
j : ι
hj : j ∈ s
hne : f j ≠ 0
i : ι
hi : i ∈ s
he : s.sup (supDegree D ∘ f) = (supDegree D ∘ f) i
h : ∃ k ∈ s, k ≠ i
⊢ ∑ i ∈ s, f i ≠ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hd : Set.InjOn (supDegree D ∘ f) ↑s
j : ι
hj : j ∈ s
hne : f j ≠ 0
i : ι
hi : i ∈ s
he : s.sup (supDegree D ∘ f) = (supDegree D ∘ f) i
h : ∀ k ∈ s, k = i
⊢ ∑ i ∈ s, f i ≠ 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Units

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p : R[X]
h : IsUnit p
a✝ : Nontrivial R
q : R[X]
hq : p * q = 1
this : (p * q).natDegree = p.natDegree + q.natDegree
⊢ p.natDegree = 0

Tactic:
rw [hq, natDegree_one, eq_comm, add_eq_zero] at this

Goal state after:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p : R[X]
h : IsUnit p
a✝ : Nontrivial R
q : R[X]
hq : p * q = 1
this : p.natDegree = 0 ∧ q.natDegree = 0
⊢ p.natDegree = 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Units

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p : R[X]
hpl : 0 < p.degree
h✝ : Subsingleton R
⊢ ¬IsUnit p

pp: case inr
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p : R[X]
hpl : 0 < p.degree
h✝ : Nontrivial R
⊢ ¬IsUnit p

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p : R[X]
hpl : 0 < p.degree
h✝ : Subsingleton R
⊢ ¬IsUnit p
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
i : ℕ
hi : (p ^ i).coeff (i * p.natDegree) = p.leadingCoeff ^ i
hp1 : p.leadingCoeff ^ i = 0
⊢ (p ^ i * p).coeff (i * p.natDegree + p.natDegree) = p.leadingCoeff ^ i * p.leadingCoeff

pp: case neg
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
i : ℕ
hi : (p ^ i).coeff (i * p.natDegree) = p.leadingCoeff ^ i
hp1 : ¬p.leadingCoeff ^ i = 0
⊢ (p ^ i * p).coeff (i * p.natDegree + p.natDegree) = p.leadingCoeff ^ i * p.leadingCoeff

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
i : ℕ
hi : (p ^ i).coeff (i * p.natDegree) = p.leadingCoeff ^ i
hp1 : p.leadingCoeff ^ i = 0
⊢ (p ^ i * p).coeff (i * p.natDegree + p.natDegree) = p.leadingCoeff ^ i * p.leadingCoeff
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hd : Set.InjOn (supDegree D ∘ f) ↑s
j : ι
hj : j ∈ s
hne : f j ≠ 0
i : ι
hi : i ∈ s
he : s.sup (supDegree D ∘ f) = (supDegree D ∘ f) i
h : ∃ k ∈ s, k ≠ i
⊢ ∑ i ∈ s, f i ≠ 0

Tactic:
obtain ⟨j, hj, hne⟩ := h

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hd : Set.InjOn (supDegree D ∘ f) ↑s
j✝ : ι
hj✝ : j✝ ∈ s
hne✝ : f j✝ ≠ 0
i : ι
hi : i ∈ s
he : s.sup (supDegree D ∘ f) = (supDegree D ∘ f) i
j : ι
hj : j ∈ s
hne : j ≠ i
⊢ ∑ i ∈ s, f i ≠ 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
i : ℕ
hi : (p ^ i).coeff (i * p.natDegree) = p.leadingCoeff ^ i
hp1 : p.leadingCoeff ^ i = 0
hp2 : p ^ i = 0
⊢ (p ^ i * p).coeff (i * p.natDegree + p.natDegree) = 0

pp: case neg
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
i : ℕ
hi : (p ^ i).coeff (i * p.natDegree) = p.leadingCoeff ^ i
hp1 : p.leadingCoeff ^ i = 0
hp2 : ¬p ^ i = 0
⊢ (p ^ i * p).coeff (i * p.natDegree + p.natDegree) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
i : ℕ
hi : (p ^ i).coeff (i * p.natDegree) = p.leadingCoeff ^ i
hp1 : p.leadingCoeff ^ i = 0
hp2 : p ^ i = 0
⊢ (p ^ i * p).coeff (i * p.natDegree + p.natDegree) = 0
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hs : ∃ i ∈ s, f i ≠ 0
hd : Set.InjOn (supDegree D ∘ f) ↑s
⊢ ∑ i ∈ s, f i ≠ 0

Tactic:
by
  obtain ⟨j, hj, hne⟩ := hs
  obtain ⟨i, hi, he⟩ := exists_mem_eq_sup _ ⟨j, hj⟩ (supDegree D ∘ f)
  by_cases! h : ∀ k ∈ s, k = i
  · refine (sum_eq_single_of_mem j hj (fun k hk hne => ?_)).trans_ne hne
    rw [h k hk, h j hj] at hne; exact hne.irrefl.elim
  obtain ⟨j, hj, hne⟩ := h
  apply ne_zero_of_supDegree_ne_bot (D := D)
  have (k) (hk : k ∈ s) (hne : k ≠ i) : supDegree D (f k) < supDegree D (f i) :=
    ((le_sup hk).trans_eq he).lt_of_ne (hd.ne hk hi hne)
  rw [(supDegree_leadingCoeff_sum_eq hi this).1]
  exact (this j hj hne).ne_bot

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
i : ℕ
hi : (p ^ i).coeff (i * p.natDegree) = p.leadingCoeff ^ i
hp1 : p.leadingCoeff ^ i = 0
hp2 : ¬p ^ i = 0
⊢ (p ^ i * p).coeff (i * p.natDegree + p.natDegree) = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
i : ℕ
hi : (p ^ i).coeff (i * p.natDegree) = p.leadingCoeff ^ i
hp1 : p.leadingCoeff ^ i = 0
hp2 : ¬p ^ i = 0
⊢ (p ^ i * p).coeff (i * p.natDegree + p.natDegree) = 0
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
⊢ (0 * q).coeff (Function.invFun D (supDegree D 0 + supDegree D q)) = leadingCoeff D 0 * leadingCoeff D q

pp: case inr
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hp : p ≠ 0
⊢ (p * q).coeff (Function.invFun D (supDegree D p + supDegree D q)) = leadingCoeff D p * leadingCoeff D q

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
⊢ (0 * q).coeff (Function.invFun D (supDegree D 0 + supDegree D q)) = leadingCoeff D 0 * leadingCoeff D q
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case inr.inl
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hp : p ≠ 0
⊢ (p * 0).coeff (Function.invFun D (supDegree D p + supDegree D 0)) = leadingCoeff D p * leadingCoeff D 0

pp: case inr.inr
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ (p * q).coeff (Function.invFun D (supDegree D p + supDegree D q)) = leadingCoeff D p * leadingCoeff D q

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hp : p ≠ 0
⊢ (p * 0).coeff (Function.invFun D (supDegree D p + supDegree D 0)) = leadingCoeff D p * leadingCoeff D 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
i : ℕ
hi : (p ^ i).coeff (i * p.natDegree) = p.leadingCoeff ^ i
hp1 : ¬p.leadingCoeff ^ i = 0
⊢ (p ^ i * p).coeff (i * p.natDegree + p.natDegree) = p.leadingCoeff ^ i * p.leadingCoeff

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
i : ℕ
hi : (p ^ i).coeff (i * p.natDegree) = p.leadingCoeff ^ i
hp1 : ¬p.leadingCoeff ^ i = 0
⊢ (p ^ i * p).coeff (i * p.natDegree + p.natDegree) = p.leadingCoeff ^ i * p.leadingCoeff
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
inst✝ : Semiring R
df dg : ℕ
f g : R[X]
hdf : f.natDegree ≤ df
hdg : g.natDegree ≤ dg
⊢ (df, dg) ∈ antidiagonal (df + dg)

pp: case h₀
R : Type u
inst✝ : Semiring R
df dg : ℕ
f g : R[X]
hdf : f.natDegree ≤ df
hdg : g.natDegree ≤ dg
⊢ ∀ b ∈ antidiagonal (df + dg), b ≠ (df, dg) → f.coeff b.1 * g.coeff b.2 = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case h
R : Type u
inst✝ : Semiring R
df dg : ℕ
f g : R[X]
hdf : f.natDegree ≤ df
hdg : g.natDegree ≤ dg
⊢ (df, dg) ∈ antidiagonal (df + dg)
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: case h₀.inl
R : Type u
inst✝ : Semiring R
df dg : ℕ
f g : R[X]
hdf : f.natDegree ≤ df
hdg : g.natDegree ≤ dg
df' dg' : ℕ
hmem : (df', dg') ∈ antidiagonal (df + dg)
hne : (df', dg') ≠ (df, dg)
h : df < df'
⊢ f.coeff (df', dg').1 * g.coeff (df', dg').2 = 0

pp: case h₀.inr
R : Type u
inst✝ : Semiring R
df dg : ℕ
f g : R[X]
hdf : f.natDegree ≤ df
hdg : g.natDegree ≤ dg
df' dg' : ℕ
hmem : (df', dg') ∈ antidiagonal (df + dg)
hne : (df', dg') ≠ (df, dg)
hdf' : df' ≤ df
⊢ f.coeff (df', dg').1 * g.coeff (df', dg').2 = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case h₀.inl
R : Type u
inst✝ : Semiring R
df dg : ℕ
f g : R[X]
hdf : f.natDegree ≤ df
hdg : g.natDegree ≤ dg
df' dg' : ℕ
hmem : (df', dg') ∈ antidiagonal (df + dg)
hne : (df', dg') ≠ (df, dg)
h : df < df'
⊢ f.coeff (df', dg').1 * g.coeff (df', dg').2 = 0
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case hb
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hpq : leadingCoeff D p * leadingCoeff D q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ supDegree D p + supDegree D q ∈ Set.range D

pp: case hmem
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hpq : leadingCoeff D p * leadingCoeff D q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ Function.invFun D (supDegree D p + supDegree D q) ∈ (p * q).coeff.support

pp: case hmax
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hpq : leadingCoeff D p * leadingCoeff D q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ ∀ a ∈ (p * q).coeff.support, D a ≤ supDegree D p + supDegree D q

Tactic:
·

Goal state after:
case hb
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hpq : leadingCoeff D p * leadingCoeff D q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ supDegree D p + supDegree D q ∈ Set.range D
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: case h₀.inr.inl
R : Type u
inst✝ : Semiring R
df dg : ℕ
f g : R[X]
hdf : f.natDegree ≤ df
hdg : g.natDegree ≤ dg
df' dg' : ℕ
hmem : (df', dg') ∈ antidiagonal (df + dg)
hne : (df', dg') ≠ (df, dg)
hdf' : df' ≤ df
h : dg < dg'
⊢ f.coeff (df', dg').1 * g.coeff (df', dg').2 = 0

pp: case h₀.inr.inr
R : Type u
inst✝ : Semiring R
df dg : ℕ
f g : R[X]
hdf : f.natDegree ≤ df
hdg : g.natDegree ≤ dg
df' dg' : ℕ
hmem : (df', dg') ∈ antidiagonal (df + dg)
hne : (df', dg') ≠ (df, dg)
hdf' : df' ≤ df
hdg' : dg' ≤ dg
⊢ f.coeff (df', dg').1 * g.coeff (df', dg').2 = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case h₀.inr.inl
R : Type u
inst✝ : Semiring R
df dg : ℕ
f g : R[X]
hdf : f.natDegree ≤ df
hdg : g.natDegree ≤ dg
df' dg' : ℕ
hmem : (df', dg') ∈ antidiagonal (df + dg)
hne : (df', dg') ≠ (df, dg)
hdf' : df' ≤ df
h : dg < dg'
⊢ f.coeff (df', dg').1 * g.coeff (df', dg').2 = 0
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case hb
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hpq : leadingCoeff D p * leadingCoeff D q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ supDegree D p + supDegree D q ∈ { toFun := D, map_add' := hadd }.srange

pp: case hb
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hpq : leadingCoeff D p * leadingCoeff D q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ ∀ {a b : B}, a ∈ Set.range D → b ∈ Set.range D → a + b ∈ Set.range D

Tactic:
·

Goal state after:
case hb
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hpq : leadingCoeff D p * leadingCoeff D q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ supDegree D p + supDegree D q ∈ { toFun := D, map_add' := hadd }.srange
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case hb
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hpq : leadingCoeff D p * leadingCoeff D q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ ∀ {a b : B}, a ∈ Set.range D → b ∈ Set.range D → a + b ∈ Set.range D

Tactic:
·

Goal state after:
case hb
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hpq : leadingCoeff D p * leadingCoeff D q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ ∀ {a b : B}, a ∈ Set.range D → b ∈ Set.range D → a + b ∈ Set.range D
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case hmem
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hpq : leadingCoeff D p * leadingCoeff D q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ Function.invFun D (supDegree D p + supDegree D q) ∈ (p * q).coeff.support

pp: case hmax
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hpq : leadingCoeff D p * leadingCoeff D q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ ∀ a ∈ (p * q).coeff.support, D a ≤ supDegree D p + supDegree D q

Tactic:
·

Goal state after:
case hmem
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hpq : leadingCoeff D p * leadingCoeff D q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ Function.invFun D (supDegree D p + supDegree D q) ∈ (p * q).coeff.support
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Degree.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : (-q).degree < p.degree
⊢ (p + -q).leadingCoeff = p.leadingCoeff

Tactic:
leadingCoeff_add_of_degree_lt' h

Goal state after:
R : Type u
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : (-q).degree < p.degree
⊢ p.leadingCoeff = p.leadingCoeff
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Degree

Goal state before:
pp: case hmax
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hpq : leadingCoeff D p * leadingCoeff D q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ ∀ a ∈ (p * q).coeff.support, D a ≤ supDegree D p + supDegree D q

Tactic:
·

Goal state after:
case hmax
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : LinearOrder B
inst✝⁴ : OrderBot B
p q : R[A]
D : A → B
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : Add B
inst✝¹ : AddLeftStrictMono B
inst✝ : AddRightStrictMono B
hD : Function.Injective D
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
hpq : leadingCoeff D p * leadingCoeff D q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
⊢ ∀ a ∈ (p * q).coeff.support, D a ≤ supDegree D p + supDegree D q