mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Canonical

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ {S | ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X), Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows}
R : Sieve X
hR :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ {S | ∀ (Y_1 : C) (f : Y_1 ⟶ Y), Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows}
Z : C
g : Z ⟶ X
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ Z⦄,
    (Sieve.pullback g R).arrows f → Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f (Sieve.pullback g S)).arrows

pp: case refine_2
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ {S | ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X), Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows}
R : Sieve X
hR :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ {S | ∀ (Y_1 : C) (f : Y_1 ⟶ Y), Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows}
Z : C
g : Z ⟶ X
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ Z⦄,
    (Sieve.pullback g S).arrows f → Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f (Sieve.pullback g R)).arrows

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ {S | ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X), Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows}
R : Sieve X
hR :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ {S | ∀ (Y_1 : C) (f : Y_1 ⟶ Y), Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows}
Z : C
g : Z ⟶ X
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ Z⦄,
    (Sieve.pullback g R).arrows f → Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f (Sieve.pullback g S)).arrows
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Canonical

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ {S | ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X), Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows}
R : Sieve X
hR :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ {S | ∀ (Y_1 : C) (f : Y_1 ⟶ Y), Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows}
Z : C
g : Z ⟶ X
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ Z⦄,
    (Sieve.pullback g S).arrows f → Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f (Sieve.pullback g R)).arrows

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ {S | ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X), Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows}
R : Sieve X
hR :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ {S | ∀ (Y_1 : C) (f : Y_1 ⟶ Y), Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows}
Z : C
g : Z ⟶ X
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ Z⦄,
    (Sieve.pullback g S).arrows f → Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f (Sieve.pullback g R)).arrows
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.InducedTopology

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
J : GrothendieckTopology C
h : J ≤ F.inducedTopology K
G : Sheaf K (Type (max u₁ v₁ u₂ v₂))
⊢ Presieve.IsSheaf J (F.op ⋙ G.obj)

pp: case refine_2
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
J : GrothendieckTopology C
h : F.IsContinuous J K
⊢ J ≤ F.inducedTopology K

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
J : GrothendieckTopology C
h : J ≤ F.inducedTopology K
G : Sheaf K (Type (max u₁ v₁ u₂ v₂))
⊢ Presieve.IsSheaf J (F.op ⋙ G.obj)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.InducedTopology

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
J : GrothendieckTopology C
h : F.IsContinuous J K
⊢ J ≤ F.inducedTopology K

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
J : GrothendieckTopology C
h : F.IsContinuous J K
⊢ J ≤ F.inducedTopology K
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.InducedTopology

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : LocallySmall.{max u₁ v₁ u₂ v₂, v₁, u₁} C
X : C
S : Sieve X
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type (max u₁ v₁ u₂ v₂)) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type (max u₁ v₁ u₂ v₂)
adj : G ⊣ (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ (Type (max u₁ v₁ u₂ v₂))).obj F.op
⊢ S ∈ (F.inducedTopology K) X →
    ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), K.W (G.map (Sieve.shrinkFunctor.{max u₁ v₁ u₂ v₂, v₁, u₁} (Sieve.pullback f S)).ι)

pp: case refine_2
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : LocallySmall.{max u₁ v₁ u₂ v₂, v₁, u₁} C
X : C
S : Sieve X
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type (max u₁ v₁ u₂ v₂)) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type (max u₁ v₁ u₂ v₂)
adj : G ⊣ (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ (Type (max u₁ v₁ u₂ v₂))).obj F.op
⊢ (∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), K.W (G.map (Sieve.shrinkFunctor.{max u₁ v₁ u₂ v₂, v₁, u₁} (Sieve.pullback f S)).ι)) →
    S ∈ (F.inducedTopology K) X

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : LocallySmall.{max u₁ v₁ u₂ v₂, v₁, u₁} C
X : C
S : Sieve X
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type (max u₁ v₁ u₂ v₂)) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type (max u₁ v₁ u₂ v₂)
adj : G ⊣ (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ (Type (max u₁ v₁ u₂ v₂))).obj F.op
⊢ S ∈ (F.inducedTopology K) X →
    ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), K.W (G.map (Sieve.shrinkFunctor.{max u₁ v₁ u₂ v₂, v₁, u₁} (Sieve.pullback f S)).ι)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.InducedTopology

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : LocallySmall.{max u₁ v₁ u₂ v₂, v₁, u₁} C
X : C
S : Sieve X
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type (max u₁ v₁ u₂ v₂)) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type (max u₁ v₁ u₂ v₂)
adj : G ⊣ (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ (Type (max u₁ v₁ u₂ v₂))).obj F.op
⊢ (∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), K.W (G.map (Sieve.shrinkFunctor.{max u₁ v₁ u₂ v₂, v₁, u₁} (Sieve.pullback f S)).ι)) →
    S ∈ (F.inducedTopology K) X

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : LocallySmall.{max u₁ v₁ u₂ v₂, v₁, u₁} C
X : C
S : Sieve X
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type (max u₁ v₁ u₂ v₂)) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type (max u₁ v₁ u₂ v₂)
adj : G ⊣ (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ (Type (max u₁ v₁ u₂ v₂))).obj F.op
⊢ (∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), K.W (G.map (Sieve.shrinkFunctor.{max u₁ v₁ u₂ v₂, v₁, u₁} (Sieve.pullback f S)).ι)) →
    S ∈ (F.inducedTopology K) X
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.InducedTopology

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
F G : C ⥤ D
e : F ≅ G
⊢ G.IsContinuous (F.inducedTopology K) K

pp: case refine_2
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
F G : C ⥤ D
e : F ≅ G
⊢ F.IsContinuous (G.inducedTopology K) K

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
F G : C ⥤ D
e : F ≅ G
⊢ G.IsContinuous (F.inducedTopology K) K
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.InducedTopology

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
F G : C ⥤ D
e : F ≅ G
⊢ F.IsContinuous (G.inducedTopology K) K

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
F G : C ⥤ D
e : F ≅ G
⊢ F.IsContinuous (G.inducedTopology K) K
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.DenseSubsite.InducedTopology

Goal state before:
pp: case mp
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} D
G : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.Full
inst✝ : G.Faithful
X : C
S : Sieve X
⊢ Sieve.functorPushforward G S ∈ K (G.obj X) → ∃ T, Sieve.functorPullback G ↑T = S

pp: case mpr
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} D
G : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.Full
inst✝ : G.Faithful
X : C
S : Sieve X
⊢ (∃ T, Sieve.functorPullback G ↑T = S) → Sieve.functorPushforward G S ∈ K (G.obj X)

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} D
G : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.Full
inst✝ : G.Faithful
X : C
S : Sieve X
⊢ Sieve.functorPushforward G S ∈ K (G.obj X) → ∃ T, Sieve.functorPullback G ↑T = S
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.DenseSubsite.InducedTopology

Goal state before:
pp: case mpr
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} D
G : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.Full
inst✝ : G.Faithful
X : C
S : Sieve X
⊢ (∃ T, Sieve.functorPullback G ↑T = S) → Sieve.functorPushforward G S ∈ K (G.obj X)

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} D
G : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.Full
inst✝ : G.Faithful
X : C
S : Sieve X
⊢ (∃ T, Sieve.functorPullback G ↑T = S) → Sieve.functorPushforward G S ∈ K (G.obj X)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
S : C
E : PreOneHypercover S
F : PreOneHypercover S
s₀ : E.I₀ ≃ F.I₀
s₁ : ⦃i j : E.I₀⦄ → E.I₁ i j ≃ F.I₁ (s₀ i) (s₀ j)
i j : E.I₀
h₁ : ⦃i j : E.I₀⦄ → (k : E.I₁ i j) → E.Y k ≅ F.Y (s₁ k)
k : E.I₁ i j
⊢ (congrIndexOneOfEqIso ⋯ ⋯ k).inv ≫
      eqToHom ⋯ ≫
        (h₁ (s₁.symm ((congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯) (s₁ k)))).hom ≫ (h₁ (s₁.symm ((congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯) (s₁ k)))).inv =
    (congrIndexOneOfEqIso ⋯ ⋯ k).inv ≫ eqToHom ⋯

pp: case w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
S : C
E : PreOneHypercover S
F : PreOneHypercover S
s₀ : E.I₀ ≃ F.I₀
s₁ : ⦃i j : E.I₀⦄ → E.I₁ i j ≃ F.I₁ (s₀ i) (s₀ j)
i j : E.I₀
h₁ : ⦃i j : E.I₀⦄ → (k : E.I₁ i j) → E.Y k ≅ F.Y (s₁ k)
k : E.I₁ i j
⊢ (congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯) k = s₁.symm ((congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯) (s₁ k))

Tactic:
·

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
S : C
E : PreOneHypercover S
F : PreOneHypercover S
s₀ : E.I₀ ≃ F.I₀
s₁ : ⦃i j : E.I₀⦄ → E.I₁ i j ≃ F.I₁ (s₀ i) (s₀ j)
i j : E.I₀
h₁ : ⦃i j : E.I₀⦄ → (k : E.I₁ i j) → E.Y k ≅ F.Y (s₁ k)
k : E.I₁ i j
⊢ (congrIndexOneOfEqIso ⋯ ⋯ k).inv ≫
      eqToHom ⋯ ≫
        (h₁ (s₁.symm ((congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯) (s₁ k)))).hom ≫ (h₁ (s₁.symm ((congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯) (s₁ k)))).inv =
    (congrIndexOneOfEqIso ⋯ ⋯ k).inv ≫ eqToHom ⋯
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One

Goal state before:
pp: case w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
S : C
E : PreOneHypercover S
F : PreOneHypercover S
s₀ : E.I₀ ≃ F.I₀
s₁ : ⦃i j : E.I₀⦄ → E.I₁ i j ≃ F.I₁ (s₀ i) (s₀ j)
i j : E.I₀
h₁ : ⦃i j : E.I₀⦄ → (k : E.I₁ i j) → E.Y k ≅ F.Y (s₁ k)
k : E.I₁ i j
⊢ (congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯) k = s₁.symm ((congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯) (s₁ k))

Tactic:
·

Goal state after:
case w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
S : C
E : PreOneHypercover S
F : PreOneHypercover S
s₀ : E.I₀ ≃ F.I₀
s₁ : ⦃i j : E.I₀⦄ → E.I₁ i j ≃ F.I₁ (s₀ i) (s₀ j)
i j : E.I₀
h₁ : ⦃i j : E.I₀⦄ → (k : E.I₁ i j) → E.Y k ≅ F.Y (s₁ k)
k : E.I₁ i j
⊢ (congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯) k = s₁.symm ((congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯) (s₁ k))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.PreservesLocallyBijective

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : Category.{v_3, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
FA : A → A → Type u_4
CA : A → Type u_5
inst✝³ : (X Y : A) → FunLike (FA X Y) (CA X) (CA Y)
inst✝² : ConcreteCategory A FA
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (H.op.whiskerLeft f)
X : Dᵒᵖ
a b : ToType (F.obj X)
h : (ConcreteCategory.hom (f.app X)) a = (ConcreteCategory.hom (f.app X)) b
Y : D
g : Y ⟶ Opposite.unop X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
m : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X
fac : lift ≫ m = g
⊢ equalizerSieve ((ConcreteCategory.hom (F.map m.op)) a) ((ConcreteCategory.hom (F.map m.op)) b) ≤
    Sieve.functorPullback H (Sieve.pullback m (equalizerSieve a b))

pp: case refine_2
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : Category.{v_3, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
FA : A → A → Type u_4
CA : A → Type u_5
inst✝³ : (X Y : A) → FunLike (FA X Y) (CA X) (CA Y)
inst✝² : ConcreteCategory A FA
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (H.op.whiskerLeft f)
X : Dᵒᵖ
a b : ToType (F.obj X)
h : (ConcreteCategory.hom (f.app X)) a = (ConcreteCategory.hom (f.app X)) b
Y : D
g : Y ⟶ Opposite.unop X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
m : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X
fac : lift ≫ m = g
⊢ (ConcreteCategory.hom ((H.op.whiskerLeft f).app (Opposite.op Z))) ((ConcreteCategory.hom (F.map m.op)) a) =
    (ConcreteCategory.hom ((H.op.whiskerLeft f).app (Opposite.op Z))) ((ConcreteCategory.hom (F.map m.op)) b)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : Category.{v_3, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
FA : A → A → Type u_4
CA : A → Type u_5
inst✝³ : (X Y : A) → FunLike (FA X Y) (CA X) (CA Y)
inst✝² : ConcreteCategory A FA
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (H.op.whiskerLeft f)
X : Dᵒᵖ
a b : ToType (F.obj X)
h : (ConcreteCategory.hom (f.app X)) a = (ConcreteCategory.hom (f.app X)) b
Y : D
g : Y ⟶ Opposite.unop X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
m : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X
fac : lift ≫ m = g
⊢ equalizerSieve ((ConcreteCategory.hom (F.map m.op)) a) ((ConcreteCategory.hom (F.map m.op)) b) ≤
    Sieve.functorPullback H (Sieve.pullback m (equalizerSieve a b))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.DenseSubsite.InducedTopology

Goal state before:
pp: case mp
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X : C
Y : Over X
T : ↑(J ((Over.forget X).obj Y))
Z : C
f : Z ⟶ (Over.forget X).obj Y
⊢ (Sieve.functorPushforward (Over.forget X) (Sieve.functorPullback (Over.forget X) ↑T)).arrows f → (↑T).arrows f

pp: case mpr
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X : C
Y : Over X
T : ↑(J ((Over.forget X).obj Y))
Z : C
f : Z ⟶ (Over.forget X).obj Y
⊢ (↑T).arrows f → (Sieve.functorPushforward (Over.forget X) (Sieve.functorPullback (Over.forget X) ↑T)).arrows f

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X : C
Y : Over X
T : ↑(J ((Over.forget X).obj Y))
Z : C
f : Z ⟶ (Over.forget X).obj Y
⊢ (Sieve.functorPushforward (Over.forget X) (Sieve.functorPullback (Over.forget X) ↑T)).arrows f → (↑T).arrows f
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.DenseSubsite.InducedTopology

Goal state before:
pp: case mpr
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X : C
Y : Over X
T : ↑(J ((Over.forget X).obj Y))
Z : C
f : Z ⟶ (Over.forget X).obj Y
⊢ (↑T).arrows f → (Sieve.functorPushforward (Over.forget X) (Sieve.functorPullback (Over.forget X) ↑T)).arrows f

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X : C
Y : Over X
T : ↑(J ((Over.forget X).obj Y))
Z : C
f : Z ⟶ (Over.forget X).obj Y
⊢ (↑T).arrows f → (Sieve.functorPushforward (Over.forget X) (Sieve.functorPullback (Over.forget X) ↑T)).arrows f
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.PreservesLocallyBijective

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : Category.{v_3, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
FA : A → A → Type u_4
CA : A → Type u_5
inst✝³ : (X Y : A) → FunLike (FA X Y) (CA X) (CA Y)
inst✝² : ConcreteCategory A FA
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (H.op.whiskerLeft f)
X : Dᵒᵖ
a b : ToType (F.obj X)
h : (ConcreteCategory.hom (f.app X)) a = (ConcreteCategory.hom (f.app X)) b
Y : D
g : Y ⟶ Opposite.unop X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
m : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X
fac : lift ≫ m = g
⊢ (ConcreteCategory.hom ((H.op.whiskerLeft f).app (Opposite.op Z))) ((ConcreteCategory.hom (F.map m.op)) a) =
    (ConcreteCategory.hom ((H.op.whiskerLeft f).app (Opposite.op Z))) ((ConcreteCategory.hom (F.map m.op)) b)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : Category.{v_3, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
FA : A → A → Type u_4
CA : A → Type u_5
inst✝³ : (X Y : A) → FunLike (FA X Y) (CA X) (CA Y)
inst✝² : ConcreteCategory A FA
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (H.op.whiskerLeft f)
X : Dᵒᵖ
a b : ToType (F.obj X)
h : (ConcreteCategory.hom (f.app X)) a = (ConcreteCategory.hom (f.app X)) b
Y : D
g : Y ⟶ Opposite.unop X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
m : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X
fac : lift ≫ m = g
⊢ (ConcreteCategory.hom ((H.op.whiskerLeft f).app (Opposite.op Z))) ((ConcreteCategory.hom (F.map m.op)) a) =
    (ConcreteCategory.hom ((H.op.whiskerLeft f).app (Opposite.op Z))) ((ConcreteCategory.hom (F.map m.op)) b)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.DenseSubsite.InducedTopology

Goal state before:
pp: C : Type u_3
D : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{v_3, u_3} C
inst✝⁴ : Category.{v_4, u_4} D
F : C ⥤ D
K : Precoverage D
inst✝³ : K.HasIsos
inst✝² : K.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : K.IsStableUnderComposition
inst✝ : K.HasPullbacks
H : ∀ {S : C} {R : Presieve (F.obj S)}, R ∈ K.coverings (F.obj S) → map F (functorPullback F R) ∈ K.coverings (F.obj S)
U : C
x✝ : ↑(K.toGrothendieck (F.obj U))
T : Sieve (F.obj U)
hT : T ∈ K.toGrothendieck (F.obj U)
⊢ Sieve.functorPushforward F (Sieve.functorPullback F ↑⟨T, hT⟩) ∈ K.toGrothendieck (F.obj U)

Tactic:
by
    rw [Precoverage.mem_toGrothendieck_iff_of_isStableUnderComposition] at hT ⊢
    obtain ⟨R, hR, hle⟩ := hT
    refine ⟨_, H hR, ?_⟩
    refine le_trans ?_
      (Presieve.functorPushforward_monotone (Presieve.functorPullback_monotone hle))
    rw [← Sieve.arrows_generate_map_eq_functorPushforward]
    exact Sieve.le_generate _

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.DenseSubsite.InducedTopology

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u_3
D : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_3, u_3} C
inst✝⁶ : Category.{v_4, u_4} D
F : C ⥤ D
K : Precoverage D
inst✝⁵ : K.HasIsos
inst✝⁴ : K.IsStableUnderBaseChange
inst✝³ : K.IsStableUnderComposition
inst✝² : K.HasPullbacks
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Full
H : ∀ {S : C} {R : Presieve (F.obj S)}, R ∈ K.coverings (F.obj S) → map F (functorPullback F R) ∈ K.coverings (F.obj S)
this : F.LocallyCoverDense K.toGrothendieck
⊢ (comap F K).toGrothendieck ≤ F.restrictedTopology K.toGrothendieck

pp: case refine_2
C : Type u_3
D : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_3, u_3} C
inst✝⁶ : Category.{v_4, u_4} D
F : C ⥤ D
K : Precoverage D
inst✝⁵ : K.HasIsos
inst✝⁴ : K.IsStableUnderBaseChange
inst✝³ : K.IsStableUnderComposition
inst✝² : K.HasPullbacks
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Full
H : ∀ {S : C} {R : Presieve (F.obj S)}, R ∈ K.coverings (F.obj S) → map F (functorPullback F R) ∈ K.coverings (F.obj S)
this : F.LocallyCoverDense K.toGrothendieck
X : C
T : Sieve X
hT : T ∈ (F.restrictedTopology K.toGrothendieck) X
⊢ T ∈ (comap F K).toGrothendieck X

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
C : Type u_3
D : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_3, u_3} C
inst✝⁶ : Category.{v_4, u_4} D
F : C ⥤ D
K : Precoverage D
inst✝⁵ : K.HasIsos
inst✝⁴ : K.IsStableUnderBaseChange
inst✝³ : K.IsStableUnderComposition
inst✝² : K.HasPullbacks
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Full
H : ∀ {S : C} {R : Presieve (F.obj S)}, R ∈ K.coverings (F.obj S) → map F (functorPullback F R) ∈ K.coverings (F.obj S)
this : F.LocallyCoverDense K.toGrothendieck
⊢ (comap F K).toGrothendieck ≤ F.restrictedTopology K.toGrothendieck
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.DenseSubsite.InducedTopology

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u_3
D : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_3, u_3} C
inst✝⁶ : Category.{v_4, u_4} D
F : C ⥤ D
K : Precoverage D
inst✝⁵ : K.HasIsos
inst✝⁴ : K.IsStableUnderBaseChange
inst✝³ : K.IsStableUnderComposition
inst✝² : K.HasPullbacks
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Full
H : ∀ {S : C} {R : Presieve (F.obj S)}, R ∈ K.coverings (F.obj S) → map F (functorPullback F R) ∈ K.coverings (F.obj S)
this : F.LocallyCoverDense K.toGrothendieck
X : C
T : Sieve X
hT : T ∈ (F.restrictedTopology K.toGrothendieck) X
⊢ T ∈ (comap F K).toGrothendieck X

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
C : Type u_3
D : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{v_3, u_3} C
inst✝⁶ : Category.{v_4, u_4} D
F : C ⥤ D
K : Precoverage D
inst✝⁵ : K.HasIsos
inst✝⁴ : K.IsStableUnderBaseChange
inst✝³ : K.IsStableUnderComposition
inst✝² : K.HasPullbacks
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : F.Full
H : ∀ {S : C} {R : Presieve (F.obj S)}, R ∈ K.coverings (F.obj S) → map F (functorPullback F R) ∈ K.coverings (F.obj S)
this : F.LocallyCoverDense K.toGrothendieck
X : C
T : Sieve X
hT : T ∈ (F.restrictedTopology K.toGrothendieck) X
⊢ T ∈ (comap F K).toGrothendieck X