mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TangentCone.Pi

Goal state before:
pp: case hd₀
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun n ↦ Pi.single i (d n)) l (𝓝 0)

pp: case hds
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in l, x + Pi.single i (d n) ∈ closure[Pi.topologicalSpace] (univ.pi s)

pp: case hcd
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun n ↦ c n • Pi.single i (d n)) l (𝓝 (Pi.single i y))

Tactic:
·

Goal state after:
case hd₀
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun n ↦ Pi.single i (d n)) l (𝓝 0)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: case hF_meas
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, AEStronglyMeasurable (fun a ↦ n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) μ

pp: case h_bound
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ᵐ (a : E) ∂μ, ‖n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a‖ ≤ ↑C * ‖v‖ * ‖g a‖

pp: case bound_integrable
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ Integrable (fun x ↦ ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) μ

pp: case h_lim
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ ∀ᵐ (a : E) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) (𝓝[>] 0) (𝓝 (lineDeriv ℝ f a v * g a))

Tactic:
·

Goal state after:
case hF_meas
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, AEStronglyMeasurable (fun a ↦ n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) μ
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TangentCone.Pi

Goal state before:
pp: case hds
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in l, x + Pi.single i (d n) ∈ closure[Pi.topologicalSpace] (univ.pi s)

pp: case hcd
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun n ↦ c n • Pi.single i (d n)) l (𝓝 (Pi.single i y))

Tactic:
·

Goal state after:
case hds
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in l, x + Pi.single i (d n) ∈ closure[Pi.topologicalSpace] (univ.pi s)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: case h_bound
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ᵐ (a : E) ∂μ, ‖n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a‖ ≤ ↑C * ‖v‖ * ‖g a‖

pp: case bound_integrable
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ Integrable (fun x ↦ ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) μ

pp: case h_lim
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ ∀ᵐ (a : E) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) (𝓝[>] 0) (𝓝 (lineDeriv ℝ f a v * g a))

Tactic:
·

Goal state after:
case h_bound
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ᵐ (a : E) ∂μ, ‖n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a‖ ≤ ↑C * ‖v‖ * ‖g a‖
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case pos
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.68) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.109) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
x : M
xs : x ∈ support f
⊢ 0 < f x + g x

pp: case neg
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.68) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.109) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
x : M
xs : x ∉ support f
⊢ 0 < f x + g x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.68) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.109) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
x : M
xs : x ∈ support f
⊢ 0 < f x + g x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case neg
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.68) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.109) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
x : M
xs : x ∉ support f
⊢ 0 < f x + g x

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.68) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.109) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
x : M
xs : x ∉ support f
⊢ 0 < f x + g x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: case bound_integrable
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ Integrable (fun x ↦ ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) μ

pp: case h_lim
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ ∀ᵐ (a : E) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) (𝓝[>] 0) (𝓝 (lineDeriv ℝ f a v * g a))

Tactic:
·

Goal state after:
case bound_integrable
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ Integrable (fun x ↦ ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) μ
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TangentCone.Pi

Goal state before:
pp: case hcd
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun n ↦ c n • Pi.single i (d n)) l (𝓝 (Pi.single i y))

Tactic:
·

Goal state after:
case hcd
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun n ↦ c n • Pi.single i (d n)) l (𝓝 (Pi.single i y))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: case h_lim
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ ∀ᵐ (a : E) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) (𝓝[>] 0) (𝓝 (lineDeriv ℝ f a v * g a))

Tactic:
·

Goal state after:
case h_lim
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
hg : Integrable g μ
v : E
⊢ ∀ᵐ (a : E) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) (𝓝[>] 0) (𝓝 (lineDeriv ℝ f a v * g a))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: case hF_meas
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := ⋯
K_compact : IsCompact K
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, AEStronglyMeasurable (fun a ↦ n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) μ

pp: case h_bound
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := ⋯
K_compact : IsCompact K
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ᵐ (a : E) ∂μ, ‖n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a‖ ≤ K.indicator (fun x ↦ ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) a

pp: case bound_integrable
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := ⋯
K_compact : IsCompact K
⊢ Integrable (K.indicator fun x ↦ ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) μ

pp: case h_lim
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := ⋯
K_compact : IsCompact K
⊢ ∀ᵐ (a : E) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) (𝓝[>] 0) (𝓝 (lineDeriv ℝ f a v * g a))

Tactic:
·

Goal state after:
case hF_meas
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := ⋯
K_compact : IsCompact K
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, AEStronglyMeasurable (fun a ↦ n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.AEEqOfIntegral

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : FinStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
t : Set α
ht_meas : MeasurableSet t
htf_zero✝ : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ : SigmaFinite ((μ.trim hm).restrict t)
this : SigmaFinite ((μ.restrict t).trim hm)
htf_zero : f =ᵐ[μ.restrict tᶜ] 0
hf_meas_m : StronglyMeasurable f
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ((μ.restrict t).trim hm) s < ∞ → IntegrableOn f s ((μ.restrict t).trim hm)

pp: case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : FinStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
t : Set α
ht_meas : MeasurableSet t
htf_zero✝ : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ : SigmaFinite ((μ.trim hm).restrict t)
this : SigmaFinite ((μ.restrict t).trim hm)
htf_zero : f =ᵐ[μ.restrict tᶜ] 0
hf_meas_m : StronglyMeasurable f
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ((μ.restrict t).trim hm) s < ∞ → ∫ (x : α) in s, f x ∂(μ.restrict t).trim hm = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : FinStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
t : Set α
ht_meas : MeasurableSet t
htf_zero✝ : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ : SigmaFinite ((μ.trim hm).restrict t)
this : SigmaFinite ((μ.restrict t).trim hm)
htf_zero : f =ᵐ[μ.restrict tᶜ] 0
hf_meas_m : StronglyMeasurable f
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ((μ.restrict t).trim hm) s < ∞ → IntegrableOn f s ((μ.restrict t).trim hm)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: case h_bound
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := ⋯
K_compact : IsCompact K
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ᵐ (a : E) ∂μ, ‖n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a‖ ≤ K.indicator (fun x ↦ ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) a

pp: case bound_integrable
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := ⋯
K_compact : IsCompact K
⊢ Integrable (K.indicator fun x ↦ ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) μ

pp: case h_lim
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := ⋯
K_compact : IsCompact K
⊢ ∀ᵐ (a : E) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) (𝓝[>] 0) (𝓝 (lineDeriv ℝ f a v * g a))

Tactic:
·

Goal state after:
case h_bound
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := ⋯
K_compact : IsCompact K
⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ᵐ (a : E) ∂μ, ‖n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a‖ ≤ K.indicator (fun x ↦ ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) a