mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Between

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
hij : i < j
⊢ affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))

pp: case inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
hji : j < i
⊢ affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
hij : i < j
⊢ affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))
Module: Mathlib.Combinatorics.Hall.Basic

Goal state before:
pp: case mp.refine_3
ι : Type u
α : Type v
inst✝ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
h : ∀ (s : Finset ι), #s ≤ #(s.biUnion t)
this✝ : ∀ (ι' : (Finset ι)ᵒᵖ), Nonempty ((hallMatchingsFunctor t).obj ι')
this : ∀ (ι' : (Finset ι)ᵒᵖ), Finite ((hallMatchingsFunctor t).obj ι')
u : (j : (Finset ι)ᵒᵖ) → (hallMatchingsFunctor t).obj j
hu : u ∈ (hallMatchingsFunctor t).sections
⊢ ∀ (x : ι), ↑(u (Opposite.op {x})) ⟨x, ⋯⟩ ∈ t x

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.refine_3
ι : Type u
α : Type v
inst✝ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
h : ∀ (s : Finset ι), #s ≤ #(s.biUnion t)
this✝ : ∀ (ι' : (Finset ι)ᵒᵖ), Nonempty ((hallMatchingsFunctor t).obj ι')
this : ∀ (ι' : (Finset ι)ᵒᵖ), Finite ((hallMatchingsFunctor t).obj ι')
u : (j : (Finset ι)ᵒᵖ) → (hallMatchingsFunctor t).obj j
hu : u ∈ (hallMatchingsFunctor t).sections
⊢ ∀ (x : ι), ↑(u (Opposite.op {x})) ⟨x, ⋯⟩ ∈ t x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Between

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
hji : j < i
⊢ affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
hji : j < i
⊢ affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Approximation

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
φ : E → ℝ
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace E
hφc : LowerSemicontinuous φ
hφcv : ConvexOn ℝ univ φ
𝓕 : Set (E → ℝ) := {f | f ≤ φ ∧ ∃ l c, f = ⇑re ∘ ⇑l + const E c}
⊢ 𝓕.Nonempty

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
φ : E → ℝ
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace E
hφc : LowerSemicontinuous φ
hφcv : ConvexOn ℝ univ φ
𝓕 : Set (E → ℝ) := {f | f ≤ φ ∧ ∃ l c, f = ⇑re ∘ ⇑l + const E c}
⊢ BddAbove 𝓕

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
φ : E → ℝ
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace E
hφc : LowerSemicontinuous φ
hφcv : ConvexOn ℝ univ φ
𝓕 : Set (E → ℝ) := {f | f ≤ φ ∧ ∃ l c, f = ⇑re ∘ ⇑l + const E c}
⊢ 𝓕.Nonempty
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Approximation

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
φ : E → ℝ
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace E
hφc : LowerSemicontinuous φ
hφcv : ConvexOn ℝ univ φ
𝓕 : Set (E → ℝ) := {f | f ≤ φ ∧ ∃ l c, f = ⇑re ∘ ⇑l + const E c}
⊢ BddAbove 𝓕

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
φ : E → ℝ
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace E
hφc : LowerSemicontinuous φ
hφcv : ConvexOn ℝ univ φ
𝓕 : Set (E → ℝ) := {f | f ≤ φ ∧ ∃ l c, f = ⇑re ∘ ⇑l + const E c}
⊢ BddAbove 𝓕
Module: Mathlib.Combinatorics.Hall.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
ι : Type u
α : Type v
inst✝ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
⊢ (∃ f, Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x) → ∀ (s : Finset ι), #s ≤ #(s.biUnion t)

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
ι : Type u
α : Type v
inst✝ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
⊢ (∃ f, Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x) → ∀ (s : Finset ι), #s ≤ #(s.biUnion t)
Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem

Goal state before:
pp: case refine_2
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range ⇑(ConcreteCategory.hom (F.map f₂))
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
x : F.obj j₂
hx : x ∈ ⋂ f, ⇑(ConcreteCategory.hom (F.map f)) ⁻¹' s
this : (ConcreteCategory.hom (F.map f₂)) x ∈ F.eventualRange j₁
y : F.obj j₃
hy : y ∈ F.eventualRange j₃
h₃ : (ConcreteCategory.hom (F.map (f₃ ≫ f₂))) y = (ConcreteCategory.hom (F.map f₂)) x
⊢ ↑((ConcreteCategory.hom ((F.toPreimages s).map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁))) ⟨y, ⋯⟩) =
    ↑((ConcreteCategory.hom ((F.toPreimages s).map (f₂ ≫ f₁))) ⟨x, hx⟩)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range ⇑(ConcreteCategory.hom (F.map f₂))
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
x : F.obj j₂
hx : x ∈ ⋂ f, ⇑(ConcreteCategory.hom (F.map f)) ⁻¹' s
this : (ConcreteCategory.hom (F.map f₂)) x ∈ F.eventualRange j₁
y : F.obj j₃
hy : y ∈ F.eventualRange j₃
h₃ : (ConcreteCategory.hom (F.map (f₃ ≫ f₂))) y = (ConcreteCategory.hom (F.map f₂)) x
⊢ ↑((ConcreteCategory.hom ((F.toPreimages s).map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁))) ⟨y, ⋯⟩) =
    ↑((ConcreteCategory.hom ((F.toPreimages s).map (f₂ ≫ f₁))) ⟨x, hx⟩)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Approximation

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
φ : E → ℝ
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace E
hφc : LowerSemicontinuous φ
hφcv : ConvexOn ℝ univ φ
⊢ ∃ l c, (∀ (i : ℕ), ⇑re ∘ ⇑(l i) + const E (c i) ≤ φ) ∧ ⨆ i, ⇑re ∘ ⇑(l i) + const E (c i) = φ

Tactic:
by
  obtain ⟨l, c, hle, hsup⟩ := hφcv.sSup_of_nat_affine_eq (𝕜 := 𝕜) (s := univ) isClosed_univ
    (lowerSemicontinuousOn_univ_iff.2 hφc)
  refine ⟨l, c, fun i x ↦ hle i ⟨x, trivial⟩, ?_⟩
  ext x
  simpa using congrFun hsup ⟨x, trivial⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Between

Goal state before:
pp: case e_x.e_a
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
h' : affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))
⊢ ({i, j}.orderEmbOfFin ⋯) 0 = min i j

pp: case e_y.e_a
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
h' : affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))
⊢ ({i, j}.orderEmbOfFin ⋯) 1 = max i j

Tactic:
·

Goal state after:
case e_x.e_a
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
h' : affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))
⊢ ({i, j}.orderEmbOfFin ⋯) 0 = min i j
Module: Mathlib.Data.PEquiv

Goal state before:
pp: case none
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
a₂ : α
h : ∀ (a₁ : α), a₁ ≠ a₂ → (f a₁).isSome = true
x : α
hfx : f x = none
⊢ (fun b ↦ Option.recOn b a₂ fun b' ↦ Option.recOn (f.symm b') a₂ id) none = x

pp: case some
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
a₂ : α
h : ∀ (a₁ : α), a₁ ≠ a₂ → (f a₁).isSome = true
x : α
val✝ : β
hfx : f x = some val✝
⊢ (fun b ↦ Option.recOn b a₂ fun b' ↦ Option.recOn (f.symm b') a₂ id) (some val✝) = x

Tactic:
·

Goal state after:
case none
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
a₂ : α
h : ∀ (a₁ : α), a₁ ≠ a₂ → (f a₁).isSome = true
x : α
hfx : f x = none
⊢ (fun b ↦ Option.recOn b a₂ fun b' ↦ Option.recOn (f.symm b') a₂ id) none = x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Between

Goal state before:
pp: case e'_3
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
h' : affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))
⊢ min i j = {i, j}.min' ⋯

pp: case e_x.e_a.convert_6
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
h' : affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))
⊢ 0 < 1 + 1

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_3
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
h' : affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))
⊢ min i j = {i, j}.min' ⋯
Module: Mathlib.Data.PEquiv

Goal state before:
pp: case some
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
a₂ : α
h : ∀ (a₁ : α), a₁ ≠ a₂ → (f a₁).isSome = true
x : α
val✝ : β
hfx : f x = some val✝
⊢ (fun b ↦ Option.recOn b a₂ fun b' ↦ Option.recOn (f.symm b') a₂ id) (some val✝) = x

Tactic:
·

Goal state after:
case some
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
a₂ : α
h : ∀ (a₁ : α), a₁ ≠ a₂ → (f a₁).isSome = true
x : α
val✝ : β
hfx : f x = some val✝
⊢ (fun b ↦ Option.recOn b a₂ fun b' ↦ Option.recOn (f.symm b') a₂ id) (some val✝) = x
Module: Mathlib.Data.PEquiv

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
a b : α
hb : b ∈ s
ha : a ∈ s
⊢ some b = some a ↔ some a = some b

pp: case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
a b : α
hb : b ∈ s
ha : ¬a ∈ s
⊢ some b = some a ↔ False

pp: case pos
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
a b : α
hb : ¬b ∈ s
ha : a ∈ s
⊢ False ↔ some a = some b

pp: case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
a b : α
hb : ¬b ∈ s
ha : ¬a ∈ s
⊢ False ↔ False

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
a b : α
hb : b ∈ s
ha : a ∈ s
⊢ some b = some a ↔ some a = some b
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Between

Goal state before:
pp: case e_x.e_a.convert_6
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
h' : affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))
⊢ 0 < 1 + 1

Tactic:
·

Goal state after:
case e_x.e_a.convert_6
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
h' : affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))
⊢ 0 < 1 + 1
Module: Mathlib.Data.PEquiv

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
a b : α
hb : b ∈ s
ha : ¬a ∈ s
⊢ some b = some a ↔ False

pp: case pos
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
a b : α
hb : ¬b ∈ s
ha : a ∈ s
⊢ False ↔ some a = some b

pp: case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
a b : α
hb : ¬b ∈ s
ha : ¬a ∈ s
⊢ False ↔ False

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
a b : α
hb : b ∈ s
ha : ¬a ∈ s
⊢ some b = some a ↔ False
Module: Mathlib.Data.PEquiv

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
a b : α
hb : ¬b ∈ s
ha : a ∈ s
⊢ False ↔ some a = some b

pp: case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
a b : α
hb : ¬b ∈ s
ha : ¬a ∈ s
⊢ False ↔ False

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
a b : α
hb : ¬b ∈ s
ha : a ∈ s
⊢ False ↔ some a = some b
Module: Mathlib.Data.PEquiv

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
a b : α
hb : ¬b ∈ s
ha : ¬a ∈ s
⊢ False ↔ False

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
s✝ : Set α
inst✝¹ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s✝
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
a b : α
hb : ¬b ∈ s
ha : ¬a ∈ s
⊢ False ↔ False
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Between

Goal state before:
pp: case e_y.e_a
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
h' : affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))
⊢ ({i, j}.orderEmbOfFin ⋯) 1 = max i j

Tactic:
·

Goal state after:
case e_y.e_a
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
h' : affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))
⊢ ({i, j}.orderEmbOfFin ⋯) 1 = max i j
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Between

Goal state before:
pp: case e'_3
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
h' : affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))
⊢ max i j = {i, j}.max' ⋯

pp: case e_y.e_a.convert_6
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
h' : affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))
⊢ 0 < 1 + 1

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_3
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
h' : affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))
⊢ max i j = {i, j}.max' ⋯
Module: Mathlib.Data.PEquiv

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
x✝ a✝ : α
⊢ (∃ a, f x✝ = some a ∧ f a✝ = some a) → a✝ = x✝ ∧ a✝ ∈ {a | ∃ a_1, f a = some a_1}

pp: case mpr
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
x✝ a✝ : α
⊢ a✝ = x✝ ∧ a✝ ∈ {a | ∃ a_1, f a = some a_1} → ∃ a, f x✝ = some a ∧ f a✝ = some a

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
x✝ a✝ : α
⊢ (∃ a, f x✝ = some a ∧ f a✝ = some a) → a✝ = x✝ ∧ a✝ ∈ {a | ∃ a_1, f a = some a_1}
Module: Mathlib.Data.PEquiv

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
x✝ a✝ : α
b : β
hb₁ : f x✝ = some b
hb₂ : f a✝ = some b
⊢ a✝ = x✝ ∧ a✝ ∈ {a | ∃ a_1, f a = some a_1}

Tactic:
exact ⟨PEquiv.inj _ hb₂ hb₁, b, hb₂⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.PEquiv

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
x✝ a✝ : α
⊢ a✝ = x✝ ∧ a✝ ∈ {a | ∃ a_1, f a = some a_1} → ∃ a, f x✝ = some a ∧ f a✝ = some a

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u
β : Type v
f : α ≃. β
x✝ a✝ : α
⊢ a✝ = x✝ ∧ a✝ ∈ {a | ∃ a_1, f a = some a_1} → ∃ a, f x✝ = some a ∧ f a✝ = some a
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Between

Goal state before:
pp: case e_y.e_a.convert_6
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
h' : affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))
⊢ 0 < 1 + 1

Tactic:
·

Goal state after:
case e_y.e_a.convert_6
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
n : ℕ
s : Simplex R P n
i j : Fin (n + 1)
h : i ≠ j
h' : affineSegment R (s.points i) (s.points j) = affineSegment R (s.points (min i j)) (s.points (max i j))
⊢ 0 < 1 + 1
Module: Mathlib.Data.PEquiv

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
a : α
b : β
x : α
y : β
h1 : y = b
h2 : x = a
⊢ some a = some x ↔ some b = some y

pp: case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
a : α
b : β
x : α
y : β
h1 : y = b
h2 : ¬x = a
⊢ some a = some x ↔ False

pp: case pos
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
a : α
b : β
x : α
y : β
h1 : ¬y = b
h✝ : x = a
⊢ False ↔ some b = some y

pp: case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
a : α
b : β
x : α
y : β
h1 : ¬y = b
h✝ : ¬x = a
⊢ False ↔ False

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
a : α
b : β
x : α
y : β
h1 : y = b
h2 : x = a
⊢ some a = some x ↔ some b = some y
Module: Mathlib.Data.PEquiv

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
a : α
b : β
x : α
y : β
h1 : y = b
h2 : ¬x = a
⊢ some a = some x ↔ False

pp: case pos
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
a : α
b : β
x : α
y : β
h1 : ¬y = b
h✝ : x = a
⊢ False ↔ some b = some y

pp: case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
a : α
b : β
x : α
y : β
h1 : ¬y = b
h✝ : ¬x = a
⊢ False ↔ False

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
a : α
b : β
x : α
y : β
h1 : y = b
h2 : ¬x = a
⊢ some a = some x ↔ False
Module: Mathlib.Data.PEquiv

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
a : α
b : β
x : α
y : β
h1 : ¬y = b
h✝ : x = a
⊢ False ↔ some b = some y

pp: case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
a : α
b : β
x : α
y : β
h1 : ¬y = b
h✝ : ¬x = a
⊢ False ↔ False

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
a : α
b : β
x : α
y : β
h1 : ¬y = b
h✝ : x = a
⊢ False ↔ some b = some y
Module: Mathlib.Data.PEquiv

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
a : α
b : β
x : α
y : β
h1 : ¬y = b
h✝ : ¬x = a
⊢ False ↔ False

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
a : α
b : β
x : α
y : β
h1 : ¬y = b
h✝ : ¬x = a
⊢ False ↔ False
Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem

Goal state before:
pp: case inl
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
hFn : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective ⇑(ConcreteCategory.hom (F.map f))
hs : s.Nonempty
j : J
h : IsEmpty (j ⟶ i)
⊢ ∃ x, ∀ (i_1 : j ⟶ i), (ConcreteCategory.hom (F.map i_1)) x ∈ s

pp: case inr
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
hFn : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective ⇑(ConcreteCategory.hom (F.map f))
hs : s.Nonempty
j : J
ji : j ⟶ i
⊢ ∃ x, ∀ (i_1 : j ⟶ i), (ConcreteCategory.hom (F.map i_1)) x ∈ s

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
hFn : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective ⇑(ConcreteCategory.hom (F.map f))
hs : s.Nonempty
j : J
h : IsEmpty (j ⟶ i)
⊢ ∃ x, ∀ (i_1 : j ⟶ i), (ConcreteCategory.hom (F.map i_1)) x ∈ s