mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : g.ker = f.range
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
n : Q
q : N
⊢ n ⊗ₜ[R] h (g q) - n ⊗ₜ[R] q ∈ (lTensor Q f).range

Tactic:
← TensorProduct.tmul_sub

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : g.ker = f.range
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
n : Q
q : N
⊢ n ⊗ₜ[R] (h (g q) - q) ∈ (lTensor Q f).range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: case e'_2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
I : Ideal R
⊢ (TensorProduct.mk R (R ⧸ I) Q) 1 ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid R Q) = rTensor Q (mkQ I)

pp: case e'_3
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
I : Ideal R
⊢ comap (↑(TensorProduct.lid R Q)) (I • ⊤) = (rTensor Q (Submodule.subtype I)).range

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
I : Ideal R
⊢ (TensorProduct.mk R (R ⧸ I) Q) 1 ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid R Q) = rTensor Q (mkQ I)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
I : Ideal R
⊢ ((TensorProduct.mk R (R ⧸ I) Q) 1).ker = I • ⊤

Tactic:
apply comap_injective_of_surjective (TensorProduct.lid R Q).surjective
  rw [← ker_comp]
  convert! rTensor_mkQ Q I
  · ext; simp
  rw [comap_equiv_eq_map_symm, map_symm_eq_iff, map_range_rTensor_subtype_lid]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
I : Ideal R
⊢ ((TensorProduct.mk R (R ⧸ I) Q) 1).ker = I • ⊤

Tactic:
by
  apply comap_injective_of_surjective (TensorProduct.lid R Q).surjective
  rw [← ker_comp]
  convert! rTensor_mkQ Q I
  · ext; simp
  rw [comap_equiv_eq_map_symm, map_symm_eq_iff, map_range_rTensor_subtype_lid]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
⊢ ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I)) ⊆
    ↑(LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype).range

pp: case a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
⊢ ↑(LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype).range ⊆
    ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I))

Tactic:
·

Goal state after:
case a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
⊢ ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I)) ⊆
    ↑(LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype).range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: case a.refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I)))
⊢ ∀ x ∈ ⇑includeLeft '' ↑I, ∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x

pp: case a.refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I)))
⊢ ∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = 0

pp: case a.refine_3
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I)))
⊢ ∀ (x y : A ⊗[R] B),
    x ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I) →
      y ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I) →
        (∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x) →
          (∃ y_1, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y_1 = y) →
            ∃ y_1, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y_1 = x + y

pp: case a.refine_4
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I)))
⊢ ∀ (a x : A ⊗[R] B),
    x ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I) →
      (∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x) →
        ∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = a • x

Tactic:
·

Goal state after:
case a.refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I)))
⊢ ∀ x ∈ ⇑includeLeft '' ↑I, ∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: case a.refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I)))
⊢ ∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = 0

pp: case a.refine_3
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I)))
⊢ ∀ (x y : A ⊗[R] B),
    x ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I) →
      y ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I) →
        (∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x) →
          (∃ y_1, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y_1 = y) →
            ∃ y_1, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y_1 = x + y

pp: case a.refine_4
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I)))
⊢ ∀ (a x : A ⊗[R] B),
    x ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I) →
      (∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x) →
        ∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = a • x

Tactic:
·

Goal state after:
case a.refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I)))
⊢ ∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: case a.refine_3
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I)))
⊢ ∀ (x y : A ⊗[R] B),
    x ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I) →
      y ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I) →
        (∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x) →
          (∃ y_1, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y_1 = y) →
            ∃ y_1, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y_1 = x + y

pp: case a.refine_4
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I)))
⊢ ∀ (a x : A ⊗[R] B),
    x ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I) →
      (∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x) →
        ∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = a • x

Tactic:
·

Goal state after:
case a.refine_3
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I)))
⊢ ∀ (x y : A ⊗[R] B),
    x ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I) →
      y ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I) →
        (∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x) →
          (∃ y_1, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y_1 = y) →
            ∃ y_1, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y_1 = x + y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: case a.refine_4
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I)))
⊢ ∀ (a x : A ⊗[R] B),
    x ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I) →
      (∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x) →
        ∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = a • x

Tactic:
·

Goal state after:
case a.refine_4
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I)))
⊢ ∀ (a x : A ⊗[R] B),
    x ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I) →
      (∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x) →
        ∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = a • x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
⊢ ↑(LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype).range ⊆
    ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I))

Tactic:
·

Goal state after:
case a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
⊢ ↑(LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype).range ⊆
    ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Finiteness

Goal state before:
pp: case insert.refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
s✝ : Set (M ⊗[R] N)
a : M ⊗[R] N
s : Set (M ⊗[R] N)
a✝ : a ∉ s
hs✝ : s.Finite
M' : Submodule R M
N' : Submodule R N
hM' : M'.FG
hN' : N'.FG
h : s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
⊢ ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert 0 s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range

pp: case insert.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
s✝ : Set (M ⊗[R] N)
a : M ⊗[R] N
s : Set (M ⊗[R] N)
a✝ : a ∉ s
hs✝ : s.Finite
M' : Submodule R M
N' : Submodule R N
hM' : M'.FG
hN' : N'.FG
h : s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
x : M
y : N
⊢ ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert (x ⊗ₜ[R] y) s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range

pp: case insert.refine_3
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
s✝ : Set (M ⊗[R] N)
a : M ⊗[R] N
s : Set (M ⊗[R] N)
a✝ : a ∉ s
hs✝ : s.Finite
M' : Submodule R M
N' : Submodule R N
hM' : M'.FG
hN' : N'.FG
h : s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
x y : M ⊗[R] N
hx : ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert x s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
hy : ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert y s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
⊢ ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert (x + y) s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range

Tactic:
·

Goal state after:
case insert.refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
s✝ : Set (M ⊗[R] N)
a : M ⊗[R] N
s : Set (M ⊗[R] N)
a✝ : a ∉ s
hs✝ : s.Finite
M' : Submodule R M
N' : Submodule R N
hM' : M'.FG
hN' : N'.FG
h : s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
⊢ ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert 0 s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Finiteness

Goal state before:
pp: case insert.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
s✝ : Set (M ⊗[R] N)
a : M ⊗[R] N
s : Set (M ⊗[R] N)
a✝ : a ∉ s
hs✝ : s.Finite
M' : Submodule R M
N' : Submodule R N
hM' : M'.FG
hN' : N'.FG
h : s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
x : M
y : N
⊢ ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert (x ⊗ₜ[R] y) s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range

pp: case insert.refine_3
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
s✝ : Set (M ⊗[R] N)
a : M ⊗[R] N
s : Set (M ⊗[R] N)
a✝ : a ∉ s
hs✝ : s.Finite
M' : Submodule R M
N' : Submodule R N
hM' : M'.FG
hN' : N'.FG
h : s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
x y : M ⊗[R] N
hx : ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert x s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
hy : ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert y s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
⊢ ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert (x + y) s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range

Tactic:
·

Goal state after:
case insert.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
s✝ : Set (M ⊗[R] N)
a : M ⊗[R] N
s : Set (M ⊗[R] N)
a✝ : a ∉ s
hs✝ : s.Finite
M' : Submodule R M
N' : Submodule R N
hM' : M'.FG
hN' : N'.FG
h : s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
x : M
y : N
⊢ ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert (x ⊗ₜ[R] y) s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
⊢ ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeRight I)) ⊆
    ↑(LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype).range

pp: case a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
⊢ ↑(LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype).range ⊆
    ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeRight I))

Tactic:
·

Goal state after:
case a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
⊢ ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeRight I)) ⊆
    ↑(LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype).range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Finiteness

Goal state before:
pp: case insert.refine_2.refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
s✝ : Set (M ⊗[R] N)
a : M ⊗[R] N
s : Set (M ⊗[R] N)
a✝ : a ∉ s
hs✝ : s.Finite
M' : Submodule R M
N' : Submodule R N
hM' : M'.FG
hN' : N'.FG
h : s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
x : M
y : N
⊢ x ⊗ₜ[R] y ∈ ↑(mapIncl (M' ⊔ R ∙ x) (N' ⊔ R ∙ y)).range

pp: case insert.refine_2.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
s✝ : Set (M ⊗[R] N)
a : M ⊗[R] N
s : Set (M ⊗[R] N)
a✝ : a ∉ s
hs✝ : s.Finite
M' : Submodule R M
N' : Submodule R N
hM' : M'.FG
hN' : N'.FG
h : s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
x : M
y : N
z : M ⊗[R] N
hz : z ∈ s
⊢ z ∈ ↑(mapIncl (M' ⊔ R ∙ x) (N' ⊔ R ∙ y)).range

Tactic:
·

Goal state after:
case insert.refine_2.refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
s✝ : Set (M ⊗[R] N)
a : M ⊗[R] N
s : Set (M ⊗[R] N)
a✝ : a ∉ s
hs✝ : s.Finite
M' : Submodule R M
N' : Submodule R N
hM' : M'.FG
hN' : N'.FG
h : s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
x : M
y : N
⊢ x ⊗ₜ[R] y ∈ ↑(mapIncl (M' ⊔ R ∙ x) (N' ⊔ R ∙ y)).range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: case a.refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeRight '' ↑I)))
⊢ ∀ x ∈ ⇑includeRight '' ↑I, ∃ y, (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x

pp: case a.refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeRight '' ↑I)))
⊢ ∃ y, (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = 0

pp: case a.refine_3
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeRight '' ↑I)))
⊢ ∀ (x y : A ⊗[R] B),
    x ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeRight '' ↑I) →
      y ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeRight '' ↑I) →
        (∃ y, (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x) →
          (∃ y_1, (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y_1 = y) →
            ∃ y_1, (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y_1 = x + y

pp: case a.refine_4
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeRight '' ↑I)))
⊢ ∀ (a x : A ⊗[R] B),
    x ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeRight '' ↑I) →
      (∃ y, (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x) →
        ∃ y, (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = a • x

Tactic:
·

Goal state after:
case a.refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeRight '' ↑I)))
⊢ ∀ x ∈ ⇑includeRight '' ↑I, ∃ y, (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Finiteness

Goal state before:
pp: case insert.refine_2.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
s✝ : Set (M ⊗[R] N)
a : M ⊗[R] N
s : Set (M ⊗[R] N)
a✝ : a ∉ s
hs✝ : s.Finite
M' : Submodule R M
N' : Submodule R N
hM' : M'.FG
hN' : N'.FG
h : s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
x : M
y : N
z : M ⊗[R] N
hz : z ∈ s
⊢ z ∈ ↑(mapIncl (M' ⊔ R ∙ x) (N' ⊔ R ∙ y)).range

Tactic:
·

Goal state after:
case insert.refine_2.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
s✝ : Set (M ⊗[R] N)
a : M ⊗[R] N
s : Set (M ⊗[R] N)
a✝ : a ∉ s
hs✝ : s.Finite
M' : Submodule R M
N' : Submodule R N
hM' : M'.FG
hN' : N'.FG
h : s ⊆ ↑(mapIncl M' N').range
x : M
y : N
z : M ⊗[R] N
hz : z ∈ s
⊢ z ∈ ↑(mapIncl (M' ⊔ R ∙ x) (N' ⊔ R ∙ y)).range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: case a.refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeRight '' ↑I)))
⊢ ∃ y, (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = 0

pp: case a.refine_3
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeRight '' ↑I)))
⊢ ∀ (x y : A ⊗[R] B),
    x ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeRight '' ↑I) →
      y ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeRight '' ↑I) →
        (∃ y, (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x) →
          (∃ y_1, (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y_1 = y) →
            ∃ y_1, (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y_1 = x + y

pp: case a.refine_4
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeRight '' ↑I)))
⊢ ∀ (a x : A ⊗[R] B),
    x ∈ Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeRight '' ↑I) →
      (∃ y, (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x) →
        ∃ y, (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = a • x

Tactic:
·

Goal state after:
case a.refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeRight '' ↑I)))
⊢ ∃ y, (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = 0