mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
C : ℝ
i : ι
hC : 0 ≤ C
_i : Fact (1 ≤ ∞)
F : ι → ↥(lp E ∞)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : ↥(lp E ∞)
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) l (𝓝 ↑f)
hi : ‖F i‖ ≤ C
⊢ ‖f‖ ≤ C

pp: case inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) l (𝓝 ↑f)
i : ι
hi : ‖F i‖ ≤ C
hC : 0 ≤ C
hp : p < ∞
⊢ ‖f‖ ≤ C

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
C : ℝ
i : ι
hC : 0 ≤ C
_i : Fact (1 ≤ ∞)
F : ι → ↥(lp E ∞)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : ↥(lp E ∞)
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) l (𝓝 ↑f)
hi : ‖F i‖ ≤ C
⊢ ‖f‖ ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) l (𝓝 ↑f)
i : ι
hi : ‖F i‖ ≤ C
hC : 0 ≤ C
hp : p < ∞
⊢ ‖f‖ ≤ C

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) l (𝓝 ↑f)
i : ι
hi : ‖F i‖ ≤ C
hC : 0 ≤ C
hp : p < ∞
⊢ ‖f‖ ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) l (𝓝 ↑f)
⊢ ‖f‖ ≤ C

Tactic:
obtain ⟨i, hi⟩ := hCF.exists
  have hC : 0 ≤ C := (norm_nonneg _).trans hi
  rcases eq_top_or_lt_top p with (rfl | hp)
  · apply norm_le_of_forall_le hC
    exact norm_apply_le_of_tendsto hCF hf
  · have : 0 < p := zero_lt_one.trans_le _i.elim
    have hp' : 0 < p.toReal := ENNReal.toReal_pos this.ne' hp.ne
    apply norm_le_of_forall_sum_le hp' hC
    exact sum_rpow_le_of_tendsto hp.ne hCF hf

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
f : (a : α) → E a
C : ℝ
_i : Fact (1 ≤ ∞)
F : ι → ↥(lp E ∞)
hF : Bornology.IsBounded (Set.range F)
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) l (𝓝 f)
hCF : ∀ (k : ι), ‖F k‖ ≤ C
⊢ Memℓp f ∞

pp: case inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ι → ↥(lp E p)
hF : Bornology.IsBounded (Set.range F)
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) l (𝓝 f)
C : ℝ
hCF : ∀ (k : ι), ‖F k‖ ≤ C
hp : p < ∞
⊢ Memℓp f p

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
f : (a : α) → E a
C : ℝ
_i : Fact (1 ≤ ∞)
F : ι → ↥(lp E ∞)
hF : Bornology.IsBounded (Set.range F)
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) l (𝓝 f)
hCF : ∀ (k : ι), ‖F k‖ ≤ C
⊢ Memℓp f ∞
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ι → ↥(lp E p)
hF : Bornology.IsBounded (Set.range F)
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) l (𝓝 f)
C : ℝ
hCF : ∀ (k : ι), ‖F k‖ ≤ C
hp : p < ∞
⊢ Memℓp f p

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ι → ↥(lp E p)
hF : Bornology.IsBounded (Set.range F)
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) l (𝓝 f)
C : ℝ
hCF : ∀ (k : ι), ‖F k‖ ≤ C
hp : p < ∞
⊢ Memℓp f p
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.UniformLimitsDeriv

Goal state before:
pp: case inr.right
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
x : E
r : ℝ
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
hfg : Cauchy (map (fun n ↦ f n x) l)
this✝¹ : RCLike 𝕜 := ⋯
hf' : TendstoUniformlyOn (fun n z ↦ -f' n.1 z + f' n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (Metric.ball x r)
this✝ : NormedSpace ℝ E := ⋯
this : l.NeBot
hr : 0 < r
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n x_1 ↦ f n.1 x - f n.2 x) 0 (l ×ˢ l) (Metric.ball x r)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.right
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
x : E
r : ℝ
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasFDerivAt (f n) (f' n y) y
hfg : Cauchy (map (fun n ↦ f n x) l)
this✝¹ : RCLike 𝕜 := ⋯
hf' : TendstoUniformlyOn (fun n z ↦ -f' n.1 z + f' n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (Metric.ball x r)
this✝ : NormedSpace ℝ E := ⋯
this : l.NeBot
hr : 0 < r
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n x_1 ↦ f n.1 x - f n.2 x) 0 (l ×ˢ l) (Metric.ball x r)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case h₁
α : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝ : PseudoMetricSpace α
g : α → ι → ℝ
K : ℝ≥0
hg : ∀ (i : ι), LipschitzWith K fun x ↦ g x i
a₀ a : α
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds (Set.range fun i ↦ ‖g a₀ i‖)
i : ι
⊢ |g a i - g a₀ i| ≤ ↑K * dist a a₀

pp: case h₂
α : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝ : PseudoMetricSpace α
g : α → ι → ℝ
K : ℝ≥0
hg : ∀ (i : ι), LipschitzWith K fun x ↦ g x i
a₀ a : α
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds (Set.range fun i ↦ ‖g a₀ i‖)
i : ι
⊢ |g a₀ i| ≤ M

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
α : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝ : PseudoMetricSpace α
g : α → ι → ℝ
K : ℝ≥0
hg : ∀ (i : ι), LipschitzWith K fun x ↦ g x i
a₀ a : α
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds (Set.range fun i ↦ ‖g a₀ i‖)
i : ι
⊢ |g a i - g a₀ i| ≤ ↑K * dist a a₀
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case h₂
α : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝ : PseudoMetricSpace α
g : α → ι → ℝ
K : ℝ≥0
hg : ∀ (i : ι), LipschitzWith K fun x ↦ g x i
a₀ a : α
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds (Set.range fun i ↦ ‖g a₀ i‖)
i : ι
⊢ |g a₀ i| ≤ M

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂
α : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝ : PseudoMetricSpace α
g : α → ι → ℝ
K : ℝ≥0
hg : ∀ (i : ι), LipschitzWith K fun x ↦ g x i
a₀ a : α
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds (Set.range fun i ↦ ‖g a₀ i‖)
i : ι
⊢ |g a₀ i| ≤ M
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun x ↦ ℝ) ∞)
s : Set α
K : ℝ≥0
⊢ (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ ↑K * dist x y) →
    ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (↑(f x) i) (↑(f y) i) ≤ ↑K * dist x y

pp: case mpr
α : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun x ↦ ℝ) ∞)
s : Set α
K : ℝ≥0
⊢ (∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (↑(f x) i) (↑(f y) i) ≤ ↑K * dist x y) →
    ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ ↑K * dist x y

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun x ↦ ℝ) ∞)
s : Set α
K : ℝ≥0
⊢ (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ ↑K * dist x y) →
    ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (↑(f x) i) (↑(f y) i) ≤ ↑K * dist x y
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun x ↦ ℝ) ∞)
s : Set α
K : ℝ≥0
⊢ (∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (↑(f x) i) (↑(f y) i) ≤ ↑K * dist x y) →
    ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ ↑K * dist x y

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun x ↦ ℝ) ∞)
s : Set α
K : ℝ≥0
⊢ (∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (↑(f x) i) (↑(f y) i) ≤ ↑K * dist x y) →
    ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ ↑K * dist x y
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case mpr.hC
α : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun x ↦ ℝ) ∞)
s : Set α
K : ℝ≥0
hgl : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (↑(f x) i) (↑(f y) i) ≤ ↑K * dist x y
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
⊢ 0 ≤ ↑K * dist x y

pp: case mpr.hCf
α : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun x ↦ ℝ) ∞)
s : Set α
K : ℝ≥0
hgl : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (↑(f x) i) (↑(f y) i) ≤ ↑K * dist x y
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
⊢ ∀ (i : ι), ‖↑(f x - f y) i‖ ≤ ↑K * dist x y

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr.hC
α : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun x ↦ ℝ) ∞)
s : Set α
K : ℝ≥0
hgl : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (↑(f x) i) (↑(f y) i) ≤ ↑K * dist x y
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
⊢ 0 ≤ ↑K * dist x y
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.SmoothTransition

Goal state before:
pp: case inl
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
hx : x ≤ 0
⊢ expNegInvGlue x ≤ expNegInvGlue y

pp: case inr
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
hx : 0 < x
⊢ expNegInvGlue x ≤ expNegInvGlue y

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
hx : x ≤ 0
⊢ expNegInvGlue x ≤ expNegInvGlue y
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.SmoothTransition

Goal state before:
pp: case inl
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : x < 0
⊢ HasDerivAt (fun x ↦ Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x)
    (Polynomial.eval x⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue x) x

pp: case inr.inl
p : ℝ[X]
⊢ HasDerivAt (fun x ↦ Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x)
    (Polynomial.eval 0⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue 0) 0

pp: case inr.inr
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ HasDerivAt (fun x ↦ Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x)
    (Polynomial.eval x⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue x) x

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : x < 0
⊢ HasDerivAt (fun x ↦ Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x)
    (Polynomial.eval x⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue x) x
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.SmoothTransition

Goal state before:
pp: case inr.inl
p : ℝ[X]
⊢ HasDerivAt (fun x ↦ Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x)
    (Polynomial.eval 0⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue 0) 0

pp: case inr.inr
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ HasDerivAt (fun x ↦ Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x)
    (Polynomial.eval x⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue x) x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
p : ℝ[X]
⊢ HasDerivAt (fun x ↦ Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x)
    (Polynomial.eval 0⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue 0) 0
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.SmoothTransition

Goal state before:
pp: case inr.inr
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ HasDerivAt (fun x ↦ Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x)
    (Polynomial.eval x⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue x) x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ HasDerivAt (fun x ↦ Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x)
    (Polynomial.eval x⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue x) x
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.SmoothTransition

Goal state before:
pp: case e'_9
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : 0 < x
this :
  HasDerivAt (((fun x ↦ Polynomial.eval x p) * fun x ↦ rexp (-x)) ∘ Inv.inv)
    ((Polynomial.eval x⁻¹ (derivative p) * rexp (-x⁻¹) + Polynomial.eval x⁻¹ p * (rexp (-x⁻¹) * -1)) * -(x ^ 2)⁻¹) x
⊢ Polynomial.eval x⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue x =
    (Polynomial.eval x⁻¹ (derivative p) * rexp (-x⁻¹) + Polynomial.eval x⁻¹ p * (rexp (-x⁻¹) * -1)) * -(x ^ 2)⁻¹

pp: case inr.inr.convert_2
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : 0 < x
this :
  HasDerivAt (((fun x ↦ Polynomial.eval x p) * fun x ↦ rexp (-x)) ∘ Inv.inv)
    ((Polynomial.eval x⁻¹ (derivative p) * rexp (-x⁻¹) + Polynomial.eval x⁻¹ p * (rexp (-x⁻¹) * -1)) * -(x ^ 2)⁻¹) x
⊢ (fun x ↦ Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) =ᶠ[𝓝 x]
    ((fun x ↦ Polynomial.eval x p) * fun x ↦ rexp (-x)) ∘ Inv.inv

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_9
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : 0 < x
this :
  HasDerivAt (((fun x ↦ Polynomial.eval x p) * fun x ↦ rexp (-x)) ∘ Inv.inv)
    ((Polynomial.eval x⁻¹ (derivative p) * rexp (-x⁻¹) + Polynomial.eval x⁻¹ p * (rexp (-x⁻¹) * -1)) * -(x ^ 2)⁻¹) x
⊢ Polynomial.eval x⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue x =
    (Polynomial.eval x⁻¹ (derivative p) * rexp (-x⁻¹) + Polynomial.eval x⁻¹ p * (rexp (-x⁻¹) * -1)) * -(x ^ 2)⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.SmoothTransition

Goal state before:
pp: case inr.inr.convert_2
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : 0 < x
this :
  HasDerivAt (((fun x ↦ Polynomial.eval x p) * fun x ↦ rexp (-x)) ∘ Inv.inv)
    ((Polynomial.eval x⁻¹ (derivative p) * rexp (-x⁻¹) + Polynomial.eval x⁻¹ p * (rexp (-x⁻¹) * -1)) * -(x ^ 2)⁻¹) x
⊢ (fun x ↦ Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) =ᶠ[𝓝 x]
    ((fun x ↦ Polynomial.eval x p) * fun x ↦ rexp (-x)) ∘ Inv.inv

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr.convert_2
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : 0 < x
this :
  HasDerivAt (((fun x ↦ Polynomial.eval x p) * fun x ↦ rexp (-x)) ∘ Inv.inv)
    ((Polynomial.eval x⁻¹ (derivative p) * rexp (-x⁻¹) + Polynomial.eval x⁻¹ p * (rexp (-x⁻¹) * -1)) * -(x ^ 2)⁻¹) x
⊢ (fun x ↦ Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) =ᶠ[𝓝 x]
    ((fun x ↦ Polynomial.eval x p) * fun x ↦ rexp (-x)) ∘ Inv.inv
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.SmoothTransition

Goal state before:
pp: case refine_1
x✝ x : ℝ
hx : x < 0
⊢ x.smoothTransition = smoothTransition 0

pp: case refine_2
x✝ x : ℝ
hx : 1 < x
⊢ x.smoothTransition = smoothTransition 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
x✝ x : ℝ
hx : x < 0
⊢ x.smoothTransition = smoothTransition 0
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.SmoothTransition

Goal state before:
pp: case refine_2
x✝ x : ℝ
hx : 1 < x
⊢ x.smoothTransition = smoothTransition 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
x✝ x : ℝ
hx : 1 < x
⊢ x.smoothTransition = smoothTransition 1
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.SmoothTransition

Goal state before:
pp: case inl
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
⊢ x.smoothTransition = 1 ↔ 1 ≤ x

pp: case inr
x : ℝ
hx : x < 1
⊢ x.smoothTransition = 1 ↔ 1 ≤ x

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
⊢ x.smoothTransition = 1 ↔ 1 ≤ x
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.SmoothTransition

Goal state before:
pp: case inr
x : ℝ
hx : x < 1
⊢ x.smoothTransition = 1 ↔ 1 ≤ x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
x : ℝ
hx : x < 1
⊢ x.smoothTransition = 1 ↔ 1 ≤ x
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.SmoothTransition

Goal state before:
pp: case c0
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ 0 ≤ expNegInvGlue (1 - y)

pp: case b0
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ 0 ≤ expNegInvGlue y

pp: case h₁
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ expNegInvGlue x ≤ expNegInvGlue y

pp: case h₂
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ expNegInvGlue (1 - y) ≤ expNegInvGlue (1 - x)

Tactic:
·

Goal state after:
case c0
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ 0 ≤ expNegInvGlue (1 - y)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.SmoothTransition

Goal state before:
pp: case b0
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ 0 ≤ expNegInvGlue y

pp: case h₁
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ expNegInvGlue x ≤ expNegInvGlue y

pp: case h₂
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ expNegInvGlue (1 - y) ≤ expNegInvGlue (1 - x)

Tactic:
·

Goal state after:
case b0
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ 0 ≤ expNegInvGlue y
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.SmoothTransition

Goal state before:
pp: case h₁
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ expNegInvGlue x ≤ expNegInvGlue y

pp: case h₂
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ expNegInvGlue (1 - y) ≤ expNegInvGlue (1 - x)

Tactic:
·

Goal state after:
case h₁
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ expNegInvGlue x ≤ expNegInvGlue y
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.SmoothTransition

Goal state before:
pp: case h₂
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ expNegInvGlue (1 - y) ≤ expNegInvGlue (1 - x)

Tactic:
·

Goal state after:
case h₂
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
⊢ expNegInvGlue (1 - y) ≤ expNegInvGlue (1 - x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.InnerProduct

Goal state before:
pp: case inl
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
R : ℝ
hR : 0 < R - 1
⊢ ContDiffAt ℝ (↑⊤) (uncurry fun R x ↦ ((R - ‖x‖) / (R - 1)).smoothTransition) (R, 0)

pp: case inr
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
R : ℝ
x : E
hR : 0 < R - 1
hx : x ≠ 0
⊢ ContDiffAt ℝ (↑⊤) (uncurry fun R x ↦ ((R - ‖x‖) / (R - 1)).smoothTransition) (R, x)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
R : ℝ
hR : 0 < R - 1
⊢ ContDiffAt ℝ (↑⊤) (uncurry fun R x ↦ ((R - ‖x‖) / (R - 1)).smoothTransition) (R, 0)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.InnerProduct

Goal state before:
pp: case inr
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
R : ℝ
x : E
hR : 0 < R - 1
hx : x ≠ 0
⊢ ContDiffAt ℝ (↑⊤) (uncurry fun R x ↦ ((R - ‖x‖) / (R - 1)).smoothTransition) (R, x)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
R : ℝ
x : E
hR : 0 < R - 1
hx : x ≠ 0
⊢ ContDiffAt ℝ (↑⊤) (uncurry fun R x ↦ ((R - ‖x‖) / (R - 1)).smoothTransition) (R, x)
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t✝ : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
t : G
x✝ : t ∈ u
⊢ ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * C

pp: case refine_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t✝ : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
t : G
ht : t ∉ u
⊢ ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t✝ : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
t : G
x✝ : t ∈ u
⊢ ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * C
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t✝ : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
t : G
ht : t ∉ u
⊢ ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t✝ : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
t : G
ht : t ∉ u
⊢ ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ParametricIntegral

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : ¬CompleteSpace E
⊢ HasFDerivAt (fun x ↦ ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀

pp: case pos
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
⊢ HasFDerivAt (fun x ↦ ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : ¬CompleteSpace E
⊢ HasFDerivAt (fun x ↦ ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀