mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: case e_6.st.hs
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
st : t ∈ 𝓝[s] x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
hV : MDiffAt[t] (T% V) x
hW : MDiffAt[t] (T% W) x
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x

pp: case e_6.st.ht
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
st : t ∈ 𝓝[s] x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
hV : MDiffAt[t] (T% V) x
hW : MDiffAt[t] (T% W) x
⊢ range ↑I ∈ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x

Tactic:
·

Goal state after:
case e_6.st.hs
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
st : t ∈ 𝓝[s] x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
hV : MDiffAt[t] (T% V) x
hW : MDiffAt[t] (T% W) x
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: case e_6.st.ht
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
st : t ∈ 𝓝[s] x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
hV : MDiffAt[t] (T% V) x
hW : MDiffAt[t] (T% W) x
⊢ range ↑I ∈ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x

Tactic:
·

Goal state after:
case e_6.st.ht
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
st : t ∈ 𝓝[s] x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
hV : MDiffAt[t] (T% V) x
hW : MDiffAt[t] (T% W) x
⊢ range ↑I ∈ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: case e_6.hs
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
st : t ∈ 𝓝[s] x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
hV : MDiffAt[t] (T% V) x
hW : MDiffAt[t] (T% W) x
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

pp: case e_6.hV
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
st : t ∈ 𝓝[s] x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
hV : MDiffAt[t] (T% V) x
hW : MDiffAt[t] (T% W) x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I))
    (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

pp: case e_6.hW
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
st : t ∈ 𝓝[s] x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
hV : MDiffAt[t] (T% V) x
hW : MDiffAt[t] (T% W) x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) W (range ↑I))
    (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
·

Goal state after:
case e_6.hs
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
st : t ∈ 𝓝[s] x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
hV : MDiffAt[t] (T% V) x
hW : MDiffAt[t] (T% W) x
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: case e_6.hV
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
st : t ∈ 𝓝[s] x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
hV : MDiffAt[t] (T% V) x
hW : MDiffAt[t] (T% W) x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I))
    (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

pp: case e_6.hW
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
st : t ∈ 𝓝[s] x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
hV : MDiffAt[t] (T% V) x
hW : MDiffAt[t] (T% W) x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) W (range ↑I))
    (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
·

Goal state after:
case e_6.hV
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
st : t ∈ 𝓝[s] x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
hV : MDiffAt[t] (T% V) x
hW : MDiffAt[t] (T% W) x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I))
    (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: case e_6.hW
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
st : t ∈ 𝓝[s] x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
hV : MDiffAt[t] (T% V) x
hW : MDiffAt[t] (T% W) x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) W (range ↑I))
    (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
·

Goal state after:
case e_6.hW
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
st : t ∈ 𝓝[s] x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
hV : MDiffAt[t] (T% V) x
hW : MDiffAt[t] (T% W) x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) W (range ↑I))
    (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: case hg
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
inst✝³ : IsManifold I 2 M
inst✝² : IsManifold I' 2 M'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffOn I I' 2 f s
hx₀ : x₀ ∈ s
ht : t ⊆ (extChartAt I' (f x₀)).source
hst : MapsTo f s t
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
A' : x₀ = ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)
h'f : MDiffAt[s] f x₀
⊢ mfderiv% ↑(extChartAt I x₀) x₀ ∘SL mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x₀) x₀))

Tactic:
·

Goal state after:
case hg
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
inst✝³ : IsManifold I 2 M
inst✝² : IsManifold I' 2 M'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffOn I I' 2 f s
hx₀ : x₀ ∈ s
ht : t ⊆ (extChartAt I' (f x₀)).source
hst : MapsTo f s t
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
A' : x₀ = ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)
h'f : MDiffAt[s] f x₀
⊢ mfderiv% ↑(extChartAt I x₀) x₀ ∘SL mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x₀) x₀))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: case pos
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
z : ↑(Icc x y)
h' : ↑z < y
⊢ z ∈ (if ↑z < y then IccLeftChart x y else IccRightChart x y).source

pp: case neg
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
z : ↑(Icc x y)
h' : ¬↑z < y
⊢ z ∈ (if ↑z < y then IccLeftChart x y else IccRightChart x y).source

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
z : ↑(Icc x y)
h' : ↑z < y
⊢ z ∈ (if ↑z < y then IccLeftChart x y else IccRightChart x y).source
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: case neg
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
z : ↑(Icc x y)
h' : ¬↑z < y
⊢ z ∈ (if ↑z < y then IccLeftChart x y else IccRightChart x y).source

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
z : ↑(Icc x y)
h' : ¬↑z < y
⊢ z ∈ (if ↑z < y then IccLeftChart x y else IccRightChart x y).source
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: case inl
x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
p : ↑(Icc x y)
hp : ↑p = x
⊢ p ∈ ModelWithCorners.boundary ↑(Icc x y) ↔ p ∈ {⊥, ⊤}

pp: case inr.inl
x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
p : ↑(Icc x y)
hp : ↑p = y
⊢ p ∈ ModelWithCorners.boundary ↑(Icc x y) ↔ p ∈ {⊥, ⊤}

pp: case inr.inr
x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
p : ↑(Icc x y)
hp : ↑p ∈ Ioo x y
⊢ p ∈ ModelWithCorners.boundary ↑(Icc x y) ↔ p ∈ {⊥, ⊤}

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
p : ↑(Icc x y)
hp : ↑p = x
⊢ p ∈ ModelWithCorners.boundary ↑(Icc x y) ↔ p ∈ {⊥, ⊤}
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: case inr.inl
x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
p : ↑(Icc x y)
hp : ↑p = y
⊢ p ∈ ModelWithCorners.boundary ↑(Icc x y) ↔ p ∈ {⊥, ⊤}

pp: case inr.inr
x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
p : ↑(Icc x y)
hp : ↑p ∈ Ioo x y
⊢ p ∈ ModelWithCorners.boundary ↑(Icc x y) ↔ p ∈ {⊥, ⊤}

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
p : ↑(Icc x y)
hp : ↑p = y
⊢ p ∈ ModelWithCorners.boundary ↑(Icc x y) ↔ p ∈ {⊥, ⊤}
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: case inr.inr
x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
p : ↑(Icc x y)
hp : ↑p ∈ Ioo x y
⊢ p ∈ ModelWithCorners.boundary ↑(Icc x y) ↔ p ∈ {⊥, ⊤}

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
p : ↑(Icc x y)
hp : ↑p ∈ Ioo x y
⊢ p ∈ ModelWithCorners.boundary ↑(Icc x y) ↔ p ∈ {⊥, ⊤}
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: case inr.inr.ha
x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
p : ↑(Icc x y)
hp : ↑p ∈ Ioo x y
⊢ p ∉ ModelWithCorners.boundary ↑(Icc x y)

pp: case inr.inr.hb
x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
p : ↑(Icc x y)
hp : ↑p ∈ Ioo x y
⊢ p ∉ {⊥, ⊤}

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr.ha
x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
p : ↑(Icc x y)
hp : ↑p ∈ Ioo x y
⊢ p ∉ ModelWithCorners.boundary ↑(Icc x y)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: case inr.inr.hb
x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
p : ↑(Icc x y)
hp : ↑p ∈ Ioo x y
⊢ p ∉ {⊥, ⊤}

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr.hb
x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
p : ↑(Icc x y)
hp : ↑p ∈ Ioo x y
⊢ p ∉ {⊥, ⊤}
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: case inl.inl
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
⊢ ContDiffOn ℝ n (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccLeftChart x y).symm ≫ₕ IccLeftChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm)
    (↑(𝓡∂ 1).symm ⁻¹' ((IccLeftChart x y).symm ≫ₕ IccLeftChart x y).source ∩ range ↑(𝓡∂ 1))

pp: case inl.inr
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
⊢ ContDiffOn ℝ n (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccLeftChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm)
    (↑(𝓡∂ 1).symm ⁻¹' ((IccLeftChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y).source ∩ range ↑(𝓡∂ 1))

pp: case inr.inl
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
⊢ ContDiffOn ℝ n (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccLeftChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm)
    (↑(𝓡∂ 1).symm ⁻¹' ((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccLeftChart x y).source ∩ range ↑(𝓡∂ 1))

pp: case inr.inr
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
⊢ ContDiffOn ℝ n (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm)
    (↑(𝓡∂ 1).symm ⁻¹' ((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y).source ∩ range ↑(𝓡∂ 1))

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.inl
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
⊢ ContDiffOn ℝ n (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccLeftChart x y).symm ≫ₕ IccLeftChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm)
    (↑(𝓡∂ 1).symm ⁻¹' ((IccLeftChart x y).symm ≫ₕ IccLeftChart x y).source ∩ range ↑(𝓡∂ 1))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: case inl.inr
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
⊢ ContDiffOn ℝ n (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccLeftChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm)
    (↑(𝓡∂ 1).symm ⁻¹' ((IccLeftChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y).source ∩ range ↑(𝓡∂ 1))

pp: case inr.inl
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
⊢ ContDiffOn ℝ n (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccLeftChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm)
    (↑(𝓡∂ 1).symm ⁻¹' ((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccLeftChart x y).source ∩ range ↑(𝓡∂ 1))

pp: case inr.inr
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
⊢ ContDiffOn ℝ n (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm)
    (↑(𝓡∂ 1).symm ⁻¹' ((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y).source ∩ range ↑(𝓡∂ 1))

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.inr
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
⊢ ContDiffOn ℝ n (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccLeftChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm)
    (↑(𝓡∂ 1).symm ⁻¹' ((IccLeftChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y).source ∩ range ↑(𝓡∂ 1))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: case inr.inl
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
⊢ ContDiffOn ℝ n (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccLeftChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm)
    (↑(𝓡∂ 1).symm ⁻¹' ((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccLeftChart x y).source ∩ range ↑(𝓡∂ 1))

pp: case inr.inr
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
⊢ ContDiffOn ℝ n (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm)
    (↑(𝓡∂ 1).symm ⁻¹' ((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y).source ∩ range ↑(𝓡∂ 1))

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
⊢ ContDiffOn ℝ n (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccLeftChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm)
    (↑(𝓡∂ 1).symm ⁻¹' ((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccLeftChart x y).source ∩ range ↑(𝓡∂ 1))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: case inr.inr
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
⊢ ContDiffOn ℝ n (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm)
    (↑(𝓡∂ 1).symm ⁻¹' ((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y).source ∩ range ↑(𝓡∂ 1))

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
⊢ ContDiffOn ℝ n (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm)
    (↑(𝓡∂ 1).symm ⁻¹' ((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y).source ∩ range ↑(𝓡∂ 1))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Icc

Goal state before:
pp: case pos
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
n : WithTop ℕ∞
z : ↑(Icc x y)
φ₀ : (EuclideanSpace ℝ (Fin 1) × Unit) ≃L[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin 1) :=
  ContinuousLinearEquiv.prodUnique ℝ (EuclideanSpace ℝ (Fin 1)) Unit
φ : (EuclideanSpace ℝ (Fin 1) × Unit) ≃L[ℝ] ℝ := φ₀.trans (PiLp.equivOfUnique 2 ℝ fun x ↦ ℝ)
hz : ↑z < y
⊢ IsImmersionAtOfComplement Unit (𝓡∂ 1) 𝓘(ℝ, ℝ) n (fun z ↦ ↑z) z

pp: case neg
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
n : WithTop ℕ∞
z : ↑(Icc x y)
φ₀ : (EuclideanSpace ℝ (Fin 1) × Unit) ≃L[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin 1) :=
  ContinuousLinearEquiv.prodUnique ℝ (EuclideanSpace ℝ (Fin 1)) Unit
φ : (EuclideanSpace ℝ (Fin 1) × Unit) ≃L[ℝ] ℝ := φ₀.trans (PiLp.equivOfUnique 2 ℝ fun x ↦ ℝ)
hz : ¬↑z < y
⊢ IsImmersionAtOfComplement Unit (𝓡∂ 1) 𝓘(ℝ, ℝ) n (fun z ↦ ↑z) z

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
n : WithTop ℕ∞
z : ↑(Icc x y)
φ₀ : (EuclideanSpace ℝ (Fin 1) × Unit) ≃L[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin 1) :=
  ContinuousLinearEquiv.prodUnique ℝ (EuclideanSpace ℝ (Fin 1)) Unit
φ : (EuclideanSpace ℝ (Fin 1) × Unit) ≃L[ℝ] ℝ := φ₀.trans (PiLp.equivOfUnique 2 ℝ fun x ↦ ℝ)
hz : ↑z < y
⊢ IsImmersionAtOfComplement Unit (𝓡∂ 1) 𝓘(ℝ, ℝ) n (fun z ↦ ↑z) z