mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic

Goal state before:
pp: case neg
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst✝¹ : (i : ι) → Mul (G i)
inst✝ : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds (G i)
A✝ : Finset ((i : ι) → G i)
x✝ : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun x1 x2 ↦ x1 ⊂ x2 := isWellFounded_ssubset
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B✝ B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc✝¹ : 1 < #A * #B
hA✝ : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hc✝ : 1 < #A ∨ 1 < #B
i : ι
p1 p2 : G i × G i
hne : p1 ≠ p2
hi1 : UniqueMul (image (fun x ↦ x i) A) (image (fun x ↦ x i) B) p1.1 p1.2
hi2 : UniqueMul (image (fun x ↦ x i) A) (image (fun x ↦ x i) B) p2.1 p2.2
h1 : {a ∈ A | a i = p1.1}.Nonempty ∧ {a ∈ B | a i = p1.2}.Nonempty
h2 : {a ∈ A | a i = p2.1}.Nonempty ∧ {a ∈ B | a i = p2.2}.Nonempty
hc : 1 < #(image (fun x ↦ x i) B) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ B | x i = ai} ⊂ B
hA : ¬{a ∈ A | a i = p1.1} = A
⊢ 1 < #({a ∈ A | a i = p1.1}) * #({a ∈ B | a i = p1.2}) →
    ∃ p1_1 ∈ {a ∈ A | a i = p1.1} ×ˢ {a ∈ B | a i = p1.2},
      ∃ p2 ∈ {a ∈ A | a i = p1.1} ×ˢ {a ∈ B | a i = p1.2},
        p1_1 ≠ p2 ∧
          UniqueMul ({a ∈ A | a i = p1.1}) ({a ∈ B | a i = p1.2}) p1_1.1 p1_1.2 ∧
            UniqueMul ({a ∈ A | a i = p1.1}) ({a ∈ B | a i = p1.2}) p2.1 p2.2

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst✝¹ : (i : ι) → Mul (G i)
inst✝ : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds (G i)
A✝ : Finset ((i : ι) → G i)
x✝ : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun x1 x2 ↦ x1 ⊂ x2 := isWellFounded_ssubset
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B✝ B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc✝¹ : 1 < #A * #B
hA✝ : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hc✝ : 1 < #A ∨ 1 < #B
i : ι
p1 p2 : G i × G i
hne : p1 ≠ p2
hi1 : UniqueMul (image (fun x ↦ x i) A) (image (fun x ↦ x i) B) p1.1 p1.2
hi2 : UniqueMul (image (fun x ↦ x i) A) (image (fun x ↦ x i) B) p2.1 p2.2
h1 : {a ∈ A | a i = p1.1}.Nonempty ∧ {a ∈ B | a i = p1.2}.Nonempty
h2 : {a ∈ A | a i = p2.1}.Nonempty ∧ {a ∈ B | a i = p2.2}.Nonempty
hc : 1 < #(image (fun x ↦ x i) B) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ B | x i = ai} ⊂ B
hA : ¬{a ∈ A | a i = p1.1} = A
⊢ 1 < #({a ∈ A | a i = p1.1}) * #({a ∈ B | a i = p1.2}) →
    ∃ p1_1 ∈ {a ∈ A | a i = p1.1} ×ˢ {a ∈ B | a i = p1.2},
      ∃ p2 ∈ {a ∈ A | a i = p1.1} ×ˢ {a ∈ B | a i = p1.2},
        p1_1 ≠ p2 ∧
          UniqueMul ({a ∈ A | a i = p1.1}) ({a ∈ B | a i = p1.2}) p1_1.1 p1_1.2 ∧
            UniqueMul ({a ∈ A | a i = p1.1}) ({a ∈ B | a i = p1.2}) p2.1 p2.2
Module: Mathlib.Algebra.Exact.Basic

Goal state before:
pp: case refine_4
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hf : Injective ⇑f
⊢ LeftInverse (fun e ↦ ⟨↑(↑e).symm ∘ₗ inr R M P, ⋯⟩) fun l ↦
    ⟨(LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + ↑l ∘ₗ snd R M P) ⋯).symm, ⋯⟩

pp: case refine_5
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hf : Injective ⇑f
⊢ RightInverse (fun e ↦ ⟨↑(↑e).symm ∘ₗ inr R M P, ⋯⟩) fun l ↦
    ⟨(LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + ↑l ∘ₗ snd R M P) ⋯).symm, ⋯⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_4
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hf : Injective ⇑f
⊢ LeftInverse (fun e ↦ ⟨↑(↑e).symm ∘ₗ inr R M P, ⋯⟩) fun l ↦
    ⟨(LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + ↑l ∘ₗ snd R M P) ⋯).symm, ⋯⟩
Module: Mathlib.Data.Rel

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
R : SetRel α β
⊢ (∃! f, Function.graph f = R) → ∀ (a : α), ∃! b, (a, b) ∈ R

pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
R : SetRel α β
⊢ (∀ (a : α), ∃! b, (a, b) ∈ R) → ∃! f, Function.graph f = R

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
R : SetRel α β
⊢ (∃! f, Function.graph f = R) → ∀ (a : α), ∃! b, (a, b) ∈ R
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
⊢ p.length + q.length + 1 + 1 = p.length + 1 + (q.length + 1)

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + q.length + 1)
⊢ p.length + 1 ≤ p.length + q.length + 1

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Exact.Basic

Goal state before:
pp: case refine_5
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hf : Injective ⇑f
⊢ RightInverse (fun e ↦ ⟨↑(↑e).symm ∘ₗ inr R M P, ⋯⟩) fun l ↦
    ⟨(LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + ↑l ∘ₗ snd R M P) ⋯).symm, ⋯⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_5
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hf : Injective ⇑f
⊢ RightInverse (fun e ↦ ⟨↑(↑e).symm ∘ₗ inr R M P, ⋯⟩) fun l ↦
    ⟨(LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + ↑l ∘ₗ snd R M P) ⋯).symm, ⋯⟩
Module: Mathlib.Data.Rel

Goal state before:
pp: case mpr.mp
α : Type u_1
β : Type u_2
R : SetRel α β
h : ∀ (a : α), ∃! b, (a, b) ∈ R
f : α → β
hf : ∀ (x : α), (x, f x) ∈ R
a : α
b : β
⊢ (a, b) ∈ Function.graph f → (a, b) ∈ R

pp: case mpr.mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
R : SetRel α β
h : ∀ (a : α), ∃! b, (a, b) ∈ R
f : α → β
hf : ∀ (x : α), (x, f x) ∈ R
a : α
b : β
⊢ (a, b) ∈ R → (a, b) ∈ Function.graph f

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr.mp
α : Type u_1
β : Type u_2
R : SetRel α β
h : ∀ (a : α), ∃! b, (a, b) ∈ R
f : α → β
hf : ∀ (x : α), (x, f x) ∈ R
a : α
b : β
⊢ (a, b) ∈ Function.graph f → (a, b) ∈ R
Module: Mathlib.Data.Rel

Goal state before:
pp: case mpr.mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
R : SetRel α β
h : ∀ (a : α), ∃! b, (a, b) ∈ R
f : α → β
hf : ∀ (x : α), (x, f x) ∈ R
a : α
b : β
⊢ (a, b) ∈ R → (a, b) ∈ Function.graph f

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr.mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
R : SetRel α β
h : ∀ (a : α), ∃! b, (a, b) ∈ R
f : α → β
hf : ∀ (x : α), (x, f x) ∈ R
a : α
b : β
⊢ (a, b) ∈ R → (a, b) ∈ Function.graph f
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + q.length + 1)
hi : i < Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length)
⊢ ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.castSucc, (Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.succ) ∈ r

pp: case inr.inl
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
⊢ ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯)
        (Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length)).castSucc,
      (Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯)
        (Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length)).succ) ∈
    r

pp: case inr.inr
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + q.length + 1)
hi : Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length) < i
⊢ ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.castSucc, (Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.succ) ∈ r

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + q.length + 1)
hi : i < Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length)
⊢ ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.castSucc, (Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.succ) ∈ r
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
⊢ ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯)
        (Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length)).castSucc,
      (Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯)
        (Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length)).succ) ∈
    r

pp: case inr.inr
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + q.length + 1)
hi : Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length) < i
⊢ ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.castSucc, (Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.succ) ∈ r

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
⊢ ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯)
        (Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length)).castSucc,
      (Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯)
        (Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length)).succ) ∈
    r
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: case e'_3
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
⊢ (Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯)
      (Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length)).castSucc =
    p.last

pp: case e'_4
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
⊢ (Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) (Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length)).succ =
    q.head

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_3
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
⊢ (Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯)
      (Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length)).castSucc =
    p.last
Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic

Goal state before:
pp: case refine_3
G : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : TwoUniqueProds G
inst✝ : TwoUniqueProds H
⊢ TwoUniqueProds (I G H true)

pp: case refine_1
G : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : TwoUniqueProds G
inst✝ : TwoUniqueProds H
this : ∀ (b : Bool), TwoUniqueProds (I G H b)
⊢ TwoUniqueProds (G × H)

pp: case refine_2
G : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : TwoUniqueProds G
inst✝ : TwoUniqueProds H
⊢ TwoUniqueProds (I G H false)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
G : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : TwoUniqueProds G
inst✝ : TwoUniqueProds H
⊢ TwoUniqueProds (I G H true)
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: case e'_4
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
⊢ (Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) (Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length)).succ =
    q.head

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_4
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
⊢ (Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) (Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length)).succ =
    q.head
Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
G : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : TwoUniqueProds G
inst✝ : TwoUniqueProds H
this : ∀ (b : Bool), TwoUniqueProds (I G H b)
⊢ TwoUniqueProds (G × H)

pp: case refine_2
G : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : TwoUniqueProds G
inst✝ : TwoUniqueProds H
⊢ TwoUniqueProds (I G H false)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
G : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : TwoUniqueProds G
inst✝ : TwoUniqueProds H
this : ∀ (b : Bool), TwoUniqueProds (I G H b)
⊢ TwoUniqueProds (G × H)
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + q.length + 1)
hi : Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length) < i
⊢ ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.castSucc, (Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.succ) ∈ r

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + q.length + 1)
hi : Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length) < i
⊢ ((Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.castSucc, (Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯) i.succ) ∈ r
Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
G : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : TwoUniqueProds G
inst✝ : TwoUniqueProds H
⊢ TwoUniqueProds (I G H false)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
G : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : TwoUniqueProds G
inst✝ : TwoUniqueProds H
⊢ TwoUniqueProds (I G H false)
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + q.length + 1)
hi : Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length) < i
x : Fin (p.length + 1 + (q.length + 1)) := Fin.cast ⋯ i.castSucc
y : Fin (p.length + 1 + (q.length + 1)) := Fin.cast ⋯ i.succ
⊢ p.length + q.length + 1 < p.length + 1 + (q.length + 1)

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic

Goal state before:
pp: case refine_5
G : Type u
inst✝ : Mul G
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < #(map f B✝) * #(map f A✝)
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝
⊢ (p1.2.1, p1.1.1) ≠ (p2.2.1, p2.1.1)

pp: case refine_1
G : Type u
inst✝ : Mul G
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < #(map f B✝) * #(map f A✝)
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝
⊢ (p1.2.1, p1.1.1).1 ∈ A✝

pp: case refine_2
G : Type u
inst✝ : Mul G
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < #(map f B✝) * #(map f A✝)
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝
⊢ (p1.2.1, p1.1.1).2 ∈ B✝

pp: case refine_3
G : Type u
inst✝ : Mul G
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < #(map f B✝) * #(map f A✝)
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝
⊢ (p2.2.1, p2.1.1).1 ∈ A✝

pp: case refine_4
G : Type u
inst✝ : Mul G
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < #(map f B✝) * #(map f A✝)
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝
⊢ (p2.2.1, p2.1.1).2 ∈ B✝

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_5
G : Type u
inst✝ : Mul G
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < #(map f B✝) * #(map f A✝)
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝
⊢ (p1.2.1, p1.1.1) ≠ (p2.2.1, p2.1.1)
Module: Mathlib.Algebra.Exact.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1.left
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
P✝ : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹³ : Semiring R✝
inst✝¹² : AddCommGroup M✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : Module R✝ N✝
inst✝⁷ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] N✝
g✝ : N✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type ?u.42
M : Type ?u.44
N : Type ?u.46
P : Type ?u.48
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
l : { l // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : M), ↑l (f x) = x
h₂ : ∀ (x : M), g (f x) = 0
⊢ Injective ⇑((↑l).prod g)

pp: case refine_1.right
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
P✝ : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹³ : Semiring R✝
inst✝¹² : AddCommGroup M✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : Module R✝ N✝
inst✝⁷ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] N✝
g✝ : N✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type ?u.42
M : Type ?u.44
N : Type ?u.46
P : Type ?u.48
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
l : { l // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : M), ↑l (f x) = x
h₂ : ∀ (x : M), g (f x) = 0
⊢ Surjective ⇑((↑l).prod g)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.left
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
P✝ : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹³ : Semiring R✝
inst✝¹² : AddCommGroup M✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : Module R✝ N✝
inst✝⁷ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] N✝
g✝ : N✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type ?u.42
M : Type ?u.44
N : Type ?u.46
P : Type ?u.48
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
l : { l // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : M), ↑l (f x) = x
h₂ : ∀ (x : M), g (f x) = 0
⊢ Injective ⇑((↑l).prod g)
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : SetRel α α
β : Type u_2
s : SetRel β β
p q : RelSeries r
connect : (p.last, q.head) ∈ r
i : Fin (p.length + q.length + 1)
hi : Fin.castLE (@RelSeries.append._proof_3 α r p q) (Fin.last p.length) < i
x : Fin (p.length + 1 + (q.length + 1)) := Fin.cast ⋯ i.castSucc
y : Fin (p.length + 1 + (q.length + 1)) := Fin.cast ⋯ i.succ
hx : x = Fin.natAdd (p.length + 1) ⟨↑i - (p.length + 1), ⋯⟩
hy : y = Fin.natAdd (p.length + 1) ⟨↑i - p.length, ⋯⟩
⊢ ↑i < p.length + 1 + q.length

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Exact.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1.right
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
P✝ : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹³ : Semiring R✝
inst✝¹² : AddCommGroup M✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : Module R✝ N✝
inst✝⁷ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] N✝
g✝ : N✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type ?u.42
M : Type ?u.44
N : Type ?u.46
P : Type ?u.48
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
l : { l // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : M), ↑l (f x) = x
h₂ : ∀ (x : M), g (f x) = 0
⊢ Surjective ⇑((↑l).prod g)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.right
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
P✝ : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹³ : Semiring R✝
inst✝¹² : AddCommGroup M✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : Module R✝ N✝
inst✝⁷ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] N✝
g✝ : N✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type ?u.42
M : Type ?u.44
N : Type ?u.46
P : Type ?u.48
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
l : { l // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : M), ↑l (f x) = x
h₂ : ∀ (x : M), g (f x) = 0
⊢ Surjective ⇑((↑l).prod g)
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: case length_eq
α : Type u_1
r : SetRel α α
p q w : RelSeries r
hpq : (p.last, q.head) ∈ r
hqw : (q.last, w.head) ∈ r
⊢ ((p.append q hpq).append w ⋯).length = (p.append (q.append w hqw) ⋯).length

pp: case toFun_eq
α : Type u_1
r : SetRel α α
p q w : RelSeries r
hpq : (p.last, q.head) ∈ r
hqw : (q.last, w.head) ∈ r
x✝ : Fin (((p.append q hpq).append w ⋯).length + 1)
⊢ ((p.append q hpq).append w ⋯).toFun x✝ = ((p.append (q.append w hqw) ⋯).toFun ∘ Fin.cast ⋯) x✝

Tactic:
·

Goal state after:
case length_eq
α : Type u_1
r : SetRel α α
p q w : RelSeries r
hpq : (p.last, q.head) ∈ r
hqw : (q.last, w.head) ∈ r
⊢ ((p.append q hpq).append w ⋯).length = (p.append (q.append w hqw) ⋯).length
Module: Mathlib.Order.RelSeries

Goal state before:
pp: case toFun_eq
α : Type u_1
r : SetRel α α
p q w : RelSeries r
hpq : (p.last, q.head) ∈ r
hqw : (q.last, w.head) ∈ r
x✝ : Fin (((p.append q hpq).append w ⋯).length + 1)
⊢ ((p.append q hpq).append w ⋯).toFun x✝ = ((p.append (q.append w hqw) ⋯).toFun ∘ Fin.cast ⋯) x✝

Tactic:
·

Goal state after:
case toFun_eq
α : Type u_1
r : SetRel α α
p q w : RelSeries r
hpq : (p.last, q.head) ∈ r
hqw : (q.last, w.head) ∈ r
x✝ : Fin (((p.append q hpq).append w ⋯).length + 1)
⊢ ((p.append q hpq).append w ⋯).toFun x✝ = ((p.append (q.append w hqw) ⋯).toFun ∘ Fin.cast ⋯) x✝