mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.MeanInequalities

Goal state before:
pp: case e'_3.a
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ∞
this :
  ∑ x ∈ s, ↑(w x).toNNReal * ↑(f x).toNNReal ≤ (∑ i ∈ s, ↑(w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ w i * f i = ↑(w i).toNNReal * ↑(f i).toNNReal

pp: case e'_4
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ∞
this :
  ∑ x ∈ s, ↑(w x).toNNReal * ↑(f x).toNNReal ≤ (∑ i ∈ s, ↑(w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
⊢ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) = (∑ i ∈ s, ↑(w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹)

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_3.a
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ∞
this :
  ∑ x ∈ s, ↑(w x).toNNReal * ↑(f x).toNNReal ≤ (∑ i ∈ s, ↑(w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ w i * f i = ↑(w i).toNNReal * ↑(f i).toNNReal
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConvergenceInMeasure

Goal state before:
pp: case hmn
α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ⋯
S : ℕ → Set α := ⋯
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := ⋯
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
x : α
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
N k : ℕ
hk_lt_ε : 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
n : ℕ
hNx : edist (f (ns n) x) (g x) < 2⁻¹ ^ n
hn_ge : n ≥ max N (k - 1)
⊢ k ≤ n + 1

Tactic:
·

Goal state after:
case hmn
α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ⋯
S : ℕ → Set α := ⋯
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := ⋯
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
x : α
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
N k : ℕ
hk_lt_ε : 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
n : ℕ
hNx : edist (f (ns n) x) (g x) < 2⁻¹ ^ n
hn_ge : n ≥ max N (k - 1)
⊢ k ≤ n + 1
Module: Mathlib.Analysis.MeanInequalities

Goal state before:
pp: case e'_3.a.inl
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ∞
this :
  ∑ x ∈ s, ↑(w x).toNNReal * ↑(f x).toNNReal ≤ (∑ i ∈ s, ↑(w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
i : ι
hi : i ∈ s
hw : w i = 0
⊢ w i * f i = ↑(w i).toNNReal * ↑(f i).toNNReal

pp: case e'_3.a.inr
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ∞
this :
  ∑ x ∈ s, ↑(w x).toNNReal * ↑(f x).toNNReal ≤ (∑ i ∈ s, ↑(w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
i : ι
hi : i ∈ s
hw : w i ≠ 0
⊢ w i * f i = ↑(w i).toNNReal * ↑(f i).toNNReal

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_3.a.inl
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ∞
this :
  ∑ x ∈ s, ↑(w x).toNNReal * ↑(f x).toNNReal ≤ (∑ i ∈ s, ↑(w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
i : ι
hi : i ∈ s
hw : w i = 0
⊢ w i * f i = ↑(w i).toNNReal * ↑(f i).toNNReal
Module: Mathlib.Analysis.MeanInequalities

Goal state before:
pp: case e'_4
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ∞
this :
  ∑ x ∈ s, ↑(w x).toNNReal * ↑(f x).toNNReal ≤ (∑ i ∈ s, ↑(w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
⊢ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) = (∑ i ∈ s, ↑(w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹)

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_4
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ∞
this :
  ∑ x ∈ s, ↑(w x).toNNReal * ↑(f x).toNNReal ≤ (∑ i ∈ s, ↑(w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
⊢ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) = (∑ i ∈ s, ↑(w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹)
Module: Mathlib.Analysis.MeanInequalities

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0∞
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 = p
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑(#s) ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p

pp: case inr
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0∞
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑(#s) ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0∞
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 = p
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑(#s) ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConvergenceInMeasure

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k ↦ {x | 2⁻¹ ^ k ≤ edist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
x : α
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
N k : ℕ
hk_lt_ε : 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
n : ℕ
hNx : edist (f (ns n) x) (g x) < 2⁻¹ ^ n
hn_ge : n ≥ max N (k - 1)
⊢ edist (f (ns n) x) (g x) ≤ 2 * 2⁻¹ ^ k

Tactic:
have h_inv_n_le_k : (2 : ℝ≥0∞)⁻¹ ^ n ≤ 2 * (2 : ℝ≥0∞)⁻¹ ^ k := by
      nth_rw 2 [← pow_one (2 : ℝ≥0∞)]
      rw [mul_comm, ← ENNReal.inv_pow, ← ENNReal.inv_pow, ENNReal.inv_le_iff_le_mul, ← mul_assoc,
        mul_comm (_ ^ n), mul_assoc, ← ENNReal.inv_le_iff_le_mul, inv_inv, ← pow_add]
      · gcongr
        · simp
        · omega
      all_goals simp

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k ↦ {x | 2⁻¹ ^ k ≤ edist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
x : α
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
N k : ℕ
hk_lt_ε : 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
n : ℕ
hNx : edist (f (ns n) x) (g x) < 2⁻¹ ^ n
hn_ge : n ≥ max N (k - 1)
h_inv_n_le_k : 2⁻¹ ^ n ≤ 2 * 2⁻¹ ^ k
⊢ edist (f (ns n) x) (g x) ≤ 2 * 2⁻¹ ^ k
Module: Mathlib.Analysis.MeanInequalities

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
H' : (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = ∞ ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p) = ∞
⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)

pp: case neg
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
H' : ¬((∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = ∞ ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p) = ∞)
⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
H' : (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = ∞ ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p) = ∞
⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Complete

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ∞
h_cau : ∀ (N n m_1 : ℕ), N ≤ n → N ≤ m_1 → eLpNorm (f n - f m_1) p μ < B N
hp_top : p = ∞
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 l)

pp: case neg
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ∞
h_cau : ∀ (N n m_1 : ℕ), N ≤ n → N ≤ m_1 → eLpNorm (f n - f m_1) p μ < B N
hp_top : ¬p = ∞
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 l)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ∞
h_cau : ∀ (N n m_1 : ℕ), N ≤ n → N ≤ m_1 → eLpNorm (f n - f m_1) p μ < B N
hp_top : p = ∞
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 l)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpOrder

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Lattice E
inst✝¹ : HasSolidNorm E
inst✝ : IsOrderedAddMonoid E
f g : α →ₘ[μ] E
hf : f ∈ Lp E p μ
hg : g ∈ Lp E p μ
⊢ f ⊔ g ∈ Lp E p μ

Tactic:
mem_Lp_iff_memLp

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Lattice E
inst✝¹ : HasSolidNorm E
inst✝ : IsOrderedAddMonoid E
f g : α →ₘ[μ] E
hf : MemLp (↑f) p μ
hg : MemLp (↑g) p μ
⊢ MemLp (↑(f ⊔ g)) p μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpOrder

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Lattice E
inst✝¹ : HasSolidNorm E
inst✝ : IsOrderedAddMonoid E
f g : α →ₘ[μ] E
hf : f ∈ Lp E p μ
hg : g ∈ Lp E p μ
⊢ f ⊓ g ∈ Lp E p μ

Tactic:
mem_Lp_iff_memLp

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Lattice E
inst✝¹ : HasSolidNorm E
inst✝ : IsOrderedAddMonoid E
f g : α →ₘ[μ] E
hf : MemLp (↑f) p μ
hg : MemLp (↑g) p μ
⊢ MemLp (↑(f ⊓ g)) p μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Complete

Goal state before:
pp: case pos.refine_1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ∞
hp : 1 ≤ ∞
hp_top : True
h_cau_ae : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → ‖(f n - f m) x‖ₑ < B N
h_cau : ∀ (N n m_1 : ℕ), N ≤ n → N ≤ m_1 → essSup (fun x ↦ ‖(f n - f m_1) x‖ₑ) μ < B N
x : α
hx : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → ‖(f n - f m) x‖ₑ < B N
⊢ ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n x) (f m x) ≤ (B N).toReal

pp: case pos.refine_2
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ∞
hp : 1 ≤ ∞
hp_top : True
h_cau_ae : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → ‖(f n - f m) x‖ₑ < B N
h_cau : ∀ (N n m_1 : ℕ), N ≤ n → N ≤ m_1 → essSup (fun x ↦ ‖(f n - f m_1) x‖ₑ) μ < B N
x : α
hx : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → ‖(f n - f m) x‖ₑ < B N
⊢ Tendsto (fun n ↦ (B n).toReal) atTop (𝓝 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos.refine_1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ∞
hp : 1 ≤ ∞
hp_top : True
h_cau_ae : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → ‖(f n - f m) x‖ₑ < B N
h_cau : ∀ (N n m_1 : ℕ), N ≤ n → N ≤ m_1 → essSup (fun x ↦ ‖(f n - f m_1) x‖ₑ) μ < B N
x : α
hx : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → ‖(f n - f m) x‖ₑ < B N
⊢ ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (f n x) (f m x) ≤ (B N).toReal
Module: Mathlib.Logic.Equiv.Embedding

Goal state before:
pp: case inl.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x✝ : { f // Disjoint (Set.range ⇑f.1) (Set.range ⇑f.2) }
f : α ↪ γ
g : β ↪ γ
disj : Disjoint (Set.range ⇑(f, g).1) (Set.range ⇑(f, g).2)
a₁ a₂ : α
f_eq : f a₁ = f a₂
⊢ Sum.inl a₁ = Sum.inl a₂

pp: case inl.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x✝ : { f // Disjoint (Set.range ⇑f.1) (Set.range ⇑f.2) }
f : α ↪ γ
g : β ↪ γ
disj : Disjoint (Set.range ⇑(f, g).1) (Set.range ⇑(f, g).2)
a₁ : α
b₂ : β
f_eq : f a₁ = g b₂
⊢ Sum.inl a₁ = Sum.inr b₂

pp: case inr.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x✝ : { f // Disjoint (Set.range ⇑f.1) (Set.range ⇑f.2) }
f : α ↪ γ
g : β ↪ γ
disj : Disjoint (Set.range ⇑(f, g).1) (Set.range ⇑(f, g).2)
b₁ : β
a₂ : α
f_eq : g b₁ = f a₂
⊢ Sum.inr b₁ = Sum.inl a₂

pp: case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x✝ : { f // Disjoint (Set.range ⇑f.1) (Set.range ⇑f.2) }
f : α ↪ γ
g : β ↪ γ
disj : Disjoint (Set.range ⇑(f, g).1) (Set.range ⇑(f, g).2)
b₁ b₂ : β
f_eq : g b₁ = g b₂
⊢ Sum.inr b₁ = Sum.inr b₂

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x✝ : { f // Disjoint (Set.range ⇑f.1) (Set.range ⇑f.2) }
f : α ↪ γ
g : β ↪ γ
disj : Disjoint (Set.range ⇑(f, g).1) (Set.range ⇑(f, g).2)
a₁ a₂ : α
f_eq : f a₁ = f a₂
⊢ Sum.inl a₁ = Sum.inl a₂
Module: Mathlib.Logic.Equiv.Embedding

Goal state before:
pp: case inl.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x✝ : { f // Disjoint (Set.range ⇑f.1) (Set.range ⇑f.2) }
f : α ↪ γ
g : β ↪ γ
disj : Disjoint (Set.range ⇑(f, g).1) (Set.range ⇑(f, g).2)
a₁ : α
b₂ : β
f_eq : f a₁ = g b₂
⊢ Sum.inl a₁ = Sum.inr b₂

pp: case inr.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x✝ : { f // Disjoint (Set.range ⇑f.1) (Set.range ⇑f.2) }
f : α ↪ γ
g : β ↪ γ
disj : Disjoint (Set.range ⇑(f, g).1) (Set.range ⇑(f, g).2)
b₁ : β
a₂ : α
f_eq : g b₁ = f a₂
⊢ Sum.inr b₁ = Sum.inl a₂

pp: case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x✝ : { f // Disjoint (Set.range ⇑f.1) (Set.range ⇑f.2) }
f : α ↪ γ
g : β ↪ γ
disj : Disjoint (Set.range ⇑(f, g).1) (Set.range ⇑(f, g).2)
b₁ b₂ : β
f_eq : g b₁ = g b₂
⊢ Sum.inr b₁ = Sum.inr b₂

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x✝ : { f // Disjoint (Set.range ⇑f.1) (Set.range ⇑f.2) }
f : α ↪ γ
g : β ↪ γ
disj : Disjoint (Set.range ⇑(f, g).1) (Set.range ⇑(f, g).2)
a₁ : α
b₂ : β
f_eq : f a₁ = g b₂
⊢ Sum.inl a₁ = Sum.inr b₂
Module: Mathlib.Logic.Equiv.Embedding

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x✝ : { f // Disjoint (Set.range ⇑f.1) (Set.range ⇑f.2) }
f : α ↪ γ
g : β ↪ γ
disj : Disjoint (Set.range ⇑(f, g).1) (Set.range ⇑(f, g).2)
b₁ : β
a₂ : α
f_eq : g b₁ = f a₂
⊢ Sum.inr b₁ = Sum.inl a₂

pp: case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x✝ : { f // Disjoint (Set.range ⇑f.1) (Set.range ⇑f.2) }
f : α ↪ γ
g : β ↪ γ
disj : Disjoint (Set.range ⇑(f, g).1) (Set.range ⇑(f, g).2)
b₁ b₂ : β
f_eq : g b₁ = g b₂
⊢ Sum.inr b₁ = Sum.inr b₂

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x✝ : { f // Disjoint (Set.range ⇑f.1) (Set.range ⇑f.2) }
f : α ↪ γ
g : β ↪ γ
disj : Disjoint (Set.range ⇑(f, g).1) (Set.range ⇑(f, g).2)
b₁ : β
a₂ : α
f_eq : g b₁ = f a₂
⊢ Sum.inr b₁ = Sum.inl a₂
Module: Mathlib.Logic.Equiv.Embedding

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x✝ : { f // Disjoint (Set.range ⇑f.1) (Set.range ⇑f.2) }
f : α ↪ γ
g : β ↪ γ
disj : Disjoint (Set.range ⇑(f, g).1) (Set.range ⇑(f, g).2)
b₁ b₂ : β
f_eq : g b₁ = g b₂
⊢ Sum.inr b₁ = Sum.inr b₂

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x✝ : { f // Disjoint (Set.range ⇑f.1) (Set.range ⇑f.2) }
f : α ↪ γ
g : β ↪ γ
disj : Disjoint (Set.range ⇑(f, g).1) (Set.range ⇑(f, g).2)
b₁ b₂ : β
f_eq : g b₁ = g b₂
⊢ Sum.inr b₁ = Sum.inr b₂
Module: Mathlib.Data.Fintype.CardEmbedding

Goal state before:
pp: case refine_1
β : Type u_2
inst✝ : Fintype β
α₁ α₂ : Type u_1
h₂ : Fintype α₂
e : α₁ ≃ α₂
ih : ‖α₁ ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖α₁‖
⊢ ‖α₂ ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖α₂‖

pp: case refine_2
β : Type u_2
inst✝ : Fintype β
⊢ ‖PEmpty.{u_1 + 1} ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖PEmpty.{u_1 + 1}‖

pp: case refine_3
β : Type u_2
inst✝ : Fintype β
γ : Type u_1
h : Fintype γ
ih : ‖γ ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖γ‖
⊢ ‖Option γ ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖Option γ‖

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
β : Type u_2
inst✝ : Fintype β
α₁ α₂ : Type u_1
h₂ : Fintype α₂
e : α₁ ≃ α₂
ih : ‖α₁ ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖α₁‖
⊢ ‖α₂ ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖α₂‖
Module: Mathlib.Data.Fintype.CardEmbedding

Goal state before:
pp: case refine_2
β : Type u_2
inst✝ : Fintype β
⊢ ‖PEmpty.{u_1 + 1} ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖PEmpty.{u_1 + 1}‖

pp: case refine_3
β : Type u_2
inst✝ : Fintype β
γ : Type u_1
h : Fintype γ
ih : ‖γ ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖γ‖
⊢ ‖Option γ ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖Option γ‖

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
β : Type u_2
inst✝ : Fintype β
⊢ ‖PEmpty.{u_1 + 1} ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖PEmpty.{u_1 + 1}‖
Module: Mathlib.Data.Fintype.CardEmbedding

Goal state before:
pp: case refine_3
β : Type u_2
inst✝ : Fintype β
γ : Type u_1
h : Fintype γ
ih : ‖γ ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖γ‖
⊢ ‖Option γ ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖Option γ‖

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
β : Type u_2
inst✝ : Fintype β
γ : Type u_1
h : Fintype γ
ih : ‖γ ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖γ‖
⊢ ‖Option γ ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖Option γ‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Complete

Goal state before:
pp: case pos.refine_2
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ∞
hp : 1 ≤ ∞
hp_top : True
h_cau_ae : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → ‖(f n - f m) x‖ₑ < B N
h_cau : ∀ (N n m_1 : ℕ), N ≤ n → N ≤ m_1 → essSup (fun x ↦ ‖(f n - f m_1) x‖ₑ) μ < B N
x : α
hx : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → ‖(f n - f m) x‖ₑ < B N
⊢ Tendsto (fun n ↦ (B n).toReal) atTop (𝓝 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos.refine_2
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ∞
hp : 1 ≤ ∞
hp_top : True
h_cau_ae : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → ‖(f n - f m) x‖ₑ < B N
h_cau : ∀ (N n m_1 : ℕ), N ≤ n → N ≤ m_1 → essSup (fun x ↦ ‖(f n - f m_1) x‖ₑ) μ < B N
x : α
hx : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → ‖(f n - f m) x‖ₑ < B N
⊢ Tendsto (fun n ↦ (B n).toReal) atTop (𝓝 0)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConvergenceInMeasure

Goal state before:
pp: α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
hε_top : ε ≠ ∞
hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1
δ : ℝ≥0∞
hδ : δ > 0
n : ι
hn : 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal ≤ δ
⊢ ε ^ p.toReal * μ {x | ε ≤ edist (f n x) (g x)} ≤ eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal

pp: case h1
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
hε_top : ε ≠ ∞
hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1
δ : ℝ≥0∞
hδ : δ > 0
n : ι
hn : 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal ≤ δ
⊢ (ε ^ p.toReal)⁻¹ ≠ 0

pp: case h2
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
hε_top : ε ≠ ∞
hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1
δ : ℝ≥0∞
hδ : δ > 0
n : ι
hn : 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal ≤ δ
⊢ (ε ^ p.toReal)⁻¹ ≠ ∞

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
hε_top : ε ≠ ∞
hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1
δ : ℝ≥0∞
hδ : δ > 0
n : ι
hn : 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal ≤ δ
⊢ ε ^ p.toReal * μ {x | ε ≤ edist (f n x) (g x)} ≤ eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConvergenceInMeasure

Goal state before:
pp: case h1
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
hε_top : ε ≠ ∞
hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1
δ : ℝ≥0∞
hδ : δ > 0
n : ι
hn : 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal ≤ δ
⊢ (ε ^ p.toReal)⁻¹ ≠ 0

pp: case h2
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
hε_top : ε ≠ ∞
hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1
δ : ℝ≥0∞
hδ : δ > 0
n : ι
hn : 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal ≤ δ
⊢ (ε ^ p.toReal)⁻¹ ≠ ∞

Tactic:
·

Goal state after:
case h1
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
hε_top : ε ≠ ∞
hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1
δ : ℝ≥0∞
hδ : δ > 0
n : ι
hn : 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal ≤ δ
⊢ (ε ^ p.toReal)⁻¹ ≠ 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConvergenceInMeasure

Goal state before:
pp: case h2
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
hε_top : ε ≠ ∞
hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1
δ : ℝ≥0∞
hδ : δ > 0
n : ι
hn : 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal ≤ δ
⊢ (ε ^ p.toReal)⁻¹ ≠ ∞

Tactic:
·

Goal state after:
case h2
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
hε_top : ε ≠ ∞
hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1
δ : ℝ≥0∞
hδ : δ > 0
n : ι
hn : 1 / ε ^ p.toReal * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal ≤ δ
⊢ (ε ^ p.toReal)⁻¹ ≠ ∞