mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Finite

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
s : Set V
inst✝² : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
inst✝¹ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
h : G.support ⊆ s
h✝ : IsEmpty V
⊢ G.minDegree ≤ (induce s G).minDegree

pp: case inr
V : Type u_1
s : Set V
inst✝² : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
inst✝¹ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
h : G.support ⊆ s
h✝ : Nonempty V
⊢ G.minDegree ≤ (induce s G).minDegree

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
s : Set V
inst✝² : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
inst✝¹ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
h : G.support ⊆ s
h✝ : IsEmpty V
⊢ G.minDegree ≤ (induce s G).minDegree
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Finite

Goal state before:
pp: case inr.inl
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
h✝ : Nonempty V
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ ∅
h : G.support ⊆ ∅
⊢ G.minDegree ≤ (induce ∅ G).minDegree

pp: case inr.inr
V : Type u_1
s : Set V
inst✝² : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
inst✝¹ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
h : G.support ⊆ s
h✝ : Nonempty V
hs : s.Nonempty
⊢ G.minDegree ≤ (induce s G).minDegree

Tactic:
·

Goal state after:
case inr.inl
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
h✝ : Nonempty V
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ ∅
h : G.support ⊆ ∅
⊢ G.minDegree ≤ (induce ∅ G).minDegree
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : OrderBot α
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : OrderBot β
a : α
e : α ≃o β
P : Finpartition a
u : Finset β
hu : Finset.map (↑e).symm.toEmbedding u ⊆ P.parts
x✝¹ : β
hbu : x✝¹ ∉ u
x✝ : β
hx : x✝ ≤ id x✝¹
hxu : x✝ ≤ u.sup id
hb : (↑e).symm x✝¹ ∈ P.parts
this : e.symm x✝ ≤ ⊥
⊢ x✝ ≤ ⊥

pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : OrderBot α
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : OrderBot β
a : α
e : α ≃o β
P : Finpartition a
u : Finset β
hu : Finset.map (↑e).symm.toEmbedding u ⊆ P.parts
x✝¹ : β
hbu : x✝¹ ∉ u
x✝ : β
hx : x✝ ≤ id x✝¹
hxu : x✝ ≤ u.sup id
hb : (↑e).symm x✝¹ ∈ P.parts
⊢ e.symm x✝ ≤ (Finset.map (↑e).symm.toEmbedding u).sup id

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : OrderBot α
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : OrderBot β
a : α
e : α ≃o β
P : Finpartition a
u : Finset β
hu : Finset.map (↑e).symm.toEmbedding u ⊆ P.parts
x✝¹ : β
hbu : x✝¹ ∉ u
x✝ : β
hx : x✝ ≤ id x✝¹
hxu : x✝ ≤ u.sup id
hb : (↑e).symm x✝¹ ∈ P.parts
this : e.symm x✝ ≤ ⊥
⊢ x✝ ≤ ⊥
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : OrderBot α
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : OrderBot β
a : α
e : α ≃o β
P : Finpartition a
u : Finset β
hu : Finset.map (↑e).symm.toEmbedding u ⊆ P.parts
x✝¹ : β
hbu : x✝¹ ∉ u
x✝ : β
hx : x✝ ≤ id x✝¹
hxu : x✝ ≤ u.sup id
hb : (↑e).symm x✝¹ ∈ P.parts
⊢ e.symm x✝ ≤ (Finset.map (↑e).symm.toEmbedding u).sup id

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : OrderBot α
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : OrderBot β
a : α
e : α ≃o β
P : Finpartition a
u : Finset β
hu : Finset.map (↑e).symm.toEmbedding u ⊆ P.parts
x✝¹ : β
hbu : x✝¹ ∉ u
x✝ : β
hx : x✝ ≤ id x✝¹
hxu : x✝ ≤ u.sup id
hb : (↑e).symm x✝¹ ∈ P.parts
⊢ e.symm x✝ ≤ (Finset.map (↑e).symm.toEmbedding u).sup id
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : OrderBot α
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : OrderBot β
a : α
e : α ≃o β
P : Finpartition a
⊢ ⊥ ∉ Finset.map (↑e).toEmbedding P.parts

Tactic:
rw [mem_map_equiv]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : OrderBot α
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : OrderBot β
a : α
e : α ≃o β
P : Finpartition a
⊢ (↑e).symm ⊥ ∉ P.parts
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
h : P.parts = ∅
⊢ P.parts.sup id = ⊥

pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
h : P.parts.sup id = ⊥
b : α
hb : b ∈ P.parts
⊢ ⊥ ∈ P.parts

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
h : P.parts = ∅
⊢ P.parts.sup id = ⊥
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
h : P.parts.sup id = ⊥
b : α
hb : b ∈ P.parts
⊢ ⊥ ∈ P.parts

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
h : P.parts.sup id = ⊥
b : α
hb : b ∈ P.parts
⊢ ⊥ ∈ P.parts
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
h : a = ⊥
⊢ Nonempty (Finpartition a)

pp: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
h : ¬a = ⊥
⊢ Nonempty (Finpartition a)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
h : a = ⊥
⊢ Nonempty (Finpartition a)
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
h : ¬a = ⊥
⊢ Nonempty (Finpartition a)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
h : ¬a = ⊥
⊢ Nonempty (Finpartition a)
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P✝ P Q : Finpartition a
hPQ : P ≤ Q
hQP : Q ≤ P
b : α
hb : b ∈ P.parts
⊢ b ∈ Q.parts

pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P✝ P Q : Finpartition a
hPQ : P ≤ Q
hQP : Q ≤ P
b : α
hb : b ∈ Q.parts
⊢ b ∈ P.parts

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P✝ P Q : Finpartition a
hPQ : P ≤ Q
hQP : Q ≤ P
b : α
hb : b ∈ P.parts
⊢ b ∈ Q.parts
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P✝ P Q : Finpartition a
hPQ : P ≤ Q
hQP : Q ≤ P
b : α
hb : b ∈ Q.parts
⊢ b ∈ P.parts

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P✝ P Q : Finpartition a
hPQ : P ≤ Q
hQP : Q ≤ P
b : α
hb : b ∈ Q.parts
⊢ b ∈ P.parts
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
inst✝ : Decidable (a = ⊥)
P : Finpartition a
h : a = ⊥
⊢ P ≤ (Finpartition.empty α).copy ⋯

pp: case neg
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
inst✝ : Decidable (a = ⊥)
P : Finpartition a
h : ¬a = ⊥
⊢ P ≤ indiscrete h

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
inst✝ : Decidable (a = ⊥)
P : Finpartition a
h : a = ⊥
⊢ P ≤ (Finpartition.empty α).copy ⋯
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
inst✝ : Decidable (a = ⊥)
P : Finpartition a
h : ¬a = ⊥
⊢ P ≤ indiscrete h

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
inst✝ : Decidable (a = ⊥)
P : Finpartition a
h : ¬a = ⊥
⊢ P ≤ indiscrete h
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
a : α
inst✝ : Decidable (a = ⊥)
b : α
hb✝ : b ∈ ⊤.parts
h✝ : a = ⊥
hb : b ∈ ((Finpartition.empty α).copy ⋯).parts
⊢ b ∈ {a}

pp: case neg
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
a : α
inst✝ : Decidable (a = ⊥)
b : α
hb✝ : b ∈ ⊤.parts
h✝ : ¬a = ⊥
hb : b ∈ (indiscrete h✝).parts
⊢ b ∈ {a}

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
a : α
inst✝ : Decidable (a = ⊥)
b : α
hb✝ : b ∈ ⊤.parts
h✝ : a = ⊥
hb : b ∈ ((Finpartition.empty α).copy ⋯).parts
⊢ b ∈ {a}
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
a : α
inst✝ : Decidable (a = ⊥)
b : α
hb✝ : b ∈ ⊤.parts
h✝ : ¬a = ⊥
hb : b ∈ (indiscrete h✝).parts
⊢ b ∈ {a}

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
a : α
inst✝ : Decidable (a = ⊥)
b : α
hb✝ : b ∈ ⊤.parts
h✝ : ¬a = ⊥
hb : b ∈ (indiscrete h✝).parts
⊢ b ∈ {a}
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
⊢ P ∈
    image
      (fun ps ↦
        if h : ps.sup id = s ∧ ⊥ ∉ ps ∧ ps.SupIndep id then
          { parts := ps, supIndep := ⋯, sup_parts := ⋯, bot_notMem := ⋯ }
        else ⊤)
      s.powerset.powerset

Tactic:
refine mem_image.mpr ⟨P.parts, ?_, ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
⊢ P.parts ∈ s.powerset.powerset

case refine_2
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
⊢ (if h : P.parts.sup id = s ∧ ⊥ ∉ P.parts ∧ P.parts.SupIndep id then
      { parts := P.parts, supIndep := ⋯, sup_parts := ⋯, bot_notMem := ⋯ }
    else ⊤) =
    P
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
⊢ P.parts ∈ s.powerset.powerset

pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
⊢ (if h : P.parts.sup id = s ∧ ⊥ ∉ P.parts ∧ P.parts.SupIndep id then
      { parts := P.parts, supIndep := ⋯, sup_parts := ⋯, bot_notMem := ⋯ }
    else ⊤) =
    P

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
⊢ P.parts ∈ s.powerset.powerset
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
⊢ (if h : P.parts.sup id = s ∧ ⊥ ∉ P.parts ∧ P.parts.SupIndep id then
      { parts := P.parts, supIndep := ⋯, sup_parts := ⋯, bot_notMem := ⋯ }
    else ⊤) =
    P

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
⊢ (if h : P.parts.sup id = s ∧ ⊥ ∉ P.parts ∧ P.parts.SupIndep id then
      { parts := P.parts, supIndep := ⋯, sup_parts := ⋯, bot_notMem := ⋯ }
    else ⊤) =
    P
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
s : α
P : Finpartition s
Pr : α → Prop
Prsup : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊔ t)
Prinf : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊓ t)
Prbot : Pr ⊥
hs : Pr s
hP : ∀ p ∈ P.parts, Pr p
this✝¹ : Lattice (Subtype Pr) := Subtype.lattice Prsup Prinf
this✝ : OrderBot (Subtype Pr) := Subtype.orderBot Prbot
t : Finset (Subtype Pr)
ht : t ⊆ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
i : Subtype Pr
hi : i ∈ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
hi' : i ∉ t
this : (fun i ↦ ↑(id i)) = id ∘ Subtype.val
⊢ Disjoint (↑(id i)) ((image Subtype.val t).sup id)

pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
s : α
P : Finpartition s
Pr : α → Prop
Prsup : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊔ t)
Prinf : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊓ t)
Prbot : Pr ⊥
hs : Pr s
hP : ∀ p ∈ P.parts, Pr p
this✝¹ : Lattice (Subtype Pr) := Subtype.lattice Prsup Prinf
this✝ : OrderBot (Subtype Pr) := Subtype.orderBot Prbot
t : Finset (Subtype Pr)
ht : t ⊆ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
i : Subtype Pr
hi : i ∈ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
hi' : i ∉ t
this : (fun i ↦ ↑(id i)) = id ∘ Subtype.val
⊢ ∀ ⦃x y : α⦄, Pr x → Pr y → Pr (x ⊔ y)

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
s : α
P : Finpartition s
Pr : α → Prop
Prsup : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊔ t)
Prinf : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊓ t)
Prbot : Pr ⊥
hs : Pr s
hP : ∀ p ∈ P.parts, Pr p
this✝¹ : Lattice (Subtype Pr) := Subtype.lattice Prsup Prinf
this✝ : OrderBot (Subtype Pr) := Subtype.orderBot Prbot
t : Finset (Subtype Pr)
ht : t ⊆ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
i : Subtype Pr
hi : i ∈ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
hi' : i ∉ t
this : (fun i ↦ ↑(id i)) = id ∘ Subtype.val
⊢ Disjoint (↑(id i)) ((image Subtype.val t).sup id)
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case a
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
s : α
P : Finpartition s
Pr : α → Prop
Prsup : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊔ t)
Prinf : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊓ t)
Prbot : Pr ⊥
hs : Pr s
hP : ∀ p ∈ P.parts, Pr p
this✝¹ : Lattice (Subtype Pr) := ⋯
this✝ : OrderBot (Subtype Pr) := ⋯
t : Finset (Subtype Pr)
ht : t ⊆ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
i : Subtype Pr
hi : i ∈ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
hi' : i ∉ t
this : (fun i ↦ ↑(id i)) = id ∘ Subtype.val
⊢ image Subtype.val t ⊆ P.parts

pp: case a
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
s : α
P : Finpartition s
Pr : α → Prop
Prsup : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊔ t)
Prinf : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊓ t)
Prbot : Pr ⊥
hs : Pr s
hP : ∀ p ∈ P.parts, Pr p
this✝¹ : Lattice (Subtype Pr) := ⋯
this✝ : OrderBot (Subtype Pr) := ⋯
t : Finset (Subtype Pr)
ht : t ⊆ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
i : Subtype Pr
hi : i ∈ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
hi' : i ∉ t
this : (fun i ↦ ↑(id i)) = id ∘ Subtype.val
⊢ ↑(id i) ∈ P.parts

pp: case a
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
s : α
P : Finpartition s
Pr : α → Prop
Prsup : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊔ t)
Prinf : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊓ t)
Prbot : Pr ⊥
hs : Pr s
hP : ∀ p ∈ P.parts, Pr p
this✝¹ : Lattice (Subtype Pr) := ⋯
this✝ : OrderBot (Subtype Pr) := ⋯
t : Finset (Subtype Pr)
ht : t ⊆ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
i : Subtype Pr
hi : i ∈ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
hi' : i ∉ t
this : (fun i ↦ ↑(id i)) = id ∘ Subtype.val
⊢ ↑(id i) ∉ image Subtype.val t

Tactic:
·

Goal state after:
case a
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
s : α
P : Finpartition s
Pr : α → Prop
Prsup : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊔ t)
Prinf : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊓ t)
Prbot : Pr ⊥
hs : Pr s
hP : ∀ p ∈ P.parts, Pr p
this✝¹ : Lattice (Subtype Pr) := ⋯
this✝ : OrderBot (Subtype Pr) := ⋯
t : Finset (Subtype Pr)
ht : t ⊆ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
i : Subtype Pr
hi : i ∈ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
hi' : i ∉ t
this : (fun i ↦ ↑(id i)) = id ∘ Subtype.val
⊢ image Subtype.val t ⊆ P.parts
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case a
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
s : α
P : Finpartition s
Pr : α → Prop
Prsup : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊔ t)
Prinf : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊓ t)
Prbot : Pr ⊥
hs : Pr s
hP : ∀ p ∈ P.parts, Pr p
this✝¹ : Lattice (Subtype Pr) := ⋯
this✝ : OrderBot (Subtype Pr) := ⋯
t : Finset (Subtype Pr)
ht : t ⊆ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
i : Subtype Pr
hi : i ∈ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
hi' : i ∉ t
this : (fun i ↦ ↑(id i)) = id ∘ Subtype.val
⊢ ↑(id i) ∈ P.parts

pp: case a
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
s : α
P : Finpartition s
Pr : α → Prop
Prsup : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊔ t)
Prinf : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊓ t)
Prbot : Pr ⊥
hs : Pr s
hP : ∀ p ∈ P.parts, Pr p
this✝¹ : Lattice (Subtype Pr) := ⋯
this✝ : OrderBot (Subtype Pr) := ⋯
t : Finset (Subtype Pr)
ht : t ⊆ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
i : Subtype Pr
hi : i ∈ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
hi' : i ∉ t
this : (fun i ↦ ↑(id i)) = id ∘ Subtype.val
⊢ ↑(id i) ∉ image Subtype.val t

Tactic:
·

Goal state after:
case a
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
s : α
P : Finpartition s
Pr : α → Prop
Prsup : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊔ t)
Prinf : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊓ t)
Prbot : Pr ⊥
hs : Pr s
hP : ∀ p ∈ P.parts, Pr p
this✝¹ : Lattice (Subtype Pr) := ⋯
this✝ : OrderBot (Subtype Pr) := ⋯
t : Finset (Subtype Pr)
ht : t ⊆ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
i : Subtype Pr
hi : i ∈ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
hi' : i ∉ t
this : (fun i ↦ ↑(id i)) = id ∘ Subtype.val
⊢ ↑(id i) ∈ P.parts
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case a
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
s : α
P : Finpartition s
Pr : α → Prop
Prsup : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊔ t)
Prinf : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊓ t)
Prbot : Pr ⊥
hs : Pr s
hP : ∀ p ∈ P.parts, Pr p
this✝¹ : Lattice (Subtype Pr) := ⋯
this✝ : OrderBot (Subtype Pr) := ⋯
t : Finset (Subtype Pr)
ht : t ⊆ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
i : Subtype Pr
hi : i ∈ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
hi' : i ∉ t
this : (fun i ↦ ↑(id i)) = id ∘ Subtype.val
⊢ ↑(id i) ∉ image Subtype.val t

Tactic:
·

Goal state after:
case a
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P✝ : Finpartition a
s : α
P : Finpartition s
Pr : α → Prop
Prsup : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊔ t)
Prinf : ∀ ⦃s t : α⦄, Pr s → Pr t → Pr (s ⊓ t)
Prbot : Pr ⊥
hs : Pr s
hP : ∀ p ∈ P.parts, Pr p
this✝¹ : Lattice (Subtype Pr) := ⋯
this✝ : OrderBot (Subtype Pr) := ⋯
t : Finset (Subtype Pr)
ht : t ⊆ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
i : Subtype Pr
hi : i ∈ P.parts.preimage Subtype.val ⋯
hi' : i ∉ t
this : (fun i ↦ ↑(id i)) = id ∘ Subtype.val
⊢ ↑(id i) ∉ image Subtype.val t
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.TStructure.ETrunc

Goal state before:
pp: case top
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
b : EInt
hab✝ : ⊤ ⟶ b
hab : ⊤ ≤ b
⊢ t.eTruncGE.map hab✝ ≫ WithBotTop.rec 0 t.truncGEδLT 0 b =
    WithBotTop.rec 0 t.truncGEδLT 0 ⊤ ≫ (t.eTruncLT ⋙ (Functor.whiskeringRight C C C).obj (shiftFunctor C 1)).map hab✝

pp: case bot
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
b : EInt
hab✝ : ⊥ ⟶ b
hab : ⊥ ≤ b
⊢ t.eTruncGE.map hab✝ ≫ WithBotTop.rec 0 t.truncGEδLT 0 b =
    WithBotTop.rec 0 t.truncGEδLT 0 ⊥ ≫ (t.eTruncLT ⋙ (Functor.whiskeringRight C C C).obj (shiftFunctor C 1)).map hab✝

pp: case coe
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
b : EInt
a✝ : ℤ
hab✝ : WithBotTop.coe a✝ ⟶ b
hab : WithBotTop.coe a✝ ≤ b
⊢ t.eTruncGE.map hab✝ ≫ WithBotTop.rec 0 t.truncGEδLT 0 b =
    WithBotTop.rec 0 t.truncGEδLT 0 (WithBotTop.coe a✝) ≫
      (t.eTruncLT ⋙ (Functor.whiskeringRight C C C).obj (shiftFunctor C 1)).map hab✝

Tactic:
·

Goal state after:
case top
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
b : EInt
hab✝ : ⊤ ⟶ b
hab : ⊤ ≤ b
⊢ t.eTruncGE.map hab✝ ≫ WithBotTop.rec 0 t.truncGEδLT 0 b =
    WithBotTop.rec 0 t.truncGEδLT 0 ⊤ ≫ (t.eTruncLT ⋙ (Functor.whiskeringRight C C C).obj (shiftFunctor C 1)).map hab✝
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P Q : Finpartition a
x₁ y₁ : α
hx₁ : x₁ ∈ P.parts
hy₁ : y₁ ∈ Q.parts
y₂ : α
hy₂ : y₂ ∈ Q.parts
hx₂ : x₁ ∈ P.parts
h : ¬x₁ ⊓ y₂ = x₁ ⊓ y₁
⊢ Disjoint (x₁ ⊓ y₁) (x₁ ⊓ y₂)

pp: case inr
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P Q : Finpartition a
x₁ y₁ : α
hx₁ : x₁ ∈ P.parts
hy₁ : y₁ ∈ Q.parts
x₂ y₂ : α
hx₂ : x₂ ∈ P.parts
hy₂ : y₂ ∈ Q.parts
h : ¬x₂ ⊓ y₂ = x₁ ⊓ y₁
xdiff : x₁ ≠ x₂
⊢ Disjoint (x₁ ⊓ y₁) (x₂ ⊓ y₂)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P Q : Finpartition a
x₁ y₁ : α
hx₁ : x₁ ∈ P.parts
hy₁ : y₁ ∈ Q.parts
y₂ : α
hy₂ : y₂ ∈ Q.parts
hx₂ : x₁ ∈ P.parts
h : ¬x₁ ⊓ y₂ = x₁ ⊓ y₁
⊢ Disjoint (x₁ ⊓ y₁) (x₁ ⊓ y₂)
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P Q : Finpartition a
⊢ (P.parts.sup fun i ↦ Q.parts.sup fun i' ↦ (i, i').1 ⊓ (i, i').2) = P.parts.sup id ⊓ Q.parts.sup id

pp: α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P Q : Finpartition a
⊢ P.parts.sup id ⊓ Q.parts.sup id = a

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P Q : Finpartition a
⊢ (P.parts.sup fun i ↦ Q.parts.sup fun i' ↦ (i, i').1 ⊓ (i, i').2) = P.parts.sup id ⊓ Q.parts.sup id
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P Q : Finpartition a
⊢ P.parts.sup id ⊓ Q.parts.sup id = a

Tactic:
·

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P Q : Finpartition a
⊢ P.parts.sup id ⊓ Q.parts.sup id = a
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : DecidableEq α
parts : Finset α
hdisjoint : (↑parts).PairwiseDisjoint id
X : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid X
f : α → X
hf : f ⊥ = 0
hbot : ⊥ ∈ parts
⊢ ∑ p ∈ (ofPairwiseDisjoint parts hdisjoint).parts, f p = ∑ p ∈ parts, f p

pp: case neg
α : Type u_1
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : DecidableEq α
parts : Finset α
hdisjoint : (↑parts).PairwiseDisjoint id
X : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid X
f : α → X
hf : f ⊥ = 0
hbot : ⊥ ∉ parts
⊢ ∑ p ∈ (ofPairwiseDisjoint parts hdisjoint).parts, f p = ∑ p ∈ parts, f p

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : DecidableEq α
parts : Finset α
hdisjoint : (↑parts).PairwiseDisjoint id
X : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid X
f : α → X
hf : f ⊥ = 0
hbot : ⊥ ∈ parts
⊢ ∑ p ∈ (ofPairwiseDisjoint parts hdisjoint).parts, f p = ∑ p ∈ parts, f p
Module: Mathlib.Order.Partition.Finpartition

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : DecidableEq α
parts : Finset α
hdisjoint : (↑parts).PairwiseDisjoint id
X : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid X
f : α → X
hf : f ⊥ = 0
hbot : ⊥ ∈ parts
⊢ ∑ p ∈ ({⊥} ∪ parts.erase ⊥).erase ⊥, f p = ∑ a ∈ parts.erase ⊥, f a

pp: case pos
α : Type u_1
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : DecidableEq α
parts : Finset α
hdisjoint : (↑parts).PairwiseDisjoint id
X : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid X
f : α → X
hf : f ⊥ = 0
hbot : ⊥ ∈ parts
⊢ ∀ a ∈ {⊥}, a ∉ parts.erase ⊥ → f a = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : DecidableEq α
parts : Finset α
hdisjoint : (↑parts).PairwiseDisjoint id
X : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid X
f : α → X
hf : f ⊥ = 0
hbot : ⊥ ∈ parts
⊢ ∑ p ∈ ({⊥} ∪ parts.erase ⊥).erase ⊥, f p = ∑ a ∈ parts.erase ⊥, f a