mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: case e_a.inl
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
h✝ : IsEmpty ι
⊢ 0 ≤ ⨆ j, ‖⟪b j, x⟫‖

pp: case e_a.inr
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
h✝ : Nonempty ι
⊢ 0 ≤ ⨆ j, ‖⟪b j, x⟫‖

Tactic:
·

Goal state after:
case e_a.inl
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
h✝ : IsEmpty ι
⊢ 0 ≤ ⨆ j, ‖⟪b j, x⟫‖
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: case e_a.inr
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
h✝ : Nonempty ι
⊢ 0 ≤ ⨆ j, ‖⟪b j, x⟫‖

Tactic:
·

Goal state after:
case e_a.inr
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
h✝ : Nonempty ι
⊢ 0 ≤ ⨆ j, ‖⟪b j, x⟫‖
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Split

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
h : x ≤ I.lower i
⊢ I.splitLower i x ≠ I.splitUpper i x

pp: case inr
ι : Type u_1
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
h✝ : I.lower i < x
⊢ I.splitLower i x ≠ I.splitUpper i x

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
h : x ≤ I.lower i
⊢ I.splitLower i x ≠ I.splitUpper i x
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Split

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
h✝ : I.lower i < x
⊢ I.splitLower i x ≠ I.splitUpper i x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
h✝ : I.lower i < x
⊢ I.splitLower i x ≠ I.splitUpper i x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.EqHaar

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ∞
u v : Set E
uzero : μ u ≠ 0
utop : μ u ≠ ∞
vmeas : MeasurableSet v
⊢ 0 < μ (vᶜ ∩ u) → μ (vᶜ ∩ u) < μ u → (μ u)⁻¹ ≠ ∞

pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ∞
u v : Set E
uzero : μ u ≠ 0
utop : μ u ≠ ∞
vmeas : MeasurableSet v
⊢ (μ u - μ (vᶜ ∩ u)) * (μ u)⁻¹ = μ (v ∩ u) * (μ u)⁻¹

Tactic:
·

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ∞
u v : Set E
uzero : μ u ≠ 0
utop : μ u ≠ ∞
vmeas : MeasurableSet v
⊢ 0 < μ (vᶜ ∩ u) → μ (vᶜ ∩ u) < μ u → (μ u)⁻¹ ≠ ∞
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Split

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
i : ι
x : ℝ
J : Box ι
h✝ : x ≤ J.lower i
⊢ ↑J = J.splitUpper i x

pp: case inr
ι : Type u_1
i : ι
x : ℝ
J : Box ι
h✝ : J.upper i ≤ x
⊢ ↑J = J.splitLower i x

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
i : ι
x : ℝ
J : Box ι
h✝ : x ≤ J.lower i
⊢ ↑J = J.splitUpper i x
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Split

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
i : ι
x : ℝ
J : Box ι
h✝ : J.upper i ≤ x
⊢ ↑J = J.splitLower i x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
i : ι
x : ℝ
J : Box ι
h✝ : J.upper i ≤ x
⊢ ↑J = J.splitLower i x
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: case e'_3.e'_4
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
x y : E
p : EuclideanSpace 𝕜 ι := toLp 2 (v.equivFun x)
q : EuclideanSpace 𝕜 ι := toLp 2 (v.equivFun y)
key : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
⊢ x = ∑ i, p.ofLp i • v i

pp: case e'_3.e'_5
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
x y : E
p : EuclideanSpace 𝕜 ι := toLp 2 (v.equivFun x)
q : EuclideanSpace 𝕜 ι := toLp 2 (v.equivFun y)
key : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
⊢ y = ∑ i, q.ofLp i • v i

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_3.e'_4
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
x y : E
p : EuclideanSpace 𝕜 ι := toLp 2 (v.equivFun x)
q : EuclideanSpace 𝕜 ι := toLp 2 (v.equivFun y)
key : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
⊢ x = ∑ i, p.ofLp i • v i
Module: Mathlib.Algebra.Module.ZLattice.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
K : Type u_1
inst✝⁹ : NormedField K
inst✝⁸ : LinearOrder K
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : Submodule ℤ E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
hs : IsZLattice K L
this✝² : Module.Finite ℤ ↥L
this✝¹ : Module ℚ E
this✝ : IsAddTorsionFree E
b₀ : Basis (Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L) ℤ ↥L := Free.chooseBasis ℤ ↥L
b : Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L → E := Subtype.val ∘ ⇑b₀
this : LinearIndependent ℤ b
h_spanL : span ℤ (Set.range b) = L
h_spanE : span K (Set.range b) = ⊤
h_card : Fintype.card (Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L) = (Set.range b).toFinset.card
⊢ finrank K E ≤ Fintype.card (Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
K : Type u_1
inst✝⁹ : NormedField K
inst✝⁸ : LinearOrder K
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : Submodule ℤ E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
hs : IsZLattice K L
this✝² : Module.Finite ℤ ↥L
this✝¹ : Module ℚ E
this✝ : IsAddTorsionFree E
b₀ : Basis (Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L) ℤ ↥L := Free.chooseBasis ℤ ↥L
b : Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L → E := Subtype.val ∘ ⇑b₀
this : LinearIndependent ℤ b
h_spanL : span ℤ (Set.range b) = L
h_spanE : span K (Set.range b) = ⊤
h_card : Fintype.card (Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L) = (Set.range b).toFinset.card
⊢ finrank K E ≤ Fintype.card (Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: case e'_3.e'_5
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
x y : E
p : EuclideanSpace 𝕜 ι := toLp 2 (v.equivFun x)
q : EuclideanSpace 𝕜 ι := toLp 2 (v.equivFun y)
key : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
⊢ y = ∑ i, q.ofLp i • v i

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_3.e'_5
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
x y : E
p : EuclideanSpace 𝕜 ι := toLp 2 (v.equivFun x)
q : EuclideanSpace 𝕜 ι := toLp 2 (v.equivFun y)
key : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
⊢ y = ∑ i, q.ofLp i • v i
Module: Mathlib.Algebra.Module.ZLattice.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
K : Type u_1
inst✝⁹ : NormedField K
inst✝⁸ : LinearOrder K
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : Submodule ℤ E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZLattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
this✝¹ : Module.Finite ℤ ↥L
this✝ : Free ℤ ↥L
e : Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L ≃ ι := (Free.chooseBasis ℤ ↥L).indexEquiv b
this : Fintype ι
⊢ ⊤ ≤ span K (Set.range (⇑L.subtype ∘ ⇑b))

pp: case refine_2
K : Type u_1
inst✝⁹ : NormedField K
inst✝⁸ : LinearOrder K
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : Submodule ℤ E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZLattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
this✝¹ : Module.Finite ℤ ↥L
this✝ : Free ℤ ↥L
e : Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L ≃ ι := (Free.chooseBasis ℤ ↥L).indexEquiv b
this : Fintype ι
⊢ Fintype.card ι = finrank K E

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
K : Type u_1
inst✝⁹ : NormedField K
inst✝⁸ : LinearOrder K
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : Submodule ℤ E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZLattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
this✝¹ : Module.Finite ℤ ↥L
this✝ : Free ℤ ↥L
e : Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L ≃ ι := (Free.chooseBasis ℤ ↥L).indexEquiv b
this : Fintype ι
⊢ ⊤ ≤ span K (Set.range (⇑L.subtype ∘ ⇑b))
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: case inl
η : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype η
inst✝⁴ : DecidableEq η
ι : η → Type u_8
inst✝³ : (i : η) → Fintype (ι i)
𝕜 : Type u_9
inst✝² : RCLike 𝕜
E : η → Type u_10
inst✝¹ : (i : η) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : η) → InnerProductSpace 𝕜 (E i)
B : (i : η) → OrthonormalBasis (ι i) 𝕜 (E i)
i : η
j : ι i
⊢ (B i).repr.symm (toLp 2 (Pi.single i (Pi.single j 1) i)) = Pi.single i ((B i) j) i

pp: case inr
η : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype η
inst✝⁴ : DecidableEq η
ι : η → Type u_8
inst✝³ : (i : η) → Fintype (ι i)
𝕜 : Type u_9
inst✝² : RCLike 𝕜
E : η → Type u_10
inst✝¹ : (i : η) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : η) → InnerProductSpace 𝕜 (E i)
B : (i : η) → OrthonormalBasis (ι i) 𝕜 (E i)
k i : η
j : ι i
hi : i ≠ k
⊢ (B k).repr.symm (toLp 2 (Pi.single i (Pi.single j 1) k)) = Pi.single i ((B i) j) k

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
η : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype η
inst✝⁴ : DecidableEq η
ι : η → Type u_8
inst✝³ : (i : η) → Fintype (ι i)
𝕜 : Type u_9
inst✝² : RCLike 𝕜
E : η → Type u_10
inst✝¹ : (i : η) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : η) → InnerProductSpace 𝕜 (E i)
B : (i : η) → OrthonormalBasis (ι i) 𝕜 (E i)
i : η
j : ι i
⊢ (B i).repr.symm (toLp 2 (Pi.single i (Pi.single j 1) i)) = Pi.single i ((B i) j) i
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: case inr
η : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype η
inst✝⁴ : DecidableEq η
ι : η → Type u_8
inst✝³ : (i : η) → Fintype (ι i)
𝕜 : Type u_9
inst✝² : RCLike 𝕜
E : η → Type u_10
inst✝¹ : (i : η) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : η) → InnerProductSpace 𝕜 (E i)
B : (i : η) → OrthonormalBasis (ι i) 𝕜 (E i)
k i : η
j : ι i
hi : i ≠ k
⊢ (B k).repr.symm (toLp 2 (Pi.single i (Pi.single j 1) k)) = Pi.single i ((B i) j) k

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
η : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype η
inst✝⁴ : DecidableEq η
ι : η → Type u_8
inst✝³ : (i : η) → Fintype (ι i)
𝕜 : Type u_9
inst✝² : RCLike 𝕜
E : η → Type u_10
inst✝¹ : (i : η) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : η) → InnerProductSpace 𝕜 (E i)
B : (i : η) → OrthonormalBasis (ι i) 𝕜 (E i)
k i : η
j : ι i
hi : i ≠ k
⊢ (B k).repr.symm (toLp 2 (Pi.single i (Pi.single j 1) k)) = Pi.single i ((B i) j) k
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.EqHaar

Goal state before:
pp: case h0
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ∞
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ∞ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
⊢ μ (closedBall x r) ≠ 0

pp: case ht
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ∞
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ∞ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
⊢ μ (closedBall x r) ≠ ∞

Tactic:
·

Goal state after:
case h0
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ∞
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ∞ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
⊢ μ (closedBall x r) ≠ 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.ZLattice.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
K : Type u_1
inst✝⁹ : NormedField K
inst✝⁸ : LinearOrder K
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : Submodule ℤ E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZLattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
this✝¹ : Module.Finite ℤ ↥L
this✝ : Free ℤ ↥L
e : Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L ≃ ι := (Free.chooseBasis ℤ ↥L).indexEquiv b
this : Fintype ι
⊢ Fintype.card ι = finrank K E

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
K : Type u_1
inst✝⁹ : NormedField K
inst✝⁸ : LinearOrder K
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : Submodule ℤ E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZLattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
this✝¹ : Module.Finite ℤ ↥L
this✝ : Free ℤ ↥L
e : Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L ≃ ι := (Free.chooseBasis ℤ ↥L).indexEquiv b
this : Fintype ι
⊢ Fintype.card ι = finrank K E
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.EqHaar

Goal state before:
pp: case ht
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ∞
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ∞ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
⊢ μ (closedBall x r) ≠ ∞

Tactic:
·

Goal state after:
case ht
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ∞
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ∞ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
⊢ μ (closedBall x r) ≠ ∞
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Split

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
I J Js : Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
HJs : Js ∈ splitMany I s
Hn : ¬Disjoint ↑J ↑Js
H : ∀ (i : ι), (i, J.lower i) ∈ s ∧ (i, J.upper i) ∈ s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ ↑J
hxs : x ∈ ↑Js
y : ι → ℝ
hy : y ∈ Js
i : ι
⊢ J.lower i < y i

pp: case refine_2
ι : Type u_1
I J Js : Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
HJs : Js ∈ splitMany I s
Hn : ¬Disjoint ↑J ↑Js
H : ∀ (i : ι), (i, J.lower i) ∈ s ∧ (i, J.upper i) ∈ s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ ↑J
hxs : x ∈ ↑Js
y : ι → ℝ
hy : y ∈ Js
i : ι
⊢ y i ≤ J.upper i

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
I J Js : Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
HJs : Js ∈ splitMany I s
Hn : ¬Disjoint ↑J ↑Js
H : ∀ (i : ι), (i, J.lower i) ∈ s ∧ (i, J.upper i) ∈ s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ ↑J
hxs : x ∈ ↑Js
y : ι → ℝ
hy : y ∈ Js
i : ι
⊢ J.lower i < y i
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Split

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
I J Js : Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
HJs : Js ∈ splitMany I s
Hn : ¬Disjoint ↑J ↑Js
H : ∀ (i : ι), (i, J.lower i) ∈ s ∧ (i, J.upper i) ∈ s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ ↑J
hxs : x ∈ ↑Js
y : ι → ℝ
hy : y ∈ Js
i : ι
⊢ y i ≤ J.upper i

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
I J Js : Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
HJs : Js ∈ splitMany I s
Hn : ¬Disjoint ↑J ↑Js
H : ∀ (i : ι), (i, J.lower i) ∈ s ∧ (i, J.upper i) ∈ s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ ↑J
hxs : x ∈ ↑Js
y : ι → ℝ
hy : y ∈ Js
i : ι
⊢ y i ≤ J.upper i
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Split

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Finite ι
π : Prepartition I
t : Finset (ι × ℝ)
ht : ∀ (I_1 J : Box ι), J ∈ π.boxes → ∀ J' ∈ splitMany I_1 t, ¬Disjoint ↑J ↑J' → J' ≤ J
J : Box ι
hJ : J ∈ π
⊢ (splitMany I t).restrict J ≤ ((splitMany I t).filter fun J ↦ ↑J ⊆ π.iUnion).restrict J

pp: case refine_2
ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Finite ι
π : Prepartition I
t : Finset (ι × ℝ)
ht : ∀ (I_1 J : Box ι), J ∈ π.boxes → ∀ J' ∈ splitMany I_1 t, ¬Disjoint ↑J ↑J' → J' ≤ J
J : Box ι
hJ : J ∈ (splitMany I t).filter fun J ↦ ↑J ⊆ π.iUnion
⊢ ∃ I' ∈ π, J ≤ I'

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Finite ι
π : Prepartition I
t : Finset (ι × ℝ)
ht : ∀ (I_1 J : Box ι), J ∈ π.boxes → ∀ J' ∈ splitMany I_1 t, ¬Disjoint ↑J ↑J' → J' ≤ J
J : Box ι
hJ : J ∈ π
⊢ (splitMany I t).restrict J ≤ ((splitMany I t).filter fun J ↦ ↑J ⊆ π.iUnion).restrict J
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Split

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Finite ι
π : Prepartition I
t : Finset (ι × ℝ)
ht : ∀ (I_1 J : Box ι), J ∈ π.boxes → ∀ J' ∈ splitMany I_1 t, ¬Disjoint ↑J ↑J' → J' ≤ J
J : Box ι
hJ : J ∈ (splitMany I t).filter fun J ↦ ↑J ⊆ π.iUnion
⊢ ∃ I' ∈ π, J ≤ I'

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Finite ι
π : Prepartition I
t : Finset (ι × ℝ)
ht : ∀ (I_1 J : Box ι), J ∈ π.boxes → ∀ J' ∈ splitMany I_1 t, ¬Disjoint ↑J ↑J' → J' ≤ J
J : Box ι
hJ : J ∈ (splitMany I t).filter fun J ↦ ↑J ⊆ π.iUnion
⊢ ∃ I' ∈ π, J ≤ I'
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Filter

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
c₁ c₂ : ℝ≥0
l : IntegrationParams
r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ r₁ π₁
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ r₂ π₂
hU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
H :
  ∀ {ι : Type u_1} [inst : Fintype ι] {I : Box ι} {c₁ c₂ : ℝ≥0} {l : IntegrationParams} {r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)}
    {π₁ π₂ : TaggedPrepartition I},
    l.MemBaseSet I c₁ r₁ π₁ →
      l.MemBaseSet I c₂ r₂ π₂ →
        π₁.iUnion = π₂.iUnion →
          c₁ ≤ c₂ →
            ∃ π,
              π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion ∧
                (l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₁) ∧ (l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₂)
hc : ¬c₁ ≤ c₂
⊢ ∃ π,
    π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion ∧ (l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₁) ∧ (l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₂)

pp: ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι✝
I✝ : Box ι✝
c₁✝ c₂✝ : ℝ≥0
l✝ : IntegrationParams
r₁✝ r₂✝ : (ι✝ → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I✝
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
c₁ c₂ : ℝ≥0
l : IntegrationParams
r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ r₁ π₁
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ r₂ π₂
hU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
hc : c₁ ≤ c₂
⊢ ∃ π,
    π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion ∧ (l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₁) ∧ (l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₂)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
c₁ c₂ : ℝ≥0
l : IntegrationParams
r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ r₁ π₁
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ r₂ π₂
hU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
H :
  ∀ {ι : Type u_1} [inst : Fintype ι] {I : Box ι} {c₁ c₂ : ℝ≥0} {l : IntegrationParams} {r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)}
    {π₁ π₂ : TaggedPrepartition I},
    l.MemBaseSet I c₁ r₁ π₁ →
      l.MemBaseSet I c₂ r₂ π₂ →
        π₁.iUnion = π₂.iUnion →
          c₁ ≤ c₂ →
            ∃ π,
              π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion ∧
                (l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₁) ∧ (l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₂)
hc : ¬c₁ ≤ c₂
⊢ ∃ π,
    π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion ∧ (l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₁) ∧ (l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₂)
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Filter

Goal state before:
pp: case pos
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι✝
I✝ : Box ι✝
c₁✝ c₂✝ : ℝ≥0
l✝ : IntegrationParams
r₁✝ r₂✝ : (ι✝ → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I✝
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
c₁ c₂ : ℝ≥0
l : IntegrationParams
r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ r₁ π₁
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ r₂ π₂
hU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
hc : c₁ ≤ c₂
hD : l.bDistortion = true
⊢ ∃ π,
    π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion ∧ (l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₁) ∧ (l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₂)

pp: case neg
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι✝
I✝ : Box ι✝
c₁✝ c₂✝ : ℝ≥0
l✝ : IntegrationParams
r₁✝ r₂✝ : (ι✝ → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I✝
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
c₁ c₂ : ℝ≥0
l : IntegrationParams
r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ r₁ π₁
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ r₂ π₂
hU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
hc : c₁ ≤ c₂
hD : ¬l.bDistortion = true
⊢ ∃ π,
    π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion ∧ (l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₁) ∧ (l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₂)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι✝
I✝ : Box ι✝
c₁✝ c₂✝ : ℝ≥0
l✝ : IntegrationParams
r₁✝ r₂✝ : (ι✝ → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I✝
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
c₁ c₂ : ℝ≥0
l : IntegrationParams
r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ r₁ π₁
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ r₂ π₂
hU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
hc : c₁ ≤ c₂
hD : l.bDistortion = true
⊢ ∃ π,
    π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion ∧ (l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₁) ∧ (l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₂)