mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.FiniteMeasure

Goal state before:
pp: case left
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f₁ f₂ : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ -(↑μ.mass * dist f₁ f₂) ≤ ↑(μ.testAgainstNN f₁) - ↑(μ.testAgainstNN f₂)

pp: case right
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f₁ f₂ : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ ↑(μ.testAgainstNN f₁) - ↑(μ.testAgainstNN f₂) ≤ ↑μ.mass * dist f₁ f₂

Tactic:
·

Goal state after:
case left
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f₁ f₂ : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ -(↑μ.mass * dist f₁ f₂) ≤ ↑(μ.testAgainstNN f₁) - ↑(μ.testAgainstNN f₂)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Real

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
f : α → E
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ R
hn : {x | ‖f x‖ ≤ R} = ∅
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖μ[f | m] x‖ ≤ R

pp: case neg
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
f : α → E
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ R
hn : {x | ‖f x‖ ≤ R}.Nonempty
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖μ[f | m] x‖ ≤ R

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
f : α → E
hbdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ R
hn : {x | ‖f x‖ ≤ R} = ∅
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖μ[f | m] x‖ ≤ R
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ∞
val✝ : Fintype ι
hι : Nonempty ι
h✝ : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ < ∞
C : ℝ≥0∞ := (Finset.image (fun i ↦ eLpNorm (f i) p μ) Finset.univ).max' ⋯
i : ι
⊢ eLpNorm (f i) p μ ≤ C

pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ∞
val✝ : Fintype ι
hι : Nonempty ι
h✝ : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ < ∞
C : ℝ≥0∞ := (Finset.image (fun i ↦ eLpNorm (f i) p μ) Finset.univ).max' ⋯
i : ι
⊢ C ≠ ∞

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ∞
val✝ : Fintype ι
hι : Nonempty ι
h✝ : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ < ∞
C : ℝ≥0∞ := (Finset.image (fun i ↦ eLpNorm (f i) p μ) Finset.univ).max' ⋯
i : ι
⊢ eLpNorm (f i) p μ ≤ C
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ∞
val✝ : Fintype ι
hι : Nonempty ι
h✝ : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ < ∞
C : ℝ≥0∞ := (Finset.image (fun i ↦ eLpNorm (f i) p μ) Finset.univ).max' ⋯
i : ι
⊢ C ≠ ∞

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ∞
val✝ : Fintype ι
hι : Nonempty ι
h✝ : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ < ∞
C : ℝ≥0∞ := (Finset.image (fun i ↦ eLpNorm (f i) p μ) Finset.univ).max' ⋯
i : ι
⊢ C ≠ ∞
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.FiniteMeasure

Goal state before:
pp: case right
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f₁ f₂ : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ ↑(μ.testAgainstNN f₁) - ↑(μ.testAgainstNN f₂) ≤ ↑μ.mass * dist f₁ f₂

Tactic:
·

Goal state after:
case right
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f₁ f₂ : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ ↑(μ.testAgainstNN f₁) - ↑(μ.testAgainstNN f₂) ≤ ↑μ.mass * dist f₁ f₂
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Real

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ

pp: case neg
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : ¬NeZero μ
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Real

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
hp' : 0 < p
hm : ¬m ≤ m0
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ

pp: case neg
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ m0
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
hp' : 0 < p
hm : ¬m ≤ m0
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ∞
hf : ∀ (i : ι), MemLp (f i) p μ
val✝ : Fintype ι
hι : ¬Nonempty ι
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ∞
hf : ∀ (i : ι), MemLp (f i) p μ
val✝ : Fintype ι
hι : ¬Nonempty ι
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Real

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ m0
hsig : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ

pp: case neg
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ m0
hsig : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ m0
hsig : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Real

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ m0
hsig : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ m0
hsig : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Real

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ m0
hsig : SigmaFinite (μ.trim hm)
hpt : p ≠ ∞
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ

pp: case neg
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ m0
hsig : SigmaFinite (μ.trim hm)
hpt : p = ∞
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ m0
hsig : SigmaFinite (μ.trim hm)
hpt : p ≠ ∞
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal 1
i : ι
x : α
hx : x ∈ {x | ‖f i x‖₊ < C}
⊢ ‖f i x‖ₑ ≤ ‖f i x + {x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i) x‖ₑ

pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal 1
i : ι
x : α
hx : x ∉ {x | ‖f i x‖₊ < C}
⊢ ‖f i x‖ₑ ≤ ‖0 + {x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i) x‖ₑ

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal 1
i : ι
x : α
hx : x ∈ {x | ‖f i x‖₊ < C}
⊢ ‖f i x‖ₑ ≤ ‖f i x + {x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i) x‖ₑ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.ProbabilityMeasure

Goal state before:
pp: case refine_1
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
lim_mass : Tendsto (fun i ↦ (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
aux : {0}ᶜ ∈ 𝓝 μ.mass
eventually_nonzero : ∀ᶠ (i : γ) in F, μs i ≠ 0
eve : ∀ᶠ (i : γ) in F, (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f = (μs i).mass⁻¹ * (μs i).testAgainstNN f
⊢ Tendsto (fun n ↦ ((μs n).mass⁻¹, (μs n).testAgainstNN f).1) F (𝓝 (μ.mass⁻¹, μ.testAgainstNN f).1)

pp: case refine_2
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
lim_mass : Tendsto (fun i ↦ (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
aux : {0}ᶜ ∈ 𝓝 μ.mass
eventually_nonzero : ∀ᶠ (i : γ) in F, μs i ≠ 0
eve : ∀ᶠ (i : γ) in F, (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f = (μs i).mass⁻¹ * (μs i).testAgainstNN f
⊢ Tendsto (fun n ↦ ((μs n).mass⁻¹, (μs n).testAgainstNN f).2) F (𝓝 (μ.mass⁻¹, μ.testAgainstNN f).2)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
lim_mass : Tendsto (fun i ↦ (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
aux : {0}ᶜ ∈ 𝓝 μ.mass
eventually_nonzero : ∀ᶠ (i : γ) in F, μs i ≠ 0
eve : ∀ᶠ (i : γ) in F, (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f = (μs i).mass⁻¹ * (μs i).testAgainstNN f
⊢ Tendsto (fun n ↦ ((μs n).mass⁻¹, (μs n).testAgainstNN f).1) F (𝓝 (μ.mass⁻¹, μ.testAgainstNN f).1)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Real

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ m0
hsig : SigmaFinite (μ.trim hm)
hpt : p = ∞
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ m0
hsig : SigmaFinite (μ.trim hm)
hpt : p = ∞
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.ProbabilityMeasure

Goal state before:
pp: case refine_2
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
lim_mass : Tendsto (fun i ↦ (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
aux : {0}ᶜ ∈ 𝓝 μ.mass
eventually_nonzero : ∀ᶠ (i : γ) in F, μs i ≠ 0
eve : ∀ᶠ (i : γ) in F, (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f = (μs i).mass⁻¹ * (μs i).testAgainstNN f
⊢ Tendsto (fun n ↦ ((μs n).mass⁻¹, (μs n).testAgainstNN f).2) F (𝓝 (μ.mass⁻¹, μ.testAgainstNN f).2)

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
lim_mass : Tendsto (fun i ↦ (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
aux : {0}ᶜ ∈ 𝓝 μ.mass
eventually_nonzero : ∀ᶠ (i : γ) in F, μs i ≠ 0
eve : ∀ᶠ (i : γ) in F, (μs i).normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f = (μs i).mass⁻¹ * (μs i).testAgainstNN f
⊢ Tendsto (fun n ↦ ((μs n).mass⁻¹, (μs n).testAgainstNN f).2) F (𝓝 (μ.mass⁻¹, μ.testAgainstNN f).2)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Real

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ m0
hsig : SigmaFinite (μ.trim hm)
hpt : p = ∞
h : MemLp μ[f | m] ∞ μ
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ

pp: case neg
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ m0
hsig : SigmaFinite (μ.trim hm)
hpt : p = ∞
h : ¬MemLp μ[f | m] ∞ μ
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ m0
hsig : SigmaFinite (μ.trim hm)
hpt : p = ∞
h : MemLp μ[f | m] ∞ μ
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Real

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ m0
hsig : SigmaFinite (μ.trim hm)
hpt : p = ∞
h : ¬MemLp μ[f | m] ∞ μ
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : NeZero μ
hp' : 0 < p
hm : m ≤ m0
hsig : SigmaFinite (μ.trim hm)
hpt : p = ∞
h : ¬MemLp μ[f | m] ∞ μ
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal 1
i : ι
x : α
hx : x ∉ {x | ‖f i x‖₊ < C}
⊢ ‖f i x‖ₑ ≤ ‖0 + {x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i) x‖ₑ

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal 1
i : ι
x : α
hx : x ∉ {x | ‖f i x‖₊ < C}
⊢ ‖f i x‖ₑ ≤ ‖0 + {x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i) x‖ₑ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.ProbabilityMeasure

Goal state before:
pp: case mp
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
⊢ Tendsto (fun i ↦ (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize) ∧ Tendsto (fun i ↦ (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass) → Tendsto μs F (𝓝 μ)

pp: case mpr
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
⊢ Tendsto μs F (𝓝 μ) → Tendsto (fun i ↦ (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize) ∧ Tendsto (fun i ↦ (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
⊢ Tendsto (fun i ↦ (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize) ∧ Tendsto (fun i ↦ (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass) → Tendsto μs F (𝓝 μ)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.ProbabilityMeasure

Goal state before:
pp: case mpr
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
⊢ Tendsto μs F (𝓝 μ) → Tendsto (fun i ↦ (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize) ∧ Tendsto (fun i ↦ (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
⊢ Tendsto μs F (𝓝 μ) → Tendsto (fun i ↦ (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize) ∧ Tendsto (fun i ↦ (μs i).mass) F (𝓝 μ.mass)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Real

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : ¬NeZero μ
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
h✝ : ¬NeZero μ
⊢ lpNorm μ[f | m] p μ ≤ lpNorm f p μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Real

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
hp' : 0 < p
hpt : p ≠ ∞
⊢ MemLp μ[f | m] p μ

pp: case neg
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
hp' : 0 < p
hpt : p = ∞
⊢ MemLp μ[f | m] p μ

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
hp' : 0 < p
hpt : p ≠ ∞
⊢ MemLp μ[f | m] p μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.Real

Goal state before:
pp: case pos.refine_1
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
hp' : 0 < p
hpt : p ≠ ∞
hp : 1 ≤ p.toReal
this : (fun x ↦ ‖μ[f | m] x‖ ^ p.toReal) ≤ᵐ[μ] μ[fun x ↦ ‖f x‖ ^ p.toReal | m]
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x ↦ ‖μ[f | m] x‖ ^ p.toReal) μ

pp: case pos.refine_2
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
hp' : 0 < p
hpt : p ≠ ∞
hp : 1 ≤ p.toReal
this : (fun x ↦ ‖μ[f | m] x‖ ^ p.toReal) ≤ᵐ[μ] μ[fun x ↦ ‖f x‖ ^ p.toReal | m]
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ ‖μ[f | m] a‖ ^ p.toReal

Tactic:
·

Goal state after:
case pos.refine_1
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
hf : MemLp f p μ
hp' : 0 < p
hpt : p ≠ ∞
hp : 1 ≤ p.toReal
this : (fun x ↦ ‖μ[f | m] x‖ ^ p.toReal) ≤ᵐ[μ] μ[fun x ↦ ‖f x‖ ^ p.toReal | m]
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x ↦ ‖μ[f | m] x‖ ^ p.toReal) μ