mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Liouville.LiouvilleWith

Goal state before:
pp: case refine_2
p x : ℝ
r : ℚ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ |↑r| * (C / ↑n ^ p) = ↑|r| * (C / ↑n ^ p)

pp: case refine_2.hc
p x : ℝ
r : ℚ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ ↑r.den ^ p ≠ 0

pp: case refine_2.hx
p x : ℝ
r : ℚ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ 0 ≤ ↑r.den

pp: case refine_2.hy
p x : ℝ
r : ℚ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ 0 ≤ ↑n

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
p x : ℝ
r : ℚ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ |↑r| * (C / ↑n ^ p) = ↑|r| * (C / ↑n ^ p)
Module: Mathlib.NumberTheory.Wilson

Goal state before:
pp: case refine_1
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∀ a ∈ univ, (↑a).val ∈ Ico 1 (p - 1).succ

pp: case refine_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∀ a₁ ∈ univ, ∀ a₂ ∈ univ, (↑a₁).val = (↑a₂).val → a₁ = a₂

pp: case refine_3
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∀ b ∈ Ico 1 (p - 1).succ, ∃ a, ∃ (_ : a ∈ univ), (↑a).val = b

pp: case refine_4
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∀ a ∈ univ, ↑a = ↑(↑a).val

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∀ a ∈ univ, (↑a).val ∈ Ico 1 (p - 1).succ
Module: Mathlib.NumberTheory.Wilson

Goal state before:
pp: case refine_1.left
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
a : (ZMod p)ˣ
ha : a ∈ univ
⊢ 1 ≤ (↑a).val

pp: case refine_1.right
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
a : (ZMod p)ˣ
ha : a ∈ univ
⊢ (↑a).val < p

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.left
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
a : (ZMod p)ˣ
ha : a ∈ univ
⊢ 1 ≤ (↑a).val
Module: Mathlib.NumberTheory.Wilson

Goal state before:
pp: case refine_1.right
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
a : (ZMod p)ˣ
ha : a ∈ univ
⊢ (↑a).val < p

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1.right
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
a : (ZMod p)ˣ
ha : a ∈ univ
⊢ (↑a).val < p
Module: Mathlib.NumberTheory.Wilson

Goal state before:
pp: case refine_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∀ a₁ ∈ univ, ∀ a₂ ∈ univ, (↑a₁).val = (↑a₂).val → a₁ = a₂

pp: case refine_3
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∀ b ∈ Ico 1 (p - 1).succ, ∃ a, ∃ (_ : a ∈ univ), (↑a).val = b

pp: case refine_4
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∀ a ∈ univ, ↑a = ↑(↑a).val

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∀ a₁ ∈ univ, ∀ a₂ ∈ univ, (↑a₁).val = (↑a₂).val → a₁ = a₂
Module: Mathlib.NumberTheory.Wilson

Goal state before:
pp: case refine_3
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∀ b ∈ Ico 1 (p - 1).succ, ∃ a, ∃ (_ : a ∈ univ), (↑a).val = b

pp: case refine_4
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∀ a ∈ univ, ↑a = ↑(↑a).val

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∀ b ∈ Ico 1 (p - 1).succ, ∃ a, ∃ (_ : a ∈ univ), (↑a).val = b
Module: Mathlib.NumberTheory.Wilson

Goal state before:
pp: case refine_3.refine_1
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
b : ℕ
hb : b ≠ 0 ∧ b < p
⊢ ↑b ≠ 0

pp: case refine_3.refine_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
b : ℕ
hb : b ≠ 0 ∧ b < p
⊢ (↑(Units.mk0 ↑b ?refine_3.refine_1)).val = b

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3.refine_1
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
b : ℕ
hb : b ≠ 0 ∧ b < p
⊢ ↑b ≠ 0
Module: Mathlib.NumberTheory.Wilson

Goal state before:
pp: case refine_3.refine_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
b : ℕ
hb : b ≠ 0 ∧ b < p
⊢ (↑(Units.mk0 ↑b ⋯)).val = b

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3.refine_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
b : ℕ
hb : b ≠ 0 ∧ b < p
⊢ (↑(Units.mk0 ↑b ⋯)).val = b
Module: Mathlib.NumberTheory.Wilson

Goal state before:
pp: case refine_4
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∀ a ∈ univ, ↑a = ↑(↑a).val

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_4
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : 0 < p
⊢ ∀ a ∈ univ, ↑a = ↑(↑a).val
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Liouville.Measure

Goal state before:
pp: p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ 0 ≤ a ∧ a ≤ ↑b

Tactic:
← Int.lt_add_one_iff,

Goal state after:
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ 0 < a + 1 ∧ a ≤ ↑b
Module: Mathlib.NumberTheory.Wilson

Goal state before:
pp: case inl
h : ↑(0 - 1)! = -1
h1 : 0 ≠ 1
⊢ Prime 0

pp: case inr
n : ℕ
h : ↑(n - 1)! = -1
h1 : n ≠ 1
h0 : n ≠ 0
⊢ Prime n

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
h : ↑(0 - 1)! = -1
h1 : 0 ≠ 1
⊢ Prime 0
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Liouville.Measure

Goal state before:
pp: p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ 0 < a + 1 ∧ a ≤ ↑b

Tactic:
← Int.lt_add_one_iff,

Goal state after:
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ 0 < a + 1 ∧ a < ↑b + 1
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Liouville.Measure

Goal state before:
pp: case refine_1
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ -1 ≤ x * ↑b - 1

pp: case refine_2
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ 1 + x * ↑b ≤ 1 + ↑b

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ -1 ≤ x * ↑b - 1
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Liouville.Measure

Goal state before:
pp: case refine_2
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ 1 + x * ↑b ≤ 1 + ↑b

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
p : ℝ
hp : p > 2
n : ℕ
hn : 2 + 1 / (↑n + 1) < p
x : ℝ
hxp : LiouvilleWith p x
hx01 : x ∈ Ico 0 1
b : ℕ
a : ℤ
hb : 1 ≤ ↑b
hb0 : 0 < ↑b
hlt : x * ↑b - 1 < ↑a ∧ ↑a < 1 + x * ↑b
⊢ 1 + x * ↑b ≤ 1 + ↑b
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Liouville.LiouvilleWith

Goal state before:
pp: case inl
p : ℝ
hp : 1 < p
h : LiouvilleWith p ↑0
⊢ False

pp: case inr
p : ℝ
hp : 1 < p
r : ℚ
h : LiouvilleWith p ↑r
h0 : r ≠ 0
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
p : ℝ
hp : 1 < p
h : LiouvilleWith p ↑0
⊢ False
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Liouville.LiouvilleWith

Goal state before:
pp: case inr
p : ℝ
hp : 1 < p
r : ℚ
h : LiouvilleWith p ↑r
h0 : r ≠ 0
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
p : ℝ
hp : 1 < p
r : ℚ
h : LiouvilleWith p ↑r
h0 : r ≠ 0
⊢ False
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Liouville.LiouvilleWith

Goal state before:
pp: case inl
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → ∀ (a : ℤ), x ≠ ↑a / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑a / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
m : ℕ
hm : ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
hnm : n ≤ m
a : ℤ
b : ℕ
hb : 1 < b
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ m
h : N ≤ b
⊢ False

pp: case inr
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → ∀ (a : ℤ), x ≠ ↑a / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑a / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
m : ℕ
hm : ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
hnm : n ≤ m
a : ℤ
b : ℕ
hb : 1 < b
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ m
h : b < N
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → ∀ (a : ℤ), x ≠ ↑a / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑a / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
m : ℕ
hm : ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
hnm : n ≤ m
a : ℤ
b : ℕ
hb : 1 < b
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ m
h : N ≤ b
⊢ False
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Liouville.LiouvilleWith

Goal state before:
pp: case inr
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → ∀ (a : ℤ), x ≠ ↑a / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑a / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
m : ℕ
hm : ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
hnm : n ≤ m
a : ℤ
b : ℕ
hb : 1 < b
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ m
h : b < N
⊢ False

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → ∀ (a : ℤ), x ≠ ↑a / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑a / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
m : ℕ
hm : ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
hnm : n ≤ m
a : ℤ
b : ℕ
hb : 1 < b
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ m
h : b < N
⊢ False
Module: Mathlib.NumberTheory.WellApproximable

Goal state before:
pp: case refine_1
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
n : ℕ
δ : ℝ
hn : 0 < n
han : ∀ {b : A}, orderOf b = n → orderOf (a * b) = n
f : ↑{b | orderOf b = n} → ↑{b | orderOf b = n} := fun b ↦ ⟨a * ↑b, ⋯⟩
b : A
hb : b ∈ {b | orderOf b = n}
⊢ a⁻¹ * b ∈ {b | orderOf b = n}

pp: case refine_2
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
n : ℕ
δ : ℝ
hn : 0 < n
han : ∀ {b : A}, orderOf b = n → orderOf (a * b) = n
f : ↑{b | orderOf b = n} → ↑{b | orderOf b = n} := fun b ↦ ⟨a * ↑b, ⋯⟩
b : A
hb : b ∈ {b | orderOf b = n}
⊢ f ⟨a⁻¹ * b, ?refine_1⟩ = ⟨b, hb⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
n : ℕ
δ : ℝ
hn : 0 < n
han : ∀ {b : A}, orderOf b = n → orderOf (a * b) = n
f : ↑{b | orderOf b = n} → ↑{b | orderOf b = n} := fun b ↦ ⟨a * ↑b, ⋯⟩
b : A
hb : b ∈ {b | orderOf b = n}
⊢ a⁻¹ * b ∈ {b | orderOf b = n}
Module: Mathlib.NumberTheory.WellApproximable

Goal state before:
pp: case refine_2
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
n : ℕ
δ : ℝ
hn : 0 < n
han : ∀ {b : A}, orderOf b = n → orderOf (a * b) = n
f : ↑{b | orderOf b = n} → ↑{b | orderOf b = n} := fun b ↦ ⟨a * ↑b, ⋯⟩
b : A
hb : b ∈ {b | orderOf b = n}
⊢ f ⟨a⁻¹ * b, ⋯⟩ = ⟨b, hb⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
n : ℕ
δ : ℝ
hn : 0 < n
han : ∀ {b : A}, orderOf b = n → orderOf (a * b) = n
f : ↑{b | orderOf b = n} → ↑{b | orderOf b = n} := fun b ↦ ⟨a * ↑b, ⋯⟩
b : A
hb : b ∈ {b | orderOf b = n}
⊢ f ⟨a⁻¹ * b, ⋯⟩ = ⟨b, hb⟩
Module: Mathlib.NumberTheory.WellApproximable

Goal state before:
pp: case mp
δ : ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (∃ b, (∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n) = b) ∧ ‖x - b‖ < δ) → ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ

pp: case mpr
δ : ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ) → ∃ b, (∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n) = b) ∧ ‖x - b‖ < δ

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
δ : ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (∃ b, (∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n) = b) ∧ ‖x - b‖ < δ) → ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ
Module: Mathlib.NumberTheory.WellApproximable

Goal state before:
pp: case mpr
δ : ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ) → ∃ b, (∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n) = b) ∧ ‖x - b‖ < δ

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
δ : ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ) → ∃ b, (∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n) = b) ∧ ‖x - b‖ < δ
Module: Mathlib.NumberTheory.WellApproximable

Goal state before:
pp: case refine_1
δ : ℕ → ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : n ∈ {n | 0 < n ∧ x ∈ approxAddOrderOf UnitAddCircle n (δ n)}
⊢ n ∈ {n | ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ n}

pp: case refine_2
δ : ℕ → ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : n ∈ {n | ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ n}
⊢ n ∈ {n | 0 < n ∧ x ∈ approxAddOrderOf UnitAddCircle n (δ n)}

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
δ : ℕ → ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : n ∈ {n | 0 < n ∧ x ∈ approxAddOrderOf UnitAddCircle n (δ n)}
⊢ n ∈ {n | ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ n}
Module: Mathlib.NumberTheory.WellApproximable

Goal state before:
pp: case refine_2
δ : ℕ → ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : n ∈ {n | ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ n}
⊢ n ∈ {n | 0 < n ∧ x ∈ approxAddOrderOf UnitAddCircle n (δ n)}

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
δ : ℕ → ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : n ∈ {n | ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ n}
⊢ n ∈ {n | 0 < n ∧ x ∈ approxAddOrderOf UnitAddCircle n (δ n)}
Module: Mathlib.Order.CompleteSublattice

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
carrier : Set α
sSupClosed' : ∀ ⦃s : Set α⦄, s ⊆ carrier → sSup s ∈ carrier
sInfClosed' : ∀ ⦃s : Set α⦄, s ⊆ carrier → sInf s ∈ carrier
x : α
hx : x ∈ carrier
y : α
hy : y ∈ carrier
this : x ⊔ y = sSup {x, y}
⊢ x ⊔ y ∈ carrier

Tactic:
by exact this ▸ sSupClosed' (fun z hz ↦ by aesop)

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.CompleteLattice.PiLex

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : (i : ι) → CompleteLinearOrder (α i)
inst✝ : WellFoundedLT ι
s : Set (Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i))
e : Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i)
he : e ∈ s
⊢ sInf s ≤ e

pp: case refine_2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : (i : ι) → CompleteLinearOrder (α i)
inst✝ : WellFoundedLT ι
s : Set (Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i))
e : Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i)
h : e ∈ lowerBounds s
⊢ e ≤ sInf s

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : (i : ι) → CompleteLinearOrder (α i)
inst✝ : WellFoundedLT ι
s : Set (Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i))
e : Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i)
he : e ∈ s
⊢ sInf s ≤ e
Module: Mathlib.Order.CompleteLattice.PiLex

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : (i : ι) → CompleteLinearOrder (α i)
inst✝ : WellFoundedLT ι
s : Set (Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i))
e : Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i)
h : e ∈ lowerBounds s
⊢ e ≤ sInf s

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : (i : ι) → CompleteLinearOrder (α i)
inst✝ : WellFoundedLT ι
s : Set (Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i))
e : Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i)
h : e ∈ lowerBounds s
⊢ e ≤ sInf s
Module: Mathlib.Order.CompleteLattice.PiLex

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : (i : ι) → CompleteLinearOrder (α i)
inst✝ : WellFoundedLT ι
s : Set (Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i))
e : Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i)
he : e ∈ s
⊢ e ≤ sSup s

pp: case refine_2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : (i : ι) → CompleteLinearOrder (α i)
inst✝ : WellFoundedLT ι
s : Set (Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i))
e : Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i)
h : e ∈ upperBounds s
⊢ sSup s ≤ e

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : (i : ι) → CompleteLinearOrder (α i)
inst✝ : WellFoundedLT ι
s : Set (Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i))
e : Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i)
he : e ∈ s
⊢ e ≤ sSup s
Module: Mathlib.Order.CompleteLattice.PiLex

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : (i : ι) → CompleteLinearOrder (α i)
inst✝ : WellFoundedLT ι
s : Set (Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i))
e : Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i)
h : e ∈ upperBounds s
⊢ sSup s ≤ e

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : (i : ι) → CompleteLinearOrder (α i)
inst✝ : WellFoundedLT ι
s : Set (Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i))
e : Lex ((i : ι) → (fun i ↦ α i) i)
h : e ∈ upperBounds s
⊢ sSup s ≤ e
Module: Mathlib.Order.CompleteSublattice

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
L : CompleteSublattice α
x✝ : ComplementedLattice ↥L
a : α
ha : a ∈ L
h : ∀ (a : ↥L), ∃ b, IsCompl a b
⊢ ∃ b ∈ L, IsCompl a b

pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
L : CompleteSublattice α
h : ∀ a ∈ L, ∃ b ∈ L, IsCompl a b
x✝ : ↥L
a : α
ha : a ∈ L
⊢ ∃ b, IsCompl ⟨a, ha⟩ b

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
L : CompleteSublattice α
x✝ : ComplementedLattice ↥L
a : α
ha : a ∈ L
h : ∀ (a : ↥L), ∃ b, IsCompl a b
⊢ ∃ b ∈ L, IsCompl a b
Module: Mathlib.Order.CompleteSublattice

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
L : CompleteSublattice α
h : ∀ a ∈ L, ∃ b ∈ L, IsCompl a b
x✝ : ↥L
a : α
ha : a ∈ L
⊢ ∃ b, IsCompl ⟨a, ha⟩ b

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
L : CompleteSublattice α
h : ∀ a ∈ L, ∃ b ∈ L, IsCompl a b
x✝ : ↥L
a : α
ha : a ∈ L
⊢ ∃ b, IsCompl ⟨a, ha⟩ b
Module: Mathlib.Order.Concept

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
c d : Concept α β r
h : c.intent ⊆ d.intent
⊢ d ≤ c

pp: case refine_2
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
c d : Concept α β r
h : d ≤ c
⊢ c.intent ⊆ d.intent

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
c d : Concept α β r
h : c.intent ⊆ d.intent
⊢ d ≤ c
Module: Mathlib.Order.Concept

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
c d : Concept α β r
h : d ≤ c
⊢ c.intent ⊆ d.intent

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_2
β : Type u_3
r : α → β → Prop
c d : Concept α β r
h : d ≤ c
⊢ c.intent ⊆ d.intent
Module: Mathlib.Order.Concept

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_6
inst✝ : PartialOrder α
c : Concept α α fun x1 x2 ↦ x1 < x2
b : α
hb : b ≤ b
ha : b ∈ c.extent
⊢ b ∈ c.extent

pp: case inr
α : Type u_6
inst✝ : PartialOrder α
c : Concept α α fun x1 x2 ↦ x1 < x2
a b : α
hb✝ : b ≤ a
ha : a ∈ c.extent
hb : b < a
⊢ b ∈ c.extent

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_6
inst✝ : PartialOrder α
c : Concept α α fun x1 x2 ↦ x1 < x2
b : α
hb : b ≤ b
ha : b ∈ c.extent
⊢ b ∈ c.extent
Module: Mathlib.Order.Concept

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_6
inst✝ : PartialOrder α
c : Concept α α fun x1 x2 ↦ x1 < x2
a b : α
hb✝ : b ≤ a
ha : a ∈ c.extent
hb : b < a
⊢ b ∈ c.extent

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_6
inst✝ : PartialOrder α
c : Concept α α fun x1 x2 ↦ x1 < x2
a b : α
hb✝ : b ≤ a
ha : a ∈ c.extent
hb : b < a
⊢ b ∈ c.extent
Module: Mathlib.Order.Concept

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_6
inst✝ : PartialOrder α
c : Concept α α fun x1 x2 ↦ x1 < x2
a : α
ha : a ∈ c.intent
hb : a ≤ a
⊢ a ∈ c.intent

pp: case inr
α : Type u_6
inst✝ : PartialOrder α
c : Concept α α fun x1 x2 ↦ x1 < x2
a b : α
hb✝ : a ≤ b
ha : a ∈ c.intent
hb : a < b
⊢ b ∈ c.intent

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
α : Type u_6
inst✝ : PartialOrder α
c : Concept α α fun x1 x2 ↦ x1 < x2
a : α
ha : a ∈ c.intent
hb : a ≤ a
⊢ a ∈ c.intent
Module: Mathlib.Order.Concept

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_6
inst✝ : PartialOrder α
c : Concept α α fun x1 x2 ↦ x1 < x2
a b : α
hb✝ : a ≤ b
ha : a ∈ c.intent
hb : a < b
⊢ b ∈ c.intent

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
α : Type u_6
inst✝ : PartialOrder α
c : Concept α α fun x1 x2 ↦ x1 < x2
a b : α
hb✝ : a ≤ b
ha : a ∈ c.intent
hb : a < b
⊢ b ∈ c.intent
Module: Mathlib.Order.Concept

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Sort u_5
r : α → β → Prop
s✝ : Set α
t : Set β
a : α
b : β
r' : α → α → Prop
c d : Concept α β r
c' : Concept α α r'
s : Set (Concept α β r)
x✝ : Concept α β r
hc : x✝ ∈ s
⊢ x✝ ≤ sSup s

pp: case refine_2
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Sort u_5
r : α → β → Prop
s✝ : Set α
t : Set β
a : α
b : β
r' : α → α → Prop
c d : Concept α β r
c' : Concept α α r'
s : Set (Concept α β r)
x✝ : Concept α β r
hc : x✝ ∈ upperBounds s
⊢ sSup s ≤ x✝

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Sort u_5
r : α → β → Prop
s✝ : Set α
t : Set β
a : α
b : β
r' : α → α → Prop
c d : Concept α β r
c' : Concept α α r'
s : Set (Concept α β r)
x✝ : Concept α β r
hc : x✝ ∈ s
⊢ x✝ ≤ sSup s
Module: Mathlib.Order.Concept

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Sort u_5
r : α → β → Prop
s✝ : Set α
t : Set β
a : α
b : β
r' : α → α → Prop
c d : Concept α β r
c' : Concept α α r'
s : Set (Concept α β r)
x✝ : Concept α β r
hc : x✝ ∈ upperBounds s
⊢ sSup s ≤ x✝

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Sort u_5
r : α → β → Prop
s✝ : Set α
t : Set β
a : α
b : β
r' : α → α → Prop
c d : Concept α β r
c' : Concept α α r'
s : Set (Concept α β r)
x✝ : Concept α β r
hc : x✝ ∈ upperBounds s
⊢ sSup s ≤ x✝
Module: Mathlib.Order.Extension.Linear

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsPartialOrder α r
S : Set (α → α → Prop) := {s | IsPartialOrder α s}
c : Set (α → α → Prop)
hc₁ : c ⊆ S
hc₂ : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
s : α → α → Prop
hs : s ∈ c
this : IsPreorder α s
⊢ ∀ (a : α), ∃ r ∈ c, r a a

pp: case refine_2
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsPartialOrder α r
S : Set (α → α → Prop) := {s | IsPartialOrder α s}
c : Set (α → α → Prop)
hc₁ : c ⊆ S
hc₂ : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
s : α → α → Prop
hs : s ∈ c
this : IsPreorder α s
⊢ ∀ (a b c_1 : α), (∃ r ∈ c, r a b) → (∃ r ∈ c, r b c_1) → ∃ r ∈ c, r a c_1

pp: case refine_3
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsPartialOrder α r
S : Set (α → α → Prop) := {s | IsPartialOrder α s}
c : Set (α → α → Prop)
hc₁ : c ⊆ S
hc₂ : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
s : α → α → Prop
hs : s ∈ c
this : IsPreorder α s
⊢ ∀ (a b : α), (∃ r ∈ c, r a b) → (∃ r ∈ c, r b a) → a = b

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsPartialOrder α r
S : Set (α → α → Prop) := {s | IsPartialOrder α s}
c : Set (α → α → Prop)
hc₁ : c ⊆ S
hc₂ : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
s : α → α → Prop
hs : s ∈ c
this : IsPreorder α s
⊢ ∀ (a : α), ∃ r ∈ c, r a a