mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Add

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ f y + g y) s x = derivWithin f s x + derivWithin g s x

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ f y + g y) s x = derivWithin f s x + derivWithin g s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Mul

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝔸 : Type u_3
inst✝¹ : NormedRing 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
d : 𝕜 → 𝔸
c : 𝔸
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 d s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ c * d y) s x = c * derivWithin d s x

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
𝔸 : Type u_3
inst✝¹ : NormedRing 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
d : 𝕜 → 𝔸
c : 𝔸
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 d s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ c * d y) s x = c * derivWithin d s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Add

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
h : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (A i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ ∑ i ∈ u, A i y) s x = ∑ i ∈ u, derivWithin (A i) s x

pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
h : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (A i) s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ ∑ i ∈ u, A i y) s x = ∑ i ∈ u, derivWithin (A i) s x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
h : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (A i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ ∑ i ∈ u, A i y) s x = ∑ i ∈ u, derivWithin (A i) s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Add

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
h : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (A i) s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ ∑ i ∈ u, A i y) s x = ∑ i ∈ u, derivWithin (A i) s x

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
h : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (A i) s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ ∑ i ∈ u, A i y) s x = ∑ i ∈ u, derivWithin (A i) s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Add

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
h : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (A i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (∑ i ∈ u, A i) s x = ∑ i ∈ u, derivWithin (A i) s x

pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
h : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (A i) s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (∑ i ∈ u, A i) s x = ∑ i ∈ u, derivWithin (A i) s x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
h : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (A i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (∑ i ∈ u, A i) s x = ∑ i ∈ u, derivWithin (A i) s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Add

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
h : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (A i) s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (∑ i ∈ u, A i) s x = ∑ i ∈ u, derivWithin (A i) s x

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
u : Finset ι
A : ι → 𝕜 → F
h : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (A i) s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (∑ i ∈ u, A i) s x = ∑ i ∈ u, derivWithin (A i) s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Add

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (-f) s x = -derivWithin f s x

pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (-f) s x = -derivWithin f s x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (-f) s x = -derivWithin f s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Add

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (-f) s x = -derivWithin f s x

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (-f) s x = -derivWithin f s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x (n + 1) r
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fun z ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) p.derivSeries
    x n r

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x (n + 1) r
z : E
hz : z ∈ Metric.eball x r
⊢ (fun z ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) z = fderiv 𝕜 f z

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x (n + 1) r
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fun z ↦ (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOrigin (z - x) 1)) p.derivSeries
    x n r
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Mul

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (f i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x ↦ ∏ i ∈ u, f i x) s x = ∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, f j x) • derivWithin (f i) s x

pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (f i) s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x ↦ ∏ i ∈ u, f i x) s x = ∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, f j x) • derivWithin (f i) s x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (f i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x ↦ ∏ i ∈ u, f i x) s x = ∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, f j x) • derivWithin (f i) s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Add

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
a : 𝕜
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun x ↦ f (-x)) a ↔ DifferentiableAt 𝕜 f (-a)

Tactic:
refine ⟨fun H ↦ ?_, fun H ↦ H.comp a differentiable_neg.differentiableAt⟩
  convert! ((neg_neg a).symm ▸ H).comp (-a) differentiable_neg.differentiableAt
  ext
  simp only [Function.comp_apply, neg_neg]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Mul

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (f i) s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x ↦ ∏ i ∈ u, f i x) s x = ∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, f j x) • derivWithin (f i) s x

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, DifferentiableWithinAt 𝕜 (f i) s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x ↦ ∏ i ∈ u, f i x) s x = ∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, f j x) • derivWithin (f i) s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x (0 - 1) r

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
hn : n ≠ 0
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x (n - 1) r

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x (0 - 1) r
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case inl.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
y : E
hy : y ∈ Metric.eball x r
⊢ fderiv 𝕜 f y = 0

pp: case inl.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
n : ℕ
⊢ p.derivSeries n = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
y : E
hy : y ∈ Metric.eball x r
⊢ fderiv 𝕜 f y = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case inl.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
y : E
hy : y ∈ Metric.eball x r
⊢ fderiv 𝕜 (fun x ↦ 0) y = 0

pp: case inl.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
y : E
hy : y ∈ Metric.eball x r
⊢ f =ᶠ[𝓝 y] fun x ↦ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
y : E
hy : y ∈ Metric.eball x r
⊢ fderiv 𝕜 (fun x ↦ 0) y = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case inl.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
y : E
hy : y ∈ Metric.eball x r
⊢ f =ᶠ[𝓝 y] fun x ↦ 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
y : E
hy : y ∈ Metric.eball x r
⊢ f =ᶠ[𝓝 y] fun x ↦ 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case inl.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
n : ℕ
⊢ p.derivSeries n = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
n : ℕ
⊢ p.derivSeries n = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
hn : n ≠ 0
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x (n - 1) r

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
hn : n ≠ 0
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fderiv 𝕜 f) p.derivSeries x (n - 1) r
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Mul

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
s : Set 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 d s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ c y ∘SL d y) s x = derivWithin c s x ∘SL d x + c x ∘SL derivWithin d s x

pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
s : Set 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 d s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ c y ∘SL d y) s x = derivWithin c s x ∘SL d x + c x ∘SL derivWithin d s x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
s : Set 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 d s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ c y ∘SL d y) s x = derivWithin c s x ∘SL d x + c x ∘SL derivWithin d s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Mul

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
s : Set 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 d s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ c y ∘SL d y) s x = derivWithin c s x ∘SL d x + c x ∘SL derivWithin d s x

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
s : Set 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 d s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ c y ∘SL d y) s x = derivWithin c s x ∘SL d x + c x ∘SL derivWithin d s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Mul

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → F
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hu : DifferentiableWithinAt 𝕜 u s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ (c y) (u y)) s x = (derivWithin c s x) (u x) + (c x) (derivWithin u s x)

pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → F
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hu : DifferentiableWithinAt 𝕜 u s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ (c y) (u y)) s x = (derivWithin c s x) (u x) + (c x) (derivWithin u s x)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → F
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hu : DifferentiableWithinAt 𝕜 u s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ (c y) (u y)) s x = (derivWithin c s x) (u x) + (c x) (derivWithin u s x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Mul

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → F
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hu : DifferentiableWithinAt 𝕜 u s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ (c y) (u y)) s x = (derivWithin c s x) (u x) + (c x) (derivWithin u s x)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → F
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
hu : DifferentiableWithinAt 𝕜 u s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun y ↦ (c y) (u y)) s x = (derivWithin c s x) (u x) + (c x) (derivWithin u s x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : IsEmpty ι
⊢ (∑' (n : ℕ), (f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeries 1 n) fun x_1 ↦ x) (Fin.snoc 0 y) =
    ∑ i, f (Function.update x i (y i))

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : Nonempty ι
⊢ (∑' (n : ℕ), (f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeries 1 n) fun x_1 ↦ x) (Fin.snoc 0 y) =
    ∑ i, f (Function.update x i (y i))

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : DecidableEq ι
y : (i : ι) → E i
h✝ : IsEmpty ι
⊢ (∑' (n : ℕ), (f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeries 1 n) fun x_1 ↦ x) (Fin.snoc 0 y) =
    ∑ i, f (Function.update x i (y i))