mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case inl
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
⊢ ↑(Ideal.span {0}) = {y | v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) 0)}

pp: case inr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
x : O
hx : x ≠ 0
⊢ ↑(Ideal.span {x}) = {y | v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) x)}

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
⊢ ↑(Ideal.span {0}) = {y | v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) 0)}
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case inl
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝² : CommRing O
inst✝¹ : Algebra O F
hv : v.Integers O
inst✝ : Subsingleton (↥(MonoidHom.mrange v))ˣ
⊢ v 0 ≤ 1

pp: case inr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝² : CommRing O
inst✝¹ : Algebra O F
hv : v.Integers O
inst✝ : Subsingleton (↥(MonoidHom.mrange v))ˣ
x : F
hx : x ≠ 0
⊢ v x ≤ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝² : CommRing O
inst✝¹ : Algebra O F
hv : v.Integers O
inst✝ : Subsingleton (↥(MonoidHom.mrange v))ˣ
⊢ v 0 ≤ 1
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case inr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝² : CommRing O
inst✝¹ : Algebra O F
hv : v.Integers O
inst✝ : Subsingleton (↥(MonoidHom.mrange v))ˣ
x : F
hx : x ≠ 0
⊢ v x ≤ 1

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝² : CommRing O
inst✝¹ : Algebra O F
hv : v.Integers O
inst✝ : Subsingleton (↥(MonoidHom.mrange v))ˣ
x : F
hx : x ≠ 0
⊢ v x ≤ 1
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case mp
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : I = O ∙ x
⊢ ∃ x, IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) x

pp: case mpr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : Γ₀
hx : IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) x
⊢ Submodule.IsPrincipal I

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : I = O ∙ x
⊢ ∃ x, IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) x
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case mp.refine_1
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : I = O ∙ x
⊢ (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) x ∈ ⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I

pp: case mp.refine_2
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : I = O ∙ x
⊢ (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) x ∈ upperBounds (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I)

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.refine_1
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : I = O ∙ x
⊢ (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) x ∈ ⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case mp.refine_2
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : I = O ∙ x
⊢ (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) x ∈ upperBounds (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I)

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.refine_2
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : I = O ∙ x
⊢ (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) x ∈ upperBounds (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case mpr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : Γ₀
hx : IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) x
⊢ Submodule.IsPrincipal I

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : Γ₀
hx : IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) x
⊢ Submodule.IsPrincipal I
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: case mk.mk.mk.inl
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a✝ : ValueGroup A K
a : K
ha : ¬Quot.mk (⇑(MulAction.orbitRel Aˣ K)) a ≤ 0
b✝ : ValueGroup A K
b : K
c✝ : ValueGroup A K
d : A
⊢ Quot.mk (⇑(MulAction.orbitRel Aˣ K)) ((algebraMap A K) d * b) ≤ Quot.mk (⇑(MulAction.orbitRel Aˣ K)) b

pp: case mk.mk.mk.inr
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a✝ b✝ : ValueGroup A K
b : K
c✝ : ValueGroup A K
c : K
d : A
ha : ¬Quot.mk (⇑(MulAction.orbitRel Aˣ K)) 0 ≤ 0
⊢ Quot.mk (⇑(MulAction.orbitRel Aˣ K)) c ≤ Quot.mk (⇑(MulAction.orbitRel Aˣ K)) b

Tactic:
·

Goal state after:
case mk.mk.mk.inl
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a✝ : ValueGroup A K
a : K
ha : ¬Quot.mk (⇑(MulAction.orbitRel Aˣ K)) a ≤ 0
b✝ : ValueGroup A K
b : K
c✝ : ValueGroup A K
d : A
⊢ Quot.mk (⇑(MulAction.orbitRel Aˣ K)) ((algebraMap A K) d * b) ≤ Quot.mk (⇑(MulAction.orbitRel Aˣ K)) b
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: case mk.mk.mk.inr
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a✝ b✝ : ValueGroup A K
b : K
c✝ : ValueGroup A K
c : K
d : A
ha : ¬Quot.mk (⇑(MulAction.orbitRel Aˣ K)) 0 ≤ 0
⊢ Quot.mk (⇑(MulAction.orbitRel Aˣ K)) c ≤ Quot.mk (⇑(MulAction.orbitRel Aˣ K)) b

Tactic:
·

Goal state after:
case mk.mk.mk.inr
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a✝ b✝ : ValueGroup A K
b : K
c✝ : ValueGroup A K
c : K
d : A
ha : ¬Quot.mk (⇑(MulAction.orbitRel Aˣ K)) 0 ≤ 0
⊢ Quot.mk (⇑(MulAction.orbitRel Aˣ K)) c ≤ Quot.mk (⇑(MulAction.orbitRel Aˣ K)) b
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Module S M
J : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
hIJ : Ideal.map (algebraMap R S) I ≤ J
inst✝ : IsHausdorff J M
x : M
h : ∀ (n : ℕ), x ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]
n : ℕ
⊢ (I ^ n • ⊤).toAddSubgroup ≤ (J ^ n • ⊤).toAddSubgroup

pp: case hxy
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Module S M
J : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
hIJ : Ideal.map (algebraMap R S) I ≤ J
inst✝ : IsHausdorff J M
x : M
h : ∀ (n : ℕ), x ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]
n : ℕ
⊢ x ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]

Tactic:
·

Goal state after:
case h
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Module S M
J : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
hIJ : Ideal.map (algebraMap R S) I ≤ J
inst✝ : IsHausdorff J M
x : M
h : ∀ (n : ℕ), x ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]
n : ℕ
⊢ (I ^ n • ⊤).toAddSubgroup ≤ (J ^ n • ⊤).toAddSubgroup
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case mp
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : Γ₀
hx : IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) x
⊢ ∃ x, ↑I = {y | v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) x)}

pp: case mpr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : ↑I = {y | v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) x)}
⊢ ∃ x, IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) x

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : Γ₀
hx : IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) x
⊢ ∃ x, ↑I = {y | v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) x)}
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: case inl
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
xa ya : A
hya : ya ∈ nonZeroDivisors A
xb yb : A
hyb : yb ∈ nonZeroDivisors A
this✝ : (algebraMap A K) ya ≠ 0
this : (algebraMap A K) yb ≠ 0
c : A
h : xa * yb * c = xb * ya
⊢ Quotient.mk'' ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya + (algebraMap A K) xb / (algebraMap A K) yb) ≤
    max (Quotient.mk'' ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya))
      (Quotient.mk'' ((algebraMap A K) xb / (algebraMap A K) yb))

pp: case inr
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
xa ya : A
hya : ya ∈ nonZeroDivisors A
xb yb : A
hyb : yb ∈ nonZeroDivisors A
this✝ : (algebraMap A K) ya ≠ 0
this : (algebraMap A K) yb ≠ 0
c : A
h : xb * ya * c = xa * yb
⊢ Quotient.mk'' ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya + (algebraMap A K) xb / (algebraMap A K) yb) ≤
    max (Quotient.mk'' ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya))
      (Quotient.mk'' ((algebraMap A K) xb / (algebraMap A K) yb))

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
xa ya : A
hya : ya ∈ nonZeroDivisors A
xb yb : A
hyb : yb ∈ nonZeroDivisors A
this✝ : (algebraMap A K) ya ≠ 0
this : (algebraMap A K) yb ≠ 0
c : A
h : xa * yb * c = xb * ya
⊢ Quotient.mk'' ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya + (algebraMap A K) xb / (algebraMap A K) yb) ≤
    max (Quotient.mk'' ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya))
      (Quotient.mk'' ((algebraMap A K) xb / (algebraMap A K) yb))
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: case hxy
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Module S M
J : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
hIJ : Ideal.map (algebraMap R S) I ≤ J
inst✝ : IsHausdorff J M
x : M
h : ∀ (n : ℕ), x ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]
n : ℕ
⊢ x ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]

Tactic:
·

Goal state after:
case hxy
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Module S M
J : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
hIJ : Ideal.map (algebraMap R S) I ≤ J
inst✝ : IsHausdorff J M
x : M
h : ∀ (n : ℕ), x ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]
n : ℕ
⊢ x ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: case inr
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
xa ya : A
hya : ya ∈ nonZeroDivisors A
xb yb : A
hyb : yb ∈ nonZeroDivisors A
this✝ : (algebraMap A K) ya ≠ 0
this : (algebraMap A K) yb ≠ 0
c : A
h : xb * ya * c = xa * yb
⊢ Quotient.mk'' ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya + (algebraMap A K) xb / (algebraMap A K) yb) ≤
    max (Quotient.mk'' ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya))
      (Quotient.mk'' ((algebraMap A K) xb / (algebraMap A K) yb))

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
xa ya : A
hya : ya ∈ nonZeroDivisors A
xb yb : A
hyb : yb ∈ nonZeroDivisors A
this✝ : (algebraMap A K) ya ≠ 0
this : (algebraMap A K) yb ≠ 0
c : A
h : xb * ya * c = xa * yb
⊢ Quotient.mk'' ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya + (algebraMap A K) xb / (algebraMap A K) yb) ≤
    max (Quotient.mk'' ((algebraMap A K) xa / (algebraMap A K) ya))
      (Quotient.mk'' ((algebraMap A K) xb / (algebraMap A K) yb))
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case mp.mp
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
a : O
ha : a ∈ I
hx : IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) ((⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) a)
b : O
h : b ∈ I
⊢ v ((algebraMap O F) b) ≤ v ((algebraMap O F) a)

pp: case mp.mpr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
a : O
ha : a ∈ I
hx : IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) ((⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) a)
b : O
h : v ((algebraMap O F) b) ≤ v ((algebraMap O F) a)
⊢ b ∈ I

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.mp
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
a : O
ha : a ∈ I
hx : IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) ((⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) a)
b : O
h : b ∈ I
⊢ v ((algebraMap O F) b) ≤ v ((algebraMap O F) a)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case mp.mpr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
a : O
ha : a ∈ I
hx : IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) ((⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) a)
b : O
h : v ((algebraMap O F) b) ≤ v ((algebraMap O F) a)
⊢ b ∈ I

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.mpr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
a : O
ha : a ∈ I
hx : IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) ((⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) a)
b : O
h : v ((algebraMap O F) b) ≤ v ((algebraMap O F) a)
⊢ b ∈ I
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: case mp
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
⊢ x ∈ (valuation A K).integer → ∃ a, (algebraMap A K) a = x

pp: case mpr
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
⊢ (∃ a, (algebraMap A K) a = x) → x ∈ (valuation A K).integer

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
⊢ x ∈ (valuation A K).integer → ∃ a, (algebraMap A K) a = x
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: case mpr
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
⊢ (∃ a, (algebraMap A K) a = x) → x ∈ (valuation A K).integer

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
⊢ (∃ a, (algebraMap A K) a = x) → x ∈ (valuation A K).integer
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case mpr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : ↑I = {y | v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) x)}
⊢ ∃ x, IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) x

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : ↑I = {y | v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) x)}
⊢ ∃ x, IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) x
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case mpr.refine_1
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : ↑I = {y | v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) x)}
⊢ x ∈ ↑I

pp: case mpr.refine_2
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : ↑I = {y | v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) x)}
⊢ v ((algebraMap O F) x) ∈ upperBounds (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I)

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr.refine_1
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : ↑I = {y | v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) x)}
⊢ x ∈ ↑I
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: case mpr.refine_2
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : ↑I = {y | v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) x)}
⊢ v ((algebraMap O F) x) ∈ upperBounds (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I)

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr.refine_2
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : ↑I = {y | v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) x)}
⊢ v ((algebraMap O F) x) ∈ upperBounds (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: case left
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
⊢ Function.Injective
    ⇑(have this := { toFun := fun a ↦ ⟨(algebraMap A K) a, ⋯⟩, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ };
      this)

pp: case right
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
⊢ Function.Surjective
    ⇑(have this := { toFun := fun a ↦ ⟨(algebraMap A K) a, ⋯⟩, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ };
      this)

Tactic:
·

Goal state after:
case left
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
⊢ Function.Injective
    ⇑(have this := { toFun := fun a ↦ ⟨(algebraMap A K) a, ⋯⟩, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ };
      this)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: case right
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
⊢ Function.Surjective
    ⇑(have this := { toFun := fun a ↦ ⟨(algebraMap A K) a, ⋯⟩, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ };
      this)

Tactic:
·

Goal state after:
case right
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
⊢ Function.Surjective
    ⇑(have this := { toFun := fun a ↦ ⟨(algebraMap A K) a, ⋯⟩, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ };
      this)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: case inl
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Nontrivial A
inst✝ : PreValuationRing A
a c : A
h : a * c = 1 - a
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit (1 - a)

pp: case inr
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Nontrivial A
inst✝ : PreValuationRing A
a c : A
h : (1 - a) * c = a
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit (1 - a)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Nontrivial A
inst✝ : PreValuationRing A
a c : A
h : a * c = 1 - a
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit (1 - a)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: case inr
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Nontrivial A
inst✝ : PreValuationRing A
a c : A
h : (1 - a) * c = a
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit (1 - a)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Nontrivial A
inst✝ : PreValuationRing A
a c : A
h : (1 - a) * c = a
⊢ IsUnit a ∨ IsUnit (1 - a)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: case pos
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Nontrivial A
inst✝ : PreValuationRing A
α β : Ideal A
h : ∀ x ∈ α, x ∈ β
⊢ α ≤ β ∨ β ≤ α

pp: case neg
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Nontrivial A
inst✝ : PreValuationRing A
α β : Ideal A
h : ∃ x ∈ α, x ∉ β
⊢ α ≤ β ∨ β ≤ α

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Nontrivial A
inst✝ : PreValuationRing A
α β : Ideal A
h : ∀ x ∈ α, x ∈ β
⊢ α ≤ β ∨ β ≤ α
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: case neg.inl
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Nontrivial A
inst✝ : PreValuationRing A
α β : Ideal A
a : A
h₁ : a ∈ α
h₂ : a ∉ β
b : A
hb : b ∈ β
c : A
h : a * c = b
⊢ b ∈ α

pp: case neg.inr
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Nontrivial A
inst✝ : PreValuationRing A
α β : Ideal A
a : A
h₁ : a ∈ α
h₂ : a ∉ β
b : A
hb : b ∈ β
c : A
h : b * c = a
⊢ b ∈ α

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.inl
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Nontrivial A
inst✝ : PreValuationRing A
α β : Ideal A
a : A
h₁ : a ∈ α
h₂ : a ∉ β
b : A
hb : b ∈ β
c : A
h : a * c = b
⊢ b ∈ α
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: case neg.inr
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Nontrivial A
inst✝ : PreValuationRing A
α β : Ideal A
a : A
h₁ : a ∈ α
h₂ : a ∉ β
b : A
hb : b ∈ β
c : A
h : b * c = a
⊢ b ∈ α

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.inr
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Nontrivial A
inst✝ : PreValuationRing A
α β : Ideal A
a : A
h₁ : a ∈ α
h₂ : a ∉ β
b : A
hb : b ∈ β
c : A
h : b * c = a
⊢ b ∈ α
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝ : Semigroup R
H : PreValuationRing R
a b : R
⊢ a ∣ b ∨ b ∣ a

pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝ : Semigroup R
H : Std.Total fun x1 x2 ↦ x1 ∣ x2
a b : R
⊢ ∃ c, a * c = b ∨ b * c = a

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝ : Semigroup R
H : PreValuationRing R
a b : R
⊢ a ∣ b ∨ b ∣ a