mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
x y : M
S : Type u_6
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Module S R
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : SMulCommClass S R M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : IsTorsionFree S R
a b c d : S
inst✝ : Nontrivial R
h : a * d = b * c
hbd : b = 0 ∧ d = 0
hac : a = 0 ∧ c = 0
⊢ ∃ s t, s • a • x + t • c • x = 0 ∧ (s = 0 → t ≠ 0)

pp: case neg
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
x y : M
S : Type u_6
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Module S R
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : SMulCommClass S R M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : IsTorsionFree S R
a b c d : S
inst✝ : Nontrivial R
h : a * d = b * c
hbd : b = 0 ∧ d = 0
hac : ¬(a = 0 ∧ c = 0)
⊢ ∃ s t, s • a • x + t • c • x = 0 ∧ (s = 0 → t ≠ 0)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
x y : M
S : Type u_6
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Module S R
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : SMulCommClass S R M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : IsTorsionFree S R
a b c d : S
inst✝ : Nontrivial R
h : a * d = b * c
hbd : b = 0 ∧ d = 0
hac : a = 0 ∧ c = 0
⊢ ∃ s t, s • a • x + t • c • x = 0 ∧ (s = 0 → t ≠ 0)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
x y : M
S : Type u_6
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Module S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsTorsionFree S R
c : S
hS : Subsingleton S
⊢ LinearIndependent R ![x, c • x + y] ↔ LinearIndependent R ![x, y]

pp: case inr
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
x y : M
S : Type u_6
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Module S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsTorsionFree S R
c : S
hS : Nontrivial S
⊢ LinearIndependent R ![x, c • x + y] ↔ LinearIndependent R ![x, y]

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
x y : M
S : Type u_6
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Module S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsTorsionFree S R
c : S
hS : Subsingleton S
⊢ LinearIndependent R ![x, c • x + y] ↔ LinearIndependent R ![x, y]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
x y : M
S : Type u_6
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Module S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsTorsionFree S R
b : S
hS : Subsingleton S
⊢ LinearIndependent R ![x + b • y, y] ↔ LinearIndependent R ![x, y]

pp: case inr
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
x y : M
S : Type u_6
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Module S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsTorsionFree S R
b : S
hS : Nontrivial S
⊢ LinearIndependent R ![x + b • y, y] ↔ LinearIndependent R ![x, y]

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
x y : M
S : Type u_6
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Module S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsTorsionFree S R
b : S
hS : Subsingleton S
⊢ LinearIndependent R ![x + b • y, y] ↔ LinearIndependent R ![x, y]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
x y : M
S : Type u_6
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Module S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsTorsionFree S R
b : S
hS : Nontrivial S
a✝ : Nontrivial R
⊢ LinearIndependent R ![x + b • y, y] ↔ LinearIndependent R ![x, y]

Tactic:
simpa using pair_add_smul_add_smul_iff (x := x) (y := y) 1 b 0 1

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: case hs
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ι → Set M
hl : ∀ (i : ι), LinearIndepOn R id (f i)
hd : ∀ (i : ι) (t : Set ι), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (span R (f i)) (⨆ i ∈ t, span R (f i))
⊢ Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) fun i ↦ ⋃ i_1 ∈ i, f i_1

pp: case h
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ι → Set M
hl : ∀ (i : ι), LinearIndepOn R id (f i)
hd : ∀ (i : ι) (t : Set ι), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (span R (f i)) (⨆ i ∈ t, span R (f i))
⊢ ∀ (i : Finset ι), LinearIndepOn R id (⋃ i_1 ∈ i, f i_1)

Tactic:
·

Goal state after:
case hs
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ι → Set M
hl : ∀ (i : ι), LinearIndepOn R id (f i)
hd : ∀ (i : ι) (t : Set ι), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (span R (f i)) (⨆ i ∈ t, span R (f i))
⊢ Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) fun i ↦ ⋃ i_1 ∈ i, f i_1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: case hf
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
η : Type u_6
ιs : η → Type u_7
f : (j : η) → ιs j → M
hindep : ∀ (j : η), LinearIndependent R (f j)
hd : ∀ (i : η) (t : Set η), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (span R (range (f i))) (⨆ i ∈ t, span R (range (f i)))
a✝ : Nontrivial R
⊢ Injective fun ji ↦ f ji.fst ji.snd

pp: case a
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
η : Type u_6
ιs : η → Type u_7
f : (j : η) → ιs j → M
hindep : ∀ (j : η), LinearIndependent R (f j)
hd : ∀ (i : η) (t : Set η), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (span R (range (f i))) (⨆ i ∈ t, span R (range (f i)))
a✝ : Nontrivial R
⊢ LinearIndepOn R id (range fun ji ↦ f ji.fst ji.snd)

Tactic:
·

Goal state after:
case hf
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
η : Type u_6
ιs : η → Type u_7
f : (j : η) → ιs j → M
hindep : ∀ (j : η), LinearIndependent R (f j)
hd : ∀ (i : η) (t : Set η), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (span R (range (f i))) (⨆ i ∈ t, span R (range (f i)))
a✝ : Nontrivial R
⊢ Injective fun ji ↦ f ji.fst ji.snd
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
η : Type u_6
ιs : η → Type u_7
f : (j : η) → ιs j → M
hindep : ∀ (j : η), LinearIndependent R (f j)
hd : ∀ (i : η) (t : Set η), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (span R (range (f i))) (⨆ i ∈ t, span R (range (f i)))
a✝ : Nontrivial R
x₁ : η
x₂ : ιs x₁
y₁ : η
y₂ : ιs y₁
hxy : (fun ji ↦ f ji.fst ji.snd) ⟨x₁, x₂⟩ = (fun ji ↦ f ji.fst ji.snd) ⟨y₁, y₂⟩
h_cases : x₁ = y₁
⊢ ⟨x₁, x₂⟩ = ⟨y₁, y₂⟩

pp: case neg
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
η : Type u_6
ιs : η → Type u_7
f : (j : η) → ιs j → M
hindep : ∀ (j : η), LinearIndependent R (f j)
hd : ∀ (i : η) (t : Set η), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (span R (range (f i))) (⨆ i ∈ t, span R (range (f i)))
a✝ : Nontrivial R
x₁ : η
x₂ : ιs x₁
y₁ : η
y₂ : ιs y₁
hxy : (fun ji ↦ f ji.fst ji.snd) ⟨x₁, x₂⟩ = (fun ji ↦ f ji.fst ji.snd) ⟨y₁, y₂⟩
h_cases : ¬x₁ = y₁
⊢ ⟨x₁, x₂⟩ = ⟨y₁, y₂⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
η : Type u_6
ιs : η → Type u_7
f : (j : η) → ιs j → M
hindep : ∀ (j : η), LinearIndependent R (f j)
hd : ∀ (i : η) (t : Set η), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (span R (range (f i))) (⨆ i ∈ t, span R (range (f i)))
a✝ : Nontrivial R
x₁ : η
x₂ : ιs x₁
y₁ : η
y₂ : ιs y₁
hxy : (fun ji ↦ f ji.fst ji.snd) ⟨x₁, x₂⟩ = (fun ji ↦ f ji.fst ji.snd) ⟨y₁, y₂⟩
h_cases : x₁ = y₁
⊢ ⟨x₁, x₂⟩ = ⟨y₁, y₂⟩
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
η : Type u_6
ιs : η → Type u_7
f : (j : η) → ιs j → M
hindep : ∀ (j : η), LinearIndependent R (f j)
hd : ∀ (i : η) (t : Set η), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (span R (range (f i))) (⨆ i ∈ t, span R (range (f i)))
a✝ : Nontrivial R
x₁ : η
x₂ : ιs x₁
y₁ : η
y₂ : ιs y₁
hxy : (fun ji ↦ f ji.fst ji.snd) ⟨x₁, x₂⟩ = (fun ji ↦ f ji.fst ji.snd) ⟨y₁, y₂⟩
h_cases : ¬x₁ = y₁
⊢ ⟨x₁, x₂⟩ = ⟨y₁, y₂⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
η : Type u_6
ιs : η → Type u_7
f : (j : η) → ιs j → M
hindep : ∀ (j : η), LinearIndependent R (f j)
hd : ∀ (i : η) (t : Set η), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (span R (range (f i))) (⨆ i ∈ t, span R (range (f i)))
a✝ : Nontrivial R
x₁ : η
x₂ : ιs x₁
y₁ : η
y₂ : ιs y₁
hxy : (fun ji ↦ f ji.fst ji.snd) ⟨x₁, x₂⟩ = (fun ji ↦ f ji.fst ji.snd) ⟨y₁, y₂⟩
h_cases : ¬x₁ = y₁
⊢ ⟨x₁, x₂⟩ = ⟨y₁, y₂⟩
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
I : Set ι
hIlinind : LinearIndepOn R v I
i : ι
hi : i ∉ I
J : Set ι := I ∪ {i}
hImaximal : LinearIndepOn R v J → I = J
hJ : J = I ∪ {i}
memJ : ∀ {x : ι}, x ∈ J ↔ x = i ∨ x ∈ I
hiJ : i ∈ J
⊢ ¬I = J

Tactic:
·

Goal state after:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
I : Set ι
hIlinind : LinearIndepOn R v I
i : ι
hi : i ∉ I
J : Set ι := I ∪ {i}
hImaximal : LinearIndepOn R v J → I = J
hJ : J = I ∪ {i}
memJ : ∀ {x : ι}, x ∈ J ↔ x = i ∨ x ∈ I
hiJ : i ∈ J
⊢ ¬I = J
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
f : ι → Dual R M
h1 : Pairwise fun i j ↦ (f i) (v j) = 0
h2 : ∀ (i : ι), (f i) (v i) = 1
s : Finset ι
g : ι → R
hrel : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
hi : i ∈ s
aux : ∀ j ∈ s, j ≠ i → g j * (f i) (v j) = 0
⊢ i ∉ s → g i * (f i) (v i) = 0

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.AddChar

Goal state before:
pp: case pos
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : AddGroup A
inst✝³ : Fintype A
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : IsDomain R
ψ : AddChar A R
inst✝ : Decidable (ψ = 0)
h : ψ = 0
⊢ ∑ a, ψ a = ↑(card A)

pp: case neg
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : AddGroup A
inst✝³ : Fintype A
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : IsDomain R
ψ : AddChar A R
inst✝ : Decidable (ψ = 0)
h : ¬ψ = 0
⊢ ∑ a, ψ a = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : AddGroup A
inst✝³ : Fintype A
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : IsDomain R
ψ : AddChar A R
inst✝ : Decidable (ψ = 0)
h : ψ = 0
⊢ ∑ a, ψ a = ↑(card A)
Module: Mathlib.Algebra.Group.AddChar

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
u : R
hu : IsUnit u
h : ψ.mulShift u = 1
⊢ ψ = 1

pp: case refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
u : R
hu : IsUnit u
⊢ ψ = 1 → ψ.mulShift u = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
u : R
hu : IsUnit u
h : ψ.mulShift u = 1
⊢ ψ = 1
Module: Mathlib.Algebra.Group.AddChar

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
u : R
hu : IsUnit u
⊢ ψ = 1 → ψ.mulShift u = 1

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
u : R
hu : IsUnit u
⊢ ψ = 1 → ψ.mulShift u = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set ι
a : ι
f : ι → V
has : a ∈ s
⊢ LinearIndepOn K f (insert a s) ↔ LinearIndepOn K f s ∧ (f a ∈ span K (f '' s) → a ∈ s)

pp: case neg
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set ι
a : ι
f : ι → V
has : a ∉ s
⊢ LinearIndepOn K f (insert a s) ↔ LinearIndepOn K f s ∧ (f a ∈ span K (f '' s) → a ∈ s)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set ι
a : ι
f : ι → V
has : a ∈ s
⊢ LinearIndepOn K f (insert a s) ↔ LinearIndepOn K f s ∧ (f a ∈ span K (f '' s) → a ∈ s)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set ι
a : ι
f : ι → V
h : LinearIndepOn K f s
has : a ∈ s
⊢ f a ∈ span K (f '' s) ↔ LinearIndepOn K f (insert a s) → a ∈ s

pp: case neg
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set ι
a : ι
f : ι → V
h : LinearIndepOn K f s
has : a ∉ s
⊢ f a ∈ span K (f '' s) ↔ LinearIndepOn K f (insert a s) → a ∈ s

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set ι
a : ι
f : ι → V
h : LinearIndepOn K f s
has : a ∈ s
⊢ f a ∈ span K (f '' s) ↔ LinearIndepOn K f (insert a s) → a ∈ s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : ∀ (a : K), a • x ≠ y
⊢ LinearIndepOn K id {x, y}

Tactic:
pair_comm

Goal state after:
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : ∀ (a : K), a • x ≠ y
⊢ LinearIndepOn K id {y, x}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : ∀ (a : K), a • x ≠ y
⊢ LinearIndepOn K id {x, y}

Tactic:
rw [pair_comm]

Goal state after:
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : ∀ (a : K), a • x ≠ y
⊢ LinearIndepOn K id {y, x}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
i j : ι
v : ι → V
hij : i ≠ j
hi : v i ≠ 0
⊢ LinearIndepOn K v {i, j} ↔ ∀ (c : K), c • v i ≠ v j

Tactic:
pair_comm

Goal state after:
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
i j : ι
v : ι → V
hij : i ≠ j
hi : v i ≠ 0
⊢ LinearIndepOn K v {j, i} ↔ ∀ (c : K), c • v i ≠ v j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
i j : ι
v : ι → V
hij : i ≠ j
hi : v i ≠ 0
⊢ LinearIndepOn K v {i, j} ↔ ∀ (c : K), c • v i ≠ v j

Tactic:
rw [pair_comm]

Goal state after:
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
i j : ι
v : ι → V
hij : i ≠ j
hi : v i ≠ 0
⊢ LinearIndepOn K v {j, i} ↔ ∀ (c : K), c • v i ≠ v j
Module: Mathlib.Algebra.Group.Pointwise.Set.ListOfFn

Goal state before:
pp: case h.mp
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a : α
n : ℕ
f : Fin n → Set α
⊢ (∃ f_1, (List.ofFn fun i ↦ ↑(f_1 i)).prod = a) → ∃ x, (List.ofFn ((fun x ↦ ↑x.snd) ∘ x)).prod = a ∧ Sigma.fst ∘ x = f

pp: case h.mpr
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a : α
n : ℕ
f : Fin n → Set α
⊢ (∃ x, (List.ofFn ((fun x ↦ ↑x.snd) ∘ x)).prod = a ∧ Sigma.fst ∘ x = f) → ∃ f_1, (List.ofFn fun i ↦ ↑(f_1 i)).prod = a

Tactic:
·

Goal state after:
case h.mp
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a : α
n : ℕ
f : Fin n → Set α
⊢ (∃ f_1, (List.ofFn fun i ↦ ↑(f_1 i)).prod = a) → ∃ x, (List.ofFn ((fun x ↦ ↑x.snd) ∘ x)).prod = a ∧ Sigma.fst ∘ x = f
Module: Mathlib.Algebra.Group.Pointwise.Set.ListOfFn

Goal state before:
pp: case h.mpr
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a : α
n : ℕ
f : Fin n → Set α
⊢ (∃ x, (List.ofFn ((fun x ↦ ↑x.snd) ∘ x)).prod = a ∧ Sigma.fst ∘ x = f) → ∃ f_1, (List.ofFn fun i ↦ ↑(f_1 i)).prod = a

Tactic:
·

Goal state after:
case h.mpr
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a : α
n : ℕ
f : Fin n → Set α
⊢ (∃ x, (List.ofFn ((fun x ↦ ↑x.snd) ∘ x)).prod = a ∧ Sigma.fst ∘ x = f) → ∃ f_1, (List.ofFn fun i ↦ ↑(f_1 i)).prod = a
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
s t : Set ι
hs : LinearIndepOn K v s
hst : s ⊆ t
⊢ ∀ c ⊆ {b | b ⊆ t ∧ LinearIndepOn K v b},
    IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) c → c.Nonempty → ∃ ub ∈ {b | b ⊆ t ∧ LinearIndepOn K v b}, ∀ s ∈ c, s ⊆ ub

Tactic:
·

Goal state after:
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
s t : Set ι
hs : LinearIndepOn K v s
hst : s ⊆ t
⊢ ∀ c ⊆ {b | b ⊆ t ∧ LinearIndepOn K v b},
    IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) c → c.Nonempty → ∃ ub ∈ {b | b ⊆ t ∧ LinearIndepOn K v b}, ∀ s ∈ c, s ⊆ ub
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
s t : Set ι
hs : LinearIndepOn K v s
hst : s ⊆ t
c : Set (Set ι)
hc : c ⊆ {b | b ⊆ t ∧ LinearIndepOn K v b}
cc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) c
_c0 : c.Nonempty
⊢ ⋃₀ c ⊆ t

pp: case refine_2
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
s t : Set ι
hs : LinearIndepOn K v s
hst : s ⊆ t
c : Set (Set ι)
hc : c ⊆ {b | b ⊆ t ∧ LinearIndepOn K v b}
cc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) c
_c0 : c.Nonempty
⊢ LinearIndepOn K v (⋃₀ c)

pp: case refine_3
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
s t : Set ι
hs : LinearIndepOn K v s
hst : s ⊆ t
c : Set (Set ι)
hc : c ⊆ {b | b ⊆ t ∧ LinearIndepOn K v b}
cc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) c
_c0 : c.Nonempty
x : Set ι
⊢ x ∈ c → x ⊆ ⋃₀ c

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
s t : Set ι
hs : LinearIndepOn K v s
hst : s ⊆ t
c : Set (Set ι)
hc : c ⊆ {b | b ⊆ t ∧ LinearIndepOn K v b}
cc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) c
_c0 : c.Nonempty
⊢ ⋃₀ c ⊆ t
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
s t : Set ι
hs : LinearIndepOn K v s
hst : s ⊆ t
c : Set (Set ι)
hc : c ⊆ {b | b ⊆ t ∧ LinearIndepOn K v b}
cc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) c
_c0 : c.Nonempty
⊢ LinearIndepOn K v (⋃₀ c)

pp: case refine_3
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
s t : Set ι
hs : LinearIndepOn K v s
hst : s ⊆ t
c : Set (Set ι)
hc : c ⊆ {b | b ⊆ t ∧ LinearIndepOn K v b}
cc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) c
_c0 : c.Nonempty
x : Set ι
⊢ x ∈ c → x ⊆ ⋃₀ c

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
s t : Set ι
hs : LinearIndepOn K v s
hst : s ⊆ t
c : Set (Set ι)
hc : c ⊆ {b | b ⊆ t ∧ LinearIndepOn K v b}
cc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) c
_c0 : c.Nonempty
⊢ LinearIndepOn K v (⋃₀ c)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: case refine_3
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
s t : Set ι
hs : LinearIndepOn K v s
hst : s ⊆ t
c : Set (Set ι)
hc : c ⊆ {b | b ⊆ t ∧ LinearIndepOn K v b}
cc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) c
_c0 : c.Nonempty
x : Set ι
⊢ x ∈ c → x ⊆ ⋃₀ c

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_3
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
s t : Set ι
hs : LinearIndepOn K v s
hst : s ⊆ t
c : Set (Set ι)
hc : c ⊆ {b | b ⊆ t ∧ LinearIndepOn K v b}
cc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) c
_c0 : c.Nonempty
x : Set ι
⊢ x ∈ c → x ⊆ ⋃₀ c
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b : β
hf : Injective2 f
⊢ f a b ∈ image₂ f s t ↔ a ∈ s ∧ b ∈ t

Tactic:
← mem_coe,

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b : β
hf : Injective2 f
⊢ f a b ∈ ↑(image₂ f s t) ↔ a ∈ s ∧ b ∈ t
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
p : γ → Prop
⊢ (∀ z ∈ image₂ f s t, p z) ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, p (f x y)

Tactic:
← mem_coe,

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
p : γ → Prop
⊢ (∀ z ∈ ↑(image₂ f s t), p z) ↔ ∀ x ∈ ↑s, ∀ y ∈ ↑t, p (f x y)
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
p : γ → Prop
⊢ (∃ z ∈ image₂ f s t, p z) ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ t, p (f x y)

Tactic:
← mem_coe,

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
p : γ → Prop
⊢ (∃ z ∈ ↑(image₂ f s t), p z) ↔ ∃ x ∈ ↑s, ∃ y ∈ ↑t, p (f x y)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
t : Set V
hsp : span K t = span K (range v)
hli : LinearIndependent K Subtype.val
f : ⦃a : V⦄ → a ∈ t → ι
hf : ∀ ⦃a : V⦄ (a_1 : a ∈ t), v (f a_1) = a
s : Set ι := range fun a ↦ f ⋯
hs : ∀ {i : ι}, i ∈ s → v i ∈ t
f' : ↑s → ↑t := fun a ↦ ⟨v ↑a, ⋯⟩
⊢ LinearIndependent (ι := ↑s) K (v ∘ Subtype.val)

Tactic:
·

Goal state after:
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
t : Set V
hsp : span K t = span K (range v)
hli : LinearIndependent K Subtype.val
f : ⦃a : V⦄ → a ∈ t → ι
hf : ∀ ⦃a : V⦄ (a_1 : a ∈ t), v (f a_1) = a
s : Set ι := range fun a ↦ f ⋯
hs : ∀ {i : ι}, i ∈ s → v i ∈ t
f' : ↑s → ↑t := fun a ↦ ⟨v ↑a, ⋯⟩
⊢ LinearIndependent (ι := ↑s) K (v ∘ Subtype.val)
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq γ
s : Finset α
t : Finset β
inst✝ : DecidableEq δ
f : α → β → γ
g : γ → δ
⊢ ↑(image g (image₂ f s t)) = ↑(image₂ (fun a b ↦ g (f a b)) s t)

Tactic:
push_cast
    exact image_image2 _ _

Goal state after: