mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.TotallyUnimodular

Goal state before:
pp: m : Type u_1
m' : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m n R
B : Matrix m' n R
hA : A.IsTotallyUnimodular
hB : ∀ (i : m'), ∃ j s, B i = Pi.single j ↑s
k : ℕ
ih :
  ∀ (f : Fin k → m ⊕ m') (g : Fin k → n),
    Function.Injective f → Function.Injective g → ((A.fromRows B).submatrix f g).det ∈ Set.range SignType.cast
f : Fin (k + 1) → m ⊕ m'
g : Fin (k + 1) → n
hf : Function.Injective f
hg : Function.Injective g
i : Fin (k + 1)
j : m'
hfi : f i = Sum.inr j
s : SignType
x : Fin (k + 1)
hj' : B j = Pi.single (g x) ↑s
hAB :
  ((A.fromRows B).submatrix f g).det =
    ∑ x_1,
      (-1) ^ (↑i + ↑x_1) * Pi.single (g x) (↑s) (g x_1) *
        (((A.fromRows B).submatrix f g).submatrix i.succAbove x_1.succAbove).det
y : Fin (k + 1)
hxy : y ≠ x
⊢ (-1) ^ (↑i + ↑y) * Pi.single (g x) (↑s) (g y) *
      (((A.fromRows B).submatrix f g).submatrix i.succAbove y.succAbove).det =
    0

Tactic:
·

Goal state after:
m : Type u_1
m' : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m n R
B : Matrix m' n R
hA : A.IsTotallyUnimodular
hB : ∀ (i : m'), ∃ j s, B i = Pi.single j ↑s
k : ℕ
ih :
  ∀ (f : Fin k → m ⊕ m') (g : Fin k → n),
    Function.Injective f → Function.Injective g → ((A.fromRows B).submatrix f g).det ∈ Set.range SignType.cast
f : Fin (k + 1) → m ⊕ m'
g : Fin (k + 1) → n
hf : Function.Injective f
hg : Function.Injective g
i : Fin (k + 1)
j : m'
hfi : f i = Sum.inr j
s : SignType
x : Fin (k + 1)
hj' : B j = Pi.single (g x) ↑s
hAB :
  ((A.fromRows B).submatrix f g).det =
    ∑ x_1,
      (-1) ^ (↑i + ↑x_1) * Pi.single (g x) (↑s) (g x_1) *
        (((A.fromRows B).submatrix f g).submatrix i.succAbove x_1.succAbove).det
y : Fin (k + 1)
hxy : y ≠ x
⊢ (-1) ^ (↑i + ↑y) * Pi.single (g x) (↑s) (g y) *
      (((A.fromRows B).submatrix f g).submatrix i.succAbove y.succAbove).det =
    0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.TotallyUnimodular

Goal state before:
pp: case neg
m : Type u_1
m' : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m n R
B : Matrix m' n R
hA : A.IsTotallyUnimodular
hB : ∀ (i : m'), ∃ j s, B i = Pi.single j ↑s
k : ℕ
ih :
  ∀ (f : Fin k → m ⊕ m') (g : Fin k → n),
    Function.Injective f → Function.Injective g → ((A.fromRows B).submatrix f g).det ∈ Set.range SignType.cast
f : Fin (k + 1) → m ⊕ m'
g : Fin (k + 1) → n
hf : Function.Injective f
hg : Function.Injective g
i : Fin (k + 1)
j : m'
hfi : f i = Sum.inr j
j' : n
s : SignType
hj' : B j = Pi.single j' ↑s
hAB :
  ((A.fromRows B).submatrix f g).det =
    ∑ x,
      (-1) ^ (↑i + ↑x) * Pi.single j' (↑s) (g x) *
        (((A.fromRows B).submatrix f g).submatrix i.succAbove x.succAbove).det
hj'' : ¬∃ x, g x = j'
⊢ ((A.fromRows B).submatrix f g).det ∈ Set.range SignType.cast

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
m : Type u_1
m' : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m n R
B : Matrix m' n R
hA : A.IsTotallyUnimodular
hB : ∀ (i : m'), ∃ j s, B i = Pi.single j ↑s
k : ℕ
ih :
  ∀ (f : Fin k → m ⊕ m') (g : Fin k → n),
    Function.Injective f → Function.Injective g → ((A.fromRows B).submatrix f g).det ∈ Set.range SignType.cast
f : Fin (k + 1) → m ⊕ m'
g : Fin (k + 1) → n
hf : Function.Injective f
hg : Function.Injective g
i : Fin (k + 1)
j : m'
hfi : f i = Sum.inr j
j' : n
s : SignType
hj' : B j = Pi.single j' ↑s
hAB :
  ((A.fromRows B).submatrix f g).det =
    ∑ x,
      (-1) ^ (↑i + ↑x) * Pi.single j' (↑s) (g x) *
        (((A.fromRows B).submatrix f g).submatrix i.succAbove x.succAbove).det
hj'' : ¬∃ x, g x = j'
⊢ ((A.fromRows B).submatrix f g).det ∈ Set.range SignType.cast
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
H : Subgroup (ι → Multiplicative ℤ)
em : Multiplicative (ι → ℤ) ≃* (ι → Multiplicative ℤ) := MulEquiv.funMultiplicative ι ℤ
H' : Subgroup (Multiplicative (ι → ℤ)) := Subgroup.comap (↑em) H
eH' : ↥H' ≃* ↥H := (MulEquiv.subgroupCongr ⋯).trans (em.symm.subgroupMap H).symm
h : H'.index = H.index
⊢ (Subgroup.toAddSubgroup H').index ≠ 0 ↔ Nonempty (↥H ≃* (ι → Multiplicative ℤ))

Tactic:
addSubgroup_index_ne_zero_iff

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
H : Subgroup (ι → Multiplicative ℤ)
em : Multiplicative (ι → ℤ) ≃* (ι → Multiplicative ℤ) := MulEquiv.funMultiplicative ι ℤ
H' : Subgroup (Multiplicative (ι → ℤ)) := Subgroup.comap (↑em) H
eH' : ↥H' ≃* ↥H := (MulEquiv.subgroupCongr ⋯).trans (em.symm.subgroupMap H).symm
h : H'.index = H.index
⊢ Nonempty (↥(Subgroup.toAddSubgroup H') ≃+ (ι → ℤ)) ↔ Nonempty (↥H ≃* (ι → Multiplicative ℤ))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.TotallyUnimodular

Goal state before:
pp: case succ.inr
m : Type u_1
m' : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m n R
B : Matrix m' n R
hA : A.IsTotallyUnimodular
hB : ∀ (i : m'), ∃ j s, B i = Pi.single j ↑s
k : ℕ
ih :
  ∀ (f : Fin k → m ⊕ m') (g : Fin k → n),
    Function.Injective f → Function.Injective g → ((A.fromRows B).submatrix f g).det ∈ Set.range SignType.cast
g : Fin (k + 1) → n
hg : Function.Injective g
f' : Fin (k + 1) → m
hf : Function.Injective (Sum.inl ∘ f')
⊢ ((A.fromRows B).submatrix (Sum.inl ∘ f') g).det ∈ Set.range SignType.cast

Tactic:
·

Goal state after:
case succ.inr
m : Type u_1
m' : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m n R
B : Matrix m' n R
hA : A.IsTotallyUnimodular
hB : ∀ (i : m'), ∃ j s, B i = Pi.single j ↑s
k : ℕ
ih :
  ∀ (f : Fin k → m ⊕ m') (g : Fin k → n),
    Function.Injective f → Function.Injective g → ((A.fromRows B).submatrix f g).det ∈ Set.range SignType.cast
g : Fin (k + 1) → n
hg : Function.Injective g
f' : Fin (k + 1) → m
hf : Function.Injective (Sum.inl ∘ f')
⊢ ((A.fromRows B).submatrix (Sum.inl ∘ f') g).det ∈ Set.range SignType.cast
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.GeneralLinearGroup.MvPolynomial

Goal state before:
pp: case pos
m : Type u_1
k : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Infinite k
p q : MvPolynomial (m × m) k
h : ∀ (g : GL m k), (eval fun ij ↦ ↑g ij.1 ij.2) p = (eval fun ij ↦ ↑g ij.1 ij.2) q
s : m × m → k
hs_det : (Matrix.of fun i j ↦ s (i, j)).det = 0
⊢ ((eval s) p - (eval s) q) * (Matrix.of fun i j ↦ s (i, j)).det = 0

pp: case neg
m : Type u_1
k : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Infinite k
p q : MvPolynomial (m × m) k
h : ∀ (g : GL m k), (eval fun ij ↦ ↑g ij.1 ij.2) p = (eval fun ij ↦ ↑g ij.1 ij.2) q
s : m × m → k
hs_det : ¬(Matrix.of fun i j ↦ s (i, j)).det = 0
⊢ ((eval s) p - (eval s) q) * (Matrix.of fun i j ↦ s (i, j)).det = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
m : Type u_1
k : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Infinite k
p q : MvPolynomial (m × m) k
h : ∀ (g : GL m k), (eval fun ij ↦ ↑g ij.1 ij.2) p = (eval fun ij ↦ ↑g ij.1 ij.2) q
s : m × m → k
hs_det : (Matrix.of fun i j ↦ s (i, j)).det = 0
⊢ ((eval s) p - (eval s) q) * (Matrix.of fun i j ↦ s (i, j)).det = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.GeneralLinearGroup.MvPolynomial

Goal state before:
pp: case neg
m : Type u_1
k : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Infinite k
p q : MvPolynomial (m × m) k
h : ∀ (g : GL m k), (eval fun ij ↦ ↑g ij.1 ij.2) p = (eval fun ij ↦ ↑g ij.1 ij.2) q
s : m × m → k
hs_det : ¬(Matrix.of fun i j ↦ s (i, j)).det = 0
⊢ ((eval s) p - (eval s) q) * (Matrix.of fun i j ↦ s (i, j)).det = 0

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
m : Type u_1
k : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Infinite k
p q : MvPolynomial (m × m) k
h : ∀ (g : GL m k), (eval fun ij ↦ ↑g ij.1 ij.2) p = (eval fun ij ↦ ↑g ij.1 ij.2) q
s : m × m → k
hs_det : ¬(Matrix.of fun i j ↦ s (i, j)).det = 0
⊢ ((eval s) p - (eval s) q) * (Matrix.of fun i j ↦ s (i, j)).det = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.GeneralLinearGroup.Card

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Fintype K
inst✝ : Finite V
k : ℕ
ih : k ≤ n → card { s // LinearIndependent K s } = ∏ i, (q ^ n - q ^ ↑i)
hk : k + 1 ≤ n
s : { s // LinearIndependent K s }
⊢ card ↑(↑(Submodule.span K (Set.range ↑s)))ᶜ = q ^ n - q ^ k

Tactic:
card_compl_set,

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Fintype K
inst✝ : Finite V
k : ℕ
ih : k ≤ n → card { s // LinearIndependent K s } = ∏ i, (q ^ n - q ^ ↑i)
hk : k + 1 ≤ n
s : { s // LinearIndependent K s }
⊢ card V - card ↑↑(Submodule.span K (Set.range ↑s)) = q ^ n - q ^ k
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.FixedDetMatrices

Goal state before:
pp: case pos
n : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
m : ℤ
C : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m → Sort u_3
base : (A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m) → ↑A 1 0 = 0 → C A
step : (A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m) → ↑A 1 0 ≠ 0 → C (reduceStep A) → C A
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h : ↑A 1 0 = 0
⊢ C A

pp: case neg
n : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
m : ℤ
C : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m → Sort u_3
base : (A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m) → ↑A 1 0 = 0 → C A
step : (A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m) → ↑A 1 0 ≠ 0 → C (reduceStep A) → C A
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h : ¬↑A 1 0 = 0
⊢ C A

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
n : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
m : ℤ
C : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m → Sort u_3
base : (A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m) → ↑A 1 0 = 0 → C A
step : (A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m) → ↑A 1 0 ≠ 0 → C (reduceStep A) → C A
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h : ↑A 1 0 = 0
⊢ C A
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.FixedDetMatrices

Goal state before:
pp: case neg
n : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
m : ℤ
C : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m → Sort u_3
base : (A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m) → ↑A 1 0 = 0 → C A
step : (A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m) → ↑A 1 0 ≠ 0 → C (reduceStep A) → C A
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h : ¬↑A 1 0 = 0
⊢ C A

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
n : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
m : ℤ
C : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m → Sort u_3
base : (A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m) → ↑A 1 0 = 0 → C A
step : (A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m) → ↑A 1 0 ≠ 0 → C (reduceStep A) → C A
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h : ¬↑A 1 0 = 0
⊢ C A
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.FixedDetMatrices

Goal state before:
pp: case «0».«0»
m : ℤ
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h10 : ↑A 1 0 = 0
h00 : 0 < ↑A 0 0
h01 : 0 ≤ ↑A 0 1
h11 : |↑A 0 1| < |↑A 1 1|
h1 : 0 < |↑A 1 1|
h2 : 0 < |↑A 0 0|
⊢ |↑A ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)| ≤ |m|

pp: case «0».«1»
m : ℤ
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h10 : ↑A 1 0 = 0
h00 : 0 < ↑A 0 0
h01 : 0 ≤ ↑A 0 1
h11 : |↑A 0 1| < |↑A 1 1|
h1 : 0 < |↑A 1 1|
h2 : 0 < |↑A 0 0|
⊢ |↑A ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)| ≤ |m|

pp: case «1».«0»
m : ℤ
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h10 : ↑A 1 0 = 0
h00 : 0 < ↑A 0 0
h01 : 0 ≤ ↑A 0 1
h11 : |↑A 0 1| < |↑A 1 1|
h1 : 0 < |↑A 1 1|
h2 : 0 < |↑A 0 0|
⊢ |↑A ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)| ≤ |m|

pp: case «1».«1»
m : ℤ
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h10 : ↑A 1 0 = 0
h00 : 0 < ↑A 0 0
h01 : 0 ≤ ↑A 0 1
h11 : |↑A 0 1| < |↑A 1 1|
h1 : 0 < |↑A 1 1|
h2 : 0 < |↑A 0 0|
⊢ |↑A ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)| ≤ |m|

Tactic:
·

Goal state after:
case «0».«0»
m : ℤ
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h10 : ↑A 1 0 = 0
h00 : 0 < ↑A 0 0
h01 : 0 ≤ ↑A 0 1
h11 : |↑A 0 1| < |↑A 1 1|
h1 : 0 < |↑A 1 1|
h2 : 0 < |↑A 0 0|
⊢ |↑A ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)| ≤ |m|
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.FixedDetMatrices

Goal state before:
pp: case «0».«1»
m : ℤ
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h10 : ↑A 1 0 = 0
h00 : 0 < ↑A 0 0
h01 : 0 ≤ ↑A 0 1
h11 : |↑A 0 1| < |↑A 1 1|
h1 : 0 < |↑A 1 1|
h2 : 0 < |↑A 0 0|
⊢ |↑A ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)| ≤ |m|

pp: case «1».«0»
m : ℤ
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h10 : ↑A 1 0 = 0
h00 : 0 < ↑A 0 0
h01 : 0 ≤ ↑A 0 1
h11 : |↑A 0 1| < |↑A 1 1|
h1 : 0 < |↑A 1 1|
h2 : 0 < |↑A 0 0|
⊢ |↑A ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)| ≤ |m|

pp: case «1».«1»
m : ℤ
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h10 : ↑A 1 0 = 0
h00 : 0 < ↑A 0 0
h01 : 0 ≤ ↑A 0 1
h11 : |↑A 0 1| < |↑A 1 1|
h1 : 0 < |↑A 1 1|
h2 : 0 < |↑A 0 0|
⊢ |↑A ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)| ≤ |m|

Tactic:
·

Goal state after:
case «0».«1»
m : ℤ
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h10 : ↑A 1 0 = 0
h00 : 0 < ↑A 0 0
h01 : 0 ≤ ↑A 0 1
h11 : |↑A 0 1| < |↑A 1 1|
h1 : 0 < |↑A 1 1|
h2 : 0 < |↑A 0 0|
⊢ |↑A ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)| ≤ |m|
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.FixedDetMatrices

Goal state before:
pp: case «1».«0»
m : ℤ
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h10 : ↑A 1 0 = 0
h00 : 0 < ↑A 0 0
h01 : 0 ≤ ↑A 0 1
h11 : |↑A 0 1| < |↑A 1 1|
h1 : 0 < |↑A 1 1|
h2 : 0 < |↑A 0 0|
⊢ |↑A ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)| ≤ |m|

pp: case «1».«1»
m : ℤ
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h10 : ↑A 1 0 = 0
h00 : 0 < ↑A 0 0
h01 : 0 ≤ ↑A 0 1
h11 : |↑A 0 1| < |↑A 1 1|
h1 : 0 < |↑A 1 1|
h2 : 0 < |↑A 0 0|
⊢ |↑A ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)| ≤ |m|

Tactic:
·

Goal state after:
case «1».«0»
m : ℤ
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h10 : ↑A 1 0 = 0
h00 : 0 < ↑A 0 0
h01 : 0 ≤ ↑A 0 1
h11 : |↑A 0 1| < |↑A 1 1|
h1 : 0 < |↑A 1 1|
h2 : 0 < |↑A 0 0|
⊢ |↑A ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)| ≤ |m|
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.FixedDetMatrices

Goal state before:
pp: case «1».«1»
m : ℤ
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h10 : ↑A 1 0 = 0
h00 : 0 < ↑A 0 0
h01 : 0 ≤ ↑A 0 1
h11 : |↑A 0 1| < |↑A 1 1|
h1 : 0 < |↑A 1 1|
h2 : 0 < |↑A 0 0|
⊢ |↑A ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)| ≤ |m|

Tactic:
·

Goal state after:
case «1».«1»
m : ℤ
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h10 : ↑A 1 0 = 0
h00 : 0 < ↑A 0 0
h01 : 0 ≤ ↑A 0 1
h11 : |↑A 0 1| < |↑A 1 1|
h1 : 0 < |↑A 1 1|
h2 : 0 < |↑A 0 0|
⊢ |↑A ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)| ≤ |m|
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.FixedDetMatrices

Goal state before:
pp: case pos
m : ℤ
hm : m ≠ 0
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h : ↑A 1 0 = 0
hd : ↑A 1 1 ≠ 0
h1 : 0 < ↑A 0 0
⊢ reduce A ∈ reps m

pp: case neg
m : ℤ
hm : m ≠ 0
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h : ↑A 1 0 = 0
hd : ↑A 1 1 ≠ 0
h1 : ¬0 < ↑A 0 0
⊢ reduce A ∈ reps m

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
m : ℤ
hm : m ≠ 0
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h : ↑A 1 0 = 0
hd : ↑A 1 1 ≠ 0
h1 : 0 < ↑A 0 0
⊢ reduce A ∈ reps m
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Gershgorin

Goal state before:
pp: case inl
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
μ : K
hμ : Module.End.HasEigenvalue (Matrix.toLin' A) μ
h✝ : IsEmpty n
⊢ ∃ k, μ ∈ Metric.closedBall (A k k) (∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖)

pp: case inr
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
μ : K
hμ : Module.End.HasEigenvalue (Matrix.toLin' A) μ
h✝ : Nonempty n
⊢ ∃ k, μ ∈ Metric.closedBall (A k k) (∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖)

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
μ : K
hμ : Module.End.HasEigenvalue (Matrix.toLin' A) μ
h✝ : IsEmpty n
⊢ ∃ k, μ ∈ Metric.closedBall (A k k) (∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Gershgorin

Goal state before:
pp: case inr
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
μ : K
hμ : Module.End.HasEigenvalue (Matrix.toLin' A) μ
h✝ : Nonempty n
⊢ ∃ k, μ ∈ Metric.closedBall (A k k) (∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖)

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
μ : K
hμ : Module.End.HasEigenvalue (Matrix.toLin' A) μ
h✝ : Nonempty n
⊢ ∃ k, μ ∈ Metric.closedBall (A k k) (∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.FixedDetMatrices

Goal state before:
pp: case neg
m : ℤ
hm : m ≠ 0
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h : ↑A 1 0 = 0
hd : ↑A 1 1 ≠ 0
h1 : ¬0 < ↑A 0 0
⊢ reduce A ∈ reps m

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
m : ℤ
hm : m ≠ 0
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h : ↑A 1 0 = 0
hd : ↑A 1 1 ≠ 0
h1 : ¬0 < ↑A 0 0
⊢ reduce A ∈ reps m
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Irreducible.Defs

Goal state before:
pp: n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial n
h_irr : A.IsIrreducible
i : n
this : Quiver n := A.toQuiver
h_row : ¬∃ j, 0 < A i j
no_out : ∀ (j : n), IsEmpty (i ⟶ j)
j : n
hij : ∃ y, j ≠ y
p : Path i j
hp_pos : 0 < p.length
h_le : 1 ≤ p.length
v : n
p₁ : Path i v
p₂ : Path v j
_hp_eq : p = p₁.comp p₂
hp₁_len : p₁.length = 1
hlen_ne : p₁.length ≠ 0
⊢ p₁.length ≠ 0

Tactic:
by lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.FixedDetMatrices

Goal state before:
pp: case neg.refine_1
m : ℤ
hm : m ≠ 0
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h : ↑A 1 0 = 0
hd : ↑A 1 1 ≠ 0
h1 : ¬0 < ↑A 0 0
⊢ ↑A 0 0 < 0

pp: case neg.refine_2
m : ℤ
hm : m ≠ 0
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h : ↑A 1 0 = 0
hd : ↑A 1 1 ≠ 0
h1 : ¬0 < ↑A 0 0
⊢ |-(-↑A 0 1 / ↑A 1 1 * ↑A 1 1) + -↑A 0 1| < |↑A 1 1|

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.refine_1
m : ℤ
hm : m ≠ 0
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h : ↑A 1 0 = 0
hd : ↑A 1 1 ≠ 0
h1 : ¬0 < ↑A 0 0
⊢ ↑A 0 0 < 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.FixedDetMatrices

Goal state before:
pp: case neg.refine_2
m : ℤ
hm : m ≠ 0
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h : ↑A 1 0 = 0
hd : ↑A 1 1 ≠ 0
h1 : ¬0 < ↑A 0 0
⊢ |-(-↑A 0 1 / ↑A 1 1 * ↑A 1 1) + -↑A 0 1| < |↑A 1 1|

Tactic:
·

Goal state after:
case neg.refine_2
m : ℤ
hm : m ≠ 0
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
h : ↑A 1 0 = 0
hd : ↑A 1 1 ≠ 0
h1 : ¬0 < ↑A 0 0
⊢ |-(-↑A 0 1 / ↑A 1 1 * ↑A 1 1) + -↑A 0 1| < |↑A 1 1|
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Irreducible.Defs

Goal state before:
pp: case zero.refine_1
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : IsOrderedRing R
inst✝² : PosMulStrictMono R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq n
hA : ∀ (i j : n), 0 ≤ A i j
this : Quiver n := A.toQuiver
i j : n
h_pos : 0 < (A ^ 0) i j
⊢ Nonempty { p // p.length = 0 }

pp: case zero.refine_2
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : IsOrderedRing R
inst✝² : PosMulStrictMono R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq n
hA : ∀ (i j : n), 0 ≤ A i j
this : Quiver n := A.toQuiver
i j : n
x✝ : Nonempty { p // p.length = 0 }
p : Path i j
hp : p.length = 0
⊢ 0 < (A ^ 0) i j

Tactic:
·

Goal state after:
case zero.refine_1
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : IsOrderedRing R
inst✝² : PosMulStrictMono R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq n
hA : ∀ (i j : n), 0 ≤ A i j
this : Quiver n := A.toQuiver
i j : n
h_pos : 0 < (A ^ 0) i j
⊢ Nonempty { p // p.length = 0 }
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Irreducible.Defs

Goal state before:
pp: case zero.refine_1.inl
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : IsOrderedRing R
inst✝² : PosMulStrictMono R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq n
hA : ∀ (i j : n), 0 ≤ A i j
this : Quiver n := A.toQuiver
i : n
h_pos : 0 < (A ^ 0) i i
⊢ Nonempty { p // p.length = 0 }

pp: case zero.refine_1.inr
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : IsOrderedRing R
inst✝² : PosMulStrictMono R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq n
hA : ∀ (i j : n), 0 ≤ A i j
this : Quiver n := A.toQuiver
i j : n
h_pos : 0 < (A ^ 0) i j
h_eq : i ≠ j
⊢ Nonempty { p // p.length = 0 }

Tactic:
·

Goal state after:
case zero.refine_1.inl
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : IsOrderedRing R
inst✝² : PosMulStrictMono R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq n
hA : ∀ (i j : n), 0 ≤ A i j
this : Quiver n := A.toQuiver
i : n
h_pos : 0 < (A ^ 0) i i
⊢ Nonempty { p // p.length = 0 }
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Irreducible.Defs

Goal state before:
pp: case zero.refine_1.inr
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : IsOrderedRing R
inst✝² : PosMulStrictMono R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq n
hA : ∀ (i j : n), 0 ≤ A i j
this : Quiver n := A.toQuiver
i j : n
h_pos : 0 < (A ^ 0) i j
h_eq : i ≠ j
⊢ Nonempty { p // p.length = 0 }

Tactic:
·

Goal state after:
case zero.refine_1.inr
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : IsOrderedRing R
inst✝² : PosMulStrictMono R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq n
hA : ∀ (i j : n), 0 ≤ A i j
this : Quiver n := A.toQuiver
i j : n
h_pos : 0 < (A ^ 0) i j
h_eq : i ≠ j
⊢ Nonempty { p // p.length = 0 }
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Irreducible.Defs

Goal state before:
pp: case zero.refine_2
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : IsOrderedRing R
inst✝² : PosMulStrictMono R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq n
hA : ∀ (i j : n), 0 ≤ A i j
this : Quiver n := A.toQuiver
i j : n
x✝ : Nonempty { p // p.length = 0 }
p : Path i j
hp : p.length = 0
⊢ 0 < (A ^ 0) i j

Tactic:
·

Goal state after:
case zero.refine_2
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : IsOrderedRing R
inst✝² : PosMulStrictMono R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq n
hA : ∀ (i j : n), 0 ≤ A i j
this : Quiver n := A.toQuiver
i j : n
x✝ : Nonempty { p // p.length = 0 }
p : Path i j
hp : p.length = 0
⊢ 0 < (A ^ 0) i j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Irreducible.Defs

Goal state before:
pp: case succ.mp
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : IsOrderedRing R
inst✝² : PosMulStrictMono R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq n
hA : ∀ (i j : n), 0 ≤ A i j
this : Quiver n := ⋯
m : ℕ
ih : ∀ (i j : n), 0 < (A ^ m) i j ↔ Nonempty { p // p.length = m }
i j : n
⊢ 0 < ∑ j_1, (A ^ m) i j_1 * A j_1 j → Nonempty { p // p.length = m + 1 }

pp: case succ.mpr
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : IsOrderedRing R
inst✝² : PosMulStrictMono R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq n
hA : ∀ (i j : n), 0 ≤ A i j
this : Quiver n := ⋯
m : ℕ
ih : ∀ (i j : n), 0 < (A ^ m) i j ↔ Nonempty { p // p.length = m }
i j : n
⊢ Nonempty { p // p.length = m + 1 } → 0 < ∑ j_1, (A ^ m) i j_1 * A j_1 j

Tactic:
·

Goal state after:
case succ.mp
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : IsOrderedRing R
inst✝² : PosMulStrictMono R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq n
hA : ∀ (i j : n), 0 ≤ A i j
this : Quiver n := ⋯
m : ℕ
ih : ∀ (i j : n), 0 < (A ^ m) i j ↔ Nonempty { p // p.length = m }
i j : n
⊢ 0 < ∑ j_1, (A ^ m) i j_1 * A j_1 j → Nonempty { p // p.length = m + 1 }
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Irreducible.Defs

Goal state before:
pp: case succ.mpr
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : IsOrderedRing R
inst✝² : PosMulStrictMono R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq n
hA : ∀ (i j : n), 0 ≤ A i j
this : Quiver n := ⋯
m : ℕ
ih : ∀ (i j : n), 0 < (A ^ m) i j ↔ Nonempty { p // p.length = m }
i j : n
⊢ Nonempty { p // p.length = m + 1 } → 0 < ∑ j_1, (A ^ m) i j_1 * A j_1 j

Tactic:
·

Goal state after:
case succ.mpr
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : LinearOrder R
A : Matrix n n R
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : IsOrderedRing R
inst✝² : PosMulStrictMono R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : DecidableEq n
hA : ∀ (i j : n), 0 ≤ A i j
this : Quiver n := ⋯
m : ℕ
ih : ∀ (i j : n), 0 < (A ^ m) i j ↔ Nonempty { p // p.length = m }
i j : n
⊢ Nonempty { p // p.length = m + 1 } → 0 < ∑ j_1, (A ^ m) i j_1 * A j_1 j