mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.OrthogonalReflection

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : HasPushouts C
inst✝⁵ : ∀ (Z : C), HasCoproduct D₁.obj₁
inst✝⁴ : ∀ (Z : C), HasCoproduct D₁.obj₂
inst✝³ : ∀ (Z : C), HasMulticoequalizer (D₂.multispanIndex W Z)
κ : Cardinal.{w}
inst✝² : OrderBot κ.ord.ToType
inst✝¹ : HasIterationOfShape κ.ord.ToType C
inst✝ : Fact κ.IsRegular
hW : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f → IsCardinalPresentable X κ ∧ IsCardinalPresentable Y κ
⊢ W.isLocal.ι.leftAdjointObjIsDefined = ⊤

Tactic:
ext Z

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
W : MorphismProperty C
inst✝⁶ : HasPushouts C
inst✝⁵ : ∀ (Z : C), HasCoproduct D₁.obj₁
inst✝⁴ : ∀ (Z : C), HasCoproduct D₁.obj₂
inst✝³ : ∀ (Z : C), HasMulticoequalizer (D₂.multispanIndex W Z)
κ : Cardinal.{w}
inst✝² : OrderBot κ.ord.ToType
inst✝¹ : HasIterationOfShape κ.ord.ToType C
inst✝ : Fact κ.IsRegular
hW : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f → IsCardinalPresentable X κ ∧ IsCardinalPresentable Y κ
Z : C
⊢ W.isLocal.ι.leftAdjointObjIsDefined Z ↔ ⊤ Z
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed

Goal state before:
pp: case inl.inr
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
X Y : J
i✝ : Unit
⊢ (∃ a, (D a).P m) ∨ m = m

pp: case inr
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
X Y : J
i : ι
j : J
hj : (D i).P j
⊢ (∃ a, (D a).P m) ∨ m = m

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.inr
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
X Y : J
i✝ : Unit
⊢ (∃ a, (D a).P m) ∨ m = m
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Type

Goal state before:
pp: case refine_1
X : Type u
κ : Cardinal.{u}
hκ : Cardinal.aleph0 ≤ κ
this : IsFiltered (HasCardinalLT.Set X κ)
x : (cocone X κ).pt
⊢ ∃ i xi, x = (hom ((cocone X κ).ι.app i)) xi

pp: case refine_2
X : Type u
κ : Cardinal.{u}
hκ : Cardinal.aleph0 ≤ κ
this : IsFiltered (HasCardinalLT.Set X κ)
⊢ ∀ (i : HasCardinalLT.Set X κ) (x y : (fun X ↦ X) ((functor X κ).obj i)),
    (hom ((cocone X κ).ι.app i)) x = (hom ((cocone X κ).ι.app i)) y →
      ∃ k f, (hom ((functor X κ).map f)) x = (hom ((functor X κ).map f)) y

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
X : Type u
κ : Cardinal.{u}
hκ : Cardinal.aleph0 ≤ κ
this : IsFiltered (HasCardinalLT.Set X κ)
x : (cocone X κ).pt
⊢ ∃ i xi, x = (hom ((cocone X κ).ι.app i)) xi
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed

Goal state before:
pp: case inr
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
X Y : J
i : ι
j : J
hj : (D i).P j
⊢ (∃ a, (D a).P m) ∨ m = m

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
X Y : J
i : ι
j : J
hj : (D i).P j
⊢ (∃ a, (D a).P m) ∨ m = m
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Type

Goal state before:
pp: case refine_2
X : Type u
κ : Cardinal.{u}
hκ : Cardinal.aleph0 ≤ κ
this : IsFiltered (HasCardinalLT.Set X κ)
⊢ ∀ (i : HasCardinalLT.Set X κ) (x y : (fun X ↦ X) ((functor X κ).obj i)),
    (hom ((cocone X κ).ι.app i)) x = (hom ((cocone X κ).ι.app i)) y →
      ∃ k f, (hom ((functor X κ).map f)) x = (hom ((functor X κ).map f)) y

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
X : Type u
κ : Cardinal.{u}
hκ : Cardinal.aleph0 ≤ κ
this : IsFiltered (HasCardinalLT.Set X κ)
⊢ ∀ (i : HasCardinalLT.Set X κ) (x y : (fun X ↦ X) ((functor X κ).obj i)),
    (hom ((cocone X κ).ι.app i)) x = (hom ((cocone X κ).ι.app i)) y →
      ∃ k f, (hom ((functor X κ).map f)) x = (hom ((functor X κ).map f)) y
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed

Goal state before:
pp: case inl.inl
J : Type w
inst✝¹ : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝ : Fact κ.IsRegular
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
f : m ⟶ m
hf : (⨆ i, (D i).W) f
⊢ f = 𝟙 m

pp: case inl.inr
J : Type w
inst✝¹ : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝ : Fact κ.IsRegular
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
X Y : J
i✝ : Unit
⊢ 𝟙 m = 𝟙 m

pp: case inr
J : Type w
inst✝¹ : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝ : Fact κ.IsRegular
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
f : m ⟶ m
hf : MorphismProperty.ofHoms (fun x ↦ (D x.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u x.fst) f
⊢ f = 𝟙 m

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.inl
J : Type w
inst✝¹ : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝ : Fact κ.IsRegular
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
f : m ⟶ m
hf : (⨆ i, (D i).W) f
⊢ f = 𝟙 m
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.OrthogonalReflection

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W : MorphismProperty C
κ : Cardinal.{w}
inst✝³ : Fact κ.IsRegular
inst✝² : IsSmall.{w, v, u} W
inst✝¹ : LocallySmall.{w, v, u} C
hW : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f → IsCardinalPresentable X κ ∧ IsCardinalPresentable Y κ
inst✝ : HasColimitsOfSize.{w, w, v, u} C
this✝² : Nonempty κ.ord.ToType
this✝¹ : OrderBot κ.ord.ToType
this✝ : ∀ (Z : C) [IsSmall.{w, v, u} W] [LocallySmall.{w, v, u} C] [HasCoproducts C], HasCoproductsOfShape (D₁ W Z) C
this :
  ∀ (Z : C) [inst : HasCoproduct D₁.obj₁] [inst_1 : HasCoproduct D₁.obj₂] [inst_2 : HasPushouts C] [IsSmall.{w, v, u} W]
    [LocallySmall.{w, v, u} C] [HasColimitsOfSize.{w, w, v, u} C],
    HasColimitsOfShape (WalkingMultispan (D₂.multispanShape W Z)) C
⊢ W.isLocal.ι.IsRightAdjoint

Tactic:
exact isRightAdjoint_ι W κ hW

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed

Goal state before:
pp: case inl.inr
J : Type w
inst✝¹ : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝ : Fact κ.IsRegular
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
X Y : J
i✝ : Unit
⊢ 𝟙 m = 𝟙 m

pp: case inr
J : Type w
inst✝¹ : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝ : Fact κ.IsRegular
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
f : m ⟶ m
hf : MorphismProperty.ofHoms (fun x ↦ (D x.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u x.fst) f
⊢ f = 𝟙 m

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.inr
J : Type w
inst✝¹ : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝ : Fact κ.IsRegular
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
X Y : J
i✝ : Unit
⊢ 𝟙 m = 𝟙 m
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed

Goal state before:
pp: case inr
J : Type w
inst✝¹ : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝ : Fact κ.IsRegular
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
f : m ⟶ m
hf : MorphismProperty.ofHoms (fun x ↦ (D x.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u x.fst) f
⊢ f = 𝟙 m

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
J : Type w
inst✝¹ : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝ : Fact κ.IsRegular
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
f : m ⟶ m
hf : MorphismProperty.ofHoms (fun x ↦ (D x.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u x.fst) f
⊢ f = 𝟙 m
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coherent.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Preregular C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Presieve X
Z : C
π : Z ⟶ X
hπ : S = Presieve.ofArrows (fun x ↦ Z) fun x ↦ π
h_epi : EffectiveEpi π
W : C
h : W ⟶ Y
w✝ : EffectiveEpi h
i : W ⟶ Z
this : i ≫ π = h ≫ f
⊢ Presieve.singleton h ∈ {S | ∃ X f, (S = Presieve.ofArrows (fun x ↦ X) fun x ↦ f) ∧ EffectiveEpi f}

pp: case refine_2
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Preregular C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Presieve X
Z : C
π : Z ⟶ X
hπ : S = Presieve.ofArrows (fun x ↦ Z) fun x ↦ π
h_epi : EffectiveEpi π
W : C
h : W ⟶ Y
w✝ : EffectiveEpi h
i : W ⟶ Z
this : i ≫ π = h ≫ f
⊢ (Presieve.singleton h).FactorsThruAlong S f

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Preregular C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Presieve X
Z : C
π : Z ⟶ X
hπ : S = Presieve.ofArrows (fun x ↦ Z) fun x ↦ π
h_epi : EffectiveEpi π
W : C
h : W ⟶ Y
w✝ : EffectiveEpi h
i : W ⟶ Z
this : i ≫ π = h ≫ f
⊢ Presieve.singleton h ∈ {S | ∃ X f, (S = Presieve.ofArrows (fun x ↦ X) fun x ↦ f) ∧ EffectiveEpi f}
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coherent.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Preregular C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Presieve X
Z : C
π : Z ⟶ X
hπ : S = Presieve.ofArrows (fun x ↦ Z) fun x ↦ π
h_epi : EffectiveEpi π
W : C
h : W ⟶ Y
w✝ : EffectiveEpi h
i : W ⟶ Z
this : i ≫ π = h ≫ f
⊢ (Presieve.singleton h).FactorsThruAlong S f

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Preregular C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Presieve X
Z : C
π : Z ⟶ X
hπ : S = Presieve.ofArrows (fun x ↦ Z) fun x ↦ π
h_epi : EffectiveEpi π
W : C
h : W ⟶ Y
w✝ : EffectiveEpi h
i : W ⟶ Z
this : i ≫ π = h ≫ f
⊢ (Presieve.singleton h).FactorsThruAlong S f
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Type

Goal state before:
pp: x✝¹ x✝ : Type u
i : x✝¹ ⟶ x✝
hi₁ : Mono i
hi₂ : ∀ (G : Type u), ObjectProperty.singleton PUnit.{u + 1} G → Function.Surjective fun f ↦ f ≫ i
⊢ IsIso i

Tactic:
·

Goal state after:
x✝¹ x✝ : Type u
i : x✝¹ ⟶ x✝
hi₁ : Mono i
hi₂ : ∀ (G : Type u), ObjectProperty.singleton PUnit.{u + 1} G → Function.Surjective fun f ↦ f ≫ i
⊢ IsIso i
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed

Goal state before:
pp: case inl.inl
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → ↑x.snd ⟶ m := fun x ↦ (D x.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u x.fst
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
i : ι
j : J
hj : (D i).P j
f : j ⟶ m
hf : (⨆ i, (D i).W) f
⊢ f = φ ⟨i, ⟨j, hj⟩⟩

pp: case inl.inr
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → ↑x.snd ⟶ m := fun x ↦ (D x.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u x.fst
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
i : ι
X Y : J
i✝ : Unit
hj : (D i).P m
⊢ 𝟙 m = φ ⟨i, ⟨m, hj⟩⟩

pp: case inr
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → ↑x.snd ⟶ m := fun x ↦ (D x.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u x.fst
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
i : ι
X Y : J
i' : ι
j : J
hj' : (D i').P j
hj : (D i).P ↑⟨i', ⟨j, hj'⟩⟩.snd
⊢ (D ⟨i', ⟨j, hj'⟩⟩.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u ⟨i', ⟨j, hj'⟩⟩.fst = φ ⟨i, ⟨↑⟨i', ⟨j, hj'⟩⟩.snd, hj⟩⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.inl
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → ↑x.snd ⟶ m := fun x ↦ (D x.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u x.fst
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
i : ι
j : J
hj : (D i).P j
f : j ⟶ m
hf : (⨆ i, (D i).W) f
⊢ f = φ ⟨i, ⟨j, hj⟩⟩
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coherent.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Presieve X
α : Type
hα : Finite α
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ X
hS : S = Presieve.ofArrows Z π
h_iso : IsIso (Sigma.desc π)
Z' : α → C := fun a ↦ pullback f (π a)
π' : (a : α) → Z' a ⟶ Y := fun a ↦ pullback.fst f (π a)
⊢ Presieve.ofArrows Z' π' ∈ {S | ∃ α, ∃ (x : Finite α), ∃ X π, S = Presieve.ofArrows X π ∧ IsIso (Sigma.desc π)}

pp: case refine_2
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Presieve X
α : Type
hα : Finite α
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ X
hS : S = Presieve.ofArrows Z π
h_iso : IsIso (Sigma.desc π)
Z' : α → C := fun a ↦ pullback f (π a)
π' : (a : α) → Z' a ⟶ Y := fun a ↦ pullback.fst f (π a)
⊢ (Presieve.ofArrows Z' π').FactorsThruAlong S f

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Presieve X
α : Type
hα : Finite α
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ X
hS : S = Presieve.ofArrows Z π
h_iso : IsIso (Sigma.desc π)
Z' : α → C := fun a ↦ pullback f (π a)
π' : (a : α) → Z' a ⟶ Y := fun a ↦ pullback.fst f (π a)
⊢ Presieve.ofArrows Z' π' ∈ {S | ∃ α, ∃ (x : Finite α), ∃ X π, S = Presieve.ofArrows X π ∧ IsIso (Sigma.desc π)}
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coherent.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Presieve X
α : Type
hα : Finite α
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ X
hS : S = Presieve.ofArrows Z π
h_iso : IsIso (Sigma.desc π)
Z' : α → C := fun a ↦ pullback f (π a)
π' : (a : α) → Z' a ⟶ Y := fun a ↦ pullback.fst f (π a)
⊢ (Presieve.ofArrows Z' π').FactorsThruAlong S f

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Presieve X
α : Type
hα : Finite α
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ X
hS : S = Presieve.ofArrows Z π
h_iso : IsIso (Sigma.desc π)
Z' : α → C := fun a ↦ pullback f (π a)
π' : (a : α) → Z' a ⟶ Y := fun a ↦ pullback.fst f (π a)
⊢ (Presieve.ofArrows Z' π').FactorsThruAlong S f
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed

Goal state before:
pp: case inl.inr
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → ↑x.snd ⟶ m := fun x ↦ (D x.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u x.fst
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
i : ι
X Y : J
i✝ : Unit
hj : (D i).P m
⊢ 𝟙 m = φ ⟨i, ⟨m, hj⟩⟩

pp: case inr
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → ↑x.snd ⟶ m := fun x ↦ (D x.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u x.fst
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
i : ι
X Y : J
i' : ι
j : J
hj' : (D i').P j
hj : (D i).P ↑⟨i', ⟨j, hj'⟩⟩.snd
⊢ (D ⟨i', ⟨j, hj'⟩⟩.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u ⟨i', ⟨j, hj'⟩⟩.fst = φ ⟨i, ⟨↑⟨i', ⟨j, hj'⟩⟩.snd, hj⟩⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case inl.inr
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → ↑x.snd ⟶ m := fun x ↦ (D x.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u x.fst
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
i : ι
X Y : J
i✝ : Unit
hj : (D i).P m
⊢ 𝟙 m = φ ⟨i, ⟨m, hj⟩⟩
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed

Goal state before:
pp: case inr
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → ↑x.snd ⟶ m := fun x ↦ (D x.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u x.fst
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
i : ι
X Y : J
i' : ι
j : J
hj' : (D i').P j
hj : (D i).P ↑⟨i', ⟨j, hj'⟩⟩.snd
⊢ (D ⟨i', ⟨j, hj'⟩⟩.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u ⟨i', ⟨j, hj'⟩⟩.fst = φ ⟨i, ⟨↑⟨i', ⟨j, hj'⟩⟩.snd, hj⟩⟩

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → ↑x.snd ⟶ m := fun x ↦ (D x.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u x.fst
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
i : ι
X Y : J
i' : ι
j : J
hj' : (D i').P j
hj : (D i).P ↑⟨i', ⟨j, hj'⟩⟩.snd
⊢ (D ⟨i', ⟨j, hj'⟩⟩.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u ⟨i', ⟨j, hj'⟩⟩.fst = φ ⟨i, ⟨↑⟨i', ⟨j, hj'⟩⟩.snd, hj⟩⟩
Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed

Goal state before:
pp: case refine_2
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → ↑x.snd ⟶ m := fun x ↦ (D x.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u x.fst
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H : ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m}, (D₂ D hι u).W f → f = φ ⟨i, ⟨j, hj⟩⟩
⊢ ∀ ⦃j : J⦄, (D₂ D hι u).P j → ∃ lift, (D₂ D hι u).W lift

pp: case refine_3
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → ↑x.snd ⟶ m := fun x ↦ (D x.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u x.fst
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H : ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m}, (D₂ D hι u).W f → f = φ ⟨i, ⟨j, hj⟩⟩
⊢ ∀ ⦃j : J⦄, (D₂ D hι u).P j → ∀ (l₁ l₂ : j ⟶ m), (D₂ D hι u).W l₁ → (D₂ D hι u).W l₂ → l₁ = l₂

pp: case refine_4
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → ↑x.snd ⟶ m := fun x ↦ (D x.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u x.fst
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H : ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m}, (D₂ D hι u).W f → f = φ ⟨i, ⟨j, hj⟩⟩
⊢ ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), (D₂ D hι u).W f → ∃ li lj, (D₂ D hι u).W li ∧ (D₂ D hι u).W lj ∧ f ≫ lj = li

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_2
J : Type w
inst✝² : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst✝¹ : Fact κ.IsRegular
inst✝ : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ m x, IsEmpty (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → ↑x.snd ⟶ m := fun x ↦ (D x.fst).isTerminal.lift ⋯ ≫ u x.fst
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H : ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m}, (D₂ D hι u).W f → f = φ ⟨i, ⟨j, hj⟩⟩
⊢ ∀ ⦃j : J⦄, (D₂ D hι u).P j → ∃ lift, (D₂ D hι u).W lift