mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Meromorphic.Basic

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
ι : Type u_5
F : ι → 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hf : ∀ (i : ι), MeromorphicAt (F i) x
h₂f : Function.HasFiniteMulSupport F
⊢ MeromorphicAt (∏ᶠ (i : ι), F i) x

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
ι : Type u_5
F : ι → 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hf : ∀ (i : ι), MeromorphicAt (F i) x
h₂f : ¬Function.HasFiniteMulSupport F
⊢ MeromorphicAt (∏ᶠ (i : ι), F i) x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
ι : Type u_5
F : ι → 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hf : ∀ (i : ι), MeromorphicAt (F i) x
h₂f : Function.HasFiniteMulSupport F
⊢ MeromorphicAt (∏ᶠ (i : ι), F i) x
Module: Mathlib.Analysis.Meromorphic.Basic

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
ι : Type u_5
F : ι → 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hf : ∀ (i : ι), MeromorphicAt (F i) x
h₂f : ¬Function.HasFiniteMulSupport F
⊢ MeromorphicAt (∏ᶠ (i : ι), F i) x

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
ι : Type u_5
F : ι → 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hf : ∀ (i : ι), MeromorphicAt (F i) x
h₂f : ¬Function.HasFiniteMulSupport F
⊢ MeromorphicAt (∏ᶠ (i : ι), F i) x
Module: Mathlib.Analysis.Meromorphic.Basic

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
ι : Type u_5
F : ι → 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hF : ∀ (i : ι), MeromorphicAt (F i) x
h₂f : Function.HasFiniteSupport F
⊢ MeromorphicAt (∑ᶠ (i : ι), F i) x

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
ι : Type u_5
F : ι → 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hF : ∀ (i : ι), MeromorphicAt (F i) x
h₂f : ¬Function.HasFiniteSupport F
⊢ MeromorphicAt (∑ᶠ (i : ι), F i) x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
ι : Type u_5
F : ι → 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hF : ∀ (i : ι), MeromorphicAt (F i) x
h₂f : Function.HasFiniteSupport F
⊢ MeromorphicAt (∑ᶠ (i : ι), F i) x
Module: Mathlib.Analysis.Meromorphic.Basic

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
ι : Type u_5
F : ι → 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hF : ∀ (i : ι), MeromorphicAt (F i) x
h₂f : ¬Function.HasFiniteSupport F
⊢ MeromorphicAt (∑ᶠ (i : ι), F i) x

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
ι : Type u_5
F : ι → 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hF : ∀ (i : ι), MeromorphicAt (F i) x
h₂f : ¬Function.HasFiniteSupport F
⊢ MeromorphicAt (∑ᶠ (i : ι), F i) x
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Order

Goal state before:
pp: case h.left
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
z : ↑U
hz : z ∈ {u | analyticOrderAt f ↑u = ⊤}ᶜ
h : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] ↑z, f z ≠ 0
t' : Set 𝕜
h₁t' : ∀ y ∈ t', y ∈ {↑z}ᶜ → f y ≠ 0
h₂t' : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t'
h₃t' : ↑z ∈ t'
⊢ Subtype.val ⁻¹' t' ⊆ {u | analyticOrderAt f ↑u = ⊤}ᶜ

pp: case h.right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
z : ↑U
hz : z ∈ {u | analyticOrderAt f ↑u = ⊤}ᶜ
h : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] ↑z, f z ≠ 0
t' : Set 𝕜
h₁t' : ∀ y ∈ t', y ∈ {↑z}ᶜ → f y ≠ 0
h₂t' : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t'
h₃t' : ↑z ∈ t'
⊢ IsOpen[instTopologicalSpaceSubtype] (Subtype.val ⁻¹' t') ∧ z ∈ Subtype.val ⁻¹' t'

Tactic:
·

Goal state after:
case h.left
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
z : ↑U
hz : z ∈ {u | analyticOrderAt f ↑u = ⊤}ᶜ
h : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] ↑z, f z ≠ 0
t' : Set 𝕜
h₁t' : ∀ y ∈ t', y ∈ {↑z}ᶜ → f y ≠ 0
h₂t' : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t'
h₃t' : ↑z ∈ t'
⊢ Subtype.val ⁻¹' t' ⊆ {u | analyticOrderAt f ↑u = ⊤}ᶜ
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Order

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
z : ↑U
hz : z ∈ {u | analyticOrderAt f ↑u = ⊤}ᶜ
h : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] ↑z, f z ≠ 0
t' : Set 𝕜
h₁t' : ∀ y ∈ t', y ∈ {↑z}ᶜ → f y ≠ 0
h₂t' : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t'
h₃t' : ↑z ∈ t'
w : ↑U
hw : w ∈ Subtype.val ⁻¹' t'
h₁w : w = z
⊢ ¬analyticOrderAt f ↑w = ⊤

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
z : ↑U
hz : z ∈ {u | analyticOrderAt f ↑u = ⊤}ᶜ
h : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] ↑z, f z ≠ 0
t' : Set 𝕜
h₁t' : ∀ y ∈ t', y ∈ {↑z}ᶜ → f y ≠ 0
h₂t' : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t'
h₃t' : ↑z ∈ t'
w : ↑U
hw : w ∈ Subtype.val ⁻¹' t'
h₁w : ¬w = z
⊢ ¬analyticOrderAt f ↑w = ⊤

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
z : ↑U
hz : z ∈ {u | analyticOrderAt f ↑u = ⊤}ᶜ
h : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] ↑z, f z ≠ 0
t' : Set 𝕜
h₁t' : ∀ y ∈ t', y ∈ {↑z}ᶜ → f y ≠ 0
h₂t' : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t'
h₃t' : ↑z ∈ t'
w : ↑U
hw : w ∈ Subtype.val ⁻¹' t'
h₁w : w = z
⊢ ¬analyticOrderAt f ↑w = ⊤
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Order

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
z : ↑U
hz : z ∈ {u | analyticOrderAt f ↑u = ⊤}ᶜ
h : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] ↑z, f z ≠ 0
t' : Set 𝕜
h₁t' : ∀ y ∈ t', y ∈ {↑z}ᶜ → f y ≠ 0
h₂t' : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t'
h₃t' : ↑z ∈ t'
w : ↑U
hw : w ∈ Subtype.val ⁻¹' t'
h₁w : ¬w = z
⊢ ¬analyticOrderAt f ↑w = ⊤

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
z : ↑U
hz : z ∈ {u | analyticOrderAt f ↑u = ⊤}ᶜ
h : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] ↑z, f z ≠ 0
t' : Set 𝕜
h₁t' : ∀ y ∈ t', y ∈ {↑z}ᶜ → f y ≠ 0
h₂t' : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t'
h₃t' : ↑z ∈ t'
w : ↑U
hw : w ∈ Subtype.val ⁻¹' t'
h₁w : ¬w = z
⊢ ¬analyticOrderAt f ↑w = ⊤
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Order

Goal state before:
pp: case h.right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
z : ↑U
hz : z ∈ {u | analyticOrderAt f ↑u = ⊤}ᶜ
h : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] ↑z, f z ≠ 0
t' : Set 𝕜
h₁t' : ∀ y ∈ t', y ∈ {↑z}ᶜ → f y ≠ 0
h₂t' : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t'
h₃t' : ↑z ∈ t'
⊢ IsOpen[instTopologicalSpaceSubtype] (Subtype.val ⁻¹' t') ∧ z ∈ Subtype.val ⁻¹' t'

Tactic:
·

Goal state after:
case h.right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
z : ↑U
hz : z ∈ {u | analyticOrderAt f ↑u = ⊤}ᶜ
h : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] ↑z, f z ≠ 0
t' : Set 𝕜
h₁t' : ∀ y ∈ t', y ∈ {↑z}ᶜ → f y ≠ 0
h₂t' : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t'
h₃t' : ↑z ∈ t'
⊢ IsOpen[instTopologicalSpaceSubtype] (Subtype.val ⁻¹' t') ∧ z ∈ Subtype.val ⁻¹' t'
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Extend

Goal state before:
pp: case neg.refine_1
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
f' : E →L[ℝ] F
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
s_conv : Convex ℝ s
s_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
f_cont : ∀ y ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s, ContinuousWithinAt f s y
h : Tendsto (fun y ↦ fderiv ℝ f y) (𝓝[s] x) (𝓝 f')
hx : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
hδ : ∀ y ∈ s, dist y x < δ → ‖fderiv ℝ f y - f'‖ < ε
B : Set E := ball x δ
key : ∀ p ∈ (B ∩ s) ×ˢ (B ∩ s), ‖f p.2 - f p.1 - (f' p.2 - f' p.1)‖ ≤ ε * ‖p.2 - p.1‖
u v : E
uv_in : (u, v) ∈ closure[instTopologicalSpaceProd] ((B ∩ s) ×ˢ (B ∩ s))
f_cont' : ∀ y ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s, ContinuousWithinAt (f - ⇑f') s y
⊢ ContinuousWithinAt (fun y ↦ ‖f y.2 - f y.1 - (f' y.2 - f' y.1)‖) ((B ∩ s) ×ˢ (B ∩ s)) (u, v)

Tactic:
have : (B ∩ s) ×ˢ (B ∩ s) ⊆ s ×ˢ s := by grw [inter_subset_right]

Goal state after:
case neg.refine_1
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
f' : E →L[ℝ] F
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
s_conv : Convex ℝ s
s_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
f_cont : ∀ y ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s, ContinuousWithinAt f s y
h : Tendsto (fun y ↦ fderiv ℝ f y) (𝓝[s] x) (𝓝 f')
hx : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
hδ : ∀ y ∈ s, dist y x < δ → ‖fderiv ℝ f y - f'‖ < ε
B : Set E := ball x δ
key : ∀ p ∈ (B ∩ s) ×ˢ (B ∩ s), ‖f p.2 - f p.1 - (f' p.2 - f' p.1)‖ ≤ ε * ‖p.2 - p.1‖
u v : E
uv_in : (u, v) ∈ closure[instTopologicalSpaceProd] ((B ∩ s) ×ˢ (B ∩ s))
f_cont' : ∀ y ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s, ContinuousWithinAt (f - ⇑f') s y
this : (B ∩ s) ×ˢ (B ∩ s) ⊆ s ×ˢ s
⊢ ContinuousWithinAt (fun y ↦ ‖f y.2 - f y.1 - (f' y.2 - f' y.1)‖) ((B ∩ s) ×ˢ (B ∩ s)) (u, v)
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Order

Goal state before:
pp: case right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
⊢ IsOpen[instTopologicalSpaceSubtype] {u | analyticOrderAt f ↑u = ⊤}

Tactic:
·

Goal state after:
case right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
⊢ IsOpen[instTopologicalSpaceSubtype] {u | analyticOrderAt f ↑u = ⊤}
Module: Mathlib.Analysis.Meromorphic.Basic

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
m : ℕ
z : 𝕜
hfg : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 z, x ∈ {z}ᶜ → f x = g x
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z_1 ↦ (z_1 - z) ^ m • f z_1) z
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z_1 ↦ z_1 - z) z
hz : z ∈ {z}ᶜ → f z = g z
⊢ (z - z) • (z - z) ^ m • f z = (z - z) ^ (m + 1) • g z

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
f g : 𝕜 → E
hfg : ∀ᶠ (x_1 : 𝕜) in 𝓝 x, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 = g x_1
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) x
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ z - x) x
z : 𝕜
hz : z ∈ {x}ᶜ → f z = g z
hn : z ≠ x
⊢ (z - x) • (z - x) ^ m • f z = (z - x) ^ (m + 1) • g z

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
m : ℕ
z : 𝕜
hfg : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 z, x ∈ {z}ᶜ → f x = g x
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z_1 ↦ (z_1 - z) ^ m • f z_1) z
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z_1 ↦ z_1 - z) z
hz : z ∈ {z}ᶜ → f z = g z
⊢ (z - z) • (z - z) ^ m • f z = (z - z) ^ (m + 1) • g z
Module: Mathlib.Analysis.Meromorphic.Basic

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
f g : 𝕜 → E
hfg : ∀ᶠ (x_1 : 𝕜) in 𝓝 x, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 = g x_1
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) x
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ z - x) x
z : 𝕜
hz : z ∈ {x}ᶜ → f z = g z
hn : z ≠ x
⊢ (z - x) • (z - x) ^ m • f z = (z - x) ^ (m + 1) • g z

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
f g : 𝕜 → E
hfg : ∀ᶠ (x_1 : 𝕜) in 𝓝 x, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 = g x_1
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) x
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ z - x) x
z : 𝕜
hz : z ∈ {x}ᶜ → f z = g z
hn : z ≠ x
⊢ (z - x) • (z - x) ^ m • f z = (z - x) ^ (m + 1) • g z
Module: Mathlib.Analysis.Meromorphic.Basic

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜'
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) x
h_eq : (fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) =ᶠ[𝓝 x] 0
⊢ MeromorphicAt f⁻¹ x

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜'
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) x
h_eq : ¬(fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) =ᶠ[𝓝 x] 0
⊢ MeromorphicAt f⁻¹ x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜'
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) x
h_eq : (fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) =ᶠ[𝓝 x] 0
⊢ MeromorphicAt f⁻¹ x
Module: Mathlib.Analysis.Meromorphic.Basic

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜'
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) x
h_eq : ¬(fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) =ᶠ[𝓝 x] 0
⊢ MeromorphicAt f⁻¹ x

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜'
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) x
h_eq : ¬(fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) =ᶠ[𝓝 x] 0
⊢ MeromorphicAt f⁻¹ x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Prod

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
E' : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
φ : 𝕜 → (i : ι) → E' i
h : ∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x ↦ φ x i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin φ s x = fun i ↦ derivWithin (fun x ↦ φ x i) s x

pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
E' : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
φ : 𝕜 → (i : ι) → E' i
h : ∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x ↦ φ x i) s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin φ s x = fun i ↦ derivWithin (fun x ↦ φ x i) s x

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
E' : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
φ : 𝕜 → (i : ι) → E' i
h : ∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x ↦ φ x i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin φ s x = fun i ↦ derivWithin (fun x ↦ φ x i) s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Prod

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
E' : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
φ : 𝕜 → (i : ι) → E' i
h : ∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x ↦ φ x i) s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin φ s x = fun i ↦ derivWithin (fun x ↦ φ x i) s x

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
s : Set 𝕜
ι : Type u_1
E' : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
φ : 𝕜 → (i : ι) → E' i
h : ∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x ↦ φ x i) s x
hsx : ¬UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin φ s x = fun i ↦ derivWithin (fun x ↦ φ x i) s x
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Order

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
x : 𝕜
hx : x ∈ U
h₁f : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 x, f z = 0
⊢ (U \ Subtype.val '' {u | analyticOrderAt f ↑u = 0 ∨ analyticOrderAt f ↑u = ⊤})ᶜ ∈ 𝓝[≠] x

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
x : 𝕜
hx : x ∈ U
h₁f : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z ≠ 0
⊢ (U \ Subtype.val '' {u | analyticOrderAt f ↑u = 0 ∨ analyticOrderAt f ↑u = ⊤})ᶜ ∈ 𝓝[≠] x

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
x : 𝕜
hx : x ∈ U
h₁f : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 x, f z = 0
⊢ (U \ Subtype.val '' {u | analyticOrderAt f ↑u = 0 ∨ analyticOrderAt f ↑u = ⊤})ᶜ ∈ 𝓝[≠] x
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Order

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
x : 𝕜
hx : x ∈ U
h₁f : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z ≠ 0
⊢ (U \ Subtype.val '' {u | analyticOrderAt f ↑u = 0 ∨ analyticOrderAt f ↑u = ⊤})ᶜ ∈ 𝓝[≠] x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
x : 𝕜
hx : x ∈ U
h₁f : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z ≠ 0
⊢ (U \ Subtype.val '' {u | analyticOrderAt f ↑u = 0 ∨ analyticOrderAt f ↑u = ⊤})ᶜ ∈ 𝓝[≠] x
Module: Mathlib.Analysis.Meromorphic.Basic

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
m n : ℕ
g : 𝕜 → 𝕜'
z : 𝕜
hg_ne' : g z ≠ 0
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z_1 ↦ (z_1 - z) ^ m • f z_1) z
h_eq : ¬(fun z_1 ↦ (z_1 - z) ^ m • f z_1) =ᶠ[𝓝 z] 0
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z
hg_ne : g z ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (z_1 : 𝕜) in 𝓝 z, (z_1 - z) ^ m • f z_1 = (z_1 - z) ^ n • g z_1
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z_1 ↦ (z_1 - z) ^ (m + 1)) z
hfg : (z - z) ^ m • f z = (z - z) ^ n • g z
⊢ (z - z) ^ (m + 1) • g⁻¹ z = (z - z) ^ (n + 1) • f⁻¹ z

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜'
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) x
h_eq : ¬(fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) =ᶠ[𝓝 x] 0
n : ℕ
g : 𝕜 → 𝕜'
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g x
hg_ne : g x ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 x, (z - x) ^ m • f z = (z - x) ^ n • g z
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ (z - x) ^ (m + 1)) x
z : 𝕜
hfg : (z - x) ^ m • f z = (z - x) ^ n • g z
hg_ne' : g z ≠ 0
hz_ne : z ≠ x
⊢ (z - x) ^ (m + 1) • g⁻¹ z = (z - x) ^ (n + 1) • f⁻¹ z

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
m n : ℕ
g : 𝕜 → 𝕜'
z : 𝕜
hg_ne' : g z ≠ 0
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z_1 ↦ (z_1 - z) ^ m • f z_1) z
h_eq : ¬(fun z_1 ↦ (z_1 - z) ^ m • f z_1) =ᶠ[𝓝 z] 0
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z
hg_ne : g z ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (z_1 : 𝕜) in 𝓝 z, (z_1 - z) ^ m • f z_1 = (z_1 - z) ^ n • g z_1
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z_1 ↦ (z_1 - z) ^ (m + 1)) z
hfg : (z - z) ^ m • f z = (z - z) ^ n • g z
⊢ (z - z) ^ (m + 1) • g⁻¹ z = (z - z) ^ (n + 1) • f⁻¹ z
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Order

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
x : 𝕜
hx : x ∈ U
h₁f : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 x, f z = 0
⊢ (U \ {u | analyticOrderAt f u = 0 ∨ analyticOrderAt f u = ⊤})ᶜ ∈ 𝓝[≠] x

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
x : 𝕜
hx : x ∈ U
h₁f : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z ≠ 0
⊢ (U \ {u | analyticOrderAt f u = 0 ∨ analyticOrderAt f u = ⊤})ᶜ ∈ 𝓝[≠] x

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
x : 𝕜
hx : x ∈ U
h₁f : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 x, f z = 0
⊢ (U \ {u | analyticOrderAt f u = 0 ∨ analyticOrderAt f u = ⊤})ᶜ ∈ 𝓝[≠] x
Module: Mathlib.Analysis.Meromorphic.Basic

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜'
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) x
h_eq : ¬(fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) =ᶠ[𝓝 x] 0
n : ℕ
g : 𝕜 → 𝕜'
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g x
hg_ne : g x ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 x, (z - x) ^ m • f z = (z - x) ^ n • g z
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ (z - x) ^ (m + 1)) x
z : 𝕜
hfg : (z - x) ^ m • f z = (z - x) ^ n • g z
hg_ne' : g z ≠ 0
hz_ne : z ≠ x
⊢ (z - x) ^ (m + 1) • g⁻¹ z = (z - x) ^ (n + 1) • f⁻¹ z

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
x : 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜'
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) x
h_eq : ¬(fun z ↦ (z - x) ^ m • f z) =ᶠ[𝓝 x] 0
n : ℕ
g : 𝕜 → 𝕜'
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g x
hg_ne : g x ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 x, (z - x) ^ m • f z = (z - x) ^ n • g z
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ (z - x) ^ (m + 1)) x
z : 𝕜
hfg : (z - x) ^ m • f z = (z - x) ^ n • g z
hg_ne' : g z ≠ 0
hz_ne : z ≠ x
⊢ (z - x) ^ (m + 1) • g⁻¹ z = (z - x) ^ (n + 1) • f⁻¹ z
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Order

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
x : 𝕜
hx : x ∈ U
h₁f : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z ≠ 0
⊢ (U \ {u | analyticOrderAt f u = 0 ∨ analyticOrderAt f u = ⊤})ᶜ ∈ 𝓝[≠] x

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
x : 𝕜
hx : x ∈ U
h₁f : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z ≠ 0
⊢ (U \ {u | analyticOrderAt f u = 0 ∨ analyticOrderAt f u = ⊤})ᶜ ∈ 𝓝[≠] x
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Order

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
h₁f : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
h₂f : f x ≠ 0
hx : x ∈ U
hU : IsConnected U
hzero : EqOn f 0 U
⊢ f ⁻¹' {0}ᶜ ∈ codiscreteWithin U

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
h₁f : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
h₂f : f x ≠ 0
hx : x ∈ U
hU : IsConnected U
hne : ∀ᶠ (x : 𝕜) in codiscreteWithin U, f x ≠ 0
⊢ f ⁻¹' {0}ᶜ ∈ codiscreteWithin U

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
h₁f : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
h₂f : f x ≠ 0
hx : x ∈ U
hU : IsConnected U
hzero : EqOn f 0 U
⊢ f ⁻¹' {0}ᶜ ∈ codiscreteWithin U