mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Group

Goal state before:
pp: case e'_6
α : Type u_1
β : Type u_2
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommGroup α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : IsTopologicalGroup α
f : β → α
a : α
inst✝¹ : L.LeAtTop
inst✝ : DecidableEq β
hf : HasProd f a L
b : β
⊢ a / f b = 1 / f b * a

Tactic:
·

Goal state after:
case e'_6
α : Type u_1
β : Type u_2
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommGroup α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : IsTopologicalGroup α
f : β → α
a : α
inst✝¹ : L.LeAtTop
inst✝ : DecidableEq β
hf : HasProd f a L
b : β
⊢ a / f b = 1 / f b * a
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Group

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : IsUniformGroup α
f : β → α
⊢ (∀ s ∈ 𝓝 1, ∃ a, ∀ (b : Finset β × Finset β), a ≤ b → (∏ b ∈ b.2, f b) / ∏ b ∈ b.1, f b ∈ s) →
    ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ e

pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : IsUniformGroup α
f : β → α
⊢ (∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ e) →
    ∀ s ∈ 𝓝 1, ∃ a, ∀ (b : Finset β × Finset β), a ≤ b → (∏ b ∈ b.2, f b) / ∏ b ∈ b.1, f b ∈ s

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : IsUniformGroup α
f : β → α
⊢ (∀ s ∈ 𝓝 1, ∃ a, ∀ (b : Finset β × Finset β), a ≤ b → (∏ b ∈ b.2, f b) / ∏ b ∈ b.1, f b ∈ s) →
    ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Basic

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_4
α : Type u_5
α' : Type u_6
G : Type u_7
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : CommMonoid α'
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : T2Space α'
f : ι → α
L : SummationFilter ι
g : G
inst✝¹ : FunLike G α α'
inst✝ : MonoidHomClass G α α'
hge : IsClosedEmbedding ⇑g
hL : L.NeBot
⊢ g (∏'[L] (i : ι), f i) = ∏'[L] (i : ι), g (f i)

pp: case neg
ι : Type u_4
α : Type u_5
α' : Type u_6
G : Type u_7
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : CommMonoid α'
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : T2Space α'
f : ι → α
L : SummationFilter ι
g : G
inst✝¹ : FunLike G α α'
inst✝ : MonoidHomClass G α α'
hge : IsClosedEmbedding ⇑g
hL : ¬L.NeBot
⊢ g (∏'[L] (i : ι), f i) = ∏'[L] (i : ι), g (f i)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_4
α : Type u_5
α' : Type u_6
G : Type u_7
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : CommMonoid α'
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : T2Space α'
f : ι → α
L : SummationFilter ι
g : G
inst✝¹ : FunLike G α α'
inst✝ : MonoidHomClass G α α'
hge : IsClosedEmbedding ⇑g
hL : L.NeBot
⊢ g (∏'[L] (i : ι), f i) = ∏'[L] (i : ι), g (f i)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Basic

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_4
α : Type u_5
α' : Type u_6
G : Type u_7
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : CommMonoid α'
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : T2Space α'
f : ι → α
L : SummationFilter ι
g : G
inst✝¹ : FunLike G α α'
inst✝ : MonoidHomClass G α α'
hge : IsClosedEmbedding ⇑g
hL : L.NeBot
h : Multipliable f L
⊢ g (∏'[L] (i : ι), f i) = ∏'[L] (i : ι), g (f i)

pp: case neg
ι : Type u_4
α : Type u_5
α' : Type u_6
G : Type u_7
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : CommMonoid α'
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : T2Space α'
f : ι → α
L : SummationFilter ι
g : G
inst✝¹ : FunLike G α α'
inst✝ : MonoidHomClass G α α'
hge : IsClosedEmbedding ⇑g
hL : L.NeBot
h : ¬Multipliable f L
⊢ g (∏'[L] (i : ι), f i) = ∏'[L] (i : ι), g (f i)

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_4
α : Type u_5
α' : Type u_6
G : Type u_7
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : CommMonoid α'
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : T2Space α'
f : ι → α
L : SummationFilter ι
g : G
inst✝¹ : FunLike G α α'
inst✝ : MonoidHomClass G α α'
hge : IsClosedEmbedding ⇑g
hL : L.NeBot
h : Multipliable f L
⊢ g (∏'[L] (i : ι), f i) = ∏'[L] (i : ι), g (f i)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Basic

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_4
α : Type u_5
α' : Type u_6
G : Type u_7
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : CommMonoid α'
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : T2Space α'
f : ι → α
L : SummationFilter ι
g : G
inst✝¹ : FunLike G α α'
inst✝ : MonoidHomClass G α α'
hge : IsClosedEmbedding ⇑g
hL : L.NeBot
h : ¬Multipliable f L
⊢ g (∏'[L] (i : ι), f i) = ∏'[L] (i : ι), g (f i)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_4
α : Type u_5
α' : Type u_6
G : Type u_7
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : CommMonoid α'
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : T2Space α'
f : ι → α
L : SummationFilter ι
g : G
inst✝¹ : FunLike G α α'
inst✝ : MonoidHomClass G α α'
hge : IsClosedEmbedding ⇑g
hL : L.NeBot
h : ¬Multipliable f L
⊢ g (∏'[L] (i : ι), f i) = ∏'[L] (i : ι), g (f i)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Group

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : IsUniformGroup α
f : β → α
⊢ (∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ e) →
    ∀ s ∈ 𝓝 1, ∃ a, ∀ (b : Finset β × Finset β), a ≤ b → (∏ b ∈ b.2, f b) / ∏ b ∈ b.1, f b ∈ s

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : IsUniformGroup α
f : β → α
⊢ (∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ e) →
    ∀ s ∈ 𝓝 1, ∃ a, ∀ (b : Finset β × Finset β), a ≤ b → (∏ b ∈ b.2, f b) / ∏ b ∈ b.1, f b ∈ s
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Basic

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_4
α : Type u_5
α' : Type u_6
G : Type u_7
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : CommMonoid α'
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : T2Space α'
f : ι → α
L : SummationFilter ι
g : G
inst✝¹ : FunLike G α α'
inst✝ : MonoidHomClass G α α'
hge : IsClosedEmbedding ⇑g
hL : ¬L.NeBot
⊢ g (∏'[L] (i : ι), f i) = ∏'[L] (i : ι), g (f i)

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_4
α : Type u_5
α' : Type u_6
G : Type u_7
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : CommMonoid α'
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : T2Space α'
f : ι → α
L : SummationFilter ι
g : G
inst✝¹ : FunLike G α α'
inst✝ : MonoidHomClass G α α'
hge : IsClosedEmbedding ⇑g
hL : ¬L.NeBot
⊢ g (∏'[L] (i : ι), f i) = ∏'[L] (i : ι), g (f i)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Basic

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
⊢ Multipliable f L → Multipliable (⇑g ∘ f) L ∧ ∏'[L] (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g

pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
⊢ Multipliable (⇑g ∘ f) L ∧ ∏'[L] (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g → Multipliable f L

Tactic:
·

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
⊢ Multipliable f L → Multipliable (⇑g ∘ f) L ∧ ∏'[L] (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Basic

Goal state before:
pp: case mp.left
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
hf : Multipliable f L
⊢ Multipliable (⇑g ∘ f) L

pp: case mp.right
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
hf : Multipliable f L
⊢ ∏'[L] (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.left
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
hf : Multipliable f L
⊢ Multipliable (⇑g ∘ f) L
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Basic

Goal state before:
pp: case mp.right
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
hf : Multipliable f L
⊢ ∏'[L] (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g

Tactic:
·

Goal state after:
case mp.right
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
hf : Multipliable f L
⊢ ∏'[L] (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₁ a₂ : α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Injective e
hs : ∀ c ∉ Set.range e, 1 ≤ g c
h : ∀ (i : ι), f i ≤ g (e i)
hf : HasProd (extend e f 1) a₁
hg : HasProd g a₂
i : ι
⊢ extend e f 1 (e i) ≤ g (e i)

pp: case inr
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₁ a₂ : α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Injective e
hs : ∀ c ∉ Set.range e, 1 ≤ g c
h✝ : ∀ (i : ι), f i ≤ g (e i)
hf : HasProd (extend e f 1) a₁
hg : HasProd g a₂
c : κ
h : c ∉ Set.range e
⊢ extend e f 1 c ≤ g c

Tactic:
·

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₁ a₂ : α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Injective e
hs : ∀ c ∉ Set.range e, 1 ≤ g c
h : ∀ (i : ι), f i ≤ g (e i)
hf : HasProd (extend e f 1) a₁
hg : HasProd g a₂
i : ι
⊢ extend e f 1 (e i) ≤ g (e i)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
hf : Multipliable f L
hL : L.NeBot
⊢ ∏'[L] (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g

pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
hf : Multipliable f L
hL : ¬L.NeBot
⊢ ∏'[L] (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
hf : Multipliable f L
hL : L.NeBot
⊢ ∏'[L] (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₁ a₂ : α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Injective e
hs : ∀ c ∉ Set.range e, 1 ≤ g c
h✝ : ∀ (i : ι), f i ≤ g (e i)
hf : HasProd (extend e f 1) a₁
hg : HasProd g a₂
c : κ
h : c ∉ Set.range e
⊢ extend e f 1 c ≤ g c

Tactic:
·

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsOrderedMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₁ a₂ : α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Injective e
hs : ∀ c ∉ Set.range e, 1 ≤ g c
h✝ : ∀ (i : ι), f i ≤ g (e i)
hf : HasProd (extend e f 1) a₁
hg : HasProd g a₂
c : κ
h : c ∉ Set.range e
⊢ extend e f 1 c ≤ g c
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
hf : Multipliable f L
hL : ¬L.NeBot
⊢ ∏'[L] (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
hf : Multipliable f L
hL : ¬L.NeBot
⊢ ∏'[L] (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
hf : Multipliable f L
hL : ¬L.NeBot
hfs : (mulSupport fun x ↦ g (f x)).Finite
⊢ ∏'[L] (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g

pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
hf : Multipliable f L
hL : ¬L.NeBot
hfs : ¬(mulSupport fun x ↦ g (f x)).Finite
⊢ ∏'[L] (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
hf : Multipliable f L
hL : ¬L.NeBot
hfs : (mulSupport fun x ↦ g (f x)).Finite
⊢ ∏'[L] (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
hf : Multipliable f L
hL : ¬L.NeBot
hfs : ¬(mulSupport fun x ↦ g (f x)).Finite
⊢ ∏'[L] (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
hf : Multipliable f L
hL : ¬L.NeBot
hfs : ¬(mulSupport fun x ↦ g (f x)).Finite
⊢ ∏'[L] (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Group

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : IsUniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ s, ∀ (t : Set β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s) → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e

pp: case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : IsUniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Set β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s) → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e

Tactic:
·

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : IsUniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ s, ∀ (t : Set β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s) → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝⁷ : CommMonoid α
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : IsOrderedMonoid α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a : α
inst✝² : L.NeBot
inst✝¹ : L.LeAtTop
inst✝ : MulRightStrictMono α
hf : HasProd f a L
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → 1 ≤ f j
j : ι
hij : j ≠ i
hj : 1 < f j
⊢ f i < a

Tactic:
calc
    f i < f j * f i := lt_mul_of_one_lt_left' (f i) hj
    _ = ∏ k ∈ {j, i}, f k := by rw [Finset.prod_pair hij]
    _ ≤ a := prod_le_hasProd _ (fun k hk ↦ hi k (hk ∘ mem_insert_of_mem ∘ mem_singleton.mpr)) hf

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
ha₂ : 1 ≤ a₂
h : ∀ (s : Finset ι), ∏ i ∈ s, f i ≤ a₂
hL : L.NeBot
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ a₂

pp: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
ha₂ : 1 ≤ a₂
h : ∀ (s : Finset ι), ∏ i ∈ s, f i ≤ a₂
hL : ¬L.NeBot
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ a₂

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
ha₂ : 1 ≤ a₂
h : ∀ (s : Finset ι), ∏ i ∈ s, f i ≤ a₂
hL : L.NeBot
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ a₂
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
ha₂ : 1 ≤ a₂
h : ∀ (s : Finset ι), ∏ i ∈ s, f i ≤ a₂
hL : L.NeBot
hf : Multipliable f L
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ a₂

pp: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
ha₂ : 1 ≤ a₂
h : ∀ (s : Finset ι), ∏ i ∈ s, f i ≤ a₂
hL : L.NeBot
hf : ¬Multipliable f L
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ a₂

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
ha₂ : 1 ≤ a₂
h : ∀ (s : Finset ι), ∏ i ∈ s, f i ≤ a₂
hL : L.NeBot
hf : Multipliable f L
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ a₂
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
⊢ Multipliable (⇑g ∘ f) L ∧ ∏'[L] (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g → Multipliable f L

Tactic:
·

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CommMonoid α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
L : SummationFilter β
inst✝⁴ : CommMonoid γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : T2Space γ
G : Type u_4
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : IsInducing ⇑g
f : β → α
⊢ Multipliable (⇑g ∘ f) L ∧ ∏'[L] (i : β), g (f i) ∈ Set.range ⇑g → Multipliable f L
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
ha₂ : 1 ≤ a₂
h : ∀ (s : Finset ι), ∏ i ∈ s, f i ≤ a₂
hL : L.NeBot
hf : ¬Multipliable f L
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ a₂

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
ha₂ : 1 ≤ a₂
h : ∀ (s : Finset ι), ∏ i ∈ s, f i ≤ a₂
hL : L.NeBot
hf : ¬Multipliable f L
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ a₂
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
ha₂ : 1 ≤ a₂
h : ∀ (s : Finset ι), ∏ i ∈ s, f i ≤ a₂
hL : ¬L.NeBot
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ a₂

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
ha₂ : 1 ≤ a₂
h : ∀ (s : Finset ι), ∏ i ∈ s, f i ≤ a₂
hL : ¬L.NeBot
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ a₂
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
ha₂ : 1 ≤ a₂
h : ∀ (s : Finset ι), ∏ i ∈ s, f i ≤ a₂
hL : ¬L.NeBot
hf : (mulSupport f).Finite
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ a₂

pp: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
ha₂ : 1 ≤ a₂
h : ∀ (s : Finset ι), ∏ i ∈ s, f i ≤ a₂
hL : ¬L.NeBot
hf : ¬(mulSupport f).Finite
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ a₂

Tactic:
·

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
ha₂ : 1 ≤ a₂
h : ∀ (s : Finset ι), ∏ i ∈ s, f i ≤ a₂
hL : ¬L.NeBot
hf : (mulSupport f).Finite
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ a₂
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Order

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
ha₂ : 1 ≤ a₂
h : ∀ (s : Finset ι), ∏ i ∈ s, f i ≤ a₂
hL : ¬L.NeBot
hf : ¬(mulSupport f).Finite
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ a₂

Tactic:
·

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
α : Type u_3
L : SummationFilter ι
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a₂ : α
ha₂ : 1 ≤ a₂
h : ∀ (s : Finset ι), ∏ i ∈ s, f i ≤ a₂
hL : ¬L.NeBot
hf : ¬(mulSupport f).Finite
⊢ ∏'[L] (i : ι), f i ≤ a₂