mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : Module S M
inst✝⁴ : IsScalarTower S R M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower S R N
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : Fintype ι
i : ι
hP :
  (P.PolarizationIn S) (P.rootSpanMem S i) =
    ∑ j, P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i) j) • P.coroot ((P.reflectionPerm i) j)
⊢ ∑ i_1, (P.pairingIn S i i_1 * P.pairingIn S i i_1) • P.coroot i = ∑ x, P.pairingIn S i x • P.pairing i x • P.coroot i

Tactic:
refine Finset.sum_congr rfl ?_

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : Module S M
inst✝⁴ : IsScalarTower S R M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower S R N
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : Fintype ι
i : ι
hP :
  (P.PolarizationIn S) (P.rootSpanMem S i) =
    ∑ j, P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i) j) • P.coroot ((P.reflectionPerm i) j)
⊢ ∀ x ∈ Finset.univ,
    (P.pairingIn S i x * P.pairingIn S i x) • P.coroot i = P.pairingIn S i x • P.pairing i x • P.coroot i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsDomain S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : P.IsValuedIn S
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower S R M
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R N
this : IsTorsionFree S N
⊢ ∏ i, ((P.RootFormIn S) (P.rootSpanMem S i)) (P.rootSpanMem S i) ≠ 0

Tactic:
refine Finset.prod_ne_zero_iff.mpr fun i _ h ↦ ?_

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsDomain S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : P.IsValuedIn S
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower S R M
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : P.IsAnisotropic
this✝ : IsReflexive R N
this : IsTorsionFree S N
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
h : ((P.RootFormIn S) (P.rootSpanMem S i)) (P.rootSpanMem S i) = 0
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
⊢ finrank R ↥(Submodule.map P.Polarization (P.rootSpan R)) = finrank R ↥(P.corootSpan R)

Tactic:
rw [← P.finrank_range_polarization_eq_finrank_span_coroot R, range_polarizationIn]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
⊢ IsCompl (P.rootSpan R) (LinearMap.ker P.RootForm)

Tactic:
have : IsReflexive R M := .of_isPerfPair P.toLinearMap
  have : IsReflexive R N := .of_isPerfPair P.flip.toLinearMap
  refine (Submodule.isCompl_iff_disjoint _ _ ?_).mpr P.disjoint_rootSpan_ker_rootForm
  have aux : finrank R M =
      finrank R (P.rootSpan R) + finrank R (P.corootSpan R).dualAnnihilator := by
    rw [P.toPerfPair.finrank_eq, ← P.finrank_corootSpan_eq',
      Subspace.finrank_add_finrank_dualAnnihilator_eq (P.corootSpan R), Subspace.dual_finrank_eq]
  rw [aux, add_le_add_iff_left]
  convert! Submodule.finrank_mono P.corootSpan_dualAnnihilator_le_ker_rootForm
  exact (LinearEquiv.finrank_map_eq _ _).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Field R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
⊢ IsCompl (P.corootSpan R) (Submodule.map (↑P.flip.toPerfPair.symm) (P.rootSpan R).dualAnnihilator)

Tactic:
simpa only [ker_corootForm_eq_dualAnnihilator] using! P.isCompl_corootSpan_ker_corootForm

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsAnisotropic
inst✝ : P.IsRootSystem
i : ι
h₀ : (P.RootForm (P.root i)) (P.root i) ≠ 0
⊢ 2 • P.Polarization (P.root i) = 2 • P.Polarization (P.root i)

Tactic:
norm_cast

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), ∑ i, (Q i) (x i) = 0 → ∀ (x_1 : ι), x x_1 = 0
⊢ ∀ (i : ι), (Q i).Anisotropic

Tactic:
intro i

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), ∑ i, (Q i) (x i) = 0 → ∀ (x_1 : ι), x x_1 = 0
i : ι
⊢ (Q i).Anisotropic
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: case mp
ι : Type u_1
R : Type u_2
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
P : Type u_10
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
hle : ∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x
ha : (pi Q).Anisotropic
⊢ ∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (Q i).Anisotropic

Tactic:
intro i

Goal state after:
case mp
ι : Type u_1
R : Type u_2
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
P : Type u_10
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
hle : ∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x
ha : (pi Q).Anisotropic
i : ι
⊢ (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (Q i).Anisotropic
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Dual

Goal state before:
pp: ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : (BilinMap.toQuadraticMap B).PosDef
f : Module.Dual R M
v : ι → M
hp : ∀ (i : ι), 0 < f (v i)
hn : Pairwise fun i j ↦ (B (v i)) (v j) ≤ 0
s : Finset ι
c : ι → R
x : M := ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
hx : x = ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i
y : M := ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
hy : y = ∑ i ∈ s with 0 < -c i, -c i • v i
hc : x = y
this : (B x) y ≤ 0
⊢ x = 0

Tactic:
by simpa [hc, ← hB.le_zero_iff, B.toQuadraticMap_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.Interval.Set.OrdConnectedLinear

Goal state before:
pp: α : Type u_1
I : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
⊢ I.OrdConnected ↔ ∀ x ∈ I, ∀ y ∈ I, Ioo x y ⊆ Iᶜ → Ioo x y = ∅

Tactic:
refine ⟨fun h' x hx y hy hxy ↦ ?_, fun h' ↦ ordConnected_of_Ioo fun x hx y hy hxy z hz ↦ ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
I : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h' : I.OrdConnected
x : α
hx : x ∈ I
y : α
hy : y ∈ I
hxy : Ioo x y ⊆ Iᶜ
⊢ Ioo x y = ∅

case refine_2
α : Type u_1
I : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h' : ∀ x ∈ I, ∀ y ∈ I, Ioo x y ⊆ Iᶜ → Ioo x y = ∅
x : α
hx : x ∈ I
y : α
hy : y ∈ I
hxy : x < y
z : α
hz : z ∈ Ioo x y
⊢ z ∈ I
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrder S
inst✝⁴ : AddCommGroup S
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid S
f : M →+ S
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsCrystallographic
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ (baseOf (⇑P.root) f).Pairwise fun i j ↦ P.pairingIn ℤ i j ≤ 0

Tactic:
intro i

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrder S
inst✝⁴ : AddCommGroup S
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid S
f : M →+ S
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsCrystallographic
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
i : ι
⊢ i ∈ baseOf (⇑P.root) f → ∀ ⦃y : ι⦄, y ∈ baseOf (⇑P.root) f → i ≠ y → (fun i j ↦ P.pairingIn ℤ i j ≤ 0) i y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
x✝¹ : r ∈ S
s : ℤ
x✝ : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk : P.root k = P.root j + r • P.root i
l : ι
hl : P.root l = P.root j + s • P.root i
contra : r + 1 < s
hki_notMem : P.root k + P.root i ∉ range ⇑P.root
hki_ne : P.root k ≠ -P.root i
hli_notMem : P.root l - P.root i ∉ range ⇑P.root
hli_ne : P.root l ≠ P.root i
⊢ False

Tactic:
have h₁ : 0 ≤ P.pairingIn ℤ k i := by
    have := P.root_add_root_mem_of_pairingIn_neg (i := k) (j := i)
    contrapose! this
    exact ⟨this, hki_ne, hki_notMem⟩

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
x✝¹ : r ∈ S
s : ℤ
x✝ : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk : P.root k = P.root j + r • P.root i
l : ι
hl : P.root l = P.root j + s • P.root i
contra : r + 1 < s
hki_notMem : P.root k + P.root i ∉ range ⇑P.root
hki_ne : P.root k ≠ -P.root i
hli_notMem : P.root l - P.root i ∉ range ⇑P.root
hli_ne : P.root l ≠ P.root i
h₁ : 0 ≤ P.pairingIn ℤ k i
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
f : ι → ℤ
hf : ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j ∈ range ⇑P.root
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
this :
  ∀ (f : ι → ℤ),
    ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support) →
      Function.support f ⊆ ↑b.support → f ≠ 0 → 0 < f
⊢ 0 < f ∨ f < 0

Tactic:
obtain ⟨k, hk⟩ := hf
    have hf' : f ≠ 0 := by rintro rfl; exact P.ne_zero k <| by simp [hk]
    rcases b.root_mem_or_neg_mem k with hk' | hk' <;> rw [hk] at hk'
    · left; exact this f hk' hf₀ hf'
    · right; simpa using this (-f) (by convert! hk'; simp) (by simpa only [support_neg]) (by simpa)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ Iic (chainBotCoeff i j) = {k | P.root j - k • P.root i ∈ range ⇑P.root}

Tactic:
ext; simp [← P.root_sub_nsmul_mem_range_iff_le_chainBotCoeff h]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
x✝ : ℤ
⊢ x✝ ∈ {k | P.root j - k • P.root i ∈ range ⇑P.root} ↔ P.root j - x✝ • P.root i ∈ range ⇑P.root

Tactic:
mem_ofPred_eq

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
x✝ : ℤ
⊢ P.root j - x✝ • P.root i ∈ range ⇑P.root ↔ P.root j - x✝ • P.root i ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
f✝ : ι → ℤ
hf : ∑ j ∈ b.support, f✝ j • P.root j ∈ range ⇑P.root
hf₀✝ : Function.support f✝ ⊆ ↑b.support
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : f ≠ 0
f' : ↥b.support → ℤ := fun i ↦ f ↑i
c : ↑↑b.support → ℕ
hc : ∀ (i : ↥b.support), ↑(c i) = f' i
⊢ 0 ≤ f

Tactic:
intro i

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
f✝ : ι → ℤ
hf : ∑ j ∈ b.support, f✝ j • P.root j ∈ range ⇑P.root
hf₀✝ : Function.support f✝ ⊆ ↑b.support
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : f ≠ 0
f' : ↥b.support → ℤ := fun i ↦ f ↑i
c : ↑↑b.support → ℕ
hc : ∀ (i : ↥b.support), ↑(c i) = f' i
i : ι
⊢ 0 i ≤ f i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
f✝ : ι → ℤ
hf : ∑ j ∈ b.support, f✝ j • P.root j ∈ range ⇑P.root
hf₀✝ : Function.support f✝ ⊆ ↑b.support
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : f ≠ 0
f' : ↥b.support → ℤ := fun i ↦ f ↑i
c : ↑↑b.support → ℕ
hc : ∀ (i : ↥b.support), ↑(c i) = f' i
⊢ 0 < f

Tactic:
have aux : 0 ≤ f := by
    intro i
    by_cases hi : i ∈ b.support
    · change 0 ≤ f' ⟨i, hi⟩
      simp [← hc]
    · replace hi : i ∉ f.support := by contrapose hi; exact hf₀ hi
      simp_all

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
f✝ : ι → ℤ
hf : ∑ j ∈ b.support, f✝ j • P.root j ∈ range ⇑P.root
hf₀✝ : Function.support f✝ ⊆ ↑b.support
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : f ≠ 0
f' : ↥b.support → ℤ := fun i ↦ f ↑i
c : ↑↑b.support → ℕ
hc : ∀ (i : ↥b.support), ↑(c i) = f' i
aux : 0 ≤ f
⊢ 0 < f
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j : ι
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : j ≠ i
f : ι → ℤ := fun k ↦ if k = i then 1 else if k = j then -1 else 0
⊢ P.root i - P.root j ∉ range ⇑P.root

Tactic:
have hf : ∑ k ∈ b.support, f k • P.root k = P.root i - P.root j := by
    have : {i, j} ⊆ b.support := by aesop (add simp Finset.insert_subset_iff)
    rw [← Finset.sum_subset (s₁ := {i, j}) (s₂ := b.support) (by lia) (by aesop),
      Finset.sum_insert (by grind), Finset.sum_singleton]
    simp [f, hij, sub_eq_add_neg]

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j : ι
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : j ≠ i
f : ι → ℤ := fun k ↦ if k = i then 1 else if k = j then -1 else 0
hf : ∑ k ∈ b.support, f k • P.root k = P.root i - P.root j
⊢ P.root i - P.root j ∉ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case neg.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : Module.IsReflexive R N
this : IsAddTorsionFree M
hli : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hij : P.pairingIn ℤ i j = 2 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 2
⊢ P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root

Tactic:
P.pairingIn_two_two_iff

Goal state after:
case neg.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : Module.IsReflexive R N
this : IsAddTorsionFree M
hli : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hij : i = j
⊢ P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
i✝ j✝ : ι
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
hij : P.root i✝ + P.root j✝ ∈ range ⇑P.root
q : Submodule K M
hq✝ : q ∈ P.invtRootSubmodule
hq : ∀ (i : ι), q ∈ Module.End.invtSubmodule ↑(P.reflection i)
i j k : ι
hk : P.root k = P.root i + P.root j
hi : P.root i ∈ q
hij₀ : P.pairing i j = 0
⊢ ¬(P.toLinearMap (P.root i + P.root j)) (P.coroot i) = 0

Tactic:
simpa [P.pairing_eq_zero_iff.mp hij₀] using two_ne_zero

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : P.IsReduced
B : P.InvariantForm
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : Nonempty ι
i : ι
h : ∀ (j : ι), (B.form (P.root j)) (P.root j) = (B.form (P.root i)) (P.root i)
j : ι
⊢ (B.form (P.root j)) (P.root j) = (B.form (P.root i)) (P.root i) ∨
    (B.form (P.root j)) (P.root j) = (B.form (P.root i)) (P.root i)

Tactic:
simp [h j]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
⊢ ∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ (0 < f ∨ f < 0) ∧ P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j

Tactic:
obtain ⟨f, hf, hf' | hf'⟩ := b.exists_root_eq_sum_nat_or_neg i
  · refine ⟨Nat.cast ∘ f, by simpa, Or.inl <| Pi.lt_def.mpr ⟨fun _ ↦ by simp, ?_⟩, by simp [hf']⟩
    by_contra! contra
    replace contra : f = 0 := by ext i; simpa using contra i
    exact P.ne_zero i <| by simp [hf', contra]
  · refine ⟨-Nat.cast ∘ f, by simpa, Or.inr <| Pi.lt_def.mpr ⟨fun _ ↦ by simp, ?_⟩, by simp [hf']⟩
    by_contra! contra
    replace contra : f = 0 := by ext i; simpa using contra i
    exact P.ne_zero i <| by simp [hf', contra]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ ∀ (i j : ι),
    LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] → ↑(chainBotCoeff i j) - ↑(chainTopCoeff i j) ≤ P.pairingIn ℤ j i

Tactic:
intro i

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i✝ j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i✝, P.root j]
i : ι
⊢ ∀ (j : ι), LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] → ↑(chainBotCoeff i j) - ↑(chainTopCoeff i j) ≤ P.pairingIn ℤ j i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
hk : P.root k = P.root i - P.root j
⊢ b.height k = b.height i - b.height j

Tactic:
let := P.indexNeg
  replace hk : P.root k = P.root i + P.root (-j) := by simpa [← sub_eq_add_neg]
  rw [sub_eq_add_neg, ← b.height_reflectionPerm_self, b.height_add hk]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.BilinearForm

Goal state before:
pp: R₁ : Type u_1
M₁ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
n : Type u_5
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
b : Basis n R₁ M₁
M : Matrix n n R₁
⊢ ((toBilin b) M).IsSymm ↔ M.IsSymm

Tactic:
by
  simp [← (M.toBilin b).isSymm_toMatrix_iff_isSymm b]

Goal state after: