mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Pi

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
n : ℕ
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
f : ι → End K M
h : ∀ (i j : ι) (φ : K), MapsTo ⇑(f i) ↑((f j).maxGenEigenspace φ) ↑((f j).maxGenEigenspace φ)
h' : ∀ (i : ι), ⨆ μ, (f i).maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K M = n
i : ι
hy : ∀ (φ : K), finrank K ↥((f i).maxGenEigenspace φ) < n
hi : ∀ (j : ι) (φ : K), MapsTo ⇑(f j) ↑((f i).maxGenEigenspace φ) ↑((f i).maxGenEigenspace φ)
ih : ∀ (φ : K), ⨆ χ, ⨆ (_ : χ i = φ), ⨅ j, maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f j) ⋯) (χ j) = ⊤
φ : K
χ : ι → K
hχ : χ i = φ
⊢ ⨅ j, (f j).maxGenEigenspace (χ j) =
    Submodule.map ((f i).maxGenEigenspace φ).subtype (⨅ j, maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f j) ⋯) (χ j))

Tactic:
← hχ,

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
n : ℕ
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
f : ι → End K M
h : ∀ (i j : ι) (φ : K), MapsTo ⇑(f i) ↑((f j).maxGenEigenspace φ) ↑((f j).maxGenEigenspace φ)
h' : ∀ (i : ι), ⨆ μ, (f i).maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K M = n
i : ι
hy : ∀ (φ : K), finrank K ↥((f i).maxGenEigenspace φ) < n
hi : ∀ (j : ι) (φ : K), MapsTo ⇑(f j) ↑((f i).maxGenEigenspace φ) ↑((f i).maxGenEigenspace φ)
ih : ∀ (φ : K), ⨆ χ, ⨆ (_ : χ i = φ), ⨅ j, maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f j) ⋯) (χ j) = ⊤
φ : K
χ : ι → K
hχ : χ i = φ
⊢ ⨅ j, (f j).maxGenEigenspace (χ j) =
    Submodule.map ((f i).maxGenEigenspace (χ i)).subtype (⨅ j, maxGenEigenspace (LinearMap.restrict (f j) ⋯) (χ j))
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ χ₃ : ↥H → R
hχ : χ₁ + χ₂ = χ₃
x y : ↥(rootSpace H χ₁)
⊢ { toFun := fun m ↦ ⟨⁅↑(x + y), ↑m⁆, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } =
    { toFun := fun m ↦ ⟨⁅↑x, ↑m⁆, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } +
      { toFun := fun m ↦ ⟨⁅↑y, ↑m⁆, ⋯⟩, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }

Tactic:
ext m
    simp only [LieSubmodule.coe_add, add_lie, LinearMap.coe_mk, AddHom.coe_mk, LinearMap.add_apply,
      AddMemClass.mk_add_mk]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ LieSubmodule.map e.toLieModuleHom (posFittingComp R L M) = posFittingComp R L M₂

Tactic:
refine le_antisymm (map_posFittingComp_le _) ?_

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M₂
⊢ posFittingComp R L M₂ ≤ LieSubmodule.map e.toLieModuleHom (posFittingComp R L M)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y z : L
hy : y ∈ lieSpan R L (range b.e)
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
i : ι
x u v : L
hu : u ∈ lieSpan R L (range b.f)
hv : v ∈ lieSpan R L (range b.f)
hu' : ⁅b.e i, u⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
hv' : ⁅b.e i, v⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
⊢ ∃ y ∈ H, ∃ z ∈ b.borelLower, y + z = ⁅b.e i, u⁆

Tactic:
by
        simpa only [LieSubmodule.mem_sup] using! hu'

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.IsTorsionFree R M
x : L
φ₁ φ₂ : R
h : φ₁ ≠ φ₂
⊢ Disjoint (genWeightSpaceOf M φ₁ x) (genWeightSpaceOf M φ₂ x)

Tactic:
rw [← LieSubmodule.disjoint_toSubmodule]
  dsimp [genWeightSpaceOf]
  exact Module.End.disjoint_genEigenspace _ h _ _

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Semisimple.Basic

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥I
y : ↥I
hy : y ∈ ↑↑J
a : L
ha : a ∈ I
b : L
hb : b ∈ sSup ({I' | IsAtom I'} \ {I})
⊢ ⁅b, ↑I.incl y⁆ ∈ Submodule.map ↑I.incl ↑J

Tactic:
suffices ⁅b, y.val⁆ = 0 by erw [this]; simp only [zero_mem]

Goal state after:
case a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥I
y : ↥I
hy : y ∈ ↑↑J
a : L
ha : a ∈ I
b : L
hb : b ∈ sSup ({I' | IsAtom I'} \ {I})
⊢ ⁅b, ↑y⁆ = 0
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.AlgebraicClosure

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝ : Field k
z : AlgebraicClosure k
p : MvPolynomial (Vars k) k
hp : (Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) p = z
⊢ IsIntegral k z

Tactic:
rw [← hp]

Goal state after:
k : Type u
inst✝ : Field k
z : AlgebraicClosure k
p : MvPolynomial (Vars k) k
hp : (Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) p = z
⊢ IsIntegral k ((Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) p)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
⊢ ((killingForm R (LieDerivation R L L)).restrict (ad R L).range.toSubmodule).Nondegenerate

Tactic:
convert! LieAlgebra.IsKilling.killingForm_nondegenerate R 𝕀
  exact killingForm_restrict_range_ad R L

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case lie.hy.a.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y : L
this : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ lieSpan R L (range b.f), ⁅b.e i, x⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
u v : L
hu : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hv : v ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
hv' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
z : L
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
yc : L
hyc : yc ∈ H
yl : L
hyl : yl ∈ lieSpan R L (range b.f)
yu : L
hyu : yu ∈ lieSpan R L (range b.e)
aux : yc + yl + yu = ⁅u, z⁆
⊢ ⁅v, yl⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper

pp: case lie.hy.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y : L
this : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ lieSpan R L (range b.f), ⁅b.e i, x⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
u v : L
hu : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hv : v ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
hv' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
z : L
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
yc : L
hyc : yc ∈ H
yl : L
hyl : yl ∈ lieSpan R L (range b.f)
yu : L
hyu : yu ∈ lieSpan R L (range b.e)
aux : yc + yl + yu = ⁅u, z⁆
⊢ ⁅v, yu⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper

Tactic:
· exact hv' hyl

Goal state after:
case lie.hy.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y : L
this : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ lieSpan R L (range b.f), ⁅b.e i, x⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
u v : L
hu : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hv : v ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
hv' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
z : L
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
yc : L
hyc : yc ∈ H
yl : L
hyl : yl ∈ lieSpan R L (range b.f)
yu : L
hyu : yu ∈ lieSpan R L (range b.e)
aux : yc + yl + yu = ⁅u, z⁆
⊢ ⁅v, yu⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
χ₁ χ₂ : L → R
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
q : ℕ
hq₀ : q > 0
hq : genWeightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
p : ℕ
hp₀ : p > 0
hp : genWeightSpace M (p • -χ₁ + χ₂) = ⊥
⊢ genWeightSpace M (↑p • -χ₁ + χ₂) = ⊥

Tactic:
natCast_zsmul

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
χ₁ χ₂ : L → R
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
q : ℕ
hq₀ : q > 0
hq : genWeightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
p : ℕ
hp₀ : p > 0
hp : genWeightSpace M (p • -χ₁ + χ₂) = ⊥
⊢ genWeightSpace M (p • -χ₁ + χ₂) = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
χ₁ χ₂ : L → R
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
q : ℕ
hq₀ : q > 0
hq : genWeightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
p : ℕ
hp₀ : p > 0
hp : genWeightSpace M (p • -χ₁ + χ₂) = ⊥
⊢ genWeightSpace M (↑q • χ₁ + χ₂) = ⊥

Tactic:
natCast_zsmul

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
χ₁ χ₂ : L → R
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
q : ℕ
hq₀ : q > 0
hq : genWeightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
p : ℕ
hp₀ : p > 0
hp : genWeightSpace M (p • -χ₁ + χ₂) = ⊥
⊢ genWeightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieRing.IsNilpotent ↥H
hp : genWeightSpace M (p • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H (-α)
y : M
hy : y ∈ genWeightSpaceChain M α χ p q
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ genWeightSpaceChain M α χ p q

Tactic:
replace hp : genWeightSpace M ((-p) • (-α) + χ) = ⊥ := by rwa [smul_neg, neg_smul, neg_neg]
  rw [← genWeightSpaceChain_neg] at hy ⊢
  exact lie_mem_genWeightSpaceChain_of_genWeightSpace_eq_bot_right M (-α) χ (-q) (-p) hp hx hy

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: case convert_2
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : genWeightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : genWeightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : genWeightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
hb : 0 < ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))
h₁ : iSupIndep fun i ↦ (fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) ↑i
h₂ :
  ∀ (i : ℤ),
    MapsTo ⇑((toEnd R (↥H) M) x) ↑((fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) i)
      ↑((fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) i)
h₃ : ↑(genWeightSpaceChain M α χ p q) = ⨆ i ∈ Finset.Ioo p q, (fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) i
⊢ (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i) • α x +
      ↑(∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))) • χ x =
    ∑ x_1 ∈ Finset.Ioo p q, (finrank R ↥(genWeightSpace M (x_1 • α + χ)) • x_1) • α x +
      ∑ x_1 ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (x_1 • α + χ)) • χ x

Tactic:
← Finset.sum_smul,

Goal state after:
case convert_2
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : genWeightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : genWeightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : genWeightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
hb : 0 < ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))
h₁ : iSupIndep fun i ↦ (fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) ↑i
h₂ :
  ∀ (i : ℤ),
    MapsTo ⇑((toEnd R (↥H) M) x) ↑((fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) i)
      ↑((fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) i)
h₃ : ↑(genWeightSpaceChain M α χ p q) = ⨆ i ∈ Finset.Ioo p q, (fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) i
⊢ (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i) • α x +
      ↑(∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))) • χ x =
    (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i) • α x +
      (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))) • χ x
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: case convert_2
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : genWeightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : genWeightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : genWeightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
hb : 0 < ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))
h₁ : iSupIndep fun i ↦ (fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) ↑i
h₂ :
  ∀ (i : ℤ),
    MapsTo ⇑((toEnd R (↥H) M) x) ↑((fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) i)
      ↑((fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) i)
h₃ : ↑(genWeightSpaceChain M α χ p q) = ⨆ i ∈ Finset.Ioo p q, (fun k ↦ ↑(genWeightSpace M (k • α + χ))) i
⊢ (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i) • α x +
      ↑(∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))) • χ x =
    (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i) • α x +
      (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))) • χ x

Tactic:
natCast_zsmul

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: case negSucc
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
n : ℕ
hn : -↑(chainBotCoeff α β) ≤ Int.negSucc n
hn' : Int.negSucc n ≤ ↑(chainTopCoeff α β)
⊢ genWeightSpace M (Int.negSucc n • α + ⇑β) ≠ ⊥

Tactic:
· simp only [Int.negSucc_eq, ← Nat.cast_succ, neg_le_neg_iff, Nat.cast_le] at hn ⊢
    rw [neg_smul, ← smul_neg, Nat.cast_smul_eq_nsmul]
    exact genWeightSpace_nsmul_add_ne_bot_of_le (-α) β hn

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
⊢ range (Weight.toLinear K (↥H) L) ⊆ insert 0 (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero})

Tactic:
rintro - ⟨α, rfl⟩

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
⊢ Weight.toLinear K (↥H) L α ∈ insert 0 (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero})
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple

Tactic:
have aux {α : H → K} {y : L} (hy : y ∈ rootSpace H α) : S y = α x' • y := by
    replace hy : y ∈ (ad K L x).maxGenEigenspace (α x') :=
      (genWeightSpace_le_genWeightSpaceOf L x' α) hy
    rw [maxGenEigenspace_eq] at hy
    set k := maxGenEigenspaceIndex (ad K L x) (α x')
    rw [apply_eq_of_mem_of_comm_of_isFinitelySemisimple_of_isNil hy hS₀ hS.isFinitelySemisimple hN]

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
⊢ ((ad K L) x).IsSemisimple
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : PerfectField K
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
⊢ ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))

Tactic:
apply lie_eq_killingForm_smul_of_mem_rootSpace_of_mem_rootSpace_neg_aux heα hfα
  exact lie_eq_smul_of_mem_rootSpace heα

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: case add_two
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih1 : eval (-1) (T R (↑n + 1)) = ↑↑(↑n + 1).negOnePow
ih2 : eval (-1) (T R ↑n) = ↑↑(↑n).negOnePow
⊢ 2 * ↑↑(↑n).negOnePow - ↑↑(↑n).negOnePow = ↑↑((↑n).negOnePow * (-1) ^ 2)

Tactic:
norm_cast

Goal state after:
case add_two
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih1 : eval (-1) (T R (↑n + 1)) = ↑↑(↑n + 1).negOnePow
ih2 : eval (-1) (T R ↑n) = ↑↑(↑n).negOnePow
⊢ 2 * ↑↑(↑n).negOnePow - ↑↑(↑n).negOnePow = ↑↑((↑n).negOnePow * (-1) ^ 2)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero 2
n : ℕ
ih1 : (T R (↑n + 1)).degree = ↑(↑n + 1).natAbs
ih2 : (T R ↑n).degree = ↑(↑n).natAbs
⊢ ↑(↑n + 1).natAbs + 1 = ↑(n + 2)

Tactic:
norm_cast

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: case add_two
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero 2
n : ℕ
ih1 : (T R (↑n + 1)).degree = ↑(↑n + 1).natAbs
ih2 : (T R ↑n).degree = ↑(↑n).natAbs
this : (2 * X * T R (↑n + 1)).degree = ↑(n + 2)
⊢ ↑(n + 2) = ↑(↑n + 2).natAbs

Tactic:
norm_cast

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: case add_two
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero 2
n : ℕ
ih1 : (T R (↑n + 1)).leadingCoeff = 2 ^ ((↑n + 1).natAbs - 1)
ih2 : (T R ↑n).leadingCoeff = 2 ^ ((↑n).natAbs - 1)
this : leadingCoeff 2 = 2
⊢ 2 * 1 * 2 ^ ((↑n + 1).natAbs - 1) = 2 ^ ((↑n + 2).natAbs - 1)

Tactic:
norm_cast

Goal state after:
case add_two
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero 2
n : ℕ
ih1 : (T R (↑n + 1)).leadingCoeff = 2 ^ ((↑n + 1).natAbs - 1)
ih2 : (T R ↑n).leadingCoeff = 2 ^ ((↑n).natAbs - 1)
this : leadingCoeff 2 = 2
⊢ ↑(2 * 1 * 2 ^ (n + 1 - 1)) = ↑(2 ^ (n + 2 - 1))
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: case add_two
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih1 : eval (-1) (U R (↑n + 1)) = ↑↑(↑n + 1).negOnePow * (↑(↑n + 1) + 1)
ih2 : eval (-1) (U R ↑n) = ↑↑(↑n).negOnePow * (↑↑n + 1)
⊢ -(2 * (↑↑((↑n).negOnePow * Int.negOnePow 1) * (↑n + 1 + 1))) - ↑↑(↑n).negOnePow * (↑n + 1) =
    ↑↑((↑n).negOnePow * (-1) ^ 2) * (↑n + 2 + 1)

Tactic:
norm_cast

Goal state after:
case add_two
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih1 : eval (-1) (U R (↑n + 1)) = ↑↑(↑n + 1).negOnePow * (↑(↑n + 1) + 1)
ih2 : eval (-1) (U R ↑n) = ↑↑(↑n).negOnePow * (↑↑n + 1)
⊢ -(2 * ↑(↑((↑n).negOnePow * Int.negOnePow 1) * ↑(n + 1 + 1))) - ↑(↑(↑n).negOnePow * ↑(n + 1)) =
    ↑(↑((↑n).negOnePow * (-1) ^ 2) * ↑(n + 2 + 1))
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: case neg_add_one
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih1 : eval (-1) (U R (-↑n)) = ↑↑(-↑n).negOnePow * (↑(-↑n) + 1)
ih2 : eval (-1) (U R (-↑n + 1)) = ↑↑(-↑n + 1).negOnePow * (↑(-↑n + 1) + 1)
⊢ -(2 * (↑↑(↑n).negOnePow * (-↑n + 1))) - ↑↑((↑n).negOnePow * Int.negOnePow 1) * (-↑n + 1 + 1) =
    -(↑↑((↑n).negOnePow * Int.negOnePow 1) * ↑n)

Tactic:
norm_cast

Goal state after:
case neg_add_one
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ih1 : eval (-1) (U R (-↑n)) = ↑↑(-↑n).negOnePow * (↑(-↑n) + 1)
ih2 : eval (-1) (U R (-↑n + 1)) = ↑↑(-↑n + 1).negOnePow * (↑(-↑n + 1) + 1)
⊢ -(2 * (↑↑(↑n).negOnePow * (-↑n + 1))) - ↑↑((↑n).negOnePow * Int.negOnePow 1) * (-↑n + 1 + 1) =
    ↑(-(↑((↑n).negOnePow * Int.negOnePow 1) * ↑n))
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: case one
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero 2
⊢ (U R ↑1).degree = ↑1

Tactic:
norm_cast

Goal state after:
case one
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero 2
⊢ (U R 1).degree = 1
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero 2
n : ℕ
ih1 : (U R ↑n).degree = ↑n
ih2 : (U R (↑n + 1)).degree = ↑n + 1
⊢ ↑n + 1 + 1 = ↑(n + 2)

Tactic:
norm_cast

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: case more
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero 2
n : ℕ
ih1 : (U R ↑n).degree = ↑n
ih2 : (U R (↑n + 1)).degree = ↑n + 1
this : (2 * X * U R (↑n + 1)).degree = ↑(n + 2)
⊢ ↑(n + 2) = ↑n + 2

Tactic:
norm_cast

Goal state after: