Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Constructions.LimitsOfProductsAndEqualizers

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasLimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasEqualizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : P ⟶ Q := ⋯
t : P ⟶ Q := ⋯
I : C := ⋯
i : I ⟶ P := ⋯
⊢ (Fan.mk (G.obj (∏ᶜ K.obj)) fun j ↦ G.map (Pi.π K.obj j)).pt ⟶
    (Fan.mk (G.obj Q) fun f ↦ G.map (Pi.π (fun f ↦ K.obj f.fst.2) f)).pt

pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasLimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasEqualizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : P ⟶ Q := ⋯
t : P ⟶ Q := ⋯
I : C := ⋯
i : I ⟶ P := ⋯
⊢ ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)),
    G.map s ≫ (Fan.mk (G.obj Q) fun f ↦ G.map (Pi.π (fun f ↦ K.obj f.fst.2) f)).π.app { as := f } =
      (Fan.mk (G.obj (∏ᶜ K.obj)) fun j ↦ G.map (Pi.π K.obj j)).π.app { as := f.fst.1 } ≫ (K ⋙ G).map f.snd

pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasLimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasEqualizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : P ⟶ Q := ⋯
t : P ⟶ Q := ⋯
I : C := ⋯
i : I ⟶ P := ⋯
⊢ ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)),
    ?m.221 ≫ (Fan.mk (G.obj Q) fun f ↦ G.map (Pi.π (fun f ↦ K.obj f.fst.2) f)).π.app { as := f } =
      (Fan.mk (G.obj (∏ᶜ K.obj)) fun j ↦ G.map (Pi.π K.obj j)).π.app { as := f.fst.2 }

pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasLimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasEqualizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : P ⟶ Q := ⋯
t : P ⟶ Q := ⋯
I : C := ⋯
i : I ⟶ P := ⋯
⊢ Fork (G.map s) ?m.221

pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasLimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasEqualizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : P ⟶ Q := ⋯
t : P ⟶ Q := ⋯
I : C := ⋯
i : I ⟶ P := ⋯
⊢ IsLimit (Fan.mk (G.obj (∏ᶜ K.obj)) fun j ↦ G.map (Pi.π K.obj j))

pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasLimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasEqualizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : P ⟶ Q := ⋯
t : P ⟶ Q := ⋯
I : C := ⋯
i : I ⟶ P := ⋯
⊢ IsLimit (Fan.mk (G.obj Q) fun f ↦ G.map (Pi.π (fun f ↦ K.obj f.fst.2) f))

pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasLimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasEqualizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : P ⟶ Q := ⋯
t : P ⟶ Q := ⋯
I : C := ⋯
i : I ⟶ P := ⋯
⊢ IsLimit ?m.224

pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasLimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasEqualizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : P ⟶ Q := ⋯
t : P ⟶ Q := ⋯
I : C := ⋯
i : I ⟶ P := ⋯
⊢ buildLimit (G.map s) ?m.221 ?m.222 ?m.223 ?m.224 ≅ G.mapCone (buildLimit s t ⋯ ⋯ (limit.cone (parallelPair s t)))

Tactic:
· apply G.map t

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasLimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasEqualizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : P ⟶ Q := ⋯
t : P ⟶ Q := ⋯
I : C := ⋯
i : I ⟶ P := ⋯
⊢ ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)),
    G.map s ≫ (Fan.mk (G.obj Q) fun f ↦ G.map (Pi.π (fun f ↦ K.obj f.fst.2) f)).π.app { as := f } =
      (Fan.mk (G.obj (∏ᶜ K.obj)) fun j ↦ G.map (Pi.π K.obj j)).π.app { as := f.fst.1 } ≫ (K ⋙ G).map f.snd

C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasLimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasEqualizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : P ⟶ Q := ⋯
t : P ⟶ Q := ⋯
I : C := ⋯
i : I ⟶ P := ⋯
⊢ ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)),
    G.map t ≫ (Fan.mk (G.obj Q) fun f ↦ G.map (Pi.π (fun f ↦ K.obj f.fst.2) f)).π.app { as := f } =
      (Fan.mk (G.obj (∏ᶜ K.obj)) fun j ↦ G.map (Pi.π K.obj j)).π.app { as := f.fst.2 }

C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasLimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasEqualizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : P ⟶ Q := ⋯
t : P ⟶ Q := ⋯
I : C := ⋯
i : I ⟶ P := ⋯
⊢ Fork (G.map s) (G.map t)

C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasLimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasEqualizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : P ⟶ Q := ⋯
t : P ⟶ Q := ⋯
I : C := ⋯
i : I ⟶ P := ⋯
⊢ IsLimit (Fan.mk (G.obj (∏ᶜ K.obj)) fun j ↦ G.map (Pi.π K.obj j))

C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasLimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasEqualizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : P ⟶ Q := ⋯
t : P ⟶ Q := ⋯
I : C := ⋯
i : I ⟶ P := ⋯
⊢ IsLimit (Fan.mk (G.obj Q) fun f ↦ G.map (Pi.π (fun f ↦ K.obj f.fst.2) f))

C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasLimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasEqualizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : P ⟶ Q := ⋯
t : P ⟶ Q := ⋯
I : C := ⋯
i : I ⟶ P := ⋯
⊢ IsLimit ?m.224

C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁷ : SmallCategory J
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasLimitsOfShape (Discrete J) C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) C
inst✝³ : HasEqualizers C
G : C ⥤ D
inst✝² : PreservesLimitsOfShape WalkingParallelPair G
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete J) G
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete ((p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2))) G
K : J ⥤ C
P : C := ⋯
Q : C := ⋯
s : P ⟶ Q := ⋯
t : P ⟶ Q := ⋯
I : C := ⋯
i : I ⟶ P := ⋯
⊢ buildLimit (G.map s) (G.map t) ?m.222 ?m.223 ?m.224 ≅ G.mapCone (buildLimit s t ⋯ ⋯ (limit.cone (parallelPair s t)))