mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → One (G i)
inst✝² : One C
inst✝¹ : ∀ (i : ι), OneHomClass (H i) (G i) C
inst✝ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), OneHomClass (T h) (G i) (G j)
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
i : ι
⊢ DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨?m.94, 1⟩⟧ = 1

pp: ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → One (G i)
inst✝² : One C
inst✝¹ : ∀ (i : ι), OneHomClass (H i) (G i) C
inst✝ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), OneHomClass (T h) (G i) (G j)
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
i : ι
⊢ ι

Tactic:
lift_def,

Goal state after:
ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → One (G i)
inst✝² : One C
inst✝¹ : ∀ (i : ι), OneHomClass (H i) (G i) C
inst✝ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), OneHomClass (T h) (G i) (G j)
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
i : ι
⊢ (g ⟨?m.94, 1⟩.fst) ⟨?m.94, 1⟩.snd = 1

ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → One (G i)
inst✝² : One C
inst✝¹ : ∀ (i : ι), OneHomClass (H i) (G i) C
inst✝ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), OneHomClass (T h) (G i) (G j)
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
i : ι
⊢ ι
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
inst✝⁸ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁷ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁶ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁵ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁴ : IsDirectedOrder ι
inst✝³ : (i : ι) → Star (G i)
inst✝² : Star C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), StarHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), StarHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ : DirectLimit G f
i : ι
x : G i
⊢ DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, star x⟩⟧ = star (DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x⟩⟧)

Tactic:
lift_def,

Goal state after:
ι : Type u_2
inst✝⁸ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁷ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁶ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁵ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁴ : IsDirectedOrder ι
inst✝³ : (i : ι) → Star (G i)
inst✝² : Star C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), StarHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), StarHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ : DirectLimit G f
i : ι
x : G i
⊢ (g i) (star x) = star ((g i) x)
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
inst✝⁸ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁷ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁶ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁵ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁴ : IsDirectedOrder ι
inst✝³ : (i : ι) → Mul (G i)
inst✝² : Mul C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MulHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ y✝ : DirectLimit G f
i : ι
x y : G i
⊢ DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x * y⟩⟧ =
    DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x⟩⟧ * DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, y⟩⟧

Tactic:
lift_def,

Goal state after:
ι : Type u_2
inst✝⁸ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁷ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁶ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁵ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁴ : IsDirectedOrder ι
inst✝³ : (i : ι) → Mul (G i)
inst✝² : Mul C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MulHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ y✝ : DirectLimit G f
i : ι
x y : G i
⊢ (g i) (x * y) = (g i) x * (g i) y
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit

Goal state before:
pp: R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁸ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁷ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁶ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁵ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁴ : IsDirectedOrder ι
inst✝³ : (i : ι) → SMul R (G i)
inst✝² : SMul R C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass (T h) R (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MulActionHomClass (H i) R (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
r : R
x✝ : DirectLimit G f
i : ι
x : G i
⊢ DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, r • x⟩⟧ = r • DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x⟩⟧

Tactic:
lift_def,

Goal state after:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁸ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁷ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁶ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁵ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁴ : IsDirectedOrder ι
inst✝³ : (i : ι) → SMul R (G i)
inst✝² : SMul R C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass (T h) R (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MulActionHomClass (H i) R (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
r : R
x✝ : DirectLimit G f
i : ι
x : G i
⊢ (g i) (r • x) = r • (g i) x
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝² : Monoid C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MonoidHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ : DirectLimit G f
n : ℕ
i : ι
x : G i
⊢ DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x ^ n⟩⟧ = DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x⟩⟧ ^ n

Tactic:
lift_def,

Goal state after:
ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝² : Monoid C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MonoidHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ : DirectLimit G f
n : ℕ
i : ι
x : G i
⊢ (g i) (x ^ n) = (g i) x ^ n
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MonoidHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ : DirectLimit G f
i : ι
x : G i
⊢ DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x⁻¹⟩⟧ = (DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x⟩⟧)⁻¹

Tactic:
lift_def,

Goal state after:
ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MonoidHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ : DirectLimit G f
i : ι
x : G i
⊢ (g i) x⁻¹ = ((g i) x)⁻¹
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MonoidHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ y✝ : DirectLimit G f
i : ι
x y : G i
⊢ DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x / y⟩⟧ =
    DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x⟩⟧ / DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, y⟩⟧

Tactic:
lift_def,

Goal state after:
ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MonoidHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ y✝ : DirectLimit G f
i : ι
x y : G i
⊢ (g i) (x / y) = (g i) x / (g i) y
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MonoidHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ : DirectLimit G f
z : ℤ
i : ι
x : G i
⊢ DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x ^ z⟩⟧ = DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x⟩⟧ ^ z

Tactic:
lift_def,

Goal state after:
ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MonoidHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ : DirectLimit G f
z : ℤ
i : ι
x : G i
⊢ (g i) (x ^ z) = (g i) x ^ z
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst✝² : GroupWithZero C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ : DirectLimit G f
i : ι
x : G i
⊢ DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x⁻¹⟩⟧ = (DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x⟩⟧)⁻¹

Tactic:
lift_def,

Goal state after:
ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst✝² : GroupWithZero C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ : DirectLimit G f
i : ι
x : G i
⊢ (g i) x⁻¹ = ((g i) x)⁻¹
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst✝² : GroupWithZero C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ y✝ : DirectLimit G f
i : ι
x y : G i
⊢ DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x / y⟩⟧ =
    DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x⟩⟧ / DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, y⟩⟧

Tactic:
lift_def,

Goal state after:
ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst✝² : GroupWithZero C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ y✝ : DirectLimit G f
i : ι
x y : G i
⊢ (g i) (x / y) = (g i) x / (g i) y
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst✝² : GroupWithZero C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ : DirectLimit G f
z : ℤ
i : ι
x : G i
⊢ DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x ^ z⟩⟧ = DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨i, x⟩⟧ ^ z

Tactic:
lift_def,

Goal state after:
ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst✝² : GroupWithZero C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
x✝ : DirectLimit G f
z : ℤ
i : ι
x : G i
⊢ (g i) (x ^ z) = (g i) x ^ z
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → DivisionSemiring (G i)
inst✝² : DivisionSemiring C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), RingHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), RingHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
q : ℚ≥0
i : ι
⊢ DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨?i, ↑q⟩⟧ = ↑q

pp: case i
ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → DivisionSemiring (G i)
inst✝² : DivisionSemiring C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), RingHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), RingHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
q : ℚ≥0
i : ι
⊢ ι

Tactic:
lift_def,

Goal state after:
ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → DivisionSemiring (G i)
inst✝² : DivisionSemiring C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), RingHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), RingHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
q : ℚ≥0
i : ι
⊢ (g ⟨?i, ↑q⟩.fst) ⟨?i, ↑q⟩.snd = ↑q

case i
ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → DivisionSemiring (G i)
inst✝² : DivisionSemiring C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), RingHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), RingHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
q : ℚ≥0
i : ι
⊢ ι
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Expect

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
κ : Type u_2
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module ℚ≥0 M
s : Finset ι
f : ι → M
t : Finset κ
g : κ → M
e : ι ≃ κ
hst : ∀ (i : ι), i ∈ s ↔ e i ∈ t
hfg : ∀ i ∈ s, f i = g (e i)
⊢ (↑(#s))⁻¹ • ∑ x ∈ s, f x = (↑(#t))⁻¹ • ∑ x ∈ t, g x

Tactic:
card_equiv e hst,

Goal state after:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module ℚ≥0 M
s : Finset ι
f : ι → M
t : Finset κ
g : κ → M
e : ι ≃ κ
hst : ∀ (i : ι), i ∈ s ↔ e i ∈ t
hfg : ∀ i ∈ s, f i = g (e i)
⊢ (↑(#t))⁻¹ • ∑ x ∈ s, f x = (↑(#t))⁻¹ • ∑ x ∈ t, g x
Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → DivisionRing (G i)
inst✝² : DivisionRing C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), RingHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), RingHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
q : ℚ
i : ι
⊢ DirectLimit.lift f (fun x ↦ ⇑(g x)) h ⟦⟨?i, ↑q⟩⟧ = ↑q

pp: case i
ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → DivisionRing (G i)
inst✝² : DivisionRing C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), RingHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), RingHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
q : ℚ
i : ι
⊢ ι

Tactic:
lift_def,

Goal state after:
ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → DivisionRing (G i)
inst✝² : DivisionRing C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), RingHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), RingHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
q : ℚ
i : ι
⊢ (g ⟨?i, ↑q⟩.fst) ⟨?i, ↑q⟩.snd = ↑q

case i
ι : Type u_2
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst✝⁸ : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike (T h) (G i) (G j)
inst✝⁷ : (i : ι) → FunLike (H i) (G i) C
inst✝⁶ : DirectedSystem G fun x1 x2 x3 ↦ ⇑(f x1 x2 x3)
inst✝⁵ : IsDirectedOrder ι
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : (i : ι) → DivisionRing (G i)
inst✝² : DivisionRing C
inst✝¹ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), RingHomClass (T h) (G i) (G j)
inst✝ : ∀ (i : ι), RingHomClass (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i), (g i) x = (g j) ((f i j h) x)
q : ℚ
i : ι
⊢ ι