mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
ι' : Type u_1
σ' : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra S T
Q : Presentation S T ι' σ'
P : Presentation R S ι σ
⊢ Ideal.comap (↑(sumAlgEquiv R ι' ι)) (RingHom.ker (mapAlgHom (aeval P.val))) =
    Ideal.map (rename Sum.inr) (RingHom.ker (aeval P.val))

Tactic:
MvPolynomial.ker_mapAlgHom

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
ι' : Type u_1
σ' : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra S T
Q : Presentation S T ι' σ'
P : Presentation R S ι σ
⊢ Ideal.comap (↑(sumAlgEquiv R ι' ι)) (Ideal.map C (RingHom.ker (aeval P.val))) =
    Ideal.map (rename Sum.inr) (RingHom.ker (aeval P.val))
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P✝ P : Presentation R S ι σ
ι' : Type u_1
σ' : Type u_2
e : ι' ≃ ι
f : σ' ≃ σ
⊢ Ideal.map (rename ⇑e.symm) (Ideal.span (Set.range P.relation)) =
    Ideal.comap (rename ⇑e) (Ideal.span (Set.range P.relation))

Tactic:
have hf : Function.Bijective (MvPolynomial.rename e.symm) := (renameEquiv R e.symm).bijective

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P✝ P : Presentation R S ι σ
ι' : Type u_1
σ' : Type u_2
e : ι' ≃ ι
f : σ' ≃ σ
hf : Function.Bijective ⇑(rename ⇑e.symm)
⊢ Ideal.map (rename ⇑e.symm) (Ideal.span (Set.range P.relation)) =
    Ideal.comap (rename ⇑e) (Ideal.span (Set.range P.relation))
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Generators R S ι
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
s : S
⊢ (algebraMap R S) (IsLocalization.Away.sec r s).1 *
      (aeval fun x ↦ IsLocalization.Away.invSelf r) (X ()) ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 =
    s

Tactic:
aeval_X

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Generators R S ι
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
s : S
⊢ (algebraMap R S) (IsLocalization.Away.sec r s).1 * IsLocalization.Away.invSelf r ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 = s
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝²² : CommRing R
inst✝²¹ : CommRing S
inst✝²⁰ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type ?u.16
S' : Type ?u.18
inst✝¹⁹ : CommRing R'
inst✝¹⁸ : CommRing S'
inst✝¹⁷ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
R'' : Type ?u.29
S'' : Type ?u.31
inst✝¹⁶ : CommRing R''
inst✝¹⁵ : CommRing S''
inst✝¹⁴ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹³ : Algebra R R'
inst✝¹² : Algebra R' R''
inst✝¹¹ : Algebra R' S''
inst✝¹⁰ : Algebra S S'
inst✝⁹ : Algebra S' S''
inst✝⁸ : Algebra S S''
inst✝⁷ : Algebra R S'
inst✝⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁵ : Algebra R R''
inst✝⁴ : IsScalarTower R R' R''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : Algebra R S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
⊢ Function.Surjective ⇑(LinearMap.liftBaseChange S Cotangent.mk)

Tactic:
intro x
    obtain ⟨x, rfl⟩ := Cotangent.mk_surjective x
    exact ⟨1 ⊗ₜ x, by simp⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P✝ : Extension R S
A✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing A✝
inst✝⁹ : Algebra S A✝
inst✝⁸ : Algebra P✝.Ring A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower P✝.Ring S A✝
P : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra P S
inst✝³ : Algebra P A
inst✝² : Algebra R P
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower P S A
a : A
b : ↥(RingHom.ker (algebraMap P S))
⊢ ↑b ∈ RingHom.ker (algebraMap P A)

Tactic:
rw [IsScalarTower.algebraMap_eq P S A]; aesop

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
x : ι → M
⊢ IsTrivialRelation f x ↔ VanishesTrivially R f x

Tactic:
by
  simp only [IsTrivialRelation, VanishesTrivially, smul_eq_mul, mul_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝²³ : CommRing R
inst✝²² : CommRing S
inst✝²¹ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²⁰ : CommRing R'
inst✝¹⁹ : CommRing S'
inst✝¹⁸ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝¹⁷ : Algebra R R'
inst✝¹⁶ : Algebra S S'
inst✝¹⁵ : Algebra R S'
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R R' S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹³ : CommRing R''
inst✝¹² : CommRing S''
inst✝¹¹ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹⁰ : Algebra R R''
inst✝⁹ : Algebra S S''
inst✝⁸ : Algebra R S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R R' R''
inst✝¹ : IsScalarTower S S' S''
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f g : P.Hom P'
this✝² : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
this✝¹ : IsScalarTower P.Ring S S'
this✝ : Algebra P.Ring P'.Ring := f.toAlgHom.toAlgebra
this : IsScalarTower P.Ring P'.Ring S'
x : R
⊢ (algebraMap R S') x = (algebraMap S S') ((algebraMap P.Ring S) ((algebraMap R P.Ring) x))

Tactic:
← IsScalarTower.algebraMap_apply R P.Ring S,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝²³ : CommRing R
inst✝²² : CommRing S
inst✝²¹ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²⁰ : CommRing R'
inst✝¹⁹ : CommRing S'
inst✝¹⁸ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝¹⁷ : Algebra R R'
inst✝¹⁶ : Algebra S S'
inst✝¹⁵ : Algebra R S'
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R R' S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹³ : CommRing R''
inst✝¹² : CommRing S''
inst✝¹¹ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹⁰ : Algebra R R''
inst✝⁹ : Algebra S S''
inst✝⁸ : Algebra R S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R R' R''
inst✝¹ : IsScalarTower S S' S''
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f g : P.Hom P'
this✝² : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
this✝¹ : IsScalarTower P.Ring S S'
this✝ : Algebra P.Ring P'.Ring := f.toAlgHom.toAlgebra
this : IsScalarTower P.Ring P'.Ring S'
x : R
⊢ (algebraMap R S') x = (algebraMap S S') ((algebraMap R S) x)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: case e_a
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
x : ↥Q.ker
j : ι' →₀ ℕ
x✝ : j ∈ support ↑x
⊢ eval₂ ((algebraMap S Q.Ring).comp (algebraMap R S)) (fun i ↦ (algebraMap S (MvPolynomial ι' S)) (P.val i))
      (P.σ ((↑x).coeff j)) =
    (algebraMap S (MvPolynomial ι' S)) (coeff j ↑x)

Tactic:
← coe_eval₂Hom,

Goal state after:
case e_a
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
x : ↥Q.ker
j : ι' →₀ ℕ
x✝ : j ∈ support ↑x
⊢ (eval₂Hom ((algebraMap S Q.Ring).comp (algebraMap R S)) fun i ↦ (algebraMap S (MvPolynomial ι' S)) (P.val i))
      (P.σ ((↑x).coeff j)) =
    (algebraMap S (MvPolynomial ι' S)) (coeff j ↑x)
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Quotient.ChineseRemainder

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
ι : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
I : ι → Ideal R
hI : Pairwise (IsCoprime on I)
inst✝ : Finite ι
this : Surjective ⇑(rTensor M (LinearMap.pi fun i ↦ Submodule.mkQ (I i)))
⊢ Surjective ⇑(LinearMap.pi fun i ↦ (TensorProduct.mk R (R ⧸ I i) M) 1)

Tactic:
pi_mkQ_rTensor

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
ι : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
I : ι → Ideal R
hI : Pairwise (IsCoprime on I)
inst✝ : Finite ι
this :
  Surjective
    ⇑(↑(piLeft R M fun i ↦ R ⧸ I i).symm ∘ₗ
        (LinearMap.pi fun i ↦ (TensorProduct.mk R (R ⧸ I i) M) 1) ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid R M))
⊢ Surjective ⇑(LinearMap.pi fun i ↦ (TensorProduct.mk R (R ⧸ I i) M) 1)
Module: Mathlib.Data.Fin.Parity

Goal state before:
pp: n : ℕ
k : Fin n
inst✝ : NeZero n
h : Odd ↑k
⊢ Odd k

Tactic:
rw [← Fin.cast_val_eq_self k]
  exact h.natCast

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorPower.Basis

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module K E
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ Module.Finite R ↥(⋀[R]^n M)

Tactic:
Module.Finite.iff_fg,

Goal state after:
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module K E
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ (⋀[R]^n M).FG
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n✝ : ι
s : Finset ι
hn : n✝ ∉ s
ih : ∀ (v : ι → M), LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v) → ∑ i ∈ s, f i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, f i = 0
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hfv : ∑ i, f ↑i • v ↑i = 0
i✝ : ι
hi : i✝ ∈ insert n✝ s
l : ℕ
a : ↥(insert n✝ s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), (fun i ↦ v ↑i) i = ∑ j, a i j • y j
hfa : ∀ (j : Fin l), ∑ i, (fun i ↦ f ↑i) i * a i j = 0
this : v n✝ ∉ 𝔪 • ⊤
n : ↥(insert n✝ s) := ⟨n✝, ⋯⟩
n_def : n = ⟨n✝, ⋯⟩
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : ι → R := fun i ↦ if hi : i ∈ insert n✝ s then a ⟨i, hi⟩ j else 0
i : ↥(insert n✝ s)
⊢ a i j = a' ↑i

Tactic:
a',

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n✝ : ι
s : Finset ι
hn : n✝ ∉ s
ih : ∀ (v : ι → M), LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v) → ∑ i ∈ s, f i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, f i = 0
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hfv : ∑ i, f ↑i • v ↑i = 0
i✝ : ι
hi : i✝ ∈ insert n✝ s
l : ℕ
a : ↥(insert n✝ s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), (fun i ↦ v ↑i) i = ∑ j, a i j • y j
hfa : ∀ (j : Fin l), ∑ i, (fun i ↦ f ↑i) i * a i j = 0
this : v n✝ ∉ 𝔪 • ⊤
n : ↥(insert n✝ s) := ⟨n✝, ⋯⟩
n_def : n = ⟨n✝, ⋯⟩
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : ι → R := fun i ↦ if hi : i ∈ insert n✝ s then a ⟨i, hi⟩ j else 0
i : ↥(insert n✝ s)
⊢ a i j = if hi : ↑i ∈ insert n✝ s then a ⟨↑i, hi⟩ j else 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Nontrivial R
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h✝ : Flat R ↥M
⊢ ¬LinearIndependent R ![a, b]

pp: case inr
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Nontrivial R
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h✝ : Flat R ↥N
⊢ ¬LinearIndependent R ![a, b]

Tactic:
· exact H.not_linearIndependent_pair_of_commute_of_flat_left a b hc

Goal state after:
case inr
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Nontrivial R
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h✝ : Flat R ↥N
⊢ ¬LinearIndependent R ![a, b]
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.AssociatedPrime.Finiteness

Goal state before:
pp: case refine_1.refine_1
A : Type u
inst✝² : CommRing A
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module A M
N₁ N₂ : Submodule A M
f : ↥N₂ ⧸ N₁.submoduleOf N₂ →ₗ[A] M ⧸ N₁ := (N₁.submoduleOf N₂).mapQ N₁ N₂.subtype ⋯
hf₁ : f.ker = ⊥
hf₂ : f.range = map N₁.mkQ N₂
x✝ : N₁.IsQuotientEquivQuotientPrime N₂
h : N₁ ≤ N₂
p : PrimeSpectrum A
e : (↥N₂ ⧸ N₁.submoduleOf N₂) ≃ₗ[A] A ⧸ p.asIdeal
x : M
hx : x ∈ N₂
hx' : (N₁.submoduleOf N₂).mkQ ⟨x, hx⟩ = e.symm 1
hx'' : N₁.mkQ x = f (e.symm 1)
⊢ (⊥.colon {N₁.mkQ x}).IsPrime

pp: case refine_1.refine_2
A : Type u
inst✝² : CommRing A
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module A M
N₁ N₂ : Submodule A M
f : ↥N₂ ⧸ N₁.submoduleOf N₂ →ₗ[A] M ⧸ N₁ := (N₁.submoduleOf N₂).mapQ N₁ N₂.subtype ⋯
hf₁ : f.ker = ⊥
hf₂ : f.range = map N₁.mkQ N₂
x✝ : N₁.IsQuotientEquivQuotientPrime N₂
h : N₁ ≤ N₂
p : PrimeSpectrum A
e : (↥N₂ ⧸ N₁.submoduleOf N₂) ≃ₗ[A] A ⧸ p.asIdeal
x : M
hx : x ∈ N₂
hx' : (N₁.submoduleOf N₂).mkQ ⟨x, hx⟩ = e.symm 1
hx'' : N₁.mkQ x = f (e.symm 1)
⊢ N₂ = N₁ ⊔ A ∙ x

Tactic:
· convert! p.2
      ext r
      simp [hx'', ← map_smul, Algebra.smul_def, show f _ = 0 ↔ _ from congr(_ ∈ $hf₁),
        Ideal.Quotient.eq_zero_iff_mem]

Goal state after:
case refine_1.refine_2
A : Type u
inst✝² : CommRing A
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module A M
N₁ N₂ : Submodule A M
f : ↥N₂ ⧸ N₁.submoduleOf N₂ →ₗ[A] M ⧸ N₁ := (N₁.submoduleOf N₂).mapQ N₁ N₂.subtype ⋯
hf₁ : f.ker = ⊥
hf₂ : f.range = map N₁.mkQ N₂
x✝ : N₁.IsQuotientEquivQuotientPrime N₂
h : N₁ ≤ N₂
p : PrimeSpectrum A
e : (↥N₂ ⧸ N₁.submoduleOf N₂) ≃ₗ[A] A ⧸ p.asIdeal
x : M
hx : x ∈ N₂
hx' : (N₁.submoduleOf N₂).mkQ ⟨x, hx⟩ = e.symm 1
hx'' : N₁.mkQ x = f (e.symm 1)
⊢ N₂ = N₁ ⊔ A ∙ x
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsGCDMonoid R
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.arbitrary (NormalizedGCDMonoid R)
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
T : Finset R
hTK : ↑T ⊆ ↑K
K' : Ideal R := span ↑T
hxT : x ∈ J * K'
g : R := T.gcd id
⊢ Submodule.IsPrincipal J

Tactic:
have hK' : K' ≤ span {g} :=
    span_le.mpr fun z hz ↦ mem_span_singleton.mpr (Finset.gcd_dvd hz)

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsGCDMonoid R
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.arbitrary (NormalizedGCDMonoid R)
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
T : Finset R
hTK : ↑T ⊆ ↑K
K' : Ideal R := span ↑T
hxT : x ∈ J * K'
g : R := T.gcd id
hK' : K' ≤ span {g}
⊢ Submodule.IsPrincipal J
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
I J : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
⊢ (∃ z ∈ (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)).range,
      (Units.map ↑(canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) (FractionRing R))) I * z =
        (Units.map ↑(canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) (FractionRing R))) J) ↔
    ∃ x, I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) x = J

Tactic:
simp [RingEquiv.coe_monoidHom_refl, MonoidHom.mem_range, -toPrincipalIdeal_eq_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
⊢ Fintype.card (ClassGroup R) = 1

Tactic:
Fintype.card_eq_one_iff

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
⊢ ∃ x, ∀ (y : ClassGroup R), y = x
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
⊢ Fintype.card (ClassGroup R) = 1 → IsPrincipalIdealRing R

Tactic:
Fintype.card_eq_one_iff

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
⊢ (∃ x, ∀ (y : ClassGroup R), y = x) → IsPrincipalIdealRing R
Module: Mathlib.Topology.LocallyConstant.Basic

Goal state before:
pp: case inr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : Nonempty Y
f : LocallyConstant X Y
hX : ¬Nonempty X
⊢ ∃ y, f = const X y

Tactic:
exact ⟨Classical.arbitrary Y, ext fun x => (hX ⟨x⟩).elim⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.PicardGroup

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
N : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module.Invertible R M
inst✝ : Module.Invertible R N
⊢ ↑(Units.mkOfMulEqOne ⟦SemimoduleCat.of R (Finite.reprₛ R (M ⊗[R] N))⟧
        ⟦SemimoduleCat.of R (Dual R (Finite.reprₛ R (M ⊗[R] N)))⟧ ⋯) =
    ↑((equivShrink (Skeleton (SemimoduleCat R))ˣ).symm.toFun (Pic.mk R M) *
        (equivShrink (Skeleton (SemimoduleCat R))ˣ).symm.toFun (Pic.mk R N))

Tactic:
simp_rw [Pic.mk, Equiv.toFun_as_coe, Equiv.symm_apply_apply]
    refine (Quotient.sound ?_).trans (Skeleton.toSkeleton_tensorObj ..)
    exact ⟨(Finite.reprEquivₛ R _ ≪≫ₗ TensorProduct.congr
      (Finite.reprEquivₛ R M).symm (Finite.reprEquivₛ R N).symm).toModuleIsoₛ⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.PrimitiveElement

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
f : F → IntermediateField F E := fun x ↦ F⟮α + x • β⟯
x y : F
hneq : ¬x = y
heq : F⟮α + x • β⟯ = F⟮α + y • β⟯
αxβ_in_K : α + x • β ∈ F⟮α + x • β⟯
αyβ_in_K : α + y • β ∈ F⟮α + x • β⟯
β_in_K : α + x • β - (α + y • β) ∈ F⟮α + x • β⟯
⊢ α + x • β - (α + y • β) = x • β - y • β

Tactic:
abel1

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.PrimitiveElement

Goal state before:
pp: case inl
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
K : IntermediateField F E
this : FiniteDimensional F E
h✝ : Finite F
⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = K

pp: case inr
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
K : IntermediateField F E
this : FiniteDimensional F E
h✝ : Infinite F
⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = K

Tactic:
· obtain ⟨α, h⟩ := exists_primitive_element_of_finite_bot F K
    exact ⟨α, by simpa only [lift_adjoin_simple, lift_top] using congr_arg lift h⟩

Goal state after:
case inr
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
K : IntermediateField F E
this : FiniteDimensional F E
h✝ : Infinite F
⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = K
Module: Mathlib.FieldTheory.PrimitiveElement

Goal state before:
pp: F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : FiniteDimensional F E
inst✝² : Algebra.IsSeparable F E
A : Type u_5
inst✝¹ : Field A
inst✝ : Algebra F A
hA : ∀ (x : E), (Polynomial.map (algebraMap F A) (minpoly F x)).Splits
α : E
φ : E →ₐ[F] A
h : ∀ (ψ : E →ₐ[F] A), φ α = ψ α → φ = ψ
this : Algebra (↥F⟮α⟯) A := (φ.comp F⟮α⟯.val).toAlgebra
⊢ Fintype.card (E →ₐ[↥F⟮α⟯] A) = 1

pp: F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : FiniteDimensional F E
inst✝² : Algebra.IsSeparable F E
A : Type u_5
inst✝¹ : Field A
inst✝ : Algebra F A
hA : ∀ (x : E), (Polynomial.map (algebraMap F A) (minpoly F x)).Splits
α : E
φ : E →ₐ[F] A
h : ∀ (ψ : E →ₐ[F] A), φ α = ψ α → φ = ψ
this : Algebra (↥F⟮α⟯) A := (φ.comp F⟮α⟯.val).toAlgebra
⊢ ∀ (x : E), (Polynomial.map (algebraMap (↥F⟮α⟯) A) (minpoly (↥F⟮α⟯) x)).Splits

Tactic:
Fintype.card_eq_one_iff

Goal state after:
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : FiniteDimensional F E
inst✝² : Algebra.IsSeparable F E
A : Type u_5
inst✝¹ : Field A
inst✝ : Algebra F A
hA : ∀ (x : E), (Polynomial.map (algebraMap F A) (minpoly F x)).Splits
α : E
φ : E →ₐ[F] A
h : ∀ (ψ : E →ₐ[F] A), φ α = ψ α → φ = ψ
this : Algebra (↥F⟮α⟯) A := (φ.comp F⟮α⟯.val).toAlgebra
⊢ ∃ x, ∀ (y : E →ₐ[↥F⟮α⟯] A), y = x

F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : FiniteDimensional F E
inst✝² : Algebra.IsSeparable F E
A : Type u_5
inst✝¹ : Field A
inst✝ : Algebra F A
hA : ∀ (x : E), (Polynomial.map (algebraMap F A) (minpoly F x)).Splits
α : E
φ : E →ₐ[F] A
h : ∀ (ψ : E →ₐ[F] A), φ α = ψ α → φ = ψ
this : Algebra (↥F⟮α⟯) A := (φ.comp F⟮α⟯.val).toAlgebra
⊢ ∀ (x : E), (Polynomial.map (algebraMap (↥F⟮α⟯) A) (minpoly (↥F⟮α⟯) x)).Splits
Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.Constructions

Goal state before:
pp: α✝ : Type u_1
M : Matroid α✝
E B I X R J : Set α✝
α : Type u_2
X✝ : Set α
a✝ : X✝ ⊆ ∅
⊢ ∃ J, ∅ ⊆ J ∧ Maximal (fun K ↦ (fun x ↦ x = ∅) K ∧ K ⊆ X✝) J

Tactic:
exact ⟨∅, by simp [Maximal]⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.Constructions

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ M = loopyOn M.E ∨ M.RankPos

Tactic:
rw [← empty_isBase_iff, rankPos_iff]

Goal state after:
α : Type u_1
M : Matroid α
⊢ M.IsBase ∅ ∨ ¬M.IsBase ∅
Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.Dual

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Matroid α
B X : Set α
hB : M.IsBase B
hBX : M.IsBasis (B ∩ X) X
e : α
he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B
B' : Set α
hB' : M.IsBase B'
hem : B' ⊆ B ∪ X ∧ e ∉ B'
f : α
hfb : f ∈ B' \ B
hBf : M.IsBase (insert f (B \ {e}))
⊢ e ∉ B ∩ X

Tactic:
mem_inter_iff,

Goal state after:
α : Type u_1
M : Matroid α
B X : Set α
hB : M.IsBase B
hBX : M.IsBasis (B ∩ X) X
e : α
he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B
B' : Set α
hB' : M.IsBase B'
hem : B' ⊆ B ∪ X ∧ e ∉ B'
f : α
hfb : f ∈ B' \ B
hBf : M.IsBase (insert f (B \ {e}))
⊢ ¬(e ∈ B ∧ e ∈ X)
Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.Map

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
I : Set α
M : Matroid α
X : Set α
hIX : M.IsBasis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E
J : Set α
hJ : M.Indep J
⊢ ¬insert (f e) (f '' I) = f '' J

Tactic:
hins

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
I : Set α
M : Matroid α
X : Set α
hIX : M.IsBasis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E
J : Set α
hJ : M.Indep J
hins : insert (f e) (f '' I) = f '' J
⊢ False
Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.Circuit

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
M : Matroid α
C I : Set α
hC✝ : M.IsCircuit C
x✝ : ∃ e ∈ C \ I, C = insert e I
e : α
he : e ∈ C \ I
hC : C = insert e I
⊢ I = C \ {e}

Tactic:
hC,

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
M : Matroid α
C I : Set α
hC✝ : M.IsCircuit C
x✝ : ∃ e ∈ C \ I, C = insert e I
e : α
he : e ∈ C \ I
hC : C = insert e I
⊢ I = insert e I \ {e}
Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.Rank.ENat

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
inst✝ : M.RankFinite
hX : M.Dep X
⊢ M.eRk X ≠ X.encard

Tactic:
rw [ne_eq, ← indep_iff_eRk_eq_encard]

Goal state after:
α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
inst✝ : M.RankFinite
hX : M.Dep X
⊢ ¬M.Indep X
Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.Loop

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Matroid α
e : α
x✝ : (∀ X ⊆ M.E, e ∈ M.closure X ↔ e ∈ X) ∧ e ∈ M.E
h : ∀ X ⊆ M.E, e ∈ M.closure X ↔ e ∈ X
he : e ∈ M.E
X : Set α
⊢ e ∈ X ∩ M.E ↔ e ∈ X

Tactic:
mem_inter_iff,

Goal state after:
α : Type u_1
M : Matroid α
e : α
x✝ : (∀ X ⊆ M.E, e ∈ M.closure X ↔ e ∈ X) ∧ e ∈ M.E
h : ∀ X ⊆ M.E, e ∈ M.closure X ↔ e ∈ X
he : e ∈ M.E
X : Set α
⊢ e ∈ X ∧ e ∈ M.E ↔ e ∈ X
Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.Loop

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
⊢ ∀ (x : α), x ∈ M.closure X ∩ M.coloops ↔ x ∈ X ∩ M.coloops

Tactic:
mem_inter_iff,

Goal state after:
α : Type u_1
M : Matroid α
X : Set α
⊢ ∀ (x : α), x ∈ M.closure X ∧ x ∈ M.coloops ↔ x ∈ X ∧ x ∈ M.coloops