mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: case right
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hgrowth : ∀ N ≤ n, ∀ (x : D), ‖iteratedFDeriv ℝ N g x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ l
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
⊢ ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x ↦ (B (f x)) (g x)) x‖ ≤
    ‖B‖ * (↑n + 1) * ↑(n.choose (n / 2)) * (C * 2 ^ (l + k)) *
      ((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E)) f

Tactic:
← ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars_apply_apply ℝ B

Goal state after:
case right
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hgrowth : ∀ N ≤ n, ∀ (x : D), ‖iteratedFDeriv ℝ N g x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ l
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
⊢ ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (fun x ↦ ((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) (f x)) (g x)) x‖ ≤
    ‖B‖ * (↑n + 1) * ↑(n.choose (n / 2)) * (C * 2 ^ (l + k)) *
      ((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E)) f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁶] u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᵐ[μ.restrict s] fun x ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝⁶] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen[inst✝⁶] v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
B : t' ^ n * μ.real (v ∩ s) ≤ ∫ (y : α) in s, c y ^ n ∂μ
⊢ c x ^ n / ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ ≤ t ^ n / t' ^ n / μ.real (v ∩ s)

Tactic:
div_div

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁶] u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᵐ[μ.restrict s] fun x ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst✝⁶] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen[inst✝⁶] v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
B : t' ^ n * μ.real (v ∩ s) ≤ ∫ (y : α) in s, c y ^ n ∂μ
⊢ c x ^ n / ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ ≤ t ^ n / (t' ^ n * μ.real (v ∩ s))
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : OpensMeasurableSpace E
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure E
hμ : μ.HasTemperateGrowth
k : ℕ
hk : eLpNorm (fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ (-↑k)) p μ < ∞
⊢ ∃ k C,
    ∀ (f : 𝓢(E, F)), eLpNorm (⇑f) p μ ≤ ↑C * ENNReal.ofReal (((Finset.Iic (k, 0)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 E F)) f)

Tactic:
refine ⟨k, (eLpNorm (fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ (-k : ℝ)) p μ).toNNReal * 2 ^ k, fun f ↦ ?_⟩

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : OpensMeasurableSpace E
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure E
hμ : μ.HasTemperateGrowth
k : ℕ
hk : eLpNorm (fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ (-↑k)) p μ < ∞
f : 𝓢(E, F)
⊢ eLpNorm (⇑f) p μ ≤
    ↑((eLpNorm (fun x ↦ (1 + ‖x‖) ^ (-↑k)) p μ).toNNReal * 2 ^ k) *
      ENNReal.ofReal (((Finset.Iic (k, 0)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 E F)) f)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: case hcg
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ Tendsto g (𝓝 0) (𝓝 (g 0))

Tactic:
· exact h'g

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransform

Goal state before:
pp: case e_f.e_f
𝕜 : Type u_1
inst✝²³ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝²² : AddCommGroup V
inst✝²¹ : Module 𝕜 V
inst✝²⁰ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁹ : AddCommGroup W
inst✝¹⁸ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℂ F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹² : NormedSpace ℂ G
inst✝¹¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : IsTopologicalRing 𝕜
inst✝⁹ : TopologicalSpace V
inst✝⁸ : BorelSpace V
inst✝⁷ : TopologicalSpace W
inst✝⁶ : MeasurableSpace W
inst✝⁵ : BorelSpace W
e : AddChar 𝕜 𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
ν : Measure W
inst✝⁴ : SigmaFinite μ
inst✝³ : SigmaFinite ν
inst✝² : SecondCountableTopologyEither W V
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : V → E
g : W → F
M : E →L⋆[ℂ] F →L[ℂ] G
he : Continuous[inst✝¹¹, _] ⇑e
hL : Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝¹¹] fun p ↦ (L p.1) p.2
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g ν
hG : CompleteSpace G
x : V
ξ : W
⊢ (M.flip (g ξ)) (e (-(L x) ξ) • f x) = (M (f x)) (e ((L.flip ξ) x) • g ξ)

Tactic:
rw [← smul_one_smul ℂ _ (f x), ← smul_one_smul ℂ _ (g ξ)]

Goal state after:
case e_f.e_f
𝕜 : Type u_1
inst✝²³ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝²² : AddCommGroup V
inst✝²¹ : Module 𝕜 V
inst✝²⁰ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁹ : AddCommGroup W
inst✝¹⁸ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℂ F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹² : NormedSpace ℂ G
inst✝¹¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : IsTopologicalRing 𝕜
inst✝⁹ : TopologicalSpace V
inst✝⁸ : BorelSpace V
inst✝⁷ : TopologicalSpace W
inst✝⁶ : MeasurableSpace W
inst✝⁵ : BorelSpace W
e : AddChar 𝕜 𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
ν : Measure W
inst✝⁴ : SigmaFinite μ
inst✝³ : SigmaFinite ν
inst✝² : SecondCountableTopologyEither W V
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : V → E
g : W → F
M : E →L⋆[ℂ] F →L[ℂ] G
he : Continuous[inst✝¹¹, _] ⇑e
hL : Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝¹¹] fun p ↦ (L p.1) p.2
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g ν
hG : CompleteSpace G
x : V
ξ : W
⊢ (M.flip (g ξ)) ((e (-(L x) ξ) • 1) • f x) = (M (f x)) ((e ((L.flip ξ) x) • 1) • g ξ)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ImproperIntegrals

Goal state before:
pp: case inr
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
hs✝ : s.re ≤ 0
hs : s.re < 0
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ s.re * x ^ (s.re - 1)) (Ioi t) volume

Tactic:
replace hs : s.re - 1 < -1 := by rwa [sub_lt_iff_lt_add, neg_add_cancel]

Goal state after:
case inr
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
hs✝ : s.re ≤ 0
hs : s.re - 1 < -1
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ s.re * x ^ (s.re - 1)) (Ioi t) volume
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gaussian.GaussianIntegral

Goal state before:
pp: p s : ℝ
hs : -1 < s
hp : 0 < p
ht : 0 < (s + 1) / p
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ x ^ s * rexp (-x ^ p)) (Ioi 0) volume

Tactic:
refine ((integrableOn_Ioi_comp_rpow_iff' _ hp.ne').mpr
    (GammaIntegral_convergent ht)).congr_fun (fun x hx => ?_) measurableSet_Ioi

Goal state after:
p s : ℝ
hs : -1 < s
hp : 0 < p
ht : 0 < (s + 1) / p
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ (fun x ↦ x ^ (p - 1) • (rexp (-x ^ p) * (x ^ p) ^ ((s + 1) / p - 1))) x = x ^ s * rexp (-x ^ p)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gamma.Basic

Goal state before:
pp: s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
F_der_I :
  ∀ x ∈ Ioo 0 X,
    HasDerivAt (fun x ↦ ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) (-(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) x
cont : Continuous ((ofReal ∘ fun y ↦ rexp (-y)) * fun x ↦ ↑x ^ s)
der_ible : IntervalIntegrable (fun x ↦ -(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) volume 0 X
int_eval :
  -∫ (y : ℝ) in 0..X, -(↑(rexp (-y)) * ↑y ^ s) + ↑(rexp (-y)) * (s * ↑y ^ (s - 1)) =
    -(((ofReal ∘ fun y ↦ rexp (-y)) * fun x ↦ ↑x ^ s) X - ((ofReal ∘ fun y ↦ rexp (-y)) * fun x ↦ ↑x ^ s) 0)
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s =
    (s * ∫ (x : ℝ) in 0..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) - ↑(rexp (-X)) * ↑X ^ s

Tactic:
intervalIntegral.integral_add (Gamma_integrand_deriv_integrable_A hs hX)
      (Gamma_integrand_deriv_integrable_B hs hX),

Goal state after:
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
F_der_I :
  ∀ x ∈ Ioo 0 X,
    HasDerivAt (fun x ↦ ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) (-(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) x
cont : Continuous ((ofReal ∘ fun y ↦ rexp (-y)) * fun x ↦ ↑x ^ s)
der_ible : IntervalIntegrable (fun x ↦ -(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) volume 0 X
int_eval :
  -((∫ (x : ℝ) in 0..X, -(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s)) + ∫ (x : ℝ) in 0..X, ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) =
    -(((ofReal ∘ fun y ↦ rexp (-y)) * fun x ↦ ↑x ^ s) X - ((ofReal ∘ fun y ↦ rexp (-y)) * fun x ↦ ↑x ^ s) 0)
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s =
    (s * ∫ (x : ℝ) in 0..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) - ↑(rexp (-X)) * ↑X ^ s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Pi

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : RCLike 𝕜
E : ι → Type u_3
f : (i : ι) → E i → 𝕜
mE : (i : ι) → MeasurableSpace (E i)
μ : (i : ι) → Measure (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
e : Fin (card ι) ≃ ι := (equivFin ι).symm
⊢ (∫ (x : (b : Fin (card ι)) → E (e b)),
      ∏ i, f i ((MeasurableEquiv.piCongrLeft E e) x i) ∂Measure.pi fun i' ↦ μ (e i')) =
    ∏ i, ∫ (x : E i), f i x ∂μ i

Tactic:
simp_rw [← e.prod_comp, MeasurableEquiv.coe_piCongrLeft, Equiv.piCongrLeft_apply_apply,
    MeasureTheory.integral_fin_nat_prod_eq_prod]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.PolarCoord

Goal state before:
pp: f : ℂ → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, ENNReal.ofReal p.1 • f (↑Complex.polarCoord.symm p) = ∫⁻ (p : ℂ), f p

Tactic:
rw [← (volume_preserving_equiv_real_prod.symm).lintegral_comp_emb
    measurableEquivRealProd.symm.measurableEmbedding, ← lintegral_comp_polarCoord_symm]
  simp_rw [measurableEquivRealProd_symm_polarCoord_symm_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.PolarCoord

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : (ι → ℝ × ℝ) → ℝ≥0∞
⊢ (∫⁻ (p : ι → ℝ × ℝ) in Set.univ.pi fun x ↦ polarCoord.target,
      (∏ i, ENNReal.ofReal (p i).1) * f fun i ↦ ↑polarCoord.symm (p i)) =
    ∫⁻ (x : ι → ℝ × ℝ) in (Pi.map fun x ↦ ↑polarCoord.symm) '' Set.univ.pi fun x ↦ polarCoord.target, f x

Tactic:
convert!
    (lintegral_image_eq_lintegral_abs_det_fderiv_mul volume measurableSet_pi_polarCoord_target
        (fun p _ ↦ (hasFDerivAt_pi_polarCoord_symm p).hasFDerivWithinAt) injOn_pi_polarCoord_symm
        f).symm using 1

Goal state after:
case e'_2
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : (ι → ℝ × ℝ) → ℝ≥0∞
⊢ (∫⁻ (p : ι → ℝ × ℝ) in Set.univ.pi fun x ↦ polarCoord.target,
      (∏ i, ENNReal.ofReal (p i).1) * f fun i ↦ ↑polarCoord.symm (p i)) =
    ∫⁻ (x : ι → ℝ × ℝ) in Set.univ.pi fun x ↦ polarCoord.target,
      ENNReal.ofReal |(fderivPiPolarCoordSymm x).det| * f fun i ↦ ↑polarCoord.symm (x i)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gaussian.FourierTransform

Goal state before:
pp: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c✝ T✝ : ℝ
hT✝ : 0 ≤ T✝
T : ℝ
hT : 0 ≤ T
c y : ℝ
hy : |y| ≤ |c|
| 2 * b.im * y

Tactic:
rw [mul_assoc]

Goal state after:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c✝ T✝ : ℝ
hT✝ : 0 ≤ T✝
T : ℝ
hT : 0 ≤ T
c y : ℝ
hy : |y| ≤ |c|
| 2 * (b.im * y)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gaussian.FourierTransform

Goal state before:
pp: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c✝ T✝ : ℝ
hT✝ : 0 ≤ T✝
T : ℝ
hT : 0 ≤ T
c y : ℝ
hy : |y| ≤ |c|
| 2 * |b.im| * |c|

Tactic:
rw [mul_assoc]

Goal state after:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c✝ T✝ : ℝ
hT✝ : 0 ≤ T✝
T : ℝ
hT : 0 ≤ T
c y : ℝ
hy : |y| ≤ |c|
| 2 * (|b.im| * |c|)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gaussian.FourierTransform

Goal state before:
pp: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c T : ℝ
hT : 0 ≤ T
vert_norm_bound :
  ∀ {T : ℝ},
    0 ≤ T →
      ∀ {c y : ℝ},
        |y| ≤ |c| → ‖cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)‖ ≤ rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))
| |c| * 2 * rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))

Tactic:
rw [mul_assoc]

Goal state after:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c T : ℝ
hT : 0 ≤ T
vert_norm_bound :
  ∀ {T : ℝ},
    0 ≤ T →
      ∀ {c y : ℝ},
        |y| ≤ |c| → ‖cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)‖ ≤ rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))
| |c| * (2 * rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2)))
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gaussian.GaussianIntegral

Goal state before:
pp: b : ℂ
hb : 0 < b.re
nv : ∀ {b : ℂ}, 0 < b.re → b ≠ 0
this : ∀ (x : ℝ), cexp (-1 * ↑x ^ 2) = ↑(rexp (-1 * x ^ 2))
⊢ ↑(∫ (x : ℝ), rexp (-1 * x ^ 2)) = (↑π / 1) ^ (1 / 2)

Tactic:
conv_rhs =>
      congr
      · rw [← ofReal_one, ← ofReal_div]
      · rw [← ofReal_one, ← ofReal_ofNat, ← ofReal_div]

Goal state after:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
nv : ∀ {b : ℂ}, 0 < b.re → b ≠ 0
this : ∀ (x : ℝ), cexp (-1 * ↑x ^ 2) = ↑(rexp (-1 * x ^ 2))
⊢ ↑(∫ (x : ℝ), rexp (-1 * x ^ 2)) = ↑(π / 1) ^ ↑(1 / 2)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gaussian.FourierTransform

Goal state before:
pp: b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ Tendsto (fun x ↦ b.re * x ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * x) atTop atTop

Tactic:
sq,

Goal state after:
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
⊢ Tendsto (fun x ↦ b.re * (x * x) - 2 * |b.im| * |c| * x) atTop atTop
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gaussian.FourierTransform

Goal state before:
pp: b : ℂ
hb : b.re < 0
c d : ℂ
⊢ ∫ (x : ℝ), cexp (b * ↑x ^ 2 + c * ↑x + d) = (↑π / -b) ^ (1 / 2) * cexp (d - c ^ 2 / (4 * b))

Tactic:
have hb' : b ≠ 0 := by contrapose! hb; rw [hb, zero_re]
  have h (x : ℝ) : cexp (b * x ^ 2 + c * x + d) =
      cexp (- -b * (x + c / (2 * b)) ^ 2) * cexp (d - c ^ 2 / (4 * b)) := by
    simp_rw [← Complex.exp_add]
    congr 1
    field
  simp_rw [h, MeasureTheory.integral_mul_const]
  rw [← re_add_im (c / (2 * b))]
  simp_rw [← add_assoc, ← ofReal_add]
  rw [integral_add_right_eq_self fun a : ℝ ↦ cexp (- -b * (↑a + ↑(c / (2 * b)).im * I) ^ 2),
    integral_cexp_neg_mul_sq_add_real_mul_I ((neg_re b).symm ▸ (neg_pos.mpr hb))]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Spaces.PointwiseConvergenceCLM

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
𝕜₁ : Type u_4
𝕜₂ : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : IsTopologicalAddGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₁ E
inst✝ : Module 𝕜₂ F
g : α → E →SLₚₜ[σ] F
h : ∀ (x : E), Continuous[inst✝⁹, inst✝³] fun x_1 ↦ (g x_1) x
⊢ Continuous[inst✝⁹, UniformConvergenceCLM.instTopologicalSpace σ F {s | Finite ↑s}] g

Tactic:
simp [(PointwiseConvergenceCLM.isEmbedding_coeFn σ E F).continuous_iff, continuous_pi_iff, h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.Support

Goal state before:
pp: E : Type u_11
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
Ω : Opens E
F : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
f : 𝓓'(Ω, F)
s : Set E
hf : IsVanishingOn (⇑f) s
m : E
u : 𝓓(Ω, ℝ)
hu : tsupport ⇑u ⊆ s
⊢ (∂_{m} f) u = 0

Tactic:
simp only [Distribution.lineDerivOp_apply_apply, map_neg, neg_eq_zero]

Goal state after:
E : Type u_11
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
Ω : Opens E
F : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
f : 𝓓'(Ω, F)
s : Set E
hf : IsVanishingOn (⇑f) s
m : E
u : 𝓓(Ω, ℝ)
hu : tsupport ⇑u ⊆ s
⊢ f (∂_{m} u) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.BoundedContinuousFunctionChar

Goal state before:
pp: V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module ℝ V
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module ℝ W
inst✝ : TopologicalSpace W
e : AddChar ℝ Circle
L : V →ₗ[ℝ] W →ₗ[ℝ] ℝ
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p ↦ (L p.1) p.2
x y : W
⊢ char he hL (x + y) = char he hL x * char he hL y

Tactic:
by
  ext
  simp [e.map_add_eq_mul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.BoundedContinuousFunctionChar

Goal state before:
pp: V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module ℝ V
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module ℝ W
inst✝ : TopologicalSpace W
e : AddChar ℝ Circle
L : V →ₗ[ℝ] W →ₗ[ℝ] ℝ
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p ↦ (L p.1) p.2
w : AddMonoidAlgebra ℂ W
v : V
⊢ ((charAlgHom he hL) w) v = w.coeff.sum fun a z ↦ z • ↑(e ((L v) a))

Tactic:
simp [charAlgHom, charMonoidHom, char, AddMonoidAlgebra.lift_apply]
  simp [Finsupp.sum]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.Convolution

Goal state before:
pp: E : Type u_3
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E
inst✝⁹ : BorelSpace E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ F₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ F₂
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝³ : NormedSpace ℂ F₃
inst✝² : CompleteSpace F₃
inst✝¹ : CompleteSpace F₁
inst✝ : CompleteSpace F₂
B : F₁ →L[ℂ] F₂ →L[ℂ] F₃
f : 𝓢(E, F₁)
g : 𝓢(E, F₂)
x : E
⊢ (𝓕 (((convolution B) f) g)) x = 𝓕 (⇑f ⋆[B, volume] ⇑g) x

Tactic:
by
  simp [fourier_convolution, fourier_coe,
    Real.fourier_bilin_convolution_eq B f.integrable g.integrable]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.RiemannLebesgueLemma

Goal state before:
pp: E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
w : V
hw : w ≠ 0
⊢ ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫) • f (v + i w) = -∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫) • f v

Tactic:
have hiw : ⟪i w, w⟫ = 1 / 2 := by
    rw [inner_smul_left, inner_self_eq_norm_sq_to_K, RCLike.ofReal_real_eq_id, id,
      RCLike.conj_to_real, ← div_div, div_mul_cancel₀]
    rwa [Ne, sq_eq_zero_iff, norm_eq_zero]

Goal state after:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
w : V
hw : w ≠ 0
hiw : ⟪i w, w⟫ = 1 / 2
⊢ ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫) • f (v + i w) = -∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫) • f v
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.PoissonSummation

Goal state before:
pp: case e'_4
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x ↦ |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), max 0 (-2 * R) < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ (b_1 : ℝ), d ≤ b_1 → ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + max 0 (-2 * R) ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x
y : ↑(Icc (x + R) (x + S))
A : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ |x| ^ (-b)
⊢ |x| = x

Tactic:
exact abs_of_pos hx'.1

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.RiemannLebesgueLemma

Goal state before:
pp: E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 :
  Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ ⦃a b : V⦄, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
⊢ 1 / (2 * ‖w‖ ^ 2) * ‖w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)

Tactic:
sq,

Goal state after:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 :
  Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ ⦃a b : V⦄, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
⊢ 1 / (2 * (‖w‖ * ‖w‖)) * ‖w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)