Module: Mathlib.Probability.IdentDistrib

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure γ
μ' : Measure δ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ'
X : γ → α
X' : δ → α
Y : γ → β
Y' : δ → β
h_indep : X ⟂ᵢ[μ] Y
h_ident : IdentDistrib (fun ω ↦ (X ω, Y ω)) (fun ω ↦ (X' ω, Y' ω)) μ μ'
⊢ Measure.map (fun ω ↦ (X ω, Y ω)) μ = (Measure.map X' μ').prod (Measure.map Y' μ')

pp: case hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure γ
μ' : Measure δ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ'
X : γ → α
X' : δ → α
Y : γ → β
Y' : δ → β
h_indep : X ⟂ᵢ[μ] Y
h_ident : IdentDistrib (fun ω ↦ (X ω, Y ω)) (fun ω ↦ (X' ω, Y' ω)) μ μ'
⊢ AEMeasurable X' μ'

pp: case hg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure γ
μ' : Measure δ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ'
X : γ → α
X' : δ → α
Y : γ → β
Y' : δ → β
h_indep : X ⟂ᵢ[μ] Y
h_ident : IdentDistrib (fun ω ↦ (X ω, Y ω)) (fun ω ↦ (X' ω, Y' ω)) μ μ'
⊢ AEMeasurable Y' μ'

Tactic:
h_indep.map_prod_eq_prod_map_map

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure γ
μ' : Measure δ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ'
X : γ → α
X' : δ → α
Y : γ → β
Y' : δ → β
h_indep : X ⟂ᵢ[μ] Y
h_ident : IdentDistrib (fun ω ↦ (X ω, Y ω)) (fun ω ↦ (X' ω, Y' ω)) μ μ'
⊢ (Measure.map X μ).prod (Measure.map Y μ) = (Measure.map X' μ').prod (Measure.map Y' μ')

case hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure γ
μ' : Measure δ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ'
X : γ → α
X' : δ → α
Y : γ → β
Y' : δ → β
h_indep : X ⟂ᵢ[μ] Y
h_ident : IdentDistrib (fun ω ↦ (X ω, Y ω)) (fun ω ↦ (X' ω, Y' ω)) μ μ'
⊢ AEMeasurable X μ

case hg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure γ
μ' : Measure δ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ'
X : γ → α
X' : δ → α
Y : γ → β
Y' : δ → β
h_indep : X ⟂ᵢ[μ] Y
h_ident : IdentDistrib (fun ω ↦ (X ω, Y ω)) (fun ω ↦ (X' ω, Y' ω)) μ μ'
⊢ AEMeasurable Y μ

case hf
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure γ
μ' : Measure δ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ'
X : γ → α
X' : δ → α
Y : γ → β
Y' : δ → β
h_indep : X ⟂ᵢ[μ] Y
h_ident : IdentDistrib (fun ω ↦ (X ω, Y ω)) (fun ω ↦ (X' ω, Y' ω)) μ μ'
⊢ AEMeasurable X' μ'

case hg
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure γ
μ' : Measure δ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ'
X : γ → α
X' : δ → α
Y : γ → β
Y' : δ → β
h_indep : X ⟂ᵢ[μ] Y
h_ident : IdentDistrib (fun ω ↦ (X ω, Y ω)) (fun ω ↦ (X' ω, Y' ω)) μ μ'
⊢ AEMeasurable Y' μ'