mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : LinearOrder S
inst✝⁸ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Algebra S R
inst✝⁵ : FaithfulSMul S R
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
x : ↥(P.rootSpan S)
hx : x ≠ 0
⊢ 0 < ((P.posRootForm S).posForm x) x

Tactic:
rw [posRootForm_posForm_apply_apply]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : LinearOrder S
inst✝⁸ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Algebra S R
inst✝⁵ : FaithfulSMul S R
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
x : ↥(P.rootSpan S)
hx : x ≠ 0
⊢ 0 < ∑ i, (P.coroot'In S i) x * (P.coroot'In S i) x
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
inst✝¹ : Nontrivial Γ₀
inst✝ : NoZeroDivisors Γ₀
x y : R
hxy : x * y ∈ v.supp
⊢ x ∈ v.supp ∨ y ∈ v.supp

Tactic:
by
    simp only [mem_supp_iff] at hxy ⊢
    rw [v.map_mul x y] at hxy
    exact eq_zero_or_eq_zero_of_mul_eq_zero hxy

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
⊢ finrank R ↥(P.corootSpan R) ≤ finrank R ↥(P.rootSpan R)

Tactic:
rw [← finrank_rootSpan_map_polarization_eq_finrank_corootSpan]
  exact Submodule.finrank_map_le P.Polarization (P.rootSpan R)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : P.IsReduced
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ i ≠ j ∧ P.root i ≠ -P.root j

Tactic:
LinearIndependent.pair_iff

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : P.IsReduced
h : ∀ (s t : R), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
⊢ i ≠ j ∧ P.root i ≠ -P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: case refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ (P.flip (P.coroot i)) (P.root j) • P.root i ≠ 2 • P.root j

Tactic:
LinearIndependent.pair_iff

Goal state after:
case refine_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : IsAddTorsionFree M
hl : ∀ (s t : R), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ (P.flip (P.coroot i)) (P.root j) • P.root i ≠ 2 • P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.pairing j i • P.root i = 2 • P.root j

Tactic:
LinearIndependent.pair_iff

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
h : ¬∀ (s t : R), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
⊢ P.pairing j i • P.root i = 2 • P.root j
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
this : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ((chainTop (⇑α) β) (coroot α))
μ : ℕ
hμ : (chainTop (⇑α) β) (coroot α) = ↑μ
⊢ ↑μ • x = ⁅coroot α, x⁆

Tactic:
← hμ,

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
this : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ((chainTop (⇑α) β) (coroot α))
μ : ℕ
hμ : (chainTop (⇑α) β) (coroot α) = ↑μ
⊢ (chainTop (⇑α) β) (coroot α) • x = ⁅coroot α, x⁆
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.OrzechProperty

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : OrzechProperty R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
b : ι → M
hc : Fintype.card ι = Set.finrank R (Set.range b)
⊢ LinearIndependent R b

Tactic:
refine (LinearMap.linearIndependent_iff_of_injOn _ (subtype_injective _).injOn).mpr <|
      linearIndependent_of_top_le_span_of_card_eq_finrank (b := fun i ↦ ⟨b i, subset_span ⟨i, rfl⟩⟩)
        (fun ⟨_, _⟩ _ ↦ (subtype_injective _).mem_set_image.mp ?_) hc
    rwa [← map_coe, ← span_image, ← Set.range_comp]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.OrzechProperty

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : OrzechProperty R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
b : ι → M
⊢ LinearIndependent R b ↔ Fintype.card ι ≤ Set.finrank R (Set.range b)

Tactic:
by
  rw [linearIndependent_iff_card_eq_finrank_span, (finrank_range_le_card _).ge_iff_eq']

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
x✝ : P.pairing i j = 2 ∧ P.pairing j i = 2
h₁ : P.pairing i j = 2
h₂ : P.pairing j i = 2
⊢ P.pairing i j * P.pairing j i = 4

Tactic:
h₁,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
x✝ : P.pairing i j = 2 ∧ P.pairing j i = 2
h₁ : P.pairing i j = 2
h₂ : P.pairing j i = 2
⊢ 2 * P.pairing j i = 4
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsTorsionFree R N
h2 : IsSMulRegular R 2
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : IsAddTorsionFree N
x✝ : P.pairing i j = 1 ∧ P.pairing j i = 4
h₁ : P.pairing i j = 1
h₂ : P.pairing j i = 4
⊢ P.pairing i j * P.pairing j i = 4

Tactic:
h₁,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsTorsionFree R N
h2 : IsSMulRegular R 2
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : IsAddTorsionFree N
x✝ : P.pairing i j = 1 ∧ P.pairing j i = 4
h₁ : P.pairing i j = 1
h₂ : P.pairing j i = 4
⊢ 1 * P.pairing j i = 4
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Dual

Goal state before:
pp: ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hB : (BilinMap.toQuadraticMap B).PosDef
f : Module.Dual R M
v : ι → M
hp : ∀ (i : ι), 0 < f (v i)
hn : Pairwise fun i j ↦ (B (v i)) (v j) ≤ 0
s : Finset ι
c✝ : ι → R
x : M := ∑ i ∈ s with 0 < c✝ i, c✝ i • v i
hx : x = ∑ i ∈ s with 0 < c✝ i, c✝ i • v i
y : M := ∑ i ∈ s with 0 < -c✝ i, -c✝ i • v i
hy : y = ∑ i ∈ s with 0 < -c✝ i, -c✝ i • v i
hc : x = y
hx₀ : x = 0
c : ι → R
h : ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i • v i = 0
i : ι
hi : i ∈ s
this : ∑ i ∈ s with 0 < c i, c i * f (v i) = 0
⊢ ∀ i ∈ {i ∈ s | 0 < c i}, 0 ≤ c i * f (v i)

Tactic:
by grind [mul_nonneg]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.WeylGroup

Goal state before:
pp: case refine_2.mem
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
w : P.Aut
i : ι
⊢ ((Equiv.weightHom P).domRestrict P.weylGroup) ⟨Equiv.reflection P i, ⋯⟩ ∈ Subgroup.closure (range P.reflection)

Tactic:
simp only [MonoidHom.domRestrict_apply, Equiv.weightHom_apply, Equiv.reflection_weightEquiv]

Goal state after:
case refine_2.mem
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
w : P.Aut
i : ι
⊢ P.reflection i ∈ Subgroup.closure (range P.reflection)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
ι₂✝ : Type u_5
M₂✝ : Type u_6
N₂✝ : Type u_7
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂✝
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂✝
inst✝⁴ : Module R N₂✝
P✝ : RootPairing ι R M N
Q✝ : RootPairing ι₂✝ R M₂✝ N₂✝
ι₂ : Type u_8
M₂ : Type u_9
N₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
f : P.Equiv Q
⊢ Bijective ⇑↑(coweightEquiv P Q f).symm

Tactic:
simp only [LinearEquiv.coe_coe]
    exact LinearEquiv.bijective (coweightEquiv P Q f).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : NeZero 2
contra : b.support = ∅
⊢ False

Tactic:
inhabit ι

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : NeZero 2
contra : b.support = ∅
inhabited_h : Inhabited ι
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j : ι
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : j ≠ i
f : ι → ℤ := fun k ↦ if k = i then 1 else if k = j then -1 else 0
⊢ ∑ k ∈ b.support, f k • P.root k = P.root i - P.root j

Tactic:
have : {i, j} ⊆ b.support := by aesop (add simp Finset.insert_subset_iff)

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j : ι
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : j ≠ i
f : ι → ℤ := fun k ↦ if k = i then 1 else if k = j then -1 else 0
this : {i, j} ⊆ b.support
⊢ ∑ k ∈ b.support, f k • P.root k = P.root i - P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : Finite ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
⊢ ↑(chainTopCoeff ↑i ↑j) = -P.pairingIn ℤ ↑j ↑i

Tactic:
rw [← chainTopCoeff_sub_chainBotCoeff (b.linearIndependent_pair_of_ne hij)]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : Finite ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
⊢ ↑(chainTopCoeff ↑i ↑j) = ↑(chainTopCoeff ↑i ↑j) - ↑(chainBotCoeff ↑i ↑j)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℕ
hf : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
contra : f = 0
⊢ False

Tactic:
exact P.ne_zero i <| by simp [hf', contra]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℕ
hf : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : P.root i = -∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
contra : f = 0
⊢ False

Tactic:
exact P.ne_zero i <| by simp [hf', contra]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i✝ j✝ : ι
h✝ : LinearIndependent R ![P.root i✝, P.root j✝]
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h₁ : (P.reflection i) (P.root (chainBotIdx i j)) = P.root j + (↑(chainBotCoeff i j) - P.pairingIn ℤ j i) • P.root i
h₂ : (P.reflection i) (P.root (chainBotIdx i j)) ∈ range ⇑P.root
⊢ ↑(chainBotCoeff i j) - ↑(chainTopCoeff i j) ≤ P.pairingIn ℤ j i

Tactic:
h₁,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i✝ j✝ : ι
h✝ : LinearIndependent R ![P.root i✝, P.root j✝]
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h₁ : (P.reflection i) (P.root (chainBotIdx i j)) = P.root j + (↑(chainBotCoeff i j) - P.pairingIn ℤ j i) • P.root i
h₂ : P.root j + (↑(chainBotCoeff i j) - P.pairingIn ℤ j i) • P.root i ∈ range ⇑P.root
⊢ ↑(chainBotCoeff i j) - ↑(chainTopCoeff i j) ≤ P.pairingIn ℤ j i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
contra : P.coroot i = P.coroot j + P.coroot k
⊢ i = j

Tactic:
obtain ⟨u, hu, v, hv, huv⟩ : ∃ᵉ (u > (0 : ℚ)) (v > (0 : ℚ)),
      P.root i = u • P.root j + v • P.root k := by
    let l (i : ι) := P.RootFormIn ℚ (P.rootSpanMem ℚ i) (P.rootSpanMem ℚ i)
    have hl (i : ι) : 0 < l i := by
      simpa only [l, ← posRootForm_eq] using RootPositiveForm.zero_lt_posForm_apply_root _ _
    refine ⟨l i / l j, by simp [hl], l i / l k, by simp [hl], ?_⟩
    simp only [P.coroot_eq_polarizationEquiv_apply_root, ← map_smul, ← map_add,
      P.PolarizationEquiv.injective.eq_iff] at contra
    let l' (i : ι) := P.RootForm (P.root i) (P.root i)
    have hll' (i : ι) : l i = l' i := P.algebraMap_rootFormIn ℚ _ _
    change (2 / l' i) • P.root i = (2 / l' j) • P.root j + (2 / l' k) • P.root k at contra
    replace contra := congr_arg ((2 / l' i)⁻¹ • ·) contra
    have aux₁ : 2 / l' i ≠ 0 := by simpa using IsAnisotropic.rootForm_root_ne_zero i
    have aux₂ (j : ι) : (2 / l' i)⁻¹ * (2 / l' j) = l i / l j := by ring_nf; simp [hll']
    simp only [smul_add, smul_smul, inv_mul_cancel₀ aux₁, aux₂, one_smul] at contra
    rw [contra]
    module

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
contra : P.coroot i = P.coroot j + P.coroot k
u : ℚ
hu : u > 0
v : ℚ
hv : v > 0
huv : P.root i = u • P.root j + v • P.root k
⊢ i = j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
contra : P.coroot i = P.coroot j + P.coroot k
u : ℚ
hu : u > 0
v : ℚ
hv : v > 0
hjk : ∀ {l : ι}, 0 < g (P.coroot l) → ∃ c, ∑ x, c x • ↑x = P.root l
a : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
ha : ∑ x, a x • ↑x = P.root j
b : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
hb : ∑ x, b x • ↑x = P.root k
ri : ↑(⇑P.root '' s) := ⟨P.root i, ⋯⟩
huv : P.root i = ∑ x, (u * ↑(a x) + v * ↑(b x)) • ↑x
⊢ P.root i = ∑ x, Pi.single ri 1 x • ↑x

Tactic:
simp [ri]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε : α
ε0 : 0 < ε
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2
⊢ abv (a₁ - b₁) + abv (a₂ - b₂) < ε

Tactic:
h₁,

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε : α
ε0 : 0 < ε
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2
⊢ ε / 2 + abv (a₂ - b₂) ≤ ε
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case zero
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsCrystallographic
p : ι → Prop
h₁ : ∀ i ∈ b.support, p i
h₂ : ∀ (i j k : ι), P.root k = P.root i + P.root j → p i → j ∈ b.support → p k
i : ι
h₀ : b.IsPos i
hN : b.height i = 0
⊢ p i

Tactic:
exact False.elim <| b.height_ne_zero i hN

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
⊢ False

Tactic:
have hf' : ¬LimZero f := by simpa using show ¬LimZero (f - 0) from hf

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
⊢ False
Module: Mathlib.Data.Real.Basic

Goal state before:
pp: ⊢ one.cauchy = 1

Tactic:
one_def

Goal state after:
⊢ { cauchy := 1 }.cauchy = 1
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Completion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁵ : Field α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : IsStrictOrderedRing α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
hl : f.lim ≠ 0
h₁ : ∀ (g f : CauSeq β abv) (hf : ¬f.LimZero), (g - f * f.inv hf * g).LimZero
⊢ (f.inv hf - const abv f.lim * (f.inv hf * const abv f.lim⁻¹) - const abv f.lim⁻¹ +
      f * (f.inv hf * const abv f.lim⁻¹)).LimZero

Tactic:
sub_add

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁵ : Field α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : IsStrictOrderedRing α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
hl : f.lim ≠ 0
h₁ : ∀ (g f : CauSeq β abv) (hf : ¬f.LimZero), (g - f * f.inv hf * g).LimZero
⊢ (f.inv hf - const abv f.lim * (f.inv hf * const abv f.lim⁻¹) -
      (const abv f.lim⁻¹ - f * (f.inv hf * const abv f.lim⁻¹))).LimZero
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Completion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁵ : Field α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : IsStrictOrderedRing α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
hl : f.lim ≠ 0
h₁ : ∀ (g f : CauSeq β abv) (hf : ¬f.LimZero), (g - f * f.inv hf * g).LimZero
⊢ (f.inv hf - const abv f.lim * f.inv hf * const abv f.lim⁻¹).LimZero

Tactic:
mul_right_comm,

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁵ : Field α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : IsStrictOrderedRing α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
hl : f.lim ≠ 0
h₁ : ∀ (g f : CauSeq β abv) (hf : ¬f.LimZero), (g - f * f.inv hf * g).LimZero
⊢ (f.inv hf - const abv f.lim * const abv f.lim⁻¹ * f.inv hf).LimZero