mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.IteratedDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : CharZero 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
z₀ : 𝕜
R R₁ : 𝕜 → 𝕜
hf1 : ∀ (z : 𝕜), AnalyticAt 𝕜 R₁ z
k : ℕ
IH :
  ∀ {t : ℕ},
    (∀ (z : 𝕜), R z = (z - z₀) ^ (k + t) * R₁ z) →
      ∃ R₂,
        (∀ (z : 𝕜), AnalyticAt 𝕜 R₂ z) ∧
          ∀ (z : 𝕜), iteratedDeriv k R z = (z - z₀) ^ t * (↑(k + t)! / ↑t ! * R₁ z + (z - z₀) * R₂ z)
t : ℕ
hR₁ : ∀ (z : 𝕜), R z = (z - z₀) ^ (k + 1 + t) * R₁ z
R₂ : 𝕜 → 𝕜
hR₂ : ∀ (z : 𝕜), AnalyticAt 𝕜 R₂ z
hR₂_eq : ∀ (z : 𝕜), iteratedDeriv k R z = (z - z₀) ^ (t + 1) * (↑(k + (t + 1))! / ↑(t + 1)! * R₁ z + (z - z₀) * R₂ z)
R₂' : 𝕜 → 𝕜 := fun z ↦ (↑t + 1) * R₂ z + (↑(k + (t + 1))! / ↑(t + 1)! * deriv R₁ z + (R₂ z + (z - z₀) * deriv R₂ z))
z : 𝕜
⊢ deriv (iteratedDeriv k R) z =
    deriv (fun w ↦ (w - z₀) ^ (t + 1) * (↑(k + (t + 1))! / ↑(t + 1)! * R₁ w + (w - z₀) * R₂ w)) z

Tactic:
funext hR₂_eq

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : CharZero 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
z₀ : 𝕜
R R₁ : 𝕜 → 𝕜
hf1 : ∀ (z : 𝕜), AnalyticAt 𝕜 R₁ z
k : ℕ
IH :
  ∀ {t : ℕ},
    (∀ (z : 𝕜), R z = (z - z₀) ^ (k + t) * R₁ z) →
      ∃ R₂,
        (∀ (z : 𝕜), AnalyticAt 𝕜 R₂ z) ∧
          ∀ (z : 𝕜), iteratedDeriv k R z = (z - z₀) ^ t * (↑(k + t)! / ↑t ! * R₁ z + (z - z₀) * R₂ z)
t : ℕ
hR₁ : ∀ (z : 𝕜), R z = (z - z₀) ^ (k + 1 + t) * R₁ z
R₂ : 𝕜 → 𝕜
hR₂ : ∀ (z : 𝕜), AnalyticAt 𝕜 R₂ z
hR₂_eq : ∀ (z : 𝕜), iteratedDeriv k R z = (z - z₀) ^ (t + 1) * (↑(k + (t + 1))! / ↑(t + 1)! * R₁ z + (z - z₀) * R₂ z)
R₂' : 𝕜 → 𝕜 := fun z ↦ (↑t + 1) * R₂ z + (↑(k + (t + 1))! / ↑(t + 1)! * deriv R₁ z + (R₂ z + (z - z₀) * deriv R₂ z))
z : 𝕜
⊢ deriv (fun x ↦ (x - z₀) ^ (t + 1) * (↑(k + (t + 1))! / ↑(t + 1)! * R₁ x + (x - z₀) * R₂ x)) z =
    deriv (fun w ↦ (w - z₀) ^ (t + 1) * (↑(k + (t + 1))! / ↑(t + 1)! * R₁ w + (w - z₀) * R₂ w)) z
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.IteratedDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : CharZero 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
z₀ : 𝕜
R R₁ : 𝕜 → 𝕜
hf1 : ∀ (z : 𝕜), AnalyticAt 𝕜 R₁ z
k : ℕ
IH :
  ∀ {t : ℕ},
    (∀ (z : 𝕜), R z = (z - z₀) ^ (k + t) * R₁ z) →
      ∃ R₂,
        (∀ (z : 𝕜), AnalyticAt 𝕜 R₂ z) ∧
          ∀ (z : 𝕜), iteratedDeriv k R z = (z - z₀) ^ t * (↑(k + t)! / ↑t ! * R₁ z + (z - z₀) * R₂ z)
t : ℕ
hR₁ : ∀ (z : 𝕜), R z = (z - z₀) ^ (k + 1 + t) * R₁ z
R₂ : 𝕜 → 𝕜
hR₂ : ∀ (z : 𝕜), AnalyticAt 𝕜 R₂ z
hR₂_eq : ∀ (z : 𝕜), iteratedDeriv k R z = (z - z₀) ^ (t + 1) * (↑(k + (t + 1))! / ↑(t + 1)! * R₁ z + (z - z₀) * R₂ z)
R₂' : 𝕜 → 𝕜 := fun z ↦ (↑t + 1) * R₂ z + (↑(k + (t + 1))! / ↑(t + 1)! * deriv R₁ z + (R₂ z + (z - z₀) * deriv R₂ z))
z : 𝕜
⊢ (↑t + 1) * (z - z₀) ^ t * (↑(k + (t + 1))! / ↑(t + 1)! * R₁ z + (z - z₀) * R₂ z) +
      (z - z₀) ^ (t + 1) * (↑(k + (t + 1))! / ↑(t + 1)! * deriv R₁ z + (R₂ z + (z - z₀) * deriv R₂ z)) =
    (z - z₀) ^ t * (↑(k + 1 + t)! / ↑t ! * R₁ z + (z - z₀) * R₂' z)

Tactic:
by
        have : (t : 𝕜) + 1 ≠ 0 := mod_cast t.succ_ne_zero
        have : ((t + 1)! : 𝕜) = (t + 1) * t ! := by simp [Nat.factorial_succ]
        grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LHopital

Goal state before:
pp: a b : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hab : a < b
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b
hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0
c : ℝ → ℝ
hc : ∀ x ∈ Ioo a b, c x ∈ Ioo a x ∧ f x * g' (c x) = g x * f' (c x)
⊢ Tendsto (fun x ↦ f x / g x) (𝓝[>] a) l

Tactic:
have : ∀ x ∈ Ioo a b, ((fun x' => f' x' / g' x') ∘ c) x = f x / g x := by grind

Goal state after:
a b : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hab : a < b
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b
hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0
c : ℝ → ℝ
hc : ∀ x ∈ Ioo a b, c x ∈ Ioo a x ∧ f x * g' (c x) = g x * f' (c x)
this : ∀ x ∈ Ioo a b, ((fun x' ↦ f' x' / g' x') ∘ c) x = f x / g x
⊢ Tendsto (fun x ↦ f x / g x) (𝓝[>] a) l
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LHopital

Goal state before:
pp: a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≠ 0
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) atTop l
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha' : 0 < a'
fact1 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, x ≠ 0
fact2 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, a < x⁻¹
hdnf : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, HasDerivAt (f ∘ Inv.inv) (f' x⁻¹ * -(x ^ 2)⁻¹) x
hdng : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, HasDerivAt (g ∘ Inv.inv) (g' x⁻¹ * -(x ^ 2)⁻¹) x
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ f' x⁻¹ / g' x⁻¹ = f' x⁻¹ * -(x ^ 2)⁻¹ / (g' x⁻¹ * -(x ^ 2)⁻¹)

Tactic:
rw [mul_div_mul_right]

Goal state after:
case hc
a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioi a, g' x ≠ 0
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) atTop l
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha' : 0 < a'
fact1 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, x ≠ 0
fact2 : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, a < x⁻¹
hdnf : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, HasDerivAt (f ∘ Inv.inv) (f' x⁻¹ * -(x ^ 2)⁻¹) x
hdng : ∀ x ∈ Ioo 0 a'⁻¹, HasDerivAt (g ∘ Inv.inv) (g' x⁻¹ * -(x ^ 2)⁻¹) x
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ -(x ^ 2)⁻¹ ≠ 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.JacobianOneDim

Goal state before:
pp: s : Set ℝ
f f' : ℝ → ℝ
hs : MeasurableSet s
hf : MonotoneOn f s
hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : Set ℝ := {x | x ∈ s ∧ 𝓝[s ∩ Ioi x] x = ⊥} ∪ {x | x ∈ s ∧ 𝓝[s ∩ Iio x] x = ⊥}
a_count : a.Countable
s₁ : Set ℝ := s \ a
hs₁ : MeasurableSet s₁
u : Set ℝ := {c | ∃ x y, x ∈ s₁ ∧ y ∈ s₁ ∧ x < y ∧ f x = c ∧ f y = c}
hu : u.Countable
b : Set ℝ := s₁ ∩ f ⁻¹' u
hb : MeasurableSet b
c : Set ℝ := s₁ \ b
hc : MeasurableSet c
x : ℝ
hx : x ∈ b
p : ℝ
ps₁ : p ∈ s₁
px✝ : p ≠ x
fpx : f p = f x
px : x < p
⊢ HasDerivWithinAt f 0 (s ∩ Ioo x p) x

Tactic:
have E (y) (hy : y ∈ s ∩ Ioo x p) : f y = f x := by
          apply le_antisymm _ (hf hx.1.1 hy.1 hy.2.1.le)
          rw [← fpx]
          exact hf hy.1 ps₁.1 hy.2.2.le

Goal state after:
s : Set ℝ
f f' : ℝ → ℝ
hs : MeasurableSet s
hf : MonotoneOn f s
hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : Set ℝ := {x | x ∈ s ∧ 𝓝[s ∩ Ioi x] x = ⊥} ∪ {x | x ∈ s ∧ 𝓝[s ∩ Iio x] x = ⊥}
a_count : a.Countable
s₁ : Set ℝ := s \ a
hs₁ : MeasurableSet s₁
u : Set ℝ := {c | ∃ x y, x ∈ s₁ ∧ y ∈ s₁ ∧ x < y ∧ f x = c ∧ f y = c}
hu : u.Countable
b : Set ℝ := s₁ ∩ f ⁻¹' u
hb : MeasurableSet b
c : Set ℝ := s₁ \ b
hc : MeasurableSet c
x : ℝ
hx : x ∈ b
p : ℝ
ps₁ : p ∈ s₁
px✝ : p ≠ x
fpx : f p = f x
px : x < p
E : ∀ y ∈ s ∩ Ioo x p, f y = f x
⊢ HasDerivWithinAt f 0 (s ∩ Ioo x p) x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.IntegrationByParts

Goal state before:
pp: case inl
a b : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), 0 ≤ f' x
M : MonotoneOn f [[a, b]]
hab : a ≤ b
⊢ IntervalIntegrable (fun x ↦ f' x • g (f x)) volume a b ↔ IntervalIntegrable g volume (f a) (f b)

Tactic:
rw [intervalIntegrable_iff_integrableOn_Icc_of_le hab,
      integrableOn_Icc_deriv_smul_iff_of_deriv_nonneg,
      intervalIntegrable_iff_integrableOn_Icc_of_le]
    · apply M left_mem_uIcc right_mem_uIcc hab
    · rwa [uIcc_of_le hab] at hf
    · grind
    · grind
    · exact hab

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ↑m < ENNReal.ofReal |A.det|
mpos : 0 < m
hA : A.det ≠ 0
B : E ≃L[ℝ] E := A.toContinuousLinearEquivOfDetNeZero hA
I : ENNReal.ofReal |(↑B.symm).det| < ↑m⁻¹
δ₀ : ℝ≥0
δ₀pos : 0 < δ₀
hδ₀ : ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g (↑B.symm) t δ₀ → μ (g '' t) ≤ ↑m⁻¹ * μ t
L1 : ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, Subsingleton E ∨ δ < ‖↑B.symm‖₊⁻¹
this : Tendsto (fun δ ↦ ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - δ)⁻¹ * δ) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (δ : ℝ≥0) in 𝓝 0, ‖↑B.symm‖₊ * (‖↑B.symm‖₊⁻¹ - δ)⁻¹ * δ < δ₀

Tactic:
exact (tendsto_order.1 this).2 δ₀ δ₀pos

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
g : ℝ → E := f ∘ fun x ↦ -x
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi (-a)
⊢ HasDerivAt g (-f' (-x)) x

Tactic:
have : -x ∈ Iic a := by grind

Goal state after:
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
a : ℝ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
g : ℝ → E := f ∘ fun x ↦ -x
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi (-a)
this : -x ∈ Iic a
⊢ HasDerivAt g (-f' (-x)) x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.JacobianOneDim

Goal state before:
pp: f : ℝ → ℝ
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
f' : ℝ → ℝ
hf' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
g : ℝ → ℝ
hg : 0 ≤ᵐ[volume] g
hg_int : Integrable g volume
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ f '' s → 0 ≤ g x

Tactic:
by filter_upwards [hg] with x hx using fun _ ↦ hx

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.JacobianOneDim

Goal state before:
pp: f : ℝ ≃ᵐ ℝ
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
f' : ℝ → ℝ
hf' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑f) (f' x) x
g : ℝ → ℝ
hg : 0 ≤ᵐ[volume] g
hg_int : Integrable g volume
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ ⇑f '' s → 0 ≤ g x

Tactic:
by filter_upwards [hg] with x hx using fun _ ↦ hx

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ AEMeasurable f' (μ.restrict s)

Tactic:
exact aemeasurable_fderivWithin μ hs hf'

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ChartedSpace

Goal state before:
pp: case refine_1
H : Type u
M : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : LocallyConnectedSpace H
e : M → OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H
x : M
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s ↦ (IsOpen[inst✝³] s ∧ ↑(e x) x ∈ s ∧ IsConnected s) ∧ s ⊆ (e x).target) fun s ↦ ↑(e x).symm '' s

Tactic:
simpa only [e, OpenPartialHomeomorph.symm_map_nhds_eq, mem_chart_source] using!
      ((LocallyConnectedSpace.open_connected_basis (e x x)).restrict_subset
        ((e x).open_target.mem_nhds (mem_chart_target H x))).map (e x).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
U : Opens M
f : M → M'
x : ↥U
⊢ LiftPropAt P f ↑x ↔ LiftPropAt P (f ∘ Subtype.val) x

Tactic:
simp only [LiftPropAt, liftPropWithinAt_iff']
  congrm ?_ ∧ ?_
  · simp_rw [continuousWithinAt_univ, U.isOpenEmbedding'.continuousAt_iff]
  · apply hG.congr_iff
    exact (U.chartAt_subtype_val_symm_eventuallyEq).fun_comp (chartAt H' (f x) ∘ f)

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: m n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
h : m ≤ n
f : H → H
s : Set H
⊢ (contDiffPregroupoid n I).property f s → (contDiffPregroupoid m I).property f s

Tactic:
hfs

Goal state after:
m n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
h : m ≤ n
f : H → H
s : Set H
hfs : (contDiffPregroupoid n I).property f s
⊢ (contDiffPregroupoid m I).property f s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: m n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
h : m ≤ n
⊢ contDiffGroupoid n I ≤ contDiffGroupoid m I

Tactic:
by
  rw [contDiffGroupoid, contDiffGroupoid]
  apply groupoid_of_pregroupoid_le
  intro f s hfs
  exact ContDiffOn.of_le hfs h

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : OpenPartialHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
a✝ : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hfx : f x ∈ e'.source
h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x
hx : x ∈ s
e : OpenPartialHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ ∃ e ∈ G, EqOn (↑e' ∘ f) (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source

Tactic:
refine ⟨e.trans e', G.trans heG he'G, ?_, ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : OpenPartialHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
a✝ : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hfx : f x ∈ e'.source
h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x
hx : x ∈ s
e : OpenPartialHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ EqOn (↑e' ∘ f) (↑(e ≫ₕ e').toPartialEquiv) (s ∩ (e ≫ₕ e').source)

case refine_2
H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f : H → H
e' : OpenPartialHomeomorph H H
he'G : e' ∈ G
a✝ : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hfx : f x ∈ e'.source
h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x
hx : x ∈ s
e : OpenPartialHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
⊢ x ∈ (e ≫ₕ e').source
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen[inst✝³] u
xu : x ∈ u
this : ↑I.symm ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' u
⊢ ContDiffWithinAtProp I I' m f s x ↔ ContDiffWithinAtProp I I' m f (s ∩ u) x

Tactic:
rw [ContDiffWithinAtProp, ContDiffWithinAtProp, this]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen[inst✝³] u
xu : x ∈ u
this : ↑I.symm ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range ↑I = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' u
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 m (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' u) (↑I x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
y : M'
hg : ContMDiffWithinAt I' I'' n g t y
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
st : MapsTo f s t
hx : f x = y
⊢ ContMDiffWithinAt I I'' n (g ∘ f) s x

Tactic:
subst hx

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
st : MapsTo f s t
hg : ContMDiffWithinAt I' I'' n g t (f x)
⊢ ContMDiffWithinAt I I'' n (g ∘ f) s x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
g : M' → M''
x : M
y : M'
hg : ContMDiffAt I' I'' n g y
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hx : f x = y
⊢ ContMDiffWithinAt I I'' n (g ∘ f) s x

Tactic:
subst hx

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
g : M' → M''
x : M
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hg : ContMDiffAt I' I'' n g (f x)
⊢ ContMDiffWithinAt I I'' n (g ∘ f) s x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
n : ℕ∞ω
g : M' → M''
x : M
y : M'
hg : ContMDiffAt I' I'' n g y
hf : ContMDiffAt I I' n f x
hx : f x = y
⊢ ContMDiffAt I I'' n (g ∘ f) x

Tactic:
subst hx

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
n : ℕ∞ω
g : M' → M''
x : M
hf : ContMDiffAt I I' n f x
hg : ContMDiffAt I' I'' n g (f x)
⊢ ContMDiffAt I I'' n (g ∘ f) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
n : ℕ∞ω
g : M' → M''
x : M
y : M'
hg : ContMDiffAt I' I'' n g y
hf : ContMDiffAt I I' n f x
hx : f x = y
⊢ ContMDiffAt I I'' n (g ∘ f) x

Tactic:
subst hx; exact hg.comp x hf

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ :
  ∀ (A : E →L[ℝ] E),
    0 < δ A ∧
      (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧
        ∀ (t : Set E) (g : E → E),
          ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → ENNReal.ofReal |A.det| * μ t ≤ μ (g '' t) + ↑ε * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
s_eq : s = ⋃ n, s ∩ t n
⊢ ∑' (n : ℕ), (μ (f '' (s ∩ t n)) + ↑ε * μ (s ∩ t n) + ↑ε * μ (s ∩ t n)) = μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s

Tactic:
conv_rhs => rw [s_eq]
      rw [image_iUnion, measure_iUnion]; rotate_left
      · intro i j hij
        apply Disjoint.image _ hf inter_subset_left inter_subset_left
        exact Disjoint.mono inter_subset_right inter_subset_right (t_disj hij)
      · intro i
        exact
          measurable_image_of_fderivWithin (hs.inter (t_meas i))
            (fun x hx => (hf' x hx.1).mono inter_subset_left)
            (hf.mono inter_subset_left)
      rw [measure_iUnion]; rotate_left
      · exact pairwise_disjoint_mono t_disj fun i => inter_subset_right
      · exact fun i => hs.inter (t_meas i)
      rw [← ENNReal.tsum_mul_left, ← ENNReal.tsum_add]
      congr 1
      ext1 i
      rw [mul_assoc, two_mul, add_assoc]

Goal state after: