Module: Mathlib.FieldTheory.AxGrothendieck

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : Finite α
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CompatibleRing K
inst✝ : Finite ι
φ : ring.Formula (α ⊕ ι)
mons : ι → Finset (ι →₀ ℕ)
injOnAlt : ∀ {S : Set (ι → K)} (f : (ι → K) → ι → K), Set.InjOn f S ↔ ∀ (x y : ι → K), x ∈ S → y ∈ S → f x = f y → x = y
⊢ K ⊨ genericPolyMapSurjOnOfInjOn φ mons ↔
    ∀ (v : α → K) (p : { p // ∀ (i : ι), (p i).support ⊆ mons i }),
      let f := fun v i ↦ (eval v) (↑p i);
      let S := {x | φ.Realize (Sum.elim v x)};
      Set.MapsTo f S S → Set.InjOn f S → Set.SurjOn f S S

Tactic:
simp only [Sentence.Realize, Formula.Realize, genericPolyMapSurjOnOfInjOn, Formula.relabel,
    Function.comp_def, Sum.map, id_eq, Equiv.sumAssoc, Equiv.coe_fn_symm_mk, Sum.elim_inr,
    realize_iAlls, realize_imp, realize_relabel, Fin.natAdd_zero, realize_subst, realize_iInf,
    realize_bdEqual, Term.realize_relabel,
    Equiv.forall_congr_left (Equiv.curry (Fin 2) ι K), Equiv.curry_symm_apply,
    Fin.forall_fin_succ_pi, Fin.forall_fin_zero_pi, realize_iExs, realize_inf, Sum.forall_sum,
    Set.MapsTo, Set.mem_ofPred_eq, injOnAlt, funext_iff, Set.SurjOn, Set.image,
    Set.subset_def, Equiv.forall_congr_left (mvPolynomialSupportLEEquiv mons)]

Goal state after:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : Finite α
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CompatibleRing K
inst✝ : Finite ι
φ : ring.Formula (α ⊕ ι)
mons : ι → Finset (ι →₀ ℕ)
injOnAlt : ∀ {S : Set (ι → K)} (f : (ι → K) → ι → K), Set.InjOn f S ↔ ∀ (x y : ι → K), x ∈ S → y ∈ S → f x = f y → x = y
⊢ (∀ (fa : α → K) (fb : (i : ι) × ↥(mons i) → K),
      (∀ (i : ι → K),
          (Realize φ
              (fun x ↦
                Sum.elim
                  (fun a ↦
                    Sum.elim
                      (fun x ↦
                        Sum.elim (fun a ↦ Sum.elim default (fun t ↦ Sum.rec fa fb t) a)
                          (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x)))
                      i a)
                  (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x))
                  (Sum.inl (Sum.elim (fun x ↦ Sum.inl (Sum.inl x)) (fun x ↦ Sum.inr x) x)))
              fun x ↦ default (Fin.cast ⋯ x)) →
            Realize φ
              (fun a ↦
                Term.realize
                  (fun a ↦
                    Sum.elim
                      (fun x ↦
                        Sum.elim (fun a ↦ Sum.elim default (fun t ↦ Sum.rec fa fb t) a)
                          (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x)))
                      i a)
                  (Sum.elim (fun a ↦ var (Sum.inl (Sum.inl a)))
                    (fun i ↦
                      Term.relabel (fun i ↦ Sum.elim (fun x ↦ Sum.inl (Sum.inr x)) Sum.inr i)
                        (termOfFreeCommRing (genericPolyMap mons i)))
                    a))
              default) →
        (∀ (a a_1 : ι → K),
            (Realize φ
                (fun x ↦
                  Sum.elim
                    (fun a_2 ↦
                      Sum.elim
                        (fun x ↦
                          Sum.elim (fun a ↦ Sum.elim default (fun t ↦ Sum.rec fa fb t) a)
                            (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x)))
                        (Function.uncurry (Fin.cons a (Fin.cons a_1 finZeroElim))) a_2)
                    (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x))
                    (Sum.inl (Sum.elim (fun x ↦ Sum.inl (Sum.inl x)) (fun x ↦ Sum.inr (0, x)) x)))
                fun x ↦ default (Fin.cast ⋯ x)) →
              (Realize φ
                  (fun x ↦
                    Sum.elim
                      (fun a_3 ↦
                        Sum.elim
                          (fun x ↦
                            Sum.elim (fun a ↦ Sum.elim default (fun t ↦ Sum.rec fa fb t) a)
                              (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x)))
                          (Function.uncurry (Fin.cons a (Fin.cons a_1 finZeroElim))) a_3)
                      (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x))
                      (Sum.inl (Sum.elim (fun x ↦ Sum.inl (Sum.inl x)) (fun x ↦ Sum.inr (1, x)) x)))
                  fun x ↦ default (Fin.cast ⋯ x)) →
                (∀ (b : ι),
                    Term.realize
                        (fun x ↦
                          Sum.elim
                            (fun x ↦
                              Sum.elim
                                (fun a_4 ↦
                                  Sum.elim
                                    (fun x ↦
                                      Sum.elim (fun a ↦ Sum.elim default (fun t ↦ Sum.rec fa fb t) a)
                                        (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x)))
                                    (Function.uncurry (Fin.cons a (Fin.cons a_1 finZeroElim))) a_4)
                                (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x))
                                (Sum.inl (Sum.elim (fun x ↦ Sum.inl (Sum.inr x)) Sum.inr x)))
                            (fun x ↦ default (Fin.cast ⋯ x))
                            (Sum.inl (Sum.elim (fun x ↦ Sum.inl x) (fun x ↦ Sum.inr (0, x)) x)))
                        (termOfFreeCommRing (genericPolyMap mons b)) =
                      Term.realize
                        (fun x ↦
                          Sum.elim
                            (fun x ↦
                              Sum.elim
                                (fun a_4 ↦
                                  Sum.elim
                                    (fun x ↦
                                      Sum.elim (fun a ↦ Sum.elim default (fun t ↦ Sum.rec fa fb t) a)
                                        (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x)))
                                    (Function.uncurry (Fin.cons a (Fin.cons a_1 finZeroElim))) a_4)
                                (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x))
                                (Sum.inl (Sum.elim (fun x ↦ Sum.inl (Sum.inr x)) Sum.inr x)))
                            (fun x ↦ default (Fin.cast ⋯ x))
                            (Sum.inl (Sum.elim (fun x ↦ Sum.inl x) (fun x ↦ Sum.inr (1, x)) x)))
                        (termOfFreeCommRing (genericPolyMap mons b))) →
                  ∀ (b : ι),
                    Term.realize
                        (Sum.elim
                          (fun x ↦
                            Sum.elim
                              (fun a_5 ↦
                                Sum.elim
                                  (fun x ↦
                                    Sum.elim (fun a ↦ Sum.elim default (fun t ↦ Sum.rec fa fb t) a)
                                      (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x)))
                                  (Function.uncurry (Fin.cons a (Fin.cons a_1 finZeroElim))) a_5)
                              (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x))
                              (Sum.inl (Sum.elim (fun x ↦ Sum.inl (Sum.inr x)) Sum.inr x)))
                          fun x ↦ default (Fin.cast ⋯ x))
                        (var (Sum.inl (Sum.inr (0, b)))) =
                      Term.realize
                        (Sum.elim
                          (fun x ↦
                            Sum.elim
                              (fun a_5 ↦
                                Sum.elim
                                  (fun x ↦
                                    Sum.elim (fun a ↦ Sum.elim default (fun t ↦ Sum.rec fa fb t) a)
                                      (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x)))
                                  (Function.uncurry (Fin.cons a (Fin.cons a_1 finZeroElim))) a_5)
                              (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x))
                              (Sum.inl (Sum.elim (fun x ↦ Sum.inl (Sum.inr x)) Sum.inr x)))
                          fun x ↦ default (Fin.cast ⋯ x))
                        (var (Sum.inl (Sum.inr (1, b))))) →
          ∀ (i : ι → K),
            (Realize φ
                (fun x ↦
                  Sum.elim
                    (fun a ↦
                      Sum.elim
                        (fun x ↦
                          Sum.elim (fun a ↦ Sum.elim default (fun t ↦ Sum.rec fa fb t) a)
                            (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x)))
                        i a)
                    (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x))
                    (Sum.inl (Sum.elim (fun x ↦ Sum.inl (Sum.inl x)) (fun x ↦ Sum.inr x) x)))
                fun x ↦ default (Fin.cast ⋯ x)) →
              ∃ i_1,
                (Realize φ
                    (fun x ↦
                      Sum.elim
                        (fun x ↦
                          Sum.elim
                            (Sum.elim
                              (fun a ↦
                                Sum.elim
                                  (fun x ↦
                                    Sum.elim (fun a ↦ Sum.elim default (fun t ↦ Sum.rec fa fb t) a)
                                      (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x)))
                                  i a)
                              i_1)
                            (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x))
                            (Sum.inl
                              (Sum.elim (fun x ↦ Sum.inl (Sum.inl x))
                                (fun i ↦ if i.1 = 0 then Sum.inr i.2 else Sum.inl (Sum.inr i.2)) x)))
                        (fun x ↦ default (Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd 0 x)))
                        (Sum.inl (Sum.elim (fun x ↦ Sum.inl (Sum.inl x)) (fun x ↦ Sum.inr (0, x)) x)))
                    fun x ↦ default (Fin.cast ⋯ (Fin.cast ⋯ x))) ∧
                  ∀ (b : ι),
                    Term.realize
                        (fun x ↦
                          Sum.elim
                            (fun x ↦
                              Sum.elim
                                (fun x ↦
                                  Sum.elim
                                    (Sum.elim
                                      (fun a ↦
                                        Sum.elim
                                          (fun x ↦
                                            Sum.elim (fun a ↦ Sum.elim default (fun t ↦ Sum.rec fa fb t) a)
                                              (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x)))
                                          i a)
                                      i_1)
                                    (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x))
                                    (Sum.inl
                                      (Sum.elim (fun x ↦ Sum.inl (Sum.inl x))
                                        (fun i ↦ if i.1 = 0 then Sum.inr i.2 else Sum.inl (Sum.inr i.2)) x)))
                                (fun x ↦ default (Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd 0 x)))
                                (Sum.inl (Sum.elim (fun x ↦ Sum.inl (Sum.inr x)) Sum.inr x)))
                            (fun x ↦ default (Fin.cast ⋯ (Fin.cast ⋯ x)))
                            (Sum.inl (Sum.elim (fun x ↦ Sum.inl x) (fun x ↦ Sum.inr (0, x)) x)))
                        (termOfFreeCommRing (genericPolyMap mons b)) =
                      Term.realize
                        (Sum.elim
                          (fun x ↦
                            Sum.elim
                              (fun x ↦
                                Sum.elim
                                  (Sum.elim
                                    (fun a ↦
                                      Sum.elim
                                        (fun x ↦
                                          Sum.elim (fun a ↦ Sum.elim default (fun t ↦ Sum.rec fa fb t) a)
                                            (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x)))
                                        i a)
                                    i_1)
                                  (fun x ↦ default (Fin.castAdd 0 x))
                                  (Sum.inl
                                    (Sum.elim (fun x ↦ Sum.inl (Sum.inl x))
                                      (fun i ↦ if i.1 = 0 then Sum.inr i.2 else Sum.inl (Sum.inr i.2)) x)))
                              (fun x ↦ default (Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd 0 x)))
                              (Sum.inl (Sum.elim (fun x ↦ Sum.inl (Sum.inr x)) Sum.inr x)))
                          fun x ↦ default (Fin.cast ⋯ (Fin.cast ⋯ x)))
                        (var (Sum.inl (Sum.inr (1, b))))) ↔
    ∀ (v : α → K) (b : (i : ι) × ↥(mons i) → K),
      (∀ ⦃x : ι → K⦄,
          Realize φ (Sum.elim v x) default →
            Realize φ (Sum.elim v fun i ↦ (eval x) (↑((mvPolynomialSupportLEEquiv mons).symm b) i)) default) →
        (∀ (x y : ι → K),
            Realize φ (Sum.elim v x) default →
              Realize φ (Sum.elim v y) default →
                (∀ (x_1 : ι),
                    (eval x) (↑((mvPolynomialSupportLEEquiv mons).symm b) x_1) =
                      (eval y) (↑((mvPolynomialSupportLEEquiv mons).symm b) x_1)) →
                  ∀ (x_1 : ι), x x_1 = y x_1) →
          ∀ (x : ι → K),
            Realize φ (Sum.elim v x) default →
              ∃ a,
                Realize φ (Sum.elim v a) default ∧
                  ∀ (x_1 : ι), (eval a) (↑((mvPolynomialSupportLEEquiv mons).symm b) x_1) = x x_1