mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ∃ n, c ^ n ≠ 0 ∧ p (c ^ n • x) < ε ∧ ε / ‖c‖ ≤ p (c ^ n • x) ∧ ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * p x

Tactic:
refine ⟨-(n + 1), ?_, ?_, ?_, ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ c ^ (-(n + 1)) ≠ 0

case refine_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ p (c ^ (-(n + 1)) • x) < ε

case refine_3
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ε / ‖c‖ ≤ p (c ^ (-(n + 1)) • x)

case refine_4
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1))‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * p x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι2 : Type u_5
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
fs : Finset ι2
w : ι2 → k
hw : ∑ i ∈ fs, w i = 0
hs : (fs.weightedVSub (p ∘ ⇑f)) w = 0
i0 : ι2
hi0 : i0 ∈ fs
fs' : Finset ι := map f fs
w' : ι → k := fun i ↦ if h : ∃ i2, f i2 = i then w h.choose else 0
hw' : ∀ (i2 : ι2), w' (f i2) = w i2
hw's : ∑ i ∈ fs', w' i = 0
⊢ (fs.weightedVSub (p ∘ ⇑f)) (w' ∘ ⇑f) = (fs.weightedVSub (p ∘ ⇑f)) w

Tactic:
congr with i

Goal state after:
case e_6
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι2 : Type u_5
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
fs : Finset ι2
w : ι2 → k
hw : ∑ i ∈ fs, w i = 0
hs : (fs.weightedVSub (p ∘ ⇑f)) w = 0
i0 : ι2
hi0 : i0 ∈ fs
fs' : Finset ι := map f fs
w' : ι → k := fun i ↦ if h : ∃ i2, f i2 = i then w h.choose else 0
hw' : ∀ (i2 : ι2), w' (f i2) = w i2
hw's : ∑ i ∈ fs', w' i = 0
i : ι2
⊢ (w' ∘ ⇑f) i = w i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: case mk.mk
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
points✝¹ : Fin (n + 1) → P
independent✝¹ : AffineIndependent k points✝¹
points✝ : Fin (n + 1) → P
independent✝ : AffineIndependent k points✝
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    { points := points✝¹, independent := independent✝¹ }.points i =
      { points := points✝, independent := independent✝ }.points i
⊢ { points := points✝¹, independent := independent✝¹ } = { points := points✝, independent := independent✝ }

Tactic:
congr with i

Goal state after:
case mk.mk
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
points✝¹ : Fin (n + 1) → P
independent✝¹ : AffineIndependent k points✝¹
points✝ : Fin (n + 1) → P
independent✝ : AffineIndependent k points✝
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    { points := points✝¹, independent := independent✝¹ }.points i =
      { points := points✝, independent := independent✝ }.points i
i : Fin (n + 1)
⊢ points✝¹ i = points✝ i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Simplex k P 1
i : Fin 2
n : Fin 1
⊢ i.rev = i.succAbove n

Tactic:
decide +revert

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s₁ s₂ : Set ι
i : ι
his₁ : i ∈ s₁
his₂ : i ∉ s₂
h₁ : ¬s₁.Subsingleton
⊢ vectorSpan k (p '' s₁) ≠ vectorSpan k (p '' s₂)

Tactic:
rw [Set.not_subsingleton_iff] at h₁
  obtain ⟨j, hj, hne⟩ := h₁.exists_ne i
  intro he
  have hs : p i -ᵥ p j ∈ vectorSpan k (p '' s₁) :=
    vsub_mem_vectorSpan k (Set.mem_image_of_mem _ his₁) (Set.mem_image_of_mem _ hj)
  rw [he, Set.image_eq_range, mem_vectorSpan_iff_eq_weightedVSub] at hs
  obtain ⟨fs, w, hw, hs⟩ := hs
  let w' : ι → k := Function.extend Subtype.val w 0
  have hw' : ∑ t ∈ fs.map (Embedding.subtype _), w' t = 0 := by
    simp only [sum_map, Embedding.subtype_apply, ← hw]
    exact sum_congr rfl fun t ht ↦ by simp [w']
  have hs' : p i -ᵥ p j = (fs.map (Embedding.subtype _)).weightedVSub p w' := by
    rw [hs, weightedVSub_map]
    simp [w', Function.comp_def]
  let fs' : Finset ι := insert i (insert j (fs.map (Embedding.subtype _)))
  have hfsfs' : fs.map (Embedding.subtype _) ⊆ fs' := by grind
  let w'' : ι → k := Set.indicator (fs.map (Embedding.subtype _)) w'
  have hs'' : p i -ᵥ p j = fs'.weightedVSub p w'' := by
    rw [hs']
    exact weightedVSubOfPoint_indicator_subset _ _ _ (by grind)
  have hw'' : ∑ t ∈ fs', w'' t = 0 := by
    rw [← hw']
    exact sum_indicator_subset _ (by grind)
  let w''' : ι → k := w'' - weightedVSubVSubWeights k i j
  have hi : i ∈ fs' := by grind
  have hj : j ∈ fs' := by grind
  have hw''' : ∑ t ∈ fs', w''' t = 0 := by
    simp [w''', sum_sub_distrib, hw'', hi, hj]
  have hs''' : fs'.weightedVSub p w''' = 0 := by
    simp [w''', ← hs'', hi, hj]
  have h0 := ha fs' w''' hw''' hs''' i hi
  simp [w''', w'', Pi.sub_apply, hne.symm, his₂] at h0

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝³ : Field R
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module R E
i : ι
t : Finset ι
z : ι → E
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i ∈ t
⊢ ∑ i_1 ∈ t, (if i = i_1 then 1 else 0) • z i_1 = ∑ j ∈ t, if i = j then z i else 0

Tactic:
congr with i

Goal state after:
case e_f
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝³ : Field R
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module R E
i✝ : ι
t : Finset ι
z : ι → E
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i✝ ∈ t
i : ι
⊢ (if i✝ = i then 1 else 0) • z i = if i✝ = i then z i✝ else 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
t : Finset V
w : ↥t → k
hw : ∑ i, w i = 0
i : ↥t
hi : ¬w i = 0
hwt : ∑ x, w x • ↑x = 0
f : (x : V) → x ∈ t → k := fun x hx ↦ w ⟨x, hx⟩
⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0

Tactic:
refine ⟨fun x => if hx : x ∈ t then f x hx else (0 : k), ?_, ?_, by use i; simp [f, hi]⟩

Goal state after:
case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
t : Finset V
w : ↥t → k
hw : ∑ i, w i = 0
i : ↥t
hi : ¬w i = 0
hwt : ∑ x, w x • ↑x = 0
f : (x : V) → x ∈ t → k := fun x hx ↦ w ⟨x, hx⟩
⊢ ∑ e ∈ t, (fun x ↦ if hx : x ∈ t then f x hx else 0) e • e = 0

case refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
t : Finset V
w : ↥t → k
hw : ∑ i, w i = 0
i : ↥t
hi : ¬w i = 0
hwt : ∑ x, w x • ↑x = 0
f : (x : V) → x ∈ t → k := fun x hx ↦ w ⟨x, hx⟩
⊢ ∑ e ∈ t, (fun x ↦ if hx : x ∈ t then f x hx else 0) e = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : PartialOrder k
inst✝ : ZeroLEOneClass k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
p : P
hp : p ∈ (s.face h).closedInterior
⊢ p ∈ s.closedInterior

Tactic:
have hp' : p ∈ affineSpan k (Set.range s.points) :=
    Set.mem_of_mem_of_subset hp <|
      (s.face h).closedInterior_subset_affineSpan.trans <|
        affineSpan_mono k <| by simp

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : PartialOrder k
inst✝ : ZeroLEOneClass k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
p : P
hp : p ∈ (s.face h).closedInterior
hp' : p ∈ affineSpan k (Set.range s.points)
⊢ p ∈ s.closedInterior
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
c : k
⊢ (affineCombination k s p) w = (AffineMap.lineMap ((affineCombination k s p) w₁) ((affineCombination k s p) w₂)) c ↔
    ∀ i ∈ s, w i = (AffineMap.lineMap (w₁ i) (w₂ i)) c

Tactic:
rw [← AffineMap.apply_lineMap, ha.affineCombination_eq_iff_eq hw]
  · simp [AffineMap.lineMap_apply]
  · simp [AffineMap.lineMap_apply, sum_add_distrib, ← mul_sum, hw₁, hw₂]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case neg.refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x ∈ t, w x
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
hsum_t : ¬∑ j ∈ t, w j = 0
⊢ ∀ i ∈ t, z i ∈ s

pp: case neg.refine_3
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x ∈ t, w x
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
hsum_t : ¬∑ j ∈ t, w j = 0
⊢ 0 ≤ w i

Tactic:
· intro j hj
        exact hmem j (mem_insert_of_mem hj)

Goal state after:
case neg.refine_3
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x ∈ t, w x
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
hsum_t : ¬∑ j ∈ t, w j = 0
⊢ 0 ≤ w i
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h : ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h_cases : ¬x = y
⊢ a • x + b • y = ∑ x ∈ {x, y}, (if x = y then b else a) • x

pp: case neg.convert_1
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h : ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h_cases : ¬x = y
⊢ ∀ i ∈ {x, y}, 0 ≤ if i = y then b else a

pp: case neg.convert_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h : ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h_cases : ¬x = y
⊢ (∑ i ∈ {x, y}, if i = y then b else a) = 1

pp: case neg.convert_3
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h : ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h_cases : ¬x = y
⊢ ∀ x_1 ∈ {x, y}, x_1 ∈ s

Tactic:
· simp only [sum_pair h_cases, if_neg h_cases, if_pos trivial]

Goal state after:
case neg.convert_1
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h : ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h_cases : ¬x = y
⊢ ∀ i ∈ {x, y}, 0 ≤ if i = y then b else a

case neg.convert_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h : ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h_cases : ¬x = y
⊢ (∑ i ∈ {x, y}, if i = y then b else a) = 1

case neg.convert_3
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h : ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h_cases : ¬x = y
⊢ ∀ x_1 ∈ {x, y}, x_1 ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
v : ι → E
⊢ Convex R {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}

Tactic:
rintro x ⟨s, w, hw₀, hw₁, rfl⟩ y ⟨s', w', hw₀', hw₁', rfl⟩ a b ha hb hab

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
v : ι → E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
s' : Finset ι
w' : ι → R
hw₀' : ∀ i ∈ s', 0 ≤ w' i
hw₁' : s'.sum w' = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • (affineCombination R s v) w + b • (affineCombination R s' v) w' ∈
    {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∉ s
hp₃ : p₃ ∈ s
⊢ AffineIndependent k ![p₁, p₂, p₃]

Tactic:
← affineIndependent_equiv (Equiv.swap (1 : Fin 3) 2)

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∉ s
hp₃ : p₃ ∈ s
⊢ AffineIndependent k (![p₁, p₂, p₃] ∘ ⇑(Equiv.swap 1 2))
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.LocallyConvex

Goal state before:
pp: case inl.refine_1
R : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : OrderTopology R
x : R
hl : IsBot x
inst✝ : OrderBot R
⊢ ∀ (i : R), ⊥ < i → ∃ i', (i' ∈ 𝓝 ⊥ ∧ Convex R i') ∧ id i' ⊆ Iio i

pp: case inl.refine_2
R : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : OrderTopology R
x : R
hl : IsBot x
inst✝ : OrderBot R
⊢ ∀ (i' : Set R), i' ∈ 𝓝 ⊥ ∧ Convex R i' → id i' ∈ 𝓝 ⊥

Tactic:
· intros
        refine ⟨Set.Iio _, ?_, .rfl⟩
        simp_all [Iio_mem_nhds, convex_Iio]

Goal state after:
case inl.refine_2
R : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : OrderTopology R
x : R
hl : IsBot x
inst✝ : OrderBot R
⊢ ∀ (i' : Set R), i' ∈ 𝓝 ⊥ ∧ Convex R i' → id i' ∈ 𝓝 ⊥
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.LocallyConvex

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace R
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing R
inst✝ : OrderTopology R
x : R
hl : ∃ b, b < x
hu : ∃ b, x < b
x✝¹ x✝ : R
h₁ : x✝¹ < x
h₂ : x < x✝
⊢ Ioo x✝¹ x✝ ∈ 𝓝 x ∧ Convex R (Ioo x✝¹ x✝)

Tactic:
by simp [h₁, h₂, Ioo_mem_nhds, convex_Ioo]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Convex

Goal state before:
pp: F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : Nontrivial F
x✝¹ : F
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : F
h : x ∈ closedBall 0 r
U : Set F
hU_sub : sphere 0 r ⊆ U
hU : Convex ℝ U
x✝ : Invertible 2
z : F
hz : z ∈ sphere ?m.155 r
⊢ 0 ∈ U

Tactic:
rw [← midpoint_self_neg (R := ℝ) (x := z)]

Goal state after:
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : Nontrivial F
x✝¹ : F
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : F
h : x ∈ closedBall 0 r
U : Set F
hU_sub : sphere 0 r ⊆ U
hU : Convex ℝ U
x✝ : Invertible 2
z : F
hz : z ∈ sphere ?m.155 r
⊢ midpoint ℝ z (-z) ∈ U
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
t : Set F
x : E
y : F
ι : Type
w✝¹ : Fintype ι
w : ι → R
f : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i, w i = 1
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hf : ∑ i, w i • f i = x
κ : Type
w✝ : Fintype κ
v : κ → R
g : κ → F
hv₀ : ∀ (i : κ), 0 ≤ v i
hv₁ : ∑ i, v i = 1
hgt : ∀ (i : κ), g i ∈ t
hg : ∑ i, v i • g i = y
⊢ ∑ x, ∑ y, w (x, y).1 * v (x, y).2 = 1

Tactic:
← sum_mul_sum,

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
t : Set F
x : E
y : F
ι : Type
w✝¹ : Fintype ι
w : ι → R
f : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i, w i = 1
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hf : ∑ i, w i • f i = x
κ : Type
w✝ : Fintype κ
v : κ → R
g : κ → F
hv₀ : ∀ (i : κ), 0 ≤ v i
hv₁ : ∑ i, v i = 1
hgt : ∀ (i : κ), g i ∈ t
hg : ∑ i, v i • g i = y
⊢ (∑ i, w i) * ∑ j, v j = 1
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
ι : Type u_8
b : AffineBasis ι R E
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (i : ι), 0 ≤ (b.coord i) x}
⊢ x ∈ affineSpan R (Set.range ⇑b)

Tactic:
b.tot

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
ι : Type u_8
b : AffineBasis ι R E
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (i : ι), 0 ≤ (b.coord i) x}
⊢ x ∈ ⊤
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
ι : Type u_8
b : AffineBasis ι R E
⊢ (convexHull R) (Set.range ⇑b) = {x | ∀ (i : ι), 0 ≤ (b.coord i) x}

Tactic:
by
  rw [convexHull_range_eq_exists_affineCombination]
  ext x
  refine ⟨?_, fun hx => ?_⟩
  · rintro ⟨s, w, hw₀, hw₁, rfl⟩ i
    by_cases hi : i ∈ s
    · rw [b.coord_apply_combination_of_mem hi hw₁]
      exact hw₀ i hi
    · rw [b.coord_apply_combination_of_notMem hi hw₁]
  · have hx' : x ∈ affineSpan R (range b) := by
      rw [b.tot]
      exact AffineSubspace.mem_top R E x
    obtain ⟨s, w, hw₁, rfl⟩ := (mem_affineSpan_iff_eq_affineCombination R E).mp hx'
    refine ⟨s, w, ?_, hw₁, rfl⟩
    intro i hi
    specialize hx i
    rw [b.coord_apply_combination_of_mem hi hw₁] at hx
    exact hx

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x ↦ (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
⊢ ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x

Tactic:
replace hs := hs.eq_zero_of_sum_eq_zero_subtype h₁w <| by
    simp only [w, sub_smul, zero_smul, ite_smul, Finset.sum_sub_distrib, ← Finset.sum_filter, h₃w₁,
      Finset.filter_mem_eq_inter, Finset.inter_eq_right.2 ht₁, Finset.inter_eq_right.2 ht₂, h₃w₂,
      sub_self]

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s t₁ t₂ : Finset E
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x ↦ (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : ∀ x ∈ s, w x = 0
⊢ ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun sr ↦ 0 < sr.2) fun sr ↦ (sr.1.sup p).ball 0 sr.2

Tactic:
by
  refine ⟨fun V => ?_⟩
  simp only [hp.hasBasis.mem_iff, SeminormFamily.basisSets_iff, Prod.exists, id_eq]
  grind

Goal state after: