mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Set

Goal state before:
pp: case refine_1
X : Type u_1
E : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : PartialOrder E
inst✝² : IsOrderedAddMonoid E
inst✝¹ : IsOrderedModule ℝ E
μ : Measure X
f g : X → E
s : Set X
inst✝ : ClosedIciTopology E
hf : IntegrableOn f s μ
hg : IntegrableOn g s μ
hs : NullMeasurableSet s μ
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
⊢ IntegrableOn f (toMeasurable μ s) μ

Tactic:
integrableOn_congr_set_ae hs.toMeasurable_ae_eq

Goal state after:
case refine_1
X : Type u_1
E : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : PartialOrder E
inst✝² : IsOrderedAddMonoid E
inst✝¹ : IsOrderedModule ℝ E
μ : Measure X
f g : X → E
s : Set X
inst✝ : ClosedIciTopology E
hf : IntegrableOn f s μ
hg : IntegrableOn g s μ
hs : NullMeasurableSet s μ
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
⊢ IntegrableOn f s μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Set

Goal state before:
pp: case refine_2
X : Type u_1
E : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : PartialOrder E
inst✝² : IsOrderedAddMonoid E
inst✝¹ : IsOrderedModule ℝ E
μ : Measure X
f g : X → E
s : Set X
inst✝ : ClosedIciTopology E
hf : IntegrableOn f s μ
hg : IntegrableOn g s μ
hs : NullMeasurableSet s μ
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
⊢ IntegrableOn g (toMeasurable μ s) μ

Tactic:
integrableOn_congr_set_ae hs.toMeasurable_ae_eq

Goal state after:
case refine_2
X : Type u_1
E : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : PartialOrder E
inst✝² : IsOrderedAddMonoid E
inst✝¹ : IsOrderedModule ℝ E
μ : Measure X
f g : X → E
s : Set X
inst✝ : ClosedIciTopology E
hf : IntegrableOn f s μ
hg : IntegrableOn g s μ
hs : NullMeasurableSet s μ
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
⊢ IntegrableOn g s μ
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : PreInnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y : F
⊢ im ⟪x, y⟫ = -im ⟪y, x⟫

Tactic:
by rw [← inner_conj_symm, conj_im]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : PreInnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y : F
t : ℝ
⊢ normSq x * t * t + re ⟪x, y⟫ * t + re (⟪y, x⟫ * ↑t) + re ⟪y, y⟫ =
    normSq x * t * t + re ⟪x, y⟫ * t + re ⟪y, x⟫ * t + re ⟪y, y⟫

Tactic:
mul_comm ⟪y, x⟫ _,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : PreInnerProductSpace.Core 𝕜 F
x y : F
t : ℝ
⊢ normSq x * t * t + re ⟪x, y⟫ * t + re (↑t * ⟪y, x⟫) + re ⟪y, y⟫ =
    normSq x * t * t + re ⟪x, y⟫ * t + re ⟪y, x⟫ * t + re ⟪y, y⟫
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Set

Goal state before:
pp: X : Type u_1
F : Type u_4
mX : MeasurableSpace X
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
c : 𝕜
f : ↥(Lp F p μ)
s : Set X
⊢ ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s,
    ↑↑(MemLp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • f) x →
      ↑↑(MemLp.toLp ↑↑f ⋯) x = ↑↑f x →
        ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x → ↑↑(MemLp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • MemLp.toLp ↑↑f ⋯) x

Tactic:
refine
    (Lp.coeFn_smul c (MemLp.toLp f ((Lp.memLp f).restrict s))).mono fun x hx1 hx2 hx3 hx4 => ?_

Goal state after:
X : Type u_1
F : Type u_4
mX : MeasurableSpace X
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
c : 𝕜
f : ↥(Lp F p μ)
s : Set X
x : X
hx1 : ↑↑(c • MemLp.toLp ↑↑f ⋯) x = (c • ↑↑(MemLp.toLp ↑↑f ⋯)) x
hx2 : ↑↑(MemLp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • f) x
hx3 : ↑↑(MemLp.toLp ↑↑f ⋯) x = ↑↑f x
hx4 : ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x
⊢ ↑↑(MemLp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • MemLp.toLp ↑↑f ⋯) x
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ im ⟪x, y⟫ = -im ⟪y, x⟫

Tactic:
by rw [← inner_conj_symm, conj_im]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y z : E
⊢ ⟪x, y - z⟫ = ⟪x, y⟫ - ⟪x, z⟫

Tactic:
by
  simp [sub_eq_add_neg, inner_add_right]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Basic

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed[inst✝¹] K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen[inst✝¹] U₁
h1U₂ : IsOpen[inst✝¹] U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen[inst✝¹] V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
V₂ : Set G
h1V₂ : V₂ ⊆ L₂
h2V₂ : IsOpen[inst✝¹] V₂
h3V₂ : 1 ∈ V₂
h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f ↦ f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval
V : Set G := V₁ ∩ V₂
⊢ prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑{ carrier := V⁻¹, is_open' := ⋯, mem' := ⋯ }.toOpens ∧ IsOpen[inst✝¹] U ∧ 1 ∈ U} ⊆
    eval ⁻¹' {0}

Tactic:
rintro _ ⟨U, ⟨h1U, h2U, h3U⟩, rfl⟩

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed[inst✝¹] K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen[inst✝¹] U₁
h1U₂ : IsOpen[inst✝¹] U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen[inst✝¹] V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
V₂ : Set G
h1V₂ : V₂ ⊆ L₂
h2V₂ : IsOpen[inst✝¹] V₂
h3V₂ : 1 ∈ V₂
h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f ↦ f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval
V : Set G := V₁ ∩ V₂
U : Set G
h1U : U ⊆ ↑{ carrier := V⁻¹, is_open' := ⋯, mem' := ⋯ }.toOpens
h2U : IsOpen[inst✝¹] U
h3U : 1 ∈ U
⊢ prehaar (↑K₀) U ∈ eval ⁻¹' {0}
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Basic

Goal state before:
pp: case hU
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed[inst✝¹] K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen[inst✝¹] U₁
h1U₂ : IsOpen[inst✝¹] U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen[inst✝¹] V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
V₂ : Set G
h1V₂ : V₂ ⊆ L₂
h2V₂ : IsOpen[inst✝¹] V₂
h3V₂ : 1 ∈ V₂
h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := ⋯
this : Continuous eval
V : Set G := ⋯
U : Set G
h1U : U ⊆ ↑{ carrier := V⁻¹, is_open' := ⋯, mem' := ⋯ }.toOpens
h2U : IsOpen[inst✝¹] U
h3U : 1 ∈ U
⊢ (interior U).Nonempty

Tactic:
rw [h2U.interior_eq]; exact ⟨1, h3U⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal

Goal state before:
pp: case h.left
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n ↦ ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n ↦ 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
n : ℕ
⊢ 0 ≤ √(b n)

Tactic:
exact sqrt_nonneg _

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ re ⟪x, y⟫ = (‖x + y‖ * ‖x + y‖ - ‖x‖ * ‖x‖ - ‖y‖ * ‖y‖) / 2

Tactic:
@norm_add_mul_self 𝕜

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ re ⟪x, y⟫ = (‖x‖ * ‖x‖ + 2 * re ⟪x, y⟫ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x‖ * ‖x‖ - ‖y‖ * ‖y‖) / 2
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Basic

Goal state before:
pp: case ht
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : IsTopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
this : LocallyCompactSpace G
⊢ (haarContent K₀).outerMeasure (closure[inst✝³] ↑K₀) ≠ ∞

Tactic:
exact (Content.outerMeasure_lt_top_of_isCompact _ K₀.isCompact.closure).ne

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Basic

Goal state before:
pp: case ht
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : IsTopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
this : LocallyCompactSpace G
⊢ (haarContent K₀).outerMeasure (closure[inst✝³] ↑K₀) ≠ ∞

Tactic:
· exact (Content.outerMeasure_lt_top_of_isCompact _ K₀.isCompact.closure).ne

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Basic

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : IsTopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
⊢ (haarMeasure K₀) (closure[inst✝³] ↑K₀) = 1

Tactic:
rw [K₀.isCompact.measure_closure, haarMeasure_self]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal

Goal state before:
pp: case h.right.left.hb
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⋯
this✝ : Nonempty ↑K := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n ↦ ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b✝ : ℕ → ℝ := ⋯
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := ⋯
wq : F := ⋯
a : F := ⋯
b : F := ⋯
half : ℝ := ⋯
div : ℝ := ⋯
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ 0 ≤ √(b✝ N)

Tactic:
exact sqrt_nonneg _

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
h : ‖⟪x, y⟫‖ = ‖x‖ * ‖y‖
hx₀ : ¬x = 0
this : ‖x‖ ^ 2 ≠ 0
⊢ y = (⟪x, y⟫ / ⟪x, x⟫) • x

Tactic:
rw [← sq_eq_sq₀, mul_pow, ← mul_right_inj' this, eq_comm, ← sub_eq_zero, ← mul_sub] at h <;>
      try positivity

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
h : ‖x‖ ^ 2 * (‖x‖ ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 - ‖⟪x, y⟫‖ ^ 2) = 0
hx₀ : ¬x = 0
this : ‖x‖ ^ 2 ≠ 0
⊢ y = (⟪x, y⟫ / ⟪x, x⟫) • x
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Subspace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
l₁ l₂ : (i : ι) → G i
s : Finset ι
⊢ ∑ j ∈ s, ∑ i ∈ s, ⟪(V i) (l₁ i), (V j) (l₂ j)⟫ = ∑ j ∈ s, ∑ i ∈ s, if i = j then ⟪(V i) (l₁ i), (V j) (l₂ j)⟫ else 0

Tactic:
congr with i

Goal state after:
case e_f
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
l₁ l₂ : (i : ι) → G i
s : Finset ι
i : ι
⊢ ∑ i_1 ∈ s, ⟪(V i_1) (l₁ i_1), (V i) (l₂ i)⟫ = ∑ i_1 ∈ s, if i_1 = i then ⟪(V i_1) (l₁ i_1), (V i) (l₂ i)⟫ else 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal

Goal state before:
pp: case mp.hre
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hv : v ∈ K
this : InnerProductSpace ℝ E := ⋯
K' : Submodule ℝ E := ⋯
H : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
A : ∀ w ∈ K, re ⟪u - v, w⟫_𝕜 = 0
w : E
hw : w ∈ K
⊢ re ⟪u - v, w⟫_𝕜 = re 0

pp: case him
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hv : v ∈ K
this : InnerProductSpace ℝ E := ⋯
K' : Submodule ℝ E := ⋯
H : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
A : ∀ w ∈ K, re ⟪u - v, w⟫_𝕜 = 0
w : E
hw : w ∈ K
⊢ im ⟪u - v, w⟫_𝕜 = im 0

Tactic:
· simp [A w hw]

Goal state after:
case him
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hv : v ∈ K
this : InnerProductSpace ℝ E := ⋯
K' : Submodule ℝ E := ⋯
H : ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
A : ∀ w ∈ K, re ⟪u - v, w⟫_𝕜 = 0
w : E
hw : w ∈ K
⊢ im ⟪u - v, w⟫_𝕜 = im 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Subspace

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst✝ : CompleteSpace E
f : (i : ι) → G i
⊢ (∀ ε > 0,
      ∃ N, ∀ (m : Finset ι), N ⊆ m → ∀ (n : Finset ι), N ⊆ n → ‖∑ i ∈ m, (V i) (f i) - ∑ i ∈ n, (V i) (f i)‖ < ε) →
    ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ (m : Finset ι), N ⊆ m → ∀ (n : Finset ι), N ⊆ n → |∑ i ∈ m, ‖f i‖ ^ 2 - ∑ i ∈ n, ‖f i‖ ^ 2| < ε

Tactic:
intro hf ε hε

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst✝ : CompleteSpace E
f : (i : ι) → G i
hf : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ (m : Finset ι), N ⊆ m → ∀ (n : Finset ι), N ⊆ n → ‖∑ i ∈ m, (V i) (f i) - ∑ i ∈ n, (V i) (f i)‖ < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∃ N, ∀ (m : Finset ι), N ⊆ m → ∀ (n : Finset ι), N ⊆ n → |∑ i ∈ m, ‖f i‖ ^ 2 - ∑ i ∈ n, ‖f i‖ ^ 2| < ε
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Subspace

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst✝ : CompleteSpace E
f : (i : ι) → G i
⊢ (∀ ε > 0, ∃ N, ∀ (m : Finset ι), N ⊆ m → ∀ (n : Finset ι), N ⊆ n → |∑ i ∈ m, ‖f i‖ ^ 2 - ∑ i ∈ n, ‖f i‖ ^ 2| < ε) →
    ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ (m : Finset ι), N ⊆ m → ∀ (n : Finset ι), N ⊆ n → ‖∑ i ∈ m, (V i) (f i) - ∑ i ∈ n, (V i) (f i)‖ < ε

Tactic:
intro hf ε hε

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst✝ : CompleteSpace E
f : (i : ι) → G i
hf : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ (m : Finset ι), N ⊆ m → ∀ (n : Finset ι), N ⊆ n → |∑ i ∈ m, ‖f i‖ ^ 2 - ∑ i ∈ n, ‖f i‖ ^ 2| < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∃ N, ∀ (m : Finset ι), N ⊆ m → ∀ (n : Finset ι), N ⊆ n → ‖∑ i ∈ m, (V i) (f i) - ∑ i ∈ n, (V i) (f i)‖ < ε
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.ClosedSubmodule

Goal state before:
pp: ι : Sort u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : Module R M
f : ι → ClosedSubmodule R M
⊢ ↑(⨅ i, f i) = ⨅ i, ↑(f i)

Tactic:
iInf,

Goal state after:
ι : Sort u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : Module R M
f : ι → ClosedSubmodule R M
⊢ ↑(sInf (Set.range fun i ↦ f i)) = ⨅ i, ↑(f i)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Submodule

Goal state before:
pp: case intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝² : Preorder ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : ∀ (i : ι), (U i).HasOrthogonalProjection
inst✝ : (⨆ i, U i).topologicalClosure.HasOrthogonalProjection
hU : Monotone U
x : E
h : atTop.NeBot
left✝ : Nonempty ι
right✝ : IsDirectedOrder ι
y : E := (⨆ i, U i).topologicalClosure.starProjection x
proj_x : ∀ (i : ι), (U i).orthogonalProjectionOnto x = (U i).orthogonalProjectionOnto y
ε : ℝ
hε : ε > 0
a : E
ha : a ∈ ⨆ i, U i
hay : ‖y - a‖ < ε
I : ι
hI : a ∈ U I
i : ι
hi : I ≤ i
⊢ ‖y - (U i).starProjection y‖ < ε

Tactic:
starProjection_minimal

Goal state after:
case intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝² : Preorder ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : ∀ (i : ι), (U i).HasOrthogonalProjection
inst✝ : (⨆ i, U i).topologicalClosure.HasOrthogonalProjection
hU : Monotone U
x : E
h : atTop.NeBot
left✝ : Nonempty ι
right✝ : IsDirectedOrder ι
y : E := (⨆ i, U i).topologicalClosure.starProjection x
proj_x : ∀ (i : ι), (U i).orthogonalProjectionOnto x = (U i).orthogonalProjectionOnto y
ε : ℝ
hε : ε > 0
a : E
ha : a ∈ ⨆ i, U i
hay : ‖y - a‖ < ε
I : ι
hI : a ∈ U I
i : ι
hi : I ≤ i
⊢ ⨅ x, ‖y - ↑x‖ < ε
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : Fact (finrank 𝕜 E = 2)
u v w : E
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
huv : ⟪v, u⟫_𝕜 = 0
hwv : ⟪v, w⟫_𝕜 = 0
this : FiniteDimensional 𝕜 E
heq : (𝕜 ∙ v)ᗮ = 𝕜 ∙ w
⊢ u ∈ 𝕜 ∙ w

Tactic:
← heq,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : Fact (finrank 𝕜 E = 2)
u v w : E
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
huv : ⟪v, u⟫_𝕜 = 0
hwv : ⟪v, w⟫_𝕜 = 0
this : FiniteDimensional 𝕜 E
heq : (𝕜 ∙ v)ᗮ = 𝕜 ∙ w
⊢ u ∈ (𝕜 ∙ v)ᗮ
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : K.HasOrthogonalProjection
v : ↥K
⊢ ↑(K.orthogonalProjectionOnto ↑v) = ↑v

Tactic:
apply eq_starProjection_of_mem_of_inner_eq_zero

Goal state after:
case hvm
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : K.HasOrthogonalProjection
v : ↥K
⊢ ↑v ∈ K

case hvo
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : K.HasOrthogonalProjection
v : ↥K
⊢ ∀ w ∈ K, ⟪↑v - ↑v, w⟫ = 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ ⊥.starProjection = 0

Tactic:
starProjection,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
⊢ ⊥.subtypeL ∘SL ⊥.orthogonalProjectionOnto = 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v w : E
⊢ (𝕜 ∙ v).starProjection (↑‖v‖ ^ 2 • w) = ⟪v, w⟫ • v

Tactic:
apply eq_starProjection_of_mem_of_inner_eq_zero

Goal state after:
case hvm
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v w : E
⊢ ⟪v, w⟫ • v ∈ 𝕜 ∙ v

case hvo
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v w : E
⊢ ∀ w_1 ∈ 𝕜 ∙ v, ⟪↑‖v‖ ^ 2 • w - ⟪v, w⟫ • v, w_1⟫ = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inr
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : WithLp p (α × β)
h : 1 ≤ p.toReal
pos : 0 < p.toReal
nonneg : 0 ≤ 1 / p.toReal
cancel : p.toReal * (1 / p.toReal) = 1
⊢ (edist x.fst y.fst ^ p.toReal + edist x.snd y.snd ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal) ≤
    ↑(2 ^ (1 / p).toReal) * edist x.ofLp y.ofLp

Tactic:
ENNReal.toReal_div 1 p

Goal state after:
case inr
p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : WithLp p (α × β)
h : 1 ≤ p.toReal
pos : 0 < p.toReal
nonneg : 0 ≤ 1 / p.toReal
cancel : p.toReal * (1 / p.toReal) = 1
⊢ (edist x.fst y.fst ^ p.toReal + edist x.snd y.snd ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal) ≤
    ↑(2 ^ (ENNReal.toReal 1 / p.toReal)) * edist x.ofLp y.ofLp
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
x : E
hx' : x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
hx : x ≠ 0
e : E := (↑‖x‖)⁻¹ • x
he : ‖e‖ = 1
he' : e ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
he'' : e ∉ v
⊢ ∀ a ∈ v, ⟪a, e⟫_𝕜 = 0

Tactic:
intro a ha

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
x : E
hx' : x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
hx : x ≠ 0
e : E := (↑‖x‖)⁻¹ • x
he : ‖e‖ = 1
he' : e ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
he'' : e ∉ v
a : E
ha : a ∈ v
⊢ ⟪a, e⟫_𝕜 = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (↑f).range G
inst✝ : CompleteSpace ↥G
hker : (↑f).ker = ⊥
⊢ (↑f).range = Submodule.map (↑↑(ContinuousLinearEquiv.ofBijective (f.coprod G.subtypeL) ⋯ ⋯)) (⊤.prod ⊥)

Tactic:
← ContinuousLinearEquiv.toLinearMap_toContinuousLinearMap,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (↑f).range G
inst✝ : CompleteSpace ↥G
hker : (↑f).ker = ⊥
⊢ (↑f).range = Submodule.map (↑↑(ContinuousLinearEquiv.ofBijective (f.coprod G.subtypeL) ⋯ ⋯)) (⊤.prod ⊥)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case inr
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
x y : WithLp p ((i : ι) → β i)
h : 1 ≤ p.toReal
pos : 0 < p.toReal
nonneg : 0 ≤ 1 / p.toReal
cancel : p.toReal * (1 / p.toReal) = 1
⊢ (∑ i, edist (x.ofLp i) (y.ofLp i) ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal) ≤
    ↑(↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal) * edist x.ofLp y.ofLp

Tactic:
ENNReal.toReal_div 1 p

Goal state after:
case inr
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
x y : WithLp p ((i : ι) → β i)
h : 1 ≤ p.toReal
pos : 0 < p.toReal
nonneg : 0 ≤ 1 / p.toReal
cancel : p.toReal * (1 / p.toReal) = 1
⊢ (∑ i, edist (x.ofLp i) (y.ofLp i) ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal) ≤
    ↑(↑(Fintype.card ι) ^ (ENNReal.toReal 1 / p.toReal)) * edist x.ofLp y.ofLp
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x : PiLp p β
i : ι
⊢ ‖x.ofLp i‖₊ ≤ ‖x‖₊

Tactic:
by
  simpa using nndist_apply_le x 0 i

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
f : PiLp ∞ β
⊢ ‖f.ofLp‖₊ = ⨆ i, ‖f.ofLp i‖₊

Tactic:
Pi.nnnorm_def,

Goal state after:
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
f : PiLp ∞ β
⊢ (Finset.univ.sup fun b ↦ ‖f.ofLp b‖₊) = ⨆ i, ‖f.ofLp i‖₊