mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion

Goal state before:
pp: L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieModule K L M
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : traceForm K L M = 0
φ : L →ₗ⁅K⁆ End K M := toEnd K L M
x : L
hx : x ∈ derivedSeries K L 1
n : End K M
hn_adj : n ∈ K[φ x]
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : φ x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace :=
  DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top (eigenspaces_iSupIndep s)
    (IsSemisimple.iSup_eigenspace_eq_top hs_ss)
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M := eigenDecomp.collectedBasis fun μ ↦ finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst
hsv : ∀ (i : I), s (v i) = μ i • v i
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : I → K := fun i ↦ ↑(f ⟨μ i, ⋯⟩)
⊢ ∃ y, (trace K M) (φ x * y) = 0 ∧ (trace K M) (φ x * y) = ∑ i, fμ i * μ i

Tactic:
let y : End K M := (Matrix.diagonal fμ).toLin v v

Goal state after:
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieModule K L M
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : traceForm K L M = 0
φ : L →ₗ⁅K⁆ End K M := toEnd K L M
x : L
hx : x ∈ derivedSeries K L 1
n : End K M
hn_adj : n ∈ K[φ x]
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : φ x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace :=
  DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top (eigenspaces_iSupIndep s)
    (IsSemisimple.iSup_eigenspace_eq_top hs_ss)
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M := eigenDecomp.collectedBasis fun μ ↦ finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst
hsv : ∀ (i : I), s (v i) = μ i • v i
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : I → K := fun i ↦ ↑(f ⟨μ i, ⋯⟩)
y : End K M := (Matrix.toLin v v) (Matrix.diagonal fμ)
⊢ ∃ y, (trace K M) (φ x * y) = 0 ∧ (trace K M) (φ x * y) = ∑ i, fμ i * μ i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Charpoly.ToMatrix

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
ι : Type w
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
a✝ : Nontrivial R
b' : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
P : Matrix ι (ChooseBasisIndex R M) R := b.toMatrix ⇑b'
A : Matrix (ChooseBasisIndex R M) (ChooseBasisIndex R M) R := (toMatrix b' b') f
Q : Matrix (ChooseBasisIndex R M) ι R := b'.toMatrix ⇑b
e : ι ≃ ChooseBasisIndex R M := b.indexEquiv b'
ι' : Type u_2 := ChooseBasisIndex R M
φ : Matrix ι ι R ≃ₗ[R] Matrix (ChooseBasisIndex R M) (ChooseBasisIndex R M) R := reindexLinearEquiv R R e e
φ₁ : Matrix ι ι' R ≃ₗ[R] Matrix (ChooseBasisIndex R M) ι' R := reindexLinearEquiv R R e (Equiv.refl ι')
φ₂ : Matrix ι' ι' R ≃ₗ[R] Matrix ι' ι' R := reindexLinearEquiv R R (Equiv.refl ι') (Equiv.refl ι')
φ₃ : Matrix ι' ι R ≃ₗ[R] Matrix ι' (ChooseBasisIndex R M) R := reindexLinearEquiv R R (Equiv.refl ι') e
⊢ (φ₁ P * φ₂ A * φ₃ Q).charpoly = A.charpoly

Tactic:
charpoly_mul_comm,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
ι : Type w
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
a✝ : Nontrivial R
b' : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
P : Matrix ι (ChooseBasisIndex R M) R := b.toMatrix ⇑b'
A : Matrix (ChooseBasisIndex R M) (ChooseBasisIndex R M) R := (toMatrix b' b') f
Q : Matrix (ChooseBasisIndex R M) ι R := b'.toMatrix ⇑b
e : ι ≃ ChooseBasisIndex R M := b.indexEquiv b'
ι' : Type u_2 := ChooseBasisIndex R M
φ : Matrix ι ι R ≃ₗ[R] Matrix (ChooseBasisIndex R M) (ChooseBasisIndex R M) R := reindexLinearEquiv R R e e
φ₁ : Matrix ι ι' R ≃ₗ[R] Matrix (ChooseBasisIndex R M) ι' R := reindexLinearEquiv R R e (Equiv.refl ι')
φ₂ : Matrix ι' ι' R ≃ₗ[R] Matrix ι' ι' R := reindexLinearEquiv R R (Equiv.refl ι') (Equiv.refl ι')
φ₃ : Matrix ι' ι R ≃ₗ[R] Matrix ι' (ChooseBasisIndex R M) R := reindexLinearEquiv R R (Equiv.refl ι') e
⊢ (φ₃ Q * (φ₁ P * φ₂ A)).charpoly = A.charpoly
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
m n : M
⊢ weightedHomogeneousSubmodule R w m * weightedHomogeneousSubmodule R w n ≤ weightedHomogeneousSubmodule R w (m + n)

Tactic:
rw [Submodule.mul_le]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
m n : M
⊢ ∀ m_1 ∈ weightedHomogeneousSubmodule R w m,
    ∀ n_1 ∈ weightedHomogeneousSubmodule R w n, m_1 * n_1 ∈ weightedHomogeneousSubmodule R w (m + n)
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
i : σ
⊢ IsWeightedHomogeneous w (X i) (w i)

Tactic:
by
  apply isWeightedHomogeneous_monomial
  simp only [weight, LinearMap.toAddMonoidHom_coe, linearCombination_single, one_nsmul]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
φ : MvPolynomial σ R
m : M
w : σ → M
hφ : IsWeightedHomogeneous w φ m
n : ℕ
ih : IsWeightedHomogeneous w (φ ^ n) (n • m)
⊢ IsWeightedHomogeneous w (φ ^ n * φ) ((n + 1) • m)

Tactic:
succ_nsmul

Goal state after:
case succ
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
φ : MvPolynomial σ R
m : M
w : σ → M
hφ : IsWeightedHomogeneous w φ m
n : ℕ
ih : IsWeightedHomogeneous w (φ ^ n) (n • m)
⊢ IsWeightedHomogeneous w (φ ^ n * φ) (n • m + m)
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
m : M
motive : (p : MvPolynomial σ R) → IsWeightedHomogeneous w p m → Prop
zero : motive 0 ⋯
add :
  ∀ (p q : MvPolynomial σ R) (hp : IsWeightedHomogeneous w p m) (hq : IsWeightedHomogeneous w q m),
    motive p hp → motive q hq → motive (p + q) ⋯
monomial : ∀ (d : σ →₀ ℕ) (r : R) (hr : (weight w) d = m), motive ((MvPolynomial.monomial d) r) ⋯
p : MvPolynomial σ R
hp : IsWeightedHomogeneous w p m
a : R
x : MvPolynomial σ R
x✝ : x ∈ {p | ∃ (hp : IsWeightedHomogeneous w p m), ∀ (a : R), motive (C a * p) ⋯}
w✝ : IsWeightedHomogeneous w x m
hx : ∀ (a : R), motive (C a * x) ⋯
⊢ IsWeightedHomogeneous w (a • x) m

Tactic:
by simp [Algebra.smul_def, C_mul ‹_› a]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Homogeneous.Ideal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_4
f : κ → Ideal A
h : ∀ (i : κ), ∃ S, f i = span (Subtype.val '' S)
⊢ ∃ S, ⨆ i, f i = span (Subtype.val '' S)

Tactic:
choose s hs using h

Goal state after:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_4
f : κ → Ideal A
s : κ → Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)
hs : ∀ (i : κ), f i = span (Subtype.val '' s i)
⊢ ∃ S, ⨆ i, f i = span (Subtype.val '' S)
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Homogeneous.Ideal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
r : A
hr : r ∈ I
⊢ ∀ c ∈ DFinsupp.support ((decompose 𝒜) r), ↑(((decompose 𝒜) r) c) ∈ (homogeneousHull 𝒜 I).toIdeal

Tactic:
intro j _

Goal state after:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
r : A
hr : r ∈ I
j : ι
a✝ : j ∈ DFinsupp.support ((decompose 𝒜) r)
⊢ ↑(((decompose 𝒜) r) j) ∈ (homogeneousHull 𝒜 I).toIdeal
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: case h₀
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
d : σ →₀ ℕ
m : M
a✝ : m ∈ Finite.toFinset ⋯
⊢ m ≠ (weight w) d → (if (weight w) d = m then coeff d φ else 0) = 0

Tactic:
hm'

Goal state after:
case h₀
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
d : σ →₀ ℕ
m : M
a✝ : m ∈ Finite.toFinset ⋯
hm' : m ≠ (weight w) d
⊢ (if (weight w) d = m then coeff d φ else 0) = 0
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
m : M
p : MvPolynomial σ R
hp : IsWeightedHomogeneous w p m
x : σ →₀ ℕ
⊢ coeff x ((weightedHomogeneousComponent w m) p) = coeff x p

Tactic:
rw [coeff_weightedHomogeneousComponent]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
m : M
p : MvPolynomial σ R
hp : IsWeightedHomogeneous w p m
x : σ →₀ ℕ
⊢ (if (weight w) x = m then coeff x p else 0) = coeff x p
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
hf : ∀ (r : R), (f r).IsHomogeneous 0
hg : ∀ (i : σ), (g i).IsHomogeneous n
⊢ (MvPolynomial.eval₂ f g φ).IsHomogeneous (n * m)

Tactic:
by
  apply IsHomogeneous.sum
  intro i hi
  rw [← zero_add (n * m)]
  apply IsHomogeneous.mul (hf _) _
  convert! IsHomogeneous.prod _ _ (fun k ↦ n * i k) _
  · rw [Finsupp.mem_support_iff] at hi
    rw [← Finset.mul_sum, ← hφ hi, weight_apply]
    simp_rw [smul_eq_mul, Finsupp.sum, Pi.one_apply, mul_one]
  · rintro k -
    apply (hg k).pow

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
m n : M
p : MvPolynomial σ R
hp : IsWeightedHomogeneous w p m
hn : n ≠ m
x : σ →₀ ℕ
⊢ coeff x ((weightedHomogeneousComponent w n) p) = coeff x 0

Tactic:
rw [coeff_weightedHomogeneousComponent]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
m n : M
p : MvPolynomial σ R
hp : IsWeightedHomogeneous w p m
hn : n ≠ m
x : σ →₀ ℕ
⊢ (if (weight w) x = n then coeff x p else 0) = coeff x 0
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0
⊢ ∑ x ∈ d.support, d x ≤ n

Tactic:
← hφ hd,

Goal state after:
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0
⊢ ∑ x ∈ d.support, d x ≤ (weight 1) d
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
w : σ → M
inst✝ : DecidableEq M
m n : M
p : MvPolynomial σ R
h : IsWeightedHomogeneous w p n
x : σ →₀ ℕ
⊢ coeff x ((weightedHomogeneousComponent w m) p) = coeff x (if m = n then p else 0)

Tactic:
rw [coeff_weightedHomogeneousComponent]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
w : σ → M
inst✝ : DecidableEq M
m n : M
p : MvPolynomial σ R
h : IsWeightedHomogeneous w p n
x : σ →₀ ℕ
⊢ (if (weight w) x = m then coeff x p else 0) = coeff x (if m = n then p else 0)
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : DecidableEq M
φ : MvPolynomial σ R
m : M
⊢ ↑((decompose' R w φ) m) = ↑0 ↔ (weightedHomogeneousComponent w m) φ = 0

Tactic:
decompose'_apply,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : DecidableEq M
φ : MvPolynomial σ R
m : M
⊢ (weightedHomogeneousComponent w m) φ = ↑0 ↔ (weightedHomogeneousComponent w m) φ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.Polynomial

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ιM
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module.Finite A (A ⊗[R] M)
inst✝ : Free A (A ⊗[R] M)
x : ι → A
⊢ Polynomial.map (aeval x).toRingHom (φ.polyCharpolyAux b bₘ) =
    ((tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ) ((basis A b).repr.symm (Finsupp.equivFunOnFinite.symm x))).charpoly

Tactic:
rw [← polyCharpolyAux_map_eval (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ) _ (basis A bₘ),
    polyCharpolyAux_baseChange, Polynomial.map_map]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ιM
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module.Finite A (A ⊗[R] M)
inst✝ : Free A (A ⊗[R] M)
x : ι → A
⊢ Polynomial.map (aeval x).toRingHom (φ.polyCharpolyAux b bₘ) =
    Polynomial.map ((eval x).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R A))) (φ.polyCharpolyAux b bₘ)
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.Polynomial

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup L
inst✝⁹ : Module R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
⊢ (φ.polyCharpoly b).coeff (φ.nilRankAux b') ≠ 0

Tactic:
rw [Ne, (polyCharpoly_coeff_eq_zero_iff_of_basis φ b b' _).not]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup L
inst✝⁹ : Module R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
⊢ ¬(φ.polyCharpoly b').coeff (φ.nilRankAux b') = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Character

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ ↑⁅⊤, ⊤⁆
⊢ χ x = 0

Tactic:
LieSubmodule.lieIdeal_oper_eq_linear_span

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ Submodule.span R {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x}
⊢ χ x = 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.Polynomial

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup L
inst✝⁷ : Module R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Free R L
inst✝ : Nontrivial R
⊢ φ.nilRank ≤ finrank R M

Tactic:
simpa only [finrank_eq_card_chooseBasisIndex R M] using nilRank_le_card φ (chooseBasis R M)

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Matrix

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝² : CommRing R
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
T S : Module.End R (n → R)
⊢ (↑LinearMap.toMatrix').toFun ⁅T, S⁆ = ⁅(↑LinearMap.toMatrix').toFun T, (↑LinearMap.toMatrix').toFun S⁆

Tactic:
by
      let f := @LinearMap.toMatrix' R _ n n _ _
      change f (T.comp S - S.comp T) = f T * f S - f S * f T
      have h : ∀ T S : Module.End R _, f (T.comp S) = f T * f S := LinearMap.toMatrix'_comp
      rw [map_sub, h, h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanExists

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
hi : 0 < r
α : K
⊢ eval α (χ.coeff 0) = 0

Tactic:
← coe_evalRingHom,

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
hi : 0 < r
α : K
⊢ (evalRingHom α) (χ.coeff 0) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: m : Type um
m₀ : Type um₀
n : Type un
n₀ : Type un₀
R : Type uR
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype n₀
inst✝ : CommSemiring R
em : m ≃ m₀
en : n ≃ n₀
A : Matrix m n R
⊢ finrank R ↥((reindex em en) A).mulVecLin.range = finrank R ↥A.mulVecLin.range

Tactic:
mulVecLin_reindex,

Goal state after:
m : Type um
m₀ : Type um₀
n : Type un
n₀ : Type un₀
R : Type uR
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype n₀
inst✝ : CommSemiring R
em : m ≃ m₀
en : n ≃ n₀
A : Matrix m n R
⊢ finrank R ↥(↑(LinearEquiv.funCongrLeft R R em.symm) ∘ₗ A.mulVecLin ∘ₗ ↑(LinearEquiv.funCongrLeft R R en)).range =
    finrank R ↥A.mulVecLin.range
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanExists

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
⊢ eval α (χ.coeff i) = 0

Tactic:
← coe_evalRingHom,

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
hsψ : ∀ α ∈ s, eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0
α : K
hα : α ∈ s
⊢ (evalRingHom α) (χ.coeff i) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanExists

Goal state before:
pp: case inr
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
α : K
hsψ : eval α (constantCoeff ψ) ≠ 0
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K ↑v
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q) v ^ n) z' = 0
n : ℕ := Nat.find hz'
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q) v ^ n) z' = 0
k : ℕ
hk : n = k + 1
⊢ z' = 0

Tactic:
← coe_evalRingHom,

Goal state after:
case inr
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
hLK : ↑(finrank K L) ≤ #K
U : LieSubalgebra K L
x : L
hxU : x ∈ U
y : L
hyU : y ∈ U
Ex : ↑{x | ∃ x_1 ∈ U, engel K x_1 = x} := ⟨engel K x, ⋯⟩
Ey : ↑{x | ∃ y ∈ U, engel K y = x} := ⟨engel K y, ⋯⟩
hUle : U ≤ ↑Ex
hmin : ∀ E ≤ Ex, Ex ≤ E
E : LieSubmodule K (↥U) L :=
  let __src := engel K x;
  { toSubmodule := __src.toSubmodule, lie_mem := ⋯ }
hx₀ : x ≠ 0
Q : Type u_2 := L ⧸ E
r : ℕ := finrank K ↥E
hr : r < finrank K L
x' : ↥U := ⟨x, hxU⟩
y' : ↥U := ⟨y, hyU⟩
u : ↥U := y' - x'
χ : K[X][X] := lieCharpoly K (↥E) x' u
ψ : K[X][X] := lieCharpoly K Q x' u
i : ℕ
hi : i < r
hi0 : i ≠ 0
hψ : constantCoeff ψ ≠ 0
s : Finset K
hs : r ≤ s.card
α : K
hsψ : (evalRingHom α) (constantCoeff ψ) ≠ 0
hα : α ∈ s
v : ↥U := α • u + x'
z : L
hz : z ∈ engel K ↑v
z' : Q := (LieSubmodule.Quotient.mk' E) z
hz' : ∃ n, ((toEnd K (↥U) Q) v ^ n) z' = 0
n : ℕ := Nat.find hz'
_hn : n = Nat.find hz'
hn : ((toEnd K (↥U) Q) v ^ n) z' = 0
k : ℕ
hk : n = k + 1
⊢ z' = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.DirectSum

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type v
L : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
x : L i
y : L j
k : ι
hik : k ≠ i
⊢ ⁅((of L i) x) k, ((of L j) y) k⁆ = 0 k

Tactic:
of_eq_of_ne _ _ _ hik,

Goal state after:
case inr
ι : Type v
L : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → LieRing (L i)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j
x : L i
y : L j
k : ι
hik : k ≠ i
⊢ ⁅0, ((of L j) y) k⁆ = 0 k