mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
s : Sphere P
hd : s.IsDiameter p₁ p₃
o : P := s.center
h_center : o = midpoint ℝ p₁ p₃
h_opp : p₁ -ᵥ o = -(p₃ -ᵥ o)
⊢ ‖p₃ -ᵥ o‖ ^ 2 = ⟪o -ᵥ p₂, o -ᵥ p₂⟫_ℝ ↔ dist s.center p₂ = s.radius

Tactic:
← dist_eq_norm_vsub,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
s : Sphere P
hd : s.IsDiameter p₁ p₃
o : P := s.center
h_center : o = midpoint ℝ p₁ p₃
h_opp : p₁ -ᵥ o = -(p₃ -ᵥ o)
⊢ dist p₃ o ^ 2 = ⟪o -ᵥ p₂, o -ᵥ p₂⟫_ℝ ↔ dist s.center p₂ = s.radius
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
s : Sphere P
hd : s.IsDiameter p₁ p₃
o : P := s.center
h_center : o = midpoint ℝ p₁ p₃
h_opp : p₁ -ᵥ o = -(p₃ -ᵥ o)
⊢ dist p₃ o ^ 2 = ‖o -ᵥ p₂‖ ^ 2 ↔ dist s.center p₂ = s.radius

Tactic:
← dist_eq_norm_vsub,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
s : Sphere P
hd : s.IsDiameter p₁ p₃
o : P := s.center
h_center : o = midpoint ℝ p₁ p₃
h_opp : p₁ -ᵥ o = -(p₃ -ᵥ o)
⊢ dist p₃ o ^ 2 = dist o p₂ ^ 2 ↔ dist s.center p₂ = s.radius
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i : Fin (n + 1)
⊢ (∑ i, s.excenterWeightsUnnorm signs i)⁻¹ • s.excenterWeightsUnnorm signs i *
      ‖s.points i -ᵥ ↑((s.faceOpposite i).orthogonalProjectionSpan (s.points i))‖ =
    (if i ∈ signs then -1 else 1) * (∑ i, s.excenterWeightsUnnorm signs i)⁻¹

Tactic:
← dist_eq_norm_vsub,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i : Fin (n + 1)
⊢ (∑ i, s.excenterWeightsUnnorm signs i)⁻¹ • s.excenterWeightsUnnorm signs i *
      dist (s.points i) ↑((s.faceOpposite i).orthogonalProjectionSpan (s.points i)) =
    (if i ∈ signs then -1 else 1) * (∑ i, s.excenterWeightsUnnorm signs i)⁻¹
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hpi : angle x y ≠ π
hxy : ¬x = y
h : ‖x‖ - ⟪x, y⟫ * ‖x‖⁻¹ = ‖y‖ - ⟪x, y⟫ * ‖y‖⁻¹
⊢ ‖x‖ = ‖y‖

Tactic:
sub_eq_sub_iff_sub_eq_sub,

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hpi : angle x y ≠ π
hxy : ¬x = y
h : ‖x‖ - ‖y‖ = ⟪x, y⟫ * ‖x‖⁻¹ - ⟪x, y⟫ * ‖y‖⁻¹
⊢ ‖x‖ = ‖y‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
⊢ √(1 + (∡ p₂ p₁ s.center).tan ^ 2) *
      (‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖ * √(1 + (∡ p₂ p₁ s.center).tan ^ 2) * ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖) =
    ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖ * ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖ +
      ‖(∡ p₂ p₁ s.center).tan • («o».rotation ↑(π / 2)) (midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁)‖ *
        ‖(∡ p₂ p₁ s.center).tan • («o».rotation ↑(π / 2)) (midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁)‖

Tactic:
mul_comm _ (√_),

Goal state after:
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
⊢ √(1 + (∡ p₂ p₁ s.center).tan ^ 2) *
      (√(1 + (∡ p₂ p₁ s.center).tan ^ 2) * ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖ * ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖) =
    ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖ * ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖ +
      ‖(∡ p₂ p₁ s.center).tan • («o».rotation ↑(π / 2)) (midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁)‖ *
        ‖(∡ p₂ p₁ s.center).tan • («o».rotation ↑(π / 2)) (midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁)‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
⊢ p₂ -ᵥ p₃ = p₁ -ᵥ p₃ - (p₁ -ᵥ p₂)

Tactic:
· exact (vsub_sub_vsub_cancel_left p₂ p₃ p₁).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
⊢ s.touchpoint signs i ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)

Tactic:
refine SetLike.le_def.1 (affineSpan_mono _ ?_) (s.touchpoint_mem_affineSpan signs i)

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
⊢ Set.range (s.faceOpposite i).points ⊆ Set.range s.points
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
r : ℝ
s : Simplex ℝ P n
p₁ : P
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ dist p₁ s.circumcenter * dist p₁ s.circumcenter = r * r - s.circumradius * s.circumradius

Tactic:
rw [dist_comm, ← h₁ 0,
    s.dist_sq_eq_dist_orthogonalProjection_sq_add_dist_orthogonalProjection_sq p₁ h]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
r : ℝ
s : Simplex ℝ P n
p₁ : P
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ dist s.circumcenter p₁ * dist s.circumcenter p₁ =
    dist (s.points 0) ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) * dist (s.points 0) ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) +
        dist p₁ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) * dist p₁ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) -
      s.circumradius * s.circumradius
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.TriangleInequality

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
⊢ 0 ≤ 1 - ⟪x, y⟫ * ⟪x, y⟫

Tactic:
sub_nonneg

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
⊢ ⟪x, y⟫ * ⟪x, y⟫ ≤ 1
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c a' b' c' : P
r : ℝ
h : ∠ a' b' c' = ∠ a b c
hab : dist a' b' = r * dist a b
hcb : dist c' b' = r * dist c b
h' : dist a' c' ^ 2 = (r * dist a c) ^ 2
hab₁ : a = b
hab'₁ : a' = b'
⊢ dist b' c' = r * dist b c

Tactic:
dist_comm b' c',

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c a' b' c' : P
r : ℝ
h : ∠ a' b' c' = ∠ a b c
hab : dist a' b' = r * dist a b
hcb : dist c' b' = r * dist c b
h' : dist a' c' ^ 2 = (r * dist a c) ^ 2
hab₁ : a = b
hab'₁ : a' = b'
⊢ dist c' b' = r * dist b c
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c a' b' c' : P
r : ℝ
h : ∠ a' b' c' = ∠ a b c
hab : dist a' b' = r * dist a b
hcb : dist c' b' = r * dist c b
h' : dist a' c' ^ 2 = (r * dist a c) ^ 2
hab₁ : ¬a = b
⊢ 0 ≤ dist a' b'

Tactic:
exact dist_nonneg

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
hn1 : ¬n = 1
this : s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i ∈ (vectorSpan ℝ (Set.range s.points))ᗮ
h' : s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i ∈ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)
h0 : ‖s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i‖ = 0
⊢ False

Tactic:
← dist_eq_norm_vsub,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
hn1 : ¬n = 1
this : s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i ∈ (vectorSpan ℝ (Set.range s.points))ᗮ
h' : s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i ∈ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)
h0 : dist (s.excenter signs) (s.touchpoint signs i) = 0
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁶ : MetricSpace P
inst✝⁵ : NormedAddTorsor V P
V₂ : Type u_3
P₂ : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₂ P₂
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
f : P →ᵃⁱ[ℝ] P₂
i : Fin (n + 1)
⊢ (Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points) ((s.map f.toAffineMap ⋯).touchpointWeights signs i) =
    s.touchpoint signs i

Tactic:
have hc := (s.map f.toAffineMap f.injective).affineCombination_touchpointWeights signs i

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁶ : MetricSpace P
inst✝⁵ : NormedAddTorsor V P
V₂ : Type u_3
P₂ : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₂ P₂
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
f : P →ᵃⁱ[ℝ] P₂
i : Fin (n + 1)
hc :
  (Finset.affineCombination ℝ Finset.univ (s.map f.toAffineMap ⋯).points)
      ((s.map f.toAffineMap ⋯).touchpointWeights signs i) =
    (s.map f.toAffineMap ⋯).touchpoint signs i
⊢ (Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points) ((s.map f.toAffineMap ⋯).touchpointWeights signs i) =
    s.touchpoint signs i
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Congruence

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
v₁ : ι → P₁
v₂ : ι → P₂
h : v₁ ≅ v₂
i j k : ι
⊢ Real.arccos
      ((‖v₁ i -ᵥ v₁ j‖ * ‖v₁ i -ᵥ v₁ j‖ + ‖v₁ k -ᵥ v₁ j‖ * ‖v₁ k -ᵥ v₁ j‖ - ‖v₁ i -ᵥ v₁ k‖ * ‖v₁ i -ᵥ v₁ k‖) / 2 /
        (‖v₁ i -ᵥ v₁ j‖ * ‖v₁ k -ᵥ v₁ j‖)) =
    Real.arccos
      ((‖v₂ i -ᵥ v₂ j‖ * ‖v₂ i -ᵥ v₂ j‖ + ‖v₂ k -ᵥ v₂ j‖ * ‖v₂ k -ᵥ v₂ j‖ - ‖v₂ i -ᵥ v₂ k‖ * ‖v₂ i -ᵥ v₂ k‖) / 2 /
        (‖v₂ i -ᵥ v₂ j‖ * ‖v₂ k -ᵥ v₂ j‖))

Tactic:
← dist_eq_norm_vsub,

Goal state after:
ι : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
v₁ : ι → P₁
v₂ : ι → P₂
h : v₁ ≅ v₂
i j k : ι
⊢ Real.arccos
      ((dist (v₁ i) (v₁ j) * dist (v₁ i) (v₁ j) + dist (v₁ k) (v₁ j) * dist (v₁ k) (v₁ j) -
            dist (v₁ i) (v₁ k) * dist (v₁ i) (v₁ k)) /
          2 /
        (dist (v₁ i) (v₁ j) * dist (v₁ k) (v₁ j))) =
    Real.arccos
      ((dist (v₂ i) (v₂ j) * dist (v₂ i) (v₂ j) + dist (v₂ k) (v₂ j) * dist (v₂ k) (v₂ j) -
            dist (v₂ i) (v₂ k) * dist (v₂ i) (v₂ k)) /
          2 /
        (dist (v₂ i) (v₂ j) * dist (v₂ k) (v₂ j)))
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.TriangleInequality

Goal state before:
pp: case mpr.inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
hy : y ≠ 0
h : angle x z = π
⊢ angle x z = angle x y + angle y z

pp: case mpr.inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
hy : y ≠ 0
h : y ∈ Submodule.span ℝ≥0 {x, z}
⊢ angle x z = angle x y + angle y z

Tactic:
· grind [angle_add_angle_eq_pi_of_angle_eq_pi, angle_comm]

Goal state after:
case mpr.inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
hy : y ≠ 0
h : y ∈ Submodule.span ℝ≥0 {x, z}
⊢ angle x z = angle x y + angle y z
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Power

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : p ∈ line[ℝ, a, b]
m : P := midpoint ℝ a b
hq : ‖m -ᵥ q - (m -ᵥ a)‖ = ‖m -ᵥ q + (m -ᵥ a)‖
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h1' : m -ᵥ a - (m -ᵥ p) = p -ᵥ a
h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q
h3 : m -ᵥ q - (m -ᵥ a) = a -ᵥ q
h : ∀ (r : P), b -ᵥ r = m -ᵥ r + (m -ᵥ a)
⊢ ∃ k, m -ᵥ p = k • (m -ᵥ a)

Tactic:
rw [← vsub_vadd p a, vadd_left_mem_affineSpan_pair] at hp
    rcases hp with ⟨r, hr⟩
    rw [h, ← h1', eq_sub_iff_add_eq, ← eq_sub_iff_add_eq'] at hr
    rw [hr]
    use 1 - r * 2
    match_scalars
    ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalDiffeomorph

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F'
H₁ : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₃
I : ModelWithCorners 𝕜 E H₁
J : ModelWithCorners 𝕜 F H₂
K : ModelWithCorners 𝕜 F' H₃
M : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ M
N : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H₂ N
P : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : ChartedSpace H₃ P
n : WithTop ℕ∞
f : M → N
x : M
g : N → P
hg : IsLocalDiffeomorphAt J K n g (f x)
Φ : PartialDiffeomorph I J M N n
hx : x ∈ Φ.source
heq : EqOn f (↑Φ.toPartialEquiv) Φ.source
⊢ IsLocalDiffeomorphAt I K n (g ∘ f) x

Tactic:
obtain ⟨Ψ, hy, heq'⟩ := hg

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F'
H₁ : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₃
I : ModelWithCorners 𝕜 E H₁
J : ModelWithCorners 𝕜 F H₂
K : ModelWithCorners 𝕜 F' H₃
M : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ M
N : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H₂ N
P : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : ChartedSpace H₃ P
n : WithTop ℕ∞
f : M → N
x : M
g : N → P
Φ : PartialDiffeomorph I J M N n
hx : x ∈ Φ.source
heq : EqOn f (↑Φ.toPartialEquiv) Φ.source
Ψ : PartialDiffeomorph J K N P n
hy : f x ∈ Ψ.source
heq' : EqOn g (↑Ψ.toPartialEquiv) Ψ.source
⊢ IsLocalDiffeomorphAt I K n (g ∘ f) x
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
t : Triangle ℝ P
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hst : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
⊢ AffineIndependent ℝ p

Tactic:
hst

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hpi : Function.Injective p
t : Triangle ℝ P
hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hst : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
⊢ AffineIndependent ℝ p
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: 𝕜✝ : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
H✝ : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H✝
I✝ : ModelWithCorners 𝕜✝ E✝ H✝
M✝ : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁷ : ChartedSpace H✝ M✝
n✝ : WithTop ℕ∞
e✝ e'✝ : OpenPartialHomeomorph M✝ H✝
x✝² : M✝
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝ : IsManifold I n M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
x : M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ atlas H M
he' : e' ∈ atlas H M
hex : x ∈ e.source
hex' : x ∈ e'.source
hx : ↑(e.extend I) x ∈ interior (e.extend I).target
φ : PartialEquiv E E := extendCoordChange e e'
hφ : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ) φ.source
h✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
x✝¹ : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
x✝ : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hφx' : Surjective ⇑(fderiv ℝ (↑φ) (↑(e.extend I) x))
hφx : φ.source ∈ 𝓝 (↑(e.extend I) x)
⊢ ↑(e'.extend I) x ∈ interior (range ↑I)

Tactic:
show e'.extend I x = φ (e.extend I x) by simp [φ, hex]

Goal state after:
𝕜✝ : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
H✝ : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H✝
I✝ : ModelWithCorners 𝕜✝ E✝ H✝
M✝ : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁷ : ChartedSpace H✝ M✝
n✝ : WithTop ℕ∞
e✝ e'✝ : OpenPartialHomeomorph M✝ H✝
x✝² : M✝
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝ : IsManifold I n M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
x : M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ atlas H M
he' : e' ∈ atlas H M
hex : x ∈ e.source
hex' : x ∈ e'.source
hx : ↑(e.extend I) x ∈ interior (e.extend I).target
φ : PartialEquiv E E := extendCoordChange e e'
hφ : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ) φ.source
h✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
x✝¹ : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
x✝ : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hφx' : Surjective ⇑(fderiv ℝ (↑φ) (↑(e.extend I) x))
hφx : φ.source ∈ 𝓝 (↑(e.extend I) x)
⊢ ↑φ (↑(e.extend I) x) ∈ interior (range ↑I)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: n : ℕ
inst✝ : NeZero n
⊢ interior (range ↑(𝓡∂ n)) = interior {y | 0 ≤ y.ofLp 0}

Tactic:
by
      congr!
      apply range_euclideanHalfSpace

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: n : ℕ
inst✝ : NeZero n
⊢ frontier (range ↑(𝓡∂ n)) = frontier {y | 0 ≤ y.ofLp 0}

Tactic:
by
      congr!
      apply range_euclideanHalfSpace

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
x : M
f : M → N
φ : N → N'
h : IsImmersionAtOfComplement F J J' n φ (f x)
h' : ContMDiffAt I J' n (φ ∘ f) x
t : Set M
ht : t ⊆ f ⁻¹' h.domChart.source
hxt : x ∈ t
f' : E → E'' := ↑(h.domChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm
φ' : E'' → E''' := ↑(h.codChart.extend J') ∘ φ ∘ ↑(h.domChart.extend J).symm
x' : E := ↑(extChartAt I x) x
s : Set E := ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I
hx' : ↑(extChartAt I x) x ∈ s
h'loc :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(h.codChart.extend J') ∘ (φ ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
    (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (φ' ∘ f') s x'

Tactic:
apply h'loc.congr_of_mem (fun y hy ↦ ?_) hx'

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
x : M
f : M → N
φ : N → N'
h : IsImmersionAtOfComplement F J J' n φ (f x)
h' : ContMDiffAt I J' n (φ ∘ f) x
t : Set M
ht : t ⊆ f ⁻¹' h.domChart.source
hxt : x ∈ t
f' : E → E'' := ↑(h.domChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm
φ' : E'' → E''' := ↑(h.codChart.extend J') ∘ φ ∘ ↑(h.domChart.extend J).symm
x' : E := ↑(extChartAt I x) x
s : Set E := ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I
hx' : ↑(extChartAt I x) x ∈ s
h'loc :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(h.codChart.extend J') ∘ (φ ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
    (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
y : E
hy : y ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I
⊢ (φ' ∘ f') y = (↑(h.codChart.extend J') ∘ (φ ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) y
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
h : IsImmersionOfComplement F I J n f
hM : IsEmpty M
⊢ IsImmersion I J n f

Tactic:
rw [IsImmersion]
    use PUnit, by infer_instance, by infer_instance
    exact fun x ↦ (IsEmpty.false x).elim

Goal state after: