Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TangentCone.Pi

Goal state before:
pp: case hd₀
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun n ↦ Pi.single i (d n)) l (𝓝 0)

pp: case hds
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in l, x + Pi.single i (d n) ∈ closure[Pi.topologicalSpace] (univ.pi s)

pp: case hcd
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun n ↦ c n • Pi.single i (d n)) l (𝓝 (Pi.single i y))

Tactic:
· rw [tendsto_pi_nhds]
    intro j
    rcases eq_or_ne j i with rfl | hj <;> simp [*, tendsto_const_nhds]

Goal state after:
case hds
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in l, x + Pi.single i (d n) ∈ closure[Pi.topologicalSpace] (univ.pi s)

case hcd
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun n ↦ c n • Pi.single i (d n)) l (𝓝 (Pi.single i y))