mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: case hg
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous[inst✝⁹, _] f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[inst✝⁹, _] g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
Hf : LocallyCompactSpace G
D : G → ℝ := ⋯
D_cont : Continuous[inst✝⁹, _] D
D_pos : ∀ (x : G), 0 < D x
⊢ Continuous[instTopologicalSpaceProd, _] fun a ↦ g (a.2⁻¹ * a.1)

Tactic:
exact hg.comp (continuous_snd.inv.mul continuous_fst)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution

Goal state before:
pp: case succ
𝕜 : Type u𝕜
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
G P : Type uP
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hf : LocallyIntegrable f μ
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F) {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑↑n) (fun q ↦ (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n + 1) (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n + 1) (fun q ↦ (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)

Tactic:
let f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a =>
      (f ⋆[L.precompR (P × G), μ] fun x : G => fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)) a

Goal state after:
case succ
𝕜 : Type u𝕜
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
G P : Type uP
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hf : LocallyIntegrable f μ
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F) {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑↑n) (fun q ↦ (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n + 1) (↿g) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a ↦ (f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x ↦ fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)) a
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n + 1) (fun q ↦ (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous[inst✝⁷, _] f
h'f : HasCompactSupport f
int_nonzero : ∫ (x : G), f x ∂μ ≠ 0
⊢ ↑(μ'.haarScalarFactor μ) = (∫ (x : G), f x ∂μ') / ∫ (x : G), f x ∂μ

Tactic:
have := integral_isMulLeftInvariant_eq_smul_of_hasCompactSupport μ' μ hf h'f

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous[inst✝⁷, _] f
h'f : HasCompactSupport f
int_nonzero : ∫ (x : G), f x ∂μ ≠ 0
this : ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ
⊢ ↑(μ'.haarScalarFactor μ) = (∫ (x : G), f x ∂μ') / ∫ (x : G), f x ∂μ
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.SmoothApprox

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : C(E, F)
K : Set E
ε : ℝ
hK : IsCompact K
hε : 0 < ε
this : UniformContinuousOn (⇑f) (cthickening 1 K)
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hfδ : ∀ x ∈ cthickening 1 K, ∀ y ∈ cthickening 1 K, dist x y < δ → dist (f x) (f y) < ε / 2
g : E → F
hgc : ContDiff ℝ ∞ g
hg : ∀ (a : E) (δ_1 : ℝ), (∀ x ∈ ball a (min 1 δ), dist (f x) (f a) ≤ δ_1) → dist (g a) (f a) ≤ δ_1
x : E
hx : x ∈ K
y : E
hy : y ∈ ball x (min 1 δ)
⊢ dist (f y) (f x) ≤ ε / 2

Tactic:
mem_ball,

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : C(E, F)
K : Set E
ε : ℝ
hK : IsCompact K
hε : 0 < ε
this : UniformContinuousOn (⇑f) (cthickening 1 K)
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hfδ : ∀ x ∈ cthickening 1 K, ∀ y ∈ cthickening 1 K, dist x y < δ → dist (f x) (f y) < ε / 2
g : E → F
hgc : ContDiff ℝ ∞ g
hg : ∀ (a : E) (δ_1 : ℝ), (∀ x ∈ ball a (min 1 δ), dist (f x) (f a) ≤ δ_1) → dist (g a) (f a) ≤ δ_1
x : E
hx : x ∈ K
y : E
hy : dist y x < min 1 δ
⊢ dist (f y) (f x) ≤ ε / 2
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case inl.refine_2
α : Type u_1
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : μ s ≤ 0
this : μ s = 0
⊢ (↑∅).PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)

Tactic:
· simp only [Finset.coe_empty, pairwiseDisjoint_empty]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
k : Set G
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed[inst✝⁷] k
k_mem : k ∈ 𝓝 1
one_k : 1 ∈ k
A : Set (Set G) := {t | t ⊆ s ∧ t.PairwiseDisjoint fun x ↦ x • k}
m : Set G
m_max : Maximal (fun x ↦ x ∈ A) m
hms : m ⊆ s
hdj : m.PairwiseDisjoint fun x ↦ x • k
y : G
hy : y ∈ s
h'y : m ∪ {y} ∈ A
⊢ insert y m ∈ A

Tactic:
simpa using h'y

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
k : Set G
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed[inst✝⁷] k
k_mem : k ∈ 𝓝 1
one_k : 1 ∈ k
A : Set (Set G) := {t | t ⊆ s ∧ t.PairwiseDisjoint fun x ↦ x • k}
m : Set G
m_max : Maximal (fun x ↦ x ∈ A) m
hms : m ⊆ s
hdj : m.PairwiseDisjoint fun x ↦ x • k
y : G
hy : y ∈ s
h'y : m ∪ {y} ∈ A
⊢ insert y m ∈ A

Tactic:
by simpa using h'y

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j ↦ a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
⊢ ‖a.c j‖ - s / ‖a.c j‖ * ‖a.c j‖ = ‖a.c j‖ - ‖a.c i‖

pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j ↦ a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
⊢ 0 ≤ 1 - s / ‖a.c j‖

Tactic:
div_mul_cancel₀ _ (zero_le_two.trans_lt hj).ne'

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j ↦ a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
⊢ ‖a.c j‖ - s = ‖a.c j‖ - ‖a.c i‖

E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j ↦ a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
⊢ 0 ≤ 1 - s / ‖a.c j‖
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DerivativeTest

Goal state before:
pp: f : ℝ → ℝ
a b c : ℝ
h : ContinuousAt f b
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo b c)
h₀ : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ deriv f x
h₁ : ∀ x ∈ Ioo b c, deriv f x ≤ 0
⊢ IsMaxOn f (Ioo a c) b

Tactic:
refine isMaxOn_Ioo_of_mono_anti ?_ ?_

Goal state after:
case refine_1
f : ℝ → ℝ
a b c : ℝ
h : ContinuousAt f b
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo b c)
h₀ : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ deriv f x
h₁ : ∀ x ∈ Ioo b c, deriv f x ≤ 0
⊢ MonotoneOn f (Ioc a b)

case refine_2
f : ℝ → ℝ
a b c : ℝ
h : ContinuousAt f b
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo b c)
h₀ : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ deriv f x
h₁ : ∀ x ∈ Ioo b c, deriv f x ≤ 0
⊢ AntitoneOn f (Ico b c)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DerivativeTest

Goal state before:
pp: f : ℝ → ℝ
b : ℝ
h : ContinuousAt f b
hd₀ : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] b, DifferentiableAt ℝ f x
hd₁ : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] b, DifferentiableAt ℝ f x
h₀ : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] b, 0 ≤ deriv f x
h₁ : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] b, deriv f x ≤ 0
a : ℝ
ha : a < b ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ Ioo a b → DifferentiableAt ℝ f x ∧ 0 ≤ deriv f x
⊢ IsLocalMax f b

Tactic:
obtain ⟨c, hc⟩ := (nhdsGT_basis b).eventually_iff.mp <| hd₁.and h₁

Goal state after:
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
h : ContinuousAt f b
hd₀ : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] b, DifferentiableAt ℝ f x
hd₁ : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] b, DifferentiableAt ℝ f x
h₀ : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] b, 0 ≤ deriv f x
h₁ : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] b, deriv f x ≤ 0
a : ℝ
ha : a < b ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ Ioo a b → DifferentiableAt ℝ f x ∧ 0 ≤ deriv f x
c : ℝ
hc : b < c ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ Ioo b c → DifferentiableAt ℝ f x ∧ deriv f x ≤ 0
⊢ IsLocalMax f b
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DerivativeTest

Goal state before:
pp: f : ℝ → ℝ
b : ℝ
h : ContinuousAt f b
hd₀ : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] b, DifferentiableAt ℝ f x
hd₁ : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] b, DifferentiableAt ℝ f x
h₀ : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] b, deriv f x ≥ 0
a : ℝ
ha : a < b ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ Ioo a b → DifferentiableAt ℝ f x ∧ deriv f x ≤ 0
⊢ IsLocalMin f b

Tactic:
obtain ⟨c, hc⟩ := (nhdsGT_basis b).eventually_iff.mp <| hd₁.and h₁

Goal state after:
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
h : ContinuousAt f b
hd₀ : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] b, DifferentiableAt ℝ f x
hd₁ : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] b, DifferentiableAt ℝ f x
h₀ : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] b, deriv f x ≥ 0
a : ℝ
ha : a < b ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ Ioo a b → DifferentiableAt ℝ f x ∧ deriv f x ≤ 0
c : ℝ
hc : b < c ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ Ioo b c → DifferentiableAt ℝ f x ∧ deriv f x ≥ 0
⊢ IsLocalMin f b
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
⊢ IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f univ x ↔ IsSymmSndFDerivAt 𝕜 f x

Tactic:
by
  simp [IsSymmSndFDerivWithinAt, IsSymmSndFDerivAt]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
hf : ContDiffAt 𝕜 ω f x
⊢ IsSymmSndFDerivAt 𝕜 f x

Tactic:
by
  simp only [← isSymmSndFDerivWithinAt_univ, ← contDiffWithinAt_univ] at hf ⊢
  exact hf.isSymmSndFDerivWithinAt_of_omega uniqueDiffOn_univ (mem_univ _)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
ω : E → E [⋀^Fin n]→L[𝕜] F
x : E
hω : ContDiffAt 𝕜 r ω x
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
⊢ extDeriv (extDeriv ω) x = 0

Tactic:
simp only [← extDerivWithin_univ]
  apply extDerivWithin_extDerivWithin_apply (s := univ) hω.contDiffWithinAt hr <;> simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 ↦ ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ t ∈ Icc 0 1, x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : ℝ → F :=
  fun t ↦ f (x + h • v + (t * h) • w) - (t * h) • (f' x) w - (t * h ^ 2) • (f'' v) w - ((t * h) ^ 2 / 2) • (f'' w) w
g' : ℝ → F :=
  fun t ↦ (f' (x + h • v + (t * h) • w)) (h • w) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (t * h ^ 2) • (f'' w) w
hg' : g' = fun t ↦ (f' (x + h • v + (t * h) • w)) (h • w) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (t * h ^ 2) • (f'' w) w
g_deriv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivWithinAt g (g' t) (Icc 0 1) t
t : ℝ
ht : t ∈ Ico 0 1
I : ‖h • v + (t * h) • w‖ ≤ h * (‖v‖ + ‖w‖)
⊢ x + h • v + (t * h) • w ∈ Metric.ball x δ

Tactic:
add_assoc,

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 ↦ ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ t ∈ Icc 0 1, x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : ℝ → F :=
  fun t ↦ f (x + h • v + (t * h) • w) - (t * h) • (f' x) w - (t * h ^ 2) • (f'' v) w - ((t * h) ^ 2 / 2) • (f'' w) w
g' : ℝ → F :=
  fun t ↦ (f' (x + h • v + (t * h) • w)) (h • w) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (t * h ^ 2) • (f'' w) w
hg' : g' = fun t ↦ (f' (x + h • v + (t * h) • w)) (h • w) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (t * h ^ 2) • (f'' w) w
g_deriv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivWithinAt g (g' t) (Icc 0 1) t
t : ℝ
ht : t ∈ Ico 0 1
I : ‖h • v + (t * h) • w‖ ≤ h * (‖v‖ + ‖w‖)
⊢ x + (h • v + (t * h) • w) ∈ Metric.ball x δ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : α → ℝ := fun x ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
A : ∑' (x : ↑t0), μ (closedBall (↑x) (r ↑x)) ≤ μ s + ε / 2
i : Fin N
⊢ μ v ≤ ε / 2 / ↑N

Tactic:
by have : μ s' = 0 := μt0; rwa [this, zero_add] at μv

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Norm

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : StrongDual ℝ E
x : E
t : ℝ
ht : t ≠ 0
h : HasFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) f x
⊢ HasFDerivAt (fun x ↦ ‖x‖) (↑(SignType.sign t) • f) (t • x)

Tactic:
have h1 : HasFDerivAt (fun y ↦ t⁻¹ • y) (t⁻¹ • ContinuousLinearMap.id ℝ E) (t • x) :=
    hasFDerivAt_id (t • x) |>.const_smul t⁻¹
  have h2 : HasFDerivAt (fun y ↦ |t| * ‖y‖) (|t| • f) x := h.const_smul |t|
  conv at h2 => enter [3]; rw [← one_smul ℝ x, ← inv_mul_cancel₀ ht, mul_smul]
  convert! h2.comp (t • x) h1 using 2 with y
  · simp only [Function.comp_apply]
    rw [norm_smul, ← mul_assoc, norm_eq_abs, ← abs_mul, mul_inv_cancel₀ ht, abs_one, one_mul]
  · ext y
    simp only [smul_apply, smul_eq_mul, comp_smulₛₗ, map_inv₀, RingHom.id_apply, comp_id]
    rw [eq_inv_mul_iff_mul_eq₀ ht, ← mul_assoc, self_mul_sign]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Gradient.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
⊢ gradientWithin f univ = ∇ f

Tactic:
ext; simp [gradientWithin, gradient]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LHopital

Goal state before:
pp: a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[>] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[>] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[>] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
⊢ Tendsto (fun x ↦ f x / g x) (𝓝[>] a) l

Tactic:
have hs : s ∈ 𝓝[>] a := inter_mem (inter_mem hs₁ hs₂) hs₃

Goal state after:
a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[>] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[>] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[>] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
hs : s ∈ 𝓝[>] a
⊢ Tendsto (fun x ↦ f x / g x) (𝓝[>] a) l
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m
d : ℝ≥0∞ := ENNReal.ofReal |A.det|
ε : ℝ
hε : μ (closedBall 0 ε + ⇑A '' closedBall 0 1) < ↑m * μ (closedBall 0 1)
εpos : 0 < ε
this : Iio (NNReal.mk ε ⋯) ∈ 𝓝 0
δ : ℝ≥0
s : Set E
f : E → E
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hδ : ↑δ < ε
x : E
r : ℝ
xs : x ∈ s
r0 : 0 ≤ r
K : f '' (s ∩ closedBall x r) ⊆ ⇑A '' closedBall 0 r + closedBall (f x) (ε * r)
⊢ ⇑A '' closedBall 0 r + closedBall (f x) (ε * r) = r • ⇑A '' closedBall 0 1 + {f x} + r • closedBall 0 ε

Tactic:
add_assoc,

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : E →L[ℝ] E
m : ℝ≥0
hm : ENNReal.ofReal |A.det| < ↑m
d : ℝ≥0∞ := ENNReal.ofReal |A.det|
ε : ℝ
hε : μ (closedBall 0 ε + ⇑A '' closedBall 0 1) < ↑m * μ (closedBall 0 1)
εpos : 0 < ε
this : Iio (NNReal.mk ε ⋯) ∈ 𝓝 0
δ : ℝ≥0
s : Set E
f : E → E
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hδ : ↑δ < ε
x : E
r : ℝ
xs : x ∈ s
r0 : 0 ≤ r
K : f '' (s ∩ closedBall x r) ⊆ ⇑A '' closedBall 0 r + closedBall (f x) (ε * r)
⊢ ⇑A '' closedBall 0 r + closedBall (f x) (ε * r) = r • ⇑A '' closedBall 0 1 + ({f x} + r • closedBall 0 ε)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) μ
ha : Tendsto a l atBot
hb : Tendsto b l atTop
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a i..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
hφ : AECover μ l fun i ↦ Ioc (a i) (b i)
i : ι
hai : a i ≤ 0
⊢ 0 ≤ b i → ∫ (x : ℝ) in a i..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I → ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ∂μ ≤ I

Tactic:
hbi

Goal state after:
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) μ
ha : Tendsto a l atBot
hb : Tendsto b l atTop
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a i..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
hφ : AECover μ l fun i ↦ Ioc (a i) (b i)
i : ι
hai : a i ≤ 0
hbi : 0 ≤ b i
⊢ ∫ (x : ℝ) in a i..b i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I → ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ∂μ ≤ I