mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Add

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x a : E
⊢ fderiv 𝕜 (fun x ↦ f (x + a)) x = fderiv 𝕜 f (x + a)

Tactic:
simp [← fderivWithin_univ, fderivWithin_comp_add_right]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Alternating.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : TopologicalSpace N
n : ℕ
f : M [⋀^Fin (n + 1)]→L[R] N
x y : M
v : Fin n → M
⊢ f (update (Fin.cons 0 v) 0 x) - f (update (Fin.cons 0 v) 0 y) = f (vecCons x v) - f (vecCons y v)

Tactic:
simp [vecCons]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
L : Filter E
x' : E
⊢ ‖‖x' - x‖⁻¹ • (f x' - f x - f' (x' - x)) - 0‖ = ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖

Tactic:
simp [norm_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : DenseRange ⇑f'
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (f '' s) (f x)

Tactic:
by
  refine ⟨h'.dense_of_mapsTo f'.continuous hs.1 ?_, h.continuousWithinAt.mem_closure_image hs.2⟩
  change
    Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x) ≤
      (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x))).comap f'.toLinearMap
  rw [Submodule.span_le]
  exact h.mapsTo_tangent_cone.mono Subset.rfl Submodule.subset_span

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Alternating.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
n : ℕ
E : Type wE
F : Type wF
G : Type wG
ι : Type v
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : F [⋀^ι]→L[𝕜] G
g dg : E →L[𝕜] F
v : ι → E
a b : ι
heq : v a = v b
hne : a ≠ b
⊢ ∀ (x : ι), ¬x = a → ¬x = b → (f fun j ↦ (Function.update (fun x ↦ g) x dg j) (v j)) = 0

Tactic:
intro i hia hib

Goal state after:
𝕜 : Type u
n : ℕ
E : Type wE
F : Type wF
G : Type wG
ι : Type v
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : F [⋀^ι]→L[𝕜] G
g dg : E →L[𝕜] F
v : ι → E
a b : ι
heq : v a = v b
hne : a ≠ b
i : ι
hia : ¬i = a
hib : ¬i = b
⊢ (f fun j ↦ (Function.update (fun x ↦ g) i dg j) (v j)) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : n ≠ 0
hx : x ∈ s
A : ∀ y ∈ s, f y = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) (p y 0)
⊢ HasFDerivWithinAt (⇑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) ∘ fun x ↦ p x 0)
    ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) s x

Tactic:
LinearIsometryEquiv.comp_hasFDerivWithinAt_iff'

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : n ≠ 0
hx : x ∈ s
A : ∀ y ∈ s, f y = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) (p y 0)
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x ↦ p x 0)
    (↑↑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm ∘SL (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
n : ℕ
IH :
  ∀ {x : E},
    x ∈ s →
      ∀ (m : Fin (n + 1) → E),
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s x) m =
          ((iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y ↦ fderivWithin 𝕜 f s y) s x) (init m)) (m (last n))
x : E
hx : x ∈ s
m : Fin (n + 1 + 1) → E
I : (E [×n]→L[𝕜] E →L[𝕜] F) ≃ₗᵢ[𝕜] E [×n.succ]→L[𝕜] F := (continuousMultilinearCurryRightEquiv' 𝕜 n E F).symm
A : ∀ y ∈ s, iteratedFDerivWithin 𝕜 n.succ f s y = (⇑I ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y ↦ fderivWithin 𝕜 f s y) s) y
⊢ (((fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y ↦ fderivWithin 𝕜 f s y) s) s x) (m 0)) (init (tail m)))
      (tail m (last n)) =
    ((iteratedFDerivWithin 𝕜 n.succ (fun y ↦ fderivWithin 𝕜 f s y) s x) (init m)) (m (last (n + 1)))

Tactic:
by
        rw [iteratedFDerivWithin_succ_apply_left, tail_init_eq_init_tail]
        simp [init, tail]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FTaylorSeries

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
k m : ℕ
h : k ≤ m
h2 : ↑m ≤ n
hf : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
⊢ (tsupport fun x ↦ p x m) ⊆ tsupport fun x ↦ p x k

Tactic:
by
  induction h with
  | refl => rfl
  | @step l h ih =>
    have hl : l < n := lt_of_lt_of_le (mod_cast lt_add_one l) h2
    refine subset_trans ?_ (ih hl.le)
    refine Eq.trans_subset ?_ (tsupport_fderiv_subset 𝕜)
    rw [funext <| hf.fderiv_eq (mod_cast hl)]
    refine tsupport_comp_eq (g := ContinuousMultilinearMap.curryLeft) (fun {x} ↦ ?_) _ |>.symm
    exact (continuousMultilinearCurryLeftEquiv _ _ _).map_eq_zero_iff (x := x)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hu : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
⊢ HasFPowerSeriesWithinOnBall (fun z ↦ p.changeOrigin (z - x) 1) (p.changeOriginSeries 1) s x r

Tactic:
apply HasFPowerSeriesOnBall.hasFPowerSeriesWithinOnBall

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hu : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun z ↦ p.changeOrigin (z - x) 1) (p.changeOriginSeries 1) x r
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
⊢ HasFPowerSeriesWithinOnBall (fderivWithin 𝕜 f s) p.derivSeries s x r

Tactic:
by
  have : insert x s = s := insert_eq_of_mem hx
  rw [← this] at hu
  convert! h.fderivWithin hu
  exact this.symm

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Pow

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E → 𝔸
f' : E →L[𝕜] 𝔸
x : E
n : ℕ
⊢ ∑ x_1 ∈ Finset.range n, (f x ^ x_1 * f x ^ (n.pred - x_1)) • f' = (n • f x ^ (n - 1)) • f'

Tactic:
← pow_add,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E → 𝔸
f' : E →L[𝕜] 𝔸
x : E
n : ℕ
⊢ ∑ x_1 ∈ Finset.range n, f x ^ (x_1 + (n.pred - x_1)) • f' = (n • f x ^ (n - 1)) • f'
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: case zero
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 0 f s) s

Tactic:
rw [iteratedFDerivWithin_zero_eq_comp]
    exact ((continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm : F →L[𝕜] E [×0]→L[𝕜] F)
      |>.comp_analyticOn h

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Add

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
a b : 𝕜
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun x ↦ f (b - x)) a ↔ DifferentiableAt 𝕜 f (b - a)

Tactic:
by
  refine ⟨fun H ↦ ?_, fun H ↦ H.comp a (differentiable_id.const_sub _).differentiableAt⟩
  convert!
    ((sub_sub_cancel _ a).symm ▸ H).comp (b - a) (differentiable_id.const_sub _).differentiableAt
  ext
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Slope

Goal state before:
pp: k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b c : k
h : a ≠ c
⊢ (lineMap (slope f a b) (slope f b c)) ((c - b) / (c - a)) = slope f a c

Tactic:
by
  simp only [lineMap_apply_module, ← sub_div_sub_smul_slope_add_sub_div_sub_smul_slope f a b c,
    add_left_inj]
  match_scalars
  field [sub_ne_zero.2 h.symm]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Slope

Goal state before:
pp: k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b r : k
hab : a ≠ b
⊢ r = (a - (lineMap a b) r) / (a - b)

Tactic:
lineMap_apply_ring,

Goal state after:
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b r : k
hab : a ≠ b
⊢ r = (a - ((1 - r) * a + r * b)) / (a - b)
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.IsolatedZeros

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
n : ℕ
z : 𝕜
a : ℕ → E
hs : HasSum (fun m ↦ z ^ m • a m) s
ha : ∀ k < n, a k = 0
hn : n > 0
h : ¬z = 0
⊢ ∃ t, z ^ n • t = s ∧ HasSum (fun m ↦ z ^ m • a (m + n)) t

Tactic:
refine ⟨(z ^ n)⁻¹ • s, by match_scalars; field, ?_⟩

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
n : ℕ
z : 𝕜
a : ℕ → E
hs : HasSum (fun m ↦ z ^ m • a m) s
ha : ∀ k < n, a k = 0
hn : n > 0
h : ¬z = 0
⊢ HasSum (fun m ↦ z ^ m • a (m + n)) ((z ^ n)⁻¹ • s)
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.IsolatedZeros

Goal state before:
pp: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
f : 𝕜 → E
s : Set E
hfx : AnalyticAt 𝕜 f x
hs : s ∈ 𝓝[≠] f x
this : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 x, f z ∈ insert (f x) s
h : ¬f ⁻¹' s ∈ 𝓝[≠] x
⊢ f =ᶠ[𝓝 x] fun x_1 ↦ f x

Tactic:
rw [EventuallyEq, ← hfx.frequently_eq_iff_eventually_eq analyticAt_const]

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
f : 𝕜 → E
s : Set E
hfx : AnalyticAt 𝕜 f x
hs : s ∈ 𝓝[≠] f x
this : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 x, f z ∈ insert (f x) s
h : ¬f ⁻¹' s ∈ 𝓝[≠] x
⊢ ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = f x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
st : MapsTo f s t
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 ω f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn ω f p u
h'p : ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ p x i) u
v : Set F
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
hq : HasFTaylorSeriesUpToOn ω g q v
h'q : ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ q x i) v
w : Set E := insert x s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ω (g ∘ f) s x

Tactic:
have wu : w ⊆ u := fun y hy => hy.2.1

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
st : MapsTo f s t
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 ω f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn ω f p u
h'p : ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ p x i) u
v : Set F
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
hq : HasFTaylorSeriesUpToOn ω g q v
h'q : ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ q x i) v
w : Set E := insert x s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ω (g ∘ f) s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
n✝ : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
st : MapsTo f s t
n : ℕ∞
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
v : Set F
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
hq : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) g q v
w : Set E := insert x s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u

Tactic:
have wu : w ⊆ u := fun y hy => hy.2.1

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
n✝ : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
st : MapsTo f s t
n : ℕ∞
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
v : Set F
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
hq : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) g q v
w : Set E := insert x s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (g ∘ f) p u
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
n : ℕ∞ω
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
hn : n ≠ ∞
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
⊢ s ⊆ (fun x ↦ x) ⁻¹' insert x₀ s ∩ g ⁻¹' g '' s

Tactic:
preimage_id',

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
n : ℕ∞ω
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
hn : n ≠ ∞
x₀ : E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x₀
hgt : t ∈ 𝓝[g '' s] g x₀
⊢ s ⊆ insert x₀ s ∩ g ⁻¹' g '' s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Deriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
⊢ ContDiff 𝕜 1 f ↔ Differentiable 𝕜 f ∧ Continuous (deriv f)

Tactic:
rw [show (1 : ℕ∞ω) = 0 + 1 from rfl, contDiff_succ_iff_deriv]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
⊢ Differentiable 𝕜 f ∧ (0 = ω → AnalyticOn 𝕜 f univ) ∧ ContDiff 𝕜 0 (deriv f) ↔
    Differentiable 𝕜 f ∧ Continuous (deriv f)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.OfCompLeft

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : E → F
f : F → G
h : E → G
f' : F →L[𝕜] G
h' : E →L[𝕜] G
f'symm : G →L[𝕜] F
lE : Filter (E × E)
lF : Filter (F × F)
hg : Tendsto (Prod.map g g) lE lF
hf : HasFDerivAtFilter f f' lF
hh : HasFDerivAtFilter h h' lE
hcomp : Prod.map (f ∘ g) (f ∘ g) =ᶠ[lE] Prod.map h h
hf'symm : Function.LeftInverse ⇑f'symm ⇑f'
⊢ HasFDerivAtFilter g (f'symm ∘SL h') lE

Tactic:
apply of_comp_aux (f := f) (f' := f') <;> try assumption

Goal state after:
case hf_emb
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : E → F
f : F → G
h : E → G
f' : F →L[𝕜] G
h' : E →L[𝕜] G
f'symm : G →L[𝕜] F
lE : Filter (E × E)
lF : Filter (F × F)
hg : Tendsto (Prod.map g g) lE lF
hf : HasFDerivAtFilter f f' lF
hh : HasFDerivAtFilter h h' lE
hcomp : Prod.map (f ∘ g) (f ∘ g) =ᶠ[lE] Prod.map h h
hf'symm : Function.LeftInverse ⇑f'symm ⇑f'
⊢ Topology.IsEmbedding ⇑f'

case ho
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : E → F
f : F → G
h : E → G
f' : F →L[𝕜] G
h' : E →L[𝕜] G
f'symm : G →L[𝕜] F
lE : Filter (E × E)
lF : Filter (F × F)
hg : Tendsto (Prod.map g g) lE lF
hf : HasFDerivAtFilter f f' lF
hh : HasFDerivAtFilter h h' lE
hcomp : Prod.map (f ∘ g) (f ∘ g) =ᶠ[lE] Prod.map h h
hf'symm : Function.LeftInverse ⇑f'symm ⇑f'
⊢ (fun x ↦
      match x with
      | (x, y) => g x - g y - (f'symm ∘SL h') (x - y)) =O[𝕜;
    lE] fun x ↦
    match x with
    | (x, y) => f' (g x - g y) - h' (x - y)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: case mpr.refine_2.refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
hf : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
f'_eq_deriv : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
hv : v ∈ 𝓝[insert x u] x
p' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (E →L[𝕜] F)
Hp' : HasFTaylorSeriesUpToOn n f' p' v
p'_an : n = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ p' x i) v
y : E
hy : y ∈ v ∩ u
⊢ HasFDerivWithinAt (⇑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm ∘ f) ((p' y).unshift (f y) 1).curryLeft (v ∩ u) y

Tactic:
LinearIsometryEquiv.comp_hasFDerivWithinAt_iff'

Goal state after:
case mpr.refine_2.refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
hf : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
f'_eq_deriv : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
hv : v ∈ 𝓝[insert x u] x
p' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (E →L[𝕜] F)
Hp' : HasFTaylorSeriesUpToOn n f' p' v
p'_an : n = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ p' x i) v
y : E
hy : y ∈ v ∩ u
⊢ HasFDerivWithinAt f (↑↑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm.symm ∘SL ((p' y).unshift (f y) 1).curryLeft)
    (v ∩ u) y
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.OfCompLeft

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : E → F
f : F → G
h : E → G
g' : E →L[𝕜] F
f' : F →L[𝕜] G
lE : Filter (E × E)
lF : Filter (F × F)
hg : Tendsto (Prod.map g g) lE lF
hf : HasFDerivAtFilter f f' lF
hf' : Topology.IsEmbedding ⇑f'
hh : HasFDerivAtFilter h (f' ∘SL g') lE
hcomp : Prod.map (f ∘ g) (f ∘ g) =ᶠ[lE] Prod.map h h
⊢ HasFDerivAtFilter g g' lE

Tactic:
apply of_comp_aux (f := f) (f' := f') <;> try assumption

Goal state after:
case ho
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : E → F
f : F → G
h : E → G
g' : E →L[𝕜] F
f' : F →L[𝕜] G
lE : Filter (E × E)
lF : Filter (F × F)
hg : Tendsto (Prod.map g g) lE lF
hf : HasFDerivAtFilter f f' lF
hf' : Topology.IsEmbedding ⇑f'
hh : HasFDerivAtFilter h (f' ∘SL g') lE
hcomp : Prod.map (f ∘ g) (f ∘ g) =ᶠ[lE] Prod.map h h
⊢ (fun x ↦
      match x with
      | (x, y) => g x - g y - g' (x - y)) =O[𝕜;
    lE] fun x ↦
    match x with
    | (x, y) => f' (g x - g y) - (f' ∘SL g') (x - y)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
o : Set E
o_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] o
xo : x ∈ o
ho : s ∩ o ⊆ u
y : E
hy : y ∈ s
yo : y ∈ o
⊢ p y m = iteratedFDerivWithin 𝕜 m f (s ∩ o) y

Tactic:
exact (Hp.mono ho).eq_iteratedFDerivWithin_of_uniqueDiffOn le_rfl (hs.inter o_open) ⟨hy, yo⟩

Goal state after: