mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
i j : ι
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsTorsionFree R M
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : FaithfulSMul S R
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : IsTorsionFree R N
⊢ P.pairingIn S i j = -1 ∧ P.pairingIn S j i = -4 ↔ P.pairing i j = -1 ∧ P.pairing j i = -4

Tactic:
← P.algebraMap_pairingIn S,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
i j : ι
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsTorsionFree R M
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : FaithfulSMul S R
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : IsTorsionFree R N
⊢ P.pairingIn S i j = -1 ∧ P.pairingIn S j i = -4 ↔ (algebraMap S R) (P.pairingIn S i j) = -1 ∧ P.pairing j i = -4
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
i j : ι
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsTorsionFree R M
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : FaithfulSMul S R
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : IsTorsionFree R N
⊢ P.pairingIn S i j = -1 ∧ P.pairingIn S j i = -4 ↔ (algebraMap S R) (P.pairingIn S i j) = -1 ∧ P.pairing j i = -4

Tactic:
← P.algebraMap_pairingIn S,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
i j : ι
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsTorsionFree R M
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : FaithfulSMul S R
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : IsTorsionFree R N
⊢ P.pairingIn S i j = -1 ∧ P.pairingIn S j i = -4 ↔
    (algebraMap S R) (P.pairingIn S i j) = -1 ∧ (algebraMap S R) (P.pairingIn S j i) = -4
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
e : (chainLength α β).succ ≤ chainTopCoeff (⇑α) β
⊢ genWeightSpace L (-(↑(chainLength α β).succ • ⇑α) + ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) • ⇑α + ⇑β) = ⊥

Tactic:
add_assoc,

Goal state after:
case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
e : (chainLength α β).succ ≤ chainTopCoeff (⇑α) β
⊢ genWeightSpace L (-(↑(chainLength α β).succ • ⇑α) + (↑(chainTopCoeff (⇑α) β) • ⇑α + ⇑β)) = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case neg.a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
e : (chainLength α β - chainTopCoeff (⇑α) β).succ ≤ chainTopCoeff (⇑(-α)) β
⊢ genWeightSpace L (-(↑(chainLength α β) + 1) • ⇑α + ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) • ⇑α + ⇑β) = ⊥

Tactic:
add_assoc,

Goal state after:
case neg.a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
e : (chainLength α β - chainTopCoeff (⇑α) β).succ ≤ chainTopCoeff (⇑(-α)) β
⊢ genWeightSpace L (-(↑(chainLength α β) + 1) • ⇑α + (↑(chainTopCoeff (⇑α) β) • ⇑α + ⇑β)) = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
e : chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β < chainLength α β
⊢ rootSpace H ((-↑(chainBotCoeff (⇑α) β).succ + -↑(chainTopCoeff (⇑α) β) + ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)) • ⇑α + ⇑β) = ⊥

Tactic:
add_assoc,

Goal state after:
case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
e : chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β < chainLength α β
⊢ rootSpace H ((-↑(chainBotCoeff (⇑α) β).succ + (-↑(chainTopCoeff (⇑α) β) + ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))) • ⇑α + ⇑β) = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : chainLength α β < n + chainTopCoeff (⇑α) β
this : rootSpace H ((-↑n + -↑(chainTopCoeff (⇑α) β) + ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)) • ⇑α + ⇑β) = ⊥
⊢ rootSpace H (-↑n • ⇑α + ⇑β) = ⊥

Tactic:
add_assoc,

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : chainLength α β < n + chainTopCoeff (⇑α) β
this : rootSpace H ((-↑n + (-↑(chainTopCoeff (⇑α) β) + ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))) • ⇑α + ⇑β) = ⊥
⊢ rootSpace H (-↑n • ⇑α + ⇑β) = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ rootSpace H (↑(chainTopCoeff (⇑α) β') • ⇑α + n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥

Tactic:
add_assoc,

Goal state after:
case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ rootSpace H (↑(chainTopCoeff (⇑α) β') • ⇑α + (n • ⇑α + ⇑β)) ≠ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
inst✝ : Nontrivial L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ genWeightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
⊢ -⇑α = -⇑α + chainTopCoeff (⇑α) 0 • -⇑α + chainTopCoeff (⇑α) 0 • ⇑α

Tactic:
add_assoc,

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
inst✝ : Nontrivial L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ genWeightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
⊢ -⇑α = -⇑α + (chainTopCoeff (⇑α) 0 • -⇑α + chainTopCoeff (⇑α) 0 • ⇑α)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case h₂
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
inst✝ : Nontrivial L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ genWeightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
k : K
hk : ⁅f, k • f⁆ = ⁅f, ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1)) x⁆
⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0

Tactic:
simp only [lie_smul, lie_self, smul_zero, prim.lie_f_pow_toEnd_f] at hk

Goal state after:
case h₂
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
inst✝ : Nontrivial L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ genWeightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
k : K
hk : 0 = ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1)) x
⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.WeylGroup

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
⊢ P.weylGroupToPerm.range = Subgroup.closure (range P.reflectionPerm)

Tactic:
refine (Subgroup.closure_eq_of_le _ ?_ ?_).symm
  · rintro - ⟨i, rfl⟩
    simp only [MonoidHom.domRestrict_range, Subgroup.coe_map, mem_image, SetLike.mem_coe]
    use Equiv.reflection P i
    refine ⟨reflection_mem_weylGroup P i, by simp⟩
  · rintro fg ⟨⟨w, hw⟩, rfl⟩
    induction hw using Subgroup.closure_induction'' with
    | one =>
      change ((Equiv.indexHom P).domRestrict P.weylGroup) 1 ∈ _
      simp only [map_one, one_mem]
    | mem w' hw' =>
      obtain ⟨i, rfl⟩ := hw'
      simp only [MonoidHom.domRestrict_apply, Equiv.indexHom_apply, Equiv.reflection_indexEquiv]
      simpa only [reflection_mem_weylGroup] using! Subgroup.subset_closure (mem_range_self i)
    | inv_mem w' hw' =>
      obtain ⟨i, rfl⟩ := hw'
      simp only [Equiv.reflection_inv, MonoidHom.domRestrict_apply, Equiv.indexHom_apply,
        Equiv.reflection_indexEquiv]
      simpa only [reflection_mem_weylGroup] using! Subgroup.subset_closure (mem_range_self i)
    | mul w₁ w₂ hw₁ hw₂ h₁ h₂ =>
      simpa only [← Submonoid.mk_mul_mk _ w₁ w₂ hw₁ hw₂, map_mul] using! Subgroup.mul_mem _ h₁ h₂

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.WeylGroup

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : P.InvariantForm
g : P.Aut
hg : g ∈ P.weylGroup
⊢ ∀ (x y : M), (B.form (⟨g, hg⟩ • x)) (⟨g, hg⟩ • y) = (B.form x) y

Tactic:
induction hg using weylGroup.induction with
  | mem i => simp
  | one => simp
  | mul g₁ g₂ hg₁ hg₂ hg₁' hg₂' =>
    intro x y
    rw [← Submonoid.mk_mul_mk _ _ _ hg₁ hg₂, mul_smul, mul_smul, hg₁', hg₂']

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Nontrivial M
h : ∀ (q : Submodule R M), (∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)) → q ≠ ⊥ → q = ⊤
q : ↥P.weylGroupRootRep.invtSubmodule
⊢ q = ⊥ ∨ q = ⊤

Tactic:
rcases eq_or_ne q ⊥ with rfl | hq; · tauto
    suffices (q : Submodule R M) = ⊤ by right; simpa using this
    refine h q (fun i ↦ ?_) (by simpa using hq)
    exact P.weylGroupRootRep.mem_invtSubmodule.mp q.property ⟨_, P.reflection_mem_weylGroup i⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
s : Set ι
hne : s.Nonempty
h : ∀ (j : ι), P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s) → ∀ i ∈ s, P.IsOrthogonal j i
j : ι
hj : P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s)
x : M
hx : x ∈ span R (⇑P.root '' s)
⊢ (P.reflection j) x ∈ span R (⇑P.root '' s)

Tactic:
(isFixedPt_reflection_of_isOrthogonal (h _ hj) hx).eq

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
s : Set ι
hne : s.Nonempty
h : ∀ (j : ι), P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s) → ∀ i ∈ s, P.IsOrthogonal j i
j : ι
hj : P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s)
x : M
hx : x ∈ span R (⇑P.root '' s)
⊢ x ∈ span R (⇑P.root '' s)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrder S
inst✝⁴ : AddCommGroup S
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid S
f : M →+ S
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsCrystallographic
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ (baseOf (⇑P.root) f).Pairwise fun i j ↦ P.pairingIn ℤ i j ≤ 0

Tactic:
intro i hi j hj hne

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrder S
inst✝⁴ : AddCommGroup S
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid S
f : M →+ S
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsCrystallographic
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ baseOf (⇑P.root) f
hne : i ≠ j
⊢ P.pairingIn ℤ i j ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
n : ℕ
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
this : -↑n ∈ S ↔ n ≤ chainBotCoeff i j
⊢ P.root j - n • P.root i ∈ range ⇑P.root ↔ n ≤ chainBotCoeff i j

Tactic:
by
    simpa only [S_def, mem_ofPred_eq, neg_smul, natCast_zsmul, ← sub_eq_add_neg] using this

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ ↑(chainTopCoeff i j) = sSup {k | P.root j + k • P.root i ∈ range ⇑P.root}

Tactic:
rw [setOfPred_root_add_zsmul_mem_eq_Icc h]
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
this✝² : Module.IsReflexive R M
this✝¹ : Module.IsReflexive R N
this✝ : IsAddTorsionFree M
hli : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
this : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∨ P.pairingIn ℤ j i = 1
⊢ P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root

Tactic:
by
      rcases this with h₁ | h₁
      · replace h₁ : P.pairing i j = 1 := by simpa [← P.algebraMap_pairingIn ℤ]
        exact ⟨P.reflectionPerm j i, by simpa [h₁] using P.reflection_apply_root j i⟩
      · replace h₁ : P.pairing j i = 1 := by simpa [← P.algebraMap_pairingIn ℤ]
        rw [← neg_mem_range_root_iff, neg_sub]
        exact ⟨P.reflectionPerm i j, by simpa [h₁] using P.reflection_apply_root i j⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : f.LimZero
⊢ (-f).LimZero

Tactic:
← neg_one_mul f

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : f.LimZero
⊢ (-1 * f).LimZero
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
IH : ∀ (m : ℕ), A⁻¹ ^ m * A ^ n = A ^ n * A⁻¹ ^ m
m : ℕ
h : A⁻¹ * A = 1
h' : A * A⁻¹ = 1
⊢ A ^ n * (A * A⁻¹) * A⁻¹ ^ m = A ^ (n + 1) * A⁻¹ ^ (m + 1)

Tactic:
simp only [pow_succ A, pow_succ' A⁻¹, Matrix.mul_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : NoZeroDivisors R
a✝ : Nontrivial R
⊢ PosDef 1

Tactic:
exact .diagonal fun i ↦ zero_lt_one' R

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ↥b.support
h : i ≠ j
⊢ |b.cartanMatrix i j| = (if i = j then 4 else 0) - b.cartanMatrix i j

Tactic:
· simpa [h] using b.cartanMatrix_le_zero_of_ne i j h

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
ih : ascPochhammer ℕ (n + 1) = ascPochhammer ℕ n * (X + ↑n)
| ascPochhammer ℕ (n + 1) * (X + 1 + ↑n)

Tactic:
add_assoc,

Goal state after:
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
ih : ascPochhammer ℕ (n + 1) = ascPochhammer ℕ n * (X + ↑n)
| ascPochhammer ℕ (n + 1) * (X + (1 + ↑n))
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
n : ℕ
hn : (descPochhammer R n).Monic
h : (X - 1).leadingCoeff = 1
⊢ (descPochhammer R (n + 1)).Monic

Tactic:
have : natDegree (X - (1 : R[X])) ≠ 0 := ne_zero_of_eq_one <| natDegree_X_sub_C (1 : R)

Goal state after:
case succ
R : Type u
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
n : ℕ
hn : (descPochhammer R n).Monic
h : (X - 1).leadingCoeff = 1
this : (X - 1).natDegree ≠ 0
⊢ (descPochhammer R (n + 1)).Monic
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Vandermonde

Goal state before:
pp: K : Type u_2
inst✝ : Field K
n : ℕ
v w : Fin (n + 1) → K
i j : Fin (n + 1)
hw : w i ≠ 0
⊢ v i ^ ↑j * (w i ^ ↑j.rev * w i ^ ↑j) = v i ^ ↑j * w i ^ n

Tactic:
← pow_add,

Goal state after:
K : Type u_2
inst✝ : Field K
n : ℕ
v w : Fin (n + 1) → K
i j : Fin (n + 1)
hw : w i ≠ 0
⊢ v i ^ ↑j * w i ^ (↑j.rev + ↑j) = v i ^ ↑j * w i ^ n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑(#s)
eval_fg : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g
⊢ ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g

Tactic:
exact eval_fg

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑(#s)
eval_fg : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g
⊢ ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g

Tactic:
exact eval_fg

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
⊢ eval (v i) (Lagrange.basis s v i) = 1

Tactic:
by
  rw [Lagrange.basis, eval_prod]
  refine prod_eq_one fun j H => ?_
  rw [eval_basisDivisor_left_of_ne]
  rcases mem_erase.mp H with ⟨hij, hj⟩
  exact mt (hvs hi hj) hij.symm

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Vandermonde

Goal state before:
pp: K : Type u_2
inst✝ : Field K
n✝ n : ℕ
ih : ∀ (v w : Fin n → K), (projVandermonde v w).det = ∏ i, ∏ j > i, (v j * w i - v i * w j)
v w : Fin (n + 1) → K
h0 : w 0 ≠ 0
r : K := v 0 / w 0
hr : r = v 0 / w 0
W : Matrix (Fin (n + 1)) (Fin (n + 1)) K :=
  of fun i ↦
    Fin.cons (projVandermonde v w i 0) fun j ↦ projVandermonde v w i j.succ - r * projVandermonde v w i j.castSucc
hW_eq : W.submatrix succ succ = of fun i j ↦ (v i.succ - r * w i.succ) * projVandermonde (v ∘ succ) (w ∘ succ) i j
j : Fin n
a✝ : j.succ ∈ univ
hj0 : j.succ ≠ 0
⊢ (-1) ^ ↑j.succ * W 0 j.succ * (W.submatrix succ j.succ.succAbove).det = 0

Tactic:
rw [mul_eq_zero, mul_eq_zero]

Goal state after:
K : Type u_2
inst✝ : Field K
n✝ n : ℕ
ih : ∀ (v w : Fin n → K), (projVandermonde v w).det = ∏ i, ∏ j > i, (v j * w i - v i * w j)
v w : Fin (n + 1) → K
h0 : w 0 ≠ 0
r : K := v 0 / w 0
hr : r = v 0 / w 0
W : Matrix (Fin (n + 1)) (Fin (n + 1)) K :=
  of fun i ↦
    Fin.cons (projVandermonde v w i 0) fun j ↦ projVandermonde v w i j.succ - r * projVandermonde v w i j.castSucc
hW_eq : W.submatrix succ succ = of fun i j ↦ (v i.succ - r * w i.succ) * projVandermonde (v ∘ succ) (w ∘ succ) i j
j : Fin n
a✝ : j.succ ∈ univ
hj0 : j.succ ≠ 0
⊢ ((-1) ^ ↑j.succ = 0 ∨ W 0 j.succ = 0) ∨ (W.submatrix succ j.succ.succAbove).det = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs✝ : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ s
hs : 1 ≤ #s
hst' : #s ≤ #t
⊢ #t = 1 + (#t - #s) + (#s - 1)

Tactic:
add_assoc,

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs✝ : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ s
hs : 1 ≤ #s
hst' : #s ≤ #t
⊢ #t = 1 + (#t - #s + (#s - 1))
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x : L
⊢ ∃ n, ((ad R L) x ^ n) x = 0

Tactic:
exact ⟨1, by simp⟩

Goal state after: