mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
I : Ideal R
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n ↦ ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
⊢ IsUnit (1 + -x * y)

Tactic:
have hf : ∀ m n, m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • (⊤ : Submodule R R)] := by
    intro m n h
    simp only [f, smul_eq_mul, Ideal.mul_top, SModEq.sub_mem]
    rw [← add_tsub_cancel_of_le h, Finset.sum_range_add, ← sub_sub, sub_self, zero_sub,
      @neg_mem_iff]
    apply Submodule.sum_mem
    intro n _
    rw [mul_pow, pow_add, mul_assoc]
    exact Ideal.mul_mem_right _ (I ^ m) (Ideal.pow_mem_pow hx m)

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
I : Ideal R
inst✝ : IsAdicComplete I R
x : R
hx : x ∈ I
y : R
f : ℕ → R := fun n ↦ ∑ i ∈ range n, (x * y) ^ i
hf : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → f m ≡ f n [SMOD I ^ m • ⊤]
⊢ IsUnit (1 + -x * y)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ x y : R
h : v x ≠ v y
h' : v (x + y) < v x
vyx : v y < v x
⊢ False

Tactic:
apply lt_irrefl (v x)

Goal state after:
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ x y : R
h : v x ≠ v y
h' : v (x + y) < v x
vyx : v y < v x
⊢ v x < v x
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
⊢ ∀ (n : ℕ) (a : R),
    C a * X ^ n ∈ Subring.closure (insert X {f | f.degree ≤ 0}) →
      C a * X ^ (n + 1) ∈ Subring.closure (insert X {f | f.degree ≤ 0})

Tactic:
intro n r hr
    rw [pow_succ, ← mul_assoc]
    apply Subring.mul_mem _ hr
    apply Subring.subset_closure
    apply Set.mem_insert

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
⊢ p ∈ Subring.closure (insert X {f | f.degree ≤ 0})

Tactic:
by
  refine Polynomial.induction_on p ?_ ?_ ?_
  · intro r
    apply Subring.subset_closure
    apply Set.mem_insert_of_mem
    exact degree_C_le
  · intro p1 p2 h1 h2
    exact Subring.add_mem _ h1 h2
  · intro n r hr
    rw [pow_succ, ← mul_assoc]
    apply Subring.mul_mem _ hr
    apply Subring.subset_closure
    apply Set.mem_insert

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀✝ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀✝
v✝ : Valuation R Γ₀✝
Γ₀ : Type u_7
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
hv : v.IsNontrivial
x : R
h0 : v x ≠ 0
h1 : v x ≠ 1
⊢ Nontrivial ↥(MonoidWithZeroHom.ofClass v).valueGroup

Tactic:
Subgroup.nontrivial_iff_exists_ne_one

Goal state after:
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀✝ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀✝
v✝ : Valuation R Γ₀✝
Γ₀ : Type u_7
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
hv : v.IsNontrivial
x : R
h0 : v x ≠ 0
h1 : v x ≠ 1
⊢ ∃ x ∈ (MonoidWithZeroHom.ofClass v).valueGroup, x ≠ 1
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v₁ : Valuation R Γ₀
v₂ : Valuation R Γ'₀
h : v₁.IsEquiv v₂
x : R
⊢ v₁ x ≤ 1 ↔ v₂ x ≤ 1

Tactic:
by
  rw [← v₁.map_one, h, map_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v₁ : Valuation R Γ₀
v₂ : Valuation R Γ'₀
h : v₁.IsEquiv v₂
x : R
⊢ 1 ≤ v₁ x ↔ 1 ≤ v₂ x

Tactic:
by
  rw [← v₁.map_one, h, map_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.TFAE

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
hb₃ : ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = b * m
hb₄ : b ≠ 0
K : Type u_1 := FractionRing R
x : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
M : Submodule R K := Submodule.map (Algebra.linearMap R K) (maximalIdeal R)
ha₃ : (algebraMap R K) a ≠ 0
h : Submodule.comap (Algebra.linearMap R K) (Submodule.map (DistribSMul.toLinearMap R K x) M) ≠ ⊤
m : R
hm : m ∈ ↑(maximalIdeal R)
k : R
hk : k * a = b * m
⊢ (algebraMap R K) (b * m) / (algebraMap R K) a = (algebraMap R K) k

Tactic:
← hk,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
hb₃ : ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = b * m
hb₄ : b ≠ 0
K : Type u_1 := FractionRing R
x : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
M : Submodule R K := Submodule.map (Algebra.linearMap R K) (maximalIdeal R)
ha₃ : (algebraMap R K) a ≠ 0
h : Submodule.comap (Algebra.linearMap R K) (Submodule.map (DistribSMul.toLinearMap R K x) M) ≠ ⊤
m : R
hm : m ∈ ↑(maximalIdeal R)
k : R
hk : k * a = b * m
⊢ (algebraMap R K) (k * a) / (algebraMap R K) a = (algebraMap R K) k
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝¹ : IsJacobsonRing R
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
a : R ⧸ P' := (map (Ideal.Quotient.mk P') m).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
hp0 : a ≠ 0
hM : 0 ∉ M
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M
hM' : 0 ∉ M'
this : ⊥.IsMaximal
⊢ ⊥.IsMaximal

Tactic:
le_antisymm bot_le (comap_bot_le_of_injective _
      (IsLocalization.map_injective_of_injective M (Localization M) (Localization M')
        quotientMap_injective))

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝¹ : IsJacobsonRing R
inst✝ : Nontrivial R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
hP'_prime : P'.IsPrime
m : R[X]
hmem_P : m ∈ P
hm : ⟨m, hmem_P⟩ ≠ 0
hm' : m ≠ 0
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
a : R ⧸ P' := (map (Ideal.Quotient.mk P') m).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
hp0 : a ≠ 0
hM : 0 ∉ M
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M
hM' : 0 ∉ M'
this : ⊥.IsMaximal
⊢ (comap (IsLocalization.map (Localization M') (quotientMap P C ⋯) ⋯) ⊥).IsMaximal
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobsonRing R
S : Type u_2
inst✝ : Field S
f : R[X] →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (f.comp C).IsIntegral

Tactic:
by
  have : (RingHom.ker f).IsMaximal := RingHom.ker_isMaximal_of_surjective f hf
  let g : R[X] ⧸ (RingHom.ker f) →+* S := Ideal.Quotient.lift (RingHom.ker f) f fun _ h => h
  have hfg : g.comp (Ideal.Quotient.mk (RingHom.ker f)) = f := ringHom_ext' rfl rfl
  rw [← hfg, RingHom.comp_assoc]
  refine (quotient_mk_comp_C_isIntegral_of_isJacobsonRing (RingHom.ker f)).trans _ g
    (g.isIntegral_of_surjective ?_)
  rw [← hfg, RingHom.coe_comp] at hf
  exact Function.Surjective.of_comp hf

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
s t : R
h₂ : s ≠ 0
h₃ : t ≠ 0
h₄ : s * 2 = -(t * P.pairing j i)
h₁ : 2 • s • P.root i = 2 • -t • P.root j
⊢ P.pairing j i • P.root i = 2 • P.root j

Tactic:
rw [smul_smul, mul_comm, h₄, smul_comm, ← neg_mul, ← smul_smul] at h₁

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
s t : R
h₂ : s ≠ 0
h₃ : t ≠ 0
h₄ : s * 2 = -(t * P.pairing j i)
h₁ : -t • P.pairing j i • P.root i = -t • 2 • P.root j
⊢ P.pairing j i • P.root i = 2 • P.root j
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Union

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module K M
p : ι → Submodule K M
h₁ : ∀ (i : ι), p i ≠ ⊤
j : ι
s : Finset ι
hj : j ∉ s
hs : s.Nonempty
h₂ : ↑s.card + 1 < ENat.card K
hj' : ↑(p j) ∪ ⋃ i ∈ s, ↑(p i) = univ
x : M
hx : x ∈ p j
hx₀ : x ≠ 0
y : M
hy : y ∉ p j
hy₀ : y ≠ 0
sxy : Set M := {x_1 | ∃ t, ∃ (_ : t ≠ 0), x + t • y = x_1}
hsxy : sxy ⊆ ⋃ i ∈ s, ↑(p i)
f : ↑sxy → ι
hf : ∀ (z : ↑sxy), ↑z ∈ ⋃ (_ : f z ∈ s), ↑(p (f z))
hf' : MapsTo f univ ↑s
t₁ t₂ : K
ht : (fun t ↦ x + t • y) t₁ = (fun t ↦ x + t • y) t₂
⊢ (fun x ↦ x • y) t₁ = (fun x ↦ x • y) t₂

Tactic:
by simpa using! ht

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ ⅟2 • (Q₁.prod Q₂).polarBilin =
    LinearMap.compl₁₂ (⅟2 • Q₁.polarBilin) (LinearMap.fst R M₁ M₂) (LinearMap.fst R M₁ M₂) +
      LinearMap.compl₁₂ (⅟2 • Q₂.polarBilin) (LinearMap.snd R M₁ M₂) (LinearMap.snd R M₁ M₂)

Tactic:
rw [polarBilin_prod, smul_add]

Goal state after:
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ ⅟2 • LinearMap.compl₁₂ Q₁.polarBilin (LinearMap.fst R M₁ M₂) (LinearMap.fst R M₁ M₂) +
      ⅟2 • LinearMap.compl₁₂ Q₂.polarBilin (LinearMap.snd R M₁ M₂) (LinearMap.snd R M₁ M₂) =
    LinearMap.compl₁₂ (⅟2 • Q₁.polarBilin) (LinearMap.fst R M₁ M₂) (LinearMap.fst R M₁ M₂) +
      LinearMap.compl₁₂ (⅟2 • Q₂.polarBilin) (LinearMap.snd R M₁ M₂) (LinearMap.snd R M₁ M₂)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
i : ι
m : Mᵢ i
j : ι
hj : j ≠ i
⊢ (Q j) (Pi.single i m j) = 0

Tactic:
rw [Pi.single_eq_of_ne hj, map_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: case of
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring k
inst✝ : Group G
y : k[G]
g : G
⊢ ((ofMulAction k G G).asAlgebraHom ((of k G) g)) y = (of k G) g * y

Tactic:
ext; simp [MonoidAlgebra.coeff_single_mul_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Nontrivial M
⊢ IsSimpleModule R[↥P.weylGroup] P.weylGroupRootRep.asModule ↔
    ∀ (q : Submodule R M), (∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)) → q ≠ ⊥ → q = ⊤

Tactic:
rw [isSimpleModule_iff, ← P.weylGroupRootRep.mapSubmodule.isSimpleOrder_iff]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Nontrivial M
⊢ IsSimpleOrder ↥P.weylGroupRootRep.invtSubmodule ↔
    ∀ (q : Submodule R M), (∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)) → q ≠ ⊥ → q = ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Nontrivial M
h : ∀ (q : Submodule R M), (∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)) → q ≠ ⊥ → q = ⊤
q : ↥P.weylGroupRootRep.invtSubmodule
hq : q ≠ ⊥
⊢ ↑q ≠ ⊥

Tactic:
simpa using hq

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.Interval.Set.OrdConnectedLinear

Goal state before:
pp: α : Type u_1
I : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h' : I.OrdConnected
x : α
hx : x ∈ I
y : α
hy : y ∈ I
hxy : Ioo x y ⊆ Iᶜ
this : ∀ (z : α), x < z → y ≤ z
⊢ Ioo x y = ∅

Tactic:
ext z; simpa using this z

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.Interval.Set.OrdConnectedLinear

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
I : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h' : ∀ x ∈ I, ∀ y ∈ I, Ioo x y ⊆ Iᶜ → Ioo x y = ∅
x : α
hx : x ∈ I
y : α
hy : y ∈ I
hxy : x < y
z : α
hz : z ∈ Ioo x y
hz' : z ∉ I
x' : α
hx' : x ≤ x'
hx'' : Maximal (fun x_1 ↦ x_1 ∈ I ∩ Icc x z) x'
hxz : x' < z
y' : α
hy' : y' ≤ y
hy'' : Minimal (fun x ↦ x ∈ I ∩ Icc z y) y'
hzy : z < y'
h₃ : Ioc x' z ⊆ Iᶜ
⊢ False

Tactic:
have h₄ : Ico z y' ⊆ Iᶜ := fun t ht ht' ↦ hy''.not_lt (⟨ht', ht.1, le_trans ht.2.le hy'⟩) ht.2

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
I : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h' : ∀ x ∈ I, ∀ y ∈ I, Ioo x y ⊆ Iᶜ → Ioo x y = ∅
x : α
hx : x ∈ I
y : α
hy : y ∈ I
hxy : x < y
z : α
hz : z ∈ Ioo x y
hz' : z ∉ I
x' : α
hx' : x ≤ x'
hx'' : Maximal (fun x_1 ↦ x_1 ∈ I ∩ Icc x z) x'
hxz : x' < z
y' : α
hy' : y' ≤ y
hy'' : Minimal (fun x ↦ x ∈ I ∩ Icc z y) y'
hzy : z < y'
h₃ : Ioc x' z ⊆ Iᶜ
h₄ : Ico z y' ⊆ Iᶜ
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
w : P.Autᵐᵒᵖ
t : R
x : N
⊢ w • t • x = t • w • x

Tactic:
change unop (coweightHom P (unop w)) (t • x) = t • unop (coweightHom P (unop w)) x

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
w : P.Autᵐᵒᵖ
t : R
x : N
⊢ (unop ((coweightHom P) (unop w))) (t • x) = t • (unop ((coweightHom P) (unop w))) x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : P.coxeterWeightIn ℤ i j = 0
⊢ P.pairingIn ℤ i j = 0

Tactic:
rwa [← (algebraMap_injective ℤ R).eq_iff, map_zero, algebraMap_coxeterWeightIn,
    RootPairing.coxeterWeight_zero_iff_isOrthogonal, IsOrthogonal,
    P.pairing_eq_zero_iff' (i := j) (j := i), and_self, ← P.algebraMap_pairingIn ℤ,
    FaithfulSMul.algebraMap_eq_zero_iff] at h

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
⊢ P.coxeterWeightIn ℤ i j = 0 ↔ P.pairingIn ℤ i j = 0

Tactic:
by
  refine ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ by rw [coxeterWeightIn, h, zero_mul]⟩
  rwa [← (algebraMap_injective ℤ R).eq_iff, map_zero, algebraMap_coxeterWeightIn,
    RootPairing.coxeterWeight_zero_iff_isOrthogonal, IsOrthogonal,
    P.pairing_eq_zero_iff' (i := j) (j := i), and_self, ← P.algebraMap_pairingIn ℤ,
    FaithfulSMul.algebraMap_eq_zero_iff] at h

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i : ι
this :
  ∀ m ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support),
    ∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ m = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
⊢ ∃ f,
    Function.support f ⊆ ↑b.support ∧
      (P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j ∨ -P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j)

Tactic:
rcases b.root_mem_or_neg_mem i with hi | hi
    · obtain ⟨f, hf, hf'⟩ := this _ hi
      exact ⟨f, hf, Or.inl hf'⟩
    · obtain ⟨f, hf, hf'⟩ := this _ hi
      exact ⟨f, hf, Or.inr hf'⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
i✝ j✝ : ι
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
hij : P.root i✝ + P.root j✝ ∈ range ⇑P.root
q : Submodule K M
hq✝ : q ∈ P.invtRootSubmodule
hq : ∀ (i : ι), q ∈ Module.End.invtSubmodule ↑(P.reflection i)
i j k : ι
hk : P.root k = P.root i + P.root j
hi : P.root i ∈ q
hij₀ : P.pairing i j ≠ 0
⊢ P.root i - P.pairing i j • P.root j ∈ q

Tactic:
simpa [reflection_apply_root] using hq j hi

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
hi : 0 < b.height i
hj : j ∈ b.support
hk : P.root k = P.root i - P.root j
⊢ 0 ≤ b.height i - b.height j

Tactic:
height_one_of_mem_support hj

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
hi : 0 < b.height i
hj : j ∈ b.support
hk : P.root k = P.root i - P.root j
⊢ 0 ≤ b.height i - 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
i j k : ι
z : ℤ
hij : i ≠ j
hj : j ∈ b.support
hk : P.root k = P.root i + z • P.root j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hi : 0 < -b.height j
contra : i = -j
⊢ False

Tactic:
height_one_of_mem_support hj

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
i j k : ι
z : ℤ
hij : i ≠ j
hj : j ∈ b.support
hk : P.root k = P.root i + z • P.root j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hi : 0 < -1
contra : i = -j
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsCrystallographic
p : ι → Prop
h₁ : ∀ i ∈ b.support, p i
h₂ : ∀ (i j k : ι), P.root k = P.root i + P.root j → p i → j ∈ b.support → p k
n : ℕ
ih : ∀ {i : ι}, b.IsPos i → b.height i = ↑n → p i
i : ι
h₀ : b.IsPos i
hN : b.height i = ↑n + 1
j : ι
hj : j ∈ b.support
hj' : 0 < P.pairingIn ℤ i j
hij : i ≠ j
k : ι
hk : P.root k = P.root i - P.root j
⊢ b.height i - b.height j = ↑n

Tactic:
height_one_of_mem_support hj

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsCrystallographic
p : ι → Prop
h₁ : ∀ i ∈ b.support, p i
h₂ : ∀ (i j k : ι), P.root k = P.root i + P.root j → p i → j ∈ b.support → p k
n : ℕ
ih : ∀ {i : ι}, b.IsPos i → b.height i = ↑n → p i
i : ι
h₀ : b.IsPos i
hN : b.height i = ↑n + 1
j : ι
hj : j ∈ b.support
hj' : 0 < P.pairingIn ℤ i j
hij : i ≠ j
k : ι
hk : P.root k = P.root i - P.root j
⊢ b.height i - 1 = ↑n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsCrystallographic
i : ι
hi : b.IsPos i
j k l : ι
h₁ : P.root l = P.root j + P.root k
n : ℕ
f : Fin n → ι
h₂ : range f ⊆ ↑b.support
h₃ : P.root j = ∑ m, P.root (f m)
h₄ : ∀ (m : Fin n), ∑ m' ≤ m, P.root (f m') ∈ range ⇑P.root
h₅ : k ∈ b.support
⊢ range (Fin.snoc f k) ⊆ ↑b.support

Tactic:
simpa using insert_subset h₅ h₂

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
p : ι → Prop
h₁ : ∀ i ∈ b.support, p i
h₂ : ∀ (i j : ι), p i → j ∈ b.support → p ((P.reflectionPerm j) i)
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ {i : ι}, b.IsPos i → (b.height i).natAbs = m → p i
i : ι
h₀ : b.IsPos i
hN : (b.height i).natAbs = n
j : ι
hj : j ∈ b.support
hj' : 0 < P.pairingIn ℤ i j
hij : i ≠ j
hk : b.IsPos ((P.reflectionPerm j) i)
this : P.root ((P.reflectionPerm j) i) = P.root i + -P.pairingIn ℤ i j • P.root j
⊢ b.height ((P.reflectionPerm j) i) < b.height i

Tactic:
rw [b.height_add_zsmul this]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
p : ι → Prop
h₁ : ∀ i ∈ b.support, p i
h₂ : ∀ (i j : ι), p i → j ∈ b.support → p ((P.reflectionPerm j) i)
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ {i : ι}, b.IsPos i → (b.height i).natAbs = m → p i
i : ι
h₀ : b.IsPos i
hN : (b.height i).natAbs = n
j : ι
hj : j ∈ b.support
hj' : 0 < P.pairingIn ℤ i j
hij : i ≠ j
hk : b.IsPos ((P.reflectionPerm j) i)
this : P.root ((P.reflectionPerm j) i) = P.root i + -P.pairingIn ℤ i j • P.root j
⊢ b.height i + -P.pairingIn ℤ i j • b.height j < b.height i