mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.IsomOfJ

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 2
inst✝¹ : E.IsCharTwoJEqZeroNF
inst✝ : E'.IsCharTwoJEqZeroNF
ha₃ : E.a₃ ≠ 0
ha₃' : E'.a₃ ≠ 0
this : NeZero 3
u : F
hu : u ^ 3 = E.a₃ / E'.a₃
⊢ ∃ C, C • E = E'

Tactic:
obtain ⟨s, hs⟩ := IsSepClosed.exists_root_C_mul_X_pow_add_C_mul_X_add_C' 2 4
    1 _ (E.a₄ - u ^ 4 * E'.a₄) (by simp) (by simp) ha₃

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 2
inst✝¹ : E.IsCharTwoJEqZeroNF
inst✝ : E'.IsCharTwoJEqZeroNF
ha₃ : E.a₃ ≠ 0
ha₃' : E'.a₃ ≠ 0
this : NeZero 3
u : F
hu : u ^ 3 = E.a₃ / E'.a₃
s : F
hs : 1 * s ^ 4 + E.a₃ * s + (E.a₄ - u ^ 4 * E'.a₄) = 0
⊢ ∃ C, C • E = E'
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.NormalForms

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : W.IsCharTwoJEqZeroNF
⊢ W.b₂ ^ 2 - 24 * W.b₄ = -48 * W.a₄

Tactic:
b₂_of_isCharTwoJEqZeroNF,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : W.IsCharTwoJEqZeroNF
⊢ 0 ^ 2 - 24 * W.b₄ = -48 * W.a₄
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.NormalForms

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : W.IsCharTwoJEqZeroNF
⊢ -W.b₂ ^ 3 + 36 * W.b₂ * W.b₄ - 216 * W.b₆ = -216 * W.b₆

Tactic:
b₂_of_isCharTwoJEqZeroNF,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : W.IsCharTwoJEqZeroNF
⊢ -0 ^ 3 + 36 * 0 * W.b₄ - 216 * W.b₆ = -216 * W.b₆
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.NormalForms

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : W.IsCharTwoJEqZeroNF
⊢ -W.b₂ ^ 2 * W.b₈ - 8 * W.b₄ ^ 3 - 27 * W.b₆ ^ 2 + 9 * W.b₂ * W.b₄ * W.b₆ = -(64 * W.a₄ ^ 3 + 27 * W.b₆ ^ 2)

Tactic:
b₂_of_isCharTwoJEqZeroNF,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : W.IsCharTwoJEqZeroNF
⊢ -0 ^ 2 * W.b₈ - 8 * W.b₄ ^ 3 - 27 * W.b₆ ^ 2 + 9 * 0 * W.b₄ * W.b₆ = -(64 * W.a₄ ^ 3 + 27 * W.b₆ ^ 2)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.IsomOfJ

Goal state before:
pp: case of_j_ne_zero
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝³ : E.IsElliptic
inst✝² : E'.IsElliptic
inst✝¹ : CharP F 2
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝ : (C • E).IsCharTwoJNeZeroNF
⊢ ∃ C, C • E = E'

Tactic:
obtain ⟨C', _ | _⟩ := E'.exists_variableChange_isCharTwoNF

Goal state after:
case of_j_ne_zero.of_j_ne_zero
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 2
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharTwoJNeZeroNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsCharTwoJNeZeroNF
⊢ ∃ C, C • E = E'

case of_j_ne_zero.of_j_eq_zero
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 2
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharTwoJNeZeroNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsCharTwoJEqZeroNF
⊢ ∃ C, C • E = E'
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.IsomOfJ

Goal state before:
pp: case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 2
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharTwoJNeZeroNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsCharTwoJNeZeroNF
heq : (C • E).a₆ = (C' • E').a₆
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ (C'⁻¹ * C'' * C) • E = E'

Tactic:
mul_smul,

Goal state after:
case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 2
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharTwoJNeZeroNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsCharTwoJNeZeroNF
heq : (C • E).a₆ = (C' • E').a₆
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ (C'⁻¹ * C'') • C • E = E'
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.IsomOfJ

Goal state before:
pp: case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 2
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharTwoJNeZeroNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsCharTwoJNeZeroNF
heq : (C • E).a₆ = (C' • E').a₆
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ (C'⁻¹ * C'') • C • E = E'

Tactic:
mul_smul,

Goal state after:
case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 2
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharTwoJNeZeroNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsCharTwoJNeZeroNF
heq : (C • E).a₆ = (C' • E').a₆
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ C'⁻¹ • C'' • C • E = E'
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.IsomOfJ

Goal state before:
pp: case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 2
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharTwoJNeZeroNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsCharTwoJNeZeroNF
heq : (C • E).a₆ = (C' • E').a₆
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ (C'⁻¹ * C') • E' = E'

Tactic:
inv_mul_cancel,

Goal state after:
case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 2
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharTwoJNeZeroNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsCharTwoJNeZeroNF
heq : (C • E).a₆ = (C' • E').a₆
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ 1 • E' = E'
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.IsomOfJ

Goal state before:
pp: case of_j_eq_zero
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝³ : E.IsElliptic
inst✝² : E'.IsElliptic
inst✝¹ : CharP F 2
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝ : (C • E).IsCharTwoJEqZeroNF
⊢ ∃ C, C • E = E'

Tactic:
obtain ⟨C', _ | _⟩ := E'.exists_variableChange_isCharTwoNF

Goal state after:
case of_j_eq_zero.of_j_ne_zero
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 2
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharTwoJEqZeroNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsCharTwoJNeZeroNF
⊢ ∃ C, C • E = E'

case of_j_eq_zero.of_j_eq_zero
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 2
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharTwoJEqZeroNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsCharTwoJEqZeroNF
⊢ ∃ C, C • E = E'
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.IsomOfJ

Goal state before:
pp: case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 2
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharTwoJEqZeroNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsCharTwoJEqZeroNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ (C'⁻¹ * C'' * C) • E = E'

Tactic:
mul_smul,

Goal state after:
case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 2
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharTwoJEqZeroNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsCharTwoJEqZeroNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ (C'⁻¹ * C'') • C • E = E'
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.IsomOfJ

Goal state before:
pp: case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 2
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharTwoJEqZeroNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsCharTwoJEqZeroNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ (C'⁻¹ * C'') • C • E = E'

Tactic:
mul_smul,

Goal state after:
case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 2
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharTwoJEqZeroNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsCharTwoJEqZeroNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ C'⁻¹ • C'' • C • E = E'
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.IsomOfJ

Goal state before:
pp: case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 2
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharTwoJEqZeroNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsCharTwoJEqZeroNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ (C'⁻¹ * C') • E' = E'

Tactic:
inv_mul_cancel,

Goal state after:
case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 2
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharTwoJEqZeroNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsCharTwoJEqZeroNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ 1 • E' = E'
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.IsomOfJ

Goal state before:
pp: case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 3
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharThreeJNeZeroNF
C' : VariableChange F
heq : (C • E).j = (C' • E').j
inst✝ : (C' • E').IsCharThreeJNeZeroNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ (C'⁻¹ * C'' * C) • E = E'

Tactic:
mul_smul,

Goal state after:
case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 3
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharThreeJNeZeroNF
C' : VariableChange F
heq : (C • E).j = (C' • E').j
inst✝ : (C' • E').IsCharThreeJNeZeroNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ (C'⁻¹ * C'') • C • E = E'
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.IsomOfJ

Goal state before:
pp: case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 3
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharThreeJNeZeroNF
C' : VariableChange F
heq : (C • E).j = (C' • E').j
inst✝ : (C' • E').IsCharThreeJNeZeroNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ (C'⁻¹ * C'') • C • E = E'

Tactic:
mul_smul,

Goal state after:
case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 3
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharThreeJNeZeroNF
C' : VariableChange F
heq : (C • E).j = (C' • E').j
inst✝ : (C' • E').IsCharThreeJNeZeroNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ C'⁻¹ • C'' • C • E = E'
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.IsomOfJ

Goal state before:
pp: case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 3
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharThreeJNeZeroNF
C' : VariableChange F
heq : (C • E).j = (C' • E').j
inst✝ : (C' • E').IsCharThreeJNeZeroNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ (C'⁻¹ * C') • E' = E'

Tactic:
inv_mul_cancel,

Goal state after:
case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 3
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsCharThreeJNeZeroNF
C' : VariableChange F
heq : (C • E).j = (C' • E').j
inst✝ : (C' • E').IsCharThreeJNeZeroNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ 1 • E' = E'
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.IsomOfJ

Goal state before:
pp: case of_j_eq_zero.of_j_eq_zero
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 3
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsShortNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsShortNF
⊢ ∃ C, C • E = E'

Tactic:
obtain ⟨C'', hC⟩ := exists_variableChange_of_char_three_of_j_eq_zero (C • E) (C' • E')

Goal state after:
case of_j_eq_zero.of_j_eq_zero
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 3
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsShortNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsShortNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ ∃ C, C • E = E'
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.IsomOfJ

Goal state before:
pp: case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 3
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsShortNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsShortNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ (C'⁻¹ * C'' * C) • E = E'

Tactic:
mul_smul,

Goal state after:
case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 3
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsShortNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsShortNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ (C'⁻¹ * C'') • C • E = E'
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.IsomOfJ

Goal state before:
pp: case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 3
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsShortNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsShortNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ (C'⁻¹ * C'') • C • E = E'

Tactic:
mul_smul,

Goal state after:
case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 3
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsShortNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsShortNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ C'⁻¹ • C'' • C • E = E'
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.IsomOfJ

Goal state before:
pp: case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 3
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsShortNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsShortNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ (C'⁻¹ * C') • E' = E'

Tactic:
inv_mul_cancel,

Goal state after:
case h
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : IsSepClosed F
E E' : WeierstrassCurve F
inst✝⁴ : E.IsElliptic
inst✝³ : E'.IsElliptic
inst✝² : CharP F 3
heq : E.j = E'.j
C : VariableChange F
inst✝¹ : (C • E).IsShortNF
C' : VariableChange F
inst✝ : (C' • E').IsShortNF
C'' : VariableChange F
hC : C'' • C • E = C' • E'
⊢ 1 • E' = E'
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.IsomOfJ

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : IsSepClosed F
E✝ E' : WeierstrassCurve F
inst✝³ : E✝.IsElliptic
inst✝² : E'.IsElliptic
p : ℕ
inst✝¹ : CharP F p
hchar2 : 2 ≠ 0
hchar3 : 3 ≠ 0
this✝⁴ : NeZero 2
this✝³ : NeZero 4
this✝² : NeZero 6
this✝¹ : Invertible 2 := invertibleOfNonzero hchar2
this✝ : Invertible 3 := invertibleOfNonzero hchar3
E : WeierstrassCurve F
inst✝ : E.IsElliptic
h✝¹ : E.IsShortNF
this : ∀ (E' : WeierstrassCurve F) [inst : E'.IsElliptic], E.j = E'.j → E'.IsShortNF → ∃ C, C • E = E'
h✝ : ¬E'.IsShortNF
C : VariableChange F
heq : E.j = (C • E').j
hE' : (C • E').IsShortNF
C' : VariableChange F
hC : C' • E = C • E'
⊢ (C⁻¹ * C') • E = E'

Tactic:
mul_smul,

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : IsSepClosed F
E✝ E' : WeierstrassCurve F
inst✝³ : E✝.IsElliptic
inst✝² : E'.IsElliptic
p : ℕ
inst✝¹ : CharP F p
hchar2 : 2 ≠ 0
hchar3 : 3 ≠ 0
this✝⁴ : NeZero 2
this✝³ : NeZero 4
this✝² : NeZero 6
this✝¹ : Invertible 2 := invertibleOfNonzero hchar2
this✝ : Invertible 3 := invertibleOfNonzero hchar3
E : WeierstrassCurve F
inst✝ : E.IsElliptic
h✝¹ : E.IsShortNF
this : ∀ (E' : WeierstrassCurve F) [inst : E'.IsElliptic], E.j = E'.j → E'.IsShortNF → ∃ C, C • E = E'
h✝ : ¬E'.IsShortNF
C : VariableChange F
heq : E.j = (C • E').j
hE' : (C • E').IsShortNF
C' : VariableChange F
hC : C' • E = C • E'
⊢ C⁻¹ • C' • E = E'
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.IsomOfJ

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : IsSepClosed F
E✝ E' : WeierstrassCurve F
inst✝³ : E✝.IsElliptic
inst✝² : E'.IsElliptic
p : ℕ
inst✝¹ : CharP F p
hchar2 : 2 ≠ 0
hchar3 : 3 ≠ 0
this✝⁴ : NeZero 2
this✝³ : NeZero 4
this✝² : NeZero 6
this✝¹ : Invertible 2 := invertibleOfNonzero hchar2
this✝ : Invertible 3 := invertibleOfNonzero hchar3
E : WeierstrassCurve F
inst✝ : E.IsElliptic
h✝¹ : E.IsShortNF
this : ∀ (E' : WeierstrassCurve F) [inst : E'.IsElliptic], E.j = E'.j → E'.IsShortNF → ∃ C, C • E = E'
h✝ : ¬E'.IsShortNF
C : VariableChange F
heq : E.j = (C • E').j
hE' : (C • E').IsShortNF
C' : VariableChange F
hC : C' • E = C • E'
⊢ (C⁻¹ * C) • E' = E'

Tactic:
inv_mul_cancel,

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : IsSepClosed F
E✝ E' : WeierstrassCurve F
inst✝³ : E✝.IsElliptic
inst✝² : E'.IsElliptic
p : ℕ
inst✝¹ : CharP F p
hchar2 : 2 ≠ 0
hchar3 : 3 ≠ 0
this✝⁴ : NeZero 2
this✝³ : NeZero 4
this✝² : NeZero 6
this✝¹ : Invertible 2 := invertibleOfNonzero hchar2
this✝ : Invertible 3 := invertibleOfNonzero hchar3
E : WeierstrassCurve F
inst✝ : E.IsElliptic
h✝¹ : E.IsShortNF
this : ∀ (E' : WeierstrassCurve F) [inst : E'.IsElliptic], E.j = E'.j → E'.IsShortNF → ∃ C, C • E = E'
h✝ : ¬E'.IsShortNF
C : VariableChange F
heq : E.j = (C • E').j
hE' : (C • E').IsShortNF
C' : VariableChange F
hC : C' • E = C • E'
⊢ 1 • E' = E'
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.DivisionPolynomial.Degree

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
ih : ∀ (n : ℕ), (W.preΨ ↑n).natDegree ≤ ((↑n).natAbs ^ 2 - if Even ↑n then 4 else 1) / 2
n✝ : ℕ
⊢ (-W.preΨ ↑n✝).natDegree ≤ ((-↑n✝).natAbs ^ 2 - if Even (-↑n✝) then 4 else 1) / 2

Tactic:
natDegree_neg,

Goal state after:
case neg
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
ih : ∀ (n : ℕ), (W.preΨ ↑n).natDegree ≤ ((↑n).natAbs ^ 2 - if Even ↑n then 4 else 1) / 2
n✝ : ℕ
⊢ (W.preΨ ↑n✝).natDegree ≤ ((-↑n✝).natAbs ^ 2 - if Even (-↑n✝) then 4 else 1) / 2
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.DivisionPolynomial.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
h : ↑↑n ≠ 0
⊢ ↑n ≠ 0

Tactic:
by exact_mod_cast h

Goal state after:
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.DivisionPolynomial.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
ih : ∀ (n : ℕ), ↑↑n ≠ 0 → (W.preΨ ↑n).coeff (((↑n).natAbs ^ 2 - if Even ↑n then 4 else 1) / 2) ≠ 0
n : ℕ
h : ↑(-↑n) ≠ 0
⊢ -↑↑n ≠ 0

Tactic:
by exact_mod_cast h

Goal state after:
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.DivisionPolynomial.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
hn : 2 < (↑n).natAbs
h : ↑↑n ≠ 0
⊢ ↑(↑n).natAbs ≠ 0

Tactic:
by exact_mod_cast h

Goal state after:
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.DivisionPolynomial.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
ih : ∀ (n : ℕ), 2 < (↑n).natAbs → ↑↑n ≠ 0 → 0 < (W.preΨ ↑n).natDegree
n : ℕ
hn : 2 < (-↑n).natAbs
h : ↑(-↑n) ≠ 0
⊢ -↑↑n ≠ 0

Tactic:
by exact_mod_cast h

Goal state after:
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.DivisionPolynomial.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
h : ↑↑n ≠ 0
⊢ ↑n ≠ 0

Tactic:
by exact_mod_cast h

Goal state after:
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.DivisionPolynomial.Degree

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : Nontrivial R
ih : ∀ (n : ℕ), ↑↑n ≠ 0 → W.preΨ ↑n ≠ 0
n : ℕ
h : ↑(-↑n) ≠ 0
⊢ -↑↑n ≠ 0

Tactic:
by exact_mod_cast h

Goal state after:
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Point

Goal state before:
pp: R : Type r
inst✝ : CommRing R
W' : Jacobian R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ W'.addX P (W'.neg P) = W'.dblZ P ^ 2

Tactic:
linear_combination (norm := (rw [addX, neg_X, neg_Y, neg_Z, dblZ, negY]; ring1))
    -2 * P z ^ 2 * (equation_iff _).mp hP

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Int.WithZero

Goal state before:
pp: e : ℝ≥0
he : 1 < e
x y : WithZero (Multiplicative ℤ)
⊢ x < y → (toNNReal ⋯) x < (toNNReal ⋯) y

Tactic:
cases y

Goal state after:
case zero
e : ℝ≥0
he : 1 < e
x : WithZero (Multiplicative ℤ)
⊢ x < 0 → (toNNReal ⋯) x < (toNNReal ⋯) 0

case coe
e : ℝ≥0
he : 1 < e
x : WithZero (Multiplicative ℤ)
a✝ : Multiplicative ℤ
⊢ x < ↑a✝ → (toNNReal ⋯) x < (toNNReal ⋯) ↑a✝
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula

Goal state before:
pp: F : Type u
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
n d : F
hd : d ≠ 0
⊢ W.toAffine.negAddY (P x / P z ^ 2) (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (-n / (P z * d)) =
    (-n * (n ^ 2 - W.a₁ * n * P z * d - W.a₂ * P z ^ 2 * d ^ 2 - 2 * P x * d ^ 2 - P x * d ^ 2) + P y * d ^ 3) /
      (P z * d) ^ 3

Tactic:
rw [Affine.negAddY, toAffine_addX_of_eq hPz hd]
  simp [field]

Goal state after:
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula

Goal state before:
pp: F : Type u
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
hZ : ∀ {n : ℕ}, IsUnit (W.dblZ P ^ n)
⊢ ![W.dblX P, W.dblY P, W.dblZ P] =
    ![W.dblX P,
      W.dblZ P ^ 3 *
        ![W.dblX P / W.dblZ P ^ 2,
            W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3)
              (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),
            1]
          y,
      W.dblZ P *
        ![W.dblX P / W.dblZ P ^ 2,
            W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3)
              (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),
            1]
          z]

Tactic:
← dblY_of_Z_ne_zero hP hQ hPz hQz hx hy,

Goal state after:
F : Type u
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
hZ : ∀ {n : ℕ}, IsUnit (W.dblZ P ^ n)
⊢ ![W.dblX P, W.dblY P, W.dblZ P] =
    ![W.dblX P, W.dblZ P ^ 3 * ![W.dblX P / W.dblZ P ^ 2, W.dblY P / W.dblZ P ^ 3, 1] y,
      W.dblZ P * ![W.dblX P / W.dblZ P ^ 2, W.dblY P / W.dblZ P ^ 3, 1] z]
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Point

Goal state before:
pp: F : Type u
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
X Y : F
h : W.Nonsingular ![X, Y, 1]
⊢ toAffine W ![X, Y, 1] = Affine.Point.some X Y ⋯

Tactic:
simp only [toAffine_of_Z_ne_zero h one_ne_zero, fin3_def_ext, one_pow, div_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Valued.ValuationTopology

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ γ₀ : (ofClass v).ValueGroup₀ˣ
h : γ₀ * γ₀ ≤ γ
r : R
r_in : v r < embedding ↑γ₀
s : R
s_in : v s < embedding ↑γ₀
⊢ v (r * s) < embedding ↑γ

Tactic:
rw [← restrict_lt_iff_lt_embedding] at *

Goal state after:
case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ γ₀ : (ofClass v).ValueGroup₀ˣ
h : γ₀ * γ₀ ≤ γ
r : R
r_in : v.restrict r < ↑γ₀
s : R
s_in : v.restrict s < ↑γ₀
⊢ v.restrict (r * s) < ↑γ