Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁵⁴ : CommRing A
inst✝⁵³ : Field K
inst✝⁵² : Algebra A K
inst✝⁵¹ : IsFractionRing A K
inst✝⁵⁰ : CommRing B
inst✝⁴⁹ : Field L
inst✝⁴⁸ : Algebra B L
inst✝⁴⁷ : Algebra A L
inst✝⁴⁶ : Algebra K L
inst✝⁴⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴⁴ : IsScalarTower A K L
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
inst✝⁴³ : CommRing R₁
inst✝⁴² : CommRing R₂
inst✝⁴¹ : IsDomain R₁
inst✝⁴⁰ : Algebra A R₁
inst✝³⁹ : Algebra A R₂
inst✝³⁸ : Algebra R₁ B
inst✝³⁷ : Algebra R₂ B
inst✝³⁶ : Algebra R₁ L
inst✝³⁵ : Algebra R₂ L
inst✝³⁴ : IsScalarTower A R₁ L
inst✝³³ : IsScalarTower R₁ B L
inst✝³² : IsScalarTower R₂ B L
inst✝³¹ : Module.Finite A R₂
F₁ F₂ : IntermediateField K L
inst✝³⁰ : Algebra R₁ ↥F₁
inst✝²⁹ : Algebra R₂ ↥F₂
inst✝²⁸ : IsTorsionFree R₁ ↥F₁
inst✝²⁷ : IsScalarTower A (↥F₂) L
inst✝²⁶ : IsScalarTower A R₂ ↥F₂
inst✝²⁵ : IsScalarTower R₁ (↥F₁) L
inst✝²⁴ : IsScalarTower R₂ (↥F₂) L
inst✝²³ : Algebra.IsSeparable K ↥F₂
inst✝²² : Algebra.IsSeparable (↥F₁) L
inst✝²¹ : IsDomain A
inst✝²⁰ : IsDedekindDomain B
inst✝¹⁹ : IsDedekindDomain R₁
inst✝¹⁸ : IsDedekindDomain R₂
inst✝¹⁷ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁶ : IsFractionRing R₁ ↥F₁
inst✝¹⁵ : IsFractionRing R₂ ↥F₂
inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹³ : IsIntegralClosure B R₁ L
inst✝¹² : IsTorsionFree R₁ B
inst✝¹¹ : IsTorsionFree R₂ B
inst✝¹⁰ : Algebra A B
inst✝⁹ : Module.Finite A B
inst✝⁸ : IsTorsionFree A B
inst✝⁷ : IsTorsionFree A R₁
inst✝⁶ : IsTorsionFree A R₂
inst✝⁵ : Module.Finite A R₁
inst✝⁴ : Module.Finite R₂ B
inst✝³ : IsScalarTower A R₂ B
inst✝² : Module.Finite R₁ B
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝ : IsScalarTower A R₁ B
h₁ : F₁.LinearDisjoint ↥F₂
h₂ : F₁.toSubalgebra ⊔ F₂.toSubalgebra = ⊤
h₃ : IsCoprime (Ideal.map (algebraMap R₁ B) (differentIdeal A R₁)) (Ideal.map (algebraMap R₂ B) (differentIdeal A R₂))
ι : Type u_7
b : Basis ι A R₂
this : Free A R₂
v : ι → B := fun i ↦ (algebraMap R₂ B) (b i)
b₂ : Basis ι K ↥F₂ := localizationLocalization K A⁰ (↥F₂) b
P₁ : LinearIndependent R₁ v
⊢ span R₁ (Set.range v) = ⊤

Tactic:
apply map_injective_of_injective (f := (IsScalarTower.toAlgHom R₁ B L).toLinearMap)
      (FaithfulSMul.algebraMap_injective B L)

Goal state after:
A : Type u_1
B : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝⁵⁴ : CommRing A
inst✝⁵³ : Field K
inst✝⁵² : Algebra A K
inst✝⁵¹ : IsFractionRing A K
inst✝⁵⁰ : CommRing B
inst✝⁴⁹ : Field L
inst✝⁴⁸ : Algebra B L
inst✝⁴⁷ : Algebra A L
inst✝⁴⁶ : Algebra K L
inst✝⁴⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴⁴ : IsScalarTower A K L
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
inst✝⁴³ : CommRing R₁
inst✝⁴² : CommRing R₂
inst✝⁴¹ : IsDomain R₁
inst✝⁴⁰ : Algebra A R₁
inst✝³⁹ : Algebra A R₂
inst✝³⁸ : Algebra R₁ B
inst✝³⁷ : Algebra R₂ B
inst✝³⁶ : Algebra R₁ L
inst✝³⁵ : Algebra R₂ L
inst✝³⁴ : IsScalarTower A R₁ L
inst✝³³ : IsScalarTower R₁ B L
inst✝³² : IsScalarTower R₂ B L
inst✝³¹ : Module.Finite A R₂
F₁ F₂ : IntermediateField K L
inst✝³⁰ : Algebra R₁ ↥F₁
inst✝²⁹ : Algebra R₂ ↥F₂
inst✝²⁸ : IsTorsionFree R₁ ↥F₁
inst✝²⁷ : IsScalarTower A (↥F₂) L
inst✝²⁶ : IsScalarTower A R₂ ↥F₂
inst✝²⁵ : IsScalarTower R₁ (↥F₁) L
inst✝²⁴ : IsScalarTower R₂ (↥F₂) L
inst✝²³ : Algebra.IsSeparable K ↥F₂
inst✝²² : Algebra.IsSeparable (↥F₁) L
inst✝²¹ : IsDomain A
inst✝²⁰ : IsDedekindDomain B
inst✝¹⁹ : IsDedekindDomain R₁
inst✝¹⁸ : IsDedekindDomain R₂
inst✝¹⁷ : IsFractionRing B L
inst✝¹⁶ : IsFractionRing R₁ ↥F₁
inst✝¹⁵ : IsFractionRing R₂ ↥F₂
inst✝¹⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹³ : IsIntegralClosure B R₁ L
inst✝¹² : IsTorsionFree R₁ B
inst✝¹¹ : IsTorsionFree R₂ B
inst✝¹⁰ : Algebra A B
inst✝⁹ : Module.Finite A B
inst✝⁸ : IsTorsionFree A B
inst✝⁷ : IsTorsionFree A R₁
inst✝⁶ : IsTorsionFree A R₂
inst✝⁵ : Module.Finite A R₁
inst✝⁴ : Module.Finite R₂ B
inst✝³ : IsScalarTower A R₂ B
inst✝² : Module.Finite R₁ B
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝ : IsScalarTower A R₁ B
h₁ : F₁.LinearDisjoint ↥F₂
h₂ : F₁.toSubalgebra ⊔ F₂.toSubalgebra = ⊤
h₃ : IsCoprime (Ideal.map (algebraMap R₁ B) (differentIdeal A R₁)) (Ideal.map (algebraMap R₂ B) (differentIdeal A R₂))
ι : Type u_7
b : Basis ι A R₂
this : Free A R₂
v : ι → B := ⋯
b₂ : Basis ι K ↥F₂ := ⋯
P₁ : LinearIndependent R₁ v
⊢ Submodule.map (IsScalarTower.toAlgHom R₁ B L).toLinearMap (span R₁ (Set.range v)) =
    Submodule.map (IsScalarTower.toAlgHom R₁ B L).toLinearMap ⊤