mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hf' : (mfderiv% f x₀).IsInvertible
hmn : m + 1 ≤ n
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) univ (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f univ x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I I.tangent m (fun x ↦ ⟨x, mpullback I I' f V x⟩) univ x₀

Tactic:
simpa using ContMDiffWithinAt.mpullback_vectorField_preimage hV hf hf' hmn

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: case hg
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
inst✝³ : IsManifold I 2 M
inst✝² : IsManifold I' 2 M'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffOn I I' 2 f s
hx₀ : x₀ ∈ s
ht : t ⊆ (extChartAt I' (f x₀)).source
hst : MapsTo f s t
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
A' : x₀ = ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)
h'f : MDiffAt[s] f x₀
⊢ mfderiv% ↑(extChartAt I x₀) x₀ ∘SL mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x₀) x₀))

Tactic:
· convert!
      mfderiv_extChartAt_comp_mfderivWithin_extChartAt_symm (I := I) (x := x₀) (y :=
        extChartAt I x₀ x₀) (by simp)

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: n : ℕ
p : ℝ≥0∞
a : ℝ
i : Fin n
⊢ closure {y | a < y.ofLp i} = {y | a ≤ y.ofLp i}

Tactic:
let f : PiLp p (fun _ : Fin n ↦ ℝ) → ℝ := fun x ↦ x i
  change closure (f ⁻¹' Ioi a) = f ⁻¹' Ici a
  rw [← (PiLp.isOpenMap_apply p _ i).preimage_closure_eq_closure_preimage, closure_Ioi]
  fun_prop

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.Transform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ dt ε : ℝ
hε : ε > 0
h : IsMIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
⊢ {y | dist y (t₀ - dt) < ε} = {t | t + dt ∈ Metric.ball t₀ ε}

Tactic:
simp_rw [Metric.mem_ball, Real.dist_eq, ← sub_add, add_sub_right_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
m n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
Is : IsManifold I 1 M
I's : IsManifold I' 1 M'
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiff[s]
x₀ : TangentBundle I M
hx₀ : x₀ ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
s' : Set (TangentBundle I M) := TotalSpace.proj ⁻¹' s
b₁ : TangentBundle I M → M := fun p ↦ p.proj
v : (y : TangentBundle I M) → TangentSpace I (b₁ y) := fun y ↦ y.snd
hv : ContMDiffWithinAt I.tangent I.tangent m (fun y ↦ ⟨b₁ y, v y⟩) s' x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s) x₀

Tactic:
let b₂ : TangentBundle I M → M' := f ∘ b₁

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
m n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
Is : IsManifold I 1 M
I's : IsManifold I' 1 M'
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiff[s]
x₀ : TangentBundle I M
hx₀ : x₀ ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
s' : Set (TangentBundle I M) := TotalSpace.proj ⁻¹' s
b₁ : TangentBundle I M → M := fun p ↦ p.proj
v : (y : TangentBundle I M) → TangentSpace I (b₁ y) := fun y ↦ y.snd
hv : ContMDiffWithinAt I.tangent I.tangent m (fun y ↦ ⟨b₁ y, v y⟩) s' x₀
b₂ : TangentBundle I M → M' := f ∘ b₁
⊢ ContMDiffWithinAt I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s) x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U : ∀ (w : H) (w' : H'), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I w, ↑I' w')
⊢ ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) (I.prod I').tangent n ⇑(equivTangentBundleProd I M I' M').symm (a, b)

Tactic:
rw [contMDiffAt_totalSpace]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U : ∀ (w : H) (w' : H'), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I w, ↑I' w')
⊢ ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) (I.prod I') n (fun x ↦ ((equivTangentBundleProd I M I' M').symm x).proj)
      (a, b) ∧
    ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) 𝓘(𝕜, E × E') n
      (fun x ↦
        (↑(trivializationAt (E × E') (TangentSpace (I.prod I')) ((equivTangentBundleProd I M I' M').symm (a, b)).proj)
            ((equivTangentBundleProd I M I' M').symm x)).2)
      (a, b)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.ExistUnique

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b
hγt : ∀ t ∈ Ioo a b, I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsMIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)
h : γ t₀ = γ' t₀
s : Set ℝ := ⋯
hs : s = {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
⊢ Continuous[_, inst✝³] fun y ↦ γ ↑y

Tactic:
rw [continuous_iff_continuousAt]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b
hγt : ∀ t ∈ Ioo a b, I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsMIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)
h : γ t₀ = γ' t₀
s : Set ℝ := {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
hs : s = {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
⊢ ∀ (x : { x // x ∈ Ioo a b }), ContinuousAt (fun y ↦ γ ↑y) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.ExistUnique

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b
hγt : ∀ t ∈ Ioo a b, I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsMIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)
h : γ t₀ = γ' t₀
s : Set ℝ := ⋯
hs : s = {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
⊢ Continuous[_, inst✝³] fun y ↦ γ' ↑y

Tactic:
rw [continuous_iff_continuousAt]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b
hγt : ∀ t ∈ Ioo a b, I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsMIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)
h : γ t₀ = γ' t₀
s : Set ℝ := {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
hs : s = {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
⊢ ∀ (x : { x // x ∈ Ioo a b }), ContinuousAt (fun y ↦ γ' ↑y) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.ExistUnique

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
ht₀ : t₀ ∈ Ioo a b
hγt : ∀ t ∈ Ioo a b, I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo a b)
hγ' : IsMIntegralCurveOn γ' v (Ioo a b)
h : γ t₀ = γ' t₀
s : Set ℝ := {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
hs : s = {t | γ t = γ' t} ∩ Ioo a b
val✝ : ℝ
ht : val✝ ∈ Ioo a b
⊢ ContinuousAt γ' val✝

Tactic:
exact hγ'.continuousWithinAt ht |>.continuousAt (Ioo_mem_nhds ht.1 ht.2)

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.PathELength

Goal state before:
pp: case hf
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
a b : ℝ
γ : ℝ → M
hγ : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc a b)
ha : γ a = x
hb : γ b = y
hab : a ≤ b
η : ℝ →ᴬ[ℝ] ℝ := ⋯
⊢ ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, ℝ) 1 (⇑η) (Icc 0 1)

Tactic:
rw [contMDiffOn_iff_contDiffOn]
      exact η.contDiff.contDiffOn

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Riemannian

Goal state before:
pp: B : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst✝⁴ : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : VectorBundle ℝ F E
F₁ : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F₁
⊢ Continuous[inst✝⁹,
      topologicalSpaceTotalSpace (RingHom.id ℝ) F₁ (Trivial B F₁) (F₁ →L[ℝ] ℝ) fun x ↦ Trivial B F₁ x →L[ℝ] ℝ]
    fun x ↦ TotalSpace.mk' (F₁ →L[ℝ] F₁ →L[ℝ] ℝ) x ((fun x ↦ innerSL ℝ) x)

Tactic:
rw [continuous_iff_continuousAt]

Goal state after:
B : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst✝⁴ : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : VectorBundle ℝ F E
F₁ : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F₁
⊢ ∀ (x : B), ContinuousAt (fun x ↦ TotalSpace.mk' (F₁ →L[ℝ] F₁ →L[ℝ] ℝ) x ((fun x ↦ innerSL ℝ) x)) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : IsManifold I' (minSmoothness 𝕜 2) M'
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffAt I I' n f x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
⊢ mpullback I I' f (mlieBracketWithin I' V W t) x₀ = mpullbackWithin I I' f (mlieBracketWithin I' V W t) s x₀

Tactic:
simp only [mpullback, mpullbackWithin]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : IsManifold I' (minSmoothness 𝕜 2) M'
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffAt I I' n f x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
⊢ (mfderiv% f x₀).inverse (mlieBracketWithin I' V W t (f x₀)) =
    (mfderiv[s] f x₀).inverse (mlieBracketWithin I' V W t (f x₀))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : IsManifold I' (minSmoothness 𝕜 2) M'
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffAt I I' n f x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
this : mpullback I I' f (mlieBracketWithin I' V W t) x₀ = mpullbackWithin I I' f (mlieBracketWithin I' V W t) s x₀
y : M
hy : ContMDiffAt I I' 2 f y
h'y : y ∈ s
⊢ mpullbackWithin I I' f V s y = mpullback I I' f V y

Tactic:
simp only [mpullback, mpullbackWithin]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : IsManifold I' (minSmoothness 𝕜 2) M'
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffAt I I' n f x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
this : mpullback I I' f (mlieBracketWithin I' V W t) x₀ = mpullbackWithin I I' f (mlieBracketWithin I' V W t) s x₀
y : M
hy : ContMDiffAt I I' 2 f y
h'y : y ∈ s
⊢ (mfderiv[s] f y).inverse (V (f y)) = (mfderiv% f y).inverse (V (f y))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : IsManifold I' (minSmoothness 𝕜 2) M'
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffAt I I' n f x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
this : mpullback I I' f (mlieBracketWithin I' V W t) x₀ = mpullbackWithin I I' f (mlieBracketWithin I' V W t) s x₀
y : M
hy : ContMDiffAt I I' 2 f y
h'y : y ∈ s
⊢ mpullbackWithin I I' f W s y = mpullback I I' f W y

Tactic:
simp only [mpullback, mpullbackWithin]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : IsManifold I' (minSmoothness 𝕜 2) M'
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffAt I I' n f x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
this : mpullback I I' f (mlieBracketWithin I' V W t) x₀ = mpullbackWithin I I' f (mlieBracketWithin I' V W t) s x₀
y : M
hy : ContMDiffAt I I' 2 f y
h'y : y ∈ s
⊢ (mfderiv[s] f y).inverse (W (f y)) = (mfderiv% f y).inverse (W (f y))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : RiemannianBundle fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsContinuousRiemannianBundle E fun x ↦ TangentSpace I x
x : M
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I x) x, ‖mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x).symm y‖ₑ < ↑C
r : ℝ
r_pos : r > 0
hr :
  ball (↑(extChartAt I x) x) r ∩ range ↑I ⊆
    (extChartAt I x).target ∩ {y | ‖mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x).symm y‖ₑ < ↑C}
A : ↑(extChartAt I x) ⁻¹' (ball (↑(extChartAt I x) x) r ∩ range ↑I) ∈ 𝓝 x
y : M
hy : y ∈ ↑(extChartAt I x) ⁻¹' (ball (↑(extChartAt I x) x) r ∩ range ↑I)
h'y : y ∈ (chartAt H x).source
η : ℝ →ᴬ[ℝ] E := ContinuousAffineMap.lineMap (↑(extChartAt I x) x) (↑(extChartAt I x) y)
γ : ℝ → M := ↑(extChartAt I x).symm ∘ ⇑η
hη :
  Icc 0 1 ⊆ ⇑η ⁻¹' (extChartAt I x).target ∧ Icc 0 1 ⊆ ⇑η ⁻¹' {y | ‖mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x).symm y‖ₑ < ↑C}
η_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 (⇑η) (Icc 0 1)
this : riemannianEDist I x y ≤ pathELength I γ 0 1
⊢ riemannianEDist I x y ≤ ↑C * edist (↑(extChartAt I x) x) (↑(extChartAt I x) y)

Tactic:
apply this.trans

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : RiemannianBundle fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsContinuousRiemannianBundle E fun x ↦ TangentSpace I x
x : M
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I x) x, ‖mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x).symm y‖ₑ < ↑C
r : ℝ
r_pos : r > 0
hr :
  ball (↑(extChartAt I x) x) r ∩ range ↑I ⊆
    (extChartAt I x).target ∩ {y | ‖mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x).symm y‖ₑ < ↑C}
A : ↑(extChartAt I x) ⁻¹' (ball (↑(extChartAt I x) x) r ∩ range ↑I) ∈ 𝓝 x
y : M
hy : y ∈ ↑(extChartAt I x) ⁻¹' (ball (↑(extChartAt I x) x) r ∩ range ↑I)
h'y : y ∈ (chartAt H x).source
η : ℝ →ᴬ[ℝ] E := ⋯
γ : ℝ → M := ⋯
hη :
  Icc 0 1 ⊆ ⇑η ⁻¹' (extChartAt I x).target ∧ Icc 0 1 ⊆ ⇑η ⁻¹' {y | ‖mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x).symm y‖ₑ < ↑C}
η_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 (⇑η) (Icc 0 1)
this : riemannianEDist I x y ≤ pathELength I γ 0 1
⊢ pathELength I γ 0 1 ≤ ↑C * edist (↑(extChartAt I x) x) (↑(extChartAt I x) y)
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Riemannian

Goal state before:
pp: B : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst✝² : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
inst✝ : VectorBundle ℝ F E
h : IsContinuousRiemannianBundle F E
x : B
r : ℝ
hr : 1 < r
r' : ℝ
hr' : 1 < r'
r'r : r' < r
h'x : x ∈ (trivializationAt F E x).baseSet
G : E x ≃L[ℝ] F := Trivialization.continuousLinearEquivAt ℝ (trivializationAt F E x) x h'x
C : ℝ := ‖↑G‖ ^ 2
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (r' ^ 2)⁻¹ < 1 - δ * C
g : (x : B) → E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ
g_cont :
  Continuous[inst✝⁷, topologicalSpaceTotalSpace (RingHom.id ℝ) F E (F →L[ℝ] ℝ) fun x ↦ E x →L[ℝ] ℝ] fun x ↦
    TotalSpace.mk' (F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ) x (g x)
hg : ∀ (x : B) (v w : E x), ⟪v, w⟫ = ((g x) v) w
g' : B → F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ := fun y ↦ inCoordinates F E (F →L[ℝ] ℝ) (fun x ↦ E x →L[ℝ] ℝ) x y x y (g y)
hg' : ContinuousAt g' x
this✝ : ∀ᶠ (y : B) in 𝓝 x, dist (g' y) (g' x) < δ
y : B
hy : dist (g' y) (g' x) < δ
h'y : y ∈ (trivializationAt F E x).baseSet
this : ‖g' x - g' y‖ ≤ δ
v : E y
w : F := (Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (trivializationAt F E x) y) v
hgy : ((g y) v) v = ((g' y) w) w
hgx : ((g x) ((trivializationAt F E x).symm x w)) ((trivializationAt F E x).symm x w) = ((g' x) w) w
⊢ ‖g' x - g' y‖ * ‖w‖ * ‖w‖ + ((g' y) w) w ≤ δ * ‖w‖ ^ 2 + ((g' y) w) w

Tactic:
by
      rw [pow_two, mul_assoc]; gcongr

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.Congruence.Star

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : StarMul M
r : M → M → Prop
hr : ∀ (a b : M), r a b → r (Star.star a) (Star.star b)
a b w✝ x✝ y✝ z✝ : M
h1 : Rel r w✝ x✝
h2 : Rel r y✝ z✝
⊢ Rel r (Star.star (w✝ * y✝)) (Star.star (x✝ * z✝))

Tactic:
rw [star_mul, star_mul]
    exact (h2.star hr).mul (h1.star hr)

Goal state after: