mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.HadamardMatrix

Goal state before:
pp: n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StarRing R
A : Matrix n n R
hA : A.IsHadamard
⊢ Aᴴ.IsHadamard

Tactic:
exact ⟨fun i j => Unitary.star_mem (hA.apply_mem j i),
    by simpa using hA.conjTranspose_mul,
    by simpa using hA.mul_conjTranspose⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.HadamardMatrix

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StarRing R
A : Matrix n n R
e₁ e₂ : m ≃ n
h : (A.submatrix ⇑e₁ ⇑e₂).IsHadamard
⊢ A.IsHadamard

Tactic:
by simpa using h.reindex e₁ e₂

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.FixedDetMatrices

Goal state before:
pp: m : ℤ
C : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m → Prop
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
hm : m ≠ 0
h0 : ∀ (A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m), ↑A 1 0 = 0 → 0 < ↑A 0 0 → 0 ≤ ↑A 0 1 → |↑A 0 1| < |↑A 1 1| → C A
hS : ∀ (B : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m), C B → C (S • B)
hT : ∀ (B : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m), C B → C (T • B)
h_reduce : C (reduce A)
⊢ ∀ (A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m), C (reduce A) → C A

Tactic:
apply reduce_rec

Goal state after:
case base
m : ℤ
C : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m → Prop
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
hm : m ≠ 0
h0 : ∀ (A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m), ↑A 1 0 = 0 → 0 < ↑A 0 0 → 0 ≤ ↑A 0 1 → |↑A 0 1| < |↑A 1 1| → C A
hS : ∀ (B : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m), C B → C (S • B)
hT : ∀ (B : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m), C B → C (T • B)
h_reduce : C (reduce A)
⊢ ∀ (A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m), ↑A 1 0 = 0 → C (reduce A) → C A

case step
m : ℤ
C : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m → Prop
A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m
hm : m ≠ 0
h0 : ∀ (A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m), ↑A 1 0 = 0 → 0 < ↑A 0 0 → 0 ≤ ↑A 0 1 → |↑A 0 1| < |↑A 1 1| → C A
hS : ∀ (B : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m), C B → C (S • B)
hT : ∀ (B : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m), C B → C (T • B)
h_reduce : C (reduce A)
⊢ ∀ (A : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ m), ↑A 1 0 ≠ 0 → (C (reduce (reduceStep A)) → C (reduceStep A)) → C (reduce A) → C A
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.FixedDetMatrices

Goal state before:
pp: case hS
B : FixedDetMatrix (Fin 2) ℤ 1
hb : B ∈ closure {S, T}
⊢ S • B ∈ closure {S, T}

Tactic:
exact mul_mem (subset_closure (Set.mem_insert S {T})) hb

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Permanent

Goal state before:
pp: n : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
d : n → R
σ : Perm n
x✝ : σ ∈ univ
hσ : σ ≠ 1
x : n
hx : ¬σ x = 1 x
⊢ ∏ i, diagonal d (σ i) i = 0

Tactic:
| =>

Goal state after:
n : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
d : n → R
σ : Perm n
x✝ : σ ∈ univ
hσ : σ ≠ 1
x : n
hx : ¬σ x = 1 x
⊢ ∏ i, diagonal d (σ i) i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Pi

Goal state before:
pp: ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
S : Type uS
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝² : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝¹ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝ : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
f : (p : (i : ι) → κ i) → MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
dec : DecidableEq ι
m : (i : ι) → (j : κ i) → M i j
i : ι
x y : (j : κ i) → M i j
p : (i : ι) → κ i
⊢ ((f p) fun i_1 ↦ Function.update (fun k ↦ m k (p k)) i ((x + y) (p i)) i_1) =
    ((f p) fun i_1 ↦ Function.update (fun k ↦ m k (p k)) i (x (p i)) i_1) +
      (f p) fun i_1 ↦ Function.update (fun k ↦ m k (p k)) i (y (p i)) i_1

Tactic:
Pi.add_apply,

Goal state after:
ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
S : Type uS
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : ((i : ι) → κ i) → Type uN
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝² : (p : (i : ι) → κ i) → AddCommMonoid (N p)
inst✝¹ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝ : (p : (i : ι) → κ i) → Module R (N p)
f : (p : (i : ι) → κ i) → MultilinearMap R (fun i ↦ M i (p i)) (N p)
dec : DecidableEq ι
m : (i : ι) → (j : κ i) → M i j
i : ι
x y : (j : κ i) → M i j
p : (i : ι) → κ i
⊢ ((f p) fun i_1 ↦ Function.update (fun k ↦ m k (p k)) i (x (p i) + y (p i)) i_1) =
    ((f p) fun i_1 ↦ Function.update (fun k ↦ m k (p k)) i (x (p i)) i_1) +
      (f p) fun i_1 ↦ Function.update (fun k ↦ m k (p k)) i (y (p i)) i_1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Generators

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u_1
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
ι : Type u_2
inst✝² : Finite ι
M : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i
hg : ∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤
φ φ' : (⨂[R] (i : ι), M i) →ₗ[R] N
h : ∀ (j : (i : ι) → γ i), φ (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)) = φ' (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))
hι : Nat.card ι = 0
x : (i : ι) → M i
this : IsEmpty ι
⊢ (φ.compMultilinearMap (tprod R)) x = (φ'.compMultilinearMap (tprod R)) x

Tactic:
obtain rfl : x = fun i ↦ @g i (isEmptyElim i) := Subsingleton.elim _ _

Goal state after:
case zero
R : Type u_1
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
ι : Type u_2
inst✝² : Finite ι
M : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i
hg : ∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤
φ φ' : (⨂[R] (i : ι), M i) →ₗ[R] N
h : ∀ (j : (i : ι) → γ i), φ (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)) = φ' (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))
hι : Nat.card ι = 0
this : IsEmpty ι
⊢ ((φ.compMultilinearMap (tprod R)) fun i ↦ g (isEmptyElim i)) =
    (φ'.compMultilinearMap (tprod R)) fun i ↦ g (isEmptyElim i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Independence

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
⊢ ∀ (i : ι), (Projectivization.rep ∘ f) i ≠ 0

Tactic:
· intro i
      apply rep_nonzero

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K V
this✝¹ : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this✝ : LinearIndepOn K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend ⋯
b : Module.Basis (↑s) K V := Module.Basis.extend this✝
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
this : (b.repr D'.rep) ⟨D.rep, hD_mem⟩ = 0
⊢ D'.rep = D'.rep + (b.repr D'.rep) ⟨D.rep, hD_mem⟩ • (↑a - 1) • b ⟨D.rep, hD_mem⟩

Tactic:
by
        rw [Module.Basis.extend_apply_self]
        simp [this]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
g : ι → M
l : ι →₀ R
⊢ (∑ p ∈ l.support.sym2, polarSym2 (⇑Q) (Sym2.map (fun i ↦ l i • g i) p) - l.sum fun i a ↦ a • a • Q (g i)) =
    (l.sym2Mul.sum fun i a ↦ a • (polarSym2 ⇑Q ∘ Sym2.map g) i) - ∑ x ∈ l.support, (l * l) x • (⇑Q ∘ g) x

Tactic:
l.sym2Mul.sum_of_support_subset support_sym2Mul_subset _ <| by simp

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
g : ι → M
l : ι →₀ R
⊢ (∑ p ∈ l.support.sym2, polarSym2 (⇑Q) (Sym2.map (fun i ↦ l i • g i) p) - l.sum fun i a ↦ a • a • Q (g i)) =
    ∑ x ∈ l.support.sym2, l.sym2Mul x • (polarSym2 ⇑Q ∘ Sym2.map g) x - ∑ x ∈ l.support, (l * l) x • (⇑Q ∘ g) x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.QuadraticModuleCat.Monoidal

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Invertible 2
X Y Z : QuadraticModuleCat R
⊢ (α_ X.toModuleCat Y.toModuleCat Z.toModuleCat).hom =
    𝟙 ((X.toModuleCat ⊗ Y.toModuleCat) ⊗ Z.toModuleCat) ≫ (α_ X.toModuleCat Y.toModuleCat Z.toModuleCat).hom

Tactic:
Category.id_comp

Goal state after:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Invertible 2
X Y Z : QuadraticModuleCat R
⊢ (α_ X.toModuleCat Y.toModuleCat Z.toModuleCat).hom = (α_ X.toModuleCat Y.toModuleCat Z.toModuleCat).hom
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ ⁅h i, h j⁆ = 0

Tactic:
classical
  simpa only [h_eq_diagonal, ← commute_iff_lie_eq] using Matrix.commute_diagonal _ _

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: case inl.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : Fintype ι
i : ↥b.support
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k : ↥b.support
l : ι
⊢ ((if i = i ∧ l = -↑i then
        Matrix.fromBlocks 1 0 0 (Matrix.of fun i j ↦ if i = -j then 1 else 0) (Sum.inl k) (Sum.inl i) * 1
      else 0) +
      ∑ a₂, if P.root a₂ = P.root ↑i + P.root l then 0 k a₂ * (↑(chainBotCoeff (↑i) l) + 1) else 0) =
    ∑ a₁,
        Matrix.fromBlocks 0 (Matrix.of fun i' j ↦ if i' = i ∧ j = ↑i then 1 else 0)
            (Matrix.of fun i' j ↦ if i' = -↑i then ↑|b.cartanMatrix i j| else 0)
            (Matrix.of fun i' j ↦ if P.root i' = P.root j - P.root ↑i then ↑(chainTopCoeff (↑i) j) + 1 else 0)
            (Sum.inl k) (Sum.inl a₁) *
          0 a₁ l +
      if -l ∈ Finset.univ then (if k = i ∧ -l = ↑i then 1 else 0) * 1 else 0

Tactic:
simp [← ite_and, and_comm, -indexNeg_neg, neg_eq_iff_eq_neg]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra✝ : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
contra : P.root l = -P.root i
⊢ P.root k = 2 • P.root l

Tactic:
← neg_eq_iff_eq_neg.mpr contra,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + -P.root l = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra✝ : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
contra : P.root l = -P.root i
⊢ P.root k = 2 • P.root l
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
⊢ cartanSubalgebra b ≤ lieAlgebra b

Tactic:
rw [cartanSubalgebra, lieAlgebra, ← LieSubalgebra.toSubmodule_le_toSubmodule, Submodule.span_le]
  rintro - ⟨i, rfl⟩
  exact LieSubalgebra.subset_lieSpan <| Or.inl <| Or.inl <| mem_range_self i

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra✝ : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
contra : P.root n = -P.root i
⊢ 2 • P.root n = P.root m

Tactic:
← neg_eq_iff_eq_neg.mpr contra,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra✝ : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + -P.root n - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
contra : P.root n = -P.root i
⊢ 2 • P.root n = P.root m
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
⊢ P.root (twoShortAddLong P) = 2 • P.root (short P) + 1 • P.root (long P)

Tactic:
simp only [twoShortAddLongRoot_eq, one_smul, add_left_inj]
    norm_cast

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ⁅e i, f i⁆ = h i

Tactic:
rw [lie_e_f_same]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.EmbeddedG2
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsIrreducible
⊢ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} = ⊤

Tactic:
by
  have := P.span_root_image_eq_top_of_forall_orthogonal {long P, short P} (by simp)
  rw [show P.root '' {long P, short P} = {longRoot P, shortRoot P} by aesop] at this
  refine this fun k hk ij hij ↦ ?_
  replace hk : P.root k ∉ allRoots P :=
    fun contra ↦ hk <| span_subset_span ℤ _ _ <| mem_span_of_mem_allRoots P contra
  have aux := isOrthogonal_short_and_long P hk
  rcases hij with rfl | rfl <;> tauto

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: case h₂
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CharZero K
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
i : ι
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hωu : ∀ (i : ↥b.support), ω b *ᵥ u i = u i
hωv : ∀ (i : ι), ω b *ᵥ v b i = v b (-i)
j k l : ι
h₁ : P.root l = P.root j + P.root k
h₂ : ∀ {U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)}, v b j ∈ U → ∃ j, u j ∈ U
hk : k ∈ b.support
U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)
hl : v b l ∈ U
this : ⁅f ⟨k, hk⟩, v b l⁆ = (↑(chainTopCoeff k l) + 1) • v b j
⊢ ∃ j, u j ∈ U

Tactic:
replace this : (P.chainTopCoeff k l + 1 : K) • v b j ∈ U := by
        rw [← this]
        let f' : lieAlgebra b := ⟨f ⟨k, hk⟩, f_mem_lieAlgebra _⟩
        change ⁅f', v b l⁆ ∈ U
        exact U.lie_mem hl

Goal state after:
case h₂
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CharZero K
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
i : ι
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hωu : ∀ (i : ↥b.support), ω b *ᵥ u i = u i
hωv : ∀ (i : ι), ω b *ᵥ v b i = v b (-i)
j k l : ι
h₁ : P.root l = P.root j + P.root k
h₂ : ∀ {U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)}, v b j ∈ U → ∃ j, u j ∈ U
hk : k ∈ b.support
U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)
hl : v b l ∈ U
this : (↑(chainTopCoeff k l) + 1) • v b j ∈ U
⊢ ∃ j, u j ∈ U
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
hki' : P.pairingIn ℤ k i < 0
hkj' : 0 < P.pairingIn ℤ k j
this✝² : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝¹ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this✝ : P.IsNotG2
this : IsAddTorsionFree M
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
hlj_mem : P.root l - P.root j ∈ range ⇑P.root
hmi : P.pairingIn ℤ m i = 0
hlj : P.pairingIn ℤ l j ≠ 0
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = P.pairingIn ℤ k i
aux₁ : P.pairingIn ℤ i j = -1
aux₂ : P.pairingIn ℤ k j = 2
B : RootPositiveForm ℤ P
hij_le : B.rootLength i ≤ B.rootLength j
hjk_lt : B.rootLength j < B.rootLength k
⊢ B.rootLength i = B.rootLength j ∧ B.rootLength j < B.rootLength k

Tactic:
refine ⟨?_, hjk_lt⟩

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
hki' : P.pairingIn ℤ k i < 0
hkj' : 0 < P.pairingIn ℤ k j
this✝² : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝¹ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this✝ : P.IsNotG2
this : IsAddTorsionFree M
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
hlj_mem : P.root l - P.root j ∈ range ⇑P.root
hmi : P.pairingIn ℤ m i = 0
hlj : P.pairingIn ℤ l j ≠ 0
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = P.pairingIn ℤ k i
aux₁ : P.pairingIn ℤ i j = -1
aux₂ : P.pairingIn ℤ k j = 2
B : RootPositiveForm ℤ P
hij_le : B.rootLength i ≤ B.rootLength j
hjk_lt : B.rootLength j < B.rootLength k
⊢ B.rootLength i = B.rootLength j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.OfBilinear

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsReflexive R M
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
hNB : B.Nondegenerate
hSB : B.IsSymm
h2 : IsRegular 2
x : ↑{x | B.IsReflective x}
⊢ LeftInverse (fun y ↦ ⟨(Module.reflection ⋯) ↑y, ⋯⟩) fun y ↦ ⟨(Module.reflection ⋯) ↑y, ⋯⟩

Tactic:
intro y
        simp [involutive_reflection (coroot_apply_self B x.2) y]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.OfBilinear

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsReflexive R M
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
hNB : B.Nondegenerate
hSB : B.IsSymm
h2 : IsRegular 2
x : ↑{x | B.IsReflective x}
⊢ RightInverse (fun y ↦ ⟨(Module.reflection ⋯) ↑y, ⋯⟩) fun y ↦ ⟨(Module.reflection ⋯) ↑y, ⋯⟩

Tactic:
intro y
        simp [involutive_reflection (coroot_apply_self B x.2) y]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
w : ↥b.support ⊕ ι → K
hw : w ∈ ↑(genWeightSpace (↥b.support ⊕ ι → K) 0)
i : ι
⊢ ∀ (x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) K) (hx : x ∈ lieAlgebra b), ⟨x, hx⟩ ∈ H → ∃ k, (toLin' x ^ k) w = 0

Tactic:
simpa [mem_genWeightSpace] using hw

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
h₃ : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
this✝ : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hik_mem : P.root k + P.root i ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
h₁' : P.root (-k) - P.root i = P.root (-l)
h₂' : P.root (-k) + P.root j = P.root (-m)
h₃' : P.root (-k) + P.root j - P.root i ∈ range ⇑P.root
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
⊢ (chainBotCoeff i m + 1) * (chainBotCoeff j (-k) + 1) = (chainBotCoeff j (-l) + 1) * (chainBotCoeff i k + 1)

Tactic:
exact aux_1 hi hj hij h₁ h₂ h₃ hki him_mem hjl_mem hjk_mem

Goal state after: