mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
f : P.End
⊢ ∀ ⦃a₂ : P.End⦄, (coweightHom P) f = (coweightHom P) a₂ → f = a₂

Tactic:
g

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
f g : P.End
⊢ (coweightHom P) f = (coweightHom P) g → f = g
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝² : CommSemiring k
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : k[G]
⊢ (leftRegular k G).norm x = 0 ↔ (linearCombination k fun x ↦ 1) x.coeff = 0

Tactic:
rw [leftRegular_norm_apply]

Goal state after:
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝² : CommSemiring k
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : k[G]
⊢ ((lsmul k k[G]).flip ((leftRegular k G).norm (MonoidAlgebra.single 1 1)) ∘ₗ
          (linearCombination k fun x ↦ 1) ∘ₗ ↑(coeffLinearEquiv k))
        x =
      0 ↔
    (linearCombination k fun x ↦ 1) x.coeff = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
P : RootPairing ι R M N
f g : P.Aut
⊢ { val := ↑(f * g), inv := ↑(symm P P (f * g)), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } =
    { val := ↑f, inv := ↑(symm P P f), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } *
      { val := ↑g, inv := ↑(symm P P g), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }

Tactic:
by
    simp only [Equiv.mul_eq_comp, Equiv.toHom_comp]
    ext <;> simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h_card : (baseOf (⇑P.root) f).ncard = s.ncard
hsp : ∀ (i : ι), ∃ z, f (P.root i) = ↑z
i : ι
hi : i ∈ s
j k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < f (P.root i)}
contra : P.root i = P.root j + P.root k
n : ℤ
hn : f (P.root j) = ↑n
m : ℤ
hm : f (P.root k) = ↑m
hj : 0 < n
⊢ P.root j = 0 ∨ P.root k = 0

Tactic:
replace hk : 0 < m := by simpa [hm] using hk

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h_card : (baseOf (⇑P.root) f).ncard = s.ncard
hsp : ∀ (i : ι), ∃ z, f (P.root i) = ↑z
i : ι
hi : i ∈ s
j k : ι
contra : P.root i = P.root j + P.root k
n : ℤ
hn : f (P.root j) = ↑n
m : ℤ
hm : f (P.root k) = ↑m
hj : 0 < n
hk : 0 < m
⊢ P.root j = 0 ∨ P.root k = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
hk : P.root k = P.root i + P.root j
f : ι → ℤ
hf : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
g : ι → ℤ
hg : P.root j = ∑ j ∈ b.support, g j • P.root j
⊢ P.root k = ∑ l ∈ b.support, (f + g) l • P.root l

Tactic:
Pi.add_apply,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
hk : P.root k = P.root i + P.root j
f : ι → ℤ
hf : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
g : ι → ℤ
hg : P.root j = ∑ j ∈ b.support, g j • P.root j
⊢ P.root k = ∑ x ∈ b.support, (f x + g x) • P.root x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
z : ℤ
hk : P.root k = P.root i + z • P.root j
f : ι → ℤ
hf : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
g : ι → ℤ
hg : P.root j = ∑ j ∈ b.support, g j • P.root j
⊢ P.root k = ∑ l ∈ b.support, (f + z • g) l • P.root l

Tactic:
Pi.add_apply,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
z : ℤ
hk : P.root k = P.root i + z • P.root j
f : ι → ℤ
hf : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
g : ι → ℤ
hg : P.root j = ∑ j ∈ b.support, g j • P.root j
⊢ P.root k = ∑ x ∈ b.support, (f x + (z • g) x) • P.root x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
z : ℤ
hk : P.root k = P.root i + z • P.root j
f : ι → ℤ
hf : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
g : ι → ℤ
hg : P.root j = ∑ j ∈ b.support, g j • P.root j
hfg : P.root k = ∑ l ∈ b.support, (f + z • g) l • P.root l
⊢ ∑ j ∈ b.support, (f + z • g) j = ∑ j ∈ b.support, f j + z • ∑ j ∈ b.support, g j

Tactic:
Pi.add_apply,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
z : ℤ
hk : P.root k = P.root i + z • P.root j
f : ι → ℤ
hf : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
g : ι → ℤ
hg : P.root j = ∑ j ∈ b.support, g j • P.root j
hfg : P.root k = ∑ l ∈ b.support, (f + z • g) l • P.root l
⊢ ∑ x ∈ b.support, (f x + (z • g) x) = ∑ j ∈ b.support, f j + z • ∑ j ∈ b.support, g j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
hsp : ∀ (i : ι), P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s) ∨ -P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
i✝ : ι
_i✝² : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
_i✝¹ : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
f : Dual ℚ M
hf' : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
hf : s = baseOf ⇑P.root ↑f
hf₀ : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
i : ι
⊢ 0 < 2 / ((P.RootFormIn ℚ) (P.rootSpanMem ℚ i)) (P.rootSpanMem ℚ i)

pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
hsp : ∀ (i : ι), P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s) ∨ -P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
i✝ : ι
_i✝² : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
_i✝¹ : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
f : Dual ℚ M
hf' : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
hf : s = baseOf ⇑P.root ↑f
hf₀ : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
i : ι
⊢ ↑(2 / ((P.RootFormIn ℚ) (P.rootSpanMem ℚ i)) (P.rootSpanMem ℚ i)) = 2 / (P.RootForm (P.root i)) (P.root i)

Tactic:
· simp only [Nat.ofNat_pos, div_pos_iff_of_pos_left, ← posRootForm_eq]
      exact (P.posRootForm ℚ).zero_lt_posForm_apply_root i (P.rootSpanMem ℚ i).property

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
hsp : ∀ (i : ι), P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s) ∨ -P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
i✝ : ι
_i✝² : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
_i✝¹ : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
f : Dual ℚ M
hf' : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
hf : s = baseOf ⇑P.root ↑f
hf₀ : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
i : ι
⊢ ↑(2 / ((P.RootFormIn ℚ) (P.rootSpanMem ℚ i)) (P.rootSpanMem ℚ i)) = 2 / (P.RootForm (P.root i)) (P.root i)
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Completion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
⊢ mk f = 0 ↔ f.LimZero

Tactic:
have : mk f = 0 ↔ LimZero (f - 0) := Quotient.eq
  rwa [sub_zero] at this

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Completion

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f g : CauSeq β abv
fg : f ≈ g
this : f.LimZero ↔ g.LimZero
hf : ¬f.LimZero
hg : ¬g.LimZero
If : mk (f.inv hf) * mk g = mk (g.inv hg) * mk g
Ig : mk (g.inv hg) * mk g = 1
Ig' : mk g * mk (g.inv hg) = 1
⊢ mk (f.inv hf) * mk g * mk (g.inv hg) = mk (g.inv ⋯)

Tactic:
If,

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f g : CauSeq β abv
fg : f ≈ g
this : f.LimZero ↔ g.LimZero
hf : ¬f.LimZero
hg : ¬g.LimZero
If : mk (f.inv hf) * mk g = mk (g.inv hg) * mk g
Ig : mk (g.inv hg) * mk g = 1
Ig' : mk g * mk (g.inv hg) = 1
⊢ mk (g.inv hg) * mk g * mk (g.inv hg) = mk (g.inv ⋯)
Module: Mathlib.Data.Real.Basic

Goal state before:
pp: f g : CauSeq ℚ abs
⊢ mk (f * g) = mk f * mk g

Tactic:
by simp [mk, ← ofCauchy_mul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Completion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁵ : Field α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : IsStrictOrderedRing α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f g : CauSeq β abv
h : const abv (f.lim * g.lim) - f * g = (const abv f.lim - f) * g + const abv f.lim * (const abv g.lim - g)
⊢ ((const abv f.lim - f) * g + const abv f.lim * (const abv g.lim - g)).LimZero

Tactic:
exact
        add_limZero (mul_limZero_left _ (Setoid.symm (equiv_lim _)))
          (mul_limZero_right _ (Setoid.symm (equiv_lim _)))

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Finite n
inst✝ : StarOrderedRing R
A : Matrix m n R
this : Fintype n
x : n → R
⊢ 0 ≤ star (A *ᵥ star (star x)) ⬝ᵥ A *ᵥ x

Tactic:
star_star

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Finite n
inst✝ : StarOrderedRing R
A : Matrix m n R
this : Fintype n
x : n → R
⊢ 0 ≤ star (A *ᵥ x) ⬝ᵥ A *ᵥ x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype m
A : Matrix n n R
B : Matrix m n R
hA : A.PosDef
hB : Function.Injective fun x ↦ Bᴴ *ᵥ star (star x)
⊢ (B * A * Bᴴ).PosDef

Tactic:
star_star

Goal state after:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype m
A : Matrix n n R
B : Matrix m n R
hA : A.PosDef
hB : Function.Injective fun x ↦ Bᴴ *ᵥ x
⊢ (B * A * Bᴴ).PosDef
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: case mp
m : Type u_1
n : Type u_2
R' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : PartialOrder R'
inst✝⁵ : StarRing R'
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : StarOrderedRing R'
inst✝² : Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
A : Matrix m m R'
B : Matrix m n R'
D : Matrix n n R'
hA : A.PosDef
inst✝ : Invertible A
this✝ : Fintype n
h : (D - Bᴴ * A⁻¹ * B).IsHermitian ∧ ∀ (x : m ⊕ n → R'), 0 ≤ star x ⬝ᵥ fromBlocks A B Bᴴ D *ᵥ x
x : n → R'
this : 0 ≤ star (-((A⁻¹ * B) *ᵥ x) ⊕ᵥ x) ⬝ᵥ fromBlocks A B Bᴴ D *ᵥ (-((A⁻¹ * B) *ᵥ x) ⊕ᵥ x)
⊢ 0 ≤ star x ⬝ᵥ (D - Bᴴ * A⁻¹ * B) *ᵥ x

Tactic:
rwa [dotProduct_mulVec, schur_complement_eq₁₁ B D _ _ hA.1, neg_add_cancel, dotProduct_zero,
      zero_add, ← dotProduct_mulVec] at this

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: case hbc
m : Type u_1
n : Type u_2
R' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : PartialOrder R'
inst✝⁵ : StarRing R'
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : StarOrderedRing R'
inst✝² : Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
A : Matrix m m R'
B : Matrix m n R'
D : Matrix n n R'
hA : A.PosDef
inst✝ : Invertible A
this : Fintype n
h : (D - Bᴴ * A⁻¹ * B).PosSemidef
x : m ⊕ n → R'
⊢ 0 ≤ star (x ∘ Sum.inr) ᵥ* (D - Bᴴ * A⁻¹ * B) ⬝ᵥ x ∘ Sum.inr

Tactic:
← dotProduct_mulVec (star (x ∘ Sum.inr))

Goal state after:
case hbc
m : Type u_1
n : Type u_2
R' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : PartialOrder R'
inst✝⁵ : StarRing R'
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : StarOrderedRing R'
inst✝² : Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
A : Matrix m m R'
B : Matrix m n R'
D : Matrix n n R'
hA : A.PosDef
inst✝ : Invertible A
this : Fintype n
h : (D - Bᴴ * A⁻¹ * B).PosSemidef
x : m ⊕ n → R'
⊢ 0 ≤ star (x ∘ Sum.inr) ⬝ᵥ (D - Bᴴ * A⁻¹ * B) *ᵥ x ∘ Sum.inr
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ b.cartanMatrix.map abs = 4 - b.cartanMatrix

Tactic:
ext; simp [abs_cartanMatrix_apply, Matrix.ofNat_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
p : ↥b.support → Prop
i j : ↥b.support
hi : p i
hp : ∀ (i j : ↥b.support), p i → b.cartanMatrix j i ≠ 0 → p j
q : Submodule R M := span R (⇑P.root ∘ Subtype.val '' {i | p i})
hq₀ : q ≠ ⊥
k : ↥b.support
hk : ¬p k
⊢ P.root ↑k ∉ q

Tactic:
exact b.linearIndepOn_root.linearIndependent.notMem_span_image hk

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Minpoly

Goal state before:
pp: R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
f : End R M
μ : R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
h : (minpoly R f).IsRoot μ
⊢ f.HasEigenvalue μ

Tactic:
by
  obtain ⟨q, hq⟩ := dvd_iff_isRoot.mpr h
  obtain ⟨v, hv⟩ : ∃ v : M, q.aeval f v ≠ 0 := by
    by_contra! h_contra
    have := minpoly.min R f
      ((monic_X_sub_C μ).of_mul_monic_left (hq ▸ minpoly.monic (Algebra.IsIntegral.isIntegral f)))
      (LinearMap.ext h_contra)
    rw [hq, degree_mul, degree_X_sub_C, degree_eq_natDegree] at this
    · norm_cast at this; grind
    · rintro rfl
      exact minpoly.ne_zero (Algebra.IsIntegral.isIntegral f) (mul_zero (X - C μ) ▸ hq)
  refine Module.End.hasEigenvalue_of_hasEigenvector (hasEigenvector_iff.mpr ⟨?_, hv⟩)
  simpa [sub_eq_zero, hq] using congr($(minpoly.aeval R f) v)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: r : ℕ
⊢ 0 * eval (0 + 1) (ascPochhammer ℕ r) = (0 + r) * eval 0 (ascPochhammer ℕ r)

Tactic:
by_cases h : r = 0
    · simp only [h, zero_mul, zero_add]
    · simp only [ascPochhammer_eval_zero, zero_mul, if_neg h, mul_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
⊢ (Lagrange.basis s v i).natDegree = #(s.erase i)

Tactic:
card_eq_sum_ones

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
⊢ (Lagrange.basis s v i).natDegree = ∑ x ∈ s.erase i, 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
x y : ι → F
hwd : ∀ (i j : ι), x i = x j → y i = y j
this : Fintype ι
hinj : Set.InjOn (fun d ↦ d) ↑(image x univ)
v : F → F := fun z ↦ if h : ∃ i, x i = z then y h.choose else 0
v_def : v = fun z ↦ if h : ∃ i, x i = z then y h.choose else 0
⊢ ∃ q, ∀ (i : ι), eval (x i) q = y i

Tactic:
refine ⟨Lagrange.interpolate (Finset.univ.image x) (fun d : F ↦ d) v, fun i ↦ ?_⟩

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
x y : ι → F
hwd : ∀ (i j : ι), x i = x j → y i = y j
this : Fintype ι
hinj : Set.InjOn (fun d ↦ d) ↑(image x univ)
v : F → F := fun z ↦ if h : ∃ i, x i = z then y h.choose else 0
v_def : v = fun z ↦ if h : ∃ i, x i = z then y h.choose else 0
i : ι
⊢ eval (x i) ((interpolate (image x univ) fun d ↦ d) v) = y i
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion

Goal state before:
pp: L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieModule K L M
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : traceForm K L M = 0
φ : L →ₗ⁅K⁆ End K M := toEnd K L M
x : L
hx : x ∈ derivedSeries K L 1
n : End K M
hn_adj : n ∈ K[φ x]
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : φ x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace :=
  DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top (eigenspaces_iSupIndep s)
    (IsSemisimple.iSup_eigenspace_eq_top hs_ss)
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M := eigenDecomp.collectedBasis fun μ ↦ finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst
hsv : ∀ (i : I), s (v i) = μ i • v i
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : I → K := fun i ↦ ↑(f ⟨μ i, ⋯⟩)
y : End K M := (Matrix.toLin v v) (Matrix.diagonal fμ)
hyv : ∀ (i : I), y (v i) = fμ i • v i
z : End K M
hz : z ∈ φ.range
r : K[X]
hr : (aeval ((ad K (End K M)) s)) r = (ad K (End K M)) y
⊢ ∃ q, (aeval ((ad K (End K M)) (φ x))) q = (ad K (End K M)) y

Tactic:
obtain ⟨p, hp⟩ : ∃ p : K[X], p.aeval (ad K _ (φ x)) = ad K _ s :=
        adjoin_mem_exists_aeval K _ <| by
          simpa only [← hX_ns] using! ad_mem_adjoin_of_isSemisimple hns hn_nil hs_ss

Goal state after:
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieModule K L M
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : traceForm K L M = 0
φ : L →ₗ⁅K⁆ End K M := toEnd K L M
x : L
hx : x ∈ derivedSeries K L 1
n : End K M
hn_adj : n ∈ K[φ x]
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : φ x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace :=
  DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top (eigenspaces_iSupIndep s)
    (IsSemisimple.iSup_eigenspace_eq_top hs_ss)
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M := eigenDecomp.collectedBasis fun μ ↦ finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst
hsv : ∀ (i : I), s (v i) = μ i • v i
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : I → K := fun i ↦ ↑(f ⟨μ i, ⋯⟩)
y : End K M := (Matrix.toLin v v) (Matrix.diagonal fμ)
hyv : ∀ (i : I), y (v i) = fμ i • v i
z : End K M
hz : z ∈ φ.range
r : K[X]
hr : (aeval ((ad K (End K M)) s)) r = (ad K (End K M)) y
p : K[X]
hp : (aeval ((ad K (End K M)) (φ x))) p = (ad K (End K M)) s
⊢ ∃ q, (aeval ((ad K (End K M)) (φ x))) q = (ad K (End K M)) y
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.WeightedHomogeneous

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
φ : MvPolynomial σ R
n : M
inst✝ : SemilatticeSup M
w : σ → M
hφ : IsWeightedHomogeneous w φ n
h : φ ≠ 0
⊢ weightedTotalDegree' w φ = ↑n

Tactic:
by
  simp only [weightedTotalDegree']
  apply le_antisymm
  · simp only [Finset.sup_le_iff, mem_support_iff, WithBot.coe_le_coe]
    exact fun d hd => le_of_eq (hφ hd)
  · obtain ⟨d, hd⟩ : ∃ d, coeff d φ ≠ 0 := exists_coeff_ne_zero h
    simp only [← hφ hd]
    replace hd := Finsupp.mem_support_iff.mpr hd
    apply Finset.le_sup hd

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Homogeneous.Ideal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_4
κ' : κ → Sort u_5
s : (i : κ) → κ' i → HomogeneousIdeal 𝒜
⊢ (⨅ i, ⨅ j, s i j).toIdeal = ⨅ i, ⨅ j, (s i j).toIdeal

Tactic:
toIdeal_iInf

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: case e'_4
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
x : MvPolynomial σ R
d : σ →₀ ℕ
r : R
hr : (weight 1) d = n
⊢ n = degree d

Tactic:
rw [Finsupp.degree_eq_weight_one, ← Pi.one_def, ← hr]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
⊢ ((rename f) φ).IsHomogeneous n

Tactic:
← φ.support_sum_monomial_coeff,

Goal state after:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
⊢ ((rename f) (∑ v ∈ φ.support, (monomial v) (coeff v φ))).IsHomogeneous n