Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.OfNorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h1 :
  ‖x + y + z + (x - z)‖ * ‖x + y + z + (x - z)‖ + ‖x + y + z - (x - z)‖ * ‖x + y + z - (x - z)‖ =
    2 * (‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ + ‖x - z‖ * ‖x - z‖)
h2 :
  ‖x + y - z + (x + z)‖ * ‖x + y - z + (x + z)‖ + ‖x + y - z - (x + z)‖ * ‖x + y - z - (x + z)‖ =
    2 * (‖x + y - z‖ * ‖x + y - z‖ + ‖x + z‖ * ‖x + z‖)
h3 : ‖y + z + z‖ * ‖y + z + z‖ + ‖y + z - z‖ * ‖y + z - z‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
h4 : ‖y - z + z‖ * ‖y - z + z‖ + ‖y - z - z‖ * ‖y - z - z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
h5 :
  ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ +
      ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
h6 :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
h7 : ‖I • y + z + z‖ * ‖I • y + z + z‖ + ‖I • y + z - z‖ * ‖I • y + z - z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ 4⁻¹ *
      (𝓚 ‖x + y + z‖ * 𝓚 ‖x + y + z‖ - 𝓚 ‖x + y - z‖ * 𝓚 ‖x + y - z‖ + I * 𝓚 ‖I • (x + y) + z‖ * 𝓚 ‖I • (x + y) + z‖ -
        I * 𝓚 ‖I • (x + y) - z‖ * 𝓚 ‖I • (x + y) - z‖) =
    4⁻¹ *
        (𝓚 ‖x + z‖ * 𝓚 ‖x + z‖ - 𝓚 ‖x - z‖ * 𝓚 ‖x - z‖ + I * 𝓚 ‖I • x + z‖ * 𝓚 ‖I • x + z‖ -
          I * 𝓚 ‖I • x - z‖ * 𝓚 ‖I • x - z‖) +
      4⁻¹ *
        (𝓚 ‖y + z‖ * 𝓚 ‖y + z‖ - 𝓚 ‖y - z‖ * 𝓚 ‖y - z‖ + I * 𝓚 ‖I • y + z‖ * 𝓚 ‖I • y + z‖ -
          I * 𝓚 ‖I • y - z‖ * 𝓚 ‖I • y - z‖)

Tactic:
have h8 := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y - z) z

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h1 :
  ‖x + y + z + (x - z)‖ * ‖x + y + z + (x - z)‖ + ‖x + y + z - (x - z)‖ * ‖x + y + z - (x - z)‖ =
    2 * (‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ + ‖x - z‖ * ‖x - z‖)
h2 :
  ‖x + y - z + (x + z)‖ * ‖x + y - z + (x + z)‖ + ‖x + y - z - (x + z)‖ * ‖x + y - z - (x + z)‖ =
    2 * (‖x + y - z‖ * ‖x + y - z‖ + ‖x + z‖ * ‖x + z‖)
h3 : ‖y + z + z‖ * ‖y + z + z‖ + ‖y + z - z‖ * ‖y + z - z‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
h4 : ‖y - z + z‖ * ‖y - z + z‖ + ‖y - z - z‖ * ‖y - z - z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
h5 :
  ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ +
      ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
h6 :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
h7 : ‖I • y + z + z‖ * ‖I • y + z + z‖ + ‖I • y + z - z‖ * ‖I • y + z - z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
h8 : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ 4⁻¹ *
      (𝓚 ‖x + y + z‖ * 𝓚 ‖x + y + z‖ - 𝓚 ‖x + y - z‖ * 𝓚 ‖x + y - z‖ + I * 𝓚 ‖I • (x + y) + z‖ * 𝓚 ‖I • (x + y) + z‖ -
        I * 𝓚 ‖I • (x + y) - z‖ * 𝓚 ‖I • (x + y) - z‖) =
    4⁻¹ *
        (𝓚 ‖x + z‖ * 𝓚 ‖x + z‖ - 𝓚 ‖x - z‖ * 𝓚 ‖x - z‖ + I * 𝓚 ‖I • x + z‖ * 𝓚 ‖I • x + z‖ -
          I * 𝓚 ‖I • x - z‖ * 𝓚 ‖I • x - z‖) +
      4⁻¹ *
        (𝓚 ‖y + z‖ * 𝓚 ‖y + z‖ - 𝓚 ‖y - z‖ * 𝓚 ‖y - z‖ + I * 𝓚 ‖I • y + z‖ * 𝓚 ‖I • y + z‖ -
          I * 𝓚 ‖I • y - z‖ * 𝓚 ‖I • y - z‖)