Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Pullback.IsPullback.Basic

Goal state before:
pp: case commfst
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : IsPullback fst snd f g
P' X' Y' Z' : C
fst' : P' ⟶ X'
snd' : P' ⟶ Y'
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
e₁ : P' ≅ P
e₂ : X' ≅ X
e₃ : Y' ≅ Y
e₄ : Z' ≅ Z
commfst : e₁.hom ≫ fst = fst' ≫ e₂.hom
commsnd : e₁.hom ≫ snd = snd' ≫ e₃.hom
commf : e₂.hom ≫ f = f' ≫ e₄.hom
commg : e₃.hom ≫ g = g' ≫ e₄.hom
⊢ fst ≫ e₂.symm.hom = e₁.symm.hom ≫ fst'

pp: case commsnd
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : IsPullback fst snd f g
P' X' Y' Z' : C
fst' : P' ⟶ X'
snd' : P' ⟶ Y'
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
e₁ : P' ≅ P
e₂ : X' ≅ X
e₃ : Y' ≅ Y
e₄ : Z' ≅ Z
commfst : e₁.hom ≫ fst = fst' ≫ e₂.hom
commsnd : e₁.hom ≫ snd = snd' ≫ e₃.hom
commf : e₂.hom ≫ f = f' ≫ e₄.hom
commg : e₃.hom ≫ g = g' ≫ e₄.hom
⊢ snd ≫ e₃.symm.hom = e₁.symm.hom ≫ snd'

pp: case commf
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : IsPullback fst snd f g
P' X' Y' Z' : C
fst' : P' ⟶ X'
snd' : P' ⟶ Y'
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
e₁ : P' ≅ P
e₂ : X' ≅ X
e₃ : Y' ≅ Y
e₄ : Z' ≅ Z
commfst : e₁.hom ≫ fst = fst' ≫ e₂.hom
commsnd : e₁.hom ≫ snd = snd' ≫ e₃.hom
commf : e₂.hom ≫ f = f' ≫ e₄.hom
commg : e₃.hom ≫ g = g' ≫ e₄.hom
⊢ f ≫ e₄.symm.hom = e₂.symm.hom ≫ f'

pp: case commg
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : IsPullback fst snd f g
P' X' Y' Z' : C
fst' : P' ⟶ X'
snd' : P' ⟶ Y'
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
e₁ : P' ≅ P
e₂ : X' ≅ X
e₃ : Y' ≅ Y
e₄ : Z' ≅ Z
commfst : e₁.hom ≫ fst = fst' ≫ e₂.hom
commsnd : e₁.hom ≫ snd = snd' ≫ e₃.hom
commf : e₂.hom ≫ f = f' ≫ e₄.hom
commg : e₃.hom ≫ g = g' ≫ e₄.hom
⊢ g ≫ e₄.symm.hom = e₃.symm.hom ≫ g'

Tactic:
· simp only [Iso.symm_hom, Iso.comp_inv_eq, Category.assoc, ← commfst, Iso.inv_hom_id_assoc]

Goal state after:
case commsnd
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : IsPullback fst snd f g
P' X' Y' Z' : C
fst' : P' ⟶ X'
snd' : P' ⟶ Y'
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
e₁ : P' ≅ P
e₂ : X' ≅ X
e₃ : Y' ≅ Y
e₄ : Z' ≅ Z
commfst : e₁.hom ≫ fst = fst' ≫ e₂.hom
commsnd : e₁.hom ≫ snd = snd' ≫ e₃.hom
commf : e₂.hom ≫ f = f' ≫ e₄.hom
commg : e₃.hom ≫ g = g' ≫ e₄.hom
⊢ snd ≫ e₃.symm.hom = e₁.symm.hom ≫ snd'

case commf
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : IsPullback fst snd f g
P' X' Y' Z' : C
fst' : P' ⟶ X'
snd' : P' ⟶ Y'
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
e₁ : P' ≅ P
e₂ : X' ≅ X
e₃ : Y' ≅ Y
e₄ : Z' ≅ Z
commfst : e₁.hom ≫ fst = fst' ≫ e₂.hom
commsnd : e₁.hom ≫ snd = snd' ≫ e₃.hom
commf : e₂.hom ≫ f = f' ≫ e₄.hom
commg : e₃.hom ≫ g = g' ≫ e₄.hom
⊢ f ≫ e₄.symm.hom = e₂.symm.hom ≫ f'

case commg
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : IsPullback fst snd f g
P' X' Y' Z' : C
fst' : P' ⟶ X'
snd' : P' ⟶ Y'
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
e₁ : P' ≅ P
e₂ : X' ≅ X
e₃ : Y' ≅ Y
e₄ : Z' ≅ Z
commfst : e₁.hom ≫ fst = fst' ≫ e₂.hom
commsnd : e₁.hom ≫ snd = snd' ≫ e₃.hom
commf : e₂.hom ≫ f = f' ≫ e₄.hom
commg : e₃.hom ≫ g = g' ≫ e₄.hom
⊢ g ≫ e₄.symm.hom = e₃.symm.hom ≫ g'