Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.PathELength

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
a b : ℝ
hr : riemannianEDist I x y < r
hab : a < b
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc 0 1)
hγ : pathELength I γ 0 1 < r
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha'b : a' < b
b' : ℝ
ha'b' : a' < b'
hb'b : b' < b
η : ℝ → ℝ := fun t ↦ ((b' - a')⁻¹ * (t - a')).smoothTransition
A : ∀ t < a', η t = 0
A' : ∀ t < a', (γ ∘ η) t = x
B : ∀ (t : ℝ), b' < t → η t = 1
B' : ∀ (t : ℝ), b' < t → (γ ∘ η) t = y
⊢ pathELength I (γ ∘ η) a b < r

pp: case refine_3
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
a b : ℝ
hr : riemannianEDist I x y < r
hab : a < b
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc 0 1)
hγ : pathELength I γ 0 1 < r
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha'b : a' < b
b' : ℝ
ha'b' : a' < b'
hb'b : b' < b
η : ℝ → ℝ := fun t ↦ ((b' - a')⁻¹ * (t - a')).smoothTransition
A : ∀ t < a', η t = 0
A' : ∀ t < a', (γ ∘ η) t = x
B : ∀ (t : ℝ), b' < t → η t = 1
B' : ∀ (t : ℝ), b' < t → (γ ∘ η) t = y
⊢ γ ∘ η =ᶠ[𝓝 a] fun x_1 ↦ x

pp: case refine_4
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
a b : ℝ
hr : riemannianEDist I x y < r
hab : a < b
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc 0 1)
hγ : pathELength I γ 0 1 < r
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha'b : a' < b
b' : ℝ
ha'b' : a' < b'
hb'b : b' < b
η : ℝ → ℝ := fun t ↦ ((b' - a')⁻¹ * (t - a')).smoothTransition
A : ∀ t < a', η t = 0
A' : ∀ t < a', (γ ∘ η) t = x
B : ∀ (t : ℝ), b' < t → η t = 1
B' : ∀ (t : ℝ), b' < t → (γ ∘ η) t = y
⊢ γ ∘ η =ᶠ[𝓝 b] fun x ↦ y

Tactic:
· convert! hγ using 1
    rw [← A a haa', ← B b hb'b]
    apply pathELength_comp_of_monotoneOn hab.le
    · apply Monotone.monotoneOn
      apply Real.smoothTransition.monotone.comp
      intro t u htu
      dsimp only
      gcongr
    · simp only [η]
      apply (ContDiff.contDiffOn _).differentiableOn one_ne_zero
      fun_prop
    · rw [A a haa', B b hb'b]
      apply γ_smooth.mdifferentiableOn one_ne_zero

Goal state after:
case refine_3
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
a b : ℝ
hr : riemannianEDist I x y < r
hab : a < b
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc 0 1)
hγ : pathELength I γ 0 1 < r
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha'b : a' < b
b' : ℝ
ha'b' : a' < b'
hb'b : b' < b
η : ℝ → ℝ := fun t ↦ ((b' - a')⁻¹ * (t - a')).smoothTransition
A : ∀ t < a', η t = 0
A' : ∀ t < a', (γ ∘ η) t = x
B : ∀ (t : ℝ), b' < t → η t = 1
B' : ∀ (t : ℝ), b' < t → (γ ∘ η) t = y
⊢ γ ∘ η =ᶠ[𝓝 a] fun x_1 ↦ x

case refine_4
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
a b : ℝ
hr : riemannianEDist I x y < r
hab : a < b
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc 0 1)
hγ : pathELength I γ 0 1 < r
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha'b : a' < b
b' : ℝ
ha'b' : a' < b'
hb'b : b' < b
η : ℝ → ℝ := fun t ↦ ((b' - a')⁻¹ * (t - a')).smoothTransition
A : ∀ t < a', η t = 0
A' : ∀ t < a', (γ ∘ η) t = x
B : ∀ (t : ℝ), b' < t → η t = 1
B' : ∀ (t : ℝ), b' < t → (γ ∘ η) t = y
⊢ γ ∘ η =ᶠ[𝓝 b] fun x ↦ y