mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
x : M
inst✝ : IsManifold I n M
s : TopologicalSpace.Opens M
hx : x ∈ s
⊢ IsImmersionAt I I n Subtype.val ⟨x, hx⟩

Tactic:
use PUnit, by infer_instance, by infer_instance

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
x : M
inst✝ : IsManifold I n M
s : TopologicalSpace.Opens M
hx : x ∈ s
⊢ IsImmersionAtOfComplement PUnit.{u_2 + 1} I I n Subtype.val ⟨x, hx⟩
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ
x : H
⊢ IsImmersionAt I 𝓘(𝕜, E) (↑n) (↑I) x

Tactic:
use PUnit, by infer_instance, by infer_instance

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ
x : H
⊢ IsImmersionAtOfComplement PUnit.{u_2 + 1} I 𝓘(𝕜, E) (↑n) (↑I) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
h : IsImmersionOfComplement F I J n f
hM : IsEmpty M
⊢ ∃ F x x_1, IsImmersionOfComplement F I J n f

Tactic:
use PUnit, by infer_instance, by infer_instance

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
h : IsImmersionOfComplement F I J n f
hM : IsEmpty M
⊢ IsImmersionOfComplement PUnit.{u + 1} I J n f
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
⊢ IsImmersion I I n id

Tactic:
use PUnit, by infer_instance, by infer_instance

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
⊢ IsImmersionOfComplement PUnit.{u_2 + 1} I I n id
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
s : TopologicalSpace.Opens M
⊢ IsImmersion I I n Subtype.val

Tactic:
use PUnit, by infer_instance, by infer_instance

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
s : TopologicalSpace.Opens M
⊢ IsImmersionOfComplement PUnit.{u_2 + 1} I I n Subtype.val
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ
⊢ IsImmersion I 𝓘(𝕜, E) ↑n ↑I

Tactic:
use PUnit, by infer_instance, by infer_instance

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ
⊢ IsImmersionOfComplement PUnit.{u_2 + 1} I 𝓘(𝕜, E) ↑n ↑I
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.Transform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v s
dt : ℝ
⊢ IsMIntegralCurveOn (γ ∘ fun x ↦ x + dt) v {t | t + dt ∈ s}

Tactic:
intro t ht
  rw [comp_apply, ← ContinuousLinearMap.comp_id (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ (t + dt))))]
  apply HasMFDerivWithinAt.comp t (hγ (t + dt) ht) _ subset_rfl
  refine ⟨(continuous_add_const _).continuousWithinAt, ?_⟩
  simp only [mfld_simps]
  exact (hasFDerivWithinAt_id _ _).add_const _

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U : ∀ (w : H) (w' : H'), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I w, ↑I' w')
⊢ ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) 𝓘(𝕜, E) n
    (Prod.fst ∘ fun x ↦
      (fderivWithin 𝕜
          (((fun p ↦ (↑I p.1, ↑I' p.2)) ∘ fun p ↦ (↑(chartAt H a.proj) p.1, ↑(chartAt H' b.proj) p.2)) ∘
            ↑((chartAt H x.1.proj).prod (chartAt H' x.2.proj).toPartialEquiv).symm ∘ ↑(I.prod I'.toPartialEquiv).symm)
          (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I (↑(chartAt H x.1.proj) x.1.proj), ↑I' (↑(chartAt H' x.2.proj) x.2.proj)))
        (x.1.snd, x.2.snd))
    (a, b)

Tactic:
have smooth_pM : CMDiffAt n (Prod.fst : TangentBundle I M × TangentBundle I' M' → _) (a, b) :=
      contMDiffAt_fst

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U : ∀ (w : H) (w' : H'), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I w, ↑I' w')
smooth_pM : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I.tangent n Prod.fst (a, b)
⊢ ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) 𝓘(𝕜, E) n
    (Prod.fst ∘ fun x ↦
      (fderivWithin 𝕜
          (((fun p ↦ (↑I p.1, ↑I' p.2)) ∘ fun p ↦ (↑(chartAt H a.proj) p.1, ↑(chartAt H' b.proj) p.2)) ∘
            ↑((chartAt H x.1.proj).prod (chartAt H' x.2.proj).toPartialEquiv).symm ∘ ↑(I.prod I'.toPartialEquiv).symm)
          (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I (↑(chartAt H x.1.proj) x.1.proj), ↑I' (↑(chartAt H' x.2.proj) x.2.proj)))
        (x.1.snd, x.2.snd))
    (a, b)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
inst✝³ : IsManifold I 2 M
inst✝² : IsManifold I' 2 M'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffOn I I' 2 f s
hx₀ : x₀ ∈ s
ht : t ⊆ (extChartAt I' (f x₀)).source
hst : MapsTo f s t
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
A' : x₀ = ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)
h'f : MDiffAt[s] f x₀
this : (mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)).inverse = mfderiv% ↑(extChartAt I x₀) x₀
V' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x := ⋯
hV' : V' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) V (range ↑I')
W' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x := ⋯
hW' : W' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) W (range ↑I')
F : E → E' := ⋯
hF : F = (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm
hFx₀ : ↑(extChartAt I' (f x₀)) (f x₀) = F (↑(extChartAt I x₀) x₀)
P :
  ∀ (Y : (x : M') → TangentSpace I' x),
    mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm) (mpullbackWithin I I' f Y s)
        (range ↑I) =ᶠ[𝓝[↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x₀) x₀]
      mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') F (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) Y (range ↑I'))
        (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
⊢ MapsTo (↑(extChartAt I x₀).symm) (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) s

Tactic:
· exact (mapsTo_preimage _ _).mono_left inter_subset_left

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.ExistUnique

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I 1 M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : BoundarylessManifold I M
hγ : IsMIntegralCurve γ v
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
a b : ℝ
heq : γ a = γ b
hne : a ≠ b
hab : a - b < 0
⊢ Periodic γ |a - b|

Tactic:
rw [abs_of_neg hab, neg_sub]
      exact hγ.periodic_of_eq hv heq.symm

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: case hu
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
inst✝³ : IsManifold I 2 M
inst✝² : IsManifold I' 2 M'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffOn I I' 2 f s
hx₀ : x₀ ∈ s
ht : t ⊆ (extChartAt I' (f x₀)).source
hst : MapsTo f s t
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
A' : x₀ = ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)
h'f : MDiffAt[s] f x₀
this : (mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)).inverse = mfderiv% ↑(extChartAt I x₀) x₀
V' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) V (range ↑I')
hV' : V' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) V (range ↑I')
W' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) W (range ↑I')
hW' : W' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) W (range ↑I')
F : E → E' := (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm
hF : F = (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm
hFx₀ : ↑(extChartAt I' (f x₀)) (f x₀) = F (↑(extChartAt I x₀) x₀)
P :
  ∀ (Y : (x : M') → TangentSpace I' x),
    mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm) (mpullbackWithin I I' f Y s)
        (range ↑I) =ᶠ[𝓝[↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x₀) x₀]
      mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') F (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) Y (range ↑I'))
        (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 ((extChartAt I x₀).target ∩ ↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s)

Tactic:
exact UniqueMDiffOn.uniqueDiffOn_target_inter hu x₀

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu✝ : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffWithinAt I I' 2 f s x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
hfi : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
this✝ : CompleteSpace E'
u : Set M
u_open : IsOpen[inst✝⁹] u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : ContMDiffOn I I' 2 f (insert x₀ s ∩ u)
this : f ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀)).source ∈ 𝓝[s] x₀
w : Set M
w_open : IsOpen[inst✝⁹] w
x₀w : x₀ ∈ w
hw : w ∩ s ⊆ f ⁻¹' t ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀)).source
⊢ x₀ ∈ u ∩ w

Tactic:
by simp [x₀u, x₀w]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.PathELength

Goal state before:
pp: case hf
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
a b : ℝ
hr : riemannianEDist I x y < r
hab : a < b
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc 0 1)
hγ : pathELength I γ 0 1 < r
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha'b : a' < b
b' : ℝ
ha'b' : a' < b'
hb'b : b' < b
η : ℝ → ℝ := ⋯
A : ∀ t < a', η t = 0
A' : ∀ t < a', (γ ∘ η) t = x
B : ∀ (t : ℝ), b' < t → η t = 1
B' : ∀ (t : ℝ), b' < t → (γ ∘ η) t = y
⊢ Monotone η

Tactic:
apply Real.smoothTransition.monotone.comp

Goal state after:
case hf
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
a b : ℝ
hr : riemannianEDist I x y < r
hab : a < b
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc 0 1)
hγ : pathELength I γ 0 1 < r
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha'b : a' < b
b' : ℝ
ha'b' : a' < b'
hb'b : b' < b
η : ℝ → ℝ := ⋯
A : ∀ t < a', η t = 0
A' : ∀ t < a', (γ ∘ η) t = x
B : ∀ (t : ℝ), b' < t → η t = 1
B' : ∀ (t : ℝ), b' < t → (γ ∘ η) t = y
⊢ Monotone fun t ↦ (b' - a')⁻¹ * (t - a')
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: case hs
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : IsManifold I' (minSmoothness 𝕜 2) M'
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s u : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hs : UniqueMDiff[s]
hu : UniqueMDiff[u]
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f u x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
h'x₀ : x₀ ∈ closure[inst✝⁹] (interior u)
hsu : s ⊆ u
B :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' u ∩ (extChartAt I x₀).target) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
this :
  ↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ (extChartAt I x₀).target =ᶠ[𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀)]
    ↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 ((extChartAt I x₀).target ∩ ↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' u)

Tactic:
exact UniqueMDiffOn.uniqueDiffOn_target_inter hu x₀

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
n : ℕ∞ω
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
F : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
γ : Path x y
hγ : ContMDiff (𝓡∂ 1) 𝓘(ℝ, F) 1 ⇑γ
⊢ edist x y ≤ ∫⁻ (x_1 : ↑unitInterval), ‖(mfderiv% ⇑γ x_1) 1‖ₑ

Tactic:
let e : ℝ → F := γ ∘ (projIcc 0 1 zero_le_one)

Goal state after:
case refine_1
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
n : ℕ∞ω
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
F : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
γ : Path x y
hγ : ContMDiff (𝓡∂ 1) 𝓘(ℝ, F) 1 ⇑γ
e : ℝ → F := ⇑γ ∘ projIcc 0 1 ⋯
⊢ edist x y ≤ ∫⁻ (x_1 : ↑unitInterval), ‖(mfderiv% ⇑γ x_1) 1‖ₑ
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: case ht
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : IsManifold I' (minSmoothness 𝕜 2) M'
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s u : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hs : UniqueMDiff[s]
hu : UniqueMDiff[u]
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f u x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
h'x₀ : x₀ ∈ closure[inst✝⁹] (interior u)
hsu : s ⊆ u
B :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' u ∩ (extChartAt I x₀).target) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
this✝ :
  ↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ (extChartAt I x₀).target =ᶠ[𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀)]
    ↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I
this :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' u ∩ (extChartAt I x₀).target) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 ((extChartAt I x₀).target ∩ ↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' u)

Tactic:
exact UniqueMDiffOn.uniqueDiffOn_target_inter hu x₀

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU : ContMDiffWithinAt I I.tangent n (fun x ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV : ContMDiffWithinAt I I.tangent n (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiff[s]
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
⊢ m + 1 ≤ minSmoothness 𝕜 (m + 1)

Tactic:
← le_minSmoothness

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst✝¹ : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU : ContMDiffWithinAt I I.tangent n (fun x ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV : ContMDiffWithinAt I I.tangent n (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiff[s]
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
⊢ m + 1 ≤ m + 1
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Submersion

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
E'' : Type u_3
F : Type u_5
H : Type u_7
G : Type u_9
E : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
h : IsSubmersionOfComplement F I J n f
hM : IsEmpty M
⊢ ∃ F x x_1, IsSubmersionOfComplement F I J n f

Tactic:
use PUnit, by infer_instance, by infer_instance

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
E'' : Type u_3
F : Type u_5
H : Type u_7
G : Type u_9
E : Type u
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
h : IsSubmersionOfComplement F I J n f
hM : IsEmpty M
⊢ IsSubmersionOfComplement PUnit.{u + 1} I J n f