Module: Mathlib.Probability.Kernel.Composition.MeasureCompProd

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
ξ : Measure α
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η
hμ : ξ ≪ μ
hν : ξ ≪ ν
hs : MeasurableSet h.nullSet
hμ_zero : (fun a ↦ (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' h.nullSet)) =ᵐ[μ] 0
hν_zero : (fun a ↦ (η a) (Prod.mk a ⁻¹' h.nullSetᶜ)) =ᵐ[ν] 0
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ξ, κ x ⟂ₘ η x

pp: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
ξ : Measure α
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η
hμ : ξ ≪ μ
hν : ξ ≪ ν
hs : MeasurableSet h.nullSet
hμ_zero : (fun a ↦ (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' h.nullSet)) =ᵐ[μ] 0
hν_zero : ∫⁻ (a : α), (η a) (Prod.mk a ⁻¹' h.nullSetᶜ) ∂ν = 0
⊢ AEMeasurable (fun a ↦ (η a) (Prod.mk a ⁻¹' h.nullSetᶜ)) ν

pp: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
ξ : Measure α
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η
hμ : ξ ≪ μ
hν : ξ ≪ ν
hs : MeasurableSet h.nullSet
hμ_zero : ∫⁻ (a : α), (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' h.nullSet) ∂μ = 0
hν_zero : ∫⁻ (a : α), (η a) (Prod.mk a ⁻¹' h.nullSetᶜ) ∂ν = 0
⊢ AEMeasurable (fun a ↦ (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' h.nullSet)) μ

pp: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
ξ : Measure α
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η
hμ : ξ ≪ μ
hν : ξ ≪ ν
hs : MeasurableSet h.nullSet
hμ_zero : ∫⁻ (a : α), (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' h.nullSet) ∂μ = 0
hν_zero : (ν ⊗ₘ η) h.nullSetᶜ = 0
⊢ MeasurableSet h.nullSetᶜ

pp: α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
ξ : Measure α
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η
hμ : ξ ≪ μ
hν : ξ ≪ ν
hs : MeasurableSet h.nullSet
hμ_zero : (μ ⊗ₘ κ) h.nullSet = 0
hν_zero : (ν ⊗ₘ η) h.nullSetᶜ = 0
⊢ MeasurableSet h.nullSet

Tactic:
· filter_upwards [hμ hμ_zero, hν hν_zero] with x hxμ hxν
    exact ⟨Prod.mk x ⁻¹' h.nullSet, measurable_prodMk_left hs, ⟨hxμ, hxν⟩⟩

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
ξ : Measure α
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η
hμ : ξ ≪ μ
hν : ξ ≪ ν
hs : MeasurableSet h.nullSet
hμ_zero : (fun a ↦ (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' h.nullSet)) =ᵐ[μ] 0
hν_zero : ∫⁻ (a : α), (η a) (Prod.mk a ⁻¹' h.nullSetᶜ) ∂ν = 0
⊢ AEMeasurable (fun a ↦ (η a) (Prod.mk a ⁻¹' h.nullSetᶜ)) ν

α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
ξ : Measure α
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η
hμ : ξ ≪ μ
hν : ξ ≪ ν
hs : MeasurableSet h.nullSet
hμ_zero : ∫⁻ (a : α), (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' h.nullSet) ∂μ = 0
hν_zero : ∫⁻ (a : α), (η a) (Prod.mk a ⁻¹' h.nullSetᶜ) ∂ν = 0
⊢ AEMeasurable (fun a ↦ (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' h.nullSet)) μ

α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
ξ : Measure α
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η
hμ : ξ ≪ μ
hν : ξ ≪ ν
hs : MeasurableSet h.nullSet
hμ_zero : ∫⁻ (a : α), (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' h.nullSet) ∂μ = 0
hν_zero : (ν ⊗ₘ η) h.nullSetᶜ = 0
⊢ MeasurableSet h.nullSetᶜ

α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ ν : Measure α
κ η : Kernel α β
ξ : Measure α
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
h : μ ⊗ₘ κ ⟂ₘ ν ⊗ₘ η
hμ : ξ ≪ μ
hν : ξ ≪ ν
hs : MeasurableSet h.nullSet
hμ_zero : (μ ⊗ₘ κ) h.nullSet = 0
hν_zero : (ν ⊗ₘ η) h.nullSetᶜ = 0
⊢ MeasurableSet h.nullSet