mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.GroupTheory.FreeGroup.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u
a₁ : α
b₁ : Bool
a₂ : α
b₂ : Bool
L₁ : List (α × Bool)
hL₁ : ∀ (L₂ : List (α × Bool)), ¬Red.Step ((a₁, b₁) :: (a₂, b₂) :: L₁) L₂
⊢ (a₁, b₁).1 = (a₂, b₂).1 → (a₁, b₁).2 = (a₂, b₂).2

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
α : Type u
a₁ : α
b₁ b₂ : Bool
L₁ : List (α × Bool)
hL₁ : ∀ (L₂ : List (α × Bool)), ¬Red.Step ((a₁, b₁) :: ((a₁, b₁).1, b₂) :: L₁) L₂
⊢ (a₁, b₁).2 = ((a₁, b₁).1, b₂).2
Module: Mathlib.GroupTheory.FreeGroup.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u
a₁ : α
b₁ b₂ : Bool
L₁ : List (α × Bool)
hL₁ : ∀ (L₂ : List (α × Bool)), ¬Red.Step ((a₁, b₁) :: ((a₁, b₁).1, b₂) :: L₁) L₂
⊢ ((a₁, b₁).1, b₂).2 ≠ !(a₁, b₁).2

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
α : Type u
a₁ : α
b₁ : Bool
L₁ : List (α × Bool)
hL₁ : ∀ (L₂ : List (α × Bool)), ¬Red.Step ((a₁, b₁) :: ((a₁, b₁).1, !(a₁, b₁).2) :: L₁) L₂
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Group.Finset.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
s : Finset ι
f : ι → M
a : ι
h₀ : ∀ b ∈ s, b ≠ a → f b = 1
h₁ : a ∉ s → f a = 1
this✝ : DecidableEq ι
this : a ∉ s
b : ι
hb : b ∈ s
⊢ b ≠ a

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
ι : Type u_1
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
s : Finset ι
f : ι → M
this✝ : DecidableEq ι
b : ι
hb : b ∈ s
h₀ : ∀ b_1 ∈ s, b_1 ≠ b → f b_1 = 1
h₁ : b ∉ s → f b = 1
this : b ∉ s
⊢ False
Module: Mathlib.GroupTheory.FreeGroup.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f✝ : α → β
x y : FreeGroup α
f : α → β
⊢ (fun g ↦ ⇑g ∘ of) ((fun f ↦ MonoidHom.mk' (Quot.lift (Lift.aux f) ⋯) ⋯) f) = f

Tactic:
ext; simp [of, Lift.aux]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.FreeGroup.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
g : FreeGroup α →* β
⊢ (fun f ↦ MonoidHom.mk' (Quot.lift (Lift.aux f) ⋯) ⋯) ((fun g ↦ ⇑g ∘ of) g) = g

Tactic:
ext; simp [of, Lift.aux]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.FreeGroup.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
⊢ Function.Surjective ⇑(lift f) ↔ Subgroup.closure (Set.range f) = ⊤

Tactic:
by
  rw [← MonoidHom.range_eq_top, range_lift_eq_closure]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.FreeGroup.Basic

Goal state before:
pp: case pred
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : Unique α
x : ℕ
hx : (fun x ↦ ((map 1) x).sum) ((fun x ↦ of default ^ x) (-↑x)) = -↑x
⊢ (fun x ↦ ((map 1) x).sum) ((fun x ↦ of default ^ x) (-↑x - 1)) = -↑x - 1

Tactic:
| pred x hx =>

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.Finiteness

Goal state before:
pp: M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
P : Submonoid M
Q : Submonoid N
bM : Finset M
hbM : closure ↑bM = P
bN : Finset N
hbN : closure ↑bN = Q
⊢ closure ↑(bM ×ˢ {1} ∪ {1} ×ˢ bN) = P.prod Q

Tactic:
push_cast

Goal state after:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
P : Submonoid M
Q : Submonoid N
bM : Finset M
hbM : closure ↑bM = P
bN : Finset N
hbN : closure ↑bN = Q
⊢ closure (↑bM ×ˢ {1} ∪ {1} ×ˢ ↑bN) = P.prod Q
Module: Mathlib.GroupTheory.QuotientGroup.Defs

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
s t : Set G
⊢ mk '' s = mk '' t ↔ ↑N * s = ↑N * t

Tactic:
simp_rw [← preimage_image_coe]
  exact QuotientGroup.mk_surjective.preimage_injective.eq_iff.symm

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.Abelianization.Defs

Goal state before:
pp: G : Type u
inst✝¹ : Group G
A : Type v
inst✝ : CommGroup A
f : G →* A
⊢ commutator G ≤ f.ker

Tactic:
commutator_eq_closure,

Goal state after:
G : Type u
inst✝¹ : Group G
A : Type v
inst✝ : CommGroup A
f : G →* A
⊢ Subgroup.closure (commutatorSet G) ≤ f.ker
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Group.Finset.Basic

Goal state before:
pp: case insert
ι : Type u_1
M : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
m : Multiset ι
f : ι → α → M
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
ih : (map (fun i ↦ ∏ a ∈ s, f i a) m).prod = ∏ a ∈ s, (map (fun i ↦ f i a) m).prod
⊢ (map (fun i ↦ ∏ a ∈ insert a s, f i a) m).prod = ∏ a ∈ insert a s, (map (fun i ↦ f i a) m).prod

Tactic:
| insert a s ha ih =>

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.Commutator.Basic

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
⊢ H ≤ centralizer ↑H ↔ IsMulCommutative ↥H

Tactic:
le_centralizer_iff_isMulCommutative

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
⊢ IsMulCommutative ↥H ↔ IsMulCommutative ↥H
Module: Mathlib.GroupTheory.Commutator.Basic

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
⊢ ⁅H, center G⁆ = ⊥

Tactic:
by
  simp [commutator_eq_bot_iff_le_centralizer]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Group.Finset.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
s : Multiset ι
k : ℕ
h : ∀ a ∈ s, k ∣ count a s
⊢ ∃ u, s = k • u

Tactic:
use ∑ a ∈ s.toFinset, (s.count a / k) • {a}
  have h₂ :
    (∑ x ∈ s.toFinset, k • (count x s / k) • ({x} : Multiset ι)) =
      ∑ x ∈ s.toFinset, count x s • {x} := by
    apply Finset.sum_congr rfl
    intro x hx
    rw [← mul_nsmul', Nat.mul_div_cancel' (h x (mem_toFinset.mp hx))]
  rw [← Finset.sum_nsmul, h₂, toFinset_sum_count_nsmul_eq]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.Commutator.Basic

Goal state before:
pp: case right
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H₁ H₂ : Subgroup G
f : G →* G'
p : G
hp : p ∈ ↑H₁
q : G
hq : q ∈ ↑H₂
⊢ ⁅f p, f q⁆ ∈ map f ⁅H₁, H₂⁆

Tactic:
← map_commutatorElement

Goal state after:
case right
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H₁ H₂ : Subgroup G
f : G →* G'
p : G
hp : p ∈ ↑H₁
q : G
hq : q ∈ ↑H₂
⊢ f ⁅p, q⁆ ∈ map f ⁅H₁, H₂⁆
Module: Mathlib.GroupTheory.Commutator.Basic

Goal state before:
pp: case a.left
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H₁ H₂ : Subgroup G
K₁ K₂ : Subgroup G'
⊢ map (MonoidHom.inl G G') ⁅H₁, H₂⁆ ≤ ⁅H₁.prod K₁, H₂.prod K₂⁆

Tactic:
rw [map_commutator]
        apply commutator_mono <;>
          simp [le_prod_iff, map_map, MonoidHom.fst_comp_inl, MonoidHom.snd_comp_inl,
            MonoidHom.fst_comp_inr, MonoidHom.snd_comp_inr]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.Commutator.Basic

Goal state before:
pp: case a.right
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H₁ H₂ : Subgroup G
K₁ K₂ : Subgroup G'
⊢ map (MonoidHom.inr G G') ⁅K₁, K₂⁆ ≤ ⁅H₁.prod K₁, H₂.prod K₂⁆

Tactic:
rw [map_commutator]
        apply commutator_mono <;>
          simp [le_prod_iff, map_map, MonoidHom.fst_comp_inl, MonoidHom.snd_comp_inl,
            MonoidHom.fst_comp_inr, MonoidHom.snd_comp_inr]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.FreeAbelianGroup

Goal state before:
pp: α : Type u
G : Type u_1
β : Type v
γ : Type w
T : Type u_2
inst✝ : Unique T
z x y : FreeAbelianGroup T
hx : (fun n ↦ n • of default) ((lift fun x ↦ 1) x) = x
hy : (fun n ↦ n • of default) ((lift fun x ↦ 1) y) = y
⊢ (fun n ↦ n • of default) ((lift fun x ↦ 1) (x + y)) = x + y

Tactic:
simp only [map_add, add_smul] at *

Goal state after:
α : Type u
G : Type u_1
β : Type v
γ : Type w
T : Type u_2
inst✝ : Unique T
z x y : FreeAbelianGroup T
hx : (lift fun x ↦ 1) x • of default = x
hy : (lift fun x ↦ 1) y • of default = y
⊢ (lift fun x ↦ 1) x • of default + (lift fun x ↦ 1) y • of default = x + y
Module: Mathlib.Algebra.Order.Hom.Monoid

Goal state before:
pp: α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : MulOneClass α
inst✝¹ : MulOneClass β
inst✝ : MulOneClass γ
g : β →*o γ
f₁ f₂ : α →*o β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ (g.comp f₂) a = g (f₂ a)

Tactic:
comp_apply

Goal state after:
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : MulOneClass α
inst✝¹ : MulOneClass β
inst✝ : MulOneClass γ
g : β →*o γ
f₁ f₂ : α →*o β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₂ a) = g (f₂ a)
Module: Mathlib.Algebra.Order.Hom.Monoid

Goal state before:
pp: α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : Mul β
inst✝ : Mul γ
g₁ g₂ : α ≃*o β
f : β ≃*o γ
hf : Injective ⇑f
⊢ g₁ = g₂ → g₁.trans f = g₂.trans f

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : Mul β
inst✝ : Mul γ
g₁ : α ≃*o β
f : β ≃*o γ
hf : Injective ⇑f
⊢ g₁.trans f = g₁.trans f
Module: Mathlib.GroupTheory.MonoidLocalization.Maps

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x y : M × ↥S
⊢ g x.1 * ↑((IsUnit.liftRight (g.domRestrict S) hg) x.2)⁻¹ = g y.1 * ↑((IsUnit.liftRight (g.domRestrict S) hg) y.2)⁻¹ ↔
    g (x.1 * ↑y.2) = g (y.1 * ↑x.2)

Tactic:
mul_inv hg

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x y : M × ↥S
⊢ g (x.1 * ↑y.2) = g (y.1 * ↑x.2) ↔ g (x.1 * ↑y.2) = g (y.1 * ↑x.2)
Module: Mathlib.GroupTheory.MonoidLocalization.Basic

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
a b c d : M × ↥S
t₁ : ↥S
ht₁ : ↑t₁ * (↑b.2 * a.1) = ↑t₁ * (↑a.2 * b.1)
t₂ : ↥S
ht₂ : ↑t₂ * (↑d.2 * c.1) = ↑t₂ * (↑c.2 * d.1)
⊢ ↑t₂ * (↑d.2 * c.1) * (↑t₁ * (↑b.2 * a.1)) = ↑t₂ * ↑t₁ * (↑a.2 * ↑c.2 * (b.1 * d.1))

Tactic:
rw [ht₁, ht₂]; ac_rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Hom.MonoidWithZero

Goal state before:
pp: α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : MulZeroOneClass α
inst✝¹ : MulZeroOneClass β
inst✝ : MulZeroOneClass γ
g : β →*₀o γ
f₁ f₂ : α →*₀o β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ (g.comp f₂) a = g (f₂ a)

Tactic:
comp_apply

Goal state after:
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : MulZeroOneClass α
inst✝¹ : MulZeroOneClass β
inst✝ : MulZeroOneClass γ
g : β →*₀o γ
f₁ f₂ : α →*₀o β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₂ a) = g (f₂ a)
Module: Mathlib.Algebra.Order.Hom.Ring

Goal state before:
pp: α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : NonAssocSemiring α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : NonAssocSemiring β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : NonAssocSemiring γ
inst✝ : Preorder γ
f : β →+*o γ
g₁ g₂ : α →+*o β
hf : Injective ⇑f
h : f.comp g₁ = f.comp g₂
a : α
⊢ (f.comp g₂) a = f (g₂ a)

Tactic:
comp_apply

Goal state after:
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : NonAssocSemiring α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : NonAssocSemiring β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : NonAssocSemiring γ
inst✝ : Preorder γ
f : β →+*o γ
g₁ g₂ : α →+*o β
hf : Injective ⇑f
h : f.comp g₁ = f.comp g₂
a : α
⊢ f (g₂ a) = f (g₂ a)
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.WithTop

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a : WithTop α
h : a ≠ 0
⊢ a * ⊤ = ⊤

Tactic:
by rw [mul_top', if_neg h]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.OreLocalization.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
m : R'
x : OreLocalization S X
⊢ (r • m) • x = r • m • x

Tactic:
← smul_one_oreDiv_one_smul,

Goal state after:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
m : R'
x : OreLocalization S X
⊢ ((r • m) • 1 /ₒ 1) • x = r • m • x
Module: Mathlib.GroupTheory.OreLocalization.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
m : R'
x : OreLocalization S X
⊢ ((r • m) • 1 /ₒ 1) • x = r • m • x

Tactic:
← smul_one_oreDiv_one_smul,

Goal state after:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
m : R'
x : OreLocalization S X
⊢ ((r • m) • 1 /ₒ 1) • x = (r • 1 /ₒ 1) • m • x
Module: Mathlib.GroupTheory.OreLocalization.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
m : R'
x : OreLocalization S X
⊢ ((r • m) • 1 /ₒ 1) • x = (r • 1 /ₒ 1) • m • x

Tactic:
← smul_one_oreDiv_one_smul,

Goal state after:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
m : R'
x : OreLocalization S X
⊢ ((r • m) • 1 /ₒ 1) • x = (r • 1 /ₒ 1) • (m • 1 /ₒ 1) • x
Module: Mathlib.GroupTheory.OreLocalization.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
m : OreLocalization S M
x : OreLocalization S X
⊢ (r • m) • x = r • m • x

Tactic:
← smul_one_oreDiv_one_smul,

Goal state after:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
m : OreLocalization S M
x : OreLocalization S X
⊢ ((r • 1 /ₒ 1) • m) • x = r • m • x
Module: Mathlib.GroupTheory.OreLocalization.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
m : OreLocalization S M
x : OreLocalization S X
⊢ ((r • 1 /ₒ 1) • m) • x = r • m • x

Tactic:
← smul_one_oreDiv_one_smul,

Goal state after:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
m : OreLocalization S M
x : OreLocalization S X
⊢ ((r • 1 /ₒ 1) • m) • x = (r • 1 /ₒ 1) • m • x
Module: Mathlib.GroupTheory.OreLocalization.Basic

Goal state before:
pp: case c.c
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹³ : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹² : OreSet S
inst✝¹¹ : MulAction M X
inst✝¹⁰ : SMul R X
inst✝⁹ : SMul R M
inst✝⁸ : IsScalarTower R M M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M X
inst✝⁶ : SMul R' X
inst✝⁵ : SMul R' M
inst✝⁴ : IsScalarTower R' M M
inst✝³ : IsScalarTower R' M X
inst✝² : SMul R R'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' M
inst✝ : SMulCommClass R M M
r : R
r₁ : M
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
⊢ r • (r₁ /ₒ s₁) • (r₂ /ₒ s₂) = (r₁ /ₒ s₁) • r • (r₂ /ₒ s₂)

Tactic:
← smul_one_oreDiv_one_smul,

Goal state after:
case c.c
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹³ : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹² : OreSet S
inst✝¹¹ : MulAction M X
inst✝¹⁰ : SMul R X
inst✝⁹ : SMul R M
inst✝⁸ : IsScalarTower R M M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M X
inst✝⁶ : SMul R' X
inst✝⁵ : SMul R' M
inst✝⁴ : IsScalarTower R' M M
inst✝³ : IsScalarTower R' M X
inst✝² : SMul R R'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' M
inst✝ : SMulCommClass R M M
r : R
r₁ : M
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
⊢ (r • 1 /ₒ 1) • (r₁ /ₒ s₁) • (r₂ /ₒ s₂) = (r₁ /ₒ s₁) • r • (r₂ /ₒ s₂)
Module: Mathlib.GroupTheory.OreLocalization.Basic

Goal state before:
pp: case c.c
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹³ : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹² : OreSet S
inst✝¹¹ : MulAction M X
inst✝¹⁰ : SMul R X
inst✝⁹ : SMul R M
inst✝⁸ : IsScalarTower R M M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M X
inst✝⁶ : SMul R' X
inst✝⁵ : SMul R' M
inst✝⁴ : IsScalarTower R' M M
inst✝³ : IsScalarTower R' M X
inst✝² : SMul R R'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' M
inst✝ : SMulCommClass R M M
r : R
r₁ : M
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
⊢ (r • 1 /ₒ 1) • (r₁ /ₒ s₁) • (r₂ /ₒ s₂) = (r₁ /ₒ s₁) • r • (r₂ /ₒ s₂)

Tactic:
← smul_one_oreDiv_one_smul,

Goal state after:
case c.c
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹³ : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹² : OreSet S
inst✝¹¹ : MulAction M X
inst✝¹⁰ : SMul R X
inst✝⁹ : SMul R M
inst✝⁸ : IsScalarTower R M M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M X
inst✝⁶ : SMul R' X
inst✝⁵ : SMul R' M
inst✝⁴ : IsScalarTower R' M M
inst✝³ : IsScalarTower R' M X
inst✝² : SMul R R'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' M
inst✝ : SMulCommClass R M M
r : R
r₁ : M
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
⊢ (r • 1 /ₒ 1) • (r₁ /ₒ s₁) • (r₂ /ₒ s₂) = (r₁ /ₒ s₁) • (r • 1 /ₒ 1) • (r₂ /ₒ s₂)
Module: Mathlib.GroupTheory.OreLocalization.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹⁷ : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹⁶ : OreSet S
inst✝¹⁵ : MulAction M X
inst✝¹⁴ : SMul R X
inst✝¹³ : SMul R M
inst✝¹² : IsScalarTower R M M
inst✝¹¹ : IsScalarTower R M X
inst✝¹⁰ : SMul R' X
inst✝⁹ : SMul R' M
inst✝⁸ : IsScalarTower R' M M
inst✝⁷ : IsScalarTower R' M X
inst✝⁶ : SMul R R'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' M
inst✝⁴ : SMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝³ : SMul Rᵐᵒᵖ X
inst✝² : IsScalarTower Rᵐᵒᵖ M M
inst✝¹ : IsScalarTower Rᵐᵒᵖ M X
inst✝ : IsCentralScalar R M
r : R
x : OreLocalization S X
⊢ MulOpposite.op r • x = r • x

Tactic:
← smul_one_oreDiv_one_smul,

Goal state after:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹⁷ : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹⁶ : OreSet S
inst✝¹⁵ : MulAction M X
inst✝¹⁴ : SMul R X
inst✝¹³ : SMul R M
inst✝¹² : IsScalarTower R M M
inst✝¹¹ : IsScalarTower R M X
inst✝¹⁰ : SMul R' X
inst✝⁹ : SMul R' M
inst✝⁸ : IsScalarTower R' M M
inst✝⁷ : IsScalarTower R' M X
inst✝⁶ : SMul R R'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' M
inst✝⁴ : SMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝³ : SMul Rᵐᵒᵖ X
inst✝² : IsScalarTower Rᵐᵒᵖ M M
inst✝¹ : IsScalarTower Rᵐᵒᵖ M X
inst✝ : IsCentralScalar R M
r : R
x : OreLocalization S X
⊢ (MulOpposite.op r • 1 /ₒ 1) • x = r • x
Module: Mathlib.GroupTheory.OreLocalization.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹⁷ : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹⁶ : OreSet S
inst✝¹⁵ : MulAction M X
inst✝¹⁴ : SMul R X
inst✝¹³ : SMul R M
inst✝¹² : IsScalarTower R M M
inst✝¹¹ : IsScalarTower R M X
inst✝¹⁰ : SMul R' X
inst✝⁹ : SMul R' M
inst✝⁸ : IsScalarTower R' M M
inst✝⁷ : IsScalarTower R' M X
inst✝⁶ : SMul R R'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' M
inst✝⁴ : SMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝³ : SMul Rᵐᵒᵖ X
inst✝² : IsScalarTower Rᵐᵒᵖ M M
inst✝¹ : IsScalarTower Rᵐᵒᵖ M X
inst✝ : IsCentralScalar R M
r : R
x : OreLocalization S X
⊢ (MulOpposite.op r • 1 /ₒ 1) • x = r • x

Tactic:
← smul_one_oreDiv_one_smul,

Goal state after:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹⁷ : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹⁶ : OreSet S
inst✝¹⁵ : MulAction M X
inst✝¹⁴ : SMul R X
inst✝¹³ : SMul R M
inst✝¹² : IsScalarTower R M M
inst✝¹¹ : IsScalarTower R M X
inst✝¹⁰ : SMul R' X
inst✝⁹ : SMul R' M
inst✝⁸ : IsScalarTower R' M M
inst✝⁷ : IsScalarTower R' M X
inst✝⁶ : SMul R R'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' M
inst✝⁴ : SMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝³ : SMul Rᵐᵒᵖ X
inst✝² : IsScalarTower Rᵐᵒᵖ M M
inst✝¹ : IsScalarTower Rᵐᵒᵖ M X
inst✝ : IsCentralScalar R M
r : R
x : OreLocalization S X
⊢ (MulOpposite.op r • 1 /ₒ 1) • x = (r • 1 /ₒ 1) • x
Module: Mathlib.GroupTheory.OreLocalization.Basic

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹⁷ : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹⁶ : OreSet S
inst✝¹⁵ : MulAction M X
inst✝¹⁴ : SMul R✝ X
inst✝¹³ : SMul R✝ M
inst✝¹² : IsScalarTower R✝ M M
inst✝¹¹ : IsScalarTower R✝ M X
inst✝¹⁰ : SMul R' X
inst✝⁹ : SMul R' M
inst✝⁸ : IsScalarTower R' M M
inst✝⁷ : IsScalarTower R' M X
inst✝⁶ : SMul R✝ R'
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ R' M
R : Type ?u.51
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : MulAction R M
inst✝² : IsScalarTower R M M
inst✝¹ : MulAction R X
inst✝ : IsScalarTower R M X
x : X
s : ↥S
⊢ 1 • (x /ₒ s) = x /ₒ s

Tactic:
← smul_one_oreDiv_one_smul,

Goal state after:
R✝ : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹⁷ : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹⁶ : OreSet S
inst✝¹⁵ : MulAction M X
inst✝¹⁴ : SMul R✝ X
inst✝¹³ : SMul R✝ M
inst✝¹² : IsScalarTower R✝ M M
inst✝¹¹ : IsScalarTower R✝ M X
inst✝¹⁰ : SMul R' X
inst✝⁹ : SMul R' M
inst✝⁸ : IsScalarTower R' M M
inst✝⁷ : IsScalarTower R' M X
inst✝⁶ : SMul R✝ R'
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ R' M
R : Type ?u.51
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : MulAction R M
inst✝² : IsScalarTower R M M
inst✝¹ : MulAction R X
inst✝ : IsScalarTower R M X
x : X
s : ↥S
⊢ (1 • 1 /ₒ 1) • (x /ₒ s) = x /ₒ s
Module: Mathlib.GroupTheory.OreLocalization.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝⁵ : OreSet S
inst✝⁴ : MulAction M X
inst✝³ : SMul R X
inst✝² : SMul R M
inst✝¹ : IsScalarTower R M M
inst✝ : IsScalarTower R M X
r : R
x : X
⊢ r • (x /ₒ 1) = r • x /ₒ 1

Tactic:
← smul_one_oreDiv_one_smul,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝⁵ : OreSet S
inst✝⁴ : MulAction M X
inst✝³ : SMul R X
inst✝² : SMul R M
inst✝¹ : IsScalarTower R M M
inst✝ : IsScalarTower R M X
r : R
x : X
⊢ (r • 1 /ₒ 1) • (x /ₒ 1) = r • x /ₒ 1
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.WithTop

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
b : WithBot α
hb : b ≠ 0
⊢ ⊥ * b = ⊥

Tactic:
by rw [bot_mul', if_neg hb]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.WithTop

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulMono α
x : WithBot α
x0 : 0 ≤ x
a b : WithBot α
h : a ≤ b
x0' : x ≠ 0
⊢ x ≠ ⊥

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulMono α
a b : WithBot α
h : a ≤ b
x0 : 0 ≤ ⊥
x0' : ⊥ ≠ 0
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.WithTop

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosMono α
x : WithBot α
x0 : 0 ≤ x
a b : WithBot α
h : a ≤ b
x0' : x ≠ 0
⊢ x ≠ ⊥

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosMono α
a b : WithBot α
h : a ≤ b
x0 : 0 ≤ ⊥
x0' : ⊥ ≠ 0
⊢ False