mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Ray

Goal state before:
pp: case neg.refine_1.inl.inr.inl
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsTorsionFree R M
x y : M
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hy0 : y = 0
⊢ ∃ g, ∑ i, g i • ![x, y] i = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0

Tactic:
exact False.elim (hy hy0)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineMap

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V1
inst✝¹ : Module k V1
inst✝ : AffineSpace V1 P1
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ ((lineMap p₁ p₀).comp (lineMap 1 0)) (1 - c) = (lineMap p₁ p₀) c

Tactic:
comp_apply

Goal state after:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V1
inst✝¹ : Module k V1
inst✝ : AffineSpace V1 P1
p₀ p₁ : P1
c : k
⊢ (lineMap p₁ p₀) ((lineMap 1 0) (1 - c)) = (lineMap p₁ p₀) c
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Segment

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ 0 = b → a • x + b • y = x

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
a : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ 0
hab : a + 0 = 1
⊢ a • x + 0 • y = x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Segment

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hb' : 0 < b
⊢ 0 = a → a • x + b • y = y

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
b : 𝕜
hb : 0 ≤ b
hb' : 0 < b
ha : 0 ≤ 0
hab : 0 + b = 1
⊢ 0 • x + b • y = y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineMap

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V1 : Type u_2
V2 : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V1
inst✝² : Module k V1
inst✝¹ : AddCommGroup V2
inst✝ : Module k V2
f : V1 →ᵃ[k] V2
x : V1
⊢ f x = (⇑f.linear + fun x ↦ f 0) x

Tactic:
calc
    f x = f.linear x +ᵥ f 0 := by rw [← f.map_vadd, vadd_eq_add, add_zero]
    _ = (f.linear + fun _ : V1 => f 0) x := rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Segment

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : Ring 𝕜
inst✝⁵ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁴ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
x y : E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : IsTorsionFree 𝕜 E
⊢ x = y → x ∈ openSegment 𝕜 x y

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : Ring 𝕜
inst✝⁵ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁴ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
x : E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : IsTorsionFree 𝕜 E
⊢ x ∈ openSegment 𝕜 x x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
⊢ s.Nonempty → (spanPoints k s).Nonempty

Tactic:
· exact fun h => h.mono (subset_spanPoints _ _)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : Ring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : PartialOrder E
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : IsStrictOrderedModule 𝕜 E
inst✝ : PosSMulReflectLT 𝕜 E
x y : E
h : x < y
z : E
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hz : a • y + b • z ≤ x
⊢ (a + b) • x - a • y < b • x

Tactic:
rw [add_smul, sub_lt_iff_lt_add']
      gcongr

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
h : affineSpan k s = ⊤
⊢ s ≠ ∅

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
h : affineSpan k ∅ = ⊤
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Hull

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ s = ∅ → (convexHull 𝕜) s = ∅

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
⊢ (convexHull 𝕜) ∅ = ∅
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty
⊢ s = ⊤ → s.direction = ⊤

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
h : (↑⊤).Nonempty
⊢ ⊤.direction = ⊤
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.BalancedCoreHull

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : IsOpen[inst✝¹] s
hzero : 0 ∈ s
r : 𝕜
hr : ‖r‖ ≤ 1
hr_ne : r ≠ 0
⊢ ∃ i', ∃ (_ : ‖i'‖ ≤ 1 ∧ i' ≠ 0), r • s ⊆ i' • s

Tactic:
· use r

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Bounded

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
S : Set (Set E)
hS : S.Finite
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (⋃₀ S) ↔ ∀ s ∈ S, IsVonNBounded 𝕜 s

Tactic:
by
  rw [sUnion_eq_biUnion, isVonNBounded_biUnion hS]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring 𝕜
inst✝⁷ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : AddCommMonoid β
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : IsOrderedCancelAddMonoid β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 β
s : Set β
hs : s.OrdConnected
⊢ StrictConvex 𝕜 s

Tactic:
refine strictConvex_iff_openSegment_subset.2 fun x hx y hy hxy => ?_

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
β : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring 𝕜
inst✝⁷ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : AddCommMonoid β
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : IsOrderedCancelAddMonoid β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 β
s : Set β
hs : s.OrdConnected
x : β
hx : x ∈ s
y : β
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
⊢ (fun x y ↦ openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s) x y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ (fun x ↦ x -ᵥ p) '' s ⊆ s -ᵥ s

Tactic:
rintro v ⟨p₂, hp₂, hv⟩
    exact ⟨p₂, hp₂, p, hp, hv⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s →
      ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → (-f) (a • x + b • y) < a • (-f) x + b • (-f) y
⊢ StrictConcaveOn 𝕜 s f

Tactic:
refine ⟨hconv, fun x hx y hy hxy a b ha hb hab => ?_⟩

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s →
      ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → (-f) (a • x + b • y) < a • (-f) x + b • (-f) y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y < f (a • x + b • y)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • f x + b • f y < f (a • x + b • y)
⊢ StrictConvexOn 𝕜 s (-f)

Tactic:
refine ⟨hconv, fun x hx y hy hxy a b ha hb hab => ?_⟩

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • f x + b • f y < f (a • x + b • y)
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ (-f) (a • x + b • y) < a • (-f) x + b • (-f) y
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
⊢ (s.sup p) x = 0 ∨ ∃ i ∈ s, (s.sup p) x = (p i) x

Tactic:
rcases Finset.eq_empty_or_nonempty s with (rfl | hs)
  · left; rfl
  · right; exact exists_apply_eq_finset_sup p hs x

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
h : s₁ ∥ s₂
⊢ s₁ = ⊥ → s₂ = ⊥

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₂ : AffineSubspace k P
h : ⊥ ∥ s₂
⊢ s₂ = ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
h : s₁ ∥ s₂
⊢ s₂ = ⊥ → s₁ = ⊥

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
case refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ : AffineSubspace k P
h : s₁ ∥ ⊥
⊢ s₁ = ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Centroid

Goal state before:
pp: case right
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
f : ↑(p '' ↑s) → ι := ⋯
hf : ∀ (x : ↑(p '' ↑s)), f x ∈ s ∧ p (f x) = ↑x
f' : ↑ps → ι := ⋯
hf' : ∀ (x : ↑ps), f' x ∈ s ∧ p (f' x) = ↑x
hf'i : Function.Injective f'
f'e : ↑ps ↪ ι := ⋯
x : ι
hx : x ∈ s
⊢ f'e ⟨p x, ⋯⟩ = x

Tactic:
refine hi _ (hf' _).1 _ hx ?_

Goal state after:
case right
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
f : ↑(p '' ↑s) → ι := fun x ↦ Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(p '' ↑s)), f x ∈ s ∧ p (f x) = ↑x
f' : ↑ps → ι := fun x ↦ f ⟨↑x, ⋯⟩
hf' : ∀ (x : ↑ps), f' x ∈ s ∧ p (f' x) = ↑x
hf'i : Function.Injective f'
f'e : ↑ps ↪ ι := { toFun := f', inj' := hf'i }
x : ι
hx : x ∈ s
⊢ p (f' ⟨p x, ⋯⟩) = p x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁₂ : p₁ ≠ p₂
r₁ : k
hp₁ : r₁ • (p₄ -ᵥ p₃) = p₁ -ᵥ p₃
r₂ : k
hp₂ : r₂ • (p₄ -ᵥ p₃) = p₂ -ᵥ p₃
⊢ r₂ ≠ r₁

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁₂ : p₁ ≠ p₂
r₂ : k
hp₂ : r₂ • (p₄ -ᵥ p₃) = p₂ -ᵥ p₃
hp₁ : r₂ • (p₄ -ᵥ p₃) = p₁ -ᵥ p₃
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: case mp.inl
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
v : V
p : ι → P
hι : IsEmpty ι
⊢ v = 0 → ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 0 ∧ v = (s.weightedVSub p) w

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
case mp.inl
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hι : IsEmpty ι
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 0 ∧ 0 = (s.weightedVSub p) w
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p1 : P
p : ι → P
h : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
⊢ ∃ w, ∑ i, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) w

Tactic:
obtain ⟨s, w, hw, rfl⟩ := eq_affineCombination_of_mem_affineSpan h

Goal state after:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
h : (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range p)
⊢ ∃ w_1, ∑ i, w_1 i = 1 ∧ (Finset.affineCombination k s p) w = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) w_1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Ring k
w : ι →₀ k
⊢ w ∈ finsuppAffineCoords ι k ↔ (Finsupp.linearCombination k 1) w = 1

Tactic:
simp [finsuppAffineCoords]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ p x / ‖c ^ (n + 1)‖ < ε

Tactic:
div_lt_iff₀ cnpos,

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ p x < ε * ‖c ^ (n + 1)‖
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s₁ s₂ : Set ι
i : ι
his₁ : i ∈ s₁
his₂ : i ∉ s₂
h₁ : s₁.Nontrivial
j : ι
hj : j ∈ s₁
hne : j ≠ i
he : vectorSpan k (p '' s₁) = vectorSpan k (p '' s₂)
fs : Finset ↑s₂
w : ↑s₂ → k
hw : ∑ i ∈ fs, w i = 0
hs : p i -ᵥ p j = (fs.weightedVSub fun x ↦ p ↑x) w
w' : ι → k := extend Subtype.val w 0
hw' : ∑ t ∈ map (Embedding.subtype fun x ↦ x ∈ s₂) fs, w' t = 0
⊢ (fs.weightedVSub fun x ↦ p ↑x) w =
    (fs.weightedVSub (p ∘ ⇑(Embedding.subtype fun x ↦ x ∈ s₂))) (w' ∘ ⇑(Embedding.subtype fun x ↦ x ∈ s₂))

Tactic:
simp [w', Function.comp_def]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_3
P : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
p : P₂
⊢ p ∈ Simplex.setInterior I (s.map f hf) ↔ ∃ x ∈ Simplex.setInterior I s, f x = p

Tactic:
by_cases hp : p ∈ affineSpan k (Set.range (s.map f hf).points)

Goal state after:
case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_3
P : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
p : P₂
hp : p ∈ affineSpan k (Set.range (s.map f hf).points)
⊢ p ∈ Simplex.setInterior I (s.map f hf) ↔ ∃ x ∈ Simplex.setInterior I s, f x = p

case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_3
P : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
p : P₂
hp : p ∉ affineSpan k (Set.range (s.map f hf).points)
⊢ p ∈ Simplex.setInterior I (s.map f hf) ↔ ∃ x ∈ Simplex.setInterior I s, f x = p
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Group.Torsor

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
⊢ Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝¹] fun x ↦ x.1 /ₛ x.2

Tactic:
simp only [sdiv_eq_div]

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
⊢ Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝¹] fun x ↦ x.1 / x.2
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : PartialOrder k
inst✝ : ZeroLEOneClass k
s : Simplex k P 0
p : P
⊢ p = s.points 0 → ∃ w, w 0 = 1 ∧ (∀ (i : Fin 1), 0 ≤ w i ∧ w i ≤ 1) ∧ (affineCombination k {0} s.points) w = p

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : PartialOrder k
inst✝ : ZeroLEOneClass k
s : Simplex k P 0
⊢ ∃ w, w 0 = 1 ∧ (∀ (i : Fin 1), 0 ≤ w i ∧ w i ≤ 1) ∧ (affineCombination k {0} s.points) w = s.points 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝¹¹ : Field R
inst✝¹⁰ : Field R'
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : AddCommGroup α
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R F
inst✝³ : Module R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid α
inst✝ : PosSMulMono R α
s : Finset ι
f : ι → α
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ s, w i
⊢ s ≠ ∅

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝¹¹ : Field R
inst✝¹⁰ : Field R'
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : AddCommGroup α
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R F
inst✝³ : Module R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid α
inst✝ : PosSMulMono R α
f : ι → α
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ ∅, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ ∅, w i
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : PartialOrder k
inst✝ : IsOrderedAddMonoid k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
⊢ (affineCombination k univ s.points) w ∈ (s.face h).closedInterior ↔ (∀ i ∈ fs, 0 ≤ w i) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0

Tactic:
rw [s.affineCombination_mem_closedInterior_face_iff_mem_Icc h hw]
  refine ⟨by grind, fun ⟨hii, hi0⟩ ↦ ⟨fun i hi ↦ ⟨hii i hi, ?_⟩, hi0⟩⟩
  rw [← hw, ← Finset.sum_subset (Finset.subset_univ fs) fun j _ ↦ hi0 j]
  exact Finset.single_le_sum (fun t ht ↦ (hii t ht)) hi

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
ι : Sort u_8
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
hs : Convex R s
h₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
h₁ : ∑ᶠ (i : ι), w i = 1
hz : ∀ (i : ι), w i ≠ 0 → z i ∈ s
H : ¬HasFiniteSupport (w ∘ PLift.down)
⊢ False

Tactic:
rw [finsum, dif_neg H] at h₁

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
ι : Sort u_8
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
hs : Convex R s
h₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
h₁ : 0 = 1
hz : ∀ (i : ι), w i ≠ 0 → z i ∈ s
H : ¬HasFiniteSupport (w ∘ PLift.down)
⊢ False
Module: Mathlib.Topology.NhdsKer

Goal state before:
pp: X : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
⊢ s = ∅ → nhdsKer s = ∅

Tactic:
rintro rfl

Goal state after:
X : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ nhdsKer ∅ = ∅
Module: Mathlib.Topology.Connected.LocallyPathConnected

Goal state before:
pp: X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
p : X → ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis (p x) (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p x i → IsPathConnected (s x i)
x : X
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s ↦ s ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected s) id

Tactic:
by
    rw [hasBasis_self]
    intro t ht
    rcases (h x).mem_iff.mp ht with ⟨i, hpi, hi⟩
    exact ⟨s x i, (h x).mem_of_mem hpi, h' x i hpi, hi⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent k fun x ↦ p ↑x
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : (s.weightedVSub p) w = 0
s' : Finset { y // y ≠ i } := Finset.subtype (fun x ↦ x ≠ i) s
p' : { y // y ≠ i } → P := fun x ↦ p ↑x
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y // y ≠ i } → k := fun x ↦ w ↑x
hw' : ∑ x ∈ s', w' x = 0
⊢ ∀ i ∈ s, w i = 0

Tactic:
have hs' : s'.weightedVSub p' w' = (0 : V) := by
        simp_rw [w', s', p', Finset.weightedVSub_subtype_eq_filter]
        rw [Finset.weightedVSub_filter_of_ne, hs]
        rintro x hxs hwx rfl
        exact hwx (his.neg_resolve_left hxs)

Goal state after:
case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent k fun x ↦ p ↑x
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : (s.weightedVSub p) w = 0
s' : Finset { y // y ≠ i } := Finset.subtype (fun x ↦ x ≠ i) s
p' : { y // y ≠ i } → P := fun x ↦ p ↑x
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y // y ≠ i } → k := fun x ↦ w ↑x
hw' : ∑ x ∈ s', w' x = 0
hs' : (s'.weightedVSub p') w' = 0
⊢ ∀ i ∈ s, w i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent k fun x ↦ p ↑x
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : (s.weightedVSub p) w = 0
s' : Finset { y // y ≠ i } := Finset.subtype (fun x ↦ x ≠ i) s
p' : { y // y ≠ i } → P := fun x ↦ p ↑x
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y // y ≠ i } → k := fun x ↦ w ↑x
hw' : ∑ x ∈ s', w' x = 0
hs' : (s'.weightedVSub p') w' = 0
j : ι
hj : i ∈ s
hji : j = i
⊢ w j = 0

Tactic:
exact hji.symm ▸ his.neg_resolve_left hj

Goal state after: