mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hp₁ : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ p'
hp₂ : ↑((orthogonalProjection s₂) p) ≠ p'
h : 2 • ∡ (↑((orthogonalProjection s₁) p)) p' p = 2 • ∡ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p)
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)

Tactic:
have h' : ∡ (orthogonalProjection s₁ p : P) p' p = ∡ p p' (orthogonalProjection s₂ p) :=
    oangle_eq_oangle_rev_of_two_zsmul_eq_of_angle_eq_pi_div_two h
      (angle_self_orthogonalProjection _ hp'₁) (angle_self_orthogonalProjection _ hp'₂)

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hp₁ : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ p'
hp₂ : ↑((orthogonalProjection s₂) p) ≠ p'
h : 2 • ∡ (↑((orthogonalProjection s₁) p)) p' p = 2 • ∡ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p)
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
h' : ∡ (↑((orthogonalProjection s₁) p)) p' p = ∡ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p)
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
⊢ Nonempty ↥(mk' p (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ)

Tactic:
infer_instance

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
⊢ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ.HasOrthogonalProjection

Tactic:
infer_instance

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv0 : v ≠ 0
c : P
r : ℝ
hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r
hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r
f : Fin 3 → ℝ
hf : ∀ (i : Fin 3), p i = f i • v +ᵥ p 0
hf0 : f 0 = 0
hfi : Function.Injective f
hsd : ∀ (i : Fin 3), f i = 0 ∨ f i = -2 * ⟪v, p 0 -ᵥ c⟫ / ⟪v, v⟫
hfn0 : ∀ (i : Fin 3), i ≠ 0 → f i ≠ 0
hfn0' : ∀ (i : Fin 3), i ≠ 0 → f i = -2 * ⟪v, p 0 -ᵥ c⟫ / ⟪v, v⟫
hf12 : f 1 = f 2
⊢ False

Tactic:
exact (by decide : (1 : Fin 3) ≠ 2) (hfi hf12)

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
⊢ s.IsTangentAt s.center as ↔ s.radius = 0 ∧ s.center ∈ as

Tactic:
by
  refine ⟨?_, ?_⟩
  · rintro ⟨hr, hm, -⟩
    rw [center_mem_iff] at hr
    exact ⟨hr, hm⟩
  · rintro ⟨hr, hm⟩
    refine ⟨?_, hm, ?_⟩
    · rw [center_mem_iff, hr]
    · simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p : P
s : Sphere P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
o : P := s.center
t : ℝ
hpt : (AffineMap.lineMap p₁ p₂) t = p
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1
hne₁ : p ≠ p₁
hne₂ : p ≠ p₂
ht₀' : 0 < t
ht₁' : t < 1
u : V := p₁ -ᵥ o
v : V := p₂ -ᵥ o
hu : ‖u‖ = s.radius
hv : ‖v‖ = s.radius
huv : u ≠ v
hpo : p -ᵥ o = (1 - t) • u + t • v
⊢ v ∈ Metric.closedBall 0 s.radius

Tactic:
simp [Metric.mem_closedBall, hv]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ¬↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hp : ∡ (↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)) p₁ p = ∡ p p₁ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
h₂₁ : p₂ ≠ p₁
h₃₁ : p₃ ≠ p₁
hp₁ : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) ≠ p₁
hp₂ : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p) ≠ p₁
⊢ 2 • ∡ p₂ p₁ p = 2 • ∡ p p₁ p₃

Tactic:
← (collinear_insert_of_mem_affineSpan_pair
             (orthogonalProjection_mem p)).two_zsmul_oangle_eq_left hp₁ h₂₁,

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ¬↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hp : ∡ (↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)) p₁ p = ∡ p p₁ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
h₂₁ : p₂ ≠ p₁
h₃₁ : p₃ ≠ p₁
hp₁ : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) ≠ p₁
hp₂ : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p) ≠ p₁
⊢ 2 • ∡ (↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)) p₁ p = 2 • ∡ p p₁ p₃
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0
h : ↑(angle x y) = ↑(angle x (x + y) + angle y (x + y))
n : ℤ
this : -1 < n
hn : 1 ≤ n
hxy : x + y ≠ 0
r₁ : ℝ
r₁_pos : r₁ < 0
hr₁ : x = r₁ • (x + y)
r₂ : ℝ
r₂_pos : r₂ < 0
hr₂ : y = r₂ • (x + y)
⊢ x + r₂ • (x + y) - (x + y) = 0

Tactic:
← hr₂,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0
h : ↑(angle x y) = ↑(angle x (x + y) + angle y (x + y))
n : ℤ
this : -1 < n
hn : 1 ≤ n
hxy : x + y ≠ 0
r₁ : ℝ
r₁_pos : r₁ < 0
hr₁ : x = r₁ • (x + y)
r₂ : ℝ
r₂_pos : r₂ < 0
hr₂ : y = r₂ • (x + y)
⊢ x + y - (x + y) = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.TriangleInequality

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
hz : ‖z‖ = 1
H : angle x z ≠ π
H0 : angle x z = angle x y + angle y z
H1 : ¬angle x z = 0
Hxz : Real.sin (angle x z) ≠ 0
H2 : ¬angle x y = 0
H3 : angle y z = 0
⊢ Real.sin (angle x z) • y = Real.sin (angle y z) • x + Real.sin (angle x y) • z

pp: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
hz : ‖z‖ = 1
H : angle x z ≠ π
H0 : angle x z = angle x y + angle y z
H1 : ¬angle x z = 0
Hxz : Real.sin (angle x z) ≠ 0
H2 : ¬angle x y = 0
H3 : ¬angle y z = 0
⊢ Real.sin (angle x z) • y = Real.sin (angle y z) • x + Real.sin (angle x y) • z

Tactic:
· grind [Real.sin_zero, zero_smul, smul_right_inj, eq_of_angle_eq_zero]

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
hz : ‖z‖ = 1
H : angle x z ≠ π
H0 : angle x z = angle x y + angle y z
H1 : ¬angle x z = 0
Hxz : Real.sin (angle x z) ≠ 0
H2 : ¬angle x y = 0
H3 : ¬angle y z = 0
⊢ Real.sin (angle x z) • y = Real.sin (angle y z) • x + Real.sin (angle x y) • z
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.TriangleInequality

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
hz : ‖z‖ = 1
H : angle x z ≠ π
H0 : angle x z = angle x y + angle y z
H1 : ¬angle x z = 0
Hxz : Real.sin (angle x z) ≠ 0
H2 : ¬angle x y = 0
H3 : ¬angle y z = 0
H4 : ¬angle x y = π
H5 : ¬angle y z = π
H6 :
  ⟪x, z⟫ =
    Real.cos (angle y z) * Real.cos (angle x y) +
      Real.sin (angle y z) *
        (Real.sin (angle x y) * ⟪NormedSpace.normalize (ortho y x), NormedSpace.normalize (ortho y z)⟫)
⊢ Real.sin (angle x z) • y = Real.sin (angle y z) • x + Real.sin (angle x y) • z

Tactic:
rw [inner_eq_cos_angle_of_norm_eq_one hx hz, H0, Real.cos_add] at H6

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
hz : ‖z‖ = 1
H : angle x z ≠ π
H0 : angle x z = angle x y + angle y z
H1 : ¬angle x z = 0
Hxz : Real.sin (angle x z) ≠ 0
H2 : ¬angle x y = 0
H3 : ¬angle y z = 0
H4 : ¬angle x y = π
H5 : ¬angle y z = π
H6 :
  Real.cos (angle x y) * Real.cos (angle y z) - Real.sin (angle x y) * Real.sin (angle y z) =
    Real.cos (angle y z) * Real.cos (angle x y) +
      Real.sin (angle y z) *
        (Real.sin (angle x y) * ⟪NormedSpace.normalize (ortho y x), NormedSpace.normalize (ortho y z)⟫)
⊢ Real.sin (angle x z) • y = Real.sin (angle y z) • x + Real.sin (angle x y) • z
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Congruence

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
P₁ : Type u_3
P₂ : Type u_4
v₁ : ι → P₁
v₂ : ι → P₂
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝ : PseudoMetricSpace P₂
⊢ Congruent v₁ v₂ ↔ Pairwise fun i₁ i₂ ↦ dist (v₁ i₁) (v₁ i₂) = dist (v₂ i₁) (v₂ i₂)

Tactic:
simp_rw [congruent_iff_pairwise_nndist_eq, dist_nndist]
  exact_mod_cast Iff.rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i j : Fin (n + 1)
hne : i ≠ j
⊢ SignType.sign (s.touchpointWeights {i} i j) = 1

Tactic:
by
  rw [(s.excenterExists_singleton i).sign_touchpointWeights hne,
    s.sign_excenterWeights_singleton_pos hne]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
hw : Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ i₁ + Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ i₃ = 1
h :
  Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ =
    Finset.affineCombinationLineMapWeights i₁ i₃ (Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ i₃)
⊢ Sbtw ℝ ((AffineMap.lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) (Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ i₃)) (t.points i₃)
    (t.points i₁)

Tactic:
sbtw_iff_right_ne_and_left_mem_image_Ioi

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
hw : Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ i₁ + Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ i₃ = 1
h :
  Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ =
    Finset.affineCombinationLineMapWeights i₁ i₃ (Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ i₃)
⊢ t.points i₁ ≠ t.points i₃ ∧
    (AffineMap.lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) (Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ i₃) ∈
      ⇑(AffineMap.lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) '' Set.Ioi 1
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.NinePointCircle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ ‖s.faceOppositeCentroid i -ᵥ (((↑n + 1) / ↑n) • (s.centroid -ᵥ s.circumcenter) +ᵥ s.circumcenter)‖ * ↑n =
    ‖s.circumcenter -ᵥ s.points i‖

Tactic:
mul_comm

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ ↑n * ‖s.faceOppositeCentroid i -ᵥ (((↑n + 1) / ↑n) • (s.centroid -ᵥ s.circumcenter) +ᵥ s.circumcenter)‖ =
    ‖s.circumcenter -ᵥ s.points i‖
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Similarity

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
P₁ : Type u_3
P₂ : Type u_4
v₁ : ι → P₁
v₂ : ι → P₂
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝ : PseudoMetricSpace P₂
⊢ (∃ r, 0 < r ∧ ∀ (i₁ i₂ : ι), dist (v₁ i₁) (v₁ i₂) = ↑r * dist (v₂ i₁) (v₂ i₂)) ↔
    ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (i₁ i₂ : ι), dist (v₁ i₁) (v₁ i₂) = r * dist (v₂ i₁) (v₂ i₂)

Tactic:
NNReal.exists,

Goal state after:
ι : Type u_1
P₁ : Type u_3
P₂ : Type u_4
v₁ : ι → P₁
v₂ : ι → P₂
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝ : PseudoMetricSpace P₂
⊢ (∃ x,
      ∃ (hx : 0 ≤ x),
        0 < NNReal.mk x hx ∧ ∀ (i₁ i₂ : ι), dist (v₁ i₁) (v₁ i₂) = ↑(NNReal.mk x hx) * dist (v₂ i₁) (v₂ i₂)) ↔
    ∃ r, 0 < r ∧ ∀ (i₁ i₂ : ι), dist (v₁ i₁) (v₁ i₂) = r * dist (v₂ i₁) (v₂ i₂)
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Similarity

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
P₁ : Type u_3
P₂ : Type u_4
v₁ : ι → P₁
v₂ : ι → P₂
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝ : PseudoMetricSpace P₂
⊢ (∃ r, 0 < r ∧ Pairwise fun i₁ i₂ ↦ dist (v₁ i₁) (v₁ i₂) = ↑r * dist (v₂ i₁) (v₂ i₂)) ↔
    ∃ r, 0 < r ∧ Pairwise fun i₁ i₂ ↦ dist (v₁ i₁) (v₁ i₂) = r * dist (v₂ i₁) (v₂ i₂)

Tactic:
NNReal.exists,

Goal state after:
ι : Type u_1
P₁ : Type u_3
P₂ : Type u_4
v₁ : ι → P₁
v₂ : ι → P₂
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝ : PseudoMetricSpace P₂
⊢ (∃ x,
      ∃ (hx : 0 ≤ x),
        0 < NNReal.mk x hx ∧ Pairwise fun i₁ i₂ ↦ dist (v₁ i₁) (v₁ i₂) = ↑(NNReal.mk x hx) * dist (v₂ i₁) (v₂ i₂)) ↔
    ∃ r, 0 < r ∧ Pairwise fun i₁ i₂ ↦ dist (v₁ i₁) (v₁ i₂) = r * dist (v₂ i₁) (v₂ i₂)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity

Goal state before:
pp: V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist b' c' * dist a b = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
⊢ ![a, b, c] ∼ ![a', b', c']

Tactic:
mul_comm

Goal state after:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
⊢ ![a, b, c] ∼ ![a', b', c']
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Power

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : p ∈ line[ℝ, a, b]
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h1' : m -ᵥ a - (m -ᵥ p) = p -ᵥ a
⊢ dist a p * dist b p = |dist b q ^ 2 - dist p q ^ 2|

Tactic:
have h2 := vsub_sub_vsub_cancel_left p q m

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : p ∈ line[ℝ, a, b]
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h1' : m -ᵥ a - (m -ᵥ p) = p -ᵥ a
h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q
⊢ dist a p * dist b p = |dist b q ^ 2 - dist p q ^ 2|
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity

Goal state before:
pp: V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
h_sin2 : dist c' a' * dist b c = dist c a * dist b' c'
h_sin2' : Real.sin (∠ a b c) = Real.sin (∠ c a b) * dist c' a' / dist b' c'
⊢ ![a, b, c] ∼ ![a', b', c']

Tactic:
mul_comm

Goal state after:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
h_sin2 : dist b c * dist c' a' = dist c a * dist b' c'
h_sin2' : Real.sin (∠ a b c) = Real.sin (∠ c a b) * dist c' a' / dist b' c'
⊢ ![a, b, c] ∼ ![a', b', c']
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Ptolemy

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapc : ∠ a p c = π
hbpd : ∠ b p d = π
h' : Cospherical {a, c, b, d}
hmul : dist a p * dist c p = dist b p * dist d p
hbp : dist b p ≠ 0
h₁ : dist c d = dist c p / dist b p * dist a b
h₂ : dist d a = dist a p / dist b p * dist b c
h₃ : dist d p = dist a p * dist c p / dist b p
x y : ℝ
⊢ y * (x * x) = x * x * y

Tactic:
mul_comm

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapc : ∠ a p c = π
hbpd : ∠ b p d = π
h' : Cospherical {a, c, b, d}
hmul : dist a p * dist c p = dist b p * dist d p
hbp : dist b p ≠ 0
h₁ : dist c d = dist c p / dist b p * dist a b
h₂ : dist d a = dist a p / dist b p * dist b c
h₃ : dist d p = dist a p * dist c p / dist b p
x y : ℝ
⊢ x * x * y = x * x * y
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.SecondInter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
hp : p ∈ s
p' : P
hp' : p' ∈ line[ℝ, p, q]
⊢ p' = p ∨ p' = s.secondInter p (q -ᵥ p) ↔ p' ∈ s

Tactic:
convert! s.eq_or_eq_secondInter_of_mem_mk'_span_singleton_iff_mem hp ?_

Goal state after:
case convert_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
hp : p ∈ s
p' : P
hp' : p' ∈ line[ℝ, p, q]
⊢ p' ∈ AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ (q -ᵥ p))
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.SecondInter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ (⟪v, p -ᵥ s.center⟫ * -2 / ⟪v, v⟫) • v +ᵥ p = (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫) • v +ᵥ p

Tactic:
mul_comm

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫) • v +ᵥ p = (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫) • v +ᵥ p
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₂ : p ∈ altitude t i₂
i₃ : Fin 3
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
⊢ p = t.orthocenter

Tactic:
rw [t.altitude_eq_mongePlane h₂₃ h₁₂.symm h₁₃.symm] at h₂

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
p : P
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
i₃ : Fin 3
h₂ : p ∈ mongePlane t i₃ i₁
h₁ : p ∈ mongePlane t i₃ i₂
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
⊢ p = t.orthocenter
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
⊢ t₁.points i₁ ≠ t₁.points i₂ ∧
    t₁.points i₁ ∈ affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) ∧
      t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ (t₂.points '' {j₂}ᶜ)).directionᗮ

Tactic:
use t₁.independent.injective.ne hi₁₂

Goal state after:
case right
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
⊢ t₁.points i₁ ∈ affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) ∧
    t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ (t₂.points '' {j₂}ᶜ)).directionᗮ
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.DerivationBundle

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
⊢ Algebra 𝕜 C^∞⟮I, M; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯

Tactic:
infer_instance

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.DerivationBundle

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
⊢ IsScalarTower 𝕜 C^∞⟮I, M; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯ C^∞⟮I, M; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯

Tactic:
infer_instance

Goal state after: