mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.PolynomialAlgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a₁ a₂ : A
p₁ p₂ : R[X]
k : ℕ
⊢ (if ¬(p₁ * p₂).coeff k = 0 then a₁ * a₂ * (algebraMap R A) ((p₁ * p₂).coeff k) else 0) =
    ∑ x ∈ Finset.antidiagonal k,
      (if ¬p₁.coeff x.1 = 0 then a₁ * (algebraMap R A) (p₁.coeff x.1) else 0) *
        if ¬p₂.coeff x.2 = 0 then a₂ * (algebraMap R A) (p₂.coeff x.2) else 0

Tactic:
toFunLinear_mul_tmul_mul_aux_1,

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a₁ a₂ : A
p₁ p₂ : R[X]
k : ℕ
⊢ a₁ * a₂ * (algebraMap R A) ((p₁ * p₂).coeff k) =
    ∑ x ∈ Finset.antidiagonal k, a₁ * (algebraMap R A) (p₁.coeff x.1) * (a₂ * (algebraMap R A) (p₂.coeff x.2))
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsDomain R
hM : M ≤ R⁰
p : Ideal S
hpp : p.IsPrime
hp0 : p ≠ ⊥
this : IsDomain S
⊢ ⊥ < Ideal.under R p

Tactic:
rw [← Ideal.comap_bot_of_injective (algebraMap R S) (IsLocalization.injective _ hM)]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsDomain R
hM : M ≤ R⁰
p : Ideal S
hpp : p.IsPrime
hp0 : p ≠ ⊥
this : IsDomain S
⊢ Ideal.comap (algebraMap R S) ⊥ < Ideal.under R p
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Algebra

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
S : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝²⁹ : CommSemiring R✝
inst✝²⁸ : CommSemiring S
inst✝²⁷ : CommSemiring P
inst✝²⁶ : CommSemiring Q
M✝ : Submonoid R✝
T : Submonoid P
inst✝²⁵ : Algebra R✝ S
inst✝²⁴ : Algebra P Q
inst✝²³ : IsLocalization M✝ S
inst✝²² : IsLocalization T Q
g : R✝ →+* P
R : Type u_5
inst✝²¹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
A : Type u_6
inst✝²⁰ : CommSemiring A
inst✝¹⁹ : Algebra R A
B : Type u_7
inst✝¹⁸ : CommSemiring B
inst✝¹⁷ : Algebra R B
Rₚ : Type u_8
inst✝¹⁶ : CommSemiring Rₚ
inst✝¹⁵ : Algebra R Rₚ
inst✝¹⁴ : IsLocalization M Rₚ
Aₚ : Type u_9
inst✝¹³ : CommSemiring Aₚ
inst✝¹² : Algebra R Aₚ
inst✝¹¹ : Algebra A Aₚ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R A Aₚ
inst✝⁹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid A M) Aₚ
Bₚ : Type u_10
inst✝⁸ : CommSemiring Bₚ
inst✝⁷ : Algebra R Bₚ
inst✝⁶ : Algebra B Bₚ
inst✝⁵ : IsScalarTower R B Bₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₚ
inst✝³ : Algebra Rₚ Aₚ
inst✝² : Algebra Rₚ Bₚ
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₚ Aₚ
inst✝ : IsScalarTower R Rₚ Bₚ
f : A →ₐ[R] B
⊢ IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₚ

Tactic:
infer_instance

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.EssentialFiniteness

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ adjoin S τ
s s' : S
hs₁ : s' ∈ σ
hs₂ : IsUnit s'
hs₃ : s * s' ∈ σ
⊢ (algebraMap S T) (s' * s) ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ

Tactic:
mul_comm

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ adjoin S τ
s s' : S
hs₁ : s' ∈ σ
hs₂ : IsUnit s'
hs₃ : s * s' ∈ σ
⊢ (algebraMap S T) (s * s') ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Quotient

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
x : M
⊢ (quotTensorEquivQuotSMul M I) (1 ⊗ₜ[R] x) = Submodule.Quotient.mk x

Tactic:
rw [← RingHom.map_one (Ideal.Quotient.mk I), TensorProduct.quotTensorEquivQuotSMul_mk_tmul]
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.AtPrime.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
J : Ideal P
inst✝ : J.IsPrime
f : R ≃+* P
hIJ : I = Ideal.comap f J
x : Localization.AtPrime I
⊢ (localRingHom J I ↑f.symm ⋯) ((↑↑(localRingHom I J (↑f) hIJ)).toFun x) = x

Tactic:
by simp [localRingHom, map_map]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.AtPrime.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
J : Ideal P
inst✝ : J.IsPrime
f : R ≃+* P
hIJ : I = Ideal.comap f J
x : Localization.AtPrime J
⊢ (↑↑(localRingHom I J (↑f) hIJ)).toFun ((localRingHom J I ↑f.symm ⋯) x) = x

Tactic:
by simp [localRingHom, map_map]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Quotient

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra R A
M : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
N : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
S : Submodule A (M ⊗[R] N) := Submodule.span A {x | ∃ a m n, (a • m) ⊗ₜ[R] n - m ⊗ₜ[R] (a • n) = x}
m : M
a : A
n : N
⊢ Submodule.Quotient.mk ((RingHom.id A) a • m ⊗ₜ[R] n) = Submodule.Quotient.mk (m ⊗ₜ[R] (a • n))

Tactic:
Submodule.Quotient.eq,

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Algebra R A
M : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
N : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
S : Submodule A (M ⊗[R] N) := Submodule.span A {x | ∃ a m n, (a • m) ⊗ₜ[R] n - m ⊗ₜ[R] (a • n) = x}
m : M
a : A
n : N
⊢ (RingHom.id A) a • m ⊗ₜ[R] n - m ⊗ₜ[R] (a • n) ∈ S
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Submodule

Goal state before:
pp: case mp.refine_4
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower R S N
x : N
a : Set N
h : x ∈ Submodule.span S a
y : N
hy : y ∈ Submodule.span R a
z : ↥M
hx✝ : mk' S 1 z • y ∈ Submodule.span S a
y' : R
z' : ↥M
⊢ mk' S y' z' • mk' S 1 z • y = mk' S 1 (z' * z) • y' • y

Tactic:
← IsScalarTower.algebraMap_smul S y',

Goal state after:
case mp.refine_4
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower R S N
x : N
a : Set N
h : x ∈ Submodule.span S a
y : N
hy : y ∈ Submodule.span R a
z : ↥M
hx✝ : mk' S 1 z • y ∈ Submodule.span S a
y' : R
z' : ↥M
⊢ mk' S y' z' • mk' S 1 z • y = mk' S 1 (z' * z) • (algebraMap R S) y' • y
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Submodule

Goal state before:
pp: case mp.refine_4
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower R S N
x : N
a : Set N
h : x ∈ Submodule.span S a
y : N
hy : y ∈ Submodule.span R a
z : ↥M
hx✝ : mk' S 1 z • y ∈ Submodule.span S a
y' : R
z' : ↥M
⊢ mk' S (y' * 1) (z' * z) • y = ((algebraMap R S) y' * mk' S 1 (z' * z)) • y

Tactic:
mul_mk'_eq_mk'_of_mul

Goal state after:
case mp.refine_4
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : IsLocalization M S
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower R S N
x : N
a : Set N
h : x ∈ Submodule.span S a
y : N
hy : y ∈ Submodule.span R a
z : ↥M
hx✝ : mk' S 1 z • y ∈ Submodule.span S a
y' : R
z' : ↥M
⊢ mk' S (y' * 1) (z' * z) • y = mk' S (y' * 1) (z' * z) • y
Module: Mathlib.RingTheory.EssentialFiniteness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
h : EssFiniteType R S
⊢ EssFiniteType T (T ⊗[R] S)

Tactic:
classical
  rw [essFiniteType_iff] at h ⊢
  obtain ⟨σ, hσ⟩ := h
  use σ.image Algebra.TensorProduct.includeRight
  intro s
  induction s using TensorProduct.induction_on with
  | zero => exact ⟨1, one_mem _, isUnit_one, by simp⟩
  | tmul x y =>
    obtain ⟨t, h₁, h₂, h₃⟩ := hσ y
    have H (x : S) (hx : x ∈ Algebra.adjoin R (σ : Set S)) :
        1 ⊗ₜ[R] x ∈ Algebra.adjoin T
          ((σ.image Algebra.TensorProduct.includeRight : Finset (T ⊗[R] S)) : Set (T ⊗[R] S)) := by
      have : Algebra.TensorProduct.includeRight x ∈
          (Algebra.adjoin R (σ : Set S)).map (Algebra.TensorProduct.includeRight (A := T)) :=
        Subalgebra.mem_map.mpr ⟨_, hx, rfl⟩
      rw [← Algebra.adjoin_adjoin_of_tower R]
      apply Algebra.subset_adjoin
      simpa [← Algebra.adjoin_image] using this
    refine ⟨Algebra.TensorProduct.includeRight t, H _ h₁, h₂.map _, ?_⟩
    simp only [Algebra.TensorProduct.includeRight_apply, Algebra.TensorProduct.tmul_mul_tmul,
      mul_one]
    rw [← mul_one x, ← smul_eq_mul, ← TensorProduct.smul_tmul']
    apply Subalgebra.smul_mem
    exact H _ h₃
  | add x y hx hy =>
    obtain ⟨tx, hx₁, hx₂, hx₃⟩ := hx
    obtain ⟨ty, hy₁, hy₂, hy₃⟩ := hy
    refine ⟨_, mul_mem hx₁ hy₁, hx₂.mul hy₂, ?_⟩
    rw [add_mul, ← mul_assoc, mul_comm tx ty, ← mul_assoc]
    exact add_mem (mul_mem hx₃ hy₁) (mul_mem hy₃ hx₁)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.OreLocalization.OreSet

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
inst✝ : Monoid R
S : Submonoid R
⊢ Nonempty (OreSet S) →
    (∀ (r₁ r₂ : R) (s : ↥S), r₁ * ↑s = r₂ * ↑s → ∃ s', ↑s' * r₁ = ↑s' * r₂) ∧
      ∀ (r : R) (s : ↥S), ∃ r' s', ↑s' * r = r' * ↑s

Tactic:
exact fun ⟨_⟩ ↦ ⟨ore_right_cancel, fun r s ↦ ⟨oreNum r s, oreDenom r s, ore_eq r s⟩⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.EssentialFiniteness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : f.FiniteType
algInst✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
algebraizeInst✝ : Algebra.FiniteType R S
⊢ Algebra.EssFiniteType R S

Tactic:
infer_instance

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.AtPrime.Basic

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R✝
S✝ : Type u_2
inst✝²⁶ : CommSemiring S✝
inst✝²⁵ : Algebra R✝ S✝
P✝ : Type u_3
inst✝²⁴ : CommSemiring P✝
p✝ : Ideal R✝
inst✝²³ : p✝.IsPrime
Rₚ✝ : Type u_4
inst✝²² : CommSemiring Rₚ✝
inst✝²¹ : Algebra R✝ Rₚ✝
inst✝²⁰ : IsLocalization.AtPrime Rₚ✝ p✝
inst✝¹⁹ : IsLocalRing Rₚ✝
Sₚ✝ : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommSemiring Sₚ✝
inst✝¹⁷ : Algebra S✝ Sₚ✝
inst✝¹⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S✝ p✝.primeCompl) Sₚ✝
inst✝¹⁵ : Algebra Rₚ✝ Sₚ✝
P : Ideal S✝
S : Type u_6
R : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
p : Ideal R
inst✝¹³ : p.IsMaximal
Rₚ : Type u_8
inst✝¹² : CommRing Rₚ
inst✝¹¹ : Algebra R Rₚ
inst✝¹⁰ : IsLocalization.AtPrime Rₚ p
inst✝⁹ : IsLocalRing Rₚ
Sₚ : Type u_9
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : Algebra R Sₚ
inst✝³ : Algebra Rₚ Sₚ
inst✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝¹ : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝ : IsScalarTower R Rₚ Sₚ
⊢ failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)

Tactic:
Ideal.map_map,

Goal state after:
R✝ : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R✝
S✝ : Type u_2
inst✝²⁶ : CommSemiring S✝
inst✝²⁵ : Algebra R✝ S✝
P✝ : Type u_3
inst✝²⁴ : CommSemiring P✝
p✝ : Ideal R✝
inst✝²³ : p✝.IsPrime
Rₚ✝ : Type u_4
inst✝²² : CommSemiring Rₚ✝
inst✝²¹ : Algebra R✝ Rₚ✝
inst✝²⁰ : IsLocalization.AtPrime Rₚ✝ p✝
inst✝¹⁹ : IsLocalRing Rₚ✝
Sₚ✝ : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommSemiring Sₚ✝
inst✝¹⁷ : Algebra S✝ Sₚ✝
inst✝¹⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S✝ p✝.primeCompl) Sₚ✝
inst✝¹⁵ : Algebra Rₚ✝ Sₚ✝
P : Ideal S✝
S : Type u_6
R : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
p : Ideal R
inst✝¹³ : p.IsMaximal
Rₚ : Type u_8
inst✝¹² : CommRing Rₚ
inst✝¹¹ : Algebra R Rₚ
inst✝¹⁰ : IsLocalization.AtPrime Rₚ p
inst✝⁹ : IsLocalRing Rₚ
Sₚ : Type u_9
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : Algebra R Sₚ
inst✝³ : Algebra Rₚ Sₚ
inst✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝¹ : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝ : IsScalarTower R Rₚ Sₚ
⊢ failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.AtPrime.Basic

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R✝
S✝ : Type u_2
inst✝²⁶ : CommSemiring S✝
inst✝²⁵ : Algebra R✝ S✝
P✝ : Type u_3
inst✝²⁴ : CommSemiring P✝
p✝ : Ideal R✝
inst✝²³ : p✝.IsPrime
Rₚ✝ : Type u_4
inst✝²² : CommSemiring Rₚ✝
inst✝²¹ : Algebra R✝ Rₚ✝
inst✝²⁰ : IsLocalization.AtPrime Rₚ✝ p✝
inst✝¹⁹ : IsLocalRing Rₚ✝
Sₚ✝ : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommSemiring Sₚ✝
inst✝¹⁷ : Algebra S✝ Sₚ✝
inst✝¹⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S✝ p✝.primeCompl) Sₚ✝
inst✝¹⁵ : Algebra Rₚ✝ Sₚ✝
P : Ideal S✝
S : Type u_6
R : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
p : Ideal R
inst✝¹³ : p.IsMaximal
Rₚ : Type u_8
inst✝¹² : CommRing Rₚ
inst✝¹¹ : Algebra R Rₚ
inst✝¹⁰ : IsLocalization.AtPrime Rₚ p
inst✝⁹ : IsLocalRing Rₚ
Sₚ : Type u_9
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : Algebra R Sₚ
inst✝³ : Algebra Rₚ Sₚ
inst✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝¹ : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝ : IsScalarTower R Rₚ Sₚ
⊢ failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)

Tactic:
Ideal.map_map,

Goal state after:
R✝ : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R✝
S✝ : Type u_2
inst✝²⁶ : CommSemiring S✝
inst✝²⁵ : Algebra R✝ S✝
P✝ : Type u_3
inst✝²⁴ : CommSemiring P✝
p✝ : Ideal R✝
inst✝²³ : p✝.IsPrime
Rₚ✝ : Type u_4
inst✝²² : CommSemiring Rₚ✝
inst✝²¹ : Algebra R✝ Rₚ✝
inst✝²⁰ : IsLocalization.AtPrime Rₚ✝ p✝
inst✝¹⁹ : IsLocalRing Rₚ✝
Sₚ✝ : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommSemiring Sₚ✝
inst✝¹⁷ : Algebra S✝ Sₚ✝
inst✝¹⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S✝ p✝.primeCompl) Sₚ✝
inst✝¹⁵ : Algebra Rₚ✝ Sₚ✝
P : Ideal S✝
S : Type u_6
R : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
p : Ideal R
inst✝¹³ : p.IsMaximal
Rₚ : Type u_8
inst✝¹² : CommRing Rₚ
inst✝¹¹ : Algebra R Rₚ
inst✝¹⁰ : IsLocalization.AtPrime Rₚ p
inst✝⁹ : IsLocalRing Rₚ
Sₚ : Type u_9
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : Algebra R Sₚ
inst✝³ : Algebra Rₚ Sₚ
inst✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝¹ : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝ : IsScalarTower R Rₚ Sₚ
⊢ Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p = Ideal.map ((algebraMap S Sₚ).comp (algebraMap R S)) p
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.AtPrime.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R✝ : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R✝
S✝ : Type u_2
inst✝²⁶ : CommSemiring S✝
inst✝²⁵ : Algebra R✝ S✝
P✝ : Type u_3
inst✝²⁴ : CommSemiring P✝
p✝ : Ideal R✝
inst✝²³ : p✝.IsPrime
Rₚ✝ : Type u_4
inst✝²² : CommSemiring Rₚ✝
inst✝²¹ : Algebra R✝ Rₚ✝
inst✝²⁰ : IsLocalization.AtPrime Rₚ✝ p✝
inst✝¹⁹ : IsLocalRing Rₚ✝
Sₚ✝ : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommSemiring Sₚ✝
inst✝¹⁷ : Algebra S✝ Sₚ✝
inst✝¹⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S✝ p✝.primeCompl) Sₚ✝
inst✝¹⁵ : Algebra Rₚ✝ Sₚ✝
P : Ideal S✝
S : Type u_6
R : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
p : Ideal R
inst✝¹³ : p.IsMaximal
Rₚ : Type u_8
inst✝¹² : CommRing Rₚ
inst✝¹¹ : Algebra R Rₚ
inst✝¹⁰ : IsLocalization.AtPrime Rₚ p
inst✝⁹ : IsLocalRing Rₚ
Sₚ : Type u_9
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : Algebra R Sₚ
inst✝³ : Algebra Rₚ Sₚ
inst✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝¹ : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝ : IsScalarTower R Rₚ Sₚ
h : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
⊢ failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)

Tactic:
Ideal.map_map,

Goal state after:
case refine_1
R✝ : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R✝
S✝ : Type u_2
inst✝²⁶ : CommSemiring S✝
inst✝²⁵ : Algebra R✝ S✝
P✝ : Type u_3
inst✝²⁴ : CommSemiring P✝
p✝ : Ideal R✝
inst✝²³ : p✝.IsPrime
Rₚ✝ : Type u_4
inst✝²² : CommSemiring Rₚ✝
inst✝²¹ : Algebra R✝ Rₚ✝
inst✝²⁰ : IsLocalization.AtPrime Rₚ✝ p✝
inst✝¹⁹ : IsLocalRing Rₚ✝
Sₚ✝ : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommSemiring Sₚ✝
inst✝¹⁷ : Algebra S✝ Sₚ✝
inst✝¹⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S✝ p✝.primeCompl) Sₚ✝
inst✝¹⁵ : Algebra Rₚ✝ Sₚ✝
P : Ideal S✝
S : Type u_6
R : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
p : Ideal R
inst✝¹³ : p.IsMaximal
Rₚ : Type u_8
inst✝¹² : CommRing Rₚ
inst✝¹¹ : Algebra R Rₚ
inst✝¹⁰ : IsLocalization.AtPrime Rₚ p
inst✝⁹ : IsLocalRing Rₚ
Sₚ : Type u_9
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : Algebra R Sₚ
inst✝³ : Algebra Rₚ Sₚ
inst✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝¹ : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝ : IsScalarTower R Rₚ Sₚ
h : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
⊢ failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Polynomial

Goal state before:
pp: n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C).det.coeff 0 = B.det

Tactic:
rw [det_apply, finsetSum_coeff, det_apply]

Goal state after:
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ ∑ b, (sign b • ∏ i, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (b i) i).coeff 0 = ∑ σ, sign σ • ∏ i, B (σ i) i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Polynomial

Goal state before:
pp: case inr
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h✝ : Nontrivial α
⊢ (X • 1 + A.map ⇑C).det.leadingCoeff = (X • Matrix.map 1 ⇑C + A.map ⇑C).det.coeff (Fintype.card n)

Tactic:
leadingCoeff

Goal state after:
case inr
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h✝ : Nontrivial α
⊢ (X • 1 + A.map ⇑C).det.coeff (X • 1 + A.map ⇑C).det.natDegree =
    (X • Matrix.map 1 ⇑C + A.map ⇑C).det.coeff (Fintype.card n)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Localization

Goal state before:
pp: case inr.a
R : Type uR
M : Type uM
N : Type uN
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
p : Submonoid R
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
h✝ : Nontrivial R
⊢ ⨆ i, Cardinal.lift.{uM, uN} #↑↑i ≤ Cardinal.lift.{uN, uM} (Module.rank R M)

Tactic:
apply ciSup_le'

Goal state after:
case inr.a
R : Type uR
M : Type uM
N : Type uN
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
p : Submonoid R
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
h✝ : Nontrivial R
⊢ ∀ (i : { s // LinearIndepOn R id s }), Cardinal.lift.{uM, uN} #↑↑i ≤ Cardinal.lift.{uN, uM} (Module.rank R M)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Localization

Goal state before:
pp: case a
R : Type uR
M : Type uM
N : Type uN
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
p : Submonoid R
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
h✝ : Nontrivial R
⊢ ⨆ i, Cardinal.lift.{uN, uM} #↑↑i ≤ Cardinal.lift.{uM, uN} (Module.rank R N)

Tactic:
apply ciSup_le'

Goal state after:
case a
R : Type uR
M : Type uM
N : Type uN
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
p : Submonoid R
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
h✝ : Nontrivial R
⊢ ∀ (i : { s // LinearIndepOn R id s }), Cardinal.lift.{uN, uM} #↑↑i ≤ Cardinal.lift.{uM, uN} (Module.rank R N)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Localization

Goal state before:
pp: case inr.a
R : Type uR
S : Type uS
N : Type uN
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization p S
hp : p ≤ R⁰
h✝ : Nontrivial R
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ ⨆ ι, #↑↑ι ≤ Module.rank R N

Tactic:
apply ciSup_le'

Goal state after:
case inr.a
R : Type uR
S : Type uS
N : Type uN
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization p S
hp : p ≤ R⁰
h✝ : Nontrivial R
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ ∀ (i : { s // LinearIndepOn S id s }), #↑↑i ≤ Module.rank R N
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Localization

Goal state before:
pp: case a
R : Type uR
S : Type uS
N : Type uN
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization p S
hp : p ≤ R⁰
h✝ : Nontrivial R
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ ⨆ ι, #↑↑ι ≤ Module.rank S N

Tactic:
apply ciSup_le'

Goal state after:
case a
R : Type uR
S : Type uS
N : Type uN
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization p S
hp : p ≤ R⁰
h✝ : Nontrivial R
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ ∀ (i : { s // LinearIndepOn R id s }), #↑↑i ≤ Module.rank S N
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Laurent

Goal state before:
pp: case refine_2.negSucc
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
n : ℕ
⊢ ∃ n_1 f', toLaurent f' = C a * T (Int.negSucc n) * T ↑n_1

Tactic:
· refine ⟨n + 1, Polynomial.C a, ?_⟩
      simp only [Int.negSucc_eq, Polynomial.toLaurent_C, Int.natCast_succ, mul_T_assoc,
        neg_add_cancel, T_zero, mul_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Laurent

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type u_3
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : Sˣ
p : R[X]
⊢ (IsLocalization.lift ⋯) (toLaurent p) = Polynomial.eval₂ f (↑x) p

Tactic:
rw [← algebraMap_eq_toLaurent, IsLocalization.lift_eq, coe_eval₂RingHom]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Invertible

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : StarRing α
A : Matrix n n α
inst✝ : Invertible Aᴴ
⊢ Invertible (star Aᴴ)

Tactic:
infer_instance

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Kronecker

Goal state before:
pp: α : Type u_3
β : Type u_5
γ : Type u_7
l : Type u_9
m : Type u_10
n : Type u_11
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : Zero γ
inst✝ : DecidableEq n
f : α → β → γ
hf : ∀ (a : α), f a 0 = 0
A : Matrix l m α
b : n → β
i₁ : l
i₂ : n
j₁ : m
j₂ : n
⊢ kroneckerMap f A (diagonal b) (i₁, i₂) (j₁, j₂) = blockDiagonal (fun i ↦ A.map fun a ↦ f a (b i)) (i₁, i₂) (j₁, j₂)

Tactic:
simp [diagonal, blockDiagonal, apply_ite (f (A i₁ j₁)), hf]

Goal state after: