mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.BumpFunction

Goal state before:
pp: E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
⊢ IsOpen[inst✝²] (support ↑f)

Tactic:
rw [support_eq_inter_preimage]

Goal state after:
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
⊢ IsOpen[inst✝²] ((chartAt H c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut)
Module: Mathlib.Topology.Compactness.Paracompact

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen[inst✝¹] (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen[inst✝¹] (t b)
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | (t i ∩ U x).Nonempty}.Finite
⊢ ⋃ i, (fun i ↦ ⋃ a, ⋃ (_ : ind a = i), t a) i = univ

pp: case refine_3
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen[inst✝¹] (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen[inst✝¹] (t b)
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | (t i ∩ U x).Nonempty}.Finite
⊢ LocallyFinite fun i ↦ ⋃ a, ⋃ (_ : ind a = i), t a

pp: case refine_4
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen[inst✝¹] (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen[inst✝¹] (t b)
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | (t i ∩ U x).Nonempty}.Finite
⊢ ∀ (a : ι), (fun i ↦ ⋃ a, ⋃ (_ : ind a = i), t a) a ⊆ u a

Tactic:
· simp only [eq_univ_iff_forall, mem_iUnion]
    exact fun x ↦ ⟨ind (t_inv x), _, rfl, ht_inv _⟩

Goal state after:
case refine_3
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen[inst✝¹] (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen[inst✝¹] (t b)
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | (t i ∩ U x).Nonempty}.Finite
⊢ LocallyFinite fun i ↦ ⋃ a, ⋃ (_ : ind a = i), t a

case refine_4
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen[inst✝¹] (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen[inst✝¹] (t b)
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | (t i ∩ U x).Nonempty}.Finite
⊢ ∀ (a : ι), (fun i ↦ ⋃ a, ⋃ (_ : ind a = i), t a) a ⊆ u a
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s t : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
hs : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑(trivializationAt F V x₀) ⟨x, s x⟩).2) u x₀
ht : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑(trivializationAt F V x₀) ⟨x, t x⟩).2) u x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑(trivializationAt F V x₀) ⟨x, (s + t) x⟩).2) u x₀

Tactic:
set e := trivializationAt F V x₀

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s t : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2) u x₀
ht : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑e ⟨x, t x⟩).2) u x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑e ⟨x, (s + t) x⟩).2) u x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
hs : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑(trivializationAt F V x₀) ⟨x, s x⟩).2) u x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑(trivializationAt F V x₀) ⟨x, (-s) x⟩).2) u x₀

Tactic:
set e := trivializationAt F V x₀

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2) u x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑e ⟨x, (-s) x⟩).2) u x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
f : M → 𝕜
s : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) n f u x₀
hs : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑(trivializationAt F V x₀) ⟨x, s x⟩).2) u x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑(trivializationAt F V x₀) ⟨x, (f • s) x⟩).2) u x₀

Tactic:
set e := trivializationAt F V x₀

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
f : M → 𝕜
s : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) n f u x₀
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2) u x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑e ⟨x, (f • s) x⟩).2) u x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, t i x⟩) x₀
⊢ ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, ∑ᶠ (i : ι), t i x⟩) x₀

Tactic:
by
  simp_rw [← contMDiffWithinAt_univ] at ht' ⊢
  exact .finsum_section_of_locallyFinite ht ht'

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
hj : j = i ∨ j ∈ v.carrier
h : j = i
⊢ IsCompact (closure vi)

Tactic:
exact hvi.2.2.2

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case refine_8
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
⊢ IsCompact (closure vi)

Tactic:
exact hvi.2.2.2

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.AEEqOfIntegral

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
b : ℝ
hb_neg : b < 0
s : Set α := {x | f x ≤ b}
hs : NullMeasurableSet s μ
mus : μ s < ∞
h_const_le : ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ μ.real s * b
⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ b * μ.real s

Tactic:
mul_comm

Goal state after:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
b : ℝ
hb_neg : b < 0
s : Set α := {x | f x ≤ b}
hs : NullMeasurableSet s μ
mus : μ s < ∞
h_const_le : ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ b * μ.real s
⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ b * μ.real s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Disintegration

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hE : Subsingleton E
this : Subsingleton F
⊢ ProperSpace F

Tactic:
infer_instance

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.AEEqOfIntegral

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : AEFinStronglyMeasurable f μ
t : Set α := hf.sigmaFiniteSet
this : SigmaFinite (μ.restrict t)
⊢ f =ᵐ[μ.restrict t] 0

Tactic:
refine ae_eq_zero_of_forall_setIntegral_eq_of_sigmaFinite ?_ ?_

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : AEFinStronglyMeasurable f μ
t : Set α := hf.sigmaFiniteSet
this : SigmaFinite (μ.restrict t)
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.restrict t) s < ∞ → IntegrableOn f s (μ.restrict t)

case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : AEFinStronglyMeasurable f μ
t : Set α := hf.sigmaFiniteSet
this : SigmaFinite (μ.restrict t)
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.restrict t) s < ∞ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ.restrict t = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.AEEqOfIntegral

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : FinStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
t : Set α
ht_meas : MeasurableSet t
htf_zero✝ : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ : SigmaFinite ((μ.trim hm).restrict t)
this : SigmaFinite ((μ.restrict t).trim hm)
htf_zero : f =ᵐ[μ.restrict tᶜ] 0
hf_meas_m : StronglyMeasurable f
⊢ ((μ.restrict t).trim hm) {x | (fun x ↦ f x = 0 x) x}ᶜ = 0

Tactic:
refine ae_eq_zero_of_forall_setIntegral_eq_of_sigmaFinite ?_ ?_

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : FinStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
t : Set α
ht_meas : MeasurableSet t
htf_zero✝ : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ : SigmaFinite ((μ.trim hm).restrict t)
this : SigmaFinite ((μ.restrict t).trim hm)
htf_zero : f =ᵐ[μ.restrict tᶜ] 0
hf_meas_m : StronglyMeasurable f
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ((μ.restrict t).trim hm) s < ∞ → IntegrableOn f s ((μ.restrict t).trim hm)

case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : FinStronglyMeasurable f (μ.trim hm)
t : Set α
ht_meas : MeasurableSet t
htf_zero✝ : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ : SigmaFinite ((μ.trim hm).restrict t)
this : SigmaFinite ((μ.restrict t).trim hm)
htf_zero : f =ᵐ[μ.restrict tᶜ] 0
hf_meas_m : StronglyMeasurable f
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ((μ.restrict t).trim hm) s < ∞ → ∫ (x : α) in s, f x ∂(μ.restrict t).trim hm = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.AbsolutelyContinuous

Goal state before:
pp: case hgf
⊢ (fun x ↦ 0) ≤ fun E ↦ volume (⋃ i ∈ Finset.range E.1, uIoc (E.2 i).1 (E.2 i).2)

Tactic:
intro

Goal state after:
case hgf
i✝ : ℕ × (ℕ → ℝ × ℝ)
⊢ (fun x ↦ 0) i✝ ≤ (fun E ↦ volume (⋃ i ∈ Finset.range E.1, uIoc (E.2 i).1 (E.2 i).2)) i✝
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.AbsolutelyContinuous

Goal state before:
pp: case hgf
a b : ℝ
⊢ (fun x ↦ 0) ≤ fun E ↦ (volume.restrict (uIoc a b)) (⋃ i ∈ Finset.range E.1, uIoc (E.2 i).1 (E.2 i).2)

Tactic:
intro

Goal state after:
case hgf
a b : ℝ
i✝ : ℕ × (ℕ → ℝ × ℝ)
⊢ (fun x ↦ 0) i✝ ≤ (fun E ↦ (volume.restrict (uIoc a b)) (⋃ i ∈ Finset.range E.1, uIoc (E.2 i).1 (E.2 i).2)) i✝
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: case inr
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
v : E
hv : v ∈ ball 0 r
v_ne : v ≠ 0
w : E
ρ : ℝ
w_mem : w ∈ sphere 0 1
hvw : v = ρ • w
hρ : ρ = ‖v‖
⊢ v ∈ {x_1 | (fun x_2 ↦ ‖f (x + x_2) - f x - L x_2‖ ≤ ε * ‖x_2‖) x_1}

Tactic:
have norm_rho : ‖ρ‖ = ρ := by rw [hρ, norm_norm]

Goal state after:
case inr
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
v : E
hv : v ∈ ball 0 r
v_ne : v ≠ 0
w : E
ρ : ℝ
w_mem : w ∈ sphere 0 1
hvw : v = ρ • w
hρ : ρ = ‖v‖
norm_rho : ‖ρ‖ = ρ
⊢ v ∈ {x_1 | (fun x_2 ↦ ‖f (x + x_2) - f x - L x_2‖ ≤ ε * ‖x_2‖) x_1}
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Taylor

Goal state before:
pp: case e_a
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ x : ℝ
⊢ (x - x₀) ^ (n + 1) • (↑(n + 1)!)⁻¹ • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀ =
    ((↑n !)⁻¹ * (↑n + 1)⁻¹ * (x - x₀) ^ (n + 1)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀

Tactic:
rw [← mul_smul, mul_comm, Nat.factorial_succ, Nat.cast_mul, Nat.cast_add, Nat.cast_one,
    mul_inv_rev]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.AbsolutelyContinuous

Goal state before:
pp: case h₂
F : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
a b : ℝ
M : Type u_3
inst✝² : SeminormedRing M
inst✝¹ : Module M F
inst✝ : NormSMulClass M F
f : ℝ → M
g : ℝ → F
hf :
  Tendsto (fun E ↦ ∑ i ∈ Finset.range E.1, dist (f (E.2 i).1) (f (E.2 i).2)) (totalLengthFilter ⊓ 𝓟 (disjWithin a b))
    (𝓝 0)
hg :
  Tendsto (fun E ↦ ∑ i ∈ Finset.range E.1, dist (g (E.2 i).1) (g (E.2 i).2)) (totalLengthFilter ⊓ 𝓟 (disjWithin a b))
    (𝓝 0)
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ uIcc a b, ‖f x‖ ≤ C
D : ℝ
hD : ∀ x ∈ uIcc a b, ‖g x‖ ≤ D
n : ℕ
I : ℕ → ℝ × ℝ
hnI :
  (∀ i ∈ Finset.range n, (I i).1 ∈ uIcc a b ∧ (I i).2 ∈ uIcc a b) ∧
    (↑(Finset.range n)).PairwiseDisjoint fun i ↦ uIoc (I i).1 (I i).2
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range n
⊢ dist (f (I i).1 • g (I i).2) (f (I i).2 • g (I i).2) ≤ D * dist (f (I i).1) (f (I i).2)

Tactic:
mul_comm

Goal state after:
case h₂
F : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
a b : ℝ
M : Type u_3
inst✝² : SeminormedRing M
inst✝¹ : Module M F
inst✝ : NormSMulClass M F
f : ℝ → M
g : ℝ → F
hf :
  Tendsto (fun E ↦ ∑ i ∈ Finset.range E.1, dist (f (E.2 i).1) (f (E.2 i).2)) (totalLengthFilter ⊓ 𝓟 (disjWithin a b))
    (𝓝 0)
hg :
  Tendsto (fun E ↦ ∑ i ∈ Finset.range E.1, dist (g (E.2 i).1) (g (E.2 i).2)) (totalLengthFilter ⊓ 𝓟 (disjWithin a b))
    (𝓝 0)
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ uIcc a b, ‖f x‖ ≤ C
D : ℝ
hD : ∀ x ∈ uIcc a b, ‖g x‖ ≤ D
n : ℕ
I : ℕ → ℝ × ℝ
hnI :
  (∀ i ∈ Finset.range n, (I i).1 ∈ uIcc a b ∧ (I i).2 ∈ uIcc a b) ∧
    (↑(Finset.range n)).PairwiseDisjoint fun i ↦ uIoc (I i).1 (I i).2
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range n
⊢ dist (f (I i).1 • g (I i).2) (f (I i).2 • g (I i).2) ≤ dist (f (I i).1) (f (I i).2) * D
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
⊢ sphere 0 1 ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s

Tactic:
s_dense.closure_eq

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
⊢ sphere 0 1 ⊆ univ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun

Goal state before:
pp: F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace ℝ F✝
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
a b : ℝ
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f a b
hab : a ≤ b
d : ℝ
hd : a ≤ d ∧ d ≤ b
r : ℝ
hr : r > 0
had : a ≤ d
hdb : d < b
hf₀ : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ioo d b → HasDerivAt f 0 x
hfdb' : 0 < r / (b - d)
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₁ : ∀ z ∈ u, (d < z.1 ∧ z.1 < z.2 ∧ z.2 < b) ∧ dist (slope f z.1 z.2) 0 < r / (b - d)
hu₂ : u.PairwiseDisjoint fun z ↦ Icc z.1 z.2
hu₃ : HasSum (fun z ↦ (↑z).2 - (↑z).1) (b - d)
g : ↑u → ℝ := fun z ↦ dist (f (↑z).1) (f (↑z).2)
⊢ 0 ≤ g

Tactic:
intro

Goal state after:
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace ℝ F✝
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
a b : ℝ
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f a b
hab : a ≤ b
d : ℝ
hd : a ≤ d ∧ d ≤ b
r : ℝ
hr : r > 0
had : a ≤ d
hdb : d < b
hf₀ : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ioo d b → HasDerivAt f 0 x
hfdb' : 0 < r / (b - d)
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₁ : ∀ z ∈ u, (d < z.1 ∧ z.1 < z.2 ∧ z.2 < b) ∧ dist (slope f z.1 z.2) 0 < r / (b - d)
hu₂ : u.PairwiseDisjoint fun z ↦ Icc z.1 z.2
hu₃ : HasSum (fun z ↦ (↑z).2 - (↑z).1) (b - d)
g : ↑u → ℝ := fun z ↦ dist (f (↑z).1) (f (↑z).2)
i✝ : ↑u
⊢ 0 i✝ ≤ g i✝