Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff

Goal state before:
pp: case refine_2
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) :=
  fun p ↦ ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b ↦ ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq : (fun p ↦ F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p ↦ F ↑p) ⟨q, qt⟩
Npq : N p = N q
Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x ↦ (E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) x))
Φ : ↑(s p) → q.Rep := fun x ↦ ↑(Ψ x)
⊢ ∀ (x : q.Rep), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε

pp: case refine_3
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) :=
  fun p ↦ ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b ↦ ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq : (fun p ↦ F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p ↦ F ↑p) ⟨q, qt⟩
Npq : N p = N q
Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x ↦ (E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) x))
Φ : ↑(s p) → q.Rep := fun x ↦ ↑(Ψ x)
⊢ ∀ (x y : ↑(s p)), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε

Tactic:
· show ∀ x : q.Rep, ∃ z : s p, dist x (Φ z) ≤ ε
      -- by construction, `s q` is `ε`-dense, and it is the range of `Φ`
      intro x
      have : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) := (hs q qt) (mem_univ _)
      rcases mem_iUnion₂.1 this with ⟨y, ys, hy⟩
      let i : ℕ := E q ⟨y, ys⟩
      let hi := ((E q) ⟨y, ys⟩).2
      have ihi_eq : (⟨i, hi⟩ : Fin (N q)) = (E q) ⟨y, ys⟩ := by rw [Fin.ext_iff, Fin.val_mk]
      have hiq : i < N q := hi
      have hip : i < N p := by rwa [Npq.symm] at hiq
      let z := (E p).symm ⟨i, hip⟩
      use z
      have C1 : (E p) z = ⟨i, hip⟩ := (E p).apply_symm_apply ⟨i, hip⟩
      have C2 : Fin.cast Npq ⟨i, hip⟩ = ⟨i, hi⟩ := rfl
      have C3 : (E q).symm ⟨i, hi⟩ = ⟨y, ys⟩ := by
        rw [ihi_eq]; exact (E q).symm_apply_apply ⟨y, ys⟩
      have : Φ z = y := by simp only [Ψ, Φ]; rw [C1, C2, C3]
      rw [this]
      exact le_trans (le_of_lt hy) u_le_ε

Goal state after:
case refine_3
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) :=
  fun p ↦ ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b ↦ ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq : (fun p ↦ F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p ↦ F ↑p) ⟨q, qt⟩
Npq : N p = N q
Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x ↦ (E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) x))
Φ : ↑(s p) → q.Rep := fun x ↦ ↑(Ψ x)
⊢ ∀ (x y : ↑(s p)), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε